Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler

Technische Universität Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Klaus Ritter
Dr. Hefter & Dr. Herzwurm
Sommersemester 2017
20.04.2017
Übungsblatt 0
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Keine Abgabe.
Aufgabe 1
Gegeben seien die Mengen
A1 = ∅, A2 = {1}, A3 = {1, 1}, A4 = {1, 3}, A5 = {1, 2, 4}, A6 = {1, 2, 3, 4}.
a) Bestimmen Sie alle i, j ∈ {1, . . . , 6} mit Ai ⊆ Aj .
b) Bestimmen Sie alle Mengen der Form Ai ∪ Aj bzw. Ai ∩ Aj für i, j ∈ {1, . . . , 6}.
c) Sei Ω = {1, 2, 3, 4}. Bestimmen Sie Aci für i ∈ {1, . . . , 6}.
Sei A ⊆ Ω ⊆ Ω̃. Gilt immer Ω \ A = Ω̃ \ A?
Aufgabe 2
Gibt es eine Funktion f : {1, 2, 3, 4} → {1, 5} mit
a) f (1) = 1 und f (1) = 5,
b) f (1) = 3,
c) f (5) = 1,
d) f (1) = 5 und f (2) = 5?
Aufgabe 3
Bestimmen Sie folgende Mengen
a) {0, 1, 2} × {0, 2},
b) {1, 2}3 .
Aufgabe 4
a) Berechnen Sie
P5
i=1
i sowie
P4
k=0
k2.
b) Seien Ω = {1, 2, 3, 4, 5} und A = {1, 4}. Bestimmen Sie
i)
X
(ω − 1),
ii)
ω∈Ω
X
ω − 1,
ω∈Ω
iii)
X
(ω 2 + 1),
ω∈Ω\A
c) Konvergieren folgende Reihen?
i)
∞
X
(−1)k ,
k=0
d) Berechnen Sie
P∞ 5
k=1
2k
+
ii)
∞
X
k=0
1
3k
.
q k , 0 < q < 1.
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Sommersemester 2017
20.04.2017
Übungsblatt 1
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Abgabe bis Dienstag, 02.05.2017, 9:00 Uhr, in die Briefkästen vor 48-210.
Aufgabe 1
Seien Ω eine Menge und A, B, C ⊆ Ω Ereignisse.
a) Vereinfachen Sie die Ausdrücke
(A ∪ B) ∩ C
c
∩B
c
und
(A ∩ B ∩ C)c \ A \ (B ∪ C).
b) Gilt die Gleichheit
(A \ B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B ∪ C)
im Allgemeinen? Falls ja, begründen Sie Ihre Antwort wie in Teil a). Falls nein,
geben Sie ein Gegenbeispiel an.
c) Prüfen Sie die folgenden Beispiele auf paarweise Disjunktheit:
i) A = {1, 2}, B = {2, 3} und C = {1, 3},
ii) A = {1}, B = {2} und C = {3},
iii) A = {1, 5}, B = {2, 3} und C = {5, 6}.
In welchen Fällen gilt A ∩ B ∩ C = ∅?
Aufgabe 2
Sei Ω eine Menge, und sei die Funktion f : Pot(Ω) → R definiert durch
f (A) = |A|
für A ∈ Pot(Ω).
a) Bestimmen Sie für Ω = {1, 2, 3} die Potenzmenge Pot(Ω), und tabellieren Sie f wie
P
in Bsp. 2.2.9. Berechnen Sie zudem A⊆Ω f (A).
b) Ist eine Tabellierung praktikabel für Ω = {1, 2, . . . , 20}?
Aufgabe 3
Für n ∈ N0 und k ∈ {0, . . . , n} ist der Binomialkoeffizient „n über k“ definiert als
!
n
n!
=
,
k
k! · (n − k)!
wobei 0! = 1 und
n! =
n
Y
i=1
i = 1 · ... · n
für n ∈ N. Zeigen Sie:
a) Für n ∈ N0 gilt
n
0
=1=
n
n
.
b) Für n ∈ N und k = 0, . . . , n − 1 gilt
!
!
!
n+1
n
n
=
+
.
k+1
k
k+1
c) Für n ∈ N0 und k = 0, . . . , n gilt
!
!
n
n
=
.
k
n−k
Aufgabe 4
Aus der Kombinatorik ist folgende Aussage bekannt: Seien n ∈ N, Ω = {1, . . . , n} und
k ∈ {0, . . . , n}. Dann ist die Anzahl der k-elementigen Teilmengen von Ω gegeben durch
{A
∈ Pot(Ω) : |A| =
k}
!
n
=
.
k
Interpretieren Sie die Aussagen 3a)-c) in diesem Kontext. Interpretieren Sie ebenfalls die
Aussage
n
X
k=0
!
n
= 2n .
k
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Sommersemester 2017
27.04.2017
Übungsblatt 2
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Abgabe bis Montag, 08.05.2017, 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor 48-210.
Aufgabe 1
Geben Sie einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum an, der die Augenzahlen beim Werfen zweier handelsüblicher sechsseitiger Würfel modelliert. Schreiben Sie die folgenden
Ereignisse als Mengen und berechnen Sie deren Wahrscheinlichkeiten:
a) „die Augenzahl des ersten Würfels ist um genau zwei größer als die des zweiten
Würfels“,
b) „beide Augenzahlen betragen eins“,
c) „die Summe der Augenzahlen ist mindestens zehn“.
Aufgabe 2
Seien Ω = {0, 1}2 und A = {(1, 0), (1, 1)} sowie B = {(0, 1), (1, 1)}. Bestimmen Sie alle
möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen P auf Ω mit
1
P (A) = P (B) = .
2
Aufgabe 3
Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A, B, C ⊆ Ω mit
3
7
1
7
P (Ac ) = , P (B) = , P (C) = , P (Ac ∩ B) = ,
10
10
20
4
1
1
3
P (A ∩ C) = , P (A ∩ B ∩ C) = , P ((A ∪ C) ∩ B) = .
10
20
20
Berechnen Sie
P (A ∩ B),
P (Ac ∪ B),
P (A ∪ C),
P (B ∩ C),
P (A ∩ B ∩ C c ),
Aufgabe 4
Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ⊆ Ω mit
P (A) = 0.7,
a) Berechnen Sie P (B).
b) Berechnen Sie P (A | B).
P (B | A) = 0.8,
P (B | Ac ) = 0.4.
P (A ∪ B ∪ C).
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Sommersemester 2017
04.05.2017
Übungsblatt 3
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Abgabe bis Montag, 15.05.2017, 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor 48-210.
Aufgabe 1
Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ⊆ Ω. Welche der folgenden
Aussagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Antwort.
a) Sind A und B unabhängig, so sind auch A und B c unabhängig.
b) Sind A und B unabhängig, so sind auch Ac und B c unabhängig.
c) Falls P (A) ∈ {0, 1}, so sind A und B unabhängig.
d) Sind A und B disjunkt, so sind A und B unabhängig.
e) Sind A und B unabhängig, so sind A und B disjunkt.
Aufgabe 2
a) Sei Ω = {1, 2, 3, 4} und sei P die Gleichverteilung auf Ω. Betrachten Sie die Ereignisse
A = {1, 2},
B = {1, 3},
C = {2, 3}.
Prüfen Sie, ob A und B unabhängig sind. Verfahren Sie analog mit A und C sowie
mit B und C. Gilt
P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C)?
b) Betrachten Sie die Situation aus Aufgabe 1 auf Übungsblatt 2. Sind die zwei Ereignisse „die Augenzahl des ersten Würfels ist um genau zwei größer als die des zweiten
Würfels“ und „die Summe der Augenzahlen ist mindestens zehn“ unabhängig?
Aufgabe 3
Geben Sie einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum an, der das 3-malige „unabhängige“
Werfen einer fairen Münze modelliert. Modellieren sie die Anzahl der Ausgänge „Kopf“
sowie die Anzahl der Ausgänge „Zahl“ mittels Zufallsvariablen. Bestimmen Sie die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktionen. Sind die beiden Zufallsvariablen identisch verteilt?
Aufgabe 4
Betrachten Sie die Situation aus Bsp. 2.4.4 (2-maliges Werfen eines Würfels).
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktionen von
(i) Y = max(X1 , X2 ),
Sind Y und Z identisch verteilt?
(ii) Z = min(X1 , X2 ).
b) Berechnen Sie PY ({1, 2}), P ({Z = 5}) und P(Y,Z) ({1, 2} × {5}).
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Sommersemester 2017
10.05.2017
Übungsblatt 4
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Abgabe bis Montag, 22.05.2017, 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor 48-210.
Aufgabe 1
Seien X1 , X2 : Ω → {0, 1, 2} Zufallsvariablen, die folgendem Tableau genügen (vgl. Bemerkung 2.4.16).
X2
X1
p0,0
0.2
p2,0
p•,0
0.2
0.1
p2,1
p•,1
0.3 0.6
p1,2 p1,•
p2,2 0
p•,2
a) Vervollständigen Sie das Tableau.
b) Berechnen Sie P ({X2 = 0}|{X1 ≤ 1}).
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X2 .
d) Sind X1 und X2 unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 2
Seien X1 , X2 , X3 : Ω → {1, 2, 3} unabhängige Zufallsvariablen mit
pX1 (1) = 1/3,
pX1 (2) = 1/3,
pX1 (3) = 1/3,
pX2 (1) = 1/4,
pX2 (2) = 1/4,
pX2 (3) = 1/2,
pX3 (1) = 1/5,
pX3 (2) = 1/5,
pX3 (3) = 3/5.
Berechnen Sie P ({X1 + X2 + X3 = 8}) und P ({min(X1 , X2 , X3 ) = 2}).
Aufgabe 3
Sei k ∈ N und seien X1 , X2 , X3 : Ω → {1, . . . , k} unabhängige Zufallsvariablen. Sind
X1 + X2 , X3 unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 4
Betrachten Sie in der Situation aus Beispiel 2.5.3 die Merkmale „Typ des Studienganges“ mit den Ausprägungen „Bachelor-“, „Master-“ und „Diplom-Studiengang“ sowie das
Merkmal „Fachbereich“ mit den Ausprägungen „Wirtschaftswissenschaften“ und „Andere“. Berechnen Sie alle relevanten relativen Häufigkeiten.
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Sommersemester 2017
19.05.2017
Übungsblatt 5
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Abgabe bis Montag, 29.05.2017, 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor 48-210.
Aufgabe 1
a) Seien X und Y Zufallsvariablen mit X ∼ B(n, p) und Y ∼ B(m, p) für m, n ∈ N
und 0 ≤ p ≤ 1. Gilt dann bereits ohne die Unabhängigkeit von X und Y , dass
X + Y ∼ B(n + m, p)? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit X ∼ B(n, p) und Y ∼ B(m, q) für
m, n ∈ N und 0 ≤ p, q ≤ 1. Gilt dann X + Y ∼ B(n + m, (p + q)/2)? Begründen Sie
Ihre Antwort.
Aufgabe 2
Fluggesellschaften überbuchen häufig ihre Flugverbindungen. Für ein Flugzeug mit 280
Plätzen werden 282 Tickets verkauft. Passagiere erscheinen mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0.02 nicht zu ihrem Flug. Modellieren Sie diese Situation unter einer vereinfachenden
Unabhängigkeitsannahme mittels Zufallsvariablen und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nicht alle Passagiere mitfliegen können.
Aufgabe 3
Seien n ∈ N und k ∈ {0, . . . , n}. Für 0 ≤ p ≤ 1 und X ∼ B(n, p) sei
f (p) = P ({X = k}) .
Bestimmen Sie das Maximum von f .
Aufgabe 4
a) Geben Sie einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum an, der die Augenzahlen vom
fünfmaligen Werfen eines handelsüblichen sechsseitigen Würfels modelliert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahlen folgendes Muster erfüllen:
gerade, ungerade, gerade, ungerade, gerade.
b) Auf 4 Stellen bewerben sich 8 Bewerber, davon sind 3 weiblich und 5 männlich. Nehmen Sie an, dass alle Kombinationen die 8 Bewerber auf die 4 Stellen zu besetzen, die
gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Geben Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nur männliche Bewerber
eingestellt werden.
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Sommersemester 2017
25.05.2017
Übungsblatt 6
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Abgabe bis Montag, 05.06.2017, 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor 48-210.
Aufgabe 1
Eine Lieferung von 50 PC-Bildschirmen gilt als „gut“, wenn höchstens 1 Bildschirm defekt
ist, und als „schlecht“, wenn mindestens 4 Bildschirme defekt sind. Kunde und Lieferant
haben vereinbart, 4 rein zufällig herausgegriffene Bildschirme zu überprüfen. Nur wenn
alle 4 Bildschirme nicht defekt sind, nimmt der Kunde die Lieferung an.
a) Geben Sie ein geeignetes Modell für die Anzahl defekter Bildschirme bei einer Überprüfung an. Welche Modellparameter sind unbekannt?
b) Nehmen Sie an, dass eine „gute“ Lieferung nicht angenommen wird. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis?
c) Nehmen Sie an, dass es sich nun um eine „schlechte“ Lieferung handelt. Für welche
Anzahl defekter Bildschirme innerhalb der gesamten Lieferung wird die Wahrscheinlichkeit für die Annahme einer Lieferung maximal? Berechnen Sie die zugehörige
Wahrscheinlichkeit.
Aufgabe 2
Beim Würfelspiel „Kniffel“ wirft jeder Spieler zu Beginn seines Spielzugs 5 Würfel simultan. Die Ereignisse „5 gleiche Augenzahlen“ sowie „3 gleiche und 2 gleiche Augenzahlen“
werden als „Kniffel“ sowie „Full House“ bezeichnet.
a) Geben Sie ein geeignetes Modell für die Anzahlen der verschiedenen Augenzahlen
1, . . . , 6 beim simultanen Werfen von 5 handelsüblichen Würfeln.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit ein „Kniffel“ sowie ein „Full House mit drei
Einsen (ausschließlich des Ausgangs 5 Einsen)“ zu würfeln.
Aufgabe 3
a) Sei k ∈ N. Für λ > 0 und X ∼ Poi(λ) sei
f (λ) = P ({X = k}) .
Bestimmen Sie das Maximum von f .
b) Sei X ∼ B(500, 0.001). Berechnen Sie P ({X ≤ 2}) exakt und näherungsweise mittels
des Poissonschen Grenzwertsatzes.
c) Sei X ∼ H(2000, 400, 5). Berechnen Sie P ({X > 1}) exakt und näherungsweise
mittels Satz 2.6.13.
Aufgabe 4
Beweisen Sie Satz 2.6.13.
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Sommersemester 2017
01.06.2017
Übungsblatt 7
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Abgabe bis Montag, 12.06.2017, 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor 48-210.
Aufgabe 1
Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → X.
a) Für a ∈ R sei
f (a) = E (X − a)2 .
Bestimmen Sie alle globalen Minima von f .
b) Sei X ∼ B(1, 1/2). Für a ∈ R sei
g(a) = E |X − a| .
Bestimmen Sie alle globalen Minima von g.
c) Sei zudem Y : Ω → X. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie
Ihre Antwort.
i) Falls E(X) ≤ E(Y ), so gilt X(ω) ≤ Y (ω) für alle ω ∈ Ω.
ii) Es gilt Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ).
Aufgabe 2
Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X, Y, Z : Ω → X unabhängig mit
X ∼ B(2, 3/4), Y ∼ Poi(5) und Z ∼ Geo(1/2). Berechnen Sie
a) Var(2Y − 3Z),
b) E (X − Y ) · Z ,
c) E sin(πX) + Z .
Aufgabe 3
Bei einer Werbemaßnahme eines Warenhauses werden n ∈ N Gutscheine an verschiedene
Haushalte verschickt. Pro Gutschein entstehen Kosten in Höhe von 10 Euro. Die Erfahrung
zeigt, dass die verschiedenen Haushalte unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit
60% ihren Gutschein einlösen.
a) Geben Sie ein geeignetes Modell für die Gesamtkosten an und berechnen Sie die
erwarteten Gesamtkosten.
b) Wie viele Haushalte können maximal angeschrieben werden, wenn die erwarteten
Gesamtkosten 5000 Euro nicht überschreiten sollen.
c) Berechnen Sie die Varianz der Gesamtkosten bei 2000 angeschriebenen Haushalten.
Aufgabe 4
Gegeben sei die folgende Stichprobe mit Parameter a ∈ R:
l
xl
1
2
2
0
3
−1
4
1
5
a
a) Berechnen Sie das Stichprobenmittel in Abhängigkeit von a. Existiert für jedes z ∈ R
ein a ∈ R, sodass das Stichprobenmittel gleich z ist?
b) Für welche Werte von a ist die Stichprobenvarianz minimal?
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Sommersemester 2017
08.06.2017
Übungsblatt 8
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Abgabe bis Montag, 19.06.2017, 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor 48-210.
Aufgabe 1
Berechnen Sie jeweils den Erwartungswert und die Varianz:
a) X ∼ U(a, b), a < b,
b) X ∼ Exp(λ), λ > 0,
c) X ∼ N(µ, σ 2 ), µ ∈ R, σ > 0.
Aufgabe 2
Für a ∈ R sei fa : R → R gegeben durch



ax + a,
falls x ∈ [−1, 0],
fa (x) = a − ax, falls x ∈ [0, 1],



0,
sonst.
a) Bestimmen Sie alle a ∈ R, sodass fa eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
b) Sei X eine stetig verteilte Zufallsvariable mit Dichte f1 . Berechnen Sie E(|X| − X 2 )
sowie P ({X ≤ x}) für x ∈ R.
Aufgabe 3
Die durchschnittliche Lebensdauer eines elektronischen Bauteils beträgt 2000 Tage.
a) Geben Sie ein geeignetes Modell für die Lebensdauer des Bauteils an.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil länger als 500 Tage funktionstüchtig ist, sowie die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil kürzer als 300 Tage funktionstüchtig ist.
Aufgabe 4
Seien X, Y unabhängig mit X ∼ Exp(1) und Y ∼ B(1, 3/4).
a) Ist X · Y diskret oder stetig verteilt?
b) Berechnen Sie P ({X · Y ≤ x}) für x ∈ R.
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Sommersemester 2017
13.06.2017
Übungsblatt 9
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Abgabe bis Montag, 26.06.2017, 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor 48-210.
Aufgabe 1
Seien X1 , X2 unabhängig mit X1 ∼ Exp(λ1 ) und X2 ∼ Exp(λ2 ), wobei λ1 , λ2 > 0. Berechnen Sie P ({min(X1 , X2 ) ≤ x}) für x ∈ R, und bestimmen sie die Verteilung von
min(X1 , X2 ). Berechnen Sie hieraus E(min(X1 , X2 )).
Aufgabe 2
Sei X ∼ Exp(1) bzw. X ∼ N(0, 1). Für x ∈ R sei
f (x) = P {x ≤ X ≤ x + 1} .
Bestimmen Sie das Maximum von f .
Aufgabe 3
Sei X ∼ N(2, 9). Berechnen Sie (näherungsweise) mithilfe der Tabelle auf Seite 99 folgende
Wahrscheinlichkeiten:
q
P ({X ≤ 2.5}), P ({2 ≤ X ≤ 3}), P ({ |X| ≤ 2}).
Berechnen Sie weiterhin das p-Quantil von X mit p = 0.95, und ermitteln Sie ein a ∈ R
mit
P ({2 − a ≤ X ≤ 2 + a}) = 0.95.
Aufgabe 4
Die Bilder A1-A4 zeigen Wahrscheinlichkeitsfunktionen bzw. Wahrscheinlichkeitsdichten.
Die Bilder B1-B4 zeigen die zugehörigen Verteilungsfunktionen. Welche Verteilungsfunktion gehört zu welcher Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte. Begründen Sie Ihre Antwort.
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
B4
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Sommersemester 2017
26.06.2017
Übungsblatt 10 (Probeklausur)
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Aufgabe 1
Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ⊆ Ω.
a) Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch? Begründen Sie Ihre
Antwort.
i) Falls P (A) ∈ {0, 1}, so sind A und B unabhängig.
ii) Sind A und B unabhängig, so sind A und B disjunkt.
b) Gelte
2
1
P (A) = , P (B | A) = ,
5
2
Berechnen Sie P (B) und P (A | B).
1
P (B | Ac ) = .
2
Aufgabe 2
Beim Würfelspiel „Kniffel“ wirft jeder Spieler zu Beginn seines Spielzugs 5 Würfel simultan.
a) Geben Sie ein geeignetes Modell für die Anzahlen der verschiedenen Augenzahlen
1, . . . , 6 beim simultanen Werfen von 5 handelsüblichen Würfeln an.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit „5 aufeinander folgende Augenzahlen“ sowie
„genau 4 Dreien“ zu würfeln.
Hinweis: 45 = 1024, 65 = 7776.
Aufgabe 3
Sei X ∼ N(1, 4). Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten näherungsweise mit Hilfe
der Tabelle in der Formelsammlung:
a) P ({X > 1}),
b) P ({0 < X ≤ 3}),
q
c) P ({ |X| ≤ 2}).
Aufgabe 4
Seien X1 , X2 unabhängig mit X1 ∼ Exp(λ1 ) und X2 ∼ Exp(λ2 ), wobei λ1 , λ2 > 0. Berechnen Sie P ({min(X1 , X2 ) > x}) für x ∈ R, und bestimmen sie die Verteilung von
min(X1 , X2 ). Berechnen Sie hieraus E(min(X1 , X2 )).
Aufgabe 5
Gegeben seien die folgenden Werte der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable X : Ω →
[1, ∞[:
x
FX (x)
1
0
2
0.2
3
0.6
4
1
a) Begründen Sie, warum 2 < m(X) ≤ 3 für den Median m(X) von X gilt.
b) Begründen Sie, warum die folgenden Aussagen falsch sind:
i) FX (2.5) = 0.8,
ii) P ({3 < X ≤ 4}) = 0.5,
iii) E(X) = 0.
c) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion pX : {1, 2, 3, 4} → R an, sodass die zugehörige Verteilungsfunktion die obigen Werte annimmt.
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Sommersemester 2017
28.06.2017
Übungsblatt 11
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Abgabe bis Montag, 10.07.2017, 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor 48-210.
Aufgabe 1
a) Seien X1 , . . . , X400 unabhängig und identisch verteilt mit X1 ∼ Exp(2). Bestimmen
P
Sie P ({ 400
i=1 Xi > 210}) approximativ mittels des zentralen Grenzwertsatzes.
b) Sei X ∼ B(1000, 0.6). Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten approximativ
mittels des zentralen Grenzwertsatzes:
i) P ({X > 600}),
ii) P ({X ∈ [100, 450[}).
c) Seien X1P
, . . . , X50 unabhängig und identisch verteilt mit X1 ∼ Poi(3). Bestimmen
Sie P ({| 50
i=1 Xi −150| > 100}) approximativ mittels des zentralen Grenzwertsatzes.
Aufgabe 2
Seien X1 , . . . , X5 unabhängig und identisch verteilt mit X1 ∼ N(µ, 4) und unbekanntem
µ ∈ R. Zur Schätzung des Erwartungswertes µ seien die folgenden Schätzfunktionen
(i)
g5 : R5 → R für i = 1, . . . , 4 gegeben:
1
(1)
g5 (x1 , . . . , x5 ) = (x1 + x3 + x5 ),
3
5
1X
(2)
xi ,
g5 (x1 , . . . , x5 ) =
5 i=1
(3)
g5 (x1 , . . . , x5 ) = x1 + x4 ,
(4)
g5 (x1 , . . . , x5 ) = x3 .
a) Bestimmen Sie jeweils den Bias der Schätzfunktionen. Welche Schätzfunktionen sind
erwartungstreu?
b) Bestimmen Sie jeweils den mittleren quadratischen Fehler der Schätzfunktionen.
Welche Schätzfunktion besitzt den kleinsten mittleren quadratischen Fehler?
Aufgabe 3
Seien n ∈ N und X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt mit Var(X1 ) > 0. Sei
gn : Rn → R gegeben durch
gn (x1 , . . . , xn ) =
n
1X
(xi − x̄n )2 .
n i=1
a) Gilt E(gn (X1 , . . . , Xn )) = Var(X1 )?
b) Konvergiert gn (X1 , . . . , Xn ) mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen Var(X1 )?
Aufgabe 4
Seien n ∈ N und X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt mit X1 ∼ U(0, b) und
b ∈ ]0, ∞[. Zur Schätzung von b seien die Schätzfunktionen gn(1) , gn(2) : Rn → R gegeben
durch
n
2X
n+1
(1)
gn (x1 , . . . , xn ) =
· max(x1 , . . . , xn ).
xi ,
gn(2) (x1 , . . . , xn ) =
n i=1
n
a) Zeigen Sie, dass max(X1 , . . . , Xn ) die Dichtefunktion f : R → R gegeben durch

n · xn−1 /bn ,
f (x) = 
0,
falls x ∈ [0, b],
sonst,
besitzt.
b) Zeigen Sie, dass gn(1) und gn(2) erwartungstreu sind.
c) Berechnen Sie die mittleren quadratischen Fehler von gn(1) und gn(2) .
Hinweis: Für n ∈ N gilt
n+1
n
2
n
n
·
−
n+2
n+1
2 !
=
1
.
n(n + 2)
Technische Universität Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Klaus Ritter
Dr. Hefter, Dr. Herzwurm
Sommersemester 2017
05.07.2017
Übungsblatt 12
Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Abgabe bis Montag, 17.07.2017, 12:00 Uhr, in die Briefkästen vor 48-210.
Aufgabe 1
Seien X1 , . . . , X10 unabhängig und identisch verteilt mit X1 ∼ N(µ, σ 2 ) für µ ∈ R und
σ ∈ ]0, ∞[. Das Stichprobenmittel sei x̄10 = 5 und die Stichprobenvarianz sei s2 = 4.
a) Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für µ ∈ R zum Niveau 0.95, falls bekannt ist,
dass σ = 2.
b) Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für µ ∈ R zum Niveau 0.95, falls σ nicht
bekannt ist.
c) Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für σ 2 zum Niveau 0.95.
Aufgabe 2
Der Mittelwert µ einer Normalverteilung, deren Varianz σ 2 = 9 bekannt ist, soll geschätzt
werden.
a) Eine Stichprobe vom Umfang n = 100 ergibt den Mittelwert 53.97. Geben Sie ein
95%-Konfidenzintervall für µ an.
b) Wie groß müsste der Stichprobenumfang sein, bei einem Mittelwert von 53.97, damit
das 95%-Konfidenzintervall höchstens die Länge 0.4 hat?
c) Wie groß müsste der Stichprobenmittelwert sein, bei einem Stichprobenumfang von
n = 1000, damit das 95%-Konfidenzintervall höchstens die Länge 0.4 hat?
Aufgabe 3
Eine Stichprobe ergibt folgende Füllmengen für Zementsäcke:
434.5072 445.3890 457.5347 449.2864 454.5647 436.3218
443.3939 445.3756 435.8685 434.8056 457.3122 448.1124
Bestimmen Sie approximativ ein 95%-Konfidenzintervall für die mittlere Füllmenge µ.
Aufgabe 4
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt mit X1 ∼ N(µ, σ 2 ) mit bekanntem
σ ∈ ]0, ∞[ und unbekanntem µ = ϑ ∈ Θ = R. Für 0 < α < 1 konstruieren Sie eine
Funktion bn : Rn → R mit
P ϑ ({ϑ ≤ bn (X1 , . . . , Xn )}) ≥ 1 − α
für alle ϑ ∈ Θ.