Das zeitabhängige Elektromagnetische Feld. Elektromagnetische

Kapitel 4
Das zeitabhängige Elektromagnetische
Feld. Elektromagnetische Wellen
Nach Untersuchung des elektrostatischen und magnetostatischen Feldes in den letzen Kapiteln, kehren wir jetzt
zum allgemeinen Fall des zeitabhängigen Feldes zurück. Die Bewegungsgleichungen kennen wir bereits – die vier
Maxwell-Gleichungen. Der interessante neue Aspekt ist die wechelseitige Beeinflussung von elektrischem und
magnetischem Feld über die Terme mit den Zeitableitungen der Feldstärken.
4.1
Freie Wellen im Vakuum
Zunächst betrachten wir elektromagnetische Wellen im Vakuum, das heißt ohne materielle Ladungsträger:
ρ=0
und
j=0
Die Maxwell-Gleichungen nehmen dann folgende Gestalt an:
1
rot E = − Ḃ
c
1
rot B = Ė
c
div E = 0
div B = 0
Nun sind Ė und Ḃ ungleich Null. Es sind also keine statischen Felder mehr erlaubt. Wir finden nun – durch
Umformen der obigen Form der Maxwell-Gleichungen – die Wellengleichungen für die Felder. Wir wenden die
Rotation auf die dritte Maxwell-Gleichung an:
rot rot E = (grad div −∆)E
1
− Ḃ = grad div E −∆E
| {z }
c
=0
1
− 2 Ë = −∆E
c
1
∆E − 2 Ë = 0
c
Analog folgt für das Magnetische Feld:
1
B̈ = 0
c2
Diese Gleichungen sind homogene Wellengleichungen (elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordung). Diese
Kombination von Orts- und Zeitableitungen fassen wir zum Wellenoperator zusammen.
∆B −
Im Vakuum gelten die homogenen Wellengleichungen:
E(r, t) = 0
(4.1)
B(r, t) = 0
(4.2)
81
82
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Hierbei ist zu beachten, dass der Box-Operator – ebenso wie der Laplace-Operator – auf jede Komponente
der Felder wirkt. Man hat also eigentlich sechs Gleichungen. Für die Potentiale A und Φ gelten ebenfalls
Wellengleichungen. Für das Vektorpotential gilt dies in Lorentz- und Coulombeichung, für das skalare Potential
gilt dies nur in der Lorentzeichung. Wir wählen daher die Lorentzeichung.
Im Vakuum gelten in der Lorentzeichung für die Potentiale A und Φ:
Φ = 0
A = 0
(4.3)
(4.4)
Da die Wellengleichung gewonnen wurde in dem man den Rotation-Operator auf die Maxwell-Gleichung angewendet hat, ist es möglich, dass sich die Lösungsmenge geändert hat. Interessant sind für uns nur die Lösungen,
die alle Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen erfüllen.
Man beachte, dass die Bezeichnung “Wellengleichung” etwas missverständlich ist, da die Lösungen nicht notwendigerweise periodisch im Raum und in der Zeit sind, wie wir unten sehen werden.
4.1.1
Ebene elektromagnetische Wellen
Wir haben nun also folgende Gleichung zu lösen:
f (r, t) = 0
Hierbei ist f ∈ {Φ, Ei , Bi , Ai }. Sei nun n ein beliebiger Einheitsvektor und f genügend oft stetig differenzierbar.
Später werden wir sehen, dass n die Ausbreitungsrichtung angibt.
Behauptung:
Die Lösung der Wellengleichung f (r, t) = 0 ist gegeben durch:
f (r, t) = f (n ◦ r − ct) = f [α(r, t)]
(4.5)
Hierbei definieren wir:
α(r, t) := n ◦ r − ct
Beweis:
Wir zeigen durch Einsetzen:
f (r, t) = f (n ◦ r − ct)
1 ∂2
f (n ◦ r − ct)
c2 ∂t2
1
= ∂x22 f (α) + ∂y22 f (α) + ∂z22 f (α) − 2 ∂t22 f (α)
c
1 ∂ 2 α ∂ 2 f (α)
∂ 2 f (α)
− 2 2
= [∂x22 α + ∂y22 α + ∂z22 α]
2
∂α
c ∂t
∂α2
2
2
∂ f (α)
1
∂ f (α)
= [n2x + n2y + n2z ]
− 2 · c2
c
∂α2
|
{z
} ∂α2
= ∆f (n ◦ r − ct) −
=1
= 0.
Damit wurde gezeigt, dass unser f die homogene Wellengleichung löst. Die Voraussetzung, dass n ein Einheitsvektor ist, war notwendig damit sich die Terme wegheben. Diese gefundene Lösung wollen wir nun auf ihre
Eigenschaften untersuchen. Man nennt die Funktion α(r, t) auch die Phase. Sie charakterisiert den geometrischen Ort und die Zeit gleicher Feldstärke (bzw. gleichen Potentials), da wenn α = const auch f (α) = const
gilt.
Betrachten wir einen beliebigen konstanten Zeitpunkt t0 und verlangen α = α0 = const, so folgt
n ◦ r = α0 + ct0 ,
und damit muss für eine konstante Phase
n ◦ r = const
83
4.1. FREIE WELLEN IM VAKUUM
erfüllt sein. Diese Gleichung beschreibt eine Ebene in Normalenform. Alle Punkte gleicher Phase (z.B. constanter
Feldstärke) liegen also in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Dies kann man einsehen, da für eine
späteren Zeitpunkt t1 > t0 die Projektion n ◦ r gewachsen sein muss, um konstante Phase zu gewährleisten. Die
Ebene breitet sich also in n-Richtung ohne Deformation mit Geschwindigkeit c aus. Die Geschwindkeit sieht
man wie folgt ein:
d
d
r|| = n ◦ r = c
dt
dt
v|| = c
t0
t1
r
0
n
r||
Abbildung 4.1: Ausbreitung der Ebene gleicher Phase in n-Richtung vom Zeitpunkt t0 bis t1 .
Die ebene Welle erfüllt zwar die Wellengleichung, ist aber eine Idealisierung realer Wellen, die immer nur von
einem endlich ausgedehnten Sender ausgestrahlt werden können (sonst würde die Welle eine unendlich hohe
Energie besitzen). Eine ebene Welle würde eine Randbedingung erfordern, die auf einer unendlich ausgedehnten
Ebene gegeben ist, was unphysikalisch ist. Allerdings können zum Beispiel Kugelwellen (dies besprechen wir
etwas später) in großem Abstand zum Sender in guter Näherung als ebene Wellen angesehen werden [Nol11].
4.1.1.1
Orientierung der Feldvektoren
Wir möchten nun herausfinden, ob unsere Lösung Informationen über die Orientierung der Felder zueinander
enthält. Wir haben also die Lösung für das Vektorpotential A:
A(r, t) = A(n ◦ r − ct)
und können das Magnetfeld wie gewohnt berechnen:
B(r, t) = rot A(α) = ∇ × A(α)


∂y Az (α) − ∂z Ay (α)
= ∂z Ax (α) − ∂x Az (α)
∂x Ay (α) − ∂y Ax (α)


∂α ∂Az
∂α ∂Ay
∂y ∂α − ∂z ∂α

∂Ax
∂α Az 
=  ∂α
∂z ∂α − ∂x ∂α 
∂A
y
∂α
∂α ∂Ax
∂x ∂α − ∂y ∂α
 ∂α 
∂x
 × ∂α A(α)
=  ∂α
∂y
∂α
∂z
= n × ∂α A(α)
84
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Also wissen wir bereits, dass B(r, t) ⊥ n gilt. Nun betrachten wir das elektrische Feld, für welches
1
E(r, t) = − grad Φ(α) − Ȧ(α),
c
gilt. Außerdem wissen wir aus der gewählten Lorentzeichung:
1
div A + Φ̇ = 0,
c
wobei Φ and A nur von α abhängen. Beginnen wir zunächst mit der ersten Gleichung:
 


∂x
Ax (α)
1
E(r, t) = − ∂y  Φ(α) − ∂t Ay (α) = −n∂α Φ(α) + ∂α A(α)
c
∂z
Az (α)
Formen wir nun die Lorentzeichung um, so erhalten wir:
0 = n∂α A(α) − ∂α Φ(α)
∂α Φ(α) = n∂α A(α)
Dies setzen wir ein und eliminieren Φ und erhalten für das elektrische Feld:
E(r, t) = −n(n∂α A(α)) − ∂α A(α)
Wenn wir nun n ◦ n = 1 nutzen können wir die Graßmann-Identität anwenden und erhalten:
E(r, t) = n × (∂α A × n)
= n × (−B(r, t))
= −n × B
Im letzten Schritt haben wir das Ergebnis für das magnetischen Feldes von oben benutzt. Aus dieser Gleichung
erkennen wir, dass das elektrische Feld sowohl senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung als auch auf der Richtung
des Magnetfeldes steht. E, B und n bilden also orthogonales Dreibein, und ebene elektromagnetische Wellen im
Vakuum sind transversal. Man kann sich nun die Frage stellen, ob E, B und n global oder lokal orthogonal
sind. Die Frage nach der Polarisation etwas später klären, welche Freiheiten hier bestehen.
B(α) = n × ∂α A(α)
E(α) = n × (∂α A(α) × n) = −n × B(α)
4.1.1.2
(4.6)
(4.7)
Energiedichte und Poynting-Vektor einer ebenen Welle
Aus Glg. (4.7) erhält man sofort:
E 2 (α) = B 2 (α),
das heißt, die Beträge von elektrischem und magnetischem Feld sind zu jeder Zeit und an jedem Ort gleich.
Damit wird die Energiedichte zu:
u(α) =
E 2 (α)
1
.
E 2 (α) + B 2 (α) =
8π
4π
(4.8)
Wir nutzen auch für den Poynting-Vektor die Beziehung (4.7) und erhalten:
c
E×B
4π
c
c
= n E ◦ B = n E 2 (α)
4π
4π
S = n · c · u(α)
S=
(4.9)
Damit haben wir die Beziehungen bestätigt, die wir bei der allgmeinen Diskussion von Feldenergie und -impuls
bereits verwendet hatten.
85
4.1. FREIE WELLEN IM VAKUUM
4.1.2
Monochromatische Ebene Welle
Bislang hatten wir keinerlei Annahmen über die Form der Funktion f (α) gemacht, außer, dass die Zeit und die
Koordinate nur über die Phase eingehen. Insbesondere hatten wir nicht verlangt, dass es sich um eine periodische
Funktion handelt. Diesen Speziafall betrachten wir im Folgenden.
Wir wählen nun eine spezielle Lösung der Wellengleichung zu:
f (α) = f0 eik(n◦r−ct)
Wir untersuchen diese Lösung im folgenden auf ihre Eigenschaften. Hierfür definieren wir noch
k := k · n
(4.10)
ω =k·c
(4.11)
und
Die monochromatische ebene Welle löst die Wellengleichung. Die Lösung hat die Form:
f (α) = f0 ei(k◦r−ωt)
(4.12)
Wir wissen, dass dies eine Welle ist, die periodisch in Raum und Zeit ist. Hierbei gelten die üblichen Beziehungen:
1
,
T
2π
k=
λ
ω = 2πf,
f=
ω=
2π
T
Hierbei sind T die Periodendauer und λ die Wellenlänge. Die Phasengeschwindigkeit berechnet sich zu:
vph =
ω
λ
= =c
T
k
(4.13)
Die Phasengeschwindigkeit ist also die Lichtgeschwindigkeit. Dies gilt aber nur im Vakuum. Die Abhängigkeit
der Kreisfrequenz von der Wellenzahl nennt man auch (Frequen-Wellenzahl-)Dispersion.
ω(k) = c · k
Die Dispersion einer elektromagnetischen Welle im Vakuum ist also linear. Dies gilt gleichermaßen für die
Relation zwischen Impuls (~k) und Energie (~ω), die wir in der Quantenmechanik kennenlernen werden. Man
beachte, dass diese lineare Dispersion fundamental anders ist als die klassischer Teilcher, wo eine parabolische
Dispersion gilt, E(p) = p2 /2m.
Die Grundeigenschaften der monochromatischen ebenen Welle sind nun bekannt. Wir wissen zum Beispiel, dass
(E, B) ⊥ k ist. Nun klären wir die Frage, ob sich dieses Dreibein drehen kann.
4.1.2.1
Polarisation ebener monochromatischer Wellen
Wir lassen nun für das elektrische Feld eine komplexe Form zu.
E ∗ (r, t) = E 0 ei(k◦r−wt)
Physikalische relevant ist hierbei nur der Realteil.
i
h
E(r, t) = ℜ E 0 ei(k◦r−wt)
Für die komplexe Amplitude können wir schreiben:
E 0 = E 01 + iE 02
Hierbei sind E 01 und E 02 zwei Komponenten und sind reell. Weiter berechnen wir den Realteil der elektrischen
Feldes:
E(r, t) = ℜ [(E 01 + iE 02 (cos kα + i sin kα))]
= E 01 cos kα − E 02 sin kα
86
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Die Orientierung in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Vektoren E 01 und E 02 kann also völlig
beliebig sein. Wir führen nun eine Koordinatentransformation durch, welche gewährleisten dass Ẽ 01 ⊥ Ẽ 02 gilt.
Hierfür führen wir eine konstante Phase ϕ, die dieses gewährleistet. Also erhält man:
i
h
E(r, t) = ℜ (Ẽ 01 + iE˜02 )(cos k α̃ + i sin k α̃)
Hierbei haben wir
Ẽ 01 + iẼ 02 = E 0 · eiϕ
und
k α̃ := k ◦ r − ωt + ϕ
Wir wählen nun unser Koordinatensystem so, dass die Ausbreitungsrichtung n, k in êz -Richtung ist. Damit
liegen unsere transformierten Amplituden in der x, y-Ebene und der Realteil des elektrischen Feldes wird zu:
E(r, t) = |Ẽ 01 |êx cos(kz − ωt + ϕ) − |Ẽ 02 |êy sin(kz − ωt + ϕ)
|
{z
} |
{z
}
Ex (z,t)
−Ey (z,t)
Man sieht also das die x und y-Komponente eine analoge Orts- und Zeitabhängigkeit haben und sich nur um
eine Phase von π2 unterscheiden. Der Feldvektor rotiert mit wachsender Phase k α̃. Im Allgemeinen können wir
unterschiedliche Amplituden in x und y-Richtung haben. Dieser allgemeine Fall entspricht einer elliptischen
Polarisation. Sind die Amplituden gleich so haben wir eine zirkulare Polarisation und ist eine Amplitude so
haben wir eine lineare Polarisation.
4.1.3
Superposition ebener monochromatischer Wellen
Die Linearität der Maxwell-Gleichungen impliziert die Linearität der Wellengleichung und daraus folgt die
Gültigkeit des Superpositionsprinzips, da jede Linearkombination von Lösungen wieder eine Lösung der Wellengleichung ist. Als Teillösungen kann man monochromatische Wellen wählen. So erhält man den Vorteil, dass man
eine beliebige periodische Funktion mit einer geeigneten Superposition monochromatischer Lösungen darstellen
kann. Wir behandeln den Fall das alle Spektralkomponenten dieselbe Richtung haben. Also n1 = n2 = ....
Wir erhalten also eine Lösung der Wellengleichung zunächst aus einer endlichen Überlagerung von partikulären
Lösungen:
X
f (α) =
fj eikj α
j
Hierbei ist mit
α = n ◦ r − ct
auch
ωj = c · k j
gegeben. Ziel ist es nun die ωj kj zu finden. Hierfür kann man aus der endlichen Summe eine kontinuierliche
Verteilung machen und erhält die Fouriertransformationen.
1
f (α) = √
2π
1
f˜(k) = √
2π
Z∞
−∞
Z∞
eikα f˜(k)dk
(4.14)
e−ikα f (α)dα
(4.15)
−∞
Hierbei nennt man f˜(k) auch eine Spektralkomponente und alle f˜(k) bilden zusammen das Spektrum von f (α).
Zunächst schauen wir uns das Spektrum einer monochromatischen ebenen Welle an mit:
f (α) = f0 ei(k0 ·z−ω0 ·t) = f0 eik0 α
87
4.1. FREIE WELLEN IM VAKUUM
mit ω0 = c · k0 . Das Spektrum ergibt sich dann zu:
1
f˜(k) = √ f0
2π
Z∞
e−ikα+ik0 α dα
−∞
= f0 δ(k − k0 )
Abbildung 4.2: Spektrum einer monochromatischen Welle
Das Spektrum hat wie erwartet also nur eine Komponente, welche maximal lokalisiert ist. Die Breite des Peaks
ist also ∆k = 0. Die monochromatische ebene Welle ist unendlich ausgedehnt in α, das heißt auch unendlich
ausgedehnt in t und z. Die Breite ist hier also ∆α = ∞. Beides ist nicht ideal realisierbar. Reale Prozesse haben
immer eine endliche Breite in beiden Komponenten. Wir behandeln deshalb die Gaußfunktion, die einem realen
Prozess besser entspricht. Also definieren wir das Spektrum zu
f˜(k) = c · e−
a2 (k−k0 )2
2
und versuchen f (α) zu finden.
Abbildung 4.3: Gaußförmiges Spektrum
Zunächst bestimmen wir die Peakbreite unseres Spektrums. Aus k − k0 =
1
a
ergibt sich
1
1
˜
= c √ ≈ 0.6
f k0 +
a
e
Die Peakbreite ist also ∆k = a2 . Nun setzen wir die Fourier-Transformation an:
c
f (α) = √
2π
Z∞
−∞
e−
a2 (k−k0 )2
2
+ikα
dk
88
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Substituiere k = k − k0 . Also ist k = k + k0 und es gilt:
c
f (α) = √
2π
Z∞
eikα e−a
2 k2
2
eik0 α dk
−∞
c
= √ eik0 α
2π
Z∞
eikα e−
a2 k 2
2
dk
−∞
|
Das Resultat mit α = n ◦ r − ct ist:
=
{z
α2
2π − 2a2
a e
√
}
c i(k0 −ω0 t) − 12 (n◦r−ct)2
e
e 2a
a
= f0 (α) · ei(k0 ◦r−ω0 t)
f (n ◦ r − ct) =
(4.16)
Wir haben als Ergebnis eine monochromatische Welle (Trägerwelle) mit gaußförmiger Amplitude
f0 (α) =
2
c − 12 ( n◦r−ct
)
a
e
a
Abbildung 4.4: Phasenraum eines gaußförmigen Spektrums
Liest man die Peakbreite der Funktion f (α) ab so erhält man:
∆α = 2 · a
Halten wir eine Zeit t fest so gilt also ∆z = 2a. Multiplizieren wir die Peakbreite im Frequenzraum und im
Phasenraum so erhalten wir:
∆k · ∆z = 1
(4.17)
Dies gilt für eine Gaussfunktion für andere Amplitudenzusammenhänge gilt nur ∆k · ∆z = const. Hält man nun
den Ort fest so erhält man analog:
∆t · ∆ω = 1
(4.18)
Diese Zusammenhänge sind allgemeine Eigenschaften der Fourier-Transformation. Man beschreibt die als Unschärfe,
da eine präzise Orts(Zeit)-Messung (∆z/∆t klein) zu einem großen Fehler in der k/ω Messung führt. Dies ist
der Grund für die Unschärferelation in der Quantenmechanik (Teilchen werden durch Wellen repräsentiert).
4.1.4
Kugelwellen
Es gibt auch noch andere Lösungen der Wellengleichung. Große physikalische Relevantheit haben die Kugelwellen. Man kann sich hier eine lokalisierte Abstrahlung (dies war bei der ebenen Welle ein Problem) und
eine Abstrahlung in den gesamten Raum vorstellen. Die Gesamtenergie wird dann nicht wie bei den ebenen
Wellen divergieren, sondern sich auf Kugeloberflächen verteilen. Wir suchen also nun eine isotrope Lösung der
Wellengleichung.
f (r) = f (r)