Formelsammlung

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Mathematik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Fachlehrer : W. Zimmer
Analysis
Seite 1
(f±g)‘ = f‘ ± g‘
Ableitungsregeln:
(f •g)‘ = f’g + fg‘
'
'
f'
 1
 f  = − f2
 
 f  f ' g − fg'
  =
g2
g
(g f ) (x) = g'(f(x)) ⋅ f '(x)
'
'
1
 −1 
mit y = f(x)
 f  (y) =
f '(x)
 
b
a
a
b
∫ f(x)dx = −∫ f(x)dx
Integrationsregeln:
;
'
1
 −1 
bzw.  f  (x) =
−1


 
f '  f (x)


c
b
b
a
c
a
∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx
∫ k ⋅ f(x)dx = k ⋅ ∫ f(x) + c
∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
∫ f '(x) ⋅ g(x) dx = f(x) ⋅ g(x) − ∫ f(x) ⋅ g'(x) dx
∫ f(g(x)) ⋅ f '(x) dx = ∫ f(u)du
∞
b →∞
a
Einfache Grundintegrale:
1 n+1
n
∫ x dx = n + 1x + c
1
∫ xdx = ln(x) + c
∫e
kx
dx =
1 kx
e +c
k
;
b
∞
a
−∞
∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx
Uneigentliche Integrale:
∫
mit u = g(x) und du = g'(x)dx
c
f(x)dx = lim ∫ f(x)dx
c →∞
−c
n ≠ −1 ; c ∈ »
∫ e dx = e
x
;k ≠0 ;
x
+c ;
∫ ln(x)dx = x ⋅ ln(x) − x + c
1
∫ ln(kx)dx = k ⋅ ∫ ln(u)du mit u = kx
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Analysis
Seite 2
x
Logarithmusfunktion:
ln(x) = ∫ ln(u)du
ln(e) = 1
1
Umkehrfunktion ln(x) = e x
Logarithmengesetze:
ln(a ⋅ b) = ln(a) + ln(b)
a
ln( ) = ln(a) − ln(b)
b
ec ⋅ e d = ec + d
ln(ab ) = b ⋅ ln(a)
(e )
ec : e d = e c − d
c
d
= ec ⋅d
Allgemeine Logarithmusfunktion : logc (x) =
Spezielles Integral :
Grenzwerte:
xn
=0
x →∞ e x
lim
lim xn ⋅ e x = 0
x →−∞
ln(x)
ln(c)
f '(x)
∫ f(x) dx = ln f(x) + c
GRF(x)
=0
x →∞
ex
d.h. die e − Funktion steigt stär ker
als jede Ganzrationale − Funktion
beliebigen Grades
lim
bzw.
lim GRF(x) ⋅ e x = 0
x →−∞
Entsprechend für die Logarithmusfunktion:
lim x ⋅ ln x = 0
x →0
und
ln x
=0
x →∞ x
lim
d.h. die ln-Funktion steigt langsamer
als jede Ganzrationale Funktion
beliebigen Grades
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Analytische Geometrie
Seite 3
Geraden im » 3
:
g : x = a + λu
Ebenen im » 3
:
E : x = a + λu + µv
;
λ, µ ∈ E: A1x1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 + A 4 = 0
Parameterform
; Ai ∈ E : n ∗ (x − a) = 0
Koordinatenform
Normalenform
E : n0 ∗ (x − a) = 0 mit n0 = 1 und n0 ∗ a > 0 Hesse Normalenform
Abs tan d Punkt − Gerade : d = d
d = n0 ∗ (x − p) Ist d < 0 dann liegt P bzl. E auf der gleichen
Seite wie der Ursprung 0
Ist d > 0 dann liegt P bzl. E auf der entgegen −
gesetzten Seite wie der Ursprung 0
3
x ∗ y = ∑ xi y i
:
Skalarprodukt
bzw.
x ∗ y = x ⋅ y ⋅ cos (x, y)
i=1
Vektorprodukt
:
ex
x × y = x1
y1
ey
ez
x2
x3
y2
y3
 x 2 y3 − y 2 x 3 


=  x 3 y 1 − y 3 x1 
x y −y x 
1 2 
 1 2
x × y = x ⋅ y ⋅ sin x,y)
a b c ab
Determinanten:
d e
g h
f d e = (aei + bfg + cdh) − (gec + hfa + idb)
i gh
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Analytische Geometrie
Spatvolumen :
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Seite 4
Das Volumen des von den Vektoren x,y,z aufgespannten Spats ist
VSpat = x × y ∗ z
(
)
Pyramidenvolumen:
a) „Viereckspyramide“
b) „Dreieckspyramide“
1
VSpat
3
1
Vp = VSpat
6
Vp =
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Wahrscheinlichkeitsrechnung / Statistik
Seite 5
Urnenexperiment
Realexperiment
Anzahl der
Möglichkeiten
In einer Urne sind n
unterscheidbare Kugeln,
z.B. nummeriert von 1 bis n
Permutationen
Alle n Kugeln werden
nacheinander ohne
Zurücklegen gezogen. Die
Reihenfolge wird notiert.
Wir haben n unterscheidbare
Objekte
Es gibt n! verschiedene
Anordnungen
(Permutationen) mit n
unterscheidbaren
Objekten..
Wir bilden also
n-Tupel:
n!
( |
k-Permutationen-ohne
(Variationen)
k der n Kugeln (k ≤ n)
werden nacheinander ohne
Zurücklegen gezogen. Die
Reihenfolge wird notiert.
| ……|
|
)
Es werden k der n
Objekte ausgewählt
n ⋅ (n −1) ⋅ (n − 2) ⋅ ...⋅ (n − k + 1und diese dann in alle
mögliche Reihenfolgen
n!
gebracht
=
(n − k ) !
k-Tupel:
( |
k-Permutationen-mit
(Variationen)
k der n Kugeln (k ≤ n)
werden nacheinander mit
Zurücklegen gezogen. Die
Reihenfolge wird notiert.
nk
k-Teilmengen
(Kombinationen)
k der n Kugeln (k ≤ n)
werden nacheinander ohne
Zurücklegen gezogen. Die
Reihenfolge
n
 
k 
| …|
|
)
Es werden k der n
Objekte mit Zurücklegen
ausgewählt und diese
dann in alle mögliche
Reihenfolgen gebracht
k-Tupel:
( | | …| | )
Nacheinander werden k
Kugeln (ohne Zurücklegen) entnommen, es
wird keine Reihenfolge
gebildet.
k-Teilmengen:
{ ,
Binomialkoeffizienten:
|
n
n!
 =
 k  k! ⋅ (n − k )!
0! = 1
1! = 1
, ... ,
}
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Wahrscheinlichkeitsrechnung / Statistik
Ereignisse:
Seite 6
Jede Teilmenge der Ergebnismenge S heißt Ereignis E
Wahrscheinlichkeit von Ereignissen:
Für Laplace-Experimente (Experimente, bei denen jedes mögliche Ergebnis die gleiche
Wahrscheinlichkeit besitzt) gilt
P(E) =
E
x bezeichnet dabei die Anzahl der Elemente in der Menge X
S
k
µ = E(X) = ∑ xi ⋅P(X = xi )
Erwartungswert einer Zufallsvariablen X :
i =1
k
V(X) = ∑ (xi − µ )2 ⋅ P(X = xi )
Varianz einer Zufallsvariablen X :
i =1
σ = V(X)
Standardabweichung:
Mehrstufige Zufallsversuche:
Pfadregeln:
1.)
2.)
Bei einem mehrstufigen ZF-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit für
ein Ergebnis gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des
Pfades, der zu diesem Ergebnis führt.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist gleich der Summe
der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu einem Element dieses
Ereignisses führen.
Bei einem n-stufigen Bernoulli-Experiment gilt für die Zufallsvariable X =Anzahl der
Erfolge:
n
n
P(X = k) = ∑   ⋅pk (1 − p)n−k
k =0  k 
µ = E(X) = n ⋅ p
und
Erfolgswahrscheinlichkeit
p
Misserfolgswahrscheinlichkeit q=1-p
σ = n⋅p ⋅q
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Wahrscheinlichkeitsrechnung / Statistik
Intervalle für Entscheidungsregeln:
falls
σ ≥3
90% − Re gel :
95% − Re gel :
P(µ − 1,64σ < X < µ + 1,64σ) ≈ 90%
P(µ − 1,96σ < X < µ + 1,96σ) ≈ 95%
99% − Re gel :
P(µ − 2,58σ < X < µ + 2,58σ) ≈ 99%
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten:
k
P(X ≤ k) = ∑ P(X = i)
i= 0
P(X = k) = P(X ≤ k) − P(X ≤ (k − 1))
P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ (a − 1))
P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ (k − 1))
Speziell :
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0)
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Seite 7
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Wahrscheinlichkeitsrechnung / Statistik
Binomialverteilungen
p=
k<=
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
kumuliert
Seite 8
n=100
0,1
0,2
0,3
0,35
0,4
0,5
0,000
0,000
0,002
0,008
0,024
0,058
0,117
0,206
0,321
0,451
0,583
0,703
0,802
0,876
0,927
0,960
0,979
0,990
0,995
0,998
0,999
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,001
0,002
0,006
0,013
0,025
0,047
0,080
0,129
0,192
0,271
0,362
0,460
0,559
0,654
0,739
0,811
0,869
0,913
0,944
0,966
0,980
0,989
0,994
0,997
0,998
0,999
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,001
0,002
0,005
0,009
0,016
0,029
0,048
0,076
0,114
0,163
0,224
0,296
0,377
0,462
0,549
0,633
0,711
0,779
0,837
0,884
0,920
0,947
0,966
0,979
0,988
0,993
0,996
0,998
0,999
0,999
1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,001
0,002
0,003
0,007
0,012
0,021
0,035
0,056
0,085
0,124
0,173
0,233
0,303
0,380
0,462
0,546
0,627
0,702
0,770
0,828
0,875
0,912
0,941
0,961
0,975
0,985
0,991
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,001
0,001
0,002
0,005
0,008
0,015
0,025
0,040
0,062
0,091
0,130
0,179
0,239
0,307
0,382
0,462
0,543
0,623
0,697
0,763
0,821
0,869
0,907
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,001
0,002
0,003
0,006
0,010
0,018
0,028
0,044
0,067
0,097
0,136
0,184
0,242
Vorläufige Formelsammlung
Mathematik
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
1,000
1,000
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1,000
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1,000
1,000
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1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,995
0,997
0,999
0,999
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
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1,000
1,000
1,000
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1,000
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1,000
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1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,936
0,958
0,973
0,983
0,990
0,994
0,997
0,998
0,999
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
Fachlehrer : W. Zimmer
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Vorläufige Formelsammlung
Mathematik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Fachlehrer : W. Zimmer