¨Uberblick über einige Themen der Analysis 1 und 2

Prof. Dr. C. Böhm
Dipl.-Math. Dipl.-Inf. D. Jansen
WiSe 2014/2015
WWU Münster
Überblick über einige Themen der
Analysis 1 und 2
1
Potenzreihen
Lemma und Definition (Potenzreihen) Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt z0 ∈ C ist eine Reihe der Form
∞
X
ck (z − z0 )k
k=0
P
k
mit ck ∈ C für alle k ∈ N0 . Zu jeder Potenzreihe ∞
k=0 ck (z − z0 ) existiert
eine reelle Zahl R ∈ [0, ∞], sodass Folgendes gilt:
(1) Für z ∈ C mit |z − z0 | < R konvergiert die Reihe absolut.
(2) Für z ∈ C mit |z − z0 | > R divergiert die Reihe.
Die Zahl R heißt Konvergenzradius der Reihe.
Ist |z − z0 | < R, so ist (ck (z − z0 )k )k∈N eine Nullfolge. Ist |z − z0 | > R,
so ist (ck (z − z0 )k )k∈N keine Nullfolge. Für z ∈ C mit |z − z0 | = R kann im
Allgemeinen keine Aussage über das Konvergenzverhalten getroffen werden.
P∞
k
Lemma (Wurzelkriterium) Sei
k=0 ck (z − z0 ) peine Potenzreihe mit
Konvergenzradius R. Dann gilt für l := lim supk→∞ k |ck | ∈ [0, ∞]


0,
R = 1/l,


∞,
falls l = ∞,
falls 0 < l < ∞,
falls l = 0.
P
k
Lemma (Quotientenkriterium) Sei ∞
k=0 ck (z − z0 ) eine Potenzreihe
ck+1
mit Konvergenzradius R. Falls (| ck |)k∈N gegen ein l ∈ [0, ∞] konvergiert,
dann gilt


falls l = ∞,
0,
R = 1/l, falls 0 < l < ∞,


∞, falls l = 0.
P
k
Lemma (Majorantenkriterium) Sei ∞
k=0 ck (z − z0 ) eine Potenzreihe.
Sei ferner
P∞ z ∈ C mit |z − z0 | = r > 0. Existiertk eine konvergente, reelle
Reihe k=0 tk mit tk ≥ 0 für alle k ∈ N0 und |ck |r ≤ tk , so konvergiert die
P
k
Potenzreihe ∞
k=0 ck (z − z0 ) für z ∈ Br (z0 ) absolut. Für den Konvergenzradius R dieser Potenzreihe können wir somit R ≥ r folgern.
P∞ z n
Beispiel
n=1 n : Aus dem Quotientenkriterium folgt sofort, dass der
Konvergenzradius R = 1 ist. Also konvergiert die Reihe für alle z mit |z| < 1
und divergiert für alle z mit |z| > 1. Auf dem Rand {|z| = 1} = ∂B1 (0) des
Konvergenzbereiches hat man
Konvergenz für zP
= −1 als auch DiP∞ sowohl
1
1
n
n
vergenz für z = +1, denn n=1 n (−1) = − ln(2) und ∞
n=1 n (+1) = ∞
zn
n=1 n2 :
Beispiel
P∞ 1
P∞
Beispiel
P∞
Aus dem Majorantenkriterium folgt sofort R ≥ 1, denn
ist
eine
konvergente
Reihe. Diese Potenzreihe konvergiert somit für
n=1 n2
alle z ∈ B1 (0). Aus dem Quotientenkriterium folgt R = 1. Somit divergiert
diese Potenzreihe für alle z ∈ C\B1 (0).
17+i k
k=0 (k+1)! z :
Wegen
17+i
(k+2)!
17+i
(k+1)!
1 k→∞
−→ 0
=
k + 2
ist nach Quotientenkriterium der Konvergenzradius R = ∞.
P∞
2i 2j+1
k
für k = 2j + 1 und ak = i für
Beispiel
k=0 ak (z − i) mit ak = ( 3 )
k = 2j. Da
a2j+2 a2j+1 ( 23 )2j+1
1
3 2j+1
2 2j+1
und a2j =
=
a2j+1 = ( 2 )2j+1 = 2
1
3
3
gilt, ist die Folge (|
ak+1
ak |)k∈N
q
p
|a2j | = 2j |i| = 1
2j
nicht konvergent. Es gilt aber
und
q
|a2j+1 | =
2j+1
q
2j+1
2i 2j+1 3
=
2
3
und damit
lim sup
p
p
k
|ak | = lim sup k |ak | = 1 ,
n→∞ k≥n
k→∞
wegen
2
2
2
2
sup 1, , 1, , . . . = sup , 1, , 1, . . . = 1 .
3
3
3
3
Der Konvergenzradius ist also R =
Beispiel Die Potenzreihen
ichen Konvergenzradius.
P∞
1
1
k=0 ck z
= 1.
k
und
P∞
k=0 k
· ck z k−1 haben den gle-
P∞
P
k
k
Beispiel Die Potenzreihen ∞
k=0 ck+1 z haben den gleichen
k=0 ck z und
Konvergenzradius:
Wir bezeichnen mit R1 bzw. R2 die Konvergenzradien dieser beiden Potenzreihen.
Schritt 1: Wir zeigen R2 ≥ R1 : Ist R1 = 0, so ist nichts zu zeigen. Sei
also R1 > 0 und z ∈ BR1 (0). Da für z = 0 beide Potenzreihen konvergieren,
können wir
z0 ∈ C mit |z| < |z0 | <
P∞|z| > 0k annehmen. Wir wählen ferner
k
R1 . Da k=0 ck z0 absolut konvergiert, ist (|ck z0 |)k∈N eine Nullfolge. Wir
setzen θ := |z|z|0 | ∈ (0, 1). Dann existiert N0 ∈ N, sodass für alle n ≥ N0
|cn+1 z n | =
|cn+1 z0n+1 |
|z|
· θn+1 < θn+1
gilt, da |z| > 0 ist und |ck z0k | < |z| giltPfür alle k ≥ N0 , wobei N0 von |z|
∞
n
abhängt. Da die Geometrische Reihe
n=0 θ konvergiert, folgt aus dem
P
n
Majorantenkriterium, dass auch
cn+1 z (absolut) konvergiert. Da z ∈
BR1 (0) beliebig gewählt war, folgt R2 ≥ R1 .
Schritt 2: Wir zeigen R1 ≥ R2 : Wir können wieder R2 > 0 annehmen
und wählen wieder z ∈ BR2 (0) und z0 ∈ C mit |z| < |z0 | < R2 . Wieder
ist (|ck+1 z k |)k∈N eine Nullfolge. Wie eben existiert N0 ∈ N, sodass für alle
n ≥ N0
|cn+1 z n+1 | = |cn+1 z0n | · θn · |z| < θn
gilt. Wir erhalten R1 ≥ R2 . Insgesamt folgt R1 = R2 .
2
Gleichmäßige Konvergenz
Sei K = R oder K = C und X ⊆ K.
Definition Seien fn , f : X → K Abbildungen mit n ∈ N.
a) Die Folge (fn )n∈N heißt punktweise konvergent gegen f , falls für alle
z ∈ X und für alle ε > 0 ein N = N (ε, Z) ∈ N existiert, so dass für
alle n ≥ N gilt: |fn (z) − f (z)| < ε.
b) Die Folge (fn )n∈N heißt gleichmäßig konvergent gegen f , falls für alle
ε > 0 ein N (ε) ∈ N existiert, so dass für alle z ∈ X und alle n ≥ N (ε)
gilt: |fn (z) − f (z)| < ε.
Für eine beschränkte Abbildung f : X → K definiert man
kf k∞ := sup{|f (z)| : z ∈ X} .
Man nennt kf k∞ die Supremumsnorm von f . Ist etwa X kompakt und f
stetig, so ist f beschränkt.
Mit dieser Schreibweise konvergiert eine Folge (fn )n∈N genau dann gleichmäßig gegen f , wenn limn→∞ kf − fn k∞ = 0 gilt.
Satz (Cauchykriterium) Eine Folge (fn )n∈N von Abbildungen fn : X → K
konvergiert genau dann gleichmäßig (gegen eine Funktion f : X → K), wenn
es für alle ε > 0 ein N (ε) ∈ N gibt, so dass für alle n, m ≥ N (ε) gilt:
kfn − fm k∞ < ε.
Satz Eine Folge (fn )n∈N von Abbildungen fn : X → K konvergiere gleichmäßig gegen f : X → K. Sind die Abbildungen fn stetig für alle n ∈ N, ist
auch f stetig.
Satz (Weierstrasskriterium)
Seien gk : X → K beschränkt. Konvergiert
P
P
kg
k
,
so
konvergiert
die Folge der Partialsummen ( nk=0 gk )n∈N
die Reihe ∞
∞
k
k=0
gleichmäßig.
Beispiel Sei f (z) :=
dius R > 0 und
P∞
k=0 ck (z
− z0 )k eine Potenzreihe mit Konvergenzra-
fn (z) :=
n
X
ck (z − z0 )k
k=0
die Folge der Partialsummen. Ist 0 < r < R, so konvergiert (fn )n∈N0 auf
der kompakten Menge
Br (z0 ) := {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r}
gleichmäßig gegen f .
Für Riemann-integrierbare Funktionen f : [a, b] → R wurde das RiemannRb
Integral a f (t)dt definiert. Ist f : [a, b] → C komplex-wertig, so schreiben
wir f (t) = u(t) + i · v(t) und definieren
Z b
Z b
i
hZ b
u(t) dt + i ·
v(t) dt ∈ C ,
f (t) dt =
a
a
a
falls u, v : [a, b] → R Riemann-integrierbar sind. Stetig Funktionen auf
kompakten Intervallen sind etwa Riemann-integrierbar. Ist also U ⊆ C
offen, f : U → C stetig und γ : [a, b] → U eine stetig differenzierbare Kurve,
so ist das Kurvenintegral
Z
Z b
f (z) dz =
f (γ(t)) · γ 0 (t) dt
γ
a
wohldefiniert, da [a, b] kompakt ist, t 7→ f (γ(t)) und t 7→ γ 0 (t) stetig sind
und somit auch t 7→ f (γ(t)) · γ 0 (t).
Satz Eine Folge von Riemann-integrierbaren Funktionen fn : [a, b] → K
konvergiere gleichmäßig gegen f : [a, b] → K. Dann ist f ebenfalls Riemannintegrierbar und es gilt
Z b
Z b
fn (t) dt .
f (t) dt = lim
n→∞ a
a
Achtung: Im Allgemeinen lassen sich Integral und Grenzwert nicht vertauschen!
Beispiel Betrachte die Abbildungen fn : R → R, die gegeben sind durch


x − (n − 1)
fn (x) := −1 + (n + 1)


0
falls n − 1 ≤ x < n,
falls n ≤ x < n + 1,
sonst.
Dann konvergiert (fn )n∈N punktweise gegen die Nullabbildung f . Es gilt
1
fn
n−1
aber
R∞
n+1
−∞ fn (x) dx
= 1 und somit
Z ∞
Z
lim
fn (x) dx = 1 6= 0 =
n→∞ −∞
∞
−∞
f (x) dx = 0.
P
k
mit KonBeispiel Sei f (z) := ∞
k=0 ck (z − z0 ) eine komplexe Potenzreihe
P
vergenzradius R > 0 und sei 0 < r < R. Setze fn (z) := nk=0 ck (z − z0 )k .
Dann gilt
Z
Z
f (z) dz = lim
n→∞ |z−z |=r
0
|z−z0 |=r
fn (z) dz .
Um diese Kurvenintegrale zu berechnen, parametrisieren wir den Rand durch
eine geschlossene Kurve
γ : [0, 2π] → C, t 7→ γ(t) := z0 + r · eit .
Es gilt
Z
Z
2π
f (z) dz =
|z−z0 |=r
f (γ(t)) · γ 0 (t) dt
0
Z
2π
f (z0 + reit ) · i · reit dt
=
0
Z
2π
lim fn (z0 + reit ) · i · reit dt
=
n→∞
0
Z
2π
=
lim
0
n→∞
n
X
ck · (reit )k · i · reit dt .
k=0
Um den Grenzwert und das Integral vertauschen zu können, muss die gleichmäßige Konvergenz der Integranden überprüft werden. Dazu definieren wir
gn : [0, 2π] → C vermittels
gn (t) :=
n
X
(reit )k · i · reit .
k=0
Dann gilt für n ≤ m ∈ N
m
X
|gm (t) − gn (t)| = |
ck · (reit )k · i · reit | ≤ r ·
m
X
|ck | · rk .
k=n+1
k=n+1
P∞
k für z ∈ ∂B (z ) ⊆ B (z ) absolut konvergiert
Da die Reihe
0) P
r 0
R 0P
P∞ k=0 ck (z −z
k erfüllt, ist ( n
k
und dort k=0 |ck (z − z0 )k | = ∞
|c
|r
k
k=0
k=0 |ck |r )n∈N eine
(reelle) Cauchy-Folge. Also ist auch (gn )n∈N eine Cauchy-Folge (bzgl. k·k∞ )
und konvergiert nach dem Cauchykriterium gleichmäßig. Es folgt
Z
Z 2π
Z 2π
Z
f (z) dz =
lim gn (t) dt = lim
gn (t) dt = lim
fn (z) dz .
γ
0
n→∞
n→∞ 0
n→∞ γ
3
Topologie von C
Für z0 ∈ C und r > 0 setzt man
Br (z0 ) := {z ∈ C : |z − z0 | < r} .
Man nennt Br (z0 ) den offenen Ball vom Radius r > 0 um z0 .
Definition (offen, abgeschlossen) Eine Teilmenge U ⊆ C heißt offen,
falls für jedes z0 ∈ U ein ε > 0 existiert mit Bε (z0 ) ⊆ U . Eine Teilmenge
A ⊆ C heißt abgeschlossen, falls C \ A offen ist.
Satz (Vereinigungen und endliche Schnitte offener Mengen) Seien
ISeine Indexmenge und Ui ⊆ C offen für alle i ∈ I. Dann ist die Vereinigung
i∈I Ui ⊆ C offen. Seien n
T∈ N und Ui ⊆ C offen für alle 1 ≤ i ≤ n. Dann
ist der (endliche) Schnitt ni=1 Ui ⊆ C offen.
Lemma und Definition (Inneres, Abschluss, Rand) Sei V ⊆ C. Die
Menge
[
◦
V := {U ⊆ V | U offen}
ist die größte in V enthaltene offene Menge und heißt Inneres von V . Man
◦
schreibt auch V = int(V ). Die Menge
\
V := {A ⊇ V | A abgeschlossen}
ist die kleinste abgeschlossene Menge, die V enthält, und heißt Abschluss
von V . Die Menge
◦
∂V := V \V
heißt Rand von V .
Sei Q2 = {(x, y) ∈ R2 | x, y ∈ Q}. Dann gilt int(Q2 ) = ∅, Q2 = R2 und
∂Q2 = R2 .
◦
Satz Sei V ⊆ C. Dann gilt V = V \ (∂V ∩ V ) und V = V ∪ ∂V .
Beispiel Für r > 0 ist Br (0) ⊆ C offen und es gilt
int(Br (0)) = Br (0),
Br (0) = {z ∈ C : |z| ≤ r},
∂Br (0) = {z ∈ C : |z| = r}.
Definition (Kompaktheit) Eine Teilmenge K ⊆ C heißt kompakt, falls
jede Folge (xn )n∈N in K, d.h. xn ∈ K für alle n ∈ N, eine konvergente
Teilfolge (xnj )j∈N mit Grenzwert limj→∞ xnj = x in K besitzt.
Man nennt eine Teilmenge X ⊆ C beschränkt, falls r > 0 existiert mit
X ⊆ Br (0).
Satz (Heine-Borel) Eine Teilmenge K ⊆ C ist genau dann kompakt,
wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Satz Sei f : K → K stetig und K ⊆ C kompakt. Dann ist auch f (K) ⊆ K
kompakt.
Satz Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Mengen ihr Maximum und
Minimum an: Ist K ⊆ K kompakt und f : K → R stetig, so existieren
xm , xM ∈ K mit
f (xm ) = min{f (x) | x ∈ K} und f (xM ) = max{f (x) | x ∈ K} .
Definition Sei U ⊆ C offen. Dann nennt man U zusammenhängend, falls
gilt: Ist U = U1 ∪ U2 mit U1 , U2 ⊆ C offen und U1 ∩ U2 = ∅, so folgt schon
U1 = ∅ oder U2 = ∅.
Definition (relativ offen/abgeschlossen) Sei X ⊆ C. Eine Teilmenge
V ⊆ X heißt relativ offen (in X), wenn es eine offene Teilmenge U ⊆ C
gibt mit V = U ∩ X. Entsprechend heißt V relativ abgeschlossen (in X),
wenn es eine abgeschlossene Menge A ⊆ C mit V = A ∩ X gibt.
Beispiel Sei X := {z ∈ C | Im(z) ≥ 0}. Dann ist
V := {z ∈ C : |z| < 1 und Im(z) ≥ 0}
relativ offen in X, da V = X ∩ B1 (0). (Aber nicht offen in C!)
4
Differenzierbarkeit im R2
Für eine Abbildung F : U → R2 mit U ⊆ R2 offen bezeichnen wir im
Folgenden die Komponentenfunktionen mit u und v, d.h. es ist
u(x, y)
F (x, y) =
.
v(x, y)
Definition (partiell differenzierbar)
Seien U ⊆ R2 offen, F : U → R2 ,
x0
eine Abbildung und y0 ∈ U . Die Abbildung F heißt partiell differenzierbar
in xy00 , falls die Grenzwerte
∂u
∂x
∂u
∂y
(x0 , y0 ) = lim
∂v
∂x
(x0 , y0 ) =
h→0
∂v
∂y
(x0 , y0 ) = lim
u(x0 +h,y0 )−u(x0 ,y0 )
,
h
u(x0 ,y0 +h)−u(x0 ,y0 )
,
h
h→0
lim v(x0 +h,y0h)−v(x0 ,y0 ) ,
h→0
v(x0 ,y0 +h)−v(x0 ,y0 )
h
h→0
(x0 , y0 ) = lim
existieren. F heißt partiell differenzierbar, wenn F in allen z0 =
partiell differenzierbar ist.
x0
y0
∈U
Definition (Jacobi-Matrix)
Ist U ⊆ R2 offen, F : U → R2 partiell dif
x0
ferenzierbar und z0 = y0 ∈ U . Dann heißt die Matrix
!
(JF )z0 :=
∂u
∂x
∂v
∂x
∂u
∂y
∂v
∂y
(z0 )
die Jacobi-Matrix von F im Punkt z0 .
Bemerkung: Die Begriffe der partiellen Differenzierbarkeit und der JacobiMatrix lassen sich analog für beliebige Dimensionen n ≥ 1 definieren. Im
Fall n = 1 stimmt die Jacobi-Matrix mit der gewöhnlichen Ableitung überein:
Sind I ⊆ R ein offenes Intervall und F : I → R differenzierbar, so ist
(JF )t0 = (F 0 (t0 )).
Definition (total differenzierbar) Seien U ⊆ R2 offen, F : U → R2 eine
Abbildung und z0 ∈ U . Die Abbildung F heißt total differenzierbar in z0 ,
falls eine lineare Abbildung A : R2 → R2 und eine Abbildung ϕ : R2 → R2
mit limh→0 ϕ(h)
khk = 0 existieren, so dass
F (z0 + h) = F (z0 ) + A · h + ϕ(h)
für alle h ∈ R2 mit z0 + h ∈ U gilt. Wir setzen (DF )z0 := A. Die Abbildung F heißt total differenzierbar, falls F in allen Punkten z0 ∈ U total
differenzierbar ist.
Satz Ist U ⊆ R2 offen und F : U → R2 total differenzierbar, so ist
die Jacobi-Matrix die darstellende Matrix der linearen Abbildung
(DF )z0
α
2
(bezüglich der Standardbasis), d.h. für alle z0 ∈ U und alle β ∈ R gilt
α
α
.
= (Jf )z0 ·
(DF )z0
β
β
Bemerkung: Im Fall n = 1 sind die Begriffe der partiellen und totalen
Differenzierbarkeit äquivalent und stimmen mit dem bekannten Differenzierbarkeitsbegriff überein. Ist also I ⊆ R ein offenes Intervall und F : I → R
differenzierbar (im Sinne von Analysis 1), so ist F auch total differenzierbar
und es gilt (DF )t0 = F 0 (t0 ).
Definition (stetig partiell differenzierbar) Seien U ⊆ R2 offene Menge,
F : U → R2 partiell differenzierbar und z0 ∈ U . Dann heißt F stetig par∂u ∂v
∂v
tiell differenzierbar in z0 , falls ∂u
∂x , ∂y , ∂x und ∂y in z0 stetig sind. F heißt
stetig partiell differenzierbar, falls F in allen Punkten z ∈ U stetig partiell
∂u ∂v ∂v
2
differenzierbar ist, d.h. falls die Abbildungen ∂u
∂x , ∂y , ∂x , ∂y : U → R stetig
sind.
Satz Seien U ⊆ R2 offen und F : U → R2 eine Abbildung. Dann gilt:
a) Ist F stetig partiell differenzierbar, so ist F auch total differenzierbar.
b) Ist F total differenzierbar, so ist F auch partiell differenzierbar.
Achtung: Die Umkehrungen gelten nicht! (Ausnahme: n = 1, s.o.)
Beispiel Betrachte
3
x + x2 y − y
F (x, y) =
.
sin(x) − y 2
Dann sind die Komponentenfunktionen stetig differenzierbar nach x und y
und es gilt
3x2 + 2xy x2 − 1
(Jf )(x) :=
.
cos(x)
−2y
y
Somit ist F stetig partiell differenzierbar.
Definition Sei [a, b] ⊆ R ein Intervall und γ : [a, b] → R2 eine stetig
0
0 (t) = γ1 (t) stetig. Die
differenzierbare Kurve, d.h. für γ(t) = γγ12 (t)
ist
γ
0
(t)
γ2 (t)
Länge von γ ist definiert durch
Z b
L(γ) :=
kγ 0 (t)k dt .
a
Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung
Eine Abbildung f : R2 → R2 heißt linear, falls für alle v, w ∈ R2 und alle
λ ∈ R gilt:
f (v + w) = f (v) + f (w)
und
f (λv) = λf (v).
Ist f : R2 → R2 eine lineare Abbildung und (b1 , b2 ) eine Basis von R2 , so
existiert eine eindeutige (2 × 2)-Matrix M(b1 ,b2 ) (f ), so dass
Folgendes gilt:
Identifiziert man Vektoren der Form α·b1 +β·b2 ∈ R2 mit αβ und umgekehrt,
so gilt
α
α
f
= M(b1 ,b2 ) (f ) ·
.
(4.1)
β
β
Wir berechnen die Matrix M(b1 ,b2 ) (f ). Da (b1 , b2 ) eine Basis von R2 ist, existieren eindeutig bestimmte reelle Zahlen a11 , a21 mit f (b1 ) = a11 b1 + a21 b2 .
Ferner existieren eindeutig bestimmte reelle Zahlen a12 , a22 mit f (b2 ) =
a12 b1 + a22 b2 . Dann gilt
a11 a12
M(b1 ,b2 ) (f ) =
.
a21 a22
Dies zeigt man
wie
folgt: Um die
Identität (4.1) zu verifizieren, genügt es
(4.1) für αβ = 10 und αβ = 01 nachzuweisen, da f linear ist. Auf diese
Weise hatten wir aber gerade die Koeffizienten aij berechnet.
Merksatz: ”‘Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren.”’
Ist umgekehrt
A=
a11 a12
a21 a22
eine Matrix mit reellen Einträgen, so ist die Abbildung f : R2 → R2 , v 7→ A·v
linear mit f (e1 ) = a11 e1 + a21 e2 und f (v2 ) = a12 e1 + a22 e2 , wobei (e1 , e2 )
die Standardbasis von R2 bezeichnet. Die darstellende Matrix M(e1 ,e2 ) (f )
bezüglich (e1 , e2 ) ist dann natürlich gerade A.