Modul 09 - FH Dortmund

Modul 09:
Streuungsparameter
BS - 09
Prof. Dr. W. Laufner
Beschreibende Statistik
1
Modul 09: Einleitung
Problem der Lageparameter:
Die Lageparameter schweigen sich aus
über die Streuung der Daten.
Das arithmetische Mittel (auch der Median)
verkleistert oft eine große Ungleichheit.
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1
Modul 09: Streuungsparameter
gemeint ist: im Mittelwert
Statistiker-Witz (frei nach Franz Josef Strauß):
Zwei Männer sitzen im Wirtshaus.
Der eine verdrückt eine ganze Kalbshaxe,
der andere trinkt zwei Maß Bier.
Statistisch gesehen ist das für jeden
eine Maß Bier und eine halbe Haxe.
Aber der eine hat sich überfressen,
und der andere ist besoffen.
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Modul 09: Streuungsparameter
Aufgabe 09.1:
Gruppe ABC
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
Alter in Jahren
Gruppe XYZ
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
Spannweite w = xmax - xmin
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Modul 09: Streuungsparameter
Forderungen an eine „gute“ Kennzahl zur Messung der Streuung
1. Bezugspunkt, um den die Werte streuen (Î Lageparameter)
2. alle Beobachtungswerte werden berücksichtigt
3. Streuung = 0 (alle Werte sind gleich) Î Streuungsparameter = 0
4. je größer die Streuung, umso größer der Streuungsparameter
5. der Streuungsparameter ist unabhängig von n,
der Anzahl der Beobachtungswerte
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Modul 09: Streuungsparameter
Konstruktion der Varianz
Bezugspunkt
Einzelstreuung/Einzelabweichung
x
(xi − x)
n
Summe der Einzelabweichungen
∑ (x
Summe der quadratischen Abweichungen
∑ (x
i=1
i
− x)
i
− x)2
n
i=1
n
Varianz s2 =
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1
n
∑ (x
i=1
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i
− x)2
6
3
Modul 09: Varianz
Fall A:
n
Varianz s2 = n1 ⋅ ((x1 − x)2 + ... + (xn − x)2 ) = n1 ∑(xi − x)2 =
i=1
Formel (2)
n
= ( n1 ∑ xi2 ) − x2
Formel (1)
i=1
• wichtiger Streuungsparameter
• Voraussetzung: metrisches Merkmal
• Ausgangswert für weitere Streuungsparameter:
Standardabweichung und Variationskoeffizient.
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Modul 09: Streuungsparameter
x1 = 5
0
1
x3 = 8
x2 = 2
2
3
x = 41 ⋅ (5 + 2 + 8 + 3) =
4
5
6
x4 = 3
7
8
9
10
18
= 4,5
4
Berechnung der Varianz
s2 = 41 ⋅ ((5 − 4,5)2 + (2 − 4,5)2 + (8 − 4,5)2 + (3 − 4,5)2 ) =
1
4
⋅ (0,25 + 6,25 + 12,25 + 2,25) =
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21
= 5,25
4
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4
Modul 09: Varianz
Fall B:
m
m
i=1
i=1
Varianz s2 = n1 ∑(xi − x)2 ⋅ h(xi ) = ∑(xi − x)2 ⋅ f(xi ) =
=(
m
1
n
∑x
i=1
m
2
i
⋅ h(xi )) − x = (∑ xi2 ⋅ f(xi )) − x2
2
i=1
x1,...,xm Merkmalsausprägungen (!!!)
h(x1 ),...,h(xm ) absolute Häufigkeiten
f(x1 ),...,f(xm ) relative Häufigkeiten (Anteilswerte!!!)
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Modul 09: Streuungsparameter
Aktienkurse (€)
Aktienkurs A-AG
Zeit
Aktienkurs B-AG
Zeit
16,00
15,00
14,00
Standardabweichungen:
A-AG: s = 0,02
B-AG: s = 1,95
13,00
12,00
11,00
10,00
9,00
8,00
0
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5
10
15
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20
Zeit
10
5
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Aktienkurse
(€)
Aktienkurs A-AG
Zeit
Aktienkurs B-AG
Zeit
16,00
15,00
14,00
Standardabweichungen:
A-AG: s = 0,02
B-AG: s = 1,95
13,00
12,00
11,00
10,00
9,00
8,00
0
5
10
15
20
Zeit
Volatilität:
Streuung der Aktienkurse
Risiko
der Finanzanlage
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Modul 09: Streuungsparameter
Spannweite w = xmax − xmin
Varianz s =
2
absolute
Streuung
n
1
n
∑ (x − x)
2
i=1
i
S tandardabweichung s =
relative
Streuung
n
mittlere absolute Abweichung d =
Variationskoeffizient v =
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Beschreibende Statistik
1
n
∑ x −x
i
i=1
n
1
n
∑ (x − x)
i=1
2
i
s
x
12
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Modul 09:
BS - 09
„einige Statistikbegriffe in englisch“
deutsch
englisch
Grundgesamtheit
population
arithmetisches Mittel
mean
Standardabweichung
standard deviation (std dev)
Modus
mode
Spannweite
range
Varianz
variance
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