Elektrodynamik für Bachelor plus Aufgabenblatt 10

Elektrodynamik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Aufgabenblatt 10
Abgabe: Freitag, 7. Juli 2017
Aufgabe 1: Ohmscher Widerstand und Energiefluß (6 Punkte)
Ein Widerstand in Form eines langen, schwach leitenden Zylinders vom Radius a in z-Richtung befindet sich in einem statischen, homogenen elektrischen
~ = E0~ez . Dieses ruft im Zylinder einen konstanten Strom I0 hervor.
Feld E
Aus Aufgabe 2 (a), Blatt 8, kennen Sie das Magnetfeld außerhalb des Drahtes,
~ = ~eϕ µ0 j0 a2 , wobei j0 die Stromdichte ist.
B
2s
a) Drücken Sie das Magnetfeld durch I0 aus und berechnen sie damit den Poyntingvektor außerhalb des Drahtes. Skizzieren Sie ihn. (3 Punkte)
b) Berechnen Sie den Energiefluß pro Zeiteinheit aus dem elektromagnetischen
Feld in den Zylinderabschnitt zwischen z1 und z2 (mit z2 > z1 ). Drücken Sie diesen durch I0 und die Spannung (also die elektrische Potentialdifferenz) zwischen
z1 und z2 aus. (3 Punkte)
Aufgabe 2: Elektromagnetische Wellen (7 Pkte.)
~ E
~ = −∂ B/∂t)
~
a) Berechnen Sie die Zeitableitung des Faraday’schen Gesetzes (∇×
und zeigen Sie damit und mit den anderen Maxwellgleichungen im Vakuum, daß
das magnetische Feld im Vakuum die Wellengleichung
~ − µ0 0
∆B
~
∂2B
=0
2
∂t
(2.1)
~ gilt.
erfüllt. Zeigen Sie mit einem analogen Argument, daß das auch für E
(4 Punkte)
b) Die Wellengleichung im Vakuum hat neben den in der Vorlesung besprochenen ebenen Wellen auch Kugelwellen als Lösung. Um dies zu sehen, betrachten
Sie die dreidimensionale Wellengleichung
1 ∂2f
=0
(2.2)
c2 ∂t2
in sphärischen Koordinaten und machen Sie den Ansatz, daß f nur von r und
t abhängt. Die Wellengleichung wird dann zu
∆f −
1 ∂2f
1 ∂2
(rf
)
−
=0.
(2.3)
r ∂r2
c2 ∂t2
Nutzen Sie Ihr Wissen über die Lösung der eindimensionalen Wellengleichung,
um (2.3) zu lösen. Aus physikalischen Gründen können Sie sich auf vom Ursprung auslaufende Kugelwellen beschränken. (3 Punkte)
1
Aufgabe 3: Wellenausbreitung zwischen Leiterplatten (9 Punkte)
Wir betrachten zwei unendlich ausgedehnte und parallel zur (x, y)-Ebene liegende Platten, die aus ideal leitendem Material bestehen. Eine Platte möge bei
z = 0 liegen und die andere bei z = L. Zwischen den Platten herrsche Vakuum. Aufgrund des idealen Leiters als Wandmaterial erfüllen die Felder die
Randbedingungen
Ex = Ey = 0
(3.1)
und
Bz = 0 ,
(3.2)
jeweils für z = 0 und z = L.
(a) Wir betrachten nun elektromagnetische Wellen, die sich zwischen den Platten entlang der x-Richtung ausbreiten,
~ r, t) = E
~ (0) (z)ei(kx−ωt)
E(~
~ r, t) = B
~ (0) (z)ei(kx−ωt) .
B(~
,
(3.3)
~ (0) (z) und B
~ (0) (z) Lösungen der DifferentialgleiZeigen Sie, daß die Felder E
chungen
~ (0) (z) = 0 bzw. (∂z2 + λ)B
~ (0) (z) = 0
(∂z2 + λ)E
(3.4)
sind, wobei λ eine geeignete Konstante ist, die von ω und k abhängt. Bestimmen Sie λ als Funktion von ω und k und zeigen Sie, daß es für λ > 0 eine
Grenzfrequenz ωmin gibt, unterhalb derer keine Wellenpropagation möglich ist.
(4 Punkte)
(b) Lösen Sie nun die Differentialgleichung
(∂z2 + λ)Bz(0) (z) = 0 ,
λ>0,
(3.5)
(0)
für Bz (z) unter Berücksichtigung der Randbedingung (3.2). Zeigen Sie, daß
die möglichen Frequenzen durch
r
π 2 n2
+ k2
(3.6)
ωn (k) = c
L2
gegeben sind, und geben Sie die erlaubten Werte von n an. (5 Punkte)
Bemerkung: Man kann leicht zeigen, dass (3.5) für λ ≤ 0 keine nicht-triviale
Lösungen hat, die mit den Randbedingungen (3.2) verträglich sind.
Bei Fragen:
[email protected]
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