1 Woher kommen partielle Differentialgleichungen?

Walter A. Strauss
Partielle DitJerentialgleichungen
Aus dem Programm _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ____
Mathematik
Otto Forster
Analysis 1-3
Rudiger Braun und Reinhold Meise
Analysis mit Maple
Jean-Pierre Demailly
Gewohnliche DitlerentialgIeichungen
Walter Strampp und Victor Ganzha
Ditferentialgleichungen mit Mathematica
Reinhold Meise und Dietmar Vogt
Einfiihrung in die Fnnktionalanalysis
Vieweg _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
Walter A. Strauss
Partielle
DifJerentiaigIeichungen
Eine Einfiihrung
Aus dem Amerikanischen
iibersetzt von Helmut Salzmann
II
Vlewag
Professor Dr. Walter A. Strauss
Department of Mathematics
Brown University
Providence, Rhode Island 02912-0001
USA
Übersetzung:
Professor Dr. H. Salzmann
Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes,
Fachbereich GIS
Goebenstr. 40
66117 Saarbrücken
Titel der Originalausgabe:
Partial Differential Equations: An Introduction
Authorized translation from English language edition published by John Wiley & Sons, Inc.
Copyright © 1992. All Rights Reserved.
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1995
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1995
Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH.
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die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Lengericher Handelsdruckerei, Lengerich
Gedruckt auf säurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-06604-8
DOI 10.1007/978-3-663-12486-3
ISBN 978-3-663-12486-3 (eBook)
v
Vorwort
Unser Verstandnis der fundamentalen Naturphanomene beruht in hohem Maile
auf demjenigen von partiellen Differentialgleichungen. Beispiele sind die Schwingungen fester Korper, die Stromung von Flussigkeiten, die Diffusion chemischer Substanzen, die Warmeleitung, die Struktur von Molekulen, die Wechselwirkung von
Photonen und Elektronen und die Ausbreitung elekromagnetischer Wellen. PartielIe Differentialgleichungen spielen aber auch eine wesentliche Rolle in der modernen
Mathematik selbst, speziell in der Geometrie und der Analysis. Die Verfugbarkeit
leistungsstarker Computer verschiebt langsam das Hauptaugenmerk bei partiellen
Differentialgleichungen von einer analytischen Berechnung der Losungen weg zu einerseits einer numerischen Analysis und andererseits zu einer qualitativen Theorie.
Dieses Buch gibt dem Leser eine Einfuhrung in die wesentlichen Eigenschaften
partieller Differentialgleichungen (PDGln) und in die Techniken, die sich zu ihrer
Untersuchung als nutzlich erwiesen haben. Mein Ziel ist es, dem Studenten einen
weiten Blick auf das Stoffgebiet zu offnen, die reichhaltige Vielfalt der durch partielle Differentialgleichungen beschriebenen Phanomene darzustellen und ein aktives
Wissen der wichtigsten Techniken zur Ermittlung und Untersuchung von Losungen
zu vermitteln.
Eine der wichtigsten Losungsmethoden ist die Methode der Variablentrennung.
Viele Bucher stellen diese Methode derart in den Vodergrund, daB andere Gesichtspunkte vernachlassigt werden. Das Problem der Variablentrennung besteht darin,
daB man mit ihr nur bestimmte Arten von partiellen Differentialgleichungen lOsen
kann. In diesem Buch spielt sie eine sehr wichtige, aber keine alles beherrschende
Rolle. Andere Texte, die hohere theoretische Methoden behandeln, erfordern flir
den typischen "undergraduate" Student en ein zu hohes mathematisches Wissen.
Ich habe in diesem Buch versucht, die hoheren Methoden und den mathematischen
Formalismus zu minimieren. Da jedoch partielle Differentialgleichungen ein Gebiet
an vorderster Forschungsfront in den modernen Wissenschaften sind, habe ich nicht
gezogert, diese hoheren Konzepte zu erwahnen, um dem interessierten Studenten
zu zeigen, in welche Richtung er weitergehen kann.
Dies ist ein "undergraduate" Buch. Es ist gedacht fur Studenten im Hauptstudium
der Natur-, Ingenieurwissenschaften oder der Mathematik. Graduierte Studenten,
speziell der Naturwissenschaften, konnen naturlich von ihm profitieren, es ist aber
keinesfalls als Graduiertentext konzipiert worden.
Die wichtigste Voraussetzung fur das Verstandnis dieses Buchs ist eine solide
Kenntnis der Analysis, speziell der Analysis in mehreren Variablen. Weitere Vorausstzungen sind geringe Vorkenntnisse aus dem Gebiet der gewohnlichen Differentialgleichungen und der linearen Algebra, beides im Umfang einer weniger als
einsemestrigen Vorlesung. Da jedoch das Gebiet der partiellen Differentialgleichungen von Natur aus ein schwieriges Fachgebiet ist, empfehle ich meinen Studenten
jeweils vollstandige Vorlesungen.
vi
Vorwort
Bei der Darstellung des Stoffes habe ich mich von den folgenden Grundsatzen
leiten lassen. Motiviere physikalisch und betreibe erst dann Mathematik. Lege das
Hauptaugenmerk auf die drei klassischen Gleichungen: AIle wichtigen Ideen konnen
verstanden werden, wenn man sich auf sie bezieht. Arbeite zunachst in einer Raumdimension und gehe dann erst zu zwei oder drei Dimensionen mit ihren komplizierteren Geometrien iiber. Untersuche eine Gleichung zunachst im gesamten Raum,
bevor Randbedingungen ins Spiel kommen. (Am Ende von Kapitel2 wird der Student bereits ein intuitives und analytisches Verstandnis der einfachen WeIlen- und
Diffusionsphanomene haben.) Zogere nicht, einige Fakten ohne Beweis anzugeben,
aber verzichte nicht auf einen Beweis an kritischen Stellen. Gib Einfiihrungen fiir
moglichst viele wichtige weiterfiihrende Themen.
In diesem Buch ist geniigend Material fiir eine zweisemestrige vierstiindige Vorlesung. Ein ziemlich lockerer einsemestriger Kurs konnte die mit einem Stern versehenen Abschnitte der Kapitel 1 bis 6, die Basisabschnitte, zum Inhalt haben.
Fiir einen anspruchsvolleren Kurs konnen diese Abschnitte auf verschiedene Weisen erganzt werden. Die Abschnitte ohne Stern der Kapitel 1 bis 6 konnen je nach
Wunsch gebracht werden. Wird der numerische Aspekt hervorgehoben, sollte den
Basisabschnitten die Numerik von Kapitel8 folgen. Zur Vertiefung der Methode der
Variablentrennung wird man an Kapitel 6 das Kapitel 10 anschliefien. Fiir Studenten der Physik empfielt sich eine Kombination der Kapitel 9, 12, 13 und 14. Eine
herkommliche Vorlesung iiber Randwertprobleme kann man mit den Kapiteln 1, 4,
5, 6 und 10 bestreiten.
Jedes Kapitel ist in Abschnitte unterteilt. Die Gleichungen werden kapitelweise
durchnumeriert. Ein Verweis auf Gleichung (A.B) heiBt, daB diese Gleichung in
Kapitel A zu finden ist. Das gleiche System wird bei der Numerierung der Satze
verwendet. Bei den Ubungsaufgaben bezieht sich Ubungsaufgabe A.B.C auf die
Aufgabe C des Abschnitts B von Kapitel A. Die Angabe Ubungsaufgabe C. bezieht
sich auf die Aufgabe C. desselben Abschnitts. Literaturhinweise werden mit eckigen
Klammern angegeben, wie etwa [AS].
Die Hilfe meiner Kollegen erkenne ich mit groBer Dankbarkeit an. Ich danke
besonders Yue Liu und Brian Loe fUr ihre extensive Hilfe bei den Ubungsaufgaben,
ebenso wie Costas Dafermos, Bob Glassey, Jerry Goldstein, Manos Grillakis, Yan
Guo, Chris Jones, Keith Lewis, Gustavo Perla Menzala und Bob Seeley fiir ihre
Anregungen und Verbesserungen.
Walter A. Strauss
vii
Inhaltsverzeichnis
(Die Basisabschnitte dieses Buchs sind mit einem Stern versehen)
1 Woher kommen partielle Differentialgleichungen?
1.1 * Was ist eine partielle Differentialgleichung?
1.2* Lineare Gleichungen erster Ordnung . . . . .
1.3* Fliefivorgange, Schwingungen und Diffusionen
1.4* Anfangs- und Randbedingungen . . . . . . .
1.5 Korrekt gestellte Probleme . . . . . . . . . .
1.6 Typeneinteilung von Gleichungen zweiter Ordnung
11
22
28
31
2 Wellen und Diffusionen
2.1 * Die Wellengleichung
2.2* Kausalitat und Energie .
2.3* Die Diffusionsgleichung .
2.4* Die Diffusionsgleichung auf der ganzen Achse
2.5* Vergleiche zwischen Wellen und Diffusionen
36
36
42
45
51
59
3 Reflexionen und Quellen
3.1 Diffusion auf der Halbgeraden .
3.2 Reflexionen von Wellen . . .
3.3 Diffusionen mit einer Quelle .
3.4 Wellen mit einer Quelle . . .
3.5 Uberarbeitung der Diffusion .
62
62
4 Randwertprobleme
4.1 * Trennung der Variablen, Dirichlet-Bedingung
4.2* Die Neumann-Bedingung
4.3* Die Robin-Bedingung . . . . . . . . . . . . .
89
89
1
1
6
66
71
75
85
94
97
5 Fourierreihen
5.1 * Die Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2* Gerade, ungerade, periodische und komplexe Funktionen .
5.3* Orthogonalitat und allgemeine Fourierreihen.
5.4* Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Vollstandigkeit und das Gibbssche Phanomen
5.6 Inhomogene Randbedingungen . . . . . . . .
109
109
117
123
130
143
152
6 Harmonische Funktionen
6.1 * Die Laplace-Gleichung .
6.2* Rechtecke und Quader .
6.3* Die Poissonsche Formel
158
158
167
171
Inhaltsverzeichnis
viii
6.4 Kreise, Sektoren und Ringe . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Die
7.1
7.2
7.3
7.4
Greenschen Formeln und Greensche Funktionen
Die erste Greensche Formel ..
Die zweite Greensche Formel
Greensche Funktionen .
Halbraume und Kugeln
.......
177
183
183
190
192
195
8 N umerisches Losen
8.1 Vorteile und Gefahren . . . . . . .
8.2 Approximationen von Diffusionen .
8.3 Approximationen von Wellen . . .
8.4 Approximationen der Laplace-Gleichung
8.5 Die Finite-Elemente-Methode . . . . . .
204
204
208
216
224
229
9 Wellen im Raum
9.1 Energie und Kausalitat . . . . . . . .
9.2 Die Wellengleichung im Raum. . . .
9.3 Strahlen, Singularitaten und Quellen
9.4 Die Diffusions- und die SchrOdinger-Gleichung .
9.5 Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . .
233
233
239
248
254
260
10 Randwertaufgaben in der Ebene und im Raum
10.1 Uberarbeitung der Fourierschen Methode .
10.2 Die schwingende Membran. . .
10.3 Schwingungen in einer Kugel
10.4 Knoten . . . . . . . .
10.5 Besselfunktionen . . . . . . .
10.6 Legendre-Funktionen . . . . .
10.7 Drehimpulse in der Quantenmechanik
264
264
270
276
284
287
294
299
11 Allgemeine Eigenwertprobleme
11.1 Die Eigenwerte sind Minima der potentiellen Energie .
11.2 Berechnung der Eigenwerte . . . . .
11.3 Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Symmetrische Differentialoperatoren . . . .
11.5 Vollstandigkeit und Trennung der Variablen
11.6 Asymptotisches Verhalten der Eigenwerte
304
304
309
315
319
323
327
12 Distributionen und Transformationen
12.1 Distributionen . . . . . . . . . .
12.2 Nochmals Greensche Funktionen
12.3 Fourier-Transformationen . . . .
12.4 Quellfunktionen . . . . . . . . . .
12.5 Die Technik der Laplacetransformation .
338
338
344
349
355
359
ix
13 Partielle Differentialgleichungen der Physik
13.1 Elektromagnetismus . .
13.2 Stromungen und Schall.
13.3 Streuung. . . . . . . . .
13.4 Das stetige Spektrum .
13.5 Die Gleichungen der Elementarteilchen .
365
365
368
372
377
380
14 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen
14.1 Stof3wellen . . . . . .
14.2 Solitonen . . . . . .
14.3 Variationsrechnung .
14.4 Verzweigungstheorie
386
386
395
403
408
Anhang
A.l Stetige und differenzierbare Funktionen
A.2 Funktionenreihen . . . . . . . .
A.3 Differentiation und Integration
A.4 Differentialgleichungen
A.5 Die Gammafunktion . . . . . .
414
414
418
420
423
425
Losungen und Losungshinweise zu ausgewahlten Ubungsaufgaben
427
Literaturverzeichnis
445
Index
448
1
1
Woher kommen partielle
Differentialgleichungen?
Wir iiberlegen uns zunachst, was unter einer partiellen Differentialgleichung zu
verstehen ist, und 16sen anschlieBend einige dieser Gleichungen als mathematische
Lockerungsiibung. Danach werden wir sehen, wie sie in natiirlicher Weise aus physikalischen Fragestellungen hervorgehen. Die Physik wird dann auch das Aufstellen
von Rand- und von Anfangsbedingungen motivieren.
1.1
Was ist eine partielle Differentialgleichung?
Eine grundlegende Eigenschaft partieller Differentialgleichungen ist, daB die gesuchte unbekannte Funktion u eine Funktion von mehreren unabhangigen Variablen
x, y, ... ist. Wir werden die partiellen Ableitungen dieser Funktion u(x, y, ... ) haufig
durch tiefgestellte Indizes bezeichnen; also au/ax = U x usw. Eine partielle Differentialgleichung (PDGI) ist eine Gleichung, welche die unabhangigen Variablen, die
abhangige Variable u und deren partielle Ableitungen in Beziehung setzt. Sie kann
in der Form
F(x,y,u(x,y),ux(x,y),uy(x,y))
= F(x,y,u,ux,u y) = 0
(1.1)
geschrieben werden. (1.1) ist die allgemeinste Form einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung in zwei unabhangigen Variablen. Die Ordnung einer Differentialgleichung ist der Grad der hOchsten auftretenden Ableitung. Die allgemeinste
Form einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung in zwei unabhangigen
Variablen ist
F(x, y, u, U x , uy, U xx , uxy , U yy ) = o.
(1.2)
Unter einer Losung einer PDGI versteht man eine Funktion u(x, y, . .. ), welche die
Gleichung in einem Bereich der x, y, ... -Variablen erfiillt.
Beim Losen gewohnlicher Differentialgleichungen (GDGI) vertauscht man gelegentlich die Rolle der abhangigen und der unabhangigen Variablen - z.B. bei
der separablen GDGI au/ax = u 3 • Bei PDGln wird die Unterscheidung zwischen
unabhangigen Variablen und der abhangigen Variablen (der gesuchten Funktion)
standig beibehalten.
Einige Beispiele von (in der Physik auftretenden) PDGln sind:
1.
Ux
2.
Ux
3.
+uy
= 0
=0
U x + uU y = 0
+ YU y
(Transport)
(Transport)
(StoBwelle)
2
1 Woher kommen PDGln
+ U yy = 0
5. Utt - Uz:c + u 3 = 0
6. Ut + UU:c + U:c:c:c = 0
7. Utt + U:u::c:c = 0
4.
(Laplace-Gleichung)
U zz
(Welle mit Riickkopplung)
(Dispersionswelle)
(schwingender Stab)
8. Ut - iu:c:c = 0 (i = vCI)
(Quantenmechanik)
Jede dieser Gleichungen hat zwei unabhiingige Variable, die mit x und y bzw. mit
x und t bezeichnet sind. Die Beispiele 1 bis 3 sind Gleichungen erster Ordnung, 4,
5 und 8 haben die Ordn~ng zweij 6 ist eine Gleichung dritter und 7 eine Gleichung
vierter Ordnung. Die Beispiele 3, 5 und 6 unterscheiden sich von den anderen dadurch, daB die auftretenden Gleichungen nicht 'linear' sind. Der Begriff Linearitiit
kann wie folgt erklart werden:
Wir schreiben die Gleichung in der Form Cu = 0 mit einem sogenannten Operator
C. Das heiflt: 1st v eine Funktion, so ist Cv eine neue Funktion. Beispielsweise ist
C = a/ax derjenige Operator, welcher der Funktion v ihre partielle Ableitung V:c
zuordnet. In Beispiel 2 ist C der Operator C a/ax + a/ay (Cu U z + uy). Der
Operator C heiflt ein linearer Operator, wenn
=
C(U+v) =Cu+Cv,
=
C(cu)
= cCu
(1.3)
fiir beliebige Funktionen u, v und fiir beliebige Konstanten c ediillt ist.
Die Gleichung
CU=o
(1.4)
heiflt linear, wenn C ein linearer Operator ist. Gleichung (1.4) heiflt homogene lineare
Gleichung im Gegensatz zu der Gleichung
CU=g,
(1.5)
wobei 9 i: 0 eine gegebene Funktion der unabhiingigen Variablen ist, welche inhomogene lineare Gleichung genannt wird. So ist beispielsweise
(1.6)
eine inhomogene lineare Gleichung.
Wie man leicht nachpriift, sind fiinf der acht vorstehenden Gleichungen sowohl
linear als auch homogen. Beispiel 5 stellt keine lineare Gleichung dar. Zwar besitzen
(u + v):cz = U:cz + V:cz und (u + v)tt = Utt + Vtt die Eigenschaft (1.3), der kubische
Term jedoch nicht:
=
Der Vorteil, welcher sich aus der Linearitat der Gleichung Cu 0 ergibt, besteht
darin, daB mit U und v auch U + v eine Losung ist. Sind Ul, •.. Un LOsungen, so ist
auch jede Linearkombination
1.1 WaB ist eine partielle Differentialgleichung?
3
n
C1U1
+ ... + CnU n
= LCjUj
(Cj
= Konstanten)
j=l
eine Losung. (Man bezeichnet diesen Sachverhalt als Superpositionsprinzip.) Eine
weitere Konsequenz der Linearitat ist die Tatsache, da.f3 man eine Losung der inhomogenen Gleichung erhalt, wenn man zu einer homogenen LOsung (einer LOsung
von (1.4)) eine inhomogene Losung (eine LOsung von (1.5)) addiert. (Warum?) DaB
mathematische Gebilde, in dem man sich mit Linearkombinationen und linearen
Operatoren beschaftigt, ist der Vektorraum. Die Ubungen 5 - 10 sind Wiederholungsaufgaben fiber Vektorraume.
Wir werden faBt ausschlie6lich lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten
untersuchen. Erinneren wir uns daran, da6 die allgemeinen Losungen von GDGln in
Form von Linearkombinationen auftreten. Die Koeffizienten sind beliebige Konstanten. Bei einer GDGI der Ordnung m enthalt die allgemeine Losung m willkii.rliche
K onstanten.
Sehen wir uns jetzt einige PDGln an.
Beispiel!.
Bestimme alle Funktionen u(x,y), die die Gleichung U:z;:z; = 0 erffillen.
Wir konnen einmal integrieren und erhalten U:z; =konstant. DaB ist jedoch nicht ganz richtig, da es noch eine zweite Variable y gibt. In Wirklichkeit erhalten wir u:z;(x,y) = f(y), wobei f(y) eine beliebige Funktion
ist. Abermalige Integration liefert u(x, y) = xf(y) + g(y). DaB ist die
Losungsformel. Wir beachten, da.f3 in der Losungsformel zwei willkurliche Funktionen auftreten. Diesen Sachverhalt werden wir auch in den
nachsten beiden Beispielen feststellen.
Beispiel 2.
Lose die PDGI U:z;:z; + '1.1. = O.
Wie in Beispiel 1 handelt es sich um eine GDGI mit einer zusatzlichen
Variablen y. Wir wissen, wie die GDGl zu losen ist und erhalten als
LOsung der PDGl
'1.1. = f(y) cos x + g(y) sin x,
wobei wiederum f(y) und g(y) zwei beliebige Funktionen von y sind.
Durch zweimalige Differentiation fiberzeugt man sich leicht von U:z;:z; =
-'1.1. und bestatigt so die Gfiltigkeit der Losungsformel.
Beispiel 3.
Lose die PDGl U:Z;lI = O.
Auch daB ist nicht allzu schwierig. Zuerst integrieren wir nach x und
betrachten y als Konstante. Wir erhalten
1 Woher kommen PDGln
4
Uy(x,y)
= f(y)·
Ais nachstes integrieren wir nach y und betrachten x als Konstante. Wir
erhalten als Losung
u(x, y)
wobei F'
= f.
= F(y) + G(x),
Merke: Die Losung einer PDGl enthiilt willkilrliche Funktionen. In den obigen
Beispielen sind die willkurlichen Funktionen jeweils Funktionen einer Variablen. Mit
ihnen wird die Funktion u(x, y) in zwei Variablen gebildet. Die Losung ist dann nur
zum Teil willkurlich.
Eine Funktion zweier Variabler enthalt erheblich mehr Informationen als eine
Funktion einer Variablen. Geometrisch gesehen ist es offensichtlich, daB eine Flache
(u = f(x,y)), der Graph einer Funktion zweier Variablen, ein sehr viel komplizierteres Objekt ist als eine Kurve, der Graph einer Funktion einer Variablen.
Wir konnen das illustrieren, indem wir uns die Frage stellen, wie ein Computer
die Funktion u = f(x) darstellt. Nehmen wir an, wir wahlen zu ihrer Beschreibung
100 aquidistante Werte fUr x: Xl, X2, X3, ... , XlOO. Wir konnen sie in einer Spalte
aufiisten und daneben die zugehOrigen Funktionswerte Uj = f(xj) schreiben. Wie
sieht das nun bei einer Funktion u = f(x,y) aus? Nehmen wir an, wir wahlen
auch hier 100 aquidistante Werte sowohl fur x als auch fur y: Xl, X2, X3, ... ,XlOO
und Yl,Y2,Y3,'" ,YlOO. Jedem Paar Xi,Yj ist ein Funktionswert Uij = f(Xi,Yj)
zugeordnet, so daB man 1002 = 10000 Zeilen der Form
zur Darstellung der Funktion benotigt! (Bei einem vortabellierten System genugt
naturlich die Angabe der Uij.) Die Darstellung einer Funktion in drei Variablen
benotigt bei 100 vorgegebenen Stutzstellen in jeder Variablen die Angabe von einer
Million Zahlen.
Welche Kenntnisse aus der Analysis sind zum Verstandnis dieses Buches notig?
Sicherlich alle Grundtatsachen iiber partielle Ableitungen und mehrfache Integrale.
Fiir eine kurze Diskussion dieser Punkte verweise ich auf den Anhang. An dieser
SteUe seien einige Dinge aufgelistet, die Sie rekapitulieren soUten, einiges davon
konnte Ihnen neu sein.
1. Ableitungen werden lokal bestimmt. Um die Ableitung (8u/8x)(xo, to) im
Punkt (xo, to) zu berechnen, braucht man nur die Werte von u(x, to) fiir x in
der Nahe von Xo zu kennen, da die Ableitung Grenzwert fiir x ~ Xo ist.
2. Gemischte partielle Ableitungen sind gleich: u xy = u yx ' (Wenn es nicht anders festgelegt wird, setzen wir in diesem Buch voraus, daB alle auftretenden
Ableitungen existieren und stetig sind.)
3. Haufig wird die Kettenregel bei PDGln verwendetj z.B.
8
8x [f(g(x, t)]
8g
= f' (g(x, t)) 8x (x, t)
1.1 Wai? ist eine partielle Differentialgleichung?
5
4. Zur Integration von Ableitungen sollte der Leser den Greenschen Satz und den
Divergenzsatz lernen bzw. wiederholen. (Siehe Anhang, Ende von Abschnitt
A.3)
5. Ableitungen von Integralen, wie I(t)
= J:g? f(x, t) dx
(siehe Abschnitt A.3).
6. Jacobi-Determinanten (Variablentransformation bei Doppelintegralen) (siehe
Abschnitt A.2).
7. Unendliche Reihen von Funktionen und ihre Differentiation (siehe Abschnitt
A.l)
8. Richtungsableitungen (siehe Abschnitt A.l).
9. Haufig werden PDGln auf GDGln zuriickgefiihrt. Deshalb miissen wir wissen,
wie man einfache GDGln lOst. Uber trickreich zu losende GDGln brauchen
wir aber nichts zu wissen.
Ubungsaufgaben
1. Untersuchen Sie die im Text angegebenen acht Beispiele von PDGln auf Linearitat bzw. Nichtlinearitat, indem Sie die Gleichungen (1.3) auf ihre Giiltigkeit
iiberpriifen.
2. Welche der folgenden Operatoren sind linear?
= U x +uy
Cu = U x +uu y
(a) Cu
(b)
(c) Cu = U x + u;
(d) Cu = U x + u y + 1
(e) Cu = VI + x 2 (cosy)u x
+ U yxy -
[arctan(~)lu
3. Bestimmen Sie fiir jede der folgenden Gleichungen die Ordnung, und geben
Sie an (mit Begriindung), ob sie nichtlinear, inhomogen linear oder homogen
linear sind.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
+1= 0
Ut - U xx + xu = 0
Ut - Uxxt + UUx = 0
Utt - U xx + x 2 = 0
iUt - U xx + ~ = 0
u x {1 + u;)-t + u y {1 + u;)-t = 0
U x + eYu y = 0
Ut + U xxxx + vI + U = 0
Ut -
U xx
6
1 Woher kommen PDGln
4. Zeigen Sie, daB die Diiferenz zweier LOsungen der inhomogenen linearen Gleichung (,11. = 9 eine LOsung der homogenen Gleichung (, = 0 ist.
5. Welche der folgenden Mengen von Vektoren (a, b, c) mit drei Komponenten
sind Vektorraume? Begriinden Sie!
(a) AIle Vektoren mit b = O.
(b) AIle Vektoren mit b = 1.
(c) AIle Vektoren mit ab = O.
(d) Alle Linearkombinationen der beiden Vektoren (I, 1,0) und (2, 0,1).
(e) Alle Vektoren mit c - a = 2b.
6. Sind die Vektoren (I, 2, 3), (-2, 0,1) und (I, 10, 17) linear abhangig oder linear
unabhangig? Bilden sie ein Erzeugendensystem des Anschauungsraums (des
R3)?
7. Sind die Funktionen l+x, I-x und l+x+x2 linear abhangigoder unabhangig?
Warum?
8. Bestimmen Sie einen Vektor, der zusammen mit (I, 1, 1) und (1,2,1) eine
Basis des R3 bildet.
9. Zeigen Sie, daB die Menge der Funktionen {Cl + C2 sin2 x +
einen Vektorraum bildet. Welche Dimension hat er?
C3
cos2 XICi E R}
10. Zeigen Sie, daB die LOsungen der Di:fferentialgleichung 11.'" - 311." + 411.
einen Vektorraum bilden. Bestimmen Sie eine Basis.
=0
11. Zeigen Sie, daB u(x, y) = f{x)g(y) eine Losung der PDGl uUxy = uxuy fiir
jedes Paar von (di:fferenzierbaren) Funktionen fund 9 einer Variablen ist.
12. Zeigen Sie durch direktes Einsetzen, daB Un (x, y) = (sin nx)(sinh ny) fiir jedes
n > 0 eine Losung der Gleichung u xx + U yy = 0 ist.
1.2
Lineare Gleichungen erster Ordnung
Wir beginnen unser Studium partieller Di:fferentialgleichungen damit, daB wir einfache Gleichungen losen. Das LOsungsverfahren beruht auf geometrischen 'Oberlegungen.
Die allereinfachste PDGl ist ~: = 0 [wobei 11. = u(x, y)]. Ihre allgemeine Losung
ist 11. = f(y). Dabei ist f eine beliebige Funktion einer Variablen. Zum Beispiel sind
11. = y2 - Y und 11. = eY cos y zwei LOsungen. Da die Losungen nicht von x abhangen,
sind sie auf den Geraden y = const. der x, y-Ebene konstant.
1.2 Lineare Gleichungen erster Ordnung
7
Bild 1.1
Bild 1.2
Gleichungen mit konstanten Koeffizienten
Es solI die Gleichung
auz
+ buy = 0
(1.7)
gelost werden. a und b sind dabei von Null verschiedene Konstanten.
Geometrische Methode
Die GroBe au z + buy ist die Richtungsableitung von u in Richtung des Vektors v =
(a, b) = ai+bj. Sie solI immer Null sein. Das bedeutet, dati u(x,y) in Richtung von
v konstant ist. Der Vektor (b, -a) ist orthogonal zu v. Die zu v parallelen Geraden
(siehe Bild1.1) haben die Gleichung bx - ay = O.(Sie heiBen Charakteristiken.) Die
Losung ist konstant auf jeder solchen Gerade. Somit hangt u(x, y) nur von bx - ay
abo Die Losung lautet deshalb
u(x, y)
= f(bx -
ay),
(1.8)
wobei f eine beliebige Funktion in einer Variablen ist. Wir wollen die Schluf3weise
etwas ausfuhrlicher erkUi.ren. Auf der Geraden bx - ay = c hat die LOsung einen
konstanten Wert. Wir bezeichnen diesen Wert mit f(c). Dann ist u(x, y) = f(c) =
f(bx - ay). Da c beliebig ist, gilt die Gleichung (1.8) fur alle Werte von x und y.
1m x, y, u-Raum definiert die LOsung eine FUi.che, die wie ein Stuck Wellblech aus
parallelen horizontalen Geraden aufgebaut ist.
8
1 Woher kommen PDGln
K oordinatenmethode
Wir transformieren die Variablen (oder fiihren einen Wechsel des Koordinatensystems durchj Bild 1.2) gemaf3
x'
= ax + by
y'
= bx -
ay.
(1.9)
Wir ersetzen alle Ableitungen nach x und y durch die Ableitungen nach x' und y'.
Mit der Kettenregel erhalten wir
U
au
x = ax
au ax'
au ay'
au ay'
au ax'
= ax' ax + ay' ax = au x, + buy,
und
au
u y = ay
= ay' ay + ax' Oy = bux' -
au y,
Deshalb ist au x + buy = a(au x' + buy,) + b(bux' - au y ,) = (a 2 + b2 )u x Wegen
a2 + b2 "# 0 nimmt die Gleichung in den neuen (Strich-) Variablen die Gestalt
U x' = 0 an. Ihre Losung ist 1.1. = f(y') = f(bx - ay) mit einer beliebigen Funktion f
in einer Variablen. Das ist genau dasselbe Ergebnis wie eben!
l •
Beispiel!
Lose die PDGI 4u x - 3uy = 0 unter der Zusatzhedingung 1.1.(0, y) = y3.
Nach 1.8 ist die allgemeine Losung der PDGl u(x,y) = f(-3x - 4y).
Setzt man x = 0, so erhalt man die Gleichung y3 = f( -4y). Mit w =
das f(w) -- 64'
_w 3 also u(x y) _ (3x+4y)3
4y ll'el"ert
I'
, 64
.
Ublicherweise konnen Losungen sehr vielleichter verifiziert als gefunden
werden. Durch einfach Differentiation iiberpriifen wir diese LOsung: U x =
9(3X~4y)2 und u y = 12(3~14y)2. Also ist 4ux - 3u y = O. Weiterhin ist
1.1.(0, y) = (3.0t44y )3 = y3.
Gleichungen mit variablen Koeffizienten
Die Gleichung
Ux
+yu y
=0
(1.10)
ist linear und homogen, hat aber einen variablen Koeffizienten y. Um sie zu IOsen,
verwenden wir eine der geometrischen Methode von Beispiell ahnliche Vorgehensweise.
Die PDGI 1.10 driickt aus, dafi die Richtungsableitung in Richtung des Vektors
(l,y) Null ist. Die Kurven der x-y-Ebene mit (l,y) als Tangentenvektor haben die
Steigung y (siehe Bild 1.3). Ihre Gleichungen sind
1.2 Lineare Gleichungen erster Ordnung
9
y
x
Bild 1.3
dy
dx
y
(1.11)
= i'
Diese GDGl hat die Losungen
(1.12)
Man nennt diese Losungskurven Charakteristiken der PDGI1.1O. Wenn C variiert,
fiillen die Kurven die x-y-Ebene vollstandig aus. Auf jeder dieser Kurven ist u(x, y)
konstant, denn
d u (x, C eZ)
dx
°
au + C eZau
= ax
ay = U z + yu y = .
Es ist also u(x, Ce Z) = u(O, CeO)
C = e-Zy, erhalt man
= u(O, C) unabhangig von x. Mit y = Ce z , also
u(x, y)
= u(O, e-Zy),
woraus folgt, daB
u(x, y)
= f(e-Zy)
(1.13)
die allgemeine Losung unserer PDGI ist. Wieder ist f eine beliebige Funktion in einer Variablen. Wir konnen das Ergebnis leicht durch Differentiation unter Verwendung der Kettenregel iiberpriifen (siehe Ubungsaufgabe 4). Das "Bild" der LOsung
kann man sich dadurch veranschaulichen, daB die Losung konstant auf jeder Charakteristik in Bild 1.3 ist.
Beispiel 2
Bestimme die Losung von Gleichung 1.10, welche der Zusatzbedingung
u(O, y) = y3 geniigt. Setzt man in 1.13 x = 0, so erhalt man y3 =
f(e-Oy), also f(y) = y3. Die Losung ist deshalb u(x,y) = (e- z y)3 =
e- 3z y 3.
10
1 Woher kommen PDGln
Beispiel 3
LOse die PDGI
(1.14)
Die Charakteristiken gehorchen der GDGl ~ = 2xt = 2xy2. Zur
LOsung der GDGI trennen wir die Variablen: , = 2x dx. Also gilt
-1 = x 2 - C, so dafl
y
(1.15)
die Charakteristiken sind. Wieder ist u(x, y) konstant auf jeder dieser
Kurven. (Uberpriifung durch ausfiihrliches Aufschreiben.) Es ist also
u(x, y) = f(C) mit einer beliebigen Funktion f. Man erhalt deshalb
die allgemeine LOsung von 1.14, indem man 1.15 nach C auflost. Das
bedeutet
u(x, y)
= f(x 2 + !).
y
(1.16)
Auch hier iiberpriift man das Ergebnis leicht durch Differentiation mit
Hilfe der Kettenregel: U x = 2x· f(x 2 + und U y = -(~). f(x 2 +
also gilt U x + 2xy2u y = O.
i)
i),
Zusammengefaflt lafit sich sagen, dafl sich die geometrische Methode fUr jede
PDOI der Form a(x, y)u x + b(x, y)u y = 0 ganz gut anwenden laBt. Mit ihr reduziert
man das LOsen einer PDGl auf das Losen einer GDGl ~ = !~::~!. Wenn die GDGl
gelost werden kann, dann auch die PDGI. Jede Losung der PDGl ist konstant auf
den LOsungskurven der GDGI.
Merke: Losungen partieller Differentialgleichungen hangen im allgemeinen von beliebigen Funktionen ab (anstelle von beliebigen Konstanten
bei GDGln). Will man eine eindeutig bestimmte LOsung erhalten, sind
Zusatzbedingungen erforderlich. So1che Bedingungen heif3en gewohnlich
Anfangs- oder Randbedingungen. Wir werden solchen Bedingungen in
diesem Buch immer wieder begegnen.
Ubungsaufgaben
1. Losen Sie die Gleichung erster Ordnung 2ut + 3u x
gung u = sinx fiir t = O.
= O. (Hinweis: Setze v = u y.)
LOsen Sie die lineare Gleichung (1 + x 2 )ux + u y = O. Skizzieren Sie einige der
2. Losen Sie die Gleichung 3uy + u xy
3.
= 0 unter der Zusatzbedin-
Charakteristiken.
4. Uberpriifen Sie, dafl1.13 die Losung von 1.10 ist.