¨Ubungsblatt 6
Werbung
Stringtheorie Sommersemester 2009 Stefan Fredenhagen Übungsblatt 6 Besprechung am 24.07.2009 1. Betrachte einen offenen String, der durch eine Feldtheorie auf der oberen Halbebene gegeben ist. An der reellen Achse erfüllt der Energie-Impuls-Tensor die Verklebebedingung T (z) = T̄ (z̄) für z = z̄ . Zeige, dass T̄ (z̄) für z in der oberen Halbebene durch die analytische Fortsetzung von T zu z̄ auf der unteren Halbebene gegeben ist. 2. (a) Betrachte zwei freie Felder X 1 , X 2 auf R×[0, π] mit den Randbedingungen X 1 (τ, σ)σ=0 = 0 (S(α) X)1 (τ, σ)σ=π = 0 ∂σ X 2 (τ, σ) =0 ∂σ (S(α) X)2 (τ, σ) =0, σ=0 wobei σ=π S(α) = cos α sin α − sin α cos α eine Drehung um den festen Winkel α in der (X 1 , X 2 )-Ebene bewirkt. Was ist die geometrische Interpretation dieser Randbedingung, wenn man sie durch Branen beschreibt, auf denen die offenen Stringenden fixiert sind? (b) Betrachte den Ansatz X i (τ, σ) = XLi (σ + ) + XRi (σ − ) (i = 1, 2) und zeige, dass ∂XR die Periodizitätseigenschaft ∂XR (τ + 2π) = S(2α)∂XR (τ ) erfüllt, und dass ∂XR (τ ) = I∂XL (τ ) mit −1 0 I= . 0 1 (1) (c) Zeige, dass der Ansatz ∂XR (τ ) = S(α πτ )F (τ ) mit 2π-periodischen Funktionen F 1 , F 2 die Periodizitätseigenschaft (1) erfüllt. (d) Finde die allgemeine Lösung für X(τ, σ). (e) Wie sieht der Zustandsraum der quantisierten Theorie aus? 3. Betrachte ein freies Feld X auf der oberen Halbebene mit von NeumannRandbedingungen. Bestimme die Einpunktfunktion hVk (z, z̄)i eines Vertexoperators mit Impuls k. Betrachte dann Dirichlet-Bedingungen, wobei an beiden Endpunkten das Feld den Wert x0 annehmen soll. Bestimme wieder die Einpunktfunktion eines Vertexoperators Vk . Wie können diese Resultate interpretiert werden?
