Diskrete Mathematik

Diskrete Mathematik
Martin Wirz
[email protected]
Contents
1 Mengenlehre
2
2 Relationen, Funktionen, Ordnungen
3
3 Gruppen
5
4 Ringe und Körper
8
5 Elementare Zähprinzipien
10
6 Erzeugende Funktion
12
7 Logik
16
1
1
Mengenlehre
Der Begriff der Menge
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen
Objekten zum Ganzen.
Mengenoperationen
Definitionen
Definition 1.1 (Schnitt) Seien A,B Mengen. Der Schnitt der Menge A und B ist definiert als
A ∩ B = {x|x ∈ A und x ∈ B}
Definition 1.2 (Vereinigung) Seien A, B Mengen. Die Vereinigung der Menge A und B ist
definiert als
A ∪ B = {x|x ∈ A oder x ∈ B}
Definition 1.3 (Differenz) Seien A, B Mengen. Die Differenz der Menge A und B ist definiert
als
A \ B = {x|x ∈ A und x ∈
/ B}
Definition 1.4 (Komplement) Seien A, B Mengen und gelte weiter A ⊆ B. Das Komplement
der Menge A ist dann definiert als
A = {x|x ∈ B und x ∈
/ A}
Gesetze
Kommutivität
A∩B =B∩A
A∪B =B∪A
Assoziativität
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Distributivität
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
De Morgan’sche Gesetze
C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B)
C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B)
2
2
Relationen, Funktionen, Ordnungen
Relationen
Eine Relation ist eine Menge geordneter Paare
R ⊆ X × Y = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ Y }
Für (x, y) ⊆ R schreiben wir auch xRy (”x steht in Relation zu y”). Falls X = Y , so sprechen wir
auch von einer Relation auf X.
A member x of X and a member y of Y are related, whenever the pair (x, y) belongs to the given
subset. For example, if X is a set of students and Y is a set of courses, we could say that x and
y are related whenever x is a student who is taking course y.
Definition 2.1 (reflexive Relation) Eine Relation R auf X heisst reflexiv, falls xRx für alle
x ∈ X.
Definition 2.2 (symmetrische Relation) Eine Relation R auf X heisst symmetrisch, falls
xRy impliziert yRx für x, y ∈ X.
Definition 2.3 (transitive Relation) Eine Relation R auf X heisst transitiv, falls xRy, yRz
impliziert xRz für x, y, z ∈ X.
Definition 2.4 (antisymetrische Relation) Eine Relation R ⊆ X ×X heisst antisymmetrisch,
falls xRy und yRx impliziert, dass x = y.
Definition 2.5 (Äquivalenzrelation) Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation auf
X heisst Äquivalenzrelation.
Definition 2.6 (Äquivelenzklasse) Sei R eine Äquivelenzrelation auf X und x ∈ X. Dann
heisst
[x]R = {y ∈ X|xRy}
Äquivelenzklasse von x in X unter R.
Satz 2.1 Sei R eine Äquivalenzklasse auf X.
1. [x]R 6= ∅
∀x ∈ X
2. Für x, y ∈ X ist entweder [x]R = [y]R oder [x]R ∩ [y]R = ∅
3. Sei {xi }i∈I eine Auswahl von Elementen aus X, eines auf jeder Äquivalenzklasse. So gilt
]
X=
[xi ]R
i∈I
d.h. R partitioniert X in Äquivalenzklassen.
3
Funktionen
Eine Relation R ⊆ X × Y heisst Funktion auf X, falls für jedes x ∈ X genau ein y ∈ Y existiert
mit xRy
fR :
X→Y
x 7→ y
Definition 2.7 (injektive Funktion) Eine Funktion heisst injektiv, wenn für jeds y ∈ Y höchstens
ein x ∈ X existiert mit xRy.
Definition 2.8 (surjektive Funktion) Eine Funktion heisst surjektiv, wenn für jedes y ∈ Y
mindestens ein x ∈ X existiert mit xRy.
Definition 2.9 (bijektive Funktion, Bijektion) Eine Funktion heisst bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Ordnung
Eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation R ⊆ X × X heisst Ordnung auf X; meist
schreiben wir x ≤ y statt xRy. Die Ordnung heisst linear, falls für alle x, y ∈ X entwerder
x ≤ y oder y ≤ x erfüllt ist. Nichlineare Ordnungen heissen auch partielle Ordnungen oder
Halbordnungen.
4
3
Gruppen
Definition
Definition 3.1 (Gruppe) Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer zweistelligen
Verknüpfung ◦, für die folgende Axiome gelten:
1. g ◦ h ∈ G für g, h ∈ G
2. (g ◦ h) ◦ k = g ◦ (h ◦ k) für g, h, k ∈ G
3. ∃e ∈ G mit e ◦ g = g ◦ e = g
∀g ∈ G (Einselement)
4. ∃g ′ ∈ G∀g ∈ G mit g ◦ g ′ = g ′ ◦ g = e (Inverses zu g)
Definition 3.2 (Abelsche Gruppe) Eine Gruppe heisst abelsch, falls die Verknüpfung ◦ kommutativ ist: g ◦ h = h ◦ g ∀g, h ∈ G
Definition 3.3 (Ordnung einer Gruppe (enspricht Anzahl Elementen in dieser Gruppe))
Ist G eine endliche Menge, so heisst |G| die Ordnung von G. Eine Gruppe mit unendlich vielen
Elementen heisst Gruppe von unendlicher Ordnung.
Definition 3.4 (Ordnung) Sei (G, ◦) eine endliche Gruppe und g ∈ G. die kleinste natürliche
Zahl m, für die gilt:
gm = g ◦ . . . ◦ g = e
| {z }
m−mal
heisst die Ordnung von g. Bezeichnung: |g|.
e ist die Eigenabbildung, Abbildung auf sich selbst.
Gruppenoperationen
Definition 3.5 (Operation) Sei (G, ◦) eine Gruppe und M eine Menge. G operiert auf M , falls
jedes g ∈ G eine Abbildung
M →M
g:
x 7→ g(x)
definiert ist, sodass gilt:
1. e(x) = x
∀x ∈ M
2. (g ◦ h)(x) = g(h(x))
∀g, h ∈ G, x ∈ M
Definition 3.6 (Bahn von G auf M) Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf M durch
x∼y
⇔
∃g ∈ G mit g(x) = y
(Symmetrie, Reflexität und Transitivität sind erfüllt)
Die Äquivalenzklasse von ∼ heisst die Bahn von G auf M ; die Bahn [x]∼ von x unter G bezeichnen
wir mit Gx. Die Äquivalenzrelation liefert uns eine Partiton von M , die Bahnzerlegung von M
unter G. Die Gruppenoperation heisst transitiv, falls es nur eine eizige Bahn gibt, d.h. zu je zwei
x, y ∈ M existiert ein g ∈ G mit g(x) = y.
Gx = {y ∈ X| y = g(x)
für einige g ∈ G}
Intuitively, the Orbit Gx contains all the objects which are indistinguishable from x under the
action of G. |G| gibt also die Anzahl der ununterscheidbaren Abbildung einer Operation an.
Bein einem Würfel kann jede der 8 Ecken mittels einer Rotation in jede andere ununterscheidbar
überführt werden. ⇒ Rx = 8
5
Definition 3.7 (Stabilisator) Es operiere eine Gruppe G auf einer Menge M und es sei x ∈ M .
Dann heisst
Gx = {g ∈ G|g(x) = x}
der Stabilisator von x. Gx ist eine Untergruppe von G.
Der Stabilisator kennzeichnet also Eigenabbildungen G(x → x).
”nichts tun” ist auch eine Abbildung (also drehung um 0◦ respektiv 360◦ , wobei da dies die
selbe Abbildung beschreibt und daher nur ein mal gezählt wird)
Satz 3.1 Sei G eine endliche Gruppe, es operiere G auf M und ferner sei x ∈ M . Dann gilt
|G| = |Gx| · |Gx |
Beim Berechnen von |Gx | soll ein Element als Fixpunkt festgelegt werden. Danach versucht man
das Objekt in sich überzuführen, den Fixpunkt aber an seiner Position zu belassen. Wählt man
eine Kante als Fix”punkt”, so können ihre Endpunkte vertauscht werden. Kante muss allerdings
am selben Ort verbleiben.
Abzählen von Mustern
Definition 3.8 (Fixpunktmenge) Es operiere G auf M , und es sei g ∈ G. Dann heisst
F (g) = {x ∈ M |g(x) = x}
die Fixpunktmenge von g.
Lemma 3.1 (Lemma von Burnside) Sei G eine endliche Gruppe und es operiere G auf M
und sei b(G, M ) die Anzahl der Bahnen von G. Dann gilt
b(G, M ) =
1 X
·
|F (g)|
|G|
g∈G
A given group G of permutations operates of a set X. Each orbit is a subset of X whose members
are indistinguishable under the action of G and so the number of orbits tells us the number of
distinguishably different types of object in X.
Lösungsstrategie
Geometrische Aufgaben löst man am Besten mit einer Tabelle (entsprechend ausfüllen):
Elemente
e (Identität)
◦
Drehung um x
Spiegelung na x
Ordnung
Anahl
1
1
?
2
?
?
|F (s)|
n
k
?
?
Ordnung g m = e → m = Ordnung
”wie oft muss g angewendet werden, um eine Identitätsabbildung zu erhalten?”
P
Anzahl
= |G| → Kontrolle Anzahl gibt zB an, wieviele Drehungen um X ◦ oder Spiegelungsachsten etc. es gibt welche diese Fixpunktmenge |F (s)| besitzen.
Fixpunktmenge |F (s)| Die Anzahl unterscheidbare Konfigurationen, welche bei der Anwendung von g in sich übergeführt werden. (Identitätsabbildungen)
6
Anzahl ununterscheidbarer Muster b
1
b=
·
|G|
X
Anzahli · |F (s)|i
i
!
Abbildung zwischen Gruppen
Homomorphie Sind A und B zwei Strukturen (Gruppen, Ringe, etc) Im folgenden bezeichne
(A, ∗1 , ∗2 , ...) eine Struktur mit einer Trägermenge A sowie Verknüpfungen ∗i auf A. Eine Abbildung f : A → B heißt Gruppenhomomorphismus zwischen (A, ∗) und (B, ×), wenn für alle
a, b ∈ A gilt:f (a ∗ b) = f (a) × f (b)
Isomorphie Zwei Gruppen G und G′ heissen zueinander isomorph, wenn zwischen ihnen eine
1-zu-1 Korrespondenz besteht.
Eine Isomorphie ist ein bijektiver Homomorphismus.
Automorphie Ein Automorphismus ist eine Isomorphie einer Gruppe auf sich selbst. (Die
Anzahl Isomorphien einer Strukur (zb geometrische Figur) lässt sich durch |G| berechnen.
7
4
Ringe und Körper
Ringe
Definition 4.1 (Ring) Ein Ring ist eine Menge R mit 2 Verknüpfungen + und ·, für die folgende
Eigenschaften erfüllt sind:
1. (R, +) ist eine abelsche Gruppe
2. R ist abgeschlossen bezüglich ·, die Verknüpfung ist assoziativ und es existiert ein neutrales
Element
3. Für alle Elemente a, b, c ∈ R gilt
a · (b + c)
= ab + ac
(a + b) · c = ac + bc
Definition 4.2 (Restklassenring Zm ) für m ∈ N\{0} definieren wir folgende Äquivalenzrelation
auf Z:
x ≡m y ⇔ x ≡ y(mod m)
m ist der Modulozähler.
Satz 4.1 Die Restklassen modulo m bilden einen Ring mit folgenden Verknüpfungen:
[x] + [y]
=
[x + y]
[x] · [y]
=
[xy]
0≤x+y ≤m−1
0 ≤ xy ≤ m − 1
Satz 4.2 (Satz von Fermat) Sei m ∈ Z,p eine Primzahl und p ∤ m. Dann gilt
mp−1 ≡ 1(mod p)
Bemerkung: Mit dieser Kongruenz kann man Nicht-Primzahlen erkennen, in dem man n ≪ p
wählt und mp−1 ≡ 1(mod p) auswertet.
Körper
Definition 4.3 (Körper) Ein Körper ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen + und ·, für die
folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. (k, +) ist eine abelsche Gruppe mit Neutralelement 0
2. (k \ {0}, ·) ist ein abelsche Gruppe
3. a · (b + c) = a · b + a · c
∀a, b, c ∈ k
Beispiele für Körper sind Q,R und C
Satz 4.3 Zm ist Körper
⇔
m ist Primzahl
Lateinische Quadrate
Problem: Kann man 36 Offiziere son in einer 6 × 6-Formation aufmarschieren lassen, dass in
jeder Zeile und jeder Reihe 6 unterschiedliche Grade und 6 unterschiedliche Regimente vertreten
sind? (Antwort: für n = 6: Nein)
Definition 4.4 (Lateinisches Quadrat) Sei A eine endliche Menge, |A| = n. Eine Abbildung
L : {1, . . . , n} × {1, . . . , n} → A heisst lateinisches Quadrat der Ordnung n, falls gilt:
L(i, j)
= L(i′ , j)
⇒ i = i′
L(i, j)
= L(i, j ′ )
⇒ j = j′
8
Definition 4.5 (Orthogonales lateinisches Quadrat) Zwei lateinische Quadrate L1 , L2 mit
Einträgen in A heissen orthogonal, falls es für alle (a1 , a2 ) ∈ A × A genau ein Indexpaar gibt mit
(i, j) gibt
L1 (i, j)
L2 (i, j)
= a1
= a2
Two latin squares L1 and L2 of the same order are orthogonal if, for each ordered pair of Symbols
(k, k ′ ) there is just one positon (i, j) for which L1 (i, j) = k L2 (i, j) = k ′
Sein N (n) die maximale Anzahl paarweise orthogonaler lateinischer Quadrate der Ordnung n.
Wie gross ist N (n)?
Satz 4.4 Für n ≥ 2 ist N (n) ≤ n − 1. Für n = pm mit p Primzahl ist N (n) = n − 1
Konstruktion
p ist Primzahl
Lateinische Quadrate auf {0, . . . , n − 1} = Zp .
Lk (i, j) = k · i + j(mod p)
k ∈ {1, . . . , p − 1},
i, j ∈ {0, . . . , p − 1}
1. Lk ist ein lateinisches Quadrate. Für k 6= 0:
ki + j
= ki′ + j
⇒ i = i′
ki + j
= ki + j ′
⇒ j = j′
2. Behauptung: Lh ist orthogonal zu Lk für alle h 6= k, 1 ≤ h, k ≤ p − 1. sei (a, b) ∈ Zp × Zp
hi + j = a Eintrag in Lh
⇒
finde i, j ∈ Zp :
ki + j = b Eintrag in Lk
⇒
Lineares Gleichungssystem
⇒
eindeutig lösbar
Satz 4.5 Let p be a prim and t a non-zero element of Zp . Then the rule
Lt (i, j) = ti + j
(i, j ∈ Zp )
defines a latin square. Furthermore when t 6= u then the latin square Lt and Lu are orthogonal.
Beispiele
aB
aA
bA
bB
aA
bC
cB
bB
cA
aC
cC
aB
bA
Aa
Bd
Cb
Dc
9
Bb
Ac
Da
Cd
Cc
Db
Ad
Ba
Dd
Ca
Bc
Ab
Aa
Bc
Cd
Db
Bb
Ad
Dc
Ca
Cc
Da
Ab
Bd
Dd
Cb
Ba
Ac
5
Elementare Zähprinzipien
Summenregel
Ist S =
St
i=1
Si , das heisst Si ∩ Sj = ∅ für j 6= i, dann gilt
t
X
|S| =
|Si |
i=1
Beispiel
Binomialkoeffizient nk := # k-elementiger Teilmengen einer n-elementigen Menge. ”Wähle aus
n Elementen k aus.”
Summenregel
n
n−1
n−1
=
+
k
k−1
k
Produkteregel
Ist S = S1 × . . . × St , dann gilt
|S| =
t
Y
|Si |
i=1
Beispiele
Produktregel
n!
n
=
k
k! · (n − k)!
Bijektionsregel
Ist f : S → T eine Bijektion (Bijektive Abbildung) zwischen endlichen Mengen, dann gilt
|S| = |T |
Beispiele
2n =
n X
n
k
k=0
n
n
=
k
n−k
Regel vom doppelten Abzählen
Es sei R ⊆ X × Y eine Relation zwischen zwei endlichen Mengen X und Y (xRy, x ∼R y
für(x, y) ∈ R). Für x0 ∈ X und y0 ∈ Y gilt:
r(x0 ) = #Elemente y ∈ Y mit x0 ∼R y
s(y0 ) = #Elemente x ∈ Xmit x ∼R y0
Dann gilt
X
r(x) =
x∈X
X
s(y)
y∈Y
Zurück zu Binomialkoeffizienten
(x + y)n =
n X
n
i=0
10
i
· xi · y n−i
y=1:
(x + 1)n =
y = 1, x = 1 :
y = 1, x = −1 :
Pn
i=0
(2)n =
0=
n
i
Pn
i=0
Pn
i=0
Vandermondsche Identität
n
i
· xi
n
i
· (−1)i
m+n
k
=
k X
m
n
·
n
k−j
j=0
Inklusion-Exklusion
Prinzip der Inklusion-Exklusion
Seien B1 , . . . , Bm Teilmengen von S. Dann gilt
m
m
[
X
X
X
Bi = |S| −
|Bi | +
|Bi ∩ Bj | −
|Bi ∩ Bj ∩ Bk | ± . . . + (−1)n · |B1 ∩ . . . ∩ Bm |
S \
i=1
i=1
1≤i<j≤m
1≤i<j<k≤m
11
6
Erzeugende Funktion
Idee
Zahlenfolge
a0 , a1 , . . .
→
unendliche
Reihe
P
n
a
n≥0 n x
→
Funktionsausdruck in x
A(x)
Formale Potenzreihen
Definition 6.1 Sei (an ) eine Folge reeller Zahlen. Dann heisst die formale unendliche Potenzreihe
X
A(x) =
an · xn
n≥0
die erzeugende Funktion von (an ).
Lösen von Rekursionen
Allgemein
Wir betrachten die lineare Rekursion vom Grad d mit konstanten Koeffizienten:
An + a1 An−1 + a2 An−2 + . . . + ad An−d = 0
n≥d
• a1 , . . . , ad ∈ C (Koeffizienten)
• A0 , . . . , Ad−1 ∈ C (Anfangswerte)
1. Schritt
(ist ai (zb a0 ) nicht gegeben/definiert, kann es = 1 gesetzt werden)
Rekursion und Anfangswerte in einer Form ausdrücken:
An + a1 An−1 + a2 An−2 + . . . + ad An−d + kd−1 [n = d − 1] + . . . k0 [n = 0] = 0
{z
}
|
Korrekturterm k∈C
[n = 1] :=
1 für n = 1
0 sonst
2. Schritt
Rekursion als Identität erzeugneder Funktionen repräsentieren:
X
A(x) =
An · xn
n≥0
d
A(x) + a1 · x · A(x) + . . . + ad · x · A(x) + kd−1 · xd−1 + . . . + k1 · x + k0 = 0
3. Schritt
Lösen in A(x)
A(x) =
p(x)
1 + a1 x + . . . + ad xd
=
q(x)
−kd−1 xd−1 − . . . − k1 x − k0
4. Schritt
A(x) als formale Potenzreihe schreiben, dann Koeffizientenvergleich:
A(x)
=
p(x)
Qd
i=1 (1 −
d
X
αi x)
gi
1
−
αi x
i=1



d
X
X
gi ·
(αi x)n 
= p(x) · 
= p(x) ·
i=1
12
n≥0
Beispiel
bn
b0
= 2bn−1 + 5bn−2 − 6bn−3
= 1
b1
b2
b3
=
=
=
1
6
3
1. Schritt:
2bn−1 + 5bn−2 − 6bn−3 + 1[n = 0] − 1[n = 1] −1 [n = 2]
|{z}
!
B2 =6==2 B1 +5 B0 +δ⇒δ=−1
|{z} |{z}
=1
=1
denn (einsetzen in Rekursionsformel)
b0
b1
b2
=
=
=
1
1 = 2B0 + x ⇒ x = −1
6 = B1 + 5B0 + x ⇒ x = −1
b3
=
3
2. Schritt:
X
n≥0
bn xn = 2x · bn−1 xn−1 + 5x2 · bn−2 xn−2 − 6x3 · bn−3 xn−3
X
X
X
bn xn = 2x ·
bn xn + 5x2 ·
bn xn − 6x3 ·
bn xn +
1 − x − x2
| {z }
n≥0
n≥0
n≥0 Auch Summe, aber das gibt ja grad den Wert
2
B(x) = 2x · B(x) + 5x · B(x) − 6x3 · B(x) + 1 − x − x2
3. Schritt:
B(x) =
1 − x − x2
1 − 2x − 5x2 + 6x3
4. Schritt:
Faktorisierung des Nenner von B(x)
B(x) =
1 − x − x2
(1 − α1 x)(1 − α2 x)(1 − α3 x)
Bilde dazu das reflektierte Polynom und suche die Nullstellen
q R (x) = x3 − 2x2 − 5x + 6
α1
α2
α3
= 3
= −2
= 1
Suche Potenzreihe der Art
A
B
C
A(1 − 2x)(1 − x) + B(1 − 3x)(1 − x) + C(1 − 3x)(1 + 2x)
+
+
=
(1 − 3x) (1 + 2x) (1 − x)
(1 − 3x)(1 + 2x)(1 − x)
Koeffizientenvergleich mit B(x)
A+B+C
!
=
1
!
A − 4B − C
= −1
−2A + 3B − 6C
= −1
13
!
1
2
1
1
1 1
1 1
1 1
C=
⇒
+
+
3
6
2 1 − 3x 3 1 + 2x 6 1 − x
X
X
1
1
1
1
1
1X
n
n
n
(3x) +
(−2x) +
(x) −→ Bn = 3n + (−2)n + 1n
=
2
3
6
2
3
6
⇒A=
B=
n≥0
n≥0
n≥0
Schnellverfahren (Ohne Umweg über erzeugende Funktion) Let un be a sequence satisfying the linear recursion
un+2 + a1 un+1 + a2 un
u0
u1
= 0
= c0
= c1
and let α and β be the solution of the ausxiliary equation
t2 + a1 t + a2 = 0
If α 6= β then there are constants A and B such that
un = Aαn + Bβ n
(n ≥ 0)
while if α = β there are constants C and D such that
un = (C · n + D)αn
The constants A and B (or C and D) are determined by the values of c0 and c1 .
Umformungen
A(z) =
Summe
X
an z n
B(z) =
X
bn z n
Nullelement A(z) = 0 Einselement A(z) = 1
A(z) + B(z) =
Vielfaches
c · A(z) =
X
X
(an + bn )z n
(c · an )z n
Produkt/Konvolution
A(z) · B(z) =
n
X X
n≥0
ak · bn−k
k=
!
zn
Verändern von Folgen
k-faches Auseinanderziehen
(a0 , a1 , . . .) → (a0 , 0 . . . , a1 , 0 . . . 0, . . .) ⇒ A(z) → a(z k )
k-fache Indexverschiebung
(a0 , a1 , . . .) → (0, . . . , a0 , a1 , . . .)
X
X
⇒ A(z) → z k · A(z) = z k · A(z) =
an · z n+k =
an−k · z n
k
14
n
Liste von erzuegenden Funktionen
zn =
1
1−z
(−1)n z n =
1
1+z
X
n≥0
X
n≥0
X
z 2n =
n≥0
X c + k - 1 z n = (1 − z)−c
n
n≥0
X m+n 1
zn =
n
(1 − z)m+1
n≥0
X zn
= ez
n!
1
1 − z2
n≥0
X c z n = (1 + z)
n
X (−1)n+1 z n
= log(1 + z)
n
n≥0
n≥0
1
=
(1 − cz)2
X
(n + 1)cn z n
n≥0
15
7
Logik
Aussgenlogik
Verknüpfungen
Verknüpfungsoperatoren werden als Junktoren bezeichnet.
Negation (¬, NICHT)
P
0
1
¬P
1
0
¬ ist wahr gnau dann, wenn P falsch ist.
Konjunktion (∧, UND)
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
P∧Q
0
0
0
1
P ∧ Q ist wahr gnau dann, wenn P und Q wahr sind.
Disjunktion, Alternative, Adjunktion (∨, ODER)
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
P∨Q
0
1
1
1
P ∨ Q ist falsch gnau dann, wenn P und Q falsch sind.
Implikation (→, WENN, DANN)
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
P→Q
1
1
0
1
Bemerkungen
¬P ∨ Q
P → Q ist falsch gnau dann, wenn P wahr und Q falsch sind.
(Die Implikation ist nur dann falsch, wenn wir aus etwas Wahrem etwas Falsches folgern.)
Replikation (←, NUR WENN, DANN)
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
P←Q
1
0
1
1
Bemerkungen
P ∨ ¬Q
16
P ← Q ist falsch gnau dann, wenn P falsch und Q wahr sind.
(Die Replikation ist nur dann falsch, wenn wir aus etwas Falschem etwas Wahres folgern.)
Bikondition, Äquivalenz, Äquijunktion (↔, GENAU DANN, WENN)
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
P↔Q
1
0
0
1
Bemerkungen
(P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)
Ist genau dann wahr, wenn links und rechts dasselbe steht. salopp:”=”
Antikonjunktion, Sheffer-Strich (|, NICHT BEIDE)
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
P|Q
1
1
1
0
Bemerkungen
¬P ∨ ¬Q
Antivalenz, Disvalenz (⊕, ENTWEDER ODER)
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
P⊕Q
0
1
1
0
Bemerkungen
Antialternative, Peirce-Pfeil, Nicodscher Junktor (↓, WEDER NOCH)
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
P↓Q
1
0
0
0
Bemerkungen
¬P ∧ ¬Q = ¬(P ∨ Q)
P ↓ P = ¬P
Definition 7.1 (Erfüllbare Logik) Eine Formel heisst erfüllbar, wenn eine Belegung der auftretenden Aussagenvariablen mit Wahrheitswerten wahr oder falsch existiert, sodass die Formel wahr
ist.
Beispiel: Q ∧ (¬R → P ) ist erfüllbar.
Definition 7.2 (Kontradiktion) Eine Formel heisst Kontradiktion, wenn sie unter allen möglichen
Belegungen der Aussagenvariablen falsch ist.
Beispiel: P ∧ ¬P ist eine Kontradiktion
Definition 7.3 (Tautologie) Eine Formel heisst Tautologie, wenn sie unter allen möglichen
Belegungen der Aussagenvariablen wahr ist.
Beispiel: (P ← Q) ↔ (¬P ∨ Q) ist eine Tautologie.
17
Bindungsstärke der Junktoren
• ¬ bindet stärker als ∧.
• ∧ bindet stärker als ∨.
• ∨ bindet stärker als →.
• → bindet stärker als ↔.
Äquivalenz von Formeln
¬¬P = P
P ∧Q=Q∧P
P ∨Q=Q∨P
P ∧ (Q ∧ R) = (P ∧ Q) ∧ R
P ∨ (Q ∨ R) = (P ∨ Q) ∨ R
P ∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q)
¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q)
P ∧P =P
P ∨P =P
P ∧ ¬P = 0
P ∨ ¬P = 1
P ∧1=P
P ∨0=P
P ∧0=0
P ∨1=1
P ∧ (P ∨ Q) = P
P ∨ (P ∧ Q) = P
Doppelte Negation
Kommutativität
Assoziativität
Distributivität
De Morgan
Idempotenz
Komplement
Neutrale
Dominanz
Absorption
Logisches Schliessen
Definition 7.4 Seien P1 , . . . , Pn und Q Formeln. Wir sagen ”Q folgt aussangelogisch ausP1 , . . . , Pn ”,
falls die Implikation
(P1 ∧ . . . ∧ Pn → Q)
Eine Tautologie ist. Wir sprechen von einem aussagenlogisch korrekten Schluss mit den Prämissen
P1 , . . . , Pn und der Konklusion Q.
P1
..
Notation: .
Pn
Q
P ∧Q⇒P
P, Q ⇒ P ∧ Q
P ⇒P ∨Q
P → Q, Q → R ⇒ P → R
P → Q, ¬Q ⇒ ¬P
P → Q, P ⇒ Q
P ∨ Q, ¬P ⇒ Q
Simplifikation
Konjunktion
Addition
Hypothetischer Syllogismus
Modus Tollens
Modus Ponens
Disjunktiver Sylogismus
18
Prädikatenlogik
Definition 7.5 (Prädikat) Eine Äusserung heisst Prädikat, falls Variablen auftreten und die
Äusserung durch Belegen dieser Variablen mit zulässigen Objekten einen eindeutigen Wahrheitswert
erhält. Die zulässigen Objekte für eine Variable x bilden das Universum für x.
Notation
p(x)
1-stelliges Prädikat
q(x1 , . . . , xn )
n-stelliges Prädikat
Beispiele
g(x)
Die Zahl x ist gerade
g(1) ist falsch
g(2) ist wahr
p(x)
q(x, y)
r(x)
x≥0
x≤y
x2 < 0
(1)
Prädikate können wir mittels aussagenlogischer Junktoren zu Formeln des Prädikatenkallküls
verbinden, zb
1. s(x, y) = p(x) ∧ q(x, y)
2. s(x, y) → p(y)
Für die Formel 1 gibt es Belegungen von x und y, unter denen s(x, y) wahr wird. Die Formel 2
ist wahr unter allen möglichen Belegugen von x und y.
Derlei Aussagen lassen sich im Prädikatenkalkül formulieren. Durch hinzufügen von Quantoren
(existsx, ∀x) für jede Variable werden Prädikate zu Äusserungen, denen ein Wahrheitswert
zukommt, zu sogenannten quantifizierten Aussagen.
logische Äquivalenz und logische Implikation für quantifizierte Aussagen
∀xp(x)
⇒ ∃xp(x)
∃x(p(x) ∧ q(x))
∃x(p(x) ∨ q(x))
∀x(p(x) ∧ q(x))
⇒ ∃xp(x) ∧ ∃q(x)
⇔ ∃xp(x) ∨ ∃q(x)
⇔ ∀xp(x) ∧ ∀q(x)
∀x(p(x) ∨ q(x))
¬(∀xp(x))
⇐ ∀xp(x) ∨ ∀q(x)
⇔ ∃x¬p(x)
¬(∃xp(x))
⇔ ∀x¬p(x)
19