Formelblatt komplexe Zahlen

z n = rn ej nϕ
z1 = r1 (cos(ϕ − ϕ ) + sin(ϕ − ϕ ))
1
2
1
2
z2
r2
z n = rn (cos(nϕ) + sin(nϕ))
z1 · z2 = (ac − bd) + j(ad + bc)
z1 = a + jb = (a + jb)(c − jd)
z2
c + jd
c2 + d 2
Multiplikation
Division
Wurzel z = w
n
Potenzieren
z1 = r1 ej(ϕ1 −ϕ2 )
z2
r2
z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + sin(ϕ1 + ϕ2 ))
z1 + z2 = (a ± c) + j(b ± d)
zk =
ϕ
2π
rej ( n +k n )
k = 0, . . . , n − 1
√
n
z1 z2 = r1 r2 ej(ϕ1 +ϕ2 )
z = rejϕ
Add./Subtr.
z = r(cos ϕ + j sin ϕ)
z1 = a + jb, z2 = c + jd
Exponentialdarstellung
Darstellung
Polardarstellung
Kart. Darstellung
Operation
Formelblatt Komplexe Zahlen
Prof. Dr. Karin Melzer
Mathematik 1
Prof. Dr. Karin Melzer
Mathematik 1
Umrechnung der Darstellungsformen
Exponentialform ; Polarform ; Kartesische Form:
z = rejϕ = r(cos ϕ + j sin ϕ) = r cos ϕ +j r sin ϕ = x + jy
| {z }
| {z }
x
y
(Werte für cos und sin in Tabelle nachschlagen).
Kartesische Form ; Polarform ; Exponentialform:
z = x + jy = r(cos ϕ + j sin ϕ) = rejϕ
p
r = |z| = x2 + y 2

y

arctan x





y
arctan x ± π
ϕ =

π


2


 π
−2
wobei
falls x > 0
falls x < 0
falls x = 0, y > 0 (rein imaginär pos.)
falls x = 0, y < 0 (imaginär neg.)
Einige Funktionswerte für arctan u:
√
u
− 3 −1 − √1
0
3
arctan(u) − π
−π
−π
0
3
4
6
−60◦ −45◦ −30◦ 0◦
(Beachte:
√1
1
3
π
π
6
4
◦
30 45◦
arctan(u) ∈ − π2 ; π2 )
√
3
π
3
60◦
Prof. Dr. Karin Melzer
Mathematik 1
Überlagerung von Schwingungen
a) Beide Schwingungen in Cosinusformdarstellen
mit sin (ωt + ϕ) = cos ωt + ϕ − π2
x1 = A1 cos (ωt + ϕ1 ) ,
x2 = A2 cos (ωt + ϕ2 )
b) Komplexifizierung: Komplexe Darstellung A cos(ωt + ϕ) ; Aej(ωt+ϕ)
z1 (t) = A1 ejϕ1 ejωt
z2 (t) = A2 ejϕ2 ejωt
c) Addition der komplexen Schwingungen und Kürzen von ejωt
z1 (t) + z2 (t) = z(t)
A1 ej(ωt+ϕ1 ) + A2 ej(ωt+ϕ2 ) = Aejωt+ϕ
A1 ejϕ1 ejωt + A2 ejϕ2 ejωt = Aejϕ ejωt | : ejωt
A1 ejϕ1 + A2 ejϕ2 = Aejϕ
d) Umwandlung in Kartesische Form und Addition der Zeiger Ak ejϕk = Ak (cos ϕk +j sin ϕk )
Ergebnis: a + jb = Aejϕ
e) Rückumwandlung: Identifizierung von Betrag und Argument liefert den Zeiger der resultierenden
Schwingung
√
2
2
r = a + b ; ϕ = arctan ab mit Sonderfällen
Ergebnis: Realteil Re(z(t)) = Re (Aejωt+ϕ ) = A cos(ωt+ϕ) ist die gesuchte Überlagerung