DS Vorlesung - TU Chemnitz
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Vorlesung Datenstrukturen Graphen (2) Spannbäume Kürzeste Wege Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 455 Wiederholung Traversierung eines Graphen via Tiefendurchlaufs / Breitendurchlauf 1. Wähle einen beliebigen Knoten aus dem Graph 2. Lege diesen Knoten in einem Stapel / einer Schlange ab 3. Solange der Stapel / die Schlange nicht leer ist • Entnimm einen Knoten v aus dem Stapel / der Schlange • Wenn v nicht markiert ist, dann • Markiere v als besucht • Füge alle zu v adjazenten, nicht markierten Knoten dem Stapel / der Schlange hinzu Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 456 Spannbaum Grundidee Aufgrund der systematischen Verarbeitung der Knoten eines Graphen sowie des Ignorierens bereits besuchter Knoten kann man aus der Reihenfolge der besuchten Knoten des Graphen einen Baum konstruieren, der alle Graphknoten enthält, die vom Startknoten aus erreichbar sind. Erzeugung Man generiert aus dem jeweils im Traversierungsalgorithmus verarbeiteten (noch nicht markierten) Knoten v einen Baum, bei dem v immer die (Teilbaum-)Wurzel seiner (noch nicht markierten) adjazenten Knoten darstellt, folgt dem Weg der Verarbeitung und entfernt gegebenenfalls bei Markierung eines Knotens Duplikate auf schon existierenden Ebenen. Spannwald Falls nicht alle Knoten des Graphen im Spannbaum enthalten sind, können wir den Vorgang für die nicht besuchten Knoten wiederholen und erhalten dann einen Wald von Spannbäumen. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 457 Gewichtete Graphen Verallgemeinerung von Graphen Sehr viele Probleme auf Graphen beruhen auf der Auswertung einer Kostenfunktion, die Kanten ein Gewicht zuordnet, z.B. Routenplanung (Distanzen zwischen Städten, Übertragungskosten von Energie im Energieverbund, Informationsweg zwischen Kommunikationspartnern im Internet, ...) Realisierung • Adjazenzmatrix: Wir speichern die tatsächlichen Gewichte der Kanten statt der Binärgewichte (Kante vorhanden / keine Kante). • Adjazenzliste: Wir erweitern die Liste der adjazenten Knoten um eine Strukturkomponente, die das Gewicht der Kante zum aktuellen Knoten aufnimmt. Einschränkung Negative Gewichte sind nicht erlaubt. Diese Forderung stellt jedoch keine wirkliche Einschränkung dar, da sich Graphen entsprechend umformen lassen (Gallo, Pallottino, 1986). Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 458 Kürzester Weg zwischen zwei Knoten Algorithmus von Dijkstra Berechnet von einem gegebenen Startknoten aus die kürzesten Wege zu allen Knoten eines Graphen (die von diesem Startknoten aus erreichbar sind). Allgemeines Funktionsprinzip Für jeden Knoten u wird zusätzlich festgehalten, zu welchen günstigsten Gesamtkosten und über welchen Vorgängerknoten u vom Startknoten aus am günstigsten erreichbar ist. Falls ein Knoten v gefunden werden kann, über den man kostengünstiger zu u gelangt, werden die Gesamtkosten aktualisiert und der Vorgängerknoten von u auf v gesetzt. Startzustand Initialisiere alle Knoten mit Kosten ∞ Initialisiere Startknoten mit Kosten 0 Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 459 Algorithmus von Dijkstra Eingabe • Gewichteter Graph mit Knotenmenge V und Kantenmenge E mit Kantengewicht w(e∈E) • Startknoten s∈V Pseudocode K(v) = ∞ für alle v∈V // Initialisierung der Gesamtkosten eines Knotens K(s) = 0 // Startknoten hat Kosten 0 R=V // Menge noch zu untersuchender Knoten Solange R nicht leer ist Wähle v∈R mit kleinstem K(v) // Verwende immer den „billigsten Knoten“ Entferne v aus R Für alle zu v adjazenten Knoten u mit u∈R Wenn K(v) + w(v,u) < K(u) Dr. Frank Seifert // u ist über v billiger zu erreichen K(u) = K(v) + w(v,u) // aktualisiere Kosten von u Vorgänger(u) = v // aktualisiere Vorgänger von u Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 460 Kürzeste Wege zwischen allen Knoten Floyd-Warshal-Algorithmus Wir testen für alle möglichen Kantenkombinationen (j,k), ob man über irgendeinen dritten Knoten i günstiger (bzw. überhaupt) von j nach k gelangen kann, also ob w(j,i) + w(i,k) < w(j,k). Wenn ja, aktualisieren wir das Gewicht w(j,k). Voraussetzung Darstellung des gewichteten Graphen mittels Adjazenzmatrix. Ergebnis for i = 1 to |V| Modifizierte Adjazenzmatrix, die die günstigsten Verbindungen zwischen allen Knoten (auch indirekter Art) enthält. for j = 1 to |V| for k = 1 to |V| if w(j,i) + w(i,k) < w(j,k) Besonderheit w(j,k) = w(j,i) + w(i,k) Negative Gewichte sind direkt möglich. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 461 Floyd-Warshall-Algorithmus Zyklenerkennung Der Floyd-Warshall-Algorithmus beinhaltet eine implizite Zyklenerkennung. Voraussetzung Die Elemente der Hauptdiagonalen der Adjazenzmatrix müssen mit ∞ initialisiert werden. Ergebnis Falls nach der Ausführung des Algorithmus mindestens ein Gewicht auf der Hauptdiagonalen ungleich ∞ ist, dann existiert (mindestens) ein Zyklus im Graphen. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 462 Bewertung der Verfahren Dijkstra-Algorithmus Floyd-Warshall-Algorithmus • berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knoten eines Graphen • berechnet die kürzesten Wege / Kosten zwischen einem Startknoten und allen anderen Knoten • negative Gewichte sind direkt möglich • nur positive Gewichte sind möglich • sehr hohe Berechnungskomplexität O(|V|3) • hohe Berechnungskomplexität O(|V|2) Fazit (für Berechnung der kürzesten Wege zwischen allen Knoten) • für lichte Graphen bietet sich die |V|-malige Berechnung des kürzesten Weges zwischen jedem v∈V und den anderen Knoten nach der Methode von Dijkstra an • für dichte Graphen ist die Laufzeit des Floyd-Warshall-Algorithmus akzeptabel Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 463 Ein Anwendungsbeispiel Weg- bzw. Zielsuche in einem Labyrinth: Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 464 Modellierung des Labyrinths als Graph Jeden Punkt im Labyrinth, an dem sich eine Wahlmöglichkeit für den Weg bietet oder ein Weg endet, modellieren wir als Knoten und alle verbindenden Wege als Kanten eines Graphen. Da die Wege im Labyrinth in beide Richtungen beschritten werden können, sind die Kanten ungerichtet. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 465 Suchen in Graphen Suchen mittels Graphtraversierung Mit Hilfe der Graphmodellierung des Labyrinths können wir mit Hilfe der bekannten Traversierungsalgorithmen einen Weg durch das Labyrinth von dessen Eingang (dem Startknoten) zum Ausgang (einem Zielknoten) finden. Im Gegensatz zur Traversierung aller Knoten können wir die Suche abbrechen, sobald wir einen Zielknoten gefunden haben. Tiefensuche & Breitensuche Analog zum Tiefen- oder Breitendurchlauf eines Graphen bezeichnen wir das korrespondierende Suchverfahren als Tiefen- oder Breitensuche. Wegsuche & Zielsuche Je nach Aufgabenstellung kann sowohl der Zielknoten als auch der Weg dahin (oder auch beides) gefordert sein. Deshalb unterscheiden wir Suchalgorithmen bezüglich Weg- oder Zielsuche: • Beispiel für Zielsuche: Floyd-Warshall-Algorithmus • Beispiel für Wegsuche: Navigation eines Roboters durch ein Labyrinth (via Dijkstra-Algorithmus) Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 466 Weg- und Zielsuche im Labyrinth www.onlinekunst.de/malbuch/labyrinth.html Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 467 Ende der Vorlesung Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 468
