Grundbegriffe aus der Vorlesung Elementare Differentialgeometrie

Grundbegriffe aus der Vorlesung Elementare
Differentialgeometrie
July 5, 2012
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Kurventheorie
Eine parametrisierte Kurve ist eine unendlich oft differenzierbare (= glatte) Abbildung
c : I → Rn , wobei I ⊂ R ein beliebiges Intervall ist. Eine parametrisierte Kurve heißt
regulär (parametrisiert) falls ċ(t) 6= 0 für alle t ∈ I gilt.
Der Tangentialvektor an die Kurve c im Punkt c(t) = (c1 (t), . . . , cn (t)) ist definiert als
ċ(t) = (ċ1 (t), . . . , ċn (t)) =
d
1
c(t) = lim
(c(t + h) − c(h))
h→0,h6=0 h
dt
Der Vektor ċ(t) kann auch als Geschwindigkeitsvektor der Kurve c interpretiert werden.
Sei c : I → Rn eine regulär parametrisierte Kurve. Eine Parametertransformation von
c ist ein bijektive glatte Abbildung φ : J → I, wobei J ⊂ R ein Intervall ist und die
Umkehrabbildung φ−1 : I → J ebenfalls glatt ist. D.h. φ ist ein Diffeomorphismus.
Die parametrisierte Kurve c̃ = c ◦ φ heißt Umparametrisierung von c.
Eine Parametertransformation φ heißt orientierungserhaltend (= richtungserhaltend)
falls φ̇(t) > 0 für alle t ∈ I und orientierungsumkehrend falls φ̇(t) < 0 für alle t ∈ I.
Eine Parametertransformation ist entweder orientierungsumkehrend oder orientierungserhaltend. Die Eigenschaft regulär zu sein bleibt bei Umparametrisierungen erhalten.
Eine Kurve c : I → Rn heißt nach Bogenlänge parametrisiert falls kċ(t)k = 1 für alle
t ∈ I gilt. D.h. die Kurve c wird mit konstanter Geschwindigkeit 1 durchlaufen.
Für jede regulär parametrisierte Kurve c existiert eine Parametertransformation φ, so dass
die Umparametrisierung c̃ = φ ◦ c nach Bogenlänge parametrisiert ist. Die Parametrisierung
1
nach Bogenlänge ist im Wesentlichen eindeutig, dh. jede Parametertransformation φ zwischen zwei nach Bogenlänge parametrisierten Kurven ist von der Form φ(t) = ±t + t0 .
Sei c : [a, b] → Rn eine parametrisierte Kurve. Dann ist die Länge von c definiert als
Z b
kċ(t)k dt
L[c] =
a
Eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist so lang wie ihr Parameterintervall. Die
Länge ändert sich nicht bei Umparametrisierungen. Die Länge parametrisierter Kurve erhält
man auch als Supremum der Länge aller eingeschriebener Polygone.
Eine parametrisierte Kurve c : R → Rn heißt periodisch mit Periode L falls c(t+L) = c(t)
für alle t ∈ R und L mit dieser Eigenschaft minimal ist. Eine Kurve heißt geschlossen falls
sie eine periodische reguläre Parametrisierung besitzt. Sie heißt einfach geschlossen falls
zusätzlich c auf [0, L) injektiv ist.
D.h. einfach geschlossene Kurven haben keine Selbstschnitte. Eine geschlossene Kurve kann
man auch betrachten als eine Kurve c : [a, b] → Rn mit c(a) = c(b), sie heißt einfach
geschlossen, falls sie zusätzlich auf [a, b) injektiv ist.
Eine Kurve c : I → R2 heißt ebene Kurve. Sei c(t) = (c1 (t), c2 (t)) eine ebene nach
Bogenlänge parametrisierte Kurve. Dann ist das Normalenfeld n(t) von c definiert durch
n(t) = (−ċ2 (t), ċ1 (t)).
Das Normalenfeld hat Länge 1 und steht senkrecht auf dem Tangentialvektor ċ. Mit der
Identifikation C = R2 , x + iy 7→ (x, y), folgt für das Normalenfeld: n(t) = i ċ(t).
Die Krümmung κ : I → R einer ebenen nach Bogenlänge parametrisierten Kurve c : I →
Rn ist definiert durch die Gleichung c̈(t) = κ(t)n(t). Es gilt |κ(t)| = kc̈(t)k.
Die Krümmung ist Null auf I genau dann, wenn c eine Gerade beschreibt. Die Krümmung
ist konstant gleich r, r 6= 0, genau dann, wenn c ein Kreis vom Radius 1r ist. Die Krümmung
ändert sich nicht unter orientierungserhaltenden euklidischen Bewegungen, dh. unter Abbildungen F : R2 → R2 der Form F (x) = Ax + b mit A ∈ SO(2) und b ∈ R2 . Die Krümmung
einer nicht nach Bogenlänge parametrisierten ebenen Kurve c ist gegeben durch die Formel
κ(t) =
det(ċ(t), c̈(t))
kċ(t)k3
Für eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve c der Krümmung κ, gibt es in Punkten mit
1
1
c̈(t) 6= 0 einen eindeutig bestimmten Kreis vom Radius κ(t)
mit Mittelpunkt c(t) + κ(t)
n(t).
Dieser Kreis heißt Krümmungskreis (auch Schmiegekreis). Er geht durch c(t) und berührt
c von zweiter Ordnung. Die Kurve der Krümmungskreismittelpunkte heißt Evolute.
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Sei c : I → R2 eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve und bezeichne v(t) = ċ(t)
den Tangentialvektor an c. Dann bildet (v(t), n(t)) für alle t ∈ I eine positiv orientierte
Orthonormalbasis, die man das begleitende Zweibein von c nennt.
Die Frenet Gleichungen sind die Gleichungen v̇(t) = κ(t)n(t) (Definition der Krümmung)
und ṅ(t) = −κ(t)v(t).
Zu jeder stetigen Abbildung κ : [a, b] → R existiert eine nach Bogenlänge parametrisierte
Kurve c : [a, b] → R2 mit der Krümmung κ. Diese Kurve ist bis auf euklidische Bewegungen
eindeutig.
Zu jeder nach Bogenlänge parametrisierten Kurve c : [a, b] → R2 existiert eine glatte Funktion θ : [a, b] → R2 mit
c(t) = (cos θ(t), sin θ(t)) = eiθ(t)
Man nennt θ den Krümmungswinkel von c. Die Winkelfunktion ist bis auf ganzzahlige
Vielfache von 2π bestimmt. Es gilt κ(t) = θ̇(t).
Sei c : R → R2 eine nach Bogenlänge parametrisierte periodische Kurve mit Periode L und
Winkelfunktion θ. Dann ist die Umlaufzahl von c definiert durch
nc =
1
(θ(L) − θ(0))
2π
Die Umlaufzahl ist eine ganze Zahl. Sie bleibt bei Parametertransformationen, bis auf das
Vorzeichen erhalten. Für die Umlaufzahl gilt
Z L
1
nc =
κ(t)dt
2π 0
Umlaufsatz von Hopf: Eine einfach geschlossen Kurve hat Umlaufzahl ±1.
Eine ebene Kurve heißt konvex falls in jedem Kurvenpunkt gilt: die Kurve liegt ganz auf
einer Seite der Tangente durch diesen Punkt.
Sei c : R → R2 eine nach Bogenlänge parametrisierte einfach geschlossene Kurve mit
Krümmung κ. Dann ist c konvex genau dann, wenn κ(t) ≤ 0 oder κ(t) ≥ 0 für alle t ∈ R
gilt.
Sei c : I → R2 eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve mit Krümmung κ. Die
Kurve c hat einen Scheitel in t0 ∈ I falls dort κ̇(t0 ) = 0 gilt.
Der Vier-Scheitel-Satz besagt: Sei c eine periodische nach Bogenlänge parametrisierte
konvexe ebene Kurve der Länge L. Dann hat c im Intervall [0, L) mindestens vier Scheitelpunkte.
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Sei G ⊂ R2 ein beschränktes Gebiet, berandet von einer einfach geschlossenen Kurve c. Sei
A[G] der Flächeninhalt von G und L[c] die Länge von c. Dann besagt die isoperimetrische
Ungleichung
1
L[c]2
A[G] ≤
4π
Gleichheit gilt genau dann, wenn c eine Kreislinie ist. Sei c(t) = (x(t), y(t)) dann gilt
Z L
Z L
Z
1 b
x(t)ẏ(t)dt = −
ẋ(t)y(t)dt =
A[G] =
(x(t)ẏ(t) − ẋ(t)y(t)) dt
2 a
0
0
Sei c : [a, b] → R2 eine ebene Kurve. Dann berechnet sich die Fläche F , die der Strahl von
0 nach c(t) überstreicht nach der Sektorformel von Leibniz durch
Z
1 b
F =
(x(t)ẏ(t) − ẋ(t)y(t)) dt
2 a
Eine Kurve c : I → R3 nennt man Raumkurve. Sei c eine nach Bogenlänge parametrisierte
Raumkurve, dann ist die Krümmung κ : I → R von c definiert durch κ(t) = kc̈(t)k.
Die Krümmung einer Raumkurve ist immer positiv. Die Kurve c ist genau dann eine Gerade,
wenn κ(t) = 0 für alle t ∈ I.
Sei c : I → R3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Ist für t0 ∈ I die
Krümmung ungleich Null, dann ist der Normalenvektor von c in t0 definiert durch
n(t0 ) =
c̈(t0 )
c̈(t0 )
=
κ(t0 )
kc̈(t0 )k
Der Binormalenvektor von c in t0 ist definiert durch
b(t0 ) = ċ(t0 ) × n(t0 )
Die Vektoren (ċ(t0 ), n(t0 ), b(t0 )) bilden eine positiv orientierte Orthonormalbasis, die man
das begleitendes Dreibein von c nennt. Es ist nur in Punkten t0 mit κ(t0 ) 6= 0 definiert.
Sei c : I → R3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Sei t0 ∈ I mit κ(t0 ) 6= 0.
Dann ist die Windung oder auch Torsion von c in t0 definiert durch:
τ (t0 ) = hṅ(t0 ), b(t0 )i .
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Es gilt τ (t) = 0 für alle t ∈ I genau dann, wenn c in einer Ebene bleibt, und zwar in der
Ebene b⊥ = span(ċ, c̈). Äquivalent zu τ ≡ 0 ist, dass der Binormalenvektor konstant ist.
Sei c : I → R3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve mit überall positiver
Krümmung κ(t) > 0 und begleitendem Dreibein (v = ċ, n, b). Dann beschreiben die FrenetGleichungen dessen zeitliche Änderung:
ṅ(t) = −κ(t) v(t) + τ (t) b(t),
v̇(t) = κ(t) n(t),
ḃ(t) = −τ (t) n(t)
Der Hauptsatz der Raumkurventheorie besagt, dass es zu jedem Paar glatter Funktionen
τ, κ : I → R mit κ > 0 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve c : I → R3 gibt, die
die Krümmung κ und die Windung τ hat. Die Kurve ist bis auf orientierungserhaltende
euklidische Bewegungen eindeutig bestimmt.
Euklidische Bewegungen sind Abbildungen F : R3 → R3 , die sich als Kompositionen von
Drehungen und Verschiebungen ergeben, dh. F (x) = Ax + b für ein b ∈ R3 und A ∈ O(3),
orientierungserhaltend bedeutet dann A ∈ SO(3).
Das Vektorprodukt (= Vektorkreuzprodukt) ist eine bilineare Abbildung × : R3 ×R3 → R3 ,
die für Vektoren a, b ∈ R3 definiert ist durch
a × b = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 )
Das Vektorprodukt hat folgende Eigenschaften:
1. ha × b, ci = det(a, b, c)
2. Schiefsymmetrie:
a × b = −b × a
3. Jacobi Identität:
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0
4. (R3 , ×) ist eine Lie-Algebra
5. Grassmann Identität:
(a × b) × c = ha, cib − hb, cia
6. ha × b, ai = 0 = ha × b, bi
a × b = 0 ↔ ∃λa = λb
7. |a × b|2 = kak2 kbk2 − ha, bi2
8. kak = 1, kbk = 1, ha, bi = 0 dann ist das Tripel (a, b, a × b) eine positiv orientierte
Orthonormalbasis.
9. Sei (e1 , e2 , e3 ) die kanonische Basis in R3 , dann gilt:
e1 × e2 = e3 , e2 × e3 = e1 , e3 × e1 = e2 und ei × ej = −ej × ei , i, j = 1, 2, 3.
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10.
d
a(t)
dt
× b(t) = ȧ(t) × b(t) + a(t) × ḃ(t)
11. Seien H ∼
= R4 die Quaternionen und ImH ∼
= R3 die imaginären Quaternionen. Dann
gilt für p, q ∈ ImH: p × q = Im(p · q).
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2
Flächentheorie
Eine Teilmenge S ⊂ R3 heißt reguläre Fläche falls zu jedem Punkt p ∈ S eine offene Menge
V ⊂ R3 , eine offene Menge U ⊂ R2 und eine glatte Abbildung F : U → R3 existiert mit:
p ∈ V, F (U ) = S ∩ V, F : U → S ∩ V ist ein Homöomorphismus und die Jacobimatrix Du F
hat für alle u ∈ U den Rang 2. Ein Homöomorphismus ist eine bijektive stetige Abbildung,
für die auch die Umkehrabbildung stetig ist.
Man nennt F bzw. (U, F, V ) ein lokale Parametrisierung von S um p. Die Menge S ∩V heißt
Koordinatenumgebung von p und der Punkt p = F (u) mit u = (u1 , u2 ) hat die Koordinaten
u1 , u2 bzgl. der Parametrisierung F .
Der Graph einer glatten Funktion f : U → R, U ⊂ R2 offen, definiert eine reguläre Fläche.
Die Menge S = f −1 (0) für eine glatte Funktion f : V → R, V ⊂ R3 offen, ist eine reguläre
Fläche, falls gradf (p) 6= 0 für alle p ∈ S gilt.
Seien S1 , S2 ⊂ R3 reguläre Flächen, p ∈ S1 . Eine Abbildung f : S1 → S2 heißt glatt nahe
p falls es lokale Parametrisierungen (U1 , F1 , V1 ) von S1 um p bzw. (U2 , F2 , V2 ) von S2 um
f (p) gibt, so dass
F2−1 ◦ f ◦ F1 : F1−1 (f −1 (V2 ) ∩ V1 ) −→ U2
eine glatte Abbildung ist.
Da die Koordinatenwechsel Diffeomorphismen sind, hängt diese Definition nicht von den
gewählten Parametrisierungen ab.
Sei S ⊂ R3 eine reguläre Fläche, p ∈ S. Die Tangentialebene an S in p ist definiert als
Tp S = {X ∈ R3 | ∃ ε > 0, glatte Kurve c : (−ε, ε) → S mit c(0) = p, ċ(0) = X}
Die Tangentialebene ist ein 2-dimensionaler Unterraum von R3 . Ist (U, F, V ) eine lokale
Parametrisierung von S um p, mit u = F −1 (p) ∈ U . Dann gilt Tp S = im(Du F ). Ist
S = f −1 (0) mit gradf (p) 6= 0 für alle p ∈ S. Dann ist Tp S das orthogonale Komplement
von gradf (p) in R3 .
Seien S1 , S2 ⊂ R3 reguläre Flächen und sei f : S1 → S2 glatt bei p ∈ S. Das Differential von
f in p ist eine Abbildung dp f : Tp S1 → Tf (p) S2 defniert durch
d dp f (X) = (f ◦ c)
dt t=0
wobei c : (−ε, ε) → S mit c(0) = p and X = ċ(0).
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Die Definition hängt nicht von der gewählten Kurve c ab. Das Differential ist eine lineare
Abbildung.
Die erste Fundamentalform einer Fläche S ⊂ R3 ist die Abbildung, die jedem p ∈ S die
Einschränkung des Standardskalarproduktes auf Tp S ⊂ R3 zuordnet, d.h.
Ip (X, Y ) = gp (X, Y ) = hX, Y i
Sei (U, F, V ) eine lokale Parametrisierung von S um p = F (u), dann schreibt man
∂F
∂F
gij (u) = gp (Du F (ei ), Du F (ej )) =
(u),
(u)
∂u1
∂uj
Die Matrix gij (u) hängt glatt von u ab. Seien (U, F, V ) und (Ũ , F̃ , Ṽ ) zwei lokale Parametrisierungen um p ∈ S und sei φ = F̃ −1 ◦ F die Koordinatentransformation. Dann gilt für g = (gij )
und g̃ = (g̃ij ) die Transformationsformel
g(u) = (Du φ)T · g̃(φ(u)) · Du φ
Ein Normalenfeld auf einer regulären Fläche S ⊂ R3 ist eine Abbildung N : S → R3 mit
N (p) ⊥ Tp S. Ein Einheitsnormalenfeld ist ein Normalenfeld der Länge eins.
Mit N ist auch −N ein Normalenfeld. Es gilt Tp S = N (p)⊥
Eine reguläre Fläche S ⊂ R3 heißt orientierbar, falls es auf S ein glattes Einheitsnormalenfeld gibt.
Ein glattes Einheitsnormalenfeld existiert genau dann, wenn ein stetiges Einheitsnormalenfeld existiert. Jede reguläre Fläche besitzt lokal ein glattes Normalenfeld:
Ñ (p) := Du F (e1 ) × Du F (e2 )
Eine reguläre Fläche ist genau dann orientierbar, wenn S eine Überdeckung durch lokale
Parametrisierungen besitzt, so daß für alle Parametertransformationen φ gilt det Dφ > 0.
Die Sphäre und der Zylinder sind orientierbar. Das Möbiusband ist nicht orientierbar.
Sei S ⊂ R3 eine reguläre orientierte Fläche mit Einheitsnormalenfeld N . Dann ist die
Weingartenabbildung definiert durch
Wp : Tp S → Tp S,
Wp (X) = −dp N (X),
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X ∈ Tp S
Die Weingartenabbildung ist selbstadjungiert bzgl. der ersten Fundamentalform und damit
diagonalisierbar. Für die Sphäre S 2 gilt W = id für eine Ebene gilt W = 0.
Die zweite Fundamentalform der Fläche S in p ist die zur Weingartenabbildung gehörende
Bilinearform, für X, Y ∈ Tp S definiert als
IIp (X, Y ) = Ip (Wp (X), Y ) = hWp (X), Y i
Sei (U, F, V ) eine lokale Parametrisierung. Dann ist II lokal gegeben durch die Matrix
hij (u) = IIp (Du F (ei ), Du F (ej ))h= Wp (Du F (ei ), Du F (ej ))i
P
Man definiert wij durch Wp (Du F (ei )) = 2j=1 wij (u)Du F (ej ). Dann gilt
wij (u)
=
2
X
hik (u) g kj (u)
k=1
wobei (g k j(u)) die zu (gij ) inverse Matrix bezeichnet.
Sei S ⊂ R3 eine orientierte reguläre Fläche mit Einheitsnormalenfeld N und sei c : (−ε, ε) →
S eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit c(0) = p. Die Normalenkrümmung
von S in p in Richtung dotc(0) ist definiert durch
κ(0)hn(0), N (p)i für κ(0) 6= 0
κnor = hc̈(0), N (p)i =
0
für κ = 0
Dabei ist n die Normal der Kurve c und κ deren Krümmung. Es gilt |κnor | ≤ |κ(0)|. Der
Satz von Meusnier besagt
κnor = IIp (ċ(0), ċ(0))
d.h. die Normalkrümmung hängt nur vom Tangenialvektor X = ċ(0) ab und nicht von der
gewählten Kurve c.
Die Hauptkrümmungen sind die Eigenwerte κ1 , κ2 der Weingartenabbildung. Die entsprechenden Eigenvektoren heißen Hauptkrümmungsrichtungen. Die Konvention ist κ1 ≤ κ2 , dann
ist κ1 ist das Minimum und κ2 das Maximum aller Normalkrümmungen von S in p. Dies
folgt aus der Euler Formel:
II(X, X) = cos2 φ κ1 + sin2 φκ2
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Sei S ⊂ R3 eine orientierte reguläre Fläche mit den Hauptkrümmungen κ1 und κ2 . Dann ist
die Gauß-Krümmung von S in p ∈ S definiert durch
K(p) = det(Wp ) = κ1 · κ2 .
Die mittlere Krümmung ist defniert durch
H(p) =
1
1
tr(Wp ) = (κ1 + κ2 )
2
2
Bezüglich einer lokalen Parametrisierung (U, F, V ) gilt K =
det(hij )
.
det(gij )
Sei S ⊂ R3 eine orientierte reguläre Fläche. Dann heißt ein Punkt p ∈ S
elliptisch,
hyperbolisch,
parabolisch,
Flachpunkt ,
f alls
f alls
f alls
f alls
K(p) > 0
K(p) < 0
K(p) = 0 aber Wp 6= 0
Wp = 0
Für jede kompakte reguläre Fläche S existiert ein Punkt p ∈ S mit K(p) > 0. Insbesondere
können reguläre Flächen mit K ≤ 0 nicht kompakt sein.
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