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Springer Tracts in Natural Philosophy
Volume 25
Edited by B. D. Coleman
Co-Editors:
S. S. Antman . R. Aris . L. Collatz . J. L. Ericksen
P. Germain· W. Noll· C. Truesdell
Erich Bohl
Monotonie:
Losbarkeit und Numerik bei
Operatorgleich ungen
Mit 9 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1974
Dr. rer. nat. Erich Boh1
o. Professor an der WesWilischen Wilhelms-UniversiUit in Munster
AMS Subject Classifications (1970)
45 G 99,46 A 40, 47-02, 47 B 55, 47 G 05, 47 H 05, 47 H 10,47 H 15,54 F 05,
65-02,65 F 10,65 F 15, 65 H 10,65 J 05, 65 L 10,65 L 15, 65 N 20,65 R 05
ISBN-13: 978-3-642-65623-1
DOl: 10.1007/978-3-642-65622-4
e-ISBN-13: 978-3-642-65622-4
Das Werk ist urheberrechtlich geschiitz!. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der
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bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Bei Vervielfaltigungen fiir gewerbliche
Zwecke ist gemiill § 54 UrhG eine Vergiitung an den Verlag zu zahlen, deren Hohe mit dem Verlag
zu vereinbaren is!. © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1974. Library of Congress Catalog Card
Number 73-79898. Softcover reprint fa the hardcover I 5t edition 1974
Meinen Eltern
Inhaltsverzeichnis
Einleitung .
Kapitel O. Voraussetzungen und Bezeichnungen .
I.
2.
3.
4.
5.
6.
Mengen, Relationen, Funktionen .
Metrische Raume
Operatoren auf metrischen Raumen
Vektorraume. .
Normierte Raume .
Operatoren auf normierten Raumen
Kapitel I. Ordnungsstrukturen
I.
2.
3.
4.
5.
Halbgeordnete Mengen
Halbgeordnete Vektorraume
Zwei Funktionale .
Ordnungstopologie .
Abstande .
Kapitel II. Ordnungsstrukturen und Normen
I. Das Minkowskifunktional der gesattigten HUlle der
Einheitskugel .
2. Normale Kegel .
3. Abgeschlossene Kegel
4. Kegel mit nichtleerem Inneren
5. h.n. Raume
6. Abstandsraume .
Kapitel III. Monotone, line are Operatoren
I.
2.
3.
4.
Spektralradius und Operatornorm .
Homogene, monotone Operatoren .
Spektralradius und Eigenwert
Vergleich von Spektralradien
4
4
6
7
8
9
10
13
13
15
19
22
23
29
29
31
35
37
39
40
46
46
51
58
61
viii
Inhaltsverzeichnis
Kapitel IV. Iteration mit P-beschrankten Operatoren
I.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Monotone Operatoren .
P-beschrankte Operatoren
Gleichungen mit P-beschrankten Operatoren
Der klassische Kontraktionssatz
Iteration in h.n. Raumen .
Diskussion der Anfangsbedingung .
Konstruktion von Anfangselementen .
Kapitel V. Iteration mit monotonen Operatoren .
1. Monotone Operatoren mit q-homogenen Majoranten
2. Reine Existenzaussagen
3. Monoton-zerlegbare Operatoren
Kapitel VI. Iterative Behandlung aUgemeiner Gleichungssysteme
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Die kanonische Halbordnung des IR
Nichtnegative Matrizen
Der Spektralradius einer nichtnegativen Matrix
P-Beschranktheit auf Teilmengen, Gesamt- und
Einzelschrittverfahren .
Konvergenzfragen bei der Iteration mit einem
P-beschrankten Vektorfeld
Konvergenzfragen bei der iterativen Behandlung linearer
Gleichungssysteme .
Iterative Behandlung diskreter Probleme von
Randwertaufgaben .
Fehlerabschatzungen bei Gleichungssystemen mit einem
P-beschrankten Feld
Praktische Durchfiihrung einer Fehlerabschiitzung
Zeilensummenkriterien und Konvergenz .
Existenzaussagen bei Gleichungssystemen
Randwertaufgaben und ihre Diskretisierungen .
m
Kapitel VII. Existenzfragen bei Integralgleichungen
1.
2.
3.
4.
Die kanonische Halbordnung des IRfl .
Integraloperatoren .
Vollstetige, lineare Integraloperatoren
Monotone, lineare Integraloperatoren
67
68
71
75
79
82
84
86
93
93
100
102
107
107
109
115
121
130
137
146
156
160
169
175
180
185
186
189
193
207
Inhaltsverzeichnis
5. Eine Klasse streng-monotoner, linearer
Integraloperatoren .
6. Eine Klasse P-beschrankter Integraloperatoren :
Anwendungen des Kontraktionsprinzips .
7. Weitere Klassen nichtlinearer Integraloperatoren:
Anwendungen des Monotonie- und Schauderprinzips
Literaturverzeichnis .
Symbolliste.
Namenverzeichnis
Sachverzeichnis .
IX
212
220
233
242
249
250
252
Einleitung
E.1 Bei der Untersuchung allgemeiner Operatorgleichungen spielen Lipschitz- und Wachstumsbeschrankungen eine zentrale Rolle. 1m
FaIle von Gleichungen in reellen Funktionenraumen konnen Lipschitzkonstante oder Wachstumsbeschrankung durchweg als monotone
Operatoren interpretiert werden. Dieser Sachverhalt legt es nahe, das
Prinzip der Monotonie in den Mittelpunkt der Behandlung von Operatorgleichungen zu rticken. Hierdurch ist der Ausgangspunkt des vorliegenden Buches gekennzeichnet. Die Begriffe Lipschitz- und Wachstumsbeschrankung beschreiben zugleich den Charakter der nichtlinearen
Aufgaben, welche betrachtet werden sollen.
E.2 Monotone Operatoren setzen die Struktur einer Halbordnung
auf ihren Definitions- und Wertebereichen voraus. Die Kapitel lund
II geben eine EinfUhrung in die Theorie der halbgeordneten Vektorraume, welche hauptsachlich das Zusammenspiel von Ordnungsstruktur
und Normtopologie diskutiert. Dieser Stoff ist tiblicherweise in den
Lehrbtichern als Teil einer allgemeinen Theorie halbgeordneter topologischer Vektorraume zu find en. Es ware schon, wenn hier eine brauchbare Darstellung fUr solche Leser gelungen sein sollte, welche sich nur
fUr den im Text behandelten Ausschnitt interessieren.
1m Mittelpunkt der Kapitel III, IV und V steht die iterative Behandlung von Operatorgleichungen. Damit sind Existenzfragen und
praktische Berechnung gemeinsam angesprochen. Der Weg tiber ein
Iterationsverfahren fordert von dem monotonen linear en Operator,
welcher die Lipschitzkonstante oder den linearen Teil der Wachstumsbeschrankung ausmacht, daB sein Spektralradius im Intervall [0,1)
liegt. 1m Lipschitzbeschrankten Fall ist dies Ausdruck der Kontraktion.
Wir studieren daher im dritten Kapitel zunachst den Spektralradius
monotoner linearer Operatoren. Darauf aufbauend gehen wir anschlieBend zu nichtlinearen Aufgaben tiber und nutzen die lineare Theorie
im Kapitel IV vermoge einer Lipschitzbedingung (wir sprechen von PBeschranktheit) und im Kapitel V auf dem Wege tiber q-homogene
Majoranten aus.
Die beiden letzten Kapitel behandeln eine Auswahl charakteristischer
Anwendungen der soweit vorgetragenen Methoden. Zunachst geht es
2
Einleitung
urn den numerisch so wichtigen endlichdimensionalen Fall, auf welchen
Diskretisierungsverfahren allgemeiner Art zur praktischen Bewaltigung
kontinuierlicher Aufgaben fUhren. Das letzte Kapitel schlie131ich nimmt
die kontinuierlichen Probleme direkt in Angriff. Beide Abschnitte gehen
ausfUhrlich auf konkrete Situationen der Anwendungen mit numerischen Beispielen ein. Diesen zweiten Teil des Buches kann man grundsatzlich vom ersten Teil unabhangig Ie sen, sobald man die Satze der
Kapitel I bis V einfach hinnimmt. Die Kapitel VI und VII fUhren den
Inhalt der ersten Kapitel anhand zweier spezieller Situationen im
Funktionenraum noch einmal vor und vertiefen ihn durch Aussagen,
welche die jeweils besonderen Gegebenheiten dieser Raume ermoglichen.
Das vorangestellte Kapitel 0 dient der EinfUhrung in die Terminologie und beschreibt im Grunde die Voraussetzungen, welche vom Leser
erwartet werden. Dabei hande1t es sich hauptsachlich urn Grundkenntnisse der Funktionalanalysis und der Topologie des metrischen Raumes.
Hinzu kommt natiirlich der Stoff, welcher iiblicherweise in den Anfangervorlesungen unserer Universitaten vermittelt wird.
E.3 Die Kapite1 I bis V sollen nicht al1ein die Beweise fUr die
Anwendungen in den Kapiteln VI und VII ermoglichen, sie mochten
vielmehr dariiberhinaus ein tieferes Verstandnis fUr die Zusammenhange
vermitte1n. Wir gehen daher bewuBt von hinreichend allgemeinen, jedoch
nicht unnotig abstrakten Gegebenheiten aus. Als Beispiel fUr das genannte Anliegen sei etwa die Theorie zur Iteration erwahnt, welche das
Kapite1 IV aus dem Monotonieprinzip heraus entwickelt, gegen das
klassische Kontraktionsprinzip abgrenzt und im Zusammenhang mit
einigen Ergebnissen, welche auf dem Schauderprinzip beruhen, diskutiert.
Die im Text aufgenommenen Anwendungen konnen nur einen Ausschnitt aus einer Reihe von Moglichkeiten vermitte1n. Ebenso erhebt
das Literaturverzeichnis keinen Anspruch auf Vollstandigkeit. In beiden
Fallen unterliegt die Auswahl sehr subjektiven Kriterien oder auch
einfach dem Zufall.
E.4 Dieses Buch hiilt sich eng an meine eigene Forschung der
letzten Jahre. Uber den Stoff habe ich Vorlesungen und Seminare an der
Universitat Hamburg, an der Westfalischen Wilhe1ms-Universitat
Miinster sowie an der University of Calgary in Canada abgehalten.
Das Buch verdankt seine Entstehung einer Anregung meines Lehrers
Herm Prof. Dr. Dr. h. c. Dr. e. h. Lothar Collatz. Auf diesem Wege mochte
ich ihm fUr seine stete Forderung wahrend meiner Jahre in Hamburg
danken. Der erste Entwurf geht auf meinen Aufenthalt an der University
Einleitung
3
of Calgary in Canada im akademischen Jahr 1970/71 zuruck, welcher teilweise durch den National Research Council of Canada unterstutzt
wurde. Der University of Calgary und dem National Research Council
of Canada bin ich zu besonderem Dank verpflichtet.
We iter danke ich meinen Mitarbeitern Dipl. Math. Wolf-liirgen
Beyn, Dipl. Math. Jens Lorenz und Dipl. Math. Wolfgang Mackens
fUr die kritische Durchsicht der Korrekturen mit vielen wertvollen
Bemerkungen sowie Frau Sieglinde Sommerfeld fUr die sorgfaltige Herstellung der maschinengeschriebenen Form des Manuskripts. Die Herren
Beyn und Lorenz unterstutzten mich daruberhinaus bei den Rechnungen
im Zusammenhang mit den Beispielen und bei der Durchsicht des
Manuskripts.
Besonders dankbar bin ich Herrn Prof. Dr. Werner Krabs, welcher
sich die Muhe gemacht hat, die Fahnenkorrektur kritisch durchzulesen.
Nicht zuletzt gilt mein Dank dem Springer-Verlag fUr seine Bereitschaft zur Drucklegung des Manuskripts sowie fur die gute Zusammenarbeit in allen Phasen der Herstellung des Buches.
Zu allen denen, die zu diesem Buch beigetragen haben, geh6rt auch
meine Frau Uta Bohl. Ohne das groBe VersHindnis, welches sie meiner
Arbeit stets entgegenbringt, Mtte es nicht entstehen k6nnen.
E.5 Hinweise. Am Ende einer Anzahl der nun folgenden Paragraphen
findet sich ein Abschnitt mit Hinweisen, in welchem Zusammenhange
des Textes mit der Literatur aus inhaltlicher und historischer Sicht beleuchtet werden.
Hier sollen nur einige Bemerkungen angefugt werden, welche die Organisation des Buches betreffen. Jeder Paragraph ist in Unterabschnitte
i. j aufgeteilt. Wir verweisen auf den Unterabschnitt i. j im Kapitel k in
der Form (k, i.j). Die Verweise auf Formeln, welche injedem Kapitel neu
durchnummeriert werden, geschehen in der Form (k, i), womit die
Formel (i) im Kapitel k gemeint ist. Bei Verweisen innerhalb ein und
desselben Kapitels unterdrucken wir den Kapitelhinweis k und zitieren
Unterabschnitte in der Form (i.j) und Formeln in der Form (i). Das
Zeichen 0 zeigt das Ende eines jeden Beweises an. Bei Literaturzitaten
erscheint hinter dem Namen des Verfassers in eckigen Klammern das
Erscheinungsjahr der entsprechenden Ver6ffentlichung.
Munster, im Sommer 1973
Erich Bohl
KapitelO
Voraussetzungen und Bezeichnungen
Diese ersten sechs Paragraphen stellen kurz die wichtigsten Begriffsbildungen und einige damit verbundene Folgerungen zusammen, deren
Verstandnis in den weiteren Kapiteln vorausgesetzt wird. Es ist nicht
die Absicht, die Resultate zu entwickeln, vielmehr geht es nur urn die
Klarung der Terminologie und in manchen Fallen urn die EinfUhrung
der im Text verwandten Symbolik. Fur ausfUhrliche Darstellungen sei
auf die Bucher von E. T. Copson [1968], 1. Dieudonne [1960], 1. L.
Kelley [1955], H. H. Schaefer [1966] u. a. verwiesen.
1. Mengen, Relationen, Funktionen
1.1 Sei X eine Menge und seien ~ c X (i = 1,2) Teilmengen von X.
Wie ublich bezeichnen Y1 U Y2 und Y1 n Y:z die Vereinigung bzw. den
Durchschnitt von Y1 und Y2 • Die Menge {t E Y1 : t ~ Y2 }, die sog. mengentheoretische DifJerenz von 11 und Y2 , erhalt das Symbol Y1 - Y2 .
Anstelle von X - Y2 schreiben wir auch S; (Komplement von Y2 ). IR
steht durchweg fUr die reellen Zahlen und N fUr jede der beiden Mengen
{O, 1,2, ... } oder {1, 2, ... }. Aus dem Zusammenhang ist immer klar zu
ersehen, welche der beiden Moglichkeiten gemeint ist. 0 bezeichnet die
leere Menge.
Fur ein System IDl von Teilmengen von X sind Vereinigung und
Durchschnitt durch
UIDl = {tEX:
nIDl =
{t EX:
tEM
t EM
fUrein
MEIDl}
fUr aIle
MEIDl}
bzw.
definiert. IDl heiJ3t durchschnittsabgeschlossen, wenn der Durchschnitt
eines jeden Teilsystems von IDl eine Menge des Mengensystems IDl ist.
Durchschnittsabgeschlossene Mengensysteme heiJ3en auch Hullensysteme. Ein Hullensystem IDl legt eine sag. Hullenoperation H fest, welche
jedem Y c X seine Hulle H (Y) gemaJ3
H(Y) =
n {MEIDl:
Yc M}
zuordnet. H (Y) gehOrt offen bar zu IDl und ist zugleich die "kleinste"
1. Mengen, Relationen, Funktionen
5
Menge von ID1, welche Y umfaJ3t. Ferner stimmt Y genau dann mit seiner
HUlle H (Y) uberein, wenn Y E ID1 ist. Schliel3lich ist H
extensiv,
idempotent,
mono ton,
d. h.
d. h.
d. h.
Y c H(Y)
(Y c X);
H(H(Y)) = H(Y)
Y1
C
Y2
= H(Yd c
(Y c X);
H(Y2 )
(Y; c X, i
=
1,2).
1.2 Seien X und Y zwei Mengen. Die Menge {(x, y): x E X, Y E Y}
heiJ3t Cartesisches Produkt von X und Yund erhiilt das Symbol X x Y.
Es ist offenbar leer, wenn X oder Y leer ist. Fur X x X schreiben wir
auch X2. Jede Teilmenge R von X 2 heiJ3t binare Relation. Anstelle von
(x, y) E R gebrauchen wir in diesem Zusammenhang die Schreibweise
xRy und sprechen von "der Relation R auf X". Mit den Ordnungsrelationen beschaftigt sich unser erstes Kapitel.
1.3 Seien X und Y zwei Mengen. Die Warter Funktion, Operator,
Abbi/dung, Transformation von X nach Y meinen denselben bekannten
Sach ver halt. 1st T eine Funktion von X nach Y und x E X, so ist T (x) oder
Tx ihr Wert an der Stelle x in Y (T: x -+ Tx). Anstelle von T ist bisweilen
das Symbol T(-)nutzlich. Fur Me X definieren wir T(M) = {YE Y: y= Tx
fUr ein xEM}, und fUr N c Ysetzen wir T-1(N) = {XEX: TXEN}.
T heiJ3t eineindeutig oder umkehrbar eindeutig wenn Tx = Ty stets auch
x = y nach sich zieht. In diesem Fall ist die sog. Inverse T- 1 auf T(X)
erkliirt, welche jedem YET (X) jenes Element T- 1Y EX zuweist, welches
T(T-1y) = y leistet. T heiJ3t daher auch invertierbar.
Es seien X, Yund Z Mengen, T eine Funktion von X nach Yund S
eine solche von Y nach Z. Die Vorschrift x -+ S (Tx) fUr x EXist eine
Funktion von X nach Z und heiJ3t Produkt oder H intereinanderausfuhrung von S und T mit dem Symbol SoT oder kurzer ST.
Wir sprechen genau dann von einer "Funktion T auf X", wenn T
jedem x E X einen Wert Tx E X zuweist, wenn Talso auf ganz X definiert
und T (X) eXist. Die einfachste Funktion auf X ist der Einheitsoperator
I, welcher durch Ix = x fUr aIle x E X erkliirt ist. Mit S und T ist auch
ST eine Funktion auf X.
Durch Induktion definieren wir fUr jeden Operator T auf X die Abbildung yn auf X (n E IN), dabei ist TO = I zu setzen.
Sei Q eine Menge und {Yr: t E Q} eine Familie von Mengen Yr.
Ihre Vereinigung wird auch in der Form U Yr oder ausfUhrlicher
U {Yr : t E Q} geschrieben. Unter ihrem Produkt X Yr oder X {Yr : t E Q}
verstehen wir die Menge aller Funktionen x von Q nach U 1; mit
x, = x (t) E 1; fUr aIle t E Q. 1m FaIle 1; = Y fUr aIle t E Q schreiben wir
auch yn anstelle von X 1;. So ist yQ die Menge aller Funktionen von Q
nach Y. Fur Y = IR und Q = {l, ... , N} mit N E IN, N 9= 0 ist yfl = IRN
die Menge aller N -dimensional en reellen Vektoren.
6
O. Voraussetzungen und Bezeichnungen
2. Metrische Raume
2.1 Sei X eine (nichtleere) Menge. Eine Funktion d von X x X
nach IR hei13t M etrik fur X (oder auf X), falls d fo 1gende Eigenschaften
besitzt:
Ml)
d(x,y) = o-=x = y;
M2)
d(x, y) = d(y, x);
M3)
d(x, y) ~ d(x, z)
+ d(z, y);
wobei x, y und z Elemente aus X sind. Das Paar (X, d) hei13t metrischer
Raum. In manchen Situationen unterscheiden wir nicht zwischen X
und (X, d). So sprechen wir z. B. von "x E (X, d)" oder von dem "Operator
auf (X, d)" usw .. Verabredungen dieser Art sollen immer dann gelten,
wenn auf einer Menge zusatzlich eine Struktur gegeben ist.
2.2 Eine Teilmenge M von (X, d) hei13t offen, wenn es zu jedem
x E M ein positives r E IR gibt, so da13 die sog. offene Kugel
{y EX: d(x, y) < r} mit dem "Mittelpunkt" x und dem "Radius" r > 0
ganz zu M gehOrt. Das System :1: aller offenen Teilmengen von X hei13t
(die durch d erzeugte metrische) Topologie auf X. Wir sprechen auch von
dem topologischen Raum (X, :1:). Einen metrischen Raum denken wir
uns durchweg mit der eben definierten Topologie versehen.
2.3 Eine Teilmenge M von (X, d) hei13t abgeschlossen, falls das
Komplement M = X - M offen ist. Das System 2I aller abgeschlossenen
Mengen von (X, d) ist ein Hiillensystem, der zugeh6rige Hiillenoperator
(vgl. (1.1)) ordnet jedem M c X die sog. abgeschlossene Hit lie M zu.
Nach (1.1) ist M abgeschlossen.- - Sei M c X, dann ist X - (X - M) offen und zugleich die "gr613te"
offene Menge, welche in M enthalten ist. Man nennt sie das Innere von
M und wahlt das Symbol M.
Die Elemente von M bzw. M hei13en Adharenzpunkte bzw. innere
Punkte von M.
U c X hei13t Umgebung von x EX, falls x EO.
2.4 Die Elemente von X IN hei13en Folgen in X und werden mit
{xn : n E IN}, {x n} oder einfach mit Xn bezeichnet. 1m FaIle ihrer Konvergenz gegen ein x E X schreiben wir
x
=
lim
Xn
oder auch
x
=
lim X n •
n~oo
Die Elemente von Nt und M, sowie allgemeiner die Systeme :1: und 2I
3. Operatoren auf metrischen Riiumen
7
k6nnen durch den Konvergenzbegriff beschrieben werden. Es ist
M
=
{x EM:
lim Xn = x, Xn EX=> es gibt ein N E N mit Xn E M
flir
M
n
~
N};
= {XEX: esgibteineFolgexnEM mit limxn = x}.
Die konvergenten Folgen sind spezielle Cauchy-Folgen. Stimmt die
Menge der konvergenten Folgen mit jener der Cauchy-Folgen iiberein,
so heiBt der metrische Raum vollstandig.
2.5 Eine Teilmenge M eines metrischen Raumes (X, d) heiBt kompakt, falls jede Folge Xn aus Meine konvergente Teilfolge besitzt, deren
Grenzwert zu M geh6rt.
Jede kompakte Menge Mist beschrankt, d. h. es existiert eine reelle
ZahlA. ~ 0 mit d(x, y) ~ .Hiir aIle x, y E M.
Die abgeschlossene Hiille M von M aus (X, d) ist genau dann kompakt, wenn jede Folge xn aus Meine konvergente Teilfolge besitzt.
Der Begriff der Beschdinktheit fUr Mengen liefert einen solchen fUr
Folgen. Man spricht von einer beschrankten Folge Xn, wenn die Menge
ihrer Elemente {xo, Xl' ... } beschrankt ist.
2.6 Zwei Metriken d 1 und d2 auf X heiBen aquivalent, wenn d1 und
d2 dassel be System offener Mengen in X definieren. Gibt es zwei positive
Zahlen Al und A2 mit
A1 ddx,y)
~
d2 (x,y)
~
A2 d 1 (x,y)
fUr aIle
X,YEX,
so sind d 1 und d 2 aquivalent.
3. Operatoren auf metrischen Raumen
3.1 (Xl' dd und (X 2, d2 ) seien metrische Raume. Ein Operator T
von Xl nach X 2 heiBt stetig an der Stelle X E Xl, falls
lim Xn = x => lim TXn = Tx
gilt fUr jede F olge Xn aus Xl. T heiBt stetig, falls Tan jeder Stelle x E Xl
stetig ist.
Sei (X 3, d3 ) ein weiterer metrischer Raum und seien Tund S Operatoren von Xl nach X 2 bzw. X 2 nach X 3. Mit T und S ist dann auch
STstetig.
3.2 Ein Operator T von (Xl' d l ) nach (X 2, d2 ) heiBt Lipschitzbeschrankt (oder l-beschrankt), falls es eine reelle Zahl A ~ 0 gibt mit
d2 (Tx, Ty)
~
A.d 1 (x,y)
fliralle
X,YEX 1 •
O. Voraussetzungen und Bezeichnungen
8
Jedes A dieser Art nennt man Lipschitzkonstante von T. Mit A ist auch
jedes Jl ~ A Lipschitzkonstante von T. Ein l-beschdinkter Operator ist
stetig.
Schliel3lich spricht man von einem kontrahierenden Operator, wenn
er l-beschrankt ist und eine Lipschitzkonstante A < 1 besitzt.
3.3 Eine weitere Klasse stetiger Operatoren von (X 1, d1 ) nach
(X z, d z ) liefern die vollstetigen Operatoren. Dabei heiBt eine stetige
Abbildung T von X 1 nach X z vollstetig, falls die abgeschlossene Hulle
T(M) der Bildmenge T(M) jeder beschrankten Menge M aus (X 1 ,d 1 )
kompakt ist. Damit gleichbedeutend ist die Forderung, daB die Bildfolge TXn jeder beschrankten Folge Xn aus (X 1, d 1 ) eine konvergente
Teilfolge besitzen solI.
Seien T und S stetige Operatoren von (X 1, dd nach (X z, d z ) bzw.
von (X z, d z ) nach (X 3, d 3 ). Unter jeder der beidenfolgenden Bedingungen
ist ST vollstetig:
(i) S ist vollstetig und T bildet beschrimkte Mengen von (X 1 ,d 1 ) in
Mengen dieser Art von (X z, d z ) ab (man nennt T dann auch einen beschriinkten Operator) ;
(ii) T ist vollstetig.
4. Vektorraume
4.1 Sei X ein reeller Vektorraum. Mit () bezeichnen wir das Nullelement von X. Yund Z seien Teilmengen von X und A E JR. Dann ist
Y + Z = {x EX:
AY= {XEX:
x = Y
x
=
+ z fur ein Y E Y und ein
AY
fUr ein
z E Z}
Y E Y}.
Es sei auf den Unterschied zwischen Y - Z (vgl. (1.1)) und Y + (-Z)
hingewiesen. Anstelle von {x} + Y ist auch die Schreibweise x + Y
ublich.
4.2 Y c X heiBt
konvex, falls mit x, Y E Yauch Ax + (1 - A) Y E Y liegt fUr 0 < A < 1;
kreisformig, falls AYe Y fUr IAI ~ 1;
radial, falls es zu jedem x EX ein Ao E JR gibt mit x E AY fUr IAI ~ lAo I·
Mit Yund Z sind auch Y + Z, Y n Z und - Y konvexe bzw. kreisfOrmige Teilmengen von X.
4.3
Y c X sei radial. Die Abbildung
qy:X -+inf{A > 0:
XEAY}
von X nach JR heiBt Minkowskifunktional von Y. Sei Y c Z, dann ist
9
5. Normierte Rliume
auch Z radial und
qz(x) ;::;; qy(x)
fUr aIle
x E X.
Y sei eine konvexe, kreisfOrmige und radiale Teilmenge von X. Dann
gehen fUr x, Y E X und A E JR
NI') qy(x);;;:; 0,
N2)
qy(AX) =
N3)
qy(x
4)
{XEX:
+ y)
qy(O) = 0;
IAI qy(x) ;
;::;; qy(x)
+ qy(y);
qy(x) < 1}
c
Yc {XEX:
qy(x);::;; 1}.
Das Minkowskifunktional einer konvexen, kreisformigen und radialen
Teilmenge von X heiBt Halbnorm. Ein Funktional (d. i. eine Abbildung
von X nach JR) ist genau dann eine Halbnorm, wenn N2) und N3)
gelten.
5. Normierte Riiume
5.1 Sei X ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung 1111 von X nach
JR heiJ3t Norm fur X (oder auf X), falls IIII folgende Eigenschaften besitzt:
NI)
N2)
N3)
IIxll = 0<0> X = 0;
IIhll = IAlllxll ;
IIx + YII ;: ; IIxll + IIYII ;
mit x, Y E X und A E JR. Das Paar (X, 1111) heiBt normierter Raum. Das
Funktional d(x, y) = Ilx - yll ist eine Metrik fUr X. Daher tragt jeder
normierte Raum eine nattirliche Topologie, welche durch diese Metrik
gegeben wird. Sie wird N ormtopologie genannt. Wir denken uns einen
normierten Raum durchweg mit der Normtopologie versehen. Die AusfUhrungen tiber metrische Raume gelten hier entsprechend. Die Umgebungen von 0, die sog. Nullumgebungen, bestimmen die Normtopologie
eindeutig.
Y eXist genau dann beschrankt, wenn es ein A;;;:; 0 gibt mit
A
fUr aIle x E Y.
Ein vollstandiger, normierter Raum heiBt Banachraum.
IIxll ;: ;
von
III!)
Baire. Sei (X,
ein Banachraum und Wl ein abziihl5.2 Satz
bares System abgeschlossener Mengen von X mit U Wl = X. Dann gibt
eseinMEWlmitM
0.
+
{x
IIxll ;: ;
5.3 Die Menge K =
EX:
I} heiJ3t Einheitskugel in (X, 1111).
Sie ist offen bar konvex, kreisformig und radial, und man findet qK(X) =
fUr aIle E X.
IIxll
x
o.
10
Voraussetzungen und Bezeichnungen
5.4 Zwei Normen 11111' 11112 fUr X heiBen iiquivalent, wenn die
zugehorigen Metriken dl{x,Y) = Ilx - y111, d2{x,y) = Ilx - Yl12 aquivalent sind. Dies gilt genau dann, wenn es zwei Zahlen ,.1,1 > 0, ,.1,2 >
gibt mit
°
6. Operatoren auf normierten Raumen
6.1 Sei (X, 1111) ein normierter Raum. Tund S seien Operatoren auf
X, A sei eine reelle Zahl. Dann sind durch
x --+ Tx + Sx;
x --+ ATx
die Operator en T + S bzw. AT auf X definiert. Beide sind stetig bzw.
vollstetig, wenn dies fur Tund S gilt.
6.2 Ein Operator A auf X heiBt linear, falls A{Ax + J1Y) = AAx +
J1Ay gilt fUr aIle x, y E X und aIle A, J1 E JR. In diesem Fall ist A genau
dann l-beschrankt, wenn A beschriinkt ist, wenn es also eine Zahl (X E JR
gibt, so daB IIAxl1 ~ (Xllxll fur aIle XEX besteht. Das Minimum aller
Zahlen (X dieser Art heiBt 0 peratornorm von A und wird mit II A II bezeichnet. IIAII ist zugleich die kleinste Lipschitzkonstante von A, und
man erhalt
IIAII = sup{IIAxllllxll- l : XEX - {e}}.
Die Menge aller beschdinkten, linearen Operatoren auf X erhalt das
Symbol L [X]. Der Nulioperator (er ordnet jedem x E X das Element
zu) und I sind die einfachsten Elemente von L [X]. Ein linearer Operator
auf X gehOrt genau dann zu L [X], wenn er stetig ist.
e
6.3 Bei der Definition von Summe und Produkt mit reellen Zahlen
aus (6.1) bildet L[X] einen reellen Vektorraum. Die Operatornorm aus
(6.2) definiert eine Norm fUr L[X]. Mit (X, 1111) ist auch (L[X], 1111)
ein Banachraum. SchlieBlich gehort das Produkt ST zweier Operatoren
aus L[X] wieder zu L[X].
6.4 Satz. Sei (X, 1111) ein Banachraum. Dann ist die Menge der vollstetigen Operatoren aus L[X] abgeschlossen in (L[X], 1111).
6.5
Fur A E L [X] heiBt die Zahl
a(A)
=
inf { IIA" Ill!": n E IN}
Spektralradius von A. Es ist
a(A)
=
lim IIA"111!".
II
6. Operatoren auf normierten Rliumen
Urn dies einzusehen, wahlen wir e
>
°
und k6nnen ein mE IN mit
IIAm Ili/m < a(A)
+e
finden. Jedes n E IN liiBt eine Darstellung der Form n = knm
k n EIN und rn E [0, m - 1] n IN zu, so daB wir mit
+ rn
mit
n=O, ... ,m-l}
M=Max{IIAnll:
die Abschatzung
a(A) ~ IIAnll l / n ~ Ml/n(a(A)
+ eyn-rn)/n
fUr jedes n E IN erhalten und damit
la(A) - IIAnlll/nl < 2e
fUr hinreichend groBe n folgern durfen. 0
Nun k6nnen wir weiter zeigen, daB a(A) sich nicht andert, wenn
man IIII durch eine aquivalente Norm 11110 ersetzt. Existieren namlich
positive Zahlen A, J1 mit
Allxll ~ Ilxll o ~ J1IIXII
fUr aile
XEX,
so wird
A11Anx11 ~ IIAnxiio ~ IIAnll o Ilxll o ~ IIAnlloJ1IIXII
fUralle
XEX,
also
Der Grenzubergang n -+ 00 zeigt die Behauptung, wenn man uberdies
die Symmetrie der Situation in den Normen IIII und 11110 ausnutzt. 0
Weiter sieht man
a(A) < 1
= lim Anx = ()
fUr aile x E X.
Sei namlich a(A) < 1 - e (e > 0), so ist II An I ~ (a(A)
also auch
IIAnxl1 ~ IIAnllllxl1 ~ (O'(A)
Wegen
°
~
O'(A)
+e<
+ e)"
Ilxll
fUr
+ e)n fUr n ~
N (e),
n ~ N(e).
1 ist die Behauptung bewiesen.
0
6.6 Der Name Spektralradius fUr die in (6.5) eingefUhrte Zahl bekommt erst seinen Sinn, wenn man komplexe Raume betrachtet. Sei
daher (X, 1111) ein komplexer Banachraum. Aile Definitionen und Satze
der Abschnitte (6.1) bis (6.5) bleiben bestehen, es ist nur daraufzu achten,
daB uberall dort, wo von reellen Skalaren die Rede ist, nun auch komplexe Zahlen zugelassen werden. Das gilt insbesondere fUr die Definition
der Elemente von L [ X] .
O. Voraussetzungen und Bezeichnungen
12
Sei A E L [X]. Die Menge aller A E <C (= komplexe Zahlen) derart, daB
(AI - A)-l existiert und zu L[X] gehort, heiBt Resolventenmenge von
A. Alle iibrigen komplexen Zahlen definieren das Spektrum von A. Bei
diesem Hintergrund liefert der in (6.5) eingefUhrte Spektralradius u(A)
gerade das Supremum aller Werte IAI, wenn A das Spektrum von A
durchliiuft.
1st A iiberdies vollstetig, so sind alle von 0 verschiedenen Zahlen
des Spektrums Eigenwerte von A, d. h. komplexe Zahlen A, zu denen die
Gleichung
(AI-A)x=O
nichttriviale Losungen besitzt. 1m Falle von u(A) > 0 gilt daher nunmehr
u (A)
=
sup { IAI: A ist Eigenwert von A}.
Da jeder Punkt des Spektrums des Operators r:x.I + A (r:x. E JR, r:x. ~ 0) sich
in der Form r:x. + A mit einem Element A des Spektrums von A darstellen
laBt, finden wir schlieBlich folgenden Sachverhalt:
Sei (X, 1111) ein komplexer Banachraum und A E L [Xl GehOrt u(A)
zum Spektrum von A, so gilt
u(r:x.I
+ A) =
r:x.
+ u(A)
fUr alle reellen
r:x.
~
O.
1st (X, 1111) ein reeller normierter Raum, so kann man formal die
Menge X aller Elemente der Form x + iy (genauer aller Paare (x, y))
mit x, y E X betrachten und diese bei geeigneter Definition von Addition
und Multiplikation mit komplexen Zahlen zu einem komplexen Vektorraum machen. Definiert man dariiberhinaus
I x + iy I 0 =
Max { I x cos t
+ y sin til:
t E [0, 2n] },
(X, 11110) ein normierter Raum iiber <C. OfTenbar gilt X c X sowie
Ilxllo fUr alle x E X. (g, 11110) heiBt komplexe Erweiterung von
1111).
so ist
Ilxll
(X,
=
1st A E L [X] , so gehort die durch
A(x
+ iy)
=
Ax
+ iAy
definierte komplexe Erweiterung A von A zu L[X], und es ist 11.1110 =
IIAII. Insbesondere erhalt man daraus u(A) = u(A), denn (At = An
(n E IN). 1st (X, 11110) vollstandig und A vollstetig, so ist der (reelle) Spektralradius u(A) gleich dem Supremum der Betrage aller Eigenwerte von
A (dabei muB man sup 0 = 0 setzen!).
6.7 Hinweise. Zu (6.5) vgl. man L. V. Kantorowitsch und G. P.
Akilow [1964] (dort Kap. V, § 2 sowie Kap. XIII, § 4). Zu (6.6) s. etwa
A. E. Taylor [1967] (dort 5.2). Fiir die komplexe Erweiterung vgl. man
L. V. Kantorowitsch und G. P. Akilow [1964] (dort Kap. XIII, § 2).
Kapitel I
Ordnungsstrukturen
Dieses Kapitel enthiilt die Grundlagen zu unserem Themenkreis.
Wir beginnen in § 1 mit dem Begriff der Halbordnung auf einer Menge,
nehmen in § 2 die Struktur eines Vektorraumes hinzu und diskutieren
den Zusammenhang zwischen Halbordnung und Linearitat. Der § 4
zeigt im einfachsten Fall, wie man durch eine Halbordnung in einem
reellen Vektorraum eine Normtopologie, die sog. Ordnungstopologie,
festlegen kann. Dazu bereitet der § 3 die Definition der benotigten Norm
vor. Eine Diskussion des Abstandsbegriffs in § 5 beschlie13t das Kapitel.
Fur den groBten Teil der Ausfiihrungen sei auf die Bucher von G.
Jameson [1970], M. A. Krasnoselskij [1964b], A. L. Peressini [1967]
und H. H. Schaefer [1966] hingewiesen.
1. Halbgeordnete Mengen
1.1 Jede reflexive, antisymmetrische und transitive binare Relation
auf einer Menge X heiBt Halbordnung fur x. Dabei nennen wir eine
binare Relation ~ auf X
~
rejlexiv,
falls
x
~
x,
antisymmetrisch,
falls
x
~
y, y ~ x => x = y,
transitiv,
falls
x
~
y, y ~
Z =>
x
~ Z
(x, y, Z EX).
Fur x ~ y schreiben wir auch gleichbedeutend y:;;:; x. Ein Paar
(X, ~) mit einer nichtleeren Menge X und einer Halbordnung ~ auf
X heiBt halbgeordnete Menge.
1.2 Sei (X,~) eine halbgeordnete Menge. Fur zwei Elemente
X,YEX hei13t die Menge [x,y] = {ZEX:X ~ Z ~ y} ein (durch x und
y erzeugtes) lntervall. Offen bar ist [x, y] genau im FaIle x ~ y nicht
leer. Die Intervalle gehoren zu dem System (\j der (~-) gesattigten
Teilmengen von X; dabei heiBt G c X gesattigt, falls aus x, y E G stets
[x, y] c G folgt. Da der Durchschnitt gesattigter Mengen wieder eine
gesattigte Menge ist, definiert das System (\j auf den Teilmengen M