ANA I/II - Zusammenfassung

ANA I/II - Zusammenfassung
Eine Menge A heißt zusammenhängend, falls es zu je zwei Punkten in A eine ganz in A
liegende, differenzierbare Kurve gibt, die die zwei Punkte verbindet.
Jan-Cornelius Molnar, Version: 25. Oktober 2008 11:02
Eine Menge Ω heißt Gebiet, wenn sie offen und zusammenhängend ist.
Für zwei Punkte u, v bezeichnet
Professor Pöschel ist für den Inhalt dieses Dokuments nicht verantwortlich.
[u, v] = {(1 − t)u + tv : t ∈ [0, 1]}
1 Mengen
die Verbindungsstrecke.
Im Folgenden sei A immer eine Teilmenge eines normierten Raumes.
Eine Menge A heißt beschränkt, falls
Eine Menge A heißt konvex, falls für u, v ∈ A auch [u, v] ⊂ A ist.
Seien x1 , . . . , xn Punkte einer Menge, dann heißt die Linearkombination
n
X
sup kak < ∞.
a∈A
λi xi ,
i=1
Eine Menge A heißt induktiv, falls
eine Konvexkombination, falls λi ≥ 0 und
n
P
λi = 1.
i=1
1 ∈ A und a ∈ A ⇒ a + 1 ∈ A.
Eine Norm auf einem Vektorraum V ist eine Abbildung
k·k : V → R,
Eine Menge A heißt offen, wenn A mit a auch eine Umgebung von a enthält.
mit den Eigenschaften
∀ a ∈ A ∃ δ > 0 : Bδ (a) ⊂ A.
(a) kxk ≥ 0 für alle x ∈ V und kxk = 0, wenn x = 0.
c
Eine Menge A heißt abgeschlossen, wenn A offen ist.
(b) kλxk = |λ| kxk für alle x ∈ V , λ ∈ K.
Eine Menge A heißt kompakt, wenn jede Folge in A eine in A konvergente Teilfolge
(c) x + y ≤ kxk + y für alle x, y ∈ V .
besitzt.
Ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum V ist eine Abbildung
Ein Punkt a nicht notwendiger Weise ∈ A heißt Häufungspunkt von A, wenn in jeder
h·, ·i : V × V → R,
Umgebung von a unendlich viele Punkte von A liegen.
Die Menge A0 aller Häufungspunkte von A heißt abgeleitete Menge.
Die Menge A− = A ∪ A0 heißt Abschluss von A.
(a) hx, xi ≥ 0,
Ein Punkt a ∈ A heißt innerer Punkt von A, wenn A eine Umgebung von a enthält.
(b)
x, y = y, x ,
Die Menge A◦ aller inneren Punkte von A heißt offener Kern von A.
(c)
λx + µy, z = λ hx, zi + µ y, z .
mit folgenden Eigenschaften für x, y, z ∈ V und λ, µ ∈ R
1
1.1 Beispiele für Normen
(a) Summennorm eines Vektors
kxk1 =
n
X
|xi | .
Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
Die Vereinigung endlich vieler kompakter Mengen ist kompakt.
A ist abgeschlossen genau dann, wenn A alle seine Häufungspunkte enthält, also genau
dann, wenn A = A− .
i=1
(b) p-Norm eines Vektors
A ist offen genau dann, wenn alle Punkte von A innere Punkte sind, also genau dann,
wenn A = A◦ .
v
uX
n
u
p
kxkp = t
|xi |p .
Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt.
Eine kompakte Menge ist abgeschlossen und beschränkt.
Eine Menge K ist konvex genau dann, wenn sie mit den Punkten x1 , . . . , xn ∈ K auch
i=1
(c) Supremumsnorm einer stetigen Abbildung f : K → W
jede Konvexkombination dieser Punkte enthält.
f = sup f (x) .
∞
x∈K
Bolzano Weierstraß
(d) Operatornorm eines linearen Operators A : V → W
sup
kAk =
x∈V \{0}
Auf endlichdimensionalen Vektorräumen sind alle Normen äquivalent.
Eine Teilmenge des R, C, Rn ist kompakt genau dann, wenn sie
abgeschlossen und beschränkt ist.
|Ax|W
= sup |Ax| .
|x|V
|x|V =1
Überdeckungslemma von Heine-Borell
Sei K kompakt und (Iλ )λ∈Λ eine beliebige Fa-
milie offener Intervalle. Gilt
(e) L1 Norm einer stetigen integrablen Abbildung f
[
f =
L1
Z∞
Iλ ⊃ K,
λ∈Λ
f (x) dx .
so existieren endlich viele Umgebungen I1 , . . . , Im , sodass
−∞
[
1.2 Sätze in einem normierten Raum
Ist N eine induktive Teilmenge von N, so gilt N = N.
∅ und E sind offen und abgeschlossen.
Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
Ii ⊃ K.
1≤i≤m
2 Folgen
Eine Folge in einer Menge M ist eine Funktion N → M.
Ist (an ) eine Folge in M und (nk ) eine strikt wachsende Folge natürlicher Zahlen, dann
heißt (ank ) Teilfolge von (an ) und (nk ) Auswahlfolge.
2
Ist (an ) eine Folge und W = {an : n ∈ N}, dann heißt (an ) beschränkt, falls W be-
Sind (an ) und (bn ) Folgen mit an → a, bn → b, so gilt für λ, µ ∈ K
schränkt ist.
λan + µbn → λa + µb
Eine Folge (an ) in (M, k·k) heißt konvergent gegen a bezüglich k·k, wenn
∀ ε > 0 ∃ N0 > 0 ∀ n ≥ N0 : kan − ak < ε,
n ≥ N0 ⇒ kan − ak < ε.
Ist (bn ) beschränkt und (cn ) eine Nullfolge, so gilt hbn , cn i → 0.
Sind die Folgen (an ) und (bn ) konvergent mit Grenzwert a und b, dann gilt han , bn i →
ha, bi.
Eine Folge (an ) heißt uneigentlich konvergent gegen ∞ bzw. −∞, wenn in jeder Umge-
bung von ∞ bzw. −∞ fast alle Folgenglieder liegen.
Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergent.
Eine Folge (an ) heißt Cauchyfolge, wenn
2.2 Sätze für Folgen in Banachräumen
Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist.
Die Folgenräume c und c0 mit der Supremumgsnorm sind vollständig.
∀ ε > 0 ∃ N0 > 0 ∀ n, m ≥ N0 : kan − am k < ε,
n, m ≥ N0 ⇒ kan − am k < ε.
2.3 Sätze für Folgen im Rn
Für eine Folge (an ) in M ⊂ E heißt ein Element a ∈ E Häufungspunkt, wenn in jeder
Umgebung von a unendlich viele Folgenglieder liegen.
Den Raum der beschränkten Folgen nennt man c, den Raum der Nullfolgen c0 .
Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.
Gilt kan − ak ≤ kbn k für eine Nullfolge bn und fast alle n, dann ist (an ) konvergent
Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.
Jede Cauchyfolge ist beschränkt.
Besitzt eine Cauchyfolge eine konvergente Teilfolge, dann ist die gesamte Folge konver-
Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.
Sind (an ), (bn ) konvergent und gilt an ≤ bn für unendlich viele n, dann ist auch
lim an ≤ lim bn .
mit Grenzwert a.
Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie komponentenweise konvergiert.
2.4 Sätze in R
2.1 Allgemeine Sätze für Folgen in normierten Räumen
Allgemeine Grenzwertsätze
(a) an → ∞ und bn ≥ c ⇒ an + bn → ∞,
(b) an → ∞ und bn ≥ c > 0 ⇒ an bn → ∞,
(c) |an | → ∞ ⇒ a−1
n → 0,
(d) an → 0 und an > 0 ⇒ a−1
n → ∞.
gent mit dem selben Grenzwert.
3
Für jede reelle Zahl q mit q < 1 gilt qn → 0.
Für jede reelle Zahl q mit q < 1 und jedes p ∈ Z gilt nz qn → 0.
3.1 Beispiele
∞
P
(a) Die geometrische Reihe
qn konvergiert, falls q < 1.
n=0
Für jede reelle Zahl a gilt
an
n!
→ 0.
∞
P
(b) Die harmonische Reihe
n=1
√
n
n → 1.
1
n
divergiert.
(c) Die alternierende harmonische Reihe
∞
P
n=1
Erweiterter Annäherungssatz
In jeder nichtleeren Menge A existiert eine Folge, die
(d) Die Zetafunktion
gegen sup A konvergiert. Entsprechendes gilt für inf A.
Erweiterter Satz von der monotonen Konvergenz
∞
P
n=1
(e) Die Exponentialreihe
Jede monotone Folge konvergiert
1
nr
(−1)n
n
ist bedingt konvergent.
konvergiert für r > 1 und divergiert für r ≤ 1.
∞
P
n=0
zn
n!
ist für jedes z ∈ C konvergent.
gegen einen eigentlichen oder uneigentlichen Grenzwert.
3.2 Sätze für Reihen in Banachräumen
Erweiterter Satz von Bolzano Weierstrass Jede reelle Folge besitzt eine eigentlich oder
uneigentlich konvergente Teilfolge.
Nullfolgenkriterium Ist eine Reihe
Jede reelle Folge besitzt einen eigentlichen oder uneigentlichen Häufungswert.
k
ak konvergent, bilden ihre Glieder ak eine Null-
folge.
P
Cauchykriterium Ist eine Reihe k ak konvergent, dann gilt
P
m
∀ ε > 0 ∃ N0 ≥ 0 ∀ m, n ≥ N : ak < ε.
k=n 3 Reihen
P
Eine Reihe ist ein Ausdruck der Form
∞
P
ak .
Eine Reihe ist absolut konvergent, genau dann wenn ihre Absolutreihe beschränkt ist.
Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent.
k=1
Die endlichen Summen
n
P
Umordnungssatz Ist eine Reihe absolut konvergent, so ist auch jede Umordnung dieser
Reihe absolut konvergent.
ak heißen n-te Partialsummen der Reihe.
k=1
P
ak eine Reihe. Existiert eine reelle konvergente Reihe
P
so, dass für fast alle k gilt kak k ≤ bk , dann ist k ak absolut konvergent.
Majorantenkriterium Sei
Eine Reihe heißt konvergent, falls die Folge ihrer Partialsummen konvergiert, andern-
k
falls divergent.
Eine Reihe heißt absolut konvergent, falls ihre Absolutreihe
P
k
P
Wurzelkriterium Sei k ak eine Reihe. Existiert dann ein q < 1, sodass gilt
q
n
kan k ≤ q, für fast alle n,
|ak | konvergiert. Ist eine
Reihe konvergent aber nicht absolut konvergent, heißt sie bedingt konvergent.
Eine reelle Reihe
P
k
bk mit nichtnegativen Gleidern heißt Majorante der Reihe
P
k
konvergiert die Reihe absolut. Gilt andernfalls
q
n
kan k ≥ 1, für unendlich viele n,
ak ,
wenn für fast alle Folgenglieder gilt |ak | ≤ bk .
4
P
k
bk
dann divergiert die Reihe.
Quotientenkriterium Sei
P
k
Eine Abbildung heißt stetig, wenn sie in allen Punkten ihres Definitionsbereichs stetig
ist.
ak eine Reihe. Existiert dann ein q < 1, sodass gilt
kan+1 k
≤ q, für fast alle n,
kan k
Eine Abbildung f : D → W heißt gleichmäßig stetig auf D, wenn
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x0 , x ∈ D : kx − x0 kV < δ ⇒ f (x) − f (x0 )W < ε.
konvergiert die Reihe absolut. Gilt andernfalls
kan+1 k
≥ 1, für unendlich viele n,
kan k
Eine Abbildung f : D → W heißt lipschitzstetig auf D, wenn es eine Konstante L ≥ 0
gibt, sodass für x, a ∈ D gilt
dann divergiert die Reihe.
f (x) − f (a)
W
≤ L kx − akV .
3.3 Sätze für Reihen in R
Dabei ist die beste Lipschitz-Konstante
Ist eine reelle Reihe konvergent aber nicht absolut konvergent, so existiert zu jeder Zahl
s ∈ R eine Umordnung, sodass die Reihe gegen s konvergiert.
Leibnizkriterium
Die alternierende Reihe
L = sup
x,y∈D
x≠y
k
k (−1) ak konvergiert, falls (ak ) eine mo-
P
f (x) − f (y)
W
.
x − y V
noton fallende Nullfolge ist.
Verdichtungssatz Ist (an ) eine reelle, monoton fallende Nullfolge, dann sind die Reihen
P
P k
k ak und
k 2 a2k entweder beide konvergent oder beide divergent.
4 Stetigkeit
Den Raum der Funktionen auf D bezeichnet man mit F (D).
Den Raum der beschränkten Funktionen auf D bezeichnet man mit B(D).
Den Raum der stetigen Funktionen auf D bezeichnet man mit C(D).
Den Raum der beschränkten stetigen Funktionen auf D bezeichnet man mit CB(D).
Eine Folge (fn ) in F (D) konvergiert punktweise gegen eine Funktion f ∈ F (D), falls
Eine Abbildung f : D → W heißt stetig im Punkt a ∈ V , wenn es zu jedem ε > 0 ein
δ > 0 gibt, sodass
f (x) − f (a) < ε,
W
x ∈ Bδ (a) ∩ D.
∀ x ∈ D ∀ ε > 0 ∃ N0 ≥ 0 : fn (x) − f (x) < ε.
Mit Quantoren ausgedrückt
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ Bδ (a) ∩ D : f (x) − f (a)W < ε.
Eine Folge (fn ) in F (D) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f ∈ F (D), falls
∀ ε > 0 ∃ N0 ≥ 0 : fn − f < ε.
Ist f in a nicht stetig, heißt sie dort unstetig.
5
4.1 Beispiele stetiger Funktionen
(a) Auf einem beliebigen normierten Raum sind die id und die konstanten Funktionen
Ist K ⊂ E kompakt und f : E → F stetig, dann ist f K gleichmäßig stetig.
Sind M, N kompakt und f : M → N bijektiv und stetig, dann ist f −1 ebenfalls stetig.
Ist K ⊂ E kompakt und f : K → R stetig, dann nimmt f sein Minimum und sein Maxi-
lipschitz.
(b) Auf C sind Re z und Im z lipschitz.
mum an.
(c) Jede Norm k·k auf dem Rn ist lipschitz.
(d) Jedes reelle Polynom ist stetig.
Ist a ein Häufungspunkt im Definitionsbereich der Funktion f : D → F , und existiert der
Grenzwert lim f (x) = w, so ist die Funktion
x→a
(e) Die Wurzelfunktion ist stetig auf [0, ∞) und für jedes b > 0 auf [0, b] gleichmäßig
aber nicht lipschitzstetig.
f˜ : D ∪ {a} → F ,
4.2 Sätze für Funktionen in beliebigen normierten Räumen


w,
für x = a
f˜(x) =

f (x), sonst,
stetig in a.
Folgenkriterium Eine Funktion f : D → F ist stetig in a genau dann, wenn für jede Folge
xn → a gilt f (xn ) → f (a).
4.3 Sätze für Funktionen in Banachräumen
Folgenkriterium für Grenzwerte Ist f : D → F stetig, und a ∈ D dann gilt
lim f (x) = w,
x→a
genau dann wenn für jede Folge xn → a, xn ≠ a gilt
lim f (xn ) = w.
Ableitung g.
C(D), ist eine Algebra.
Ist f auf D stetig und g auf einer Obermenge von f (D), dann ist g ◦f ebenfalls stetig.
f : D → F ist stetig in a genau dann, wenn f −1 (Uε (f (a))) für jedes ε > 0 eine D-relative
Umgebung Uδ (a) enthält.
f : D → F ist stetig auf D genau dann, das Urbild f −1 (A) jeder offenen Menge A offen
B(D) und CB(D) sind mit der Supremumsnorm Banachräume.
Ist K eine kompakte Menge, dann ist C(K) mit der Supremumsnorm Banachraum.
Ist f : D → F lipschitz, dann existiert genau eine stetige Forstetzung
Φ : D− → F ,
ist.
Konvergiert eine Folge (fn ) differenzierbarer Funktionen in F (D) punktweise gegen f
und die Folge der Ableitungen (fn0 ) gleichmäßig gegen g, dann ist f differenzierbar mit
n→∞
Konvergiert eine Funktionenfolge (fn ) in F (D) gleichmäßig gegen f und sind alle fn
stetig (integrierbar), dann ist auch f stetig (integrierbar).
Φ|D = f ,
von f . Sie ist lipschitz mit der selben L-Konstante wie f .
Ist K ⊂ E kompakt und f : E → F stetig, dann ist auch f (K) kompakt.
6
5 Integration
4.4 Sätze für reellwertige Funktionen
Ist K ⊂ E kompakt und f : K → R stetig, dann ist f gleichmäßig stetig.
Sind f , g stetige Funktionen und lim f (a) = u, lim g(a) = v, dann gilt
x→a
Eine Zerlegung Z eines Intervalls [a, b] ist ein Tupel reeller Zahlen mit
a = t1 < . . . < tn = b.
x→a
(a) lim (λf + µg)(a) = λu + µv.
x→a
(b) lim (f g)(a) = uv.
Eine Funktion ϕ : [a, b] → R heißt Treppenfunktion, wenn eine Zerlegung und reelle
Zahlen c1 , . . . , ck existieren, sodass
x→a
(c) lim (f g −1 )(a) = uv −1 , für v ≠ 0.
ϕ(x)tk ,tk+1 = ck .
x→a
Gilt außerdem in einer punktierten Umgebung von a f (x) ≤ g(x), dann gilt
Der Raum der Treppenfunktionen auf [a, b] wird mit Tab bezeichnet.
(d) lim f (a) ≤ lim g(a).
x→a
x→a
Das Integral der Treppenfunktion ist
Jab (ϕ) =
4.5 Sätze für Funktionen auf einem Intervall f : I → R
zu jedem w ∈ R : f (a) ≤ w ≤ f (b) ein c ∈ [a, b], sodass f (c) = w.
Ist I ein Intervall und f : I → R stetig, dann nimmt f jeden Wert zwischen inf f und
Die stetige Fortsetzung von Jab heißt Cauchyintegral auf [a, b] und wird mit
Rb
a
bezeich-
net.
Ist I ein Intervall und f : I → R stetig, dann ist auch f (I) ein Intervall.
Satz über stetige Umkehrfunktionen
Der Abschluss von Tab bezüglich der Supremumsnorm heißt Raum der Regelfunktionen
auf [a, b] und wird mit Rab bezeichnet.
sup f mindestens einmal an.
ϕ(tk )(tk − tk−1 ).
k=1
Zwischenwertsatz von Bolzano Ist f : [a, b] → R stetig und f (a) < f (b), dann gibt es
n
X
Es sei a < b ≤ ∞, und die Funktion f : [a, b) → R sei über jedem kompakten Intervall
[a, c] ⊆ [a, b) integrabel. Existiert der Limes
Ist I ein Intervall, f : I → R stetig und streng
Zb
monoton steigend, dann gilt
Zc
f (x) dx = lim
c→b
a
f (x) dx ,
a
(a) f (I) = J ist ein Intervall.
so heißt er das uneigentliche Integral von f über [a, b) und man sagt, das uneigentliche
(b) f : I → J ist bijektiv und besitzt eine Umkehrfunktion f −1 : J → I.
Integral konvergiert. Andernfalls sagt man, es divergiert.
(c) f −1 ist stetig und streng monoton steigend auf J.
Analoges gilt für f : (a, b] → R und −∞ ≤ a < b.
Für n ≥ 2 besitzt die Funktion t , t n eine stetige streng monoton steigende Umkehr-
funktion, die n-te Wurzel.
Das Integral
Zb
a
Ist f : R → R monoton, so existieren in jedem Punkt die links- und rechtsseitigen Grenz-
werte von f .
existiert.
7
Rb
a
f (x) dx heißt absolut konvergent, falls das Absolutintegral
f (x) dx
Riemann’sches Lemma Ist f auf I integrierbar und in c ∈ [a, b] stetig, dann gilt
5.1 Sätze für Treppenfunktionen
Tab ≤ Bab .
lim
h→0
Das Integral Jab (ϕ) hängt nicht von der Darstellung von ϕ ab.
Das Funktional
Jab : Tab → R,
1
h
Z c+h
f (x) dx = f (c).
c
Mittelwertsatz der Integralrechnung Sei f auf [a, b] stetig, p auf [a, b] integrabel und
p ≥ 0, dann gibt es ein c ∈ [a, b], sodass
ϕ , Jab (ϕ),
Zb
Zb
(f p)(x) dx = f (c)
a
hat die Eigenschaften.
(a) Lineartiät. Jab (λϕ + µψ) = λJab (ϕ) + µJab (ψ).
p(x) dx .
a
Eine Funktion f : [a, b] → R ist eine Regelfunktion genau dann, wenn sie in jedem
Punkt links- und rechtsseitige Grenzwerte besitzt. Insbesondere sind stetige und monotone
(b) Monotonie. ϕ ≤ ψ ⇒ Jab (ϕ) ≤ Jab (ψ).
Funktionen Regelfunktionen.
(c) Normiertheit. ϕ(a,b) = c ⇒ Jab (ϕ) = c(b − a).
Eine Regelfunktion besitzt nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen.
(d) Lipschitzstetigkeit mit L-Konstante (b − a).
5.3 Sätze für das uneigentliche Integral
5.2 Sätze für das Cauchyintegral
Ist a < b ≤ ∞ und f : [a, b) → R, so sind folgende Aussagen äquivalent.
Das Cauchyintegral hat die selben Eigenschaften wie das Integral der Treppenfunktio-
nen.
(a) Das uneigentliche Integral
Rb
f (x) dx konvergiert.
a
Intervalladditivität
Vereinbart man
Rb
a
f (x) dx = −
Ra
b
f (x) dx , dann gilt auf einem
(b) Für jede Stammfunktion F von f existiert lim F (x).
x→b
Intervall, das a, b, c umfasst
(c) Es gilt das Cauchykriterium. Zu jedem ε > 0 existiert ein c ∈ [a, b), sodass
f ∈ Rab a f ∈ Rac und f ∈ Rcb
Z v
f (x)dx < ε,
u
und außerdem
Zc
Zb
f (x) dx =
a
a
für alle u, v ∈ (c, b).
Zb
f (x) dx +
f (x) dx .
c
Satz von der absoluten Konvergenz
Das uneigentliche Integral
Rb
a
f (x) dx ist genau
dann absolut konvergent, wenn es beschränkt ist. In diesem Falle ist es auch konver
Ist f auf [a, b] integrierbar, dann auch f und es gilt
gent.
Z
Z
b
b
f (x) dx .
f (x) dx ≤
a
a
Rb
Majorantenkriterium Gilt f ≤ g auf [a, b) und existiert das Integral a g(x) dx , so
Rb
ist a f (x) dx absolut konvergent.
8
Nützliche Majoranten sind beispielsweise
Z∞
1
Z1
0
Z
dx
< ∞ a α > 1,
xα
f = {F + c : c ∈ R} ,
dx
< ∞ a α < 1.
xα
aller Stammfunktionen von f auf einem Intervall.
6 Differentiation
Eine Funktion f : I → R heißt differenzierbar im Punkt a ∈ I, wenn es eine in a stetige
Für f ∈ C ∞ (I) und a ∈ I, heißt
Ta f (t) =
Dann heißt m die erste Ableitung von f im Punkt a und wird mit f 0 (a) bezeichnet.
Eine Funktion f : I → R heißt differenzierbar auf I, wenn sie in jedem Punkt aus I
∞
X
f (i)
(t − a)i ,
i!
i=0
die Taylorreihe von f . Konvergiert diese Reihe in einer Umgebung um a und gilt Ta f (t) =
differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Funktion
f (t), dann heißt f um a in seine Taylorreihe entwickelbar.
t , f 0 (t)
6.1 Beispiele für differenzierbare Funktionen
die Ableitung von f .
Ist f 0 außerdem stetig, so heißt f stetig differenzierbar auf I.
n
X
f (i) (a)
(t − a)i ,
i!
i=0
das n-te Taylorpolynom an der Stelle a.
f (t) = f (a) + m(t − a) + r (t)(t − a), t ∈ I.
f 0 : I → R,
Ist f n-mal stetig differenzierbar auf I und a ∈ I, so heißt
Tan f (t) =
Funktion r gibt mit r (a) = 0, so dass
Das unbestimmte Integral einer stetigen Funktion f ist die Parallelschar
(a) Die Identitätsfunktion, sowie konstante und affine Funktionen, reell e Polynome,
sin, cos und die Exponentialfunktion sind von der Klasse C ∞ (R).
Eine Funktion f : I → R besitzt an der Stelle a ∈ I ein lokales Maximum, wenn eine
Umgebung Uδ (a) existiert, sodass
(b) Die Betragsfunktion ist für jedes t ≠ 0 stetig differenzierbar, aber in t = 0 nicht
differenzierbar, denn es gilt
f (x) ≤ f (a), ∀ x ∈ I ∩ Uδ (a).


t > 0,
|t| − |0| 1,
=

t−0

−1, t < 0.
Gilt sogar f (x) < f (a) in I ∩ U̇δ (a), so heißt das Maximum strikt.
Ist f : I → R in c differenzierbar und f 0 (c) = 0, so heißt c stationärer oder kritischer
Punkt von f .
(c) Die Wurzelfunktion
r
t ist für jedes t > 0 stetig differenzierbar, aber in t = 0 nicht
differenzierbar.
Die Klasse der r -mal stetig differenzierbaren Funktionen f : D → F wird mit C (D, F )
bezeichnet.
√
1
(d) Die Funktion f (t) = t 2 sin( t ) ist differenzierbar, aber in t = 0 nicht stetig diffe0
renzierbar.
Ist f : I → R, dann heißt F eine Stammfunktion von f , falls F = f .
9
(a) f ist konstant auf [a, b] genau dann, wenn f 0 ≡ 0.
6.2 Sätze für Funktionen f : I → R
(b) f ist monoton steigend auf [a, b] genau dann, wenn f 0 ≥ 0.
Ist f im Punkt a differenzierbar, so ist f im Punkt a stetig und es gilt
lim
t→a
(c) f ist streng monoton steigend, wenn f 0 > 0.
f (t) − f (a)
f (a + h) − f (a)
= lim
= f 0 (a).
t−a
h
h→0
Der Raum der differenzierbaren Funktionen ist eine Algebra und für in a differenzier-
bare Funktionen f , g : I → R gilt
ein Maximum bzw. Minimum.
(f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a)
Sei f in einem offenen Intervall I differenzierbar und besitzte in c ∈ I einen kritischen
Punkt. Ist dann f 0 in einer Umgebung um c monoton fallen bzw. steigend, besitzt f in c
Die Stammfunktionen einer Funktion f auf einem Intervall unterscheiden sich nur durch
eine additive Konstante.
(f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a).
Sei f auf I integrierbar und t0 ∈ I, dann wird durch
Ist J ⊂ R und g : I → J in a differenzierbar und f : J → R in g(a), dann gilt außerdem
Zt
0
(f ◦ g) (a) = g (a)f (g(a)).
t0
Der Raum C r ist eine Algebra. Sind f , g von der Klasse C r und f im Wertebereich von
eine Funktion mit den Eigenschaften definiert.
g definiert, dann ist auch f ◦ g von der Klasse C r .
Ableitung der Umkehrfunktion
0
f (a) ≠ 0, so ist g = f
−1
(a) Φ ist lipschitz auf I mit L-Konstante f I .
Ist f : I → J stetig, bijektiv, in a differenzierbar und
(b) Ist f in a stetig, dann ist Φ in a differenzierbar und es gilt Φ0 (a) = f (a).
: J → I ebenfalls stetig und in b = f (a) differenzierbar und es
(c) Ist f stetig, so ist Φ stetig differenzierbare Stammfunktion f .
gilt
g 0 (b) =
1
f 0 (g(b))
f (x) dx ,
Φ(t) =
0
Haupsatz der Differential und Integralrechnung Ist f auf [a, b] stetig und F irgendeine
.
Stammfunktion von f , dann gilt
Ist f außerdem C r und verschwindet f 0 nirgends auf I, so ist auch f −1 C r .
Zb
F (b) − F (a) =
f (x) dx .
a
Satz von Fermat Besitzt f : I → R in c ∈ I ◦ ein Extremum, so gilt f 0 (c) = 0.
Satz von Rolle Ist f : [a, b] → R stetig, auf (a, b) differenzierbar und gilt f (a) = f (b),
Ist f auf [a, b] stetig differenzierbar, so gilt
so besitzt f einen kritischen Punkt in (a, b).
Zb
Mittelwertsatz Ist f : [a, b] → R stetig und auf (a, b) differenzierbar, dann existiert ein
a
b
f 0 = f a = f (b) − f (a).
c ∈ (a, b), sodass
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Partielle Integrationsregel Sind f , g auf I stetig differenzierbar, so gilt
Zb
Monotoniesatz Ist f : [a, b] → R stetig und auf (a, b) differenzierbar, dann gilt
a
10
b
f 0 (x)g(x) dx = f (x)g(x)a −
Zb
a
f (x)g 0 (x) dx .
7 Differentialgleichungen
Substitutionsregel Ist ϕ stetig differenzierbar auf I = [a, b] und f stetig, so ist
Zb
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt =
Z ϕ(b)
a
f (s) ds .
ϕ(a)
Restgliedformel nach Lagrange
Ran f (t) =
ẋ = f (t, x),
Ist f ∈ C n+1 (I) und sind t, a ∈ I, dann existiert ein
ξ ∈ (a, t), so dass gilt
Sei I ein Intervall, D ⊂ R offen und f : I × D → R stetig, dann heißt
eine Differentialgleichung erster Ordnung auf I × D. Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist eine differenzierbare Abbildung
n+1
(t − a)
f (n+1) (ξ).
(n + 1)!
ϕ(t) : J → R,
Restglied in Integralform Ist f ∈ C n+1 (I) und t, a ∈ I, dann gilt
1
Ran f (t) =
n!
Zt
mit der Eigenschaft
(t − s)n f (n+1) (s) ds .
ϕ̇(t) = f (t, ϕ(t)),
a
Variante der Integralformel Ist f ∈ C n+1 (I) und sind a, a + h ∈ I, dann gilt
Ran f (a + h) =
hn+1
n!
Z1
0
Es gilt Ta f (t) = f (t) genau dann, wenn lim Ran f (t) = 0.
Seien f , g ∈ C 1 (I) und x0 sei eigentlicher oder uneigentlicher
Randpunkt des (punktierten) Intervalls I. Darüber hinaus sei
Ein zu einer Differentialgleichung gehörendes System
x(t0 ) = x0 ,
nennt man Anfangswertproblem, wobei (t0 , x0 ) ∈ I×D. Eine lokale Lösung ist eine Lösung
ϕ : I0 → R der Differentialgleichung mit
lim f (x) = lim g(x) = 0,
x→x0
Eine Differentialgleichung heißt autonom, falls f nicht explizit von t abhängt, also gilt
ẋ = f (t, x),
n→∞
Regel von l’Hopital
t ∈ J.
f : D → R mit ẋ = f (x). Andernfalls nichtautonom.
(1 − s)n f (n+1) (a + sh) ds .
∅ ≠ J ⊂ I,
ϕ(t0 ) = x0 ,
x→x0
t0 ∈ I0 ⊂ I.
oder
7.1 Lineare Differentialgleichungen - Der homogene Fall
lim f (x) = lim g(x) = ∞,
x→x0
x→x0
f 0 (x)
0
x→x0 g (x)
sowie g 0 (x) ≠ 0, für x ∈ I. Existiert dann lim
f (x)
x→x0 g(x)
Grenzwert, so existiert auch lim
lim
x→x0
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
x→x
0 g (x)
g(x)
als eigentlicher oder uneigentlicher
und es gilt
Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form
ẋ = a(t)x + b(t),
mit auf I stetigen Funktionen a und b. Sie heißt homogen, falls b = 0, andernfalls inhomogen.
11
Sei a stetig auf I. Dann ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
auf ganz I erklärt und gegeben durch
ϕ(t) = eA(t) (c + c0 (t)),
ẋ = a(t)x,
gegeben durch
mit einer Stammfunktion A von a und c0 von e−A b.
ϕ(t) = eA(t) c, c ∈ R
mit einer beliebigen Stammfunktion A von a. Sie existiert auf ganz I.
Sind a und b stetig auf I, dann besitzt das Anfangswertproblem
ẋ = a(t)x + b(t),
Die Gesamtheit aller Lösungen bildet einen eindimensionalen Vektorraum
ϕ(t0 ) = x0 ,
auf I die eindeutige Lösung
n
o
L0 = eA(t) c : c ∈ R .
ϕ(t) = e
A(t)
Zt
Zt
!
e
c+
−A(s)
b(s) ds
,
t0
t0
a(s) ds .
A(t) =
Das Anfangswertproblem
Prozedur Gegeben sei das Anfangswertproblem
ẋ = a(t)x,
x(t0 ) = x0 ,
ẋ = a(t)x + b(t),
besitzt auf I die eindeutige Lösung
!
Z
Zunächst löst man die homogene Gleichung ẋ = a(t)x, und erhält damit
t
ϕ(t) = exp
a(s) ds
t0
x0 .
ϕ(t) = eA(t) c,
Z
A(t) =
a(s) ds .
Mit Hilfe von A(t) ergibt sich
7.2 Lineare Differentialgleichungen - Der inhomogene Fall
Z
x(t0 ) = x0 .
c0 =
Sei ϕ0 eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung
e−A(s) b(s) ds ,
und somit kann die inhomogene Gleichung gelöst werden
ẋ = a(t)x + b(t),
ϕ(t) = eA(t) (c + c0 ).
dann hat jede andere Lösung die Form ϕ0 + ϕ, mit einer Lösung ϕ der homogenen
Gleichung.
Nun setzt man ϕ(t0 ) = x0 und löst nach c auf.
Die Gesamtheit aller Lösungen bildet einen eindimensionalen affinen Vektorraum
n
o
L = ϕ0 + L0 = ϕ0 + eA(t) c : c ∈ R .
Sind a und b stetig auf I, dann ist die allgemeine Lösung von
7.3 Separierbare Differentialgleichungen
ẋ = a(t)x + b(t),
Eine Differentialgleichung der Form
ẋ = g(t)h(x),
12
mit stetigen Funktionen g : I → R, h : J → R heißt separierbar.
7.4 Homogene Differentialgleichung
Sind g, h stetig und x0 Nullstelle von h, so ist die konstante Funktion ϕ ≡ x0 eine Lösung
des Anfangswertproblems
ẋ = g(t)h(x),
ẋ = f (t, x),
ϕ(t0 ) = x0 .
Ist h lipschitz, so ist ϕ auch die einzige Lösung.
Seien g, h stetig auf I bzw. J und h(x) ≠ 0 für x ∈ J. Dann existiert genau eine lokale
Lösung ϕ : I0 → R des Anfangswertproblems
ẋ = g(t)h(x),
heißt
homogen, falls f (λt, λx) = f (t, x). In diesem Fall kann man f (t, x) schreiben als
x
h t .
Sei h stetig auf I und
mit t0 ∈ I und x0 ∈ J. Diese erfüllt die Gleichung
ψ : I0 → R,
Zx
x0
ds
,
h(s)
Zt
G(t) =
Prozedur Gegeben sei das Anfangswertproblem
Zunächst prüft man h(x) auf Nullstellen ni . Gilt ni = x0 für ein i und ist h(x) lipschitz,
dx
= g(t)h(x)
dt
dx
= g(t) dt
h(x)
Z
Z
dx
a H(x) =
= g(t) dt = G(t).
h(x)
h(z) − z
,
t
z(t0 ) =
x0
,
t0
Prozedur Gegeben sei ein Anfangswertproblem
dann ist die einzige Lösung ϕ(t) ≡ x0 .
ẋ =
ϕ(t)
,
t
darstellt.
ϕ(t0 ) = x0 .
Andernfalls separiert man die Variablen t und x und erhält
ψ(t) =
eine lokale Lösung des Anfangswertproblems
g(s) ds .
t0
ż =
ẋ = g(t)h(x),
∈ I. Eine Funktion ϕ : I0 → R ist eine lokale Lösung des
genau dann, wenn die Funktion
t ∈ I0 ,
wobei
H(x) :=
x0
t0
Anfangswertproblems
x
ẋ = h
, x(t0 ) = x0 ,
t
ϕ(t0 ) = x0 ,
H(ϕ(t)) = G(t),
Eine Differentialgleichung der Form
ẋ = f (t, x),
x(t0 ) = x0 .
Um die Prozedur anwenden zu können, ist es notwendig zu überprüfen,
ob f (λt, λx) für
x
λ > 0. In diesem Fall lässt sich f schreiben als f (t, x) = h t .
Zunächst substituiert man z =
a
Kann man H invertieren, erhält man als lokale Lösung
t ż − z = ẋ = h(z) a ż =
x
t
und damit gilt
h(z) + z
.
t
Diese Differentialgleichung ist separierbar und eine allgemeine Lösung kann mit der bekannten Prozedur bestimmt werden.
ϕ(t) = x = H −1 (G(t)).
Zuletzt setzt man ϕ(t0 ) = x0 und löst nach c auf.
Anschließend muss die Lösung für z mit ϕ(t) = x = zt rücksubstituiert, und das Anfangswertproblem ϕ(t0 ) = x0 gelöst werden.
13
8 Kurven und Wege
Eine Parametertransformation ist eine bijektive stetige Abbildung ϕ : I → I ∗ eines Inter-
valls I auf ein Intervall I ∗ . Ist ϕ monoton steigend heißt ϕ orientierungstreu, andernfalls
orientierungsumkehrend.
Im Folgenden sei I = [a, b] ein kompaktes Intervall von R und E Bannachraum.
Eine Kurve ist eine C 0 -Abbildung γ : I → E.
ben γ ∼ γ ∗ , falls eine orientierungstreue Parametertransformation ϕ existiert, sodass
Ihr Bild γ(I) = γ(t) ∈ E : t ∈ I heißt Spur.
Eine Kurve γ : [a, b] → E heißt geschlossen, falls γ(a) = γ(b).
Eine Kurve γ : [a, b] → E heißt einfach oder doppelpunktfrei, falls γ (a,b] und γ [a,b)
γ = η ◦ ϕ.
injektiv sind.
Zwei Kurven γ ∈ C 0 (I, E) und γ ∗ ∈ C 0 (I ∗ , E) heißen topologisch äquivalent geschrie-
Ein stetiger Weg ω in E ist eine Klasse topologisch äquivalenter Kurven
n
o
ω = [γ] = η ∈ C 0 (I, E) : γ ∼ η .
Eine Kurve γ : I → E heißt differenzierbar im Punkt t0 ∈ I, wenn es einen Vektor v ∈ E
und eine in t0 stetige Abbildung r : I → E mit r (t0 ) = 0 gibt, sodass
Jedes Element η ∈ ω heißt Parametrisierung des Weges.
γ(t) = γ(t0 ) + v(t − t0 ) + r (t)(t − t0 ).
Ein Weg ω = [γ] heißt einfach, falls γ einfach, geschlossen, falls γ geschlossen und
In diesem Fall heißt v die erste Ableitung von γ im Punkt t0 und wird mit γ̇(t0 ) bezeich-
Jordanweg, falls γ Jordankurve ist. Der Anfangs- und Endpunkt von ω ist der Anfangs-
net.
und Endpunkt von γ und die Spur von ω ist die Spur von γ.
Ist γ : I → E in t0 differenzierbar, dann bezeichnet man γ̇(t0 ) als Tangentialvektor von
γ im Punkt γ(t0 ) und γ̇(t0 ) als seine momentan Geschwindigkeit.
Ist γ̇(t0 ) ≠ 0, so ist die Tangente an γ im Punkt t0 gegeben durch
Ein Weg heißt rektifizierbar, falls er eine rektifizierbare Parametrisierung besitzt. Seine
Länge ist in diesem Fall die einer beliebigen Parametrisierung.
Ein Weg heißt glatt, falls er eine reguläre Parametrisierung besitzt.
α(t) = γ(t0 ) + γ̇(t0 )(t − t0 ).
8.1 Sätze für Kurven in Banachräumen
1
Eine C -Kurve heißt regulär, wenn ihre Ableitung nirgends verschwindet.
Die Länge einer Kurve γ ∈ C 0 (I, E) ist
LI (γ) = sup
T
Für eine in t0 ∈ I differenzierbare Kurve γ : I → E ist äquivalent
(a) Es gibt eine in t0 stetige Abbildung ϕ : I → E mit ϕ(t0 ) = v, sodass
X
γ(tk ) − γ(tk−1 ) .
T
γ(t) = γ(t0 ) + ϕ(t)(t − t0 ).
γ ∈ C 0 (I, E) heißt rektifizierbar, falls LI (γ) < ∞.
Sei γ ∈ C 0 (I, E). Die Längenfunktion ist definiert als
λ : I → R,
(b) Es gilt
lim h−1 (γ(t0 + h) − γ(t0 )) = v.
λ(t) = L[a,t] (γ).
h→0
14
(c) Es gilt
sind gleich.
γ(t) − γ(t0 ) − v(t − t0 )
lim
= 0.
t→t0
|t − t0 |
Seien γ und γ ∗ topologisch äquivalent. Ist γ rektifizierbar, so auch γ ∗ und die Längen
Sei γ ∈ C 0 (I, E) und t0 ∈ I, dann wird durch
Jeder glatte Weg besitzt eine Parametrisierung nach der Bogenlänge
η : [0, l] → E
Zt
γ(t) dt ,
Φ(t) =
derart, dass kη̇(t)kE = 1 für alle t ∈ [0, l] mit l = L(ω).
t0
eine stetig differenzierbare Funktion definiert mit Φ̇ = γ.
Jede stückweise C 1 Kurve ist rektifizierbar und es gilt
Haupsatz der Differential und Integralrechnung Sei γ ∈ C 0 (I, E) und Γ eine beliebige
Z
LI (γ) =
Stammfunktion auf [a, b] ⊂ I, dann gilt
γ̇(t) dt .
I
Zb
Γ (b) − Γ (a) =
γ(t) dt .
a
Außerdem gilt für jede Kurve γ ∈ C 1 (I, E), dass γ(b) − γ(a) =
Rb
a
8.2 Sätze für Kurven im Rn
γ̇(t) dt ist.
1
Jede Kurve γ ∈ C (I, E) ist lipschitz mit L-Konstante M = max γ̇(t) E .
Jordanscher Kurvensatz Ist γ : I → R2 geschlossenen und doppelpunktfrei, so besteht
t∈I
das Komplement von Γ = γ(I) genau aus zwei disjunkten, zusammenhängenden Mengen
Ist γ ∈ C 0 (I, E) lipschitz mit L-Konstante M, dann ist γ rektifizierbar und es gilt
Ωi und Ωo , genannt das Innere und das Äußere. Außerdem ist Ωi beschränkt und Γ bildet
den Rand von Ωi und Ωo .
LI (γ) ≤ M |I| .
Satz von Peano Es gibt stetige Abbildungen γ : [0, 1] → [0, 1]2 , die surjektiv sind.
Insbesondere ist jede C 1 Kurve rektifizierbar.
Die Längenfunktion ist additiv L[a,c] + L[c,b] = L[a,b] .
Ist γ ∈ C 1 (I, E), so ist die Längenfunktion stetig differenzierbar und es gilt λ0 (t) =
γ̇(t) , sowie
E
Zt
λ(t) =
a
differenzierbar ist und es gilt
γ̇(t) = (γ˙1 (t), . . . , γ˙n (t)).
γ̇(t) dt .
E
Die euklidische Länge einer Kurve ist
LI (γ) =
Eine Kurve γ : I → Rn ist differenzierbar genau dann, wenn jede Komponentenfunktion
Z q
2
(t) dt .
γ̇12 (t) + . . . + γ̇n
I
Eine Kurve ist von der Klasse C r , wenn jede Komponentenfunktion C r ist.
Ist γ : I → R2 eine reguläre C r Kurve, so ist die Spur von γ lokal um jeden Punkt der
Graph einer C r Funktion.
15
9 Mehrdimensionale Differentiation
9.1 Beispiele
(a) Eine affine Abbildung f : V > W , x , Ax + b ist überall differenzierbar und es gilt
Eine Abbildung f : V > W heißt differenzierbar in a, wenn es eine lineare Abbildung L
m
und eine in a stetige Abbildung r : Ω → R
Df (x) = A.
gibt, sodass gilt
(b) Die Abbildung g : V > W , x , hAx, xi + b ist überall differenzierbar und es gilt
Df (x) = hAx, ·i + At x, · , ist A symmetrisch gilt sogar Df (x) = 2Ax.
f (a + h) = f (a) + Lh + r (a + h) |h| .
(c) Für f (x, y) =
Sei f : V > W , a aus dem Definitionsbereich und v ∈ V beliebig. Existiert die Ablei-
tung
f (t cos ϕ, t sin ϕ) =
∂
d
f (a + tei )t=0 =
f (a) = ∂xi f (a) = fxi (a),
dt
∂xi
Die Operatornorm einer linearen Abbildung L : V → W ist definiert als
v≠0
2 cos ϕ sin ϕ
cos2 ϕ + sin2 ϕ
= 2 sin ϕ.
9.2 Sätze für Funktionen f : V > W
so nennt man Di f (a) die partielle Ableitung von f nach i im Punkt a.
kLk = sup
existieren im Nullpunkt beide partiellen Ablei-
Sie ist in 0 nicht einmal stetig, denn
Sei f : Rn > W , a aus dem Definitionsbereich 1 ≤ i ≤ n. Existiert die Ableitung
Di f (a) =
2xy
x 2 +y 2
tungen und es gilt f (x, 0) = f (0, y) = 0, sie ist jedoch nicht total differenzierbar.
d
f (a + tv)t=0 ,
dt
so heißt Dv f (a) die Richtungsableitung von f an der Stelle a in Richtung v.
− y 2 ) ist ∇f (x, y) = (x, −y)T .
(d) Für die Abbildung f (x, y) =
Dv f (a) =
1
2
2 (x
Für eine Abbildung f : Ω → W sind folgende Aussagen äquivalent
(a) f ist differenzierbar in a mit Df (a) = L.
|Lv|W
= sup |Lv|W .
|v|V
|v|=1
(b) f (a + h) = f (a) + Lh + o(h).
(c) lim |h|−1 f (a + h) − f (a) − Lh = 0.
Sei V ein Hilbertraum und f : V > W in x differenzierbar. Dann ist der Gradient
Ist f in a differenzierbar, so ist f in a stetig und Df (a) ist eindeutig bestimmt.
der eindeutig bestimmte und mit ∇f (x) bezeichnete Vektor, für den gilt Df (x)h =
∇f (x), h .
Die Differentiation ist eine lineare Operation und D ist ein linearer Operator.
Ist f : Rn > R stetig differenzierbar, so heißt der Graph der Abbildung
Kettenregel
Ist f : U > V in a differenzierbar und g : V > W in f (a), so ist auch
g ◦ f : U > W in a differenzierbar und es gilt
T : Rn > R,
z(x) = f (a) + ∇f (a), x − a ,
D(g ◦ f )(a) = Dg(f (a))Df (a).
die Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt a.
Die r -te partielle Ableitung einer Abbildung f : Rn > Rm , Dr Dr −1 . . . D1 f (x) ist rekur-
siv erklärt durch Dr Dr −1 . . . D1 f (x) = Dr (Dr −1 . . . D1 f (x)).
Ist Ω wegzusammenhängend, dann ist eine Abbildung f : Ω → W konstant genau dann,
wenn Df (x) ≡ 0 ist.
16
Ist f : U > W differenzierbar, so gilt
9.3 Sätze für Funktionen f : V > R
Dv f (a) = Df (a)v.
Im Standardfall ist der Gradient einer Abbildung f : Rn > R der Spaltenvektor


∂x1 f (x)


..


 = Df (x)> .
∇f (x) = 
.


∂xn f (x)
Ist f : Rn > Rm in a differenzierbar, so existieren alle Richtungsableitungen von f und
die totale Ableitung ist durch die Jacobimatrix darstellbar

∂x f1 (a)
 1
..

Df (a) = 
.

∂x1 fm (a)
...
..
.
...

∂xn f1 (a)

..

.
.

∂xn fm (a)
Kettenregel Ist g : Rn > Rm differenzierbar in a und f : Rn > R in f (a), so gilt
∇(f ◦ g)(a) = Dg(a)> ∇f (g(a)).
Ist f : Rn > Rm in a differenzierbar, so ist
Dv f (a) =
n
X
Di f (a)vi =
i=1
n
X
Produktregel Seien f , g : V > W differenzierbar, h·, ·i : W → R eine Bilinearform und
ϕ(x) = f (x), g(x) . Dann ist ϕ differenzierbar und es gilt
fxi (a)vi .
i=1
Dϕ(x) = Df (x)·, g(x) + f (x), Dg(x)· .
Existieren sämtliche partiellen Ableitungen von f : Ω → Rm und sind diese auf Ω stetig,
Mittelwertsatz Ist f ∈ C 1 (Ω, R) und [u, v] ⊂ Ω, dann existiert ein ξ ∈ [u, v] sodass
so ist f auf Ω differenzierbar und die Ableitung ist stetig.
Lemma von Hadamard Ist f ∈ C 1 (Ω, W ) und [u, v] ⊂ Ω, so gilt
f (v) − f (u) = Df (ξ)(v − u) = ∇f (ξ), v − u .
Z1
Df ((1 − t)u + tv) dt .
f (v) − f (u) = L(v − u), mit L =
0
Ist f : Rn > R in x stetig differenzierbar und ∇f (x) ≠ 0, so bezeichnet ∇f (x) die
Richtung des steilsten Anstiegs und −∇f (x) die Richtung des steilsten Abstiegs. Beide
Richtungen sind eindeutig.
Schrankensatz Ist f ∈ C 1 (Ω, W ) und [u, v] ⊂ Ω, so gilt
f (v) − f (u) ≤ max Df (z) |v − u|W .
W
Sei Q := [a, b] × [c, d] und sei g : Q → R auf Q stetig und stetig nach y differenzierbar,
dann ist auch
z∈[u,v]
Zx
ϕ : Q → R,
Ist f ∈ C 1 (Ω, W ), so ist f lokal lipschitz.
Satz von H.A. Schwartz
Sei Ω offen, f ∈ C 1 (Ω, Rm ), und x, y seien zwei beliebige
ϕ(x, y) =
g(s, y) ds ,
a
nach y differenzierbar und es gilt
Koordinaten in Ω. Existiert dann die zweite Abbleitung fxy und ist sie dort stetig, so
existiert auch fyx und es gilt fxy = fyx .
17
Zx
ϕy (x, y) =
a
gy (s, y) ds .
10 Matritzen
11 Mehrdimensionale Analysis
Eine Matrix A ∈ S(n) heißt
Für eine Funktion f ∈ C 2 (Rn , R) heißt
Hf (a) = fxk xl (a)
(a) positiv definit, geschrieben A > 0, falls hAv, vi > 0, ∀ v ≠ 0,
1≤k,l≤n
,
die Hessematrix von f an der Stelle a.
(b) positiv semidefinit, geschrieben A ≥ 0, falls hAv, vi ≥ 0, ∀ v,
(c) negativ definit A < 0, falls −A > 0,
Eine Funktion f : V > R besitzt im Punkt a ein lokales Minimum, falls ein δ > 0 existiert,
sodass
(d) negativ semidefinit A ≤ 0, falls −A ≥ 0,
f (a) ≤ f (x), ∀ x ∈ Bδ (a).
(e) sonst indefinit A ≶ 0.
Das Minimum heißt strikt, falls gilt
n×n
n×n
→ R, A , det A ist stetig differenzierbar auf R
Die Abbildung det : R
Ist A ∈ S(n), dann sind folgende Aussagen äquivalent
.
f (a) < f (x), ∀ x ∈ Ḃδ (a).
Analog sind lokales und striktes Maximum definiert.
(a) A ist positiv definit.
2
Ein kritischer Punkt a einer C 2 -Funktion f : Rn > R heißt nichtentartet bzw. nichtdege-
(b) Es gibt ein λ > 0, sodass hAv, vi ≥ λ |v| .
neriert, falls det Hf (a) ≠ 0. Andernfalls entartet bzw. degeneriert.
(c) Es gibt ein λ > 0, sodass A − λE ≥ 0.
Ein nichtentarteter kritischer Punkt a einer C 2 -Funktion f heißt Sattelpunkt, falls die
Hessische Hf (a) indefinit ist.
Sei A ∈ S(n) und λ1 ≤ . . . ≤ λn seien Eigenwerte, dann gilt
(a) A > 0 a λ1 > 0 und A ≥ 0 a λ1 ≥ 0.
Sei f ∈ C 2 (Rn , R) mit kritischem Punkt a. Dann ist der Index von f in a definiert als
ind(a) := card(Hf (a) ∩ (0, ∞)).
(b) A < 0 a λn < 0 und A ≤ 0 a λn ≤ 0.
(c) A ≶ 0 a λ1 λn < 0.
∆f =
Eine Matrix A ∈ S(n) ist positiv definit genau dann, wenn alle ihre Haupt-
n
X
fxi xj = 0.
i,j=1
Unterdeterminanten positiv sind. Sie ist positiv semidefinit genau dann, wenn diese nicht
negativ sind.
Eine Funktion f ∈ C 2 (Rn , R) heißt harmonisch, falls
Sei M : Ω → S(n) eine steige matrixwertige Abbildung und M(a) > 0. Dann existiert
Sei K konvex und f : K → R. Dann heißt f konvex, falls
f ((1 − t)u + tv) ≤ (1 − t)f (u) + tf (v),
eine Umgebung U von a derart, dass
für alle u, v ∈ K und t ∈ [0, 1].
M(x) > 0, ∀ x ∈ U.
f heißt strikt konvex, wenn die strikte Ungleichung für u ≠ v ∈ K und t ∈ (0, 1) gilt.
18
11.3 Sätze für den Standardfall f : Rn → Rm
11.1 Beispiele
Satz von Taylor II Sei Ω ⊂ Rn offen, f ∈ C r +1 (Ω, Rm ). Ist [a, a + h] ⊂ Ω, so gilt
(a) Der definite Fall

2
Die Abbildung f (x, y) = x + y
2
mit Hf (x, y) = 
2
0

0
 hat in 0 ein striktes
2
Minimum.
f (a + h) = Tar f (h) + Rar f (h),
mit dem r -ten Taylorpolynom
Tar f (h) =
(b) Der semidefinite Fall
Die Abbildungen f (x, y) = x 2 + y 4 ,
X
|α|≤r
g(x, y) = x 2 ,
h(x, y) = x 2 + y 3 haben in
1 α
D f (a)hα ,
α!
und dem zugehörigen Restglied
0 einen kritischen Punkt mit semidefiniter Hessischen.
Rar f (h) =
f hat ein striktes Minimum, g ein nichtisoliertes Minimum und h hat kein Mini-
X
|α|=r +1
|α| α
h
α!
Z1
(1 − t)r D α f (a + th) dt .
0
mum.
11.4 Sätze für Funktionen f : V > R
(c) Der nicht degenerierte Fall
Die Abbildung f (x, y) = x 2 − y 2 hat in 0 einen nicht degenerierten kritischen
Punkt. Die Hessische ist dort, also liegt ein Sattelpunkt vor.
Ist f : Ω → R, dann gilt
Rar f (h) =
1
D r +1 f (ξ),
(r + 1)! h
für ein ξ ∈ [a, a + h].
11.2 Sätze für Abbildungen f : V > W
Spezialfall Ist f ∈ C 2 (Ω, R) und [a, a + h] ⊂ Ω, dann gilt
Satz von Taylor Sei Ω offen und f ∈ C r +1 (Ω, W ). Ist [a, a + h] ⊂ Ω, so gilt
f (a + h) = f (a) +
n
X
fxi (a)hi +
i=1
f (a + h) = Tar f (h) + Rar f (h),
n
1 X
fx x (ξ)hi hj ,
2 i,j=1 i j
für ein ξ ∈ [a, a + h].
mit dem r -ten Taylorpolynom
Tar f (h) =
r
X
1 i
Dh f (a),
i!
i=1
Dh2 f (a) =
Rar f (h) =
1
r!
0
n
X
fxi xj (a)hi hj = Hf (a)h, h .
i,j=1
und dem zugehörigen Restglied
Z1
Für eine Funktion f ∈ C 2 (Rn , R) gilt
(1 − t)r Dhr +1 f (a + th) dt .
Ist f ∈ C r +1 Ω und
D α f = 0,
19
|α| = r + 1,
so ist f ein Polynom vom Grad ≤ r .
wobei k = ind(a).
Satz von Fermat Besitzt f : V > R in a ein lokales Extremum, so ist Df (a) = 0.
stellen, strikte Maximalstellen und n − 1 Sattelpunkte mit k = 1, . . . , n − 1.
Ist Ω offen und besitzt f : Ω → R in a ein lokales Extremum, so gilt
f (a + h) = f (a) +
Im Rn gibt es genau n + 1 verschiedene nichtentartete kritische Punkte. Strikte Minimal-
1
Hf (ξ)h, h ,
2
Maximumsprinzip harmonischer Funktionen
0
Sei Ω ein beschränktes Gebiet und sei
2
f ∈ C (Ω̄) ∩ C (Ω) harmonisch, dann gilt
für alle hinreichend kleinen h und ein ξ ∈ [a, a + h].
(a) f nimmt ihr Maximum auf dem Rand an max f = max f .
Sei f ∈ C 2 (Ω) und a ∈ Ω eine Minimalstelle, dann gilt
Ω̄
(b) Ist f auf dem Rand von Ω konstant, so ist f auf Ω̄ konstant.
Hf (a) ≥ 0.
Sei f ∈ C 2 (Ω) und a ∈ Ω ein kritischer Punkt von f . Existiert eine Umgebung U von a
Sei K eine konvexe Teilmenge des Vektorraums V und f : K → R, dann ist f konvex
genau dann, wenn ihr Epigraph
derart, dass
Epi(f ) := (u, z) ⊂ V × R : u ∈ K, z ≥ f (u) ,
Hf (x) ≥ 0, x ∈ U,
dann hat f an der Stelle a ein lokales Minimum. Gilt sogar
konvex ist.
Hf (a) > 0,
Sei Ω ⊂ V offen und konvex und f : Ω → R konvex, dann ist f stetig und auf jeder
kompakten Teilmenge von Ω sogar lipschitz.
so liegt ein striktes Minimum vor.
∂Ω
Eine Funktion f ∈ C 2 (Rn , R) ist lokal in einem nichtentarteten kritischen Punkt a bereits
Sei Ω ⊂ V offen und konvex und f ∈ C 1 (Ω), dann ist f konvex genau dann, wenn
vollständig durch ind(a) charakterisiert.
f (x + h) − f (x) ≥ ∇f (x), h ,
ind(a) = 0 a Hf (a) < 0,
ind(a) = n a Hf (a) > 0,
für alle x, x + h ∈ Ω und strikt konvex genau dann, wenn die strikte Ungleichung für
0 < ind(a) < n a Hf (a) ≶ 0.
h ≠ 0 gilt.
Sei f ∈ C 2 (Rn , R) und a ein nichtdegenerierter kritischer Punkt von f , dann ist a
Sei Ω ⊂ V offen und konvex und f ∈ C 2 (Ω), dann ist f konvex genau dann, wenn
isoliert.
Hf (x) ≥ 0
Lemma von Morse Sei f ∈ C 3 (Rn , R) und a ein nichtentarteter kritischer Punkt. Dann
können um a neue Koordinaten u = (u1 , . . . , un ) eingeführt werden, sodass
f (u) = f (a) +
k
X
i=1
u2i −
n
X
j=k
u2j ,
für alle x ∈ Ω. f ist strikt konvex, falls Hf (x) > 0.
Ist f ∈ C 1 (Rn , R) strikt konvex und koerziv, dann besitzt f genau eine Minimalstelle x0
und es gilt minn f (x) = f (x0 ).
x∈R
20
12 Umkehrabbildungen & Implizite Funktionen
n
1
Eine C -Abbildung f : R
>R
m
Sei Ω ⊂ Rn offen und konvex und f ∈ C 2 (Ω, Rn ). Gilt für jedes x ∈ Ω
Df (x)h, h > 0,
n
mit n ≥ m heißt regulär im Punkt x0 ∈ R und x0
heißt regulärer Punkt, wenn Df (x0 ) surjektiv ist, andernfalls singulär. f heißt regulär,
h ∈ Rn \ {0},
so ist f auf Ω umkehrbar.
wenn f in jedem Punkt regulär ist.
n
1
Lokal um einen regulären Punkt ist eine C 1 Abbildung diffeomorph.
n
Sei Ω ⊂ R offen, dann heißt eine C -Abbildung ϕ : Ω → R ein Diffeomorphimus auf
Ω, wenn
12.2 Beweis des Satzes über Umkehrabbildungen
(a) Ω0 = ϕ(Ω) offen ist,
Banachscher Fixpunktsatz
(b) ϕ : Ω → Ω0 bijektiv abbildet,
Sei (E, k·k) Banachraum, X ⊂ E eine abgeschlossene Teil-
menge und T : X → X eine Kontraktion, d.h. es existiert eine Konstante 0 < θ < 1,
(c) ϕ−1 : Ω0 → Ω ebenfalls C 1 ist.
sodass
Ein Lipeomorphismus ist eine bijektive Abbildung zwischen zwei offenen Mengen, die in
kT v − T uk ≤ θ kv − uk ,
v, u ∈ X
beiden Richtungen lipschitz ist.
Eine offene Abbildung bildet jede offene Menge auf eine offene Menge ab.
Für lipschitzstetige Abbildungen f : Ω → Rn wird durch
dann besitzt T genau einen Fixpunkt ξ.
Spezialfall Sei ϕ : Rn > Rn stetig differenzierbar mit
ϕ(0) = 0,
f (v) − f (u)
[f ]Ω = sup
,
kv − uk
v≠u
Dϕ(0) = Id,
dann ist ϕ lokal um 0 diffeomorph.
eine Seminorm definiert. [f ]Ω ist die bestmögliche Lipschitzkonstante von f auf Ω.
12.1 Sätze für Abbildungen ϕ : Rn > Rn
Es genügt den Spezialfall zu beweisen, der allgemeine Fall folgt daraus.
Erfüllt ϕ den Spezialfall, so existiert ein r > 0, sodass
[ϕ − id]Br (0) <
Ein Diffeomorphimus ist in jedem Punkt regulär.
Eine C 1 Abbildung ϕ : Ω → Ω0 ist genau dann diffeomorph, wenn sie regulär und
bijektiv ist.
Ist Ω konvex und f ∈ C 1 (Ω), dann gilt
1
.
4
Für alles weitere fixiert man A = Br /2 (0), B = Br (0)
Proposition A Ist ϕ : B → Rn lipschitz mit [ϕ − id]B < 1, so ist ϕ injektiv.
Proposition B Sei ϕ : B → Rn lipschitz mit
ϕ(0) = 0,
Df = [f ]Ω .
21
[ϕ − id]B <
1
.
4
Dann existiert eine stetige Abbildung ψ : A → B mit
13 Mannigfaltigkeiten
1
ψ(0) = 0, [ψ − id]A < ,
2
sodass ϕ ◦ ψ = idA ist.
falls eine offene Umgebung Ω von M und eine stetig differenzierbare Abbildung ohne
Proposition C Sei ϕ : B → Rn lipschitz mit
singuläre Punkte f : Ω → Rm existiert, so dass gilt
1
ϕ(0) = 0, [ϕ − id]B < .
4
Dann definiert ϕ ein Lipeomorphismus von einer Umgebung U ⊂ B von 0 auf A mit
ϕ−1 (0) = 0,
[ϕ−1 − id]A ≤
Eine nichtleere Teilmenge M ⊂ Rn heißt eine Mannigfaltigkeit der Kodimension m,
M = f −1 (0) = x ∈ Rn : f (x) = 0 .
1
.
2
1
Sei f : Rn > Rm stetig differenzierbar. Ein Punkt w ∈ Rm heißt regulärer Wert von f ,
Proposition D Ist ϕ in Proposition C von der Klasse C , so definiert ϕ einen Diffeomor-
falls f −1 (w) entweder leer ist oder nur aus regulären Punkten besteht. Andernfalls heißt
phismus von U auf A. Ist ϕ außerdem C r , so ist ϕ−1 ebenfalls C r .
w singulärer oder kritischer Wert von f .
12.3 Satz über implizite Funktionen
Eine nichtleere Teilmenge M ⊂ Rn heißt eine durch f definierte Mannigfaltigkeit im
n
R , falls f in einer offenen Umgebung um M stetig differenzierbar ist, regulären Wert 0
hat, und M = f −1 (0) gilt.
Satz über implizite Funktionen (IFS) Sei m < n,
f : Rm × Rn−m > Rm ,
stetig differenzierbar und f (u0 , v0 ) = w0 . Ist (u0 , v0 ) ein regulärer Punkt von f , so exis-
Ein Vektor v ∈ Rn heißt Tangentialvektor an M im Punkt p, falls es eine C 1 -Kurve
γ : R > M gibt mit
tieren Umgebungen U × V von (u0 , v0 ) und W von w0 , sowie eine stetig differenzierbare
γ(0) = p,
Abbildung
g : W × V → U,
g(w, v) = u,
so dass für jedes w ∈ W gilt
(u, v) ∈ U × V : f (u, v) = w = (g(w, v), v) : v ∈ V .
γ̇(0) = v.
p und wird mit Tp M bezeichnet.
Für jedes w ∈ W existiert die Ableitung der impliziten Funktion und es gilt
gv (v) = fu−1 fv (g(v),v) .
Sei M ⊂ Rn eine Mannigfaltigkeit und p ∈ M. Dann heißt das orthogonale Komplement
zum Tangentialraum Tp M der Normalraum von M in p und wird mit Np M oder Tp⊥ M
bezeichnet. Seine Elemente heißen die Normalenvektoren von M in p.
Sei f : Rn > Rm stetig differenzierbar. Ist p0 ein regulärer Punkt, so ist lokal um p0 die
Niveaumenge
x : f (x) = f (p0 ) ,
Die Menge aller Tangentialvektoren an M im Punkt p heißt Tangentialraum von M an
Die Tangentialebene an M im Punkt p ist die zu Tp M parallele affine Ebene durch den
Punkt p
Ep M = p + Tp M.
darstellbar als Graph einer stetig differenzierbaren Funktion g : Rn−m > Rm .
22
13.1 Sätze für gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeiten
Eine Mannigfaltikeit M ⊂ Rn der Kodimension m ist lokal um jeden Punkt p ∈ M der
Graph einer Funktion g : Rn−m > Rm .
Eine nichtleere Teilmenge M ⊂ Rn ist eine Mannigfaltigkeit genau dann, wenn gilt
M = f −1 (0),
mit einer C 1 -Funktion f : Rn > Rm mit regulärem Wert 0.
Ist M eine durch f definierte Mannigfaltigkeit, so gilt
Tp M = ker Df (p),
p∈M
Jeder Tp M ist ein Vektorraum mit derselben Dimension wie M.
Sei M eine durch f definierte Mannigfaltigkeit der Kodimension m im Rn und h·, ·i ein
beliebiges Skalarprodukt im Rn . Dann gilt . . .
Tp⊥ M = span ∇f1 (p), . . . , ∇fm (p) ,
p ∈ M.
Sei M eine Mannigfaltigkeit im Rn und f : Rn > Rm in einer Umgebung von M stetig
differenzierbar. Dann besitzt f M einen kritischen Punkt in p genau dann, wenn
∇f (p) ∈ Tp⊥ M.
Sei M eine durch g definierte Mannigfaltigkeit der Kodimension m im Rn und sei
f : Rn > R in einer Umgebung von M stetig differenzierbar. Dann besitzt f |M einen
kritischen Punkt in p ∈ M genau dann, wenn es reelle Zahlen λ1 , . . . , λn gibt, sodass
∇f (p) =
n
X
λi ∇gi (p).
i=1
Seien f : Rn > R und g : Rn > Rm auf einer offenen Teilmenge des Rn stetig differen-
zierbar, und sei 0 ein regulärer Wert von g. Dann besitzt f unter den Nebenbedingungen
g = 0 genau dann einen kritischen Punkt in p, wenn die erweiterte Funktion
F : Rn × Rm > R,
F (x, λ) = f (x) + λ, g(x) ,
einen kritischen Punkt (p, λ) besitzt.
23