formelsammlung elektrotechnik

FORMELSAMMLUNG
ELEKTROTECHNIK
by Marcel Laube
FORMELSAMMLUNG ELEKTROTECHNIK
FORMELSAMMLUNG ELEKTROTECHNIK .................................................................. 4
ALLGEMEINES:..................................................................................................................... 4
STROMSTÄRKE: ....................................................................................................................... 4
ELEKTRIZITÄTSMENGE (LADUNG):.......................................................................................... 4
STROMDICHTE:........................................................................................................................ 4
SPANNUNG: ............................................................................................................................. 4
POTENTIAL: ............................................................................................................................. 4
WIDERSTAND: ......................................................................................................................... 5
SPEZIFISCHER WIDERSTAND: .................................................................................................. 5
WIDERSTAND VON LEITERN: ................................................................................................... 5
LEITWERT: .............................................................................................................................. 5
LEITFÄHIGKEIT:....................................................................................................................... 5
TEMPERATURABHÄNGIGKEIT DES WIDERSTANDES: ................................................................ 5
Warmwiderstand: ............................................................................................................... 6
STROMKREISGESETZE:..................................................................................................... 6
OHMSCHES GESETZ:................................................................................................................ 6
SERIESCHALTUNG (REIHENSCHALTUNG) VON WIDERSTÄNDEN: ............................................. 6
Stromstärke: ....................................................................................................................... 6
Die Gesamtspannung: ........................................................................................................ 6
Der Gesamtwiderstand: ..................................................................................................... 6
Unbelasteter Spannungsteiler: ........................................................................................... 7
Spannungsabfall:................................................................................................................ 7
PARALLELSCHALTUNG VON WIDERSTÄNDEN:......................................................................... 7
Spannung:........................................................................................................................... 7
Der Gesamtstrom: .............................................................................................................. 8
Der Gesamtwiderstand: ..................................................................................................... 8
Der Gesamtleitwert: ........................................................................................................... 8
KIRCHHOFSCHE REGELN: ........................................................................................................ 9
Erste Kirchhofsche Regel (Knotengesetz):......................................................................... 9
Zweite Kirchhofsche Regel (Maschenregel): ..................................................................... 9
ARBEIT UND LEISTUNG: .................................................................................................. 10
ELEKTRISCHE ARBEIT - ENERGIE: ......................................................................................... 10
kWh: ................................................................................................................................. 10
ELEKTRISCHE LEISTUNG: ...................................................................................................... 10
PS: .................................................................................................................................... 10
UMWANDLUNG VON ELEKTRISCHER ENERGIE IN WÄRME: .................................................... 11
Wirkungsgrad:.................................................................................................................. 11
VERHALTEN VON SPANNUNGSERZEUGERN:........................................................... 11
QUELLEN- UND KLEMMENSPANNUNG:.................................................................................. 11
Unbelasteter Spannungserzeuger (Leerlauf): .................................................................. 11
Belasteter Spannungserzeuger:........................................................................................ 12
Kurzschluss: ..................................................................................................................... 12
Innerer Widerstand: ......................................................................................................... 12
Leistungsanpassung: ........................................................................................................ 12
ELEKTROWÄRME:............................................................................................................. 13
WÄRMEMENGE:..................................................................................................................... 13
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SPEZIFISCHE WÄRMEKAPAZITÄT C:....................................................................................... 13
WÄRMENUTZUNGSGRAD:...................................................................................................... 13
MAGNETISMUS:.................................................................................................................. 14
STROM IM MAGNETFELD :..................................................................................................... 14
Stromdurchflossener Leiter (Motorprinzip):.................................................................... 14
Spannungserzeugung durch Induktion der Bewegung (Generatorprinzip): .................... 14
Induktion der Ruhe (Generatorprinzip): .......................................................................... 14
ELEKTRISCHES FELD:...................................................................................................... 15
ELEKTRISCHE FELDSTÄRKE:.................................................................................................. 15
KONDENSATOR: .................................................................................................................... 15
Kapazität (Speichervermögen):........................................................................................ 15
Laden und Entladen des Kondensators:........................................................................... 15
SCHALTUNG VON KONDENSATOREN: .................................................................................... 15
Parallelschaltung:............................................................................................................ 15
Serieschaltung:................................................................................................................. 16
WECHSELSTROM:.............................................................................................................. 16
SINUSFÖRMIGE WECHSELSPANNUNG: ................................................................................... 16
Augenblickspannung: ....................................................................................................... 16
FREQUENZ:............................................................................................................................ 16
KREISFREQUENZ:................................................................................................................... 16
EFFEKTIVWERTE: .................................................................................................................. 17
WECHSELSTROMWIDERSTÄNDE: ............................................................................... 17
OHMSCHER WIDERSTAND: .................................................................................................... 17
SPULEN: ................................................................................................................................ 17
Scheinwiderstand: ............................................................................................................ 18
KONDENSATOR: .................................................................................................................... 18
Kapazitiver Blindwiderstand: .......................................................................................... 18
SCHALTUNGEN VON WIRKWIDERSTÄNDEN, SPULEN UND KONDENSATOREN:....................... 19
LEISTUNG UND ARBEIT BEI WECHSELSTROM: ...................................................... 20
LEISTUNG BEI WIRKLAST (WIDERSTAND):............................................................................ 21
LEISTUNG BEI INDUKTIVER BELASTUNG (SPULE):................................................................. 21
LEISTUNG BEI KAPAZITIVER BELASTUNG (KONDENSATOR): ................................................. 21
LEISTUNGSDREIECK: ............................................................................................................. 21
Scheinleistung: ................................................................................................................. 21
LEISTUNGSFAKTOR: .............................................................................................................. 22
ARBEIT BEI WECHSELSTROM: ............................................................................................... 22
Wirkarbeit: ....................................................................................................................... 22
Blindarbeit: ...................................................................................................................... 22
DREIPHASENWECHSELSTROM – DREHSTROM: ..................................................... 23
STERNSCHALTUNG: ............................................................................................................... 23
Verkettungsfaktor: ............................................................................................................ 23
DREIECKSCHALTUNG: ........................................................................................................... 24
LEISTUNG BEI DREHSTROM: .................................................................................................. 24
Wirkleistung: .................................................................................................................... 24
Scheinleistung: ................................................................................................................. 24
Blindleistung: ................................................................................................................... 24
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ELEKTRISCHE MASCHINEN:.......................................................................................... 25
TRANSFORMATOREN: ............................................................................................................ 25
Spannungsübersetzung:.................................................................................................... 25
Stromübersetzung:............................................................................................................ 25
Widerstandsübersetzung: ................................................................................................. 25
Wirkungsgrad:.................................................................................................................. 25
MOTOREN: ............................................................................................................................ 26
Drehfelddrehzahl: ............................................................................................................ 26
Polpaare / Drehzahlen ..................................................................................................... 26
Schlupf:............................................................................................................................. 26
Leistungsaufnahme: ......................................................................................................... 26
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Allgemeines:
Stromstärke:
Stromstärke =
Elektrizitätsmenge / Zeit
(Elektronenmenge / Zeit)
Formelzeichen:
Einheit:
I
Ampere [A]
Definition:
Fliessen 6.24*1018 Elektronen pro Sekunde durch einen
Leiterquerschnitt, so fliesst ein Strom von 1 A.
Elektrizitätsmenge (Ladung):
Elektrizitätsmenge= Stromstärke I * Zeit t
Formelzeichen:
Einheit:
Q
Coulomb C oder Amperesekunde As (1C = 1As)
Stromdichte:
Stromdichte =
Stromstärke I / Querschnitt A
Formelzeichen:
Einheit:
J
A/mm2 oder A/m2
Spannung:
Formelzeichen:
Einheit:
U
V
Potential:
Die Differenz zwischen zwei Potentialen ergibt die Spannung.
Formelzeichen:
Einheit:
j
V
Potentiale haben immer ein Vorzeichen.
Die Spannungspfeile zeigen immer vom höheren zum niedrigeren Potential.
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Widerstand:
Formelzeichen:
Einheit:
R
W
Spezifischer Widerstand:
Formelzeichen:
Einheit:
r
Wmm2/m
Definition:
Der Widerstand eines Leitermaterials von 1m Länge und 1mm2
Querschnitt, bei einer Temperatur von 20°C nennt man
spezifischen Widerstand.
Widerstand von Leitern:
R=
l*r
[W]
q
l
=
Leiterlänge [m]
r
q
=
=
Spez. Widerstand [Wmm2/m]
Leiterquerschnitt [mm2]
Leitwert:
Formelzeichen:
Einheit:
G
S (Siemens) oder 1/W
Definition:
Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes.
Leitfähigkeit:
Formelzeichen:
Einheit:
k (Kappa)
m/Wmm2
Definition:
Die Leitfähigkeit ist der Kehrwert des spezifischen
Widerstandes.
Temperaturabhängigkeit des Widerstandes:
Definition:
Der Temperaturkoeffizient a gibt die Widerstandsänderung
für einen Widerstand von 1W bei Erwärmung um 1K.
DR = R20 *a * DJ [W]
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R20
=
Widerstand bei 20°C
a
DJ
=
=
Temperaturkoeffizient [1/K]
Temperaturänderung [K]
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Warmwiderstand:
RW = R20 + R20 *a * DJ [W]
oder
RW = R20 * (1 + a * DJ ) [W]
Stromkreisgesetze:
Ohmsches Gesetz:
U = R*I
I=
U
R
R=
U
I
Serieschaltung (Reihenschaltung) von Widerständen:
Stromstärke:
Bei Serieschaltungen ist der Strom an jedem Punkt gleich.
Die Gesamtspannung:
U = U 1 + U 2 + U 3 ....
Der Gesamtwiderstand:
R = R1 + R2 + R3 ....
Zudem:
U 1 R1
=
(etc.)
U 2 R2
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Unbelasteter Spannungsteiler:
I
R1
U
R2
U1 = U *
R1
R1 + R2
U2 =U *
R2
R1 + R2
Spannungsabfall:
U2 =
U 1 * Rb
[V]
2 * RL + Rb
U2
=
Spannung beim Verbraucher
U1
Rb
RL
=
=
=
Spannung beim Erzeuger
Widerstand des Verbrauchers
Leitungswiderstand (1 Weg)
Parallelschaltung von Widerständen:
Spannung:
Die Spannung ist an allen Stellen gleich gross.
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Der Gesamtstrom:
I = I1 + I 2 + I 3 ....
Zudem:
I1 R2
=
(etc.)
I 2 R1
Der Gesamtwiderstand:
Im grösste Widerstand fliesst der kleinste Strom; Im kleinsten Widerstand
fliesst der grösste Strom.
Der Gesamtwiderstand ist immer kleiner als der kleinste
Einzelwiderstand.
RGes =
R1 * R2
R1 + R2
Der Gesamtleitwert:
GGes = G1 + G2 + G3 ....
oder:
1
1
1
1
=
+
+ ....
RGes R1 R2 R3
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Kirchhofsche Regeln:
Erste Kirchhofsche Regel (Knotengesetz):
I1
I2
I3
R3
I4
R4
I5
R5
I1 + I 2 = I 3 + I 4 + I 5
I1 + I 2 - I 3 - I 4 - I 5 = 0
oder
Die Summe der zugeführten Ströme ist gleich der abgehenden Ströme.
Zweite Kirchhofsche Regel (Maschenregel):
Uq1
Uq2
I
R1
R2
R3
U1
U2
U3
U q1 + U q 2 = U 1 + U 2 + U 3
U q1 + U q 2 - U 1 - U 2 - U 3 = 0
oder :
Die Summe der Quellenspannungen ist gleich der Summe aller
Spannungsabfälle.
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Arbeit und Leistung:
Elektrische Arbeit - Energie:
Zusammenhang zwischen Arbeit und Energie:
Energie ist das Vermögen, Arbeit zu verrichten. Energie ist gespeicherte Arbeit à
Gleiche Einheit.
Definition:
=Arbeit, die aufgewendet werden muss, um eine Ladung Q zu
verschieben.
W = Q *U [Ws] (oder [VAs])
da Q=I*t ist:
W = U * I * t [Ws]
durch Einsetzen des Ohmschen Gesetzes:
W = I 2 * R *t
W=
oder:
U 2 *t
R
kWh:
1 kWh =3.6 * 106 Ws
(kWh ist eine Arbeitseinheit!)
Elektrische Leistung:
Definition:
P=
= Arbeit pro Zeiteinheit
W
[W] (oder [Va])
t
durch Einsetzen von W=U*I*t ergibt sich:
P = U * I [W]
Durch Einsetzen des Ohmschen Gesetzes ergit sich:
P = I2 *R
P=
oder
U2
R
PS:
1 PS = 736 W
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Umwandlung von elektrischer Energie in Wärme:
Erwärmung von 1kg Wasser um 1K = Wärmemenge von 4186 J (1kcal)
Wirkungsgrad:
h=
h=
Wab
[-] [%]
Wzu
Pab
[-] [%]
Pzu
W ab
=
abgegebene Arbeit
W zu
=
zugeführte Arbeit
Pab
=
abgegebene Leistung
Pzu
=
zugeführte Leistung
Verhalten von Spannungserzeugern:
Quellen- und Klemmenspannung:
Unbelasteter Spannungserzeuger (Leerlauf):
Die Klemmenspannung ist gleich der Quellenspannung
U =Uq
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Belasteter Spannungserzeuger:
I
Ri
I*Ri
U
+
Ra
Uq
-
Mit steigender Belastung nimmt die Klemmenspannung ab.
U = U q - I * Ri
I=
Uq
Ri + Ra
Kurzschluss:
Bei einem Kurzschluss zwischen den beiden Klemmen der Spannungsquelle fliesst
der Kurzschlussstrom Ik:
Ik =
Uq
Ri
[A]
Uq
=
Quellenspannung
Ri
=
Innerer Widerstand
Innerer Widerstand:
Ri =
DU
DI
D von 2 verschiedenen Betriebszuständen
Leistungsanpassung:
Die Leistungsabgabe eines Spannungserzeugers ist am grössten, wenn der
Belastungswiderstand gleich dem inneren Widerstand ist.
Ra = Ri
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Elektrowärme:
Wärmemenge:
Q = m * c * Dt [J]
m
c
Dt
=
=
=
Masse [Kg]
spez. Wärmekapazität [J/kg*K]
Temperaturänderung [K]
Spezifische Wärmekapazität c:
Stoff
Aluminium
Kupfer
Stahl
PVC
Wasser
Luft
c [J/kg * K]
921
385
460
880
4187
1006
Wärmenutzungsgrad:
z =
QN DJ * c * m
=
[-] [%]
QS
P *t
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QN
=
Nutzwärme
QS
Dz
c
m
P
t
=
=
=
=
=
=
Stromwärme
Temperaturunterschied [K]
spez. Wärmekapazität [J/kg*K]
Masse [kg]
Leistung
Zeit
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Magnetismus:
Strom im Magnetfeld :
Stromdurchflossener Leiter (Motorprinzip):
Ein Stromdurchflossener Leiter wird in einem Polfeld (zwischen zwei Magnetpolen)
abgelenkt. Und zwar mit der folgenden Kraft:
F = B * I * l * ( z ) [N]
B
I
l
z
=
=
=
=
Stromstärke [A]
Leiterlänge [m]
Anzahl Leiter
Spannungserzeugung durch Induktion der Bewegung (Generatorprinzip):
Die Bewegung einer Leiterschlaufe in einem Magnetfeld (quer zu den Feldlinien)
bewirkt eine Ladungsverschiebung in der Leiterschlaufe
In der Leiterschlaufe wird eine Spannung induziert:
U O = B * v * l * ( z ) [U]
B
v
l
z
=
=
=
=
[Vs/m2]
Geschw. des Leiters [m/s]
Leiterlänge [m]
Anzahl Leiter
Induktion der Ruhe (Generatorprinzip):
Eine Stromänderung bewirkt in beiden Spulen eines Transformators eine Änderung
der Feldlinienzahl.
Es entstehen Ladungsverschiebungen in den Spulen; es wird Spannung induziert.
U0 = -N
Df
[V]
Dt
N
=
Windungszahl
Df
Dt
=
=
Flussänderung
Zeit der Flussänderung [s]
N1 U 1 I 2
=
=
N 2 U 2 I1
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Elektrisches Feld:
Elektrische Feldstärke:
E=
U
[V/m]
l
l
=
Abstand
Kondensator:
Eine Anordnung von 2 leitenden Flächen zwischen denen sich ein elektrisches Feld
bilden kann, nennt man Kondensator.
Kapazität (Speichervermögen):
C=
Q
[F] (oder [As/V])
U
Q
=
Ladung [As]
U
=
Spannung [V]
Laden und Entladen des Kondensators:
Laden:
Beim Laden fliesst kurzzeitig ein Strom. Anschliessend sperrt der
Kondensator den Strom.
Speichern:
Der Kondensator kann elektrische Ladung speichern.
Entladen:
Beim Entladen fliesst Kurzzeitig ein entgegengesetzter Strom.
Schaltung von Kondensatoren:
Parallelschaltung:
C = C1 + C 2 + C3
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Serieschaltung:
Die Stromstärke ist in allen Kondensator gleich gross.
Q = Q1 = Q2 = Q3
U * C = U 1 * C1 = U 2 * C 2 ....
U = U1 + U 2 + U 3
Q Q1 Q2 Q3
=
+
+
C C1 C 2 C3
1 1
1
1
=
+
+
C C1 C 2 C3
Wechselstrom:
Sinusförmige Wechselspannung:
Augenblickspannung:
U = Û * sin a
oder Zeitabhängig:
U = Û * sin(2 *p * f * t )
Û
a
=
=
Scheitelwert [V]
Drehwinkel [°]
f
t
=
=
Frequenz [Hz]
Zeit [s]
T
=
Periodendauer [s]
f
=
Frequenz [Hz]
Frequenz:
f =
1
[Hz]
T
Kreisfrequenz:
w = 2 * p * f [1/s]
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Effektivwerte:
I eff =
Î
[A]
2
Î
=
Scheitelstrom [A]
U eff =
Û
[V]
2
Û
=
Scheitelspannung [A]
Wechselstromwiderstände:
Ohmscher Widerstand:
Ohmsche Widerstände verhalten sich im Gleich- und Wechselstromkreis gleich.
Im Wechselstromkreis werden sie meist Wirkwiderstand R bezeichnet.
Spulen:
Spulen verhalten sich in Gleich- und Wechselstromkreisen verschieden.
Beim Wechselstrom kommt zu dem Drahtwiderstand der induktive
Blindwiderstand XL dazu.
Der Induktive Widerstand:
X L = 2 *p * f * L
f
L
=
=
Frequenz [Hz]
Induktivität [H] (Henry)
w
=
Kreisfrequenz [1/s]
oder
XL =w *L
oder
XL =
UL
IL
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Scheinwiderstand:
Der Gesamtwiderstand einer Spule setzt sich aus dem Wirkwiderstandes R und
dem induktiven Blindwiderstand XL nennt man Scheinwiderstand Z oder
Impedanz.
Z=
U
I
oder:
Z = R2 + X L
2
Kondensator:
Im Wechselstrom verhält sich der Kondensator wie ein Widerstand. Diesen
„Widerstand“ nennt man kapazitiven Blindwiderstand XC.
Kapazitiver Blindwiderstand:
XC =
UC
IC
XC =
1
1
=
2 *p * f * C w * C
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f
=
Frequenz [Hz]
C
=
Kapazität [F] (Farad)
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Schaltungen von Wirkwiderständen, Spulen und Kondensatoren:
SERIESCHALTUNG
Wirkwiderstand + Spule
R; UR
XL; UL
Wirkwiderstand + Kondensator
R; UR
XC; UC
U; I
U; I
UR
j
U
UC
U
UL
j
UR
j
R
R
XL
R
j
XC
R
Wirkwiderstand + Spule + Kondensator
R; UR
XL; UL
XC; UC
U;I
Uc
U
UL
j
UR
xc
Z
xL
j
R
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PARALLELSCHALTUNG
Wirkwiderstand + Spule
IR ; R
Wirkwiderstand + Kondensator
IR ; R
IL ; xL
IC ; xC
U
U
IR
j
I
IL
I
IC
j
IR
1/R
j
1/Z
1/xL
1/Z
1/xC
j
1/R
Wirkwiderstand + Spule + Kondensator
IL
I
IC
IR
1/xL
1/xC
Z
1/R
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Leistung und Arbeit bei Wechselstrom:
Leistung bei Wirklast (Widerstand):
P = U * I R [W]
U
IR
=
=
Effektivspannung [V]
Effektivstrom [A]
=
=
Effektivspannung an Spule [V]
Effektivstrom an Spule [A]
Leistung bei induktiver Belastung (Spule):
QL = U * I L [Var]
U
IL
Leistung bei kapazitiver Belastung (Kondensator):
QC = U * I C [Var]
U
IC
=
=
Effektivspannung an Kond. [V]
Effektivstrom an Kond. [A]
Leistungsdreieck:
U
S
UL
j
j
P
UR
P
Q
S
Q
=
=
=
Wirkleistung
Blindleistung
Scheinleistung
Scheinleistung:
S = U * I [VA]
S = P 2 + Q 2 [VA]
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Leistungsfaktor:
Der Leistungsfaktor gibt an, wie viel Prozent der Scheinleistung S als Wirkleistung P
umgesetzt werden.
cosj =
P
[-] [%]
S
Arbeit bei Wechselstrom:
Wirkarbeit:
WW = P * t = U * I * cos j * t [Ws] [kWh]
U
I
=
=
Effektivspannung [V]
Effektivstrom
WB = Q * t = U * I * sin j * t [vars] [kvarh] U
I
t
=
=
=
Effektivspannung [V]
Effektivstrom [A]
Zeit [s]
Blindarbeit:
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Dreiphasenwechselstrom – Drehstrom:
Sternschaltung:
Polleiter
Uph
U
Polleier
Polleiter
I=Iph
U = 3 *U ph
I = I ph
Verkettungsfaktor:
Verkettungsfaktor =
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Leiterspannung
U
=
= 3
Strangspannung U st
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Dreieckschaltung:
I
Iph
U=Uph
U = U ph
I = 3 * I ph
Leistung bei Drehstrom:
Wirkleistung:
( P = 3 * Pst = 3 *U st * I st * cosj [kW] )
P = 3 *U * I * cos j [kW]
U
=
Polleiterspannung [V]
I
=
Polleiterstrom [A]
(U und I sind immer die höheren Werte)
Scheinleistung:
S = 3 *U * I [VA]
Blindleistung:
Q = 3 *U * I * sin j [Var]
PD = 3 * Pf
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Elektrische Maschinen:
Transformatoren:
Spannungsübersetzung:
U 1 N1
=
U2 N2
U
=
Spannung [V]
N
=
Anzahl Windungen
I
=
Stromstärke [A]
N
=
Anzahl Windungen
R1
=
Widerstand vor Trafo
R2
=
Widerstand Sekundärseitig
Pab
=
Abgehende Leistung
VFE
VCU
=
=
Eisenverlust
Kupferverlust
Stromübersetzung:
I1 N 2
=
I 2 N1
Widerstandsübersetzung:
2
R1 æ N1 ö
÷÷ = ü 2
= çç
R2 è N 2 ø
Wirkungsgrad:
h=
Pab
[-] [%]
Pab + VFE + VCU
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Motoren:
Asynchronmotor:
Drehfelddrehzahl:
Der Läufer dreht etwas langsamer als das Drehfeld
ns =
f
p
ns
=
Drehfelddrehzahl
f
p
=
=
Frequenz
Polpaarzahl
Polpaare / Drehzahlen
Die Drehzahl ist in erster Linie von der Polpaarzahl abhängig
3 Wicklungen
6 Wicklungen
9 Wicklungen
à
à
à
1 Polpaar
2 Polpaar
3 Polpaar
à
à
à
3'000 U/min
1’500 U/min
1'000 U/min
Schlupf:
Asynchronmotoren benötigen einen Schlupf zur Induktion des Läufermotors
s=
ns - n
*100 [%]
ns
ns
=
Drehfelddrehzahl
n
=
Läuferdrehzahl (auf
Leistungsschild)
Leistungsaufnahme:
P = 3 *U * I * cos j [W]
TS-Zürich
U
=
Nennspannung [V]
I
=
Nennstrom [A]
cosj =
Phasenverschiebung [-]
(alle Angaben vom Leistungsschild)
Seite 26
01.03.02 / ML