Musterloesung Aufgabe 3, Blatt 3 Sei G eine topologische Gruppe

Musterloesung Aufgabe 3, Blatt 3
Sei G eine topologische Gruppe. Wir zeigen:
G ist pro-endlich ⇔
G kompakt, hausdorffsch
und total unzusammenhaengend.
Beweis: “⇒” Sei (I, ≥) eine partiell geordnete Menge. Zu jedem i ∈ I
sei Gi eine topologische Gruppe und fuer i ≤ j sei ϕji : Gj → Gi ein stetiger
Gruppenhomomorphismus so dass gilt:
ϕii = Id,
i ≤ j ≤ k ⇒ ϕji ◦ ϕkj = ϕki .
Die Menge
G = lim
Gi = {g ∈
←
Y
Gi : ϕji gj = gi ∀i ≤ j}
i
i∈I
Q
ist eine abgeschlossene
Untergruppe von i Gi .
Q
auf den j-ten Faktor. Wir versehen G
Sei pj : i Gi → Gj die Projektion
Q
mit der Teilraumtopologie von i Gi . Insbesondere ist dann eine Abbildung
X → G von einem topologischen Raum X genau dann stetig, wenn alle
pi
Abbildungen X → G −→ Gi stetig sind.
Seien nun alle Gi endliche Gruppen versehen mit der diskreten Topologie.
Dann heisst G eine pro-endliche Gruppe.
Da die GiQendlich, also kompakt sind, ist nach dem Satz von Tychonov
Q
das Produkt i Gi kompakt. Da G eine abgeschlossene Teilmenge von i Gi
ist, ist G kompakt.
Hausdorffsch: Seien g 6= h in G. Dann existiert i ∈ I mit gi 6= hi . Es ist
−1
U = p−1
i ({gi }) eine offene Umgebung von g. Ebenso ist V = pi ({hi }) eine
offene Umgebung von h. Ausserdem gilt U ∩ V = ∅, also ist G hausdorffsch.
Total unzusammenhaengend: Fuer eine endliche Teilmenge E von I setze
Y
Y
UE =
{1} ×
Gi .
i∈E
i∈E
/
Q
Dann ist die Familie (UE )E eine Einsumgebungsbasis
in
i Gi und jedes UE
Q
ist eine offene Untergruppe. Damit ist i Gi total unzusammenhaengend,
also auch die Untergruppe G.
“⇐” Sei {(Ni )i∈I } die Menge aller offenen Normalteiler von G. Wir
definieren eine partielle Ordnung auf der Indexmenge I durch
i ≤ j ⇔ Ni ⊃ Nj .
Wir zeigen:
1
(a) Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe G hat endlichen Index.
(b) Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe enthaelt einen offenen
Normalteiler.
Zu (a) sei H eine offene
Untergruppe. Dann ist xH offen fuer jedes x ∈ G
S
und also ist G = x∈G xH eine offene Ueberdeckung. Da G kompakt ist,
gibt es eine endliche Teilueberdeckung, also hat H endlichen Index.
Sn Nun zu (b). Si wieder H eine offene Untergruppe, nach Teil (a) ist G =
j=1 xj H, also folgt
def
N =
\
xHx
−1
=
n
\
xj Hx−1
j .
j=1
x∈G
Nach Definition ist N der groesste in H enthaltene Normalteiler und wir
haben festgestellt, dass N der Schnitt endlich vieler offener Untergruppen
ist, also ist N offen und (b) ist bewiesen.
Q Fuer i ∈ I setzen wir Gi = G/Ni und definieren die Abbildung φ : G →
i∈I Gi durch
φ(g)i = gNi ∈ Gi = G/Ni .
Fuer i ≤ j haben wir die natuerliche Abbildung φji : Gj = G/Nj → G/Ni =
Gi und wir stellen fest, dass die φji die Axiome eines projektiven Systems
erfuellen und dass φ(G) schon in lim
Gi liegt. Wir behaupten, dass φ ein
→
i
isomorphismus ist.
Injektivitaet. Sei φ(g) = 1, dann ist 1 = pi (φ(g)) = gNi , damit liegt
g in jedem offenen Normalteiler Ni und nach (b) liegt g in jeder offenen
Untergruppe von H. Diese bilden aber eine Einsumgebungsbasis und da G
hausdorffsch ist, folgt g = 1.
Stetigkeit. Da der projektive Limes die Teilraumtopologie
Q des Produktes
hat, reicht es, zu zeigen, dass φ als Abbildung von G nachQ i Gi stetig ist. Da
das Produkt die Initialtopologie der Projektionen pj : i Gi → Gj traegt,
φ
genuegt es, festzustellen dass fuer jedes j ∈ I die Abbildung φj : G −→
Q
pj
i Gi −→ Gj = G/Nj stetig ist. Da G/Nj die diskrete Topologie traegt ist
jede Teilmenge offen, wir haben also zu zeigen, dass φ−1
j ({gNj }) offen ist fuer
jedes g ∈ G. Dieses Urbild ist aber gleich gNj und diese Menge ist offen in
G, da Nj eine offene Menge ist.
2
Surjektivitaet Sei x ∈ lim
Gi . Fuer jedes i ist Ki = φ−1
i (xi ) eine nichtleere,
→
i
offene und abgeschlossene Teilmenge von G. Fuer je endlich viele i1 , . . . in ∈ I
ist Ki1 ∩ · · · ∩ Kin 6= ∅, denn die Gruppe N = Ni1 ∩ · · · ∩ Nin ist selbst wieder
ein offener Normalteiler, also existiert ein Index j mit N = Nj . Es folgt
j ≥ i1 , . . . , in und es ist istTKi1 ∩ · · · ∩ Kin = Kj 6= ∅. Aus der Kompaktheit
von G folgt nun, dass K = i∈I Ki 6= ∅. Sei also y ∈ K, dann folgt φi (y) = xi
fuer jedes i und damit ist φ(y) = x und φ ist als surjektiv erkannt.
Es bleibt zu zeigen, dass die Umkehrabbildung von φ stetig ist, dies folgt
aber automatisch aus der Kompaktheit von G und der Hausdorffeigenschaft
des projektiven Limes, denn es ist zu zeigen, dass die Bilder offener Mengen
offen sind. Durch Uebergang zu Komplementen ist dies aequivalent dazu,
dass Bilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind. Sei also A ⊂ G
abgeschlossen. dann ist A kompakt, da G kompakt ist. Damit ist φ(A) ⊂
lim
Gi kompakt. Da lim
Gi hausdorffsch ist, ist φ(A) abgeschlossen und wir
→
→
i
i
sind fertig.
3