Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
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Humboldt-Universität zu Berlin Mathematik für Naturwissenschaftler II Institut für Mathematik Sommersemester 2015, Übung am 23. Juni 2015 Dr. Jens A. Griepentrog http://www.math.hu-berlin.de/∼griepent/chemie.html Übungsblatt 11 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen Aufgabe 1. Gegeben seien zwei Spulen mit den Induktivitäten L1 = 7 H, L2 = 28 H, den Widerständen R1 = 60 Ω, R2 = 240 Ω und der gegenseitigen Induktivität M = 6 H. In den Spulen fließen Ströme, es wirken eingeprägte Spannungen sowie die von der Selbstinduktion hervorgerufenen und die von der Gegeninduktivität erzeugten Spannungen. Wegen des Ohmschen Gesetztes führt dies auf das Anfangswertproblem ! ! ! ! ! ! ! L1 M I10 (t) R1 0 I1 (t) U1 (t) I1 (0) I10 = für t ≥ 0, = . + M L2 I20 (t) 0 R2 I2 (t) U2 (t) I2 (0) I20 Man berechne die Ströme I : [0, ∞) → R2 für den Fall, daß I10 = I20 = 0 A sowie U1 (t) = U0 sin ωt mit U0 = 680 V, ω = 8 Hz und U2 (t) = 0 V vorgegeben sind! Aufgabe 2. Ein schwerer Massenpunkt bewegt sich an einer federnden Aufhängung, die im Nullpunkt befestigt ist. Eine Federkraft sucht ihn nach dem Nullpunkt, die Schwerkraft hingegen in die Tiefe zu ziehen. Man löse das Anfangswertproblem mv 0 (t) + kx(t) = mg, v(0) = v 0 , x0 (t) − v(t) = 0, x(0) = x0 , für Ort x : [0, ∞) → R3 und Geschwindigkeit v : [0, ∞) → R3 des Massenpunktes, wenn seine Masse m > 0, die Federkonstante k > 0 und die Schwerkraft mg ∈ R3 sowie der Anfangsort x0 ∈ R3 und die Anfangsgeschwindigkeit v 0 ∈ R3 vorgegeben sind! Aufgabe 3. Ein elektrisch geladenes Teilchen der Masse m > 0 und der Ladung q ∈ R bewegt sich in einem konstanten Magnetfeld b ∈ R3 unter dem Einfluß der LorentzKraft. Man bestimme die Lösung des Anfangswertproblems mv 0 (t) − qv(t) × b = 0, v(0) = v 0 , x0 (t) − v(t) = 0, x(0) = x0 , für Ort x : [0, ∞) → R3 und Geschwindigkeit v : [0, ∞) → R3 des Massenpunktes, wenn der Anfangsort x0 ∈ R3 und die Anfangsgeschwindigkeit v 0 ∈ R3 vorgegeben sind!
