Parameteridentifikation bei permanenterregten Synchronmaschinen
Werbung
.
Parameteridentifikation bei
permanenterregten
Synchronmaschinen
Der Technischen Fakultät der
Universität Erlangen-Nürnberg
zur Erlangung des Grades
DOKTOR–INGENIEUR
vorgelegt von
Dipl.-Ing. Univ. Sven Ludwig Kellner
Erlangen – 2012
II
.
Als Dissertation genehmigt von
der Technischen Fakultät der
Universität Erlangen-Nürnberg
Tag der Einreichung:
05.07.2012
Tag der Promotion:
30.11.2012
Dekan:
Prof. Dr.-Ing. habil. Marion Merklein
Berichterstatter:
Prof. Dr.-Ing. Bernhard Piepenbreier
Prof. Dr.-Ing. Gerhard Huth
III
.
Remember, that time is money.
He that can earn ten shillings a day by his labor,
and goes abroad, or sits idle, one half of that day,
though he spends but six pence during his diversion or idleness,
ought not to reckon that the only expense; he has really spent,
or rather thrown away, five shillings besides.
Benjamin Franklin (1706 - 1790)
Advice to a Young Tradesman, 1748
IV
Vorwort
Während der Entstehung der vorliegenden Arbeit war war ich als akademischer Rat am
Lehrstuhl für Elektrische Antriebe und Maschinen der Friedrich-Alexander-Universität
Erlangen-Nürnberg beschäftigt.
Ermöglicht wurde diese Arbeit durch den Lehrstuhlinhaber Prof. Dr.-Ing. Bernhard
Piepenbreier, dem mein ganz besonderer Dank gilt. Des Weiteren möchte ich mich
bei Prof. Dr.-Ing. Gerhard Huth, Inhaber des Lehrstuhls für Mechatronik und Elektrische Antriebssysteme der Technischen Universität Kaiserslautern, für sein Interesse
an meiner Forschung und die Übernahme des Koreferats bedanken. Bei Prof. Dr.-Ing.
Ingo Hahn bedanke ich mich für die fachlichen Diskussionen, seine Unterstützung
während meiner Zeit am Lehrstuhl und die Übernahme des Prüfungsvorsitzes. Weiterhin möchte ich mich bei Prof. Dr.-Ing. habil. Kai Willner für seine Teilnahme als
fachfremdes Prüfungsmitglied bedanken. In Zusammenhang mit dem Forschungsthema gebührt besonderer Dank den Herren Dr.-Ing. Gerald Amler und Dr.-Ing. Hans
Bergner, ohne deren Hilfe meine Forschung so nicht hätte realisiert werden können.
Gerne erinnere ich mich an die Gespräche mit meinem Zimmerkollegen Dr.-Ing. Lothar
Sack, zu denen des Öfteren auch Prof. Dr.-Ing. Gerald Pfaff gestoßen ist. Mir haben
diese Unterhaltungen viel Freude bereitet, sodass ich beiden an dieser Stelle ein Dankeschön aussprechen möchte. Der technische und wirtschaftliche Dialog mit Herrn
Dr.-Ing. Josef Reill hat mich überaus erfolgreich durch so manche Krise gebracht. Unter anderem für die dankbare Aufgabe des Korrekturlesens möchte ich mich bei Frau
Dipl.-Technomath. Veronika Kräck bedanken, ein spezieller Dank geht an Herrn Dipl.Ing. Stefan Meier. Für die sehr angenehme Arbeitsatmosphäre bedanke ich mich bei
allen (ehemaligen) Kolleginnen und Kollegen ganz herzlich!
Last but not least geht mein herzlichster Dank an meine Eltern Ute und Jürgen Kellner,
meine beiden Brüder Ralf und Uwe und natürlich meine Partnerin Katharina. Auf eure
Unterstützung konnte ich jederzeit zählen – das weiß ich sehr zu schätzen.
V
VI
Summary
Permanent magnet synchronous machines are used in a wide range of applications,
mainly in small and medium sized drive trains. In many applications the closed loop
control has to be as dynamic as possible. In some cases (i.e. cost-sensitive ones) a sensorless acquisition is desired. In such applications it is paticularly important to know
the electrical parameters of the machine: Dynamic sensorless closed loop controls
require the inductances of the machine not only to be constant but also variable values, depending on the current present. The flux linkage of permanent magnets varies
due to aging and temperature changes in the magnets. In addition, the ohmic stator
resistance doubles during normal operation due to temperature alterations. Both the
permanent magnet flux linkage and ohmic stator resistance are essential in order to
calculate the internal torque.
This work includes the measurement and identification of the parameters of permanent magnet synchronous machines. The parameters include absolute and differential inductances, the ohmic stator resistance, and the permanent magnet flux linkage.
The theory is based on the rotor-fixed d,q-coordinate system. To consider non-linear
behaviour of the machine, such as saturation or cross-coupling effects, the known linearized ud ,uq -voltage equations are modified and become general voltage equations.
These general equations contain an additional model to consider the speed-dependent
iron losses. Measurements on test benches with machines of different type (i.e. external and internal magnets) are being conducted to prove the concept.
For precise closed loop control, knowledge of the absolute and differential inductances is of great importance. Generally, the inductances depend on the two stator currents in the rotor-fixed coordinate system, in other words an offline identification
method is sufficient. The absolute inductances are identified with a method requiring
a constant speed of the drive system, the method employed to measure the differential inductances uses test signals, very similar to those needed for sensorless operation
near stand-still. To identify the ohmic stator resistance a new method using low frequency test signals is presented. Contrary to known passive methods, the new method
is robust against offset measurement errors, i.e. due to non-linearities of the inverter.
VII
VIII
Summary
Especially with passive identification methods, those offset errors lead to a very limited operating range. In contrast, the stable performance of the new measurement method is proven by extensive measurements on three different test benches. Once the
stator resistance is identified, the permanent magnet flux linkage can be calculated.
Two different methods are presented. The first uses stationary states with constant
drive speeds, in which the speed has to be higher than a minimal value. The second
method can be used when the drive speed is constantly changing and therefore can
even identify the permanent magnet flux linkage at zero speed. The influence of parameter errors on the identification of inductances, stator resistance, and permanent
magnet flux linkage is discussed.
The results of this work can be used as a basis for a more accurate model of permanent
magnet synchronous machines, i.e. for simulation purposes or as an observer. Other
applications in need of accurate parameters are highly-dynamic closed loop controls
with speed/position sensors or or to allow for cost savings due to drive system parts
that are no longer needed, such as speed, position or torque sensors.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
V
Summary
VII
1 Einleitung
1
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
5
2.1 Motorbauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2 Motorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.1 Läuferfeste Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Linearisierte Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Allgemeine Motorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.4 Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Pulsumrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Allgemeine Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Vereinfachte Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Testsignalverfahren für niedrige Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2 Differentieller Schenkligkeitskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.3 EMK-Verfahren für hohe Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Berücksichtigung der Eisenverluste
63
3.1 Allgemeine Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Linearer stationärer Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Einführung der Eisenverlustparameter ξd und ξq . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Identifikation der Eisenverlustparameter am Prüfstand . . . . . . . . . . . . 75
4 Induktivitäten
79
4.1 Darstellung der Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.1 Lineare Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.2 Kubische Spline-Interpolation für Parameterkurven . . . . . . . . . . 86
4.1.3 Bi-kubische Spline-Interpolation für Parameterflächen . . . . . . . . 92
IX
X
Inhaltsverzeichnis
4.2 Absolute Induktivitäten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.2 Berücksichtigung der Eisenverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.3 Identifikation in der Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.4 Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Differentielle Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.2 Messablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.3 Testsignalerzeugung und Auswertung am Prüfstand . . . . . . . . . 121
4.3.4 Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4 Integration der Messdaten in die Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5 Ständerwiderstand und -temperatur
137
5.1 Vorhandene Literatur auf dem Gebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2 Konventioneller Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2.1 Auswertung der ud -Spannungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2.2 Auswertung der uq -Spannungsgleichung
. . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3 Identifikation mit Testsignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.3.1 Berücksichtigung der Eisenverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.3.2 Erzeugung der Offsetsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.3.3 Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3.4 Implementierung in der Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.3.5 Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.4 Ständertemperatur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6 Permanentmagnetflussverkettung
179
6.1 Permanentmagnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.2 Identifikation mit Testsignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.2.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.2.2 Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.3 Identifikation durch Geschwindigkeitsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.3.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.3.2 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.3.3 Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7 Auswirkung von Parameterfehlern
199
7.1 Theorie zur Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2 Parameterfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.2.1 Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.2.2 Ständerwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Inhaltsverzeichnis
XI
7.2.3 Permanentmagnetflussverkettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.3 Auswirkung auf die Drehmomentberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.4 Auswirkung auf die geberlose Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4.1 Testsignalverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4.2 EMK-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8 Zusammenfassung
225
Abbildungsverzeichnis
227
Literaturverzeichnis
234
A Prüfstände
247
A.1 Echtzeitrechensystem dSPACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
A.2 Prüfstand A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
A.2.1 Prüfling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
A.2.2 Belastungsmaschine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
A.2.3 Identifikation des Ständerwiderstands . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
A.3 Prüfstand B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
A.3.1 Prüfling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
A.3.2 Belastungsmaschine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
A.3.3 Identifikation des Ständerwiderstands . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
A.4 Prüfstand C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
A.4.1 Prüfling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
A.4.2 Identifikation des Ständerwiderstands . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
B Verwendete Abkürzungen
261
C Verwendete Symbole und Formelzeichen
263
XII
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1
Einleitung
Elektrische Synchronmaschinen mit Permanentmagneterregung werden in einer Vielzahl unterschiedlicher Anwendungen, vor allem bei kleinen bis mittleren, im Einzelfall
auch großen Leistungen, eingesetzt. Oftmals sind dies Anwendungen, die eine hochdynamische Regelung erfordern. Teilweise wird aus Kosten- oder Wartungsgründen
zudem auf einen Drehgeber verzichtet, die Lage des Läufers zum Ständer wird dann
„geberlos“ aus den elektrischen Größen geschätzt. Gerade hierbei ist es nötig, die elektrischen Parameter der Maschine zu kennen: Die hochdynamischen (geberlosen) Regelungen benötigen die Induktivitäten der Maschine nicht nur als konstante Größen,
sondern abhängig von den momentanen Strömen. Die Flussverkettung der Permanentmagnete ändert sich aufgrund von Alterungserscheinungen und Temperaturveränderungen im Laufe des Betriebs. Zusammen mit dem ohmschen Ständerwiderstand, der
sich durch Erwärmung des Ständers im Laufe des Betriebs im ungünstigen Fall fast
verdoppeln kann, wird die Permanentmagnetflussverkettung zum Beispiel zur Berechnung des Motordrehmoments verwendet.
Induktivitäten können auf verschiedene Arten offline gemessen werden. Eine Möglichkeit ist die Nutzung der im Regelfall bereits im Rahmen der Maschinenauslegung
durchgeführten Finite-Elemente-Berechnung (FEM) und Berechnung der Induktivitäten
auf dieser Basis. Die Herausforderung hierbei ist, dass die auf Basis einer vereinfachten und idealisierten Maschine durchgeführte FEM-Berechnung dennoch realistische
Werte liefern soll. Bei realen Maschinen treten zum einen Fertigungstoleranzen auf
und zum anderen werden Wickelköpfe oder ähnliche Elemente von Maschinen in der
meist in 2D durchgeführten FEM-Berechnung nicht berücksichtigt. Daher ist es oftmals sinnvoll, die Induktivitäten zwar weiterhin offline, allerdings an der realen Maschine, zu messen. Hier gibt es unter anderem zwei erfolgversprechende Ansätze:
Einerseits ist es möglich, mit auf unterschiedlichen Wegen realisierten Testsignalen
im Stillstand der Maschine die sogenannten differentiellen Induktivitäten zu bestim1
2
1 Einleitung
men. Andererseits können bei konstanter Drehzahl die absoluten Induktivitäten identifiziert werden. Sind die Induktivitäten gemessen, können sie in geeigneter Weise
innerhalb der Regelung gespeichert werden. Diese Arbeit behandelt sowohl Verfahren
zur Messung der Induktivitäten wie auch deren Nachbearbeitung, um zu sinnvollen
und schließlich möglichst einfach zu implementierenden Induktivitätsverläufen zu
gelangen. Im Gegensatz zu den Induktivitäten ist es sinnvoll, den ohmschen Ständerwiderstand der Synchronmaschine während des laufenden Betriebs, also online,
zu identifizieren. Zur Identifikation des Ständerwiderstands gibt es in der Literatur
eine Anzahl von verschiedenen Ansätzen, zum Beispiel MRAC-Algorithmen (model
reference adaptive control) oder hochfrequente Testsignale. Das in dieser Arbeit vorgestellte Verfahren zur Widerstandsidentifikation unterscheidet sich in wesentlichen
Punkten von den bereits bekannten Verfahren. Es verwendet ein rechteckförmiges
Testsignal niedriger Frequenz, was unter anderem eine rechenzeitsparende Implementierung ermöglicht. Um die Auswirkungen auf die Drehmomentbildung möglichst gering zu halten, wird das Testsignal in die flussbildende Achse eingespeist. Der zugehörige und zudem möglichst einfach gehaltene Algorithmus muss nur einmal je
Testsignalhalbwelle berechnet werden. Einige Teilaspekte dieser Dissertation wurden
vorab veröffentlicht und erscheinen mit einem vorangestellten K in der Literaturliste:
[K-1, K-2, K-3, K-4, K-5, K-6, K-7, K-8]
Verifiziert wurden die in dieser Arbeit vorgestellten theoretischen Überlegungen durch
intensive Messungen an drei Prüfstandsaufbauten A, B und C im Labor. Die ausgewählten Prüflingsmaschinen decken einen großen Teil der derzeit am Markt befindlichen
permanenterregten Synchronmaschinen ab: Einen Leistungsbereich von klein (A) bis
Abbildung 1.1: Prüfstand A: Der Prüfling befindet sich links, die Lastmaschine rechts.
3
Läufer
Ständer
verteilte
konzentrierte
Oberflächen-
vergrabene
Wicklung
Wicklung
magnete
Magnete
A
Prüfstand
B
C
Abbildung 1.2: Übersicht über die verwendeten Prüfstände
mittel (B, C), verteilte (C) und konzentrierte (B) Wicklungen im Ständer und läuferseitig
Oberflächenmagnete (C) sowie vergrabene Magnete (B). Eine Übersicht in tabellarischer
Form zeigt Abbildung 1.2. Immer dann, wenn es sich bei den Abbildungen im Text um
Messergebnisse eines der drei Prüfstände handelt, ist dies ausdrücklich durch Angabe des entsprechenden Prüfstands in Klammern vermerkt. Abbildung 1.1 zeigt den
Prüfstand A: Links die Sanyo-Prüflingsmaschine mit einer Nennleistung von 0,75 kW,
rechts die Gleichstromlastmaschine. Die exakten technischen Daten, auch des Umrichters und Echtzeitrechensystems, finden sich im Anhang A.2. Die Maschinenkonfigura-
Abbildung 1.3: Prüfstand C: Auch hier befindet sich der Prüfling links, die Lastmaschine rechts.
tion C ist in Abbildung 1.3 zu sehen. Auch hier ist links wieder der Prüfling, eine permanenterregte Synchronmaschine mit Oberflächenmagneten und einer Nennleistung
von 26,2 kW, und rechts die durch einen Thyristorsteller gespeiste Gleichstromlastmaschine zu sehen. Nicht dargestellt ist der Prüfstand B, allerdings entspricht dieser –
bis auf die Prüflingsmaschine – dem Aufbau des Prüfstands C. Die permanenterregte
Synchronmaschine B beinhaltet vergrabene Magnete im Läufer und eine Zahnspulenwicklung im Ständer.
4
1 Einleitung
Kapitel 2
Antriebe mit permanenterregten
Synchronmaschinen
Dieses Kapitel legt die theoretischen Grundlagen für die Beschreibung der Messverfahren für Induktivitäten und insbesondere der Ständerwiderstandsidentifikation. Den
Induktivitätsmessungen in Kapitel 4 liegt das in diesem Kapitel zu beschreibende,
allgemeine Motormodell zugrunde, welches neben den Eisensättigungserscheinungen
und Kreuzkopplungseffekten auch die Eisenverluste angemessen berücksichtigt. Zusätzlich werden die grundlegenden Bauformen von permanenterregten Synchronmaschinen beschrieben und deren Unterschiede, insbesondere im Hinblick auf Durchflutungsverteilungen, erläutert (Kapitel 2.1). Auf Basis der linearisierten Gleichungen für
permanenterregte Synchronmaschinen (PMSM) werden im Kapitel 2.2 verallgemeinerte
Maschinengleichungen hergeleitet, die zusätzlich Kreuzkopplungs- und Sättigungserscheinungen berücksichtigen. Verfahren zur Linearisierung von Umrichtern werden
im Kapitel 2.3 beschrieben. Das letzte Unterkapitel 2.4 beschäftigt sich mit Verfahren
zur geberlosen Regelung von PMSM. Die entwickelten, allgemeinen Motorgleichungen
werden auf die Verfahren zur geberlosen Regelung angewendet (Kapitel 2.4). Eine gute
Übersicht und weitergehendes Hintergrundwissen über die Fortschritte und Möglichkeiten im Bereich der permanenterregten Synchronmaschinen finden sich in [12].
2.1 Motorbauformen
Permanenterregte Synchronmaschinen, die in dieser Arbeit untersucht werden, haben
insbesondere eine Gemeinsamkeit: Permanentmagnete – fast ausschließlich aus Materialien aus Seltenen Erden gefertigt – am oder im Rotor mit dem Zweck des Erzeugens
eines Erregerfeldes. An diesem Punkt jedoch beginnen bereits die mannigfaltigen Unterschiede dieses allgemeinen Maschinentyps der PMSM. In der konventionellen Vari5
6
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
(a)
(b)
(c)
Abbildung 2.1: Vergleich verschiedener Magnetanordnungen am Rotor: (a) An der Rotoroberfläche, (b)
im Rotor, also innen liegend oder „vergraben“ und (c) als Flusssammleranordnung
ante werden die Magnete auf die Oberfläche aufgeklebt und anschließend meist noch
bandagiert. Diese in Abbildung 2.1a dargestellte Rotorbauweise ist aufgrund der nötigen Fixierung der Permanentmagneten gegen die Fliehkräfte aufwändig und damit
kostenintensiv. Dafür sind die Eigenschaften einer Maschine mit Oberflächenmagneten, insbesondere bei gleichzeitiger Verwendung von verteilten Wicklungen im Ständer, in einem weiten Betriebsbereich in guter Näherung linear. Zusätzlich sind die Induktivitäten Ld und Lq in den rotorfesten Koordinaten (Kapitel 2.2.1, 11ff) annähernd
identisch. Auf eine gesonderte Fixierung der Magnete kann verzichtet werden, wenn
man die Permanentmagnete innerhalb des Rotorblechpakets positioniert, sie werden
dann ausschließlich durch das umgebende Blechpaket in Position gehalten. Der prinzipielle Aufbau eines Rotors mit innen liegenden, oder auch vergrabenen, Magneten
ist in Abbildung 2.1b,c dargestellt. Denkbar sind jedoch auch andere Rotorbauformen
als die drei vorgestellten. Nachteile der einfachen Montage der vergrabenen Magneten
sind nichtlineare Effekte wie starke Sättigungs- und Kreuzkopplungserscheinungen.
Die einfachen, linearisierten Gleichungen zur Beschreibung von PMSM gelten hier nur
noch bedingt und müssen für einige Anwendungen erweitert werden. Dies führt zu
den in Kapitel 2.2.3 ab Seite 17 beschriebenen allgemeinen Motorgleichungen.
Neben den verschiedenen Rotorbauformen gibt es auch verschiedene Arten, die Ständer von PMSM zu kombinieren und zu fertigen. Hier wird unterschieden zwischen verteilten und konzentrierten Wicklungen, Letztere werden auch als Zahnspulen- oder
Einzelzahnwicklungen bezeichnet. Bei verteilten Wicklungen sind Hin- und Rückleiter
einer Windung – Sehnung und Zonung vernachlässigt – jeweils um 180◦ elektrisch
voneinander verschoben am Umfang angebracht. Dies bedeutet einen großen Wickelkopf und damit einhergehende erhöhte ohmsche Kupferverluste, Materialkosten, Bauraumbedarf und Gewicht. Zudem ist die Fertigung aufgrund der komplexen Wickelschemata relativ zeitaufwändig und kostenintensiv. Zahnspulenwicklungen hingegen
werden, wie es der Name bereits vermuten lässt, jeweils als Ganzes um einen Zahn
gewickelt. Alternativ kann jede Spule auch vorgewickelt und anschließend fertig auf
2.1 Motorbauformen
7
einen Zahn geschoben werden. Damit ergeben sich kleinere Wickelköpfe und vereinfachte Arbeitsabläufe, was schließlich zu einer kostengünstigen Fertigung führt. Die
einfachere Bauweise von Ständern mit konzentrierten Wicklungen – einer anderen Bezeichnung für Zahnspulenwicklungen – wird allerdings durch Nachteile in deren elektrischem Verhalten erkauft. Besonders der hohe Anteil an Harmonischen im Luftspalt
ist als Nachteil zu sehen. Dieser wird im weiteren Verlauf dieses Kapitels erläutert. Im
Rahmen dieser Arbeit werden nur die wesentlichen Bauformen von Ständer und Rotor
von PMSM erklärt. Diese Hauptbauformen werden in unterschiedlichen Varianten und
Ausprägungen gefertigt. Für weitergehende Informationen wird an dieser Stelle auf
die verfügbare Fachliteratur verwiesen [12, 13, 14].
Der Unterschied zwischen verteilter und konzentrierter Ständerwicklung lässt sich gut
anhand der Durchflutungsverteilungen erkennen. Da bei den folgenden Betrachtungen
nur prinzipielle Verhältnisse erläutert werden sollen, werden zwei Vereinfachungen
angenommen:
• Es wird angenommen, dass die Permeabilität µF e gegen unendlich geht. Damit
fällt bei allen Integrationswegen durch das Eisen dort keine magnetische Span-
nung ab, das heißt, ausschließlich Wege im Luftspalt sind für den magnetischen
Widerstand relevant.
• Ferner wird vorausgesetzt, dass der Luftspalt konstant und der Einfluss der
Nutschlitze vernachlässigbar ist. Damit sind die Verhältnisse im Luftspalt über
den gesamten Motorumfang konstant.
Die Durchflutung θ im Luftspalt wird über ein Ringintegral, welches über dem Luftspalt geschlossen wird und die Ständerströme einschließt, ermittelt. Die allgemeine
Formel für die Durchflutung lautet:
I
X
→
→
θ(x, x0 ) = H ◦ d s = Vδ (x) − Vδ (x0 ) =
i.
(2.1)
Das heißt, die Durchflutung ist im Allgemeinen durch die Differenz der beiden magnetischen Spannungen Vδ (x) und Vδ (x0 ) definiert und damit von den beiden Luftspaltpositionen abhängig, durch die das Ringintegral gelegt wird. Die magnetische
Spannung im Luftspalt Vδ (x) lässt sich wie folgt beschreiben:
Vδ (x) =
Zb
a
→
B(x)
→
δ.
H ◦ d s = H(x) δ =
µ0
(2.2)
Die einzelnen Variablen sind in Abbildung 2.2 definiert. Um schließlich zur üblichen
Darstellung der Durchflutungsverteilung im Luftspalt zu gelangen, wird folgenes Verfahren angewendet: Die Variable x0 wird auf exakt den Wert gelegt, bei dem für die
8
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
y
a
θ
τ
x
b
i
2
θ
τ
x
− 2i
Abbildung 2.2: Definitionen der elektrischen Größen und Beispiel einer Durchflutungsverteilung einer
Wicklung
magnetische Spannung
!
Vδ (x0 ) = 0
(2.3)
gilt. Nur dann ist der Mittelwert der Durchflutung θ(x) und damit die Quellenfreiheit
der magnetischen Induktion
B(x) =
µ0
θ(x)
δ
(2.4)
gegeben. In Abbildung 2.2 wurde das Ringintegral bereits entsprechend gewählt. In der
Mitte eines Leiters ist die magnetische Spannung gleich null, da hier die magnetische
Induktion im Luftspalt Bδ (x) ebenfalls gleich null ist. Werden nun alle Durchflutungsringintegrale nach Gleichung (2.1) auf diesen Punkt bezogen, dann ergibt sich der in
Abbildung 2.2 unten aufgezeichnete Verlauf der Durchflutungsverteilung θ(x).
Sind in einem Ständer einer Drehfeldmaschine mehrere Spulen beziehungsweise Wicklungen verbaut, so können die Durchflutungen der einzelnen Wicklungen jeweils addiert werden. Abbildung 2.3a zeigt die Durchflutungsverteilung eines Ständers mit
verteilten Wicklungen. Die Durchflutungsverteilung einer Zweischichtzahnspulenwicklung ist in Abbildung 2.3b zu sehen. Im Gegensatz zum Ständer mit verteilter Wicklung beinhaltet die Durchflutungsverteilung bei der Zahnspulenwicklung neben der
Grundwelle einen deutlich höheren Anteil an Oberwellen. Die Abbildung 2.4 zeigt diese Durchflutungsverteilungen räumlich, das heißt bei verschiedenen Phasenlagen ωt
der Ständerströme. Gut zu erkennen sind die jeweiligen Wanderwellen, die sich dann
zeitabhängig ausbilden. Um die Darstellung zu vereinfachen, wurde jeweils ein Motor mit nur einem Polpaar angenommen, oder, anders ausgedrückt, es ist nur eine
elektrische Umdrehung des Motors gezeichnet.
2.2 Motorgleichungen
9
y
y
A+
C-
B+
A-
C+
C- A+
B-
A- B+
B- C+
τ
τ
x
θa
x
θa
τ
τ
x
θb
x
θb
τ
τ
x
θc
x
θc
τ
τ
x
θges
x
θges
τ
τ
x
(a) Verteilte Wicklungen
x
(b) Zweischicht-Zahnspulenwicklung
Abbildung 2.3: Durchflutungsverteilung bei einem Ständer einer zweipoligen Drehfeldmaschine mit (a)
verteilten Wicklungen beziehungsweise (b) einer Zweischicht-Zahnspulenwicklung zu einem diskreten
Zeitpunkt
2.2 Motorgleichungen
Grundlegende Aussagen zur Beschreibung elektrischer Maschinen liefern Standardwerke wie zum Beispiel [15, 16, 17, 18]. Bei den in dieser Arbeit betrachteten, hochausgenutzten PMSM sind die in aller Regel verwendeten linearisierten Spannungsgleichungen mit konstanten elektrischen Parametern allerdings nicht mehr ausreichend.
Es werden daher in Unterkapitel 2.2.3 allgemeinere Gleichungen vorgestellt, die veränderliche Parameter, insbesondere veränderliche Induktivitäten, beinhalten. Es gibt
verschiedene Ansätze zur Erweiterung der linearisierten Gleichungen. Einige Ansätze unterteilen die absoluten Induktivitäten Ld und Lq in zwei separate Selbst- und
Gegeninduktivitäten. Bei [19] sind dabei sowohl die Selbst- als auch die Gegeninduk-
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
2
2
1
1
θges
θges
10
0
−1
0
−1
0
0
300
2
300
2
200
4
ωt
100
6
0
2τp
(a) verteilte Wicklungen
200
4
ωt
100
6
0
2τp
(b) Zweischicht-Zahnspulenwicklung
Abbildung 2.4: Durchflutungsverteilungen von zwei verschiedenen Ständerwicklungsgeometrien. Neben der räumlichen Position der jeweiligen Durchflutung im Luftspalt ist jeweils zusätzlich die Abhängigkeit von der Phasenlage der am Ständer anliegenden Ströme berücksichtigt (ωt).
tivitäten jeweils von beiden Strömen id und iq abhängig. Auf die Definitionen der
Flussverkettungen wird in [19] nicht weiter eingegangen. Eine andere Möglichkeit ist,
die Selbstinduktivitäten als rein von dem „eigenen“ Strom abhängig zu betrachten
und alle anderen Effekte in die Gegeninduktivitäten zu integrieren [K-1, 20, 21, 22].
Damit die Induktivität Ld für id gegen null nicht fehlerhaft gemessen beziehungsweise berechnet wird, muss zusätzlich der Permanentmagnetfluss ψp als abhängig von
iq angenommen werden, sofern Sättigungserscheinungen auftreten [23]. Bei den genannten Methoden wird vereinfachend angenommen, dass die elektrischen Parameter
nicht abhängig vom Rotorwinkel γ sind. Diese Abhängigkeiten, zum Beispiel Nutrasteffekte, wurden in [24] näher untersucht. Energiebasierte Ansätze [25, 26] werden im
Rahmen dieser Arbeit nicht weiter verfolgt.
Im Gegensatz zu den genannten Ansätzen zur allgemeinen Modellierung wird in dieser Arbeit weiterhin – genau wie bei den linearisierten Gleichungen – lediglich jeweils
eine absolute Induktivität in d- und q-Richtung verwendet. Dies hat den immensen
Vorteil, dass bei Vereinfachungen wieder das lineare Gleichungssystem entsteht. Auch
diese erweiterten Gleichungen unterschlagen jedoch in ihrer einfachen Version die Berücksichtigung der Eisenverluste. Dies ist aber notwendig, um Induktivitäten messen
und insbesondere den ohmschen Ständerwiderstand in der gewünschten Genauigkeit
identifizieren zu können. In Kapitel 3 werden daher die grundlegenden Effekte, die zu
den Eisenverlusten führen, erläutert und die dazugehörige Literatur diskutiert. Eine
Möglichkeit zur Berücksichtigung der Eisenverluste wird dargestellt und in die Gleichungen eingefügt. Alle Anpassungen des Maschinenmodells beziehen sich aber weiterhin nur auf das Grundwellenverhalten der Maschine. Die zusätzliche Betrachtung
2.2 Motorgleichungen
11
der Oberwelleneffekte wird aus Platzgründen innerhalb dieser Arbeit nicht weiter betrachtet. Lagewinkelabhängige Verläufe werden zum Beispiel in [24] besprochen und
in einem Maschinenmodell berücksichtigt.
2.2.1
Läuferfeste Koordinaten
Auf die grundlegenden elektrischen Effekte reduziert kann eine permanenterregte Synchronmaschine nach Abbildung 2.5 dargestellt werden: drei konzentrierte Induktivitäten im Ständerblechpacket zusammen mit dem Permanentmagneten im Läufer. Etwas
umgezeichnet ergibt sich für den Ständer einer PMSM die Abbildung 2.6. Die Herleitung physikalischer Zusammenhänge wird an dieser Stelle nicht weiter thematisiert,
hierfür wird auf einschlägige Literatur verwiesen [13, 15, 16, 17, 18, 27, 28].
a
α
ia
d
ua
γx
x
γel
N
β
ub
S
ib
uc
b
ic
c
q
Abbildung 2.5: Graphische Veranschaulichung der verschiedenen Koordinatensysteme: dreiphasig (a,
b, c), ständerfest (α, β) und rotorfest (d, q).
Das Induktionsgesetz (2.5) besagt, dass die in einer Spule induzierte Spannung gleich
der entgegengesetzen Änderung der durch die Wicklungen der Spule fließenden Flussverkettung ist [29, Gleichungen 3.42b und 4.10][30]:
ui = −
d
ψ
dt
(2.5)
12
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
ua
uab
ubc
ia
Rs
ψa
ib
Rs
ψb
ic
Rs
ψc
Abbildung 2.6: Allgemeines Netzwerk des Ständers einer Drehstrommaschine
Damit ergeben sich die fundamentalen Grundgleichungen einer permanenterregten
Synchronmaschine ganz allgemein unter Verwendung der Phasenströme und -spannungen zu [17, 27]
ua = Rs ia +
d
d
d
ψa , ub = Rs ib +
ψb und uc = Rs ic +
ψc .
dt
dt
dt
(2.6)
Die einzelnen Flussverkettungen, deren Name auf der „Verkettung“ der durch das Eisen geführten Flüsse mit den Spulen im Ständer basiert, setzen sich aus verschiedenen
Anteilen zusammen: zum einen aus dem Anteil des durch die entsprechende Wicklung
selbst fließenden Stroms, zum anderen aus den induzierten Spannungen aufgrund
der benachbarten Ständerwicklungen und schließlich aus den Anteilen der durch die
Permanentmagnete hervorgerufenen Flüsse. Es wird im Folgenden davon ausgegangen, dass das dreiphasige System symmetrisch und damit nullsystemfrei ist. Unter
dieser Voraussetzung können die dreiphasigen Beziehungen (2.6) in das sogenannte
ständerfeste α,β-Koordinatensystem transformiert werden. Dies hat den Vorteil, dass
nun komplexe Zahlen beziehungsweise Zeiger zur Darstellung der Ströme und Spannungen verwendet werden können. Der komplexe Spannungszeiger in ständerfesten
Koordinaten lautet:
α,β
u
2
ua + a ub + a2 uc
=
3
mit a = e
j
2π
3
√
3
1
=− +j
2
2
(2.7)
Eine ausführliche Beschreibung der Raumzeigerdefinition findet sich in einschlägiger
Grundlagenliteratur [18, 31]. An dieser Stelle soll nur erwähnt werden, dass der eingeführte Faktor
2
3
im Grunde einer willkürlichen Dimensionierung des Raumzeigers
entspricht. Dass diese Definition sinnvoll ist, zeigt sich bei der im späteren Verlauf dieses Kapitels hergeleiteten Gleichung (2.11): Der Realteil des eingeführten Raumzeigers
uα,β entspricht nämlich genau der Amplitude der Phasenspannung ua . Eine Vektoraddition der Phasen b und c ergibt das gleiche Ergebnis. Die einfache Rücktransformation in die Phasengrößen ist damit ohne Anpassung der Amplituden jederzeit möglich.
Zusätzlich sind bei der Wahl des Faktors
2
3
Hin- und Rücktransformation leistungsin-
variant. Die Normierung des Betrages des Raumzeigers auf Phasengrößen muss jedoch
2.2 Motorgleichungen
13
bei der späteren Berechnung des inneren Moments berücksichtigt werden. Das innere
Drehmoment berechnet sich aus den Luftspaltgrößen und enthält daher keine mechanischen Verluste, wie zum Beispiel Reibungsverluste, die in den Motorlagern auftreten.
Bei einer in Sternschaltung betriebenen Maschine, deren Sternpunkt nicht geerdet ist,
in Verbindung mit symmetrisch vorgegebenen Klemmenspannungen ist kein Nullsystem vorhanden. Daher wird zur Vereinfachung der Berechnungen davon ausgegangen,
dass das betrachtete System kein Nullsystem besitzt, auch wenn die vom Umrichter erzeugten Spannungen in der Realität nicht ideal sind und die Nullsystemfreiheit nicht
für Motoren in Dreiecksschaltung zutrifft. Es gilt:
ua + ub + uc = 0
(2.8)
Aus (2.6), (2.7) und (2.8) folgt der Spannungszeiger uα,β in ständerfesten Koordinaten
abhängig von Phasenströmen und -flussverkettungen:
α,β
u
2
=
3
d
d
2
2
Rs ia +
ψa · 1 − a + Rs ib +
ψb · a − a
.
dt
dt
(2.9)
Die Definition der einzelnen Koordinatensysteme findet sich in Abbildung 2.5. Werden
die Terme, die den Drehoperator a enthalten, ersetzt durch deren komplexe Entsprechung gemäß
√
p
3
3
1−a = +j
und a − a2 = j 3 ,
2
2
2
(2.10)
so ergibt sich die Darstellung von Real- und Imaginärteil des Spannungszeigers in
ständerfesten Koordinaten:
n
o d
Re uα,β = Rs ia +
ψa = ua
dt
o n
2
d
d
ua
2 ub
1
ψa · √ + Rs ib +
ψb · √ = √ + √
Im uα,β = Rs ia +
dt
dt
3
3
3
3
(2.11)
(2.12)
Nun kann die komplexe Spannungsgleichung in α,β-Koordinaten geschrieben werden
als
uα,β = Rs iα,β +
d
ψα,β
dt
mit iα,β = ia + a · ib + a2 · (−ia − ib ) ,
ψα,β = ψa + a · ψb + a2 · (−ψa − ψb ) .
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Aus (2.13) lassen sich durch Multiplikation mit dem entsprechenden Drehoperator
und anschließender Realteilbildung wieder die Phasenwerte berechnen. Für die Phase
b muss die Gleichung mit dem Drehoperator a, für die Phase c mit a2 multipliziert
werden. Die Phase a entspricht bereits dem Realteil des Raumzeigers. Hier kann ohne
vorherige Multiplikation gleich der Realteil gebildet werden.
14
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
Zusätzlich zum ständerfesten Koordinatensystem kann ein läuferfestes Koordinatensystem einführt werden. Der Vorteil ist hierbei, dass die läuferfesten Koordinaten
Gleichgrößen sind, während die ständerfesten Koordinaten – genau wie die Phasenströme und -spannungen – Wechselgrößen sind. Diese Eigenschaft der läuferfesten Koordinaten wird für die feldorientierte Regelung [17, 18] verwendet. Es ist mit den läuferfesten Koordinaten möglich, das Motormodell nach Gleichung (2.6) mit als Gleichgrößen abzubilden. Damit genügt es, konventionelle PI-Regler zu verwenden. Die direkte Regelung der Wechselgrößen, zum Beispiel mit einem Proportional-Regler mit
resonantem Anteil [32, 33, 34, 35] oder mit Hilfe der Zustandsregelung [36, 37], wird
in der Antriebstechnik äußerst selten eingesetzt. Die läuferfesten Koordinaten werden durch Drehung des α,β-Koordinatensystems um den elektrischen Läuferwinkel
γel gewonnen. In der Abbildung 2.5 ist die Definition der Drehung von α,β- auf d,qKoordinatensystem gezeigt. Es gelten folgende Gleichungen für den beispielhaft eingezeichneten Zeiger x:
x α,β = x · ejγx = x d,q · ejγel
x d,q = x · ej (γx −γel ) = x α,β · e−jγel
(2.16)
(2.17)
Mit Hilfe der Beziehung (2.16) lässt sich allgemein schreiben:
uα,β = ud,q ejγel = Rs id,q ejγel +
d d,q jγel ψ e
dt
(2.18)
Die in Gleichung (2.18) enthaltene Ableitung des Flusses kann mit der Produktregel
umgeschrieben werden zu
d
d d,q jγel d
d jγel
ψ e
ψα,β =
ψd,q + ψd,q
e
= ejγel
dt
dt
dt
dt
d
ψd,q + j ωel ψd,q ejγel .
=
dt
(2.19)
Es ergibt sich daher in einem ersten Schritt Gleichung (2.20) und schließlich vereinfacht (2.21) für die Spannungen im Motor in vektorieller Schreibweise:
d
d,q jγel
d,q jγel
d,q
d,q
u e
+
ψ
+ j ωel ψ
= Rs i e
ejγel
dt
d
ψd,q + j ωel ψd,q
ud,q = Rs id,q +
dt
(2.20)
(2.21)
Die Beziehung (2.21) beschreibt den Spannungsraumzeiger in den läuferfesten d,qKoordinaten, das heißt, das Koordinatensystem dreht sich entsprechend der elektrischen Winkelgeschwindigkeit ωel . Bei Synchronmaschinen entsprechen die läuferfesten Koordinaten gleichzeitig den flussorientierten Koordinaten, da der Permanentmagnetfluss mit dem Läufer rotiert. Gleichung (2.21) kann gemäß
d ψd + j ψq + j ωel ψd + j ψq
ud + j uq = Rs id + j iq +
dt
(2.22)
2.2 Motorgleichungen
15
dargestellt werden. Eine Trennung von Real- und Imaginärteil ergibt schließlich die
bekannten, üblicherweise verwendeten Gleichungen [17, 27, 38]:
Spannungsgleichungen im rotorfesten System
d
ψd − ωel ψq
dt
d
ψq + ωel ψd
uq = Rs iq +
dt
ud = Rs id +
(2.23)
(2.24)
Allgemein kann das innere Drehmoment einer einpolpaarigen elektrischen Maschine
und damit auch im Speziellen einer permanenterregten Synchronmaschine nach [27,
Seiten 91ff.] aus dem in Richtung der Motorwelle zeigenden Vektorprodukt aus Ständerfluss ψd,q und -strom id,q berechnet werden:
3 d,q
(2.25)
ψ
× id,q
2
Es wird dabei vorausgesetzt, dass die Ständerwicklung symmetrisch und dreiphasig,
Mi =
der Strombelag sinusförmig über dem Umfang verteilt und zudem kein Nullsystem
vorhanden ist. Anders dargestellt ergibt sich für das Drehmoment
3 (2.26)
Mi =
ψd + j ψq × id + j iq .
2
Das innere Moment Mi für eine Maschine mit p Polpaaren kann schließlich nach Auswertung des Vektorprodukts ermittelt werden:
inneres Drehmoment
3p ψd iq − ψq id
Mi =
2
(2.27)
Nun fehlt allein die mechanische Bestimmungsgleichung (2.28), um das System vollständig zu beschreiben:
Mi − ML = J
d
J d
ωmech =
ωel
dt
p dt
(2.28)
Hierbei steht ML für das Lastmoment, J für die Trägheit des Systems und p für die Polpaarzahl der Maschine. Damit ist die allgemeine Betrachtung des Grundwellenmodells
abgeschlossen. Nun ist es in vielen Fällen aber nötig, die Flussverkettungen durch Induktivitäten und Ströme zu ersetzen, um damit arbeiten zu können. Meist werden hierfür die linearisierten Gleichungen verwendet, dies führt zu dem im folgenden Kapitel
beschriebenen linearisierten Maschinenmodell. Bei diesem Modell sind alle Parameter,
vor allem die Induktivitäten, konstant, die Ableitungen der Flussverkettungen, die in
den Gleichungen (2.23) und (2.24) enthalten sind, daher einfach und unkompliziert
zu bestimmen. Aufgrund von Sättigungseffekten sind insbesondere bei hochausgenutzten Maschinen jedoch die Induktivitäten der PMSM gerade nicht mehr konstant,
sie sind vielmehr signifikant von den Motorströmen abhängig. Diese Sättigungs- und
Kreuzkopplungseffekte werden durch das allgemeine Motormodell beschrieben, welches im Unterkapitel 2.2.3, ab Seite 17, im Detail erläutert wird.
16
2.2.2
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
Linearisierte Gleichungen
Beim linearen Maschinenmodell gibt es definitionsgemäß keine Sättigungserscheinungen. Alle elektrischen Parameter und damit auch die Induktivitäten der Maschine sind
damit konstant. Aus dieser Annahme folgt für den Fluss in läuferfesten d,q-Komponenten:
ψd = ψp + Ld id
(2.29)
ψq = Lq iq
(2.30)
Die von den in Richtung der d-Achse ausgerichteten Permanentmagneten rufen die
ebenfalls als konstant angenommene Flussverkettung ψp hervor. Daraus ergeben sich –
eingesetzt in (2.23), (2.24) und (2.27) – die Grundgleichungen des linearen Maschinenmodells:
linearisierte Gleichungen
did
− ωel Lq iq
dt
diq
+ ωel Ld id + ωel ψp
uq = Rs iq + Lq
dt
3 Mi = p
ψp iq + Ld − Lq id iq
2
ud = Rs id + Ld
(2.31)
(2.32)
(2.33)
Die beiden Spannungsgleichungen können gemäß Abbildung 2.7 graphisch dargestellt
werden. Erkennbar ist in der Abbildung 2.7, dass die beiden Gleichungen nur über
id
Rs
Ld
Lq
Rs
iq
uq
ud
ωel Lq iq
ωel Ld id
ωel ψp
Abbildung 2.7: Graphische Darstellung der Gleichungen (2.31) und (2.32).
die beiden Spannungsquellen ωel Lq iq und ωel Ld id miteinander verkoppelt sind. Im
nächsten Kapitel 2.2.3 wird allerdings gezeigt, dass diese linearisierte Darstellungsweise mit konstanten Induktivitäten nicht immer ausreichend ist und eine allgemeinere
Darstellung benötigt wird. Auf die weitgehende Entkopplung der beiden Gleichungen
für d- und q-Richtung muss dann jedoch verzichtet werden. Löst man nun die obenstehenden Gleichungen zusammen mit der mechanischen Gleichung (2.28) nach den
Ableitungen von id , iq und ωel auf, so ergeben sich die linearen Gleichungen des
2.2 Motorgleichungen
17
permanenterregten Synchronmotors in Zustandsform:
Lq
Rs
1
did
=−
· id + ωel
· iq +
· ud
dt
Ld
Ld
Ld
diq
Rs
1
ωel
Ld
= −ωel
· id −
· iq +
· uq −
· ψp
dt
Lq
Lq
Lq
Lq
3 p2
3 p2 p
dωel
Ld − Lq i q · i d +
=
ψp · iq − · ML
dt
2 J
2 J
J
Oder übersichtlicher in Matrixschreibweise dargestellt:
˙
Lq
Rs
ω
0
−
id
el Ld
Ld
id
ψ
L
Rs
p
d
iq
iq =
−ω
−
−
el
Lq
Lq
Lq
2 2
p
p
3
3
ωel
ωel
0
Ld − Lq iq 2 J ψp
2 J
1
0
0
Ld
ud
1
+ 0 Lq
+ 0
ML
uq
p
−J
0
0
2.2.3
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
Allgemeine Motorgleichungen
Bei jeder PMSM ändern sich die Induktivitäten abhängig von der Belastung. Grund
hierfür sind in erster Linie Sättigungseffekte, aber auch Kreuzkopplungen. Letztere
entstehen durch die gegenseitige Beeinflussung der in Realität verkoppelten Induktivitäten der d- und q-Achsen des rotorfesten Systems: Da in der realen Maschine die
Flüsse der beiden Achsen in dem gleichen Ständerblech verlaufen, ist es leicht nachvollziehbar, dass zum Beispiel ein positiver id -Strom eine Vorsättigung des Blechs
verursacht und damit in der Folge bei einem zusätzlich eingeprägten iq -Strom die Sättigung des Blechs früher eintritt. Gleiches gilt auch umgekehrt. Natürlich gibt es auch
noch weitere Effekte, auf die allerdings an dieser Stelle im Einzelnen nicht eingegangen werden soll. Wichtig für diese Arbeit ist, dass solche Effekte keine unbedeutenden Nebenerscheinungen sind, sondern eine echte Relevanz für die Regelung haben
und somit berücksichtigt werden müssen. Details zu den Effekten finden sich zum
Beispiel in [14]. In diesem Kapitel werden nun nach den neuen Definitionsgleichungen für die Flussverkettungen die Spannungsgleichungen und Momentengleichung im
sättigungsbehafteten System hergeleitet. Der Vollständigkeit halber werden die entwickelten Gleichungen in die zum Beispiel für Simulationszwecke sinnvolle Zustandsform überführt.
Bei Verwendung der linearen Gleichungen aus dem vorherigen Kapitel 2.2.2 war die
Definition der Flussverkettungen gemäß
ψd = ψp + Ld id und ψq = Lq iq
18
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
leicht möglich und direkt einsichtig. Bei Berücksichtigung von Sättigungseffekten sind
die Induktivitäten Ld und Lq nicht mehr konstant, sondern ändern sich je nach Belastung des Motors, das heißt abhängig von den Strömen id und iq . Einige Autoren
[20, 21] zerteilen die Induktivitäten des linearen Systems in Selbst- und Gegeninduktivitäten, die Gleichungen der Flussverkettungen sähen dann wie folgt aus:
χ
χ
ψd = ψp + Ldd (id ) · id + Ldq (id , iq ) · iq
(2.38)
ψq =
(2.39)
χ
Lqq (iq ) · iq
χ
+ Lqd (id , iq ) · id
Um Verwechslungen mit den später eingeführten Induktivitätsdefinitionen zu vermeiden, wurden in (2.38) und (2.39) der hochgestellte griechische Buchstabe χ zu den
χ
χ
Induktivitätssymbolen hinzugefügt. Die Selbstinduktivitäten Ldd und Lqq beschreiben
die Induktivitäten, die allein durch den jeweiligen „eigenen“ Strom hervorgerufen wurχ
den, also id beziehungsweise iq . Dagegen beschreiben die Gegeninduktivitäten Ldq
χ
und Lqd den Anteil, den der jeweils andere Strom hervorruft. Wie in den Gleichungen
(2.38) und (2.39) gut zu erkennen ist, hängen die Selbstinduktivitäten nur von dem eigenen Strom ab, die Gegeninduktivitäten von beiden Strömen id und iq . In einer weiteren Literaturquelle wurden die Selbstinduktivitäten jedoch auch abhängig von beiden
Strömen id und iq gewählt [39]. Es stellt sich nun die Frage, ob diese Aufteilung der
Induktivitäten wirklich für alle Anwendungen sinnvoll ist oder ob es einfachere, intuitivere Möglichkeiten der Darstellung von Flussverkettungen im sättigungsbehafteten
System gibt. Es ist möglich, Induktivitäten gemäß
(id ,iq )
Ld
(id ,iq )
Lq
iq
id
id
χ
χ
= Lqq (iq ) + Lqd (id , iq ) ·
iq
χ
χ
= Ldd (id ) + Ldq (id , iq ) ·
und
(2.40)
(2.41)
zu definieren. Um die Abhängigkeit der Induktivitäten von den Strömen beschreiben
zu können und dennoch eine möglichst kurze Darstellungsweise zu erreichen, wird im
Folgenden diese Abhängigkeit im Exponenten der Induktivitäten kenntlich gemacht,
(id ,iq )
also zum Beispiel Ld
. Die Flussverkettungen aus den Gleichungen (2.38) und (2.39)
können dann vereinfacht analog zu den linearen Gleichungen (2.29) beziehungsweise
(2.30) beschrieben werden:
(id ,iq )
ψd
(id ,iq )
ψq
(iq )
= ψp
(id ,iq )
= Lq
(id ,iq )
+ Ld
· id und
· iq
(2.42)
(2.43)
Die obigen Definitionen (2.42) und (2.43) sind aus zweierlei Gründen sinnvoll:
1. Es ergeben sich in der Folge nicht nur kürzere mathematische Ausdrücke, sondern es ist auch für die praktische Anwendung nicht ersichtlich, welchen Mehrwert die Trennung in Selbst- und Gegeninduktivitäten hat. Im Gegenteil, der
2.2 Motorgleichungen
19
Messaufwand ist höher und es müssen mehr Parameterkurven beziehungsweise
-flächen in die Mikroprozessoren implementiert werden. Erhöhter Speicherplatzbedarf und Rechenaufwand sind die Folge.
2. Ein weiterer Vorteil ist die Tatsache, dass nun die erweiterten Gleichungen ohne
weiteres wieder in die linearisierten überführt werden können. Die obige Definition der Flussverkettungen stimmt mit der linearisierten Version überein. Werden konstante Parameter unterstellt, so entsprechen die auf den nächsten Seiten
eingeführten differentiellen Induktivitäten den absoluten, die Kreuzkopplungen
sind null. Damit werden aus den allgemeinen Motorgleichungen ohne Umwege
wieder die linearisierten Gleichungen.
Es wurde zusätzlich berücksichtigt, dass im Allgemeinen auch der Permanentmagnetfluss ψp , der sich über den Luftspalt schließt, vom iq -Strom anhängig ist. Als ψp wird
nicht der gesamte Fluss der Permanentmagnete bezeichnet, sondern lediglich der Anteil, der über den Luftspalt vom Läufer zum Ständer gelangt. Der restliche Anteil, der
sich zum Beispiel direkt im Läuferblechpaket schließt, ist nur für das Sättigungsverhalten des Motors, nicht aber für die Drehmomentbildung relevant. Abhängig vom
iq -Strom in der Maschine verändert sich damit der Fluss der Permanentmagnete über
den Luftspalt. Es wird daher im Folgenden die Beschreibung nach (2.42) und (2.43)
gewählt. Beachtet werden muss in diesem Zusammenhang, dass ψp nur von iq und
nicht von id abhängig ist. Würde ψp auch als von id abhängig definiert, dann würde ψp zusätzlich die Kreuzkopplungseigenschaften der Maschine beschreiben. Damit
wäre keine sinnvolle Definition der Induktivitäten möglich. Die Definition der Induktivitäten nach den Gleichungen (2.40) und (2.41) wurde bereits in [39] vorgeschlagen.
Dort wurden allerdings die resultierenden Spannungsgleichungen nur für den stationären Zustand betrachtet und im weiteren Verlauf der Veröffentlichung nicht weiter
verwendet. In [20, 39] werden Probleme mit Singularitäten bei dieser Art der Darstellung aufgrund der Gleichungen (2.40) und (2.41) beschrieben: Sind id oder iq gleich
null, dann gehen die beiden Terme, in denen die Ströme im Nenner stehen, tatsächlich
auf den ersten Blick gegen unendlich. Somit wären keine Aussagen über die Kreuzkopplungen möglich, falls einer der beiden Ströme im rotorfesten Koordinatensystem
gegen null geht. Dies ist allerdings eher ein theoretisches denn ein praktisches Problem. Wenn statt den Selbst- und Gegeninduktivitäten gleich die zusammengefassten
(id ,iq )
Induktivitäten Ld
(id ,iq )
und Lq
gemessen werden (siehe Kapitel 4.2, ab Seite 97), so
ergeben sich die Probleme mit Singularitäten lediglich bei der Messung der Selbstinduktivitäten an sich. Für jede Messung der (absoluten) Induktivitäten gelten nämlich
die allgemeinen in Kapitel 4.2.1 ab Seite 97 hergeleiteten Beziehungen
(id ,iq )
Ld
(id ,iq )
=
ψd
(iq )
− ψp
id
(id ,iq )
und Lq
(id ,iq )
=
ψq
iq
.
20
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
Egal ob Induktivitätskennlinie oder -kennfläche, eine Interpolation für id = 0 bei Ld
beziehungsweise iq = 0 bei Lq ist in jedem Fall erforderlich. Verschiedene Interpolationsarten sind in Kapitel 4.1, ab Seite 80, beschrieben.
Zur Bestimmung der Spannungsbeziehungen wird wieder von den Gleichungen (2.23)
und (2.24) ausgegangen, die hier noch einmal aufgeführt werden:
ud = Rs id +
d
d
ψd − ωel ψq und uq = Rs iq +
ψq + ωel ψd
dt
dt
Dass alle Größen bis auf den ohmschen Ständerwiderstand Rs ebenfalls von der Zeit
abhängig sind, wird an dieser Stelle vorausgesetzt und der Übersichtlichkeit halber
nicht explizit in den Gleichungen dargestellt. Da im Gegensatz zum linearen Modell
die Induktivitäten nicht mehr konstant sind, lassen sich die Ableitungen
d
ψd und
dt
d
ψq
dt
(2.44)
nicht mehr durch Differenzieren des Stromes und Multiplikation der entsprechenden
Induktivität bestimmen. Es müssen vielmehr die Differentiationsregeln für von mehreren Variablen abhängige Funktionen angewendet werden [40]:
∂ ψp (id , iq )
∂ψd (id , iq ) ∂ψd (id , iq ) did
d
·
ψd (id , iq ) =
+
+
dt
∂t
∂id
dt
∂iq
i
i ,iq
d
∂ψq (id , iq ) d
ψq (id , iq ) =
dt
∂id
id ,iq
∂ψq (id , iq ) did
·
+
dt
∂iq
i
d ,iq
·
diq
dt
d ,iq
·
diq
dt
(2.45)
(2.46)
Die partiellen Ableitungen der Flussverkettungen ψd (id , iq ) und ψq (id , iq ) werden im
Folgenden oft benötigt, daher ist es sinnvoll, sie als differentielle Induktivitäten zu
bezeichnen: [19, 41]
(id ,iq )
Ldd
(id ,iq )
Ldq
∂ψd (id , iq ) =
∂id
i ,iq
d
∂ ψd (id , iq ) =
∂ iq
i ,iq
,
(id ,iq )
Lqq
,
Lqd
(id ,iq )
d
∂ ψq (id , iq ) =
∂ iq
i ,iq
d
∂ ψq (id , iq ) =
∂ id
i ,iq
(2.47)
(2.48)
d
An dieser Stelle soll betont werden, dass die eingeführten differentiellen Induktivitäten keinen direkten physikalischen Hintergrund haben. Sie sind als theoretische Rechengröße zu sehen, um die Beziehungen der Größen untereinander kürzer und damit
(id ,iq )
übersichtlicher darzustellen. Ldq
(id ,iq )
und Lqd
sind ein Maß für die Kreuzkopplungs-
einflüsse in einer Maschine, zudem haben – wie in Kapitel 4.3 noch beschrieben wird –
(id ,iq )
Ldd
(id ,iq )
und Lqq
(id ,iq )
und Lq
(id ,iq )
einen vergleichbaren Verlauf wie die absoluten Induktivitäten Ld
. Abbildung 2.8 zeigt die prinzipielle Beziehung zwischen absoluten und
differentiellen Induktivitäten: Die absoluten Induktivitäten entsprechen der Steigung
2.2 Motorgleichungen
21
L
ψ
Labs
Ldif f
i
i
(a) Fluss(verkettung)
(b) Induktivität
Abbildung 2.8: Prinzipelle Darstellung der Beziehung zwischen absoluter und differentieller Induktivität. Ein beispielhafter Arbeitspunkt ist jeweils als Kreis eingezeichnet.
der Geraden, die durch den Ursprung und den Arbeitspunkt auf der stromabhängigen
Flusskennlinie geht (Abbildung 2.8a, gestrichelte Linie), während die differentiellen Induktivitäten der partiellen Ableitung der Funktion am Arbeitspunkt des Flusses ψ(i)
entsprechen (Abbildung 2.8a, schwarze Linie). Abbildung 2.8b zeigt die sich ergebenden Verläufe. Die absolute Induktivität Labs ist immer größer als die differentielle
Ldif f , der prinzipielle Verlauf jedoch ähnlich. Mit den differentiellen Induktivitäten
ergeben sich die Ableitungen der Flussverkettungen zu
∂ψp (id , iq )
d
(id ,iq ) did
(id ,iq ) diq
ψd (id , iq ) =
+ Ldd
+ Ldq
und
dt
∂t
dt
dt
d
(id ,iq ) diq
(id ,iq ) did
ψq (id , iq ) = Lqq
+ Lqd
.
dt
dt
dt
(2.49)
(2.50)
Daraus resultieren die Spannungsgleichungen des allgemeinen Modells:
(iq )
∂ψp
ud = Rs id +
∂t
(id ,iq )
uq = Rs iq + Lqq
did
(id ,iq ) diq
(id ,iq )
+ Ldq
− ωel Lq
iq und
dt
dt
diq
(id ,iq ) did
(id ,iq )
+ Lqd
+ ωel Ld
id + ωel ψp
dt
dt
(id ,iq )
+ Ldd
(2.51)
(2.52)
beziehungsweise in Matrixschreibweise:
allgemeine Spannungsgleichungen
(id ,iq )
ud
Rs
− ωel Lq
i
=
d
(id ,iq )
uq
iq
ωel Ld
Rs
(i ,i )
(iq )
(id ,iq )
˙
d q
∂ψp
Ldd
Ldq
i
d +
∂t
+ (i
(id ,iq )
d ,iq )
(i
)
q
iq
Lqd
Lqq
ωel ψp
{z
}
|
(2.53)
diff. Induktivitäten
Die Gleichungen (2.53) können gemäß Abbildung 2.9 anschaulich graphisch dargestellt werden. Die meist nicht relevante Ableitung der Permanentmagnetflussverkettung
22
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
nach der Zeit wurde hierfür vernachlässigt. Im Unterschied zu den linearisierten Gleichungen – Abbildung 2.7 auf Seite 16 – sind die beiden Spannungsgleichungen (2.53)
und damit die Anteile der d- und q-Achsen zusätzlich durch die Anteile der differentiellen Induktivitäten Ldq und Lqd verkoppelt. Wie in der Abbildung 2.9 zu sehen ist,
id
id − iq
Ldd
Rs
ud
Ldq
ωel Lq iq
Lqq
Rs
iq
uq
Lqd
id − iq
ωel Ld id
ωel ψp
Abbildung 2.9: Graphische Darstellung der Gleichungen (2.53).
werden dazu zwei Stromquellen integriert. Dabei ist gut zu erkennen: Sind die beiden
Induktivitäten Ldq und Lqd gleich null, so ergibt sich ein ähnliches Netzwerk wie in
Abbildung 2.7 auf Seite 16 für die linearisierten Gleichungen. Lediglich die beiden differentiellen Induktivitäten Ldd und Lqq sind bei dem Netzwerk für die linearisierten
Gleichungen in Abbildung 2.7 durch die absoluten Induktivitäten Ld und Lq ersetzt.
Um zur Drehmomentgleichung zu gelangen, lassen sich ausgehend von der allgemeinen Darstellung (2.27) die Flussverkettungen entsprechend ersetzen:
3p
(iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
Mi =
ψp iq + Ld
− Lq
id iq
2
(2.54)
Wird nun noch die mechanische Bestimmungsgleichung (2.28) eingefügt, so ergibt sich
schließlich:
J dωel 3 p
=
p dt
2
(iq )
ψp iq
+
(id ,iq )
Ld
(id ,iq )
− Lq
id iq − ML
(2.55)
Der Vollständigkeit halber werden die Gleichungen (2.51), (2.52) und (2.55) genau wie
bei den linearisierten Gleichungen in Zustandsdarstellung transferiert:
(id ,iq )
(id ,iq )
∂ψ
Lqq
did
(id ,iq )
p
· ud − Rs id + ωel Lq
iq −
= + (i ,i ) (i ,i )
(id ,iq ) (id ,iq )
d q
d q
dt
∂t
Ldd
Lqq
− Lqd
Ldq
(id ,iq )
−
Ldq
(id ,iq )
Ldd
(id ,iq )
Lqq
(id ,iq )
− Lqd
(id ,iq )
(id ,iq )
Ldq
·
(id ,iq )
uq − Rs iq − ωel Ld
id
(id ,iq )
− ωel ψp
!
(2.56)
!
L
diq
(id ,iq )
(id ,iq )
= + (i ,i ) (i ,i )dd (i ,i ) (i ,i ) · uq − Rs iq − ωel Ld
id − ωel ψp
d q
d q
d q
d q
dt
Ldd
Lqq
− Lqd
Ldq
2.2 Motorgleichungen
23
(id ,iq )
−
Lqd
(id ,iq )
· ud − Rs id + ωel Lq
iq
(id ,iq ) (id ,iq )
(id ,iq ) (id ,iq )
Ldd
Lqq
− Lqd
Ldq
dωel 3 p 2
=
dt
2J
(id ,iq )
(id ,iq )
(iq )
− Lq
ψp iq + Ld
id iq − ML
(id ,iq )
∂ψp
−
∂t
(2.57)
(2.58)
Auf Basis dieser drei Gleichungen lassen sich allgemeine mathematische Modelle zur
Simulation einer Synchronmaschine erstellen.
2.2.4
Messergebnisse
Die Gültigkeit der entwickelten Gleichungen kann im Experiment nachgewiesen werden. Dazu werden in Abbildung 2.10 die Spannungen ud , uq und das Drehmoment
M für den Prüfstand C ausgewertet. Es wird je ein Messwert mit den berechneten
Werten der unterschiedlichen Modelle verglichen. Als einfachstes Modell wurden die
linearisierten Gleichungen nach (2.33) ohne Berücksichtigung der Ableitungen verwendet (hellblau gestrichelte Linien). Die Ergebnisse der linearisierten Gleichungen (2.33)
unter Berücksichtigung der Ableitungen, aber mit konstanten Induktiväten in d- und
q-Richtung, wurden in hellblau gezeichnet, die Rechenergebnisse der allgemeinen Gleichungen nach (2.53) in dunkelblau. Um die dynamischen Effekte in Verbindung mit
Sättigungserscheinungen gut zu veranschaulichen, wurde ein Betriebspunkt mit sinusförmig moduliertem id -Strom gewählt. Die Frequenz des Sinussignals beträgt hier
25 Hz, die Amplitude knapp 20 A bei einem Gleichanteil von ebenfalls circa 20 A. Infolge der Anregung des id -Stroms schwingt auch der iq -Strom etwas, im Wesentlichen
wurde dieser jedoch bei 50 A konstant gehalten. Nun wird dieser Betriebszustand in
realen Anwendungen eher selten auftreten, da meist nur ein negativer, feldschwächender und kein feldverstärkender Strom gefordert wird. Um allerdings die Effekte der
variablen Induktivitäten gut erkennen zu können, ist es (zumindest bei der verwendeten Prüflingsmaschine C) nötig, einen Zustand starker Sättigung hervorzurufen. Dies
ist nur bei positivem id -Strom und gleichzeitiger iq -Strombelastung möglich. Ein ähnlicher Betriebszustand mit sinusförmig schwankendem id -Strom wird in [42] beschrieben. In dieser Veröffentlichung werden die auftretenden Spannungen aufgrund des
mit doppelter Netzfrequenz pulsierenden – in diesem Fall jedoch feldschwächenden –
id -Stroms ausgenutzt, um bei Antriebssystemen mit schlankem Zwischenkreis die
Drehmomentschwankungen zu minimieren. Zudem zeigt Abbildung 2.10 neben den
Spannungen, Strömen und dem Drehmoment auch die aktuell wirksamen Induktivitäten der Maschine. Diese werden aus den gemessenen Induktivitätsparameterflächen
für jeden Stromarbeitspunkt berechnet. Messverfahren zur Gewinnung der Induktivitäten werden in Kapitel 4 beschrieben. Es ist gut zu erkennen, dass bei gleichzeitig
24
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
ud,mess
ud,stat
ud,L=const
ud,L=var
0
−10
−20
−30
in V
uq,mess
uq,stat
uq,L=const
uq,L=var
60
50
40
30 in V
umess
u
stat
uL=const
u
L=var
70
60
50
40 in V
60
id,mess
iq,mess
40
20
0 in A
Ld
Lq
Ldd
Lqq
3
2.8
2.6
2.4
2.2
in mH
150
Mmess
ML=const
ML=var
100
50
0 in Nm
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
t
Abbildung 2.10: (Prüfstand C) Vergleich von Messung und Berechnung nach den verschiedenen PMSMModellen. Die gemessenen Spannungen (Subscript ’mess’) sind grau unterlegt. Die beste Übereinstimmung findet sich bei Verwendung der allgemeinen Gleichungen (2.53) mit variabler Induktivität
(’L=var’). Während bei Verwendung der linearisierten Gleichungen nach (2.33) (’L=const’) ebenso eine
gute Übereinstimmung vorhanden ist, ist diese bei Vernachlässigung der Ableitungen in (2.33) erwartungsgemäß deutlich geringer.
2.2 Motorgleichungen
25
ud,mess
ud,stat
ud,L=const
ud,L=var
5
0
−5
in V
uq,mess
uq,stat
uq,L=const
uq,L=var
10
5
0
in V
umess
u
stat
u
L=const
u
10
5
L=var
0
in V
id,mess
iq,mess
5
0
−5
in A
9
Ld
Lq
Ldd
Lqq
8
7
6
5
4
in mH
3
Mmess
ML=const
ML=var
2
1.5
1
in Nm
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
t
Abbildung 2.11: (Prüfstand A) Beschreibung von Messung und Darstellung wie in Abbildung 2.10
26
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
großem id und iq -Strom die Induktivitäten – besonders die differentiellen Induktivitäten Ldd und Lqq – deutlich aufgrund der auftretenden Sättigungseffekte absinken. Wie
in Abbildung 2.10 zu erkennen ist, entsprechen die gemäß der stationären Gleichungen berechneten Werte jeweils den Mittelwerten der gemessenen. Die dynamischen
Einflüsse können naturgemäß mit diesen Gleichungen nicht nachgebildet werden. Werden die differentiellen Terme der linearisierten Gleichungen berücksichtigt, so unterscheiden sie sich von den allgemeinen Gleichungen lediglich durch die Tatsache, dass
bei den linearisierten Gleichungen die Induktivitäten und die Permanentmagnetflussverkettung konstant sind. Sind die Kreuzkopplungseffekte zudem nicht vernachlässigbar, so müssen diese in den allgemeinen Gleichungen zusätzlich berücksichtigt werden. Insofern ist es nicht weiter verwunderlich, dass die Verläufe beider Berechnungen
(’L=const’ und ’L=var’) ähnlich sind. Allerdings erkennt man in Bereichen großer Sättigung, also wenn gleichzeitig ein großer (positiver) id - und iq -Strom vorhanden ist,
dass bei Verwendung der stromabhängigen Induktivitäten eine genauere Nachbildung
der Messwerte möglich ist. Dieser Effekt ist jedoch im normalen Betrieb – also ohne
signifikaten positiven id -Strom – so gut wie nicht erkennbar, da bei id = 0 zumin-
dest bei dem hier betrachteten Motor C keine signifikanten Sättigungserscheinungen
auftreten. In einigen Fällen ist es somit nicht nötig, stromvariable Induktivitäten zum
Entwurf einer Vorsteuerung für die feldorientierte Regelung zu verwenden. Die Abwägung der Notwendigkeit von stromabhängigen Induktivitäten muss von Fall zu Fall
neu entschieden werden. Daher haben stromabhängige Induktivitäten eine praktische
Relevanz, so zum Beispiel bei Ansätzen zur geberlosen Regelung [20, 21, 43] und für
die Identifikation des Ständerwiderstands. Letztere wird in Kapitel 5.3 ab Seite 148
beschrieben.
Alle Aussagen für Abbildung 2.10 – also für den Prüfstand C – können genauso auch
am Prüfstand A verifiziert werden. Im Gegensatz zum Prüfstand C sind hier auch ohne
stark vorsättigenden id -Strom signifikante Verbesserungen bei Verwendung der variablen Induktivitäten zu erkennen. Die Ergebnisse sind in Abbildung 2.11 dargestellt.
Für den Prüfstand B liegen keine Messwerte vor.
2.3 Pulsumrichter
Um PMSM, beziehungsweise elektrische Maschinen im Allgemeinen, frequenzvariabel
betreiben zu können, werden Umrichter benötigt. Diese erzeugen aus der konstanten
Netzfrequenz von 50 Hz in Europa die gewünschte, von der Drehzahl des Antriebssystems abhängige Frequenz und zugleich die von der Regelung berechneten dazu
passenden Spannungen.
Abbildung 2.12 zeigt den Umrichter als Bindeglied zwischen dem öffentlichen Versor-
2.3 Pulsumrichter
27
öffentliches
elektrische
Netz
Maschine
Umrichter
f = konstant
f = variabel
Abbildung 2.12: Frequenzumrichter zwischen öffentlichem Netz und elektrischer Maschine
gungsnetz und der anzutreibenden elektrischen Maschine. Neben der klassischen Umrichtertopologie mit Gleichrichter, Gleichspannungszwischenkreis und dreiphasigem
Wechselrichter gibt es noch eine Reihe von anderen Ansätzen, wie zum Beispiel die
Verwendung eines Impedanzzwischenkreises [44, 45, 46] oder schlanken Zwischenkreises, um die Kondensatoren im Zwischenkreis zu reduzieren [42, 47, 48]. Zudem
wird vermehrt versucht, den weit verbreiteten, auf Silizium basierenden IGBT als schaltendes Element durch andere Werkstoffe und Bauelemente, zum Beispiel auf Basis von
Siliciumcarbit [49], zu ersetzen. Im Folgenden wird nur auf die klassische und derzeit
am weitesten verbreitete Topologie mit Gleichspannungszwischenkreis eingegangen.
In Abbildung 2.13 ist der Wechselrichter eines Pulsumrichters mit angeschlossenem
uaM
uca
uab
ubc
uzk
ua−
ub−
uc−
Abbildung 2.13: Wechselrichter mit eingezeichneten Spannungen
Motor gezeichnet, auf den netzseitigen Gleichrichter wurde verzichtet, da im weiteren
Verlauf dieses Kapitels von einer idealen Gleichrichtung und damit einer konstanten
Zwischenkreisspannung ausgegangen wird. Weitergehende Informationen zu deren Erzeugung und den einzelnen Topologien im Allgemeinen finden sich in [50, 51]. Unter
Voraussetzung eines idealen Umrichters sind die angelegten mittleren Spannungen
direkt proportional zu den Aussteuersignalen für die Transistoren. Zusammen mit
der Spannung uzk im Gleichspannungszwischenkreis können die Ausgangsspannungen an den Klemmen des Umrichters und die Aussteuergrade ineinander umgerechnet
werden. In der Realität ist genau das nicht mehr der Fall, die Aussteuersignale sind
nicht mehr direkt proportional zu den Ausgangsspannungen, es treten nichtlineare
Effekte auf. Im Wesentlichen sind dies drei Effekte:
28
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
1. Verriegelungszeiten, Totzeiten.
Idealerweise schalten die IGBTs einer Halb-
brücke des Umrichters unendlich schnell, das heißt, wenn der obere IGBT ausschaltet, wird direkt der untere ohne Zeitverzug eingeschaltet. Reale Bauelemente haben allerdings von null verschiedene Ein- und Ausschaltzeiten, schalten
also nicht unendlich schnell. Legt man nun direkt nach dem Abschalten der Gatespannung bei dem einen IGBT die Gatespannung bei dem anderen IGBT an,
so wären für eine Zeit lang beide IGBTs gleichzeitig eingeschaltet, es entsteht
ein Brückenkurzschluss. Wird der daraufhin eintretende hohe Kurzschlussstrom
nicht schnell genug abgeschaltet, führt dies zur Zerstörung der Leistungsbauelemente und damit zum Ausfall des Umrichters. Aus diesem Grund werden Verriegelungszeiten eingeführt: Nach dem Ausschalten des einen IGBTs wird der
andere erst nach einer gewissen Verriegelungszeit eingeschaltet. Während dieser Zeitspanne sind beide IGBTs der Halbbrücke ausgeschaltet. Dies führt zu
einer Verzerrung der Ausgangsspannungen.
2. Durchlassspannungen. Jedes reale Bauelement hat eine gewisse Durchlassspannung, die von dem momentanen Stromfluss durch das Bauelement abhängt. Je
nachdem, ob dieser Strom positiv oder negativ ist, müssen nun die Durchlasskennlinien für entweder Diode oder IGBT berücksichtigt werden. Die Durchlassspannungen werden je nach Betriebszustand zur Zwischenkreisspannung addiert oder von ihr subtrahiert.
3. Umrichterperipherie. Zusätzlich zu den Totzeiten und Durchlassspannungen,
die sich gut aus den jeweiligen Datenblättern der Bauelemente ablesen lassen,
treten noch weitere Spannungsabfälle innerhalb des Umrichters auf, die die ausgegebene Spannung weiter verfälschen.
Eine Vielzahl von unterschiedlichen Verfahren zur Kompensation dieser Effekte sind
in der Literatur vorgeschlagen. So werden zum Beispiel konstante Spannungen in Verbindung mit in Reihe geschalteten Widerständen verwendet, um die Leistungsbauelemente nachzubilden [52]. Ebenso können Look-up-Tables verwendet werden, in denen die Fehlerspannungen der Leistungsbauelemente abhängig vom Betriebszustand
gespeichert sind [53, 54]. Eine Möglichkeit der Online-Kompensation ist in [55] beschrieben, eine weitere, aufwändige Kompensation in [56]. Ein ausführlicher Vergleich
verschiedener Kompensationsvarianten findet sich in [57]. Weitere Ansätze zur Umrichterlinearisierung können den Quellen [K-5, 58, 59, 60, 61, 62, 63] entnommen werden.
Eine Möglichkeit, diese Effekte möglichst vollständig zu erfassen und zu kompensieren, wird im Kapitel 2.3.1 vorgestellt. Möchte man aus Rechenzeitgründen eine vereinfachte Version oder ist eine exakte Umrichterlinearisierung aus verschiedenen Grün-
2.3 Pulsumrichter
29
u−
u−
u−
u−
Tp
0
t
stromführende Bauelemente
IGBT
Diode
t
(a)
t
stromführende Bauelemente
IGBT
Diode
Tp
0
t
(b)
Abbildung 2.14: Je nach Stromrichtung führen andere Bauelemente den Strom. In Abbildung (a) fließt
der positiv gezählte Strom aus der Halbbrücke heraus, bei Abbildung (b) in die Halbbrücke hinein.
den nicht notwendig oder möglich, so beschreibt Kapitel 2.3.2 eine vereinfachte Möglichkeit der Umrichterlinearisierung.
2.3.1
Allgemeine Linearisierung
Die Auswirkung der Totzeiten und Durchlassspannungen lassen sich ganz allgemein
mit Hilfe der Abbildungen 2.14a und 2.14b illustrieren. In Abbildung 2.14a ist eine
Halbbrücke gezeigt, die einen positiven Strom an den Ausgang führt. Darunter sind
zwei Diagramme angeordnet. Das obere zeigt die Ausgangsspannung an den Klemmen zum negativen Zwischenkreispotential. Das untere Diagramm gibt an, welche
Bauelemente zu dem jeweiligen Zeitpunkt aktiv, das heißt von Strom durchflossen
sind. Wenn zuerst der untere IGBT eingeschaltet ist, der obere folglich ausgeschaltet,
wird der Strom, wie in der Abbildung eingezeichnet, durch die untere Diode fließen.
Wird anschließend der untere IGBT ausgeschaltet, muss eine gewisse Verriegelungszeit – in der Abbildung als graue Fläche dargestellt – eingehalten werden, bevor der
30
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
obere IGBT eingeschaltet werden darf. Dies hat zur Folge, dass während dieser Totzeit keiner der beiden IGBTs eingeschaltet ist und damit der Strom weiter über die
untere Diode fließen muss. Nach Ablauf der Totzeit wird schließlich der obere IGBT
eingeschaltet, der Strom kommutiert von der unteren Diode auf den oberen IGBT. Für
Abbildung 2.14b gilt das Beschriebene analog: Fließt der Strom in die Halbbrücke hinein, so leitet je nach Betriebszeitpunkt entweder die obere Diode oder der untere IGBT.
Hier ist zu beachten, dass in diesem Fall nicht die Totzeit des oberen IGBT relevant
ist, sondern die Totzeit des unteren.
Es müssen also (mindestens) zwei Fälle betrachtet werden, einer bei positiver, der andere bei negativer Stromrichtung aus der Halbbrücke hinaus. Optional können noch
Fälle betrachtet werden, bei denen sich das Vorzeichen des Stroms verglichen zur vorherigen Pulsperiode ändert. Abhängig vom Vorzeichen des Stroms sind zu einem bestimmten Zeitpunkt der Pulsperiode entweder jeweils eine Diode oder ein IGBT stromdurchflossen. Die Durchlassspannungen für Diode und IGBT sind unterschiedlich, dies
muss in der praktischen Umsetzung der Umrichterlinearisierung berücksichtigt werden. Die Verriegelungszeit bewirkt, dass die von der Regelung für einen idealen Umrichter berechneten Ansteuerzeiten nicht realisiert werden können. Ist der Strom aus
der Halbbrücke hinaus positiv (Abbildung 2.14a), so bewirkt die Verriegelungszeit eine
Verringerung der anliegenden Spannung vom Ausgang zum negativen Zwischenkreispotential. Ist der Strom jedoch negativ (Abbildung 2.14b), so resultiert aus der Verriegelungszeit eine Erhöhung der am Ausgang anliegenden Spannung. Ändert sich das
Stromvorzeichen innerhalb einer Taktperiode des Umrichters nicht, beziehungsweise
wird von dieser Vereinfachung ausgegangen, so genügt es, die beiden in Abbildung
2.14 betrachteten Fälle zu berücksichtigen.
Die Diagramme unterhalb der Halbbrücken in Abbildung 2.14 zeigen die idealen Umrichterausgangsspannungen (grau) und die realisierten Spannungen (schwarz) unter
Berücksichtigung von Totzeit und Durchlassverlusten. Ist der Strom aus der Halbbrücke positiv (Fall a), so werden die Durchlassspannungen von IGBT und Diode, jeweils entsprechend ihrer stromabhängigen Kennlinie, die Ausgangsspannung verringern. Außerdem wird der IGBT aufgrund der Verriegelungszeit erst später eingeschaltet, was die resultierende mittlere Spannung weiter reduziert. Ist der Strom aus der
Halbbrücke heraus jedoch negativ, so erhöhen die Durchlassverluste die am Ausgang
messbare Spannung zum negativen Zwischenkreispotential. Wird der untere IGBT wiederum aufgrund der Totzeit erst später eingeschaltet, so bleibt die obere Diode länger
aktiv, und die resultierende mittlere Spannung am Halbbrückenausgang (zum negativen Zwischenkreispotential) ist größer als im idealen Fall.
Idealerweise gibt die Regelung, im Labor realisiert durch ein dSPACE-System, einen
2.3 Pulsumrichter
31
Aussteuergrad vor, der sich dann in Form einer Spannung
ux− = a · uzk
(2.59)
am Umrichterausgang messen lässt. Der Aussteuergrad a und damit auch die zugehörige Spannung ux− werden – wie bereits beschrieben – in Realität nicht ideal
am Ausgang realisiert. Die Spannung ux− steht für die Spannung am Ausgang einer
der Halbbrücken zum negativen Zwischenkreispotential. Zusätzlich kann bei einigen
Anwendungen, zum Beispiel bei Einspeisung durch eine Diodenbrücke, die Zwischenkreisspannung uzk schwanken. Wie bereits erwähnt, wird im Folgenden vereinfachend
davon ausgegangen, dass uzk durch eine aktive, rückspeisefähige netzseitige Gleichrichtung konstant gehalten wird. In Abbildung 2.14 ist gut zu erkennen, dass sich
der reale Aussteuergrad aufgrund der Totzeit je nach Stromvorzeichen verändert. Es
ergeben sich damit für den wirksamen Aussteuergrad folgende Beziehungen:
aideal Tab − Ttot
Te − Ttot
=
= aideal −
Tab
Tab
aideal Tab + Ttot
Te + Ttot
=
= aideal +
=
Tab
Tab
für i > 0:
ar eal =
für i < 0:
ar eal
Ttot
Tab
Ttot
Tab
(2.60)
(2.61)
Te steht für die gewünschte ideale Einschaltzeit des oberen IGBTs. Die mittleren Spannungen innerhalb einer Taktperiode zum negativen Zwischenkreispotential ergeben
sich mit dem modifizierten Aussteuergrad damit zu:
Ttot
Ttot
+
u
−
u
(i)
·
a
−
für i > 0:
ui>0
=
−u
(i)
·
1
−
a
+
T
D
zk
ideal
ideal
x−
Tab
Tab
(2.62)
Ttot
Ttot
für i < 0:
ui<0
=
u
(i)
·
1
−
a
−
+
u
+
u
(i)
·
a
+
D
T
ideal
zk
ideal
x−
Tab
Tab
(2.63)
Die Spannungen uD (i) und uT (i) repräsentieren die stromabhängigen Durchlassspannungen von Dioden und IGBTs, bei Bedarf kann für jedes Bauelement eine eigene
Kennlinie hinterlegt werden.
Im Normalfall sind nicht die internen Spannungen zum negativen Zwischenkreispotential, sondern die einzelnen Motorspannungen uaM , ubM und ucM relevant. Abbildung
2.13 zeigt die entsprechenden Spannungen im Wechselrichter. Unter Berücksichtigung
der Gleichungen (2.62) und (2.63) sind zuerst nur die internen Spannungen ua− , ub−
und uc− im Wechselrichter bekannt. Daraus lassen sich die am Umrichterausgang an
den Klemmen anliegenden Spannungen
uab = ua− − ub−
(2.64)
ubc = ub− − uc− und
(2.65)
uca = uc− − ua−
(2.66)
32
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
berechnen. Nach kurzer Zwischenrechnung ergeben sich schließlich die gewünschten
Motorspannungen zu
1
(uab − uca )
3
1
= (ubc − uab ) und
3
1
= (uca − ubc ) .
3
uaM =
(2.67)
ubM
(2.68)
ucM
(2.69)
Mit der in diesem Kapitel beschriebenen Vorgehensweise kann man, ohne auf aufwändige Zeigeroperationen zurückgreifen zu müssen, aus den Ansteuersignalen für die
drei Halbbrücken die real am Motor anliegenden Spannungen berechnen. Berücksichtigt werden bei der Berechnung die Verriegelungszeiten und Durchlassspannungen
von IGBTs und Dioden. Bei Bedarf können die Durchlassspannungen für jedes Umrichterelement einzeln vorgegeben werden, zum Beispiel durch Kennlinien. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass sich die Polarität des Phasenstroms nur zwischen zwei
Pulsperioden und nicht währenddessen ändert.
2.3.2
Vereinfachte Linearisierung
Im vorangegangen Kapitel wurde eine Linearisierungsmethode beschrieben, die die
einzelnen nichtlinearen Effekte gezielt kompensiert. Dazu ist eine gute Kenntnis des
Umrichters notwendig. Ist der Aufbau des Umrichters nicht genau genug bekannt
oder soll der Aufwand zur Ausmessung des Umrichters vermieden werden, so ist
es möglich, den Umrichter selbst als Blackbox zu betrachten. Dieses Prinzip soll nun
erläutert werden. Die Genauigkeit dieser Methode ist nicht so hoch wie die in Kapitel
2.3.1 beschriebene, aber dennoch für viele Zwecke ausreichend. Abbildung 2.15 zeigt
den grundlegenden Messaufbau, der für dieses Verfahren zur Bestimmung der Umrichternichtlinearitäten notwendig ist. Für die Messung kann das Antriebssystem in
Regelung
Pulsumrichter
(dSPACE)
ua− ,ub− ,uc−
duty-cycle
PMSM
udc
ur eal
uideal
∆u
Abbildung 2.15: Verfahren zur Bestimmung der Umrichternichtlinearität [K-4]
drei Hauptbestandteile unterteilt werden: Der anzutreibende Motor wird über einen
Pulsumrichter gespeist, der wiederum die Ansteuersignale von einer übergelagerten
2.3 Pulsumrichter
33
Regelung erhält. Bei den verwendeten Prüfständen wurde die Regelung mit Hilfe von
dSPACE-Systemen realisiert. Die Regelung gibt die Aussteuergrade („duty cycle“) a der
einzelnen Halbbrücken vor. Ein Aussteuergrad von null bedeutet idealerweise, dass
die Phasenspannung eines Umrichterausgangs zum negativen Umrichterzwischenkreispotential null Volt beträgt. Entspricht der duty cycle im Fall eines idealen Umrichters
gleich eins, so wird die Potentialdifferenz zwischen Ausgangsspannung und negativem Zwischenkreispotential gleich uzk entsprechen. Bei nichtidealen Umrichtern liegen die von der Regelung gewünschten Spannungen
ux−,ideal = ax · uzk
(2.70)
aufgrund von Totzeiten und Durchlassverlusten nicht am Motor an, sondern werden –
wie bereits beschrieben – verfälscht. Die Spannung ux−,ideal steht für die Potentialdifferenz eines idealen Umrichters zwischen der Ausgangsklemme x = a, b, c und dem
negativen Zwischenkreispotential. Diese Differenz ∆ux zwischen idealen Spannungen
ux−,ideal und realen Spannungen ux−,r eal kann gemessen und ausgewertet werden.
∆ux = ux−,ideal − ux−,r eal
(2.71)
Das Ziel der Linearisierung ist, die Differenzspannung ∆ux zu kompensieren. Diese
Kompensationskennlinien müssen in der Regelung hinterlegt werden. Als nächstes
muss entschieden werden, in Abhängigkeit von welchen elektrischen oder mechanischen Größen diese Kennlinien gemessen werden sollten. Dazu wurden an einem im
Labor vorhanden Umrichter [64] verschiedene Messungen durchgeführt. Die Abbildungen 2.16a-c zeigen jeweils für eine Umrichterausgangsphase die Spannungsdifferenz
in Abhängigkeit vom iq -Strom und dem elektrischen Rotorlagewinkel ϕel . Je größer
der Betrag des iq -Stroms ist, desto größer ist der Betrag der Differenzspannung ∆u.
Das Vorzeichen von ∆u hängt von dem Vorzeichen des aktuellen Phasenstroms, den
iq abhängig von der momentanen Rotorlage hervorruft, ab. Daher ändert sich das Vorzeichen der ∆u-Spannung alle 180◦ des Läuferwinkels. Da die Linearisierungskurve
nicht vom iq -Strom, sondern von dem entsprechenden Phasenstrom abhängt, ist es
sinnvoll, diesen gleich als Referenz zu verwenden.
Dies geschieht in Abbildung 2.17. Für eine Umrichterausgangsphase wurde jeweils ein
Diagramm gezeichnet. Gemessen wurde für eine große Anzahl an Betriebspunkten,
wobei jeder Punkt durch ein Kreuz kenntlich gemacht wurde. Bis auf einen Offsetabgleich der Differenztastköpfe wurden die Messwerte nicht bearbeitet. Die endgültige
für die Linearisierung verwendete Kennlinie ist in jeder der drei Phasen in gleicher Weise eingezeichnet. Die Streuung um den Mittelwert ist durch die Messungenauigkeiten
des Messaufbaus, insbesondere die Kombination aus Oszilloskop und Differenztastköpfen, zu erklären. Wie in der Abbildung 2.17b zu erkennen ist, hat sich im Laufe
34
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
8
6
4
5
∆ua [V]
∆ua [V]
2
0
0
−2
−5
−4
0
−5
−6
0
200
5
iq [A]
−8
−6
ϕel [◦ ]
−4
−2
0
2
4
6
2
4
6
2
4
6
ia [A]
(a) Phase A
(a) Phase A
8
6
4
∆ub [V]
5
∆ub [V]
2
0
0
−2
−5
−4
0
−5
−6
0
200
5
iq [A]
−8
−6
ϕel [◦ ]
−4
−2
0
ib [A]
(b) Phase B
(b) Phase B
8
6
5
∆uc [V]
4
∆uc [V]
2
0
0
−5
−2
0
−5
0
200
5
iq [A]
◦
ϕel [ ]
(c) Phase C
−4
−6
−8
−6
−4
−2
0
ic [A]
(c) Phase C
Abbildung 2.16: (Prüfstand A) Spannungsdifferenzen zwischen idealer und realer Umrichteraus-
Abbildung 2.17: (Prüfstand A) Spannungsdifferen-
gangsspannung in Abhängigkeit von iq -Strom und
zen zwischen idealen und realen Umrichteraus-
Rotorlage ϕel des angeschlossenen Motors [K-4]
gangsspannungen in Abhängigkeit von den zugehörigen Phasenströmen [K-4]
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
35
der Messung der Offset des Differenztastkopfs sprunghaft verändert, daher ist eine
zweite Kennlinie etwas tiefer zu erkennen. Für die Qualität der Messung spricht, dass
sich außerhalb des Toleranzbandes ansonsten kein einziger Messpunkt befindet. Die
Kompensation abhängig von den drei Phasenströmen wurde aufgrund der einfacheren
Implementierung im Vergleich zur Kompensation abhängig von iq und ϕel verwendet
[K-4]. Des Weiteren wurde angenommen, dass der Linearisierungsfehler in allen drei
Phasen gleich ist, und nur eine Kompensationskennlinie in der Regelung hinterlegt.
Weitere Messergebnisse, die die Wirksamkeit dieser Umrichterlinearisierung bestätigen, finden sich in [K-4].
Der Umrichter ist die Basis für eine erfolgreiche Antriebsregelung. Neben Steuerverfahren wie die U/f-Steuerung für einfache Applikationen wie zum Beispiel Pumpenund Lüfteranwendungen wird die feldorientierte Regelung heutzutage flächendeckend
eingesetzt. Für Anwendungen, in denen keine höchste Dynamik erforderlich ist, werden geberlose Regelungen bereits industriell eingesetzt. Ein Beispiel hierfür wäre die
Sinamics-Umrichterbaureihe der Siemens AG, die eine dort als Vektorregelung bezeichnete feldorientierte Regelung mit optionalem geberlosen Betrieb anbietet [65].
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
Wie die Bezeichnung bereits nahelegt, wird bei der geberlosen Regelung auf den Drehgeber verzichtet. Dies bringt einige Vorteile mit sich. Bei günstigen Antriebssystemen
ist es vor allem die Kostenersparnis, bei anderen Antrieben das Einsparen von Bauraum oder das Vermindern des Wartungsaufwands. Meist wird bei geberlosen Regelungen lediglich aus den drei Phasenströmen der Läuferlagewinkel berechnet, wobei von
den drei Phasenströmen oftmals nur zwei gemessen werden und der Dritte üblicherweise aus ihnen berechnet wird [66]. Auf welche Weise die Berechnung des Läuferwinkels geschieht, ist völlig unterschiedlich, unzählige Veröffentlichungen beschäftigen
sich mit geberloser Regelung für unterschiedlichste Anwendungsfälle. Da sich diese
Arbeit nicht hauptsächlich mit der geberlosen Regelung beschäftigt, wird von einem
Vergleich unterschiedlicher Implementierungsvarianten und Verfahren abgesehen. Es
wird sich im Folgenden auf die in [20, 21] beschriebenen Verfahren beschränkt. Die
Betrachtungen in den folgenden Kapiteln können jedoch mit einigen Anpassungen
auch auf andere Verfahren zur geberlosen Regelung angewendet werden. Geberlose
Regelungen gibt es im Übrigen nicht nur bei permanenterregten Synchronmaschinen,
sondern auch für andere Maschinentypen, zum Beispiel Asynchronmaschinen [67].
Die Relevanz der geberlosen Regelung liegt darin, dass die präzise Kenntnis der Maschinenparameter nicht nur für die Auslegung von hochdynamischen Regelungen benötigt wird. Daher werden in diesem Kapitel beispielhaft einige Regelverfahren erläu-
36
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
tert. Auch, und besonders bei Verwendung modellbasierter Ansätze wie den Methoden
zur geberlosen Regelung, müssen das Maschinenverhalten und damit deren Parameter
im Detail untersucht und verstanden werden.
2.4.1
Testsignalverfahren für niedrige Drehzahlen
Aus den allgemeinen Spannungsbeziehungen in Abhängigkeit vom Fluss
ud = Rs id +
dψq
dψd
− ωel ψq und uq = Rs iq +
+ ωel ψd
dt
dt
(2.72)
ergeben sich im allgemeinen Fall die in Kapitel 2.2.3 (Seite 17) hergeleiteten Spannungsgleichungen in Abhängigkeit von den Strömen und Induktivitäten. Bei der ausschließlichen Betrachtung des Systems im Stillstand bei ωel = 0 und der Annahme,
dass sich der Polradfluss zeitlich gesehen nur sehr langsam ändert, vereinfachen sich
die Gleichungen zu:
(id ,iq )
ud = Rs id + Ldd
(id ,iq )
uq = Rs iq + Lqq
did
(id ,iq ) diq
+ Ldq
und
dt
dt
diq
(id ,iq ) did
+ Lqd
dt
dt
(2.73)
(2.74)
Diese Gleichungen gelten nur für den idealen Fall, also bei exakt bekanntem Läuferwinkel. Im Allgemeinen und bei der geberlosen Regelung im Besonderen, ist der Lagewinkel jedoch nur ungefähr bekannt, es ergibt sich ein Lagefehler ∆γ = γ̂ − γ. Die
Variable γ̂ bezeichnet den fehlerbehafteten Lagewinkel. Dieser Fehler wirkt sich auf
die Transformationen ins d,q-Koordinatensystem aus, die sich dann wie folgt verändern:
id = îd cos ∆γ − îq sin ∆γ , iq = îd sin ∆γ + îq cos ∆γ ,
ud = ûd cos ∆γ − ûq sin ∆γ und uq = ûd sin ∆γ + ûq cos ∆γ
(2.75)
(2.76)
Im Folgenden werden durch das Dach-Symbol jeweils die Größen im fehlerbehafteten
Modellsystem bezeichnet. Ein Einsetzen der Gleichungen (2.75) bis (2.76) in (2.73) und
(2.74) und deren Auflösung nach ûd beziehungsweise ûq ergibt:
ûd =Rs îd
dîd
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
+ Ldd
sin ∆γ cos ∆γ ·
cos2 ∆γ + Lqq
sin2 ∆γ + Ldq
+ Lqd
dt
dîq
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
+
Lqq
− Ldd
sin ∆γ cos ∆γ + Ldq
cos2 ∆γ − Lqd
sin2 ∆γ ·
dt
(2.77)
ûq =Rs îq
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
37
dîd
dt
dîq
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
+ Ldd
sin ∆γ cos ∆γ ·
sin2 ∆γ + Lqq
cos2 ∆γ − Ldq
+ Lqd
dt
(2.78)
+
(id ,iq )
Lqq
(id ,iq )
− Ldd
sin ∆γ cos ∆γ
(id ,iq )
Werden die Koppelinduktivitäten Ldq
(id ,iq )
− Ldq
sin2 ∆γ
(id ,iq )
und Lqq
(id ,iq )
+ Lqd
cos2 ∆γ
·
gleich null gesetzt, so ergibt sich
die gleiche Beziehung wie in [20] (Kapitel 5.4.1). Um die weitere Vergleichbarkeit zu
[20] zu gewährleisten, werden wenn möglich gleiche oder ähnliche Variablenbezeichnungen gewählt. Das quadratische Auftreten der trigonometrischen Terme in den Gleichungen (2.77) und (2.78) kann unter Zuhilfenahme mathematischer Umwandlungen
vermieden werden. Es gilt
a−b
sin 2α und
a − b sin α cos α =
2
(2.79)
a+b a−b
a+b a−b
sin2 α +
cos2 α
+
−
2
2
2
2
a−b a+b 2
=
sin α + cos2 α +
sin2 α − cos2 α
2
2
a+b a−b
=
−
cos 2α
2
2
a−b
1 − cos 2α .
(2.80)
=b+
2
a sin2 α + b cos2 α =
Damit lassen sich die Gleichungen (2.77) und (2.78) folgendermaßen darstellen:
ûd =Rs îd
(id ,iq )
+ Ldd
+
(id ,iq )
Lqq
+
(id ,iq )
Lqq
2
1 − cos 2∆γ +
sin 2∆γ
(id ,iq )
+ Ldq
−
Ldq
(id ,iq )
Ldq
(id ,iq )
(id ,iq )
− Ldd
2
(id ,iq )
− Ldd
(id ,iq )
+ Lqd
2
(id ,iq )
+ Lqd
2
dîd
sin 2∆γ ·
dt
dîq
1 − cos 2∆γ ·
dt
ûq =Rs îq
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
L
+
L
L
−
L
(id ,iq )
dq
qd
qq
dd
+
1 − cos 2∆γ ·
sin 2∆γ + Lqd
−
2
2
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
L
+
L
L
−
L
qq
dq
qd
(id ,iq )
dd
−
+ Lqq
1 − cos 2∆γ −
sin 2∆γ ·
2
2
(2.81)
dîd
dt
dîq
dt
(2.82)
38
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
oder noch etwas umgeschrieben
ûd =Rs îd
(id ,iq )
+
+ Ldd
(id ,iq )
Lqq
(id ,iq )
(id ,iq )
+ Lqd
+
(id ,iq )
Lqq
1 − cos 2∆γ +
(id ,iq )
Ldq
sin 2∆γ −
2
Ldq
(id ,iq )
+ Lqd
2
(id ,iq )
(id ,iq )
− Ldd
(id ,iq )
+ Lqd
2
dîd
sin 2∆γ ·
dt
dîq
1 − cos 2∆γ ·
dt
(2.83)
dîd
1 − cos 2∆γ ·
sin 2∆γ −
2
dt
(id ,iq )
(id ,iq )
+ Lqd
Ldq
dîq
1 − cos 2∆γ −
sin 2∆γ ·
2
dt
(id ,iq )
(id ,iq )
− Ldd
Ldq
2
(id ,iq ) Lqq
−
+ Lqq
(id ,iq )
2
(id ,iq ) Lqq
+ Ldq
+
ûq =Rs îq
(id ,iq )
− Ldd
(id ,iq )
− Ldd
2
(id ,iq )
+ Lqd
(2.84)
Die Gleichungen (2.83) und (2.84) lassen gut erkennen, dass bei ideal bekanntem Winkel (∆γ = 0) die realen Induktivitäten wirken. Werden diese beiden Gleichungen verkürzt zu
(id ,iq )
ûd = Rs îd + L̂dd
(id ,iq )
ûq = Rs îq + L̂qq
dîd
(id ,iq ) dîq
+ L̂dq
und
dt
dt
dîq
(id ,iq ) dîd
+ L̂qd
,
dt
dt
(2.85)
(2.86)
so ergeben sich die im winkelfehlerbehafteten System messbaren Induktivitäten zu
(id ,iq )
L̂dd
(id ,iq )
L̂qq
(id ,iq )
L̂dq
(id ,iq )
L̂qd
=
=
=
=
(id ,iq )
Ldd
(id ,iq )
Lqq
(id ,iq )
Ldq
(id ,iq )
Lqd
(id ,iq )
+
Lqq
2
(id ,iq )
−
Lqq
Lqq
(id ,iq )
+
1 − cos 2∆γ +
1 − cos 2∆γ −
sin 2∆γ −
2
sin 2∆γ −
(id ,iq )
+ Lqd
2
(id ,iq )
Ldq
Ldq
Ldq
sin 2∆γ
(2.87)
sin 2∆γ
(2.88)
(2.89)
(id ,iq )
+ Lqd
2
(id ,iq )
+ Lqd
2
(id ,iq )
(id ,iq )
− Ldd
(id ,iq )
Ldq
(id ,iq )
(id ,iq )
− Ldd
2
Lqq
(id ,iq )
− Ldd
2
(id ,iq )
+
(id ,iq )
− Ldd
(id ,iq )
+ Lqd
2
1 − cos 2∆γ
1 − cos 2∆γ . (2.90)
Ausgehend davon, dass sich die beiden Kreuzkoppelinduktivitäten aufgrund von Symmetrieeigenschaften entsprechen, kann
(id ,iq )
Lcc
(id ,iq )
= Ldq
(id ,iq )
= Lqd
(2.91)
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
39
angenommen werden. Der Index „cc“ wurde in Anlehnung an die englische Bezeichnung für Kreuzkopplung, „cross coupling“, gewählt. Die Gleichungen (2.87) bis (2.90)
vereinfachen sich damit zu
(id ,iq )
L̂dd
(id ,iq )
L̂qq
(id ,iq )
L̂cc
=
=
(id ,iq )
Ldd
(id ,iq )
Lqq
(id ,iq )
=
Lqq
(id ,iq )
+
Lqq
2
(id ,iq )
−
(id ,iq )
− Ldd
Lqq
(id ,iq )
− Ldd
2
(id ,iq )
− Ldd
(id ,iq )
1 − cos 2∆γ + Lcc
sin 2∆γ ,
(id ,iq )
1 − cos 2∆γ − Lcc
sin 2∆γ und
(id ,iq )
sin 2∆γ + Lcc
2
cos 2∆γ .
(2.92)
(2.93)
(2.94)
Für die spätere Verwendung der Gleichungen (2.92) und (2.93) ist es sinnvoll, diese
mathematisch umzuformen. Unter Beachtung von
a+b a−b
a−b
1 − cos 2α
−
cos 2α = b +
2
2
2
(2.95)
gilt somit schließlich für die drei Induktivitäten im winkelfehlerbehafteten Modellsystem
(id ,iq )
L̂dd
(id ,iq )
L̂qq
(id ,iq )
L̂cc
(id ,iq )
=
Lqq
2
(id ,iq )
=
Lqq
Lqq
(id ,iq )
−
(id ,iq )
− Ldd
2
Lqq
+
(id ,iq )
− Ldd
Lqq
(id ,iq )
cos 2∆γ + Lcc
2
(id ,iq )
(id ,iq )
+ Ldd
2
(id ,iq )
=
(id ,iq )
+ Ldd
(id ,iq )
− Ldd
2
(id ,iq )
sin 2∆γ + Lcc
(id ,iq )
cos 2∆γ − Lcc
cos 2∆γ .
sin 2∆γ ,
(2.96)
sin 2∆γ und
(2.97)
(2.98)
Diese Beziehungen können nun dazu verwendet werden, die Winkeldifferenz ∆γ zu
berechnen. Um die Vermessung der Induktivitäten im momentanen Betriebszustand
durchführen zu können, werden Testsignale in den Motor eingespeist. Dies kann prinzipiell auf unterschiedliche Art und Weise erfolgen. Eine Übersicht über einige der
eingesetzten Verfahren findet sich in [43]. Verschiedene Arten der Implementierung
werden unter anderem in [68, 69, 70, 71, 72, 73, 74] behandelt. Hier wird im Folgenden von einem sinusförmigen Signal, welches entweder nur in eine Achse oder in beide
Achsen (d und q) eingespeist wird, ausgegangen. Werden ein sinusförmiger Strom in
die d-Achse und ein kosinusförmiger in die q-Achse gemäß
îd = Îd,t,sin sin ωt t
(2.99)
îq = Îq,t,cos cos ωt t
(2.100)
eingeprägt, so können nach den hergeleiteten Spannungsgleichungen (2.85) und (2.86)
40
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
die Spannungen
(id ,iq )
ûd = Rs Îd,t,sin sin ωt t + ωt L̂dd
(id ,iq )
ûq = Rs Îq,t,cos cos ωt t − ωt L̂qq
(id ,iq )
Îd,t,sin cos ωt t − ωt L̂dq
(id ,iq )
Îq,t,cos sin ωt t + ωt L̂qd
Îq,t,cos sin ωt t
(2.101)
Îd,t,sin cos ωt t
(2.102)
erzeugt werden. Nun können die beiden Gleichungen (2.101) und (2.102) umsortiert
gemäß
ûd =
(id ,iq )
Rs Îd,t,sin − ωt L̂dq
Îq,t,cos
(id ,iq )
ûq = Rs Îq,t,cos + ωt L̂qd
(id ,iq )
sin ωt t + ωt L̂dd
(id ,iq )
Îd,t,sin cos ωt t − ωt L̂qq
Îd,t,sin cos ωt t
(2.103)
Îq,t,cos sin ωt t
(2.104)
und die einzelnen Spannungsanteile mit
ûd = Ûd,t,sin sin ωt t + Ûd,t,cos cos ωt t
(2.105)
ûq = Ûq,t,cos cos ωt t − Ûq,t,sin sin ωt t
(2.106)
bezeichnet werden. Die Parameter Ûd,t,sin , Ûd,t,cos , Ûq,t,cos und Ûq,t,sin sind Spannungen im Modellsystem und können damit relativ einfach bestimmt werden. Zu diesem
Zeitpunkt sind allerdings noch Testsignal- und Grundwellengrößen einander überlagert, benötigt werden jedoch allein die Spannungsantworten aufgrund der Testsignalströme. Daher ist eine Art der Filterung nötig. Dies kann entweder mit den bekannten
Filtern geschehen [68, 75], oder aber – wesentlich eleganter – mit dem sogenannten
Goertzel-Algorithmus. Dieser wirkt wie eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) für nur
eine Frequenz und ist damit ohne großen Rechenaufwand implementierbar. Der Vorteil des Goertzel-Algorithmus ist insbesondere, dass im Gegensatz zu den anderen
Filtermethoden hierbei keine Phasenverschiebung auftritt. Eine geberlose Regelung,
die den Goertzel-Algorithmus verwendet, ist in [21] realisiert. Eine etwas genauere Erläuterung der Funktionsweise des Goertzel-Algorithmus findet sich auch im weiteren
Verlauf dieser Arbeit in Kapitel 4.3.3 ab Seite 121. Damit ergeben sich für die beiden
(id ,iq )
Kreuzkoppelinduktivitäten L̂dq
(id ,iq )
L̂dq
(id ,iq )
L̂qd
(id ,iq )
und L̂qd
=−
=
die Gleichungen
Ûd,t,sin − Rs Îd,t,sin
ωt Îq,t,cos
Ûq,t,cos − Rs Îq,t,cos
ωt Îd,t,sin
.
(2.107)
(2.108)
Würde lediglich in einer der beiden Achsen (d oder q) ein Teststrom eingespeist, so
wären die beiden Gleichungen (2.108) und (2.108) nicht mehr vom Widerstand Rs abhängig. Gäbe es zum Beispiel lediglich einen Testsignalstrom in d-Richtung, so wäre
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
41
(id ,iq )
Îq,t,cos gleich null. In der Auswertung der Gleichung für L̂qd
fällt damit der Term
mit dem Widerstand Rs weg (siehe Gleichung (2.109)). Wird nun lediglich eine Testsignaleinprägung in die d-Achse betrachtet, so vereinfacht sich die Berechnung von L̂qd
aufgrund des fehlenden q-Stromes ohnehin zu
(id ,iq )
L̂qd
=
Ûq,t,cos
ωt Îd,t,sin
.
(2.109)
Zusammen mit Gleichung (2.98) ergibt sich damit für den Winkelfehler
!
Û
1
2
(id ,iq )
q,t,cos
.
∆γ = arcsin (i ,i )
− Lcc
(id ,iq )
d q
2
ω
Î
t d,t,sin
−L
L
qq
(2.110)
dd
Die Gleichung (2.110) lässt sich bis zu Winkelfehlern von 45◦ auswerten. Winkelfehler, die darüber hinausgehen, werden falsch erkannt. Genauer wird dies in [20], Seite
112ff, erklärt. Sollen Winkelfehler bis 90◦ erkannt werden, so muss statt der SinusFunktion eine Tangens-Funktion verwendet werden. Dies erreicht man genau dann,
wenn zusätzlich zu Gleichung (2.94) auch die beiden Gleichungen für die differentiellen Induktivitäten (2.97) und (2.96) verwendet werden. Dazu wird Gleichung (2.94)
umgeformt
(id ,iq )
Lqq
(id ,iq )
− Ldd
(id ,iq )
=
2
L̂cc
(id ,iq )
− Lcc
sin 2∆γ
(2.111)
und in die beiden anderen Gleichungen (2.96) und (2.97) eingesetzt:
(id ,iq )
L̂dd
(id ,iq )
L̂qq
(id ,iq )
=
Lqq
Lqq
(id ,iq )
−
2
(id ,iq )
=
(id ,iq )
+ Ldd
(id ,iq )
+ Ldd
(id ,iq )
− Lcc
tan 2∆γ
(id ,iq )
+
2
L̂cc
L̂cc
(id ,iq )
+ Lcc
(id ,iq )
− Lcc
tan 2∆γ
(id ,iq )
− Lcc
sin 2∆γ
(2.112)
sin 2∆γ
(2.113)
sin 2∆γ
(2.114)
sin 2∆γ .
(2.115)
Gleichung (2.113) aufgelöst
(id ,iq )
Lqq
(id ,iq )
+ Ldd
2
(id ,iq )
= L̂qq
(id ,iq )
−
L̂cc
(id ,iq )
− Lcc
tan 2∆γ
(id ,iq )
+ Lcc
und eingesetzt in (2.112) ergibt die Lösungsgleichung
(id ,iq )
L̂dd
(id ,iq )
= L̂qq
(id ,iq )
−2
L̂cc
(id ,iq )
− Lcc
tan 2∆γ
(id ,iq )
+ 2 Lcc
Wie bereits in [20] erwähnt, lassen sich diese Gleichungen nur dann auswerten, wenn
Ldd ≠ Lqq , der Motor also eine Schenkligkeit besitzt. Ist keine Schenkligkeit vorhanden, so muss diese künstlich erzeugt werden, zum Beispiel durch Einprägen eines
vorsättigenden d-Stromes. Die Induktivität in d-Richtung wird damit verringert und
42
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
auf diese Weise eine Schenkligkeit erzeugt [20]. Sowohl die Beschreibung des Verfahrens als auch viele der Variablenbezeichnungen bauen auf [20], ab Seite 124, auf.
Bei niedrigen Umrichterschaltfrequenzen kann die Forderung nach einem sinusförmigen Testsignal nicht aufrechterhalten werden. Dies würde die Dynamik des Systems
zu sehr beeinträchtigen. Deswegen wird ein rechteckförmiges Testsignal verwendet,
dessen Frequenz ein Viertel der Umrichterfrequenz beträgt. Bei einer angenommenen
Umrichterfrequenz von 1 kHz wären dies 250 Hz. Die Ströme und Spannungen eines
utest
itest
∆itest
Abbildung 2.18: Ströme und Spannungen eines Testsignals (idealisiert)
solchen Testsignals sind in Abbildung 2.18 prinzipiell dargestellt. Bei Einprägung der
Testsignalspannung utest entsteht aufgrund der Motorinduktivitäten ein Strom itest
mit der dazugehörigen Stromänderung ∆itest . Die zeitdiskrete Darstellungsform der
Gleichungen (2.85) und (2.86) lautet:
(id ,iq )
ūd [k] = Rs īd [k] + L̂dd
(id ,iq )
ūq [k] = Rs īq [k] + L̂qq
Ɣd [k]
(id ,iq ) Ɣq [k]
+ L̂cc
Tab
Tab
(2.116)
Ɣq [k]
(id ,iq ) Ɣd [k]
+ L̂cc
Tab
Tab
(2.117)
Es gibt daher zwei Gleichungen für die drei unbekannten Induktivitäten und den ebenso nicht bekannten ohmschen Widerstand Rs . Daher werden noch die beiden Gleichungen des letzten Abtastschrittes verwendet. In Matrixschreibweise sieht das Ergebnis
schließlich folgendermaßen aus [20]:
Ɣd [k]
0
∆î [k − 1]
d
0
0
Ɣq [k]
0
∆îq [k − 1]
Ɣq [k]
Tab īd [k]
∆îd [k − 1]
Tab īq [k − 1]
L̂dd
Ɣd [k]
Tab īq [k]
L̂qq
·
∆îq [k − 1] Tab īd [k − 1]
L̂cc
Rs
ūd [k]
ūq [k]
= Tab
ū [k − 1]
d
ūq [k − 1]
(2.118)
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
43
Eine andere, rechentechnisch einfachere Möglichkeit der Berechnung des Winkelfehlers ergibt sich, wenn man annimmt, dass der ohmsche Widerstand Rs als bekannt
vorausgesetzt werden darf. Werden in die Gleichungen (2.116) und (2.117) die Induktivitäten nach (2.92) bis (2.94) eingesetzt, so ergibt sich
ūd [k] = Rs īd [k]
(id ,iq )
+ Ldd
(id ,iq )
+ Lcc
ūq [k] = Rs īq [k]
(id ,iq )
+ Lqq
(id ,iq )
+ Lcc
(id ,iq )
+
Lqq
2
(id ,iq )
+
Lqq
Lqq
Lqq
(id ,iq )
− Ldd
2
(id ,iq )
1 − cos 2∆γ + Lcc
sin 2∆γ
Ɣq [k]
Tab
(id ,iq )
− Ldd
2
(id ,iq )
+
(id ,iq )
− Ldd
2
(id ,iq )
−
(id ,iq )
− Ldd
1 − cos 2∆γ
sin 2∆γ
sin 2∆γ
Ɣd [k]
Tab
(2.119)
(id ,iq )
− Lcc
Ɣd [k]
.
Tab
sin 2∆γ
Ɣq [k]
Tab
(2.120)
Weiterhin gelten folgende Beziehungen beziehungsweise abkürzende Schreibweisen:
(id ,iq )
a+b a−b
a−b
1 − cos 2α ,
−
cos 2α = b +
2
2
2
(id ,iq )
Lqq−dd = Lqq
(id ,iq )
− Ldd
(id ,iq )
(id ,iq )
und Lqq+dd = Lqq
(id ,iq )
+ Ldd
(2.121)
(2.122)
Die Gleichungen (2.119) und (2.120) lassen sich damit umschreiben zu
(id ,iq )
(id ,iq )
L
L
(id ,iq )
qq−dd
qq+dd
Ɣd [k]
ūd [k] = Rs īd [k] +
−
cos 2∆γ + Lcc
sin 2∆γ
2
2
Tab
(id ,iq )
L
qq−dd
Ɣq [k]
(id ,iq )
sin 2∆γ
und
(2.123)
+
+ Lcc
2
Tab
(id ,iq )
(id ,iq )
Lqq−dd
(id ,iq )
Lqq+dd
Ɣq [k]
ūq [k] = Rs īq [k] +
+
cos 2∆γ − Lcc
sin 2∆γ
2
2
Tab
(id ,iq )
(id ,iq ) Lqq−dd
Ɣd [k]
+
+ Lcc
sin 2∆γ
.
(2.124)
2
Tab
Aufgelöst wird dieses Gleichungssystem vorzugsweise mit maschineller Unterstüt-
44
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
zung. Es ergibt sich schließlich:
(id ,iq )
Lqq−dd
2 Tab
sin 2∆γ =
(id ,iq )
L
Ɣd [k]
(id ,iq ) Ɣd [k]
qq+dd Ɣq [k]
+
− Lcc
ūq [k] − Rs īq [k] −
2
2
2
Tab
Tab
Ɣd [k] + Ɣd [k]
(id ,iq )
L
Ɣq [k]
(id ,iq ) Ɣq [k]
qq+dd Ɣd [k]
+
− Lcc
ūd [k] − Rs īd [k] −
2
2
2
Tab
Tab
Ɣd [k] + Ɣd [k]
(2.125)
und
(id ,iq )
Lqq−dd
2 Tab
(id ,iq )
Lqq+dd Ɣd [k]
cos 2∆γ =
ī
[k]
−
ū
[k]
−
R
s
d
d
2
Tab
Ɣ2d [k] + Ɣ2d [k]
(id ,iq )
(id ,iq )
L
∆
î
[k]
2 Lcc
(id ,iq ) Ɣd [k]
q
qq−dd
+ (i ,i ) ūq [k] − Rs īq [k] −
− Lcc
d q
2
T
Tab
ab
Lqq−dd
(id ,iq )
Lqq+dd Ɣq [k]
Ɣq [k]
+ 2
ūq [k] − Rs īq [k] −
2
Tab
Ɣd [k] + Ɣ2d [k]
(id ,iq )
(id ,iq )
L
∆
î
[k]
2 Lcc
∆
î
[k]
(i
,i
)
qq−dd
q
d
d q
+ (i ,i ) ūd [k] − Rs īd [k] −
− Lcc
d q
2
T
T
ab
ab
Lqq−dd
Ɣd [k]
(2.126)
Der gesuchte Winkel ∆γ lässt sich dann ganz allgemein berechnen:
(i ,iq )
∆îd [k] ūq [k] − Rs īq [k] −
∆γ =
1
arctan
2
d
Lqq+dd
Ɣq [k]
2
Tab
(i ,iq )
d
Lqq+dd
Ɣd [k]
2
Tab
∆îq [k] ūd [k] − Rs īd [k] −
"
(i ,iq )
∆îd [k] ūd [k] − Rs īd [k] −
(i ,iq )
2 Lccd
(i ,iq )
d
Lqq−dd
"
(i ,iq )
2 Lccd
(i ,iq )
d
Lqq−dd
(id ,iq ) Ɣq [k]
Tab
− Lcc
!
!
+
d
Lqq+dd
Ɣd [k]
2
Tab +
ūq [k] − Rs īq [k] −
(i ,iq )
∆îq [k] ūq [k] − Rs īq [k] −
(id ,iq ) Ɣd [k]
− Lcc
Tab
(i ,iq )
d
Lqq−dd
Ɣq [k]
2
Tab
d
Lqq+dd
Ɣq [k]
2
Tab +
ūd [k] − Rs īd [k] −
(i ,iq )
d
Lqq−dd
Ɣd [k]
2
Tab
(id ,iq ) Ɣd [k]
− Lcc
Tab
(id ,iq ) Ɣq [k]
− Lcc
Tab
!#
+
!#
(2.127)
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
45
0.8
−4
0.8
0.8
0.6
x 10
0.6
0.4
0.2 0.4
8
0.4
0.4
id
id,n
Lqq − Ldd [H]
0.6
0.6
0.4
6
0 0.2
0.2
4
0.2
0.1
−0.2 0.1
2
0.1
−0.4
0
0.2
0.1
0.5
−2
1
0
0
iq
iq,n
−1
−0.5 id
id,n
−0.6
1
(a) Seitenansicht
0.5
0
iq
iq,n
−0.5
−1
(b) Draufsicht
Abbildung 2.19: (Prüfstand C, Oberflächenmagnete, verteilte Wicklung) Darstellung der Induktivitätsdifferenz Lqq − Ldd über den d,q-Strömen zusammen mit der in Weiß gezeichneten Fläche, in der die
Induktivitätsdifferenz gleich null ist.
2.4.2
Differentieller Schenkligkeitskoeffizient
Wie bereits in den vorangegangenen Kapiteln erläutert, können die Gleichungen zum
Testsignalverfahren nur ab einem gewissen Maß an Unsymmetrie des Rotors ausgewertet werden. Unter der Annahme, dass die Kreuzkopplungsinduktivitäten null sind,
muss gelten:
(id ,iq )
(id ,iq ) Lqq
= L(id ,iq ) > ǫ
−
L
qq−dd dd
(2.128)
Hierbei steht ǫ für das Mindestmaß an Unsymmetrie, welches nötig ist, um die Rotorlage sicher zu identifizieren. Bei einem Motor mit vergrabenen Magneten ist diese
Bedingung zumindest im Leerlauf in der Regel sehr gut erfüllt. Allerdings kann es
vorkommen, dass sich die Induktivitäten Ldd und Lqq bei zunehmender Belastung
einander annähern.
Die Abbildungen 2.19 und 2.20 zeigen die Induktivitätsdifferenz beispielhaft für eine PMSM mit Oberflächenmagneten und verteilter Wicklung (Prüfstand C) und eine
mit vergrabenen Magneten und konzentrierter Wicklung (Prüfstand B). Erkennbar ist,
dass bei der Maschine mit Oberflächenmagneten bei negativen id -Strömen die Induktivititätsdifferenz relativ gleichmäßig kleiner wird und schließlich verschwindet. Bei
einem positiven id -Strom ist die Induktivitätsdifferenz konstant und umso größer, je
größer der positive d-Strom ist. Die geberlose Regelung benötigt für das Testsignalverfahren eine möglichst große Induktivitätsdifferenz, daher wurde in [20] ein konstanter positiver id -Strom in eine Maschine mit Oberflächenmagneten eingeprägt, um
46
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
0.6
5
0.5
1
1.
1
0.4
5
1.5
0.5
0.2
Lqq − Ldd [H]
1.5
1
id
id,n
3
2
2.
2
−3
x 10
0
2
1
−0.2
0.5
1
0.5
0
−0.5
iq
iq,n
−1
(a) Seitenansicht
−0.5 id
id,n
1.5
2
−0.6
1
0.5
0
iq
iq,n
−0.5
1
2
1
0
2
−0.4
1.5
0
0.5
0.5
1
−1
(b) Draufsicht
Abbildung 2.20: (Prüfstand B, vergrabene Magnete, konzentrierte Wicklung) Darstellung der Induktivitätsdifferenz Lqq − Ldd über den d,q-Strömen zusammen mit der in Weiß gezeichneten Fläche, in der
die Induktivitätsdifferenz gleich null ist.
die gewünschte minimale Induktivitätsdifferenz zu erreichen. Für die Maschine mit
vergrabenen Magneten stellt sich das Verhalten deutlich anders dar. Abbildung 2.20
zeigt, dass für einen geringen iq -Strom die Induktivitätsdiffernz bereits groß ist und
auch durch id -Ströme nicht wesentlich beeinflusst werden kann. Je größer jedoch der
q-Strom wird, desto kleiner wird die Differenz. Gemessen wurde in diesem Fall nur bis
Nennstrom. Bereits hier sieht man, dass bei Nennstrom die Induktivitätsdifferenz circa null wird, bei höheren Strömen würde sie negativ werden. Dieser Zusammenhang
tritt bei allen Maschinen in ähnlicher Weise auf und kann verallgemeinert werden [76]:
Motoren mit Oberflächenmagneten sind bei keinem oder negativen id -Strömen nahezu symmetrisch. Hier muss eine Induktivitätsdifferenz und damit eine Asymmetrie
gezielt durch Einprägen eines positiven id -Stroms erzeugt werden. Bei Motoren mit
vergrabenen Magneten erhält man im Leerlaufpunkt eine große Asymmetrie, welche
allerdings mit steigender Belastung, also steigendem iq -Strom, stark abnimmt und
meist im Bereich der Nennbelastung null wird. Das heißt, Maschinen mit vergrabenen
Magneten benötigen zwar keinen vorsättigenden positiven id -Strom – was mit einer
Reduzierung der ohmschen Verluste im Ständer insbesondere im Teillastbereich einhergeht –, dennoch ist deren Asymmetrie stark belastungsabhängig. Eine Überlastung
mit mehrfachem Nennstrom ist bei geberloser Regelung mit dem Testsignalverfahren,
das heißt bei Stillstand oder kleinen Drehzahlen ohne Modifikation an den bisher bekannten Verfahren, nicht möglich, da der Bereich ohne Asymmetrie des Motors bei
Nennbelastung nicht durchfahren werden kann. Damit können auch die Kreuzkopp-
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
47
0.15
0.6
0.15
0.15
0.4 0.1
0.1
0.1
0.2
id
id,n
0.2
k∆L
0.15
5
0.0
0
0.05
0.05
0.1
2
0.0
−0.2 0.02
0.05
0.0
0.02
2
−0.4
0
0
0.5
−0.05
1
0
iq
iq,n
−1
0
−0.6 0
0
−0.5 id
id,n
0
0
0.5
1
(a) Seitenansicht
0
−0.5
iq
iq,n
−1
(b) Draufsicht
Abbildung 2.21: (Prüfstand C, Oberflächenmagnete, verteilte Wicklung) Differentieller Schenkligkeitskoeffizient bei Maschinen mit Oberflächenmagneten bzw. vergrabenen Magneten
0.6
0.5
0
−0.5
iq
iq,n
(a) Seitenansicht
−1
−0.5id
id,n
0.18
−0.05
1
−0.4
0.05
0.18
k∆L
0
0.13
5
0.1
0.05
0
13
−0.2
0.0
0.
0.5
0.1
0
0.15
0.1
0.13
0.1
id
id,n
0.2
05
8
0.18
0
0.2
0.
0.1
4
0.2
0.05
0.4
0.1
0.13
−0.6
1
0.5
0
iq
iq,n
−0.5
−1
(b) Draufsicht
Abbildung 2.22: (Prüfstand B, vergrabene Magnete, konzentrierte Wicklung) Differentieller Schenkligkeitskoeffizient bei Maschinen mit Oberflächenmagneten bzw. vergrabenen Magneten
lungsinduktivitäten einen Anteil zur Asymmetrie einer Maschine liefern und somit ist
auch bei Lqq − Ldd = 0 ein gewisses Maß an Asymmetrie vorhanden. In [20] wurde auf
Seite 136 ein Faktor eingeführt, der die Eigenschaften permanenterregter Synchronmotoren bezüglich deren Eignung zur Testsignalregelung unter Berücksichtigung der
Kreuzkopplungsinduktivitäten darstellt. Dieser Faktor wird in Prozent angegeben: Je
höher er ist, desto besser ist der entsprechende Motor für die geberlose Regelung ge-
48
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
eignet. Der von ihm als „differentieller Schenkligkeitskoeffizient“ bezeichnete Faktor
ist wie folgt definiert:
(id ,iq )
k∆L
=
s
(id ,iq )
Lqq
(id ,iq )
− Ldd
(id ,iq )
Lqq
2
2
(id ,iq )
+ 2 Lcc
(id ,iq )
(2.129)
+ Ldd
Es ist zu erkennen, dass bei der Maschine mit Oberflächenmagneten (Abbildung 2.21)
bei größer werdendem id -Strom der Schenkligkeitskoeffizient zunimmt. Bei der Maschine mit vergrabenen Magneten (Abbildung 2.22) sieht die Lage ein wenig anders aus.
Hier ist direkt anhand des Flächenverlaufs erkennbar, dass es keine monoton steigende Kennlinie mehr gibt. Zudem wird im Bereich der Nennbelastung der Schenkligkeitskoeffizient fast null, und somit ist auch im Hinblick auf den differentiellen Schenkligkeitskoeffizienten eine geberlose Testsignalregelung in diesen Bereichen eher schlecht
möglich. Der Schenkligkeitskoeffizient ist weitgehend unabhängig vom id -Strom. Im
Wesentlichen verläuft der Schenkligkeitskoeffizient wie die Induktivitätsdifferenz, jedoch berücksichtigt er zusätzlich die Kreuzkopplungseffekte. Damit ist der differentielle Schenkligkeitskoeffizient auch in den Bereichen, in denen die Induktivitätsdifferenz null ist, ungleich null. Für einen ersten Überblick – oder falls Messdaten zu den
Koppelinduktivitäten fehlen – reicht jedoch die Betrachtung der Differenz aus Ldd und
Lqq aus, um die prinzipielle Eignung einer Maschine für die geberlose Regelung mit
dem Testsignalverfahren abzuschätzen.
2.4.3
EMK-Verfahren für hohe Drehzahlen
Im Gegensatz zu dem beschriebenen Testsignalverfahren, welches aktiv in das Antriebssystem eingreift, bieten sich bei genügend hohen Drehzahlen verschiedene passive Verfahren an. Beobachterkonstruktionen werden zum Beispiel in [77, 78] verwendet, Kalmanfilter in [79]. In dieser Arbeit werden die Herleitungen der Formeln für
die geberlose Regelung dazu verwendet, die Auswirkungen von Parameterfehlern auf
die Genauigkeit der Winkelschätzung zu untersuchen. Für die Vergleichsbetrachtungen bei hohen Drehzahlen wird daher ein Verfahren analysiert, welches auf der Auswertung der induzierten Spannungen beruht [43]. Unterschiedliche Induktivitäten Ld
und Lq werden hierbei berücksichtigt. Eine Drehzahl ist immer dann für das EMK-Verfahren ausreichend, wenn die angelegten Spannungen so groß sind, dass der Rauschanteil auf den gemessenen oder berechneten Spannungen vernachlässigbar klein ist.
Basis der Spannungsgleichungen des EMK-Modells sind in aller Regel die linearisierten Motorgleichungen. Es wird daher in den meisten Fällen davon ausgegangen, dass
der Motor im betrachteten Betriebsbereich weitestgehend lineares Verhalten zeigt. In
diesem Kapitel wird die Frage erörtert, inwieweit diese Gleichungen noch gelten, wenn
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
49
stark asymmetrische, hochausgenutzte Motoren verwendet werden, die eben auch in
den normalen Betriebsbereichen nicht mehr mit den linearisierten Motorgleichungen
beschrieben werden können. Als erster Schritt wird in der allgemeinen Herleitung der
Berechnungsformel für den Läuferwinkel γ angenommen, dass die beiden Induktivitäten Ld und Lq nicht wie in vielen Publikationen [21, 43] gleich, sondern voneinander
verschieden sind. Ziel ist es, den Winkel des Polradflusses zu ermitteln. Da der Polradfluss immer in der d-Achse zu finden ist, entspricht dessen Winkel gleichzeitig dem
gesuchten Läuferwinkel. Da die Induktivitäten nur im d,q-Koordinatensystem bekannt
sind und zudem zwischen α,β- und d,q-System bereits der gewünschte Läuferwinkel
liegt, wird von der Formulierung
ψα,β = ψd,q · ejγ
(2.130)
ausgegangen. Nach Einsetzen der bekannten d,q-Größen ergibt sich bei Verwendung
der allgemeinen Flussgleichungen:
ψα,β = ψd + j ψq · ejγ
= ψp + Ld id + j Lq iq · ejγ
(2.131)
Der Übersichtlichkeit halber werden in diesem Kapitel im Gegensatz zu den vorangegangenen die folgenden symbolischen Vereinfachungen durchgeführt:
!
(id ,iq )
ψp = ψp
!
(id ,iq )
, Ld = L d
!
(id ,iq )
, Lq = Lq
Die Umformung nach (2.131) gilt ganz allgemein, unabhängig davon, ob die permanenterregte Synchronmaschine elektrisch symmetrisch oder unsymmetrisch ist. Es ist
ebenso nicht von Belang, ob lediglich stationäre oder zusätzlich auch dynamische Betriebszustände betrachtet werden. Aufgrund der fehlenden Ableitungen in Gleichung
(2.131) treten die differentiellen Induktivitäten in der Gleichung nicht in Erscheinung.
Dennoch haben die differentiellen Induktivitäten auf die Bestimmung der Läuferlage
einen Einfluss. Sie sind in Gleichung (2.135) bei den gemessenen beziehungsweise anzulegenden Spannungen uα,β bereits enthalten und haben damit durchaus – wenn
auch indirekt – einen Einfluss auf die Flussverkettung ψα,β in α,β-Koordinaten. Ein
wenig umgeformt und umgeschrieben ergibt sich daraus
ψα + j ψβ = ψp ejγ + Ld id ejγ + j Lq iq ejγ
(2.132)
ψp ejγ = ψα + j ψβ − Ld id ejγ − j Lq iq ejγ .
(2.133)
und schließlich
Wird jetzt der Arcustangens der rechten Seite der obigen Gleichung (2.133) gebildet,
so erhält man den gesuchten Winkel γ. Die Flussverkettungen ψα und ψβ lassen sich
50
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
aus der allgemeinen komplexen Spannungsgleichung nach (2.13), Seite 13, berechnen:
d
ψα,β
uα,β = Rs iα,β +
dt
Zt α,β
α,β
uα,β − Rs iα,β dτ + ψ0
=
ψ
(2.134)
(2.135)
0
Sie ergeben sich folglich zu
ψα =
Zt
(uα − Rs iα ) dτ + ψα,0 und
0
Zt uβ − Rs iβ dτ + ψβ,0 .
ψβ =
(2.136)
(2.137)
0
Zur Bestimmung der Anfangsbedingungen ψα,0 und ψβ,0 muss der Läuferwinkel zu
Beginn der Regelung bekannt sein. Mögliche Verfahren zur Messung dieses Winkels
sollen an dieser Stelle nicht weiter betrachtet werden, sind aber zum Beispiel in [20]
beschrieben. Es wird lediglich vorausgesetzt, dass der Anfangswinkel γStar t bekannt
ist. Die Anfangsbedingungen lassen sich aus der Transformation der bekannten d,qGrößen in α,β-Koordinaten zum Zeitpunkt γStar t berechnen:
ψα,0 = ψp + Ld id · cos γStar t − Lq iq · sin γStar t
ψβ,0 = ψp + Ld id · sin γStar t + Lq iq · cos γStar t
(2.138)
(2.139)
Unbekannt sind nun noch die beiden Ströme id und iq . Sie können folgendermaßen in
bekannten α,β-Größen ausgedrückt werden:
id = +iα cos γ + iβ sin γ
(2.140)
id = −iα sin γ + iβ cos γ
(2.141)
Mit ejγ = cos γ + j sin γ gilt damit für Gleichung (2.132):
ψp ejγ = ψα + j ψβ − Ld iα cos γ + iβ sin γ cos γ + j sin γ
(2.142)
− j Lq −iα sin γ + iβ cos γ cos γ + j sin γ bzw.
ψp ejγ = ψα + j ψβ − Ld iα cos2 γ + j iα sin γ cos γ + iβ sin γ cos γ + j iβ sin2 γ
− j Lq −iα sin γ cos γ − j iα sin2 γ + iβ cos2 γ + j iβ sin γ cos γ
(2.143)
Nach der Auftrennung der Gleichung (2.143) in Real- und Imaginärteil ergeben sich
die beiden reellen Gleichungen zu:
ψp cos γ = ψα − Ld iα cos2 γ + Ld iβ sin γ cos γ − Lq iα sin2 γ + Lq iβ sin γ cos γ
(2.144)
ψp sin γ = ψβ − Ld iα sin γ cos γ − Ld iβ sin2 γ + Lq iα sin γ cos γ − Lq iβ cos2 γ
(2.145)
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
51
und in übersichtlicherer zusammengefasster Schreibweise:
i
h ψp cos γ = ψα − iα Ld cos2 γ + Lq sin2 γ + iβ Ld − Lq sin γ cos γ
i
h ψp sin γ = ψβ − iβ Ld sin2 γ + Lq cos2 γ + iα Ld − Lq sin γ cos γ
(2.146)
(2.147)
Real- und Imaginärteil ergeben in Verbindung mit der Arcustangensfunktion den ge-
wünschten Winkel γ:
i
h
ψβ − iβ Ld sin2 γ + Lq cos2 γ + iα Ld − Lq sin γ cos γ
i
h γ = arctan
ψα − iα Ld cos2 γ + Lq sin2 γ + iβ Ld − Lq sin γ cos γ
(2.148)
Leider ist es nicht möglich, das Gleichungssystem der Gleichungen (2.146) und (2.147)
nach dem Winkel γ aufzulösen. Somit ist die direkte Nutzung der Gleichung (2.148)
eher eingeschränkt. Für den oft betrachteten Spezialfall Ld = Lq = L1 vereinfacht sich
die Gleichung (2.148) deutlich:
i
h
ψβ − iβ L1 sin2 γ + L1 cos2 γ + iα (L1 − L1 ) sin γ cos γ
i (2.149)
h γ = arctan
ψα − iα L1 cos2 γ + L1 sin2 γ + iβ (L1 − L1 ) sin γ cos γ
ψβ − L1 iβ sin2 γ + cos2 γ
(2.150)
= arctan
ψα − L1 iα cos2 γ + sin2 γ
Da cos2 γ + sin2 γ = 1 gilt, vereinfacht sich die Berechnung des Läuferwinkels γ zu
der aus der Literatur bekannten Form [43]
Läuferwinkel für Ld = Lq = L1
!
ψβ − L1 iβ
.
γ = arctan
ψα − L1 iα
(2.151)
Im Allgemeinen, das heißt für unterschiedliche Induktivitäten in d- und q-Achse, ist
die Gleichung (2.151) nicht verwendbar. Wenn man jedoch berücksichtigt, dass nicht
der Betrag der Permanentmagnetflussverkettung ψp ejγ , sondern nur deren Winkel
benötigt wird, kann das System zur Berechnung des Läuferlagewinkels γ deutlich vereinfacht werden. Abbildung 2.23 zeigt die elektrischen Größen in der komplexen Zahlenebene des ständerfesten α,β-Koordinatensystems. Dargestellt ist in Schwarz die
hier wiederholte Gleichung (2.131) von Seite 49:
ψα,β = ψp + Ld id + j Lq iq · ejγ
′
′
Ohne Einfluss auf den Läuferwinkel können ψp und Ld durch ψ und L ersetzt werden, solange Länge und Richtung des Gesamtzeigers in d-Richtung gleich bleiben. Dies
ist in Abbildung 2.23 graphisch (grau unterlegt) gezeigt. Die zugehörige Gleichung lautet dann
′
′
ψα,β = ψ + L id + j Lq iq · ejγ .
(2.152)
52
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
α
q-Achse
ψα,β
jLq iq ejγ
Ld id ejγ
ψp ejγ
d-Achse
′
L id ejγ
γ
′
ψ ejγ
β
Abbildung 2.23: Graphische Veranschaulichung von Gleichung (2.131) (schwarzes Dreieck) und mögliche Vereinfachung (graue, durchgezogene Linie)
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wird nun zunächst einmal willkürlich
′
!
L = Lq
(2.153)
gesetzt. Da nur der Winkel γ gefragt ist, können Betragsanteile der Induktivitäten in
′
d-Richtung in die Flussverkettung verschoben werden, die dann durch ψ bezeichnet
wird. Gleichung (2.152) verändert sich damit zu
′
ψα,β = ψ + Lq id + j Lq iq · ejγ
′
= ψ ejγ + Lq id + j iq · ejγ
′
= ψ ejγ + Lq iα,β ejγ .
(2.154)
Die Auflösung nach dem Zeiger der Polradflussverkettung und die anschließende Arcustangens-Bildung ergibt
′
ψ ejγ = ψα,β − Lq iα,β
(2.155)
beziehungsweise
γ = arctan
ψβ − Lq iβ
ψα − Lq iα
!
.
(2.156)
Auf den ersten Blick ist erkennbar, dass Gleichung (2.156) deutlich einfacher als Gleichung (2.148) ist, insbesondere kommt nun im Argument des Arcustangens kein Winkel γ mehr vor. Diese Vereinfachung kommt zustande, weil es möglich ist, mit der
Substitution von Ld durch Lqin Gleichung
(2.154) die Induktivität Ld auszuklammern,
und infolgedessen der Term id + j iq · ejγ durch iα,β ersetzt werden kann.
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
53
Fazit: Bei unsymmetrischen, das heißt schenkligen, Maschinen kann die gleiche Beziehung zur Berechnung des Läuferwinkels verwendet werden wie bei symmetrischen
Maschinen. Statt der Induktivität L1 muss bei asymmetrischen Maschinen lediglich die
Querinduktivität Lq eingesetzt werden. Die Berechnungsvorschrift lautet:
Läuferwinkel für Ld ≠ Lq
!
ψβ − Lq iβ
γ = arctan
ψα − Lq iα
(2.157)
mit den Flussverkettungen
ψα =
ψβ =
Zt
0
Zt
0
(uα − Rs iα ) dτ + ψα,0 und
uβ − Rs iβ dτ + ψβ,0 .
(2.158)
(2.159)
Die beiden Flussverkettungen ψα,0 und ψβ,0 ergeben sich jeweils aus der Startposition
des Läufers, die vorab mit einem geeigneten Verfahren ermittelt werden muss:
(2.160)
ψα,0 = ψp + Ld id · cos γStar t − Lq iq · sin γStar t
(2.161)
ψβ,0 = ψp + Ld id · sin γStar t + Lq iq · cos γStar t
Die beiden Integrationen (2.158) und (2.159) führen allerdings dazu, dass dieses Verfahren der Winkelgewinnung in der Praxis meist nicht eingesetzt wird. Grund hierfür
sind die Offsetfehler, die Messgrößen immer enthalten und in der Folge zu einem
Wegdriften des Integrationsergebnisses führen. Bewährt hat sich ein anderes Verfahren, welches die Größen im Modellsystem mit denen eines Referenzsystems vergleicht
[20, 21].
Die hier vorgestellte prinzipielle Vorgehensweise gleicht der in [20]. Unterschiedlich
sind jedoch die mathematischen Beziehungen, da hier als Basis die allgemeinen Motorgleichungen nach Kapitel 2.2.3 (Seiten 17ff) zugrunde gelegt wurden. Die Herleitung
für allgemeine Motorgleichungen findet sich in [21], jedoch sind dort die Flussverkettungen gemäß (2.38) und (2.39), Seite 18, definiert, was zu einem abweichenden Gleichungssystem für die Beschreibung der geberlosen Regelung führt. Es wird – genau
wie in der Herleitung der Winkeldifferenz beim Testsignalverfahren in Kapitel 2.4.1,
Seiten 36ff – von einem Modellsystem mit einem um ∆γ verdrehten Winkel ausgegan-
gen. Die dazu notwendigen Transformationen lauten in diesem Fall
îd = +id cos ∆γ + iq sin ∆γ ,
îq = −id sin ∆γ + iq cos ∆γ ,
ûd = +ud cos ∆γ + uq sin ∆γ und ûq = −ud sin ∆γ + uq cos ∆γ .
(2.162)
(2.163)
Ziel ist es, den momentanen Winkelfehler ∆γ zu berechnen. Zwei Möglichkeiten zur
Messung beziehungsweise Berechnung der momentanen Spannung im Modellsystem
stehen dafür zur Verfügung:
54
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
1. Am Ausgang der Regelung wird die am Umrichter anzulegende Spannung upwm
in d,q-Koordinaten (des winkelfehlerbehafteten) Modellsystems ausgegeben. Dabei müssen Nichtlinearitäten des Umrichters berücksichtigt werden. Verfahren
zur Umrichterlinearisierung werden in Kapitel 2.3 ab Seite 26 vorgestellt. Vereinfachend wird angenommen, dass entweder der Umrichter als ideal linear angenommen werden kann oder alternativ der Umrichter bereits mit einem entsprechenden Verfahren ideal linearisiert wurde.
2. Aus den gemessenen Strömen können die Spannungen ebenfalls berechnet werden. Natürlich muss hier auch beachtet werden, dass die Ströme in d,q-Koordinaten nur in dem winkelfehlerbehafteten Koordinatensystem bekannt sind.
Die Spannungen des Ständers im „echten“ rotorfesten d,q-System können geschrieben
werden als
dψd
− ωel ψq und
dt
dψq
+ ωel ψd .
uq = Rs iq +
dt
ud = Rs id +
(2.164)
(2.165)
Das heißt, beim Anlegen dieser Spannungen stellen sich die entsprechenden Ströme
und Flussverkettungen im Motor ein und können auch gemessen werden. Nun ist der
reale Läuferwinkel aber nicht bekannt, nur der Winkel des Modellsystems. Daher können lediglich die winkelfehlerbehafteten Spannungen angelegt werden. Dazu werden
die Gleichungen (2.164), (2.165) und (2.162), (2.163) ineinander eingesetzt. Daraus resultieren die Spannungsgleichungen
ud,pwm = Rs îd +
dψq
dψd
cos ∆γ +
sin ∆γ − ωel ψq cos ∆γ + ωel ψd sin ∆γ
dt
dt
(2.166)
uq,pwm = Rs îq −
dψq
dψd
sin ∆γ +
cos ∆γ + ωel ψq sin ∆γ + ωel ψd cos ∆γ .
dt
dt
(2.167)
Für die mit dem fehlerhaften Winkel berechneten Spannungen des Modellsystems ergibt sich:
dψ̂d
− ωel ψ̂q und
dt
dψ̂q
ûq = Rs îq +
+ ωel ψ̂d
dt
ûd = Rs îd +
(2.168)
(2.169)
Im Idealfall müssen die beiden Spannungen der Gleichungen (2.166) beziehungsweise
(2.167) und (2.169) beziehungsweise (2.168) jeweils gleich sein, die Differenzen
∆ud = ud,pwm − ûd und ∆uq = uq,pwm − ûq
(2.170)
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
55
also zu null werden. Nun werden die realen, nicht messbaren Größen in den beiden
obigen Gleichungen mit Größen des fehlerbehafteten Modellsystems ersetzt. Die Ableitungen der Flussverkettungen wurden bereits im Kapitel 2.2.3 berechnet, sie lauten
im allgemeinen Fall
∂ψp (id , iq )
dψd
(id ,iq ) did
(id ,iq ) diq
=
+ Ldd
+ Ldq
und
dt
∂t
dt
dt
dψq
(id ,iq ) diq
(id ,iq ) did
= Lqq
+ Lqd
.
dt
dt
dt
(2.171)
(2.172)
Des Weiteren gelten die bekannten Umformungen, die benötigt werden, um die realen
Größen in winkelfehlerbehafteten Modellgrößen darzustellen:
id = îd cos ∆γ − îq sin ∆γ ,
iq = îd sin ∆γ + îq cos ∆γ ,
(2.173)
ud = ûd cos ∆γ − ûq sin ∆γ und uq = ûd sin ∆γ + ûq cos ∆γ
(2.174)
Für die Flussverkettungen und deren Ableitungen ergibt sich daher:
(id ,iq )
îd cos ∆γ − îq sin ∆γ ,
ψd = ψp + Ld
(id ,iq )
îd sin ∆γ + îq cos ∆γ ,
ψq = Lq
∂ψp
dψd
(id ,iq )
(id ,iq )
=
+ Ldd
cos ∆γ + Ldq
sin ∆γ
dt
∂t
+
dψq
=
dt
+
(id ,iq )
Lqd
(id ,iq )
Lqq
(id ,iq )
Ldq
cos ∆γ
cos ∆γ
cos ∆γ
(id ,iq )
− Ldd
(id ,iq )
+ Lqq
(id ,iq )
− Lqd
sin ∆γ
sin ∆γ
Hierbei wurden die Ableitungsvorschriften
d
sin ∆γ =
dt
d
cos ∆γ =
dt
sin ∆γ
!
!
·
·
(2.175)
!
!
·
·
dîd
− ∆ωel îq
dt
dîq
+ ∆ωel îd
dt
!
(2.176)
!
!
,
(2.177)
dîd
− ∆ωel îq
dt
!
dîq
+ ∆ωel îd
dt
(2.178)
d∆γ
· cos ∆γ = ∆ωel cos ∆γ und
dt
d∆γ · − sin ∆γ = −∆ωel sin ∆γ
dt
(2.179)
(2.180)
verwendet. Setzt man nun die Gleichungen (2.175) bis (2.178) in (2.166) und (2.167) ein,
so ergeben sich die Ausdrücke für die gemessenen Spannungen ud,pwm und uq,pwm :
ud,pwm = Rs îd +
+
+
∂ψp
cos ∆γ
∂t
(id ,iq )
Ldd
(id ,iq )
Lcc
2
(id ,iq )
+ Lcc
2
(id ,iq )
− Ldd
cos ∆γ
cos ∆γ
sin ∆γ cos ∆γ
sin ∆γ cos ∆γ
!
!
·
·
dîd
− ∆ωel îq
dt
dîq
+ ∆ωel îd
dt
!
!
56
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
(id ,iq )
Lcc
+
(id ,iq )
Lqq
+
sin ∆γ cos ∆γ
sin ∆γ cos ∆γ
(id ,iq )
+ Lqq
(id ,iq )
− Lcc
2
sin ∆γ
2
sin ∆γ
!
!
·
·
dîd
− ∆ωel îq
dt
dîq
+ ∆ωel îd
dt
!
!
îd sin ∆γ cos ∆γ + îq cos2 ∆γ
(id ,iq )
îd sin ∆γ cos ∆γ − îq sin2 ∆γ
+ ωel ψp sin ∆γ + ωel Ld
(id ,iq )
− ωel Lq
∂ψp
sin ∆γ
∂t
uq,pwm = Rs îq −
(id ,iq )
Ldd
−
(id ,iq )
Ldd
+
(id ,iq )
Lcc
+
(id ,iq )
Lqq
+
sin ∆γ cos ∆γ
(id ,iq )
+ Lcc
2
(id ,iq )
− Lcc
2
(id ,iq )
+ Lqq
2
(id ,iq )
− Lcc
sin ∆γ
cos ∆γ
cos ∆γ
2
sin ∆γ
sin ∆γ cos ∆γ
!
!
sin ∆γ cos ∆γ
sin ∆γ cos ∆γ
!
!
·
·
·
dîd
− ∆ωel îq
dt
dîq
+ ∆ωel îd
dt
·
!
!
dîd
− ∆ωel îq
dt
dîq
+ ∆ωel îd
dt
!
!
îd sin2 ∆γ + îq sin ∆γ cos ∆γ
(id ,iq )
îd cos2 ∆γ − îq sin ∆γ cos ∆γ
+ ωel ψp cos ∆γ + ωel Ld
(id ,iq )
+ ωel Lq
(2.181)
(2.182)
Umgeformt kann geschrieben werden:
ud,pwm = Rs îd +
∂ψp
cos ∆γ + ωel ψp sin ∆γ
∂t
(id ,iq )
+
Lqq+dd
2
(id ,iq )
−
Lqq−dd
2
cos 2∆γ
(id ,iq )
+ Lcc
(id ,iq )
+
Lqq−dd
2
sin 2∆γ
(id ,iq )
Lq+d
− ωel îq
2
+
(id ,iq )
+ Lcc
(id ,iq )
Lq−d
2
cos 2∆γ
!
·
·
dîd
− ∆ωel îq
dt
!
!
dîq
+ ∆ωel îd
dt
(id ,iq )
Lq−d
cos 2∆γ − ωel îd
2
dψp
sin ∆γ + ωel ψp cos ∆γ +
dt
!
(id ,iq )
uq,pwm = Rs îq −
sin 2∆γ
!
sin 2∆γ
(2.183)
!
dîd
sin 2∆γ
cos 2∆γ ·
− ∆ωel îq +
2
dt
!
!
(id ,iq )
(id ,iq )
Lqq+dd
Lqq−dd
dîq
(id ,iq )
+
cos 2∆γ − Lcc
sin 2∆γ ·
+ ∆ωel îd +
2
2
dt
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
L
Lq−d
L
q−d
q+d
ωel îd
−
cos 2∆γ + ωel îq
sin 2∆γ
(2.184)
2
2
2
Lqq−dd
(id ,iq )
+ Lcc
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
57
Oder sortiert nach den einzelnen Strömen und deren Ableitungen:
dψp
cos ∆γ + ωel ψp sin ∆γ
dt
!
(id ,iq )
Lqq−dd
dîd
(id ,iq )
+ Lcc
sin 2∆γ −
cos 2∆γ ·
2
dt
!
dîq
(id ,iq )
sin 2∆γ + Lcc
cos 2∆γ ·
dt
(id ,iq )
(id ,iq )
Lqq−dd
Lq−d
(id ,iq )
cos 2∆γ · îd
− ωel
sin 2∆γ + ∆ωel Lcc
2
2
ud,pwm = Rs îd +
(id ,iq )
Lqq+dd
+
+
2
(id ,iq )
Lqq−dd
2
+ ∆ωel
(id ,iq )
(id ,iq )
Lqq+dd
Lq+d
(id ,iq )
− ∆ωel
− ∆ωel Lcc
sin 2∆γ
+ − ωel
2
2
(id ,iq )
(id ,iq )
Lqq−dd
Lq−d
+ ∆ωel
− ωel
cos 2∆γ · îq
2
2
(2.185)
dψp
sin ∆γ + ωel ψp cos ∆γ
dt
!
dîd
(id ,iq )
sin 2∆γ + Lcc
cos 2∆γ ·
dt
uq,pwm = Rs îq −
(id ,iq )
Lqq−dd
+
2
(id ,iq )
(id ,iq )
+
Lqq+dd
2
(id ,iq )
− Lcc
sin 2∆γ +
(id ,iq )
Lq+d
+ ωel
2
+ ∆ωel
+ ωel
Lqq−dd
2
cos 2∆γ
!
·
dîq
dt
(id ,iq )
+ ∆ωel
Lqq+dd
2
(id ,iq )
Lqq−dd
2
− ωel
(id ,iq )
Lq−d
2
− ∆ωel
Zusammen mit den Formeln
(id ,iq )
− ∆ωel Lcc
sin 2∆γ
(id ,iq )
Lq−d
cos 2∆γ · îd
2
(id ,iq )
Lqq−dd
(id ,iq )
cos 2∆γ · îq
sin 2∆γ − ∆ωel Lcc
2
(2.186)
∂ ψ̂p
(id ,iq ) dîd
(id ,iq ) dîq
(id ,iq )
+ Ldd
+ Ldq
− ω̂el Lq
îq und
(2.187)
∂t
dt
dt
(id ,iq ) dîq
(id ,iq ) dîd
(id ,iq )
ûq = Rs îq + Lqq
+ Lqd
+ ω̂el Ld
(2.188)
îd + ω̂el ψ̂p ,
dt
dt
die ebenfalls im Kapitel 2.2.3 hergeleitet wurden, ergibt sich damit für die Winkeldifûd = Rs îd +
ferenzen entsprechend der Gleichungen (2.170)
∆ud = ud,pwm − ûd
∆uq = uq,pwm − ûq :
(2.189)
(2.190)
58
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
dψp
∂ ψ̂p
+
cos ∆γ + ω̂el − ∆ωel ψp sin ∆γ
∂t
dt
!
(id ,iq )
Lqq−dd dîd
(id ,iq )
+ Lcc
sin 2∆γ −
1 − cos 2∆γ
·
2
dt
!
(id ,iq )
Lqq−dd
dîq
(id ,iq )
sin 2∆γ − Lcc
1 − cos 2∆γ
·
+
2
dt
(id ,iq )
(id ,iq )
L
L
(id ,iq )
q−d
qq−dd
cos 2∆γ · îd
+ ∆ωel
− ω̂el − ∆ωel
sin 2∆γ + ∆ωel Lcc
2
2
(id ,iq )
(id ,iq )
Lq+d
Lqq+dd
(id ,iq )
(id ,iq )
+ ∆ωel − ω̂el
+ ω̂el Lq
− ∆ωel Lcc
− ∆ωel
sin 2∆γ
2
2
(id ,iq )
(id ,iq )
L
L
q−d
qq−dd
(2.191)
+ ∆ωel − ω̂el
+ ∆ωel
cos 2∆γ · îq
2
2
∆ud = −
∂ψp
sin ∆γ + ω̂el − ∆ωel ψp cos ∆γ − ω̂el ψ̂p
∂t
!
(id ,iq )
Lqq−dd
dîd
(id ,iq )
sin 2∆γ − Lcc
1 − cos 2∆γ
·
2
dt
!
(id ,iq )
Lqq−dd dîq
(id ,iq )
− Lcc
sin 2∆γ −
1 − cos 2∆γ
·
2
dt
∆uq = −
+
+
(i ,i )
(i ,i )
d q
d q
Lq+d
Lqq+dd
(id ,iq )
(id ,iq )
+ − ω̂el Ld
+ ω̂el − ∆ωel
+ ∆ωel
− ∆ωel Lcc
sin 2∆γ
2
2
(id ,iq )
(id ,iq )
Lq−d
Lqq−dd
− ω̂el − ∆ωel
+ ∆ωel
cos 2∆γ · îd
2
2
(id ,iq )
(id ,iq )
Lq−d
L
(id ,iq )
qq−dd
+ ω̂el − ∆ωel
cos 2∆γ · îq
− ∆ωel
sin 2∆γ − ∆ωel Lcc
2
2
(2.192)
mit der Ersetzung
∆ωel = ω̂el − ωel beziehungsweise ωel = ω̂el − ∆ωel .
(2.193)
Die beiden Lösungsgleichungen (2.191) und (2.192) entsprechen im Übrigen den Gleichungen von [20] (Seite 104, Formeln 5.41 und 5.42), wenn man die Kreuzkopplungen
Lcc vernachlässigt und in diesem Zusammenhang ebenfalls Ldd = Ld sowie Lqq = Lq
setzt.
Die hergeleiteten Gleichungen sind für die Anwendung zu umfangreich und lassen
sich zudem nur sehr aufwändig nach den eigentlich gewünschten Winkelgrößen auflö-
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
59
sen. Daher werden im Folgenden Vereinfachungen durchgeführt, indem die Sinus- und
Kosinusfunktionen durch umgänglichere Terme ersetzt werden. Es wird definiert:
sin ∆γ ≈ ∆γ und
sin 2∆γ ≈ 2 ∆γ
(2.194)
cos 2∆γ ≈ 1 .
(2.195)
für die Sinusbeziehungen sowie für die Kosinusfunktionen
cos ∆γ ≈ 1 und
Die Herleitung zur geberlosen Regelung geht davon aus, dass der Winkelfehler ∆γ
klein gegenüber einer vollen elektrischen Umdrehung von 360◦ ist. Für die sin ∆γ-
Substitution in Gleichung (2.194) gilt, dass bei einem Winkelfehler von 10◦ ein prozentualer Fehler von 0,5 % zwischen exakter Berechnung der trigonometrischen Funktion
und der vereinfachten Berechnung mit der Geradennäherung auftritt. Bei der sin 2∆γSubstitution liegt dieser Fehler bei ansonsten gleichen Annahmen bei 2 %. Der Winkelfehler für die Kosinusnäherung liegt bei einem Winkelidentifikationsfehler von 10◦ bei
gut 5 %.
Werden anschließend in die Gleichungen (2.191) und (2.192) die Näherungen (2.194)
und (2.195) eingesetzt und wird außerdem angenommen, dass die Veränderung des
Flusses mit der Zeit so langsam ist, dass sie näherungsweise zu null gesetzt werden
kann, so erhält man
dîq
dîd
(id ,iq )
(id ,iq )
+ Lqq−dd ∆γ ·
∆γ ·
∆ud = ω̂el − ∆ωel ψp ∆γ + 2 Lcc
dt
dt
(id ,iq )
(id ,iq )
L
L
(id ,iq )
q−d
qq−dd
− ω̂el − ∆ωel
+ ∆ωel
2∆γ + ∆ωel Lcc
· îd
2
2
!
(id ,iq )
+ ∆ωel Lq
(id ,iq )
− Ldd
(id ,iq )
− 2 Lcc
∆γ
· îq und
∆γ
· îd
(2.196)
dîq
dîd
(id ,iq )
(id ,iq )
∆uq = ω̂el − ∆ωel ψp − ω̂el ψ̂p + Lqq−dd ∆γ ·
− 2 Lcc
∆γ ·
dt
dt
!
(id ,iq )
+ ∆ωel Lqq
(id ,iq )
− Ld
(id ,iq )
− 2 Lcc
(id ,iq )
(id ,iq )
Lq−d
Lqq−dd
(id ,iq )
+ ω̂el − ∆ωel
− ∆ωel
2∆γ − ∆ωel Lcc
· îq .
2
2
(2.197)
Unbekannt sind nun im Wesentlichen die beiden Größen ∆γ und ∆ωel . Prinzipiell
könnten die beiden obenstehenden Gleichungen danach aufgelöst werden, allerdings
ergeben sich in diesem Fall immer noch lange Gleichungsstrukturen. Somit sind weitere Vereinfachungen notwendig. Wird davon ausgegangen, dass ∆γ und ∆ωel jeweils
klein sind, so kann deren Produkt ∆γ ·∆ωel zusätzlich vernaschlässigt werden. Damit
60
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
ergeben sich die weiter vereinfachten Gleichungen
!
dîd
(id ,iq ) dîq
(id ,iq )
+ Lqq−dd
− ωel Lq−d îd · ∆γ
∆ud =
dt
dt
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
îq · ∆ωel und
+ Lcc
îd + Lq
− Ldd
(id ,iq )
ω̂el ψp + 2 Lcc
(2.198)
(id ,iq ) dîd
(id ,iq ) dîq
(id ,iq )
∆uq = ω̂el ψp − ψ̂p + Lqq−dd
− 2 Lcc
+ ω̂el Lq−d îq
dt
dt
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
îd − Lcc
îq − ψp · ∆ωel .
+
Lqq
− Ld
!
· ∆γ
(2.199)
Für ∆γ und ∆ωel ergibt sich damit aus (2.198) und (2.199)
(id ,iq )
(id ,iq )
îq ∆uq − ω̂el ψp − ψ̂p
− Ldd
îd + Lq
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
îd − Lcc
îq − ψp
Lqq
− Ld
−∆ud
∆γ =
∆ωel =
(id ,iq )
Lcc
x
(id ,iq )
Lcc
îd
+
∆ud
(id ,iq )
Lq
(id ,iq )
− Ldd
und (2.200)
îq
(id ,iq ) dîd
(id ,iq ) dîq
(id ,iq )
ω̂el ψp + 2 Lcc
+
L
−
ω
L
î
el q−d
d
qq−dd dt
dt
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
îq ∆uq − ω̂el ψp − ψ̂p
· Lcc
îd + Lq
− Ldd
(id ,iq ) dîd
(id ,iq ) dîq
(id ,iq )
−∆ud ω̂el ψp + 2 Lcc
dt + Lqq−dd dt − ωel Lq−d îd
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
îd − Lcc
îq − ψp
· Lqq
− Ld
−
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
îq · x
Lcc
îd + Lq
− Ldd
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
îq
mit x = Lcc
îd + Lq
− Ldd
!
(id ,iq ) dîd
(id ,iq ) dîq
(id ,iq )
· Lqq−dd
− 2 Lcc
+ ω̂el Lq−d îq
dt
dt
!
(id ,iq ) dîq
(id ,iq )
(id ,iq ) dîd
+ Lqq−dd
− ωel Lq−d îd
− ω̂el ψp + 2 Lcc
dt
dt
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
îd − Lcc
îq − ψp .
·
Lqq
− Ld
(2.201)
Wird zusätzlich die Kreuzkopplung vernachlässigt, so führt das zu folgenden Vereinfachungen:
(id ,iq ) !
Lcc
(id ,iq ) !
= 0 , Ldd
(id ,iq )
= Ld
(id ,iq ) !
und Lqq
(id ,iq )
= Lq
Die Gleichungen (2.196) und (2.197) für die Spannungsdifferenzen ergeben sich damit
2.4 Theorie zur geberlosen Regelung
61
zu
!
dîq
(id ,iq )
(id ,iq )
− ωel Lq−d îd · ∆γ + Lq−d îq · ∆ωel und (2.202)
∆ud =
dt
!
(id ,iq ) dîd
(id ,iq )
∆uq = −ω̂el ∆ψp + Lq−d
+ ω̂el Lq−d îq · ∆γ
dt
(id ,iq )
(2.203)
+ Lq−d îd − ψp · ∆ωel mit ∆ψp = ψ̂p − ψp .
(id ,iq )
ω̂el ψp + Lq−d
Die Beziehungen für ∆γ und ∆ωel sind dann
(id ,iq )
(id ,iq )
Lq−d îq ∆uq + ω̂el ∆ψp − ∆ud Lq−d îd − ψp
und
(2.204)
∆γ =
x
∆ud
∆ωel = (i ,i )
d q
Lq−d îq
(id ,iq ) dî
(id ,iq )
(id ,iq )
ω̂el ψp + Lq−d dtq − ωel Lq−d îd
Lq−d îq ∆uq + ω̂el ∆ψp
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq ) dîq
Lq−d îd − ψp
−∆ud ω̂el ψp + Lq−d dt − ωel Lq−d îd
−
(id ,iq )
Lq−d îq · x
(id ,iq )
mit x = Lq−d
−
2
îq
dîd
+ ω̂el îq
dt
(id ,iq )
ω̂el ψp + Lq−d
!
dîq
(id ,iq )
− ωel Lq−d îd
dt
(2.205)
!
(id ,iq )
Lq−d îd − ψp
.
Die Wirkungweise einer geberlosen Regelung bei Verwendung der Winkelfehlergleichung (2.204) wurde im Rahmen einer Simulation in [80] gezeigt.
Wird nun zusätzlich zu den bisher angenommenen Vereinfachungen gefordert, dass
die Induktivitäten in d- und q-Richtung näherungsweise gleich sind, so können die
bisher hergeleiteten Beziehungen ähnlich wie in [20] weiter vereinfacht werden. Es gilt
dann für die Spannungsdifferenzen in d- und q-Richtung:
∆ud = ω̂el − ∆ωel ψp ∆γ
∆uq = −ω̂el ∆ψp − ∆ωel ψp
(2.206)
(2.207)
Aus der ersten Beziehung ergibt sich eine Gleichung für den geschätzten Lagewinkelfehler ∆γ:
∆γ =
∆ud
ω̂el − ∆ωel
(2.208)
Die zweite Beziehung (2.208) lässt sich zu einer Gleichung für das Korrektursignal in
der Drehzahlschätzung verwenden:
∆ωel = −
∆uq − ω̂el ∆ψp
ψp
(2.209)
62
2 Antriebe mit permanenterregten Synchronmaschinen
Die Ausführungen machen deutlich, dass das EMK-Verfahren immer dann kompliziert wird, wenn Maschinen mit voneinander verschiedenen Induktivitäten in d- und
q-Achse betrachtet werden. Kreuzkopplungseffekte erschweren die Auswertung noch
einmal zusätzlich.
Kapitel 3
Berücksichtigung der Eisenverluste
Bei den bisherigen Betrachtungen wurden ständerseitig lediglich ohmsche Verlustanteile berücksichtigt. Bereits seit Anfang des 20. Jahrhunderts ist jedoch bekannt, dass
neben den ohmschen Verlusten im Kupfer des Ständers weitere wesentliche Verluste in den elektrischen Maschinen auftreten [81]. Diese werden meist zu den sogenannten Eisenverlusten zusammengefasst und beinhalten Wirbelstromverluste, die
aufgrund der elektrischen Leitfähigkeit der Läufer- und Ständerblechpakete auftreten. Außerdem treten Hystereseverluste auf, die durch die Ummagnetisierung des Eisenblechs bedingt sind. Weiterführende Erläuterungen zu den Verlustmechanismen
in weichmagnetischen Materialen können zum Beispiel [82, 83] entnommen werden.
Eine gesonderte Untersuchung dieser beiden Effekte ist allerdings nicht sinnvoll, da
Wirbelstrom- und Hystereseverluste im Grunde den gleichen physikalischen Effekt beschreiben [84]. Somit stellt sich überhaupt die Frage, inwieweit es sinnvoll ist, die Trennung in Hysterese- und Wirbelstromverluste durchzuführen und nicht nur allgemein
von Eisenverlusten zu sprechen. Dennoch schreibt [85], dass eine getrennte Messung,
wenn auch mit sehr aufwändiger und damit in der Praxis schwer zu realisierender
Messtechnik, möglich ist. Diese Diskussion soll jedoch an dieser Stelle nicht weiter
verfolgt werden.
Die Frage, wie diese Eisenverluste in den mathematischen Modellen für PMSM berücksichtigt werden müssen, wurde bereits in vielen Veröffentlichungen betrachtet
[81, 86, 87, 88, 89]. Meist werden zu den Eisenverlusten auch noch weitere parasitäre
Effekte hinzugezählt. Ein Beispiel dafür sind zusätzliche Ständerverluste, die durch
nichtsinusförmige Speisung der Motoren, insbesondere durch Pulsumrichter, hervorgerufen werden [89]. Zu diesem Thema wurden Finite-Elemente-Analysen durchgeführt [90, 91, 92]. Auch numerische Methoden wurden verwendet. So hat zum Beispiel
[93] ein numerisches Verfahren zur Bestimmung der Eisenwiderstände entwickelt und
dabei nicht auf Finite Elemente, sondern ein elektrisches Netzwerk mit konzentrierten
63
64
3 Berücksichtigung der Eisenverluste
Elementen zurückgegriffen. Vereinfachte Simulationsmodelle zur Berechnung von Eisenverlusten werden in [94, 95] beschrieben.
Abhängig von der PMSM-Bauform generieren die zugehörigen Ständerwicklungen teilweise nicht zu vernachlässigende Oberwelleneffekte, also Stromharmonische. Diese
Harmonischen erzeugen ebenfalls Eisenverlustanteile, die in einer ganzheitlichen Betrachtung berücksichtigt werden müssen. Insbesondere Maschinen mit konzentrierten
Wicklungen rufen vergleichsweise hohe Harmonische und damit Eisenverluste hervor,
wie zum Beispiel auch in Kapitel 2.1, Seiten 5ff, angedeutet ist [96]. Solche und andere
Effekte werden in der Gleichung zur Berechnung der Eisenverlustleistung
pv = kf α B̂ β
(3.1)
nicht berücksichtigt. In Gleichung (3.1) beschreibt f die erregende Frequenz, B̂ die
Amplitude der magnetischen Induktion und k, α, und β die materialabhängigen Parameter. Gleichung (3.1) wird in der Literatur meist als „Steinmetzgleichung“ bezeichnet, obwohl Steinmetz in seinen Veröffentlichungen [97, 98, 99, 100] lediglich eine
Gleichung ohne Frequenzabhängigkeit postuliert hat [101]. Sie gilt in guter Näherung
nur für Maschinen mit sinusförmigen Größen. Eine einfache Fourieranalyse und Addition der einzelnen auf die Oberwellen entfallenden Verlustanteile ist aufgrund der
nichtlinearen Materialeigenschaften nicht möglich [84]. Daher gibt es unterschiedliche
Ansätze, diese Eisenverlustbeschreibung so abzuändern, dass sie die Eigenschaften
heutiger, hochausgenutzter und mit Pulsumrichtern angesteuerter Maschinen besser
berücksichtigt.
Eine Möglichkeit der Erweiterung der Steinmetzgleichung (3.1) ist die sogenannte „modifizierte Steinmetzgleichung“, beschrieben in [84]:
pv = kf α−1 B̂ β · fr
(3.2)
Hier wird eine umnormierte Frequenz eingeführt, die abhängig von dem nichtsinusförmigen Signalverlauf ist. Die Erregung muss in diesem Fall jedoch bekannt sein. Die
Frequenz fr entspricht der Periodendauer der Erregung. Der Vorteil an diesem Verfahren ist die Ähnlichkeit zur ursprünglichen Steinmetzgleichung, es werden keine
neuen empirischen Parameter eingeführt. Eine „generalisierte Steinmetzgleichung“
Z
dB α
1 T
|B (t)|β−α dt ,
pv =
k1 (3.3)
T 0
dt die die Limitation der modifizierten Steinmetzgleichung vermeiden soll, ist in [101]
beschrieben. Dass auch die generalisisierte Steinmetzgleichung verbesserungswürdig
sei, schreibt [102]. Dort wird eine Erweiterung, die sogenannte „verbesserte generalisierte Steinmetzgleichung“, eingeführt:
Z
dB α
1 T
|∆B|β−α dt
k1 pv =
T 0
dt (3.4)
3.1 Allgemeine Betrachtung
65
Es ist zu erkennen, dass auf dem Forschungsgebiet der analytischen Beschreibung
der Eisenverluste große Uneinigkeit über deren Art und Weise besteht. Daher ist bislang noch kein allgemeingültiger Lösungsansatz zur analytischen Beschreibung der
Eisenverluste gelungen. Deshalb wird auch in dieser Arbeit im Folgenden auf eine
analytische Beschreibung verzichtet. Vielmehr wird das vorhandene Motormodell um
zwei variable Eisenwiderstände erweitert, die offline am Prüfstand gemessen werden
müssen. Die Widerstände werden in die Spannungsgleichungen der d- und q-Achse
integriert, um die Eisenverluste und eventuell weitere parasitäre Effekte zu berücksichtigen. Abbildung 3.1 zeigt das sich ergebende Netzwerk. Der Grundgedanke ist bereits in [86] beschrieben, allerdings wird hier vom stationären Zustand ausgegangen.
Zusätzlich wird dort die Herleitung der erweiterten Gleichungen nur unter Voraussetzung von L = Ld = Lq angegeben. Im Allgemeinen sind jedoch Ld und Lq bei heutigen
Maschinen ungleich. Zudem wird in [86] nur ein Eisenwiderstand eingeführt, der in
d- und q-Achse identisch ist. Zur Bestimmung des Eisenwiderstands wird in der Ver-
öffentlichung eine „innere Leistung“ definiert, welche der aufgenommenen Leistung
abzüglich der ohmschen Leiterverluste entspricht, und daraus zusammen mit den
Flussverkettungen der Eisenwiderstand berechnet. Probleme bei dieser Vorgehensweise sind zum einen, dass die innere Leistung nur relativ ungenau bestimmt werden
kann, und zum anderen, dass der stark temperaturabhängige ohmsche Ständerwiderstand ebenfalls mit einer guten Genauigkeit bekannt sein muss. Zur Berechnung
der Flussverkettungen ist schließlich eine exakte Umrichterlinearisierung erforderlich.
Nach der Herleitung neuer Ständerspannungsgleichungen, die die Eisenverlusteffekte
berücksichtigen, werden in dieser Arbeit nicht die Eisenwiderstände selbst verwendet,
sondern neue Eisenverlustparameter ξd und ξq eingeführt.
3.1 Allgemeine Betrachtung
Ausgegangen wird von den allgemeinen Gleichungen nach (2.53) auf Seite 21. In dem
modifizierten, allgemeinen Maschinenmodell werden zusätzlich die Eisenwiderstände
ζd und ζq eingefügt. Die nachfolgend beschriebene Vorgehensweise wurde in Teilen
bereits im Jahr 2011 veröffentlicht [K-7]. Abbildung 3.1 zeigt das sich ergebende zugrunde liegende Netzwerk. Der einfache Sonderfall des stationären Betriebs bei Verwendung der linearisierten Gleichungen wurde bereits in [103] beschrieben. Analysiert
wird dieses Netzwerk nun in einem ersten Schritt mit einer Kombination aus modifiziertem Maschenstrom- und Knotenpotentialverfahren [30, 104]. Betrachtet werden
die die beiden Induktivitäten Ldd und Lqq enthaltenden Maschen sowie die Knotenpo-
66
3 Berücksichtigung der Eisenverluste
id
Rs
idm − iqm
idm Ldd
Lqq iqm
idi
ud
Rs
iq
iqi
ζd
Ldq
ωel Lq iq
ζq
Lqd
idm − iqm
uq
ωel Ld idωel ψp
Abbildung 3.1: Graphische Darstellung der Gleichungen (2.53) und zweier zusätzlicher Eisenwiderstände ζd und ζq .
tentiale, die die Ströme id und Iq enthalten:
idi
iqi
idm
iqm
1
0
1
0
id
0
1
0
1
iq
0
−ζq
−ζd
0
(id ,iq ) d
dt
Lqd
(id ,iq ) d
dt
Ldd
(id ,iq )
(id ,iq ) d
dt
+ ωel Ld
+ ζd
Lqq
(id ,iq ) d
dt
Ldq
+ ζq
(id ,iq )
− ωel Lq
(3.5)
−ωel ψp
0
Um die Auswertung zu vereinfachen, wird nun die komplexe Wechselstromrechnung
nach [30] angewendet. Um die Übersichtlichkeit der Gleichungen zu erhöhen, wird
bis zum Ende des Kapitels die Kennzeichnung der stromabhängigen Induktivitäten
weggelassen. Für die komplexen Impedanzen wird definiert
X dd = j ω Ldd , X qq = j ω Lqq , X dq = j ω Ldq und X qd = j ω Lqd .
(3.6)
Zu Gleichung (3.6) sei angemerkt, dass die dort eingeführte Kreisfrequenz ω zunächst
in keinem Zusammenhang mit der elektrischen Kreisfrequenz der Maschine steht. Vielmehr ist ω die Frequenz, mit der die Sinusgrößen der komplexen Wechselstromrechnung schwingen. Damit kann ω als fiktive Frequenz angesehen werden, mit der die
Ströme und Spannungen der Maschine angeregt werden. Dies ist eine Vereinfachung
zum allgemeinen Fall des Gleichungssystems (3.5), da dort als Anregung jede beliebige Signalform verwendet werden kann und nicht nur eine sinusförmige Erregung mit
konstanter Frequenz, wie es bei der komplexen Wechselstromrechnung der Fall ist.
3.1 Allgemeine Betrachtung
67
Das anfängliche Gleichungssystem lautet damit:
I di
I qi
I dm
I qm
1
0
1
0
Id
0
1
0
1
Iq
0
−ζq
X qd + ωel Ld
X qq + ζq
−ωel ψp
−ζd
0
X dd
X dq − ωel Lq
0
(3.7)
Die Lösung dieses Gleichungsystems ergibt in Abhängigkeit von den Strömen I d , I q
und der Permanentmagnetflussverkettung ψp :
I di =
1
I ζq X dd + I q ζq X dq + I d X dd X qq − I d X dq X qd − ψp X dq ωel
Λ d
+Lq ψp ω2el + I d Ld Lq ω2el − I q Lq ζq ωel − I d Ld X dq ωel + I d Lq X qd ωel
I qi
1
=
I ζd X qd + I q ζd X qq + I q X dd X qq − I q X dq X qd + ψp ζd ωel
Λ d
(3.8)
+ψp X dd ωel + I q Ld Lq ω2el + I d Ld ζd ωel − I q Ld X dq ωel + I q Lq X qd ωel
I dm
I qm
1
I ζd ζq + I d ζd X qq − I q ζq X dq + ψp X dq ωel
=
Λ d
−Lq ψp ω2el + I q Lq ζq ωel
1
=
−ωel ψp ζd + ψp X dd + I d Ld ζd
Λ
+I q ζd ζq − I d ζd X qd + I q ζq X dd
mit Λ =ζd ζq + ζq X dd + ζd X qq + X dd X qq − X dq X qd − Ld X dq ωel
+ Lq X qd ωel + Ld Lq ω2el
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Oder aufgeteilt in die einzelnen Komponenten:
I
I di = +ζq X dd + X dd X qq − X dq X qd + Ld Lq ω2el − Ld X dq ωel · d
Λ
Iq
+ +ζq X dq − Lq ζq ωel + Lq X qd ωel ·
Λ
ψp
+ −X dq ωel + Lq ω2el ·
(3.13)
Λ
I
I qi = +ζd X qd + Ld ζd ωel · d
Λ
Iq
+ +ζd X qq + X dd X qq − X dq X qd + Ld Lq ω2el − Ld X dq ωel + Lq X qd ωel ·
Λ
68
3 Berücksichtigung der Eisenverluste
I dm
I qm
ψp
+ +ζd ωel + X dd ωel ·
Λ
I
= +ζd ζq + ζd X qq · d + −ζq X dq + Lq ζq ωel ·
Λ
ψp
+ +X dq ωel − Lq ω2el ·
Λ
I
= +ωel Ld ζd − ζd X qd · d + +ζd ζq + ζq X dd ·
Λ
ψp
+ −ωel ψp ζd + ωel ψp X dd ·
Λ
Anschließend wird der komplexe Nenner Λ mit
1
ζd ζq
(3.14)
Iq
Λ
(3.15)
Iq
Λ
(3.16)
multipliziert:
1
1
Λ
=1+
X +
X
ζd ζq
ζd dd ζq qq
1 +X dd X qq − X dq X qd − Ld X dq ωel + Lq X qd ωel + Ld Lq ω2el
+
ζd ζq
Λ′ =
(3.17)
Um die vorangegangenen Terme zu vereinfachen, wird eine weitere Vereinfachung
durchgeführt. Es wird angenommen, dass der komplexe Term
Λ′ → 1
(3.18)
konvergiert. Ohne diese Vereinfachung ist eine weitere Umformung der Gleichungen
nicht möglich. Da die Induktivitäten eher klein gegenüber den Eisenwiderständen sind,
ist die Annahme gerechtfertigt [103]. Es ergeben sich damit aus (3.13) bis (3.17) folgende Beziehungen für die vier Ströme:
I di
I qi
X dd X qq
X dq X qd
Ld X dq ωel
Ld Lq ω2el
X
−
+
−
= + dd +
ζd
ζd ζq
ζd ζq
ζd ζq
ζd ζq
!
Lq X qd ωel
X dq
Lq ωel
−
+
· Iq
+ +
ζd
ζd
ζd ζq
!
X dq ωel
Lq ω2el
+
· ψp
+ −
ζd ζq
ζd ζq
!
X qd
Ld ωel
= +
+
· Id
ζq
ζq
+ +
I qm
ζq
+
X dd X qq
X dq X qd
ζd ζq
ζd ζq
−
!
+
Ld Lq ω2el
ζd ζq
−
Ld X dq ωel
ζd ζq
· Id
(3.19)
+
Lq X qd ωel
ζd ζq
X ωel
ωel
+ dd
· ψp
ζq
ζd ζq
!
!
!
X dq ωel
X qq
X dq
Lq ω2el
Lq ωel
+
−
= 1+
· Id + −
· ψp
· Iq +
ζq
ζd
ζd
ζd ζq
ζd ζq
!
!
!
X qd
ωel Ld
X dd
ωel
ωel X dd
=
−
+
· Id + 1 +
· ψp
· Iq + −
ζq
ζq
ζd
ζq
ζd ζq
+ +
I dm
X qq
!
!
· Iq
(3.20)
(3.21)
(3.22)
3.1 Allgemeine Betrachtung
69
Zusammen mit den Bestimmungsgleichungen
U d = Rs I d + ζd I di und
(3.23)
U q = Rs I q + ζq I qi
(3.24)
ergibt sich damit:
U d = Rs + X dd +
X dd X qq
ζq
−
X dq X qd
ζq
!
Lq X qd ωel
+ X dq − Lq ωel +
U q = X qd + Ld ωel · I d
+ Rs + X qq +
+ ωel +
X dd X qq
X dd ωel
ζd
ζd
!
ζq
−
· ψp
ζq
· Iq + −
X dq X qd
ζd
+
Ld Lq ω2el
+
−
X dq ωel
ζq
Ld Lq ω2el
ζd
−
Ld X dq ωel
ζq
+
Lq ω2el
ζq
!
Ld X dq ωel
ζd
!
· Id
· ψp
+
(3.25)
Lq X qd ωel
ζd
!
· Iq
(3.26)
Werden nun noch die Terme, in denen zwei Reaktanzen im Zähler multipliziert werden, vernachlässigt, so erhält man schließlich eine näherungsweise Beziehung für die
beiden Spannungen U d und U q mit Hilfe der komplexen Wechselstromrechnung. Die
Vernachlässigung dieser Terme ist erlaubt, da der Bruch aus zwei miteinander multiplizierten und an sich schon im Gegensatz zu dem Eisenverlustwiderstand im Nenner
kleinen Induktivitivitäten im Zähler ebenfalls sehr klein wird.
!
!
Ld X dq ωel
Lq X qd ωel
Ld Lq ω2el
−
· I d + X dq − Lq ωel +
· Iq
U d = Rs + X dd +
ζq
ζq
ζq
!
X dq ωel
Lq ω2el
+
· ψp und
(3.27)
+ −
ζq
ζq
!
Ld X dq ωel
Lq X qd ωel
Ld Lq ω2el
U q = X qd + Ld ωel · I d + Rs + X qq +
−
+
· Iq
ζd
ζd
ζd
!
X ωel
· ψp
(3.28)
+ ωel + dd
ζd
Deutlich erkennbar ist die Abhängigkeit der beiden Gleichungen von den Eisenverlustwiderständen.
Die Untersuchung der Einflüsse der Eisenverluste bei dynamischen Vorgängen würde den Rahmen dieser Arbeit weit übersteigen, daher werden nur die stationären Eisenverluste betrachtet. Das ist für die Betrachtungen der Parameteridentifikation deswegen ausreichend, weil dafür ebenfalls nur stationäre Zustände betrachtet werden.
Werden die Eisenverluste bei allen differentiellen Termen vernachlässigt, das heißt die
Eisenverlustwiderstände zu Unendlich angenommen; so ergibt sich für die komplexe
70
3 Berücksichtigung der Eisenverluste
Darstellung der beiden Spannungsgleichungen:
!
Ld Lq ω2el
Lq ω2el
U d = Rs + X dd +
· ψp und
· I d + X dq − Lq ωel · I q +
ζq
ζq
!
Ld Lq ω2el
· I q + ωel · ψp
U q = X qd + Ld ωel · I d + Rs + X qq +
ζd
(3.29)
(3.30)
Diese Gleichungen können nun wieder in Zeitbereichsdarstellung transformiert werden, man erhält schließlich:
!
Lq ω2el
Ld Lq ω2el
diq
did
(id ,iq )
+ Ldq
− ωel Lq
iq +
· ψp (3.31)
id + Ldd
ud = Rs +
ζq
dt
dt
ζq
!
Ld Lq ω2el
diq
did
iq + Lqq
+ Lqd
+ ωel Ld id + ωel ψp
(3.32)
uq = Rs +
ζd
dt
dt
Beziehungsweise anders dargestellt in Matrixschreibweise:
allgemeine Spannungsgl. mit Eisenverlusten
Ld Lq ω2el
−
ω
L
R
+
ud
s
el q id
ζq
=
Ld Lq ω2el
iq
uq
ωel Ld
Rs +
ζd
˙
Lq ω2el
Ldd Ldq
id
+ ζq ψp
+
Lqd Lqq
iq
ωel
{z
}
|
(3.33)
diff. Induktivitäten
Im Gegensatz zu den allgemein hergeleiteten Gleichungen (2.53) auf Seite 21 wird die
Permanentmagnetflussverkettung ψp in diesem und den nachfolgenden Kapiteln als
nicht von der Zeit abhängig angenommen. Da die Effekte, die zur Änderung vom ψp im
Betrieb führen, eher in längeren zeitlichen Dimensionen ablaufen, ist diese Näherung
zulässig.
Die für die Drehmomentbildung relevanten Ströme sind nicht mehr id und iq , sondern
idm und iqm . Damit ergibt sich die modifizierte Drehmomentgleichung
Mi =
i
3p h
ψp iqm + Ld − Lq idm iqm .
2
Gemäß Abbildung 3.1 (Seite 66) können idm und iqm ersetzt werden durch
!
ud − Rs id
Rs
ud
idm = id − idi = id −
= 1+
und
· id −
ζd
ζd
ζd
!
uq − Rs iq
uq
Rs
iqm = iq − iqi = iq −
= 1+
.
· iq −
ζq
ζq
ζq
(3.34)
(3.35)
(3.36)
Eingesetzt in (3.34) und unter der Annahme, dass
1+
Rs
≈1
ζd
(3.37)
3.2 Linearer stationärer Fall
71
gilt erhält man die allgemeine Drehmomentgleichung unter Berücksichtigung der Eisenverluste:
inneres Drehmoment inkl. Eisenverluste
"
!
uq
3p
ψp · iq −
Mi =
2
ζq
!#
!
uq
ud
+ Ld − Lq · i d −
· iq −
ζd
ζq
(3.38)
3.2 Linearer stationärer Fall
Sollen die Eisenverluste nur für den linearisierten stationären Betriebsfall berücksichtigt werden, so vereinfacht sich deren Berechnung. Im Gegensatz zu ähnlichen Modellen [103, 105, 106], die nur einen Eisenwiderstand für beide Achsen des rotorfesten
Koordinatensystems definieren, werden hier, wie bereits für den allgemeinen Fall erläutert, zwei voneinander verschiedene Eisenwiderstände ζd und ζq eingeführt. Abbildung 3.2 zeigt die entstandenen Ersatzschaltbilder für den stationären Zustand.
id
Rs
idm
idi
ζd
ud
ωel Lq iqm
(a) d-Achse
iq
Rs
iqm
iqi
ζq
uq
ωel Ld idm + ψp
(b) q-Achse
Abbildung 3.2: Ersatzschaltbilder für das rotorfeste d,q-Koordinatensystem
Aus den beiden Ersatzschaltbildern 3.2a und b ergeben sich die zwei Gleichungssätze
(3.39) bis (3.41) und (3.42) bis (3.44):
ud = Rs id + ζd idi
ωel Lq iqm = −ζd idi
id = idm + idi
(3.39)
(3.40)
(3.41)
72
3 Berücksichtigung der Eisenverluste
uq = Rs iq + ζq iqi
(3.42)
ωel Ld idm + ωel ψp = ζq iqi
(3.43)
iq = iqm + iqi
(3.44)
Aus (3.40), (3.41) und (3.43), (3.44) folgen die beiden Gleichungen
ωel Lq iq − iqi = −ζd idi und
(3.45)
ωel Ld (id − idi ) + ωel ψp = ζq iqi .
(3.46)
Die Gleichungen (3.45) und (3.46) können nun nach den Strömen idi und iqi , die durch
die Eisenwiderstände fließen, und den Motorströmen idm und iqm aufgelöst werden.
Es ergibt sich damit
idi =
iqi =
idm =
ω2el Ld Lq · id − ωel Lq ζq · iq + ω2el Lq · ψp
,
(3.47)
ωel Ld ζd · id + ω2el Ld Lq · iq + ωel ζd · ψp
,
(3.48)
ζd ζq + ω2el Ld Lq
ζd ζq + ω2el Ld Lq
ζd ζq · id + ωel Lq ζq · iq − ω2el Lq · ψp
iqm = −
ζd ζq + ω2el Ld Lq
und
ωel Ld ζd · id − ζd ζq · iq + ωel ζd · ψp
ζd ζq + ω2el Ld Lq
Werden (3.47) bis (3.50) weiter umgeschrieben und mit
1
ζd ζq
.
(3.49)
(3.50)
multipliziert, so resultiert
daraus:
idi = +
iqi = +
idm = +
iqm = −
ω2el Ld Lq
ζd ζq
1+
ω2el Ld Lq
ζd ζq
ωel Ld
ζq
1+
ω2el Ld Lq
ζd ζq
1
1+
ω2el Ld Lq
ζd ζq
ωel Ld
ζq
1+
ω2el Ld Lq
ζd ζq
· id −
· id +
· id +
· id +
ωel Lq
ζd
1+
ω2el Ld Lq
ζd ζq
ω2el Ld Lq
ζd ζq
1+
ω2el Ld Lq
ζd ζq
ωel Lq
ζd
1+
ω2el Ld Lq
ζd ζq
1
1+
ω2el Ld Lq
ζd ζq
· iq +
· iq +
· iq −
· iq −
ω2el Lq
ζd ζq
1+
ω2el Ld Lq
ζd ζq
ωel
ζq
1+
ω2el Ld Lq
ζd ζq
ω2el Lq
ζd ζq
1+
ω2el Ld Lq
ζd ζq
1+
ω2el Ld Lq
ζd ζq
ωel
ζq
· ψp ,
(3.51)
· ψp ,
(3.52)
· ψp und
(3.53)
· ψp
(3.54)
An diesem Punkt wird eine Näherung durchgeführt. Es wird angenommen, dass
ω2el Ld Lq ≪ ζd ζq und damit 1 +
ω2el Ld Lq
ζd ζq
≈1
(3.55)
3.2 Linearer stationärer Fall
73
gilt. Diese Näherung wurde schon in [103] eingeführt. Es ergibt sich damit aus (3.51)
bis (3.54) vereinfacht
idi =
iqi =
ω2el Ld Lq
ζd ζq
· id −
ω2 L q
ωel Lq
· iq + el
· ψp ,
ζd
ζd ζq
(3.56)
ω2 Ld Lq
ωel Ld
ωel
· id + el
· iq +
· ψp ,
ζq
ζd ζq
ζq
(3.57)
ω2 L q
ωel Lq
· iq − el
· ψp und
ζd
ζd ζq
ωel
ωel Ld
· id + iq −
· ψp .
=−
ζq
ζq
idm = id +
(3.58)
iqm
(3.59)
!
!
Die Gleichungen (3.58) und (3.59) sind mit denen aus [103] identisch, wenn Ld = Lq =
!
!
L und ζd = ζq = ζ gesetzt werden. Im Folgenden wird für die Ströme idi , iqi , idm und
iqm sowie alle anderen davon abgeleiteten Größen immer diese Vereinfachung nach
Gleichung (3.55) verwendet. Die Ströme idi und iqi werden nun in die Spannungsgleichungen (3.39) und (3.42) eingesetzt:
ud = Rs id + ζd idi
= Rs id + ζd
=
ω2el Ld Lq
ω2 Lq
ωel Lq
· id −
· ψp
· iq + el
ζd
ζd ζq
ζd ζq
!
ω2el Ld Lq
ω2 Lq
Rs +
· ψp
· id − ωel Lq · iq + el
ζq
ζq
uq = Rs iq + ζq iqi
ω2 Ld Lq
ωel
ωel Ld
· id + el
· iq +
· ψp
= Rs iq + ζq
ζq
ζd ζq
ζq
!
ω2el Ld Lq
= ωel Ld · id + Rs +
· iq + ωel · ψp
ζd
!
(3.60)
(3.61)
!
(3.62)
(3.63)
Auch diese Spannungsgleichungen können wieder in Matrixschreibweise dargestellt
werden:
stationäre Spannungsgl. mit Eisenverlusten
ω2el Ld Lq
ω2el Lq
−
ω
L
R
+
i
ud
q
s
el
d ζq
ζq
=
+
ψp
ω2el Ld Lq
iq
uq
ω
ωel Ld
Rs +
el
ζ
(3.64)
d
Bis auf die differentiellen Induktivitäten entspricht die Gleichung (3.64) exakt der allgemeinen Darstellung. Werden die Gleichungen (3.61) und (3.63) entsprechend aufgelöst,
so können die Beziehungen für die Eisenwiderstände gewonnen werden:
ζd =
ω2el Ld Lq iq
uq − ωel Ld id − Rs iq − ωel ψp
Ld id + ψp
ζq = ω2el Lq ·
ud − Rs id + ωel Lq iq
und
(3.65)
(3.66)
74
3 Berücksichtigung der Eisenverluste
Aus (3.65) und (3.66) geht hervor, dass die Eisenwiderstände in d- und q-Richung nicht
zwingend identisch sein müssen, vor allem wenn Parameterfehler unterstellt werden.
3.3 Einführung der Eisenverlustparameter ξd und ξq
Die Gleichungen (3.65) und (3.66) zeigen für das stationäre Modell eine quadratische
Abhängigkeit der Eisenwiderstände von der elektrischen Winkelgeschwindigkeit ωel .
Werden nun die Eisenwiderstände offline identifiziert, so ist darin folglich die Drehzahl im Quadrat enthalten. Betrachtet man die Spannungsgleichungen (3.33) beziehungsweise (3.64), so ist zu erkennen, dass hier die Eisenwiderstände nur im Nenner
von Termen auftauchen, die wiederum im Zähler die quadratische Abhängigkeit von
der Drehzahl besitzen. Das Problem hierbei ist, dass sich Messfehler bei der Drehzahl
während der Offlinemessung der Eisenwiderstände mit Drehzahlfehlern bei der Onlineauswertung der Spannungsgleichungen – zum Beispiel bei Verwendung einer im
Kapitel 5 beschriebenen Ständerwiderstandsidentifikation – gegenseitig negativ beeinflussen. Daher werden an dieser Stelle die Eisenverlustparameter
Eisenverlustparameter
ξd =
ω2el Ld
ζd
und ξq =
ω2el Lq
ζq
(3.67)
eingeführt. Der Vorteil dieser Definition liegt auf der Hand: Bei Verwendung der Eisenverlustparameter ξ, kürzen sich die ω2el -Anteile heraus, Messfehler der Drehzahl
aufgrund dieser Terme sind somit nicht mehr vorhanden. In der Realität zeigt sich
durch diese Maßnahme ein wesentlich besseres Verhalten von Regelung und Parameteridentifikation.
Die Spannungsgleichungen des vereinfachten stationären Systems (3.64) ergeben sich
mit den Eisenverlustparametern zu
stationäre Spannungsgl. mit ξd , ξq
ud
Rs + ξq Ld
− ωel Lq
id
ξq
=
+
ψp ,
uq
ωel Ld
Rs + ξd Lq
iq
ωel
(3.68)
die des allgemeinen Systems nach (3.33) zu
allgemeine Spannungsgl. mit ξd , ξq
ud
Rs + ξq Ld
− ωel Lq
i
=
d
uq
ωel Ld
Rs + ξd Lq
iq
˙
id
ξq
Ldd Ldq
ψp .
+
+
iq
ωel
Lqd Lqq
{z
}
|
diff. Induktivitäten
(3.69)
3.4 Identifikation der Eisenverlustparameter am Prüfstand
75
3.4 Identifikation der Eisenverlustparameter am Prüfstand
Die Eisenverlustparameter wurden für die verwendeten Laborprüfstände direkt aus
den vorhandenen Messwerten des Rapid-Prototyping-Systems dSPACE berechnet. Damit die einfachen Spannungsgleichungen (3.68) zur Auswertung verwendet werden
können, wurden stationäre Maschinenzustände am jeweiligen Prüfstand eingestellt.
Umgestellt ergeben sich daraus die Berechnungsvorschriften für die Eisenverluste:
ξd =
ξq =
ω2el Ld
=
uq − ωel Ld id − Rs iq − ωel ψp
und
Lq i q
(3.70)
=
ud − Rs id + ωel Lq iq
Ld id + ψp
(3.71)
ζd
ω2el Lq
ζq
Es ist in Gleichung (3.70) zu erkennen, dass ξd → ∞ für iq → 0 gilt, sofern der Zähler des Terms nicht ebenso gegen null geht. Allein schon aufgrund von Messfehlern
ist dies unwahrscheinlich. Das in Abbildung 3.3 gezeigte Identifikationsergebnis für
4
4
x 10
x 10
0.5
0.5
ξd
1
ξd
1
0
−0.5
0
−0.5
−1
−1
−1
−1
0
0.5
0
−0.5
n
nn
1
(a) Bei id = −10 A
M
Mn
0
0.5
0
−0.5
n
nn
1
M
Mn
(b) Bei id = +10 A
Abbildung 3.3: (Prüfstand C) Darstellung des Eisenverlustparameters ξd für zwei verschiedene id Ströme.
den Eisenverlustparameter ξd am Prüfstand C bestätigt diese Aussage. Für Leerlauf,
das heißt ein Drehmoment gegen null oder, in anderen Worten, wenn der q-Strom
gegen null geht, streben die identifizierten Werte für ξd gegen Unendlich. Abbildung
3.3 zeigt zwei flächenhafte Verläufe von ξd . iq wurde jeweils dem Arbeitspunkt entsprechend alterniert, id konstant gehalten. Für den Prüfstand C wurden id -Ströme
von ±10 A gewählt. Der Grund hierfür liegt darin, dass für die in Kapitel 5.3, 148ff,
beschriebene Widerstandsidentifikation ein Teststrom verwendet wird, der genau zwischen diesen beiden Werten alterniert. Daher müssen die Verläufe der Eisenverlustparameter genau für diese beiden Werte bekannt sein. Die beiden Verläufe unterschei-
76
3 Berücksichtigung der Eisenverluste
den sich nicht wesentlich voneinander, zumindest der prinzipielle Verlauf ist auch bei
anderen id -Strömen identisch.
Für ξq hingegen gibt es aufgrund von ψp im Nenner von Gleichung (3.71) keine derartigen Singularitäten. Abbildung 3.4 zeigt das Identifikationsergebnis am Prüfstand
C für die gleichen id -Ströme wie bei ξd . Die in Kapitel 5.3, 148ff, verwendete Wider-
20
20
10
10
ξq
30
ξq
30
0
−10
0
−10
−1
−20
−1
−20
0
0.5
0
−0.5
n
nn
1
0
0.5
0
M
Mn
−0.5
n
nn
(a) Bei id = −10 A
1
M
Mn
(b) Bei id = +10 A
Abbildung 3.4: (Prüfstand C) Darstellung des Eisenverlustparameters ξq für zwei verschiedene id Ströme.
standsidentifikation benötigt lediglich den Verlauf von ξq , damit sind die in Abbildung
3.3 zu sehenden Singularitäten von ξd im Leerlauf nicht relevant. Auch in diesem Fall
20
20
0
0
−20
−20
ξq
ξq
sind die beiden Verläufe mit unterschiedlichem id -Strom ähnlich. Eine weitere Mes-
−40
−60
−40
−60
−1
−80
0
1
0
n
nn
−1
1
(a) Bei id = −0, 5 A
iq
iq,n
−1
−80
0
1
0
n
nn
−1
1
iq
iq,n
(b) Bei id = +0, 5 A
Abbildung 3.5: (Prüfstand A) Darstellung des Eisenverlustparameters ξq für zwei verschiedene id Ströme.
3.4 Identifikation der Eisenverlustparameter am Prüfstand
77
sung von ξq am Prüfstand A ist in Abbildung 3.5 gezeigt. Hier sieht man einen abweichenden Verlauf des Eisenverlustparameters im Vergleich zum Prüfstand C. Dies
zeigt, dass die eingeführten Eisenverlustwiderstände und damit auch die Eisenverlustparameter viele Effekte in sich vereinen, die nicht nur aufgrund der Eisenverluste
auftreten. Den Eisenverlustparametern werden damit alle anderen Messungenauigkeiten – wie zum Beispiel verbleibende Umrichterlinearisierungsfehler – zugeordnet. Um
die reinen Eisenverluste zu bestimmen, wäre es nötig, eine numerische Feldberechnung durchzuführen. Aus realen Laboraufbauten sind die restlichen Parameter nie so
genau bekannt, dass von einem idealen System ausgegangen werden kann. Abschließend kann zu den in den Abbildungen 3.3 und 3.4 gezeigten Messungen festgestellt
werden, dass die Eisenverlustparameter bei konstantem Lastmoment eine weitgehend
lineare Abhängigkeit von der Drehzahl zeigen. Gleiches wurde in der Literatur bereits
für die Eisenwiderstände festgestellt [105, 106, 107].
78
3 Berücksichtigung der Eisenverluste
Kapitel 4
Induktivitäten
Die Kenntnis der Induktivitäten der permanenterregten Synchronmaschine ist in vielerlei Hinsicht von Bedeutung. Innerhalb der feldorientierten Regelung [17] werden
die absoluten Induktivitäten zum Beispiel für die Berechnung des Spannungssollwertmodells, also der Vorsteuerung, benötigt [108]. Im Rahmen von geberlosen Regelalgorithmen sind ebenfalls die absoluten und insbesondere differentiellen Induktivitäten
erforderlich – wie die Gleichungen des Kapitels 2.4, ab Seite 35, gut veranschaulichen.
Induktivitäten werden auch bei der in dieser Arbeit vorgestellten Art der Ständerwiderstandsidentifikation benötigt (Kapitel 5.3, 148ff). Da für die praktische Anwendung
vor allem die Parameter in rotorfesten Koordinaten von Belang sind, beschränken sich
auch Darstellung und Herleitung der Induktivitäten in diesem Kapitel auf das rotorfeste Koordinatensystem. Detaillierte Ausführungen zu den Maschinengrundlagen finden
sich im vorangegangenen Kapitel 2.2, Seiten 9ff.
Dieses Kapitel gliedert sich in mehrere Teile. Zuerst wird die Darstellung der gemessenen oder durch FEM-Berechnung ermittelten Induktivitätsverläufe erläutert. Hierbei
gibt es verschiedene Ansätze, von denen sowohl die lineare als auch die kubische Interpolation vorgestellt werden. Anschließend wird auf Messverfahren zur Ermittlung
der absoluten und differentiellen Induktivitäten eingegangen und zuletzt die rechenzeitoptimierte Integration der gewonnenen Daten in die Regelung besprochen. Bei den
Messverfahren für die absoluten Induktivitäten sind die im Motor auftretenden Eisenverluste relevant. Es wird beschrieben, wie deren Einfluss kompensiert werden kann
[K-6]. Die Identifizierung der Induktivitäten wird ausschließlich offline durchgeführt.
Dafür gibt es zwei Gründe: Zum einen ändern sich die Induktivitäten im Wesentlichen nur abhängig von den Strömen id und iq , kaum aufgrund von anderen äußeren
Umgebungseinflüssen beziehungsweise Prüfstandsparametern, wie zum Beispiel Temperatur oder Drehzahl des Systems. Eine Onlinemessung ist damit nicht erforderlich –
im Gegensatz zur Ständerwiderstandsidentifikation. Zum anderen sind bekannte Onlinemessverfahren entweder gar keine richtigen „online“-Verfahren [109] oder haben
79
80
4 Induktivitäten
eine zweifelhafte Stabilität und Genauigkeit [110]. So werden die Induktivitätsmessungen in [109] mit einem Multi-Sinus-Verfahren bereits am betriebsbereiten Antrieb
durchgeführt, allerdings werden neben einer konstanten Drehzahl zusätzlich wechselnde Belastungen für die Messungen benötigt. Beide Bedingungen können sicherlich nur wenige fest eingebaute Antriebssysteme erfüllen. Diese Art der Identifikation
ist damit entweder nur im Labor möglich oder auf ganz spezielle Anwendungen beschränkt. Eine echte Onlineidentifikation der Induktivitätsverläufe ist dagegen in [110]
beschrieben. Allerdings dauert das Nachführen der identifizierten Induktivitäten eindeutig zu lange für schnell ablaufende transiente Vorgänge. Gerade bei transienten
Vorgängen verbunden mit sprunghaften Stromänderungen müssen sich die Induktivitäten im Modell ebenso schnell ändern, ansonsten könnte man gleich auf variable
Induktivitäten verzichten und konstante Parameter verwenden. Daher eignet sich das
in [110] beschriebene Onlineidentifikationsverfahren nur für quasistationäre Zustände in Antriebssystemen. Zudem stellen sich Genauigkeits- und Stabilitätsfragen. Alles
in allem erscheint eine Offlineidentifikation der Induktivität als die präzisere und damit sinnvollere Option.
4.1 Darstellung der Induktivitäten
Sollen Messergebnisse in einer Regelung als Kennlinie hinterlegt werden, so ergibt
sich immer das Problem, dass im späteren Betrieb die Kennlinienwerte nicht exakt
bei den gemessenen Werten, sondern für nicht gemessene Zwischenwerte benötigt
werden. Damit stellt sich die Frage, inwieweit eine Interpolation der Messergebnisse
nötig ist, das heißt, ob und, wenn ja, auf welche Weise Zwischenwerte generiert werden
müssen. Dazu werden in den Abbildungen 4.1 bis 4.3 die drei häufigsten Versionen der
Interpolation von Messergebnissen vorgestellt. Die Punkte in den Unterabbildungen a)
stellen die Messwerte dar, die blaue Linie jeweils die interpolierten Werte.
Würde keine Interpolation verwendet werden, so ergäbe es einen treppenförmigen Verlauf wie in Abbildung 4.1. Damit wäre zwischen zwei Messwerten das Ergebnis konstant und es gäbe jeweils einen Sprung zum nächsten Messwert. Der Sprung jedoch
würde eine unstetige Ableitung bewirken, was nicht nur bei der normalen Regelung
Probleme bereiten könnte, sondern insbesondere, wenn Ableitungen des Messgrößenverlaufs gebildet werden. Eine lineare Interpolation nach Abbildung 4.2 hat den Vorteil,
dass es in dem ursprünglichen Funktionsverlauf keine Sprünge gibt; die erste Ableitung ist zwar immer noch unstetig, bewegt sich jedoch innerhalb engerer Grenzen
als bei dem nicht interpolierten Verlauf aus Abbildung 4.1. Die beste Möglichkeit der
Interpolation im Sinne eines möglichst guten Interpolationsergebnisses zeigt Abbildung 4.3 mit der kubischen Spline-Interpolation. Hier werden jeweils zwischen zwei
4.1 Darstellung der Induktivitäten
81
1
10
200
0.5
5
100
0
0
0
−0.5
−5
−100
−10
−1
0
0.5
−200
0
1
(a) Messwerte und Funktionsver-
0.5
1
0
(b) 1. Ableitung
0.5
1
(c) 2. Ableitung
lauf
Abbildung 4.1: Funktionsverlauf ohne Interpolation
1
10
200
0.5
5
100
0
0
0
−0.5
−5
−100
−10
−1
0
0.5
−200
0
1
(a) Messwerte und Funktionsver-
0.5
1
0
(b) 1. Ableitung
0.5
1
(c) 2. Ableitung
lauf
Abbildung 4.2: Funktionsverlauf bei linearer Interpolation
1
10
200
0.5
5
100
0
0
0
−0.5
−5
−100
−10
−1
0
0.5
1
(a) Messwerte und Funktionsver-
−200
0
0.5
(b) 1. Ableitung
1
0
0.5
1
(c) 2. Ableitung
lauf
Abbildung 4.3: Funktionsverlauf bei Spline-Interpolation. Die ersten beiden Ableitungen sind stetig.
82
4 Induktivitäten
Messpunkten Funktionen dritter Ordnung, sogenannte Splines, eingepasst. Die Randbedingungen der abschnittsweise definierten Splines sind jeweils die Stetigkeit der
ersten und zweiten Ableitung. Folglich sind dann natürlich auch die erste und zweite
Ableitung stetig. Diese Stetigkeitsbedingungen können auch genutzt werden, um die
Induktivitäten durch direkte Ableitung aus gemessenen und mit kubischen Splines
linearisierten Flussverkettungen analytisch zu berechnen [26]. Letzteres wird aber in
dieser Arbeit nicht weiter verfolgt.
Neben all den Vorteilen der Interpolation gibt es auch einen großen Nachteil: die erforderliche Rechenzeit. Ohne Interpolation benötigt man am wenigsten Rechenzeit,
es muss lediglich feststellt werden, in welchem Sektor sich der x-Wert befindet, der
y-Wert ergibt sich dann automatisch. Wird linear interpoliert, also mit Geradenteilstücken, so muss für jeden Sektor eine Geradengleichung gelöst werden. Das heißt, es
werden pro Sektor zwei Speicherzellen belegt, und es muss pro x-Wert-Abfrage eine
Geradengleichung der Form
y = a1 · x + a2
(4.1)
gelöst werden. Für die Spline-Interpolation ist noch eine deutlich aufwändigere Berechnung nötig. Es ist für jeden Sektor eine Gleichung dritter Ordnung der Form
y = a1 · x 3 + a2 · x 2 + a3 · x + a4
(4.2)
zu lösen. Damit werden auch vier Speicherzellen für die Variablen a1 . . . a4 pro Sektor
verwendet. Werden statt Kennlinien Parameterflächen verwendet, so sind bei SplineInterpolation sogar 16 Speicherzellen inklusive entsprechender Berechnung pro Sektor notwendig. Im Allgemeinen wird zwischen der einfacher zu realisierenden und
rechenzeitsparenden linearen Interpolation und der rechenzeitintensiven, dafür aber
qualitativ besseren Spline-Interpolation ausgewählt. Je nach Aufgabe fällt die Entscheidung somit auf die eine oder andere Interpolationsart.
4.1.1
Lineare Interpolation
Abbildung 4.4 zeigt ein viereckiges Flächenelement im Raum. Definiert sind lediglich
die vier äußeren Punkte, gewünscht ist jedoch, dass in jedem Punkt der das Gitter
einschließenden Fläche ein linear genäherter Wert angegeben werden kann. Eine allgemeine viereckige Fläche im Raum kann man nicht linear interpolieren. Um die lineare
Interpolation erst zu ermöglichen, muss das Viereck in zwei Dreiecke geteilt werden.
Es werden also bei jeder beliebigen Lage der vier äußeren Punkte zwei Dreiecke mit
ebenen Flächen generiert. Die Verbindungslinie der zwei Dreiecke dient damit sozusagen als Scharnier. Genauso wird auch im Computerprogramm MATLAB bei den dort generierten flächenhaften Verläufen zwischen den einzelnen Stützpunkten interpoliert.
4.1 Darstellung der Induktivitäten
83
Auch dort werden die viereckigen Flächenteile, die von den umgebenden Stützpunkten eingeschlossen werden, in zwei dreieckige Anteile mit jeweils ebener Oberfläche
aufgeteilt, die dann entsprechend zueinander gekippt sind.
(x3 ,y3 )
z3
z
(x ,y )
z2 2 2
(xp ,yp )
zp
(x1 ,y1 )
z1
(x4 ,y4 )
z4
y
x
(xp ,yp )
Abbildung 4.4: Allgemeines Raumelement. zp
symbolisiert einen beliebigen Punkt auf einer der
beiden Dreiecksflächen.
Um zwischen allgemein im Raum verteilten Stützpunkten linear interpolieren zu können, muss die Gleichung der Fläche eines Dreiecks zwischen vier Stützpunkten aufgestellt werden. Für einen Punkt zp (xp , yp ) im Raum auf der Ebene, die von den Punkten
des Dreiecks (z1 , z2 , z4 ) aufgespannt wird (siehe Abbildung 4.4), gilt in vektorieller
Darstellung
xp
x1
x2 − x1
x4 − x1
y p = y1 + λ · y 2 − y 1 + µ · y 4 − y 1 .
z4 − z1
z2 − z1
z1
zp
(4.3)
Gesucht ist zp = f xp , yp , unbekannt sind zudem die Parameter λ und µ. Letztere
werden aus den ersten beiden Gleichungen des Gleichungssystems (4.3) durch Umformen ermittelt:
−xp y4 + xp y1 + x1 y4 − x4 y1 + x4 yp − x1 yp
und
x 2 y 4 − x 2 y1 − x 1 y 4 − x 4 y2 + x 4 y 1 + x 1 y2
x p y1 − x 2 y1 − y2 x p − x 1 yp + yp x 2 + x 1 y2
µ=
x 2 y 4 − x 2 y 1 − x 1 y4 − x 4 y 2 + x 4 y1 + x 1 y 2
λ=−
(4.4)
(4.5)
Anschließend werden diese beiden Parameter in die dritte Zeile des Gleichungssystems (4.3) eingesetzt. Es ergibt sich damit für die Ebene im Raum, in der sich das erste
der beiden Dreiecke zwischen den vier Stützpunkten befindet, die mathematische Beziehung
−xp y4 + xp y1 + x1 y4 − x4 y1 + x4 yp − x1 yp
(z2 − z1 )
x 2 y 4 − x 2 y 1 − x 1 y 4 − x 4 y2 + x 4 y 1 + x 1 y2
x p y 1 − x 2 y 1 − y 2 x p − x 1 yp + y p x 2 + x 1 y 2
+
(z4 − z1 ) .
x 2 y 4 − x 2 y1 − x 1 y 4 − x 4 y2 + x 4 y 1 + x 1 y2
zp = z1 −
(4.6)
84
4 Induktivitäten
Für einen Interpolationsalgorithmus fehlen noch die Randbedingungen, denn die Gleichung (4.6) gilt bei der zu interpolierenden gesamten Fläche nur innerhalb der Grenzen des einen Dreiecks. Randbedingungen sind daher die drei das Dreieck einschließenden Geraden:
y4 − y1 · x p − x 1 + y1
x4 − x1
y1 − y2 · x p − x 2 + y2
=
x1 − x2
y2 − y4 =
· x p − x 4 + y4
x2 − x4
y41 =
Gerade (z4 , z1 )
(4.7)
y12
Gerade (z1 , z2 )
(4.8)
Gerade (z2 , z4 )
(4.9)
y24
Damit ist das erste der beiden Dreiecke innerhalb von vier Stützpunkten beschrieben.
Für das zweite Dreieck gilt das Gesagte analog, bei den Gleichungen muss lediglich
der Punkt z1 durch den Punkt z3 ersetzt werden. Die Implementierung der linearen
5
5
4
4
3
3
2
2
3
2.5
1
3
0
3
2
2
1
3
0
3
2
2
3
1.5
2
2
1 1
1 1
(a) Flächenverlauf
(b) Verlauf der Stützpunkte
1 1
(c) Draufsicht
Abbildung 4.5: Lineare Interpolation mit allgemein verteilten Stützpunkten
Interpolation bei frei verteilten Stützpunkten ist für einen beispielhaften Verlauf in
den Abbildungen 4.5 gezeigt. In der Draufsicht sind die neun Stützpunkte zu sehen,
zwischen denen durch Einfügen der Formeln (4.6) bis (4.9) in ein Matlab-Script interpoliert wurde. Nun ist es meist nicht nötig, die Stützpunkte völlig frei über den Datenbereich zu verteilen. Oft ist es ausreichend, eine Stützpunktmatrix zu verwenden, die
aus zwei Vektoren x und y zusammengesetzt wird. Die Abstände zwischen den einzelnen x- und y-Werten müssen dabei nicht gleichverteilt sein. Diese Vereinfachung
bedeutet, dass
x1 = x2 , x3 = x4 , y2 = y3 und y1 = y4
(4.10)
gilt. Abbildung 4.6 zeigt es graphisch: Das Raumelement ist nun im 90◦ -Winkel zu den
x- und y-Achsen ausgerichtet. In diesem Fall können die Parameter λ und µ einfach
aus der Geometrie abgelesen werden. Für das linke untere der beiden Dreiecke gilt
4.1 Darstellung der Induktivitäten
85
z
(x3 ,y3 )
z3
(x ,y )
z2 2 2
(xp ,yp )
zp
(x ,y )
z1 1 1
(x4 ,y4 )
y
z4
x
(xp ,yp )
Abbildung 4.6: Raumelement parallel zu den x,y-Achsen. zp
symbolisiert wiederum einen beliebi-
gen Punkt auf einer der beiden Dreiecksflächen.
damit:
λ=
xp − x1
yp − y 1
und µ =
y2 − y1
x4 − x1
(4.11)
Daraus ergibt sich für die Punkte auf der das Dreieck einschließenden Ebene
zp = z1 +
xp − x1
yp − y1
· (z2 − z1 ) +
· (z4 − z1 ) .
y2 − y 1
x4 − x1
(4.12)
Auch die Randbedingungen vereinfachen sich, der Implementierungsaufwand sinkt
deutlich. Die Punkte liegen genau dann im ersten Dreieck, wenn gilt
y4 − y2 · x p − x 2 + y2 .
x1 <= xp <= x4 ∧ y1 <= yp <=
x4 − x2
(4.13)
Für das in der Abbildung rechte obere Dreieck gilt analog
λ=
yp − y 3
xp − x3
und µ =
y4 − y3
x2 − x3
(4.14)
und daraus die Bestimmungsgleichung für die Punkte im Dreieck
zp = z3 +
xp − x3
yp − y3
· (z4 − z3 ) +
· (z2 − z3 )
y4 − y 3
x2 − x3
(4.15)
mit den Randbedingungen
x1 <= xp <= x4
∧
y2 >= yp >=
y4 − y2 · x p − x 2 + y2 .
x4 − x2
(4.16)
Durch die Vereinfachung (4.10) können hier die gleichen Variablen wie bei Gleichung
(4.13) verwendet werden.
Abbildung 4.7 zeigt schließlich ein Interpolationsergebnis auf Basis der beschriebenen
mathematischen Beziehungen. Aus neun Stützpunkten, die in der rechten Abbildung
zu erkennen sind, wird ein sehr viel feineres Gitternetz linear interpoliert. Man beachte, dass die Stützpunkte aufgrund der Vereinfachung nach Gleichung (4.10) zwar ein
Gitter bilden müssen, jedoch zwei benachbarte Stützpunkte nicht unbedingt äquidistant sind.
86
4 Induktivitäten
5
5
4
4
3
3
2
2
1
3
0
3
2
1
3
0
3
2
2
2
1
1
(a) Flächenverlauf
1
1
(b) Verlauf mit Stützpunkten
Abbildung 4.7: Vereinfachte lineare Interpolation
4.1.2
Kubische Spline-Interpolation für Parameterkurven
Häufig besteht die Notwendigkeit, diskrete Messwerte in kontinuierlichen Kurven darzustellen: sei es, um diese später in Regelungen oder Ähnlichem weiterzuverarbeiten,
sei es einfach nur für die optisch ansprechende Darstellung. Sollen die Messwerte
in Regelungen oder anderen Anwendungen als Basis für weitere Berechnungen dienen,
dann ist es meist hilfreich, wenn die interpolierten Kurven keine Unstetigkeiten in den
Ableitungen oder gar in den Funktionswerten selbst enthalten, da diese unter Umständen das Regelverhalten negativ beeinflussen würden. Aus diesem Grund würden sich
zum Beispiel Näherungslösungen mit Polynomen anbieten. Vielen Stützpunkten oder
sehr unregelmäßige Funktionen erfordern hier jedoch eine große Anzahl an Polynomen. Ein weiterer Nachteil sind die bei Polynomen höherer Ordnung oft auftretenden
Oszillationen, die nur schwer vermieden werden können. Hierzu ein Zitat aus [111]:
„Allerdings ist die Polynominterpolation ein nur selten angewendetes Verfahren, da Polynome höheren Grades stark zu Oszillationen neigen, die
sich besonders dann auswirken, wenn die Punkte nicht in einer glatten Folge liegen. Das liegt daran, daß ein Polynom vom Grad N genau N-1 mal die
Richtung wechselt, da es genau N Nullstellen hat.“
Eine weitere bessere Möglichkeit der Interpolation von Messpunkten sind die bereits
angesprochenen Splines. Splines sind abschnittsweise definierte Funktionen, die nur
zwischen zwei Stützpunkten den gleichen Parametersatz haben. Randbedingung für
die Spline-Funktionen ist die Stetigkeit der Ableitungen, bei Splines dritter Ordnung
4.1 Darstellung der Induktivitäten
87
(kubische Splines) wird die Stetigkeit bis zur zweiten Ableitung vorausgesetzt. Optisch vergleichbar ist eine Kurve, die mit Splines interpoliert wurde, mit einem sehr
biegsamen Lineal, das man über die Kurvenpunkte legt. Der Ursprung des englischen
Begriffes „spline“ findet sich im Bootsbau, denn die Holzplanken, die um den Rumpf
gebogen werden, werden so bezeichnet.
Die Herleitung der kubischen Splines in diesem und dem folgenden Kapitel wurde weitgehend aus [112, 113] übernommen. Eine mit kubischen Splines interpolierte Funktion s(x) soll folgenden Randbedingungen genügen, wenn davon ausgegangen werden
kann, dass die Stützpunkte mit (xi , yi ), i = 1, 2, . . . , n gegeben sind:
• An allen Aufpunkten muss die Spline-Funktion gleich den Stützstellen sein, das
heißt s(xi ) = y(xi ) mit x und y als Vektoren der Ausgangsgrößen.
• Bei kubischen Splines besteht die Funktion s(x) in jedem Intervall [xi , xi+1 ] aus
einem Polynom mit dem Grad ≤ 3.
• Die Funktion s(x) ist im gesamten Intervall [xi , xn ] zweimal stetig differenzierbar.
• Die zweifachen Ableitungen von s(x) an den Außenpunkten der Kurve sind jeweils null: s(x1 ) = s(xn ) = 0.
Nach [40] (Satz von Holladay) kann aus diesen Bedingungen geschlossen werden, dass
Gleichung (4.17) gilt. Die erzeugte Funktion s(x) hat damit die niedrigste Gesamtkrümmung aller in Frage kommenden Funktionen g(x).
Z xn
x1
d2 s(x)
dx ≤
dx
Z xn
x1
d2 g(x)
dx
dx
(4.17)
Die abschnittsweise definierten Funktionen lassen sich wie folgt schreiben:
s(x) = si (x) = ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + di (x − xi )3
für i = 1, 2, . . . , n − 1
(4.18)
Die Koeffizienten ai bis di der obigen Gleichung müssen nun für jedes Intervall bestimmt werden. Sind sie bekannt, so kann damit die gesamte Kurve dargestellt werden,
es müssen nur noch die für den entsprechenden Kurvenabschnitt geltenden Koeffizienten verwendet und in die Gleichung (4.18) eingesetzt werden. Der Koeffizient ai
kann direkt aus der ersten Forderung, dass die Splines die Stützstellen enthalten sollen, entnommen werden. Wird nämlich in Gleichung (4.18) x = xi angenommen, so
werden alle Terme außer ai gleich null. Damit gilt:
ai = yi für i = 1, 2, . . . , n
(4.19)
88
4 Induktivitäten
′′
Eine weitere Forderung für die zweite Ableitung der Ursprungsfunktion s (x), lautet,
dass sie an den inneren Knoten stetig sein muss. Damit gilt:
′′
′′
si−1 (xi ) = si (xi )
′′
(4.20)
′′
si (xi ) lässt sich direkt aus Gleichung (4.18) ablesen: si (xi ) = 2 ci . Die Bestimmung
′′
′
′′
von si−1 (xi ) ist etwas aufwändiger, hier müssen die Ableitungen si−1 (xi ) und si−1 (xi )
gebildet werden. Um die Gleichungen zu verkürzen, wird hi = xi+1 − xi definiert.
Gleichung (4.18) lässt sich dann gemäß (4.21) mit den Ableitungen (4.22) und (4.23)
schreiben:
si−1 (xi ) = ai−1 + bi−1 hi−1 + ci−1 h2i−1 + di−1 h3i−1
′
si−1 (xi ) = bi−1 + 2 ci−1 hi−1 + 3 di−1 h2i−1
′′
si−1 (xi ) = 2 ci−1 + 6 di−1 hi−1
für i = 1, 2, . . . , n − 1
(4.21)
für i = 1, 2, . . . , n − 1
(4.22)
für i = 1, 2, . . . , n − 1
(4.23)
Mit (4.21) bis (4.23) lässt sich Gleichung (4.20) umschreiben zu:
2 ci−1 + 6 di−1 hi−1 = 2 ci
(4.24)
Es ergibt sich damit für den Koeffizienten di die Beziehung
di =
ci − ci−1
.
3 hi−1
(4.25)
Der Koeffizient bi kann aus der Stetigkeit von s(x) bestimmt werden:
si−1 (xi ) = si (xi )
(4.26)
Mit si (xi ) = ai lässt sich der rechte Teil der Gleichung wieder leicht angeben. Der linke
Teil entspricht Gleichung (4.21). Nun müssen diese beiden Anteile in (4.26) eingesetzt
und nach bi−1 aufgelöst werden.
ai−1 + bi−1 hi−1 + ci−1 h2i−1 + di−1 h3i−1 = ai
bi−1 =
=
ai − ai−1 − ci−1 h2i−1 + di−1 h3i−1
hi−1
ai − ai−1 − ci−1 hi−1 + di−1 h2i−1
hi−1
Kombiniert mit dem bereits in (4.25) bestimmten Koeffizienten di ergibt sich
ci − ci−1
ai − ai−1
− ci−1 hi−1 +
hi−1
bi−1 =
hi−1
3
ai − ai−1
3 ci−1 hi−1
ci − ci−1
=
−
+
hi−1
hi−1
3
3
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
(4.31)
4.1 Darstellung der Induktivitäten
89
und schließlich
bi−1 =
ci + 2 ci−1
ai − ai−1
−
hi−1
hi−1
3
für i = 2, 3, . . . , n .
(4.32)
′
Aus der weiterhin geforderten Stetigkeit von s (x) kann der letzte noch verbliebene
Koeffizient c berechnet werden:
′
′
si−1 (xi ) = si (xi )
(4.33)
Nach Einsetzen der Ableitungen (4.22) und (4.23) ergibt sich
bi−1 + 2 ci−1 hi−1 + 3 di−1 h2i−1 = bi .
(4.34)
Die bereits bestimmten Koeffizienten bi und di werden eingesetzt:
ai − ai−1
ci + 2 ci−1
ci − ci−1 2
−
hi−1 + 2 ci−1 hi−1 + 3
hi−1
hi−1
3
3 hi−1
ai+1 − ai
ci+1 + 2 ci
=
−
hi
hi
3
(4.35)
Um später leicht auf Matrixschreibweise übergehen zu können, werden in einem ersten Schritt alle Terme mit ci auf die linke und der Rest auf die rechte Seite der Gleichung gebracht:
−
ci + 2 ci−1
ci − ci−1 2
ci+1 + 2 ci
hi−1 + 2 ci−1 hi−1 + 3
hi−1 +
hi
3
3 hi−1
3
ai+1 − ai
ai − ai−1
=
−
hi
hi−1
(4.36)
Anschließend werden die ci -Koeffizienten nach den einzelnen Indizes sortiert.
1
1
2
2
− hi−1 + 2 hi−1 − hi−1 ci−1 + − hi−1 + hi−1 + hi ci + ci+1 hi
3
3
3
3
ai+1 − ai
ai − ai−1
=
−
hi
hi−1
(4.37)
Nach Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Faktor drei ergibt sich das gewünschte Ergebnis:
hi−1 ci−1 + 2 (hi−1 + hi ) ci + hi ci+1
ai − ai−1
ai+1 − ai
−
=3
hi
hi−1
für i = 2, 3, . . . , n − 1
(4.38)
90
4 Induktivitäten
Gleichung (4.39) zeigt dies anschaulich in Matrixschreibweise.
2 (h1 + h2 )
h2
0
0
0
0
h2
2 (h2 + h3 )
h3
0
0
0
0
h3
2 (h3 + h4 )
h4
0
0
..
.
..
..
.
.
hn−2
0
=
3
0
a3 −a2
h2
−
a2 −a1
h1
0
−
3
a4 −a3
a5 −a4
− h3
3
h4
..
.
an −an−1
an−1 −an−2
3
−
hn−1
hn−2
a4 −a3
h3
a3 −a2
h2
hn−2
0
2 (hn−2 + hn−1 )
·
für i = 2, 3, . . . , n − 1
c2
c3
c4
..
.
cn−1
(4.39)
Gesucht ist der Koeffizientenvektor c, denn damit lassen sich über die Gleichungen
(4.25) und (4.34) die Vektoren b und d bestimmen. Der Koeffizient a ist nach (4.19)
bereits durch die Wahl der Stützpunkte eindeutig festgelegt. Da die Koeffizientenmatrix tridiagonal ist, kann das Gleichungssystem leicht durch eine LR-Zerlegung [113]
gelöst werden. Basis der LR-Zerlegung ist das Gleichungssystem
A·x =d ,
(4.40)
beziehungsweise
b1
a2
0
0
c1
0
0
0
0
b2
c2
0
0
0
a3
b3
c3
0
0
..
.
..
..
.
.
cn−1
0
0
0
an
bn
x1
x2
x3
·
..
.
xn−1
xn
d1
d2
d3
=
..
.
dn−1
dn
.
(4.41)
4.1 Darstellung der Induktivitäten
91
Nun wird die Matrix A in die beiden Matrizen L und U aufgeteilt.
β1
α2
L=
0
0
0
0
0
0
β2
0
0
0
α3
β3
0
0
..
.
..
0
0
0
0
0
..
.
βn
.
αn
0
1 ν2
0
0
0 0
1
ν3
0
0 0
0
1
ν4
0 0
0
U=
0
0
..
.
0
..
0
0
..
.
.
0 1
(4.42)
(4.43)
Nach dieser Aufteilung kann das Gleichungssystem (4.40) umgeschrieben werden zu:
L · y = d mit U · x = y .
(4.44)
Im Grunde wird das eine Gleichungssystem in zwei Untersysteme aufgeteilt, die sich
aufgrund der einfacheren Struktur der Matrizen L und U deutlich leichter lösen lassen.
Man verwendet die Zwischenlösung y der ersten Gleichung, um den gewünschten Vektor x der zweiten Gleichung zu erhalten. Zur Gewinnung der einzelnen Koeffizienten
der Matrizen L und U werden diese miteinander multipliziert. Es ergibt sich:
β1
α2
L·U=
0
0
β2 ν2
0
0
0
0
α2 ν2 + β2
β2 ν3
0
0
0
α3
α3 ν3 + β3
β3 ν4
0
0
..
.
0
..
0
0
..
.
.
αn
αn νn + βn
(4.45)
Die Werte von α, β und ν ergeben sich damit zu:
!
α1 = 0
αi = ai
für i = 2, 3, . . . , n
(4.46)
βi = bi − αi νi
ci−1
νi =
βi−1
für i = 1, 3, . . . , n
(4.47)
für i = 2, 3, . . . , n
(4.48)
92
4 Induktivitäten
Wird davon ausgegangen, dass βi ≠ 0 für alle i = 1 . . . n ist, dann kann die erste
Gleichung (4.44) nach y aufgelöst werden.
d1
β1
di − αi yi−1
yi =
βi
y1 =
für i = 2, 3, . . . , n
(4.49)
Die Auflösung der zweiten Gleichung nach x liefert
x n = yn
xi = yi − νi+1 xi+1 für i = n − 1, n − 2, . . . , 1 .
(4.50)
Somit ist das Problem gelöst und der gesuchte Lösungsvektor x gefunden. Ein möglicher speicherplatzoptimierter Algorithmus zur Realisierung des Lösungsweges in
einem Programm wird nun vorgestellt – speicherplatzoptimiert deswegen, weil die
Variablen αi und βi nur temporär auftauchen und nicht gespeichert werden.
1 v(1)
a(1)
c(n)
y(0)
=
=
=
=
6 for k = 1 to n
beta
= 1 / ( b(k) - a(k)*v(k)
v(k+1) = beta * c(k)
4.1.3
y(k)
next
0
0
0
0
= beta * ( d(k) - a(k)*y(k-1) )
11
)
for k = n-1 to 1
x(n)
= y(n)
x(k)
= y(k) - v(k+1)*x(k+1)
next
Bi-kubische Spline-Interpolation für Parameterflächen
Oft reichen hinterlegte kurvenförmige Verläufe nicht mehr als Grundlage für die von
der Regelung benötigten Parameter aus. In diesen Fällen kann auf flächenförmige Zusammenhänge zurückgegriffen werden. Ein Beispiel dafür sind die stark nichtlinearen Eigenschaften von Induktivitäten bei permanenterregten Synchronmaschinen mit
vergrabenen Magneten. Ähnlich zu den kubischen Splines für die Interpolation von
Kurven aus Kapitel 4.1.2 wird nun ein Verfahren beschrieben, mit dem aus wenigen
bestimmten Messpunkten Näherungsflächen konstruiert werden können. Um von den
diskreten Messpunkten zu Messflächen zu gelangen, werden bi-kubische Splines verwendet. Eine weitere Herausforderung ist es schließlich, mit möglichst wenig Rechenschritten aus den hinterlegten Koeffizientenmatrizen den entsprechenden Funktionswert in Echtzeit zu bestimmen. Abbildung 4.8 zeigt das interpolierte Ergebnis bei bikubischer Interpolation für ein Flächenelement zwischen vier Stützpunkten. Die Interpolation einer Fläche geschieht analog zur Interpolation einer Kurve. Die Umsetzung
ist jedoch mathematisch gesehen etwas komplexer und wird wiederum im Wesentlichen aus [112, 113] entnommen. Wie bereits bei den Kurven in Kapitel 4.1.2 auf Seite
86 werden auch hier kubische Funktionen verwendet, um die Flächenteilstücke zwischen den einzelnen Stützpunkten zu approximieren. Mit relativ geringem Aufwand
4.1 Darstellung der Induktivitäten
93
z
y
x
Abbildung 4.8: Bi-kubisch interpoliertes Flächenelement zwischen vier Stützpunkten
könnte man allerdings auch ganz allgemeine rationale Funktionen zur Approximation
verwenden. Dies ist besonders dann interessant, wenn die mathematische Funktion
bekannt ist, die hinter einer Messreihe steckt. Die Abbildungen 4.9 und 4.10 zeigen
mögliche Ergebnisse der Interpolation mit den sogenannten bi-kubischen Splines. In
Abbildung 4.10 ist gut zu erkennen, dass genau wie bei den kubisch interpolierten
Kurven in Kapitel 4.1.2 die Stützstellen beliebig angeordnet werden können und nicht
in einem festen Raster stehen müssen.
Ausgehend von den Vektoren x = x1 . . . xn und y = y1 . . . ym , die eine Fläche aufspannen, sind
uij
für i = 1, 2, . . . , n und j = 1, 2, . . . , m
(4.51)
die z-Koordinaten, die die Form der Fläche definieren. In jedem durch die Stützstellen
aufgespannten Rechteck
o
n
Rij = (x, y) : xi ≤ x ≤ xi+1 , yj ≤ y ≤ yj+1
(4.52)
wird dazu eine Funktion
fij (x, y) =
4 X
4
X
k=1 l=1
aijkl · gik (x) · gjl (y)
(4.53)
definiert. Dies ist der allgemeine Ansatz für Splines mit beliebig vorgegebenen rationalen Funktionen, die zusätzlich je nach Intervall voneinander verschieden sein können.
Sollen wie in diesem Fall lediglich kubische Spline-Funktionen verwendet werden, so
schreibt sich die anzusetzende Funktion gemäß Gleichung (4.54):
fij (x, y) =
4 X
4
X
k=1 l=1
l−1
aijkl · (x − xi )k−1 · y − yj
.
(4.54)
Genau wie bei der Interpolation von Kurven wird auch hier vorausgesetzt, dass die
entstehende glatte Fläche zweimal stetig differenzierbar ist und zudem u(xi , yj ) =
94
4 Induktivitäten
8
8
6
6
4
4
2
2
4
3
0
4
2
3
2
1
4
3
0
4
2
3
2
1
1
(a) Grobe Gitterstruktur
1
(a) Grobe Gitterstruktur
8
8
6
6
4
4
2
2
4
3
0
4
2
3
2
1
4
3
0
4
2
3
2
1
1
(b) Bi-kubisch interpoliert
1
(b) Bi-kubisch interpoliert
8
8
6
6
4
4
2
2
4
3
0
4
2
3
2
1
1
4
3
0
4
2
3
2
1
1
(c) Stützpunkte
(c) Stützpunkte
Abbildung 4.9: Bi-kubisch interpolierte Rohdaten
Abbildung 4.10: Bi-kubisch interpolierte Rohda-
mit gleichmäßig verteilten Stützpunkten
ten mit ungleichmäßig verteilten Stützpunkten
4.1 Darstellung der Induktivitäten
95
uij gilt. Gemäß Gleichung (4.55) werden die ersten Ableitungen der Splines in x- und
y-Richtung mit pij und qij bezeichnet, die zweimalige Ableitung des Produkts beider
Splines mit rij .
pij = ux (xi , yj )
qij = uy (xi , yj )
für i = 1, 2, . . . , n und j = 1, 2, . . . , m
(4.55)
rij = uxy (xi , yj )
Weiterhin wird definiert:
uij
qij
ui,j+1
qi,j+1
p
rij
pi,j+1
ri,j+1
ij
Sij =
ui+1,j qi+1,j ui+1,j+1 qi+1,j+1
pi+1,j ri+1,j pi+1,j+1 ri+1,j+1
g1 (ξi )
g2 (ξi )
g3 (ξi )
g4 (ξi )
′
′
′
g ′ (ξ )
g4 (ξi )
g3 (ξi )
g2 (ξi )
1 i
G(ξi ) =
g1 (ξi+1 ) g2 (ξi+1 ) g3 (ξi+1 ) g4 (ξi+1 )
′
′
′
′
g1 (ξi+1 ) g2 (ξi+1 ) g3 (ξi+1 ) g4 (ξi+1 )
aij11 aij12 aij13 aij14
a
ij21 aij22 aij23 aij24
Aij =
aij31 aij32 aij33 aij34
aij41 aij32 aij43 aij44
(4.56)
(4.57)
(4.58)
Mit den Matrizen (4.56), (4.57) und (4.58) lässt sich in knapper Form
Sij = G(xi ) · Aij · G(yj )T
(4.59)
schreiben. Zur Berechnung der gesuchten bislang noch unbekannten Koeffizientenmatrix Aij wird Gleichung (4.59) umgestellt:
−1
.
Aij = (G(xi ))−1 · Sij · G(xi )T
(4.60)
Bei kubischen Splinefunktionen definieren sich die allgemeinen Funktionen g1 bis g4
wie folgt:
g1 (ξ) = 1
(4.61)
g2 (ξ) = ξ − ξi
(4.62)
g3 (ξ) = (ξ − ξi )
g4 (ξ) = (ξ − ξi )
2
(4.63)
3
(4.64)
96
4 Induktivitäten
Mit der Abkürzung ∆ξi = ξi+1 − ξi
1
0
Gij =
1
0
G−1
ij
kann die Matrix G geschrieben werden als
0
0
0
1
0
0
oder
3
2
∆ξi ∆ξi
∆ξi
1
2 ∆ξi 3 ∆ξi2
1
0
=
− 32
∆ξi
2
0
0
0
1
0
0
3
∆ξi2
− ∆ξ
2
− ∆ξ
1
∆ξi2
∆ξi3
i
1
2
− 3
∆ξi
1
∆ξi2
(4.65)
i
.
(4.66)
Nun werden für j = 1 . . . m kubische Splinefunktionen durch die Punkte (xi , uij )
′
′
(i = 1 . . . n) bei vorgegebenen Randbedingungen y1 = p1j und yn = pnj gelegt.
Bildlich gesprochen: Es werden durch alle Stützstellen parallel zur x-Achse kubische
Splinekurven gelegt. Die dabei benötigten Ableitungen an den äußeren Rändern der
Gesamtfläche werden vorgegeben, alle anderen Ableitungen können mit der im vorherigen Kapitel 4.1.2 auf den Seiten 86ff erläuterten LR-Zerlegung bestimmt werden.
1
1
1
1
pi,j +
pi−1,j + 2 ·
+
pi+1,j
∆xi−1
∆xi−1
∆xi
∆xi
!
ui,j − ui−1,j
ui+1,j − ui,j
=3·
+
für i = 2, 3, . . . , n − 1
(4.67)
(∆xi−1 )2
(∆xi )2
Gleiches kann für die Punkte parallel zur y-Achse berechnet werden, das heißt, für
i = 1 . . . n werden kubische Splinefunktionen durch die Punkte (yi , uij ) (i = 1 . . . n)
′
′
bei vorgegebenen Randbedingungen y1 = qi,1 und ym = pi,m gelegt:
!
1
1
1
1
qi,j−1 + 2 ·
+
qi,j+1
qi,j +
∆yj−1
∆yj−1
∆yj
∆yj
u
−
u
u
−
u
i,j−1
i,j+1
i,j
i,j
=3· 2 + 2 für j = 2, 3, . . . , m − 1
∆yj−1
∆yj
(4.68)
Die letzte einzuhaltende Bedingung ist, dass das Produkt dieser beiden Splinekurven
(in x- und y-Richtung) zweimal stetig differenzierbar ist. Daher werden die Werte
uxy (xi , yi ) = rij der Stützpunkte bestimmt. Dazu werden für j = 1 und j = m
rationale Splines durch die Punkte (xi , qij ) (i = . . . n) gelegt:
1
1
1
1
ri,j +
ri−1,j + 2 ·
+
ri+1,j
∆xi−1
∆xi−1
∆xi
∆xi
!
ui,j − ui−1,j
ui+1,j − ui,j
=3·
+
für i = 2, 3, . . . , n − 1
2
(∆xi−1 )
(∆xi )2
(4.69)
4.2 Absolute Induktivitäten
97
Damit sind die Randwerte ermittelt, mit denen für i = 1 . . . n Splines durch die Punkte
(yi , pij ) (j = . . . m) gelegt werden können.
!
1
1
1
ri,j +
+
ri,j+1
∆yj−1
∆yj
∆yj
ui,j+1 − ui,j
+ 2 für j = 2, 3, . . . , m − 1
∆yj
1
ri,j−1 + 2 ·
∆yj−1
ui,j − ui,j−1
=3· 2
∆yj−1
(4.70)
Sind die Vektoren p, q und die Matrix r durch die Gleichungssysteme (4.67) bis (4.70)
bestimmt, können zusammen mit den Gleichungen (4.56), (4.60), (4.65) und (4.66)
die gewünschten Koeffizientenmatrizen Aij berechnet werden. Diese können vor der
Laufzeit eines eventuell echtzeitfähigen Systems, also offline, bestimmt werden. Zusammen mit Gleichung (4.54) kann aus den Koeffizientenmatrizen Aij jeder beliebige
interpolierte Punkt in der definierten Ebene berechnet werden.
4.2 Absolute Induktivitäten
Die Messung der absoluten Induktivitäten wurde bereits in einer Vielzahl von Veröffentlichungen behandelt, Beispiele finden sich in [K-1]. Meist werden aber nur die einfachen linearisierten Spannungsgleichungen im rotorfesten d,q-Koordinatensystem zugrunde gelegt. Diese Gleichungen wurden im Kapitel 2.2.2 ab Seite 16 hergeleitet. Bei
Verwendung der linearisierten Gleichungen wird allerdings davon ausgegangen, dass
die Induktivitäten Ld und Lq konstant sind. Bei stromabhängigen und damit variablen Induktivitäten ist die einfache Ableitung der Flussverkettungen ψd und ψq nach
Gleichung (2.30) nicht möglich. Dies ist jedoch ein Widerspruch in sich: Wenn sich verändernde Induktivitäten bei verschiedenen Belastungszuständen der PMSM erwartet
werden, dann sind die Induktivitäten eben gerade nicht konstant. Wie in Kapitel 2.2.3
dargelegt, gelten in diesen Fällen nicht mehr die linearisierten Gleichungen, sondern
vielmehr das allgemeine Spannungsgleichungssystem (2.53), welches nun der Übersichtlichkeit halber noch einmal abgedruckt ist:
(i ,i )
˙
(iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
d q
dψp
Ldd
Ldq
id
ud
Rs
− ωel Lq
id
=
+
+
dt
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
(iq )
i
uq
i
ωel Ld
Rs
Lqd
Lqq
q
q
ωel ψp
{z
}
|
diff. Induktivitäten
4.2.1
Theorie
Die prinzipielle Vorgehensweise bei der Messung der absoluten Induktivitäten ist im
Grunde unkompliziert. Für einen konstanten Betriebszustand, vor allem eine konstante Drehzahl, wird ein Belastungszustand, das heißt ein (id , iq )-Strompaar eingeprägt.
98
4 Induktivitäten
Für diesen Zustand werden die beiden d,q-Spannungen und die aktuelle Drehzahl
(id ,iq )
gemessen. Daraus lassen sich schließlich die Induktivitäten Ld
(id ,iq )
und Lq
be-
rechnen. Wird der Einfluss der Eisenverluste vorerst nicht berücksichtigt, so ist der
Ausgangspunkt für die Betrachtungen das im Kapitel 2.2.1 (Seiten 11ff) hergeleitete allgemeine Spannungsgleichungssystem (2.24) (Seite 15) in Abhängigkeit von den
Flussverkettungen ψd und ψq . Für stationäre Zustände fallen die Ableitungen weg,
das System vereinfacht sich damit zu
(id ,iq )
ud
(id ,iq )
uq
(id ,iq )
= Rs id − ωel ψq
(id ,iq )
= Rs iq + ωel ψd
und
.
(4.71)
(4.72)
Löst man die Gleichungen nun nach den beiden Flussverkettungen auf, so ergeben
sich die folgenden Beziehungen für die beiden Flussverkettungen
(id ,iq )
ψd
(id ,iq )
ψq
(id ,iq )
=
uq
− Rs iq
und
ωel
(id ,iq )
=−
ud
− Rs id
ωel
.
(4.73)
(4.74)
Aus der Gleichung (4.73) folgt, dass der ohmsche Ständerwiderstand Rs immer dann
relevant für die Berechnung der Flussverkettung ψd ist, wenn der iq -Strom ungleich
null ist. Analoges gilt für ψq . Der Widerstand Rs ist jedoch stark abhängig von der
Temperatur des Ständers. Entweder wird der Ständerwiderstand mit Hilfe eines Temperatursensors, der in vielen Motoren im Ständerblechpaket vergossen ist, gemäß Gleichung
Rs = Rs,20◦ C · (1 + αCu (ϑs − 20◦ C))
(4.75)
berechnet, oder es wird ein Verfahren zur Identifizierung des Ständerwiederstand verwendet. Letzteres wird in Kapitel 5 genauer beschrieben. In Gleichung (4.75) steht
αCu = 3, 93 · 10−3 für den Temperaturkoeffizient von Kupfer und ϑs für die Tempera-
tur des Ständers.
Zur Veranschaulichung der Gleichungen (4.73) und (4.74) zeigt Abbildung 4.11 die
Verläufe für die Flussverkettungen beispielhaft für den Prüfstand C. Bei dieser Darstellungsform sieht der Verlauf der Flussverkettungen relativ linear aus. Bei höheren Strömen sind leichte Sättigungserscheinungen erkennbar, die Ableitungen dieser Flächen
entsprechen jedoch nicht den in diesem Kapitel besprochenen absoluten, sondern
den im Kapitel 4.3 besprochenen differentiellen Induktivitäten. Veranschaulicht wird
dies auch durch die prinzipielle Abbildung 2.8 über den Zusammenhang zwischen
Fluss(verkettung), absoluter und differentieller Induktivität auf Seite 21. Die dunkle,
blaue Linie in Abbildung 4.11a entspricht der Flussverkettung der Permanentmagnete
ψp in Abhängigkeit vom iq -Strom.
4.2 Absolute Induktivitäten
99
0.6
0.3
0.2
ψq [Vs]
ψd [Vs]
0.5
0.4
0.3
1
0.2
−1
1
iq
in
−1
0
−0.1
−0.2
0
0
0.1
1
0
−1
id
in
0
id
in
(a) ψd
1
−1
iq
in
(b) ψq
Abbildung 4.11: (Prüfstand C) Flussverkettungen ψd und ψq in rotorfesten Koordinaten. Die blaue
Linie in der linken Abbildung stellt den Verlauf der Permanentmagnetflussverkettung ψp abhängig
von iq dar.
Die absoluten Induktivitäten berechnen sich nun aus den Flussverkettungen gemäß
den Gleichungen (2.42) und (2.43):
(id ,iq )
Ld
(id ,iq )
Lq
(id ,iq )
=
ψd
(iq )
− ψp
und
id
(4.76)
(id ,iq )
=
ψq
iq
(4.77)
Es ist wichtig zu beachten, dass der Rotorfluss gleich dem Fluss in der d-Achse bei
null id -Strom gesetzt wird. Nur dann geht der Term für id → 0 auch im Zähler gegen
null und die resultierende Induktivität Ld geht nicht rein rechnerisch gegen Unendlich.
In Abbildung 4.11a ist dies noch einmal graphisch gezeigt: Der Permanentmagnetfluss
ψp entspricht der blauen Linie. Im Prinzip gilt das Gleiche auch für Lq in Gleichung
(4.77). Ist zum Beispiel aufgrund von Messfehlern ψq (iq = 0) ≠ 0, so muss auch hier
ein Offsetabgleich eingesetzt werden, um zu vermeiden, dass die Lq -Induktivität für
iq → 0 rechnerisch gegen Unendlich geht. Die beiden Bestimmungsgleichungen zur
Berechnung der absoluten Induktivitäten lauten daher allgemein
absolute Induktivitäten
(id ,iq )
Ld
(id ,iq )
Lq
(id ,iq )
=
ψd
und
id
(id ,iq )
=
(id =0,iq )
− ψd
ψq
(id ,iq =0)
− ψq
iq
.
(4.78)
(4.79)
Theoretisch könnte man den Polradfluss auch mit anderen Messverfahren ermitteln,
100
4 Induktivitäten
sicherlich würden daraus hiervon leicht abweichende Werte resultieren. Dies ist jedoch auf Genauigkeitsfehler in den unterschiedlichen Messverfahren zurückzuführen
und würde zu dem bereits beschriebenen Problem führen. Ein leicht unterschiedlicher
Polradfluss ergibt bei der Berechnung der Induktivitäten immer einen Offset, der umso
größer wird, je kleiner der betrachtete Strom ist.
4.2.2
Berücksichtigung der Eisenverluste
Die Gleichungen (4.78) und (4.79) gelten immer dann zur Bestimmung der absoluten
Induktivitäten, wenn die elektrische Maschine als weitgehend ideal aufgefasst wird
und Eisenverluste vernachlässigt werden. In diesem Kapitel wird nun gezeigt, dass
die Eisenverluste basierend auf der im Kapitel 3 eingeführten Definition ohne großen
Aufwand und – das ist am wichtigsten – ohne Kenntnis der Eisenverluste an sich berücksichtigt werden können. Die Ergebnisse werden dadurch wesentlich genauer [K-7].
Die Messungen der absoluten Induktivitäten werden im stationären Zustand durchgeführt, daher kann die stationäre Spannungsgleichung (3.68) auf Seite 74 als Grundlage
für die folgenden Betrachtungen verwendet werden. Sie ist hier noch einmal in Komponentenschreibweise abgedruckt:
ud = Rs + ξq Ld · id − ωel Lq · iq + ξq · ψp
uq = Rs + ξd Lq · iq + ωel Ld · id + ωel · ψp
(4.80)
(4.81)
Ganz allgemein gilt für die rotorfesten Spannungen in Abhängigkeit von den Flussverkettungen nach den Gleichungen (2.23) und (2.24) wiederum im stationären Zustand
ud = Rs id − ωel ψq und
(4.82)
uq = Rs iq + ωel ψd .
(4.83)
Hierbei wird angenommen, dass der gesamte Einfluss der Eisenverluste in den beiden
Flussverkettungen ψd und ψq enthalten ist. Aus (4.80) bis (4.83) lassen sich durch
Koeffizientenvergleich die Flussverkettungen ψd und ψq unter Berücksichtigung der
Eisenverluste ablesen:
ξd Lq iq
+ Ld id + ψp und
ωel
ξq ψp
ξq Ld id
+ Lq i q −
ψq = −
ωel
ωel
ψd =
(4.84)
(4.85)
Nun gilt für die Eisenverlustwiderstände ζd und ζq
ζ(ωel ) ≈ ζ(−ωel ) .
(4.86)
4.2 Absolute Induktivitäten
101
100
2
1.5
50
∆ud [V]
ud [V]
1
0
0.5
0
−50
−0.5
−100
−1000
−500
0
500
−1
−1000
1000
−500
1
min
0
500
1000
1
min
(a) Gemessene (schwarz) und berechnete ud -
(b) Differenz aus gemessener und berechne-
Spannungen (blau)
ter ud -Spannung
Abbildung 4.12: (Prüfstand C) Spannungen in ud -Richtung bei einem (id , iq ) Arbeitspunkt für verschiedene Drehzahlen. In Abbildung (a) sind die gemessene Spannung (schwarz) und die berechnete
Spannung aus den identifizierten Parametern (blau) aufgetragen. Abbildung (b) zeigt die Differenz
zwischen den beiden Spannungen.
−3
x 10
Lq [H]
3.5
3
2.5
−1000
−500
0
500
1000
1
min
Abbildung 4.13: (Prüfstand C) Unbearbeitete Identifikationsergebnisse der Induktivität Lq in Abhängigkeit von der Drehzahl, bei der gemessen wird (blau). In Schwarz jeweils der Mittelwert aus zwei
Messungen bei betragsmäßig gleicher positiver und negativer Drehzahl.
Dieser Zusammenhang kann graphisch veranschaulicht werden. Die blaue Kurve in
Abbildung 4.12a wurde mit der einfachen Gleichung
ud = Rs id − ωel Lq iq
(4.87)
unter der Vorgabe berechnet, dass die hier verwendete Induktivität bereits der in Abbildung 4.13 in Schwarz dargestellten gemittelten Induktivität entspricht. Damit wer-
102
4 Induktivitäten
den in dieser Beziehung die Eisenverluste nicht berücksichtigt. Die schwarze Kurve
hingegen entspricht direkt der gemessenen Spannung ud , hierin sind alle realen Effekte und damit auch die Eisenverluste enthalten. Die Differenz zwischen beiden Kurven
ist in Abbildung 4.12b dargestellt und entspricht der Spannungsdifferenz, die durch
die parasitären Effekte, insbesondere die Eisenverluste, hervorgerufen wird. Man erkennt gut, dass diese Spannung bis auf Messungenauigkeiten nur vom Betrag der
Motordrehzahl abhängt. Somit ist auch der Eisenverlustwiderstand vom Betrag der
Drehzahl abhängig. Damit gilt auch für die in Gleichung (3.67) eingeführten Eisenverlustparameter ξd und ξq :
+ωel
≈ ξd
+ωel
≈ ξq
ξd
ξq
−ωel
−ωel
|ω |
≈ ξd el und
(4.88)
|ω |
≈ ξq el
(4.89)
Um den Einfluss der Eisenverluste, im Übrigen auch aller anderen drehzahlabhängigen Verlustanteile, aus den Messergebnissen zu eliminieren, werden zwei Induktivitätsmessungen durchgeführt: eine für +ωel , die andere bei −ωel . Die beiden Mes-
sungen finden also bei gleichem Betrag, aber anderem Vorzeichen statt. Die für die
Auswertung der Messdaten benötigten Flussverkettungen werden nun aus den beiden
Messungen bei den verschiedenen Drehzahlen kombiniert, im Grunde findet eine Mittelwertbildung statt. Aus den Gleichungen (4.84) und (4.85) ergeben sich damit die
beiden Flussverkettungen durch Bildung der Mittelwerte aus den zwei Induktivitätsmessungen:
1
ψd =
2
+ωel
ξd
Lq i q
Lq i q
+ Ld id + ψp
−ωel
ω
| el |
|ω |
Lq i q
ξd el Lq iq
1 ξd
−
≈ Ld id + ψp +
2
ωel
ωel
|
{z
}
+ωel
+ Ld id + ψp +
−ωel
ξd
!
(4.90)
(4.91)
=0
= Ld id + ψp und
+ω
ξq el
+ω
ξq el
−ω
ξq el
−ω
ξq el
ψp
ψp
Ld i d
Ld i d
+ Lq i q −
−
+ Lq i q −
+ωel
+ωel
−ωel
−ωel
|ωel |
|ωel |
|ωel |
|ωel |
ξ
ξ
ψ
ψ
ξ
L
i
ξ
L
i
1
q
q
q
p
q
p
d d
d d
−
+
+
≈ Lq i q + −
2
ωel
ωel
ωel
ωel
{z
}
|
ψq =
1
2
−
!
(4.92)
(4.93)
(4.94)
=0
= Lq i q
(4.95)
Es ist zu erkennen, dass sich die Anteile, die die Eisenverluste berücksichtigen, bei
geeigneter Messung gegenseitig aufheben. Durch die Durchführung der beiden Messungen werden damit die Einflüsse der Eisenverluste berücksichtigt, ohne dass die
4.2 Absolute Induktivitäten
103
Eisenverlustanteile quantitativ bekannt sein müssen. Diese Wahl der beiden Messungen mit betragsmäßig gleicher Drehzahl führt zu der Aufhebung der eisenverlustabhängigen Terme, am Ende gewinnt man wieder die gleichen einfachen Beziehungen
für die Flussverkettungen ψd und ψq wie ohne Berücksichtigung der Eisenverluste
mit dem Unterschied, dass in (4.92) und (4.95) die Eisenverluste eben bereits berücksichtigt sind.
Die Effektivität der beschriebenen Theorie zur Berücksichtigung der Eisenverluste
lässt sich gut in der Praxis belegen. Abbildung 4.14 zeigt Identifikationsergebnisse
für die Induktivität Ld , zur besseren graphischen Veranschaulichung je einmal als
Draufsicht und 3D-Ansicht. Idealerweise müsste die Ld -Induktivität symmetrisch zum
1
iq -Strom sein. Wird jedoch bei einer negativen Drehzahl n1 = −500 min gemessen,
dann ergibt sich aus Abbildung 4.14a, dass die blau eingezeichnete Scheitellinie, die
im Wesentlichen der Symmetrielinie entspricht, von dem idealen Wert abweicht. Wird
1
für die Messung der Induktivitäten eine positive Drehzahl n2 = +500 min eingestellt,
so ist eine Abweichung in die andere Richtung zu erkennen. Verwendet man das im
Kapitel 4.2.3 beschriebene Messverfahren zur Eliminierung der Eisenverluste, so zeigt
sich in der sich ergebenden Abbildung 4.14c, dass die Induktivität Ld symmetrisch ist.
Die gleichen Überlegungen gelten natürlich auch für die Lq -Induktivität, die in Abbildung 4.15 dargestellt ist. Übrigens: Im Gegensatz zu den hier beschriebenen absoluten Induktivitäten wird die Identifikation der differentiellen Induktivitäten bei n ≈ 0
durchgeführt, daher spielen drehzahlabhängige Eisenverluste bei der Messung der differentiellen Induktivitäten keine Rolle.
4.2.3
Identifikation in der Praxis
Im vorherigen Kapitel wurden die Identifikation der absoluten Induktivitäten in der
Theorie beschrieben und die theoretischen Grundlagen erläutert. Nun wird die praktische Ausführung der Messung näher beschrieben. Die Vorgehensweise lässt sich wie
folgt zusammenfassen:
1. Die Regelung des Prüflings muss derart aufgebaut sein, dass jede mögliche Kombination aus id - und iq -Strömen eingestellt werden kann. Die Regelung der Lastmaschine muss einen konstanten Drehzahlsollwert realisieren können.
2. Es wird eine konstante mittlere Drehzahl eingestellt. Bei zu tiefen Drehzahlen
wären die gemessenen Spannungen so gering, dass die Umrichterlinearisierungsfehler die Messergebnisse verfälschen. Bei zu hohen Drehzahlen wirken sich
drehzahlabhängige Fehler, wie zum Beispiel die Eisenverluste, negativ auf die
Messergebnisse aus.
104
4 Induktivitäten
−3
x 10
3.1
2.7
2.8
6 .7
2. 2
5
.
2
2.1
2.
2. 2
3 .4
2.6
2.4
−1
−1
2.2
−1
0
0
2.7
2.6
2.5
2.4
−0.5
−0.5
2.8
2.8
2.9
Ld [H]
3
0.5
0
0
iq
iq,n
1
1
id
iq,n
0.5
id
iq,n
1 1
iq
iq,n
1
, 3D
(a) Keine Komp. n = −500 min
−1
2.8
2.9
3
3
2.9
3.2
1
(b) Keine Komp. n = −500 min
−3
2.9
x 10
3
2.8
−1
3.2
Ld [H]
3
3
2.9
2.8
2.8
2.4
2.8
2.
7
0
2.
6
2.
5
2.
4
0.5
2.
id
3
2.
iq,n
2
2.7
2.6
2.5
2.4
2.6
−1
−1
2.2
−1
0
−0.5
0
0
iq
iq,n
1
1
id
iq,n
0.5
1 1
iq
iq,n
1
(c) Keine Komp. n = +500 min
, 3D
−0.5
2.9
1
(d) Keine Komp. n = +500 min
−3
x 10
3
3
2.9
3.2
2.8
2.7
2.6
2.5
2.4
Ld [H]
3
2.8
2.6
2.4
2.3
−1
−1
2.2
−1
0
−0.5
2.9
iq
iq,n
1
1
(e) Mit Kompensation, 3D
id
iq,n
2.8
2.7
2.6 0
2.8
2.7
2.6
2.5
2.4
0.5
2.3
0
0
−1
2.9 −0.5
2.9
2.8
2.7
2.6
2.5
2.4
3
0.5
iq
iq,n
id
iq,n
1 1
(f) Mit Kompensation
Abbildung 4.14: (Prüfstand C) Einfluss des Messverfahrens auf die Identifikation der absoluten Induktivitäten, hier Ld . Nur mit Kompensation der Eisenverluste ergeben sich symmetrische Induktivitätsverläufe.
4.2 Absolute Induktivitäten
105
3
−3
−1
3.1
3
x 10
3.2
Lq [H]
3
−0.5
3.1
2.8
3.1
3
3
2.6
0
3
2.4
2.9
−1
2.9
2.9
−1
2.2
−1
0
−0.5
0.5
2.8
2.8
0
0
iq
iq,n
1
id
iq,n
1
0.5
1 1
iq
iq,n
1
(a) Keine Komp. n = −500 min
, 3D
id
iq,n
1
(b) Keine Komp. n = −500 min
−3
x 10
−1
3.1
3.1
3.2
Lq [H]
−0.5
3
3
3
3.1
2.8
2.9
2.6
2.8
2.4
0
3
−1
0
3
2.9
−1
2.2
−1
0
0
iq
iq,n
1
id
iq,n
1
2.8
0.5
id
iq,n
1 1
iq
iq,n
1
0.5
2.9
−0.5
1
(c) Keine Komp. n = +500 min , 3D
(d) Keine Komp. n = +500 min
−3
3.1
3.
1
x 10
−1
3.2
3
−0.5
3.1
1
3.
3
2.6
2.4
−1
2.8
3
2.9
2.9
−1
2.2
−1
0
3
Lq [H]
3
2.8
2.8
0
0
iq
iq,n
1
1
(e) Mit Kompensation, 3D
id
iq,n
2.9
−0.5
0.5
iq
iq,n
0
0.5
id
iq,n
1 1
(f) Mit Kompensation
Abbildung 4.15: (Prüfstand C) Einfluss des Messverfahrens auf die Identifikation der absoluten Induktivitäten, hier Lq .
106
4 Induktivitäten
3. Über den gesamten Messbereich
werden nun – vorzugsweise automatisiert – ein
zelne Betriebspunkte id , iq eingestellt. Nachdem sich ein stationärer Zustand
eingestellt hat, werden alle für die Identifikation der absoluten Induktivitäten
benötigten Messwerte gespeichert.
4. Nachdem die Messung beendet ist, werden die gemessenen Werte ausgewertet
und die Induktivitäten berechnet.
Die Prüfstände für die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Induktivitätsmessungen haben jeweils den gleichen prinzipiellen Aufbau. Der Testmotor ist mit einer mechanischen Kupplung an die Welle des Lastmotors angebunden. Die Ansteuerung der
Prüflingsmaschine erfolgte durch einem Umrichter, der entweder ein kompletter Eigenbau war, oder es wurde – im Falle eines Industrieumrichters – die Regelungsbaugruppe entfernt. Somit konnten die Ansteuersignale für die einzelnen IGBTs direkt
vorgegeben werden. Nur so ist es möglich, mit einem frei programmierbaren Echtzeitrechensystem die Regelung des Prüflings von Grund auf zu programmieren und
damit auf die einzelnen Größen innerhalb der Regelung zuzugreifen. Im Falle der in
dieser Arbeit verwendeten dSPACE-Systeme ist deren Programmierung durch die graphische Programmierumgebung MATLAB-Simulink möglich. Damit kann dann auch
ohne weiteres eine feldorientierte Regelung implementiert werden. Die Lastmaschine
wurde entweder auch durch ein dSPACE-System oder mit einem gewöhnlichen und
nicht modifizierten Industrieumrichter angesteuert. Für die Induktivitätsmessungen
ist es wichtig, dass die Lastmaschine auf eine konstante Drehzahl geregelt wird.
Zu Beginn der Messung wird über die Lastmaschine eine konstante Drehzahl des Systems eingestellt. Die Wahl dieser Drehzahl ist entscheidend für die Genauigkeit der zu
identifizierenden Induktivitäten. Wird eine zu tiefe Drehzahl gewählt, so sind die sich
ergebenden Spannungen sehr gering und je nach Maschine und Drehzahl im einstelligen Volt-Bereich. Die mit den nichtlinearen Effekten des Pulsumrichtes behafteten Umrichterausgangsspannungen werden innerhalb der Regelung aus den Aussteuergraden
berechnet. Da die Kompensation der nichtlinearen Eigenschaften aufwändig ist und
nicht alle Effekte berücksichtigen kann (siehe Kapitel 2.3), ergeben sich bei gleichzeitig
geringen Spannungen am Umrichterausgang signifikante Unterschiede zwischen den
in der Regelung gemessenen und den realen Spannungen am Motor. Bei höheren Drehzahlen sind die Spannungen an den Motorklemmen wegen der drehzahlabhängigen
EMK höher, die Messfehler aufgrund der Umrichternichtlinearitäten bleiben jedoch in
der gleichen Größenordnung und fallen demzufolge prozentual weniger ins Gewicht.
Damit ist aus dieser Sichtweise eine möglichst hohe Drehzahl für die Messung wünschenswert. Wird jedoch eine zu hohe Drehzahl zur Identifikation der Induktivitäten
verwendet, treten wiederum andere drehzahlabhängige Effekte vermehrt auf, wie zum
4.2 Absolute Induktivitäten
107
Beispiel die Eisenverluste (Kapitel 3). Bei den durchgeführten Messungen hat sich eine
Drehzahl von ungefähr der halben Nenndrehzahl als geeignet erwiesen.
Ist die gewünschte konstante Drehzahl des Prüfstands eingestellt, kann mit der Messung begonnen werden. Um die absoluten Induktivitäten über den gesamten Belastungsbereich zu messen, also id/q = −in . . . + in , muss eine Vielzahl von Betriebspunkten eingestellt werden. Möchte man zum Beispiel die id -Richtung mit 11 Messungen
auflösen und die iq -Richung mit 13 Messungen, dann werden insgesamt 143 Betriebspunkte benötigt. Eine unterschiedliche Auflösung von id - und iq -Achse empfiehlt
sich, weil so bei der späteren Auswertung auf den ersten Blick erkennbar ist, welche
die d- und welche die q-Achse ist. Falsche Zuordnungen während der umfangreichen
Auswertung sind somit von vornherein ausgeschlossen. Außerdem ist es vorteilhaft,
eine ungerade Anzahl von Messungen in jeder Achse durchzuführen: Durch die zusätzliche Vorgabe konstanter Abstände zwischen den Messpunkten ist gewährleistet,
dass in jedem Fall auch bei id/q = 0 Messwerte aufgenommen werden. Jede Messung
läuft nach dem gleichen Schema ab: Zuerst werden die gewünschten id , iq -Sollwerte
der Regelung vorgegeben und eine genügend lange Zeit gewartet, bis sich ein stationärer Zustand eingestellt hat. Anschließend werden die benötigten Messgrößen ud ,
uq , id , iq und ωel gespeichert. An dieser Stelle ist es bereits sinnvoll, eine Glättung
der Messwerte vorzunehmen. Diese kann zum Beispiel dadurch geschehen, dass 200
Messwerte aufgenommen und in einem nächsten Schritt daraus der Mittelwert gebildet wird. Alternativ könnte man die Messwerte bereits im Echtzeitrechensystem glätten lassen. Dies hätte allerdings den Nachteil, dass wertvolle Rechenzeit allein für
die Messwertausgabe verwendet wird. Es empfiehlt sich außerdem, die einzelnen Messungen aufgrund der Vielzahl an Messpunkten automatisiert durchzuführen. Wird
dSPACE in Verbindung mit MATLAB-Simulink für die Programmierung des Modells
verwendet, so ist es nicht aufwändig, mit Hilfe der MATLAB mlib-Befehle ein m-File zu
programmieren, das die einzelnen Betriebspunkte automatisch einstellt, wartet bis der
stationäre Zustand vorliegt und daraufhin die Messwerte in eine Datei speichert. Bei
143 Betriebspunkten kann von einer Messdauer von rund einer Stunde ausgegangen
werden. Gespeichert werden die Messwerte der einzelnen Betriebspunkte sinnvollerweise innerhalb von Vektoren. Das heißt, jeder Messwert (Strom, Spannung, Drehzahl)
wird in einem separaten Vektor gespeichert:
uq,1
ud,1
u
u
q,2
d,2
,
..
..
.
.
ud,n
uq,n
,
id,1
i
d,2
..
.
id,n
,
...
(4.96)
In (4.96) beschreibt die Variable n den Betriebspunkt, dem die jeweiligen Messwerte
zugeordnet werden. Der Vorteil, die Werte in Vektoren zu speichern im Gegensatz
108
4 Induktivitäten
ψp
Messdaten
(1)
Berechnung
(1)
ψd
(1)
ψd und ψq
Berechnung
Kompensation
Ld
drehzahlab-
(mit Offset)
Korrektur
Ld
ψd → ψp,d
hängiger
Effekte
(Eisenverluste)
Berechnung
→ ψd , ψq
Lq
(mit Offset)
Messdaten
(2)
Korrektur
Lq
ψq → ψp,q
Berechnung
(2)
(2)
ψd und ψq
ψq
Abbildung 4.16: Verarbeitung der Messdaten zu absoluten Induktivitäten
zu den naheliegenderen Matrizen, liegt auf der Hand: Es ist bei Verwendung von Vektoren ohne weiteres möglich, die Messung zu unterbrechen und zu einem späteren
Zeitpunkt fortzuführen.
Nach der Messung folgt die Auswertung der Messergebnisse. Die Vorgehensweise ist
in Abbildung 4.16 dargestellt. Um die Eisenverluste nach Kapitel 4.2.2 zu berücksichtigen, muss der bislang beschriebene Messvorgang zweimal durchgeführt werden: Je
einmal bei positiver und einmal bei negativer Drehzahl. Für jede dieser Messungen
werden die beiden Flussverkettungen in d,q-Koordinaten bestimmt. Schon dabei werden die bislang als Vektoren vorliegenden Messwerte in Matrizen umgewandelt. Verwendet man für die Berechnung die Software MATLAB, kann hierfür zum Beispiel der
Befehl „griddata“ zusammen mit der Option bi-kubischer Interpolation verwendet werden [114]. Wie im Kapitel 4.2.2 beschrieben wurde, werden nun die Flussverkettungen
beider Messungen zur Kompensation der Eisenverluste verwendet. Als Ergebnis erhält
man die beiden Flussverkettungen ψd und ψq . Sind die Flussverkettungen berechnet,
können anschließend die Induktivitäten Ld und Lq bestimmt werden. Die mathematischen Details zu den Berechnungen sind im Theoriekapitel 4.2.1 beschrieben.
Abbildung 4.17 zeigt die vier wesentlichen Schritte zur Berechnung von Ld . In einem
ersten Schritt (Abbildung 4.17a) wird die Induktivität aus
Ld =
ψd
id
berechnet. Die in ψd enthaltene Flussverkettung der Permanentmagnete ψp wird an
dieser Stelle entgegen Gleichung (4.78) aus Kapitel 4.2.1 noch nicht abgezogen. Somit
4.2 Absolute Induktivitäten
109
0.02
0.02
Ld [H]
0.04
Ld [H]
0.04
0
−0.02
0
−0.02
1
1
0
−1
0
id
in
1 −1
0
id
in
iq
in
(a) Rohdaten mit Offset
1 −1
iq
in
(b) Während der Bearbeitung
−3
−3
x 10
x 10
3.2
3.2
3
3
2.8
2.8
Ld [H]
Ld [H]
0
−1
2.6
2.4
1
2.2
−1
0
0
id
in
1
−1
(c) Induktivität ohne Offset
iq
in
2.6
2.4
1
2.2
−1
0
0
id
in
1
−1
iq
in
(d) Geglättetes Ergebnis
Abbildung 4.17: (Prüfstand C) Bearbeitungsschritte während der Berechnung von Ld
geht die sich ergebende Induktivität für id → 0 gegen Unendlich, weil der Zähler nicht
in gleichem Maße gegen null geht. Der Grund für diesen Zwischenschritt ist, dass ψp
noch nicht bekannt ist. Um ψp zu gewinnen oder – in anderen Worten – den Offset
aus der in Abbildung 4.17a gezeigten Induktivität zu eliminieren, wird ψd im Zähler
der Induktivitätsgleichung zeilenweise variiert, bis jeweils der Offset für eine Zeile verschwunden ist. Die Differenz zwischen variierter Flussverkettung und ψd entspricht
in diesem Fall der Permanentmagnetflussverkettung ψp . Abbildung 4.17b zeigt den
Ablauf diesen iterativen Verfahrens. Die vorderen Zeilen wurden bereits bearbeitet
und sind offsetfrei, die hinteren müssen noch bearbeitet werden. Das Ergebnis dieser
Offsetentfernung zeigt 4.17c in einer anderen Skalierung der z-Achse. Der spätere Verlauf von Ld ist bereits gut zu sehen, ein Offset ist nicht mehr zu erkennen. Da für die
Implementierung in die Regelung auch Induktivitätswerte für id = 0 benötigt werden,
wird dieses Ergebnis geglättet (Abbildung 4.17d). Für die Berechnung der absoluten
110
4 Induktivitäten
−3
−3
x 10
3.4
3.4
3.2
3.2
3
3
Lq [H]
Lq [H]
x 10
2.8
2.6
2.6
1
2.4
−1
1
−1
0
0
id
in
iq
in
(a) Rohdaten mit Offset
1
−1
iq
in
(b) Während der Bearbeitung
−3
−3
x 10
x 10
3.4
3.4
3.2
3.2
3
3
Lq [H]
Lq [H]
1
2.4
−1
0
0
id
in
2.8
2.8
2.6
2.6
1
2.4
−1
1
−1
1
2.4
−1
0
0
id
in
2.8
0
0
id
in
iq
in
(c) Induktivität ohne Offset
1
−1
iq
in
(d) Geglättetes Ergebnis
Abbildung 4.18: (Prüfstand C) Bearbeitungsschritte während der Berechnung von Lq
Induktivität in q-Richtung Lq ist die Vorgehensweise die gleiche, allerdings kann in
Abbildung 4.18 direkt der Unterschied zur Berechnung der Ld -Induktivität gesehen
werden. Lq ist im Vergleich zu Ld bereits weitgehend offsetfrei. Dies liegt daran, dass
im Idealfall ohne Messungenauigkeiten direkt
Lq =
ψq
iq
gilt und damit keine Offsetkorrektur nötig wäre. Aufgrund von Messungenauigkeiten
und möglicherweise geringen, zum Beispiel bauartbedingten, Einflüssen von ψp in die
q-Richtung der Flussverkettung muss, wie in Abbildung 4.18a zu erkennen ist, dennoch eine Offsetkorrektur durchgeführt werden. Abbildung 4.18b zeigt wieder den
Zustand, wenn die zeilenweise Korrektur bereits für ungefähr die Hälfte der Zeilen
durchgeführt wurde. Das Ergebnis ist in Abbildung 4.18c zu sehen. Auch für Lq wird
4.2 Absolute Induktivitäten
111
eine Glättung auf Basis bi-kubischer Splines durchgeführt, was zur endgültigen Abbildung 4.18d führt. Neben dem bereits erwähnten Vorteil der Glättung der Induktivitätswerte um id/q = 0 ist es ebenso möglich, Induktivitätswerte zu gewinnen, die
möglicherweise praktisch nicht gemessen werden können, in diesem Fall für Betriebspunkte, in denen gleichzeitig id und iq hoch sind.
4.2.4
Messergebnisse
Nachdem in den vorangegangen Kapiteln die theoretischen Betrachtungen zu den absoluten Induktivitäten und die prinzipiellen Mess- und Auswerteverfahren erläutert
wurden, folgen nun konkrete Messergebnisse an den beiden Prüfständen A und C.
Die Abbildung 4.19 zeigt die Identifikationsergebnisse der absoluten Induktivitäten
für den Prüfstand C. Die Vorgehensweise zur Erstellung der Abbildungen 4.19a-d wurde im vorangegangen Kapitel ausführlich erklärt. Wie beschrieben, können bei id = 0
beziehungsweise iq = 0 keine Messergebnisse aufgenommen werden. Um dennoch
Messwerte für diese Betriebspunkte zu bekommen, muss eine Extrapolation der Messdaten durchgeführt werden, die dann sinnvollerweise auch gleich die äußeren Bereiche
der Induktivitätsflächen mit einschließt, die wegen Strombegrenzungen des Prüfstandes nicht vermessen werden konnten. Die Lastmaschine des Prüfstands C war bereits
vorher vorhanden und so auf den Prüfling ausgelegt, dass sie lediglich das Nennmoment des Motors aufnehmen konnte. Wegen Reluktanzerscheinungen konnten daher
die Betriebspunkte bei gleichzeitig hohen iq - und id -Strömen nicht vermessen werden.
Dies ist in den Abbildungen 4.17 und 4.18 gut zu erkennen. Aufgrund der Notwendigkeit der Extrapolation und der damit einhergehenden Interpolation der Messdaten werden hier keine Rohdaten, sondern die bereits leicht geglätteten Induktivitätsverläufe
gezeigt. Einen Eindruck von den Rohdaten erhält man in den Abbildungen 4.17c und
4.18c, wobei hier nur bedingt von Rohdaten gesprochen werden kann, können doch
die Induktivitätsverläufe nicht direkt gemessen, sondern müssen aus den gemessenen
Strömen und Spannungen berechnet werden. Die Draufsichten 4.18c,d auf die Induktivitätsverläufe zeigen gut die durch die Kompensation der Eisenverluste und sonstiger
drehzahlabhängiger unerwünschter Effekte gewonnene Symmetrie zur iq -Achse. Die
absoluten Verläufe der Induktivitäten veranschaulichen die Eigenschaften von PMSM
mit Oberflächenmagneten: Ld ist immer kleiner als Lq und sinkt mit positivem feldverstärkenden id -Strom weiter ab. Somit ist – insbesondere bei Einprägung eines konstanten id -Stroms – jederzeit eine sichere Lageerkennung für die geberlose Regelung
gewährleistet. Näheres hierzu findet sich in Kapitel 2.4.2 ab Seite 45. Sozusagen als
Nebenprodukt der Vorgehensweise zur Berechnung der absoluten Induktivitäten in
Kapitel 4.2.3 ist zusätzlich die Permanentmagnetflussverkettung ψp bekannt. Sie ist
für den Prüfstand C in Abbildung 4.20b dargestellt und lediglich von dem Strom iq
112
4 Induktivitäten
−3
−3
x 10
3.2
3.2
3
3
Lq [H]
Ld [H]
x 10
2.8
2.6
2.4
iq
in
1
−1
2.2
−1
0
0
2.6
2.4
−1
2.2
−1
2.8
0
0
id
in
1
iq
in
(i ,iq )
(a) Ld d
id
in
1
1
(i ,iq )
(b) Lq d
3
2
2.9
.8
2
2.7
2.6
.42.5
-1
3.
2.
7
2.7
2.6
2.5
0
2.6
0.5
iq
in
(i ,iq )
(c) Ld d
0.5
2.9
-1
id
in
(i ,iq )
(d) Lq d
1
0.02
0.5
0.01
0
0
iq
in
0
id
−1 −1 i
n
(e) Mi , gemessen
id
in
1 1
, Draufsicht
0
−0.01
−0.5
1
0.5
2.8
0.5
Mber echnet
Ti,n
−0.5
2.9
0
, Draufsicht
0
0
-0.5
iq
in
1
−1
1
3
3
2.9
1 1
0.5
1
3
0
2.8
2.4
2.3
-0.5
3.
3.1
8
2.8
2.4
3
-0.5
2.
2.9
-0.5
Mgemessen
Mi,n
-1
2.9
∆Mi
Mi,n
2.3
-1
3
3.1
2.8
.
27
2.6
2.5
1
3
2.9
1
−1
1
0
iq
in
0
id
−1 −1 i
n
1
−0.02
−1
0
iq
in
(f) Mi , berechnet
(i ,iq )
1
Abbildung 4.19: (Prüfstand C) n = 500 min
, Absolute Induktivitäten (a,c) Ld d
(g) ∆Mi
0
id
1 −1 i
n
(i ,iq )
und (b,d) Lq d
sowie
(e) gemessenes Drehmoment, (f) berechnetes Drehmoment Ti aus Gleichung (2.54) und (g) Differenz
aus berechnetem und gemessenem Drehmoment, jeweils normiert auf Nennmoment beziehungsweise
Nennströme.
4.2 Absolute Induktivitäten
113
0.43
0.42
ψp [Vs]
ψp [Vs]
0.058
0.056
0.054
0.052
0.41
0.4
0.39
0.38
0.05
−1
iq
in
0
(a) Prüfstand A
1
0.37
−1
iq
in
0
1
(b) Prüfstand C
Abbildung 4.20: Permanentmagnetflussverkettungen ψp abhängig vom jeweiligen iq -Strom
abhängig. Warum sie nicht vom Strom id abhängen darf, wird im weiteren Verlauf
dieses Kapitels erläutert. Das am Prüfstand mit einer Drehmomentmesswelle gemessene Drehmoment ist mit dem Drehmoment zu vergleichen, welches sich gemäß der
in Kapitel 3.1 auf Seite 71 hergeleiteten Beziehung (3.38)
"
!
!
uq
3p
ud
Mi =
ψp iq −
id −
+ Ld − Lq
2
ζq
ζd
uq
iq −
ζq
!#
(4.97)
berechnen lässt. Vernachlässigt wurden die in Gleichung (4.97) enthaltenen Eisenverlustanteile
ud
ζd
und
uq
ζq .
Das berechnete Motormoment wird in der Folge etwas größer
als bei Berücksichtigung der Eisenverluste sein. Durch die Berechnung des Drehmoments ist es möglich, die gemessenen Induktivitäten und ψp auf deren Plausibiliät
hin zu verifizieren. Die Abbildungen 4.19e-g zeigen den Vergleich zwischen Messung
und Berechnung. Der Fehler zwischen Berechnung und Messung des inneren Drehmoments der Maschine liegt über den gesamten Messbereich bei unter 1 % und damit im
Rahmen der Messgenauigkeit und Auswertung der Drehmomentmessung. Das Fazit
lautet daher, dass die Kombination aus absoluten Induktivitäten und der Flussverkettung der Permanentmagnete ein System aus Parametern bildet, mit denen sich sehr
genau das (Grundwellen-)Drehmoment der Maschine berechnen lässt.
In Abbildung 4.20 und Gleichung (4.97) wurde ψp – bei Vernachlässigung der Eisenverluste – als nur von dem drehmomentbildenden iq -Strom abhängig angenommen. Dies
ist im realen Motor so nicht der Fall, ψp wird eher vom gesamten Strom in der Maschine abhängen, da auch der id -Strom Sättigungserscheinungen hervorruft, die die
Ausbildung der Permanentmagnetflussverkettung über den Luftspalt beeinflusst. Auf
der anderen Seite werden die Sättigungserscheinungen den Induktivitäten zugewiesen,
diese sind ebenso stromabhängig. Für eine in diesem Punkt exakte Nachbildung der
Realität müssten die beiden Effekte getrennt und entweder der Flussverkettung oder
den Induktivitäten zugewiesen werden. Möglich wäre dies, indem man Messungen bei
verschiedenen Drehzahlen durchführt, denn der Anteil der Sättigungeffekte aufgrund
114
4 Induktivitäten
−3
−3
x 10
12
12
10
10
Lq [H]
Ld [H]
x 10
8
−1
6
0
1
iq
in
−1
6
0
−1
8
0
−1
0
id
in
1
1
iq
in
(i ,iq )
(a) Ld d
id
in
1
(i ,iq )
(b) Lq d
7
7
7
7
7
-1
8
-1
7
8
8
9
9
11
9
8
910
1
90
8
8
0
7
7
7
10
7
9
8
6
-0.5
12
-0.5
11
8
7
10
0
8
7
6
0.5
0.5
6
6
0
7
7
1
1
id
in
0
-0.5
iq
in
(i ,iq )
(c) Ld d
0.5
7
0.5
id
in
-0.5
-1
1
, Draufsicht
iq
in
(i ,iq )
(d) Lq d
(i ,iq )
Abbildung 4.21: (Prüfstand A) Absolute Induktivitäten (a,c) Ld d
-1
1
, Draufsicht
(i ,iq )
und (b,d) Lq d
.
des id -Stroms, der ψp zugewiesen werden müsste, ist drehzahlabhängig. Alle nicht
drehzahlabhängigen Sättigungseffekte würden den Induktivitäten zugeschlagen. Ginge man jetzt vereinfachend den Weg, alle Sättigungseffekte der Flussverkettung ψp
zuzuweisen, so wären die Induktivitäten bei der Messdrehzahl nicht mehr von den
Strömen abhängig und damit konstant. Wesentlich praktikabler ist die Vereinfachung
in der Weise, wie sie hier vorgenommen wurde: Die Flussverkettung hängt nur vom
iq -Strom ab, dieser Anteil lässt sich leicht während der Berechnung der Induktivitäten
bestimmen, siehe dazu Kapitel 4.2.3. Alle anderen Sättigungserscheinungen, insbesondere die vom id -Strom hervorgerufenen, werden den Induktivitäten zugerechnet.
Diese Vorgehensweise hat sich in der Praxis bewährt.
4.3 Differentielle Induktivitäten
115
Die Identifikationsergebnisse für Ld und Lq des Prüfstands A sind in Abbildung 4.21
dargestellt. Die Verläufe sehen entgegen denen des Prüfstands C relativ ähnlich aus, allerdings sind auch hier die Induktivitäten Ld durchwegs kleiner als Lq , eine geberlose
Regelung scheint auch bei dieser Maschine möglich und ist bereits in einer früheren
Forschungsarbeit [21] erfolgreich für diesen Maschinentyp angewandt worden. Der
Verlauf der Permanentmagnetflussverkettung von Maschine A ist in Abbildung 4.20a
dargestellt.
4.3 Differentielle Induktivitäten
Die sogenannten differentiellen Induktivitäten sind lediglich dann von Relevanz, wenn
Stromänderungen vorhanden sind, also während dynamischer Vorgänge. Abbildung
2.10 auf Seite 24 macht deutlich, dass in diesem Fall die durch Lxx
dix
dt
hervorgeru-
fenen Spannungen erheblich sind und deren Anteile daher im allgemeinen Modell
berücksichtigt werden müssen. Die Auswirkungen der differentiellen Induktivitäten
werden bei einigen Verfahren auch gezielt ausgenutzt, um gewünschte Effekte zu erzeugen [42]. Beschrieben wurde die Theorie zu den Messungen der differentiellen
Induktivitäten in [K-6] und [K-1], wobei in der letztgenannten Veröffentlichung von
einem anderen in [21] erläuterten Motormodell ausgegangen wird. Die differentiellen
Induktivitäten sind in den allgemeinen Spannungsgleichungen für permanenterregte
Synchronmaschinen enthalten, die im Kapitel 2.2.3 hergeleitet wurden:
(i ,i )
˙
(iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
d q
dψp
Ldd
Ldq
ud
Rs
− ωel Lq
id
id
=
+
+
dt
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
(iq )
uq
i
i
ωel Ld
Rs
Lqd
Lqq
q
q
ωel ψp
{z
}
|
diff. Induktivitäten
Die für die Messungen der absoluten Induktivitäten relevanten und in den Kapiteln 3
und 4.2.2 beschriebenen drehzahlabhängigen Eisenverluste sind bei den Messungen
der differentiellen Induktivitäten nur von untergeordneter Bedeutung. Signifikante Eisenverluste treten bei der Messung im Stillstand nicht auf, sie beschränken sich auf
die Verluste aufgrund der Wechselrichtertaktung und werden für die Messungen der
differentiellen Induktivitäten im Folgenden vernachlässigt.
4.3.1
Theorie
Die grundlegende Abhängigkeit zwischen Strom und Flussverkettung in einer PMSM
kann Abbildung 4.22 entnommen werden. Im Diagramm oben links sind in hell- und
dunkelblau zwei zeitabhängige Stromverläufe dargestellt. Beide sind zusammengesetzt aus einem nur langsam veränderlichen, nahezu konstanten Signal und einem
116
4 Induktivitäten
überlagerten hochfrequenten Signal. Jeder der beiden Ströme bewirkt in der Maschine
einen Fluss, der – Sättigungserscheinungen vernachlässigt – linear zu dem eingeprägten Strom ist. Ein beispielhafter Sättigungsverlauf ist im oberen rechten Bild gezeigt.
Bei der vorgegebenen Sättigungskennlinie erkennt man gut, dass beim oberen hellblauen Verlauf der hochfrequente Stromanteil im Gegensatz zu dem dunkelblauen
Verlauf bei gleicher Amplitude des hochfrequenten Stromanteils nur eine deutlich geringere Änderung des Flusses hervorruft (unteres rechtes Bild). Dieser Effekt wird bei
i
i
t
ψ
ψ
−t
Abbildung 4.22: Abhängigkeit zwischen Strom und Flussverkettung [115]
der Messung der differentiellen Induktivitäten ausgenutzt. Es wird zu dem vorgegebenen stationären Stromarbeitspunkt ein hochfrequentes Testsignal addiert. Aus der
hochfrequenten Spannungsantwort lässt sich schließlich die differentielle Induktivität
berechnen. Wie noch gezeigt wird, ist ein Einprägen eines hochfrequenten Spannungstestsignals nicht zielführend, da in diesem Fall zu viele Unbekannte für die Auswertungsgleichungen vorhanden sind. Ausgangspunkt der Betrachtungen sind die bereits
angesprochenen Spannungsgleichungen des allgemeinen Motormodells aus Kapitel
2.2.3 (ab Seite 17):
dψp (id , iq )
(id ,iq ) did
(id ,iq ) diq
(id ,iq )
+ Ldd
+ Ldq
− ωel Lq
iq
dt
dt
dt
(id ,iq ) diq
(id ,iq ) did
(id ,iq )
uq = Rs iq + Lqq
+ Lqd
+ ωel Ld
id + ωel ψp
dt
dt
ud = Rs id +
(4.98)
(4.99)
Betrachtet man zunächst lediglich die ud -Gleichung (4.98) unter der Näherung eines
während der Messung konstanten Permanentmagnetflusses ψp und unter Berücksich-
4.3 Differentielle Induktivitäten
117
tigung der Tatsache, dass die Messungen der differentiellen Induktivitäten im Still!
stand, also bei ωel = 0, durchgeführt werden, so kann geschrieben werden
(id ,iq )
ud = Rs id + Ldd
did
(id ,iq ) diq
+ Ldq
.
dt
dt
(4.100)
Das Ergebnis sind Induktivitätsverläufe, die von den Strömen id und iq abhängen.
Um diese Verläufe zu gewinnen, muss für jeden Arbeitspunkt, der durch ein id , iq Strompaar gekennzeichnet ist, innerhalb des gewünschten Wertebereichs eine Messung der differentiellen Induktivitäten durchgeführt werden. Für einen Messpunkt
müssen daher zuerst die zugehörigen konstanten d- und q-Ströme eingestellt werden.
Anschließend werden diese konstanten Ströme mit einem hochfrequenten Testsignal
einer relativ kleinen Amplitude in d-Richtung überlagert. Es kann nun
ud,0 + ud,test (t) =Rs id,0 + id,test (t) +
(id ,iq )
Ldd
d id,0 + id,test (t)
(id ,iq ) d iq,0 + iq,test (t)
+ Ldq
dt
dt
(4.101)
geschrieben werden. Die Spannung ud,0 und der Strom id,0 beschreiben die konstanten, ud,test und id,test die durch den Teststrom hervorgerufenen Anteile. Die Ableitungen der konstanten Ströme sind null, und in q-Richtung wird kein Testsignal eingespeist. Gleichung (4.101) vereinfacht sich damit zu
(id ,iq ) did,test (t)
ud,0 + ud,test (t) =Rs
id,0 + id,test (t)
+ Ldd
.
dt
|
|
{z
}
{z
}
ud,mess
(4.102)
id,mess
In einem nächsten Schritt wird Gleichung (4.102) in konstante und hochfrequente
Anteile aufgespaltet. Hierzu können geeignete Filter verwendet werden. Bei der in
diesem Fall konstanten Testsignalfrequenz, die zudem ohne weiteren Aufwand auf
einen ganzzahligen Bruchteil der Taktfrequenz eingestellt werden kann, ist jedoch
die Goetzel-Methode [116] die beste Lösung. Im Grunde besteht diese Methode aus
einer FFT, die nur für eine einzige Frequenz ausgewertet wird. Der Anteil in Gleichung
(4.102), der von den Gleichanteilen hervorgerufen wird, ist
ud,0 = Rs id,0 ,
(4.103)
die Induktivität Ldq fällt weg, da kein Teststrom in die q-Achse eingeprägt wird und
damit auch dessen Ableitung gleich null ist. Der hochfrequente Anteil in Gleichung
(4.102) ergibt sich schließlich zu
(id ,iq )
ud,test (t) = Rs id,test (t) + Ldd
did,test (t)
.
dt
(4.104)
Gleichung (4.104) ist die Basis für die weiteren Betrachtungen. Ohne die Gleichspannungen und -ströme beschreibt sie ausschließlich das Kleinsignalverhalten des Motors.
118
4 Induktivitäten
Da das Testsignal sinusförmig ist, kann mit Hilfe der komplexen Wechselstromrechnung [30, 104] die gesuchte Induktivität Ldd berechnet werden. Umgeschrieben lautet
die obige Gleichung dann
U d,test = Rs I d,test + j ωtest Ldd I d,test .
(4.105)
Spannung und Strom werden zu den komplexen Zeigern U d,test und I d,test , die Kreisfrequenz ωtest beschreibt nicht die Geschwindigkeit der elektrischen Maschine, sondern die Frequenz des Testsignals. Werden nur die Beträge von rechter und linker
Seite der Gleichung
q
2
2
+ ω2test L2dd Id,test
Ud,test = Rs2 Id,test
(4.106)
differentielle Induktivität Ldd
v
u 2
u
1 u Ud,test
t
− Rs2 .
Ldd =
2
ωtest Id,test
(4.107)
betrachtet und Gleichung (4.106) nach Ldd umgeformt, so ergibt sich schließlich
Werden statt dem bisher verwendeten Testsignal in d-Richtung ein Teststrom in qRichtung eingeprägt, lässt sich die bisherige Überlegung auf die gleiche Weise für die
uq -Gleichung (4.99) anstellen. Man erhält dann
differentielle Induktivität Lqq
v
u 2
1 u
t Uq,test − R 2 .
Lqq =
s
2
ωtest Iq,test
(4.108)
Für die Koppelinduktivität Ldq wird die ud -Gleichung verwendet und ein iq -Teststrom
eingespeist. Der id -Teststrom ist in diesem Fall null. Es ergibt sich damit als Gleichung
für die hochfrequenten Anteile, basierend auf (4.101)
ud,test = Ldq
diq,test
,
dt
(4.109)
beziehungsweise in komplexer Schreibweise
U d,test = j ωtest Ldq I q,test
(4.110)
Ud,test = ωtest Ldq Iq,test .
(4.111)
und nach Betragsbildung
Durch Umstellen der Gleichung (4.111) erhält man die Koppelinduktivität
differentielle Induktivität Ldq
Ldq =
Ud,test
.
ωtest Iq,test
(4.112)
4.3 Differentielle Induktivitäten
119
Diese Koppelinduktivität ist immer dann null, wenn ein Teststrom in q-Richtung in
die Maschine eingespeist wird und dieser keine ud -Spannung hervorruft, also keine
Verkopplung zwischen den Achsen vorhanden ist. Analog dazu erhält man bei einem
id -Teststrom und ausgewerteter uq -Gleichung
differentielle Induktivität Lqd
Lqd =
Uq,test
.
ωtest Id,test
(4.113)
Prinzipiell ist es ebenso möglich, statt Testströme einzuprägen und auf die Spannungsantworten zu achten, Testspannungen zu verwenden und die Stromantworten
auszuwerten. Dies hätte den Vorteil, dass die Stromregelung nicht modifiziert werden
müsste, Genaueres dazu wird im Kapitel 4.3.3 zur Erzeugung und Auswertung der
Testsignale erläutert. Die Implementierung einer Testspannung ist deutlich einfacher
als die Vorgabe von Testströmen. Es gelten die beiden Gleichungen
(id ,iq )
ud,test (t) = Rs id,test (t) + Ldd
(id ,iq )
uq,test (t) = Rs iq,test (t) + Lqq
did,test (t)
(id ,iq ) diq,test (t)
+ Ldq
und
dt
dt
diq,test (t)
(id ,iq ) did,test (t)
+ Lqd
.
dt
dt
(4.114)
(4.115)
Hierbei muss jedoch beachtet werden, dass bei (4.114) im Gegensatz zur Gleichung
(4.104) die Kreuzkoppelinduktivität Ldq nicht wegfällt. Eine vorgegebene ud -Testsignalspannung teilt sich auf in die drei Terme der rechten Seite der Gleichung, es treten
damit hochfrequente Ströme sowohl in d- als auch in q-Richtung auf. Diese hochfrequenten Ströme induzieren wiederum – Gleichung (4.115) folgend – hochfrequente
uq -Spannungsanteile. Gleiches gilt analog bei Testsignalspannungen in q-Richtung.
Auch wenn davon ausgegangen wird, dass die Koppelinduktivitäten gleich sind, also
!
Ldq = Lqd , so gibt es in dem System bestehend aus den beiden Gleichungen (4.114)
und (4.115) immer noch mindestens drei Unbekannte, nämlich die beiden Induktivitäten Ldd und Lqq sowie die Koppelinduktivität Ldq = Lqd . Das Gleichungssystem ist
somit nur lösbar, wenn die Koppelinduktivitäten zu null gesetzt werden. Diese Vereinfachung mag näherungsweise für Synchronmaschinen mit Oberflächenmagneten
gelten, allerdings möchte man durch die Induktivitätsmessungen ja meist erst herausfinden, wie groß die Verkopplungen in der zu messenden Maschine sind. Kann
bei einer Maschine vor der Messung nicht mit Bestimmheit gesagt werden, dass die
Koppelinduktivitäten vernachlässtigt werden können, ergeben die Induktivitätsmessungen nach diesem Verfahren für Ldd und Lqq zu hohe Messwerte. Es empfiehlt sich
daher, für eine möglichst exakte Messung den Teststrom in nur eine Achse des rotorfesten Koordinantensystems einzuprägen.
120
4 Induktivitäten
Eine Anmerkung: Werden die linearisierten Gleichungen aus Kapitel 2.2.2 gemäß
did
− ωel Lq iq
dt
diq
+ ωel Ld id + ωel ψp
uq = Rs iq + Lq
dt
ud = Rs id + Ld
als Grundlage für die Identifikation verwendet, so werden rein theoretisch mit dem
beschriebenen Testsignalverfahren die absoluten Induktivitäten Ld und Lq ermittelt.
Dieser Gedankengang hat jedoch den Fehler, dass die linearisierten Gleichungen gar
nicht für veränderliche Induktivitäten, sondern nur bei konstanten elektrischen Parametern gelten. Daher müssen zwingend die allgemeinen Gleichungen der PMSM (4.98)
und (4.99) als Grundlage für die Identifikation der differentiellen Induktivitäten verwendet werden. Anschließend ist es bei Bedarf möglich, die Kreuzkopplungen zu vernachlässigen, und man gewinnt zwei Spannungsgleichungen, die den linearisierten
Gleichungen sehr ähnlich sind:
ud = Rs id + Ldd
uq = Rs iq + Lqq
4.3.2
did
− ωel Lq iq
dt
diq
+ ωel Ld id + ωel ψp
dt
(4.116)
(4.117)
Messablauf
Zur Ermittlung der gewünschten Verläufe der Induktivitäten muss eine Vielzahl an
Betriebspunkten durchlaufen werden. Für jeden einzelnen Betriebspunkt, der aus einer id ,iq -Kombination besteht, werden folgende Schritte abgearbeitet, um zu einem
Induktivitätswert an diesem Betriebspunkt zu gelangen:
1. Bestimmung des aktuellen Ständerwiderstands. Er kann entweder durch Temperatursensoren innerhalb des Ständers oder ein geeigentes Identifikationsverfahren (siehe Kapitel 5) ermittelt werden. Unter Umständen ist es ausreichend, wenn
die Reihenfolge der zu messenden Betriebspunkte so ausgewählt wird, dass die
Verlustleistung der Maschine im Mittel konstant bleibt und damit auch der Ständerwiderstand. In diesem Fall reicht es aus, den Ständerwiderstand einmal zu
Beginn der Messung bei bereits vorgewärmtem Motor zu messen.
2. Einstellen der gewünschten Strompaare (id ,iq ) durch die Stromregelung der Prüflingsmaschine.
3. Einprägen eines Testsignals mit einer vorgegebenen Frequenz in q-Richtung. Aus
den Amplituden von Strom und Spannung des Testsignals können – wie im vorherigen Kapitel 4.3.1 beschrieben – die differentiellen Induktivitäten Lqq und Ldq
ermittelt werden.
4.3 Differentielle Induktivitäten
121
utest
isoll
feldorientierte
Stromregelung
usoll
Pulsumrichter
PMSM
u
u
′
iist
t
iist
t
Frequenzweiche
(Goertzel)
i
i
i
t
itest
t
t
Auswertung
Ldd , Lqq
Abbildung 4.23: Vereinfachte Struktur der Testsignalerzeugung und Auswertung bei Verwendung von
Spannungstestsignalen
4. Gleiche Vorgehensweise wie unter Punkt 3, nur mit einem Testsignal in d-Richtung um Ldd und Lqd zu bestimmen.
Werden diese vier Schritte für verschiedene id ,iq -Kombinationen durchlaufen, dann
erhält man die Kennflächen der differentiellen Induktivitäten in Abhängigkeit der beiden Ständerströme id und iq im rotorfesten Koordinatensystem. Im Gegensatz zur
Messung der absoluten Induktivitäten im Kapitel 4.2 ist bei den differentiellen Induktivitäten keine aufwändige Berechnung nötig, um die Induktivitätsverläufe zu erhalten.
Nach einer einfachen Glättung der Rohdaten zum Ausgleich von Messwertstreuungen
können die Verläufe direkt verwendet werden.
4.3.3
Testsignalerzeugung und Auswertung am Prüfstand
Die Struktur der Testsignalerzeugung zur Messung der differentiellen Induktivitäten
am Prüfstand ist in den Abbildungen 4.23 und 4.24 verallgemeinert dargestellt. Wie bereits im Theoriekapitel 4.3.1 erläutert, ist es im Prinzip möglich, sowohl ein Spannungsals auch ein Stromtestsignal in die Maschine einzuspeisen und die entsprechenden
hochfrequenten Strom- und Spannungsantworten auszuwerten. Die benötigte Auswertestruktur bei Verwendung von Spannungstestsignalen ist in Abbildung 4.23 gezeichnet. Die vorhandene feldorientierte Stromregelung erhält weiterhin als Eingangsgröße
den gemessenen Strom iist , allerdings ohne den Testsignalanteil. Die allgemeine Vorgehensweise des Abspaltens des Testsignalanteils von dem Grundwellensignal wird
im späteren Verlauf dieses Kapitels erläutert. Ausgangsgröße der Regelung ist die
Sollspannung, die im Pulsumrichter erzeugt wird. In diesem Fall wird der Sollspannung noch das hochfrequente Testsignal aufmoduliert. Dieses Verfahren ist deswe-
122
4 Induktivitäten
gen so einfach zu implementieren, weil die Stromregelung nicht modifiziert werden
muss. Vielmehr „sieht“ die Stromregelung das Testsignal in diesem Fall gar nicht, da
die Testspannung erst am Reglerausgang aufgeschaltet wird und der sich ergebende
hochfrequente Teststromanteil abgespalten wird, bevor der Stromistwert den Stromregler erreicht. Ein weiterer Vorteil der Vorgabe einer Testspannung ist, dass in diesem
Fall die Spannungsreserve, die am Umrichter für das Testsignal vorgehalten werden
muss, bereits durch die Testspannungsamplitude bekannt ist. Die Einprägung einer
konstanten Testsignalspannung speziell für geberlose Regelungen im Stillstand beziehungsweise bei kleinen Drehzahlen kann jedoch auch Nachteile mit sich führen, wie
[20] auf den Seiten 112f beschreibt.
Die mit dem Testsignal beaufschlagte Spannung verursacht in der PMSM einen entsprechenden Strom, der sich aus dem stationären Anteil des Arbeitspunkts und einem
durch das Testsignal verursachten Anteil zusammensetzt. Diese beiden Anteile im
Strom, der Gleichanteil und der hochfrequente Anteil, müssen voneinander getrennt
werden. Hierzu sind zwei grundsätzlich verschiedene Methoden möglich und auch in
der Literatur bereits beschrieben:
1. Filterung des Signals mithilfe eines Hochpasses oder Bandpasses. Die Vor- und
Nachteile bei Verwendung eines digitalen Filters [117] zur Trennung von Grundwelle und hochfrequentem Signalanteil wird in [21, Seiten 115ff] ausführlich beschrieben und soll an dieser Stelle nicht weiter vertieft werden.
2. Verwendung des Goertzel-Algorithmus. Er entspricht im Wesentlichen einer FastFourier-Transformation (FFT), die prinzipiell auch verwendet werden könnte. Im
Gegensatz zur FFT, die sehr rechenzeitintensiv ist und damit bei aktuellen Echtzeitrechensystemen nicht verwendet werden kann, verursacht der Goertzel-Algorithmus nur einen geringen Rechenaufwand. Vereinfacht ausgedrückt entspricht
er einer FFT an einer einzigen Frequenz. Der Goertzel-Algorithmus hat zwei wesentliche Nachteile, die seine Verwendbarkeit normalerweise stark einschränken,
in diesem Fall aber nicht von Bedeutung sind: Zum einen ist er nur für stationäre
Problemstellungen einsetzbar. Ähnlich wie ein übliches Filter verursacht er eine
Phasenverschiebung falls sich die Phase oder die Amplitude der zu filternden
Frequenz ändert. Bei konstanter Frequenz und Amplitude des zu analysierenden
Signals ist die Phasenverschiebung jedoch gleich null. In diesem Anwendungsfall
sind Phasenlage und Amplitude des Testsignals konstant. Zum anderen muss die
zu filternde Frequenz ein ganzzahliger Bruch der Abtastfrequenz sein. Bei einer
Abtastfrequenz von 1 kHz kann somit eine Testsignalfrequenz von 50 Hz verwendet werden, nicht aber 60 Hz! Auch diese Einschränkung stellt bei der hier benötigten Verwendung keinen Nachteil dar, da die Testsignalfrequenz relativ frei
festgelegt werden kann. Im stationären Betrieb ergeben sich mit dem Goertzel-
4.3 Differentielle Induktivitäten
123
itest
isoll
usoll
feldorientierte
i
PMSM
Pulsumrichter
Stromregelung
i
u
t
t
iist
t
i
itest
Auswertung
Frequenzweiche
utest
(Goertzel)
t
u, i
Ldd , Lqq , Ldq , Lqd
t
Abbildung 4.24: Vereinfachte Struktur der Testsignalerzeugung und Auswertung bei Verwendung von
Stromtestsignalen
Algorithmus keinerlei Phasenverschiebung und Amplitudenfehler zum Originalsignal. Eingesetzt wird der Goertzel-Algorithmus aus den genannten Gründen
auch für die Testsignalabspaltung bei geberlosen Regelungen [21, 67].
Durch die mit dem Goertzel-Algorithmus realisierte Frequenzweiche ist es möglich,
der Stromregelung lediglich den Grundschwingungsanteil des Stroms und der Auswertung nur das Testsignal zuzuweisen. Die Berechnung der Induktivitäten innerhalb
der Auswerteblöcke kann nun relativ einfach mit den Gleichungen (4.107), (4.108),
(4.112) und (4.113) erfolgen.
Bei der Verwendung von Spannungstestsignalen dürfen die hochfrequenten Anteile
nicht zur Stromregelung gelangen, da diese sonst versuchen würde, diese Anteile
auszuregeln. Verwendet man jedoch Stromtestsignale, so muss die Stromregelung
diese einregeln, und damit dürfen die hochfrequenten Stromanteile folglich nicht
aus den Strom-Istwerten entfernt werden. Das Mess- und Auswerteprinzip für diesen Fall ist in Abbildung 4.24 dargestellt. Dem eigentlichen Stromsollwert wird noch
das gewünschte hochfrequente Stromtestsignal aufgeschaltet. Die Abspaltung von
Grundwellensignalen und hochfrequenten Signalen erfolgt auch hier wieder mit dem
Goertzel-Algorithmus. Da von allen vier Signalen (ud , uq , id und iq ), also auch dem
vorgegeben Stromtestsignal, die Amplituden ausgewertet werden, ist es nicht nötig,
dass die Regelung die Stromtestsignale ideal einregelt. Um eine gleichbleibende Messgenauigkeit über den gesamten Messbereich zu erhalten, wird eine nicht in der Abbildung 4.24 eingezeichnete überlagerte Testsignalamplitudenregelung verwendet, die
die Sollamplitude des Testsignals anpasst, wenn die von der Regelung realisierte Testsignalstromamplitude signifikant vom gewünschten Wert abweicht.
124
4 Induktivitäten
4.3.4
Messergebnisse
−3
−3
x 10
3.5
3.5
3
3
Lqq [H]
Ldd [H]
x 10
2.5
2.5
2
2
−0.5
1.5
1
0
0
0
0
0.5 i
d
in
−1
iq
in
−0.5
1.5
1
−1
iq
in
(a) Rohdaten, ungeglättet
0.5 i
d
in
(a) Rohdaten, ungeglättet
3.1
3.1
3
3
3
2.8
3
−0.6
3
−0.6
3.1
−0.4
−0.4
2.8
2.6
2.8
3
−0.2
2.6
2.4
2.6
0
8
2.4
0.4
0.5
0
−0.5
iq
in
2
id
0.6 in
−1
(b) Draufsicht, geglättet
1
9
2.
0.5
0
0.2
2.9
2.2
1
3
0.2
2.2
2
2.9
2.
2.4
2.2
−0.2
3
2.8
0
−0.5
iq
in
0.4
id
0.6 in
−1
(b) Draufsicht, geglättet
Abbildung 4.25: (Prüfstand C) Differentielle Induk-
Abbildung 4.26: (Prüfstand C) Differentielle Induk-
tivität Ldd bei konstanter Testspannung
tivität Lqq bei konstanter Testspannung
Im vorherigen Kapitel wurden zwei verschiedene Möglichkeiten der Testsignaleinspeisung für die Messung der differentiellen Induktivitäten erläutert. Am Prüfstand C, der
Maschine mit Oberflächenmagneten, wurden beide Verfahren, Stromtestsignale und
Spannungstestsignale, implementiert. Daher sind die Unterschiede, soweit sie vorhanden sind, sehr gut zu erkennen. Die Abbildungen 4.25 und 4.26 zeigen die Ergebnisse
bei Verwendung des einfacheren Verfahrens mit eingeprägten Testspannungen. Die
Verläufe sind bereits im ungeglätteten Zustand sehr glatt, wie die Abbildungen 4.25a
und 4.26a zeigen. Anhand der Draufsicht sieht man weiterhin, dass die Induktivitätsverläufe jeweils weitgehend symmetrisch zum iq -Strom sind. Die Messergebnisse des
4.3 Differentielle Induktivitäten
125
−3
−3
x 10
3.5
3.5
3
3
Lqq [H]
Ldd [H]
x 10
2.5
2.5
2
2
−1
1.5
1
0
0
0
0
id
in
1
−1
iq
in
−1
1.5
1
(a) Rohdaten, ungeglättet
(a) Rohdaten, ungeglättet
3.1
−1
9
2.6
2.4
2.2
2
0.5
0.5
0
−0.5
iq
in
3
0
−1 1
(b) Draufsicht, ungeglättet
2.
3
1
id
in
9
0
9
2
1
−0.5
2.8
3.1
2.8
2.6
2.4
2.2
2.
2
1
−0.5
3
3
2.2
2.
−1
3.
3.1
3
2.8
3
3
3.
1
3
2.6
2.4
id
in
1
−1
iq
in
2.9
0.5
0.5
8
2.
0
−0.5
iq
in
id
in
−1 1
(b) Draufsicht, ungeglättet
Abbildung 4.27: (Prüfstand C) Differentielle Induk-
Abbildung 4.28: (Prüfstand C) Differentielle Induk-
tivität Ldd bei konstantem Teststrom
tivität Lqq bei konstantem Teststrom
Identifkationsverfahrens mit Stromtestsignalen werden in den Abbildungen 4.27 und
4.28 dargestellt. Der Messbereich ist hier im Bereich des id -Strom etwas größer als
bei der Messung mit Spannungstestsignalen, die Ursache hierfür liegt lediglich darin,
dass die Messung mit Stromtestsignalen zu einem späteren Zeitpunkt durchgeführt
wurde als die mit der Testspannung. Man erkennt hier bei den ebenfalls ungeglätteten Induktivitätsverläufen einen noch glatteren Verlauf; allenfalls dort, wo sowohl id
als auch iq gegen null gehen, befindet sich eine Messungenauigkeit, die für die spätere Verwendung geglättet werden müsste. Werden nun die Messungen mit Spannungsund Stromtestsignalen miteinander verglichen, so erkennt man, dass deren Ergebnisse
weitestgehend übereinstimmen. Dies ist bei dem Prüfling C auch nicht weiter verwun-
126
4 Induktivitäten
derlich, da dieser aufgrund der Oberflächenmagnete erwartungsgemäß kaum Kreuzkopplungseffekte aufweist. Bei signifikanten Kreuzkopplungseffekten wäre ersichtlich,
dass die Messung unter Verwendung der Spannungstestsignale höhere Induktivitätswerte für Ldd und Lqq aufweist. Dies ist, wie in Kapitel 4.3.1 beschrieben, deswegen
der Fall, weil den Induktivitäten Ldd und Lqq noch die Werte der Kreuzkoppelinduktivitäten Ldq und Lqd zugewiesen werden (müssen), da sich sonst das Gleichungssystem
(4.114) und (4.115) (Seite 119) nicht lösen lässt.
Die Messung der differentiellen Induktivitäten am Prüfstand C – egal ob mit Spannungsoder Stromtestsignalen – veranschaulicht gut, warum sich Maschinen mit Oberflächenmagneten gut zur geberlosen Regelung eignen. Werden Testsignale zur Bestimmung
des Läuferlagewinkels verwendet, so ist eine Induktivitätsdifferenz zwischen Ldd und
Lqq Voraussetzung für die Identifikation des Winkels. Näheres hierzu wird in den Kapiteln 2.4.1 und 2.4.2 ab Seite 36 beziehungsweise 45 erläutert. An den Messergebnissen
ist zu erkennen, dass die Induktivität Lqq bereits im Leerlauf zumindest etwas kleiner
als Ldd ist. Unter Belastung sinkt Lqq typischerweise weiter ab, das heißt, die Induktivitätsdifferenz wird noch größer und die Identifikation des Läuferlagewinkels erleichert.
Speist man zusätzlich noch einen positiven, also feldverstärkenden, id -Strom in die
Maschine ein, so ergeben sich noch günstigere Verhältnisse. Auf diese Weise wurde –
vereinfacht gesagt – die geberlose Regelung in [20] realisiert. Bei Maschinen mit vergrabenen Magneten ist die Lqq -Induktivität im Leerlauf größer als Ldd . Da aber auch
hier Lqq bei Belastung stärker absinkt als Ldd , ergeben sich immer dann Probleme,
wenn die Induktivitätsdifferenz gegegen null geht. Im Rahmen des Motordesigns wird
angestebt, diesen Punkt der Gleichheit beider Induktivitäten möglichst weit über den
Nennbetriebspunkt zu legen.
Neben den Ergebnissen für die differentiellen Induktivitäten am Prüfstand C werden
in den Abbildungen 4.29 bis 4.32 noch die des Prüfstands A vorgestellt. Man erkennt
bei den Messergebnissen für Ldd und Lqq in den Abbildungen 4.29 und 4.30 – wie übrigens auch bei den Ergebnissen vom Prüfstand C – den relativ ähnlichen Verlauf der
differentiellen Induktivitäten mit den absoluten Induktivitäten Ld und Lq . Warum dies
genau so sein muss und wie der genaue Zusammenhang zwischen absoluter und differentieller Induktivität ist, wird in Abbildung 2.8 auf Seite 21 und dem dazugehörigen
Text veranschaulicht. Die differentiellen Induktivitäten des Prüflings A wurden mit
Stromtestsignalen ermittelt, daher können die in diesem Fall messbaren Kreuzkopplungsinduktivitäten Ldq und Lqd ebenfalls dargestellt werden (Abbildungen 4.31 und
4.32). Die Werte der Induktivitäten Ldd und Lqq weisen einen deutlichen Anstieg für
den Leerlauffall beziehungsweise einen deutlichen Abfall auf, sobald Strom in die Maschine eingeprägt wird. Im Gegensatz zu den Messungen am Prüfstand C, wo ebenso
ein – wenn auch deutlich kleinerer – Effekt im Leerlauf zu beobachten ist (Abbildungen 4.27 und 4.28), handelt es sich hierbei nicht um Messfehler, da der gleiche Effekt
127
0.015
0.015
0.01
0.01
Lqq [H]
Ldd [H]
4.3 Differentielle Induktivitäten
0.005
0.005
−1
0
1
−1
0
1
0
0
id
in
−1 1
iq
in
0
0
(a) Rohdaten, ungeglättet
id
in
−1 1
iq
in
(a) Rohdaten, ungeglättet
6
7
6
−1
−1
7
8
0.5
0
5
10 8
7
1
id
in
−1 1
(b) Draufsicht, geglättet
−0.5
0
5
6
5
5
0.5
−0.5
iq
in
8
0
6
0.5
0.5
6
6
6
6
11
14
6
98
1123
109
−0.5
6
1
6
5
6
5
10
6
8
9 7
7 8 9 1114321
10
6
7
6
5
5
4
7
7
0
−0.5
iq
in
id
in
−1 1
(b) Draufsicht, geglättet
Abbildung 4.29: (Prüfstand A) Differentielle Induk-
Abbildung 4.30: (Prüfstand A) Differentielle Induk-
tivität Ldd bei konstantem Teststrom
tivität Lqq bei konstantem Teststrom
auch bei den absoluten Induktivitäten des Prüfstands A zu erkennen ist (siehe dazu
Abbildung 4.21 auf Seite 114) und da das Messverfahren für die absoluten Induktivitäten ein völlig anderes ist als das für die differentiellen Induktivitäten. Dieser Effekt
konnte jedoch nicht weiter untersucht werden, weil keine exakten Informationen über
den Läufer der Maschine A vorhanden sind. Wie die Abbildungen 4.31 und 4.32 zeigen, sind die differentiellen Kreuzkoppelinduktivitäten Ldq und Lqd um eine Größenordnung kleiner als Ldd und Lqq . Des Weiteren sind sie weitgehend symmetrisch und
unterscheiden sich nicht. Diese Messung bestätigt die in dieser Arbeit stellenweise vorgenommene Gleichsetzung der beiden Kreuzkoppelinduktivitäten zu Lcc aus Gründen
der Vereinfachung in der Praxis.
4 Induktivitäten
0.015
0.015
0.01
0.01
Lqd [H]
Ldq [H]
128
0.005
0.005
−1
0
1
−1
0
1
0
0
id
in
−1 1
iq
in
0
0
(a) Rohdaten, ungeglättet
1
(a) Rohdaten, ungeglättet
id
in
−1 1
iq
in
1
0.5
1
1
1
−1
1
1.5 1
5
1
0.5
0.
1.5
1.5
−0.5
1
1.
5
0
1
1
0.5
1
1
0.5
0.5
0
−0.5
iq
in
0
1
1
1
5
−0.5
1
0.
1
1
1.5
5
1 1.
5 1.5
1. 1
1
1
1
1
−1
5
1
0.5
1
0.
1
id
in
−1 1
1
0.5
0.5
0
−0.5
iq
in
id
in
−1 1
(b) Draufsicht, geglättet
(b) Draufsicht, geglättet
Abbildung 4.31: (Prüfstand A) Differentielle Induk-
Abbildung 4.32: (Prüfstand A) Differentielle Induk-
tivität Ldq bei konstantem Teststrom
tivität Lqd bei konstantem Teststrom
Die Messergebnisse für den Prüfstand B werden aus Platzgründen hier nicht weiter beschrieben. Die für die geberlose Testsignalregelung relevante Differenz aus Ldd und
Lqq ist in Abbildung 2.20 auf Seite 46 dargestellt und in der dazugehörigen Beschreibung erläutert.
4.4 Integration der Messdaten in die Regelung
In den vorherigen Kapiteln wurden Methoden zur Messung, Auswertung sowie Darstellung der Messdaten beschrieben. Nun stellt sich die Frage, wie die Daten, also die
Induktivitätsverläufe, in die Regelung integriert werden können. Prinzipiell muss eine
4.4 Integration der Messdaten in die Regelung
129
Integration so aussehen, dass, wie in Abbildung 4.33 dargestellt, die beiden Ströme
id und iq , von denen die Induktivitäten abhängen, die Eingangsgrößen der Induktivitätsberechnung bilden. Mit so einem Verfahren der Darstellung kann natürlich auch
Lx
id
Lx
iq
iq
id
Abbildung 4.33: Stromabhängige Induktivitätsdarstellung
jede andere Größe dargestellt werden. Verwendet man MATLAB-Simulink in Verbindung mit einem leistungsfähigen Echtzeitrechensystem, wie zum Beispiel dSPACE, so
kann der Aufwand der Darstellung minimiert werden, indem die in Simulink enthaltenen Toolboxen zur Darstellung der Kennflächenverläufe verwendet werden. In diesem
Fall werden Simulink neben der Matrix mit den Messwerten die beiden zugehörigen
Stromvektoren übergeben, die gesamte Interpolation übernimmt Simulink. Wird jedoch eine andere Programmierumgebung verwendet oder steht eine rechenzeitoptimierte Realisierung im Vordergrund, so müssen die Messwerte bearbeitet und reduziert werden, bevor eine geeignete Implementierung in die Regelung erfolgen kann.
Es wird eine Realisierung vorgestellt, die eine Reduzierung der Messdatenpunkte auf
nur neun Stützstellen im Messbereich verwendet, gleichzeitig aber mit bi-kubischen
Splines interpoliert, um Unstetigkeiten der Ableitungen, wie in Kapitel 4.1 ab Seite 80
beschrieben, zu verhindern, und die eine Extrapolation der Messdaten über den Messbereich hinaus vorsieht. Eine gute Extrapolation ist im praktischen Einsatz überaus
wichtig: Nur sie verhindert, dass die Induktivitätsverläufe bei dynamischen Vorgängen den Messbereich, für den die Induktivitätswerte gemessen wurden, überschreiten
können, unplausible Werte annehmen können. Bei einer einfachen linearen Extrapolation könnte es vorkommen, dass die Induktivitätswerte negativ werden. Dies würde
zu einem undefinierten und unvorhergesehenen Verhalten der Regelung führen.
Wie bereits beschrieben, können die Induktivitätsmessdaten im einfachsten Fall auf
neun Messpunkte reduziert werden. Abbildung 4.34 zeigt die neun Messpunkte als
schwarz umkreiste Schnittpunkte. Wird davon ausgegangen, dass die äußeren neun
Stützpunkte für Nennströme gelten, so ist es wichtig, dass bei transienten Betriebszuständen, die durchaus deutlich höhere Ströme als Nennströme hervorrufen können,
ebenso plausible Induktivitätswerte definiert sind. Auch in diesen Zuständen müssen
daher gültige Werte aus dem Kennlinienfeld entnommen werden können. Aus diesem
Grund werden außerhalb dieser neun Messpunkte noch einmal 16 weitere Punkte angeordnet, in der Abbildung 4.34 in Blau dargestellt. Für die äußeren Punkte stehen
130
4 Induktivitäten
Abbildung 4.34: Benötigte Messpunkte (umkreist), die als Stützpunkte für die spätere SplineBerechnung dienen.
im Regelfall keine Messwerte zur Verfügung, da sie sich auf Strombetriebspunkte beziehen, die weit über den Nennbereich hinausgehen. Da hier nur die Speicherung von
Induktivitätsflächen betrachtet wird, können für die Schätzungen einige typische Eigenschaften als Randbedingungen verwendet werden. Nachdem diese äußeren Punkte
ermittelt sind, werden die Spline-Funktionen berechnet, die später zur Bestimmung
der geforderten Induktivitätswerte verwendet werden.
3.2
3.2
3
3
2.8
2.8
2.6
2.6
2.4
−100
2.2
−100
0
0
100
(a) Stützpunkte
100
2.4
−100
2.2
−100
0
0
100
100
(b) Spline-Funktionen
Abbildung 4.35: Einfache Vorgabe der äußeren Stützpunkte
Die realitätsnahe Schätzung der äußeren Stützpunkte ist besonders wichtig, da durch
die spätere Spline-Interpolation die äußeren Stützpunkte auch den Verlauf der Splines
im Nennbereich beeinflussen. In Abbildung 4.35a ist eine mögliche einfache Vorgabe
der äußeren Stützpunkte verwirklicht. Die Werte der einzelnen äußeren Stützpunkte
4.4 Integration der Messdaten in die Regelung
131
wurden einfach denen der zugeordneten inneren gleichgesetzt. Dies ist auf den ersten Blick eine logische Lösung. Allerdings kann Abbildung 4.35b entnommen werden,
dass die sich daraus ergebenen Splines einem sehr unrealistischen Verlauf folgen. Sie
steigen nämlich teilweise nach außen hin wieder an, was bei realen Induktivitätsverläufen natürlich aufgrund der Sättigungserscheinungen im Motor nicht möglich ist.
Auch wenn die äußeren Punkte nur für die transienten Zustände relevant sind, so sollte doch der Induktivitätsverlauf in diesen Bereichen so realistisch wie möglich sein.
Hervorgerufen wird dieser ansteigende Effekt von der Definition der Splines an sich.
Für diese wird nämlich gefordert, dass die Ableitungen bis zu einem gewissen Grad an
den Stützpunktlinien stetig sind. Daher kann die Funktion nicht „knicken“. Dies führt
wiederum zwangsläufig zu der zu beobachtenden Bildung einer Senke. Verhindert wer-
3.2
3.2
3
3
2.8
2.8
2.6
2.6
2.4
−100
2.2
−100
0
0
100
(a) Stützpunkte
100
2.4
−100
2.2
−100
0
0
100
100
(b) Spline-Funktionen
Abbildung 4.36: Optimierte Vorgabe der äußeren Stützpunkte
den kann dies, indem die äußeren Stützpunkte genau so weit abgesenkt werden, dass
sich diese Senke nicht mehr bilden kann. Dies ist in Abbildung 4.36 gezeigt. Dieser
Verlauf ist wesentlich harmonischer als der Verlauf aus Abbildung 4.35, es kommen
keine Senken mehr vor. Der Verlauf nach Abbildung 4.36a wurde mit Hilfe eines iterativen Verfahrens gewonnen. Die einzelnen äußeren Stützpunkte werden in Abbildung
4.37 entsprechend ihrer Lage mit Mittelpunkt (M), Nebenpunkt (N) und Eckpunkt (E)
bezeichnet. Nun ist es in diesem Fall immer so, dass die Nebenpunkte kleiner als
die benachbarten Mittelpunkte und zugleich größer als die benachbarten Eckpunkte sein müssen. Diese Schlussfolgerung ist zwingend, da aufgrund der Sättigungserscheinungen im Motor die Induktivitäten bei größer werdenden Strömen prinzipiell
kleiner werden oder zumindest gleich bleiben, jedoch nie ansteigen. Zudem muss der
Funktionswert der Splines zu den äußeren Splines hin auf jeden Fall abfallen, in der
Abbildung 4.37 ist dies durch Pfeile angedeutet. In dem entwickelten Verfahren wer-
132
4 Induktivitäten
den diese Voraussetzungen in jedem Schritt der iterativen Berechnungen geprüft und
gegebenenfalls die betreffenden Stützpunkte abgesenkt. Dies geschieht so lange, bis
alle äußeren Stützpunkte den Vorgaben genügen oder die Berechnung aufgrund einer
vorher vorgegebenen maximalen Iterationszahl abgebrochen wird. Ausgegeben wird
schließlich eine 5x5-Matrix, die die Induktivitätswerte bei den Stützpunkten enthält.
Sie wird weiterverarbeitet und dient als Eingangsgröße für die Berechnung der Splines.
Basierend auf den ermittelten Stützpunkten werden die entsprechenden Parameter
E
N
M
N
E
N
N
M
M
N
N
E
N
M
N
E
Abbildung 4.37: Prinzipielle Darstellung der 5x5-Matrix mit Beschriftung der äußeren Stützpunkte
für die Splines berechnet. Wie die einzelnen Splines ermittelt werden können, wird in
Kapitel 4.1.3 ab Seite 92 beschrieben und hergeleitet. Für die Implementierung in Programmcode, zum Beispiel als MATLAB/Simulink-S-Function [114], ist es sinnvoll, eine
große Matrix mit den einzelnen Spline-Parametern zu bilden. Abbildung 4.38 zeigt
diese Matrix A schematisch. Sie besteht aus den 4x4-Untermatrizen, welche ihrerseits
die jeweils 16 Spline-Koeffizienten beinhalten, die für jedes Flächenelement benötigt
werden, auf dem eine Spline-Funktion definiert ist. Eine andere Möglichkeit ist, die einzelnen 4x4-Untermatrizen innerhalb einer MATLAB-Struktur abzulegen, falls MATLAB
m-Files verwendet werden.
Abbildung 4.38: Aufbau der Matrix beziehungsweise der Struktur von A
Die Abbildungen 4.39 bis 4.41 veranschaulichen die Integrierung der Messdaten in die
4.4 Integration der Messdaten in die Regelung
133
−3
−3
x 10
3.2
3.2
3
3
2.8
2.8
Ld [H]
Ld [H]
x 10
2.6
2.4
2.6
2.4
−1
2.2
−1
2.2
0
1
0
−1
1
0
1
−1
id
in
iq
in
1
id
in
iq
in
(a) Interpolierte Fläche
(b) Fläche mit Stützpunkten
−3
−3
x 10
x 10
3.2
1
3
0.5
2.8
Ld [H]
Ld [H]
0
2.6
0
−0.5
2.4
−1
2.2
0
1
0
−1
iq
in
(c) Gemessene Fläche
−1
−1
0
1
0
1
id
in
−1
iq
in
1
id
in
(d) Differenz der Messung zur Interpolation
Abbildung 4.39: (Prüfstand C) Extrapolation der Messergebnisse und Reduzierung der Stützpunkte für
die absolute Induktivität Ld
134
4 Induktivitäten
−3
−3
x 10
3.2
3.2
3
3
2.8
2.8
Lq [H]
Lq [H]
x 10
2.6
2.6
2.4
2.4
−1
2.2
−1
2.2
0
1
0
−1
1
0
1
−1
id
in
iq
in
1
id
in
iq
in
(a) Interpolierte Fläche
(b) Fläche mit Stützpunkten
−3
−3
x 10
x 10
3.2
1
3
0.5
2.8
Lq [H]
Lq [H]
0
2.6
0
−0.5
2.4
−1
2.2
0
1
0
−1
iq
in
(c) Gemessene Fläche
−1
−1
0
1
0
1
id
in
−1
iq
in
1
id
in
(d) Differenz der Messung zur Interpolation
Abbildung 4.40: (Prüfstand C) Extrapolation der Messergebnisse und Reduzierung der Stützpunkte für
die absolute Induktivität Lq
4.4 Integration der Messdaten in die Regelung
135
−3
−3
x 10
7
7
6.5
6.5
Lq [H]
Lq [H]
x 10
6
5.5
6
5.5
−1
5
2
0
1
iq
in
−2
−1
5
2
0
0
0
id
in
1
iq
in
(a) Interpolierte Fläche
id
in
−2
(b) Fläche mit Stützpunkten
−3
x 10
−3
x 10
7
1
0.5
Lq [H]
Lq [H]
6.5
6
5.5
0
−0.5
−1
5
2
0
0
1
iq
in
−2
(c) Gemessene Fläche
−1
−1
2
0
0
id
in
iq
in
−2
1
id
in
(d) Differenz der Messung zur Interpolation
Abbildung 4.41: (Prüfstand B) Extrapolation der Messergebnisse und Reduzierung der Stützpunkte für
die absolute Induktivität Lq
136
4 Induktivitäten
Regelung anhand realer Messergebnisse. Die Unterabbildungen (a) zeigen jeweils den
gesamten extrapolierten Induktivitätsbereich, der für die Regelung verwendet werden
kann. In (b) ist der gleiche Bereich gezeichnet, allerdings ist hier nur der gemessene
Bereich mit einer durchgezogenen Fläche belegt, der restliche Bereich lediglich als Gitternetz. Auf diese Weise sieht man gut die verwendeten Stützpunkte, auf die sich die
Induktivitätsfläche bezieht. Im Gegensatz zu den Diagrammen (a) und (b), die bereits
die interpolierten und damit vereinfachten Induktivitätsverläufe zeigen, ist in (c) der
wirklich gemessene Verlauf und in (d) schließlich der Fehler zwischen dem gemessenen Verlauf und der interpolierten Fläche innerhalb des Messbereichs dargestellt. Für
die extrapolierten Bereiche, die ja außerhalb des Messbereichs liegen, kann naturgemäß kein Fehler angegeben werden, weil hierfür definitionsgemäß keine Messwerte
vorliegen. Der Vergleich zwischen der gemessenen Fläche (c) und der interpolierten
Fläche (a,b) innerhalb des Messbereichs zeigt, dass die Differenz zwischen beiden gering ist. Die in diesem Kapitel vorgenommene Vereinfachung und die einhergehende
Einführung der in (b) zu sehenden Stützpunkte sind damit auch in der Praxis gut
einsetzbar.
Eine Anmerkung zu Abbildung 4.41: Hier sind die extrapolierten Stützpunkte nicht
symmetrisch, im Gegensatz zu den Abbildungen 4.39 und 4.40. Dies liegt daran, dass
die Induktivitätsmessungen am Prüfstand B nicht mit der in Kapitel 4.2.2 auf Seiten
100ff beschriebenen Eisenverlustkompensation durchgeführt wurden. Die Induktivitätsmessungen am Prüfstand C wurden im Gegensatz dazu mit der Kompensation
aufgenommen, was letztlich zu den symmetrischen Abbildungen 4.39 und 4.40 führt.
Kapitel 5
Ständerwiderstand und -temperatur
Der Ständerwiderstand Rs ist eine relevante Größe für den Betrieb von elektrischen Maschinen. So wird zum Beispiel bei Traktionsanwendungen trotz Drehmomentregelung
oft auf die Messung des Drehmoments an der Motorwelle verzichtet. Gründe hierfür
gibt es einige, nicht nur die Kostenersparnis bei der Anschaffung, sondern auch den
deutlich verringerten Wartungsaufwand und die geringere Störanfälligkeit. Um ohne
Drehmomentmesseinrichtung eine hochgenaue Regelung zu ermöglichen, muss das
Drehmoment aus den vorhandenen Größen berechnet werden, die dazu nötige Gleichung wurde in Kapitel 2.2.3 ab Seite 17 hergeleitet:
3p
(iq )
(id ,iq )
(id ,iq )
Mi =
ψp iq + Ld
− Lq
id iq
2
Die eingehenden Größen dieser Drehmomentgleichung liegen dabei mit unterschiedlicher Genauigkeit vor: Ströme können im Umrichter in der Regel mit einer guten Genauigkeit gemessen werden, die Induktivitäten werden zum Beispiel mit den Verfahren
aus Kapitel 4 vorab hinreichend gut identifiziert. Die Flussverkettung ψp der Permanentmagnete kann jedoch ohne weitere Maßnahmen lediglich geschätzt werden, ist
sie doch signifikant von der Magnettemperatur und damit dem Betriebszustand der
Maschine sowie vom Alter der Permanentmagnete abhängig [118, 119]. Die Permanentmagnetflussverkettung kann allerdings – vereinfacht dargestellt – unter Zuhilfenahme
der Spannungsgleichung
(id ,iq )
uq = Rs iq + ωel Ld
id + ωel ψp
bestimmt werden. In Kapitel 6 auf den Seiten 179ff werden Verfahren zu Identifizierung der Permanentmagnetflussverkettung beschrieben. Ausführlichere Betrachtungen zum Einfluss der einzelnen Parameter auf die Drehmomentberechnung finden
sich in Kapitel 7.3 ab Seite 212. In obiger Gleichung wurde vorausgesetzt, dass sich
das Antriebssystem in einem stationären Zustand befindet und die Drehzahl einen
137
138
5 Ständerwiderstand und -temperatur
Wert ungleich null besitzt: Im Stillstand ist ψp in keinem Fall identifizierbar. Zur Bestimmung von ψp ist der Ständerwiderstand Rs relevant, denn immer dann, wenn die
!
PMSM belastet wird, also iq = 0 gilt, kann ψp nur dann hinreichend genau bestimmt
werden, wenn Rs möglichst gut bekannt ist. Eine weitere Anwendung, bei der ein möglichst genau bekannter Ständerwiderstand benötigt wird, ist die geberlose Regelung
mit dem modellbasierten EMK-Verfahren bei sehr kleinen Drehzahlen des Antriebssystems [120]. Je geringer die Drehzahl des Systems, desto kleiner ist auch die auswertbare induzierte Spannung und desto relevanter wird der Ständerwiderstand, da
sich die Spannungsabfälle an ihm dann nicht mehr vernachlässigen lassen. In [120]
wurde zur Identifikation des Ständerwiderstands die Least-squares-Methode verwendet, die Induktivititäten wurden weiterhin offline ermittelt. Bei bekannten Parametern
konnte das EMK-Verfahren somit bis 2,5 % der Nenndrehzahl angewendet werden.
Prinzipiell ist es möglich, den Ständerwiderstand auf viele verschiedene Arten zu
identifizieren. Im nachfolgenden Kapitel 5.1 werden einige in der Literatur zu findende Beispiele vorgestellt. Einfache Verfahren zur Bestimmung des Ständerwiderstands
werden im Kapitel 5.2 kurz beschrieben, bei ihnen wird lediglich wahlweise die ud oder uq -Spannungsgleichung ausgewertet. Zur Auswertung der ud -Gleichung ist ein
d-Strom ungleich null Voraussetzung, was die praktische Anwendbarkeit dieser Methode stark einschränkt. Wird hingegen die uq -Gleichung ausgewertet, so liefert diese
immer dann gute Ergebnisse wenn gleichzeitig hohe id -Ströme und kleine Drehzahlen
vorhanden sind. Für Antriebe, bei denen ein häufiges Anfahren aus dem Stand vorkommt, ist dies kein Nachteil. Ein typischer Anwendungsfall hierfür wäre der öffentliche Nahverkehr, zum Beispiel Straßen- oder U-Bahnen. Aufgrund der Rollphase bei
höheren Geschwindigkeiten kann hier sogar noch die Flussverkettung bestimmt werden, was schließlich eine genaue Berechnung des Drehmoments ermöglicht. Stellt man
sich allerdings einen Güterzug vor, der mit konstanter mittlerer Geschwindigkeit fahrend eine positive Steigung überwinden muss, so ergeben sich hier weder die für die
Ständerwiderstandsidentifikation nach der uq -Gleichung benötigte geringe Geschwindigkeit noch eine hohe Geschwindigkeit bei gleichzeitig geringer Last zur einfachen
Identifikation der Permanentmagnetflussverkettung.
Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein Identifikationsverfahren entwickelt, welches den
ohmschen Ständerwiderstand Rs für alle Betriebszustände zuverlässig identifiziert.
Aufgrund von Limitationen der verwendeten Prüfstände wurde die Verifikation des
Verfahrens im Labor auf den Grunddrehzahlbereich beschränkt. Ist Rs genau genug
bekannt, kann in der Folge auch die Permanentmagnetflussverkettung berechnet werden. Letzteres wird in Kapitel 6 näher beschrieben. Zudem dient der Ständerwiderstand als Grundlage für eine grobe Temperaturschätzung (Kapitel 5.4 ab Seite 174).
5.1 Vorhandene Literatur auf dem Gebiet
139
5.1 Vorhandene Literatur auf dem Gebiet
Seit geraumer Zeit werden Verfahren zur Identifikation der Parameter von permanenterregten Synchronmaschinen entwickelt. In diesem Kapitel werden ausgewählte Verfahren mit den dazugehörigen Veröffentlichungen vorgestellt. Einige Autoren verwenden MRAC-Algorithmen (model-reference adaptive control) zur Identifikation des Ständerwiderstands. Der prinzipielle Aufbau einer solchen Regelungsstruktur ist in Abbildung 5.1 gezeigt. Wenn bekannt ist, welchen Verlauf die Ausgangsgröße der Strecke
Referenz-
berechneter Istwert
modell
Sollwert
Regler
Stellgröße
Istwert g Strecke g
-
Adaptiver
Änderung der Parameter Algorithmus
∆
Abbildung 5.1: Prinzipielle Darstellung eines MRAC-Systems [121]
bei einer bestimmten Eingangsgröße haben soll, dann kann diese mathematische Beziehung in einem Referenzmodell hinterlegt werden. Ein Regler versucht nun über die
Strecke die Ausgangsgröße zu erreichen. Die Differenz ∆ zum Ausgang des Referenz-
modells wird dazu verwendet, mit Hilfe eines Adaptionsalgorithmus die Reglereinstellungen so zu beeinflussen, dass die Strecke den gewünschten Wert des Referenzmodells erreicht. Genauer beschrieben ist das Prinzip der MRAC unter anderem in [121].
Ein Beispiel: Soll ein Roboterarm eine Last nicht über die kürzeste Strecke, sondern innerhalb einer gewissen Trajektorie bewegen, weil ein Hindernis vorhanden ist, so kann
diese Trajektorie im Referenzmodell hinterlegt werden. Der Regler im MRAS-System
wird die Differenz zwischen gewünschter Trajektorie und realem Verlauf minimieren.
Bei der Parameteridentifikation kann das Referenzmodell die Gleichungen der PMSM
beschreiben, der Regler passt über den Ständerwiderstand (und eventuell gleichzeitig
über die Permanentmagnetflussverkettung) die teilweise unbekannte Strecke so lange
an, bis sie den idealen Maschinengleichungen entsprechen. Dies ist jedoch genau das
Problem von Veröffentlichungen wie [122] und [123]: Wenn die Parameter der PMSM
nicht genau bekannt sind, dann ist es auch nicht möglich, ein genaues Referenzmodell
der Maschine zu erstellen, weil dieses ja in irgendeiner Weise die Parameter enthalten
müsste. So sind in den beiden genannten Veröffentlichungen auch nur Simulationergebnisse zu finden, bei [122] hängt das Identifikationsergebnis für die Parameter
zusätzlich stark von der Drehzahl ab und ist bei kleinen Drehzahlen bei gleichzeitig
140
5 Ständerwiderstand und -temperatur
hoher Last möglicherweise instabil [124].
Eine andere Möglichkeit der Identifikation des Ständerwiderstands ist die Einprägung
von Testsignalen in d- und/oder q-Richtung und Auswertung der Spannungs- beziehungsweise Stromantwort. In der Veröffentlichung [125] wird eine Methode beschrieben, mit der durch Injektion eines Stromraumzeigers der Widerstand und damit auch
die Temperatur der Ständerwicklung bestimmt wird. Es wird versucht, durch verschiedene Verfahren die Auswirkungen des mit 10 kHz relativ hochfrequenten Stromraumzeigers auf das Drehmoment so gering wie möglich zu halten. Das vorgestellte Verfahren wurde lediglich simuliert. Sind zum Beispiel aufgrund einer geberlosen Regelung
bereits Testsignale vorhanden, wie in [126] und dem zugehörigen Patent [124] beschrieben, so können diese ebenfalls für die Parameteridentifikation verwendet werden. Da bei geberloser Regelung – wie der Name schon sagt – der Drehgeber weggelassen wird, ist eine Drehzahldifferenz zwischen der identifizierten Modelldrehzahl
und der realen, aber nicht messbaren Drehzahl der Maschine möglich. Es wird vorausgesetzt, dass diese Differenz aus einem im Motormodell falsch angenommenen
Ständerwiderstand resultiert. Dieser Ständerwiderstand wird über eine Art PI-Regler
so lange variiert, bis der Drehzahlfehler gleich null ist. Wie bei der geberlosen Regelung allgemein üblich, wird das hochfrequente Testsignal nur bei geringen Drehzahlen verwendet, bei höheren Drehzahlen kommt das sogenannte EMK-Verfahren zum
Einsatz, siehe dazu zum Beispiel [21]. Der entscheidende Nachteil dieses Prinzips ist
also, dass auch die Ständerwiderstandsidentifikation nur funktioniert, wenn das hochfrequente Testsignal vorhanden ist, also nur bei geringen Drehzahlen. Weitere patentierte Identifikationsverfahren auf dem Gebiet sind in [127] (Berechnung des Ständerwiderstands aus Stromdifferenzen von Modellsystem und Messung), [128] (zwingend
eine gute Kenntnis des Permanentmagnetflusses erforderlich) und [129] (benötigt eine
Vielzahl an Sensoren zur Parameteridentifikation) beschrieben.
In den nachfolgenden Kapiteln wird ein testsignalbasiertes Verfahren zur Indentifikation des Ständerwiderstands vorgestellt, das sich im Wesentlichen durch die folgenden
grundlegenden Eigenschaften auszeichnet. Es unterscheidet sich damit von den bereits bekannten Verfahren zur Identifikation des Ständerwiderstands: Es werden rechteckförmige Testsignale verwendet, die auf den id -Strom und damit ausschließlich in
d-Richtung eingeprägt werden. Dies hat den Vorteil, dass die Rückwirkung auf das
Drehmoment minimal ist und sich auf die Kreuzkopplungseigenschaften des Motors
beschränkt. Zudem lassen sich diese Testsignale einfach und damit rechenzeitschonend generieren. Zusammen mit den rechteckförmigen Testsignalen garantiert eine
niedrige Testsignalfrequenz im Bereich von wenigen Hertz möglichst geringe Einflüsse der aufgrund der differentiellen Induktivitäten bei Stromänderungen hervorgerufenen Spannungen. Zweimal pro Rechteckhalbwelle werden die Messdaten ausgewertet
und ein Identifikationsergebnis bestimmt. Zusammen mit weiteren Optimierungen ist
5.2 Konventioneller Ansatz
141
das Verfahren damit auf einen minimalen Rechenaufwand hin optimiert.
5.2 Konventioneller Ansatz
Bevor ab Kapitel 5.3 auf Seite 148 das testsignalbasierte Widerstandsidentifikationsverfahren beschrieben wird, sollen zum Vergleich zwei einfache Möglichkeiten der
Identifikation vorgestellt werden. Diese benötigen keine Testsignale und werten allein
die bekannten Spannungsgleichungen entweder in d- oder in q-Richtung in rotorfesten Koordinaten aus. Für einige Anwendungen ist dies sicherlich ausreichend. Der
Vergleich zwischen konventioneller Vorgehensweise und der testsignalbasierten Identifikation findet sich auch in [K-2].
5.2.1
Auswertung der ud -Spannungsgleichung
Prinzipiell ist es möglich, die in Kapitel 2.2.3 hergeleitete Spannungsgleichung (2.52)
auf Seite 21 zur Adaption des Ständerwiderstandes zu verwenden:
ud = Rs id +
dψp (id , iq )
(id ,iq ) did
(id ,iq ) diq
(id ,iq )
+ Ldd
+ Ldq
− ωel Lq
iq
dt
dt
dt
(5.1)
Gleichung (5.1) beschreibt die ud -Spannungsgleichung für ideal bekannte Parameter.
Da der zu identifizierende ohmsche Ständerwiderstand Rs nicht genau bekannt ist,
ergibt sich eine abweichende Spannung im Modellsystem:
ûd = R̂s id +
dψp (id , iq )
(id ,iq ) did
(id ,iq ) diq
(id ,iq )
iq
+ Ldd
+ Ldq
− ωel Lq
dt
dt
dt
(5.2)
Die beiden Spannungen ud und ûd sind bekannt. ud wird von der feldorientierten Regelung als Grundlage für den Spannungsraumzeiger ausgegeben, sofern eine entsprechend genaue Umrichterlinearisierung vorausgesetzt wird. Die fehlerbehaftete Spannung ûd kann aus den einzelnen Parametern und Messgrößen gemäß Gleichung (5.2)
berechnet werden. R̂s ist der Widerstand, der in der Regelung aktuell hinterlegt ist.
Wird
Rˆs = Rs − ∆Rs
(5.3)
definiert, so lässt sich die momentane Widerstandsdifferenz ∆Rs aus (5.1) bis (5.3)
berechnen:
∆Rs =
ud − ûd
id
(5.4)
Die Verwendung dieser Gleichung zur Widerstandsadaption ist allerdings nicht immer praktikabel, da in normalen Betriebszuständen in der Regel kein feldschwächender Strom vorhanden ist. Ohne feldschwächenden Strom ist es jedoch nicht möglich,
142
5 Ständerwiderstand und -temperatur
die Gleichung (5.4) zur Widerstandsdifferenz auszuwerten. Einen feldschwächenden
Strom dauerhaft in der Maschine einzuprägen, wäre zwar prinzipiell möglich, ist aber
aus energetischen Gründen aufgrund der dann auftretenden höheren Verlustleistung,
insbesondere in Betriebszuständen nahe dem Leerlauf, nicht gewünscht.
1.1
Rs,ident
Rs,r eal
1.5
−1
1
−0.5
0.5
1.05
1
0.95
0
−1
0.1
0
0.1
0
n
nn
−0.1
1
M
Mn
0
M
Mn
0.9
0.5
0.05
0
−0.05
n
nn
(a) 3D-Ansicht
0.85
−0.1 1
(b) Draufsicht
Abbildung 5.2: (Prüfstand B) Ständerwiderstandsidentifikation nach Gleichung (5.5) bei einem id -Strom
von 10 A.
1.1
1.05
1.5
Rs,ident
Rs,r eal
−1
1
−0.5
1
0.5
0
−1
0
0.95
0.5
0
0.5
0.5
M
Mn
0
0
−0.5
n
nn
(a) 3D-Ansicht
1
M
Mn
n−0.5
nn
0.9
1
(b) Draufsicht
Abbildung 5.3: (Prüfstand C) Ständerwiderstandsidentifikation nach Gleichung (5.5) bei einem id -Strom
von 10 A.
Wird davon ausgegangen, dass die Widerstandsidentifikation nur im stationären Zustand aktiviert ist, so ergibt sich für den auszuregelnden Fehler basierend auf den
5.2 Konventioneller Ansatz
143
Gleichungen (5.2) und (5.4):
(id ,iq )
∆Rs =
ud − R̂s id − ωel Lq
id
iq
(5.5)
(id ,iq )
Man erkennt in (5.5), dass bei einer Drehzahl ungleich null der Term ωel Lq
iq
relevant wird. Da die Induktivität nicht mit absoluter Genauigkeit bestimmt werden
kann, ist der Identifikationsfehler im Ständerwiderstand nach diesem Verfahren drehzahlabhängig und wird bei höherer Drehzahl größer. Zudem wird die Spannung ud
nicht gemessen, sondern berechnet sich aus den Ansteuersignalen für die IGBTs des
Pulsumrichters. Der verbleibende Umrichterlinearisierungsfehler geht damit ebenfalls
in die Betrachtungen mit ein. Die Auswirkungen der Umrichternichtlinearitäten und
deren Kompensation werden in Kapitel 2.3 ab Seite 26 beschrieben. Da die nichtlinearen Effekte nicht völlig kompensiert werden können, ist hier ebenfalls ein Fehler zu
erwarten.
Abbildung 5.2 zeigt das Identifikationsergebnis für den Ständerwiderstand nach Gleichung (5.5) am Prüfstand B, gemessen bei einem konstanten id -Strom von 10 A. Dargestellt sind die Abweichungen der Identifikationsergebnisse vom realen Wert für verschiedene Drehzahlen und Belastungen. Ein Wert von 1,5 entspricht somit einer Abweichung vom realen Wert um 50 %. Der reale Wert wird durch ein Temperaturmesselement, das in die Ständerwicklung vergossen wurde, im Voraus ermittelt. Durch die
Temperaturänderung im Vergleich zu einem bei Referenztemperatur gemessenen Widerstand kann der aktuelle Ständerwiderstand nach Gleichung
Rs = Rs,20◦ C · (1 + αCu (ϑs − 20◦ C))
(5.6)
bestimmt werden. Rs,20◦ C beschreibt den vorab gemessenen Ständerwiderstand bei einer Umgebungstemperatur von 20◦ C, ϑs die aktuelle Ständertemperatur und αCu den
Temperaturkoeffizienten von Kupfer. Abbildung 5.2 kann entnommen werden, dass
bereits bei kleinen Drehzahlen bis 10 % der Nenndrehzahl ein Identifikationsfehler
von 50 % auftritt. Daraus kann schlussgefolgert werden, dass diese Art der Identifikation nur im Stillstand gute Ergebnisse liefert; dann jedoch unter Voraussetzung
eines konstanten id -Stroms – im Gegensatz zu dem Verfahren mit Auswertung der
uq -Gleichung im Kapitel 5.2.2 – unabhängig von der Belastung. Die gleichen Überlegungen gelten auch für die Messergebnisse am Prüfstand C. Da hier im Gegensatz
zum Prüfstand B bis fast Nenndrehzahl gemessen wird, weist der Verlauf deutliche
Unterschied auf. Man erkennt jedoch, dass hier, genau wie beim Prüfstand B, die Identifikation von Rs im Stillstand unabhängig von der Belastung gut ist. Bereits kleine
Drehzahlen führen dazu, dass die Widerstandsidentifikation unmöglich wird.
144
5.2.2
5 Ständerwiderstand und -temperatur
Auswertung der uq -Spannungsgleichung
Analog zu Kapitel 5.2.1 kann auch die uq -Spannungsgleichung zur Ermittlung des
Ständerwiderstands verwendet werden. Werden alle Größen als ideal bekannt vorausgesetzt, so ergibt sich die Spannung uq zu
(id ,iq )
uq = Rs iq + Lqq
diq
(id ,iq ) did
(id ,iq )
id + ωel ψp .
+ Lqd
+ ωel Ld
dt
dt
(5.7)
Zumindest der zu identifizierende Ständerwiderstand Rs ist jedoch nicht genau bekannt. Daher lässt sich in analoger Vorgehensweise zu Kapitel 5.2.1 im Modellsystem
der Regelung wegen des fehlerbehafteten Widerstands R̂s eine Spannung ûq berechnen:
(id ,iq )
ûq = R̂s iq + Lqq
diq
(id ,iq ) did
(id ,iq )
+ Lqd
+ ωel Ld
id + ωel ψp
dt
dt
(5.8)
Definiert man den momentanen Ständerwiderstand im Modellsystem wie im vorherigen Kapitel zu
R̂s = Rs − ∆Rs ,
(5.9)
dann ergibt sich schließlich ebenfalls analog für die Widerstandsdifferenz
∆Rs =
uq − ûq
.
iq
(5.10)
Wieder davon ausgehend, dass die Widerstandsidentifikation nur bei stationären Zuständen betrachtet wird, so können die Gleichungen (5.8) und (5.10) zusammengefasst
werden zu
(id ,iq )
∆Rs =
uq − R̂s iq + ωel Ld
iq
id + ωel ψp
.
(5.11)
Die aus den der Regelung vorliegenden Maschinenparametern berechnete Spannung
ûq wird verglichen mit der Spannung uq , die aus den Ansteuersignalen für den Pulsumrichter gewonnen werden kann. Mit dem rückgeführten Fehler ∆Rs wird der aktu-
elle Ständerwiderstand im Modellsystem R̂s so lange verändert, bis dieser im Idealfall dem realen Ständerwiderstand Rs entspricht, der Fehler zwischen beiden folglich
null wird. Die Identifikation wird nicht bei hohen Drehzahlen oder kleinem iq -Strom,
also niedriger Belastung, durchgeführt. Der Grund hierfür ist klar: Bei kleinem iq Strom lässt sich der Ständerwiderstand nicht identifizieren, der entsprechende Term
verschwindet in der grundlegenden Gleichung (5.7). Bei hohen Drehzahlen werden
(id ,iq )
die beiden Terme ωel Ld
id und ωel ψp relevant. Die Induktivität Ld spielt kei-
ne große Rolle, da bei den Drehzahlen, in denen eine Identifikation des Widerstands
nach dem in diesem Kapitel vorgestellten Verfahren möglich ist, in der Regel ohnehin
5.2 Konventioneller Ansatz
145
kein feldschwächender Strom id verwendet wird. Der zweite die Permanentmagnetflussverkettung ψp enthaltende Term wird jedoch bei steigender Drehzahl durchaus
relevant. Unvermeidbare Fehler in der Flussverkettung der Permanentmagnete wirken
sich in diesem Fall stärker aus. So zeigen zum Beispiel die Permanentmagnete, die
ψp bereitstellen, ein deutlich temperaturabhängiges Verhalten. Zugleich lässt sich die
Temperatur der Magnete zumindest bei Maschinen mit Innenläufer nur schlecht bis
gar nicht messen. Auch eine Identifikation der Temperatur der Permanentmagnetflussverkettung ist nur für einige Arbeitspunkte und nicht über den gesamten Betriebsbereich möglich [130]. Um die Auswirkungen der Fehler von ψp zu untersuchen, wurde
bei den Messungen die bekannte Permanetmagnetflussverkettung ψp variiert. Damit
erhält man aus (5.7) bei Vorgabe stationärer Zustände und id = 0 eine modifizierte
Spannungsgleichung
uq = Rs iq + ωel ψp + ∆ψp .
(5.12)
Aufgelöst nach dem gesuchten Ständerwiderstand ergibt sich dann als Gleichung zur
Beschreibung der Kurvenform der berechneten Widerstände:
Rs =
ωel ∆ψp
uq − ωel ψp
−
iq
iq
(5.13)
Der erste Term in Gleichung (5.13) steht für den idealen Anteil des Ständerwiderstands, der zweite Teil für den Fehler, den man aufgrund der nur fehlerbehaftet
bekannten Permanentmagnetflussverkettung macht. Folgende Schlussfolgerungen lassen sich aus der Gleichung ziehen und auch in den Messungen beobachten: Zum einen
ist der Anteil wegen der fehlerbehafteten Permanentmagnetflussverkettung ψq vom
Vorzeichen des Stromes iq und damit des Drehmoments abhängig. Zum anderen gilt
die Tatsache: Je größer der Strom iq ist, desto weniger macht sich ∆ψp bemerkbar,
da der Strom im Nenner steht. Schließlich ist der Fehler im Ständerwiderstand bei
konstantem iq linear von der Drehzahl ωel abhängig.
Die Abbildungen 5.4 bis 5.6 zeigen die berechneten Widerstände für den Prüfstand B.
Variiert wurde die Flussverkettung ψp um 10 % vom idealen Wert. Dargestellt wurde
wieder der Fehler des identifizierten Ständerwiderstands Rs zu dessen realem Wert,
ein Wert von 1,2 entspricht somit einem Fehler von 20 % bezogen auf den realen Widerstand. Während bei ideal bekannter Flussverkettung (Abbildung 5.5) noch eine relativ gute Bestimmung des Widerstands möglich ist, reicht bereits eine Variation der
Flussverkettung um ±10 % aus, um die Berechnung des Widerstands bei Drehzahlen
ungleich null praktisch unmöglich zu machen. Weiterhin ist auch bei dieser Messung
bis Nennbelastung gut zu erkennen, dass die Berechnung umso schlechter wird, je
kleiner der Strom iq ist. Bei iq = 0 ist die Berechnung überhaupt nicht mehr möglich.
Daraus folgt schließlich, dass diese Adaptionsmethode nur bei kleinen Drehzahlen
146
5 Ständerwiderstand und -temperatur
1.1
Rs,ident
Rs,r eal
1.5
−1
1
−0.5
0.5
1.05
1
0.95
0
−1
0.1
0
0.1
0
n
nn
−0.1
1
0.5
0.05
0
0
M
Mn
−0.05
n
nn
(a) 3D-Ansicht
0.9
M
Mn
0.85
−0.1 1
(b) Draufsicht
Abbildung 5.4: (Prüfstand B) Ständerwiderstandsidentifikation nach Gleichung (5.11) mit einer zugrunde liegenden Permanentmagnetflussverkettung: ψp = 0, 9 · ψp,r eal .
1.1
Rs,ident
Rs,r eal
1.5
−1
1
−0.5
0.5
0
1.05
1
0.95
−1
0.1
0
0.1
0
0
n
nn
−0.1
1
0.5
0.05
M
Mn
(a) 3D-Ansicht
0
−0.05
n
nn
0.9
M
Mn
0.85
−0.1 1
(b) Draufsicht
Abbildung 5.5: (Prüfstand B) Ständerwiderstandsidentifikation nach Gleichung (5.11) mit einer zugrunde liegenden Permanentmagnetflussverkettung: ψp = ψp,r eal .
und bei gleichzeitig hohem iq -Strom angewendet werden kann, da die Flussverkettung der Permanentmagnete in aller Regel nicht genau genug bekannt ist. Die Messung am Prüfstand C zeigt bereits bei als ideal angenommener Flussverkettung ψp
deutliche Identifkationsfehler. Nur bei hohen iq -Strömen, also bei hoher Belastung,
und gleichzeitig niedriger Drehzahl des Antriebssystems ist eine gute Identifikation
des Ständerwiderstands Rs möglich.
Man sieht also, dass dieses einfache Identifikationsverfahren, das auf der passiven
Auswertung der Spannungsgleichungen im rotorfesten Koordinatensystem beruht, nur
5.2 Konventioneller Ansatz
147
1.1
Rs,ident
Rs,r eal
1.5
−1
1
−0.5
0.5
1.05
1
0.95
0
−1
0.1
0
0.1
0
n
nn
−0.1
1
0.5
0.05
0
0
M
Mn
−0.05
n
nn
(a) 3D-Ansicht
0.9
M
Mn
0.85
−0.1 1
(b) Draufsicht
Abbildung 5.6: (Prüfstand B) Ständerwiderstandsidentifikation nach Gleichung (5.11) mit einer zugrunde liegenden Permanentmagnetflussverkettung: ψp = 1, 1 · ψp,r eal .
1.1
1.5
1.05
Rs,ident
Rs,r eal
−1
1
−0.5
1
0.5
0
−1
0
0.95
0.5
0
0.5
0.5
0
0
−0.5
n
nn
1
M
Mn
(a) 3D-Ansicht
n −0.5
nn
M
Mn
0.9
1
(b) Draufsicht
Abbildung 5.7: (Prüfstand C) Ständerwiderstandsidentifikation nach Gleichung (5.11) mit einer zugrunde liegenden Permanentmagnetflussverkettung: ψp = 1, 0 · ψp,r eal .
bei wenigen Betriebspunkten gute Ergebnisse liefert. Daher wird nun ein Verfahren
vorgestellt, das auf einer aktiven Einspeisung von Testsignalen in die Maschine beruht
und damit eine gute Identifikation des Ständerwiderstands im gesamten Betriebsbereich der Maschine möglich macht.
148
5 Ständerwiderstand und -temperatur
5.3 Identifikation mit Testsignalen
Wie im vorangegangen Kapitel erläutert, hat eine reine Identifikation mit Systemgrößen, also ohne Eingriff in den laufenden Betrieb des Antriebssystems, eine Reihe von
Nachteilen. Insbesondere ist es bei diesen Verfahren nur innerhalb bestimmter Betriebsbereiche möglich, eine Identifikation des ohmschen Ständerwiderstands durchzuführen. Gewünscht ist aber die Möglichkeit der Identifikation über einen weiteren
Betriebsbereich. Hierzu wird nun ein Verfahren vorgestellt, welches mit Hilfe von niederfrequenten id -Strom-Testsignalen die ud -Spannungsgleichung auswertet [K-2, K-3].
Erwähnt wird ein auf den ersten Blick ähnliches Prinzip bereits im Jahr 1993 in [131]
auf den Seiten 276-278. Signifikante Unterschiede zu dem hier vorgestellten Verfahren sind sowohl die Art der Auswertung der Spannungsantworten als auch die Form
des eingespeisten Testsignals.
Das vorrangige Ziel bei der Entwicklung des vorgestellten Verfahrens war, einen sowohl ressourcenschonenden als auch robusten Algorithmus zu entwickeln. Der gesamte Identifikationsprozess läuft innerhalb des rotorfesten d,q-Koordinatensystems
ab. Für die Ständerwiderstandsidentifikation können damit prinzipiell sowohl die ud Spannungsgleichung (2.51) auf Seite 21 als auch die uq -Spannungsgleichung (2.52)
verwendet werden, beide sind abhängig von Rs und somit prinzipiell für die Identifikation geeignet. Die uq -Gleichung scheidet jedoch aus: Der benötigte alternierende
iq -Teststrom würde ein unerwünschtes Pendelmoment erzeugen. Es wird daher Gleichung (2.51) als Basis für die Identifikation verwendet. Der Einfluss des Teststroms in
d-Richtung auf das abgegebene Drehmoment ist wesentlich geringer und beschränkt
sich auf die Kreuzkopplungseffekte innerhalb der Maschine. Zudem wird die Flussverkettung lediglich im später noch beschriebenen Term der Eisenverluste benötigt und
geht nicht drehzahlabhängig als weitere Unbekannte in die Berechnung mit ein.
Das entwickelte Verfahren beruht auf der Annahme, dass die relevanten Störungen
der Messsignale zum Teil Gleichtaktstörungen beziehungsweise Offsetfehler sind. So
wirkt sich zum Beispiel eine Ungenauigkeit der Umrichterlinearisierung in zwei ähnlichen Betriebszuständen ähnlich aus, die Differenz aus diesen beiden Störungen enthält damit diesen Fehler in einem deutlich geringeren Maß. Gleiches gilt für die Ungenauigkeiten der Induktivitäten Ld und Lq , die Drehzahl und die Ströme hingegen
sind meist mit einer guten Genauigkeit bekannt. Daher werden mit Hilfe eines Testsignalstroms zwei sinnvolle Zustände generiert, deren Messgrößen Spannung, Strom,
Geschwindigkeit und Induktivitäten voneinander abgezogen werden, um die Offsetfehler zu eliminieren. Geschwindigkeitsabhängige Fehler und Messrauschen werden
bereits vorher durch eine geeignete Filterung der Messsignale entfernt. Eine genauere
Beschreibung der Filterung findet sich in Kapitel 5.3.3 ab Seite 154. Die beiden Zustände werden im Folgenden mit
(1)
and
(2)
bezeichnet. Es ergeben sich aus (2.51) die
5.3 Identifikation mit Testsignalen
149
beiden Gleichungen
(1)
ud
(2)
ud
(1) (1)
=
(1)
Rs id
(i ,iq )
+ Lddd
=
(2)
Rs id
(i ,iq )
+ Lddd
(2) (2)
(1)
did
(1)
(i
(1) (1)
,iq )
(2)
(i
(2) (2)
,iq )
− ωel Lq d
dt
(2)
did
− ωel Lq d
dt
(1)
iq
(2)
iq
und
(5.14)
.
(5.15)
Werden nun die Gleichungen (5.14) und (5.15) ineinander eingesetzt, so ergibt sich
zunächst ganz allgemein
(2)
(2) (2)
(i ,iq ) did
(1)
(2)
(1)
(2)
ud − ud = Rs id − id + Lddd
dt
(i
(1) (1)
,iq )
− Lddd
(1)
did
dt
(2)
(i
(2) (2)
,iq )
− ωel Lq d
(2)
(1)
(i
(1) (1)
,iq )
iq + ωel Lq d
(1)
iq
.
(5.16)
Eine Vereinfachung dieser Gleichung kann erreicht werden, wenn die Ableitungen
gleich null gesetzt werden. Dies ist möglich, wenn lediglich stationäre Zustände ausgewertet werden. Auf den ersten Blick widerspricht diese Annahme dem Prinzip eines
Testsignals. Allerdings wird ein besonderes, rechteckförmiges Testsignal mit einer
niedrigen Frequenz gemäß Abbildung 5.8 verwendet, welches auf den d-Strom aufmoduliert wird. Daher kann davon ausgegangen werden, dass zum Ende jeder Testsignalperiode ein stationärer Betriebspunkt vorliegt. Wertet man die Größen an den
itest
(1)
(2)
t
Abbildung 5.8: Prinzipieller Verlauf des rechteckförmigen Testsignalstroms
beiden in der Abbildung eingezeichneten Zeitpunkten
(1)
und
(2)
aus und unterstellt
weiterhin, dass die Frequenz des Rechtecksignals genügend klein ist, so kann von stationären Zuständen an den beiden Zeitpunkten
(1)
und
(2)
ausgegangen werden. Es
gilt damit
(1)
did
dt
(2)
=
did
dt
!
=0.
(5.17)
Die Testsignalfrequenz bewegt sich bei den betrachteten Prüfständen im Bereich von
wenigen Hertz. Unter Annahme stationärer Zustände vereinfacht sich Gleichung (5.16)
zu
(2) (2)
(1) (1)
(2) (i ,iq ) (2)
(1) (i ,iq ) (1)
(2)
(1)
(2)
(1)
iq + ωel Lq d
iq .
ud − ud = Rs id − id − ωel Lq d
(5.18)
150
5 Ständerwiderstand und -temperatur
Damit kann die Gleichung für den identifizierten Ständerwiderstand gemäß (5.18) geschrieben werden:
Identifikation von Rs
Rs,ident =
1
(2)
id
(2)
(1)
− id
(1)
· ud − ud
(2) (2)
(2) (i ,iq ) (2)
+ ωel Lq d
iq
(1) (1)
(1) (i ,iq ) (1)
− ωel Lq d
iq
!
(5.19)
Bei Antriebssystemen mit hohem Trägheitsmoment verändert sich die Winkelgeschwindigkeit ωel innerhalb einer Taktperiode des Testsignals nicht signifikant. Von konstanten Winkelgeschwindigkeiten
(1)
(2)
ωel = ωel = ωel ,
(5.20)
ausgehend, vereinfacht sich Gleichung (5.16) zu
(2)
ud
(1)
− ud
= Rs
(2)
id
(1)
− id
(2) (2)
− ωel
(i ,iq ) (2)
iq
Lq d
(1) (1)
(i ,iq ) (1)
iq
− Lq d
!
.
(5.21)
Aus (5.21) ergibt sich schließlich die vereinfachte Identifikationsgleichung für den
ohmschen Ständerwiderstand unter der Annahme, dass die Winkelgeschwindigkeit
des Antriebssystems innerhalb einer Testsignalperiode konstant bleibt:
Identifikation von Rs , ωel = const.
"
1
!
(1)
(2)
Rs,ident = (2)
· ud − ud
(1)
id − id
(2) (2)
+ ωel
(i ,iq ) (2)
iq
Lq d
(1) (1)
(i ,iq ) (1)
iq
− Lq d
!#
(5.22)
Aus den Gleichungen (5.19) und (5.22) folgt, dass im Stillstand für die Identifikation lediglich ud und id relevant
gilt, je höher die Teststromamplitude, also
sind. Außerdem
(2)
(1)
ist, desto geringer ist der Identifikationsfehler. Die
je größer die Differenz id − id
Drehzahl des Antriebssystems und die Ströme können mit einer hohen Genauigkeit
gemessen werden. Damit verbleiben als wesentliche Fehlerquellen:
• Die Induktivität Lq . Induktivitäten können zwar mit den in Kapitel 4 vorgestellten Verfahren gut und genau identifiziert werden, die absolute Genauigkeit ist
jedoch geringer als die einer direkten Strommessung. Der Grund hierfür ist, dass
die Induktivitätswerte aus mehreren Strom- und Spannungsmesswerten berechnet werden. Insbesondere die Spannungsmessungen enthalten weiterhin Linearisierungsfehler. Allerdings ist es ein Vorteil des vorgestellten Identifikationsverfahrens, dass der absolute Wert der Induktivität nicht von allzu großer Bedeutung ist. Wenn die Identifikationsgleichung (5.22) mit konstanter Drehzahl
5.3 Identifikation mit Testsignalen
151
und Belastung betrachtet wird, ist der absolute Wert sogar völlig unbedeutend.
Geht man nämlich davon aus, dass innerhalb einer Periode des Testsignalstroms
(1)
(2)
iq ≈ iq
gilt, geht der von Drehzahl und Induktivität abhängige Term mit
(2)
ωel iq
(i ,iq )
Lq d
(1)
(i ,iq )
− Lq d
!
in die Ständerwiderstandsidentifikation ein. Das heißt, dass lediglich die Änderung der Induktivität – also der Verlauf der Kennfläche – relevant ist, nicht der
absolute Betrag. Natürlich unterliegt auch die Induktivitätsdifferenz potentiell
einem Fehler, allerdings wirkt sich dieser weniger aus als der absolute Fehler
der Induktivitätsmessung.
• Die Spannung ud . Sie kann nicht direkt an den Ausgangsklemmen gemessen wer-
den, sie wird nur aus den Ansteuersignalen für die IGBTs berechnet. Die nichtlinearen Eigenschaften eines Pulsumrichters müssen hierbei kompensiert werden.
Einige Verfahren zur Umrichterlinearisierung mit den verschiedensten Ansätzen
sind im Kapitel 2.3, Seiten 26ff, beschrieben. Da auch ud nur in einer Differenz
in der Identifikationsgleichung vorkommt, sind hier reine Offsetfehler für das
Identifikationsergebnis nicht relevant.
5.3.1
Berücksichtigung der Eisenverluste
Bislang wurde die Identifikationsgleichung für die Bestimmung des ohmschen Ständerwiderstands ohne Berücksichtigung von Eisenverlusten hergeleitet. Da die Eisenverluste einen signifikaten Einfluss auf das Identifikationsergebnis haben, werden sie
nun gemäß den Definitionen in Kapitel 3 berücksichtigt. Gemäß Gleichung (3.69) auf
Seite 74 müssen die Gleichungen (5.14) und (5.15) erweitert werden:
(1)
ud
=
(1)
Rs id
(1) (1)
(1) (i ,iq ) (1)
+ ξq Ld d
id
(1) (1)
(i ,iq )
+ Lddd
(1)
did
dt
(1)
(i
(1) (1)
,iq )
− ωel Lq d
(1)
(1)
iq + ξq ψp
(5.23)
(2)
ud =
(2)
(2) (2)
(2) (2)
(id ,iq ) did
(2)
(2) (id ,iq ) (2)
Rs id + ξq Ld
id + Ldd
dt
(2)
(i
(2) (2)
,iq )
− ωel Lq d
(2)
(2)
iq + ξq ψp .
(5.24)
152
5 Ständerwiderstand und -temperatur
Setzt man die beiden um den Einfluss der Eisenverluste erweiterten Gleichungen (5.23)
und (5.24) ineinander ein, so ergibt sich analog zu Kapitel 5.3
(2) (2)
(1) (1)
(2)
(2) (i ,iq ) (2)
(1)
(2)
(1) (i ,iq ) (1)
(1)
id − ξq Ld d
ud − ud = Rs id − id + ξq Ld d
id
(2)
did
(2) (2)
(i ,iq )
+ Lddd
dt
(2) (2)
(id ,iq )
(2)
(1)
(i ,iq )
− Lddd
did
(2)
(i
(1) (1)
(1)
dt
(1) (1)
,iq )
− ωel Lq
iq + ωel Lq d
(2)
(1)
.
+ ψp ξq − ξq
(1)
iq
(5.25)
Für die Identifikation des Ständerwiderstands resultiert damit bei Voraussetzung rein
stationärer Zustände, also
(1)
did
dt
(2)
did
=
dt
!
=0,
ganz allgemein die Identifikationsgleichung für den Ständerwiderstand unter Berücksichtigung der Eisenverluste nach Kapitel 3:
Identifikation von Rs mit ξ
Rs,ident =
1
(2)
(1)
id − id
(2)
(i
(2)
(1)
(2)
(1)
· ud − ud − ψp ξq − ξq
(2) (2)
,iq )
− ξq Ld d
(2)
(1)
(i
(1) (1)
,iq )
id + ξq Ld d
(2) (2)
(2) (i ,iq ) (2)
+ ωel Lq d
iq
(1)
id
(1) (1)
(1) (i ,iq ) (1)
− ωel Lq d
iq
!
(5.26)
Unter der Annahme konstanter Geschwindigkeit des Antriebssystems vereinfacht sich
Gleichung (5.25) zu
(2) (1)
(1) (1)
(2) (i ,iq ) (2)
(1) (i ,iq ) (1)
(2)
(1)
(2)
(1)
id − ξq Ld d
id
ud − ud = Rs id − id + ξq Lq d
!
(2) (2)
(1) (1)
(i ,iq ) (2)
(i ,iq ) (1)
(2)
(1)
i q − Lq d
− ωel Lq d
iq
.
+ ψp ξq − ξq
(5.27)
Damit ergibt sich für die Ständerwiderstandsidentifikationsgleichung unter Berücksichtigung der Eisenverluste bei konstanter Geschwindigkeit
Identifikation von Rs mit ξ, ωel = const.
"
1
(2)
(1)
(1)
(2)
Rs,ident = (2)
ξ
−
ξ
−
ψ
−
u
·
u
q
q
p
d
d
(1)
id − id
(2)
(i
(2) (2)
,iq )
− ξq Ld d
(2) (2)
+ ωel
(2)
(1)
(i
(1) (1)
,iq )
id + ξq Ld d
(i ,iq ) (2)
Lq d
iq
(1) (1)
(1)
id
(i ,iq ) (1)
− Lq d
iq
!#
.
(5.28)
5.3 Identifikation mit Testsignalen
153
Bei Berücksichtigung der Eisenverluste müssen im Gegensatz zu den Gleichungen
(5.19) und (5.22) also zusätzlich noch die Induktivität Ld und die Permanentmagnetflussverkettung ψp bekannt sein. Zur Vereinfachung wird für die Implementierung
ein konstantes ψp angenommen.
5.3.2
Erzeugung der Offsetsignale
Das in den vorherigen Kapiteln vorgestellte Testsignalverfahren benötigt zwei Zustände mit voneinander verschiedenem id -Strom. Auch wenn die Identifikation nicht ständig aktiv sein muss, so muss der identifizierte Widerstand doch zumindest über mehrere Testsignale gemittelt werden. Daher werden lediglich periodische Testsignale in
Betracht gezogen. Abbildung 5.9 zeigt zwei mögliche Testsignalverläufe. Beide wurden hinsichtlich ihrer Verwendbarkeit am praktischen Aufbau getestet. Der treppen-
t
(a) Treppenförmiger Testsignalverlauf
t
(b) Rechteckförmiger Testsignalverlauf
Abbildung 5.9: Zwei mögliche Verläufe der Offsetsignale
förmige Testsignalverlauf in Abbildung 5.9a ist asymmetrisch um den Nullpunkt und
prägt lediglich feldschwächende id -Offsetsignale ein. Ein ähnliches Testsignal mit verschiedenen Stufen wird in [110] verwendet. Messungen am Prüfstand B haben schnell
gezeigt, dass ein Offsetsignal nach Abbildung 5.9b bessere Ergebnisse liefert. Nach
einigen Tests hat sich das Rechtecksignal 5.9b ohne Gleichanteil als deutlich positiver herausgestellt, da aufgrund dessen Symmetrieeigenschaften Messabweichungen
ausgeglichen werden können. In den folgenden Betrachtungen wird daher ausschließlich dieses Rechtecksignal betrachtet. Die praktische Erzeugung der Rechtecksignale
am Prüfstand kann zum Beispiel durch eine MATLAB-Simulink S-Function realisiert
werden. Abbildung 5.10 zeigt eine mögliche prinzipielle Implementierung. Ausgehend
von einem Betrieb ohne Feldschwächung und ohne Ausnutzung der Reluktanzmomen!
te gilt jederzeit id = 0. Um den id -Sollstrom zu erhalten, muss nun noch der Offsetsignalverlauf addiert werden. Da sich die Frequenz des Offsetsignals nur im einstelligen
Hertz-Bereich bewegt und damit relativ gering ist, kann die nachgelagerte feldorientierte Regelung, insbesondere der PI-Stromregler, ohne weiteres den Sollstromverlauf
realisieren. Trotzdem muss beachtet werden, dass zu Beginn jeder Rechteckhalbwelle ein Einschwingvorgang stattfindet und die Messdaten während des Einschwingens
nicht für die im Kapitel 5.3.3 beschriebene Filterung verwendet werden dürfen.
154
5 Ständerwiderstand und -temperatur
Offsetsignal
itest
t
Vorsteuerung
PI-Stromregler
!
id = 0
∆ud
id,soll
ud
id,ist
Abbildung 5.10: Implementierung des Offsetsignals in die feldorientierte Regelung
5.3.3
Filterung
Unter idealen Voraussetzungen lässt sich der Teststrom in id -Richtung, wie in Abbildung 5.11 in dunkelblau gezeichnet, ideal rechteckförmig realisieren. Wird zusätzlich
angenommen, dass die Regler den Stromanstieg an den Flanken nicht sofort, sondern
mit einer gewissen Verzögerung realisieren, so kann davon ausgegangen werden, dass
spätestens an den beiden Zeitpunkten (1) und (2) der Endwert erreicht ist und man
zu diesen Zeitpunkten die benötigten Größen ideal messen und auswerten kann. Dieser realistischere Verlauf ist in Abbildung 5.11 hellblau eingezeichnet. In der Realität
itest
(1)
(2)
t
Abbildung 5.11: Prinzipieller Verlauf des rechteckförmigen Testsignalstroms
sehen die Verläufe jedoch nicht mehr so ideal aus. Relevant sind ohnehin nicht nur
der id -Strom, sondern auch die anderen elektrischen Größen, die zur Auswertung
der Identifikationsgleichungen aus Kapitel 5.3.1 benötigt werden. Die Abbildung 5.12
zeigt beispielhaft die resultierenden Spannungen beim Prüfstand B mit der Synchronmaschine mit vergrabenen Magneten. Hier ist der Effekt am deutlichsten ausgeprägt.
Gut zu erkennen ist eine überlagerte, drehzahlproportionale Frequenz. Die Amplitude
der überlagerten Frequenz ist in diesem Fall sogar größer als die durch den Teststrom
hervorgerufene Spannungsamplitude. Ohne Filterung der Messsignale würde eine Adaption des Ständerwiderstands so nicht möglich sein, da die Signale sowohl verrauscht
als auch die d,q-Größen im Allgemeinen mit der 6. Harmonischen der Drehzahl überlagert sind. Letztere ist aufgrund der 5. und 7. Harmonischen in den dreiphasigen
Größen vorhanden, welche wiederum von der nicht sinusförmigen Permanentmagnet-
5.3 Identifikation mit Testsignalen
155
u [V]
25
uq
20
0
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
t
-5
-10
ud
-15
-20
Abbildung 5.12: (Prüfstand B) Spannungsverläufe ud und uq bei rechteckförmigem Testsignalverlauf.
n = 100
1
,i
min q
= 40 A
flussverkettung hervorgerufen wird [132]. Die Harmonischen in den Messgrößen sind
insbesondere bei Motoren mit vergrabenen Magneten beziehungsweise Zahnspulenwicklung im Ständer relevant, wie in Abbildung 5.12 zu erkennen ist. Bei Maschinen
mit Oberflächenmagneten tritt dieser Effekt nicht so ausgeprägt auf. Die Effekte der
Harmonischen in den induzierten Spannungen bei Motoren mit vergrabenen Magneten werden zum Beispiel in [133] beschrieben und die notwendigen Abhilfemaßnahmen erläutert. In den folgenden Unterkapiteln werden drei verschiedene Arten der
Messgrößenfilterung für die Ständerwiderstandsidentifikation vorgestellt. Ziel ist jeweils, die beiden in Abbildung 5.11 dargestellten Werte (1) und (2) innerhalb einer
Testsignalperiode möglichst gut zu messen. Dazu wird über einen kurzen Zeitraum
vor diesen Messpunkten (1) und (2), in dem die Messgrößen bereits ihre stationären
Zustände erreicht haben, gemittelt. Eine Möglichkeit besteht darin, einfach den Mittelwert über einen gewissen konstanten Zeitraum hinweg zu bilden. Im Grunde wird
hier lediglich über eine Anzahl an Messpunkten in der Vergangenheit gemittelt. In
der Simulation ist dieses Verfahren zwar gut nachzubilden, in der Praxis allerdings
nicht anwendbar: Jeder zur Filterung verwendete Messpunkt muss in einem Register
156
5 Ständerwiderstand und -temperatur
abgespeichert werden. Dies führt zu einem großen Speicherbedarf und ist daher nicht
sinnvoll realisierbar. Eine weitere Möglichkeit ist die Filterung mit einem Fenster konstanter Zeitdauer. Im Gegensatz zur ersten Variante wird hier jeweils über einen in
der Rechteckhalbwelle des Testsignals genau definierten Zeitraum gemittelt. Am Ende
dieses Zeitraums liegt ein Messwert vor, der dann später ausgewertet werden kann.
Der Vorteil hierbei: Es ist nur ein Speicherregister erforderlich, egal wie lange der zu
betrachtende Zeitraum ist.
Der Nachteil der beiden Verfahren liegt in der Schwebung, die auf den Messsignalen entstehen kann. Ursächlich für diese Schwebung ist die erwähnte den Signalen
überlagerte 6. Harmonische der Drehzahl. Entspricht die Fensterungszeit nicht exakt
einem Vielfachen der Periodendauer der 6. Harmonischen, so wird bei einer Mittelung nicht exakt der Mittelwert dieser Harmonischen berechnet, und der ausgegebene Messwert ist falsch. Die Summe der falschen Messwerte ergibt dann über einen
längeren Zeitraum betrachtet eine unerwünschte Schwebung. Eine hohe Frequenz dieser Schwebung ist weniger ein Problem, hier ist eine PT1-Filterung mit relativ kleiner
Zeitkonstante möglich. Es kann allerdings drehzahlabhängig auch möglich sein, dass
die Periodendauer der Schwebung im Minutenbereich liegt. Dies heißt, dass eine PT1Mittelung über die Messwerte ebenfalls im Minutenbereich sein müsste. Da mitunter –
insbesondere bei Maschinen mit Wasserkühlung, wie das bei Prüfstand B der Fall ist –
die thermischen Zeitkonstanten der eingesetzten Motoren auch in diesem Zeitbereich
liegen, wäre unter diesen Umständen eine Identifikation des Ständerwiderstands nicht
möglich. Dieses Problem der Schwebung wird in dieser Arbeit durch eine adaptiv angepasste Fensterung der Filtermesswerte vermieden. Abhängig von der momentanen
Drehzahl der Maschine wird die Fensterlänge auf ein Vielfaches der Periodendauer der
6. Harmonischen gesetzt. Auf diese Weise wird die Schwebung effektiv verhindert und
für alle Drehzahlen eine sichere Identifikation ermöglicht [K-2, K-3].
Einfache Mittelung
Bei dem verwendeten rechteckförmigen Testsignal ist eine PT1-Filterung der Messsignale nicht möglich, da die zu messenden Größen keinen stationären Endwert erreichen, sondern sich mit der Frequenz des Testsignals verändern. Zumindet in der
Theorie wäre eine Mittelung über die letzten x Werte möglich sofern für
x<
1
2 ftest Tab
gilt. Das heißt, zum Ende jeder Testsignalhalbwelle erhält man den Mittelwert der
Werte dieser Rechteckhalbwelle. Im Gegensatz zur PT1-Mittelung werden damit nur
die relevanten letzten x-Werte berücksichtigt. Allerdings erfordert jeder Wert, der
5.3 Identifikation mit Testsignalen
157
zur Mittelung beiträgt, ein Speicherregister. Da Register im Mikrokontroller rar sind
und erhebliche Rechenzeit für Lesen, Schreiben etc. benötigen, ist diese Methode der
Mittelung praktisch weniger geeignet. Die Abbildungen 5.13a und 5.13b zeigen einen
t
(a) Sinusförmige Störung
t
(b) Weißes Rauschen als Störung
Abbildung 5.13: Simulierter Mittelungsvorgang. Das Ergebnis ist jeweils in Dunkelblau dargestellt.
Grundlage ist immer die Rechteckschwingung des Testsignals.
Mittelungsvorgang bei zwei verschiedenen Störsignalen jeweils mit den verwendeten
Rechtecktestsignalen als Grundlage. Es ist gut zu erkennen, dass zum Ende der jeweiligen Rechtecksignalhalbwelle deren Wert gut ermittelt wird. Die dem gemittelten
Signal überlagerte Schwebung in Abbildung 5.13a entspricht genau dem erwähnten Effekt, der in der Realität aufgrund der durch die Permanentmagnete hervorgerufenen
Harmonischen auftritt, wenn die Anzahl der Mittelungspunkte nicht exakt mit dem
Vielfachen einer Periodendauer übereinstimmt. Abbildung 5.13b zeigt das Mittelungsergebnis, wenn weißes Rauschen dem Testsignal als Störung überlagert ist. Wie zu
erwarten, tritt hier keine Schwebung auf, das gefilterte Signal entspricht zum Ende
jeder Testsignalhalbwelle exakt dem gewünschten Testsignal. Wie der Messung in Abbildung 5.12 zu entnehmen ist, wird in Realität eine Mischung aus (Mess-)Rauschen
und sinusförmiger Störung auftreten. Neben der Schwebung liegt – wie bereits geschrieben – der Nachteil dieses Verfahrens vor allem in der großen Anzahl an Registern, die zu dessen Realisierung benötigt werden. Auch wenn Echtzeitrechensysteme
heute und sicherlich noch viel mehr in Zukunft keine Schwierigkeiten haben sollten,
158
5 Ständerwiderstand und -temperatur
diese Rechenleistung zur Verfügung zu stellen, so ist es dennoch sinnvoll, die Verfahren auf einen minimalen Rechenzeitverbrauch hin zu optimieren. Nur so ist eine
kostengünstige Realisierung möglich. Davon abgesehen haben die im Verlauf dieser
Arbeit verwendeten dSPACE-Systeme nicht die erforderliche Rechenleistung, um die
Filterung für alle benötigten Messwerte durchzuführen.
Filterung mit konstantem Fenster
Der Nachteil des gerade beschriebenen Verfahrens ist, dass viele rechen- und speicherintensive Register benötigt werden. Dafür steht zu jedem Zeitpunkt der Mittelungswert zur Verfügung, was im Grunde gar nicht nötigt ist. Die gefilterten Messergebnisse
werden nur an einem Zeitpunkt zum Ende einer Testsignalhalbwelle benötigt. Daher
kann das vorgestellte Verfahren dahingehend optimiert werden, dass man zwar über
die gleiche Anzahl an Messpunkten mittelt, jedoch nur während eines festen Zeitfensters innerhalb einer Rechteckhalbwelle. Statt je ein Register für jeden Messpunkt wird
hier nur ein einziges Register benötigt, egal wie viele Messpunkte verwendet werden.
Das prinzipielle Verfahren zeigt Abbildung 5.14: Innerhalb eines in der Abbildung in
Messpunkt negative Halbwelle
t
Messpunkt positive Halbwelle
Abbildung 5.14: Darstellung der Mittelung über eine Rechteckfunktion
Dunkelblau dargestellten Rechteckzeitraums werden die einzelnen Messwerte in einem einzigen Register aufsummiert und zum Ende des Zeitraums durch die Anzahl
der Summationselemente geteilt ausgegeben. Da Fensterungsdauer und Abtastzeit bekannt sind und sich im Verlauf der Regelung nicht ändern, ist die Anzahl der Summationselemente einfach berechenbar:
n=
TF enster
Tab
Der Ausgabewert entspricht damit genau dem Mittelwert der Messgröße innerhalb des
Messzeitraums. Start- und Endpunkt der Mittelung werden durch geeignete Triggerbedingungen beziehungsweise Interruptsignale vorgegeben. Die Vorteile dieses Verfahrens liegen auf der Hand: Es ist nicht nötig, die einzelnen Messwerte zu speichern,
5.3 Identifikation mit Testsignalen
159
lediglich deren Summe muss jeweils in die nächste Pulsperiode übernommen werden. Trotzdem wird nur innerhalb des vorzugebenden Rechteckfensters gemittelt, es
werden nicht die gesamten vorherigen Messwerte berücksichtigt – im Gegensatz zu
einem PT1-Glied. Die Mittelung mit einem Fenster konstanter Zeitdauer eliminiert jedoch nicht die im vorherigen Kapitel angesprochene den Messsignalen überlagerte
Schwebung.
Drehzahladaptive Filterung
Um die Schwebung aufgrund der 6. Harmonischen der Drehzahl im d,q-System auf
den Messsignalen zu verhindern, müssen die Fenster, in denen die Signalfilterung
durchgeführt wird, abhängig von der Drehzahl verändert werden. Nur wenn die Fensterdauer genau einem ganzzahligen Vielfachen der aktuellen Drehzahl entspricht, ist
die Schwebung eliminiert.
χ
x1 ·
T
2
T
2
0
x2 ·
T
t
T
2
Abbildung 5.15: Filterung der Messsignale
Die drehzahlabhängige Filterung der Messwerte wird in Abbildung 5.15 gezeigt. Innerhalb einer Rechteckhalbwelle des verrauschten Testsignals χ(t) wird ein Zeitraum
tf = x1
T
2
herausgenommen, innerhalb dessen die Mittelung durchgeführt wird. Der
Mittelwert ergibt sich schließlich zu
2
x1 T
T
2 (1−x2 )
Z
χ(t) dt .
(5.29)
T
2 (1−x1 −x2 )
Ließe man die Filterdauer tf konstant, so träte wegen der im Signal enthaltenen 6.
Drehzahlharmonischen immer dann eine Schwebung im Messwert auf, wenn die Filterdauer tf nicht exakt einem Vielfachen der 6. Harmonischen entspricht. Daher wird
die Filterdauer durch den Faktor x1 ständig der sich ändernden Drehzahl angepasst.
Damit wird die niederfrequente Schwebung effektiv vermieden. Der Faktor x2 bleibt
konstant und gibt den Abstand des Filterungsfensters zur nachfolgenden Testsignalhalbwelle vor.
In den Abbildungen 5.16 und 5.17 werden die Messergebnisse der Filterung mit konstantem Fenster mit denen des drehzahladaptiven am Prüfstand B verglichen. Darge-
160
5 Ständerwiderstand und -temperatur
0.4
0.4
0.4
0.35
0.35
0.35
0.2
0.15
0.25
0.2
0.15
0.25
0.2
0.15
0.1
0.1
0.1
0.05
0.05
0.05
0
0
0
10
20
30
t [s]
40
1
, iq = −50 A
(a) n = −75 min
0.4
0
0
10
20
30
t [s]
40
1
, iq = 50 A
(b) n = −75 min
0.4
0.35
0
0.15
0.2
0.15
0.25
0.2
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0.05
0
0
10
20
30
t [s]
40
1
(d) n = −45 min
, iq = 50 A
40
0.3
0.25
0.1
0
30
t [s]
0.4
Rs,ident [Ω]
Rs,ident [Ω]
0.2
20
0.35
0.3
0.25
10
1
, iq = −50 A
(c) n = −45 min
0.35
0.3
Rs,ident [Ω]
0.3
Rs,ident [Ω]
0.3
Rs,ident [Ω]
Rs,ident [Ω]
0.3
0.25
0
0
10
20
30
t [s]
40
0
1
(e) n = 45 min
, iq = −50 A
10
20
30
t [s]
40
1
(f) n = 45 min
, iq = 50 A
Abbildung 5.16: (Prüfstand B) Identifikationsergebnisse mit (blau) und ohne (grau) drehzahladaptive
Filterung bei einer Testsignalfrequenz von 2 Hz
0.4
0.4
0.4
0.35
0.35
0.35
0.2
0.15
0.25
0.2
0.15
0.25
0.2
0.15
0.1
0.1
0.1
0.05
0.05
0.05
0
0
10
20
30
t [s]
40
1
(a) n = −75 min , iq = −50 A
0.4
30
t [s]
40
0.4
0.3
Rs,ident [Ω]
0.35
0.2
20
1
0.3
0.15
10
(b) n = −75 min , iq = 50 A
0.35
0.25
0
0
0
0.3
0.25
0.2
0.15
0.25
0.2
0.15
0.1
0.1
0.05
0
20
30
t [s]
40
1
(d) n = −60 min
, iq = 50 A
40
0.35
0.05
10
30
t [s]
0.4
0.1
0
20
1
0.05
0
10
(c) n = −60 min , iq = −50 A
Rs,ident [Ω]
0
Rs,ident [Ω]
0.3
Rs,ident [Ω]
0.3
Rs,ident [Ω]
Rs,ident [Ω]
0.3
0.25
0
0
10
20
30
t [s]
40
1
(e) n = 45 min
, iq = −50 A
0
10
20
30
t [s]
40
1
(f) n = −45 min
, iq = 50 A
Abbildung 5.17: (Prüfstand B) Identifikationsergebnisse mit (blau) und ohne (grau) drehzahladaptive
Filterung bei einer Testsignalfrequenz von 4 Hz
5.3 Identifikation mit Testsignalen
161
stellt sind die Identifikationsergebnisse für den Ständerwiderstand im zeitlichen Verlauf. Pro Testsignalhalbwelle wird jeweils ein Widerstandswert berechnet. In Grau sind
die Ergebnisse bei Filterung mit konstanter Länge, in Blau die drehzahlabhängige Filterung dargestellt. Zu sehen sind typische Verläufe einiger ausgewählter Betriebspunkte.
Gemessen wurde bei einer Vielzahl von Betriebspunkten; eine Verschlechterung des
Filterergebnisses durch die drehzahladaptive Filterung war in keinem Punkt zu erkennen. Während bei einigen Betriebspunkten bereits bei der konstanten Filterung keine
Schwebung auftritt (zum Beispiel 5.16b und c), ist bei anderen Betriebspunkten (zum
Beispiel 5.16d-f) eine völlige Auslöschung von relativ hochfrequenten Schwebungen
zu erkennen. Bei wieder anderen Betriebspunken ist hingegen keine wesentliche Verbesserung zu erkennen (zum Beispiel 5.17c und f). Bemerkenswert und problematisch
gleichermaßen sind besonders die Betriebspunkte, die eine Schwebung mit großer Periodendauer hervorrufen (zum Beispiel 5.16a und 5.17b). Diese Schwebungen können
in keinem Fall von herkömmlichen Glättungsverfahren herausgefiltert werden; eine
Identifikation wäre in diesen Betriebszuständen nicht möglich. Daher ist gerade in
diesen Fällen die drehzahladaptive Filterung von großer Bedeutung. Gut zu sehen
ist, dass auch die Schwebungen mit großer Periodendauer völlig eliminiert werden.
Die neuartige Filterung erlaubt also die Identifikation des Ständerwiderstands in allen Betriebspunkten. Es gibt keinen singulären Betriebspunkt innerhalb des erlaubten
Bereichs, der keine zuverlässige Identifikation ermöglicht. Das neben der Schwebung
vorhandene Rauschen aufgrund der verrauschten Eingangssignale kann nicht durch
die drehzahladaptive Filterung vermindert werden. Hier wird eine klassische Filterung
verwendet, um ein glattes Ausgangssignal für den Ständerwiderstand zu erhalten. An
dieser Stelle sei noch erwähnt, dass die Schwebung lediglich bei geringen Drehzahlen
eine praktische Relevanz hat. Bei höheren Drehzahlen sinkt die Relevanz, da innerhalb einer Fensterung bereits derart viele Perioden der 6. Harmonischen der Drehzahl
enthalten sind, dass die Schwebung keine relevante Amplitude mehr besitzt.
5.3.4
Implementierung in der Praxis
Implementiert werden kann die Onlineidentifikation des Ständerwiderstands auf relativ einfache Weise. Das Prinzip ist in Abbildung 5.18 graphisch dargestellt. Als Grundlage für die Identifikation müssen der stromabhängige Verlauf der Ld -Induktivitäten
und – falls die Eisenverluste berücksichtigt werden sollen – ebenso der Verlauf der
Lq -Induktivität sowie der Eisenverlustparameter ξd und ξq bekannt sein. Diese Verläufe werden offline gemessen, für die Induktivitäten ist dies zum Beispiel in Kapitel
4.2 ab Seite 97 beschrieben. Auf Basis dieser Induktivitätsverläufe werden an beiden
in Abbildung 5.11 dargestellten Zuständen (1) und (2) die Induktivitäten in Abhängigkeit von den id - und iq -Strömen den vorab gemessenen Kennflächen entnommen und
162
5 Ständerwiderstand und -temperatur
ξ
Messergebnisse
(1)
ξd
(1)
ξq
zum Zeitpunkt (1)
ωel
iq
iq
drehzahlabh.
L
Filterung
(1)
Ld
χ
x1 ·
(1)
Lq
T
2
T
2
0
iq
x2 ·
T
t
Auswertung der
T
2
Gleichung (5.26)
id
id
zur Berechnung
ψp
L
(2)
Ld
(2)
Lq
iq
von Rs unter
drehzahlabh.
Berücksichtigung
Filterung
der Eisenverluste
χ
x1 ·
Rs
T
2
id
0
id
T
2
x2 ·
ξ
T
t
T
2
(2)
ξd
(2)
ξq
ωel
iq
Messergebnisse
zum Zeitpunkt (2)
iq
offline
online
Abbildung 5.18: Prinzip der Ständerwiderstandsidentifikation
gespeichert. Auch alle anderen benötigten Parameter, wie die Drehzahl der Maschine
oder die Ständerspannungen, werden zu diesen beiden Zeitpunkten gespeichert. Anzumerken ist weiterhin, dass eine Filterung der Messwerte zwingend notwendig ist.
Verwendet wurde für die im Rahmen dieser Forschungsarbeit aufgebauten Laborprüfstände stets eine drehzahlabhängige Filterung, wie sie in Kapitel 5.3.3 ab Seite 159
beschrieben ist.
Bei der Transformation der Phasenströme in das läuferfeste d,q-Koordinatensystem
muss besonders darauf geachtet werden, dass Ströme und Spannungen zueinander
zeitsynchron transformiert werden. Während die Spannungen ud und uq , die von der
Regelung im aktuellen Abtastintervall ausgegeben werden, erst in der Mitte der darauffolgenden Periode als an der Maschine anliegend betrachtet werden können, sind die
Ströme, die im aktuellen Abtastintervall vorliegen, bereits davor gemessen worden.
Werden die Ströme zum Beispiel in der Mitte des vorherigen Abtastintervalls aufgenommen, so ergibt sich eine Verschiebung im Transformationswinkel um eine Abtastperiode. Auf die Problematik der Transformation muss immer dann geachtet werden,
wenn die Drehzahl des Antriebssystems ungleich null ist. Die Transformation der ge-
5.3 Identifikation mit Testsignalen
163
messenen Ströme und Spannungen muss daher immer mit dem Winkel durchgeführt
werden, der zum Zeitpunkt der Messung beziehungsweise Realisierung der Größen angelegen hat beziehungsweise noch anliegen wird. Definiert man als Zeitpunkt für die
Transformation die Realisierung der Spannungen am Umrichter, so müssen die Ströme mit einem Differenzwinkel zum aktuellen Läuferlagewinkel transformiert werden.
Ansonsten ergäben sich falsche Beträge für die transformierten Größen in läuferfesten Koordinaten, und die Identifikation des Ständerwiderstands wäre bei Drehzahlen
ungleich null unmöglich. Die zugehörige Gleichung zur Winkelverschiebung lautet
(tr ans)
γel
= γel − p · ωmech · Tver z .
(5.30)
Hierbei entspricht γel der gemessenen Winkellage während der aktuellen Abtastperio(tr ans)
de, γel
dem Winkel, der für die Transformation verwendet werden muss, und
Tver z der Verzögerungszeit, die zwischen Spannungs- und Strommessung liegt.
Die Rohdaten werden anschließend mit Gleichung (5.26) verarbeitet. Das Ergebnis ist
der identifizierte ohmsche Ständerwiderstand Rs . Nicht in der Abbildung 5.18 dargestellt, aber dennoch unverzichtbar, ist eine Glättung des Identifikationsergebnisses.
Eine relativ lange Glättungszeitkonstante von mehreren Sekunden ist in diesem Fall
vertretbar, da der Ständerwiderstand hier im Wesentlichen linear von der Temperatur
des Stators abhängt und dieser sich aufgrund seiner großen Wärmezeitkonstante nur
sehr langsam bezogen auf die Taktfrequenz des Umrichters erwärmt oder abkühlt.
5.3.5
Messergebnisse
Natürlich wurde auch die Ständerwiderstandsidentifikation an Prüfständen im Labor
implementiert und ausgiebig getestet. Bei vielen Antriebsaufgaben gibt es längere stationäre oder quasistationäre Phasen. Daher wurde der Ständerwiderstand zum einen
für stationäre Zustände gemessen, zum anderen gibt es je nach Antriebsaufgabe selbstverständlich mehr oder weniger häufig auch dynamische Zustände. Ein Drehmomentoder Drehzahlsprung darf unter keinen Umständen dazu führen, dass die Identifikation des Ständerwiderstands instabil wird. Daher wurden zusätzliche Messungen für
repräsentative dynamische Zustände durchgeführt.
Die Ergebnisse der Messungen in stationären Zuständen der Prüfstände A, B und C
werden in den Abbildungen 5.19 bis 5.21 gezeigt. Dargestellt ist jeweils eine Kennfläche, die das Verhältnis zwischen realem und identifiziertem Ständerwiderstand zeigt.
Das heißt also, bei einer „1“ wurde der Ständerwiderstand perfekt identifiziert. Nun
muss die Widerstandsidentifikation natürlich nicht nur in einem stationären Zustand
stabil laufen, sondern möglichst über den gesamten Betriebsbereich hinweg. Daher
wurde der Ständerwiderstand jeweils über mehr als 100 stationäre Punkte gleichmäßig über den Betriebsbereich verteilt identifiziert, wobei der Betriebsbereich durch
164
5 Ständerwiderstand und -temperatur
1.1
1.5
1.05
−1
Rs,ident
Rr eal
1
−0.5
1
0.5
0
−1
0.95
1
0
1
0
0.5
0.5
iq
iq,n
0
0
n
nn
−1
1
(a) Seitenansicht
iq
iq,n
0.9
−0.5
n
nn
−1 1
(b) Draufsicht
Abbildung 5.19: (Prüfstand A) Identifikation von Rs mit Testsignalen, Ergebnisse für den stationären
Zustand
verschiedene Drehzahlen und Drehmomente definiert wurde. Als Folge ergeben sich
die dargestellten Kennflächen. Der ideale Referenzständerwiderstand wurde für die
Prüfstände B und C aus der Temperatur des Ständers, die durch einen in den Stator
eingegossenen Temperaturfühler gemessen wurde, berechnet. Der Prüfling des Prüfstands A hatte keinen derartigen Temperaturfühler eingebaut, daher wurde hier angenommen, dass sich die Ständertemperatur während der Messung nicht verändert.
Dies wurde näherungsweise mit unterschiedlichen Methoden erreicht: Zum einen wurde der Prüfstand vor der Messung auf Betriebstemperatur gebracht und zugleich massiv durch Lüftereinsatz fremdgekühlt. Zum anderen ist in Abbildung 5.24a auf Seite
169 zu sehen, dass die Maschine sich im Gegensatz zur Messdauer eines stationären
Betriebspunkts von deutlich unter einer Minute nur sehr langsam erwärmt, obwohl bei
der Messung, die dieser Abbildung zugrunde liegt, die Fremdbelüftung sogar deaktiviert wurde. Dennoch führt diese Vereinfachung des konstanten Referenzwiderstands
dazu, dass die Messung für den Prüfstand A in Abbildung 5.19 mit einer höheren
Ungenauigkeit als die der Prüfstände B und C beaufschlagt ist. Trotzdem zeigt die
Messung gut die Wirksamkeit der Widerstandsidentifikation, die Identifikationsfehler
liegen über den gesamten Betriebsbereich unter ±10 %. Und das obwohl davon ausge-
gangen werden kann, dass die Parameterunsicherheit des Prüflings A größer ist als
die der Prüflinge B und C. Genaueres hierzu kann insbesondere für die Genauigkeit
der Induktivitätsmessungen, die eine hohe Relevanz für die Genauigkeit der Widerstandsidentifikation haben, dem Kapitel 7.2 ab Seite 203 zu den Parameterfehlern entnommen werden. Abbildung 5.20 zeigt das Identifikationsergebnis für den Prüfstand
C. Hier ist sehr gut zu erkennen, dass bis fast zur Nenndrehzahl der Maschine ein
sehr glatter Identifikationsverlauf vorliegt. Lediglich bei sehr hohen Drehzahlen zeigt
5.3 Identifikation mit Testsignalen
165
1.1
1.5
1.05
−1
Rs,ident
Rr eal
1
−0.5
1
0.5
0
−1
0
0.95
0.5
0
0.5
0.5
0
0
−0.5
n
nn
1
M
Mn
M
Mn
n−0.5
nn
(a) Seitenansicht
0.9
1
(b) Draufsicht
Abbildung 5.20: (Prüfstand C) Identifikation von Rs mit Testsignalen, Ergebnisse für den stationären
Zustand
sich ein signifikanter Fehler bei der Identifikation, der allerdings nie die 10 %-Marke
überschreitet. Weiterhin zu beobachten ist ein Identifikationsfehler immer dann, wenn
sich der Prüfling im Leerlauf befindet und das Drehmoment folglich null ist. Die Ursache hierfür ist die Umrichterlinearisierung. Ohne Belastung ist der Gesamtstrom der
Maschine
q
iges = i2d + i2q
relativ klein. Damit sind auch die drei Phasenströme eher klein, und die Umrichterlinearisierung kann nicht mehr so einfach das nötige Vorzeichen der Phasenströme
zur Kompensation der Dioden- beziehungsweise IGBT-Druchlassspannungen erkennen. Aus diesem Grund muss gerade im Bereich des Leerlaufs der id -Teststrom genügend groß gewählt werden. Für größere Belastungen könnte der Teststrom niedriger gewählt werden, was sowohl geringere ohmsche Verluste durch die niedrigere
Teststromamplitude als auch eine geringere Drehmomentwelligkeit wegen des dann
kleineren Reluktanzmomentrippels zur Folge hat. Eine variable Teststromamplitude
wurde ebenfalls in den Laborantrieben implementiert und dessen Funktionsfähigkeit
gezeigt. Allerdings wurde dieser Ansatz nicht weiter verfolgt, da sich in dieser Arbeit auf die prinzipielle Funktionsweise des beschriebenen Identifikationsverfahrens
beschränkt wird. Die Optimierung auf einen Einsatz für industrielle Zwecke könnte
in einer weiteren Arbeit untersucht werden. Anschließend zeigt Abbildung 5.21 die
Identifikationsergebnisse für den Prüfstand B mit der Maschine mit innenliegenden
Magneten und Zahnspulenwicklung. Diese Maschine war wegen der Limitationen des
zur Verfügung stehenden dSPACE-Systems in Verbindung mit dem vorhandenen Umrichter nur bis circa 10 % der Nenndrehzahl regelbar. Der Grund hierfür lag darin, dass
166
5 Ständerwiderstand und -temperatur
1.1
1.5
1.05
−1
Rs,ident
Rr eal
1
−0.5
1
0.5
0
−1
0.95
0.1
0
0.1
0
0.05
0.5
0
0
−0.1
n
nN
1
M
MN
(a) Seitenansicht
M
MN
−0.05
n
nN
0.9
−0.1 1
(b) Draufsicht
Abbildung 5.21: (Prüfstand B) Identifikation von Rs mit Testsignalen, Ergebnisse für den stationären
Zustand
die Maschine eine derart hohe Drehmomentwelligkeit aufwies, dass eine Oberwellenregelung notwendig war. Damit für diese Oberwellenregelung bei der zur Verfügung
stehenden Taktfrequenz von 2 kHz eine genügend große Anzahl an Taktperioden zur
Verfügung stand, um Sinusgrößen auszuregeln, war die Drehzahlbegrenzung auf nur
10 % der Nenndrehzahl notwendig. Innerhalb dieses Bereiches funktionierte die Widerstandsidentifikation jedoch problemlos, der Identifikationsfehler war – wie in Abbildung 5.21 gut zu sehen – stets unter ±10 %.
Wie bereits anfangs erwähnt, werden neben den stationären auch dynamische Messungen durchgeführt, um die Funktionsfähigkeit der Ständerwiderstandsidentifikation während dynamischer Zustände zu belegen. Gemessen wurden jeweils Drehzahlund Drehmomentsprünge sowie über einen längeren Zeitraum Erwärmungs- und bei
Maschine A auch Abkühlvorgänge. Letztere sind zwar keine dynamischen Messungen
im Sinne von sich in einem kurzen Zeitraum schnell veränderlicher elektrischer Größen, dennoch erreichen die Temperaturen keinen stationären Zustand, es handelt sich
hier also um dynamische Messungen bezogen auf die Temperaturveränderung.
Für den Prüfstand A zeigt Abbildung 5.22 eine Messung mit Drehzahlsprüngen von
1
(fast) null auf 500 min bei Nennbelastung. Die Drehzahl null kann aufgrund der lastseitigen Gleichstrommaschine in Verbindung mit der dann auftretenden Überlastung des
Kommutators unter Belastung nicht eingestellt werden. Gezeigt wird – wie auch in den
folgenden Abbildungen – in dem jeweils oberen Diagramm die Größe, die sich verändert, in diesem Fall ist dies die Drehzahl. Im mittleren Diagramm wird das Identifikationsergebnis für den Ständerwiderstand dargestellt: zum einen das ungeglättete Ergebnis in Schwarz, hier tauchen auch kurze Ausreißer im identifizierten Widerstand auf,
5.3 Identifikation mit Testsignalen
167
n
600
400
200
0
in
1
min
′
1.5
Rs,ident
Rs,ident
1
0.5
0 in Ω
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
500
600
Abbildung 5.22: (Prüfstand A) Drehzahlsprung unter Nennbelastung
und zum anderen in Blau das geglättete Identifikationsergebnis. In den unteren Diagrammen werden schließlich die identifizierten Temperaturverläufe in Blau und die
mit einem Thermoelement im Stator gemessenen in Schwarz dargestellt. Die Berechnung der Temperatur basiert auf dem geglätteten Widerstandsidentifikationsergebnis.
Für den Prüfstand A gibt es keine gemessenen Referenztemperaturverläufe, da die Maschine A keinen Temperatursensor im Stator verbaut hat. Abbildung 5.22 zeigt, dass
die Widerstandsidentifikation von den Drehzahlsprüngen nicht gestört wird, selbst deren Rohdaten enthalten keine Identifikationsfehler. Bei höheren Drehzahlen erkennt
man lediglich eine relativ hochfrequente Schwingung auf den Rohidentifikationsdaten,
die jedoch gut geglättet werden kann. Ihr Ursprung sind Motorharmonische, die nicht
vollständig von der drehzahlabhängigen Filterung, siehe dazu Kapitel 5.3.3 ab Seite
154, unterdrückt werden können. Auch wenn für Prüfstand A keine Referenztemperatur vorliegt, so sieht man zusätzlich, dass die Temperatur in der Maschine während
der zehnminütigen Messdauer ansteigt; die Schwankungsbreite zwischen den beiden
verschiedenen Drehzahlen beträgt circa 10◦ C und liegt damit gut im erwarteten Rahmen. Näheres zur Temperaturberechnung und deren Genauigkeit findet sich in Kapitel
5.4 ab Seite 174. Bei der folgenden Abbildung 5.23 wurde kein Drehzahlsprung, sondern ein Drehmomentsprung von null auf Nennmoment nachgebildet. Die Drehzahl
1
beträgt in diesem Fall konstante 500 min
. Es ist wieder der verbleibende Rippel auf den
Rohidentifikationssignalen zu sehen. Zusätzlich sind – im Gegensatz zur Abbildung
168
5 Ständerwiderstand und -temperatur
M
2
1
0
in Nm
′
1.5
Rs,ident
Rs,ident
1
0.5
0 in Ω
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
Abbildung 5.23: (Prüfstand A) Drehmomentsprung bei n = 250
500
600
1
min
5.22 – noch kleine Peaks bei den Drehmomentsprüngen sichtbar. Da diese Peaks nicht
betragsmäßig begrenzt wurden, beeinflussen sie die PT1-Filterung des Widerstandssignals, was sich schließlich deutlich auf die Temperaturberechnung auswirkt. Man
erkennt bei jedem Drehmomentsprung folglich einen deutlichen Temperatursprung.
Der Sprung lässt sich verhindern, wenn die Zeitpunkte, bei denen die Peaks im Rohwiderstandsidentifikationssigal auftauchen, aus der PT1-Filterung herausrechnet werden. Dieser Weg wurde hier jedoch ausdrücklich nicht beschritten, um die Auswirkung solcher Peaks auf den Rohsignalen zu verdeutlichen. Ohne diese Effekte würde
auch hier ein Temperaturhub von circa 10◦ C zwischen den beiden Lastzuständen auftauchen. Schließlich zeigt Abbildung 5.24 eine Langzeitmessung über ungefähr vier
Stunden. Zwei Stunden lang wurde der Maschinensatz A erwärmt (Abbildung 5.24a)
und direkt im Anschluss zwei Stunden lang abgekühlt (Abbildung 5.24b). Während
der Abkühlphase wurde nach circa einer Stunde ein externer Lüfter eingeschaltet, um
die Abkühlung zu beschleunigen, was deutlich in dem Temperaturverlauf sichtbar ist.
Es ist zu sehen, dass während der gesamten Messdauer eine stabile Identifikation des
Ständerwiderstands möglich war, kein einziger Identifikationswert befand sich außerhalb einer gewissen Toleranz. Weitere dynamische Messungen am Prüfstand A finden
sich im Anhang A.2.3 ab Seite 249.
Die Abbildungen 5.25 bis 5.27 zeigen gemessene Verläufe für den Prüfstand C in dynamischen Betriebszuständen. Abbildung 5.25 stellt einen Drehzahlsprung von null
5.3 Identifikation mit Testsignalen
169
M
2
1
0
in Nm
′
1.5
Rs,ident
Rs,ident
1
0.5
0 in Ω
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
20
40
60
t in Minuten
80
100
(a) Erwärmungsphase
M
2
1
0
in Nm
1.5
uq,mess
uq,stat
1
0.5
0 in Ω
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
20
40
60
t in Minuten
80
100
(b) Abkühlungsphase
Abbildung 5.24: (Prüfstand A) Erwärmung des kalten Motors bei n = 500
Abkühlung (b)
1
min
(a) und anschließende
170
5 Ständerwiderstand und -temperatur
n
1500
1000
500
0 in
0.2
1
min
′
Rs,ident
Rs,ident
0.15
0.1
0.05
0 in Ω
80
ϑmess
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
500
600
Abbildung 5.25: (Prüfstand C) Drehzahlsprung im Leerlauf
n
1500
1000
500
0 in
0.2
1
min
′
Rs,ident
Rs,ident
0.15
0.1
0.05
0 in Ω
80
ϑmess
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
500
Abbildung 5.26: (Prüfstand C) Drehzahlsprung bei Nennbelastung
600
5.3 Identifikation mit Testsignalen
171
M
150
100
50
0 in Nm
0.2
uq,mess
uq,stat
0.15
0.1
0.05
0 in Ω
80
ϑmess
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
50
100
150
200
250
300
t in Sekunden
350
Abbildung 5.27: (Prüfstand C) Erwärmungsmessung bei n = 500
400
450
1
min
1
dar, wobei sich der Maschinensatz im Leerlauf befindet. Auch wenn die
auf 1500 min
Ständerwiderstandsidentifikation weiterhin einen Fehler von unter 10 % innehat, so
kann der Abbildung in diesem Fall ein relativ großer Fehler in der Temperaturberechnung von ungefähr 20◦ C entnommen werden. Dies liegt daran, dass hier zwei ungünstige Betriebszustände zusammenkommen: zum einen die hohe Drehzahl, die in
Verbindung mit der verwendeten Taktfrequenz der Regelung bereits die physikalische
Grenze des Möglichen darstellt, zum anderen der Leerlauffall, der aufgrund von Limitationen der Umrichterlinearisierung bei Strömen um null als kritisch anzusehen ist.
Im Gegensatz zu Abbildung 5.25 befindet sich der Maschinensatz in Abbildung 5.26
unter Nennbelastung. Man erkennt hier eine sehr gleichmäßige Widerstandsidentifikation ohne signifikante Spitzen in positiver oder negativer Richtung. Dies ermöglicht
die genaue Temperaturberechnung, die gut mit der realen gemessenen Temperatur
übereinstimmt und dem Temperaturanstieg folgt. Eine weitere Messung für eine kon1
stante Drehzahl von 500 min und Nennmoment zeigt Abbildung 5.27. Gut zu sehen
ist, dass der identifizierte Temperaturanstieg sehr gut mit dem gemessenen übereinstimmt. Da es sich bei dem Prüfling um eine luftgekühlte Maschine handelt, ist die
Temperaturänderung des Ständers relativ langsam. Beim Prüfling B handelt es sich im
Gegensatz dazu um eine wassergekühlte Maschine, deren Temperaturzeitkonstante
des Stators deutlich kleiner ist, wie in den zugehörigen Abbildungen im Anschluss
gut zu sehen ist. Weitere Abbildungen zu dynamischen Vorgängen am Prüfstand C
172
5 Ständerwiderstand und -temperatur
können dem Anhang A.4.2 ab Seite 258 entnommen werden.
n
150
100
50
0 in
1
min
′
0.4
Rs,ident
Rs,ident
0.3
0.2
0.1
0 in Ω
100
ϑmess
ϑident
50
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
500
600
Abbildung 5.28: (Prüfstand B) Drehzahlsprung bei Nennbelastung
Schließlich sollen an dieser Stelle noch die Messergebnisse des Prüfstands B vorgestellt werden. Als direkter Unterschied zu den Ergebnissen der Prüfstände A und C
treten hier signifikante Schwankungen des Rohidentifikationssignals für den Ständerwiderstand auf. Dies liegt daran, dass die Maschine B aufgrund der Kombination von
Zahnspulenwicklung und innenliegenden Magneten hohe Oberwellenmomente besitzt.
In Verbindung mit der relativ niedrigen Umrichtertaktfrequenz von 2 kHz und der Tatsache, dass das verwendete dSPACE-System lediglich asynchrone Taktung beherrscht,
1
war die Drehzahl des Systems zudem auf maximal 150 min beschränkt. Dennoch zeigen die Abbildungen 5.28 bis 5.30, dass eine Identifikation von Ständerwiderstand und
-temperatur gut möglich ist. Abbildung 5.28 zeigt Drehzahlsprünge bei Belastung der
Maschine mit Nennmoment. Wenn auch die Rohidentifikation des Ständerwiderstands
relativ großen Schwankungen unterworfen ist, insbesondere bei einer Drehzahl ungleich Stillstand, so ist doch der Mittelwert des Identifikationsergebnisses konstant.
Der daraus berechnete Temperaturverlauf stimmt gut mit der gemessenen Temperatur überein. In Abbildung 5.29 werden Drehmomentsprünge von null auf Nennmoment bei nahezu Stillstand des Maschinensatzes dargestellt. Die Identifikation des
Ständerwiderstands ist hier möglich, der Temperaturverlauf der Identifikation folgt
nahezu perfekt dem der gemessenen Temperatur. Hier sieht man deutlich den Einfluss
einer Wasserkühlung auf das Temperaturverhalten des Ständers: Durch die Wasser-
5.3 Identifikation mit Testsignalen
173
M
150
100
50
0 in Nm
′
0.4
Rs,ident
Rs,ident
0.3
0.2
0.1
0 in Ω
100
ϑmess
ϑident
50
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
Abbildung 5.29: (Prüfstand B) Drehmomentsprung bei n = 30
500
600
1
min
M
150
100
50
0 in Nm
′
0.4
Rs,ident
Rs,ident
0.3
0.2
0.1
0 in Ω
100
ϑmess
ϑident
50
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
Abbildung 5.30: (Prüfstand B) Drehmomentsprung bei n = 150
500
1
min
600
174
5 Ständerwiderstand und -temperatur
kühlung können die Maschinen deutlich kleiner dimensioniert werden, die Leistungsdichte pro Volumen wird dadurch größer. Als Folge verkleinert sich auch die Temperaturzeitkonstante des Stators, und die Temperatur in der Maschine verändert sich je
nach Belastung, wie in der Abbildung 5.29 zu sehen ist, schnell. Das gleiche Temperaturverhalten kann auch Abbildung 5.30 entnommen werden, die Drehmomentsprünge
1
bei einer konstanten Drehzahl von 1000 min zeigt. Auch hier folgt das Identifikationsergebnis sowohl für den Ständerwiderstand als auch die -temperatur gut dem realen
Verlauf. Weitere Messergebnisse für dynamische Betriebszustände finden sich im Anhang A.3.3 ab Seite 255.
Als Ergebnis zu den praktischen Messungen von dynamischen Betriebszuständen kann
zusammengefasst werden, dass die Widerstandsidentifikation und damit auch die
Temperaturberechnung von Drehzahl- oder Drehmomentsprüngen nicht wesentlich
beeinflusst werden. Lediglich die Identifikationsfehler sind je nach Betriebszustand
etwas voneinander verschieden, was zum Beispiel zu scheinbaren Temperatursprüngen von bis zu 20◦ C führt, die jedoch in der Realität nicht vorhanden sind.Zu jedem
Zeitpunkt – sowohl bei den hier betrachteten Messungen als auch bei weiteren Messungen, die hier aus Platzgründen nicht alle beschrieben werden können – war die
Identifikation des Ständerwiderstands und damit auch der Ständertemperatur stabil.
5.4 Ständertemperatur
Die Identifikation der Ständertemperatur ist immer im Zusammenhang mit der Identifikation des Ständerwiderstands zu sehen. Ist der Ständerwiderstand bekannt, so
kann daraus die Temperatur des Ständers bestimmt werden. Wie bereits in Kapitel 5.1
erwähnt, wird in [125] ein Verfahren vorgestellt, um den Ständerwiderstand unter Zuhilfenahme eines hochfrequenten Stromraumzeigers zu bestimmen. Leider wird das
Verfahren nur durch Simulationen belegt. In dieser Veröffentlichung ist ebenfalls erwähnt, dass die Identifikation des Ständerwiderstands von der Geschwindigkeit und
Beschleunigung des Antriebssystems abhängt. Außerdem wurde für die Identifikation
1
verwenin der Simulation lediglich eine recht geringe Geschwindigkeit von 100 min
det. Auch in einer darauf aufbauenden Veröffentlichung [134] wurden keine Messergebnisse präsentiert. Eine weitere Veröffentlichung [123], in der die Identifikation des
Ständerwiderstands mit einem auf MRAS basierten Ansatz durchgeführt wurde, stützt
sich ebenfalls nur auf simulative Ergebnisse und hat zudem mit Parameterungenauigkeiten zu kämpfen. Sind die restlichen Parameter der Maschine nur ungenügend
bekannt, so lässt sich auch kein Referenzsystem aufstellen, das ja gerade auf diesen
Parametern beruht. In [135] werden ausführlich die verschiedenen möglichen Ansätze
zur Identifikation der Statortemperatur beschrieben und zusätzlich Messergebnisse
5.4 Ständertemperatur
175
am Prüfstand bereitgestellt. Auch wenn sich diese Aussagen auf die Asynchronmaschine beziehen, so lassen sich die grundsätzlichen Überlegungen auch auf die Synchronmaschine anwenden. Die Veröffentlichung [135] kommt zu dem Schluss, dass
die genaue Identifikation des Ständerwiderstands entweder nur bei exakt bekannten
Parametern – wie Spannungen, Drehzahl und Indukivitäten – möglich ist oder eine Beschränkung auf sehr geringe Drehzahlen notwendig ist. Folglich gilt das auch für die
darauf basierende Temperaturschätzung.
Die Ansätze in der Literatur zeigen, dass der an sich oft selbst gestellte Anspruch
an die Genauigkeit der Temperaturberechnung nur selten erreicht werden kann. So
schreibt [134], dass für eine Temperaturauflösung beziehungsweise -genauigkeit von
10◦ C der Widerstand mit einer Genauigkeit von besser als 5 % identifiziert werden
müsste. Den Beweis am Prüfstand, dass dies möglich ist, bleibt er schuldig. Die Problematik der Online-Temperaturidentifikation wird deutlich, wenn die Gleichung zur
Berechnung der Temperatur aus dem identifizierten Ständerwiderstand genauer analysiert wird:
Rs − Rs,ϑr ef
+ ϑr ef
→ ϑs =
Rs = Rs,ϑr ef · 1 + αCu ϑs − ϑr ef
αCu Rs,ϑr ef
(5.31)
In obiger Gleichung beschreibt ϑr ef die Temperatur, bei der der Referenzwiderstand
Rs,ϑr ef gemessen wurde, meist geschieht dies bei Raumtemperatur. Warum der Ständerwiderstand genau bekannt sein muss, wird klar, wenn man auf Basis von Gleichung (5.31) den Temperaturfehler abhängig vom Identifikationsfehler des Ständerwiderstands darstellt als
beziehungsweise
ϑs + ∆ϑs =
(Rs + ∆Rs ) − Rs,ϑr ef
∆ϑs =
αCu Rs,ϑr ef
∆Rs
1
·
αCu Rs,ϑr ef
+ ϑr ef
(5.32)
(5.33)
und anschließend diesen Zusammenhang, wie in Abbildung 5.31 geschehen, graphisch
veranschaulicht.
Beträgt der Fehler der Ständerwiderstandsidentifikation nur 5 %, so ergibt sich daraus nach Abbildung 5.31 ein Fehler in der Temperaturberechnung von circa 12◦ C, bei
10 % schon 25◦ C. Somit ist eine gute Temperaturberechnung noch möglich bei einem
Ständerwiderstandsidentifikationsfehler von maximal 5 %, bei höheren Fehlern wird
die Temperaturberechnung zur groben Abschätzung, insbesondere wenn die Widerstandsidentifikation einen Fehler von mehr als 10 % aufweist. Ist dies der Fall, dann
erscheint es sinnvoller, gleich einen Temperaturfühler im Ständer zu verbauen. Die
Messergebnisse für die Prüfstände B und C sind in Abbildung 5.32 dargestellt. Gezeigt
176
5 Ständerwiderstand und -temperatur
40
35
30
∆ϑs [◦ C]
25
20
15
10
5
0
0
5
∆Rs
Rr ef
10
(prozentual)
15
Abbildung 5.31: Genauigkeit der Ständertemperatur in Abhängigkeit vom Identifikationsfehler des
Ständerwiderstands
35
30
30
25
25
−1
−1
20
20
−0.5
−0.5
15
15
0
0
10
10
0.1
0.5
0.05
0.5
iq
iq,n
0
−0.05
n
nn
−0.1 1
(a) Prüfstand B
5
5
0.5
iq
iq,n
0
0
n−0.5
nn
0
1
(b) Prüfstand C
Abbildung 5.32: Temperaturidentifikation an den Prüfständen B und C
werden die Fehler der Ständertemperaturbestimmung in Bezug auf die reale Temperatur der Statorwicklungen. Basis hierfür sind die gleichen Messungen, die bereits
für die Ständerwiderstandsidentifikation in den Abbildungen 5.20 und 5.21 auf den
Seiten 165 und 166 verwendet wurden. Die Identifikationsfehler für den Ständerwiderstand sind für jeden Betriebspunkt geringer als 10 %. Trotzdem ergeben sich entgegen
der Darstellung aus Abbildung 5.31 höhere Temperaturabweichungen als 25◦ C. Dies
liegt daran, dass die Temperaturen, bei denen die Messungen durchgeführt wurden,
deutlich höher als die Referenztemperaturen waren. Der Widerstandsfehler wurde in
den Messungen der Abbildungen 5.20 und 5.21 auf den realen Widerstand bei der
5.4 Ständertemperatur
177
Messtemperatur bezogen. Wird dieser Widerstandsfehler jedoch auf den Referenzwiderstand bezogen – was gemäß Gleichung (5.33) für die Bestimmung des Temperaturfehlers nötig ist –, so ergeben sich höhere prozentuale Fehler und damit höhere
Abweichungen in den Temperaturen.
178
5 Ständerwiderstand und -temperatur
Kapitel 6
Permanentmagnetflussverkettung
Wie es der Name schon sagt, werden die in dieser Arbeit behandelten permanenterregten Synchronmaschinen durch Permanentmagnete erregt. Relevant für die Erregung
der Maschine ist der Anteil des Flusses der Magnete, der über den Luftspalt vom Läufer zum Ständer übergeht. Dieser wird Permanentmagnetflussverkettung genannt und
mit ψp bezeichnet. Der Fluss ψp über den Luftspalt ist nicht identisch mit dem Fluss,
den die Magnete hervorrufen. Letzterer ändert sich nicht aufgrund der elektrischen Betriebszustände in der Maschine, während ψp sehr wohl vom Arbeitspunkt der PMSM
abhängt. Aus einem ähnlichen Grund ist es auch kritischer, eine PMSM mit Oberflächenmagneten stark feldzuschwächen, als das bei einer Maschine mit vergrabenen
Magneten der Fall wäre. Bei Maschinen mit vergrabenen Magneten ist es möglich, dass
sich der Fluss der Permanentmagnete vollständig über das die Magnete umgebende
Eisen schließt und überhaupt nicht mehr über den Luftspalt geht. Bei Oberflächenmagneten ist die Gefahr einer irreversiblen Entmagnetisierung bei einer vergleichbar
starken Feldschwächung ungleich höher.
6.1 Permanentmagnete
Der durch die Permanentmagnete hervorgerufene Fluss ist eine Materialeigenschaft
und ändert sich vor allem als Folge von Alterungs- oder Temperatureffekten [118].
In diesem Kapitel werden einige wesentliche physikalische Grundlagen erläutert, die
zum Verständnis der Wirkungsweise von magnetischen Materialien hilfreich sind. Der
Inhalt dieses Kapitels ist stark angelehnt an das Grundlagenkapitel aus [118]. Zum
Ende dieses Kapitels wird schließlich auf die Temperaturabhängigkeit der Permanentmagnetflussverkettung eingegangen und deren Ursachen diskutiert.
Es stellt sich die grundsätzliche Frage, warum sich ein Magnet genau in eine ganz
→
bestimmte Richtung ausrichtet. Abbildung 6.1 zeigt eine von einem äußeren Feld B
179
180
6 Permanentmagnetflussverkettung
→
durchsetzte stromdurchflossene Spule mit dem Flächenelement A. Ein solches äußeres Feld könnte zum Beispiel von einem Magneten erzeugt werden. Man kann nun
diese Spule in kleine Scheiben mit der Höhe ∆y unterteilen. Solange die stromführende Spule in der x-y-Ebene und das äußere Feld in der z-Ebene ist, wirken keine Kräfte
auf die beiden langen Seiten ν1 ν2 und ν3 ν4 der Scheibe. Ist die Scheibe sehr dünn,
so kann zusätzlich vereinfachend davon ausgegangen werden, dass ν1 ν2 ≈ ν3 ν4 gilt.
Bei den beiden kurzen Enden der Scheibe bilden sich entgegengesetze Kräfte, die sich
y
i
→
A
ν1
ν2
ν3
ν4
dy
→
dF
σ
B cos σ
→
dF
B sin σ
→
B
z
x
Abbildung 6.1: Stromdurchflossene Spule im äußeren Magnetfeld (Quelle: [118])
zwar ebenso der Summe nach aufheben, jedoch nicht am gleichen Aufpunkt wirken.
Daher ergibt sich ein resultierendes Drehmoment
→
-∆M mech = ν1 ν2 · ∆y · i · B sin σ
→
= ∆ A · i · B sin σ .
(6.1)
Eine Anmerkung zu den Variablenbezeichungen: Da in diesem Kapitel sowohl Drehmoment als auch Magnetisierung vorkommen und beide mit dem Buchstaben „M“ dargestellt werden, wird innerhalb dieses Abschnitts zur besseren Unterscheidung das
mechanische Drehmoment mit Mmech bezeichnet.
Da alle schmalen Streifen den gleichen Strom führen und vom gleichen Fluss B durchsetzt werden, kann für das Drehmoment, welches auf die gesamte Spule mit der ein→
schließenden Fläche A wirkt, ebenso geschrieben werden
→
→
-M mech = A i · B sin σ .
(6.2)
→
→
→
Ersetzt man schließlich das Produkt aus Fläche und Strom gemäß µ m = A i, wird µ m
als das magnetische Dipolmoment bezeichnet. Wird über das Drehmoment integriert,
so ergibt sich die Energie, die sich im Magnetmaterial befindet, abhängig vom Winkel
→
zur magnetischen Flussdichte B :
Z
Z
→
-→
→
→
(6.3)
E = M mech dσ = µ m B sin σ dσ = − µ m B cos σ
6.1 Permanentmagnete
181
Es ist aus Gleichung (6.3) ersichtlich, dass die Energie des Magnetmaterials immer
genau dann am geringsten, also in dieser Formel am negativsten, ist, wenn der Winkel
→
σ zwischen dem magnetischen Dipolmoment µm und magnetischer Flussdichte B am
geringsten ist.
Ein Maß für die Stärke des magnetischen Dipolmoments pro Volumen gibt die Magne→
-tisierung M eines Materials an.
P→
→
-µm
.
(6.4)
M = lim
∆V →0 ∆V
→
-Das interne Feld eines Magneten wird durch dessen Magnetisierung M erzeugt. Zwi→
schen dieser und der elektrischen Feldstärke B gilt die formelmäßige Beziehung
→
→
-B = µ0 M
(6.5)
mit der Proportionalitätskonstanten µ0 . Im Allgemeinen wird die Magnetisierung nicht
in allen Bereichen eines Magneten den gleichen Wert annehmen. Auf diesen Aspekt
soll an dieser Stelle aber nicht weiter eingegangen werden, der interessierte Leser
wird an die entsprechende Fachliteratur, zum Beispiel [118, Seiten 5ff], verwiesen. Die
----→
der Magnetisierung entsprechende äquivalente Stromdichte Jm lässt sich wie folgt
darstellen:
----→
-→
Jm = ex
∂My
∂Mz
−
∂y
∂z
!
--→
+ ey
∂Mz
∂Mx
−
∂z
∂y
!
→
-+ ez
∂My
∂Mx
−
∂x
∂y
!
(6.6)
Oder einfacher unter Zuhilfenahme des Nabla-Operators als
----→
→
-Jm = ∇ × M .
(6.7)
→
Ist nun neben der Magnetisierung noch eine äußere Stromdichte J vorhanden, so lässt
sich (6.7) als
→
→
----→
- µ0 J + Jm = ∇ × B oder umgeformt als
→
→
→
-- µ0 J = ∇ × B − µ0 M
(6.8)
(6.9)
→
→
-schreiben. Gleichung (6.9) sagt aus, dass der Magnet ein Feld B = µ0 M erzeugt, auch
→
wenn von außen kein Strom angelegt wird ( J = 0). Der Übersichtlichkeit halber wird
→
die Größe der elektrischen Feldstärke H eingeführt. Sie wird definiert gemäß
→
→
-- →
→
→
-→
µ0 H = B − µ0 M oder umgeformt als B = µ0 H + M .
(6.10)
Es ergibt sich zusammen mit Gleichung (6.9) die bekannte Darstellung
→
→
J =∇×H .
(6.11)
182
6 Permanentmagnetflussverkettung
→
Daher gilt: Ist kein von außen angelegter Strom vorhanden, so ist H gemäß Gleichung
→
(6.11) gleich null, die elektrische Flussdichte B ist jedoch nicht notwendigerweise null,
was aus Gleichung (6.9) hervorgeht.
→
→
-Zusammen mit B = µ0 M kann der Kosinusterm der Energiegleichung (6.3) umgeschrieben werden:
→
→
2 σ
E = −µ0 µ m M 1 − 2 sin
2
(6.12)
→
Die Energieveränderung E k , die auftritt wenn eine Drehung hin zur Vorzugsachse
(σ = 0) stattfindet, kann nun abgespalten werden:
→
σ
→
E k = 2 µ0 µ m M sin2
2
(6.13)
Die aufzubringende Arbeit ist natürlich dann am größten, wenn der Verschiebungswinkel σ = 180◦ beträgt. Die Richtung der magnetischen Dipole ist der Richtung der
Magnetisierung entgegengesetzt, was einem instabilen Zustand entspricht. Bei realen
Materialien gibt es oftmals mehrere gleichberechtigte magnetische Vorzugsachsen, bei
Eisen zum Beispiel sechs. Dies kann durch Modifikationen der Gleichung (6.13) berücksichtigt werden, wird aber an dieser Stelle nicht näher behandelt, es sei auf die entsprechende Fachliteratur, zum Beispiel [118, 119], verwiesen. An dieser Stelle soll nur die
prinzipielle Vorgehensweise aufgezeigt werden. Legt man ein äußeres magnetisches
→
Feld H an, welches nicht der Vorzugsrichtung der magnetischen Dipole entspricht, so
wird sich ein Winkel für die Magnetisierung einstellen, der zwischen der Vorzugsrichtung und der des äußeren Feldes liegt (Abbildung 6.2). Die Magnetisierungsanteile in
→
Richtung des H-Feldes sind damit
→
-→
-M = M sat cos (σ0 − σ ) .
(6.14)
→
-M sat steht in diesem Fall für die maximal mögliche Magnetisierung, das heißt, wenn
→
alle Dipole ausgerichtet sind. σ0 ist der Winkel des H-Feldes zum Vorzugswinkel des
Magnetmaterials.
Die Energie, die aufgrund eines externen Feldes im Magneten gespeichert ist, wird
nach Gleichung (6.3) mit
--→
→
-Ef = −µ0 M sat H cos (σ0 − σ )
(6.15)
→
-bezeichnet. Zu beachten ist hierbei, dass die Größen µ0 und M sat gemäß Gleichung
(6.4) in diesem Fall austauschbar sind. Die Gesamtenergie, die im Magneten gespeichert ist, setzt sich zusammen aus der Summe der Gleichungen (6.13) und (6.15) mit
der eingeführten Materialkonstanten K1 = 8 µ0 µm M:
--→
→
→
-K1
σ
E =
sin2
− µ0 M sat H cos (σ0 − σ )
4
2
(6.16)
6.1 Permanentmagnete
183
σ0
σ
→
H
[1, 0, 0]
→
-M sat
Abbildung 6.2: Vorzugsrichtung der Magnetisierung vs. äußeres magnetisches Feld (Quelle: [118])
→
Nun stellt sich die Frage, ab welcher von außen angelegten magnetischen Feldstärke H
→
der Magnet entmagnetisiert wird. Es wird angenommen, dass das äußere Feld H genau
→
-entgegengesetzt zur Magnetisierung M angelegt und der Winkel σ0 damit zu σ0 = π
gesetzt wird. Bei Beachtung der trigonometrischen Beziehung cos (π − σ ) = − cos σ
→
ergibt sich daraus für die erste und zweite Ableitung der Gesamtenergie E
→
--→
→
-dE
K1
=
sin σ − µ0 M sat H sin σ und
dσ
4
--→
→
→
-K1
d2 E
=
cos σ − µ0 M sat H cos σ .
2
dσ
4
(6.17)
(6.18)
Im Fall der um 180◦ entgegengesetzten äußeren Feldstärke wird sich anhand der ersten Ableitung (6.17) keine minimale Magnetenergie und damit kein Wechsel der Magnetisierung in Abhängigkeit der Winkeländerung σ feststellen lassen, da sich der Winkel σ nur im Zeitpunkt des Kippens der Magnetisierung plötzlich um 180◦ verändert.
Daher ist hier die zweite Ableitung (6.18) interessant. Wird sie null, so ändert sich das
Vorzeichen der Änderung der Energieänderung. Zu diesem Zeitpunkt kippt demnach
die Magnetisierung. Die dafür aufzubringende magnetische Feldstärke heißt intrinsische Koerzitivfeldstärke Hci und lässt sich aus Gleichung (6.18) bei σ = 0 ablesen:
Hci =
K1
4 µ0 Msat
(6.19)
Jeweils beim Anlegen von mindestens der negativen beziehungsweise positiven (intrinsischen) Koerzitivfeldstärke Hci kippt die Magnetisierung Msat und wechselt ihr
Vorzeichen (Abbildung 6.3). Dieses Kippen der Magnetisierung muss im realen Betrieb
der PMSM unter allen Umständen vermieden werden. Es käme einem Totalschaden der
elektrischen Maschine gleich, denn ein Herstellen des ursprünglichen Zustands ist in
den allermeisten Fällen wirtschaftlich nicht sinnvoll. Abbildung 6.4 zeigt schließlich
→
- →
die bekannte B -H-Darstellungsform der magnetischen Eigenschaften. In der prinzipiellen Darstellung eines beispielhaften Verlaufs ist gut zu erkennen, dass die Koer→
zitivfeldstärke Hc , die benötigt wird, um das B -Feld im Magnetmaterial zu null wer-
184
6 Permanentmagnetflussverkettung
M
Msat
Hci
−Hci
H
−Msat
Abbildung 6.3: Magnetisierung in Abhängigkeit der äußeren Feldstärke (Quelle: [118])
den zu lassen, kleiner ist als die intrinsische Koerzitivfeldstärke, die ein Umkippen
des Magnetflusses bewirkt. Dies ist der Tatsache geschuldet, dass im Allgemeinen
Hc = Msat < Hci gilt.
B
µ0 Msat
−Hci
Hc
Hci
−Hc
H
−µ0 Msat
→
→
Abbildung 6.4: Magnetische Flussdichte B in Abhängigkeit der äußeren Feldstärke H (Quelle: [118])
Idealerweise sollten die Permanentmagnete keine Temperaturabhängigkeit aufweisen.
Reale Magnete weisen jedoch sehr wohl eine Temperaturabhängigkeit auf, die sich,
je nachdem, welcher Temperatur sie ausgesetzt sind, in drei Kategorien unterteilen
lässt: Werden die Magnete extrem hohen Temperaturen ausgesetzt, die nahe an die
Temperaturen kommen, die im Herstellungsprozess der Magnete benötigt werden (bei
AlNiCo-Magneten wären dies nach [118, Seite 57] zum Beispiel circa 500◦ C), so treten
permanente Veränderungen innerhalb des Magnetmaterials auf, die auch durch vollständige Neumagnetisierung nicht wieder rückgängig gemacht werden können. Allein
6.2 Identifikation mit Testsignalen
185
ein neuer Herstellungsprozess mit den entsprechend hohen Temperaturen kann die
ursprünglichen Eigenschaften wiederherstellen. Des Weiteren gibt es die Gruppe der
irreversiblen Veränderungen. Diese Gruppe beinhaltet Manipulationen (zum Beispiel
durch äußere Magnetfelder) am Permanentmagneten, die sich nicht von selbst wieder
rückgängig machen lassen, auch wenn die Manipulation nicht mehr vorliegt. Dies wird
auch als Demagnetisierung des Permanentmagneten bezeichnet. Eine Remagnetisierung reicht in diesem Fall aber aus, um die magnetischen Eigenschaften des Magneten
wiederherzustellen. Abhängig von dem Grad der Demagnetisierung ist es auch möglich, dass die Feldstärke des Magneten nur geschwächt wurde, jedoch nicht gänzlich
verschwunden ist. Als letztes gibt es noch die reversiblen Änderungen. Diese treten
ständig im normalen Betrieb auf, als Beispiel sei der Feldschwächbetrieb genannt, der
benutzt wird, um Drehzahlen oberhalb des Grunddrehzahlbereichs zu ermöglichen.
Bleiben die Temperaturschwankungen im erlaubten Rahmen, so sind diese Verändungen an der Flussdichte des Magneten reversibel.
Ein unerwünschter Effekt ist die schleichende zeitliche Veränderung der Magneteigenschaften, ausgelöst durch Alterungsprozesse der Werkstoffe. Daneben sind reversible Änderungen im Magnetmaterial wegen der Temperaturschwankungen der elektrischen Maschine im laufenden Betrieb ebenfalls nicht gewollt. Aus diesem Grund ändert sich in der Folge die Permanentmagnetflussverkettung ψp , welche jedoch zur Regelung im Allgemeinen und Drehmomentberechnung im Speziellen möglichst genau
bekannt sein muss. Da eine Schätzung der Magnettemperatur auf Basis von magnetischen Widerstandsnetzwerken äußerst aufwändig und fehleranfällig ist [136] und eine
Messung der Temperatur aus Kostengründen ebenfalls nur in wenigen Ausnahmefällen in Betracht kommt, werden im Folgenden zwei Verfahren vorgestellt, mit denen
die Flussverkettung der Permanentmagnete aus den elektrischen Größen der PMSM
online identifiziert werden kann.
6.2 Identifikation mit Testsignalen
Zunächst werden wieder die beiden grundlegenden linearisierten Spannungsgleichungen der PMSM in rotorfesten Koordinaten analysiert:
did
− ωel Lq iq
dt
diq
+ ωel Ld id + ωel ψp
uq = Rs iq + Lq
dt
ud = Rs id + Ld
(6.20)
(6.21)
Da die Flussverkettung ψp lediglich in der q-Spannungsgleichung (6.21) auftritt, kann
folglich nur diese Gleichung zur Identifikation der Permanentmagnetflussverkettung
ψp verwendet werden. Nun wäre es eine Möglichkeit, wie bei der Identifikation des
186
6 Permanentmagnetflussverkettung
ohmschen Ständerwiderstands in Kapitel 5.3 (Seiten 148ff), ein Testsignal einzuspeisen. Als Basis für die Identifikation des Ständerwiderstands wurde ein Testsignal auf
den Ständerstrom id aufmoduliert, da dieser im gleichen Term wie der Ständerwiderstand in der ud -Gleichung erscheint. Daher wäre es für die Flussverkettung ψp
sinnvoll, eine variierende Winkelgeschwindigkeit ωel zu verwenden. Da das Ziel ist,
ψp online während des regulären Betriebs zu identifizieren, ist eine Variation der
Geschwindigkeit zumeist im Allgemeinen nicht möglich. In Kapitel 6.3, 190ff, wird
gezeigt, wie eine rampenförmige Geschwindigkeitsänderung, zum Beispiel während
eines lang andauernden Beschleunigungsvorgangs bei Traktionsanwendungen, dennoch zur Identifikation verwendet werden kann. Eine Variation des iq -Stroms wäre
zum Beispiel bei Traktionsanwendungen prinzipiell denkbar: Werden zwei oder mehr
Maschinen in einem Fahrzeug eingesetzt, so wäre es denkbar den iq -Strom derart zu
variieren, dass das Gesamtdrehmoment aller Maschinen konstant bleibt. Dennoch ist
es in diesem Fall einfacher, das bereits vorhandene Testsignal zu verwenden. Die Testsignale der Identifikation der Ständerflussverkettung werden verwendet, um zwei voneinander verschiedene Betriebszustände zu generieren, über die dann die Berechnungen gemittelt werden können. Eine Identifikation der Flussverkettung nahe Stillstand
ist mit diesem Verfahren nicht möglich. Der Gleichung (6.21) ist zu entnehmen, dass
!
für den Stillstand ωel ψp = 0 gilt, ψp folglich nicht mehr in der Gleichung enthalten
und damit das System nicht beobachtbar ist. Wie die Messergebnisse in Kapitel 6.2.2
zeigen, ist der Einfluss der Eisenverluste gering, daher wird aus Gründen der Vereinfachung auf deren Berücksichtigung in den Gleichungen zur theoretischen Herleitung
verzichtet.
6.2.1
Theorie
Für die Identifikation der Flussverkettung ψp wird kein weiteres Testsignal eingespeist, sondern das gleiche Testsignal in d-Richtung verwendet wie bereits für die
Identifikation des Ständerwiderstands. Abbildung 6.5 zeigt den prinzipiellen Verlauf
des Teststroms und die zugehörigen Zeitpunkte, zu denen die elektrischen und mechanischen Größen, die ebenfalls meist diesen charakteristischen rechteckförmigen
Verlauf haben, ausgewertet werden.
Wie bereits erwähnt, gelten auch hier die linearisierten Gleichungen der Synchronmaschine entsprechend den Gleichungen (6.20) und (6.21). Bei der Identifikation der
Flussverkettung werden nur stationäre Zustände betrachtet, daher können hier die
Ableitungen der Ströme weggelassen werden, da sie im Mittel ohnehin null ergeben.
Zweckmäßigerweise wird für die ψp -Identifikation nur die uq -Gleichung (6.21) verwen-
6.2 Identifikation mit Testsignalen
itest
187
(1)
t
(2)
Abbildung 6.5: Prinzipieller Verlauf des aufmodulierten Testsignalstroms
(1)
(2)
det. Für zwei beliebige Spannungen uq
(x)
uq
(x)
= Rs iq
(x)
und uq
(x) (x)
+ ωel Ld id
gilt damit
(x)
(x)
+ ωel ψp
mit x = 1, 2 .
(6.22)
Wird davon ausgegangen, dass sich ψp zwischen zwei Rechenschritten nicht verändert, so ergibt sich schließlich
ep =
ψ
beziehungsweise
ep =
ψ
1
(1)
2 ωel
(1)
(1)
(1)
1 (1)
(2)
ψp + ψp
2
(1) (1)
uq − Rs iq − ωel Ld id
+
1
(2)
2 ωel
(6.23)
(2)
(2)
(2)
(1) (2)
uq − Rs iq − ωel Ld id
.
(6.24)
Eine weitere sinnvolle Vereinfachung kann unter der Annahme, dass sich die Geschwindigkeit ωel ebenfalls nicht signifikant zwischen zwei Rechenschritten verändert, erreicht werden. Es gilt dann
(1)
(2)
ωel ≈ ωel .
(6.25)
fel wird eingeführt, die idealerweise genau
Eine neue Variable ω
(1) !
fel
ωel = ω
∨
(2) !
fel
ωel = ω
(1)
(6.26)
(2)
entspricht, in der Realität jedoch als Mittelwert zwischen ωel und ωel angesehen
werden muss:
(1)
fel =
ω
(2)
ωel + ωel
2
(6.27)
Etwas Ähnliches gilt im Grunde für die Induktivität. Zur Vereinfachung wird hier angenommen, dass diese aufgrund des in der Amplitude nur relativ kleinen id -Teststroms
keine größere Änderung erfährt. Damit kann hier ebenfalls
(1)
(2)
Ld ≈ Ld
(6.28)
188
6 Permanentmagnetflussverkettung
e d wird eingeführt, für die gilt:
vorausgesetzt werden. Eine weitere Variable L
(1) !
ed
Ld = L
∨
(2) !
ed
Ld = L
(6.29)
Näherungsweise berechnet werden kann dieser mittlere Wert für die Ld -Induktivität,
indem man die beiden Gleichungen (6.22) voneinander abzieht:
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
e d i(2) − i(1) + ω
f
fel L
ψ
−
ψ
+ω
uq − uq = Rs iq − iq
p
p
el
d
d
(6.30)
Da der Teststrom nur in d-Richtung eingeprägt wird, kann iq im hier betrachteten
Zustand als konstant angenommen werden. Das Gleiche gilt für ψp . Damit kann Gleichung (6.30) vereinfacht werden zu
(2)
(1)
e d i(2) − i(1) .
fel L
uq − uq = ω
d
d
(6.31)
Umgeformt ergibt sich schließlich
(2)
ed =
L
(1)
uq − uq
1
.
· (2)
(1)
fel
ω
id − id
(6.32)
Ergänzt man dahingehend die Identifikationsgleichung (6.24) für die Flussverkettung
e p schreiben gemäß:
ψp , so lässt sich die identifizierte Flussverkettung ψ
ep =
ψ
1
fel
2ω
Identifikation von ψp (ωel = const.)
"
(1)
(2)
(1)
(2)
uq + uq
− Rs,ident iq + iq
e d i(1) + i(2)
fel L
−ω
d
d
(1)
fel =
mit ω
(2)
ωel + ωel
2
ed =
und L
#
(6.33)
(2)
(1)
uq − uq
1
· (2)
(1)
fel
ω
id − id
Das beschriebene Verfahren entspricht im Wesentlichen der Mittelwertbildung aus
den beiden alternierenden Betriebszuständen, die durch die Testsignaleinspeisung für
die Ständerwiderstandsidentifikation entstehen. Die Vorgehensweise zur Implementierung dieses Verfahrens in der Praxis wird zusammen mit dem Identifikationsverfahren für sich verändernde Drehzahlen in Kapitel 6.3.2 ab Seite 193 beschrieben.
6.2.2
Messergebnisse
Die Abbildungen 6.6, 6.7 und 6.8 zeigen die Identifikationsergebnisse für die Permanentmagnetflussverkettung bei den drei betrachteten Prüfständen. Dargestellt ist jeweils der Identifikationsfehler zur idealen Flussverkettung ψp in Abhängigkeit von
6.2 Identifikation mit Testsignalen
189
1.1
1.05
1.5
−1
1
ψp
ψp,n
−0.5
0.5
1
0
0.95
−1
1
0
1
0.5
0.5
0
iq
iq,n
0
0
n
nn
−1
1
iq
iq,n
0.9
−0.5
n
nn
(a) Seitenansicht
−1 1
(b) Draufsicht
Abbildung 6.6: (Prüfstand A) Identifizierte Flussverkettung abhängig von Drehmoment, ausgedrückt
durch den drehmomentbildenden iq -Strom, und Drehzahl
1.05
1.5
−1
1
1
ψp
ψp,n
−0.5
0.5
0
−1
0.5
0
0.5
0
0.5
M
Mn
0
0
−0.5
n
nn
1
(a) Seitenansicht
M
Mn
n−0.5
nn
0.95
1
(b) Draufsicht
Abbildung 6.7: (Prüfstand C) Identifizierte Flussverkettung abhängig von Drehmoment und Drehzahl
der Belastung, also dem iq -Strom beziehungsweise dem Drehmoment, und der Drehzahl. Bei Stillstand ist aufgrund der Identifikationsgleichung (6.33) keine Bestimmung
von ψp möglich, daher sind für Drehzahlen nahe null keine Messwerte angegeben.
Den Abbildungen lässt sich entnehmen, dass eine Identifikationsgenauigkeit von 10 %
möglich ist, beim Prüfstand C wurde über den gesamten betrachteten Messbereich sogar eine Genauigkeit von 5 % erreicht. Für die Maschine A mit der kleinsten Leistung
190
6 Permanentmagnetflussverkettung
1.1
1.05
1.5
−1
1
ψp
ψp,n
−0.5
0.5
1
0
0.95
−1
0.1
0
0.1
0
0.5
0.05
M
Mn
0
0
n
nn
−0.1
1
(a) Seitenansicht
M
Mn
−0.05
n
nn
0.9
−0.1 1
(b) Draufsicht
Abbildung 6.8: (Prüfstand B) Identifizierte Flussverkettung abhängig von Drehmoment und Drehzahl
gibt es jedoch Bereiche, in denen die Genauigkeit der Identifikation geringer als ±10 %
ist, dargestellt in Schwarz. Die etwas geringere Genauigkeit dieser Maschine liegt unter anderem daran, dass der absolute Wert von ψp hier deutlich geringer als bei den
beiden anderen Maschinen ist und sich damit bereits kleinere absolute Abweichungen
stärker auswirken.
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass eine Identifikation der Permanentmagnetflussverkettung ψp gut möglich ist, wenn gleichzeitig der Ständerwiderstand genau
genug bekannt ist. Eine Genauigkeit von ±10 % ist realistisch, abhängig von den Para-
metern der Maschine und den weiteren Eigenschaften des Antriebssystems.
6.3 Identifikation durch Geschwindigkeitsänderung
Bei einem Antriebssystem, welches relativ oft die Drehzahl beziehungsweise Geschwindigkeit wechselt, kann die Veränderung in der Drehzahl als Grundlage für die Flussidentifikation verwendet werden. Als Beispiel könnte man sich eine Traktionsanwendung vorstellen: Eine U-Bahn oder Straßenbahn hat oft relativ geringe Geschwindigkeiten, jedoch beinhaltet deren Fahrzyklus meist längere Beschleunigungs- und Abbremsvorgänge. Auf Basis dieser Vorgänge lassen sich mit einem Verfahren, welches
die reine Drehzahländerung des Antriebssystems auswertet, auch bei geringen absoluten Geschwindigkeiten und sogar im Geschwindigkeitsnulldurchgang Berechnungen
zur Identifikation von ψp durchführen. Als Grundlage für die folgenden Betrachtun-
6.3 Identifikation durch Geschwindigkeitsänderung
191
gen dient die in Kapitel 2.2.2 ab Seite 16 näher erläuterte Gleichung
uq = Rs iq + Lq
diq
+ ωel Ld id + ωel ψp .
dt
(6.34)
Je kleiner die Geschwindigkeit des Systems ist (im Grenzfall null), desto schlechter
lässt sich aus der Gleichung die Flussverkettung berechnen. Der Grund hierfür sind
Messungenauigkeiten und numerische Probleme, die durch eine Division durch Werte
nahe null entstehen. Bei Stillstand ist eine Auswertung sogar unmöglich. Soll jedoch –
ähnlich wie bei der Identifikation des Ständerwiderstands in Kapitel 5.3 ab Seite 148 –
ein alternierendes Testsignal verwendet werden, so müsste in diesem Fall die Drehzahl ωel verändert werden. Im Gegensatz zum id -Strom bei der Ständerwiderstandsidentifikation kann eine Drehzahl allerdings in aller Regel nicht einfach entsprechend
einem festen Schema alterniert werden. Man kann jedoch Drehzahländerungen, die
von außen vorgegeben werden, verwenden.
6.3.1
Theorie
Verwendet werden, ähnlich wie bei der Ständerwiderstandsidentifikation, zwei Zustände
(a)
und
(b) .
Es ergeben sich somit aus (6.34) im stationären Zustand die beiden
Gleichungen
(a)
uq
(b)
uq
(a) (a)
iq
(a)
(a) (a)
(a)
(6.35)
(b)
(b) (b)
(b)
(6.36)
= Rs
+ ωel Ld id + ωel ψp und
= Rs
+ ωel Ld id + ωel ψp .
(b) (b)
iq
Der stationäre Zustand ist in diesem Fall nur auf die Ströme, nicht auf Drehzahlen
bezogen. Die Ströme sollen sich also zwischen den beiden nahe beieinander liegenden
Schritten
(a)
und
(b)
nur so wenig ändern, dass
diq
dt
≈ 0 gilt. Zumindest bei Trakti-
onsanwendungen ist diese Bedingung oft erfüllt. Als weitere Vereinfachung kann nun
definiert werden, dass sich der ohmsche Ständerwiderstand Rs nicht wesentlich ändert und zudem der feldschwächende Strom id konstant ist. Es gilt damit
(a) !
Rs
(b)
= Rs
(a) !
und id
(b)
= id
.
(6.37)
Nun kann man einwenden, dass durch das rechteckförmige Testsignal in id -Richtung,
welches gleichzeitig zur Widerstandsidentifikation verwendet wird, sich der Strom id
durchaus verändert. Wenn die zwei Zustände so gewählt werden, dass immer bei positivem Testsignalstrom gemessen wird, dann kann trotz Testsignal in id -Richtung
(b)
(a)
von einer Stromdifferenz id − id
= 0 ausgegangen werden. Gleiches gilt, wenn man
beide Zustände bei negativem Testsignalstrom misst. Im Allgemeinen muss davon aus(a)
gegangen werden, dass iq
(b)
≠ iq
gilt. Der Teststrom in d-Richtung bewirkt gerade bei
Maschinen mit ausgeprägten Kreuzkopplungseigenschaften eine Rückwirkung auf die
192
6 Permanentmagnetflussverkettung
(3)
(1)
T
0
2T
(2)
(4)
Abbildung 6.9: Graphische Darstellung der einzelnen Register (1) bis (4) und deren Zuordnung untereinander
q-Achse. Der q-Strom iq muss daher ebenso mit der Testsignalfrequenz schwanken,
um das abgegebene Drehmoment konstant halten zu können. Werden diese Vereinfachungen berücksichtigt, so ergeben sich schließlich aus (6.35) und (6.36) die beiden
Gleichungen
(a)
uq
(b)
uq
(a)
= Rs iq
(b)
(a)
(6.38)
(b)
(6.39)
+ ωel ψp und
= Rs iq + ωel ψp ,
die sich nun voneinander abziehen und nach ψp auflösen lassen:
(b)
(a)
(b)
(a)
uq − uq
− Rs · iq − iq
ψp =
(b)
(a)
ωel − ωel
(6.40)
Nun stellt sich die Frage, warum Gleichung (6.40) besser konditioniert ist als Gleichung
(6.34), aufgelöst nach ψp . Zwei Hauptvorteile von Gleichung (6.40) sind in diesem
Zusammenhang besonders relevant:
1. Offsetfehler in den Messgrößen heben sich durch die Differenzenbildung heraus. Dies ist insbesondere für die Spannungen uq relevant, weil diese aus den
Umrichteransteuersignalen berechnet werden und trotz einer vorhandenen Umrichterlinearisierung nie exakt bekannt sind.
2. Ein möglicher Restfehler im Ständerwiderstand Rs wirkt sich weniger aus. Rs
geht nicht mit dem gesamten Strom iq gewichtet, sondern nur mit der meist
(b)
deutlich kleineren Differenz iq
Flussverkettung ein.
(a)
− iq
in die Identifikationsgleichung für die
Eine weitere Fehlerreduktion kann erreicht werden, wenn die aufgrund der Widerstandsidentifikation vorhandenen Testsignale verwendet werden. Abbildung 6.9 zeigt
6.3 Identifikation durch Geschwindigkeitsänderung
193
anschaulich die Testsignale und die zu den jeweiligen Zeitpunkten abgespeicherten
Messwerte, gezeichnet ist der id -Teststrom. Natürlich sind nicht nur für id derartige Register vorhanden, sondern für alle relevanten Messdaten. Für die Ständerwiderstandsidentifikation werden die beiden Register
(3)
(1)
und
(2)
verwendet. Die Register
und (4) sind lediglich für die Permanentmagnetflussidentifikation relevant und ent-
halten jeweils die vorherigen Werte der Register
(1)
und
(2) .
Auf diese Weise gibt es
jeweils zwei immer wiederkehrende Zeitpunkte, an denen der Strom id konstant ist.
Diese wären
(1)
und
(3)
sowie
(2)
und
(4) .
Es gibt damit die beiden Identifikationsglei-
chungen
Identifikation von ψp (ωel ≠ const.)
(3)
(1)
(3)
(1)
−
R
·
i
−
i
u
−
u
q
q
q
q
s
(1,3)
ψp
=
und
(3)
(1)
ωel − ωel
(4)
(2)
(4)
(2)
uq − uq
− Rs · iq − iq
(2,4)
.
=
ψp
(4)
(2)
ωel − ωel
(6.41)
(6.42)
(1,3)
Da das id -Testsignal rechteckförmig um null pendelt, werden die Ergebnisse von ψp
(2,4)
und ψp
nochmals gemittelt:
ψp =
1 (1,3)
(2,4)
ψp
+ ψp
2
(6.43)
Am Ende steht ψp zur Verfügung, welches – ähnlich wie bei der Ständerwiderstandsidentifikation – geglättet werden muss.
6.3.2
Modell
Die prinzipielle Vorgehensweise bei der Implementierung der Gleichungen zur Identifikation der Permanentmagnetflussverkettung ψp ist in Abbildung 6.10 dargestellt. Wie
bereits im vorherigen Kapitel erläutert und in der Abbildung 6.9 skizziert, müssen alle
nötigen Parameter für die vier verschiedenen Zustände im Verlauf einer Testsignalperiode gemessen und gespeichert werden. Diese werden verwendet, um die Flussverkettung zu so vielen Zeitpunkten wie möglich zu identifizieren. Hierzu wird die Berechnung von ψp bei konstanten Geschwindigkeiten nach Gleichung (6.33) aus Kapitel
6.2 mit der hier beschriebenen Identifikation bei sich verändernder Geschwindigkeit
verbunden. Bei einer Drehzahl konstant über einer Mindestschwelle ǫ1 wird das Verfahren mit konstanter Drehzahl nach Gleichung (6.33) verwendet. Ist die Drehzahl
des Systems kleiner als ǫ1 , jedoch eine Drehzahlveränderung vorhanden, die einen
Minimalwert ǫ2 überschreitet, so werden die Gleichungen (6.41) und (6.42) zur Identifikation von ψp herangezogen. Sollte eine von beiden Bedingungen nicht erfüllt sein,
194
6 Permanentmagnetflussverkettung
Aufnahme und Speicherung der Messdaten
(1)
ω =const.
ψp el
(2)
(3)
(1,3)
nach
ψp
Gleichung (6.33)
(4)
(2,4)
ψp
nach
Gleichung (6.41)
nach
Gleichung (6.42)
Mittelwertbildung
ωel > ǫ1
ωel < ǫ1 und
dωel
dt
> ǫ2
else
ψp
Auswahl
Abbildung 6.10: Prinzip der Identifikation der Permanentmagnetflussverkettung
wenn zum Beispiel eine konstante sehr kleine Drehzahl vorliegt, so ist eine Identifikation der Permanentmagnetflussverkettung nicht möglich, und es wird ersatzweise
die bisherige Flussverkettung beibehalten. Als Beispiel für den Einsatz eines solchen
Verfahrens kann man sich Traktionsanwendungen vorstellen: Im Stillstand ist keine
Identifikation von ψp möglich. Fährt der Zug schließlich an, ist die Drehzahl vorerst
noch klein, die Beschleunigung jedoch bereits so groß, dass die Permanentmagnetflussverkettung nach (6.41) und (6.42) identifiziert werden kann. Später, wenn eine
konstante hohe Geschwindigkeit und damit Drehzahl erreicht ist, kann das Verfahren
mit konstanter Drehzahl nach Gleichung (6.33) zur Identifikation eingesetzt werden.
6.3.3
Messergebnisse
Die Messergebnisse für verschiedene Beschleunigungs- beziehungsweise Abbremsvorgänge für den Prüfstand C sind in den Abbildungen 6.11 bis 6.14 dargestellt. Die
jeweils linken Graphiken zeigen schematisch den der Messung zugrunde liegenden
Drehzahlverlauf über der Zeit. Verwendet wurde jeweils ein Sägezahnverlauf mit ei1
ner Steigung von 25 bis 150 s 2 . Die mittlere Graphik stellt die identifizierte Flussverkettung für verschiedene an der Maschine anliegende Drehmomente dar. Die rechte
Graphik schließlich zeigt den prozentualen Fehler zwischen der identifizierten Flussverkettung und der realen Flussverkettung. Da die Temperatur des Läufers nicht gemessen werden konnte, wurde für die reale Vergleichsflussverkettung immer ein kal-
6.3 Identifikation durch Geschwindigkeitsänderung
1000
0.4
0
n
h
1
min
i
500
−500
10
5
∆ψp [%]
0.5
ψp,ident [Vs]
1500
0.3
0
0.2
−5
0.1
−1000
−1500
0
0
50
t [s]
195
100
−10
−100
0
M [Nm]
100
(b) ψp,ident
(a) Drehzahlverlauf
−100
0
M [Nm]
(c) Proz. Fehler zu ψp,r eal
Abbildung 6.11: (Prüfstand C) Identifizierung der Flussverkettung bei
1000
0.4
0
n
h
1
min
i
500
−500
−1500
50
t [s]
0.3
0
0.2
100
−5
−10
−100
0
M [Nm]
100
(b) ψp,ident
(a) Drehzahlverlauf
−100
0
M [Nm]
1000
0.4
i
1
min
h
n
0
−500
−1500
50
t [s]
(a) Drehzahlverlauf
100
1
s2
5
0.3
0
0.2
−5
0
0
= 50
10
0.1
−1000
dn
dt
∆ψp [%]
0.5
ψp,ident [Vs]
1500
100
(c) Proz. Fehler zu ψp,r eal
Abbildung 6.12: (Prüfstand C) Identifizierung der Flussverkettung bei
500
1
s2
5
0
0
= 25
10
0.1
−1000
dn
dt
∆ψp [%]
0.5
ψp,ident [Vs]
1500
100
−10
−100
0
M [Nm]
(b) ψp,ident
100
−100
0
M [Nm]
100
(c) Proz. Fehler zu ψp,r eal
Abbildung 6.13: (Prüfstand C) Identifizierung der Flussverkettung bei
dn
dt
= 100
1
s2
196
6 Permanentmagnetflussverkettung
1000
0.4
0
n
h
1
min
i
500
−500
10
5
∆ψp [%]
0.5
ψp,ident [Vs]
1500
0.3
0
0.2
−5
0.1
−1000
−1500
0
0
50
t [s]
100
−10
−100
0
M [Nm]
100
−100
0
M [Nm]
(b) ψp,ident
(a) Drehzahlverlauf
(c) Proz. Fehler zu ψp,r eal
Abbildung 6.14: (Prüfstand C) Identifizierung der Flussverkettung bei
0.1
600
400
−200
−400
= 150
1
s2
5
∆ψp [%]
ψp,ident [Vs]
i
1
min
h
n
0
dn
dt
10
0.08
200
100
0.06
0
0.04
−5
0.02
−600
0
50
t [s]
100
(a) Drehzahlverlauf
0
−5
0
M [Nm]
(b) ψp,ident
5
−10
−5
0
M [Nm]
5
(c) Proz. Fehler zu ψp,r eal
Abbildung 6.15: (Prüfstand A) Identifizierung der Flussverkettung bei
dn
dt
= 25
1
s2
ter Rotor angenommen. Wegen der auf der einen Seite langen Aufwärmdauer des Rotors verbunden mit den kurzen Messzyklen sollte diese Annahme gut mit der Realität
übereinstimmen. Für alle Messungen kann festgestellt werden, dass die identifizierte Flussverkettung sehr gut mit der realen übereinstimmt, der Identifizierungsfehler
liegt bei deutlich unter 5 %.
Die gleichen Aussagen lassen sich für die Messungen am Prüfstand A, dargestellt in
den Abbildungen 6.15 bis 6.18, treffen. Der Identifizierungsfehler liegt hier aufgrund
der kleineren absoluten Flussverkettung etwas höher, jedoch immer noch unter 5 %.
6.3 Identifikation durch Geschwindigkeitsänderung
0.1
600
400
0
−200
−400
5
∆ψp [%]
ψp,ident [Vs]
i
1
min
h
10
0.08
200
n
197
0.06
0
0.04
−5
0.02
−600
0
50
t [s]
0
−5
100
0
M [Nm]
5
Abbildung 6.16: (Prüfstand A) Identifizierung der Flussverkettung bei
0.1
600
400
−200
−400
dn
dt
= 50
1
s2
5
∆ψp [%]
ψp,ident [Vs]
i
1
min
h
n
0
5
10
0.08
200
0
iq [A]
(c) Proz. Fehler zu ψp,r eal
(b) ψp,ident
(a) Drehzahlverlauf
−10
−5
0.06
0
0.04
−5
0.02
−600
0
50
t [s]
0
−5
100
0
M [Nm]
5
(b) ψp,ident
(a) Drehzahlverlauf
−10
−5
0.1
400
−200
−400
= 100
1
s2
5
∆ψp [%]
ψp,ident [Vs]
i
1
min
h
n
0
dn
dt
10
0.08
200
5
(c) Proz. Fehler zu ψp,r eal
Abbildung 6.17: (Prüfstand A) Identifizierung der Flussverkettung bei
600
0
iq [A]
0.06
0
0.04
−5
0.02
−600
0
50
t [s]
(a) Drehzahlverlauf
100
0
−5
0
M [Nm]
(b) ψp,ident
5
−10
−5
0
iq [A]
5
(c) Proz. Fehler zu ψp,r eal
Abbildung 6.18: (Prüfstand A) Identifizierung der Flussverkettung bei
dn
dt
= 150
1
s2
198
6 Permanentmagnetflussverkettung
Kapitel 7
Auswirkung von Parameterfehlern
Zur Regelung von elektrischen Maschinen, aber auch als Basis für deren Simulation,
sollten die elektrischen Parameter der Maschinen idealerweise exakt bekannt sein.
Je größer die Parameterfehler sind, desto weniger bilden die Modelle, die zum Beispiel zur Vorsteuerung einer feldorientierten Regelung für eine permanenterregte Synchronmaschine benötigt werden, die Realität ab. Dies führt zwangsläufig zu einer Verringerung der Reglerdynamik. In der Simulation von Maschinen sollten die Parameter
der durch die Simulation nachgebildeten Maschine ebenfalls so genau wie möglich bekannt sein, schließlich möchte man die Eigenschaften der realen Maschine im Modell
nachbilden.
Ziel muss es also sein, die elektrischen Parameter – das sind bei einer permanenterregten Synchronmaschine im Wesentlichen der ohmsche Ständerwiderstand, der Permanentmagnetfluss und die verschiedenen Induktivitäten aus Gleichung (2.53) – möglichst exakt zu messen. Verfahren hierzu werden in den vorangegangen Kapiteln vorgestellt. Da gemessene Größen prinzipiell mit einem Fehler beaufschlagt sind, wird in
diesem Kapitel erörtert, welche Auswirkungen Messfehler haben. Nun ist es so, dass jede dieser drei Größen Auswirkungen auf alle anderen Größen und Gleichungen hat, in
denen die jeweilige Größe vorkommt. Um die Vielfalt zu verringern, wird sich im Rahmen dieses Kapitels auf zwei Hauptproblematiken beschränkt: die Auswirkungen von
Parameterfehlern auf die Drehmomentberechnung und die Lagewinkelberechnung bei
geberloser Regelung.
7.1 Theorie zur Fehlerrechnung
In der vorliegenden Arbeit werden – in unterschiedlichen Ausprägungen – aus vorliegenden beziehungsweise gemessenen Daten Werte berechnet, wie Induktivitäten,
Ständerwiderstand oder Flussverkettungen. Daraus lässt sich dann zum Beispiel bei
199
200
7 Auswirkung von Parameterfehlern
Verwendung einer geberlosen Regelung der Rotorlagewinkel berechnen. Diese Berechnungen sind zwangsläufig fehlerbehaftet. Zum einen sind dies Fehler im Bereich der
gemessenen Daten, zum anderen Fehler der Auswertung des Algorithmus. In diesem
Kapitel wird nun, basierend auf [137], beschrieben, wie die Auswirkungen von Datenfehlern die Ergebnisse beeinflussen. Allgemeinere und umfassendere Ausführungen
hierzu finden sich in [137, 138].
Im allgemeinen Fall, also bei einer Berechnung von mehreren Ausgangsgrößen aus unterschiedlichen Eingangsgrößen, wird zur Bestimmung des Fehlers einer Berechnung
eine verallgemeinerte Form des Betrags, die sogenannte Norm, benötigt. Eine Norm ist
dabei folgendermaßen definiert [137]:
Definition: Sei V ein Vektorraum über dem Körper Rn , dann heißt eine Abbildung
k·k : V → Rn Norm auf V, falls gilt:
1. kvk ≥ 0, ∀ v ∈ V . Damit bedingt kvk = 0 gleichzeitig auch v = 0
2. Für alle a ∈ R, v ∈ V gilt ka vk = |a| · kvk
3. Für alle v, w ∈ V gilt die Dreiecksungleichung kv + wk ≤ kvk + kwk
Je nach Einsatzzweck empfiehlt sich die Verwendung unterschiedlicher Normen. So ist
der Betrag ein einfaches Beispiel für eine Norm. Hierauf soll allerdings an dieser Stelle
nicht weiter eingegangen werden, es wird verwiesen auf [137]. Seien die Eingangsgrößen einer Funktion mit x ∈ X und die Ausgangsgrößen mit y ∈ Y , wobei x, y ∈ Rn
gilt, bezeichnet, so können relativer und absoluter Fehler wie folgt definiert werden:
absoluter Fehler
k∆xkX , ∆y Y
(7.1)
∆y k∆xkX
y
, δy = (7.2)
relativer Fehler
δx =
kxkX
y y
Die Größen ∆x und ∆y entsprechen hier den Differenzen zwischen gemessenen bezie-
hungsweise berechneten und den idealen Werten der Eingangs- und Ausgangsgrößen.
∆x und ∆y können damit positive und negative Werte annehmen, wobei die absoluten
und relativen Fehler aufgrund ihrer Norm stets positiv sind. Mit den Definitionen (7.1)
und (7.2) kann die relative und absolute Kondition einer Funktion f skizziert werden.
Die relative beziehungsweise absolute Kondition ist für f : X → Y folgendermaßen
definiert:
δy
δx
bzw.
∆y Y
.
k∆xkX
(7.3)
Anders ausgedrückt: Je kleiner die Werte für die relative oder absolute Kondition sind,
desto weniger sensitiv ist eine Funktion f auf gestörte Eingangsdaten. Sind zwei verschiedene Lösungswege vorhanden, dann ist derjenige Lösungsweg besser, der eine
bessere und damit kleinere Kondition hat.
7.1 Theorie zur Fehlerrechnung
201
„Die Kondition beschreibt eine Eigenschaft des Problems selbst und nicht
die Qualität einer speziellen Lösungsmethode, da exakte Auswertung von
f vorausgesetzt wird [...]. Die Kondition sagt also, mit welchen unvermeidlichen Fehlern man (bei Störung der Daten) in jedem Fall (selbst bei exakter
Berechnung) rechnen muss.“
[137, S. 19]
Sind zum Beispiel zwei verschiedene Verfahren, die die gleiche Lösung auf Basis der
gleichen Daten berechnen sollen, vorhanden, kann mit Hilfe der Kondition herausgefunden werden, welches der Verfahren einen geringeren Ausgangsfehler bei fehlerhaften Eingangsdaten hervorbringt. Liegt die zu betrachtende Funktion f in der Form
y = f (x1 , x2 , . . . xn ) ∀xn , y ∈ R
(7.4)
mit y als einem einzigen skalaren Wert vor, so lässt sich die Norm der Ausgangsgröße
vereinfachen zu
k·kY = |·| ,
(7.5)
also einem Betrag. Die Norm für die Eingangsgrößen bleibt weiterhin bestehen, da sie
in diesem Fall nicht nur aus einem Wert, sondern aus einem Vektor besteht. Unter Zuhilfenahme der Taylorreihenentwicklung mit Abbruch nach der ersten Ordnung und
einigen Umformungen [137, S. 20f] kann nun für den relativen Eingabefehler näherungsweise
n
X
f (x̃) − f (x)
≈
f (x)
j=1
x̃j − xj
∂f (x) xj
·
∂xj f (x)
xj
!
(7.6)
geschrieben werden. Die Variable x̃ steht für fehlerbehaftete Eingangswerte. Gleichung
(7.6) gilt für x̃j − xj ≪ xj , das heißt nur für relativ kleine Fehler bezogen auf den idealen Wert xj . Ist diese Bedingung nicht erfüllt, dann gilt die Näherung (7.6) nicht mehr.
Somit ergibt sich eine Beziehung zwischen dem relativen Fehlervektor der Eingabewerte
δx =
x̃1 − x1 x̃2 − x2
x̃n − xn
,
,...,
x1
x2
xn
T
(7.7)
und dem Fehler des in diesem Fall skalarwertigen Ausgabewerts
f (x̃) − f (x)
.
f (x)
(7.8)
Es gibt mehrere Möglichkeiten für die Bestimmung der Kondition. Ebenso wie es verschiedene Normen gibt, gibt es unterschiedliche Konditionen. Zwei Möglichkeiten sol-
202
7 Auswirkung von Parameterfehlern
len besonders genannt werden: Wählt man für den relativen Fehlervektor der Eingabewerte δx die 1-Norm, so repräsentiert die relative Konditionszahl κr el die Maximumsnorm. Die sich ergebende Ungleichung lautet damit
n ∂f (x) x f (x̃) − f (x) X
j x˜j − xj ∞
∞
mit κr el = κr el = max ≤ τr el (x) ·
.
∂xj f (x) xj f (x)
j=1
(7.9)
Die 1-Norm wird auch als Summennorm bezeichnet, das heißt, es gilt
kxk1 = |x1 | + |x1 | + . . . + |xn | .
(7.10)
Für die Maximumsnorm gilt hingegen
kxk∞ = max (|x1 | , |x1 | , . . . , |xn |) .
(7.11)
Möchte man δx in der Maximumsnorm messen, dann muss im Gegensatz dazu κr el in
der 1-Norm definiert werden. Daraus resultiert:
f (x̃) − f (x) x˜n − xn x˜1 − x1 1
≤ κr el (x) · max ,...,
f (x)
x1 xn mit
κr el = κr1el =
(7.12)
n
X
∂f (x) xj
.
∂xj f (x)
j=1
Im einfachsten Fall, das heißt wenn sowohl die Ausgangs- als auch die Eingangsgrößen
skalar sind, vereinfacht sich (7.12) zu
f (x̃) − f (x) x̃ − x
≤ κr el (x) ·
f (x)
x
mit
κr el = f ′ (x)
x
.
f (x)
(7.13)
Beispiele und weitere Erläuterungen hierzu finden sich unter anderem in [137, S. 23ff].
Da im Rahmen dieser Arbeit kein Vergleich der Konditionen verschiedener Berechnungsmethoden durchgeführt werden soll, sondern lediglich die Auswirkungen von
Fehlern der Eingangsgrößen auf Fehler der Ausgangsgrößen, und insbesondere auf
den hier berechneten Läuferlagewinkel für die geberlose Regelung dargestellt werden,
kann auf die Berechnung der einzelnen Kondition verzichtet werden. In Anlehnung an
Gleichung (7.6) kann für den absoluten Eingabefehler geschrieben werden
!
n
X
∂f (x) · x̃j − xj
.
f (x̃) − f (x) ≈
∂xj
j=1
(7.14)
Der Betrag des Fehlers lautet dann
n
X
f (x̃) − f (x) ≈ j=1
∂f (x) · x̃j − xj
∂xj
!
.
(7.15)
7.2 Parameterfehler
203
Soll der maximale Fehler berechnet werden, so ist Gleichung (7.15) nicht relevant, da
sich die einzelnen Fehleranteile innerhalb der Gleichung aufheben können. Der maximale Fehler ergibt sich, wenn die Betragsbildung in die Summe verschoben wird. Es
gilt
maximaler, absoluter Fehler
n X
∂f
(x)
f (x̃) − f (x)
· x̃j − xj .
max ≈
∂xj
j=1
(7.16)
Bei der Definition nach Gleichung (7.16) wird von dem ungünstigsten Fall ausgegangen:
Alle Fehler addieren sich zu dem Gesamtfehler, ein Auslöschen einzelner Fehler findet
auch von dem absoluten Maximalfehler
nicht statt. Daher wird bei f (x̃) − f (x)
max
[40] gesprochen. Im Gegensatz dazu gibt es noch andere Fehlerdefinitionen, die die
anteilige gegenseitige Auslöschung der Fehler der Eingangsvariablen berücksichtigen
[137].
7.2 Parameterfehler
Bevor in den nachfolgenden Kapiteln auf die Auswirkungen der Parameterfehler auf
die Drehmomentregelung und geberlose Regelung eingegangen wird, wird nun als erstes betrachtet, welche Auswirkung die Berechnung der Maschinenparameter aus den
gemessenen Strömen und Spannungen auf deren Genauigkeit hat. Die Parameter Rs , L
und ψp können nicht direkt gemessen werden, sondern werden aus den gemessenen
Größen (wie unter anderem den Strömen) und den der Regelung vorliegenden Größen
(wie der Aussteuergrade für den Pulsumrichter) berechnet. Daher wird im Folgenden
für die Induktivitäten, den ohmschen Ständerwiderstand und die Flussverkettung der
Permanentmagnete analysiert, welchen Fehler sie bei fehlerhaft gemessenen Eingangswerten aufweisen. Beispiele für Fehler der zugrunde liegenden Messgrößen sind Ungenauigkeiten der Umricherlinearisierung oder Toleranzen der Stromsensoren. Weil
Letztere eher klein sind, werden die gemessenen Ströme vereinfachend als ideal angenommen.
7.2.1
Induktivitäten
In den Kapiteln 4.2 und 4.3 auf den Seiten 97ff werden zwei Arten von Induktivitäten
beschrieben: absolute und differentielle. Zur Abschätzung der maximalen Fehler bei
der Induktivitätsmessung werden die Gleichungen zur Berechnung der Induktivitäten
aus den gemessenen Werten benötigt. Für die absoluten Induktivitäten gilt nach (4.73),
204
7 Auswirkung von Parameterfehlern
(4.74), (4.76) und (4.77) (ab Seite 98):
Ld =
uq − Rs iq − ωel
ωel id
und Lq = −
ud − Rs id
ωel iq
(7.17)
Zusammen mit den Ableitungen
iq
∂Lq
∂Lq
1
∂Ld
1
id
∂Ld
=
,
=−
,
=−
und
=
∂uq
ωel id
∂Rs
ωel id
∂ud
ωel iq
∂Rs
ωel iq
ergeben sich mit der in Kapitel 7.1 hergeleiteten Gleichung zur Bestimmung des maximalen Fehlers die Beziehungen für die maximalen absoluten Fehler der beiden Induktivitäten:
∆Ld ∆Lq max
max
1
i
q
=
· ∆Rs und
ω i · ∆uq + ω
i
el d
el d
1
i
d
=
· ∆ud + · ∆Rs ωel iq
ωel iq
(7.18)
(7.19)
Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Drehzahl genauso wie die Ströme der PMSM bekannt ist und die wesentlichen Fehlerfaktoren bei der Berechnung der Umrichterausgangsspannungen (Umrichterlinearisierungsfehler) und der Bestimmung des Ständerwiderstands liegen. Die Flussverkettung der Permanentmagnete ψp ist zwar ebenso
möglicherweise nicht exakt bekannt, dies wird jedoch bei der Identifikation der Induktivitäten bereits berücksichtigt: Wie die Gleichungen (4.78) und (4.79) auf Seite 99 zei(id =0,iq )
gen, werden für die Messungen der Induktivitäten noch Korrekturfaktoren ψd
(id ,iq =0)
und ψq
eingeführt, die Offsetfehler bei id = 0 bzw. iq = 0 ausgleichen. Der Kor(id =0,iq )
(id ,iq =0)
rekturfaktor ψd
wird dabei im späteren Verlauf ψp gleichgesetzt, ψq
sollte hingegen idealerweise nahe null sein. Die genaue Vorgehensweise zur Bestimmung dieser Korrekturfatoren wird im Kapitel 4.2.3 (Seiten 103ff) dargestellt. Bei Verwendung dieser Korrekturfaktoren ist die Permanentmagnetflussverkettung per Definition als bekannt vorausgesetzt und muss bei der Fehlerbetrachtung nicht mehr
berücksichtigt werden. Nachteilig an dieser Vorgehensweise ist, dass Umrichterlinea(id ,iq =0)
risierungsfehler ebenfalls in diesen Korrekturfaktor mit eingehen; bei ψq
sind
die Linearisierungsfehler sogar der überwiegende Anteil. Anders ausgedrückt: Der Korrekturfaktor ist auch dazu geeignet – zusammen mit anderen Eigenschaften des Antriebssystems –, die Funktionialität einer Umrichterlinearisierung zu überprüfen.
Der Gleichung (7.18) kann entnommen werden, dass sich der Identifikationsfehler für
die Ld -Induktivität indirekt proportional zur Geschwindigkeit und id -Strombelastung
verhält. Je höher Strom und Geschwindigkeit bei der Induktivitätsmessung sind, desto
genauer ist die Messung als solche. Da Induktivitätsmessungen über den gesamten
Stromarbeitsbereich der Maschine durchgeführt werden, variiert der Messfehler aufgrund einer fehlerhaften Umrichterlinearisierung damit abhängig vom Strom. Die Dreh-
7.2 Parameterfehler
205
zahl ist während der gesamten Messung konstant und sollte so groß wie möglich gewählt werden. Über den Einfluss eines Fehlers im Ständerwiderstand Rs bei der Identifikation der Induktivität Ld kann ebenso eine Aussage getroffen werden: Je größer
der absolute Fehler des Widerstands ist, desto ungenauer ist die Induktivitätsberechnung. Da der Ständerwiderstand sehr gut im ausgeschalteten Zustand an den Klemmen der Maschine gemessen werden kann, ist die Ursache von Widerstandsfehlern
insbesondere aufgrund nicht hinreichend bekannter Temperaturverhältnisse im Ständer zu sehen. Je größer der absolute Widerstand des Ständers ist, desto größer ist auch
der absolute Fehler des Ständerwiderstands bei gleicher Temperaturveränderung des
Ständers. Das heißt, dass bei Maschinen mit sehr kleinem Ständerwiderstand dessen
Einfluss auf die Identifikation der Induktivität geringer ist. Bei großem absoluten Ständerwiderstand ist damit die Identifikation der Induktivität ungenauer. Der worst-case
für die Genauigkeit der Induktivitätsberechnung ist ein großer ohmscher Ständerwiderstand in Verbindung mit relativ kleinen Induktivitätswerten. Da die beiden Fehlergleichungen der absoluten Induktivitäten (7.18) und (7.19) identisch aufgebaut sind,
gilt das Gesagte analog für Lq .
Geht man zunächst als Beispiel vom Prüfstand A aus, so ergeben sich für einen mittleren Strom von id = iq = 2 A, einem Umrichterspannungsfehler von ud = uq = 0, 5 V,
einem Widerstandsidentifikationsfehler von 77 mΩ (entspricht 10 % bei Raumtempe1
ratur) und einer Messdrehzahl von 500 min – was bei einer Polpaarzahl p = 5 einer
Winkelgeschwindigkeit ωel = 262 rad entspricht – maximale absolute Induktivitätsfehler von ∆Ld,max = ∆Ld,max = 1, 2 mH, das heißt circa 15 %. Für den Prüfstand C
kann ebenso ein Zahlenbeispiel gebracht werden: Geht man hier von einem mittleren
Strom id = iq = 30 A, einem Umrichterspannungsfehler von ud = uq = 0, 5 V, einem
Widerstandsidentifikationsfehler von 8 mΩ (entspricht ebenfalls 10 % bei Raumtempe1
ratur) und einer Messdrehzahl von 1000 min
– was bei einer Polpaarzahl p = 3 einer
Winkelgeschwindigkeit ωel = 314 rad entspricht – aus, so ergeben sich maximale absolute Induktivitätsfehler von ∆Ld,max = ∆Ld,max = 0, 071 mH. Dies entspricht knapp
5 %.
Die Gleichungen für die differentiellen Induktivitäten wurden im Kapitel 4.3.2 ab Seite
120 entwickelt und werden hier der Vollständigkeit halber noch einmal wiederholt:
Ldd
v
v
u 2
u 2
uU
1 u d,test
1 u
2
t Uq,test − R 2 ,
t
=
−
R
,
L
=
s
s
qq
2
2
ωtest Id,test
ωtest Iq,test
Ldq =
Ud,test
ωtest Iq,test
und Lqd =
Uq,test
ωtest Id,test
(7.20)
(7.21)
206
7 Auswirkung von Parameterfehlern
In diesem Fall gilt für die Ableitungen der Induktivitäten
− 1
2
Ud,test
2
2
Ud,test
− 1
2
Ud,test
∂Ldd
Rs
∂Ldd
− Rs2 ,
− Rs2 , (7.22)
=
=−
2
2
2
∂Ud,test
∂R
ω
ωtest Id,test Id,test
Id,test
s
test
− 1
− 1
2
2
2
2
U
∂Lqq
Uq,test Uq,test
∂L
R
qq
s q,test
2
2
=
=
−
,
, (7.23)
−
R
−
R
s
s
2
2
2
∂Ud,test
∂Rs
ωtest Iq,test
ωtest Iq,test
Iq,test
∂Ldq
∂Ud,test
∂Ldq
∂Uq,test
∂Ldq
1
,
=0 ,
ωtest Iq,test
∂Rs
∂Ldq
1
=
und
=0.
ωtest Id,test
∂Rs
(7.24)
=
(7.25)
Die maximalen Fehler, die bei der Identifikation der differentiellen Induktivitäten entstehen, können damit gemäß Gleichung (7.16) auf Seite 203 angegeben werden:
∆Ldd max
∆Lqq max
∆Ldq max
∆Lqd max
=
=
2
Ud,test
2
Id,test
2
Uq,test
2
Iq,test
− 1
2
− Rs2
− 1
2
− Rs2
Ud,test
Rs
· ∆Rs ·
· ∆Ud,test ,
+ ω
2
ωtest Id,test
test
(7.26)
Rs
Uq,test
· · ∆Uq,test + · ∆Rs ,
2
ωtest
ωtest Iq,test
1
=
· ∆Ud,test ωtest Iq,test
1
· ∆Uq,test =
ωtest Id,test
(7.27)
und
(7.28)
(7.29)
Für den maximalen absoluten Fehler der differentiellen Induktivität Ldd kann Gleichung (7.26) entnommen werden, dass sich dieser in einen arbeitspunktabhängigen
Teil und einen im Wesentlichen von der Testsignalfrequenz ωtest sowie der Amplitude des Testsignalstroms Id,test abhängigen Teil aufteilt. Je größer die Testsignalfrequenz, desto kleiner der Identifikationsfehler. Die maximale Testsignalfrequenz wird
dabei nur durch die Taktfrequenz des verwendeten Umrichters begrenzt, da zur Auswertung der Testsignalamplituden eine Mindestanzahl von Taktzyklen innerhalb einer Testsignalperiode nötig ist, idealerweise liegt die Testsignalfrequenz nicht höher
als ein Zehntel der Taktfrequenz des Pulsumrichters. Um einen möglichst geringen
Identifikationsfehler zu erhalten, sollte auch der Testsignalstrom Id,test so groß wie
möglich gewählt werden. Je größer jedoch die Teststromamplitude bezogen auf den
Nennstrom der Maschine ist, desto weniger ergeben sich arbeitspunktabhängige differentielle Induktivitäten. Vielmehr nähern sich bei großer Teststromamplitude die
gemessenen vermeintlichen differentiellen Induktivitäten den absoluten Induktivitäten an. Auf der anderen Seite sind allerdings bei zu geringer Stromamplitude auch
7.2 Parameterfehler
207
−3
−3
x 10
2
1.8
1.8
[H]
2
max
max
1.6
∆Ldd 1.6
1.4
∆Lqq [H]
x 10
1.4
1.2
1
1
1
1.2
1
1
0
0
id
in
−1
−1
1
0
0
id
i
n
iq
in
(b) ∆Lqq (a) |∆Ldd |max
−3
−1
iq
in
max
−3
x 10
x 10
2
1.8
1.8
[H]
2
max
max
1.6
∆Ldq 1.6
1.4
∆Lqd [H]
−1
1.4
1.2
1
1
1
0
0
id
i
n
(c) ∆Ldq −1
−1
iq
in
max
1.2
1
1
1
0
0
id
i
n
(d) ∆Lqd −1
−1
iq
in
max
Abbildung 7.1: (Prüfstand A) Maximaler absoluter Fehler der differentiellen Induktivitäten in Abhängigkeit vom Betriebszustand der Maschine
die sich ergebenden Testspannungsamplituden gering, weswegen sich in diesem Fall
Umrichterlinearisierungsfehler wieder verstärkt bemerkbar machen. Schließlich gilt –
wie bereits bei der Identifikation der absoluten Induktivitäten – für den ohmschen
Ständerwiderstand: Je kleiner dieser ist, desto genauer ist das Identifikationsergebnis.
Für die differentielle Induktivität Lqq gelten die gemachten Aussagen analog. Für die
differentiellen Koppelinduktivitäten Ldq und Lqd ist die Fehlerbetrachtung um einiges
einfacher. Hier gilt wie schon bei Ldd und Lqq , dass möglichst hohe Testsignalfrequenzen und Testströme verwendet werden sollten, um den Fehler zu minimieren, wobei
hier die gleichen Limitationen wie bereits für Ldd und Lqq beschrieben gelten.
Als Beispiel werden wieder die Ergebnisse der Prüfstände A und C herangezogen. Die
Abbildung 7.1 zeigt die maximalen absoluten Fehler der differentiellen Induktivitä-
208
7 Auswirkung von Parameterfehlern
ten in Abhängigkeit vom jeweiligen Betriebszustand des Motors. Angenommen wurde
ein Spannungsfehler von 0,1 V und ein Ständerwiderstandsfehler von 10 %. Der Spannungsfehler wurde hier deutlich geringer angenommen als bei der Fehlerabschätzung
der absoluten Induktivitäten. Dies ist in diesem Fall möglich, weil bei den differentiellen Induktivitäten lediglich Differenzspannungen betrachtet werden, die Offsetfehler
bei der Spannungsberechnung aus den Aussteuersignalen des Umrichters somit nicht
relevant sind. Die maximalen Fehler von Ldd und Lqq liegen bei etwas unter 1,6 mH, etwa 20 % der Nennwerte der Induktivitäten. Dieser doch recht hohe Fehleranteil liegt im
Messaufbau begründet: Verwendet wurde eine relativ geringe Testsignalfrequenz bei
einem kleinen Testsignalstrom; Letzterer ist bedingt durch den kleinen Nennstrom
des 0,75 kW-Motors. Zudem sind die Induktivitäten der Maschine A relativ klein; in
der Summe ergibt dies den genannten großen Fehleranteil. Für den Prüfstand C ist
der Fehler jedoch deutlich geringer. Hier wurde eine höhere Testsignalfrequenz verwendet, der Nennstrom der Maschine ist größer, der Widerstand Rs ist fast um den
Faktor 10 kleiner. Der maximale Fehler lag deshalb bei konstant unter 0,1 mH und damit auch relativ bei unter 5 %. Auf eine Darstellung des Fehlers analog zu Abbildung
7.1 wurde daher verzichtet.
Es kann zusammengefasst werden, dass die Messung der absoluten und differentiellen Induktivitäten, wie sie in Kapitel 4 beschrieben wurde, mit Fehlern behaftet ist,
die stark vom Messaufbau und den elektrischen Größen der PMSM an sich abhängen.
Je nachdem, welcher Zweck mit der Messung der Induktivitäten verfolgt wird – ob
nur der prinzipielle Verlauf oder exakte Werte benötigt werden –, ist es nötig, den
Aufbau des Prüfstands entsprechend zu optimieren. Bei Messung der absoluten Induktivitäten sind die wesentlichen Einflussfaktoren insbesondere die Drehzahl, bei
der die Messung durchgeführt wird, und die Genauigkeit der Umrichterlinearisierung.
Sollen die differentiellen Induktivitäten gemessen werden, so müssen die Einflüsse
von Testsignalfrequenz und Testsignalstrom berücksichtigt werden. Auch die Umrichterlinearisierung spielt hier wieder eine große Rolle.
7.2.2
Ständerwiderstand
Genau wie im vorherigen Kapitel für die Induktivitäten beschrieben, lässt sich auch für
den Ständerwiderstand eine Berechnung des Identifikationsfehlers durchführen. Wiederum wird davon ausgegangen, dass sowohl die Drehzahl des Antriebssystems als
auch die Ströme fehlerfrei vorliegen. Die wesentlichen Fehlerquellen bei der Widerstandsidentifikation sind Umrichterlinearisierungsfehler (ausgedrückt durch fehlerhafte Spannungen), Fehler in der als konstant angenommenen Permanentmagnetflussverkettung und den bereits identifizierten beziehungsweise gemessenen Kennlinien
7.2 Parameterfehler
209
für die Induktivitäten und Eisenverlustparameter. Als Grundlage für die nachfolgenden Betrachtungen wird Gleichung (5.26) auf Seite 152 verwendet:
Rs =
(2)
(1)
(2)
(1)
· ud − ud − ψp ξq − ξq
1
(2)
(1)
id − id
(2) (2) (2)
− ξq Ld id
(1) (1) (1)
+ ξq Ld id
(2) (2) (2)
+ ωel Lq iq
(1) (1) (1)
− ωel Lq iq
!
Für die relevanten Ableitungen gilt demnach:
∂Rs
(1)
∂ud
∂Rs
(2)
∂Ld
∂Rs
(1)
∂ξq
=−
1
(2)
,
(1)
∂Rs
(2)
id − id
∂ud
ξq id
∂Rs
(2) (2)
=−
,
(1)
(2)
id − id
=
(2)
(1)
id − id
(1)
,
1
(2)
∂Rs
,
(1)
(1)
id − id
∂Ld
(1) (1)
∂Lq
(1) (1)
Ld id + ψp
=
=−
∂Rs
(2)
∂ξq
ωel iq
(2)
,
(1)
id − id
(2) (2)
=
∂Rs
(2)
(1)
(2)
∂Lq
Ld id + ψp
id − id
(1) (1)
=
ξq id
(2)
(1)
id − id
,
(7.30)
(2) (2)
=
ωel iq
(2)
(1)
id − id
,
(7.31)
(2)
(1)
d
d
ξq − ξq
∂Rs
und
= − (2)
(1)
∂ψp
i −i
(7.32)
Gemäß den Ausführungen in Kapitel 7.1 kann der maximale absolute Fehler schließlich zu
∆Rs max
1
· ∆u(1) + ∆u(2)
= (2)
d
d
i − i(1)
d
d
(2) (2) (1) (1) ξq id ξ
i
· ∆L(1) + q d · ∆L(2)
+
(2)
(2)
d
d
(1)
(1)
id − id id − id (1) (1) (2) (2) ωel iq ωel iq (1)
· ∆Lq + · ∆L(2)
+
q
(2)
(2)
(1)
(1)
id − id id − id (1) (1)
(2) (2)
Ld id + ψp L
i
+
ψ
p
· ∆ξq(1) + d d
· ∆ξq(2)
+
(2)
(2)
(1) id − i(1)
id − id
d
(2)
ξq − ξq(1) · ∆ψp
+ (2)
id − i(1)
d
(7.33)
berechnet werden. Die Fehlerabschätzungsgleichung (7.33) zeigt relativ komplexe Zusammenhänge zwischen den einzelnen Parametern und deren Fehlern. Dennoch lässt
sich ein wesentlicher Aspekt aus der Gleichung entnehmen: Bei allen Termen ist die
(2)
(1)
(2)
(1)
Differenz id − id im Nenner. Das heißt, je kleiner die Differenz id − id ist, desto
größer sind die Rückwirkungen der Widerstandsschätzung aufgrund von Parameterfehlern. Aus Sicht der Widerstandsschätzung ist damit ein möglichst großer Teststrom
id anzustreben. Eine unbegrenzte Erhöhung des Teststroms ist allerdings nicht möglich, so sind zum Beispiel signifikante ohmsche Verluste aufgrund des id -Stromanteils
insbesondere im Teillastbereich nicht zu vermeiden und führen in der Folge bei einem
210
7 Auswirkung von Parameterfehlern
höheren Testsignalstrom zu einem verringerten Wirkungsgrad. Hier muss je nach Antriebsaufgabe und Maschinentyp ein optimaler Kompromiss gefunden werden.
Der in Gleichung (7.33) angegebene maximale Fehler wird in der Praxis deutlich unterschritten. Dies liegt daran, dass die einzelnen Fehleranteile nicht unabhängig voneinander sind. So werden die Spannungsfehler einen ähnlichen Offset beinhalten, Gleiches gilt für die Induktivitätsfehler und die Fehler der Eisenverlustkennlinien. Betragsmäßig gleiche Offsetfehler werden allerdings – wie der Identifikationsgleichung (5.26)
zu entnehmen ist – durch die Differenzenbildung aus zwei Zuständen ausgelöscht.
Dies ist auch der große Vorteil der durch das niederfrequente Testsignal erzeugten
zwei verschiedenen Zustände.
Eine Angabe von theoretischen Maximalfehlern wie bei den Induktivitäten im Kapitel
7.2.1 ist hier nicht zielführend. Bei der Identifikation der Induktivitäten war es nicht
möglich, das Identifikationsergebnis zu verifizieren. Daher ist es zweckmäßig, die Verifikation durch eine Abschätzung des maximalen Fehlers durchzuführen. Zudem ist
die Fehlerberechnung relativ leicht machbar. Bei der Ständerwiderstandsidentifikation hingegen ist eine theoretische Abschätzung des Identifikationsfehlers aufgrund
Gleichung (7.33) nur unter Vorgabe einer Vielzahl von Annahmen möglich und damit
nicht sinnvoll – zumal es hier möglich ist, die Identifikationsgenauigkeit direkt am
Prüfstand zu quantifizieren, falls der zu testende Motor einen Temperatursensor in
der Ständerwicklung integriert hat. Dies ist bei den Prüfständen B und C der Fall. Praktische Messungen haben ergeben, dass sich eine Genauigkeit von ±10 % erreichen lässt
(Abbildungen 5.20 und 5.21 ab Seite 165). Zudem handelt es sich bei den Aufbauten
um Laboraufbauten; bei industriell gefertigten Umrichtern kann durchaus eine verbesserte Umrichterlinearisierung und damit eine deutlich bessere Genauigkeit erwartet
werden. Die getestete Maschine des Prüfstands A besitzt keinen Temperatursensor,
hier kann also keine Angabe bezüglich der Identifikationsgenauigkeit getroffen werden.
7.2.3
Permanentmagnetflussverkettung
Die Identifikationsgleichung bei konstanter Drehzahl und Zuhilfenahme des Testsignals in d-Richtung lautet gemäß Gleichung (6.33) auf Seite 188
1
ψp =
fel
2ω
"
(1)
uq
(2)
+ uq
− Rs
(1)
iq
(2)
+ iq
(1)
(2)
(2)
(1) id + id
− uq − uq
(2)
(1)
id − id
#
.
(7.34)
7.2 Parameterfehler
211
Unter der Annahme, dass sowohl die Drehzahl als auch die Ströme des Systems sehr
genau bekannt sind, berechnet sich zusammen mit den Ableitungen
(1)
(2)
id + id
∂ψp
1
,
1 + (2)
=
(1)
(1)
fel
2ω
∂uq
id − id
(2)
(1)
(1)
(2)
i
+
i
∂ψp
∂ψp
iq + iq
1
d
d
=
und
=
−
1
−
(1)
(2)
(2)
fel
fel
2ω
∂Rs
2ω
∂uq
i −i
(7.35)
d
d
der maximale absolute Fehler gemäß Kapitel 7.1 zu
(2)
(1) i
+
i
1
(1)
d
∆ψp =
1+ d
· ∆uq
(2)
(1)
max
fel
2 ω
id − id
(1)
(1) (2)
(2) 1
+
i
i
i
+
i
q
q
(2)
d
· ∆Rs .
1 − d
· ∆uq + +
2 ω
(2)
(1)
fel 2ω
fel
id − id
(1)
Bei als konstant angenommenen Umrichterspannungsfehlern ∆uq
(7.36)
(2)
und ∆uq
sowie
konstantem Ständerwiderstandsfehler ∆Rs gilt damit der einfache Zusammenhang,
fel
dass die Identifikation von ψp umso besser funktioniert, je größer die Drehzahl ω
des Antriebssystems ist. Geht die Drehzahl gegen null, so geht der Fehler nach Gleichung (7.36) gegen Unendlich.
Für die zweite vorgestellte Vorgehensweise bei der Bestimmung der Permanentmagnetflussverkettung, in diesem Fall für sich verändernde Drehzahlen, kann Gleichung
(6.41)
(1,3)
ψp
=
(3)
(1)
uq − uq
(3)
(1)
− Rs · iq − iq
(3)
(1)
ωel − ωel
als Basis für die Fehlerbetrachtung herangezogen werden. Die im Kapitel 6.3.1 ab
Seite 191 beschriebenen weiteren Gleichungen (6.42) und (6.43) beinhalten für die
Betrachtung des maximalen absoluten Fehlers keine neuen Informationen. Über die
partiellen Ableitungen der Spannungen und des Ständerwiderstands
(1,3)
∂ψp
(1)
∂uq
=
−1
(3)
(1,3)
,
(1)
ωel − ωel
∂ψp
(3)
∂uq
=
(1,3)
1
(3)
(1)
ωel − ωel
und
∂ψp
∂Rs
(1)
=
(3)
iq − iq
(3)
(1)
ωel − ωel
gelangt man auch hier zur Beziehung für den maximalen absoluten Fehler
(1)
(3) i
−
i
1
q
q
(1,3) (3)
· ∆u(1)
· ∆Rs .
∆ψp +
=
q + ∆uq
(1)
(1)
(3)
(3)
max
ωel − ωel ωel − ωel (7.37)
(7.38)
Wie Gleichung (7.38) zu entnehmen ist, ist hier nicht die absolute Drehzahl für die
Genauigkeit der Berechnung relevant, sondern die Differenz. Wie zu erwarten war, ist
die Identifikation der Flussverkettung mit diesem Verfahren umso exakter, je größer
die Beschleunigung des Antriebssystems, ausgedrückt durch die Differenz der beiden
(3)
(1)
Winkelgeschwindigkeiten ωel − ωel , ist.
212
7 Auswirkung von Parameterfehlern
7.3 Auswirkung auf die Drehmomentberechnung
In einigen Anwendungen ist es gewünscht, eine Drehmomentregelung zu implementieren, allerdings ohne eine Drehmomentmessung durchzuführen. Gründe für das
Weglassen des Sensors können finanzieller Art oder, wie bei der elektrischen Traktion, schlichtweg fehlender Bauraum und mangelnde Ausfallsicherheit dieser Sensoren
sein. Auch der Wartungs- und Pflegeaufwand sowie die Verschmutzung in rauhen Umgebungen sind Beweggründe, auf einen Drehmomentsensor zu verzichten. Ohne den
entsprechenden Sensor muss die Istgröße für die Drehmomentregelung allerdings aus
den Motorgleichungen berechnet werden. Da diese Berechnung einen wesentlichen Einfluss auf die Genauigkeit der Regelung hat, müssen die erforderlichen Parameter mit
hoher Genauigkeit bekannt sein.
Wird weiterhin vom Grundwellenmodell ausgegangen, ohne Oberwelleneffekte und
Eisenverluste zu berücksichtigen, kann die hier noch einmal wiederholte Gleichung
(2.54) auf Seite 22 als Grundlage für die Betrachtungen verwendet werden:
Mi =
i
3p h
ψp iq + Ld − Lq id iq
2
Mit den partiellen Ableitungen
∂Mi
3
= p · iq und
∂ψp
2
∂Mi
∂ Ld − Lq
=
3
p · iq iq
2
berechnet sich der maximale absolute Fehler zu
3
3
∆Mi = p iq · ∆ψp + p iq iq · ∆ Ld − Lq
max
2
2
beziehungsweise bei relativ kleinem Reluktanzanteil zu
3
∆Mi p
i
=
q · ∆ψp .
max
2
(7.39)
(7.40)
(7.41)
Gleichung (7.41) besagt, dass – Reluktanzeffekte vernachlässigt – die Genauigkeit der
Drehmomentberechnung linear mit der Genauigkeit der Permanentmagnetflussverkettung ψp zusammenhängt. Soll also eine Drehmomentgenauigkeit von 5 % erreicht
werden, so ist es notwendig, dass auch ψp auf 5 % genau vorliegt. Diese ist, wie im
vorangegangenen Kapitel beschrieben, im Wesentlichen von der Genauigkeit des Ständerwiderstands und der Umrichterlinearisierung abhängig. Da die Identifikation des
Ständerwiderstands von der Kenntnis der Induktivitäten in d- und q-Richtung abhängt,
sind somit – außer den differentiellen Induktivitäten – alle Parameter für die Drehmomentberechnung relevant.
Werden Eisenverluste nach dem Ersatzschaltbild 3.1 auf Seite 66 berücksichtigt, so
muss beachtet werden, dass nun die für die Drehmomentbildung relevanten Ströme
7.4 Auswirkung auf die geberlose Regelung
213
nicht mehr id und iq , sondern idm und iqm sind. Daraus ergibt sich die in Kapitel 3.1
auf Seite 71 hergeleitete modifizierte Drehmomentgleichung (3.38):
3p
Mi =
2
"
ψp
uq
iq −
ζq
!
+ Ld − Lq
ud
id −
ζd
!
uq
iq −
ζq
!#
(7.42)
Gut zu erkennen ist der durch die Eisenverluste für die Bestimmung des inneren Drehmoments hinzugekommene Einfluss der Spannungen und Eisenverlustwiderstände. Eine weitergehende Fehlerbetrachtung soll an dieser Stelle jedoch nicht erfolgen.
7.4 Auswirkung auf die geberlose Regelung
Eine Vielzahl von PMSM werden heutzutage geberlos geregelt, sei es aus Platz-, Wartungs- oder Kostengründen. Hier stellt sich speziell die Frage, wie genau die Rotorlageschätzung in den einzelnen Betriebspunkten ist, damit stets ein stabiler Zustand
erreicht werden kann. In diesem Kapitel werden zu den vorgestellten geberlosen Verfahren aus Kapitel 2.4 ab Seite 35 Überlegungen zu deren Fehlertoleranz bei Parameterfehlern angestellt. Es sei dabei angemerkt, dass die vorgestellten Verfahren nur
einen kleinen Ausschnitt aus den derzeit bekannten Verfahren zur geberlosen Regelung von permanenterregten Synchronmaschinen darstellen können. Allerdings lassen
sich anhand der vorgestellten Beispiele auch eigene Algorithmen auf deren Fehleranfälligkeit testen. Zur Einordnung der im Folgenden dargestellten Winkelfehlerdiagramme kann [20] herangezogen werden. Dort wurde für das Testsignalverfahren ein Lageschätzungsfehler von bis zu 7◦ bei Belastung und für das EMK-Verfahren bei höheren
Drehzahlen ein Fehler von bis zu 4◦ festgestellt. Hierbei handelt es sich jeweils um
die gesamten Schätzfehler, wobei die Fehler aufgrund der Parameterungenauigkeiten
nur einen Teil davon ausmachen dürften.
7.4.1
Testsignalverfahren
Die Grundlagen der Identifikation des Läuferlagewinkels bei geringen Drehzahlen mit
Testsignalen wurde im Kapitel 2.4.1 erläutert. Verwendet wird wieder die Defintion
zur Berechnung des maximalen Fehlers nach Kapitel 7.1, angewendet auf die Funktion
(2.127) auf Seite 44 zur Berechnung des Läuferlagewinkels. Um die nachfolgenden
214
7 Auswirkung von Parameterfehlern
Ableitungen übersichtlicher zu schreiben, wird das Argument des Arcustangens mit
!
(i ,iq )
∆îd [k] ūq [k] − Rs īq [k] −
ρ=
ρ1
=
ρ2
d
Lqq+dd
Ɣq [k]
2
Tab
(id ,iq )
L
∆îq [k] ūd [k] − Rs īd [k] − qq+dd
2
"
(i ,iq )
∆îd [k] ūd [k] − Rs īd [k] −
(i ,iq )
2 Lccd
"
(i ,iq )
(i ,iq )
∆îq [k] ūq [k] − Rs īq [k] −
(i ,iq )
2 Lccd
d
Lqq−dd
Ɣq [k]
2
Tab
d
Lqq+dd
Ɣq [k]
2
Tab +
(i ,iq )
ūd [k] − Rs īd [k] −
(i ,iq )
d
Lqq−dd
(id ,iq ) Ɣq [k]
Tab
− Lcc
!
+
d
Lqq+dd
Ɣd [k]
2
Tab +
ūq [k] − Rs īq [k] −
(i ,iq )
d
Lqq−dd
Ɣd [k]
Tab
(id ,iq ) Ɣd [k]
Tab
− Lcc
d
Lqq−dd
Ɣd [k]
2
Tab
(id ,iq ) Ɣd [k]
− Lcc
Tab
(id ,iq ) Ɣq [k]
− Lcc
Tab
!#
+
!#
(7.43)
abgekürzt. Grob betrachtet haben die nun folgenden Ableitungen alle prinzipiell die
gleiche Form:
1
∂∆γ
1
=
∂x
2 ρ22 1 + ρ
"
′
′
ρ2 ρ1 − ρ1 ρ2
#
(7.44)
Damit können die Ableitungen von ∆γ nach den in (2.127) vorkommenden Variablen
berechnet werden:
∂∆γ
∂∆îd [k]
=
1
2 ρ22
1
ρ2 ūq [k] − Rs īq [k] −
1+ρ
(id ,iq )
Lqq+dd
2
Ɣq [k]
(id ,iq ) Ɣd [k]
− 2 Lcc
−
Tab
Tab
(id ,iq )
2 Lcc
(id ,iq ) Ɣd [k]
ρ1 ūd [k] − Rs īd [k] − Lqq+dd
+ (i ,i )
d q
Tab
Lqq−dd
Rs īq [k] −
∂∆γ
∂∆îq [k]
=
1
2 ρ22
(id ,iq )
Lqq−dd
2
Ɣq [k]
(id ,iq )
− 2 Lcc
Tab
1
ρ2 ūd [k] − Rs īd [k] −
1+ρ
(id ,iq )
Lqq+dd
2
!
Ɣd [k]
Tab
Rs īd [k] −
2
(7.45)
Ɣd [k]
(id ,iq ) Ɣq [k]
− 2 Lcc
−
Tab
Tab
(i ,i )
d q
2 Lcc
(id ,iq ) Ɣq [k]
+ (i ,i )
ρ1 ūq [k] − Rs īq [k] − Lqq+dd
d q
Tab
Lqq−dd
(id ,iq )
Lqq−dd
ūq [k]−
!
ūd [k]−
Ɣd [k]
(id ,iq ) Ɣq [k]
− 2 Lcc
Tab
Tab
(7.46)
(id ,iq )
∂∆γ
1
2 Lcc
1
î [k] + (i ,i ) ∆îq [k] − ρ2 Rs ∆îq [k]
R
=
2 1 + ρ ρ1 s ∆ d
d q
∂ īd [k]
2 ρ2
Lqq−dd
(7.47)
7.4 Auswirkung auf die geberlose Regelung
215
(id ,iq )
2 Lcc
(id ,iq )
Lqq−dd
∂∆γ
1
1
∆îd [k] − ρ2 Rs ∆îd [k]
=
ρ1 Rs ∆îq [k] +
∂ īq [k]
2 ρ22 1 + ρ
"
#
∂∆γ
1
1
ρ2 ∆îq [k] − ρ1 ∆îd [k]
=
∂ ūd [k]
2 ρ22 1 + ρ
"
#
1
∂∆γ
1
=
ρ2 ∆îd [k] − ρ1 ∆îq [k]
∂ ūq [k]
2 ρ22 1 + ρ
"
∂∆γ
1
1
∆
î
[k]
ī
[k]
+
∆
î
[k]
ī
[k]
−
ρ
=
q
q
1
d
d
∂Rs
2 ρ22 1 + ρ
#
ρ2 ∆îd [k] īq [k] + ∆îq [k] īd [k]
∂∆γ
(id ,iq )
∂Lqq+dd
∂∆γ
(id ,iq )
∂Lqq−dd
=
1
2 ρ22
1
ρ1
1+ρ
(id ,iq )
∂Lcc
Ɣ2 [k] + Ɣ2q [k]
d
2 Tab
(id ,iq )
1
2 Lcc
=
ρ
î [k]
2 1 + ρ 1 ∆ d
(id ,iq ) 2
2 ρ2
Lqq−dd
1
Ɣq [k]
∂∆γ
(id ,iq )
2 Lcc
(i ,i ) 2
d q
Lqq−dd
− ρ2
Ɣd [k] Ɣq [k]
Tab
(id ,iq )
Ɣ2d [k] + Ɣ2q [k]
1
=
−
ρ
2
Tab
2 ρ22 1 + ρ
Ɣq [k]
Tab
(7.49)
(7.50)
(7.51)
!
(id ,iq )
ūq [k] − Rs īq [k] − Lcc
ūd [k] − Rs īd [k] − Lcc
(7.48)
(7.52)
Ɣd [k]
Tab
!
!
+
(7.53)
1
(id ,iq )
Lqq−dd
Ɣq [k]
(id ,iq ) Ɣd [k]
2 Ɣd [k]
− 2 Lcc
− ρ1 (i ,i ) ūq [k] − Rs īq [k] −
+
d q
2
Tab
Tab
Lqq−dd
(id ,iq )
Lqq−dd ∆îd [k]
2 Ɣq [k]
(id ,iq ) Ɣq [k]
− 2 Lcc
ūd [k] − Rs īd [k] −
(id ,iq )
2
Tab
Tab
Lqq−dd
(7.54)
Zusammengefasst lässt sich damit der Rechenfehler bei der Berechnung des Winkelfehlers schreiben als
∂∆γ ∂∆γ ∂∆γ · ∆ ∆îd [k] + · ∆ ∆îq [k] + ∆ ∆γ · ∆īd [k]
=
∂∆î [k] ∂ īd [k] ∂∆î [k] max
q
d
∂∆γ ∂∆γ ∂∆γ · ∆īq [k] + · ūq [k]
· ∆ūd [k] + +
∂ ūq [k] ∂ īq [k] ∂ ūd [k] ∂∆γ ∂∆γ
∂∆γ
(i
,i
)
(id ,iq )
q
d
· ∆Lqq−dd
·
∆L
+
+
∂R · ∆Rs + qq+dd
(id ,iq ) (id ,iq ) s
∂Lqq−dd ∂Lqq+dd ∂∆γ (id ,iq )
.
(7.55)
+ (i ,i ) · ∆Lcc
q
d
∂Lcc
216
7 Auswirkung von Parameterfehlern
Da in diesem Kapitel die Veranschaulichung der prinzipiellen Zusammenhänge zwischen Genauigkeit der Läuferlageidentifikation und den Parameterfehlern im Vordergrund steht, wird eine weitere Vereinfachung vorgenommen: Es wird davon ausgegangen, dass lediglich die Induktivitäten einen relevanten Fehler beinhalten und dass
dieser Fehler zudem für alle Induktivitäten gleich ist; es gilt damit
(id ,iq )
!
∆L = ∆Lq−d
(id ,iq )
(id ,iq )
= ∆Lqq−dd = ∆Lcc
.
(7.56)
Mit dieser Vereinfachung ergibt sich schließlich die maximale Winkelfehlerungenauigkeit zu
∆ ∆γ max
mit
∂∆γ
(id ,iq )
∂Lqq+dd
∂∆γ
(id ,iq )
∂Lqq−dd
∂∆γ ∂∆γ ∂∆γ
= (i ,i ) + (i ,i ) + (id ,iq ) · ∆L
d q d q ∂Lqq+dd ∂Lqq−dd ∂Lcc
1
1
=
2 1+ρ
2 ρ2
"
ρ1
Ɣ2d [k] + Ɣ2q [k]
"
(id ,iq )
2 Lcc
1
ρ1 ∆îd [k]
=
(id ,iq ) 2
2 ρ22 1 + ρ
Lqq−dd
1
(id ,iq )
∂∆γ
(id ,iq )
∂Lcc
2 Tab
+ Ɣq [k]
2 Lcc
(id ,iq ) 2
Lqq−dd
1
1
=
2 1+ρ
2 ρ2
"
− ρ2
− ρ2
(7.57)
Ɣd [k] Ɣq [k]
Tab
!#
(id ,iq )
ūq [k] − Rs īq [k] − Lcc
(id ,iq )
ūd [k] − Rs īd [k] − Lcc
Ɣ2d [k] + Ɣ2q [k]
Tab
(id ,iq )
Lqq−dd
Ɣq [k]
Tab
!#
(7.58)
Ɣd [k]
Tab
!
(7.59)
Ɣq [k]
(id ,iq ) Ɣd [k]
2 Ɣd [k]
− 2 Lcc
− ρ1 (i ,i ) ūq [k] − Rs īq [k] −
d q
2
Tab
Tab
Lqq−dd
#
(id ,iq )
L
2 Ɣq [k]
(id ,iq ) Ɣq [k]
qq−dd ∆îd [k]
+ (i ,i ) ūd [k] − Rs īd [k] −
− 2 Lcc
d q
2
Tab
Tab
L
qq−dd
(7.60)
Die Abbildungen 7.2 und 7.3 zeigen jeweils die Identifikationsfehler der Läuferlage bei
um circa 10 % fehlerhaften Induktivitäten abhängig von den Strömen in der Maschine.
Zusätzlich sind zum Vergleich die Differenzen zwischen Ldd und Lqq dargestellt. Bei
Motor A (Abbildung 7.2) fällt auf, dass es Bereiche gibt, in denen die Differenz zwischen den beiden Induktivitäten in d- und q-Achse das Vorzeichen wechselt. Genau
in den Bereichen, in denen Ld = Lq gilt, ist eine Identifikation mit dem Testsignalver-
fahren nicht möglich, hier geht der Winkelfehler gegen Unendlich. Der theoretische
Hintergrund hierfür ist durch Gleichung (7.59) gegeben: Immer dann, wenn die Induktivitätsdifferenz gegen null geht, geht die Ableitung gegen Unendlich. Das heißt,
7.4 Auswirkung auf die geberlose Regelung
217
5
4
10
8
1
3
∆γ [◦ ]
6
0.5
4
2
2
1
0
1
1
0.5
0
1
0
0
id
in
−1
−1
−0.5
0
id −0.5
in
iq
in
(a) ∆γ
iq
in
0
−1 −1
(b) Draufsicht von (a)
5
Lqq − Ldd [mH]
5
1
0
0
0.5
1
0
1
0.5
−5
1
0
0
id
in
−1
(c) Lqq − Ldd
−1
iq
in
−0.5
0
id −0.5
in
iq
in
−5
−1 −1
(d) Draufsicht von (c)
Abbildung 7.2: (Prüfstand A) Maximaler Winkelfehler des Testsignalverfahrens unter Voraussetzung
von verschiedenen Fehlerquellen und die Induktivitätsdifferenz Lqq − Ldd .
dass dann ein kleiner Fehler in der offline gemessenen Induktivitätskennfläche ausreicht, um den Gesamtfehler ebenfalls gegen Unendlich gehen zu lassen. Die Folge
davon ist, dass die Maschine A während des Testsignalverfahrens nur in den Betriebsbereichen betrieben werden darf, in denen die Induktivitätsdifferenz Ldd − Lqq einen
genügend großen Wert ungleich null annimmt. Es kann zum Beispiel sinnvoll sein, bei
bestimmten iq -Strömen einen Mindest-id -Strom zu verwenden, um nicht in „verbotene“ Bereiche zu kommen. Insbesondere bei Maschinen mit Oberflächenmagneten ist
das Verhalten von Maschine C (Abbildung 7.3) typisch: Bei Feldschwächung sind die
beiden Induktivitäten Ldd und Lqq identisch. Für id = 0 ergibt sich eine kleine Induk-
tivitätsdifferenz, die dann bei höher werdendem id -Strom weiter zunimmt. Ein Übergang von negativer zu positiver Induktivitätsdifferenz, beziehungsweise umgekehrt,
218
7 Auswirkung von Parameterfehlern
0.5
0.4
5
4
−1
0.3
∆γ [◦ ]
3
−0.5
2
0.2
1
−1
0
−1
0.1
−0.5
0
−1
0
0
id
in
1
1
0.5
0
iq
in
iq
in
0.5
id
in
(a) ∆γ
0
1 1
(b) Draufsicht von (a)
1
1
Lqq − Ldd [mH]
0.5
0.5
−1
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1
0
−1
−0.5
−0.5
0
0.5
0
0
id
in
1
(c) Lqq − Ldd
1
iq
in
0.5
id
in
iq
in
−1
1 1
(d) Draufsicht von (c)
Abbildung 7.3: (Prüfstand C) Maximaler Winkelfehler des Testsignalverfahrens unter Voraussetzung
von verschiedenen Fehlerquellen und die Induktivitätsdifferenz Lqq − Ldd .
findet nicht statt. Damit ist beim Prüfstand C eine gute Identifikation des Lagewinkels
mit dem Testsignalverfahren immer dann möglich, wenn id ≥ 0 gilt. In [20] wurde
zum Beispiel ein positiver id -Strom verwendet, um jederzeit eine sichere Induktivitätsdifferenz und damit gute Identifizierbarkeit der Rotorlage zu ermöglichen.
Die Problematik der Induktivitätsdifferenzen für die geberlose Regelung wurde bereits in [20] beschrieben, außerdem wird im Kapitel 2.4.2 ab Seite 45 ebenfalls näher
darauf eingegangen. Im Hinblick auf das Testsignalverfahren kann zusammengefasst
werden, dass die verwendeten Maschinen möglichst so konzipiert werden sollten, dass
die Differenz aus Ldd und Lqq immer das gleiche Vorzeichen über den gesamten Betriebsbereich besitzt und zudem ungleich null sowie möglichst groß ist.
7.4 Auswirkung auf die geberlose Regelung
7.4.2
219
EMK-Verfahren
In Kapitel 2.4.3 ab Seite 48 wurden zwei verschiedene Verfahren zur geberlosen Lageidentifikation bei höheren Drehzahlen vorgestellt: Ein Identifikationsverfahren verwendet Integratoren, die zwar in Theorie und Simulation gut funktionieren, in der
Praxis jedoch Offsetprobleme hervorrufen. Das andere Verfahren benötigt keine integrierenden Anteile und wird so oder so ähnlich in vielen Anwendungen, unter anderem [20, 21], eingesetzt und ist damit praxiserprobt.
Das Integratoren verwendende Verfahren berechnet den Läuferlagewinkel mit Gleichung (2.157) (Seite 53):
γ = arctan
ψβ − Lq iβ
ψα − Lq iα
!
(7.61)
Vereinfachend wird hier davon ausgegangen, dass nur die Induktivitäten fehlerbehaftet sind; die Ströme und insbesondere die Flussverkettungen werden als ideal vorausgesetzt. Dies hat zur Folge, dass man mit der einfachen Gleichung (7.61) arbeiten kann
und nicht die hinter der Berechnung der Flussverkettungen ψα und ψβ stehenden Integrationen mit berücksichtigen muss. Sollte es für eine spezielle Aufgabenstellung
nötig sein, auch andere Fehlerquellen zu berücksichtigen, so ist dies durch Modifikation der Gleichungen leicht möglich. Die gemäß den Ausführungen des Kapitels 7.1
zur Fehlertheorie erforderliche Ableitung von Gleichung (7.61) nach der einzigen dort
enthaltenen Induktivität Lq ergibt sich zu:
ψ
−
L
i
−
i
ψ
−
L
i
i
α
q
α
q
α
β
β
β
∂γ
=
∂Lq
2 · ψα − Lq iα · ψα + ψβ − Lq iα + iβ
Der maximale Fehler bei der Berechnung des Winkels lautet folglich
iα ψβ − Lq iβ − iβ ψα − Lq iα
∆γmax =
· ∆Lq .
2 · ψα − Lq iα · ψα + ψβ − Lq iα + iβ
(7.62)
(7.63)
Abbildung 7.4 zeigt die Winkelfehler bei Induktivitätsfehlern der Maschine A. Es wurde jeweils der maximale Fehler innerhalb einer elektrischen Umdrehung dargestellt.
Die Diagramme (a) und (b) stellen eine Fehlersituation dar, in der die Induktivitäten
mit einem Skalierungsfehler behaftet sind. Im dargestellten Beispiel sind alle Induktivitätswerte konstant um 10 % zu niedrig. Es ist zu sehen, dass im Wesentlichen der iq Strom die einflussnehmende Größe ist. Ohne iq -Strom fallen Induktivitätsfehler kaum
ins Gewicht: Je größer der drehmomentbildende Strom ist, desto wichtiger ist eine
genau bekannte Lq -Induktivität. Der Grund dafür, dass lediglich der iq -Strom einen
Einfluss auf die Identifikation des Läuferlagewinkels hat, ist Abbildung 2.23, Seite 52,
zu entnehmen: Ein Induktivitätsfehler bei nicht vorhandenem iq -Strom verändert nur
220
7 Auswirkung von Parameterfehlern
den Betrag des Flusszeigers, der den Winkel γ definiert, nicht aber dessen Richtung.
Ändert sich hingegen Lq bei vorhandenem iq -Strom, so ändert sich auch die Richtung
des resultierenden Zeigers und damit die identifizierte Rotorlage. Für den Prüfstand
C, dessen Winkelfehler in Abbildung 7.5 dargestellt sind, gilt das oben Geschriebene
analog.
Oft wird auf eine Speicherung der gesamten Parameterflächen verzichtet, zum Beispiel aus Speicherplatz- oder Rechenzeitgründen. Eine deutliche Vereinfachung der
Speicherung der Parameterverläufe ist zu erreichen, wenn statt der Flächen nur Parameterkennlinien gespeichert werden. Gezeigt ist diese Vorgehensweise in Abbildung
7.6 am Beispiel des Prüfstands C: Werden nur die Kennlinen gespeichert, die in der
3
2.5
5
4
2
−1
∆γ [◦ ]
3
1.5
−0.5
2
1
1
−1
0
−1
0
−1
−0.5
0.5
0
0.5
0
0
1
id
in
iq
in
1
0.5
id
in
(a) Ld,q = 0, 9 Ld,q(r eal)
iq
in
0
1 1
(b) Draufsicht von (a)
3
2.5
5
4
2
−1
∆γ [◦ ]
3
1.5
−0.5
2
1
1
−1
0
−1
0
−1
−0.5
0.5
0
1
id
in
(i )
0.5
0
0
(i ,iq =0)
(c) Ld d = Ld,rd eal
1
(iq )
und Lq
iq
in
(i =0,iq )
= Ld,rd eal
0.5
id
in
iq
in
0
1 1
(d) Draufsicht von (c)
Abbildung 7.4: (Prüfstand A) Maximaler Winkelfehler des integrierenden EMK-Verfahrens. Die Abbildungen (a),(b) zeigen den Winkelfehlerverlauf bei einem Skalierungsfehler von 10 %, bei den Abbildungen (c),(d) wurden keine Induktivitätsflächen, sondern vereinfachend Induktivitätskurven zur Winkelberechnung verwendet.
7.4 Auswirkung auf die geberlose Regelung
221
Abbildung als breite Streifen angedeutet sind, so können jegliche Kreuzkopplungseffekte vernachlässigt werden. Je nach Aufbau der Maschine muss in diesem Fall ein
mehr oder weniger großer Fehler in Kauf genommen werden. Die Diagramme (c) und
(d) in Abbildung 7.4 stellen diesen Fehler für den Prüfstand A dar. Immer dann, wenn
einer der beiden Ströme im rotorfesten Koordinatensystem gleich null ist, verschwindet der Winkelfehler, sofern die Kennlinienverläufe wie in diesem Fall als ideal betrachtet werden. Sind beide Ströme ungleich null, so ergibt sich ein Fehler, der je
nach Kreuzkopplungseffekten der betrachteten Maschine mehr oder weniger ausgeprägt ist. Zu erkennen ist zum Beispiel, dass für die Maschine C bei Verwendung der
Parameterkennlinien (Abbildungen 7.5c und d) ein kleinerer Winkelfehler auftritt. Bei
2
5
1.5
4
−1
∆γ [◦ ]
3
1
−0.5
2
1
−1
0
−1
0.5
−0.5
0
−1
0
0
1
id
in
1
0.5
0
iq
in
0.5
id
in
(a) Ld,q = 0, 9 Ld,q(r eal)
iq
in
0
1 1
(b) Draufsicht von (a)
2
5
1.5
4
−1
∆γ [◦ ]
3
1
−0.5
2
1
−1
0
−1
0.5
−0.5
0
−1
0
0
1
id
in
(i )
(i ,iq =0)
(c) Ld d = Ld,rd eal
1
(iq )
und Lq
iq
in
(i =0,iq )
= Ld,rd eal
0.5
0
0.5
id
in
iq
in
0
1 1
(d) Draufsicht von (c)
Abbildung 7.5: (Prüfstand C) Maximaler Winkelfehler des integrierenden EMK-Verfahrens. Die Abbildungen (a),(b) zeigen den Winkelfehlerverlauf bei einem Skalierungsfehler von 10 %, bei den Abbildungen (c),(d) wurden keine Induktivitätsflächen, sondern vereinfachend Induktivitätskurven zur Winkelberechnung verwendet.
222
7 Auswirkung von Parameterfehlern
−3
−3
x 10
3.4
3.4
3.2
3.2
3
3
Lq [H]
Ld [H]
x 10
2.8
2.6
2.8
2.6
−0.5
2.4
−1
0
0
0.5
iq
in
1
−0.5
2.4
−1
id
in
(a) Ld
0
0
0.5
iq
in
1
id
in
(b) Lq
Abbildung 7.6: Vergleich der Induktivitäten Ld und Lq bei Verwendung von Parameterkurven im Gegensatz zu Parameterflächen am Beispiel von Prüfstand C. Die Parameterflächen sind jeweils als Gitter
dargestellt, die dazugehörigen Parameterkurven als dicke Linie.
den hier gezeigten beispielhaften Winkelfehlerberechnungen für Parameterkennlinien
statt -flächen wurde immer davon ausgegangen, dass die Kennlinienwerte ideal bekannt sind. Da dies, wie im vorherigen Kapitel 7.2.1 erläutert, in der Realität nicht der
Fall ist und die Kennlinien die Scheitellinie der Kennfläche beschreiben (siehe Abbildung 7.6), ist es sinnvoll, die verwendeten Kennlinien um einige Prozent zu reduzieren,
damit auch bei Belastung eine gute Näherung der Induktivitätsverläufe sichergestellt
ist. Wie stark diese Reduzierung ausfallen muss, ist von den Sättigungseigenschaften
jedes einzelnen Motortyps abhängig.
Ein weiteres Verfahren zur Schätzung der Rotorlage bei höheren Drehzahlen, das bereits in [20, 21] implementiert ist, wurde ebenfalls in Kapitel 2.4.3 erläutert. Dort wurde nach einigen Vereinfachungen Gleichung (2.204) auf Seite 61
α1
α
2
(id ,iq )
(id ,iq )
und
mit α1 = Lq−d îq ∆uq + ω̂el ∆ψp − ∆ud Lq−d îd − ψp
!
2
dîd
(id ,iq )
+ ω̂el îq
îq
α2 = Lq−d
dt
!
(id ,iq )
(id ,iq )
(id ,iq ) dîq
Lq−d îd − ψp
− ωel Lq−d îd
− ω̂el ψp + Lq−d
dt
∆γ =
(7.64)
entwickelt. In diesem Fall entspricht ∆γ nicht dem durch Parameterfehler hervorgeru-
fenen Winkelfehler, sondern ∆γ stellt den Winkelfehler zwischen realem und identi-
fizierten Rotorlagewinkel dar, den es auszuregeln gilt. Im Folgenden wird betrachtet,
welchen maximalen Fehler ∆ (∆γ) |max dieser Winkelfehler aufgrund von Parameter-
7.4 Auswirkung auf die geberlose Regelung
223
fehlern erreichen kann. Aus (7.64) folgt schließlich mit den Betrachtungen zur Fehlerrechnung aus Kapitel 7.1 der Gesamtfehler
∆ ∆γ max
∂∆γ
=
∂∆u
d
∂∆γ (id ,iq )
· ∆ ∆uq + (i ,i ) · ∆Lq−d
+
d q q
∂Lq−d ∂∆γ
· ∆ ∆ud + ∂∆u
∂∆γ ∂∆γ · ∆ψp + · ∆ ∆ψp
∂ψp ∂∆ψp (7.65)
(id ,iq )
Lq−d îd − ψp
∂∆γ
=
mit
∂∆ud
α2
(id ,iq )
Lq−d îq
∂∆γ
=
∂∆uq
α2
α2 · ∆uq îq + ω̂el ∆ψp îq − ∆ud L(id ,iq ) îd
q−d
(i
,i
)
q
d
−α · 2 α L
ω̂el î2q − ω̂el îd ψp + ωel î2d + ωel î2d ψp
1
1 q−d
∂∆γ
=
(id ,iq )
α22
∂Lq−d
(id ,iq )
(id ,iq )
α2 ∆ud − α1 · 2 ω̂el ψp + ωel Lq−d îd − ω̂el Lq−d îd
∂∆γ
=
∂ψp
α22
(id ,iq )
ω̂el Lq−d
∂∆γ
=
∂∆ψp
α2
îq
.
Je nachdem, auf welchen Parameterfehlereinfluss weiter eingegangen werden soll, können an dieser Stelle nun die jeweils anderen Einflüsse vernachlässigt werden. Es ergeben sich in der Folge vereinfachte mathematische Beziehungen, die Rückschlüsse auf
die gewünschte Fragestellung zulassen. Ein Fazit zur geberlosen Regelung mit Hilfe
des EMK-Verfahrens kann jedoch in jedem Fall gezogen werden: Im Gegensatz zum
Testsignalverfahren für kleine Drehzahlen, bei dem eine möglichst große und über
den gesamten Betriebsbereich konstante Differenz der Längs- und Gegeninduktivitäten gewünscht wird, verkompliziert die nötige Induktivitätsdifferenz die Identifikation des Läuferlagewinkels mit Hilfe des bei höheren Drehzahlen angewendeten EMKVerfahrens.
224
7 Auswirkung von Parameterfehlern
Kapitel 8
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigte sich mit der Messung und Identifkation der Parameter von permanenterregten Synchronmaschinen, namentlich der absoluten und
differentiellen Induktivitäten, des ohmschen Ständerwiderstands und der Permanentmagnetflussverkettung. Alle Untersuchungen wurden innerhalb des rotorfesten d,qKoordinatensystems durchgeführt. Damit wurden zugunsten einer umfassenderen
Betrachtung des Grundwellenverhaltens die Oberwelleneigenschaften der Maschinen
vernachlässigt. Um die nichtlinearen Maschineneigenschaften – wie Sättigungs- und
Kreuzkopplungseigenschaften – ausreichend berücksichtigen zu können, wurden die
bekannten linearisierten Spannungsgleichungen zu allgemeinen Spannungsgleichungen erweitert. Diese allgemeinen Spannungsgleichungen beinhalten zusätzlich ein Modell zur möglichst einfachen Berücksichtigung der drehzahlabhängigen Eisenverluste
in der Maschine. Die praktischen Messungen an verschiedenen Laboraufbauten, unter
anderem bei Maschinen mit konzentrierten Wicklungen und innenliegenden Magneten,
haben gezeigt, dass die Beschränkung auf das Grundwellenmodell auch bei Maschinen
mit ausgeprägten Oberwelleneigenschaften gültig ist.
Die möglichst genaue Kenntnis der absoluten und differentiellen Induktivitäten ist
für hochdynamische Regelungen, die Ständerwiderstandsidentifikation und nicht zuletzt die geberlose Regelung von großer Bedeutung. Da sie im Wesentlichen von den
beiden Ständerströmen im rotorfesten Koordinatensystem und weniger von anderen
Faktoren abhängen, wie zum Beispiel von äußeren Temperatureinflüssen, ist eine Offlinemessung möglich. In dieser Arbeit wurden die absoluten Induktivitäten bei konstanten Drehzahlen ermittelt. Für die Identifizierung der differentiellen Induktivitäten
wurde ein Verfahren verwendet, welches testsignalbasiert arbeitet. Es ähnelt in gewisser Weise der bei geberlosen Regelungen in Arbeitspunkten nahe Stillstand verwendeten Testsignaleinspeisung. Die ermittelten flächenhaften Verläufe der vier absoluten
und differentiellen Induktivitäten wurden geeignet komprimiert, um eine möglichst
225
226
8 Zusammenfassung
speicher- und rechenzeitsparende Implementierung zu gewährleisten. Im Rahmen dieser Arbeit wurde neben der linearen Interpolation insbesondere auf die Interpolation
durch (bi-)kubische Splines eingegangen.
Zur Identifikation des ohmschen Ständerwiderstands wurde eine Methode vorgestellt,
die auf niederfrequenten rechteckförmigen Testsignalen basiert. Die elektrischen und
mechanischen Messgrößen werden zum Ende jeder Rechteckhalbwelle ausgelesen. Anschließend erfolgt eine drehzahlabhängige Filterung der Größen, um die gerade bei
geringen Drehzahlen auftretenden Schwebungen zu reduzieren. Aus den gefilterten
Messgrößen wird schließlich der ohmsche Ständerwiderstand berechnet. Im Gegensatz zu rein passiven Verfahren, die ebenfalls angesprochen wurden, gehen bei dem
entwickelten testsignalbasierten Verfahren Offsetfehler auf den Messgrößen nur sehr
reduziert in die Widerstandsberechnung ein. Insbesondere die Offsetfehler der Spannungen infolge einer nicht idealen Umrichterlinearisierung sorgen bei den passiven
Verfahren dafür, dass sie meist nur in bestimmten Betriebsbereichen einsetzbar sind.
Dahingegen wurde die Funktionsfähigkeit des vorgestellten testsignalbasierten Identifikationsverfahrens für den gesamten Grunddrehzahlbereich an Laborprüfständen
verifiziert. Eine Verifikation des Verfahrens für den Feldschwächbereich war aufgrund
von Limitationen der Prüfstände nicht möglich.
Ist der Ständerwiderstand bekannt, kann daraus die Permanentmagnetflussverkettung
berechnet werden. Es wurden hierzu zwei Verfahren vorgestellt: Ein Verfahren verwendet konstante Drehzahlen, benötigt jedoch eine gewisse Mindestdrehzahl, um
eingesetzt werden zu können. Ein zweites Verfahren gewinnt aus der Drehzahländerung von (relativ langsam) beschleunigenden Systemen die Permanentmagnetflussverkettung und kann damit auch bei Drehzahlen um null, also zum Beispiel dem Anfahrzeitpunkt bei Traktionsantrieben, eingesetzt werden.
Schließlich wurde in einem letzten Abschnitt dieser Arbeit betrachtet, welchen Einfluss die verschiedenen Mess- und Rechendaten auf die Berechnung der Induktivitäten,
den ohmschen Ständerwiderstand und die Permanentmagnetflussverkettung haben.
Ist dieser Einfluss bekannt, dann kann folglich eine Abschätzung darüber getroffen
werden, wie genau die gewünschten Parameter bei einer ganz bestimmten Maschinenkonfiguration identifiziert werden können und wie sich diese Parameterungenauigkeit auf die Drehmomentberechnung oder die Winkelberechnung bei geberlosen Regelungsalgorithmen auswirkt.
Die Ergebnisse der hier vorliegenden Arbeit können als Grundlage für die Erstellung eines exakten Maschinenmodells dienen, welches zum Beispiel zu Simulationszwecken
eingesetzt werden kann. Außerdem lassen sich bei genau bekannten Parametern dynamischere Regelungen entwerfen oder alternativ Bauelemente einsparen. Ein Beispiel
hierfür ist der Drehmomentsensor, der normalerweise bei der Implementierung ei-
227
ner Drehmomentregelung zwingend erforderlich ist. Auf ihn kann verzichtet werden,
wenn das aktuelle Istdrehmoment sehr genau berechnet werden kann. Hierzu wird
unter anderem der aktuelle ohmsche Ständerwiderstand benötigt, der nur online identifiziert werden kann, da er sich motortemperaturabhängig während des laufenden
Betriebs um bis zu 80 % verändert.
228
8 Zusammenfassung
Abbildungsverzeichnis
1.1 Foto des Prüfstands A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 Übersicht über die verwendeten Prüfstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3 Foto des Prüfstands B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1 Vergleich verschiedener Magnetanordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2 Durchflutungsverteilung, Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3 Durchflutungsverteilung, verteilte vs. konzentrierte Wicklung (1) . . . . . .
9
2.4 Durchflutungsverteilung, verteilte vs. konzentrierte Wicklung (2) . . . . . . 10
2.5 Definition der Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Allgemeines Netzwerk des Ständers einer Drehstrommaschine . . . . . . . 12
2.7 Linearisierte Gleichungen, elektrisches Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8 Beziehung zwischen absoluter und differentieller Induktivität . . . . . . . 21
2.9 Allgemeine Gleichungen, elektrisches Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.10 (Prüfstand C) Verifikation des erweiterten PMSM-Modells . . . . . . . . . . . 24
2.11 (Prüfstand A) Verifikation des erweiterten PMSM-Modells . . . . . . . . . . . 25
2.12 Frequenzumrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.13 Wechselrichter mit eingezeichneten Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.14 Stromführende Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.15 Verfahren zur Bestimmung der Umrichternichtlinearität . . . . . . . . . . . 32
2.16 (Prüfstand A) Diff. zw. realer und idealer Umrichterausgangsspg. (1) . . . 34
2.17 (Prüfstand A) Diff. zw. realer und idealer Umrichterausgangsspg. (2) . . . 34
2.18 Ströme und Spannungen eines Testsignals (idealisiert) . . . . . . . . . . . . 42
2.19 (Prüfstand C) Induktivitätsdifferenz Lqq − Ldd . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.20 (Prüfstand B) Induktivitätsdifferenz Lqq − Ldd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.21 (Prüfstand C) Differentieller Schenkligkeitskoeffizient . . . . . . . . . . . . . 47
2.22 (Prüfstand B) Differentieller Schenkligkeitskoeffizient . . . . . . . . . . . . . 47
2.23 EMK-Verfahren, Vereinfachung Winkelberechnung . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1 Allgemeine Gleichungen mit Eisenverlusten, elektrisches Netzwerk . . . . 66
3.2 Ersatzschaltbilder für das rotorfeste d,q-Koordinatensystem . . . . . . . . 71
229
230
Abbildungsverzeichnis
3.3 (Prüfstand C) Eisenverlustparameter ξd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 (Prüfstand C) Eisenverlustparameter ξq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5 (Prüfstand A) Eisenverlustparameter ξq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1 Funktionsverlauf ohne Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Funktionsverlauf bei linearer Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Funktionsverlauf bei Spline-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 Allgemeines Raumelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Lineare Interpolation mit allgemein verteilten Stützpunkten . . . . . . . . . 84
4.6 Raumelement parallel zu den x,y-Achsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.7 Vereinfachte lineare Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.8 Bi-kubisch interpoliertes Flächenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.9 Bi-kubische Interpolation (gleichmäßig verteilte Stützpunkte) . . . . . . . . 94
4.10 Bi-kubische Interpolation (ungleichmäßig verteilte Stützpunkte) . . . . . . 94
4.11 (Prüfstand C) Flussverkettungen ψd und ψq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.12 (Prüfstand C) Vergleich von ud gemessen und berechnet . . . . . . . . . . . 101
4.13 (Prüfstand C) Unkompensierte Ld -Berechnung (drehzahlabhängig) . . . . . 101
4.14 (Prüfstand C) Messungen von Ld mit bzw. ohne Kompensation . . . . . . . 104
4.15 (Prüfstand C) Messungen von Lq mit bzw. ohne Kompensation . . . . . . . 105
4.16 Verarbeitung der Messdaten zu absoluten Induktivitäten . . . . . . . . . . . 108
4.17 (Prüfstand C) Bearbeitungsschritte während der Berechnung von Ld . . . . 109
4.18 (Prüfstand C) Bearbeitungsschritte während der Berechnung von Lq . . . . 110
4.19 (Prüfstand C) Absolute Induktivitäten Ld und Lq . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.20 ψp abhängig vom iq -Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
(id ,iq )
4.21 (Prüfstand A) Absolute Induktivitäten (a,c) Ld
(id ,iq )
und (b,d) Lq
. . . . . 114
4.22 Abhängigkeit zwischen Strom und Flussverkettung . . . . . . . . . . . . . . 116
4.23 Testsignal und Auswertung bei Spannungstestsignalen . . . . . . . . . . . . 121
4.24 Testsignal und Auswertung bei Stromtestsignalen . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.25 (Prüfstand C) Ldd bei konstanter Testspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.26 (Prüfstand C) Lqq bei konstanter Testspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.27 (Prüfstand C) Ldd bei konstantem Teststrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.28 (Prüfstand C) Lqq bei konstantem Teststrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.29 (Prüfstand A) Ldd bei konstantem Teststrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.30 (Prüfstand A) Lqq bei konstantem Teststrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.31 (Prüfstand A) Ldq bei konstantem Teststrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.32 (Prüfstand A) Lqd bei konstantem Teststrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.33 Stromabhängige Induktivitätsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.34 Reduzierung der Messpunkte für die Induktivitätskennflächen . . . . . . . 130
4.35 Einfache Vorgabe der äußeren Stützpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Abbildungsverzeichnis
231
4.36 Optimierte Vorgabe der äußeren Stützpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.37 5x5-Parametermatrix inklusive der äußeren Stützpunkte . . . . . . . . . . . 132
4.38 Aufbau der Matrix bzw. Struktur von A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.39 (Prüfstand C) Extrapolation und Stützpunktreduzierung für Ld . . . . . . . 133
4.40 (Prüfstand C) Extrapolation und Stützpunktreduzierung für Lq . . . . . . . 134
4.41 (Prüfstand B) Extrapolation und Stützpunktreduzierung für Lq . . . . . . . 135
5.1 Prinzipielle Darstellung eines MRAC-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2 (Prüfstand B) Rs -Identifikation nach Gl. (5.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3 (Prüfstand C) Rs -Identifikation nach Gl. (5.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4 (Prüfstand B) Rs -Identifikation nach Gl. (5.11) bei ψp = 0, 9 · ψp,r eal . . . . 146
5.5 (Prüfstand B) Rs -Identifikation nach Gl. (5.11) mit bei ψp = ψp,r eal . . . . 146
5.6 (Prüfstand B) Rs -Identifikation nach Gl. (5.11) bei ψp = 1, 1 · ψp,r eal . . . . 147
5.7 (Prüfstand C) Rs -Identifikation nach Gl. (5.11) bei ψp = 1, 0 · ψp,r eal
. . . 147
5.8 Prinzipieller Verlauf des rechteckförmigen Testsignalstroms . . . . . . . . 149
5.9 Offsetsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.10 Implementierung des Offsetsignals in die feldorientierte Regelung . . . . . 154
5.11 Prinzipieller Verlauf des rechteckförmigen Testsignalstroms . . . . . . . . 154
5.12 Spannungen bei aktiviertem Testsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.13 Veranschaulichung der einfachen Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.14 Darstellung der Mittelung über eine Rechteckfunktion . . . . . . . . . . . . 158
5.15 Filterung der Messsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.16 (Prüfstand B) Vergleich mit/ohne drehzahladaptive Filterung (2 Hz) . . . . 160
5.17 (Prüfstand B) Vergleich mit/ohne drehzahladaptive Filterung (4 Hz) . . . . 160
5.18 Prinzip der Ständerwiderstandsidentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.19 (Prüfstand A) Rs -Identifikation mit Testsignalen, stationär . . . . . . . . . . 164
5.20 (Prüfstand C) Rs -Identifikation mit Testsignalen, stationär . . . . . . . . . . 165
5.21 (Prüfstand B) Rs -Identifikation mit Testsignalen, stationär . . . . . . . . . . 166
5.22 (Prüfstand A) Drehzahlsprung unter Nennbelastung . . . . . . . . . . . . . . 167
1
5.23 (Prüfstand A) Drehmomentsprung bei n = 250 min . . . . . . . . . . . . . . . 168
1
5.24 (Prüfstand A) Erwärmung und Abkühlung bei n = 500 min . . . . . . . . . . 169
5.25 (Prüfstand C) Drehzahlsprung im Leerlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.26 (Prüfstand C) Drehzahlsprung bei Nennbelastung . . . . . . . . . . . . . . . 170
1
5.27 (Prüfstand C) Erwärmungsmessung bei n = 500 min . . . . . . . . . . . . . . 171
5.28 (Prüfstand B) Drehzahlsprung bei Nennbelastung . . . . . . . . . . . . . . . 172
1
5.29 (Prüfstand B) Drehmomentsprung bei n = 30 min
. . . . . . . . . . . . . . . . 173
1
5.30 (Prüfstand B) Drehmomentsprung bei n = 150 min . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.31 Genauigkeit der Ständertemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.32 Temperaturidentifikation an den Prüfständen B und C . . . . . . . . . . . . 176
232
Abbildungsverzeichnis
6.1 Stromdurchflossene Spule im äußeren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.2 Vorzugsrichtung der Magnetisierung vs. äußeres magnetisches Feld . . . . 183
6.3 Magnetisierung in Abhängigkeit der äußeren Feldstärke . . . . . . . . . . . 184
6.4 Magnetische Flussdichte B in Abhängigkeit der äußeren Feldstärke H . . . 184
6.5 Verlauf des Testsignalstroms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.6 (Prüfstand A) Identifizierte Flussverkettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.7 (Prüfstand C) Identifizierte Flussverkettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.8 (Prüfstand B) Identifizierte Flussverkettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.9 Graphische Darstellung der Register (1) bis (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.10 Prinzip der Identifikation der Permanentmagnetflussverkettung . . . . . . 194
6.11 (Prüfstand C) Identifizierung der Flussverkettung bei
6.12 (Prüfstand C) Identifizierung der Flussverkettung bei
6.13 (Prüfstand C) Identifizierung der Flussverkettung bei
6.14 (Prüfstand C) Identifizierung der Flussverkettung bei
6.15 (Prüfstand A) Identifizierung der Flussverkettung bei
6.16 (Prüfstand A) Identifizierung der Flussverkettung bei
6.17 (Prüfstand A) Identifizierung der Flussverkettung bei
6.18 (Prüfstand A) Identifizierung der Flussverkettung bei
dn
dt
dn
dt
dn
dt
dn
dt
dn
dt
dn
dt
dn
dt
dn
dt
1
= 25 s2 . . . . . . 195
1
= 50 s2 . . . . . . 195
1
= 100 s2 . . . . . 195
1
= 150 s2 . . . . . 196
1
= 25 s2 . . . . . . 196
1
= 50 s2 . . . . . . 197
= 100 s12 . . . . . 197
1
= 150 s2 . . . . . 197
7.1 (Prüfstand A) Maximaler absoluter Fehler der diff. Induktivitäten . . . . . . 207
7.2 (Prüfstand A) Maximaler Winkelfehler des Testsignalverfahrens . . . . . . 217
7.3 (Prüfstand C) Maximaler Winkelfehler des Testsignalverfahrens . . . . . . 218
7.4 (Prüfstand A) Maximaler Winkelfehler des integrierenden EMK-Verfahrens 220
7.5 (Prüfstand C) Maximaler Winkelfehler des integrierenden EMK-Verfahrens 221
7.6 Vergleich von Parameterkurven und -flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
A.1 Prüfstand A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
A.2 (Prüfstand A) Drehzahlsprung im Leerlauf (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
A.3 (Prüfstand A) Drehzahlsprung im Leerlauf (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
A.4 (Prüfstand A) Drehzahlsprung unter Nennbelastung . . . . . . . . . . . . . . 251
1
. . . . . . . . . . . . . . . 251
1
min
. . . . . . . . . . . . . . . 252
A.5 (Prüfstand A) Drehmomentsprung bei n = 50 min
A.6 (Prüfstand A) Drehmomentsprung bei n = 500
A.7 (Prüfstand B) Drehzahlsprung im Leerlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
A.8 (Prüfstand B) Drehzahlsprung bei Nennbelastung . . . . . . . . . . . . . . . 256
A.9 (Prüfstand B) Drehzahlsprung im Leerlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
1
A.10(Prüfstand B) Drehmomentsprung bei n = 1500 min . . . . . . . . . . . . . . 257
A.11Prüfstand C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
A.12Drehzahlsprung im Leerlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
A.13Drehzahlsprung unter Nennbelastung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
1
A.14(Prüfstand C) Drehmomentsprung bei n = 30 min
. . . . . . . . . . . . . . . 259
Abbildungsverzeichnis
233
1
. . . . . . . . . . . . . . 260
A.15(Prüfstand C) Drehmomentsprung bei n = 1000 min
1
A.16(Prüfstand C) Erwärmungsmessung bei n = 50 min . . . . . . . . . . . . . . . 260
234
Literaturverzeichnis
[K-1] Reill, J. ; Kellner, S. L. ; Ebersberger, S. ; Seilmeier, M. ; Piepenbreier, B.:
High Precision Identification Method for differential dq-Inductances of Permanent Magnet Synchronous Machines. In: Power Electronics/Intelligent Motion/Power Quality (PCIM) (2010)
[K-2] Kellner, S. L. ; Piepenbreier, B.: Advantages of a new approach to estimate
the stator resistance of a permanent magnet synchronous machine compared
to known conventional methods. In: Vehicle Power and Propulsion Conference
(VPPC) (2010)
[K-3] Kellner, S. L. ; Piepenbreier, B.: Identification of Ohmic Stator Resistance Based on Low Frequency Current Signal Injection at Interior Permanent Magnet
Synchronous Machines. In: International Power Electronics and Motion Conference (EPE-PEMC) (2010)
[K-4] Kellner, S. L. ; Piepenbreier, B.: PMSM d,q-Reference Frame Model using Absolute and Differential Inductance Surfaces. In: International Conference for Power
Electronics, Intelligent Motion and Power Quality (PCIM) (2011)
[K-5] Kellner, S. L. ; Piepenbreier, B.: Compensation of PWM Inverter Voltage Errors based on Measurement of DC-Link and Output Voltages. In: International
Conference for Power Electronics, Intelligent Motion and Power Quality (PCIM)
(2011)
[K-6] Kellner, S. L. ; Piepenbreier, B.: General PMSM D,q-Model Using Optimized
Interpolated Absolute and Differential Inductance Surfaces. In: International
Conference on Electric Machines and Drives (IEMDC) (2011)
[K-7] Kellner, S. L. ; Seilmeier, M. ; Piepenbreier, B.: Impact of Iron Losses on
Parameter Identification of Permanent Magnet Synchronous Machines. In: International Electric Drives Production Conference (EDPC) (2011), S. 20–25
235
236
LITERATURVERZEICHNIS
[K-8] Kellner, S. L. ; Piepenbreier, B.: A Detailed Step-by-Step Description of the Measurement of Absolute Inductances of Permanent Magnet Synchronous Machines.
In: Power Electronics/Intelligent Motion/Power Quality (PCIM) (2012)
[9]
Kost, A.: Numerische Methoden in der Berechnung elektromagnetischer Felder.
Berlin : Springer, 1994 (Springer-Lehrbuch).
[10]
Kilthau, A. ; Pacas, J. M.: Parameter-measurement and control of the synchronous reluctance machine including cross saturation. In: IEEE Industry Applications Conference 4 (2001), S. 2302–2309.
[11]
Peter, H. ; Hahn, I.: Determination of Differential Inductances of Permanent Magnet Synchronous Machines for Sensorless Control. In: International Conference
on Electric Machines and Drives (IEMDC) (2011)
[12]
Zhu, Z. Q.: Recent Advances on Permanent Magnet Machines Including IPM Technology. In: International Conference on Electric Machines and Drives (IEMDC)
(2011)
[13]
Müller, G. ; Ponick, B.: Theorie Elektrischer Maschinen. John Wiley & Son Ltd,
2009.
[14]
Faggion, A.: Algorithms and Rotor Designs for the Position Estimation of PM
Synchronous motors at Zero and Nonzero Speed. Padova, Universita’ Degli Studi
Di Padova, Dissertation, 2011
[15]
Fischer, R.: Elektrische Maschinen. 13. München : Hanser, 2006.
[16]
Müller, G. ; Ponick, B.: Grundlagen elektrischer Maschinen. Weinheim : VCH,
2006.
[17]
Pfaff, G. ; Meier, C.: Regelung elektrischer Antriebe 1. München : Oldenburg,
1994.
[18]
Schröder, D.: Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen. 2., überarb.
und erw. Aufl. Berlin : Springer, 2001 (Springer-Lehrbuch).
[19]
Stumberger, B. ; Stumberger, G. ; Dolinar, D. ; Hamler, A. ; Trlep, M.: Evaluation of saturation and cross-magnetization effects in interior permanentmagnet synchronous motors. In: IEEE Transactions on Industry Applications 39
(2003), Nr. 5, 1264–1271.
[20]
Frenzke, T.:
Geberlose Drehmoment-Regelung für permanentmagneterregte
Synchronmaschinen in der Bahntraktion. Aachen : Shaker, 2008.
LITERATURVERZEICHNIS
[21]
237
Reill, J.: Lagegeberlose Regelung für ein accelerometergestütztes, hochdynamisches Roboterantriebssystem mit permanenterregtem Synchronmotor. Erlangen,
Friedrich-Alexander-Universität, Dissertation, 2010
[22]
Jurkovic, S. ; Strangas, E. G.: Cross-Saturation Effects on Position Estimation
Using BEMF Methods in PMAC Machines. In: International Conference on Electric
Machines and Drives (IEMDC) (2011)
[23]
Meessen, K. J. ; Thelin, P. ; Soulard, J. ; Lomonova, E. A.: Inductance Calculations of Permanent-Magnet Synchronous Machines Including Flux Change and
Self- and Cross-Saturations. In: IEEE Transactions on Magnetics 44 (2008), Nr.
10, 2324–2331.
[24]
Poltschak, F. ; Amrhein, W.: A dynamic nonlinear model for permanent magnet synchronous machines. In: International Symposium on Industrial Electronics (ISIE) (2008), 724–729.
[25]
Jebai, A. K. ; Malrait, F. ; Martin, P. ; Rouchon, P.: Estimation of Saturation
of Permanent-Magnet Synchronous Motors Through an Energy-Based Model. In:
International Conference on Electric Machines and Drives (IEMDC) (2011)
[26]
Mink, F. ; Heinz, T. ; Kuhn, S.: Parametrische Modelle der PermanentmagnetSynchronmaschine (PMSM) mit Berücksichtigung von Einflüssen magnetischer
Sättigung. In: Antriebssysteme (VDI-Bericht 2138) (2011)
[27]
Kóvacs, K. P. ; Rácz, I.: Transiente Vorgänge in Wechselstrommaschinen. Budapest : Akad. Kiadó Verl. d. Ungarischen Akad. d. Wissenschaften, 1959
[28]
Schröder, D.:
Elektrische Antriebe - Grundlagen.
Berlin and Heidelberg :
Springer-Verlag, 2009.
[29]
Kröger, R. ; Unbehauen, R.: Elektrodynamik: Einführung für Physiker und Ingenieure ; mit 47 Aufgaben mit Lösungen. Stuttgart : Teubner, 1993.
[30]
Unbehauen, R.: Grundlagen der Elektrotechnik 1 - Allgemeine Grundlagen, lineare Netzwerke, stationäres Verhalten. Berlin : Springer-Verlag, 1999.
[31]
Herold, G.: Drehstromsysteme, Leistungen, Wirtschaftlichkeit. 2., überarb. und
erw. Wilburgstetten : Schlembach, 2005.
[32]
Loh, P. C. ; Holmes, D. G.:
Analysis of multiloop control strategies for
LC/CL/LCL-filtered voltage-source and current-source inverters. In: IEEE Transactions on Industry Applications 41 (2005), Nr. 2, 644–654.
238
LITERATURVERZEICHNIS
[33]
Loh, P. C. ; Newman, M. J. ; Zmood, D. N. ; Holmes, D. G.: A comparative
analysis of multiloop voltage regulation strategies for single and three-phase
UPS systems. In: IEEE Transactions on Power Electronics 18 (2003), Nr. 5, 1176–
1185.
[34]
Zmood, D. N. ; Holmes, D. G. ; Bode, G.: Frequency domain analysis of three phase linear current regulators. In: Conference Record of the Industry Applications
Conference 2 (1999), 818–825.
[35]
Zmood, D. N. ; Holmes, D. G. ; Bode, G. H.: Frequency-domain analysis of threephase linear current regulators. In: IEEE Transactions on Industry Applications
37 (2001), Nr. 2, 601–610.
[36]
Föllinger, O. ; Dörrscheidt, F.: Regelungstechnik: Einführung in die Methoden
und ihre Anwendung. 8., überarb. Aufl. Heidelberg : Hüthig, 1994.
[37]
Friedland, B.: Control system design: An introduction to state-space methods.
Dover ed. Mineola and NY : Dover Publications, 2005.
[38]
Schröder, D.: Elektrische Antriebe - Grundlagen: Mit durchgerechneten Übungsund Prüfungsaufgaben. 3., erw. Aufl. Berlin : Springer Berlin, 2007 (SpringerLehrbuch).
[39]
Dajaku, G.: Electromagnetic and thermal modeling of highly utilized PM machines. Aachen : Shaker, 2006.
[40]
Bronstein, I. N.: Taschenbuch der Mathematik. 4., überarb. und erw. Aufl. der
Neubearb. Frankfurt am Main : Deutsch, 1999.
[41]
Rahman, K. M. ; Hiti, S.: Identification of machine parameters of a synchronous
motor. In: IEEE Transactions on Industry Applications 41 (2005), Nr. 2, 557–565.
[42]
Schutzrecht EP 2276162A1 (17.7.2009). ebm-papst Mulfingen GmbH & Co. KG –
Verfahren und Steuersystem zum Ansteuern eines bürstenlosen Elektromotors
[43]
Perassi, H. D.: Feldorientierte Regelung der permanenterregten Synchronmaschine ohne Lagegeber für den gesamten Drehzahlbereich bis zum Stillstand. Ilmenau, Technische Universität Ilmenau, Dissertation, 2007
[44]
Anderson, J. ; Peng, F. Z.: Four quasi-Z-Source inverters. In: Power Electronics
Specialists Conference (PESC) (2008), S. 2743–2749.
[45]
Beer, K. ; Piepenbreier, B.: Properties and Advantages of the Quasi-Z-Source Inverter for DC-AC Conversion for Electric Vehicle Applications. In: VDE Kongress
Leipzig (2010)
LITERATURVERZEICHNIS
[46]
239
Peng, F. Z.: Z-source inverter. In: IEEE Transactions on Industry Applications 39
(2003), Nr. 2, S. 504–510.
[47]
Völkel, S.: Rückspeisefähiger einphasiger AC/DC-Umrichter mit Potentialtrennung. München : Verlag Dr. Hut, 2010 (Energietechnik).
[48]
Kuskov, A.:
Verlustarmer rückspeisefähiger Antriebsstromrichter ohne Zwi-
schenkreiskondensator mit netzfrequentem Schalter auf der Netzseite. 1. München : Hut, 2011.
[49]
Orellana Raccoursier, A.: Kompakter rückspeisefähiger Antriebsstromrichter
mit SiC-JFETs und sinusförmigen Ausgangsspannungen: Univ., Diss.–ErlangenNürnberg, 2009. Göttingen : Cuvillier, 2009.
[50]
Piepenbreier, B.: Leistungselektronik. Erlangen, 2011/2012 (Vorlesung)
[51]
Piepenbreier, B.: Pulsumrichter für elektrische Antriebe. Erlangen, 2011 (Vorlesung)
[52]
Pedersen, J. K. ; Blaabjerg, F. ; Jensen, J. W. ; Thogersen, P.: An ideal PWM-VSI
inverter with feedforward and feedback compensation. In: European Conference
on Power Electronics and Applications (EPE) (1993), S. 501–507 vol.5
[53]
Bolognani, S. ; Peretti, L. ; Zigliotto, M.:
Repetitive-Control-Based Self-
Commissioning Procedure for Inverter Nonidealities Compensation. In: IEEE
Transactions on Industry Applications 44 (2008), Nr. 5, S. 1587–1596.
[54]
Pellegrino, G. ; Bojoi, R. I. ; Guglielmi, P. ; Cupertino, F.: Accurate Inverter
Error Compensation and Related Self-Commissioning Scheme in Sensorless Induction Motor Drives. In: IEEE Transactions on Industry Applications 46 (2010),
Nr. 5, S. 1970–1978.
[55]
Spichartz, M. ; Heising, C. ; Staudt, V. ; Steimel, A.: Correction of inverter voltage errors for model-based induction machine control. In: International Symposium on Power Electronics, Electrical Drives, Automation and Motion (SPEEDAM)
(2010), 920–925.
[56]
Choi, J.-W. ; Sul, S.-K.: A new compensation strategy reducing voltage/current
distortion in PWM VSI systems operating with low output voltages. In: IEEE
Transactions on Industry Applications 31 (1995), Nr. 5, 1001–1008.
[57]
Foerth, C.: Traktionsantrieb ohne Drehzahlgeber mit minimiertem Messaufwand: Univ., Diss.–Bochum.. Bd. 936. Düsseldorf : VDI-Verl., 2002.
240
LITERATURVERZEICHNIS
[58]
Seilmeier, M. ; Wolz, C. ; Piepenbreier, B.: Modelling and model based compensation of non-ideal characteristics of two-level voltage source inverters for
drive control application. In: International Electric Drives Production Conference
(EDPC) (2011), S. 17–22.
[59]
Bolognani, S. ; Zigliotto, M.: Self-commissioning compensation of inverter
non-idealities for sensorless AC drives applications. In: International Conference on Power Electronics, Machines and Drives (PEMD) (2002), S. 30–37.
[60]
Sepe, R. B. ; Lang, J. H.: Inverter nonlinearities and discrete-time vector current
control. In: IEEE Transactions on Industry Applications 30 (1994), Nr. 1, S. 62–70.
[61]
Guerrero, J. M. ; Leetmaa, M. ; Briz, F. ; Zamarron, A. ; Lorenz, R. D.: Inverter
nonlinearity effects in high-frequency signal-injection-based sensorless control
methods. In: IEEE Transactions on Industry Applications 41 (2005), Nr. 2, S. 618–
626.
[62]
Holtz, J. ; Juntao Quan: Sensorless vector control of induction motors at
very low speed using a nonlinear inverter model and parameter identification:
Industry Applications, IEEE Transactions on. In: IEEE Transactions on Industry
Applications 38 (2002), Nr. 4, S. 1087–1095.
[63]
Raute, R. ; Caruana, C. ; Staines, C. S. ; Cilia, J. ; Sumner, M. ; Asher,
G. M.: Analysis and Compensation of Inverter Nonlinearity Effect on a Sensorless PMSM Drive at Very Low and Zero Speed Operation. In: IEEE Transactions
on Industrial Electronics 57 (2010), Nr. 12, S. 4065–4074.
[64]
Brand, B.: Demonstrationsmodell für einen pulsumrichtergespeisten Drehstromantrieb. Erlangen, Friedrich-Alexander-Universität, Studienarbeit, 2001
[65]
Siemens AG (Hrsg.): SINAMICS S120: Das flexible Antriebssystem für anspruchsvolle Motion-Control-Anwendungen. www.siemens.de/sinamics-s120 Produktbroschüre, 2012
[66]
Ebersberger, S. ; Piepenbreier, B.: Impact of Three-Phase Current Measurement on Field-Oriented Control. In: Power Electronics/Intelligent Motion/Power
Quality (PCIM) (2012)
[67]
Zatocil, H.: Geberlose Drehzahlregelung der Asynchronmaschine mit einem
testsignalbasierten Referenzmodell: Univ., Diss.–Erlangen-Nürnberg, 2009.
1.
Aufl. München : Verl. Dr. Hut, 2009 (Energietechnik).
[68]
Linke, M.: Fortschritt-Berichte VDIReihe 21, Elektrotechnik. Bd. 349: Injektion
alternierender Trägersignale zur sensorlosen Regelung von Drehfeldmaschinen:
Univ., Diss.–Wuppertal, 2003. Als Ms. gedr. Düsseldorf : VDI-Verl., 2003.
LITERATURVERZEICHNIS
[69]
241
Linke, M. ; Kennel, R. ; Holtz, J.: Sensorless speed and position control of
synchronous machines using alternating carrier injection. In: International Conference on Electric Machines and Drives (IEMDC) 2 (2003), S. 1211–1217
[70]
Garcia, P. ; Briz, F. ; Degner, M. W. ; Diaz-Reigosa, D.:
Accuracy, Band-
width, and Stability Limits of Carrier-Signal-Injection-Based Sensorless Control
Methods. In: IEEE Transactions on Industry Applications 43 (2007), Nr. 4, S. 990–
1000.
[71]
Wallmark, O. ; Harnefors, L. ; Carlson, O.: An Improved Speed and Position
Estimator for Salient Permanent-Magnet Synchronous Motors. In: IEEE Transactions on Industrial Electronics 52 (2005), Nr. 1, S. 255–262.
[72]
Wallmark, O. ; Harnefors, L.: Sensorless Control of Salient PMSM Drives in
the Transition Region. In: IEEE Transactions on Industrial Electronics 53 (2006),
Nr. 4, S. 1179–1187.
[73]
Corley, M. J. ; Lorenz, R. D.: Rotor position and velocity estimation for a salientpole permanent magnet synchronous machine at standstill and high speeds. In:
IEEE Transactions on Industry Applications 34 (1998), Nr. 4, S. 784–789.
[74]
Eskola, M. ; Tuusa, H.: Sensorless control of salient pole PMSM using a lowfrequency signal injection. In: European Conference on Power Electronics and
Applications (EPE) (2005).
[75]
Holtz, J.: Pulsewidth modulation for electronic power conversion. In: Proceedings of the IEEE 82 (1994), Nr. 8, S. 1194–1214.
[76]
Hahn, I.: Differential magnetic anisotropy - prerequisite for rotor position detection of PM-synchronous machines with signal injection methods. In: Symposium
on Sensorless Control for Electrical Drives (SLED) (2010), S. 40–49.
[77]
Kiel, J.: Regelung permanenterregter Synchronmaschinen ohne mechanischen
Geber für den industriellen Einsatz. Paderborn, Universität Paderborn, Dissertation, 2005
[78]
Vas, P.: Sensorless vector and direct torque control. Oxford and New York :
Oxford University Press, 1998.
[79]
Klepsch, T. A.: Sensorlose Lageregelung permanenterregter Synchronservomotoren. Aachen : Shaker, 1995 (Berichte aus der Elektrotechnik).
[80]
Oeder, C.:
Implementierung einer geberlosen Regelung in einem Matlab-
Simulink-Simulationsmodell. Erlangen, Friedrich-Alexander-Universität ErlangenNürnberg, Studienarbeit, 2009
242
LITERATURVERZEICHNIS
[81]
Ytterberg, A.: Die Eisenverluste in elektrischen Maschinen. In: Archiv für Elektrotechnik 3 (1915), Nr. 8-9, S. 225–264.
[82]
Fish, G. E.: Soft magnetic materials. In: Proceedings of the IEEE 78 (1990), Nr. 6,
S. 947–972.
[83]
Bertotti, G.: General properties of power losses in soft ferromagnetic materials. In: IEEE Transactions on Magnetics 24 (1988), Nr. 1, S. 621–630.
[84]
Reinert, J. ; Brockmeyer, A. ; Doncker, R. W. A. A. d.: Calculation of losses
in ferro- and ferrimagnetic materials based on the modified Steinmetz equation.
In: IEEE Transactions on Industry Applications 37 (2001), Nr. 4, S. 1055–1061.
[85]
Shen, W. ; Wang, F. ; Boroyevich, D. ; Tipton, C. W.: Loss Characterization
and Calculation of Nanocrystalline Cores for High-Frequency Magnetics Applications. In: IEEE Transactions on Power Electronics 23 (2008), Nr. 1, S. 475–484.
[86]
Demetriades, G. D. ; La Parra, H. Z. d. ; Andersson, E. ; Olsson, H.: A RealTime Thermal Model of a Permanent-Magnet Synchronous Motor. In: IEEE Transactions on Power Electronics 25 (2010), Nr. 2, 463–474.
[87]
Dordea, T.: Beitrag zur Zweiachsentheorie der elektrischen Maschinen. In: Archiv für Elektrotechnik 50 (1966), Nr. 6, S. 362–371.
[88]
Oberretl, K.: Eisenverluste, Flusspulsation und magnetische Nutkeile in Käfigläufermotoren. In: Archiv für Elektrotechnik 82 (2000), Nr. 6, S. 301–311.
[89]
Weninger, R.: Einfluß der Maschinenparameter auf Zusatzverluste, Momentoberschwingungen und Kommutierung bei der Umrichterspeisung von Asynchronmaschinen. In: Archiv für Elektrotechnik 63 (1981), Nr. 1, S. 19–28.
[90]
Merkhouf, A. ; Hudon, C. ; Bélec, M. ; Guillot, E. ; Aguiar, A. B. M. ; AlHaddad, K.: Electromagnetic Losses Computation in Existing Large Hydro Electrical Generators. In: International Conference on Electric Machines and Drives
(IEMDC) (2011)
[91]
Chong, L. ; Dutta, R. ; Rahman, M. F. ; Lovatt, H.: Experimental Verification of
Core and Magnet Losses in a Concentrated Wound IPM Machine with V-Shaped
Magnets used in Field Weakening Applications. In: International Conference on
Electric Machines and Drives (IEMDC) (2011)
[92]
Li, L. ; Huang, X. ; Kao, B. ; Yan, B.: Research of core loss of permanent magnet
synchronous motor (PMSM) in AC servo system. In: International Conference on
Electrical Machines and Systems (ICEMS) (2008), S. 602–607
LITERATURVERZEICHNIS
[93]
243
Tariq, A. R. ; Nino, C. E. ; Strangas, E. G.: A novel numerical method for the
calculation of iron and magnet losses of IPMSMs. In: International Conference
on Electric Machines and Drives (IEMDC) (2009), S. 1605–1611
[94]
Pellegrino, G. ; Guglielmi, P. ; Vagati, A. ; Villata, F.: Core Losses and
Torque Ripple in IPM Machines: Dedicated Modeling and Design Tradeoff. In:
IEEE Transactions on Industry Applications 46 (2010), Nr. 6, S. 2381–2391.
[95]
Bianchi, N. ; Bolognani, S. ; Fornasiero, E.: An Overview of Rotor Losses
Determination in Three-Phase Fractional-Slot PM Machines. In: IEEE Transactions
on Industry Applications 46 (2010), Nr. 6, S. 2338–2345.
[96]
Vogler, E.: Energiebetrachtung zweier Motorkonzepte beim instationären Aufzugsbetrieb. Neuhausen auf den Fildern, 25.03.2011 (Vortrag)
[97]
Steinmetz, C. P.: On the Law of Hysteresis. In: Transactions of the American
Institute of Electrical Engineers IX (1892), Nr. 1, S. 1–64.
[98]
Steinmetz, C. P.: On the Law of Hysteresis (Part II.) and Other Phenomena
of the Magnetic Circuit. In: Transactions of the American Institute of Electrical
Engineers IX (1892), Nr. 1, S. 619–758.
[99]
Steinmetz, C. P.: On the Law of Hysteresis (Part III.), and the Theory of Ferric
Inductances. In: Transactions of the American Institute of Electrical Engineers XI
(1894), S. 570–616.
[100] Steinmetz, C. P.: Discussion on ’The Effect of Iron in Distorting AlternatingCurrent Wave-Form’ at New York, September 28, 1906. In: Transactions of the
American Institute of Electrical Engineers XXV (1906), S. 692–711.
[101] Li, Jieli ; Abdallah, T. ; Sullivan, C. R.: Improved calculation of core loss with
nonsinusoidal waveforms. In: Conference Record of the Industry Applications
Conference 4 (2001), S. 2203–2210.
[102] Venkatachalam, K. ; Sullivan, C. R. ; Abdallah, T. ; Tacca, H.: Accurate
prediction of ferrite core loss with nonsinusoidal waveforms using only Steinmetz parameters. In: IEEE Workshop on Computers in Power Electronics (2002),
S. 36–41
[103] Urasaki, N. ; Senjyu, T. ; Uezato, K.: A novel calculation method for iron
loss resistance suitable in modeling permanent-magnet synchronous motors.
In: IEEE Transactions on Energy Conversion 18 (2003), Nr. 1, S. 41–47.
[104] Unbehauen, R.: Grundlagen der Elektrotechnik 2 - Einschwingvorgänge, nichtlineare Netzwerke, theoretische Erweiterungen. Berlin : Springer-Verlag, 2000.
244
LITERATURVERZEICHNIS
[105] Fernandez-Bernal, F. ; Garcia-Cerrada, A. ; Faure, R.: Determination of
parameters in interior permanent-magnet synchronous motors with iron losses
without torque measurement. In: IEEE Transactions on Industry Applications 37
(2001), Nr. 5, S. 1265–1272.
[106] Morimoto, S. ; Tong, Y. ; Takeda, Y. ; Hirasa, T.: Loss minimization control of
permanent magnet synchronous motor drives. In: IEEE Transactions on Industrial Electronics 41 (1994), Nr. 5, S. 511–517.
[107] Zhu, Z. Q. ; Gong, L. M.: Improved Sensorless Operation of Permanent Magnet
Brushless AC Motors Based on Online Optimal Efficiency Control. In: International Conference on Electric Machines and Drives (IEMDC) (2011)
[108] Piepenbreier, B.: Elektrische Antriebstechnik II. Erlangen, 2011/2012 (Vorlesung)
[109] Vandoorn, T. L. ; Belie, F. M. d. ; Vyncke, T. J. ; Melkebeek, J. A. ; Lataire, P.:
Generation of Multisinusoidal Test Signals for the Identification of SynchronousMachine Parameters by Using a Voltage-Source Inverter. In: IEEE Transactions
on Industrial Electronics 57 (2010), Nr. 1, 430–439.
[110] Underwood, S. J. ; Husain, I.: Online Parameter Estimation and Adaptive Control of Permanent-Magnet Synchronous Machines. In: IEEE Transactions on Industrial Electronics 57 (2010), Nr. 7, S. 2435–2443.
[111] Noack, H.: Freiformkurven und -flächen in CAD-Systemen: Vorlesung. Hamburg,
2009
[112] Arcangéli, Rémi ; Silanes, María Cruz L. ; Torrens, Juan J.: Multidimensional
Minimizing Splines: Theory and Applications. Boston : Springer, 2004.
[113] Späth, H.: Spline-Algorithmen zur Konstruktion glatter Kurven und Flächen.
München and Wien : Oldenbourg, 1986.
[114] Schweizer, W.: MATLAB kompakt. München : Oldenbourg, 2007.
[115] Kellner, S. L.: Auswirkung von Maschinenunsymmetrien auf die Induktivitäten einer permanenterregten Synchronmaschine. Erlangen, Friedrich-AlexanderUniversität Erlangen-Nürnberg, Studienarbeit, 2004
[116] Grünigen, D. C. v.: Digitale Signalverarbeitung: Mit einer Einführung in die
kontinuierlichen Signale und Systeme; mit ... 91 Beispielen, 80 Aufgaben sowie
einer CD-ROM mit Lösungen sowie Entwurfs- und Simulationsprogrammen. In:
Digitale Signalverarbeitung (2008)
LITERATURVERZEICHNIS
245
[117] Schlichthärle, D.: Digital filters – Basics and design. Berlin : Springer, 2000.
[118] Campbell, P.: Permanent magnet materials and their application. Cambridge :
Cambridge University Press, 1996.
[119] Jiles, D.: Introduction to magnetism and magnetic materials. London and New
York : Chapman and Hall, 1998.
[120] Inoue, Y. ; Kawaguchi, Y. ; Morimoto, S. ; Sanada, M.: Performance Improvement of Sensorless IPMSM Drives in a Low-Speed Region Using Online Parameter
Identification. In: IEEE Transactions on Industry Applications 47 (2011), Nr. 2, S.
798–804.
[121] Slotine, J.-J E. ; Li, W.: Applied nonlinear control. Englewood Cliffs and N.J :
Prentice Hall, 1991.
[122] Kim, K.-H ; Chung, S.-K ; Moon, G.-W ; Baik, I.-C ; Youn, M.-J: Parameter estimation and control for permanent magnet synchronous motor drive using model
reference adaptive technique. In: International Conference on Industrial Electronics, Control, and Instrumentation (IECON) 21 (1995), S. 387–392
[123] Wang, Z.-F. ; Teng, Q.-Z. ; Zhang, C.-N. ; Nan, J.-R.: Real-time PMSM Temperature Rising in Electric Vehicles with MRAS. In: Global Congress on Intelligent
Systems (GCIS) 3 (2009), S. 66–70
[124] Piippo, A.: Stator resistance adaption in sensorless PMSM drives. 29.10.2008
[125] Wilson, S. D. ; Jewell, G. W. ; Stewart, P. G.: Resistance estimation for temperature determination in PMSMs through signal injection. In: International Conference on Electric Machines and Drives (IEMDC) (2005), S. 735–740
[126] Piippo, A. ; Hinkkanen, M. ; Luomi, J.: Analysis of an Adaptive Observer for
Sensorless Control of Interior Permanent Magnet Synchronous Motors. In: IEEE
Transactions on Industrial Electronics 55 (2008), Nr. 2, S. 570–576.
[127] Schutzrecht US 2008/0018288A1 (24.1.2008) – Method of adjusting parameters
of a synchronous motor and variable speed drive using such a method
[128] Schutzrecht EP 1755211B1 (9.7.2009) – Widerstandsschätzung eines elektrischen
Wechselstrommotors.
[129] Atarashi, H. ; Wako-Shi, S.-K.: Parameter detection of a DC brushless motor
and vector control of that motor.
[130] Specht, A. ; Böcker, J.: Observer for the Rotor Temperature of IPMSM. In:
International Power Electronics and Motion Conference (EPE-PEMC) 14 (2010)
246
LITERATURVERZEICHNIS
[131] Vas, P.: Monographs in electrical and electronic engineering. Bd. 27: Parameter
estimation, condition monitoring, and diagnosis of electrical machines. Oxford :
Clarendon Press, 1993.
[132] Hahn, I.: Einfluss der höheren Harmonischen der induzierten Spannung auf das
Betriebsverhalten von Motoren mit konzentrierten Wicklungen. In: VDI-Tagung
für Elektrisch-mechanische Antriebssysteme Fulda (2004), S. 235–252
[133] Seilmeier, M. ; Arenz, S. ; Piepenbreier, B. ; Hahn, I.: Model Based Closed Loop
Control Scheme for Compensation of Harmonic Currents in PM-Synchronous
Machines. In: International Symposium on Power Electronics, Electrical Drives,
Automation and Motion (SPEEDAM) (2010)
[134] Wilson, S. D. ; Stewart, P. ; Taylor, B. P.: Methods of Resistance Estimation
in Permanent Magnet Synchronous Motors for Real-Time Thermal Management.
In: IEEE Transactions on Energy Conversion 25 (2010), Nr. 3, S. 698–707.
[135] Lee, S.-B. ; Habetler, T. G. ; Harley, R. G. ; Gritter, D. J.: An evaluation of
model-based stator resistance estimation for induction motor stator winding
temperature monitoring. In: IEEE Transactions on Energy Conversion 17 (2002),
Nr. 1, S. 7–15.
[136] Boglietti, A. ; Cavagnino, A. ; Staton, D.: Determination of Critical Parameters in Electrical Machine Thermal Models. In: IEEE Transactions on Industry
Applications 44 (2008), Nr. 4, S. 1150–1159.
[137] Dahmen, W. ; Reusken, A.: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler.
2., korrigierte Auflage. Berlin und Heidelberg : Springer-Verlag, 2008.
[138] Warendorf, K.: Numerische Verfahren, 1. Kapitel: Fehleranalyse. München,
2010
[139] Nieberlin, U.:
Entwicklung und Aufbau eines Praktikumsversuchs „Pulsum-
richtergespeiste Asynchronmaschine“. Erlangen, Friedrich-Alexander-Universität
Erlangen-Nürnberg, Studienarbeit, 2003
Anhang A
Prüfstände
In diesem Kapitel werden die verwendeten Prüfstände mit ihren wesentlichen technischen Daten vorgestellt. Außerdem einige zusätzliche Messungen die im Haupttext
zwar erwähnt werden, jedoch aus Platzgründen in den Anhang verschoben werden
mussten.
A.1 Echtzeitrechensystem dSPACE
Bei dem verwendeten Rechensystem der Firma dSPACE handelt es sich um den Typ
1103-07. Der Prozessor besteht aus einem PowerPC des Typs PPC604e, getaktet mit
einer Frequenz von 400 MHz. Die Busfrequenz beträgt 66 MHz. Das System verfügt
über 20 Analog-Digital-Konverter und acht Digital-Analog-Konverter mit 12 bis 16 bit
Auflösung. Zudem sind 32 digitale I/O Kanäle, sechs Kanäle zum Auslesen von TTL Encodern und ein Kanal für Inkrementalencoder vorhanden. Innerhalb der digitalen I/OKanäle lassen sich sechs asynchron getaktete PWM-Ansteuersignale realisieren, wobei
drei davon synchronisiert sind und damit eine dreiphasige PWM ermöglichen.
A.2 Prüfstand A
A.2.1 Prüfling
247
248
A Prüfstände
Abbildung A.1: Prüfstand A
Tabelle A.1: Antriebsumrichter mit netzseitiger B6-Diodenbrücke, entwickelt in der
Studienarbeit [64]
Bezeichnung
Symbol
Nennspannung im dreiphasigen Be- uN
netzseitig
Wert
400 V
trieb, einphasige Einspeisung möglich
motorseitig
Nennstrom (der IGBT-Module)
iN
25 A
Nennleistung
PN
2 kW
gesonderte keine Spezifikation
Tabelle A.2: Sanyo Servo Motor Q1AA07075D
Bezeichnung
Symbol
Wert
Bemessungsdrehmoment
MN
2, 38 Nm
Bemessungsdrehzahl
nN
3000 min
Bemessungsleistung
Pn
0, 75 kW
Bemessungsstrom
iN
4, 5 Aeff
Polpaarzahl
p
3
1
A.2 Prüfstand A
249
A.2.2 Belastungsmaschine
Tabelle A.3: Antriebsumrichter mit netzseitiger B6-Diodenbrücke, entwickelt in der
Studienarbeit [139]
Bezeichnung
netzseitig
Symbol
Wert
Nennspannung
uN
400 V
Nennleistung
PN
4 kW
Tabelle A.4: Gleichstrommaschine
Bezeichnung
Symbol
Wert
Ankerbemessungsspannung
uN
16, 3 V
Ankerbemessungsstrom
iN
10, 2 A
Bemessungsleistung
PN
1, 4 kW
Bemessungsdrehmoment
MN
4, 5 Nm
Bemessungsdrehzahl
nN
3000 min
A.2.3 Identifikation des Ständerwiderstands
1
250
A Prüfstände
n
600
400
200
0
in
1
min
′
1.5
Rs,ident
Rs,ident
1
0.5
0 in Ω
80
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
500
600
Abbildung A.2: (Prüfstand A) Drehzahlsprung im Leerlauf (I)
n
600
400
200
0
in
1
min
′
1.5
Rs,ident
Rs,ident
1
0.5
0 in Ω
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
Abbildung A.3: (Prüfstand A) Drehzahlsprung im Leerlauf (II)
500
600
A.2 Prüfstand A
251
n
600
400
200
0
in
1
min
′
1.5
Rs,ident
Rs,ident
1
0.5
0 in Ω
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
500
600
Abbildung A.4: (Prüfstand A) Drehzahlsprung unter Nennbelastung
M
2
1
0
in Nm
′
1.5
Rs,ident
Rs,ident
1
0.5
0 in Ω
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
Abbildung A.5: (Prüfstand A) Drehmomentsprung bei n = 50
500
1
min
600
252
A Prüfstände
M
2
1
0
in Nm
′
1.5
Rs,ident
Rs,ident
1
0.5
0 in Ω
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
Abbildung A.6: (Prüfstand A) Drehmomentsprung bei n = 500
500
1
min
600
A.3 Prüfstand B
253
A.3 Prüfstand B
A.3.1 Prüfling
Der Prüfling aus der Baureihe IndraDyn H von Bosch Rexroth ist als Werkzeugspindelmotor konzipiert und besteht aus zwei separat bestellbaren Elementen Ständer und
Läufer. Beide können je nach Bedarf entsprechend kombiniert werden.
Tabelle A.5: Antriebsumrichter SIMODRIVE 611 mit Netzfilter (6SN 1111-0AA010DA0), Ein-/Rückspeisemodul (6SN 1145-1BA010DA0) und Leistungsmodul (6SN
1123-1AA0-0EA0)
Bezeichnung
netzseitig
motorseitig
Symbol
Wert
Nennspannung
uN
400 V
Nennstrom
iN
92, 5 A
Nennleistung
PN
55 kW
Zwischenkreisspannung
uzk
600 V
Spannungsbereich (dreiphasig)
uver k
0 . . . 430 V
Bemessungsgleichstrom
IAN
90 A
Bemessungsleistung
PN
38 kW
Tabelle A.6: Werkzeugspindelmotor der Baureihe IndraDyn H von Bosch Rexroth
Bezeichnung
Symbol
Wert
Baugröße
202
Baulänge
B
Wicklungskennzeichen
0150
Bemessungsdrehmoment
MN
140 Nm
Bemessungsdrehzahl
nN
1500 min
Bemessungsleistung
Pn
22 kW
Bemessungsstrom
iN
52 Aeff
Polpaarzahl
p
5
1
254
A Prüfstände
A.3.2 Belastungsmaschine
Tabelle A.7: Thyristorsteller SIMOREG DC-Master 6RA7028-6DV62-0
Bezeichnung
netzseitig
motorseitig
Symbol
Wert
Bemessungsspannung
uN
400 V
Bemessungsstrom
iN
75 A
Bemessungsgleichspannung
UAN
420 V
Bemessungsgleichstrom
IAN
90 A
Bemessungsleistung
PN
38 kW
Tabelle A.8: Gleichstrommaschine Siemens 1GG5 136-0GF40-6VV1-Z
Bezeichnung
Symbol
Wert
Ankerbemessungsspannung
uN
420 V
Ankerbemessungsstrom
iN
77 A
Bemessungsleistung
PN
28, 2 kW
Bemessungsdrehmoment
MN
135 Nm
Bemessungsdrehzahl
nN
2000 min
Trägheitsmoment
J
0, 14 kg m2
Masse
1
170 kg
A.3 Prüfstand B
255
A.3.3 Identifikation des Ständerwiderstands
n
150
100
50
0 in
1
min
′
0.4
Rs,ident
Rs,ident
0.3
0.2
0.1
0 in Ω
100
ϑmess
ϑident
50
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
Abbildung A.7: (Prüfstand B) Drehzahlsprung im Leerlauf
500
600
256
A Prüfstände
n
150
100
50
0 in
1
min
′
0.4
Rs,ident
Rs,ident
0.3
0.2
0.1
0 in Ω
100
ϑmess
ϑident
50
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
500
600
Abbildung A.8: (Prüfstand B) Drehzahlsprung bei Nennbelastung
n
150
100
50
0 in
1
min
′
0.4
Rs,ident
Rs,ident
0.3
0.2
0.1
0 in Ω
100
ϑmess
ϑident
50
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
Abbildung A.9: (Prüfstand B) Drehzahlsprung im Leerlauf
500
600
A.4 Prüfstand C
257
M
150
100
50
0 in Nm
′
0.4
Rs,ident
Rs,ident
0.3
0.2
0.1
0 in Ω
100
ϑmess
ϑident
50
0 in ◦ C
0
50
100
150
200
250
300
t in Sekunden
350
400
Abbildung A.10: (Prüfstand B) Drehmomentsprung bei n = 1500
450
500
1
min
A.4 Prüfstand C
Abbildung A.11: Prüfstand C
Da der Prüfstand C bis auf die Prüflingsmaschine dem Prüfstand B entspricht, werden
die Umrichter und die Lastmaschine an dieser Stelle nicht weiter erläutert, es wird auf
die Kapitel A.3.1 und A.3.2 ab Seite 253 verwiesen.
258
A Prüfstände
A.4.1 Prüfling
Tabelle A.9: Synchronmaschine Siemens 1FT6134-6SC71-6AH0
Bezeichnung
Symbol
Wert
Bemessungsdrehmoment
MN
125 Nm
Bemessungsdrehzahl
nN
2000 min
Bemessungsleistung
Pn
26, 2 kW
Bemessungsstrom
iN
57 Aeff
Polpaarzahl
p
3
1
A.4.2 Identifikation des Ständerwiderstands
n
1500
1000
500
0 in
0.2
1
min
′
Rs,ident
Rs,ident
0.15
0.1
0.05
0 in Ω
80
ϑmess
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
50
100
150
200
250
300
t in Sekunden
350
Abbildung A.12: (Prüfstand C) Beim Drehzahlsprung von circa Null auf 750
400
1
min
450
500
ist eine gute Identifikati-
on möglich. Allerdings ist auch zu erkennen, dass die Identifikation scheinbar zu Beginn der Messung
nicht der Ständertemperatur folgt. Dies könnte daran liegen, dass schlichtweg die Temperatur des
Kupfers schon deutlich kälter ist als die des Ständers! Die identifizierte Temperatur ϑident entspricht
der im Kupfer, die gemessene Temperatur ϑmess des Temperaturfühlers wird nicht direkt am Kupfer,
sondern an einem nicht näher bekannten Ort im Ständer gemessen.
A.4 Prüfstand C
259
n
1500
1000
500
0 in
0.2
1
min
′
Rs,ident
Rs,ident
0.15
0.1
0.05
0 in Ω
80
ϑmess
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
500
600
Abbildung A.13: (Prüfstand C)Der Verlauf der Temperaturidentifikation bei Nennlast entspricht sehr
gut dem realen Verlauf.
M
150
100
50
0 in Nm
0.2
′
Rs,ident
Rs,ident
0.15
0.1
0.05
0 in Ω
80
ϑmess
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
Abbildung A.14: (Prüfstand C) Drehmomentsprung bei n = 30
500
1
min
600
260
A Prüfstände
M
150
100
50
0 in Nm
0.2
′
Rs,ident
Rs,ident
0.15
0.1
0.05
0 in Ω
80
ϑmess
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
500
Abbildung A.15: (Prüfstand C) Drehmomentsprung bei n = 1000
600
1
min
M
150
100
50
0 in Nm
0.2
′
Rs,ident
Rs,ident
0.15
0.1
0.05
0 in Ω
80
ϑmess
ϑident
60
40
20
0 in ◦ C
0
100
200
300
400
t in Sekunden
Abbildung A.16: (Prüfstand C) Erwärmungsmessung bei n = 50
500
1
min
600
Anhang B
Verwendete Abkürzungen
Abkürzung
Beschreibung
EMK
Elektromotorische Kraft, entspricht der induzierten Spannung
bei rotierenden Maschinen
FFT
Fast Fourier Transformation
IGBT
Insulated gate bipolar transistor
IPMSM
Interior permanent magnet synchronous machine (PMSM mit
innenliegenden Magneten)
MRAS/MRAC
Model reference adaptive system, auch model reference
adaptive control genannt
PMSM
Permanent magnet synchronous machine (Permanenterregte
Synchronmaschine mit Oberflächenmagneten)
PWM
Pulsweitenmodulation
PWR
Pulswechselrichter
SM
Synchronmaschine
261
262
B Verwendete Abkürzungen
Anhang C
Verwendete Symbole und
Formelzeichen
Symbol
ggf. Einheit
A
Beschreibung
Koeffizientenmatrix
für
die
bi-cubische
Spline-
Interpolation
→
A
Flächenelement
a
Aussteuergrad
a
Drehoperator
B
→
E
magnetische Induktion
Energie im Magnetfeldmaterial (siehe Kapitel 6.1, Seiten
6.1ff)
→
F
→
H
elektrische Feldstärke
Hci
intrinsische Koezitivfeldstärke
i, I
ia , ib , ic
α,β
i
iα , iβ
d,q
i
Kraft
Ampere [A]
elektrischer Strom, allgemein
Phasenströme
komplexer
Stromzeiger
in ständerfesten Koordinaten
α,β
i
= iα + j iβ
Ströme im ständerfesten Koordinatensystem
komplexer
Stromzeiger
in läuferfesten Koordinaten
d,q
i
= id + j iq
id , iq
Ströme im läuferfesten Koordinatensystem
id,0 , iq,0
Gleichanteil der Ströme im läuferfesten Koordinatensystem beim Testsignalverfahren
Fortsetzung auf nächster Seite
263
264
C Verwendete Symbole und Formelzeichen
Fortsetzung
Symbol
ggf. Einheit
Beschreibung
id,test ,
hochfrequenter Anteil der Ströme im läuferfesten Koor-
iq,test
dinatensystem beim Testsignalverfahren
îd , îq
Ströme im läuferfesten Koordinatensystem, transformiert mit dem fehlerbehafteten Rotorlagewinkel γ̂
īd , īq
Arithmetischer Mittelwert der Ströme im läuferfesten
Koordinatensystem
idm , iqm
Maschinenstrom bei Berücksichtigung der Eisenverluste
nach Abbildung 3.2, Seite 71
idi , iqi
Strom durch den virtuellen Eisenwiderstand bei Berücksichtigung der Eisenverluste (siehe Abbildung 3.2, Seite
71)
Îd,t,sin ,
Testsignalamplitude für geberlose Regelung in der d-
Îd,t,cos
Achse
Îq,t,sin ,
Testsignalamplitude für geberlose Regelung in der q-
Îq,t,cos
Achse
itest
Testsignalstrom, allgemein
J
→
J
→
Jm
→
K1
Massenträgheit
(id ,iq )
k∆L
L
Ld , Lq
(id ,iq )
Lcc
(id ,iq )
L̂cc
Stromdichte
magnetische Stromdichte
Materialkonstante (siehe Kapitel 6.1, Seiten 179ff)
Differentieller Schenkligkeitskoeffizient
Henry [H]
Induktivität, allgmein
(konstante) Induktivitäten in läuferfesten Koordinaten
id ,iq -stromabhängige Kreuzkopplungsinduktivität
id ,iq -stromabhängige Kreuzkopplungsinduktivität im
winkelfehlerbehafteten System
(id ,iq )
Lqq−dd
(id ,iq )
Ld
(id ,iq )
Ldd
(id ,iq )
L̂dd
(id ,iq )
Abkürzung für Lqq
(id ,iq )
− Ldd
absolute, id ,iq -stromabhängige Induktivität
differentielle, id ,iq -stromabhängige Induktivität
differentielle, id ,iq -stromabhängige Induktivität im winkelfehlerbehafteten System
χ
Ldd (id )
differentielle, id -stromabhängige Selbstinduktivität in dRichtung, Definition nach [20, 21]
(id ,iq )
Ldq
differentielle, id ,iq -stromabhängige Induktivität
Fortsetzung auf nächster Seite
265
Fortsetzung
Symbol
ggf. Einheit
(id ,iq )
L̂dq
Beschreibung
differentielle, id ,iq -stromabhängige Induktivität im winkelfehlerbehafteten System
χ
Ldq (id , iq )
differentielle, id ,iq -stromabhängige Gegeninduktivität,
Definition nach [20, 21]
(id ,iq )
Lq
(id ,iq )
Lqd
(id ,iq )
L̂qd
absolute, id ,iq -stromabhängige Induktivität
differentielle, id ,iq -stromabhängige Induktivität
differentielle, id ,iq -stromabhängige Induktivität im winkelfehlerbehafteten System
χ
Lqd (id , iq )
differentielle, id ,iq -stromabhängige Gegeninduktivität,
Definition nach [20, 21]
(id ,iq )
Lqq
(id ,iq )
L̂qq
differentielle, id ,iq -stromabhängige Induktivität
differentielle, id ,iq -stromabhängige Induktivität im winkelfehlerbehafteten System
χ
Lqq (iq )
differentielle, iq -stromabhängige Selbstinduktivität in qRichtung, Definition nach [20, 21]
m
M
Strangzahl
[Nm]
Drehmoment, allgemein; im Kapitel 6 auch Magnetisierung
Mi
inneres Moment einer elektrischen Maschine
ML
→
-M
→
-M sat
Lastmoment
Magnetisierung (Kapitel 6)
maximal mögliche Magnetisierung (alle Dipole ausgerichtet)
p
Polpaarzahl
pv
Eisenverlustleistung
R
Ohm [Ω]
ohmscher Widerstand, allgemein
Rs
ohmscher Ständerwiderstand einer SM
R̂s
fehlerhaft in der (geberlosen) Regelung hinterlegter
ohmscher Ständerwiderstand
Rs,20◦ C
Referenzwiderstand bei einer Temperatur von 20◦ C
Rs,ϑr ef
Ständerwiderstand bei einer allgemeinen Ständertemperatur ϑr ef
∆Rs
t
Differenz Rs − R̂s
Zeitdauer
Fortsetzung auf nächster Seite
266
C Verwendete Symbole und Formelzeichen
Fortsetzung
Symbol
ggf. Einheit
Beschreibung
Te
Ideale Einschaltzeit
Tp
Pulsperiodendauer
Ttot
Totzeit
u, U
Volt [V]
Spannung, allgemein
ua , ub , uc
Phasenspannungen
uab ,
Verkettete Spannungen
ubc ,
uca
uaM ,
ubM ,
ucM
Spannungen zwischen Motorklemmen und Motorsternpunkt
ua− ,
ub− ,
Spannungen zum negativen Zwischenkreispotential
uc−
uα,β
komplexer
Spannungszeiger
in ständerfesten Koordina
α,β
= uα + j uβ
ten u
uα , uβ
Spannungen im ständerfesten Koordinatensystem
ud,q
komplexer
Spannungszeiger
in ständerfesten Koordina
d,q
ten u
= ud + j uq
ud , uq
Spannungen im läuferfesten Koordinatensystem
ud,0 , uq,0
Gleichanteil der Spannungen im läuferfesten Koordinatensystem beim Testsignalverfahren
ud,test ,
hochfrequenter Anteil der Spannungen im läuferfesten
uq,test
Koordinatensystem beim Testsignalverfahren
ûd , ûq
Spannungen im läuferfesten Koordinatensystem, transformiert mit dem fehlerbehafteten Rotorlagewinkel γ̂
ūd , ūq
Arithmetischer Mittelwert der Spannungen im läuferfesten Koordinatensystem
′
′
ud , uq
Spannungen im läuferfesten Koordinatensystem bei Vernachlässigung des ohmschen Ständerwiderstands
Ûd,t,sin ,
Testsignalamplitude für geberlose Regelung in der d-
Ûd,t,cos
Achse
Ûq,t,sin ,
Testsignalamplitude für geberlose Regelung in der q-
Ûq,t,cos
Achse
ui
induzierte Spannung
uzk
→
V
Zwischenkreisspannung
Vδ
magnetische Spannung im Luftspalt
Volumentelement
Fortsetzung auf nächster Seite
267
Fortsetzung
Symbol
X dd ,
ggf. Einheit
X qq ,
Beschreibung
komplexe Impedanzen
X dq , X qd
∆x
Differenz zwischen berechneten/gemessenen und idea-
∆y
Differenz zwischen berechneten/gemessenen und idea-
αCu
Temperaturkoeffizient von Kupfer
γ
len Eingangsgrößen
len Ausgangsgrößen
Grad [◦ ]
Rotorlagewinkel, allgemein
γ̂
fehlerhaft identifizierter Rotorlagewinkel
γel
elektrischer Rotorlagewinkel
γmech
mechanischer Rotorlagewinkel
∆γ
Winkelfehler bei geberloser Regelung
δ
Luftspalt zwischen Ständer und Läufer
δx
relativer Eingangsfehler
δy
relativer Ausgangsfehler
ζ
Eisenwiderstand, allgemein
ζd , ζq
Eisenwiderstände in d- und q-Achse
θ
Durchflutung
ϑs
Ständertemperatur
∆ϑs
Ständertemperaturdifferenz
κr el
relative Konditionszahl
µ0
→
µm
magnetische Feldkonstante
magnetisches Dipolmoment
ξ
Eisenverlustparameter, allgemein
ξd , ξq
Eisenverlustparameter in d- und q-Achse
ψ
Flussverkettung, allgemein
ψa , ψb , ψc
Flussverkettungen der einzelnen Stränge einer SM
ψα,β
komplexer Zeiger
der Flussverkettung
in ständerfesten
α,β
Koordinaten ψ
= ψα + j ψβ
ψα , ψβ
Flussverkettungen im ständerfesten Koordinatensystem
Fortsetzung auf nächster Seite
268
C Verwendete Symbole und Formelzeichen
Fortsetzung
Symbol
ggf. Einheit
ψd,q
Beschreibung
komplexer Zeiger
der Flussverkettung
in ständerfesten
d,q
= ψd + j ψq
Koordinaten ψ
ψd , ψq
Flussverkettungen im läuferfesten Koordinatensystem
ψp
Flussverkettung, hervorgerufen durch die Permanentmagnete einer SM
ep
ψ
∆ψp
ω
ωel
identifizierte
Permanentmagnetflussverkettung
mit
dem Testsignalverfahren (Kapitel 6.2, Seiten 185ff)
Differenz zwischen Realer und in der Regelung hinterh
1
rad
i
legter Permanentmagnetflussverkettung
Winkelgeschwindigkeit
elektrische Winkelgeschwindigkeit
ωmech
mechanische Winkelgeschwindigkeit
∆ωel
Entspricht
55
d∆γ
dt ,
definiert in Gleichung (2.179) auf Seite