Numerische Mathematik - (für Elektrotechniker)
Werbung
Organisation Numerische Mathematik Motivation Numerische Mathematik (für Elektrotechniker) M. Grepl & P. Esser Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Sommersemester 2010 IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Termine Ansprechpartner Vorlesungsinhalt Literatur Termine I/II I Vorlesung I I I I Übung I I I Montag, 11:45 - 13:15 Uhr, 1820|201 (Fo 1) Beginn: 19.04.2010 (13 Termine) Anmeldung erforderlich: 31.03.-30.04. in CAMPUS Montag, 10:30-11:15 Uhr, 1420/001 (Gr) Beginn: 19.04.2010 (13 Termine) Fragestunden I I I I Montag, 17:30-19:00 Uhr (RS 208) Dienstag, 10:00-11:30 Uhr (RS 106), 11:45-13:15 Uhr (SG202) Mittwoch, 16:00-17:00 Uhr (RS108) Donnerstag, 14:00-15:30 Uhr (R224.3 Hauptgebäude) IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Termine Ansprechpartner Vorlesungsinhalt Literatur Termine II/II I I I Klausur I Ersttermin: Donnerstag, 05.08.2010 Beginn: 15:30 Uhr I Wiederholung: Wintersemester 2010/11 Termin noch offen I Orte werden noch bekanntgegeben Webseite I http://www.igpm.rwth-aachen.de/NumaET I Infos, Folien, . . . siehe auch Einträge in CAMPUS IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Termine Ansprechpartner Vorlesungsinhalt Literatur Ansprechpartner Vorlesung I Martin Grepl I I Kontakt: [email protected] Tel. 0241/80-96470 Sprechstunde: Montag, 14:00-15:00 Uhr (oder nach Termin) Übung I Patrick Esser I I Kontakt: [email protected] Tel. 0241/80-94871 Sprechstunde: nach Termin Fragen, Anregungen, Kritik? [email protected] IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Termine Ansprechpartner Vorlesungsinhalt Literatur Vorlesungsinhalt 1. Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität 2. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren 3. Lineare Ausgleichsrechnung 4. Nichtlineare Gleichungssysteme, iterative Lösungsverfahren 5. Nichtlineare Ausgleichsrechnung 6. Interpolation 7. Numerische Integration (8. Gewöhnliche Differentialgleichungen) Buch: W. Dahmen, A. Reusken. Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer Verlag, 2006. IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Termine Ansprechpartner Vorlesungsinhalt Literatur Vorlesungsinhalt 1. Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität a) y = f (x), Eingabefehler ∆x → Ausgabefehler ∆y b) Fehler aufgrund Gleitpunktdarstellung c) Fehler (durch Algorithmus) ≈ Fehler (durch Kondition) 2. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren geg.: A ∈ Rn×n , b ∈ Rn ; ges.: x ∈ Rn , so dass Ax = b 3. Lineare Ausgleichsrechnung geg.: A ∈ Rn×m , b ∈ Rn , m > n; ges.: x∗ ∈ Rn , so dass x∗ = arg minx∈Rn kAx − bk IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Termine Ansprechpartner Vorlesungsinhalt Literatur Vorlesungsinhalt 4. Nichtlineare Gleichungssysteme, iterative Lösungsverfahren geg.: f : Rn → Rn ; ges.: x∗ ∈ Rn , so dass f (x∗ ) = 0 5. Nichtlineare Ausgleichsrechnung geg.: F : Rn → Rm ; ges.: x∗ ∈ Rn , so dass x∗ = arg minx∈Rn kF (x)k2 6. Interpolation geg.: Stützstellen und zugehörige Daten (x0 , f (x0 )), (x1 , f (x1 )), . . . , (xn , f (xn )); ges.: Polynom Pn ∈ Πn , so dass Pn (xj ) = f (xj ), j = 0, . . . , n IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Termine Ansprechpartner Vorlesungsinhalt Literatur Vorlesungsinhalt 7. Numerische Integration Rb berechne I = a f (x) dx 8. Gewöhnliche Differentialgleichungen geg.: y 0 (t) = f (t, y(t)), t ∈ [t0 , tf ], mit y(t0 ) = y0 ; ges.: zeitlicher Verlauf y(t) Buch: W. Dahmen, A. Reusken. Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer Verlag, 2006. IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Termine Ansprechpartner Vorlesungsinhalt Literatur Weiterführende Literatur I P. Deuflhard, A. Hohmann. Numerische Mathematik. Eine algorithmisch orientierte Einführung. De Gruyter Lehrbuch, 1991. I J. Stoer, R. Bulirsch. Einführung in die Numerische Mathematik. Springer, 1983. I L.N. Trefethen, D.Bau. Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997 I J.W. Demmel. Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997 I G.H. Golub, C.F. Van Loan. Matrix Computations. Johns Hopkins University Press, 1996. IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Definition Analytische vs. numerische Lösung Numerische Mathematik/Analysis Definition (eine von vielen. . . ) “Numerical Analysis is the study of algorithms for the problems of continuous mathematics” L.N.Trefethen Warum benötigen wir Numerische Mathematik? I Die meisten (> 99.9%) praktischen Probleme in den Natur-/Ingenieurwissenschaften sind so komplex, dass sie nur numerisch gelöst werden können. I Analytische Lösungen existieren nur sehr selten, sind aber für die Entwicklung/Analyse/Verständnis der Algorithmen wichtig. IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Definition Analytische vs. numerische Lösung Beispiel: Quadratische Gleichung Nullstellenproblem: 10 8 ⇒ Schnittpunkte der Parabel mit x-Achse 6 Analytische Lösung: √ −b± b2 −4ac I x1,2 = 2a I x ∈ R wenn b2 − 4ac ≥ 0 Numerische Lösung: I Nur für ein Set (a, b, c) I Näherung – Fehlerabschätzung notwendig IGPM, RWTH Aachen f(x) f (x) = ax2 + bx + c = 0 4 2 0 −2 −4 −3 x*2 x*1 −2 −1 0 x 1 2 3 x2 + x − 3 = 0 ⇒ Lösungen x∗1,2 x2 + x + 1 = 0 ⇒ keine reelle Lösung Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Definition Analytische vs. numerische Lösung Nullstellenproblem: Analytische Lösung: x∗1,2 = d.h. oder +x−3 8 6 √ −1± 13 2 x∗1 = 1.30277563 . . . x∗2 = −2.30277563 . . . Numerische Lösung (Bisektion): f(x) f (x) = 10 x2 4 2 0 −2 −4 −3 x*2 * x1 −2 −1 0 x 1 I Idee basiert auf Nullstellensatz von Bolzano. I Wähle zwei Punkte, a1 und a2 , so dass f (a1 ) und f (a2 ) unterschiedliche Vorzeichen haben. I Werte f am Mittelwert xm = 0.5(a1 + a2 ) aus, wenn f (xm ) < 0 setze a1 = xm , ansonsten a2 = xm . I Wiederhole bis gewünschte Genauigkeit erreicht ist. IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) 2 3 Organisation Numerische Mathematik Motivation Definition Analytische vs. numerische Lösung Nullstellenproblem: Analytische Lösung: x∗1,2 = d.h. oder +x−3 8 6 √ −1± 13 2 x∗1 = 1.30277563 . . . x∗2 = −2.30277563 . . . Numerische Lösung (Bisektion): f(x) f (x) = 10 x2 4 2 f(a2) a 0 −2 −4 −3 1 * x1 −2 x*2 f(a1) −1 0 x 1 I Idee basiert auf Nullstellensatz von Bolzano. I Wähle zwei Punkte, a1 und a2 , so dass f (a1 ) und f (a2 ) unterschiedliche Vorzeichen haben. I Werte f am Mittelwert xm = 0.5(a1 + a2 ) aus, wenn f (xm ) < 0 setze a1 = xm , ansonsten a2 = xm . I Wiederhole bis gewünschte Genauigkeit erreicht ist. IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) a2 2 3 Organisation Numerische Mathematik Motivation Definition Analytische vs. numerische Lösung Nullstellenproblem: Analytische Lösung: x∗1,2 = d.h. oder +x−3 8 6 √ −1± 13 2 x∗1 = 1.30277563 . . . x∗2 = −2.30277563 . . . Numerische Lösung (Bisektion): f(x) f (x) = 10 x2 4 x = 0.5*(a +a ) m 1 2 f(xm) < 0 : x → a m 1 f(xm) > 0 : x → a m 2 2 −2 −4 −3 1 * x1 −2 f(a1) −1 f(x ) x* m 2 0 x 1 I Idee basiert auf Nullstellensatz von Bolzano. I Wähle zwei Punkte, a1 und a2 , so dass f (a1 ) und f (a2 ) unterschiedliche Vorzeichen haben. I Werte f am Mittelwert xm = 0.5(a1 + a2 ) aus, wenn f (xm ) < 0 setze a1 = xm , ansonsten a2 = xm . I Wiederhole bis gewünschte Genauigkeit erreicht ist. IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) f(a2) xm a 0 a2 2 3 Organisation Numerische Mathematik Motivation Definition Analytische vs. numerische Lösung Nullstellenproblem: Analytische Lösung: x∗1,2 = d.h. oder +x−3 8 6 √ −1± 13 2 x∗1 = 1.30277563 . . . x∗2 = −2.30277563 . . . Numerische Lösung (Bisektion): f(x) f (x) = 10 x2 4 x = 0.5*(a +a ) m 1 2 f(xm) < 0 : x → a m 1 f(xm) > 0 : x → a m 2 2 −2 −4 −3 1 * x1 −2 f(a1) −1 f(x ) x* m 2 0 x 1 I Idee basiert auf Nullstellensatz von Bolzano. I Wähle zwei Punkte, a1 und a2 , so dass f (a1 ) und f (a2 ) unterschiedliche Vorzeichen haben. I Werte f am Mittelwert xm = 0.5(a1 + a2 ) aus, wenn f (xm ) < 0 setze a1 = xm , ansonsten a2 = xm . I Wiederhole bis gewünschte Genauigkeit erreicht ist. IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) f(a2) xm a 0 a2 2 3 Organisation Numerische Mathematik Motivation Definition Analytische vs. numerische Lösung Nullstellenproblem: Analytische Lösung: x∗1,2 = d.h. oder +x−3 8 6 √ −1± 13 2 x∗1 = 1.30277563 . . . x∗2 = −2.30277563 . . . Numerische Lösung (Bisektion): f(x) f (x) = 10 x2 4 x = 0.5*(a +a ) m 1 2 f(xm) < 0 : x → a m 1 f(xm) > 0 : x → a m 2 2 −2 −4 −3 1 * x1 −2 f(a1) −1 f(a2) xm a 0 f(x ) x* m 2 0 x 1 a2 2 n a1 a1 xm ∆x udate 1. 0. 2. 1. 1. xm → .. a1 .. .. .. .. .. . 10 1.30468750 1.30273437 0.00195313 xm → .. 1.30078125 .. .. .. .. .. a1 . . . . . . .. 20 1.30277252 1.30277633 1.30277443 0.00000191 . Nach 20 Iterationen: xm = 1.30277443 ± 0.00000191 IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) 3 Organisation Numerische Mathematik Motivation Definition Analytische vs. numerische Lösung Kubische Gleichung: ax3 + bx2 + cx + d = 0 Analytische Lösung† Numerische Lösung Bisektion funktioniert unverändert . . . † Abramowitz & Stegun IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Definition Analytische vs. numerische Lösung Quartische Gleichung: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Analytische Lösung† Numerische Lösung Bisektion funktioniert unverändert . . . † Abramowitz & Stegun IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Definition Analytische vs. numerische Lösung Gleichung 5. Grades: ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0 Analytische Lösung Existiert (im Allgemeinen) nicht mehr (Abel-Ruffini Theorem) IGPM, RWTH Aachen Numerische Lösung Bisektion funktioniert unverändert . . . . . . ab jetzt nur noch numerische Lösung möglich! Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Definition Analytische vs. numerische Lösung Probleme, für die eine analytische Lösung existiert bzw. die in einer endlichen Zahl von Operationen gelöst werden können I Löse ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten I Lineare Programmierung: minimiere eine lineare Funktion mit n Variablen unter m linearen Nebenbedingungen I “Travelling Salesman Problem” Probleme, für die i.A. keine analytische Lösung existiert I Bestimme den Eigenwert einer n × n Matrix (Av = λv) I Minimiere eine multivariable Funktion I Berechne ein Integral I Löse eine gewöhnliche (partielle) Differentialgleichung IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Numerische Mathematik in der E-technik? I Sensitivitätsanalyse I Netzwerkanalyse I IC Design I Laufzeitverluste in ICs I Elektromagnetische Verträglichkeit I Modellierung elektronischer Komponenten I Netzwerk mit realen Komponenten I Übertragungsverhalten I Schätzverfahren I Systemtheorie – Kalman-Filter IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Reihenschwingkreis – Sensitivitätsanalyse 2. Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel): UR + UL + UC = Uq R Differentialgleichung für Ladung q: + Uq − d2 q(t) L C dt2 + R dq(t) L dt + 1 LC ⇒ Eigenfrequenz: ω0 = √1 LC ⇒ Dämpfungsgrad: δ = R 2 q q(t) = 1 L Uq C L Sensitivität auf Störeinflüsse, z.B. Parasitärkapazität/-induktivität: ∆ω0 ∆L = 0.01 ⇒ =? (⇒ Kondition) L ω IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Mechanisch-elektrische Analogie Mechanischer Schwinger 2. Newtonsches Gesetz: F = ma Differentialgleichung für Auslenkung x: m k b d2 x(t) dt2 +b dx(t) dt ⇒ Eigenfrequenz: ω0 = m x ⇒ Dämpfungsgrad: δ = + kx(t) = F (t) q b 2 k m q 1 km F Elektrisch Mechanisch q x IGPM, RWTH Aachen U F L m R b C 1/k Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Netzwerkanalyse R8 + Uq − R1 R3 I II R2 Kirchhoffsche Gesetze: IV 1. “Maschenregel” P Uk = 0 R6 R4 III k R7 R5 2. “Knotenregel” P Ik = 0 k R1 I1 + R2 (I1 − I2 ) = Uq R2 (I2 − I1 ) + R3 (I2 − I4 ) + (R4 + R5 )(I2 − I3 ) = 0 (R4 + R5 )(I3 − I2 ) + R6 (I3 − I4 ) + R7 I3 = 0 R3 (I4 − I2 ) + R8 I4 + R6 (I4 − I3 ) = 0 IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation R8 + Uq R1 R3 I II R2 − IV Kirchhoffsche Gesetze: 1. “Maschenregel” P Uk = 0 R6 R4 III k R7 R5 2. “Knotenregel” P Ik = 0 k Uq I1 R1 + R2 −R2 0 0 −R2 R2 + R3 + R4 + R5 −R4 − R5 −R3 I2 = 0 0 0 I3 −R4 − R5 R4 + R5 + R6 + R7 −R6 0 0 −R3 −R6 R3 + R6 + R8 I4 I Lineares Gleichungssystem: Ax = b I Hier Sonderfall: A symmetrisch, d.h. A = AT (tritt häufig bei Modellierung physikalischer Systeme auf!) IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation IC Design Intel 4004 Micro Processor Jahr: 1971 Anzahl Transistoren: 2,300 I Kirchhoff ⇒ gewöhnliche DGL I Maxwell ⇒ partielle DGL IGPM, RWTH Aachen Intel Pentium IV Jahr: 2001 Anzahl Transistoren: 42,000,000 ) lineare Gleichungssysteme Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Laufzeitverluste in ICs – RC-Modell R1 R2 Uout Modellierung der Laufzeitverluste I Widerstand aufgrund I I + Uq − C2 C1 I Leitungslänge (R = ρ Al ) "ON" Transistoren Kondensator aufgrund I I kapazitive Kopplung der Leitungen Nebensignaleffekte Übertragungsverhalten: dUC1 dt dUC2 C2 dt C1 = −( R11 + = 1 U R2 C1 1 )UC1 R2 − + 1 U R2 C2 + 1 U R1 q 1 U R2 C2 Ausgang: Uout = UC2 (t) IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Laufzeitverluste in ICs – RC-Modell R1 Modellierung der Laufzeitverluste I Widerstand aufgrund R2 Uout I I + Uq C1 − C2 I Kondensator aufgrund I I Übertragungsverhalten: " dUC1 −( R11C1 + dt = 1 dU C2 dt Ausgang Uout 1 ) R2 C1 R2 C2 UC1 = 0 1 UC2 IGPM, RWTH Aachen Leitungslänge (R = ρ Al ) "ON" Transistoren kapazitive Kopplung der Leitungen Nebensignaleffekte 1 R2 C1 − R21C2 #" # UC1 UC2 " + 1 R1 C1 # 0 (⇒ gewöhnliche DGL) Numerische Mathematik (ET) Uq Organisation Numerische Mathematik Motivation Elektromagnetische Verträglichkeit Signalausbreitung auf einem Integrated Circuit Board (Quelle: TEMF, TU Darmstadt) I Lösung der Maxwell Gleichungen I Diskretisierungsverfahren (FEM, . . . ) I I I Numerische Integration, Interpolation Gleichungssystemlöser ... IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Modellierung elektronischer Komponenten Id Halbleiterdiode: Ud + Ideale Diode: − Reale Kennlinie: Id Id Ud Durchlass: Rd = 0 Sperrrichtung: Rd = ∞ IGPM, RWTH Aachen Ud Is qUd Id = Is (e kT − 1) wobei: q Elementarladung k Boltzmann-Konstante T Temperatur Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Netzwerk mit realen Komponenten 1 R2 = 2 R1 = 1 Iq = 1 D1 R=1 1 2 Iq = 1 D1 0 2 D2 0 3U1 − 2U2 = 1 −2U1 + 2U2 + (e40U2 − 1) = 0 bzw. f(U2 ) = 23 U2 + e40U2 − (e40U1 − 1) + U1 − U2 = 1 −U1 + U2 + (e40U2 − 1) = 0 bzw. 5 3 " f(U1 , U2 ) = I Nichtlineare Gleichung f (x) : Rn → Rn I Nullstellenproblem: x∗ , so dass f (x∗ ) = 0 IGPM, RWTH Aachen e40U1 + U1 − U2 − 2 −U1 + U2 + e40U2 − 1 Numerische Mathematik (ET) # Organisation Numerische Mathematik Motivation Übertragungsverhalten C2 = 2 Uout R1 = 1 Iq (= 1) C1 = 1 R2 = 2 Systemgleichung im Frequenzbereich (Laplace-Transformation): 1 + 3s −2s U1 (s) Iq (s) = −2s 2 + 2s U2 (s) 0 Bestimmung des Übertragungsverhaltens: I Frequenzbereich I Übertragungsfunktion Uout (s) Iq (s) = G(s) = N (s) D(s) = 2s 2s2 +8s+2 ⇒ Berechnung durch Polynominterpolation (auf Einheitskreis). ⇒ Anschl. Bestimmung der Nullstellen von N (s), D(s). IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Übertragungsverhalten C2 = 2 Uout R1 = 1 Iq (= 1) C1 = 1 R2 = 2 Systemgleichung im Frequenzbereich (Laplace-Transformation): 1 + 3s −2s U1 (s) Iq (s) = −2s 2 + 2s U2 (s) 0 Bestimmung des Übertragungsverhaltens: I Zeitbereich I gewöhnliche Differentialgleichung " dU1 (t) # " #" # " # −1 − 2 U1 (t) 1 dt = + Iq (t) dU2 (t) −1 − 3 U2 (t) 1 dt ⇒ Zeitdiskretisierung ⇒ Lineares Gleichungsystem IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Schätzverfahren – lineares Ausgleichsproblem Aufgabe: Bestimmung (Schätzung) einer konstanten Spannung x Spannung Gegeben: verrauschte Messwerte zk 2.5 2 zk = Hk x + vk 1.5 wobei Hk : Beobachtungsmatrix 1 vk : Messfehler (∼ N (0, R)) 0.5 nobs : Anzahl Messungen 0 10 20 30 40 Anzahl Messungen ∗ Gesucht: Schätzwert x Lösung: Mit Residuum, rk = zk − Hk x∗ , ergibt sich nP obs min (zk − Hk x∗ )T (zk − Hk x∗ ) x∈R1 k=1 ⇒ lineares Ausgleichsproblem (k · k2 ) (b = [z1 . . . zk ]T , A = [H1 . . . Hk ]T ) IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) 50 Organisation Numerische Mathematik Motivation Schätzverfahren – lineares Ausgleichsproblem Aufgabe: Bestimmung (Schätzung) einer konstanten Spannung x Spannung Gegeben: verrauschte Messwerte zk 2.5 2 zk = Hk x + vk 1.5 wobei Hk : Beobachtungsmatrix 1 vk : Messfehler (∼ N (0, R)) 0.5 nobs : Anzahl Messungen 0 10 20 30 40 Anzahl Messungen ∗ Gesucht: Schätzwert x Lösung: Mit Residuum, rk = zk − Hk x∗ , ergibt sich nP obs min (zk − Hk x∗ )T (zk − Hk x∗ ) x∈R1 k=1 ⇒ lineares Ausgleichsproblem (k · k2 ) (b = [z1 . . . zk ]T , A = [H1 . . . Hk ]T ) IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) 50 Organisation Numerische Mathematik Motivation Schätzverfahren – lineares Ausgleichsproblem Aufgabe: Bestimmung (Schätzung) einer konstanten Spannung x Spannung Gegeben: verrauschte Messwerte zk 2.5 2 zk = Hk x + vk 1.5 wobei Hk : Beobachtungsmatrix 1 vk : Messfehler (∼ N (0, R)) 0.5 nobs : Anzahl Messungen 0 10 20 30 40 Anzahl Messungen ∗ Gesucht: Schätzwert x Lösung: Mit Residuum, rk = zk − Hk x∗ , ergibt sich nP obs min (zk − Hk x∗ )T (zk − Hk x∗ ) x∈R1 k=1 ⇒ lineares Ausgleichsproblem (k · k2 ) (b = [z1 . . . zk ]T , A = [H1 . . . Hk ]T ) IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) 50 Organisation Numerische Mathematik Motivation Systemtheorie – Kalman-Filter Zustandsraumdarstellung (diskret) xk = Ak xk−1 + Bk uk−1 + wk−1 (Messgleichung) zk = Hk xk + vk wk ∼ N (0, Q) vk ∼ N (0, R) Kalman-Filter wobei: Prädiktion: (Zustandsgleichung) Prozessrauschen (Kovarianz Q) Messrauschen (Kovarianz R) x̂− = Ak x̂k−1 + Buk−1 k Pk− = Ak Pk−1 ATk + Q Korrektur: Kk = Pk− HkT (Hk Pk− HkT + R)−1 − x̂k = x̂− k + Kk (zk − Hk x̂k ) Pk = (I − Kk Hk )Pk− Kovarianz den Schätzfehlers Pk = E[(xk − x̂k )(xk − x̂k )T ] IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Systemtheorie – Kalman-Filter Aufgabe: Bestimmung (Schätzung) einer konstanten Spannung x Ak = 1, uk = 0 I Q = 0 (kein Prozessrauschen) I P0 = 1010 (x̂ unbekannt) xk = xk−1 Spannung I 2.5 2 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 zk = Hk xk + vk Anzahl Messungen ⇒ vgl. lineares Ausgleichsproblem I Lösung Kalman-Filter vs. lineares Ausgleichsproblem (k · k2 ) I Rekursive Lösung des linearen Ausgleichsproblems I Vorteile I I sehr effiziente Berechnung (Kosten/Zeitschritt konstant) einfache Implementierung IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Systemtheorie – Kalman-Filter Aufgabe: Bestimmung (Schätzung) einer konstanten Spannung x Ak = 1, uk = 0 I Q = 0 (kein Prozessrauschen) I P0 = 1010 (x̂ unbekannt) xk = xk−1 Spannung I 2.5 2 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 zk = Hk xk + vk Anzahl Messungen ⇒ vgl. lineares Ausgleichsproblem I Lösung Kalman-Filter vs. lineares Ausgleichsproblem (k · k2 ) I Rekursive Lösung des linearen Ausgleichsproblems I Vorteile I I sehr effiziente Berechnung (Kosten/Zeitschritt konstant) einfache Implementierung IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Systemtheorie – Kalman-Filter Aufgabe: Bestimmung (Schätzung) einer konstanten Spannung x Ak = 1, uk = 0 I Q = 0 (kein Prozessrauschen) I P0 = 1010 (x̂ unbekannt) xk = xk−1 Spannung I 2.5 2 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 zk = Hk xk + vk Anzahl Messungen ⇒ vgl. lineares Ausgleichsproblem I Lösung Kalman-Filter vs. lineares Ausgleichsproblem (k · k2 ) I Rekursive Lösung des linearen Ausgleichsproblems I Vorteile I I sehr effiziente Berechnung (Kosten/Zeitschritt konstant) einfache Implementierung IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Systemtheorie – Kalman-Filter Aufgabe: Bestimmung (Schätzung) einer konstanten Spannung x Ak = 1, uk = 0 I Q = 0 (kein Prozessrauschen) I P0 = 1010 (x̂ unbekannt) xk = xk−1 Spannung I 2.5 2 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 zk = Hk xk + vk Anzahl Messungen ⇒ vgl. lineares Ausgleichsproblem I Lösung Kalman-Filter vs. lineares Ausgleichsproblem (k · k2 ) I Rekursive Lösung des linearen Ausgleichsproblems I Vorteile I I sehr effiziente Berechnung (Kosten/Zeitschritt konstant) einfache Implementierung IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Systemtheorie – Kalman-Filter Aufgabe: Bestimmung (Schätzung) einer konstanten Spannung x Ak = 1, uk = 0 I Q = 0 (kein Prozessrauschen) I P0 = 1010 (x̂ unbekannt) xk = xk−1 Spannung I 2.5 2 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 zk = Hk xk + vk Anzahl Messungen ⇒ vgl. lineares Ausgleichsproblem I Lösung Kalman-Filter vs. lineares Ausgleichsproblem (k · k2 ) I Rekursive Lösung des linearen Ausgleichsproblems I Vorteile I I sehr effiziente Berechnung (Kosten/Zeitschritt konstant) einfache Implementierung IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Systemtheorie – Kalman-Filter Aufgabe: Bestimmung (Schätzung) einer konstanten Spannung x Ak = 1, uk = 0 I Q = 0 (kein Prozessrauschen) I P0 = 1010 (x̂ unbekannt) xk = xk−1 Spannung I 2.5 2 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 zk = Hk xk + vk Anzahl Messungen ⇒ vgl. lineares Ausgleichsproblem I Lösung Kalman-Filter vs. lineares Ausgleichsproblem (k · k2 ) I Rekursive Lösung des linearen Ausgleichsproblems I Vorteile I I sehr effiziente Berechnung (Kosten/Zeitschritt konstant) einfache Implementierung IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Systemtheorie – Kalman-Filter Aufgabe: Bestimmung (Schätzung) einer konstanten Spannung x Ak = 1, uk = 0 I Q = 0 (kein Prozessrauschen) I P0 = 1010 (x̂ unbekannt) xk = xk−1 Spannung I 2.5 2 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 zk = Hk xk + vk Anzahl Messungen ⇒ vgl. lineares Ausgleichsproblem I Lösung Kalman-Filter vs. lineares Ausgleichsproblem (k · k2 ) I Rekursive Lösung des linearen Ausgleichsproblems I Vorteile I I sehr effiziente Berechnung (Kosten/Zeitschritt konstant) einfache Implementierung IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Systemtheorie – Kalman-Filter Aufgabe: Bestimmung (Schätzung) einer konstanten Spannung x Ak = 1, uk = 0 I Q = 0 (kein Prozessrauschen) I P0 = 1010 (x̂ unbekannt) xk = xk−1 Spannung I 2.5 2 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 zk = Hk xk + vk Anzahl Messungen ⇒ vgl. lineares Ausgleichsproblem I Lösung Kalman-Filter vs. lineares Ausgleichsproblem (k · k2 ) I Rekursive Lösung des linearen Ausgleichsproblems I Vorteile I I sehr effiziente Berechnung (Kosten/Zeitschritt konstant) einfache Implementierung IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET) Organisation Numerische Mathematik Motivation Ziele der Vorlesung Für unterschiedliche Problemstellungen (Lösen eines linearen Gleichungssystems, Berechnung eines Integrals, Lösen einer Differentialgleichung) werden folgende Themen behandelt: I Kondition (= Empfindlichkeit für Störungen) eines Problems I Wichtige numerische Lösungsverfahren I Stabilität der Lösungsverfahren (= Verstärkung von Rundungsfehlern) I Effizienz (= Anzahl der Rechenoperationen, Speicherbedarf) der Lösungsverfahren, d.h. der numerische Aufwand, der nötig ist, um eine gewünschte “Lösungsqualität”, sprich Genauigkeit zu erzielen. IGPM, RWTH Aachen Numerische Mathematik (ET)