L7.3 Diagonalisierung v. symmetrischen und hermiteschen Matrizen

L7.3 Diagonalisierung v. symmetrischen und hermiteschen Matrizen
ist 'symmetrisch', falls
oder
Def:
Beispiel:
Def:
ist 'hermitesch', falls
Beispiel:
Eigenschaften von hermiteschen (also auch von symmetrischen reellen) Matrizen:
- immer diagonalisierbar;
- alle Eigenwerte sind reell;
- Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
- diagonalisierende Ähnlichkeitstransformation ist unitär (bzw. orthogonal)
Satz 1: Für hermitesche Matrizen sind alle EW reell.
[hier keine ES !]
EW-Gleichung:
Beweis:
auch reell !!
(L5.6e.9)
reell
(L5.6d.4')
reell (L5.6d.7)
Satz 2: Für hermitesche Matrizen sind die EV zu verschiedenen EW orthogonal.
Beweis:
mit
Sei
(L5.6d.4')
(L5.6e.8)
(L5.6d.4)
Sätze 1 & 2 gelten insbesondere auch für symmetrische, reelle Matrizen;
für die folgt aus (1) & (3) auch, dass EV rein reell sind,
Satz 3: Alle hermiteschen Matrizen sind diagonalisierbar
(gilt insbesondere auch für alle reelle, symmetrischen Matrizen)
eine Lösung des EW-Problems für A
Sei
der Unterraum orthogonal zu
Sei
Sei
in diesem Unterraum,
dann ist auch
denn:
(L5.6e.8)
Wähle als Basis für V:
mit
sei Basis für V1
In dieser Basis
hat A die Form
denn wegen (4) werden
die Unterräume
und
von A 'nicht verbunden'.
mit Matrix-Elementen
Warum? Allgemein gilt: falls
eine Basis ist, und
dann hat A in dieser Basis
die Darstellung
= Bild von
Aktuell:
also erste Spalte v. A
also haben alle anderen
Spalten die Form
wegen (c.4),
mit
(4) & (6)
Iteriere: sei
analoge
eine Lösung des EW-Problems für A
Argumentation
usw. usf. Auf diese Weise findet man eine
Basis von n orthogonale EW, in der A diagonal ist:
Normiere EW
liefert Orthonormalbasis v. EW !
(c.6)
Fazit: für hermitesche Matrizen
können die n EV,
so gewählt werden, dass sie eine Orthonormalbasis für
Sei nun S die Matrix mit
EV als Spaltenvektoren:
Eigenvektor j
Dann ist S unitär, denn:
Aber, es gilt auch:
Folglich wird A durch
unitäre Transf. diagonalisiert:
Analog: für reelle symmetrische Matrix sind EV rein reell, somit:
wird also durch orthogonale Transf.
:
(Drehungen) diagonalisiert,
(e.4) explizit:
Eigenvektor j
Eigenvektor i
mit
bilden:
Fazit: Diagonalisierung einer hermiteschen Matrix:
sei ein Satz
von orthonormierten EV der Matrix
mit zugehörigen EW
wird durch folgende "Ähnlichkeitstransformation" "diagonalisiert":
herm. konjugierte EV
als Zeilenvektoren
.
EV als
Spaltenvektoren
Analog für symmetrische, reelle Matrizen, mit
Transponierte EV
als Zeilenvektoren
EV als Spaltenvektoren
Anmerkung: reelle symmetrische Matrizen und hermitesche Matrizen finden in der
Physik sehr viele Anwendungen:
- kleine Schwingungen um Gleichgewichtslage: EV liefern "Normalmoden",
EW deren charakteristische Frequenzen.
- Quantenmechanik: Observablen werden durch "hermitesche Operatoren", salopp
gesagt, "hermitesche Matrizen", beschrieben. Eigenwerte des Hamilton-Operators
(Energie-Operators) liefern die "Eigenenergien" eines Quantensystems.
Beispiel:
Ch. Polynom:
Eigenwerte:
EV 1:
Check:
EV 2:
Check:
Ähnlichkeitstranformation:
Check:
Zusammenfassung: L7.2 Hermitesche (bzw. reelle symmetrische) Matrizen
ist 'symmetrisch', falls
(oder
)
ist 'hermitesch', falls
Für alle hermiteschen (insb. auch für alle reelle symmetrischen) Matrizen gilt:
- sie sind immer diagonalisierbar
- alle Eigenwerte sind reell:
- es lässt sich immer eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren finden
- Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal:
Für
hermitesche
reell symmetrische
Matrizen ist
unitär:
orthogonal: