Topologie I (SS 2016)

Priv.-Doz. Dr. J. Ruppenthal
Dipl. Math. S. Stahn
Wuppertal, 30.06.2016
Topologie I (SS 2016)
Übungsblatt 11
Wie definieren die lokale Homologie eines topologischen Raumes X in einem
Punkt x ∈ X als die Homologiegruppen Hn (X, X \ {x}). Nach dem Ausschneidungsaxiom ist
Hn (X, X \ {x}) ∼
= Hn (U, U \ {x})
für jede offene Umgebung U von x (siehe Blatt 10, Aufgabe 4). Damit hängt die
lokale Homologie in einem Punkt x tatsächlich nur von der Topologie von X in der
Nähe von x ab.
Aufgabe 1.
Wir betrachten die Inklusion
f : (Dn , S n−1 ) ,→ (Dn , Dn \ {0}).
Zeigen Sie, dass f keine Homotopieäquivalenz von Paaren ist, d.h. es existiert keine
Abbildung
g : (Dn , Dn \ {0}) → (Dn , S n−1 ),
so dass f ◦ g und g ◦ f durch Abbildungen von Paaren homotopieäquivalent zur
Identität sind.
Aufgabe 2.
Zeigen Sie, dass die baryzentrische Unterteilung des Standard-n-Simplex durch n
Ungleichungen ti0 ≤ ti1 ≤ · · · ≤ tin in baryzentrischen Koordinaten gegeben ist.
Dabei ist (i0 , ..., in ) eine Permutation von (0, ..., n).
Aufgabe 3.
X sei der Kegel über dem 1-Skelett von ∆3 , d.h. X ist die Vereinigung aller
Liniensegmente, die Punkte in den 6 Kanten von ∆3 mit dem Baryzentrum von
∆3 verbinden. Berechnen Sie die lokalen Homologiegruppen Hn (X, X \ {x}) für alle
x ∈ X. ∂X sei der Unterraum der Punkte x aus X, für die Hn (X, X \ {x}) = 0
für alle n ist. Berechnen Sie auch die lokalen Homologiegruppen Hn (∂X, ∂X \ {x}).
Verwenden Sie diese Berechnungen, um zu bestimmen, welche Teilmengen A ⊂ X
die Eigenschaft haben, dass f (A) ⊂ A für alle Homöomorphismen f : X → X gilt.
Bitte wenden.
Aufgabe 4.
Für ein Paar von topologischen Räumen (X, A) sei CA der Kegel über A und X ∪CA
die Vereinigung von X mit dem Kegel CA, der an A angeheftet wird.
a) Zeigen Sie, dass X genau dann ein Retrakt von X ∪ CA ist, falls A in X kontrahierbar ist, d.h. falls eine Homotopie ft : A → X existiert, so dass f0 die Inklusion
A ,→ X ist und f1 eine konstante Abbildung.
b) Zeigen Sie: Ist A in X kontrahierbar, so gilt:
e n (X) ⊕ H
e n−1 (A).
Hn (X, A) ∼
= H
Verwenden Sie dazu, dass (X ∪ CA)/X die Suspension SA von A ergibt.
Abgabe in der Vorlesung am 07.07.2016.
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