FEL Theorie – Linearer Bereich

Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL Theorie – Linearer Bereich
Im folgenden soll nun der Bereich hoher Verstärkung (high Gain)
und später der Bereich der Sättigung betrachtet werden.
Beschreibung im Rahmen des Hamilton Formalismus
Felder in complexer Schreibweise
Undulator:
Laser:
Bx + iBy = Bu e−iku z
z
Ex + iEy = ẼL (z) exp iω( − t)
c
Hamilton Funktion
h
i1/2
~⊥ + A
~ u )2 + m 2 c 4
H(pz , z, t) = (pz c + eAz )2 + e2 (A
− eΦ
Z
~ u = −~ez × H~u dz Vectorpotential des Undulator
A
Verallgemeinerter Hamilton Formalismus
t ist kanonisch conjugiert zu p0 = −H
→ kanonische Koordinaten (p0 , pz ), (t, z)
Röntgenphysik
182
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Hamilton Formalismus
Transformation in ein angepasstes Koordinatensystem
(P0 , P), (z, ψ) mit
H
T
P = −p0 /ω =
=
ω
ω
ω
p0 ku +
P0 = pz +
ω
c
z
ψ = ku z + ω( − t)
c
Damit hat die Hamilton Funktion die folgende Form
H̃(P, ψ, z)
=
H̃(P, ψ, z)
=
−P0
ω
(ku + )P − pz (P, z, ψ)
c
i1/2
ω
1h
~⊥ + A
~ u )2 − m 2 c 4
= (ku + )P+ eAz /c − (Pω + eφ)2 − e2 (A
c
c
Röntgenphysik
183
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Eichtransformation
mit den kanonischen Bewegungsgleichungen
dψ
∂ H̃
=
dz
∂P
und
dP
∂ H̃
=−
dz
∂ψ
Vier Felder:
1
2
3
~ u : Undulatorfeld
A
~ ⊥ : Feld der Laserwelle
A
φ, Az : Ladungsfeld der Elektronen
~
Wahl einer Eichung χ für das Vectorpotential A
φ → φ′ = φ −
1 ∂ χ̃
,
c ∂t
Az → A′z = Az +
∂ χ̃
∂t
Longitudinale Feldkomponente Ez bleibt damit unverändert
Ez = −
Röntgenphysik
∂φ 1 ∂Az
− ·
∂z
c ∂t
184
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Hamiltonfunktion
Durch diese Wahl von χ verschwindet das Skalarpotential
Z
1 ∂
′
φ = φ − · c dtφ(z, t) = φ − φ = 0
c ∂t
Das Raumladungsfeld wird somit durch Az beschrieben
1 ∂A′z (z, ψ)
1 ∂A′z
↔ Ez (ψ, z) = − ·
Ez (z, t) = − ·
c ∂t
c
∂ψ
Die Hamiltonfunktion H̃ lautet somit
o1/2
1n 2
ω T
~ ⊥ + A~u )2 − m2 c 4
−
T − e 2 (A
H̃ = (ku + )
c ω
c Z
e
+
dψEz (z, ψ)
ω
Im betrachteten linearen Bereich ist das Feld des Undulators A~u
~⊥
viel größer als das Feld der Laserwelle A
~ ⊥ | ≪ |A
~ u|
|A
Röntgenphysik
185
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Hamiltonfunktion
~ ⊥ entwickelt werden
Damit kann die Wurzel um A
q
~ ⊥ + A~u )2 − m2 c 4
T 2 − e 2 (A
q
∼
T 2 − e2 A2u − m2 c 4
=
e2
1
~ ⊥ + 2A
~ u) · A
~⊥ + ...
(2A
·p
2
2
2
2
4
2
T − e Au − m c
q
e2
~u · A
~⊥
=
T 2 − e2 A2u − m2 c 4 − p
A
T 2 − e2 A2u − m2 c 4
−
In der Entwicklung wurden alle Terme mit A2⊥ vernachlässigt
Röntgenphysik
186
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Hamiltonfunktion
Einsetzen in die Hamiltonfunktion liefert somit
o1/2
ω
1 n
T
(ku + ) − v T 2 − e2 A2u − m2 c 4
H̃ =
ω
c
c
Z
o−1/2
e
e2 n 2
2 4
2 2
~
~
dψEz (z, ψ)
(Au · A⊥ ) +
T − e Au − m c
+
c
ω
Wir wissen schon, daß der FEL Prozess ein Prozeß 2. Ordnung
ist. Deshalb entwicklen wir die Hamiltonfunktion noch bis zur
zweiten Ordnung in T − T0 , da die Energie des Elektronenstrahls
nicht stark von der Resonanzenergie T0 abweichen darf, um eine
Verstärkung zu erzielen.
Röntgenphysik
187
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Hamiltonfunktion
Entwickelte Hamiltonfunktion
H̃ = H(P, ψ, z)
(22)
ω
P
= C·P +
P 2 − (Ueiψ + U ∗ e−iψ )(1 −
)+
2
T0
2cγz T0
Z
dψeEz
mit
P = T − T0
C = ku −
ω
2cγz2
ekL Ẽ(z)
2iγ
1
K2
= γ −2 + 2 = 2 (1 + K 2 )
γ
γ
U = −
γz−2
U ist das ponderomotive Potential
Röntgenphysik
188
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Bewegung eines Ensembles
Annahme:
Die Wechselwirkung eines Elektron mit dem kollektivem Feld, das
von allen anderen Elektronen erzeugt wird (Strahlung und
Raumladung), sei viel größer als die Wechselwirkung mit dem
nächsten Nachbarn
Entspricht einer Mean field approximation, wie sie z.B. aus der
Atom- und Molekülphysik bekannt ist und zur Beschreibung von
Mehrelektronensystemen angewandt wird.
Sei f (P, ψ, z) die Elektronenstrahlverteilungsfunktion
Dann gilt für diese die Liouville’sche Gleichung
[H, f ] +
∂f
df
=
=0
∂t
dt
Kommutator ist definiert als
X ∂u ∂v
∂u ∂v
−
[u, v ]p,q :=
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
k
Röntgenphysik
189
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Liouville’sche Gleichung
Lösung über die Störungstheorie
Sei
f
Ez
mit
f0 (P):
f̃1 (P, z):
= f0 + f̃1 eiψ + f̃1∗ e−iψ = f0 + f̃1 eiψ + C.C.
= Ẽz eiψ + C.C.
Ungestörte Funktion
kleine Störung |f̃1 | ≪ |f0 |
Röntgenphysik
190
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Liouville’sche Gleichung
Im P, ψ, z System lautet die Liouville’sche Gleichung somit
∂f
∂H ∂f
∂H ∂f
+
−
=0
∂z
∂P ∂ψ
∂ψ ∂P
(23)
Bedeutung:
f ändert sich nicht entlang der Trajektorien außer durch die
Wechselwirkung mit dem kollektivem Feld
Lösung von (23) zusammen mit den Maxwell Gleichungen liefert
die Lösung für das kollektive Feld und die Verteilungsfunktion f .
Röntgenphysik
191
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Störungstheorie
Wir setzen jetzt Gleichung (22) (Hamiltonfunktion H(P, ψ, z)) in
Gleichung (23) (Liouville’sche Gleichung) unter Verwendung der
ebend definierten Funktion f ein. Das liefert nach einigen
Umformungen
∂ f̃1
∂f0
P
f̃1 + (iU − eẼz )
+i C+ω 2
=0
(24)
∂z
∂P
cγz T0
Hierbei sind Terme mit
U
f̃1
T0
und
(iU − eẼz )
relativ zu
(iU − eẼz )
d f̃1
dP
df0
dP
zu vernachlässigen.
Röntgenphysik
192
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Anfangsbedingungen
Zur Lösung der Gleichungen werden Anfangsbedingungen für den
Elektronenstrahl benötigt. Diese werden so gewählt, daß der
Strahl beim Eintritt in den Undulator (z = 0) weder in der Dichte
noch in der Geschwindigkeit moduliert ist.
f̃1 |z=0 = 0
Z
f0 = n0 · F (P)
F (P) · dP = 1
n0 : Strahldichte
F (P): normierte Dichteverteilungsfunktion
⇒ Lösung von Gleichung (24) mit diesen Anfangsbedingungen lautet
dann
Z
ωP
dF z ′
′
dz (iU − eẼz ) exp i C + 2
f̃1 = −n0
(z − z) (25)
dP 0
cγz T0
Röntgenphysik
193
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Stromdichte
Die Gleichung enthält wiederum das axiale Feld Ẽz , dass jetzt
bestimmt werden soll.
Die Stromdichte des Elektronenstrahls ist durch
Z
jz = −evz fdP
= j0 + j̃1 eiψ + C.C.
gegeben
In der ultra-relativistischen Näherung vz ∼
= c gilt dann
Z
j̃1 ∼
= −ec f̃1 dP
j0 = −ecn0
Röntgenphysik
194
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Stromdichte
Wir betrachten nun die Maxwellsche Gleichung
~
~ = 1 · ∂ E + 4π~j
rotH
c ∂t
c
~
Das Feld E und die Phasen sind gegeben durch
Ez
∂Ez
∂t
= Ẽz eiψ + C.C.
und
ψ = ku z + ω(
(26)
z
− t)
c
∂ iψ
e = −iω Ẽz eiψ
∂t
~ = 0, so wird in der 1.
Am Ort des Elektronenstrahls ist rotH
⇒
= Ẽz
dimensionalen Näherung Gleichung (26) zu
∂Ez
= −iω Ẽz eiψ + C.C. = −4π j̃1 eiψ + C.C.
∂t
i4π j̃1 (z)
⇒ Ẽz = −
ω
Röntgenphysik
(27)
195
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Stromdichte
Gleichung (27) können wir nun in Gleichung (25), welche die
Modulation des Elektronenstrahl beschreibt, einsetzen. Da
Z
∼
j̃1 = −ec f̃1 dP
war wird zudem noch über P integriert. Damit folgt dann
(
)
Z z
4πej˜1 (z ′ )
′
dz U +
j̃1 = i · j0
ω
0
Z
dF (P)
ωP
′
× dP
(z − z)
exp i C + 2
dP
cγz T0
(28)
Dies ist eine Integro-Differentialgleichung, die den
Elektronenstrom in dem 1. dimensionalen Modell beschreibt.
Röntgenphysik
196
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Vektorpotential
Eine weitere Bedingung kann aus der Wellengleichung hergeleitet
werden.
Maxwell
~
4π
1 ∂E
+ ~j
c ∂t
c
Die Eichung wurde so gewählt, dass φ = 0 ist.
~ =
rotH
~
~ = − 1 ∂A
⇒E
c ∂t
und
~ = rotA
~
H
Damit ist die Wellengleichung gleich
2~
~ − grad divA
~ − 1 ∂ A = 4π~j
△A
c
c 2 ∂t 2
Röntgenphysik
197
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Wellengleichung
Das Vektorpotential ist durch die obige Eichung noch nicht genau
~ =0
bestimmt und wir können noch wählen divA
2~
~ + 1 ∂ A = − 4π~j
⇒ −△A
c
c 2 ∂t 2
mit ~j = 0 ist dies die bekannte Wellengleichung
Im FEL ist jedoch ~j 6= 0, da der Elektronenstrahl vorhanden ist
Es soll das elektromagnetische Feld des FEL betrachtet werden
~ ⊥ ist relevant
⇒ nur A
~⊥
~⊥
∂2A
1 ∂2A
4π
−
= − ~j⊥
2
2
2
c
∂z
c ∂t
Röntgenphysik
(29)
198
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Wellengleichung
Die transversale Stromdichte ~j⊥ folgt aus der Geschwindigkeit ~v⊥ .
Für diese gilt
v
c
=
⇒ jx + ijy
=
K −iku z
e
γ
i
K −iku z h iψ
j̃1 e + C.C.
e
γ
Lösungsansatz
z
Ax,y = Ãx,y exp iω( − t) + C.C.
c
Röntgenphysik
199
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Wellengleichung
Berechnung der Terme
~x
∂2A
∂z 2
~x
1 ∂2A
2
c ∂t 2
(
2iω ∂ Ãx (z) ∂ 2 Ãx (z)
ω2
+
−
Ã
(z)
x
c
∂z
∂z 2
c2
z
ω2
= − 2 Ãx (z) exp iω( − t) + C.C.
c
c
z
= exp iω( − t)
c
)
Mit exp(−iku z) = cos ku z − i sin ku z folgt
cos ku z
~j⊥ = K
(j̃1 eiψ + C.C.)
− sin ku z
γ
~ x,y und ~j⊥ in die Wellengleichung liefert dann
Einsetzen von A
Röntgenphysik
200
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Wellengleichung
z
e(iω( c −t))
∂2
Ãx
Ãx
+ 2
+ C.C.
∂z
Ãy
Ãy
4πK
cos ku z
(j̃1 eiψ + C.C.)
=−
− sin ku z
cγ
2iω ∂
c ∂z
Diese Gleichung muß jetzt wieder vereinfacht werden. Dazu
macht man die folgenden Annahmen
1
2
j̃1 (z) ist eine langsame veränderliche Funktion auf der Skala der
Undulatorperiode
Die Länge z ist viel größer als die Undulatorperiode λu
Das bedeutet, dass man einen langen Undulator mit vielen
Perioden betrachten muß und das sich von einer Periode zur
nächsten der Elektronenstrahl nur wenig ändert.
Röntgenphysik
201
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Laser Feld
Das bewirkt
1
2
Die schnelle Oszillation cos ku z und sin ku z kann vernachlässigt
werden
die 2. Ableitung von Ãx,y wird vernachlässigt
Damit wird die Gleichung zunächst zu
z
2iω ∂
4πK
exp iω( − t)
(j̃1 eiψ + C.C.)
Ãx,y + C.C. = −
c
c ∂z
cγ
Es ist
∂Ax,y
∂t
und mit dem gewähltem Ansatz für Ax,y
cEx,y = −
z
∂Ax,y
= iω Ãx,y exp iω( − t)
∂t
c
Röntgenphysik
202
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Laserfeld
Damit kann dann die Wellengleichung letztendlich in der Form
2πK
d
Ẽ(z) = −
j̃1 (z)
dz
cγ
(30)
geschrieben werden.
Jetzt kann man noch j̃1 (z), dass durch Gleichung (28) geben ist,
einsetzen.
Röntgenphysik
203
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Laserfeld
Damit ist dann das Laserfeld durch folgende Gleichung gegeben
(
)
Z
2 Ẽ(z ′ )
4cγ
d Ẽ
πej0 K 2 z ′
dz Ẽ(z ′ ) + i
=
(31)
dz
cγ 2
ωK 2 dz ′
0
Z ∞
dF (P)
ωP
′
dP
×
(z − z)
exp i C + 2
dP
cγz T0
−∞
j̃1
(
)
˜1 (z ′ )
4πe
j
dz ′ U +
= ij0
ω
0
Z
dF (P)
ωP
′
× dP
exp i C + 2
(z − z)
dP
cγz T0
Z
z
Dies ist jetzt eine weitere Integro-Differentialgleichung, die die
Entwicklung des Laserfeld entlang der Undulatorachse beschreibt.
Röntgenphysik
204
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Variablen Definition
Verstärkungsparameter
Alfven Strom
Detuning Parameter
Raumladungsparameter
Normierter Energieübertrag
Effizienzparameter
Röntgenphysik
1/3
πj0 K 2 ω
cγz2 γ 3 IA
mc 3
Ia =
= 17kA
e
ẑ = Γ · z
1
ω
)
Ĉ = C/Γ = (ku −
Γ
2cγz2
Γ=
Λ̂2p = Λ2p /Γ2
4πj0
Λ2p = 2
γz γIA
T − T0
P̂ =
ρT0
2
γ Γc
ρ= z
ω
205
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Normiertes Laserfeld Gleichung
Die Gleichung für das Laserfeld hat damit die folgende Form
d Ẽ
d ẑ
=
Z
ẑ
d ẑ
′
0
×
Z
(
Ẽ(ẑ ) +
∞
d P̂
−∞
und
Z
Röntgenphysik
′
d F̂
d P̂
d Ẽ(ẑ
i Λ̂2p
′
d ẑ
′)
)
(32)
n
o
exp i(P̂ + Ĉ)(ẑ ′ − ẑ)
F̂ (P̂)d P̂ = 1
206
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Energieverteilung
Beispiel Energieverteilungsfunktion F (P)
Gaussverteilung
F (T − T0 ) =
⇒ F̂ (P̂) =
Λ2T
=
1
(T − T0 )2
p
exp −
2 < (∆T )2 >
2π < (∆T )2 >
!
P̂
1
q
exp
2Λ2T
2πΛ2
T
< (∆T )2 >
ρ2 T02
Es wurden bisher verschiedenen Näherungen gemacht, um die
Gleichung (32) herzuleiten. Wann ist die Gleichung aber
überhaupt gültig ?
Röntgenphysik
207
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Gültigkeitsbereich
Annahme war, daß Ẽ(z) und j̃(z) langsam veränderliche
Funktionen sind. Das bedeutet
d Ẽ d Ẽ Γ
≪ ku |Ẽ| ⇔ ≪ ku |Ẽ|
d ẑ dz d j̃ Γ ≪ ku |j̃1 |
da ẑ = Γ · z
d ẑ Für den Effizienzparameter ρ gilt dann
ρ
=
γz2 c
Γ
ω
πj0 ω 1/2
γz2 ∼ Γ
K
=
=
kL
ku
ku γz cγ 3 IA
=
d Ẽ ⇒ ρ
≪ |Ẽ|
d ẑ Röntgenphysik
208
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Gültigkeitsbereich
Insgesamt läßt sich zeigen, daß im Rahmen der durchgeführten
Näherungen
ρ, ρΛ̂T , ρΛ̂P , ρĈ ≪ 1
gelten muß.
Damit erhält man dann die Bedingung
ρ=
Röntgenphysik
γz2 c ∼ πj0 K 2
Γ= 2
≪1
ω
ku γIA
209
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Die Gleichung (32)
d Ẽ
d ẑ
=
Z
ẑ
d ẑ
′
0
×
Z
(
Ẽ(ẑ ) +
∞
d P̂
−∞
′
d F̂
d P̂
d Ẽ(ẑ
i Λ̂2p
′
d ẑ
′)
)
n
o
exp i(P̂ + Ĉ)(ẑ ′ − ẑ)
soll nun gelöst werden.
Definition der Laplace Transformation
Z ∞
Ẽ(p) =
d ẑ exp(−pẑ)Ẽ(ẑ)
0
Multiplikation von Gleichung (32) mit exp(−pẑ) (Rep > 0) und
Integration über ẑ von 0 bis ∞.
Röntgenphysik
210
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Linke Seite von Gleichung 32
Z
∞
0
d Ẽ(ẑ)
exp(−pẑ)d ẑ =
d ẑ
∞
Ẽ(ẑ) exp(−pẑ)
0
Z ∞
Ẽ(ẑ)(−p) exp(−pẑ)d ẑ
−
0
= −Ẽ(0) + pẼ(p)
= pẼ(p) − Eext
Röntgenphysik
211
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Rechte Seite der Gleichung
=
Z
∞
0
×
=
n
Z
d ẑ · e
−pẑ
∞
d F̂
d P̂
−∞
d P̂
Z
ẑ
d ẑ
0
′
(
Ẽ(ẑ ) +
ˆ′ )
d Ẽ(z
i Λ̂2p
′
n
exp i(P̂ + Ĉ)(ẑ ′ − ẑ)
Ẽ(p) + i Λ̂2p (pẼ(p) − Ẽext )
Röntgenphysik
′
oZ
d ẑ
o
∞
d P̂
−∞
)
d F̂
d P̂
p + i(P̂ + Ĉ)
212
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
mit
Z
=
=
Z
∞
d ẑ exp(−pẑ)
0
∞
0
(Z
ẑ
0
d ẑ ′ Ẽ(ẑ ′ ) exp i(P̂ + Ĉ)(ẑ ′ − ẑ)
i Z
d ẑ Ẽ(ẑ ) exp i(P̂ + Ĉ)ẑ ·
′
′
Ẽ(p)
h
h
′
∞
ẑ ′
i
)
h
i
d ẑ exp −(p + i P̂ + i Ĉ)ẑ
p + i(P̂ + Ĉ)
Röntgenphysik
213
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Mit der Definition
D̂ =
Z
∞
−∞
d P̂ ′
d F̂
1
d P̂ p + i(P̂ + Ĉ)
(33)
wird Gleichung (32) dann zu
n
o
pẼ(p) − Eext = Ẽ(p) + i Λ̂2p pẼ(p) − Ẽext
· D̂
Röntgenphysik
214
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Umschreiben
⇒
⇔
⇔
⇒
pẼ(p) − Ẽ(p)D̂ − i Λ̂2p pẼ(p)D̂ = Eext − i Λ̂2p Eext D̂
= Eext 1 − i Λ̂2p D̂
Ẽ(p) p − D̂ − i Λ̂2p D̂p = Eext 1 − i Λ̂2p D̂
Ẽ(p) = Eext
1 − i Λ̂2p D̂
p − D̂ − ipΛ̂2p D̂
#
"
D̂
Ẽ(p) = Eext p −
1 − i Λ̂2p D̂
Röntgenphysik
215
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Benötigt wird jetzt die Feldamplitude Ẽ(ẑ), die mit der inversen
Laplace Transformation berechnet werden kann
Z α′ +i∞
1
dλẼ(λ) exp(λẑ)
Ẽ(ẑ) =
2πi α′ −i∞
"
#
Z α′ +i∞
D̂(λ)
1
dλ exp(λẑ) λ −
=
(34)
2πi α′ −i∞
1 − i Λ̂2p D̂(λ)
α′ > 0 reell und größer als alle Polstellen des Integranten. Die
Integration erfolgt parallel zur imaginaeren Achse.
Wir wollen zunächst den einfach Fall eines kalten
Elektronenstrahls betrachten. Das heißt, das es eine scharfe
Verteilung der Elektronenenergie gibt und somit die
Verteilungsfunktion die folgende Form hat
F̂ (P̂) = δ(P̂)
Röntgenphysik
216
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Kalter Elektronenstrahl
Für die Funktion (33) läßt sich dann schreiben
D̂(λ) =
Z
∞
d P̂
−∞
F̂ ′ (P̂)
λ + i(P̂ + Ĉ)
d
∞
Z ∞
(λ + i(P̂ + Ĉ))
F̂ (p)
d P̂
=
d P̂
+
λ + i(P̂ + Ĉ) −∞
[λ + i(P̂ + Ĉ)]2
−∞
|
{z
}
F̂ (P̂)
=0
=
Z
∞
d P̂
−∞
iδ(P̂)
[λ + i(P̂ + Ĉ)]2
= i(λ + i Ĉ)−2
Röntgenphysik
217
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Damit ist das Feld aus Gleichung (32) durch
1
Ẽ(ẑ) =
2πi
Z
α′ +i∞
α′ −i∞
"
dλ exp(λẑ) λ −
i
(λ + i Ĉ)2 + Λ̂2p
#−1
(35)
gegeben
Wie läßt sich diese Gleichung jetzt lösen ?
Röntgenphysik
218
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Kalter Elektronenstrahl
Wenn der Faktor vor der exp(λẑ)-Funktion das Jordan’sche
Lemma erfüllt kann das Integral mittels des Cauchy’sches
Residum Theorem als eine Summe über Partialwellen
geschrieben werden.
#−1 "
#−1
"
i
D̂
= λ−
λ−
1 − i Λ̂2p D̂
(λ + i Ĉ 2 ) + Λ̂2p
(36)
Das Jordan Lemma sagt aus, daß das Integral
Z ∞
f (x)eiax dx
I=
−∞
0 ist, wenn für die Funktion f (x) gilt
lim |f (R · eiθ )| = 0.
R→∞
Der Faktor (36) ist von der Ordnung O(λ−1 ), so daß für |λ| → ∞
das Jordan Lemma erfüllt ist.
Röntgenphysik
219
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Kalter Elektronen Strahl
Damit kann das Integral (35) in eine Reihe
#−1
"
X
D̂j′
exp(λj ẑ) λ −
Ẽ(ẑ) = Eext
1 − i Λ̂2p D̂j
j
(37)
umgeschrieben werden, wobei
D̂j = D̂|λ=λj und
sind und λj die Lösungen von
λ−
D̂j′
d D̂ =
dλ D̂j′
1 − i Λ̂2p D̂j
λ=λj
=0
sind.
Röntgenphysik
220
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Kalter Elektronenstrahl
Für den kalten Elektronenstrahl gilt somit
Ẽ(ẑ) = Eext
X
exp(λj ẑ)
1 − 2i(λj + i Ĉ)λ2j
i−1
h
λ = i (λ + i Ĉ)2 + Λ̂2p
(38)
j
(39)
Die λj sind somit die Lösung einer kubischen Gleichung. Für die
Lösungen dieser kubischen Gleichung gilt
λ1 λ2 λ3 = i
λ1 λ2 + λ2 λ3 + λ1 λ3 = −Ĉ 2 + Λ̂2p
λ1 + λ2 + λ3 = −2i Ĉ
Röntgenphysik
221
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Kalter Elektronenstrahl
Einsetzen dieser Bedingungen in Gleichung (38) und Umformen
liefert dann
Ẽ(ẑ)
λ2 λ3 exp(λ1 ẑ)
λ1 λ3 exp(λ2 ẑ)
λ1 λ2 exp(λ3 ẑ)
=
+
+
Eext
(λ1 − λ2 )(λ1 − λ3 ) (λ2 − λ3 )(λ2 − λ1 ) (λ3 − λ1 )(λ3 − λ1 )
(40)
Es soll nun der Fall eines sehr kleinen Raumladungsfeld Λ̂2p → 0
direkt in der Resonanzposition Ĉ = 0 betrachtet werden. Dann
wird Gleichung (39) zu
λ = iλ−2 ⇔ λ3 = i
Röntgenphysik
222
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Kalter Elektronenstrahl
Lösungen sind
λ1 = −i
√
3+i
λ2 =
√2
− 3+i
λ3 =
2
Für das Feld erhält man damit die folgende Lösung
"
Ẽ(ẑ)
1
=
exp
Eext
3
√
3+i
ẑ
2
Röntgenphysik
!
+ exp
!
#
√
− 3+i
ẑ + exp(−i ẑ)
2
223
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Feld im linearen Bereich
Realteil des Elektrischen Feld E(z)
600
0,4
0,4
0,3
0,2
0,2
0
0,1
-0,2
500
400
300
200
100
0
-100
-200
-300
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
-0,4
0
2
4
6
8
10
Undulator length z
Röntgenphysik
224
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Feld im linearen Bereich
Der 3. Term oszilliert und der 2. Term nimmt exponentiell ab Für
den asympotischen Fall ẑ > 1 wird die Gleichung somit zu
!
√
Ẽ(ẑ)
3+i
1
ẑ
= exp
Eext
3
2
Mit zunehmender reduzierter Undulatorlänge ẑ nimmt das
elektrische Feld Ẽ(ẑ) also exponentiell zu! Verstärkung!
30
25
G =
E(z) / Eext
20
15
10
=
5
0
0
1
2
3
4
5
Reduzierte Undulatorlänge z
Röntgenphysik
|Ẽ|2
E2
" ext
√
1
3
ẑ
1 − 4 cosh
9
2
√
3
3
cosh
ẑ + cos ẑ
2
2
!#
225
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Lösung in Kurzform
1
2
Aufstellen der Hamiltonfunktion H(P, ψ, z)
Ensemble Dynamik f (P, ψ, z) über Liouville Gleichung
3
Ansatz Störungstheorie f = f0 + f1
4
Wahl von Anfangsbedingungen f ≡ Teilchendichte ≡ Stromdichte j
5
6
Maxwell-Gleichung in z-Richtung ⇒ Ez ∝ j1 (z)
Integro-DGL für j1 (z)
7
Maxwell-Gleichung in transversaler Richtung ELaser
8
Wellengleichungsansatz für A⊥ ≡ ELaser
d
ELaser ∝ j1 (z)
Lösungsansatz liefert
dz
Lösung über Laplace Transformation
9
10
11
Einfacher Fall kalter Elektronenstrahl
12
Lösung für ELaser (z) ∝ exp(Λ · z)
Röntgenphysik
226
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Im Gegensatz zum low Gain Bereich verstärkt der FEL im linearen
Bereich direkt bei der Resonanzenergie Ĉ = 0
Im folgenden soll nun das Verstärkungsverhalten des FEL
diskutiert werden. Dazu nehmen wir wieder zunächst ein
verschwindenes Raumladungsfeld an Λ̂2p → 0. Damit wird
Geichung (36) zu
λ(λ + i Ĉ)2 = i
Die Propagationskonstanten λj hängen somit nur vom Detuning
Parameter Ĉ ab. Lösung läßt sich im Prinzip explizit aufschreiben,
wir wollen aber nur das Verhalten betrachten.
Λ̂ sei die Lösung λj , die dem exponentiellen Wachstum der
Leistung entspricht
Damit kann die Verstärkung dann einfach in der Form
geschrieben werden.
Röntgenphysik
G = A · exp(2ReΛ̂ẑ)
227
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Λ̂ : Field growth rate
A : Input coupling factor
5
0,8
0,6
3
0,4
2
0,2
0
Field growth factor A
Field growth rate Re Λ
4
1
-4
-2
0
2
-4
-2
0
2
0
Detuning parameter C
Röntgenphysik
228
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Verstärkung des Feldes Ẽ(ẑ) bei verschiedenen Längen ẑ des
Undulators
70
z=6
60
|Ez| / Eext
50
40
30
z=5
20
z=4
10
z=3
0
-4
-2
0
2
Detuning parameter C
Röntgenphysik
229
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Welchen Einfluß hat nun eine Raumladung Λ̂2p > 0 auf das
Verstärkungsverhalten ?
Dazu muß Gleichung (40) mit den korrekten Werten für die
Eigenwerte der Gleichung (39) berechnet werden.
h
i−1
λ = i (λ + i Ĉ)2 + Λ̂2p
Λp = 0
0,8
0,6
Re Λ
Λp = 1
Λp = 4
Λp = 2
0,4
Λp = 8
0,2
0
-2
-1
0
1
2
3
4
Detuning Parameter C
Röntgenphysik
230
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Für große Raumladungsfelder Λ̂2p wird somit die Verstärkung stark
unterdrückt
70
60
2
Λp = 0
|Ez| / Eext
50
40
2
Λp = 1
30
20
2
Λp = 3
2
Λp = 9
10
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Detung parameter C
Röntgenphysik
231
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Das Maximum der Field growth rate ReΛ̂ läßt sich durch
!
√
Λ̂2p
3
∼
max(ReΛ̂) =
1−
2
3
beschreiben. Das Maximum selbst wird bei einem Detuning
Parameter
Ĉm ∼
= Λ̂p
erreicht.
Röntgenphysik
232
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Es soll jetzt als letzter Schritt der Einfluß einer Energieverteilung
des Elektronenstrahls diskutiert werden. Bis jetzt wurde ein kalter
Elektronenstrahl angenommen.
Realistische Verteilung ist eine Gaussverteilung der Energie
!
1
P̂ 2
F̂ (P̂) = q
exp − 2
2
2Λ̂T
2π Λ̂T
mit der Breite Λ̂2T der Verteilung.
Das Feld ist durch Gleichung (34)
1
Ẽ(ẑ) =
2πi
Z
α′ +i∞
α′ −i∞
"
dλ exp(λẑ) λ −
D̂(λ)
1 − i Λ̂2p D̂(λ)
#
gegeben
Röntgenphysik
233
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
mit D̂
D̂(λ) =
Z
∞
d P̂
−∞
F̂ ′ (P̂)
λ + i(P̂ + Ĉ)
.
Die Rechnung soll jetzt hier nicht ausgeführt werden, sie ist z.B. in
dem Buch von Saldin durchgeführt.
Das Ergebnis für das Feld im Fall einer Gaussverteilung der
Elektronenenergie lautet
!
"
(
Λ̂
1
Ẽ(ẑ)
2 2
(41)
−
= exp(Λ̂ẑ) ×
1 + i(i − Λ̂p Λ̂)
Eext
i − Λ̂2p Λ̂ Λ̂2T
!
#)−1
1
Λ̂ + i Ĉ
Λ̂ + i Ĉ
×
−
+
Λ̂2T
Λ̂4T
Λ̂ + i Ĉ
Röntgenphysik
234
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
wobei Λ̂ die Eigenwerte der Gleichung
D̂(Λ̂) =
Λ̂
1 + i Λ̂2p Λ̂
sind mit
D̂ =
i
Λ̂2T
−
i
p
π/2
Λ̂3T
(λ + i Ĉ) exp
"
(λ + i Ĉ)2
2Λ̂2T
#
"
× 1 − erf
(λ + i Ĉ)
2Λ̂2T
!#
und der Fehlerfunktion
1
erf(x) = √
2π
Röntgenphysik
Z
x
du exp(−u 2 )
0
235
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Wir wollen hier jetzt nur wieder den Fall eines verschwindenen
Raumladungsfeld Λ̂2p → 0 kurz diskutieren
Für diesen Fall wird Gleichung (41) zu
Λ̂2T (Λ̂ + i Ĉ)
Ẽ(ẑ)
=
exp(Λ̂ẑ)
Eext
i(Ĉ Λ̂2T + 1) − Λ̂(Λ̂ + i Ĉ)2
und Λ̂ ist die Lösung der Eigenwertgleichung
Z ∞
dx · x · exp −Λ̂2T x 2 /2 − (Λ̂ + i Ĉ)x
Λ̂ = i
0
Röntgenphysik
236
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Growth rate und Feld des FEL bei verschiedenen
Energieverteilungen des Elektronenstrahls
30
2
ΛT = 0
Growth rate Re Λ
0,8
25
0,6
15
0,4
2
ΛT = 1
0,2
10
2
ΛT = 2
5
2
ΛT = 4
0
|EZ| / Eext
20
-2
0
2
4
6
2
ΛT = 6
8
10
-2
0
2
4
6
8
0
10
Detuning parameter C
Röntgenphysik
237
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Take Home Message – FEL Linearer Bereich
Herleitung des Laserfeldes und der Elektronenverteilung in einem
1-dimensionalen Modell.
Gekoppelte Integrodifferentialgleichungen für die Elektronendichte
und das Laserfeld.
Lösung der Gleichungen zeigt ein exponentielles Wachstum des
Laserfeldes.
Verstärkung in einem schmalen Bereich um die
Resonanzfrequenz.
Ausgangsleistung hängt linear von der eingekoppelten Leistung
E0 ab.
Röntgenphysik
238
Freie Elektronen Laser
Sättigungsbereich
Der Sättigungsbereich
Im diskutierten low und high Gain Bereich hängen die
Ausgangsleistung und die eingekoppelte Leistung linear
zusammen
Überschreitet die eingekoppelte Leistung Wext einen bestimmten
Wert, nimmt die Leistung nimmt nicht mehr linear zu und erreicht
irgendwann die Sättigung – dieser Bereich wird dann als nicht
linearer oder Sättigungsbereich bezeichnet
Im Sättigungsbereich lassen sich keine analytischen Lösungen
mehr finden und das Problem muß numerisch gelöst werden
Es soll im folgenden die prinzipielle Methode zur Lösung
beschrieben werden und deren Ergebnisse diskutiert werden.
Röntgenphysik
239
Freie Elektronen Laser
Sättigungsbereich
FEL Parameter
Der FEL Verstärker kann durch die folgenden Parameter
beschrieben werden
lu
ku
Hu
ω
T0
j0
h∆T 2 i
Eext
Länge des Undulators
Undulatorwellenzahl
Magnetfeld des Undulators
Frequenz der FEL Strahlung
Nomienelle Energie des Elektronenstrahl
Elektronenstromdichte am Anfang des Undulator
Energieverteilung des Elektronenstrahl
Amplitude des eingekoppelten Master Signals
Wir nehmen im folgenden als Energieverteilung eine
Gaussverteilung an
Röntgenphysik
240
Freie Elektronen Laser
Sättigungsbereich
FEL Parameter
Durch die Wahl von geeigneten dimensionslosen Variablen, kann
die Beschreibung auf 6 Parameter reduziert werden.
lˆu = Γlu
Ĉ
Λ̂2p
Λ̂2T
ρ̂
Länge des Undulators
Detuning Parameter
Raumladungsparameter
Energieverteilung des Elektronenstrahl
Effizienzparameter
eKEext
Normierte Master Amplitude
ρT0 Γγ
Für den linearen Bereich reichen sogar
Êext = Eext /E0 =
lˆu , Ĉ, Λ̂2p , und Λ̂2T
aus.
Röntgenphysik
241
Freie Elektronen Laser
Sättigungsbereich
Der Sättigungbereich – Hamiltonfunktion
Aufgrund der verschiedenen Näherungen, die wir gemacht haben,
muß für den Effizienzparameter
ρ≪1
gelten.
Wenn ρ sehr klein ist, wird das FEL Feld Ẽout nicht mehr von ρ
abhängen und somit erhält man
Ẽout = D(lˆu , Ĉ, Λ̂2p , Λ̂2T , Êext )
Im Bereich der Sättigung wird die Ausgangsamplitude Eout nicht
mehr von lˆu und Êext abhängen, so daß dort dann gelten wird
Ẽsat = D(Ĉ, Λ̂2p , Λ̂2T )
Röntgenphysik
242
Freie Elektronen Laser
Sättigungsbereich
FEL Verhalten im Sättigungsbereich
Der Elektronenstrahl wird durch N Makropartikle pro Interval
(0, 2π) über die Phase ψ simuliert. Die reduzierte Stromdichte ist
periodisch in der Phase und ergibt sich zu
ĵz
N
2π X
= −
δ(ψ − ψ(j) ), 0 ≤ ψ ≤ 2π
N
j=1
ĵz (ψ + 2π · n, z) = ĵz (ψ, z)
Damit hat man dann 2N + 2 Gleichungen, die den
Verstärkungsprozess beschreiben.
Wie sehen die Lösungen dieser numerischen Simulationen aus ?
Röntgenphysik
243
Freie Elektronen Laser
Sättigungsbereich
FEL Verhalten im Sättigungsbereich
Reduzierte Feldamplitude û in Abhängigkeit von der reduzierten
Undulatorlänge ẑ (Ĉ = 0, Λ̂2p → 0, Λ̂2T = 0, ûext = 0.1)
3
Rduzierte Feldamplitude u
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Reduzierte Undulator Länge z
Röntgenphysik
244
Freie Elektronen Laser
Sättigungsbereich
Sättigungsbereich
Das Feld û steigt bis zu einem Maximalwert an und fällt dann
wieder ab.
Im Maximum ist der Elektronenbunch vollständig durchmoduliert
Für einen längeren Undulator fallen ein Teil der Elektronen in die
Beschleunigungsphase des ponderomotiven Potentials und es
wird wieder Energie aus dem FEL Feld an den Elektronenstrahl
übertragen.
Das Verhalten läßt sich gut im Phasenraum (P̂, ∆ψ) betrachten.
∆ψ = ψ + ψ0 ist die Phase relativ zur Phase ψ0 des
ponderomotiven Potentials.
Röntgenphysik
245
Freie Elektronen Laser
Sättigungsbereich
Histogramm
FEL – Phasenraum
0
40
30
20
10
0
0,5
0,1
1
0
0
0
Kanonischer Impuls P
1
4
2
20
15
10
5
0
2
1
0
-1
-0,1
-0,5
-2
-1
-3
-1
0
π/2
π
-0,2
3π/2 2π 0
π/2
π
3π/2 2π
-2
0
π/2
π
3π/2 2π
-4
0
π/2
π
3π/2 2π
Phase ψ relative zum ponderomotiven Potential
Röntgenphysik
246
Freie Elektronen Laser
Sättigungsbereich
FEL – Phasenraum
1
Unmodulierter Strahl am Eingang des Undulators (ẑ = 0)
2
Verteilung im linearen Bereich (ẑ = 4)
3
Kurz vor dem Sättigungsbereich (ẑ = 7)
4
Sättigung (ẑ = 8.4)
Röntgenphysik
247
Freie Elektronen Laser
SASE
Der SASE Prozess
Bis jetzt wurde immer nur der Fall eines Verstärkers betrachtet,
bei dem ein externes Feld Eext eingekoppelt und dieses dann im
Undulator bis zur Sättigung verstärkt wird. Woher erhalten wir
aber ein geeignetes, externes Feld ?
Das Feld kann in dem Undulator selbst in Form von spontan
emitierter Synchrotronstrahlung erzeugt werden. Ein FEL
Verstärker, der in diesem Modus betrieben wird, wird als SASE
FEL bezeichnet
SASE: Self-amplified spontaneous emission
Ursache der Synchrotronstrahlung sind Dichtefluktuationen im
Elektronenstrahl, die durch das Shot Noise (Schrotrauschen)
beschrieben werden.
Beschreibung der Statistik des Elektronenstrahls
Röntgenphysik
248
Freie Elektronen Laser
SASE
Schrotrauschen des Elektronenstrahls
Der Elektronenstrahl besteht aus einer großen Zahl N von
Elektronen und kann durch
I(t) = −e
N
X
k=1
δ(t − tk )
beschrieben werden. tk ist die zufällige Ankunftszeit eines
Elektrons e am Undulatoreingang.
Die Mittlere Verteilung entspricht dem Elektronenbunchprofil und
ist durch
hI(t)i = −e · N · F (t)
gegeben.
Für ein Gaussprofil wäre
t2
F (t) = √
exp − 2
2σT
2πσT
1
Röntgenphysik
!
249
Freie Elektronen Laser
SASE
Schrotrauschen des Elektronenstrahls
Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Elektron in der Zeit t, t + dt am
Undulatoreingang ankommt ist genau F (t)
Wir definieren die Fouriertransformierte
Ī(ω) =
I(t) =
Z
∞
−∞
1
2π
Z
I(t)eiωt dt = −e
∞
−∞
N
X
eiωtk
k=1
Ī(ω)e−iωt dω = −e
N
X
k=1
δ(t − tk )
Die Fouriertransformierte Ī(ω) kann somit als die Summe einer
großen Zahl von komplexen Phasen mit dem zufälligen Wert
φk = ωtk beschrieben werden.
Röntgenphysik
250
Freie Elektronen Laser
SASE
Schrotrauschen des Elektronenstrahls
Sei nun die Dauer des Elektronbunches σT so lang, das
ω · σT ≫ 1
ist. Dann können die Phasen als gleichmäßig über das Intervall
(0, 2π) verteilt betrachtet werden.
In diesem Fall kann der Zentrale Grenzwertsatz angewandt
werden und das bedeutet, daß der Real und der Imaginäranteil
von Ī(ω) normalverteilt sind.
1
ReĪ(ω)
p(ReĪ(ω)) =
exp −
hReĪ(ω)i
hReĪ(ω)i
Röntgenphysik
251
Freie Elektronen Laser
SASE
Korrelationsfunktionen
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilung |Ī(ω)|2 hat damit die
Form
|Ī(ω)|2
1
2
exp −
p(|Ī(ω)| ) =
h|Ī(ω)|2 i
h|Ī(ω)|2 i
einer negativen Exponentialfunktion.
Spektrale Korrelationsfunktion 1. Ordnung
∗
′
hĪ(ω)Ī (ω )i = e
= e2
*
N
X
k=1
exp(i(ω − ω ′ )tk
Röntgenphysik
+
2
+ e2
*
N
N X
X
k=1 n=1
X
k6=n
′
exp(iωtk − iω tn )
+
hexp iωtk ihexp iω ′ tn i
252
Freie Elektronen Laser
SASE
Korrelationsfunktionen
Es ist
Z
ω 2 σT2
< exp iωtk >=
F (tk ) exp(iωtk )dtk = F̄ (ω) = exp −
2
−∞
∞
!
die Fouriertransformierte des Gaussprofils F (t)
Damit ist dann
< Ī(ω)Ī ∗ (ω ′ ) >= e2 N F̄ (ω − ω ′ ) + e2 N(N − 1)F̄ (ω)F̄ ∗ (ω ′ )
Wenn
N|F̄ (ω)|2 ≪ 1,
dann ist der zweite Term vernachlässigbar und es ist
< Ī(ω)Ī ∗ (ω ′ ) >= e2 N F̄ (ω − ω ′ ).
Damit trägt nur der Teil bei, der das Schrotrauschen e2 N
beschreibt.
Röntgenphysik
253
Freie Elektronen Laser
SASE
Korrelationsfunktionen
Die obige Bedingung ist i.A. erfüllt. Es war vorausgesetzt, daß
ωσT ≫ 1
ωσT = 10 ⇒ exp(−100) ∼
= 10−44
N (Zahl der Elektronen im Bunch) ist typisch im Bereich von 1011
⇒ N · |F̄ (ω)|2 ≪ 1
Röntgenphysik
254
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Die bis jetzt hergeleitete Theorie des FEL im linearen Bereich
wurde für die Bedingung eines unmodulierten Elektronenstrahls
und eines Mastersignals Eext durchgeführt, daß mit der Frequenz
ω moduliert ist.
Das Ausgangsignal Eout hat dann die gleiche Frequenz ω und
wächst im linearen, high Gain Bereich exponentiell mit der
Undulatorlänge z Ẽ(ω, z) ∝ exp(Λz)
Man kann dann zeigen, daß ein mit der Frequenz ω modulierter
Elektronenstrahl ohne externes Mastersignal Eext im wesentlich
zum gleichen Ergebnis führt
Wir betrachten jetzt den komplizierten Fall, daß das
Eingangssignal durch das Schrotrauschen gegeben ist, daß ein
weißes Rauschen besitzt.
Röntgenphysik
255
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Im linearen Bereich werden alle Frequenzen unabhängig
voneinander verstärkt. Deshalb zerlegen wir das Eingangssignal
in seine Fourierkomponenten und berechnen für jede
Harmonische die Verstärkung.
Das Laserfeld wird durch
Ē(ω, z) = Ẽ(ω, z) exp(iω(z/c) − t) + C.C.
beschrieben.
Die Verknüpfung zwischen der Zeit und Frequenzdomäne ist
durch
Z ∞
1
Ē(ω, z) exp(−iωt)dω
E(z, t) =
2π ∞
gegeben.
Röntgenphysik
256
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Wir nehmen an, daß die transversale Komponenten des
Schrotrauschens am Eingang des Undulators direkt mit dem
Schrotrauschen des Strahlstrom verknüpft ist.
j̄(ω)
Ī(ω)
=
j0
I0
Wir betrachten nun einen Elektronenbunch mit der Dauer T , so
daß gilt
ρω0 T ≫ 1.
(Resonanzfrequenz ω0 , Effizienzparameter ρ)
Diese Bedingung bedeutet, daß der Elektronenbunch viel länger
ist, als die Slippage der FEL Strahlung relativ zum
Elektronenbunch, Durch diese Annahme können Randeffekte
bernachlässigt werden.
Röntgenphysik
257
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Ursache der Slippage sind die unterschiedlichen
Geschwindigkeiten der FEL Strahlung und des
Elektronenbunches in z-Richtung
Es soll nun aus dem Elektroneneingangsstrom I(t) bzw. Ī(ω) das
elektrische Feld E(z, t) bzw. Ē(ω, z)berechnet werden. Die
Fourierkomponenten sind über eine Green’sche Funktion G(ω, z)
gekoppelt.
Ē(ω, z) = G(ω, z)Ī(ω)
Für ω < 0 ist
Ē ∗ (ω, z) = Ē(−ω, z)
Röntgenphysik
258
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Wir betrachten den Fall eines vernachlässigbaren
Raumladungsfeld Λ̂2p → 0 und einer scharfen
Geschwindigkeitsverteilung des Elektronenstrahls Λ̂2T = 0. Im
linearen Bereich sind die Propagationskonstanten Λ̂ durch die
Lösungen von
(42)
Λ̂(Λ̂ + i Ĉ)2 = i
gegeben.
Wir betrachten nur die Lösung, die das exponentielle Wachsum
beschreibt. In 0. Ordnung (Ĉ = 0) war die Lösung
1 √
Λ̂ = ( 3 + i)
2
Durch Entwicklen der Lösungen von (42) um Ĉ = 0 erhält man
!
!
√
3
Ĉ 2
1
4Ĉ
ReΛ̂ =
1−
und
ImΛ̂ =
1−
2
9
2
3
Röntgenphysik
259
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Damit ist die Green’sche Funktion dann durch
!
"√
2
Ĉ 2
i
ω
3
G(ω, z) = exp(i z) exp
1−
ẑ +
3
c
2
9
2
4Ĉ
1−
3
! #
ẑ
E0
I0
gegeben. Einsetzen liefert sofort das gewünschte Ergebnis.
Aus der Green’schen Funktion folgt, daß der SASE FEL im
linearen Bereich nur ein schmales Frequenzband um die
Resonanzfrequenz ω0 verstärkt.
Mit
Ĉ = (ω − ω0 )/(2ρω0 )
berechnet sich die Bandbreite ∆ω zu
∆ω = ω − ω0 = 2ρω0 Ĉ
∼
= ρω0 Ĉ ∼
= ρω0
Das Spektrum eines einzelnen, die Dauer T besitzenden Bunches
sollte Spikes mit einer typischen Breite 1/T besitzen
Röntgenphysik
260
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
⇒ Zahl der Spikes (Wellenpakete) sollte dann ungefähr
∆ω ∼
= ρω0 T
1/T
betragen.
Die typischen Dauer eines Spikes sollte dann 1/(ρω0 ) sein.
Wie sieht nun das Spektrum hinter dem Undulator aus ?
Wie groß ist jetzt die Leistung am Ausgang des FEL ?
Röntgenphysik
261
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Simulation eins Elektronenbunches mit nur 1000 Elektronen
Feld nach dem Undulator mit
ẑ = 10
Statistik des Elektronenstrahls
am Eingang des FEL
80
|E(ω)|
2
60
40
20
-3
-2
-1
0
1
2
Detuning parameter C
Röntgenphysik
3
0
0
20
40
60
80
100
262
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Die Leistung ist durch den Pointing Vektor gegeben
W
=
=
=
=
=
cS
4π
cS
4π
Z
Z
T
E 2 (t)dt
0
T
0
1
2π
Z
∞
−∞
|Ē(ω, z) exp(−iωt)|2 dωdt
Z T
cS
| exp(−iωt)|2 dt
|Ē(ω, z)|2 dω ·
8π −∞
0
Z ∞
cS
|Ē(ω, z)|2 dω
2·
8π
0
Z
cS ∞
|Ē(ω, z)|2 dω
4π 0
Z
∞
S ist die transversale Ausdehnung des Elektronenstrahl
Röntgenphysik
263
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Die Leistung, gemittelt über viele Elektronenbunche ist durch
Z
cS ∞
< E >=
< |Ē(ω, z)|2 > dω
(43)
4π 0
gegeben.
< |Ē(ω, z)|2 > = < |G(ω, z)Ī(ω)|2 >
= < |G(ω, z)|2 >< |Ī(ω)|2 >
Von der Green’schen funktion G(ω, z) liefert nur der Realteil
exp
"√
3
2
Ĉ 2
1−
9
! #2
ẑ
√
"
√ Ĉ 2
= exp( 3ẑ) · exp
3 ẑ
9
#
einen Beitrag.
Röntgenphysik
264
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Da
Ĉ = (ω − ω0 )/(2ρω0 )
läßt sich < |Ē(ω, z)|2 > schreiben als
"
#
2
(ω
−
ω
)
0
< |Ē(ω, z)|2 >= A exp −
< |Ī(ω)|2 >
2σA2
mit
4
A=
9
E0
I0
2
√
s
exp( 3ẑ) und σA = 3
2 ρω
√ √0
3 ẑ
Integration von < |Ē(ω, z)|2 > liefert dann
√
√
4πρ
exp 3ẑ
< Wout >= ρWb p√
3
3ẑNλ
mit der Elektronenstrahlleistung Wb = γmc 2 I/ e und der Zahl der
Elektronen pro Frequenzintervall Nλ = 2πI0 /(eω0 )
Röntgenphysik
265
Freie Elektronen Laser
SASE
Eigenschaften der SASE-FEL Strahlung
Es sollen jetzt die Eigenschaften der SASE FEL Strahlung
diskutiert werden. Die Statistik der Strahlung |Ē(ω, z)| ist durch
die Statistik des Elektronenstrahls Ī(ω) gegeben und somit gleich
1
|Ē(ω, z)|2
2
p(|Ē(ω, z)| ) =
.
exp −
< |Ē(ω, z)|2 >
< |Ē(ω, z)|2 >
Zur Analyse der Strahlung wird ein Monochromator verwendet
Der Monochromator hinter dem Undulator wird durch eine
Transmissionsfunktion GM (ω) beschrieben. Das Laserfeld ergibt
sich dann aus
Ē(ω) = GM (ω)G(ω, z)Ī(ω)
Hinter einem schmalbandigen Monochromator ist die gemessene
Intensität proportional zu |Ē(ω)| und dementsprechend wird die
Intensitätverteilung hinter dem Monochromator der negativen
Exponentialfunktion entsprechen.
Röntgenphysik
266
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Diese Verteilung ist eine Eigenschaft von vollständig chaotischer
polarisierter Strahlung
Es soll zunächst die spektrale Korrelation berechnet werden
1. Ordnung
g1 (ω, ω ′ ) =
< Ē(ω)Ē ∗ (ω ′ ) >
[< |Ē(ω)|2 >< |Ē(ω ′ )|2 >]1/2
Wir hatten gezeigt, daß
< Ī(ω)Ī ∗ (ω ′ ) >= e2 N F̄ (ω − ω ′ )
ist. Nehmen wir jetzt für den Elektronenbunch E(z, t) einen
Rechteckeckpuls der Zeit T an.
Röntgenphysik
267
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Die Fouriertransformierte einer Recheckfunktion ist eine Sinc
Function sin(ω)/ω. Damit kann man schreiben
(ω − ω ′ )T
g1 (ω, ω ) = F̄ (ω − ω0 ) =
2
′
−1
(ω − ω ′ )T
sin
2
Wir definieren die spektrale Kohärenz
Z ∞
|g1 (ω, ω ′ )|2 d(ω − ω ′ )
∆ωc =
−∞
Für einen Rechteckbunch ist dies gleich
∆ωc =
Röntgenphysik
2π
T
268
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
2. Ordnung
< |Ē(ω)|2 |Ē(ω ′ )|2 >
[< |Ē(ω)|2 >< |Ē(ω ′ )|2 >]
g2 (ω, ω ′ ) =
= 1 + |g1 (ω, ω ′ )|2
Die mittlere Energie hinter dem Monochromator ist nun durch
cS
< E >=
4π
Z
∞
0
ce2 SN
|Ē(ω, z)| dω =
4π
2
Z
∞
0
|GM (ω)|2 |G(ω, z)|2 dω
gegeben.
Die mittlere Energie hängt also von dem Verstärkungsprofil des
FEL und der Apparatefunktion des Monochromators ab.
Röntgenphysik
269
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Definition der normierten Dispersion
σE2 =
=
=
< (E− < E >)2 >
<E >
R∞
R∞
′
2
′ 2
0 dω 0 dω < |Ē(ω)| |Ē(ω )| >
R∞
R∞
< |Ē(ω)|2 > dω · 0 < |Ē(ω ′ )|2 > dω ′
R0∞
R∞
′
2
′ 2
′ 2
0 dω 0 dω < |Ē(ω)| >< |Ē(ω )| > |g1 (ω, ω )|
R∞
R∞
2
′ 2
′
0 < |Ē(ω)| > dω · 0 < |Ē(ω )| > dω
Hier geht zusätzlich noch das Profil des Elektronenbunches ein
Für die Apparatefunktion des Monochromators nehmen wir jetzt
ein Gaussprofil an
"
#
(ω − ω0 )2
2
|GM | = exp −
2
2σM
Röntgenphysik
270
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Die normierte Dispersion ist dann durch
√ Z σ̂
σ̂ σ̂
π
2
erf(x)dx mit σ̂ = q A M , σ̂x = σx · T
σE = 2
σ̂
2
0
σ̂A2 + σ̂M
gegeben.
Asymptotisch ergibt sich
σE2 ∼
=1
π
2 ∼
σE =
σM · T
√
π
2 ∼
σE =
σA · T
Röntgenphysik
für
σM · T ≪ 1
für
1 ≪ σM · T ≪ σA · T
für
σA · T ≪ σM · T
271
Freie Elektronen Laser
SASE
Grundlagen Statistische Optik
Sei U eine Zufallsvariable und pU (u) die
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Dann ist die Charakteristische
Funktion MU (ω) definiert als der Erwartungswert von exp(iωu).
Z ∞
MU (ω) =
exp(iωu)pU (u)du
−∞
Die Dichtefunktion pU (u) berechnet sich damit aus der
Fouriertransformation von MU (ω)
Z ∞
1
MU (ω) exp(−iωu)dω
pU (u) =
2π −∞
Für thermisches, polarisiertes Licht ist die Dichtefunktion der
Intensität durch
1
I
pI (I) =
exp −
<I>
<I>
gegeben (I > 0).
Röntgenphysik
272
Freie Elektronen Laser
SASE
Statistische Optik
Berechnung wurde ebend für das Schrotrauschen des
Elektronenstrahls durchgeführt.
Die Charakteristische Funktion ist damit durch die
Fouriertransformierte
MI (ω) =
1
1 − iω < I >
(44)
gegeben.
Es soll nun die integrierte Intensität betrachtet werden
Z T /2
m
m
X
T X
∼
Ik ,
Ik ∆t =
I(t)dt =
W =
m
−T /2
k=1
k=1
wobei das Integral hier durch eine Summe genähert wird. Für die
Intensität Ik in jedem Intervall k von polarisierter, thermischer
Strahlung, die statistisch unabhängig sind gilt nun Gleichung (44).
Röntgenphysik
273
Freie Elektronen Laser
SASE
Statistische Optik
Damit ist die Charakteristische Funktion MW (ω) durch
< I > T −m
∼
MW (ω) = 1 − iω
m
gegeben.
Die Wahrscheinlichkeitsdichefunktion ist dann die
Fouriertransformation
W
m−1
exp −m
m m W
<I>T
pW (W ) ∼
=
<I>T
Γ(m)
(45)
Literatur: J.W. Goodman, Statistical Optics, John Wiley & Sons (1985)
Röntgenphysik
274
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Wir möchte jetzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Strahlung
nach dem Monochromator p(E) für einen kompletten
Elektronenbunch berechnen.
Dies entspricht der Integration über die Dauer T des Bunches, so
daß wir Gleichung (45) anwenden.
MM
p(E) =
Γ(M)
E
<E >
M−1
E
1
exp −M
<E >
<E >
M=
1
σE2
mit
M ist die Zahl der Freiheitsheitsgrade (Moden) in dem
Strahlungspuls.
Röntgenphysik
275
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Strahlung nach einem
Monochromator
1,2
M=10
M=3
M=1
1
p(E)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
E / <E>
Röntgenphysik
276
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Wahrscheinlichkeit
Ergebnis einer Simulation über 1000 FEL Pulse
0
0,5
1
1,5
0
0,5
1
1,5
0
0,5
1
1,5
0
0,5
1
1,5
E / <E>
Röntgenphysik
277
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Was bedeuten nun diese Verteilungen ?
Schmalbandiger Monochromator (σM · T ≪ 1 ⇔ M ∼
= 1)
Hinter dem Monochromator wird immer nur ein Spike
(Wellenpaket) beobachtet. Ein Spike hat genau die Statistik einer
negativen Exponentialfunktion.
Hinter einem schmalbandigen Monochromator wird also Licht
beobachtet, dessen Intensität sehr stark schwankt.
Breitbandiger Monochromator
Das Spektrum nähert sich für sehr viele Moden nach und nach
einer Gauss-Funktion an
Wie viele Moden schwingen in dem SASE FEL an ?
Abschätzung hatte ergeben
ρω0 T
Wie groß sind nun diese Zahlen z.B. bei FLASH ?
Röntgenphysik
278
Freie Elektronen Laser
SASE
1-Dimensionale Theorie des SASE FEL
Wir nehmen die folgenden Werte an
Elektronenbunch: Dauer T = 100 fs, Ladung Q = 1 nC,
Durchmesser D = 0.1 mm, Elektronenenergie E = 1 GeV
FEL Strahlung: ~ω = 20 eV
Undulatorparameter: K = 1
Daraus ergeben sich die folgenden Werte
Γ
0.957 m−1
ρ
0.017
2
Λ̂p 0.126
ω0 3 · 1016 s−1
Die Zahl der Moden M liegt damit dann im Bereich
M∼
= 100
Im FEL schwingen also sehr viele Moden an!
Röntgenphysik
279
Freie Elektronen Laser
SASE
SASE FEL – Zeitstruktur
Die Zeitstruktur des SASE FEL ergibt sich aus der
Fouriertransformation des Frequenzfrequenzspektrums
Spektrum besteht aus vielen, sehr kurzen Spikes
Die Zeitdauer eines Spikes kann im Bereich von einigen fs liegen,
was für die zeitaufgelöste Experimente sehr interessant ist.
Problem: Zeitauflösung ist durch den gesamten Elektronenbunch
gegeben und nicht durch einen einzelnen Spike.
Röntgenphysik
280
Freie Elektronen Laser
SASE
Take Home Message – SASE FEL
Schrotrauschen des Elektronenstrahls und Bewegung im
Undulator erzeugt spontane Synchrotronstrahlung
Wechselwirkung der erzeugten Strahlung mit dem
Elektronenbunch erzeugt eine Modulation des Elektronenstrahls
(Microbunching)
Höhere Teilchendichte und Kohärente Bewegung der Elektronen
führt zu einer Verstärkung der Strahlung
Vollständige Modulation führt zur Sättigung des FEL
Röntgenphysik
281