Prof. Dr. A. Große AO SS 13 Statistik Serie 3 Grundlagen

Prof. Dr. A. Große
AO
SS 13
Statistik Serie 3
Grundlagen, zufällige Ereignisse
& Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 1
Für die Grundmenge Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (z.B. Menge aller Elementarereignisse beim
Zufallsexperiment: „Einmaliges Würfeln mit einem Würfel“) und die Mengen A = {2, 4, 6},
B = {4, 5, 6} und C = {2, 5, 6} sind zu berechnen:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A \ C
e) B \ C
d) C
f) (A \ B) ∪ C
g) Wie viele Elemente enthält die Potenzmenge P(Ω)?
h) Wie viele zweielementige Mengen enthält P(Ω)?
i) Berechnen Sie A ∪ B und A ∩ B. Vergleichen Sie die beiden Ergebnisse.
Welche Regel hätte man verwenden können, um schneller zum Ergebnis zu gelangen?
Aufgabe 2
Berechnen Sie
!
10
3
a)
!
!
22
20
b)
c)
5
0
d)
7
7
!
!
5621
5620
e)
Bestimmen Sie für n ≥ 1:
f)
n
0
!
g)
n
1
!
!
n
n−1
h)
i)
n
n
!
n
k .
j) Welche anschauliche Deutung gibt es für
Aufgabe 3
Als Grundmenge E betrachten wir alle Beteiligten einer Lehrveranstaltung. Dabei seien:
S
T
M
F
:
:
:
:
Menge
Menge
Menge
Menge
aller
aller
aller
aller
Lernenden aus E,
Lehrenden aus E,
Motivierten aus E,
freundlichen Personen aus E.
Geben Sie folgende Aussagen mit umgangssprachlichen Formulierungen wieder:
a) S ∩ M = ∅
b) T ⊂ (F ∩ M )
c) (S ∪ T ) ∩ M = ∅
Aufgabe 4
A und B seien zwei zufällige Ereignisse mit P (A) = 0, 3; P (B) = 0, 5; P (A ∩ B) = 0, 2 .
Berechnen Sie daraus die Wahrscheinlichkeiten
a) P (A)
b) P (B)
c) P (A ∪ B)
d) P (A ∩ B)
e) P (A ∩ B)
Aufgabe 5
Es seien A und B Ereignisse mit p = P (B) und q = P (A ∪ B). Berechnen Sie daraus
a) P (A ∩ B̄)
b) P (Ā ∩ B̄)
1
Aufgabe 6
In einem Restaurant essen mittags gewöhnlich 20 % der Gäste Vorspeise und Nachtisch,
65 % nehmen keine Vorspeise und 30 % wählen einen Nachtisch. Bestimmen Sie den
Prozentsatz der Gäste, die
a) Vorspeise und keinen Nachtisch,
b) keine Vorspeise und einen Nachtisch,
c) weder Vorspeise noch Nachtisch
wählen.
Aufgabe 7
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Gruppe von 30 Personen mindestens
zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben.
2
Lösungen
1 a) A ∪ B = {2, 4, 5, 6} b) A ∩ B = {4, 6} c) A \ C = {4}
d) C = {1, 3, 4} e) B \ C = {1, 2, 3, 5, 6} f) (A \ B) ∪ C = {1, 3, 4}
g) 26 = 64 Elemente h) 62 = 15 i) A ∪ B = A ∩ B = {1, 3} (De Morgansche Regeln)
2 a) 120 b) 231 c) 1 d) 1 e) 5621
f) 1 g) n h) n i) 1
n
k – Anzahl der Teilmengen mit k Elementen einer n-elementigen Menge
3 a) Es gibt keinen Beteiligten, der Lernender und nicht motiviert ist, d.h. alle Lernenden sind motiviert.
b) Alle Lehrenden sind freundlich und motiviert.
c) Die Menge aller Beteiligten (Lernende und Lehrende) hat mit der Menge aller nicht
Motivierten kein gemeinsames Element, d.h. alle sind motiviert.
4 a) 0, 7
b) 0, 5
c) 0, 6
5 a) q − p
b) 1 − q
6 a) 0, 15
b) 0, 10
d) 0, 4
e) 0, 1
c) 0, 55
7 Hinweis: Zunächst Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses berechnen.
Ergebnis: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 0,7 haben mindestens zwei Personen am
selben Tag Geburtstag.
22. Mai 2013, 13:10 Uhr
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