Aufgaben zu Differentialgleichungen

Hochschule Karlsruhe
Technik und Wirtschaft
Prof. Dr. T. Westermann
Maple: Mathematik am Computer
Aufgaben zum Arbeiten mit Maple
(Klausurvorbereitung)
1. Aufgabe
> eq1:= abs(2*x-3)=x;
> solve(eq1, x);
eq1 := 2 x 3  x
3, 1
> eq2:= abs(4-x)=x^2;
> solve(eq2, x);
eq2 := x 4  x 2
1 1
1 1
 
17 ,  
17
2 2
2 2
> eq3:= abs(2*x+4)=-(x^2-x-6);
> solve(eq3, x);
eq3 := 2 x 4   x 2  x 6
1 , -2
> eq4:= abs(x^2-x)=24;
> solve(eq4, x);
eq4 := x 2  x  24
1 1
1 1
1 1
1 1

97 , 
97 ,  I 95 ,  I 95
2 2
2 2
2 2
2 2
2. Aufgabe
> uneq1:= abs(x)<2*x-8;
> solve(uneq1, x);
uneq1 := x  2 x 8
RealRange ( Open ( 8 ) ,  )
> uneq2:= 0<=x^2+x+1;
> solve(uneq2, x);
uneq2 := 0  x 2  x 1
x
> uneq3:= abs(x)<=x-2;
> solve(uneq3, x);
> uneq4:= x^2<abs(x-4);
> solve(uneq4, x);
uneq3 := x  x 2
uneq4 := x 2  x 4
1 1
1 1
17 , Open   
17  
RealRange  Open   
2
2
2
2





[email protected]
28.5.2014
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3. Aufgabe
> F:=<1,-1,2>: r:=<2,1,1>:
> with(LinearAlgebra):
> VectorAngle(F,r);
1

3
> M:=CrossProduct(r,F);
 3
 
M :=  -3 
 
 -3 
> Norm(M,2);
3 3
4. Aufgabe
> M:=Matrix([
[a[1,1],a[1,2],a[1,3]],
[a[2,1],a[2,2],a[2,3]],
[a[3,1],a[3,2],a[3,3]]
]);
a 1 , 1


M := a 2 , 1

a 3 , 1

a1, 2
a2, 2
a3, 2
a1, 3

a 2 , 3 


a3, 3

eq1:=a[1,1]+a[1,2]+a[1,3]=s;
eq2:=a[2,1]+a[2,2]+a[2,3]=s;
eq3:=a[3,1]+a[3,2]+a[3,3]=s;
eq4:=a[1,1]+a[2,1]+a[3,1]=s;
eq5:=a[1,2]+a[2,2]+a[3,2]=s;
eq6:=a[1,3]+a[2,3]+a[3,3]=s;
eq7:=a[1,1]+a[2,2]+a[3,3]=s;
eq8:=a[3,1]+a[2,2]+a[1,3]=s;
sol:=solve({eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8},
{a[1,1],a[1,2],a[1,3],a[2,1],a[2,2],a[2,3],a[3,1],a[3,2],a[3,3]});
assign(sol);
> M;
2

s a 3 , 3


3

 2

 s a 3 , 2  2 a 3 , 3
 3


  a 3 , 2  a 3 , 3  s

2
s a 3 , 2
3
1
s
3
a3, 2
1
a 3 , 2  a 3 , 3  s 
3 
4 
 a 3 , 2  2 a 3 , 3  s
3 


a3, 3

> s:=3; a[3,3]:=2;a[3,2]:=1;
> eval(M);
0

3


0
[email protected]
1
1
1
2

-1 

2 
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5. Aufgabe
> restart:
> eq:= ln(sqrt(x)) +1.5*ln(x) = ln(2*x);
> solve(eq,x);
2.
6. Aufgabe
> f:= (x-1)*exp(x)-sin(x);
> plot(f, x=-10..3);
Abgelesen etwa: -9.4; -6.3; -2.9; -0.9; 1.3
> fsolve(f, x, -10..-8);
-9.423936046
usw.
7. Aufgabe
> plot(x+arccos(x), x=-1.2..1.2);
Der Definitionsbereich ist zwischen -1 .. 1
Der Wertebereich ist zwischen 1 .. 1.2
8. Aufgabe
> with(plots):
> logplot(3*exp(4*x), x=0..10);
9. Aufgabe
> an:= (3*n^2+4*n)/(surd(n^6+n^4+1,3));
3 n 2  4 n
an :=
surd ( n 6  n 4  1 , 3 )
> Limit(an, n=infinity)=limit(an, n=infinity);
lim
n  
[email protected]
3 n 2  4 n
 3
surd ( n 6  n 4  1 , 3 )
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10. Aufgabe
> x(t):= x0*exp(-g*t)*cos(w*t);
x( t ) := x0 e
> v(t):= diff(x(t),t);
v( t ) :=  x0 g e
( g t )
> a(t):= diff(x(t), t$2);
a( t ) := x0 g 2 e
( g t )
cos ( w t )  2 x0 g e
( g t )
cos ( w t )
cos ( w t )  x0 e
( g t )
( g t )
sin( w t ) w
sin( w t ) w x0 e
( g t )
cos ( w t ) w 2
12. Aufgabe
> with(LinearAlgebra):
> a:=<3,4,3>; b:=<5,-1,0>;
> sp:= DotProduct(a,b);
sp := 11
> c:=CrossProduct(a, b);
 3
 
c :=  15 
 
-23 
> DotProduct(a, c);
0
> DotProduct(b, c);
0
13. Aufgabe
> restart:
> with(LinearAlgebra):
> a:=<3,4,3>: b:=<5,-1,0>: c:=<-2,2,-3>:
> M:= Matrix([a,b,c]);
3 5 -2 



M := 4 -1 2 


3 0 -3 
> Determinant(M);
93
> d:=<1,-11,-3>:
> LinearSolve(M,d);
 -2 
 
 1
 
 
 -1 
> -2*a+1*b-1*c;
 1
 
-11 
 
 
 -3 
[email protected]
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14. Aufgabe
> A:=Matrix([[3,5,-2],[4,-1,2],[3,0,-3]]);
> MatrixInverse(A);














1
31
6
31
1
31
5
31
-1
31
5
31
8
93
-14
93
-23
93














15. Aufgabe
> fsolve(z^6-2*z^5-8*z^4+24*z^3-z^2-30*z=0,
z,
complex);
-3. , -1. , 0. , 2.000000000  1.000000000 I , 2. , 2.000000000  1.000000000 I
18. Aufgabe
> deq:= diff(y(x),x)+4*y(x)=sin(x);
> dsolve(deq, y(x));
y( x )  
1
4
( 4 x )
_C1
cos ( x )  sin( x )  e
17
17
> deq:= diff(y(x),x$2)+4*diff(y(x),x)+4*y(x)=exp(-2*x);
> dsolve(deq, y(x));
1
( 2 x )
( 2 x )
( 2 x )
y( x )  x 2 e
 _C1 e
 _C2 e
x
2
19. Aufgabe
> restart:
> deq:= diff(x(t),t$2)+4*x(t)=0;
2


deq :=  2 x( t )  4 x( t )  0
 t


> init:= x(0)=2, D(x)(0)=1;
init := x( 0 )  2 , D ( x ) ( 0 )  1
> dsolve({deq,init}, x(t));
1
x( t )  sin( 2 t )  2 cos ( 2 t )
2
> plot(rhs(%), t=0..4*Pi);
[email protected]
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