Physik Formelsammlung

Physik Formelsammlung
Andrew Mustun <[email protected]>
Laurent Cohn <[email protected]>
Thomas Jund <[email protected]>
8. Februar 2003
Version 3.0
Formelsammlung für das Fach Physik des Studiengangs IT an der ZHW.
Die Buchreferenzen in dieser Formelsammlung beziehen sich auf die 16. Auflage des
”Taschenbuch der Physik” von Horst Kuchling. Das Buch wird vom Fachbuchverlag
Leipzig herausgegeben (ISBN: 3-446-21054-7).
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1
Kinematik
1
1.1
Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Gleichförmige Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Gleichmässig beschleunigte Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.3
Ungleichmässig beschleunigte Translation . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.1
Gleichförmige Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.2
Gleichmässig beschleunigte Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Fall und Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.1
Freier Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.2
Senkrechter Wurf nach unten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.3
Senkrechter Wurf nach oben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.4
Waagrechter Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.5
Schräger Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2
1.3
2
Dynamik
12
2.1
Kräfte bei der Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1.1
Masse und Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1.2
Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.3
Federkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2.1
Allgemeine Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2.2
Hubarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2.3
Reibungsfrei auf schiefer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2.4
Reibungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2.5
Beschleunigungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2.6
Elastische Verformungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3.1
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3.2
Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3.3
Analogie Arbeit / Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3.4
Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.5
Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2
2.3
2.4
ZHW
Seite ii
Physik Formelsammlung
INHALTSVERZEICHNIS
2.4.1
Allgemeine Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.5
Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.6
Impuls und Stoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.6.1
Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.6.2
Kraftstoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.6.3
Elastischer Stoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.6.4
Unelastischer Stoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.6.5
Teilelastischer Stoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.6.6
Ermittlung der Stosszahl k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.6.7
Massenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.6.8
Volumenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.6.9
Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.6.10 Impulsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.6.11 Raketengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.6.12 Abbremsung durch Impulsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Dynamik der Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.7.1
Zentripetalkraft und Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.7.2
Trägheitsmoment, Arbeit & Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.7.3
Trägheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.7.4
Eulersche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.7.5
Maxwell’s Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.7.6
Atwoodsche Fallmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.7.7
Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.7.8
Präzession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.7.9
Schwerpunkts-Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.7
3
4
5
Statisches Gleichgewicht
35
3.1
35
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hydrostatik
36
4.1
Kompressibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.2
Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.3
Auftriebskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Hydrodynamik
37
5.1
37
Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Physik Formelsammlung
Seite iii
ZHW
INHALTSVERZEICHNIS
6
7
5.2
Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.3
Hagen-Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.4
Ausfluss mit Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Gravitation
39
6.1
Gravitationgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.2
Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.2.1
1. Kepler’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.2.2
2. Kepler’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.2.3
3. Kepler’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.3
Verschiebungsarbeit im Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.4
Fallbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.5
Massenverhältniss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
6.6
Satellitenparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Schwingungen
44
7.1
Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
7.2
Allgemeine Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
7.3
Ungedämpfte harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
7.3.1
Rückstellkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
7.3.2
DGL der ungedämpften harmonischen Schwingung . . . . . . . . . .
45
7.3.3
Mathematisches Pendel (Fadenpendel) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
7.3.4
Herleitung des mathematischen Pendels . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
7.3.5
Physikalisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7.3.6
Reduzierte Pendellänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7.3.7
Freie ungedämpfte Schwingung (Das Federpendel) . . . . . . . . . . .
49
7.3.8
Herleitung der freien ungedämpften Schwingung . . . . . . . . . . . .
50
Freie gedämpfte harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
7.4.1
DGL der gedämpften harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . .
51
7.4.2
Fallunterscheidungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.5.1
Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.5.2
DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.5.3
Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Energien in Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.4
7.5
7.6
ZHW
Seite iv
Physik Formelsammlung
INHALTSVERZEICHNIS
8
Wellen
56
8.1
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
8.2
Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
8.3
Allgemeine Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
8.4
Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
8.4.1
Oberflächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
8.4.2
Wellenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
8.4.3
Phasengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
8.4.4
Harmonische Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
8.4.5
Harmonische Welle, in abhängigkeit von λ und T . . . . . . . . . . . .
57
8.4.6
Wellengleichung (DGL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Phasengeschwindigkeit (Übersicht) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
8.5
Physik Formelsammlung
Seite v
ZHW
1
KINEMATIK
1 Kinematik
1.1 Translation
1.1.1
Gleichförmige Translation
Zeichen
v
s
t
δ
Beschreibung
Geschwindigkeit
Strecke
Zeit
Anstieg der s,t Kurve
v=
Einheit
m
s
m
s
rad
s
t
v = tan δ
s = vt
t=
Physik Formelsammlung
s
v
Seite 1
ZHW
1
1.1.2
KINEMATIK
Gleichmässig beschleunigte Bewegung
Ohne Anfangsgeschwindigkeit
Zeichen
v
vm
s
t
a
v = at
vm =
√
v=
2as
Einheit
m
s
m
s
m
s
m
s2
v=
2s
t
s
t
s=
vt
2
s=
at2
2
s=
v2
2a
a=
v
t
a=
2s
t2
a=
v2
2s
t=
2s
v
r
v
t=
a
tan α =
ZHW
Beschreibung
Geschwindigkeit nach der Zeit t
mittlere Geschwindigkeit
zurückgelegte Strecke
Zeit
Beschleunigung
t=
2s
a
v
t
Seite 2
Physik Formelsammlung
1
KINEMATIK
Mit Anfangsgeschwindigkeit
Zeichen
v0
v
vm
s
t
a
Beschreibung
Anfangs-Geschwindigkeit
Geschwindigkeit nach der Zeit t
mittlere Geschwindigkeit
zurückgelegte Strecke
Zeit
Beschleunigung
v = v0 + at
vm =
v0 + v
2
v0 = v − at
s=
v0 + v
t
2
vm = v 0 +
m
s
m
s2
v0 =
at
2
s = v0 t +
s
t
at2
2
v − v0
t
v2 − v20
a=
vm =
√
v2 − 2as
v − v0
t=
a
Physik Formelsammlung
m
s
m
s
m
s
q
v = v20 + 2as
2s
t=
v0 + v
a=
Einheit
t=
2v0 −
p
(2v0 )2 + 8as
−2a
2s
Seite 3
ZHW
1
1.1.3
KINEMATIK
Ungleichmässig beschleunigte Translation
Zeichen
v0
v
vm
α, β
s
t
a
am
Beschreibung
Anfangs-Geschwindigkeit
Momentane Geschwindigkeit
mittlere Geschwindigkeit
Winkel zwischen Tangente und t-Achse
zurückgelegte Strecke
Zeit
Momentane Beschleunigung
Mittlere Beschleunigung
m
s
m
s
m
s
rad
m
s
m
s2
m
s2
∆s ds
=
= ṡ
∆t→0 ∆t
dt
vm =
∆s
∆t
∆v dv
=
= v̇ = s̈
dt
∆t→0 ∆t
am =
∆v
∆t
v = lim
a = lim
ZHW
Einheit
Seite 4
Physik Formelsammlung
1
KINEMATIK
1.2 Rotation
1.2.1
Gleichförmige Rotation
S.80
y
v0
r
s
r
x
*
t
Zeichen
r
s
ϕ
ω = ϕ̇
n
f
T
t
N
v0
azp
atan
Beschreibung
Radius
Kreisbogen
Drehwinkel
Winkelgeschwindigkeit
Drehzahl
Drehfrequenz
Umlaufdauer
Zeit
Anzahl Umdrehungen
Geschwindigkeit auf der Umlaufbahn
Zentripetalbeschleunigung (Radialbeschl.)
Tangentialbeschleunigung
ϕ = ωt
ϕ=
s
r
ϕ
t
ω=
v0
r
ω=
v0 =
ds rdϕ
=
dt
dt
s = rϕ
t=
T=
ϕ
ω
1
1
=
f
n
t
v0 =
2πr
T
s = v0 t
t=
s
v0
azp = rω2
Physik Formelsammlung
Einheit
m
m
rad
1
rad
s = s
Umdr.
=
s
Hz = 1s
s
s
−
1
s
m
s
m
s2
m
s2
ϕ = 2πN
ω=
s
rt
v0 = 2π f r
ω = 2π f
ω=
2π
T
v0 = ωr
s = ωrt
t=
s
ωr
atan = 0
Seite 5
ZHW
1
1.2.2
S.82
KINEMATIK
Gleichmässig beschleunigte Rotation
Ohne Anfangsgeschwindigkeit
y
v0
r
s
x
r
t
Zeichen
ϕ
ω = ϕ̇
ω
α = ϕ̈
t
azp
atan
dω
α=
= ω̇ = ϕ̈
dt
ϕ=
ωt
2
ω = αt
ω=
αt
2
r
t=
2ϕ
α
azp =
v2
r
t
Beschreibung
Winkel
Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit t
Mittlere Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Zeit, Dauer der Rotation
Zentripetalbeschleunigung (Radialbeschl.)
Tangentialbeschleunigung
ω
α=
t
αt2
2
ϕ=
ω2
2α
p
2αϕ
ω=
2ϕ
t
t=
2ϕ
ω
ϕ=
ω=
2ϕ
α= 2
t
ω=
ϕ
t
t=
ω
α
2 2
azp = rα t
azp =
(rω2 )
= rω2
r
α=
Einheit
rad = 1
rad
1
s = s
rad
1
s = s
rad
= s12
s2
s
m
s2
m
s2
ω2
2ϕ
α=
ω2
4πN
ϕ = 2πN
atan = αr
v = ωr
ZHW
Seite 6
Physik Formelsammlung
1
KINEMATIK
Mit Anfangsgeschwindigkeit
S.83
y
v0
r
s
r
T
x
n2
T
)
T0
ϕ=
Zeichen
ϕ
ω = ϕ̇
ω
ω0
α = ϕ̈
t
Beschreibung
Winkel
Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit t
Mittlere Winkelgeschwindigkeit
Anfangs Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Zeit, Dauer der Rotation
∆ω
∆t
α=
(ω0 + ω)t
2
t2
t
Einheit
rad = 1
1
rad
s = s
rad
1
s = s
rad
1
s = s
rad
= s12
s2
s
2ϕ
ϕ = ω0 t +
αt2
2
ω = ω0 + αt
ω0 = ω − αt
q
ω0 = ω2 − 2αϕ
ω=
ω0 + ω
2
ω = ω0 +
t=
ω − ω0
α
t=
Physik Formelsammlung
t1
ω2 − ω20
q
ω = ω20 + 2αϕ
azp = r(ω0 + αt)2
t
)
t
α=
n
)
n1
αt
2
ω=
∆ϕ
∆t
2ϕ
ω0 + ω
atan = αr
Seite 7
ZHW
1
KINEMATIK
1.3 Fall und Wurf
1.3.1
Freier Fall
Bemerkung: Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands
Zeichen
v
g
h
t
v = gt
h=
vt
2
Beschreibung
Fallgeschwindigkeit nach Ablauf der Zeit t
Fallbeschleunigung
Fallhöhe
Zeit, die für den Fall benötigt wird
v=
m
s
m
s2
m
s
2gh
v=
2h
t
gt2
2
h=
v2
2g
p
h=
Einheit
s
t=
ZHW
v
g
t=
2h
v
Seite 8
t=
2h
g
Physik Formelsammlung
1
1.3.2
KINEMATIK
Senkrechter Wurf nach unten
Zeichen
v0
v
g
h
t
Beschreibung
Anfangsgeschwindigkeit
Fallgeschwindigkeit nach Ablauf der Zeit t
Fallbeschleunigung
Fallhöhe, die während der Zeit t durchflogen
wird
Zeit, die für den Fall benötigt wird
v=
v = v0 + gt
h=
1.3.3
v0 + v
t
2
Einheit
m
s
m
s
m
s2
m
s
q
v20 + 2gh
h = v0 t +
gt2
2
Senkrechter Wurf nach oben
Zeichen
v0
g
hm
h0
thm
hm =
Beschreibung
Anfangsgeschwindigkeit (Abwurfgeschwindigkeit)
Fallbeschleunigung
Maximale Steighöhe
Abwurfhöhe
Zeit, zum Erreichen von hm
v20
2g
thm =
Einheit
m
s
m
s2
m
m
s
1
h(t) = v0 · t − gt2 + h0
2
+ h0
v0
g
Physik Formelsammlung
Seite 9
ZHW
1
S.73
1.3.4
KINEMATIK
Waagrechter Wurf
x
x
v0
"
gt
P
y
Zeichen
x
y
v0
~
vB
vB
g
t
tW
α
vB
y
Beschreibung
Wurfweite zur Zeit t
Wurftiefe zur Zeit t
Abwurfgschwindigkeit (konstant, = v x )
Vektor der Momentangschwindigkeit in einem
beliebigen Bahnpunkt
Betrag der Momentangschwindigkeit
Fallbschleunigung
Zeit
Totale Wurfzeit
Richtung (Winkel) der Momentangeschwindigkeit
Einheit
m
m
m
s
m
s
m
s
m
s2
s
s
rad
gt2
2
y(t) =
x(t) = v0 t
Bahngleichung des waagrechten Wurfes:
s
x = v0
~
vB = ~
v0 + ~gt
2y
g
vB =
y=
q
v20 + g2 t2
vB =
s
tW =
2v20
q
v2x + v2y
x2
vB =
q
v20 + 2gy
2y
g
gt
tan α =
v0
ZHW
g
tan α =
Seite 10
p
2gy
v0
Physik Formelsammlung
1
1.3.5
KINEMATIK
Schräger Wurf
S.75
y
v0
ymax
S
vx
vy
y
"
x
Zeichen
x
y
xmax
ymax
v0
~
vB
vB
g
t
tW
α
x
Beschreibung
Wurfweite zur Zeit t
Wurftiefe zur Zeit t
Maximale Wurfweite t
Maximale Wurfhöhe t
Waagrechte, konstante Wurfgschwindigkeit
Vektor der Momentangschwindigkeit in einem
beliebigen Bahnpunkt
Betrag der Momentangschwindigkeit
Fallbschleunigung
Zeit
Totale Wurfzeit
Richtung (Winkel) der Momentangeschwindigkeit
Einheit
m
m
m
m
m
s
m
s
m
s
m
s2
s
s
rad
y(t) = v0 t sin α −
x(t) = v0 t cos α
xmax =
xmax
v20 sin 2α
ymax =
g
gt2
2
v20 sin2 α
2g
Bahngleichung des schrägen Wurfes:
y = x tan α −
g
2v20
cos2 α
vx = v0 cos α
txmax =
x2
v y = v0 sin α − gt
2v0 sin α
g
t ymax =
v0 sin α
g
q
vB = v20 − 2gh
Physik Formelsammlung
Seite 11
ZHW
2
DYNAMIK
2 Dynamik
2.1 Kräfte bei der Translation
2.1.1
Masse und Kraft
Newtonsche Axiome
I Ohne äussere Krafteinwirkung verharrt ein Körper im Zustand der Ruhe oder der
geradlinigen Bewegung.
II Die wirkende Kraft und die erzielte Beschleunigung sind einander proportional.
III actio = reactio
Zeichen
~
F
m
~a
Beschreibung
Resultierende Kraft, die auf den Körper beschleunigend wirkt
Masse des beschleunigten Körpers
Erzielte Beschleunigung
Einheit
N
kg
m
s2
~ = m~a
F
ZHW
Seite 12
Physik Formelsammlung
2
2.1.2
DYNAMIK
Reibung
S.99
Zeichen
FR
FN
FG
s
WR
µ
F
a
g
α
%
Beschreibung
Reibungskraft
Normalkraft (senkrecht zur Kontaktfläche)
Gewichtskraft des Körpers
Zurückgelegter Weg
Reibungsarbeit
Reibungszahl
Kraft zum Heben / Senken der Last
Beschleunigung
Fallbeschleunigung = 9.81 sm2
Winkel der Ebene
Winkel, den die Ebene haben muss, damit die
Last gerade anfängt zu rutschen
Einheit
N
N
N
m
J
−
N
m
s2
m
s2
rad
rad
FN = FG · cos α
FR = µFN
µ = tan %
a=
a = g(sin α − µ cos α)
F
m
WR = F R s
WR = µFN s
Heben:
Senken:
F = FG · (sin α + µ · cos α)
F = FG · (sin α − µ · cos α)
Physik Formelsammlung
Seite 13
ZHW
2
2.1.3
Federkraft
Zeichen
F
∆x
f
W
f =
ZHW
DYNAMIK
Beschreibung
Kraft, die die Länge der Feder verändert
Durch Kraft F hervorgerufene Längenänderung
Federkonstante (gross bei ’harten’ Federn)
Spannarbeit
F
∆x
W=
Seite 14
Einheit
N
m
−
J
f ∆x2
F · ∆x
=
2
2
Physik Formelsammlung
2
DYNAMIK
2.2 Arbeit
2.2.1
S.101
Allgemeine Form
Zeichen
W
F
s
Beschreibung
Arbeit
Kraft
Weg
Einheit
J = Nm = Ws
N
m
~ · |∆s| · cos(F, ∆s)
∆W = |F|
2.2.2
dW = F · ds
Hubarbeit
S.103
F
m
FG
Zeichen
WH
m
h
Beschreibung
Hubarbeit
Masse des Körpers
Weg, Höhe, um die der Körper gehoben wird
Einheit
J
kg
m
WH = m · g · h
Physik Formelsammlung
Seite 15
ZHW
2
2.2.3
DYNAMIK
Reibungsfrei auf schiefer Ebene
s
2 m
F
PSfrag replacements
1
m
FG
α
Zeichen
W12
F
α
m
h
s
h
Beschreibung
Arbeit, die zwischen Punkt 1 und 2 verrichtet
wird
Kraft
Winkel der Ebene
Masse des Körpers
Höhe, um die der Körper gehoben wird
Weg um den der Körper bewegt wird
s=
F = m · g · sin(α)
W12 = F · s
S.103
2.2.4
W12 = m · g · s · sin(α)
Einheit
Nm
N
rad
kg
m
m
h
sin(α)
W12 = m · g · h
Reibungsarbeit
s
FR
1
m
FN
F
2
m
FG
Zeichen
WR
FR
µ
FN
s
Beschreibung
Reibungsarbeit
Reibungskraft
Reibungszahl
Normalkraft
zurückgelegter Weg
Einheit
Nm
N
−
N
m
WR = µ · m · g · s
siehe auch 2.1.2
ZHW
Seite 16
Physik Formelsammlung
2
2.2.5
DYNAMIK
Beschleunigungsarbeit
S.104
m
F
s
Zeichen
WB
m
v1
v2
a
Beschreibung
Beschleunigungsarbeit
Masse des Körpers
ursprüngliche Geschwindigkeit
erreichte Geschwindigkeit
erzielte Beschleunigung
WB =
WB = mas
mv2
2
Einheit
Nm
kg
m
s
m
s
m
s2
WB =
m 2
(v − v21 )
2 2
Beschleunigte Translation: siehe 1.1.2
2.2.6
Elastische Verformungsarbeit
S.105
F
Fmax
x
WF
Zeichen
WF
k
x
Beschreibung
Arbeit gegen die Federkraft, Verformungsarbeit
Federkonstante (Richtgrösse der Feder)
Federweg
1
WF = F · x
2
F=k·x
Physik Formelsammlung
F
FR
x
WF =
1
k · x2
2
Einheit
Nm
N
m
m
WF =
1 2
k(x − x21 )
2 2
FR = −k · x
Seite 17
ZHW
2
DYNAMIK
2.3 Energie
2.3.1
Definition
Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.
2.3.2
Energieerhaltungssatz
Ep + Ek = const.
∆Ep + ∆Ek = 0
∆Ep + ∆Ek = W
werden)
2.3.3
(im geschlossenen System)
(im geschlossenen System)
(im offenen System; E-Inhalt eines Systems kann durch Arbeit verändert
Analogie Arbeit / Energie
Austauschform
Hubarbeit
Beschleunigungsarbeit
Reibungsarbeit
Elast. Verformungsarbeit
Elektrische Arbeit
Dreharbeit
ZHW
WM
WHub
WA
WR
WF
Wel
= M∆ϕ
Speicherform
Lage-Energie
Bewegungs-Energie
Wärme-Energie
Spannungs-Energie
elektrische Feldenergie
Rotationsenergie
Seite 18
Epot
Ekin
Q = c · m · ∆T
EF
1
Eel = 2 CU2
Erot = 12 Iω2
Physik Formelsammlung
2
2.3.4
DYNAMIK
Potentielle Energie
Zeichen
Ep
h
m
Beschreibung
potentielle Energie
Höhe, um die der Körper gehoben wird / wurde.
Masse des Körpers
Einheit
J
m
kg
Ep = m · g · h
2.3.5
Kinetische Energie
Zeichen
Ek
∆Ek
m
v
Beschreibung
kinetische Energie
Änderung der kinetische Energie bei Geschwindigkeitsänderung
Masse des Körpers
Geschwindigkeit des Körpers
1
Ek = m · v 2
2
Physik Formelsammlung
1
J · ω2
2
kg
m
s
(Translationsenergie)
∆Ek =
Ek =
Einheit
J
J
m 2
(v − v21 )
2 2
(Rotationsenergie)
Seite 19
ZHW
2
DYNAMIK
2.4 Leistung
2.4.1
Allgemeine Form
Zeichen
P
W
t
F
v
M
ω
P=
Beschreibung
Leistung
Arbeit
Zeit
Kraft
Geschwindigkeit
Drehmoment
Winkelgeschwindigkeit
∆W
∆t
Einheit
J
s =W
Nm
s
N
m
s
Nm
1
s
P=F·v
Leistung =
P=M·ω
Arbeit
= Kraft · Geschwindigkeit
Zeit
2.5 Wirkungsgrad
η=
ZHW
bezogene Arbeit/Leistug/Energie
hineingesteckte Arbeit/Leistung/Energie
Seite 20
Physik Formelsammlung
2
DYNAMIK
2.6 Impuls und Stoss
2.6.1
Allgemein
Zeichen
~
p
m
~
v
n
X
i=1
2.6.2
S.112
~
pi =
n
X
Beschreibung
Impuls des Körpers
Masse
Geschwindigkeit
Einheit
Ns
kg
m
s
mi ~
vi = ptot = konstant
~
p = m~
v
i=1
Kraftstoss
F
Kraftstoss
t1
t2
t
Z
Kraftstoss: ∆p =
Physik Formelsammlung
Seite 21
~
Fdt
ZHW
2
S.114
2.6.3
DYNAMIK
Elastischer Stoss
v1
m1
v2
m2
v
m1+m2
v1'
m1
Zeichen
m1
m2
v1
v2
v01
v02
v
k
u
v2'
m2
Beschreibung
Masse des ersten Körpers
Masse des zweiten Körpers
Geschwindigkeit des ersten Körpers vor dem
Stoss
Geschwindigkeit des zweiten Körpers vor dem
Stoss
Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem
Stoss
Geschwindigkeit des zweiten Körpers ncah
dem Stoss
Gemeinsame Geschwindigkeit während Zusammenstoss
Stosszahl, Stossparameter (k = 1)
Innere Energie vor und nach dem Stoss
m1 v1 + m2 v2 = m1 v01 + m2 v02
v01 =
Einheit
kg
kg
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
−
J
v1 + v01 = v2 + v02
(m1 − m2 )v1 + 2m2 v2
m1 + m 2
v02 =
(m2 − m1 )v2 + 2m1 v1
m2 + m 1
Energie- und Impulsbilanz
vor dem Stoss
nach dem Stoss
ZHW
Etot
1
1
2
2
2 m1 v1 + 2 m2 v2 + u
1
1
02
02
2 m1 v1 + 2 m2 v2 + u
Seite 22
Ptot
m 1 v1 + m 2 v2
m1 v01 + m2 v02
Physik Formelsammlung
2
2.6.4
DYNAMIK
Unelastischer Stoss
S.116
v1
m1
v2
m2
v
m1+m2
Zeichen
m1
m2
v1
Beschreibung
Masse des ersten Körpers
Masse des zweiten Körpers
Geschwindigkeit des ersten Körpers vor dem
Stoss
Geschwindigkeit des zweiten Körpers vor dem
Stoss
Gemeinsame Geschwindigkeit nach dem Stoss
Verformungsarbeit (= Energieverlust ∆E)
Summe der Bewegungsenergien beider Körper
vor dem Stoss
Summe der Bewegungsenergien beider Körper
nach dem Stoss
Stosszahl, Stossparameter (k = 0)
Innere Energie vor dem Stoss
Innere Energie nach dem Stoss
v2
v
W
E1
E2
k
u
u0
v=
E1 =
m1 v21
2
+
Einheit
kg
kg
m
s
m
s
m
s
J
J
J
−
J
J
m1 v1 + m 2 v2
m1 + m 2
m2 v22
E2 =
2
W = E 1 − E2 =
(m1 + m2 )v2
2
m1 m2
(v1 − v2 )2
2(m1 + m2 )
Energie- und Impulsbilanz
vor dem Stoss
nach dem Stoss
Physik Formelsammlung
Etot
1
1
2
2
2 m1 v1 + 2 m2 v2 + u
1
2
0
2 (m1 + m2 )v + u
Seite 23
Ptot
m 1 v1 + m 2 v2
(m1 + m2 )v
ZHW
2
S.117
2.6.5
DYNAMIK
Teilelastischer Stoss
Zeichen
m1
m2
v1
v2
v01
v02
W
E1
E2
k
v01 =
Beschreibung
Masse des ersten Körpers
Masse des zweiten Körpers
Geschwindigkeit des ersten Körpers vor dem
Stoss
Geschwindigkeit des zweiten Körpers vor dem
Stoss
Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem
Stoss
Geschwindigkeit des zweiten Körpers ncah
dem Stoss
Verformungsarbeit (= Energieverlust ∆E)
Summe der Bewegungsenergien beider Körper
vor dem Stoss
Summe der Bewegungsenergien beider Körper
nach dem Stoss
Stosszahl, Stossparameter (0 < k < 1)
m1 v1 + m2 v2 − km2 (v1 − v2 )
m1 + m 2
v02 =
W = (E1 − E2 )(1 − k2 ) =
2.6.6
Einheit
kg
kg
m
s
m
s
m
s
m
s
J
J
J
−
m1 v1 + m2 v2 − km1 (v1 − v2 )
m1 + m 2
m1 m2
(v1 − v2 )2 (1 − k2 )
2(m1 + m2 )
Ermittlung der Stosszahl k
m1
(m2 >> m1)
h1
h2
m2
Zeichen
k
h1
h2
Beschreibung
Stosszahl, Stossparameter
Fallhöhe
Steighöhe
r
k=
ZHW
Einheit
−
m
m
h2
h1
Seite 24
Physik Formelsammlung
2
2.6.7
DYNAMIK
Massenstrom
Zeichen
ṁ, Im
m
~
v
ρ
Beschreibung
Einheit
kg
s
Massenstrom
Masse
Geschwindigkeit
Dichte
kg
m
s
kg
m3
Im = ṁ =
2.6.8
Volumenstrom
Zeichen
V̇, Iv
V
m
ρ
Beschreibung
Volumenstrom
Volumen
Masse
Dichte
Einheit
m3
s
m3
kg
kg
m3
Iv = V̇ =
2.6.9
dm
= ρ · Iv
dt
dV Im
=
dt
ρ
Impulserhaltung
S.113
Die Definition der Kraft ist ein Spezialfall des Impulsstroms. Die Voraussetzung, dass sich
die Masse nicht verändert muss erfüllt sein (Vorsicht bei Rakete).
Zeichen
~
F
~
p
m
~
v
Beschreibung
Kraft
Impuls des Körpers
Masse
Geschwindigkeit
~=
F
2.6.10
Einheit
N
Ns
kg
m
s
d~
p d(m~
v)
=
=~
p˙
dt
dt
Impulsstrom
Zeichen
Ip
p
m
v
a
Beschreibung
Impulsstrom (Impulsänderung, Kraft)
Impuls des Körpers
Masse
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Physik Formelsammlung
Seite 25
Einheit
N
Ns
kg
m
s
m
s2
ZHW
2
Ip = ṗ =
2.6.11
DYNAMIK
d(mv)
= m · v̇ + ṁ · v = m · a + Im · v
dt
Raketengleichung
Zeichen
Fext
Fsch
m
v
uaus
Beschreibung
Externe Kraft
Schubkraft
Masse
Geschwindigkeit
Gasgeschwindigkeit relativ zur Rakete
Einheit
N
N
kg
m
s
m
s
dv
dm m = Fsch + Fext = uaus + Fext
dt
dt
Substitution von Fext mit −mg und Division durch m:
dv uaus
=
dt
m
2.6.12
dm dt − g
Abbremsung durch Impulsstrom
Situation: Mit Flüssigkeit gefüllter Wagen, dem gleichviel Flüssigkeit zu- wie abgeführt wird
(Iv ). Am Boden: Reibung mit µ.
Zeichen
ṗ
Iv
v0
v̇
m
µ
Beschreibung
Impulsänderung (entspricht Kraft)
Volumenstrom
Anfangsgschwindigkeit des Körpers
Abbremsung des Wagens durch den Impulsstrom
Konstante Masse des Wagens mit Flüssigkeit
Reibungszahl
Einheit
Ns
s =N
m3
s
m
s
m
s2
kg
−
ṗ = −% · Iv · v0 − m · g · µ
m · v̇ + ṁ · v = −% · Iv · v0 − m · g · µ
|{z}
=0
v̇ =
ZHW
−% · Iv · v0 − m · g · µ
m
Seite 26
Physik Formelsammlung
2
DYNAMIK
2.7 Dynamik der Drehbewegung
2.7.1
Zentripetalkraft und Drehmoment
Zeichen
m
r
v
ϕ
ω
α
f
M
~r
F
Fz
azp
I
Beschreibung
Masse des Körpers
Radius der Kreisbahn
Bahngeschwindigkeit des Körpers
Winkel, um den sich der Körper dreht
Winkelgeschwindigkeit (= ϕ̇)
Winkelbeschleunigung (= ϕ̈)
Drehfrequenz
Drehmoment (Drehvermögen)
Zentripetalkraft (zur Drehachse weisende
Kraft)
Zentrifugalkraft (Radialkraft)
Zentripetalbeschleunigung
P
Trägheitsmoment (Inertia) I := k mk r2k
Fr = F z =
→
−
~
M = ~r × F
azp =
v2
r
Physik Formelsammlung
Einheit
kg
m
m
s
rad
rad
s
rad
s2
=
=
Hz
Nm
N
1
s
1
s2
N
m
s2
kg · m2
mv2
= mω2 r = pω = mazp
r
→
−
~ · sin(~r, F)
~
|M| = |~r| · |F|
M = Iα
v = 2π f r
Seite 27
ZHW
2
2.7.2
DYNAMIK
Trägheitsmoment, Arbeit & Leistung
Zeichen
m
r
ϕ
ω
α
M
Erot
IS
IA
I
W
P
Beschreibung
Masse des Körpers
Radius der Kreisbahn
Winkel, um den sich der Körper dreht
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Drehmoment (resultierendes)
Rotationsenergie
Trägheitsmoment des Körpers bezogen auf eine
durch den Schwerpunkt S gehende Drehachse
(ist konst., ”Inertia”)
Trägheitsmoment des Körpers bezogen auf eine
durch den Punkt A gehende Drehachse
Trägheitsmoment einer punktförmigen Masse
m
Arbeit bei der Rotation
Leistung bei der Rotation
Einheit
kg
m
rad
rad
1
s = s
1
s2
Nm
J
kg · m2
kg · m2
kg · m2
J
W
S.122
Euler: IS · ϕ̈ = M
Punktförmige Masse:
I = mr2
Ausgedehnte Masse:
Z mges
IS =
r2 dm
Ausgedehnte Masse:
n
X
r2i mi
IS =
i=1
0
S.128
Satz von Steiner: IA = IS + ms2
Erot =
ZHW
Iω2
2
∆Erot =
I 2
(ω − ω21 )
2 2
Seite 28
W = Mϕ
P = Mω
Physik Formelsammlung
2
2.7.3
DYNAMIK
Trägheitsmomente
S.126
Kreisring, dünn:
Kreisscheibe, dünn:
Kugel, voll:
Kugel, hohl:
Kugel, hohl, dünnwandig:
Zylinder, voll:
Zylinder, hohl:
Zylinder, hohl, dünnwandig:
Stab, lang, dünn:
Quader:
Kegel:
Physik Formelsammlung
Seite 29
I = mr2
1
I = mr2
2
2 2
I = mr
5
5
5
2 ra − r i
I= m 3
5 ra − r 3
i
2 2
I = mr
3
1 2
I = mr
2
1
I = m(r2i + r2a )
2
I = mr 2
1 2
I=
ml
12
1
I=
m(h2 + b2 )
12
3
I=
mr2
10
ZHW
2
2.7.4
DYNAMIK
Eulersche Gleichungen
FN x
s
FR
m
y
FG
x
PSfrag replacements
β
Zeichen
~G
F
~R
F
Is
r
Beschreibung
Gewichtskraft des Rollkörpers
Reibungskraft
Trägheitsmoment des Zylinders
Radius des Zylinders
Einheit
N
N
kg · m 2
m
I. Translation (Newton)
in x-Richtung: mẍs = FG · sin β − FR
in y-Richtung: m ÿs = FN − FG · cos β = 0
II. Rotation (Euler)
Is · ϕ̈ = M = FR · r
Trägheitsmoment eines Zylinders: I s =
m · r2
2
m · r2
· ϕ̈ = FR · r
2
III. Verknüpfung zwischen I & II (Rollbedingung)
ẍs
ϕ̈ =
r
xs Bogenlänge
=
ϕ=
r
Radius
m · r2 ẍs
·
2
r
!
= FR · r
FR =
FR =
m · r ẍs
·
2
r
m
· ẍs
2
IV. Einsetzen in I:
m · ẍs = FG · sin β −
ẍs =
ZHW
2
· g · sin β
3
Seite 30
m
· ẍs
2
Physik Formelsammlung
2
2.7.5
DYNAMIK
Maxwell’s Rad
FS
R
x
m
r
PSfrag replacements
FG
β
Zeichen
m
~
FG
~S
F
Is
R
r
Beschreibung
Masse des Körpers
Gewichtskraft des Körpers
Seilkraft
Trägheitsmoment des Zylinders
Radius des Zylinders
Radius der Achse
Einheit
kg
N
N
kg · m 2
m
m
I. Translation (Newton)
in x-Richtung: mẍ = mg − FS
II. Rotation (Euler)
Is · ϕ̈ = M = FS · r
Trägheitsmoment des Zylinders: I s =
m · R2
2
m · R2
· ϕ̈ = FS · r
2
III. Verknüpfung zwischen I & II (Rollbedingung)
ϕ̈ =
m · R2 ẍs
·
2
r
ẍs
r
= FS · r
FS =
m · R2 ẍ
· 2
2
r
IV. Einsetzen in I:
m · R2 ẍ
· 2
2
r
2r2
ẍ = g 2
2r + R2
m · ẍ = mg −
Physik Formelsammlung
Seite 31
ZHW
2
2.7.6
DYNAMIK
Atwoodsche Fallmaschine
x
r
m3
FS1
FS2
m1
m2
FG 1
PSfrag replacements
FG 2
β
Zeichen
m1 , m 2
m3
~
~
FS1 , FS2
Is
r
Beschreibung
Massen
Masse der Rolle
Seilkräfte
Trägheitsmoment der Rolle
Radius der Rolle
Einheit
kg
kg
N
kg · m2
m
I. Translation (Newton)
m1 ẍ = FS1 − FG1
m2 ẍ = FG2 − FS2
II. Rotation (Euler)
Is · ϕ̈ = M = (FS2 − FS1 ) · r
Trägheitsmoment der Rolle: Is =
m3 · r 2
2
III. Verknüpfung zwischen I & II (Rollbedingung)
m3 · r2 ẍ
·
2
r
= (FS2 − FS1 ) · r
ẍ =
(m2 − m1 )g − 2
m3 + 2m2 + 2m1
FS1 = m1 (ẍ + g) = m1 · g ·
2m2 +
Seite 32
m3
2
2m1 + m23
m1 + m2 + m23
m1 + m 2 +
FS2 = m2 (−ẍ + g) = m2 · g ·
ZHW
m3
2
Physik Formelsammlung
2
2.7.7
DYNAMIK
Drehimpuls
Zeichen
L
I
ω
M
t
~r
~
p
S.133
Beschreibung
Einheit
Drehimpuls des rotierenden Körpers
Trägheitsmoment des Körpers
Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigendes Drehmoment
Dauer der Beschleunigung
Hebelarm
Impuls am Hebelarm
= Nms
kg · m 2
1
rad
s = s
Nm
s
m
Ns
kg·m2
s
~L = I · ω
~ = ~r × ~
p
~
~ = M∆t
∆~L = I · ω
2.7.8
= Antriebsmoment
Präzession
PSfrag replacements
~L
ωp
~N
F
d~L
ωk
ϑ
~
M
~G
F
Zeichen
~L
m
ϑ
ϕ
ωp
ωk
IA
r
Beschreibung
Drehimpuls
Masse des Drehkörpers
Winkel der Präzessionsdrehung
Winkel der Drehachse
Präzessions-Kreisfrequenz
Kreisfrequenz des Drehkörpers
Trägheitsmoment bez. der Drehachse des
Drehkörpers
Abstand des Auflagepunktes zum Schwerpunkt des Drehkörpers
ωp =
Physik Formelsammlung
Einheit
Nms
kg
rad
rad
1
s
1
s
kg · m2
m
dL
dϕ
mgr
mgr
dt
=
=
=
dt
L · sin ϑ
L
ωk · I A
Seite 33
ZHW
2
2.7.9
DYNAMIK
Schwerpunkts-Berechnung
Zeichen
m
xs
rs
mk
xk
Beschreibung
Masse des Körpers
Schwerpunktposition
Schwerpunktposition vektoriell
Masseteilchen
x-Position des Masseteilchens mk
1 X
xs =
(mk · xk )
m
ZHW
Einheit
kg
m
m
kg
m
~rs =
Seite 34
1
m
Z
(dm · ~r)
Physik Formelsammlung
3
STATISCHES GLEICHGEWICHT
3 Statisches Gleichgewicht
Zwei Bedingungen, damit statisches Gleichgewicht herrscht:
I Summe der Kräfte, die auf den Körper wirken ist gleich 0
II Summe der Drehmomente bezüglich irgendeiner Achse ist gleich 0
~=0
F
~ =0
M
3.1 Beispiel
y
FRW
FNW
µ
FNB
PSfrag replacements
FG
β
x
FRB
Zeichen
m
l
β
µ
µ
Beschreibung
Masse der Leiter
Länge der Leiter
Winkel der Leiter gegenüber Boden
Haftreibungskoeffizient
Einheit
kg
m
rad
−
Newton:
m · ẍ = FNW − FRB = 0
m · ÿ = FRW + FNB − FG = 0
Euler:
links drehende Drehmomente = rechts drehende Drehmomentei
l
= FNW · l · sin β + FRW · l · cos β
FG · cos β ·
2
Physik Formelsammlung
Seite 35
ZHW
4
HYDROSTATIK
4 Hydrostatik
S.145
Zeichen
p
A
F
Beschreibung
Druck (1bar = 105 Pa)
Fläche
Kraft, die auf die Fläche wirkt
p=
S.148
Einheit
Pa = mN2
m2
N
F
A
4.1 Kompressibilität
Zeichen
κ
p
V
K
Beschreibung
Kompressibilität
Druck
Volumen
Kompressionsmodul
Einheit
1
Pa
Pa
m3
Pa
Definition: Kompressibilität κ: Verhältnis der relativen Volumenänderung zur erforderlichen Druckänderung.
κ=
S.147
∆V
1
=−
K
∆p · V
K=
∆p · V
1
=−
κ
∆V
4.2 Schweredruck
Zeichen
p
%
g
h
Beschreibung
Schweredruck in der Tiefe h
Dichte der Flüssigkeit
Fallbeschleunigung (= 9.807 sm2 )
Höhe der drückenden Flüssigkeitssäule
Einheit
kg
Pa = s2 m
kg
m3
m
s2
m
p = %gh
S.149
4.3 Auftriebskraft
Zeichen
FA
V
%
g
Beschreibung
Auftriebskraft
Volumen der verdrängten Flüssigkeit
Dichte der Flüssigkeit
Fallbeschleunigung (= 9.807 sm2 )
Einheit
N
m3
kg
m3
m
s2
FA = V%g = m · g
ZHW
Seite 36
Physik Formelsammlung
5
HYDRODYNAMIK
5 Hydrodynamik
5.1 Kontinuitätsgleichung
Gilt für inkompressible Flüssigkeiten.
V̇ = v · A = konstant.
In der Anwendung:
A1 · v 1 = A 2 · v 2
5.2 Bernoulli-Gleichung
Zeichen
S.159
Beschreibung
Einheit
p
Statischer Druck
Pa =
%
g
y
v
Dichte der Flüssigkeit
Fallbeschleunigung (= 9.807 sm2 )
Höhe der fliessenden Wassermenge
Fluss-Geschwindigkeit
p+%·g·y+
kg
m3
m
s2
kg
s2 m
m
m
s
1
· % · v2 = konstant.
2
Die Bernoulli-Gleichung besteht aus den Teilen p - statischer Druck, % · g · y - geodätischer
Druck und 21 · % · v2 - kinematischer Druck.
In der Anwendung:
p1 + % · g · y 1 +
1
1
· % · v21 = p2 + % · g · y2 + · % · v22
2
2
5.3 Hagen-Poiseuille
Zeichen
V̇, Iv
Rhy
η
l
r
S.165
Beschreibung
Einheit
Volumenstrom
Widerstand
Viskosität
Länge
Radius
Pa =
kg
s2 m
kg
Pa · s, m·s
m
m
Behandlung des Gesetzes von Hagen-Poiseuille mit der Analogie zur Elektrizität.
V̇ = Iv =
Rhy =
Physik Formelsammlung
∆p
Rhy
8ηl
8πηl
= 4
2
A
πr
Seite 37
ZHW
5
HYDRODYNAMIK
5.4 Ausfluss mit Reibung
Zeichen
ho
hp
hs
hv
H
Beschreibung
Ortshöhe (aufgrund des Koordinatensystems)
Druckhöhe
Schnelligkeitshöhe
Verlusthöhe
Gesamthöhe
Einheit
m
m
m
m
m
h0 + hP + hS + hV = H = const.
Bernoulli mit Reibung
p1 + % · g · y 1 +
1
1
· % · v21 = p2 + % · g · y2 + · % · v22 + pv
2
2
ho = h
ZHW
hp =
ps
%·g
hs =
v2
2·g
hv =
pv
%·g
Seite 38
Physik Formelsammlung
6
GRAVITATION
6 Gravitation
S.136
b− kleine Halbachse
6.1 Gravitationgesetz
Sonne
Perihel
Zeichen
Fz
M
m
r
γ
Planet
a− grosse Halbachse
Aphel
Beschreibung
Gravitationskraft
Masse des Zentralkörpers
Masse des Satelliten
Schwerpunktsabstand
Gravitationskonstante
Einheit
N
kg
kg
m
2
6.673 · 10 −11 N·m
kg2
Die Gravitationskraft ist proportional dem Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Massenschwerpunkte.
Fz =
γ·m·M
r2
6.2 Kepler
6.2.1
1. Kepler’sches Gesetz
Die Planetenbahnen sind Ellipsen mit einem gemeinsamen Brennpunkt, in dem die Sonne
steht.
6.2.2
2. Kepler’sches Gesetz
Der Fahrstrahl der Sonne - Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
∆A
= konst.
∆t
Physik Formelsammlung
Seite 39
ZHW
6
6.2.3
GRAVITATION
3. Kepler’sches Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten aller Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer
mittleren Entfernung von der Sonne.
T12 a31
a3
=
=
konst.
⇒
T2
T22 a32
6.3 Verschiebungsarbeit im Gravitationsfeld
Die Kräfte beziehungsweise die Kraftfelder sind konservativ
Zeichen
M
m
ra
re
γ
Beschreibung
Masse des Zentralkörpers
Masse des Satelliten
Anfangsradius (Startpunkt)
Endradius (Endpunkt)
Gravitationskonstante
Einheit
kg
kg
m
m
2
6.673 · 10 −11 N·m
kg2
∆Epot = γ · m · M ·
1
1
−
ra re
Ein Körper in einem Gravitationsfeld besitzt eine potentielle Energie. Bei der Wahl des NullNiveaus ist man frei. Vereinbarung: E pot (rA → ∞) = 0
∆Epot = γ · m · M ·
1
1
−
∞ re
Alle im endlichen Abstand r befindlichen Körper besitzen eine negative potentielle Energie.
∆Epot = −γ ·
ZHW
m·M
r
Seite 40
Physik Formelsammlung
6
GRAVITATION
6.4 Fallbeschleunigung
Zeichen
g0
g(r)
m
mErde
r
rErde
γ
S.137
Beschreibung
Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche
Fallbeschleunigung im Abstand r vom Erdmittelpunkt
Masse eines beliebigen Körpers
Masse der Erde
Abstand vom Erdmittelpunkt (rErde + h)
Erdradius
Gravitationskonstante
Einheit
9.81 sm2
m
s2
kg
5.974 · 1024 kg
m
6378000m
2
6.673 · 10 −11 N·m
kg2
Die Erdbeschleunigung kann auch mit dem Gravitationsgesetz geschrieben werden.
m·g=
g=
γ · m · mErde
r2Erde
γ · mErde
r2Erde
Die Gewichtskraft entspricht der Gravitationskraft:
m · g0 =
m · g(r) =
γ · m · mErde
r2Erde
γ · m · mErde
r2
Aus den beiden Gleichungen ergibt sich
g(r) · r2 = g0 · r2Erde = γ · mErde
Durch diese Beziehung lässt sich die Schwerebeschleunigung auf Körper in Entfernung zur
Erdoberfläche ermitteln:
g(r) rErde 2
=
g0
r
Physik Formelsammlung
Seite 41
ZHW
6
GRAVITATION
6.5 Massenverhältniss
Das Massenverhältiniss zwischen einem Satellit und seinem Zentralkörper kann bestimmt
werden, ohne eine der beiden Massen zu kennen. Zum Beispiel die Sonne als Zentralkörper
und die Erde als ihr Satellit.
Zeichen
G
g(r)
M
m
d
r
ω
Beschreibung
Fallbeschleunigung des Zentralkörpers
Fallbeschleunigung des Satelliten
Masse des Zentralkörpers
Masse des Satelliten
Abstand Satellit - Zentralkörper
Satellitenradius
Winkelgeschwindigkeit des Satelliten
Einheit
m
s2
m
s2
kg
kg
m
m
m
s
Aktionsprinzip:
m · a = m · d · ω2 = m · G
Fallbeschleunigung:
g(r)
m d
=
G
M r
!2
Bedinungen verknüpft:
⇒
ZHW
M d3 · ω 2
=
m
g · r2
Seite 42
Physik Formelsammlung
6
GRAVITATION
6.6 Satellitenparadoxon
Zeichen
g0
m
mErde
h
rErde
v
γ
Beschreibung
Fallbeschleunigung auf der Erdoberfl”che
Masse des Satelliten
Masse der Erde
Abstand von Erdoberfläche zum Satellit
Erdradius
Satellitengeschwindigkeit
Gravitationskonstante
Einheit
9.81 sm2
kg
5.974 · 1024 kg
m
6378000m
m
s
6.673 · 10 −11 N·m
kg2
2
Sinkt ein Satellit aufgrund des Luftwiderstandes, so erhöht sich seine Geschwindigkeit und
er pendelt sich auf einer geringeren Höhe wieder ein.
Die Geschwindigkeitsänderung kann durch das Aktionsprinzip ermittelt werden.
γ · m · mErde
m · v2
=
rErde + h
(rErde + h)2
r
⇒
v1 = rErde ·
g0
, v2 = rErde ·
rErde + h1
r
g0
rErde + h2
∆v = v2 − v1
Physik Formelsammlung
Seite 43
ZHW
7
SCHWINGUNGEN
7 Schwingungen
S.184
7.1 Definitionen
• Schwingung: Ein räumlich und zeitlich periodischer Vorgang ist eine Schwingung.
• Harmonische Schwingung: Eine mechanische Schwingung, die mit der Projektion
einer gleichförmigen Kreisbewegung übereinstimmt, heisst harmonische Schwingung.
• Anharmonische Schwinung: Nicht harmoniche Schwingung.
• Ungedämpfte Schwingung: Konstante Amplitude ŷ
• Gedämpfte Schwingung: Gesetzmässig abnehmende Amplitude ŷ
7.2 Allgemeine Formelzeichen
Zeichen
f
T
ϕ0
ϕ
ω = ϕ̇
α = ϕ̈
y
ŷ
v = ẏ
v̂ = ẏˆ
a = ÿ
â = ÿˆ
ZHW
Beschreibung
Frequenz
Schwingungsdauer, Periodendauer
Nullphasenwinkel, Phasenwinkel zur Zeit t =
0, ϕ > 0: voreilend, ϕ < 0: nacheilend
Phasenwinkel zur Zeit t
Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit
Kreisbeschleunigung
Elongation, Auslenkung zur Zeit t
Amplitude, maximale Auslenkung
Geschwindigkeit zur Zeit t
Maximalgeschwindigkeit beim Durchgang
durch Mittellage, Geschwindigkeitsamplitude
Momentanbeschleunigung,
Beschleunigung
zur Zeit t
Maximalbeschleunigung in den Umkehrpunkten
Seite 44
Einheit
s−1 = Hz
s
rad
rad
s −1
s−2
m
m
m
s
m
s
m
s2
m
s2
Physik Formelsammlung
7
SCHWINGUNGEN
7.3 Ungedämpfte harmonische Schwingungen
T=
1 2π
=
f
ω
ω = 2π f =
S.185
2π
T
ϕ = ωt + ϕ0
y = ŷ sin(ωt + ϕ0 )
ẏ = ω ŷ cos(ωt + ϕ0 )
ÿ = − ŷω2 sin(ωt + ϕ0 )
7.3.1
v = ẏ = yω0
a = ÿ = −yω2 = ÿˆ sin(ϕ)
v̂ = ẏˆ = ŷω0
â = ÿˆ = − ŷω2
Rückstellkraft
S.188
FR = −mω2 ŷ sin(ϕ) = mâ sin(ϕ) = −mω2 y
7.3.2
DGL der ungedämpften harmonischen Schwingung
S.189
Das Aufstellen des Aktionsprinzips (oder Euler) führt zu dieser DGL:
ÿ + y · ω2 = 0
Physik Formelsammlung
Seite 45
ZHW
7
S.192
7.3.3
SCHWINGUNGEN
Mathematisches Pendel (Fadenpendel)
Das Mathematische Pendel führt bei kleiner Auslenkung zu einer harmonischen Schwingung. Als Grundregel gilt, dass die Auslenkungslänge den Radius der Kreisbewegung nicht
überschreitet.
PSfrag replacements
ϕ
FS
ϕ̂
−FZ
FR
FG
FZ
Zeichen
T
ω
l
g
FS
FG
FR
IA
Beschreibung
Periodendauer
Kreisfrequenz
Pendellänge
Fallbeschleunigung
Seilkraft
Gewichtskraft der Masse m
Rückstellkraft
Trägheitsmoment (see 2.7.3)
s
T = 2·π·
r
ω=
m
s2
N
N
N
kg · m 2
l
g
g
l
T =2·π·
ZHW
Einheit
s
s−1
m
Seite 46
x̂
v̂
Physik Formelsammlung
7
7.3.4
SCHWINGUNGEN
Herleitung des mathematischen Pendels
Euler:
IA · ϕ̈ = Mres
IA · ϕ̈ = −l · (FG · sin ϕ)
DGL für ϕ(t): Als Trägheit wird IA = m · l2 eingesetzt.
l
ϕ̈ = − · ϕ(t)
g
Vereinfachung für kleine Winkel:
sin ϕ ≈ ϕ Für kleine Winkel (ϕ ≤ 23o ) ist der Fehler für Periode T kleiner als 1%.
Lösungsansatz:
ϕ(t) = ϕ̂ · sin
2·π·t
= ϕ̂(ω · t)
T
Somit können die folgenden Gleichungen in der DGL eingesetzt werden:
ϕ(t) = ϕ̂ · sin(ω · t)
ϕ̈(t) = −ω2 · ϕ̂ · sin(ω · t)
r
⇒ω=
g
l
Mathematisches Pendel
s
T = 2·π·
l
g
Die exakte Lösung der DGL des mathmatischen Pendels:
s
T =2·π·
Physik Formelsammlung
l
g


!2
!4
!6


ϕ̂
ϕ̂
ϕ̂
· 1 +
+
+
+ . . . 
2
2
2
Seite 47
ZHW
7
S.193
7.3.5
SCHWINGUNGEN
Physikalisches Pendel
Zeichen
T
J
l
g
s
ω
Beschreibung
Periodendauer
Trägheitsmoment bezüglich Aufhängepunkt
Pendellänge
Fallbeschleunigung
Abstand vom Schwerpunkt zum Aufhängepunkt
Kreisfrequenz
T=
2·π
=2·π·
ω
s
Ansatz für Herleitung:
M = J·α = I·
S.194
7.3.6
Einheit
s
kg · m 2
m
m
s2
m
2·π· f
J
m·g·s
d2 ϕ
dt2
Reduzierte Pendellänge
Zeichen
l0
Beschreibung
Reduzierte Pendellänge
Einheit
m
Die reduzierte Pendellänge eine physikalischen Pendels entspricht dem Vergleich der Längen
des physikalischen Pendels und des mathematischen Pendels der gleichen Schwingungsdauer.
v
u
u
u
u
1
2·π
t J
·
=2·π·
T=
ω
m·s g
|{z}
=l0
l0 =
ZHW
J
m·s
Seite 48
Physik Formelsammlung
7
7.3.7
SCHWINGUNGEN
Freie ungedämpfte Schwingung (Das Federpendel)
PSfrag replacements
S.190
l
− ŷ
∆y0
0
(y = 0)
ŷ
Zeichen
T
f
ω0
D
m
l
Beschreibung
Periodendauer
Frequenz
Eigenkreisfrequenz des Systems
Direktionskonstante der Feder
Masse
Länge der unbelasteten Feder
r
m
D
1
·
f =
2·π
r
D
m
r
D
m
T =2·π·
ω0 =
Einheit
s
Hz
s−1
N
m
kg
m
Mit Berücksichtigung der Federmasse m F :
s
T =2·π
Physik Formelsammlung
m+
Seite 49
mF
3
D
ZHW
7
7.3.8
SCHWINGUNGEN
Herleitung der freien ungedämpften Schwingung
Aktionsprinzip:
m · ÿ + D · y = 0
Die Federkraft nach Hooke ist mit FF = D · y definiert. Dies gilt, wenn der Körper (Klotz)
eine Kraft auf die Feder auswirkt. Hier wirkt die Feder eine Kraft auf den Klotz aus, daher
wird die Direktionskonstante negativ.
DGL
ÿ = −
D
·y
m
Lösungsansatz:
y(t) = ŷ · sin(ω0 · t)
ẏ(t) = −ω0 · ŷ · cos(ω0 · t)
ÿ(t) = −ω20 · ŷ · sin(ω0 · t)
Einsetzen in die DGL:
−ω20 ŷ · sin(ω0 · t) = −
D
· ŷ · sin(ω0 · t)
m
r
D
m
r
m
D
⇒ ω0 =
Lineare Federschwingung
T =2·π
ZHW
Seite 50
Physik Formelsammlung
7
SCHWINGUNGEN
7.4 Freie gedämpfte harmonische Schwingungen
Zeichen
f
m
ϕ0
ω0
ωd
T0
Td
y
v = ẏ
a = ÿ
ŷ0
D
β
δ
ϑ
d
Q
FR
FF
Λ
S.197
Beschreibung
Frequenz
Masse
Phasenverschiebung
Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
Periodendauer der ungedämpften Schwingung
Periodendauer der gedämpften Schwingung
Elongation, Auslenkung
Momentangeschwindigkeit
Momentanbeschleunigung
Anfangswert der Amplitude (Wert der Amplitudenhüllkurve bei t = 0)
Direktionskonstante
Dämpfungskonstante, Dämpfungskoeffizient
Abklingkoeffizient
Dämpfungsgrad
Verlustfaktor = 2 · ϑ
1
Güte = 2·ϑ
Reibungskraft, Stokes Reibung
Federkraft
Logarithmisches Dekrement
FR = −β ẏ
β
δ=
2·m
m
s
m
s2
m
N
m
kg
s
−1
s
−
−
−
N
N
−
FF = −D · y
r
ω0 =
D
m
ϑ=
δ
ω0
Λ = δTd = ln
ŷi
ŷi+1
2π
T0
Td = q
= √
1 − ϑ2
ω20 − δ2
q
√
ωd = ω20 − δ2 = ω0 1 − ϑ2
7.4.1
Einheit
Hz
kg
rad
s−1 = 2 · π · f
s−1
s
s
m
DGL der gedämpften harmonischen Schwingung
S.198
Das Aufstellen des Aktionsprinzips (oder Euler) führt zu dieser DGL.
β
D
· ẏ + · y = 0
m
m
ÿ + 2δ · ẏ + ω20 · y = 0
ÿ +
Im Fall schwacher Dämpfung kann in guter Näherung folgende Formel angenommen werden:
β
y = ŷ0 · e− 2·m ·t · sin(ωd · t + ϕ0 )
Physik Formelsammlung
Seite 51
ZHW
7
7.4.2
SCHWINGUNGEN
Fallunterscheidungen
Gedämpfte Schwingung (vikose Dämpfung)
3
Auslenkung/Amplitude [m]
2
1
0
−1
−2
−3
0
10
20
30
40
50
Zeit t [s]
60
70
80
90
100
ungedämpfte Schwingung:
δ=0
β=0
ϑ=0
ω d = ω0
√
β<2 D·m
ϑ<1
ω d < ω0
√
β=2 D·m
ϑ=1
ω d = ω0
√
β>2 D·m
ϑ>1
ωd ist imaginär
gedämpfte Schwingung
δ < ω0
aperiodischer Grenzfall
δ = ω0
Kriechfall
δ > ω0
ZHW
Seite 52
Physik Formelsammlung
7
SCHWINGUNGEN
7.5 Erzwungene Schwingungen
7.5.1
S.205
Phasenverschiebung
Phasenverschiebung zwischen Anregung und Schwingung
Zeichen
ϕ0
ω0
ω
F̂E
Beschreibung
Phasenverschiebung
Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
Kreisfrequenz der Erregerkraft und des Systems
im eingeschwungenen Zustand
Erregerkraft, Maximalkraft
Einheit
rad
s −1 = 2 · π · f
s−1
N




ω·β

ϕ0 = arctan 
m · (ω2 − ω2 ) 
0
7.5.2
DGL
ÿ + 2 · δ · ẏ + ω20 · y =
7.5.3
F̂E
· cos(ωt)
m
Resonanz
Ist bei einer Koppelung die Eigenfrequenz f 0 gleich der Erregerfrequenz f , tritt Resonanz
auf.
Grösste Auslenkung Die grösste Auslenkung einer ungedämpften Schwingung bei ϑ = 0
ŷ = y ·
D
D − m · ω2
FE
cos(ω·t)
ŷ = q
2
m2 · ω20 − ω2 + β2 · ω2
Amplitude im Resonanzfall (ω = ω0 )
ŷ =
F̂E
β · ω0
f0 =
ω0
2·π
f =
ω
2·π
Eigenfrequenz (Mitschwinger)
Erregerfrequenz (Schwinger)
Physik Formelsammlung
Seite 53
ZHW
7
SCHWINGUNGEN
Resonanz
q
D
m
ω
=
f = f0 =
2·π 2·π
ZHW
Seite 54
Physik Formelsammlung
7
SCHWINGUNGEN
7.6 Energien in Schwingungen
Zeichen
E ges
Epot
Ekin
Epot,G
Epot,F
y1
S.195
Beschreibung
Gesamtenergie
Potentielle Energie
Kinetsiche Energie
Potentielle Energie des Körpers (Gravitation)
Potentielle Energie der Feder
Aktuelle Position
Einheit
J
J
J
J
J
m
Gesamtenergie des Systems:
E ges =
1
· D · ŷ2
2
Es gilt für die Gesamtenergie des Systems, wobei berücksichtigt wird, dass die Masse des
Gegenstandes die Feder in den Ausgangszustand dehnt:
E ges = Epot,G + Epot,F
Epot,G = −m · g · y1
Epot,F =
1
· D · y21 + m · g · y1
2
Umformungen der verschiedenen Energien in einer Schwingung:
E ges
D
1
1
1
1
2
· ŷ2 = · m · ω · ŷ 2 = · m · ÿˆ 2
= · D · ŷ = · m ·
2
2
m
2
2
Epot = E ges · cos2 (ω · t + δ)
Ekin = E ges · sin2 (ω · t + δ)
Herleitung der Gesamtenergie über die kinetische Energie:
E ges = Ekin + Epot =
1
1
· m · v2 + · D · y2
2
2
wobei:
D = m · ω2 und y = ŷ · sin(ω · t) und v = ŷ · ω · cos(ω · t)
Daraus folgt:
E ges =
1
1
· m · ŷ2 · ω2 cos2 (ω · t) + · D · ŷ2 · sin2 (ω · t)
2
2
Mit D = m · ω2
1
1
· m · ŷ2 · ω2 · (cos2 (ω · t) + sin2 (ω · t)) = · m · ŷ2
2
2
|
{z
}
=1
Physik Formelsammlung
Seite 55
ZHW
8
S.220
WELLEN
8 Wellen
8.1 Definition
Bei Longitudinalwellen fallen Bewegungsrichtung und Auslenkungsrichtung zusammen.
Bei Transversalwellen erfolgt die Auslenkung senkrecht zur Bewegungsrichtung.
8.2 Merkmale
• Eine räumliche und zeitliche periodische Änderung einer Grösse.
• Die räumliche Ausbreitung der Veränderung erfolgt mit endlicher Geschwindigkeit.
• Ursache der Ausbreitung ist die Kopplung zwischen den Oszillatoren.
• Ohne Materie-Transport wird Energie transportiert (konduktiv oder radiatorisch)
8.3 Allgemeine Formelzeichen
Zeichen
f
T
c
k
λ
µ
ρ
σ
∆s
Θ
F0
ω = ϕ̇
y
ŷ
ZHW
Beschreibung
Frequenz
Schwingungsdauer, Periodendauer
Phasengeschwindigkeit,
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Wellenzahl
Wellenlänge
Massenbelegung
Massendichte
Spannung
Saitensegment
Winkel (Kreisausschnitt Saitensegment)
Kraft
Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit
Elongation, Auslenkung zur Zeit t
Amplitude, maximale Auslenkung
Seite 56
Einheit
s−1 = Hz
s
m
s
m−1
m
kg
m
kg
m3
N
m2
m
rad
N
s −1
m
m
Physik Formelsammlung
8
WELLEN
8.4 Harmonische Wellen
8.4.1
Oberflächenspannung
σ=
8.4.2
Wellenzahl
k=
8.4.3
F0
A
2·π
λ
Phasengeschwindigkeit
S.222
s
c=λ· f
c=
8.4.4
c=
F0
µ
r
λ
T
c=
σ
ρ
Harmonische Welle
S.223
y(x, t) = ŷ · sin(k · x − ω · t)
8.4.5
Harmonische Welle, in abhängigkeit von λ und T
x
t
−
y(x, t) = ŷ · sin 2 · π ·
λ T
8.4.6
S.223
Wellengleichung (DGL)
S.223
Gilt für kleine Elongationen.
µ ∂2 y ∂2 y 1 ∂2 y
∂2 y
−
·
= 2 − 2 · 2 =0
∂x2 F0 ∂t2
∂x
c ∂t
Physik Formelsammlung
Seite 57
ZHW
8
WELLEN
8.5 Phasengeschwindigkeit (Übersicht)
c=
q
Transversalwelle
c=
q
Longitudinalwelle in Flüssigkeit
c=
Longitudinalwelle in Gas
c=
Transversalwellen (elektromagnetisch) auf Drähten
c=
Transversalwellen (elektromagnetisch im Vakuum)
c=
Longitudinalwelle
ZHW
Seite 58
E
ρ
E: Elastizitätsmodul
σ
ρ
σ: Seilspannung
√1
qκ·ρ
κ·p
ρ
√1
C∗ ·L∗
√ 1
ε0 ·µ0
F0
A
κ: Kompresibilität
κ=
∗
cp
cv
Adiabaten-Koeffizient
pro Längeneinheit
Physik Formelsammlung
8
WELLEN
8.6 Energie Transport auf Wellen
Energie eines Volumenelements dV
dE ges = dÊkin =
1
1
1
· dm · v̂2 = · A · dx · ρ ·v̂2 = · A · c · dt ·ρ · v̂2
|{z}
2
2 | {z }
2
dm
Die Energiestromdichte jE =
IE
A
ist proportional zur Frequenz und zur Amplitude im Quadrat.
IE = P E =
Physik Formelsammlung
dx
dE ges
dt
=
ρ
ρ
· A · cv̂2 = · A · c · ω2 · ŷ2
2
2
Seite 59
ZHW
8
WELLEN
8.7 Superposition zweier harmonischer Wellen
8.7.1
Die Schwebung
Zwei Wellen ähnlicher Frequenzen f 1 , f2 überlagern sich am Ort des Ohres (x Ohr = 0).
Annahme ŷ1 = ŷ2 = ŷ.
y1 (x0 = 0, t) = ŷ sin(ω1 · t)
y2 (t) = ŷ sin(ω2 · t)
Durch Überlagerung der bedien Wellen und Einsatz des Additionstheorems:
ω1 + ω 2
ω2 − ω 1
· t) · cos(
· t)
2
2
(ω1 ≈ ω2 ) = ω
y1 + y2 = 2 · ŷ · sin(
y1 + y2 = 2 · ŷ · sin(ω · t) · cos(
ZHW
Seite 60
∆ω
· t)
2
Physik Formelsammlung