§6 Fourierreihen und die Fouriertransformation

Mathematik für Physiker IV, SS 2013
Montag 3.6
$Id: fourier.tex,v 1.6 2013/06/07 10:45:28 hk Exp hk $
§6
Fourierreihen und die Fouriertransformation
6.2
Konvergenz der Fourierreihe
Am Ende der letzten Sitzung hatten wie gezeigt, dass eine stetige, periodische Funktion
durch ihre Fourierkoeffizienten bereits vollständig festgelegt ist, und zwar unabhängig
davon ob die Fourierreihe in irgendeinem Sinne konvergiert oder nicht. Wir wollen dieses
Ergebnis nun auch auf Riemann-integrierbare Funktionen ausdehnen, benötigen hierzu
allerdings einen neuen Begriff. Angenommen wir haben zwei Riemann-integrierbare
Funktionen f, g : [−π, π] → C die sich nur in endlich vielen Punkten unterscheiden.
Für jedes n ∈ Z unterscheiden sich dann auch x 7→ f (x)e−inx und x 7→ g(x)e−inx in
höchstens endlich vielen Punkten, also ist fb(n) = gb(n). Verschiedene Funktionen die
sich durch Integration nicht voneinander unterscheiden lassen haben immer dieselben
Fourierkoeffizienten, im Allgemeinen folgt aus fb = gb also nicht f = g, die Funktionen
können durchaus sogar in unendlich vielen Punkten voneinander verschieden sein. Die
für die Integration nicht relevanten Mengen sind die Lebesgueschen Nullmengen, die
wir nun einführen wollen.
Definition 6.5 (Gleichheit fast überall)
Sei n ∈ N mit n ≥ 1. Eine Teilmenge N ⊆ Rn heißt eine Lebesguesche Nullmenge wenn
es für jedes > 0 eine Folge (Qk )k∈N von Quadern im Rn mit
N⊆
∞
[
k=1
Qk und
∞
X
vol(Qk ) < k=1
gibt. Sind weiter M ⊆ Rn und Y eine Menge so heißen zwei Funktionen f.g : M → Y
fast überall gleich wenn es eine Lebesguesche Nullmenge N ⊆ Rn mit f (x) = g(x) für
alle x ∈ M \N gibt.
Allgemein ist mit fast überall“ immer bis auf die Elemente einer Lebesgueschen Null”
”
menge“ gemeint. Beachte die Ähnlichkeit dieses Begriffs mit dem im letzten Semester
eingeführten Konzept Jordanscher Nullmengen, bei diesen hatten wir Überdeckungen
durch endlich viele Quader anstelle ganzer Folgen von Quadern betrachtet. Bevor wir
zur Anwendung auf die Fourierkoeffizienten kommen, wollen wir erst einmal untersuchen wie der Zusammenhang zwischen Lebesgueschen Nullmengen und den Jordanschen Nullmengen aussieht. In den Beweisen der folgenden Aussagen verwenden wir
dabei die in III.§4.1 eingeführte Terminologie und Notation.
Lemma 6.4 (Lebesguesche Nullmengen und Riemann-Integrale)
Sei n ∈ N mit n ≥ 1. Dann gelten:
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(a) Ist N ⊆ Rn eine Jordansche Nullmenge, so ist N auch eine Lebesguesche Nullmenge.
(b) Ist N ⊆ Rn kompakt, so ist N genau dann eine Lebesguesche Nullmenge wenn N
eine Jordansche Nullmenge ist.
(c) Ist M ⊆ Rn Jordan-meßbar, so ist M genau dann eine Lebesguesche Nullmenge
wenn M eine Jordansche Nullmenge ist.
(d) Sind M ⊆ Rn Jordan-meßbar undRf, g : M → RRzwei fast überall gleiche Riemannintegrierbare Funktionen, so ist M f (x) dx = M g(x) dx.
Beweis: (a) Klar.
(b) ”⇐=” Klar nach (a).
”=⇒” Sei > 0. Dann existiert eine Folge (Qk )k∈N von Quadern im Rn mit
N⊆
∞
[
Qk und
k=1
∞
X
vol(Qk ) < .
2
k=1
Für jedes k ∈ N wähle einen Quader Q0k ⊆ Rn mit
Qk ⊆ (Q0k )◦ und vol(Q0k ) ≤ vol(Qk ) +
Dann ist
N⊆
∞
[
Qk ⊆
∞
[
2k+1
.
(Q0k )◦
k=1
k=1
und da N kompakt ist existieren nach II.§8.Satz 2 endlich viele Indizes k1 , . . . , kr ∈ N
mit
r
r
[
[
0 ◦
N⊆
(Qkj ) ⊆
Q0kj
j=1
j=1
und es gilt
r
X
j=1
vol(Q0kj ) ≤
∞
X
k=1
vol(Q0k ) ≤
∞
X
vol(Qk ) +
k=1
∞
X
<
+
= .
k+1
2
2
2
k=1
Damit ist N eine Jordansche Nullmenge.
(d) Zunächst seien Q ⊆ Rn ein nicht ausgearteter Quader und f : Q → R Riemannintegrierbar
behaupten
R und fast überall gleich Null mit f (x) ≥ 0 für alle x ∈ Q. Wir
n
das dann Q f (x) dx = 0 ist. Wähle eine Lebesguesche Nullmenge N ⊆ R mit f (x) = 0
für alle x ∈ Q\N . Sei α eine Zerlegung von Q. Sei j ∈ Iα . Wäre Qα,j ⊆ N , so wäre
auch Qα,j eine Lebesguesche Nullmenge und nach (b) ein Jordansche Nullmenge im
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Widerspruch zu vol(Qα,j ) > 0. Also existiert ein x ∈ Qα,j \N ⊆ Q\N und wir haben
f (x) = 0, also mj = inf x∈Qα,j f (x) = 0 und somit haben wir die Untersumme
S(f ; α) =
X
mj · vol(Qα,j ) = 0.
j∈Iα
Es folgt
Z
Z
f (x) dx =
f (x) dx = 0
Q
Q
und wir haben diese Zwischenbehauptung eingesehen. Nun sei f : M → R eine
Riemann-integrierbare Funktion definiert auf M
R die fast überall Null ist mit f (x) ≥ 0
für alle x ∈ M . Wir behaupten das auch dann M f (x) dx = 0 gilt. Hierzu wähle einen
nicht ausgearteten Quader Q ⊆ Rn mit M ⊆ Q und eine Lebesguesche Nullmenge
N ⊆ Rn mit f (x) = 0 für alle x ∈ M \N . Ist dann fb : Q → R die durch Null fortgesetzte Funktion, so sind auch fb(x) ≥ 0 für alle x ∈ Q und fb(x) = 0 für alle x ∈ Q\N ,
R
R
also ergibt die schon bewiesene Aussage auch M f (x) dx = Q fb(x) dx = 0.
Wir kommen zur eigentlichen Behauptung. Seien also f, g : M → R Riemannintegrierbar und fast überall gleich. Dann ist nach III.§4.Lemma 18.(c) auch |f − g|
Riemann-integrierbar mit
Z
Z
Z
≤
f
(x)
dx
−
g(x)
dx
|f (x) − g(x)| dx = 0
M
M
M
R
da |f − g| fast überall Null ist. Dies zeigt M f (x) dx = M g(x) dx.
(c) ”⇐=” Dies gilt nach (a).
”=⇒” Die Funktion konstant Eins auf M ist Riemann-integrierbar
und nach unseR
rer Annahme fast überall Null. Mit Teil (d) folgt vol(M ) = M dx = 0 und nach
III.§4.Lemma 12 ist M eine Jordansche Nullmenge.
R
Es gibt sehr viel mehr Lebesguesche Nullmengen als es Jordansche Nullmengen gibt,
und die Lebesgueschen Nullmengen verhalten sich auch besser bezüglich der Bildung
von Vereinigungen. Beispielsweise ist eine beliebige abzählbare Vereinigung Lebesguescher Nullmengen wieder eine Lebesguesche Nullmenge. Um dies einzusehen sei (Nk )k∈N
eine Folge Lebesguescher
Nullmengen im Rn . Wir behaupten das dann auch die VerS∞
einigung N := k=1 Nk eine Lebesguesche Nullmenge ist. Sei also ein > 0 gegeben.
Für jedes k ≥ 1 gibt es dann eine Folge (Qkj )j∈N von Quadern im Rn mit
Nk ⊆
∞
[
j=1
Qkj und
∞
X
j=1
vol(Qkj ) <
2k+1
.
Wie wir schon in II.§4.1 gesehen hatten ist die Menge N×N abzählbar, es gibt also eine
bijektive Funktion ϕ : N → N×N.
S∞ Für jedes i ∈ N erhalten wir den Quader Qi := Qϕ(i)
und wir behaupten das N ⊆ i=1 Qi gilt. Sei nämlich x ∈ N . Dann existiert ein k ∈ N
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S
mit x ∈ Nk ⊆ ∞
. Setzen wir also
j=1 Qkj und weiter existiert ein j ∈ N mit x ∈ Q
Skj∞
−1
i := ϕ (k, j) ∈ N, so ist x ∈ Qkj = Qi . Damit haben wir N ⊆ i=1 Qi eingesehen,
und wollen nun
∞
X
vol(Qi ) ≤
2
i=1
beweisen. Sei also m ∈ N. Sind dann k0 die größte unter den ϕ(1), . . . , ϕ(m) vorkommende erste Komponente und entsprechend j0 die grösßte unter diesen vorkommende
zweite Komponente, so ergibt sich
m
X
i=1
also ist auch
vol(Qi ) ≤
j0
k0 X
X
vol(Qkj ) ≤
k=1 j=1
k0 X
∞
X
k=1
∞
X
vol(Qi ) ≤
i=1
k0
X
vol(Qkj ) ≤
≤ ,
k+1
2
2
j=1
k=1
< .
2
Dies beweist das die Menge N tatsächlich eine Lebesguesche Nullmenge ist. Wir werden
dieses Ergebnis nun benutzen um eine für das folgende wichtige Eigenschaft Riemannintegrierbarer Funktionen zu beweisen, derartige Funktion sind fast überall stetig.
Satz 6.5 (Riemann-integrierbare Funktionen sind fast überall stetig)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1, M ⊆ Rn eine Jordan-meßbare Menge und f : M → R
eine Riemann-integrierbare Funktion. Dann ist f fast überall stetig, d.h. es gibt eine
Lebesguesche Nullmenge N ⊆ Rn so, dass f in jedem Punkt x ∈ M \N stetig ist.
Beweis: Wir behandeln zunächst den Fall das M = Q ein nicht ausgearteter Quader
ist. Sei
N := {x ∈ Q|f ist in x nicht stetig} ⊆ Q.
Ist x ∈ N so gibt es ein > 0 so, dass es für jedes δ > 0 stets ein y ∈ Q mit ||x − y|| < δ
und |f (x) − f (y)| ≥ gibt. Setzen wir also für jedes > 0
N := {x ∈ N |∀(δ > 0)∃(y ∈ Q) : ||x − y|| < δ ∧ |f (x) − f (y)| ≥ },
S
so ist N = >0 N . Sei > 0 fixiert und wir behaupten das N eine Jordansche
Nullmenge ist. Sei δ > 0. Nach III.§4.Satz 2 existiert eine Zerlegung α von Q mit
S(f ; α) − S(f ; α) < δ.
Schreibe nun
J := {j ∈ Iα |Q◦α,j ∩ N 6= ∅}.
Sei j ∈ J und wähle ein x ∈ Q◦α,j ∩N . Da x ein innerer Punkt Qα,j ist existiert ein δ > 0
mit Bδ (x) ⊆ Qα,j . Wegen x ∈ N gibt es weiter ein y ∈ Q mit |f (x) − f (y)| ≥ und
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||x − y|| < δ, also y ∈ Bδ (x) ⊆ Qα,j . Insbesondere ist ∆(f ; Qα,j ) ≥ |f (x) − f (y)| ≥ .
Nach III.§4.Lemma 1.(f) ist damit
S(f ; α) − S(f ; α) =
X
∆(f ; Qα,j ) · vol(Qα,j ) ≥
j∈Iα
X
∆(f ; Qα,j ) · vol(Qα,j )
j∈J
≥·
X
vol(Qα,j ),
j∈J
wir haben also
N ⊆
[
Qα,j ∪
j∈J
[
∂Qα,j
j∈Iα
mit
X
j∈J
vol(Qα,j ) ≤
S(f ; α) − S(f ; α)
<δ
und da ∂Qα,j für jedes j ∈ Iα eine Vereinigung von endlich vielen ausgearteten Quadern
ist, folgt das N eine Jordansche Nullmenge ist.
S
Für 0 < < 0 gilt N0 ⊆ N , also ist auch N = ∞
k=1 N1/k eine abzählbare Vereinigung Jordanscher Nullmengen und somit wie eingangs gezeigt eine Lebesguesche
Nullmenge. Damit ist der Satz bewiesen wenn M ein nicht ausgearteter Quader ist.
Nun sei M eine beliebige Jordan-meßbare Menge und wähle einen nicht ausgearteten
Quader Q ⊆ Rn mit M ⊆ Q. Dass f Riemann-integrierbar ist bedeutet dann das die
Funktion g : Q → R definiert durch g(x) = f (x) für x ∈ M und g(x) = 0 für
x ∈ Q\M Riemann-integrierbar ist. Nach unserer bereits bewiesenen Teilaussage gibt
es eine Lebesguesche Nullmenge N ⊆ Rn so, dass g in jedem Punkt x ∈ Q\N stetig
ist. Dann ist auch f = g|M in jedem Punkt x ∈ M \N ⊆ Q\N stetig.
Aus diesem Satz folgt sofort ein oft wichtige Kennzeichnung der nichtnegativen Funktionen mit Integral Null.
Korollar 6.6: Seien n ∈ N mit n ≥ 1 und M ⊆ Rn eine Jordan-meßbare Menge. Weiter
sei f R: M → R Riemann-integrierbar mit f (x) ≥ 0 für alle x ∈ M . Dann ist genau
dann M f (x) dx = 0 wenn f fast überall gleich Null ist.
Beweis: ”=⇒” Nach Satz 5 existiert eine Lebesguesche Nullmenge N ⊆ Rn so, dass
f in jedem Punkt x ∈ M \N stetig ist. Nach III.§4.Satz 14 ist der Rand ∂M eine
Jordansche, also auch eine Lebesguesche, Nullmenge und damit ist N ∗ := N ∪ ∂M eine
Lebesguesche Nullmenge. Sei x ∈ M \N ∗ und angenommen es wäre f (x) 6= 0. Dann ist
insbesondere x ∈
/ ∂M , also ist x ∈ M ◦ ein innerer Punkt von M und es existiert ein
r > 0 mit Br (x) ⊆ M . Wegen x ∈
/ N ist f in x stetig, also existiert ein 0 < < r mit
f (y) ≥ f (x)/2 für alle y ∈ B (x) und es folgt der Widerspruch
Z
Z
vol(B (x)
f (y) dy ≥
f (y) dy ≥
f (x) > 0.
2
B (x)
M
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also muss f (x) = 0 für jedes x ∈ M \N ∗ sein und damit ist f fast überall gleich Null.
”⇐=” Dies gilt nach Lemma 4.(d).
Damit sind alle Vorbereitungen durchgeführt und wir können wieder zu den Fourierkoeffizienten zurückkommen. Wir wollen den Satz 3 auf Riemann-integrierbare Funktionen ausdehnen, und hierzu gehen wir zunächst noch einmal den Beweis dieses Satzes
durch. Seien f, g : R → C zwei [−π, π] Riemann-integrierbare Funktionen mit der Periode 2π. Im ersten Beweisschritt hatten wir gezeigt das für stetiges reellwertiges f mit
c := f (0) > 0 stets ein n ∈ Z mit fb(n) 6= 0 existiert. Die Stetigkeit von f hatten wir dabei nur ganz zu Beginn verwendet um einzusehen das es ein 0 < δ < π mit f (x) ≥ c/2
für alle x ∈ [−δ, δ] gibt, für die Beschränktheit von f brauchen wir die Stetigkeit von f
nämlich gar nicht da Riemann-integrierbare Funktionen stets beschränkt sind. Es reicht
als in Wahrheit anzunehmen das f im Punkt 0 stetig ist, dann folgt schon fb(n) 6= 0
für ein n ∈ Z. Im zweiten Schritt wurde dann nur noch angenommen das f reellwertig
mit f (0) 6= 0 ist und durch eventuellen Übergang zu −f wurde wieder auf fb(n) 6= 0
für ein n ∈ Z geschlossen. Da mit f auch −f in 0 stetig ist, reicht es weiterhin nur die
Stetigkeit von f in 0 vorauszusetzen. Im dritten Schritt durfte f auch komplexe Werte
annehmen und es wurde nur f (0) 6= 0 vorausgesetzt. Durch Betrachtung von Realund Imaginärteil konnten wir wieder ein n ∈ Z mit fb(n) 6= 0 finden. Da mit f auch
der Real- und der Imaginärteil von f in 0 stetig sind, müssen wir auch hier nur die
Stetigkeit in 0 annehmen. In Schritt wurde nur noch f 6= 0, also f (a) 6= 0 für ein a ∈ R
vorausgesetzt. Die durch h(x) := f (x + a) definierte Funktion erfüllte dann h(0) 6= 0
und somit existierte ein n ∈ Z mit b
h(n) 6= 0 und damit auch fb(n) 6= 0. Ist dabei f in a
stetig, so ist h in 0 stetig, es reicht also anzunehmen das es ein a ∈ R mit f (a) 6= 0 gibt
in dem f stetig ist. Im letzten Schritt hatten wir schließlich f 6= g, also f (a) 6= g(a)
für ein a ∈ R angenommen und die Differenz h := f − g betrachtet. Sind dabei f und
g beide in a stetig, so ist auch h in a stetig und es folgt fb(n) − gb(n) = b
h(n) 6= 0 für ein
b
n ∈ Z. Zusammenfassend wurde also sogar bewiesen das aus f = gb auch f (x) = g(x)
für alle x ∈ R folgt in denen f und g beide stetig sind. Damit können wir jetzt einen
Eindeutigkeitssatz für Riemann-integrierbare Funktionen beweisen.
Korollar 6.7: Seien f, g : [−π, π] → C zwei Riemann-integrierbare Funktionen mit
fb(n) = gb(n) für alle n ∈ Z. Dann sind f und g fast überall gleich.
Beweis: Nach Satz 5 existieren zwei Lebesguesche Nullmengen N1 , N2 ⊆ R so, dass f
in jedem Punkt x ∈ [−π, π]\N1 und g in jedem Punkt x ∈ [−π, π]\N2 stetig sind. Da
abzählbare Vereinigungen Lebesguescher Nullmengen wieder Lebesguesche Nullmengen
sind, ist
[
N :=
((N1 ∪ N2 ∪ {π}) + 2πn)
n∈Z
wieder eine Lebesguesche Nullmenge. Für jedes x ∈ R\N sind f und g in x beide stetig,
also ist wie oben gesehen auch f (x) = g(x). Damit sind f und g fast überall gleich.
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Nun beginnen wir mit unseren Konvergenzuntersuchungen und wir müssen erst einmal
festlegen was die Konvergenz einer trigonometrischen Reihe
∞
X
t(x) =
cn einx
n=−∞
überhaupt bedeuten soll. Wir orientieren uns dabei am reellen Fall. Ein reelles trigonometrisches Polynom hat die Form
∞
a0 X
t(x) =
+
(an cos(nx) + bn sin(nx)),
2
n=1
und da dies eine ganz gewöhnliche Reihe ist, ist klar was punktweise oder gleichmäßige
Konvergenz bedeuten. Das zugehörige trigonometrische Polynom hatte die Koeffizienten
an + ibn
a0
an − ibn
cn :=
, c−n :=
, c0 :=
2
2
2
und die n-te Partialsumme wird zu
n
n
X
a0 X
ck eikx .
tn (x) =
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) =
+
2
k=−n
k=1
Damit also die Partialsummen einer reellen trigonometrischen Reihe dasselbe wie die
Partialsummen sn der zugehörigen komplexen Reihe sind, müssen wir diese als
sn (x) :=
n
X
ck eikx
k=−n
definieren. Wir sagen das die trigonometrische Reihe t(x) in einem Punkt x ∈ R konvergiert beziehungsweise auf einer Teilmenge M ⊆ R gleichmäßig konvergiert wenn die Folge (sn (x))n∈N der Partialsummen in x konvergiert beziehungsweise auf M gleichmäßig
konvergiert. Insbesondere ist damit festgelegt was die punktweise oder gleichmäßige
Konvergenz der Fourierreihe einer Riemann-integrierbaren Funktion f : [−π, π] → C
bedeutet. Ist f dabei reellwertig, so ist dies nach unserer obigen Überlegung genau
gleichwertig zur punktweisen beziehungsweise gleichmäßigen Konvergenz der reell geschriebenen Fourierreihe.
Damit ist der Konvergenzbegriff eingeführt und wir wollen einen einfachen Konvergenzsatz beweisen. Wir wollen einsehen das wenn die Fourierreihe der Funktion f
gleichmäßig gegen irgendeine Funktion konvergiert, so ist diese Grenzfunktion automatisch gleich f . Da der gleichmäßige Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen selbst
stetig ist, ist dies nur auf stetige Funktionen anwendbar.
Satz 6.8 (Gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe)
Sei f : R → C eine stetige Funktion mit der Periode 2π deren Fourierreihe gleichmäßig
konvergiert. Dann konvergiert die Fourierreihe von f gleichmäßig gegen f .
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Beweis: Sei g die Grenzfunktion der Fourierreihe von f . Dann ist g stetig und da wir
schon in der letzten Sitzung eingesehen hatten das die Fourierreihe einer gleichmäßig
konvergenten trigonometrischen Reihe gleich dieser trigonometrischen Reihe ist gilt
auch gb = fb, also ist g = f nach Satz 3.
Diese einfache Beobachtung deckt bereits einige konkrete Fourierreihen ab, beispielsweise die in den Aufgaben (31) und (32) gerechneten Reihen. Auch die Konvergenz
der Fourierreihen ausreichend regulärer Funktionen läßt sich mit dem eben bewiesenen
Satz sofort einsehen.
Korollar 6.9 (Fourierreihen zweifach stetig differenzierbarer Funktionen)
Sei f : R → C eine zweifach stetig differenzierbare Funktion mit der Periode 2π. Dann
konvergiert die Fourierreihe von f gleichmäßig gegen f .
Beweis: Für jedes n ∈ Z gilt nach Lemma 2.(g)
fc00 (n) = infb0 (n) = −n2 fb(n),
also ist nach Lemma 2.(f) für n 6= 0
Z π
fc00 (n)
1
b ≤
|f 00 (x)| dx.
f (n) =
n2
2πn2 −π
Für alle n ≥ 1 und alle x ∈ R gilt damit
Z π
1
b
inx
−inx b
|f 00 (x)| dx
f (n)e + f (−n)e
≤
2
πn −π
und nach dem Weierstraschen Konvergenzkriterium II.§4.Lemma 14 ist die Fourierreihe
von f gleichmäßig konvergent. Mit Satz 8 folgt die Behauptung.
Die im Beweis dieses Korollars verwendete Abschätzung der Fourierkoeffizienten kann
man weiter ausbauen. Um das Ergebnis bequem zu formulieren, führen wir zunächst
die sogenannte L1 -Norm einer Riemann-integrierbaren Funktion f : [−π, π] → C ein
und definieren
Z π
1
||f ||1 :=
|f (x)| dx.
2π −π
Die obige Überlegung zeigt dann, das für jede k-fach stetig differenzierbare Funktion
f : R → C mit Periode 2π die Ungleichung
|fb(n)| ≤
||f (k) ||1
nk
für alle n ∈ Z\{0} gilt. Je regulärer die Funktion f ist desto schneller konvergieren die Fourierkoeffizienten von f gegen Null. Ist f dabei sogar analytisch, so zeigt
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Aufgabe (35) das die Fourierkoeffizienten exponentiell abfallen. Unser nächstes Ziel
ist es einzusehen, dass die Fourierkoeffizienten immer eine Nullfolge bilden, selbst
wenn nur die Riemann-Integrierbarkeit über [−π, π] vorausgesetzt wird. Dieses sogenannte Riemann-Lebesgue-Lemma beruht auf einem Approximationslemma das wir
zunächst einmal herleiten wollen. Eine kleine Vorbemerkung ist hilfreich. Angenommen wir haben eine stetige Funktion f : R → C mit der Periode 2π und ein > 0.
Wir behaupten das es dann stets ein δ > 0 gibt so, dass |f (y) − f (x)| < für alle
x, y ∈ R mit |x − y| < δ gilt. Zunächst gibt es nämlich nach II.§2.Lemma 7 angewandt auf Real- und Imaginärteil von f ein 0 < δ < π mit |f (y) − f (x)| < für alle x, y ∈ [−2π, 2π] mit |x − y| < δ. Seien jetzt x, y ∈ R mit |x − y| < δ.
Dann existiert ein n ∈ Z mit x − 2πn ∈ [−π, π]. Wegen |x − y| < δ < π ist
x − π < y < x + π, also −2π < x − 2πn − π < y − 2πn < x − 2πn + π < 2π.
Damit sind x − 2πn, y − 2πn ∈ [−2π, 2π] mit |(x − 2πn) − (y − 2πn)| = |x − y| < δ und
es folgt |f (y) − f (x)| = |f (y − 2πn) − f (x − 2πn)| < . Damit kommen wir zu unserem
Approximationslemma.
Korollar 6.10 (Approximation durch trigonometrische Polynome)
Seien f : R → C eine stetige Funktion mit Periode 2π und > 0. Dann existiert ein
trigonometrisches Polynom t mit |f (x) − t(x)| ≤ für alle x ∈ R. Ist f reellwertig, so
kann t als ein reelles trigonometrisches Polynom gewählt werden.
Beweis: Wähle ein a > 0 mit |f (y) − f (x)| < /3 für alle x, y ∈ R mit |x − y| < a.
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung in der Form II.§2.Korollar
10 ist die Funktion
Z
1 x+a
g : R → C; x 7→
f (t) dt
a x
stetig differenzierbar. Für jedes x ∈ R gilt dann
1
g(x + 2π) =
a
Z
x+a+2π
x+2π
1
f (t) dt =
a
Z
x+a
f (t) dt = g(x),
x
d.h. auch g hat die Periode 2π. Ist wieder x ∈ R, so gilt für jedes t ∈ [x, x + a) stets
|t − x| < a, also |f (t) − f (x)| < /3, und somit folgt
Z x+a
Z x+a
Z
1
1
1 x+a
|g(x) − f (x)| = f (t) dt − f (x) = f (t) dt −
f (x) dt
a x
a x
a x
Z x+a
1
≤
|f (t) − f (x)| dt ≤ .
a x
3
Ebenso existiert ein b > 0 mit |g(y) − g(x)| < /3 für alle x, y ∈ R mit |x − y| < b und
die Funktion
Z
1 x+b
g(t) dt
h : R → C; x 7→
b x
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ist zweifach stetig differenzierbar mit der Periode 2π und |h(x) − g(x)| ≤ /3 für alle
x ∈ R. Nach Korollar 9 konvergiert die Fourierreihe
h(x) =
∞
X
b
h(n)einx
n=−∞
gleichmäßig gegen h, und insbesondere existiert ein n ∈ N so, dass die n-te Partialsumme sn der Fourierreihe von h die Bedingung |sn (x) − h(x)| ≤ /3 für alle x ∈ R.
Damit ist sn ein trigonometrisches Polynom mit
|f (x) − sn (x)| ≤ |f (x) − g(x)| + |g(x) − h(x)| + |h(x) − sn (x)| ≤ für alle x ∈ R. Ist dabei f reellwertig, so sind auch g und h und somit auch die
Fourierreihe von h reellwertig, und insbesondere ist die Partialsumme sn dann ein
reelles trigonometrisches Polynom.
Wir benötigen weiter ein Approximationslemma bezüglich der L1 -Norm. Bisher ist
dabei L1 -Norm“ nur ein Name, wir überzeugen uns jetzt das es sich tatsächlich im we”
sentlichen um eine Norm handelt. Seien f, g : [−π, π] → C zwei Riemann-integrierbare
Funktionen und λ ∈ C ein Konstante. Dann gelten sofort ||f ||1 ≥ 0,
Z π
Z
|λ| π
1
|λf (x)| dx =
|f (x)| dx = |λ| · ||f ||1
||λf ||1 =
2π −π
2π −π
und
1
||f + g||1 =
2π
Z π
1
|f (x) + g(x)| dx ≤
(|f (x)| + |g(x)|) dx
2π −π
−π
Z π
Z π
1
1
=
|f (x)| dx +
|g(x)| dx = ||f ||1 + ||g||1 .
2π −π
2π −π
Z
π
Allerdings folgt aus ||f ||1 = 0 nicht f = 0, nach Korollar 6 wissen wir nur das f fast
überall gleich Null ist, die L1 -Norm ist also trotz ihres Namens nur fast ein Norm. Unter
einer Treppenfunktion f : [a, b] → C verstehen wir im folgenden Lemma eine Funktion
f für die es eine Zerlegung α = (t0 , . . . , tr ) von [a, b] und Konstanten c1 , . . . , cr ∈ C
mit f (x) = ci für alle 1 ≤ i ≤ r, x ∈ (ti−1 , ti ) gibt, auf der i-ten Stufe (ti−1 , ti ) soll f
also den Wert ci haben. Die Funktionswerte an den Unterteilungspunkten dürfen dabei
beliebig sein.
Lemma 6.11 (Approximation in der L1 -Norm)
Seien f : [−π, π] → C Riemann-integrierbar und > 0.
(a) Es existiert eine Treppenfunktion t : [−π, π] → C mit ||f − t||1 ≤ .
(b) Es existiert eine stetige Funktion g : R → C mit Periode 2π und ||f − g||1 ≤ .
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(c) Es existiert ein trigonometrisches Polynom t mit ||f − t||1 ≤ .
Beweis: (a) Wir nehmen zunächst einmal an das f reellwertig ist. Nach II.§2.Lemma
3 existiert ein Zerlegung α = (t0 , . . . , tr ) von [−π, π] mit S(f ; α) − S(f ; α) ≤ 2π. Für
jedes 1 ≤ i ≤ r setzen wir
mi :=
und haben
r
X
inf
t∈[ti−1 ,ti ]
f (t), Mi :=
sup
f (t)
t∈[ti−1 ,ti ]
(Mi − mi ) · (ti − ti−1 ) = S(f ; α) − S(f ; α) ≤ 2π.
i=1
Definiere nun die Treppenfunktion g : [−π, π] → R durch g(x) := m1 für x ∈ [t0 , t1 ]
und g(x) := mi für x ∈ (ti−1 , ti ], 1 < i ≤ r. Seien 1 ≤ i ≤ r und x ∈ (ti−1 , ti ). Dann
gilt
mi ≤ f (x) ≤ Mi = g(x), also |g(x) − f (x)| = g(x) − f (x) ≤ Mi − mi ,
und somit ist
Z
ti
|g(x) − f (x)| dx ≤ (Mi − mi ) · (ti − ti−1 ).
ti−1
Insgesamt ergibt sich damit
1
||g − f ||1 =
2π
r Z
1 X ti
|g(x) − f (x)| dx =
|g(x) − f (x)| dx
2π i=1 ti−1
−π
Z
π
r
1 X
(Mi − mi ) · (ti − ti−1 ) ≤ .
≤
2π i=1
Wir kommen nun zum allgemeinen komplexwertigen Fall. Dann sind u := Re f und
v := Im f zwei reellwertige Riemann-integrierbare Funktionen mit f = u + iv. Wie
bereits gezeigt gibt es Treppenfunktionen g, h : [−π, π] → R mit ||u − g||1 ≤ /2
und ||v − h||1 ≤ /2. Wir behaupten das dann auch t := g + ih : [−π, π] → C
eine Treppenfunktion ist. Es gibt Zerlegungen α, β so, dass g auf jedem der offenen
Teilintervalle von α und h auf jedem der offenen Teilintervalle von β konstant ist. Ist
dann γ eine gemeinsame Verfeinerung von α und β, so liegt jedes der durch γ gegebenen
offenen Teilintervalle sowohl in einem der offenen Teilintervalle von α als auch in einem
der offenen Teilintervalle von β, d.g. g und h sind auf diesem Teilintervall konstant und
somit auch t = g + hi. Also ist t eine Treppenfunktion, und wir haben
||f − t||1 = ||u − g + i(v − h)||1 ≤ ||u − h||1 + ||v − h||1 ≤ .
(b) Nach (a) existiert eine Treppenfunktion t : [−π, π] → C mit ||f − t||1 ≤ /2. Wähle
eine Zerlegung α = (t0 , . . . , tr ) von [−π, π] und Konstanten c1 , . . . , cr ∈ C mit t(x) = ci
für alle x ∈ (ti−1 , ti ), 1 ≤ i ≤ r. Weiter wähle C > 0 mit |ci | ≤ C für alle 1 ≤ i ≤ r
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und 0 < δ < 1 mit δ < π/(6Cr). Für jedes 1 ≤ i ≤ r wähle weiter ai , bi ∈ R mit
ti−1 < ai < bi < ti so, dass ai < ti−1 + δ und bi > ti − δ gelten. Damit definieren wir
die Funktion g : [−π, π] → C für alle x ∈ [−π, π] durch

x+π

−π ≤ x ≤ a1 ,
c1 · a1 +π ,


c ,
x ∈ [ai , bi ], 1 ≤ i ≤ r,
i
g(x) := ci+1 −ci

 ai+1 −bi (x − bi ) + ci , x ∈ [bi , ai+1 ], 1 ≤ i < r,


 π−x c ,
b ≤ x ≤ π,
π−br r
r
d.h. die Sprungstellen von t werden auf einem kleinen Intervall um den Sprungpunkt
durch lineare Funktionen ersetzt und an den beiden Endpunkten ±π entsprechend
mit Null verbunden. Nach I.§13.Lemma 11.(d) ist g eine stetige Funktion und wegen
g(−π) = g(π) = 0 setzt sich g auch zu einer stetigen Funktion g : R → C mit der
Periode 2π fort. Sei 1 ≤≤ r. Ist dann x ∈ [ai , bi ], so gilt t(x) − g(x) = 0. Ist i < r und
x ∈ [bi , ti ), so haben wir
|t(x) − g(x)| =
|ci+1 − ci |
(x − bi ) ≤ |ci+1 − ci | ≤ 2C
ai+1 − bi
und ist i > 1 und x ∈ (ti−1 , ai ], so ist ebenso
ci − ci−1
(x − bi−1 ) + ci − ci−1 ≤ 2|ci − ci−1 | ≤ 4C.
|t(x) − g(x)| = ai − bi−1
In den beiden Randfällen haben wir dagegen für i = 1, x ∈ (−π, a1 ]
|t(x) − g(x)| = |c1 | ·
a1 − x
≤ |c1 | ≤ C
a1 + π
und für i = r, x ∈ [br , π)
|t(x) − g(x)| = |cr |
Damit ist
Z
x − br
≤ |cr | = C.
π − br
ti
|t(x) − g(x)| dx ≤ 2Cδ + 4Cδ = 6Cδ,
ti−1
und insgesamt haben wir
1
||t − g||1 =
2π
r Z
1 X ti
3Crδ
|t(x) − g(x)| dx =
< .
|t(x) − g(x)| dx ≤
2π i=1 ti−1
π
2
−π
Z
π
Damit ist
||f − g||1 ≤ ||f − t||1 + ||t − g||1 ≤
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+ = .
2 2
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(c) Nach Teil (b) existiert eine stetige Funktion g : R → C mit Periode 2π und
||f − g||1 ≤ /2 und nach Korollar 10 gibt es weiter ein trigonometrisches Polynom t
mit |g(x) − t(x)| ≤ /2 für alle x ∈ R. Damit ist auch
Z π
1
|g(x) − t(x)| dx ≤
||g − t||1 =
2π −π
2
und insgesamt haben wir ||f − t||1 ≤ ||f − g||1 + ||g − t||1 ≤ .
Mit diesem Approximationslemma ist es jetzt leicht einzusehen, dass die Fourierkoeffizienten immer eine Nullfolge bilden, dies ist das sogenannte Riemann-Lebesgue-Lemma.
Da wir hier nur Riemann-integrierbare Funktionen behandeln ist es eigentlich sogar nur
das Lemma von Riemann, der Lebesgue-Teil“ bezieht sich auf eine Erweiterung dieser
”
Theorie auf einen allgemeineren Integrationsbegriff.
Satz 6.12 (Riemann-Lebesgue Lemma)
Sei f : R → C eine über [−π, π] Riemann-integrierbare Funktion mit der Periode 2π.
Dann gilt
lim |fb(n)| = 0.
|n|→∞
Beweis: Sei > 0. Nach Korollar 11.(c) existiert ein trigonometrisches Polynom t mit
||f − t||1 ≤ . Da die Fourierreihe eines trigonometrischen Polynoms gleich diesem trigonometrischen Polynom ist, also insbesondere nur endlich viele von Null verschiedene
Terme hat, existiert ein N ∈ N mit b
t(n) = 0 für alle n ∈ Z mit |n| ≥ N . Für jedes
n ∈ Z mit |n| ≥ N folgt dann mit Lemma 2.(a,f)
[ b
b
b
|f (n)| = |f (n) − t(n)| = f − t(n) ≤ ||f − t||1 ≤ .
Damit hat die Theorie schon einen durchaus befriedigenden Stand erreicht, hat aber
bisher noch einen grossen Nachteil. Momentan können wir die die Konvergenz der
Fourierreihe nur für Funktionen einsehen bei denen die Fourierreihe gleichmäßig konvergiert, diese Funktionen müssen also insbesondere auf ganz R stetig sein. Wir können
also bisher noch nicht einmal das Beispiel der Sägezahnfunktionen behandeln da diese
an den Periodengrenzen springt und damit nicht stetig ist. Um auch die nicht notwendig
gleichmäßige Konvergenz zu erfassen, müssen wir uns die Partialsummen unserer Fourierreihen genauer anschauen. Sei also eine über [−π, π] Riemann-integrierbare Funktion f : R → C mit der Periode 2π gegeben. Weiter sein n ∈ N. Die n-te Partialsumme
der Fourierreihe von f ist dann definitionsgemäß für alle x ∈ R gleich
sn (x) =
n
X
fb(k)eikx .
k=−n
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Setzen wir hier für k ∈ Z die Definition der Fourierkoeffizienten
Z π
1
b
f (t)e−ikt dt
f (k) =
2π −π
ein, so wird unsere Partialsumme zu
π
Z
1
sn (x) =
2π
f (t) ·
−π
n
X
eik(x−t) dt.
k=−n
Substituieren wir in diesem Integral noch x − t durch t, so wird
1
sn (x) =
2π
n
X
x+π
Z
f (x − t) ·
x−π
ikt
e
k=−n
1
dt =
2π
Z
π
f (x − t) ·
−π
n
X
eikt dt
k=−n
wobei der letzte Schritt verwendet das der Integrand die Periode 2π hat. Führen wir
also den sogenannten Dirichlet Kern
Dn (x) :=
n
X
eikx
k=−n
ein, so können wir unsere Partialsumme als ein Integral
Z π
1
f (x − t)D(t) dt
sn (x) =
2π −π
schreiben. Der Dirichlet-Kern läßt sich explizit berechnen, wir behaupten das
sin n + 12 x
Dn (x) =
sin x2
für jedes x ∈ R gilt. Um dies einzusehen sei x ∈ R gegeben. Die rechte unserer Gleichung
ist dann
1
1
1
i(2n+1)x
sin (n + 21 x
ei(n+ 2 )x − e−i(n+ 2 )x
e−i(n+ 2 )x ei(2n+1)x − 1
−1
−inx e
=
=
·
=
e
x
x
x
x
sin 2
eix − 1
eix − 1
ei 2 − e−i 2
e−i 2
und andererseits können wir den Dirichlet-Kern als eine geometrische Summe berechnen
Dn (x) =
n
X
k=−n
ikx
e
−inx
=e
2n
X
ikx
e
−inx
=e
k=0
2n
X
(eix )k = e−inx
k=0
und damit ist die Formel für den Dirichlet-Kern eingesehen.
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ei(2n+1)x − 1
,
eix − 1