Vorkurs Mathematik Kapitel 4 – Wahrscheinlichkeitstheorie

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Kapitel 4 – Wahrscheinlichkeitstheorie
Christoph Hindermann
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4.0 Motivation
Wenn 100 Münzen geworfen werden, wie ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass genau 50
davon Kopf zeigen?
Angenommen, es befinden sich 300 Studenten im Hörsaal. Wie wahrscheinlich ist es, dass 2
Studenten am selben Tag Geburtstag haben?
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4.1 Wahrscheinlichkeitsraum
Gegeben sei ein Zufallsvorgang. Die Menge der möglichen disjunkten Elementarereignisse
ω des Zufallsvorgangs nennt man den Wahrscheinlichkeitsraum Ω .
Ω={ ω : ω ist Elementarereignis }
Beispiel: Sie werfen eine Münze. Die Elementarereignisse sind “Kopf” und “Zahl”.
Ω={Kopf , Zahl }
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4.2 Ereignisse
Sei ein Zufallsvorgang und ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω gegeben, so ist ein Ereignis A
eine wohldefinierte Teilmenge des Wahrscheinlichkeitsraumes:
A⊂Ω
Anmerkungen:
● A kann eine echte oder eine unechte Teilmenge sein
● Ereignisse müssen nicht disjunkt sein
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4.3 Ereignisse – Schreib- und Sprechweise von Ereignissen
Sachverhalt
Sprechweise
A tritt sicher ein
A ist ein sicheres Ereignis
A=Ω
A tritt sicher nicht ein
A ist ein unmögliches Ergeignis
A=∅
wenn A eintritt, tritt B ein
A ist Teilereignis von B
A⊂B
wenau dann, wenn A eintritt, tritt B ein
A und B sind äquivalente Ereignisse
A=B
wenn A eintritt, tritt B nicht ein
A und B sind disjunkte Ereignisse
genau dann, wenn A eintritt, tritt B nicht ein
A und B sind komplementäre
Ereignisse
genau dann, wenn mindestens ein Aj eintritt,
tritt A ein
A ist Vereinigung der Aj
genau dann, wenn alle Aj eintreten, tritt A ein
A ist Durchschnitt der Aj
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Schreibweise
A∩B=∅
A= B̄
A= ∪ A j
j
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A= ∩ A j
j
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4.4 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Eine Funktion P, die auf dem Ereignissystem eines Zufallsvorgangs definiert ist, die jedes
Ereignis A eine Zahl P(A) zuordnet heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn sie die
kolmogorowschen Minimalanforderungen erfüllt.
Axiome:
1. P ( A)≥0 für jedes Ereignis A,
2. P (Ω)=1,
3. P ( A1∪ A 2∪A3∪...)= P( A1)+ P ( A 2)+ P ( A 3)+.. . für endlich oder abzählbar unendlich viele
paarweise disjunkte Ereignisse, d.h. Ereignisse mit Ai ∩A j =∅.
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4.5 Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff
Der klassische oder laplacesche Wahrscheinlichkeitsbegriff beruht auf der Gleichverteilung
der disjunkten Elementarereignisse eines Zufallsvorgangs und definiert die
Wahrscheinlichkeit wie folgt:
P ( A)=
|A| # A
=
|Ω| # Ω
In Worten: Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle.
Beispiel: Anzahl der geraden Zahlen beim mehrmaligen Werfen eines Würfels.
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4.5 Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff
Aufgabe
Ein Zufallsexperiment bestehe daraus mit einem fairen Würfel zu würfeln. Bestimmen Sie:
a) den Wahrscheinlichkeitsraum,
b) die Wahrscheinlickeit des Ereignisses A, eine gerade Zahl zu würfeln,
c) die Wahrscheinlickeit des Ereignisses B, eine Zahl zu würfeln, die größer als 3 ist,
d) die Wahrscheinlickeit des Ereignisses C, eine 6 zu würfeln,
e) P ( A∪B∪C )
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4.6 Häufigkeitsinterpretation des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
Gegeben sei ein wiederholbarer Zufallsvorgang, der n-mal wiederholt wird. Dann ist die
relative Häufigkeit des Ereignisses A h(A) gleich:
h( A)=
Es gilt:
Anzahl der Durchführungen in denen Aeingetreten ist
n
lim h ( A)=P ( A)
n→∞
Wird das Zufallsexperiment unendlich oft wiederholt, dann entspricht die relative Häufigkeit
des Eintretens des Ereignisses A seiner Wahrscheinlichkeit.
Beispiel: Werfen Sie eine Münze 5-mal und notieren Sie die relativen Häufigkeiten von
Kopf und Zahl.
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4.7 Unabhängigkeit von Ereignissen
Zwei Ereignisse A und B eines Zufallsvorgangs sind unabhängig, wenn das Eintreten des
einen keine Informationen über das Eintreten des anderen beinhaltet. Bei Unabhängigkeit
von A und B gilt:
P ( A∩B)=P ( A)⋅P ( B)
Beispiel: Beim zweimaligen Wurf einer Münze erhalten wir aus dem Ergebnis des ersten
Wurfes keine Informationen über das Ergebnis des zweiten.
Keine Unabhängigkeit besteht z.B., wenn wir eine Kugel aus einer Urne ziehen
und sie nicht zurücklegen. Haben wir ursprünglich zwei rote und zwei weiße
Kugeln, so ist die Wahrscheinlichkeit eine rote beim ersten Zug zu ziehen 0,5.
Beim zweiten Zug ändern sich jedoch die Wahrscheinlichkeiten in
Abhängigkeit davon, was für eine Kugel wir beim ersten Zug gezogen haben.
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4.7 Unabhängigkeit von Ereignissen
Aufgabe
In einer Urne befinden sich eine große Zahl von Kugeln. 80% der Kugeln sind weiß, 20%
sind schwarz. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit beim einmaligen Ziehen:
a) eine schwarze Kugel zu erhalten;
b) eine weiße Kugel zu erhalten.
Nun ziehen Sie dreimal hintereinander mit zurücklegen. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeit:
c) drei schwarze Kugeln zu erhalten;
d) drei weiße Kugeln zu erhalten;
e) eine schwarze und zwei weiße Kugeln zu erhalten.
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4.8 Regeln für Wahrscheinlichkeiten
Gegeben seien die Ereignisse A, B, A1, A2, A3, …. eines Zufallsvorgangs, der
Wahrscheinlichkeitsraum Ω und ein Wahrscheinlichkeitsmaß P. Neben den Axiomen aus
2.3.3 gelten dann die folgenden Regeln:
1. P ( A)≤1
A
2. P (∅)=0
A
Ω
Venn-Diagramm zu Regel 4
3. A⊂B → P( A)≤P (B)
4. P ( Ā)=1−P ( A)
5. P ( A1∪...∪ An )=P ( A1 )+ P( Ā1∩A 2)+ P ( Ā1∩ Ā2∩ A3)+...+ P ( Ā1 +...+ A¯n−1+ An )
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4.8 Regeln für Wahrscheinlichkeiten
Anmerkung zu Regel 5:
Prominenter als die allgemeine Regel 5 sind Spezialfälle wie:
P ( A1 ∪A 2 )=P ( A1 )+ P( A2 )−P ( A1∩ A2 )
P ( A1 ∪A 2 ∪A3 )=P ( A1 )+ P ( A 2)+ P ( A3 )−P ( A1∩ A2 )−P ( A1∩ A3 )−P ( A 2∩A3 )+ P ( A1∩A 2 ∩ A3)
A
B
Ω
Wir ziehen einmal P ( A1∩A 2)
ab, da wir es sonst doppelt zählen!
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4.8 Regeln für Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe
Gegeben seien die beiden Ereignisse A und B sowie die Wahrscheinlichkeiten:
P ( A)=0.5
P (B)=0.3
P ( A∩B)=0.2
Bestimmen Sie:
a) P ( A∪B) b) P ( A∩B) c) P ( Ā∪ B̄) d) P ( A∪B) e) P ( Ā∩ B̄)
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