Dynamik 2 Lösungsblatt 1 Aufgabe 1: Wahl des Koordinatensystems: vB x Die positive x-Achse zeigt nach vorne. Das Boot ist zunächst in Ruhe, d.h. v B0 =0 . Das Abspringen erfolgt nach hinten, also ist w =−v S . Fall a: Zuerst springt Schwimmer S1, dann Schwimmer S2. Nach Absprung von Schwimmer S1 hat das Boot die Geschwindigkeit v B1= m1 v . m B m1 m 2 S An Bord des Bootes befindet sich nur noch Schwimmer S2. Damit folgt für die Geschwindigkeit des Bootes nach Absprung von Schwimmer S2 v a = v B2 = v B1 m2 m1 m2 v S= v . m B m 2 m B m 1 m 2 m B m 2 S Zahlenwert: v a= 80 60 ⋅4 m / s = 1,394 m / s 300 80 60 300 60 Fall b: Zuerst springt Schwimmer S2, dann Schwimmer S1. Nach Absprung von Schwimmer S2 hat das Boot die Geschwindigkeit Dynamik 2 1-1 Prof. Dr. Wandinger v B1= m2 v . m B m1m2 S An Bord des Bootes befindet sich nur noch Schwimmer S1. Damit folgt für die Geschwindigkeit des Bootes nach Absprung von Schwimmer S1 v b =v B2 =v B1 m1 m2 m1 vS = v m B m 1 m B m 1m 2 m Bm 1 S . Zahlenwert: v b= 60 80 ⋅4 m / s = 1,388 m / s 300 80 60 300 80 Fall c: Beide Schwimmer springen gleichzeitig. Nach Absprung der beiden Schwimmer hat das Boot die Geschwindigkeit v c= m1m2 v . m B m 1 m 2 S Zahlenwert: v c= 80 60 ⋅4 m / s = 1,273m / s 30080 60 Aufgabe 2: Wahl des Koordinatensystems: x v0 Der aufgesetzte Getränkekasten hat eine Relativgeschwindigkeit von w =−v 0 gegenüber den Getränkekästen auf dem Transportband. Jeder Getränkekasten hat die gleiche Masse m. Damit gilt für die Geschwindigkeitsänderung v = v1 − v0 =− Dynamik 2 m v =−0,2 v 0 , d.h. 4 mm 0 1-2 v =− 20% v0 Prof. Dr. Wandinger Aufgabe 3: Schubkraft der 1. Stufe: Der Massenstrom berechnet sich zu = 2000 t = 13,33 t / s . 150 s Damit folgt für die Schubkraft S = c S =13,33 t / s⋅2500 m / s = 33333 kN Beschleunigung: Auf die Rakete wirkt die Schubkraft nach oben und die Gewichtskraft nach unten. Der Impulssatz lautet m t a t = S − m t g . Daraus folgt für die Beschleunigung a t = S −g . mt Mit der Startmasse m0 berechnet sich die Masse m t zu m t =m 0 − t . Dynamik 2 1-3 Prof. Dr. Wandinger Geschwindigkeit: Für die Geschwindigkeit gilt t t v t =∫ a d = S ∫ 0 0 d −g t . m Mit der Substitution dm =− d folgt t d 1 =− ∫ m 0 m t ∫ m0 m0 m=m t dm 1 1 =− [ ln m ]m=m = ln m mt 0 . Damit gilt m0 m0 S v t = ln − g t = c S ln −g t . m t mt Weg: Für den seit dem Start zurückgelegten Weg gilt t t t m0 s t =∫ v d = c S ∫ ln d − g ∫ d . m 0 0 0 Mit der Substitution dm =− d folgt für das erste Integral auf der rechten Seite Dynamik 2 1-4 Prof. Dr. Wandinger t m0 1 d =− ∫ ln m 0 m t ∫ m0 m0 1 ln dm= m m t ∫ m0 m m ln dm= 0 m0 ∫ ln m0 dm m =m 0 d m0 m0 m dm . m0 ∫ [ ] Die weitere Substitution dm=m 0 1 m t m t /m 0 1 führt auf m m m m m m ln d = 0 ln − m0 m0 m0 m0 m0 m0 m t mt m t = ln − 1 m0 m0 m0 m /m 0 =m t /m 0 m /m 0 =1 . Das zweite Integral auf der rechten Seite berechnet sich zu t 1 ∫ d = 2 t 2 . 0 Damit gilt m m t m t m t 1 2 s t = c S 0 ln − 1 − g t . m0 m0 m0 2 Werte bei Brennschluss: Masse: m 150 s =2800 t −2000t =800 t Dynamik 2 1-5 Prof. Dr. Wandinger Beschleunigung: 3 33333⋅10 N 2 a 150 s = −9,81m / s 3 800⋅10 kg 2 a 150 s =31,86 m /s =3,25 g Geschwindigkeit: v 150 s=2500 m / s ln 2800 2 −9,81m / s ⋅150 s 800 v 150 s=1660 m / s Höhe: m150 s 800 = =0,2857 m0 2800 2800 t s 150 s =2500 m /s⋅ ⋅ 0,2587 ln 0,2587−0,25871 13,33 t / s 1 2 2 2 − ⋅9,81m / s ⋅150 s 2 s 150 s =76,77km Aufgabe 4: SE SA u v x Einströmen: S E = L u nach hinten Ausströmen: S A= L B v nach vorn Resultierende Schubkraft: S = S A − S E = L B v − L u = L v −u B v Dynamik 2 1-6 Prof. Dr. Wandinger