Dynamische Spiele mit unvollstCndiger Information

Dynamische Spiele mit unvollständiger Information
Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht
Spieltheorie
University of Bonn
Dezsö Szalay
Dieser Teil basiert auf Kapitel 4 "Gibbons (1992), A
primer in Game theory", Harvester Wheatsheaf.
Bitte benutzen Sie das Buch, um die fehlenden Graphen
einzutragen (oder fügen Sie diese während der
Vorlesung ein).
In einigen Spielen ist das Bayes-Nash Gleichgewicht zu
schwach als GG-Konzept.
Erinnern Sie sich an die Analyse bei Spielen mit vollständiger Information: Teilspielperfektheit kann eine schärfere Prognose liefern, wenn es mehrere Nashgleichgewichte
gibt.
Aber Teilspielperfektheit kann nicht direkt angewendet
werden bei Bayes Spielen, weil unvollständige Information
oft impliziert, dass es keine Teilspiele gibt.
Das Ziel dieser Vorlesung ist es, ein Gleichgewichtskonzept
zu motivieren, welches schärferere Prognosen liefert als
das Bayes NGG und welches auf dynamische Spiele mit
unvollständiger Information angewendet werden kann.
Einfacher gesagt: Gib eine Prognose darüber, welches
Verhalten bei unvollständiger Information beobachtet wird
und wende diese Logik auf eine bestimmte Sorte solcher
Spiele - Signalling Games - an.
Ein Beispiel:
Betrachten wir das folgende dynamische Spiel mit unvollkommener aber vollständiger Information.
Zunächst wählt Spieler 1 eine seiner drei Aktionen L, M
und R.
Falls Spieler 1 R wählt, dann endet das Spiel.
Falls Spieler 1 entweder L oder M wählt, dann weißSpieler
2 nur, dass R nicht gewählt wurde, sonst weißer nichts
weiter.
Dann kann Spieler 2 zwischen L‘und R ‘wählen.
Um das NGG des Spiels zu …nden, transformieren wir
dieses in Normalform:
L
M
R
L’
2,1
0,2
1,3
R’
0,0
0,1
1,3
Es gibt zwei NGG L; L0 und R; R0 :
Das Spiel hat keine Teilspiele, daher sind beide GG teilspielperfekt.
Macht das Gleichgewicht R; R0 Sinn?
Wenn man sich das folgende Spiel anschaut
L
M
L’
2,1
0,2
R’
0,0
0,1
Dann ist R’dominiert durch L’
Warum sollte also Spieler 2 R’spielen?
Um unsere Bedenken mit dem Gleichgewicht R; R0
zu formalisieren, betrachten wir folgende zusätzliche Anforderung, die ein Gleichgewicht zu erfüllen hat:
Anforderung 1: An jeder Informationsmenge muss der
Spieler, der an der Reihe ist, einen belief haben, welcher
Knoten erreicht wurde, wobei ein belief die Wahrscheinlichtkeitsverteilung über die Knoten in der Informationsmenge ist.
Anforderung 2: Gegeben ihre beliefs, müssen die Strategien der Spieler sequentiell rational sein; d.h. optimal
gegeben die beliefs und die Strategien im Fortsetzungsspiel.
Diese beiden Anforderungen schließ
en das GG R; R0
aus.
Sei p die Wahrscheinlichkeit die Spieler 2 dem Ereignis
beimiß
t, dass Spieler 1 L gespielt hat und 1
p die
Wahrscheinlichkeit dass Spieler 1 M gespielt hat:
Dann sind die payo¤s von Spieler 2 für beliebige p
p
1 p
Total
L’
1
2
2-p
Für beliebige p ist R’dominiert.
R’
0
1
1-p
Wie werden die beliefs bestimmt?
Rationale Spieler sollten jede Information nutzen, die ihnen gegeben ist.
Um besser zu erklären, was damit gemeint ist, benötigen
wir weitere Unterscheidungen:
De…nition: Für ein gegebenes Gleichgewicht in einem
Spiel in extensiver Form, be…ndet sich eine Informationsmenge auf dem Gleichgewichtspfad, falls die Informationsmenge mit einer positiven Wahrscheinlichkeit erreicht wird wenn die Spieler ihre Gleichgewichtsstrategien
verwenden.
Anforderung 3: Innerhalb einer Informationsmenge auf
dem Gleichgewichtspfad werden beliefs bestimmt durch
die Bayes’sche Regel (für bedingte Wahrscheinlichkeiten)
und die Gleichgewichtsstrategien der Spieler.
Illustration: angenommen Spieler 1 spielt eine gemischte Strategie fq1; q2; 1 q1 q2g : Dann folgt aus der
Bayes Regel, dass
q1
p=
q1 + q2
Um das Spiel vollständig zu beschreiben, müssen wir auch
beliefs abseits des Gleichgewichtspfads spezi…zieren. Warum?
Anforderung 4: In Informationsmengen abseits des Gleichgewichtspfads sind beliefs bestimmt durch die Bayes’sche
Regel und die Gleichgewichtsstrategien der Spieler, wann
immer möglich.
Um dies zu zeigen, betrachten wir folgendes Beispiel:
Dieses Spiel hat zwei Nashgleichgewichte:
D; L; R0 zusammen mit einem belief p = 1:
A; L; L0 zusammen mit einem belief p = 0:
Das erste Gleichgewicht genügt allen vier Anforderungen.
Das zweite Gleichgewicht genügt den Anforderungen 1
bis 3, aber nicht 4.
Als ein Beispiel für eine Situation, in der Anforderung 4
die beliefs nicht vollständig bestimmt, betrachten wir die
folgende Erweiterung unseres Beispiels:
Anwendung: Signalling Games
Es gibt zwei Spieler, einen Sender S und einen Empfänger
R.
Folgender zeitlicher Ablauf:
1. Die Natur zieht einen Typ ti des Senders aus einer
Menge an möglichen Typen T = ft1; t2; :::; tI g ; gemäß
einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sodass p (ti) > 0:
2. Der Sender beobachtet ti und wählt dann eine Aktion
mj (eine Mitteilung) aus einem Set mit Aktionen M =
fm1; m2; :::; mJ g :
3. Der Empfänger beobachtet mj (aber nicht ti) und
wählt dann eine Aktion ak aus einem Set mit Aktionen
A = fa1; :::; aK g
4. Payo¤s sind gegeben durch US ti; mj ; ak und UR ti; mj ; ak
Ein typisches Sender-Empfänger Spiel
Was sind die Strategie-Sets von Sender und Empfänger?
I) Beliefs in Signaling Games: Nachdem eine Nachricht
mj aus M beobachtet wurde, muss der Empfänger einen
belief darüber haben, welcher Typ mj gesendet wurde;
ein belief genügt den Anforderungen
tij mj
0 und
X
ti2T
tij mj = 1:
II) Sequentielle Rationalität des Empfängers: Für jedes
mj aus M; muss die Aktion des Empfängers a mj
seinen Nutzen maximieren, gegeben seinen belief; a
löst das Problem
max
ak 2A
X
ti2T
tij mj UR ti; mj ; ak
mj
III) Rationalität des Senders: Für jedes ti 2 T muss
die Nachricht des Senders seinen Nutzen maximieren,
gegeben die Strategie des Empfängers; m (ti) löst das
Problem
max US ti; mj ; a
mj 2M
mj
IV) Konsistenz von beliefs: für jedes mj in M , falls es
einen Typen ti in T gibt, der im Gleichgewicht Nachricht
mj sendet (mj (ti) = mj ); dann muss der belief des
Empfängers am Informationset mj durch die Bayes’sche
Regel und die Gleichgewichtsstrategie des Senders bestimmt sein. Sei T^ die Menge von Typen, die eine Nachricht
mj gesendet haben. Dann gilt für alle ti 2 T^ :
p (t )
tij mj = X i
p (ti)
ti2T^
De…nition: Ein perfekt Bayesianisches Gleichgewicht in
reinen Strategien ist ein Paar von Strategien m (ti) und
a mj und ein belief-System
tij mj , welche den
Bedingungen I bis IV entsprechen.
Zwei Typen von Gleichgewichten:
Pooling versus Separating Gleichgewichte.
In einem Poolinggleichgewicht wählen alle Sender die gleiche Nachricht.
In einem Seperatinggleichgewicht wählen die Sender eine
Nachricht, die ihren Typ o¤enbart (das bedeutet, dass
alle unterschiedliche Nachrichten wählen).
Betrachten Sie das folgende Spiel: