Mathematik Labor Projekt Viertelfahrzeug

Mathematik Labor Projekt Viertelfahrzeug
1 Lernziele
Die Studierenden lernen
• Grafikbefehle anzuwenden
• Schaubilder von Funktionen und parametrisierten Kurven zu erstellen
• Funktionen zu programmieren
• Kontrollstrukturen zu programmieren
• Globale Variablen zu verwenden
• Numerische Näherungslösungen mit dem Euler-Verfahren zu berechnen
2 Aufgabenstellung
Das Schwingungsverhalten eines Feder-Dämpfer-Systems soll simuliert werden.
3 Vorgehensweise
Die Vorgehensweise kann in den folgenden Schritten erfolgen:
1. Funktion für Fahrbahnprofil
2. Funktion für Viertelfahrzeug
3. Funktion für Differenzialgleichung
4. Skript für Simulation
Prof. Dr. Jürgen Koch
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25. November 2015
Mathematik Labor Projekt Viertelfahrzeug
3.1 Funktion für Fahrbahnprofil
Das Fahrbahnprofil soll mithilfe einer Funktion realisiert werden. Der Wert der Funktion f (x) gibt die Höhe des
Fahrbahnprofils an der Stelle x an. Wie abgebildet startet die Fahrbahn mit der Höhe f (0) = 0. Zwischen x = 2
und x = 3 verliert die Fahrbahn linear an Höhe und wird auf den Wert f (3) = −0.5 abgesenkt. Insgesamt soll eine
Fahrt von x = 0 bis zu x = 10 simuliert werden. Für die Simulation werden später nicht nur die Funktionswerte
f (x), sondern auch die Werte der Ableitung der Funktion f 0 (x) benötigt. Deshalb soll eine Funktion mit einem
Eingabeargument x und zwei Ausgabeargumenten f und fp implementiert werden:
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f u n c t i o n [ f , fp ] = quarter_car_road ( x )
//
// i n p u t :
// x . . . v e c t o r w i t h x v a l u e s
//
// o u t p u t :
// f
. . . vector with f ( x ) values
// f p . . . v e c t o r w i t h f ’ ( x ) v a l u e s
scilab/quarter_car_road.sci
Die Funktion soll als Eingabeargument nicht nur einen einzelnen x-Wert sondern auch einen Vektor mit vielen
x-Werten verarbeiten können. Die Ausgabe besteht dann aus zwei Vektoren f und fp, die zu jedem x-Wert die
entsprechenden Funktionswerte und die Werte der Ableitung enthalten.
Testen Sie die Funktion durch:
−−> x = l i n s p a c e ( 0 , 1 0 ) ;
−−> [ f , f p ] = q u a r t e r _ c a r _ r o a d ( x ) ;
3.2 Funktion für Viertelfahrzeug
Die Abbildung zeigt das Modell des Viertelfahrzeugs an
der Position x = 0 und f (0) = 0. Im Gleichgewichtszustand befindet sich der Mittelpunkt der Masse im Abstand von y0 = 2 über der Fahrbahn. Mit der Funktion
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f u n c t i o n quarter_car_draw ( x , f , y )
//
// i n p u t :
// x . . . x p o s i t i o n
// f . . . y p o s i t i o n o f w h e e l
// y . . . y p o s i t i o n o f mass
scilab/quarter_car_draw.sci
soll das Modell an einer beliebigen Position (x|f ) dargestellt werden. Das dritte Argument y gibt dabei die
y-Position der Masse an.
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25. November 2015
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3.3 Funktion für Differenzialgleichung
Die vertikale Auslenkung y(t) der Masse m in Abhängigkeit der Zeit t kann mit Hilfe eines vereinfachten Modells
durch die Differenzialgleichung
mÿ(t) + cD (ẏ(t) − f˙(t)) + cF (y(t) − y0 − f (t)) = 0
berechnet werden. Dabei bezeichnet cD die Dämpfungskonstante, cF die Federkonstante, y0 die Auslenkung im
Gleichgewichtszustand und die Funktion f (t) die Höhe der Fahrbahn in Abhängigkeit von der Zeit t.
Die Bewegungsgleichung ergibt sich aus einem Gleichgewicht von drei Kräften. Die Federkraft
cF (y(t) − y0 − f (t))
ist proportional zur Auslenkung, wobei der Gleichgewichtslage y0 zu berücksichtigen ist. Die Dämpferkraft
cD (ẏ(t) − f˙(t)).
wirkt proportional zur Geschwindigkeit. Die Trägheitskraft
mÿ(t)
ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung.
Formulieren Sie die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung durch Einführung der Zustandsgrößen z1 (t)
und z2 (t) als Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit zwei Gleichungen.
Erstellen Sie eine Funktion
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f u n c t i o n zp = q u a r t e r _ c a r _ o d e ( t , z )
//
// i n p u t :
// t . . . t i m e
// z = [ z ( 1 ) ; z ( 2 ) ]
. . . state vector
//
// o u t p u t :
// zp = [ zp ( 1 ) ; zp ( 2 ) ]
. . . state vector derivation
scilab/quarter_car_ode.sci
die bei der Eingabe einer Zeit t und eines Zustandvektors [z1 ; z2 ] die Ableitung des Zustandvektors [ż1 ; ż2 ] mithilfe
der Differenzialgleichung berechnet.
3.4 Skript für Simulation
Erstellen Sie ein Skript quarter_car.sce, das die Bewegung des Viertelfahrzegs mit der konstanten Geschwindigkeit v = 4 mit dem Euler-Verfahren
z neu = z alt + h · f (talt , z alt )
und einer geeigneten Schrittweite h simuliert. Wählen Sie für die Konstanten die Werte
cD = 400 Ns/m,
cF = 10 000 N/m,
m = 100 kg.
Erstellen Sie ein Schaubild der vertikalen Auslenkung der Masse y(x) in Abhängigkeit von der zurückgelegten
Strecke x.
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4 Scilab-Befehle
clear
plot
figure
xfpoly
clf
global
mtlb_axis
drawlater
mtlb_grid
drawnow
linspace
5 Zusatzaufgabe
Das Lösen der Zusatzaufgabe erfordert fundierte Kenntnisse im Umgang mit Scilab. Die Zusatzaufgabe ist nur für
diejenigen gedacht, die aus eigenem Interesse tiefer in die Materie einsteigen wollen!
Erstellen Sie eine Animation, die die Fahrt simuliert.
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