Labor 11

Labor 11
Gegeben sind folgende Funktionen:
a) f : [1, 2] → [0, ∞), f (x) = xx , x ∈ [1, 2].
1
b) f : [2, 5] → [0, ∞), f (x) = √x−1
, x ∈ [2, 5].

1

x ∈ [−1, 0]
 1+x2 ,
2 x
1
c) f : [−1, 2] → [0, ∞), f (x) = x2 sin 1−x , x ∈ (0, 1)

√
2x − x2 , x ∈ [1, 2].
I. Man konstruiere in Matlab mit function drei Funktionen (für a),b),c)) für die Berechnung
der Funktion f im Punkt x.
II. Mit Hilfe der Funktionen aus I, stelle man die drei Funktionen graphisch dar (drei
verschiedene Bilder - figure).
III. Man implementiere in Matlab jede der drei folgenden Methoden und vergleiche die
erhaltenen Ergebnisse.
Monte-Carlo Integration - 1. Methode
Sei f : [a, b] → [0, ∞) eine gegebene integrierbare Funktion. Wir betrachten folgende
Z b
Schritte für die Approximation des Integrals
f (x) dx:
a
• man generiert N zufällige Zahlen gleichmässig verteilt auf [a, b]:
x1 , x2 , . . . , xN ∈ [a, b],
wobei N ∈ N gegeben ist (N = 100, 1000, . . .).
• sei: yi = (b − a)f (xi ), für i = 1, 2, . . . , N .
Z
• man berechnet den approximativen Wert des Integrals
b
f (x) dx ≈
a
1
y1 +y2 +. . .+yN .
N
Monte-Carlo Integration - 2. Methode
Sei f : [a, b] → [0, ∞) eine gegebene integrierbare Funktion und M > 0 so dass f (x) ≤ M ,
Z b
∀ x ∈ [a, b]. Wir betrachten folgende Schritte für die Approximation des Integrals
f (x) dx:
• man generiert N zufällige Zahlen gleichmässig verteilt auf [a, b]:
x1 , x2 , . . . , xN ∈ [a, b],
wobei N ∈ N gegeben ist (N = 100, 1000, . . .).
• man generiert N zufällige Zahlen gleichmässig verteilt auf [0, M ]:
y1 , y2 , . . . , yN ∈ [0, M ].
1
a
• man zählt die Anzahl P der Paare (xi , yi ) welche folgende Ungleichung erfüllen: yi ≤ f (xi ),
für i = 1, 2, . . . , N .
Z b
P
• man berechnet den approximativen Wert des Integrals
f (x) dx ≈ A = M (b − a) .
N
a
Numerische Integration - die Trapezregel
Sei f : [a, b] → [0, ∞) eine gegebene integrierbare Funktion. Wir betrachten folgende
Z b
Schritte für die Approximation des Integrals
f (x) dx:
a
• man konstruiert eine äquidistante Unterteilung des Intervalls [a, b]:
a = x1 < x2 < · · · < xN < xN +1 = b,
wobei N ∈ N gegeben ist (N = 100, 1000, . . .).
• man bezeichnet: yi = f (xi ), i = 1, 2, . . . , N + 1.
• man berechnet den Flächeninhalt Ai des Trapezes mit den Spitzen in den Punkten mit
den Koordinaten (xi , 0), (xi+1 , 0), (xi+1 , yi+1 ) und (xi , yi ), für i = 1, 2, . . . , N .
Z b
f (x) dx ≈ A1 + A2 + . . . + AN .
• man berechnet die Approximation des Integrals
a
2