Dynamik: stationäre Zustände

Dynamik: stationäre Zustände
{|un i} seien Energie-EV: Ĥ|un i = En |un i; Ĥ: zeitunabhängig
Zeitentwicklung von |un i
t=0:
|un (0)i
t>0:
|un (t)i = Û (t, 0)|un (0)i = e−itEn /~ |un (0)i ∼ |un (0)i
Eine globale Phase eiδ ändert die Physik nicht!
hun (t)|Â|un (t)i = hun (0)|Â|un (0)i
EV von Ĥ =⇒ stationäre Zustände
Zeitentwicklung eines beliebigen Zustandes |ψi
X
t=0:
|ψ(0)i =
αn |un i
n
t>0:
|ψ(t)i = Û (t, 0)|ψ(0)i =
X
αn e−itEn /~ |un i
n
Dirac-Schreibweise:
Û (t, 0) =
X
|un ihun |e−itEn /~
n
YC Lin
Formalismus
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Wellenmechanik
YC Lin
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Materiewellen
QM: Teilchen (z.B. Elektronen) haben Welleneigenschaften
Wellenfunktion eines freien Teilchens mit Impuls p und Energie E = p 2 /2m
x, t) = Cei(kk ·xx−ωt)
ψ(x
mit ω =
E
p
,k =
~
~
Doppelspaltexperiment
Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Schirm:
ρ ∝ |ψ1 + ψ2 |2 = ρ1 + ρ2 + ψ1∗ ψ2 + ψ1 ψ2∗
Das Interferenzmuster bleibt bestehen, wenn die Elektronen einzeln auftreten.
x, t)|2 d3 x ist die W’keit, das Teilchen zur
Wahrscheinlichkeitsinterpretation: |ψ(x
Zeit t am Ort x im Volumenelement d3 x zu finden
das schönste physikalische Experiment: (physicsworld)
Doppelspalt-Exp. mit Elektronen(C.J ÖNSSON 1961)
Fig: Wikipedia
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Wellenmechanik
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Klassische Mechanik vs Quantenmechanik
klassisch
QM
Ort
x
x
x̂
Impuls
p
p̂p
x, p )
F (x
x, p̂p)
F̂ (x̂
Dynamische Variable
Hamiltonian
x, p ) =
H(x
x, p ) =
H(x
BewegungsGl.
Liouville
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p2
x)
+ V (x
2m
x))2
p− q
A (x
(p
c
2m
x)
+ qΦ(x
x, p̂
p) =
Ĥ(x̂
x, p̂
p) =
Ĥ(x̂
p2
p̂
x)
+ V̂ (x̂
2m
p− q
A(x̂
x))2
(p̂
Â
c
2m
x)
+ q Φ̂(x̂
dA
∂A
= [A, H] +
dt
∂t
dÂ
1
∂ Â
=
[Â, Ĥ] +
dt
i~
∂t
∂ρ
+ [ρ, H] = 0
∂t
∂ ρ̂
1
+ [ρ̂, Ĥ] = 0
∂t
i~
Wellenmechanik
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OrtsDarstellung: Ortsoperator
x)
Wellenfunktion: ψ(x
R
x|ψ(x
x)|2 = 1
die W’keit, das Teilchen irgendwo im Raum zu finden: dx
x) ∈ H = L2 (R3 , dx
x)
=⇒ ψ(x
OrtsOperator:
x)
xψ(x
x) = |{z}
x̂
x ψ(x
(Multiplikationsoperator)
∈R3
x (Dirac):
Spektralzerlegung von x̂
Z
x x |x
xihx
x|
dx
x=
x̂
R3
xi ist orthonormal und vollständig in folgendem Sinne:
|x

x0 |x
xi = δ (3) (x
x − x0)
hx
R
x|x
xihx
x|
Iˆ = R3 dx
Z
Z
x) := hx
x|ψi = dx
x0 hx
x|x
x0 ihx
x0 |ψi = dx
x0 δ(x
x − x 0 )ψ(x
x0 )
ψ(x
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Wellenmechanik
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OrtsDarstellung: Impulsoperator
Impuls als Erzeuger der räumlichen Translation
Translation im homogenen Raum
T̂a ψ(x) = ψ(x − a)
|T̂a ψ(x)|2 = |ψ(x)|2
=⇒
T̂ : unitär
Infinitesimale Translation s 1:
“ dT̂
dT̂ † ”˛˛
Iˆ = T̂s T̂s† = 1 + s
+
+ O(s2 )
˛
s=0
ds
ds
dT̂ ˛˛
= −iK̂ mit K̂ = K̂ †
˛
ds s=0
ˆ 1 ˜
p̂
−−−−−→ K̂ =
[K̂] =
Länge ~p = 2π
~
λ
ImpulsOperator:
|ss| 1 :
x) = (1 − iss ·
T̂s ψ(x
p̂p
x) = ψ(x
x) − s · ∇ ψ(x
x)
)ψ(x
~
~
x)
∇ ψ(x
i
~ ∂
p̂α =
i ∂xα
x) =
=⇒ p̂pψ(x
in 1D
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Wellenmechanik
(Differentialoperator)
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Kanonische Vertauschungsrelationen
[x̂α , p̂β ] = i~δαβ Iˆ
Mit x̂α ψ(x) = xα ψ(x) und p̂β ψ(x) =
~
∂ ψ(x):
i β
(x̂α p̂β − p̂β x̂α ) ψ(x) = · · ·
Beschränkte Operatoren können niemals diese Vertauschungsrelation
erfüllen.
Heisenbergsche Unschärferelation: ∆x · ∆p ≥ ~2
Es ist also unmöglich, qm Teilchen so zu präparieren, dass die Schwankungen bei Orts- und
Impulsmessung beiden beliebig klein sind. ∆x und ∆p beziehen sich auf unabhängige Messungen
an einer Teilchengesamtheit.
[p̂α , p̂β ] = 0
folgt aus [T̂aα , T̂aβ ] = 0
[x̂α , x̂β ] = 0
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Wellenmechanik
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FourierTransformation
ψ ∈ L2 (Rn ), x , p ∈ Rn
FourierTransformierte zu ψ
e p) := (2π~)− n2
ψ(p
Z
i
x ψ(x
x)e− ~ p ·xx
dx
Rn
Rücktransformation:
n
x) := (2π~)− 2
ψ(x
Z
i
e p)e ~ p ·xx
dpp ψ(p
Rn
Eine beliebige Wellenfunktion kann als Linearkombination (als Integral)
von ebenen Wellen dargestellt werden
F.T.≡ unitäre Transformation zwischen x- und p-Darstellungen
Z
Z
e p)|2 = dx
x|ψ(x
x)|2 = 1 (PARSEVAL)
dpp|ψ(p
e p)|2 : W’keitsdichte im Impulsraum
=⇒|ψ(p
D IRAC-Notation
Z
hpp|ψi =
Z
x hpp|x
xihx
x|ψi, hx
x|ψi =
dx
x|ppi =
Transformationselement: hx
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Wellenmechanik
x|ppihpp|ψi
dpp hx
1
xp
x i∗
eix ·p /~ = hpp|x
(2π~)n/2
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ImpulsDarstellung
Wellenfunktion: ψ(pp) ∈ L2 (R3 , dpp)
|ψ(pp)|2 dpp: die W’keit, den Impuls des Teilchens in dpp um p herum zu finden
ImpulsOperator:
p̂pψ(pp) = p ψ(pp)
|{z}
(Multiplikationsoperator)
∈R3
Spektralzerlegung von p̂p (Dirac):
Z
p̂p =
dpp p |ppihpp|
R3
|ppi ist orthonormal und vollständig in folgendem Sinne:
 0
hpp |ppi = δ (3) (pp − p 0 )
R
Iˆ = R3 dpp|ppihpp|
Z
Z
ψ(pp) := hpp|ψi = dpp0 hpp|pp0 ihpp0 |ψi = dpp0 δ(pp − p 0 )ψ(pp0 )
OrtsOperator:
xψ(pp) = i~∇
∇ψ(pp)
x̂
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(Differentialoperator)
Wellenmechanik
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SchrödingerGl. in der x-Darstellung
x)
BewegungsGl. eines Punktteilchens der Masse m im Potential V (x
»
–
2
∂
~
x, t)
x, t) = −
x) ψ(x
i~ ψ(x
∇ 2 + V̂ (x̂
∂t
2m
|
{z
}
Ĥ
KontinuitätsGleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte
∂
x, t) = −∇
∇ · j (x
x, t)
ρ(x
∂t
mit
x, t)|2
ρ = |ψ(x
“
”
~
∇ψ) − (∇
∇ψ ∗ )ψ
j=
ψ ∗ (∇
2mi
“
””
1 “
~
j = < ψ ∗ [ ∇ ]ψ
m
i
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Wahrscheinlichkeitsdichte
Wahrscheinlichkeitsstromdichte
Wellenmechanik
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Zeitentwicklung freier Teilchen
2
p̂
Zerfließen des Wellenpakets mit Ĥ = 2m
(Wellenpaket: zur Beschreibung eines ”lokalisierten” Teilchens)
t = 0: 1D Gaußsches Wellenpaket
ψ(x, 0) = eix
p0
~
2
− x 2
2∆
e
1
(π∆2 ) 4
minimale Unschärfe: ∆x · ∆p = ~2
t>0
ψ(x, t) = · · · (auch ein Gaußsches Wellenpaket)
hp̂i
t (Ehrenfestsches Theorem)
OrtsErwartungswert: hx̂i(t) =
m
r
∆
~2 t2
OrtsUnschärfe: ∆x (t) = √
1 + 2 4 (> ∆x (0))
m ∆
2
die Unschärfe nimmt mit der Zeit zu!
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Wellenmechanik
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