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Alte Klausuraufgaben zu Kapitel 3
(SS 2002 - III 2013)
von
Prof. Dr. Fred Böker
Institut für Statistik und Ökonometrie
Universität Göttingen
Platz der Göttinger Sieben 5
37073 Göttingen
Tel. 0551-394604; email: [email protected]
20. März 2013
2
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 1 ] SS02, SS06K2M1
Durch Eintragung der entsprechenden Pfeile in die Kästchen werden aus den folgenden Aussagen Äquivalenzen oder Implikationen. Der Pfeil in beide Richtungen
ist zu setzen, sofern es sich um eine Äquivalenz handelt. Der Pfeil in eine (gewählte) Richtung
ist zu setzen, sofern es sich um eine Implikation in diese Richtung handelt.
√
a)
x=
b)
x4 > 0
c)
x ∈ {1; 2; 3}
d)
2x(x − 5) = 0
e)
x2 + y 2 = 0
[ 2 ] SS02
9
x=3
x>0
x ∈ {1; 2; 3; 4}
x = 0 ODER
x=0
ODER
x=5
y=0
Drei der folgenden Aussagen sind WAHR! Kreuzen Sie sie an.
Um die Implikation A ⇒ B zu beweisen, kann man auch die Implikation ,,Nicht
B ⇒ Nicht A” beweisen.
(
)
b) Geht man wie in a) beschrieben vor, so spricht man von einem indirekten Beweis.
(
)
c)
Der Wert einer endlichen Doppelsumme ist abhängig von der Reihenfolge der
Summation.
(
)
(
)
(
)
a)
d) Wenn a eine Konstante ist, so gilt
4
P
a = 4a.
i=1
e)
Wenn n(A) die Anzahl der Elemente in der Menge A bezeichnet, so gilt stets
n(A ∩ B) < n(A).
3
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 3 ] SS02, SS06K1M1
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke und vereinfachen Sie
Ihr Ergebnis so weit wie möglich.
20
X
a)
(2k + 3) =
k=10
5 X
5
b)
k
k=0
=
1 X
13
X
i
=
j
+
1
j=0 i=10
c)
[ 4 ] WDHWS03
6
X
j=3
(2j − 5)2
[ 5 ] WS03
a)
3
X
i=0
b)
3
X
Berechnen Sie die folgende Summe:
=
Berechnen Sie die folgenden Summen:
i
(i + 1)(i + 2)
(k + 3)k
k=−2
=
=
60
4
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 6 ] WS03, SS06K1M1
Setzen Sie in die Kästchen die Zeichen ⇐=, =⇒ oder ⇐⇒ je nachdem, ob es sich um eine
Implikation (in der gewählten Richtung) oder eine Äquivalenzrelation handelt.
a)
x = 2 und y = −2
b)
(x − 3)(x2 + 2) = 0
c)
x2 = 9
x+y = 0
x=3
x=3
[ 7 ] WDHWS03, WS07M1
Berechnen Sie:
17
=
3
[ 8 ] WS03
3(n − 3)! n
3
n!
Berechnen Sie so weit wie möglich:
=
[ 9 ] WS03
Alle Mengen in dieser Aufgabe sind Teilmengen einer endlichen Menge Ω.
Mit n(A) werde die Anzahl der Elemente in der Menge A bezeichnet. DREI der folgenden
Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
n(A ∩ B) < n(A)
(
)
b) n(A ∪ B) = n(B), wenn A ⊆ B
(
)
c)
n(A ∩ B) = n(A), wenn A ⊆ B
(
)
(
)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
(
)
a)
d) n(A \ B) = n(A) − n(B)
e)
5
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 10 ] SS03
Unter 90 Personen waren
• 60 Personen, die gern Kaffee trinken,
• 50 Personen, die gern Tee trinken,
• 40 Personen, die gern Milch trinken.
Diese Zahlen schließen
• 35 Personen ein, die gern Kaffee und Tee trinken,
• 25 Personen, die gern Kaffee und Milch trinken,
• 20 Personen, die gern Tee und Milch trinken,
Diese Zahlen wiederum schließen
• 15 Personen ein, die gern Kaffee, Tee und Milch trinken.
Wie viele Personen trinken keins der drei Getränke gern?
Anzahl Personen:
[ 11 ] SS03
Schreiben Sie die folgenden Summen in Summennotation. Hinweis: Es ist
jeweils die obere Summationsgrenze und der Summand anzugeben!
a) 1 + 3 + 5 + . . . + 199 =
X
i=1
6
3
x9 + . . . + x30 =
b) 1 + x4 + x7 + 10
31
X
i=0
6
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 12 ] SS03
Setzen Sie in die Kästchen die Zeichen ⇐=, =⇒ oder ⇐⇒ je nachdem, ob
es sich um eine Implikation (in der gewählten Richtung) oder eine Äquivalenzrelation handelt.
x2 + y 2 = 0
a) x = 0 und y = 0
b) (x − 1)(x + 2)(x − 3) = 0
x=3
c) x > z 2
x>0
[ 13 ] SS03
10
a)
=
2
Drei der folgenden Aussagen sind WAHR! Kreuzen Sie sie an.
10
(
)
(
)
Es sei A(n) eine Aussage über die natürliche Zahl n. Es gelte A(1). Ferner kann (
man für jede natürliche Zahl k zeigen: Wenn A(k) gilt, so gilt auch A(k + 1).
Unter diesen Voraussetzungen gilt die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen
n.
)
d) Die in c) geschilderte Methode heißt ,,Beweis durch vollständige oder mathema- (
tische Induktion“.
)
8
b) (a + b)2 = a2 − 2ab + b2
c)
e)
3 P
3
P
i=1 j=1
j =6·
[ 14 ] WS04
3
P
j
(
j=1
Schreiben Sie den Ausdruck
1+
t t2 t3
t12
+ + + ...+
3
5
7
25
mit dem Summenzeichen.
[ 15 ] WS04
100
X
i=1
6=
Berechnen Sie die folgenden Summen:
3
X
k=0
(k + 1)k−1 =
)
7
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[
16
] WS04
Berechnen
Sie
die
Summe
4
X
j=0
[ 17 ] WS04
a)
x = 8 und y = 3
=⇒
x3 + y 3 = 0
x−y = 5
=⇒
2j+1
=
(
)
(
)
x = 0 und y = 0
(
)
=⇒
x>0
(
)
⇐=
2<x<4
(
)
x = 8 oder y = 3
=⇒
d) (x − 2)(x − 4) < 0
e)
·
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie sie an.
b) x − y = 5
c)
j
(x − 2)(x − 4) < 0
[ 18 ] SS04
DREI der folgenden Aussagen sind ALLGEMEIN GÜLTIG. Kreuzen Sie sie an. Alle auftretenden Summen seien wohl definiert.
n
n
n
X
X
X
a)
(ak + bk ) =
ak +
bk
(
)
k=1
b)
6
X
k=1
c)
k=1
ak
1
=
k
k
n X
ak
k=m
bk
6
X
k=1
ak
(
)
(
)
(
)
(
)
k=1
=
n
X
i=m
n
X
ai
bj
j=m
d)
n+1
X
xi = x1 + xn+1 +
i=1
e)
10
X
i=0
n
X
xi
i=2
ai+1 =
11
X
i=1
ai
8
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 19 ] SS04
Durch vollständige Induktion soll gezeigt werden, dass die Ungleichung
2n + 1 < n2 < 2n
für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 = 5 gültig ist.
a) Zeigen Sie, dass die Ungleichung für das erste Element n0 gilt. (Induktionsanfang)
Induktionsanfang:
b) Schreiben Sie für diese konkrete Ungleichung die Induktionsvoraussetzung (Induktionshypothese) und die Induktionsbehauptung, die zu zeigen ist, (Induktionsschritt) auf. HINWEIS:
Hier soll kein Beweis durchgeführt werden.
Induktionshypothese:
Induktionsbehauptung:
[ 20 ] SS04
Berechnen Sie:
4 X
6
X
(i − j) =
i=3 j=5
9
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 21 ] WS05
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie sie an.
m X
n
n X
m
X
X
a)
aij =
aij
i=1 j=1
(
)
(
)
(
)
(xi − µx ) = 0.
(
)
(xi − µx )2 = 0.
(
)
j=1 i=1
b) Bei der Berechnung einer Doppelsumme kommt es entscheidend auf die Reihenfolge der Summation an.
c)
Bei der Berechnung von
n
m X
X
i=1 j=1
d) Wenn µx = T1
e)
Wenn µx = T1
T
X
aij sind n · m Werte zu addieren.
xi ist, dann gilt
i=1
T
X
T
X
i=1
xi ist, dann gilt
i=1
T
X
i=1
[ 22 ] WS05
Setzen Sie in den folgenden Fällen entweder einen der Implikationspfeile
(=⇒, ⇐=) oder das Zeichen für die Äquivalenzrelation (⇐⇒).
(x − 4)(x + 5) = 0
x=4
−1
x 6= 2 und x
x−2 =0
x2 < 36
0≤x<6
[ 23 ] WS05
x=1
Gegeben seien die Mengen
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
C = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
Bestimmen Sie die folgenden Mengen:
A ∩ (B ∩ C) =
A \ (B ∪ C) =
10
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 24 ] SS05, SS08M1
Berechnen Sie die folgende Summe und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich:
5 X
10
X
1
i=1 j=1
5
i2 · j =
[ 25 ] SS05, SS08M1
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie sie an.
a)
Jedes mathematische Theorem kann als Implikation P =⇒ Q formuliert werden.
Dabei gibt P die Voraussetzungen an, während Q die Schlussfolgerungen enthält.
(
)
b) Man unterscheidet zwischen deduktiven und induktiven Schlussfolgerungen.
(
)
c)
Will man die Implikation P =⇒ Q beweisen, so kann man einen indirekten Beweis
verwenden, d.h. man beweist, dass Q nicht gilt.
(
)
d) Wenn die Aussage P die Aussage Q impliziert, so ist P eine hinreichende Bedingung für Q.
(
)
e)
(
)
Wenn die Aussage Q aus der Aussage P folgt, so ist P eine notwendige Bedingung
für Q.
[ 26 ] (II06)
Alle Mengen in dieser Aufgabe sind Teilmengen einer endlichen Menge Ω.
Mit n(A) werde die Anzahl der Elemente in der Menge A bezeichnet. DREI der folgenden
Aussagen sind WAHR! Kreuzen Sie sie an.
a)
(
)
b) n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
(
)
n(A ∩ B) = n(A), wenn B ⊆ A
(
)
d) n(A \ B) = n(A) − n(B), wenn B ⊆ A
(
)
n(A ∪ Ω) = n(Ω)
(
)
c)
e)
[
n(A ∩ B) ≤ n(A)
27
] (II06)
Berechnen
Sie
die
Summe:
3
X
(−1)k k k
k=1
[ 28 ] (II06)
Schreiben Sie die folgende Summe mit Hilfe des Summenzeichens:
2x1 y1 + 2x2 y2 + . . . + 2x20 y20 =
=
11
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 29 ] (IV06)
Durch Eintragung der entsprechenden Pfeile in die Kästchen werden aus
den folgenden Aussagen Äquivalenzen oder Implikationen. Der Pfeil in beide Richtungen ist zu
setzen, sofern es sich um eine Äquivalenz handelt. Der Pfeil in eine (gewählte) Richtung ist zu
setzen, sofern es sich um eine Implikation handelt.
a) x2 = 9
x = −3
b) x3 > 0
x>0
x ∈ {1; 2; 3; 4}
c) x ∈ {1; 2; 3}
[ 30 ] (IV06)
a)
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie sie an.
Ist die obere Grenze einer Summe kleiner als die untere, gibt es keine Terme.
Daher ist es allgemeine Konvention diese Summe als Null zu betrachten.
(
)
b) Bei einem konstanten Faktor c hinter dem Summenzeichen kann die Eigenschaft
der Homogenität der Summe ausgenutzt werden, d.h. c kann vor das Summenzeichen gezogen werden.
(
)
(
)
(
)
(
)
c)
Für Doppelsummen gilt:
m X
n
X
i=1 j=1
aij =
n X
m
X
aij
j=1 i=1
d) Nehmen Sie an, P und Q seien zwei Aussagen, so dass gilt: Wenn P wahr ist, so
ist auch Q wahr. In diesem Fall spricht man von einer logischen Äquivalenz.
e)
P ⇒ Q ist äquivalent zu Nicht P =⇒ Nicht Q.
[ 31 ] SS06, K2
5
X
i=1
2
7·i =
Berechnen Sie die folgenden Summen:
3
X
5 · 2i
i=0
i+1
=
12
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 32 ] SS06K2M1
a)
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie sie an.
(
)
b) Wenn n(A) die Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge ist, so gilt für zwei
endliche Mengen A und B: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
(
)
Mit den gleichen Bezeichnungen wie in b) gilt: n(A \ B) ≤ n(A).
(
)
d) Für P =⇒ Q sagt man: P ist eine notwendige Bedingung für Q.
(
)
e)
Gilt P =⇒ Q und Q =⇒ P , so sagt man: P und Q sind logisch äquivalent.
(
)
c)
Mathematische Induktion bedeutet dasselbe wie logische Äquivalenz.
[ 33 ] SS02, SS06K2M1
Durch Eintragung der entsprechenden Pfeile in die Kästchen
werden aus den folgenden Aussagen Äquivalenzen oder Implikationen. Der Pfeil in beide Richtungen ist zu setzen, sofern es sich um eine Äquivalenz handelt. Der Pfeil in eine (gewählte)
Richtung ist zu setzen, sofern es sich um eine Implikation in diese Richtung handelt.
√
a)
x=
9
b)
x4 > 0
c)
x ∈ {1; 2; 3}
d)
2x(x − 5) = 0
e)
x2 + y 2 = 0
x=3
x>0
x ∈ {1; 2; 3; 4}
x = 0 ODER
x=0
ODER
x=5
y=0
[ 34 ] SS06, K1
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie sie an.
a)
x = 0 oder y = 0 gilt, wenn x = 0 und y = 0
b) (5 − x)(y − 3) = 0
c)
x3 − y 2 = 0
d) x2 − x3 = 0
e)
y 4 + x2 = 0
⇒
⇐
⇒
(
)
(
)
x=y
(
)
x=1
(
)
x=y
(
)
⇒
y=3
13
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 35 ] SS02, SS06K1M1
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke und vereinfachen Sie
Ihr Ergebnis so weit wie möglich.
a)
20
X
(2k + 3) =
k=10
b)
5 X
5
k=0
c)
k
=
1 X
13
X
i
=
j
+
1
j=0 i=10
[ 36 ] WS03, SS06K1M1
Setzen Sie in die Kästchen die Zeichen ⇐=, =⇒ oder ⇐⇒ je nachdem, ob es sich um eine
Implikation (in der gewählten Richtung) oder eine Äquivalenzrelation handelt.
a)
x = 2 und y = −2
b)
(x − 3)(x2 + 2) = 0
c)
x2 = 9
x+y = 0
x=3
x=3
[ 37 ] WS07, K1
Ermitteln Sie den Wert der folgenden Summen:
4
X
i=2
2
(2i − i + 1) =
5
X
i=1
i2 =
14
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 38 ] WS03, K1
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie sie an.
60
60
a)
=
58
2
12
b)
= 12
1
12
c)
=0
0
11
12
11
=
+
d)
7
6
7
e)
7! = 6! · 6
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[ 39 ] WS07, M1
Berechnen Sie den Wert der folgenden Doppelsumme.
3 X
5
X
2j
=
i+2
i=1 j=1
[ 40 ] WS07, M1
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie sie an.
a)
k
X
ai +
i=1
b)
5
X
6
X
cbi = c
i=1
ai +
i=1
c)
k
X
10
X
k
X
(ai + bi )
i=1
ai =
i=6
10
X
ai
i=1
a = 6a
i=1
d)
10
X
i+
i=1
e)
10
X
i=1
10
X
i=1
(1 −
√
(10 − i) =
i)(1 +
√
10
X
i=1
i) =
10
X
i=1
[ 41 ] WDHWS03, WS07M1
Berechnen Sie:
17
=
3
(i + 10 − i) = 100
(1 − i) = 1 −
10
X
i=1
i
15
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 42 ] WS07K2
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Wenn in der Aussage eine Implikation (=⇒
oder ⇐=) vorkommt, so gilt diese nur als WAHR, wenn sie nicht durch eine
Äquivalenz( ⇐⇒ ) ersetzt werden kann. Kreuzen Sie die wahren Aussagen an.
a)
x > y 4 =⇒ x > 0
(
)
(
)
x + y = 3 ⇐⇒ x = −1 und y = 4.
(
)
(
)
(x − 5)(x − 1) < 0 ⇐⇒ 1 < x < 5
(
)
b) x2 + y 4 = 0 =⇒ x = 0 und y = 0.
c)
d) 3x(x2 − 4) = 0 ⇐= x = 0 oder x = 2.
e)
[ 43 ] IV07M1
Berechnen Sie die folgende Summe:
6
X
j=3
(2j − 6)2 =
[ 44 ] IV07M1
Setzen Sie in die Kästchen die Zeichen ⇐=, =⇒ oder ⇐⇒ je nachdem, ob es sich um eine Implikation (in der gewählten Richtung) oder eine Äquivalenzrelation handelt. Falls keine
Implikation gilt, streichen Sie bitte das Kästchen durch.
a)
x = 0 und y > 0
b)
x>1
x2 + y 2 > 0
x>z≥1
16
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 45 ] SS07K1
Die Häuptlinge Anton und Bruno konkurrieren um die Gunst ihrer 450 Krieger. Die Menge
aller Krieger sei Ω. Es sei A die Menge der Krieger, die Anton mögen und B die Menge der
Krieger, die Bruno mögen. Es gibt 20 Krieger, die weder zu A noch zu B gehören. Die Anzahl
der Elemente in einer Teilmenge C von Ω sei mit n(C) bezeichnet. Folgendes sei bekannt:
n(B \ A) =
n(A \ B)
2
n(A ∩ B) = 20 · n(A \ B)
Berechnen Sie die folgenden Anzahlen und veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis durch ein mit
Namen und Zahlen beschriftetes Venn-Diagramm.
n(A \ B) =
n(B \ A) =
n(A ∩ B) =
Venn-Diagramm:
[ 46 ] SS07K2
Berechnen Sie die folgende Summe für a = 2. Hinweis: Schreiben Sie zunächst die einzelnen
Summanden auf und überlegen Sie, welche Potenzen von a = 2 Sie benötigen. Zur Hilfe seien
Ihnen die folgenden Zahlen gegeben:
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024 2 048 4 096 8 192
3
X
i=1
ai+1
i
=
[ 47 ] SS07M1
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie sie an.
a)
(
)
b) Ist P hinreichend für Q und Q notwendig für P , so schreibt man P ⇐⇒ Q.
(
)
(
)
d) Ist P hinreichend und notwendig für Q, so schreibt man: P ⇐⇒ Q.
(
)
(
)
c)
e)
Ist P eine notwendige Bedingung für Q, so schreibt man P =⇒ Q.
Ist P hinreichend und notwendig für Q, so ist auch Q hinreichend und notwendig
für P .
Ist P hinreichend und notwendig für Q, so sagt man auch: P gilt dann und nur
dann, wenn Q gilt.
17
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 48 ] SS07M1
Setzen Sie in die Kästchen die Zeichen ⇐=, =⇒ oder ⇐⇒ je nachdem, ob es sich um eine
Implikation (in der gewählten Richtung) oder eine Äquivalenzrelation handelt.
x2 + y 2 = 2
a) x = 1 und y = 1
b) (x − 3)2 = 0
x=3
[ 49 ] WS08K1
Ein Student der Wirtschaftswissenschaften möchte mit Hilfe der mathematischen Induktion
folgende Aussage A(n) beweisen:
1
A(n) : 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + n · (n + 1) = n(n + 1)(n + 2)
3
Geben Sie die Gleichung für den Induktionsanfang an und zeigen Sie, dass beide Seiten der
Gleichung dasselbe Ergebnis liefern.
A(1) :
Nachdem er die Induktionshypothese
1
A(k) : 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + k · (k + 1) = k(k + 1)(k + 2)
3
aufgestellt hat, möchte er den zweiten Induktionsschritt durchführen. Geben Sie den Ausdruck
an, den er auf beiden Seiten addieren muss.
Im Anschluss führt er den Beweis mit Hilfe der vollständigen Induktion durch und formt das Ergebnis der rechten Seite der Gleichung soweit um, dass es als Beweis für die Ausgangsgleichung
gilt. Geben Sie den Ausdruck der rechten Seite der Gleichung für A(k + 1) an.
A(k+1) :
1·2+2·3+. . .+k·(k+1)+(k+1)·(k+2) =
18
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 50 ] WS08M1
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR, d.h. sie sind ALLGEMEIN GÜLTIG. Kreuzen Sie
sie an. Alle auftretenden Summen seien wohl definiert.
n
n
n
X
X
X
a)
(ak + bk ) =
ak +
bk
(
)
k=1
b)
n+1
X
k=1
xi = x1 + xn+1 +
c)
ai+1 =
i=0
d)
xi
(
)
ai
(
)
(
)
(
)
6
1X
=
ak
k
k k=1
n X
ak
k=m
11
X
i=1
6
X
ak
k=1
e)
n
X
i=2
i=1
10
X
k=1
bk
=
n
X
i=m
n
X
ai
bj
j=m
[ 51 ] WS08K2
Es sei A = {2, 4, 6} und B = {1, 2, 3}. Bestimmen Sie die folgenden Mengen.
A∩B =
(A∩B)\(A∪B) =
[ 52 ] WS08K2
Schreiben Sie die folgende Summe in Summennotation. Hinweis: Geben Sie die obere Summationsgrenze sowie den Summanden an!
a3
a4
a5
a10
+
+
+
.
.
.
+
=
10b2 13b3 16b4
31b9
X
i=3
[ 53 ] SS08K1
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie sie an. Die Mengen A und B seien
Teilmengen der Grundmenge Ω. Ferner sei x ∈ Ω.
Falls x ∈
/ A, so gilt x ∈ Ω \ A.
(
)
b) Ω \ A = CA heißt das Komplement von A.
(
)
c)
Falls x ∈ A und x ∈ B, so gilt x ∈ B \ A.
(
)
(
)
Ist n(A) die Anzahl der Elemente in der Menge A, so gilt n(A∪B) = n(A)+n(B).
(
)
a)
d) C∅ = Ω.
e)
19
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 54 ] SS08K2
Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten:
9
=
3
16
=
14
[ 55 ] WS09K1
Eine Befragung von 200 Studierenden der Betriebswirtschaftslehre ergab, dass 100 von ihnen
gerne die Mathematik-Vorlesung besuchen. 80 Studierende gaben an, gerne an der StatistikVorlesung teilzunehmen. 70 Studierende sagten aus, dass sie weder die Mathematik-Vorlesung
noch die Statistik-Vorlesung gerne besuchen. Wie groß ist die Anzahl N der befragten Studierenden, die beide Vorlesungen gerne besuchen?
N=
[ 56 ] WS09K2
DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie sie an.
In dieser Aufgabe sind a und b natürliche Zahlen, so dass alle folgenden Ausdrücke definiert
sind.
a) a! = a · (a − 1)!
(
)
a
a
b)
=
(
)
b
a−b
a
c)
=0
(
)
0
b
d)
=b
(
)
1
a
e)
=a−1
(
)
a−1
20
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 57 ] SS09K2
4
X
Berechnen Sie
(pi qi ), wenn pi und qi durch die folgende Tabelle gegeben sind:
i=1
4
X
i
1
2
3
4
pi
2
1
3
6
qi
5
10
4
3
(pi qi ) =
i=1
[ 58 ] SS09K1
a)
b)
c)
d)
e)
Die folgenden Aussagen befassen sich mit Binomialkoeffizienten .
m
Binomialkoeffizienten
sind nur für m = 1, 2, . . . und k = 1, 2, . . . , m definiert.
k
m
m
Es gilt
=
.
m
1
m
=m
1
m
=1
m
m
m(m − 1)(m − 2)
Für m ≥ 3 gilt
=
.
3
6
Kreuzen Sie jetzt genau eine der folgenden fünf Möglichkeiten an:
WAHR sind die folgenden Aussagen:
a,b,c
(
)
a,c,d
(
)
a,c,e
(
b,d,e
)
(
)
c,d,e
(
)
21
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 59 ] X09M1 Die folgenden Aussagen befassen sich mit Rechenregeln aus der Mengenlehre.
Alle Mengen in dieser Aufgabe sind Teilmengen einer endlichen Menge Ω. Mit n(A) werde die
Anzahl der Elemente in der Menge A bezeichnet.
a) n(A ∩ B) ≤ n(A)
b) n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
c) n(A ∩ B) = n(A), wenn B ⊆ A
d) n(A \ B) = n(A) − n(B), wenn B ⊆ A
e) n(A ∪ Ω) = n(Ω)
Kreuzen Sie jetzt genau eine der folgenden fünf Möglichkeiten an:
WAHR sind die folgenden Aussagen:
a,b,d
(
a,b,e
)
(
a,d,e
)
(
b,d,e
)
(
)
[ 60 ] WS10K1
Die folgenden Summen seien gegeben:
n
X
xi = 54
i=1
n
X
i=1
Bestimmen Sie die folgende Summe:
n X
xi yi ·
=
3 4
i=1
yi = 144
n
X
i=1
xi yi = 924
c,d,e
(
)
22
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 61 ] WS10K1
Die folgenden Aussagen befassen sich mit Logik.
a) Wenn das Gras nass ist, regnet es.
b) Wenn es regnet, wird das Gras nass.
c) Ist P eine hinreichende Bedingung für Q, so schreibt man P ⇐= Q.
d) Gilt P =⇒ Q, so sagt man: Aus P folgt Q.
e) Gilt P ⇐⇒ Q, so sagt man: P gilt dann und nur dann, wenn Q gilt.
Kreuzen Sie jetzt genau eine der folgenden fünf Möglichkeiten an:
WAHR sind die folgenden Aussagen:
a,b,d
(
)
a,d,e
(
)
b,c,d
(
)
b,c,e
(
b,d,e
)
(
)
23
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 62 ] II09M1
a)
n
X
Die folgenden Aussagen befassen sich mit Rechenregeln für Summen.
(ak + bk ) =
k=1
b)
n+1
X
n
X
ak +
k=1
c)
10
X
ai+1 =
e)
11
X
ai
6
1X
=
ak
k
k k=1
n X
ak
k=m
xi
i=1
6
X
ak
k=1
n
X
i=2
i=0
d)
bk
k=1
xi = x1 + xn+1 +
i=1
n
X
bk
=
n
X
i=m
n
X
ai
bj
j=m
Kreuzen Sie jetzt genau eine der folgenden fünf Möglichkeiten an:
WAHR sind die folgenden Aussagen:
a,b,c
(
)
a,d,e
(
)
b,c,d
(
)
b,d,e
(
)
c,d,e
(
)
24
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 63 ] SS10,K1
Die folgenden Aussagen befassen sich mit Rechenregeln für Summen.
n
X
a) Es gilt die Additivität für Summen, d.h.
(ai + bi ) =
i=1
b) Wegen der in a) erwähnten Additivität gilt
n
X
ai +
i=1
n
X
c) Für Summen gilt die Homogenität, d.h.
(a + bi ) = a +
cai = c
i=1
d)
n
X
bi
i=1
i=1
n
X
n
X
n
X
bi
i=1
n
X
ai
i=1
2 = 2n
i=1
n
X
e)
ai
i=1
!,
n
X
i=1
bi
!
=
n
X
(ai /bi )
i=1
Kreuzen Sie jetzt genau eine der folgenden fünf Möglichkeiten an:
WAHR sind die folgenden Aussagen:
a,b,e
(
a,c,d
)
(
)
a,c,e
(
b,c,d
)
(
)
b,d,e
(
)
[ 64 ] SS10,K2
Durch Eintragung der entsprechenden Pfeile in die Kästchen werden aus den folgenden Aussagen Äquivalenzen oder Implikationen:
Der Pfeil in beide Richtungen ist zu setzen, sofern es sich um eine Äquivalenz handelt.
Der Pfeil in eine (gewählte) Richtung ist zu setzen, sofern es sich um eine Implikation in
diese Richtung handelt.
Setzen Sie die entsprechenden Pfeile:
x=4
x2 = 4
√
x=2
x=2
25
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 65 ] WS11,K1 Die folgenden Aussagen befassen sich mit Binomialkoeffizienten und Fakultäten.
m
m(m − 1)(m − 2)
a)
=
, wobei m ∈ N und m ≥ 3.
3
2!
240
b)
= 239
239
18
18
c)
=
= 9 · 17
16
2
d) 7! = 7 · 6!
m
m
e)
=
= 1, wobei m ∈ N
m
0
Kreuzen Sie jetzt genau eine der folgenden fünf Möglichkeiten an:
WAHR sind die folgenden Aussagen:
a,b,c
(
a,b,d
)
(
a,d,e
)
(
b,c,e
)
(
c,d,e
)
(
[ 66 ] WS11,K2
Die folgenden Summen seien gegeben:
n
X
i=1
xi = 54
n
X
yi = 144
i=1
n
X
i=1
Bestimmen Sie die folgende Summe:
n
X
i=1
(xi + yi )2 =
x2i
= 384
n
X
i=1
yi2
= 2 364
n
X
i=1
xi yi = 924
)
26
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 67 ] SS11,K1 Die folgenden Aussagen befassen sich mit Aspekten der Logik. Dazu seien P
und Q Aussagen.
a) P =⇒ Q bedeutet, wenn Q gilt, gilt auch P .
b) P ⇐⇒ Q ist gleichbedeutend mit P =⇒ Q und Q =⇒ P .
c) P =⇒ Q ist gleichbedeutend mit der Redewendung: P ist notwendig für Q.
d) P ⇐⇒ Q bedeutet: P ist notwendig und hinreichend für Q.
e) P =⇒ Q ist äquivalent zu: Wenn Q nicht gilt, gilt auch P nicht.
Kreuzen Sie jetzt genau eine der folgenden fünf Möglichkeiten an:
WAHR sind die folgenden Aussagen:
a,b,e
(
)
a,c,d
(
a,c,e
)
(
b,c,d
)
(
)
b,d,e
(
)
[ 68 ] SS11,K2
Die Mengen A und B seien Teilmengen der Grundmenge Ω. Mit n(A), n(B), ... sei die Anzahl
der Elemente in A, in B, . . . bezeichnet. Es gelte
n(Ω) = 200
n(A) = 50
Bestimmen Sie n(Ω \ (A ∪ B)).
n(Ω \ (A ∪ B)) =
n(B) = 70
n(A ∩ B) = 30
27
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 69 ] WS11,K1 Die folgenden Aussagen befassen sich mit Logik.
a) x2 > 0 ⇐⇒ x > 0
b) x = 0 und y = 0 ⇐⇒ x2 + y 2 = 0
c) x = 0 und y = 0 ⇐⇒ x2 · y 2 = 0
d) 3x(x − 2) = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 2
e) Aus x2 = 16 folgt nicht x = 4.
Kreuzen Sie jetzt genau eine der folgenden fünf Möglichkeiten an:
WAHR sind die folgenden Aussagen:
a,b,e
(
)
a,c,d
(
)
a,c,e
(
b,c,d
)
(
[ 70 ] WS11,K2
Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten:
9
=
6
16
=
14
)
b,d,e
(
)
28
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 71 ] SS12,K1 Die folgenden Aussagen befassen sich mit Mengenlehre. Dazu seien A, B und
C Teilmengen einer Grundmenge Ω. Mit n(A) sei die Anzahl der Elemente in A bezeichnet. Es
gelte n(Ω) < ∞.
a) Für Ac = Ω \ A gilt n(Ac ) = n(Ω \ A) = n(Ω) − n(A).
b) n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
c) n(A ∩ B) ≤ n(A)
d) n(A) = n(A ∪ B) − n(B \ A)
e) n(A ∩ B) > 0 für alle A und B.
Kreuzen Sie jetzt genau eine der folgenden fünf Möglichkeiten an:
WAHR sind die folgenden Aussagen:
a,b,e
(
)
a,c,d
(
a,c,e
)
(
b,c,d
)
[ 72 ] SS12,K2
Berechnen Sie die Doppelsumme
2 X
4
X
i=1 j=1
2 X
4
X
i=1 j=1
(i · j + 1) =
(i · j + 1)
(
)
b,d,e
(
)
29
Alte Klausuraufgaben zu Kap. 3
[ 73 ] WS13,K1 Die folgenden Aussagen befassen sich mit Rechenregeln für Summen.
a)
10
X
c = 10c
i=1
b)
n
X
2
(ai + bi ) =
i=1
c)
n
X
d)
i=1
e)
n
X
a2i
+2
i=1
n
X
ai ·
(c · ai ) = c ·
n
X
(ai bi ) =
i=1
i=1
n
X
n
X
ai bi +
i=1
n
X
n
X
b2i
i=1
bi
i=1
ai
i=1
(2 + ai ) = 2 +
i=1
n
X
n
X
ai
i=1
Kreuzen Sie jetzt genau eine der folgenden fünf Möglichkeiten an:
WAHR sind die folgenden Aussagen:
a,b,c
(
)
a,b,d
(
)
a,d,e
(
)
b,c,e
(
c,d,e
)
(
)
[ 74 ] WS13,K2
Die Mengen A und B seien Teilmengen der Grundmenge Ω. Mit n(A), n(B), ... sei die Anzahl
der Elemente in A bzw. in B bezeichnet. Es gelte
n(Ω) = 200
n(B) = 80
n(A ∩ B) = 30
n (A ∪ B)c = 20
Bestimmen Sie n(A).
n(A) =