Bearbeitungsvorschlag

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
D. Rost, J. Berger
SS 2017
Blatt 5
30.5.2017
Tutorium zur Vorlesung
Lineare Algebra und analytische Geometrie II“
”
-Bearbeitungsvorschlag1.
(
)
1 2
a) Für A =
∈ R2×2 gilt für die zwei Hauptuntermatrizen A1 und A2
1 2.1
√
A1 = (1) =⇒ det(A1 ) = 1 > 0
√
A2 = A
=⇒ det(A2 ) = 2.1 − 2 = 0.1 > 0.
Also sind alle Hauptminoren positiv.
( )
b) Für x = xx12 ∈ R2 ist
(
) ( )
(
) 1 2
x1
⊤
x A x = x1 x2 ·
·
1 2.1
x2
= x21 + 3x1 x2 + 2.1x22
( 3 )2 ( 3 )2
= x21 + 3x1 x2 +
x2 −
x2 + 2.1x22
[quadratische Ergänzung!]
2
2
(
)
2
3
9
= x1 + x2 − x22 + 2.1x22
2
4
(
3 )2
= x1 + x2 − 0.15 x22 .
2
( 3) ( )
Damit ist speziell für x = −12 ̸= 00
( 3 3 )2
⊤
− 0.15 · 12 = −0.15 < 0,
x Ax = − +
2 2
also ist A nicht positiv definit.
In Satz 9.9 der Vorlesung ist also die Voraussetzung, daß A symmetrisch ist, wichtig und kann
nicht ersatzlos gestrichen werden!
2.
a) Es ist
(
σA (x, y) = x⊤ Ay = x1 x2
(
= x1 x2
=
  
y1
a11 a12 a13
x3 · a21 a22 a23  · y2 
y3
a31 a32 a33


a11 y1 + a12 y2 + a13 y3
)
x3 · a21 y1 + a22 y2 + a23 y3 
a31 y1 + a32 y2 + a33 y3
)

a11 x1 y1 + a12 x1 y2 + a13 x1 y3
+a21 x2 y1 + a22 x2 y2 + a23 x2 y3
+a31 x3 y1 + a32 x3 y2 + a33 x3 y3
b) Gemäß a) ist der Koeffizient von xi yj der Eintrag aij in der i–ten Zeile und j–ten Spalte der
Matrix A; für die gegebenen Bilinearformen
•
•
•
•
σ1 (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + 3 x3 y3 − x1 y3 − x3 y1 ,
σ2 (x, y) = x1 y1 + 2 x2 y2 + 3 x3 y3 + 4 x1 y2 + 5 x1 y3 + 6 x2 y3 ,
σ3 (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 − x1 y2 + x1 y3 − x2 y3 ,
σ4 (x, y) = x1 y1 + 2 x2 y2 + x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y3 + x3 y2
von R3 ergibt sich demnach


1 0 −1
A1 =  0 1 0 
−1 0 3

1 −1 1
A3 = 0 1 −1
0 0
1

und

und

1 4 5
A2 = 0 2 6
0 0 3


1 1 0
A4 = 1 2 1 .
0 1 1
c) Die Matrizen A1 und A4 sind (im Gegensatz zu den Matrizen A2 und A3 ) symmetrisch, so
daß auch σ1 und σ4 (im Gegensatz zu σ2 und σ3 ) symmetrische Bilinearformen sind; wir
untersuchen diese nun auf positive Definitheit mit Hilfe des Hurwitz-Kriteriums 9.9:
Wegen (A1,1 , A1,2 und A1,3 bezeichnen die Hauptuntermatrizen von A1 , analog für A4 )
1 0
=1>0
det(A1,1 ) = 1 > 0
und
det(A1,2 ) = 0 1
1 0 −1
1 −1
=3−1=2>0
det(A1,3 ) = 0 1 0 = 1 · −1 3 −1 0 3 2. Zeile
sowie
ist die Matrix A1 positiv definit und folglich ist σ1 ein Skalarprodukt auf dem R3 .
Hinsichtlich A4 ist zwar
1 1 = 1 > 0,
det(A4,1 ) = 1 > 0
und
det(A4,2 ) = 1 2
1 1 0 det(A4,3 ) = 1 2 1 = (2 + 0 + 0) − (0 + 1 + 1) = 0,
0 1 1 Sarrus
aber
also ist A4 nicht positiv definit und folglich σ4 kein Skalarprodukt auf dem R3 .
3. Beweis der
Eindeutigkeit von σ:
Sei σ ein Skalarprodukt auf
σ(b1 , b2 ) = 0
R2 ,
und
( )
( )
1
2
so daß mit b1 :=
und b2 :=
gilt
3
5
||b1 || = 1
und
||b2 || = 1.
Gemäß 9.7 ist σ von der Form
σ(x, y) = σA (x, y) = x⊤ A y,
für x, y ∈ R2 ,
(∗)
und einer symmetrischen und positiv definiten Matrix A ∈ R2×2 . Da A = A⊤ ist also
(
)
a b
A=
,
mit a, b, c ∈ R.
b c
Wegen
(
a
σ(b1 , b2 ) = 1 3 ·
b
(
(
) a
||b1 ||2 = σ(b1 , b1 ) = 1 3 ·
b
(
(
) a
||b2 ||2 = σ(b2 , b2 ) = 2 5 ·
b
(
)
ergibt sich aus (∗) das LGS (ist sogar

2
1
4
) ( )
b
2
·
= 2a + 5b + 6b + 15c = 2a + 11b + 15c
c
5
) ( )
b
1
·
= 1a + 3b + 3b + 9c = a + 6b + 9c
c
3
) ( )
b
2
·
= 4a + 10b + 10b + 25c = 4a + 20b + 25c
c
5
äquivalent zu (∗))
    
11 15
a
0




6 9 · b = 1 .
20 25
c
1
Es ist

2 11 15
 1 6 9
4 20 25


0
1 6 9
I↔II
1  ↷  2 11 15
1
4 20 25

1 6
III −4 II
↷  0 −1
0 0


1
II −2 I
1 6
9
III −4 I
0  ↷  0 −1 −3
1
0 −4 −11

9 1
−3 −2  ,
1 5

1
−2 
−3
woraus c = 5, b = −13 und a = 34 folgt.
Damit ist
(
)
34 −13
A=
−13
5
und also σ eindeutig bestimmt.
Existenz von σ:
(
)
34 −13
Für obiges A =
sieht, bzw. zeigt man leicht, daß A = A⊤ und A positiv definit
−13
5
(Hurwitz-Kriterium! Es ist det A1 = 34 > 0 und det A2 = det A = 1 > 0). Damit ist σ := σA ein
Skalarprodukt auf R2 , mit dem, wie man sofort nachrechnet, (∗) erfüllt ist.
[
Der Beweis der Eindeutigkeit kann auch so geführt werden: Mit σ = σA und B := (b1 b2 ) ∈ R2×2
ist (∗) äquivalent zu
B ⊤ AB = E2 ,
woraus sich dann
(
)−1 (
)−1
( )−1
1 3
1 2
⊤
−1
A= B
·B =
·
2 5
3 5
(
)
(
) (
)
1
1
5 −3
5 −2
34 −13
=
·
=
−13
5
−1 −2 1
−1 −3 1
ergibt. Damit gibt es also höchstens ein Skalarprodukt σ auf dem R2 mit (∗).
]
4. Für die beiden symmetrischen Matrizen A ∈ Rn×n und B ∈ Rn×n , wobei A den Rang n hat, also
invertierbar ist, und B positiv definit ist, wird die Bilinearform
σ : Rn × Rn → R,
σ(x, y) = x⊤ · C · y,
mit C = A · B · A ∈ Rn×n
betrachtet. Aufgrund seiner Gestalt ist σ nach 9.3b) schon mal bilinear, so daß nach 9.6 zu zeigen
bleibt, daß C symmetrisch und positiv definit.
• Es ist, weil A = A⊤ und B = B ⊤ ,
C ⊤ = (A · B · A)⊤ = A⊤ · B ⊤ · A⊤ = A · B · A = C,
also ist C (und damit auch die Bilinearform σ) symmetrisch.
√
• Die Matrix B ist positiv definit, es gilt also y ⊤ · B · y > 0 für alle y ∈ Rn \ {0}.
Sei nun x ∈ Rn , x ̸= 0. Dann ist, weil A invertierbar, auch y := A · x ̸= 0, und es gilt
x⊤ Cx = x⊤ ABAx
A=A⊤
=
y̸=0
x⊤ A⊤ BAx = (Ax)⊤ B(Ax) = y ⊤ By > 0 .
Folglich ist die Matrix C (und damit auch die Bilinearform σ) positiv definit.
Damit ist σ eine symmetrische und positiv definite Bilinearform, also ein Skalarprodukt auf Rn .