und Wurfbewegungen 60 Waagerechter Wurf

60
Fall- und Wurfbewegungen
u0
Waagerechter Wurf
u0
C
x
1 2
gt
2
uy= gt
y=
x = u0 t
B
ux = u0
A
y
B 1: Anna springt mit Anlauf waagerecht ab.
Bernd lässt sich einfach fallen. Beide tauchen gleichzeitig ein. – In einem Gedankenexperiment bleibt Claus in der Absprunghöhe. Er läuft mit Annas Absprunggeschwindigkeit über den Laufsteg und beobachtet ihren Fall in die Tiefe. – Der Fotograf des Bildes beobachtet vom Beckenrand.
x
B
A
((61 mm))
0
ux = u0
uy
y
V 1: Zwei Kugeln A und B übernehmen die
Rollen von Anna und Bernd. Kugel A wird
von einer Feder waagerecht abgestoßen,
Kugel B gleichzeitig in gleicher Höhe losgelassen. Die stroboskopische Beleuchtung
zeigt: A und B befinden sich ständig in
gleicher Höhe.
A 1: Wie würde der Fotograf ➠ Versuch 1
beobachten, wenn er sich mit Annas u0 nach
rechts bewegte? Gehen Sie systematisch
vor: Das Bezugssystem Badeanstalt bewegt
sich für den Fotografen nach links, wir sind
für ihn die bewegten Beobachter.
1. Wer ist zuerst unten?
Anna und Bernd springen vom 5 m-Turm. Anna nimmt einen weiten Anlauf und bewegt sich dann auf krummer Bahn. Bernd lässt
sich einfach fallen, wenn Anna abspringt (➠ Bild 1). Er denkt,
dass er so schneller unten sei, weil doch Anna den weiteren Weg
zurücklegt. Hat er Recht?
Im ➠ Versuch 1 übernehmen zwei Kugeln A und B die Rollen von
Anna und Bernd. Kugel A wird waagerecht geworfen, B im gleichen Moment und auf gleicher Höhe fallen gelassen. Man hört, dass
die Kugeln gleichzeitig auf dem Boden aufprallen. Nach der Stroboskopaufnahme befinden sie sich sogar ständig auf gleicher Höhe.
Sieht man vom Luftwiderstand ab, so hängt das Ergebnis des Experiments weder von der Abwurfhöhe über dem Boden, noch von der
Abwurfgeschwindigkeit u0 oder den Massen der Körper ab. – Anna
und Bernd erreichen die Wasseroberfläche stets gleichzeitig.
2. Drei Beobachter – drei verschiedene Beschreibungen
Hält Bernd auf dem Weg in die Tiefe die Augen offen, dann sieht er
Anna stets auf seiner Höhe. Nur in waagerechter Richtung bewegt
sie sich von ihm weg. Im Bild zu ➠ Versuch 1 kann man nachmessen, dass sich die Kugel A im Zeitraum zwischen zwei Blitzen in xRichtung immer um das gleiche Wegstück von B entfernt. In xRichtung wirkt keine Kraft, also bleibt ux konstant: ux = u0 .
Claus dagegen beobachtet Annas Sprung von seinem Laufsteg aus
(C in ➠ Bild 1). Er ruht in einem Bezugssystem, das sich für uns
Außenstehende gleichförmig mit u0 nach rechts bewegt; seine yAchse zeigt nach unten. Für Claus fällt Anna beschleunigt senkrecht nach unten; gemäß dem Fallgesetz ist y = —12— g t 2. Annas Geschwindigkeit nimmt dabei wie beim freien Fall zu: uy = g t.
Als 3. Beobachter steht der Fotograf des Bildes am Beckenrand. Er
sieht Anna auf einer krummlinigen Bahn. Um diese zu beschreiben,
verwendet er ein gegenüber dem Becken ruhendes Koordinatensystem (➠ Bild 1) mit der x-Achse nach rechts und der y-Achse nach
unten. Als y-Koordinaten misst er die gleichen Werte, die Claus auf
seinem bewegten Maßstab als Fallwege abliest: y = —12— g t 2. Als xWerte übernimmt der Beobachter am Beckenrand die Ortskoordinaten x = u0 t des auf dem Laufsteg bewegten Claus.
Merksatz
Ein Körper werde mit der Anfangsgeschwindigkeit u0 waagerecht
abgeworfen. Sieht man vom Luftwiderstand ab, so beschreibt ein
außenstehender Beobachter Ort und Geschwindigkeit mit den Gleichungen
y = —12— g t 2,
(1)
x = u0 t,
uy = g t.
(2)
ux = u0 ,
Für gleichförmig mit u0 bewegte Beobachter ist es ein freier Fall.
Waagerechter Wurf
3. Wurfbahn mit Koordinaten beschrieben
Mit der Anfangsgeschwindigkeit u0 und der Fallbeschleunigung g
kann man Koordinaten für die Orte zu verschiedenen Zeitpunkten berechnen (➠ Tabelle 1) und in ein Koordinatensystem übertragen (➠ Bild 2).
Beim „Wasserwerfer“ nach ➠ Bild 3 strömt Wasser horizontal aus
einer Düse. Am „Laufsteg“ des mit u0 horizontal bewegten Beobachters Claus sind Wegmarken angebracht und Maßstäbe für die
Fallwege angehängt. Sie geben die Ortskoordinaten der abgespritzten Wasserteilchen an. Daraus lässt sich z. B. deren Startgeschwindigkeit u0 berechnen. Für den senkrechten Fallweg
y = —12— g t 2 = 48 cm braucht ein Wassertropfen im freien Fall
= 0,31 s. Wenn der Beobacht = 2
y
/g = 2·
0
,48
m
/9
,81
m
·s–2
ter Claus über ihm dabei in horizontaler Richtung x = 80 cm
zurücklegt, dann ist wegen x = u0 t die Startgeschwindigkeit
u0 = x/t = 0,8 m/0,31 s = 2,6 m/s.
g = 10 m/s2
u0 = 75 m/s
t
in s
x
in m
y
in m
uy
ux
in m/s in m/s
u
in m/s
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
0,0
75,0
150,0
225,0
300,0
375,0
450,0
525,0
600,0
0,0
5,0
20,0
45,0
80,0
125,0
180,0
245,0
320,0
75,0
75,0
75,0
75,0
75,0
75,0
75,0
75,0
75,0
75,0
75,7
77,6
80,8
85,0
90,1
96,0
102,6
109,7
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
T 1: x-y-Wertepaare und ux-uy-Wertepaare
für den waagerechten Wurf mit u0 = 75 m/s
2 u
+ uy2 ist der
und g = 10 m/s2. u = x Betrag
des
Geschwindigkeitsvektors
(➠ Bild 2).
4. Geschwindigkeitsvektoren längs der Wurfbahn
Geworfene Körper legen längere Wege zurück als „nur“ fallende.
Wenn beide trotzdem unten gleichzeitig ankommen, muss der geworfene Körper unterwegs schneller sein. Der ruhende Beobachter
kann die von ihm beobachtete Geschwindigkeit u des geworfenen
Körpers zu einem beliebigen Zeitpunkt t bestimmen. Er setzt sie
aus der Horizontal-Geschwindigkeit u0 von Claus und der von ihm
gemessenen Vertikal-Geschwindigkeit uy (mit dem Betrag g · t) des
Körpers vektoriell zusammen. Im ➠ Bild 2 sind für den Zeitpunkt
t = 4 s diese Vektoren sowie der resultierende Vektor eingezeichnet.
Er schmiegt sich tangential an die Bahnkurve. Könnte man nämlich
die beschleunigende Kraft G = m g abschalten, so bliebe nach dem
Trägheitsgesetz die Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung
konstant; der Körper flöge geradlinig weiter.
0
0
100
100
1s
200
2s
3s
300
4s
400
uy
300 y
m
600
x
m
ux
5s
200
500
u
6s
uy
ux
u
7s
B 2: Bahnkurve mit den in ➠ Tabelle 1
punktweise berechneten Werten. – Der Geschwindigkeitsvektor u schmiegt sich jeweils tangential an die Bahnkurve.
Den Betrag u der resultierenden Geschwindigkeit kann man mit
dem Satz des PYTHAGORAS berechnen: u 2 = u02 + uy2. Man sieht: u
ist größer als jeder der beiden Beträge u0 und uy . Dem Vektorbild
kann man auch den Winkel ϕ entnehmen, unter dem die Bahn des
waagerechten Wurfs gegen die Horizontale geneigt ist:
tan ϕ = uy /ux = g t /u0 . – Obwohl die Bewegung nach rechts nicht
aufhört, wird die Wurfbahn immer steiler.
5. Wie groß ist die Wurfweite?
Bei y1 = 80 m Falltiefe kommt der waagerecht mit u0 = 75 m/s abgeworfene Körper in ➠ Bild 2 x1 = 300 m weit. Wie weit geht der
Wurf bei der Falltiefe y2 = 350 m, die man auf dem Bild nicht mehr
ablesen kann?
Mit der Fallzeit t2 liefern die Koordinatengleichungen (1) und (2)
(➠ Merksatz) für die Wurfweite x2 und die Falltiefe y2 den Ansatz
t2 = 2y
g und x2 = u0 t2 . Daraus folgt x2 = u0 2y
g = 627 m. –
2/
2/
Könnte der Körper 500 m tief fallen (ohne Luftwiderstand), dann
würde er sich 750 m weit waagerecht bewegen (in 10 s).
B 3: Während sich „der Beobachter auf dem
Laufsteg“ 80 cm nach rechts bewegt, fällt
für ihn das Wasser 48 cm tief; in der Hälfte
dieser Zeit nur 12 cm.
61