Das Standardmodell der Teilchenphysik - Physik
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Das Standardmodell der Teilchenphysik µ− µ+ νµ W− W+ u,c,(t) d K 0 (ds) −→ µ− + µ+ Manfred Ender s Stand: 29.03.2017 [email protected] ii Für Kathrin und Hendrik iii iv Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Einführung 3 1 Kurze Skizze der Quantenmechanik I 9 1.1 Mathematische Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Die Unschärferelation 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Räumliche und zeitliche Translationen 1.4 Die Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Impulsdarstellung des Ortsoperators . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6 Der Operator der zeitlichen Veränderung . . . . . . . . . . . . . 29 1.7 Energie- und Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.8 Wechselwirkende Quantensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.9 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 . . . . . . . . . . . . . . Quantenfelder und ihre Anwendung 2 Die Elementarteilchen 17 39 41 2.1 Die Poincare-Transformation 2.2 Die elementaren Quantenzustände 2.3 Darstellungen der Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . 52 2.4 Freie Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5 Freie Spinorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.6 Freie Proca-Felder 66 2.7 Freie Maxwell-Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.8 Die elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.9 Exkurs: Der relativistische Ortsoperator . . . . . . . . . . . . . 73 2.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 41 47 81 3 Die Feldoperatoren 83 3.1 Mehrteilchenzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Das Wechselwirkungsbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.3 Die Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4 Maxwell-Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5 Vertauschungsrelationen für gleiche Zeiten . . . . . . . . . . . . 106 3.6 Der Feynman-Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.7 Spinor-Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.8 Die Pauli-Gleichung 3.9 Die Newton-Lorentz-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.10 Die Coulomb-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.11 Zusammenfassung 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Störungstheorie II 83 135 4.1 Der Streuoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.2 Die Störungsreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.3 Die Feynman-Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.4 Ladungsrenormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.5 Die Born-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.6 Zusammenfassung 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Theorien des Standardmodells 5 Quanten-Elektrodynamik 171 173 5.1 Der freie Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Das Cluster-Dekompositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.3 Das Heisenberg-Bild 185 5.4 Der Lagrange-Formalismus 5.5 Die Skalentransformation 5.6 Der Higgs-Mechanismus 5.7 Die Lagrange-Dichte 5.8 Skalare Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.9 Exkurs: Eektive Feldtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Quanten-Chromodynamik 208 221 225 6.1 Das Quark-Parton-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.2 Spinalgebra 231 6.3 Mesonen und Baryonen 6.4 Die SU(3)-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 vi 6.5 Die Lagrange-Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 6.6 Geistfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 6.7 Die BRST-Symmetrie 257 6.8 Hinweise zur Störungsrechnung 6.9 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7 Die schwache Wechselwirkung 273 7.1 Phänomenologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Chirale Fermionen 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Die Lagrange-Dichte 275 7.4 Die Massen der Eichbosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 7.5 Die Kopplungskonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 7.6 Die Wechselwirkungen zwischen den Eichbosonen . . . . . . . . 292 7.7 Die Massen der Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 7.8 Die Fermion/Z-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 7.9 Die Mischung der Generationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Einige typische Teilchenzerfälle 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 7.11 Hinweise zur kovarianten Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 7.12 Zusammenfassung 309 III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung und Ausblick 313 8 Die Zusammenfassungen der einzelnen Kapitel 315 8.1 Kurze Skizze der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . 315 8.2 Die Elementarteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 8.3 Die Feldoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 8.4 Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 8.5 Quanten-Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 8.6 Quanten-Chromodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 8.7 Die schwache Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 9 Ausblick 335 9.1 Schwächen des Standardmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Das SU(5)-Modell 9.3 Ein einfaches Preon-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 338 345 Schlussbemerkung 347 Literaturverzeichnis 349 vii IV Nachtrag 351 viii 1 Vorwort Die Theoretische Physik hat im letzten Jahrhundert eine rasante Entwicklung durchlaufen und mich schon in jungen Jahren sehr fasziniert. Nach dem Studium der Elektrotechnik und anschlieÿender Promotion an der Universität Hannover war ich 22 Jahre in der Mobilfunkindustrie bei verschiedenen internationalen Firmen tätig. Während dieser Zeit hat mich das Interesse für die Physik nie verlassen. So habe ich neben meiner beruichen Tätigkeit die Fortschritte in der Teilchenphysik verfolgt und mir wichtig erscheinende oder mir unklare Sachverhalte handschriftlich aufgearbeitet. Auf diesem Wege ist eine umfangreiche, mehr oder weniger zusammenhängende Sammlung von Notizen entstanden, die nun die Basis für diesen Text bildet. Der Text war in erster Linie für mich selbst gedacht, als systematische Ableitung des Standardmodells der Teilchenphysik aus ihren zugrunde liegenden Prinzipien. Es war ein weiteres Ziel für mich, alle notwendigen Rechnungen auch tatsächlich auszuführen, so dass die Darstellung in diesem Sinne vollständig ist. Die Wahl der Themenschwerpunkte konnte dabei natürlich immer nur subjektiv sein. Das Ergebnis betrachtend, ist der Text aber sicherlich auch für andere Leser nützlich, da das Standardmodell unter einem neuen Blickwinkel beschrieben wird und dies in meinen Augen eine sinnvolle Ergänzung der Darstellungen in den gängigen Lehrbüchern zur Quantenfeldtheorie ist. Seit einem Jahr kann ich mir nun den Traum erfüllen, meine Notizensammlung zu strukturieren und in diesen Text einzuarbeiten. Für diese Freiheit sowie für die Geduld meiner Ehefrau, die sie gezeigt hat, wenn ich wieder einmal im Arbeitszimmer war, bin ich dankbar. Dezember 2009 Manfred Ender 2 VORWORT 3 Einführung Das Standardmodell der Teilchenphysik bendet sich in ausgezeichneter Übereinstimmung mit allen experimentellen Befunden. Die zugrunde liegende Quantenfeldtheorie ist die Basis zur Beschreibung aller bekannten Wechselwirkungen im Bereich der Elementarteilchen. In den Lehrbüchern zur Quantenfeldtheorie erfolgt häug eine Darstellung, die die wesentlichen physikalischen Ideen nicht transparent werden lässt. Es wird der historischen Entwicklung gefolgt und ausgehend von der ersten Quantisierung über die zweite Quantisierung die gewünschten Ergebnisse gewonnen. Die einzelnen Schritte sind zwar nachvollziehbar, erscheinen jedoch oftmals ad-hoc und es ist nicht klar, was sie rechtfertigt. In diesem Text soll dagegen aus wenigen Postulaten der kinematische Rahmen der Quantenfeldtheorien abgeleitet werden. Um die einzelnen Ergebnisse besser einordnen zu können, wird jeweils der Bogen zu der Schrödinger-Gleichung, zu den Newtonschen Axiomen der Mechanik, zu den Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik und auch zu den Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie gespannt. Alle diese Theorien lassen sich aus den grundlegenden Postulaten schrittweise herleiten. Die einzelnen Ableitungsschritte bilden dabei eine logische Folge. Ebenso wird eine physikalische Begründung des LagrangeFormalismus gegeben, der die Basis für eine anschauliche Formulierung des Standardmodells ist. Die zwei wesentlichen Säulen aller physikalischen Theorien sind die Quantentheorie und die spezielle Relativitätstheorie. Zusammen mit dem ClusterDekompositionsprinzip und der Skaleninvarianz führen sie zu dem kinematischen Rahmen für die verschiedenen physikalischen Theorien. EINFÜHRUNG 4 Die ihnen zu Grunde liegenden Postulate sind: Postulate der Quantentheorie • Über die Werte einer Eigenschaft eines Quantensystems lassen sich nur Wahrscheinlichkeitsaussagen treen. • Die Energie eines Quantensystems ist immer positiv. • Quantenobjekte einer Sorte sind ununterscheidbar. • Das Quantenvakuum ist eindeutig und invariant. Postulate der speziellen Relativitätstheorie • Die Naturgesetze sind in jedem Inertialsystem gleich. • Die Lichtgeschwindigkeit ist eine Konstante und in jedem Inertialsystem gleich. • Raumartig getrennte Ereignisse können sich nicht beeinussen. Ergänzende Postulate • Die elementaren Quantenobjekte sind punktförmig. • Die Ergebnisse von verschiedenen Experimenten, die weit genug voneinander entfernt durchgeführt werden, sind nicht korreliert (ClusterDekompositionsprinzip). • Die Naturgesetze sind invariant unter Skalentransformationen. Aus den vorstehenden Postulaten lassen sich die Elementarteilchen als Invarianten der Symmetrietransformationen der physikalischen Systeme denieren und abhängig von ihrem Spin durch unterschiedlich aufgebaute Quantenzustände, die jeweils charakteristischen Bewegungsgleichungen folgen, repräsentieren. Der Übergang zu Erzeugungsoperatoren für die Elementarteilchen führt zu einer einfachen Darstellung der Wechselwirkungen im LagrangeFormalismus und erlaubt es auch Teilchenerzeugung und -vernichtung zu beschreiben. Zusammen mit dem Teilcheninhalt des Standardmodells lässt sich dann dessen vollständige Lagrange-Dichte formulieren, aus der alle experimentellen Ergebnisse mit hoher Genauigkeit berechnet werden können. EINFÜHRUNG 5 Der Text ist nicht als eine Einführung in die Quantenfeldtheorie gedacht. Es ist notwendig, die spezielle Relativitätstheorie und die Grundzüge der Quantenmechanik bereits zu kennen. Er stellt die bekannten Ergebnisse in einen gemeinsamen logischen Kontext, der hilft, die physikalischen Grundlagen sowie Zusammenhänge der Quantenfeldtheorie besser zu verstehen. Eine solche Darstellung habe ich in der Literatur bisher nicht gefunden. Die einzelnen Kapitel sind wie folgt aufgebaut: Kapitel 1: Kurze Skizze der Quantenmechanik Der mathematische Formalismus für die Quantentheorie wird entwickelt. Es wird gezeigt, dass der Zustand eines Quantensystems die Schrödinger-Gleichung erfüllt und einem Quantensystem mit deniertem Impuls Welleneigenschaften zugeordnet werden können. Im nicht-relativistischen Grenzfall werden die Schrödinger-Gleichung für die Wellenfunktion sowie die Newtonschen Axiome der klassischen Mechanik abgeleitet. Kapitel 2: Die Elementarteilchen Die Poincare-Transformation wird deniert und die zugehörigen Vertauschungsrelationen bestimmt. Die Elementarteilchen ergeben sich als invariante Zustände der verschiedenen Darstellungen der Poincare-Gruppe. Im Ortsraum werden die Feldzustände der Elementarteilchen kovariant nach Impulseigenzuständen entwickelt und ihre charakterisierenden Eigenschaften wie Masse, Spin und Ladung deniert. Kapitel 3: Die Feldoperatoren Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren werden für die Elementarteilchen eingeführt. Mit Hilfe der Mikro-Kausalitätsbedingung wird gezeigt, dass Erzeugungsoperatoren im Ortsraum Teilchen- und Antiteilchen-Anteile enthalten müssen. Mit der Gupka-Beuler-Methode wird auch das Maxwell-Feld kovariant formuliert. Die Feynman-Propagatoren werden eingeführt sowie die MaxwellGleichungen und die Gleichungen der Spinor-Elektrodynamik abgeleitet. Kapitel 4: Störungstheorie Der Streuoperator wird deniert und die Störungsreihe zur Berechnung von Zerfallsraten und Streuquerschnitten abgeleitet. Die Feynman-Regeln zur Berechnung der zugehörigen Feynman-Amplitude werden eingeführt und die für praktische Rechnungen wichtige Renormierungstheorie besprochen. Durch Vergleich mit der Born-Näherung wird abschlieÿend der Bezug zum nicht-relativistischen Potential hergestellt und das durch den Austausch virtueller Teilchen erzeugte Potential ermittelt. 6 EINFÜHRUNG Kapitel 5: Quanten-Elektrodynamik Der Aufbau des freien Hamilton-Operators aus den verschiedenen Feldoperatoren wird abgeleitet und die Struktur des Wechselwirkungsteils des HamiltonOperators aus dem Cluster-Dekompositionsprinzip gewonnen. Die Äquivalenz zwischen dem Hamilton-Formalismus und dem Lagrange-Formalismus wird im Heisenberg-Bild gezeigt und danach werden aus den Forderungen der Lorentz-, Skalen- sowie Eichinvarianz die Lagrange-Dichten für die verschiedenen Wechselwirkungen konstruiert. Kapitel 6: Quanten-Chromodynamik Das Quark-Parton-Modell zur Darstellung von Hadronen als gebundene Zustände der Quarks wird eingeführt und daraus die Invarianz bei Drehungen im so genannten Farbraum abgeleitet. Dies führt dann zu der Lagrange-Dichte für die dynamische Beschreibung der starken Wechselwirkung. Es wird gezeigt, wie ungewollte Beiträge der Pseudogluonen in Störungsrechnungen durch Beiträge von Geistfeldern kompensiert werden können. Abschlieÿend erfolgt die Festlegung der physikalisch zulässigen Zustände mit Hilfe der BRST-Symmetrie. Kapitel 7: Die schwache Wechselwirkung Aus der Beobachtung, dass die linkshändigen Lepton- und Quarkpaare einer Generation jeweils ein SU(2)-Duplett bilden, wird die Lagrange-Dichte der schwachen Wechselwirkung abgeleitet. Der Mechanismus der spontanen Symmetrie-Brechung wird formuliert und gezeigt, wie die Yukawa-Kopplungen mit dem Higgs-Feld zu einer Mischung der Generationen führen. Die FeynmanRegeln für die Wechselwirkung zwischen den beobachtbaren Teilchen werden gewonnen. Abschlieÿend erfolgt die Beschreibung typischer Teilchenzerfälle. In den einzelnen Kapiteln sind die Rechnungen sehr detailliert ausgeführt, so dass für den interessierten Leser die einzelnen Schritte einfach nachvollzogen werden können. Es ist aber nicht notwendig allen Zwischenschritte zu folgen, wichtig sind vor allen Dingen die Ergebnisse. Die Darstellung legt den Schwerpunkt dabei auf solche Zusammenhänge, die wichtig für das Verständnis der Grundgleichungen des Standardmodells sind. Alle Ergebnisse werden konsequent selbst abgeleitet. Es ist nicht das Ziel diese Textes, die zum Vergleich mit dem Experiment notwendigen Rechenmethoden zur Auswertung der Grundgleichungen zu behandeln. Diese sind ausführlich und sehr gut in vielen Lehrbüchern zur Quantenfeldtheorie dargestellt. EINFÜHRUNG 7 Noch einige Hinweise zu den verwendeten Einheiten der physikalischen Gröÿen. Wichtige physikalische Gröÿen sind im SI-Einheitensystem die Lichtgeschwindigkeit c 2.998 · 108 = −34 das Plancksche Wirkungsquantum ~ = 1.054 · 10 und die Dielektrizitätskonstante 0 = 8.850 · 10−12 m s Js As Vm . In der Elementarteilchenphysik wird aber üblicherweise nicht im SI-Einheitensystem, sondern in natürlichen Einheiten gearbeitet. In natürlichen Einheiten wird c = ~ = 0 = 1 gesetzt. Hierdurch vereinfachen sich alle Rechnungen, da diese Konstanten nicht mehr in den Beziehungen auftauchen. In natürlichen Einheiten ist die Dimension jeder Gröÿe eine Potenz der Energiedimension, für die üblicherweise das Elektronenvolt verwendet wird 1 MeV = 1.602 · 10−13 Die Umrechnung einer numerischen Gröÿe X J . aus ihrer natürlichen Einheit in ihre Darstellung im SI-Einheitensystem erfolgt durch Multiplikation mit entsprechenden Potenzen von c, ~ und 0 über die eindeutige Beziehung Xin SI-Einheiten = Xin natürlichen Einheiten · cl · ~m · n0 , wobei die Exponenten l,m und n so zu wählen sind, dass sich für die Gröÿe X die gewünschte Dimension im SI-Einheitensystem ergibt. Für die in natürlichen Einheiten dimensionslose elektrische Kopplungskonstante enE = 0.3028 bedeutet dies zum Beispiel 1 eSI = enE · (c · ~ · 0 ) 2 m = 0.3028 · 2.998 · 108 · 1.054 · 10−34 Js · 8.850 · 10−12 s = 1.602 · 10 −19 As . Im weiteren Verlauf werden die natürlichen Einheiten verwendet. As Vm 12 8 EINFÜHRUNG Alle verwendeten Parameter (Massen der Elementarteilchen, Kopplungskonstanten, Zerfallsraten, etc.) sind dem Particle Physics Booklet Stand November 2009 entnommen. Zur Erklärung ein Zitat von der Homepage der Particle Data Group: The Particle Data Group is an international collaboration charged with summarizing Particle Physics, as well as related areas of Cosmology and Astrophysics. In 2008, the PDG consists of 170 authors from 108 institutions in 20 countries. The summaries are published in even-numbered years as a now 1340-page book, the Review of Particle Physics, and as an abbreviated version (294 pages), the Particle Physics Booklet. The Review is published in a major journal, and in addition the PDG distributes 16,000 copies of it and 31,000 copies of the Booklet. The Review has been called the bible of particle physics; over the years, it has been cited in 30,000 papers. 9 Kapitel 1 Kurze Skizze der Quantenmechanik In diesem Kapitel wird der mathematische Formalismus für die Quantentheorie entwickelt. Es wird gezeigt, dass der Zustand eines Quantensystems die Schrödinger-Gleichung erfüllt und einem Quantensystem mit deniertem Impuls Welleneigenschaften zugeordnet werden können. Im nicht-relativistischen Grenzfall werden die Schrödinger-Gleichung für die Wellenfunktion sowie die Newtonschen Axiome der klassischen Mechanik abgeleitet. 1.1 Mathematische Formulierung Nach dem ersten Postulat der Quantentheorie sind nur Wahrscheinlichkeitsaussagen über die möglichen Ergebnisse einer Messung möglich. Dies soll am Doppelspaltversuch erläutert werden. Lässt man einen Elektronenstrahl auf einen Doppelspalt treen, so ergibt sich hinter diesem eine Interferenzerscheinung. Ordnet man nun auf dem Schirm hinter dem Doppelspalt Detektoren zur Ortsmessung an und verringert die Intensität des einfallenden Strahls derart, dass er nur mehr ein Elektron enthält, so spricht auch nur einer der Detektoren an. Die Interferenzgur ist also bei Verwendung eines Elektrons im Rahmen dieser Ortsmessung nicht vorhanden. Führt man dieses Experiment mit einem Elektron unter denselben Anfangsbedingungen öfter hintereinander aus, so spricht aber keinesfalls immer derselbe Ortsdetektor an. Trägt man die Ansprechrate der einzelnen Detektoren bei KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK 10 vielen Versuchen über den Ort auf, so entspricht die entstehende Häugkeitsverteilung der Messung gerade dem Interferenzbild, das bei einer Elektronenwelle entstehen würde. Das Verhalten der einzelnen Elektronen bei einer Messung lässt sich demnach nicht deterministisch aus den Anfangsbedingungen vorhersagen. Man kann nur Wahrscheinlichkeitsaussagen über den Ausgang einer Messung machen. Eine darüber hinausgehende Beschreibung ist nicht möglich. Zudem scheint sich das Elektron sowohl wie ein Teilchen als auch wie eine Welle zu verhalten, was ein Widerspruch zu seien scheint. Es ist jedoch möglich, die in den Experimenten sich äuÿernden Wirkungen der Quantenobjekte widerspruchsfrei zu behandeln, wenn man darauf verzichtet, Begrie für die Quantensysteme selbst zu ernden. Spricht man von einer bestimmten, sich in einem Experiment zeigenden Eigenschaft(etwa von einem Ort), so bedeutet dies nur, dass sich das Quantenobjekt in diesem Versuch so verhält, als ob es ein makroskopisches Objekt mit dieser Eigenschaft wäre. Ob das Quantenobjekt dabei die Eigenschaft Ort selbst hat oder nicht, ist eine Frage der Interpretation und nicht der Quantentheorie selbst. Mit dem Begri der physikalischen Gröÿe ist stets eine diese Gröÿe messende Apparatur verknüpft. Bei der Messung an Quantensystemen ist es prinzipiell nicht möglich vom Einuss der Messapparatur zu abstrahieren, da der Messvorgang im Allgemeinen den Zustand des Quantensystems beeinusst. Entsprechend kann man auch nur den Messwert derjenigen Observablen, die man gerade gemessen hat, dem Quantensystem zuordnen. Es gilt einen mathematischen Formalismus zu entwickeln, der obigen Tatsachen Rechnung trägt. Als einfaches Beispiel liege ein Quantensystem vor, an dem eine Observable gemessenen wird, wobei die möglichen Messwerte l dis- kret sein sollen. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten Messwertes l sei W (l). Bezeichnet man den Zustand des Quantensystems vor |ηi und den Zustand nach der Messung mit |η 0 i, so kann der Messung durch man den Messvorgang der Observablen (d.h. die Messung mit der Messapparatur, die der Observablen zugeordnet ist), der den Wert l ergibt, symbolisch durch |ηi Messung −−−−−−−−−→ |η 0 i ; Messwert l (1.1.1) beschreiben. Wenn Messungen einen physikalischen Sinn haben sollen, so ist zu fordern, dass bei einer unmittelbaren Wiederholung derselben Messung sich dasselbe Ergebnis wie bei der vorherigen Messung ergibt. Ordnet man jedem möglichen Messwert l einen ket-Vektor |li zu und führt zur Beschreibung des 1.1. MATHEMATISCHE FORMULIERUNG 11 Messvorganges für die Observable den Operator L̂ ein, so kann man dies ma- thematisch durch 1.Messung |ηi mit L̂ −−−−−−−−−−−−−−−→ |li ; Messwert l (1.1.2) ausdrücken und festlegen, dass sich der Zustand des Quantensystems nach der Messung eines Wertes l |li im Eigenzustand des Operators L̂ benden soll. Jede weitere Messung liefert dann weitere Messung mit L̂ |li −−−−−−−−−−−−−−−−−−→ |li ; Messwert l , da die Anwendung eines Operators auf seinen Eigenzustand L̂ |li = l |li (1.1.3) diesen nicht ändert. Das Spektrum der möglichen Messwerte deniert hierdurch die Eigenzustände des Operators Die ket-Vektoren |li L̂ vollständig. können als Basisvektoren eines Vektorraumes genommen und die Wirkung des Operators |vi = X L̂ vl |li auf einen beliebigen Vektor entsprechend L̂ |vi = =⇒ l X vl l |li (1.1.4) wl∗ hl| (1.1.5) l deniert werden. Führt man durch |wi = X wl |li hw| = =⇒ l X l einen bra-Vektor ein und deniert für die Basisvektoren hl|l0 i = δll0 , (1.1.6) so ist XX X |wi; |vi := hw|vi = wl∗0 vl hl0 |li = wl∗ vl l0 l in diesem Vektorraum ein Skalarprodukt. Die Observable L̂ = X l l|lihl| (1.1.7) l . L̂ hat die Darstellung (1.1.8) KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK 12 Man überprüft L̂ |li = X = X l0 |l0 ihl0 |li l0 l0 |l0 iδll0 l0 = l |li . Mittels des Skalarproduktes deniert man den adjungierten Operator L̂† durch die Forderung L̂ |wi; |vi = |wi; L̂† |vi . Da für Messwerte als Zeigerstellungen von Messapparaturen immer L̂ müssen alle Eigenwerte einer Observablen l = l∗ ist, reell sein. Dies bedeutet |li; L̂† |li = L̂ |li; |li = l∗ |li; |li = l |li; |li = |li; L̂ |li , dass die beiden Operatoren L̂† = L̂ (1.1.9) identisch sind, da sie die gleichen Eigenwerte und Eigenvektoren besitzen. Observable müssen also selbstadjungierte, so genannte hermitesche Operatoren sein und es ist egal, wo sie im Skalarprodukt stehen. Sei jetzt der Zustandsvektor |ηi = X cl |li (1.1.10) l eine entsprechend hη|ηi = X c∗l cl = X l |cl |2 = 1 (1.1.11) l normierte Superposition, so wird oenbar hl|ηi = hl| X cl0 |l0 i l0 = X cl0 hl|l0 i l0 = cl (1.1.12) 1.1. MATHEMATISCHE FORMULIERUNG 13 und " X hη|L̂|ηi = c∗l0 hl0 | #" X l0 = X #" # X l|lihl| cl00 |l00 i l00 l 2 l |cl | . (1.1.13) l Wegen der gewählten Normierung kann man die Koezienten cl durch die Forderung W (l) = |cl |2 (1.1.14) in Beziehung zu der Wahrscheinlichkeit, als Ergebnis einer Messung den Wert l zu erhalten, setzen. Der Erwartungswert hL̂i = X hL̂i einer Messung lW (l) l = X l |cl |2 l = hη|L̂|ηi (1.1.15) und die Wahrscheinlichkeit bei der Messung das Ergebnis l zu erhalten 2 W (l) = |cl |2 = |hl|ηi| sind dann aus dem so denierten Zustandvektor (1.1.16) |ηi berechenbar. Der Zu- standsvektor trägt die vollständige Information über die Wahrscheinlichkeit, mit der die verschiedenen möglichen Messergebnisse auftreten. Damit ist folgende Korrespondenz zwischen physikalischen und mathematischen Gröÿen konstruiert • Der Zustand eines Quantensystems wird durch einen normierten Zustandsvektor • |ηi in einem Vektorraum repräsentiert. Eine über den Zustandsvektor hinausgehende Beschreibung eines Quantensystems ist nicht möglich. • Die beobachtbaren physikalischen Gröÿen (Observablen) werden durch hermitesche Operatoren in diesem Raum beschrieben. • Der zugehörige Vektorraum wird durch die Eigenvektoren der relevanten Observablen aufgespannt. KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK 14 Dann gilt • Bei einer Messung kann man nur einen der Eigenwerte des entsprechenden Operators der Observablen nden. • Nach einer Messung bendet sich das Quantensystem in dem Zustand, der dem gemessenen Eigenwert entspricht. • Bendet sich ein Quantensystem vor einer Messung im Zustand dann ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung den Wert W (l) = |hl|ηi|2 . l |ηi, zu erhalten, Bei den vorstehenden Beziehungen ist zu beachten, dass sie keinen neuen physikalischen Inhalt haben, sondern nur als ein Modell zur Beschreibung der Messergebnisse entsprechend dem ersten Postulat der Quantentheorie konstruiert wurden. Das für die Quantentheorie wichtige Superpositionsprinzip (1.1.10) ist dabei einfach das Ergebnis der durchgeführten Konstruktion, die so gewählt wurde, dass der Zustandsvektor die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Messergebnisse kodiert. Im Rahmen der Quantentheorie werden keine Aussagen getroen, wie die einzelnen Messergebnisse entstehen, d.h. wie die Wechselwirkung zwischen dem Quantensystem und der makroskopischen Messapparatur abläuft. Der Formalismus erlaubt lediglich Aussagen über die möglichen Ergebnisse einer Messung zu treen. Ob die so gemessenen Eigenschaften reale Eigenschaften der Quantenobjekte sind, ist dabei eine Frage der Interpretation und nicht der Quantentheorie selbst. Sind die möglichen Messwerte o einer Observablen Ô kontinuierlich und nicht diskret, so bleiben alle Überlegungen gültig. Die Dimension des entstehenden Vektorraums wird dann allerdings unendlich, da es unendliche viele Basisvektoren |oi gibt, die in diesem Fall entsprechend ho|o0 i = δ(o − o0 ) (1.1.17) zu normieren sind. Einen solchen linearen Vektorraum mit der Dimension unendlich nennt man Hilbert-Raum. Für die Entwicklungskoezienten des Zustandsvektors Z |ηi = η(o) |oido (1.1.18) folgt aus der Normierungsbedingung für den Zustandsvektor Z Z hη|ηi = ∗ 0 0 0 η (o )η(o)ho |oido do = Z η ∗ (o)η(o)do = 1 ; (1.1.19) 1.2. DIE UNSCHÄRFERELATION d.h. die Wahrscheinlichkeitsdichte 15 w(o) einen Messwert 2 w(o) = |ho|ηi| = η ∗ (o)η(o) = |η(o)| o zu erhalten ist mit 2 (1.1.20) identizierbar. Anmerkung: Oftmals wird der Zustandvektor nicht auf 1 normiert, dann ist bei diskretem Spektrum der Eigenwerte einer Observablen L̂ 2 W (l) = |hl|ηi| hη|ηi und hL̂i = hη|L̂|ηi hη|ηi bzw. bei kontinuierlichem Spektrum der Eigenwerte einer Observable Ô analog 2 w(o) = |ho|ηi| hη|ηi und hÔi = hη|Ô|ηi hη|ηi . 1.2 Die Unschärferelation Die Messung an einem Quantensystem beeinusst im Allgemeinen den Zustand des Systems; d.h. wenn man zwei Observable L̂ und Ô hat, so ist es nicht selbstverständlich, dass nacheinander ausgeführte Messungen zu dem gleichen Ergebnis führen, wenn man die Reihenfolge der Messungen vertauscht. Ist die Vertauschbarkeit gegeben, so sind die entsprechenden Messungen verträglich. In diesem Fall muss L̂Ô |ηi = ÔL̂ |ηi bzw. h i L̂, Ô = 0 (1.2.1) mit dem so genannten Kommutator h i L̂, Ô := L̂Ô − ÔL̂ (1.2.2) sein. Für den Kommutator wird in der Quantenmechanik ein eigenes Symbol eingeführt, da die Vertauschungsrelationen von Operatoren einen wesentlichen KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK 16 Inhalt jeder Quantentheorie darstellen. Die Operatoren L̂ und Ô besitzen im Falle der Vertauschbarkeit dieselben Eigenvektoren. Kann die Messung der Observablen o L̂ den Wert l und die der Observablen Ô gleichzeitig den Wert ergeben, so sind die Eigenvektoren, die den Raum der möglichen Beobach- tungsergebnisse aufbauen, durch |l, oi beschreibbar. Denitionsgemäÿ ist L̂ |l, oi = l |l, oi (1.2.3) Ô |l, oi = o |l, oi . (1.2.4) Für unverträgliche Messungen gilt dagegen h i L̂, Ô = 6 0 ; (1.2.5) d.h. die zugeordneten Operatoren besitzen keine gemeinsamen Eigenvektoren. Es gibt keinen Zustand, für den die Streuungen von L̂ Ô und gleichzeitig Null sind. Nach der Schwarzschen Ungleichung gilt für zwei beliebige Vektoren 2 hη1 |η1 ihη2 |η2 i = k |η1 ik k |η2 ik ≥ |hη1 |η2 i| Für zwei hermitesche Operatoren ˆl und ô bedeutet dies mit |η1 i = ˆl |ηi und |η2 i = ô |ηi: hˆl2 ihô2 i = hη|ˆl2 |ηihη|ô2 |ηi = hˆlη|ˆlηihôη|ôηi 2 ≥ hη|ˆlô|ηi = hη|ˆlô|ηihη|ôˆl|ηi = hˆlôihôˆli. Mit ˆl = L̂ − hL̂i und ô = Ô − hÔi erhält man für die Streuung der Messwerte σ 2 L̂ σ 2 Ô = hˆl2 i hô2 i ≥ hˆlôi hôˆli = h L̂ − hL̂i Ô − hÔi i h Ô − hÔi L̂ − hL̂i i h ih i = hL̂Ôi − hL̂ihÔi hÔL̂i − hL̂ihÔi 2 2 1 1 = hL̂Ô + ÔL̂i − hL̂ihÔi + hL̂Ô − ÔL̂i 2 2i 2 1 ≥ hL̂Ô − ÔL̂i 2i h i 2 1 = h L̂, Ô i , 2i 1.3. RÄUMLICHE UND ZEITLICHE TRANSLATIONEN da die Operatoren in den Klammern [...]2 17 hermitesch sind und deshalb reelle Erwartungswerte besitzen. Damit ist die Unschärferelation i 1 h σ L̂ σ Ô ≥ h L̂, Ô i 2i (1.2.6) gewonnen. Dies bedeutet zum Beispiel h i L̂, Ô = i =⇒ 1 σ L̂ σ Ô ≥ 2 . Ist ein Quantensystem in einem Eigenzustand der Observablen σ(L̂) = 0 aus Observablen Ô sind wegen der Unschärferelation σ(Ô) = ∞ L̂, so folgt ; d.h. die Messwerte der dann vollständig unbestimmt. 1.3 Räumliche und zeitliche Translationen In der klassischen Physik erfolgt die Denition der Observablen über Erhaltungssätze bei bestimmten Symmetrietransformationen. So bezeichnet man die Observable, die mit der Translation eines physikalischen Systems verbunden ist, als Impuls. Entsprechend ist es sinnvoll zur quantenmechanischen Beschreibung der Observablen gerade die Operatoren zu verwenden, auf die man durch den entsprechenden quantenmechanischen Zusammenhang zwischen Symmetrie und Erhaltungsgröÿe geführt wird. Bei der linearen Transformation eines Quantensystems kann sich der zugeordnete Hilbert-Raum zur Beschreibung der Beobachtungen nicht ändern, da sich auch die Messapparatur selbst nicht ändert; d.h. die Basisvektoren und möglichen Messwerte sind vor und nach der Transformation identisch. Der Zustandsvektor |η(t)i des Quantensystems verändert sich natürlich entsprechend |η 0 (t)i = Û |η(t)i , wobei Û (1.3.1) der Operator ist, der die Transformation des Quantensystems im Hilbert-Raum beschreibt. Da sich die Normierung des Zustandsvektors nicht ändern darf, muss für den der Transformation zugeordneten Operator hη 0 (t)|η 0 (t)i = hÛ η(t)|Û η(t)i = hη(t)|Û † Û |η(t)i = hη(t)|η(t)i (1.3.2) sein. Dies bedeutet Û † Û = 1 =⇒ Û † = Û −1 . (1.3.3) KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK 18 Einen Operator, bei dem der adjungierte gleich dem inversen Operator ist, nennt man unitär. Lineare Transformationen eines Quantensystems werden im Hilbert-Raum also durch unitäre Operatoren dargestellt (Satz von Wigner). Hängt eine Transformation T von einem kontinuierlichem Parameter ab und gilt im physikalischen Raum T (a)T (b) = T (a + b) (1.3.4) (wie z.B. bei nacheinander ausgeführten Translationen um die Strecken b, was der Translation um die Strecke a+b a und entspricht), so muss entsprechend im zugeordneten Hilbert-Raum Û (a)Û (b) = Û (a + b) (1.3.5) gelten. Hieraus folgt unmittelbar Û (0) = 1 h a iN Û (a) = Û N Für innitesimales (1.3.6) . (1.3.7) wird mit einem geeigneten Operator ∂ Û () Û () = Û (0) + ∂ = 1 ± iĜ Ĝ , (1.3.8) =0 wobei die Wahl des Vorzeichens jeweils eine zweckmäÿige Konvention ist (alles in natürlichen Einheiten; sonst würde der Operator Faktor wie zum Beispiel ~ Û † () = Û −1 () dass der Operator G mit einem zusätzlichen erscheinen). Aus der Unitarität folgt ⇒ 1 ∓ iĜ† = (1 ± iĜ)−1 = 1 ∓ iĜ ⇒ Ĝ† = Ĝ , Ĝ hermitesch sein muss. Damit wird für = h a iN h a iN Û = lim 1 ± i Ĝ = e±iaĜ N →∞ N →∞ N N Û (a) = lim Den Operator (1.3.9) a N und . N →∞ (1.3.10) Ĝ nennt man den Erzeugenden der Transformation. Da natürlich h i h i Û , Ĝ = e±iaĜ , Ĝ = 0 (1.3.11) 1.3. RÄUMLICHE UND ZEITLICHE TRANSLATIONEN ist, wird für einen beliebig transformierten Zustand |η 0 (t)i = Û |η(t)i 19 : g 0 = hη 0 (t)|Ĝ|η 0 (t)i = hÛ η(t)|Ĝ|Û η(t)i = hη(t)|Û † ĜÛ |η(t)i = hη(t)|Û † Û Ĝ|η(t)i = hη(t)|Ĝ|η(t)i = g Der Erwartungswert g einer Messung der Observablen Ĝ (1.3.12) ändert sich nicht bei der Transformation und ist damit eine Erhaltungsgröÿe der Transformation Û (a), die durch die Observable erzeugt wird. Räumliche Translationen TX (a) TX (b) = TX (a + b) (1.3.13) werden im Hilbert-Raum, wenn sie auf Ortseigenzustände wirken, wie der Übergang zu einem neuen Koordinatensystem festgelegt und durch die Beziehung ÛX (a) |xi = |x − ai (1.3.14) deniert. Weil die Transformation kontinuierlich von dem Parameter hängt, muss mit einem hermiteschen Operator a ab- P̂ ÛX (a) = e+iaP̂ (1.3.15) sein. Für einen derart verschobenen Zustand gilt p0 = hη 0 (t)|P̂ |η 0 (t)i = hη(t)|P̂ |η(t)i = p . (1.3.16) Der Erwartungswert p ist eine Erhaltungsgröÿe bei räumlichen Translationen und der Operator P̂ ist deshalb mit dem Impulsoperator zu identizieren. Bei innitesimalen Translationen f (X̂) ÛX () = e+iP̂ ergibt sich für eine Funktion des Ortsoperators h i ÛX (), f (X̂) |xi = ÛX ()f (X̂) |xi − f (X̂)ÛX () |xi = ÛX ()f (x) |xi − f (X̂) |x − i = f (x) |x − i − f (x − ) |x − i = f (x) − f (x − ) |x − i KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK 20 bzw. h Damit muss i h i ÛX (), f (X̂) |xi = 1 + iP̂ , f (X̂) |xi h i h i = 1, f (X̂) |xi + i P̂ , f (X̂) |xi h i = i P̂ , f (X̂) |xi . i f (x) − f (x − ) P̂ , f (X̂) |xi = −i |x − i → 0 zu dem Kommutator h sein, was mit h i ∂f (X̂) P̂ , f (X̂) = −i ∂ X̂ (1.3.17) führt. Speziell für den Impuls- und den Ortsoperator folgt hieraus h i P̂ , X̂ = −i . (1.3.18) Dies in die Unschärferelation eingesetzt liefert h i 1 1 1 σ P̂ σ X̂ ≥ h P̂ , X̂ i = (−i) = 2i 2i 2 . (1.3.19) Je genauer man also den Ort ausmessen will, desto gröÿer ist die damit verbundene Streuung des Impulses. Als Konsequenz sind bei Hochenergieversuchen ∆x Impulse −1 1 ∆x p≈ 2 2 mit einer gewünschten Ortsauösung der Gröÿenordnung notwendig. Ein Zahlenbeispiel (in SI-Einheiten): Die Gröÿenordnung der Energie, um in einem Teilchenbeschleuniger eine Auösung von 10−15 m zu erreichen, ergibt sich mit 1eV = 1.6 · 10−19 J c = 3.0 · 108 m/s ~ = 1.0 · 10−34 Js zu c~ E = cp ≈ 2 ∆x 2 −1 ≈ 200MeV . (1.3.20) 1.3. RÄUMLICHE UND ZEITLICHE TRANSLATIONEN 21 Mit zeitlichen Translationen TT (τ2 ) TT (τ1 ) = TT (τ1 + τ2 ) (1.3.21) verknüpft man im Hilbert-Raum die zeitliche Entwicklung der Zustandsvektoren und deniert sie durch die Beziehung ÛT (τ ) |η(t)i = |η(t + τ )i . Dementsprechend muss mit einem hermiteschen Operator (1.3.22) Ĥ ÛT (τ ) = e−iτ Ĥ (1.3.23) sein. Für einen zeitlich verschobenen Zustand wird E 0 = hη(t0 )|Ĥ|η(t0 )i = hη(t)|Ĥ|η(t)i = E . (1.3.24) Der Erwartungswert E ist eine Erhaltungsgröÿe bei zeitlichen Translationen und deshalb mit der Energie des Quantensystems zu identizieren. Der Operator Ĥ des Quantensystems wird als Hamilton-Operator bezeichnet. Da räumliche und zeitliche Translationen kommutieren TX (a)TT (τ ) = TT (τ )TX (a) ⇒ ⇒ ÛX (a)ÛT (τ ) = ÛT (τ )ÛX (a) h i Ĥ, P̂ = 0 (1.3.25) kommutiert der Hamilton- mit dem Impulsoperator. Die beiden Operatoren besitzen deshalb gemeinsame Eigenvektoren Ĥ |E(p), pi = E(p) |E(p), pi (1.3.26) P̂ |E(p), pi = (1.3.27) p |E(p), pi . Geht man von den Impulsen aus, so ist die Energie auch als Funktion der Impulse anzusetzen, da es keinen Grund gibt anzunehmen, dass die Eigenvektoren mit verschiedenen Impulsen die gleiche Energie haben. Die Translationsoperatoren angewendet auf diese Eigenvektoren ergeben ÛT (τ ) |E(p), pi = e−iτ Ĥ |E(p), pi = e−iτ E(p) |E(p), pi ÛX (a) |E(p), pi = e +iaP̂ |E(p), pi = e +iap |E(p), pi . (1.3.28) (1.3.29) KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK 22 In einer relativistischen Theorie muss der Translationsoperator invariant formuliert werden. In relativistischer Notation mit den Vierer-Vektoren (in natürlichen Einheiten mit der Lichtgeschwindigkeit c = 1) µ xµ = (t, −~x) (1.3.30) µ aµ = (τ, −~a) (1.3.31) x = (t, ~x) a = (τ, ~a) ist der Translationsoperator ÛT = e−iaµ P̂ µ (1.3.32) genau dann invariant, wenn der Hamilton- und der Impulsoperator ebenfalls einen Vierer-Vektor ˆ P̂µ = Ĥ, −P~ ˆ P̂ µ = Ĥ, P~ bilden. Da P̂ 2 = P̂µ P̂ µ (1.3.33) ein Lorentz-Skalar und damit invariant bei einer re- lativistischen Transformation ist, können seine Eigenwerte nicht vom Impuls oder der Energie abhängig sein, da diese sich bei Lorentz-Transformationen m2 , verändern. Bezeichnet man die Eigenwerte mit µ so wird 2 P̂µ P̂ |m, E(~ p), p~ i = m |m, E(~ p), p~ i . (1.3.34) Damit wird ˆ 2 p), p~ i = E 2 (~ p) − |~ p | |m, E(~ p), p~ i P̂µ P̂ µ |m, E(~ p), p~ i = Ĥ 2 − P~ 2 |m, E(~ und es muss m2 = E 2 (~ p) − |~ p| sein. Für p~ = ~0 2 (1.3.35) ergibt sich insbesondere m2 = E 2 (~0) . m ist somit die Ruheenergie. Da zwischen (1.3.36) m, E(~ p) und p~ ein eindeutiger Zu- sammenhang besteht, ist es sinnvoll die Eigenvektoren des Hamilton-Operators Ĥ0 eines freien Quantensystems, der mit bezeichnet wird, durch die beiden unabhängigen Eigenwerte, die Ruheenergie m (die in diesem Falle unabhän- gig von einer Wechselwirkung ist) und den Impuls p~ des Quantensystems, zu charakterisieren; dann wird Ĥ0 |m, p~ i = P̂ µ |m, p~ i = µ P̂µ P̂ |m, p~ i = q m2 + |~ p| pµ 2 m 2 |m, p~ i |m, p~ i |m, p~ i . (1.3.37) (1.3.38) (1.3.39) 1.3. RÄUMLICHE UND ZEITLICHE TRANSLATIONEN Für einen beliebigen Zustand |η(t)i 23 eines freien Quantensystems ist Z P̂µ P̂ µ |η(t)i = P̂µ P̂ µ η(p, t) |m, p~ id3 p Z = η(p, t)P̂µ P̂ µ |m, p~ id3 p Z = η(p, t)m2 |m, p~ id3 p Z = m2 η(p, t) |m, p~ id3 p = m2 |η(t)i ; d.h. jeder Zustand ist ein Eigenzustand von P̂µ P̂ µ zum Eigenwert m2 . Quan- tensysteme können damit durch den Parameter m, ihre Ruheenergie, unterschieden werden. Da die Energie eines Quantensystems und damit auch die Ruheenergie m immer positiv sind (siehe zweites Postulat der Quantentheo- rie), folgt aus der Bedingung 2 |~ p | m2 (1.3.40) für den so genannten nicht-relativistischen Grenzfall q 2 m2 + |~ p| r 1 2 = m 1 + 2 |~ p| m 1 2 ≈m+ |~ p| 2m E(~ p) = bzw. als Operatorbeziehung formuliert Ĥ0 ≈ m + 1 ~ˆ 2 P 2m . (1.3.41) Dies legt es nahe, einen nicht-relativistischen Hamilton-Operator Ĥnr = Ĥ − m (1.3.42) zu denieren. Dann folgt für ein ungestörtes Quantensystem Ĥ0nr = 1 ~ˆ 2 P 2m (1.3.43) als freier Hamilton-Operator. In der nicht-relativistischen Quantenmechanik ist der Hamilton-Operator also eine Funktion der Impulsoperatoren und der Energie-Nullpunkt wird um m verschoben. 24 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK 1.4 Die Schrödinger-Gleichung Eine innitesimale zeitliche Translation ÛT () = e−iĤ angewendet auf den Zustand eines Quantensystems liefert ÛT () |η(t)i = |η(t + )i (1.4.1) bzw. ÛT () |η(t)i = e−iĤ |η(t)i = (1 − iĤ) |η(t)i . Zusammen ergibt dies Ĥ |η(t)i = i bzw. nach Grenzübergang →0 i |η(t + )i − |η(t)i die so genannte Schrödinger-Gleichung ∂ |η(t)i = Ĥ |η(t)i ∂t (1.4.2) für den Zustandvektor eines Quantensystems. Die Schrödinger-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors, wenn der HamiltonOperator des Quantensystems gegeben ist. Für den Zustandsvektor eines freien Quantensystems mit scharfem Impuls ergibt sich mit geeignet gewählter Anfangsbedingung hieraus |η; m, p~ i = e−iE(~p)t |m, p~ i . Eine innitesimale räumliche Translation ÛX () = e+iP̂x (1.4.3) angewendet auf einen Ortseigenvektor (nur für eine Koordinate ausgeführt) liefert entsprechend ÛX () |xi = |x − i (1.4.4) bzw. ÛX () |xi = e+iP̂x |xi = (1 + iP̂x ) |xi und schlieÿlich P̂x |xi = i |xi − |x − i ∂ =i |xi . ∂x (1.4.5) 1.4. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG 25 Damit hat man zusammenfassend ∂ |η(t)i ∂t ∂ |xi ˆ Px |xi = i ∂x Ĥ |η(t)i = i mit UT (τ ) = e−iτ Ĥ mit UX (a) = e+iaPx ˆ (1.4.6) . (1.4.7) Obwohl die beiden Beziehungen analog aufgebaut sind, treten im Exponenten unterschiedliche Vorzeichen auf. Der Hintergrund hierfür ist, dass im ersten Fall das Quantensystem |xi |η(t)i und im anderen Fall das Koordinatensystem der Translation unterworfen wird. Dies entspricht dem Unterschied zwi- schen aktiven und passiven Translationen und führt zu den unterschiedlichen Vorzeichen. Die tiefere Ursache liegt in der besonderen Rolle der Zeit in der Quantentheorie. Der Zeit ist im Gegensatz zum Ort kein eigener Eigenvektor zugeordnet, sondern sie ist ein Parameter, der durch eine makroskopische Uhr gemessen und durch eine reelle Zahl beschrieben wird. Trotz ihrer Asymmetrie in den Orts- und Zeitvariablen widerspricht die Schrödinger-Gleichung nicht einer relativistisch invarianten Dynamik. Aus der nur für einen freien Quantenzustand zweckmäÿigen Entwicklung Z |η(t)i = nach orthonormalen Basiszuständen η(~x, t) |m, ~xid3 x |m, ~xi ergibt (1.4.8) sich für die zugehörige Wel- lenfunktion des freien Quantensystems m2 hm, ~x|η(t)i = hm, ~x|m2 |η(t)i = hm, ~x|P̂µ P̂ µ |η(t)i ˆ = hm, ~x|Ĥ 2 − P~ 2 |η(t)i ˆ = hm, ~x|Ĥ 2 |η(t)i − hm, ~x|P~ 2 |η(t)i ˆ = hm, ~x|Ĥ 2 |η(t)i − P~ 2 |m, ~xi; |η(t)i 2 ∂2 ∂ ∂2 ∂2 + 2 + 2 |m, ~xi; |η(t)i = −hm, ~x| 2 |η(t)i − − ∂t ∂x2 ∂y ∂z 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ = − 2 hm, ~x|η(t)i + + 2 + 2 hm, ~x|η(t)i ∂t ∂x2 ∂y ∂z die relativistisch invariante Klein-Gordon-Gleichung ∂ µ ∂µ + m2 η(~x, t) = 0 . (1.4.9) 26 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK Die allgemeine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung ist Z η(~x, t) = c(~k)e±i E(~ k)t−~ k·~ x d3 k . (1.4.10) Für einen Impulseigenzustand mit c(~k) = c · δ 3 (~ p − ~k) (1.4.11) ergibt sich als spezielle Lösung die ebene Welle η(~x, t) = c · e±i E(~ p)t−~ p·~ x ; (1.4.12) d.h. ein freies Quantensystem ist durch die so genannten deBroglie Wellenbeziehungen f= E(~ p) 2π und λ= 2π |~ p| (1.4.13) charakterisierbar. Die zur Gewinnung dieses Ergebnisses verwendete Darstellung (1.4.8) liefert allerdings ein nicht Lorentz-invariantes Skalarprodukt und ist deshalb für den Aufbau einer relativistischen Theorie ungeeignet. Im nicht-relativistischen Grenzfall ist es wegen der Verschiebung des EnergieNullpunktes um m zweckmäÿig, einen neuen Zustandsvektor entsprechend |η(t)inr = eimt |η(t)i (1.4.14) zu denieren. Für diesen wird i ∂ ∂ imt |η(t)inr = i e |η(t)i ∂t ∂t = −meimt |η(t)i + ieimt ∂ |η(t)i ∂t = −meimt |η(t)i + ieimt −iĤ = Ĥ − m eimt |η(t)i = Ĥnr |η(t)inr . |η(t)i (1.4.15) Die Schrödinger-Gleichung gilt also auch im nicht-relativistischen Grenzfall. Für einen nicht-relativistischen Quantenzustand (nur für eine Koordinate angeschrieben) Z |η(t)inr = ηnr (x, t) |m, xidx (1.4.16) 1.5. IMPULSDARSTELLUNG DES ORTSOPERATORS 27 wird mit der Annahme, dass die Basiszustände im nicht-relativistischen Grenzfall durch Wechselwirkungen praktisch nicht beeinusst werden, i ∂ ηnr (x, t) = ∂t ∂ hm, x|η(t)inr ∂t ∂ hm, x| i |η(t)inr ∂t hm, x| Ĥnr |η(t)inr i = = . Für ein Quantensystem sei nun Ĥnr = P̂x2 + V (X̂) 2m (1.4.17) mit einem hermiteschem Wechselwirkungspotential, woraus weiter hm, x| Ĥnr |η(t)inr = hm, x| P̂x2 + V (X̂) 2m ! P̂x2 + V (X̂) 2m = |η(t)inr ! |m, xi; |η(t)inr 1 ∂2 + V (x) |m, xi; |η(t)inr = − 2m ∂x2 1 ∂2 = − + V (x) hm, x|η(t)inr 2m ∂x2 1 ∂2 + V (x) ηnr (x, t) = − 2m ∂x2 folgt, was dann schlieÿlich zu der Schrödinger-Gleichung ∂ i ηnr (x, t) = ∂t 1 ∂2 − + V (x) 2m ∂x2 als Dierentialgleichung für die Wellenfunktion ηnr (x, t) ηnr (x, t) (1.4.18) führt. 1.5 Impulsdarstellung des Ortsoperators Die Wirkung des Ortsoperators auf einen Impulseigenvektor kann man mit Hilfe der Entwicklung Z |px i = |xihx|px idpx (1.5.1) KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK 28 ableiten. Aus der Dierentialgleichung ∂ ∂ px · hpx |xi = hpx |Pˆx |xi = hpx |i |xi = i hpx |xi ∂x ∂x folgt für das Skalarprodukt zwischen Impuls- und Ortseigenvektoren hpx |xi = c · e−ipx x . (1.5.2) Wegen der Normierung der Impuls- und Ortseigenvektoren auf eine Z δ(px − qx ) = hpx |qx i = hpx |xihx|qx idx = c2 · 2π · ergibt sich die auftretende Integrationskonstante zu 1 2π Z δ -Funktion e−i(px −qx )x dx √ c = 1/ 2π . Damit hat man Z 1 |px i = √ eipx x |xidx 2π Z 1 √ |xi = e−ipx x |px idpx 2π (1.5.3) . (1.5.4) Zwischen den Wellenfunktionen in der Orts- und der Impulsdarstellung ergibt sich aus dem Vorstehenden mit Z |η(t)i = η(x, t) |xidx (1.5.5) η(px , t) |px idpx (1.5.6) Z |η(t)i = der Zusammenhang Z 1 η(x, t) = √ η(px , t)eipx x dpx 2π Z 1 η(px , t) = √ η(x, t)e−ipx x dx 2π (1.5.7) . (1.5.8) Für die Wirkung des Ortsoperators auf einen Impulseigenzustand ergibt sich damit Z X̂ |px i X̂ |xihx|px idx = Z x |xihx|px idx = Z = x |xi · √ · eipx x dx 2π 1.6. DER OPERATOR DER ZEITLICHEN VERÄNDERUNG ∂ −i √ · eipx x dx ∂px 2π Z ∂hx|px i = |xi · −i dx ∂px Z ∂ |px i = |xihx| · −i dx ∂px ∂ |px i . = −i ∂px 29 Z = |xi · (1.5.9) Wegen Z X̂ |η(t)i = η(x, t)X̂ |xidx Z η(x, t)x |xidx = Z = x · η(x, t) |xidx und Z X̂ |η(t)i = η(px , t)X̂ |px idpx ∂ = η(px , t) −i |px i dpx ∂px Z ∂ = i η(px , t) |px idpx ∂px Z wird der Ortsoperator auch oft durch seine Wirkung X̂η(x, t) = x · η(x, t) ∂ X̂η(px , t) = i η(px , t) ∂px (1.5.10) (1.5.11) auf die Wellenfunktionen charakterisiert. Dabei ist die Umkehrung des Vorzeichens zwischen (1.5.11) und (1.5.9) zu beachten. 1.6 Der Operator der zeitlichen Veränderung Physikalische Prozesse werden im Allgemeinen durch Dierentialgleichungen dargestellt, die die Veränderung von Observablen beschreiben. Dies legt es KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK 30 o nahe, zu einem Operator L̂ L der zeitlichen Veränderung des d hLi dt (1.6.1) den Operator Erwartungswertes o hLi = zu denieren. Für innitesimales o τ wird mit der getroenen Denition d hLi dt i 1h = hL̂(t + τ )i − hL̂(t)i τ i 1h = hη(t + τ )|L̂(t + τ )|η(t + τ )i − hη(t)|L̂(t)|η(t)i τ " # 1 ∂ L̂(t) = hÛT (−τ )η(t)|L̂(t) + τ |ÛT (−τ )η(t)i − hη(t)|L̂(t)|η(t)i τ ∂t hLi = " # ∂ L̂(t) 1 h(1 − iτ Ĥ)η(t)|L̂(t) + τ |(1 − iτ Ĥ)η(t)i − hη(t)|L̂(t)|η(t)i = τ ∂t " # 1 ∂ L̂(t) = h−iτ Ĥη(t)|L̂(t)|η(t)i + hη(t)|L̂(t)| − iτ Ĥη(t)i + hη(t)|τ |η(t)i τ ∂t = hη(t)| iĤ L̂(t) − iL̂(t)Ĥ + h i ∂ L̂(t) = hη(t)| i Ĥ, L̂(t) + ∂t ∂ L̂(t) ∂t |η(t)i |η(t)i , woraus h i ∂ L̂ o L = i Ĥ, L̂ + ∂t (1.6.2) folgt. Dies ist das universelle Dynamikgesetz der Quantentheorie. Anmerkung: Bei anderen Zugängen zur Quantentheorie wird oftmals durch Vorgabe des obigen Dynamikgesetzes das Verhalten des Operators der zeitlichen Veränderung abgeleitet. Die Berechtigung des Dynamikgesetzes ist dabei aber nicht unmittelbar einsichtig. 1.7. ENERGIE- UND IMPULSERHALTUNG 31 Da die üblichen physikalischen Messapparaturen zeitunabhängig sind, können auch die zugeordneten Operatoren keine Zeitabhängigkeit besitzen; d.h. in diesem Fall vereinfacht sich das Dynamikgesetz zu h i o L = i Ĥ, L̂ Wenn ein solcher Operator L̂ . (1.6.3) mit dem Hamilton-Operator Ĥ des Quantensys- tems kommutiert, ist die zugeordnete Observable eine zeitliche Erhaltungsgröÿe des Systems. Für den nicht-relativistischen Grenzfall rechnet man (nur für eine Koordinate ausgeführt und ohne Vorliegen von Wechselwirkungen) o dx dhX̂i = = hXi dt dt i i h h = hi Ĥ, X̂ i = ih Ĥnr + m, X̂ i h i i hˆ2 i = ih Ĥnr , X̂ i = h Px , X̂ i 2m i h i i ˆ hˆ = hPx Px , X̂ + Pˆx , X̂ Pˆx i 2m px hPˆx i = = m m d.h. es ergibt sich die klassische Denition des Impulses p=m· dx =m·v dt . (1.6.4) 1.7 Energie- und Impulserhaltung Eine Symmetrie-Transformation Û eines Quantensystems ist deniert als eine lineare Transformation, welche die Dynamik nicht verändert; d.h. für die ∂ Û |η(t)i = −iĤ Û |η(t)i ∂t ⇒ ∂ |η(t)i = −iĤ |η(t)i ∂t (1.7.1) gilt. Nun ist ∂ Û |η(t)i ∂ Û ∂ |η(t)i = −iĤ Û |η(t)i ⇒ |η(t)i + Û = −iĤ Û |η(t)i ∂t ∂t ∂t ! ∂ |η(t)i −1 −1 ∂ Û ⇒ = −i Û Ĥ Û − iÛ |η(t)i , ∂t ∂t 32 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK woraus sich Ĥ = Û −1 Ĥ Û − iÛ −1 ∂ Û ∂t bzw. h i ∂ Û 0 = i Ĥ, Û + ∂t ergibt. Durch Betrachtung einer innitesimalen Transformation folgt daraus für den erzeugenden Operator h i ∂ Ĝ 0 = i Ĥ, Ĝ + ∂t Ĝ Û () = e−iĜ der Symmetrie-Transformation o d.h. G=0 . (1.7.2) Der erzeugende Operator einer Symmetrie-Transformation deniert eine Erhaltungsgröÿe. Nach dem Postulat der speziellen Relativitätstheorie sind die Naturgesetze in jedem Inertialsystem gleich. Insbesondere sind danach räumliche und zeitliche Translationen Symmetrie-Transformationen von jedem Quantensystem. Energie und Impuls sind damit Erhaltungsgröÿen von (abgeschlossenen) Quantensystemen. Da der Hamilton-Operator mit sich selbst und auch mit dem Impulsoperator vertauscht, bedeutet dies h i ∂ Ĥ o ∂ Ĥ H = 0 ⇒ i Ĥ, Ĥ + =0⇒ =0 ∂t ∂t (1.7.3) h i ∂ P̂ o ∂ P̂ P = 0 ⇒ i Ĥ, P̂ + =0⇒ =0 . ∂t ∂t (1.7.4) Der Hamilton- und der Impulsoperator können damit keine Zeitabhängigkeit besitzen. Anmerkung: In der Quantentheorie wird mit verschiedenen aber gleichwertigen so genannten Bildern gearbeitet, in denen den Zustände und Operatoren unterschiedliche Zeitabhängigkeiten aufgeprägt werden. Die bisherigen Überlegungen sind immer von Operatoren ausgegangen "wie sie sind". Dieses Bild, in dem der Impulsoperator keine Zeitabhängigkeit aufweist, ist das SchrödingerBild. 1.8. WECHSELWIRKENDE QUANTENSYSTEME 33 1.8 Wechselwirkende Quantensysteme Es seien jetzt zwei unterscheidbare Quantensysteme 1 und 2 betrachtet. System 1: • Zustandsvektor |η1 (t)i • Ruheenergie • zugeordnete Operatoren • zugeordneter Hamilton-Operator m1 L̂(1) Ĥ0 (1) System 2: • Zustandsvektor |η2 (t)i • Ruheenergie • zugeordnete Operatoren • zugeordneter Hamilton-Operator m2 L̂(2) Ĥ0 (2) Der Index 0 soll die entsprechenden Gröÿen kennzeichnen, wenn keine Wechselwirkung zwischen den Systemen vorliegt. Da die beiden Systeme unabhängig voneinander sein sollen, gelten für alle Operatoren die Vertauschungsrelationen h i L̂(1), L̂(2) = 0 und h i Ĥ0 (1), Ĥ0 (2) = 0 . (1.8.1) Das Gesamtsystem kann für diesen Fall entsprechend |η(t)i = |η1 (t)i |η2 (t)i (1.8.2) durch die beiden Teilsysteme beschrieben werden. Eine zeitliche Translation der nicht wechselwirkenden Systeme wird durch ÛT () = e−iĤ0 (1) e−iĤ0 (2) = e−i(Ĥ0 (1)+Ĥ0 (2)) (1.8.3) erzeugt; d.h. der Hamilton-Operator des Gesamtsystems ist Ĥ0 = Ĥ0 (1) + Ĥ0 (2) . (1.8.4) Bisher ist davon ausgegangen worden, dass die beiden Teilsysteme frei sind. Liegt nun eine Wechselwirkung zwischen ihnen vor, so kann bei hohen Energien eine Erzeugung und Vernichtung von Quantensystemen stattnden. Wegen KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK 34 dem Energieerhaltungssatz sind dazu Energien oberhalb der Ruheenergie notwendig. Um Erzeugung und Vernichtung eines Quantensystems auszuschlieÿen, soll in diesem Abschnitt nur der nicht-relativistische Grenzfall betrachtet und die Wechselwirkung selbst als klein angenommen werden. Da sich die beiden Systeme durch die Wechselwirkung über die Zeit beeinussen, kann eine zeitliche Translation nicht mehr nur durch Ĥ0 erzeugt werden, sondern es ist zusätzlich der Einuss der Wechselwirkung in dem Translationszeitraum zu berücksichtigen; d.h. für das Gesamtsystem mit Wechselwirkung muss Ĥ = Ĥ0 (1) + Ĥ0 (2) + V̂ sein, wobei V̂ (1.8.5) den Einuss der Wechselwirkung beschreibt. Das Gesamtsystem ist dann nicht mehr in seine Teilsysteme separierbar. Nicht-relativistisch wird mit dem Hamilton-Operator 1 1 P̂x2 (1) + P̂ 2 (2) + V̂ 2m1 2m2 x V̂ = V X̂(1), X̂(2) für das System 1 Ĥ = und mit m1 (1.8.6) d2 hX̂(1)i d2 x(1) = m 1 dt2 dt2 oo = m1 hX(1)i o = m1 h i Ĥ, X(1) i o zh }| i{ = m1 h i Ĥ, X̂(1) i o = m1 h o i 2m1 zh }| i{ P̂x2 (1), X̂(1) i = hP x (1)i h i = hi Ĥ, P̂x (1) i h i h i h i = hi Ĥ0 (1), P̂x (1) i + hi Ĥ0 (2), P̂x (1) i + hi V̂ , P̂x (1) i h i = hi V̂ , P̂x (1) i , 1.8. WECHSELWIRKENDE QUANTENSYSTEME 35 entsprechend für das Teilsystem 2 m2 h i d2 x(2) = hi V̂ , P̂ (2) i x dt2 und mit h i h i h i h i 0 = Ĥ, P̂ = Ĥ, P̂x (1) + P̂x (2) = Ĥ, P̂x (1) + Ĥ, P̂x (2) h i h i = V̂ , P̂x (1) + V̂ , P̂x (2) schlieÿlich entsprechend dem dritten Newtonschen Axiom der klassischen Physik m1 d2 x(1) d2 x(2) + m2 =0 . 2 dt dt2 (1.8.7) Hat man insbesondere ein Potential, das nur von dem Abstand der beiden Teilsysteme abhängt V̂ = V X̂(1) − X̂(2) , (1.8.8) und ist die Breite eines Wellenpaketes klein gegenüber der Länge, auf der sich das Potential wesentlich ändert (d.h. bei geringer Ortsunschärfe), so wird h i hi Ĥ, P̂x i = h i hi V (X̂), P̂x i = −h ∂V (X̂) i ∂ X̂ ∂V (X̂) |η(t)i = −hη(t)| ∂ X̂ Z Z ∂V (X̂) =− η ∗ (x0 , t)η(x, t)hx0 | |xidx0 dx ∂ X̂ Z Z ∂V (x) 0 =− η ∗ (x0 , t)η(x, t) hx |xidx0 dx ∂x Z Z ∂V (x) δ(x0 − x)dx0 dx =− η ∗ (x0 , t)η(x, t) ∂x Z ∂V (x) dx = − η ∗ (x, t)η(x, t) ∂x Z ∂V (x) = − w(x, t) dx ∂x ∂V (x) ≈− . ∂x x=hX̂i 36 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK Dies entspricht dem zweiten Newtonschen Axiom der klassischen Physik m d2 x =F dt2 (1.8.9) mit F =− Ein geeignetes Potential V̂ ∂V (x) ∂x . (1.8.10) beschreibt zwar die Wechselwirkung, sagt aber nichts darüber aus, wie die Wechselwirkung tatsächlich stattndet. Später wird sich zeigen, dass Wechselwirkungen durch so genannte Austauschteilchen zwischen den Quantensystemen vermittelt werden. Diese Austauschteilchen besitzen eine bestimmte Energie EA und es stellt sich die Frage, wie ihre Existenz während der Wechselwirkung möglich ist, ohne die Energieerhaltung zu verletzen. Die Lösung hierfür liefert die Unschärferelation. Nach der Unschärferelation ist h i 1 o 1 dhX̂i 1 σ Ĥ σ X̂ ≥ h Ĥ, X̂ i = hXi = 2i 2 2 dt . Eine Verletzung der Energieerhaltung ist nicht beobachtbar, wenn die Energie EA der Austauschteilchen kleiner als die Energieunschärfe 1 dhX̂i c 1 EA σ X̂ ≤ ≤ = 2 dt 2 2 ist (in natürlichen Einheiten mit der Lichtgeschwindigkeit c = 1). Die Gröÿen- ordnung der Reichweite der Kraft wird dann durch R ≈ σ X̂ ≤ 1 2EA begrenzt. Je mehr Energie ein Austauschteilchen besitzt (d.h. je mehr Masse es hat), um so kürzer ist die Reichweite der Kraft, die durch das Austauschteilchen vermittelt werden kann. Eine unendliche Reichweite einer derart vermittelten Kraft ist nur durch masselose Austauschteilchen möglich. Da Austauschteilchen nicht beobachtet werden können, spricht man auch von virtuellen Teilchen. 1.9. ZUSAMMENFASSUNG 37 Ein Zahlenbeispiel (in SI-Einheiten): Bei der schwachen Wechselwirkung wird die Kraft durch den Austausch von so genannten W-Bosonen vermittelt. Diese haben eine Ruheenergie von mc2 = 80GeV. 1eV = 1.6 · 10−19 J Mit ~ = 1.0 · 10−34 Js c = 3.0 · 108 m/s wird die Gröÿenordnung der Reichweite dann R≈ ~c ~c ≈ 10−18 m = 2EA 2mc2 . 1.9 Zusammenfassung Zur mathematischen Implementation der Erfahrungstatsache, dass es nur möglich ist Wahrscheinlichkeitsaussagen über die Ergebnisse einer Messung an einem physikalischen System zu treen, kann man die Korrespondenz • Der Zustand eines Quantensystems wird durch einen normierten Zustandsvektor • |ηi in einem Hilbert-Raum repräsentiert. Eine über den Zustandsvektor |ηi hinausgehende Beschreibung eines Quantensystems ist nicht möglich. • Die beobachtbaren physikalischen Gröÿen (Observablen) werden durch hermitesche Operatoren in diesem Raum beschrieben. • Der zugehörige Vektorraum wird durch die Eigenvektoren der relevanten Observablen aufgespannt. zwischen physikalischen und mathematischen Gröÿen konstruieren. Dann gilt • Bei einer Messung kann man nur einen der Eigenwerte des entsprechenden Operators der Observablen nden. • Nach einer Messung bendet sich das Quantensystem in dem Zustand, der dem gemessenen Eigenwert entspricht. • |ηi, l zu erhalten, Bendet sich ein Quantensystem vor einer Messung im Zustand dann ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung den Wert W (l) = |hl|ηi|2 . Für die Streuungen der Erwartungswerte zweier Operatoren gilt die Unschärferelation i 1 h σ L̂ σ Ô ≥ h L̂, Ô i 2i . 38 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER QUANTENMECHANIK Der Ort und der Impuls eines Quantensystems sind danach nicht gleichzeitig scharf messbar. Die Verschiebung eines Quantenzustandes in der Raumzeit wird relativistisch durch den Translationsoperator ÛT = e−iaµ P̂ µ mit beschrieben. Der Hamilton-Operator Ĥ ˆ P̂ µ = (Ĥ, P~ ) besitzt als Eigenwerte die möglichen Energien des Quantensystems, während der Operator P̂ die möglichen Impulse als Eigenwerte besitzt. Der Zustandsvektor eines Quantensystems muss die Schrödinger-Gleichung ∂ |η(t)i = Ĥ |η(t)i ∂t i erfüllen. Besitzt ein Quantensystem einen scharfen Impuls, so folgt mit Z |η(t)i = η(~x, t) |m, ~xid3 x für die Wellenfunktion η(~x, t) = c · e ±i E(~ p)t−~ p·~ x , woraus sich die deBroglie Wellenbeziehungen f= E(~ p) 2π und λ= 2π |~ p| ergeben. In nicht-relativistischer Näherung ergibt sich (für nur eine Koordinate angeschrieben) die Schrödinger-Gleichung ∂ i ηnr (x, t) = ∂t 1 ∂2 − + V (x) 2m ∂x2 ηnr (x, t) für die Wellenfunktion eines Quantenzustandes. Berücksichtigt man die Wechselwirkungen zwischen zwei verschiedenen Quantensystemen, so erhält man im nicht-relativistischen Grenzfall die Newtonschen Axiome m1 d2 x(2) d2 x(1) + m =0 2 dt2 dt2 und m der klassischen Mechanik. d2 x ∂V (x) =− dt2 ∂x Teil I Quantenfelder und ihre Anwendung 41 Kapitel 2 Die Elementarteilchen In diesem Kapitel werden die Poincare-Transformationen eingeführt und die zugehörigen Vertauschungsrelationen bestimmt. Die Elementarteilchen ergeben sich als invariante Zustände der verschiedenen Darstellungen der PoincareGruppe. Im Ortsraum werden die Feldzustände der Elementarteilchen kovariant nach Impulseigenzuständen entwickelt und ihre charakterisierenden Eigenschaften wie Masse, Spin und Ladung deniert. 2.1 Die Poincare-Transformation Nach den Postulaten der speziellen Relativitätstheorie sind die Naturgesetze in jedem Inertialsystem gleich und die Lichtgeschwindigkeit eine in allen Systemen gleiche Konstante. Ein Inertialsystem ist ein System, in dem sich ein Objekt geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, solange keine Kraft auf das Objekt wirkt. Es ist leicht einzusehen, dass zwei Inertialsysteme sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Die KoordinatenTransformation, die die Postulate der speziellen Relativitätstheorie erfüllt, ist die Poincare-Transformation. Da die Lichtgeschwindigkeit eine Invariante der speziellen Relativitätstheorie ist, muss eine Poincare-Transformation das Linienelement ds2 = dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 (2.1.1) KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 42 invariant lassen. Im weiteren Verlauf des Textes wird folgende Nomenklatur verwendet: Vierer-Vektoren Abltg. nach xµ Abltg. nach xµ Metriktensor (xµ ) = (t, x, y, z) (xµ ) = (t, −x, −y, −z) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (∂µ ) = = , , , ∂xµ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ µ (∂ ) = ,− ,− ,− = ∂xµ ∂t ∂x ∂y ∂z +1 0 0 0 0 −1 0 0 (gµν ) = (g µν ) = 0 0 −1 0 0 0 0 −1 (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4) (2.1.5) Mit der Summenkonvention von Einstein lässt sich die Invariante dann als ds2 = dxµ dxµ (2.1.6) schreiben und mittels des Metriktensors können Indizes hoch- bzw. heruntergezogen werden dxµ = gµν dxν dxµ = g µν dxν bzw. . (2.1.7) Die Koordinaten-Transformation zwischen den Inertialsystemen muss eine lineare Transformation sein, die durch den Ansatz x0µ = Λµ ν xν + aµ mit einer reellen Linienelement ds2 sowie 4 × 4-Matrix Λ x0µ = xν (Λ−1 )ν µ + aµ (2.1.8) beschreibbar ist. Translationen lassen das invariant und für die Lorentz-Transformation Λ muss dxρ gρσ dxσ = dxµ dxµ = dx0µ dx0µ = dx0µ gµν dx0µ = (Λµ ρ dxρ )gµν (Λν σ dxσ ) = dxρ (Λµ ρ gµν Λν σ )dxσ gelten. Daraus folgt Λµ ρ gµν Λν σ = gρσ =⇒ (Λ−1 )ν σ = gσµ g νρ Λµ ρ . (2.1.9) 2.1. DIE POINCARE-TRANSFORMATION 43 Formuliert man dies in Matrizenform, so ergibt sich ΛT gΛ = g =⇒ det Λ = ±1 , (2.1.10) woraus bei Wahl des positiven Vorzeichens für kontinuierliche innitesimale Transformationen Λρ σ = δσρ + ω ρ σ = 14×4 ρ σ + g µρ ωµσ =⇒ ωρσ + ωσρ = 0 (2.1.11) folgt. Führt man nun die so genannten Generator-Matrizen (Lµν ) ρ σ = i (g µρ δσν − g νρ δσµ ) (2.1.12) ein, so wird (Lµν ) ρ σ ωµν = i (g µρ δσν − g νρ δσµ ) ωµν = 2i · g µρ ωµσ (2.1.13) und man kann die Lorentz-Transformationen mit den sechs antisymmetrischen Gröÿen ωµν = −ωνµ entsprechend i Λ(ω) = e− 2 ωµν L µν (2.1.14) darstellen. Für zwei hintereinander ausgeführte Poincare-Transformationen ist nun (wobei die Lorentz-Transformation immer vor der Translation ausgeführt werden soll) TP (Λ2 , a2 )TP (Λ1 , a1 ) = TP (Λ2 Λ1 , Λ2 a1 + a2 ) bzw. durch ω parametrisiert mit Λ1 = Λ(ω1 ), Λ2 = Λ(ω2 ) TP (ω2 , a2 )TP (ω1 , a1 ) = TP (ω3 , Λ(ω2 )a1 + a2 ) (2.1.15) und Λ2 Λ1 = Λ(ω3 ) . (2.1.16) Dies bedeutet, dass im Hilbert-Raum für die zugehörige Transformation µ i ÛP (ω, a) = e+iaµ P̂ e− 2 ωµν M̂ µν (2.1.17) die analoge Beziehung ÛP (ω2 , a2 )ÛP (ω1 , a1 ) = ÛP (ω3 , Λ(ω2 )a1 + a2 ) gelten muss. Dabei ist das Vorzeichen so gewählt, dass mit (2.1.18) t0 = t + τ eine Transformation des Koordinatensystems, von dem aus der Zustandsvektor betrachtet wird, d.h. eine passive Transformation des Zustandsvektors |η 0 (t0 )i = |η(t)i (2.1.19) KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 44 vorliegt. Dies ist konsistent, da eine Zeittranslation die zeitliche Entwicklung der Zustände impliziert, während die durch eine Poincare-Transformation verknüpften Systeme äquivalent in dem Sinne sind, dass das gestrichene System zur Zeit t0 den Zustand des ungestrichenen Systems zur Zeit t sieht. Mit ÛP 0 , (τ, 0, 0, 0) = e+iτ Ĥ = ÛT (−τ ) (2.1.20) überprüft man |η 0 (t0 )i = ÛP 0 , (τ, 0, 0, 0) · |η(t + τ )i = ÛT (−τ ) |η(t + τ )i = |η(t)i . Mit den vorstehenden Beziehungen ist es möglich, die Vertauschungsrelationen zwischen den Generatoren abzuleiten. Im Rahmen der Quantentheorie ist es wichtig, die Vertauschungsrelationen für die Erzeugenden der PoincareTransformation zu bestimmen, da die Kenntnis der Vertauschungsrelationen zu den Invarianten der Poincare-Transformation und damit zu den elementaren Quantenzuständen wie Skalare, Vektoren und Spinoren führt. Für die Impulsoperatoren war bereits h i P̂ µ , P̂ ν = 0 (2.1.21) abgeleitet worden. Die Vertauschungsrelationen zwischen den Impulsoperatoren und den Erzeugenden der Lorentz-Transformation erhält man durch Betrachtung der Transformationsfolge ÛP (ω, 0)ÛP (0, )ÛP−1 (ω, 0) = ÛP (0, Λ) mit einer innitesimalen Translation . Es wird ÛP (ω, 0)ÛP (0, )ÛP−1 (ω, 0) = ÛP (ω, 0) (1 + iρ P̂ ρ )ÛP−1 (ω, 0) = 1 + iρ ÛP (ω, 0)P̂ ρ ÛP−1 (ω, 0) und unter Verwendung von Λµ ρ = (Λ−1 )ρ µ als wegen (2.1.9) naheliegende abkürzende Schreibweise erhält man damit ÛP (0, Λ) := 1 + iρ (Λ−1 )ρ µ P̂ µ = 1 + iρ Λµ ρ P̂ µ bzw. durch Vergleich ÛP (ω, 0)P̂ ρ ÛP−1 (ω, 0) = Λµ ρ P̂ µ . (2.1.22) 2.1. DIE POINCARE-TRANSFORMATION 45 Wie erwartet transformiert sich der Impulsoperator bei Lorentz-Transformationen wie ein Vierer-Vektor. Für innitesimalen Transformationen Λ = 1+ω wird aus obiger Beziehung i i (1 − ωµν M̂ µν )P̂ ρ (1 + ωµν M̂ µν ) = (δµρ + ωµ ρ )P̂ µ 2 2 bzw. h i i − ωµν M̂ µν , P̂ ρ = ωµ ρ P̂ µ 2 = g ρν ωµν P̂ µ 1 = (g ρν ωµν P̂ µ + g ρµ ωνµ P̂ ν ) 2 1 = ωµν (g ρν P̂ µ − g ρµ P̂ ν ) , 2 woraus sich durch Koezientenvergleich die Vertauschungsrelationen h i i P̂ ρ , M̂ µν = g ρν P̂ µ − g ρµ P̂ ν (2.1.23) ergeben. Auf entsprechendem Weg ergibt sich für eine innitesimale LorentzTransformation mit den Parametern λµν ÛP (ω, 0)ÛP (λ, 0)ÛP−1 (ω, 0) = ÛP (ΛλΛ−1 , 0) i = 1 − (ΛλΛ−1 )ρσ M̂ ρσ 2 i = 1 − gρτ Λτ µ λµ ν (Λ−1 )ν σ M̂ ρσ 2 i = 1 − Λρ µ λµν Λσ ν M̂ ρσ 2 und i ÛP (ω, 0)ÛP (λ, 0)ÛP−1 (ω, 0) = 1 − λµν ÛP (ω, 0)M̂ µν ÛP−1 (ω, 0) 2 bzw. durch Koezientenvergleich ÛP (ω, 0)M̂ µν ÛP−1 (ω, 0) = Λρ µ Λσ ν M̂ ρσ ; (2.1.24) d.h. die Erzeugenden der Lorentz-Transformation sind Tensoren zweiter Stufe. Übergang zu einer innitesimalen Transformation in obiger Beziehung liefert i i ÛP (ω, 0)M̂ µν ÛP−1 (ω, 0) = (1 − ωρσ M̂ ρσ )M̂ µν (1 + ωρσ M̂ ρσ ) 2 2 h i i = M̂ µν − ωρσ M̂ ρσ , M̂ µν 2 KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 46 und Λρ µ Λσ ν M̂ ρσ = (δρµ + ωρ µ )(δσν + ωσ ν )M̂ ρσ = M̂ µν + g µσ ωρσ M̂ ρν + g νρ ωσρ M̂ µσ . Abermaliger Koezientenvergleich liefert dann wieder die Vertauschungsrelationen h i i M̂ ρσ , M̂ µν = g νσ M̂ ρµ + g ρµ M̂ σν − g νρ M̂ σµ − g σµ M̂ ρν (2.1.25) für die Erzeugenden der Lorentz-Transformation. Die so genannte Lie-Algebra der Poincare-Gruppe besteht damit aus folgenden Vertauschungsrelationen: h i P̂ µ , P̂ ν = 0 h i i P̂ ρ , M̂ µν = g ρν P̂ µ − g ρµ P̂ ν h i i M̂ ρσ , M̂ µν = g νσ M̂ ρµ + g ρµ M̂ σν − g νρ M̂ σµ − g σµ M̂ ρν (2.1.26) (2.1.27) (2.1.28) Die Vertauschungsrelationen werden auch oftmals mit den Vektoren ˆ P~ = (P̂ 1 , P̂ 2 , P̂ 3 ) ˆ J~ = (M̂ 23 , M̂ 31 , M̂ 12 ) ~ˆ = (M̂ 10 , M̂ 20 , M̂ 30 ) K (2.1.29) (2.1.30) (2.1.31) formuliert und lauten dann in nicht-relativistischer Schreibweise [P̂a , Ĥ] = [Jˆa , Ĥ] = [Jˆa , Jˆb ] = [Jˆa , K̂b ] = 0 (2.1.32) 0 (2.1.33) iabc Jˆc (2.1.34) iabc K̂c [K̂a , K̂b ] = −iabc Jˆc [Jˆa , P̂b ] = iabc P̂c [K̂a , P̂b ] = [K̂a , Ĥ] = iĤδab iPˆa , (2.1.35) (2.1.36) (2.1.37) (2.1.38) (2.1.39) wobei in den vorstehenden Beziehungen die Indizes a,b und c verwendet wurden, um Verwechslungen mit der kovarianten Schreibweise im MinkowskiRaum vorzubeugen. 2.2. DIE ELEMENTAREN QUANTENZUSTÄNDE 47 2.2 Die elementaren Quantenzustände Mittels der Vertauschungsrelationen sind die Invarianten der Poincare-Transformation ableitbar. Casimir-Operatoren sind Operatoren, die mit allen Generatoren einer Transformation vertauschen. Die Poincare-Transformation be- P̂ 2 = P̂µ P̂ µ ist der erste der beiden Casimir-Operatoren; er vertauscht mit allen P̂µ und ist auÿerdem ein LorentzSkalar, vertauscht also auch mit den Generatoren M̂µν , was leicht explizit nach sitzt zwei solcher Casimir-Operatoren. zurechnen ist. Zur Ableitung des zweiten Casimir-Operators deniert man den Pauli-Lubanski-Vektor Ŵµ = 1 µνρσ P̂ ν M̂ ρσ 2 , (2.2.1) der gemäÿ seiner Indexstruktur ein Vektor unter Lorentz-Transformationen ist P̂µ transformieren muss h i i Ŵ ρ , M̂ µν = g ρν Ŵ µ − g ρµ Ŵ ν . und sich wie der Impulsoperator (2.2.2) Der Pauli-Lubanski-Vektor ist nur eine Eigenschaft der inneren Struktur der Quantenzustände. Aus der Poincare-Algebra folgt i h h i 1 P̂µ , Ŵν = νλρσ P̂ λ P̂µ , M̂ ρσ 2 i = νλρσ P̂ λ (δµρ P̂ σ − δµσ P̂ ρ ) 2 i i = νλµσ P̂ λ P̂ σ − νλρµ P̂ λ P̂ ρ 2 2 =0 . Für Ŵ 2 = Ŵµ Ŵ µ kann man mit Hilfe der vorstehenden Beziehungen die Vertauschungsrelationen h i h i h i Ŵ 2 , P̂ µ = Ŵρ Ŵ ρ , P̂ µ + Ŵρ , P̂ µ Ŵ ρ = 0 sowie h i h i h i Ŵ 2 , M̂ µν = Ŵρ Ŵ ρ , M̂ µν + Ŵρ , M̂ µν Ŵ ρ = iŴρ (g ρµ Ŵ ν − g ρν Ŵ µ ) + i(δρµ Ŵ ν − δρν Ŵ µ )Ŵ ρ = i(Ŵ µ Ŵ ν − Ŵ ν Ŵ µ + Ŵ ν Ŵ µ − Ŵ µ Ŵ ν ) =0 KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 48 berechnen. Da Ŵ 2 mit allen Generatoren der Poincare-Transformation ver- tauscht sind P̂ 2 und Ŵ 2 Casimir-Operatoren. (2.2.3) Nach den Postulaten der speziellen Relativitätstheorie ist die Poincare-Transformation eine Symmetrie-Transformation aller physikalischen Systeme. Die Quantenzustände sind deshalb nach den Eigenwerten der beiden CasimirOperatoren klassizierbar. Der Pauli-Lubanski-Vektor selbst besitzt die Vertauschungsrelationen h i 1 h i Ŵµ , Ŵν = µαβγ P̂ γ M̂ αβ , Ŵν 2 i = µαβγ P̂ γ (δνβ Ŵ α − δνα Ŵ β ) 2 = −iµνβγ P̂ γ Ŵ β . Da die Eigenwerte von Ŵ 2 eine Invariante sind, kann man sie besonders einfach im Ruhesystem berechnen. Mit 0123 = 1 und 0ijk = ijk (2.2.4) wird 1 0νρσ · Pˆν M̂ ρσ |m, ~0, si 2 1 = 00ρσ · mM̂ ρσ |m, ~0, si 2 = 0 · |m, ~0, si Ŵ0 |m, ~0, si = und 1 Ŵ i |m, ~0, si = + i νρσ · P̂ ν M̂ ρσ |m, ~0, si 2 1 = − i0ρσ · mM̂ ρσ |m, ~0, si 2 1 = + 0ijk · mM̂ jk |m, ~0, si 2 1 = + ijk · mM̂ jk |m, ~0, si . 2 Mit dem ausschlieÿlich im Ruhesystem durch 23 M̂ ˆ ~ |m, ~0, si = M̂ 31 |m, ~0, si S M̂ 12 (2.2.5) 2.2. DIE ELEMENTAREN QUANTENZUSTÄNDE 49 denierten Spinoperator hat man dann ~ˆ |m, ~0, si = mS ~ˆ |m, ~0, si W (2.2.6) sowie ~ˆ · W ~ˆ |m, ~0, si Ŵ 2 |m, ~0, si = Ŵ0 Ŵ 0 − W ~ˆ 2 |m, ~0, si = −m2 S . (2.2.7) Für die Spinoperatoren gelten nun die Vertauschungsrelationen h i Ŝa , Ŝb = iabc Ŝc , (2.2.8) wobei in der letzten Beziehung wiederum die Indizes a,b und c verwendet wurden, um Verwechslungen mit der kovarianten Schreibweise im MinkowskiRaum vorzubeugen. Die Eigenwerte der Spinoperatoren |d, s3 i braischem Wege berechenbar. Bezeichnet stand von ~ˆ ~ˆ · S Ŝ 2 = S und Ŝ3 , Ŝa sind auf rein alge- einen gemeinsamen Eigenzu- so wird Ŝ 2 |d, s3 i = d |d, s3 i Um die möglichen Werte von d und und Ŝ3 |d, s3 i = s3 |d, s3 i . s3 zu bestimmen, ist es sinnvoll neue Operatoren Ŝ± = Ŝ1 ± iŜ2 = (Ŝ∓ )† einzuführen. Für ihren Kommutator ergibt sich h i Ŝ+ , Ŝ− = 2Ŝ3 und h i Ŝ3 , Ŝ± = ±Ŝ± und es wird h i Ŝ3 Ŝ± |d, s3 i = (Ŝ± Ŝ3 + Ŝ3 , Ŝ± |d, s3 i = (Ŝ± s3 ± Ŝ± ) |d, s3 i = (s3 ± 1)Ŝ± |d, s3 i . Damit ist Ŝ± |d, s3 i ein Eigenzustand von Ŝ3 mit dem Eigenwert Abstände zwischen zwei benachbarten Eigenwerten von Ŝ3 (s3 ± 1). Die besitzen also alle den gleichen Wert 1; d.h. das Spektrum ähnelt einer Leiter. Auf dieser Leiter KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 50 kann mit Hilfe der Operatoren die Eigenwerte von s3 Ŝ± herauf- bzw. heruntergestiegen werden. Da für einen vorgegebenen Wert von d wegen (s3 )2 = hd, s3 |(Ŝ3 )2 |d, s3 i ≤ hd, s3 |(Ŝ1 )2 + (Ŝ2 )2 + (Ŝ3 )2 |d, s3 i = hd, s3 |Ŝ 2 |d, s3 i =d sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt sind, muss für den obersten Eigenwert Ŝ+ |d, smax i=0 3 sein. Drückt man nun den Casimir-Operator durch Ŝ 2 = Ŝ− Ŝ+ + Ŝ3 (Ŝ3 + 1) aus, so wird Ŝ 2 |d, smax i = smax (smax + 1) |d, smax i; 3 3 3 3 d.h. es muss d = smax (smax + 1) 3 3 gelten. Andererseits kann man den Casimir-Operator auch durch Ŝ 2 = Ŝ+ Ŝ− + Ŝ3 (Ŝ3 − 1) ausdrücken, so dass man für den untersten Eigenwert mit Ŝ− |d, smin i=0 3 aus Ŝ 2 |d, smin i = smin (smin − 1) |d, smin i; 3 3 3 3 analog d = smin (smin − 1) 3 3 erhält. Dies bedeutet, dass smax (smax + 1) = smin (smin − 1) 3 3 3 3 sein muss, was schlieÿlich zu der einzig möglichen Lösung smax = −smin := s 3 3 2.2. DIE ELEMENTAREN QUANTENZUSTÄNDE 51 führt. Da die Eigenwerte symmetrisch zum Nullpunkt liegen und ihr Abstand eine ganze Zahl ist, kann s nur halb- oder ganzzahlig sein und man hat insgesamt: 2 Eigenwerte von Ŝ : s(s + 1) Eigenwerte von Ŝ3 : s3 |s, s3 i s∈ s3 ∈ {−s, −(s − 1), ..., (s − 1), s} mit Es ist üblich, anstellt von Spin s entsprechend mit 1 3 0, , 1, , ... 2 2 |d, s3 i (2.2.9) (2.2.10) die Eigenzustände mit dem so genannten zu charakterisieren. Dies bedeutet für den Pauli- Lubanski-Vektor Ŵµ Ŵ µ |s, s3 i = −m2 s(s + 1) · |s, s3 i 3 Ŵ |s, s3 i = ms3 · |s, s3 i . (2.2.11) (2.2.12) Ein elementarer Quantenzustand ist nach diesen Ausführungen durch seine Masse m und seinen Spin s klassizierbar. Diese elementaren Quantenzustände werden als Elementarteilchen bezeichnet. Elementarteilchen sind also als invariante Zustände der Poincare-Transformation deniert und ihre Masse m und ihr Spin s sind unveränderliche Eigenschaften. Zur Beschreibung der Zustandsvektoren der freien Elementarteilchen mit einem scharfem Impuls wird im weiteren Verlauf die (1.4.3) entsprechende Nomenklatur Skalar-Teilchen s=0: |η; m, p~ i (2.2.13) 1 : 2 |η; m, p~, σi mit 1 1 σ = − ,+ 2 2 (2.2.14) Proca-Teilchen s=1: |η; m, p~, λi mit λ = −1, 0, +1 (2.2.15) Maxwell-Teilchen s=1: |η; ω, ~k, λi mit λ = −1, +1 (2.2.16) Spinor-Teilchen s= verwendet. Die explizite Unterscheidung beim Spin-1 Feld zwischen dem Feld mit Masse und dem Feld ohne Masse ist notwendig, da sich später zeigen wird, dass sie eine unterschiedliche Beschreibung erfordern. Ein Grenzübergang m→0 ist für Proca-Teilchen im Gegensatz zu Skalar- und Spinor-Teilchen in der Ortsdarstellung nicht möglich. KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 52 Es ist nun zweckmäÿig den verschiedenen Elementarteilchen in der Ortsdarstellung Feldzustände so zuzuordnen, dass deren Skalarprodukt relativistisch invariant wird. Dabei wird sich für das Skalar-Teilchen ein 1-komponentiges Skalarfeld, für das Spinor-Teilchen ein 4-komponentiges Spinorfeld und für das Proca-Teilchen sowie für das Maxwell-Teilchen jeweils ein 4-komponentiges Vektorfeld ergeben. Deshalb wird für die Darstellungen der Feldzustände, die jeweils zu einem Lorentz-invariantem Skalarprodukt führen, die Nomenklatur Skalarfeld Spinorfeld |Φ(x)i s=0: s= 1 : 2 |Ψ(x)i = (2.2.17) |Ψl (x)i (2.2.18) l : Zählindex Proca-Feld |V (x)i = s=1: |V µ (x)i (2.2.19) µ : Minkowski-Index Maxwell-Feld |A(x)i = s=1: |Aµ (x)i (2.2.20) µ : Minkowski-Index verwendet. Diese Feldzustände müssen durch Impulszustände der Elementarteilchen darstellbar sein. Die Forderung nach relativistischer Invarianz des Skalarproduktes liefert die Entwicklungen für die den verschiedenen Typen von Elementarteilchen zugeordneten freien Feldzustände. 2.3 Darstellungen der Lorentz-Transformation Die Lorentz-Transformationen lassen sich auf innere Darstellungsräume, die hier als 4-dimensional angenommen werden, entsprechend 0 m0 (~ p, s) m1 (~ p, s) m0 (~ p, s) = m2 (~ p, s) m3 (~ p, s) i = e− 2 ωµν M µν 0 m (~ p, s) m1 (~ 2 p, s) = M · m(~ p, s) m (~ p, s) 3 m (~ p, s) (2.3.1) 2.3. DARSTELLUNGEN DER LORENTZ-TRANSFORMATION übertragen. Die 4 × 4-Generator-Matrizen M µν müssen natürlich die Vertau- schungsrelationen (2.1.25) erfüllen. Mit Hilfe einer Metrik m1 (~ p, s); m2 (~ p, s) = m†1 (~ p, s) 53 g wird durch · g · m2 (~ p, s) (2.3.2) ein Skalarprodukt in dem jeweiligen Darstellungsraum deniert. Die 4x4-Matrix der Metrik muss, da das Skalarprodukt reell ist, hermitesch sein m(~ p, s); m(~ p, s) † = m(~ p, s); m(~ p, s) ⇒ g = g† (2.3.3) und wegen der Invarianz des Skalarproduktes bei Lorentz-Transformationen (m0 ; m0 ) = m0† gm0 = m† M † gM m = m† gm = (m; m) die Metrikbedingung M † gM = g ⇒ g(M µν )† g = M µν (2.3.4) erfüllen. Zusätzlich kann für eine spezielle Darstellung ohne Einschränkung der Allgemeinheit g 2 = 14×4 gefordert werden. Dies entspricht den Beziehun- gen, die auch von dem Metriktensor im Minkowski-Raum erfüllt werden. Die Generator-Matrizen für die so genannte Vektordarstellung werden mit T µν bezeichnet und durch T 01 0 +1 = i 0 0 T 03 0 0 = i 0 +1 T 31 0 0 = i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 +1 0 0 T 02 0 0 = i +1 0 T 23 0 0 = i 0 0 T 12 0 0 = i 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 +1 0 0 0 0 −1 +1 0 0 0 (2.3.5) 0 0 0 0 mit der Vektorraum-Metrik +1 0 (g µν ) = 0 0 0 0 0 −1 (2.3.6) KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 54 gegeben. Sowohl die Vertauschungsrelationen als auch die Metrikbedingungen sind leicht explizit überprüfbar. Die Vektorraum-Metrik entspricht danach der Metrik im Minkowski-Raum; d.h. es kann wie im Minkowski-Raum mit den Indizes gearbeitet werden. Man überprüft leicht, dass die Generator-Matrizen der Bildungsvorschrift ρ (T µν ) σ = i (g µρ δσν − g νρ δσµ ) , (2.3.7) die in beliebigen Dimensionen gültig ist, folgen. Vergleich mit (2.1.12) zeigt, dass T µν = Lµν ist; d.h. Lorentz-Transformationen im inneren Darstellungs- raum mit Vektorraum-Metrik und im Minkowski-Raum sind identisch. Den Spin s=1 veriziert man durch ~ ·S ~ = (Sx )2 + (Sy )2 + (Sz )2 S = (T 23 )2 + (T 31 )2 + (T 12 )2 0 0 0 0 0 1 0 0 = 2· 0 0 1 0 0 0 0 1 =⇒ s(s + 1) = 2 =⇒ s=1 . Die Generator-Matrizen für die Spinordarstellung werden mit Σµν bezeichnet und durch Σ01 0 i +1 =− 2 0 0 +1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 −i i 0 +i 0 Σ02 = − −1 0 20 0 0 0 Σ03 +1 i 0 =− 2 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 +1 Σ23 = + 0 2 0 +1 0 Σ31 0 1 +i =+ 20 0 0 0 −1 0 −i 0 0 0 0 0 0 +i 0 0 −i 0 Σ12 +1 1 0 =+ 2 0 0 0 0 0 −i 0 0 +i 0 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 +1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 +1 0 0 −1 (2.3.8) 2.3. DARSTELLUNGEN DER LORENTZ-TRANSFORMATION 55 mit der Spinorraum-Metrik 0 0 (gab ) = +1 0 0 0 0 +1 +1 0 0 +1 0 0 0 0 (2.3.9) gegeben. Sowohl die Vertauschungsrelationen als auch die Metrikbedingungen sind auch hier leicht explizit überprüfbar. Den Spin s = 1 2 veriziert man ebenfalls durch ~ ·S ~ = (Sx )2 + (Sy )2 + (Sz )2 S = (Σ23 )2 + (Σ31 )2 + (Σ12 )2 1 0 0 0 3 0 1 0 0 = · 0 0 1 0 4 0 0 0 1 3 4 1 s= 2 =⇒ s(s + 1) = =⇒ . Die obige Darstellung der Generatoren und der Metrik wird als chirale Darstellung bezeichnet. Es gibt noch andere äquivalente Spinordarstellungen, die aber zu den gleichen Ergebnissen führen. Damit liegt nun der Satz von Lorentz-Transformationen x0 = Λ(ω)x 0 für den Minkowski-Raum, (2.3.10) v = T (ω)v für den Vektorraum und (2.3.11) u0 = S(ω)u für den Spinorraum (2.3.12) vor. Von Bedeutung sind noch die speziellen Lorentz-Transformationen die ein Elementarteilchen vom Ruhezustand mit Zustand mit dem Impuls p~ = 0 L(~ p), in einen beliebigen p~ transformieren; d.h. die im Minkowski-Raum durch m E(~ p) = L(~ p) ~ (2.3.13) p~ 0 deniert sind und für die dementsprechend Λ(ω)L(~ p) = L(~ pΛ ) (2.3.14) KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 56 gelten muss, wenn p~Λ den Impuls nach der allgemeinen Lorentz-Transformation bezeichnet. Für die Boost-Matrizen in den Darstellungsräumen muss entsprechend T (ω)TL (~ p) = TL (~ pΛ ) im Vektorraum, wobei TL (~ p) = L(~ p) (2.3.15) ist, und S(ω)SL (~ p) = SL (~ pΛ ) (2.3.16) im Spinorraum gelten. Treten Vektoren und Spinoren zusammen auf, ist eine Gröÿe notwendig, die zwischen den beiden Darstellungen vermittelt. Dies sind die so genannten Gamma-Matrizen 0 0 γ0 = +1 0 0 0 0 +1 +1 0 0 +1 0 0 0 0 0 0 γ1 = 0 −1 0 0 −1 0 0 +1 0 0 +1 0 0 0 (2.3.17) 0 0 0 0 0 +i γ2 = 0 +i 0 −i 0 0 −i 0 0 0 0 0 γ3 = −1 0 0 0 0 +1 +1 0 0 −1 0 0 0 0 . Wie man leicht explizit nachrechnet, sind sie so konstruiert, dass Σµν = i µ ν [γ , γ ] 4 (2.3.18) ist und die Cliord-Algebra γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν (2.3.19) gilt. Umgekehrt lassen sich (in beliebigen Dimensionen) aus vier Matrizen, die der Cliord-Algebra genügen, immer Generator-Matrizen erzeugen, die die Vertauschungsrelationen der Lorentz-Transformation erfüllen. Die GammaMatrizen erfüllen die wichtige Beziehung S −1 (ω)γ ρ S(ω) = T (ω)ρ σ γ σ (2.3.20) und vermitteln dadurch zwischen der Vektor- und der Spinordarstellung. Für innitesimale Transformationen wird hieraus [Σµν , γ ρ ] = −(T µν ) ρ σγ σ . (2.3.21) 2.4. FREIE SKALARFELDER 57 Zum Beweis rechnet man 4 µν ρ [Σ , γ ] = [[γ µ , γ ν ] , γ ρ ] i = [γ µ γ ν , γ ρ ] + [γ ρ , γ ν γ µ ] = γµγν γρ − γργµγν + γργν γµ − γν γµγρ = γµγν γρ + γµγργν − γµγργν − γργµγν + γργν γµ + γν γργµ − γν γργµ − γν γµγρ = γ µ (γ ν γ ρ + γ ρ γ ν ) − (γ µ γ ρ + γ ρ γ µ ) γ ν + (γ ρ γ ν + γ ν γ ρ ) γ µ − γ ν (γ ρ γ µ + γ µ γ ρ ) = γ µ 2g νρ − 2g µρ γ ν + 2g ρν γ µ − γ ν 2g ρµ = 4 (g νρ γ µ − γ ν g µρ ) 4 i (g νρ δσµ − g µρ δσν ) γ σ = i 4 ρ = ( − (T µν ) σ γ σ ) . i 2.4 Freie Skalarfelder Im weiteren Verlauf dieses Textes wird aus Gründen der Übersichtlichkeit für die Poincare-Transformation statt wie am Anfang dieses Kapitels oftmals auch die äquivalente Schreibweise ÛP (Λ, a) ÛP (ω, a) verwendet. Freie skalare Feldzustände werden in der Ortsdarstellung als Basiszustände aufgefasst (siehe hierzu auch (2.9.2)) und werden deshalb wie Koordinatensysteme durch eine aktive Poincare-Transformation ÛP (Λ, a) |Φ(x)i = |Φ0 (x)i = |Φ(x0 )i = |Φ(Λx + a)i (2.4.1) verknüpft. Aus der für Translationen gültigen Beziehung ÛP (14×4 , a) |η; m, p~ i = e+ipa |η; m, p~ i folgt für die Entwicklung Z |Φ(x)i = c0 (x, p) |η; m, p~ idEd3 p der Skalarfelder nach Quantenzuständen mit scharfem Impuls, dass Z |Φ(x)i = c1 (p)eipx |η; m, p~ idEd3 p (2.4.2) KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 58 sein muss. Die zulässigen Zustandsvektoren müssen die Energiebedingung 2 E 2 = m2 + |~ p| erfüllen; d.h. c1 (p) muss eine δ -Funktion und E≥0 und die Θ-Sprungfunktion 2 c1 (p) = c(p)δ(E 2 − m2 − |~ p | )Θ(E) f (E, p~) gilt nun Z d3 p 2 f (E, p~) · δ(E 2 − m2 − |~ p | )Θ(E) · dEd3 p = f (E(~ p), p~) · 2E(~ p) enthalten. Für eine beliebige skalare Funktion Z und, da 2 δ(E 2 − m2 − |~ p | )Θ(E) sowie wegen detΛ = 1 auch dEd3 p (2.4.3) invari- ant bei Lorentz-Transformationen sind, ist das invariante Volumenelement bei Integration über den Impulsraum damit durch d3 p d3 pΛ = 2E(~ p) 2E(~ pΛ ) gegeben. Für die δ -Funktion, (2.4.4) die über ihr Integral deniert ist, gilt nun δ(a − a0 ) = |f 0 (a0 )| δ f (a) − f (a0 ) . Dies bedeutet in dem hier relevanten Fall δ 3 (~ p − ~q) = d3 pΛ 3 E(~ pΛ ) 3 δ (~ pΛ − ~qΛ ) = δ (~ pΛ − ~qΛ ) d3 p E(~ p) und hat Einuss auf die Lorentz-Transformation der Zustände diese auf eine δ -Funktion (2.4.5) |η; m, p~ i, da normiert sind. Nach der Lorentz-Transformation ei- nes Impulseigenzustandes des Quantensystems liegt natürlich wieder ein Zustand mit deniertem Impuls vor; d.h. es muss ÛP (Λ, 0) |η; m, p~ i = N |η 0 ; m, p~ 0 i mit einem Normierungsfaktor N sein. Aus der Schlusskette ÛP (Λ, 0)P̂ ÛP−1 (Λ, 0) = Λ−1 P̂ =⇒ ÛP (Λ, 0)P̂ = Λ−1 P̂ ÛP (Λ, 0) =⇒ ÛP (Λ, 0)P̂ |η; m, p~ i = Λ−1 P̂ ÛP (Λ, 0) |η; m, p~ i =⇒ p · ÛP (Λ, 0) |η; m, p~ i = Λ−1 P̂ ÛP (Λ, 0) |η; m, p~ i 2.4. FREIE SKALARFELDER 59 ergibt sich p · N |η 0 ; m, p~ 0 i = Λ−1 P̂ N |η 0 ; m, p~ 0 i = Λ−1 p 0 · N |η 0 ; m, p~ 0 i , woraus schlieÿlich 0 p = Λp = E(~ pΛ ) p~Λ (2.4.6) folgt. Nun ist hη; m, p~ |ÛP† (Λ, 0)ÛP (Λ, 0)|η; m, ~q i = hη; m, p~ |η; m, ~q i = δ(~ p − ~q) und hη 0 ; m, p~Λ |N † N |η 0 ; m, ~qΛ i = N 2 hη 0 ; m, p~Λ |η 0 ; m, ~qΛ i = N 2 δ(~ pΛ − ~qΛ ) , woraus sich N2 = E(~ pΛ ) E(~ p) und p p ÛP (Λ, 0) 2E(~ p) |η; m, p~ i = 2E(~ pΛ ) |η 0 ; m, p~Λ i (2.4.7) ergibt. Alles zusammengefasst führt zu der Darstellung Z |Φ(x)i = p d3 p c(p) ipx p 2E(~ p ) |η; m, p ~ i e 2E(~ p) 2E(~ p) | {z } invariant | {z } , invariant aus der man ablesen kann, dass (2.4.1) genau dann gilt, wenn der erste Term im Integral eine Konstante ist. Auf Seite 64 wird dies explizit für das Spinorfeld gezeigt. Die Konstante wird üblicherweise zu 3 c = (2π)− 2 gewählt; dies bedeutet Z |Φ(x)i = 3 (2π)− 2 p · eipx |η; m, p~ id3 p 2E(~ p) . (2.4.8) . (2.4.9) Unter Berücksichtigung von (1.4.3) ergibt sich abschlieÿend Z |Φ(x)i = 3 (2π)− 2 p · e−i~p~x |m, p~ id3 p 2E(~ p) Die letzte Darstellung zeigt, dass der Basiszustand zeitunabhängig ist. KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 60 Der freie skalare Feldzustand ist also zeitlich konstant. Analog zur Wirkung des Impulsoperators auf die nicht-relativistischen Ortseigenzustände P̂ i |~xi = +i ∂ |~xi ∂xi (2.4.10) liefert die Anwendung des Impulsoperators auf den skalaren Feldzustand i 3 Z (2π)− 2 p · e−i~p~x P̂ i |m, p~ id3 p 2E(~ p) Z (2π)− 2 p · e−i~p~x pi |m, p~ id3 p 2E(~ p) P̂ |Φ(x)i = = 3 3 (2π)− 2 ∂e−i~p~x p |m, p~ id3 p = ·i ∂xi 2E(~ p) ! Z 3 ∂ (2π)− 2 p = +i · e−i~p~x |m, p~ id3 p ∂xi 2E(~ p) Z = +i ∂ |Φ(x)i ∂xi . (2.4.11) Dies ist konsistent mit der Interpretation eines skalaren Feldzustandes als ein skalares Teilchen am Ort ~x. Siehe hierzu auch (2.9.2). Anmerkung: Oftmals wird in der Literatur bei der relativistischen Darstellung mit dem Zustandsvektor 3 |e η ; m, p~ i = (2π) 2 · p 2E(~ p) |η; m, p~ i (2.4.12) gearbeitet, der den Vorteil besitzt Lorentz-invariant normiert zu sein. Es gilt he η ; m, ~q |e η ; m, p~ i = (2π)3 · 2E(~ p)δ 3 (~q − p~) ÛP (Λ, 0) |e η ; m, p~ i = |e η 0 ; m, p~Λ i . (2.4.13) (2.4.14) Weiter wird hΦ(x)|e η ; m, p~ i = e−ipx , (2.4.15) was eine Verallgemeinerung von (1.5.2) darstellt und die Lorentz-invariante Wellenfunktion (1.4.12) eines skalaren Teilchens mit scharfem Impuls liefert. Dies unterstützt die Interpretation von Teilchens am Ort ~x. |Φ(x)i als Feldzustand eines skalaren 2.5. FREIE SPINORFELDER 61 2.5 Freie Spinorfelder Das Ergebnis für freie Skalarfelder lässt sich mit Hilfe eines Spinors u(~ p, σ) entsprechend Z |Ψ(x, σ)i = 3 (2π)− 2 p · e−i~p~x u† (~ p, σ) |m, p~, σid3 p 2E(~ p) (2.5.1) auf freie Spin-1/2 Teilchen übertragen und der Feldzustand ist dann die Summe über die beiden Spineinstellungen X |Ψ(x)i = |Ψ(x, σ)i , (2.5.2) σ=− 12 ,+ 21 ~x sowohl ein Teilchen mit dem σ = +1/2 repräsentieren muss. Den † Spinor u (~ p, σ) zu denieren ist dabei eine da in diesem Fall der Basiszustand am Ort Spin σ = −1/2 als auch mit dem Spin Feldzustand mit dem adjungierten im Hinblick auf die noch folgende Einführung von Feldoperatoren zweckmäÿige Konvention. (gab ) = γ 0 und mit der Normierung u(~ p, σ); u(~ p, σ) = u† (~ p, σ)γ 0 u(~ p, σ) = 2m Mit der Spinorraum-Metrik (2.5.3) folgt für die u-Spinoren aus u† · γ 0 · u = u∗1 u3 + u∗2 u4 + u∗3 u1 + u∗4 u2 für das Ruhesystem r u(0, σ) = a m b ac + bd c d . Wählt man nun ein Koordinatensystem, in dem die Spins in Richtung der z-Achse zeigen, dann müssen die Spinoren u(0, σ) Eigenvektoren der z-Kom- ponente des Spinoperators Sz · u(0, σ) = +σ · u(0, σ) sein, da dieser die Spineinstellung misst. Mit +1 0 1 0 −1 Sz = 0 0 2 0 0 0 0 0 0 +1 0 0 −1 (2.5.4) KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 62 kann man dann die Zuordnung u 0, + 1 2 1 √ 0 = m 1 0 wählen. Die Spinoren u(~ p, σ) u 0, − und 1 2 0 √ 1 = m 0 1 (2.5.5) für einen beliebigen Impuls sind durch u(~ p, σ) = SL (~ p)u(0, σ) (2.5.6) mit einen Lorentz-Boost aus dem Ruhesystem denierbar, denn dann wird u† (~ p, σ)γ 0 u(~ p, σ) = u(0, σ) SL† (~ p)γ 0 SL (~ p) u(0, σ) = u(0, σ) γ 0 SL−1 (~ p)SL (~ p) u(0, σ) = u(0, σ)γ 0 u(0, σ) , wobei † (γ µ ) = γ 0 γ µ γ 0 ausgenutzt wurde. Mit der Identität γ 0 u(0, σ) = u(0, σ) , (2.5.7) der zu (2.3.20) äquivalenten Beziehung ρ S(ω)γ ρ S −1 (ω) = T (ω)σ γ σ (2.5.8) sowie pµ = m · TL (~ p)0 µ wird nun γ 0 mSL (~ p) † γ0 − 1 u(0, σ) † = γ0m SL (~ p)γ 0 SL−1 (~ p) − 1 SL (~ p)u(0, σ) † 0 = γ0m TL (~ p)µ γ µ − 1 u(~ p, σ) † † 0 = u† (~ p, σ) (γ µ ) TL (~ p)µ −1 γ0m = u† (~ p, σ) γ 0 γ µ γ 0 m · TL (~ p)0 µ − m γ0 = u† (~ p, σ)γ 0 (γ µ pµ − m) . 2.5. FREIE SPINORFELDER 63 Insgesamt folgt für die u-Spinoren eine Formulierung der so genannten DiracGleichung u† (~ p, σ)γ 0 (pµ γ µ − m) = 0 (2.5.9) bzw. äquivalent (pµ γ µ − m) u(~ p, σ) = 0 . (2.5.10) Im vierdimensionalen Raum existieren 4 linear unabhängige Spinoren zum Aufbau aus der Impulsdarstellung; davon wurden bisher nur zwei verwendet. Dies deutet darauf hin, dass ein zweites unabhängiges Spinorfeld existieren muss. Fordert man statt (2.5.3) die Bedingung (zur besseren Unterscheidung wird jetzt v statt u zur Bezeichnung des Spinoren verwendet) v(~ p, σ); v(~ p, σ) = v † (~ p, σ)γ 0 v(~ p, σ) = −2m , (2.5.11) so kann man entsprechend den üblichen Konventionen 0 √ −1 = m 0 +1 v 0, + 1 2 und v 0, − 1 2 −1 √ 0 = m +1 0 (2.5.12) setzen, wobei für den Spin dieser Spinoren Sz · v(0, σ) = −σ · v(0, σ) (2.5.13) nun mit negativem Vorzeichen gilt. Aus γ 0 v(0, σ) = −v(0, σ) (2.5.14) ergibt sich entsprechend die Dirac-Gleichung (pµ γ µ + m) v(~ p, σ) = 0 für die (2.5.15) v -Spinoren. u und v linear unabhängig sind, müssen zwei verschiedene 1 Elementarteilchen mit der gleichen Masse existieren. Dies ist der erste 2 Hinweis auf die so genannten Antiteilchen Da die Spinoren Spin- |Ψc (x)i = X σ=− 21 ,+ 12 Z 3 (2π)− 2 p · e−i~p~x v(~ p, σ) |m, p~, σic d3 p 2E(~ p) . (2.5.16) KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 64 Das Verhalten der Feldzustände bei Poincare-Transformationen ist als Beispiel für den einfachen Fall, bei dem die Richtung des Spins parallel zum LorentzBoost oder zu der Rotationsachse zeigt, durch ÛP (Λ, a) |Ψc (x)i X Z (2π)− 32 p · eipx · v(~ p, σ) · ÛP (Λ, a) |η; m, p~, σic · d3 p = 2E(~ p ) σ s X Z (2π)− 32 2E(~ pΛ ) 0 p = |η ; m, p~Λ , σic · d3 p · eipx · v(~ p, σ) · ei(Λp)a 2E(~ p ) 2E(~ p ) σ XZ p 3 d3 p = (2π)− 2 · eipx+i(Λp)a · v(~ p, σ) · 2E(~ pΛ ) |η 0 ; m, p~Λ , σic · 2E(~ p) σ Z X p 3 d3 pΛ p, σ) · 2E(~ pΛ ) |η 0 ; m, p~Λ , σic · = (2π)− 2 · ei(Λp)(Λx)+i(Λp)a · v(~ 2E(~ pΛ ) σ = XZ σ = S(Λ −1 3 (2π)− 2 p · ei(Λp)(Λx+a) · S(Λ−1 )v(~ pΛ , σ) · |η 0 ; m, p~Λ , σic · d3 pΛ 2E(~ pΛ ) )· XZ σ 3 (2π)− 2 p · ei(Λp)(Λx+a) · v(~ pΛ , σ) · |η 0 ; m, p~Λ , σic · d3 pΛ 2E(~ pΛ ) = S(Λ−1 ) |Ψc (Λx + a)i gegeben; d.h. es gilt |Ψ0c (x)i = S(Λ−1 ) |Ψc (Λx + a)i . (2.5.17) Man vergleiche (2.5.17) mit dem Transformationsverhalten (3.7.14) der Wellenfunktion. Hiermit kann man nun die Invarianz |Ψ0c (x)i ; |Ψ0c (y)i = hΨc (x0 )| S † (Λ−1 ) γ 0 S(Λ−1 ) |Ψc (y 0 )i = hΨc (x0 )| γ 0 S −1 (Λ−1 )S(Λ−1 ) |Ψc (y 0 )i = |Ψc (x0 )i ; |Ψc (y 0 )i (2.5.18) des Skalarproduktes bei Poincare-Transformationen überprüfen. Man beachte hierbei, dass die Feldzustände zeitunabhängig sind. Ein analoges Ergebnis ergibt sich natürlich auch für die Feldzustände von Teilchen. 2.5. FREIE SPINORFELDER 65 Für das Folgende sind die Spin-Summen X u(~ p, σ)u† (~ p, σ) X und σ σ wichtig. Ausgehend von (2.5.10) wird für den v(~ p, σ)v † (~ p, σ) (pµ γ µ − m) u(~ p, σ) u-Spinor (pµ γ µ − m) u(~ p, σ) † γ0 = 0 bzw. (pµ γ µ − m) u(~ p, σ)u† (~ p, σ)γ 0 pµ γ 0 γ µ† γ 0 − m = 0 . γ 0 γ µ† γ 0 = γ µ und Summation über σ wird daraus X (pµ γ µ − m) u(~ p, σ)u† (~ p, σ)γ 0 (pµ γ µ − m) = 0 . Mit der Identität σ Nun ist pµ γ µ pν γ ν = 1 1 pµ pν (γ µ γ ν + γ ν γ µ ) = pµ pν 2g µν = pµ pµ = m2 2 2 und X σ u(0, σ)u† (0, σ)γ 0 = X u(0, σ)u† (0, σ) σ 1 0 = m 1 1 0 0 1 0 1 0 + m 0 0 1 1 0 = m 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 + m 0 0 0 0 1 0 = m 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 = m γ0 + 1 . 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 66 Aus den vorstehenden Beziehungen folgt dann, dass die X u(~ p, σ)u† (~ p, σ)γ 0 = u-Spin-Summe pµ γ µ + m (2.5.19) σ ist. Analog ergibt sich aus für die (pµ γ µ + m) v(~ p, σ) v -Spin-Summe X † (pµ γ µ + m) v(~ p, σ) v(~ p, σ)v † (~ p, σ)γ 0 pµ γ µ − m = γ0 = 0 . (2.5.20) σ Die Spin-Summen werden später für die Ableitung der Vertauschungsrelationen der zugeordneten Erzeugungsoperatoren wichtig sein. 2.6 Freie Proca-Felder Für das freie Proca-Feld wird mit den Polarisationsvektoren eµ (~ p, λ) analog zum Spinorfeld µ |V (x)i = Z X λ=−1,0,+1 3 (2π)− 2 p · e−i~p~x eµ∗ (~ p, λ) |m, p~, λid3 p 2E(~ p) . (2.6.1) Die Polarisationsvektoren im Ruhesystem sollen wieder Eigenvektoren ~ 2 · e(0, λ) = S 2 · e(0, λ) (2.6.2) · e(0, λ) = λ · e(0, λ) (2.6.3) Sz des Quadrats des Spinoperators und dessen z-Komponente sein. Mit ~2 S 0 0 =2· 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 und 0 0 Sz = 0 0 0 0 +i 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 kann man die Zuordnung im Ruhesystem deshalb entsprechend 0 1 +1 e(0, −1) = √ 2 −i 0 0 0 e(0, 0) = 0 +1 0 1 +1 e(0, +1) = √ 2 +i 0 (2.6.4) 2.6. FREIE PROCA-FELDER 67 wählen. Die Polarisationsvektoren e(~ p, λ) für einen beliebigen Impuls ergeben sich durch einen Lorentz-Boost e(~ p, λ) = TL (~ p)e(0, λ) (2.6.5) aus den Polarisationsvektoren im Ruhesystem. Das Proca-Feld besitzt die besondere Eigenschaft, dass das Skalarprodukt p ; e(~ p, λ) = p† · (gµν ) · e(~ p, λ) = pµ eµ (~ p, λ) (2.6.6) verschwindet. Man überprüft pµ eµ (~ p, λ) = p† · (gµν ) · e(~ p, λ) 0 e1 (0, λ) 2 e (0, λ) e3 (0, λ) = m 0 TL† (~ p) · (gµν ) · TL (~ p) 0 0 0 0 e1 (0, λ) 0 · (gµν ) · e2 (0, λ) e3 (0, λ) = m = 0 0 . (2.6.7) Die Summe über die Produkte der Polarisationsvektoren ist über den Ansatz X eµ∗ (~ p, λ)eν (~ p, λ) = Ag µν + Bpµ pν λ bestimmbar. Kontrahieren mit 0= X pµ liefert pµ eµ∗ (~ p, λ)eν (~ p, λ) = Apν + Bp2 pν = (A + m2 B)pν , λ während kontrahieren mit −3 = X gµν zu eµ∗ (~ p, λ)eµ (~ p, λ) = 4A + Bp2 = 4A + m2 B λ führt. Aus diesen beiden Gleichungen folgt A = −1 und B = 1/m2 ; d.h. die Polarisationssumme ist X λ eµ∗ (~ p, λ)eν (~ p, λ) = −g µν + pµ pν m2 . (2.6.8) KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 68 Ein Übergang vom Proca-Feld zum Maxwell-Feld ist nicht möglich, da die Polarisationssumme bei verschwindender Masse m → 0 nicht endlich bleibt; d.h. ein Polarisationsvektor nicht mehr normierbar ist. 2.7 Freie Maxwell-Felder Da das freie Maxwell-Feld keine Masse besitzt, wird zur Unterscheidung vom Proca-Feld der Impuls-Vierervektor mit Mit einem Einheitsvektor ~ek k und die Energie mit ω bezeichnet. ist dann (k µ ) = ω 1 ~ek (2.7.1) und es gilt k 2 = kµ k µ = 0 . (2.7.2) Ein Teilchen ohne Ruhemasse bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit und es existiert kein Ruhesystem; d.h. die Polarisationsvektoren sind nicht durch einen Lorentz-Boost aus einem Ruhesystem generierbar. Eine Möglichkeit ist es, die Polarisationsvektoren durch die invariante Lorentz-Bedingung kµ eµ (~k, λ) = 0 (2.7.3) zu denieren. Im dreidimensionalen Raum existieren genau zwei linear unabhängige Vektoren zu ~ek , die den Spineinstellungen λ = −1 und λ = +1 zugeordnet werden. Sie sind durch e0 (~k, λ = ±1) = 0 und ~ek · ~e(~k, λ = ±1) = 0 gegeben. Für einen dritten orthogonalen Polarisationsvektor mit wegen (2.7.4) λ = 0 müsste kµ k µ = 0 eµ (~k, 0) = c · k µ =⇒ eµ (~k, 0)eµ (~k, 0) = 0 gelten. Er wäre dann aber nicht normierbar und somit folgt eµ (~k, 0) = 0 (2.7.5) c = 0; . d.h. (2.7.6) Maxwell-Felder sind entsprechend nur transversal polarisiert sein. Bewegt sich ein entsprechendes Elementarteilchen in Richtung ~kz = (0, 0, 1), so kann man 2.7. FREIE MAXWELL-FELDER 69 zum Beispiel die Zuordnung 0 1 +1 e(~kz , −1) = √ 2 −i 0 0 1 +1 e(~kz , +1) = √ 2 +i 0 und wählen. Die Polarisationsvektoren sind aber relativistisch nicht vollständig festgelegt. Auch für alle Polarisationsvektoren eµ (~k, λ, a) = eµ (~k, λ) + a(~k, λ) k µ (2.7.7) gilt kµ eµ (~k, λ, a) = kµ eµ (~k, λ) + a(~k, λ)kµ k µ = 0 sowie e∗µ (~k, λ, a)eµ (~k, λ, a) = e∗ (~k, λ)eµ (~k, λ) + a∗ (~k, λ)kµ eµ (~k, λ) µ + a(~k, λ)k µ e∗µ (~k, λ) + a2 (~k, λ)k µ kµ = e∗µ (~k, λ)eµ (~k, λ) . Sie sind damit relativistisch gleichwertig. Damit ergibt sich schlieÿlich für die Entwicklung dieses transversalen Maxwell-Feldes aus der Impulsdarstellung |Aµ⊥ (x, a)i = X λ=−1,+1 Z 3 (2π)− 2 −i~k~x µ∗ ~ √ ·e e (k, λ, a) |ω, ~k, λid3 k 2ω . (2.7.8) Da die Entwicklung des Maxwell-Feldes aus der Impulsdarstellung eindeutig sein muss, müssen die Felder |A⊥ (x, a)i das gleiche Maxwell-Feld beschreiben und man kann jeweils gerade den Repräsentanten a0 auswählen, für den auch die Bedingung e0 (~k, λ, a0 ) = 0 ⇒ |A0⊥ (x, a0 )i = 0 ∂i |Ai⊥ (x, a0 )i =0 erfüllt ist. Weil relativistisch alle Felder mit verschiedenen a-Werten (2.7.9) (2.7.10) äquiva- lent sind, verletzt dies nicht die Lorentz-Invarianz. Das Maxwell-Feld bezeichnet man deshalb auch als eichinvariant und die oben gewählte Eichung als KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 70 Coulomb-Eichung. Die zugehörige Eichtransformation sieht man durch Betrachtung von X |Aµ⊥ (x, a)i = Z λ=−1,+1 3 (2π)− 2 −i~k~x µ∗ ~ √ ·e e (k, λ, a) |ω, ~k, λid3 k 2ω 3 (2π)− 2 −i~k~x µ∗ ~ √ ·e e (k, λ, 0) + a∗ (~k, λ)k µ |ω, ~k, λid3 k 2ω λ=−1,+1 X Z (2π)− 32 ~ √ · ia∗ (~k, λ) · ik µ e−ik~x |ω, ~k, λid3 k . = |Aµ⊥ (x, 0)i − 2ω λ=−1,+1 = Z X Bei dem physikalischen Maxwell-Feld in der Coulomb-Eichung, d.h. bei dem Maxwell-Feld, bei dem das so genannte Coulomb-Potential A0⊥ weggeeicht ist und welches die Lorentz-Bedingung erfüllt, wird im weiteren Verlauf des Textes das Argument a nicht mehr mitgeführt. Die Polarisationssumme des Maxwell-Feldes ergibt sich aus dem Ansatz X ei∗ (~k, λ)ej (~k, λ) = Ag ij + Bk i k j . λ=−1,+1 Multiplikation mit der Impulskomponente ki und Summation über i = 1, 2, 3 liefert −Ak j + Bω 2 k j = 0 , während für j=i und Sumation über i = 1, 2, 3 2 = −3A + Bω 2 folgt. Dies führt zu X λ=−1,+1 A = −1 und B = −1/ω 2 und damit wird i j kk ei∗ (~k, λ)ej (~k, λ) = −g ij − 2 ω mit i, j = 1, 2, 3 . (2.7.11) Da nur die räumlichen Komponenten auftreten ist die Polarisationssumme nicht kovariant. 2.8 Die elektrische Ladung Neben den Raumzeit-Transformationen der verschiedenen Feldzustände in der Ortsdarstellung besitzen die Elementarteilchen noch weitere innere Freiheitsgrade. Sind |η1 (t)i und |η2 (t)i zwei Zustandsvektoren eines Elementarteil- chens, dann sind alle Erwartungswerte hη1 (t)| · · · |η2 (t)i und damit auch alle 2.8. DIE ELEKTRISCHE LADUNG 71 Beobachtungsergebnisse invariant, wenn man die Feldzustände gleichzeitig einer globalen Phasentransformation eiαQ̂ |η1 (t)i = eiαq |η1 (t)i unterwirft. Für innitesimales und α eiαQ̂ |η2 (t)i = eiαq |η2 (t)i (2.8.1) ergibt sich daraus Q̂ |η1 (t)i = q |η1 (t)i und Q̂ |η2 (t)i = q |η2 (t)i . (2.8.2) Da bei Phasentransformationen die Beobachtungsergebnisse invariant sind, vertauscht der so genannte Ladungsoperator Q̂ mit allen anderen Observa- blen; d.h. insbesondere auch mit dem Hamilton-Operator h i Q̂, Ĥ = 0 . (2.8.3) Damit ist die Ladung eine Erhaltungsgröÿe jedes physikalischen Systems und man kann jedem Elementarteilchen eine Ladung zuordnen. Die Ladung q=0 eines Elementarteilchens stellt dabei natürlich den Trivialfall dar. Im Kapitel Quantenelektrodynamik wird sich zeigen, dass man jedem Elementarteilchen eine elektrische Ladung zuordnen kann und mit ihr als Erhaltungsgröÿe eine Wechselwirkung verbunden ist. Im Standardmodell wird der Maÿstab für die elektrische Ladung so gewählt, dass man dem Elektron die elektrische Ladung qe = −1 zuordnet. Die Ladung der anderen Elementarteil- chen legt man dadurch fest, dass die Stärke der elektrischen Wechselwirkung nach dem Schema Wechselwirkungsstärke = elektr. Ladung × Kopplungskonstante (2.8.4) in Relation zu der Stärke der elektrischen Wechselwirkung des Elektrons gesetzt wird. Wie dies im Detail geschieht, hängt von der genauen Form der Wechselwirkung ab und wird später erläutert. Sowohl die einzelnen Ladungswerte als auch die generelle Kopplungskonstante sind nicht durch das Standardmodell festgelegt, sondern müssen experimentell ermittelt werden. Für die elektrische Wechselwirkung der Teilchen des Standardmodells gibt die folgende Tabelle eine Übersicht. KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 72 Spin-1/2 Masse Ldg. e-Neutrino Elektron e− Spin-1/2 Masse Ldg. +2/3 −1/3 sehr klein 0 u-Quark 1.5-3.3 MeV 0.511 MeV −1 d-Quark 3.5-6.0 MeV µ-Neutrino − Myon µ sehr klein 0 c-Quark 1270 MeV 105.7 MeV −1 s-Quark 105 MeV τ -Neutrino − Tau τ sehr klein 0 t-Quark 171.3 GeV 1776.8 MeV −1 b-Quark 4.2 GeV +2/3 −1/3 Masse Ldg. 80.398 GeV ±1 91.188 GeV 0 Spin-1 Masse Ldg. Photon 0 0 8 Gluonen 0 0 Spin-0 Higgs-Boson h Spin-1 W† und W Z +2/3 −1/3 Masse Ldg. sehr groÿ 0 Für die sehr kleinen Neutrino-Massen konnten bisher nur obere Schranken ermittelt werden. Das Higgs-Boson muss nach dem Standardmodell eine sehr groÿe Masse besitzen. Die Massen der W-Bosonen und des Z-Bosons sind keine unabhängigen Parameter, sondern werden im Standardmodell durch Symmetriebrechung nach dem Higgs-Mechanismus generiert. Dieser Teilcheninhalt ergibt sich nicht aus allgemeinen Prinzipien, sondern muss von Hand in das Standardmodell eingefügt und im Rahmen einer übergeordneten Theorie erklärt werden. In das Standardmodell gehen neben den elektrischen Ladungen insgesamt 21 willkürliche Parameter ein. In obiger Tabelle werden davon die 14 Parameter • 12 Massen der Spinorfelder • 1 Higgs-Masse • 1 elektrische Kopplungskonstante deniert. Die Einführung der restlichen 7 Parameter • sowie 1 Kopplungskonstante für die starke Wechselwirkung 2.9. EXKURS: DER RELATIVISTISCHE ORTSOPERATOR • 1 Kopplungskonstante für die schwache Wechselwirkung • 1 schwacher Mischungswinkel und • 4 Parameter der Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix 73 ist erst nach Darstellung der Struktur der Wechselwirkungen sinnvoll. 2.9 Exkurs: Der relativistische Ortsoperator Zur Ableitung des relativistischen Ortsoperators ist es sinnvoll die Entwicklung eines allgemeinen Feldzustandes nach Impulseigenzuständen Z |η(t)i = η(~ p, t) · Z = p d3 p 2E(~ p) |m, p~ i · 2E(~ p) η(~ p, t) p · |m, p~ i d3 p 2E(~ p) (2.9.1) zu betrachten. Dieser Ansatz führt zu Z η(~ p, t) p 2E(~ p) Z 1 p = 2E(~ p) Z Z = η(~x, t) |η(t)i = Z = · |m, p~ i d3 p · |m, p~ i Z 1 3 (2π) 2 η(~x, t)e−i~p~x d3 x d3 p 3 (2π)− 2 p · e−i~p~x |m, p~ i d3 pd3 x 2E(~ p) η(~x, t) |Φ(x)i d3 x . (2.9.2) Die Konsistenz des gewählten Ansatzes sieht man bei Betrachtung von Entwicklungskoezienten, für die η(~ p, t) → 0 für |~ p | > q << m gilt, bei denen also die zugeordnete Schwellenenergie q klein gegen die Ruhe- energie des Quantensystems ist und die somit den nicht-relativistischen Fall darstellen. Dann folgt für den Zustandsvektor 1 |η(t)i ≈ √ 2m Z η(~ p, t) |m, p~ i d3 p , KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 74 was der Darstellung (1.5.6) entspricht. Für das relativistisch invariante Skalarprodukt ergibt sich aus (2.9.1) Z hη1 (t)|η2 (t)i = wobei nun η(p) abkürzend für 1 η ∗ (p)η2 (p)d3 p 2E(~ p) 1 η(~ p, t) steht. Der Faktor , 1/(2E(~ p)) (2.9.3) ist not- wendig, um die relativistische Invarianz sicherzustellen; gleichzeitig bewirkt er aber auch, dass der nicht-relativistische Ortsoperator (mit in diesem Abschnitt verwendeter nicht-relativistischer Indizierung) X̂a η(p) = i ∂ η(p) ∂pa (2.9.4) bezogen auf dieses Skalarprodukt nicht hermitesch ist. Man rechnet Z Z 1 ∗ ∗ 1 ∂ ∗ 3 X̂a η1 (p) η2 (p)d p = −i η (p) η2 (p)d3 p 2E(~ p) 2E(~ p) ∂pa 1 Z η2 (p) ∂ ∗ d3 p = η1 (p) i ∂pa 2E(~ p) Z 1 ∂ pa ∗ = η2 (p)d3 p η (p) i −i 2 p) 2E(~ p) 1 ∂pa E (~ Z 1 6= η1∗ (p) X̂a η2 (p) d3 p . 2E(~ p) Hieraus sieht man aber sofort, dass der Operator ∂ pa R̂a η(p) = i −i 2 η(p) ∂pa 2E (~ p) (2.9.5) hermitesch und damit eine relativistische Observable ist. Zudem geht dieser so genannte Newton-Wigner-Positionsoperator im nicht-relativistischen Grenzfall wie notwendig in X̂a η(p) über. Die vorstehende Beziehung kann äquivalent durch die Wirkung des relativistischen Ortsoperators auf einen Impulseigenzustand R̂a |m, p~ i = −i ∂ |m, p~ i ∂pa (2.9.6) 2.9. EXKURS: DER RELATIVISTISCHE ORTSOPERATOR 75 formuliert werden, die natürlich gleich der entsprechenden Beziehung des nichtrelativistischen Ortsoperators Z R̂a |η(t)i = Z = Z = Z = Z = Z = X̂ ist. Zur Überprüfung rechnet man η(p) p · R̂a |m, p~ id3 p 2E(~ p) ∂ η(p) p |m, p~ i d3 p · −i ∂pa 2E(~ p) " !# ∂ η(p) p i |m, p~ id3 p ∂pa 2E(~ p) " 1 ∂ p η(p) i 2E(~ p) ∂pa η(p) pa +√ −i |m, p~ id3 p 5 2 p) 2E 2 (~ ∂ 1 pa p i η(p) |m, p~ id3 p −i 2 ∂pa 2E (~ p) 2E(~ p) 1 p , · R̂a η(p) |m, p~ id3 p 2E(~ p) wie zu zeigen war. Nun ist wegen E(~ pΛ ) = p0 + ω 0 i pi = E(~ p) − ω ~ p~ piΛ i ~ˆ 1 − i~ ωK 0 (2.9.7) i = p + ω 0p = p − ω ~ E(~ p) für einen innitesimalen Boost i ω ~ s |η; m, p~ i = = (2.9.8) E(~ p) − ω ~ p~ 0 |η ; m, p~ − ω ~ E(~ p)i E(~ p) ω ~ p~ 1− 2E(~ p) |η 0 ; m, p~ − ω ~ E(~ p)i woraus durch Umformung ~ˆ |η; m, p~ i = −i~ ωK |η 0 ; m, p~ − ω ~ E(~ p)i − |η; m, p~ i − ω ~ p~ |η 0 ; m, p~ − ω ~ E(~ p)i 2E(~ p) , KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 76 und anschlieÿendem Grenzübergang |~ ω| → 0 ∂ pa K̂a |m, p~ i = E(~ p) −i |m, p~ i −i 2 ∂pa 2E (~ p) (2.9.9) folgt. Dies in die Formulierung (2.9.6) des relativistischen Ortsoperators eingesetzt liefert R̂a |m, p~ i = pa K̂a +i 2 E(~ p) 2E (~ p) ! |m, p~ i . (2.9.10) Damit gelangt man zu der darstellungsunabhängigen Form P̂a R̂a = K̂a Ĥ −1 + i 2Ĥ 2 1 = K̂a Ĥ −1 + Ĥ −1 K̂a 2 (2.9.11) , (2.9.12) des relativistischen Ortsoperators. Dabei wurden im letzten Schritt die Vertauschungsrelationen h i K̂a , Ĥ = iP̂a =⇒ h i P̂a Ĥ −1 , K̂a = i Ĥ 2 (2.9.13) ausgenutzt. Es verbleibt zu zeigen, dass der vorstehend denierte relativistische Ortsoperator auch alle notwendigen Eigenschaften besitzt. Dies sind wie beim nichtrelativistische Ortsoperator die folgenden Beziehungen: • Hermitizität • Kommutativität • Vertauschungsrelation • echter Vektor bei Drehungen • Drehimpulsbeziehung R̂a† h i R̂a , R̂b = R̂a = 0 h i = iδab h i Jˆa , R̂b = iabc R̂b ˆ J~ = ~ˆ × P~ˆ R R̂a , P̂b 2.9. EXKURS: DER RELATIVISTISCHE ORTSOPERATOR 77 Die Hermizität ist unmittelbar aus der Darstellung (2.9.12) ersichtlich. Die Kommutativität zeigt man sehr einfach durch Anwendung auf die Wellenfunktion. Da das Operatorprodukt R̂a R̂b η(p) ∂ pa pb ∂ = i −i 2 −i 2 i η(p) ∂pa 2E (~ p) ∂pb 2E (~ p) pb ∂ ∂ ∂ pb pa pa pb ∂ ∂ + η(p) + + − = − ∂pa ∂pb ∂pa 2E 2 (~ p) 2E 2 (~ p) ∂pa 2E 2 (~ p) ∂pb 4E 4 (~ p) ∂ ∂ δab pb ∂ pa ∂ 5 pa pb + η(p) = − + + − 2 2 2 ∂pa ∂pb 2E (~ p) 2E (~ p) ∂pa 2E (~ p) ∂pb 4 E 4 (~ p) symmetrisch in den Indizes a und b ist, folgt h i R̂a , R̂b η(p) = R̂a R̂b − R̂b R̂a η(p) = 0 und daraus schlieÿlich auch darstellungsunabhängig h i R̂a , R̂b = 0 . Die Vertauschungsrelationen mit den Impulsoperatoren h i 1 K̂a Ĥ −1 + Ĥ −1 K̂a , P̂b R̂a , P̂b = 2 i h i 1h 1 = K̂a , P̂b Ĥ −1 + Ĥ −1 K̂a , P̂b 2 2 1 −1 1 −1 = iδab Ĥ Ĥ + Ĥ iδab Ĥ 2 2 = iδab sowie die Eigenschaft ein echter Vektor zu sein h i 1 Jˆa , R̂b = Jˆa , K̂b Ĥ −1 + Ĥ −1 K̂b 2 i h i 1hˆ 1 = Ja , K̂b Ĥ −1 + Ĥ −1 Jˆa , K̂b 2 2 1 1 −1 −1 = iabc K̂c Ĥ + Ĥ iabc K̂c 2 2 = iabc R̂c KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 78 sind ebenfalls einfach zu verizieren. Zur Überprüfung der Drehimpulsbeziehung zeigt man in einem ersten Schritt h i h i h i R̂a Ĥ, R̂b Ĥ = R̂b R̂a Ĥ, Ĥ + R̂a Ĥ, R̂b Ĥ h i h i h i = R̂b R̂a , Ĥ Ĥ + R̂a Ĥ, R̂b Ĥ + R̂a , R̂b Ĥ 2 h i h i = R̂b R̂a , Ĥ Ĥ + R̂a Ĥ, R̂b Ĥ # " P̂a −1 = R̂b K̂a Ĥ + i , Ĥ Ĥ 2Ĥ 2 # " P̂b −1 Ĥ + R̂a Ĥ, K̂b Ĥ + i 2Ĥ 2 h i h i = R̂b K̂a , Ĥ Ĥ −1 Ĥ + R̂a Ĥ, K̂b Ĥ −1 Ĥ = iR̂b P̂a − iR̂a P̂b und in einem zweiten Schritt h i " P̂b P̂a # , K̂b + i 2Ĥ 2Ĥ " # " # h i i P̂b i P̂a = K̂a , K̂b + K̂a , + , K̂b 2 2 Ĥ Ĥ R̂a Ĥ, R̂b Ĥ = K̂a + i i i h i ih i h = K̂a , K̂b + K̂a , P̂b Ĥ −1 + P̂b K̂a , Ĥ −1 2 2 i ih i i −1 h + Ĥ P̂a , K̂b + Ĥ −1 , K̂b P̂a 2 2 h i = K̂a , K̂b = −iabc Jˆc . Vergleich der beiden Ergebnisse liefert abc Jˆc = R̂a P̂b − R̂b P̂a , was der Drehimpulsbeziehung entspricht. Die vorstehenden Überlegungen bezogen sich dabei ausschlieÿlich auf Spin-0 Teilchen. 2.9. EXKURS: DER RELATIVISTISCHE ORTSOPERATOR 79 Für Teilchen mit Spin wird die Drehimpulsbeziehung ˆ ~ˆ ~ˆ ~ˆ J~ = R S ×P +S . (2.9.14) Hiervon ausgehend lässt sich mit Hilfe des Spinoperators der Ortsoperator für Teilchen mit Spin verallgemeinern. Die Beziehungen (2.2.6) und (2.2.7) legen den Spinoperator darstellungsunabhängig eindeutig zu ~ˆ = 1 S M̂ = 1 M̂ ~ˆ − W Ŵ 0 Ĥ + M̂ ˆ P~ ! (2.9.15) ! ˆ ˆ P~ · J~ ~ˆ ˆ ~ˆ ~ˆ ~ Ĥ J + P × K − P Ĥ + M̂ (2.9.16) fest, wobei der hier verwendete Masseoperator M̂ = q P̂µ P̂ µ (2.9.17) mit allen anderen Operatoren vertauscht, da er die Funktion eines CasimirOperators ist. Nun ist wegen der Antisymmetrie des Ŵµ P̂ µ = -Tensors 1 µνρσ P̂ ν M̂ ρσ P̂ µ = 0 2 , woraus die Beziehung ~ˆ · P~ˆ = Ŵ 0 Ĥ W folgt. Mit ˆ ˆ P~ · P~ = Ĥ 2 − M̂ 2 = Ĥ − M̂ Ĥ + M̂ erhält man weiter ~ˆ · W ~ˆ − Ŝ 2 M̂ 2 = W ~ˆ · P~ˆ Ŵ 0 + Ŵ 0 P~ˆ · W ~ˆ W ~ˆ · W ~ˆ − =W + Ĥ + M̂ 2 Ŵ 0 2 Ĥ Ĥ + M̂ 2 ˆ ˆ ~ ·W ~ − Ŵ 0 =W . + Ŵ 0 2 Ĥ − M̂ Ŵ 0 2 Ĥ + M̂ ˆ ˆ 2 P~ · P~ Ĥ + M̂ (2.9.18) KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 80 Anwendung von (2.9.15) und (2.9.18) auf den Ruhezustand liefert dann wie erwartet (2.2.6) und (2.2.7). Für den verallgemeinerten Ortsoperator R̂S muss nun für einen Impulseigenzustand ohne Spin R̂S |m, p~ i = R̂ |m, p~ i (2.9.19) sein. Hiermit sowie mit (2.9.14) und (2.9.16) wird er eindeutig zu ˆ ~ˆ P~ × S R̂S = R̂ − Ĥ Ĥ + M̂ bestimmt. Man veriziert ˆ ~ˆ ˆ P~ × S × P~ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ −1 ~ S × P~ = J~ − Ĥ K ~ × P~ + J~ − R Ĥ Ĥ + M̂ ~ˆ ~ˆ P~ˆ · P~ˆ − P~ˆ P~ˆ · S S ˆ ~ˆ × P~ˆ + = J~ − Ĥ −1 K Ĥ Ĥ + M̂ ~ˆ Ĥ − M̂ Ĥ + M̂ − P~ˆ P~ˆ · J~ˆ S ˆ ~ˆ × P~ˆ + = J~ − Ĥ −1 K Ĥ Ĥ + M̂ ˆ ˆ ˆ ~ˆ Ĥ − M̂ S P~ P~ · J~ ˆ ~ˆ × P~ˆ + = J~ − Ĥ −1 K − Ĥ Ĥ Ĥ + M̂ ! ~ˆ · J~ˆ ˆ M̂ 1 P ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ~ −S ~ ~ − =S + Ĥ J~ + P~ × K P~ Ĥ Ĥ Ĥ + M̂ ~ˆ = S. Der relativistische Ortsoperator unter Berücksichtigung des Spinfreiheitsgrades ist damit R̂S = ˆ ~ˆ P~ × S 1 K̂a Ĥ −1 + Ĥ −1 K̂a − 2 Ĥ Ĥ + M̂ . (2.9.20) Er ist allerdings nur auf Teilchen mit Masse anwendbar und nicht auf masselose Teilchenzustände, da die Masse im Nenner der Darstellung des Spinoperators 2.10. ZUSAMMENFASSUNG 81 erscheint. Da masselose Teilchen sich aber grundsätzlich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und sich deshalb nicht an einem Ort aufhalten können, ist dies plausibel. Anmerkung: Die detailliertere Analyse zeigt, dass die Eigenzustände des relativistischen Ortsoperators ungewöhnliche Eigenschaften besitzen. Einige Physiker sehen dies als Hinweis, dass eine strenge Lokalisierung mit dem NewtonWigner-Positionsoperator in der relativistischen Theorie nicht konsistent möglich ist, während andere Physiker diese Eigenschaften einfach als ungewöhnlich hinnehmen. 2.10 Zusammenfassung Nach der speziellen Relativitätstheorie müssen die Naturgesetze invariant unter Transformationen sein, die das Linienelement ds2 = dxµ dxµ invariant lassen. Die entsprechende Transformation wird im Hilbert-Raum durch den Poincare-Operator µ i ÛP = eiaµ P̂ e− 2 ωµν M̂ µν repräsentiert. Die Poincare-Gruppe erfüllt die Lie-Algebra h i P̂ µ , P̂ ν = 0 h i i P̂ ρ , M̂ µν = g ρν P̂ µ − g ρµ P̂ ν h i i M̂ ρσ , M̂ µν = g νσ M̂ ρµ + g ρµ M̂ σν − g νρ M̂ σµ − g σµ M̂ ρν , aus der sich zwei Casimir-Operatoren ableiten lassen. Die Eigenwerte dieser Operatoren sind P̂µ P̂ µ |η; m, p~, si = 2 m2 |η; m, p~, si 2 Ŵ |η; m, p~, si = −m s(s + 1) |η; m, p~, si . Elementarteilchen sind als invariante Zustände der Poincare-Transformation deniert und durch ihre Masse m und ihren Spin s charakterisierbar. Man KAPITEL 2. DIE ELEMENTARTEILCHEN 82 bezeichnet die Elementarteilchen entsprechend ihrem Spin als s = 0 1 Skalarfelder Spinorfelder 2 1 1 m>0: m=0: Proca-Felder Maxwell-Felder . Spinor- und Vektorfeldern lassen sich Darstellungsräume zuordnen, deren Elemente sich durch ihre Transformationseigenschaften bei Lorentz-Transformationen unterscheiden. Die Darstellungsräume sind wie die Minkowski-Raumzeit 4-dimensional. γ -Matrizen können sich wie Vektoren aber auch wie Spinoren transformieren und vermitteln so zwischen der Spinor- und der Vektordarstellung. In der Ortsdarstellung lassen sich die den Elementarteilchen zugeordneten zeitunabhängigen Feldzustände nach Impulseigenzuständen entwickeln: 3 Skalarfelder |Φ(x)i = (2π)− 2 p · e−i~p~x |m, p~ id3 p 2E(~ p) Spinorfelder |Ψ(x)i = X Z (2π)− 2 p · e−i~p~x u† (~ p, σ) |m, p~, σid3 p 2E(~ p) Z (2π)− 2 p · e−i~p~x v(~ p, σ) |m, p~, σic d3 p 2E(~ p) Z (2π)− 2 p · e−i~p~x eµ∗ (~ p, λ) |m, p~, λid3 p 2E(~ p) σ=− 21 ,+ 12 |Ψc (x)i = X σ=− 21 ,+ 12 Proca-Felder µ |V (x)i = X λ=−1,0,+1 µ Maxwell-Felder |A⊥ (x)i = X λ=−1,+1 3 Z Z 3 3 3 (2π)− 2 −i~k~x µ∗ ~ √ ·e e (k, λ) |ω, ~k, λid3 k 2ω Lorentz-Invarianz des Maxwell-Feldes ist dabei nur in Kombination mit einer Eichtransformation möglich, da die 0-Komponente des physikalischen MaxwellFeldes in der gewählten Darstellung verschwinden muss. 83 Kapitel 3 Die Feldoperatoren In diesem Kapitel werden Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die Elementarteilchen eingeführt. Die Mikrokausalitätsbedingung erfordert, dass Erzeugungsoperatoren im Ortsraum Teilchen- und Antiteilchen-Anteile enthalten müssen. Mit der Gupka-Beuler-Methode wird auch das Maxwell-Feld kovariant formuliert. Die Feynman-Propagatoren werden eingeführt sowie die die Gleichungen der Spinor-Elektrodynamik abgeleitet. 3.1 Mehrteilchenzustände In der Natur wird eine Vielzahl von Teilchen beobachtet. Die Existenz dieser Teilchen wird aus den Beobachtungen bei Zerfallsprozessen und bei Stoÿprozessen geschlossen. Ursache der Zerfallsprozesse ist vorwiegend die schwache Wechselwirkung, während bei Stoÿprozessen die elektrische und die starke Wechselwirkung von Bedeutung sind. Die elektrische Wechselwirkung wird auch verwendet, um die Teilchenbahnen in entsprechenden Detektoren zu interpretieren. In jedem Falle ist es notwendig, Teilchenerzeugung und -vernichtung zu beschreiben; d.h. eine Beschreibung der Dynamik von Vielteilchensystemen zu entwickeln. Einen Mehrteilchenzustand identischer Teilchen kann man bei Vorliegen scharfer Impulse durch einen ket-Vektor |η; m, p~1 , ..., p~n i (3.1.1) beschreiben. Ein quantenmechanischer Mehrteilchenzustand unterscheidet sich grundsätzlich von einem makroskopischen Mehrteilchenzustand. Im Mikrosko- KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 84 pischen ist es nicht möglich Marken zur Unterscheidung der Elementarteilchen anzubringen; d.h. gleiche Elementarteilchen besitzen keine Individualität und sind nach dem dritten Postulat der Quantenmechanik in Strenge nicht unterscheidbar. Dies bedeutet, dass es keine Observable gibt, welche die Individualität der Teilchen festlegt. Betrachtet man den Permutationsoperator P̂ij , der das i-te Teilchen mit dem j-ten Teilchen vertauscht P̂ij |η; m, p~1 , ..., ~r, ..., ~s, ..., p~n i = NP |η; m, p~1 , ..., ~s, ..., ~r, ..., p~n i , (3.1.2) so müssen für ein System identischer Teilchen alle Observablen mit dem Permutationsoperator vertauschen h i Ô, P̂ij = 0 . (3.1.3) Die gleiche Permutation zweimal ausgeführt liefert wieder den ursprünglichen Zustand; d.h. P̂ij2 = 1 =⇒ NP = ±1 . (3.1.4) Es muss deshalb zwei Sorten von Elementarteilchen geben, Bosonen |η; m, p~1 , ..., ~r, ..., ~s, ..., p~n i = + |η; m, p~1 , ..., ~s, ..., ~r, ..., p~n i (3.1.5) und Fermionen |η; m, p~1 , ..., ~r, ..., ~s, ..., p~n i = − |η; m, p~1 , ..., ~s, ..., ~r, ..., p~n i . (3.1.6) Bosonen besitzen danach vollständig symmetrische und Fermionen vollständig antisymmetrische Mehrteilchenzustände. Da alle Observablen mit dem Permutationsoperator vertauschen, kann keine Observable existieren, die diese verschiedenen Zustände ineinander überführt; d.h. es ist eine unabänderliche Eigenschaft der Elementarteilchen entweder zu den Bosonen oder zu den Fermionen zu gehören. Während bei den Bosonen zwei Teilchen die gleichen Werte für die Observablen haben können, folgt aus (3.1.6) aufgrund der Antisymmetrie für Fermionen |η; m, p~1 , ..., ~r, ..., ~r, ..., p~n i = 0 . (3.1.7) Zwei Fermionen können sich im Gegensatz zu Bosonen nicht in dem gleichen Quantenzustand benden. Dies ist das Paulische Ausschlieÿungsprinzip. 3.1. MEHRTEILCHENZUSTÄNDE 85 Nach dem vierten Postulat der Quantenmechanik ist das Vakuum eindeutig und invariant; d.h. wenn man mit |0i den normierten Vakuumzustand bezeich- net, muss für diesen h0|0i = 1 (3.1.8) µ (3.1.9) P̂ |0i = 0 M̂ µν |0i = 0 (3.1.10) Q̂ |0i = 0 (3.1.11) gelten; d.h. der Vakuumzustand trägt keine Energie, besitzt keinen Impuls, keinen Drehimpuls und ist ungeladen. Da der Vakuumzustand eindeutig ist und die Elementarteilchen einer Sorte nicht unterscheidbar sind, ist es möglich Erzeugungsoperatoren ↠(p) zu denieren, die entsprechend |m, p~ i = ↠(~ p) |0i (3.1.12) einen zeitunabhängigen Impulseigenzustand aus einem Vakuumzustand heraus erzeugen. Mehrfache Anwendung des Erzeugungsoperators liefert dann einen zeitunabhängigen Impulseigenzustand für mehrere identische Teilchen 1 |m, p~1 , ..., p~n i = √ ↠(~ pn )...↠(~ p1 ) |0i . n! (3.1.13) Der Normierungsfaktor ist notwendig, da die Reihenfolge der Argumente im Zustandsvektor keine Bedeutung hat, da es sich um nicht unterscheidbare Teilchen handelt. Zudem wurde angenommen, dass die Impulse p~i verschieden sind (der Normierungsfaktor ist sonst komplizierter aufgebaut). Die Erzeugungsoperatoren sind entsprechend ihrer Denition (in dem hier zugrunde liegenden Schrödinger-Bild) zeitunabhängig. Man beachte, dass dieser so denierte Erzeugungsoperator einen Impulseigenzustand und keinen Zustandsvektor (1.4.3) eines physikalischen Systems erzeugt. Aufgrund von (3.1.2) muss für die Erzeugungsoperatoren ↠(~ p)↠(~q) = NP · ↠(~q)↠(~ p) bzw. h ↠(~ p), ↠(~q) i ∓ =0 (3.1.14) sein, wobei das Minuszeichen für Bosonen und das Pluszeichen für Fermionen steht. Aus 0= h0|m, p~ i = h0|↠(~ p)|0i δ(~ p − ~q) = hm, p~ |m, ~q i = hm, p~ |↠(~q)|0i KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 86 folgt h0| ↠(~ p) = 0 (3.1.15) † hm, p~ | â (~q) = h0| δ(~ p − ~q) . (3.1.16) Adjungieren von (3.1.14) und Übergang von bra- zu ket-Vektoren in den vorstehenden beiden Beziehungen liefert h i â(~ p), â(~q) = 0 (3.1.17) â(~ p) |0i = 0 (3.1.18) ∓ â(~q) |m, p~ i = δ(~ p − ~q) |0i . Der Operator (3.1.19) â(~ p) ist also ein Operator, der einen Quantenzustand vernichtet. Wendet man die vorstehenden Beziehungen auf Mehrteilchenzustände an, so sieht man, dass der Kommutator zwischen Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren h i â(~ p), ↠(~q) = δ(~ p − ~q) ∓ (3.1.20) sein muss. Damit sind alle wichtigen Eigenschaften der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Elementarteilchen im Impulseigenzustand abgeleitet. Im nächsten Abschnitt wird sich zeigen, dass Skalar-, Vektor- und MaxwellFelder Bosonen und Spinorfelder Fermionen beschreiben. Dies sind Spezialfälle des Spin-Statistik-Theorems von W.Pauli. In der Ortsdarstellung kann man entsprechend für Skalarfelder |Φ(x)i = Φ̂† (~x) |0i (3.1.21) Ψ̂†l (~x) |0i V̂µ† (~x) |0i (3.1.23) (3.1.24) Spinorfelder |Ψl (x)i = Proca-Felder |Vµ (x)i = Maxwell-Felder |Aµ (x)i = †µ (~x) |0i (3.1.22) zeitunabhängige Erzeugungsoperatoren für die verschiedenen Feldzustände der freien Elementarteilchen einführen. 3.2. DAS WECHSELWIRKUNGSBILD 87 3.2 Das Wechselwirkungsbild Unterwirft man alle Zustandsvektoren und Operatoren gleichzeitig einer unitären Transformation Â(t) |η 0 (t)i = Â(t) |η(t)i 0 (3.2.1) † Ô (t) = Â(t)Ô (t) , (3.2.2) so bleiben alle physikalischen Aussagen gleich, da sich bei dieser Transformation die Erwartungswerte wegen hη 0 (t)|Ô0 (t)|η 0 (t)i = hÂ(t)η(t)|Â(t)Ô† (t)|Â(t)η(t)i = hη(t)|† (t)Â(t)Ô† (t)Â(t)|η(t)i = hη(t)|Ô|η(t)i (3.2.3) nicht ändern. Die Dynamik der Zustände und der Operatoren ändert sich natürlich. Man spricht von der Dynamik in einem Bild. Durch geschickte Wahl eines Bildes ist es möglich, die Dynamik der Operatoren und der Zustandsvektoren voneinander zu entkoppeln. Dies erleichtert einige Rechnungen erheblich. Die bisherigen Überlegungen sind alle im so genannten Schrödinger-Bild durchgeführt worden, in dem die Impulsoperatoren ruhen. Die Dynamik im Schrödinger-Bild (ab jetzt durch den Index S gekennzeichnet) war nun durch d ∂ |η(t)iS = |η(t)iS dt ∂t = −iĤ S |η(t)iS d S ∂ Ô = ÔS dt ∂t (3.2.4) (3.2.5) gegeben. Das Wechselwirkungsbild wurde erstmals 1943 von E.C.G. Stückelberg formuliert. Im Wechselwirkungsbild wird S ÂW (t) = eitĤ0 (3.2.6) gewählt, wobei der Hamilton-Operator des Schrödinger-Bildes entsprechend Ĥ S = Ĥ0S + Ĥ1S (3.2.7) in einen freien Anteil ohne Wechselwirkung und einen Anteil mit Wechselwirkung aufgeteilt wird. Dies bedeutet S S Ĥ W (t) = eitĤ0 Ĥ S e−iĤ0 S S S S = eitĤ0 Ĥ0S e−itĤ0 + eitĤ0 Ĥ1S e−itĤ0 S S = Ĥ0S + eitĤ0 Ĥ1S e−itĤ0 KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 88 bzw. Ĥ0W = Ĥ0S = Ĥ0 (3.2.8) und Ĥ1W (t) = eitĤ0 Ĥ1S e−itĤ0 . (3.2.9) Weiter wird d |η(t)iS |η(t)iS + eitĤ0 dt itĤ0 S itĤ0 = iĤ0 e |η(t)i + e −iĤ S |η(t)iS = iĤ0 eitĤ0 |η(t)iS − ieitĤ0 Ĥ0 + Ĥ1S e−itĤ0 eitĤ0 |η(t)iS d |η(t)iW = dt d itĤ0 e dt = −ieitĤ0 Ĥ1S e−itĤ0 · eitĤ0 |η(t)iS = −iĤ1W (t) |η(t)iW sowie d itĤ0 S −itĤ0 d W Ô e Ô (t) = e dt dt = iĤ0 eitĤ0 ÔS e−itĤ0 + eitĤ0 ∂ ÔS −itĤ0 e + eitĤ0 ÔS −iĤ0 e−itĤ0 ∂t ∂ ÔS −itĤ0 e + iĤ0 ÔW (t) − iÔW (t)Ĥ0 ∂t h i ∂ W = Ô (t) + i Ĥ0 , ÔW (t) , ∂t = eitĤ0 ex wobei ∂ W ∂ ÔS −itĤ0 Ô (t) = eitĤ0 e ∂t ∂t ex (3.2.10) keine direkte Ableitung ist, sondern eine transformierte Ableitung aus dem Schrödinger-Bild darstellt. Im weiteren Verlauf dieses Textes werden aber nur Operatoren betrachtet, die im Schrödinger-Bild zeitunabhängig sind. Im Wechselwirkungsbild ist die Dynamik damit durch d |η(t)iW = −iĤ1W (t) |η(t)iW dt h i d W Ô (t) = i Ĥ0 , ÔW (t) dt (3.2.11) (3.2.12) 3.2. DAS WECHSELWIRKUNGSBILD 89 gegeben. Die Operatoren im Wechselwirkungsbild folgen also freien Bewegungsgleichungen, die nicht durch Wechselwirkungen beeinusst werden. Wichtig ist noch, dass es sich bei dem Übergang zwischen den Bildern um eine kanonische Transformation h i Ô1S , Ô2S = Ô3S ± h ⇐⇒ Ô1W , Ô2W i ± = Ô3W (3.2.13) handelt, die die Vertauschungsrelationen zwischen Operatoren unverändert lässt. Für die Erzeugungsoperatoren von freien Skalarfeldern im Schrödinger-Bild ergibt sich aus (2.4.9) |Φ(xiS = Z 3 (2π)− 2 p · e−i~p~x |m, p~ iS d3 p 2E(~ p) und mit (3.1.21) der Zusammenhang Φ̂†S (~x) = B̂S† (~x) + D̂S (~x) , mit B̂S† (~x) Z = 3 (2π)− 2 p · e−i~p~x ↠(~ p)d3 p 2E(~ p) D̂S (~x) |0i = 0 . D̂S (~x) ist dabei ein noch zu bestimmender Operator. Dessen Berücksichti- gung ist zwingend notwendig, um die Kausalität der Theorie sicherzustellen. Übergang in das Wechselwirkungsbild liefert † B̂W (~x, t) = Z 3 (2π)− 2 p · e−i~p~x â†W (~ p, t)d3 p 2E(~ p) . Nun gilt für die Impulseigenzustände |m, p~ iW = eitE(~p) |m, p~ iS , woraus für die Erzeugungsoperatoren im Wechselwirkungsbild der Ansatz â†W (~ p, t) = eitE(~p) ↠(~ p) KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 90 abgeleitet werden kann, den man unter Ausnutzung der Beziehung h i Ĥ0 , ↠(~ p) = E(~ p) · ↠(~ p) durch Einsetzen in die Dynamikgleichung der Operatoren im Wechselwirkungsbild veriziert. Damit ergibt sich dann † B̂W (~x, t) = 3 Z (2π)− 2 p · e−i~p~x eitE(~p) ↠(~ p)d3 p 2E(~ p) Z (2π)− 2 p · eipx ↠(~ p)d3 p 2E(~ p) = 3 . Im Wechselwirkungsbild folgt insbesondere auch |η; m, p~ iW = eitE(~p) |η; m, p~ iS = eitE(~p) e−itE(~p) |m, p~ iS = ↠(~ p) |0i d.h. der Operator , (3.2.14) ↠(~ p) erzeugt im Wechselwirkungsbild den zeitunabhängigen Zustandsvektor eines Teilchens. Im Folgenden wird bis auf weiteres im Wechselwirkungsbild gearbeitet und deshalb der Index W bei den Zuständen und Operatoren nicht mehr mitgeschrie† ben. Unter â (~ p) ist dabei aber immer der Operator zu verstehen, der einen zeitunabhängigen Impulseigenzustand erzeugt. Mit diesem Wechsel der Schreibweise ist dann Φ̂† (x) = B̂ † (x) + D̂(x) , (3.2.15) mit † B̂ (x) = Z 3 (2π)− 2 p · eipx ↠(~ p)d3 p 2E(~ p) D̂(x) |0i = 0 . (3.2.16) (3.2.17) Nach dem dritten Postulat der speziellen Relativitätstheorie können sich raumartig getrennte Ereignisse nicht beeinussen. Dies bedeutet, dass Messungen an zwei Raumzeit-Punkten, die einen raumartigen Abstand besitzen, die also nicht durch Licht- (oder andere) Signale miteinander in Wechselwirkung treten können, sich nicht gegenseitig beeinussen dürfen. Für freie Teilchen, d.h. ohne das Vorliegen von Wechselwirkungen, ist im Wechselwirkungsbild der 3.2. DAS WECHSELWIRKUNGSBILD 91 Zustandsvektor zeitlich konstant und die Zeitabhängigkeit wird ausschlieÿlich durch die Operatoren getragen. Für die Feldoperatoren bedeutet dies, dass sie die Mikrokausalitätsbedingung h Φ̂(x), Φ̂† (y) i =0 ∓ für (x − y)2 ≤ 0 (3.2.18) D̂(x) fest und bestimmt erfüllen müssen. Diese Forderung legt den Operator die Art der Vertauschungsrelationen der verschiedenen Elementarteilchen. Für das Folgende ist die Funktion 1 (2π)3 i∆+ (m; x) = wichtig. ∆+ (m; x) Z e−ipx d3 p 2E(~ p) (3.2.19) x, oensichtlich invariant und x2 abhängen, was die Berech2 erlaubt. Für x ≤ 0 können für die ist eine gerade Funktion von kann deshalb nur von der invarianten Gröÿe nung durch geeignete Koordinatenwahl Berechnung die speziellen Koordinaten ts = 0 =⇒ x2s = −~xs · ~xs ≤ 0 gewählt werden. Dies liefert 1 ∆+ (m; ~xs , 0) = 2(2π)3 ei~ps ·~xs Z q m2 + |~ ps | 2 · d3 ps und zeigt, dass auch für beliebige Koordinaten ∆+ (m; x) 6= 0 für x2 ≤ 0 (3.2.20) ist. Die erweiterte Funktion ∆(m; x) = ∆+ (m; x) − ∆+ (m; −x) Z sin(px) 3 1 d p =− (2π)3 E(~ p) (3.2.21) (3.2.22) hat jedoch die oensichtlichen Eigenschaften ∆(m; x0 ) Lorentz-Invarianz ∆(m; x) = Antisymmetrie ∆(m; x) = −∆(m; −x) (3.2.23) (3.2.24) KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 92 und verschwindet bei t=0 ∆(m; ~x, 0) = = Z 1 + (2π)3 0 , p~ · ~x ) 3 d p E(~ p) sin( (3.2.25) da im Integral eine ungerade Funktion des Impulses steht. Dies bedeutet für raumartige Abstände ∆(m; x) = 0 x2 ≤ 0 für . (3.2.26) Weiter gilt die wichtige Beziehung ∂ = ∆(m; x) ∂t t=0 = = Z 1 cos ( p ~ · ~x ) d3 p (2π)3 Z 1 − ei~p·~x d3 p (2π)3 − −δ 3 (~x) . (3.2.27) 3.3 Die Vertauschungsrelationen Skalarfelder: Für den Erzeugungsoperator hatte sich Φ̂† (x) = B̂ † (x) + D̂(x) mit B̂ † (x) = Z 3 (2π)− 2 p · eipx ↠(~ p)d3 p 2E(~ p) D̂(x) |0i = 0 ergeben. Der Operator D̂(x) ergibt sich durch Auswertung der Mikrokausalitäts- bedingung h Φ̂(x), Φ̂† (y) i ∓ h i = B̂(x) + D̂† (x), B̂ † (y) + D̂(y) ∓ h i h i † † = B̂(x), B̂ (y) + D̂ (x), D̂(y) = 0 ∓ ∓ für x2 ≤ 0 . 3.3. DIE VERTAUSCHUNGSRELATIONEN 93 Mit h 1 (2π)3 Z Z e−ipx eiqy p p â(~ p), ↠(~q) ∓ d3 pd3 q 2E(~ p) 2E(~q) 1 = (2π)3 Z Z eiqy e−ipx p p δ 3 (~ p − ~q)d3 pd3 q 2E(~ p) 2E(~q) i B̂(x), B̂ † (y) = ∓ Z −ip(x−y) 1 e = d3 p (2π)3 2E(~ p) = i∆+ (m; x − y) wird die Mikrokausalitätsbedingung nur erfüllbar, wenn ist wie D† (x) so aufgebaut B † (x) D̂† (x) = Z 3 (2π)− 2 p · eipx â†c (~ p)d3 p 2E(~ p) und für den Kommutator das Minuszeichen gilt. Damit folgt 3 (2π)− 2 −ipx p e â(~ p) + eipx â†c (~ p) d3 p Φ̂(x) = 2E(~ p) Z − 32 (2π) p Φ̂† (x) = eipx ↠(~ p) + e−ipx âc (~ p) d3 p 2E(~ p) Z (3.3.1) (3.3.2) sowie die kovarianten Vertauschungsrelationen h i Φ̂(x), Φ̂† (y) = i∆(m; x − y) . − (3.3.3) Skalarfelder beschreiben also Bosonen. Da das Skalarfeld aus ebenen Wellen e±ipx aufgebaut ist, erfüllt es die Klein-Gordon-Gleichung (∂µ ∂ µ + m2 )Φ̂(x) = 0 . (3.3.4) Die Klein-Gordon-Gleichung drückt nichts anderes aus, als die relativistische Beziehung zwischen Energie, Impuls und Masse. Sie muss deshalb für alle Elementarteilchen gelten und nicht nur für Skalarfelder. Anfangs wurde sie jedoch als relativistische Feldgleichung verworfen, da sie inkompatibel mit der statistischen Interpretation einer Wahrscheinlichkeitsamplitude ist. Bei dem hier gewählten Weg tritt diese Problematik nicht auf, da die Feldzustände zwar die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen, ihre Denition jedoch nicht als Lösung dieser Gleichung erfolgt, sondern sich aus der geforderten relativistischen Invarianz des Skalarproduktes ergibt. KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 94 In obiger Beziehung müssen die durch a† (~ p) und a†c (~ p) erzeugten Zustände nicht identisch sein; es kann sich um zwei verschiedene skalare Teilchen |η; m, p~ i = a† (~ p) |0i (3.3.5) |η; m, p~ ic = a†c (~ p) |0i (3.3.6) handeln, die sich allerdings nur durch das Vorzeichen ihrer Ladungen unterscheiden. Für die elektrische Ladung kann man dies wie folgt einsehen. Aus den zueinander adjungierten Beziehungen e−iαQ̂ · Φ̂† (x) · e+iαQ̂ = e−iαq · Φ̂† (x) e−iαQ̂ · Φ̂(x) · e+iαQ̂ = e+iαq · Φ̂(x) folgt, da der Vakuumzustand ungeladen ist e±iαQ̂ |0i = |0i , durch Anwendung auf diesen e−iαQ̂ · Φ̂† (x) |0i = e−iαq · Φ̂† (x) |0i e−iαQ̂ · Φ̂(x) |0i = e+iαq · Φ̂(x) |0i , woraus sich durch Übergang zu innitesimalen α-Werten und Berücksichtigung der Darstellung der Feldoperatoren im Impulsraum schlieÿlich Q̂ · Φ̂† (x) |0i = +q · Φ̂† (x) |0i =⇒ Q̂ |η; m, p~ i = +q |η; m, p~ i (3.3.7) Q̂ · Φ̂(x) |0i = −q · Φ̂(x) |0i =⇒ Q̂ |η; m, p~ ic = −q |η; m, p~ ic (3.3.8) ergibt. Das dem Teilchen |η; m, p~ i zugeordnete Elementarteilchen |η; m, p~ ic wird als Antiteilchen bezeichnet. Teilchen und Antiteilchen besitzen die gleiche Masse, während ihre Ladungen zwar auch dem Betrage nach gleich sind, aber umgekehrte Vorzeichen aufweisen. Die Existenz von Antiteilchen ist eine zwingende Konsequenz der Lorentz-Invarianz; d.h. der Forderung nach Gültigkeit der Mikrokausalitätsbedingung für die Feldoperatoren. 3.3. DIE VERTAUSCHUNGSRELATIONEN 95 Spinorfelder: Die analogen Überlegungen wie für die Skalarfelder führen mit B̂l† (x) X Z (2π)− 32 p = · eipx u∗l (~ p, σ)↠(~ p, σ)d3 p 2E(~ p) σ sowie h i B̂l (x), B̂l†0 (y) ∓ Z Z e−ipx eiqy 1 XX p p = (2π)3 σ 2E(~ p) 2E(~q) σ0 · ul (~ p, σ)u∗l0 (~q, σ 0 ) · â(~ p, σ), ↠(~q, σ 0 ) ∓ d3 pd3 q = Z Z e−ipx 1 XX eiqy p p 3 (2π) σ 2E(~ p) 2E(~q) σ0 · ul (~ p, σ)u∗l0 (~q, σ 0 ) · δ 3 (~ p − ~q)δσσ0 d3 pd3 q e−ip(x−y) X · ul (~ p, σ)u∗l0 (~ p, σ) · d3 p 2E(~ p) σ Z −ip(x−y) X 1 e · d3 p = · u(~ p, σ)u† (~ p, σ) 3 (2π) 2E(~ p) ll0 σ Z −ip(x−y) 1 e = · [pµ γ µ + m] γ 0 · d3 p 3 (2π) 2E(~ p) ll0 Z 3 1 µ ∂ 0 −ip(x−y) d p = iγ + m γ e 3 ∂xµ 2E(~ p) ll0 (2π) = iγ µ ∂µ + m γ 0 i∆+ (m; x − y) = 1 (2π)3 Z ll0 zu der Notwendigkeit, dass bei dem Spinorfeld h D̂l† (x), D̂l0 (y) i ∓ = − iγ µ ∂µ + m γ 0 0 i∆+ (m; y − x) ll sein muss. Wie man leicht überprüft, liefert D̂l† (x) = X Z (2π)− 23 p · eipx vl (~ p, σ)â†c (~ p, σ)d3 p 2E(~ p ) σ KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 96 das gewünschte Ergebnis h D̂l† (x), D̂l0 (y) i ∓ Z Z 1 XX eipx e−iqy p p = 3 (2π) σ 2E(~ p) 2E(~q) σ0 · vl (~ p, σ)vl∗0 (~q, σ 0 ) · â†c (~ p, σ), âc (~q, σ 0 ) ∓ d3 pd3 q = Z Z 1 XX e−iqy eipx p p (2π)3 σ 2E(~ p) 2E(~q) σ0 · vl (~ p, σ)vl∗0 (~q, σ 0 ) · ∓ âc (~q, σ), â†c (~ p, σ 0 ) ∓ d3 pd3 q = Z Z 1 XX e−iqy eipx p p 3 (2π) σ 2E(~ p) 2E(~q) σ0 · vl (~ p, σ)vl∗0 (~q, σ 0 ) · ∓δ 3 (~ p − ~q)δσσ0 d3 pd3 q e−ip(y−x) X · vl (~ p, σ)vl∗0 (~ p, σ) · d3 p 2E(~ p) σ Z −ip(y−x) X e 1 † · v(~ p , σ)v (~ p , σ) · d3 p =∓ (2π)3 2E(~ p) ll0 σ Z −ip(y−x) 1 e µ 0 =∓ [p γ − m] γ · · d3 p µ (2π)3 2E(~ p) ll0 Z 3 1 µ ∂ 0 −ip(y−x) d p = ∓ −iγ − m γ e 3 ∂xµ 2E(~ p) ll0 (2π) µ 0 = ± i γ ∂µ + m γ i∆+ (m; y − x) , 0 =∓ 1 (2π)3 Z ll wenn der Kommutator mit dem Pluszeichen ausgeführt wird. Mit dem u-Spinor ist dies nicht möglich. Damit folgt Ψ̂(x) = X Z (2π)− 32 p e−ipx u(~ p, σ)â(~ p, σ) + eipx v(~ p, σ)â†c (~ p, σ) d3 p 2E(~ p) σ (3.3.9) X Z (2π)− 23 † p Ψ̂ (x) = eipx u† (~ p, σ)↠(~ p, σ) + e−ipx v † (~ p, σ)âc (~ p, σ) d3 p 2E(~ p) σ (3.3.10) 3.3. DIE VERTAUSCHUNGSRELATIONEN sowie die kovarianten Vertauschungsrelationen (γ h 97 0 ist ein zweistuger Spinor) i Ψ̂l (x), Ψ̂†l0 (y) = i∂µ γ µ + m γ 0 i∆(m; x − y) . ll0 + (3.3.11) Spinorfelder beschreiben also Fermionen und die Mikrokausalitätsbedingung führt auch hier zur Notwendigkeit der Existenz von Antiteilchen. Aus (2.5.10) und (2.5.15) folgt, dass das freie Spinorfeld die Dirac-Gleichung (i∂µ γ µ − m) Ψ̂(x) = 0 (3.3.12) erfüllt. Proca-Felder: Nach dem gleichen Schema wird mit B̂ µ† (x) = X Z (2π)− 32 p · eipx eµ∗ (~ p, λ)↠(~ p, λ)d3 p 2E(~ p ) λ der B-Kommutator h i B̂ µ (x), B̂ ν† (y) = 1 (2π)3 ∓ XXZ Z λ0 λ e−ipx eiqy p p 2E(~ p) 2E(~q) · eµ (~ p, λ)eν∗ (~q, λ0 ) · â(~ p, λ), ↠(~q, λ0 ) ∓ d3 pd3 q Z Z 1 XX e−ipx eiqy p p = (2π)3 2E(~ p) 2E(~q) λ λ0 = 1 (2π)3 Z Z e−ip(x−y) 2E(~ p) · eµ (~ p, λ)eν∗ (~q, λ0 ) · δ 3 (~ p − ~q)δλλ0 d3 pd3 q X · eµ (~ p, λ)eν∗ (~ p, λ) · d3 p λ Z Z −ip(x−y) 1 e 1 µ ν µν = · −g + 2 p p · d3 p (2π)3 2E(~ p) m 1 = − g µν + 2 ∂ µ ∂ ν i∆+ (m; x − y) . m Die Mikrokausalitätsbedingung führt zu dem Minuszeichen beim Kommutator und es muss X Z (2π)− 32 p D̂ (x) = · eipx eµ∗ (~ p, λ)â†c (~ p, λ)d3 p 2E(~ p ) λ µ† KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 98 sein. Insgesamt ergibt sich für das Proca-Feld X Z (2π)− 32 p V̂ (x) = e−ipx eµ (~ p, λ)â(~ p, λ) + eipx eµ∗ (~ p, λ)â†c (~ p, λ) d3 p 2E(~ p) λ µ (3.3.13) V̂ µ† (x) = XZ λ − 23 (2π) p eipx eµ∗ (~ p, λ)↠(~ p, λ) + e−ipx eµ (~ p, λ)âc (~ p, λ) d3 p 2E(~ p) (3.3.14) mit den kovarianten Vertauschungsrelationen h i 1 V̂ µ (x), V̂ ν† (y) = − g µν + 2 ∂ µ ∂ ν i∆(m; x − y) . m − (3.3.15) Proca-Felder beschreiben Bosonen. Jede Komponente des freien Proca-Feldes erfüllt natürlich die Klein-Gordon-Gleichung (∂µ ∂ µ + m2 )V̂ ν (x) = 0 (3.3.16) und (2.6.7) führt zu der Lorentz-Bedingung ∂µ V̂ µ (x) = 0 . (3.3.17) Deren Konsistenz mit den Vertauschungsrelationen sieht man durch h i h i ∂µ V̂ µ (x), V̂ ν† (y) = ∂µ V̂ µ (x), V̂ ν† (y) − − 1 = −i∂µ g µν + 2 ∂ µ ∂ ν ∆(m; x − y) m i ν 2 = − 2 ∂ m + ∂µ ∂ µ ∆(m; x − y) = 0 m . (3.3.18) Anmerkung: In vielen Lehrbüchern werden mit Hilfe einer Lagrange-Dichte so genannte kanonisch konjugierte Feldoperatoren eingeführt und die Vertauschungsrelationen zu gleichen Zeiten als Quantisierungsvorschrift mit diesen postuliert und daraus dann obige Vertauschungsrelationen für beliebige Zeiten für die angegebenen Erzeugungsoperatoren abgeleitet. 3.4 Maxwell-Felder Das Maxwell-Feld unterscheidet sich sehr wesentlich vom Proca-Feld und muss gesondert behandelt werden. Wie sich später zeigen wird, kann das einfache 3.4. MAXWELL-FELDER 99 Maxwell-Feld nur mit Materie wechselwirken, wenn es neutral ist. Deshalb wird an dieser Stelle auch nur das neutrale Maxwell-Feld diskutiert. Folgt man dem Ansatz wie beim Proca-Feld, so ergeben sich mit reell gewählten Polarisationsvektoren aus µ⊥ (x) = X Z (2π)− 32 √ e−ikx eµ (~k, λ)â(~k, λ) + eikx eµ (~k, λ)↠(~k, λ) d3 k 2ω λ=±1 (3.4.1) die Vertauschungsrelationen h i Âi⊥ (x), Âj⊥ (y) = −g ij · i∆(0; x − y) + ∂xi ∂xj H(x − y) − (3.4.2) mit (2π)−3 −ikx e − eikx d3 k 3 2ω ( sgn(t) für |~ x| < |t| i =− t 4π für |~ x | > |t| |~ x| Z H(x) = Dies bedeutet ∂xi ∂xj H(x − y) 6= 0 (3.4.3) für raumartige Abstände. Das Maxwell- Feld erfüllt also nicht die Mikrokausalitätsbedingung und kann damit nicht ausmessbar sein. Dies ist nicht überraschend, da aufgrund der Eichinvarianz das Maxwell-Feld nicht eindeutig deniert ist. Betrachtet man dagegen den Feldstärketensor 0 ˆ1 + E (F̂ µν ) = ˆ2 +E +Eˆ3 −Eˆ1 0 +Bˆ3 −Bˆ2 −Eˆ2 −Bˆ3 0 +Bˆ1 −Eˆ3 +Bˆ2 −Bˆ1 0 , (3.4.4) so wird h i h i Ê i (x), Ê j (y) = ∂x0 ∂y0 Âi⊥ (x), Âj⊥ (y) − − = −g ij · ∂x0 ∂y0 · i∆(0; x − y) + ∂xi ∂xj · ∂x0 ∂y0 H(x − y) = +g ij · ∂x0 ∂x0 · i∆(0; x − y) − ∂xi ∂xj · ∂x0 ∂x0 H(x − y) = g ij · ∂x0 ∂x0 + ∂xi ∂xj i∆(0; x − y) ; (3.4.5) d.h. die Feldstärkeoperatoren Ê i erfüllen die Mikrokausalitätsbedingung und sind damit beobachtbare Gröÿen des Maxwell-Feldes. Entsprechendes ergibt KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 100 sich bei Einbeziehung der Feldstärkeoperatoren B̂ i . Da der Feldstärketensor invariant bei Eichtranformationen ist, gilt dies auch für die Feldstärkeoperatoren. Damit ist die Eichinvarianz der beobachtbaren Gröÿen sichergestellt. Die obigen Vertauschungsrelationen sind allerdings nicht kovariant. Dies liegt daran, dass die Zerlegung der Felder in transversale und longitudinale Komponenten von der Wahl des Bezugssystems abhängt und so die Lorentz-Invarianz der Theorie verborgen bleibt. Dies ist ein erheblicher Nachteil dieser Formulierung der Theorie, da die systematische Behandlung der Störungsreihe nur mit sehr viel Rechenaufwand möglich ist. Insbesondere der Beweis der Renormierbarkeit in allen Ordnungen der Störungstheorie verlangt eine kovariante Darstellung des Maxwell-Feldes. Praktisch kann dies durch Einführung von mehr Zuständen im Hilbert-Raum als das physikalische Maxwell-Feld besitzt und deren anschlieÿende Eliminierung durch geeignete Bedingungen erfolgen. Diese Formulierung wurde 1950 von S.Gupta und K.Beuler erarbeitet. Bei der kovarianten Formulierung des Maxwell-Feldes wird üblicherweise eine neue Zuordnung der Polarisationen zu den Polarisationsvektoren gewählt. Den physikalischen transversalen Polarisationsvektoren ordnet man die Polarisationen mit λ=1 λ=0 sowie λ=2 zu und führt zudem einen skalaren Polarisationsvektor und einen longitudinalen Polarisationsvektor mit λ=3 ein. Das so erweiterte Maxwell-Feld lautet dann µ (x) = 3 3 Z X (2π)− 2 −ikx µ ~ √ e e (k, λ)â(~k, λ) + eikx eµ (~k, λ)↠(~k, λ) d3 k 2ω λ=0 . (3.4.6) Die zusätzlichen Polarisationsvektoren müssen der Orthogonalitätsbedingung eµ (~k, λ1 )eµ (~k, λ2 ) = 0 für λ1 6= λ2 genügen. Diese Bedingung wird durch 1 k=ω ~ek =⇒ 1 ~ e(k, 0) = ~ 0 und e(~k, 3) = 0 ~ek (3.4.7) erfüllt, was insgesamt zu eµ (~k, λ1 )eµ (~k, λ2 ) = gλ1 λ2 (3.4.8) 3.4. MAXWELL-FELDER 101 führt. Damit ergibt sich die Polarisationssumme X λ ij k i k j gλλ eµ (~k, λ)eν (~k, λ) = δiµ δjν g + ω 2 | {z } λ=±1 ki kj − 2 ω } | {z +g µ0 g ν0 | {z } = g µν . λ=0 λ=3 (3.4.9) Die Kovarianz der Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren erfordert, dass h i â(~k, λ), ↠(~k 0 , λ0 ) = −gλλ0 δ 3 (~k − ~k 0 ) (3.4.10) − ist. Skalare Photonen besitzen also eine negative Norm hη; ω, ~k, 0|η; ω, ~k, 0i = h0|â(~k, 0), ↠(~k, 0)|0i h i = h0| â(~k, 0), ↠(~k, 0) |0i − = −δ 3 (0) . Dies macht deutlich, dass skalare Photonen nicht-physikalische Pseudozustände sind. Dies ist der Preis, den man für die kovariante Formulierung bezahlen muss. Die Kovarianz der Vertauschungsrelationen überprüft man h µ (x), Âν (y) i − Z Z −ikx ik0 y e 1 XX e √ √ = (2π)3 2ω 2ω 0 λ λ0 h i · eµ (~k, λ)eν (~k 0 , λ0 ) · â(~k, λ), ↠(~k 0 , λ0 ) d3 kd3 k 0 − Z Z ikx −ik0 y 1 XX e e √ √ + (2π)3 2ω 2ω 0 λ λ0 h i · eµ (~k, λ)eν (~k 0 , λ0 ) · ↠(~k, λ), â(~k 0 , λ0 ) d3 kd3 k 0 − Z Z −ikx ik0 y e 1 XX e √ √ = (2π)3 2ω 2ω 0 λ λ0 · eµ (~k, λ)eν (~k 0 , λ0 ) · −gλλ0 δ 3 (~k − ~k 0 ) d3 kd3 k 0 + Z Z ikx −ik0 y e 1 XX e √ √ (2π)3 2ω 2ω 0 λ λ0 · eµ (~k, λ)eν (~k 0 , λ0 ) · +gλλ0 δ 3 (~k − ~k 0 ) d3 kd3 k 0 KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 102 Z 1 X e−ik(x−y) µ ~ · e (k, λ)eν (~k, λ) · (−gλλ ) d3 k (2π)3 2ω λ Z ik(x−y) X 1 e + · eµ (~k, λ)eν (~k, λ) · (+gλλ ) d3 k (2π)3 2ω λ Z −ik(x−y) e − eik(x−y) X 1 · gλλ eµ (~k, λ)eν (~k, λ) · d3 k =− (2π)3 2ω λ Z −ik(x−y) 1 e − eik(x−y) µν 3 =− ·g ·d k (2π)3 2ω = −g µν · i∆(0; x − y) = und hat schlieÿlich i h µ (x), Âν (y) = −g µν · i∆(0; x − y) . − (3.4.11) Das um die skalaren und longitudinalen Photonen ergänzte Maxwell-Feld erfüllt damit die Mikrokausalitätsbedingung und besitzt kovariante Vertauschungsrelationen. Dies erlaubt es, das Maxwell-Feld in der Störungsrechnung so wie die anderen Felder zu behandeln. Die unerwünschten Pseudozustände eliminiert man dadurch, dass man (im Falle freier Maxwell-Felder) als physikalische Zustände nur solche zulässt, für die die Anzahlen der skalaren und longitudinalen Photonen gleich sind: hηphy (t)| ↠(~k, 0)â(~k, 0) |ηphy (t)i = hηphy (t)| ↠(~k, 3)â(~k, 3) |ηphy (t)i (3.4.12) Obige Beziehung ist erfüllt, wenn mit Ê(~k) = â(~k, 0) − â(~k, 3) (3.4.13) Ê(~k) |ηphy (t)i = 0 hηphy (t)| Ê † (~k) = 0 gilt. Der Operator h Ê(~k) (3.4.14) (3.4.15) erfüllt die nützliche Vertauschungsrelation i h i Ê(~k), Ê † (~k 0 ) = â(~k, 0) − â(~k, 3), ↠(~k 0 , 0) − ↠(~k 0 , 3) h i h i = â(~k, 0), ↠(~k 0 , 0) + â(~k, 3), ↠(~k 0 , 3) = −δ 3 (~k − ~k 0 ) + δ 3 (~k − ~k 0 ) = 0 . (3.4.16) 3.4. MAXWELL-FELDER 103 Es gilt zu überprüfen, dass alle Zustände mit gleicher Konguration von transversalen Photonen physikalisch äquivalent sind, auch wenn sie unterschiedliche Beimischungen von longitudinalen und skalaren Photonen besitzen. Bezeichnet |ηT (t)i einen Zustand, der nur transversale Photonen enthält, so stellt |ηE (t)i = Ê † |ηT (t)i (3.4.17) mit Ê † = 1 + Z e∗ (~k)Ê † (~k)d3 k Z Z + e∗ (~k, ~k 0 )Ê † (~k)Ê † (~k 0 )d3 kd3 k 0 + ... (3.4.18) einen allgemeinen äquivalenten physikalischen Zustand dar. Dabei ist Ê |ηT (t)i = |ηT (t)i † hηT (t)| Ê = hηT (t)| da der Zustand |ηT (t)i (3.4.19) , (3.4.20) per Denition keine Beimischung von longitudinalen oder skalaren Photonen enthält. Der Eichoperator Ê † erzeugt je nach Wahl der Koezienten alle zulässigen Beimischungen von longitudinalen und skalaren Photonen. Er vertauscht wegen (3.4.16) für beliebig gewählte, auch unterschiedliche Sätze von Beimischungskoezienten mit sich selbst h i Ê 0 , Ê † = 0 . (3.4.21) Damit folgt für zwei verschiedene Zustände mit zudem unterschiedlichen Sätzen von Beimischungskoezienten 0 0 0 † hηE 0 (t)|ηE (t)i = hηT 0 (t)|Ê Ê |ηT (t)i = hηT0 0 (t)|Ê † Ê 0 |ηT (t)i = hηT0 0 (t)|ηT (t)i ; (3.4.22) d.h. das Skalarprodukt wird nicht durch die Beimischungen der Pseudophotonen beeinusst, sondern ausschlieÿlich durch den transversalen Sektor des Hilbert-Raumes bestimmt. Die Zustände |ηT (t)i eine Äquivalenzklasse. |ηE (t)i bilden bei festgehaltenem KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 104 Den Einuss der verschiedenen Beimischungen auf den Erwartungswert des Feldoperators sieht man durch Betrachtung von Aµ (x, e) = hηE (t)|µ (x)|ηE (t)i = hηT (t)|Ê Âµ (x)Ê † |ηT (t)i Z = hηT (t)| 1 + e(~k)Ê(~k)d3 k + ..... · µ (x) Z · 1 + e∗ (~k)Ê † (~k)d3 k + ..... |ηT (t)i Z i h = hηT (t)|µ (x)|ηT (t)i + hηT (t)| e(~k) Ê(~k), µ (x) d3 k|ηT (t)i Z h i + hηT (t)| e∗ (~k) µ (x), Ê † (~k) d3 k|ηT (t)i. In der vorstehenden Ableitung wurde ausgenutzt, dass die Summanden höherer Ordnung wegen (3.4.16) nichts zu dem Erwartungswert beitragen. Mit 3 3 Z h i h i X (2π)− 2 ik0 x µ ~ 0 µ ~ √ Ê(k),  (x) = e e (k , λ) â(~k, 0) − â(~k, 3), ↠(~k 0 , λ) d3 k 0 2ω 0 λ=0 3 3 Z X (2π)− 2 ik0 x µ ~ 0 √ = e e (k , λ) −δ(k~0 − ~k)(δλ0 + δλ3 ) d3 k 0 2ω 0 λ=0 3 (2π)− 2 ikx µ ~ =− √ e e (k, 0) + eµ (~k, 3) 2ω 3 (2π)− 2 =− √ · k µ eikx ω 2ω wird dann Z − 23 (2π) A (x, e) = hηT (t)| (x)|ηT (t)i − hηT (t)| e(~k) √ · k µ eikx d3 k|ηT (t)i ω 2ω Z 3 (2π)− 2 − hηT (t)| e∗ (~k) √ · k µ e−ikx d3 k|ηT (t)i ω 2ω Z Z 3 3 (2π)− 2 (2π)− 2 = Aµ (x) − e(~k) √ · k µ eikx d3 k − e∗ (~k) √ · k µ e−ikx d3 k ω 2ω ω 2ω Z 3 (2π)− 2 ~ ikx µ µ √ = A (x) + ∂ ie(k)e − ie∗ (~k)e−ikx d3 k ω 2ω µ µ 3.4. MAXWELL-FELDER 105 und damit schlieÿlich Aµ (x, e) = Aµ (x) + ∂ µ e(x) . (3.4.23) Die Beimischung von skalaren und longitudinalen Photonen bewirkt eine Eichtransformation des Erwartungswertes des Feldoperators. Da der Feldstärketensor invariant unter solchen Eichtransformationen ist, trit dies auch für alle beobachtbaren Gröÿen zu. Damit sind alle Zustände, die eine gleiche Konguration von skalaren und longitudinalen Photonen besitzen, physikalisch äquivalent. Da das kovariante Maxwell-Feld aus ebenen Wellen aufgebaut ist, gilt auch hier die Klein-Gordon-Gleichung für jede Komponente des Feldoperators ∂µ ∂ µ Âν (x) = 0 (3.4.24) aber nicht die Lorentz-Bedingung ∂µ µ (x) 6= 0 . (3.4.25) Die physikalisch zulässigen Zustände sind jedoch gerade so deniert, dass die Lorentz-Bedingung für den Erwartungswert hηphy (t)|∂µ µ (x)|ηphy (t)i = 0 (3.4.26) weiterhin gültig ist. Die Gültigkeit folgt aus der Beziehung ∂µ 3 X e−ikx eµ (~k, λ)â(~k, λ) |ηphy (t)i λ=0 = 3 X (−ikµ )e−ikx eµ (~k, λ)â(~k, λ) |ηphy (t)i λ=0 = −ie−ikx kµ eµ (~k, 0)â(~k, 0) + kµ eµ (~k, 3)a(~k, 3) |ηphy (t)i = −ie−ikx ωâ(~k, 0) + (−ω)â(~k, 3) |ηphy (t)i = −ie−ikx ω · Ê(~k) |ηphy (t)i =0 sowie deren Adjungierung hηphy (t)| ∂µ 3 X λ=0 eikx eµ (~k, λ)↠(~k, λ) = 0 . KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 106 Entsprechend obiger Ableitung gilt für zwei beliebige physikalisch zulässige Zustände sogar die allgemeinere Beziehung hη2phy (t)|∂µ µ (x)|η1phy (t)i = 0 . (3.4.27) 3.5 Vertauschungsrelationen für gleiche Zeiten Im weiteren Verlauf des Textes sind noch die nachstehenden Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren für gleiche Zeiten wichtig. Aus (3.2.25) ergibt sich unmittelbar h i Φ̂(~x, t), Φ̂† (~y , t) = i∆(m; ~x − ~y , 0) = 0 h i µ (~x, t), Âν (~y , t) = −g µν · i∆(0; ~x − ~y , 0) = 0 (3.5.1) . (3.5.2) Weiter wird für das Skalarfeld h i h i Φ̂(~x, t), ∂ 0 Φ̂† (~y , t) = Φ̂(~x, tx ), ∂ 0 Φ̂† (~y , t) h i = ∂ 0 Φ̂(~x, tx ), Φ̂† (~y , t) für tx = t für tx = t = ∂ 0 i∆(m; ~x − ~y , tx − t)tx =t ∂ 0 = −i 0 ∆(m; ~x − ~y , t ) ∂t t0 =0 = iδ 3 (~x − ~y ) . (3.5.3) Dieses Ergebnis kann man direkt auf das Maxwell-Feld übertragen: h i µ (~x, t), ∂ 0 Âν (~y , t) = −g µν · iδ 3 (~x − ~y ) (3.5.4) Man beachte hierbei das negative Vorzeichen bei der 0-Komponente im Vergleich zum Skalarfeld. Für das Spinorfeld liefert die entsprechende Rechnung h Ψ̂l (~x, t), Ψ̂†l0 (~y , t) i + i Ψ̂l (~x, t), Ψ̂†l0 (~y , ty ) für ty = t + = i∂ µ γµ + m γ 0 0 i∆(m; ~x − ~y , t − ty ) ll ty =t 0 0 = i∂ γ0 γ i∆(m; ~x − ~y , t − ty ) ll0 ty =t ∂ = −δll0 0 ∆(m; ~x − ~y , t0 ) ∂t t0 =0 = = h δll0 δ 3 (~x − ~y ) . (3.5.5) 3.6. DER FEYNMAN-PROPAGATOR 107 3.6 Der Feynman-Propagator Für den Feldoperator eines Skalarfeldes mit der Ladung e−iαQ̂ · Φ̂† (x) · e+iαQ̂ = e−iαq α i Q̂, Φ̂† (x) = q Φ̂† (x) q war Φ̂† (x) , (3.6.1) woraus für kleine h folgt. Ist nun |η(t)i ⇒ Q̂Φ̂† (x) = Φ̂† (x)(Q̂ + q) (3.6.2) ein Zustandsvektor, der auch ein Eigenzustand des La- dungsoperators ist Q̂ |η(t)i = Q |η(t)i , so wird Q̂Φ̂† (x) |η(t)i = Φ̂† (x)(Q̂ + q) |η(t)i = Φ̂† (x)(Q + q) |η(t)i = (Q + q)Φ̂† (x) |η(t)i ; d.h. der Feldzustand Φ̂† (x) |η(t)i besitzt die Ladung ein Eigenzustand des Ladungsoperators. Der Operator (3.6.3) (Q + q) und ist auch Φ̂† (x) erhöht also die q , indem er entweder ein Teilchen q erzeugt oder ein Antiteilchen mit der Ladung −q vernichtet. Φ̂(x) vermindert entsprechend Ladung eines Ladungseigenzustandes um mit der Ladung Der Operator Q̂Φ̂(x) |η(t)i = (Q − q)Φ̂(x) |η(t)i (3.6.4) die Ladung eines Ladungseigenzustandes um q. Bendet sich nun an einem Ort ~x1 eine Ladung um die Ladungsmenge q erhöht, und am Ort ~x2 Q1 , die sich zum Zeitpunkt eine Ladung Q2 , t1 die sich zum Zeitpunkt t2 um die Ladungsmenge q verringert, so ist dieser Prozess auf zwei verschiedene Weisen realisierbar: • t1 > t2 : Ein Teilchen mit der Ladung emittiert, bewegt sich nach ~x1 q wird bei ~x2 zum Zeitpunkt und wird dort zum Zeitpunkt t1 t2 absor- biert. • t1 < t2 : Ein Antiteilchen mit der Ladung −q wird bei ~x1 zum Zeitpunkt t1 emittiert, bewegt sich nach ~x2 und wird dort zum Zeitpunkt t2 absorbiert. KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 108 Die beiden Prozesse lassen sich durch den Feynman-Propagator i∆F (x1 − x2 ) = Θ(t1 − t2 )h0|Φ̂(x1 )Φ̂† (x2 )|0i + Θ(t2 − t1 )h0|Φ̂† (x2 )Φ̂(x1 )|0i i h |0i , (3.6.5) = h0| T Φ̂(x1 )Φ̂† (x2 ) mit dem durch B̂(x1 )B̂ † (x2 ) i T B̂(x1 )B̂ † (x2 ) = +B̂ † (x2 )B̂(x1 ) −B̂ † (x2 )B̂(x1 ) h wenn wenn wenn t1 > t2 t2 > t1 t2 > t1 bei Bosonen bei Fermionen deniertem zeitgeordneten Produkt von Operatoren darstellen. Der FeynmanPropagator beschreibt -abhängig von der Zeitordnung- die ungestörte Ausbreitung (d.h. ohne Wechselwirkung) von Teilchen und Antiteilchen. Ihm kommt im Hinblick auf die Störungsrechnung eine groÿe Bedeutung in der Quantenfeldtheorie zu. Die Unterscheidung der beiden Prozesse durch t1 > t2 t1 < t2 bzw. ist für raumartige Abstände nicht Lorentz-invariant, da in diesem Fall die Einteilung in früher oder später vom Bezugssystem abhängt. Die Berücksichtigung beider Prozesse im Feynman-Propagator führt aber dazu, dass dieser kovariant ist. Damit wird i∆F (x1 − x2 ) = Θ(t1 − t2 )h0|Φ̂(x1 )Φ̂† (x2 )|0i + Θ(t2 − t1 )h0|Φ̂† (x2 )Φ̂(x1 )|0i Z i 1 d3 p h −ip(x1 −x2 ) ip(x1 −x2 ) = Θ(t − t )e + Θ(t − t )e 1 2 2 1 (2π)3 2E(~ p) = Θ(t1 − t2 ) · i∆+ (m; x1 − x2 ) + Θ(t2 − t1 ) · i∆+ (m; x2 − x1 ) Z i = ∆F (p) · e−ip(x1 −x2 ) d4 p (3.6.6) (2π)4 mit ∆F (p) = 1 p2 − m2 + i Im Nenner ist der innitesimale Term . (3.6.7) i addiert worden, damit die Integration entlang der reellen Zeitachse erfolgen kann. Eine vollständig analoge Rechnung wie bei der Ableitung der Vertauschungsrelationen liefert mit der Bezeichnung ˆ Ψ(x) = Ψ̂† (x)γ 0 für den Feynman- 3.6. DER FEYNMAN-PROPAGATOR 109 Propagator der Spinorfelder h i ˆ 0 (x ) iSF (x1 − x2 )ll0 = h0| T Ψ̂l (x1 )Ψ l 2 |0i = (iγ µ ∂µ + m)ll0 i∆F (x1 − x2 ) Z i SF (p)ll0 · e−ip(x1 −x2 ) d4 p = (2π)4 (3.6.8) mit SF (p) = 1 γ µ pµ + m = µ − m2 + i γ pµ − m + i . p2 (3.6.9) Dabei wurde ausgenutzt, dass beim Herausziehen der zeitlichen Ableitung aus dem Integral sich die durch Ableitung der Sprungfunktion auftretenden Zusatzterme iγ 0 δ(t1 − t2 )∆+ (m; x1 − x2 ) − iγ 0 δ(t1 − t2 )∆+ (m; x2 − x1 ) = iγ 0 δ(t1 − t2 )∆(m; x1 − x2 ) = iγ 0 δ(t1 − t2 )∆(m; x~1 − x~2 , t1 − t2 ) = iγ 0 δ(t1 − t2 )∆(m; x~1 − x~2 , 0) =0 aufheben. Bei der Berechnung des Feynman-Propagators für die Proca-Felder heben sich die auftretenden Zusatzterme dagegen nicht gegenseitig auf und man erhält dadurch h i µ ν† i∆µν (x − x ) = h0| T V̂ (x ) V̂ (x ) 1 2 1 2 F |0i 1 g µ0 g ν0 4 = −(g µν + 2 ∂ µ ∂ ν )i∆F (x1 − x2 ) − iδ (x1 − x2 ) m2 Z m i −ip(x1 −x2 ) 4 = ∆µν d p (3.6.10) F (p) · e (2π)4 mit ∆µν F (p) = − (g µν − m12 pµ pν ) g µ0 g ν0 − p2 − m2 + i m2 . (3.6.11) Die zeitartige Komponente des Feynman-Propagators des Proca-Feldes ist also ausgezeichnet und scheint die Lorentz-Invarianz zu zerstören. In störungstheoretischen Rechnungen kann man diesen Term jedoch praktisch einfach weglassen, da er durch einen dort auftretenden so genannten normalenabhängigen KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 110 Term aufgehoben wird, was die Lorentz-Invarianz wieder hergestellt. Der Feynman-Propagator des Maxwell-Feldes ergibt sich entsprechend zu h i iDFµν (x1 − x2 ) = h0| T µ (x1 )Âν (x2 ) |0i µν = −g i∆F (x1 − x2 )|m=0 Z i = DFµν (k) · e−ik(x1 −x2 ) d4 k (2π)4 (3.6.12) (3.6.13) mit DFµν (k) = − g µν k 2 + i . (3.6.14) 3.7 Spinor-Elektrodynamik Die bisherigen Ergebnisse für die Wechselwirkung zwischen Spinorfeldern und Maxwell-Feldern lassen sich wie folgt (i∂µ γ µ − m) Ψ̂(x) = 0 (3.7.1) µ (3.7.2) ν ∂µ ∂  (x) = 0 d |η(t)i = −iĤ1 (t) |η(t)i dt (3.7.3) zusammenfassen. Die Theorie wird durch die Form des Wechselwirkungsanteils des Hamilton-Operators Z Ĥ1 (t) = eq ˆ µ 3 :Ψ(x)γ µ Ψ̂(x): (x)d x (3.7.4) vervollständigt. Diese Beziehung wird erst im Kapitel zur Quanten-Elektrodynamik abgeleitet werden. Die Verwendung an dieser Stelle erfolgt aber schon, um die Zusammenhänge zu verdeutlichen. Dabei bezeichnet Kopplungskonstante und q e die elektrische die elektrische Ladung des dem Spinor zugeordne- ten Teilchens. Die so genannte Normalordnung :...: der Operatoren wird später erklärt werden, wenn ihre Eigenschaften ausgenutzt werden. Die vorstehenden Beziehungen denieren vollständig die Quanten-Elektrodynamik. Die Auswertung dieses Gleichungssystems ist jedoch nur im Rahmen der so genannten Störungstheorie möglich, da es sich um gekoppelte, nichtlineare Operatorgleichungen handelt, die nicht exakt lösbar sind. Die Störungstheorie wird im nächsten Kapitel detailliert besprochen werden. In diesem Abschnitt soll der Zusammenhang mit dem klassischen Maxwell-Feld Aµ (x) und 3.7. SPINOR-ELEKTRODYNAMIK der Einteilchenwellenfunktion 111 Ψ(x) der Dirac-Theorie gezeigt werden; d.h. der Zusammenhang mit den Feldgleichungen ∂µ F µν (x) = eq · Ψ(x)γ ν Ψ(x) (3.7.5) (i∂µ γ µ − m) Ψ(x) = eq · γµ Aµ (x)Ψ(x) (3.7.6) der Spinor-Elektrodynamik in der so genannten ersten Quantisierung. Die erste Gleichung erlaubt das durch ein Spinorfeld erzeugte Maxwell-Feld zu berechnen, während die zweite Gleichung die Wirkung eines Maxwell-Feldes auf ein Spinorfeld beschreibt. Bei dem Übergang von der allgemeinen Theorie zur Theorie in der ersten Quantisierung sind folgende Besonderheiten zu beachten: • Da das Maxwell-Feld bosonisch ist und Photonen keine Masse besitzen, muss jede Theorie bezüglich des Maxwell-Feldes einer Vielteilchentheorie entsprechen und das klassische Maxwell-Feld wird deshalb als Erwartungswert Aµ (x) = hηphy (t)|µ (x)|ηphy (t)i des Feldoperators deniert, wobei jeder Zustand |ηphy (t)i (3.7.7) des Maxwell- Feldes eine Superposition von Zuständen mit verschiedenen Photonenanzahlen sein muss, ein so genannter quasiklassischer Zustand. • Das Spinorfeld ist fermionisch und an einem Ort kann sich jeweils nur ein Teilchen benden. Man kann deshalb eine Theorie auf der Einteilchenwellenfunktion Ψ(x) = h0|Ψ̂(x)|η1Ψ (t)i aufbauen, wobei der Zustandsvektor |η1Ψ (t)i (3.7.8) nur ein Teilchen repräsen- tieren soll. Dies kann natürlich nur eine Näherung für Situationen sein, in denen Teilchenerzeugung und -vernichtung vernachlässigt werden können. • Es soll keine Selbstwechselwirkung eines Feldes auf sich selbst auftreten; d.h. wenn durch einen Zustand |η1Ψ (t)i des Spinorfeldes eine Verände|ηphy (t)i verursacht wird, so darf rung des Zustandes des Maxwell-Feldes sich der Zustand |η1Ψ (t)i selbst nicht ändern. Entsprechendes muss na- türlich auch umgekehrt gelten. Der Gesamtzustandsvektor muss deshalb ein Produktzustand |ηg (t)i = |η1Ψ (t)i |ηphy (t)i (3.7.9) KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 112 sein, wobei die Zustandsvektoren entsprechend hη1Ψ (t)|η1Ψ (t)i = 1 (3.7.10) hηphy (t)|ηphy (t)i = 1 (3.7.11) einzeln normiert sein müssen. Die Spinor-Elektrodynamik ist also der Grenzfall der allgemeinen Theorie mit vielen Photonen aber nur einem geladenem Fermion, wobei der Gesamtzustandsvektor als separierbar in die beiden Teilzustandsvektoren angenommen wird. Das Verhalten der Einteilchenwellenfunktion eines freien Teilchens bei PoincareTransformationen ergibt sich durch Projektion des transformierten Zustandsvektors auf den Einteilchenraum 0 Ψ0 (x0 ) = h0|Ψ̂(x0 )|η1Ψ i Der Zustandsvektor 0 i |η1Ψ . (3.7.12) ist in diesem Fall zeitunabhängig, da keine Wech- selwirkung vorliegen soll. Aus der analog wie (2.5.17) zu zeigenden Beziehung ÛP (Λ, a) Ψ̂(x) |0i = S(Λ−1 ) Ψ̂(Λx + a) |0i erhält man ÛP (Λ, a)Ψ̂(x)ÛP−1 (Λ, a) = S(Λ−1 )Ψ̂(Λx + a) . (3.7.13) Nutzt man nun aus, dass das Vakuum Poincare-invariant ist, so folgt Ψ0 (x0 ) = h0|ÛP−1 (Λ, a) Ψ̂(x0 ) ÛP (Λ, a)|η1Ψ i = h0| ÛP (Λ−1 , −Λ−1 a)Ψ̂(x0 )ÛP−1 (Λ−1 , −Λ−1 a) |η1Ψ i = h0| S(Λ)Ψ̂(Λ−1 x0 − Λ−1 a) |η1Ψ i = S(Λ) h0| Ψ̂(Λ−1 (x0 − a)) |η1Ψ i = S(Λ) h0| Ψ̂(x) |η1Ψ i = S(Λ) Ψ(x) . (3.7.14) 3.7. SPINOR-ELEKTRODYNAMIK 113 Jetzt zur Ableitung der klassischen Maxwell-Gleichungen. Der Erwartungswert Aµ (x) = hηphy (t)|µ (x)|ηphy (t)i (3.7.15) des Feldoperators erfüllt im Gegensatz zum Feldoperator selbst die LorentzBedingung ∂µ Aµ (x) = 0 . (3.7.16) Zur Überprüfung rechnet man ∂µ Aµ (x) = ∂µ hηphy (t)|µ (x)|ηphy (t)i = ∂µ hηg (t)|µ (x)|ηg (t)i = ∂0 hηg (t)|Â0 (x)|ηg (t)i + ∂i hηg (t)|Âi (x)|ηg (t)i = ∂0 hηg (t)|Â0 (x)|ηg (t)i + hηg (t)|∂i Âi (x)|ηg (t)i = ∂0 hηg (t)|Â0 (x)|ηg (t)i − hηg (t)|∂0 Â0 (x)|ηg (t)i = h∂0 ηg (t)|Â0 (x)|ηg (t)i + hηg (t)|Â0 (x)|∂0 ηg (t)i = h−iĤ1 (t)ηg (t)|Â0 (x)|ηg (t)i + hηg (t)|Â0 (x)| − iĤ1 (t)ηg (t)i h i = hηg (t)| i Ĥ1 (t), Â0 (x) |ηg (t)i . Mit Z h i h i ˆ µ ν 3 i Ĥ1 (t), Âν (x) = ieq :Ψ(y)γ µ Ψ̂(y):  (y),  (x) d y Z h i ˆ µ = ieq :Ψ(y)γ y , t), Âν (~x, t) d3 y µ Ψ̂(y):  (~ Z ˆ 3 = ieq :Ψ(y)γ µ Ψ̂(y): · 0 · d y = 0 , folgt dann die Behauptung. Aus (3.4.26) folgt weiter 0 = ∂ i hηg (t)|∂µ µ (x)|ηg (t)i = hηg (t)|∂µ ∂ i µ (x)|ηg (t)i sowie 0 = ∂ 0 hηg (t)|∂µ µ (x)|ηg (t)i = h∂ 0 ηg (t)|∂µ µ (x)|ηg (t)i + hηg (t)|∂µ µ (x)|∂ 0 ηg (t)i + hηg (t)|∂µ ∂ 0 µ (x)|ηg (t)i KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 114 h i = hηg (t)|i Ĥ1 (t), ∂µ µ (x) |ηg (t)i + hηg (t)|∂µ ∂ 0 µ (x)|ηg (t)i h i = hηg (t)|i Ĥ1 (t), ∂0 Â0 (x) |ηg (t)i + hηg (t)|∂µ ∂ 0 µ (x)|ηg (t)i i h = hηg (t)|i Ĥ1 (t), ∂ 0 Â0 (x) |ηg (t)i + hηg (t)|∂µ ∂ 0 µ (x)|ηg (t)i . Zusammen mit (3.4.24) folgt aus den vorstehenden Ergebnissen hηg (t)|∂µ F̂ µν (x)|ηg (t)i = hηg (t)|∂µ ∂ µ Âν (x)|ηg (t)i − hηg (t)|∂µ ∂ ν µ (x)|ηg (t)i h i = g ν0 · hηg (t)|i Ĥ1 (t), ∂ 0 Â0 (x) |ηg (t)i . Die Erwartungswerte der Feldstärkeoperatoren sind beobachtbare Gröÿen. Für diese ergibt sich ∂µ F µ0 (x) = ∂µ hηg (t)|F̂ µ0 (x)|ηg (t)i = ∂i hηg (t)|F̂ i0 (x)|ηg (t)i + ∂0 hηg (t)|F̂ 00 (x)|ηg (t)i = hηg (t)|∂i F̂ i0 (x)|ηg (t)i = hηg (t)|∂µ F̂ µ0 (x)|ηg (t)i h i = hηg (t)| i Ĥ1 (t), ∂ 0 Â0 (x) |ηg (t)i sowie ∂µ F µj (x) = ∂µ hηg (t)|F̂ µj (x)|ηg (t)i = ∂i hηg (t)|F̂ ij (x)|ηg (t)i + ∂0 hηg (t)|F̂ 0j (x)|ηg (t)i = hηg (t)|∂i F̂ ij (x)|ηg (t)i + ∂0 hηg (t)|F̂ 0j (x)|ηg (t)i = hηg (t)| − ∂0 F̂ 0j (x)|ηg (t)i + ∂0 hηg (t)|F̂ 0j (x)|ηg (t)i = h∂0 ηg (t)|F̂ 0j (x)|ηg (t)i + hηg (t)|F̂ 0j (x)|∂0 ηg (t)i = h−iĤ1 (t)ηg (t)|F̂ 0j (x)|ηg (t)i + hηg (t)|F̂ 0j (x)| − iĤ1 (t)ηg (t)i h i = hηg (t)| i Ĥ1 (t), F̂ 0j (x) |ηg (t)i 3.7. SPINOR-ELEKTRODYNAMIK h i = hηg (t)| i Ĥ1 (t), ∂ 0 Âj (x) h i = hηg (t)| i Ĥ1 (t), ∂ 0 Âj (x) i h = hηg (t)| i Ĥ1 (t), ∂ 0 Âj (x) 115 h i |ηg (t)i − hηg (t)| i Ĥ1 (t), ∂ j Â0 (x) h i |ηg (t)i − ∂ j hηg (t)| i Ĥ1 (t), Â0 (x) |ηg (t)i |ηg (t)i |ηg (t)i . Mit der Ladungsstromdichte h i j ν (x) = hηg (t)| i Ĥ1 (t), ∂ 0 Âν (x) |ηg (t)i Z h i ˆ µ 0 ν 3 = hηg (t)| ieq :Ψ(y)γ µ Ψ̂(y):  (y), ∂  (x) d y |ηg (t)i Z ˆ µν 3 y − ~x) d3 y |ηg (t)i = hηg (t)| ieq :Ψ(y)γ µ Ψ̂(y): −ig δ (~ ˆ ν Ψ̂(x): |η1Ψ (t)i = hη1Ψ (t)| eq :Ψ(x)γ (3.7.17) führt dies zu den beiden klassischen Maxwell-Gleichungen ∂µ F µν (x) = j ν (x) (3.7.18) bzw. mit den elektromagnetischen Feldstärken formuliert ~ divE(x) ~ rotB(x) − = j 0 (x) (3.7.19) ~ ∂ E(x) = ~j(x) . ∂t (3.7.20) Die zwei verbleibenden Maxwell-Gleichungen ~ divB(x) ~ rotE(x) + =0 (3.7.21) ~ ∂ B(x) =0 ∂t (3.7.22) ergeben sich aus der Identität ∂ ρ F µν + ∂ ν F ρµ + ∂ µ F νρ = 0 , (3.7.23) die eine Konsequenz der Antisymmetrie des Feldstärketensors ist. Die klassischen Gröÿen der Maxwell-Theorie sind die Erwartungswerte der entsprechenden Feldoperatoren und die Amplitude des Vektorpotentials Aµ (x) ent- spricht der Anzahl der Photonen im jeweiligen Raumzeitpunkt. Neben den vorstehenden Feldgleichungen erfüllt das Vektorpotential in der hier gewählten relativistisch invarianten Darstellung wie bereits in (3.7.16) gezeigt auch die Lorentz-Bedingung ∂µ Aµ (x) = 0 . (3.7.24) KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 116 Vor der weiteren Auswertung der Ladungsstromdichte ist die Normalordnung zu erläutern. Die Denition der Normalordnung für einen Erzeugungsoperator B̂ † (x2 ) und seinem adjungierten Operator B̂(x1 ) erfolgt ähnlich wie bei dem zeitgeordnetem Produkt: :B̂ † (x2 )B̂(x1 ): = B̂ † (x2 )B̂(x1 ) :B̂(x1 )B̂ † (x2 ): = ( +B̂ † (x2 )B̂(x1 ) −B̂ † (x2 )B̂(x1 ) für Bosonen für Fermionen Mit der Darstellung des Feldoperators Ψ̂† (x) = B̂ † (x) + D̂(x) (3.7.25) ergibt sich ˆ ν :Ψ(x)γ Ψ̂(x): = :Ψ̂† (x)γ 0 γ ν Ψ̂(x): i i h h = : B̂ † (x) + D̂(x) γ 0 γ ν B̂(x) + D̂† (x) : = i i XX h † h : B̂l (x) + D̂l (x) γ 0 γ ν ll0 B̂l0 (x) + D̂l†0 (x) : l0 l XXh † = B̂l (x) γ 0 γ ν ll0 B̂l0 (x) − D̂l†0 (x) γ 0 γ ν ll0 D̂l (x) l0 l +B̂l† (x) γ 0 γ ν ll0 D̂l†0 (x) + D̂l (x) γ 0 γ ν ll0 i B̂l0 (x) . Damit wird die Ladungsstromdichte als Erwartungswert ˆ ν j ν (x) = hη1Ψ (t)| eq :Ψ(x)γ Ψ̂(x): |η1Ψ (t)i XX † = hη1Ψ (t)| eq · B̂l (x) γ 0 γ ν ll0 B̂l0 (x) |η1Ψ (t)i l † l0 = hη1Ψ (t)| eq · B̂ (x)γ 0 γ ν B̂(x) |η1Ψ (t)i , (3.7.26) da alle anderen Terme keine Beiträge liefern. Wenn die Ladungsstromdich- D̂† (x)l0 ll0 auftreten, dessen Erwartungswert nicht verschwindet. Schiebt man nun den te nicht normalgeordnet wäre, würde auch der Term D̂l (x) γ 0 γ ν Eins-Operator 1̂ = |0ih0| + XZ σ |η; m, p~, σihη; m, p~, σ|d3 p + ... (3.7.27) 3.7. SPINOR-ELEKTRODYNAMIK zwischen B̂ † (x) und B̂(x), 117 so trägt nur die |0ih0|-Komponente zum Erwar- tungswert bei; d.h. es wird j ν (x) = hη1Ψ (t)| eq · B̂ † (x)γ 0 γ ν B̂(x) |η1Ψ (t)i = eq · hη1Ψ (t)|B̂ † (x) |0i · γ 0 γ ν · h0| B̂(x)|η1Ψ (t)i = eq · hη1Ψ (t)|Ψ̂† (x) |0i · γ 0 γ ν · h0| Ψ̂(x)|η1Ψ (t)i = eq · Ψ† (x) γ0γν · · Ψ(x) = eq · Ψ(x)γ ν Ψ(x) . (3.7.28) Dieses Ergebnis in Kombination mit der klassischen Maxwell-Gleichung (3.7.18) ergibt dann die erste Feldgleichung (3.7.5) der Spinor-Elektrodynamik. Die Ableitung der zweiten Feldgleichung ergibt sich aus h i (iγµ ∂ µ − m) Ψ(x) |ηphy (t)i h i = (iγµ ∂ µ − m) h0| Ψ̂(x) |ηg (t)i h i = h0| (iγµ ∂ µ − m)Ψ̂(x) |ηg (t)i + h0| γ0 Ψ̂(x)i∂ 0 |ηg (t)i = h0| γ0 Ψ̂(x)i∂ 0 |ηg (t)i = h0| γ0 Ψ̂(x)Ĥ1 (t) |ηg (t)i . Nun ist wegen der Normalordnung des Hamilton-Operators h0| Ĥ1 (t) =0 , was zu = γ0 h0| Ψ̂(x)Ĥ1 (t) |ηg (t)i − γ0 h0| Ĥ1 (t)Ψ̂(x) |ηg (t)i h i = γ0 h0| Ψ̂(x), Ĥ1 (t) |ηg (t)i Z ˆ µ 3 = γ0 h0| Ψ̂(x), eq :Ψ(y)γµ Ψ̂(y): (y)d y |ηg (t)i Z h i ˆ = eqγ0 h0| Ψ̂(x), :Ψ(y) γµ Ψ̂(y):µ (y) |ηg (t)i · d3 y + Z h i ˆ y , t) γ Ψ̂(y):µ (y) |η (t)i · d3 y = eqγ0 h0| Ψ̂(~x, t), :Ψ(~ µ g + KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 118 Z = eqγ0 Z = eqγ0 Z = eqγ0 h0| γ 0 · δ 3 (~x − ~y ) · γµ Ψ̂(y)µ (y) |ηg (t)i · d3 y γ 0 · δ 3 (~x − ~y ) · γµ · h0| Ψ̂(y) |η1Ψ (t)i · µ (y) |ηphy (t)i · d3 y γ 0 · δ 3 (~x − ~y ) · γµ · Ψ(y) · µ (y) |ηphy (t)i · d3 y = eqγµ · Ψ(x) · µ (x) |ηphy (t)i führt. Damit hat man h i (iγµ ∂ µ − m) Ψ(x) |ηphy (t)i = eqγµ · Ψ(x) · µ (x) |ηphy (t)i . Multipliziert man beide Seiten dieser Beziehung von links mit (3.7.29) hηphy (t)| , so erhält man: h iγµ ∂ µ − m − hηphy (t)| i∂ 0 |ηphy (t)i · γ0 i Ψ(x) = eqγµ · Ψ(x) · Aµ (x) In Situationen, in denen das Strahlungsfeld als eingeprägt approximiert werden kann, gilt im Wechselwirkungsbild i∂ 0 |ηphy (t)i ≈ 0 (3.7.30) und man kann den entsprechenden Term auf der linken Seite der Gleichung vernachlässigen, womit sich die Feldgleichung (3.7.6) ergibt. Multipliziert man diese Gleichung nun von links mit te Gleichung von rechts mit γ 0 Ψ(x) Ψ(x), sowie die adjungier- und subtrahiert die beiden entstehenden Beziehungen, so ergibt sich die Divergenzfreiheit ∂µ j µ (x) = 0 (3.7.31) der Ladungsstromdichte. Dies bedeutet insbesondere die Erhaltung der Norm der Wellenfunktion ∂ ∂t Z V Z 1 ∂ j 0 (x)d3 x eq ∂t V Z 1 div~ j(x)d3 x = eq V I 1 ~=0 ~j(x) · dA = eq A Ψ† (x)Ψ(x)d3 x = (3.7.32) und erlaubt bei entsprechender Normierung das Betragsquadrat der Spinorwellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsdichte zu interpretieren. 3.8. DIE PAULI-GLEICHUNG 119 Anmerkung : Für die Wellenfunktion Ψp (~x, t) = h0|Ψ̂(~x, t)|η; m, p~, σi (3.7.33) eines freien Teilchens mit scharfen Impuls wird nach (4.1.14) Z Ψ†p (x)Ψp (x)d3 x = V V (2π)3 , (3.7.34) woraus man den Normierungsfaktor r N= (2π)3 V (3.7.35) abliest. 3.8 Die Pauli-Gleichung Für den Übergang zum nicht-relativistischen Grenzfall ist es zweckmäÿig von der Dirac-Gleichung (i∂µ γ µ − m) Ψ(x) = eq · γµ Aµ (x)Ψ(x) (3.8.1) der Spinor-Elektrodynamik auszugehen, da Teilchenerzeugung oder Teilchenvernichtung nicht stattnden kann. Gibt es zwei Sätze von γ̃ µ γ -Matrizen γ µ und , die beide einer Cliord-Algebra γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν µ ν ν µ γ̃ γ̃ + γ̃ γ̃ = 2g µν (3.8.2) (3.8.3) genügen, so existiert nach dem so genannten Pauli-Fundamentaltheorem eine nicht-singuläre unitäre Matrix U, die bis auf eine Phase bestimmt ist und den Zusammenhang γ̃ µ = U γ µ U † (3.8.4) vermittelt. Die unitäre Transformation Ψ̃(x) = U Ψ(x) (3.8.5) † (3.8.6) µ µ γ̃ = U γ U liefert angewendet auf (3.8.1) die äquivalente Darstellung (i∂µ γ̃ µ − m) Ψ̃(x) = eq · γ̃µ Aµ (x)Ψ̃(x) (3.8.7) KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 120 der Dirac-Gleichung. Insbesondere ergibt sich aus der chiralen Darstellung 0 0 0 γ = +1 0 0 0 0 +1 0 +1 0 0 +1 0 0 0 0 0 1 γ = 0 −1 0 +1 +1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 (3.8.8) −i 0 0 0 0 0 0 0 0 +i γ = 0 +i 0 −i 0 0 2 der γ -Matrizen 0 0 γ = −1 0 3 0 0 0 +1 +1 0 0 −1 0 0 0 0 mit der speziellen unitären Transformation +1 1 0 Uchiral → standard = √ · 2 −1 0 0 +1 0 −1 +1 0 +1 0 0 +1 0 +1 0 0 −1 0 0 +1 0 0 (3.8.9) die so genannte Standarddarstellung +1 0 γ̃ 0 = 0 0 0 0 0 −1 0 0 +1 0 0 −1 0 0 0 0 γ̃ 1 = 0 −1 +1 0 0 0 (3.8.10) 0 0 0 0 0 +i γ̃ 2 = 0 +i 0 −i 0 0 der γ -Matrizen, −i 0 0 0 0 0 γ̃ 3 = −1 0 0 0 0 +1 +1 0 0 −1 0 0 0 0 die für die Ableitung des nicht-relativistischen Grenzfalls be- sonders geeignet ist. Die Standarddarstellung der γ -Matrizen unterscheidet sich von der chiralen Darstellung dabei nur in der 0-Komponente. Einführung der Pauli-Matrizen σ1 = 0 +1 erlaubt es die +1 , 0 σ2 = 0 +i −i 0 γ -Matrizen entsprechend +12×2 0 0 γ̃ = , 0 −12×2 und i γ̃ = σ3 = 0 −σ i +1 0 0 −1 (3.8.11) +σ i 0 (3.8.12) 3.8. DIE PAULI-GLEICHUNG 121 darzustellen. Wie man leicht überprüft, erfüllen die Pauli-Matrizen die Vertauschungsrelationen σi σj , 2 2 = i ijk σk 2 (3.8.13) eines Spinoperators. Anmerkung: Im weiteren Verlauf dieses Abschnittes wird ausschlieÿlich die Standarddarstellung verwendet und deshalb das Tildezeichen fortgelassen. Führt man den Operator (die räumlichen Komponenten der so genannten eichinvarianten Ableitung) Di = ∂ i + ieqAi = −∇i + ieqAi (3.8.14) ein, so geht die Dirac-Gleichung in nicht-relativistischer Schreibweise in iγ 0 ∂ ~ Ψ(x) − mΨ(x) − eqγ 0 A0 Ψ(x) = 0 Ψ(x) − i ~γ · D ∂t über. Der Ansatz Ψ(x) = Ψp (x) e−imt Ψk (x) mit den 2-komponentigen, nicht-relativistischen Spinoren (3.8.15) Ψp (x) und Ψk (x) γ- führt die Dirac-Gleichung unter Berücksichtigung der Blockstruktur der Matrizen in die zwei gekoppelten Gleichungen ∂ ~ Ψk (x) − eqA0 Ψp (x) = 0 Ψp (x) − i ~σ · D ∂t ∂ ~ Ψp (x) − 2mΨk (x) + eqA0 Ψk (x) = 0 −i Ψk (x) + i ~σ · D ∂t i über. Nun ist im nicht-relativistischen Grenzfall ∂ i Ψk (x) << m |Ψk (x)| ∂t sowie eqA0 << m , womit aus der zweiten Gleichung Ψk (x) = i ~ ~σ · D Ψp (x) 2m (3.8.16) KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 122 folgt. Dies zeigt, dass |Ψk (x)| << |Ψp (x)| gilt und Ψp (x) (3.8.17) die dominierende Komponente des Dirac-Spinors ist. Das vor- stehende Ergebnis in die erste Gleichung eingesetzt liefert ∂ 1 ~ 2 0 i Ψp (x) = − ~σ · D + eqA Ψp (x) ∂t 2m . Nun gilt ~ ~σ · B ~ = A ~·B ~ ~σ · A 12×2 + i~σ · ~×B ~ A . (3.8.18) Damit wird ~ ~ =D ~ 2 + i~σ · D ~ ×D ~ ~σ · D ~σ · D 2 h i ~ + ieq A ~ + i~σ · −∇ ~ + ieq A ~ × −∇ ~ + ieq A ~ = −∇ 2 ~ + ieq A ~ + eq~σ · ∇ ~ ×A ~ = −∇ 2 ~ ~ + ieq A ~ + eq ~σ · B , = −∇ wobei ~ ×A ~+A ~×∇ ~ Ψp (x) = ∇ ~ × AΨ ~ p (x) + A ~ × ∇Ψ ~ p (x) ∇ ~ ×A ~ + ∇Ψ ~ p (x) × A ~+A ~ × ∇Ψ ~ p (x) = Ψp (x) ∇ ~ ×A ~ = Ψp (x) ∇ ausgenutzt wurde. Dies eingesetzt ergibt für die Wellenfunktion schlieÿlich die Pauli-Gleichung i 2 ∂ 1 ~ ~ − eq ~σ · B ~ + eqA0 Ψp (x) Ψp (x) = − −∇ + ieq A ∂t 2m 2m (3.8.19) als nicht-relativistische Version der Dirac-Gleichung. Es verbleibt zu zeigen, dass die Pauli-Wellenfunktion eine Wahrscheinlichkeitsdichte w(x) = Ψ†p (x)Ψp (x) = Ψ∗1 (x)Ψ1 (x) + Ψ∗2 (x)Ψ2 (x) (3.8.20) 3.8. DIE PAULI-GLEICHUNG 123 deniert. Dies ist gewährleistet, wenn diese eine Kontinuitätsgleichung der Form ∂w + div ~j = 0 ∂t mit einer Stromdichte ~j (3.8.21) erfüllt, da dann das zugehörige Raumintegral zeit- lich erhalten ist. Multipliziert man die Pauli-Gleichung von links mit adjungierte Pauli-Gleichung von rechts mit Ψp Ψ†p , die und subtrahiert die so entste- henden Gleichungen, so folgt i ∂ † 1 h † ~ 2 ~ 2 † i Ψp Ψp = − Ψp ∇ Ψp − ∇ Ψp Ψp ∂t 2m h i ieq ~ ·A ~+A ~·∇ ~ Ψp + ∇ ~ ·A ~+A ~·∇ ~ Ψ† Ψp + Ψ†p ∇ p 2m da sich die Anteile, die keine Ableitungen enthalten, heraus heben. Nun ist ~ 2 Ψp − ∇ ~ 2 Ψ†p Ψp = div Ψ†p ∇Ψ ~ p − ∇Ψ ~ †p Ψp Ψ†p ∇ sowie Ψ†p ~ ·A ~+A ~·∇ ~ Ψp + ∇ ~ ·A ~+A ~·∇ ~ Ψ†p Ψp ∇ ~ + 2A ~ · Ψ†p ∇Ψ ~ p + ∇Ψ ~ †p Ψp = 2Ψ†p Ψp divA ~ + 2A ~·∇ ~ Ψ†p Ψp = 2Ψ†p Ψp divA ~ †p Ψp = 2 div AΨ . Dies bedeutet i 1 ∂ † Ψ Ψp = − ∂t p 2m div ~ p − ∇Ψ ~ †p Ψp + ieq Ψ†p ∇Ψ m div ~ †p Ψp , AΨ was mit der Teilchenstromdichte ~ p − ∇Ψ ~ †p Ψp − eq AΨ ~ †p Ψp ~j = − i Ψ†p ∇Ψ 2m m der Beziehung (3.8.21) entspricht. Multiplikation mit der Ladung chens ergibt dann die elektrische Stromdichte ~je (3.8.22) eq des Teil- aufgrund der Bahnbewegung des Teilchens. Die Wellenfunktion in der Pauli-Gleichung kann damit als Wahrscheinlichkeitsamplitude interpretiert werden. Der Spin eines relativistischen Teilchens wird durch den Pauli-Lubanski-Vektor KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 124 beschrieben. Im nicht-relativistischen Grenzfall entspricht dieser dem im Ruhesystem. Dies bedeutet, dass µ Ŵnr 0 =m ˆ ~ S ! (3.8.23) mit den Spinoperatoren Ŝ x = 1 2 σx 0 1 σy 0 y , Ŝ = σx 2 0 ist. Da der Pauli-Spinor 0 σy und 1 2 Ŝ z = σz 0 0 σz (3.8.24) Ψp (x) gleich den oberen beiden Komponenten des Ψ(x) ist, ergibt sich der zugehörige Spinoperator ursprünglichen Dirac-Spinors für den Pauli-Spinor zu Ŝpi = σi 2 . (3.8.25) Da Dirac-Spinoren Spin-1/2 Teilchen repräsentieren, ist die zugehörige Eigenwertgleichung 1 Ŝpi · |si ; ±i = ± · |si ; ±i 2 , (3.8.26) woraus sich leicht die Eigenvektoren 1 |s ; +i = √ 2 1 1 1 |s ; +i = √ 2 1 i x y z |s ; +i = 1 0 sowie 1 |s ; −i = √ 2 sowie 1 |s ; −i = √ 2 sowie x y z |s ; −i = 1 −1 1 −i (3.8.27) 0 1 (3.8.28) (3.8.29) ablesen lassen. 3.9 Die Newton-Lorentz-Gleichung In vielen physikalischen Situationen ist die spinabhängige Komponente − eq ~ ~σ · B 2m 3.9. DIE NEWTON-LORENTZ-GLEICHUNG 125 in der Pauli-Gleichung klein und kann gegen die anderen Komponenten vernachlässigt werden. In diesen Fällen ist die Spinausrichtung eine Konstante und man kann den Pauli-Spinor mit Hilfe eines Skalarfeldes entsprechend Ψp (x) = η(x) α β mit 2 2 |α| + |β| = 1 (3.9.1) darstellen. Die Pauli-Gleichung geht dann in die Beziehung i 2 ∂ 1 ~ ~ + eqA0 η(x) η(x) = − −∇ + ieq A ∂t 2m für die skalare Wellenfunktion (3.9.2) η(x) über. Der Hamilton-Operator für die nicht- relativistische Theorie ohne Berücksichtigung des Spinanteils ist damit Ĥη = − = 2 1 ~ ~ −∇ + ieq A + eqA0 2m 2 1 ~ˆ ~ˆ t) . ~ X, ~ˆ t) + eqA0 (X, P − eq A( 2m (3.9.3) Hieraus folgt für den Erwartungswert des Geschwindigkeitsoperators ~ˆ ~ˆ i = ~v = d ~x = d hXi hV dt dt o h i ~ = h i Ĥη , X ~ˆ i = hXi 2 1 ~ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ~ ~ ~ ~ P − eq A(X, t) + eqA (X, t) , X i =h i 2m 1 ~ˆ ~ X, ~ˆ t) =h P − eq A( i . m Der Geschwindigkeitsoperator ist damit ~ˆ = 1 P~ˆ − eq A( ~ X, ~ˆ t) V m . (3.9.4) Aufgrund der Zeitabhängigkeit des Maxwell-Feldes ist der Geschwindigkeitsoperator explizit zeitabhängig. Wegen der allgemein gültigen Beziehung h i ~ˆ = −i ∂ f (X) ~ˆ P̂a , f (X) ∂xa KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 126 ergeben sich für den Geschwindigkeitsoperator die Vertauschungsrelationen h i i i h eq h ~ˆ t) − eq Ax (X, ~ˆ t), P̂y V̂x , V̂y = − 2 P̂x , Ay (X, 2 m m eq ∂ ∂ ˆ ˆ ~ ~ =i 2 Ay (X, t) − Ax (X, t) m ∂x ∂y eq ~ˆ t) = i 2 Bz (X, m (3.9.5) und entsprechend durch zyklisches Vertauschen der Koordinaten i eq ~ˆ t) V̂y , V̂z = i 2 Bx (X, m h i eq ~ˆ t) V̂z , V̂x = i 2 By (X, m h (3.9.6) . (3.9.7) Die Kraft, die auf ein Teilchen wirkt, erhält man aus der Geschwindigkeitsänderung zu d ~ˆ d i F~ = m ~v = m hV dt dt o i h ~ˆ + ∂ V ~ i = m h i Ĥη , V ~ˆ i . = m hV ∂t (3.9.8) Nun folgt mit (3.9.4) für die partielle Ableitung ∂ ~ˆ eq ∂ ~ ~ˆ V =− A(X, t) ∂t m ∂t (3.9.9) sowie für den Hamilton-Operator Ĥη = 1 ~ˆ 2 ~ˆ t) . mV + eqA0 (X, 2 (3.9.10) Damit wird der Kommutator h i mh i mh i h i ~ˆ t), V̂x Ĥη , V̂x = V̂y2 , V̂x + V̂z2 , V̂x + eq A0 (X, 2 2 . (3.9.11) Nun ist h i h i h i V̂y2 , V̂x = V̂y V̂y , V̂x + V̂y , V̂x V̂y eq ~ˆ t) + Bz (X, ~ˆ t)V̂y = −i 2 V̂y Bz (X, m (3.9.12) 3.10. DIE COULOMB-WECHSELWIRKUNG 127 sowie h i eq ~ˆ t) + By (X, ~ˆ t)V̂z V̂z2 , V̂x = +i 2 V̂z By (X, m und, da ~ˆ t) A0 (X, mit ~ X, ~ˆ t) A( (3.9.13) vertauscht, i h i h ~ˆ t), P̂x = i ∂ A0 (X, ~ˆ t) . ~ˆ t), V̂x = 1 A0 (X, A0 (X, m m ∂x (3.9.14) Einsetzen der vorstehenden Ergebnisse in Gleichung (3.9.8) liefert eq ∂ 0 ∂ h V̂y Bz − V̂z By + Bz V̂y − By V̂z i − eq h A + Ax i 2 ∂x ∂t Fx = bzw. in Vektorschreibweise F~ = eq · 1 ~ˆ ~ X, ~ˆ t) − B( ~ X, ~ˆ t) × V ~ˆ i + h E( ~ X, ~ˆ t) i h V × B( 2 , (3.9.15) was die quantenmechanische Version der klassischen Newton-Lorentz-Gleichung F~ = eq · ~ +E ~ ~v × B (3.9.16) ist und für ein eng lokalisiertes Wellenpaket in diese übergeht. 3.10 Die Coulomb-Wechselwirkung Es ist auch illustrativ zu sehen, wie der Zusammenhang der Spinor-Elektrodynamik mit der Darstellung der Quantentheorie im ersten Kapitel ist. Dies kann sehr gut am Beispiel der Coulomb-Wechselwirkung mit einem ruhenden Teilchen als Quelle des Maxwell-Feldes gezeigt werden. Die Idealisierung eines ruhenden Teilchens kann man dadurch erreichen, dass man die Masse als sehr groÿ annimmt. Es soll hier zudem nur der nicht-relativistische Fall betrachtet werden. Im ersten Kapitel wurde gezeigt, dass die auf ein Teilchen wirkende Kraft durch die Ableitung des Erwartungswertes des Potential-Operators Fa = − ∂ hη(t)|V̂ |η(t)i ∂xa (3.10.1) gegeben ist. Den Potential-Operator des nicht ruhenden Teilchens kann man aus der Beziehung (3.7.6) gewinnen. Formt man diese Gleichung entsprechend i ∂ 0 Ψ(x) = γ0 (−iγi ∂ i + m) + eqγµ Aµ (x) Ψ(x) KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 128 um, multipliziert sie von rechts mit dem Eigenvektor |~xi des Ortsoperators und integriert über die räumlichen Koordinaten, so folgt mit partieller Integration Z Ψ(x) |~xid3 x Z = γ0 (−iγi ∂ i + m) + eqγµ Aµ (x) Ψ(x) |~xid3 x Z 3 = γ0 γi −i∂ i Ψ(x) |~xi + mΨ(x) |~xi + eqγµ Ψ(x)Aµ (x) |~xi d x Z 3 = γ0 γi Ψ(x) +i∂ i |~xi + mΨ(x) |~xi + eqγµ Ψ(x)Aµ (x) |~xi d x Z h h i i ~ˆ t) |~xi = γ0 γi Ψ(x) −P̂ i |~xi + mΨ(x) |~xi + eqγµ Ψ(x)Aµ (X, d3 x Z h i ~ˆ t) Ψ(x) |~xid3 x = γ0 (−γi P̂ i + m) + eqγµ Aµ (X, h h i iZ ~ˆ t) = γ0 (−γi P̂ i + m) + eqγµ Aµ (X, Ψ(x) |~xid3 x ; i∂ 0 d.h. man kann einen 4-komponentigen Spinor-Zustandsvektor Z |ηl (t)i = Ψl (x) |~xid3 x (3.10.2) einführen, was dann zu dem Hamilton-Operator ~ˆ t) . Ĥ4×4 = γ0 (−γi P̂ i + m) + eqγ0 γµ Aµ (X, (3.10.3) führt. In dieser Darstellung kann der Hamilton-Operator eine explizite Zeitabhängigkeit besitzen, da die Quelle des Maxwell-Feldes auÿerhalb des Systems liegt. Nimmt man die übliche Aufteilung des Hamilton-Operators in einen freien und einen wechselwirkenden Teil Ĥ4×4 = Ĥ0 + V̂ (3.10.4) vor, so ergibt sich für den Potential-Operator ~ˆ t) . V̂ = eqγ0 γµ Aµ (X, (3.10.5) 3.10. DIE COULOMB-WECHSELWIRKUNG 129 Damit wird sein Erwartungswert V (t) = hη(t)|V̂ |η(t)i Z Z ~ˆ t)|~x0 iΨ(x0 )d3 xd3 x0 = Ψ† (x)h~x|V (X, Z Z = Ψ† (x)V (~x0 , t)Ψ(x0 )h~x|~x0 id3 xd3 x0 Z Z = Ψ† (x)V (~x0 , t)Ψ(x0 )δ 3 (~x − ~x0 )d3 xd3 x0 Z = Ψ† (x)V (~x, t)Ψ(x)d3 x Z = Ψ† (x)eqγ0 γµ Aµ (~x, t)Ψ(x)d3 x Z = eqΨ† (x)γ0 γµ Ψ(x)Aµ (x)d3 x Z = jµ (x)Aµ (x)d3 x . (3.10.6) Vernachlässigt man die Selbstwechselwirkung des bewegten Teilchens, so kann man die Wechselwirkung zwischen den beiden Teilchen beschreiben, wenn man annimmt, dass das Maxwell-Feld durch eines der Teilchen hervorgerufen wird und entsprechend obiger Beziehung auf das andere Teilchen wirkt. Bezeichnet der Index b das erste Teilchen und der Index a das zweite Teilchen, so ist das Potential dann durch Z Vab = jaµ (x)Aµb (x)d3 x (3.10.7) gegeben. Das Maxwell-Feld ist nun aus der Beziehung (3.7.5) der SpinorElektrodynamik berechenbar. Wegen ∂ρ ∂ ρ |x DFµν (x Z −ik(x−y) e 1 d4 k − y) = −g ∂ρ ∂ |x · (2π)4 k 2 + i Z −ik(x−y) 1 2 e = −g µν · (−k ) d4 k (2π)4 k 2 + i Z 1 µν = g · e−ik(x−y) d4 k (2π)4 µν = ρ g µν · δ 4 (x − y) (3.10.8) KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 130 ist die Lösung unter Berücksichtigung der Lorentz-Bedingung Aµb (x) = Z DFµν (x − y)jbν (y)d4 y , (3.10.9) mit der Ladungsstromdichte als Quellterm für den Feynman-Propagator. Damit ergibt sich die Wechselwirkung zwischen den beiden Teilchen zu Z Z Vab = jaµ (x)DFµν (x − y)jbν (y)d4 yd3 x . (3.10.10) Da für das ruhende Teilchen jb0 (y) = ρb (~y ) ist, folgt hieraus Z Z ρa (~x)DF00 (~x − ~y , tx − ty )ρb (~y )d4 yd3 x Z Z =− ρa (~x)∆F (~x − ~y , tx − ty )ρb (~y )d4 yd3 x Z Z Z = ρa (~x) − ∆F (~x − ~y , tx − ty )dty ρb (~y )d3 yd3 x Vab = . Wegen Z − ∆F (~x − ~y , tx − ty )dty 0 ~ eik(~x−~y) ∆F (k)dk 0 d3 kdty 2π (2π)3 Z Z Z ~ 0 eik(~x−~y) 1 ik0 ty 0 3 =− e−ik tx e dt ∆ (k) F y dk d k (2π)3 2π Z Z ~ 0 eik(~x−~y) =− e−ik tx ∆F (k)δ(k 0 )dk 0 d3 k (2π)3 Z i~k(~x−~y) e ∆F (~k, 0)d3 k =− (2π)3 Z i~k(~x−~y) e 1 = d3 k 2 3 (2π) ~k + i 1 = 4π |~x − ~y | Z Z Z =− e−ik (tx −ty ) 3.10. DIE COULOMB-WECHSELWIRKUNG 131 ergibt sich dann Z Z Vab = ρa (~x)ρb (~y ) 3 3 d yd x 4π |~x − ~y | (3.10.11) für das gesuchte Potential. Idealisiert man die beiden Teilchen durch Punktladungen an den Orten ~ra und ~rb , so folgt mit ρa (~x) = eqa Ψ†a (~x)Ψa (~x) = eqa δ 3 (~x − ~ra ) ρb (~y ) = eqb Ψ†b (~y )Ψb (~y ) = eqb δ 3 (~y − ~rb ) schlieÿlich die Coulomb-Wechselwirkung Vab = eqa · eqb 4π |~ra − ~rb | . (3.10.12) Wie zu erwarten ist der Erwartungswert des Potentials symmetrisch bezüglich der beiden wechselwirkenden Punktladungen und nur eine Funktion von deren Abstand. Dies bedeutet für die Kraft, die aufgrund dieses Potentials auf das Teilchen mit der Ladung qa am Ort ~ra wirkt: F~ (~ra ) = −grada Vab = eqa · eqb ~ra − ~rb · 3 4π |~ra − ~rb | (3.10.13) Nun gilt nach der Newton-Lorentz-Gleichung (3.9.16) ebenso ~ ra ) F~ (~ra ) = eqa · E(~ . Damit folgt für das elektrische Feld, das an einem Ort Teilchen mit der Ladung qb (3.10.14) ~r = ~ra von einem erzeugt wird: ~ b (~r) = eqb · E ~r − ~rb 3 4π |~r − ~rb | Dies stellt die wesentliche Beziehung der Elektrostatik dar. (3.10.15) KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 132 Anmerkung 1: Mit den vorstehenden Ergebnissen lässt sich der Hamilton-Operator (3.10.3) gemäÿ ˆ ~ X ~ˆ a , t) + γ 0 ma Ĥa (t) = γ 0~γ P~a − eqa A( eqa · eqb ~ˆ rb 4π X a −~ + (3.10.16) umschreiben. Die Ableitung des Coulomb-Terms ging dabei von einem ruhenden Teilchen, d.h. von einer zeitunabhängigen Ladungsdichte aus. Für eine zeitunabhängige Ladungsdichte ist aber die A0 -Komponente des erzeugten Maxwell-Feldes ebenfalls zeitunabhängig und die Lorentz-Eichung geht damit in die Coulomb-Eichung über. Aus Symmetriegründen ist dann (allerdings nur in der Coulomb-Eichung) bei endlicher Masse beider Teilchen der HamiltonOperator für die 2-Teilchen Wellenfunktion Ĥab = Ψ(~xa , ~xb , t) X ˆ ~ˆ n ) + γ 0 mn + ~ X γ 0~γ P~n − eqn A( n=a,b eqa · eqb ~ˆ ~ˆ 4π X a − Xb . (3.10.17) Anmerkung 2: Bei der strengeren Herleitung der obigen Ergebnisse unter Berücksichtigung auch der von A0 (x) abhängigen Komponente des Hamilton- Operators des Maxwell-Feldes entsteht der Coulomb-Term in der CoulombEichung aus dem zu (3.10.11) allgemeinerem Integral 0 Vab = 1 2 Z Z ρ(~x) · ρ(~y ) 3 3 d xd y 4π |~x − ~y | . (3.10.18) ρ(~x) = eqa δ 3 (~x − ~ra ) + eqb δ 3 (~x − ~rb ) (3.10.19) Mit der Ladungsdichte liefert die Auswertung dieses Integrals 0 Vab = Vab + eqa · eqa eqb · eqb + 8π |~ra − ~ra | 8π |~rb − ~rb | . (3.10.20) Die beiden unendlichen Selbstenergieterme der Teilchen sind konstant und können deshalb im Hamilton-Operator vernachlässigt werden. 3.11. ZUSAMMENFASSUNG 133 3.11 Zusammenfassung Da im Mikroskopischen die Elementarteilchen einer Sorte in Strenge nicht unterscheidbar sind, bedeutet dies zusammen mit der Eindeutigkeit des Vakuums, dass man den Zustandsvektor eines Quantensystems mit scharfem Impuls im Wechselwirkungsbild durch einen Erzeugungsoperator |η; m, p~i = ↠(~ p) |0i aufbauen kann. Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren erfüllen die Vertauschungsrelationen â(~ p), ↠(~q) ∓ = δ(~ p − ~q) , wobei das Minuszeichen für Bosonen und das Pluszeichen für Fermionen zutrit. Im Wechselwirkungsbild ist die Dynamik durch d |η(t)i = −iĤ1 (t) |η(t)i dt h i d Ô(t) = i Ĥ0 , Ô(t) dt gegeben. Alle Operatoren, die Observable beschreiben, müssen in der Ortsdarstellung die Mikrokausalitätsbedingung h i Ô1 (x), Ô2† (y) = 0 ∓ für (x − y)2 ≤ 0 erfüllen. Aus der Zustandsentwicklung der Elementarteilchen sowie der Kausalitätsbedingung ergibt sich die Existenz von Antiteilchen. Antiteilchen besitzen die gleiche Masse und den gleichen Spin wie das zugeordnete Teilchen, jedoch ein umgekehrtes Vorzeichen der Ladung. Die Feldoperatoren im Ortsraum lassen sich entsprechend 3 (2π)− 2 −ipx p e â(~ p) + eipx â†c (~ p) d3 p 2E(~ p) Z 3 X (2π)− 2 −ipx p Ψ̂(x) = e u(~ p, σ)â(~ p, σ) + eipx v(~ p, σ)â†c (~ p, σ) d3 p 2E(~ p) σ=− 1 ,+ 1 Z Φ̂(x) = 2 V̂ µ (x) = µ (x) = 2 3 +1 Z X (2π)− 2 −ipx µ p e e (~ p, λ)â(~ p, λ) + eipx eµ∗ (~ p, λ)â†c (~ p, λ) d3 p 2E(~ p) λ=−1 Z 3 3 X (2π)− 2 −ikx µ ~ √ e e (k, λ)â(~k, λ) + eikx eµ (~k, λ)↠(~k, λ) d3 k 2ω λ=0 KAPITEL 3. DIE FELDOPERATOREN 134 in Impulseigenzustände entwickeln und erfüllen die Vertauschungsrelationen h Φ̂(x), Φ̂† (y) i i∆(m; x − y) i∂µ γ µ + m γ 0 0 · i∆(m; x − y) + ll h i 1 µ ν µ ν† µν V̂ (x), V̂ (y) = − g + 2 ∂ ∂ · i∆(m; x − y) m − h i µ (x), Âν (y) = −g µν · i∆(0; x − y) . h = − i Ψ̂l (x), Ψ̂†l0 (y) = − Da für raumartige Argumente ∆(m; x) = 0 für x2 ≤ 0 ist, gilt für alle Felder die Mikrokausalitätsbedingung. Die ungestörte Ausbreitung der verschiedenen Quantenfelder wird im Impulsraum durch die Feynman-Propagatoren 1 p2 − m2 + i γ µ pµ + m SF (p) = 2 p − m2 + i (g µν − m12 pµ pν ) g µ0 g ν0 − ∆µν F (p) = − p2 − m2 + i m2 µν g DFµν (k) = − 2 k + i ∆F (p) = beschrieben. 135 Kapitel 4 Störungstheorie In diesem Kapitel wird der Streuoperator deniert und die Störungsreihe zur Berechnung von Zerfallsraten und Streuquerschnitten abgeleitet. Die FeynmanRegeln zur Berechnung der zugehörigen Feynman-Amplitude werden eingeführt und die für praktische Rechnungen wichtige Renormierungstheorie besprochen. Durch Vergleich mit der Born-Näherung wird abschlieÿend der Bezug zum nicht-relativistischen Potential hergestellt und das durch den Austausch virtueller Teilchen erzeugte Potential ermittelt. 4.1 Der Streuoperator Für niederenergetische Prozesse (freie Bewegung, gebundene Zustände) ist eine Beschreibung im Rahmen der Spinor-Elektrodynamik mit Hilfe von Wellenfunktionen im Allgemeinen ausreichend. Grundlegende Voraussetzung für die Anwendbarkeit ist die Erhaltung der Teilchenart und -zahl während der Wechselwirkung. Die volle Quantenfeldtheorie ist aber notwendig zur Beschreibung hochenergetischer Prozesse, da diese immer mit der Erzeugung und Vernichtung von Teilchen verbunden sind. Auch wenn die Bewegungsgleichung d |η(t)i = −iĤ1 (t) |η(t)i dt (4.1.1) des Zustandvektors in praktischen Anwendungen nicht exakt lösbar ist, existiert eine wichtige Klasse von Anwendungen, die sich durch Störungsrechnung lösen lassen. Dies betrit die Beschreibung von Streuvorgängen. Die typische Situation bei einem Streuvorgang ist, dass zu Beginn (idealisiert durch KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 136 t = −∞) und zu Ende (idealisiert durch t = +∞) des Streuvorganges weit se- parierte und deshalb untereinander nicht wechselwirkende Teilchen vorliegen. Die Teilchen bewegen sich aufeinander zu, wechselwirken und die nach der Wechselwirkung verbleibenden bzw. neu entstehenden Teilchen entfernen sich dann wieder voneinander. Mathematisch beschreibt man dies mit dem durch |η(+∞)i = Ŝ |η(−∞)i (4.1.2) denierten Streuoperator. Das so denierte Streuproblem ist einfacher zu lösen als die allgemeine Bewegungsgleichung des Zustandsvektors. Die Anfangsund die möglichen Endzustände lassen sich entsprechend der Voraussetzung asymptotisch durch die freien Zustände |ii = Ni Y â†i (~ pi , si ) |0i (4.1.3) â†f (~ pf , sf ) |0i (4.1.4) i=1 |f i = Nf Y f =1 approximieren. Man beachte, dass im Wechselwirkungsbild die Zustände freier Teilchen wegen (3.2.14) zeitunabhängig sind. Die Zustände von realen Teilchen unterscheiden sich nun allerdings von denen idealisierter freier Teilchen, da sich die Wechselwirkung nicht abschalten lässt. Berücksichtigt man dies, so gelangt man zum mathematisch einwandfreien LSZ-Reduktionsformalismus. Dieser liefert zusätzlich eine an dieser Stelle nicht wichtige Feldrenormierung, ansonsten stimmen die Ergebnisse aber mit dem hier etwas naiv gewähltem Weg überein. Im weiteren Verlauf wird ohne Einschränkung der Allgemeinheit davon ausgegangen, dass bei dem Streuvorgang der Eingangs- und der Ausgangszustand orthogonal sind; d.h. von der Voraussetzung: hf | ii = 0 (4.1.5) Anmerkung: Oftmals wird deshalb auch mit dem durch Ŝ = 1 + iT̂ denierten Operator T̂ (4.1.6) gearbeitet, der unter obiger Voraussetzung wegen hf |Ŝ|ii = ihf |T̂ |ii gleichwertig zu dem Streuoperator Ŝ ist. (4.1.7) 4.1. DER STREUOPERATOR 137 Aufgrund der Energie- und Impulserhaltung muss in der Wahrscheinlichkeitsamplitude eine Deltafunktion Nf Ni X X = hf |Ŝ|ii = (2π)4 δ 4 pi − pf · Mf0 i Sf i i=1 (4.1.8) f =1 auftreten. Nun ist 3 2 δ (~ p) = δ 3 (~ p)p~=0 δ 3 (~ p) Z 1 i~ p~ x 3 · δ 3 (~ p) = e d x 3 (2π) p ~=0 Z 1 = d3 x · δ 3 (~ p) (2π)3 V = · δ 3 (~ p) (2π)3 (4.1.9) sowie 2 [δ(E)] = δ(E)|E=0 δ(E) Z 1 · δ(E) = e−iEt dt 2π E=0 Z 1 = dt · δ(E) 2π T = · δ(E) . 2π (4.1.10) Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsdichte für einen Übergang 2 w( |ii → |f i) = hf |Ŝ|ii |ii → |f i (4.1.11) 4 4 = V T · (2π) δ Ni X i=1 pi − Nf X 2 pf · Mf0 i . (4.1.12) f =1 Bei Streuvorgängen ist die Eingangsgröÿe nun aber nicht ein Impulseigenzustand, sondern jeweils ein Teilchen mit genau deniertem Impuls. Dann ist die Übergangswahrscheinlichkeit, dass sich ein Endzustand im Impulsbereich d3 p f ergibt, durch dW = "N Yi i=1 # 1/Zi · w [ |ii → |f i] · Nf Y f =1 d3 pf (4.1.13) KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 138 gegeben, wobei Zi die Anzahl der Teilchen ist, die dem nicht auf ein Teilchen normierten Impulseigenzustand des i-ten Teilchens zuzuordnen sind. Nun wird für Spinorfelder Z Zi = Ψ†p (x)Ψp (x)d3 x Z hη; m, p~, σ|Ψ̂† (x)|0i · h0|Ψ̂(x)|η; m, p~, σid3 x # " # Z " 3 − 32 (2π) (2π)− 2 p · e+ipx u† (~ p, σ) · p · e−ipx u(~ p, σ) d3 x = 2E(~ p) 2E(~ p) Z † 1 u (~ p, σ)u(~ p, σ) 3 = d x (2π)3 2E(~ p) Z 1 = d3 x (2π)3 V . (4.1.14) = (2π)3 = Das gleiche Ergebnis ergibt sich für die anderen Quantenfelder, womit man für die Übergangswahrscheinlichkeit dW = (2π)3 V =VT Ni (2π) V · w [ |ii → |f i] · Nf Y d3 pf f =1 3 Ni Nf Nf Ni X X 0 2 Y 4 4 (2π) δ pi − p f · Mf i · d3 pf i=1 f =1 (4.1.15) f =1 erhält. Hieraus ergibt sich für den Zerfall eines einzelnen Teilchens (Ni 1 −→ 2 + 3 + ... + N = 1) (4.1.16) die dierentielle Zerfallsrate pro Zeiteinheit dΓ = dW T (4.1.17) N 2 Y d3 pf = (2π)7 · δ 4 (p1 − p2 − p3 ... − pN ) · Mf0 i · f =2 . (4.1.18) 4.1. DER STREUOPERATOR 139 Existieren verschiedene Zerfallskanäle für das Teilchen, so ist seine gesamte Zerfallsrate nach Integration durch Γ= X Γr (4.1.19) r gegeben, was zu der mittleren Lebensdauer τ= 1 Γ (4.1.20) des Teilchens führt. Die Kollision eines Teilchens mit einem Targetteilchen 1+2 −→ 3 + 4 + ... + N (4.1.21) beschreibt man durch ihren so genannten Streuquerschnitt. Der Streuquerschnitt ist anschaulich so deniert, dass er sich zur gesamten Wechselwirkungsäche der beiden Teilchen verhält, wie die Anzahl der gestreuten Teilchen zu der Anzahl der einfallenden Teilchen dσ dNstreu = A Nein . (4.1.22) Nun ist dNstreu = Nein · dW und A= wobei urel V V = L urel · T , (4.1.23) die relativistische Relativgeschwindigkeit der beiden an dem Stoÿ beteiligten Teilchen ist (Ni = 2). Dies eingesetzt in die denierende Beziehung des Streuquerschnittes liefert dσ = N 2 Y (2π)10 4 d3 pf · δ (p1 + p2 − p3 − p4 ... − pN ) · Mf0 i · urel . (4.1.24) f =3 Dabei ist im Laborsystem, in dem das Teilchen 2 ruht, urel |LS = |~ p1 | E1 (4.1.25) KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 140 und im Schwerpunktsystem wegen urel |SP = p~1 = −~ p2 |~ p1 | |~ p2 | E1 + E2 + = |~ p1 | E1 E2 E1 E2 (4.1.26) bzw. relativistisch invariant formuliert p urel = (p1 p2 )2 − (m1 m2 )2 E1 E2 . (4.1.27) Durch die Zerfallsrate und den Streuquerschnitt lässt sich eine Vielzahl von physikalischen Beobachtungen beschreiben. Der Term Mf0 i enthält dabei die vollständige Information über alle möglichen Streu- und Zerfallsprozesse. Bei der Ableitung der vorstehenden Beziehungen war es notwendig mit den unendlichen Gröÿen V und T zu arbeiten, um die Produkte der Delta-Funktionen handhaben zu können. Will man dieses mathematisch nicht ganz saubere Vorgehen vermeiden, muss man mit Wellenpaketen arbeiten und kann so die auf δ -Funktionen normierten Zuständen vermeiden. Die Rechnungen werden da- durch komplizierter, ändern die Ergebnisse aber nicht. Anmerkung: Mit einem auslaufenden Teilchen 3 und dem Targetteilchen 4 führt die Kombination der Beziehungen (4.1.12) und (4.1.24) zu 2 2 V dσ(~ p3 , p~4 ) 3 3 · hf |Ŝ|ii · d p3 d p4 = 3 (2π) A . (4.1.28) Ist man nur an dem gestreutem Teilchen interessiert, ergibt Integration 2 Z 2 V dσ(~ p3 ) 3 3 · | Ŝ|ii · d p d p = hf 4 3 (2π)3 A . (4.1.29) Man beachte, dass in beiden Fällen der entsprechende Streuquerschnitt mit dσ bezeichnet wird, was leicht zu Verwechselungen führen kann. 4.2 Die Störungsreihe Die Bewegungsgleichung (4.1.1) lässt sich zur Integralgleichung Z t |η(t)i = |η(t0 )i + (−i) dt1 Ĥ1 (t1 ) |η(t1 )i (4.2.1) dt1 Ĥ1 (t1 ) |η(t1 )i . (4.2.2) t0 umformen. Für t0 = −∞ bedeutet dies Z t |η(t)i = |ii + (−i) −∞ 4.2. DIE STÖRUNGSREIHE 141 Iteration dieser Beziehung liefert im Limes t→∞ den Streuoperator als Rei- henentwicklung Ŝ = 1 + ∞ X (−i) n ∞ Z t1 Z dt1 n=1 −∞ ∞ X Z tn−1 Z dtn · Ĥ1 (t1 )Ĥ1 (t2 ) . . . Ĥ1 (tn ) dt2 . . . −∞ −∞ (4.2.3) =1+ (−i)n n! n=1 ∞ Z ∞ dt1 −∞ ∞ Z dt2 . . . −∞ i h dtn · T Ĥ1 (t1 )Ĥ1 (t2 ) . . . Ĥ1 (tn ) −∞ (4.2.4) mit dem bereits eingeführten zeitgeordneten Produkt h i T Ĥ1 (t1 )Ĥ1 (t2 ) . . . Ĥ1 (tn ) = Ĥ1 (ti1 )Ĥ1 (ti2 ) . . . Ĥ1 (tin ) für ti1 ≥ ti2 ≥ . . . ≥ tin (4.2.5) . Da der Hamilton-Operator ein Skalar ist und deshalb nur eine gerade Anzahl von Fermion-Operatoren enthalten kann, ändert sich das Vorzeichen bei der Umordnung im zeitgeordneten Produkt nicht. Geht man von dem HamiltonOperator zu dem Hamilton-Dichteoperator Z Ĥ1 (t) = 3 Ĥ1 (~x, t)d x = Z Ĥ1 (x)d3 x (4.2.6) über, so ergibt sich die Störungsreihe in der explizit kovarianten Form: Ŝ = 1 + Z Z ∞ h i X (−i)n . . . d4 x1 d4 x2 . . . d4 xn · T Ĥ1 (x1 )Ĥ1 (x2 ) . . . Ĥ1 (xn ) n! n=1 (4.2.7) In der Spinor-Elektrodynamik ist der Hamilton-Dichteoperator ˆ µ Ĥ1 (x) = eq :Ψ(x)γ µ Ψ̂(x): (x) (4.2.8) proportional zur Kopplungskonstanten e. Die Störungsreihe ist damit eine Entwicklung nach Potenzen der Kopplungskonstanten. Die Anwendung der Störungsreihe zur Berechnung der Übergangsamplitude soll an dem einfachen (wegen der Energie- und Impulserhaltung aber physikalisch nicht realisierbarem) Beispiel der Emission eines Photons Elektron γ von einem e− e− → e− + γ (4.2.9) KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 142 transparent gemacht werden. Diesen Prozess kann man durch den so genannten Feynman-Graphen e− (p2 , σ2 ) µ γ(k3 , λ) e− (p1 , σ1 ) abbilden. Mit dem Streuoperator Z Ŝ (1) = (−i) d4 x · Ĥ1 (x) Z ˆ µ 4 = :Ψ(x)(−ieqγ µ )Ψ̂(x): (x)d x (4.2.10) . (4.2.11) in erster Ordnung, dem Anfangszustand |ii = |e− ; m, p~1 , σ1 i |0γ i (4.2.12) |f i = |e− ; m, p~2 , σ2 i |γ; ω; ~k3 , λi (4.2.13) und dem Endzustand wird die zugehörige Übergangsamplitude in erster Ordnung (1) Sf i = he− ; m, p~2 , σ2 | hγ; ω; ~k3 , λ| Z h i ˆ µ 4 · T :Ψ(x)(−ieqγ µ )Ψ̂(x): (x) d x |e− ; m, p~1 , σ1 i |0γ i = he− ; m, p~2 , σ2 | hγ; ω; ~k3 , λ| Z ˆ µ 4 · :Ψ(x)(−ieqγ |e− ; m, p~1 , σ1 i |0γ i µ )Ψ̂(x): (x)d x Z ˆ − = he− ; m, p~2 , σ2 | :Ψ(x)(−ieqγ ~1 , σ1 i µ )Ψ̂(x): |e ; m, p · hγ; ω; ~k3 , λ| µ (x) |0γ i d4 x 4.2. DIE STÖRUNGSREIHE Z " = 143 # # " 3 3 (2π)− 2 +ip2 x (2π)− 2 −ip1 x √ ·e ·e u(~ p1 , σ1 ) u(~ p2 , σ2 ) (−ieqγµ ) · √ 2E2 2E1 " # 3 (2π)− 2 +ik3 x µ ~ · √ ·e e (k3 , λ3 ) d4 x 2ω 3 3 3 3 3 3 (2π)− 2 (2π)− 2 (2π)− 2 √ √ = √ · u(~ p2 , σ2 )(−ieqγµ )u(~ p1 , σ1 )eµ (~k3 , λ3 ) 2E1 2E2 2ω Z −i(p1 −p2 −k3 )x 4 · e d x (2π)− 2 (2π)− 2 (2π)− 2 √ √ = √ · u(~ p2 , σ2 )(−ieqγµ )u(~ p1 , σ1 )eµ (~k3 , λ3 ) 2E1 2E2 2ω · (2π)4 δ 4 (p1 − p2 − k3 ) Vergleicht man dies mit der Wahrscheinlichkeitsamplitude in (4.1.8), so folgt 3 3 3 (2π)− 2 (2π)− 2 (2π)− 2 √ √ · u(~ p2 , σ2 )(−ieqγµ )u(~ p1 , σ1 )eµ (~k3 , λ3 ) . Mf0 i = √ 2E1 2E2 2ω Da unabhängig vom betrachteten Prozess durch die Abpaarung der einlaufenden und auslaufenden Teilchen mit den entsprechenden Feldoperatoren jeweils ein Faktor ( 3 (2π)− 2 √ 2E mit E= E(~ p) ω für Fermionen (4.2.14) für Photonen geliefert wird, deniert man als Feynman-Amplitude den prozessabhängigen Teil p2 , σ2 )(−ieqγµ )u(~ p1 , σ1 )eµ (~k3 , λ3 ) Mf i = u(~ (4.2.15) ohne diese Faktoren. Bei der Berechnung der Feynman-Amplitude liefert offensichtlich • jedes einlaufende Fermion einen Faktor u(~ p, σ) • jedes auslaufende Fermion einen Faktor u(~ p, σ) • jedes auslaufende Photon einen Faktor eµ (~k, λ) • und der Fermion-Photon-Vertex einen Faktor −ieqγµ KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 144 und entsprechend ergibt sich bei Analyse der Struktur der Wahrscheinlichkeitsamplitude der Emission eines Photons γ von einem Positron e+ , dass • jedes einlaufende Antifermion einen Faktor v(~ p, σ) • jedes auslaufende Antifermion einen Faktor v(~ p, σ) • jedes einlaufende Photon einen Faktor • und der Antifermion-Photon-Vertex einen Faktor eµ (~k, λ) −ieqγµ bei der Berechnung liefert. In den Vertexfaktor geht also immer die Ladung des Teilchens ein. Der vollständige Satz der Feynman-Regeln für die SpinorElektrodynamik wird im nächsten Abschnitt besprochen. Die Feynman-Regeln erlauben es, aus dem Feynman-Graphen direkt die zugehörige Feynman-Amplitude zu berechnen. Schreibt man die Zerfallsrate mit der wie oben denierten Feynman-Amplitude, erhält man aus Gleichung (4.1.18) Fermi's goldene Regel 1 −→ 2 + 3 + ... + N N 2 |Mf i | Y d3 pf dΓ = (2π) · δ (p1 − p2 − p3 ... − pN ) · · 2m1 (2π)3 2Ef 4 4 (4.2.16) f =2 für der Zerfall eines ruhenden Teilchens. Analog ergibt sich aus Gleichung (4.1.24) 1+2 −→ 3 + 4 + ... + N N 2 Y d3 pf |Mf i | · dσ = (2π)4 · δ 4 (p1 + p2 − p3 . . . − pN ) · p 4 (p1 p2 )2 − (m1 m2 )2 f =3 (2π)3 2Ef (4.2.17) als Berechnungsvorschrift für den Streuquerschnitt zweier Teilchen in relativistisch invarianter Formulierung. 4.3 Die Feynman-Regeln Die systematische Berechnung der Störungsreihe erfordert die Auswertung des zeitgeordneten Produktes h i T ÂB̂ Ĉ . . . Ŷ Ẑ (4.3.1) 4.3. DIE FEYNMAN-REGELN 145 von Operatoren. Dies gelingt mit Hilfe der Wick-Theoreme, die hier ohne Beweis angegeben werden, da dieser sehr technisch ist und keine tieferen Einblicke vermittelt. Wick-Theorem für einfache zeitgeordnete Produkte: Das zeitgeordnete Produkt lässt sich in eine Summe von Produkten mit Normalordnung entwickeln, deren einzelne Summanden alle möglichen Kontraktionen von je zwei Operatoren enthalten. Das Theorem ist am Besten an einem einfachen Beispiel erläuterbar. Angewendet auf das zeitgeordnete Produkt von 4 Operatoren wird h i T ÂB̂ Ĉ D̂ = wobei :ÂB̂ Ĉ D̂: + (−1)f (ABCD) · ÂB̂ · :Ĉ D̂: + (−1)f (ACBD) · ÂĈ · :B̂ D̂: + (−1)f (ADBC) · ÂD̂ · :B̂ Ĉ : + (−1)f (BCAD) · B̂ Ĉ · :ÂD̂: + (−1)f (BDAC) · B̂ D̂ · :ÂĈ : + (−1)f (CDAB) · Ĉ D̂ · :ÂB̂ : + (−1)f (ABCD) · ÂB̂ · Ĉ D̂ + (−1)f (ACBD) · ÂĈ · B̂ D̂ + (−1)f (ADBC) · ÂD̂ · B̂ Ĉ f (...) , die Anzahl der Vertauschungen benachbarter fermionischer Ope- ratoren angibt, die nötig sind, um ABCD in die Reihenfolge umzusortieren, die im Argument angegeben steht, und die Kontraktion zweier Operatoren h i ÂB̂ = h0|T ÂB̂ |0i (4.3.2) der Vakuumerwartungswert des zeitgeordneten Produktes der Operatoren ist. Letzteres entspricht der Denition der Feynman-Propagatoren und damit ist Φ̂(x)Φ̂† (y) = i∆F (x − y) (4.3.3) ˆ 0 (y) Ψ̂l (x)Ψ l = iSll0 (x − y) (4.3.4) ˆ 0 (y)Ψ̂ (x) Ψ l l = −iSll0 (x − y) µ (x)Âν (y) = iDFµν (x − y) . (4.3.5) (4.3.6) Als Vakuumerwartungswert wird eine Kontraktion aber immer dann verschwinden, wenn keiner der beiden Operatoren Teilchen erzeugt, die der andere Ope- KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 146 rator absorbiert; d.h. es gilt Φ̂(x)Φ̂(y) =0 Φ̂† (x)Φ̂† (y) =0 (4.3.7) Ψ̂l (x)Ψ̂l0 (y) =0 ˆ (x)Ψ ˆ 0 (y) Ψ l l =0 (4.3.8) und insbesondere verschwinden alle Kontraktionen zwischen Operatoren, die zu verschiedenen Teilchen gehören. Unter gemischten zeitgeordneten Produkten versteht man solche, in denen einige Operatoren bereits als Normalordnung vorliegen. Für diese gilt das Wick-Theorem für gemischte T-Produkte: Für gemischte T-Produkte sind in der Entwicklung nach normalgeordneten Produkten alle die Terme fortzulassen, die Kontraktionen von bereits normalgeordneten Operatoren entsprechen. Auch hier ein erklärendes Beispiel: T h :ÂB̂ :Ĉ D̂ i = :ÂB̂ Ĉ D̂: + (−1)f (ACBD) · ÂĈ · :B̂ D̂: + (−1)f (ADBC) · ÂD̂ · :B̂ Ĉ : + (−1)f (BCAD) · B̂ Ĉ · :ÂD̂: + (−1)f (BDAC) · B̂ D̂ · :ÂĈ : + (−1)f (CDAB) · Ĉ D̂ · :ÂB̂ : + (−1)f (ACBD) · ÂĈ · B̂ D̂ + (−1)f (ADBC) · ÂD̂ · B̂ Ĉ . Aus der Störungsreihe lassen sich durch Anwendung der Wick-Theoreme die verbleibenden Feynman-Regeln ableiten. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die Analyse der Elektron-Myon-Streuung e− + µ− → e− + µ− (4.3.9) in zweiter Ordnung mit einem einlaufenden Elektron und einem einlaufenden Myon |ii = |e− ; me , p~1 , σ1 i |µ− ; mµ , p~2 , σ2 i (4.3.10) sowie einem auslaufenden Elektron und einem auslaufenden Myon |f i = |e− ; me , p~3 , σ3 i |µ− ; mµ , p~4 , σ4 i . (4.3.11) 4.3. DIE FEYNMAN-REGELN 147 Dieser Prozess wird durch den Feynman-Graphen e− (p3 , σ3 ) µ− (p4 , σ4 ) µ ν k e− (p1 , σ1 ) µ− (p2 , σ2 ) beschrieben. Der Hamilton-Dichteoperator für die Wechselwirkung der beiden unterschiedlichen Teilchen ist die Summe der einzelnen Hamilton-Dichteoperatoren Ĥ1 (x) = Ĥ1e (x) + Ĥ1m (x) . (4.3.12) In zweiter Ordnung der Störungsreihe wird dann Z Z h i (−i)2 d4 x1 d4 x2 · T Ĥ1e (x1 ) + Ĥ1m (x1 ) Ĥ1e (x2 ) + Ĥ1m (x2 ) 2! Z Z h 1 =− d4 x1 d4 x2 · T Ĥ1e (x1 )Ĥ1e (x2 ) + Ĥ1m (x1 )Ĥ1m (x2 ) 2 i +Ĥ1e (x1 )Ĥ1m (x2 ) + Ĥ1m (x1 )Ĥ1e (x2 ) . Ŝ (2) = Zur Übergangsamplitude der Elektron-Myon-Streuung liefern nun nur die Terme (2) Ŝem 1 =− 2 = Z Z h i d4 x1 d4 x2 · T Ĥ1e (x1 )Ĥ1m (x2 ) + Ĥ1m (x1 )Ĥ1e (x2 ) Z Z h i d4 x1 d4 x2 · T Ĥ1e (x1 )Ĥ1m (x2 ) − (4.3.13) einen Beitrag. Mit den Hamilton-Dichteoperatoren für das Elektron und für das Myon ˆ (x)γ Ψ̂ (x):µ (x) Ĥ1e (x) = eqe :Ψ e µ e ˆ Ĥ (x) = eq :Ψ (x)γ Ψ̂ (x):µ (x) 1m m m µ m (4.3.14) (4.3.15) KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 148 wird das zeitgeordnete Produkt: h i T Ĥ1e (x1 )Ĥ1m (x2 ) h i ˆ (x )γ Ψ̂ (x ):µ (x ) · eq :Ψ ˆ (x )γ Ψ̂ (x ):Âν (x ) = T eqe :Ψ e 1 µ e 1 1 m m 2 ν m 2 2 ˆ (x )γ Ψ̂ (x ) · eq Ψ ˆ = µ (x1 )Âν (x2 ) · :eqe Ψ e 1 µ e 1 m m (x2 )γν Ψ̂m (x2 ): ˆ (x )(−ieq γ )Ψ̂ (x ): ˆ (x )(−ieq γ )Ψ̂ (x ) · Ψ = −iDFµν (x1 − x2 ) · :Ψ e 1 e µ e 1 m 2 m ν m 2 Damit folgt für die Übergangsamplitude der Elektron-Myon-Streuung (2) Sem Z Z d4 x1 d4 x2 · iDFµν (x1 − x2 ) = ˆ (x )(−ieq γ )Ψ̂ (x ) |e− ; m , p~ , σ i · he− ; me , p~3 , σ3 | Ψ e 1 e µ e 1 e 1 1 ˆ − − · hµ ; mµ , p~4 , σ4 | Ψm (x2 )(−ieqm γν )Ψ̂m (x2 ) |µ ; mµ , p~2 , σ2 i Z Z = " (2π)− 2 √ 2E3 " 3 · 3 (2π)− 2 · √ 2E4 i (2π)4 Z DFµν (k)e−ik(x1 −x2 ) d4 k # " # 3 (2π)− 2 −ip1 x1 +ip3 x1 ·e u(~ p3 , σ3 ) (−ieqe γµ ) √ ·e u(~ p1 , σ1 ) 2E1 # " # − 23 (2π) · e+ip4 x2 u(~ · e−ip2 x2 u(~ p2 , σ2 ) p4 , σ4 ) (−ieqm γν ) √ 2E2 d4 x1 d4 x2 · Z 3 3 3 3 1 (2π)− 2 (2π)− 2 (2π)− 2 (2π)− 2 √ √ √ = √ · d4 k 2E1 2E2 2E3 2E4 (2π)4 · u(~ p3 , σ3 )(−ieqe γµ )u(~ p1 , σ1 ) · iDFµν (k) · u(~ p4 , σ4 )(−ieqm γν )u(~ p2 , σ2 ) Z Z · d4 x1 d4 x2 e−ik(x1 −x2 ) e+ip3 x1 e−ip1 x1 e+ip4 x2 e−ip2 x2 Z 3 3 3 3 (2π)− 2 (2π)− 2 (2π)− 2 (2π)− 2 1 √ √ √ d4 k = √ · 2E1 2E2 2E3 2E4 (2π)4 · u(~ p3 , σ3 )(−ieqe γµ )u(~ p1 , σ1 ) · iDFµν (k) · u(~ p4 , σ4 )(−ieqm γν )u(~ p2 , σ2 ) · (2π)8 · δ 4 (p1 − p3 + k) · δ 4 (p2 − p4 − k) 4.3. DIE FEYNMAN-REGELN 3 3 3 149 3 (2π)− 2 (2π)− 2 (2π)− 2 (2π)− 2 √ √ √ = √ · (2π)4 · δ 4 (p1 + p2 − p3 − p4 ) 2E1 2E2 2E3 2E4 p3 , σ3 )(−ieqe γµ )u(~ p1 , σ1 ) · iDFµν (p3 − p1 ) · u(~ p4 , σ4 )(−ieqm γν )u(~ p2 , σ2 ) · u(~ mit dem einfachen Ausdruck (2) p3 , σ3 )(−ieqe γµ )u(~ p1 , σ1 ) Mem = u(~ · iDFµν (p3 − p1 ) · u(~ p4 , σ4 )(−ieqm γν )u(~ p2 , σ2 ) (4.3.16) für die Feynman-Amplitude der Elektron-Myon-Streuung. Dies führt zu den nächsten Feynman-Regeln, nach denen bei der Berechnung der Feynman-Amplitude aus dem Feynman-Graphen iDFµν (k) • jede innere Photonenlinie einen Faktor • an jedem Vertex die Energie- und Impulserhaltung gilt. beiträgt Durch Analyse eines Prozesses mit innerer Fermionenlinie ergibt sich analog, dass bei der Berechnung der Feynman-Amplitude • jede innere Fermionenlinie einen Faktor iSF (p) beiträgt. Zur Ableitung der verbleibenden Feynman-Regeln ist ein Prozess zu betrachten, der eine geschlossene Fermionenschleife enthält. Das einfachste Beispiel hierfür ist die Vakuum-Polarisation q γ(k1 , λ1 ) γ(k2 , λ2 ) p mit einem einlaufendem und einem auslaufendem Photon |ii = |γ, ω1 , ~k1 , λ1 i |f i = |γ, ω2 , ~k2 , λ2 i . (4.3.17) KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 150 Die Terme des zeitgeordneten Produktes, die Beiträge zur Übergangsamplitude leisten, sind h i ˆ ˆ µ ν TV P eq :Ψ(x 1 )γµ Ψ̂(x1 ): (x1 ) · eq :Ψ(x2 )γν Ψ̂(x2 ): (x2 ) h i ˆ (x )(γ ) Ψ̂ (x ):µ (x ) · eq :Ψ ˆ (x )(γ ) Ψ̂ (x ):Âν (x ) = TV P eq :Ψ a 1 µ ab b 1 c 2 ν cd d 2 1 2 ˆ (x )Ψ̂ (x ) · Ψ̂ (x )Ψ ˆ (x ) = (−1)2 · Ψ a 1 d 2 b 1 c 2 · eq(γµ )ab · eq(γν )cd · :µ (x1 ) · Âν (x2 ): = −iSF da (x2 − x1 ) · iSF bc (x1 − x2 ) · eq(γµ )ab · eq(γν )cd · :µ (x1 ) · Âν (x2 ): = (−1) · Spur [iSF (x2 − x1 ) · eqγµ · iSF (x1 − x2 ) · eqγν ] · :µ (x1 ) · Âν (x2 ): Der Faktor (−1) und die Spurbildung sind charakteristisch für eine geschlosse- ne Fermionenschleife. Die Spurbildung resultiert letztlich von der Summation über alle Spinzustände des virtuellen Elektron-Positron-Paares. Es ist klar, dass auch bei Prozessen mit komplizierteren Schleifen immer eine Kontraktion mit vertauschter Reihenfolge auftritt, die dann einen Faktor (−1) liefert. Mit diesen Vorüberlegungen ergibt sich für die Übergangsamplitude SV P (−i)2 = 2! Z Z d4 x1 d4 x2 · (−1) · Spur [iSF (x2 − x1 ) · eqγµ · iSF (x1 − x2 ) · eqγν ] · hγ, ω2 , ~k2 , λ2 | :µ (x1 ) · Âν (x2 ): |γ, ω1 , ~k1 , λ1 i Z Z (−i)2 = (−1) d4 x1 d4 x2 2! Z Z 1 1 4 −ip(x2 −x1 ) · d p e d4 q e−iq(x1 −x2 ) (2π)4 (2π)4 · Spur [iSF (p) · eqγµ · iSF (q) · eqγν ] " #" # 3 3 (2π)− 2 +ik2 x1 µ ~ (2π)− 2 −ik1 x2 ν ~ √ ·2· √ ·e e (k2 , λ2 ) ·e e (k1 , λ1 ) 2ω2 2ω1 4.3. DIE FEYNMAN-REGELN 151 Z Z 3 3 (2π)− 2 (2π)− 2 1 1 4 √ = √ · d p d4 q (2π)4 2ω1 2ω2 (2π)4 · eµ (~k2 , λ2 ) · (−1) · Spur [iSF (p) · (−ieqγµ ) · iSF (q) · (−ieqγν )] · eν (~k1 , λ1 ) Z Z · d4 x1 d4 x2 · e−ip(x2 −x1 ) · e−iq(x1 −x2 ) · e+ik2 x1 · e−ik1 x2 Z Z 3 3 1 1 (2π)− 2 (2π)− 2 4 √ · d p d4 q = √ (2π)4 2ω1 2ω2 (2π)4 · eµ (~k2 , λ2 ) · (−1) · Spur [iSF (p) · (−ieqγµ ) · iSF (q) · (−ieqγν )] · eν (~k1 , λ1 ) · (2π)4 · δ 4 (p − q + k1 ) · (2π)4 · δ 4 (p − q + k2 ) 3 3 (2π)− 2 (2π)− 2 √ = √ · (2π)4 · δ 4 (k1 − k2 ) · eµ (~k2 , λ2 ) · eν (~k1 , λ1 ) 2ω1 2ω2 Z (−1) · d4 p · Spur [iSF (p) · (−ieqγµ ) · iSF (p + k1 ) · (−ieqγν )] (2π)4 . Damit liefert die Feynman-Amplitude für die Vakuum-Polarisation MV P = eµ (~k2 , λ2 ) · iΠµν (k1 ) · eν (~k1 , λ1 ) (4.3.18) die so genannten Selbstenergie Z (−1) d4 p · Spur [iSF (p) · (−ieqγµ ) · iSF (p + k1 ) · (−ieqγν )] (2π)4 Z (eq)2 = d4 p · Spur [iSF (p) · γµ · iSF (p + k) · γν ] (4.3.19) (2π)4 iΠµν (k) = des Photons als Faktor für eine geschlossene Fermionenschleife. Aus der Feynman-Amplitude kann man die zusätzlich notwendigen Feynman-Regeln • über jede geschlossene Fermionenschleife ist die Spur zu bilden und ein Faktor • (−1) hinzuzufügen für jeden Viererimpuls p, der nicht durch Energie-Impuls-Erhaltung festR 1/(2π)4 d4 p auszuführen gelegt ist, ist eine Integration über KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 152 ablesen. Bei der weiteren Analyse anderer Terme auch in höherer Ordnung treten keine neuen Eigenschaften auf. Damit ist der vollständige Satz der Feynman-Regeln für die Spinor-Elektrodynamik gewonnen. Nachstehend noch einmal alle Regeln zusammengefasst. Feynman-Regeln der Spinor-Elektrodynamik Die Feynman-Amplitude me über die Amplituden Mf i eines Prozesses |ii → |f i besteht aus der Sum(n) Mf i von n-ter störungstheoretischer Ordnung Mf i = ∞ X (n) Mf i . n=1 Diagrammatisch enthält die Feynman-Amplitude (n) Mf i alle topologisch ver- schiedenen, zusammenhängenden Feynman-Graphen, die n-Vertices und die richtigen externen Linien haben, und berechnet sich aus diesem wie folgt: • Jedes einlaufende Fermion liefert einen Faktor u(~ p, σ) • Jedes auslaufende Fermion liefert einen Faktor u(~ p, σ) • Jedes einlaufende Antifermion liefert einen Faktor v(~ p, σ) • Jedes auslaufende Antifermion liefert einen Faktor v(~ p, σ) • Jedes einlaufende Photon liefert einen Faktor eµ (~k, λ) • Jedes auslaufende Photon liefert einen Faktor eµ (~k, λ) • Jede innere Fermionenlinie liefert einen Faktor iSF (p) • Jede innere Photonenlinie liefert einen Faktor iDFµν (k) • Jeder Spinor-Photon-Vertex liefert einen Faktor • An jedem Spinor-Photon-Vertex gilt die Energie- und Impulserhaltung • Für jeden Viererimpuls −ieqγµ p, der nicht durch Energie-Impuls-Erhaltung festR 1/(2π)4 d4 p auszuführen gelegt wird, ist eine Integration über • Über jede geschlossene Fermionenschleife ist die Spur zu bilden und ein Faktor (−1) hinzuzufügen 4.3. DIE FEYNMAN-REGELN 153 Es verbleibt zu zeigen, dass die longitudinalen und skalaren Photonen der physikalisch zulässigen Zustände keinen Beitrag zu den Feynman-Amplituden liefern. Hierzu ist es zweckmäÿig, noch einmal die Fermion-Photon-Kopplung zu betrachten, für die nach (4.2.15) Mf i = u(~ p2 , σ2 )(−ieqγµ )u(~ p1 , σ1 )eµ (~k, λ) mit k = p1 − p2 war. Da aufgrund der Denition der physikalisch zulässigen Zustände longitudinale und skalare Photonen immer in der gleichen Anzahl an den äuÿeren Photonenlinien auftreten, geht in die Berechnung der FeynmanAmplitude durch die Kopplung der Fermionen mit den Pseudophotonen immer die Summe Mfλ=0,3 = u(~ p2 , σ2 )(−ieqγµ )u(~ p1 , σ1 )eµ (~k, 0) i p2 , σ2 )(−ieqγµ )u(~ p1 , σ1 )eµ (~k, 3) + u(~ (4.3.20) über beide Polarisationen ein. Nun ist nach (3.4.7) k µ = ω · eµ (~k, 0) + eµ (~k, 3) (4.3.21) und aufgrund der Dirac-Gleichung in der Impulsdarstellung u(~ p2 , σ2 )γµ k µ u(~ p1 , σ1 ) = u(~ p2 , σ2 )γµ (pµ1 − pµ2 )u(~ p1 , σ1 ) = u(~ p2 , σ2 ) · γµ pµ1 u(~ p1 , σ1 ) − u(~ p2 , σ2 )γµ pµ2 · u(~ p1 , σ1 ) = u(~ p2 , σ2 ) · mu(~ p1 , σ1 ) − u(~ p2 , σ2 )m · u(~ p1 , σ1 ) =0 . (4.3.22) Dies bedeutet für die Fermion/Pseudophotonen-Kopplung Mfλ=0,3 = i = = = u(~ p2 , σ2 )(−ieqγµ )u(~ p1 , σ1 )eµ (~k, 0) + u(~ p2 , σ2 )(−ieqγµ )u(~ p1 , σ1 )eµ (~k, 3) u(~ p2 , σ2 )(−ieqγµ )u(~ p1 , σ1 ) · eµ (~k, 0) + eµ (~k, 3) −ieq · u(~ p2 , σ2 )γµ k µ u(~ p1 , σ1 ) ω 0 ; (4.3.23) d.h. bei der Wechselwirkung mit Fermionen kompensieren sich die Beiträge der Pseudophotonen und gehen deshalb nicht in die Berechnung der FeynmanAmplituden ein. KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 154 4.4 Ladungsrenormierung Die Berechnung des bei der Vakuum-Polarisation auftretenden Integrals führt auf einen divergenten Ausdruck. Die damit verbundene Problematik hat die Entwicklung der Quantenfeldtheorie jahrzehntelang aufgehalten. Mittels Renormierung kann man die Divergenzen der auftretenden Integrale jedoch handhaben. Dabei werden die divergenten Terme in Relationen zwischen beobachtbaren und nicht beobachtbaren physikalischen Parametern absorbiert. Dies ist möglich, da die nicht beobachtbaren physikalischen Parameter keine experimentelle Bedeutung haben. Diese Renormierung der physikalischen Parameter ist konsistent in allen Ordnungen der Störungstheorie durchführbar. Es gibt jedoch auch einen anschaulichen Zugang zur Renormierung; denn selbst wenn keine divergenten Integrale auftreten würden, wäre es sinnvoll eine Renormierung durchzuführen. Bei der Berechnung jeder Feynman-Amplitude treten bestimmte Teilgraphen immer wieder auf, was es sinnvoll erscheinen lässt, diese vorab zu berechnen. Hierdurch wird man genau zu den renormierten physikalischen Parametern geführt. Alle zu berechnenden Terme sind dabei endlich. Trotzdem kann man allerdings nicht vermeiden divergente Integrale handhaben zu müssen, da die zu berechnenden Terme sich als Dierenz zweier solcher divergenter Integrale ergeben. Um konkret zu werden, soll ein beliebiger Feynman-Graph n-ter Ordnung mit einer inneren Photonenlinie betrachtet werden. In die Berechnung der gesamten Feynman-Amplitude gehen immer folgende Feynman-Graphen ein (zur besseren Übersicht wird die Ladung mit q=1 angenommen): µ ν k (n) Mf i = Aµ · e · iDFµν (k) · e · Bν p1 µ k (n+1S) Mf i = Aµ · e · ν k p1 + k µρ iDF (k) · iΠρσ (k) · iDFσν (k) · e · Bν 4.4. LADUNGSRENORMIERUNG p1 (n+2S) Mf i p2 k µ = Aµ · e · k p1 + k µρ iDF (k) · iΠρτ (k) p1 µ k ν p2 + k · iDFτ ω (k) · iΠωσ (k) · iDFσν (k) · e · Bν p2 k p3 k k p2 + k p1 + k (n+3S) Mf i Die Terme 155 ν k p3 + k = Aµ · e · .................................................................. · e · Bν Aµ und Bν stehen dabei für die hier nicht dargestellten restlichen Teile der Feynman-Graphen. Die vorstehende unendliche Reihe führt zu f(n) = M (n) + M (n+1S) + M (n+2S) + M (n+3S) + M fi fi fi fi fi ... e µν (k) · e · Bν = Aµ · e · iD (4.4.1) mit e µν (k) = iDµν (k) + iDµρ (k) · iΠρσ (k) · iDFσν (k) + iDµρ (k) · ... iD F F F e σν (k) = iDµν (k) + iDµρ (k) · iΠρσ (k) · iD F F bzw. e µν (k) = Dµν (k) − Dµρ (k) · Πρσ (k) · D e σν (k) D F F Nun ist DFµν (k) = und e µν (k) D sowie Πµν (k) −g µν k2 müssen die Form µν e µν (k) = −g f (k 2 ) + k µ k ν f1 (k 2 ) D 2 k Πµν (k) = e2 gµν k 2 Π(k 2 ) + e2 kµ kν Π1 (k 2 ) . (4.4.2) KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 156 besitzen, da dies die allgemeine Form von Tensoren zweiter Stufe ist, die sich aus dem Vierer-Vektor kµ bilden lässt. Setzt man dies in die Gleichung (4.4.2) ein, so liefert Koezientenvergleich der Terme, die den Metriktensor enthalten, −g µν −g µν −g µρ 2 −g σν f (k 2 ) = − · e gρσ k 2 Π(k 2 ) · f (k 2 ) 2 2 2 k k k k2 bzw. f (k 2 ) = 1 1− e2 Π(k 2 ) . Damit wird e µν (k) = D Der Term mit f1 (k 2 ) DFµν (k) + k µ k ν f1 (k 2 ) . 1 − e2 Π(k 2 ) (4.4.3) ist nun bei der Berechnung einer Feynman-Amplitude ohne Bedeutung. Da eine Photonenlinie immer an Fermionen-Vertices koppelt, erscheint er entsprechend u(~ p2 , σ2 )(−ieγµ )u(~ p1 , σ1 ) · k µ k ν f1 (k 2 ) · u(~ p4 , σ4 )(−ieγν )u(~ p3 , σ3 ) eingebettet. Nun folgt aus der Dirac-Gleichung in der Impulsdarstellung u(~ p2 , σ2 )γµ k µ u(~ p1 , σ1 ) = u(~ p2 , σ2 )γµ (pµ1 − pµ2 )u(~ p1 , σ1 ) = u(~ p1 , σ1 ) − u(~ p1 , σ1 ) p2 , σ2 ) · γµ pµ1 u(~ p2 , σ2 )γµ pµ2 · u(~ = u(~ p2 , σ2 ) · mu(~ p1 , σ1 ) − u(~ p2 , σ2 )m · u(~ p1 , σ1 ) =0 , dass der Term mit f1 (k 2 ) keinen Beitrag zur Feynman-Amplitude liefert. Da- mit wird f(n) = Aµ · e · iD e µν (k) · e · Bν M fi DFµν (k) µ ν 2 = Aµ · e · i · + k k f1 (k ) · e · Bν 1 − e2 Π(k 2 ) iDFµν (k) = Aµ · e · · e · Bν 1 − e2 Π(k 2 ) µν = Aµ · eR · iDR (k) · eR · Bν (4.4.4) 4.4. LADUNGSRENORMIERUNG 157 mit den so genannten renormierten Gröÿen p Z3 eR = e · (4.4.5) iDFµν (k) µν iDR (k) = (Z3 )−1 · 1 − e2 Π(k 2 ) iDFµν (k) = Z3 − e2R Π(k 2 ) und zunächst beliebigem Renormierungsfaktor Z3 . (4.4.6) Die nackte Kopplungskon- stante e ist dabei vollständig aus den Beziehungen verschwunden. Dies ist nicht weiter problematisch, da die Kopplungskonstante sowieso erst durch ein Experiment bestimmt werden muss und sich für deniertes Z3 messtechnisch auch nur die renormierte Kopplungskonstante bestimmen lässt (z.B. über das Coulomb-Potential bei niedrigen Energien). Auch wenn man den Renormierungsfaktor Z3 im Prinzip beliebig wählen kann, ist es zweckmäÿig entweder Z3 = 1 + e2R Π(0) zu wählen, da das Integral oder 2 Π(k ) Z30 = 1 + e2 (k)Π(k 2 ) (4.4.7) divergiert, aber die Dierenz ΠD (k 2 ) = Π(k 2 ) − Π(0) Z30 erreicht man, dass der renormierte Z3 = 1 + e2R Π(0) wird q eR = e 1 + e2R Π(0) e =p 1 − e2 Π(0) endlich ist. Durch die Wahl von Z3 (4.4.8) oder Photonen-Propagator endlich ist. Mit = konstant (4.4.9) sowie µν iDR (k) = Entsprechend folgt aus iDFµν (k) 1 − e2R ΠD (k 2 ) . (4.4.10) Z30 = 1 + e2 (k)Π(k 2 ) p e(k) = e 1 + e2 (k)Π(k 2 ) e =p 1 − e2 Π(k 2 ) = Funktion von k2 (4.4.11) KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 158 sowie µν µν iDR . 0 (k) = iDF (k) (4.4.12) k2 abhängt, wird sie als gleiten- Da die Kopplungskonstante in diesem Fall von de Kopplungskonstante e(k) bezeichnet. Für zwei verschiedene Impulsübertra- gungen wird e2 (k1 ) 1 + e2 (k1 )Π(k12 ) = e2 (k2 ) 1 + e2 (k2 )Π(k22 ) bzw. 1 e2 (k1 ) − 1 e2 (k 2) = ΠD (k12 ) − ΠD (k22 ) =− da im Grenzbereich groÿer 1 · ln 12π 2 k1 k2 (4.4.13) 2 für k 2 >> m2 , (4.4.14) k 2 -Werte 1 · ln ΠD (k ) ≈ − 12π 2 2 k m 2 für k 2 >> m2 (4.4.15) gilt. Bei den bisherigen Rechnungen ist für die geschlossene Fermionenschleife genau ein Teilchen mit der Ladung q = 1 zugrunde gelegt worden. Sind für die qf relevant, so ergibt sich Renormierung mehrere Teilchen mit den Ladungen 2 X 1 1 k1 1 2 − 2 =− · qf · ln 2 2 e (k1 ) e (k2 ) 12π k2 k 2 >> m2f für . (4.4.16) f Im Grenzbereich kleiner k 2 -Werte ΠD (k 2 ) ≈ − 1 · 60π 2 ist k m 2 für k 2 << m2 und man kann im nicht-relativistischen Grenzfall deshalb (4.4.17) ΠD (k 2 ) ≈ 0 anset- zen. Dies bedeutet e(k) = eR für Die genaue Berechung des Integrals k 2 << m2 ΠD (k 2 ) . (4.4.18) selbst soll hier nicht durchge- führt werden. Hierzu sei auf die Literatur verwiesen. Die geschlossene Fermionenschleife liefert die Ladungsrenormierung bis zur Ordnung e2R . In höherer 4.4. LADUNGSRENORMIERUNG 159 Ordnung sind für die Berechnung der Vakuum-Polarisation zusätzliche Einfü- gungen wie zum Beispiel mit einzubeziehen. Die Renormierung kann konsistent Ordnung für Ordnung durchgeführt werden. Bei der Berechnung der Feynman-Amplitude ist dann von skelettierten Feynman-Graphen auszugehen, die nur aus nackten Photonenlinien ohne Vakuum-Polarisationstermen bestehen. Da keine geschlossenen Fermionenschleifen mehr auftreten können, kann die korrespondierende Feynman-Regel gestrichen werden. Bei Anwendung der Feynman-Regeln sind dabei natürlich die renormierte Kopplungskonstante und der renormierte Photonenpropagator zu verwenden. Die Renormierung über die VakuumPolarisation kann graphisch durch eR eR k k µν iDR (k) dargestellt werden. Ganz analog führen Fermion-Selbstenergieterme bzw. Vertex-Korrekturterme zu einem renormierten Fermionen-Propagator bzw. zu einem renormierten Vertexfaktor. q k p p p Fermionen-Selbstenergie =⇒ iSR (p) Vertex-Korrektur =⇒ −ieqΓµ (p, q) Sowohl die Fermionen-Selbstenergieterme als auch die Vertex-Korrekturterme führen jeweils auch zu einer Renormierung der Kopplungskonstanten, kompensieren sich dabei aber gerade gegenseitig. Die Renormierung der Kopplungskonstanten wird damit ausschlieÿlich durch die Vakuum-Polarisation bestimmt. Auf die weiteren Details der technisch anspruchsvollen Renormie- KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 160 rungstheorie soll hier verzichtet werden, da in diesem Text keine Rechnungen in höherer Ordnung durchgeführt werden. Nach vollständiger Durchführung der Renormierung hat man einen skelettierten Feynman-Graphen, dessen Auswertung nur auf wohldenierte Integrale führt. Der zugehörige skelettierte Feynman-Graph nächst höherer Ordnung muss zwei zusätzliche Vertices, die je einen Faktor e liefern, sowie einen nicht durch Energie-Impulserhaltung festgelegten Viererimpuls eines virtuellen Photons, über den zu integrieren ist, besitzen. Mit q = ~k rechnet man unter Vernachlässigung der aus einem speziellen Feynman-Graphen kommenden zusätzlichen Terme exemplarisch für den Beitrag des Feynman-Propagators des zusätzlichen virtuellen Photons zur Feynman-Amplitude e2 (2π)3 Z +∞ −∞ Z +∞ e2 −ig µν −ig µν 3 · 4πq 2 dq 2 · d ~k = 3 2 − q2 2 (2π) E ~ 0 E − k Z +∞ e2 −ig µν q 2 · dq = 2 2π 0 E 2 − q2 Z +∞ e2 −ig µν q 2 = · dq 2 4π −∞ (E − q + i)(E + q − i) und, wenn man das Wegintegral über die obere komplexe Halbebene schlieÿt, liefert der Residuensatz mit dem Pol bei q = E + i e2 −ig µν E 2 (−2πi) 4π 2 E+E e2 = · (−g µν ) · E . 4π = Dies macht plausibel, dass immer ein Faktor e2 /4π in die Berechnung der nächst höheren Ordnung der Feynman-Amplitude eingeht und die Störungsreihe eigentlich eine Entwicklung nach Potenzen dieser Feinstrukturkonstanten ist. Mit e(0) = 0.3028 und dem bei mZ = 91.2GeV gemessenem Wert ist nun e2 (0) = 1/137.0 4π e2 (mZ ) αe (mZ ) = = 1/127.9 4π αe (0) = und (4.4.19) , (4.4.20) was die sehr gute Konvergenz der Störungsreihe der Quanten-Elektrodynamik bei allen zugänglichen Energien erklärt. 4.5. DIE BORN-NÄHERUNG 161 4.5 Die Born-Näherung Es ist interessant sich den Zusammenhang zwischen dem nicht-relativistischen Potential der Quantenmechanik und der Feynman-Amplitude zu verdeutlichen. Dies ist durch Betrachtung der zeitunabhängigen Störungstheorie in der so genannten Born-Näherung möglich. Ausgangspunkt ist wiederum der Ansatz, dass vor und nach der Wechselwirkung freie ungestörte Teilchen vorliegen. Es sei jetzt ein System von zwei unterscheidbaren Teilchen mit den Massen und M m gegeben. Dann ist nach der nicht-relativistischen Quantenmechanik der Hamilton-Operator Ĥ = 2 P̂m P̂ 2 + M + V̂ 2m 2M , (4.5.1) wobei der Potentialoperator alle Eekte der die Wechselwirkung vermittelnden Austauschteilchen zusammenfasst. Vor der Wechselwirkung ist der Zustandsvektor ein Eigenzustand des freien Hamilton-Operators Ĥ0 = 2 P̂ 2 P̂m + M 2m 2M ; (4.5.2) d.h. es gilt Ĥ0 |ii = E(i) |ii . (4.5.3) Entsprechend muss der Zustandsvektor nach der Wechselwirkung ein Eigenzustand des vollständigen Hamilton-Operators sein Ĥ0 + V̂ |η(+∞)i = E(+∞) |η(+∞)i (4.5.4) bzw. wegen der Energie-Erhaltung Ĥ0 + V̂ |η(+∞)i = E(i) |η(+∞)i . Kombiniert man die beiden Ergebnisse und berücksichtigt, dass für |η(+∞)i → |ii gelten muss, kann man ansetzen E(i) − Ĥ0 |η(+∞)i = E(i) − Ĥ0 |ii + V̂ |η(+∞)i (4.5.5) V̂ → 0 (4.5.6) und erhält daraus die Lipmann-Schwinger-Gleichung |η(+∞)i = |ii + V̂ E(i) − Ĥ0 + i |η(+∞)i , (4.5.7) KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 162 wobei ein innitesimaler Term i hinzugefügt wurde, um die Singularität der Operatorgleichung zu vermeiden. Iteration liefert: |η(+∞)i = |ii + V̂ E(i) − Ĥ0 + i |ii + !2 V̂ E(i) − Ĥ0 + i |η(+∞)i (4.5.8) Mit der Annahme, dass die Störung durch das Potential klein ist, ergibt sich die Näherung |η(+∞)i = |ii + V̂ E(i) − Ĥ0 + i |ii . (4.5.9) Einschieben eines vollständigen Satzes von Zuständen freier Teilchen Z 1̂ = |η, zihη, z| dz , (4.5.10) wobei z für alle orthonormierten Freiheitsgrade steht, liefert Z dz |η(+∞)i = |ii + |η, zihη, z| V̂ |ii E(i) − Ĥ0 + i Z dz |η, zihη, z| V̂ |ii . = |ii + E(i) − E(z) + i (4.5.11) (−2πi)-fache des Wertes des E(i) − E(z) + i = 0. Das Integral verhält Nach dem Residuen-Satz ist das Integral das Zählers im Integranden an der Stelle sich für →0 danach wie Z |η(+∞)i = |ii + (−2πi) dz · δ( E(i) − E(z) ) |η, zihη, z| V̂ |ii . Damit folgt für einen denierten Endzustand |f i = 6 |ii (4.5.12) die so genannte Born- Näherung Z hf |η(+∞)i = −2πi dz · δ( E(i) − E(z) ) · hf |η, zi · hη, z| V̂ |ii = −2πi · δ ( E(i) − E(f ) ) · hf | V̂ |ii . (4.5.13) Nun ist nach der Störungsreihe hf |η(+∞)i = hf | Ŝ |ii = (2π)4 δ 4 (pmi + pM i − pmf − pM f ) 1 1 1 1 p p p ·p · Mf i 3 (2π)3 2Emi (2π)3 2EM i (2π) 2Emf (2π)3 2EM f 4.5. DIE BORN-NÄHERUNG 163 und da im nicht-relativistischen Fall jedes einlaufende Teilchen auch ausläuft, sowie die Energie durch die Ruhemasse bestimmt ist, ergibt sich hf |η(+∞)i = (2π)4 δ 4 (pmi + pM i − pmf − pM f ) · 1 1 · Mf i 3 (2π) 2m (2π)3 2M . (4.5.14) Vergleich mit der Born-Näherung liefert schlieÿlich den Zusammenhang mit dem nicht-relativistischen Potential hf | V̂ |ii = 1 iMf i · δ 3 (~ pmi + p~M i − p~mf − p~M f ) · 3 (2π) 2m · 2M Zur Berechnung der Kraft, die zwei Teilchen an den Orten x1 . und (4.5.15) y1 aufein- ander ausüben, muss von der Impulsdarstellung des Potentials in die Ortsdarstellung übergegangen werden. Wegen h~ p|~xi = p 1 (2π)3 · e−i~p~x wird Z Z d3 x2 d3 y2 · hx2 , y2 | V̂ |x1 , y1 i Z Z = · · · d3 x2 d3 y2 d3 pmi d3 pmf d3 pM i d3 pM f V (x1 , y1 ) = ei~pmf ~x2 ei~pM f ~y2 e−i~pmi ~x1 e−i~pM i ~y1 p p ·p · hf | V̂ |ii · p (2π)3 (2π)3 (2π)3 (2π)3 Z Z 1 = · · · d3 x2 d3 y2 d3 pmi d3 pmf d3 pM i d3 pM f (2π)9 iMf i · δ 3 (~ pmi + p~M i − p~mf − p~M f ) · 2m · 2M · ei~pmf ~x2 ei~pM f ~y2 e−i~pmi ~x1 e−i~pM i ~y1 . Mit den δ -Funktionen Z 1 ei~pmf ~x2 d3 x2 = δ 3 (~ pmf ) (2π)3 Z 1 ei~pM f ~y2 d3 y2 = δ 3 (~ pM f ) (2π)3 (4.5.16) KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 164 folgt nach Ausführung der Integrationen auch über p~mf p~M f und V (x1 , y1 ) Z Z 1 iMf i = d3 pmi d3 pM i δ 3 (~ pmi + p~M i ) · e−i~pmi ~x1 e−i~pM i ~y1 · (2π)3 2m · 2M bzw. nach Ausführung der Integration über V (x1 , y1 ) = 1 (2π)3 Z p~M i iMfSP i · e−i~pmi (~x1 −~y1 ) · d3 pmi 2m · 2M (4.5.17) mit der Feynman-Amplitude MfSP i = Mf i | p ~mf =0; p ~M f =0; (4.5.18) p ~mi +~ pM i =0 im Schwerpunktsystem. Damit ist der Zusammenhang zwischen dem nichtrelativistischen Potential in der Ortsdarstellung und der Feynman-Amplitude hergestellt. Beispiel 1: Das Coulomb-Potential Das Coulomb-Potential entsteht durch den Austausch eines Photons zwischen geladenen Teilchen. Aus dem Feynman-Graphen pmf pM f µ iDFµν (k) ν pmi pM i ergibt sich die Feynman-Amplitude pmf , σm )(−ieqm γµ )u(~ pmi , σm ) MfSP i = u(~ · iDFµν (pmi − pmf ) · u(~ pM f , σM )(−ieqM γν )u(~ pM i , σM ) = u(0, σm )(−ieqm γµ )u(~ pmi , σm ) µν −ig · · u(0, σM )(−ieqM γν )u(−~ pmi , σM ) . (pmi − pmf )2 Nun ist nicht-relativistisch 2 (pmi − pmf )2 = − |~ pmi − p~mf | = − |~ pmi | 2 , (4.5.19) 4.5. DIE BORN-NÄHERUNG 165 was deutlich macht, dass das Integral bei der Berechnung des Potentials im Wesentlichen durch die Beiträge bei kleinen Impulsen bestimmt wird. Wegen bzw. u(~ p, σ)γµ u(~ p, σ) = 2pµ (4.5.20) u(0, σ)γµ u(0, σ) = 2m · g0µ (4.5.21) vereinfacht sich die Feynman-Amplitude MfSP i ≈ u(0, σm )(−ieqm γµ )u(0, σm ) ig µν · 2 · u(0, σM )(−ieqM γν )u(0, σM ) |~ pmi | ig µν = (−ieqm ) · 2m · g0µ · 2 · (−ieqM ) · 2M · g0ν |~ pmi | 2m · 2M = −i · (eqm )(eqM ) · 2 |~ pmi | (4.5.22) (4.5.23) dadurch erheblich. Damit wird das Coulomb-Potential iMfSP i · e−i~pmi (~x1 −~y1 ) · d3 pmi 2m · 2M Z −i~pmi (~x1 −~y1 ) 1 e = (eqm )(eqM ) · · d3 pmi 2 3 (2π) |~ pmi | e2 qm qM =+ · . 4π |~x1 − ~y1 | 1 VCP (x1 , y1 ) = (2π)3 Z (4.5.24) Abhängig vom Vorzeichen der elektrischen Ladungen resultiert der Austausch eines Photons entweder in eine anziehende oder eine abstoÿende Kraft. Beispiel 2: Das Yukawa-Potential Das Yukawa-Potential entsteht durch den Austausch eines elektrisch neutralen Spin-0 Teilchen. Zur Berechnung des Feynman-Graphen pmf pM f i∆F (q) pmi pM i KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 166 sind die Feynman-Regeln • jede innere Skalarlinie liefert einen Faktor • jeder Fermion-Skalar-Vertex liefert einen Faktor i∆F (p) −ig notwendig. Der Vertexfaktor ergibt sich aus dem Hamilton-Dichteoperator ˆ Ψ̂(x):Φ̂(x) , Ĥ1 (x) = g :Ψ(x) (4.5.25) dessen Ableitung im nächsten Kapitel erfolgt. Damit wird die Feynman-Amplitude pmf , σm )(−ig)u(~ pmi , σm ) MfSP i = u(~ pM f , σM )(−ig)u(~ pM i , σM ) · i∆F (pmi − pmf ) · u(~ = u(0, σm )(−ig)u(~ pmi , σm ) i · · u(0, σM )(−ig)u(−~ pmi , σM ) . (pmi − pmf )2 − m2φ Die gleichen Überlegungen wie beim Photonenaustausch ergeben 2 MfSP i ≈i·g · 2m · 2M 2 |~ pmi | + m2φ (4.5.26) und führen zu dem Yukawa-Potential iMfSP i · e−i~pmi (~x1 −~y1 ) · d3 pmi 2m · 2M Z −i~pmi (~x1 −~y1 ) 1 e = −g 2 · · d3 pmi 2 3 (2π) |~ pmi | + m2φ 1 VY P (x1 , y1 ) = (2π)3 =− Z g 2 e−mφ |~x1 −~y1 | · 4π |~x1 − ~y1 | . (4.5.27) Aufgrund des negativen Vorzeichens resultiert der Austausch eines Spin-0 Teilchens im Gegensatz zum Photonenaustausch immer in eine anziehende Kraft zwischen den beiden beteiligten Fermionen. 4.5. DIE BORN-NÄHERUNG 167 Beispiel 3: Das Newton-Potential Das Newton-Potential entsteht durch den Austausch von masselosen Spin-2 Teilchen, so genannten Gravitonen. Zur Berechnung des Feynman-Graphen pmf pM f µν ρσ iPFµν;ρσ (k) pmi pM i sind die zusätzlichen Feynman-Regeln (siehe hierzu Kapitel 5.9) • jede innere Linie eines Gravitons liefert einen Faktor • jeder Fermion-Graviton-Vertex liefert einen Faktor iPFµν;ρσ (k) − 4i · κγµ (piν + pf ν ) notwendig, wobei der Feynman-Propagator eines Gravitons PFµν;ρσ (k) = g µρ g νσ + g µσ g νρ − g µν g ρσ k2 (4.5.28) ist. Zu dem Integral bei der Berechnung der Feynman-Amplitude liefert nun im Wesentlichen nur der Term mit µ = ν = ρ = σ = 0 für kleine Impulse relevante Beiträge. Dies ergibt MfSP i i ≈ u(0, σm ) · − · κγ0 (pmi0 + pmf 0 ) · u(0, σm ) 4 i i · 2 · u(0, σM ) · − 4 · κγ0 (pM i0 + pM f 0 ) · u(0, σM ) − |~ pmi | i i i 2 2 = − · κ · (2m) · 2 · − 4 · κ · (2M ) 4 − |~ pmi | = i · mM · κ2 2m · 2M · 2 4 |~ pmi | . (4.5.29) KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 168 Damit wird das Newton-Potential zu iMfSP i · e−i~pmi (~x1 −~y1 ) · d3 pmi 2m · 2M Z −i~pmi (~x1 −~y1 ) κ2 1 e · d3 pmi = − · mM · 2 4 (2π)3 |~ pmi | κ2 mM =− · , 16π |~x1 − ~y1 | VN P (x1 , y1 ) = 1 (2π)3 Z (4.5.30) woraus man den Zusammenhang κ2 = 16πG (4.5.31) mit der Newtonschen Gravitationskonstanten ablesen kann. Wegen des negativen Vorzeichens und der Tatsache, dass die Masse eines Teilchens immer positiv ist, ist die Gravitationskraft grundsätzlich anziehend. 4.6 Zusammenfassung Bei einem typischen Streuvorgang liegen zu Beginn und zu Ende des Streuprozesses weit separierte und idealisiert deshalb untereinander nicht mehr wechselwirkende Teilchen vor. Den zugeordneten Streuoperator |η(+∞)i = Ŝ |η(−∞)i kann man in die Störungsreihe Ŝ = 1 + Z Z ∞ h i X (−i)n . . . d4 x1 d4 x2 . . . d4 xn · T Ĥ1 (x1 )Ĥ1 (x2 ) . . . Ĥ1 (xn ) n! n=1 entwickeln. Aus dieser ergibt sich mit den Wick-Theoremen für die Zerfallsrate 1 −→ 2 + 3 + ... + N dΓ = (2π)4 · δ 4 (p1 − p2 − p3 ... − pN ) · N 2 |Mf i | Y d3 pf · 2m1 (2π)3 2Ef f =2 eines ruhenden Teilchens sowie für den Streuquerschnitt zweier Teilchen 1+2 −→ 3 + 4 + ... + N N 2 Y |Mf i | d3 pf dσ = (2π)4 · δ 4 (p1 + p2 − p3 . . . − pN ) · p · 4 (p1 p2 )2 − (m1 m2 )2 f =3 (2π)3 2Ef 4.6. ZUSAMMENFASSUNG 169 in relativistisch invarianter Formulierung. Die in den vorstehenden Beziehungen auftretende Feynman-Amplitude eines Prozesses |ii → |f i in N -ter Mf i störungstheoretischer Ordnung besteht aus der Summe über die Amplituden MfNi = N X f(n) M fi . n=1 Diagrammatisch enthält die renormierte Feynman-Amplitude f(n) M fi alle topo- logisch verschiedenen, zusammenhängenden Feynman-Graphen, die nur skelettierte Photonenlinien ohne geschlossene Fermionenschleifen, n-Vertices und die richtigen externen Linien haben. Die Berechnung der Feynman-Amplitude erfolgt durch Anwendung der Feynman-Regeln: • Jedes einlaufende Fermion liefert einen Faktor u(~ p, σ) • Jedes auslaufende Fermion liefert einen Faktor u(~ p, σ) • Jedes einlaufende Antifermion liefert einen Faktor v(~ p, σ) • Jedes auslaufende Antifermion liefert einen Faktor v(~ p, σ) • Jedes einlaufende Photon liefert einen Faktor eµ (~k, λ) • Jedes auslaufende Photon liefert einen Faktor eµ (~k, λ) • Jede innere Fermionenlinie liefert einen Faktor iSF (p) • Jede innere Photonenlinie liefert einen Faktor iDFµν (k) • Jeder Spinor-Photon-Vertex liefert einen Faktor • An jedem Spinor-Photon-Vertex gilt die Energie- und Impulserhaltung • Für jeden Viererimpuls −ie(k)qγµ p, der nicht durch Energie-Impuls-Erhaltung festR 1/(2π)4 d4 p auszuführen gelegt wird, ist eine Integration über KAPITEL 4. STÖRUNGSTHEORIE 170 Bei der Renormierung werden immer wieder auftretende Teilgraphen vorab berechnet und so die auftretenden physikalischen Parameter renormiert. Auswertung der Vakuum-Polarisation führt zu der gleitenden Kopplungskonstanten e2 (k) = 1+ Daraus wird im Grenzbereich groÿer e2R 2 eR ΠD (k 2 ) . k 2 -Werte 1 1 1 − 2 =− · ln 2 e (k1 ) e (k2 ) 12π 2 k1 k2 2 für k 2 >> m2 , und im nicht-relativistischen Grenzfall e(k) = eR für k 2 << m2 . In der Born-Näherung ergibt sich der Zusammenhang zwischen dem nichtrelativistischen Potential der Quantenmechanik und der Feynman-Amplitude MfSP i = Mf i | p ~mf =0; p ~M f =0; p ~mi +~ pM i =0 im Schwerpunktsystem zu V (x1 , y1 ) = 1 (2π)3 Z iMfSP i · e−i~pmi (~x1 −~y1 ) · d3 pmi 2m · 2M . Für die Potentiale der Kraftwirkungen zwischen zwei Fermionen erhält man durch Anwendung der Feynman-Regeln bei Austausch von Spin-0-Teilchen: Austausch von Spin-1-Teilchen: Austausch von Spin-2-Teilchen: g 2 e−mφ |~x1 −~y1 | · 4π |~x1 − ~y1 | e2 qm qM VCP (x1 , y1 ) = + · 4π |~x1 − ~y1 | κ2 mM VN P (x1 , y1 ) = − · 16π |~x1 − ~y1 | VY P (x1 , y1 ) = − Teil II Die Theorien des Standardmodells 173 Kapitel 5 Quanten-Elektrodynamik Der Aufbau des freien Hamilton-Operators aus den verschiedenen Feldoperatoren wird abgeleitet und die Struktur des Wechselwirkungsteils des HamiltonOperators aus dem Cluster-Dekompositionsprinzip gewonnen. Die Äquivalenz zwischen dem Hamilton-Formalismus und dem Lagrange-Formalismus wird im Heisenberg-Bild gezeigt und danach werden aus den Forderungen der Lorentz-, Skalen- sowie Eichinvarianz die Lagrange-Dichten für die verschiedenen Wechselwirkungen konstruiert. 5.1 Der freie Hamilton-Operator In den vorherigen Kapiteln sind aus den Prinzipien der Quantentheorie und der speziellen Relativitätstheorie bereits viele relevante Ergebnisse abgeleitet worden. Dabei wurde für die Wechselwirkung zwischen einem Spinor- und dem Maxwell-Feld die Hamilton-Dichte ˆ µ Ĥ1ΨA (x) = eq :Ψ(x)γ µ Ψ̂(x): (x) (5.1.1) und für die Wechselwirkung zwischen einem Spinor- und dem neutralen Skalarfeld die Hamilton-Dichte ˆ Ψ̂(x):Φ̂(x) Ĥ1ΨΦ (x) = g :Ψ(x) (5.1.2) verwendet. Bisher wurde aber nicht begründet, warum der Hamilton-Operator durch eine Hamilton-Dichte Z Ĥ1 (t) = Ĥ1 (x)d3 x (5.1.3) KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 174 darstellbar ist und warum die Hamilton-Dichten gerade den oben angegebenen Aufbau besitzen. Beides wird in diesem Kapitel nachgeholt. Während dies für den Wechselwirkungsteil des Hamilton-Operators einigen Aufwand erfordert, ist die Darstellung des freien Hamilton-Operators Ĥ0 durch die Feldoperatoren relativ einfach ableitbar und soll im ersten Schritt für das neutrale Skalarfeld durchgeführt werden. Im zugrunde liegenden Wechselwirkungsbild muss für den freien HamiltonOperator des Skalarfeldes ĤSkalar |η; m, p~i = E(~ p) |η; m, p~i i h dΦ̂(x) = i ĤSkalar , Φ̂(x) dt (5.1.4) (5.1.5) gelten. Jeden Operator -und damit auch den Hamilton-Operator- kann man so darstellen, dass er den Zustand, auf den er wirkt, vernichtet und dann den gewünschten Ausgangszustand erzeugt. Die Erzeugungsoperatoren müssen dabei immer links von den Vernichtungsoperatoren stehen: Ĥ0 = ∞ X ∞ Z X Z ··· hnm (~ p1 , · · · p~n , ~q1 , · · · , ~qm ) n=0 m=0 · ↠(~ p1 ) · · · ↠(~ pn )â(~q1 ) · · · â(~qm ) · d3 p1 · · · d3 pn d3 q1 · · · d3 qm (5.1.6) Da ein Operator vollständig durch die Wirkung auf seine Eigenvektoren charakterisiert ist, kann man für den freien Hamilton-Operator unmittelbar auf die Impulsdarstellung Z Z ĤSkalar = Z = E(~ p1 )δ 3 (~ p1 − ~q1 ) · ↠(~ p1 )â(~q1 ) · d3 p1 d3 q1 E(~q) · ↠(~q)â(~q) · d3 q schlieÿen, da Z E(~q) · ↠(~q)â(~q) |η; m, p~i · d3 q Z E(~q) · ↠(~q)δ 3 (~ p − ~q) |0i · d3 q ĤSkalar |η; m, p~i = = = E(~ p) · ↠(~ p) |0i = E(~ p) |η; m, p~i (5.1.7) (5.1.8) 5.1. DER FREIE HAMILTON-OPERATOR 175 ist. Das Besondere an dem freien Hamilton-Operator ist, dass die von Null verschiedene Koezientenfunktion h11 genau eine impulserhaltende δ -Funktion aufweist. Dies wird sich als allgemeine Eigenschaft auch des vollständigen Hamilton-Operators erweisen. Mit dem so dargestellten Hamilton-Operator kann man die Beziehung h i i ĤSkalar , Φ̂(x) Z h i = i E(~q) · ↠(~q)â(~q), Φ̂(x) · d3 q 3 Z Z (2π)− 2 E(~q) p 2E(~ p) † · â (~q)â(~q), â(~ p) e−ipx + ↠(~q)â(~q), ↠(~ p) eipx d3 qd3 p Z Z (2π)− 2 E(~q) p 2E(~ p) † · â (~q), â(~ p) â(~q)e−ipx + ↠(~q) â(~q), ↠(~ p) eipx d3 qd3 p Z Z (2π)− 2 E(~q) p 2E(~ p) =i =i =i 3 3 · −δ 3 (~q − p~)â(~q)e−ipx + ↠(~q)δ 3 (~q − p~)eipx d3 qd3 p Z =i Z = = 3 (2π)− 2 −â(~ p)e−ipx + ↠(~ p)eipx d3 p E(~ p) p 2E(~ p) 3 (2π)− 2 p â(~ p)(−iE(~ p))e−ipx + ↠(~ p)(iE(~ p))eipx d3 p 2E(~ p) dΦ̂(x) dt verizieren. Der Hamilton-Operator ist nicht nur in der Impulsdarstellung nach Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren entwickelbar, sondern auch in der Ortsdarstellung. Da in der Ortsdarstellung die Feldzustände der Elementarteilchen keine Eigenvektoren des freien Hamilton-Operators sind, ist diese Entwicklung aber nicht so unmittelbar einsichtig wie in der Impulsdarstellung. Mit dem Feldoperator Z Φ̂(x) = 3 (2π)− 2 −ipx p e â(~ p) + eipx ↠(~ p) d3 p 2E(~ p) (5.1.9) KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 176 des neutralen Skalarfeldes gilt Z E(~q) · ↠(~q)â(~q) · d3 q Z X 1 = : (∂ µ Φ̂(x))2 + m2 Φ̂2 (x): d3 x 2 µ ĤSkalar = , (5.1.10) wobei die Normalordnung anzuwenden ist, da die Erzeugungsoperatoren immer links von den Vernichtungsoperatoren stehen müssen. Die Richtigkeit dieser Darstellung ist leicht einzusehen. Mit Z :(∂ µ Φ̂(x))2 : Z : = " ∂ "Z µ Z d3 x # 3 3 (2π)− 2 −ipx ipx † p e â(~ p) + e â (~ p) d p 2E(~ p) " Z # 3 3 (2π)− 2 −iqx µ iqx † p · ∂ e â(~q) + e â (~q) d q : d3 x 2E(~q) # 3 −ipx 3 (2π)− 2 µ ipx † p · ip · −e â(~ p) + e â (~ p) d p 2E(~ p) "Z # 3 −iqx 3 (2π)− 2 µ iqx † p · · iq · −e â(~q) + e â (~q) d q : d3 x 2E(~q) Z : Z Z d3 p d3 q 1 p p · ipµ iq µ · (2π)3 2E(~ p) 2E(~q) = = Z h d3 x · e−i(p+q)x â(~ p)â(~q) i −e−i(p−q)x ↠(~q)â(~ p) − e+i(p−q)x ↠(~ p)â(~q) + e+i(p+q)x ↠(~ p)↠(~q) Z Z = d3 p d3 q p p · ipµ iq µ 2E(~ p) 2E(~q) h · δ 3 (~ p + ~q)e−i(E(~p)+E(~q))t â(~ p)â(~q) − δ 3 (~ p − ~q)e−i(E(~p)−E(~q))t ↠(~q)â(~ p) −δ 3 (~ p − ~q)e+i(E(~p)−E(~q))t ↠(~ p)â(~q) + δ 3 (~ p + ~q)e+i(E(~p)+E(~q))t ↠(~ p)↠(~q) i 5.1. DER FREIE HAMILTON-OPERATOR wird wegen Z E(~ p) = E(−~ p) :(∂ 0 Φ̂(x))2 : Z = 177 d3 x d3 p · (ip0 )2 2E(~ p) h i · e−i2E(~p)t â(~ p)â(−~ p) − ↠(~ p)â(~ p) − ↠(~ p)â(~ p) + e+i2E(~p)t ↠(~ p)↠(−~ p) E 2 (~ p) † · â (~ p)â(~ p) · d3 p E(~ p) Z i E 2 (~ p) h −i2E(~p)t − · e · â(~ p)â(−~ p) + e+i2E(~p)t · ↠(~ p)↠(−~ p) · d3 p 2E(~ p) Z = Z = E 2 (~ p) † · â (~ p)â(~ p) · d3 p E(~ p) Z − E 2 (~ p) · Term(~ p) · d3 p 2E(~ p) sowie Z :(∂ k Φ̂(x))2 : Z = d3 x d3 p · (ipk )2 2E(~ p) h i · −e−i2E(~p)t â(~ p)â(−~ p) − ↠(~ p)â(~ p) − ↠(~ p)â(~ p) − e+i2E(~p)t ↠(~ p)↠(−~ p) (pk )2 † · â (~ p)â(~ p) · d3 p E(~ p) Z i (pk )2 h −i2E(~p)t + · e · â(~ p)â(−~ p) + e+i2E(~p)t · ↠(~ p)↠(−~ p) · d3 p 2E(~ p) Z = Z = (pk )2 † · â (~ p)â(~ p) · d3 p E(~ p) Z + (pk )2 · Term(~ p) · d3 p 2E(~ p) . KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 178 Ganz analog ergibt sich Z m2 :Φ̂2 (x): d3 x Z m2 = · ↠(~ p)â(~ p) · d3 p E(~ p) Z h i m2 + · e−i2E(~p)t · â(~ p)â(−~ p) + e+i2E(~p)t · ↠(~ p)↠(−~ p) · d3 p 2E(~ p) Z = m2 · ↠(~ p)â(~ p) · d3 p E(~ p) Z + m2 · Term(~ p) · d3 p 2E(~ p) . Sammelt man alle Terme zusammen, so ergibt sich ĤSkalar = = 1 2 Z 1 2 Z E 2 (~ p) † · â (~ p)â(~ p) · d3 p E(~ p) Z P k 2 (p ) · ↠(~ p)â(~ p) · d3 p E(~ p) Z m2 · ↠(~ p)â(~ p) · d3 p E(~ p) + 1 2 X (∂ µ Φ̂(x))2 + m2 Φ̂2 (x): d3 x µ + = : + P k 2 (p ) + m2 † · â (~ p)â(~ p) · d3 p E(~ p) P Z E 2 (~ p) − (pk )2 − m2 3 · Term(~ p) · d p 2E(~ p) 2E 2 (~ p) † · â (~ p)â(~ p) · d3 p E(~ p) Z Z = + E 2 (~ p) + Z − 1 = 2 E 2 (~ p) · Term(~ p) · d3 p 2E(~ p) Z P k 2 (p ) · Term(~ p) · d3 p 2E(~ p) Z m2 · Term(~ p) · d3 p 2E(~ p) Z − E(~ p) · ↠(~ p)â(~ p) · d3 p als das erwartete Ergebnis. 5.1. DER FREIE HAMILTON-OPERATOR 179 Die Überlegungen für das Skalarfeld lassen sich direkt auf das Maxwell-Feld übertragen. Dabei ist zu beachten, dass bei einem physikalischen Zustand immer die gleiche Anzahl von skalaren und longitudinalen Photonen vorliegt und sich deren Beiträge zur Energie gegenseitig aufheben müssen. Dies führt zu Z h i ω · ↠(~k, 1)â(~k, 1) + ↠(~k, 2)â(~k, 2) · d3 k Z h i + ω · ↠(~k, 3)â(~k, 3) − ↠(~k, 0)â(~k, 0) · d3 k ĤMaxwell = 1 = 2 Z : (5.1.11) i Xh (∂ µ Â1 (x))2 + (∂ µ Â2 (x))2 : d3 x µ 1 + 2 Z : i Xh (∂ µ Â3 (x))2 − (∂ µ Â0 (x))2 : d3 x . (5.1.12) µ Eine analoge Rechnung liefert für den freien Hamilton-Operator des DiracFeldes ĤDirac = XZ E(~q) · ↠(~q, σ)â(~q, σ) + â†c (~q, σ)âc (~q, σ) · d3 q (5.1.13) σ Z = : i 1 Xh ˆ ˆ −iΨ(x)γk ∂ k Ψ̂(x) + i∂ k Ψ(x)γ k Ψ̂(x) 2 k ˆ Ψ̂(x): d3 x + mΨ(x) (5.1.14) und für das geladene Skalarfeld Z Ĥg-Skalar = Z = E(~q) · ↠(~q)â(~q) + â†c (~q)âc (~q) · d3 q : " (5.1.15) # X ∂ Φ̂ (x)∂ Φ̂(x) + m2 Φ̂† (x)Φ̂(x): d3 x µ † µ . (5.1.16) µ Damit sind die Darstellungen der freien Hamilton-Operatoren nach den verschiedenen Feldoperatoren in der Ortsdarstellung gewonnen. Insgesamt hat KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 180 man die freien Hamilton-Dichten: ĤSkalar = ĤMaxwell = 1 2 : 1 2 : X (∂ µ Φ̂(x))2 + m2 Φ̂2 (x): i Xh (∂ µ Â1 (x))2 + (∂ µ Â2 (x))2 : µ 1 2 + ĤDirac = (5.1.17) µ : : i Xh (∂ µ Â3 (x))2 − (∂ µ Â0 (x))2 : (5.1.18) µ i 1 Xh ˆ ˆ −iΨ(x)γk ∂ k Ψ̂(x) + i∂ k Ψ(x)γ k Ψ̂(x) 2 k ˆ Ψ̂(x): + mΨ(x) Ĥg-Skalar = : " X (5.1.19) # ∂ Φ̂ (x)∂ Φ̂(x) + m2 Φ̂† (x)Φ̂(x): µ † µ (5.1.20) µ Während die Impulsdarstellung des freien Hamilton-Operators jeweils einfach und einsichtig ist, ist dies in der Ortsdarstellung nicht der Fall. Insbesondere ist dem Hamilton-Formalismus nicht zu entnehmen, dass die Theorie Lorentz-invariant ist. Deshalb wird später in diesem Kapitel zum LagrangeFormalismus, der eine explizit Lorentz-invariante Darstellung erlaubt, übergegangen. Für die Störungsrechnung ist der Hamilton-Formalismus jedoch unverzichtbar. 5.2 Das Cluster-Dekompositionsprinzip Es ist ein fundamentales Prinzip der Physik, das Experimente, die weit genug voneinander stattnden, nicht korreliert sind. Die Übergangswahrscheinlichkeiten, die bei Streuversuchen am CERN in Genf beobachtet werden, sind unabhängig von entsprechenden Experimenten am DESY in Hamburg. Wenn dieses Cluster-Dekompositionsprinzip nicht gültig wäre, könnten überhaupt keine Experimente sinnvoll ausgewertet werden. Um zu sehen, wie sich dieses Prinzip auf die Struktur der Wahrscheinlichkeitsamplituden auswirkt, sei ein zusammenhängender Feynman-Graph betrachtet. 5.2. DAS CLUSTER-DEKOMPOSITIONSPRINZIP 181 Sein Beitrag zur gesamten Wahrscheinlichkeitsamplitude ist nach dem vorherigen Kapitel hf |Ŝ|ii = (2π)4 δ 4 X i pi − X p f · Mf i · f Y (2π)− 32 p 2Ei,f i,f . (5.2.1) Die einlaufenden und auslaufenden Teilchen sollen jetzt in zwei beliebige Cluster i = i1 ∪i2 und f = f1 ∪f2 aufgeteilt werden. Bezeichnen ~x1 und ~x2 die Orte der einlaufenden bzw. auslaufenden Teilchen des ersten Clusters und ~y2 ~y1 und die Orte der einlaufenden bzw. auslaufenden Teilchen des zweiten Clusters, so muss nach dem Cluster-Dekompositionsprinzip in der Ortsdarstellung die Wahrscheinlichkeitsamplitude verschwinden, wenn man die Cluster sehr weit voneinander entfernt; d.h. die Wahrscheinlichkeitsamplitude muss die Bedingung h ~y2 + ~a, ~x2 | Ŝ |~x1 , ~y1 + ~a i −→ 0 für |~a| −→ ∞ erfüllen. Dies bedeutet, dass die Feynman-Amplitude Mf i (5.2.2) δδ 3 (~q2 − ~q1 ) keine weiteren Funktionen aufweisen darf. Würde sie z.B. zusätzlich den Faktor enthalten, so wäre h ~y2 + ~a, ~x2 | Ŝ |~x1 , ~y1 + ~a i Z ei~q2 (~y2 +~a) ei~p2 ~x2 e−i~q1 (~y1 +~a) e−i~p1 ~x1 p p p p · hf |Ŝ|ii · d3 q2 d3 p2 d3 q1 d3 p1 (2π)3 (2π)3 (2π)3 (2π)3 Z ei~q2 (~y2 +~a) ei~p2 ~x2 e−i~q1 (~y1 +~a) e−i~p1 ~x1 p p p p · Mf i (2π)3 (2π)3 (2π)3 (2π)3 Y (2π)− 32 X X · d3 q2 d3 p2 d3 q1 d3 p1 p · (2π)4 δ 4 pi − pf · 2E i,f i i,f f Z ei~q2 ~y2 ei~p2 ~x2 e−i~q1 ~y1 e−i~p1 ~x1 p p p p · ei~a(~q2 −~q1 ) Mf i (2π)3 (2π)3 (2π)3 (2π)3 X X Y (2π)− 23 · d3 q2 d3 p2 d3 q1 d3 p1 p · (2π)4 δ 4 pi − pf · 2E i,f i f i,f = = = KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 182 Z = ei~q2 ~y2 ei~p2 ~x2 e−i~q1 ~y1 e−i~p1 ~x1 p p p p · Mf i (2π)3 (2π)3 (2π)3 (2π)3 X X Y (2π)− 32 · d3 q2 d3 p2 d3 q1 d3 p1 p · (2π)4 δ 4 pi − pf · 2E i,f i f i,f = h ~y2 , ~x2 | Ŝ |~x1 , ~y1 i , was jedoch dem Cluster-Dekompositionsprinzip widerspricht. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude kann deshalb nur genau eine impulserhaltende δ -Funktion besitzen und die Feynman-Amplitude muss eine ausreichend glatte Funktion sein und darf selbst keine weitere δ -Funktion enthalten. Es stellt sich die Frage, welcher Hamilton-Operator zu einer Wahrscheinlichkeitsamplitude führt, die das Cluster-Dekompositionsprinzip erfüllt. Dies ist nun dann und nur dann der Fall, wenn der Hamilton-Operator in der Impulsdarstellung Ĥ1 = ∞ XZ ∞ X X X n=0 s Z ··· d3 p1 · · · d3 pn d3 q1 · · · d3 qm m=0 s0 · hnm (~ p1 , s1 ; · · · p~n , sn ; ~q1 , s01 ; · · · ; ~qm , s0m ) · ↠(~ p1 , s1 ) · · · ↠(~ pn , sn )â(~q1 , s01 ) · · · â(~qm , s0m ) (5.2.3) Koezientenfunktionen hnm (~ p1 , s1 ; · · · p~n , sn ; ~q1 , s01 ; · · · ; ~qm , s0m ) = δ 3 (~ p1 + · · · + p~n − ~q1 − · · · − ~qm ) · e hnm (~ p1 , s1 ; · · · p~n , sn ; ~q1 , s01 ; · · · ; ~qm , s0m ) besitzt, die genau eine impulserhaltende δ -Funktion enthalten und genügend glatte Funktionen sind. Ein solcher Hamilton-Operator ergibt sich, wenn man ihn aus einer Hamilton-Dichte mit normalgeordneten Produkten von Feldoperatoren und deren Ableitungen aufbaut. Wie leicht einzusehen ist, führt die Integration über die drei räumlichen Koordinaten zu genau einer impulserhaltenden δ -Funktion, was im vorherigen Kapitel an einigen Beispielen explizit gezeigt worden ist. Dies ist jedoch nicht die einzige wesentliche Bedingung, die eine HamiltonDichte erfüllen muss. Im Kapitel Störungstheorie ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude nach zeitgeordneten Produkten der Hamilton-Dichte entwickelt worden. Die Zeitordnung und damit die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist aber 5.2. DAS CLUSTER-DEKOMPOSITIONSPRINZIP 183 nur dann Lorentz-invariant, wenn die Hamilton-Dichte auch selbst die Mikrokausalitätsbedingung h i Ĥ1 (x), Ĥ1 (y) = 0 (x − y)2 ≤ 0. für (5.2.4) erfüllt. Dass dies der Fall ist, wenn man die Hamilton-Dichte aus Produkten der Feldoperatoren und deren Ableitungen aufbaut, kann man an einem einfachen Beispiel sehen. Da der Hamilton-Operator ein hermitescher Lorentz-Skalar ist, müssen die Feldoperatoren immer paarweise auftreten. Das führt zum Beispiel für ein Dirac-Teilchen zu der Struktur ˆ Ĥ1 (x) = : · · · Ψ(x) · · · · · · Ψ̂(x) · · · : , (5.2.5) in der auÿer den Dirac-Feldoperatoren keine anderen Feldoperatoren explizit dargestellt sind. Mit den Identitäten i h i i h Â, B̂ Ĉ = Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Ĉ i h i i h h Â, B̂ Ĉ = Â, B̂ Ĉ − B̂ Â, Ĉ h (5.2.6) (5.2.7) + + kann man die Mikrokausalitätsbedingung (5.2.4) nun immer so umformen, dass die Dirac-Feldoperatoren nur in Vertauschungsrelationen der Form ˆ (x)h Ψ̂ (x): ĤΨ (x) = :Ψ α αβ β ˆ = Ψ (x)h Ψ̂ (x) + c α auftreten, wobei hαβ und cαβ αβ β (5.2.8) αβ reine c-Zahl Terme sind, die keine Operatoren enthalten. Für diese Vertauschungsrelationen ergibt sich dann: h i i h ˆ (x)h Ψ̂ (x), Ψ ˆ (y)h Ψ̂ (y) ĤΨ (x), ĤΨ (y) = Ψ α αβ β ρ ρσ σ ˆ (x)h =Ψ α αβ h i ˆ (y) h Ψ̂ (y) Ψ̂β (x), Ψ ρ ρσ σ + h i ˆ − Ψρ (y)hρσ Ψ̂β (x), Ψ̂σ (y) + h i ˆ (x), Ψ ˆ (y) h Ψ̂ (y) + Ψ α ρ ρσ σ + h i ˆ ˆ − Ψρ (y)hρσ Ψα (x), Ψ̂σ (y) hαβ Ψ̂β (x) + KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 184 h i ˆ (x)h ˆ =Ψ hρσ Ψ̂σ (y) α αβ Ψ̂β (x), Ψρ (y) + h i ˆ (x) h Ψ̂ (x) ˆ (y)h Ψ̂ (y), Ψ −Ψ ρ ρσ σ α αβ β + ˆ (x)h · (i∂ γ µ + m) i∆(m; x − y) · h Ψ̂ (y) =Ψ α αβ µ ρσ σ βρ ˆ (y)h · (i∂ γ µ + m) i∆(m; y − x) · h Ψ̂ (x) −Ψ ρ ρσ µ αβ β σα Da bei raumartigen Abständen ∆ m; ±(x − y) = 0 für (x − y)2 < 0 gilt, erhält man schlieÿlich h i ĤΨ (x), ĤΨ (y) = 0 für (x − y)2 < 0 . (5.2.9) Daraus folgt, dass auch die Hamilton-Dichte die Mikrokausalitätsbedingung erfüllt. Das Cluster-Dekompositionsprinzip und die Lorentz-Invarianz führen also dazu, dass der Hamilton-Operator aus einer Hamilton-Dichte, bestehend aus Produkten der Feldoperatoren und deren Ableitungen aufgebaut werden kann. Durch diese Struktur ergibt sich automatisch eine Wahrscheinlichkeitsamplitude, die genau eine impulserhaltende δ -Funktion besitzt, und eine her- mitesche Hamilton-Dichte, die die Mikrokausalitätsbedingung erfüllt. Oen bleibt, wie die Hamilton-Dichte konkret aufgebaut ist. Die Struktur der Hamilton-Dichte muss in jedem Fall aber so sein, dass die Theorie Lorentzinvariant, eichinvariant und skaleninvariant ist. Es wird sich zeigen, dass durch diese Bedingungen die Hamilton-Dichten für die verschiedenen Wechselwirkungen vollständig festgelegt werden. Dies kann relativ einfach im LagrangeFormalismus gezeigt werden, während der bisher verwendete Hamilton-Formalismus dafür vollkommen ungeeignet ist. Dies mindert jedoch nicht die Bedeutung des Hamilton-Formalismus, da dieser für Störungsrechnungen unverzichtbar ist. Der Lagrange-Formalismus basiert auf dem Heisenberg-Bild und nicht auf dem bisher verwendeten Wechselwirkungsbild. Deshalb erfolgt im nächsten Abschnitt der Übergang zum Heisenberg-Bild. Im Heisenberg-Bild werden dann die verschiedenen Hamilton-Dichten gewonnen. Für die Durchführung von Störungsrechnungen muss aber jeweils wieder in das Wechselwirkungsbild übergegangen werden. In diesem Sinne ergänzen sich die beiden Bilder. 5.3. DAS HEISENBERG-BILD 185 5.3 Das Heisenberg-Bild Die Dynamik im Schrödinger-Bild (nun wieder durch den Index S gekennzeichnet) war durch die beiden Beziehungen d |η(t)iS = −iĤ S |η(t)iS dt d S ∂ Ô = ÔS dt ∂t (5.3.1) (5.3.2) gegeben. Das Heisenberg-Bild ergibt sich aus dem Schrödinger-Bild durch gleichzeitige Transformation der Zustandsvektoren und Operatoren |η(t)iH = Â(t) |η(t)iS ÔH (t) = Â(t)ÔS † (t) mit dem unitären Operator ÂH (t) = eitĤ S . (5.3.3) Der Hamilton-Operator im Heisenberg-Bild S S Ĥ H = eitĤ Ĥ S e−itĤ = Ĥ S (5.3.4) ist identisch mit dem Hamilton-Operator im Schrödinger-Bild und damit wie dieser zeitunabhängig. Weiter wird d d itĤ S d H S itĤ S S |η(t)i = e |η(t)i + e |η(t)i dt dt dt S S = iĤ S eitĤ |η(t)iS + eitĤ (−iĤ S ) |η(t)iS =0 sowie d H d h itĤ S S −itĤ S i Ô (t) = e Ô e dt dt S S = iĤ S eitĤ ÔS e−itĤ + eitĤ S S S ∂ ÔS −itĤ S e + eitĤ ÔS (−iĤ S )e−itĤ ∂t ∂ ÔS −itĤ S e + iĤ S ÔH (t) − iÔH (t)Ĥ S ∂t i h ∂ H = Ô (t) + i Ĥ H , ÔH (t) , ∂t ex = eitĤ S KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 186 wobei wie im Wechselwirkungsbild S S ∂ Ô S ∂ H Ô (t) = eitĤ e−itĤ ∂t ∂t ex keine direkte Ableitung ist, sondern eine transformierte Ableitung aus dem Schrödinger-Bild darstellt. Für Operatoren, die im Schrödinger-Bild zeitunabhängig sind, wird die Dynamik im Heisenberg-Bild durch |η(t)iH = const. h i d H Ô (t) = i Ĥ H , ÔH (t) dt (5.3.5) (5.3.6) gegeben. Im Heisenberg-Bild wird die Dynamik ausschlieÿlich von den Operatoren getragen, während der Zustandsvektor ruht. Da die Dynamik der Feldoperatoren im Heisenberg-Bild von der Wechselwirkung abhängt, ist es im Heisenberg-Bild nur sinnvoll Vertauschungsrelationen zu gleichen Zeiten für die Feldoperatoren zu betrachten. Feldoperatoren von Teilchen verschiedener Sorten vertauschen natürlich auch im Heisenberg-Bild für alle Zeiten, da die Hilbert-Räume verschiedener Teilchensorten orthogonal zueinander sind. Eine weitere Konsequenz beim Vorliegen von Wechselwirkungen ist, dass im Heisenberg-Bild keine einfache Entwicklung der Feldoperatoren nach Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren angegeben werden kann. Dies bedeutet, dass im Heisenberg-Bild die Normalordnung :...: ohne praktische Bedeutung ist und deshalb im weiteren Text nicht mehr mitgeschrieben wird. Beim Übergang in das Wechselwirkungsbild ist die Normalordnung aber immer wieder von Hand einzufügen! Der Zusammenhang zwischen dem Wechselwirkungs- und dem Heisenberg-Bild ÔH (t) = Û −1 (t) ÔW (t) Û (t) W Ô (t) = Û (t) H Ô (t) Û −1 (t) (5.3.7) (5.3.8) wird durch den Transformationsoperator S Û (t) = eitĤ0 e−itĤ S vermittelt. Für ein einfaches Produkt von Operatoren ÔW = X̂ W Ŷ W Ẑ W (5.3.9) 5.3. DAS HEISENBERG-BILD 187 folgt ÔH = Û −1 ÔW Û = Û −1 X̂ W Ŷ W Ẑ W Û = Û −1 X̂ W Û Û −1 Ŷ W Û Û −1 Ẑ W Û = X̂ H Ŷ H Ẑ H , d.h. ein Produkt von Operatoren hat im Wechselwirkungsbild und im Heisenberg-Bild die gleiche Struktur. Dies führt für die Vertauschungsrelationen für gleiche Zeiten zu h i Φ̂W (~x, t), Φ̂W (~y , t) = 0 i Φ̂H (~x, t), Φ̂H (~y , t) = 0 (5.3.10) h i µW (~x, t), ÂνW (~y , t) = 0 h i ⇐⇒ µH (~x, t), ÂνH (~y , t) = 0 (5.3.11) i h Ψ̂W x, t), Ψ̂W y , t) = 0 l (~ l0 (~ + h i ⇐⇒ Ψ̂H x, t), Ψ̂H y , t) = l (~ l0 (~ 0 ⇐⇒ h (5.3.12) + h i Ψ̂W x, t), Ψ̂†W y , t) = δll0 δ 3 (~x − ~y ) l (~ l0 (~ + h i †H ⇐⇒ Ψ̂H (~ x , t), Ψ̂ (~ y , t) = δll0 δ 3 (~x − ~y ) . 0 l l + (5.3.13) Treten zeitliche Ableitungen auf, sind die Darstellungen S ∂ 0 Û (t) = eitĤ0 (iĤ0S − iĤ S )e−itĤ S = −eitĤ0 iĤ1S e−itĤ S S S S S = −eitĤ0 e−itĤ eitĤ iĤ1S e−itĤ = −iÛ (t)Ĥ1H = −iĤ1W (t)Û (t) S (5.3.14) (5.3.15) KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 188 und ∂ 0 Û −1 (t) = iĤ1H Û −1 (t) = iÛ −1 (5.3.16) (t)Ĥ1W (t) (5.3.17) für die Ableitung des Transformationsoperators sowie die Darstellungen h i ∂ 0 ÔW (t) = ∂ 0 Û (t)ÔH (t)Û −1 (t) h i h i = ∂ 0 Û (t) ÔH (t)Û −1 (t) + Û (t) ∂ 0 ÔH (t) Û −1 (t) h i + Û (t)ÔH (t) ∂ 0 Û −1 (t) h i = −iÛ (t)Ĥ1H ÔH (t)Û −1 (t) + Û (t) ∂ 0 ÔH (t) Û −1 (t) Û (t) + Û (t)ÔH (t)iĤ1H Û −1 (t) i Û −1 (t) (5.3.18) ∂ 0 ÔH (t) − iĤ1H , ÔH (t) ∂ 0 ÔH (t) = Û −1 (t) h i ∂ 0 ÔW (t) + iĤ1W (t), ÔW (t) = h Û (t) (5.3.19) für die Ableitung von Operatoren nützlich. Wegen h i W Ĥ1ΨΦ (t), Φ̂W (~y , t) = 0 h i W Ĥ1ΨA (t), µW (~y , t) = 0 (5.3.20) (5.3.21) ergeben sich für gleiche Zeiten die weiteren wichtigen Vertauschungsrelationen h i Φ̂W (~x, t), ∂ 0 Φ̂W (~y , t) = iδ 3 (~x − ~y ) h i ⇐⇒ Φ̂H (~x, t), ∂ 0 Φ̂H (~y , t) = iδ 3 (~x − ~y ) h i µW (~x, t), ∂ 0 ÂνW (~y , t) = −ig µν δ 3 (~x − ~y ) h i ⇐⇒ µH (~x, t), ∂ 0 ÂνH (~y , t) = −ig µν δ 3 (~x − ~y ) (5.3.22) (5.3.23) Bei den betrachteten Wechselwirkungen stimmen damit alle Vertauschungsrelationen im Wechselwirkungsbild und im Heisenberg-Bild überein. 5.3. DAS HEISENBERG-BILD 189 Bei der Darstellung der Hamilton-Dichte ist zu beachten, dass im Wechselwirkungsbild immer die Normalordnung anzuwenden ist; d.h. es gilt Ĥ1W (x) = :Û (t)Ĥ1H (x)Û −1 (t): (5.3.24) Dies bedeutet für die Wechselwirkung zwischen dem Spinor- und dem MaxwellFeld ˆ W γ Ψ̂W (x)µW (x): W Ĥ1ΨA (x) = eq :Ψ(x) µ ˆ H γ Ψ̂H (x)µH (x) H ⇐⇒ Ĥ1ΨA (x) = eq Ψ(x) µ (5.3.25) sowie für die Wechselwirkung zwischen dem Spinor- und dem ungeladenen Skalarfeld ˆ W Ψ̂W (x)Φ̂W (x): W Ĥ1ΨΦ (x) = g :Ψ(x) ˆ H Ψ̂H (x)Φ̂H (x) , H ⇐⇒ Ĥ1ΨΦ (x) = g Ψ(x) (5.3.26) da diese einfach ein Produkt aus Feldoperatoren sind. Die Hamilton-Dichte im Wechselwirkungsbild ist damit einfach aus der Hamilton-Dichte im HeisenbergBild ableitbar. Der Aufbau der verschiedenen freien Hamilton-Dichten im Heisenberg-Bild kann wegen Ĥ0H = Ĥ0S = Ĥ0W (5.3.27) direkt aus dem Wechselwirkungsbild übernommen werden: H ĤSkalar = H ĤMaxwell = X 1 2 X µ = (5.3.28) 2 2 ∂ µ Â1H (x) + ∂ µ Â2H (x) µ + H ĤDirac 2 1 2 ∂ µ Φ̂H (x) + m2 Φ̂H (x) 2 1 2 1 2 X 2 2 ∂ µ Â3H (x) − ∂ µ Â0H (x) (5.3.29) µ i 1 Xh ˆ H ˆ H γ Ψ̂H (x) −iΨ(x) γk ∂ k Ψ̂H (x) + i∂ k Ψ(x) k 2 k ˆ H Ψ̂H (x) + mΨ(x) (5.3.30) KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 190 Anmerkung: Bei der Entwicklung der Feldoperatoren nach Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ist zu beachten, dass im Heisenberg-Bild deren Zeitabhängigkeit aufgrund der Wechselwirkungen nicht mehr explizit angegeben werden kann. Deshalb wird dann zum Beispiel für das Skalarfeld Φ̂H (x) = Z 3 (2π)− 2 +i~p~x p e âH (t, p~) + e−i~p~x â†H (t, p~) d3 p 2E(~ p) . (5.3.31) Im Folgenden wird im Heisenberg-Bild gearbeitet und deshalb der Index H bei den Zuständen und Operatoren im Heisenberg-Bild nicht mehr mitgeschrieben. 5.4 Der Lagrange-Formalismus Im Lagrange-Formalismus wird eine physikalische Theorie mittels der so genannten Lagrange-Dichte L(x) deniert. Aus dem Wirkungsintegral Z W = L(x)d4 x (5.4.1) wird dabei durch das Variationsprinzip δW = 0 (5.4.2) F̂n (x) die verschiedenen mit n durchnummerierten Feldoperatoren, so ergibt sich durch die Variation dieses die Dynamik des Systems abgeleitet. Bezeichnet Wirkungsintegrals Z L F̂n (x), ∂ µ F̂n (x) · d4 x " # XZ ∂L ∂L µ δ F̂n (x) + δ(∂ F̂n (x)) d4 x = µ F̂ (x)) ∂ F̂ (x) ∂(∂ n n n " # XZ ∂L ∂L µ = δ F̂n (x) + ∂ (δ F̂n (x)) d4 x µ ∂ F̂n (x) ∂(∂ F̂n (x)) n " ! Z X ∂L ∂L µ = δ F̂n (x) + ∂ δ F̂n (x) ∂ F̂n (x) ∂(∂ µ F̂n (x)) n ! # ∂L µ δ F̂n (x) d4 x −∂ ∂(∂ µ F̂n (x)) " !# XZ ∂L ∂L µ = −∂ · δ F̂n (x) · d4 x . µ F̂ (x)) ∂ F̂ (x) ∂(∂ n n n δW = δ 5.4. DER LAGRANGE-FORMALISMUS 191 Hierbei wurde ausgenutzt, dass die Variation der Feldoperatoren an den Integrationsgrenzen verschwindet und deshalb die entsprechenden Terme keinen Beitrag zum Integral liefern. Da die Variation ansonsten beliebig gewählt werden kann, müssen für jeden Feldoperator die Dynamikgleichungen ∂L ∂ F̂n (x) −∂ ∂L µ ! ∂(∂ µ F̂n (x)) =0 (5.4.3) gelten. Diese Beziehungen werden als Euler-Lagrange-Gleichungen bezeichnet. Nun ist das Wirkungsintegral invariant bei Poincare-Translationen Z Z µ 4 L F̂n (x + a), ∂ F̂n (x + a) d x = L F̂n (x), ∂ µ F̂n (x) d4 x . (5.4.4) Zudem sind, wie man sich leicht verdeutlicht, die Operatoren für PoincareTransformationen im Schrödinger-Bild sowie im Heisenberg-Bild identisch. Da das Volumenelement d4 x Lorentz-invariant ist, folgt, dass das Wirkungsinte- gral und damit auch die Dynamikgleichungen genau dann ebenfalls Poincareinvariant sind, wenn die Lagrange-Dichte ein hermitescher Lorentz-Skalar ist . L F̂n (x), ∂ µ F̂n (x) = L† F̂n (x), ∂ µ F̂n (x) (5.4.5) Durch geeignete Wahl der Lagrange-Dichte kann man also sehr einfach eine Poincare-invariante Theorie formulieren. Der Lagrange-Formalismus ist nun natürlich nur dann nützlich, wenn eine Beziehung zwischen der Lagrange-Dichte und der Hamilton-Dichte hergestellt werden kann. Der Hamilton-Operator ist eine Erhaltungsgröÿe bei zeitlichen Translationen eines physikalischen Systems und ändert sich deshalb nicht unter der Dynamik des Systems. Der Zusammenhang zwischen solchen SymmetrieTransformationen und Erhaltungsgröÿen eines Systems wird im LagrangeFormalismus durch das Noether-Theorem hergestellt. Noether-Theorem: Ist das Wirkungsintegral bei der innitesimalen Sym- metrietransformation xµ −→ xµ + X µν · δν F̂n −→ F̂n + fnν · δν invariant, dann ist der Stromoperator Jˆµν (x) = X ∂L n ∂(∂µ F̂n (x)) h i fnν − X νρ ∂ρ F̂n (x) + X µν L KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 192 divergenzfrei ∂µ Jˆµν (x) = 0 und der Operator ν Z Q̂ = Jˆ0ν (x)d3 x eine Erhaltungsgröÿe des Systems bei der Symmetrietransformation. Das Wirkungsintegral ist nun natürlich unter reinen raumzeitlichen Translationen invariant. Mit T̂ µν (x) X µν = −g µν xµ −→ und fnν = 0 xµ − µ ergibt sich für den in diesem Fall mit bezeichneten Stromoperator, den so genannten Energie-Impulsdichte- Tensor des Systems, T̂ µν (x) = X ∂L n ∂(∂µ F̂n (x)) ∂ ν F̂n (x) − g µν L Für zeitliche Translationen ist die Komponente . µ=ν =0 (5.4.6) auszuwerten und führt zu dem Hamilton-Operator als Erhaltungsgröÿe bei zeitlichen Translationen Z Ĥ(t) = T̂ 00 (x)d3 x . (5.4.7) Dies liefert die Hamilton-Dichte Ĥ(x) = X ∂L n ∂(∂0 F̂n (x)) ∂ 0 F̂n (x) − L . (5.4.8) Die Hamilton-Dichte ist also direkt aus der Lagrange-Dichte bestimmbar. Ein wesentlicher Vorteil des Lagrange-Formalismus ist, dass Lorentz-invariante Lagrange-Dichten sehr leicht angegeben werden können, während dies für physikalisch korrekte Hamilton-Dichten sehr schwierig ist. Es verbleibt zu zeigen, dass die Euler-Lagrange-Gleichung mit der quantenmechanischen Bewegungsgleichung übereinstimmt. Hierzu deniert man zu jedem Feldoperator einen kanonisch konjugierten Operator, der für die einfachen hier betrachteten Theorien π̂n (x) := ∂L ∂(∂0 F̂n (x)) (5.4.9) 5.4. DER LAGRANGE-FORMALISMUS 193 wird, und kann mit diesem Operator die Hamilton-Dichte entsprechend Ĥ(x) = X π̂n (x)∂0 F̂n (x) − L (5.4.10) n umschreiben. Wegen ∂ Ĥ(x) ∂(∂0 F̂n (x)) = π̂n (x) − ∂L ∂(∂0 F̂n (x)) =0 (5.4.11) ist die Hamilton-Dichte in der so genannten kanonischen Form Ĥ(x) = Hπ F̂n (x), ∂ j F̂n (x), π̂n (x), ∂ j π̂n (x) (5.4.12) ohne zeitliche Ableitungen darstellbar. Die Euler-Lagrange-Gleichung und die Heisenberg-Bewegungsgleichung sind nun genau dann identisch, wenn für gleiche Zeiten die Vertauschungsrelationen h i F̂n (~x, t), π̂n (~y , t) ∓ i h F̂n (~x, t), F̂n (~y , t) ∓ h i π̂n (~x, t), π̂n (~y , t) ∓ = iδ 3 (~x − ~y ) (5.4.13) = 0 (5.4.14) = 0 (5.4.15) gelten. Dies ist wie folgt einzusehen. Sind F̂B (~x, t) und π̂B (~y , t) zwei boso- nische Feldoperatoren, so ergibt sich aus den Vertauschungsrelationen durch vollständige Induktion F̂B (~x, t) N , π̂B (~y , t) N −1 = N F̂B (~x, t) · iδ 3 (~x − ~y ) − N ∂ F̂B (~x, t) = ∂ F̂B (~x, t) · iδ 3 (~x − ~y ) . (5.4.16) Entsprechend ergibt sich für zwei fermionische Feldoperatoren F̂F (~ x, t) π̂F (~y , t) aus den Vertauschungsrelationen h i π̂F (~x, t)F̂F (~x, t), π̂F (~y , t) − h i = π̂F (~x, t) F̂F (~x, t), π̂F (~y , t) − [π̂F (~x, t), π̂F (~y , t)]+ F̂F (~x, t) + = π̂F (~x, t) · iδ 3 (~x − ~y ) ∂ π̂F (~x, t)F̂F (~x, t) = · iδ 3 (~x − ~y ) , ∂ F̂F (~x, t) und KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 194 woraus man durch vollständige Induktion wiederum N N ∂ π̂F (~x, t)F̂F (~x, t) , π̂F (~y , t) = π̂F (~x, t)F̂F (~x, t) · iδ 3 (~x − ~y ) ∂ F̂ (~ x , t) F − (5.4.17) erhält. Da eine Hamilton-Dichte bosonisch ist und wegen der Mikrokausalitätsbedingung fermionische Operatoren immer paarweise enthält, folgt aus den vorstehenden Beziehungen für die Hamilton-Dichte [Hπ , π̂n (~y , t)] = ∂Hπ ∂ F̂n (~x, t) · iδ 3 (~x − ~y ) + ∂Hπ ∂(∂ j F̂n (~x, t)) · ∂ j iδ 3 (~x − ~y ) . (5.4.18) Damit ergibt sich aus der Heisenberg-Bewegungsgleichung ∂ 0 π̂n (~y , t) h i = i Ĥ(t), π̂n (~y , t) Z Ĥπ d3 x , π̂n (~y , t) =i Z h i =i Hπ F̂n (~x, t), ∂ j F̂n (~x, t), π̂n (~x, t), ∂ j π̂n (~x, t) , π̂n (~y , t) · d3 x # Z " ∂Hπ ∂Hπ 3 j 3 =i · iδ (~x − ~y ) + · ∂ iδ (~x − ~y ) · d3 x j ∂ F̂n (~x, t) ∂(∂ F̂n (~x, t)) Z " π ∂H · iδ 3 (~x − ~y ) =i ∂ F̂n (~x, t) ! ! # ∂Hπ ∂Hπ j 3 j 3 +∂ · iδ (~x − ~y ) − ∂ · iδ (~x − ~y ) · d3 x ∂(∂ j F̂n (~x, t)) ∂(∂ j F̂n (~x, t)) ! # Z " ∂Hπ ∂Hπ 3 j 3 =i · iδ (~x − ~y ) − ∂ · iδ (~x − ~y ) · d3 x ∂ F̂n (~x, t) ∂(∂ j F̂n (~x, t)) ! ∂Hπ ∂Hπ j = − +∂ ∂ F̂n (~y , t) ∂(∂ j F̂n (~y , t)) ! ∂L ∂L j = + −∂ . ∂ F̂n (~y , t) ∂(∂ j F̂n (~y , t)) 5.4. DER LAGRANGE-FORMALISMUS 195 Aufgrund der Denition des kanonisch konjugierten Operators ist dies aber gerade die Euler-Lagrange-Gleichung, wodurch die Äquivalenz des LagrangeFormalismus mit dem Hamilton-Formalismus gezeigt ist. Der Lagrange-Formalismus bestimmt also nicht nur die Dynamikgleichungen, sondern auch mit diesen konforme Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren. Es stellt sich hier natürlich die Frage, warum erst der Hamilton-Formalismus und nicht gleich der Lagrange-Formalismus eingeführt wurde. Dies liegt darin begründet, dass die Störungsrechnung nur im Hamilton-Formalismus durchgeführt werden kann und erst vorstehende Ableitung die physikalische Rechtfertigung für das Variationsprinzip im Lagrange-Formalismus liefert. In vielen Lehrbüchern werden der Lagrange-Formalismus, die kanonisch konjugierten Operatoren sowie deren Vertauschungsrelationen a priori postuliert, ohne jedoch eine zwingende physikalische Rechtfertigung dafür zu geben. Die einer freien Hamilton-Dichte zugeordnete freie Lagrange-Dichte lässt sich durch Rückwärtsauswertung der Legendre-Transformation Ĥ0 (x) = X ∂L0 n ∂(∂0 F̂n (x)) ∂ 0 F̂n (x) − L0 (5.4.19) gewinnen. So kann man aus der freien Hamilton-Dichte des Skalarfeldes ĤSkalar (x) = 2 1 1 X µ ∂ Φ̂(x) + m2 Φ̂2 (x) 2 µ 2 ohne Probleme die zugehörige freie Lagrange-Dichte LSkalar = 1 1 ∂µ Φ̂(x)∂ µ Φ̂(x) − m2 Φ̂2 (x) 2 2 (5.4.20) ablesen. Mit dieser Lagrange-Dichte kann man wegen π̂(x) = ∂L ∂(∂0 Φ̂(x)) = ∂ 0 Φ̂(x) (5.4.21) den Hamilton-Dichteoperator schlieÿlich in seine kanonische Form π ĤSkalar = 2 1 1 X j 1 2 π̂ (x) + ∂ Φ̂(x) + m2 Φ̂2 (x) 2 2 j 2 (5.4.22) bringen. Die Lagrange-Dichte ist, wie es sein muss, ein hermitescher LorentzSkalar. Bei Vorliegen von Wechselwirkungen ist zu beachten, dass ausschlieÿlich der Hamilton-Dichteoperator π ĤSkalar zu verwenden ist, da auch nur in KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 196 dessen kanonischer Form die Euler-Lagrange-Gleichungen mit den HeisenbergBewegungsgleichungen übereinstimmen. Aus der freien Hamilton-Dichte des Dirac-Feldes ĤDirac (x) = i 1 Xh ˆ ˆ ˆ −iΨ(x)γk ∂ k Ψ̂(x) + i∂ k Ψ(x)γ k Ψ̂(x) + mΨ(x)Ψ̂(x) 2 k liest man analog die zugehörige freie Lagrange-Dichte LDirac = i 1h ˆ ˆ ˆ iΨ(x)γµ ∂ µ Ψ̂(x) − i∂ µ Ψ(x)γ µ Ψ̂(x) − mΨ(x)Ψ̂(x) 2 (5.4.23) ab. An dieser Lagrange-Dichte kann man gut eine weitere Eigenschaft des Lagrange-Formalismus zeigen. Dieser legt die Lagrange-Dichte nämlich nur bis auf eine vollständige Divergenz fest; d.h. die Lagrange-Dichte L0 F̂n (x), ∂ µ F̂n (x) = L F̂n (x), ∂ µ F̂n (x) + ∂ ν fν F̂n (x), ∂ µ F̂n (x) liefert das gleiche Wirkungsintegral W0 = Z ZV L0 F̂n (x), ∂ µ F̂n (x) d4 x Z 4 = L F̂n (x), ∂ F̂n (x) d x + ∂ ν fν F̂n (x), ∂ µ F̂n (x) d4 x ZV IV µ 4 = L F̂n (x), ∂ F̂n (x) d x + fν F̂n (x), ∂ µ F̂n (x) d∂V ν ∂V ZV µ 4 = L F̂n (x), ∂ F̂n (x) d x µ V =W , da auf der im Unendlichen liegenden Raumzeitäche die Feldoperatoren verschwinden müssen. Für das freie Dirac-Feld bedeutet dies, dass L0Dirac i 1 h ˆ = LDirac + ∂ µ iΨ(x)γ µ Ψ̂(x) 2 i 1h ˆ ˆ = iΨ(x)γµ ∂ µ Ψ̂(x) − i∂ µ Ψ(x)γ µ Ψ̂(x) 2 h i ˆ ˆ Ψ̂(x) + 1 ∂ µ iΨ(x)γ − mΨ(x) µ Ψ̂(x) 2 ˆ ˆ µ = iΨ(x)γ ∂ Ψ̂(x) − mΨ(x)Ψ̂(x) µ (5.4.24) 5.4. DER LAGRANGE-FORMALISMUS 197 eine zur Ableitung der Dynamikgleichung gleichwertige Lagrange-Dichte ist. Die Hamilton-Dichte muss aber immer aus einer hermiteschen Lagrange-Dichte gewonnen werden! Zu der freien Hamilton-Dichte des Maxwell-Feldes X 1 ĤMaxwell = 2 2 2 µ 2 ∂  (x) + ∂  (x) µ 1 µ + 1 2 2 2 X µ 3 µ 0 ∂  (x) − ∂  (x) µ gehört die sehr einfach aufgebaute Lagrange-Dichte 1 L0A-Feld = − ∂µ Âν (x)∂ µ Âν (x) . 2 (5.4.25) Diese Lagrange-Dichte verdeckt jedoch die Eichinvarianz der Theorie. Nun ist i 1 h LA-Feld = L0A-Feld + ∂µ Âν (x) ∂ ν µ (x) − ∂ν Âν (x) µ (x) 2 i 1 1 h = − ∂µ Âν (x)∂ µ Âν (x) + ∂µ Âν (x) ∂ ν µ (x) − ∂ν Âν (x) µ (x) 2 2 1 1 1 = − ∂µ Âν (x)∂ µ Âν (x) + ∂µ Âν (x)∂ ν µ (x) − ∂ν Âν (x)∂µ µ (x) 2 2 2 2 1 1 = − F̂ µν F̂µν − ∂µ µ (x) (5.4.26) 4 2 eine vollkommen äquivalente hermitesche Lagrange-Dichte des Maxwell-Feldes, die sich aus einem eichinvarianten Term 1 LMaxwell = − F̂ µν F̂µν 4 (5.4.27) und einem eichxierenden Term LEichterm = − 2 1 ∂µ µ (x) 2 (5.4.28) zusammensetzt. Der eichxierende Term resultiert aus der früher getroenen speziellen Wahl der Polarisationsvektoren bei der Einführung des kovarianten Maxwell-Feldes. Ohne einen solchen Term ist eine kovariante Darstellung der Theorie nicht möglich. Die physikalisch möglichen Beobachtungen dürfen durch den Eichterm natürlich nicht beeinusst werden. Dies kann man sich am Einfachsten verdeutlichen, wenn man sich die Dynamik des Erwartungswertes des Maxwell-Feldes KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 198 anschaut. Für ein beliebig wechselwirkendes System liefert der eichxierende Term den Eichtermbeitrag ∂ µ ∂ν Âν (x) zur Euler-Lagrange-Gleichung. Aus der im Wechselwirkungsbild gültigen Beziehung (3.4.27) folgt durch Anwendung von (5.3.19) und (5.3.21), dass auch im Heisenberg-Bild der Erwartungswert hη2phy |∂ν Âν (x)|η1phy i = 0 (5.4.29) verschwindet. Da der Zustandsvektor im Heisenberg-Bild konstant ist, verschwindet damit der Erwartungswert hη2phy |∂ µ ∂ν Âν (x)|η1phy i = ∂ µ hη2phy |∂ν Âν (x)|η1phy i = 0 des Eichtermbeitrages zur Euler-Lagrange-Gleichung auf allen physikalisch zulässigen Zuständen; d.h. er beeinusst nicht die Dynamik der Erwartungswerte des Maxwell-Feldes, die sich aus den Erwartungswerten der Euler-LagrangeGleichung ergibt. Wie erwartet ist die Dynamik eichunabhängig. Damit muss aber auch 2 1 µ Lα = − α ∂  (x) µ Eichterm 2 mit willkürlich wählbarem Parameter α (5.4.30) ein erlaubter Eichterm sein, der dann den Eichtermbeitrag α∂ µ ∂ν Âν (x) zur Euler-Lagrange-Gleichung liefert. Die verschiedenen Eichungen führen natürlich auch zu verschiedenen Darstellungen des gleichen Maxwell-Feldes. Dies bedeutet, dass sich je nach Wert des eichxierenden Parameters unterschiedliche Vertauschungsrelationen für das Maxwell-Feld ergeben. Ausgehend von der Lagrange-Dichte 2 α−1 1 ∂µ µ (x) LAα -Feld = − ∂µ Âν (x)∂ µ Âν (x) − 2 2 ist der zum Feldoperator µ (x) kanonisch konjugierte Operator π̂ µ (x) = −∂ 0 µ (x) − (α − 1)g µ0 ∂ν Âν (x) , was sich zu (über j = 1, 2, 3 (5.4.31) (5.4.32) summiert) ∂ 0 µ (x) = −π̂ µ (x) + α − 1 µ0 0 g π̂ (x) − ∂j Âj (x) α (5.4.33) 5.4. DER LAGRANGE-FORMALISMUS 199 umformen lässt. Hiermit folgt der Zusammenhang h i µ (~x, t), ∂ 0 Âν (~y , t) h i = − µ (~x, t), π̂ ν (~y , t) i h i α − 1 ν0 h µ g  (~x, t), π̂ 0 (~y , t) − ∂j µ (~x, t), Âj (~y , t) α α − 1 ν0 = −ig µν δ 3 (~x − ~y ) + g · ig µ0 δ 3 (~x − ~y ) α α − 1 µ0 ν0 3 = −i g µν − g g δ (~x − ~y ) (5.4.34) α + zwischen den Vertauschungsrelationen und dem eichxierenden Parameter Für α = 1 α. ergibt sich wieder das bereits früher gewonnene Ergebnis. Die vorstehende Ableitung zeigt, wie relativ einfach das Arbeiten im LagrangeFormalismus ist. Für Störungsrechnungen ist der Hamilton-Dichteoperator aus der LagrangeDichte der jeweiligen Theorie zu bestimmen und in seinen freien sowie seinen wechselwirkenden Teil aufzuspalten: H1π F̂n (x), ∂ j F̂n (x), π̂n (x), ∂ j π̂n (x) !kanonische Form = X − Ĥ0π π̂n (x)∂0 F̂n (x) − L (5.4.35) n Dabei ist es zweckmäÿig die kanonische Form zu verwenden, da der HamiltonDichteoperator Ĥ1π keine zeitlichen Ableitungen enthält und sein Aufbau im Heisenberg-Bild deshalb identisch mit seinem Aufbau im Wechselwirkungsbild ist. Dies erlaubt einen problemlosen formalen Übergang zum Wechselwirkungsbild. Dabei ist allerdings zu beachten, dass die kanonisch konjugierten Operatoren in den beiden Bildern einen unterschiedlichen Aufbau besitzen können, wobei im Wechselwirkungsbild die kanonisch konjugierten Operatoren über die Vertauschungsrelationen für gleiche Zeiten deniert sind, da diese in beiden Bildern gültig sein müssen. Enthält der Wechselwirkungsteil der Lagrange-Dichte jedoch selbst keine Ableitungen, so ist der Aufbau der kanonisch konjugierten Operatoren unabhängig von der Wechselwirkung und deshalb in beiden Bildern identisch. Damit ergibt sich der sehr einfache Zusammenhang Ĥ1 (x) = −L1 F̂n (x) . (5.4.36) KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 200 5.5 Die Skalentransformation Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie wird gefordert, dass die Lichtgeschwindigkeit immer den gleichen Wert aufweist. Aus der Transformationsbedingung ds02 = ds2 (5.5.1) ist die Poincare-Transformation als zugehörige Symmetrietransformation abgeleitet worden. Ausreichend für die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist jedoch die schwächere Transformationsbedingung ds02 = ds2 = 0 , (5.5.2) die natürlich durch die Poincare-Transformation erfüllt wird. Diese Bedingung wird aber auch durch die Skalentransformation x eµ = e−s xµ erfüllt, wobei s (5.5.3) den Parameter der Skalentransformation bezeichnet. Da e−s immer positiv ist, bleiben alle Kausalitätsbeziehungen bei der Skalentransformation erhalten. Die Skalentransformation muss damit auch eine gültige Symmetrietransformation jedes physikalischen Systems sein. Daraus folgt die notwendige Invarianz des Wirkungsintegrals bei Skalentransformationen Z f= W e 4x Ld e= Z Ld4 x = W . (5.5.4) Aus dem Skalenverhalten d4 x e = e−4s d4 x (5.5.5) der Koordinatendierentiale ergibt sich das notwendige Skalenverhalten e = e+4s L L (5.5.6) der Lagrange-Dichte. Anschaulich kann man das Skalenverhalten einer Gröÿe durch seine Skalendimension charakterisieren. Aus den vorstehenden Ausführungen kann man die Skalendimensionen [ xµ ] µ = −1 (5.5.7) [ dx ] = −1 (5.5.8) [ ∂µ ] = +1 (5.5.9) 4 [ dx ] = −4 (5.5.10) [L] = +4 (5.5.11) 5.5. DIE SKALENTRANSFORMATION 201 ablesen. Die Hamilton-Dichte muss natürlich die gleiche Skalendimension wie die Lagrange-Dichte besitzen und da der Hamilton-Operator das Volumenintegral über die Hamilton-Dichte sowie die Energie der Eigenwert des HamiltonOperators ist, gilt [ Ĥ(x) ] = +4 (5.5.12) [ Ĥ(t) ] = +1 (5.5.13) [ E(~ p) ] = +1 . (5.5.14) Aus den freien Lagrange-Dichten kann man für die einzelnen Feldoperatoren die Skalendimensionen LSkalar = 1 1 ∂µ Φ̂(x)∂ µ Φ̂(x) − m2 Φ̂2 (x) 2 2 =⇒ [ Φ̂(x) ] = +1 (5.5.15) = + 3 2 (5.5.16) +1 (5.5.17) ˆ ˆ µ LDirac = iΨ(x)γ µ ∂ Ψ̂(x) − mΨ(x)Ψ̂(x) 1 LMaxwell = − F̂ µν F̂µν 4 =⇒ [ Ψ̂(x) ] =⇒ [ µ (x) ] = ablesen, womit sich auch für den Eichterm der Lagrange-Dichte die richtige Skalendimension +4 ergibt. Ist nun L1O = g Ô(x) (5.5.18) ein Wechselwirkungsterm einer Lagrange-Dichte, wobei der Operator Ô(x) ein Produkt aus den Feldoperatoren sowie deren Ableitungen ist, so muss für die Skalendimensionen [g] gelten. Nun folgt für [ Ô(x) ] = +4 (5.5.19) [g]<0 = e [ g ]s · g ge + −→ ∞ für s −→ −∞ (5.5.20) und gleichzeitig e E = e+s · E −→ 0 für s −→ −∞ . (5.5.21) KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 202 Bei verschwindenden Energien würde der Wechselwirkungsteil alles dominieren. Da dies jeder physikalischen Erfahrung widerspricht, muss in diesem Fall g=0 sein. Damit können nur solche Operatoren Ô(x) in einem Wechselwir- kungsterm auftreten, deren Skalendimension ≤ [ Ô(x) ] 4 (5.5.22) ist. Dies schränkt die möglichen Wechselwirkungsterme sehr eng ein. So sind die zulässigen einfachen Wechselwirkungsterme zwischen einem Spinor- und einem Maxwell-Feld sowie zwischen einem Spinor- und einem neutralen Skalarfeld, die sowohl Lorentz-invariant sind als auch die richtige Skalendimension ≤4 besitzen (mit üblich gewählter Vorzeichenkonvention), L1ΨA = ˆ µ −eq Ψ(x)γ µ Ψ̂(x) (x) (5.5.23) L1ΨΦ = ˆ Ψ̂(x)Φ̂(x) −g Ψ(x) (5.5.24) sowie . Wegen (5.4.36) sind damit auch die entsprechenden Wechselwirkungsterme in der Hamilton-Formulierung gewonnen. Die notwendige Eichinvarianz von L1ΨA wird im übernächsten Abschnitt noch gezeigt werden. Im Rahmen der schwachen Wechselwirkung (siehe dort) kann man mittels der skalaren Matrix γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 noch weitere zulässige Wechselwirkungsterme formulieren. Für das neutrale Skalarfeld liefern zudem die Selbstwechselwirkungsterme Φ3 (x) ; Φ4 (x) mögliche Bausteine zur Konstruktion einer Lagrange-Dichte. Für das komplexe Skalarfeld wird später noch gezeigt, dass die drei Terme ∂µ Φ̂† (x) Φ̂(x)µ (x) ; Φ̂† (x) ∂µ Φ̂(x) µ (x) ; Φ̂† (x)Φ̂(x)µ (x)µ (x) in einer eichinvarianten Lagrange-Dichte notwendig sind. Die Forderung nach Skaleninvarianz hat noch eine andere wesentliche Konsequenz. Schaut man sich nochmals die freie Lagrange-Dichte des Spinor- oder des Skalarfeldes an, so sieht man, dass die Masse als Ruheenergie eines Systems die Skalendimension +1 hat und mit skaliert wird. Die Elementarteilchen sind nun aber gerade als Invarianten bei allen raumzeitlichen Symmetrietransformationen deniert. Dies bedeutet, dass Elementarteilchen keine Masse besitzen 5.5. DIE SKALENTRANSFORMATION dürfen; d.h. 203 m = 0 sein muss! Dies kann man sich nochmals durch Betrachtung im Hilbert-Raum verdeutlichen. Im physikalischen Raum gilt für Skalentransformationen und Translationen die Beziehung S(s)T (a) = T (e−s a)S(s) , (5.5.25) woraus für die unitären Transformationen im Hilbert-Raum ÛS (s)ÛT (a) = ÛT (e−s a)ÛS (s) (5.5.26) folgt. Der erzeugende Operator der Skalentransformation wird als Dilatationsoperator D̂ bezeichnet. Mit den Darstellungen ÛS (s) = e−isD̂ und ÛT (a) = e−iaµ P̂ µ (5.5.27) wird bei innitesimalen Transformationen 1 − isD̂ 1 − iaµ P̂ µ = 1 − i(1 − s)aµ P̂ µ 1 − isD̂ , woraus sich durch Umformung die Vertauschungsrelationen h i P̂ µ , D̂ = iP̂ µ (5.5.28) ergeben. Dies bedeutet wiederum, dass der Dilatationsoperator D̂ wegen h i h i h i P̂µ P̂ µ , D̂ = P̂µ P̂ µ , D̂ + P̂µ , D̂ P̂ µ = iP̂µ P̂ µ nicht mit dem Operator P̂µ P̂ µ (5.5.29) vertauscht, der die Elementarteilchen als seine Eigenzustände P̂µ P̂ µ |η; m, p~, si = m2 |η; m, p~, si (5.5.30) deniert. Invarianz bei Skalentransformationen ist deshalb nur möglich, wenn m = 0 ist, da dann der Dilatationsoperator D̂ und der Operator P̂µ P̂ µ auf allen Zustandsvektoren der Elementarteilchen vertauschen h i P̂µ P̂ µ , D̂ |η; 0, p~, si = iP̂µ P̂ µ |η; 0, p~, si = 0 · |η; 0, p~, si . (5.5.31) Als Konsequenz kann ein Proca-Feld kein fundamentales Feld sein. Es ist aber eine allgemeine Erfahrung, dass die Materie Masse besitzt! Es muss deshalb ein Mechanismus existieren, der Masseterme für die Elementarteilchen generieren kann, ohne die Symmetrien der Theorie zu verletzen. Dies gelingt durch den Higgs-Mechanismus. KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 204 5.6 Der Higgs-Mechanismus Ausgangspunkt für die folgenden Überlegungen ist die Invarianz des Vakuums bei Poincare-Transformationen ÛP (Λ, a) |0i = |0i . (5.6.1) Daraus ergibt sich für das Spinorfeld bei Betrachtung von Lorentz-Transformationen h0|Ψ̂(x)|0i = h0|ÛP−1 (Λ, 0)ÛP (Λ, 0)Ψ̂(x)ÛP−1 (Λ, 0)ÛP (Λ, 0)|0i = h0|ÛP (Λ, 0)Ψ̂(x)ÛP−1 (Λ, 0)|0i = h0|S(Λ−1 )Ψ̂(Λx)|0i = S(Λ−1 )h0|Ψ̂(Λx)|0i und entsprechend für das Maxwell-Feld h0|Â(x)|0i = T (Λ−1 )h0|Â(Λx)|0i . Da die Transformationsmatrizen keine Einheitsmatrizen sind, müssen die Vakuumerwartungswerte des Spinor- und des Maxwell-Feldes verschwinden h0|Ψ̂l (x)|0i = 0 (5.6.2) µ h0| (x)|0i = 0 . (5.6.3) Für das Skalarfeld kann man eine solche Schlussfolgerung nicht ziehen, da bei Poincare-Transformationen h0|Φ̂(x)|0i = h0|ÛP−1 (Λ, a)ÛP (Λ, a)Φ̂(x)ÛP−1 (Λ, a)ÛP (Λ, a)|0i = h0|ÛP (Λ, a)Φ̂(x)ÛP−1 (Λ, a)|0i = h0|Φ̂(Λx + a)|0i ist; d.h. der Vakuumerwartungswert muss lediglich konstant und kann deshalb von Null verschieden sein! Ein solches besonderes Skalarfeld mit h0|Φ̂h (x)|0i = v 6= 0 (5.6.4) wird Higgs-Feld genannt und ist mit dem zugehörigen Higgs-Boson, einem gewöhnlichen Skalarfeld h0|ĥ(x)|0i = 0 , (5.6.5) 5.6. DER HIGGS-MECHANISMUS 205 entsprechend Φ̂h (x) = v + ĥ(x) (5.6.6) darstellbar. Um zu sehen, welcher Vakuumerwartungswert sich für ein HiggsFeld einstellt, ist die Kenntnis der zugehörigen Lagrange-Dichte notwendig. Im Standardmodell wird für den Higgs-Sektor eine Lagrange-Dichte der Form LHiggs-Sektor = mit µ2 > 0 und 1 λ µ2 2 ∂µ Φ̂h (x)∂ µ Φ̂h (x) + Φ̂h (x) − Φ̂4h (x) 2 2 4 λ > 0 angenommen. Wegen des Vorzeichens des (5.6.7) µ2 -Terms, stellt dieser keinen Masseterm dar. Diese Lagrange-Dichte folgt aus keinen physikalischen Prinzipien und wird per Hand in das Standardmodell eingeführt. Die Rechtfertigung liegt ausschlieÿlich im Erfolg der Theorie. Eine theoretische Begründung dafür steht noch aus. Aus der Lagrange-Dichte ergibt sich die zugehörige Hamilton-Dichte 2 µ2 1 X λ ∂µ Φ̂h (x) − Φ̂2h (x) + Φ̂4h (x) 2 µ 2 4 2 µ2 2 λ 4 1 X = ∂µ ĥ(x) − v + ĥ(x) + v + ĥ(x) . 2 µ 2 4 ĤHiggs-Sektor = (5.6.8) (5.6.9) Da das Higgs-Boson ein gewöhnliches Skalarfeld und der Hamilton-Operator normalgeordnet (auch wenn im Heisenberg-Bild nicht explizit angebbar, die Erzeugungsoperatoren immer links von den Vernichtungsoperatoren stehen) ist, folgt für den Erwartungswert der Energie des Vakuums EV = h0|ĤHiggs-Sektor |0i Z µ2 2 λ v |0i + h0| + v 4 |0i d3 x = h0| − 2 4 Z µ2 2 λ 4 = − v + v d3 x 2 4 µ2 λ = − v2 + v4 · V . 2 4 Der Vakuumerwartungswert v (5.6.10) des Higgs-Feldes wird sich nun immer so ein- stellen, dass die Energie-Dichte des Vakuums minimal wird. Dies liefert r v=± µ2 λ . (5.6.11) KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 206 Der Vakuumerwartungswert kann im Grundzustand immer nur einen der beiden möglichen Werte annehmen, der im Folgenden als positiv angenommen wird. Hierdurch wird die ursprüngliche Symmetrie der Lagrange-Dichte bezüglich der Transformation Φ̂(x) → −Φ̂(x) gebrochen. Dies sieht man, wenn man diese mit dem Higgs-Boson formuliert: LHiggs-Sektor 1 µ2 2 λ ∂µ Φ̂h (x)∂ µ Φ̂h (x) + Φ̂ (x) − Φ̂4h (x) 2 2 h 4 2 λ 4 2 1 µ = ∂µ ĥ(x)∂ µ ĥ(x) + v + ĥ(x) − v + ĥ(x) 2 2 4 1 µ = ∂µ ĥ(x)∂ ĥ(x) 2 µ2 2 + v + 2v ĥ(x) + ĥ2 (x) 2 λ 4 − v + 4v 3 ĥ(x) + 6v 2 ĥ2 (x) + 4v ĥ3 (x) + ĥ4 (x) 4 1 µ2 µ 2λ = ∂µ ĥ(x)∂ ĥ(x) − 6v − ĥ2 (x) 2 4 2 2 µ2 λ λ 4λ 3λ 2µ −v + 2v − 4v ĥ(x) − 4v ĥ3 (x) − ĥ4 (x) + v 2 4 2 4 4 4 = Lässt man die irrelevanten konstanten Terme weg und setzt den Wert für v ein, hat man schlieÿlich LHiggs-Sektor = 1 1 ∂µ ĥ(x)∂ µ ĥ(x) − 2µ2 ĥ2 (x) 2 2 p λ 3 − µ2 λ · ĥ (x) − ĥ4 (x) . 4 (5.6.12) Diese Lagrange-Dichte beschreibt das gleiche physikalische System wie die ursprüngliche Lagrange-Dichte. Sie stellt nur eine Änderung der Schreibweise dar, ist aber nicht symmetrisch bezüglich der Transformation ĥ(x) → −ĥ(x); die Spiegelsymmetrie ist gebrochen. Der Grund hierfür ist, dass das Vakuum die Symmetrie der Lagrange-Dichte (egal mit welchem Grundzustand man arbeitet) nicht teilt. Die Sammlung aller Grundzustände bleibt dabei natürlich symmetrisch; konkret kann sich aber immer nur ein Grundzustand einstellen. Da kein externer Vorgang für die Symmetriebrechung verantwortlich ist, spricht man von spontaner Symmetriebrechung. Die Symmetrie des Systems wird durch die willkürliche Auswahl des Grundzustandes des Vakuums verborgen. 5.6. DER HIGGS-MECHANISMUS 207 Der Lagrange-Dichte kann man entnehmen, dass sie ein Higgs-Boson mit der Masse mh = p 2µ2 (5.6.13) und Selbstwechselwirkungen beschreibt. Diese Lagrange-Dichte kann direkt zur Ableitung der Hamilton-Dichte in der Störungsrechnung verwendet werden. Da die Störungsreihe nur anwendbar ist, wenn die einzelnen Terme immer kleiner werden, ist das fundamentalen Higgs-Feld Boson wegen seinem konstanten Term v Φ̂h (x) im Gegensatz zum Higgs- dagegen nicht in der Störungsreihe verwendbar. Die Kopplung des Higgs-Feldes mit einem Spinorfeld wird durch die YukawaLagrange-Dichte (Achtung: Die fundamentalen Quanten-Felder dürfen keine Masse besitzen) LΨΦh = LDirac;m=0 + L1ΨΦh + LHiggs-Sektor (5.6.14) beschrieben, in der alle (bereits abgeleiteten) notwendigen Terme für diese Wechselwirkung gesammelt sind. Setzt man in die einzelnen Terme die entsprechenden Feldoperatoren ein und geht zu dem Higgs-Boson über, wird hieraus ˆ ˆ Ψ̂(x) v + ĥ(x) µ LΨh = iΨ(x)γ ∂ Ψ̂(x) − g Ψ(x) µ 1 1 + ∂µ ĥ(x)∂ µ ĥ(x) − m2h ĥ2 (x) 2 2 p λ 3 2 + µ λ · ĥ (x) − ĥ4 (x) 4 ˆ ˆ µ = iΨ(x)γ ∂ Ψ̂(x) − gv · Ψ(x)Ψ̂(x) µ 1 1 + ∂µ ĥ(x)∂ µ ĥ(x) − m2h ĥ2 (x) 2 2 p λ ˆ − g Ψ(x)Ψ̂(x)ĥ(x) − µ2 λ · ĥ3 (x) − ĥ4 (x) . 4 (5.6.15) Durch die Darstellung der Lagrange-Dichte mit dem Higgs-Boson hat sich auch ein Term ergeben, der für das Spinorfeld die Masse m = gv (5.6.16) liefert. Hat man mehrere massive Fermionen, so muss für alle die gleiche Beziehung mi =v gi (5.6.17) KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 208 gelten. Die Mehrzahl der freien Parameter des Standardmodells sind solche Yukawa-Kopplungen zwischen den Fermionen und dem Higgs-Feld. Es gibt verschiedene mögliche Higgs-Modelle für das Standardmodell zwischen denen das Experiment entscheiden muss. An dieser Stelle ist erst einmal nur wichtig, dass der Higgs-Mechanismus überhaupt existiert. Das Higgs-Boson wurde bisher noch nicht beobachtet. Im Standardmodell wird deshalb angenommen, dass seine Masse gröÿer als die bisher in TeilchenBeschleunigern erreichten Energien ist. Bei niedrigen Energien kann man dann das Higgs-Boson vernachlässigen und erhält als Approximation die LagrangeDichte LΨh (niedrige Energien) → ˆ ˆ µ iΨ(x)γ µ ∂ Ψ̂(x) − m · Ψ(x)Ψ̂(x) = LDirac (5.6.18) des Spinorfeldes mit Masse. Der vorgestellte Higgs-Mechanismus erlaubt es Masseterme für die Quantenfelder zu generieren, ohne die Lorentz-Invarianz oder die Skaleninvarianz zu verletzen. Es wird sich bei Diskussion der elektroschwachen Wechselwirkung zudem zeigen, dass in Theorien mit dem MaxwellFeld auch die Eichinvarianz erhalten bleibt. Dies ist für den Beweis der Renormierbarkeit der Störungstheorie in allen Ordnungen unverzichtbar. 5.7 Die Lagrange-Dichte Die Quanten-Elektrodynamik beschreibt die Wechselwirkung zwischen Spinorfeldern und dem Maxwell-Feld. Da die Reichweite dieser elektrischen Wechselwirkung unendlich ist, kann das sie vermittelnde Maxwell-Feld keine Masse besitzen. Die Spinorfelder erhalten mit Ausnahme der Neutrinos über den Higgs-Mechanismus einen Masseterm. Zu der Quanten-Elektrodynamik gehört damit die Lagrange-Dichte: LQED = LDirac + L1ΨA + LMaxwell 1 µν ˆ ˆ µ (iγµ ∂ µ − m) Ψ̂(x) − eq Ψ(x)γ F̂µν = Ψ(x) µ Ψ̂(x) (x) − F̂ 4 (5.7.1) Der Eichterm ist nicht mit in die Lagrange-Dichte aufgenommen worden, um die Eichinvarianz der Theorie explizit zu machen. Er muss aber für konkrete Rechnungen immer mit hinzugefügt werden. Da die vorstehende LagrangeDichte nicht so gestaltet werden kann, dass das Maxwell-Feld invariant unter globalen Phasentransformationen ist, besitzt das Maxwell-Feld selbst keine elektrische Ladung. 5.7. DIE LAGRANGE-DICHTE 209 Es ist noch die Invarianz der Theorie unter den Eichtransformationen µ (x) → µ (x) + ∂ µ ê(x) (5.7.2) zu zeigen. Dies gelingt mit der Hilfe des Noether-Theorems. Die LagrangeDichte der QED ist invariant unter globalen Phasentransformationen des Spinorfeldes Ψ̂(x) → e−iqα Ψ̂(x) ˆ ˆ +iqα Ψ(x) → Ψ(x)e . (5.7.3) (5.7.4) Mit Xµ = 0 (5.7.5) fΨ = −iqΨ (5.7.6) fΨ = +iqΨ (5.7.7) fA = 0 , (5.7.8) ergibt sich aus dem Noether-Theorem der Stromoperator ˆ Jˆµ (x) = q · Ψ(x)γ µ Ψ̂(x) . (5.7.9) Damit liefert eine Eichtransformation des Maxwell-Feldes L0QED = L0Dirac + L1Ψ0 A0 + L0Maxwell = LDirac + L1ΨA0 + LMaxwell ˆ 0µ = LDirac − eq Ψ(x)γ µ Ψ̂(x) (x) + LMaxwell ˆ µ µ = LDirac − eq Ψ(x)γ µ Ψ̂(x)  (x) + ∂ ê(x) + LMaxwell = LQED − eJˆµ (x)∂ µ ê(x) = LQED − e∂ µ Jˆµ (x)ê(x) + e ∂ µ Jˆµ (x) ê(x) = LQED − e∂ µ Jˆµ (x)ê(x) , wobei ausgenutzt wurde, dass die Divergenz des Stromoperators verschwindet. Da die beiden Lagrange-Dichten sich nur durch eine vollständige Divergenz unterscheiden, ist die Eichinvarianz des Wirkungsintegral und damit der Dynamikgleichungen gezeigt. KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 210 Die Theorie ist oensichtlich eichinvariant, weil das Maxwell-Feld an einen erhaltenen Strom ankoppelt. Ein solcher erhaltener Strom existiert immer, wenn ein Quantenfeld geladen ist. Dann führt eine globale Phasentransformation F̂ (x) → e−iqα F̂ (x) † † F̂ (x) → F̂ (x)e (5.7.10) +iqα (5.7.11) zu einem erhaltenen Strom, an den das Maxwell-Feld eichinvariant gekoppelt werden kann, wenn der so entstehende Wechselwirkungsterm selbst keinen Strombeitrag liefert; d.h. keine Ableitungen des Quantenfeldes enthält. Die Invarianz der Lagrange-Dichte h i L0F F̂ † (x), ∂µ F̂ † (x), F̂ (x), ∂ µ F̂ (x) h i = L0F F̂ † (x)e+iqα , ∂µ F̂ † (x) · e+iqα , e−iqα F̂ (x), e−iqα ∂ µ F̂ (x) bei globalen Phasentransformationen ist eine strukturelle Eigenschaft der Lagrange-Dichte; die entsprechenden Faktoren e±iqα kompensieren sich gerade. Damit muss für die Lagrange-Dichte auch h i L0F F̂ † (x), ∂µ F̂ † (x), F̂ (x), ∂ µ F̂ (x) h i = L0F F̂ † (x)e+iqα(x) , ∂µ F̂ † (x) · e+iqα(x) , e−iqα(x) F̂ (x), e−iqα(x) ∂ µ F̂ (x) gelten, wenn der Transformationsparameter orts- und zeitabhängig ist. Diese Tatsache kann man nutzen, um direkt die richtigen Terme für eine eichinvariante Ankopplung des Maxwell-Feldes zu erhalten. Bildet man mit der so genannten eichinvarianten Ableitung Dµ F̂ (x) = ∂ µ F̂ (x) + ieq µ (x) · F̂ (x) (5.7.12) Dµ F̂ † (x) = ∂ µ F̂ † (x) − F̂ † (x) · ieq µ (x) (5.7.13) die Lagrange-Dichte h i L0F F̂ † (x), Dµ F̂ † (x), F̂ (x), Dµ F̂ (x) , (5.7.14) so ist diese aufgrund der Konstruktion Lorentz-invariant und wegen [ ∂µ ] = [ µ (x) ] (5.7.15) 5.7. DIE LAGRANGE-DICHTE 211 auch skaleninvariant. Zudem ist die Lagrange-Dichte invariant unter den kombinierten lokalen Eichtransformationen F̂ (x) → e−iqα̂(x) F̂ (x) † † F̂ (x) → F̂ (x)e (5.7.16) +iq α̂(x) 1 µ (x) → µ (x) + · ∂ µ α̂(x) e (5.7.17) ; (5.7.18) d.h. unter Eichtransformationen des Maxwell-Feld, wenn man gleichzeitig auch F̂ (x) transformiert. Mit D0µ F̂ 0 (x) = ∂ µ + ieq µ (x) + iq∂ µ α̂(x) e−iqα̂(x) F̂ (x) = e−iqα̂(x) −iq∂ µ α̂(x) F̂ (x) + e−iqα̂(x) ∂ µ F̂ (x) + ieq µ (x)e−iqα̂(x) F̂ (x) + iq∂ µ α̂(x) e−iqα̂(x) F̂ (x) das Quantenfeld = e−iqα̂(x) ∂ µ F̂ (x) + ieq µ (x)e−iqα̂(x) F̂ (x) = e−iqα̂(x) Dµ F̂ (x) (5.7.19) lässt sich dann die Invarianz h i L0F F̂ 0† (x), Dµ0 F̂ 0† (x), F̂ 0 (x), D0µ F̂ 0 (x) h i = L0F F̂ † (x)e+iqα̂(x) , Dµ F̂ † (x) · e+iqα̂(x) , e−iqα̂(x) F̂ (x), e−iqα̂(x) Dµ F̂ (x) h i = L0F F̂ † (x), Dµ F̂ † (x), F̂ (x), Dµ F̂ (x) zeigen. Damit enthält die Lagrange-Dichte h i LFA-Theorie = L0F F̂ † (x), Dµ F̂ † (x), F̂ (x), Dµ F̂ (x) + LMaxwell (5.7.20) automatisch die richtigen Kopplungsterme zwischen dem Quantenfeld F̂ (x) und dem Maxwell-Feld. Man spricht von minimaler eichinvarianter Ankopplung des Maxwell-Feldes, die eine Konsequenz der Forderungen nach Lorentz-, Skalen- und Eichinvarianz ist sowie der Tatsache, dass die partielle Ableitung und das Maxwell-Feld die gleiche Skalendimension besitzen. Der Wechselwirkungsterm der Lagrange-Dichte der so gekoppelten F-A-Theorie ist dann h i L1FA = L0F F̂ † (x), Dµ F̂ † (x), F̂ (x), Dµ F̂ (x) h i − L0F F̂ † (x), ∂µ F̂ † (x), F̂ (x), ∂ µ F̂ (x) . (5.7.21) KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 212 Die Lagrange-Dichte der Quanten-Elektrodynamik in dieser Formulierung h i LQED = LDirac Ψ̂† (x), Dµ Ψ̂† (x), Ψ̂(x), Dµ Ψ̂(x) + LMaxwell 1 ˆ = Ψ(x) iγµ ∂ µ + ieq µ (x) − m Ψ̂(x) − Fµν F µν 4 (5.7.22) ist natürlich die bereits bekannte Lagrange-Dichte. Die zugehörigen lokalen Eichtransformationen sind Ψ̂(x) → e−iqα̂(x) Ψ̂(x) Ψ̂† (x) → Ψ̂† (x)e+iqα̂(x) 1 µ (x) → µ (x) + · ∂ µ α̂(x) e (5.7.23) (5.7.24) . (5.7.25) Das Noether-Theorem liefert für diese lokalen Eichtransformationen keine neuen Erhaltungsgröÿen, sondern nur den schon bekannten Stromoperator. Im Standardmodell sind nun abgesehen von den Neutrinos alle Fermionen geladen. Damit beschreibt LSTM QED-Fermionen i X hˆ ˆ (x)γ Ψ̂ (x)µ (x) ΨL (x) (iγµ ∂ µ − mL ) Ψ̂L (x) − eqL Ψ = L µ L L=e,µ,τ + i X hˆ ˆ (x)γ Q̂ (x)µ (x) Qf (x) (iγµ ∂ µ − mf ) Q̂f (x) − eqf Q µ f f f =1,6 1 − F̂ µν F̂µν 4 (5.7.26) vollständig die elektrische Wechselwirkung des fermionischen Sektors der QED, wobei der Index L über die geladenen Fermionen und der Index f über die Flavours der Quarks läuft. Für die Feldoperatoren der Quarks wurde eine extra Bezeichnung eingeführt, da sich im Rahmen der Quanten-Chromodynamik zeigen wird, dass ihre Feldoperatoren sich aus drei Dirac-Spinoren aufbauen, die mit den Farben rot, blau und grün bezeichnet werden: Ψ̂rot (x) Q̂(x) = Ψ̂grün (x) Ψ̂blau (x) (5.7.27) 5.8. SKALARE ELEKTRODYNAMIK 213 Die Quarks unterliegen im Gegensatz zu den Leptonen alle der starken Wechselwirkung, die sich aus dem Aufbau der Feldoperatoren der Quarks ergibt. Dies wird detailliert im Kapitel Quanten-Chromodynamik abgeleitet werden. 5.8 Skalare Elektrodynamik Die vorstehenden Überlegungen lassen sich direkt auf die verschiedenen Wechselwirkungen anwenden. So wird die Wechselwirkung zwischen einem geladenem Skalarfeld und dem Maxwell-Feld durch die Lagrange-Dichte der skalaren Elektrodynamik i h LSED = Lg-Skalar Φ̂† (x), Dµ Φ̂† (x), Φ̂(x), Dµ Φ̂(x) + LMaxwell = ∂µ Φ̂† (x) − Φ̂† (x) · ieq µ (x) · ∂ µ Φ̂(x) + ieq µ (x) · Φ̂(x) 1 − m2 Φ̂† (x)Φ̂(x) − Fµν F µν 4 (5.8.1) beschrieben, die entsprechend ihrer Konstruktion invariant bei den lokalen Eichtransformationen Φ̂(x) → e−iqα̂(x) Φ̂(x) † † Φ̂ (x) → Φ̂ (x)e (5.8.2) +iq α̂(x) µ (x) → µ (x) + (5.8.3) 1 µ · ∂ α̂(x) e (5.8.4) ist. Der Wechselwirkungsteil der Lagrange-Dichte ergibt sich aus obiger Beziehung zu L1SED = ieq · ∂µ Φ̂† (x) · Φ̂(x)µ (x) − ieq Φ̂† (x) · ∂µ Φ̂(x) · µ (x) + (eq)2 Φ̂† (x)Φ̂(x)µ (x)µ (x) . (5.8.5) Da in dem Wechselwirkungsteil zeitliche Ableitungen vorkommen, sind die kanonisch konjugierten Operatoren π̂(x) = π̂ † (x) = ∂L ∂(∂0 Φ̂(x)) ∂L ∂(∂0 Φ̂† (x)) = ∂ 0 Φ̂† (x) − ieq Â0 (x)Φ̂† (x) = ∂ 0 Φ̂(x) + ieq Â0 (x)Φ̂(x) (5.8.6) . (5.8.7) Im Gegensatz zum Wechselwirkungsbild treten im Heisenberg-Bild damit Terme auf, die der Wechselwirkung Rechnung tragen. Aus diesem Grunde sind im Heisenberg-Bild für die Operatoren die Vertauschungsrelationen auch nur für gleiche Zeiten angebbar. KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 214 5.9 Exkurs: Eektive Feldtheorien Dieser Abschnitt soll die Überlegungen zu den Quantenfeldtheorien etwas vertiefen und in einen breiteren Kontext einbetten. Die Ergebnisse werden in den folgenden Kapiteln nicht weiter verwendet und deshalb sind auch nicht alle Rechnungen im Detail ausgeführt. Bei der Formulierung der Quanten-Elektrodynamik ist für niedrige Energien der Einuss des Higgs-Bosons vernachlässigt worden, da dieses eine sehr groÿe Masse besitzt und deshalb bei niedrigen Energien nicht auftreten kann. Trotzdem treten aber Eekte des Higgs-Bosons auch bei niedrigen Energien auf. Im Kapitel zur Störungstheorie war für den Austausch eines neutralen Spin-0 Teilchens zwischen zwei Fermionen die Feynman-Amplitude MfSP pmi , σm ) i = u(0, σm )(−ig)u(~ i · (pmi − pmf )2 − m2h · u(0, σM )(−ig)u(−~ pmi , σM ) (5.9.1) abgeleitet worden. Hat ein Beobachter keine Kenntnis von dem schweren HiggsBoson, würde er bei niedrigen Energien lediglich die Feynman-Amplitude MfSP pmi , σm ) · ige · u(0, σM )u(−~ pmi , σM ) i = u(0, σm )u(~ mit einer eektiven Kopplungskonstanten ge (5.9.2) sehen. Die Auösung von ge in seine einzelnen Elemente wäre ihm nicht möglich. Dies bedeutet, dass die Wechselwirkung für diesen Beobachter wie eine direkte Fermion-Fermion-Wechselwirkung Ψo1 Ψo2 Ψi1 Ψi2 aussieht, der die Lagrange-Dichte 2 ˆ Le 1ΨΨ = ge Ψ(x)Ψ̂(x) (5.9.3) 5.9. EXKURS: EFFEKTIVE FELDTHEORIEN 215 zuzuordnen ist. Bei niedrigen Energien ist die Masse des Higgs-Bosons groÿ gegen die übertragenen Energien, was zu der in diesem Fall erlaubten Näherung (−ig)2 ge = ≈ (pmi − pmf )2 − m2h g mh 2 (5.9.4) führt. Berücksichtigt man diesen Term, wird die so entstehende eektive Theorie durch die Lagrange-Dichte 1 µν ˆ µ Le QED = Ψ(x) (iγµ ∂ − m) Ψ̂(x) − 4 F̂ F̂µν 2 g ˆ Ψ̂(x) 2 ˆ µ Ψ(x) Ψ̂(x)  (x) + − eq Ψ(x)γ µ mh (5.9.5) beschrieben, wobei der zusätzliche Term wegen der groÿen Masse des HiggsBosons stark unterdrückt ist. Das vorstehende Beispiel steht für ein allgemeines Prinzip. Wenn man schwere Teilchen einer fundamentalen Theorie, die erst bei einer Energieschwelle M auftreten können, nicht mit in die Lagrange-Dichte zur Beschreibung des Verhaltens bei niedrigen Energien aufnimmt, so lässt sich allgemein zeigen, dass die Lagrange-Dichte dieser eektiven Theorie aus allen Termen der leichten Teilchen, die konsistent mit den Symmetrien der Theorie sind, gebildet wird. Ist Le 1O = ge · Ô(x) mit [ Ô(x) ] = 4+n (5.9.6) ein solcher Term, so wird die eektive Kopplungskonstante mit der n-ten Potenz der Energieschwelle ge = c · g n M (5.9.7) unterdrückt. Ist die Energieschwelle sehr groÿ gegen den betrachteten Energiebereich, so sind bei einer Beschreibung der Theorie nur mit den leichten Teilchen die notwendigen Korrekturen durch die schweren Teilchen entsprechend klein. In einer eektiven Theorie können danach im Gegensatz zu einer fundamentalen Theorie auch Wechselwirkungsterme mit höherer Skalendimension auftreten. Das Phänomen der Entkopplung schwerer Teilchen in der Beschreibung eines Systems wird als Appelquist-Carazzone Theorem bezeichnet. Es lässt sich im Rahmen der Renormierungstheorie streng beweisen. Die Darstellung durch eine eektive Feldtheorie ist jedoch nur bis zu einer bestimmten Energieschwelle KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 216 gültig und je näher sich ein untersuchter Energiebereich dieser Energieschwelle nähert, umso gröÿer wird die Abweichung von der zugrunde liegenden fundamentalen Theorie. Dies bedeutet umgekehrt, dass bei genügend niedrigen Energien jede eektive Feldtheorie wie eine skaleninvariante Quantenfeldtheorie aussieht. In diesem Sinne wird von vielen Physikern angenommen, dass auch das Standardmodell nur eine eektive Feldtheorie ist. Das historische Beispiel einer eektiven Feldtheorie ist die Heisenberg-EulerTheorie, die die Photon-Photon-Wechselwirkung bei niedrigen Energien beschreibt. Sie ist das am Besten untersuchte Beispiel einer solchen Theorie und geht von der Quanten-Elektrodynamik als fundamentale Theorie aus. Bei Energien kleiner als die Elektronenmasse können Elektronen und Positronen zwar nicht erzeugt werden, als virtuelle Teilchen aber zum Beispiel über den Feynman-Graphen γo1 γo2 γi1 γi2 eine indirekte Photon-Photon-Wechselwirkung vermitteln. Die Terme mit der niedrigsten Skalendimension, die alle Symmetrien der Quanten-Elektrodynamik erfüllen, enthalten jeweils vier Faktoren F̂ µν . Da nur zwei solche vonein- ander unabhängige Terme existieren, hat die zugehörige Lagrange-Dichte der eektiven Feldtheorie zur Beschreibung der Photon-Photon-Wechselwirkung in niedrigster Ordnung die Form: 1 µν Le Euler-Heisenberg = − 4 F̂ F̂µν √ !4 2 e/ 4π + c1 F̂ µν F̂µν + c2 m √ !4 e/ 4π F̂ µν F̂νρ F̂ ρσ F̂σµ m (5.9.8) Die beiden zusätzlichen Terme in der Lagrange-Dichte haben die Skalendimension 8 = 4+4 und müssen damit mit einem Faktor proportional zu unterdrückt sein. Die beiden Koezienten c1 und c2 1/m4 können über ein Ex- periment bestimmt oder aus der Feynman-Amplitude des oben angegebenen 5.9. EXKURS: EFFEKTIVE FELDTHEORIEN 217 Feynman-Graphen mit Hilfe der Quanten-Elektrodynamik ermittelt werden. Die konkrete Berechnung liefert die Werte c1 = − 5 180 und c2 = + 14 180 . (5.9.9) Die Gröÿe der Photon-Photon-Wechselwirkung ist im allgemeinen jedoch vernachlässigbar. Ein Zahlenbeispiel (in SI-Einheiten): Der Wechselwirkungsterm ist eine Summe von Produkten aus je vier Ableitungen. Jede Ableitung liefert einen Faktor proportional zu ω. Bei einer Wellenlänge von λ = 500nm, d.h. im Bereich des sichtbaren Lichtes, ist die Feynman-Amplitude dann proportional zu e ~ω √ · 4π mc2 4 = 1 137 2 0, 5 · 10−5 4 = 3.3 · 10−26 . (5.9.10) Photonen können damit für alle praktischen Belange als unabhängig voneinander angesehen werden. Weil Lagrange-Dichten eektiver Feldtheorien Terme mit einer Skalendimension gröÿer vier haben, sind sie allerdings nicht mehr renormierbar. Dies ist unkritisch, da sie bei höheren Energien ihre Gültigkeit verlieren und deshalb nur mit Energien bis zu einer bestimmten Schwelle gerechnet werden darf. Die Überlegungen dieses Kapitels sollen jetzt auf die Wechselwirkung zwischen einem Spin-2 Teilchen -dem Graviton- und der restlichen Materie angewendet werden. Das Gravitonfeld wird in kovarianter Formulierung durch einen zweistugen, symmetrischen Tensoroperator ĥµν (x) = ĥνµ (x) (5.9.11) repräsentiert und muss ähnlich wie das Maxwell-Feld invariant unter Eichtransformationen ĥ0µν (x) = ĥµν (x) + ∂ν êµ (x) + ∂µ êν (x) (5.9.12) sein. Die Forderungen nach Lorentz-Invarianz, Eichinvarianz sowie gleicher Skalendimension aller Terme legt die aus dem Gravitonfeld und seinen Ableitungen aufzubauende freie Lagrange-Dichte des Gravitons bis auf eine ViererDivergenz vollständig fest LGraviton = 1 1 ∂ν ĥρµ (x)∂ ν ĥρµ (x) − ∂µ ĥρρ (x)∂ µ ĥρρ (x) 4 4 1 1 + ∂ρ ĥνν (x)∂µ ĥρµ (x) − ∂ ν ĥνρ (x)∂µ ĥµρ (x) , 2 2 (5.9.13) KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 218 wobei die Vorzeichenkonvention der Teilchenphysiker verwendet wurde. Wie beim Maxwell-Feld ist auch beim Gravitonfeld für konkrete Rechnungen eine geeignete Eichung zu wählen. Wählt man den DeDonder-Eichterm 1 LEichterm = 2 ∂ν ĥνµ (x) 1 − ∂µ ĥνν (x) 2 1 µ ν νµ ∂ν ĥ (x) − ∂ ĥν (x) 2 (5.9.14) führt dies auf die eichxierte Lagrange-Dichte 1 LGraviton + LEichterm = ∂λ ĥρσ (x) 2 1 ρµ σν 1 ρσ µν g g − g g ∂ λ ĥµν (x) , 2 4 (5.9.15) aus der sich der im Kapitel Störungstheorie verwendete Feynman-Propagator g µρ g νσ + g µσ g νρ − g µν g ρσ k2 PFµν;ρσ (k) = (5.9.16) des Gravitons ergibt. Das Gravitonfeld ist eichinvariant und kann deshalb wie das Maxwell-Feld nur an einen erhaltenen Strom koppeln, da sonst die Lagrange-Dichte nicht eichinvariant wird. Das Gravitonfeld ist ein zweistuges Tensorfeld und deshalb muss auch der erhaltene Strom ein zweistuger Tensor sein. Das einzige erhaltene zweistuge Tensorfeld eines Systems ist nun aber der Energie-Impulsdichte Tensor. Der Wechselwirkungsterm zwischen dem Gravitonfeld und den anderen Quantenfeldern kann deshalb nur L1h = − κ · T̂µν (x)ĥµν (x) 2 (5.9.17) sein. Der Faktor 1/2 ist dabei reine Konvention. Aus den Skalendimensionen [ T̂ µν (x) ] = +4 (5.9.18) [ ĥµν (x) ] = +1 (5.9.19) folgt, dass der Wechselwirkungsterm die Skalendimension +5 besitzt und deshalb nur zu einer eektiven Theorie gehören kann. Die Quantengravitation ist keine fundamentale Theorie. Im Kapitel zur Störungstheorie war gezeigt worden, dass die Kopplungskonstante κ wegen G = 6.709 · 10−39 −2 GeV = √ 16πG (5.9.20) wie erwartet sehr klein; d.h. die gravitative Kopplung stark unterdrückt ist. In den gewählten Einheiten (~ = c = 1) muss deshalb ungefähr bei der so genannten Planck-Masse r mPlanck = ~c 1 = √ = 1.22 · 1019 GeV G G (5.9.21) 5.9. EXKURS: EFFEKTIVE FELDTHEORIEN 219 eine neue Physik auftreten. Dies ist plausibel, da bei diesen Energien die Quanteneekte und die Gravitationseekte in die gleiche Gröÿenordnung kommen. Die Quantengravitation ist nicht renormierbar und kann als eektive Feldtheorie deshalb auch nur bis zu dieser Energieschwelle angewendet werden. Zur Darstellung der vollständigen Theorie der Wechselwirkung zwischen dem Gravitonfeld und den anderen Quantenfeldern ist es zweckmäÿig von der äquivalenten Lagrange-Dichte LGraviton = mit und 1 2 1 L R̂µν − gµν R̂L ĥµν (x) 2 (5.9.22) L R̂L = g µν R̂µν 1 L ∂µ ∂ ρ ĥρν (x) − ∂ ρ ∂ρ ĥµν (x) − ∂µ ∂ν ĥρρ (x) + ∂ν ∂ ρ ĥρµ (x) R̂µν = 2 , die sich durch Addition einer Vierer-Divergenz zu der ursprünglichen LagrangeDichte ergibt, auszugehen. Wie man leicht überprüft ist L R̂µν eichinvariant und, um die Eichinvarianz der vollständigen Lagrange-Dichte in dieser Form zu zeigen, muss man die Identität 1 L ∂ µ R̂µν − gµν R̂L = 0 2 (5.9.23) ausnutzen. Damit erhält man schlieÿlich die Lagrange-Dichte 1 Le QG = 2 L R̂µν κ 1 L ĥµν (x) − · T̂µν (x)ĥµν (x) + LM − gµν R̂ 2 2 aus der man unter Beachtung der Struktur h∂∂h (5.9.24) der Terme in der Lagrange- Dichte die Euler-Lagrange-Gleichungen κ 1 L R̂µν − gµν R̂L = · T̂µν (x) 2 2 (5.9.25) für das Gravitonfeld ablesen kann. Dieser Darstellung der Bewegungsgleichung kann man sofort entnehmen, dass sie der Einstein-Gleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie κ2 1 · Tµν (x) Rµν − gµν (x)R = 2 2 (5.9.26) entspricht, wenn man zu Operatoren übergeht und das Gravitonfeld mit einer schwachen Anregung der Metrik ĝµν (x) = gµν + κ · ĥµν (x) (5.9.27) KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 220 identiziert. Nun kann man auch aus der Lagrange-Dichte des Gravitonfeldes einen Energie-Impulsdichte Tensor ableiten. Berücksichtigt man dies im Wechselwirkungsterm, ergeben sich Selbstwechselwirkungen des Gravitonfeldes. Auf diese Weise erhält man eine modizierte Lagrange-Dichte. Diese neue LagrangeDichte ist nun allerdings nicht mehr konsistent mit dem im Wechselwirkungsterm verwendeten Energie-Impulsdichte Tensor. Dies zeigt, dass es nicht möglich ist, dem Gravitonfeld auf diese Weise einen Energie-Impulsdichte Tensor zuzuordnen. Mit einer geeignet denierten Selbstwechselwirkung des Gravitonfeldes mit sich selbst kann man aber in einer iterativen Prozedur die vollständigen, nichtlinearen Einstein-Gleichung gewinnen. Damit kann auch die Allgemeine Relativitätstheorie aus den hier diskutierten Konzepten abgeleitet werden. Ist die Materie das freie Dirac-Feld, ergibt sich der Energie-Impulsdichtetensor der Materie unter Ausnutzung der freien Bewegungsgleichungen der beiden Spinorfelder zu ∂LDirac ˆ ∂ν Ψ̂(x) + ∂ν Ψ(x) − gµν LDirac ˆ ∂(∂ µ Ψ(x)) i 1h ˆ ˆ iΨ(x)γµ ∂ν Ψ̂(x) − ∂ν Ψ(x) = iγµ Ψ̂(x) . 2 Materie (x) = T̂µν ∂LDirac ∂(∂ µ Ψ̂(x)) (5.9.28) Damit wird der Wechselwirkungsteil der Lagrange-Dichte L1Ψh = − i κ 1h ˆ ˆ · iΨ(x)γµ ∂ν Ψ̂(x) − ∂ν Ψ(x) iγµ Ψ̂(x) · ĥµν 2 2 , (5.9.29) woraus der im Kapitel Störungstheorie verwendete Vertexfaktor i − · κγµ (piν + pf ν ) 4 (5.9.30) für die Spinor-Graviton-Wechselwirkung folgt. Das Tensorfeld ĥµν (x) beschreibt nach den vorstehenden Ausführungen den Raum selbst und kann deshalb auch nur näherungsweise als Teilchen in diesem beschrieben werden. 5.10. ZUSAMMENFASSUNG 221 5.10 Zusammenfassung Das Cluster-Dekompositionsprinzip führt für die Wahrscheinlichkeitsamplitude eines zusammenhängenden Feynman-Graphen zu der Bedingung h ~y2 + ~a, ~x2 | Ŝ |~x1 , ~y1 + ~a i −→ 0 |~a| −→ ∞ , für die impliziert, dass der Hamilton-Operator aus einer Hamilton-Dichte von normalgeordneten Produkten der Feldoperatoren und deren Ableitungen aufgebaut ist. Zur weiteren Bestimmung des Wechselwirkungsteils einer HamiltonDichte ist der Übergang in den Lagrange-Formalismus zweckmäÿig. Der Lagrange-Formalismus arbeitet mit dem Heisenberg-Bild, in welchem die Dynamik eines Systems vollständig durch die Operatoren getragen wird |η(t)i = const. h i d Ô(t) = i Ĥ, Ô(t) dt . Dem Lagrange-Formalismus liegt das Variationsprinzip δW = 0 mit dem Wir- kungsintegral Z W = Ld4 x zugrunde. Ist die Lagrange-Dichte ein hermitescher Skalar, sind die aus dem Lagrange-Formalismus für die Feldoperatoren F̂n (x) folgenden Euler-Lagrange- Gleichungen ∂L ∂ F̂n (x) −∂ ∂L µ ! =0 ∂(∂ µ F̂n (x)) Lorentz-invariant. Die zugehörige Hamilton-Dichte ergibt sich aus einer Lagrange-Dichte durch die Legrende-Transformation Ĥ(x) = X π̂n (x)∂0 F̂n (x) − L n mit dem kanonisch konjugierten Operator π̂n (x) = ∂L ∂(∂0 F̂n (x)) . KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 222 Die Euler-Lagrange-Gleichung des Lagrange-Formalismus und die quantenmechanische Heisenberg-Bewegungsgleichung des Hamilton-Formalismus stimmen überein, wenn für die Feldoperatoren und deren kanonisch konjugierten Operatoren für gleiche Zeiten die Vertauschungsrelationen h i F̂n (~x, t), π̂n (~y , t) ∓ i h F̂n (~x, t), F̂n (~y , t) ∓ h i π̂n (~x, t), π̂n (~y , t) ∓ = iδ 3 (~x − ~y ) = 0 = 0 gelten. Die freien Lagrange-Dichten der verschiedenen Quantenfelder sind LSkalar = LDirac = LMaxwell = 1 1 ∂µ Φ̂(x)∂ µ Φ̂(x) − m2 Φ̂2 (x) 2 2 ˆ Ψ(x) (iγ ∂ µ − m) Ψ̂(x) µ 1 − F̂ µν F̂µν 4 . Für die Auswertung der Lagrange-Dichte eines Systems ist das Noether-Theorem: Ist das Wirkungsintegral bei der innitesimalen Sym- metrietransformation xµ −→ xµ + X µν · δν F̂n −→ F̂n + fnν · δν invariant, dann ist der Stromoperator Jˆµν (x) = X ∂L n ∂(∂µ F̂n (x)) h i fnν − X νρ ∂ρ F̂n (x) + X µν L divergenzfrei ∂µ Jˆµν (x) = 0 und der Operator ν Q̂ = Z Jˆ0ν (x)d3 x eine Erhaltungsgröÿe des Systems bei der Symmetrietransformation. 5.10. ZUSAMMENFASSUNG 223 von zentraler Bedeutung, weil es eine einfache Bestimmung der Erhaltungsgröÿen eines Systems ermöglicht. Aufgrund der Eichinvarianz des Maxwell-Feldes kann dieses nur an einen erhaltenen Strom ankoppeln. Zusammen mit der Forderung nach Lorentz- und Skaleninvarianz ergibt sich mit der eichinvarianten Ableitung die Lagrange-Dichte h i LFA-Theorie = L0F F̂ † (x), Dµ F̂ † (x), F̂ (x), Dµ F̂ (x) + LMaxwell für die Wechselwirkung zwischen einem Quantenfeld F̂ (x) und dem Maxwell- Feld. Diese Lagrange-Dichte ist invariant bei lokalen Eichtransformationen F̂ (x) → e−iqα̂(x) F̂ (x) F̂ † (x) → F̂ † (x)e+iqα̂(x) 1 µ (x) → µ (x) + · ∂ µ α̂(x) e . Die elektrische Wechselwirkung des vollständigen fermionischen Sektors des Standardmodells wird durch die Lagrange-Dichte LSTM QED-Fermionen = ˆ (x) (iγ Dµ − m ) Ψ̂ (x) Ψ L µ L L X L=e,µ,τ + X ˆ Qf (x) (iγµ Dµ − mf ) Q̂f (x) f =1,6 1 − F̂ µν F̂µν 4 = i X hˆ ˆ (x)γ Ψ̂ (x)µ (x) ΨL (x) (iγµ ∂ µ − mL ) Ψ̂L (x) − eqL Ψ L µ L L=e,µ,τ + i X hˆ ˆ (x)γ Q̂ (x)µ (x) Qf (x) (iγµ ∂ µ − mf ) Q̂f (x) − eqf Q µ f f f =1,6 1 − F̂ µν F̂µν 4 beschrieben. Ihre Masse erhalten die Fermionen dabei über den Higgs-Mechanismus. Das dazugehörige Higgs-Boson muss allerdings eine sehr groÿe Masse besitzen, da es bei den bisher in Teilchen-Beschleunigern erreichten Energien noch nicht beobachtet wurde. KAPITEL 5. QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK 224 Bei niedrigen Energien kann die indirekte Photon-Photon-Wechselwirkung der Quanten-Elektrodynamik durch die Euler-Heisenberg-Theorie 1 µν Le Euler-Heisenberg = − 4 F̂ F̂µν √ !4 2 e/ 4π + c1 F̂ µν F̂µν + c2 m √ !4 e/ 4π F̂ µν F̂νρ F̂ ρσ F̂σµ m als eektive Feldtheorie beschrieben werden. Wendet man die in diesem Kapitel entwickelten Konzepte auf das Spin-2 Feld an, erhält man die Lagrange-Dichte 1 Le QG = 2 1 κ L L R̂µν − gµν R̂ ĥµν (x) − · T̂µν (x)ĥµν (x) + LM 2 2 der Quantengravitation, die zu der linearisierten Einstein-Gleichung 1 κ L R̂µν − gµν R̂L = · T̂µν (x) 2 2 führt. 225 Kapitel 6 Quanten-Chromodynamik Das Quark-Parton-Modell zur Darstellung von Hadronen als gebundene Zustände der Quarks wird eingeführt und daraus die Invarianz bei Drehungen im so genannten Farbraum abgeleitet. Dies führt dann zu der Lagrange-Dichte für die dynamische Beschreibung der starken Wechselwirkung. Es wird gezeigt, wie ungewollte Beiträge der Pseudogluonen in Störungsrechnungen durch Beiträge von Geistfeldern kompensiert werden können. Abschlieÿend erfolgt die Festlegung der physikalisch zulässigen Zustände mit Hilfe der BRST-Symmetrie. 6.1 Das Quark-Parton-Modell Die klassische Periode der Teilchenphysik begann 1897 mit der Entdeckung des Elektrons durch J.J.Thompson und endete 1932 mit der Entdeckung des Neutrons durch J.Chadwick. Zusammen mit dem Proton sind dies die Bausteine der Atome. Ein Atom besteht aus Z Protonen und N Neutronen im Kern, um den sich nach dem klassischen Atommodell Z Elektronen in der Hülle verteilen, die die Ladung des Kerns kompensieren. Die Stabilität der Atomkerne wird, wenn man die relativ geringen Bindungsenergien der Elektronen an das Atom vernachlässigt, durch ihre Bindungsenergie bestimmt, die sich aus der Dierenz der Masse M des Atoms und der Summe der Massen seiner Bestandteile B(Z, N ) = mit Z · (mp + me ) + N · mn − M mp = 938.272 MeV mn = 939.566 MeV me = 0.511 MeV (6.1.1) KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 226 ergibt. Typische Bindungsenergien sind dabei in der Gröÿenordnung von 1% der Kernmasse. Dieser so genannte Massedefekt war einer der ersten experimentellen Beweise der Masse-Energie-Relation E = mc2 . Aus dem Atommo- dell ergab sich sofort die Frage, was den Kern zusammenhält, da die Protonen sich aufgrund ihrer Nähe im Kern ja gegenseitig stark abstoÿen sollten. Es musste also eine Kraft geben, die stärker als die abstoÿende elektrische Kraft ist und deshalb starke Kraft genannt wurde. Die erste bedeutende Theorie der starken Kraft legte 1934 H.Yukawa vor, der sie durch den Austausch von Spin-0 Teilchen erklärte (siehe hierzu (4.5.27)). 10−15 m der starken Kraft schätzte er die ≈ 200MeV (siehe hierzu (1.3.20)). Ein pas- Aus der geringen Reichweite von Masse der Austauschteilchen auf sendes Teilchen wurden 1947 in der kosmischen Strahlung entdeckt und als Pion mit einer Masse von ≈ 140MeV klassiziert. Ab 1947 fand man jedoch immer mehr Teilchen, die der starken Wechselwirkung unterlagen. Mittlerweile listet die Standard Referenz Particle Data Booklet weit mehr als 100 experimentell nachgewiesene Hadronen (Teilchen, die an der starken Wechselwirkung teilnehmen) auf und deren Anzahl nimmt mit immer höher werdenden Energien bei den Teilchenbeschleunigern weiter zu. Die Untersuchung der Protonen und Neutronen zeigte, dass ähnliche Anregungsspektren wie bei Atomen auftreten. Zudem zeigten hochenergetische Streuversuche, dass Protonen und Neutronen eine innere Struktur mit drei Streuzentren besitzen. Dies legte es nahe anzunehmen, dass die Hadronen aus noch fundamentaleren Teilchen -den Quarks- aufgebaut sind. Die Verikation dieser Idee war eine rein kombinatorische Aufgabe: Wie viele Quarks mit welchen Eigenschaften sind notwendig, damit sich mit ihnen die Grundzustände der Hadronen erklären lassen? Dies führte schlieÿlich zu den Quarks Quarkavour Masse Ladung +2/3 −1/3 u-Quark 1.5-3.3 MeV d-Quark 3.5-6.0 MeV c-Quark 1270 MeV s-Quark 105 MeV t-Quark 171.3 GeV b-Quark 4.2 GeV +2/3 −1/3 +2/3 −1/3 und dem Quark-Parton-Modell für die Hadronen. Wie bei der elektrischen Wechselwirkung wird bei der starken Wechselwirkung angenommen, dass die 6.1. DAS QUARK-PARTON-MODELL 227 Quarks starke Ladungen tragen. Die Bezeichnung der Ladungen der starken Wechselwirkung basiert auf einem Analogum zur Theorie der Farben. Das Quark-Parton-Modell besagt, dass • jedes Quark mit den Farbladungen rot, grün und blau auftreten kann • alle natürlich auftretenden Teilchen farblos sind und dass die einzigen möglichen farblosen Kombinationen • rot+antirot oder grün+antigrün oder blau+antiblau • rot+grün+blau oder antirot+antigrün+antiblau sind. Hadronen können deshalb nur aus einem Quark und einem Antiquark (Mesonen) oder aus drei Quarks (Baryonen) bestehen. Trotz der elektrischen Drittelladungen der Quarks besitzen alle Hadronen aufgrund ihrer Zusammensetzung jedoch immer nur ganzzahlige Ladungen. Da Quarks selbst nicht farblos sind, erklärt das Quark-Parton-Modell auch, warum freie Quarks nicht beobachtet werden. Quarks sind grundsätzlich in farbneutralen Hadronen eingeschlossen. Der farbneutrale Zustand muss der energetisch bevorzugte Bindungszustand der Quarks sein. Als Analogie kann man die elektromagnetische Wechselwirkung nehmen, die zur Bildung elektrisch neutraler Atome führt. Der wesentliche Unterschied ist aber, dass man durch Zufuhr entsprechend hoher Energien jedes Atom wieder in seine elektrisch geladenen Teile trennen kann, während dies bei Hadronen nicht möglich ist. Versucht man zwei Quarks zu trennen, führt die aufgewendete Energie lediglich zur Bildung von Quark-Antiquark Paaren, d.h. zu zusätzlichen Mesonen. Die Eigenschaften der bis 1947 bekannten Hadronen sind in nachstehender Tabelle zusammengefasst, wobei Antiquarks durch einen Querstrich gekennzeichnet sind. Hadronen Quarkinhalt Spin Ladung p+ Neutron n Proton Pion Pion Pion π0 π+ π− uud 1/2 udd 1/2 Masse +1 −1 938.3 MeV 939.6 MeV uu;dd 0 0 135.0 MeV ud 0 139.6 MeV ud 0 +1 −1 139.6 MeV KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 228 Mit 2.4MeV und 4.8MeV sind die Massen des u-Quarks und des d-Quarks relativ klein, während die Masse z.B. des Protons demgegenüber sehr groÿ ist. Der Grund für die groÿe Protonenmasse liegt in der sehr kurzen Reichweite der starken Wechselwirkung, die dazu führt, dass die einzelnen Quarks im Proton auf ein Volumen von ungefähr (10−15 m)3 lokalisiert werden. Nach der Unschärferelation besitzt ein derart lokalisiertes Quark in jede räumliche ≈ 200MeV, was p Eu ≈ 3 · (200)2 + 2.42 p Ed ≈ 3 · (200)2 + 4.82 Richtung einen Impuls von insgesamt zu der Energie von MeV ≈ 346MeV MeV ≈ 346MeV führt. Man sieht, dass die Bindungszustände der leichten Quarks so gut wie unabhängig von ihren Massen sind. Die genaue Analyse ergibt für obige so genannten eektiven Massen des u-Quarks und des d-Quarks in Baryonen 363MeV und in Mesonen 310MeV. Die detaillierte Beschreibung der Hadronen erfordert die Betrachtung von Mehrteilchenzuständen aus Quarks. Bei dem Aufbau von Baryonenzuständen aus einzelnen Quarkzuständen ist dabei eine subtile Besonderheit zu beachten, die sich aus den beobachtbaren Teilchenzerfällen −→ p+ + e− + ν e n − − π −→ µ + ν µ (6.1.2) (6.1.3) ergibt. Wie sich zeigen wird, können diese Teilchenzerfälle nicht durch die starke Wechselwirkung erklärt werden. Es muss also eine weitere Wechselwirkung geben, die wegen des relativ langsamen Zerfalls der Teilchen als schwache Wechselwirkung bezeichnet wird. Die Details der schwachen Wechselwirkung sind an dieser Stelle nicht relevant, wichtig ist hier nur, dass obige Teilchenzerfälle überhaupt auftreten. Im Quark-Parton-Modell sind die beiden Zerfälle etwas genauer durch n(udd) −→ p+ (udu) + e− + ν e − − π (ud) −→ µ + ν µ (6.1.4) (6.1.5) beschreibbar. Beim Neutronenzerfall liegt oenbar die Umwandlung eines uQuarks in ein d-Quark vor, während beim Pionenzerfall ein Anti-u-Quark und ein d-Quark verschwinden. Dies impliziert, dass die unterschiedlichen Quarkavour nur verschiedene Zustände eines einzigen Teilchens sind, da entsprechend dem Aufbau der Hamilton-Dichte aus Feldoperatoren bei allen physikalischen Vorgängen die Anzahl der Teilchen einer Teilchensorte erhalten bleibt, wenn 6.1. DAS QUARK-PARTON-MODELL 229 Teilchen mit +1 und Antiteilchen mit 1 gezählt werden. In diesem Sinne ist der Quarkavour nichts anderes als eine Quantenzahl dieser einen Quarksorte. Das u-Quark und das d-Quark sind also lediglich verschiedene Ladungszustände eines einzigen Teilchens. Die unterschiedliche Kopplung mit dem Higgs-Feld ist bei dieser Betrachtung durch die unterschiedlichen Ladungszustände erklärbar. Ähnliche Überlegungen können natürlich auch für die Leptonen durchgeführt werden. Da Leptonen miteinander keine gebundenen Zustände bilden, ist dies aber ohne praktische Relevanz. Sind nun zwei Quarkzustände mit den Quantenzahlen a und b, die auch den Quarkavour enthalten sollen, gegeben Teilchen A : |ηq ; ai Teilchen B : |ηq ; bi , so kann man aus diesen den Zweiteilchenzustand 1 |ηqq ; a, bi = √ ( |A; ηq ; ai |B; ηq ; bi − |A; ηq ; bi |B; ηq ; ai) 2 (6.1.6) bzw. in etwas vereinfachender Schreibweise 1 = √ ( |A; ai |B; bi − |A; bi |B; ai) 2 (6.1.7) aufbauen. Da Quarks Fermionen sind, ist er so konstruiert, dass bei Vertauschung der beiden Quarks |ηqq ; a, bi = − |ηqq ; b, ai gilt. Der Faktor √ 1/ 2 (6.1.8) ist für die richtige Normierung hηqq ; a, b|ηqq ; a, bi = 1 (6.1.9) notwendig. Ein Baryonenzustand ist ganz analog 1 |ηqqq ; a, b, ci = √ · xyz |A; xi |B; yi |C; zi 6 mit x, y, z ∈ {a, b, c} (6.1.10) mit Einteilchenzuständen darstellbar, wobei der vollständig antisymmetrische Tensor xyz zur übersichtlichen Schreibweise verwendet wurde. KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 230 Nun noch einmal zurück zum Atomkern, der ja aus Protonen und Neutronen besteht. Die abstoÿende elektrische Kraft zwischen den Protonen wird in dem einfachen Yukawa-Modell durch den Austausch von virtuellen Pionen + p+ 1 + p2 −→ 0 π + p+ 10 + p20 (6.1.11) mehr als kompensiert, wodurch die Protonen im Atomkern zusammengehalten werden. Warum aber zerfällt das Neutron im Atomkern nicht? Die Grund hierfür ist, dass im Atomkern durch den Austausch von geladenen Pionen ständig eine Umwandlung von Neutronen in Protonen und umgekehrt stattndet n + p+ −→ − p+ + n π −→ + n + p+ π . (6.1.12) Das Neutron hat hierdurch keine Zeit mehr zu zerfallen. Im Quark-PartonModell wird diese Umwandlung durch die zwei Teilprozesse n + p+ −→ (udd) + −→ (uud + ud) + (uud) (uud) −→ (uud) + (ud + uud) −→ (uud) + (udd) + (udd) + −→ p + n und p+ + n −→ (uud) −→ (udd + ud) + (uud) −→ (udd) + (ud + uud) −→ (udd) + −→ n + p (uud) + dargestellt. Die Kombinatorik des Quark-Parton-Modells erklärt auf diese relativ einfache und plausible Weise die Vielfalt der beobachtbaren Hadronen und phänomenologisch deren Wechselwirkungs- und Zerfallsprozesse. Da Hadronen zusammengesetzte Teilchen sind, kann die genaue Form der Wechselwirkung recht kompliziert sein. Um die starke Kraft im fundamentalen Bereich zu studieren, ist die Wechselwirkung zwischen den individuellen Quarks zu betrachten. Aus dieser Wechselwirkung muss sich letztlich das Quark-Parton-Modell ergeben. 6.2. SPINALGEBRA 231 6.2 Spinalgebra Eine Verfeinerung des Quark-Parton-Modells ergibt sich, wenn man den Spin explizit bei der Zustandsbeschreibung berücksichtigt. Hierzu ist zu analysieren wie der Spin eines Hadrons aus den Spins seiner Konstitutenquarks entsteht. Bezeichnet |ηAB ; s, s3 i einen Spineigenzustand eines Zweiteilchensystems der Quarks A und B, dann gilt wie auf den Seiten 48 -51 abgeleitet Ŝ 2 |ηAB ; s, s3 i = s(s + 1) · |ηAB ; s, s3 i Ŝ3 |ηAB ; s, s3 i = · |ηAB ; s, s3 i s3 2 Ŝ∓ Ŝ± = Ŝ − Ŝ32 ∓ Ŝ3 . (6.2.1) (6.2.2) (6.2.3) Dies ergibt mit 2 † Ŝ± |ηAB ; s, s3 i = hηAB ; s, s3 |Ŝ± Ŝ± |ηAB ; s, s3 i = hηAB ; s, s3 |Ŝ∓ Ŝ± |ηAB ; s, s3 i = hηAB ; s, s3 |Ŝ 2 − Ŝ32 ∓ Ŝ3 |ηAB ; s, s3 i = s(s + 1) − s23 ∓ s3 die wichtige Beziehung Ŝ± |ηAB ; s, s3 i = p s(s + 1) − s3 (s3 ± 1) · |ηAB ; s, s3 ± 1i . (6.2.4) Dabei ist der Zusammenhang zwischen den Spinoperatoren des zusammengesetzten Systems und den der Quarks Ŝ = ŜA + ŜB (6.2.5) Ŝ3 = ŜA3 + ŜB3 (6.2.6) Ŝ± = ŜA± + ŜB± (6.2.7) 2 2 Ŝ 2 = ŜA + ŜB + 2ŜA3 ŜB3 + ŜA+ ŜB− + ŜA− ŜB+ (6.2.8) Für die Konstitutenquarks gilt mit vereinfachten Bezeichnungen ( Quark A: |ηq ; s = 1/2, s3 i := ( Quark B: |ηq ; s = 1/2, s3 i := |A; ↑i |A; ↓i für |B; ↑i |B; ↓i für für für s3 = + 12 s3 = − 21 (6.2.9) s3 = + 12 s3 = − 21 (6.2.10) KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 232 und x ∈ {A, B} 3 · |x; ↑i 4 1 Ŝx3 |x; ↑i = + · |x; ↑i 2 Ŝx− |x; ↑i = |x; ↓i 3 · |x; ↓i 4 1 Ŝx3 |x; ↓i = − · |x; ↓i 2 Ŝx+ |x; ↓i = |x; ↑i Ŝx− |x; ↓i = Ŝx+ |x; ↑i = Ŝx2 |x; ↑i = 0 Ŝx2 |x; ↓i = 0 (6.2.11) (6.2.12) (6.2.13) . (6.2.14) Die zwei Konstitutenquarks spannen einen Produktraum mit den vier Basisvektoren |A; ↑i |B; ↑i |A; ↑i |B; ↓i |A; ↓i |B; ↓i |A; ↓i |B; ↑i auf. Diese Basisvektoren sind allerdings keine Eigenzustände der Spinoperatoren des zusammengesetzten Systems und damit auch keine Invarianten bei Lorentz-Transformationen. Da man im Experiment nur die Eigenzustände der Spinoperatoren des zusammengesetzten Systems sieht, ist es zweckmässig den Produktraum in dieser Basis darzustellen. Der erste neue Basisvektor ergibt sich durch Betrachtung des Produktzustandes |A; ↑i |B; ↑i. Für diesen ist 2 2 Ŝ 2 |A; ↑i |B; ↑i = ŜA + ŜB + 2ŜA3 ŜB3 + ŜA+ ŜB− + ŜA− ŜB+ · |A; ↑i |B; ↑i 1 1 3 3 + + 2 · · + 0 + 0 · |A; ↑i |B; ↑i = 4 4 2 2 = (1 + 1) · 1 · |A; ↑i |B; ↑i und Ŝ3 |A; ↑i |B; ↑i = ŜA3 |A; ↑i |B; ↑i + |A; ↑i ŜB3 |B; ↑i 1 1 · |A; ↑i |B; ↑i + · |A; ↑i |B; ↑i 2 2 = 1 · |A; ↑i |B; ↑i . = Dies bedeutet, dass |ηAB ; s = 1, s3 = +1i = |A; ↑i |B; ↑i (6.2.15) ist. Ganz analog kann man ohne weitere Rechnung |ηAB ; s = 1, s3 = −1i = |A; ↓i |B; ↓i (6.2.16) 6.2. SPINALGEBRA 233 angeben. Nun ist nach (6.2.4) Ŝ− |ηAB ; s = 1, s3 = +1i = √ 2 · |ηAB ; s = 1, s3 = 0i , woraus sich der noch fehlenden Spin-1 Zustand |ηAB ; s = 1, s3 = 0i = = = 1 √ · Ŝ− |ηAB ; s = 1, s3 = +1i 2 1 √ · ŜA− |A; ↑i |B; ↑i + ŜB− |A; ↑i |B; ↑i 2 1 √ |A; ↓i |B; ↑i + |A; ↑i |B; ↓i (6.2.17) 2 ergibt. Der vierte Basisvektor ist orthogonal zu den bereits abgeleiteten drei anderen Basisvektoren und kann deshalb nur 1 √ |A; ↓i |B; ↑i − |A; ↑i |B; ↓i 2 sein. Für diesen ist Ŝ 2 1 √ |A; ↓i |B; ↑i − |A; ↑i |B; ↓i 2 1 2 2 = √ ŜA + ŜB + 2ŜA3 ŜB3 + ŜA+ ŜB− + ŜA− ŜB+ 2 · |A; ↓i |B; ↑i − |A; ↑i |B; ↓i 3 3 1 1 1 + +2· − · · |A; ↓i |B; ↑i + |A; ↑i |B; ↓i =√ 4 4 2 2 2 1 1 1 3 3 −√ + +2· · − · |A; ↑i |B; ↓i + |A; ↓i |B; ↑i 4 4 2 2 2 1 = (0 + 1) · 0 · √ |A; ↓i |B; ↑i − |A; ↑i |B; ↓i 2 sowie Ŝ3 1 √ |A; ↓i |B; ↑i − |A; ↑i |B; ↓i 2 1 √ |A; ↓i |B; ↑i − |A; ↑i |B; ↓i = ŜA3 + ŜB3 2 1 1 1 1 1 √ |A; ↓i |B; ↑i − |A; ↑i |B; ↓i = − + + − 2 2 2 2 2 1 = 0 · √ |A; ↓i |B; ↑i − |A; ↑i |B; ↓i . 2 KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 234 Damit sind die vier neuen Basisvektoren die Komponenten eines Spin-1 Teilchens |ηAB ; s = 1, s3 = +1i = |ηAB ; s = 1, s3 = 0i = |ηAB ; s = 1, s3 = −1i = |A; ↑i |B; ↑i 1 √ |A; ↓i |B; ↑i + |A; ↑i |B; ↓i 2 |A; ↓i |B; ↓i (6.2.18) (6.2.19) (6.2.20) sowie ein Spin-0 Teilchen |ηAB ; s = 0, s3 = 0i = 1 √ |A; ↓i |B; ↑i − |A; ↑i |B; ↓i . 2 (6.2.21) Als Invarianten der Lorentz-Transformation sind damit ein Spin-1 Teilchen und eine Spin-0 Teilchen beobachtbar. Zur Ableitung der Spineigenschaften eines aus einem Quark und einem Spin-1 Teilchen zusammengesetztes Teilchen, ist mit den Bezeichungen ( Quark C: |ηq ; s = 1/2, s3 i := Spin-1 Teilchen D: |C; ↑i |C; ↓i für für |D; 1, ↑i |η; s = 1, s3 i := |D; 1, 0i |D; 1, ↓i s3 = + 21 s3 = − 21 für für für s3 = +1 s3 = 0 s3 = −1 (6.2.22) (6.2.23) der durch die 6 Basisvektoren |C; ↑i |C; ↓i ) ⊗ |D; 1, ↑i |D; 1, 0i |D; 1, ↓i aufgespannte Produktraum zu betrachten. Dann kann man direkt raten, dass |ηCD ; s = 3/2, s3 = +3/2i ist. = |C; ↑i |D; 1, ↑i (6.2.24) 6.2. SPINALGEBRA 235 Beweis: Ŝ 2 |C; ↑i |D; 1, ↑i 2 2 = ŜC + ŜD + 2ŜC3 ŜD3 + ŜC+ ŜD− + ŜC− ŜD+ · |C; ↑i |D; 1, ↑i 1 3 + 2 + 2 · · 1 + 0 + 0 · |C; ↑i |D; 1, ↑i = 4 2 3 3 + 1 · · |C; ↑i |D; 1, ↑i = 2 2 und Ŝ3 |C; ↑i |D; 1, ↑i = ŜC3 |C; ↑i |D; 1, ↑i + |C; ↑i ŜD3 |D; 1, ↑i 1 · |C; ↑i |D; 1, ↑i + 1 · |C; ↑i |D; 1, ↑i 2 3 = · |C; ↑i |D; 1, ↑i . 2 = Nach (6.2.4) ist nun wiederum Ŝ− |ηCD ; s = 3/2, s3 = +3/2i = √ 3 · |ηCD ; s = 3/2, s3 = +1/2i woraus |ηCD ; s = 3/2, s3 = +1/2i 1 = √ · Ŝ− |ηCD ; s = 3/2, s3 = +3/2i 3 1 = √ · ŜC− + ŜD− |C; ↑i |D; 1, ↑i 3 s 1 1 1 1 1 =√ · +1 − − 1 · |C; ↓i |D; 1, ↑i 2 2 2 2 3 p 1 + √ · 1 (1 + 1) − 1 (1 − 1) · |C; ↑i |D; 1, 0i 3 r r 1 2 = · |C; ↓i |D; 1, ↑i + · |C; ↑i |D; 1, 0i 3 3 (6.2.25) 236 KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK folgt. Entsprechend zeigt man |ηCD ; s = 3/2, s3 = −3/2i woraus sich durch Anwendung von = Ŝ+ |C; ↓i |D; 1, ↓i , (6.2.26) auf diesen Zustand wiederum |ηCD ; s = 3/2, s3 = −1/2i r r 1 2 = · |C; ↑i |D; 1, ↓i + · |C; ↓i |D; 1, 0i 3 3 (6.2.27) ergibt. Damit hat man die Lorentz-invarianten Basisvektoren |ηCD ; s = 3/2, s3 = +3/2i = |C; ↑i |D; 1, ↑i (6.2.28) |ηCD ; s = 3/2, s3 = +1/2i r r 1 2 = · |C; ↓i |D; 1, ↑i + · |C; ↑i |D; 1, 0i 3 3 (6.2.29) |ηCD ; s = 3/2, s3 = −1/2i r r 1 2 · |C; ↑i |D; 1, ↓i + · |C; ↓i |D; 1, 0i = 3 3 |ηCD ; s = 3/2, s3 = −3/2i = |C; ↓i |D; 1, ↓i (6.2.30) , (6.2.31) die ein Spin-3/2 Teilchen darstellen. Da der Produktraum 6-dimensional ist, fehlen noch zwei orthogonale Basisvektoren, deren Form unmittelbar einsichtig ist. Sie bilden ein Spin-1/2 Teilchen |ηCD ; s = 1/2, s3 = +1/2i r r 2 1 = · |C; ↓i |D; 1, ↑i − · |C; ↑i |D; 1, 0i 3 3 |ηCD ; s = 1/2, s3 = −1/2i r r 2 1 = · |C; ↑i |D; 1, ↓i − · |C; ↓i |D; 1, 0i , 3 3 (6.2.32) (6.2.33) 6.2. SPINALGEBRA 237 was leicht zu überprüfen ist. Es wird z.B. r Ŝ 2 2 · |C; ↓i |D; 1, ↑i − 3 r 1 · |C; ↑i |D; 1, 0i 3 ! 2 2 = ŜC + ŜD + 2ŜC3 ŜD3 + ŜC+ ŜD− + ŜC− ŜD+ ! r r 2 1 · |C; ↓i |D; 1, ↑i − · |C; ↑i |D; 1, 0i · 3 3 r r 2 3 1 3 = · · |C; ↓i |D; 1, ↑i − · · |C; ↑i |D; 1, 0i 3 4 3 4 r r 2 1 + · 2 · |C; ↓i |D; 1, ↑i − · 2 · |C; ↑i |D; 1, 0i 3 3 r r 2 1 + · (−1) · |C; ↓i |D; 1, ↑i − · 0 · |C; ↑i |D; 1, 0i 3 3 r r 2 √ 1 · 2 · |C; ↑i |D; 1, 0i − · 0 · |D; 1, ↓i + 3 3 r r 2 1 √ + ·0·0− · 2 · |C; ↓i |D; 1, ↑i 3 3 ! r r 3 2 1 · |C; ↓i |D; 1, ↑i − · |C; ↑i |D; 1, 0i = · 4 3 3 sowie ! r 2 1 · |C; ↓i |D; 1, ↑i − · |C; ↑i |D; 1, 0i 3 3 ! r r2 1 = ŜC3 + ŜD3 · |C; ↓i |D; 1, ↑i − · |C; ↑i |D; 1, 0i 3 3 r r 2 1 1 1 = · − + 1 |C; ↓i |D; 1, ↑i − · + + 0 |C; ↑i |D; 1, 0i 3 2 3 2 ! r r 1 2 1 = · · |C; ↓i |D; 1, ↑i − · |C; ↑i |D; 1, 0i . 2 3 3 r Ŝ3 Die Zusammensetzung eines Spin-1/2 und eines Spin-1 Teilchens liefert als Invarianten bei Lorentz-Transformation und damit als beobachtbare Zustände ein Spin-3/2 und ein Spin-1/2 Teilchen. KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 238 Anmerkung: Die Entwicklungskoezienten der beiden Basen, wie z.B. r hC; ↑ | hD; 1, ↓ | |ηCD ; s = 1/2, s3 = −1/2i = hC; ↓ | hD; 1, 0| |ηCD ; s = 1/2, s3 = −1/2i = 2 3 r 1 − 3 + (6.2.34) (6.2.35) werden als Clebsch-Gordan-Koezienten bezeichnet. Da ihre Berechnung zwar einfach aber langwierig und umständlich ist, ndet man sie in speziellen Tabellen aufgelistet. 6.3 Mesonen und Baryonen Nach dem Quark-Parton-Modell sind Mesonen aus einem Quark und einem Antiquark aufgebaut. Quark und Antiquark sind unterschiedliche Teilchen und somit ist der zusammengesetzte Zustand einfach durch das Produkt der Einzelzustände |ηqq ; a, bi = |A; ηq1 ; ai |B; ηq2 ; bi (6.3.1) gegeben. Untersucht man ein Meson, so enthält es in je einem Drittel der Fälle ein rot/antirotes, grün/antigrünes oder blau/antiblaues Quark/AntiquarkPaar. Bei der Betrachtung der Dynamik der starken Wechselwirkung wird sich zeigen, dass durch Austausch von farbigen Gluonen die Farb/AntifarbKombination eines Mesons ständig geändert wird. Da der Zustandsvektor diese Wahrscheinlichkeiten kodiert, muss √ |ηMeson ; a, bi = 1/ 3 · |A; ηq1 ; a, roti |B; ηq2 ; b, antiroti + |A; ηq1 ; a, grüni |B; ηq2 ; b, antigrüni + |A; ηq1 ; a, blaui |B; ηq2 ; b, antiblaui = |A; ηq1 ; ai |B; ηq2 ; bi · |qq − Farbei (6.3.2) mit √ |qq − Farbei = 1/ 3 · |A; roti |B; antiroti + |A; grüni |B; antigrüni + |A; blaui |B; antiblaui (6.3.3) 6.3. MESONEN UND BARYONEN 239 sein. Den Farbzustand spaltet man zweckmäÿigerweise ab, da er für alle Mesonen identisch ist. Die Mesonen mit einem der drei schweren Quarks sind relativ leicht zu beschreiben, da die Quarks aus denen sie bestehen, sich stark in ihrer Masse unterscheiden. Bei den drei leichten Quarks sieht dies grundlegend anders aus, da das u-Quark und das d-Quark identische eektive Massen besitzen und die eektive Masse des s-Quarks nur geringfügig darüber liegt. Dies führt dazu, dass sich die leichten Mesonen nicht streng nach Quarksorten kategorisieren lassen, sondern Mischzustände auftreten. Deshalb ist es sinnvoll, alle Mesonen, die aus den leichten Quarks aufgebaut sind, gleichzeitig zu betrachten. Die Situation ist relativ einfach für die Mesonen, die aus einem Quark und einem Antiquark mit verschiedenem Flavour bestehen. Für diese Mesonen kann man eindeutig einen Quarkinhalt angeben: Quarkinhalt Ladung Spin 0 Spin 1 +1 −1 π+ π− ρ+ ρ− su +1 −1 K+ K− K ∗+ K ∗− ds 0 sd 0 K0 0 K K ∗0 ∗0 K ud du us Damit verbleibt den neutralen Quark/Antiquark-Kombinationen uu, dd und ss Mesonen zuzuordnen. Diese drei Quark/Antiquark-Kombinationen besitzen abgesehen davon, dass die Masse der ss-Kombination geringfügig über der Masse der beiden anderen Kombinationen liegt, identische Eigenschaften. Im Experiment können sich deshalb Mischzustände zwischen diesen Quark/AntiquarkKombinationen ausbilden. Welche Mischzustände auftreten, ergibt sich dabei aus der fundamentalen Wechselwirkung zwischen den Quarks. Da die Quark/Antiquark-Kombinationen uu und dd auch die gleiche Masse besitzen, müssen alle Mischungen symmetrisch in diesen beiden Kombinationen sein. Mischungen mit der ss-Quark/Antiquark-Kombination treten nur bei dem η- und dem η 0 -Meson auf. Experimentell ergibt sich KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 240 Quarkinhalt √1 2 √1 2 uu √1 6 √1 2 uu √1 3 uu Ladung Spin Meson − dd uu − dd 0 0 + dd − 2ss uu + dd + dd + ss 0 0 0 ss 0 0 1 π0 ρ0 0 1 η ω 0 1 η0 φ für die Zusammensetzung der verbleibenden Mesonen aus den leichten Quarks. Zur genaueren Darstellung der Mesonenzustände muss noch der Quarkinhalt mit den Spinvarianten gekoppelt werden. Für das π + -Meson als Spin-0 Teilchen ergibt sich zum Beispiel 1 |π + i = √ |A; u, ↑i |B; d, ↓i − |A; u, ↓i |B; d, ↑i · |qq − Farbei . 2 Entsprechend ist für das + |ρ ; s3 = +1i |ρ+ ; s3 = 0i |ρ+ ; s3 = −1i und für das als Spin-1 Teilchen |A; u, ↑i |B; d, ↑i · |qq − Farbei 1 = √ |A; u, ↑i |B; d, ↓i + |A; u, ↓i |B; d, ↑i · |qq − Farbei 2 = |A; u, ↓i |B; d, ↓i · |qq − Farbei = ρ0 -Meson |ρ0 ; s3 = +1i |ρ0 ; s3 = ρ+ -Meson 0i |ρ0 ; s3 = −1i 1 = √ |A; u, ↑i |B; u, ↑i − |A; d, ↑i |B; d, ↑i · |qq − Farbei 2 1 = |A; u, ↑i |B; u, ↓i − |A; d, ↑i |B; d, ↓i 2 + |A; u, ↓i |B; u, ↑i − |A; d, ↓i |B; d, ↑i · |qq − Farbei 1 = √ |A; u, ↓i |B; u, ↓i − |A; d, ↓i |B; d, ↓i · |qq − Farbei 2 Die Beispiele zeigen, dass eine explizite Darstellung der Mesonenzustände aufwendig werden kann. Dies macht auch deutlich, warum die exakte Beschreibung der starken Kraft zwischen Hadronen basierend auf der fundamentalen starken Wechselwirkung zwischen den Quarks relativ kompliziert ist. So besteht alleine der Zustandsvektor des ρ0 -Mesons im Spinzustand s3 = 0 aus 6.3. MESONEN UND BARYONEN 241 insgesamt 12 Termen. Zusätzlich kommt hinzu, dass angeregte Zustände der Mesonen auftreten können. Bisher wurde ja nur der Grundzustand ohne Bahndrehimpuls besprochen. Baryonen sind nach dem Quark-Parton-Modell aus drei Quarks aufgebaut. Wie die Mesonen besitzen auch alle Baryonen den gleichen Farbzustand. Den Farbzustand kann man durch Betrachtung des so genannten dem Quarkinhalt uuu ableiten. Das ∆ ++ ∆++ -Baryons mit ist ein Spin-3/2 Teilchen und aus dem Zustandsvektor |∆++ ; s3 = +3/2i im Spineigenzustand = |A; u, ↑i |B; u, ↑i |C; u, ↑i · |qqq − Farbei s3 = +3/2 folgt, dass der Farbzustand total antisymme- trisch sein muss, denn der kombinierte Flavour/Spin-Zustand ist symmetrisch. Wegen der Farbneutralität der Baryonen ist der einzig mögliche Farbzustand √ |qqq − Farbei = 1/ 6 · |A; roti |B; grüni |C; blaui − |A; roti |B; blaui |C; grüni + |A; blaui |B; roti |C; grüni − |A; blaui |B; grüni |C; roti + |A; grüni |B; blaui |C; roti − |A; grüni |B; roti |C; blaui . (6.3.4) Je nach Quarkinhalt unterscheidet man bei Kombination der beiden leichten Quarks die Baryonen Quarkinhalt Ladung Spin 3/2 Spin 1/2 uuu uud +2 +1 udd 0 ddd −1 ∆++ ∆+ ∆0 ∆− p+ n , wobei ein Spin-1/2 Teilchen mit dem Quarkinhalt uuu oder ddd nicht möglich ist. Die Spin-3/2 Zustände müssen symmetrisch unter Flavour- und SpinAustausch zweier Teilchen sein. Der Zustandsvektor für den Spineigenzustand KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 242 s3 = +1/2 |∆ ist deshalb ++ ; s3 = +1/2i = 1/3 · ( |A; u, ↑i |B; u, ↑i |C; d, ↓i + |A; u, ↑i |B; u, ↓i |C; d, ↑i + |A; u, ↓i |B; u, ↑i |C; d, ↑i + |A; u, ↑i |B; d, ↑i |C; u, ↓i + |A; u, ↑i |B; d, ↓i |C; u, ↑i + |A; u, ↓i |B; d, ↑i |C; u, ↑i + |A; d, ↑i |B; u, ↑i |C; u, ↓i + |A; d, ↑i |B; u, ↓i |C; u, ↑i + |A; d, ↓i |B; u, ↑i |C; u, ↑i ) · |qqq − Farbei bzw. in weiter vereinfachter Schreibweise = 1/3 · ( u↑u↑d↓ + u↑u↓d↑ + u↓u↑d↑ + u↑d↑u↓ + u↑d↓u↑ + u↓d↑u↑ + d↑u↑u↓ + d↑u↓u↑ + d↓u↑u↑ · |qqq − Farbei ) . Insgesamt sind in diesem Fall 3 Flavourterme, 3 Spinterme und 6 Farbterme zu kombinieren, was zu insgesamt 54 Termen für die Beschreibung des ∆+ - Baryons führt. Der Aufbau eines Protons mit Spin-1/2 ist etwas verwickelter, da der Zustandsvektor ohne den Farbzustand total symmetrisch, aber ein Quarkspin jeweils antiparallel zu den Spins der beiden anderen Quarks sein muss. Der Spinzustand ↑↑↓ ist nun weder total symmetrisch noch total antisymmetrisch; deshalb muss der Flavourzustand ebenso gemischt symmetrisch sein, damit der kombinierte Spin-Flavour-Zustand total symmetrisch wird. Dies ist auch der Grund, warum die Quarkkombinationen uuu und ddd keinen Spin-1/2 Baryonenzustand bilden können. Für den Spin-1/2 Zustand koppelt man zuerst zwei Quarks zu einem Spin-1 System und dann das dritte Quark hinzu. Der Aufbau eines Spin-1/2 Zustandes aus einem Spin-1 und einem Spin-1/2 Zustand für z.B. den Spineigenzustand s3 = +1/2 ist durch die Beziehung (6.2.32) r |ηCD ; s = 1/2, s3 = +1/2i = 2 · |C; ↓i |D; 1, ↑i − 3 r 1 · |C; ↑i |D; 1, 0i 3 6.4. DIE SU(3)-INVARIANZ 243 gegeben. Mit den Zuordnungen C = d; D = uu ; C = u; D = ud oder C = u; D = du sowie den Beziehungen (6.2.18) und (6.2.19) ergibt sich für das Proton in vereinfachter Schreibweise |p+ ; s3 = +1/2i √ = 1/ 18 · ( 2u↑u↑d↓ − u↑u↓d↑ − u↓u↑d↑ + 2u↑d↑u↓ − u↑d↓u↑ − u↓d↑u↑ + 2d↑u↑u↓ − d↑u↓u↑ − d↓u↑u↑ · |qqq − Farbei Der Protonenzustand ist anders als der ∆+ -Zustand ) . nicht mehr in seinen Spinzustand und seinen Flavourzustand faktorisierbar. Ganz analog ist der Zustandvektor für das Neutron im Spineigenzustand |n; s3 = −1/2i √ = 1/ 18 · ( s3 = −1/2 2u↓d↓d↑ − u↓d↑d↓ − u↑d↓d↓ + 2d↓u↓d↑ − d↓u↑d↓ − d↑u↓d↓ + 2d↓d↓u↑ − d↓d↑u↓ − d↑d↓u↓ · |qqq − Farbei ) . 6.4 Die SU(3)-Invarianz Das Quark-Parton-Modell beruht auf der Hypothese von Farbladungen, die die Ursache der starken Wechselwirkung sind. Die Eigenschaften der starken Wechselwirkung sind in den Farbzuständen der Mesonen und Baryonen enthalten. Schreibt man diese mit x, y, z ∈ {rot, grün, blau} in der Form |qq − Farbei = δxy |A; xi |B; yi (6.4.1) |qqq − Farbei = xyz |A; xi |B; yi |C; zi so wird deutlich, dass sie wegen des Tensorcharakters von , δxy (6.4.2) und xyz invari- ant bei Drehungen |rot0 i |roti |grün0 i = U3×3 · |grüni |blau0 i |blaui (6.4.3) im Farbraum sind. Da die Feldzustände der Quarks komplexe Gröÿen sind, ist die zugehörige Drehmatrix eine unitäre † U3×3 · U3×3 = 1 3 × 3-Matrix mit det U3×3 = 1 . (6.4.4) KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 244 Diese Drehungen mit komplexer Drehmatrix werden als SU(3)-Transformation bezeichnet. Die Transformationsmatrix besitzt 32 − 1 = 8 unabhängige reelle Parameter. In der Elementarteilchenphysik wird üblicherweise die Parametrisierung U3×3 (α) = e−iαa mit reellen Parametern αa für a = 1, ..., 8 (6.4.5) und den linear unabhängigen Gell-Mann-Matrizen +1 0 0 0 −i 0 λ3 = 0 −1 0 λ2 = +i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −i λ6 = 0 0 +1 λ5 = 0 0 0 0 +1 0 +i 0 0 +1 0 0 1 λ8 = √ 0 +1 0 (6.4.6) 3 0 0 −2 0 +1 0 λ1 = +1 0 0 0 0 0 0 0 +1 λ4 = 0 0 0 +1 0 0 0 0 0 λ7 = 0 0 −i 0 +i 0 gewählt. Für die λa 2 λ-Matrizen ist λa = λ†a und Spur λa = 0 , (6.4.7) was die Gültigkeit der Beziehungen (6.4.4) sicherstellt. Zudem sind sie so gewählt, dass die Orthogonalitätsbedingung Spur λa λb · 2 2 = 1 δab 2 (6.4.8) gilt und man spricht deshalb von der fundamentalen Darstellung. Die SU(3)Transformationen bilden eine Gruppe, denn Matrizenmultiplikationen erfüllen das Assoziativgesetz, die SU(3)-Transformationen enthalten das Einselement U3×3 (α = 0) = 1 sowie mit −1 U3×3 (α) = † U3×3 (α) = U3×3 (−α) zu jeder SU(3)-Transformation auch die inverse SU(3)-Transformation und zudem ist wegen det U3×3 (α0 )U3×3 (α) = det U3×3 (α0 ) det U3×3 (α) = 1 6.4. DIE SU(3)-INVARIANZ 245 sowie U3×3 (α0 )U3×3 (α) † · U3×3 (α0 )U3×3 (α) † † = U3×3 (α) · U3×3 (α0 )U3×3 (α0 ) · U3×3 (α) † = U3×3 (α)U3×3 (α) =1 auch das Produkt zweier SU(3)-Transformationen wieder eine SU(3)-Transfor- λ-Matrizen Vertauschungsrelationen der λc λa λb , = ifabc 2 2 2 (6.4.9) mation. Dies bedeutet auch, dass die Form erfüllen. Die Strukturkonstanten dieser so genannten Lie-Algebra sind total antisymmetrisch und ergeben sich durch direkte Rechnung zu f123 = 1 1 f147 = −f156 = f246 = f257 = f345 = −f367 = 2 √ 3 f458 = f678 = . 2 (6.4.10) Nun ist die Lagrange-Dichte für einen Quarkavour unter Berücksichtigung der Farbladungen LQuark = ˆ (x) (iγ ∂ µ − m) Ψ̂ (x) Ψ rot µ rot ˆ µ +Ψ grün (x) (iγµ ∂ − m) Ψ̂grün (x) ˆ +Ψ (x) (iγ ∂ µ − m) Ψ̂ (x) blau µ blau . (6.4.11) Farbinvarianz dieser Lagrange-Dichte kann man sicherstellen, wenn man fordert, dass jeder Quarkavour einen Spaltenvektor Ψ̂rot (x) Q̂(x) = Ψ̂grün (x) Ψ̂blau (x) (6.4.12) bildet. Dann kann man die Lagrange-Dichte entsprechend LQuark = ˆ Q(x) (iγµ ∂ µ − m) Q̂(x) (6.4.13) KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 246 umschreiben und sieht sofort, dass Invarianz bei den Farbtransformationen Q̂(x) ˆ Q(x) −→ −→ U3×3 (α) · Q̂(x) ˆ Q(x) · U † (α) (6.4.14) (6.4.15) 3×3 vorliegt. Diese Form der Lagrange-Dichte der freien Quarks wird zwar durch das Quark-Parton-Modell motiviert und führt auch zu den vollen Dynamikgleichungen der Quanten-Chromodynamik, aber eine tiefere theoretische Begründung steht jedoch aus. Die Invarianz unter SU(3)-Farbtransformationen wird per Hand in das Standardmodell eingefügt und ist nur durch den Erfolg der Theorie gerechtfertigt. Anmerkung: Bei der hier gewählten Schreibweise ist darauf zu achten, dass die γ -Matrizen auf die Komponenten der Spinoren wirken, während die λ-Matrizen auf den Spaltenvektor, der von den Spinoren gebildet wird, wirken. 6.5 Die Lagrange-Dichte Quarks als Spin-1/2 Teilchen können wie im Falle der Quanten-Elektrodynamik auch im Kontext der Quanten-Chromodynamik an masselose Spin-1 Teilchen, die als Gluonen bezeichnet werden, koppeln. Die Lagrange-Dichte setzt sich aus vier Termen zusammen, die der freien Quarks und der freien Gluonen sowie aus der Quark-Gluon-Wechselwirkung als auch einem Term der GluonGluon-Wechselwirkung LQCD = LQuarks + L1QG + L1GG + Lfreie Gluonen . (6.5.1) Die Gluon-Gluon-Wechselwirkung kommt zustande, weil es in der QuantenChromodynamik mehrere verschiedene Gluonen gibt, die alle miteinander wechselwirken, da sie wie die Quarks Farbladungen tragen. Die Lagrange-Dichte muss nun • invariant bei lokalen Farbtransformationen sein • und die richtige Skalendimension besitzen. Mit den gleichen Argumenten, wie sie bei der Quanten-Elektrodynamik diskutiert wurden, erfordert dies, dass jedes Gluon für sich an einen erhaltenen Strom koppelt. Aus den innitesimalen globalen Farbtransformationen Q̂(x) −→ ˆ Q(x) −→ Ĝaµ (x) −→ (1 − iαa λa /2) Q̂(x) ˆ Q(x) (1 + iα λ /2) a a noch abzuleiten 6.5. DIE LAGRANGE-DICHTE 247 ergibt sich nach dem Noether-Theorem für jeden der acht a-Werte mit Xµ = 0 fQ = fQ = (−iλa /2) Q̂(x) ˆ Q(x) (+iλ /2) fGa = noch abzuleiten a ein erhaltener Farbstrom Jˆaµ (x) = ˆ µ λa Q(x)γ Q̂(x) + Gluonen-Farbstrom-Anteil . 2 (6.5.2) Aus dem Quark-Farbstrom-Anteil folgt dann mit der Gluonenmatrix Ĝµ (x) = λa a Ĝ (x) 2 µ (6.5.3) die Quark-Gluon-Wechselwirkung ˆ µ λa Q̂(x)Ĝaµ (x) L1QG = −g Q(x)γ 2 ˆ µ = −g Q(x)γ Ĝµ (x)Q̂(x) . Die notwendige Invarianz des Wechselwirkungsterms (6.5.4) (6.5.5) L1QG der Lagrange-Dichte legt das Verhalten bei globalen Farbtransformationen fest. Aus ˆ0 ˆ µ Ĝµ (x)Q̂(x) −g Q (x)γ µ Ĝ0µ (x)Q̂0 (x) = −g Q(x)γ (6.5.6) ergibt sich unter Berücksichtigung des Transformationsverhaltens der Quarks für die Gluonenmatrix das Transformationsverhalten † Ĝ0µ (x) = U3×3 (α)Ĝµ (x)U3×3 (α) (6.5.7) bei globalen Farbtransformationen. Für innitesimale Farbtransformationen wird hieraus λb λd d λb 1 − iαb Ĝ (x) 1 + iαb 2 2 µ 2 λd d λb λd = Ĝ (x) − i , αb Ĝdµ (x) 2 µ 2 2 λd d λc = Ĝ (x) + fbdc αb Ĝdµ (x) 2 µ 2 λd d0 Ĝ (x) = 2 µ KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 248 und weiter nach Multiplikation mit λa /2 sowie Spurbildung 0 Ĝaµ (x) = Ĝaµ (x) + fabc αb Ĝcµ (x) . (6.5.8) Durch die Farbtransformationen werden die Gluonenfelder auf komplizierte Weise verkoppelt und müssen deshalb selber Farbladungen tragen. Dies sieht man, wenn man die Quark-Gluon-Wechselwirkungsterme näher betrachtet. So bedeutet z.B. ˆ µ λ1 − g Q(x)γ Q̂(x)Ĝ1µ (x) 2 Ψ̂rot (x) 0 +1 0 g ˆ µ ˆ ˆ +1 0 0 Ψ̂grün (x) Ĝ1µ (x) =− Ψrot (x) Ψ grün (x) Ψblau (x) γ 2 0 0 0 Ψ̂blau (x) g ˆ ˆ µ 1 =− · Ψrot (x)γ µ Ψ̂grün Ĝ1µ (x) + Ψ , grün (x)γ Ψ̂rot Ĝµ (x) 2 dass im Rahmen von Störungsrechnungen durch die Wechselwirkung mit dem Gluon Ĝ1µ (x) aus einem grünen Quark ein rotes Quark oder aus einem roten Quark ein grünes Quark wird. Der Transport der Farbladungen kann nun nur durch das Gluon erfolgen, weshalb der Farbzustand des Gluons 1 |Ĝ1µ (x) − Farbzustandi = √ |roti |antigrüni + |grüni |antiroti 2 bzw. in abgekürzter Schreibweise 1 = √ (rg + gr) 2 sein muss. Insgesamt ergeben sich auf diese Weise aus den λ-Matrizen acht Gluonen die Farbzustände: Gluon Farbzustand 1 2 3 4 √1 2 −i √ 2 √1 2 √1 2 (rg + gr) (rg − gr) (rr − gg) rb + br Gluon Farbzustand 5 6 7 8 −i √ 2 √1 2 −i √ 2 √1 6 rb − br gb + bg gb − bg rr + gg − 2bb für die 6.5. DIE LAGRANGE-DICHTE 249 Jetzt zu den beiden verbleibenden Termen LGluon = L1GG + Lfreie Gluonen (6.5.9) der Lagrange-Dichte. Die Gluonen sind Spin-1 Felder und wie beim MaxwellFeld ist deshalb die Lagrange-Dichte der freien Gluonenfelder 1 a Lfreie Gluonen = − F̂aµν F̂µν 4 (6.5.10) F̂aµν = ∂ µ Ĝνa (x) − ∂ ν Ĝµa (x) . mit (6.5.11) Die Gluon-Gluon-Wechselwirkung muss nun solche Terme mit erlaubter Skalendimension enthalten, die dazu führen, dass LGluon invariant bei Farbtrans- formationen wird. Dies legt die entsprechenden Terme eindeutig fest. Mit diesen Termen ist die Gluon-Lagrange-Dichte dann 1 a LGluon = − F̂aµν F̂µν 4 g + fabc F̂aµν Ĝbµ (x)Ĝcν (x) 2 g2 − fabc f ade Ĝbµ (x)Ĝcν (x)Ĝµd (x)Ĝνe (x) 4 1 = − Ĝµν Ĝa 4 a µν µ µν ν Ĝµν a =F̂a − gfabc Ĝb (x)Ĝc (x) mit (6.5.12) . (6.5.13) Die Invarianz bei Farbtransformationen sieht man, wenn man sich das Transformationsverhalten von λa 2 λ λa a = F̂aµν − gfabc Ĝµb (x)Ĝνc (x) 2 2 λa λa λb λc µ ν ν µ = ∂ Ĝa (x) − ∂ Ĝa (x) + ig Ĝµb (x)Ĝνc (x) , 2 2 2 2 h i µ ν ν µ µ ν = ∂ Ĝ (x) − ∂ Ĝ (x) + ig Ĝ (x), Ĝ (x) Ĝµν = Ĝµν a (6.5.14) KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 250 anschaut, denn wegen (6.5.7) wird Ĝµν 0 † = U3×3 (α)Ĝµν U3×3 (α) , (6.5.15) woraus die Invarianz des Lagrange-Dichteterms 1 µν 0 a 0 Ĝa Ĝµν 4 0 0 1 Ĝµν Ĝµν = − · Spur 2 1 † † = − · Spur U3×3 (α)Ĝµν U3×3 (α) U3×3 (α)Ĝµν U3×3 (α) 2 1 † = − · Spur U3×3 (α)Ĝµν Ĝµν U3×3 (α) 2 1 † = − · Spur U3×3 (α)U3×3 (α)Ĝµν Ĝµν 2 1 = − · Spur Ĝµν Ĝµν 2 1 µν a = − Ĝa Ĝµν 4 = LGluon L0Gluon = − bei Farbtransformationen folgt. Dabei wurde ausgenutzt, dass Matrizen unter der Spur zyklisch vertauscht werden dürfen. Sammelt man alle Terme zusammen, so ergibt sich schlieÿlich die auch bei αa (x) invariante Lagrange-Dichte X ˆ λa ˆ µ µ STM Qf (x) (iγµ ∂ − mf ) Q̂f (x) − g Qf (x)γµ Q̂f (x)Ĝa (x) LQCD = 2 kombinierten lokalen Farbtransformationen f =1,6 1 − Ĝµν Ĝa 4 a µν (6.5.16) der Quanten-Chromodynamik. Führt man die eichinvariante Ableitung µ DQ = ∂ µ + ig λa µ Ĝ (x) 2 a (6.5.17) ein, so kann man dies wie bei der Quanten-Elektrodynamik entsprechend LSTM QCD = 1 X ˆ µ Qf (x) iγµ DQ − mf Q̂f (x) − Ĝµν Ĝa 4 a µν f =1,6 (6.5.18) 6.6. GEISTFELDER 251 formulieren. Die Invarianz bei innitesimalen lokalen Eichtransformationen λa 1 − iαa (x) Q̂(x) 2 λa ˆ ˆ Q(x) −→ Q(x) 1 + iαa (x) 2 1 Ĝaµ (x) −→ Ĝaµ (x) + · ∂µ αa (x) + fabc αb (x)Ĝcµ (x) g Q̂(x) −→ (6.5.19) (6.5.20) (6.5.21) ist leicht direkt überprüfbar. Die vorstehenden Schreibweisen verdeutlichen die strukturelle Ähnlichkeit zwischen der Quanten-Elektrodynamik und der Quanten-Chromodynamik. 6.6 Geistfelder Genauso wie die kovariante Formulierung des Maxwell-Feldes die Einführung von Pseudophotonen erfordert, erfordert auch die kovariante Formulierung der Gluonenfelder die Einführung von in diesem Falle Pseudogluonen. Während aber die Pseudophotonen nicht an physikalische Freiheitsgrade koppeln und damit keine Beiträge zu den Ergebnissen der Störungsrechnung liefern, trit dies für die Pseudogluonen nicht zu. Um dies besser zu verstehen ist es sinnvoll, sich die Dynamik der Pseudophotonen im Rahmen der Quanten-Elektrodynamik noch einmal näher von einer anderen Seite als bisher zu betrachten. Aus der eichxierten Lagrange-Dichte der Quanten-Elektrodynamik ˆ ˆ µ LQED + LEichterm = Ψ(x) (iγµ ∂ µ − m) Ψ̂(x) − eq Ψ(x)γ µ Ψ̂(x) (x) 2 1 1 − F̂ µν F̂µν − ∂µ µ (x) (6.6.1) 4 2 ergibt sich die Euler-Lagrange-Gleichung ˆ ν ∂µ F̂ µν (x) + ∂ ν ∂µ µ (x) − eq Ψ(x)γ Ψ̂(x) = 0 (6.6.2) für das Maxwell-Feld. Nun ist wegen der Antisymmetrie des Feldstärketensors ∂ν ∂µ F̂ µν (x) = 0 (6.6.3) und wegen der Stromerhaltung ˆ ν ∂ν q Ψ(x)γ Ψ̂(x) = 0 . (6.6.4) KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 252 Nochmalige Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichung liefert mit den vorstehenden Beziehungen ∂ν ∂ ν ∂µ µ (x) = 0 (6.6.5) T̂ (x) = ∂µ µ (x) (6.6.6) bzw., wenn man das Feld einführt, für dieses die Dynamik ∂ν ∂ ν T̂ (x) = 0 (6.6.7) eines freien Feldes. Nach (5.4.29) ist für alle physikalisch zulässigen Zustände hη2phy |T̂ (x)|η1phy i = 0 weshalb das Feld T̂ (x) , (6.6.8) keine physikalischen Freiheitsgrade, sondern nur die Dynamik der Pseudophotonen beschreiben kann. Da die Dynamik der Pseudophotonen die eines freien Feldes ist, wechselwirken sie nicht mit den Fermionen oder den transversalen Photonen und liefern deshalb auch keinen Beitrag bei der Berechnung einer Feynman-Amplitude. Dies ist bei den Pseudogluonen grundsätzlich anders. Für konkrete Rechnungen ist es auch im Rahmen der Quanten-Chromodynamik sinnvoll analog zur Quanten-Elektrodynamik den Eichterm LEichterm = − 2 1 X ∂µ Ĝµa (x) 2 a (6.6.9) zu verwenden. Aus der so eichxierten Lagrange-Dichte ergeben sich dann die Euler-Lagrange-Gleichungen ˆ ν µ b µν ν λa ∂µ Ĝµν Q̂(x) = 0 a (x) + ∂ ∂µ Ĝa (x) − gfabc Ĝµ (x)Ĝc (x) − g Q(x)γ 2 (6.6.10) sowie mit dem Noether-Theorem die erhaltenen Farbströme Jˆaν (x) = ˆ ν λa Q(x)γ Q̂(x) 2 + fabc Ĝbµ (x)Ĝµν c (x) + fabc Ĝνb (x)∂µ Ĝµc (x) Quarkanteil Gluonanteil Eichanteil . (6.6.11) 6.6. GEISTFELDER 253 Mit der Stromerhaltung und ∂ν ∂µ Ĝµν a (x) = 0 (6.6.12) folgt aus den Euler-Lagrange-Gleichungen ∂ν ∂ ν ∂µ Ĝµa (x) + gfabc ∂ν Ĝνb (x)∂µ Ĝµc (x) = 0 (6.6.13) bzw. mit dem Pseudogluonenfeld T̂a (x) = ∂µ Ĝµa (x) formuliert (6.6.14) ∂ν ∂ ν T̂a (x) + gfabc ∂ν Ĝνb (x)T̂c (x) = 0 . (6.6.15) Diese Beziehung macht deutlich, dass die Pseudogluonen mit den physikalischen Gluonen wechselwirken. Aufgrund des 3-Gluonen Wechselwirkungsterms g L1GGG = + fabc F̂aµν Ĝbµ (x)Ĝcν (x) 2 in der Lagrange-Dichte sind geschlossene Gluonenschleifen der Form Gaµ Gbν möglich, die dann Beiträge zu Feynman-Amplituden liefern. Um diese Problematik zu vermeiden, kann man die gesamte Theorie nicht kovariant nur mit transversalen Gluonen durchführen. Dies ist allerdings sehr aufwendig und unübersichtlich. Deshalb wendet man einen mathematischen Trick an, um die Beiträge der Pseudogluonen zu kompensieren. Wegen fabc ∂ν Ĝνb (x)T̂c (x) = fabc Ĝνb (x)∂ν T̂c (x) + fabc ∂ν Ĝνb (x) T̂c (x) = fabc Ĝνb (x)∂ν T̂c (x) + fabc T̂b (x)T̂c (x) = fabc Ĝνb (x)∂ν T̂c (x) KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 254 kann man die Dynamik der Pseudogluonen durch die beiden gleichwertigen Beziehungen ∂ν ∂ ν T̂a (x) + gfabc ∂ν Ĝνb (x)T̂c (x) = 0 ∂ν ∂ ν T̂a (x) + gfabc Ĝνb (x)∂ν T̂c (x) beschreiben. Man führt nun zwei Skalarfelder (6.6.16) =0 η̂a (x) und (6.6.17) η̂ a (x) ein, die eine Dynamik wie die Pseudogluonen besitzen sollen ∂ν ∂ ν η̂a (x) + gfabc ∂ν Ĝνb (x)η̂c (x) = 0 ∂ν ∂ ν η̂ a (x) + gfabc Ĝνb (x)∂ν η̂ c (x) =0 (6.6.18) , (6.6.19) und deniert, dass sie im Gegensatz zu den Gluonenfeldern fermionische Vertauschungsrelationen h i η̂a (~x, t), π̂ηb (~y , t) + i h η̂ a (~x, t), π̂ηb (~y , t) + h i η̂a (~x, t), η̂ b (~y , t) + i h π̂ηa (~x, t), π̂ηb (~y , t) = iδab δ 3 (~x − ~y ) (6.6.20) = iδab δ 3 (~x − ~y ) (6.6.21) =0 (6.6.22) =0 (6.6.23) + erfüllen. Skalare Geistfelder mit fermionischen Vertauschungsrelationen sind möglich, weil Mikrokausalität für nicht beobachtbare Felder keine Bedingung ist. Die Dynamikgleichungen dieser so genannten Fadeev-Popov-Geistfelder sind die Euler-Lagrange-Gleichungen der Lagrange-Dichte LFP = −i∂µ η̂ a (x) ∂ µ η̂a (x) + gfabc Ĝµb (x)η̂c (x) . (6.6.24) Aus dem Wechselwirkungsterm dieser Lagrange-Dichte L1FP = −igfabc ∂µ η̂ a (x) Ĝµb (x)η̂c (x) kann man direkt den für Störungsrechnungen relevanten Vertex ηc Gµb ηa (6.6.25) 6.6. GEISTFELDER 255 ablesen. Die Fadeev-Popov-Geistfelder können damit in Feynman-Graphen nur gemeinsam in geschlossenen Schleifen Gµa Gνb auftreten. Dabei kompensieren sie den durch eine geschlossene Gluonenschleife gelieferten Beitrag zur Feynman-Amplitude, da durch die fermionischen Vertauschungsrelationen ein zusätzlicher Faktor (-1) geliefert wird. Die Geistfelder besitzen je einen Freiheitsgrad und können deshalb die zwei Freiheitsgrade der Pseudogluonen auch nur gemeinsam kompensieren. Da eine Lagrange-Dichte hermitesch sein muss, gilt dies auch für LagrangeDichte der Geistfelder L†F P = LF P . (6.6.26) Dies bedeutet, dass die Geistfelder selbst jeweils hermitesch η̂a† (x) = η̂a (x) 6= † η̂ a (x) = η̂ a (x) (6.6.27) und verschieden voneinander sind. Über die Hermitezität der Geistfelder bestand lange Zeit die falsche Vorstellung, dass das Antigeistfeld das hermitesch konjugierte Geistfeld ist. Für solch ein Geistfeld ist die Lagrange-Dichte LF P aber nicht hermitesch. Anmerkung für die folgenden Rechnungen: Bei der Ableitung nach fermionischen Operatoren ist eine Besonderheit zu beachten, die bei den bisherigen Ausführungen noch nicht wichtig war. Gilt für zwei Operatoren [Â, B̂]+ = 0, dann ist die Ableitung des Produktes nach einem fermionischen Operator durch ∂(ÂB̂) ∂ F̂ =  ∂ B̂ ∂ F̂ − ∂  ∂ F̂ B̂ KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 256  = F̂ gegeben. Denn ist zum Beispiel ∂(F̂ B̂) ∂ F̂ ∂(−B̂ F̂ ) und auch ∂ F̂ und = F̂ B̂ ∂ B̂ ∂ F̂ = −B̂ nicht von − ∂ F̂ ∂ F̂ ∂ F̂ ∂ F̂ + F̂ abhängig, so wird B̂ = −B̂ ∂ B̂ ∂ F̂ F̂ = −B̂ . Mit den kanonisch konjugierten Feldoperatoren π̂ηa = ∂LF P = −i∂ 0 η̂ a ∂(∂0 η̂a ) (6.6.28) π̂ηa = ∂LF P = +i ∂ 0 η̂a (x) + gfabc Ĝ0b (x)η̂c (x) ∂(∂0 η̂ a ) (6.6.29) veriziert man nun L†F P † = +i ∂ µ η̂a† (x) + gfabc Ĝµb (x)η̂c† (x) ∂µ η̂ a (x) = +i ∂ µ η̂a (x) + gfabc Ĝµb (x)η̂c (x) ∂µ η̂ a (x) = +i ∂ 0 η̂a (x) + gfabc Ĝ0b (x)η̂c (x) ∂0 η̂ a (x) + i ∂ j η̂a (x) + gfabc Ĝjb (x)η̂c (x) ∂j η̂ a (x) = +π̂ηa · iπ̂ηa + i ∂ j η̂a (x) + gfabc Ĝjb (x)η̂c (x) ∂j η̂ a (x) = π̂ηa · −iπ̂ηa − i∂j η̂ a (x) ∂ j η̂a (x) + gfabc Ĝjb (x)η̂c (x) = −i∂0 η̂ a (x) ∂ 0 η̂a (x) + gfabc Ĝ0b (x)η̂c (x) − i∂j η̂ a (x) ∂ j η̂a (x) + gfabc Ĝjb (x)η̂c (x) = −i∂µ η̂ a (x) ∂ µ η̂a (x) + gfabc Ĝµb (x)η̂c (x) = LF P . 6.7. DIE BRST-SYMMETRIE 257 6.7 Die BRST-Symmetrie Sammelt man wiederum alle bisher diskutierten Terme zusammen, so erhält man die erweiterte Lagrange-Dichte LE+F QCD = LQCD + LEichterm + LFP (6.7.1) ˆ (x) (iγ ∂ µ − m ) Q̂ (x) − 1 Ĝµν Ĝa =Q µ f f f 4 a µν ˆ (x)γ λa Q̂ (x)Ĝµ (x) − gQ f µ f a 2 1 − T̂a (x)∂µ Ĝµa (x) + T̂a (x)T̂a (x) 2 − i∂µ η̂ a (x) ∂ µ η̂a (x) + gfabc Ĝµb (x)η̂c (x) (6.7.2) der Quanten-Chromodynamik. Für das Folgende ist der Eichterm dabei mit dem Pseudogluonenfeld entsprechend 1 LEichterm = −T̂a (x)∂µ Ĝµa (x) + T̂a (x)T̂a (x) 2 umformuliert worden. Dass dies zulässig ist sieht man, wenn man aus die Euler-Lagrange-Gleichung T̂a (x) = ∂µ Ĝµa (x) (6.7.3) LE+F QCD (6.7.4) für das Pseudogluonenfeld ableitet. Dieses erwartete Ergebnis in die obige Lagrange-Dichte des Eichterms eingesetzt ergibt dann wieder seine urspüngliche Formulierung. Das Pseudogluonenfeld spielt die Rolle eines reinen Hilfsfeldes, da keine Ableitungen von ihm in der Lagrange-Dichte auftreten und es keine unabhängige Dynamik besitzt. C.Becchi, A.Rouet und R.Stora und unabhängig davon I.V.Tyutin haben 1976 eine weitere Invarianztransformation der obigen Lagrange-Dichte entdeckt. Diese wird nach ihren Entdeckern BRST-Symmetrie genannt. Erst mit der Entdeckung der BRST-Symmetrie sind einfache und übersichtliche Beweise der Renormierbarkeit und der Unitarität der physikalischen Streumatrix möglich geworden. Die BRST-Symmetrie hat einen kontinuierlichen, so genannten grassmannwertigen und rein imaginären Parameter θ2 θF̂ = 0 ( +F̂ θ = −F̂ θ und θ∗ = −θ falls der Operator falls der Operator F̂ F̂ θ, für den sowie bosonisch ist fermionisch ist (6.7.5) (6.7.6) KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 258 gilt. Bezeichnet Q̂B den erzeugenden Operator der BRST-Transformation, dann ergibt sich insbesondere die ungewohnte Eigenschaft ÛB (θ) = eiθQ̂B = 1 + iθQ̂B . (6.7.7) Die BRST-Transformation selbst ist durch die Beziehungen δB Q̂f = δB Ĝµa = δB η̂a = δB η̂ a = λa θ ig η̂a Q̂f 2 µ θ ∂ η̂a + gfabc Ĝµb η̂c 1 θ − gfabc η̂b η̂c 2 θ −iT̂a δB T̂a = 0 (6.7.8) (6.7.9) (6.7.10) (6.7.11) (6.7.12) deniert. Das eigentlich Verblüende ist nun, dass die BRST-Transformation eine Symmetrietransformation der Lagrange-Dichte LE+F QCD ist und die durch sie festgelegte Dynamik invariant lässt. Um diese Invarianz zu verizieren, ist das Transformationsverhalten der einzelnen Terme zu untersuchen. Der Term LQCD ist invariant bei BRST-Transformationen, da man die Iden- tikation αa = −θη̂a (6.7.13) vornehmen kann und Invarianz bei lokalen Eichtransformationen vorliegt. Für den Eichterm und den Fadeev-Popov-Term ergibt die BRST-Transformation δB LEichterm + δB LFP = −T̂a θ∂µ ∂ µ η̂a + gfabc Ĝµb η̂c −iθ∂µ −iT̂a ∂ µ η̂a {z }| {z } | Term A Term A 1 −i∂µ η̂ a θ∂ µ − gfabc η̂b η̂c −iθ∂µ −iT̂a gfabc Ĝµb η̂c 2 {z } | {z }| Term A Term B −i∂µ η̂ a gfabc θ ∂ µ η̂b + gfbde Ĝµd η̂e η̂c | {z } Term B 1 µ − i∂µ η̂ a gfabc Gb θ − gfcde η̂d η̂e 2 . 6.7. DIE BRST-SYMMETRIE 259 Die A-Terme − T̂a θ∂µ ∂ µ η̂a + gfabc Ĝµb η̂c − iθ∂µ −iT̂a ∂ µ η̂a − iθ∂µ −iT̂a gfabc Ĝµb η̂c h i = −θ∂µ T̂a ∂ µ η̂a + gfabc Ĝµb η̂c bilden eine vollständige Divergenz und sind damit irrelevant. Die B-Terme heben sich wegen 1 − i∂µ η̂ a θ∂ µ − gfabc η̂b η̂c − i∂µ η̂ a gfabc θ ∂ µ η̂b 2 h i i = ∂µ η̂ a θg fabc (∂ µ η̂b ) η̂c + fabc η̂b (∂ µ η̂c ) − 2fabc (∂ µ η̂b ) η̂c 2 h i i = ∂µ η̂ a θg fabc (∂ µ η̂b ) η̂c + facb η̂c (∂ µ η̂b ) − 2fabc (∂ µ η̂b ) η̂c 2 h i i = ∂µ η̂ a θg fabc (∂ µ η̂b ) η̂c + fabc (∂ µ η̂b ) η̂c − 2fabc (∂ µ η̂b ) η̂c 2 = 0 gegenseitig auf. Damit verbleiben die restlichen Terme 1 − i∂µ η̂ a gfabc θ gfbde Ĝµd η̂e η̂c − i∂µ η̂ a gfabc Gµb θ − gfcde η̂d η̂e 2 i = − ∂µ η̂ a g 2 θĜµd (fabc fbde η̂e η̂c ) 2 i − ∂µ η̂ a g 2 θĜµd (fabc fbde η̂e η̂c ) 2 i + ∂µ η̂ a g 2 θGµb (fabc fcde η̂d η̂e ) 2 i = + ∂µ η̂ a g 2 θĜµd ( −fabc fbde η̂e η̂c − fabe fbdc η̂c η̂e + fadb fbce η̂c η̂e 2 i = + ∂µ η̂ a g 2 θĜµd ( +fabc fbde − fabe fbdc + fadb fbce ) η̂c η̂e 2 i = + ∂µ η̂ a g 2 θĜµd ( +fabc fdeb + fdbc feab + febc fadb ) η̂c η̂e 2 ) zu untersuchen. Nun folgt mit (6.4.9) λa λd λe , = ifade 2 2 2 und der Jacobi-Identität [λa , [λd , λe ]] + [λd , [λe , λa ]] + [λe , [λa , λd ]] = 0 (6.7.14) KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 260 für die Strukturkonstanten fabc fdeb + fdbc feab + febc fadb = 0 . (6.7.15) Damit heben sich auch die restlichen Terme der BRST-Transformation auf, womit die BRST-Symmetrie der Lagrange-Dichte LE+F QCD gezeigt ist. Nach dem Noether-Theorem bedeutet dies die Existenz eines BRST-Stromes E+F ∂L λa QCD θJˆµB = θ ig η̂a Qˆf 2 ∂ ∂ µ Q̂f ∂LE+F QCD θ ∂ ν η̂a + gfabc Ĝνb η̂c + ∂ ∂ µ Ĝνa # " ∂LE+F 1 QCD θ − gfabc η̂b η̂c + ∂ (∂ µ η̂a ) 2 " # E+F ∂LQCD θ −iT̂a + , ∂ ∂ µ η̂ a den man unter Berücksichtigung der aus Gleichung für die Gluonen LE+F QCD folgenden Euler-Lagrange- ˆ ν λa Q̂ ν b µν ν ∂µ Ĝµν a + ∂ T̂a − gfabc Ĝµ Ĝc (x) − igfabc ∂ η̂ b η̂c = g Qγ 2 (6.7.16) in die Form JˆµB = −T̂a ∂µ η̂a + gfabc Ĝbµ η̂c + ∂µ T̂a η̂a i ∂µ η̂ a gfabc η̂b η̂c − ∂ ν Ĝaµν η̂a + 2 (6.7.17) bringen kann. Daraus ergibt sich als Volumenintegral über die 0-Komponente der BRST-Ladungsoperator Q̂B Z h = −T̂a ∂0 η̂a + gfabc Ĝb0 η̂c + ∂0 T̂a η̂a i i + ∂0 η̂ a gfabc η̂b η̂c d3 x 2 . (6.7.18) Da alle Feldoperatoren, aus denen der BRST-Ladungsoperator aufgebaut ist, hermitesch sind, ist dieser auch selbst hermitesch Q̂†B = Q̂B . (6.7.19) 6.7. DIE BRST-SYMMETRIE Q̂B 261 ist als Ladungsoperator der erzeugende Operator der BRST-Transformation. Dies bedeutet für einen beliebigen Operator δB F̂ = = = = F̂ ÛB (θ)F̂ ÛB† (θ) − F̂ 1 + iθQ̂B F̂ 1 − iQ̂†B θ† − F̂ 1 + iθQ̂B F̂ 1 − iQ̂B (−θ) − F̂ h i iθQ̂B , F̂ . (6.7.20) Nun ist andererseits 1 δB η̂ a ∂µ Ĝµa − T̂a 2 1 = θ −iT̂a ∂µ Ĝµa − T̂a + η̂ a θ∂µ ∂ µ η̂a + gfabc Ĝµb η̂c 2 h i 1 = iθ −T̂a ∂µ Ĝµa + T̂a T̂a − i∂µ η̂ a ∂ µ η̂a + gfabc Ĝµb η̂c i h 2 − θ∂µ η̂ a ∂ µ η̂a + gfabc Ĝµb η̂c h i = iθ LEichterm + LFP + vollständige Divergenz , was bei Vernachlässigung der vollständigen Divergenz zu 1 LEichterm + LFP = −iθ−1 δB η̂ a ∂µ Ĝµa − T̂a 2 1 −1 µ = −iθ iθQ̂B , η̂ a ∂µ Ĝa − T̂a 2 − 1 = Q̂B , η̂ a ∂µ Ĝµa − T̂a 2 + (6.7.21) führt. Dieses Ergebnis kann man benutzen, um die physikalisch zulässigen Zustände zu identizieren. Hierfür ist es zweckmäÿig, sich noch einmal die physikalisch zulässigen Zustände der Quanten-Elektrodynamik anzusehen, die durch die Forderung hη2phy |∂µ µ |η1phy i = 0 (6.7.22) ausgewählt werden. Daraus folgt hη2phy |LQED-Eichterm |η1phy i = 0 , (6.7.23) KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 262 wie man durch Einschieben eines vollständigen Satzes physikalisch zulässiger Zustände sieht. Der Eichterm der Quanten-Elektrodynamik ist damit ein Nulloperator auf allen physikalisch zulässigen Zuständen des Hilbert-Raumes. Dies gewährleistet, dass die physikalischen Ergebnisse unabhängig von der Eichung sind. Überträgt man dies auf die Quanten-Chromodynamik, muss man für die physikalisch zulässigen Zustände hη2phy |LEichterm + LFP |η1phy i = 0 (6.7.24) fordern, da die physikalischen Ergebnisse unabhängig von der Eichung und den Geistfeldern sein müssen. Die vorstehende Beziehung ist nun genau dann erfüllt, wenn man die physikalisch zulässigen Zustände wegen (6.7.21) durch die Kugo-Ojima-Auswahlregel Q̂B |ηphy i = 0 (6.7.25) festlegt. Da der BRST-Ladungsoperator eine Erhaltungsgröÿe ist, ist der physikalische Teil des Hilbert-Raumes zeitlich invariant. Nach den vorstehende Ausführungen sind auch andere Eich- und Geistterme der allgemeinen Form LEichterm + LFP = −iθ−1 δB η̂ a F̂a (6.7.26) mit einer beliebigen skalaren Eichfunktion F̂a = F Ĝµa , T̂a (6.7.27) möglich. Hiermit ist die allgemeine Form der Zusatzterme gefunden, die man durch eine Eichung auf dem Niveau der Lagrange-Dichte erhalten kann. Die vorstehenden Ausführungen lassen sich mit Hilfe der BRST-Transformation mathematisch streng beweisen. Für die sehr technischen Beweise sei auf die Literatur verwiesen, da sie kein tieferes physikalisches Verständnis vermitteln. 6.8 Hinweise zur Störungsrechnung Achtung: In diesem Abschnitt wird das Wechselwirkungsbild verwendet! Im Rahmen der Quanten-Chromodynamik können Störungsrechnungen ganz analog zur Quanten-Elektrodynamik über die Berechnung einer FeynmanAmplitude durchgeführt werden. Die Ableitung der Feynman-Regeln erfolgt 6.8. HINWEISE ZUR STÖRUNGSRECHNUNG 263 wie bei der Quanten-Elektrodynamik. Als Beispiel soll der Prozess der Streuung eines roten u-Quarks in ein grünes u-Quark durch Aussendung eines Gluons betrachtet werden, der durch den Feynman-Graphen u(p2 , σ2 ,grün) µ Gb (k, λ) u(p1 , σ1 ,rot) dargestellt wird. Mit dem Streuoperator Ŝ (1) Z = λa ˆ :Q(x) −igγµ Q̂(x):Ĝµa (x)d4 x 2 (6.8.1) in erster Ordnung, dem Anfangs- und dem Endzustand |ii = |u; m, p~1 , σ1 , roti |0G i |f i = |u; m, p~2 , σ2 , grüni |Gb ; ω; ~k, λi (6.8.2) (6.8.3) wird die zugehörige Übergangsamplitude in erster Ordnung (1) Sf i = hu; m, p~2 , σ2 , grün| hGb ; ω; ~k, λ| Z λa ˆ · T :Q(x) −igγµ Q̂(x):Ĝµa (x) d4 x |u; m, p~1 , σ1 , roti |0G i 2 = hu; m, p~2 , σ2 , grün| hGb ; ω; ~k, λ| Z λa ˆ · :Q(x) −igγµ Q̂(x):Ĝµa (x)d4 x |u; m, p~1 , σ1 , roti |0G i 2 Z λa ˆ = hu; m, p~2 , σ2 , grün| :Q(x) −igγµ Q̂(x): |u; m, p~1 , σ1 , roti 2 · hGb ; ω; ~k, λ| Ĝµa (x) |0G i d4 x Z ˆ (x) Ψ ˆ ˆ = hu; m, p~2 , σ2 , grün| : Ψ rot grün (x) Ψblau (x) Ψ̂rot (x) λa · −igγµ Ψ̂grün (x) : |u; m, p~1 , σ1 , roti 2 Ψ̂blau (x) ~ · hGb ; ω; k, λ| Ĝµ (x) |0G i d4 x a KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 264 bzw. unter Beachtung der Tatsache, dass in der Normalordnung die Vernichtungsoperatoren immer rechts von den Erzeugungsoperatoren stehen Z = ˆ hu; m, p~2 , σ2 , grün| : 0 Ψ grün (x) 0 λa Ψ̂rot (x) · −igγµ : |u; m, p~1 , σ1 , roti 0 2 0 · hGb ; ω; ~k, λ| Ĝµ (x) |0G i d4 x a Z = hu; m, p~2 , σ2 , grün| : 0 0 1 λa ˆ ·Ψ grün (x) −igγµ 2 1 Ψ̂rot (x) 0 : |u; m, p~1 , σ1 , roti 0 · δab · hGa ; ω; ~k, λ| Ĝµa (x) |0G i d4 x . Ab hier verläuft die weitere Ableitung wie bei der Quanten-Elektrodynamik und unterscheidet sich nur durch das Auftreten des Farbvektors. Deshalb kann man aus obigem Ergebnis direkt als Feynman-Regeln ablesen, dass • jedes einlaufende Quark einen Faktor c · u(~ p, σ) • jedes auslaufende Quark einen Faktor u(~ p, σ) · c† • jedes einlaufende Antiquark einen Faktor v(~ p, σ) · c† • jedes auslaufende Antiquark einen Faktor c · v(~ p, σ) • jeder Quark-Gluon-Vertex einen Faktor −igγµ λ2a mit dem Farbvektor c † = = c†rot 1 0 0 † 0 1 0 = cgrün † 0 0 1 = cblau für ein rotes Quark für ein grünes Quark (6.8.4) für ein blaues Quark liefert. Da Quarks Spinoren und die freien Gluonen Spin-1 Felder mit der gleichen Eichung wie in der Quanten-Elektrodynamik sind, kann man die weiteren Feynman-Regeln 6.8. HINWEISE ZUR STÖRUNGSRECHNUNG 265 • jede innere Fermionenlinie liefert einen Faktor • jede innere Gluonenlinie liefert einen Faktor • an jedem Spinor-Gluon-Vertex gilt die Energie- und Impulserhaltung • für jeden Viererimpuls iSF (p) δab · iDFµν (k) p, der nicht durch Energie-Impuls-Erhaltung festR 1/(2π)4 d4 p auszuführen gelegt wird, ist eine Integration über hinzufügen. Damit sind alle Feynman-Regeln formuliert, um Störungsrechnungen auf Baumniveau durchführen zu können. Der vollständige Satz der Feynman-Regeln umfasst noch die 3-Gluonen-Wechselwirkung, die 4-GluonenWechselwirkung, die Gluonen-Geist-Wechselwirkung und den Geistpropagator. Für die (auch nicht sehr komplizierte) Ableitung dieser vier zusätzlichen Feynman-Regeln sei auf die Literatur verwiesen. Als Anwendungsbeispiel soll die Quark/Antiquark-Wechselwirkung u + d −→ u +d (6.8.5) zweier verschiedener Flavour betrachtet werden. Aus dem Feynman-Graphen u(p3 , σ3 , c3 ) d(p4 , σ4 , c4 ) µ, a k u(p1 , σ1 , c1 ) ν, b d(p2 , σ2 , c2 ) liest man die Feynman-Amplitude Mud = λa c1 u(~ p1 , σ1 ) · δab · iDFµν (p3 − p1 ) −igγµ 2 λb † · v(~ p2 , σ2 )c2 −igγν c4 v(~ p4 , σ4 ) 2 u(~ p3 , σ3 )c†3 = u(~ p3 , σ3 ) (−igγµ ) u(~ p1 , σ1 ) · iDFµν (p3 − p1 ) · v(~ p2 , σ2 ) (−igγν ) v(~ p4 , σ4 ) λa λa c†2 c4 (6.8.6) · c†3 c1 2 2 KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 266 ab. Dies ist aber, wenn man eq durch g ersetzt, nichts anderes als die FeynmanAmplitude des Coulombpotentials einer Fermion-Antifermion-Streuung mit dem zusätzlichen Farbfaktor F = c†3 λa c1 2 λa c†2 c4 2 . (6.8.7) Zu dieser Feynman-Amplitude gehört deshalb das Potential Vud (r) = −F · g2 4πr (6.8.8) F ziehen sich Quark F > 0 liegt Anziehung vor, während zwischen Quark und Antiquark. Abhängig vom Farbfaktor und Antiquark an oder stoÿen sich ab. Für F <0 zu Abstoÿung führt. Der Farbfaktor hängt vom Farbzustand der wechselwirkenden Quarks ab. Ist z.B. das einlaufende Quark rot und das einlaufende Antiquark antigrün, dann muss, da die Farbladungen erhalten sind, das auslaufende Quark ebenfalls rot und das auslaufende Antiquark antigrün sein. Somit gilt c1 = c3 = crot und c2 = c4 = cgrün , (6.8.9) woraus sich der Farbfaktor F = 1 0 ergibt. Da λ3 λa 1 0 0 0 2 0 und λ8 die einzigen 1 λa 0 1 = 1 (λa ) (λa ) 0 11 22 2 4 0 λ-Matrizen (6.8.10) mit Einträgen in den Positionen 11 und 22 sind, ist F = 1 1 · (λ3 )11 (λ3 )22 + (λ8 )11 (λ8 )22 = − 4 6 < 0 . (6.8.11) Das vorstehende Ergebnis erklärt, warum es keine farbigen Mesonen gibt, da Quark und Antiquark sich abstoÿen, wenn sie keine farblose Kombination bilden. Für Mesonen ist nun der Farbzustand in abgekürzter Schreibweise 1 |qq − Farbei = √ 3 mit x, y ∈ {rot, rr 1 + gg + bb = √ · δxy · xy 3 (6.8.12) grün, blau}. Der innere Gluonenaustausch im Meson ist die Ursache für die Quark/Antiquark-Bindung. Da der ein- und der auslaufende 6.8. HINWEISE ZUR STÖRUNGSRECHNUNG 267 Mesonenzustand identisch sind (das Meson verändert sich nicht), setzt sich der zugehörige Farbfaktor aus insgesamt 9 Termen zusammen: F = = = = = Wegen F >0 δwz δxy † λa † λa √ · √ · cw cx cy cz 2 2 3 3 1 · c†w λa cx c†x λa cw 12 1 · (λa )wx · (λa )xw 12 1 · Spur (λa λa ) 12 4 3 (6.8.13) ziehen sich in einem Meson Quark und Antiquark an, was den strukturellen Aufbau der Mesonen und damit diesen Teil des Quark-PartonModells durch die Quanten-Chromodynamik erklärt. Auch in der Quanten-Chromodynamik ist es sinnvoll und notwendig eine Renormierung der Kopplungskonstanten durch Vorabberechnung immer wieder auftretender Teilgraphen vorzunehmen. Die folgende Seite zeigt die dafür auszuwertenden Feynman-Graphen, wenn die Renormierung bis zur Ordnung g2 durchgeführt wird. Man sieht, dass im Gegensatz zur Quanten-Elektrodynamik die dafür notwendigen Rechnungen sehr umfangreich werden. Da die Auswertung der verschiedenen Feynman-Graphen ein eigenes Kapitel füllen würde, verweise ich hier auf die Literatur. Als Ergebnis besteht zwischen den Kopplungskonstanten einer SU(N) mit n Generationen von Fermionen für groÿe Impulse ein ähnlich einfacher Zusammenhang 1 1 − = g 2 (k1 ) g 2 (k2 ) = 2 11 4 k1 N − n · ln 3 3 k2 2 7 k1 · ln 2 16π k2 (6.8.14) (6.8.15) wie in der Quanten-Elektrodynamik. Die starke Kopplungskonstante nimmt im Gegensatz zur elektrischen Kopplungskonstanten mit zunehmender Energie jedoch ab; d.h. je gröÿer die Energie der betrachteten Prozesse ist, desto besser konvergiert die Störungsreihe. Bei niedrigen Energien ist die Konvergenz der Störungsreihe allerdings nicht gegeben. Dies sieht man, wenn man aus dem KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 268 gR gR = g g + g g g g g g g g + g g g g g g g + g g g g g g g g + g g g g g g g g + g g g g g g g g + g g g g g g g g Feynman-Graphen zur Berechnung der renormierten starken Kopplungskonstanten bis zur Ordnung g2 6.9. ZUSAMMENFASSUNG 269 mit hoher Genauigkeit ermittelten Wert αs (mZ ) = g 2 (mZ )/4π = 0.1176 bei mZ = 91.2GeV (6.8.16) und mit obiger Beziehung den Wert αs (0.35GeV) = g 2 (0.35GeV)/4π ≈ 1 (6.8.17) ableitet, da die Störungsreihe ja eine Entwicklung nach Potenzen von αs ist. Damit wird auch die Gültigkeit der gewonnenen Quark/Antiquark-Potentiale eingeschränkt. Bisher ist es nicht gelungen, das Potential auch für gröÿere Abstände aus der Quanten-Chromodynamik abzuleiten. Phänomenologisch wird man zu einem Potential der Form 4 g2 VMeson (r) = − · + F0 r 3 4πr (6.8.18) geführt, das bei gröÿer werdender Entfernung unbegrenzt zunimmt. Experimentell ziehen sich Quark und Antiquark unabhängig von ihrer Entfernung mit einer Kraft F0 von mindestens etwa 1015 GeV/m oder 105 Newton an. Als Konsequenz kann man kein einzelnes Quark aus einem Meson herauslösen. Eine weitere Problematik bei der Anwendung der Quanten-Chromodynamik besteht darin, dass die Berechnung von Bindungsenergien der Hadronen und ihrer Wechselwirkungen miteinander komplizierte Vielkörperprobleme sind, die spezielle Lösungsmethoden erfordern und bisher nur teilweise erfolgreich bearbeitet werden konnten. Dies ist ein aktuelles Gebiet intensiver Forschung. 6.9 Zusammenfassung Die Vielfalt der beobachtbaren Hadronen wird auf relativ einfache und plausible Weise durch das Quark-Parton-Modell • jedes Quark kann mit den Farbladungen rot, grün und blau auftreten • alle natürlich auftretenden Teilchen sind farblos und die einzigen möglichen farblosen Kombinationen sind • rot+antirot oder grün+antigrün oder blau+antiblau • rot+grün+blau oder antirot+antigrün+antiblau erklärt. Hadronen aus einem Quark und einem Antiquark werden Mesonen und Hadronen aus drei Quarks Baryonen genannt. So ist als Beispiel ein typischer KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 270 Mesonenaufbau die Struktur des |ρ0 ; s3 = +1i |ρ0 ; s3 = 0i |ρ0 ; s3 = −1i ρ0 -Mesons 1 = √ |A; u, ↑i |B; u, ↑i − |A; d, ↑i |B; d, ↑i · |qq − Farbei 2 1 |A; u, ↑i |B; u, ↓i − |A; d, ↑i |B; d, ↓i = 2 + |A; u, ↓i |B; u, ↑i − |A; d, ↓i |B; d, ↑i · |qq − Farbei 1 = √ |A; u, ↓i |B; u, ↓i − |A; d, ↓i |B; d, ↓i · |qq − Farbei 2 und analog ist in abgekürzter Schreibweise ein Beispiel für den Aufbau eines Baryons die Struktur des Protons im Spinzustand √ = 1/ 18 · ( |p+ ; s3 = +1/2i s3 = +1/2 2u↑u↑d↓ − u↑u↓d↑ − u↓u↑d↑ + 2u↑d↑u↓ − u↑d↓u↑ − u↓d↑u↑ + 2d↑u↑u↓ − d↑u↓u↑ − d↓u↑u↑ · |qqq − Farbei ) . Die Farbzustände der Mesonen und der Baryonen |qq − Farbei = δxy |A; xi |B; yi |qqq − Farbei = xyz |A; xi |B; yi |C; zi mit x, y, z ∈ {rot, grün, blau} sind invariant bei Drehungen |rot0 i |roti |grün0 i = U3×3 (α) · |grüni |blau0 i |blaui des Farbraumes durch die unitäre Transformationsmatrix U3×3 (α) = e−iαa mit acht reellen Parametern αa λa 2 und acht linear unabhängigen λ-Matrizen, für die in der Elementarteilchenphysik üblicherweise die fundamentale Gell-MannDarstellung gewählt wird. Auf dem Niveau der Lagrange-Dichte erfordert die Farbinvarinz, dass jeder Quarkavour einen Spaltenvektor Ψ̂rot (x) Q̂(x) = Ψ̂grün (x) Ψ̂blau (x) 6.9. ZUSAMMENFASSUNG 271 bildet, was zu der invarianten Lagrange-Dichte der Quanten-Chromodynamik LSTM QCD = 1 X ˆ µ Ĝa Qf (x) iγµ DQ − mf Q̂f (x) − Ĝµν 4 a µν f =1,6 führt, wobei µ DQ = ∂ µ + ig λa µ Ĝ (x) 2 a die eichinvariante Ableitung ist. Die Lagrange-Dichte ist auch invariant bei dem Übergang zu lokalen innitesimalen Eichtransformationen λa Q̂(x) Q̂(x) −→ 1 − iαa (x) 2 λa ˆ ˆ Q(x) −→ Q(x) 1 + iαa (x) 2 1 Ĝaµ (x) −→ Ĝaµ (x) + · ∂µ αa (x) + fabc αb (x)Ĝcµ (x) g . Zur Kompensation der Beiträge der nicht-physikalischen Freiheitsgrade der Gluonen in Störungsrechnungen führt man so genannte Geistfelder ein, die dann die Lagrange-Dichte LFP = −i∂µ η̂ a (x) ∂ µ η̂a (x) + gfabc Ĝµb (x)η̂c (x) besitzen müssen. Nimmt man in der Lagrange-Dichte eine Eichxierung der Quanten-Chromodynamik mit dem Eichterm 1 LEichterm = −T̂a (x)∂µ Ĝµa (x) + T̂a (x)T̂a (x) 2 vor und berücksichtigt auch noch die Lagrange-Dichte der Geistfelder, so ist die derart erweiterte Lagrange-Dichte invariant bei BRST-Transformationen. Diese BRST-Symmetrie liefert eine erhaltene BRST-Ladung, die zu der KugoOjima-Auswahlregel Q̂B |ηphy i = 0 für die physikalisch zulässigen Zustände führt. Durch diese Festlegung der physikalischen zulässigen Zustände wird sichergestellt, dass alle physikalischen Ergebnisse unabhängig von den Eich- und Geisttermen sind. KAPITEL 6. QUANTEN-CHROMODYNAMIK 272 Führt man einen 3-komponentigen Farbvektor c† = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 für ein rotes Quark für ein grünes Quark für ein blaues Quark ein, dann sind die Feynman-Regeln der Quanten-Chromodynamik auf Baumniveau durch die Zusammenstellung • jedes einlaufende Quark liefert einen Faktor c · u(~ p, σ) • jedes auslaufende Quark liefert einen Faktor u(~ p, σ) · c† • jedes einlaufende Antiquark liefert einen Faktor v(~ p, σ) · c† • jedes auslaufende Antiquark liefert einen Faktor c · v(~ p, σ) • jede innere Fermionenlinie liefert einen Faktor iSF (p) • jede innere Gluonenlinie liefert einen Faktor δab · iDFµν (k) • jeder Quark-Gluon-Vertex liefert einen Faktor −igγµ λ2a • an jedem Spinor-Gluon-Vertex gilt die Energie- und Impulserhaltung • für jeden Viererimpuls p, der nicht durch Energie-Impuls-Erhaltung festR 1/(2π)4 d4 p auszuführen gelegt wird, ist eine Integration über gegeben. Die Anwendung der Feynman-Regeln ergibt im Meson für kurze Abstände ein anziehendes Quark/Antiquark-Potential, das man phänomenologisch für alle Abstandsbereiche in der Form 4 g2 + F0 r VMeson (r) = − · 3 4πr formulieren kann. Die auch bei weiteren Abständen extrem groÿe anziehende Kraft F0 von etwa 105 Newton erklärt den Quarkeinschluss im Meson. Renormierung führt zu dem Zusammenhang 1 1 − = g 2 (k1 ) g 2 (k2 ) 7 · ln 16π 2 k1 k2 2 zwischen den Kopplungskonstanten bei verschiedenen Energien. Die starke Kopplungskonstante nimmt im Gegensatz zur elektrischen Kopplungskonstanten mit zunehmender Energie ab. 273 Kapitel 7 Die schwache Wechselwirkung Aus der Beobachtung, dass die linkshändigen Lepton- und Quarkpaare einer Generation jeweils ein SU(2)-Duplett bilden, wird die Lagrange-Dichte der schwachen Wechselwirkung abgeleitet. Der Mechanismus der spontanen Symmetrie-Brechung wird formuliert und gezeigt, wie die Yukawa-Kopplungen mit dem Higgs-Feld zu einer Mischung der Generationen führen. Die FeynmanRegeln für die Wechselwirkung zwischen den beobachtbaren Teilchen werden gewonnen. Abschlieÿend erfolgt die Beschreibung typischer Teilchenzerfälle. 7.1 Phänomenologie Die Entdeckung der schwachen Wechselwirkung geht auf die Analyse des 1896 entdeckten Beta-Zerfalls zurück. Beim Beta-Zerfall zerfällt ein im Atomkern gebundenes Neutron n −→ p+ + e− + ν e (7.1.1) in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino. Das Antineutrino wurde erstmals 1930 durch W.Pauli zur Wahrung des Energieerhaltungssatzes bei dem Beta-Zerfall postuliert, da die Energien des entstehenden Protons und Elektrons geringer sind als die Energie des ursprünglichen Neutrons. Auf der Ebene der Konstituten ndet beim Beta-Zerfall die Umwandlung eines d-Quarks in ein u-Quark statt d −→ u + e− + ν e . (7.1.2) KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 274 Die Halbwertszeit dieses Zerfalls ist mit 18min sehr lang, was den Schluss nahe legt, dass die zugehörige Wechselwirkung nur schwach ist. Weder die Quanten-Elektrodynamik noch die Quanten-Chromodynamik kann den BetaZerfall erklären. Eine Schwierigkeit bei der Analyse der schwachen Wechselwirkung ist die Verdeckung vieler ihrer Eekte durch die wesentlich stärkeren Eekte der elektromagnetischen und der starken Wechselwirkung. Da aufgrund der schwachen Wechselwirkung keine gebundenen Zustände gebildet werden, waren es vor allem Teilchenzerfälle, an denen ihre Eigenschaften erforscht wurden. Typische Beispiele solcher Teilchenzerfälle sind der −→ p+ + e− + ν e n Beta-Zerfall: Kaon-Zerfall: Kaon-Zerfall: K − − K − −→ µ + ν µ − − −→ π + π (7.1.4) (7.1.5) − µ −→ νµ + e + ν e Myon-Zerfall: (7.1.3) 0 . (7.1.6) Die ersten drei Zerfälle sind im Quark-Parton-Modell Beta-Zerfall: d −→ u + e− + ν e (7.1.7) Kaon-Zerfall: s −→ d + u + u (7.1.8) Kaon-Zerfall: s +u − −→ µ + ν µ . (7.1.9) Mittlerweile ist es aber auch gelungen Streuversuche mit Neutrinos an Nukleonen und Elektronen durchzuführen. Aus dem Experiment ergibt sich als eine wesentliche Eigenschaft der schwachen Wechselwirkung, dass sie unsymmetrisch bezüglich der Spins der an der Wechselwirkung beteiligten Fermionen ist. Beim Zerfall eines Teilchens entstehen fast ausschlieÿlich Fermionen mit dem Spin σ = −1/2. Der Spin dieser so genannten linksdrehende Fermionen zeigt entgegen zur Bewegungsrichtung, wenn man die z-Achse, die konventionsgemäÿ die Quantisierungsachse für den Spin ist, mit der Bewegungsrichtung des jeweiligen Teilchens identiziert. Fermionen mit Spin σ = +1/2, d.h rechtsdrehende Fermionen mit der Spinrich- tung in Bewegungsrichtung, entstehen beim Zerfall eines Teilchens nur sehr wenige. Die Eigenschaft, links- oder rechtsdrehend zu sein, ist für ein Fermion mit Masse jedoch keine Invariante bei Lorentz-Transformationen, da ein Teilchen mit Masse sich mit einer Geschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit bewegt und deshalb immer überholt werden kann. Durch das Überholen kehrt 7.2. CHIRALE FERMIONEN 275 sich für den entsprechenden Beobachter die Bewegungsrichtung, aber nicht der Spin um. Aus einem linksdrehenden wird so ein rechtsdrehendes Fermion und aus einem rechtsdrehenden wird ein linksdrehendes Fermion. Freie Fermionen (d.h. Fermionen, die auch nicht mit dem Higgs-Feld wechselwirken) sind wegen der notwendigen Skaleninvarianz immer masselos; d.h. sie bewegen sich grundsätzlich mit Lichtgeschwindigkeit und können nicht überholt werden. Ihre Eigenschaft, links- oder rechtsdrehend zu sein, ist dann aber eine Invariante bei Lorentz-Transformationen. Da es keine Möglichkeit gibt, ein masseloses linksdrehendes in ein rechtsdrehendes Fermion (und umgekehrt) zu transformieren, sind das links- und das rechtsdrehende masselose Fermion unterschiedliche Teilchen. Einige Autoren meinen, dass man nicht so weit gehen darf, links- und rechtsdrehende Fermionen als unterschiedliche Teilchen zu betrachten, da, wenn das Fermion eine Masse besitzt, ein anfänglich linksdrehender Zustand bei der Ausbreitung auch rechtsdrehende Anteile entwickelt und umgekehrt. Diese Betrachtung ist aber nicht konsequent, da bei einem Fermion mit Masse eine Wechselwirkung mit dem Higgs-Feld stattgefunden haben muss und damit keine freie Ausbreitung vorliegt. 7.2 Chirale Fermionen Die Eigenschaft eines Fermions, linksdrehend oder rechtsdrehend zu sein, ist nicht Lorentz-invariant und kann deshalb nicht zur Formulierung einer Theorie der schwachen Wechselwirkung benutzt werden. Eine Lorentz-invariante Erweiterung dieser Eigenschaft ist die Chiralität, die links- und rechtshändigen Fermionen einführt. Die Händigkeit wird mit Hilfe der Matrizen γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 1 L= 1 − γ5 2 1 R= 1 + γ5 2 (7.2.1) (7.2.2) (7.2.3) mathematisch formuliert. Wegen † = γ5 (7.2.4) 5 2 = 1 (7.2.5) γ5 γ 5 µ γ γ µ 5 = −γ γ (7.2.6) KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 276 gelten die Beziehungen L† R † = = R·L L R und L2 = L (7.2.7) und 2 = R (7.2.8) = 0 R = L·R (7.2.9) sowie R+L = µ γ ·L 1 (7.2.10) R·γ . (7.2.11) Die Wellenfunktion eines Fermions wird linkshändig Ψ(x, L) bzw. rechtshändig Ψ(x, R) = µ genannt, wenn L · Ψ(x, L) = Ψ(x, L) (7.2.12) R · Ψ(x, R) = Ψ(x, R) (7.2.13) bzw. gilt. Man spricht dann von chiralen Fermionen. Mit der Beziehung (7.2.6) gilt auch γ 5 · Σµν = γ5 · i µ ν [γ , γ ] 4 = i µ ν [γ , γ ] · γ 5 4 = Σµν · γ 5 und damit für die Matrix der Lorentz-Transformation für die Spinoren γ 5 · S(ω) = S(ω) · γ 5 , woraus S(ω) · L = L · S(ω) (7.2.14) S(ω) · R = R · S(ω) (7.2.15) folgt; d.h. die Chiralität der Fermionen ist im Gegensatz zur Eigenschaft, linksdrehend oder rechtsdrehend zu sein, invariant bei Lorentz-Transformationen. Die Bedeutung der chiralen Fermionen zur Formulierung einer Theorie der schwachen Wechselwirkung ist in der für masselose Fermionen gültigen Beziehung linksdrehendes Fermion rechtsdrehendes Fermion ⇐⇒ linkshändiges Fermion ⇐⇒ rechtshändiges Fermion (7.2.16) (7.2.17) 7.2. CHIRALE FERMIONEN 277 begründet. Da freie Fermionen masselos sind und ihre Chiralität bei LorentzTransformationen erhalten bleibt, können chirale Fermionen zur Theoriebildung verwendet werden. Die oben formulierte Beziehung kann man am Einfachsten in der in diesem Text verwendeten chiralen Darstellung der Gamma-Matrizen zeigen. In dieser chiralen Darstellung ergibt sich einfach −1 0 5 γ = 0 0 1 0 L= 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 0 0 +1 0 0 0 0 und damit 0 0 R= 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 . (7.2.18) Legt man die z-Achse in Bewegungsrichtung, so wird die Wellenfuktion eines freien Fermions aus ebenen Zuständen der Form 3 (2π)− 2 Ψpz (x, σ) = p · e−i( E(pz )t−pz z ) u(pz , σ) 2E(pz ) (7.2.19) aufgebaut, mit dem durch einen Boost in z-Richtung gebildeten Spinor u(pz , σ) = SL (pz )u(0, σ) und u 0, + 1 2 1 √ 0 = m 1 0 und u 0, − Da die Bewegung in z-Richtung erfolgt, ist mit 1 2 0 √ 1 = m 0 1 ω03 = −ω30 := ω . 278 KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG i i 03 30 SL (pz ) = exp − ω03 Σ − ω30 Σ 2 2 +1 0 0 0 ω 0 −1 0 0 = exp − 20 0 −1 0 0 0 0 +1 +1 0 0 0 +1 0 ω 0 −1 0 +1 0 0 cosh = − 0 0 0 +1 0 0 2 0 0 0 +1 0 0 −ω e 2 0 0 0 +ω 0 2 0 0 e . = +ω 0 0 e 2 0 ω 0 0 0 e− 2 0 0 0 0 sinh ω −1 0 2 0 +1 (7.2.20) Für die auftretenden Exponentialfunktionen erhält man aus m E(pz ) 0 0 0 = TL (pz ) 0 0 pz 0 0 0 +1 m 0 0 0 0 0 = exp +ω 0 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 coshω + 0 0 0 0 +1 +1 m · coshω 0 = 0 m · sinhω 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 m 0 0 sinhω 0 0 0 0 (7.2.21) durch Auösen der Hyperbelfunktionen me±ω = E(pz ) ± pz . (7.2.22) 7.2. CHIRALE FERMIONEN 279 Damit folgt u(pz , +1/2) = SL (pz )u(0, +1/2) p E(pz ) − pz p 0 0 0 1 0 0 E(p ) + p 0 0 z z p = 1 0 0 E(pz ) + pz p 0 0 E(pz ) − pz 0 0 0 p E(pz ) − pz 0 0 0 −→ √ = p für m→0 (7.2.23) 2pz E(pz ) + pz 0 0 und Ψpz (~x, +1/2)m=0 0 − 23 −i( E(pz )t−pz z ) 0 = (2π) e 1 0 . (7.2.24) 0 − 32 −i( E(pz )t−pz z ) 1 = (2π) e 0 0 . (7.2.25) Ganz analog ergibt sich Ψpz (~x, −1/2)m=0 Aus den vorstehenden beiden Beziehungen folgt L · Ψpz (~x, −1/2)m=0 = Ψpz (~x, −1/2)m=0 R · Ψpz (~x, +1/2)m=0 = Ψpz (~x, +1/2)m=0 (7.2.26) (7.2.27) und damit ist gezeigt, dass freie masselose linksdrehende Fermionen linkshändig und freie masselose rechtsdrehende Fermionen rechtshändig sind. Die Lagrange-Dichte eines freien chiralen Fermions muss als Dirac-Feld LL-Dirac = iΨ(x, L)γµ ∂ µ Ψ(x, L) (7.2.28) LR-Dirac = iΨ(x, R)γµ ∂ µ Ψ(x, R) (7.2.29) sein. Ein Dirac-Masseterm für ein freies chirales Fermion kann im Gegensatz zum nicht chiralen Fermion nicht auftreten, da dieser für linkshändige chirale KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 280 Fermionen wegen mΨ(x, L)Ψ(x, L) = mΨ† (x, L)γ 0 · Ψ(x, L) † = m LΨ(x, L) · γ 0 · LΨ(x, L) = mΨ† (x, L) · Lγ 0 L · Ψ(x, L) = mΨ† (x, L)γ 0 · RL · Ψ(x, L) = mΨ(x, L) · RL · Ψ(x, L) = 0 (7.2.30) verschwindet und das Gleiche auch für den entsprechenden Dirac-Masseterm der rechtshändigen Fermionen gilt. Freie chirale Fermionen sind damit grundsätzlich masselos. Ein Masseterm wird sich erst aus der Wechselwirkung mit einem andershändigen Fermion und dem Higgs-Feld durch spontane Symmetriebrechung ergeben. 7.3 Die Lagrange-Dichte Die Quanten-Elektrodynamik und die Quanten-Chromodynamik sind mit Feldoperatoren formuliert worden, die den physikalisch beobachtbaren Fermionen mit Masse entsprechen. Die schwache Wechselwirkung ist dagegen mit chiralen, d.h. auch masselosen Fermionen zu formulieren. Es ist deshalb zweckmäÿig auch in der Nomenklatur zwischen den Feldoperatoren, die ein masseloses chirales Fermion beschreiben, und den Feldoperatoren, die ein physikalisches Fermion mit Masse wie es nach der spontanen Symmetriebrechung vorliegt beschreiben, zu unterscheiden. Eine für das Folgende nützliche Nomenklatur zur Beschreibung der masselosen Fermionen ist durch T̂n (x) für D̂n (x) für n ∈ {νe , νµ , ντ } n ∈ e− , µ− , τ − und n ∈ {u, c, t} (7.3.1) und n ∈ {d, s, b} (7.3.2) und zur Beschreibung der Fermionen mit Masse durch Ψ̂T n (x) für Ψ̂Dn (x) für n ∈ {νe , νµ , ντ } n ∈ e− , µ− , τ − und n ∈ {u, c, t} (7.3.3) und n ∈ {d, s, b} (7.3.4) gegeben. Wird im nachstehenden Text der Generationenindex n weggelassen, so steht die Kombination Quarkgeneration. T̂ (x) und D̂(x) immer für eine beliebige Lepton- oder 7.3. DIE LAGRANGE-DICHTE 281 Der schwachen Wechselwirkung liegt nun das Postulat zugrunde, dass die elementaren Feldoperatoren einer Generation T̂ (x, R) , D̂(x, R) und L̂(x) = T̂ (x, L) D̂(x, L) (7.3.5) sind. Aus diesem einfachen Postulat ergibt sich die gesamte Dynamik der schwachen Wechselwirkung. Es basiert aber auf keinem tieferen physikalischen Prinzip und ist ausschlieÿlich durch seinen Erfolg zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung gerechtfertigt. Die freie Lagrange-Dichte der schwachen Wechselwirkung muss dann LT ;D = iTˆ (x, R)γµ ∂ µ T̂ (x, R) ˆ + iD(x, R)γ ∂ µ D̂(x, R) µ ˆ µ + iL(x)γ µ ∂ L̂(x) (7.3.6) sein. Die freie Lagrange-Dichte der nicht chiralen Fermionen ist wegen LT ;D = iTˆ (x, R)γµ ∂ µ T̂ (x, R) ˆ + iD(x, R)γ ∂ µ D̂(x, R) µ = = = ˆ µ + iL(x)γ µ ∂ L̂(x) ˆ iTˆ (x, R)γµ ∂ µ T̂ (x, R) + iD(x, R)γµ ∂ µ D̂(x, R) ˆ + iTˆ (x, L)γµ ∂ µ T̂ (x, L) + iD(x, L)γµ ∂ µ D̂(x, L) h i h i i Tˆ (x, R) + Tˆ (x, L) γµ ∂ µ T̂ (x, R) + T̂ (x, L) i h i h ˆ ˆ R) + D(x, L) γµ ∂ µ D̂(x, R) + D̂(x, L) + i D(x, ˆ µ iTˆ (x)γµ ∂ µ T̂ (x) + iD(x)γ µ ∂ D̂(x) mit der Identizierung T̂ (x) = T̂ (x, R) + T̂ (x, L) (7.3.7) D̂(x) = D̂(x, R) + D̂(x, L) (7.3.8) natürlich in der freien Lagrange-Dichte der schwachen Wechselwirkung enthalten. Die fundamentale Lagrange-Dichte ist aber die der schwachen Wechselwirkung, während die der freien nicht chiralen Fermionen nur abgeleitet ist. KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 282 Die Lagrange-Dichte LT ;D der freien Felder ist analog zur Quanten-Elektro- dynamik invariant bei innitesimalen UY (1)-Transformationen δY T̂ (x, R) = −iYRT T̂ (x, R) · αy (7.3.9) δY D̂(x, R) = −iYRD D̂(x, R) · αy (7.3.10) δY L̂(x) = −iYL L̂(x) · αy mit den erhaltenen so genannten Hyperladungen (7.3.11) YRT , YRD YL . Das an B̂ µ (x) bezeich- und diese Hyperladungen koppelnde Maxwell-Feld wird als Eichfeld net. Ebenso liegt analog zu den SU(3)-Transformationen bei der QuantenChromodynamik Invarianz bei innitesimalen SU(2)-Transformationen δSU (2) T̂ (x, R) = 0 (7.3.12) δSU (2) D̂(x, R) = 0 τa δSU (2) L̂(x) = −i L̂(x) · αa 2 (7.3.13) (7.3.14) vor, mit den Pauli-Matrizen τ1 = 0 +1 +1 , 0 τ2 = −i 0 0 +i und τ3 = +1 0 0 , −1 (7.3.15) die die Vertauschungsrelationen τb i τc = iabc 2 2 2 hτ a , (7.3.16) erfüllen; d.h. die Strukturkonstanten der SU(2) entsprechen dem vollständig antisymmetrischen Tensor. Die zugehörigen Gluonen werden als Eichfelder Ŵaµ (x) bezeichnet. Analog zur Quanten-Elektrodynamik und zur Quanten-Chromodynamik kann man aus der Invarianz bei diesen globalen Transformationen über das NoetherTheorem divergenzfreie Ströme bestimmen. Wie dort gezeigt, ist die Kopplung zu Eichfeldern sehr einfach mit Hilfe der eichinvarianten Ableitungen beschreibbar. Damit wird die Lagrange-Dichte der schwachen Wechselwirkung LSchWW = µ T̂ (x, R) iTˆ (x, R)γµ DR ˆ + iD(x, R)γ Dµ D̂(x, R) µ R µ ˆ + iL(x)γ µ DL L̂(x) 1 1 a − F̂Bµν F̂Bµν − Ŵaµν Ŵµν 4 4 (7.3.17) 7.3. DIE LAGRANGE-DICHTE 283 mit den Feldstärketensoren F̂Bµν = ∂ µ B̂ ν (x) − ∂ ν B̂ µ (x) Ŵaµν =∂ µ Ŵaν (x) −∂ ν Ŵaµ (x) (7.3.18) − gw abc Ŵbµ (x)Ŵcν (x) (7.3.19) und den eichinvarianten Ableitungen µ = ∂ µ + igy Y B̂ µ (x) DR (7.3.20) τa µ = ∂ µ + igy Y B̂ µ (x) + igw Ŵaµ (x) DL 2 . (7.3.21) Dabei wurden für die Hyperladung die Kopplungskonstante schwache Ladung die Kopplungskonstante gw gy und für die eingeführt. Die Lagrange-Dichte der schwachen Wechselwirkung ist eine unmittelbare Konsequenz des anfangs formulierten Postulates (7.3.5). Die Hyperladungen sind bestimmbar, wenn man die Brücke zur elektrischen Wechselwirkung schlägt, für die ja unabhängig von der Chiralität für innitesimale Transformationen δQ T̂ (x) = −iqT T̂ (x) · α (7.3.22) δQ D̂(x) = −iqD D̂(x) · α (7.3.23) gilt. Für eine kombinierte innitesimale UY α1 = α2 = 0 und α3 = αy = α (1)- und SU(2)-Transformation mit ist nun δα T̂ (x, R) = −iYRT T̂ (x, R) · α (7.3.24) δα D̂(x, R) = −iYRD D̂(x, R) · α τ3 L̂(x) · α δα L̂(x) = −i YL + 2 (7.3.25) . (7.3.26) Vergleich der beiden Transformationen führt dann zu den Beziehungen qT = YRT (7.3.27) qD = YRD (7.3.28) 1 2 1 = YL − 2 qT = YL + (7.3.29) qD (7.3.30) zwischen der elektrischen Ladung und der Hyperladung. Man könnte auch c3 · α3 = cy · αy = α mit beliebigen Konstanten c3 und cy wählen, würde KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 284 dadurch aber lediglich andere Ladungsmaÿstäbe erhalten. Da die Ladungsmaÿstäbe aber reine Konvention sind, wurde einfach c3 = cy = 1 gesetzt. Auf diese Weise ergibt sich nachstehende Übersicht: Fermion q YR YL νe , νµ , ντ 0 0 − 12 e− , µ− , τ − −1 −1 − 12 u, c, t + 23 + 23 + 16 d, s, b − 13 − 13 + 16 Damit sind alle Hyperladungen der chiralen Fermionen deniert. 7.4 Die Massen der Eichbosonen Die Lagrange-Dichte der schwachen Wechselwirkung, soweit sie bisher formuliert wurde, beschreibt eine Wechselwirkung mit unendlicher Reichweite. Phänomenologisch ist die Reichweite der schwachen Wechselwirkung jedoch sehr klein. Dies kann man nur durch eine entsprechend groÿe Masse der Eichbosonen erklären. Die Erzeugung der Masseterme für die Eichbosonen erfolgt im Standardmodell durch den Higgs-Kibble-Mechanismus. Hierzu führt man das Higgs-Feld als SU(2)-Duplett (hier in der so genannten 't HooftParametrisierung formuliert) 1 0 Φ̂(x) = √ v + ĥ(x) + iτa σ̂a (x) 1 2 1 σ̂2 (x) + iσ̂1 (x) =√ 2 v + ĥ(x) − iσ̂3 (x) mit reellen skalaren Feldern die Hyperladung YΦ = 1/2 ĥ(x) und σ̂a (x) (7.4.1) ein und ordnet dem Higgs-Feld zu. Das Higgs-Feld besitzt dann den Vakuumer- wartungswert 1 h0|Φ̂(x)|0i = √ 2 0 v (7.4.2) 7.4. DIE MASSEN DER EICHBOSONEN 285 Die Lagrange-Dichte des Higgs-Sektors wird im Standardmodell als 2 LHiggs-Sektor = ∂µ Φ̂† (x)∂ µ Φ̂(x) + µ2 Φ̂† (x)Φ̂(x) − λ Φ̂† (x)Φ̂(x) (7.4.3) angenommen. Da das Higgs-Feld ein SU(2)-Duplett ist, erhält man die möglichen Kopplungen des Higgs-Feldes mit den Eichbosonen mittels der eichinvarianten Ableitung aus 2 µ Φ̂(x) + µ2 Φ̂† (x)Φ̂(x) − λ Φ̂† (x)Φ̂(x) . L(Φ̂, B̂, Ŵa ) = DµL Φ̂† (x)DL Die Lagrange-Dichten LSchWW und L(Φ, B, Wa ) (7.4.4) sind analog aufgebaut wie die Lagrange-Dichten der Quanten-Elektrodynamik und der Quanten-Chromodynamik und deshalb nicht nur invariant bei globalen Eichtransformationen, sondern auch invariant beim Übergang zu lokalen Eichtransformationen; d.h. invariant bei innitesimalen UY (1) Transformationen δY T̂ (x, R) = −iYRT T̂ (x, R) · αy (x) (7.4.5) δY D̂(x, R) = −iYRD D̂(x, R) · αy (x) (7.4.6) δY L̂(x) = −iYL L̂(x) · αy (x) (7.4.7) δY Φ̂(x) = −iYΦ Φ̂(x) · αy (x) 1 · ∂ µ αy (x) δY B µ (x) = gy (7.4.8) (7.4.9) und invariant bei innitesimalen SU(2)-Transformationen δSU (2) T̂ (x, R) = 0 (7.4.10) δSU (2) D̂(x, R) = 0 τa δSU (2) L̂(x) = −i L̂(x) · αa (x) 2 τa δSU (2) Φ̂(x) = −i Φ̂(x) · αa (x) 2 1 µ · ∂ µ αa (x) + abc αb (x)Ŵcµ (x) . δSU (2) Ŵa (x) = gw (7.4.11) (7.4.12) (7.4.13) (7.4.14) Diese Eichfreiheitsgrade kann man nutzen, um das Higgs-Feld in die Form 1 Φ̂(x) = √ 2 0 v + ĥ(x) (7.4.15) KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 286 zu transformieren. Die zugehörige Eichtransformation besteht aus einer SU(2)Transformation, die die obere Feldkomponente verschwinden lässt, mit anschieÿender UY (1)-Transformation, die die untere Komponente in eine reelle Gröÿe ĥ(x) besitzt als untere Kom- transformiert. Das übrig bleibende Higgs-Boson ponente des Higgs-Feldes keine elektrische Ladung qh = YΦ − 1 =0 2 . (7.4.16) Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass alle anderen Felder auch bereits in dieser so genannten unitären Eichung geschrieben sind. Teilt man die Lagrange-Dichte entsprechend L(Φ̂, B̂, Ŵa ) = LHiggs-Sektor + LMasse (B̂, Ŵa ) + L1 (ĥ, B̂, Ŵa ) auf, so erhält man mit Φ̂h (x) = v + ĥ(x) (7.4.17) für den Higgs-Sektor 1 1 0 LHiggs-Sektor = √ 0 ∂µ Φ̂h (x) · √ µ 2 2 ∂ Φ̂h (x) 1 1 0 + µ2 · √ 0 Φ̂h (x) · √ 2 2 Φ̂h (x) 2 1 1 0 − λ · √ 0 Φ̂h (x) · √ 2 2 Φ̂h (x) 2 1 µ 2 λ = ∂µ Φ̂h (x)∂ µ Φ̂h (x) + Φ̂h (x) − Φ̂4h (x) . 2 2 4 Dies entspricht aber genau (5.6.7), weshalb die dortigen Ergebnisse übernommen werden können; d.h. es wird r µ2 λ p mh = 2µ2 v= (7.4.18) (7.4.19) und der Higgs-Sektor LHiggs-Sektor = 1 1 ∂µ ĥ(x)∂ µ ĥ(x) − m2h ĥ2 (x) 2 2 λ 3 − λv · ĥ (x) − · ĥ4 (x) . 4 Das Higgs-Boson ist ein skalares Feld mit der Masse h 4 mh und besitzt -Selbstwechselwirkungsterme, denen die Feynman-Regeln (7.4.20) h3 - und 7.4. DIE MASSEN DER EICHBOSONEN h 287 h h h h h h m2 3! · i (−λv) = −3 h · i v λ 4! · i − 4 = −3 m2h ·i v2 zugeordnet sind. Die kombinatorischen Faktoren 3! und 4! treten auf, weil es entsprechend viele verschiedene Zuordnungen zu den ein- und auslaufenden Linien im Feynman-Diagramm gibt. Mit YΦ = 1/2 ergibt sich für den Masseterm 1 τ† LMasse (B̂, Ŵa ) = √ 0 v · −igy YΦ B̂µ (x) − igw a Ŵµa (x) 2 2 1 τ 0 a · igy YΦ B̂ µ (x) + igw Ŵaµ (x) · √ 2 2 v v2 0 1 · −gy B̂µ (x) − gw τa† Ŵµa (x) = 8 0 µ µ · −gy B̂ (x) − gw τa Ŵa (x) · 1 2 h v = −gy B̂µ (x) + gw Ŵ3µ (x) −gy B̂ µ (x) + gw Ŵ3µ (x) 8 i 2 . + gw Ŵ1µ Ŵ1µ + Ŵ2µ Ŵ2µ Da die physikalisch beobachtbaren Teilchen Masseeigenzustände sein müssen, sind die Felder B und Wa selbst oenbar nicht beobachtbar, sondern nur die Linearkombinationen −gy B̂µ (x) + gw Ŵµ3 (x) q 2 gy2 + gw 1 Ŵµ (x) = √ Ŵ1µ − iŴ2µ 2 1 Ŵµ† (x) = √ Ŵ1µ + iŴ2µ . 2 Ẑµ (x) = (7.4.21) (7.4.22) (7.4.23) KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 288 Führt man nun den schwachen Mischungswinkel sinΘw gy =q 2 2 gy + gw (7.4.24) ein, so wird LMasse (B̂, Ŵa ) = LMasse (Ẑ, Ŵ ) 2 2 v 2 gw v 2 gw µ · Ŵµ† (x)Ŵ µ (x) · Ẑ (x) Ẑ (x) + µ 8cos2 Θw 4 1 = m2Z · Ẑµ (x)Ẑ µ (x) + m2W · Ŵµ† (x)Ŵ µ (x) 2 = (7.4.25) mit den Massen vgw 2cosΘw vgw = 2 mZ = mW (7.4.26) (7.4.27) für die physikalisch beobachtbaren Bosonen. Massen lassen sich in Streuversuchen sehr genau bestimmen. Es ergibt sich auf diese Weise mZ = 91.188 GeV mW = 80.398 GeV (7.4.28) , (7.4.29) woraus der schwache Mischungswinkel sin 2 Θw |th. = 1 − cos2 Θw 2 mW =1− mZ = 0.2226 (7.4.30) folgt. Dies steht in ausgezeichneter Übereinstimmung zu dem bei niedrigen Energien experimentell bestimmten schwachen Mischungswinkel von sin 2 On-Shell Θw |exp. = 0.2231 . Die genauesten Messungen sind jedoch im Energiebereich (7.4.31) mZ durchgeführt worden. In diesem Energiebereich ist (mit MS-Renormierung) sin 2 MS Θw (mZ ) |exp. = 0.2312 . (7.4.32) 7.4. DIE MASSEN DER EICHBOSONEN 289 Auch dieser Wert stimmt mit den theoretischen Vorhersagen, die sich unter Berücksichtigung von Termen höherer Ordnung bei der Störungsrechnung ergeben, sehr gut überein. Für die Wechselwirkungsterme zwischen dem Higgs-Boson und dem B- bzw. den Wa -Bosonen ergibt sich weiter 1 τa† a L1 (ĥ, B̂, Ŵa ) = √ 0 ĥ(x) · −igy YΦ B̂µ (x) − igw Ŵµ (x) 2 2 1 0 τa µ µ · igy YΦ B̂ (x) + igw Ŵa (x) · √ 2 2 v † 1 τa a + √ 0 v · −igy YΦ B̂µ (x) − igw Ŵµ (x) 2 2 1 0 τ a · igy YΦ B̂ µ (x) + igw Ŵaµ (x) · √ 2 2 ĥ(x) 1 τ† + √ 0 ĥ(x) · −igy YΦ B̂µ (x) − igw a Ŵµa (x) 2 2 1 τa 0 · igy YΦ B̂ µ (x) + igw Ŵaµ (x) · √ 2 2 ĥ(x) v = 2 · · ĥ(x) 0 1 · −gy B̂µ (x) − gw τa† Ŵµa (x) 8 0 · −gy B̂ µ (x) − gw τa Ŵaµ (x) · 1 v 2 + · ĥ (x) 0 1 · −gy B̂µ (x) − gw τa† Ŵµa (x) 8 0 µ µ · −gy B̂ (x) − gw τa Ŵa (x) · 1 bzw. wenn man wieder die physikalisch beobachtbaren Felder in die Beziehungen einführt und wie vorher vorgeht L1 (ĥ, B̂, Ŵa ) = L1 (ĥ, Ẑ, Ŵ ) = 2 g2 vgw · ĥ(x)Ŵµ† (x)Ŵ µ (x) + w · ĥ2 (x)Ŵµ† (x)Ŵ µ (x) 2 4 2 2 vgw gw µ + · ĥ(x) Ẑ (x) Ẑ (x) + · ĥ2 (x)Ẑµ (x)Ẑ µ (x). µ 4cos2 Θw 8cos2 Θw (7.4.33) KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 290 Dieses Ergebnis liefert unter Berücksichtigung der kombinatorischen Faktoren die Feynman-Regeln h 2! · i · Zν h Zν Zµ h Zµ 2 vgw 2m2Z µν · ig µν · g = 4cos2 Θw v h i· 2!2! · i · 2 gw 2m2Z µν · ig µν · g = 8cos2 Θw v2 Wν h Wν W †µ h W †µ 2 vgw 2m2W · g µν = · ig µν 2 v i· 2 gw 2m2W · g µν = · ig µν 4 v2 für die Wechselwirkung zwischen dem Higgs-Boson und den physikalisch beobachtbaren Eichbosonen. 7.5 Die Kopplungskonstanten Das physikalische Z-Boson ergab sich aus der Mischung des B- und des W3 - Feldes Ẑµ (x) = −gy B̂µ (x) + gw Ŵ3µ (x) q 2 gy2 + gw = −B̂µ (x) · sinΘw + Ŵ3µ (x) · cosΘw . (7.5.1) Die Darstellung mit Hilfe des schwachen Mischungswinkels zeigt, dass die zwei Freiheitsgrade des Z-Bosons oensichtlich durch eine Drehung um den 7.5. DIE KOPPLUNGSKONSTANTEN schwachen Mischungswinkel gebildet werden. Das B- und das 291 W3 -Feld besit- zen nun aber insgesamt vier Freiheitsgrade. Es muss danach ein orthogonaler Mischungszustand µ (x) = B̂µ (x) · cosΘw + Ŵ3µ (x) · sinΘw (7.5.2) existieren, der masselos sein muss. Dieser orthogonale Mischungszustand ist mit dem Photon identizierbar. Mit der Festlegung µ gy JˆYµ (x)B̂µ (x) + gw Jˆ3µ (x)Ŵ3µ (x) = eJˆQ (x)µ (x) + gz JˆZµ (x)Ẑµ (x) (7.5.3) ist dies konsistent möglich. Nun ist µ ˆ µ D̂(x) JˆQ (x) = qT · Tˆ (x)γ µ T̂ (x) + qD · D(x)γ ˆ = qT · Tˆ (x, R)γ µ T̂ (x, R) + qD · D(x, R)γ µ D̂(x, R) ˆ + q · Tˆ (x, L)γ µ T̂ (x, L) + q · D(x, L)γ µ D̂(x, L) T D ˆ = YT · Tˆ (x, R)γ µ T̂ (x, R) + YD · D(x, R)γ µ D̂(x, R) 1 1 ˆ ˆ µ · T (x, L)γ T̂ (x, L) + YL − · D(x, L)γ µ D̂(x, L) + YL + 2 2 ˆ R)γ µ D̂(x, R) = Y · Tˆ (x, R)γ µ T̂ (x, R) + Y · D(x, T D ˆ µ + YL · L(x)γ L̂(x) = JˆYµ (x) + Jˆ3µ (x) + ˆ µ τ3 L(x)γ L̂(x) 2 . (7.5.4) Damit wird gy JˆYµ (x)B̂µ (x) + gw Jˆ3µ (x)Ŵ3µ (x) µ = gy JˆQ (x) − Jˆ3µ (x) −Ẑµ (x) · sinΘw + µ (x) · cosΘw + gw Jˆ3µ (x) Ẑµ (x) · cosΘw + µ (x) · sinΘw µ = gy cosΘw · JˆQ (x)µ (x) − (gy cosΘw − gw sinΘw ) Jˆ3µ (x)µ (x) µ + −gy sinΘw · JˆQ (x) + (gy sinΘw + gw cosΘw ) Jˆ3µ (x) Ẑµ (x) Koezientenvergleich mit (7.5.3) liefert e = gy cosΘw 0 = gy cosΘw − gw sinΘw KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 292 sowie µ gz JˆZµ (x) = −gy sinΘw · JˆQ (x) + (gy sinΘw + gw cosΘw ) Jˆ3µ (x) gw µ =− JˆQ (x)sin2 Θw − Jˆ3µ (x) , cosΘw (7.5.5) woraus die wichtigen Beziehungen gy = gw = folgen. Mit e(mZ ) = 0.3135 und sin 2 e (7.5.6) cosΘw e sinΘw (7.5.7) Θw (mZ )=0.2312 erhält man dann gy (mZ ) = 0.358 αy (mZ ) = 0.010 gw (mZ ) = 0.652 αw (mZ ) = 0.034 (7.5.8) . (7.5.9) Dies zeigt, dass die schwache Wechselwirkung nicht wegen der Gröÿe der Kopplungskonstanten schwach ist, sondern weil die Austauschteilchen durch die Symmetriebrechung einen Masseterm erhalten. Weiter ergibt sich für den Vakuumerwartungswert des Higgs-Feldes 2mW gw (mZ ) 2mW = · sinΘw (mZ ) e(mZ ) = 247 GeV . v Damit verbleibt die Masse = mh (7.5.10) des Higgs-Bosons der einzige unbekannte Para- meter des Higgs-Sektors. 7.6 Die Wechselwirkungen zwischen den Eichbosonen Aus den Wechselwirkungstermen zwischen den Wa -Felder (siehe hierzu auch Seite 249) L1 (W1 , W2 , W3 ) = + gw abc F̂aµν Ŵµb (x)Ŵνc (x) 2 g2 − w abc ade Ŵµb (x)Ŵνc (x)Ŵdµ (x)Ŵeν (x) 4 (7.6.1) 7.6. DIE WECHSELWIRKUNGEN ZWISCHEN DEN EICHBOSONEN 293 ergeben sich durch Umschreiben mit 1 Ŵ1µ (x) = √ Ŵµ (x) + Ŵµ† (x) 2 i Ŵ2µ (x) = √ Ŵµ (x) − Ŵµ† (x) 2 Ŵ3µ (x) = µ (x) · sinΘw + Ẑµ (x) · cosΘw (7.6.2) (7.6.3) (7.6.4) die Wechselwirkungen zwischen den physikalisch beobachtbaren Eichbosonen. Dies beinhaltet auÿer viel Schreibarbeit keine Besonderheiten und soll hier deshalb nicht explizit ausgeführt werden. Als Ergebnis erhält man L1 (Ŵ1 , Ŵ2 , Ŵ3 ) = L1 (Â, Ẑ, Ŵ ) = igw cosΘw Ŵµ† Ŵν − Ŵν† Ŵµ ∂ µ Ẑ ν + ∂µ Ŵν − ∂ν Ŵµ Ŵ †ν Ẑ µ − ∂µ Ŵν† − ∂ν Ŵµ† Ŵ ν Ẑ µ + ie Ŵµ† Ŵν − Ŵν† Ŵµ ∂ µ Âν + ∂µ Ŵν − ∂ν Ŵµ Ŵ †ν µ − ∂µ Ŵν† − ∂ν Ŵµ† Ŵ ν µ 2 2 + gw cos Θw Ŵµ Ŵν† Ẑ µ Ẑ ν − Ŵµ Ŵ †µ Ẑν Ẑ ν + e2 Ŵµ Ŵν† Âµ Âν − Ŵµ Ŵ †µ Âν Âν + egw cosΘw Ŵµ Ŵν† Ẑ µ Âν + µ Ẑ ν − 2Ŵµ Ŵ †µ Âν Ẑ ν g2 Ŵµ† Ŵν Ŵ †µ Ŵ ν − Ŵ µ Ŵ †ν . (7.6.5) + w 2 Obwohl die Grundprinzipien der schwachen Wechselwirkung relativ einfach sind, wird die Gesamtheit der Wechselwirkungsterme durch das Umschreiben auf die physikalisch beobachtbaren Felder sehr schnell unübersichtlich, obwohl die ursprünglichen Felder lediglich einer Drehung unterworfen werden. Aus der oben umgeschriebenen Lagrange-Dichte sind die Feynman-Regeln für die beobachtbaren Eichbosonen direkt ablesbar. In den nachstehenden FeynmanDiagrammen werden alle Impulse als einlaufend angenommen, weshalb ihre Orientierung graphisch nicht mit angegeben ist. KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 294 Die Feynman-Regeln für die Wechselwirkung zwischen den physikalisch beobachtbaren Eichbosonen sind dann W †ν W †ν Zµ p k p Aµ k q q Wρ Wρ igw cosΘw · Γµνρ (k, p, q) mit sowie ie · Γµνρ (k, p, q) ρ µ ν Γµνρ (k, p, q) = g µν (k − p) + g νρ (p − q) + g ρµ (q − k) Zµ W †ρ Aµ W †ρ Zν Wσ Aν Wσ 2 2 µνρσ igw cos Θw · Γ ie2 · Γµνρσ Zµ W †ρ W †µ W †ρ Aν Wσ Wν Wσ iegw cosΘw · Γµνρσ mit 2 −igw · Γµρνσ Γµνρσ = g µσ g νρ + g µρ g νσ − 2g µν g ρσ . 7.7. DIE MASSEN DER FERMIONEN 295 7.7 Die Massen der Fermionen Im Standardmodell besitzt das Higgs-Feld zwei Komponenten und deshalb muss der Mechanismus zur Erzeugung der Masseterme für die Fermionen gegenüber dem im Kapitel Quanten-Elektrodynamik verwendeten Modell angepasst werden. Dabei ist es notwendig alle Generationen der Leptonen oder der Quarks gleichzeitig zu betrachten. Zur übersichtlichen Darstellung werden in den folgenden Abschnitten die abgekürzten Schreibweisen D̂d (x) D̂e− (x) D̂(x) = D̂µ− (x) bzw. D̂s (x) D̂b (x) D̂τ − (x) T̂νe (x) T̂u (x) T̂(x) = T̂νµ (x) bzw. T̂c (x) T̂t (x) T̂ντ (x) sowie verwendet. Eine entsprechende Schreibweise wird für die rechts- und linkshändigen Fermionen sowie für die Fermionen mit Masse benutzt. Damit wird der allgemeinste hermitesche Term zur Erzeugung eines Masseterms durch das Higgs-Feld für die D-Fermionen LYukawa (D̂) = −L̂(x)ΛD D̂(x, R)Φ̂(x) − Φ̂† (x)D̂(x, R)Λ†D L̂(x) , (7.7.1) ΛD eine beliebige komplexe 3x3-Matrix sein kann. Da D̂(x, R) und das ˆ Produkt L(x)Φ̂(x) SU(2)-Skalare sind, ist diese Yukawa-Kopplung invariant bei SU(2)-Transformationen. UY (1)-Invarianz ist wegen der verschwindenden wobei Hyperladung der Kopplungsterme 1 1 −YL + YD + YΦ = + − 1 + = 0 2 2 1 1 1 − YL + YD + YΦ = − − + = 0 6 3 2 und für Leptonen für Quarks (7.7.2) (7.7.3) ebenfalls gegeben. In der unitären Eichung werden die unteren Komponenten von L̂(x) herausprojiziert und man erhält LYukawa (D̂) = − h D̂(x, L)ΛD D̂(x, R) + D̂(x, R)Λ†D D̂(x, L) i 1 · √ v + ĥ(x) . 2 (7.7.4) Nach einem Satz der Matrizenrechnung kann eine komplexe nxn-Matrix immer als Produkt † ΛD = VD · M D · W D (7.7.5) KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 296 zweier unitärer Matrizen VD und WD sowie einer Diagonalmatrix (hier für n=3 angeschrieben) MD m11 = 0 0 0 0 m33 0 m22 0 mit mnn reell und mnn ≥ 0 (7.7.6) dargestellt werden. Hiermit kann man zu einer Darstellung der Yukawa-Wechselwirkung mit den physikalisch beobachtbaren Fermionen übergehen, indem man diese durch die Drehungen D̂(x, R) = WD · Ψ̂D (x, R) D̂(x, L) = VD · Ψ̂D (x, L) (7.7.7) (7.7.8) einführt. Damit wird dann LYukawa (D̂) = LYukawa (Ψ̂D ) h ˆ (x, L) · V † Λ W · Ψ̂ (x, R) =− Ψ D D D D D i ˆ (x, R) · W † Λ† V · Ψ̂ (x, L) · √1 v + ĥ(x) +Ψ D D D D D 2 h ˆ (x, L) · M · Ψ̂ (x, R) =− Ψ D D D i ˆ (x, R) · M · Ψ̂ (x, L) · √1 v + ĥ(x) +Ψ D D D 2 h ˆ = − Ψ (x) · R · M · R · Ψ̂ (x) D D D i ˆ (x) · L · M · L · Ψ̂ (x) · √1 v + ĥ(x) +Ψ D D D 2 h i 1 ˆ = − ΨD (x) · (R + L) · MD · Ψ̂D (x) · √ v + ĥ(x) 2 h i 1 ˆ (x) · M · Ψ̂ (x) · √ v + ĥ(x) =− Ψ D D D 2 X 1 ˆ =− (MD )nn · ΨDn (x)Ψ̂Dn (x) · √ v + ĥ(x) . 2 n (7.7.9) Die gedrehten Felder sind wie erwartet die Masseeigenzustände und damit die physikalisch beobachtbaren Fermionen mit einer Masse v mDn = √ · (MD )nn 2 . (7.7.10) 7.7. DIE MASSEN DER FERMIONEN 297 Die Vertexfaktoren für die Wechselwirkung der D-Fermionen mit dem HiggsBoson ergeben sich durch Betrachtung des Yukawa-Terms LYukawa (Ψ̂D ). ΨDn h ΨDn −i · (MD )nn mDn √ = −i · v 2 Um einen Masseterm auch für die T-Fermionen zu erzeugen, führt man die Kombination der Higgs-Feldkomponenten e Φ(x) = τ · Φ̂∗ (x) (7.7.11) mit der Hilfsmatrix τ= 0 −1 +1 0 (7.7.12) ein. Für innitesimale SU(2)-Transformationen folgt aus δSU (2) Φ̂(x) = −i τa Φ̂(x) · αa 2 (7.7.13) für das konjugiert komplexe Feld δSU (2) Φ̂∗ (x) = +i und mit τ τa∗ = −τa τ τa∗ ∗ Φ̂ (x) · αa 2 wird für das modizierte Higgs-Feld τ τa∗ ∗ Φ̂ (x) · αa 2 τa τ ∗ = −i Φ̂ (x) · αa 2 τa e = −i Φ(x) · αa ; 2 e δSU (2) Φ(x) = +i (7.7.14) KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 298 d.h. Φ̂(x) und e Φ(x) besitzen das gleiche SU(2)-Transformationsverhalten. Da- mit wird der allgemeinste hermitesche Term der Yukawa-Kopplung zur Erzeugung eines Masseterms durch das Higgs-Feld für die T-Fermionen e LYukawa (T̂ ) = −L̂(x)ΛT T̂(x, R)Φ(x) e † (x)T̂(x, R)Λ† L̂(x) −Φ T wobei ΛT , (7.7.15) wiederum eine beliebige komplexe 3x3-Matrix sein kann. Da und das Produkt ˆ Φ(x) e L(x) T̂ (x, R) wieder SU(2)-Skalare sind, liegt Invarianz bei SU(2)-Transformationen vor. Mit YΦ e = −YΦ = − ist UY (1)-Invarianz 1 2 (7.7.16) wegen der verschwindenden Hyperladung der Kopplungs- terme und 1 1 −YL + YT + YΦ =0 e =+ −0− 2 2 1 2 1 − YL + YT + YΦ − =0 e =− + 6 3 2 für Leptonen (7.7.17) für Quarks (7.7.18) ebenfalls gegeben. Geht man zu einer Darstellung der Yukawa-Wechselwirkung mit den physikalisch beobachtbaren Fermionen über, indem man diese durch die Drehungen T̂(x, R) = WT · Ψ̂T (x, R) T̂(x, L) = VT · Ψ̂T (x, L) (7.7.19) (7.7.20) einführt, ergibt sich analog zu vorher LYukawa (T̂ ) = LYukawa (Ψ̂T ) X ˆ (x)Ψ̂ (x) · √1 v + ĥ(x) =− (MT )nn · Ψ Tn Tn 2 n , (7.7.21) woraus wiederum die Massen v mT n = √ · (MT )nn 2 (7.7.22) für die physikalisch beobachtbaren Fermionen folgen. Die Vertexfaktoren für die Wechselwirkung der T-Fermionen mit dem Higgs-Boson ergeben sich wiederum durch Betrachtung des Yukawa-Terms LYukawa (Ψ̂T ). 7.8. DIE FERMION/Z-WECHSELWIRKUNG 299 ΨT n h ΨT n −i · (MT )nn mT n √ = −i · v 2 Die Feynman-Regeln für die Wechselwirkung zwischen dem Higgs-Boson und den T- bzw. D-Fermionen haben die gleiche Struktur und die Indizierung mit Dn oder Tn kann entfallen. 7.8 Die Fermion/Z-Wechselwirkung Die Wechselwirkung zwischen den Fermionen und dem Z-Boson folgt aus dem Lagrange-Dichteterm L1 (T̂ , D̂, Ẑ) = −gz JˆZµ (x)Ẑµ (x) . (7.8.1) Mit (7.5.5) wird hieraus gw ˆµ JQ (x)sin2 Θw − Jˆ3µ (x) cosΘw gw = qT T̂(x)γ µ T̂(x)sin2 Θw cosΘw L1 (T̂ , D̂, Ẑ) = = gw cosΘw + qD D̂(x)γ µ D̂(x)sin2 Θw τ3 − L̂(x)γ µ L̂(x) Ẑµ (x) 2 2 µ qT T̂(x)γ T̂(x)sin Θw + qD D̂(x)γ µ D̂(x)sin2 Θw 1 − T̂(x, L)γ µ T̂(x, L) 2 1 + D̂(x, L)γ µ D̂(x, L) Ẑµ (x) . 2 KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 300 Nach Drehung zu den physikalisch beobachtbaren Fermionen wird hieraus L1 (Ψ̂, Ẑ) = gw ˆ qT ΨT (x)γ µ Ψ̂T (x)sin2 Θw cosΘw ˆ (x)γ µ Ψ̂ (x)sin2 Θ +q Ψ D D D w 1ˆ µ − Ψ T (x, L)γ Ψ̂T (x, L) 2 1ˆ µ + Ψ (x, L)γ Ψ̂ (x, L) Ẑµ (x) D D 2 = gw ˆ qT ΨT (x)γ µ Ψ̂T (x)sin2 Θw cosΘw ˆ (x)γ µ Ψ̂ (x)sin2 Θ +q Ψ D D D w 1ˆ µ − Ψ 1 − γ 5 Ψ̂T (x) T (x)γ 4 1ˆ µ + Ψ 1 − γ 5 Ψ̂D (x) Ẑµ (x) D (x)γ 4 gw ˆ ΨT (x)γ µ −1 + 4qT sin2 Θw + γ 5 Ψ̂T (x) = 4cosΘw ˆ (x)γ µ +1 + 4q sin2 Θ − γ 5 Ψ̂ (x) Ẑ (x) +Ψ µ D D w D Dies liefert die Vertexfaktoren für die Fermion/Z-Kopplungen Ψ Zµ Ψ i· gw · γ µ cV − cA γ 5 4cosΘw mit Fermion cV cA Fermion νe , νµ , ντ −1 −1 u, c, t +1 − 4sin2 Θw +1 d, s, b e− , µ− , τ − cV cA −1 + 2 8 3 sin Θw −1 +1 − 2 4 3 sin Θw +1 7.9. DIE MISCHUNG DER GENERATIONEN 301 7.9 Die Mischung der Generationen Es verbleibt die Wechselwirkung zwischen den Fermionen und dem W-Boson aus dem zugehörigen Lagrange-Dichteterm abzuleiten. Dies liefert L1 (T̂ , D̂, Ŵ ) = −gw Jˆ1µ (x)Ŵ1µ (x) − gw Jˆ2µ (x)Ŵ2µ (x) τ1 = −gw L̂(x)γ µ L̂(x)Ŵ1µ (x) 2 τ2 − gw L̂(x)γ µ L̂(x)Ŵ2µ (x) 2 τ1 gw τ µ √ · Ŵ1µ (x) + √2 · Ŵ2µ (x) L̂(x) = − √ · L̂(x)γ 2 2 2 gw 0 Ŵµ (x) L̂(x) = − √ · L̂(x)γ µ 0 Ŵµ† (x) 2 gw = − √ · D̂(x, L)γ µ Ŵµ† (x)T̂(x, L) 2 gw − √ · T̂(x, L)γ µ Ŵµ (x)D̂(x, L) 2 und mit den physikalisch beobachtbaren Fermionen wird hieraus gw ˆ † µ † L1 (Ψ̂, Ŵ ) = − √ · Ψ D (x, L)VD · γ Ŵµ (x) · VT Ψ̂T (x, L) 2 gw ˆ † µ − √ ·Ψ T (x, L)VT · γ Ŵµ (x) · VD Ψ̂D (x, L) 2 gw ˆ = − √ · ΨD (x, L)γ µ · VD† VT · Ψ̂T (x, L)Ŵµ† (x) 2 gw ˆ † µ − √ ·Ψ T (x, L)γ · VT VD · Ψ̂D (x, L)Ŵµ (x) 2 gw ˆ µ =− √ ·Ψ 1 − γ 5 · VD† VT · Ψ̂T (x)Ŵµ† (x) D (x)γ 2 2 gw ˆ µ 1 − γ 5 · VT† VD · Ψ̂D (x)Ŵµ (x) − √ ·Ψ T (x)γ 2 2 gw ˆ † = − √ · ΨD (x)γ µ 1 − γ 5 · VMischung · Ψ̂T (x)Ŵµ† (x) 2 2 gw ˆ µ − √ ·Ψ 1 − γ 5 · VMischung · Ψ̂D (x)Ŵµ (x) T (x)γ 2 2 mit der Mischungsmatrix VMischung = VT† VD . (7.9.1) KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 302 Daraus liest man unmittelbar die Vertexfaktoren ΨDn ΨT n W †µ ΨT m Wµ ΨDm † gw −i · √ · γ µ 1 − γ 5 VMischung mn 2 2 gw − i · √ · γ µ 1 − γ 5 (VMischung )mn 2 2 ab. Da die W-Bosonen die elektrische Ladung zwischen den an der Wechselwirkung beteiligten Fermionen transportieren, tragen sie selbst die elektrische Ladung qW = qD − qT = −1 qW † = qT − qD = +1 (7.9.2) . (7.9.3) Als unitäre 3x3-Matrix besitzt die Mischungsmatrix 9 reelle Parameter. Sie koppelt 6 verschiedene Fermionen, womit ausgehend von einem Fermion die 5 Phasendierenzen zu den anderen Fermionen in deren Feldzuständen absorbiert werden können. Damit verbleiben vier unabhängige Parameter zur Beschreibung der Mischungsmatrix. Diese Parameter folgen nicht aus dem Standardmodell, sondern sind experimentell zu ermitteln. Eine der verwendeten Parametrisierungen ist durch 1 VMischung = 0 0 0 c23 −s23 0 c13 s23 × 0 c23 −s13 eiδ c12 0 s13 e−iδ 1 0 × −s12 0 0 c13 s12 c12 0 0 0 1 (7.9.4) mit drei Winkeln entsprechend Phase δ smn = sin θmn und cmn = cos θmn und einer gegeben. Die Mischungsmatrix im Quarksektor wird als Cabibbo- Kobayashi-Maskawa-Matrix bezeichnet. Die experimentell ermittelten Beträge ihrer einzelnen Komponenten sind 0.974 0.226 0.004 VCKM (Beträge) = 0.226 0.973 0.042 0.009 0.041 0.999 . (7.9.5) 7.10. EINIGE TYPISCHE TEILCHENZERFÄLLE 303 Im Standardmodell wird angenommen, dass die Neutrinos masselos sind und damit keine Mischung der Generationen stattndet, die Mischungsmatrix im Leptonsektor also eine 3x3-Einheitsmatrix ist. Mittlerweile ist jedoch gesichert, dass die Neutrinos eine Masse besitzen und das Standardmodell an dieser Stelle zu ergänzen ist. Die zugehörige Mischungsmatrix im Leptonsektor wird Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata-Matrix genannt. Die besten experimentell ermittelten Werte der Beträge ihrer einzelnen Komponenten sind zum Zeitpunkt des Schreibens dieses Textes 0.78 − 0.86 0.51 − 0.61 0.00 − 0.18 VP M N S (Beträge) = 0.21 − 0.57 0.41 − 0.74 0.59 − 0.78 0.19 − 0.56 0.39 − 0.72 0.62 − 0.80 . (7.9.6) 7.10 Einige typische Teilchenzerfälle In diesem Abschnitt sollen als Beispiele noch die Feynman-Diagramme einiger typischer Teilchenzerfälle der schwachen Wechselwirkung gezeigt werden. Der Zerfall des Myons ist ein Beispiel für den Zerfall eines freien Teilchens, νµ νe e− W− µ− µ− −→ νµ + ν e + e− während der Neutronzerfall auf eine Teilchenumwandlung im gebundenen Zustand zurückzuführen ist. u νe e− W− d Neutron(udd) −→ Proton(udu) + ν e + e− KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 304 Während bei dem Neutronenzerfall die Teilchenumwandlung innerhalb einer Generation stattndet, ist der Zerfall des K ∗+ -Mesons nur aufgrund der Mi- schung der Generationen möglich. ν e+ e+ W+ u s K ∗+ (us) −→ ν e+ + e+ Bei dem Zerfall des ruhenden K ∗+ -Mesons müssen das Antineutrino und das Positron wegen der notwendigen Impulserhaltung in entgegengesetzter Richtung fortiegen. Die schwache Wechselwirkung koppelt linkshändige Fermionen bzw. rechtshändige Antifermionen; d.h. wenn das Antineutrino rechtsdrehend und das Positron linksdrehend ist, addieren sich ihre Spins zu dem Gesamtspin s = 1, da sie sich in entgegengesetzter Richtung bewegen. Dies ist schlüssig, da der Spin des K ∗+ -Mesons j = 1 ist. Mit der vorstehenden Argumentation scheint der Zerfall eines Pions in ein Antineutrino und ein Elektron nicht möglich, da das Pion den Spin ν e− j=0 hat. e− W− d u π − (du) −→ ν e− + e− Der Zerfall wäre auch tatsächlich nicht möglich, wenn das Elektron keine Masse besitzen würde, da ein rechtsdrehendes Elektron dann ausschlieÿlich rechtshändig wäre und somit nicht an der schwachen Wechselwirkung teilnehmen könnte. 7.10. EINIGE TYPISCHE TEILCHENZERFÄLLE 305 Aufgrund der Masse besitzt ein rechtsdrehendes Elektron jedoch auch einen kleinen linkshändigen Anteil, der den Zerfallskanal ermöglicht. Nach (7.2.23) ist nämlich für einen rechtsdrehenden Spinor p E(pz ) − pz 0 p ue (pz , +1/2) = E(pz ) + pz 0 (7.10.1) und damit der an der schwachen Wechselwirkung teilnehmende linkshändige Anteil dieses rechtsdrehenden Spinors p E(pz ) − pz 0 ≈ √me L · ue (pz , +1/2) = 0 2pz 0 1 0 0 0 für pz >> me . (7.10.2) Nur weil das Elektron eine Masse besitzt ist dieser Zerfallskanal also möglich. Da die Masse des Myons wesentlich gröÿer als die des Elektrons ist, muss danach der Zerfallskanal über das Myon erheblich wahrscheinlicher sein als der Zerfallskanal über das Elektron. Die genaue Rechnung und das Experiment liefern dann auch Γ(π − → νe + e− ) = 1.23 · 10−4 Γ(π − → νµ + µ− ) Der Zerfall eines K 0 -Mesons . (7.10.3) ist auf Baumniveau nicht möglich, sondern nur in höherer Ordnung über ein u-Quark, ein c-Quark oder ein t-Quark als Zwischenzustand. Der Zerfallsanteil über das t-Quark ist wegen der sehr groÿen Masse des t-Quarks dabei aber praktisch vernachlässigbar. µ− µ+ νµ W− W+ u,c,(t) d s K 0 (ds) −→ µ− + µ+ KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 306 Der Zerfall des K 0 -Mesons ist jedoch sehr stark unterdrückt. Um dies zu ver- stehen, muss man sich noch einmal die CKM-Matrix anschauen. Vergleich von (7.9.4) und (7.9.5) zeigt, dass näherungsweise VCKM c12 ≈ −s12 0 s12 c12 0 0 0 1 (7.10.4) gilt. Mit der so genäherten CKM-Matrix sieht man, dass der Übergang d →u→s den Mischungsfaktor c12 s12 (7.10.5) →c→s den Mischungsfaktor − s12 c12 (7.10.6) und der Übergang d als Beiträge bei der Berechnung der Feynman-Amplitude liefern. In der betrachteten Näherung kompensieren sich diese beiden Beiträge genau, was als GIM-Mechanismus bezeichnet wird. Der GIM-Mechanismus wurde 1970 vorgeschlagen und führte zur Postulierung des c-Quarks, da zu dem damaligen Zeitpunkt nur das u-Quark, das d-Quark und das s-Quark bekannt waren. Da nur die genäherte CKM-Matrix verwendet wurde und zudem das u-Quark und das c-Quark unterschiedliche Massen besitzen, ndet dieser Zerfallskanal tatsächlich jedoch statt, ist aber extrem langsam. 7.11 Hinweise zur kovarianten Eichung In der bisher verwendeten unitären Eichung hat sich für das freie physikalische W-Boson die Lagrange-Dichte 1 1 µν µν − F̂W2 µν F̂W + m2W Ŵµ† (x)Ŵ µ (x) LW-Boson = − F̂W1 µν F̂W 1 2 4 4 1 † µν 2 † µ = − F̂W µν F̂W + mW Ŵµ (x)Ŵ (x) 2 = −∂µ Ŵν† (x)∂ µ Ŵ ν (x) + ∂µ Ŵ †µ (x)∂ν Ŵ ν (x) + m2W Ŵµ† (x)Ŵ µ (x) (7.11.1) ergeben, zu der der Feynman-Propagator des Proca-Feldes ∆µν F (p) = − g µν − pµ pν /m2W p2 − m2W + i (7.11.2) 7.11. HINWEISE ZUR KOVARIANTEN EICHUNG 307 gehört, wobei die irrelevante zeitartige Komponente des Feynman-Propagators vernachlässigt wurde. Wegen ∆µν F (p) −→ pµ pν · m−2 W p2 für p→∞ (7.11.3) ist das Konvergenzverhalten bei Störungsrechnungen in höheren Ordnungen sehr schlecht. Die Störungsrechnungen werden deshalb äuÿerst unübersichtlich und kompliziert. Auch die Renormierbarkeit der schwachen Wechselwirkung kann in der unitären Eichung nicht bewiesen werden. Aus den vorstehenden beiden Gründen wird oftmals eine andere Eichung verwendet, die von der 't Hooft Parametrisierung des Higgs-Feldes ausgeht und am Einfachsten mit Hilfe der BRST-Symmetrie formuliert werden kann. Die BRST-Transformation für die Lagrange-Dichte der schwachen Wechselwirkung kann direkt von der Quanten-Chromodynamik übertragen werden und ist durch die Beziehungen δB L̂(x) = δB Ŵaµ (x) = δB η̂a (x) = δB η̂ a (x) = τa θ igw η̂a (x) L̂(x) 2 µ θ ∂ η̂a (x) + gw abc Ŵbµ (x)η̂c (x) 1 θ − gw abc η̂b (x)η̂c (x) 2 θ −iT̂a (x) δB T̂a (x) = 0 (7.11.8) = ∂µ Ŵaµ (x) (7.11.9) (7.11.4) (7.11.5) (7.11.6) (7.11.7) mit T̂a (x) deniert. Da das Higgs-Feld ein SU(2)-Duplett ist, ist Invarianz des HiggsSektors mit der BRST-Transformation δB Φ̂(x) = τa θ igw η̂a (x) Φ̂(x) 2 (7.11.10) ebenfalls gegeben. Die Komponenten des Higgs-Feldes transformieren sich damit entsprechend δB ĥ(x) = δB σ̂a (x) = g w θ − · η̂a (x)σ̂ a (x) 2 gw θ· v η̂a (x) + ĥ(x)η̂a (x) + abc σ̂b (x)η̂c (x) 2 (7.11.11) . (7.11.12) KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG 308 Wie bei der Quanten-Chromodynamik gezeigt wurde, sind die erlaubten Eichund Geistterme dann durch die BRST-Transformation LEichterm + LFP = −iθ−1 δB η̂ a (x)F̂a (x) gegeben. Als sinnvoll und praktisch hat sich die (7.11.13) Rξ -Eichung 1 F̂a (x) = ∂µ Ŵaµ (x) − T̂a (x) + mW σ̂a (x) 2 (7.11.14) von G.'t Hooft erwiesen. In dieser Eichung ergibt sich für die freie LagrangeDichte des W-Bosons 1 1 µν µν LW-Boson = − F̂W1 µν F̂W − F̂W2 µν F̂W + m2W Ŵµ† (x)Ŵ µ (x) 1 2 4 4 2 1 2 1 ∂µ Ŵ1µ (x) − ∂µ Ŵ2µ (x) − 2 2 1 † µν 2 † = − F̂W µν F̂W + mW Ŵµ (x)Ŵ µ (x) − ∂µ Ŵ †µ (x)∂ν Ŵ ν (x) 2 = −∂µ Ŵν† (x)∂ µ Ŵ ν (x) + m2W Ŵµ† (x)Ŵ µ (x) , (7.11.15) woraus der in Störungsrechnungen leicht handhabbare Propagator ∆µν F (p) = − p2 g µν − m2W + i (7.11.16) folgt, da dieser bei groÿen Impulsen wegen ∆µν F (p) −→ 0 für p→∞ (7.11.17) verschwindet. Die vorstehend für das W-Boson durchgeführten Überlegungen gelten natürlich ganz analog auch für das Z-Boson. Dies soll hier aber nicht ausgeführt werden. In der Rξ -Eichung ist 1971 von G.'t Hooft und M.J.D. Veltmann erstmals die Renormierbarkeit der schwachen Wechselwirkung gezeigt worden. Den Preis, den man für den Übergang in die Rξ -Eichung bezahlt, sind 15 zu- sätzliche Wechselwirkungsvertices mit den so genannten Goldstone-Bosonen 1 Ĝ± (x) = √ σ̂2 (x) ± iσ̂1 (x) 2 0 Ĝ (x) = σ̂3 (x) , 12 zusätzliche Wechselwirkungsvertices mit den drei Geistfeldern (7.11.18) (7.11.19) η̂a (x) sowie die zusätzlichen 5 Feynman-Propagatoren für diese fünf unphysikalischen Felder. Für das konkrete Arbeiten in der Rξ -Eichung von D. Bardin und G. Passarino verwiesen. sei auf das sehr gute Buch 7.12. ZUSAMMENFASSUNG 309 7.12 Zusammenfassung Die Entdeckung der schwachen Wechselwirkung geht auf die Analyse des 1896 entdeckten Beta-Zerfalls zurück. Beim Beta-Zerfall zerfällt ein im Atomkern gebundenes Neutron −→ p+ + e− + ν e n in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino. Auf der Ebene der Konstituten ndet beim Beta-Zerfall die Umwandlung eines d-Quarks in ein u-Quark statt d −→ u + e− + ν e . Die Halbwertszeit dieses Zerfalls ist mit 18min sehr lang, was den Schluss nahe legt, dass die zugehörige Wechselwirkung nur schwach ist. Weder die QuantenElektrodynamik noch die Quanten-Chromodynamik können den Beta-Zerfall erklären. Aus dem Experiment ergibt sich als eine wesentliche Eigenschaft der schwachen Wechselwirkung, dass sie unsymmetrisch bezüglich der Spins der an der Wechselwirkung beteiligten Fermionen ist. Beim Zerfall eines Teilchens entstehen ausschlieÿlich so genannte linkshändige Fermionen. Zur Beschreibung der Händigkeit eines Fermions führt man die Matrizen γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 1 L= 1 − γ5 2 1 R= 1 + γ5 2 ein. Die Wellenfunktion eines Fermions wird linkshändig händig Ψ(x, R) Ψ(x, L) bzw. rechts- genannt, wenn L · Ψ(x, L) = Ψ(x, L) bzw. R · Ψ(x, R) = Ψ(x, R) gilt. Der schwachen Wechselwirkung liegt das Postulat zugrunde, dass die elementaren Feldoperatoren der beiden masselosen Fermionen einer Quark- oder Leptongeneration T̂ (x, R) , D̂(x, R) und L̂(x) = T̂ (x, L) D̂(x, L) 310 KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG sind. Analog zur Quanten-Elektrodynamik und zur Quanten-Chromodynamik kann man aus der Invarianz der freien Lagrange-Dichte der Fermionen bei globalen Transformationen über das Noether-Theorem divergenzfreie Ströme bestimmen. Wie dort gezeigt, ist die Kopplung zu Eichfeldern dann sehr einfach mit Hilfe der eichinvarianten Ableitungen beschreibbar. Damit wird die Lagrange-Dichte der schwachen Wechselwirkung LSchW W = µ iTˆ (x, R)γµ DR T̂ (x, R) ˆ + iD(x, R)γ Dµ D̂(x, R) µ R µ ˆ + iL(x)γ µ DL L̂(x) 1 1 a − F̂Bµν F̂Bµν − Ŵaµν Ŵµν 4 4 mit den Feldstärketensoren F̂Bµν = ∂ µ B̂ ν (x) − ∂ ν B̂ µ (x) Ŵaµν = ∂ µ Ŵaν (x) − ∂ ν Ŵaµ (x) − gw abc Ŵbµ (x)Ŵcν (x) und den eichinvarianten Ableitungen µ = ∂ µ + igy Y B̂ µ (x) DR µ DL = ∂ µ + igy Y B̂ µ (x) + igw τa µ Ŵ (x) 2 a . Dabei wurden für die Hyperladung die Kopplungskonstante schwache Ladung die Kopplungskonstante gw gy und für die eingeführt. Die Lagrange-Dichte des Higgs-Sektors 2 µ LHiggs-Sektor = DµL Φ̂† (x)DL Φ̂(x) + µ2 Φ̂† (x)Φ̂(x) − λ Φ̂† (x)Φ̂(x) wird per Hand in das Standardmodell eingefügt. In der unitären Eichung nimmt das Higgs-Feld die einfache Form 1 Φ̂(x) = √ 2 an. 0 v + ĥ(x) 7.12. ZUSAMMENFASSUNG 311 Die beobachtbaren Masseeigenzustände der Eichbosonen ergeben sich dann als die Linearkombinationen −gy B̂µ (x) + gw Ŵµ3 (x) q 2 gy2 + gw 1 Ŵµ (x) = √ Ŵ1µ − iŴ2µ 2 1 Ŵµ† (x) = √ Ŵ1µ + iŴ2µ 2 Ẑµ (x) = der ursprünglichen Eichfelder mit den Massen v q 2 2 = 91.188 GeV · gy + gw 2 v = · gw = 80.398 GeV . 2 mZ = mW Für die Kopplungskonstanten folgen mit dem schwachen Mischungswinkel sin 2 Θw |th. = 1 − mW mZ 2 = 0.2226 die wichtigen Beziehungen gy = gw = e cosΘw e sinΘw . Die allgemeinste Form der Yukawa-Kopplungen zwischen dem Higgs-Feld und den Fermionen LYukawa = −L̂(x)ΛD D̂(x, R)Φ̂(x) − Φ̂† (x)D̂(x, R)Λ†D L̂(x) e e † (x)T̂(x, R)Λ† L̂(x) − L̂(x)ΛT T̂(x, R)Φ(x) −Φ T führt bei der Wechselwirkung zu einer Mischung der Generationen, die im Quarksektor durch die Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix 0.974 0.226 0.004 VCKM (Beträge) = 0.226 0.973 0.042 0.009 0.041 0.999 312 KAPITEL 7. DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG und im Leptonsektor durch die Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata-Matrix 0.78 − 0.86 0.51 − 0.61 VP M N S (Beträge) = 0.21 − 0.57 0.41 − 0.74 0.19 − 0.56 0.39 − 0.72 0.00 − 0.18 0.59 − 0.78 0.62 − 0.80 . beschrieben wird. Die Mischungsmatrizen sind nicht durch die Theorie festgelegt, sondern müssen experimentell bestimmt werden. Die Mischung bedeutet praktisch, dass die physikalisch beobachtbaren Fermionen als Masseeigenzustände durch Drehung mit der Mischungsmatrix aus den ursprünglichen masselosen Fermionen gebildet werden. Durch den Übergang zu den physikalisch beobachtbaren Eichbosonen und Fermionen ergeben sich aus der so modizierten Lagrange-Dichte die für die schwache Wechselwirkung gültigen Feynman-Regeln. Für Rechnungen in höherer Ordnung der Störungstheorie ist es jedoch sinnvoll in die 't Hooft-Eichung zu wechseln, da die unitäre Eichung ein schlechtes Konvergenzverhalten zeigt. Teil III Zusammenfassung und Ausblick 315 Kapitel 8 Die Zusammenfassungen der einzelnen Kapitel Um den roten Faden des Textes noch einmal darzustellen, werden abschlieÿend die Zusammenfassungen der einzelnen Kapitel gemeinsam aufgeführt. 8.1 Kurze Skizze der Quantenmechanik Zur mathematischen Implementation der Erfahrungstatsache, dass es nur möglich ist Wahrscheinlichkeitsaussagen über die Ergebnisse einer Messung an einem physikalischen System zu treen, kann man die Korrespondenz • Der Zustand eines Quantensystems wird durch einen normierten Zustandsvektor • |ηi in einem Hilbert-Raum repräsentiert. Eine über den Zustandsvektor |ηi hinausgehende Beschreibung eines Quantensystems ist nicht möglich. • Die beobachtbaren physikalischen Gröÿen (Observablen) werden durch hermitesche Operatoren in diesem Raum beschrieben. • Der zugehörige Vektorraum wird durch die Eigenvektoren der relevanten Observablen aufgespannt. zwischen physikalischen und mathematischen Gröÿen konstruieren. Dann gilt • Bei einer Messung kann man nur einen der Eigenwerte des entsprechenden Operators der Observablen nden. 316 DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL • Nach einer Messung bendet sich das Quantensystem in dem Zustand, der dem gemessenen Eigenwert entspricht. • |ηi, l zu erhalten, Bendet sich ein Quantensystem vor einer Messung im Zustand dann ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung den Wert W (l) = |hl|ηi|2 . Für die Streuungen der Erwartungswerte zweier Operatoren gilt die Unschärferelation i 1 h σ L̂ σ Ô ≥ h L̂, Ô i 2i . Der Ort und der Impuls eines Quantensystems sind danach nicht gleichzeitig scharf messbar. Die Verschiebung eines Quantenzustandes in der Raumzeit wird relativistisch durch den Translationsoperator ÛT = e−iaµ P̂ µ mit beschrieben. Der Hamilton-Operator Ĥ ˆ P̂ µ = (Ĥ, P~ ) besitzt als Eigenwerte die möglichen Energien des Quantensystems, während der Operator P̂ die möglichen Impulse als Eigenwerte besitzt. Der Zustandsvektor eines Quantensystems muss die Schrödinger-Gleichung i ∂ |η(t)i = Ĥ |η(t)i ∂t erfüllen. Besitzt ein Quantensystem einen scharfen Impuls, so folgt mit Z |η(t)i = η(~x, t) |m, ~xid3 x für die Wellenfunktion η(~x, t) = c · e±i E(~ p)t−~ p·~ x , woraus sich die deBroglie Wellenbeziehungen f= E(~ p) 2π und λ= 2π |~ p| ergeben. In nicht-relativistischer Näherung ergibt sich (für nur eine Koordinate angeschrieben) die Schrödinger-Gleichung ∂ i ηnr (x, t) = ∂t 1 ∂2 − + V (x) 2m ∂x2 ηnr (x, t) DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 317 für die Wellenfunktion eines Quantenzustandes. Berücksichtigt man die Wechselwirkungen zwischen zwei verschiedenen Quantensystemen, so erhält man im nicht-relativistischen Grenzfall die Newtonschen Axiome m1 d2 x(1) d2 x(2) + m2 =0 2 dt dt2 und m ∂V (x) d2 x =− 2 dt ∂x der klassischen Mechanik. 8.2 Die Elementarteilchen Nach der speziellen Relativitätstheorie müssen die Naturgesetze invariant unter Transformationen sein, die das Linienelement ds2 = dxµ dxµ invariant lassen. Die entsprechende Transformation wird im Hilbert-Raum durch den Poincare-Operator µ i ÛP = eiaµ P̂ e− 2 ωµν M̂ µν repräsentiert. Die Poincare-Gruppe erfüllt die Lie-Algebra h i P̂ µ , P̂ ν = 0 h i i P̂ ρ , M̂ µν = g ρν P̂ µ − g ρµ P̂ ν h i i M̂ ρσ , M̂ µν = g νσ M̂ ρµ + g ρµ M̂ σν − g νρ M̂ σµ − g σµ M̂ ρν , aus der sich zwei Casimir-Operatoren ableiten lassen. Die Eigenwerte dieser Operatoren sind P̂µ P̂ µ |η; m, p~, si = 2 m2 |η; m, p~, si 2 Ŵ |η; m, p~, si = −m s(s + 1) |η; m, p~, si . Elementarteilchen sind als invariante Zustände der Poincare-Transformation deniert und durch ihre Masse m und ihren Spin s charakterisierbar. Man 318 DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL bezeichnet die Elementarteilchen entsprechend ihrem Spin als s = 0 1 Skalarfelder Spinorfelder 2 1 1 m>0: m=0: Proca-Felder Maxwell-Felder . Spinor- und Vektorfeldern lassen sich Darstellungsräume zuordnen, deren Elemente sich durch ihre Transformationseigenschaften bei Lorentz-Transformationen unterscheiden. Die Darstellungsräume sind wie die Minkowski-Raumzeit 4-dimensional. γ -Matrizen können sich wie Vektoren aber auch wie Spinoren transformieren und vermitteln so zwischen der Spinor- und der Vektordarstellung. In der Ortsdarstellung lassen sich die den Elementarteilchen zugeordneten zeitunabhängigen Feldzustände nach Impulseigenzustände entwickeln: 3 (2π)− 2 p · e−i~p~x |m, p~ id3 p 2E(~ p) X Z (2π)− 32 p Spinorfelder |Ψ(x)i = · e−i~p~x u† (~ p, σ) |m, p~, σid3 p 2E(~ p ) σ=− 12 ,+ 21 X Z (2π)− 32 p |Ψc (x)i = · e−i~p~x v(~ p, σ) |m, p~, σic d3 p 2E(~ p ) σ=− 12 ,+ 21 X Z (2π)− 32 µ p · e−i~p~x eµ∗ (~ p, λ) |m, p~, λid3 p Proca-Felder |V (x)i = 2E(~ p) λ=−1,0,+1 Z 3 X (2π)− 2 −i~k~x µ∗ ~ µ √ Maxwell-Felder |A⊥ (x)i = ·e e (k, λ) |ω, ~k, λid3 k 2ω λ=−1,+1 Z Skalarfelder |Φ(x)i = 8.3 Die Feldoperatoren Da im Mikroskopischen die Elementarteilchen einer Sorte in Strenge nicht unterscheidbar sind, bedeutet dies zusammen mit der Eindeutigkeit des Vakuums, dass man den Zustandsvektor eines Quantensystems mit scharfem Impuls im Wechselwirkungsbild durch einen Erzeugungsoperator |η; m, p~i = ↠(~ p) |0i DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 319 aufbauen kann. Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren erfüllen die Vertauschungsrelationen â(~ p), ↠(~q) ∓ = δ(~ p − ~q) , wobei das Minuszeichen für Bosonen und das Pluszeichen für Fermionen zutrit. Im Wechselwirkungsbild ist die Dynamik durch d |η(t)i = −iĤ1 (t) |η(t)i dt h i d Ô(t) = i Ĥ0 , Ô(t) dt gegeben. Alle Operatoren, die Observable beschreiben, müssen in der Ortsdarstellung die Mikrokausalitätsbedingung h i Ô1 (x), Ô2† (y) = 0 ∓ für (x − y)2 ≤ 0 erfüllen. Aus der Zustandsentwicklung der Elementarteilchen sowie der Kausalitätsbedingung ergibt sich die Existenz von Antiteilchen. Antiteilchen besitzen die gleiche Masse und den gleichen Spin wie das zugeordnete Teilchen, jedoch ein umgekehrtes Vorzeichen der Ladung. Die Feldoperatoren im Ortsraum lassen sich entsprechend Ψ̂(x) = X σ=− 21 ,+ 12 V̂ µ (x) = µ  (x) = 3 Z (2π)− 2 −ipx p e â(~ p) + eipx â†c (~ p) d3 p 2E(~ p) Z (2π)− 2 −ipx p e u(~ p, σ)â(~ p, σ) + eipx v(~ p, σ)â†c (~ p, σ) d3 p 2E(~ p) Φ̂(x) = 3 3 +1 Z X (2π)− 2 −ipx µ p e e (~ p, λ)â(~ p, λ) + eipx eµ∗ (~ p, λ)â†c (~ p, λ) d3 p 2E(~ p) λ=−1 3 3 Z X (2π)− 2 −ikx µ ~ √ e e (k, λ)â(~k, λ) + eikx eµ (~k, λ)↠(~k, λ) d3 k 2ω λ=0 DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 320 in Impulseigenzustände entwickeln und erfüllen die Vertauschungsrelationen h Φ̂(x), Φ̂† (y) i i∆(m; x − y) · i∆(m; x − y) i∂µ γ µ + m γ 0 + ll0 h i 1 V̂ µ (x), V̂ ν† (y) = − g µν + 2 ∂ µ ∂ ν · i∆(m; x − y) m − h i µ ν  (x),  (y) = −g µν · i∆(0; x − y) . h = − i Ψ̂l (x), Ψ̂†l0 (y) = − Da für raumartige Argumente ∆(m; x) = 0 für x2 ≤ 0 ist, gilt für alle Felder die Mikrokausalitätsbedingung. Die ungestörte Ausbreitung der verschiedenen Quantenfelder wird im Impulsraum durch die Feynman-Propagatoren 1 p2 − m2 + i γ µ pµ + m SF (p) = p2 − m2 + i (g µν − m12 pµ pν ) g µ0 g ν0 − ∆µν (p) = − F p2 − m2 + i m2 µν g DFµν (k) = − 2 k + i ∆F (p) = beschrieben. 8.4 Störungstheorie Bei einem typischen Streuvorgang liegen zu Beginn und zu Ende des Streuprozesses weit separierte und idealisiert deshalb untereinander nicht mehr wechselwirkende Teilchen vor. Den zugeordneten Streuoperator |η(+∞)i = Ŝ |η(−∞)i kann man in die Störungsreihe Z Z ∞ h i X (−i)n Ŝ = 1 + . . . d4 x1 d4 x2 . . . d4 xn · T Ĥ1 (x1 )Ĥ1 (x2 ) . . . Ĥ1 (xn ) n! n=1 DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 321 entwickeln. Aus dieser ergibt sich mit den Wick-Theoremen für die Zerfallsrate 1 −→ 2 + 3 + ... + N dΓ = (2π)4 · δ 4 (p1 − p2 − p3 ... − pN ) · N 2 |Mf i | Y d3 pf · 2m1 (2π)3 2Ef f =2 eines ruhenden Teilchens sowie für den Streuquerschnitt zweier Teilchen 1+2 −→ 3 + 4 + ... + N N 2 Y |Mf i | d3 pf dσ = (2π)4 · δ 4 (p1 + p2 − p3 . . . − pN ) · p · 4 (p1 p2 )2 − (m1 m2 )2 f =3 (2π)3 2Ef in relativistisch invarianter Formulierung. Die in den vorstehenden Beziehungen auftretende Feynman-Amplitude eines Prozesses |ii → |f i in N -ter Mf i störungstheoretischer Ordnung besteht aus der Summe über die Amplituden MfNi = N X f(n) M fi . n=1 Diagrammatisch enthält die renormierte Feynman-Amplitude f(n) M fi alle topo- logisch verschiedenen, zusammenhängenden Feynman-Graphen, die nur skelettierte Photonenlinien ohne geschlossene Fermionenschleifen, n-Vertices und die richtigen externen Linien haben. Die Berechnung der Feynman-Amplitude erfolgt durch Anwendung der Feynman-Regeln: • Jedes einlaufende Fermion liefert einen Faktor u(~ p, σ) • Jedes auslaufende Fermion liefert einen Faktor u(~ p, σ) • Jedes einlaufende Antifermion liefert einen Faktor v(~ p, σ) • Jedes auslaufende Antifermion liefert einen Faktor v(~ p, σ) • Jedes einlaufende Photon liefert einen Faktor eµ (~k, λ) • Jedes auslaufende Photon liefert einen Faktor eµ (~k, λ) • Jede innere Fermionenlinie liefert einen Faktor iSF (p) DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 322 iDFµν (k) • Jede innere Photonenlinie liefert einen Faktor • Jeder Spinor-Photon-Vertex liefert einen Faktor • An jedem Spinor-Photon-Vertex gilt die Energie- und Impulserhaltung • Für jeden Viererimpuls −ie(k)qγµ p, der nicht durch Energie-Impuls-Erhaltung festR 1/(2π)4 d4 p auszuführen gelegt wird, ist eine Integration über Bei der Renormierung werden immer wieder auftretende Teilgraphen vorab berechnet und so die auftretenden physikalischen Parameter renormiert. Auswertung der Vakuum-Polarisation führt zu der gleitenden Kopplungskonstanten e2 (k) = 1+ e2R 2 eR ΠD (k 2 ) k 2 -Werte 2 1 1 1 k1 − =− · ln e2 (k1 ) e2 (k2 ) 12π 2 k2 . Daraus wird im Grenzbereich groÿer für k 2 >> m2 , und im nicht-relativistischen Grenzfall e(k) = eR für k 2 << m2 . In der Born-Näherung ergibt sich der Zusammenhang zwischen dem nichtrelativistischen Potential der Quantenmechanik und der Feynman-Amplitude MfSP i = Mf i | p ~mf =0; p ~M f =0; p ~mi +~ pM i =0 im Schwerpunktsystem zu V (x1 , y1 ) = 1 (2π)3 Z iMfSP i · e−i~pmi (~x1 −~y1 ) · d3 pmi 2m · 2M . Für die Potentiale der Kraftwirkungen zwischen zwei Fermionen erhält man durch Anwendung der Feynman-Regeln bei Austausch von Spin-0-Teilchen: Austausch von Spin-1-Teilchen: Austausch von Spin-2-Teilchen: g 2 e−mφ |~x1 −~y1 | · 4π |~x1 − ~y1 | e2 qm qM · VCP (x1 , y1 ) = + 4π |~x1 − ~y1 | κ2 mM VN P (x1 , y1 ) = − · 16π |~x1 − ~y1 | VY P (x1 , y1 ) = − DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 323 8.5 Quanten-Elektrodynamik Das Cluster-Dekompositionsprinzip führt für die Wahrscheinlichkeitsamplitude eines zusammenhängenden Feynman-Graphen zu der Bedingung h ~y2 + ~a, ~x2 | Ŝ |~x1 , ~y1 + ~a i −→ 0 |~a| −→ ∞ , für die impliziert, dass der Hamilton-Operator aus einer Hamilton-Dichte von normalgeordneten Produkten der Feldoperatoren und deren Ableitungen aufgebaut ist. Zur weiteren Bestimmung des Wechselwirkungsteils einer HamiltonDichte ist der Übergang in den Lagrange-Formalismus zweckmäÿig. Der Lagrange-Formalismus arbeitet mit dem Heisenberg-Bild, in welchem die Dynamik eines Systems vollständig durch die Operatoren getragen wird |η(t)i = const. h i d Ô(t) = i Ĥ, Ô(t) dt . Dem Lagrange-Formalismus liegt das Variationsprinzip δW = 0 mit dem Wir- kungsintegral Z W = Ld4 x zugrunde. Ist die Lagrange-Dichte ein hermitescher Skalar, sind die aus dem Lagrange-Formalismus für die Feldoperatoren F̂n (x) folgenden Euler-Lagrange- Gleichungen ∂L ∂ F̂n (x) −∂ ∂L µ ! =0 ∂(∂ µ F̂n (x)) Lorentz-invariant. Die zugehörige Hamilton-Dichte ergibt sich aus einer Lagrange-Dichte durch die Legrende-Transformation Ĥ(x) = X π̂n (x)∂0 F̂n (x) − L n mit dem kanonisch konjugierten Operator π̂n (x) = ∂L ∂(∂0 F̂n (x)) . DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 324 Die Euler-Lagrange-Gleichung des Lagrange-Formalismus und die quantenmechanische Heisenberg-Bewegungsgleichung des Hamilton-Formalismus stimmen überein, wenn für die Feldoperatoren und deren kanonisch konjugierten Operatoren für gleiche Zeiten die Vertauschungsrelationen h i F̂n (~x, t), π̂n (~y , t) ∓ i h F̂n (~x, t), F̂n (~y , t) ∓ h i π̂n (~x, t), π̂n (~y , t) ∓ = iδ 3 (~x − ~y ) = 0 = 0 gelten. Die freien Lagrange-Dichten der verschiedenen Quantenfelder sind LSkalar = LDirac = LMaxwell = 1 1 ∂µ Φ̂(x)∂ µ Φ̂(x) − m2 Φ̂2 (x) 2 2 ˆ Ψ(x) (iγ ∂ µ − m) Ψ̂(x) µ 1 − F̂ µν F̂µν 4 . Für die Auswertung der Lagrange-Dichte eines Systems ist das Noether-Theorem: Ist das Wirkungsintegral bei der innitesimalen Sym- metrietransformation xµ −→ xµ + X µν · δν F̂n −→ F̂n + fnν · δν invariant, dann ist der Stromoperator Jˆµν (x) = X ∂L n ∂(∂µ F̂n (x)) h i fnν − X νρ ∂ρ F̂n (x) + X µν L divergenzfrei ∂µ Jˆµν (x) = 0 und der Operator ν Q̂ = Z Jˆ0ν (x)d3 x eine Erhaltungsgröÿe des Systems bei der Symmetrietransformation. DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 325 von zentraler Bedeutung, weil es eine einfache Bestimmung der Erhaltungsgröÿen eines Systems ermöglicht. Aufgrund der Eichinvarianz des Maxwell-Feldes kann dieses nur an einen erhaltenen Strom ankoppeln. Zusammen mit der Forderung nach Lorentz- und Skaleninvarianz ergibt sich die mit der eichinvarianten Ableitung Lagrange-Dichte h i LFA-Theorie = L0F F̂ † (x), Dµ F̂ † (x), F̂ (x), Dµ F̂ (x) + LMaxwell für die Wechselwirkung zwischen einem Quantenfeld F̂ (x) und dem Maxwell- Feld. Diese Lagrange-Dichte ist invariant bei lokalen Eichtransformationen F̂ (x) → e−iqα̂(x) F̂ (x) F̂ † (x) → F̂ † (x)e+iqα̂(x) 1 µ (x) → µ (x) + · ∂ µ α̂(x) e . Die elektrische Wechselwirkung des vollständigen fermionischen Sektors des Standardmodells wird durch die Lagrange-Dichte LSTM QED-Fermionen X ˆ = ΨL (x) (iγµ Dµ − mL ) Ψ̂L (x) L=e,µ,τ + X ˆ Qf (x) (iγµ Dµ − mf ) Q̂f (x) f =1,6 1 − F̂ µν F̂µν 4 = i X hˆ ˆ (x)γ Ψ̂ (x)µ (x) ΨL (x) (iγµ ∂ µ − mL ) Ψ̂L (x) − eqL Ψ L µ L L=e,µ,τ + i X hˆ ˆ (x)γ Q̂ (x)µ (x) Qf (x) (iγµ ∂ µ − mf ) Q̂f (x) − eqf Q µ f f f =1,6 1 − F̂ µν F̂µν 4 beschrieben. Ihre Masse erhalten die Fermionen dabei über den Higgs-Mechanismus. Das dazugehörige Higgs-Boson muss allerdings eine sehr groÿe Masse besitzen, da es bei den bisher in Teilchen-Beschleunigern erreichten Energien noch nicht beobachtet wurde. DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 326 Bei niedrigen Energien kann die indirekte Photon-Photon-Wechselwirkung der Quanten-Elektrodynamik durch die Euler-Heisenberg-Theorie 1 µν Le Euler-Heisenberg = − 4 F̂ F̂µν √ !4 2 e/ 4π F̂ µν F̂µν + c2 + c1 m √ !4 e/ 4π F̂ µν F̂νρ F̂ ρσ F̂σµ m als eektive Feldtheorie beschrieben werden. Wendet man die in diesem Kapitel entwickelten Konzepte auf das Spin-2 Feld an, erhält man die Lagrange-Dichte 1 Le QG = 2 1 κ L L R̂µν − gµν R̂ ĥµν (x) − · T̂µν (x)ĥµν (x) + LM 2 2 der Quantengravitation, die zu der linearisierten Einstein-Gleichung 1 κ L R̂µν − gµν R̂L = · T̂µν (x) 2 2 führt. 8.6 Quanten-Chromodynamik Die Vielfalt der beobachtbaren Hadronen wird auf relativ einfache und plausible Weise durch das Quark-Parton-Modell • jedes Quark kann mit den Farbladungen rot, grün und blau auftreten • alle natürlich auftretenden Teilchen sind farblos und die einzigen möglichen farblosen Kombinationen sind • rot+antirot oder grün+antigrün oder blau+antiblau • rot+grün+blau oder antirot+antigrün+antiblau erklärt. Hadronen aus einem Quark und einem Antiquark werden Mesonen und Hadronen aus drei Quarks Baryonen genannt. So ist als Beispiel ein typischer DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL Mesonenaufbau die Struktur des |ρ0 ; s3 = +1i |ρ0 ; s3 = 0i |ρ0 ; s3 = −1i 327 ρ0 -Mesons 1 = √ |A; u, ↑i |B; u, ↑i − |A; d, ↑i |B; d, ↑i · |qq − Farbei 2 1 |A; u, ↑i |B; u, ↓i − |A; d, ↑i |B; d, ↓i = 2 + |A; u, ↓i |B; u, ↑i − |A; d, ↓i |B; d, ↑i · |qq − Farbei 1 = √ |A; u, ↓i |B; u, ↓i − |A; d, ↓i |B; d, ↓i · |qq − Farbei 2 und analog ist in abgekürzter Schreibweise ein Beispiel für den Aufbau eines Baryons die Struktur des Protons im Spinzustand √ = 1/ 18 · ( |p+ ; s3 = +1/2i s3 = +1/2 2u↑u↑d↓ − u↑u↓d↑ − u↓u↑d↑ + 2u↑d↑u↓ − u↑d↓u↑ − u↓d↑u↑ + 2d↑u↑u↓ − d↑u↓u↑ − d↓u↑u↑ · |qqq − Farbei ) . Die Farbzustandsvektoren der Mesonen und der Baryonen |qq − Farbei = δxy |A; xi |B; yi |qqq − Farbei = xyz |A; xi |B; yi |C; zi mit x, y, z ∈ {rot, grün, blau} sind invariant bei Drehungen |rot0 i |roti |grün0 i = U3×3 (α) · |grüni |blau0 i |blaui des Farbraumes durch die unitäre Transformationsmatrix U3×3 (α) = e−iαa mit acht reellen Parametern αa λa 2 und acht linear unabhängigen λ-Matrizen, für die in der Elementarteilchenphysik üblicherweise die fundamentale Gell-MannDarstellung gewählt wird. Auf dem Niveau der Lagrange-Dichte erfordert die Farbinvarinz, dass jeder Quarkavour einen Spaltenvektor Ψ̂rot (x) Q̂(x) = Ψ̂grün (x) Ψ̂blau (x) DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 328 bildet, was zu der invarianten Lagrange-Dichte der Quanten-Chromodynamik LSTM QCD = 1 X ˆ µ Ĝa Qf (x) iγµ DQ − mf Q̂f (x) − Ĝµν 4 a µν f =1,6 führt, wobei µ DQ = ∂ µ + ig λa µ Ĝ (x) 2 a die eichinvariante Ableitung ist. Die Lagrange-Dichte ist auch invariant bei dem Übergang zu lokalen innitesimalen Eichtransformationen λa Q̂(x) Q̂(x) −→ 1 − iαa (x) 2 λa ˆ ˆ Q(x) −→ Q(x) 1 + iαa (x) 2 1 Ĝaµ (x) −→ Ĝaµ (x) + · ∂µ αa (x) + fabc αb (x)Ĝcµ (x) g . Zur Kompensation der Beiträge der nicht-physikalischen Freiheitsgrade der Gluonen in Störungsrechnungen führt man so genannte Geistfelder ein, die dann die Lagrange-Dichte LFP = −i∂µ η̂ a (x) ∂ µ η̂a (x) + gfabc Ĝµb (x)η̂c (x) besitzen müssen. Nimmt man in der Lagrange-Dichte eine Eichxierung der Quanten-Chromodynamik mit dem Eichterm 1 LEichterm = −T̂a (x)∂µ Ĝµa (x) + T̂a (x)T̂a (x) 2 vor und berücksichtigt auch noch die Lagrange-Dichte der Geistfelder, so ist die derart erweiterte Lagrange-Dichte invariant bei BRST-Transformationen. Diese BRST-Symmetrie liefert eine erhaltene BRST-Ladung, die zu der KugoOjima-Auswahlregel Q̂B |ηphy i = 0 für die physikalisch zulässigen Zustände führt. Durch diese Festlegung der physikalischen zulässigen Zustände wird sichergestellt, dass alle physikalischen Ergebnisse unabhängig von den Eich- und Geisttermen sind. DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 329 Führt man einen 3-komponentigen Farbvektor c† = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 für ein rotes Quark für ein grünes Quark für ein blaues Quark ein, dann sind die Feynman-Regeln der Quanten-Chromodynamik auf Baumniveau durch die Zusammenstellung • jedes einlaufende Quark liefert einen Faktor c · u(~ p, σ) • jedes auslaufende Quark liefert einen Faktor u(~ p, σ) · c† • jedes einlaufende Antiquark liefert einen Faktor v(~ p, σ) · c† • jedes auslaufende Antiquark liefert einen Faktor c · v(~ p, σ) • jede innere Fermionenlinie liefert einen Faktor iSF (p) • jede innere Gluonenlinie liefert einen Faktor δab · iDFµν (k) • jeder Quark-Gluon-Vertex liefert einen Faktor −igγµ λ2a • an jedem Spinor-Gluon-Vertex gilt die Energie- und Impulserhaltung • für jeden Viererimpuls p, der nicht durch Energie-Impuls-Erhaltung festR 1/(2π)4 d4 p auszuführen gelegt wird, ist eine Integration über gegeben. Die Anwendung der Feynman-Regeln ergibt im Meson für kurze Abstände ein anziehendes Quark/Antiquark-Potential, das man phänomenologisch für alle Abstandsbereiche in der Form 4 g2 + F0 r VMeson (r) = − · 3 4πr formulieren kann. Die auch bei weiteren Abständen extrem groÿe anziehende Kraft F0 von etwa 105 Newton erklärt den Quarkeinschluss im Meson. Renormierung führt zu dem Zusammenhang 1 1 − 2 = 2 g (k1 ) g (k2 ) 7 · ln 16π 2 k1 k2 2 zwischen den Kopplungskonstanten bei verschiedenen Energien. Die starke Kopplungskonstante nimmt im Gegensatz zur elektrischen Kopplungskonstanten mit zunehmender Energie ab. DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 330 8.7 Die schwache Wechselwirkung Die Entdeckung der schwachen Wechselwirkung geht auf die Analyse des 1896 entdeckten Beta-Zerfalls zurück. Beim Beta-Zerfall zerfällt ein im Atomkern gebundenes Neutron −→ p+ + e− + ν e n in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino. Auf der Ebene der Konstituten ndet beim Beta-Zerfall die Umwandlung eines d-Quarks in ein u-Quark statt d −→ u + e− + ν e . Die Halbwertszeit dieses Zerfalls ist mit 18min sehr lang, was den Schluss nahe legt, dass die zugehörige Wechselwirkung nur schwach ist. Weder die QuantenElektrodynamik noch die Quanten-Chromodynamik können den Beta-Zerfall erklären. Aus dem Experiment ergibt sich als eine wesentliche Eigenschaft der schwachen Wechselwirkung, dass sie unsymmetrisch bezüglich der Spins der an der Wechselwirkung beteiligten Fermionen ist. Beim Zerfall eines Teilchens entstehen ausschlieÿlich so genannte linkshändige Fermionen. Zur Beschreibung der Händigkeit eines Fermions führt man die Matrizen γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 1 L= 1 − γ5 2 1 R= 1 + γ5 2 ein. Die Wellenfunktion eines Fermions wird linkshändig händig Ψ(x, R) Ψ(x, L) bzw. rechts- genannt, wenn L · Ψ(x, L) = Ψ(x, L) bzw. R · Ψ(x, R) = Ψ(x, R) gilt. Der schwachen Wechselwirkung liegt das Postulat zugrunde, dass die elementaren Feldoperatoren der beiden masselosen Fermionen einer Quark- oder Leptongeneration T̂ (x, R) , D̂(x, R) und L̂(x) = T̂ (x, L) D̂(x, L) DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 331 sind. Analog zur Quanten-Elektrodynamik und zur Quanten-Chromodynamik kann man aus der Invarianz der freien Lagrange-Dichte der Fermionen bei globalen Transformationen über das Noether-Theorem divergenzfreie Ströme bestimmen. Wie dort gezeigt, ist die Kopplung zu Eichfeldern dann sehr einfach mit Hilfe der eichinvarianten Ableitungen beschreibbar. Damit wird die Lagrange-Dichte der schwachen Wechselwirkung LSchW W = µ iTˆ (x, R)γµ DR T̂ (x, R) ˆ + iD(x, R)γ Dµ D̂(x, R) µ R µ ˆ + iL(x)γ µ DL L̂(x) 1 1 a − F̂Bµν F̂Bµν − Ŵaµν Ŵµν 4 4 mit den Feldstärketensoren F̂Bµν = ∂ µ B̂ ν (x) − ∂ ν B̂ µ (x) Ŵaµν = ∂ µ Ŵaν (x) − ∂ ν Ŵaµ (x) − gw abc Ŵbµ (x)Ŵcν (x) und den eichinvarianten Ableitungen µ DR = ∂ µ + igy Y B̂ µ (x) µ DL = ∂ µ + igy Y B̂ µ (x) + igw τa µ Ŵ (x) 2 a . Dabei wurden für die Hyperladung die Kopplungskonstante schwache Ladung die Kopplungskonstante gw gy und für die eingeführt. Die Lagrange-Dichte des Higgs-Sektors 2 µ LHiggs-Sektor = DµL Φ̂† (x)DL Φ̂(x) + µ2 Φ̂† (x)Φ̂(x) − λ Φ̂† (x)Φ̂(x) wird per Hand in das Standardmodell eingefügt. In der unitären Eichung nimmt das Higgs-Feld die einfache Form 1 Φ̂(x) = √ 2 0 v + ĥ(x) 332 DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL an. Die beobachtbaren Masseeigenzustände der Eichbosonen ergeben sich dann als die Linearkombinationen −gy B̂µ (x) + gw Ŵµ3 (x) q 2 gy2 + gw 1 Ŵµ (x) = √ Ŵ1µ − iŴ2µ 2 1 Ŵµ† (x) = √ Ŵ1µ + iŴ2µ 2 Ẑµ (x) = der ursprünglichen Eichfelder mit den Massen v q 2 2 = 91.188 GeV · gy + gw 2 v = · gw = 80.398 GeV . 2 mZ = mW Für die Kopplungskonstanten folgen mit dem schwachen Mischungswinkel sin 2 Θw |th. = 1 − mW mZ 2 = 0.2226 die wichtigen Beziehungen gy = gw = e cosΘw e sinΘw . Die allgemeinste Form der Yukawa-Kopplungen zwischen dem Higgs-Feld und den Fermionen LYukawa = −L̂(x)ΛD D̂(x, R)Φ̂(x) − Φ̂† (x)D̂(x, R)Λ†D L̂(x) e e † (x)T̂(x, R)Λ† L̂(x) − L̂(x)ΛT T̂(x, R)Φ(x) −Φ T führt bei der Wechselwirkung zu einer Mischung der Generationen, die im Quarksektor durch die Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix 0.974 0.226 0.004 VCKM (Beträge) = 0.226 0.973 0.042 0.009 0.041 0.999 DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 333 und im Leptonsektor durch die Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata-Matrix 0.78 − 0.86 0.51 − 0.61 VP M N S (Beträge) = 0.21 − 0.57 0.41 − 0.74 0.19 − 0.56 0.39 − 0.72 0.00 − 0.18 0.59 − 0.78 0.62 − 0.80 . beschrieben wird. Die Mischungsmatrizen sind nicht durch die Theorie festgelegt, sondern müssen experimentell bestimmt werden. Die Mischung bedeutet praktisch, dass die physikalisch beobachtbaren Fermionen als Masseeigenzustände durch Drehung mit der Mischungsmatrix aus den ursprünglichen masselosen Fermionen gebildet werden. Durch den Übergang zu den physikalisch beobachtbaren Eichbosonen und Fermionen ergeben sich aus der so modizierten Lagrange-Dichte die für die schwache Wechselwirkung gültigen Feynman-Regeln. Für Rechnungen in höherer Ordnung der Störungstheorie ist es jedoch sinnvoll in die 't Hooft-Eichung zu wechseln, da die unitäre Eichung ein schlechtes Konvergenzverhalten zeigt. 334 DIE ZUSAMMENFASSUNGEN DER EINZELNEN KAPITEL 335 Kapitel 9 Ausblick 9.1 Schwächen des Standardmodells Das Standardmodell der Teilchenphysik ist die Kombination aus QuantenElektrodynamik, Quanten-Chromodynamik sowie der schwachen Wechselwirkung. Störungstheoretisch ergibt es sich sehr einfach aus der Gesamtheit der abgeleiteten Feynman-Regeln. Der kinematische Rahmen jeder Quantenfeldtheorie wird durch die anfangs formulierten Postulate gegeben und durch die Postulate zum Teilcheninhalt und zum Higgs-Sektor zum Standardmodell vervollständigt. Nachstehend sind noch einmal alle Postulate zusammengefasst: Postulate der Quantentheorie • Über die Werte einer Eigenschaft eines Quantensystems lassen sich nur Wahrscheinlichkeitsaussagen treen. • Die Energie eines Quantensystems ist immer positiv. • Quantenobjekte einer Sorte sind ununterscheidbar. • Das Quantenvakuum ist eindeutig und invariant. Postulate der speziellen Relativitätstheorie • Die Naturgesetze sind in jedem Inertialsystem gleich. • Die Lichtgeschwindigkeit ist eine Konstante und in jedem Inertialsystem gleich. KAPITEL 9. AUSBLICK 336 • Raumartig getrennte Ereignisse können sich nicht beeinussen. Ergänzende Postulate • Die elementaren Quantenobjekte sind punktförmig. • Die Ergebnisse von verschiedenen Experimenten, die weit genug voneinander entfernt durchgeführt werden, sind nicht korreliert. • Die Naturgesetze sind invariant unter Skalentransformationen. Postulate zum Teilcheninhalt • Es gibt drei Generationen von Fermionen. • Jede Fermiongeneration besteht aus 2 Leptonen und 6 Quarks. • Die Symmetriegruppe einer Fermiongeneration ist durch UY (1) × SUlinks (2) × SUFarbe (3) gegeben. Postulate zum Higgs-Sektor • Es existiert ein zweikomponentiges Spin-0 Feld. • Die Symmetriegruppe für dieses Higgs-Feld ist UY (1) × SUlinks (2) . • Der Vakuumerwartungswert des Higgs-Feldes ist h0|Φ̂(x)|0i = √1 2 0 v . Zusätzlich zu den vorstehenden Postulaten erfordert das Standardmodell noch die Festlegung der 21 freien Parameter: • 12 Massen der Spinorfelder • 1 Higgs-Masse • 1 elektrische Kopplungskonstante • 1 Kopplungskonstante für die starke Wechselwirkung • 1 Kopplungskonstante für die schwache Wechselwirkung • 1 schwacher Mischungswinkel 9.1. SCHWÄCHEN DES STANDARDMODELLS • 337 4 Parameter der CKM-Matrix Auch wenn die elektrischen Ladungen in der Literatur üblicherweise nicht explizit als freie Parameter mitgezählt werden, sind zur vollständigen Beschreibung aber auch noch die • 12 elektrischen Ladungen der Spinorfelder festzulegen. Das Standardmodell ist das Ergebnis einer Vielzahl von experimentellen und theoretischen Arbeiten. Es ist auÿerordentlich erfolgreich und beschreibt mit Ausnahme der Neutrinomischung alle beobachtbaren Phänomene im Bereich der Elementarteilchen. Der experimentelle Nachweis des HiggsBosons steht zur Zeit aber noch aus. Trotz seines enormen Erfolges wird das Standardmodell als unvollständig angesehen. Einige der nicht zufriedenstellenden Eigenschaften sind: • Das Muster der Symmetriegruppen erscheint willkürlich. • Die Kopplungskonstanten stehen in keiner Beziehung zueinander. • Die Quantisierung der elektrischen Ladung ist nicht erklärt. • Die Festlegung aller freien Parameter muss rein experimentell erfolgen. • Der Mechanismus zur Symmetriebrechung erscheint künstlich. Die Antworten auf diese Probleme sind auÿerhalb des Standardmodells zu suchen. Im vorgegebenem kinematischen Rahmen gibt es hierfür zwei oensichtliche Wege: • Die gleichen fundamentalen Felder mit neuen Wechselwirkungen anzunehmen. Dies führt zu den Grand Unied Theories und zu den supersymmetrischen Theorien. • Neue fundamentale Felder mit neuen Wechselwirkungen anzunehmen. Dies führt zu Theorien mit Preonen oder Technicolour. Diese beiden Wege werden in den abschlieÿenden Abschnitten kurz diskutiert. Neben diesen oensichtlichen Ansätzen sind natürlich auch noch exotischere Ansätze möglich und Gegenstand intensiver Forschung. Gibt man als Beispiel das Postulat auf, das die Elementarteilchen punktförmig sind, so gelangt man zur Stringtheorie. In der Stringtheorie werden die Elementarteilchen als verschiedene Schwingungsmoden einer fundamentalen KAPITEL 9. AUSBLICK 338 eindimensionalen Struktur aufgefasst. Die Stringtheorie erlaubt es, die Wechselwirkungen auf mikroskopischer Ebene sehr einfach durch Vereinigung oder Aufspaltung und Änderung des Schwingungszustandes der Strings zu erklären. Das Standardmodell liefert im Gegensatz hierzu keinen Ansatz, wie eine Wechselwirkung im Mikroskopischen tatsächlich abläuft. Ein weiteres attraktives Merkmal der Stringtheorie ist es, dass sie automatisch die Gravitation in die Beschreibung mit einbezieht und damit eine mögliche Vereinigung aller bekannten Wechselwirkungen liefern könnte. Bisher ist es aber noch nicht gelungen, das Standardmodell als Grenzfall aus der Stringtheorie zu gewinnen. 9.2 Das SU(5)-Modell Die Philosophie der Grand Unied Theories basiert auf der Hypothese, dass die elektrische, die starke und die schwache Wechselwirkung verschiedene Zweige einer einzigen Wechselwirkung sind und bei hohen Energien mit einer einzigen Eichgruppe zusammenhängen. Diese Eichgruppe deniert den Zusammenhang zwischen den drei Kopplungskonstanten und wird bei einer sehr hohen Energie M durch einen Higgs-Mechanismus zum Standard-Modell gebrochen, das selbst einer weiteren Symmetriebrechung bei 80-90GeV unterliegt. Das einfachste Modell hierfür ist das minimale SU(5)-Modell mit 52 − 1 = 24 Eichbo- sonen. ⇒ hohe Energie SUFarbe (3) ⇒ SU (5) niedrige Energie UY (1) × SUlinks (2) × B̂ µ (x) Ŵaµ (x) Ĝµa (x) ⇒ Eichbosonen gy gw g ⇒ g5 X̂aµ (x) Bei Energien gröÿer als die Vereinigungsenergie ist die Theorie symmetrisch bezüglich der SU(5) und es tritt nur die Kopplungskonstante g5 auf, während sich bei niedrigen Energien durch die erste Symmetriebrechung unterschiedliche Kopplungen ergeben. Auf den ersten Blick erscheint dies unmöglich, da die Werte der Kopplungskonstanten bei niedrigen Energien erheblich voneinander abweichen. Gelöst wird dieser scheinbare Widerspruch durch die Renormie- 9.2. DAS SU(5)-MODELL 339 rungsgleichungen der einzelnen Kopplungskonstanten, die die Werte bei verschiedenen Energien zueinander in Beziehung setzen. Bezeichnet tn die 24 Generatormatrizen der SU(5), dann ist der Zusammen- hang der Symmetriegruppen des Standardmodells durch die Einbettungen ti = t20+j = λi 03×2 02×3 02×2 03×3 03×2 02×3 τj t24 −2 0 1 0 =√ 15 0 0 ; X̂iµ (x) = ; µ X̂20+j (x) = Ŵjµ (x) 0 −2 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 0 +3 0 0 Ĝµi (x) 0 0 0 ; 0 +3 für für i = 1, ..., 8 j = 1, ..., 3 µ X̂24 (x) = B̂ µ (x) (9.2.1) (9.2.2) (9.2.3) gegeben. Die verbleibenden 12 Generatormatrizen der SU(5) haben die dazu orthogonale Struktur tn = 03×3 Tn Tn† 02×2 ; für Die zugehörigen Eichbosonen n = 9, ..., 20 X̂nµ (x) . (9.2.4) mit n=9,...,20 erhalten durch die erste Symmetriebrechung die sehr groÿe Masse M, so dass sie bei Rechnungen mit niedrigen Energien nicht berücksichtigt werden müssen. Das Standardmodell ist in diesem Sinne eine eektive Feldtheorie. Während die Einbettung der SU(3) und der SU(2) sofort anschaulich transparent ist und zu g(M ) = gw (M ) = g5 führt, bedarf die Einbettung der (9.2.5) UY (1) einer näheren Betrachtung. Im Rahmen der SU(5) ist es notwendig die Zuordnung drot dgrün Ψ̂5 (x) = dblau e+ νe R (9.2.6) KAPITEL 9. AUSBLICK 340 der rechthändigen Fermionen/Antifermionen zu der fundamentalen SU(5) Darstellung zu treen, während die verbleibenden Teilchen der adjungierten Darstellung zugeordnet werden. Dies ist konsistent mit der Einbettung der SU(2)Generatoren in die SU(5)-Generatoren, da die Fermionenpaare + e νe R und νe e− L sich bei SU(2)-Transformationen gleich verhalten. Da die Ladungsstromdichten von einem Teilchen und einem Antiteilchen umgekehrte Vorzeichen besitzen, gilt für die zugehörigen Feldoperatoren die Identität ˆ ˆ (x, R)γ Ψ̂ (x, R) Ψ(x, L)γµ Ψ̂(x, L) = −Ψ c µ c Damit erhält man für den Wechselwirkungsterm mit dem µ g5 Jˆµ24 (x)X̂24 (x) = = . t24 -Generator ˆ (x)γ t24 Ψ̂ (x)X̂ µ (x) g5 Ψ 5 µ 5 24 2 −2 ˆ (x, R)γ · √ g5 Q · Q̂d (x, R)B̂ µ (x) µ d 2 15 +3 ˆ + (x, R)γ · √ · Ψ̂e+ (x, R)B̂ µ (x) + g5 Ψ µ e 2 15 +3 ˆ (x, R)γ · √ + g5 Ψ · Ψ̂ν e (x, R)B̂ µ (x) νe µ 2 15 r = g5 3 1 ˆ (x, R)γ Q̂ (x, R)B̂ µ (x) · − ·Q µ d d 5 3 r 3 1 ˆ − (x, R)γ Ψ̂ − (x, R)B̂ µ (x) + g5 · + ·Ψ µ ce ce 5 2 r 1 3 ˆ (x, R)γ Ψ̂ (x, R)B̂ µ (x) + g5 · + ·Ψ cνe µ cνe 5 2 r = 3 1 ˆ (x, R)γ Q̂ (x, R)B̂ µ (x) g5 · − ·Q µ d d 5 3 r 3 1 ˆ − (x, L)γ Ψ̂ − (x, L)B̂ µ (x) + g5 · − ·Ψ µ e e 5 2 r 3 1 ˆ (x, L)γ Ψ̂ (x, L)B̂ µ (x) . · − ·Ψ + g5 νe µ νe 5 2 9.2. DAS SU(5)-MODELL Mit 341 YRd = −1/3, YLe− = −1/2 und YLνe = −1/2 ergibt sich daraus schlieÿlich r 3 gy (M ) = · g5 . (9.2.7) 5 Da die Spur der SU(5)-Generatoren verschwinden muss, folgt für die Hyperladungen die Bedingung −3YRd + YLe− + YLνe = 0 . (9.2.8) Im Rahmen des minimalen SU(5)-Modells wird damit die korrekte Quantisierung der Ladungen der Fermionen vorhergesagt! Nun zurück zu der Renormierung der Kopplungskonstanten. Für die starke Kopplungskonstante ist nach (6.8.15) 1 1 − = g 2 (k) g 2 (M ) 1 · 7 · ln 16π 2 k M 2 . (9.2.9) Bei der Renormierung der schwachen Kopplungskonstanten und der Kopplungskonstanten der Hyperladung ist der Beitrag 1 1 · · ln − 16π 2 6 k M 2 (9.2.10) des Higgs-Feldes zu berücksichtigen, den ich hier ohne Ableitung angebe. Dann ergibt sich mit N=2 und n=3 aus (6.8.14) für die schwache Kopplungskonstante 1 1 − 2 = 2 gw (k) gw (M ) = 2 2 4 k 1 k 11 1 · 2 − · 3 ln − · · ln 2 3 3 M 16π 6 M 2 1 19 k · ln (9.2.11) · 16π 2 6 M 1 16π 2 und mit " X alle Fermionen Yf2 2 2 # 1 1 2 =3 0 + − + (−1) + − 2 2 " 2 2 2 2 # 2 1 1 1 +9 + + + + − + + 3 6 3 6 2 = 10 (9.2.12) KAPITEL 9. AUSBLICK 342 wird in Analogie zu (4.4.16) 2 2 1 1 1 1X 2 k 1 1 k − =− · Yf · ln − · · ln gy2 (k) gy2 (M ) 12π 2 2 M 16π 2 6 M f 2 k 1 41 =− · · ln , (9.2.13) 16π 2 6 M wobei zu beachten ist, dass die Summe über die Hyperladungen sowohl der rechts- als auch der linkshändigen Fermionen gebildet wird, was den zusätzlichen Faktor 1/2 erfordert. Bei der Renormierung der Kopplungskonstanten der Hyperladung sind nur die Fermionen und das Higgs-Feld zu berücksichtigen, da die Eichbosonen und Geistfelder keine Hyperladungen tragen. Im Gegensatz hierzu besitzen die W ± -Bosonen und die zugehörigen η ± -Geistfelder eine elektrische Ladung und sind deshalb für die Renormierung der elektrischen Kopplungskonstanten wichtig. Dies bedeutet auch, dass die Beziehung (4.4.16) nur für Energien gilt, die klein gegenüber der Masse der Eich- und Geistfelder sind. Die Renormierungsgleichung für groÿe Energien kann man am Einfachsten mit der aus (7.5.6) und (7.5.7) folgenden Beziehung 1 e2 (k) = 1 gy2 (k) + 1 (9.2.14) 2 (k) gw gewinnen. (9.2.11) und (9.2.13) liefern dann mit e(M ) = q gy (M )gw (M ) r = 2 (M ) gy2 (M ) + gw 3 · g5 8 (9.2.15) die Renormierungsgleichung 1 1 1 11 − =− · ln · e2 (k) e2 (M ) 16π 2 3 k M 2 (9.2.16) für die elektrische Kopplungskonstante. Die vorstehenden Renormierungsgleichungen ermöglichen die Berechnung der Vereinigungsenergie. So liefert (9.2.16) − 8 1 8 · (9.2.9) = 2 − 2 3 e (k) 3g (k) 2 67 k =− · ln 48π 2 M 9.2. DAS SU(5)-MODELL 343 die Beziehung ln M k 2 48π 2 · 67 = 1 8 − e2 (k) 3g 2 (k) (9.2.17) und weiter wird 1 1 = 2 2 g5 g (M ) 2 1 7 k = 2 − · ln g (k) 16π 2 M 1 21 11 = · + . 67 e2 (k) g 2 (k) Mit e(mZ ) = 0.313 und g(mZ ) = 1.216 (9.2.18) folgt dann M = 6.6 · 1014 g5 = 0.55 GeV . (9.2.19) (9.2.20) Im Rahmen der SU(5) ist auch der schwache Mischungswinkel ableitbar sin 2 e2 (k) Θw (k) |SU (5) = 2 g (k) " w 2 # 19 k 1 1 2 + · · ln = e (k) 2 2 gw (M ) 16π 6 M " 2 ! 2 # 1 7 k 1 19 k 2 = e (k) − · ln + · · ln g 2 (k) 16π 2 M 16π 2 6 M = 23 109 e2 (k) + · 134 201 g 2 (k) woraus sich bei k = mZ , (9.2.21) der Wert sin 2 Θw (mZ ) |SU (5) = 0.2076 (9.2.22) ergibt, der im Widerspruch zu dem experimentell gemessenem Wert sin 2 Θw (mZ ) |exp. = 0.2312 (9.2.23) KAPITEL 9. AUSBLICK 344 steht. Eine weitere Vorhersage der minimalen SU(5) betrit den Zerfall des Protons über Wechselwirkungsterme mit den Generatoren t9 - t20 . Der dabei dominierende Zerfallskanal ist p+ (uud) −→ π 0 (dd) + e+ u +u −→ d +e + (9.2.24) . (9.2.25) Die im SU(5)-Modell vorhergesagte Lebensdauer des Protons ist nun Γ−1 p+ |SU (5) ≈ 1030 Jahre Γ−1 p+ |exp. > 1032 Jahre , (9.2.26) während experimentell (9.2.27) ermittelt wurde. Insgesamt zeigt dies, dass das minimale SU(5)-Modell experimentell ausgeschlossen ist. Eine Änderung der Symmetriegruppe zu SO(10) oder noch anderen Gruppen verbessert die Situation nicht, da die Vorhersagen durch die Einbettung der Generatoren bestimmt sind und sie deshalb für die gesamte Klasse dieser GUTs folgen. Trotzdem ist es möglich das minimale SU(5)-Modell zielführend zu ergänzen. Theoretisch lässt sich nämlich zeigen, dass es genau eine Möglichkeit gibt die Poincare-Symmetrie zu einer gröÿeren Symmetriegruppe zu erweiteren. Die Ergänzung wird Supersymmetrie genannt und erlaubt es Bosonen und Fermionen ineinander zu transformieren. Im Rahmen der Supersymmetrie wird jedem Spin-1/2 Fermion ein zugehöriges Spin-0 Boson, jedem Spin-1 Eichboson ein zugehöriges Spin-1/2 Fermion und dem Spin-0 Higgs-Boson ein Spin-1/2 Fermion zugeordnet. Der Teilcheninhalt des Standardmodells wird auf diese Weise verdoppelt. Hierdurch ändern sich die Renormierungsbeziehungen für die einzelnen Kopplungskonstanten, wodurch die Vereinigungsenergie soweit noch oben verschoben wird, dass sich mit dem Experiment konsistente Vorhersagen für den schwachen Mischungswinkel und die Lebensdauer des Protons ergeben. Da die supersymmetrischen Partner der Teilchen des Standardmodells bisher nicht entdeckt wurden, muss auch die Supersymmetrie, falls sie tatsächlich zur korrekten Naturbeschreibung gehört, bei niedrigen Energien gebrochen sein. Man erwartet/erhot die ersten SUSY-Teilchen im Energiebereich ab etwa 1TeV zu entdecken. 9.3. EIN EINFACHES PREON-MODELL 345 9.3 Ein einfaches Preon-Modell Das Standardmodell besitzt mit 24 Fermionen, 24 Antifermionen, 12 Eichbosonen und einem Higgs-Boson eine Vielzahl von fundamentalen Teilchen. Jedes dieser Teilchen kann über eine Wechselwirkung in andere Teilchen umgewandelt werden. Zudem zerfallen alle Fermionen der zweiten und dritten Generation sehr schnell. Es stellt sich hier die Frage, ob instabile Teilchen fundamental sein können und ob eine wesentliche Eigenschaft eines fundamentalen Teilchens nicht seine Stabilität sein sollte? Es hat deshalb Ansätze gegeben, die Teilchen des Standardmodells als gebundene Zustände noch kleinerer Konstituten, den Preonen, zu erklären. Das Harari-Shupe-Modell geht von der Existenz eines c-Preons und eines n-Preons mit Spin-1/2 und der Annahme aus, dass die Fermionen jeweils aus drei Preonen oder drei Antipreonen aufgebaut sind. Die Farben der Quarks werden dabei durch die unterschiedliche Anordnung der jeweils gleichen Preonen oder Antipreonen erklärt. Damit dies konsistent möglich ist, muss das c-Preon die elektrische Ladung +1/3 besitzen, während das n-Preon elektrisch neutral sein muss. Durch reine Kombinatorik erhält man auf diese Weise die Teilchen der ersten Generation des Standardmodells. Fermion Ldg. νe Aufbau Fermion Ldg. 0 nnn νe 0 nnn e− −1 ccc e+ +1 ccc u +2/3 u −2/3 d −1/3 Farbe Farbe Aufbau rot ccn rot ccn grün cnc grün cnc blau ncc blau ncc rot nnc rot nnc grün ncn grün ncn blau cnn blau cnn d +1/3 Die zweite und dritte Generation der Fermionen werden in diesem einfachen Preon-Modell als angeregte Zustände aufgefasst. Die Wechselwirkungen sind sehr einfach durch die Umordnung der Bindungszustände darstellbar. So wird KAPITEL 9. AUSBLICK 346 als Beispiel der Pion-Zerfall durch die Preonenumordnung π − (du) −→ ν e + e− d(nnc) (9.3.28) − + u(ccn) −→ ν e (nnn) + e (ccc) (9.3.29) und analog der Proton-Zerfall der SU(5) durch p+ (uud) −→ π 0 (dd) + e+ u(ccn) + u(cnc) −→ d(cnn) + e+ (ccc) (9.3.30) (9.3.31) beschrieben. Ein weiterer interessanter Aspekt ist, dass auf Preon-Ebene keine Materie/Antimaterie-Asymmetrie vorliegt, da ein Wasserstoatom + − H(p e ) = urot + ugrün + dblau + e− = ccn + cnc + cnn + ccc (9.3.32) aus gleich vielen Preonen und Antipreonen besteht. Bisher ist es allerdings nicht gelungen eine Dynamik zu entwerfen, die genau zu den gewünschten Bindungszuständen führt und erklärt, warum nur Spin-1/2 und keine Spin-3/2 Bindungszustände auftreten. Zudem verhalten sich die Leptonen auch bei sehr kleinen Entfernungen so, als ob sie punktförmig wären. Aufgrund der Unschärferelation würde man deshalb naiverweise wesentlich gröÿere Massen für die Neutrinos und für das Elektron erwarten als sie tatsächlich besitzen. 347 Schlussbemerkung Beginnend mit der Quantenhypothese von M. Planck und mit der speziellen Relativitätstheorie von A. Einstein Anfang des letzten Jahrhunderts bis hin zur Inbetriebnahme des Large Hadron Colliders in diesem Jahr, mit dessen Hilfe als letztes Puzzlestückchen das Higgs-Boson nachgewiesen werden soll, haben mehrere tausend Physiker an der Entwicklung der Elementarteilchenphysik mitgearbeitet. Das in diesen Jahren schrittweise ausgearbeitete Standardmodell ist sicherlich eines der gröÿten Leistungen des menschlichen Geistes. Es hat mir sehr viel Freude gemacht die Ästhetik der zugrunde liegenden Ideen nachzuvollziehen und in einer mir zweckmäÿig erscheinenden Form in diesen Text zu fassen. 348 SCHLUSSBEMERKUNG 349 Literaturverzeichnis [1] D. Bailin; A. Love Introduction to Gauge Field Theory IOP Publishing; 1993 [2] D. Bardin; G. Passarino The Standard Model in the Making: Precision Study of the Electroweak Interactions Oxford Science Publications; 1999 [3] A. Dobado; A. Gomez; A. L. Maroto; J. R. Pelaez Eective Lagrangians for the Standard Model Springer; 1997 [4] E. Fick Einführung in die Grundlagen der Quantentheorie Akademische Verlagsgesellschaft; 1974 [5] C. Giunti Theory and Phenomenology of Neutrino Mixing arXiv:hep-ph/0611125; 2006 [6] W. Greiner; B. Müller Quantenmechanik Teil 2: Symmetrien Verlag Harri Deutsch; 1990 [7] W. Greiner; J. Reinhardt Feldquantisierung Verlag Harri Deutsch; 1993 [8] W. Greiner; S. Schramm; E. Stein Quantum Chromodynamics Springer; 2007 LITERATURVERZEICHNIS 350 [9] D. Griths Elementarteilchenphysik Akademie Verlag; 1996 [10] H. W. Hamber Quantum Gravitation Springer; 2009 [11] M. Kaku Quantum Field Theory Oxford University Press; 1993 [12] G. Köpp; F. Krüger Einführung in die Quanten-Elektrodynamik Teubner Studienbücher; 1997 [13] T. Kugo Eichtheorie Springer; 1997 [14] F. Mandl; G. Shaw Quantenfeldtheorie Aula-Verlag; 1993 [15] M. E. Peskin; D. V. Schröder An Introduction to Quantum Field Theory Addison-Wesley Publishing Company; 1995 [16] B. Povh; K. Rith; C. Scholz; F. Zetsche Teilchen und Kerne Springer; 2009 [17] F. Schwabl Quantenmechanik: Eine Einführung Springer; 2007 [18] S. Weinberg The Quantum Theory of Fields, Vol.I Cambridge University Press; 1996 Teil IV Nachtrag NACHTRAG 353 Der Large Hadron Collider am CERN nahm seinen regulären Betrieb am Ende des Jahres 2009 auf. In allen bisherigen Experimenten wurde das Standardmodell der Teilchenphysik in hervorragender Weise bestätigt. Es konnten unter anderem weitere Hadronen gefunden sowie ein Quark-Gluonen-Plasma erzeugt werden. Auch weitere CP-Verletzungen konnten nachgewiesen werden. Eines der wichtigsten Ergebnisse war aber der Nachweis des Higgs-Bosons im Juli 2012. Damit wurde das letzte fehlende Teilchen des Standardmodells gefunden. Francois Englert und Peter Higgs erhielten daraufhin im Jahre 2013 den Nobelpreis für ihre schon 1964 veröentlichte zugehörige Theorie. Im Februar 2017 berichtete die ATLAS Collaboration zudem davon, dass sie die extrem schwache Photon-Photon-Wechselwirkung bei der Kollision von schweren Blei-Ionen nachweisen konnten. Dies zeigt die Leistungsfähigkeit des Large Hadron Colliders. Hinweise für eine Physik jenseits des Standardmodells wurden jedoch bisher trotz intensiver Suche noch bei keinem der durchgeführten Experimente gefunden. März 2017 Manfred Ender 354 NACHTRAG
