Untersuchung korrelierter Elektronensysteme im Rahmen der

Untersuchung korrelierter Elektronensysteme
im Rahmen der
Dynamischen Molekularfeld{Theorie
Von der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat
der Universitat Augsburg
zur Erlangung eines Doktorgrades der Naturwissenschaften
genehmigte Dissertation
von
Diplom{Physiker Karsten Held
aus
Clausthal{Zellerfeld
2
Referent: Professor Dr. D. Vollhardt
Koreferenten: Professor Dr. U. Eckern, Professor Dr. W. Metzner
Tag der mundlichen Prufung: 26. Juli 1999
i
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1 Methoden
1.1
1.2
1.3
1.4
Dynamische Molekularfeld{Theorie . . . . . . . . . . . . . .
Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus fur Mehrband{Modelle .
Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus fur Manganat{Modelle .
Maximum{Entropie{Methode . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hundsche Kopplung und orbitale Entartung . . . . . . . . . . .
Vergleich verschiedener Mechanismen fur den Ferromagnetismus
Dichteabhangiges Hupfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diskussion und Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Storungstheorie bei starker Kopplung . . . . . . . . . .
Von schwacher zu starker Kopplung bei halber Fullung
Metallischer Metamagnetismus abseits halber Fullung .
A nderung der elektronischen Kompressibilitat . . . . .
Diskussion und Zusammenfassung . . . . . . . . . . . .
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4 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{U bergangs{Modell fur Cer 85
4.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Dynamische Molekularfeld{Theorie fur das Periodische Anderson{
Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Der Mott-U bergang im Periodischen Anderson{Modell . . . . . . . .
4.4 A hnlichkeit der Phasendiagramme des Periodischen Anderson{ und
Hubbard{Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Thermodynamik und Spin{Spin{Korrelationsfunktion . . . . . . . . .
85
92
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ii
INHALTSVERZEICHNIS
4.6 Diskussion und Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5 Elektronische Korrelationen in Manganaten
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamische Molekularfeld{Theorie fur Manganat{Modelle
Spektralfunktion in der paramagnetischen Phase . . . . . .
Optische Leitfahigkeit in der paramagnetischen Phase . . .
Vom Doppelaustausch zum Superaustausch . . . . . . . . .
Diskussion und Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung
Literaturverzeichnis
Veroentlichungen
Lebenslauf
Danksagung
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1
Einleitung
Ein Festkorper besteht aus makroskopisch vielen positiv geladenen Atomkernen
und negativ geladenen Elektronen. Dabei ist die Bewegung der Atomkerne wegen ihrer 104{ bis 105{fach groeren Masse sehr viel trager als die der Elektronen. Fur das
Elektronensystem erscheinen die langsamen Schwingungen der Atomkerne (Phononen) daher naherungsweise eingefroren, d. h. alle Atomkerne haben xierte Koordinaten. Dies ist die adiabatische Naherung von Born und Oppenheimer (1927), in der
das Elektronensystem und die Gitterdynamik der Atomkerne entkoppeln. Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich ausschlielich mit dem Elektronensystem. Die meisten
dieser Elektronen sind als Kern{Elektronen wegen der starken Coulomb{Anziehung
fest an die Atomkerne gebunden. Sie bilden mit den Atomkernen eine Einheit, ein
Ion. Es verbleiben wenige bewegliche Valenz{Elektronen, die jedoch aufgrund ihrer
Beweglichkeit die elektrischen, magnetischen sowie einen Teil der thermodynamischen
Eigenschaften des Festkorpers bestimmen.
Bei der Beschreibung der Valenz{Elektronen sind drei Energie{Beitrage wichtig. Ihre Beweglichkeit wird durch die kinetische Energie beschrieben. Sie bewegen sich nicht frei, sondern erfahren ein durch die Kern{Elektronen abgeschirmtes
Coulomb{Potential der Atomkerne. Auerdem wird jedes Valenz{Elektron von den
ubrigen Valenz{Elektronen abgestoen. Es ist gerade diese Coulomb{Abstoung, die
eine vollstandige quantenmechanische Behandlung der Valenz{Elektronen verhindert.
Bedingt durch die Coulomb{Abstoung sind die Valenz{Elektronen nicht unabhangig
voneinander, sondern die Bewegung jedes einzelnen ist mit der der anderen Valenz{
Elektronen korreliert.
In einigen Festkorpersystemen ist die Coulomb{Abstoung im Vergleich zu den
beiden anderen Energie{Beitragen weniger entscheidend. Zur Beschreibung dieser
Systeme lat sich eine statische Molekularfeld{Naherung wie die Hartree{Fock{Approximation oder die Lokale Dichte{Approximation sehr erfolgreich anwenden. In
diesen Naherungen wird die Coulomb{Wechselwirkung mit den einzelnen Valenz{
Elektron ersetzt durch den Eekt, den eine mittlere (zeitlich konstante) Dichte der
Elektronen hatte. Korrelationen zwischen den einzelnen Valenz{Elektronen werden
vernachlassigt.
2
Einleitung
In anderen Festkorpersystemen ist diese Naherung dagegen zu grob. Insbesondere in Systemen mit Valenz{Elektronen in 3d{ und 4f{Orbitalen ist die Coulomb{
Abstoung gro, weil diese Orbitale eine geringe raumliche Ausdehnung und zwei
Elektronen im selben Orbital daher einen kleinen Abstand haben. Dies sind die stark
korrelierten Elektronensysteme. Zu den besonderen Eigenschaften dieser Systeme
gehoren das Schwere{Fermionen{Verhalten in vielen 4f{Elementen und {Verbindungen, die Hoch{Temperatur{Supraleitung in Kupraten und der Metall{Isolator{U bergang in Vanadaten. Die Theorie stark korrelierter Elektronensysteme beruht in aller
Regel auf vereinfachten Modellen mit wenigen Orbitalen und einer lokalen Coulomb{
Abstoung, die die Wechselwirkung zwischen weiter entfernten Elektronen vernachlassigt.
In den Jahren seit ihrer Begrundung durch Metzner und Vollhardt (1989) hat sich
die Dynamische Molekularfeld{Theorie (DMFT) als ein zuverlassiges Naherungsverfahren zur Behandlung stark korrelierter Elektronen{Modelle erwiesen. Diese Theorie
wird exakt fur ein unendlich{dimensionales Gitter der Atomkerne und ist kontrolliert
durch den Parameter 1=d (d: Dimension des Gitters). Als statischer Grenzfall bei
schwacher Coulomb{Abstoung ist die Hartree{Fock{Approximation in der DMFT
enthalten. Im Gegensatz zur Hartree{Fock{Approximation ist das mittlere Feld aber
nicht durch eine zeitlich konstante Dichte der Elektronen, sondern durch eine dynamische, zeitabhangige mittlere Dichte gegeben. Damit werden Korrelationen zwischen
den Elektronen beschrieben, die wegen der Coulomb{Abstoung die Tendenz haben,
sich nicht gleichzeitig am selben Atomkern aufzuhalten. Bei sehr starker Coulomb{
Abstoung und einer ganzzahligen Anzahl von Valenz{Elektronen pro Kern{Gitterplatz lassen sich die stark korrelierten Elektronen{Modelle auf eektive Modelle mit
Spin{ und Orbital{Freiheitsgraden reduzieren. Die Weisssche Molekularfeld{Theorie
dieser eektiven Modelle ist als Grenzfall ebenfalls in der DMFT enthalten.
In dieser Arbeit werden im Rahmen der DMFT mehrere Modelle untersucht: mikroskopische Modelle fur den Ferromagnetismus der U bergangsmetalle, das Hubbard{
Modell mit Vorzugsrichtung als ein einfaches Modell fur stark anisotrope Antiferromagneten, das Periodische Anderson{Modell als Modell fur das Schwere{Fermionen{
System Cer sowie ein elektronisches Modell zur Beschreibung von Manganaten. Die
Selbstkonsistenz{Gleichungen der DMFT werden dabei numerisch exakt mit Hilfe von
Quanten{Monte{Carlo(QMC){Simulationen gelost. Erganzt wird dies bei schwacher
und bei starker Coulomb{Abstoung durch storungstheoretische Analysen. Dies sind
die Hartree{Fock{Approximation, die Weisssche Molekularfeld{Theorie fur die eektiven Modelle mit Spin{ und Orbital{Freiheitsgraden sowie daruber hinaus fur den
Metamagnetismus die Storungstheorie vierter Ordnung in der kinetischen Energie.
Einleitung
3
Aufbau der Arbeit
Kapitel 1 rekapituliert die Dynamische Molekularfeld{Theorie und stellt ein in dieser Arbeit entwickeltes Quanten{Monte{Carlo{Verfahren fur Mehrband{Modelle mit
und ohne einen zusatzlichen lokalisierten Spin vor. Bei diesem Algorithmus wachst
der Aufwand kubisch mit der Anzahl der Orbitale, innerhalb derer die Coulomb{
Abstoung der Elektronen berucksichtigt wird. Bei der Leistungsfahigkeit heutiger
Computer ist die Behandlung von bis zu ca. funf Orbitalen mit Wechselwirkung
moglich.
In den Kapiteln 2 bis 5 werden vier verschiedene festkorperphysikalische Phanomene analysiert. Jedes dieser Kapitel kann unabhangig von den anderen gelesen werden und beginnt mit einer ausfuhrlichen Einfuhrung in die Problemstellung. Das
ist in Kapitel 2 die Frage nach dem mikroskopischen Mechanismus fur den Ferromagnetismus der U bergangsmetalle. Es werden neue Ergebnisse zum Mechanismus
einer lokalen Hundschen Austausch{Wechselwirkung bei orbitaler Entartung vorgestellt. Selbst in dem einfachsten Modell dieser Art, dem Zweiband{Hubbard{Modell
mit Hundscher Kopplung, war bislang abseits von der viertel Fullung (ein Valenz{
Elektron pro Atomkern) wenig bekannt. In dieser Arbeit werden Ferromagnetismus
und orbitale Ordnung bei beliebigen Fullungen studiert. Die Veranderung mit wachsender Coulomb{Abstoung und die steigende Tendenz zum Ferromagnetismus beim
U bergang von zwei zu funf Orbitalen werden untersucht. Der mikroskopische Mechanismus der Hundschen Kopplung wird mit zwei weiteren moglichen Ursachen fur
den Ferromagnetismus verglichen. Hierbei handelt es sich um eine asymmetrische Zustandsdichte, die bereits im Einband{Hubbard{Modell zum Ferromagnetismus fuhren
kann, und um die Austausch{Wechselwirkung zwischen Elektronen auf benachbarten Gitterplatzen. Gegenubergestellt werden das Phasendiagramm in Abhangigkeit
von Temperatur und Coulomb{Wechselwirkung, die Spektralfunktion und die qualitative A nderung der U bergangstemperatur zum Ferromagnetismus mit wachsendem
Abstand der Atomkerne. Charakteristika und Gemeinsamkeiten der drei mikroskopischen Mechanismen werden herausgearbeitet. Erganzend wird ein weiterer moglicher
Mechanismus, das dichteabhangige Hupfen, in der Hartree{Fock{Approximation behandelt.
Kapitel 3 prasentiert neue Ergebnisse fur das einfachste Korrelationsmodell zur
Beschreibung metamagnetischer Phasenubergange in stark anisotropen Antiferromagneten, das Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung. Das Hubbard{Modell ist ein generisches Modell fur den Antiferromagnetismus. Bei einem halbgefullten Band liegt
ein antiferromagnetischer Isolator vor, der bei schwacher Coulomb{Wechselwirkung
4
Einleitung
einem bandartigen Slater{Antiferromagneten und bei starker Coulomb{Wechselwirkung einem spinartigen Heisenberg{Antiferromagneten entspricht. Abseits halber
Fullung liegt daruber hinaus ein antiferromagnetisches Metall vor. Werden die Kongurationen auf solche mit einer mittleren Magnetisierung entlang einer Vorzugsrichtung beschrankt, so lat sich die experimentelle Magnetisierungskurve im Magnetfeld
fur stark anisotrope Antiferromagneten beschreiben. Der Schwerpunkt von Kapitel
3 liegt auf der A nderung des metamagnetischen Phasenubergangs beim U bergang
vom Slater{ zum Heisenberg{Antiferromagneten bei halber Fullung, den metamagnetischen Phasenubergangen in metallischen Systemen sowie den drastischen A nderungen der Leitfahigkeit am metamagnetischen Phasenubergang. Das letztgenannte
Phanomen wird anhand der elektronischen Kompressibilitat untersucht.
Die Resultate von Kapitel 4 wurden wahrend eines Forschungsaufenthaltes an
der University of California, Davis, in Zusammenarbeit mit Scalettar, McMahan
und Huscroft gewonnen. Aus Bandstrukturrechnungen mit Lokaler Dichte{Approximation zum Schwere{Fermionen{Metall Cer wurden Parameter fur das Periodische
Anderson{Modell bestimmt. Mit wachsendem Druck kommt es im Cer{Festkorper
zu einer drastischen A nderung des Volumens um 15%, dem Volumen{Kollaps. Die
Bandstrukturrechnungen zeigen, da sich im Bereich des U bergangs in erster Linie die Hybridisierung zwischen den 4d{ und 5f{Orbitalen andert. Hauptresultat
von Kapitel 4 ist, da das Periodische Anderson{Modell mit sich andernder Hybridisierung einen U bergang aufweist, der sehr ahnlich zum Mott{U bergang des
Hubbard{Modells ist. In einem detaillierten Vergleich von halbgefulltem Periodischen Anderson{ und Hubbard{Modell bei endlichen Temperaturen wird das Verhalten der Spektralfunktion, des Quasiteilchen{Gewichts, des lokalen magnetischen Moments und der elektronischen Kompressibilitat am Mott{U bergang sowie das Phasendiagramm in Abhangigkeit von Temperatur und Hybridisierung analysiert. Die A hnlichkeit der beiden Modelle ist von Bedeutung fur die Theorie des Volumen{Kollapses
in Cer. Denn das Periodische Anderson{Modell bzw. seine Storstellen{Approximation
bildet die Grundlage fur das Kondo{Volumen{Kollaps{Szenario von Allen und Martin
(1982) sowie von Lavagna, Lacroix und Cyrot (1983). Kontrovers zu diesem Szenario
wird das Mott{U bergangs{Modell von Johansson (1974) diskutiert. Das einfachste
Modell fur diesen Mott{U bergang ist wiederum das Hubbard{Modell. Die starke
A hnlichkeit von Periodischem Anderson{ und Hubbard{Modell bei halber Fullung
zeigt, da dem Kondo{Volumen{Kollaps{ und dem Mott{U bergangs{Szenario ein
ahnliches physikalisches Verhalten zugrunde liegt. Die beiden Szenarien sind nicht
unvereinbar, wie in der Literatur von Johansson, Abrikosov, Alden, Ruban und Skriver (1995) sowie Allen und Liu (1992) bislang angenommen wurde. Am betrachteten
U bergang von beweglichen (itineranten) f{Elektronen zu lokalisierten f{Elektronen
wird auch die Energie des Periodischen{Anderson{Modells in Abhangigkeit vom Volumen berechnet, um zu untersuchen, ob es wie im Kondo{Volumen{Kollaps{Szenario
zu einer thermodynamischen Instabilitat kommen kann.
Einleitung
5
Kapitel 5 basiert auf einem elektronischen Modell zur Beschreibung von Manganaten wie La1 xCaxMnO3 . In diesem Korrelationsmodell werden drei Valenz{Elektronen
in den drei Mangan{t2g{Orbitalen, die nur einen geringen U berlapp mit den benachbarten Sauersto{Orbitalen haben, durch einen lokalisierten Spin{3=2 approximiert. Je nach Calcium{Dotierung x bendet sich bis zu ein zusatzliches Elektron
in den beiden eg {Orbitalen des Mangans. Der U berlapp dieser Orbitale mit dem
p{Orbital des Sauerstos fuhrt zu einem eektiven Hupfprozess zwischen den eg {
Orbitalen auf verschiedenen Gitterplatzen. Die eg{Elektronen sind also beweglich
und damit mageblich fur die elektrischen und magnetischen Eigenschaften der Manganate verantwortlich. Bisher wurde die Coulomb{Wechselwirkung zwischen den eg {
Elektronen, d. h. deren Korrelation, in der Literatur weitestgehend vernachlassigt.
Bei der Ca-Dotierung x = 0, d. h. genau einem eg {Elektron pro Mangan{Ion, ist die
Coulomb{Wechselwirkung in Rechnungen zu eektiven Kugel'{Khomski{Modellen
mit Spin{ und Orbital{Freiheitsgraden allerdings implizit enthalten. In diesen Modellen fuhrt der Superaustausch zum Magnetismus und zur orbitalen Ordnung. Bereits
ohne Coulomb{Wechselwirkung liegt ein kompliziertes Modell mit orbitaler Entartung und einer Hundschen Kopplung an die t2g {Spins, das ferromagnetische Kondo{
Gitter{Modell, vor. Anderson und Hasegawa (1955) zeigten, da in diesem Modell
der Doppelaustausch den Ferromagnetismus stabilisiert. Ein Resultat der vorliegenden Arbeit ist nun, da die Coulomb{Wechselwirkung der eg {Elektronen sehr wohl
wichtig ist. Die elektronischen Korrelationen fuhren zu einer ausgepragten Verschiebung von spektralem Gewicht in der paramagnetischen Spektralfunktion. Daruber
hinaus ergibt sich im mikroskopischen Mechanismus fur den Ferromagnetismus der
Manganate ein U bergang vom Doppel{ zum Superaustausch. Das ferromagnetische
Kondo{Gitter{Modell beschreibt daher die Manganate nur fur eine Dotierung x > 0:5
korrekt.
7
Kapitel 1
Methoden
1.1 Dynamische Molekularfeld{Theorie
Betrachtet man ein dreidimensionales Kristall{Gitter, so ist die Anzahl der nachsten Nachbarn (Koordinationszahl Z ) typischerweise von der Groenordnung 10,
z. B. Z =6 fur das einfach kubische und Z =12 fur das achenzentriert kubische Gitter.
Fur die Verallgemeinerung des kubischen Gitters auf beliebige Dimensionen d, das
hyperkubische Gitter, gilt Z = 2d. Der Limes hoher Dimensionen d ! 1 ist daher
mit dem Limes Z ! 1 identisch. In diesem Limes wird die Kopplung eines Gitterplatzes an das restliche Gitter durch ein mittleres Feld aller Gitterplatze beschrieben.
Diese Molekularfeld{Theorie, die im Limes hoher Dimensionen exakt ist, stellt bei
der Anwendung auf
p das dreidimensionale Problem ein Naherungsverfahren dar, das
im Parameter 1= Z kontrolliert wird. Bevor die Dynamische Molekularfeld{Theorie
(DMFT) fur elektronische Modelle detaillierter besprochen wird, soll zunachst kurz
auf die Weisssche Molekularfeld{Theorie fur Spin{Modelle eingegangen werden.
Weisssche Molekularfeld{Theorie
Das einfachste quantenmechanische Spin{Modell ist das Heisenberg{Modell mit einer
Kopplung J zwischen den Spins S^ i benachbarter Gitterplatze i und j 1
X
H^ Heisenberg = J S^ iS^ j :
hij i
(1.1)
Damit im Limes Z ! 1 die Energie pro Gitterplatz nicht-trivial, d. h. 0 oder 1,
wird, mu J skaliert werden wie J = J =Z . Fur Z ! 1 verschwindet nach dem
p
zentralen Grenzwertsatz der Einu eines einzigen Nachbar{Gitterplatzes wie 1= Z
1 Die Summe uber hij i ist dabei so deniert, da jedes Paar n
achster Nachbarn i j zweimal

auftritt. Quantenmechanische Operatoren werden mit einem Hut \^" gekennzeichnet.
8
1. Methoden
im Vergleich zum Mittelwert uber alle Z {Nachbarn, d. h. Fluktuationen zwischen
benachbarten Gitterplatzen entfallen. Damit gilt die Hartree{Entkopplung
S^ iS^ j ! hS^ iiS^ j + S^ ihS^ j i hS^ iihS^ j i
(1.2)
mit dem Erwartungswert des Spin{Operators hS^ i i. Durch Wahl der Quantisierungsachse, z. B. in z{Richtung, reduziert sich das Heisenberg{Modell auf das Ising{Modell
mit einer Freien Energie, die einem Molekularfeld{Hamilton{Operator
HMF = 2J X ^z
i
Si hi + J X
i
hS^iz ihi
(1.3)
entspricht (Brout, 1960). Das mittlere Feld hi ist dabei durch die gemittelte Magnetisierung auf den Nachst{Nachbar{Gitterplatzen von i (j 2 NNi) gegeben:
hi = Z1
X
j 2NNi
hS^jz i:
(1.4)
Die physikalische Losung ist diejenige mit minimaler Freier Energie (inverse Temperatur = 1=T; kB 1)
F =e
HMF :
(1.5)
Die Minimierung nach hi fuhrt fur ein ferromagnetisches System (J > 0) auf die von
Weiss (1907) phanomenologisch aufgestellte Selbstkonsistenz{Bedingung
hS^iz i = jS z j tanh(2J hS^iz i)
(1.6)
Fur Siz = 1 betragt die Curie{Temperatur damit TC = 2J . Dies ist die exakte
kritische Temperatur des unendlich{dimensionalen Systems und eine gute Approximation fur das dreidimensionale System, insbesondere fur die Vorhersage der richtigen langreichweitigen Ordnung und fur die kritischen Temperaturen des U bergangs
in die geordnete Phase. So weicht die Neel{Temperatur des antiferromagnetischen
Heisenberg{Modells (J < 0) in der Weissschen{Molekularfeld{Theorie (TN = 2jJ j)
von der des dreidimensionalen Systems um 30% bis 40% ab. Dies zeigt der Vergleich
von TN = 2jJ j mit der Hochtemperatur{Entwicklung [TN = 1:28jJ j nach Hasegawa
(1989)], mit der Spin{Fluktuations{Theorie [TN = 1:32jJ j nach Singh (1998)] und
der Quanten{Monte{Carlo{Simulation [TN = 1:26jJ j nach Sandvik (1998)]. Nichtsdestoweniger fuhren Spin{Fluktuationen zu qualitativ verschiedenen kritischen Exponenten und Abweichungen vom Neel{Grundzustand, s. z. B. Mattis (1981).
1.1. Dynamische Molekularfeld{Theorie
9
Elektronische Modelle
Auch fur Modelle korrelierter Elektronen stellt sich die Frage nach einer Molekularfeld{Theorie, die fur Z ! 1 exakt wird. Im Gegensatz zu den oben betrachteten
Spin{Modellen wird hier aber die Hartree{Fock{Entkopplung der lokalen Dichte{
Dichte{Wechselwirkung in Analogie zu den Spin{Modellen, Glg. (1.2), fur Z ! 1
nicht exakt, sondern eine wesentlich kompliziertere Dynamische Molekularfeld{Theorie. Den ersten Schritt auf dem Weg zu dieser Molekularfeld{Theorie fur elektronische
Modelle, wie dem Hubbard{Modell2 mit Coulomb{Wechselwirkung U und kinetischer
Energie t
X
X
H^ Hubbard = t c^yi c^j + U
n^i" n^ i#;
(1.7)
hij i
i
leisteten Metzner und Vollhardt (1989), die eine nicht{triviale Skalierung der kinetischen Energie
(1.8)
t = pt
Z
fur das hyperkubische Gitter einfuhrten. Diese fuhrt auf die nicht{wechselwirkende
Zustandsdichte bei der Energie E
E2
N 0 (E ) = p 1 e 2t 2 :
(1.9)
2 t
Auerdem wurde gezeigt, da die wesentliche Vereinfachung fur Z ! 1 eine rein
lokale Selbstenergie ist (k: Impuls; !: Frequenz):
(k; !) Z !1
! (!):
(1.10)
Muller-Hartmann (1989) zeigte, da auf allgemeineren Gittern die Erhaltung des Impulses in unendlichen Dimensionen irrelevant wird und nur die lokale Wechselwirkung
dynamisch bleibt, wahrend die Nachst{Nachbar{Dichte{Dichte{Wechselwirkung sich
auf den Hartree{Beitrag reduziert. Ein weiterer entscheidender Schritt war die Ausarbeitung einer Molekularfeld{Theorie von Janis und Vollhardt (1992), Jarrell (1992)
sowie Georges und Kotliar (1992). Fur ein allgemeines System mit M Bandern (Band{
Index ) 3, Dispersionsrelation k und lokalen Coulomb{Wechselwirkungen U , V0 und
F0 ,
X y
X
X
H^ =
k c^k c^k + U n^ i"n^i# +
(V0 0 F0 ) n^i n^i0 0 ; (1.11)
hij i
i
i;< 0 ;0
In der zweiten Quantisierung (s. z. B. Negele und Orland (1987)) sind c^j und c^yi Vernichtungs{
und Erzeugungsoperatoren fur ein Elektron am Gitterplatz j (i) mit Spin ; n^ i = c^yi c^i .
3 Der Hamilton{Operator enth
alt alle lokalen Dichte{Dichte{Wechselwirkungen und wird in Kapitel 2, s. a. Abb. 2.1, eingefuhrt.
2
10
1. Methoden
ist diese Dynamische Molekularfeld{Theorie durch ein lokales Einplatz{Problem in
einem eektiven Medium, der Selbstenergie , gegeben. Dabei lat sich die Green{
Funktion G durch ein Funktional{Integral uber Grassmann{Varibalen und bei
imaginaren Zeiten bzw. Matsubara{Frequenzen !n = (2n + 1)= (s. Negele und
Orland (1987)) ausdrucken:
1
Z
1
Z D[]D[ ]n n exp A[ ; ; G ]
Gn =
mit G 1 = G 1 + ,
A[; ; G 1] =
X
;n
U
1
n Gn n
X Z
0
X
Z =
Z
(1.13)
" ( ) " ( ) # ( ) # ( )
Z
( )
(V0 0 F0) d < 0 ;0
und der Zustandssumme Z
d
(1.12)
0
( ) 0 0 ( ) 0 0 ( )
D[]D[] exp A[; ; G 1 ]
(1.14)
Selbstenergie und Green{Funktion mussen dabei selbstkonsistent die k{summierte
Dyson{Gleichung,
X
Gn = (21 )3 (i!n + n k ) 1 ;
(1.15)
k
erfullen. Mit dieser Selbstkonsistenz{Bedingung ist die DMFT eine erhaltende Naherung im Sinne von Baym und Kadano (1961).
Die beiden Gleichungen (1.12) und (1.15) lassen sich iterativ losen, wenn zweimal die Hilfsgleichung G 1 = G 1 + eingeschoben wird (zur Losung des DMFT{
Iterationsschemas s. Abschnitt 1.3 oder das Struktogramm Anhang A aus Held
(1995)). Jarrell (1992) sowie Georges und Kotliar (1992) erkannten, da das Einplatz{
Problem, Glg. (1.12), aquivalent zu einem Storstellen{Anderson{Modell ist und sich
damit mit den Standard{Methoden fur das Storstellen{Modell behandeln lat. Dies
sind insbesondere die Storungstheorie zweiter Ordnung, die Quanten{Monte{Carlo{
Simulation nach Hirsch und Fye (1986), die exakte Diagonalisierung kleiner Systeme,
die \Non{Crossing"{Approximation und die numerische Renormierungsgruppe. Diese
1.2. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus fur Mehrband{Modelle
11
Losungsmethoden erlaubten eine auerst erfolgreiche Anwendung der DMFT auf Probleme der Festkorperphysik wie den Metall{Isolator{U bergang, Antiferro{ und Ferromagnetismus im Hubbard{Modell, die Kondo{Physik des Periodischen Anderson{
Modells und die Verknupfung von Bandstruktur{Rechnungen mit der DMFT, s. die
U bersichtsartikel von Vollhardt (1993), Pruschke, Jarrell und Freericks (1995) sowie Georges, Kotliar, Krauth und Rozenberg (1996), zusatzlich Vollhardt, Blumer,
Held, Kollar, Schlipf, Ulmke und Wahle (1999) fur den Ferromagnetismus, Furukawa
(1998) fur das Kondo{Gitter{Modell sowie Anisimov, Poteryaev, Korotin, Anokhin
und Kotliar (1997) fur die Verbindung mit Bandstruktur{Rechnungen.
1.2 Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus fur
Mehrband{Modelle
Das lokale M{Band{Modell, Glg. (1.11), lat sich mit einem Quanten{Monte{Carlo{
(QMC{)Algorithmus nach dem Konzept von Hirsch und Fye (1986) numerisch exakt
losen. Als Grundlage fur die Entwicklung des hier vorgestellten Mehrband{QMC{
Algorithmus diente Ulmke (1995) und Georges et al. (1996).
Zeitdiskretisierung und Trotter{Zerlegung
Fur die numerische Losung mu zunachst eine Trotter{Diskretisierung der imagin
aren
R
Zeit in Intervalle
der Groe = = erfolgen. Damit wird das Integral 0 d
P
zu der Summe l=1 mit l = l , und die einzelnen Terme aus Glg. (1.12) lassen
sich nach der Trotter{Suzuki{Formel (Suzuki, 1976)
e
fA^+B^ g
=
Y
l=1
e
A^ e B^
+ O( 2 )
(1.16)
mit Operatoren A^ und B^ separieren, was im Limes ! 0 exakt wird.
Hubbard{Stratonovich{Transformation
Jeder der insgesamt M (2M 1) Wechselwirkungs{Terme der Form U , V0 oder V0 F0
lat sich nach der Trotter{Zerlegung mit Hilfe der ublichen Hubbard{Stratonovich{
Transformation entkoppeln. Die hier verwendete diskrete Form lautet:
2
expf V;0 0 ( l
l
0 0 l 0 0 l ) g =
2
1 X expf 0 0 sl
(1.17)
; ; 0 0 ( l l
0 0 l 0 0 l )g;
2 sl =1
; 0 0
12
1. Methoden
mit cosh(;00 ) = exp( (V;0 0 )=2) und
8U
0
0 > >
< V0 F0 ffuurr 0 => und
und 0 = :
(1.18)
V;0 0 = > V
0 > und 0 6= f
u
r
0
:0
sonst
Auf diese Weise erhalt man anstelle von Glg. (1.12) eine hochdimensionale Summe
uber M (2M 1) Hilfsfelder sl;0 0 . Die Green{Funktion zwischen den Zeiten 1 =
l1 und 2 = l2
Gl1 l2 = G (1 2 )
(1.19)
wird zu4
X X
X Z
1
D D G
=
~~ l1 l2
Z
l
exp
(X
l0 l00
wobei Z die Zustandssumme
Z=
X
l
X
~~ l1 ~~ l2
( 0 ;0 )>( 00 ;00 ) sl00 00 ;0 0 =1
s
l0 Ml
0 l00 l00
Z
X
( 0 ;0 )>( 00 ;00 ) sl00 00 ;0 0 =1
)
;
D D exp
(1.20)
(X
l0 l00
s
l0 Ml
0 l00 l00
)
ist. Hierbei bezeichnet s den Vektor der Hilfsfeld{Kongurationen, M s die Matrix
mit den Elementen
X
s
Mll
(1.21)
;00 ~;0 0 sl;0 0 ;
0 = 2 G1 + ll0 ll0
0 0
und ~;0 0 = 2(0 + 0 [ 0 ]) 1 = 1 liefert fur die beiden an der Hubbard{
Stratonovich{Transformation beteiligten Dichten das entgegengesetzte Vorzeichen.
Eine genauere Analyse des Storstellen{Modells fuhrt zu folgendem Ausdruck fur
M s , der bis auf O( ) mit Glg. (1.21) ubereinstimmt (s. Georges et al. (1996)):
M s = 2 G1 + e
mit den Elementen der Matrix ~ s
X
~s
ll0 = ll0
4
0 0
~ s
+1 e
~ s
;0 0 ~;0 0 sl;00 :
( 0 ; 0 ) > ( 00 ; 00 ) bedeutet die Einschrankung 0 > 00 oder 0 = 00 fur 0 > 00 .
(1.22)
(1.23)
1.2. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus fur Mehrband{Modelle
13
Wicksches Theorem
Da die Fermionen in Glg. (1.20) nur noch quadratisch eingehen, kann das Funktionalintegral durch eine einfache Gausssche Integration bzw. das Wicksche Theorem berechnet werden (s. z. B. Negele und Orland (1987)). Das quantenmechanische
Problem reduziert sich nach der Integration uber die Grassmann{Variablen auf ein
Matrix{Problem:
X X
X s 1 Y
det M s : (1.24)
(M )
G
=1
~~ l1 l2
Z
l
~~
( 0 ;0 )>( 00 ;00 ) sl 00 00 ;0 0 =1
l1 l2
Monte{Carlo{Simulation
Als Schwierigkeit verbleibt die hochdimensionale Summe in Glg. (1.24) von exponentiell vielen (insgesamt 2M (2M 1) ) Summanden. Bereits fur ein Zweiband{Modell ist
eine vollstandige Summation nur fur 4 moglich. Dies entspricht bei akzeptablen
Diskretisierungen = = extrem hohen, wenig interessanten Temperaturen. Als
Losung bietet sich die Monte{Carlo{Simulation an. Diese ist ein sehr ezientes Verfahren, um hochdimensionale Summen oder Integrale zu berechnen. Dabei wird der
Integrand F (x) in eine normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung P und einen Restterm O aufgeteilt:
Z
mit
dx F (x) =
Z
Z
dx O(x) P (x) <O>P
dx P (x) = 1 und P (x) 0:
(1.25)
(1.26)
In der statistischen Physik ist das Boltzmann-Gewicht haug die geeignete Wahl
fur P :
P (x) = 1 exp( E (x)):
(1.27)
Z
Fur die zu berechnende Summe, Glg. (1.24), entspricht dies
Y
P (s) = 1 det Ms
Z
und
O(s)~~l1 l2 = (M~s~ )
1
(1.28)
:
l1 l2
(1.29)
14
1. Methoden
Gibt es in Glg. (1.28) auch negative Determinaten, so mu in Glg. (1.28) der Betrag der Determinate genommen werden, und deren Vorzeichen dem Matrixelement
(1.29) zugeschlagen werden. Wahrend bei der ublichen Integration uber alle moglichen
Kongurationen summiert wird, werden bei der Monte{Carlo{Simulation Kongurationen xi nach der Wahrscheinlichkeitsverteilung P (x) erzeugt, und die betrachtete
Observable O(x) uber die stochastisch erzeugten xi gemittelt. Dabei werden die relevanten Bereiche des Phasenraumes mit einem groen Boltzmann{Gewicht starker
berucksichtigt als die mit einem kleinen, wahrend bei der ublichen Integration die
allermeisten Summanden praktisch keinen Beitrag zum Integral liefern (weil sie exponentiell klein sind). Daher stammt auch die Bezeichnung importance-sampling. Nach
dem Zentralen Grenzwertsatz erhalt man bei der Berucksichtigung von N statistisch
unabhangigen Summanden fur den Mittelwert
<O>P = N1
N
X
i=1
xi 2P (x)
O(x ) p1
i
N
q
<O2 >P
<O>2P :
(1.30)
Dabei ist der Fehler und damit die benotigte Anzahl der Summanden N nahezu
unabhangig von der Dimension des Integrals. Aus diesem Grund wachst der Rechenaufwand bei der Monte{Carlo-Simulation im Gegensatz zu einer gewohnlichen
Integration nicht exponentiell, sondern lediglich polynominal5 mit der Dimension des
Integrals.
Neben diesem groen Vorteil zeigt Glg.(1.30) auch die Schwachstellen der Monte{
Carlo{Simulation
auf: Je kleiner das Verhaltnis von Signal zu Rauschen ist, d. h. von
p
< O >P zu <O2 >P <O>2P , desto groer wird der Fehler. Dies ist insbesondere bei dem sogenannten Vorzeichen{Problem der Fall. Bei diesem gibt es Bereiche des Phasenraumes mit positiven und negativen O(x), die sich nahezu aufheben
und zu einem kleinen Mittelwert < O >P fuhren, wahrend die Standardabweichung
p
<O2 >P <O>2P gro ist.
Markov{Proze
Die Realisierung von nach P (x) verteilten Kongurationen erfolgt mit einem Markov{
Proze. Wurde x realisiert, so wird eine neue Konguration y mit einer Wahrscheinlichkeit
P (x ! y) = min f1; P (y)=P (x)g
(1.31)
Der Aufwand zur Berechnung statistisch unabhangiger Kongurationen xi sowie von O wachst
mit zunehmender Systemgroe im allgemeinen polynominal.
5
1.2. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus fur Mehrband{Modelle
15
akzeptiert. Da bei diesem Verfahren nach Metropolis, Rosenbluth, Rosenbluth, Teller
und Teller (1953) die detaillierte Bilanz
P (x)P (x ! y) = P (y)P (y ! x)
(1.32)
erfullt wird, erzeugt der Markov{Proze Kongurationen, die der Verteilung P (x)
genugen.6
\Single"{Spinip
Fur die Monte{Carlo{Integration
uber die Hilfsfelder in Glg. (1.24) wird der Quotient
0
s
P (y)0=P (x), d. h. det M = det M s , sowie der Zusammenhang von (M s ) 1 und
(M s ) 1 benotigt. Um den Rechenaufwand zu minimieren, bietet es sich an, beim
U bergang s ! s0 nur eine einzige Hilfsfeld{Komponente zu andern. Mit
M s0
=
=
h ~ i 1 ~ 0
h ~ i 1 ~ 0
M e
e +1 e
e
9
8
>
>
>
>
=
<
h
i
0
~ 1 ~ 1
s
s
e
M >1 + 1 [M ]
e
1 >
>
{z
}>
|
;
:
s0 s
|
{z 0
}
s
s
A
s
s
s
s
s
s
s
(1.33)
ergibt sich fur den Quotienten der Determinanten:
s0
det
M
s0 s
R = det M s = det A :
(1.34)
(M s0 ) 1 = (As0 s) 1(M s ) 1 :
(1.35)
s0 s
Die neue Matrix (M s0 ) 1 lautet:
s0 s , Glg. (1.33), geht die Matrix
In der Formel fur A
s0s = e
~ s
1e
0
~ s
1
(1.36)
ein. Diese hat bei dem Flip eines einzigen Hilfsfeldes sl0000;00 ! sl00 00 ;00 eine sehr
einfache Struktur. Sie besteht im wesentlichen aus Nullen und hat uberhaupt nur
fur ein Band mit Spin{Komponente einen Matrix{Eintrag ungleich Null, wenn
Eine zusatzliche Bedingung ist, da uber eine Reihe von U bergangen aus jeder Start{ jede
mogliche Ziel{Konguration erreicht werden kann. Damit ist ein endliches System ergodisch.
6
16
1. Methoden
= 00 und = 00 oder 0 = 0 und = 0 . In diesem Fall ist nur eine einzige
Komponente der Matrix ss ungleich Null, die gleichzeitige l{l{Komponente
l
s0 s = expf2
ll
; 0 0 ~; 0 0 s; 0 0 g 1
(1.37)
fur = 0 und = 0 bzw.
0s
sll
= expf20000 ; ~0000; sl0000; g 1
(1.38)
fur = 00 und = 00 . Damit hat auch As0 s, Glg. (1.33), eine einfache Struktur.
Sind und von dem Flip des Hilfsfeldes sl00 00;00 betroen, so gilt mit dem oben
denierten s0 s
s ) 1 ] 0 00 s0 s :
s0 s = 0 00 + 0 00
[(M
Al
0 l00
l l ll
l l ll
ll
ll
(1.39)
s0 s :
Dies fuhrt direkt auf einen Ausdruck fur den Quotienten R
s0 s = det As0 s = 1 [(M s ) 1 ] s0 s :
R
ll ll
(1.40)
Um die Akzeptanzwahrscheinlichkeit fur den Flip sl0000;00 ! sl00 00;00 , Glg. (1.31),
zu berechnen, ist sowohl fur Rs00s0 als auch fur Rs000s00 jeweils nur eine Additions{ und
s ) 1
Multiplikations{Operation erforderlich, wobei jeweils ein Element der Matrix (M
benotigt wird.
Mit Hilfe einer Entwicklung nach Minoren lat sich aus Glg. (1.39) auch leicht die
inverse Matrix
(As0s) 1 = 0 00 + sll0s [(M s ) 1] 0 00 0 00 (1.41)
l l ll
l l ll
ll
l0 l00
s0 s
R
berechnen. Mit Hilfe von Glg. (1.35) erhalt man hieraus nach der Akzeptanz der
neuen Hilfsfeld{Konguration s0 die neue Matrix
s0 s
s 1
ll
s
1
(1.42)
[(M
0l l00 + s0 s [(M ) ]l0 l l0 l [M ) ]ll00 :
R
Diese kann mit 2 + O() Multiplikations{ und Additions{Operationen berechnet
werden. Der Gesamtaufwand des Algorithmus betragt somit in fuhrender Ordnung
in s0 1
) ]l0 l00
= (M s ) 1
2A M (2M 1)3 Anzahl der MC-Sweeps:
(1.43)
Hierbei wird in einem Monte{Carlo{Sweep jedes Hilfsfeld im Mittel einmal auf einen
Flip uberpruft. A ist die mittlere auftretende U bergangswahrscheinlichkeit (die Akzeptanzrate). Nachdem eine Start{Konguration der Hilfsfelder ausgewurfelt wurde,
1.2. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus fur Mehrband{Modelle
17
werden zur Thermalisierung je nach Starke der stochastischen Fluktuationen zunachst
2.000-20.000 Monte{Carlo{Sweeps durchgefuhrt. Danach
wird die Green{Funktion
0 1
s
und ihr statistischer Fehler aus dem Mittel von (M ) uber 20.000-200.000 Monte{
Carlo{Sweeps berechnet. Typischerweise mu die QMC{Simulation funf bis zehnmal
mit der Selbstkonsistenz{Gleichung (1.15) iteriert werden, bevor eine Konvergenz von
5 10 3 in der Groe G 1 gema der Summennorm erreicht wird.
Suszeptibilitaten
Eine allgemeine Suszeptibilitat berechnet sich aus der Ableitung des Ordnungsparameters mx nach dem zugehorigen Feld x. Der Ordnungsparameter setzt sich dabei
aus den mittleren Elektronendichten hn^ i in Abhangigkeit von Spin , Orbital und Untergitterindex 2 fA; B g = f1; 1g zusammen:
1 X f x @ hn i = 1 T X f x @Gn :
x
=
x = @m
@x 2 @x
2 n @x
(1.44)
In dieser Arbeit wurden die Instabilitaten bezuglich folgender Realisierungen des
Feldes x untersucht
8 H 9
9
8
>
>
>
>
>
>
>
Hst >
=
<
=
<
x
H
(3
2
)
(1.45)
fur x 2 > OO > :
f 2 >
>
H
(1
)
+
(3
2
)
>
>
>
>
: ;
;
:
1
Dabei beschreiben x = H und x = Hst ferro{ bzw. antiferromagnetische Suszeptibilitat, x = HOO eine alternierende orbitale Suszeptibilitat, die fur das Zweiband{
Modell mit 2 f1; 2g untersucht wurde, x = H eine gemischte ferromagnetische
und orbitale Suszeptibilitat mit verschiedenen Anteilen 2 [0; 1] und x = die elektronische Kompressibilitat. Aus den beiden Selbstkonsistenz{Gleichungen der DMFT
(1.15) und (1.12) bzw. (1.24) werden durch Dierentiation nach dem Feld x zwei entsprechende Gleichungen fur @G=@x erzeugt. Die Ableitung des Funktional{Integrals,
Glg. (1.12), liefert
@Gn = T X
@x
0 0 n0
0 0 0 x 0 0 0 ;
n; n n
mit der dynamischen Antwortfunktion des eektiven Mediums
@ f(G ) 1 + g
x
n
= @x
n
n
(1.46)
(1.47)
18
1. Methoden
und der Zwei{Teilchen{Korrelationsfunktion
0 0 0 = h
n n 0 0 n0 0 0 n0i hn n i h 0 0 n0 0 0 n0 i: (1.48)
n; n
Bei diesen Gleichungen fallt auf, da die dynamische Antwortfunktion in der DMFT
keine Kopplung verschiedener k{Vektoren beschreibt. Eine k{Abhangigkeit kann jedoch implizit uber das externe Feld entstehen. Bei den hier untersuchten Suszeptibilitaten ist dies k = (0; 0) fur die ferromagnetische Suszeptibilitat und die Kompressibilitat sowie k = (; ; ) fur die alternierende orbitale und die antiferromagnetische Suszeptibilitat. Bei der Ableitung der zweiten Selbstkonsistenz{Gleichung,
der Dyson{Gleichung (1.15), nach x ist es sinnvoll, die Groe
x x zn = i!n + + f
(1.49)
n
einzufuhren. Man erhalt:
@Gn = x + @Gn =@x f x +
n
n
2
@x
(
G
)
n
@G
n =@x
x
x
f n ;
(1.50)
n +
(G n)2
mit
X
zn 2k =z n 2 ;
(1.51)
n = (21 )3
k
X
1
n = (2)3
zn
2k =z n 2 2 =(z n )2:
(1.52)
k
Da Glg. (1.50) lediglich verschiedene Untergitter koppelt, aber diagonal in n, und
ist, kann diese Gleichung problemlos nach @Gn =@x aufgelost werden:
@Gn = X R0 (f x
x
(1.53)
n 0 0 n )
@x
0
mit der 2 2 Matrix R in 2 fA; B g = f1; 1g
Rn = (det Dn) 1DnT n;
wobei D und T wie folgt deniert sind:
0
An
Bn
1 (GBn
2
)
(
G
Bn )2
Dn = @ Bn
An
1 (GAn
(GAn )2
)2
Tn =
An An
Bn Bn
!
:
(1.54)
1
A;
(1.55)
(1.56)
1.2. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus fur Mehrband{Modelle
19
Wird @G=@x aus Glg. (1.53) in die andere Selbstkonsistenz{Gleichung (1.46) eingesetzt, so folgt eine Gleichung fur die dynamische Antwortfunktion :
X
0
0 f x0
Rn
=
X n
0 0 0 n0
0 + 0 T 0 0 0
nn0 0 0 Rn
n; n
o
x00 0 n0 : (1.57)
Aus dieser Gleichung erhalt man durch Inversion einer 4M 4M Matrix . Mit
Hilfe von lat sich aus den Glgn. (1.46) oder (1.53) @G=@x bestimmen, was dann
die Berechnung der Suszeptibilitat, Glg. (1.44), erlaubt. Beim Phasenubergang in
die geordnete Phase divergiert die entsprechende Suszeptibilitat. Mit einem Curie{
Weiss{Fit wird in dieser Arbeit die kritische Temperatur fur den Phasenubergang,
d. h. der Nulldurchgang der inversen Suszeptibilitat, bestimmt. Eine ausfuhrliche
Beschreibung der Fehlerrechnung inklusive Extrapolation ! 0 und Curie{Weiss{
Fit, wie sie in der vorliegenden Arbeit angewandt wurde, ndet man bei Held (1995)
und Blumer (1996). An dieser Stelle sollen in Abb. 1.1 und | fur den Algorithmus
fur die Manganate | in Abb. 1.3 (s. u.) lediglich typische \Least{Square"{Fits zur
Extrapolation ! 0 der QMC{Daten angegeben werden, wie sie zur Gewinnung
der Resultate in Kapitel 2 bzw. Kapitel 5 durchgefuhrt wurden. In Kapitel 4 wird
explizit auf die {Extrapolation eingegangen.
Test des Algorithmus
Um die korrekte Implementation des neuen Algorithmus zu validieren, wurden folgende bekannte Ergebnisse reproduziert:
Die Green{Funktion im atomaren Limes: Mit Hilfe der Spektraldarstellung
(s. z. B. Rickayzen (1988))
X
G=1=" (!) = Z1 ! E +1 E 1 + e(En Em )
n
m
mn
jhnjc^y=1=" jmij2e (Em Nm )
(1.58)
lat sich die Green{Funktion auf einfache Weise aus den Eigenfunktionen hmj
und den Eigenwerten Em mit zugehoriger Teilchenzahl Nm berechnen. Fur
das Zweiband{System ist Nm 2 f1; ::; 4g. Der Operator c^y=1=" schrankt die
beteiligten Zustande hmj und hnj mit einem nicht{verschwindenden Beitrag
in Glg. (1.58) stark ein. Der Algorithmus wurde im atomaren Limes fur verschiedene Werte von U , V0 , F0 und anhand der Green{Funktion (1.58) fur
Matsubara{Frequenzen uberpruft.
Die Suszeptibilitat und Green{Funktion fur das Einband{Modell wurde fur
die Bethe{Zustandsdichte und die asymmetrische Zustandsdichte aus Wahle,
Blumer, Schlipf, Held und Vollhardt (1998) reproduziert.
20
1. Methoden
0.3
0.25
0.2
χ−1
0.15
0.1
0.05
0
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
∆τ
Abbildung 1.1: Exemplarische Extrapolationen ! 0 der Suszeptibilitat des Zweiband{
Modells (1.11) fur U = 6, V0 = 4:5, F0 = 1:5, n = 1 und T = 0:2 (orbitale Suszeptibilitat;
Quadrate), U =12, V0 =9, F0 =3, n =1 und T =0:33 (orbitale Suszeptibilitat; Kreise) sowie
U =12, V0 =9, F0 =3, n =1:5 und T =0:17 (ferromagnetische Suszeptibilitat; Dreiecke).
Die von Rozenberg (1997) ohne F0 {Term berechnete (n){Kurve des Metall{

Isolator{Ubergangs
im Zweiband{Modell wurde fur U = V0 = 6 und = 4
(U = 3 bzw. = 8 in Einheiten von Rozenberg (1997)) im Rahmen des Fehlers
reproduziert, s. Abb.1.2.
Die Suszeptibilitat und Green{Funktion im wechselwirkungsfreien Grenzfall wurden reproduziert.
Die Konsistenz der ferromagnetischen Suszeptibilitat wurde durch Vergleich
mit der numerischen Dierenziation der Magnetisierung nach dem Magnetfeld
uberpruft.
1.2. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus fur Mehrband{Modelle
21
3.2
3
2.8
n
2.6
2.4
2.2
2
0
1
2
3
4
5
µ−3/2 U
6
7
8
Abbildung 1.2: Teilchen{Dichte n als Funktion des chemischen Potentials im Zweiband{
Hubbard{Modell. Bei n = 2 und n = 3 (bzw. n = 1 aufgrund der Teilchen{Loch{
Symmetrie) wird die Kompressibilitat = @n=@ extrem klein. Das System ist bei diesen
Dichten isolierend.
Spinip{Term
Neben den lokalen Dichte{Dichte{Wechselwirkungen des Hamilton{Operators (1.11)
tritt wegen der SU(2){Symmetrie auch ein Spinip{Term der Form
X y
H^ SF = F0
(1.59)
c^i c^i0 c^yi0 0 c^i0
i;< 0 ;6=0
auf. Fur diesen Term ist die ubliche Hubbard{Stratonovich{Transformation nicht
anwendbar. Eine alternative Entkopplung wurde von Motome und Imada (1997) vorgeschlagen. Diese vermeidet ein Vorzeichen{Problem der Monte{Carlo{Simulation im
symmetrischen Fall halber Fullung, hat aber ein Phasen{Problem mit komplexen Gewichten abseits
p halber Fullung. Anstelle dieser Entkopplung wurde daher ein Ansatz
mit = F0 versucht:
exp F0 l
l 0 l 0 l =
1 X exp f l
+ 0
0 ( l
;
l
2 s=1
:
l 0 l )
(1.60)
22
1. Methoden
Dieser Ansatz fuhrt im Gegensatz zu dem in Abschnitt 1.2 beschriebenen auf einen
wesentlich komplizierteren Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus, da auch Green{Funktionen der Form G"#l1 l2 auftreten, die Spinip{Prozesse beschreiben und die zuvor
separierten Green{Funktionen Gl1 l2 Gl1 l2 koppeln. Anstelle von 2M Matrizen
der Groe treten M Matrizen der Groe 2 2 auf. Deniert man
f
~
l
= ll0
X
< 0
fl ;0 +
X
> 0
fl 0
!
;
;
(1.61)
0s
so erhalt man anstelle des einkomponentigen sll
aus Glg. (1.38) eine 2 2 Matrix
in der Spin{Komponente
s0 f 0 sf
ll
= e
~ fll
e
~ sll
1e
0
~ fll
e
0
~ sll
1:
(1.62)
1
Die Berechnung der U bergangswahrscheinlichkeit und der neuen Matrix (M sf
) bei
einem Flip eines Hilfsfeldes f;0 0 ! f;0 0 oder s;0000 ! s;0 0 hat die Form
s f sf
1
von Glg. (1.40) und Glg. (1.42), wobei (M sf
jetzt 2 2 Matrizen in
) und ll
der Spin{Komponente sind. Durch die Kopplung der Spin{Komponenten kommt es
1
zu groen Fluktuationen in (M sf
) , denn der Gewichtsfaktor
P (sf ) /
Y
det M sf
(1.63)
hat in etwa gleich viele positive und negative Beitrage. Selbst fur hohe Temperaturen
von = 2 und fur kleine Coulomb{Wechselwirkung U = 2, V0 = 1 und F0 = 0:5 wird
das mittlere Vorzeichen extrem klein. Aufgrund dieses Vorzeichenproblems konnten
keine Monte{Carlo{Simulationen mit Spinip{Term durchgefuhrt werden.
1.3 Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus fur
Manganat{Modelle
Einteilchen{Green{Funktion
Koppeln die elektronischen Freiheitsgrade mit der Hundschen Kopplung J an einen
zusatzlichen Ising{Spin S z = 1, wie in Kapitel 5, Glg. (5.9), so wird das lokale
Problem, Glg. (1.12), modiziert:
Gn = 1
XZ
z
1
Z Sz =1 D[]D[ ]n n exp A[ ; ; S ; G ]
(1.64)
1.3. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus fur Manganat{Modelle
mit G 1 = G 1 + und
A[; ; S z ; G 1 ] =
X
n
U
n
G
X Z
0
X
1
z
n + JS
d
(1.65)
n
" ( ) " ( ) # ( ) # ( )
Z
( )
(V0 0 F0 ) d < 0 ;0
23
0
( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ):
Entsprechend mu fur die Berechnung der Zustandssumme ebenfalls uber S z = 1
summiert werden. Die Selbstkonsistenz{Gleichung, d. h. die k{integrierte Dyson{
Gleichung (1.15), bleibt unverandert.
Das Einplatz{Problem, Glg. (1.64), lat sich in der paramagnetischen Phase durch
folgenden Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus losen:
1. Berechne G 1 = G 1 + .
2. Bilde G~ 1 = G 1 + J .
3. Fuhre mit G~ 1 den in Abschnitt 1.2 beschriebenen Quanten{Monte{Carlo{
Algorithmus zur Berechnung von G aus.
4. Da in der paramagnetischen Phase das Gewicht fur die beiden Kongurationen
S z = 1 gleich ist, und unter Vertauschung S z ! S z die Symmetrie G !
G gilt, erhalt man die paramagnetische Green{Funktion aus der Mittelung
G = 21 (G" + G# ).
5. Berechne = G
1
G 1.
6. Berechne G aus mit der k{integrierten Dyson{Gleichung (1.15).
7. Fahre mit dem neuen G und bei Schritt 1. fort, bis sich das neue und alte G 1
um weniger als 10 3 unterscheiden (in der Summen{Norm uber alle Matsubara{
Frequenzen).
In diesem Algorithmus sind zusatzlich zwei Fourier{Transformationen notwendig, um
von der Darstellung in Matsubara{Frequenzen zu der in imaginarer Zeit zu wechseln
und vice versa. Bei diesen Fourier{Transformationen wird die Glattung nach Ulmke
(1995), s. dort Anhang B, verwendet.
24
1. Methoden
Suszeptibilitaten
Mit dem gleichen Vorgehen wie fur den Mehrband{Algorithmus lassen sich auch
die Suszeptibilitaten in der paramagnetischen Phase bei Anwesenheit eines zusatzlichen Spins berechnen. Ebenso wie bei den Einteilchen{Green{Funktionen andert sich
auch die Ableitung der Dyson{Gleichung nach dem externen Feld x nicht, Glg. (1.50)
bzw. (1.53) bleibt unverandert. Der zusatzliche Spin modiziert dagegen die Zweiteilchen{Korrelations{Funktion , die in Glg. (1.46) den Zusammenhang zwischen
dynamischer Antwort{Funktion und @G=@x beschreibt. Die Rechnung mit zusatzlichem Spin ergibt
X
0 0 0 = 1
0 0 iS z
h
n; n
n
n n n
2 Sz =1
X
X
hnn iSz
h00 n0 00 n0 iS0z : (1.66)
S z =1
S 0 z =1
Wird im Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus diese Zweiteilchen{Korrelation berechnet, so liefert Glg. (1.57) die dynamische Antwortfunktion . Aus lat sich mit
Glg. (1.53) oder (1.46) die Ableitung der Green{Funktion @G=@x bestimmen. Daraus
wiederum folgt mit Glg. (1.44) die Suszeptibilitat x.
Betrachtet wurden auch Felder, die neben einer Kopplung an die elektronischen
Freiheitsgrade auch an den lokalisierten Spin koppeln (insbesondere die Kopplung
eines Magnetfeldes an den lokalisierten Spin mit Lande{Faktor gS ). Dies fuhrt zu
zusatzlichen Beitragen in Glg. (1.66).
Abb. 1.3 zeigt Extrapolationen ! 0 des QMC{Algorithmus fur Manganate,
wie sie zur Erzeugung der Ergebnisse in Kapitel 5 durchgefuhrt wurden.
Test des Algorithmus
Um die korrekte Implementation des Algorithmus zu validieren, wurden mit dem
neuen Algorithmus folgende bekannte Ergebnisse reproduziert:
Der atomare Limes fuhrt fur J ! 1 auf besonders einfache Ergebnisse. In
diesem Fall sind die elektronischen Freiheitsgrade vollstandig entlang der z{
Richtung polarisiert. Im verwendeten Zweiband{Modell ist die Magnetisierung
der Elektronen m = 2S z . Dies fuhrt mit dem Lande{Faktor gS fur den Spin
und ge = 1 fur die Elektronen auf eine Energie
E = (2 + gs)S z H
(1.67)
Fur S z = 1 ergeben sich daraus die Magnetisierung der Elektronen
m = 2 tanh( (2 + gs)H )
(1.68)
1.3. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus fur Manganat{Modelle
25
0.5
0.4
χ
−1
n = 0.4, T = 0.200
n = 0.8, T = 0.200
n = 0.9, T = 0.167
n = 0.4, T = 0.100
0.3
0.2
0.1
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
∆τ
Abbildung 1.3: Exemplarische Extrapolationen ! 0 fur U = 8, V0 = 6, F0 = 1,
J = 2 und Bethe{Bandbreite W = 4 bei verschiedenen Temperaturen und Elektronen{
Dichten [Hamilton{Operator (5.9)], wie sie fur das Phasendiagramm Abb. 5.12 in Kapitel
5 durchgefuhrt wurden.
und die Suszeptibilitat
H = @m=@H = 2(2 + gs):
(1.69)
Dieses Ergebnis wurde reproduziert.
Fur U = V0 = F0 = 0 erhalt man das Kondo{Gitter{Modell, das sich nach
Furukawa (1994), s. a. Furukawa (1998), exakt losen lat. Diese Losung wird
in Abschnitt 5.2 vorgestellt. Die korrekte Berechnung der Suszeptibilitat wurde
uberpruft, s. Tabelle 1.1. Die Abweichung zwischen dem analytischen Resultat
und dem mit dem QMC{Algorithmus berechneten betragt weniger als 0:01.
Die Ursache hierfur ist die Extrapolation von . Eine approximative Suszeptibilitat in der Hartree{Fock{Theorie fur tiefe Temperaturen erhalt man, wenn
man die Fermi{Funktion durch eine Stufenfunktion nahert. Dies fuhrt auf
0
+ gS J ) :
= 2N1 (2)(1
(1.70)
0
N ( ) J 2 Die starke Abweichung der Hartree{Fock{Theorie von der DMFT des Kondo{
Gitter{Modells selbst bei einer kleinen Kopplung J ist uberraschend.
26
Parameter
= 0, gS = 3, J = 0
= 0, gS = 3, J = 0:1
= 0, gS = 3, J = 0:2
= 0, gS = 3, J = 0:3
= 0, gS = 0, J = 0
= 0, gS = 0, J = 0:1
= 0, gS = 0, J = 0:2
= 0, gS = 0, J = 0:3
= 0:5, gS = 3, J = 0
= 0:5, gS = 3, J = 0:1
= 0:5, gS = 3, J = 0:2
= 0:5, gS = 3, J = 0:3
1. Methoden
QMC
0.62
2.15
3.60
4.88
0.62
0.65
0.73
0.85
0.60
2.08
3.52
4.83
exakt
0.63
2.15
3.60
4.88
0.63
0.66
0.74
0.86
0.61
2.09
3.52
4.83
HF
0.63
2.28
4.64
9.63
0.63
0.67
0.80
1.17
0.61
2.20
4.45
9.09
Tabelle 1.1: Vergleich der ferromagnetischen Suzeptibilitat des QMC{Algorithmus mit
der analytischen Auswertung (s. Abbschnitt 5.2) und der Hartree{Fock{Approximation fur
das ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell mit Ising{Spin ( = 8).
1.4 Maximum{Entropie{Methode
In der Quanten{Monte{Carlo{Simulation wird die Green{Funktion in Abhangigkeit
der imaginaren Zeiten bzw. der imaginaren Matsubara{Frequenzen berechnet. Von
physikalischem Interesse ist das Verhalten des Imaginarteils (Im) der Green{Funktion
bei reellen Frequenzen, da sich hieraus die Spektralfunktion
A(!) = 1 ImG(!)
(1.71)
berechnen lat. Diese Spektralfunktion (gefaltet mit der Fermi{Funktion) wird mit
dem experimentell gemessenen Photoemissions{Spektrum (! < ) bzw. dem inversen
Photoemissions{Spektrum (! > ) identiziert.
Um aus der Green{Funktion bei imaginaren Frequenzen i!n die Green{Funktion
bei reellen Frequenzen zu berechnen, ist eine analytische Fortsetzung notig. Ware
eine explizite analytische Form der Green{Funktion bekannt, so ware diese analytische Fortsetzung trivial. Es muten lediglich die reellen Frequenzen ! anstelle der
Matsubara{Frequenzen i!n eingesetzt werden. Ein Verfahren, das dies ausnutzt, besteht darin, die Green{Funktion durch eine Pade{Approximation auf eine analytische
Form zu bringen. Bei der Quanten{Monte{Carlo{Simulation ist dies aufgrund der
statistischen Fehler und der schlechten Konditionierung des Problems der analytischen Fortsetzung nicht die geeignete Methode. Als Standard{Verfahren zur analytischen Fortsetzung der Quanten{Monte{Carlo{Daten hat sich daher die Maximum{
1.4. Maximum{Entropie{Methode
27
Entropie{Methode durchgesetzt. Einen sehr schonen und ausfuhrlichen U berblick
uber die Anwendung der Maximum{Entropie{Methode zur analytischen Fortsetzung
von Quanten{Monte{Carlo{Daten ndet man bei Jarrell und Gubernatis (1996).
Ausgangspunkt ist die Spektral{Darstellung der Green{Funktion nach Fouriertransformation:
Z1 expf ( !)g
(1.72)
G( ) = d! 1 + expf ( !)g A(!):
1
Diese Gleichung zeigt bereits, warum das Problem der analytischen Fortsetzung
schlecht konditioniert ist. Der Kern obiger Faltung wird fur groe Frequenzen !
extrem klein, so da sich A nderungen in A(!) kaum auf die Green{Funktion auswirken. Umgekehrt bedeutet dies, da kleinste A nderungen und statistische Fehler in
G( ) oder auch ein unzureichender {Grid die Spektralfunktion A(!) bei groen
Frequenzen stark beeinut. Fur kleine Frequenzen ist dies nicht der Fall, hier lat
sich A(!) sehr genau bestimmen.
Um dieses Problem behandeln zu konnen, wird die Maximum{Entropie{Methode
verwendet. Dabei wird A(!) > 0 als Wahrscheinlichkeitsdichte in einem Intervall
[ !0 =2; !0=2] interpretiert. A priori, das heit ohne Berucksichtigung der gemessenen
G( ){Werte, wird die Entropie
S=
Z
!0 =2
!0 =2
d! A(!) ln A(!) !0
(1.73)
bzw. die Wahrscheinlichkeit P (A) / exp(TS ) mit Parameter T maximiert. Damit
sind alle Frequenzen ! gleich wahrscheinlich: A(!) = 1=!0. Neben dieser a priori
Modellierung mu A(!) im Rahmen des Fehlers naturlich das simulierte G( ) beschreiben. Die bedingte Wahrscheinlichkeit hierfur ist mit Gaussschem Fehler in G
P (GjA) = e 21 2 ;
(1.74)
wobei 2 die quadratische Abweichung von dem aus A(!) berechneten G( ) und
dem gemessenen G( ) ist. Nach dem Satz von Bayes ergibt sich aus a priori und bedingter Wahrscheinlichkeit die a posteriori Wahrscheinlichkeit, da A(!) die korrekte
Spektralfunktion ist, wenn G( ) gemessen wurde:
(1.75)
P (AjG) / P (GjA)P (A) / eTS 21 :
Dies kann als Verteilung nach einer Gibbsschen Freien Energie interpretiert werden.
Bei der Maximum{Entropie{Methode wird nun das Prinzip des maximalen a posteriori Schatzers aus der Bayes{Statistik angewandt, d. h. es wird die Spektralfunktion
gesucht, die die Wahrscheinlichkeit P (AjG) maximiert.
In dieser Arbeit wird das Maximum{Entropie{Programm von Sandvik verwendet.
29
Kapitel 2
Mikroskopische Ursachen des
Ferromagnetismus
2.1 Einfuhrung
Die U bergangsmetalle Eisen, Kobalt und Nickel zeigen metallischen Ferromagnetismus unterhalb der Curie{Temperatur Tc 103K bzw. 0:1eV (kB 1). Wegen dieser
Energieskala kommen nur die kinetische Energie und die Coulomb{Wechselwirkung
als mikroskopische Ursache fur den Ferromagnetismus in Frage. Insbesondere ist die
magnetische Dipol{Wechselwirkung zwischen den Elektronen{Spins um zwei Groenordnungen zu klein. Ein weiterer wichtiger Bestandteil einer mikroskopischen Theorie
ist die quantenmechanische Natur und das Pauli{Prinzip, denn nach dem Bohr{van{
Leeuwen{Theorem (s. Mattis (1981)) kann es in einem klassischen System keinen
Ferromagnetismus geben. Wie konnen nun die spin{unabhangige Coulomb{Wechselwirkung und die kinetische Energie zu einer ferromagnetischen Ausrichtung der Elektronen{Spins fuhren? Verschiedene mikroskopische Mechanismen, die gerade dies leisten, werden in den folgenden Abschnitten dieser Einfuhrung vorgestellt.
Hubbard{Modell mit asymmetrischer Zustandsdichte
Bei der Erforschung der Frage nach den mikroskopischen Ursachen des metallischen
Ferromagnetismus hat es in den letzten Jahren erhebliche Fortschritte gegeben: Es
wurde gezeigt, da das Einband{Hubbard{Modell unter bestimmten Voraussetzungen an die kinetische Energie, insbesondere eine asymmetrische Zustandsdichte mit
hohem spektralen Gewicht in der Nahe der Bandkanten, Ferromagnetismus zeigt.
Bereits die Vater des Hubbard{Modells, Gutzwiller (1963), Hubbard (1963) und Kanamori (1963), fuhrten dieses Modell ein, um Ferromagnetismus in U bergangsmetallen zu beschreiben. Bis vor kurzem war jedoch lediglich gesichert, da nach dem
30
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
Theorem von Nagaoka (1965; 1966) das Hubbard{Modell bei unendlicher Coulomb{
Wechselwirkung (U = 1) und ein bis auf ein Loch halbgefullten Band einen ferromagnetischen Grundzustand hat. Ein unbefriedigender Aspekt dieses Theorems ist
die Tatsache, da es sich nicht auf eine endliche Lochdichte im thermodynamischen
Limes anwenden lat. Das erneute Interesse an der Frage, ob im Einband{Hubbard{
Modell,1
X
X
H^ Hubbard = tij c^yi c^j + U
n^i" n^ i#;
(2.1)
hij i
i
Ferromagnetismus stabilisiert wird, wurde von Lieb (1989) initiiert. Lieb zeigte, da
Ferrimagnetismus vorliegt, wenn der Transfer (Hupfproze) tij zwischen zwei Untergittern mit unterschiedlicher Anzahl von Gitterplatzen erfolgt. Durch die Beschrankung auf eine stark idealisierte Zustandsdichte mit einem achen, entarteten Band konnten Mielke (1991; 1992; 1993), Tasaki (1992) und beide Autoren zusammen (1993) (s. a. den U bersichtsartikel von Tasaki (1998)) Ferromagnetismus
im Hubbard{Modell mit exakten Methoden nachweisen. Bei der untersuchten Zustandsdichte mit Delta{Peak sind ferromagnetische und paramagnetische Phasen bei
U = 0 entartet. Eine beliebig kleine Coulomb{Wechselwirkung U erhoht die Energie
der paramagnetischen Phase. Der Grundzustand ist ferromagnetisch. Einen anderen Weg zum Ferromagnetismus zeigte Muller-Hartmann (1995) auf. Er untersuchte
ein t{t0 {Hubbard{Modell in einer Dimension und fand fur U = 1 im Limes einer verschwindenden Elektronendichte (n ! 0) Ferromagnetismus. Dieses Szenario
wurde von Pieri, Daul, Baeriswyl, Dzierzawa und Fazekas (1996) in zwei und drei
Dimensionen untersucht. Ein Hubbard{Modell mit unterschiedlichen lokalen Potentialen auf zwei Untergittern untersuchten Penc, Shiba, Mila und Tsukagoshi (1996).
Bei viertel Fullung, groer Coulomb{Wechselwirkung und groem lokalen Potential
sind die Gitterplatze des einen Untergitters genau einfach besetzt. In diesem Fall
ist eine Storungstheorie bei starker Kopplung moglich. Es liegt Ferromagnetismus
vor. Wertvolle Hinweise auf Bedingungen an das Gitter bzw. die Zustandsdichte fur
den Ferromagnetismus geben auch variationelle Untersuchungen der Stabilitat des
vollstandig polarisierten Ferromagneten (s. Hanisch, Uhrig und Muller-Hartmann
(1997) und Referenzen darin). Insbesondere konnte die Instabilitat des vollstandig
polarisierten Ferromagneten gegenuber einem einzelnen Spinip{Proze in der Dynamischen Molekularfeld{Theorie (DMFT) exakt behandelt werden (Uhrig, 1996).
Neben diesen Arbeiten leisteten numerische Untersuchungen einen sehr wichtigen
Beitrag. Diese mussen sich nicht auf Spezialfalle beschranken und erlauben eine detaillierte Untersuchung des Einues der Zustandsdichte. In einer (Daul und NoIn der zweiten Quantisierung (s. z. B. Negele und Orland (1987)) sind c^j und c^yj Vernichtungs{
und Erzeugungsoperatoren fur ein Elektron am Gitterplatz j (i) mit Spin ; n^ i = c^yi c^i . Die Summe
hij i zahlt Paare nachster Nachbarn zweimal (als i j und j i).
1
2.1. Einfuhrung
31
ack, 1998), zwei (Hlubina, Sorella und Guinea, 1997) und unendlichen Dimensionen
bzw. der DMFT (Ulmke, 1998) wurde Ferromagnetismus abseits halber Fullung bei
einer asymmetrischen Zustandsdichte, wie sie z. B. in \Tight{Binding"{Bandern mit
Nachst{ und U bernachst{Nachbar{Hupfen auftritt, gefunden. Neben der Asymmetrie ist ein hohes spektrales Gewicht in der Nahe der Bandkanten wichtig (Wahle
et al., 1998). Fur extrem groe Coulomb{Wechselwirkungen (U groer als die siebenfache eektive Bandbreite) wurde von Obermeier, Pruschke und Keller (1997) mit
der \Non{Crossing"{Approximation (NCA) in der DMFT auch fur eine symmetrische Zustandsdichte abseits halber Fullung Ferromagnetismus gefunden.
Gemeinsam zeigen diese Arbeiten, da das Hubbard{Modell das minimale Modell
fur den Ferromagnetismus ist. Die Schwierigkeit, da Ferromagnetismus ein Stark{
Kopplungs{Problem ist und in einer einfachen Storungstheorie2 nicht zuganglich ist,
konnte durch moderne Methoden der Vielteilchen{Theorie uberwunden werden.
Nachst{Nachbar{Austausch
Fur reale Ferromagnete kann erwartet werden, da weitere Mechanismen, die uber das
Einband{Hubbard{Modell hinausgehen, wichtig sind und fur den Ferromagnetismus
in Eisen, Kobalt und Nickel ebenfalls als mikroskopische Ursachen in Frage kommen.
Vor allem sind dies die Austausch{Integrale der Coulomb{Wechselwirkung V (r
r0). So zog Heisenberg (1928) den Austausch zwischen Elektronen
auf benachbarten
0
Gitterplatzen i und j (i: Wannier{Wellenfunktionen; r, r Ortskoordinaten)
F=
Z
d3 r
Z
d3 r0 i (r)j (r0) V (r
r0) i(r0)j (r)
(2.2)
zur mikroskopischen Erklarung des Ferromagnetismus heran und lieferte den ersten
mikroskopischen Erklarungsansatz fur den Ferromagnetismus. In zweiter Quantisierung fuhrt das Austausch{Integral (2.2) zwischen nachsten Nachbarn hij i auf den
Term
X y y
H^ F = F
(2.3)
c^i c^j0 c^i0 c^j :
P
hij i0
Mit s^i = 0 cyi 0 ci0 ( : Vektor der Pauli{Matrizen) lat sich Glg. (2.3) auch
schreiben als
X
(2.4)
H^ F = 2F
s^is^j + 14 n^in^j :
hij i
Storungstheorie bei starker Kopplung ist fur das Hubbard{Modell bei halber Fullung moglich,
liefert jedoch einen antiferromagnetischen Austausch J = 4t2 =U .
2
32
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
Diese ferromagnetische Kopplung zwischen benachbarten Spins fuhrt auf naturliche
Weise zum Ferromagnetismus. Allerdings ist der Austausch zwischen nachsten Nachbarn sehr klein.3 Summiert uber Z nachste Nachbarn ist FZ von der Groenordnung
0:1eV. Prinzipiell ist dies gerade genug, um die Curie{Temperaturen der U bergangsmetalle im Bereich von 1000K ( 0:1eV) zu erklaren. In der Literatur vertreten
Campbell, Gammel und Loh Jr. (1988; 1990) die Meinung, da dieser Term wegen seiner geringen Groe nicht die Hauptursache des Ferromagnetismus ist, wahrend Hirsch
(1989a; 1989b; 1997; 1999), Tang und Hirsch (1990) sowie Amadon und Hirsch (1996)
diesen Term fur den Ferromagnetismus verantwortlich machen. Da F wesentlich kleiner als die elektronische Bandbreite der U bergangsmetalle ist, kann F allein nicht
zu einem groeren magnetischen Moment fuhren. Es mussen vorgeformte magnetische Momente existieren, die durch F lediglich ausgerichtet werden. Da die Bildung
magnetischer Momente durch den U {Term des Hubbard{Modells bewirkt wird, lautet das minimale mikroskopische Modell zur Erklarung des Ferromagnetismus durch
Nachst{Nachbar{Austausch
X
H^ = H^ Hubbard 2F s^is^j :
(2.5)
hij i
Lokaler Austausch: Hundsche Kopplung
Einen anderen, wesentlich groeren Austausch{Term schlugen Slater (1936) und van
Vleck (1953) als mikroskopische Ursache fur den Ferromagnetismus vor: den lokalen
Austausch zwischen Elektronen auf dem gleichen Gitterplatz aber in verschiedenen
Orbitalen. Dieser Term ist von der Groenordnung 1eV in U bergangsmetallen und
fuhrt im Atom gema der 1. Hundschen Regel zur Bildung eines magnetischen Moments. Die Idee ist, da das Hupfen der Elektronen oder Locher dieses lokale magnetische Moment auf ein globales magnetisches Moment, d. h. eine langreichweitige
ferromagnetische Ordnung im Festkorper, ubertragt. Konkrete Rechnungen begannen
mit Roth (1966), die ein Zweiband{Hubbard{Modell ( : Bandindex) mit Hundscher
Kopplung F0 und Coulomb{Abstoung zwischen den Orbitalen V0 betrachtete:
H^ =
t
X
hij i
+V0
c^yi c^j + U
X
i;< 0 ;0
X
i
n^i" n^i#
n^ i n^i00 + F0
X
i;< 0 ;0
c^yi c^yi00 c^i0 c^i0 :
(2.6)
Abb. 2.1 veranschaulicht die lokalen Wechselwirkungsterme. Roth (1966) untersuchte
dieses Modell in der Hartree{Fock{Approximation und beobachtete eine Instabilitat
Nach Rechnungen von Slater (1936) und Abschatzungen von Hubbard (1963) ist F zwei Groenordnungen kleiner als U .
3
2.1. Einfuhrung
33
U
ν=1
V0 - F0
V0
ν=2
Abbildung 2.1: Schema der lokalen Coulomb{Kopplungen im Zweiband{Hubbard{
Modell. U beschreibt die lokale Coulomb{Abstoung zwischen zwei Elektronen im gleichen
Orbital, V0 die zwischen Elektronen in verschiedenen Orbitalen und F0 den Energiegewinn
bei der Bildung eines lokalen magnetischen Moments.
des Ferromagneten gegenuber einer zusatzlichen orbitalen Ordnung fur V0 U=2
F0 =2 > 0 bei T = 0 und viertel Fullung.
Der Ferromagnet mit einer zusatzlichen orbitalen Ordnung kann in diesem Modell
bei starker Kopplung storungstheoretisch verstanden werden. Betrachtet man fur
U > V0 > F0 t zwei Elektronen auf zwei Gitterplatzen in zwei Bandern, so
ndet man, da der Grundzustand eine ferromagnetische Spinausrichtung und eine
alternierende Besetzung der Orbitale hat, s. Abb. 2.2.
Die Erweiterung dieser Storungstheorie auf das Gitter fuhrt bei viertel Fullung
nach Kugel' und Khomski (1973) sowie Cyrot und Lyon-Caen (1975) zu einem eektiven (Kugel'{Khomski{)Hamilton{Operator mit Spin{ und Orbital{Freiheitsgraden.
Entkoppelt man die Spin{ und Orbital{Freiheitsgrade in einer selbstkonsistenten
Feld{Naherung (Kugel' und Khomski, 1973) oder behandelt man den eektiven
Hamilton{Operator in der Weissschen Molekularfeld{Naherung, d. h. vernachlassigt man die Korrelationen zwischen verschiedenen Gitterplatzen (Cyrot und LyonCaen, 1975), so ndet man einen isolierenden Grundzustand mit ferromagnetischer
und orbitaler Ordnung. Im Gegensatz zur Hartree-Fock{Theorie, d. h. der Storungstheorie bei schwacher Kopplung, sagen die Stark{Kopplungs{Ansatze voraus, da
zuerst die orbitale Ordnung und dann bei tieferen Temperaturen auch Ferromagnetismus stabilisiert wird. Die exakte Diagonalisierung kleiner eindimensionaler Systeme
bestatigt einen ferromagnetischen Grundzustand bei viertel Bandfullung (Gill und
34
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
=1
=2
"
E =
0
"
"
#
2t2 =U
"
#
2t2 =V0
"
"
2t2 =(V0 F0)
Abbildung 2.2: Energiegewinn in Storungstheorie zweiter Ordnung in t fur vier Kongu-
rationen mit zwei Elektronen auf zwei Gitterplatzen. Angegeben sind die Energien Ising{
artiger orbitaler und Spin{Kongurationen cyi=1 cyi=2 0 0 j0i. Der Grundzustand bei starker
Kopplung auf zwei Gitterplatzen ist 21 cy11" cy22" cy12" cy21" j0i. Seine Energie ist 4t2 =(V0 F0 )
(Die Rotationen dieses Zustandes im Spin{Raum haben die gleiche Energie und sind ebenfalls Grundzustande).
Scalapino, 1987; Kuei und Scalettar, 1997; Hirsch, 1997).
Abseits viertel und halber Fullung kann zwar eine kanonische Transformation
auf einen eektiven Hamilton{Operator ohne Doppelbesetzungen durchgefuhrt werden (Chao, Spalek und Oles, 1977), diese Transformation fuhrt jedoch auf einen
komplizierten Hamilton{Operator, der nur bei viertel und halber Fullung untersucht
wurde. Es ist die hohe Entartung im atomaren Limes, die eine einfache Storungstheorie in t verhindert. Die Physik des Zweiband{Modells abseits viertel und halber
Fullung ist deshalb bislang wesentlich schlechter verstanden. Exakt bekannt ist nach
einem Theorem von Muller-Hartmann (1995), da in einer Dimension bei U = 1
der Grundzustand fur 0 < n < 2 ferromagnetisch ist. Fruhere Versionen dieses
Theorems mit einem kleineren Gultigkeitsbereich stammen von Kubo (1982) und
Lacroix-Lyon-Caen und Cyrot (1976). Die Ergebnisse der exakten Diagonalisierung
(Hirsch, 1997) in einer Dimension (sechs Gitterplatze) unterhalb von viertel Fullung
(n < 1) hangen stark von den Randbedingungen ab. Bei oenen, nicht aber bei periodischen Randbedingungen, wird Ferromagnetismus gefunden. Mumoi und Kubo
(1998) haben in der DMFT mit Hilfe der Lanczos{Methode einen ferromagnetischen
Grundzustand bei n = 1:2 sowie eine ferromagnetische und orbitale Ordnung bei
n = 1 gefunden. In einer Reihe weiterer Untersuchungen mit approximativen Methoden wurde ebenfalls Ferromagnetismus abseits von viertel Fullung gefunden: in
der Hartree{Fock{Theorie (Cyrot und Lyon-Caen, 1975; Oles, 1983), in einer verallgemeinerten Hartree{Fock{Theorie (Fleck, Oles und Hedin, 1997), mit komplexeren
Wellenfunktionen (Okabe, 1997), mit dem lokalen Ansatz (Stollho und Thalmeier, 1981; Oles, 1981; Oles und Stollho, 1984) und in der Gutzwiller{Approximation
2.1. Einfuhrung
35
(Bunemann und Weber, 1997; Bunemann, Gebhard und Weber, 1997; Bunemann,
Weber und Gebhard, 1998).
Doppelaustausch
Einen weiteren Mechanismus, basierend auf einem lokalen Austausch, schlug Zener
(1951a) vor. In diesem Szenario fuhrt nicht der Austausch innerhalb der d{Orbitale,
sondern der Austausch zwischen lokalisierten d{Spins mit itineranten s{Elektronen
zur ferromagnetischen Ausrichtung der d{ und s{Elektronen. Der itinerante Charakter der s{Elektronen fuhrt bei diesem Mechanismus zur langreichweitigen ferromagnetischen Ordnung. Wegen der groen Ausdehnung der s{Orbitale ist dieser
lokale Austausch jedoch klein. Experimentell zeigt die Magnetisierung der U bergangsmetalle auch keinen Beitrag der s{Elektronen zum magnetischen Moment. Daher wird dieses Szenario fur die U bergangsmetalle nicht mehr diskutiert. Fur Manganate mit Perowskit{Struktur ist aber das gleiche Szenario relevant, wobei die
t2g {Elektronen den lokalisierten Spin bilden, und die eg {Elektronen die Leitungselektronen sind. Dieses wurde als Doppel{Austausch von Zener (1951b) eingefuhrt.
Der Doppel{Austausch wird im Zusammenhang mit den Manganaten in Kapitel 5
ausfuhrlich erortert.
Weitere Nachst{Nachbar{Terme
In einem Einband{Modell gibt es neben dem Austausch{Integral, Glg. 2.2, auch noch
weitere Coulomb{Integrale zwischen benachbarten Gitterplatzen, s. z. B. Vollhardt,
Blumer, Held, Kollar, Schlipf und Ulmke (1997). Das grote Integral fuhrt auf einen
Dichte{Dichte{Term
X
(2.7)
n^i n^j0 ;
H^ V = V
hij i0
der fur den Ferromagnetismus aber keine wesentliche Rolle spielt, s. Wahle et al.
(1998) und Referenzen darin. Ein weiterer Term, das dichteabhangige Hupfen (\bond{
charge site{charge interaction"),
X
H^ X = X
n^i + n^j c^yi c^j ;
(2.8)
hij i
kann jedoch fur den Ferromagnetismus von Bedeutung sein. Dieser X {Term reduziert
die Bandbreite (beschrieben durch t) und damit den antiferromagnetischen Superaustausch des Hubbard{Modells. Dadurch wird die Groe des benotigten Nachst{
Nachbar{Austausches F fur einen ferromagnetischen Gesamt{Austausch
2
Fges. = 4(t U X ) 2F < 0
(2.9)
36
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
im halbgefullten Hubbard{Modell mit Nachst{Nachbar{Wechselwirkung wesentlich
verringert. Strack und Vollhardt (1994; 1995) sowie de Boer und Schadschneider
(1995) konnten exakte, hinreichende Kriterien fur einen ferromagnetischen Grundzustand im halbgefullten Einband{Hubbard{Modell mit X {, F { und weiteren Termen herleiten. Kollar (1998) konnte daruber hinaus hinreichende Kriterien bei halber
Fullung mit einem zusatzlichen Loch und orbitaler Entartung bestimmen. Er untersuchte den X {Term auch mit der Gutzwiller{Wellenfunktion und fand (auch ohne
U {Term) Ferromagnetismus.
U berblick
In Abschnitt 2.2 wird die Hundsche Kopplung bei einer orbitalen Entartung in der
DMFT als mikroskopischer Mechanismus fur den Ferromagnetismus analysiert. Es
werden folgende Fragen beantwortet: \Wie stabil ist der Ferromagnetismus abseits
der gut untersuchten viertel Fullung?" und \Tritt bei viertel Fullung wie in der
Hartree{Fock{Approximation bei hoheren Temperaturen zunachst Ferromagnetismus
oder wie in der Weissschen Molekularfeld{Theorie der eektiven Kugel'{Khomski{
Modelle zunachst orbitale Ordnung auf?". In Abschnitt 2.3 werden drei mikroskopische Mechanismen fur den Ferromagnetismus verglichen: das Hubbard{Modell mit
einer asymmetrischen Zustandsdichte, Glg. (2.1), der Nachst{Nachbar{Austausch,
Glg. (2.5), und die Hundsche Kopplung bei orbitaler Entartung, Glg. (2.6). Erganzend
folgen in Abschnitt 2.4 einfache Hartree-Fock{Betrachtungen zum dichteabhangigen
Hupfen zwischen Nachsten{Nachbarn, Glg. (2.8). Abschnitt 2.5 fat die Ergebnisse zusammen. Der Doppelaustausch wird in Kapitel 5 im Zusammenhang mit den
Manganaten untersucht.
2.2 Hundsche Kopplung und orbitale Entartung
Im folgenden wird die Hundsche Kopplung als mikroskopischer Mechanismus fur den
Ferromagnetismus in der DMFT mit dem Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus aus
Kapitel 1.2 studiert. Dies geschieht anhand des Hamilton{Operators (2.6) mit einer
Beschrankung auf eine Ising{artige Hundsche Kopplung, d. h. der F0{Term reduziert
sich auf
H^ F = F0
X
i < 0 n^i n^i0 :
(2.10)
Diese Beschrankung auf einen nicht SU(2){invarianten Term ist in der Literatur
durchaus gebrauchlich und implizit beispielsweise in der Hartree{Fock{Approximation und der Weissschen Molekularfeld{Theorie enthalten. Bei schwacher und starker Kopplung, wo sich die DMFT auf diese beiden Theorien reduziert, hat diese
2.2. Hundsche Kopplung und orbitale Entartung
37
0.16
0.12
PM
T
0.08
FM
0.04
0
0
1
2
F0
3
4
5
Abbildung 2.3: T {F0 Phasendiagramm des Zweiband{Hubbard{Modells mit Hundscher
Kopplung F0 bei U = 9, V0 = 5 und n = 1:25 (FM: Ferromagnetimus; PM: Paramagnetismus). Das kritische F0 fur den Ferromagnetismus bei Temperatur T = 0 wurde durch Interpolation zwischen der Curie{Temperatur bei F0 = 2 und der negativen Curie{Temperatur
bei F0 = 1 bestimmt. Fur F0 > V0 wurde eine unphysikalische Anziehung zwischen Elektronen in verschiedenen Orbitalen mit gleichem Spin entstehen.
Beschrankung also keinen Einu auf die kritische Temperatur. Deshalb kann man
auch fur mittlere Kopplungsstarken erwarten, da die kritischen Temperaturen, die in
diesem Abschnitt berechnet werden, nicht wesentlich durch die Approximation einer
Ising{artigen Hundschen Kopplung beeinut werden.
Um den Mechanismus der Hundschen Kopplung bei orbitaler Entartung klar von
dem der asymmetrischen Zustandsdichte im Hubbard{Modell zu trennen, wird im folgenden das Bethe{Gitter
mit einer halb{elliptischen, symmetrischen Zustandsdichte
p
N 0 () = 2t1 2 (2t)2 2 verwendet; t 1 legt die Energieskala fest. In der Tat
zeigt das Zweiband{Modell ohne Hundsche{Kopplung keinen Ferromagnetismus bei
U = 9, V0 = 5 und einer mittleren Elektronendichte pro Gitterplatz von n = 1:25
(s. Abb. 2.3).4 Eine kleine Hundsche Kopplung von F0 = 1:61 0:15 ist allerdings ausDie U bergangstemperaturen werden durch Untersuchung der Instabilitat der paramagnetischen
Phase gegenuber langreichweitiger Ordnung bestimmt. Bei dieser Instabilitat divergiert die entsprechende Suszeptibilitat.
4
38
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
reichend, um Ferromagnetismus zu stabilisieren. Dieser Wert ist erheblich kleiner als
der von Kuei und Scalettar (1997): Die eindimensionale Kette mit sechs Gitterplatzen
bei n = 1 und U = V0 + F0 zeigt unterhalb von F0 8 keinen Ferromagnetismus.5
Das in dieser Arbeit berechnete F0 stimmt mit den Ergebnissen von Hirsch (1997)
uberein: In einer Dimension bei n = 1(1:5) auf sechs (vier) Gitterplatzen und fur
U = V0 + 2F0 ndet man keinen Ferromagnetismus unterhalb von F0 1:5(2).6 Das
berechnete F0 ist auch konsistent mit den Resultaten von Mumoi und Kubo (1998),
die bei einer Fullung n = 1:2 in der DMFT Ferromagnetismus fur F0 = 1:4 nden.
Abb. 2.4 zeigt das magnetische T {n{Phasendiagramm fur U = 9, V0 = 5 und
eine relativ groe Hundsche Kopplung F0 = 4. Ferromagnetismus tritt in einem
groen Dichtebereich auf. Die viertel Fullung (n = 1), bei der die Storungstheorie in
t moglich ist und Ferromagnetismus zeigt, ist keinesfalls ausgezeichnet. Insbesondere liegt das Maximum der Curie{Temperatur oberhalb von viertel Fullung. Typische
Curie{Temperaturen sind 0:1eV bei einer Bandbreite von 4eV (t = 1eV). Dies entspricht etwa 1000K und ist von der Groenordnung der Curie{Temperatur der U bergangsmetalle. In der Nahe halber Fullung unterdruckt der antiferromagnetische Superaustausch die ferromagnetische Ordnung. Ein Neel{Antiferromagnet mit einer AB{
Untergitter{Struktur wird stabilisiert. Die Quanten{Monte{Carlo{Simulation deutet darauf hin, da sich die Kurven der Curie{ und Neel{Temperatur bei endlichen Temperaturen und n 1:85 treen. Fur n = 1:85 zeigt die paramagnetische
Phase auch eine Instabilitat gegenuber Ferromagnetismus. Die extrapolierte Curie{
Temperatur liegt jedoch etwas tiefer als die Neel{Temperatur. Bevor der Ferromagnetismus auftritt, wird das System antiferromagnetisch. In der antiferromagnetischen Phase wird die ferromagnetische Suszeptibilitat dann modiziert und divergiert nicht mehr. Da Ferromagnetismus und Antiferromagnetismus konkurrierende,
sich ausschlieende Phasen sind, kann man erwarten, da bei tieferen Temperaturen
ein Phasenubergang erster Ordnung zwischen diesen Phasen auftritt. Auerdem ist
mit einer Phasenseparation zwischen Ferromagnetismus und Antiferromagnetismus,
wie sie im Kondo{Gitter{Modell auftritt (Dagotto, Yunoki und Moreo, 1998), zu
rechnen, da Ferromagnetismus bei n 1:3 und Antiferromagnetismus bei n = 2 am
stabilsten ist.
Abb. 2.5 zeigt zum Vergleich das Hartree{Fock{Phasendiagramm. Fur das Bethe{
Gitter mit einer unendlichen Anzahl nachster Nachbarn ist die DMFT exakt. Die
Unterschiede zu Abb. 2.4 beruhen also auf Unzulanglichkeiten der Hartree{Fock{
Naherung, die als selbstkonsistente Storungstheorie erster Ordnung in U bei groeren Coulomb{Wechselwirkungen nur beschrankt aussagekraftig ist. Qualitativ falsch
In auf die eektive Bandbreite reskalierten Einheiten.
Die Beziehungen zwischen U , V0 und F0 entsprechen einer Invarianz des Hamilton{Operators
gegenuber orbitalen Drehungen: Glg. (2.6) ist invariant bei U = V0 + F0 ; fur U = V0 + 2F0 ist dies
ein erweiterter Hamilton{Operator, der ein orbitales Paar{Hupfen berucksichtigt, dessen Coulomb{
Integral gleich F0 ist.
5
6
2.2. Hundsche Kopplung und orbitale Entartung
39
0.25
0.2
PM
AFM
0.15
T
0.1
FM
0.05
0
0
0.5
1
n
1.5
2
Abbildung 2.4: T {n{Phasendiagramm fur U = 9, V0 = 5 und F0 = 4 (PM: Paramagnet;
FM: Ferromagnet; AFM: Antiferromagnet). Wegen der Teilchen{Loch{Symmetrie ist das
Phasendiagramm symmetrisch um halbe Fullung (n = 2).
3.5
3
2.5
PM
AFM
2
T
1.5
1
FM
0.5
0
0
0.5
1
n
1.5
2
Abbildung 2.5: T {n{Phasendiagramm fur U = 9, V0 = 5 und F0 = 4 in der Hartree{Fock{
Approximation. Die gepunktete Linie beschreibt einen Phasenubergang erster Ordnung, die
beiden anderen einen zweiter Ordnung.
40
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
beschreibt die Hartree{Fock{Naherung den U bergangsbereich vom Ferro{ zum Antiferromagnetismus: Es gibt keinen antiferromagnetischen Superaustausch, der den Ferromagnetismus in der Nahe halber Fullung unterdruckt; der Antiferromagnetismus
ist in diesem Bereich lediglich energetisch gunstiger. Quantitativ um eine Groenordnung zu gro sind die U bergangstemperaturen. In der Hartree{Fock{Naherung gibt
es einen Phasenubergang erster Ordnung zwischen Ferromagnetismus und Antiferromagnetismus, wie oben diskutiert.
Orbitale Ordnung
Bei viertel Fullung sagt die Weisssche Molekularfeld{Theorie fur das eektive Kugel'{
Khomski{Modell mit sinkender Temperatur eine Instabilitat des Paramagneten gegenuber einer schachbrettartig alternierenden orbitaler Ordnung voraus, wahrend die
Hartree{Fock{Theorie eine Instabilitat gegenuber Ferromagnetismus zeigt. Bei T = 0
und | im Fall der Hartree{Fock{Theorie | hinreichend kleinem F0 ndet man mit
beiden Ansatzen eine gemischte ferromagnetische und orbitale Ordnung. Die DMFT
beinhaltet diese beiden Storungstheorien bei schwacher bzw. starker Kopplung U
und ist daher geeignet, den Widerspruch ferromagnetische gegen orbitale Instabilitat
des Paramagneten aufzuklaren. Da man auch | wie im Grundzustand | eine gemischte ferromagnetische und orbitale Ordnung erwarten kann, wird die Instabilitat
gegenuber einer allgemeinen gemischten Ordnung untersucht. Dabei beschreibt ein
Parameter 2 [0; 1] den Anteil der orbitalen Ordnung in einem Feld h, das an die
ferromagnetische Spin{ und alternierende orbitale Dichte ankoppelt:
X
H^ = h n^ i f(1 ) + g
i
(2.11)
mit = ( 1)i = 1 auf dem A{ bzw. B{Untergitter. Eine Instabilitat gegenuber
dieser gemischten Ordnung wird in Form einer Divergenz in der korrespondierenden
Suszeptibilitat, d. h. der zweiten Ableitung des Grokanonischen Potentials nach
dem Feld h,
2
= L1 @@h
2
(2.12)
beobachtet; L bezeichnet die Anzahl der Gitterplatze.
In Abb. 2.6 ist die kritische Temperatur Tc fur diese Instabilitat ([(Tc; )] 1 = 0)
fur U = 9, V0 = 5, F0 = 4 und n = 1 als Funktion von aufgetragen. Das Maximum
von Tc() liefert den physikalisch relevanten Wert von , bei dem der Paramagnet
instabil gegenuber langreichweitiger Ordnung wird. In Abb. 2.6 hat Tc ein Maximum bei = 0, was einer reinen ferromagnetischen Ordnung entspricht. Es ndet
ein U bergang von der paramagnetischen in die ferromagnetische Phase bei Tc = 0:13
2.2. Hundsche Kopplung und orbitale Entartung
41
0.16
0.14
0.12
0.1
Tc
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
0.2
0.4
δ
0.6
0.8
1
Abbildung 2.6: Kritische Temperatur der Instabilitat gegenuber gemischter ferromagne-
tischer (FM) und orbitaler Ordnung (OO) fur U = 9, V0 = 5, F0 = 4 und n = 1 (=0: FM;
= 1: OO). Der Fehler ist von der Groe der Symbole.
0.16
0.14
0.12
0.1
Tc
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
0.2
0.4
δ
0.6
0.8
1
Abbildung 2.7: Wie in Abb. 2.6, aber fur U = 8, V0 = 6, F0 = 2 und n = 1.
42
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
statt. Dies entspricht qualitativ dem Ergebnis der Hartree{Fock{Approximation, die
fur dieses groe F0 auch bei T = 0 keine zusatzliche orbitale Ordnung voraussagt, da
V0 U=2 F0 =2 < 0 ist. Da hier nur in der paramagnetischen Phase gerechnet wurde,
kann keine Aussage uber eine gemischte ferromagnetische und orbitale Ordnung bei
tieferen Temperaturen getroen werden. Die ferromagnetische Instabilitat der ungeordneten Phase widerspricht der Weissschen Molekularfeld{Theorie, die eine orbitale
Instabilitat voraussagt. Diese Theorie, d. h. die storungstheoretische Entwicklung in
Potenzen von t, wird kontrolliert durch die Groe des Parameters t =(V0 F0 ). Bei
den verwendeten Parametern ist t=(V0 F0 ) = 1, also nicht klein. Daher ist es nicht
verwunderlich, da die Stark{Kopplungs{Theorie nicht die richtige langreichweitige
Ordnung voraussagt.
Aufgrund dieser U berlegungen kann jedoch erwartet werden, da mit einem kleineren F0 das Szenario der Weissschen Molekularfeld{Theorie angenommen wird. In der
Tat ndet man in Abb. 2.7 fur F0 = 2 (U = 8, V0 = 6 und n = 1) eine Instabilitat gegenuber einer reinen (alternierenden) orbitalen Ordnung (Tc ist maximal fur = 1).
Das T {n{Phasendiagramm (Abb. 2.8) fur diese Coulomb{Wechselwirkungen setzt
sich aus orbitaler Ordnung in der Nahe von viertel Fullung, antiferromagnetischer
Ordnung im Bereich halber Fullung und Ferromagnetismus zwischen diesen Phasen
zusammen. Die ferromagnetische Phase ist bei dieser kleineren aber auch realistischeren Hundschen Kopplung bereits erheblich reduziert. Das Phasendiagramm Abb. 2.8
wurde von Zol, Pruschke und Keller (1999) bestatigt, wobei anstelle der QMC{
Simulation die \Non{Crossing"{Approximation zur Losung der DMFT{Gleichungen
verwendet wurde. In der \Non{Crossing"{Approximation konnte Zol et al. (1999)
zeigen, da die Spinip{Beitrage der Hundschen Kopplung einen nur sehr kleinen
Einu auf die kritische Temperatur der Phasenubergange haben. Diese Beitrage
wurden in den QMC{Simulationen nicht berucksichtigt.
Der U bergang vom Ferromagnetismus zur orbitalen Ordnung bei n 1:2 fuhrt
erneut auf die Frage nach einer gemischten Ordnung. Wie in Abb. 2.6 und 2.7 fur
n = 1 ndet man auch fur n = 1:2 in Abb. 2.9 keine gemischte Ordnung. Direkt
am U bergang von ferromagnetischer zu orbitaler Ordnung ist die Instabilitat sowohl
gegenuber einer reinen ferromagnetischen Ordnung ( = 0) als auch gegenuber einer
reinen orbitalen Ordnung ( = 1) groer als die gegenuber einer gemischten Ordnung
(0 < < 1). Dies zeigen die beiden Maxima bei = 0 und = 1 in Abb. 2.9. Daraus
kann man schlieen, da das Zweiband{Hubbard{Modell mit Hundscher Kopplung
entweder eine Instabilitat gegenuber reiner ferromagnetischer oder reiner orbitaler
Ordnung zeigt. Im Gegensatz zu Ferro{ und Antiferromagnetismus schlieen sich
orbitale Ordnung und Ferromagnetismus aber nicht aus und konnen sich sogar gegenseitig verstarken. Dies fuhrt zu einem gemischt{geordneten Grundzustand in der
Hartree{Fock{Approximation und der Weissschen Molekularfeld{Approximation bei
n = 1. Da letztere einen kontrollierten Ansatz darstellt, der fur groe Coulomb{
Wechselwirkung das richtige Ergebnis liefert, mu auch der DMFT{Grundzustand
2.2. Hundsche Kopplung und orbitale Entartung
43
0.35
0.3
AFM
0.25
0.2
T
0.15
OO
0.1
FM
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
n
Abbildung 2.8: T {n{Phasendiagramm fur U = 8, V0 = 6, F0 = 2 und n = 1. Zusatzlich zu
den Phasen aus Abb. 2.4 wird eine schachbrettartig{alternierende orbitale Ordnung (OO)
gefunden.
0.05
0.045
0.04
0.035
0.03
Tc
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
0.2
0.4
δ
0.6
0.8
1
Abbildung 2.9: Wie in Abb. 2.6, aber fur U = 8, V0 = 6, F0 = 2 und n = 1:2.
44
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
bei groen Coulomb{Wechselwirkungen und n = 1 ferromagnetisch und orbital geordnet sein.
Eine Besonderheit ergibt sich bei n = 0:9. Die orbitale Suszeptibilitat bei hoheren
Temperaturen, Abb. 2.10, verhalt sich Curie{Weiss{artig. Aus der Extrapolation bei
hoheren Temperaturen wurde man eine orbitale Ordnung bei T 0:04 erwarten. Bevor es jedoch zu dieser orbitalen Ordnung kommt, andert die inverse Suszeptibilitat
ihr Verhalten und steigt wieder an (die Suszeptibilitat fallt ab). Bei n = 0:9 gibt es
keine orbitale Ordnung. Wie kann man dieses Minimum in der inversen orbitalen Suszeptibilitat erklaren? In Abb. 2.10 ist zusatzlich die Spektralfunktion an drei charakteristischen Punkten abgebildet. In der Spektralfunktion entwickelt sich eine Kondo{
artige Resonanz. Da die Hundsche Kopplung der Bildung lokaler Spin{Singuletts
entgegenwirkt, kann man erwarten, da es sich nicht um einen Kondo{Eekt der
Spin{Freiheitsgrade handelt. Ein Kondo{Eekt in den orbitalen Freiheitsgraden ist
hingegen plausibel und wurde auch das Verhalten der inversen Suszeptibilitat erklaren: Die wachsende Resonanz an der Fermi{Kante geht in diesem Szenario mit
einer Abschirmung der orbitalen Momente einher. Diese Abschirmung fuhrt wiederum zu einer reduzierten orbitalen Suszeptibilitat.
Von mittlerer zu starker Kopplung
Mit wachsender Coulomb{Wechselwirkung und bei viertel Fullung beschreibt die
Weisssche Molekularfeld{Theorie des eektiven Kugel'{Khomski{Modells das Zweiband{Hubbard{Modells in der DMFT genauer. Das eektive Modell mit orbitalem
Freiheitsgrad (z = 12 fur das 1. bzw. 2. Orbital) lautet (s. Gill und Scalapino
(1987)):
2 X
1
4
t
1
z
z
^
He = U
s^is^j 4 ^i ^j + 4
hij i
2 X
2
t
3
1
+
V F hiji s^is^j + 4 ^ i^ j 4
2t2 X s^ s^ 1 ^z ^z 1 1 ^+ ^ + ^ ^+ : (2.13)
i j 4 2 i j
i j
V + F hiji i j 4
Untersucht man diesen Hamilton{Operator in der Weissschen Molekularfeld{Theorie
und nimmt eine ferromagnetische oder schachbrettartig{alternierende orbitale Ordnung mit
hs^zj i = m2 ; hs^+j i = hs^j i = 0;
(2.14)
h^jz i = 2 ; h^j+i = h^j i = 0
(2.15)
2.2. Hundsche Kopplung und orbitale Entartung
45
0.45
0.4
A(ω)
0.35
0.3
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−4 −2 0 2 4 6 8 10
ω
χ−1
0.25
A(ω)
0.2
A(ω)
0.15
0.1
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−4 −2 0 2 4 6 8 10
ω
−4 −2 0 2 4 6 8 10
ω
0.05
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
T
Abbildung 2.10: Inverse orbitale Suszeptibilitat 1 als Funktion der Temperatur T fur
U = 8, V0 = 6, F0 = 2 und n = 0:9. Dargestellt ist auch die Spektralfunktion A(!) als
Funktion der Frequenz relativ zum chemischen Potential bei drei verschiedenen Temperaturen (T = 0:05, T = 0:14 und T = 0:25). Eine Extrapolation der inversen Suszeptibilitat
bei hohen Temperaturen wurde eine Nullstelle, also einen Phasenubergang in die orbital{

geordnete Phase bei Tc 0:05 vorhersagen. Bevor dieser Ubergang
stattndet, steigt die
inverse Suszeptibilitat jedoch wieder an. Gleichzeitig bildet sich in der Spektralfunktion
(die mit der Maximum{Entropie{Methode berechnet wurde) eine Resonanz an der Fermi{
Kante.
46
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
an, so erhalt man mit Z Nachst{Nachbar{Platzen eine Energie pro Gitterplatz
H^ i WMF = 4Js szi iz Z m 2Jsszi Z m 2J iz Z + konst.
(2.16)
mit den Kopplungskonstanten
4t2 2t2
2 2
t
1
(2.17)
Js = 8 U + V F V + F ;
4t2 2t2
2 1
2
t
Js = 8 U + V F V + F ;
(2.18)
4t2 2t2
2 2
t
1
(2.19)
J = 8 U + 3 V F + V + F :
Berechnet man nun die Magnetisierung m bzw. die orbitale Ordnung selbstkonsistent nach
X X z H^i WMF
m = 1
2s e
;
(2.20)
Z sz = 1 z = 1
= Z1
Z =
X2 iX2
i
i
szi = 21 iz = 21
X X
szi = 12 iz = 12
e
2iz e
H^ i WMF
H^ i WMF
;
;
(2.21)
(2.22)
so erhalt man als U bergangstemperatur fur ferromagnetische (orbitale) Ordnung
TC (TOO ) = Js(J ). Da J die grote der drei Kopplungskonstanten ist, setzt die
orbitale Ordnung bei der hochsten Temperatur ein.
In Abb. 2.11 wird nun dargestellt, wie sich die U bergangstemperatur des Zweiband{
Hubbard{Modells zur alternierenden orbitalen und ferromagnetischen Phase mit der
Coulomb{Wechselwirkung U andert. Die orbitale U bergangs{Temperatur bei n = 1
wird ab U 10 gut durch die Weisssche Molekularfeld{Theorie des eektiven Kugel'{
Khomski{Modells beschrieben: TOO = 2J / t2 =U . Die Curie{Temperatur bei n =
1:5 verhalt sich anders: Mit wachsender Coulomb{Wechselwirkung sind nur noch
Kongurationen mit der minimalen Anzahl von lokalen Doppelbesetzungen erlaubt.
Diese Doppelbesetzungen mussen wegen der Hundschen Kopplung zusatzlich ein lokales magnetisches Moment haben. Eine starke Coulomb{Wechselwirkung fuhrt auf
diese Einschrankung der Kongurationen, hat aber im reduzierten Hilbert{Raum keinen Einu mehr. Es ist die kinetische Energie, welche die lokalen magnetischen Momente im reduzierten Hilbert{Raum ordnet. Daher sattigt die Curie{Temperatur im
Limes groer Coulomb{Wechselwirkung mit einem Grenzwert proportional zu t. Da
TOO / t2 =U und TC / t ist, kann bei einer A nderung der Coulomb{Wechselwirkung
die orbitale Phase im Verhaltnis zur ferromagnetischen Phase beliebig klein werden.
2.2. Hundsche Kopplung und orbitale Entartung
47
0.25
0.2
WMF
0.15
T
0.1
OO (n=1)
0.05
FM (n=1.5)
0
0
2
4
6
8
U
10
12
14
16

Abbildung 2.11: Kritische Temperatur fur den Ubergang
zur orbitalen (OO) und ferroma-
gnetischen (FM) Ordnung bei n = 1 bzw. n = 1:5 als Funktion von U mit V0 = 3=4 U und
F0 = 1=4 U . Zum Vergleich ist die kritische Temperatur in der Weissschen Molekularfeld{
Theorie (WMF) aufgetragen.
Von zwei zu funf Bandern
Es soll nun untersucht werden, wie die Ergebnisse fur das Zweiband{Modell mit
zunehmender Anzahl der Bander skalieren. Im halbgefullten Mehrband{Modell ist der
Energiegewinn eines lokalen magnetischen Moments durch die Hundsche Kopplung
im Hamilton{Operator (2.6) 1 F0. Fur funf Bander steigt der Energiegewinn bereits
auf 10 F0 an (allgemein: M (M 1)=2 F0). Der Einu der Hundschen Kopplung
wachst also sehr stark an. Dies hat naturlich einen erheblichen Einu auf die Curie{
Temperatur, s. Abb. 2.12. Beim U bergang von zwei auf funf Bander wachst TC um
den Faktor 5.
Bei den verwendeten Parametern und einer Bandbreite von 4eV (t = 1) entspricht dies einer U bergangstemperatur von fast 3000K. Diese ist in etwa um den
Faktor 3 groer als die Curie{Temperaturen der U bergangsmetalle. Mogliche Ursachen fur das U berschatzen der Curie{Temperatur sind:
1. Die DMFT berucksichtigt zeitliche, vernachlassigt jedoch raumliche Fluktuationen, welche die U bergangstemperatur zusatzlich verringern. Dies ist genau entgegengesetzt zur Spinuktuations{Theorie, die raumliche Fluktuationen beruck-
48
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
0.4
0.35
0.3
0.25
Tc
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
M
Abbildung 2.12: Kritische Temperatur als Funktion der Anzahl der Bander M fur n =
3=4 M ; U =8, V0 =6 und F0 =2 (Quadrate) sowie U =4, V0 =3 und F0 =1 (Kreis).
sichtigt und zeitliche Korrelationen vernachlassigt, s. die U bersichtsarbeiten von
Moriya (1985) und Jelitto und Ziegler (1983). Letztendlich fuhren sowohl raumliche als auch zeitliche Fluktuationen zu einer Verringerung der U bergangstemperatur.
2. Das Verhaltnis von Coulomb{Wechselwirkung zur Bandbreite (U; V0 2W )
entspricht typischen Werten fur U bergangsmetall{Oxide. Bei U bergangsmetallen wird eine etwas kleinere Coulomb{Wechselwirkung (U; V0 W ) und F0 1
aus Bandstrukturrechnungen bestimmt (Anisimov und Gunnarsson, 1991).
3. Eine Kristallfeld{Aufspaltung wurde nicht berucksichtigt.
Der zweite Eekt verringert die Curie{Temperatur um ca. 20%, wenn die Coulomb{
Wechselwirkung halbiert wird (s. Abb. 2.12). Eine Kristallfeld{Aufspaltung kann erheblich drastischere Konsequenzen haben. Geht man von einer kubischen Symmetrie
aus, so liegen die drei t2g{Bander energetisch niedriger als die beiden eg{Bander. Sind
die Bander drei bis funf die t2g {Bander und erweitert man das Funfband{Modell (2.6)
2.3. Vergleich verschiedener Mechanismen fur den Ferromagnetismus
49
um eine energetische Absenkung der t2g {Bander um , was durch
XX
n^i
H^ = 5
i=3 i
(2.23)
beschrieben wird, so ndet man in der QMC{Rechnung fur n = 3:75, U = 4, V0 = 3,
F0 = 1 und = 2 anstelle der ferromagnetischen Ordnung eine antiferromagnetische. Die Ursache hierfur ist, da bei der verwendeten Fullung von n = 3:75 die
drei t2g {Bander in etwa halbgefullt sind. Dies fuhrt zu einem antiferromagnetischen
Superaustausch zwischen den t2g {Bandern, der bei diesen Parametern uber den ferromagnetischen Austausch dominiert. Dieses Modell ist mit den in Kapitel 5 untersuchten Erweiterungen des Kondo{Gitter{Modells verwandt. In Kapitel 5 werden die
halbgefullten t2g{Bander durch lokalisierte Spins ersetzt.
2.3 Vergleich verschiedener Mechanismen fur den
Ferromagnetismus
In diesem Abschnitt wird die Hundschen Kopplung bei einer orbitalen Entartung
mit zwei weiteren Mechanismen fur den Ferromagnetismus verglichen: der asymmetrischen Zustandsdichte im Einband{Hubbard{Modell, Glg. (2.1), und dem Nachst{
Nachbar{Austausch in einem Einband{Modell, Glg. (2.5). Alle Ergebnisse wurden
mit der gleichen Methode, QMC{Simulationen in der DMFT, gewonnen. Unterschiede und Gemeinsamkeiten der drei mikroskopischen Mechanismen fur den Ferromagnetismus werden in diesem Abschnitt herausgearbeitet.
{ {Phasendiagramm
T n
Abb. 2.13 vergleicht das T {n{Phasendiagramm (n: Anzahl der Elektronen pro Gitterplatz) bis zur halben Fullung im jeweiligen Modell. Das Hubbard{Modell mit
asymmetrischer Zustandsdichte und die Hundsche Kopplung bei orbitaler Entartung,
zeigen ein erstaunlich ahnliches Phasendiagramm mit Ferromagnetismus abseits halber Bandfullung und Antiferromagnetismus in der Nahe halber Bandfullung. Dies
entspricht auch der einfachen experimentellen Beobachtung, da Mangan und Chrom
antiferromagnetisch sind und ein in etwa halbgefulltes d{Band haben, wahrend Eisen,
Kobalt und Nickel ferromagnetisch und nicht halbgefullt sind.
Ein ganz anderes Phasendiagramm ndet man, wenn der Ferromagnetismus durch
den Nachst{Nachbar{Austausch stabilisiert wird. Bei diesem Mechanismus tritt Ferromagnetismus nur in der Nahe halber Fullung auf. Bei tiefen Temperaturen und
halber Fullung wird das System zudem isolierend. Der Nachst{Nachbar{Austausch
50
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
0.07
0.14
0.06
0.12
PM
0.05
U=6
U=8
0.1
AFM
0.04
0.08
T
T
0.03
PM
0.06
FM
0.02
0.04
0.01
0.02
0
FM
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
Abbildung 2.13: Magnetisches T {n{Pha-
0.25
0.2
PM
AFM
0.15
T
0.1
FM
0.05
0
0
0.5
1
n
1.5
2
sendiagramm verschiedener mikroskopischer
Mechanismen fur den Ferromagnetismus.
Links oben: Hubbard{Modell mit asymmetrischer dreidimensionaler fcc-Zustandsdichte
 achst{Nachbar{Transfer t0 = t=4
mit Ubern
und U = 6 nach Ulmke (1998). Links unten:
Zweiband{Modell mit Hundscher Kopplung
F0 = 4 (U = 9, V0 = 5, symmetrische Bethe{
Zustandsdichte). Rechts: Nachst{Nachbar{
Austausch{Wechselwirkung F = FZ = 0:5
(symmetrische Bethe{Zustandsdichte) nach
Blumer (1998).
kann also nicht der relevante Mechanismus fur den metallischen Ferromagnetismus
der U bergangsmetalle sein.
Spektralfunktion
Um weitere Charakteristika der mikroskopischen Mechanismen herauszuarbeiten, werden in Abb. 2.14 die Spektralfunktionen N (!) verglichen. Wieder zeigen das Hubbard{
Modell mit asymmetrischer Zustandsdichte und die Hundsche Kopplung ein ahnliches
Verhalten. Das Spektrum der Minoritats{Spins hat einen Peak an der Fermi{Kante
und ein Satellitenband bei hoheren Frequenzen.
2.3. Vergleich verschiedener Mechanismen fur den Ferromagnetismus
0.3
1.2
Spin ↑
Spin ↓
1
Spin ↑
Spin ↓
0.25
0.2
0.8
N
51
N
0.6
0.15
0.4
0.1
0.2
0.05
0
0
−2
0
2
ω
4
6
8
10
−6
−4
−2
0
ω
2
4
6
Abbildung 2.14: Spektralfunktion verschie0.4
Band1/Spin↑
Band2/Spin↑
Band1/Spin↓
Band2/Spin↓
0.35
0.3
0.25
N
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−5
0
5
ω
10
15
20
dener mikroskopischer Mechanismen fur den
Ferromagnetismus (das chemische Potential
liegt bei ! = 0). Links oben: Hubbard{
Modell mit asymmetrischer fcc-Zustandsdichte
mit U = 4, n = 0:6 und T = 0:04 nach Ulmke (1998). Links unten: Zweiband{Modell mit
Hundscher Kopplung F0 = 4 (U = 9, V0 = 5,
n = 1:25, T = 0:09, Bethe{Zustandsdichte).
Die Unterschiede zwischen Band 1 und Band
2 beruhen auf dem statistischen Fehler der
QMC{Simulation. Rechts: Nachst{Nachbar{
Austausch{Wechselwirkung F = FZ = 0:5
(n =1, T =0:07, Bethe{Zustandsdichte).
Qualitative Abhangigkeit vom Gitterabstand
Abschlieend soll qualitativ untersucht werden, wie sich die Curie{Temperatur bei
einer A nderung des Gitterabstands verhalt. Mit dem Gitterabstand andert sich der
U berlapp q der Wellenfunktionen zwischen benachbarten Gitterplatzen. Eine einfache
qualitative Annahme ist, da der Nachst{Nachbar{Transfer t linear und der Nachst{
Nachbar{Austausch F quadratisch mit q wachst, weil bei der Berechnung von t und
F der U berlapp zwischen nachsten Nachbarn einmal bzw. zweimal eingeht. Damit
ist F = ZF / t 2. Im folgenden wird die Energieskala mit U = 1 festgesetzt, da
sich die lokale Coulomb{Wechselwirkung mit einer A nderung des Gitterabstandes
i. d. R. nicht stark andert. Konkret wird F = 3t2 gewahlt, da F dann typischerweise eine Groenordnung kleiner als U ist. Abb. 2.15 zeigt das Verhalten der
Curie{Temperatur als Funktion von t / q. Im Hubbard{Modell mit asymmetrischer
52
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
0.02
0.015
T
PM
0.01
0.005
FM
0
0
0.05
0.1
0.15
t*
0.2
0.25
0.3
Abbildung 2.15: Curie{Temperatur als Funktion von t (U 1). Quadrate: Nachst{
Nachbar{Austausch (n = 1, Bethe{Zustandsdichte) nach Wahle et al. (1998); Kreise: Hubbard{Modell mit asymmetrischer Modell{Zustandsdichte (Asymmetrie{Parameter
a = 0:98; n = 0:4) nach Wahle et al. (1998); Rauten: Zweiband{Modell mit Hundscher
Kopplung (F0 = 1=4 U , V0 = 3=4 U , n = 1:5, Bethe{Zustandsdichte).
Zustandsdichte und im Zweiband{Modell mit Hundscher Kopplung verschwindet die
ferromagnetische Phase, wenn der U berlapp der Wellenfunktionen und damit die kinetische Energie zu gro wird. Andererseits ist die Curie{Temperatur proportional
zur kinetischen Energie (zu t) fur kleine t und verschwindet fur t ! 0. Im Zwischenbereich ergibt sich ein charakteristisches Maximum. Dies entspricht auch der
experimentellen Situation, da Ferromagnetismus in d{ und f{Elektronensystemen
mit einem geringen Nachst{Nachbar{U berlapp auftritt. Anders ist hingegen das Verhalten, wenn der Nachst{Nachbar{Austausch den Ferromagnetismus stabilisiert. In
diesem Fall wachst die Curie{Temperatur mit zunehmendem U berlapp an. Ware dies
der zugrunde liegende Mechanismus, so wurde man eine starkere Tendenz zum Ferromagnetismus in den s{ und p{Schalen erwarten.
Dieser Vergleich zeigt, da der Nachst{Nachbar{Austausch als mikroskopische
Ursache fur den metallischen Ferromagnetismus der U bergangsmetalle nicht in Frage kommt. Die beiden anderen Mechanismen, Hubbard{Modell mit asymmetrischer
Zustandsdichte und Hundsche Kopplung bei einer orbitalen Entartung, zeigen ein
2.4. Dichteabhangiges Hupfen
53
erstaunlich ahnliches physikalisches Verhalten. Zumindest in den drei betrachteten
Groen, T {n{Phasendiagramm, Spektralfunktion und Abhangigkeit vom Gitterabstand, gibt es kein fur nur einen Mechanismus charakteristisches Verhalten. Ein solches charakteristisches Verhalten hatte in der vorgestellten qualitativen Studie einen
Anhaltspunkt fur den mikroskopischen Mechanismus von Ferromagnetismus in U bergangsmetallen geben konnen. So bleibt die Frage, ob die asymmetrische Zustandsdichte oder die Hundsche Kopplung oder beide zusammen den Ferromagnetismus in
Eisen, Kobalt und Nickel stabilisieren, unbeantwortet.
2.4 Dichteabhangiges Hupfen
Im folgenden wird der Vergleich des letzten Abschnitts um einen weiteren mikroskopischen Mechanismus, das dichteabhangige Hupfen X , erganzt. Amadon und Hirsch
(1996) haben diesen Term bereits in der Hartree-Fock{Approximation und mit exakter Diagonalisierung kleiner Systeme untersucht. Dabei haben die Autoren mit
wachsendem X auch die kinetische Energie t erhoht, so da die Bandbreite in der
paramagnetischen Phase in der Hartree{Fock{Theorie konstant bleibt. Mit dieser Reskalierung der kinetischen Energie bei groer Coulomb{Wechselwirkung U kommen
Amadon und Hirsch (1996) zu dem Schlu, da der X {Term den Ferromagnetismus destabilisiert.
In der DMFT skaliert der X {Term wie die kinetische Energie mit
p
X = X = Z . Dies fuhrt, wie das Feynman{Diagramm in Abb. 2.16 zeigt, im Limes
hoher Koordinationszahl zu einer nicht{lokalen Selbstenergie. Eine Analyse dieses
Terms in der DMFT steht noch aus. In diesem Abschnitt werden die Mechanismen,
durch die der X {Term Ferromagnetismus stabilisiert, detailliert in der Hartree{Fock{
Theorie analysiert, ohne wie bei Amadon und Hirsch (1996) die kinetische Energie
zu reskalieren. Ausgangspunkt ist dabei das Einband{Modell:
X
H^ = tij c^yi c^j + U
hij i
X
i
n^i" n^ i# + X
X
hij i
n^i + n^ j
c^y c^
:
i j + h.c.
(2.24)
In der Hartree{Fock{Approximation besteht die Selbstenergie nur aus den Hartree{
Diagrammen Abb. 2.16a und 2.16b. Denn bei einer Slater{Determinante mit Magnetisierung in z{Richtung verschwinden die Spinip{Terme (die Fock{Terme). Man
erhalt mit den nachsten Nachbarn von i (j 2 NNi)
ii = U hn^i i + X
X
j 2NNi
hc^yj c^i i;
ij = X hn^i i + hn^j i
(2.25)
(2.26)
54
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
a)
b)
c)
k
i
i
i
j
j
i
j
i
i
j
j
i
Abbildung 2.16: Feynmann{Diagramme fur die Green{Funktion mit X {Term. Geschlangelte Linien geben die Wechselwirkung X , gerade Linien die Green{Funktion, i(j )
den Gitterplatz und " (#) die Spin{Ausrichtung an. Abb. a) und b) sind die beiden Hartree{
Diagramme, in denen eine mittlere lokale Dichte an den Nachst{Nachbar{Transfer koppelt
und vice versa. Abb. c) ist ein Beispiel fur einen nicht{lokalen Beitrag zur Selbstenergie.
 achsten{Nachbarn k eines Gitterplatzes i gibt es fur das Bethe{Gitter geFur einen Ubern
nau einen Gitterplatz j , der diese verbindet. Fur das hyperkubische Gitter gibt es genau
zwei Moglichkeiten fur j . In d{Dimensionen skaliert das Diagramm also wie X 2 = X 2 =d.
Es ist also von der gleichen Groenordnung wie die nicht{wechselwirkende Green{Funktion
zwischen i und k und liefert einen nicht{lokalen Beitrag zur Selbstenergie.
und den Hartree{Fock{Hamilton{Operator
X ij y
X
HHF = t
1 + t c^i c^j +
ii n^i :
i
hij i
(2.27)
Dieses Einteilchen{Problem lat sich durch eine Fourier{Transformation (Ri: Ortsvektor am Gitterplatz i; L: Anzahl der Gitterplatze)
X ikRi
e c^i
(2.28)
c^k = p1
L i
diagonalisieren:
)!
( X
X
2
X
1
0
1+
HHF =
t L k0 hn^k i k n^k +
k
( X
) !
)
X (1 X
2
X
1
U L hn^k0 i + t L k0 hn^k0 i n^k ;
k
k0
k0
2.4. Dichteabhangiges Hupfen
55
wobei L die Anzahl der Gitterplatze, Ri der Gittervektor fur den Gitterplatz i und k
die nicht{wechselwirkenden Einteilchen{Energien sind. Dies fuhrt auf die Einteilchen{
Energien des wechselwirkenden Systems
~k = k
1 + 2X n m + U n m + 2X E ;
t 2
2
t
(2.29)
wobei die Teilchendichte n, die Magnetisierung m und die kinetische Energie E
selbstkonsistent zu bestimmen sind:
n =
m =
XZ
d N 0() f (~ );
X Z
d N 0 () f (~ );
Z
E = d N 0 () f (~ ):
(2.30)
(2.31)
(2.32)
Hierbei bezeichnet f (~ ) = 1=(1+exp[ ~ ]) die Fermi{Verteilung. Anhand der Hartree{
Fock{Einteilchen{Energien (2.29) erkennt man zwei Mechanismen, die den Ferromagnetismus unterstutzen. Zum einen bewirkt der X {Term eine spinabhangige Reduzierung der Bandbreite und damit eine Erhohung der Zustandsdichte an der Fermi{
Kante. Zum anderen bewirkt der X {Term wie auch der U {Term eine Verschiebung
von Minoritats{ und Majoritatsband gegeneinander; dies fuhrt so in der Hartree{
Fock{ bzw. Stoner{Theorie zum Ferromagnetismus. Dies zeigt sich auch in der Zustandsdichte des wechselwirkenden Systems, s. Abb. 2.17:
0
N (~) = d
d~N ((~))
Um + 2X E !
~
+
1
2
t 0
=
:
(2.33)
N
x
x
1 + t (n m)
1 + t (n m)
Bei T = 0 lassen sich die Selbstkonsistenz{Gleichungen (2.29) sowie (2.31) und
(2.32) einfach losen. Eine Besetzung der wechselwirkenden Hartree{Fock{Zustande
bis zur Fermi{Energie (~k F ) entspricht einer Besetzung der nicht{wechselwirkenden Energien fur
k F + U2 m + 2Xt E
:
1 + Xt (n m)
(2.34)
Diese Beziehung folgt aus der Inversion von Glg. (2.29), wenn die Konstante Un=2
der Fermi{Energie F zugeschlagen wird. Eine Entwicklung der beiden Glgn. (2.31)
56
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
1
↑−spin
↓−spin
0.8
0.6
N(ε)
0.4
0.2
0
−3
−2
−1
0
ε
1
2
3
Abbildung 2.17: Skizze der Hartree{Fock{Zustandsdichte N () mit X und U {Term. Der
X {Term fuhrt neben einer spinabhangigen Verschiebung der Bander auch zu einer spinabhangigen Renormierung der Bandbreite um den Faktor 1 + xt (n m).
und (2.32) in erster Ordnung in m und E E fuhrt mit der Zustandsdichte an
der Fermi{Kante
!
1
F
N~ = N
(2.35)
X
1 + t n 1 + Xt n
bis auf Korrekturen von O(m2 ) + O([E E ]2 ) auf
"
#
2X 2
X
f
m = N~ Um + t X m + t (E E ) ;
(2.36)
1 + tn
"
#
2X 2
X
f
F
E E = N~ X Um + t X m + t (E E ) : (2.37)
1 + tn
1 + tn
Lost man Glg. (2.37) nach E E auf und setzt das Ergebnis in Glg. (2.36) ein,
so erhalt man
3
!2
f
2X N
~
t 1+ Xt n
5 m:
(2.38)
m = N~ U + 2Xt fX 41 +
1 + tn
1 2Xt N~ 1+fXt n
2.5. Diskussion und Zusammenfassung
57
Damit eine Losung mit nicht{verschwindender Magnetisierung existiert, mu der Koezient vor m in Glg. (2.38) groer als eins sein.7 Dies ist das Stoner{Kriterium mit
X {Term:
#
"
1
2
X
2
X
~ fX :
(2.39)
N
U + t fX ~ 1
t 1 + tn
1 + tn N
Das hieraus resultierende T = 0{Phasendiagramm ist in Abb. 2.18 dargestellt. Der
X {Term fuhrt zu einer Vergroerung der ferromagnetischen Phase und liefert auch
ohne U {Term Ferromagnetismus in der Hartree{Fock{Approximation. Bei einer kleinen Coulomb{Wechselwirkung ist die Tendenz zum Ferromagnetismus unterhalb von
halber Fullung am starksten. Fur groe Coulomb{Wechselwirkung zeigt sich dagegen bei halber Fullung (n = 1) die starkste Tendenz. In diesem Bereich groer
Coulomb{Wechselwirkung beruht der Ferromagnetismus auf der starren Verschiebung der Bander fur Majoritats{ und Minoritats{Spin mit U . Dies ist ein Artefakt der
Hartree{Fock{Theorie, die nur durch eine Symmetriebrechung die Bildung von zwei
Bandern bei U=2 beschreiben kann. In einer korrekten Theorie mussen sich oberes
und unteres Hubbard{Band bei U=2 dagegen auch in der paramagnetischen Phase
mit wachsender Coulomb{Wechselwirkung bilden. Die Gutzwiller{Approximation fur
dieses System nach Kollar (1998) sagt voraus, da fur halbe Fullung auch mit X {Term
uberhaupt kein Ferromagnetismus vorliegt und stattdessen ein Metall{Isolator{U bergang a la Brinkman und Rice (1970) auftritt. Auch fur n = 0:8 wird die Tendenz
zum Ferromagnetismus in der Hartree{Fock{Approximation deutlich uberschatzt,
s. Abb. 2.19.
2.5 Diskussion und Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurden die ersten DMFT{Ergebnisse zur Hundschen Kopplung bei
orbitaler Entartung als mikroskopische Ursache fur den Ferromagnetismus prasentiert. Wahrend der Ferromagnetismus bei viertel Fullung durch Storungstheorie bei
starker Coulomb{Wechselwirkung (Kugel'{Khomski{Modelle) analysiert und verstanden werden kann, beschrankten sich die Untersuchungen abseits von dieser Fullung bislang vor allem auf storungstheoretische Ansatze bei schwacher Coulomb{
Wechselwirkung und variationelle Analysen8 . Eine nicht perturbative Analyse ist
aber fur ein Phanomen wie den Ferromagnetismus, der bei mittlerer bis starker
Coulomb{Wechselwirkung auftritt, notig. Neben einem Nagaoka{ahnlichen Theorem
(Muller-Hartmann, 1995), da bei U = 1 in einer Dimension einen ferromagnetischen Grundzustand voraussagt, standen fur das Zweiband{Hubbard{Modell mit
m.
7
Der m3 {Beitrag fuhrt dann zu einer Losung des Iterationsschemas mit endlicher Magnetisierung
8
Diese sind ebenfalls mit zunehmender Coulomb{Wechselwirkung immer weniger zuverlassig.
58
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
1
n=1
n=0.5
n=0.25
0.8
0.6
FM
X
0.4
PM
0.2
0
0
1
2
U
3
4
Abbildung 2.18: X {U {Phasendiagramm des Hubbard{Modells bei T = 0 fur verschiedene
Elektronendichten n (FM: ferromagnetische Phase; PM: paramagnetische Phase).
1
FM
0.8
Hartree−Fock−−Approximation
Gutzwiller−Approximation
0.6
X
0.4
PM
0.2
0
0
1
2
3
4
U
Abbildung 2.19: X {U {Phasendiagramm fur n = 0:8 wie in Abb. 2.17 im Vergleich
mit der Gutzwiller{Approximation nach Kollar (1998). Die Ergebnisse zur Gutzwiller{
Approximation zeigen, da die Hartree{Fock{Approximation die Tendenz zum Ferromagnetismus deutlich u berschatzt.
2.5. Diskussion und Zusammenfassung
59
Hundscher Kopplung bislang Resultate aus der exakten Diagonalisierung eindimensionaler Systeme zur Verfugung. Komplementar zu diesen eindimensionalen Ergebnissen zeigen die neuen DMFT{Resultate, die im Limes unendlicher Raumdimension
exakt werden, da Ferromagnetismus in einem groen Bereich elektronischer Dichten
stabil ist. Die maximale U bergangstemperatur, d. h. die maximale Tendenz zum Ferromagnetismus, wird oberhalb von viertel Fullung beobachtet. Die viertel Fullung ist
also keinesfalls ein ausgezeichneter Punkt mit einer besonders groen Tendenz zum
Ferromagnetismus, wie dies beispielsweise die halbe Fullung fur den Antiferromagnetismus ist.
Neben Ferromagnetismus wurde im Zweiband{Modell eine schachbrettartig alternierende orbitale Ordnung gefunden. Im Gegensatz zum Ferromagnetismus ist
die orbitale Ordnung in der Tat auf einen kleinen Bereich in der Nahe von viertel Fullung beschrankt. Je nach Groe der Hundschen Kopplung wurden bei viertel Fullung zwei Szenarien beobachtet. Bei einer starken Hundschen Kopplung gibt
es einen U bergang von der ungeordneten paramagnetischen Phase zu einer Phase
mit reinem Ferromagnetismus ohne orbitale Ordnung. Dies entspricht dem Hartree{
Fock{Szenario. Bei einer schwachen Hundschen Kopplung erfolgt dagegen ein U bergang in eine Phase mit reiner orbitaler Ordnung. Dies entspricht der Vorhersage der
Weissschen Molekularfeld{Theorie fur das Kugel'{Khomski-Modell. Eine gemischte
orbitale und ferromagnetische Ordnung entwickelt sich nicht direkt aus der ungeordneten Phase. Das hier mit QMC{Simulationen gewonnene T {n{Phasendiagramm des
Zweiband{Modells wurde in NCA{Rechnungen von Zol et al. (1999) bestatigt. Eine
weitere DMFT{Studie von Mumoi und Kubo (1998), die den Grundzustand analysiert, wurde kurz nach den hier vorgestellten Ergebnissen veroentlicht. Die Autoren
fanden einen Grundzustand mit ferromagnetischer und orbitaler Ordnung bei T = 0
und n = 1.
Neben dem Zweiband{Modell wurden auch Modelle mit drei und funf Bandern
analysiert. Dabei verstarkt sich die Tendenz zum Ferromagnetismus durch den Mechanismus der Hundschen Kopplung dramatisch. Bei typischen Parametern fur U bergangsmetalle ergeben sich Curie{Temperaturen von 2000K bis 3000K.
Ein weiterer mikroskopischer Mechanismus fur den Ferromagnetismus, das dichteabhangige Hupfen (\bond{charge site{charge interaction"), zeigt in der Hartree{
Fock{Approximation zwei Eekte, die den Ferromagnetismus stabilisieren. Zum einen
kommt es wie in der Stoner{Theorie zu einer spinabhangigen Verschiebung der Bander, zum anderen wird deren Breite zusatzlich renormiert.
Drei mikroskopische Mechanismen fur den Ferromagnetismus, die Hundsche Kopplung bei einer orbitalen Entartung, eine asymmetrische Zustandsdichte im Hubbard{
Modell und der Nachst{Nachbar{Austausch, wurden anhand des T {n{Phasendiagramms, der Spektralfunktion und einer qualitativen Analyse der A nderung der
Curie{Temperatur mit dem U berlapp der Wellenfunktion verglichen. Dabei zeigt der
Mechanismus des Nachst{Nachbar{Austausches ein deutlich abweichendes Verhalten
60
2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus
und kann den metallischen Ferromagnetismus der U bergangsmetalle nicht erklaren.
Im Gegensatz dazu sind die physikalischen Observablen der beiden anderen Mechanismen erstaunlich ahnlich. Insbesondere konnte keine fur nur einen Mechanismus
charakteristische Eigenschaft gefunden werden. Dies hatte in der vorgestellten qualitativen Studie verschiedener Modelle im Vergleich mit dem Experiment moglicherweise eine Aussage uber die mikroskopische Ursache des Ferromagnetismus in Eisen,
Kobalt und Nickel erlaubt. Die Frage, ob die Hundsche Kopplung bei einer orbitalen
Entartung oder die asymmetrische Zustandsdichte oder beide Mechanismen zusammen die hauptsachliche Ursache fur den Ferromagnetismus der U bergangsmetalle ist,
bleibt damit oen.
61
Kapitel 3
Metamagnetismus in stark
anisotropen Antiferromagneten
3.1 Einfuhrung
Der Name \Metamagnetismus" wurde von Becquerel und van den Handel (1939)
eingefuhrt, die ein anomales Magnetisierungsverhalten von Mesitinspat, dem Karbonat von Eisen und Magnesium, im Magnetfeld beobachteten: Bei einer Temperatur
von 1.5 Kelvin steigt die magnetische Suszeptibilitat in diesem System auch in einem Magnetfeld von 2 Teslar noch an. Ein solches konkaves, nicht{lineares Verhalten der Magnetisierung (s. Abb. 3.1) konnte nicht im Rahmen der gangigen Theorien des Para{ und Ferromagnetismus erklart werden. Becquerel und van den Handel (1939) nannten das Phanomen daher auf Vorschlag von Kramers (s. Becquerel
(1940)) \Metamagnetismus". Zumindest die qualitative theoretische Erklarung des
Metamagnetismus ist alter als der Begri selbst. Neel (1932) und Landau (1933)
schlugen unabhangig voneinander das Konzept der antiferromagnetischen Ordnung
vor, um das ungewohnliche Verhalten der magnetischen Suszeptibilitat in bestimmten Materialien zu erklaren. Zur Beschreibung von Metallen wie Chrom und Mangan
nahm Neel (1932) eine entgegengerichtete Magnetisierung auf zwei Untergittern, die
schachbrettartige Neel{Ordnung, an. Landau (1933) andererseits sagte fur Isolatoren
wie EisenII {, Kobalt{ und Nickel{Chlorid die korrekte magnetische Struktur voraus:
ferromagnetische Schichten, deren Magnetisierungsrichtung von Schicht zu Schicht
antiferromagnetisch alterniert. Fur diese beiden antiferromagnetischen Ordnungen
verschwindet die totale Magnetisierung. Landau (1933) beschrieb daruber hinaus
qualitativ das Verhalten dieses Antiferromagneten im Magnetfeld. Unter der Annahme einer schwachen antiferromagnetischen Kopplung zwischen den ferromagnetischen
Schichten kann ein kleines Magnetfeld von der Groenordnung der antiferromagnetischen Kopplung die Magnetisierung der Schichten, deren magnetisches Moment dem
62
3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
1.0
0.8
m
2. Ordnung
1. Ordnung
0.6
0.4
0.2
0.0
1.5
χ
2. Ordnung
1. Ordnung
1.0
0.5
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
H
Abbildung 3.1: (a) Schematisches Verhalten der Magnetisierung m (pro Atom) im Ma-
gnetfeld H bei einem metamagnetischen Phasenubergang erster bzw. zweiter Ordnung
(durchgezogene bzw. gestrichelte Linie). Die Magnetisierung steigt am metamagnetischen
Phasenubergang stark an. (b) Die Suszeptibilitat (H ) = @m(H )=@H hat ein charakteristisches Maximum.
3.1. Einfuhrung
63
Magnetfeld entgegengerichtet ist, umklappen. Dies fuhrt zu einem starken Anwachsen
der totalen Magnetisierung, d. h. zu dem von Becquerel und van den Handel (1939)
beobachteten metamagnetischen Verhalten.
Stark anisotrope Antiferromagneten
Ein qualitativ ahnliches Verhalten wie in Mesitinspat und ein noch drastischeres
metamagnetisches Verhalten wurde spater in vielen anderen Systemen beobachtet.
Prototypen sind dabei die Metamagneten FeCl2 und Dy3Al5O12 (DAG) (s. den U bersichtsartikel von Stryjewski und Giordano (1977)). Bei diesen Isolatoren bilden die
Valenz{Elektronen lokalisierte magnetische Momente am Fe{ bzw. Dy{Ion. Die Spin{
Bahn{Kopplung bewirkt, da diese magnetischen Momente entlang einer Vorzugsrichtung (\Easy{Axis") e ausgerichtet sind. Unter dem Einu eines genugend starken Magnetfeldes entlang der Vorzugsrichtung H k e verschwindet nun die antiferromagnetische Ausrichtung der Momente, d. h. die antiferromagnetische Magnetisierung mAF k H . Es kommt zu dem von Landau (1933) beschriebenen U bergang.
Dieser metamagnetische U bergang kann ein Phasenubergang erster oder zweiter Ordnung sein. In den beiden oben angegebenen Prototypen ndet man sogar beides:
bei tiefen Temperaturen ist der Phasenubergang erster und bei hohen Temperaturen zweiter Ordnung. Neben diesen isolierenden Systemen gibt es auch metallische
Antiferromagneten mit einer starken Anisotropie im Spin{Raum, die ein metamagnetisches Verhalten zeigen. Dies sind insbesondere Uran{Verbindungen (Stryjewski
und Giordano, 1977; Sechovsky, Havela, Prokes, Nakotte, de Boer und Bruck, 1994),
SmMn2 Ge2 (Brabers, Nolten, Kayzel, Lenczowski, Buschow und de Boer, 1994) und
vermutlich auch TbRh2 xIrxSi2 (Ivanov, Vinokurova und Szytula, 1995).
Klassikation von Metamagneten
Eine moderne Denition spricht generell von einem \metamagnetischen U bergang",
wenn die magnetische Suszeptibilitat (H ) = @m(H )=@H bei einem Magnetfeld Hc
ein Maximum hat, was mit einer starken Erhohung der Magnetisierung m(H ) fur
H > Hc einhergeht (s. Abb.3.1; s. die U bersichtsarbeit von Luthi, Thalmeier, Bruls
und Weber (1990)). Mit dieser Denition ist Metamagnetismus ein sehr allgemeines
Phanomen, das in den unterschiedlichsten Systemen auftritt.
1. Die oben vorgestellten stark anisotropen Antiferromagneten sind die \klassischen" Metamagneten.
2. Auch Antiferromagneten ohne eine starke Anisotropie zeigen einen metamagnetischen U bergang. Allerdings klappt in diesen Systemen nicht die Magnetisierungsrichtung eines Untergitters um, sondern bei Anlegen eines Magnet
feldes H k mAF kommt es zu einem Spin{Flop{Ubergang
in eine Phase mit
64
3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
m k H ? mAF . Da in dieser Phase die totale Magnetisierung m groer ist,
3.
4.
5.
6.
minimiert ein Spin{Flop die Energie bei einer kleinen magnetischen Anisotropie, d. h. einer kleinen magnetokristallinen Energie
ES.O. = K sin2 ;
(3.1)
wobei der Winkel zwischen dem magnetischen Moment und der Vorzugsrichtung ist, s. Bruno (1989). Eine gut lesbare Einfuhrung in die Theorie der
magnetischen Anisotropie ndet man bei Bruno (1993). Ein Beispiel eines Antiferromagneten mit Spin{Flop{U bergang ist La2CuO4 (Luthi et al., 1990; Thio,
Thurston, Preyer, Picone, Jenssen, Gabbe, Chen, Kastner, Birgenau und Aharony, 1988).
Die wohl einfachste theoretische Erklarung eines metamagnetischen Verhaltens
ist eine Zustandsdichte mit einem Minimum an der Fermi{Kante f . Mit zunehmendem Magnetfeld erhoht sich die Zustandsdichte bei f H . Die Suszeptibilitat steigt und zeigt damit ein metamagnetisches Verhalten. Diese Art
des Metamagnetismus ndet man beispielsweise im eindimensionalen Hubbard{
Modell bei U = 0. Takahashi (1969) wies mit dem Bethe{Ansatz nach, da die
Coulomb{Wechselwirkung diesen U bergang zu einem Phasenubergang erster
Ordnung verstarkt.
Einen metamagnetischen Phasenubergang erster Ordnung im Hubbard{Modell
zeigt auch die Gutzwiller{Approximation (Vollhardt, 1984). Im Gegensatz zum
Bethe{Ansatz ist in dieser Naherung der metamagnetische Phasenubergang je
doch mit dem Mott{Ubergang
identisch. Ein solches Szenario fanden auch Laloux, Georges und Krauth (1994) mit Hilfe der exakten Diagonalisierung in der
Dynamischen Molekularfeld{Theorie (DMFT). Die Autoren erklaren diese metamagnetischen U bergange durch die Existenz von zwei Losungen, d. h. Isolator
und Metall, mit einer unterschiedlichen Suszeptibilitat, zwischen denen es zu
einem Phasenubergang erster Ordnung kommt.
Berucksichtigt man neben der besonderen Zustandsdichte aus 3.) die Coulomb{
Wechselwirkung im Rahmen der Random{Phasen{Approximation, so erhalt
man die Theorie des Itineranten Elektronen{Metamagnetismus von Wohlfarth
und Rhodes (1962). Diese beschreibt metamagnetische Phasenubergange erster
und zweiter Ordnung in paramagnetischen Systemen und wird zur Beschreibung von stark austausch{erhohten Paramagneten wie TiBe2 und YCo2 (Acker,
Huguenin, Pelizzone und Smith, 1981; Sakakibara, Goto, Yoshimura und Fukamichi, 1990) angewandt.
Eine weitere wichtige Klasse metamagnetischer Systeme sind bestimmte Schwer{
Fermionen{Systeme wie CeRu2 Si2 und UPt3 (s. Luthi et al. (1990)). Ohka-
3.1. Einfuhrung
65
wa (1989) schlug als Erklarung fur den Metamagnetismus in diesen Schwer{
Fermionen{Systemen einen Mechanismus analog zum Kondo{Volumen{Kollaps
(der ausfuhrlich in Kapitel 4 besprochen wird) in Verbindung mit einem ferromagnetischen Austausch vor. Bei diesem Erklarungsansatz wird der metamagnetische U bergang von einer starken Volumen{Ausdehnung begleitet. Auch
in Kondo{Isolatoren wie YbB12 kommt es zu einem metamagnetischen U bergang, der mit einem Isolator{Metall{U bergang einhergeht (Sugiyama, Date,
Iga, Kasaya und Kasuya, 1988). In diesen Systemen verursacht die Kondo{
Singulett{Bildung neben einem Ladungs{Gap auch ein Spin{Gap, d. h. eine
verschwindende magnetische Suszeptibilitat bei H = 0. Wird das auere Magnetfeld H groer als das Spin{Gap, so steigt die Magnetisierung stark an. Das
System ist metamagnetisch. Eine quantitative Beschreibung dieses Metamagnetismus inklusive von Plateaus fur n 6= 2 in selbstkonsistenter Storungstheorie
zweiter Ordnung kombiniert mit der DMFT ndet man bei Czycholl, Qin und
Schweitzer (1993). Weitere Resultate dieser Storungstheorie und die numerische
Behandlung mit exakter Diagonalisierung (innerhalb der DMFT) zeigen Saso
und Itoh (1996) sowie Saso (1997a; 1997b).
Stark anisotrope antiferromagnetische Isolatoren
Nach dem Exkurs uber verschiedene Arten metamagnetischer Systeme soll nun die
Theorie stark anisotroper Metamagnete, die ein sehr reichhaltiges Phasendiagramm
mit Phasenubergangen erster und zweiter Ordnung zeigen, besprochen werden. Die
theoretische Beschreibung begann mit Landau (1937), der das komplexe multikritische Verhalten phanomenologisch im Rahmen der Landau{Theorie der Phasenubergange beschrieb. U ber diese phanomenologische Theorie hinaus, in Richtung zu einer
mikroskopischeren Beschreibung, gehen Untersuchungen des Ising{Modells. Hiermit
lassen sich isolierende Metamagneten mit einer starken Anisotropie modellieren. Um
das experimentelle Szenario mit Phasenubergangen erster und zweiter Ordnung zu beschreiben, reicht ein einfaches Ising{Modell mit antiferromagnetischer Spin{Kopplung
jedoch nicht aus. Benotigt wird ein Modell mit antiferromagnetischer und ferromagnetischer Wechselwirkung, z. B. eine antiferromagnetische Kopplung J zwischen Z
nachsten Nachbarn und eine ferromagnetische Kopplung J 0 zwischen Z 0 ubernachsten
Nachbarn1
0X
X
H = J2 SiSj J2
Si Sj :
(3.2)
hij i
hhij ii
Alternativ ist auch ein Modell mit einer ferromagnetischen Kopplung innerhalb von
antiferromagnetisch gekoppelten Schichten moglich. In der Weissschen Molekularfeld{
1 In den Summen hij i bzw. hhij ii wird jedes Paar Ising{Spins S S n
bernachster
i j achster bzw. u
Nachbarn zweimal gezahlt.
66
3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
"
H
"
a)
TCP
AF
H
P
b)
CE
AF
BCE
!
T
TN
P
!
T
TN
Abbildung 3.2: Schematisches H {T {Phasendiagramm von (a) dem typischen Ising{
Metamagneten und (b) dem Ising{Modell mit einer nur schwachen ferromagnetischen Kopplung. Durchgezogene Linie: metamagnetischer Phasenubergang erster Ordnung; gestrichelte
Linie: zweiter Ordnung; AF: antiferromagnetische Phase; P: paramagnetische Phase.
Naherung sind diese beiden Modelle aquivalent. Eine sehr detaillierte Untersuchung
dieser Molekularfeld{Naherung von Kincaid und Cohen (1974) zeigt, da das H {
T {Phasendiagramm (H : inneres Magnetfeld; T : Temperatur) zwei unterschiedliche
Topologien haben kann. Ist die ferromagnetische Kopplung stark (Z 0 J 0 > 3=5 ZJ ),
so enden die Phasenubergange erster Ordnung in einem trikritischen Punkt (TCP,
Griths (1970)), oberhalb dessen die Phasenubergange zweiter Ordnung sind (s. Abb.
3.2a). Bei einer schwacheren ferromagnetischen Kopplung (Z 0J 0 < 3=5 ZJ ) spaltet
dieser TCP auf in einen bikritischen Endpunkt (BCE) der Phasenubergange erster
Ordnung und einen kritischen Endpunkt (CE) der Phasenubergange zweiter Ordnung
(s. Abb. 3.2b).
Geht man uber die Molekularfeld{Theorie hinaus, so konnten numerische Monte{
Carlo{Untersuchungen von Herrmann und Landau (1993), Selke und Dasgupta (1995),
Selke (1996) sowie Pleimling und Selke (1997) ein Szenario mit BCE und CE, s. Abb.
3.2b, nicht bestatigen. Zwar beobachteten Pleimling und Selke (1997) ein Maximum
in der U bergangslinie zweiter Ordnung, wie in Abb. 3.2b. Statt eines Phasenubergangs erster Ordnung innerhalb der antiferromagnetischen Phase fanden die Autoren
aber nur starke nicht{kritische Fluktuationen, d. h. BCE und CE fallen zusammen.
Das Szenario aus Abb. 3.2b ist sehr ahnlich zu dem experimentellen Phasendiagramm
von FeBr2 (Fert, Carrara, Lanusse, Mischler und Redoules, 1973; Vettier, Alberts und
3.1. Einfuhrung
67
Bloch, 1973). Fur FeBr2 zeigen Magnetisierungsmessungen von de Azevedo, Binek,
Kushauer, Kleemann und Bertrand (1995) sowie Pelloth, Brand, Takele, de Azevedo, Kleemann, Binek, Kushauer und Bertrand (1995) jedoch lediglich eine Anomalie
innerhalb der antiferromagnetischen Phase. Im Gegensatz hierzu deuten Messungen
der spezischen Warme von Katori, Katsumata und Katori (1996), Neutronenstreu{
Messungen von Katsumata, Katori, Shapiro und Shirane (1997) sowie die Faraday{
Mikroskopie von Petracic, Binek und Kleemann (1997) auf einen Phasenubergang
erster Ordnung innerhalb der antiferromagnetischen Phase hin, was Abb. 3.2b entspricht. In einer neueren Arbeit von Petracic, Binek, Kleemann, Neuhausen und Lueken (1998) wurde dieser Widerspruch in den experimentellen Ergebnissen aufgeklart.
Die Phasenubergange erster Ordnung in der Magnetisierung und spezischen Warme
treten auf, wenn das Magnetfeld nicht entlang der Vorzugsrichtung e angelegt wird.
Fur H k e k mAF gibt es dagegen nur starke, nicht{kritische Fluktuationen. Die
Experimente fur H k e entsprechen damit den numerischen Ergebnissen zum Ising{
Modell, die besagen, da der Molekularfeld{U bergang zwischen CE und BCE durch
raumliche Fluktuationen unterdruckt wird. Die experimentellen Ergebnisse im Falle eines Winkels zwischen H und e konnten von Pleimling und Selke (1999) mit
einem Spin{Flop{Zustand in einem anisotropen Spin{1{Heisenberg{Modell beschrieben werden.
Stark anisotrope antiferromagnetische Metalle
Metamagnetische Phasenubergange in stark anisotropen antiferromagnetischen Metallen, wie z. B. Uran{Verbindungen, wurden bislang hauptsachlich durch die semi{
phanomenologische Theorie des Itineranten Elektronen{Metamagnetismus von Moriya und Usami (1977) beschrieben. Bei diesem antiferromagnetischen Analogon zu
der Theorie von Wohlfarth und Rhodes (1962) wird die Coulomb{Wechselwirkung
U in der Random{Phasen{Approximation (RPA) berucksichtigt. Dies fuhrt zu einer
Modikation der ferro{ und antiferromagnetischen Suszeptibilitat (F bzw. AF )
1 = 1 U
1 = 1 U;
(3.3)
0
F F
AF 0AF
gegenuber der Suszeptibilitat ohne Wechselwirkung (0F bzw. 0AF ). Unter der Annahme einer kleinen antiferromagnetischen und ferromagnetischen Magnetisierung (mAF
und m) wird eine Landau{Theorie mit Freier Energie
F (m; mAF ) = 21 m2 + 21 m2AF + a m4 + a0 m4AF
F
AF
2
2
+b m mAF + b0 (m mAF )2 Hm
(3.4)
aufgestellt. Letztendlich basiert die Theorie des itineranten Elektronen{Metamagnetismus auf dieser Landau{Theorie, die mit geeigneten Parametern Phasenubergange
68
3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
erster und zweiter Ordnung beschreibt.
Ein quantenmechanisches Modell korrelierter Elektronen, das auf den mikroskopischen Ursachen des Antiferromagnetismus, d. h. Coulomb{Wechselwirkung und kinetische Energie beruht, schlugen Held, Ulmke und Vollhardt (1996) zur Beschreibung
metamagnetischer Phasenubergange vor: das Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung.
Das Hubbard{Modell, Glg. (1.7), ist das generische Modell fur den Antiferromagnetismus. Bei halber Fullung und einer Zustandsdichte mit Nesting{Instabilitat
zeigt das Modell eine antiferromagnetische, isolierende Phase. Dieser antiferromagnetische Isolator entspricht bei starker Coulomb{Wechselwirkung einem Heisenberg{
Spin{Antiferromagneten und bei schwacher Coulomb{Wechselwirkung einem bandartigen Slater{Antiferromagneten mit einem Gap an der Fermi{Kante (Hartree{
Fock{Theorie). Abseits halber Fullung wird dieser Antiferromagnet metallisch. Das
Hubbard{Modell beschreibt also trotz seiner Einfachheit vier verschiedene antiferromagnetische Phasen (metallisch oder isolierend; bandartig oder spinartig) und den
U bergang zwischen diesen.
Das Hubbard{Modell selbst ist isotrop im Spin{Raum (SU(2){symmetrisch) und
kann daher nicht das Verhalten stark anisotroper Antiferromagneten modellieren.
Die totale und die antiferromagnetische Magnetisierung des isotropen Modells zeigen
einen Phasenubergang zweiter Ordnung (Giesekus und Brandt, 1993). Die Beschreibung des Metamagnetismus stark anisotroper Antiferromagneten ist moglich, wenn
man sich auf die Phasen mit einer mittleren Untergittermagnetisierung entlang einer Vorzugsrichtung mAF k m k e (k H ) beschrankt. Wahrend diese Phasen im
Standard{Hubbard{Modell eine hohere Energie als die mit mAF ? m k e (k H )
haben, werden sie durch die Energie der magnetischen Anisotropie, Glg. (3.1), energetisch bevorzugt. Bei hinreichend starker Anisotropie liegt also die Phase mAF k
m k e (k H ) vor. Im Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung wird die Existenz einer Vorzugsrichtung oder \Easy-Axis" angenommen. Deren Ursache, die Spin{Bahn{
Kopplung, wird nicht mikroskopisch berucksichtigt.
Held et al. (1996) untersuchten metamagnetische Phasenubergange im Hubbard{
Modell mit Vorzugsrichtung numerisch im Rahmen der DMFT und beobachteten
bei einer Coulomb{Wechselwirkung von der Groe der Bandbreite das Szenario aus
Abb. 3.2b. In der Hartree{Fock{Approximation wurde die benotigte Anisotropie{
Energie, die zur Stabilisierung der Phase mAF k m k e (k H ) benotigt wird,
zu 10 2eV abgeschatzt, wenn Coulomb{Wechselwirkung und Bandbreite von der
Groenordnung 1eV sind. Eine magnetische Anisotropie{Energie von dieser Groe ist
realistisch, da die Spin{Bahn{Kopplung sogar bis zu 10 1eV erreichen kann. Bostanov und van Dongen (1999) studierten detailliert das metamagnetische Verhalten in
der Hartree{Fock{Theorie und fanden ebenfalls Phasenubergange erster und zweiter
Ordnung, die sich in einem trikritischen Punkt wie in Abb. 3.2a treen. Mit wachsender Coulomb{Wechselwirkung nimmt der Bereich mit Phasenubergangen zweiter
Ordnung in der Hartree{Fock{Approximation immer starker ab. In U bereinstimmung
3.2. Storungstheorie bei starker Kopplung
69
mit Held et al. (1996) fanden Bagedorn und Hetzel (1997; 1998) einen metamagnetischen Phasenubergang erster Ordnung im zweidimensionalen Hubbard{Modell mit
Vorzugsrichtung bei T = 0 mit der Projektions{Quanten{Monte{Carlo{Technik.
Im folgenden Abschnitt 3.2 wird der metamagnetische U bergang im Hubbard{
Modell mit Vorzugsrichtung in Storungstheorie bei starker Kopplung in Ordnung
t4 =U 3 analysiert. Abschnitt 3.3 beschaftigt sich detailliert mit dem U bergang von
starker zu schwacher Coulomb{Wechselwirkung, d. h. dem U bergang vom spin{ zum
bandartigen Metamagneten. In Abschnitt 3.4 wird schlielich der Metamagnetismus
in der metallischen Phase abseits halber Bandfullung und in Abschnitt 3.5 die A nderung der elektronischen Kompressibilitat am metamagnetischen Phasenubergang untersucht.
3.2 Storungstheorie bei starker Kopplung
Bei halber Bandfullung ist im Hubbard{Modell eine Storungstheorie in der kinetischen Energie bzw. im Transfer t um den atomaren Limes, der aus einem lokalisierten
Elektron auf jedem Gitterplatz besteht, moglich. In zweiter Ordnung ergibt sich ein
eektives Heisenberg{Modell mit einem antiferromagnetischen Superaustausch der
Starke J = 4t2=U
X
X
H^ Heisenberg = J2 S^i S^j 2H S^iz ;
hij i
i
(3.5)
zwischen den Spins S^iz = 12 (^ni" n^ i#), S^ix = 21 (^cyi"c^i# + c^yi#c^i" ) und S^iy = 2i (^cyi" c^i#
c^yi#c^i" ). Geht man fur das Hubbard{Modell von der DMFT aus, so erhalt man entsprechend die Weisssche Molekularfeld{Theorie fur das eektive Heisenberg{Modell bei
starker Kopplung. Nimmt man daruber hinaus eine Vorzugsrichtung e mit Magnetfeld H k e an, so treten keine Phasen mit Spin{Flop auf. Daher reduziert sich das
Heisenberg{Modell in der Weissschen Molekularfeld{Theorie auf das Ising{Modell.
Wie in der Literatur bekannt (Kincaid und Cohen, 1975; Lawrie und Sarbach, 1984),
sind die metamagnetischen Phasenubergange in diesem Modell ohne zusatzliche ferromagnetische Kopplung fur T > 0 zweiter Ordnung und lediglich bei T = 0 erster Ordnung. Dies entspricht der Darstellung aus Abb. 3.2a mit einer trikritischen
Temperatur Tt = 0, jedoch nicht den experimentellen Resultaten in metamagnetischen Isolatoren wie FeBr2 bzw. den Ergebnissen zum Ising{Modell mit zusatzlicher
ferromagnetischer Kopplung oder dem theoretisch im Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung gefundenen Verhalten mit Phasenubergangen erster Ordnung fur T > 0. In
der Weissschen Molekularfeld{Theorie kann das Verhalten der Ising{Modelle in einer
einfachen Art und Weise verstanden werden. Im Grundzustand ist die Energie pro
70
3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
Gitterplatz
E (m; mAF ) = J8 (m2 m2AF ) Hm;
(3.6)
wobei J = ZJ = 4t2 =U ist; m und mAF ist durch die Untergittermagnetisierungen
( = 1 fur die beiden Untergitter) gegeben:
X
m = 21 n ;
X
1
mAF = 2 n :
(3.7)
(3.8)
Die Minimierung der Energie (3.6) nach der ferro{ und antiferromagnetischen Magnetisierung m und mAF zeigt, da eine maximale antiferromagnetische Magnetisierung (mAF = 1, m = 0) die niedrigste Energie fur H < J =4 hat, wahrend der
vollstandig polarisierte Ferromagnet (mAF = 0, m = 1) energetisch am gunstigsten
fur H > J =4 ist. Dadurch wird bei H = J =4 ein Phasenubergang erster Ordnung induziert. Bei diesem Magnetfeld liegt eine hohe Entartung vor, weil alle Realisierungen
mit m + mAF = 1 die gleiche Energie haben. Fur T > 0 werden wegen der Entropie
Phasen mit einer gemischten ferro{ und antiferromagnetischen Magnetisierung bevorzugt, weil die beiden vollstandig polarisierten Phasen mit m = 1 bzw. mAF = 1 nur
durch eine einzige Konguration realisiert werden konnen. Eine gemischte Magnetisierung mit m + mAF = 1 wird jedoch durch verschiedene Kongurationen erreicht.
Daher erhalt man fur T > 0 in der Nahe von H = J =4 eine sich kontinuierlich
andernde Magnetisierung: Tt = 0. Ein trikritischer Punkt mit Tt > 0 wird nur bei einer zusatzlichen ferromagnetischen Kopplung J 0 beobachtet. Diese ferromagnetische
Kopplung bevorzugt energetisch sowohl eine rein antiferromagnetische als auch eine
rein ferromagnetische Phase gegenuber gemischten Phasen mit m + mAF = 1. Dies
fuhrt bei T = 0 zu einem Hysterese{Bereich, in dem beide Phasen stabil gegenuber
der Bildung von Phasen mit m < 1 bzw. mAF < 1 sind. Dieser Hysterese{Bereich
und die damit verbundenen Phasenubergange erster Ordnung verschwinden erst bei
einer Temperatur Tt > 0.
Wahrend die ferromagnetische Kopplung zwischen ubernachsten Nachbarn J 0 ad{
hoc in den Ising{Modellen zur Beschreibung des Metamagnetismus angesetzt wird,
tritt diese im Hubbard{Modell in der nachsten Ordnung der Storungstheorie (t4 =U 3 )
auf naturliche Weise auf. Dies legt die Vermutung nahe, da diese Ordnung der
Storungstheorie das Phasendiagramm Abb. 3.2a oder 3.2b liefert. Neben dem J 0 {
Term treten in dieser Ordnung aber noch weitere Terme auf: eine Kopplung zwischen
vier Spins auf verschiedenen Gitterplatzen. Nach Takahashi (1977) und van Dongen
3.2. Storungstheorie bei starker Kopplung
71
(1994) ergibt sich fur ein hyperkubisches Gitter der Hamilton{Operator
J X Q + J0 X Q 0
4 hiji ij 4 i; 06= i+ ;i+
4 X
+ t 3 A (Q12 Q34 + Q14 Q23 Q13Q24 ) ;
U
t2 f2g Zt4 J = 4 U + B U3 ;
4
J 0 = 4 Ut 3 C:
Heff =
(3.9)
(3.10)
(3.11)
Hierbei ist Qij der Hermitesche Operator
1
^
^
Qij = 2 Si Sj 4 :
(3.12)
und 0 sind jeweils Gittervektoren zwischen einem Gitterplatz i und einem nachsten
Nachbarn. 2 ist eine Plaquette von vier im Uhrzeigersinn benachbarten Gitterplatzen
f1; 2; 3; 4g.2 Fur ein hyperkubisches Gitter ergeben sich nach van Dongen (1994) die
Kopplungskonstanten A = 20, B = 4 und C = 2. Fur ein Bethe{Gitter entfallen
hingegen die Plaquetten (A = 0) und die Kopplung zwischen ubernachsten Gitterplatzen J 0 wird antiferromagnetisch mit C = 1, da es keine geschlossenen Schleifen
gibt.
Um die metamagnetischen Phasenubergange des eektiven Stark{Kopplungs{
Modells (3.9) zu untersuchen, wird im folgenden von einer gemischten ferro{ und
antiferromagnetischen Magnetisierung entlang einer Vorzugsrichtung ausgegangen.
Diese Phase hat die Energie3
1 1 16 B m2 16 B m2
E = 21 U1 m2 21 U1 m2AF + 32
AF
U3
+A m4 2 A m2 m2AF 2 A m2 + A m4AF + 6 A m2AF
16 C m2 16 C m2AF H m + konst.:
(3.13)
Anhand dieser Formel erkennt man, da die ferromagnetische Kopplung zwischen
ubernachsten Nachbarn C sowohl vollstandig polarisierten Ferromagnetismus als auch
vollstandig polarisierten Antiferromagnetismus energetisch bevorzugt. Im Gegensatz
hierzu unterstutzt der Plaquetten{Beitrag A eine gemischte Phase mit ferro{ und
antiferromagnetischer Magnetisierung. Wahrend C wie in den Spin{Modellen die
2
Jede Plaquette wird nur einmal gezahlt.
t 1 legt die Energieskala fest.
3 72
3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
Tendenz zu Phasenubergangen erster Ordnung zwischen Ferro{ und Antiferromagnetismus also erhoht, wird diese Tendenz durch den konkurrierenden Term A unterdruckt. Zur Bestimmung des Grundzustandes mu die Energie nun nach m und mAF
minimiert werden. Dabei mussen die Randbedingungen jmj 1 und mAF 1 jmj
erfullt werden, d. h. keines der Untergitter darf eine Magnetisierung groer 1 haben.
Dierenziert man E nach mAF , so ndet man drei Nullstellen von @E=@mAF : ein
Maximum bei mAF = 0 und zwei Minima bei
r
2
2
mAF = 8 U + A m A3 A + 8 B + 8 C :
(3.14)
Fur eine hinreichend groe Kopplung U (U > 2 fur A = 20, B = 4 und C = 2) liegen
diese Minima auerhalb des zugelassenen Wertebereichs mAF 1 jmj. Die Energie
wird daher minimal am Rande des Wertebereichs, d. h. fur mAF = 1 jmj. Setzt man
diesen Wert in Glg. (3.13) ein, so liefert die Minimierung nach m den Grundzustand
m
=
8
>
<0
1
>
:A
2C
fur H 21 A+2 CU+23 U 2+2 B
fur H C +UU32+B
2 U 2 2 B+2 H U 3
sonst
A 4C
(3.15)
mAF = 1 m:
(3.16)
Mit wachsendem Magnetfeld zeigt der Grundzustand einen Phasenubergang zweiter
Ordnung fur A > 4C . Diese Bedingung ist sowohl fur das hyperkubische als auch fur
das Bethe{Gitter erfullt. Die Terme, die uber die Storungstheorie zweiter Ordnung
bzw. das Ising{Modell mit antiferromagnetischer Kopplung J hinausgehen, fuhren
also nicht zu Phasenubergangen erster Ordnung bei endlichen Temperaturen. Im
Gegenteil, selbst bei T = 0 bewirken sie Phasenubergange zweiter Ordnung.
3.3 Von schwacher zu starker Kopplung bei halber
Fullung
Wahrend das halbgefullte Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung bei starker Kopplung nur metamagnetische Phasenubergange zweiter Ordnung zeigt, ndet man bei
schwacher Kopplung vorwiegend Phasenubergange erster Ordnung (Held, 1995). Eine genauere Untersuchung im Rahmen der Hartree{Fock{Approximation von Bostanov und van Dongen (1999) ergab, da die Hartree{Fock{Theorie bei sehr kleiner
Coulomb{Wechselwirkung im Grenzfall U ! 0 zunachst einen trikritischen Punkt mit
Tt = 0:56 TN (TN : Neel{Temperatur) zeigt. Mit wachsender Coulomb{Wechselwirkung nimmt der Bereich mit Phasenubergangen zweiter Ordnung schnell ab, und bei
U = 4 gilt bereits Tt = 0:97 TN (fur ein Bethe{Gitter mit Bandbreite W = 4), d. h. es
3.3. Von schwacher zu starker Kopplung bei halber Fullung
73
liegen fast nur noch Phasenubergange erster Ordnung vor. Dieses Szenario bei schwacher und das Szenario mit Phasenubergangen zweiter Ordnung bei starker Kopplung
sind als Grenzfalle in der Dynamischen Molekularfeld{Theorie (DMFT) enthalten.
Bei mittlerer Kopplung ist eine analytische Losung der DMFT nicht moglich, und
eine exakte Behandlung kann nur numerisch erfolgen. Wie in der Hartree{Fock{ oder
der Weissschen Molekularfeld{Theorie kann man sich auch in der DMFT auf die Untersuchung bestimmter Phasen beschranken. Mit einer Vorzugsrichtung bzw. \Easy{
Axis" in z{Richtung sind das die Phasen mit verschwindender Magnetisierung in x{
und y{Richtung, d. h. auf beiden Untergittern verschwindet die Green{Funktion
G"# = G#" = 0:
(3.17)
Abb. 3.3a zeigt die Magnetisierungskurve m(H ) fur U = 2 und eine Bethe{
Zustandsdichte der Bandbreite W = 4 (t 1). Unterhalb der Neel{Temperatur
TN = 0:114 0:006 zeigt die Magnetisierungskurve ein metamagnetisches Verhalten:
In einem kleinen Magnetfeld wird die Magnetisierung exponentiell mit abnehmender
Temperatur unterdruckt. Dann steigt die Magnetisierung stark an, und die ferromagnetische Suszeptibilitat (H ) = @m(H )=@H wird bei dem kritischen Magnetfeld Hc
des metamagnetischen Phasenubergangs maximal. Abb. 3.3 zeigt exemplarisch jeweils einen Phasenubergang erster und zweiter Ordnung. Eine genauere Analyse von
vielen Magnetisierungskurven zeigt fur U = 2, da der metamagnetische Phasenubergang zweiter Ordnung fur 1=14 T TN und erster Ordnung fur 0 T 1=14
ist. Bei Hc verschwindet der Ordnungsparameter des Phasenubergangs, die antiferromagnetische Magnetisierung, s. Abb. 3.3b. Aus dieser mAF (H ){Kurve wurde das
kritische Magnetfeld Hc berechnet. Fur die Phasenubergange zweiter Ordnung wurde
ein Quadratwurzel{Fit in der Nahe des U bergangs angenommen und fur die Phasenubergange erster Ordnung wurde Hc aus dem Mittelwert des Hysterese{Gebietes
bestimmt. Aus den Werten von Hc wiederum wurde das metamagnetische Phasendiagramm, Abb. 3.4, bestimmt.
Abb. 3.4 zeigt, wie sich das Phasendiagramm mit der Coulomb{Wechselwirkung
U andert. Die Ergebnisse fur U = 4 (Abb. 3.4a) wurden bereits in Held et al.
(1996) gefunden und sind hier nur zum Vergleich angegeben. Fur diese Coulomb{
Wechselwirkung ndet man Phasenubergange erster Ordnung fur 0 < T < 1=16 und
Phasenubergange zweiter Ordnung fur 1=8 < T < TN 1=5. Daneben zeigt sich
im Bereich mittlerer Temperaturen 1=16 < T < 1=8 ein noch komplizierteres Magnetisierungsverhalten. Wenn die statistischen Fehler der QMC{Methode auch eine
denitive Aussage schwer machen, so deuten die Ergebnisse doch auf zwei U bergange
hin: einen Phasenubergang erster Ordnung [zwischen einer Phase mit sehr kleiner
Magnetisierung m 0 (AFI ) und einer antiferromagnetischen Phase mit reduziertem mAF und deutlich groerer Magnetisierung m > 0 (AFII )] sowie einen weiteren
Phasenubergang zweiter Ordnung bei einem groeren Magnetfeld, bei dem die an-
74
3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
0.15
T=1/5
T=1/12
T=1/16
0.10
m
0.05
a)
0
0.50
0.40
0.30
mAF
0.20
0
b)
T=1/24
T=1/32
0.10
0
0.04
0.08
0.12
H
Abbildung 3.3: QMC{Ergebnisse mit Fehlerbalken fur (a) die Magnetisierung und fur (b)
die antiferromagnetische Magnetisierung als Funktion des Magnetfeldes bei verschiedenen
Temperaturen und U = 2 (halbe Bandbreite).
3.3. Von schwacher zu starker Kopplung bei halber Fullung
a)
0.3
75
U=4
CE
AFII
0.2
P
BCE
H
0.1
AFI
0
0.3
b)
0.2
U=3
H
U=2
0.1
0
0
0.05
0.10
0.15
T
0.20
Abbildung 3.4: H {T {Phasendiagramm fur das Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung in
der DMFT. fur (a) U = 4 und (b) U = 2 und 3. Gestrichelte Linien bezeichnen Phasenubergange zweiter, durchgezogene Phasenubergange erster Ordnung. AFI und AFII
sind antiferromagnetische Phasen mit unterschiedlicher Magnetisierung, P ist die paramagnetische Phase. BCE und CE geben den bikritischen und kritischen Endpunkt an. Die
Ergebnisse zu U = 3 wurden in der Diplomarbeit Blumer (1996) gewonnen.
76
3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
tiferromagnetische Magnetisierung vollstandig verschwindet. Diese Ergebnisse korrespondieren mit dem Szenario der Abb. 3.2b. Fur U = 2 wurden Phasenubergange
erster Ordnung in dem Intervall 0 < T 1=16 und solche zweiter Ordnung im
Bereich 1=14 < T < TN = 0:11 0:01 gefunden (s. Abb. 3.4b). Fur diese Coulomb{
Wechselwirkung ist der Bereich mit zwei aufeinander folgenden Phasenubergangen
bei zwei kritischen Magnetfeldern verschwunden oder sehr klein geworden. Dieses
Resultat ist ahnlich zu dem Schema aus Abb. 3.2a. Das Phasendiagramm fur U = 3
(Abb. 3.4b) zeigt einige Charakteristika des Szenarios aus Abb. 3.2b bzw. des Phasendiagramms fur U = 4. Insbesondere gibt es ein Maximum in der Kurve der Phasenubergange zweiter Ordnung, und die Linien erster und zweiter Ordnung haben
im Schnittpunkt eine unterschiedliche Steigung. Ein Bereich mit zwei aufeinander
folgenden U bergangen konnte in den numerischen Daten nicht festgemacht werden.
Damit liegt das Phasendiagramm fur U = 3 zwischen den Szenarien der Abb. 3.2a
und Abb. 3.2b.
Aus diesen drei Phasendiagrammen kann quantitativ der U bergang von mittlerer zu schwacher Kopplung analysiert werden. Dazu ist in Abb. 3.5 die Neel{
Temperatur bei H = 0 (Kreise) und die Temperatur Tc des kritischen Punktes,
bei der die metamagnetischen Phasenubergange zweiter Ordnung enden, (Quadrate)
eingezeichnet. Tc ist also gerade die Temperatur des kritischen Endpunktes bzw. des
trikritischen Punktes in Abb. 3.2a bzw. 3.2b. Unterhalb von Tc ist der metamagnetische Phasenubergang in einem externen Feld erster und oberhalb zweiter Ordnung.
Abb. 3.5 zeigt, wie mit abnehmender Coulomb{Wechselwirkung der Bereich mit Phasenubergangen zweiter Ordnung (Tc < T < TN ) immer weiter abnimmt, wahrend der
Bereich mit Phasenubergangen erster Ordnung nahezu konstant bleibt. Auf diese
Weise erfolgt der U bergang zum Hartree{Fock{Szenario, das bei diesen Coulomb{
Wechselwirkungen fast ausschlielich Phasenubergange erster Ordnung zeigt. Das
Hartree{Fock{Szenario sagt nach Bostanov und van Dongen (1999) auch, da fur
noch kleinere Coulomb{Wechselwirkungen der Bereich mit Phasenubergangen zweiter Ordnung wieder ansteigt.
3.4 Metallischer Metamagnetismus abseits halber
Fullung
Bislang wurden die metamagnetischen Phasenubergange im Hubbard{Modell mit
Vorzugsrichtung nur im isolierenden Fall halber Fullung untersucht. Eine Starke dieser Theorie korrelierter Elektronen ist aber gerade, da im Gegensatz zu den Spin{
Modellen auch metallische Metamagneten mikroskopisch beschrieben werden konnen.
Abseits halber Fullung bleibt die kommensurable antiferromagnetische Phase in einem groen Parameterbereich stabil, insbesondere in dem untersuchten Bereich mit
3.4. Metallischer Metamagnetismus abseits halber Fullung
77
0.25
0.20
T
TN
0.15
0.10
0.05
0
Tc
0
2.0
4.0
6.0
8.0
U
Abbildung 3.5: Neel{Temperatur TN (Kreise) und (tri{)kritische Temperatur Tc (Rauten)
als Funktion der Coulomb{Wechselwirkung U . Oberhalb von TN ist das System paramagnetisch. In dem Temperatur{Bereich Tc < T < TN nden in einem aueren Magnetfeld
metamagnetische Phasenubergange zweiter Ordnung statt, diese sind erster Ordnung fur
T < Tc .
Dotierung = j1 nj 0:075 und Temperatur T 1=32. Neben dem Antiferromagnetismus werden im Hubbard{Modell in der DMFT zwar inkommensurable
magnetische Phasen und Phasenseparation gefunden. Eine inkommensurable Phase
sagen Freericks und Jarrell (1995) aber nur bei noch tieferen Temperaturen als den
hier betrachteten voraus. Auch eine Phasenseparation, die im Rahmen der Hartree|
Fock{Theorie und Storungstheorie zweiter Ordnung bei konstantem Ordnungsparameter von van Dongen (1995) bei T = 0 gefunden wurde, tritt fur T 1=32 nicht
auf. Dies zeigt die n(){Kurve in Abb. 3.6, die ein monotones Verhalten ohne Sprung
zeigt. Wurde Phasenseparation auftreten, so mute die elektronische Kompressibilitat = @n=@ negativ werden oder eine Hysterese vorliegen.
Abb. 3.6 zeigt auch, da der dotierte Antiferromagnet metallisch wird, denn in
einem Isolator wie bei n = 1 wurde die Kompressibilitat verschwinden bzw. exponentiell klein in 1=T sein. Die Magnetisierungskurve des metallischen Metamagneten unterscheidet sich erheblich von der des isolierenden Metamagneten. So zeigt
Abb. 3.7a fur = 0:05 eine deutlich groere Magnetisierung bei kleinen Feldern als
fur den metamagnetischen Isolator ( = 0). In der Tat ist der metamagnetische Phasenubergang in der Magnetisierung wesentlich schwacher ausgepragt. Die Erklarung
78
3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
1.3
1.2
T=1/7
T=1/10
T=1/16
n
1.1
1.0
2.0
2.4
2.8
µ
3.2
3.6
Abbildung 3.6: Teilchendichte n als Funktion des chemischen Potentials im Grokano-
nischen Ensemble. Bei den untersuchten Temperaturen liegt Antiferromagnetismus in der
Nahe halber Fullung und Paramagnetismus fur = j1 nj > 0:075 vor. Es gibt kein Anzeichen fur eine Phasenseparation. Auch fur T = 1=32 (nicht dargestellt) wurde kein Indiz
auf Phasenseparation gefunden.
hierfur ist, da der metallische Metamagnet kein \Slater{Gap" an der Fermi{Kante
hat, und die homogene magnetische Suszeptibilitat damit wesentlich weniger durch
die antiferromagnetische Ordnung unterdruckt wird als bei halber Fullung. Der metamagnetische Phasenubergang ist jedoch deutlich sichtbar in der antiferromagnetischen Magnetisierung mAF (H ) (Abb. 3.7b). Aus der Kurve mAF (H ) wurde das
Phasendiagramm (Abb. 3.8) konstruiert. Im Vergleich zu halber Fullung ndet der
metamagnetische Phasenubergang mit zunehmender Dotierung bei immer kleineren
Temperaturen und Magnetfeldern statt. Das charakteristische Maximum in der Linie
der Phasenubergange zweiter Ordnung bleibt auch mit Dotierung bestehen. Phasenubergange erster Ordnung wurden fur T 1=32 nicht gefunden. Sie konnen aber
fur noch tiefere Temperaturen auftreten.
3.5 A nderung der elektronischen Kompressibilitat
Mit dem metamagnetischen Phasenubergang kann eine A nderung in der elektrischen
Leitfahigkeit des Systems einhergehen. Um diesen interessanten Eekt zu studieren,
wird im folgenden die A nderung der elektronischen Kompressibilitat mit wachsen-

3.5. Anderung
der elektronischen Kompressibilitat
79
0.15
δ=0
δ=0.05
0.10
m
0.05
a)
0
0.40
0.30
mAF
0.20
δ=0
δ=0.05
0.10
0
0
0.04
b)
0.08
H
0.12
Abbildung 3.7: (a) Magnetisierung m und (b) antiferromagnetische Magnetisierung mAF
als Funktion des aueren Magnetfeldes H fur U = 2 und T = 1=16. Im Gegensatz zu halber
Fullung (Dotierung = 0) wird die Magnetisierung abseits halber Fullung bei = 0:05
durch die antiferromagnetische Ordnung gegenuber der paramagnetischen Magnetisierung
kaum reduziert.
80
3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
a)
0.3
δ=0
CE
AFII
0.2
P
BCE
H
0.1
AFI
0
0.3
δ=0.025
δ=0.05
δ=0.075
0.2
H
0.1
b)
0
0
0.05
0.10
0.15
0.20
T

Abbildung 3.8: Anderung
des metamagnetischen H {T {Phasendiagramms mit Dotierung
fur U = 4. Abb. (a) wiederholt zum Vergleich das Phasendiagramm Abb. 3.4a bei halber
Fullung. Abb. (b) zeigt die Phasenubergange zweiter Ordnung, deren H {T {Bereich mit
der Dotierung rasch abnimmt. Fur T = 1=32 konnten im Rahmen des numerischen Fehlers
noch keine Phasenubergange erster Ordnung gefunden werden.
3.6. Diskussion und Zusammenfassung
81
dem Magnetfeld H untersucht. Diese ist ein Indiz dafur, ob das System isolierend
oder metallisch ist. Im Falle eines Isolators ist = 0 bei T = 0 und exponentiell
klein bei Temperaturen, die kleiner als das antiferromagnetische Gap sind. In einem
einfachen Metall wie einer Fermi{Flussigkeit ist dagegen proportional zur Zustandsdichte an der Fermi{Kante und damit auch zum Drude{Gewicht der Leitfahigkeit.
Eine endliche Kompressibilitat ist damit in aller Regel mit einem metallischen Verhalten verbunden. Es gibt aber auch Ausnahmen. So lassen sich beispielsweise in
einem durch Unordnung induzierten Anderson{Isolator Niveaus an der Fermi{Kante
besetzen. ist also endlich. Die Niveaus an der Fermi{Kante sind aber lokalisiert und
tragen nicht zur Leitfahigkeit bei.
Abb. 3.9 zeigt die elektronische Kompressibilitat als Funktion des Magnetfeldes
H bei U = 2. Bei halber Fullung ( = 0) steigt die Kompressibilitat mit wachsendem
Magnetfeld. Bei tieferen Temperaturen ist dieser Anstieg besonders ausgepragt. So ist
bei T = 1=25 fur ein Magnetfeld unterhalb des metamagnetischen Phasenubergangs
beinahe Null. Das System ist ein Isolator. Am metamagnetischen Phasenubergang
kommt es dann zu einem starken Anstieg der Kompressibilitat, zu einem Isolator{
Metall{U bergang im Magnetfeld. Bei hoheren Temperaturen wie z. B. T = 1=14 ist
dieser Isolator{Metall{U bergang in der Kompressibilitat nicht so deutlich zu sehen,
da aufgrund eines kleineren antiferromagnetischen Gaps und der hoheren Temperatur auch bei H = 0 relativ gro ist. Nicht abgebildet ist der U bergang bei
U = 4, wo die Kompressibilitat sowohl vor als auch nach dem metamagnetischen
Phasenubergang sehr klein ist (0 < < 0:03 fur T = 1=8). Bei dieser groeren
Coulomb{Wechselwirkung sind die Elektronen im wesentlichen als Spins lokalisiert,
und beim metamagnetischen Phasenubergang andern die Spins lediglich ihre Orientierung. Einen solchen metamagnetischen Isolator{Isolator{U bergang beschreiben auch
die eektiven Spin{Modelle, die man im Grenzfall groer Coulomb{Wechselwirkung
erhalt. Abseits halber Fullung beobachtet man ein ganz anderes Verhalten der elektronischen Kompressibilitat. Fur = 0:05 sinkt mit wachsendem H um ca. 50% am
metamagnetischen Phasenubergang. Abseits halber Fullung ndet also ein U bergang
von einem antiferromagnetischen Metall zu einem Metall mit homogener Magnetisierung statt.
3.6 Diskussion und Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurden metamagnetische Phasenubergange in stark anisotropen
Antiferromagneten anhand des Hubbard{Modells mit Vorzugsrichtung untersucht.
Diese quantenmechanische Behandlung in einem Modell korrelierter Elektronen unterscheidet sich erheblich von der traditionellen Beschreibung im Rahmen von Spin{
Modellen oder der (semi{)phanomenologischen Landau{Theorie der Phasenubergange. Insbesondere konnen qualitativ verschiedene Metamagneten in einem einzigen
82
3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
0.75
δ=0.05
T=1/14
T=1/25
∂n/∂µ
0.50
0.25
δ=0
0
0
0.04
0.08
0.12
H

Abbildung 3.9: Anderung
der elektronischen Kompressibilitat mit dem Magnetfeld H
fur U = 2 bei halber Fullung ( = 0) und abseits von halber Fullung ( = 0:05). Fur
= 0 sind Resultate bei T = 1=14 (durchgezogene Linie) und T = 1=25 (gestrichelte
Linie) eingetragen, fur = 0:05 nur diejenigen bei T = 1=14. Die Pfeile geben den me
tamagnetischen Phasenubergang an. Dieser Ubergang
ist bei halber Fullung gleichzeitig


ein Isolator{Metall{Ubergang
und abseits halber Fullung ein Metall{Metall{Ubergang
mit

einer starken Anderung der elektronischen Kompressibilitat.
einfachen Modell beschrieben werden: bandartige und spinartige Metamagneten, die
metallisch oder isolierend sein konnen. Der U bergang zwischen dem Band{ und dem
Spin{Bild erfolgt mit wachsender Coulomb{Wechselwirkung U . Bei halber Fullung
liegt ein metamagnetischer Isolator und abseits halber Fullung ein Metall vor. Der
U bergang zwischen diesen verschiedenen Bereichen ist eng verknupft mit zwei fundamentalen experimentellen Parametern, dem Druck (U=t nimmt mit wachsendem
Druck ab) und der Dotierung. Ein Spin{Modell kann dagegen nur isolierende Metamagnete mit lokalisierten Momenten beschreiben. Dies ist ein Grenzfall des mikroskopischen Modells korrelierter Elektronen. Dieser Grenzfall wurde in Abschnitt
3.2 in Storungstheorie bis zu Beitragen von einschlielich t4=U 3 analysiert. Es wurde
in der Weissschen Molekularfeld{Theorie gezeigt, da die metamagnetischen Phasenubergange in diesem Bereich selbst bei T = 0 von zweiter Ordnung sind. In
Abschnitt 3.3 wurde die A nderung des metamagnetischen H {T {Phasendiagramms
bei halber Fullung in der DMFT mit QMC{Simulationen studiert. Bei U = 4 ist die
Struktur des Phasendiagramms ahnlich zu dem von FeBr2 (Fert et al., 1973; Vettier
3.6. Diskussion und Zusammenfassung
83
et al., 1973; de Azevedo et al., 1995; Pelloth et al., 1995; Katori et al., 1996; Katsumata et al., 1997) bzw. dem Ising{Modell (Kincaid und Cohen, 1974; Kincaid und
Cohen, 1975; Selke, 1996) mit schwacher ferromagnetischer Wechselwirkung. Die Anwendung einer Molekularfeld{Theorie, die im Limes groer Koordinationszahl exakt
wird, erscheint fur FeBr2 besonders gerechtfertigt, da dieses System 20 aquivalente
Gitterplatze in zwei benachbarten Eisen{Ebenen hat (Hernandez, Diep und Bertrand, 1993). Mit sinkender Coulomb{Wechselwirkung U nimmt der Bereich mit Phasenubergangen zweiter Ordnung immer weiter ab. Das Maximum in der Phasenubergangslinie zweiter Ordnung verschwindet. Damit ahnelt das Phasendiagramm bei
U = 2 dem von FeCl2 (Stryjewski und Giordano, 1977). Diese Beobachtung stimmt
mit der Hartree{Fock{Theorie uberein, die fur diese Coulomb{Wechselwirkung einen
trikritischen Punkt wie in FeCl2 vorhersagt.
Abseits halber Fullung wurden in Abschnitt 3.4 metamagnetische Phasenubergange in metallischen Systemen wie z. B. Uran{Verbindungen (Sechovsky et al., 1994;
Brabers et al., 1994) untersucht. Fur die mikroskopische Beschreibung dieser Systeme ist eine Theorie korrelierter Elektronen, wie das Hubbard{Modell, notwendig.
Ein wesentlicher Unterschied zu den metamagnetischen Isolatoren tritt bereits in der
Magnetisierungskurve m(H ) auf. Der metamagnetische U bergang in den metallischen
Systemen ist in m(H ) wesentlich weniger ausgepragt. Die Ursache hierfur ist, da es
keine Energielucke an der Fermi{Kante gibt. Mit wachsender Dotierung nehmen die
kritischen Magnetfelder und Temperaturen fur den metamagnetischen Phasenubergang rasch ab.
Mit dem metamagnetischen Phasenubergang einher geht eine deutliche A nderung
der Leitfahigkeit des Systems. Anhand der elektronischen Kompressibilitat wurden
im Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung drei verschiedene Szenarien beobachtet:
1. Fur den spinartigen isolierenden Metamagneten (U 4 bei halber Fullung)
ndet ein U bergang von einem antiferromagnetischen Isolator zu einem Isolator
mit einem groen (ferro{)magnetischen Moment statt.
2. Ebenfalls bei halber Fullung, aber fur eine geringere Coulomb{Wechselwirkung
(z. B. U = 2), wurde gleichzeitig mit dem Verschwinden der antiferromagnetischen Ordnung am metamagnetischen Phasenubergang ein Isolator{Metall{
U bergang beobachtet. Ein solches Phanomen tritt beispielsweise in der antiferromagnetischen Phase des kolossalen Magnetowiderstand{(CMR{)Systems
La1 xCaxMnO3 auf. In der Nahe von x = 0:5 kann durch das Anlegen eines Magnetfeldes die antiferromagnetische Ordnung unterdruckt werden, wobei
der Widerstand um einige Groenordnungen abnimmt, s. Schier, Ramirez,
Bao und Cheong (1995) sowie Ramirez (1997). Da La1 xCaxMnO3 keine ausgepragte magnetische Anisotropie zeigt, ist die Behandlung im Rahmen eines
Modells mit \Easy{Axis" sicherlich nicht gerechtfertigt. Das Hubbard{Modell
84
3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten
mit Vorzugsrichtung beschreibt aber sowohl den isolierenden Antiferromagneten als Ausgangspunkt als auch das Metall mit ferromagnetischer Ausrichtung
der lokalen Momente am Endpunkt des U bergangs qualitativ korrekt.
3. Abseits halber Fullung andert sich die elektronische Kompressibilitat am metamagnetischen Phasenubergang um 50% bei U = 2 und Dotierung = 0:05. Ein
solcher Metall{Metall{U bergang mit einer starken A nderung des Widerstandes wird in verschiedenen stark anisotropen Metamagneten beobachtet, z. B. in
UPdGe, s. Sechovsky et al. (1994). Auch in metamagnetischen Schichtsystemen
tritt ein solcher gigantischer Magnetowiderstands{(GMR{)Eekt auf und wird
bislang durch die Theorie der spinabhangigen Streuung von Levy und Zhang
(1995) oder durch Bandeekte theoretisch beschrieben. Die Ergebnisse aus Abschnitt 3.5 zeigen, da auch elektronische Korrelationen eine solche A nderung
des Widerstandes im Magnetfeld verursachen konnen.
85
Kapitel 4
Kondo{Volumen{Kollaps{ und
Mott{U bergangs{Modell fur Cer:
Vergleich von Periodischem
Anderson{ und Hubbard{Modell
4.1 Einfuhrung
Volumen{Kollaps in Cer
Im Seltenerd{Metall Cer (Ce) kommt es mit wachsendem Druck zu einem auergewohnlichen Volumen{Kollaps. Bei 0.9 GPa und Raumtemperatur andert sich das
Volumen um 15%, s. Abb. 4.1 nach Olsen, Gerward, Benedict und Itie (1985). Es
ndet ein Phasenubergang erster Ordnung zwischen einer kubisch{achenzentrierten
(fcc) {Phase bei niedrigem Druck und einer fcc {Phase bei hohem Druck statt.
Einen ahnlichen U bergang mit 9% Volumenanderung ndet man im Nachbarelement
Praseodym (Pr) bei 573K (Soderlind, 1998). Die vorherrschende Meinung in der Literatur1 ist, da es sich im Fall von Ce um einen isostrukturellen U bergang handelt,
der durch die A nderung des Elektronensystems hervorgerufen wird. Von Eliashberg
und Capellmann (1998) wurde dies in Frage gestellt. Diese Autoren argumentierten auf Basis der experimentell von Davis und Adams (1964) beobachteten groeren
A nderung der Kompressibilitat in der {Phase, da {Ce eine symmetriegebrochene,
verdrehte Struktur hat. Diese Struktur wurde jedoch experimentell in Ce bisher nicht
beobachtet. In Praseodym, das ein f{Elektron mehr als Ce hat, ndet man eine solche
verdrehte fcc{Struktur, allerdings in der { und nicht in der {Phase, s. McMahan
S. z. B. Benedict, Grosshans und Holzapfel (1986) sowie McMahan, Huscroft, Scalettar und
Pollock (1998).
1
86

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
Abbildung 4.1: P (V ){Isotherme von Ce bei Raumtemperatur, entnommen aus Olsen
et al. (1985). Die gefullten und leeren Quadrate bezeichnen die { bzw. {Phase mit derselben fcc Struktur. Die anderen Symbole bezeichnen andere strukturelle Phasen.
et al. (1998) und Referenzen darin. In dieser Arbeit wird daher davon ausgegangen,
da der {{U bergang in Ce isostrukturell ist. Diese Einfuhrung gibt einen U berblick uber die moglichen elektronischen Ursachen. Den elektronischen Modellen ist
gemein, da sich mit dem Volumen das Verhaltnis von Coulomb{Wechselwirkung zu
f{Elektronen{Bandbreite oder f{d{Hybridisierung andert. U ber den genauen mikroskopischen Mechanismus besteht jedoch eine erhebliche Kontroverse.
\Promotional"{Modell
Das \Promotional"{Modell nach Zachariasen (1949) und Pauling (1947) versucht, den
{{U bergang durch eine A nderung der elektronischen Konguration von 4f 1(spd)3
nach 4f 0(spd)4 zu erklaren. Experimentelle Ergebnisse (Koskenmaki und Gschneider
4.1. Einfuhrung
87
Jr., 1979) und Bandstruktur-Rechnungen mit Lokaler Dichte{Approximation (LDA)
(Johansson, 1974) bestatigen allerdings nicht, da sich die Anzahl der f{Elektronen
in der Nahe des {{U bergangs entsprechend stark andert.
Mott{U bergangs{Modell
Aufgrund dieser experimentellen Erkenntnisse und der LDA{Rechnungen schlug Johansson (1974) das Mott{U bergangs{Modell vor. Dieses Modell geht von einem Mott{
U bergang zwischen zwei verschiedenen (meta{)stabilen Phasen aus: einer itineranten
{Phase, die durch ein traditionelles (Einteilchen{)Bandbild beschrieben wird, und
einer {Phase, in der ein f{Elektron pro Ce{Atom lokalisiert ist. Bei diesem Szenario
verschwindet das lokale magnetische Moment der {Phase beim U bergang in die itinerante {Phase. Wahrend die {Phase bei T = 0 zunachst metastabil ist (s. Abb. 4.2
nach Johansson et al. (1995)), gewinnt sie aufgrund der groeren Entropie mit steigender Temperatur erheblich mehr freie Energie als die {Phase. Bei einer kritischen
Temperatur erfolgt ein { {Phasenubergang erster Ordnung. Die Freie Energie
F (V; T ) = ELDA(V; T =0) TS
(4.1)
ist durch die LDA{Energie ELDA bei T = 0 und in der {Phase durch einen zusatzlichen Entropie{Term
S = kB ln(2J + 1)
(4.2)
mit J = 5=2 gegeben. Bei dem Phasenubergang erster Ordnung andert sich das
Ce{Volumen erheblich, s. Abb. 4.2.
In der aktuellen Ausarbeitung dieses Szenarios (Johansson et al., 1995) wird die
{Phase durch die Dichtefunktional{Theorie mit Gradienten{Korrektur (GGA) beschrieben. In der {Phase wird das lokalisierte Elektron dem Kern zugeschlagen,
und die ubrigen Elektronen werden im Rahmen der LDA behandelt. Das lokalisierte
Elektron wird neben dem Entropie{Term, Glg. (4.2), zusatzlich durch einen adjustierbaren Parameter E , der dem Term E (V; T = 0) in Glg. (4.1) zugeschlagen
wird, berucksichtigt. Diese Berechnung, welche die genaue Bandstruktur einbezieht,
ergibt eine gute U bereinstimmung mit der experimentell gewonnenen Pc(T ) Kurve
fur den Volumen{Kollaps. Eine verbesserte Beschreibung der {Phase kann im Rahmen der selbstwechselwirkungs{korrigierten Lokalen Dichte{Naherung (SIC{LDA)
erfolgen (Szotek, Temmerman und Winter, 1994; Svane, 1994; Svane, 1996; Soderlind, 1998). In diesen Berechnungen ergibt sich ebenfalls ein Energieunterschied zwischen { und {Phase in der richtigen Groenordnung, d. h. mRy (10 2eV). Allerdings ist dieser erheblich geringer als bei Johansson et al. (1995), und die {Phase ist
| im Gegensatz zum Experiment | fur alle Temperaturen bei Atmospharendruck
sogar stabiler als die {Phase ((Svane, 1994) bzw. (Szotek et al., 1994)).
88

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
Abbildung 4.2: Energie und freie Energie fur { und {Ce als Funktion des Volumens
aus Johansson et al. (1995). Der Bereich zwischen den beiden Losungen wird durch ein
Legierungs{Modell der Form Cex Ce1 x beschrieben, so da sich eine einzige F (V ){Kurve
ergibt. Der Volumen{Kollaps entsteht in diesem Modell durch die Absenkung der Energie
der bei T = 0 metastabilen {Losung mit wachsender Temperatur. Ursache hierfur ist die
hohere Entropie.
4.1. Einfuhrung
89
Diese Berechnungen konnen als ein ausgefeilter | und durchaus erfolgreicher |
Versuch angesehen werden, einen Mott{U bergang in Ce, d. h. ein Problem hoch{
korrelierter Elektronen, im Rahmen eines letztendlich auf einem Einteilchen{Bild beruhenden Verfahrens zu beschreiben. Insbesondere in der Nahe des { {U bergangs
konnen elektronische Korrelationen allerdings eine groere Rolle spielen als in diesem
Mott{U bergangs{Modell angenommen wurde. Zu beachten ist weiterhin, da die Beschreibung der { und {Phase mit Hilfe zweier unterschiedlicher Methoden bereits
von zwei verschiedenen (meta{)stabilen Losungen ausgeht. Das Ergebnis eines Phasenubergangs erster Ordnung zwischen diesen beiden verschiedenen Losungen wird
also bereits per constructionem hineingesteckt.
Kondo{Volumen{Kollaps{Modell
Kontrovers zum Mott{U bergangs{Modell wird das Szenario eines Kondo{Volumen{
Kollapses (KVC) diskutiert. Dieses Modell des { {U bergangs wurde von Allen
und Martin (1982) sowie von Lavagna, Lacroix und Cyrot (1983) vorgeschlagen.
Dabei werden die f{Elektronen durch das Kondo{Modell und in neueren Arbeiten
(Allen und Liu, 1992; Liu, Allen, Gunnarson, Christensen und Andersen, 1992) auch
durch ein Storstellen-Anderson{Modell beschrieben. Der Unterschied zwischen {
und {Phase beruht auf einer unterschiedlich groen f{d{Hybridisierung bzw. Kondo{
Austausch{Konstante J , die vom Volumen abhangt. Dies fuhrt im Kondo{Modell zu
stark verschiedenen Kondo{Temperaturen
1 TK / exp N (0)
(4.3)
J
in der und {Phase, wobei N (0) die d{Elektronen{Zustandsdichte an der Fermi{
Kante ist.2 Der Kondo{Eekt fuhrt zu einem anomalen Beitrag zur Grundzustandsenergie EK TK bzw. zur Freien Energie FK . Dieser anomale Beitrag bildet zusammen mit dem normalen Beitrag, der z. B. durch den Kompressionsmodul BN 280
kbar (bei VN = 36A3) der Nachbarelemente La und Pr beschrieben werden kann, die
Freie Energie
2
(4.4)
F (V; T ) = 21 BN (V V VN ) + FK (V; T ):
N
Beim KVC{Szenario entsteht der Volumen{Kollaps nun durch eine thermodynamische Instabilitat des Systems gegenuber einer Volumenanderung. Er tritt auf,
Die Kondo{Temperatur fur { und {Ce kann dabei aus der Breite der quasi{elastischen
magnetischen Streuung in Neutronenstreu{Experimenten bestimmt werden, / TK . Aus Glg. (4.3)
werden dann die entsprechenden Austausch{Konstanten J in der { und {Phase bestimmt. Im experimentell nicht zuganglichen Volumenbereich zwischen diesen Phasen wird exponentiell (Lavagna
et al., 1983) bzw. nach einem Potenzgesetz (Allen und Martin, 1982) interpoliert.
2
90

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
Abbildung 4.3: Anomaler Beitrag aufgrund des Kondo{Eekts im Single{Impurity{
Anderson{Modell zur Energie in Abhangigkeit vom Volumen nach Allen und Liu (1992).
Egs : Grundzustandsenergie des Kondo{Singuletts in Ce; EgsLa Pr: f{Elektronen{Beitrag in
La und Pr, der im Kompressionsmodul BN berucksichtigt wird. Der anomale Beitrag
Egs EgsLa Pr stimmt naherungsweise mit TK uberein.
wenn @ 2 F (V; T )=@V 2 < 0 ist. In diesem Fall wird die Energie durch eine Maxwell{
Konstruktion minimiert, d. h. es ist energetisch gunstiger, wenn das System in eine
Phase mit kleinerem und eine mit groerem Volumen separiert. Damit es zu einem
KVC kommt, mu der anomale Beitrag @ 2 FK (V; T )=@V 2 den stets positiven Beitrag
des normalen Terms kompensieren. Aufgrund der starken Abhangigkeit der Kondo{
Temperatur vom Volumen ist dies moglich (s. Abb. 4.3).
Abb. 4.4 nach Allen und Liu (1992) zeigt die P (V ) = @F (V; T )=@V Isothermen mit der Maxwell{Konstruktion. Die Behandlung mit Hilfe des Single{Impurity{
Anderson{Modells erlaubt auch die Beschreibung des Ce{Spektrums (Liu et al.,
1992), das in der {Phase eine Resonanz in der Nahe der Fermi{Kante aufweist
[s. Abb. 4.5 nach Wuilloud, Moser, Schneider und Baer (1983) sowie Hillebrecht,
Fuggle, Sawatzky und Campagna (1984)].
In diesem Kapitel soll der Volumen{Kollaps in Ce mit Hilfe des Periodischen
Anderson{Modells (PAM) untersucht werden. Dies ist die Verallgemeinerung des
Single{Impurity{Anderson{Modells auf das Gitter und damit das dem Kondo{Volumen{Kollaps zugrundeliegende Modell. Abschnitt 4.2 bespricht das PAM, dessen
Behandlung im Rahmen der Dyamischen Molekularfeld{Theorie (DMFT) und die
DMFT{Literatur zum PAM. Abschnitt 4.3 prasentiert einen Mott{U bergang im PAM
4.1. Einfuhrung
91
Abbildung 4.4: Im Rahmen des Kondo{Volumen{Kollaps{Modells berechnete P (V ){
Isothermen (durchgezogen) und Maxwell{Konstruktion (gestrichelt) nach Allen und Liu
(1992).
Abbildung 4.5: Isochromatisches Bremsstrahlungs{Spektrum (BIS) von Ce als Funktion
der Frequenz in eV. Links: {Ce nach Wuilloud et al. (1983); rechts: {Ce nach Wuilloud
et al. (1983) und Hillebrecht et al. (1984).
92

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
bei endlichen Temperaturen. Abschnitt 4.4 zeigt die A hnlichkeit der beobachteten
Phasen und U bergange des PAM mit denen des Hubbard{Modells auf. In Abschnitt
4.5 werden die Energie, die spezische Warme und die Spin{Spin{Korrelations{
Funktion berechnet und teilweise mit den QMC{Simulationen fur das 43{Gitter verglichen. Die wichtigsten Ergebnisse werden in Abschnitt 4.6 zusammengefat und die
Implikationen fur das KVC{ und Mott{U bergangs{Modell besprochen.
4.2 Dynamische Molekularfeld{Theorie fur das
Periodische Anderson{Modell
Periodisches Anderson{Modell
Das PAM ist das minimale Modell korrelierter Elektronen zur Beschreibung von f{
Elektronensystemen. In diesem Modell wird die detaillierte orbitale Struktur vernachlassigt. Stattdessen werden die (s{, p{, d{)Leitungselektronen{Bander durch
ein einziges Band mit Dispersion dk und die f{Elektronen durch ein atomares spinentartetes Niveau f beschrieben. Die Leitungs{Elektronen mit Impuls k und die
f{Elektronen hybridisieren mit Starke Vk. Neben den Einteilchen{Potentialen gibt es
eine lokale Coulomb-Abstoung Uf zwischen zwei f{Elektronen. In zweiter Quantisierung werden diese Terme im Grokanonischen Ensemble mit chemischem Potential
durch den Hamilton{Operator
H^ PAM =
X
k
k n^kd + f
+ Uf
X
i
X
n^fi" n^ fi#
i
n^ fi +
X
i
X
k
Vk (d^yk f^k + f^ky d^k )
n^ fi + n^di
(4.5)
ausgedruckt. Dabei ist n^dk (^nfi ) der Besetzungszahl{Operator fur Leitungs{Elektronen (f{Elektronen) im k{Raum (am Gitterplatz i) mit Spin , dyk bzw. dk ist der
Erzeugungs{ bzw. der Vernichtungs{Operator fur Leitungs{Elektronen mit Impuls
k und Spin , fky bzw. fk der fur f{Elektronen. Die Verwendung von d fur die
Leitungs{Elektronen deutet an, da in Ce die d{Elektronen am starksten mit den
f{Elektronen hybridisieren (McMahan et al., 1998). Der Ansatz eines einzigen f{
Niveaus erscheint fur Ce eher gerechtfertigt als fur andere Seltenerd{Metalle, da Ce
eine elektronische Konguration mit einem f{Elektron hat, und somit Multiplett{
Aufspaltungen eine geringere Rolle als in den Nachbar{Elementen spielen. Die d{
Bander werden in dieser Arbeit durch ein einfaches \Tight{Binding"{Band mit einem
Nachst{Nachbar{Transfers tdd auf dem einfach kubischen Gitter (scc) beschrieben:
Dynamische Molekularfeld{Theorie fur das Periodische Anderson{Modell
93
dk = 2tdd [cos(kx) + cos(ky ) + cos(kz )]:
(4.6)
Der Hamilton{Operator (4.5) ist fur f = 0 und = U=2 symmetrisch unter einer
Teilchen{Loch{Transformation. Dieses symmetrische PAM hat die Eigenschaft, da
die f{ und d{Niveaus fur alle Temperaturen T , f{d{Hybridisierungen Vk , CoulombWechselwirkungen Uf und Hupfamplituden tdd im Mittel halb besetzt sind, d. h.
hn^f i = hn^d i = 1.
f{d{Hybridisierung
Die Wahl der f{d{Hybridisierungen Vk soll etwas detaillierter erortert werden. Die
gebrauchlichste Hybridisierung ist eine konstante Hybridisierung
Vk = tdf :
(4.7)
Im Ortsraum entspricht dies einem lokalen U berlapp zwischen d{ und f{Elektronen
am gleichen Gitterplatz. Dies vereinfacht zwar viele Berechnungen, ist aber auch
unphysikalisch. Denn dieser U berlapp verschwindet gerade, weil die f{ und d{Orbitale
orthogonal zueinander sind. Der grote nicht{verschwindende U berlapp ist damit der
Nachst{Nachbar{U berlapp. Ein Nachst{Nachbar{U berlapp wird durch
Vk = 2tdf [cos(kx) + cos(ky ) + cos(kz )]
(4.8)
beschrieben. Diese Wahl der Hybridisierung berucksichtigt allerdings nicht, da die
d{Orbitale eine gerade und die f{Orbitale eine ungerade Paritat haben. Damit hat
das Transfer{Integral in positiver x{Richtung gegenuber dem in negativer x{Richtung
das entgegengesetzte Vorzeichen. Man erhalt einen sin(kx){Term anstelle des cos(kx){
Terms. Unter Vernachlassigung der Richtungsabhangigkeit der Transfer{Integrale, die
durch das Dipol{ und das Quadrupol{Moment der Orbitale verursacht wird, erhalt
man
Vk = 2itdf [sin(kx) + sin(ky ) + sin(kz )]:
(4.9)
In Abb. 4.6 sind die wechselwirkungsfreien (Uf = 0), frequenz{abhangigen f{
Elektronen{Spektralfunktionen Af (!) des symmetrischen PAM fur die drei eingefuhrten Hybridisierungen angegeben. Die Spektralfunktionen wurden aus dem Imaginarteil der f{f{Komponente (in Glg. (4.10) entspricht dies der 1{1{Komponente) der
Green{Funktion
Z
Z
1
1
3
1
G(!) = 83 d k (! Hk ) = 83 d3 k
!
Vk
Vk ! dk
1
(4.10)

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
94
0.25
0.2
0.15
Af (ω)
0.1
0.05
0
−10
−5
0
ω
5
10
Abbildung 4.6: Wechselwirkungsfreie Spektralfunktionen Af (!) fur konstante (durchge-
zogene Linie), sinus{formige (gestrichelte Linie) und cosinus{formige (gepunktete Linie)
Hybridisierung bei tdd = 1 und tdf = 1.
via
Z
1
1
1
Af (!) = Im Gff (!) = Im 83 d3k 1 Vk2
! ! dk
(4.11)
bestimmt. Die drei Spektralfunktionen unterscheiden sich wesentlich. Bei der konstanten Hybridisierung, Glg. (4.7), existiert ein Gap an der Fermi{Kante. Das System ist
damit sogar bei Uf = 0 ein Isolator. Die sinus{formige Hybridisierung, Glg. (4.9),
fuhrt zu einem Quasi{Gap. Nur die cosinus{formige Hybridisierung, Glg. (4.8), hat
eine endliche Zustandsdichte an der Fermi{Kante (! = 0) und beschreibt ein Metall.
Die Ursache des metallischen bzw. isolierenden Verhaltens wird klarer, wenn man
die Einteilchen{Energien im k{Raum, d. h. die Eigenwerte der 2 2{Matrix aus
Glg. (4.10) berechnet. Die Einteilchen{Energien ergeben sich zu:
s
= k
V2+
k
d 2 d
k
k
2 + 2:
(4.12)
Dynamische Molekularfeld{Theorie fur das Periodische Anderson{Modell
95
Fur das symmetrische PAM liegt die Fermi-Energie bei F = 0. Eine konstante Hybridisierung Vk = tdf bewirkt nun ein Aufsplitten von + und . Es existiert eine
Energielucke an der Fermi{Kante von der Groe
s
t2df
d 2
max
dmax;
(4.13)
2
wobei dmax die obere Bandkante des d{Elektronen{Bandes ist, d. h. nach Glg. (4.6)
dmax = 6 tdd . Fur die cosinus{formige Nachst{Nachbar{Hybridisierung ist dagegen
Vk = 0 an der Fermi{Kante. Damit verschwindet die Wurzel in Glg. (4.12) an der
Fermi{Kante und folglich die Aufspaltung der Bander. Es liegt ein Metall vor.
Dieser qualitative Unterschied bleibt auch mit Coulomb{Wechselwirkung bestehen, wenn eine Fermi{Flussigkeits{Phase vorliegt, s. a. Hewson (1993). Dann ist die
Selbstenergie in hinreichender Nahe zur Fermi{Kante gegeben durch die linearen
Terme einer Taylor{Reihe
(!; k) = @! (! ) + rk (k kF ):
(4.14)
Dies fuhrt auf eine modizierte Green{Funktion (~! = ! )
=2
+
!~ @ !~ r (k k )
!~
k
F
G k (! ) =
1
Vk
:
Vk
!~ dk
Die Pole dieser Green{Funktion liegen bei den Quasiteilchen{Energien
s
= k
ZV 2 +
k
d + Z r ( k k ) 2 d + Z r ( k k )
k
F
k
F
k
+ k
;
2
2
(4.15)
(4.16)
wobei Z = 1 @! 1 das Quasiteilchen-Gewicht ist. Da k kF an der Fermi{Kante
verschwindet, hangt die Existenz oder Nichtexistenz
eines Gaps auch in der Fermip
Flussigkeit nur von dem Verhalten des um Z renormierten Vk ab. Das Metall bei
Uf = 0 bleibt auch mit Wechselwirkung ein Metall, der Isolator bleibt ein Isolator.
Im Falle einer k{unabhangigen Selbstenergie ist die f{f{Komponente der Green{
Funktion bis auf die Renormierung durch das Quasiteilchen{Gewicht mit der wechselwirkungsfreien Green-Funktion identisch:
Z
1
Z
ff
Gk (!) = 83 d3k
(4.17)
2 :
!~ Z rk (k kF ) !~ZVkdk
Um mit dem symmetrischen PAM ein Metall wie Ce zu beschreiben, ist von
den drei angefuhrten Hybridisierungs{Funktionen die cosinus{formige, Glg. (4.8), die
einzig mogliche.
96

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
Dynamische Molekularfeld{Theorie
In der DMFT werden die f{Elektronen des PAM durch das Einplatz{Problem
Z
1
ff
G =
D[ ]D[ ] eA[ ; ;G 1];
(4.18)
n
Z
n n
beschrieben (Georges et al., 1996), wobei n die Matsubara{Frequenz !n = (2n+1)=
indiziert, G 1 = G 1 + und
A[ ; ; G 1] =
X
;n
1
n Gn n
Z
Uf d "( ) " ( ) # ( ) # ( )
(4.19)
0
ist. Das atomare Einplatz{Modell der DMFT, Glg. (4.18), fur das PAM ist mit dem
des Hubbard{Modells, Glg. (1.12), identisch (zur Denition von Z , , n und s.
dort). Fur die folgenden Ergebnisse wurde dieses Einplatz{Problem mit QMC{Simulationen gelost (s. Abschnitt 1.2). Der Unterschied zwischen PAM und Hubbard{
Modell besteht in einer unterschiedlichen Selbstkonsistenz{Gleichung, d. h. in einer
unterschiedlichen Ankopplung an das Gitter. Fur das PAM lautet diese Selbstkonsistenz{Gleichung
Z
1
1
ff
G (!) = 83 d3 k
(4.20)
2 :
! + f n !+Vk dk
In den Gleichungen (4.18) und (4.20) tauchen die d{Elektronen nicht mehr auf. Da
diese nur quadratisch in die eektive Wirkung eingehen, konnten sie ausintegriert
werden. Es verbleibt ein eektives Einband{Problem der f{Elektronen mit einem
retardierten Potential, das in Frequenz{Darstellung die Form Vk2=(! + dk ) hat.
DMFT{Literatur zum Periodischen Anderson{Modell
Das PAM wurde in der DMFT mit konstanter Hybridisierung, Glg. (4.7), intensiv
untersucht. Die meisten Arbeiten betrachteten dabei das symmetrische PAM. Fur
konstante Hybridisierung ist das System ein Kondo{Isolator. An dieser Stelle sollen
einige wichtige Arbeiten kurz besprochen werden. Jarrell, Akhlaghpour und Pruschke
(1993) untersuchten das symmetrische PAM mit QMC-Simulationen und beobachteten die Entwicklung eines Gaps innerhalb der Quasiteilchen{Resonanz an der Fermi{
Kante mit sinkender Temperatur. Mit diesem Ladungs{Gap geht ein magnetisches
Spin{Gap der gleichen Groe einher. Weitere Ergebnisse sind ein Skalenverhalten der
spezischen Warme und die Instabilitat gegenuber antiferromagnetischer Ordnung.
Die antiferromagnetische Ordnung, insbesondere das TN {tdf {Phasendiagramm, wurde von Sun, Yang und Hong (1993) im Rahmen der Slave{Bosonen{Molekularfeld{
Theorie untersucht. Eine weitere Untersuchung der antiferromagnetischen Instabilitat
Dynamische Molekularfeld{Theorie fur das Periodische Anderson{Modell
97
des symmetrischen PAM, insbesondere das Uf {tdf {Phasendiagramm bei T = 0, ndet
man bei Rozenberg (1995). In dieser Arbeit wurde das Einplatz{Problem durch exakte Diagonalisierung des entsprechenden Storstellen{Anderson{Modells gelost. Im
Gegensatz zum Hubbard{Modell mit \Perfect{Nesting"{Zustandsdichte tritt bei der
verwendeten konstanten Hybridisierung Antiferromagnetismus erst ab einer endlichen Coulomb{Wechselwirkung auf. Unterhalb eines kritischen Uf / t2df liegt ein
paramagnetischer Kondo{Isolator vor, oberhalb dieses kritischen Uf ein antiferromagnetischer Isolator. Eine ausfuhrliche Diskussion des symmetrischen PAM anhand
von QMC{Ergebnissen ndet man bei Jarrell (1995). Das Hybridisierungs{Gap in
der paramagnetischen Phase wird dort ausfuhrlich diskutiert, ebenso die magnetischen Eigenschaften. Das TN {Uf {Phasendiagramm zeigt ein kritisches Uf , oberhalb
dessen eine antiferromagnetische Instabilitat existiert. Wie im Hubbard{Modell zeigt
die TN (Uf ){Kurve ein Maximum.
Czycholl et al. (1993) untersuchten erstmals das asymmetrische PAM. In selbstkonsistenter Storungstheorie zweiter Ordnung in der Coulomb{Wechselwirkung Uf
untersuchten sie die magnetische Suszeptibilitat, den Widerstand und die Hall-Konstante als Funktion der Temperatur. Ein interessantes Ergebnis ist auch das metamagnetische Verhalten (s. a. Kapitel 3) bei und in der Nahe halber Fullung, d. h.
das des symmetrischen PAM. Aufgrund des mit dem Ladungs{Gap einhergehenden
Spin{Gap ist die Magnetisierung bei kleineren Magnetfeldern zunachst gering. Mit
wachsendem Magnetfeld wird das Spin{Gap uberwunden, die Magnetisierung steigt
stark an. Der Metamagnetismus des symmetrischen PAM wurde ebenfalls intensiv
von Saso (1997a; 1997b) mit Hilfe der gleichen storungstheoretischen Behandlung
und exakter Diagonalisierung untersucht. Eine weitere storungstheoretische Behandlung mit Hilfe der iterierten Storungstheorie (IPT) ndet man bei Georges et al.
(1996). Das berechnete Spektrum zeigt, im Gegensatz zu typischen Ergebnissen3 der
von Czycholl et al. (1993) verwendeten selbstkonsistenten Storungstheorie, in qualitativer U bereinstimmung mit den QMC{Simulationen von Jarrell et al. (1993) neben
der zentralen Resonanz mit Gap zwei Satelliten bei Uf =2.
Einen detaillierten Vergleich zwischen asymmetrischem PAM und Storstellen{
Anderson{Modell ndet man bei Tahvildar-Zadeh, Freericks und Jarrell (1997; 1998).
Die QMC{Simulationen zeigen insbesondere, da die Kondo{Temperatur des PAM
wesentlich kleiner ist als die des Storstellen{Anderson{Modells und da die zentrale Kondo{Resonanz im PAM weniger stark temperaturabhangig ist. TahvildarZadeh, Freericks und Jarrell (1997) berechnen auch das magnetische T {hn^di{Phasendiagramm bei hn^f i 1 mit Antiferromagnetismus in der Nahe des symmetrischen Punktes hn^d i = 1 und Ferromagnetismus in der Nahe der Viertel{Fullung,
d. h. hn^d i = 0:5. Eine neuere Arbeit von Tahvildar-Zadeh, Jarrell und Freericks
Spektralfunktionen zur selbstkonsistenten Storungstheorie zweiter Ordnung in korrelierten Elektronensystemen geben Schweitzer und Czycholl (1990) an.
3

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
98
(1998) zeigt eine supraleitende Instabilitat des PAM.
4.3 Der Mott-U bergang im Periodischen
Anderson{Modell
Lokales Moment
Wenn nicht anders angegeben, wird in der folgenden DMFT{Analyse des symmetrischen PAM, Glg. (4.5), die cosinus{formige Nachst{Nachbar{Hybridisierung, Glg.
(4.8), verwendet. Die Energieskala wird durch tdd 1 gesetzt und U = 6 gewahlt. In
eV entspricht dies realistischen Parametern fur Ce, das in LDA{Rechnungen vor allem
eine A nderung von tdf mit dem Volumen zeigt (McMahan et al., 1998). Alle Rechnungen wurden in der paramagnetischen Phase durchgefuhrt, z. T. bei Temperaturen, bei
denen eigentlich antiferromagnetische Ordnung vorliegt. In diesem Fall entsprechen
die Rechnungen einem Modell mit identischer Zustandsdichte, in dem Antiferromagnetismus jedoch durch eine geeignete Dispersionsrelation frustriert wird,4 wie bei
ahnlichen Untersuchungen von Georges et al. (1996) fur das Hubbard{Modell. Eine
Analyse der antiferromagnetischen Instabilitat der paramagnetischen Phase wird in
Kapitel 4.4 nachgeholt. Die Vergleiche mit dem Hubbard{Modell, Glg. (1.7), beziehen sich auf das einfach{kubische Modell mit Nachst{Nachbar{Transfer t, d. h. mit
der gleichen Dispersionsrelation wie die der d{Elektronen im PAM, Glg. (4.6).
Die Coulomb{Wechselwirkung U unterdruckt Doppelbesetzungen hn^i"n^i# i und
fuhrt so zur Bildung eines lokalen magnetischen Moments hm2z i = h(^ni" n^i# )2i =
hn^i" +^ni#i 2hn^i"n^i#i. Abb. 4.7 zeigt dieses lokale Moment fur drei verschiedene Werte
der Hybridisierung als Funktion der QMC{Diskretisierung . Physikalisch relevant
ist naturlich nur der extrapolierte Wert ! 0. Das Hauptergebnis von Abb. 4.7 ist,
da der extrapolierte Wert sich von dem Wert bei = 0:125 in etwa um die SymbolGroe, d. h. um hm2z i = 0:005, unterscheidet. Wegen der geringen {Abhangigkeit
wird daher nachstehend |auer bei der Bestimmung der antiferromagnetischen Suszeptibilitat| auf eine {Extrapolation verzichtet und bei = 0:125 gerechnet.
Die Ausbildung eines magnetischen Moments mit wachsender Coulomb Wechselwirkung U bzw. abnehmendem tdf bei konstantem Uf = 6 zeigt Abb. 4.8. In der
Hartree{Fock{Approximation (exakt fur tdf = 0) werden elektronische Korrelationen
vernachlassigt, d. h. hn^i" n^i# i = hn^i" ihn^i#i und damit hm2z i = 12 . Dies ist zugleich der
Grenzwert von hm2z i bei kleinen Coulomb{Wechselwirkungen Uf bzw. groen Hybridisierungen tdf . Andererseits sind im atomaren Limes bei kleinen tdf die DoppelbeJede Zustandsdichte lat sich durch verschiedene Dispersionsrelationen realisieren, s. z. B. Wahle
et al. (1998).
4

4.3. Der Mott-Ubergang
im Periodischen Anderson{Modell
99
1
0.95
0.9
0.85
0.8
2
<mZ > 0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
0
0.05
0.1
∆τ
0.15
0.2
0.25
Abbildung 4.7: Extrapolation ! 0 des lokalen magnetischen Moments hm2z i bei
tdf = 1:5 (Quadrate), tdf = 1 (Kreise) und tdf = 0:6 (Dreiecke). Die Fehlerbalken geben
den statistischen Fehler an und gehen praktisch nicht u ber die Liniendicke hinaus.
setzungen vollstandig unterdruckt. Es liegen entkoppelte Spins mit hm2z i = 1 vor.
Abb. 4.8 zeigt einen kontinuierlichen U bergang zwischen diesen beiden Grenzfallen
itineranter und lokalisierter f{Elektronen. Die DMFT{Ergebnisse stimmen bei kleinen tdf hervorragend mit den QMC{Rechnungen von McMahan et al. (1998) auf
dem 43{Gitter mit periodischer Fortsetzung uberein. Bei groeren tdf ergeben sich
dagegen Abweichungen, die moglicherweise durch das | hier wichtiger werdende |
\Finite{Size{Scaling" bedingt sind.
Normalerweise nimmt die Anzahl der Doppelbesetzungen mit sinkender Temperatur wegen der geringeren Bedeutung der Entropie ab, das magnetische Moment also
zu. Fur kleine tdf wird dieses Verhalten in Abb. 4.9 auch beobachtet. Im Gegensatz
dazu nimmt fur groere tdf das magnetische Moment mit der Temperatur signikant
ab. Die Ursache fur dieses Verhalten ist der Kondo{Eekt: Durch die Hybridisierung tdf werden die lokalen f{Elektronen{Momente mit sinkender Temperatur auf
einer Nieder{Energieskala abgeschirmt. Gleichzeitig bildet sich in der f{Elektronen{
Spektralfunktion eine zentrale Abrikosov{Suhl{Resonanz.

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
100
1
0.95
0.9
0.85
0.8
2
<mZ > 0.75
0.7
0.65
QMC
DMFT
0.6
0.55
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
tfd
1
1.2
1.4
1.6
Abbildung 4.8: Vergleich zwischen DMFT und endlich{dimensionaler QMC{Simulation
fur das lokale magnetische Moment hm2z i als Funktion der Hybridisierung tdf .
1
0.95
0.9
2
<mZ >
0.85
0.8
T=0.1
T=0.2
T=0.4
0.75
0.7
0.65
0
0.2
0.4
0.6
0.8
tfd
1
1.2
1.4
1.6
Abbildung 4.9: Lokales magnetisches Moment hm2z i als Funktion der Hybridisierung tdf
bei verschiedenen Temperaturen in der DMFT.

4.3. Der Mott-Ubergang
im Periodischen Anderson{Modell
101
Spektralfunktion
Abb. 4.10 zeigt die Spektralfunktion der f{Elektronen des PAM fur zwei unterschiedliche Hybridisierungs{Starken. Bei einer kleinen Hybridisierungs{Starke von tdf = 0:3
liegen in Abb. 4.10a zwei schmale Bander bei U=2 vor. Dies entspricht einer Phase mit lokalisierten f{Elektronen. Ist die Hybridisierung starker (tdf = 1 in Abb.
4.10b), so bildet sich zusatzlich eine zentrale Abrikosov{Suhl{Resonanz an der Fermi{
Kante. Im Gegensatz zum PAM mit konstanter Hybridisierung zeigt das PAM mit
Nachst{Nachbar{Hybridisierung in Abb. 4.10b keine Aufspaltung dieser Resonanz.
Die f{Elektronen sind daher itinerant und tragen zur Leitfahigkeit des Systems bei.
Mit der Ausnahme einer Reduktion der Spektralfunktion an der Fermi{Kante stimmen die Ergebnisse der DMFT hervorragend mit den QMC{Simulationen fur das
43{Gitter uberein.
Die Spektralfunktion des PAM mit Nachst{Nachbar{Hybridisierung ist erstaunlich ahnlich zu der des Hubbard{Modells. Dies trit sowohl auf die Phase mit itineranten als auch auf die mit lokalisierten f{Elektronen zu, s. die Nebenbilder in Abb.
4.10a und b. In diesem Abschnitt wird daher der U bergang zwischen lokalisierten und
itineranten f{Elektronen im PAM und Hubbard{Modell ausfuhrlich verglichen.
Abb. 4.11 stellt fur das PAM dar, wie die Quasiteilchen{Resonanz mit abnehmendem tdf zunachst schmaler wird und schlielich vollstandig verschwindet. Aus metallischen f{Elektronen werden lokalisierte f{Elektronen. Dieser U bergang wird durch den
wachsenden Einu der Coulomb{Wechselwirkung mit Uf =tdf induziert, ist also ein
Mott{U bergang.5 Im Hubbard{Modell wurde eine Phase ahnlich der von tdf = 0:65,
bei der die Quasiteilchen{Resonanz bereits verschwunden ist, die Spektralfunktion
aber noch endlich ist, von Schlipf, Jarrell, van Dongen, Blumer, Kehrein, Pruschke
und Vollhardt (1999) als Indiz fur Nicht{Fermi{Flusssigkeits{Verhalten gedeutet.
Quasiteilchen{Gewicht und Kompressibilitat
Bei dem Mott{U bergang andert die Selbstenergie ihr Verhalten (s. Abb. 4.12). Fur
groe Hybridisierung tdf liegt bei kleinen Frequenzen ein lineares Fermi{Flussigkeits{
Verhalten mit einem Realteil Re(!) / ! (bei hinreichend kleinen !) bzw., als
Funktion der Matsubara{Frequenzen, mit einem Imaginarteil Im(i!n) / !n vor.
Fur kleine Hybridisierung tdf divergiert hingegen.
Genauer quantizieren lat sich dieser U bergang durch das Quasiteilchen{Gewicht
Z = (1 @ (!)=@!) 1 , d. h. durch das spektrale Gewicht der zentralen Abrikosov{
Suhl{Resonanz. Zur Berechnung von Z wird @ (!)=@! durch den Dierenzenquotienten Im(i!0 )=!0 und alternativ durch einen \Least{Square"{Fit 3. Ordnung in !n
berechnet.
Einen U berblick uber den Mott{U bergang liefert Gebhard (1997) sowie Imada, Fujimori und
Tokura (1998).
5

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
102
0.35
0.3
(a)
A
0.25
ω
0.2
Af(ω)
0.15
0.1
0.05
0
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
ω
0.16
(b)
0.14
A
0.12
0.1
ω
Af(ω) 0.08
0.06
0.04
0.02
0
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
ω
Abbildung 4.10: Spektralfunktion A(!) (Frequenzen ! relativ zur Fermi{Energie) der
f{Elektronen des PAM fur Uf = 6, T = 0:2 sowie tdf = 0:3 (a) und tdf = 1:0 (b). Dargestellt sind die mit Hilfe der Maximum{Entropie{Methode gewonnenen Resultate der DMFT
(durchgezogene Linie) und der QMC{Simulation des 43 {Gitters nach Huscroft et al. (1999)
(gestrichelte Linie). Das \Inset" stellt die entsprechende Spektralfunktion fur das Hubbard{
Modell mit U = 6, T = 0:2 und tff = 0:3 (a) bzw. tff = 1:0 (b) dar.

4.3. Der Mott-Ubergang
im Periodischen Anderson{Modell
103
0.25
tdf = 1.00
tdf = 0.80
tdf = 0.75
0.2
0.15
A(ω)
0.1
0.05
0
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
6
8
ω
0.25
tdf = 0.75
tdf = 0.65
0.2
0.15
A(ω)
0.1
0.05
0
−8
−6
−4
−2
0
ω
2
4


Abbildung 4.11: Anderung
der Spektralfunktion A(!) mit tdf beim Ubergang
von itine-
ranten zu lokalisierten f{Elektronen.

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
104
4
tfd
tfd
tfd
tfd
tfd
tfd
3.5
3
2.5
=1
= 0.80
= 0.75
= 0.70
= 0.65
= 0.55
− Im Σ 2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
ω
15
20
Abbildung 4.12: Selbstenergie des PAM als Funktion der Matsubara{Frequenzen bei
T = 0:15 und verschiedenen Hybridisierungen.
Abb. 4.13 zeigt explizit, wie das Quasiteilchen{Gewicht mit abnehmendem tdf
bei tdf 0:65 verschwindet.6 Der Mott{U bergang des PAM mit Nachst{Nachbar{
Hybridisierung ist dem des Hubbard{Modells sehr ahnlich. Bemerkenswerterweise
verschwindet das Quasiteilchen{Gewicht auch im PAM mit konstanter (lokaler) Hybridisierung auf ahnliche Art. Das in diesem Modell vorhandene Band{Gap innerhalb
der Quasiteilchen{Resonanz ergibt sich aus der Hybridisierung und scheint keinen
entscheidenden Einu auf das wechselwirkungsbedingte Quasiteilchen{Gewicht zu
haben.
Eine aussagekraftige Groe fur den Metall{Isolator U bergang ist die elektronische
Kompressibilitat = @n=@. Sie mit das Ausma, in dem einem System durch eine
kleine Potentialanderung Elektronen beigefugt werden konnen. Bei einer Energielucke
in der Zustandsdichte ist die Kompressibilitat exponentiell klein. In einem Metall
erwartet man dagegen eine endliche Kompressibilitat. Abb. 4.14 zeigt die Kompressibilitat der f{Elektronen im PAM. Der Mott{U bergang bei tdf 0:65 ist deutlich zu
erkennen. Wiederum ergibt sich fur das PAM mit Nachst{Nachbar{Hybridisierung
ein ahnliches Verhalten wie im Hubbard{Modell. Im Gegensatz hierzu ist die Kompressibilitat fur das PAM mit konstanter Hybridisierung fur alle tdf sehr klein. Bei
6
Z verschwindet wegen der Art der Berechnung nie vollstandig.

4.3. Der Mott-Ubergang
im Periodischen Anderson{Modell
105
1
0.8
0.6
Z
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
t
Abbildung 4.13: Verschwinden des Quasiteilchen{Gewichts Z bei T = 0:15 fur das
Hubbard{Modell (gefullte Quadrate) und mit t tdf fur das PAM (nicht{gefullte Quadrate: Nachst{Nachbar{Hybridisierung; Dreiecke: konstante Hybridisierung).
0.14
0.12
0.1
κf 0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t
1
1.2
1.4
1.6
Abbildung 4.14: Kompressibilitat der f{Elektronen f = @nf =@ bei T = 0:15 fur das
Hubbard{Modell (gefullte Quadrate) und mit t tdf fur das PAM (nicht{gefullte Quadrate:
Nachst{Nachbar{Hybridisierung; Dreiecke: konstante Hybridisierung).
106

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
groen tdf ist die Ursache hierfur die durch die Hybridisierung bedingte Energielucke
innerhalb der Abrikosov{Suhl{Resonanz. Bei kleinen tdf andererseits deutet das Verschwinden des Quasiteilchen{Gewichts Z einen U bergang in eine Phase mit lokalisierten Elektronen ahnlich der des Mott{Isolators im Hubbard{Modell an, d. h. es
ndet in diesem Modell ein U bergang von einem Band{ zu einem Mott{Isolator statt.
4.4 A hnlichkeit der Phasendiagramme des
Periodischen Anderson{ und Hubbard{Modells
Extrapolation von ! 0
Neben dem bisher analysierten U bergang von itineranten zu lokalisierten f{Elektronen
gibt es im PAM eine Instabilitat gegenuber antiferromagnetischer Ordnung. In der
paramagnetischen Phase beobachtet man dabei eine Divergenz der antiferromagnetischen Suszeptibilitat. Da die antiferromagnetische Suszeptibilitat (zur Berechnung
s. Kapitel 1.2) typischerweise relativ stark vom unphysikalischen Diskretisierungsparameter abhangig ist, wurde fur diese Groe eine Extrapolation ! 0
durchgefuhrt. Abb. 4.15 zeigt diese Extrapolation exemplarisch fur drei Hybridisierungsstarken und T = 0:15. Wie beim lokalen magnetischen Moment ist die {
Abhangigkeit bei kleinerer und mittlerer Hybridisierung zu vernachlassigen. Erst bei
groerer Hybridisierung beobachtet man eine deutliche Abhangigkeit. Die folgenden
Ergebnisse fur die antiferromagnetische Suszeptibilitat und die Neel{Temperatur sind
nach = 0 extrapoliert. Letztendlich ergab sich jedoch fur die Neel{Temperatur
nur ein kleine Abweichung vom Wert bei = 0:125. In Abb. 4.17 (s.u.) liegt diese
Abweichung auch bei den groeren Hybridisierungen innerhalb der Symbol{Groe.
Bestimmung von TN
Bei der Neel{Temperatur TN divergiert die antiferromagnetische Suszeptibilitat in
der DMFT mit einem kritischen Exponenten 1, d. h. in der Nahe von TN gilt
AF = a (T TN ) 1 :
(4.21)
Dementsprechend zeigt die inverse Suszeptibilitat, AF1 , ein lineares Verhalten, das
mittels eines einfachen \Least{Square"{Fits die genaue Bestimmung von TN ermoglicht. Abb. 4.16 zeigt diesen Fit und die verwendeten QMC{Daten im Bereich T =
0:1 bis T = 0:3. Bei tdf = 0:4 ergibt sich eine etwas groere Unsicherheit, weil
die Suszeptibilitat nur bis T = 0:1 berechnet wurde und die Neel{Temperatur mit
TN = 0:02 erheblich kleiner ist. Bei tdf = 1:4 ist ein lineares Verhalten im Bereich
T 0:3 nicht mehr gegeben. Daher wurde dieser Datenpunkt bei der Bestimmung
von TN nicht berucksichtigt.

Ahnlichkeit
der Phasendiagramme des PAM und Hubbard{Modells
107
0.2
0.15
0.1
χAF
−1
0.05
0
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
∆τ
Abbildung
4.15: ! 0{Extrapolation der inversen antiferromagnetischen Suszeptibi1
litat AF bei T = 0:15 (tdf = 0:4: Dreiecke; tdf = 0:8: Kreise und tdf = 1:2: Quadrate).
Bestimmung des Mott{U bergangs
Als Kriterium fur den Mott{U bergang wird eine A nderung in Im(i!n ) (s. Abb. 4.12)
mit tdf herangezogen: Fur Im(i!0 ) < Im(i!1 ) sind die f{Elektronen itinerant, die
erste Hybridisierungs{Starke, bei der Im(i!0 ) > Im(i!1 ) ist, wird als Mott{U bergang identiziert. Ein Vorteil gegenuber einer Bestimmung des Mott{U bergangs auf
Basis des Quasiteilchen|Gewichts aus Abb. 4.13 ist die Eindeutigkeit und Einfachheit dieses Kriteriums.
Phasendiagramm
Die auf diese Weise gewonnene Neel{Temperatur und das kritische tdf des Mott{U bergangs bilden das T {tdf {Phasendiagramm des symmetrischen PAM, Abb. 4.17.7 Vergleicht man die in der DMFT gewonnene Neel{Temperatur mit dem Bereich, in dem
das 43 {Gitter langreichweitige, antiferromagnetische Korrelationen zeigt, so ergibt
Der in der antiferromagnetischen Phase eingezeichnete Mott{U bergang wurde nur in einem
Modell mit gleicher Zustandsdichte aber einer Dispersionsrelation, die eine antiferromagnetische
Ordnung verhindert, beobachtet.
7

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
108
0.4
tdf
tdf
tdf
tdf
tdf
0.3
0.2
χAF
−1
= 0.40
= 0.50
= 0.60
= 0.65
= 0.70
0.1
0
−0.1
−0.2
0
0.05
0.1
0.15
T
0.2
0.25
0.3
0.1
0.15
T
0.2
0.25
0.3
0.6
tdf
tdf
tdf
tdf
tdf
0.5
0.4
χAF
−1
= 0.8
= 0.9
= 1.0
= 1.2
= 1.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0
0.05
Abbildung 4.16: Inverse antiferromagnetischen Suszeptibilitat AF1 gegen T (QMC{
Daten: Symbole; \Least{Square"{Fit: Linien).

Ahnlichkeit
der Phasendiagramme des PAM und Hubbard{Modells
109
0.03
0.025
0.02
PMM
T/tdf 0.015
PMI
0.01
AFI
0.005
0
0
2
4
6
8
10
Uf/tdf
12
14
16
Abbildung 4.17: T {Uf {Phasendiagramm des PAM mit paramagnetischem Isolator
(PMI), paramagnetischem Metall (PMM) und antiferromagnetischem Isolator (AFI). Die
gefullten (nicht{gefullten) Rauten geben Punkte mit (ohne) antiferromagnetischer Ordnung
auf dem 43 Gitter an.
0.07
0.06
0.05
PMM
PMI
0.04
T/W
0.03
AFI
0.02
0.01
0
0
0.5
1
1.5
U/W
2
2.5
3
Abbildung 4.18: T {U {Phasendiagramm des Hubbard{Modells auf dem Bethe{Gitter mit
Bandbreite W nach Schlipf et al. (1999) und Ulmke et al. (1996) (Bezeichnung der Phasen
wie in Abb. 4.17).
110

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
sich eine gute U bereinstimmung. A hnlich wie im Hubbard Modell, Abb. 4.17, gibt es
im PAM mit Nachst{Nachbar{Hybridisierung eine \Perfect{Nesting"{Instabilitat bei
schwacher Kopplung (Uf =tdf ) und eine antiferromagnetische (RKKY{)Spin{Kopplung
bei starker Coulomb{Wechselwirkung. Diese fuhrt auf TN / t4df =Uf3 , wahrend der
Anderson{Superaustausch im Hubbard{Modell TN / t2=U liefert. Wie im Hubbard{
Modell ergibt der U bergang von schwacher zu starker Kopplung ein Maximum in
TN . In beiden Modellen ndet ein U bergang von itineranten zu lokalisierten Elektronen statt. Dies ist der fur das Hubbard{Modell bekannte Mott-U bergang und in
der Sprache der Kondo{Physik das Kreuzen der Kondo{Temperatur mit sich anderndem tdf . Der numerische Vergleich zeigt, da die Physik der f{Elektronen des PAM
mit Nachst{Nachbar{Hybridisierung und die des Hubbard{Modells sehr ahnlich sind.
Auch wenn die Temperatur{ und Hybridisierungs{Skalen unterschiedlich sind, so ist
doch die Topologie der Phasendiagramme sehr ahnlich. Ein Unterschied besteht darin,
da der Mott{U bergang im Hubbard{Modell vollstandig innerhalb der antiferromagnetischen Phase liegt. Zu beachten ist dabei, da der Mott{U bergang nur bis zu
einer bestimmten Temperatur klar zu identizieren ist und die Neel{Temperatur im
Hubbard{Modell bei ahnlichen Breiten der f{Spektren hoher liegt.
Auch das intensiv untersuchte PAM mit konstanter Hybridisierung zeigt eine
ahnliche Physik mit Antiferromagnetismus und einem Verschwinden der Abrikosov{
Suhl{Resonanz. Wesentliche Details, wie die Notwendigkeit eines endlichen Uf fur
den Antiferromagneten und die zusatzliche Energielucke innerhalb der Abrikosov{
Suhl{Resonanz, sind jedoch unterschiedlich.
4.5 Thermodynamik und Spin{Spin{Korrelationsfunktion
Energie
Die Untersuchungen zum PAM werden in diesem Kapitel um die thermodynamischen
Groen Energie und spezische Warme sowie die Nachst{Nachbar{Spin{Korrelation
zwischen den f{Elektronen erganzt. Im Grokanonischen Ensemble wird die Energie
aus der Doppelbesetzung sowie den k{abhangigen Green{Funktionen berechnet. Pro
Gitterplatz ergibt sich fur das PAM, Glg. (4.5), in der paramagnetischen Phase:
X
E = (21)3 dk hn^kd i + f hn^kf i + Vk hd^yk f^k i + Vkhf^ky d^k i + Uf hn^f " n^f # i
k
X
df + 2
ff
+ f
+ = (2)3 dk 1 + Gdd
k ( =0 ) + 1 + Gk ( =0 ) + 2Vk 1 + Gk ( =0 )
k
+ Uf hn^f " n^f # i:
(4.22)
4.5. Thermodynamik und Spin{Spin{Korrelationsfunktion
111
Die hierbei auftretenden spin{unabhangigen Green{Funktionen lassen sich aus den
frequenz{abhangigen Green{Funktionen, Glg. (4.15),
1
;
(4.23)
Gff
2
kn =
i!n + f n i!n+Vk dk
1
Gdd
;
(4.24)
2
kn =
i!n + dk i!n+Vkf n
(4.25)
Gdfkn = (i! + d )(i! V+k f ) V 2
n
n
n
k
k
durch Fouriertransformation (!n ! ) bestimmen.
Um das charakteristische Verhalten der Energie am Mott{U bergang besser herauszuarbeiten, wurde in Abb. 4.19 die Hartree{Fock{Energie abgezogen. Im atomaren Limes tdf ! 0 bilden sich lokalisierte Spins, und die Wechselwirkungsenergie
verschwindet. Diese Energie | aber nicht die Entropie | wird korrekt von der antiferromagnetischen Hartree{Fock{Losung beschrieben. Mit wachsendem tdf ndet jedoch der Mott{U bergang statt, und die lokalen Momente werden durch den Kondo{
Eekt abgeschirmt. Da die Hartree{Fock{Losung weiterhin Antiferromagnetismus
zeigt, sinkt die DMFT{ bzw. QMC{Energie gegenuber der Hartree{Fock{Energie
deutlich ab, s. Abb. 4.19.
Der Vergleich zwischen DMFT und endlich{dimensionalen QMC{Simulation zeigt
eine qualitative U bereinstimmung. Bei groeren tdf beruht die quantitative Dierenz
moglicherweise auf \Finite{Size"{Eekten, denn in der Storungstheorie nach Steiner, Albers, Scalapino und Sham (1991) gibt es in der dargestellten Energiedierenz
einen quantitativen Unterschied von (E EAF{HF) 0:1 zwischen einem 43{ und
einem 83{Gitter (McMahan et al., 1998). Die DMFT zeigt ein kleines Maximum in
der Energiedierenz nahe des Mott{U bergangs. In der QMC{Simulation ist dieses
Maximum bei hoheren Temperaturen ebenfalls vorhanden (Huscroft et al., 1999), bei
T = 0:15 jedoch nahezu verschwunden. Eine mogliche Erklarung hierfur sind antiferromagnetische Korrelationen, die zu einer geringeren Energiedierenz gegenuber der
antiferromagnetischen Hartree{Fock{Losung fuhren konnen.
Das stark konkave Verhalten der Energie am Mott{U bergang bei tdf 0:7 kann
wie im Kondo{Volumen{Kollaps{Szenario zu einer thermodynamischen Instabilitat
und damit zu einem Phasenubergang erster Ordnung von itineranten zu lokalisierten
Elektronen fuhren. Da die Hartree{Fock{Approximation die Energie der lokalisierten
Phase fur kleine tdf gut beschreibt, kann die Energiedierenz zwischen der DMFT
und der Hartree{Fock{Approximation auch als Energiedierenz zwischen der Phase
mit minimaler Energie (lokalisierte oder itinerante Phase) und der lokalisierten Phase
interpretiert werden:
E = min(Elok.; Eit.) Elok. :
(4.26)

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
112
0.05
0
E−EAF−HF
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
−0.3
−0.35
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tfd
Abbildung 4.19: Energiedierenz EDMFT EAF{HF und EQMC EAF{HF gegen tdf fur
T = 0:15 in der DMFT (nicht-gefullte Quadrate) und zum Vergleich fur T = 0:167 auf dem
43 {Gitter (gefullte Quadrate) nach Huscroft et al. (1999).
Mit der aus der Bandstruktur{Rechnung von McMahan et al. (1998) gewonnenen
Beziehung tdf / V 2 kann aus der Steigung der Energiedierenz am Mott{U bergang
die Druckdierenz zwischen itineranter und lokalisierter Phase berechnet werden:
V P = 1 @ E = @ E :
(4.27)
2
2 @ ln V @ ln tdf
Aus der Energiedierenz fur die DMFT ergibt sich damit V P=2 0:5eV, wahrend
fur das 43{Gitter V P=2 0:3eV ist. Diese Werte sind nicht inkonsistent mit der
experimentellen P (V ){Kurve. Extrapoliert man die experimentelle Kurve der { und
{Phase aus Abb 4.1 in die Region des Phasenubergangs erster Ordnung, so erhalt
man V P=2 0:5eV (McMahan et al., 1998).
Spezische Warme
Aus der berechneten Energie kann die spezische Warme durch den Dierenzenquotienten CV = E=T naherungsweise berechnet werden. Die spezische Warme ist
in Abb. 4.20 als Funktion der Temperatur aufgetragen. Bei tdf = 1 zeigt die spezische Warme neben einem breiten Maximum bei T 1:5 ein weiteres bzw. eine
4.5. Thermodynamik und Spin{Spin{Korrelationsfunktion
113
1
0.8
0.6
CV
tdf = 0.4
tdf = 1
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
T
Abbildung 4.20: Spezische Warme CV als Funktion der Temperatur T in der DMFT.
Schulter bei T 0:65. Diese Schulter ist fur tdf = 0:4 verschwunden und fallt in den
Temperatur{Bereich, in dem sich die zentrale Kondo{Resonanz bildet.
Spin{Spin{Korrelationsfunktion
Abschlieend wird die Korrelationsfunktion hsdi sfj i zwischen f{ und d{Spins auf
benachbarten Gitterplatzen i und j berechnet. Dabei ist
X
X
sdi = 21 dyi 0 di0 und sfi = 21 fiy 0 fi0
(4.28)
0
0
mit Pauli{Matrizen .
In der DMFT verschwinden Vertex{Korrekturen zu dieser Nachst{Nachbar{Korrelationsfunktion. Daher verbleibt in der paramagnetischen Phase lediglich der unkorrelierte Anteil
hs+di sfj i = hdyi"di# fjy#fj"i
DMFT
=
hdyi"fj"i hfjy#di#i
=
(1 + Gdfij )2:
(4.29)
(4.30)
(4.31)

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
114
0
U=0
DMFT
QMC
−0.01
<sd sf>
−0.02
−0.03
−0.04
−0.05
−0.06
0
0.5
1
tdf
1.5
2
Abbildung 4.21: f{d{Spin{Spin{Korrelation hsdi sfj i zwischen Nachsten{Nachbarn i und
j als Funktion der Hybridisierung tdf bei T = 0:1 (QMC nach Huscroft et al. (1999) bei
T = 0:13).
Diese f{d{Green{Funktion zwischen nachsten Nachbarn kann aus der k{abhangigen
Green{Funktion berechnet werden, wobei wegen der kubischen Symmetrie ohne Einschrankung der Allgemeinheit j als nachster Nachbar in x{Richtung gewahlt werden
kann:
Z
1
df
y
1 + Gij = hdi"fj"i = 83 d3k hdyk" fk" cos(kx)i:
(4.32)
Fur die f{d{Spin{Spin{Korrelation ergibt sich in der paramagnetischen Phase insgesamt:
hsdi sfj i = 12 hs+di sfj i + hsdi s+fj i + hszdi szfj i
(4.33)
(4.34)
= 23 hs+di sfj i = 32 (1 + Gdfij )2:
Der Unterschied zwischen DMFT und U = 0 bzw. der paramagnetischen Hartree{
Fock{Losung (gleiches Gdf wie bei U = 0) besteht darin, da die wechselwirkende
Green{Funktion in Glg. (4.34) eingeht. Dies fuhrt in Abb. 4.21 zu einer Verringerung des Betrags der f{d{Spin{Spin{Korrelation. Ein ganz anderes Verhalten zeigt
4.6. Diskussion und Zusammenfassung
115
die numerische Losung des 43{Gitters. Die f{d{Spin{Spin{Korrelation ist (vom Betrag) erheblich groer und zeigt bei mittleren tdf ein Maximum. Im dargestellten
tdf {Bereich ist dieses Maximum kaum sichtbar. Fur den Grenzwert tdf ! 1 erhalt
man jedoch wieder den U =0{Wert, da der Einu von tdd und U verschwindet. Fur
den Grenzfall U = 0 konnen \Finite{Size"{Eekte abgeschatzt werden: Bei tdf = 1:6
und T = 0:1 ergibt sich fur das 43 {Gitter hsdi sfj i = 0:033, wahrend im thermodynamischen Limes hsdi sfj i = 0:035 ist. Dies erklart nicht die groe Dierenz und
das Maximum bei mittleren tdf . Letzteres beruht auf in der DMFT vernachlassigten Nachst{Nachbar{Korrelationen und der antiferromagnetischen Ordnung, denn
die DMFT{Resultate beziehen sich auf die paramagnetische Phase.
4.6 Diskussion und Zusammenfassung
Vergleich zwischen DMFT und QMC
Vergleicht man die Ergebnisse der QMC{Simulation fur das 43{Gitter mit periodischer Fortsetzung und die der DMFT, so ergeben sich zwei Bereiche mit Abweichungen. Bei groerer Hybridisierung tdf ist das lokale magnetische Moment in der
DMFT kleiner als in der QMC{Rechnung (Abb. 4.8), ebenso die Energiedierenz zur
Hartree{Fock{Approximation (Abb. 4.19). Die Ursache hierfur liegt vermutlich in
Skalierungseekten, da der Einu des Gitters mit wachsendem tdf groer wird, und
damit der Unterschied vom thermodynamischen Limes (DMFT) zum 43{Gitter mit
periodischer Fortsetzung (QMC). Ein starkes Indiz fur diese Erklarung ist, da auch in
Storungstheorie ein solcher Skalierungseekt beobachtet wird (McMahan et al., 1998).
Die andere Abweichung liegt im Bereich mittlerer tdf und ist weniger eindeutig
zu erklaren. In diesem Bereich zeigt die QMC{Simulation eine kleine aber noch signikante Aufspaltung der Spektralfunktion an der Fermi{Kante (Abb. 4.10), ein
Maximum in der Kurve E EAF{HF (Abb. 4.19) und eine ausgepragte antiferromagnetische Korrelation zwischen den Spins der d{ und f{Elektronen auf benachbarten
Gitterplatzen (Abb. 4.21). Diese Abweichungen beruhen moglicherweise auf kurzreichweitigen antiferromagnetischen Korrelationen oberhalb der Neel{Temperatur.
Abgesehen von diesen Unterschieden in einigen Observablen fur bestimmte Parameterbereichen ist die U bereinstimmung zwischen DMFT und QMC{Rechnung hervorragend. Dies spricht fur die Genauigkeit beider Methoden: die Gute der DMFT
und die gute Approximation des thermodynamischen Limes mit einem periodisch
fortgesetzten 43{Gitter.
116

Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{Ubergangs{Modell
fur Cer
Vergleich zwischen Periodischem Anderson{ und Hubbard{
Modell
Integriert man im Periodischen Anderson{Modell die d{Elektronen aus, so reduziert sich das Zweiband{Modell auf ein eektives Einband{Modell mit einem retardierten Einteilchen{Potential der f{Elektronen. Die Spektralfunktion dieser f{
Elektronen des Periodischen Anderson{Modells mit Nachst{Nachbar{Hybridisierung
und die des Einband{Hubbard{Modells sind bei halber Bandfullung sehr ahnlich.
Aufgrund der beobachteten A hnlichkeit in der Spektralfunktion wurde der U bergang zwischen itineranten f{Elektronen zu lokalisierten f{Elektronen in beiden Modellen detailliert verglichen. Dieser U bergang wird durch den wachsenden Einu
der Coulomb{Wechselwirkung (mit wachsendem Uf =tdf bzw. U=t) induziert. Ein
solcher U bergang wird als Mott{U bergang bezeichnet. In der Sprache der Kondo{
Physik ist dieser U bergang gerade das Kreuzen der Kondo{Temperatur mit dem
sich andernden tdf , d.h. die Temperatur liegt fur kleine tdf im lokalisierten Bereich
oberhalb der Kondo{Temperatur und fur groe tdf im itineranten Bereich unterhalb
der Kondo{Temperatur. In der elektronischen Kompressibilitat, dem Quasiteilchen{
Gewicht und dem lokalen magnetischen Moment ergibt sich fur beide Modelle ein
sehr ahnliches Verhalten am Mott{U bergang. Dies deutet darauf hin, da PAM und
Hubbard{Modell bei halber Bandfullung eine gleichartige Physik beschreiben. Ein
entsprechender U bergang mit einem Verschwinden des Quasiteilchen{Gewichts an
der Fermi{Kante wurde auch im PAM mit konstanter Hybridisierung gefunden. Allerdings ist dieses Modell bei halber Fullung immer ein Isolator: bei groem tdf ein
Band{Isolator, bei kleinem tdf ein Isolator mit lokalisierten Elektronen wie beim
Mott{Hubbard{Isolator.
Implikationen fur Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{U bergangs{Szenarien
Die A hnlichkeit des PAM und des Hubbard{Modells hat Implikationen fur die Theorie
des Volumen{Kollaps in Cer. Denn diese beiden Modelle bilden gerade die Grundlage
fur die beiden konkurrierenden Szenarien, die fur den Volumen{Kollaps in der Literatur diskutiert werden. Dem Szenario eines Kondo{Volumen{Kollapses nach Allen und
Martin (1982) sowie Lavagna et al. (1983) liegt das \Single{Impurity"{Anderson{
Modell, also die Storstellen{Approximation des PAM, zu Grunde. Das Hubbard{
Modell andererseits ist das einfachste Modell fur einen Mott{U bergang. Ein Mott{
U bergangs{Szenario wird aber gerade von Johansson (1974) fur den Volumen{Kollaps
in Cer verantwortlich gemacht. Der Vergleich von PAM und Hubbard{Modell zeigt
ein ahnliches physikalisches Verhalten in beiden Modellen. Die beiden Szenarien sind
also nicht unvereinbar, wie in der Literatur von Johansson et al. (1995) sowie Allen
und Liu (1992) bislang angenommen wurde.
4.6. Diskussion und Zusammenfassung
117
Das Szenario eines Mott{U bergangs wurde im Zusammenhang mit Cer im Rahmen von Bandstruktur{Rechnungen untersucht (Szotek et al., 1994; Svane, 1994).
Dies entspricht einer Molekularfeld{Losung des Hubbard{Modells, in welcher der
Mott{U bergang zwischen einer lokalisierten Phase mit oberem und unterem Hubbard{
Band und einer itineranten Phase mit einer einfachen Ein{Peak{Struktur in der Spektralfunktion erfolgt. Gleichzeitig verschwindet das lokale magnetische Moment am
U bergang. Die Untersuchung in diesem Kapitel zeigt, da unabhangig von der Art
der Hybridisierung, die fur den U bergang verantwortlich ist (tff im Hubbard{Modell
oder tdf im PAM), eine korrelierte Losung stets Kondo{artige Eigenschaften in der
itineranten Phase zeigt, insbesondere eine zentrale Abrikosov{Suhl{Resonanz und ein
Fortbestehen eines lokalen magnetischen Moments am U bergang. Fur das Hubbard{
Modell wurde die Abwesenheit eines Phasenubergangs erster Ordnung kurzlich von
Schlipf et al. (1999) in einer grundlichen Studie gezeigt. Auch im PAM liegt bei
den betrachteten endlichen Temperaturen kein Phasenubergang erster Ordnung vor.
Man ndet jedoch wie im Kondo{Volumen{Kollaps{Szenario am Mott{U bergang eine stark konkave Energie. Dies kann zu einer thermodynamischen Instabilitat und
damit zu einem Volumen{Kollaps fuhren. Obwohl die Lokale Dichte{Approximation
keine Kondo{artigen Eigenschaften in der itineranten Phase beschreibt, stimmt die
von Soderlind (1998) berechnete Abhangigkeit der Energie von der Kristallstruktur
exzellent mit dem Experiment uberein.
Auf Basis der beobachteten A hnlichkeit des Mott{U bergangs im Hubbard{Modell
und PAM kann man spekulieren, ob der Mott{U bergang erster Ordnung in V2O3
(s. Rice und McWhan (1970) und Referenzen darin), fur den das Hubbard{Modell
vielleicht ein geeignetes Modell ist, die gleiche physikalische Ursache hat wie der
Volumen{Kollaps in Ce. Insbesondere, ob der Phasenubergang erster Ordnung in
V2 O3 durch eine ahnliche thermodynamische Instabilitat in der Nahe des Mott{U bergangs bedingt wird (bezuglich der c{Gitterkonstante) wie im Szenario eines Kondo{
Volumen{Kollapses fur Ce.
119
Kapitel 5
Elektronische Korrelationen in
Manganaten
5.1 Einfuhrung
Kolossaler Magnetowiderstand
Der Magnetowiderstand, also die A nderung der Leitfahigkeit im Magnetfeld, ist von
erheblicher technologischer Bedeutung. Insbesondere basieren die Lesekopfe der neuesten Festplattengeneration, die 1997 vorgestellt wurden (Spooner, 1997) und Speicherkapazitaten von uber 20GB haben, auf dem \gigantischen Magnetowiderstand"
(GMR). In diesen Lesekopfen ermoglicht der GMR{Eekt die Umsetzung der magnetischen Information auf der Festplatte in ein elektronisches Signal. Verursacht
wird dieser Eekt durch die parallele Ausrichtung ferromagnetischer Schichten im
Magnetfeld, die ohne Magnetfeld antiferromagnetisch alternieren. Dabei andert sich
mit der magnetischen Struktur auch der Widerstand. Eine Ausfuhrliche Darstellung
des GMR ndet man bei Sechovsky, Havela, Prokes, Nakotte, de Boer und Bruck
(1994) sowie Levy und Zhang (1995).
Ein sehr groer Magnetowiderstand wird auch in den Manganaten R1 xMx MnO3
(R2fLa,Pr,Nd ...g und M2fCa,Sr,Ba,Pb ...g) mit Perowskit{Struktur (Abb. 5.1) gefunden. Wegen der Bedeutung des Magnetowiderstands wurden diese Systeme in den
letzten Jahren sehr intensiv studiert. Den ersten neueren Arbeiten (Kusters, Singelton, Keen, McGreevy und Hayes, 1989; Chahara, Ohno, Kasai und Kozono, 1993; von
Helmolt, Wecker, Holzapfel, Schultz und Samwer, 1993; Jin, McCormack, Tiefel und
Ramesh, 1994; Jin, Tiefel, McCormack, Fastnacht, Ramesh und Chen, 1994; Schiffer, Ramirez, Bao und Cheong, 1995) folgten mehr als 400 weitere in den letzten
funf Jahren, s. die U bersichtsartikel von Ramirez (1997) und Nagaev (1996). Um den
Magnetowiderstand der Manganate von dem der GMR{Materialien zu unterscheiden,
schlugen Jin, McCormack, Tiefel und Ramesh (1994) die Bezeichnung \kolossaler Ma-
120
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
gnetowiderstand" (CMR) vor. In den CMR{Maganaten kommt es zu einem U bergang
von einem paramagnetischen Isolator1 bei hohen Temperaturen zu einem ferromagnetischen Metall bei tiefen Temperaturen (Abb. 5.2). Neben der Temperatur kann auch
ein Magnetfeld diesen Isolator{Metall{U bergang, bei dem sich der Widerstand um
eine Groenordnung und mehr andert, induzieren. Erstmals wurde dieses Verhalten
bereits in den funfziger Jahren von Jonker und van Santen beobachtet (Jonker und
van Santen, 1950; van Santen und Jonker, 1950).
Das eigentliche Problem, den CMR zu verstehen, liegt in der Erklarung der ungewohnlichen Eigenschaften der paramagnetischen Phase. Erste theoretische Ansatze
zur Beschreibung des paramagnetischen Isolators oder bestimmter Aspekte dieser
Phase beruhen auf:
1. Lokalisierung der Leitungselektronen durch die Bildung von Gitter{ oder Jahn{
Teller{Polaronen (Millis, Littlewood und Shraiman, 1995; Millis, Shraiman und
Mueller, 1996; Roder, Zang und Bishop, 1996; Lee und Min, 1997; Alexandrov
und Bratkovsky, 1999) oder magnetischen Polaronen (Kusters et al., 1989).
2. Anderson{Lokalisierung durch die Spinunordnung der paramagnetischen Phase
(Varma, 1996) auch in Verbindung mit Ladungsunordnung (Sheng, Xing, Sheng
und Ting, 1997; Li, Zhang, Bishop und Soukoulis, 1997) oder Summierung der
Berry-Phase beim Hupfproze der Leitungselektronen (Muller-Hartmann und
Dagotto, 1996).
3. Phasenseparation in Nanodomanen (Dagotto, Yunoki und Moreo, 1998) z. B.
in Verbindung mit einer spinabhangiger Streuung zwischen den Nanodomanen
(Furukawa, 1998).
4. Reduzierung des Drude-Gewichts aufgrund einer anisotropen Dispersion in der
Nahe eines Mott-U bergangs (Imada, 1998).
5. Isolierendes Verhalten durch Ladungsordnung bei x = 0:5 (Khomski und Sawatzky, 1997).
Der 1. Erklarungsansatz erscheint besonders vielversprechend, da z. B. durch Isotopenaustausch O16 /O18 ein erheblicher Einu der Gitterfreiheitsgrade auf die ferromagnetische U bergangstemperatur nachgewiesen werden konnte (Zhao, Conder,
Keller und Muller, 1996). Keiner dieser Ansatze kann jedoch bei einer realistischen
Die paramagnetische Phase soll hier als Isolator bezeichnet werden, weil der Widerstand mit
abnehmender Temperatur T wachst: @=@T < 0. Im Gegensatz zu einem gewohnlichen Isolator oder
Halbleiter, zeigen die Manganate bei einer endlichen Dotierung 0 < x < 1 jedoch ein sehr kleines
spektrales Gewicht in der Nahe der Fermi{Kante sowohl in Experimenten zur Photoemissions{
Spektroskopie (Park, Chen, Cheong, Bao, Meigs, Chakarian und Idzerda, 1996) als auch zur optischen Leitfahigkeit (Kim, Jung und Noh, 1998).
1
5.1. Einfuhrung
121
Abbildung 5.1: Perowskit{Struktur von LaMnO3 reproduziert aus Satpathy et al. (1996).
Jedes Mn{Ion ist oktaedrisch von sechs Sauersto{Ionen umgeben. Die magnetischen Momente des Mn bilden ferromagnetische Schichten, die antiferromagnetisch koppeln.
Abbildung 5.2: Magnetisches und elektronisches Phasendiagramm von La1 x CaxMnO3
in Abhangigkeit von der Temperatur T und der Ca{Dotierung x nach Schier et al. (1995).
P: Paramagnet; AF: Antiferromagnet; F: Ferromagnet; CO: Ladungs{Ordnung. I: Isolator;
M: Metall.
122
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
Wahl der Parameter die ungewohnlichen Eigenschaften des isolierenden Paramagneten (@=@T < 0), der ein Gap bzw. ein sehr kleines Gewicht an der Fermi{Kante
im Photoemissions-Spektrum (Park et al., 1996) und in der optischen Leitfahigkeit
(Kim et al., 1998) aufweist (s. Abb. 5.3), erklaren. Im Gegensatz zum GMR ist das
isolierende Verhalten der paramagnetischen Phase und damit der CMR noch nicht
wirklich verstanden.
Im folgenden erfolgt eine Beschrankung auf die elektronischen Freiheitsgrade der
CMR{Manganate mit Perowskit{Struktur, die das komplexe magnetische Phasendiagramm aus Abb. 5.2 zeigen. Insbesondere sollen die mikroskopischen Ursachen
des Ferromagnetismus diskutiert werden. Als Grundlage hierfur werden zunachst die
Konzepte des Doppel{ und Superaustausches sowie die Literatur hierzu vorgestellt.
Doppelaustausch{Transfer
2+ 3+=4+ O2 werden die Mangan{Ionen oktaedrisch von
In den Perowskiten R3+
1 xMx Mn
3
sechs Sauersto{Ionen umgeben, s. Abb. 5.1. In dieser kubischen Symmetrie hybridisieren die zwei eg {Orbitale des Mangans (d3z2 r2 { und dx2 y2 {Orbital) relativ
stark mit den p{Orbitalen des Sauerstos, weil der U berlapp zwischen diesen Orbitalen gro ist. Diese Hybridisierung fuhrt zusammen mit der Coulomb-Abstoung
zwischen Mangan{Elektronen und Sauersto{Ion zu einer Anhebung der eg {Energie
gegenuber dem t2g {Niveau des Mangans. In einer vereinfachten Beschreibung wird
davon ausgegangen, da das dreiwertige Seltenerd{Element R und das zweiwertige
Metall M die elektronischen Eigenschaften des Systems nur durch die A nderung der
Ladungstrager{Konzentration auf den (gemischt{valenten) Mn{Ionen{Platzen und u.
U. durch die A nderung der Gitterkonstante beeinut. Die p{Orbitale des Sauerstos
sind, obwohl vollstandig gefullt, fur den eektiven Elektronen{Transfer zwischen den
Mangan{Platzen verantwortlich.
Zener (1951b) schlug fur den Transfer eines Elektrons von einem Mangan{Ion zu
einem anderen, d. h. fur
"
Mn
eig
'$
&%
"#
O
p
Mn
!
'$
&%
"#
Mn
O
p
"
,
Mn
ejg
einen Mechanismus vor, den er \Doppelaustausch" nannte. Betrachtet man zunachst
als Transfer einen Proze, bei dem das Mangan{Elektron direkt vom Gitterplatz i
5.1. Einfuhrung
123
Abbildung 5.3: Schematische Darstellung des Spektrums von La1 xSrxMnO3 mit Sauersto 2p und Mangan eg sowie t2g {Bandern auf Basis von Photoemissions{ und Sauersto{
1s{Rontgen{Absorptions{Spektrum (XAS) nach Saitoh et al. (1995). Fur x = 0 (LaMnO3 )
und x = 1 (SrMnO3) gibt es eine Energielucke an der Fermi{Kante. Erstaunlicherweise
bleibt die Zustandsdichte an der Fermi{Kante trotzt Dotierung x sehr gering. Das System
ist isolator{ahnlich, mit einem (Quasi{)Gap an der Fermi{Kante.
zum Gitterplatz j wechselt, so wird dieser Transfer durch den direkten U berlapp
Z
d3r1 d3r2 ejg (r1 )p(r2 ) H^ eig (r1)p(r2)
(5.1)
beschrieben. Hierbei bezeichnet egi(j) bzw. p die eg {Wellenfunktion am Gitterplatz i(j )
bzw. das p{Orbital, r1 bzw. r2 sind die Koordinaten der beiden Elektronen mit Spin
", und H^ ist der Hamilton{Operator. Da die d{Orbitale stark lokalisiert sind, uberlappen eig (r1) und ejg (r1 ) praktisch nicht. Aus diesem Grund verschwindet der direkte
Transferproze Glg. (5.1). Werden Mangan{ und Sauersto{Elektron im Endzustand
124
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
jedoch vertauscht, so erhalt man den Transferproze eig ! p und gleichzeitig p ! ejg .
Dies entspricht dem Austausch{Integral
Z
d3r1 d3r2 ejg (r2)p(r1) H^ eig (r1 )p(r2 ):
(5.2)
Bei diesem Integral gibt es nur noch einen U berlapp zwischen benachbarten p{ und
eg {Orbitalen. Deshalb ist dieser von Zener vorgeschlagene Doppelaustausch{Transfer
prinzipiell moglich. Anderson und Hasegawa (1955) wandten allerdings berechtigterweise ein, da der Doppelaustausch{Transfer in einer Basis aus orthonormierten
Funktionen, d. h.
Z
d3r
r r
i
1 eg ( 1 )p( 1 ) = 0
bzw.
Z
d3r2 ejg (r2 )p(r2 ) = 0;
(5.3)
verschwindet. Mit einem Einteilchen{Hamilton{Operator H^ = H^ 0(r1)+H^ 0(r2) zerfallt
das Integral (5.2) namlich in ein Produkt, wobei der eine Faktor gerade der p{d{U berlapp, Glg. (5.3), und der andere das p{d{Integral uber den Hamilton{Operator ist.
Fur orthonormierte Funktionen verschwindet nun der p{d{U berlapp, Glg. (5.3), und
damit auch der Doppelaustausch{Transfer.
Anderson und Hasegawa schlugen alternativ zum Doppelaustausch{Transfer, der
erster Ordnung in H^ ist, einen Proze zweiter Ordnung in H^ vor:
"
"#
!
"
#
"
E = O!Mn
!
"#
"
mit der Ladungstransfer{Energie E = O!Mn, die fur den Transfer eines Elektrons vom Sauersto{ auf ein Mangan{Ion benotigt wird. In Storungstheorie zweiter
Ordnung ergibt sich aus diesem Proze ein eektiver Mangan{Transfer t der Groe
R d3r ej (r )Hp
R 3
^ ig (r1 )
t2dp
2 g 2 ^ (r2 ) d r1 p(r1 )He
=
(5.4)
t=
O!Mn
O!Mn ;
wobei tpd der Transferproze zwischen Sauersto{ und Mangan eg {Orbital ist. Mit
tpd 1:5eV und O!Mn 5:5 eV erfolgt eine Abschatzung des eektiven Transfers
zu t 0:5 eV (s. Feiner und Oles (1999) und Referenzen darin).
Doppelaustausch{Modell
Der Mn{Mn{Transfer wird begunstigt, wenn das lokale magnetische Moment der d{
Elektronen gema der 1. Hundschen Regel vor und nach diesem Transfer maximal
5.1. Einfuhrung
125
ist, d. h. wenn die t2g {Spins ferromagnetisch ausgerichtet sind. Da der Elektronen{
Transfer die kinetische Energie absenkt, wird durch diesen \Doppelaustausch{Mechanismus" nach Zener (1951b) Ferromagnetismus stabilisiert. Anderson und Hasegawa (1955) arbeiteten diese Argumentation aus und leiteten das Doppelaustausch{
Modell aus einem Modell mit Mn{Mn{Transfer und Hundscher Kopplung ab. In
diesem Abschnitt soll dieser Weg vom ferromagnetischen Kondo{Gitter{Modell zum
Doppelaustausch{Modell rekapituliert werden.
Mn3+=4+ hat vier bzw. drei d{Elektronen. Die energetisch tiefer gelegenen t2g {
Orbitale sind demnach halbgefullt und bilden aufgrund der Hundschen Kopplung ein
magnetisches Moment. Wegen des geringen U berlapps mit den Sauersto{Orbitalen erscheint es gerechtfertigt, dieses Moment als einen lokalisierten Spin{3=2 zu
modellieren. Alle weiteren d{Elektronen fullen dann die eg {Orbitale. Sie koppeln
an die lokalisierten Spins via Hundscher Kopplung J und delokalisieren durch den
Doppelaustausch{Transfer t. Dies wird durch das ferromagnetische Kondo{Gitter{
Modell mit zwei eg {Bandern und einem t2g{Spin pro Gitterplatz beschrieben:
H^ KLM = t
2 X
X
=1 hij i
c^y
i c^j
2J
2 X
X
=1 i
s^i S^ i;
(5.5)
s. a. Abb. 5.4. Hierbei ist c^yi bzw. c^i der Erzeugungs{ bzw. der Vernichtungs{
Operator
fur ein Elektron mit Spin am Gitterplatz i im eg {Orbital , s^i =
1 P 0 c^y 0 c^ 0 mit Pauli{Matrix ist der Spin der e {Elektronen, und S der
g
i
2 i i
t2g {Spin. Fur das Transfermatrix{Element t wurde eine einfache Form gewahlt, die
diagonal in den Orbitalen ist und keine Richtungsabhangigkeit berucksichtigt.
Im Grenzfall starker Kopplung (J t) reduziert sich das Kondo{Gitter{Modell
auf das Doppelaustausch{Modell. Dabei approximiert man i. d. R. zunachst den
Spin{3=2 durch einen klassischen Spin. Dieser hat dann eine wohldenierte Richtung,
und die eg {Elektronen werden bedingt durch die starke Kopplung entlang des t2g {
Spins ausgerichtet. Ist das eg {Elektron am Ausgangs{Gitterplatz im Zustand sz =
1=2, so kann nur der Anteil transferiert werden, der in Richtung des Spins des Ziel{
Gitterplatzes zeigt (s. Abb. 5.5). Das ist gerade der sz 0 = 1=2{Anteil in einem um den
Winkel rotierten Koordinaten{System, wobei der Winkel zwischen den beiden
benachbarten t2g {Spins ist.
Eine Rotation im Spin{Raum wird durch die unitare Transformation
=2 sin =2
U^ = cos
sin =2 cos =2
(5.6)
beschrieben. Die Projektion auf den Anteil des eg{Elektrons mit paralleler Ausrich-
126
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
eg
J
t2g
t
"
!
"
j
"
j
Mn3+
Mn4+
Abbildung 5.4: Skizze zum ferromagnetischen Kondo{Gitter-Modell mit dem Transfer
t zwischen den eg {Orbitalen benachbarter Mn{Gitterplatze und der lokalen Hundschen
Kopplung J an die t2g {Spins.
eg
t2g
t
θ
Abbildung 5.5: Skizze zum Doppelaustausch{Modell. Nur die Komponente des eg {
Elektrons entlang der Richtung des t2g {Spins kann von einem Mn{Ion zum anderen transferiert werden.
5.1. Einfuhrung
127
tung zum Spin des Ziel{Gitterplatzes, d. h. mit sz 0 = 1=2, liefert
1 1 ^
0 ;U
0
= cos =2:
Verallgemeinert man diese U berlegung auf das Gitter, so erhalt man das Doppelaustausch{Modell (Anderson und Hasegawa, 1955)
H^ DE = t
2 X
X
=1 hij i
cos 2ij c^yi c^j :
(5.7)
Hierbei bezeichnet ij den Winkel zwischen den klassischen Spins benachbarter
Mangan{Platze, und c^yi (^cj ) erzeugt (vernichtet) ein eg {Elektron in Richtung des
klassischen Spins.
Liegt eine ferromagnetische Ausrichtung der Spins vor (ij = 0; cos(ij =2) = 1),
so ist der Gewinn an kinetischer Energie der eg{Elektronen maximal. Liegt dagegen eine antiferromagnetische Ausrichtung vor (ij = ; cos(ij =2) = 0), so
kann keine kinetische Energie gewonnen werden. Diese U berlegung zeigt, da das
Doppelaustausch{Modell den Ferromagnetismus stabilisiert. Dies ist neben den detailliert in Kapitel 2 besprochenen Mechanismen eine weitere mikroskopische Ursache fur den Ferromagnetismus. Dieser mikroskopische Mechanismus, der auf dem
Doppelaustausch{Transfer und der Hundschen Kopplung beruht, wird als Doppelaustausch bezeichnet.
Von de Gennes (1960) wurde eine Erweiterung des Doppelaustausch{Modells,
Glg. (5.7), um einen antiferromagnetischen Superaustausch
X
H^ = Jt2g S^ iS^ j
hij i
(5.8)
zwischen den lokalisierten t2g {Spins auf benachbarten Gitterplatzen betrachtet. Dieser Superaustausch entsteht, wenn der erheblich kleinere Transferproze zwischen
den t2g {Elektronen in zweiter Ordnung Storungstheorie berucksichtigt wird. Nach
de Gennes fuhrt das Wechselspiel von antiferromagnetischem Superaustausch und
ferromagnetischem Doppelaustausch zu einer gekanteten Spin{Phase.
In den letzten Jahren wurde das ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell und
das Doppelaustausch{Modell mit einem Leitungsband intensiv untersucht. Furukawa (1994) loste das ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell exakt im Rahmen der
Dynamischen Molekularfeld{Theorie. Diese Losung wird im nachsten Abschnitt vorgestellt. In der Arbeit (Furukawa, 1994) und in folgenden Publikationen von Furukawa (einen detaillierten U berblick uber diese Publikationen bietet Furukawa (1998))
128
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten

Abbildung 5.6: Curie{Ubergangstemperatur
(in Bezug auf die Bandbreite W ) fur die
ferromagnetische Ordnung als Funktion der Ca{Dotierung x bzw. der mittleren Anzahl
eg {Elektronen n = 1 x fur das ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell mit einem einzigen eg {Band und J = 1 nach Furukawa (1998) (durchgezogene Linie). Die gestrichelte
Linie ist eine analytische Fitkurve der Form Tc / x(1 x). Bei x = 0 und x = 1 (ein
bzw. kein eg {Elektron pro Gitterplatz) ist das durch die t2g {Spins spin{polarisierte Leitungsband vollstandig gefullt bzw. leer. Es kann durch eine ferromagnetische Ordnung der
t2g {Spins daher keine kinetische Energie gewonnen werden: Tc = 0. Bei x = 0:5 ist das
Leitungsband halb gefullt, der Gewinn an kinetischer Energie und Tc sind maximal. Bei
einer endlichen Kopplung J entsteht eine zusatzliche antiferromagnetische Phase bei x = 0
und Phasenseparation zwischen Antiferromagnetismus und Ferromagnetismus.
werden u. a. die Spektralfunktion und die optische Leitfahigkeit in der para{ und ferromagnetischen Phase, der Widerstand, die Magnetisierung als Funktion der Temperatur, das T {x{Phasendiagramm mit para{, ferro{ und antiferromagnetischer Phase
(s. Abb. 5.6) sowie die Moglichkeit einer Phasenseparation untersucht.
Der Aspekt der Phasenseparation im Kondo{Gitter{Modell wurde detailliert von
Dagotto und Mitarbeitern ausgearbeitet: Die Monte{Carlo{Simulation, die Dynamische Molekularfeld{Theorie, die Dichte{Matrix{Renormierungs{Gruppe (DMRG)
und die Lanczos{Methode zeigen Phasenseparation zwischen einer antiferromagnetischen Phase mit einem Leitungs{Elektron pro Gitterplatz (Dotierung x = 0) und
einer ferromagnetischen Phase mit weniger Leitungs{Elektronen (s. Yunoki, Hu, Malevezzi, Moreo, Furukawa und Dagotto (1998), weitere Arbeiten werden bei Dagotto et al. (1998) besprochen). Arovas und Guinea (1998) fanden im Rahmen der
5.1. Einfuhrung
129
Schwinger{Bosonen{Molekularfeld{Theorie, da die von de Gennes (1960) gefundene Phase mit gekantetem Spin ebenfalls instabil gegen Phasenseparation ist. MullerHartmann und Dagotto (1996) leiteten einen eektiven Doppelaustausch{Hamilton{
Operator her, der die Berry{Phase quantenmechanischer t2g {Spins berucksichtigt.
Monte{Carlo{Simulationen dieses Hamilton{Operators von Calderon und Brey (1998)
zeigen jedoch, da die Berry{Phase die Curie{Temperatur nur unwesentlich andert.
Neben diesen Arbeiten zum Kondo{Gitter{Modell mit einem Leitungs{Orbital
gibt es neuere Arbeiten, die beide eg{Orbitale berucksichtigen. In Molekularfeld{
Theorie untersuchten van den Brink und Khomski (1999) ein solches Modell fur
eine Dotierung x / 1, d. h. eine geringe Ladungstragerkonzentration. Yunoki, Moreo und Dagotto (1998) studierten Phasenseparation mit Monte{Carlo{Simulationen.
Wahrend im Modell mit einem Leitungsband bei x = 0 kein Ferromagnetismus vorliegt (s. Abb. 5.6), ist in dem Modell mit zwei Bandern der kinetische Energiegewinn
gerade hier maximal2. Es liegt damit Ferromagnetismus und keine Phasenseparation vor. Yunoki, Moreo und Dagotto (1998) konnten allerdings zeigen, da durch eine
sehr groe Jahn{Teller{Kopplung (> 2eV) eine Reduktion auf ein eektives Einband{
Modell moglich ist. Dieses zeigt dann wieder Antiferromagnetismus bei x = 0 und
Phasenseparation zwischen diesem Antiferromagneten und dem Ferromagneten bei
x > 0.
Modell korrelierter Elektronen fur Manganate
Ein sehr wichtiger elektronischer Beitrag wird im Kondo{Gitter{Modell vernachlassigt: die Coulomb{Abstoung der eg{Elektronen. Insbesondere bei geringer Dotierung x, d. h. einer mittleren Besetzung von fast einem Leitungs{Elektron, treten im Kondo{Gitter{Modell Doppelbesetzungen auf. Diese werden jedoch durch die
Coulomb{Wechselwirkung erheblich reduziert. Ein elektronisches Modell fur Manganate mit zusatzlicher Coulomb{Wechselwirkung innerhalb der eg Orbitale beschreibt
der Hamilton{Operator
H^ =
t
+U
2 X
X
=1 hij i
2
XX
=1 i
c^y
i c^j
n^ i"n^i# +
2J
2 X
X
=1 i
X
i ~
s^i S^ i
(V0 ~ F0 ) n^ i1 n^i2~ :
(5.9)
Hierbei ist die erste Zeile gerade das Kondo{Gitter{Modell (5.5), U (V0 ) ist die intra{
(inter{) orbitale Coulomb{Abstoung und F0 eine Ising{artige Hundsche{Kopplung
(s. a. Abb. 2.1); n^i = c^yi c^i . Wegen der starken Hundschen Kopplung sind Doppelbesetzungen innerhalb eines Orbitals selten, denn diese Kongurationen haben
2 F
ur J t entspricht x = 0 fur das Zweiband{Modell x = 0:5 fur das Einband{Modell
130
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
kein maximales magnetisches Moment. Der U {Term spielt daher eine geringere Rolle. Wichtig ist hingegen der V0 {Term, der einer lokalen Doppelbesetzung (auch mit
maximalem magnetischen Moment) in zwei verschiedenen Orbitalen entgegen wirkt.
Bandstruktur{Rechnungen liefern eine ungefahre Abschatzung der Parameter.
Nach Satpathy et al. (1996) gilt U; V0 8 10eV, F0 ; J 1eV und fur die eg {
Bandbreite W 1 2eV. Singh und Pickett (1998) bestatigen eine eg {Bandbreite
von dieser Groe. Mit dem gleichen Ansatz wie bei den Bandstruktur{Rechnungen,
d. h. U = EN +1 + EN 1 2EN mit der Gesamtenergie E bei N (1) Elektronen,
kann die Coulomb{Wechselwirkung auch experimentell aus der Dierenz von Photo{
Emissions{ (fur die Energie EN EN 1 ) und Rontgenstrahl{Absorptions{Spektrum
(fur die Energie EN +1 EN ) abgeschatzt werden. Bocqeut, Mizokawa, Saitoh, Namatame und Fujimori (1992) sowie Saitoh et al. (1995) bestimmten in U bereinstimmung
mit den Bandstruktur{Rechnungen folgende Werte der Coulomb-Wechselwirkung:
U 7:5eV und F0 0:7eV. Wesentlich groer als bei den Bandstruktur{Rechnungen
sind hingegen die experimentell von Park et al. (1996) sowie Saitoh, Sekiyama, Kobayashi, Mizokawa, Fujimori, Sarma, Takeda und Takano (1997) bestimmten eg {
Bandbreiten von W 3eV und W 4eV fur La1 xSrxMnO3 . Einen vergleichbaren
Wert liefert die Abschatzung von Feiner und Oles (1999) nach Glg. (5.4) (W 4eV
bzw. t 0:5eV).
Superaustausch in Kugel'{Khomski{artigen Modellen
Fur x = 0 ist im atomaren Limes des Modells (5.9) jeder Gitterplatz mit einem
Leitungs{Elektron besetzt. Im Fall starker Kopplung (U > V > F0 ; J t) kann der
Transfer t in Storungstheorie zweiter Ordnung berucksichtigt werden. Abb. 5.7 zeigt
wie in Kapitel 2, Abb. 2.2, vier Kongurationen des Zweiplatz{Modells mit zwei
Leitungs{Elektronen und den Energiegewinn in Storungstheorie zweiter Ordnung.
Der Unterschied zu Abb. 2.2 ist der zusatzliche t2g {Spin, der die Energien modiziert.
Am Grundzustand, einer alternierenden orbitalen Besetzung mit ferromagnetischer
Ausrichtung der Spins, andert dies nichts.
Die vollstandige Beschreibung des Gitter{Modells (5.9) in Storungstheorie zweiter Ordnung in t fuhrt auf Kugel'{Khomski{artige Modelle mit Spin{ und Orbital{
Freiheitsgraden, wobei die Kopplung zwischen diesen Freiheitsgraden durch Storungstheorie zweiter Ordnung in t entsteht. Dieser Superaustausch ist ein anderer Mechanismus fur den Magnetismus als der Doppelaustausch. Eine sprachliche Subtilitat ist,
da fur beide der Doppelaustausch{Transfer t eine wichtige Rolle spielt.
Ishihara, Inoue und Maekawa (1997) sowie Shiina, Nishitani und Shiba (1997)
leiteten Kugel'{Khomski{artige Modelle unter Berucksichtigung des t2g{Spins ab. In
beiden Arbeiten wurden die eektiven Modelle in einer Molekularfeld{Theorie behandelt, bei der ein orbitales Molekularfeld angesetzt und daraus die magnetische
Ordnung berechnet wurde. Eine zwischen 3x2 r2 und 3y2 r2 schachbrettartig{
5.1. Einfuhrung
131
"
"
"
#
"
j
"
j
"
j
j
#
E = 0
t2
2 U +2
J
"
"
j
#
j
#
2 V0 t+22 J
"
"
j
"
"
j
2 V0t2F0
Abbildung 5.7: Vier Kongurationen mit zwei Leitungs{Elektronen auf zwei Gitterplatzen und deren Energiegewinn in Storungstheorie zweiter Ordnung in t unter Berucksichtigung des t2g {Spins. Der Grundzustand hat eine ferromagnetische Spinausrichtung und
eine alternierende Besetzung der Orbitale.
alternierende orbitale Ordnung entspricht in der eg {Basis (3z2 r2, x2 y2) einer gekanteten Ordnung. Diese Ordnung wird aufgrund der beobachteten Jahn{
Teller{Verzerrung erwartet und fuhrt zu einer ferromagnetischen Ordnung der Spin{
Freiheitsgrade. Ein zusatzlicher antiferromagnetischer Superaustausch zwischen den
t2g {Spins [Hamilton{Operator (5.8)] kann jedoch die | aufgrund der planaren Orbital{Struktur | schwache ferromagnetische Kopplung in z{Richtung uberwinden.
Dies fuhrt dann zu einer Phase ferromagnetischer Schichten mit alternierender Magnetisierungsrichtung, dem experimentell beobachteten (A{Typ{)Antiferromagneten
(s. Abb. 5.1).
Feiner und Oles (1999) fanden, da der (A{Typ{)Antiferromagnet statt durch den
antiferromagnetischen Superaustausch auch durch eine tetragonale Verzerrung stabilisiert werden kann. In jedem Fall sind Terme notig, die uber den Hamilton{Operator
(5.9) hinausgehen, um anstelle von Ferromagnetismus Antiferromagnetismus zu stabilisieren.
Literatur zu Modellen mit elektronischen Korrelationen
Die besprochenen Kugel'{Khomski{artigen Modelle mit Spin{ und Orbital{Freiheitsgraden sind nur ein Grenzfall der zugrunde liegenden elektronischen Modelle. Elektronische Modelle mit Coulomb{Wechselwirkung wie etwa Hamilton{Operator (5.9),
also stark korrelierte Systeme, sind im Kontext der CMR{Materialien bislang kaum
untersucht worden. Einige Arbeiten beschaftigen sich mit der spin{polarisierten ferro-
132
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
magnetischen Phase. So untersuchte Rozenberg (1998) den Metall{Isolator{U bergang
im CMR{Modell (5.9) ohne t2g {Spin und ohne Hundsche{Kopplung F0 in der Dynamischen Molekularfeld{Theorie (DMFT). Die ferromagnetische Phase, die gerade
durch die vernachlassigten Terme entsteht, wurde dabei durch ein aueres Magnetfeld
stabilisiert.
Weitere Arbeiten in der vollstandig spin{polarisierten Phase ndet man etwa bei
Motome und Imada (1999) und Imada (1998), die ein Hubbard{Modell mit zwei orbitalen anstelle der ublichen Spin{Freiheitsgrade untersuchten. Mit Quanten{Monte{
Carlo{(QMC{)Simulationen (Motome und Imada, 1999) wurde auerdem die isolierende Phase bei x = 0 untersucht. Daruberhinaus konnte Imada (1998) unter Voraussetzung einer anisotropen Dispersion k mit einem Skalenansatz in der Nahe zum
Mott{U bergang eine Phase mit einem kleinen Drude{Gewicht bei einem gleichzeitig kleinen Sommerfeld{Koezienten der spezischen Warme beschreiben. Dies wird
auch experimentell beobachtet und widerspricht einem einfachen Quasiteilchen{Bild,
in dem das Drude{Gewicht antiproportional und der lineare Koezient der spezischen Warme proportional zum Quasiteilchen{Gewicht ist.
Eine perturbative Berechnung der optischen Leitfahigkeit des orbitalen Hubbard{
Modells bei schwacher Coulomb{Wechselwirkung ndet man bei Takahashi und Shiba
(1998). Kilian und Khaliullin (1998) berechneten ebenfalls die optische Leitfahigkeit
in einem verwandten Modell, dem orbitalen t{J {Modell mit der \Slave"{Boson{
Molekularfeld{Theorie. Auerdem studierten Wurth und Muller-Hartmann (1998)
die Instabilitat der vollstandigen Spin{Polarisation in einem Einband{Kondo{Gitter{
Modell mit zusatzlicher Hubbard{Wechselwirkung variationell.
Aufbau des Kapitels
Im folgenden wird nun das elektronische Modell fur Manganate, Glg. (5.9), im Rahmen der DMFT bei endlichen Temperaturen untersucht. Abschnitt 5.2 bespricht
zunachst die analytische Losung des ferromagnetischen Kondo{Gitter{Modells nach
Furukawa (1994) und dann die numerische Losung des elektronischen Modells fur
Manganate in der DMFT.
In den Abschnitten 5.3 und 5.4 werden neue Ergebnisse fur die Spektralfunktion
bzw. die optische Leitfahigkeit in der paramagnetischen Phase prasentiert. Insbesondere wird untersucht, welchen Einu elektronische Korrelationen haben, die im
ferromagnetischen Kondo{Gitter{Modell nicht berucksichtigt werden.
Abschnitt 5.5 behandelt den U bergang zur ferromagnetischen Phase. Das wichtigste Resultat ist, da sich die mikroskopische Ursache fur den Ferromagnetismus
mit Ca{Dotierung x vom Doppelaustausch des Kondo{Gitter{Modells bei x / 1 zum
Superaustausch Kugel'{Khomski{artiger Modelle bei x = 0 andert.
5.2. Dynamische Molekularfeld{Theorie fur Manganat{Modelle
133
5.2 Dynamische Molekularfeld{Theorie fur
Manganat{Modelle
Analytische Losung des Kondo{Gitter{Modells
Das Kondo{Gitter{Modell, Glg. (5.5), lat sich nach Furukawa (1994) in der DMFT
analytisch losen. Der Grund hierfur ist, da das Einplatz{Problem von eg {Elektronen
und t2g {Spin in der DMFT fur den Hamilton{Operator, Glg. (5.5), mit einem klassischen oder Ising{artigen t2g {Spin Siz = 1 fur jede Spin{Richtung ein Einteilchen{
Problem ist. Die lokale Green{Funktion fur Orbital , Spin und Matsubara{Frequenz !n = (2n+1)= lautet als Funktional{Integral uber den Grassmann{Variablen
und (s. Negele und Orland (1987)):
XZ
1
D[ ]D[ ]
G =
n
Z Siz =1
exp
(X
0 0 n0
n n
1
0 0 n 0 G 0 0 n 0 0 0 n 0 + J
X
0 0 n0
0
z
0 0 n0 0 0 n0 Si
)
(5.10)
mit G 1 = G 1 + (: Selbstenergie; G: Green{Funktion) und der Zustandssumme
Z=
XZ
Siz =1
D[ ]D[ ] exp
(X
0 0 n0
1
0 0 n0 G 0 0 n0 0 0 n0 + J
X
0 0 n0
0
z
0 0 n0 0 0 n0 Si
)
:
Dieses Einteilchen{Problem hat fur einen Ising{Spin Siz eine eektive Wirkung, die
quadratisch in den Grassmann{Variablen und ist. Damit lat es sich durch
eine einfache Gauss{Integration losen. Mit jSiz j = 1 ergibt sich:
Gn = h Gn1 + JSiz 1iSiz
= 12 G 1 1+ J + 12 G 1 1 J :
(5.11)
n
n
Die gleiche Formel (5.11) erhalt man auch, wenn die Mittelung h iSiz uber den
Winkel eines klassischen Spins anstelle eines Ising{Spins Siz erfolgt. Fur den Spin{3/2
der t2g {Elektronen kann man erwarten das Quanten{Fluktuationen bereits weniger
stark sind als z. B. fur einen Spin{1/2 und die klassische Behandlung daher eine gute
Approximation ist.
Die Gleichung (5.11) ist selbstkonsistent mit der k{integrierten Dyson{Gleichung
Gn =
Z1
1
0
d" i! + N (")
n
n "
(5.12)
134
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
zu losen. Je nach verwendeter Zustandsdichte kann die Losung vollstandig analytisch
oder beliebig genau durch ein einfaches Iterationsschema geschehen. Auf letztere Weise wurden die Ergebnisse zur paramagnetischen Zustandsdichte des Kondo{Gitter{
Modells mit Bethe{Zustandsdichte in Abschnitt 5.3 gewonnen.
Suszeptibilitat
Die nachfolgenden Schritte unterscheiden sich von Furukawa (1998), bei dem das
auere Feld nur an die t2g {Spins koppelt. In der paramagnetischen Phase ist die
Green{Funktion Gn unabhangig vom Spin und Orbital{Index . Ein kleines Magnetfeld h fuhrt zu einer entsprechend kleinen A nderung der Green{Funktion
Gn = Gn + mn h:
(5.13)
Dabei ist mn eine im allgemeinen frequenzabhangige Magnetisierung. Fur die Bethe{
Zustandsdichte fuhrt die k{integrierte Dyson{Gleichung auf (s. Georges et al. (1996))
Gn1 = Gn1 + n
= i!n + + h t2 Gn
= i!n + + h t2 Gn t2 mnh:
(5.14)
Setzt man diese Form der k{integrierten Dyson{Gleichung in Glg. (5.11) ein, so
erhalt man eine einzige Selbstkonsistenz{Gleichung fur das Kondo{Gitter{Modell in
der DMFT:
Gn + mnh
1
= i! + + h t2 G t2m h + JS z
n
n
n
i Siz
X det[G" 1 + JS z ] det[G# 1 JS z ] expfgS S z hg
=
P ~z det[G 1 + J S~z ] det[G 1 J S~z ] expfg S~z hg
S
z
"
#
S
S
i! + + h t2 G1 t2 m h + JS z
n
n
n
X Qn00 i!n0 + + 0h t2Gn0 t20mn0 h + 0JS z expfgS S z hg
=
P z Q 00 00 i! 00 + + 00h t2G 00 t200m 00 h + 00J S~z expfg S~z hg
S
n
n
n
z
S~ n S
i! + + h t2 G1 t2 m h + JS z :
(5.15)
n
n
n
Hierbei ist gS der Lande{Faktor fur den t2g {Spin, der die Starke der Kopplung dieses
Spins an das Magnetfeld beschreibt. Die Determinaten und die Exponentialfunktion
entstammen der Mittelung h iSiz , bei der gema Glg. (5.10) ein Funktionalintegral
5.2. Dynamische Molekularfeld{Theorie fur Manganat{Modelle
135
uber Matsubara{Frequenzen eingeht. Bei der letzten Umformung ist zu beachten, da
G diagonal in n ist und keine Abhangigkeit von und besteht. Entwickelt man in
dem Ausdruck (5.15) die einzelnen Terme in h, so erhalt man bis auf Terme von der
Ordnung h2
Gn + mnh P
2 0 mn0 h+0 h t
X 1 + n00 i!n0 + t2Gn0 +0JSz f1 + gS S z hg
=
P ~z 1 + Q 00 00 t200mn00 h+00h f1 + g S~z hg
Sz
S
S
n i!n00 + t2 Gn00 +00 J S~z
!
2 m h + h
t
1
n
i! + t2 G + JS z
2
n
n
i!n + t Gn + JS z 2
2
= (i! i!+n+ t2 Gt )G2 n J 2 + h n (i! + n t2G )2 + J 2
gS J
n
n
2 m 0 + 1)
(
t
n
f(i! + t2 G )2 J 2 g2
(i! + t2G )2 J 2
n
+2J 2
X
n0
n
t2 mn0 + 1
f(i!n + t2Gn)2
n
#n
1
J 2 g2 (i!n + t2Gn)2 J 2 :
(5.16)
Der Quotientenvergleich fur den h0 und den h1 Term liefert zwei Iterationsschemata,
um zunachst
2
Gn= (i! i!+n+ t2Gt )G2 n J 2
(5.17)
n
n
und daraus dann auch mn zu berechnen. Letzteres fuhrt direkt auf die ferromagnetische Suszeptibilitat
X
X
X
= @ [n"@h n# ] = @ [G" ( = 0+)@h G#( = 0+)] = 4 mnei!n 0+ :
n
(5.18)
Mit diesem analytischen Ausdruck fur die ferromagnetische Suszeptibilitat wurde die
korrekte Implementation des QMC{Algorithmus, wie in Abschnitt 1.3 beschrieben,
uberpruft.
Numerische Losung eines Modells mit elektronischen Korrelationen
Wird zusatzlich zum Kondo{Gitter{Modell die Coulomb{Abstoung innerhalb der
eg {Orbitale in dem elektronischen Modell (5.9) berucksichtigt, so erhalt man ein
136
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
entsprechend komplizierteres Einplatz{Problem. Anstelle von Glg. (5.10) lautet die
Green{Funktion des korrelierten Systems
XZ
1
D[]D[] exp A[; ; S z ; G 1]
(5.19)
G =
Z Sz =1
mit Zustandssumme Z und
X
A[; ; S z ; G 1 ] =
n
n
U
n n
n
G
X Z
0
X
1
z
n + JS
d
" ( ) " ( ) # ( ) # ( )
Z
( )
(V0 0 F0 ) d < 0 ;0
(5.20)
n
0
( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ):
Die Selbstkonsistenzgleichung, die k{integrierte Dyson{Gleichung (5.12), andert sich
nicht.
Fur die folgenden Resultate wurde das Einplatz{Problem (5.19) numerisch mit
Hilfe von Quanten{Monte{Carlo{(QMC{)Simulationen gelost und mit der Selbstkonsistenzgleichung (5.12) bis zur Konvergenz iteriert. Der hierzu entwickelte QMC{
Algorithmus wurde in Abschnitt 1.3 vorgestellt.
5.3 Spektralfunktion in der paramagnetischen
Phase
In diesem und dem folgenden Abschnitt soll der Einu elektronischer Korrelationen,
d. h. der Coulomb{Wechselwirkungen innerhalb der eg {Orbitale, auf die Eigenschaften der paramagnetischen Phase mit Hilfe der Dynamischen Molekularfeld{Theorie
untersucht werden. Diese Coulomb{Wechselwirkungen werden im ferromagnetischen
Kondo{Gitter{Modell gerade vernachlassigt, obwohl sie mit U; V0 8eV die grote
Energieskala bilden. Ein geeignetes elektronisches Modell fur die Manganate, das die
Coulomb{Abstoung berucksichtigt, ist der Hamilton{Operator (5.9).
Bei der numerischen QMC{Losung der DMFT{Gleichungen wurde die Green{
Funktion G(i!n) in Abhangigkeit von imaginaren Frequenzen i!n bestimmt. Mit
Hilfe der Maximum{Entropie{Methode (s. Abschnitt 1.4) konnte hieraus die Green{
Funktion G(!) bei reellen Frequenzen ! gewonnen werden. Deren Imaginarteil ImG(!)
entspricht wiederum der Spektralfunktion der Einteilchen{Anregungen
A(!) = 1 ImG(!):
(5.21)
5.3. Spektralfunktion in der paramagnetischen Phase
137
Multipliziert mit der Fermi{Funktion liefert A(!) einen theoretischen Ausdruck fur
das Photoemissions{Spektrum.
Abb. 5.8 zeigt die Spektralfunktion A(!) in der paramagnetischen Phase fur eine
eg {Elektronen{Dichte n = 0:7 (Ca{Dotierung x = 0:3), eine Bethe{Zustandsdichte
mit Bandbreite W = 4, Coulomb{Wechselwirkungen in den eg {Orbitalen von U = 8,
F0 = 1 und V0 = U 2F0 = 6. Hierbei wurden alle Einheiten auf die Bandbreite
bezogen, was in eV (mit der experimentell beobachteten Bandbreite) realistischen
Parametern fur Manganate wie LaxCa1 xMnO3 entspricht (Bandstrukturrechnungen
sagen dagegen W = 1 2eV voraus; s. S. 130). Um den Einu der Hundschen
Kopplung J zwischen eg {Elektronen und t2g {Spin zu studieren, sind in Abb. 5.8 Ergebnisse fur zwei unterschiedliche Kopplungsstarken J = 1 und J = 2 dargestellt.3
Zum Vergleich ist die Spektralfunktion des ferromagnetischen Kondo{Gitter{Modells
ohne elektronische Korrelationen angegeben. In diesem Modell kommt es mit zunehmendem J zu einer Aufspaltung der halb{elliptischen Zustandsdichte in zwei Bander
mit Abstand 2J .
Wird die Coulomb{Wechselwirkung innerhalb der eg {Bander berucksichtigt, so
andert sich das Spektrum drastisch. Es bildet sich ein Satelliten{Band im Bereich der
Starke der Coulomb{Wechselwirkung V0 . Dieses beschreibt Einteilchen{Anregungen
mit einer lokalen Doppelbesetzung. Aufgrund der Ungenauigkeit der Maximum{
Entropie{Methode bei groeren Frequenzen, lat sich allerdings nicht denitiv sagen,
ob dieses Satelliten{Band aus einer einzigen breiten Struktur besteht, wie Abb. 5.8
suggeriert, oder noch eine innere Struktur mit mehreren Maxima besitzt. Genauer ist
die Maximum{Entropie{Methode dagegen in der Nahe der Fermi{Energie (! = 0).
Hier reduzieren die elektronischen Korrelationen das spektrale Gewicht in einem Bereich von ! = 2 (eV), wobei die Spektralfunktion an der Fermi{Kante selbst nahezu
unverandert bleibt. Es entsteht ein ausgepragter Peak an der Fermi{Kante.
Insgesamt ergibt sich eine deutliche Verbreiterung der eg {Bander durch elektronische Korrelationen. Aus diesem Grund wurde die Rechnung fur die Bandbreite
W = 2, die Bandstrukturrechnungen liefern, wiederholt. Abb. 5.9 zeigt, da auch
fur eine nicht{wechselwirkende Bandbreite von W = 2 die Coulomb{Wechselwirkung
zu breiten Bandern fuhrt. Moglicherweise ist der Unterschied zwischen Experiment
(W = 3 4eV fur " und #{Band) und Bandstrukturrechnung (W = 1 2eV) also
durch die elektronischen Korrelationen bedingt, die die Breite der eg{Bander erhohen.
Die Temperaturabhangigkeit der Spektren ist gering. Fur das Kondo{Gitter{Modell
ist das Spektrum sogar vollstandig unabhangig von der Temperatur.
Nicht erklaren konnen die Spektren Abb. 5.8 und Abb. 5.9 die experimentelle Beobachtung einer Energielucke an der Fermi{Kante, innerhalb der sich nur sehr wenig
Dies liegt oberhalb und unterhalb von J = 3=2, was fur F0 = 1 einer Hundschen Kopplung
entspricht, die unabhangig von den beteiligten Orbitalen ist. Da der t2g {Spin drei Elektronen beschreibt, gilt J jSz j 3=2F0. Hier ist jSZ j 1.
3
138
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
0.3
U=0
U=8, T=0.2
U=8, T=0.05
0.25
0.2
A(ω) 0.15
0.1
0.05
0.3
0
U=0
U=8, T=0.2
U=8, T=0.1
0.25
0.2
A(ω) 0.15
0.1
0.05
0
−2
0
2
4
6
8
10
12
ω
Abbildung 5.8: Spektralfunktion A(!) als Funktion der Frequenz ! relativ zur Fermi{
Energie des elektronischen Modells fur Manganate (5.9) bei einer Ca{Dotierung x = 0:3
(n = 0:7), einer Bethe{Zustandsdichte mit Bandbreite W = 4, Coulomb{Wechselwirkungen
zwischen den eg {Orbitalen von U = 8, F0 = 1 und V0 = U 2F0 = 6 sowie einer Kopplung
der eg {Elektronen an den t2g {Spin der Starke J = 1 (oben) bzw. J = 2 (unten). Zum
Vergleich ist die Spektralfunktion des ferromagnetischen Kondo{Gitter{Modells (U = F0 =
V0 = 0; gepunktete Kurve) eingetragen. Elektronische Korrelationen fuhren zu einem oberen
Satelliten{Band im Bereich der Coulomb{Wechselwirkung V0 und auch zu einer Reduktion
des spektralen Gewichts im unteren Band in der Umgebung der Fermi{Energie.
5.4. Optische Leitfahigkeit in der paramagnetischen Phase
139
0.5
0.45
U=0
U=8, T=0.2
U=8, T=0.125
0.4
0.35
0.3
A(ω) 0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
ω
Abbildung 5.9: Spektralfunktion A(!) als Funktion der Frequenz ! (Fermi{Energie bei
! = 0) fur x = 0:3 (n = 0:7), W = 2, U = 8, F0 = 1, V0 = U 2F0 = 6 und J = 3=2. Die
gepunktete Kurve ist die Spektralfunktion des ferromagnetischen Kondo{Gitter{Modells
(U = F0 = V0 = 0).
spektrales Gewicht bendet, s. Abb. 5.3. Diese Energielucke oder Quasi{Energielucke
bei verschiedenen Dotierungen x ist ein Charakteristikum der ungewohnlichen paramagnetischen Phase der Manganate. Eine andere experimentelle Beobachtung aus
Abb. 5.3 wird jedoch korrekt beschrieben: Bei Berucksichtigung der elektronischen
Korrelationen wird fur x = 0:3 spektrales Gewicht aus dem unteren eg {Band in das
obere transferiert.
5.4 Optische Leitfahigkeit in der paramagnetischen
Phase
Aus dem Imaginarteil der Green{Funktion bzw. der Spektralfunktion wurde mittels
Kramers{Kronig{Transformation auch deren Realteil und daraus die Selbstenergie in
Abhangigkeit von reellen Frequenzen ! berechnet. Der Imaginarteil der Selbstenergie
an der Fermi{Kante ist fur das ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell (5.5) und auch
fur das Modell mit elektronischen Korrelationen (5.9) endlich. Die Anregungen des
140
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
Kondo{Gitter{Modells bei kleinen Energien lassen sich also nicht durch Quasiteilchen
im Rahmen einer Fermi{Flussigkeits{Theorie beschreiben. Der Grund hierfur ist,
da die t2g {Spins in der hochentarteten paramagnetischen Phase ungeordnet sind,
und daher die Eigenzustande der eg {Elektronen keinen festen Impuls haben konnen.
Genau der gleiche Mechanismus fuhrt auch im Falikov{Kimball{Modell, das in der
DMFT die gleiche Selbstenergie wie das Kondo{Gitter{Modell hat (Furukawa, 1994),
zu einem Verhalten, das nicht durch eine Fermi{Flussigkeit beschrieben werden kann.
Aus der Selbstenergie bei reellen Frequenzen ! lat sich die Green{Funktion
der paramagnetischen Phase in Abhangigkeit des Impulses k berechnen:
(5.22)
Gk (!) = ! + (1!) + i :
k
Hierbei dient = 1=100 der kunstlichen Verbreiterung von Delta{Peaks in der Green{
Funktion auf eine endliche Breite und Hohe.
Da in der DMFT Vertex{Korrekturen zur optischen Leitfahigkeit (!) entfallen,
lat sich (!) direkt aus der k{abhangigen Green{Funktion bestimmen, s. Georges
et al. (1996):
Z Z
0
1
1
Re(!)= 83 d3k d!0 ImGk(!0)ImGk (!0 + !) f (!) f!(! + !)
1
1
(5.23)
mit der Fermi{Funktion f (!) = 1=[1 + exp(!)]. Glg. (5.23) enthalt gerade den
Beitrag des einfachen Teilchen{Loch{Diagramms zur optischen Leitfahigkeit [Gk (!0+
!) ist der Propagator des Teilchens; Gk (!0) der des Lochs].
Zur Berechnung der optischen Leitfahigkeit nach dem beschriebenen Vorgehen
wurde ein Programm von Blumer verwendet.
Abb. 5.10 zeigt die optische Leitfahigkeit bei einer Ca{Dotierung x = 0:3 (n =
0:7), einer Bandbreite W = 2, Coulomb{Wechselwirkungen U = 8, F0 = 1, V0 =
U 2F0 = 6 und einer Kopplungsstarke an den t2g{Spin J = 3=2. Bereits im
Kondo{Gitter{Modell (gepunktete Kurve) ist die optische Leitfahigkeit bei kleinen
Frequenzen gegenuber dem nicht{wechselwirkenden Modell (gestrichpunktete Kurve)
erheblich reduziert. Anstelle des Drude{Peaks des nicht{wechselwirkenden Systems
(J = 0; gestrichpunktete Linie) mit einer Gleichstrom{Leitfahigkeit von (0) 12
bei T = 0:125 ( = 1=100) betragt die Gleichstrom{Leitfahigkeit im Kondo{Gitter{
Modell lediglich (0) 0:23. Der Grund hierfur sind starke Streuungen der eg {
Elektronen an den ungeordneten t2g {Spins bzw. ein endlicher Imaginarteil der Selbstenergie bei der Fermi{Energie. Da sich die Anregungen des Kondo{Gitter{Modells
nicht als Quasiteilchen einer Fermi{Flussigkeit beschreiben lassen, verliert aber auch
das Konzept eines Drude{Peaks in der optischen Leitfahigkeit, der antiproportional
zum Quasiteilchen{Gewicht ist und fur T ! 0 zu einem Delta{Peak wird, seine
5.4. Optische Leitfahigkeit in der paramagnetischen Phase
141
0.3
U=0, T=0.125
U=8, T=0.2
U=8, T=0.125
J=0 , T=0.125
0.25
0.2
σ(ω) 0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
ω
Abbildung 5.10: Optische Leitfahigkeit (!) bei Ca{Dotierung x = 0:3 (n = 0:7) fur
zwei Temperaturen und die Parameter aus Abb. 5.9, d. h. Bandbreite W = 2, Coulomb{
Wechselwirkungen U = 8, F0 = 1, V0 = U 2F0 = 6 und J = 3=2. Die optische Leitfahigkeit
bei kleinen Frequenzen ! reduziert sich gegenuber dem Kondo{Gitter{Modell (U = F0 =
V0 = 0; gepunktete Kurve) um einen Faktor zwei. (!) unterscheidet sich erheblich von
dem Drude{Peak des nicht{wechselwirkenden Systems (J = 0 und U = F0 = V0 = 0;
gestrichpunktete Kurve) mit (0) 12 bei T = 0:125.
Grundlage. Stattdessen ist die Gleichstrom{Leitfahigkeit in der paramagnetischen
Phase des Kondo{Gitter{Modells nahezu unabhangig von der Temperatur.
Zwei Beitrage zur optischen Leitfahigkeit sind in Abb. 5.10 fur das Kondo{Gitter{
Modell zu erkennen. Bis zu einer Frequenz von ! 1 tragen Teilchen{Loch{Paare
aus dem unteren Band des Spektrums der Abb. 5.9 zur optischen Leitfahigkeit bei.
In der Umgebung von ! = 3(= 2J ) fuhren Locher im unteren Band zusammen mit
Teilchen im oberen Band zu einem zusatzlichen Beitrag in der optischen Leitfahigkeit.
Die elektronischen Korrelationen reduzieren die optische Leitfahigkeit bei kleinen
Frequenzen noch einmal um den Faktor zwei auf (0) 0:13 fur T = 0:125. Noch
dramatischere Konsequenzen haben die elektronischen Korrelationen fur den zweiten
Peak bei ! = 3. Die Coulomb{Wechselwirkung fuhrt anstelle des schmalen oberen
Bandes des Kondo{Gitter{Modells auf ein breites Anregungsspektrum im Bereich
der Coulomb{Wechselwirkungsstarke (Abb. 5.9). Damit verschwindet der Peak in
der optischen Leitfahigkeit bei ! = 3. Stattdessen gibt es eine sehr ache Struktur,
142
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
die in der !{Skala von Abb. 5.10 gerade noch erkennbar ist. Auch mit elektronischen Korrelationen wird keine starke A nderung der optischen Leitfahigkeit mit der
Temperatur beobachtet.
5.5 Vom Doppelaustausch zum Superaustausch
Nachdem der Einu von elektronischen Korrelationen in der paramagnetischen Phase besprochen wurde, soll in diesem Abschnitt deren Bedeutung fur den Ferromagnetismus analysiert werden. In der Einfuhrung, Abschnitt 5.1, wurden zwei Mechanismen, die zum Ferromagnetismus in Manganaten fuhren, diskutiert: der Doppelaustausch im Kondo{Gitter{Modell und der Superaustausch in Kugel'{Khomski{artigen
Modellen. Beides ist in dem elektronischen Modell fur Manganate (5.9) als Grenzfall
enthalten.
Ohne Coulomb{Wechselwirkungen innerhalb der beiden eg {Orbitale reduziert sich
der Hamilton{Operator (5.9) auf das Kondo{Gitter{Modell (5.5). In welchen Grenzfallen kann die lokale Coulomb{Abstoung innerhalb und zwischen den beiden eg {
Orbitale (U bzw. V0) vernachlassigt werden? Da V0 und U mit ca. 8eV die grote
Energieskala bilden, sind die entsprechenden Beitrage nur dann klein, wenn es keine
Doppelbesetzungen innerhalb eines Orbitals bzw. in zwei verschiedenen Orbitalen am
gleichen Gitterplatz gibt. Fur den U {Term verhindert gerade die Hundsche Kopplung
J mit dem t2g {Spin eine Doppelbesetzung mit zwei Elektronen entgegengesetzten
Spins, weil diese kein maximales lokales magnetische Moment haben. Der U {Term
spielt also generell bei einer vorhandenen starken Hundschen Kopplung nur eine untergeordnete Rolle. Im Gegensatz dazu verhindert der V0{Term auch Kongurationen
mit zwei eg {Elektronen auf dem gleichen Gitterplatz, deren Spins gleichgerichtet sind.
Diese Kongurationen haben im Kondo{Gitter{Modell mit zwei Bandern inkorrekterweise keine um V0 erhohte Energie. Nur wenn bei einer geringen Anzahl eg {Elektronen
solche Kongurationen selten sind, also bei Ca{Dotierung x / 1, kann das Kondo{
Gitter{Modell (5.5) die Eigenschaften des allgemeineren Modells fur Manganate (5.9)
gut beschreiben.
Die eektiven Modelle vom Kugel'{Khomski{Typ bilden gerade den entgegengesetzten Grenzfall lokalisierter Elektronen bei x = 0. Sie konnen aus dem allgemeinen
elektronischen Modell (5.9) durch Storungstheorie in der kinetischen Energie abgeleitet werden. Abseits der viertel Fullung mit einem eg {Elektron pro Gitterplatz (x = 0)
werden die Elektronen beweglich, und anstelle der Kugel'{Khomski{artigen Modelle
wurde die Storungstheorie in der kinetischen Energie wesentlich kompliziertere Modelle vom Typ des t{J {Modells mit einer zusatzlichen kinetischen Energie in einem
reduzierten Hilbert{Raum ohne lokale Doppelbesetzungen liefern. Hier verliert das
eektive Modell vom Kugel'{Khomski{Typ seine Anwendbarkeit.
Die Curie{Temperatur in diesem Grenzfall starker Kopplung lat sich auf sehr ein-
5.5. Vom Doppelaustausch zum Superaustausch
143
fache Art im Rahmen der Weissschen Molekularfeld{Theorie berechnen. Fur eine starke Hundsche Kopplung an einen t2g{Ising{Spin bilden die vier Kongurationen aus
Abb. 5.7 [zusammen mit den Kongurationen, die durch die Transformationen ("!#)
und ( = 1; = 2) ! ( = 2; = 1) entstehen] alle moglichen Kongurationen zwischen zwei benachbarten Gitterplatzen. Ist eine alternierende orbitale Ordnung vorgegeben, so sind nur noch die letzten beiden Kongurationen aus Abb. 5.7 erlaubt. Bei
einer Magnetisierung m haben von den Z Nachbargitterplatzen im Mittel Z (1+ m)=2
einen "{Spin und Z (1 m)=2 einen #{Spin. In der Weissschen Molekularfeld{Theorie
gewinnt ein "{Spin also Z (1+ m)=2-mal die Energie t2 =(V0 F0 ) und Z (1 m)=2-mal
t2 =(V0 +2J ) in Storungstheorie zweiter Ordnung in t. Die Gesamtenergie des "{Spins
betragt damit
2
2
(5.24)
E" = Z 1 +2 m V t F Z 1 2 m V +t 2J :
0
0
0
Entsprechend hat ein #{Spin in der Weissschen Molekularfeld{Theorie die Energie
2
2
E# = Z 1 2 m V t F Z 1 +2 m V +t 2J :
(5.25)
0
0
0
Dies fuhrt zu einer statistischen Besetzung von "{ und #{Spin gema dem Boltzmann{
Gewicht expf E g und damit zu einer Magnetisierung
Zt2
2 Zt
m = tanh f (E# E" )g = tanh V F V + 2J m :
0
0
0
(5.26)
Die kritische Temperatur fur das Einsetzen der ferromagnetischen Ordnung bei vorhandener orbitaler Ordnung ist also in der Weissschen Molekularfeld{Theorie durch
2
2
(5.27)
Tc = V Zt F V Zt
0
0
0 + 2J
gegeben. Wurde bei hoheren Temperaturen nicht zunachst eine orbitale Ordnung
eintreten, so wurden ohne orbitale Ordnung auch die Kongurationen eins und zwei
in Abb. 5.7 beitragen. Die Curie{Temperatur ware
2
2
Zt2 :
Tc = V Zt F V Zt
(5.28)
U
0
0
0 + 2J
Im Gegensatz zum Grenzfall der Weissschen Molekularfeld{Theorie bei x = 0 und
starker Kopplung erfordert die Losung des elektronischen Modells fur Manganate
(5.9) in der DMFT aufwendige numerische Simulationen. Die Curie{Temperaturen
mussen dabei mit Hilfe eines Curie{Weiss{Fits aus den numerischen Daten bestimmt
werden. Dieser Zwischenschritt ist in Abb. 5.11 dargestellt.
144
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
1.2
n=0.2
n=0.3
n=0.4
n=0.5
1
0.8
χ
−1 0.6
0.4
0.2
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.2
0.25
T
0.5
0.45
n=0.6
n=0.7
n=0.8
n=0.9
0.4
0.35
0.3
χ
−1
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.05
0.1
T
Abbildung 5.11: Curie{Weiss{Fit der Form a(T=Tc 1) an die inverse ferromagnetische

Suszeptibilitat 1 als Funktion der Temperatur zur Bestimmung der Ubergangstemperatur
Tc in die ferromagnetisch geordnete Phase. Das so fur verschiedene Elektronendichten n
bestimmte Tc ist in Abb. 5.12 aufgetragen.
5.5. Vom Doppelaustausch zum Superaustausch
145
0.25
0.2
PM
0.15
T
0.1
FM
0.05
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x

Abbildung 5.12: Curie{Temperatur fur den Ubergang
vom Paramagneten (PM) zum
Ferromagneten (FM) als Funktion der Ca-Dotierung x bzw. der mittleren Elektronen{
Dichte n = 1 x. Gestrichelte Kurve: Kondo{Gitter{Modell mit Bandbreite W = 2
und J = 3=2; gefullten Quadrate: Modell korrelierter Elektronen (5.9) mit zusatzlichen
Coulomb{Wechselwirkungen U = 8, V0 = 6, F0 = 1 in den eg {Orbitalen; Kreis: Weisssche
Molekularfeld{Theorie dieses Modells. Das Modell korrelierter Elektronen beschreibt den

Ubergang
vom Doppelaustausch des Kondo{Gitter{Modells bei x / 1 zum Superaustausch
Kugel'{Khomski{artiger Modelle bei x = 0.
Abb. 5.12 zeigt die so gewonnene Curie{Temperatur, bei der ferromagnetische
Ordnung einsetzt, in Abhangigkeit von der Ca{Dotierung x bzw. der mittleren Anzahl
eg {Elektronen n = 1 x. Zusatzlich sind die zwei Grenzfalle des elektronischen Modells fur Manganate (5.9) angegeben: das Kondo{Gitter{Modell (5.5) (s. Abschnitt
5.2) und die Weisssche Molekularfeld{Theorie bei x = 0, Glg. (5.27). Fur das Kondo{
Gitter{Modell ist die Curie{Temperatur fur eine groe Hundsche Kopplung J proportional zur kinetischen Energie t und maximal bei x 0, da bei dieser Dotierung mit
einem eg {Elektron pro Gitterplatz ein Maximum an kinetischer Energie gewonnen
werden kann. Dies wird aber durch die, im Kondo{Gitter{Modell nicht berucksichtigte, Coulomb{Abstoung verhindert. Anstelle einer Curie Temperatur Tc / t liefert
die Weisssche Molekularfeld{Theorie fur x = 0 und starke Coulomb{Wechselwirkung
nach Glg. (5.27) Tc = Zt2=(V0 F0) Zt2 =(V0 + 2J ). Da die kinetische Energie t klein
im Vergleich zu der Coulomb{Wechselwirkung V0 ist, ist diese Curie{Temperatur we-
146
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
0.25
0.2
PM
0.15
T
0.1
FM
0.05
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Abbildung 5.13: Wie in Abb. 5.12 aber mit einer Bandbreite W = 4 (gepunktete Linie:
Fitkurve).
sentlich kleiner als die Energieskala t bzw. die Curie{Temperatur des Kondo{Gitter{
Modells.
Das elektronische Modell fur Manganate (5.9) beschreibt in Abb. 5.12 das vollstandige Verhalten fur alle Ca{Dotierungen x. Fur x ' 0:5 ist die Vorhersage des Kondo{
Gitter{Modells approximativ richtig. Fur geringere Ca{Dotierungen spielen elektronische Korrelationen eine wichtige Rolle und das Kondo{Gitter{Modell uberschatzt
die Curie{Temperatur deutlich (bis zu einem Faktor 6 bis 7 bei x = 0). In diesem
Bereich ist der Doppelaustausch nicht mehr die mikroskopische Ursache fur den Ferromagnetismus. Es kommt zu einem U bergang zum Superaustausch bei x = 0 mit einer
deutlich geringeren Curie{Temperatur. Bedingt durch diesen U bergang vom Doppelaustausch zum Superaustausch zeigt die Curie{Temperatur in Abhangigkeit von
der Ca{Dotierung x ein Maximum, wie es auch experimentell im Phasendiagramm
von La1 xCaxMnO3 (Abb. 5.2) beobachtet wird. Dieses Maximum liegt allerdings bei
einer groeren Ca{Dotierung als im Experiment. Ein anderer Eekt, der ebenfalls ein
solches Maximum in Tc erzeugen kann, ist die Jahn{Teller{Kopplung, die im Bereich
x 0 eine Rolle spielt und das Zweiband{Modell auf ein eektives Einband{Modell
mit geringerer kinetischer Energie und Curie{Temperatur reduzieren kann.
Nicht dargestellt ist im T {x{Phasendiagramm, Abb. 5.12, eine orbitale Ord-
5.6. Diskussion und Zusammenfassung
147
nung, die in der Weissschen Molekularfeld{Theorie der eektiven Spin{ und Orbital{
Modelle bei x = 0 zusatzlich zur ferromagnetischen Ordnung auftritt. Die QMC{
Simulationen zeigen bei x = 0:1 ebenfalls eine Instabilitat der ungeordneten Phase
gegenuber orbitaler Ordnung. Die orbitale Ordnung ist allerdings bereits bei x = 0:2
verschwunden. Nicht berucksichtigt wird in dem elektronischen Modell (5.9) eine antiferromagnetische Kopplung zwischen den t2g {Spins, wie sie der Hamilton{Operator
(5.8) beschreibt. Diese Kopplung fuhrt auf naturliche Weise zum Antiferromagnetismus bei x = 0, wo keine eg{Elektronen vorliegen, und bei x = 1, falls die antiferromagnetische Kopplung starker als der Superaustausch ist. Derartige antiferromagnetische Phasen werden in La1 xCaxMnO3 (Abb. 5.2) beobachtet.
Abb. 5.13 zeigt das T {x{Phasendiagramm bei einer doppelt so groen Bandbreite
W = 4. Es zeigt sich ein ahnliches Maximum in der Curie{Temperatur, wobei die
absolute Temperatur des Maximums um ca. 60% groer ist. Dies entspricht bei einer
doppelten Bandbreite nicht ganz einem Faktor zwei, da die Curie{Temperatur des
Kondo{Gitter{Modells nur fur J t wie Tc / t skaliert. Die Bedingung J t ist in
Abb. 5.13 aber nicht mehr erfullt. Deutlicher ist der Anstieg der Curie{Temperatur
bei kleinen Dotierungen x um einen Faktor 3 bis 4, wo fur den Superaustausch Tc /
t2 =V0 skaliert.
5.6 Diskussion und Zusammenfassung
Die theoretische Beschreibung der elektronischen Freiheitsgrade in dotierten Manganaten wie z. B. La1 xCaxMnO3 basiert bislang mageblich auf dem ferromagnetischen
Kondo{Gitter{Modell, bei dem der Doppelaustausch fur die ferromagnetische Ordnung verantwortlich ist. In diesem Kapitel wurde gezeigt, da elektronische Korrelationen, die im Kondo{Gitter{Modell vernachlassigt werden, sehr wohl wichtig sind.
Insbesondere ist die Coulomb{Abstoung V0 zwischen zwei Elektronen in verschiedenen Orbitalen von erheblicher Bedeutung.
In der paramagnetischen Phase bewirkt diese Coulomb{Abstoung zwischen den
eg {Elektronen einen Satelliten{Peak bei ! V0 im Spektrum (Abb. 5.8). Auerdem
wird das spektrale Gewicht in einem Bereich um die Fermi{Energie von ! = 2
| nicht jedoch an der Fermi{Energie selbst | deutlich reduziert und die Breite
der Bander erhoht. Moglicherweise sind elektronische Korrelationen daher die Ursache dafur, da Bandstrukturrechnungen wesentlich schmalere eg {Bander liefern,
als experimentell beobachtet wird. Wie im Experiment (Abb. 5.3) ergibt sich eine
Verschiebung von spektralem Gewicht aus dem unteren eg{Band ins obere.
Die optische Leitfahigkeit (Abb. 5.10) bei kleinen Frequenzen wird durch elektronische Korrelationen um den Faktor zwei reduziert. Ein weiterer Peak in der optischen
Leitfahigkeit des Kondo{Gitter{Modells bei ! = 2J geht uber in eine breite Struktur mit einer sehr kleinen optischen Leitfahigkeit. Die Leitfahigkeit unterscheidet sich
148
5. Elektronische Korrelationen in Manganaten
bereits im Kondo{Gitter{Modell deutlich von dem Drude{Peak des wechselwirkungsfreien Systems ohne Hundsche Kopplung an den t2g{Spin, denn die paramagnetische
Phase lat sich nicht in einem einfachen Quasiteilchen{Bild einer Fermi{Flussigkeit
beschreiben. Auch wenn die paramagnetische Phase des elektronischen Modells fur die
Manganate (5.9) keine Fermi{Flussigkeit ist, so erklart sie doch nicht die ungewohnlichen Eigenschaften der paramagnetischen isolierenden Phase der CMR{Manganate,
die im Bereich der Fermi{Energie nur ein extrem kleines spektrales Gewicht in der
Photoemissions{Spektroskopie und der optischen Leitfahigkeit zeigen. Gitterfreiheitsgrade, die in dieser Arbeit nicht berucksichtigt wurden, konnen hierfur moglicherweise
eine wichtige Rolle spielen. Bislang gibt es in der Literatur aber noch keine mikroskopische Theorie, die die ungewohnlichen Eigenschaften der paramagnetischen Phase
beschreibt.
Fur die mikroskopische Ursache des Ferromagnetismus wurde in dieser Arbeit ein
Ubergang vom Doppelaustausch des Kondo{Gitter{Modells zum Superaustausch bei
Ca{Dotierung x = 0 gefunden. Das Kondo{Gitter{Modell liefert nur eine verlaliche
Curie{Temperatur fur eine Ca{Dotierung x > 0:5 bzw. eine eg {Elektronendichte pro
Gitterplatz von n < 0:5. In diesem Bereich sind Doppelbesetzungen selten und die
Coulomb{Abstoung V0 spielt eine weniger wichtige Rolle. Das Modell mit elektronischen Korrelationen kann fur n < 0:5 durch das Kondo{Gitter{Modell approximativ
beschrieben werden.
Der Transferproze zwischen den Mangan{Gitterplatzen t erfolgt indirekt uber die
Sauersto{Orbitale und ist daher klein gegenuber der Coulomb{Wechselwirkung V0.
Aus diesem Grund ist der Superaustausch bei x = 0 (Tc / t2 =V0) in den Manganaten
erheblich kleiner als der Doppelaustausch (Tc / t). Dies fuhrt beim U bergang vom
Doppelaustausch zum Superaustausch zu einem Maximum in der Curie{Temperatur
als Funktion der Ca{Dotierung (Abb. 5.12). Dieses Maximum wird experimentell in
La1 xCaxMnO3 beobachtet (Abb. 5.2). Die Theorie sagt allerdings eine etwas zu groe
Ca{Dotierung x fur dieses Maximum voraus. Die Ursache fur diese Diskrepanz liegt
moglicherweise in einer antiferromagnetischen Kopplung zwischen benachbarten t2g {
Spins, die hier nicht betrachtet wurde. Diese antiferromagnetische Kopplung fuhrt
auch zu zusatzlichen antiferromagnetischen Phasen bei x 0 und x 1, wie sie
experimentell in La1 xCaxMnO3 beobachtet werden.
149
Zusammenfassung
Zu den mikroskopischen Ursachen des Ferromagnetismus
In Kapitel 2 wurde in der Dynamischen Molekularfeld{Theorie (DMFT) gezeigt, da
die Hundsche Kopplung bei einer orbitalen Entartung ein sehr eektiver Mechanismus zur Stabilisierung ferromagnetischer Ordnung in einem groen Bereich elektronischer Dichten ist. Bei typischen Parameterwerten fur U bergangsmetalle, d. h. einer
Coulomb{Wechselwirkung von U = 4eV, einer Hundsche Kopplung von F0 = 1eV
und einer Bandbreite von 4eV, ergeben sich fur das Funfband{Modell U bergangstemperaturen von ca. 2000K. Bislang war der Mechanismus einer Hundschen Kopplung
bei orbitaler Entartung vor allem bei viertel Fullung in einem Zweiband{Modell mit
eektiven Kugel'{Khomski{Modellen beschrieben worden. Diese Fullung ist jedoch
keineswegs ausgezeichnet fur den Ferromagnetismus, wohl aber fur eine alternierende
orbitale Ordnung, denn letztere ist nur in der Nahe von viertel Fullung stabil.
Ein detaillierter Vergleich von drei moglichen Ursachen fur den Ferromagnetismus
in der DMFT zeigt, da die Hundsche Kopplung bei orbitaler Entartung und eine
asymmetrische Zustandsdichte sehr ahnliche Phasendiagramme und Spektralfunktionen haben. Der dritte untersuchte Mechanismus, die Nachst{Nachbar{Austausch{
Wechselwirkung, weicht deutlich von den beiden anderen ab und kann nicht die Ursache fur den metallischen Ferromagnetismus in Eisen, Kobalt und Nickel sein. Ob
die Hundsche Kopplung bei orbitaler Entartung oder eine asymmetrische Zustandsdichte oder beide Mechanismen zusammen mageblich fur den Ferromagnetismus der
U bergangsmetalle sind, bleibt nach wie vor oen.
Zum Metamagnetismus stark anisotroper Antiferromagneten
In einem aueren Magnetfeld H verschwindet die antiferromagnetische Ordnung des
Hubbard{Modells mit Vorzugsrichtung in einem metamagnetischen Phasenubergang.
In diesem Modell ndet bei halber Fullung mit abnehmender Coulomb{Wechselwirkung U ein U bergang von einem spinartigen Heisenberg{Antiferromagneten zu
einem bandartigen Slater{Antiferromagneten statt. Dabei fuhren die Ergebnisse aus
Kapitel 3 auf folgendes Szenario fur die Ordnung des metamagnetischen Phasenubergangs: Bei starker Coulomb{Wechselwirkung U zeigt die Storungstheorie vierter Ord-
150
Zusammenfassung
nung ausschlielich metamagnetische Phasenubergange zweiter Ordnung. Bei mittlerer Coulomb{Wechselwirkung (U =Bandbreite) liegen in der DMFT bei tiefen Temperaturen T Phasenubergange erster und bei hoherer Temperatur Phasenubergange
zweiter Ordnung vor. Mit weiter abnehmender Coulomb{Wechselwirkung nimmt der
Bereich mit Phasenubergangen zweiter Ordnung weiter ab, es liegen fast ausschlielich Phasenubergange erster Ordnung vor. Dies sagt auch die Hartree{Fock{Approximation in diesem Bereich voraus, die fur U ! 0 nach Bostanov und van Dongen
(1999) eine erneute Zunahme der Phasenubergange zweiter Ordnung zeigt.
Am metamagnetischen Phasenubergang andert sich die Leitfahigkeit des Systems
zum Teil erheblich. Im Bereich des Slater{Antiferromagneten fur kleine Coulomb{
Wechselwirkung kommt es zu einem Isolator{Metall{U bergang im Magnetfeld, wahrend im Bereich des Heisenberg{Antiferromagneten fur groe Coulomb{Wechselwirkung ein U bergang von einem antiferromagnetischen Isolator zu einem ferromagnetischen Isolator beobachtet wird.
In Kapitel 3 wurde auch das metamagnetische Verhalten abseits halber Fullung
untersucht. Hier liegt bei nicht zu tiefen Temperaturen und nicht zu groen Dotierungen ein antiferromagnetisches Metall vor. In dieser metallischen Phase ist der
metamagnetische Phasenubergang in der Magnetisierungskurve m(H ) wesentlich weniger ausgepragt. Wie schon im Fall des metamagnetischen Isolators andert sich auch
im metamagnetischen Metall die elektronische Kompressibilitat am Phasenubergang
stark. Dies deutet auf einen U bergang zwischen zwei Phasen mit stark verschiedener
Leitfahigkeit.
Zum Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott-U bergangs{Modell
Integriert man die d{Elektronen des Periodischen Anderson{Modells (PAM) aus, so
reduziert sich dieses auf ein eektives Einband{Modell mit einem retardierten Potential. In Kapitel 4 wurde anhand des numerischen Vergleichs in der DMFT gezeigt,
da dieses im Vergleich zum Einband{Hubbard{Modell etwas kompliziertere Potential bei halber Bandfullung und endlichen Temperaturen nicht zu einem Unterschied
im physikalischen Verhalten der beiden Modelle fuhrt. Im Gegenteil, die elektronische
Kompressibilitat, die Spektralfunktion und das Quasiteilchen{Gewicht (bzw. die effektive Masse) verhalten sich in beiden Modellen am Mott{U bergang sehr ahnlich.
Die Phasendiagramme in Abhangigkeit von der Temperatur und dem Verhaltnis aus
Wechselwirkung und f{d{ (PAM) bzw. f{f{ Hybridisierung (Hubbard{Modell) mit
Mott{U bergang und antiferromagnetischer Ordnung sind topologisch identisch.
Die beobachtete A hnlichkeit ist von Bedeutung fur die Theorie des Volumen{
Kollapses in Cer, denn die beiden kontrovers in der Literatur diskutierten Szenarien
eines Mott-U bergangs und eines Kondo{Volumen{Kollapses beruhen gerade auf dem
Mott{U bergang des Hubbard{Modells und der Storstellen{Approximation des PAM.
Kapitel 4 zeigt, da diese Szenarien nicht widerspruchlich sondern ahnlich sind.
Zusammenfassung
151
Am Mott{U bergang wurde in der Energie als Funktion der Hybridisierung tdf bzw.
des Volumens eine stark konkave Struktur beobachtet. Diese kann wie im Kondo{
Volumen{Kollaps{Szenario zu einer thermodynamischen Instabilitat und damit zu
einem Phasenubergang zwischen einer itineranten und einer lokalisierten Phase bei
zwei verschiedenen Volumina fuhren. Die berechnete Druck{Volumen{Dierenz zwischen itineranter und lokalisierter Phase V P=2 = 0:5eV ist mit der experimentellen
V (P ){Kurve konsistent.
Zu den elektronischen Modellen fur Manganate
Der Doppelaustausch{Mechanismus, wie er durch das ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell beschrieben wird, wurde bislang hauptsachlich fur die ferromagnetische
Ordnung in Manganaten wie z. B. La1 xCaxMnO3 verantwortlich gemacht. In Kapitel 3 wurde gezeigt, da elektronische Korrelationen, die im Kondo{Gitter{Modell
vernachlassigt werden, sehr wohl wichtig sind. Insbesondere ergibt sich mit abnehmender Ca{Dotierung ein U bergang vom Doppelaustausch im Bereich 0:5 < x < 1 zum
Superaustausch bei x 0 als mikroskopischer Mechanismus fur den Ferromagnetismus. Da der eektive Mangan{Mangan{Transfer t klein ist gegenuber der Coulomb{
Wechselwirkung V0 , ist der Superaustausch (Curie{Temperatur Tc / t2 =V0) erheblich
kleiner als der Doppelaustausch (Tc / t). Es kommt daher zu einem charakteristischen
Maximum in der Curie{Temperatur als Funktion der Ca{Dotierung, wie dies experimentell | allerdings bei einer etwas kleineren Ca{Dotierung | in La1 xCaxMnO3
beobachtet wird (Schier et al., 1995).
Auch in der paramagnetischen Phase sind elektronische Korrelationen wichtig.
Sie fuhren zu einem Satelliten{Peak in der Spektralfunktion und einer deutlichen
Reduktion des spektralen Gewichts in der Umgebung der Fermi{Energie. Daruber
hinaus wird die optische Leitfahigkeit bei kleinen Frequenzen durch elektronische
Korrelationen um einen Faktor zwei reduziert und ein weiteres Maximum in der optischen Leitfahigkeit des Kondo{Gitter{Modells bei hoheren Frequenzen extrem abgeschwacht. Zwar entspricht die paramagnetische Phase nicht einer einfachen Fermi{
Fussigkeit, sondern hat eine Selbstenergie mit endlichem Imaginarteil an der Fermi{
Energie. Trotzdem lassen sich mit dem Modell korrelierter Elektronen die ungewohnlichen Eigenschaften der paramagnetischen isolierenden Phase der Manganate mit
einem extrem kleinen spektralen Gewicht an der Fermi{Kante nicht beschreiben.
153
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Zhao, G.-M., K. Conder, H. Keller und K. A. Muller, 1996, Nature 381, 676.
Zol, M., T. Pruschke und J. Keller, 1999, private Mitteilung.
Veroentlichungen
165
Veroentlichungen
Teile der Kapitel 2 und 3 wurden an folgenden Stellen veroentlicht:
K. Held, M. Ulmke, N. Blumer und D. Vollhardt, \Correlated{electron theory of
strongly anisotropic metamagnets", Phys. Rev. B 56, 14469 (1997).
D. Vollhardt, N. Blumer, K. Held, M. Kollar, J. Schlipf und M. Ulmke, \Non{
perturbative approaches to magnetism in strongly correlated electron systems", Z.
Phys. B 103, 283 (1997).
K. Held und D. Vollhardt, \Microscopic conditions favoring itinerant ferromagnetism:
Hund's rule coupling and orbital degeneracy", Euro. Phys. J. B 5, 473 (1998).
D. Vollhardt, N. Blumer, K. Held, M. Kollar, J. Schlipf, M. Ulmke und J. Wahle,
\Metallic ferromagnetism: Progress in our understanding of an old strong{coupling
problem", Advances In Solid State Physics 38 (Vieweg, Wiesbaden, 1999), S. 383.
Lebenslauf
167
Lebenslauf
Name
Geburtsdatum
Geburtsort
Staatsangehorigkeit
Karsten Held
20. Juli 1971
Clausthal{Zellerfeld
deutsch
Ausbildung
Aug. 77 { Jul. 81
Aug. 81 { Mai 90
Okt. 90 { Apr. 95
Jun. 96 { Jul. 99
Grundschule Bremerhohe, Clausthal{Zellerfeld.
Schillergymnasium, Munster. Abschlu: Abitur.
Studium der Physik an der RWTH Aachen.
Diplomarbeit bei Professor Dr. D. Vollhardt,
RWTH Aachen, zum Thema \Quanten{Monte{
Carlo{Simulationen des Hubbard{Modells mit
Nachst{Nachbar{Wechselwirkung: Metamagnetische und metallische Phasen".
Abschlu: Diplom mit Auszeichnung.
Promotion bei Professor Dr. D. Vollhardt, Universitat Augsburg (bis Aug. 1996 RWTH Aachen).
Abschlu: Dr. rer. nat. (summa cum laude).
Anstellungen
Okt. 91 { Feb. 95
Mai 95 { Mai 96
Studentische Hilfskraft an der RWTH Aachen.
Zivildienst am Institut fur Medizin des FZ{Julich
im Bereich MR{ und PET{Bildverarbeitung.
168
Lebenslauf
Sep. 95 { Mai 96
Jun. 96 { Aug. 96
seit Aug. 96
Aug. 98 { Nov. 98
Nebentatigkeit als wissenschaftlicher Angestellter
an der RWTH Aachen.
Wissenschaftlicher Angestellter an der RWTH
Aachen.
Wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Universitat
Augsburg. Bis Juli 1998 System{Administrator
am Lehrstuhl Theoretische Physik III.
Forschungsaufenthalt bei Professor Dr. R. Scalettar, University of California, Davis, USA.
Danksagung
169
Danksagung
Herrn Professor Dr. D. Vollhardt mochte ich fur die interessante Themenstellung, seine stete Diskussionsbereitschaft und Unterstutzung und den Raum fur eigene Initiativen wahrend der letzten drei Jahre in Aachen und Augsburg danken. Er ermoglichte
mir auch die Teilnahme an diversen Workshops und Konferenzen sowie meinen Forschungsaufenthalt an der Univerity of California, Davis.
Professor Dr. Richard Scalettar, Dr. Andy McMahan und Dr. Carey Huscroft machten durch Ihre groe Gastfreundschaft und die vielen anregenden Diskussionen die
Zeit in Davis und Livermore zu einem besonderen Erlebnis.
Bei Herrn Professor Dr. U. Eckern mochte ich mich fur die U bernahme des Koreferats
bedanken.
Besonders wichtig waren mir die vielen Diskussionen und die gemeinsamen Projekte mit meinen Freunden und Kollegen Dr. Martin Ulmke, Nils Blumer und Dr. Jan
Schlipf.
Dr. Marcus Kollar, Privat{Dozent Dr. Peter van Dongen, Professor Dr. A. Kampf,
Joachim Wahle, Vladimir Bostanov, Walter Hofstetter und allen anderen Kollegen
in Aachen und Augsburg danke ich fur viele hilfreiche Gesprache und Anregungen
sowie die oene und freundliche Atmosphare am Lehrstuhl.
Das U berlassen des Maximum{Entropie{Programms durch Dr. A. Sandvik war eine
wertvolle Hilfe fur diese Arbeit.
Nicht zuletzt geht mein Dank an Julia und Annika Held fur Ihre liebevolle Unterstutzung in den letzten Jahren.