Integralformeln f ur Abschnittsdeterminanten linearer Operatoren

Integralformeln fur Abschnittsdeterminanten
linearer Operatoren
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultaten
der Georg-August-Universitat zu Gottingen
vorgelegt von
Peter Otte
aus Bad Lauterberg
Gottingen 1997
D7
Referent: Prof. Kre
Korreferent: Prof. Schonhammer
Tag der mundlichen Prufung: 19. Juni 1997
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Praliminarien
8
2.1
2.2
2.3
2.4
Allgemeine Bemerkungen . . . . . .
Hilfsmittel aus der linearen Algebra
Riesz-Projektoren . . . . . . . . . . .
Gruppen beschrankter Operatoren .
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8
8
14
19
3 Operatoren mit Dichotomie
30
4 Abschnittsdeterminanten von Gruppen beschrankter Operatoren
34
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dichotomie-Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Die Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Beweis der Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Schritt 1: Die endlichdimensionale Determinantenformel
4.2.2 Schritt 2: Die Integralgleichung . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Losungstheorie der Integralgleichung . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Abschnittsdeterminanten von Riesz-Projektoren
5.1 Die Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Beweis der Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Schritt 1: Die endlichdimensionale Determinantenformel
5.2.2 Schritt 2: Verschiebung des Spektrums . . . . . . . . . .
5.2.3 Schritt 3: Anwendung der Laplace-Transformation . . .
5.2.4 Schritt 4: Die Wiener-Hopf Gleichung . . . . . . . . . .
5.3 Losungstheorie der Wiener-Hopf Gleichung . . . . . . . . . . .
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41
42
42
45
45
46
51
54
57
6 Quantitative Aussagen
59
Literaturverzeichnis
68
6.1 Abschnittsdeterminanten unitarer Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Storungsentwicklung der Riesz-Projektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
59
62
1 Einleitung
Die klassischen Adiabatischen Theoreme verknupfen die Spektralschar selbstadjungierter
Operatoren mit den Losungen zeitabhangiger Schrodinger-Gleichungen. In dieser Arbeit stellen wir ein neues Adiabatisches Theorem vor, das die Abschnittsdeterminanten der Spektralprojektoren durch die Losung einer Wiener-Hopf-Gleichung ausdruckt.
Seien A0 ein selbstadjungierter und B ein beschrankter symmetrischer Operator auf einem
Hilbert-Raum H. Wir suchen eine Beziehung zwischen den Spektralprojektoren von A0 und
denen von A0 + B . Dazu fuhren wir einen Parameter ein, mit dessen Hilfe wir die beiden
Operatoren ineinander uberfuhren konnen:
A() := A0 + B; 2 [0; 1]:
(1.1)
Seien P () die Riesz-Projektoren zu einem bestimmten Teil des Spektrums von A(). Wir
werden in Satz 4.1 die folgende Integralformel beweisen, die sich als Variante des Adiabatischen Theorems auassen lat:
det P (0)P (1)P (0) = lim
lim exp ?2 Re
!+0 "!+0
Z 1Z 0
0
?1
et tr BG" (t; t + 0; ) dt d :
(1.2)
Wie die Determinante zu verstehen ist, werden wir in Abschnitt 2.2 erlautern. Der Operator
G"(t; t0; ) wird als zeitgeordneter Greenscher Operator bezeichnet. Er erfullt die WienerHopf-Gleichung (' 2 H):
G" (t; t0; )' = e?"jt?t j G0(t ? t0 )' + 0
Z0
?1
e?"jt? j G0 (t ? )BG"(; t0; )' d:
(1.3)
Der Operator G0 ist durch A0 bestimmt. Gleichungen dieses Typs sind von Bart, Gohberg
und Kaashoek [4] studiert worden. Wir entwickeln in Abschnitt 4.3 unabhangig davon eine
Losungstheorie, wobei wir uns ganz auf die spezielle rechte Seite e?"jt?t j G0(t ? t0 ) konzentrieren. Dadurch werden unsere Rechnungen einfacher.
Um die Bedeutung der Formel (1.2) besser erfassen zu konnen und die Bezeichnung Adiabatisches Theorem zu rechtfertigen, zitieren wir das klassische Adiabatische Theorem (vgl. [2]).
Dieses befat sich mit Scharen selbstadjungierter Operatoren H (s). Wir verwenden nicht
die Bezeichnung A(), da der Parameter s eine andere Bedeutung hat als das in (1.1).
Auerdem bleiben wir dadurch im Einklang mit der physikalischen Literatur. Wir nennen
H (s) auch Hamilton-Operator (vgl. die physikalische Motivation weiter unten). Sei P (s) der
Spektralprojektor zu einem bestimmten Teil des Spektrums von H (s). Dann lat sich P (s)
asymptotisch aus P (0) transformieren; d.h. es gilt:
0
P (s) = U (s)P (0)U(s) + O( ); ! 0;
(1.4)
wobei die Transformationsoperatoren U eine Schrodinger-Gleichung erfullen:
d U (s) = H (s)U (s); U (0) = 1:
i ds
2
(1.5)
Die Variable s hat die Bedeutung einer skalierten Zeit. Der Zusammenhang mit der physikalischen Zeit t ist durch s = t gegeben. Die Schrodinger-Gleichung (1.5) lat sich darauf
umrechnen:
i dtd U~ (t) = H (t)U~ (t); U~ (0) = 1:
(1.6)
i dtd U (t; ) = A()U (t; ); U (0; ) = 1:
(1.7)
Physikalisch bedeutet der Limes ! 0, da sich der Hamilton-Operator H (t) nur langsam
mit der Zeit andert. Die intuitive Idee hinter der Aussage des Adiabatischen lat sich auch
folgendermaen beschreiben: Die Storung wird so behutsam eingeschaltet, da man am Ende
glaubt, sie sei schon immer eingeschaltet gewesen.
Die beiden Theoreme weisen einige A hnlichkeiten auf. Die Spektralprojektoren lassen sich
nicht direkt bestimmen, sondern hangen von den Losungen bestimmter Gleichungen ab. Die
Formeln gelten nur asymptotisch; d.h. zur exakten Berechnung sind noch Grenzprozesse auszufuhren, die in beiden Fallen einen singularen Charakter haben; denn weder die WienerHopf-Gleichung noch die Schrodinger-Gleichung besitzt eine wohldenierte Grenzgleichung.
Neben diesen augenscheinlichen Gemeinsamkeiten besteht noch eine tiefere Verwandtschaft
zwischen den beiden Theoremen; denn die Formel (1.2) lat sich zumindest formal aus (1.4)
herleiten. Dazu benotigen wir eine Formel fur die Abschnittsdeterminanten von Losungen
von Schrodinger-Gleichungen. Diese stellt das zweite Hauptresultat dieser Arbeit dar. Wir
werden sie in Abschnitt 4 beweisen. Sei U (t; ) die Losung von:
Dann gilt fur die Abschnittsdeterminanten:
Z 1Z T
det PU (T; 1)P = det PU (T; 0)P exp ?
0
0
tr BG(t; t + 0; ) dt d :
(1.8)
Dabei erfullt G die Integral-Gleichung (' 2 H):
G(t; t0; )' = G0(t ? t0 )' + ZT
0
G0(t ? )BG(; t0; ) d:
(1.9)
Solche Faltungsgleichungen auf endlichen Intervallen sind von Bart, Gohberg und Kaashoek
studiert worden [3]. Wir werden ihre Resultate nicht verwenden, sondern in Abschnitt 4.3 eine
Losungstheorie angeben, die sich ganz auf die spezielle rechte Seite G0(t ? t0 ) konzentriert,
wodurch wir rechnerische Umwege vermeiden konnen.
Abschnittsdeterminanten wie in (1.8) sind Gegenstand zahlreicher Untersuchungen. Als erster
studierte Szego [16] die Abschnittsdeterminanten von Toeplitz-Matrizen; deshalb werden Aussagen dieser Art allgemein als Szego-Satze bezeichnet. Das erste abstrakte Resultat stammt
von Widom [17], der Operatoren der Form PeC P untersucht, wobei C ein Spurklasseoperator
ist. Er wendet seine Resultate auf Integraloperatoren an, wobei P der Projektor auf ein Gebiet
ist. Indem er dieses Gebiet immer grosser werden lat, erhalt er dierentialgeometrische Aussagen uber das Integrationsgebiet, was einen Zusammenhang zur Spektralgeometrie herstellt.
Dym und Ta'assan [7] konnten beschrankte Operatoren C zulassen. Das Haupthilfsmittel in
beiden Arbeiten ist ein Faktorisierungsverfahren, das auf einem verallgemeinerten Additionstheorem fur die operatorwertige Exponentialfunktion, der sogenannten Baker-CampbellHausdor-Formel, beruht. Die Frage von Widom, ob man die Determinante ohne diese Formel
3
studieren kann, lat sich mit (1.8) beantworten, indem man die Integralgleichung (1.9) untersucht (vgl. Abschnitt 4.3). Im Gegensatz zu diesen Arbeiten erlaubt unsere Beweismethode
auch unbeschrankte Operatoren, was fur Anwendungen in der Quantenmechanik wichtig ist.
Fur die Anwendung auf das Adiabatische Theorem benotigen wir eine Verallgemeinerung von
(1.8) (vgl. Abschnitt 4.4), die wir ohne Beweis angeben, die sich aber mit unseren Methoden
behandeln lat. Sei U (t; ) die Losung von:
i dtd U (t; ) = (A0 + et B)U (t; ); t!?1
lim U (?t; 0)U (t; ) = 1; U (0; 0) = 1:
(1.10)
Physikalisch bedeutet dies, da die Storung B vor unendlich langer Zeit eingeschaltet wurde;
deshalb mu auch die Normierung bei t = ?1 vorgenommen werden. Man erhalt:
Z 1Z 0
det PU (0; 1)P = det PU (0; 0)P exp ?
0
Dabei erfullt G die Integralgleichung (' 2 H):
G (t; t0 ; )' = G
0
0 (t ? t )' + Z0
?1
?1
et tr BG (t; t + 0; ) dt d
:
e G0 (t ? )BG (; t0; )' d:
(1.11)
(1.12)
Formel (1.11) taucht erstmals bei Rivier und Simanek [15] auf, die aber nur eine formale
Herleitung mittels unendlicher Reihen andeuten. (1.12) ist keine reine Faltungsgleichung;
deshalb ist es naheliegend, in (1.12) den Grenzubergang ! 0 auszufuhren. Leider ist die
Grenzgleichung nicht wohldeniert. Wir fuhren daher einen weiteren Parameter " > 0 ein:
G" (t; t0; )' = e?"jt?t jG0 (t ? t0 )' + 0
Z0
?1
e e?"jt? j G0(t ? )BG" (; t0; ) d:
(1.13)
Jetzt konnen wir in (1.13) den Grenzubergang ! 0 ausfuhren. Dabei stellt sich naturlich
die Frage, ob die Losungen fur ! 0 konvergieren und wenn ja, ob sie gegen die Losung
der Grenzgleichung konvergieren. Auf diese Weise haben wir unser Adiabatisches Theorem
wieder gewonnen. Der Parameter in (1.2) lat sich also als eine Art Einschaltparameter
interpretieren. Der Parameter " taucht in der physikalischen Literatur nur implizit durch die
Fourier-Transformation auf. Wir werden diese Herleitung nicht streng rechtfertigen, da der
Beweis in Abschnitt 5 ohne das klassische Adiabatische Theorem auskommt.
Kehren wir zu unseren Adiabatischen Theoremen zuruck. Neben den Gemeinsamkeiten bestehen auch oensichtliche Unterschiede. Zunachst fallen die verschiedenen Gleichungstypen auf.
Einmal ist eine Wiener-Hopf-Gleichung zu losen, das andere mal eine Schrodinger-Gleichung.
Allerdings erfullt auch G" (formal) eine Dierentialgleichung, namlich:
@ ? A())G (t; t0; ) = (t ? t0 )1:
(i @t
"
Der wesentlichere Unterschied sind aber die zwei Parameter in (1.2) im Gegensatz zu dem
einen Parameter in (1.4). Wie wir in Abschnitt 4 sehen werden, hangen diese Parameter mit
unterschiedlichen Voraussetzungen zusammen. Der Parameter erfordert in beiden Fallen
eine Lucke im Spektrum. Das rechtfertig nochmals die ubereinstimmende Bezeichnung, wohingegen " eine Lucke im Wertebereich von A() erfordert. Wir benotigen dies, damit ein bestimmter Operator keine reellen Spektralwerte besitzt. Aussagen dazu werden als DichotomieKriterien bezeichnet. Damit sind wir beim dritten Hauptresultat dieser Arbeit angelangt. Da
4
das bisherige Kriterium von Baskakov [6] fur unsere Zwecke nicht ausreicht, beweisen wir in
Abschnitt 3 ein neues Dichotomie-Kriterium.
Wie schon mehrfach angeklungen ist, lassen sich die untersuchten Probleme physikalisch motivieren. Dies wollen wir nun genauer ausfuhren. Die Quantenmechanik beschreibt ein physikalisches System durch einen Hilbert-Raum H, dessen normierte Elemente des Zustanden
des Systems entsprechen. Die Wahrscheinlichkeit dafur, da das System aus dem Zustand '
in den Zustand ubergeht, ist durch j('; )j2 gegeben. Eine Megroe oder Observable wird
durch einen selbstadjungierten Operator A auf H dargestellt. Das Spektrum von A liefert die
moglichen Mewerte. Einen orthogonalen Projektor auf einen Vektor ' kann man auassen
als Messung, ob sich das System im Zustand ' bendet oder nicht. Eine besonders wichtige Observable ist die Gesamtenergie. Der zugehorige Operator H heit Hamilton-Operator.
Durch ihn wird das physikalische System charakterisiert. Er beherrscht auch die zeitliche
Entwicklung des Systems uber die Schrodinger-Gleichung:
i dtd U (t)' = HU (t)'; U (0) = 1; ' 2 H:
Man nennt den unitaren Operator U (t) auch Zeitentwicklungsoperator. Er beschreibt die
zeitliche Veranderung der Zustande.
Wir stellen uns die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein System in seinen Ausgangszustand zuruckkehrt. Genauer: Das System starte im Zustand ' und entwickle sich gema der
Schrodinger-Gleichung bis zum Zeitpunkt t. Dann ist es im Zustand U (t)'. Wie gro ist die
Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung den Zustand ' wieder vorzunden? Nach dem oben
gesagten mussen wir dazu das Skalarprodukt ('; U (t)') studieren.
Wir betrachten zwei Hamilton-Operatoren, namlich ungestorten Operator H0 und einen
gestorten Operator H := H0 +V . Den U bergang von H0 zu H interpretieren wir als plotzliches
Einschalten des Storpotentials V .1 Man denke beispielsweise an Elektronen und ein spontan
eingeschaltetes Magnetfeld. Die Operatoren H0 und H mogen ein rein diskretes Spektrum
mit den zugehorigen Eigenvektoren 'j und j , j 2 N, besitzen. Wir fragen danach, wie
wahrscheinlich es ist, da das System beim Einschalten der Storung V vom Zustand 'j in
den Zustand k ubergeht; d.h. wie gro ist j('j ; k )j2? Der Hamilton-Operator reprasentiert
die Gesamtenergie; deshalb ist insbesondere die Frage interessant, ob das System aus einem
Zustand niedrigster Energie wieder in einen solchen Zustand ubergeht.
Bisher haben wir ganz allgemein uber quantenmechanische Systeme gesprochen. Wir richten
unser Augenmerk nun auf die Vielteilchenphysik, und zwar auf Systeme, die aus N identischen Fermionen bestehen.2 Ein einzelnes Fermion werde durch einen Hilbert-Raum H1 , den
Einteilchenraum, beschrieben. Gema allgemeiner Prinzipien ist der Hilbert-Raum HN , der
N -Teilchenraum, des Gesamtsystems aus N Fermionen durch das N -fache antisymmetrische
Tensorprodukt von H1 mit sich selbst gegeben:
HN := H
| 1 ^ :{z: : ^ H}1 :
N -mal
1 Naturlich handelt es sich hierbei um eine Idealisierung, da ein Einschaltvorgang immer eine gewisse Zeit
in Anspruch nimmt.
2 Fermionen sind Spin- 1 -Teilchen. Fur das folgende ist das nicht weiter wichtig. Worauf es ankommt, ist
2
das antisymmetrische Tensorprodukt. Im Gegensatz dazu gehort zu Spin-1-Teilchen oder Bosonen das symmetrische Tensorprodukt.
5
Skalarprodukte im N -Teilchenraum lassen sich durch Skalarprodukte im 1-Teilchenraum ausdrucken:
('1 ^ : : : ^ 'N ; 1 ^ : : : N ) = det(('j ; k ))j;k=1;:::;N :
Wir unterstellen, da die einzelnen Teilchen nicht miteinander wechselwirken.3 Dann konnen
wir auch den N -Teilchen Hamilton-Operator HN und den Zeitentwicklungsoperator UN (t)
durch die entsprechenden Einteilchengroen H1 und U1 (t) ausdrucken:
HN = H1 ^ 1 ^ : : : ^ 1 + + 1 ^ : : : ^ 1 ^ H1 ; UN (t) = U1 (t) ^ : : : ^ U1 (t):
Die Formel fur den Hamilton-Operator druckt die Tatsache aus, da ohne Wechselwirkung
die Energien der einzelnen Teilchen einfach zur Gesamtenergie aufaddiert werden.
Die oben gestellten Fragen nach gewissen Wahrscheinlickeiten hatten uns auf verschiedene
Skalarprodukte gefuhrt. Diese konnen wir im Falle eines N -Teilchensystems auf Groen im
Einteilchenraum reduzieren. Wir haben namlich:
('N ; UN (t)'N ) = ('1 ^ : : : ^ 'N ; U (t)'1 ^ : : : ^ U (t)'N ) = det(('j ; U (t)'k )j;k=1;:::;N )
= det PN U (t)PN :
Dabei ist PN der orthogonale Projektor auf spanf'1 ; : : : ; 'N g. Die Determinante ist als
Determinante des endlichdimensionalen Operators PU (t)P : ran P ! ran P zu verstehen.
Die letzte Gleichheit folgt leicht aus
PN =
N
X
j =1
('j ; )'j :
Auf ahnliche Weise erhalt man die folgende Formel (vgl. Abschnitt 2.2):
j('N ;
N )j2 = j('1 ^ : : : ^ 'N ; 1 ^ : : : ^ N )j2 = j det(('j ; k )j;k=1;:::;N )j2 = det PN P~N PN :
Mit dem orthogonalen Projektor auf spanf 1; : : : ; N g.
Das Verhalten von det PN P~N PN spielt in der Physik eine Rolle beim sogenannten X-ray-edge
Eekt und wurde zum erstenmal von Anderson untersucht [1]. Das Problem dabei ist, da
man eigentlich an freien Teilchen im Rd interessiert ist, die plotzlich einem Storpotential ausgesetzt werden. Das Spektrum des Hamilton-Operators ist in diesem Fall aber kontinuierlich,
so da sich unser Adiabatisches Theorem, das gewisse Luckenbedingungen voraussetzt, nicht
anwenden lat. Schrankt man die Teilchen auf ein endliches Gebiet mit der Abmessung L
ein, lassen sich Aussagen uber das Verhalten der Determinante gewinnen. Anderson leitete
eine Abschatzung ab, indem er mit asymptotischen Formeln fur groe N arbeitete. Allerdings vernachlassigte er dabei die Korrekturterme, die noch von L abhangen und zwar gema
O(L) fur groe L. Sein Resultat ist seitdem in der Physik als Andersonsches Orthogonalitats
Theorem oder Orthogonalitatskatastrophe bekannt. Rivier und Simanek [15] sowie Hamann
[8] verwendeten das klassische Adiabatische Theorem und die die Formel (1.11) fur ein spezielles V , um die genaue Asymptotik fur groe Teilchenzahlen N abzuleiten. Diese Arbeiten
enthalten jedoch einige mathematische Fehler, so da die Ergebnisse als unbewiesen gelten
mussen.4 Yamada und Yosida [18] haben versucht, allgemeine Potentiale V zu behandeln.
3 Diese Situation ist physikalisch angenahert realisiert bei Elektronen in einem Kristallgitter.
4 In der physikalischen Literatur sind die Resultate trotzdem weitestgehend akzeptiert.
6
Ihre Rechnungen beruhen aber auf einem fehlerhaften Verfahren zur Losung der WienerHopf-Gleichung. Die spater von ihnen angegebene Modikation (vgl. [19]) ist mathematisch
undurchschaubar. Die genaue Analyse der Abschittsdeterminanten insbesondere fur groe
N mu also noch als ein oenes Problem gelten, fur das die in dieser Arbeit entwickelten
Methoden strenge Losungsansatze liefern.
Die Arbeit ist wie folgt organisiert. In Kapitel 2 stellen wir die notigen Hilfsmittel fur unsere
Untersuchungen zusammen. Kapitel 3 stellt das Dichotomie-Kriterium zur Verfugung, das
wir bei der Integralformel fur die Riesz-Projektoren benotigen werden. Diese beweisen wir
in Kapitel 5. Wir haben die Integralformel fur die Abschnittsdeterminanten von Gruppen
beschrankter Operatoren davor gestellt, da sich die rechnerische Seite des Beweises schon
hier erkennen lat. Im letzten Kapitel 6 stellen wir einige mehr konkrete Untersuchungen an,
die sich mit unitaren Operatoren und Spektralprojektoren beschaftigen.5
An dieser Stelle mochte ich Herrn Prof. Kre fur die Betreuung bei dieser Arbeit sowie
Herrn Prof. Schonhammer danken, der mich auf diese interessante Fragestellung aufmerksam
gemacht hat.
5 Dieses
Kapitel ist als uberholt zu betrachten, da es dem Verfasser in der Zwischenzeit gelungen ist,
wesentlich genauere und allgemeinere Kriterien abzuleiten.
7
2 Praliminarien
2.1 Allgemeine Bemerkungen
Im weiteren bezeichnet H grundsatzlich einen separablen komplexen Hilbert-Raum. Falls H
endlichdimensional ist, werden wir dies ausdrucklich erwahnen. Das Skalarprodukt in H ist
linear im zweiten Argument. Alle auftretenden Operatoren sind linear, so da wir nicht mehr
darauf hinweisen werden. Mit D(S ) H bezeichnen wir den Denitionsbereich des Operators
S : D(S ) ! H. Wir setzen stets voraus, da D(S ) dicht liegt. ran S ist der Bildbereich von
S.
Wir erinnern an einige einfache Tatsachen uber die Analysis in Hilbert-Raumen. Als
Standardreferenz sei auf [9] verwiesen. Die Stetigkeit vektorwertiger Funktionen wird in der
ublichen Weise uber die Norm erklart. Bei operatorwertigen Funktionen S () : x 7! S (x)
gibt es mehrere Moglichkeiten, die Stetigkeit einzufuhren. Handelt es sich um beschrankte
Operatoren, kann man die Denition auf die Operatornorm grunden. Wir sprechen dann von
Stetigkeit bzgl. der Operatornorm. Man kann aber auch fur beliebiges aber festes ' 2 H
die Funktion '() : x 7! S (x)' betrachten und hier Stetigkeit uber die Hilbert-Raum-Norm
einfuhren. Wir sagen dann, S () sei stark stetig.
Entprechendes gilt fur die Dierentiation vektor- oder operatorwertiger Funktionen. Die ublichen Rechenregeln lassen sich auf den allgemeinen Fall ubertragen, solange man beachtet, da
die vorkommenden Operatoren im allgemeinen nicht kommutieren.
Integrale sehen wir stets als Riemann-Integrale an. Falls wir operatorwertige Funktionen
integrieren mussen, unterscheiden wir wieder zwischen einem Integral bzgl. der Operatornorm
oder einem starken Integral. Komplexe Kurvenintegrale langs eines Weges ? C werden wie
ublich deniert. Einen geschlossenen, hinreichend glatten und positiv orientierten Weg in der
komplexen Ebene nennen wir im weiteren kurz Integrationsweg. Wir benotigen des ofteren
die Standardabschatzung fur Integrale:
Z
k F (x) dxk j?j sup kF (x)k:
x2?
?
Dabei ist j?j die Lange des Integrationsweges, der ein Intervall in R oder ein Integrationsweg
in C sein kann. F ist eine beschrankte, integrierbare vektor- oder operatorwertige Funktion.
Weiterhin gilt fur beschrankte Operatoren S : H ! H:
Z
?
SF (x) dx = S
Z
?
F (x) dx:
Fur allgemeine lineare Operatoren mu dies nicht richtig sein.
2.2 Hilfsmittel aus der linearen Algebra
Wir zitieren einige einfache Aussagen uber Spurklasseoperatoren (vgl. [12]). Ein linearer
beschrankter Operator S : H ! H heit Spurklasseoperator, falls fur ein vollstandiges Or8
thonormalsystem f'j g die Reihe
tr S :=
1
X
j =1
('j ; S'j )
absolut konvergiert. In diesem Fall konvergiert die Reihe fur jedes beliebige Orthonormalsystem absolut, und der Grenzwert ist unabhangig von der Wahl des Orthonormalsystems. Wir
nennen tr S die Spur von S .
Satz 2.1. Seien S1 : H ! H ein Spurklasseoperator und S2 : H ! H ein beschrankter
Operator. Dann sind auch S1 S2 und S2 S1 Spurklasseoperatoren, und es gilt:
tr S1S2 = tr S2 S1 :
Beweis. Siehe [12].
Satz 2.2. Sei S : H ! H ein Spurklasseoperator. Dann ist auch der adjungierte Operator
S : H ! H ein Spurklasseoperator, und es gilt:
tr S = (tr S ):
Dabei bedeutet auf der rechten Seite die komplexe Konjugation.
Beweis. Wir haben:
tr S =
1
X
1
X
1
X
j =1
j =1
j =1
('j ; S 'j ) =
(S'j ; 'j ) =
('j ; S'j ) = (tr S ):
Das war zu zeigen.
Satz 2.3. Sei P : H ! H ein orthogonaler Projektor mit N -dimensionalem Bild. Dann gilt:
1. P ist ein Spurklasseoperator.
2. Sei S : H ! H ein beschrankter Operator. Dann gilt:
j tr PS j N kS k:
3. Sei S ( ) : H ! H eine Schar beschrankter Operatoren, die stark stetig von 2 R
abhangen mogen.1 Dann ist die Abbildung 7! tr PS ( ) stetig.
Beweis. Es gibt ein Orthonormalsystem f'1; : : : ; 'N g H mit der Eigenschaft:
P=
N
X
j =1
('j ; )'j :
1 In
den Abschnitten 2.2, 2.3 und 2.4 bezeichnen wir den Scharparameter grundsatzlich mit , um nicht
mit den verschiedenen Parametern in Kapitel 5 in Konikt zu geraten.
9
Es reicht, zur Berechnung der Spur das Orthonormalsystem '1 ; : : : ; 'N zu verwenden:
tr P =
N
X
j =1
k'j k2 = N < 1:
Das zeigt 1. Entsprechend folgt 2.:
j tr PS j = j
N
X
N
X
j =1
j =1
('j ; S'j )j Schlielich gilt:
tr PS ( ) =
N
X
j =1
kS kk'j k2 = N kS k:
('j ; S ( )'j ):
Die Abbildung 7! ('j ; S ( )'j ) ist stetig. Damit ist tr PS ( ) als Summe aus endlich vielen
stetigen Funktionen wieder stetig. Somit ist 3. bewiesen.
Wir erklaren die Determinante endlichdimensionaler Operatoren wie gewohnlich als normierte, alternierende Multilinearform auf den Spaltenvektoren der entsprechenden Matrix. Aus
der linearen Algebra ist bekannt, da diese Denition unabhangig von der Wahl der Basis
ist. Es besteht eine einfache aber wichtige Beziehung zwischen Determinante und Spur, die
Grundlage fur die Abschnitte 4 und 5 ist.
Satz 2.4. Seien H ein endlichdimensionaler Hilbert-Raum und S () : H ! H, 0 1,
eine Schar invertierbarer Operatoren, die stetig dierenzierbar von abhangen mogen. Dann
gilt die Formel:
d ln det S () = tr(S ?1()S 0()):
d
Dabei bezeichnet 0 die Ableitung nach .
Beweis. Sei N := dim H. Seien s1 ( ); : : : ; sN ( ) die Spaltenvektoren von S ( ). Dann ist:
N
d det S () = X
det(s1 ( ); : : : ; sk?1 ( ); s0k ( ); sk+1 ( ); : : : ; sN ( )):
d
k=1
Seien sjk die Eintrage von S . Wir entwickeln den k-ten Summanden nach der k-ten Spalte:
det(s1 ; : : : ; sk?1 ; s0k ; sk+1 ; : : : ; sN ) =
N
X
j =1
(?1)j +k Djk s0jk :
Dabei ist Djk der jk-te Kofaktor von S . Wir erhalten somit
N X
N
d det S () = X
(?1)j +k Djk ( )s0jk ( ) = tr D( )S 0( )
d
k=1 j =1
mit D( ) := ((?1)j +k Dkj ( ))j;k=1;:::;N . Nach der Cramerschen Regel ist D( ) = det(S ( )) S ?1 (). Das zeigt die Behauptung.
10
Wir wollen die Formel in Satz 2.4 auntegrieren. Dazu benotigen wir eine Aussage uber das
Stetigkeitsverhalten von S ?1 ( ).
Satz 2.5. Sei S () : H ! H, 0 1, eine Schar invertierbarer beschrankter Operatoren, die stetig bzgl. der Operatornorm von abhangen mogen. Dann ist auch S ?1( )
beschrankt und hangt bzgl. der Operatornorm stetig von ab.
Beweis. Nach dem Homoomorphiesatz ist S ?1( ) beschrankt. Wir zeigen die stetige Abhangigkeit. Es gilt:
S ( + h) = S ()(1 + S ?1 ()(S ( + h) ? S ())):
Sei 0 < C < 1. S () ist stetig. Also gibt es ein h0 > 0, so da fur alle h mit jhj h0 gilt:
kS ?1()kkS ( + h) ? S ()k C < 1:
Dann liefert die Neumannsche Reihe die Abschatzung:
?1
kS ( + h)?1k kS1 ?(C)k :
Wir haben weiter:
kS ?1( + h) ? S ?1()k kS ?1( + h)kkS () ? S ( + h)kkS ?1()k
?1
2
kS1 ?(C)k kS ( + h) ? S ()k:
Daraus folgt die Stetigkeit.
Wir konnen nun in trivialer Weise Satz 2.4 umrechnen.
Korollar 2.6. Unter den Voraussetzungen von Satz 2.4 gilt:
det S (1) = det S (0) exp
Z 1
0
tr S ?1 ( )S 0( ) d
:
Beweis. Integration und Exponentialbildung in Satz 2.4.
Wie die Spur so lat sich auch die Denition der Determinante auf beliebige separable HilbertRaume ausdehnen. Fur das weitere reicht uns hier ein Spezialfall, namlich die Determinante
von Operatoren der Gestalt PSP , wobei P ein orthogonaler Projektor auf einen endlichdimensionalen Unterraum ist. Wir erklaren det PSP einfach als:2
det PSP := det(PSP : ran P ! ran P ):
Im weiteren sind alle Determinanten von Operatoren der Form PSP stets in diesem Sinne
zu verstehen.
Seien f'j g H und f j g H zwei Orthonormalsysteme. Wir bilden die Determinante:
0 (' ; ) (' ; ) 1
1 1
1 N
.
.. C
.
N := det B
(2.1)
@ .
. A:
('N ; 1) ('N ; N )
N lat sich in eine Gestalt bringen, die der analytischen Behandlung zuganglicher ist.
PSP : ran P ! ran P konnen wir PSP naturlich durch PS ersetzen. Da wir aber Operatoren haug
sowohl auf ran P als auch auf ganz H betrachten werden, verwenden wir stets die Schreibweise PSP .
2 In
11
Lemma 2.7. Seien f'j gj2N, f j gj2N H Orthonormalsysteme und PN der orthogonale
Projektor auf spanf'1; : : : ; 'N g und P~N der orthogonale Projektor auf spanf 1; : : : ; N g.
Dann lat sich N aus (2.1) schreiben als:
jN j2 = det PN P~N PN :
Beweis. Sei Z := (('j ; k ))j;k=1;:::;N . Nach dem Determinanten-Multiplikationssatz ist:
j det Z j2 = det Z (det Z ) = det Z det Z = det ZZ :
Wir berechnen ZZ :
N
X
(ZZ )j;k = ('j ; l)( l; 'k ) =
l=1
'j ;
N
X
l=1
!
( l ; 'k ) l :
Der eindeutig bestimmte orthogonale Projektor auf spanf 1; : : : ; N g hat die Form:
P~N =
N
X
l=1
( l; ) l
Damit erhalten wir:
(ZZ )jk = ('j ; P~N 'k ):
Das sind die Matrixelemente von P~N in der Basis f'j g. Daraus folgt die Behauptung.
Im Zusammenhang mit den Integralformeln in den Abschnitten 4 und 5 benotigen wir die
Inverse eines Operators bzgl. eines Unteraumes.
Satz 2.8. Seien S : H ! H ein linearer Operator und P : H ! H ein orthogonaler Projektor, so da der Operator (PSP jran P )?1 : ran P ! ran P existiert. Wir erklaren den Operator
S + : H ! H folgendermaen. Zunachst denieren wir:
(
?1
S +' := (PSP jran P ) ' fur ' 2 ran P; ?
0
fur ' 2 (ran P )
und setzen S + dann linear auf ganz H fort. Dann gilt S + = S + P = PS + sowie S + SP =
PSS + = P . Falls S und P kommutieren, ist weiter SS + = S +S = P . Wir nennen S +
Pseudoinverse von S bzgl. P .
Beweis. Wir haben:
S +' = S + |{z}
P' +S + |(1 ?{zP )'} = S + P' + 0:
2ran P
2ran(1?P )
Also ist S + = S + P . Da S + : ran P ! ran P abbildet, folgt S + P' 2 ran P und damit
S +P' = PS + P'. Das gibt S + = PS + .
Weiter ist:
S +SP' = S + PSP' + S +(1 ? P )SP' = P' + 0
sowie mit dem ersten Teil:
PSS + ' = PSPS +' = P':
12
Falls S und P kommutieren, folgt aus dem bisher bewiesenen:
SS + = SPS + = PSS + = P
S +S = SPS = S + SP = P:
Damit ist alles gezeigt.
Wir rechnen die Determinantenformel aus Korollar 2.6 fur orthogonale Projektoren weiter.
Lemma 2.9. Sei P () : H ! H, 0 1, eine Schar orthogonaler Projektoren, die stetig
dierenzierbar bzgl. der Operatornorm von abhangen mogen. Weiter sei P : H ! H ein orthogonaler Projektor mit endlichdimensionalem Bild und der Eigenschaft, da det PP ( )P 6=
0 fur alle 2 [0; 1] ist. Dann ist:
det PP (1)P = det PP (0)P exp 2 Re
Z1
0
tr P + ( )(1 ? P ( ))P 0 ( )P ( ) d
:
(2.2)
Dabei ist P + ( ) die Pseudoinverse von P ( ) bzgl. P gema Satz 2.8.
Beweis. Da P ( ) stetig dierenzierbar nach und det PP ( )P 6= 0 ist, konnen wir Korollar
2.6 auf den endlichdimensionalen Operator PP ( )P : ran P ! ran P anwenden:
det PP (1)P = det PP (0)P exp
Z 1
0
tr P + ( )P 0( ) d
:
Dabei haben wir P + ( ) = PP ( ) beachtet (Satz 2.8). Dierentiation der Identitat P ( ) =
P ()2 liefert:
P 0 () = P ()P 0 () + P 0 ()P ():
(2.3)
Mit P ( ) sind auch P + ( ) und P 0 ( ) selbstadjungiert. Wir beachten noch tr S = (tr S )
nach Satz 2.2 und rechnen:
tr P + ( )P 0( ) = tr P + ( )[P ( )P 0 ( ) + P 0 ( )P ( )]
= tr P + ( )P ( )P 0 ( ) + tr P + ( )P 0 ( )P ( )
= (tr P 0 ( )P ( )P + ( )) + tr P + ( )P 0 ( )P ( )
= (tr P + ( )P 0 ( )P ( )) + tr P + ( )P 0 ( )P ( )
= 2 Re tr P + ( )P 0 ( )P ( ):
Dabei haben wir mehrmals P ( )2 = P ( ) benutzt. Wir multiplizieren Gleichung (2.3) mit
P () und nden:
P ()P 0 ()P () = 0:
Daraus folgt:
P 0 ()P () = (1 ? P ())P 0()P ():
Hieraus ergibt sich die Behauptung.
Wir benotigen noch eine Aussage uber das Stetigkeitsverhalten von Projektoren.
Lemma 2.10. Sei P () eine Schar von Projektoren, die stetig von abhangen mogen. Dann
ist dim ran P ( ) = const.
Beweis. [10], Lemma I.4.10 und Problem III.3.31.
13
2.3 Riesz-Projektoren
Die Resolventenmenge (S ) eines abgeschlossenen und dicht denierten Operators S :
D(S ) ! H ist erklart als Menge aller z 2 C, fur die der Operator (z1 ? S )?1 : H ! D(S ),
die Resolvente, existiert und beschrankt ist.3 Die Menge (S ) := C n (S ) heit Spektrum
von S . Wir untersuchen, wie (S ) von z und S abhangt.
Satz 2.11. Seien S0 : D(S0) ! H ein abgeschlossener Operator und z0 2 (S0). Seien weiter
S1 : H ! H ein beschrankter Operator und z 2 C mit der Eigenschaft:
(jz ? z0 j + kS1k)k(z01 ? S0 )?1 k < 1:
(2.4)
Wir setzen S := S0 + S1. Dann ist z 2 (S ), und es gilt:
?1 2
k(z1 ? S )?1 ? (z01 ? S0)?1k (jz ? z0j + kS1k) 1 ? (jz ? zk(jz+01k?S Sk0))k(zk1 ? S )?1k :
0
1
0
0
(2.5)
Beweis. Nach Voraussetzung existiert (z01 ? S0 )?1 : H ! H und ist beschrankt. Wir rechnen:
z1 ? S = z0 1 ? S0 + (z ? z0)1 ? S1 = (z0 1 ? S0 )(1 + (z01 ? S0 )?1 ((z ? z0)1 ? S1 )):
Aus der Voraussetzung (2.4) folgt:
k(z01 ? S0)?1((z ? z0)1 ? S1)k k(z01 ? S0)?1k(jz ? z0j + kS1k) < 1:
Die Neumannsche Reihe liefert, da (z 1 ? S )?1 : H ! H existiert und beschrankt ist mit:
?1
(2.6)
k(z1 ? S )?1k 1 ? k(z 1 ?k(Sz01)??1kS(j0z) ? kz j + kS k) :
0
0
0
1
Also ist z 2 (S ). Aus (2.6) und der Beziehung
(z 1 ? S )?1 ? (z01 ? S0)?1 = (z 1 ? S )?1(S1 + (z0 ? z )1)(z01 ? S0 )?1
erhalten wir die Abschatzung (2.5):
k(z1 ? S )?1 ? (z01 ? S0)?1k (jz ? z0j + kS1k)k(z01 ? S0)?1kk(z1 ? S )?1k
?1 2
(jz ? z0j + kS1k) 1 ? k(z 1 k?(zS01)??1kS(0j)z ?kz j + kS k) :
0
0
0
1
Damit ist alles gezeigt.
Aus diesem Satz folgt, da die Resolventenmenge oen und das Spektrum damit abgeschlossen ist. Die Abbildung z 7! (z 1 ? S )?1 ist auf (S ) stetig bzgl. der Operatornorm und
somit Riemann-integrierbar bzgl. der Operatornorm. Damit konnen wir den fur das weitere
grundlegenden Begri einfuhren.
3 Ein
linearer Operator, dessen Inverse beschrankt ist, ist notwendigerweise abgeschlossen, so da die Forderung nach Abgeschlossenheit bei der Denition der Resolventenmenge vernunftig ist. Umgekehrt folgt aus
der Abgeschlossenheit von S und der Existenz der Resolvente deren Beschranktheit (Homoomorphiesatz).
14
Denition 2.12. Sei S : D(S ) ! H ein abgeschlossener Operator. Es gebe einen Integrationsweg ? (S ). Dann heit
1 Z
P = 2i (z1 ? S )?1 dz
?
(2.7)
Riesz-Projektor von S bzgl. ?. Der Teil von (S ), der innerhalb von ? liegt, wird als die
Spektralmenge von S bzgl. ? bezeichnet.
Falls die Spektralmenge von S bzgl. ? leer ist, ist P = 0. Falls sie mit ganz ubereinstimmt,
haben wir P = 1. Wir notieren die wichtigsten Eigenschaften von Riesz-Projektoren.
Satz 2.13. Seien S : D(S ) ! H abgeschlossen und P der Riesz-Projektor zu S gema
Denition 2.12 bzgl. des Integrationsweges ? (S ). Dann gelten die folgenden Aussagen:
1. P : H ! H ist beschrankt.
2. P 2 = P .
3. P' 2 D(S ) fur alle ' 2 H.
4. SP' = PS' fur alle ' 2 D(S ).
5. SP : H ! H ist beschrankt.
6. Der Hilbert-Raum H lat sich als direkte Summe schreiben: H = H1 H2 mit H1 :=
ran P und H2 = ran(1 ? P ).
7. Seien 1(S ) die Spektralmenge von S bzgl. ? und 2 (S ) := (S ) n 1(S ). Die eingeschrankten Operatoren PSP : ran P ! ran P und (1 ? P )S (1 ? P ) : ran(1 ? P ) !
ran(1 ? P ) haben die Spektren 1 (S ) bzw. 2 (S ). Weiter ist die eingeschrankte Resolvente gleich der Resolvente der Einschrankung.
Beweis. [10], Abschnitt III.4.6.
Korollar 2.14. Seien S : D(S ) ! H abgeschlossen und P der Riesz-Projektor zu S bzgl. des
Integrationsweges ? (S ). Sei dim ran P = N < 1. Dann enthalt die Spektralmenge von S
bzgl. ? genau N Eigenwerte (mit Vielfachheit gezahlt) und sonst keine weiteren Spektralwerte.
Beweis. Da ran P ein N -dimensionaler Vektorraum ist, hat der Operator PSP : ran P !
ran P genau N Eigenwerte (mit Vielfachheit gezahlt). Nach Satz 2.13 stimmt das Spektrum
von PSP : ran P ! ran P mit der Spektralmenge von S bzgl. ? uberein.
Satz 2.15. Zusatzlich zu den Voraussetzungen von Satz 2.13 sei S selbstadjungiert. Dann ist
der entsprechende Riesz-Projektor ebenfalls selbstadjungiert, d.h. ein orthogonaler Projektor.
Beweis. [10], Abschnitt V.3.5.
Aus Satz 2.11 folgt, da Riesz-Projektoren stetig von Storungen abhangen. Wir wollen das
an dieser Stelle nicht prazisieren, sondern verweisen auf Abschnitt 5. Unter gewissen Voraussetzungen hangen Riesz-Projektoren auch dierenzierbar von Storungen ab. Uns reicht hier
ein Spezialfall.
15
Satz 2.16. Seien S0 : D(S0) ! H abgeschlossen und S1 : H ! H beschrankt. Wir schreiben
S () := S0 + S1, 2 R. S0 = S (0) besitze einen Riesz-Projektor P (0) bzgl. des Integrationsweges ? (S0). Dann gibt es ein 0 > 0, so da fur alle 2] ? 0; 0[ auch ? (S ( ))
ist, und die zugehorigen Riesz-Projektoren P ( ) sind auf ] ? 0; 0[ stetig dierenzierbar nach
1 (P ( + h) ? P ( )) existiert in der Operatornorm und
; d.h. der Grenzwert P 0 () = hlim
!0 h
hangt stetig bzgl. der Operatornorm von ab. Es gilt:
P 0() = 1
Z
?1
?1
2i ? (z 1 ? S ( )) S1 (z 1 ? S ( )) dz:
(2.8)
Beweis. Sei z 2 (S0). Dann gilt:
z1 ? S () = z1 ? (S0 + S1 ) = (z1 ? S0 )(1 ? (z1 ? S0)?1 S1 ):
Nach Satz 2.11 ist die Funktion z 7! k(z 1 ? S0 )?1k stetig auf (S0) und nimmt deshalb auf
der kompakten Menge ? (S0) ihr Maximum an:
m := max
k(z1 ? S0)?1k < 1:
z2?
Damit konnen wir abschatzen:
k(z1 ? S0)?1S1k jjmkS1k:
Wir wahlen 0 > 0 so, da 0 mkS1k < 1 ist. Dann liefert die Neumannsche Reihe fur alle
2] ? 0 ; 0[ und alle z 2 ?, da (z1 ? S ())?1 existiert und beschrankt ist mit:
k(z1 ? S ())?1k 1 ? mmkS k :
0
1
Wir zeigen die Konvergenz des Dierenzenquotienten gegen den Ausdruck (2.8). Seien z 2 ?,
2] ? 0 ; 0[ und h hinreichend klein:
(z 1 ? S ( ))?1S1(z 1 ? S ( ))?1 ? 1 (z 1 ? S ( + h))?1 ? (z 1 ? S ( ))?1
h
?
1
?
1
= (z 1 ? S ( )) S1 (z 1 ? S ( )) ? (z 1 ? S ( + h))?1S1 (z 1 ? S ( ))?1
= (z 1 ? S ( ))?1 ? (z 1 ? S ( + h))?1 S1 (z 1 ? S ( ))?1
= ?h(z 1 ? S ( ))?1S1 (z 1 ? S ( + h))?1S1 (z 1 ? S ( ))?1:
Daraus erhalten wir die Abschatzung fur 2] ? 0; 0[:
k
Z
?
(z 1 ? S ( ))?1S1 (z 1 ? S ( ))?1 dz ? 1
Z
?1
?1
h ? (z1 ? S ( + h)) ? (z1 ? S ()) dzk
j?jm2kS1k2 1 ? h mmkS k jhj:
0
1
Hieraus folgen die Dierenzierbarkeit und die Formel (2.8).
Wir zeigen mit (2.8), da P 0 ( ) auf ] ? 0; 0[ stetig in ist. Dazu verwenden wir eine ahnliche
Formel wie eben (1 ; 2 2] ? 0 ; 0[):
(z 1 ? S (2))?1 S1(z 1 ? S (2))?1 ? (z 1 ? S (1))?1S1 (z 1 ? S (1))?1
= (1 ? 2 )(z 1 ? S (2))?1S1 (z 1 ? S (2))?1 + (z 1 ? S (1))?1 S1 (z 1 ? S (1))?1 ;
16
woraus wir die Abschatzung
k(z1 ? S (2))?1S1(z1 ? S (2))?1 ? (z1 ? S (1))?1S1(z1 ? S (1))?1k
3
m
2j1 ? 2j 1 ? mkS k kS1k2
0
1
gewinnen. Damit zeigt man die Stetigkeit von P 0 ( ).
Mittels Satz 2.16 konnen wir den Fall untersuchen, da S0 und S1 miteinander kommutieren.
Korollar 2.17. Seien S0 : D(S0) ! H abgeschlossen und S1 : H ! H beschrankt. Fur alle
' 2 H gelte S1 ' 2 D(S0) sowie S0 S1' = S1 S0'. Weiter sei P der Riesz-Projektor von S0
zum Integrationsweg ? (S0). Dann ist P fur hinreichend kleine 2 R auch Riesz-Projektor
von S ( ) := S0 + S1 zu ?.
Beweis. Wie in Satz 2.16 sieht man ? (S ( )) fur hinreichend kleine . Seien P ( ) die
entsprechenden Riesz-Projektoren. Es gilt:
Z
1
0
P () = 2i (z1 ? S ())?1S1(z1 ? S ())?1 dz
?Z
1
= S1 2i [(z 1 ? S ( ))?1]2 dz
Z ?
1
= 2i [(z 1 ? S ( ))?1]2 dzS1:
?
Dabei haben wir beachtet, da S1 mit S ( ) kommutiert. Andererseits folgt aus P ( ) = P ( )2 :
P 0 () = P ()P 0 () + P 0 ()P ():
Wir zeigen P ( )P 0 ( ) = 0. Es gilt:
Z
Z
1
1
0
?
1
2
P ()P () = 2i P ()[(z1 ? S ()) ] dzS1 = 2i [P ()(z1 ? S ())?1]2 dzS1;
?
?
da P ( ) als Riesz-Projektor mit (z 1 ? S ( ))?1 kommutiert. Die Polstellen von P ( )(z 1 ?
S ())?1 liegen nach Satz 2.13 innerhalb von ?, bilden also eine beschrankte Menge. Vermoge
des Residuensatzes kann man ? in einen Kreis Kr um den Ursprung mit beliebig groem
Radius r deformieren. Aus
kP ()(z1 ? S ())?1k jCzj
fur hinreichend groe z folgt mit der Standardabschatzung fur Kurvenintegrale:
k
Z
?
[P ( )(z 1?S ( ))?1]2 dzS1k = k
Z
Kr
[P ( )(z 1?S ( ))?1]2 dzS1k rC2 rkS1k = Cr kS1 k ! 0
fur r ! 1. Entsprechend sieht man P 0 ( )P ( ) = 0 ein, so da sich insgesamt P 0 ( ) = 0
ergibt. Daraus schlieen wir P ( ) = P (0) = P .
Integrale vom Typ, wie sie bei der Dierentiation von Riesz-Projektoren auftauchen, haben
einen eigenen Namen.
17
Denition 2.18. Seien S : D(S ) ! H ein abgeschlossener Operator und S~ : H ! H ein
beschrankter Operator. Sei weiter ? (S ) ein Integrationsweg. Dann heit
1 Z
(S~) := 2i (z 1 ? S )?1S~(z 1 ? S )?1 dz
?
(2.9)
Friedrichs-Integral.4 Das Integral ist als Riemann-Integral bzgl. der Operatornorm deniert.
Mithilfe von Friedrichs-Integralen lassen sich Kommutatoren auosen.
Lemma 2.19. Seien S : D(S ) ! H ein abgeschlossener Operator und S~ : H ! H ein
beschrankter Operator. Sei weiter (S~) das Friedrichs-Integral zu S~ gema Denition 2.18
mit dem Integrationsweg ? ((S )). Dann gilt:
1. (S~) : H ! H ist beschrankt.
2. Fur alle ' 2 H ist (S~)' 2 D(S ), und S (S~) : H ! H ist beschrankt.
3. Sei P der Riesz-Projektor von S bzgl. ?. Dann gilt fur alle ' 2 D(S ):
~ P ]':
[(S~); S ]' = [S;
Beweis. Da die Resolvente stetig bzgl. der Operatornorm von z abhangt, konvergieren die
Riemannschen Summen
n
X
n := 1
(z ? z )(~z 1 ? S )?1S~(~zj 1 ? S )?1
2i j =1 j j ?1 j
in der Operatornorm gegen das Friedrichs-Integral.
1. Da die Resolvente und S~ beschrankt sind, mu auch (S~) als Grenzwert der Riemannschen
Summen beschrankt sein.
2. Aus S (z 1 ? S )?1 = z (z 1 ? S )?1 ? z 1 folgt, da S n beschrankt ist und in der Operatornorm
konvergiert. Also haben wir fur jedes ' 2 H die Konvergenz von n ' und S n '. Da S
abgeschlossen ist, folgt (S~)' 2 D(S ) fur alle ' 2 H sowie die Beschranktheit von S (S~).
3. Sei ' 2 D(S ). Wir rechnen:
Z
[(S~); S ]' = 21i [(z 1 ? S )?1 S~(z 1 ? S )?1 ; S ]' dz
Z?
1
= 2i [(z 1 ? S )?1 S~(z 1 ? S )?1 ; ?z 1 + S ]' dz
Z?
1
= 2i (?(z 1 ? S )?1S~ + S~(z 1 ? S )?1)' dz
?Z
1
?1
~
= [S;
2i ? (z 1 ? S ) ' dz ]
~ P ]':
= [S;
Der letzte Schritt ist gerade die Denition des Riesz-Projektors P in (2.7).
Zuordnung S~ 7! (S~) wird auch als Friedrichssche Gamma-Operation bezeichnet. In der Literatur
werden haug unitare Operatoren anstelle der Resolvente verwendet. Vgl. [10], X.5
4 Die
18
2.4 Gruppen beschrankter Operatoren
Wir folgen in unserer Darstellung im wesentlichen [11] und [10].
Denition 2.20. Eine einparametrige Schar U (t) : H ! H, t 2 R, beschrankter linearer
Operatoren heit stark stetige Gruppe beschrankter linearer Operatoren, wenn folgendes gilt:
1. U (0) = 1.
2. U (t1 + t2 ) = U (t1 )U (t2 ), t1 ; t2 2 R.
3. Die Abbildung U ()' : t 7! U (t)' ist bzgl. der Hilbert-Raum-Norm stetig fur alle ' 2 H.
Der durch
1 (U (t)' ? ') existiert ; S' := lim 1 (U (t)' ? '); ' 2 D(S )
D(S ) := ' 2 Hj tlim
t!0
!0
t
t
erklarte lineare Operator S : D(S ) ! H heit Generator der Gruppe.
Im weiteren werden wir anstelle von stark stetigen Gruppen beschrankter linearer Operatoren
einfach von einer Gruppe von Operatoren oder noch kurzer von einer Gruppe sprechen, sofern
keine Miverstandnisse zu befurchten sind. Vom Generator S sagen wir auch, er generiere die
zugehorige Gruppe. Der Generator einer Gruppe von Operatoren ist eindeutig bestimmt. Es
ist auch die Umkehrung richtig; d.h ein Operator kann hochstens eine Gruppe generieren.
Satz 2.21. Seien S1 und S2 die Generatoren der Gruppen U1(t) bzw. U2(t). Dann folgt aus
S1 = S2 auch U1 (t) = U2 (t) fur alle t 2 R.
Beweis. Folgt aus [11], Th. 1.2.6.
Nach Satz 2.21 kann man also von der zu S gehorenden Gruppe sprechen. Wir haben folgende
grundlegende Existenzaussage.
Satz 2.22. Seien M 1 und ! 0. Ein Operator S : D(S ) ! H ist genau dann Generator
einer Gruppe U (t) mit der Eigenschaft:
kU (t)k Me!jtj; t 2 R;
wenn folgendes gilt:
1. S ist dicht deniert und abgeschlossen.
2. Aus 2 R und jj > ! folgt 2 (S ). Fur alle n 2 N gilt die Abschatzung:
k (1 ? S )?1 n k M (jj ? !)?n :
Beweis. [11], Th. 1.6.3.
Wir stellen den Zusammenhang mit Dierentialgleichungen her.
19
Satz 2.23. Sei U (t) eine Gruppe von Operatoren mit Generator S . Dann ist fur alle ' 2
D(S ) auch U (t)' 2 D(S ), t 2 R, und die Funktion t 7! U (t)' ist stetig dierenzierbar mit:
d U (t)' = SU (t)' = U (t)S':
(2.10)
dt
Beweis. Folgt aus [11], Th. 1.2.4.
Wir ziehen aus den Satzen 2.22 und 2.23 eine wichtige Folgerung.
Korollar 2.24. Seien A : D(A) ! H selbstadjungiert und U (t) die von ?iA generierte
Gruppe. Dann ist U (t) unitar fur alle t 2 R.
Beweis. Wir uberprufen die Voraussetzungen von Satz 2.22. ?iA ist dicht deniert und abgeschlossen, da A als selbstadjungierter Operator dies ist. Die Abschatzung fur die Resolvente
aus Satz 3.1 liefert fur 2 R n f0g:
k (1 + iA)?1 n k k(i1 ? A)?1kn jj?n:
Also generiert ?iA eine Gruppe U (t) mit M = 1 und ! = 0 in Satz 2.22.
Um die Unitaritat nachzuweisen, dierenzieren wir kU (t)'k2 und beachten die Dierentialgleichung (2.10):
d
2
0
dt kU (t)'k = 2 Re(U (t)'; U (t)') = ?2 Re i(U (t)'; AU (t)') = 0:
Daraus schlieen wir, da U (t) isometrisch ist. Zusammen mit der Gruppeneigenschaft liefert
das die Behauptung.
Nach Satz 2.23 kann man mit der Gruppe U (t) Losungen von Dierentialgleichungen gewinnen. Man erhalt daduch sogar alle Losungen.
Satz 2.25. Sei S : D(S ) ! H dicht deniert mit (S ) 6= ;. Dann besitzt das Anfangswertproblem
d'(t) = S'(t); t 2 R; '(0) = ;
(2.11)
dt
genau dann zu jedem Anfangswert 2 D(S ) eine eindeutig bestimmte stetig dierenzierbare
Losung '(t) 2 H, wenn S der Generator einer Gruppe U (t) von Operatoren gema Denition
2.20 ist, und die Losung ist gegeben durch '(t) = U (t) .
Beweis. [11], Th. 4.1.3.
Das inhomogene Anfangswertproblem lat sich ebenfalls mittels U (t) losen.
Satz 2.26. S : D(S ) ! H sei Generator einer Gruppe U (t) von Operatoren, und f () : t 7!
f (t) 2 H sei stetig dierenzierbar. Dann ist auch die Funktion
g(t) :=
Zt
t0
U (t ? )f ( ) d
stetig dierenzierbar, und es ist g (t) 2 D(S ) sowie:
d g(t) = f (t) + Sg(t); g(t ) = 0:
0
dt
20
Beweis. Folgt aus [10], IX.1.5.
Die von einem Operator generierte Gruppe kann man formelmaig angeben. Bei beschrankten
Operatoren treten keine Probleme mit Denitionsbereichen auf.
Satz 2.27. Seien S : H ! H beschrankt und ? (S ) ein Integrationsweg, der das Spektrum
von S umfat. Dann ist die von S generierte Gruppe U (t) durch das Dunford-Taylor-Integral
Z
1
U (t) = 2i ezt (z1 ? S )?1 dz
(2.12)
?
gegeben. Das Integral ist als Riemann-Integral in der Operatornorm erklart. Eine weitere
Darstellung erhalt man als Potenzreihe:
1 1
X
(2.13)
U (t) = 1 + j ! tj S j :
j =1
Die Reihe konvergiert in der Operatornorm. Insbesondere ist U (t) bzgl. der Operatornorm
nach t stetig dierenzierbar.
Beweis. [10], Abschnitte IX.1.6 und IX.1.2.
Das Dunford-Taylor-Integral (2.12) existiert auch unter schwacheren Voraussetzungen, wenn
man den Integrationsweg geeignet modiziert (vgl. [10], IX.1.6). Fur die Anwendung in Abschnitt 5 benotigen wir eine Variante.
Korollar 2.28. Seien S : H ! H beschrankt und ? (S ) ein Integrationsweg, der das
Spektrum von S umfat. Dann ist die von ?iS generierte Gruppe U (t) durch das DunfordTaylor-Integral
Z
1
U (t) = 2i e?izt (z1 ? S )?1 dz
(2.14)
?
gegeben. Das Integral ist als Riemann-Integral in der Operatornorm erklart.
Beweis. Variablensubstitution z ! ?iz in (2.12).
Die Formel (2.12) bzw. (2.14) erlaubt eine wichtige Abschatzung.
Korollar 2.29. Seien S : H ! H beschrankt und U (t) die von ?iS generierte Gruppe.. Es
gelte:
inf Im > 0:
2(S )
Dann gibt es Konstanten M 0 und > 0, so da fur alle t 0 gilt:
kU (t)k Met:
(2.15)
Beweis. In der Formel (2.14) konnen wir ? so wahlen, da := zinf
Im z > 0 ist. Mit der
2?
Standardabschatzung fur Wegintegrale folgt fur t 0:
kU (t)k j2?j sup et Im z k(z1 ? S )?1k j2?j et sup k(z1 ? S )?1k:
z2?
z2?
Daraus ergibt sich die Behauptung.
21
Zu Satz 2.27 gibt es eine Umkehrung; d.h. die Resolvente lat sich durch die Gruppe ausdrucken.
Satz 2.30. Seien S : D(S ) ! H der Generator einer Gruppe U (t) und K : H ! H ein
beschrankter Operator, so da fur alle t 0 gilt:
kU (t)K k Me!t
mit Konstanten M 0 und ! 2 R.5 Dann ist fur alle z , Re z > ! , und fur alle ' 2 H:
(z 1 ? S )?1 K' =
Z0
?1
ezt U (?t)K' dt:
(2.16)
Beweis. Folgt aus den Beweisen von [11], Th. 1.5.3. und Th. 1.3.1.
Die Variablensubstitution t ! ?t bringt (2.16) auf die bekannte Gestalt:
(z 1 ? S )?1' =
Z1
0
e?zt U (t)' dt:
Wir verwenden die unubliche Schreibweise, um den Zusammenhang der Integralformeln fur
Gruppen von Operatoren und Riesz-Projektoren mittels des Adiabatischen Theorems beizubehalten (vgl. die Einleitung).
Wir untersuchen, wie sich eine Gruppe von Operatoren unter Storungen des Generators
verhalt. Eine Anwendung der Existenzaussage 2.22 fuhrt auf folgendes Stabilitatsresultat.
Satz 2.31. Sei S0 : D(S0) ! H der Generator einer Gruppe U0(t) mit der Eigenschaft:
kU0(t)k Me!jtj;
M 1 und ! 0. Sei weiter S1 : H ! H ein beschrankter Operator. Dann generiert auch
S0 + S1 : D(S0) ! H eine Gruppe U (t) von Operatoren mit der Eigenschaft:
kU (t)k Me(!+M kS1k)jtj:
Beweis. [9], Th. 13.2.2.
Um den genauen Zusammenhang zwischen den Gruppen U0(t) und U (t) aus Lemma 2.31 zu
studieren, leiten wir eine Integralgleichung ab.
Satz 2.32. Seien S0 : D(S0) ! H der Generator der Gruppe U0(t) und S1 : H ! H
beschrankt. U (t) sei die von S0 + S1 generierte Gruppe. Dann gilt fur alle ' 2 H:
(U0 (?t1 )U (t1) ? U0 (?t0 )U (t0 ))' =
Z t1
t0
U0(? )S1 U ( )' d;
U (t)' = U0(t)' +
5 Aufgrund
Zt
0
U0 (t ? )S1U ( )' d:
(2.17)
(2.18)
des Operators K kann die Konstante ! im Gegensatz zu der sonstigen Abschatzung fur U (t)
auch negative Werte annehmen, was fur spater wichtig ist.
22
Zusatzlich gelte fur alle ' 2 H:
Z t1
?1
kU0(? )S1U ( )'k d < 1; t!?1
lim kU0 (?t)U (t)'k = 0:
Dann ist fur alle ' 2 H:
U0(?t1 )U (t1)' =
Z t1
?1
U0(? )S1 U ( )' d:
(2.19)
(2.20)
Beweis. Vgl. [11], Abschnitt 3.1. Die Funktion t 7! U0(?t)U (t)' ist fur ' 2 D(S0) dierenzierbar, und es gilt:
d
d
d
dt U0 (?t)U (t)' = dt U0 (?t) U (t)' + U0(?t) dt U (t)'
= ?U0 (?t)S0 U (t)' + U0(?t)(S0 + S1 )U (t)'
= U0 (?t)S1U (t)':
Integration liefert die Formel (2.17) fur ' 2 D(S0). Da U0 (t), U (t) und S1 beschrankte
Operatoren sind, ist die Formel fur alle ' 2 H richtig. Die Integralgleichung (2.18) erhalt
man, indem man t0 = 0 und t1 = t setzt.
Mit der Voraussetzung (2.19) folgt (2.20) aus der Formel (2.18).
Die Gruppe U (t) ist durch die Integralgleichung eindeutig charakterisiert.
Satz 2.33. Die Integralgleichung (2.18) besitzt genau eine stark stetige Losung U~ (t). Sie ist
gegeben durch:
U~ (t) =
1
X
j =0
Uj (t); Uj+1 (t)' =
Zt
0
U0(t ? )S1 Uj ( )' d; j 0; ' 2 H:
(2.21)
Die Reihe konvergiert in der Operatornorm lokal gleichmaig in t.
Beweis. [10], IX.2.1. oder [11], Prop. 3.1.2.
Aus der Integralgleichung folgt, da die Gruppe stetig von Storungen abhangt.
Satz 2.34. Sei S0 : D(S0) ! H abgeschlossen und Generator einer Gruppe U0(t) von Operatoren mit der Eigenschaft:
kU0(t)k Me!jtj
mit Konstanten M 1, ! 0. Sei weiter S1 : H ! H ein beschrankter Operator. Dann
generiert auch S0 + S1 eine Gruppe U (t), und fur alle t 2 R gilt:
kU (t) ? U0(t)k Me!jtj(eM kS1kjtj ? 1):
Beweis. [11], Corollary 3.1.3.
Unter bestimmten Voraussetzungen hangt die Gruppe auch dierenzierbar vom Generator
ab. Uns reicht hier ein Spezialfall.
23
Satz 2.35. Seien S0 : D(S0) ! H abgeschlossen und Generator einer Gruppe U0(t) mit der
Eigenschaft:
kU0(t)k Me!jtj
mit Konstanten M 1, ! 0 und S1 : H ! H beschrankt. Dann generiert auch S0 + S1 ,
2 R, eine Gruppe U (t; ), die fur jedes t 2 R stetig dierenzierbar bzgl. der Operatornorm
von abhangt. Fur alle ' 2 H gilt:
Zt
Zt
@
( U (t; ))' = U (t; ) U (?; )S1U (; )' d = U (t ? ; )S1U (; )' d: (2.22)
@
0
0
Beweis. Wir untersuchen den Dierenzenquotienten h1 (U (t; + h) ? U (t; )). Nach Satz 2.32
haben wir folgende Integralgleichung:
U (t; + h)' = U (t; )' + h
Zt
0
U (t ? ; )S1U (; + h)' d; ' 2 H:
(2.23)
Wir iterieren (2.23) einmal und ordnen fur den Dierenzenquotienten um:
1 (U (t; + h)' ? U (t; )') =
Zh t
0
U (t ? ; )S1U (; )' d + h
Zt
0
U (t ? ; )S1
Z
0
U ( ? 0 ; )S1U ( 0; + h)' d 0 d:
(2.24)
Aus Satz 2.31 haben wir die Abschatzung:
kU (t; )k Me(!+M kS1k)jtj:
(2.25)
Dann zeigt (2.24), da der Dierenzenquotient in der Operatornorm konvergiert und die
Formel (2.22) richtig ist.
Wir zeigen, da @@ U (t; ) fur festes t stetig in bzgl. der Operatornorm ist. Aus (2.22) folgt:
@ U (t; + h)' ? @ U (t; )' = Z t [U (t ? ; + h)S (U (; + h) ? U (; ))
1
@
@
(2.26)
0
+(U (t ? ; + h) ? U (t ? ; ))S1U (; )] ' d:
Aus Satz 2.34 gewinnt man die Abschatzung:
kU (t; + h) ? U (t; )k Me(!+M kS1k) ejhjM kS1kjtj ? 1 :
Wendet man dies zusammen mit (2.25) auf (2.26) an, dann erhalt man die Behauptung.
Wir untersuchen den Fall, da die Operatoren S0 und S1 miteinander kommutieren.
Satz 2.36. Seien S0 : D(S0) ! H der Generator einer Gruppe U0(t) und S1 : H ! H
beschrankt. Weiter folge aus ' 2 D(S0 ) auch S1' 2 D(S0), und es gelte S1 S0' = S0 S1' fur
alle ' 2 D(S0). Dann kommutieren auch U0(t) und S1 miteinander; d.h. fur alle ' 2 H ist:
U0 (t)S1' = S1 U0(t)':
24
Beweis. Die eindeutig bestimmte Losung von
'0(t) = S0'(t); '(0) = 2 D(S0)
(2.27)
ist nach Satz 2.25 gegeben durch:
'(t) = U0 (t) :
Wir multiplizieren (2.27) mit S1. Da S1 beschrankt ist, haben wir (S1'0)(t) = (S1')0(t). Es
folgt:
(S1')0(t) = S1 S0 '(t) = S0S1 '(t); S1'(0) = S1 :
Mit '~(t) := S1 '(t) ist also:
'~0 (t) = S0 '~(t); '~(0) = S1 :
(2.28)
Die eindeutig bestimmte Losung von (2.28) ist nach Satz 2.25 gegeben durch:
'~(t) = U0 (t)S1 :
Damit folgt fur alle 2 D(S0):
U0 (t)S1 = S1U0 (t)
Da U0(t) und S1 beschrankt sind, mu dies fur alle 2 H richtig sein.
Die von S1 erzeugte Gruppe lat sich abspalten.
Satz 2.37. Seien S0, S1 und U0(t) wie in Satz 2.36. Seien weiter U (t) die von S0 + S1
generierte Gruppe und U1 (t) die von S1 generierte Gruppe. Dann gilt:
U (t) = U0(t)U1(t) = U1(t)U0 (t):
Beweis. Nach Satz 2.32 erfullt U (t) die Integralgleichung:
U (t)' = U0 (t)' +
Zt
0
U0 (t ? )S1U ( )' d
fur alle ' 2 H. Wir zeigen, da auch U0U1 eine Losung der Integralgleichung ist. Wir beachten
S1 U0( ) = U0( )S1 (Satz 2.36) und die Gruppeneigenschaft. Fur ' 2 H gilt:
Zt
0
U0(t ? )S1U0 ( )U1( )' d =
Zt
Zt
0
U0(t ? )U0( )S1U1 ( )' d
U0(t)S1U1( )' d
Zt d
= U0(t) d U1 ( )' d
0
= U0(t)(U1 (t) ? 1)'
= (U (t) ? U0(t))':
Dabei haben wir die Dierentialgleichung fur U1 (t) gema Satz 2.23 benutzt. Da S1 beschrankt ist, muten wir bei ' nicht auf Denitionsbereiche achten. Aus der eindeutigen
Losbarkeit der Integralgleichung schlieen wir nun auf U = U0 U1.
=
25
0
Es bleibt noch U0 U1 = U1U0 zu zeigen. Da S1 beschrankt ist, konnen wir U1 als Potenzreihe
schreiben:
1
X
U1 (t) = j1! tj S1j :
j =0
Nach Satz 2.36 ist U0 S1 = S1U0 , woraus man leicht U0 S1j = S1j U0 folgert. Daraus erhalt man:
1 1
X
1 1
1 1
X
X
j
j
j
j
U0 (t)U1 (t) = U0 (t) j ! t S1 = j ! t U0 (t)S1 = j ! tj S1j U0(t) = U1(t)U0 (t):
j =0
j =1
j =1
Das war zu zeigen.
Ein Projektor lat sich unter bestimmten Voraussetzungen aus der Gruppe herausziehen.
Lemma 2.38. Seien S : D(S ) ! H Generator einer Gruppe U (t) und P : H ! H ein
beschrankter Projektor mit der Eigenschaft P' 2 D(S ) fur ' 2 D(S ). P kommutiere mit
U (t). Sei schlielich U~ (t) die von SP generierte Gruppe. Dann gilt U~ (t)P = U (t)P .
Beweis. Wir zeigen, da U~ (t)P und U (t)P dasselbe Anfangswertproblem losen. Wegen
U~ (0) = 1 und U (0) = 1 stimmen die Anfangswerte uberein. Fur ' 2 D(S ) ist auch
P' 2 D(S ), und wir haben:
i dtd U~ (t)P' = SP U~ (t)P' = S U~ (t)P 2 ' = S U~ (t)P':
Andererseits ist auch:
i dtd U (t)P' = SU (t)P':
Die eindeutige Losbarkeit des Anfangswertproblems (Satz 2.36) liefert die Behauptung.
Wir untersuchen die Gruppe eines konkreten Generators, der in Abschnitt 5 auftauchen wird.
Lemma 2.39. Sei P : H ! H ein beschrankter Projektor. Wir setzen J = 2P ? 1. Dann
gilt fur die von J , 2 C, generierte Gruppe U (t):
U (t)P = PU (t) = et P; U (t)(1 ? P ) = (1 ? P )U (t) = e?t (1 ? P ):
Beweis. J ist beschrankt und kommutiert mit P . Es gilt J 2 = 4P 2 ? 4P + 1 = 1. Wir
verwenden die Potenzreihenentwicklung fur U (t):
U (t) =
1 1
X
j =1 j !
(t)j J j
1
X
1
X
1
1 (t)2k+1J:
2
k
=
(t) 1 +
k=0 (2k)!
k=0 (2k + 1)!
Aus JP = (2P ? 1)P = P und J (1 ? P ) = (2P ? 1)(1 ? P ) = P ? 1 folgt die Behauptung.
Abschlieend fuhren wir die Greenschen Operatoren ein.
26
Denition 2.40. Seien U (t) eine Gruppe beschrankter Operatoren mit Generator S :
D(S ) ! H, K : H ! H ein beschrankter Operator und 2 C n f0g. Dann heit
(
0
0
G(t; t0 ) := U (t)KU (?t ); 0 t t0;
U (t)[K ? 1]U (?t ); t > t ;
Greenscher Operator bzgl. K mit Generator S zum Parameter .6
G erfullt formal die Dierentialgleichung:
1 @ ? S G(t; t0) = (t ? t0 )1:
@t
(2.29)
Dies lat sich im Sinne schwacher Dierenzierbarkeit rechtfertigen. Da wir (2.29) nicht benotigen, werden wir diesen Punkt nicht weiter beleuchten. Wir bemerken nur:
Satz 2.41. Der Greensche Operator G mit Generator S sei erklart gema Denition 2.40.
Fur ' 2 D(S ) sei K' 2 D(S ). Dann erfullt G fur alle ' 2 D(S ) die Dierentialgleichung:
@ G(t; t0)' = SG(t; t0)'; t 6= t0 :
(2.30)
@t
Beweis. Nach Satz 2.23 ist U (?t0 )' 2 D(S ) fur ' 2 D(S ), und nach Voraussetzung ist
KU (?t0 )' 2 D(S ), so da G(; t0) stark dierenzierbar ist. Die Dierentialgleichung folgt
dann sofort aus der Denition von G(t; t0 ).
Greensche Operatoren erfullen eine Integralgleichung, die zu der Gleichung (2.18) fur die
Gruppe U (t) analog ist.7
Satz 2.42. Seien G0 der Greensche Operator gema Denition 2.40 bzgl. K0 zum Parameter
und S1 : H ! H beschrankt. Dann lat sich zu S := S0 + S1 ein Greenscher Operator G
bzgl. K zum Parameter erklaren. Fur alle ' 2 H gilt:
G(t; t0)' + 1 G (t; T )G(T ; t0)' ? 1 G (t; T )G(T ; t0)'
0
0
0
0
1
1
= G0(t; t0 )' ? 1
Z T1
Zusatzlich sei fur alle ' 2 H:
Z T1
?1
T0
G0 (t; )S1G(; t0)' d: (2.31)
kU0(? )S1U ( )'k dt < 1; t!?1
lim kU0(?t)U (t)'k = 0:
Dann gilt fur alle ' 2 H:
G(t; t0)' ? 1 G0(t; T1)G(T1; t0 )' = G0(t; t0 )' ? 1
Z T1
(2.32)
G0(t; )S1G(; t0)' d:
(2.33)
?1
6 In der Literatur wird G(t; t ) auch als Bi-Semi-Gruppe bezeichnet, S heit entsprechend Bigenerator.
Vgl. [3], [4], [5]. Den Parameter haben wir mit Blick auf die Abschnitte 4 und 5 eingefuhrt, wo wegen der
Schrodinger-Gleichung ein Faktor i auftritt.
7 Die Integralgleichung fur U (t) ist eine Volterra-Gleichung, wahrend wir hier eine Fredholmsche Gleichung
erhalten; deshalb heit die obere Integrationsgrenze T1 und nicht t.
0
27
Beweis. Nach Satz 2.31 generiert auch S eine Gruppe von Operatoren, so da sich ein Greenscher Operator zu S erklaren lat.
Im folgenden sind alle Gleichungen auf ' 2 H angewendet zu denken. Sei t t0 . Wir spalten
das Integral in (2.31) auf:
Z T1 Z t Z t Z T1
=
T0
+
T0
0
t
+
t
0
und setzen in den Teilintegralen die Denition von G bzw. G0 ein:
1
2
Z T1
T0
Zt
G0(t; )S1G(; t0) d =
U0 (t)[K0 ? 1]U0 (? )S1U ( )KU (?t0) d
T0
Zt
+
0
U0 (t)K0U0 (? )S1U ( )KU (?t0) d
Z T1
t
+
t
0
U0(t)K0U0 (? )S1U ( )[K ? 1]U (?t0 ) d:
An dieser Stelle konnen wir die Integrationsregel aus Satz 2.32 verwenden:
1
Z T1
G0 (t; )S1G(; t0) d
T0
= U0(t)[K0 ? 1] fU0 (?t)U (t) ? U0(?T0 )U (T0)g KU (?t0 )
+ U0 (t)K0 U0 (?t0 )U (t0) ? U0 (?t)U (t) KU (?t0 )
+ U0 (t)K0 U0 (?T1)U (T1) ? U0 (?t0 )U (t0) [K ? 1]U (?t0)
= ?U0 (t)U0(?t)U (t)KU (?t0 ) ? U0 (t)[K0 ? 1]U0(?T0 )U (T0)KU (?t0 )
+ U0 (t)K0U0 (?T1)U (T1)[K ? 1]U (?t0 ) + U0 (t)K0U0 (?t0 )U (t0)U (?t0 )
= ? 1 G(t; t0) + 1 G0 (t; t0) ? 12 G0 (t; T0)G(T1; t0) + 12 G0(t; T1)G(T1; t0):
2
Das ergibt (2.31) fur t t0 . Sei t > t0 . Wir zerlegen wieder das Integral:
Z T1 Z t Z t Z T1
T0
=
0
T0
+
t
0
+
t
und setzen die Denition von G und G0 ein:
1
2
Z T1
T0
G0(t; )S1G(; t0) d =
Zt
0
T0
+
+
U0 (t)[K0 ? 1]U0 (? )BU ( )KU (?t0) d
Zt
U0(t)[K0 ? 1]U0(? )BU ( )[K ? 1]U (?t0) d
Zt T1
0
t
U0(t)K0U0(? )BU ( )[K ? 1]U (?t0 ) d:
28
Die Integrationsregel aus Satz 2.32 liefert analog wie eben:
1
2
Z T1
T0
G0(t; )S1G(; t0) d
?
= U0 (t)[K0 ? 1] U0 (?t0 )U (t0) ? U0 (?T0)U (T0) KU (?t0 )
?
+ U0 (t)[K0 ? 1] U0 (?t)U (t) ? U0 (?t0 )U (t0 ) [K ? 1]U (?t0)
+ U0 (t)K0 (U0 (?T1)U (T1) ? U0 (?t)U (t)) [K ? 1]U (?t0 )
= ?U0 (t)[K0 ? 1]U0(?T0 )U (T0)KU (?t0 ) + U0 (t)[K0 ? 1]U0(?t0 )U (t0)U (?t0 )
? U0(t)U0(?t)U (t)[K ? 1]U (?t0) + U0(t)K0U0(?T1)U (T1)[K ? 1]U (?t0)
= 1 G(t; t0) ? 1 G0 (t; t0) ? 12 G0 (t; T0)G(T0; t0 ) + 12 G0(t; T1)G(T1; t0):
Das ergibt (2.31) fur t > t0 .
Fur T0 = ?1 kann man wegen der Voraussetzung (2.32) die Formel (2.20) aus Satz 2.32
anwenden.
29
3 Operatoren mit Dichotomie
3.1 Motivation
Wir betrachten lineare Operatoren, deren Spektrum eine bestimmte Struktur aufweist.
Denition 3.1. Sei S : D(S ) ! H ein abgeschlossener Operator. Wir sagen, S sei dichotomisch oder besitze eine Dichotomie (bzgl. der reellen Achse1), falls sein Spektrum keine
reellen Werte enthalt.
Wir werden im weiteren Operatoren untersuchen, die in Real- und Imaginarteil zerlegt sind:
S = Sr + iSi mit symmetrischen Operatoren Sr und Si. Wir orientieren uns zunachst anhand
eines einfachen Beispiels. Seien H = C2 und
V A(V ) := V1 ; 1; 2 2 R; V 2 C:
2
Wir fragen, inwieweit sich das Spektrum von A(V ) durch eine Storung der Diagonalelemen-
te in die komplexe Ebene verschieben lat. Falls wir ein Vielfaches der Einheitsmatrix als
Imaginarteil addieren, lat sich die Frage erschopfend beantworten, wie wir in Satz 3.2 sehen
werden. Sei also:
+ i" V A"(V ) := 1 V ? i" ; " 2 R:
2
Fur " 6= 0 besitzt A" (0) oensichtlich keine reellen Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung fur A" (V ) lautet:
2 ? (1 + 2 ) + (1 + i")(2 ? i") ? jV j2 = 0:
Die Losungen sind:
2
p
1;2 = 1 +2 2 r + i"(1 ? 2 ); r := (1 ?4 2) ? "2 + jV j2:
Man uberzeugt sich leicht von:
1=2
p
Im 1;2 = p1 ?r + r2 + "2 (1 ? 2)2 :
2
Aus 1 6= 2 folgt Im 1;2 6= 0 fur alle " 6= 0. Im Falle 1 = 2 ist dies nicht mehr richtig;
denn bei hinreichend kleinem " ist:
r = jV j2 ? "2 0
und damit:
p
Im 1;2 = p1 (?r + r2 )1=2 = p1 (?r + r)1=2 = 0:
2
2
Wir lernen daraus, da es weniger auf die Kleinheit der Storung V ankommt als vielmehr
auf die "Lucke\, d.h. die Dierenz zwischen 1 und 2, um reelle Eigenwerte von A" (V )
auszuschlieen. Dieses Resultat wollen wir auf allgemeine Hilbert-Raume erweitern.
1 In
der Literatur wird die Dichotomie auch manchmal bzgl. der imaginaren Achse deniert.
30
3.2 Dichotomie-Kriterien
Das einfachste allgemeine Dichotomie-Kriterium erhalt man, wenn man das Spektrum eines
selbstadjungierten Operators um denselben Imaginarteil verschiebt.
Satz 3.2. Sei A : D(A) ! H ein selbstadjungierter Operator. Dann existiert die Resolvente
((x + i")1 ? A)?1 fur alle " 6= 0 und alle x 2 R und ist beschrankt mit:
k((x + i")1 ? A)?1k 1
j"j
(3.1)
Beweis. Sei ' 2 D(A). Wir rechnen:
k((x + i")1 ? A)'k2 = k(x1 ? A)'k2 + "2k'k2 + 2 Re i"((x1 ? A)'; ')
= k(x1 ? A)'k2 + "2 k'k2
"2k'k2:
Hieraus folgt die Behauptung mittels Standardargumenten (vgl. [12]).
Satz 3.2 ist die wohlbekannte Aussage, da ein selbstadjungierter Operator ein rein reelles
Spektrum hat. Addiert man einen beliebigen Imaginarteil, kann man mit ahnlichen Rechnungen eine Verscharfung des Resultates beweisen, die in etwas allgemeinerer Form auf Baskakov
[6] zuruckgeht.
Satz 3.3 (Baskakov). Seien A; K : H ! H beschrankte, selbstadjungierte Operatoren. K
besitze eine beschrankte Inverse. Weiter gelte:
k[A; K ]k < 1?1 2 :
kK k
Dann ist A + iK dichotomisch.
Beweis. Fur ' 2 H und x 2 R gilt:
k(x1 ? A ? iK )'k2 = k(x1 ? A)'k2 + kK'k2 ? 2 Re i((x1 ? A)'; K')
= k(x1 ? A)'k2 + kK'k2 + i('; [A; K ]')
kK ?1 1k2 k'k2 ? k[A; K ]k k'k2
= kK ?1 1 k2 ? k[A; K ]k k'k2:
Hieraus folgt mit der Voraussetzung die Behauptung.
Im Zusammenhang mit der Integralformel aus Abschnitt 5 sind Imaginarteile einer speziellen
Bauart bedeutsam. Seien A : D(A) ! H selbstadjungiert und P : H ! H ein orthogonaler
Projektor mit endlichdimensionalem Bild. Dann ist
A" := A + i"(2P ? 1); " 2 R n f0g;
31
(3.2)
auf Dichotomie zu untersuchen.2 Die Schwierigkeit liegt hier darin, da wir in der Integralformel den Limes " ! 0 ausfuhren mussen. Dadurch ist das Kriterium von Baskakov, das einen
groen Imaginarteil voraussetzt, nicht anwendbar. Satz 3.2 legt es nahe, den Operator auf
die Unteraume ran P und (ran P )? umzurechnen. Wir beweisen ein einfaches algebraisches
Invertierbarkeitskriterium.
Lemma 3.4. Seien D1, D2 und H1 , H2 lineare Raume sowie S : D1 D2 ! H1 H2 ein
linearer Operator. Wir schreiben S als:
S S S = S11 S12 ; Sjk : Dk ! Hj ; j; k = 1; 2:
21 22
Der Operator S22 : D2 ! H2 sei invertierbar. Dann ist S genau dann invertierbar, falls
?1 S )?1 : H ! D
(S11 ? S12S22
21
1
1
existiert.
Beweis. Sei S invertierbar. Wir schreiben den inversen Operator S~ : H1 H2 ! D1 D2 als:
~S := S~~11 S~~12 ; S~jk : Hk ! Dj ; j; k = 1; 2;
S21 S22
und berechnen das Produkt S S~:
S S~ + S S~ S S~ + S S~ 1 0 ~
S S = S11S~11 + S12S~21 S11S~12 + S12S~22 = 0 1 :
22 22
22 21 21 12
21 11
Vergleich der Eintrage der ersten Spalte liefert:
S~21 = ?S22?1 S21S~11
?1 S21)S~11 = 1:
(S11 ? S12S22
(3.3)
(3.4)
?1 S21)?1 .
Das zeigt die Existenz von (S11 ? S12S22
Deniert man umgekehrt S~11 und S~21 uber (3.3) und (3.4) sowie S~12 und S~22 entsprechend,
so sieht man, da S invertierbar ist.
Aus dem vorstehenden Lemma konnen wir ein fur unsere Zwecke brauchbares DichotomieKriterium ableiten.
Satz 3.5. Seien A : D(A) ! H ein selbstadjungierter Operator und P : H ! H ein orthogonaler Projektor mit endlichdimensionalem Bild und der Eigenschaft P' 2 D(A) fur alle
' 2 H. Wir schreiben D1 := H1 := ran P , H2 := H?1 und D2 := D(A) \ H2 . D2 liege dicht
in H2 , und der Operator (1 ? P )A(1 ? P ) : D2 ! H2 sei selbstadjungiert. Fur die Groen
:= sup ('; A') und := 'inf
('; A')
2D
'2H1
k'k=1
2
k'k=1
gelte < . Dann ist A" := A + i"(2P ? 1) fur alle " 2 R n f0g dichotomisch.
2 Anschaulich
gesprochen versucht man, einen Teil des Spektrums in die obere, den anderen in die untere
Halbebene zu verschieben.
32
Beweis. Wir schreiben A" als Blockmatrix:
A" =
A
11 + i"1
A21
A12
A22 ? i"1 ; Ajk : Dk ! Hj ; j; k = 1; 2:
Bei der Identitat verzichten wir auf eine Kennzeichnung der Raume. Nach Voraussetzung ist
A22 : D2 ! H2 selbstadjungiert; deshalb existiert nach Satz 3.2 die Resolvente (A22 ? i"1 ?
x1)?1 , so da die Voraussetzungen von Lemma 3.4 erfullt sind. Danach existiert (A" ? x1)?1 :
H ! D genau dann, falls
Z := A11 ? x1 + i"1 ? A12(A22 ? x1 ? i"1)?1 A21; Z : H1 ! H1 ;
invertierbar ist. Da H1 endlichdimensional ist, genugt der Nachweis der Injektivitat. Sei dazu
' 2 H1 mit Z' = 0. Wir zerlegen Z in eine Summe aus symmetrischen und antisymmetrischen Operatoren, wobei wir A12 = A21 beachten:
A12(A22 ? (x + i")1)?1A21
= A12 (A22 ? (x ? i")1)?1(A22 ? (x ? i")1)(A22 ? (x + i")1)?1A21
= A12 (A22 ? (x ? i")1)?1(A22 ? x1)(A22 ? (x + i")1)?1A21
+ i"A12(A22 ? (x ? i")1)?1(A22 ? (x + i")1)?1A21
und bilden die quadratische Form mit ':
0 = ('; Z')
= ('; (A11 ? x1)') + i"k'k2
? ('; A12(A22 ? (x ? i")1)?1(A22 ? x1)(A22 ? (x + i")1)?1A21')
? i"('; A12(A22 ? (x ? i")1)?1(A22 ? (x + i")1)?1A21')
= ('; (A11 ? x1)') ? ((A22 ? (x + i")1)?1A21 '; (A22 ? x1)(A22 ? (x + i")1)?1 A21')
+ i"k'k2 ? i"k(A22 ? (x + i")1)?1A21'k2 :
Aus dem Realteil folgt, wenn man die Denition von und beachtet:
0 = ('; (A11 ? x1)') ? ((A22 ? (x + i")1)?1A21 '; (A22 ? x1)(A22 ? (x + i")1)?1 A21')
( ? x)k'k2 ? ( ? x)k(A22 ? (x + i")1)?1A21'k2:
Mit dem Imaginarteil konnen wir den zweiten Summanden weiter umrechnen:
0 ( ? x)k'k2 ? ( ? x)k'k2 = ( ? )k'k2:
Wegen ? < 0 ist dies nur mit k'k = 0, also ' = 0 moglich.
Bemerkenswerterweise kommt es in Satz 3.5 weder auf die Groe der "Nebendiagonalelemente\ an, noch geht die Groe der "Lucke\ zwischen A11 und A22 ein, solange
sie nur von Null
verschieden ist.
33
4 Abschnittsdeterminanten von Gruppen
beschrankter Operatoren
4.1 Die Integralformel
Zur Motivation rechnen wir ein einfaches Beispiel durch, bei dem sich alle Fragen explizit
beantworten lassen. Wir gehen von der folgenden Schrodinger-Gleichung aus:
u 0 V u 1 ; u (0) = 1; u (0) = 0
i 1 = 1
1
2
u2
V 2
u2
mit 1 ; 2 2 R und V 2 C. Wir interessieren uns fur das Verhalten von u1; deshalb entkoppeln
wir das System und erhalten:
u001 + i(1 + 2)u01 ? (12 ? jV j2)u1 = 0; u1 (0) = 1; u01(0) = ?i1:
Der ubliche Ansatz fuhrt zusammen mit den Anfangsbedingungen auf die Losung:
+2 t
mit
?i 1 2
u1(t) = e 2!
(! ? )ei!t + (! + )e?i!t
2
2
r
2
:= 1 ? 2; ! := 4 + jV j2 :
Dieser Ausdruck zeigt schon das Charakteristikum der Integralformel, da im wesentlichen die
Losung des ungestorten Problems mit einem Korrekturfaktor multipliziert wird. Wir bringen
die Losung auf eine andere Gestalt:
+2 t
?i 1 2
u1 (t) = e 2!
(2! cos !t ? i sin !t) :
Dem entnimmt sofort u1 (t) 6= 0 fur alle t, falls nur 6= 0 ist (fur ! = 0 ist alles trivial). Wir
konnen sogar eine quantitative Aussage machen:
?
ju1(t)j2 = 4!1 2 4!2 cos2 !t + 2 sin2 !t
2
= cos2 !t + 2 +4jV j2 sin2 !t
= 1?
Ist also jj gro gegen jV j, gilt:
4jV j2 sin2 !t:
2 + 4jV j2
2
ju1(t)j2 = 1 + O( jV2j ):
Wir wollen ahnliche Untersuchungen in beliebigen Hilbert-Raumen anstellen. Dabei beschranken wir uns nicht auf unitare Operatoren, sondern beweisen allgemeiner eine Integralformel fur die Abschnittsdeterminanten von Gruppen beschrankter Operatoren.
34
Satz 4.1. Der Operator A0 : D(A0) ! H sei dicht deniert und abgeschlossen, und ?iA0
generiere eine Gruppe U0 (t). Sei weiter B : H ! H ein beschrankter Operator. Wir erklaren
die Operatoren A() : D(A0 ) ! H gema A() := A0 + B , 2 [0; 1]. Weiter sei P : H !
H ein orthogonaler Projektor mit endlichdimensionalem Bild, der mit U0(t) kommutiert:
PU0 (t) = U0 (t)P . Es gelte det PU (T; )P 6= 0, 2 [0; 1], fur die von ?iA() generierte
Gruppe U (t; ). Sei schlielich der freie (zeitgeordnete) Greensche Operator G0 erklart gema:
(
t 0;
G0(t) = iU0(t)P = iPU0 (t);
iU0(t)[P ? 1] = i[P ? 1]U0(t); t > 0:
(4.1)
Dann besitzt die Integralgleichung
G(t; t0; )' = G0(t ? t0 )' + ZT
0
G0(t ? )BG(; t0; )' d;
t; t0 2 [0; T ]; 2 [0; 1]; ' 2 H; (4.2)
(wenigstens) eine Losung G, den zeitgeordneten Greenschen Operator, mit den Eigenschaften:
1. Die Funktion t 7! G(t; t0; ) ist stark stetig fur t 6= t0 und alle t0 2 R und 2 [0; 1] .
2. Der Operator G(t; t + 0; ) ist Spurklasse, und die Funktion tr BG(t; t + 0; ) ist bzgl.
t und integrierbar, so da fur die Abschnittsdeterminanten die Integralformel gilt:
Z 1Z T
det PU (T; 1)P = det PU0 (T )P exp ?
0
0
tr BG(t; t + 0; ) dt d :
(4.3)
Dieser Satz hat einen storungstheoretischen Charakter. Er setzt die Determinante zum
gestorten Operator A0 + B in Beziehung zur Determinante zum ungestorten Operator A0 .
Die wesentliche Idee im Beweis von Satz 4.1 besteht darin, die Abhangigkeit vom Parameter
zu studieren, indem man die Ableitung nach berechnet. Im Gegensatz dazu entwickelt
man in der klassischen Storungstheorie, wie wir sie auch in Abschnitt 6.2 verwenden werden,
die gesuchten Groen in eine Potenzreihe nach . Eine solche Entwicklung kann man auch
aus Satz 4.1 gewinnen, indem man beispielsweise die Integralgleichung (4.2) iteriert. Dies ist
aber nicht die einzige Moglichkeit und auch gar nicht die zu empfehlende.
Wir arbeiten mit der von ?iA() anstatt mit der von A() generierten Gruppe, um
den Zusammenhang zur Schrodinger-Gleichung und dem folgenden Abschnitt uber RieszProjektoren zu wahren.
Der Beweis von Satz 4.1 zerfallt in zwei Schritte.
Schritt 1: Wir wenden die Determinantenformel aus Korollar 2.6 auf den endlichdimensionalen Operator PU (T; )P : ran P ! ran P an:
Z 1
tr U + (T; ) @U (T; ) d :
det PU (T; 1)P = det PU (T )P exp
0
0
@
Dabei ist U + (T; ) die Pseudoinverse von U (T; ) bzgl. P gema Satz 2.8. Die Ableitung
@U (T;) haben wir in Satz 2.35 berechnet. Wir erhalten so die Formel:
@
Z 1Z T
det PU (T )P = det PU0 (T )P exp ?i
0
0
35
tr BU (t; )U + (T; )U (T; )U (?t; ) dt :
(4.4)
Schritt 2: Wir denieren das G in der Integralformel (4.3) im wesentlichen als den Expo-
nenten in (4.4):
G(t; t; ) := iU (t; )U + (T; )U (T; )U (?t; )
und leiten dann die Integralgleichung (4.2) fur G(t; t0; ) ab, wobei wir die Integralgleichung
(2.33) fur allgemeine Greensche Operatoren aus Satz 2.42 verwenden.
4.2 Beweis der Integralformel
Wir haben den Operator B : H ! H als beschrankt vorausgesetzt; deshalb ergibt sich sofort,
da die A() auf D(A0) erklart sind. Weiterhin wissen wir aus Lemma 2.31, da ?iA() eine
Gruppe U (t; ) generiert, weil ?iA0 Generator einer Gruppe ist.
4.2.1 Schritt 1: Die endlichdimensionale Determinantenformel
Wir wenden (2.4) auf den endlichdimensionalen Operator PU (t; )P : ran P ! ran P an.
Satz 4.2. Sei U + (T; ) die Pseudoinverse von U (T; ) bzgl. P . Dann gilt:
Z 1Z T
det PU (T; 1)P = det PU0 (T )P exp ?i
0
0
tr BU (t; )U + (T; )U (T; )U (?t; ) dt d
:
Beweis. Nach Satz 2.35 ist U (T; ) bzgl. der Operatornorm stetig dierenzierbar nach .
Zusammen mit det PU (T; )P 6= 0 erfullt der endlichdimensionale Operator PU (T; )P :
ran P ! ran P die Voraussetzungen von Korollar 2.6. Also folgt wegen U (T; 0) = U0 (T ):
det PU (T; 1)P = det PU0 (T )P exp
Z 1
0
(T; ) d :
tr U + (T; ) @U@
Die Ableitung @U=@ haben wir in Satz 2.35 ausgerechnet:
@ U (T; )' = ?i Z T U (T; )U (?t; )BU (t; )' dt; ' 2 H:
@
0
Da die U (t; ) stark stetig von t abhangen und sich die Spurbildung nur uber den endlichdimensionalen Raum ran P erstreckt, sind die folgenden Integrale wohldeniert (Satz 2.3).
Beachten wir noch die zyklische Vertauschbarkeit unter der Spur, so folgt:
(T; ) =
tr U + (T; ) @U@
=
ZT
Z0 T
0
tr U + (T; )[?iU (T; )U (?t; )BU (t; )] dt
tr BU (t; )U + (T; )[?iU (T; )U (?t; )] dt:
Daraus ergibt sich die Behauptung.
36
4.2.2 Schritt 2: Die Integralgleichung
Der Ausdruck iU (t; )U + (T; )U (T; )U (?t; ) lat sich unabhangig von U (t; ) charakterisieren. Dazu brauchen wir die Greenschen Operatoren aus Abschnitt 2.4. Wir setzen in
Denition 2.40 = i und K = U + (T; )U (T; ).
Denition 4.3. Sei U (T; ) die Pseudoinverse von U (T; ) bzgl. P . Der durch
(
+
0
t t0 ;
G(t; t0 ; ) := iU (t; )U +(T; )U (T; )U (?t ; ); 0
iU (t; )[U (T; )U (T; ) ? 1]U (?t ; ); t > t0;
erklarte Operator heit zeitgeordneter Greenscher Operator.1
Wir halten die Eigenschaften von G fest.
Lemma 4.4. Sei G der zeitgeordnete Greensche Operator gema Denition 4.3. Dann ist
die Abbildung t 7! G(t; t0; ) fur t 6= t0 und alle t0 2 R stark stetig. Der Operator G(t; t +0; )
ist fur alle t 2 R und alle 2 [0; 1] Spurklasse, und das folgende Integral existiert:
Z 1Z T
0
0
tr BG(t; t + 0; ) dt d:
Beweis. Die starke Stetigkeit von G(; t0; ) (fur t 6= t0 ) folgt sofort aus der starken Stetigkeit
von U (t; ) und der Denition von G.
Da U + (T; ) = PU + (T; ) ein endlichdimensionales Bild hat und somit Spurklasse ist, ist
auch G(t; t + 0; ) ein Spurklasseoperator.
Die Existenz des Integrals ergibt sich sofort aus Satz 4.2.
G genugt einfachen Randbedingungen.
Lemma 4.5. Der zeitgeordnete Greensche Operator gema Denition 4.3 erfullt fur alle
2 [0; 1] die Randbedingungen:
(1 ? P )G(0; t0; ) = 0; PG(T; t0; ) = 0; 0 t0 T:
(4.5)
Beweis. Wir beachten U + (T; ) = PU + (T; ) (Satz 2.8):
(1 ? P )G(0; t0; ) = i(1 ? P )U (0; )U +(T; )U (T; )U (?t0; )
= i(1 ? P )U + (T; )U (T; )U (?t0; )
= 0:
Fur t = T berucksichtigen wir PU (T; )U +(T; ) = P (vgl. Satz 2.8):
PG(T; t0; ) = iPU (T; )[U +(T; )U (T; ) ? 1]U (?t0; )
= i[PU (T; ) ? PU (T; )]U (?t0; )
= 0:
Das war zu zeigen.
1G
hangt naturlich auch vom Intervall [0; T ] ab. Wir verzichten auf eine explizite Kennzeichnung, da
andernfalls G zu variablenlastig wird. In der Physik schreibt man die Losung von Schrodinger-Gleichungen mit
zeitabhangigem Potential als formale Exponentialfunktion, die sogenannte zeitgeordnete Exponentialfunktion.
Aus diesem Zusammenhang stammt die Bezeichnung zeitgeordneter Greenscher Operator.
37
Fur = 0 erhalten wir den freien zeitgeordneten Greenschen Operator wieder.
Lemma 4.6. Fur den freien zeitgeordneten Greenschen Operator G0(t) aus (4.1) gilt:
G(t; t0; 0) = G0(t ? t0 ). Falls A0 selbstadjungiert ist, ist kG0(t)k 1 fur alle t 2 R.
Beweis. Nach Voraussetzung kommutiert P mit U0 (t). Daraus folgt:
U0+ (T ) = U0 (?T )P:
Also ist fur t t0 :
?iG(t; t0; 0) = U0(t)U0+(T )U0(T )U0(?t0) = U0(t)PU0(?t0) = U0(t ? t0) = ?iG0(t ? t0):
Entsprechend rechnet man fur t > t0 und erhalt so den ersten Teil der Behauptung.
Falls A0 selbstadjungiert ist, ist U0(t) nach Korollar 2.24 unitar. Da P ein orthogonaler
Projektor ist, haben wir kP k 1. Fur t 0 folgt damit:
kG0(t)k = kiPU0(t)k kP kkU0(t)k 1:
Die Behauptung fur t > 0 erhalt man entsprechend wegen k1 ? P k 1.
Der zeitgeordnete Greensche Operator G und der freie zeitgeordnete Greensche Operator G0
sind durch eine Integralgleichung miteinander verknupft.
Satz 4.7. Der zeitgeordnete Greensche Operator G gema Denition 4.3 erfullt die Integralgleichung:
G(t; t0; )' = G0 (t ? t0)' + ZT
0
G0(t ? )BG(; t0; )' d;
0 t; t0 T; 2 [0; 1]; ' 2 H: (4.6)
Beweis. Wir setzen in Satz 2.42 = i und S1 = ?iB sowie T0 = 0 und T1 = T und erhalten:
G(t; t0; )' + G0(t)G(0; t0; )' ? G0 (t ? T )G(T; t0; )'
= G0 (t ? t0 )' + ZT
0
G0(t ? )BG(; t0; )' d; ' 2 H:
Das ist schon fast die gesuchte Integralgleichung. Wir erinnern uns an die Denition von G0
und beachten 0 t T sowie die Randbedingungen (4.5) fur G:
G0 (t)G(0; t0; ) = iU0 (t)[P ? 1]G(0; t0; ) = 0
G0(t ? T )G(T; t0; ) = iU0 (t ? T )PG(T; t0; ) = 0:
Daraus folgt die Behauptung.
Die Kombination der Satze 4.2 und 4.7 mit Dention 4.3 liefert die Behauptung von Satz 4.1.
38
4.3 Losungstheorie der Integralgleichung
Die Bezeichnungen und Voraussetzungen seien wie in Satz 4.1.2 Wir untersuchen den Zusammenhang zwischen der eindeutigen Losbarkeit der Integralgleichung (4.2) und der Determinante det PU (T; )P . Wir werden zeigen, da aus der Eindeutigkeit der Losung auch
schon die Existenz einer Losung fur die spezielle rechte Seite in (4.2) folgt. Wir brauchen also
nur die homogene Integralgleichung zu betrachten. Zunachst zeigen wir, da die homogene
Gleichung zu einem homogenen Randwertproblem in Beziehung steht.
Satz 4.8. Die Funktion '() : t 7! '(t) 2 H sei stetig dierenzierbar und lose die Integralgleichung:
'(t) = ZT
0
G0(t ? )B'( ) d; 0 t T:
(4.7)
Dann ist '() auch eine Losung des Randwertproblems:
i dtd '(t) = A()'(t); (1 ? P )'(0) = 0; P'(T ) = 0:
Beweis. Wir spalten das Integral in (4.7) auf:
I (t) :=
ZT
0
G0(t ? )B'( ) d =
Zt
0
iU0(t ? )[P ? 1]B'( ) d +
ZT
t
(4.8)
iU0(t ? )PB'( ) d:
Wir haben '() als stetig dierenzierbar vorausgesetzt. Dann sind auch die Funktionen 7!
[P ? 1]B'( ) und 7! PB'( ) stetig dierenzierbar, da P und B beschrankt sind. Aus Satz
2.26 folgt, da I () stetig dierenzierbar ist und '() die Dierentialgleichung (4.8) erfullt.
Fur den freien zeitgeordneten Greenschen Operator G0 ist nach Denition fur alle 2 [0; T ]:
(1 ? P )G0(? ) = i(1 ? P )PU0 (? ) = 0; PG0 (T ? ) = iP (P ? 1)U0(T ? ) = 0:
Daraus folgen die Randbedingungen.
Die Voraussetzung, da die Losung der Integralgleichung stetig dierenzierbar sei, ergibt sich
bei einem unbeschrankten Generator im allgemeinen nicht aus der Integralgleichung (vgl. [11],
Abschnitt 4.2.) und kann daher nicht fallen gelassen werden. Fur beschrankte Operatoren ist
dies allerdings richtig.
Korollar 4.9. Zusatzlich zu den Voraussetzungen von Satz 4.1 sei A0 : H ! H beschrankt.
Dann ist jede stetige Losung der Integralgleichung (4.7) dierenzierbar und erfullt das Randwertproblem (4.8)
Beweis. Die Gruppe U0 (t) wird vom beschrankten Operator ?iA0 generiert und ist deshalb
bzgl. der Operatornorm dierenzierbar (Satz 2.27). Dann folgt aus dem Beweis von Satz 4.8
die Behauptung.
Der Satz 4.8 lat sich umkehren.
2 Der
Scharparameter durfte in diesem Abschnitt auch beliebige komplexe Werte annehmen, was aber in
unserem Zusammenhang nicht notwendig ist.
39
Satz 4.10. Die Funktion '() : t 7! '(t) 2 H sei stetig dierenzierbar, und es gelte
'(0) 2 D(A). Lost dann '() das Randwertproblem (4.8), dann ist '() auch Losung der
Integralgleichung (4.7).
Beweis. Sei '() eine Losung von (4.8). Nach Satz 2.25 lat sich '(t) schreiben als:
'(t) = U (t; )'(0);
da '(0) 2 D(A) ist. Aus der Integrationsregel (2.17) erhalten wir fur t0 = 0 und t1 = t:
U (t; )'(0) = U0 (t)'(0) ? i
Zt
0
Fur t0 = t und t1 = T liefert (2.17):
U (t; )'(0) = U0(t ? T )U (T; )'(0) + i
U0(t ? )BU (; )'(0) d:
ZT
t
U0(t ? )BU (; )'(0) d:
(4.9)
(4.10)
Wir multiplizieren (4.9) mit 1 ? P und (4.10) mit P und beachten PU0 (t) = U0 (t)P . Dann
folgt zusammen mit den Randbedingungen:
(1 ? P )'(t) = 0 ? i
P'(t) = 0 + i
Zt
(1 ? P )U0 (t ? )B'( ) d
ZT
0
t
PU0 (t ? )B'( ) d:
(4.11)
(4.12)
Addition von (4.11) und (4.12) ergibt die Behauptung.
Die Losbarkeit des Randwertproblems ist durch det PU (T; )P charakterisiert.
Satz 4.11. Das Randwertproblem (4.8) besitzt genau dann nur die triviale Losung, wenn
det PU (T; )P 6= 0 ist.
Beweis. Die Losung des Randwertproblems lat sich nach Satz 2.25 schreiben als:
'(t) = U (t; )'(0):
Aus den Randbedingungen folgt '(0) = P'(0) sowie:
0 = P'(T ) = PU (T; )'(0) = PU (T; )P'(0):
Betrachtet man diese Gleichung auf ran P , sieht man sofort, da det PU (T; )P 6= 0 mit
'(0) = 0 gleichbedeutend ist. Daraus erhalt man die Behauptung.
Aus den vorangehenden U berlegungen erhalten wir ein Kriterium, wann die Determinante
det PU (T; )P nicht verschwindet.
Korollar 4.12. Die homogene Gleichung (4.7) besitze nur die triviale Losung. Dann gilt:
1. det PU (T; )P 6= 0.
2. Die inhomogene Gleichung (4.2) besitzt genau eine Losung.
40
Beweis. 1. Falls det PU (T; )P = 0 ist, besitzt das Randwertproblem (4.8) eine nichttriviale
Losung, die gleichzeitig auch eine nichttriviale Losung der Integralgleichung (4.7) ist. Das ist
ein Widerspruch zur Voraussetzung.
2. Da die homogene Gleichung (4.7) nur die triviale Losung besitzt, kann die inhomogene
Gleichung (4.2) hochstens eine Losung haben. Da nach 1. det PU (T; )P 6= 0 ist, existiert in
Denition 4.3 der Operator U + (T; ). Nach Satz 4.7 lost G(t; t0; ) die Gleichung (4.2).
Diese Losbarkeitsaussage erinnert insofern an die Riesz-Theorie fur kompakte Operatoren,
als aus der Eindeutigkeit der Losung auch die Existenz einer Losung folgt. Dabei ist aber zu
beachten, da sich die Existenzaussage nur auf die spezielle Gleichung (4.2) bezieht.
4.4 Bemerkungen
Eine sorgfaltige Analyse des Beweises in Abschnitt 4 zeigt, da sich die Integralformel (4.3)
in mehrere Richtungen verallgemeinern lat.
Die Forderung nach der vollen Gruppeneigenschaft der U (t; ) ist uberussig, wie ein Blick
auf die Denition von G zeigt. Es reicht schon die Halbgruppeneigenschaft und insbesondere die Existenz von U (T ? t; ) fur T t. Damit lassen sich unsere Resultate auf die
Warmeleitungsgleichung ausdehnen.
Eine andere Voraussetzung, die man ohne rechnerische Schwierigkeiten fallen lassen kann, ist
die Zeitunabhangigkeit von A. In der Tat gilt die Formel auch fur zeitabhangige Operatoren
A(t) = A0 + B(t):
Z 1Z T
det PU (T )P = det PU0 (T )P exp ?
0
0
tr B (t)G(t; t + 0; ) dt d :
Der Exponent genugt der entsprechenden Integralgleichung:
G(t; t0; )' = G0(t ? t0 )' + ZT
0
G0 (t ? )B( )G(; t0; )' d; ' 2 H:
Wir konnen sogar von allgemeinen Operatorscharen A(t; ) ausgehen, ohne die rechnerische
Seite des Beweises zu verandern. Allerdings werden die technischen Schwierigkeiten groer, da
die U (t) in diesem Falle keine Gruppe mehr sind, so da man sich als erstes die Invertierbarkeit
von U (t) uberlegen mu. Setzt man voraus, da A(t) : H ! H fur alle t 2 R beschrankt ist,
treten kaum technische Schwierigkeiten auf und alle Rechnungen lassen sich genauso wie hier
durchfuhren. Anwendungen in der Quantenmechanik verlangen aber, da A0 unbeschrankt
ist. Dann sind selbst fur beschrankte B (t) zusatzliche technische Voraussetzungen notig.3 Die
Situation vereinfacht sich etwas, wenn die Zeitabhangigkeit nur durch einen skalaren Faktor
auftritt:
B(t) = f (t)B; f : R ! R:
Diese Gestalt haben die Operatoren aus der Einleitung, die im Gefolge des Adiabatischen
Theorems auftreten. Es ist moglich, Satz 4.1 auf diesen Fall auszudehnen.
Weiter kann man auch unbeschrankte Zeitintervalle zulassen. Dies ist wichtig, um mittels des
Adiabatischen Theorems den Zusammenhang mit den Riesz-Projektoren herzustellen (vgl.
die Einleitung).
3 Allgemeine
Aussagen uber solche Evolutionsgleichungen ndet man in [11] oder [20].
41
5 Abschnittsdeterminanten von
Riesz-Projektoren
5.1 Die Integralformel
Zur Orientierung beginnen wir mit einem einfachen Beispiel. Sei:
A(V ) := V1 V ; 1 ; 2 2 R; V 2 C:
2
Wir fragen uns, wie die Eigenvektoren von A(V ) gegenuber denen von A(0) verdreht sind.
Man rechnet leicht nach, da durch
x1(V ) =
+!
V
;
x
(
V
)
=
2
(( 2 + ! )2 + jV j2)1=2
(( 2 + ! )2 + jV j2)1=2
2
ein normierter Eigenvektor (x1(V ); x2(V ))T von A(V ) gegeben ist. Zur Abkurzung haben wir
r
2 + jV j2
4
gesetzt. Wir setzen > 0 voraus, so da wir fur V ! 0 die Werte x1 (0) = 1 und x2 (0) = 0
erhalten. In diesem Sinne entspricht (x1 (V ); x2(V ))T dem ungestorten Eigenvektor (1; 0)T .
Die magebliche Groe ist das Skalarprodukt:
:= 1 ? 2 ; ! :=
x (V )T 1
1
x2(V )
0 = x1 (V ):
Man stellt sofort x1(V ) 6= 0 fest. Wir konnen sogar ein quantitatives Resultat angeben:
jx1(V )j2 =
( 2 + ! )2
=
( 2 + ! )2 + jV j2 1 +
1
"
4jV j2
r
2 1+ 1+ 4 V2 2
j
j
#2
:
Ist also jV2j hinreichend klein, so erhalten wir eine Entwicklung nach Potenzen von jV2j . Fur
= 0 ist die Situation im Gegensatz zu den Abschnitten 3.1 zur Dichotomie und 4.1 uber
die Abschnittsdeterminanten von Gruppen beschrankter Operatoren ein wenig anders. Sei
= 0, also 1 = 2 . Auch hier ist noch x1 (V ) 6= 0. Allerdings konnen wir nicht mehr sagen,
da dieser Eigenvektor dem ungestorten entspricht, da wir fur V ! 0 keine Konvergenz gegen
(1; 0)T haben. Das liegt daran, da fur V = 0 ein zweifacher Eigenwert vorliegt.
Um in allgemeinen Hilbert-Raumen ahnliche Fragestellungen untersuchen zu konnen, beweisen wir eine Integralformel fur Riesz-Projektoren eines selbstadjungierten Operators.
Satz 5.1. Seien A0 : D(A0) ! H ein selbstadjungierter Operator und B : H ! H ein
beschrankter symmetrischer Operator. Wir erklaren die Operatoren A() : D(A0 ) ! H,
2 [0; 1], gema: A() := A0 + B. Von den A() verlangen wir fur alle 2 [0; 1]:
2
2
42
1. Es gebe einen Integrationsweg ? mit der Eigenschaft ? (A()). Mit P () bezeichnen
wir die Riesz-Projektoren von A() bzgl. ?:
Z
P () := 21i (z1 ? A())?1 dz:
?
2. Das Bild von P (0) sei endlichdimensional mit N := dim ran P (0) 1.
3. Es gelte det P (0)P ()P (0) 6= 0.
4. Seien H1 := ran P (0) D(A()) und H2 := H?1 . D2 := H2 \ D(A0) liege dicht in H2 ,
und (1 ? P (0))A()(1 ? P (0)) : D2 ! H2 sei selbstadjungiert. Fur die Groen
() := sup ('; P (0)A()P (0)'); () := 'inf
('; (1 ? P (0))A()(1 ? P (0))')
2D
'2H1
k'k=1
2
k'k=1
gelte () < ().
Schlielich sei der freie zeitgeordnete Greensche Operator G0 wie in Satz 4.1 erklart. Dann
besitzt die Wiener-Hopf-Gleichung
G"(t; t0; )' = e?"jt?t jG0(t ? t0 )' + 0
Z0
?1
e?"jt? j G0(t ? )BG" (; t0; )' d;
? 1 < t; t0 0; 2 [0; 1]; ' 2 H; (5.1)
fur hinreichend kleine " > 0 (wenigstens) eine Losung G" , den zeitgeordneten Greenschen
Operator, mit den Eigenschaften:
a. Die Abbildung t 7! G" (t; t0 ; ) ist fur t 6= t0 und alle t0 2 R stark stetig. Wir haben die
Abschatzung kG" (t; t0; )k Cet mit = (") > 0.
b. G" (t; t + 0; ) ist ein Spurklasseoperator, und tr BG" (t; t + 0; ) ist bzgl. t und integrierbar, so da fur die Abschnittsdeterminanten die Integralformel gilt:
det P (0)P (1)P (0) = lim
lim exp ?2 Re
!+0 "!+0
Z 1Z 0
0
?1
et tr BG" (t; t + 0; ) dt d :
(5.2)
Die Forderung nach einem Integrationsweg ? mit der Eigenschaft ? (A()) ist beispielsweise erfullt, falls kB k hinreichend klein ist (vgl. Satz 2.11). Die Forderung nach N 1 ist
sinnvoll, weil sonst P (0) der Nulloperator ware.
Wie in der Einleitung dargelegt wurde, lat sich dieser Satz als Adiabatisches Theorem auffassen. Wir erinnern kurz an das klassische Adiabatische Theorem (vgl. die Einleitung und
[2]). Die Spektralprojektoren P (s) einer Schar selbstadjungierter Operatoren H (s) lassen sich
asymptotisch ineinander transformieren; d.h. es gilt fur ! 0:
P (s) = U (s)P (0)U(s) + O( ):
43
Die Operatoren U erfullen eine Schrodinger-Gleichung:
d U (s) = H (s)U (s); U (0) = 1:
i ds
Die Gultigkeit dieses Theorems erfordert eine Lucke im Spektrum aller H (s). Dies ist vergleichbar mit der Luckenbedingung 1. aus Satz 5.1. In gewisser Weise gehort zu dieser Voraussetzung der Parameter . Aus diesem Grunde haben wir auch dieselbe Bezeichnung wie
beim klassischen Theorem verwendet. Zusatzlich haben wir aber noch die Luckenbedingung
4., zu der der Parameter " gehort. Diese bezieht sich auf den Wertebereich und nicht auf das
Spektrum. Im allgemeinen folgen die beiden Bedingungen 1. und 4. nicht auseinander. Aus
der Bedingung 4. folgt mit dem Dichotomie-Kriterium 3.5, da der Operator
A" () := A() + i"(2P (0) ? 1)
fur " 6= 0 keine reellen Spektralwerte hat, was im Beweis wesentlich ist. An dieser Stelle
sehen wir auch, da das Kriterium 3.3 von Baskakov nicht anwendbar ist, da mit " ! 0 der
Imaginarteil von A" () klein wird.
Wir gliedern den Beweis von Satz 5.1 in vier Schritte.
Schritt 1: Wie schon in Abschnitt 4 gehen wir aus von der Integralformel fur endlichdimensionale Determinanten, wobei wir aber die Version fur orthogonale Projektoren aus Lemma
2.9 verwenden:
det P (0)P (1)P (0) = det P (0)P (0)P (0) exp 2 Re
Z1
0
tr P + ()(1 ? P ())P 0 ()P () d
:
(5.3)
Dabei ist P + () die Pseudoinverse von P () bzgl. P (0) gema Satz 2.8. Die Ableitung P 0 ()
berechnet sich gema Satz 2.16) zu:
Z
1
0
P () = 2i (z1 ? A())?1B(z1 ? A())?1 dz:
(5.4)
?
Schritt 2: Die Resolvente ist im wesentlichen die Fourier-Transformierte der unitaren Grup-
pe. Eine rein formale Anwendung der Parsevalschen Gleichung der Fourier-Transformation
auf das Integral in (5.4) wurde so den Zusammenhang mit der Schrodinger-Gleichung herstellen. Wir prazisieren diese Idee, indem wir das Spektrum von A() in die komplexe Ebene
verschieben. Dazu addieren wir zwei Imaginarteile:
A"() := A() + i"(2P (0) ? 1); " 2 R;
(5.5)
(5.6)
A;" () := A"() + i2 (2P"() ? 1); 2 R;
mit den zu A" () gehorenden Riesz-Projektoren P" ().
Schritt 3: Der Operator A;"() hat fur 6= 0 keine reellen Spektralwerte mehr, so da
wir mithilfe der Laplace-Transformation zur Gruppe U" (t; ) ubergehen konnen. Spaltet man
noch einen Phasenfaktor ab, so gelangt man zu der Formel:
det P (0)P (1)P (0)
= lim
lim exp ?2 Re i
!+0 "!0
Z 1Z 0
0
?1
et tr BU" (t; )P"+ ()P" ()U"(?t; ) dt d
44
: (5.7)
Der Faktor et ist eine Folge der Storung in (5.6).
Schritt 4: Wieder analog zu Abschnitt 4 charakterisieren wir den Exponenten in (5.7) unabhangig von U" . Wir denieren im wesentlichen G" (t; t; ) als den Exponenten in (5.7) und
zeigen dann mithilfe der Integralgleichung in Satz 2.42, da G" (t; t0; ) fur " > 0 der WienerHopf-Gleichung (5.1) genugt. Der Faktor e?"jt? j in (5.1) ist eine Folge der Storung in (5.5).
Der Unterschied zu Abschnitt 4 liegt in den zusatzlichen mittleren Schritten 2 und 3. Die Verschiebung des Spektrums ist notwendig, um die Laplace-Transformation anwenden zu konnen.
Erst dadurch konnen wir den Zusammenhang zwischen Resolvente und Gruppe herstellen und
eine zu Abschnitt 4 analoge Integralgleichung herleiten.
5.2 Beweis der Integralformel
Wir notieren einige Eigenschaften, die sich sofort aus den Voraussetzungen ergeben.
Lemma 5.2. Fur alle 2 [0; 1] gilt:
1. A() ist auf D(A0 ) selbstadjungiert, und P () ist ein orthogonaler Projektor.
2. Das Bild von P () ist endlichdimensional mit dim ran P () = N .
3. Die Spektralmenge von A() bzgl. ? enthalt genau N Eigenwerte (mit Vielfachheit
gezahlt) und sonst keine weiteren Spektralwerte.
Beweis. 1. A() ist selbstadjungiert, da die Summe aus einem selbstadjungierten und einem
beschrankten symmetrischen Operator wieder selbstadjungiert ist (vgl. [13]). P () ist als
Riesz-Projektor eines selbstadjungierten Operators ein orthogonaler Projektor (Satz 2.15).
2. Nach Satz 2.16 hangen die P () stetig dierenzierbar und somit stetig von ab. Daraus
folgt nach Lemma 2.10, da dim ran P () = dim ran P (0) = N ist.
3. Folgt aus 2. und Korollar 2.14.
5.2.1 Schritt 1: Die endlichdimensionale Determinantenformel
Der erste Schritt besteht nur aus einer einfachen Anwendung von Lemma 2.9 auf die Schar
der Riesz-Projektoren von A().
Satz 5.3. Fur die Schar der Riesz-Projektoren P () zu A() gilt:
det P (0)P (1)P (0) = exp 2 Re
Z1
0
tr P + ()(1 ? P ())P 0 ()P () d
:
(5.8)
Dabei ist P + () die Pseudoinverse von P () bzgl. P (0), und P 0 () ist durch ein FriedrichsIntegral gegeben:
Z
(5.9)
P 0 () = 21i (z1 ? A())?1B(z1 ? A())?1 dz:
?
Beweis. Die P () sind nach Satz 2.16 bzgl. der Operatornorm stetig dierenzierbar nach ,
und die Ableitung P 0 () ist durch das Friedrichs-Integral (5.9) gegeben. Wir wenden Lemma
2.9 auf den endlichdimensionalen Operator P (0)P ()P (0) : ran P (0) ! ran P (0) an und
beachten noch det P (0)P (0)P (0) = 1 (wegen N 1). Dann folgt sofort die Aussage des
Satzes.
45
5.2.2 Schritt 2: Verschiebung des Spektrums
Wir addieren einen Imaginarteil zu A():
A" () := A() + i"J; J := 2P (0) ? 1; " 2 R:
(5.10)
Operatoren von diesem Typus haben wir in Abschnitt 3 studiert. Wir bemerken:
J 2 = 4P (0)2 ? 4P (0) + 1 = 1; J = J; kJ k = 1:
(5.11)
A"() ist zwar nicht mehr symmetrisch, hat aber dennoch angenehme Eigenschaften.
Lemma 5.4. Die gema (5.10) erklarten A" (), 2 [0; 1], sind fur alle " 2 R dicht deniert
und abgeschlossen, und fur alle 2 [0; 1] gilt:
1. (A"()) fz 2 Cjj Im z j j"jg fur alle " 2 R. Die Resolvente lat sich abschatzen:
(5.12)
k(z1 ? A" ())?1k j Im z1j ? j"j ; j Im zj > j"j:
2. Wir wahlen "0 > 0 so, da "0 m < 1 ist, wobei
k(z1 ? A())?1k < 1
m := max
z2?
2[0;1]
(5.13)
wohldeniert ist.1 Dann ist ? (A" ()) fur alle j"j "0 , und wir haben fur z 2 ?:
k(z1 ? A"())?1k 1 ?m" m =: m1:
0
(5.14)
Beweis. Da J nach (5.11) beschrankt ist, ist A" () auf D(A()) = D(A0) erklart. Die Summe
aus einem abgeschlossenen und einem beschrankten Operator ist wieder abgeschlossen.
1. Wir untersuchen die Resolvente. Fur z 2 (A()) gilt:
z1 ? A() ? i"J = (z1 ? A())(1 ? i"(z1 ? A())?1J ):
(5.15)
Sei Im z 6= 0. Aus der Abschatzung (3.1) fur die Resolvente folgt zusammen mit kJ k = 1
(vgl. (5.11)):
ki"(z1 ? A())?1J k j"jk(z1 ? A())?1kkJ k j"j j Im1 zj :
Fur j Im z j > j"j liefert die Neumannsche Reihe die Existenz von (z 1 ? A() ? i"J )?1 und die
Abschatzung fur die Resolvente. Daraus folgt die Behauptung uber die Lage des Spektrums.
2. Da nach Voraussetzung ? (A()) ist fur 2 [0; 1], ist (5.15) auch fur z 2 ? richtig.
Die Funktion (z; ) 7! k(z 1 ? A())?1 k ist nach Satz 2.11 stetig und nimmt daher auf der
1 Es
ist denkbar, die Beschrankung auf hinreichend kleine " dadurch zu umgehen, da man den Integrationsweg ? geeignet modiziert. Da wir aber ohnehin den Limes " ! 0 ausfuhren mussen, erscheint es
gerechtfertigt, auf diese Verallgemeinerung zu verzichten, die daruber hinaus einen technischen Mehraufwand
mit sich brachte.
46
kompakten Menge ? [0; 1] ihr Maximum 0 m < 1 an. Dann haben wir fur alle j"j "0
und alle 2 [0; 1] nach Voraussetzung:
ki"(z1 ? A())?1J k mj"jkJ k m"0 < 1:
Die Neumannsche Reihe liefert nun z 2 (A" ()) und damit ? (A"()) sowie:
k(z1 ? A" ())?1k 1 ?m" m :
0
Damit ist alles gezeigt.
A" () besitzt Riesz-Projektoren und generiert eine Gruppe beschrankter Operatoren.
Lemma 5.5. Sei A"() wie in (5.10) deniert. Sei weiter "0 wie in Lemma 5.4 gewahlt.
Dann gilt fur alle 2 [0; 1] und alle j"j "0 :
1. Die Riesz-Projektoren
Z
1
P" () = 2i (z1 ? A"())?1 dz
?
existieren und lassen sich mit m1 gema (5.14) abschatzen:
kP"()k 21 j?jm1 =: CP :
(5.16)
2. Die P" () sind stetig in " gleichmaig fur alle 2 [0; 1]. Insbesondere haben wir
dim ran P" () = N , und die Spektralmenge von A" () bzgl. ? enthalt genau N Eigenwerte und sonst keine weiteren Spektralwerte.
Beweis. 1. Nach Lemma 5.4 ist ? (A" ()). Daraus folgt die Existenz der RieszProjektoren. (5.16) ist eine unmittelbare Folge der Abschatzung (5.14) fur die Resolvente
aus Lemma 5.4 und der Standardabschatzung fur Kurvenintegrale.
2. Seien j"1 j; j"2j "0. Mithilfe der Abschatzung (5.14) fur die Resolvente erhalten wir:
k(z1 ? A"2 ())?1 ? (z1 ? A"1 ())?1k = ki("2 ? "1)(z1 ? A"2 ())?1J (z1 ? A"1 ())?1k
j"2 ? "1jk(z1 ? A"2 ())?1kkJ kk(z1 ? A"1 ())?1k
j"2 ? "1jm21:
Da dies fur alle z 2 ? und alle 2 [0; 1] richtig ist, ergibt sich die Stetigkeit der RieszProjektoren in " gleichmaig fur . Die Aussage uber die Dimension des Bildes ist eine Folge
von Lemma 2.10 und der Tatsache dim ran P () = N . Daraus folgt auch mittels Korollar
2.14 die Behauptung uber die Spektralmenge.
Lemma 5.6. Sei A" () wie in (5.10) deniert. Dann gilt fur alle 2 [0; 1]:
1. A" () generiert fur alle " 2 R eine Gruppe U" (t; ) mit der Eigenschaft:
kU" (t; )k ej"tj; t 2 R:
47
(5.17)
2. Sei " > 0. Dann gibt es ein C = C (") 0 und ein = (") > 0, so da gilt:
kU"(t; )P"()k Cet; t 0:
(5.18)
Beweis. 1. Nach Lemma 5.4 erfullt ?iA" () die Voraussetzungen von Satz 2.22 mit M = 1
und ! = j"j und ist deshalb Generator einer Gruppe mit der genannten Eigenschaft.
2. Wir betrachten die von ?iA" ()P" () generierte Gruppe U~" (t; ). Da P" () der RieszProjektor zu A" () ist, gilt P" ()' 2 D(A" ()) fur alle ' 2 H und A" ()P ()' =
P ()A" ()' fur alle ' 2 D(A"()). Nach Satz 2.36 kommutiert P"() mit U" (t; ). Damit sind die Voraussetzungen von Lemma 2.38 erfullt, und wir schlieen: U~" (t; )P" () =
U"(t; )P" ().
Um die Abschatzung (5.18) zu beweisen, reicht es also, den endlichdimensionalen Operator U~" (t; )P"() : ran P" () ! ran P" () zu betrachten. Dieser lat sich uber das N dimensionale Dierentialgleichungssystem
i dtd U~"(t; )P"() = A"()P" ()U~" (t; )P"()
bestimmen. Wir werden zeigen, da A" ()P" () nur Eigenwerte mit einem positiven Imaginarteil hat. Dann liefert Korollar 2.29 die gesuchte Abschatzung.
Das Spektrum ~ von A" ()P" () : ran P" () ! ran P" () stimmt nach Satz 2.13 mit der
Spektralmenge von A" () bzgl. ? uberein. Also enthalt ~ nur endlich viele Eigenwerte (Lemma
5.5). Wegen der Voraussetzung 4 aus Satz 5.1 erfullt A() das Dichotomie-Kriterium 3.5, so
da A" () keine reellen Spektralwerte hat. Wir zeigen mittels eines Stetigkeitsargumentes,
da alle Eigenwerte von A" ()P" () einen positiven Imaginarteil haben. Dazu beachten wir,
da P" (0) = P (0) ist fur hinreichend kleine " (Korollar 2.17). Dann hat (A0 + i"J )P" (0) =
(A0 + i"J )P (0) = (A0 + i"P (0))P (0) : ran P (0) ! ran P (0) nur Eigenwerte mit positivem
Imaginarteil. Da endlich viele Eigenwerte stetig von abhangen ([10], IV.3.5), mussen auch
alle Eigenwerte von A" ()P" () einen positiven Imaginarteil haben.
Wir addieren einen weiteren Imaginarteil, um sicherzustellen, da in einem Streifen um die
reelle Achse keine Spektralwerte liegen:
A;" () = A"() + i2 J" (); J" () := 2P" () ? 1; 2 R:
(5.19)
Den Faktor 1=2 haben wir hinzugefugt, um in der Integralformel (5.2) den Faktor et und
nicht e2t zu erhalten (vgl. den Zusammenhang mit dem Adiabatischen Theorem in der
Einleitung). Aus (5.16) in Lemma 5.5 folgt:
kJ"()k 2kP"()k + 1 2CP + 1 =: CJ :
(5.20)
Auch A;" () besitzt Riesz-Projektoren und generiert eine Gruppe. Die Riesz-Projektoren
werden wir aber nicht benotigen, und die Gruppe lat sich durch U" (t; ) ausdrucken.
Lemma 5.7. Die Operatoren A;"() seien wie in (5.19) erklart. Dann gilt fur alle 2 [0; 1]:
1. A;" () : D(A0 ) ! H ist abgeschlossen. Sei 0 > 0 so gewahlt, da 20 m1 CJ < 1 ist.
Dann ist ? (A;" ()) fur alle j j 0, und die Resolvente lat sich abschatzen:
k(z1 ? A;"())?1k 1 ? m0 m1 C =: m2:
2
48
1 J
(5.21)
2. ?iA;" () generiert eine Gruppe beschrankter Operatoren U;" (t; ) mit:
U;" (t; ) = U~;" (t; )U"(t; ) = U" (t; )U~;"(t; ):
(5.22)
Dabei ist U~;" (t; ) die von 2 J" () generierte Gruppe. Insbesondere gilt:
t
U;" (t; )P"() = e 2 U"(t; )P"();
t
U;" (t; )(1 ? P" ()) = e? 2 U" (t; )(1 ? P" ()):
(5.23)
(5.24)
Beweis. 1. Da J" () beschrankt ist, hat A;" () den Denitionsbereich D(A0 ) und ist als
Summe des abgeschlossenen Operators A" () und des beschrankten Operators J" () wieder
abgeschlossen.
Sei z 2 ?. Nach Lemma 5.4 ist ? (A" ()). Also gilt:
z1 ? A;"() = z1 ? A" () ? i2 J"() = (z1 ? A"())(1 ? i2 (z1 ? A" ())?1J" ()):
Wir verwenden die Abschatzungen (5.14) und (5.20) und nden:
k(z1 ? A"())?1J"()k k(z1 ? A" ())?1kkJ"()k m1CJ
Die Voraussetzung an 0 ist so gewahlt, da die Neumannsche Reihe die Existenz der Resolvente und die Abschatzung (5.21) liefert.
2. ?iA;" () erfullt die Voraussetzungen von Satz 2.31; denn ?iA" () ist Generator einer
Gruppe, und J" () ist beschrankt (vgl. (5.20)). Also generiert ?iA;" () die Gruppe U;" (t; ).
Nach Satz 2.13 kommutieren A" () und J" (); deshalb liefert Satz 2.37 die Formel (5.22).
Es ist J" ()2 = 1. Damit folgen die Formeln (5.23) und (5.24) sofort aus Lemma 2.39.
Um die vorangehenden Resultate nutzen zu konnen, beweisen wir einige Konvergenzaussagen.
Lemma 5.8. Die folgenden Konvergenzaussagen gelten bzgl. der Operatornorm und gleichmaig fur 2 [0; 1]:
1. "lim
P () = P ().
!0 "
2. Es gibt ein "~0 > 0, so da die Pseudoinverse P"+ () von P" () bzgl. P (0) fur alle
j"j "~0 und alle 2 [0; 1] existiert und P"+ () ! P + () strebt fur " ! 0.
3. Sei ;" () fur j"j "0 und j j 0 als Friedrichs-Integral deniert:
Z
1
;" () := 2i (z 1 ? A;" ())?1 B (z 1 ? A;" ())?1 dz:
?
Dann strebt ;" () ! P 0 () fur ; " ! 0. Die Reihenfolge der Limites ist unerheblich.
Beweis. 1. Die gleichmaige Konvergenz der Riesz-Projektoren ist eine triviale Folgerung aus
der Stetigkeitsaussage in Lemma 5.5.
49
2. Nach Voraussetzung existiert P + () fur alle 2 [0; 1]. Es gilt:
P (0)P"()P (0) = P (0)P ()P (0) + P (0)P" ()P (0) ? P (0)P ()P (0)
(5.25)
= P (0)P ()P (0)[1 + P + ()(P (0)P"()P (0) ? P (0)P ()P (0))]:
P + () hangt stetig von ab, da P () dies tut (Satze 2.16 und 2.5). Also nimmt die stetige
Funktion 7! kP + ()k auf der kompakten Menge [0; 1] ihr Maximum an:
m~ := max kP + ()k < 1:
2[0;1]
Damit konnen wir in (5.25) abschatzen:
kP + ()(P (0)P"()P (0) ? P (0)P ()P (0))k m~ kP"() ? P ()k:
Sei 0 < M~ < 1 fest gewahlt. Nach Teil 1 gibt es ein "~0 > 0, so da fur alle " mit j"j "~0 und
alle 2 [0; 1] gilt:
m~ kP"() ? P ()k M~ < 1;
deshalb folgt aus der Neumannschen Reihe, da P"+ () existiert mit:
~
kP"+ ()k m~ ~ =: C:
(5.26)
1?M
Bleibt die Konvergenzaussage:
2
kP"+ () ? P + ()k kP"+ ()kkP () ? P" ()kkP ()k m~ ~ kP"() ? P ()k:
1?M
Zusammen mit 1. folgt hieraus die Behauptung.
3. Das Friedrichs-Integral ist nach Lemma 5.7 wohldeniert. Es gilt:
(z 1 ? A;" ())?1B (z 1 ? A;" ())?1 ? (z 1 ? A())?1 B (z 1 ? A())?1
= (z 1 ? A;" ())?1 B (z 1 ? A;" ())?1(i"J + i2 J" ())(z 1 ? A())?1
+ (z 1 ? A;" ())?1(i"J + i2 J" ())(z 1 ? A())?1B (z 1 ? A())?1
Wir schatzen ab:
k(z1 ? A;" ())?1B(z1 ? A;"())?1 ? (z1 ? A())?1B(z1 ? A())?1k
m2kBkm2(j"j + j2j CJ )m + m2m(j"j + j2j CJ )kBkm:
Da dies unabhangig von z ? und 2 [0; 1] gilt, folgt die gleichmaige Konvergenz der
Friedrichs-Integrale. Ebenso sieht man daran, da es auf die Reihenfolge der Grenzprozesse
nicht ankommt.
Wir formulieren das Ergebnis des zweiten Schrittes.
Satz 5.9. Seien P" () die Pseudoinverse von P" () bzgl. P (0) und ;"() das FriedrichsIntegral aus Lemma 5.8. Dann gilt:
det P (0)P (1)P (0) = lim
exp 2 Re
!0
Z1
0
lim tr P"+ ()(1 ? P" ());"()P" () d
"!0
50
:
Beweis. Nach Lemma 5.8 konvergieren alle Groen in der Operatornorm fur ! 0 und " ! 0
gleichmaig fur 2 [0; 1] gegen die entsprechenden Ausdrucke in Formel (5.8) aus Satz 5.3.
Wegen P"+ () = P (0)P"+ () und dim ran P (0) = N gilt dies nach Lemma 2.3 auch fur die
Spur; deshalb konnen wir den -Limes vor die Integration uber ziehen.
Wir haben den "-Limes nicht vor die Integration gezogen, da dies mit Blick auf die weiteren
Rechnungen unzweckmaig ware.
5.2.3 Schritt 3: Anwendung der Laplace-Transformation
Wir ersetzen den bisherigen Integrationsweg ? im Friedrichs-Integral durch ?~ mit der Eigenschaft Im z 0 fur z 2 ?. Das ist notwendig fur die Anwendung der Laplace-Transformation.
Lemma 5.10. Sei 2 > j"j. Dann gibt es einen Integrationsweg ?~ (A;"), so da die
Spektralmengen von A;" () bzgl. ?~ und ? ubereinstimmen und Im z 0 ist fur z 2 ?~ . Es
gilt:
Z
?
(z 1 ? A;" ())?1 B (z 1 ? A;" ())?1 dz =
Z
?~
(z 1 ? A;" ())?1 B (z 1 ? A;" ())?1 dz:
Beweis. Das Spektrum ~ von A;" ()P" () : ran P" () ! ran P" () enthalt keine reellen
Eigenwerte hat; denn es gilt:
A;" ()P"() = A"()P" () + i2 P"():
Da P" () der Riesz-Projektor von A" () ist, stimmt nach Satz 2.13 das Spektrum von
A" ()P"() : ran P"() ! ran P"() mit der Spektralmenge von A" () bzgl. ? uberein.
Diese besteht nur aus endlich vielen Eigenwerten. Da P" () auf ran P" () die Identitat ist,
folgt schlielich nach Voraussetzung:
Im 2 ? j"j > 0; 2 1(A;" ()):
Wir konnen also ?~ (A;"()) so wahlen, da Im z 0 ist fur z 2 ?~ und sich die Spektralmenge beim U bergang von ? zu ?~ nicht andert. Aus dem Cauchyschen Integralsatz folgt
dann die Gleichheit der Friedrichs-Integrale.
Die Parameter " und des vorangehenden Schrittes erlauben es, die Satze 2.27 und 2.30 uber
den Zusammenhang zwischen der Resolvente und der zugehorigen Gruppe anzuwenden.
Lemma 5.11. Seien "0 wie in Lemma 5.4 und 0 wie in Lemma 5.7. Seien weiter j"j "0
und j j 0 sowie =2 > j"j. Dann gilt fur alle ' 2 H die Formel:
(1 ? P" ());"()P" ()' = ?i
Z0
?1
et U"(?t; )(1 ? P"())BU" (t; )P"()' dt: (5.27)
Beweis. Aus Lemma 5.7 erhalten wir fur t 2 R die Abschatzung:
kU;"(?t; )(1 ? P"())k e t2 kU"(?t; )kk1 ? P" ()k e t2 ej"tjk1 ? P"()k:
51
(5.28)
Fur =2 > j"j und Im z 0 liefert Satz 2.30 die Formel:
(z 1 ? A;" ())?1 (1 ? P" ())' = ?i
Z0
?1
e?izt U;" (?t; )(1 ? P" ())' dt:
Dies setzen wir in das Friedrichs-Integral aus Lemma 5.10 mit dem Integrationsweg ?~ ein,
wobei wir beachten, da 1 ? P" () mit (z 1 ? A;" ())?1 kommutiert:
(1 ? P" ());"()P" ()'
Z
1
= 2i (1 ? P" ())(z 1 ? A;" ())?1B (z 1 ? A;" ())?1 P" ()' dz
?~
Z Z0
i
= ? 2i
e?izt U;" (?t; )(1 ? P" ())B(z1 ? A;" ())?1P" ()' dt dz
?~ ?1
Z
Z0
i
U;" (?t; )(1 ? P" ())B ~ e?izt (z1 ? A;"())?1P"()' dz dt:
= ? 2i
?
?1
Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge im letzten Schritt ist wegen der Abschatzung
(5.28) erlaubt. Der Operator A;" ()P" () ist nach Satz 2.13 beschrankt, und die Resolvente
des auf ran P" () eingeschrankten Operators ist gleich der Resolvente der Einschrankung.
Also ist durch das Dunford-Taylor Integral in der letzten Gleichung die von ?iA;" ()P" ()
generierte Gruppe gegeben (vgl. Satz 2.27). Damit folgt mithilfe von Lemma 2.38:
(1 ? P" ());"()P" ()' = ?i
= ?i
Z0
?1
Z0
?1
U;" (?t; )(1 ? P" ())BU;" (t; )P" ()' dt
et U" (?t; )(1 ? P" ())BU" (t; )P"()' dt:
Im letzten Schritt haben wir Lemma 5.7 verwendet.
Durch das vorangehende Lemma 5.11 haben wir im Friedrichs-Integral einen konvergenzerzeugenden Faktor erhalten, der es erlaubt, den Integranden aufzuspalten:
U"(?t; )(1 ? P"())BU" (t; )P"()
= U" (?t; )BU" (t; )P" () ? U" (?t; )P" ()BU" (t; )P"()
Der zweite Summand entspricht dem Term P ()P 0 ()P () = 0 in Lemma 2.9, den wir
kunstlich hinzugefugt hatten; deshalb verwundert es nicht, da er nichts zum Realteil beitragt.
Lemma 5.12. Die folgenden Konvergenzaussagen gelten gleichmaig fur alle 2 [0; 1]:
1. Sei t 2 R fest aber beliebig. Dann ist:
lim Im tr P"+ ()U" (?t; )P" ()BU" (t; )P" () = 0:
"!0
2. Fur > 0 ist:
lim
Z0
"!0 ?1
et Im tr P"+ ()U"(?t; )P"()BU" (t; )P"() dt = 0:
52
Beweis. 1. Da P"+ () = P (0)P"+ () ist (vgl. Satz 2.8) und P (0) ein endlichdimensionales
Bild hat, reicht es nach Satz 2.3, die Konvergenz der Operatoren in der Operatornorm nachzuweisen.
Nach Lemma 5.8 konvergieren P" () ! P () und P"+ () ! P + () fur " ! 0 gleichmaig
in 2 [0; 1]. Die U" (t; ) konvergieren fur festes t 2 R und gleichmaig fur 2 [0; 1] gegen
U (t; ), was aus Satz 2.34 folgt:
kU" (t; ) ? U (t; )k ej"jkJ kjtj ? 1 = ej"jjtj ? 1;
da U (t; ) unitar ist. Also ist gleichmaig in 2 [0; 1]:
lim Im tr P"+ ()U" (?t; )P" ()BU" (t; )P" () = Im tr P + ()U (?t; )P ()BU (t; )P ():
"!0
Wir beachten, da B , P () und P + () selbstadjungiert sind und P () und Ut; ) miteinander
kommutieren (Satz 2.36), und rechnen:
(tr P + ()U (t; )P ()BU (t; )P ()) = (tr P + ()U (t; )P ()BP ()U (t; ))
= tr(P + ()U (t; )P ()BP ()U (t; ))
= tr U (t; )P ()BP ()U (t; )P + ()
= tr P + ()U (t; )P ()BP ()U (t; ):
Also ist tr P + ()U (t; )P ()BP ()U (t; ) 2 R. Daraus erhalt man 1.
2. Die Funktion
s" (t) := sup j Im tr P"+ ()U" (?t; )P"()BP" ()U"(t; )j
2[0;1]
konvergiert nach 1. punktweise in t 2 R mit "lim
s (t) = 0. Weiter ist fur hinreichend kleine
!0 "
" und alle 2 [0; 1]:
~ 2j"tjCP2 kB k
js" (t)j N Ce
(vgl. Satz 2.3, (5.26), (5.17), (5.16)). Fur 2j"j < liefert der Lebesguesche Konvergenzsatz:
lim
"!0
woraus wegen
j
Z0
?1
Z0
?1
ets"(t) dt = 0;
et Im tr P"+ ()U"(?t; )P"()BP" ()U" (t; ) dtj die Aussage 2. folgt.
Z0
?1
et s"(t) dt
Wir konnen nun Satz 5.9 weiterrechnen und erhalten so das Hauptresultat von Schritt 3.
Satz 5.13. Sei A" () wie in (5.10) deniert. Seien weiter P"() der Riesz-Projektor zu
A" (), P"+ () die Pseudoinverse von P" () bzgl. P (0) und U" (t; ) die von ?iA" () generierte
Gruppe. Dann gilt:
det P (0)P (1)P (0)
= lim
lim exp ?2 Re i
!+0 "!0
Z 1Z 0
0
?1
et tr BU" (t; )P"()P"+ ()U" (?t; ) dt d
53
: (5.29)
Beweis. Nach Lemma 5.11 ist fur ' 2 H:
P"+ ()(1 ? P"());"()P" ()' = ?i
Z0
?1
etP"+ ()U"(?t; )(1 ? P"())BU"(t; )P"()' dt:
Wegen P"+ () = P (0)P" () und dim ran P (0) = N durfen wir diese Beziehung auf die Spur
ubertragen:
I"() := Re tr P"+ ()(1 ? P" ());"()P"()
= ? Re i
Z0
?1
et tr P"+ ()U"(?t; )(1 ? P"())BU" (t; )P" () dt:
(5.30)
Aufgrund der Abschatzung (5.17) fur U" (t; ) lat sich fur > 2j"j der Integrand in (5.30)
aufspalten:
I" () = ? Re i
Z0
?1
Z0
et tr P"+ ()U"(?t; )BU"(t; )P" () dt
et tr P"+ ()U"(?t; )P" ()BU"(t; )P"() dt
? Im
?1
=: I1;"() + I2;"():
Dabei haben wir beachtet, da U" (t; ) und P" () miteinander kommutieren. Nach Lemma 5.8
und Satz 2.3 existiert "lim
I () gleichmaig fur 2 [0; 1]. Nach Lemma 5.12 ist "lim
I () = 0
!0 "
!0 2;"
gleichmaig fur 2 [0; 1]. Daraus folgt:
lim I () = "lim
I ()
"!0 "
!0 1;"
gleichmaig fur 2 [0; 1]. Ausgehend von Satz 5.13 ergibt sich:
Z1
lim I" () d
0 "!0
1
lim I1;"() d
= lim
exp
2
!+0
0 "!0
1
I1;"() d
= lim
lim
exp
2
!+0 "!0
0
det P (0)P (1)P (0) = lim
exp 2
!+0
Z
Z
:
Der Exponent lat sich weiter umrechnen:
I1;" () = ? Re i
Z0
?1
et tr BU" (t; )P"()P"+ ()U"(?t; ) dt;
woraus die Behauptung folgt.
5.2.4 Schritt 4: Die Wiener-Hopf Gleichung
Der Ausdruck in (5.29) hat dieselbe Gestalt wie in Abschnitt 4. Wir setzen in Denition 2.40
= i und K = P" ()P"+ ().
54
Denition 5.14. Seien A"() wie in (5.10), P"() der Riesz-Projektor zu A"() und P"+ ()
die Pseudoinverse von P" () bzgl. P (0). Weiter sei U" (t; ) die von ?iA" () generierte Gruppe. Dann heit:
G"(t; t0; ) :=
(
iU"(t; )P" ()P"+ ()U"(?t0 ; );
t t0 ;
iU"(t; )[P"()P"+() ? 1]U"(?t0 ; ); t > t0 ;
zeitgeordneter Greenscher Operator.2
Wir notieren die Eigenschaften von G" .
Lemma 5.15. Die Abbildung t 7! G(t; t0; ) ist fur alle t 6= t0 und alle t0 2 R stark stetig.
Der Operator G" (t; t + 0; ) ist Spurklasse.
Beweis. Die starke Stetigkeit folgt sofort aus der Denition von G" und der starken Stetigkeit von U" (t; ). Da P"+ () = P (0)P"+ () ein endlichdimensionales Bild hat und somit ein
Spurklasseoperator ist (Satz 2.3), folgt, da auch G(t; t +0; ) ein Spurklasseoperator ist.
Wir haben wieder einfache Randbedingungen, und zwar eine normale und eine asymptotische.
Lemma 5.16. Der zeitgeordnete Greensche Operator G"(t; t0; ) gema Denition 5.14
erfullt die Randbedingung:
P (0)G" (0; t0; ) = 0; ?1 < t0 0; 2 [0; 1];
(5.31)
sowie fur " > 0 die Abschatzung:
kG"(t; t0; )k C ("; t0; )et; t t0 0;
mit einem = (") > 0 und C ("; t0) 0. Insbesondere existiert das Integral:
Z 1Z 0
0
?1
(5.32)
et tr BG" (t; t + 0; ) dt d:
Beweis. Wir beachten P (0)P" ()P"+ () = P (0):
P (0)G" (0; t0; ) = iP (0)U" (0)[P"()P"+ () ? 1]U"(?t0 ; )
= i[P (0)P" ()P"+ () ? P (0)]U" (?t0 ; )
= i[P (0) ? P (0)]U"(?t0 ; )
= 0:
Fur t t0 ist G" (t; t0; ) = iU" (t; )P" ()P"+ ()U" (?t0 ; ). Zum Nachweis der Abschatzung
(5.32) genugt es, U" (t; )P" () zu untersuchen. Die Behauptung folgt dann aus dem Verhalten
von U" (t; ) im Unendlichen gema Lemma 5.6. Die Existenz des Integrals ergibt sich hieraus
sofort wegen P"+ () = P (0)P"+ () und dim ran P (0) = N (Satz 2.3).
Fur = 0 erhalten wir den freien zeitgeordneten Greenschen Operator wieder.
2 Auch dieser Greensche Operator tragt die Bezeichnung
vergleichbaren Bauart ist wie in Abschnitt 4.
55
zeitgeordnet. Das ist gerechtfertigt, da er von einer
Lemma 5.17. Es gilt G"(t; t0; 0) = e?"jt?t jG0(t ? t0). Dabei ist G0 der freie zeitgeordnete
0
Greensche Operator aus Satz 4.1.
Beweis. Gema Denition 5.14 haben wir:
G"(t; t0 ; 0) = iU" (t; 0)P"(0)P"+ (0)U"(?t0 ; 0); t t0 :
Nach Lemma 2.17 ist P" (0) = P (0). Fur die Gruppe U" (t; 0) ergibt sich nach Satz 2.37:
U" (t; 0) = U0(t)U~" (t) = U~"(t)U0 (t)
mit der von "J generierten Gruppe U~" (t). Somit ist:
G"(t; t0; 0) = iU~" (t ? t0)P (0)U0(t ? t0); t t0 :
Wegen J 2 = 1 liefert Lemma 2.39:
U~" (t ? t0 )P (0) = e"(t?t )P (0):
Wir haben somit
G" (t; t0; 0) = e"(t?t ) G0(t ? t0 ); t t0 :
gefunden. Fur t > t0 erhalt man analog:
G" (t; t0 ; 0) = e"(t ?t) G0(t ? t0 );
so da insgesamt die Behauptung folgt.
0
0
0
Wir rechnen die Wiener-Hopf-Gleichung fur G" nach.
Satz 5.18. Der zeitgeordnete Greensche Operator G" erfullt fur hinreichend kleine " > 0 die
Wiener-Hopf-Gleichung:
G"(t; t0; )' = e?"jt?t j G0 (t ? t0 )' + 0
Z0
?1
e?"jt? j G0(t ? )BG" (; t0; )' d;
? 1 < t; t0 0; 2 [0; 1]; ' 2 H: (5.33)
Dabei ist G0 der freie zeitgeordnete Greensche Operator aus Satz 4.1.
Beweis. Wir verwenden die Integralgleichung (2.33) aus Satz 2.42. Das notwendige Abfallverhalten fur t ! ?1 ist nach Lemma 5.16 erfullt. Wir setzen in (2.33) = i und S1 = ?iB
und erhalten:
G"(t; t0; )' ? e?"jtj G0(t)G"(0; t0; )'
= e?"jt?t j G0(t ? t0 )' + 0
Z0
?1
e?"jt? j G0(t ? )BG" (; t0; )' d; 0 < t; t0 0
fur alle ' 2 H. Bis auf einen Summanden ist dies schon die gesuchte Integralgleichung. Dieser
verschwindet aber aufgrund der Randbedingung (5.31):
G0 (t)G"(0; t0; ) = iU0(t)PG" (0; t0; ) = 0; t0 0:
Das war zu zeigen.
Satz 5.1 folgt nun, indem man die Satze 5.13 und 5.18 miteinander kombiniert.
56
5.3 Losungstheorie der Wiener-Hopf Gleichung
Wir untersuchen die Wiener-Hopf Gleichung (5.1). Im weiteren gelten die Bezeichnungen und Voraussetzungen von Satz 5.1.3 Zur Abkurzung seien U0;" (t) := U" (t; 0) und
G0;" (t) := e?"jtj G0(t). Zunachst zeigen wir, da die homogene Geichung mit einem homogenen Randwertproblem in Beziehung steht.
Satz 5.19. Sei '() eine stetig dierenzierbare Losung der Integralgleichung:
'(t) = Z0
?1
G0;" (t ? )B'( ) d
(5.34)
R 0 k'( )k d < 1 und lim k'(t)k = 0. Dann lost '() auch das Randwertproblem:
mit ?1
t!?1
i dtd '(t) = A" ()'(t); P (0)'(0) = 0; '(?1) = 0:
(5.35)
Beweis. Wir spalten das Integral in (5.34) auf:
I (t) :=
=
Z0
Z ?1
t
?1
G0;"(t ? )B'( ) d
iU0;" (t ? )[P (0) ? 1]B'( ) d +
Z0
t
iU0;"(t ? )P (0)B'( ) d:
Wir haben '() als stetig dierenzierbar vorausgesetzt. Dann sind auch die Funktionen 7!
[P (0) ? 1]B'( ) stetig dierenzierbar, da P (0) und B beschrankt sind. Aus Satz 2.26 folgt,
da I () stetig dierenzierbar ist und '() die Dierentialgleichung (5.35) erfullt. Da fur
alle ?1 < 0 nach 5.17 P (0)G0(? ) = iP (0)[P (0) ? 1]U0(? ) = 0 ist, folgt auch die
Randbedingung.
Auf die Forderung, da '() stetig dierenzierbar ist, kann im allgemeinen nicht verzichtet
werden (vgl. Abschnitt 4.3 und [11], Abschnitt 4.2). Falls aber alle Operatoren beschrankt
sind, lassen sich die Voraussetzungen abschwachen.
Korollar 5.20. Zusatzlich zu den Voraussetzungen von Satz 5.1 sei A0;" beschrankt. Sei
'() eine stetige, auf ] ? 1; 0] integrierbare Losung der Integralgleichung (5.34). Dann ist
'() dierenzierbar und erfullt das Randwertproblem (5.35).
Beweis. Die Gruppe U0;" (t) wird vom beschrankten Operator ?iA0;" generiert und ist deshalb
bzgl. der Operatornorm dierenzierbar (Satz 2.27). Dann folgt aus dem Beweis von Satz 5.19
die Behauptung.
Der Satz 5.19 besitzt eine Umkehrung.
Satz 5.21. DieR 0Funktion '() : t 7! '(t) 2 H sei stetig dierenzierbar, es gelte '(0) 2
D(A" ()) und ?1 k'( )k d < 1. Ist '() eine Losung des Randwertproblems (5.35), dann
erfullt '() auch die Integralgleichung (5.34).
3 Der Scharparameter
durfte in diesem Abschnitt auch beliebige komplexe werte annehmen, was aber fur
unsere Fragestellung nicht notwendig ist.
57
Beweis. Sei '() eine Losung des Randwertproblems (5.35). Nach Satz 2.25 lat sich '(t) als
'(t) = U" (t; )'(0)
schreiben. Hieraus folgt mit Satz 2.32:
'(t) = U0;"(t)'(0) + i
'(t) = ?i
Zt
?1
Z0
t
U0;" (t ? )B'( ) d
U0;"(t ? )B'( ) d:
(5.36)
(5.37)
Wir multiplizieren (5.36) mit P (0) und (5.37) mit 1 ? P (0) und beachten die Randbedingung
(5.35). Dann erhalt man:
P (0)'(t) = 0 + i
(1 ? P (0))'(t) = i
Z0
Zt
?1
P (0)U0;" (t ? )B'( ) d
(5.38)
(P (0) ? 1)U0;" (t ? )B'( ) d:
(5.39)
t
Addition von (5.38) und (5.39) liefert die Behauptung.
An dieser Stelle endet die Analogie mit Abschnitt 4.3; denn wir konnen die Losbarkeitstheorie
des Randwertproblems (5.35) nicht mit der Determinante det P (0)P" ()P (0) in Verbindung
bringen. Das liegt daran, da unser Randwertproblem streng genommen gar kein solches ist,
da der zweite Rand fehlt. Konnte man aus dem Verschwinden der Losung '() im Unendlichen
folgern, da '() die Form
'(t) = U"(t; )'(0) = P" ()U"(t; )'(0)
hat, konnte man genau wie in Abschnitt 4.3 fortfahren. Leider ist das nicht ohne weiteres
moglich, wenn A" () beispielsweise unbeschrankt ist und das Spektrum kontinuierliche Anteile besitzt. Hat A" () allerdings ein rein diskretes Spektrum aus einfachen Eigenwerten,
dann lassen sich fur den Anteil U" (t; )(1 ? P" ()) mittels Entwicklung nach Eigenfunktionen ahnliche Abschatzungen beweisen wie fur den Anteil U" (t; )P"() in Satz 5.10. Die
Losungstheorie stimmt dann mit der in Abschnitt 4.3 formal uberein. Wir wollen darauf nicht
naher eingehen.
58
6 Quantitative Aussagen
Seien H : D(H ) ! H ein selbstadjungierter Operator, U (t) die von ?iH generierte Gruppe
unitarer Operatoren (vgl. Korollar 2.24) und P : H ! H ein orthogonaler Projektor mit
N -dimensionalem Bild, 1 N < 1. Weiter folge aus ' 2 D(H ) auch P' 2 D(H ). Wir
zerlegen H in einen Diagonalteil und einen Nebendiagonalteil bzgl. P :
H = Hk + H?
(6.1)
H k := PHP + (1 ? P )H (1 ? P ); H ? := PH (1 ? P ) + (1 ? P )HP:
(6.2)
mit den Operatoren:
Im weiteren setzen wir H k als selbstadjungiert auf D(H ) und H ? als beschrankt voraus. Es
gilt:
PH k = H kP und PH ? P = 0:
(6.3)
Mit H () bezeichnen wir die Operatoren:
H () := H k + H ? ; 2 [0; 1]:
(6.4)
Die H () sind auf D(H ) selbstadjungiert. U (t; ) sei die von ?iH () generierte Gruppe (vgl.
Korollar 2.24). Seien weiter H1 := ran P und H2 := H?1 . Dann ist H = H1 H2 , und wir
konnen H als Blockmatrix schreiben:
H H 11
12 ; H : H ! H ; j; k = 1; 2:
(6.5)
H= H
jk
k
j
21 H22
Wir setzen voraus, da die Spektren von H11 und H22 disjunkt sind.
6.1 Abschnittsdeterminanten unitarer Operatoren
Wir wollen det PU (T; )P untersuchen. Die einfachste Aussage ergibt sich aus der Hadamardschen Determinanten-Ungleichung.
Satz 6.1. Sei U : H ! H ein unitarer Operator. Die Abschnittsdeterminanten lassen sich
abschatzen gema:
j det PUP j 1:
Beweis. Seien uj die Spaltenvektoren des endlichdimensionalen Operators PUP : H1 ! H1 .
Nach der Ungleichung von Hadamard ist:
j det PUP j N
Y
j =1
kuj k:
Dabei ist kk die euklidische Norm im CN . Die Spalten von U bilden ein Orthonormalsystem;
deshalb ist kuj k 1.
59
Wir wollen die Ergebnisse aus Abschnitt 4 anwenden. Wir setzen in Korollar 4.12 B = H ?
und untersuchen, ob die homogene Integralgleichung
'(t) = ZT
0
G0(t ? )H ? '( ) d; t 2 [0; T ]; 2 [0; 1];
(6.6)
nur die triviale Losung hat. Dabei ist G0 der freie zeitgeordnete Greensche Operator aus Satz
4.1 gebildet mit A0 = H k . Das einfachste Losbarkeitskriterium erhalt man, falls H ? klein ist.
Satz 6.2. Die Funktion '() : t 7! '(t) 2 H sei stetig und lose die homogene Integralgleichung (6.6). Es gelte T kH ? k < 1. Dann folgt '() 0.
Beweis. Sei '() eine nichttriviale Losung von (6.6). Nach Lemma 4.6 ist kG0(t)k 1, da H k
selbstadjungiert ist. Wegen 2 [0; 1] folgt:
k'(t)k ZT
0
kG0(t ? )kkH ?kk'( )k d T kH ?k sup k'( )k < sup k'( )k:
2[0;T ]
2[0;T ]
Das liefert einen Widerspruch, so da (6.6) nur die triviale Losung hat.
Wir ziehen eine einfache Folgerung.
Korollar 6.3. In (6.6) gelte T kH ?k < 1. Dann ist det PU (T; )P 6= 0 fur alle 2 [0; 1].
Beweis. Satz 6.2 und Korollar 4.12.
Das Beispiel in Abschnitt 4.1 suggeriert, da es neben der Kleinheit von H ? mehr auf eine
Lucke zwischen den Diagonalelementen H11 und H22 ankommt. Vorab mussen wir ein Integral
uber den freien Greenschen Operator ausrechnen.
Lemma 6.4. Fur den freien Greenschen Operator G0 gilt die Beziehung:
ZT
G0(t ? )H ?G0 ( ? t0)' d
0
= iG0(t ? T )XG0(T ? t0 )' ? iG0 (t)XG0(?t0 )' + XG0(t ? t0 )' ? G0 (t ? t0 )X'
fur alle ' 2 H. X ist als Friedrichs-Integral erklart:
Z
1
X = 2i (z1 ? H k)?1 [H ?; P ](z1 ? H k )?1 dz:
?
Der Integrationsweg ? 2 (H k) umlauft dabei (H11) aber keine Punkte aus (H22).
Beweis. Wir haben verlangt, da H11 und H22 disjunkte Spektren haben. Also ist X wohldeniert. Nach Satz 2.19 ist [X; H k] = [[H ?; P ]; P ] = H ? ; deshalb gilt:
ZT
0
G0(t ? )H ?G0( ? t0 )' d =
ZT
0
Sei t t0 . Wir zerlegen das Integral:
G0(t ? )[X; H k]G0 ( ? t0 )' d:
ZT Zt Zt ZT
0
=
0
+
60
0
t
+
t
0
:
Fur t 6= 0 ist G0 (t) stark dierenzierbar und erfullt die Dierentialgleichung
i dtd G0(t)' = H kG0 (t)'; ' 2 H
(Satz 2.41). Da X' 2 D(H k) ist (Lemma 2.19), ist auch die Funktion 7! G0 (t? )XG0( ?t0 )
fur 6= t; t0 stark dierenzierbar mit:
i dd G0(t ? )XG0( ? t0 )' = G0(t ? )[X; H k]G0( ? t0 )'; 6= t; t0 :
Damit erhalten wir (alle Gleichungen sind auf ' 2 D(H k) angewendet zu denken):
ZT
0
G0(t ? )H ?G0( ? t0 ) d
= i G0 (t ? )XG0( ? t0 ) ==0t
+ i G0(t ? )XG0( ? t0 ) ==tt
+ i G0(t ? )XG0( ? t0 ) ==Tt
?
= i G0 (+0)XG0(t ? t0 ) ? G0(t)XG0(?t0 )
+ G0(t ? t0 )XG0(?0) ? G0 (?0)XG0(t ? t0 )
+ G0 (t ? T )XG0(T ? t0 ) ? G0(t ? t0 )XG0(+0)
?
= i i(P ? 1)XG0(t ? t0 ) ? G0(t)XG0(?t0 )
+ iG0(t ? t0 )XP ? iPXG0(t ? t0 )
+ G0(t ? T )XG0(T ? t0 ) ? iG0 (t ? t0 )X (P ? 1)
?
= i ?iXG0(t ? t0 ) + iG0(t ? t0 )X + G0 (t ? T )XG0(T ? t0 ) ? G0(t)XG0(?t0 ) :
0
0
Da D(H k) = D(H ) dicht in H liegt, folgt die Behauptung fur t t0 . Fur t > t0 rechnet man
analog.
Dies wenden wir auf die homogene Gleichung an:
Satz 6.5. Die Funktion '() : t 7! '(t) 2 H sei stetig und lose die homogene Integralgleichung (6.6). Es gelte 4T kX kkH ?k < 1. Dann folgt '() 0.
Beweis. Sei '() eine nichttriviale Losung von (6.6). Wir iterieren (6.6) einmal:
'(t) = 2
= 2
Z TZ T
Z0 T
0
0
G0 (t ? 1)H ?G0(1 ? )H ? '( ) d1 d
(iG0 (t ? T )XG0(T ? ) ? iG0(t ? 0)XG0(t0 ? )
+XG0(t ? ) ? G0(t ? )X ) H ? '( ) d:
Abschatzen liefert wegen kG0(t)k 1 (Lemma 4.6) und 2 [0; 1]:
k'(t)k 4T kX kkH ?k sup k'( )k < sup k'( )k:
2[0;T ]
2[0;T ]
Das liefert einen Widerspruch, so da (6.6) nur die triviale Losung besitzt, was zu zeigen
war.
61
Eine einfache Folgerung ist:
Korollar 6.6. In (6.6) gelte 4T kX kkH ?k < 1. Dann ist det PU (T; )P 6= 0 fur alle 2
[0; 1].
Beweis. Satz 6.5 und Korollar 4.12.
Wir geben konkrete Operatoren an, deren Spektrum die erforderlichen Eigenschaften hat, um
das Friedrichs-Integral in Satz 6.5 zu bilden.
Satz 6.7. H0 : D(H0) ! H sei selbstadjungiert und besitze ein vollstandiges Orthonormalsystem aus Eigenvektoren ('j )j 2N mit den zugehorigen Eigenwerten:
1 < 2 < 3 < :
Die orthogonalen Projektoren PN seien deniert durch:
PN =
N
X
j =1
('j ; )'j :
V : H ! H sei symmetrisch und beschrankt mit 2kV k < N +1 ? N fur ein bestimmtes N .
Schlielich sei H := H0 + V . Dann sind die Spektren von H1 := PN HPN : ran PN ! ran PN
und H2 := (1 ? PN )H (1 ? PN ) : ran(1 ? PN ) ! ran(1 ? PN ) disjunkt.
Beweis. Da die PN die Spektralprojektoren (und damit die Riesz-Projektoren) von H sind,
reicht es nach Satz 2.13, H1 und H2 auf den Raumen H1 := spanf'1; : : : ; 'N g bzw. H2 :=
spanf'N +1; : : : g zu untersuchen. Wir betrachten die quadratische Form:
('; H1') = ('; PH0P') + ('; PV P') =
N
X
j =1
j j('j ; ')j2 + ('; PV P') N k'k2 + kV kk'k2
fur ' 2 H1 . Da H1 selbstadjungiert ist, folgt daraus:
sup N + kV k:
2(H1 )
Entsprechende Rechnungen zeigen fur H2 :
inf N +1 ? kV k:
2(H2 )
Das ergibt zusammen mit der Voraussetzung an kV k die Behauptung.
6.2 Storungsentwicklung der Riesz-Projektoren
Wir untersuchen die Riesz-Projektoren von H () mittels Storungstheorie. Dabei beschranken
wir unsere Darstellung auf den rein formalen Charakter der Rechnungen und lassen Konvergenzfragen und ahnliches auer acht.1 Wir denieren die Riesz-Projektoren wie ublich:
Z
(6.7)
P () = 21i (z1 ? H ())?1 dz:
?
1 Dies ist umso mehr gerechtfertigt, als neuere Untersuchungen des Autors mittlerweile Methoden empfehlen,
die nicht auf der Storungstheorie beruhen. Vgl. auch die diesbezugliche Funote 5 in der Einleitung.
62
Hierbei umlauft ? das Spektrum von H11 aber nicht das Spektrum von H22, was moglich ist,
da wir die beiden Spektren als disjunkt vorausgesetzt haben. Wir nehmen an, da auch fur
alle 2 [0; 1] stets ? (H ()) ist.2 Es gilt P (0) = P . Wir sind an
P11() := PP ()P : H1 ! H1
(6.8)
interessiert. Dazu gehen wir aus von der Resolventengleichung:
(z 1 ? H ())?1 = (z 1 ? H k )?1 + (z 1 ? H k )?1H ? (z 1 ? H ())?1:
Iteriert man diese, so erhalt man die Storungsentwicklung:
(z 1 ? H ())?1 = (z 1 ? H k)?1 + (z 1 ? H k)?1
1 h
X
j
j =1
ij
H ? (z1 ? H k )?1 :
(6.9)
(6.10)
Diese Reihe ist Grundlage der Storungstheorie und wurde in diesem Rahmen vielfach untersucht (vgl. beispielsweise [14] oder [10]). Wir multiplizieren (6.7) von links und rechts mit P
und setzen die Reihe (6.10) ein. Vertauschung von Summation und Integration fuhrt auf:
PP ()P =
1 j Z
X
j =0 2i
h
?
ij
P (z1 ? H k)?1 H ?(z1 ? H k)?1 P dz:
(6.11)
Aus (6.3) folgt, da in (6.11) nur jeder zweite Summand von Null verschieden ist; deshalb ist
es fur das folgende gunstiger, mit den Operatoren Hjk aus (6.5) zu arbeiten:
P11() = 1 +
Dabei ist:
1
X
j =1
2j Ij :
Z
1
Ij := 2i (z1 ? H11)?1 Z (z1 ? H11)?1 dz; j 2 N;
?
mit:
(6.12)
(6.13)
Z := H12(z1 ? H22)?1 H21(z1 ? H11)?1 H12 H12(z1 ? H22)?1 H21:
In Z kommt (z 1 ? H22)?1 genau j -mal vor. Wir wollen Ij abschatzen. Der Operator
(z 1 ? H11)?1 : H1 ! H1 ist endlichdimensional, normal und somit diagonalisierbar. Seien {1 ; : : : ; {N die Eigenwerte von H11 und E1; : : : ; EN die zugehorigen Spektralprojektoren.
Dann gilt:
(z 1 ? H11)?1 =
N
X
k=1
1 E:
z ? {k k
(6.14)
Diese Zerlegung setzen wir in (6.13) ein:
Z
1
1
Ij =
k1 =1 kj+1 =1 2i ? (z ? {k1 ) (z ? {kj+1 )
N
X
N
X
Ek1 H12(z1 ? H22)?1H21Ek2 H12 H12(z1 ? H22)?1H21Ekj+1 dz: (6.15)
2 Eine
hinreichende Bedingung, unter der dies erfullt ist, lat sich aus Satz 6.7 gewinnen.
63
Wir betrachten allgemein die folgenden Integrale:
Z
Im;n := 21i (z ? ) 1 (z ? ) A1 R(z)A2 An R(z) dz; m; n 2 N;
1
m
Z?
1
1
Im;0 := 2i (z ? ) (z ? ) 1; m 2 N:
?
1
m
(6.16)
(6.17)
Dabei ist R(z ) := (z 1 ? H22)?1 , und Ak : H2 ! H2 sind beschrankte Operatoren. Die
Identitat in (6.17) ist auf H2 erklart. Die k , k 2 N, sind beliebige komplexe Zahlen, die
allesamt innerhalb von ? liegen. Man erhalt Ij wieder, indem man im wesentlichen A1 = 1
sowie A2 = H21Ek2 H12 u.s.w. setzt.3 Aus der Resolventengleichung
R(z) ? R(w) = (w ? z)R(z)R(w)
erhalt man eine Rekursionsformel fur die Im;n .
Lemma 6.8. Fur die Im;n gema (6.16) und (6.17) gilt:
Im;n = Im;n?1 An R(m) ? Im?1;n R(m); m; n 1;
Im;0 = 0; m 2; I1;n = A1 R(1) An R(1); n 1:
(6.18)
Beweis. Fur den Integranden von Im;n folgt aus (6.9):
1
(z ? 1) (z ? m ) A1R(z ) An R(z )
1
A R(z) An(R(m) ? (z ? m)R(z)R(m))
=
(z ? 1 ) (z ? m ) 1
= (z ? ) 1 (z ? ) A1 R(z ) An?1 R(z )An R(m )
1
m
1
? (z ? ) (z ? ) A1R(z) An R(z)R(m):
1
m?1
Integration liefert die behauptete Rekursionsformel.
Fur n = 0 kommt R(z ) im Integranden von Im;0 nicht vor. Die Funktion (z?1 )1(z?m ) hat
nur Pole innerhalb von ? und verhalt sich fur m 2 wenigstens wie jz1j2 fur jz j ! 1. Nach
dem Residuensatz konnen wir ? in einen Kreis um den Ursprung mit beliebig groem Radius
r deformieren. r ! 1 liefert dann Im;0 = 0 fur m 2.
Wiederum nach dem Residuensatz ist:
Z
I1;n = 21i z ?1 A1R(z) An R(z) dz = A1 R(1) An R(1):
1
?
Damit ist alles gezeigt.
Da H22 selbstadjungiert ist, konnen wir kR(z )k berechnen:
kR(z)k = inf 1 jz ? j :
2(H22 )
3 Den
Faktor A1 haben wir nur hinzugefugt, um die Indizierung zu erleichtern.
64
(6.19)
Wir setzen:
:= ;infk2N jk ? j:
(6.20)
k
2(H22 )
Nach Voraussetzung ist > 0, so da wir aus (6.19) die Abschatzung
(6.21)
kR(k)k 1 ; k 2 N;
erhalten, die wir mithilfe der Rekursionsformel aus Lemma 6.8 auf Im;n anwenden konnen.
Lemma 6.9. Sei wie in (6.20) erklart. Wir setzen an;j := kAj+1k kAn k fur j < n und
an;j := 1 fur n j . Dann gilt fur alle m 2, n 1:
n
X
1
kIm;n k ann;j?j kIm?1;j k:
j =1
Beweis. Wir fuhren vollstandige Induktion nach n. Den Induktionsanfang n = 1 liest man
direkt an der Rekursionsformel ab:
Im;1 = Im;0 A1R(m) ? Im?1;1 R(m) = ?Im?1;1 R(m):
Also ist mit (6.21):
kIm;1k 1 kIm?1;1k = a1;1 kIm?1;1k:
Wir schlieen von n auf n + 1:
kIm;n+1k kAn+1 k kIm;nk + 1 kIm?1;n+1 k
n
X
an;j kI
kAn+1 k 1
k + 1 kI
j =1 n?j m?1;j
m?1;n+1 k
2n
3
X
+1;j kI
5
1 4 ann+1
?j m?1;j k + kIm?1;n+1 k
j =1 nX
+1
+1;j kI
= 1 ann+1
?j m?1;j k:
j =1
Daraus folgt die Behauptung.
Wir fuhren eine Vereinfachung durch.
Lemma 6.10. Die Sm;n seien wie folgt deniert:
S1;n = 1; n 1; Sm;n =
Dann gilt fur m; n 1:
n
X
j =1
Sm?1;j ; m 2; n 1:
kIm;nk ma+n;n0?1 Sm;n:
65
Beweis. Wir fuhren vollstandige Induktion nach m. Fur m = 1 ist nach Lemma 6.8 und
(6.21):
kI1;nk an;n0 = an;n0 S1;n:
Wir schlieen von m auf m + 1, wobei wir von Lemma 6.9 ausgehen und an;j aj;0 = an;0
beachten:
n
X
an;j kI k
n?j m;j
j =1
n
1X
an;j 1 aj;0
kIm+1;nk 1
=
n?j m?1
j =1 n
1 an;0 X
m n j =1 Sm;j
an;0 S
m+n m+1;n :
j Sm;j
Das war zu zeigen.
Schlielich schatzen wir die Sm;n ab.
Lemma 6.11. Fur m; n 1 gilt:
Sm;n (m ?1 1)! (m + n)m?1 :
Beweis. Wir fuhren vollstandige Induktion nach m. Der Induktionsanfang m = 1 ist klar:
S1;n = 1 = 0!1 (1 + n)0:
Wir schlieen von m auf m + 1:
Sm+1;n =
n
X
j =1
Sm;j
1
(m ? 1)!
(m ?1 1)!
n
X
(m + j )m?1
Zj=1n+1
1
(x + m)m?1 dx
= m1 ! [(x + m)m ]n1 +1
m1! (m + 1 + n)m:
Das ist die Behauptung.
Wir fassen die vorangehenden Lemmata zusammen.
66
Satz 6.12. Die Im;n , m; n 1, seien wie in (6.16) und wie in (6.20) erklart. Weiter sei
an := kA1k kAn k. Dann gilt:
kIm;nk ma+nn?1 (m ?1 1)! (m + n)m?1:
Beweis. Folgt sofort aus der Kombination der Lemmata 6.10 und 6.11 mit an = an;0 .
Diesen Satz konnen wir benutzen, um die Integrale Ij , die uns eigentlich interessieren, abzuschatzen. Wir erinnern daran, da N = dim H1 ist.
Korollar 6.13. Die Ij seien gema (6.13) und wie in (6.20) erklart. Dann gilt fur alle
j 2 N:
kH kkH k j 1
12
21
j
j
+1
kIj k N
2
j ! (2j + 1) :
Beweis. Die Mehrfachsumme in (6.15) besteht aus N j +1 Summanden. Jeder Summand hat
die Form:
Ek1 H12Ij+1;j H21Ekj+1 ;
(6.22)
wobei in Ij +1;j die l jeweils gema
l = {kl ; l = 1; : : : ; j + 1;
zu wahlen sind. Weiter ist Al = H21Ekl H12 fur l = 2; : : : und A1 = 1. Da die Ek orthogonale
Projektoren sind und somit kEk k 1 ist, konnen wir in Satz 6.12 abschatzen:
aj = kA1k kAj k (kH12kkH21k)j?1:
Beachten wir noch die zusatzlichen Faktoren Ek1 H12 und H21 Ekj+1 in (6.22), so folgt die
Behauptung aus Satz 6.12.
Schatzt man in Korollar 6.13 die Fakultat mit der Stirlingschen Formel ab, so erhalt man:
kIj k Cqj
mit geeigneten C; q 0. Fur hinreichend kleine C; q (und ) folgt dann aus (6.12), da P11()
invertierbar ist. Damit ist ein Zusammenhang mit Abschnitt 5 hergestellt.
67
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69
Lebenslauf
Name
Geburtsdatum
Geburtsort
Schulbildung
Wehrdienst
Studium
wiss. Tatigkeit
Peter Otte
02. August 1966
Bad Lauterberg
1973 - 1977 Grundschule Bad Lauterberg-Bartolfelde
1977 - 1986 Ernst-Moritz-Arndt-Gymnasium Herzberg
1986 Abitur
1986-1987 Grundwehrdienst beim
Panzer-Grenadier-Bataillon 12 in Osterode
1987-1993 Diplomstudiengang Mathematik
an der Universitat Gottingen
Ende SS 89 Diplomvorprufung
Ende WS 92/93 Diplomhauptprufung
seit 1993 Promotionsstudiengang Mathematik
an der Universitat Gottingen
seit Januar 1994 wissenschaftlicher Mitarbeiter
am Institut fur Numerische und Angewandte Mathematik
der Universitat Gottingen
70