Wahrscheinlichkeits

P. Ganssler
w. Stute
Wahrscheinlichkeitstheorie
Spri nger-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1977
Peter Ganssler
Winfried Stute
Mathematisches Institut, Ruhr-UniversiUit Bochum
0-4630 Bochum
AMS Subject Classification (1970)
Primary: 60A05, 60Bl0, 60E05, 60F05, 60F15, 60G05, 60G45, 60G50
Secondary: 60G15, 60G17, 60G40, 60J30, 60J65, 62005, 62E15,
62E20, 62G30, 62L10
ISBN-13: 978-3-540-08418-1
001: 10.1007/978-3-642-66749-7
e-ISBN-13: 978-3-642-66749-7
Library of Congress Cataloging In Pubhcation Data Glnaaler. Peter. Wahracheinlichkelts'
theorie. (Hochachuhextel. BIbliography: p. Includes index. 1. Probabilitiea. 2. Meaaure theory.
3. Stochastic processes. I. Stute. Winfried. 1946· joint author. II. Title. QA273.G314. 519.2.
77·21687
Oaa Werk 1st urheberrechtlich geachutzt. Ole dadurch begrundeten Rechte. Insbesondere die
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Cl by Spnnger·Verlag Berlin Heidelberg 1977
Gesamtherstellung: Behz Offsetdruck. Hemsbach/Bergatr.
2144/3140·543210
Ingrid und Gerti
gewidmet
Vorwort
Der vorliegende Hochschultext entstand aus Vorlesungen tiber Wahrscheinlichkeitstheorie an der Ruhr-Universitat Bochurn. GegenUber dem
unter dem Titel "Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie" im
Bochurner Studienverlag Brockmeyer 1975 erschienenen Vorlesungsskriptum ist die jetzige Fassung methodisch liberarbeitet und fast urn das
Doppelte erweitert worden.
In dem Bemlihen, dem jeweiligen Kenntnisstand der Studenten entgegenzukommen, wurden die Vorlesungen mit unterschiedlich gesetzten Schwerpunk ten abgehalten. Auf diese Weise entstanden im Laufe der Zeit
verschiedene Manuskripte, bei deren Abfassung sich der erste Autor
auf Vorlesungen seiner verehrten Lehrer K. Krickeberg (Paris) und
J. Pfanzagl (Keln) stlitzen konnte, was insbesondere im flinften
Kapitel zum Ausdruck kommt. Die Abfassung von Abschnitt 3.1
sowie
die sonstigen mehr maBtheoretischen Teile im achten Kapitel wurden
wesentlich durch Diskussionen mit F.
Kapitel I wurde
gepr~gt
Tops~e
(Kopenhagen) beeinfluBt.
durch Vorlesungsskripten zur MaBtheorie
unseres frliheren Bochumer Kollegen und Lehrers H.G. Kellerer (Mlinchen).
Den Herren Dr. W. Adamski, Dipl.-Math. W. Hummitzsch und Dipl.-Math.
J. Strobel sind wir zu groBem Dank verpflichtet. Sie haben wertvolle
Anregungen beigesteuert und uns beim Lesen der Korrekturen untcrstiitzt. Herr Hummitzsch hat auBcrdem den Zcichenindex und das Namenund Sachregister angefertigt.
Als besonders erfreulich empfanden wir stets die Impulse, die von
studentischer Seite kamen und uns halfen, Fehler zu entdecken und
frlihere Entwlirfe methodisch zu verbessern.
Unser besonderer Dank gilt Frau Richter, die nicht mlide wurde, immer
wieder schon fertig geglaubte Teile nach weiteren Uberarbeitungen
neu zu schreiben. Die endgiiltige Reinschrift wurde von ihr mit greBter
Umsicht und Sorgfalt angefcrtigt.
Nicht zuletzt gilt der Dank des ersten Autors dem Department of
Statistics der Universitat Princeton (USA), wo er die letzten Monate
vor der endgUltigen Fertigstellung des Textes Gelegenheit zu fruchtbaren Diskussionen hatte.
SchlieBlich sind wir dem Springer-Verlag auBerordentlich dankbar fUr
sein Entgegenkommen bei der Abfassung dieses Hochschultextes.
Peter Ganssler
Bochurn, im Mai 1977
Winfried Stute
Inhaltsverzeichnis
Kapitel O.
Grundlegende Definitionen und Hilfsm1ttel
0.1
Logische KUrzel, Abkilrzungen
1
0.2
Mengen und Mengenoperationen
1
0.3
Zahlenmengen
3
0.4
Zahlenfolgen
3
0.5
Mengenfolgen
4
0.6
Abbildungen
5
0.7
Beziehungen zwischen Mengen und Indikatorvariablen
6
0.8
Topologische Begriffe und Bezeichnungen
7
0.9
Konvexe Mengen und konvexe Funktionen
8
0.10
Der Satz von Hahn-Banach
9
Kapitel I.
MaBtheoretische Hilfsmittel und Grundbegr1ffe der
Wahrscheinl1chkeitstheorie
1.1
Mengensysteme
10
1.2
MeBbare Abbildungen
16
1.3
Produktraume
21
1.4
Konstruktion von MaBen
25
1.5
Inneres und auBeres MaB
33
1.6
Ubergang vom MaB zum Integral
35
1.7
~-fast
1.8
Ubergangs- und Produktwahrscheinlichkeiten
41
1.9
Der Satz von Ionescu Tulcea
48
ilberall Eigenschaften
38
1.10
Verteilungen und Verteilungsfunktionen
51
1.11
F-fast sichere und F-stochastische Konvergenz
58
1.12
Verteilungskonvergenz
64
1.13
Konvergenz im p-ten Mittel
69
1. 14
Gle1chgradige Integrierbarkeit
73
1.15
Unabhang1gkeit
76
1. 16
Null-Eins-Gesetze
83
1.17
Charakteristische Funktionen
88
1.18
Stochastische Ungleichungen
1. 19
Normalverteilungen
104
1. 20
Laplace-Transformierte
108
97
VIII
Ubungen
Kapitel II.
109
Gesetze der groBen Zahlen
2.1
Das schwache Gesetz der groBen Zahlen
118
2.2
Der Kolmogoroffsche Dreireihensatz
123
2.3
Das starke Gesetz der groBen Zahlen
127
Ubungen
132
Kapitel III. Empirische Verteilungen
3.1
Uniforme Klassen
134
3.2
GleichmaBige Konvergenz empirischer Verteilungen
145
3.3
Eindimensionale empirische Verteilungen
146
Ubungen
153
Kapitel IV.
Der zentrale Grenzwertsatz
4.1
Der zentrale Grenzwertsatz
154
4.2
Der Satz von Berry-Esseen
162
4.3
Der zentrale Grenzwertsatz und das Gesetz vom
iterierten Logarithmus
173
Ubungen
183
Kapitel V.
Bedingte Erwartungen und bedingte Verteilungen
5.1
Spezielle bedingte Erwartungen
5.2
Allgemeine Definition und grundlegende Eigenschaften bedingter Erwartungen
185
187
5.3
Regulare bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen
193
5.4
Die Jensensche Ungleichung
Ubungen
200
Kapitel VI.
203
Martingale
Martingale und Sub-Martingale
205
6.2
Das Optional Sampling Theorem
210
6.3
Stopzeiten und Transformation durch Stopzeiten
215
6.1
6.4
Martingalkonvergenzsatze
219
6.5
Inverse Martingale und Inverse Sub-Martingale
224
6.6
Stochastische Ungleichungen fUr Martingale und
6.7
Gesetze dcr groBen Zahlen fUr nichtnegative
Sub-Martingale
Sub-Martingale und MDF
228
232
IX
6.8
Ein Gesetz vom iterierten Logarithmus fur SubMartingale mit einer Anwendung auf die Konvergenz
empirischer Verteilungen
6.9
6.10
IjJ
-Statistiken
Anwendungen in der Sequentialanalyse
Ubungen
253
Stochastische Prozesse
7.3
Allgemeine Existenzaussagen (Satz von Kolmogoroff)
MaBe in Funktionenraumen XClR I , I = [0,1]
MaBe in Funktionenrawnen XClRT , TC [O,m)
7.2
239
246
Kapitel VII.
7.1
234
257
265
288
7.4
Prozesse mit unabha.ngigen Zuwa.chsen
293
7.5
Der Poissonsche ProzeB
306
7.6
Der Brownsche BewegungsprozeB
313
Ubungen
324
Kapitel VIII. Zufallselemente in metrischen Ra.wnen
8.1
Einige allgemeine Eigenschaften von Zufallselementen
8.2
Konvergenzbegriffe fUr Zufallselemente in metrischen Ra.wnen
8.3
328
332
Ein Gesetz der groBen Zahlen fur Zufallselemente
in einem separablen Banachrawn
335
8.4
Schwache Konvergenz
339
8.5
Zwei Konvergenzsa.tze von Wichura
346
8.6
Die Cramerschen Satze
352
8.7
Die Sa.tze von Levy-Cramer und Cramer-Wold
354
8.8
Der klassische mehrdimensionale zentrale Grenzwertsatz
357
Ubungen
358
Kapitel IX.
Zentrale Grenzwertsa.tze fUr Martingaldifferenzschemata
9.1
Die konditionierte Lindeberg-Bedingung
9.2
Ein zentraler Grenzwertsatz fUr Martingaldifferenzschemata
365
9.3
Das Lindeberg-Levy Theorem fUr Martingale
370
Ubungen
373
Kapitel X.
10.1
362
Invarianzprinzipien
Ein Invarianzprinzip fUr den PartialsummenprozeB
375
x
10.2
10.3
10.4
Ein Invarianzprinzip fUr den empirischen ProzeB
Ein Invar ianzpr inz ip fUr t¥J -Statistiken
Starke Approximationen fUr Partialsummen unabh~ngiger
identisch verteilter Variabler
Ubungen
Formelanhang
Literaturverzeichnis
Zeichenindex
Sach- und Namenregister
384
388
390
399
401
402
408
411
Hinweise
Voraussetzung fUr das Verstandnis des vorliegenden Textes sind Kenntnisse aus Grundvorlesungen Uber Analysis, linearer Algebra und der
mengentheoretischen Topologie. Die notwendigen maBtheoretischen Hilfsmittel werden zu Anfang zusammenfassend so dargestellt, daB damit
ohne eine vorausgehende MaBtheorievorlesung ein Einstieg in die Wahrscheinlichkeitstheorie bereits zu einem frUheren Zeitpunkt ermBglicht wird. Wtinschenswert waren jedoch Grundkenntnisse aus einer
Vorlesung "EinfUhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik", etwa im Umfang des in derselben Reihe erscheinenden Hochschultextes "Stochastische Methoden" von K. Krickeberg und
H. Ziezold. Solche Einftihrungsvorlesungen sind an den meisten deutschen
Universitaten mittlerweile Bestandteil der mathematischen Grundausbildung. Auf eine Diskussion diskreter Modelle ist deshalb bewuBt
verzichtet worden.
Die von uns getroffene Stoffauswahl umfaBt eine zweisemestrige Vorlesung Uber Wahrscheinlichkeitstheorie (mit in der Regel vier Wochenstunden und zusatzlichen zweistUndigen Ubungen). Neben der Vermittlung
klassischer Grundlagen liegt der methodische Schwerpunkt auf der
Konstruktion stochastischer Modelle unter besonderer BerUcksichtigung
einiger fUr die Anwendungen in der Mathematischen Statistik wichtigen
Resultate. So werden zum Beispiel sehr ausfUhrlich empirische Verteilungen, empirische Prozesse und
~-Statistiken
behandelt (ein-
schlieBlich Invarianzprinzipien). 1m Rahmen einer allgemeinen Theorie
von Zufallselementen in metrischen Raumen werden die wichtigsten
Resultate zur Verteilungskonvergenz (schwachen Konvergenz) bereitgestellt, und in einem Kapitel Uber stochastische Prozesse wird besonderes Gewicht auf die Frage ihrer Realisierbarkeit in bestimmten
Funktionenraumen gelegt. Ein breiter Raum ist dabei der Brownschen
Bewegung und dem Poissonschen ProzeB gewidmet. Neu, zumindest in
Lehrbuchform, ist die Darstellung von zentralen Grenzwertsatzen und
Invarianzprinzipien im Fall abhangiger Beobachtungsvariabler (Martingaldifferenzschemata), desgleichen der am Ende angeschnittene Problemkreis sogenannter starker Approximationen fUr Partialsummen unabhangiger identisch verteilter Variabler.
Besonders wichtig erscheint uns die selbstandige Losung der zu jedem
Abschnitt aufgeftihrten Ubungsaufgaben am Ende eines jeden Kapitels,
wo der Leser auch Hinweise auf weiterfUhrende Spezialliteratur findet.
XII
Innerhalb des Textes werden die Ubungsaufgaben unter U ... zitiert:
A ... verweist auf den Formelanhang am Ende. Uber den gesamten Text
sind Formeln, Oefinitionen und Satze fortlaufend numeriert. Die zur
Kennzeichnung von Einzelaussagen innerhalb von Beweisen verwendeten
Zeichen (.), (+) usw. haben jeweils nur lokale GUltigkeit. Ein eingeschobenes Ausrufungszeichen (l) weist darauf hin, daB der betreffende Beweisschritt dem Leser zur (einfachen) Ubung Uberlassen
wird.
Kapitel I, II, IV, V und VI eignen sich als Stoff einer einsemestrigen
Vorlesung "Wahrscheinlichkeitstheorie I". Oer Inhalt von Kapitel III
kann hierbei als Erganzung vom Studenten weitgehend selbstandig erarbeitet werden. Kapitel IV kann aber auch zu einem spateren Zeitpunkt im Rahmen einer Vorlesung "Wahrscheinlichkeitstheorie II" zusammen mit dem Stoff von Kapitel VIII, IX und X gebracht werden, wobei zum Verstandnis nur ein geringer Teil von Kapitel VII benotigt
wird. Kapitel VIII eignet sich besonders als Grundlage fUr eine
weiterfUhrende Spezialvorlesung Uber "Topologische MaBtheorie".
Neben der bereits genannten BerUcksichtigung einiger fUr die
Mathematische Statistik bedeutsamen Resultate bestand unser Hauptziel
nicht zuletzt darin, dem an der Mathematischen Statistik interessierten Leser die Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie etwas
ausfUhrlicher als sonst Ublich nahezubringen. Um den Rahmen dieses
Suches nicht zu sprengen, muBten wir daher auf eine eingehende Oiskussion weiterer klassischer Themenkreise wie z.B. die der Markoffschen
und stationaren Prozesse verzichten. Trotzdem hoffcn wir, daB dieser
Text das Interesse an der Mathematischen Stochastik weiter fordern
und gleichzeitig auch dem Fachmann da und dort etwas Neues bieten
moge.
Kapitel O. Grundlegende Definitionen und Hilfsmittel
0.1 Logische KUrzel, Abklirzungen
0
Bedeutung:
aus Aussage A folgt Aussage B
Aussage A ist aquivalent mit Aussage B
A ist per definitionem gleich B
A gilt per definitionem genau dann,
wenn B gilt
Ende eines Beweises
o.E.
p.d.
W.
ohne Einschrankung
paarweise disjunkt
Wahrscheinlichkeit (auch in Zusammensetzungen)
Zeichen:
A -B
A -B
A := B
A :- B
0.2 Mengen und Mengenoperationen
Oem nachfolgenden Text wird der sogenannte naive Mengenbegriff von
G. Cantor zugrundegelegt (eine kurze axiomatische Einflihrung findet
sich z.B. im Anhang von Kelley (77)).
0.2.1. Sei X eine beliebige Menge; dann:
XE X
x~ X
I xi
ACX
~(X)
.:1'0 (X)
iii
: : : : :=
:=
:=
x Element von X
x nicht Element von X
Machtigkeit von X
(x E A .. X E X) (Teilmenge)
IA: A C Xl
(Potenzmenge)
IAE~(X):o<IAI<ODI
I x EX: x ~ XI (leere Menge)
0.2.2. Sei X eine beliebige Menge und
von Teilmengen von X; dann:
.~
eine nichtleere Gesamtheit
U.Ai:= Ix: x E A fUr ein A E.Ai
(\.Ai : = I x: x E A fUr alle A E.Ai
(Vereinigung)
(Ourchschnitt)
2
Im Fall .r;/ = III sei U.r;/:= III und (\.r;/:= X gesetzt.
Ist .r;/ = {Ai: i E I} mit Indexmenge I, so schreibt man auch
und
A
iEI i
U
:= U.r;/
U Ai
:=
i=1
U
i E I
bzw.
(\ Ai
iEI
Ai bzw.
:= (\.r;/
1\ A.
i=1
:=
{\ Ai im Fall I={ 1, •..• n}.
i E I
1
Ill. Sind die Elemente
Zwei Mengen A,B heiBen disjunkt, falls An B =
der Gesamtheit.r;/
U
von
paarweise disjunkt (p.d.), so verwendet man anstelle
auch das Zeichen
Zerlegung von X, falls
L bzw. +. Die
L Ai = X.
Mengen {Ai: iE I} bilden eine
i E I
0.2.3. Sei X eine beliebige Menge, .r;/ e 9 (X) und A,B e X; dann:
B n.r;/
:= {B nA: AE.r;/
}
A' B
{x EX: x4 A}
(KomElement von A in X)
(Differenz
von A und B bzw. Komplement von B in A)
:= An C B
At.
:= (A' B) + (B' A)
:=
LA
B
(s:immetrische Differenz von A und B)
0.2.4 (De Morgansche Gesetze). FUr eine beliebige Menge X und Mengen
Aiex, iEI, gilt
( U
Ai)
(
Ai)
i e I
f\
i E I
n
CA.
1 ell
U t
i E I
Ai
0.2.5 (Distributivgesetze). FUr beliebige Teilmengen Ai ex, i E I,
und B j ex, j EJ, gilt
(U
A.)
n (
(n
Ai)
U (
iEIl
iEI
U B.)
jEJJ
(\
jEJ
Bj ) =
U
iEI
(\
iEI
U
j E J
(Ai n B.)
J
( \ (A. U B.)
j E J
1
J
0.2.6. FUr Teilmengen A,B,C ex gilt
A & B = (A
U
B) \ (A n B) e A U B
(A 6 B) • C = A. (B' C)
A • B =
(A' C) •
(Assoziativgesetz)
(C' B)
0.2.7 (Ger1chtete S:isteme). Eine Menge 0 heiBt gerichtet, falls in
3
D eine Relation
"~
"
ist, welche reflexiv (a
erkl~rt
aED) und transitiv (a( S, S<
~
a fUr aIle
ist, und so, daB zu je zwei
y-a< y)
Elementen a 1 ,a 2 E D ein (gemeinsamer Nachfolger) a 3 E D existiert mit
aI' a 3 und a 2 < a r l'fir nennen das Paar (D,' ) ein gerichtetes System.
0.3 Zahlenmengen
0.3.1. Wir bezeichnen mit
die Gesamtheit der natUrlichen
:N := {1,2, ... l
die Gesamtheit der ganzen
Z
0
lR
die Gesamlheit der rationalen
C
die Gesamtheit der komElexen Zahlen.
die Gesamtheit der reel len und
Ferner sei lR+ := {xElR: x.; Ol
:R := lRu
{~,-~}, lR+
(entsprechend fur Z+ und f1+) und
:= lR+ u {~} etc.
Mit den uneigentlichen Zahlen : ~ 5011 in der Ublichen Weise gerechnet
werden. Offensichtlich bilden bis auf C
s~tliche
trachteten Mengen bzgl. der ublichen "
" Relation eine gerichtete
~
in 0.3.1 be-
Menge. FUr x E lR bezeichne (x) die groBte ganze Zahl n mit n:. x. Sind
a,b ElR mit a ~ b, so sei
[a,b]
:= {xElR: a~x~bl
das zugehorige abgeschlossene Intervall. Die zugehorigen offenen bzw.
halboffenen Intervalle (a,b)
bzw.
(a,b] und [a,b)
werden entsprechend
definiert.
0.4 zahlenfolgen
0.4.1. Eine Folge (a n ) n E'""
mit a n ElR fUr nE:N heiBt monoton wachsend
.a.
[monoton fallend], falls a n :.a n + 1 [a n + 1 :.a n J fur aIle nE:N (in
Zeichen: an t bzw. an - ).
0.4.2. Besitzt eine Folge (an)nE:N den Grenzwert a=lim an' so
n-+~
schreiben wir auch an -+ a und im Fall einer monotonen Folge an
an - a.
0.4.3. FUr eine Folge (an)nE:N bezeichne
lim inf an := sup
n-+~
mE:N
inf an
n~m
t
a bzw.
4
den unteren
(limes inferior)
H~ufungspunkt
lim sup an := inf
n+<D
mE ~
den oberen
H~ufungspunkt
0.4.4. an + a fUr n + <D -
und
sup a
ru:m n
(limes superior) der Folge.
lim inf an
n+<D
a = lim sup an.
n+<D
(an)nE~ konvergiert genau dann gegen aE:R, wenn
0.4.5. Eine Folge
zu jeder Tellfolge
(a nk ) k E ~ eine weitere Teil-Teilfolge existiert,
die gegen a konvergiert.
0.4.6. FUr zwei Folgen
bn
* 0)
~(bn)
an
an
a
n
-
und
(an)nE~
(bn)nE~
reeller Zahlen (mit
schreiben wir
:
-
-
rJ(b n )
:
b
:-
n
lanb~11
:;, K fUr alle
-1
11m anb n
n+<D
-1
lim anb n
n+<D
nE~
und ein geeignetes K>O
0
1.
0.5 Mengenfolgen
Sel X wlederum eine belleblge Menge und An C X fUr n
0.5.1.
mE~
:=
lim sup A
n
n+<D
mE~
11m inf An
n+<D
und
U
lim inf An :==
n+<D
(\
n
A
U
A
n.:m
n.:m
{x EX: xEA
n
E~.
n
n'
d.h.
fUr schlieBlich aIle
nE~)
{XE X: xE An fUr unendlich viele nE~}.
Insbesondere ist stets
11m inf An C lim sup An.
0.5.2. Analog zu 0.4.1 nennen wir
(An) n E~ monoton wachsend
[monoton fallend J (kurz A t bzw. An • ),
n
fUr alle
nE~.
An t A [An. AJ
:
-
Ant und A
U
nE~
falls An C An+l
An
[A n + 1 CAn J
n
[A • und A=
A J.
n
nE~ n
5
Zur besseren Kennzeichnung der Konvergenz kann an den Pfeil
lich ein n geschrieben werden
zus~tz­
(also z.B. An tn A).
0.6 Abbildungen
0.6.1. Die Schreibweise f:
X~
Y bedeutet, daB f eine Abbildung der
Menge X in die Menge Y ist (d.h.
jedem xE X wird genau ein Bild
f(x) E Y zugeordnet). Mit yX bezeichnen wir die Gesamtheit aller Abbildungen von X in Y.
0.6.2. Seien X,Y,Z beliebige (nichtleere) Mengen und AC X.
~ f (x) die Restriktion (Ein-
(i)
FUr f E yX bezeichne restAf: A) x
(11)
FUr fEyA heiBt f'EY X eine Fortsetzung von f auf X:
-
restAf' = f
(11i)
f:
A~
(iv)
id x : X ~ X mit idx(x) = x heiBl ldentiUit auf X
FUr fEY X und gEZ Y bezeichne g.f: x~g(f(x)) die Komposition
schr~nkung)
(v)
von f auf A
X lnjektion von A in X : -
=
f(x)
x fUr xE A
von fund g
(v i)
1 A:
X
-+
(O,
1l
mit 1 A (x)
:
1 falls xE A
=
o
heiBt lndikatorfalls x4A
variable von A.
0.6.3. Seien fEY X , ACX, BCY, dc9(X) und
f (A)
:=
f(d)
:= {f (A): A Ed} C 9 (Y)
f- l (B)
:=
~c 9(Y); dann:
(f(x): xE A} C Y (Bild von A unter f)
(x E X:
f (x) E B)
f- l ( ~) : = (f- l (B):
(Urbild von Bunter f)
BE~}C9(X)
0.6.4. Seien f E yX, Ai C X und Bi C Y fUr i E I
U
(i)
(11)
f (A.)
i Ell
und
U
und
-1
f
(B.)
i Ell
=
(iii)
f- l (Y 'B)
X, f- l (B)
(iv)
f- l (B l ) n f- l (B 2 )
= \21,
f (
n
dann gilt:
A.) C
iEll
f-l(
nB.)
iEll
n
f (A. )
=
n
iEl
iEl
1
f- l (B.)
1
fUr alle B C Y
falls Bl ,B 2 C Y und Bl n B2
\21.
6
0.6.5. Fi.lr fE yX, AC X und BC Y ist stets
f-I(f(A)) -:JA und f(f-I(B))CB
und
f- I (f (A))
A, falls f injektiv
f (f- I (B))
B, falls f surjektiv.
,.,
1st speziell X = {I, ... ,k} mit kEJol und Y = lR , so schreiben wir anstelle von
mk
m
{I, ... ,k} kurz
m
k
und schreiben die Elemente f von
in der Form! = (XI' ... ,X k ) = (f(I), ... ,f(k)), d.h. wir verstehen unter demlR k eher einen k-dimensionalen Vektorraum im Sinne
der linearen Algebra.
1st J
inf
r-
C lR X eine Klasse von reellwertigen Funktionen auf X, so sind
E lR: X und sup" E lR: X punktweise fi.lr alle x E X durch
(inf 1'" ) (x)
:= inf (f(x): f E f" }
(sup!" )(x)
:= sup (fIx): f E1'"
und
)
definiert. Bezeichnen wir mit 0 die Funktion const= 0, so sei fi.lr
f E lR X spez iell
f+ := sup (O,f), f
:= sup (O,-f) gesetzt.
Insbesondere ist dann f = f+-f- und If I := sup (f,-f) = f++f-. Die
Summe etc. zweier reell- oder komplexwertiger Funktionen ist in der
i.lblichen Weise ebenfalls punktweise definiert. Desgleichen ist
f:; g : -
f(x):; g(x)
fi.lr alle xE X.
Fi.lr fE eX bezeichne Ifl :=sup{lf(x)1 :xE X} (:om) die Supremumsnorm von f.
Unter einem Netz in X versteht man eine Abbildung f: D .. X einer
gerichteten Menge D(=(D,
~
1)) in die Menge X. Anstelle von
f= (f("))"ED schreiben wir hliufig (x,,)aED oder kurz
(x,,)a·Ftir D =Jol
erhalten wir als Spezialfall Folgen in X. 1st E(=(E,
2)) eine zweite
~
gerichtete Menge, so heiBt (X"s) SEE ein Teilnetz von (x a ) a E D' falls
S
->
as eine Abbildung von E nach D derart ist, daB fi.lr aIle a ED ein
SoEE existiert mit" <1
as
fi.lr aIle So
<2
S.
0.7 Beziehungen zwischen Mengen und Indikatorvariablen
Mit den bisherigen Bezeichnungen gilt:
7
0.7.1(i)
ACB
.
lA:' lB
sup
= inf 1A und 1
Us, AEd lA
AEd
n
(iii )
n 1
lAlnA2n ... n An
i=l Ai
lim inf lA
(iv)
A
lim inf An • lA
n
n-"·
n"'"
A
lim sup An • lA
lim sup lA
n
n"'"
n"'"
(ii)
(v)
(vi)
lnd
lA+B
lA + lB
lAAS
IlA-lBI
A t A •
n
lA
t
n
lA und An
~
A •
lA
lA·
~
n
0.8 TOpologische Begriffe und Bezeichnungen
0.8.1. Sei (X,
~)
ein topologischer Hausdorff-Raum. Die Gesamlheit
offenen Teilmengen von X bezeichnen wir oft auch mit
~
~
der
(X), die der
abgeschlossenen mit ji"{X) und die der kompakten mit f{X). FUr AC
sei AO der offene Kern, AC die abgeschlossene Hilile und aA der
X
topologische Rand von A.
Eine Teilmenge A eines topologischen Raumes
falls Gn E ~ , nE~, existieren mit A =
n
(X,~)
heiBt
~6-Menge,
G . Das Komplement einer
n E~ n
G6 -Menge bezeichnet man als ~a-Menge, d.h. jede Fa-Menge ist darstellbar als Vereinigung von abzahlbar vielen abgeschlossenen Mengen.
Unter einem Unterraum (U,
steht
man eine
Relativtopologie
eines topologischen Raumes (X,
~U)
(nichtleer~)
Ein topologischer Raum (X,
ver-
Teilmenge U von X, versehen mit der
= lunG:
~u:=un~
~)
~)
GE~I
heiBt (J-kompakt, wenn
ist als abzahlbare Vereinigung kompakter
X darstellbar
~eilmengen.
0.8.2 (Cantor scher Durchschnittssatz). 1st
(Kn)nE~
eine monoton
fallende Folge von kompakten Teilmengen von X mit leerem Durchschnitt,
so existiert l:.ereits ein no
Ein topologischer Raum
auf X
x
E~
(X,~)
mit Kn
o
=~.
heiBt metrisierbar, falls auf X (genauer
X) eine Metrik d existiert, so daB
~
Vereinigungen von offenen d-Kugeln ist, d.h.
die Gesamtheil aller
8
G
E ~
-G =
U K(x,r X ) mit r x
xE G
> 0
geeignet,
wobei K(x,r) := lyE X: d(x,y) < r} die offene Kugel mit Mittelpunkt x
und Radius r > 0 bezeichne. In diesem Fall schreiben wir anstelle von
(X, ~) mitunter auch (X,d).
Eine Teilmenge B eines metrisierbaren Raumes X = (X,d) heiBt totalbeschr~nkt, falls zu beliebigem £ > 0 sich endlich viele Punkte
n
x 1 , ••• ,x n aus X finden lassen, so daB B = UK(Xi,d. Mit B ist
i=1
auch BC totalbeschr~nkt.
0.8.3. FUr einen metrisierbaren Raum (X,d) sind folgende zwei Eigenschaften ~quivalent:
(i)
(ii)
(X,d) ist kompakt
(X,d) ist totalbeschr~nkt und
vollst~ndig
bzgl. d.
Ein topologischer Raum (X, ~) heiBt polnisch genau dann, wenn (X, ~ )
eine abz~hlbare Basis besitzt und durch eine Metrik d vollst~ndig
metrisierbar ist.
Die Raume i k sind, so fern nicht ausdrUcklich anders vermerkt, stets
mit der gewBhnlichen Topologie versehen und somit Beispiele polnischer
R~ume.
0.9 Konvexe Mengen und konvexe Funktionen
Eine Teilmenge C des Euklidischen Raumes m k heiBt konvex, wenn mit
zwei Punk ten aus C auch deren Verbindungsstrecke zu C gehBrt. Wir
wollen die leere Menge als ausgeartete konvexe Menge betrachten.
0.9.1. Der Durchschnitt beliebig vieler konvexer Mengen ist wieder
konvex.
Aus 0.9.1 folgt insbesondere, daB fUr ein beliebiges B cm k die Menge
kon(B) :=n{c: Bec und C konvex} konvex ist. Wir nennen kon(B)
die konvexe HUlle von B. 1st B endlich, nennen wir kon(B) ein
konvexes Poly top.
0.9.2. 1st C em k konvex und T: mm -+mk eine lineare Abbildung, so
ist T- 1 (C) eine konvexe Teilmenge des mm.
0.9.3. (vgl. [149], s. 23). FUr eine konvexe Teilmenge C des mk
gilt (CC)O = Co. Ferner sind mit C auch CC und CO konvex.
9
1m folgenden bezeichne (.,.) das
:R k xlRk.
gew~hnliche
Skalarprodukt Uber
*
0.9.4 (Trennungssatz) (vgl. [149], S. 35). 1st C III eine konvexe
k
k
k
Teilmenge des lR und ~ E:R , C, so I.'iBt sich ein ,EElR ' (Ql finden
mit
(E'~)
.i:(E'~)
Hyperebene Ho :'"
kann
E so
fUr aIle
{~ElR
k
:
~EC,
(E'~)
'"
d.h. C und
werden, d.h. es ist
(E'~»
(E'~)
~o
lassen sich durch die
trennen. 1st C kompakt, so
(E,~)l
gewahlt werden, daB C und
~o
durch Ho sogar strikt getrennt
fUr alle
~EC.
Sei C ClR k eine konvexe Teilmenge des lRk. Dann heiBt eine Abbildung
f: C -+lR konvex, falls
f(,\~+(l-A)r)
s
Af(~)+(l-A)f(r)
fUr alle
~,rEC
und
os A S
l.
f heiBt strikt konvex, falls
0.9.5. Sei C ClR k konvex und f: C -+lR konvex. Dann ist
D:"'{(~,y)ElR
k+1
:xECundY.i:f(~)l
konvex.
0.10.Der Satz von Hahn-Banach
Wir
ben~tigen
diesen aus der Funktionalanalysis bekannten Satz ledig-
lich in der folgenden Form.
0.10.1. Sei (X, 1.1) ein normierter linearer Raum. Dann existiert
zu jedem ~E X mit x
If I - 1 und fIx)
*Q
eine stetige lineare Abbildung f: X -+lR mit
Ixl. Dabe! set If I := sup
If(x)1 gesetzt.
I xl Sl
(Eine Verwechslung mit der in 0.6 definierten Supremumsnorm dUrfte
im Text ausgeschlossen sein.)
Bemerkungen zum Text
BezUglich der in Abschnitt 0.8 verwendeten Begriffe und ohne Beweis
angefUhrten Resultate aus der mengentheoretischen Topologie sei auf
Dieudonne [29), Kelley [77), v. Querenburg [120) und Schubert [127)
verwiesen. Die zum Verst.'indnis des Textes notwendigen Ergebnisse Uber
konvexe Mengen und konvexe Funktionen findet man in den einfUhrenden
Abschnitten von Valentine [149). An Kenntnissen aus der Funktionalanalysis werden im wesentlichen nur die Grundlagen aus der Theor1e
der normierten linearen Raume
ben~tigt,
wie sie z.B. im Buch von
Hirzebruch-Scharlau [64] dargestellt sind.