Optionsbewertung im Black

Optionsbewertung im Black-Scholes Modell
Tutorium
Stochastische Analysis und Mathematical Finance
12. Juli 2017
Das Black-Scholes Modell
Das Black-Scholes Modell (S 0 , S 1 ) ist gegeben durch
S 0 (t) = ert
and S 1 (t) = s1 e(r+λ−σ
2
/2)t+σW (t)
,
t ∈ [0, T ].
Das Modell ist arbitragefrei und vollständig. Es existiert also ein eindeutiges
äquivalentes Martingalmaß Q.
Das Black-Scholes Modell
Das Black-Scholes Modell (S 0 , S 1 ) ist gegeben durch
S 0 (t) = ert
and S 1 (t) = s1 e(r+λ−σ
2
/2)t+σW (t)
,
t ∈ [0, T ].
Das Modell ist arbitragefrei und vollständig. Es existiert also ein eindeutiges
äquivalentes Martingalmaß Q.
Nach dem Satz von Girsanov gilt
1
S 1 (t) = s1 ert e− 2 σ
2
t+σB(t)
1
= s1 e− 2 σ
für die Q-Brownsche Bewegung B = W +
2
λ
t.
σ
t+σB(t)
S 0 (t),
t ∈ [0, T ],
Preise: Europäischer Call und Digitale Optionen
Der eindeutige faire Preis einer Option C(T ) ist gegeben durch
h 0
i
S (t)
−r(T −t) Q
t ∈ [0, T ].
Et C(T ) ,
C(t) = EQ
t S 0 (T ) C(T ) = e
Preise: Europäischer Call und Digitale Optionen
Der eindeutige faire Preis einer Option C(T ) ist gegeben durch
h 0
i
S (t)
−r(T −t) Q
t ∈ [0, T ].
Et C(T ) ,
C(t) = EQ
t S 0 (T ) C(T ) = e
Beispiel: Europäischer Call C(T ) = max{S 1 (T ) − K, 0}. Es gilt
C(t) = S 1 (t)Φ(d1 ) + e−r(T −t) KΦ(d2 ),
t ∈ [0, T ],
wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist und
d1 ,
log(S 1 (t)/K)+(r+σ 2 /2)(T −t)
√
σ T −t
und
d2 ,
log(S 1 (t)/K)+(r−σ 2 /2)(T −t)
√
.
σ T −t
Preise: Europäischer Call und Digitale Optionen
Der eindeutige faire Preis einer Option C(T ) ist gegeben durch
h 0
i
S (t)
−r(T −t) Q
t ∈ [0, T ].
Et C(T ) ,
C(t) = EQ
t S 0 (T ) C(T ) = e
Beispiel: Europäischer Call C(T ) = max{S 1 (T ) − K, 0}. Es gilt
C(t) = S 1 (t)Φ(d1 ) + e−r(T −t) KΦ(d2 ),
t ∈ [0, T ],
wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist und
d1 ,
log(S 1 (t)/K)+(r+σ 2 /2)(T −t)
√
σ T −t
und
d2 ,
log(S 1 (t)/K)+(r−σ 2 /2)(T −t)
√
.
σ T −t
Beispiel: Digitaler Call C(T ) = 1{S 1 (T )>K} . Es gilt
C(t) = e−r(T −t) Φ(d2 ),
t ∈ [0, T ].
Gap Call
Aufgabe
Bestimmen Sie den Preis eines Gap Calls
C(T ) = S 1 (T ) − G 1{S 1 (T )>K} ,
wobei 0 ≤ G < K.
Gap Call
Aufgabe
Bestimmen Sie den Preis eines Gap Calls
C(T ) = S 1 (T ) − G 1{S 1 (T )>K} ,
wobei 0 ≤ G < K.
Hinweis: Schreiben Sie den Gap Call als Linearkombination aus Vanilla Calls und
Digitalen Calls.
Gap Call
Aufgabe
Bestimmen Sie den Preis eines Gap Calls
C(T ) = S 1 (T ) − G 1{S 1 (T )>K} ,
wobei 0 ≤ G < K.
Hinweis: Schreiben Sie den Gap Call als Linearkombination aus Vanilla Calls und
Digitalen Calls.
Lösung: Es gilt
C(t) = S 1 (t)Φ(d1 ) − Ge−r(T −t) Φ(d2 ),
t ∈ [0, T ].
Paylater Call
Aufgabe
Bestimmen Sie p ∈ R, so dass der Preis C(0) des Paylater Calls
C(T ) = S 1 (T ) − (K + p) 1{S 1 (T )>K} ,
zum Zeitpunkt t = 0 gleich Null ist.
Paylater Call
Aufgabe
Bestimmen Sie p ∈ R, so dass der Preis C(0) des Paylater Calls
C(T ) = S 1 (T ) − (K + p) 1{S 1 (T )>K} ,
zum Zeitpunkt t = 0 gleich Null ist.
Lösung: Es gilt
p = s1 erT
Φ(d1 )
− K.
Φ(d2 )
Asiatischer Call
Aufgabe
Bestimmen Sie den Preis C(0) eines Asiatischen Calls
C(T ) = max{A(T ) − K, 0}
zum Zeitpunkt t = 0, wobei A(T ) für n ∈ N gegeben ist durch
A(T ) =
Qn
k=1
S1
1/n
k
T
.
n
Asiatischer Call
Aufgabe
Bestimmen Sie den Preis C(0) eines Asiatischen Calls
C(T ) = max{A(T ) − K, 0}
zum Zeitpunkt t = 0, wobei A(T ) für n ∈ N gegeben ist durch
A(T ) =
Hinweis 1: B ist ein Gaußprozess.
Qn
k=1
S1
1/n
k
T
.
n
Asiatischer Call
Aufgabe
Bestimmen Sie den Preis C(0) eines Asiatischen Calls
C(T ) = max{A(T ) − K, 0}
zum Zeitpunkt t = 0, wobei A(T ) für n ∈ N gegeben ist durch
A(T ) =
Qn
k=1
S1
1/n
k
T
.
n
Hinweis 1: B ist ein Gaußprozess.
Hinweis 2: Schreiben Sie A(T ) = s1 eα+βZ für standardnormalverteiltes Z und
geeignete Konstanten α, β.
Asiatischer Call
Lösung: Der Preis C(0) des Asiatischen Calls ist gegeben durch
1
2
C(0) = s1 e−rT +α+ 2 β Φ
1
β
log(s1 /K) + α − β 2
− Ke−rT Φ
1
β
log(s1 /K) + α ,
wobei
α,
1 n(n+1)
2
n2
r − 12 σ 2 T,
und β ,
1
√
σ
n n
√ Pn
1/2
T
.
k,j=1 k ∧ j