Statistik, Sommersemester 2012

Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Kapitel 9:Erwartungswert, Varianz und Kovarianz
von Zufallsvariablen
Motivation Erwartungswert: Welchen Wert nimmt
Zufallsvariable durchschnittlich an?
Populärstes Lagemaß aus Teil A: Arithmetisches Mittel
Ausgangslage: Metrisch skaliertes Merkmal X mit möglichen
Ausprägungen a1 , ..., ak , die mit relativen Häufigkeiten
h(a1 ), ..., h(ak ) auftreten. Es gilt (vergleiche Definition 3.1
und Beispiel 3.2 a))
x̄ =
k
ai · h(ai )
i=1
→ Idee: Ersetze relative Häufigkeiten durch bekannte
Wahrscheinlichkeiten
Dr. Matthias Arnold
225
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Sommersemester 2012 - Statistik
Tippspiel Europameisterschaft
Punktvergabe:
3 Punkte für korrektes Ergebnis
2 Punkte für korrekte Tordifferenz
1 Punkt für korrekte Tendenz Sieg/Niederlage
Für welchen Tipp sind die meisten Punkte zu erwarten?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die Ergebnisse auf?
Näherung für die Wahrscheinlichkeiten aus Wettquoten
ableiten
Dr. Matthias Arnold
226
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Sommersemester 2012 - Statistik
Vorrundenspiel Deutschland-Portugal, Quoten bwin
ωi
Quote
ωi
Quote
0:0
8.5
3:1
14
1:0
6.75
3:2
26
1:1
6.75
3:3
67
0:1
12
2:3
51
2:0
8
1:3
36
2:1
8.25
0:3
81
2:2
15
4:0
29
1:2
14
4:1
29
0:2
21
4:2
51
3:0
13
Wahrscheinlichkeiten
Idee: bilde Kehrwert und standardisiere zu Eins, Ergebnis in
Prozent:
ωi
P(ωi )
ωi
P(ωi )
Dr. Matthias Arnold
0:0
9.2
3:1
5.6
1:0
11.6
3:2
3.0
1:1
11.6
3:3
1.2
0:1
6.5
2:3
1.5
2:0
9.8
1:3
2.2
2:1
9.5
0:3
1.0
2:2
5.2
4:0
2.7
1:2
5.6
4:1
2.7
0:2
3.7
4:2
1.5
3:0
6.0
227
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Sommersemester 2012 - Statistik
Erwartete Punktzahl für den Tipp 1:0
ωi
P(ωi )
Punkte
ωi
P(ωi )
Punkte
0:0
9.2
0
3:1
5.6
1
1:0
11.6
3
3:2
3.0
2
1:1
11.6
0
3:3
1.2
0
0:1
6.5
0
2:3
1.5
0
2:0
9.8
1
1:3
2.2
0
2:1
9.5
2
0:3
1.0
0
2:2
5.2
0
4:0
2.7
1
1:2
5.6
0
4:1
2.7
1
0:2
3.7
0
4:2
1.5
1
3:0
6.0
1
Wahrscheinlichkeiten für Punkte
Punktzahl
Wahrscheinlichkeit
0
47.7
1
28.3
2
12.5
3
11.6
Das ergibt im Erwartungswert folgende Punktanzahl:
0 · 0.477 + 1 ∗ 0.283 + 2 ∗ 0.125 + 3 ∗ 0.116 = 0.881
Dr. Matthias Arnold
228
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Erwartete Punktzahl für den Tipp 1:1
ωi
P(ωi )
Punkte
ωi
P(ωi )
Punkte
0:0
9.2
2
3:1
5.6
0
1:0
11.6
0
3:2
3.0
0
1:1
11.6
3
3:3
1.2
2
0:1
6.5
0
2:3
1.5
0
2:0
9.8
0
1:3
2.2
0
2:1
9.5
0
0:3
1.0
0
2:2
5.2
2
4:0
2.7
0
1:2
5.6
0
4:1
2.7
0
0:2
3.7
0
4:2
1.5
0
3:0
6.0
0
Wahrscheinlichkeiten für Punkte
Punktzahl
Wahrscheinlichkeit
0
72.9
1
0
2
15.6
3
11.6
Das ergibt im Erwartungswert folgende Punktanzahl:
0 · 0.729 + 1 ∗ 0 + 2 ∗ 0.156 + 3 ∗ 0.116 = 0.660
Dr. Matthias Arnold
229
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Sommersemester 2012 - Statistik
Punktzahloptimierung
erwartete Punktzahlen somit:
0.881 Punkte für den Tipp 1:0
0.660 Punkte für den Tipp 1:1
bester Tipp ist hier 1:0 für den Favoriten
bei nahezu ausgeglichenen Partien: 1:1 tippen
bei sehr deutlichen Favoriten eventuell ausweichen auf 2:0,
kommt bei Europameisterschaften aber sehr selten vor
Dr. Matthias Arnold
230
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Sommersemester 2012 - Statistik
Punktzahloptimierung aus statistischer Sicht
Ergebnismenge Ω: {0 : 0, 1 : 0, 1 : 1, 0 : 1, . . .}
Elementarereignisse ωi : {0 : 0}, {1 : 0}, {1 : 1}, {0 : 1}, . . .
Ereignis A: Unentschieden
Abbildung der ωi auf Punktezahlen zwischen 0 und 3:
Zufallsvariable (hängt ab vom Tipp und den Spielregeln)
Wahrscheinlichkeiten aus Wettquoten schätzen: Teil der
induktiven Statistik, mehr dazu in Teil C der Vorlesung
Berechnung erwarteter Punktzahlen: Konzept des
Erwartungswertes, hier für eine diskrete Zufallsvariable
Dr. Matthias Arnold
231
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Sommersemester 2012 - Statistik
Definition 9.1
a) Sei X diskrete Zufallsvariable mit möglichen Realisationen
x1 , ..., xn und f (xi ) = P(X = xi ) Wahrscheinlichkeitsfunktion. Dann heißt
E (X) =
xi · f (xi )
i∈I
Erwartungswert von X (I =Indexmenge).
b) Sei X stetige Zufallsvariable mit Dichte f (x). Dann heißt
∞
E (X) =
x · f (x) dx
−∞
Erwartungswert von X.
Dr. Matthias Arnold
232
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Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.1
a) X = Augensumme zweimaliges Würfeln“, vgl. u.a. Bsp. 8.2
”
E (X) =
xi · f (xi ) =
11
xi · f (xi )
i=1
i∈I
2
3
1
1
+3·
+4·
+ . . . + 12 ·
=7
= 2·
36
36
36
36
b) X = Anzahl Kopf bei zweimaligem Münzwurf“, vgl. Bsp. 8.1
”
E (X) =
i∈I
xi · f (xi ) =
3
xi · f (xi )
i=1
1
2
1
= 0· +1· +2· =1
4
4
4
Dr. Matthias Arnold
233
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Beispiel 9.1 (Fortsetzung)
c) X = Verspätung der S1“, vgl. Bsp. 8.4
”
∞
E (X) =
20
x · f (x) dx =
−∞
0
20
1
1 2 x·
dx =
x = 10
20
40
0
Bemerkung
a) Ist Wahrscheinlichkeitsfunktion/Dichte einer Zufallsvariablen
X symmetrisch um x , dann gilt E (X) = x
b) Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X muss
nicht unbedingt mögliche Realisation xi von X sein
Dr. Matthias Arnold
234
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Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung (Fortsetzung)
c) Eigenschaften des Erwartungswertes: X1 , ..., Xn beliebige
Zufallsvariablen; a1 , a2 , . . . , an , b ∈ R beliebige Konstanten;
g : R → R beliebige Funktion. Dann gilt:
E (a1 X1 + b) = a1 E (X1 ) + b
E
n
i=1
a i Xi
=
n
i=1
⎧
⎪
g(xi ) f (xi ),
⎪
⎨i
E (g(X1 )) =
∞
⎪
⎪
g(x) f (x) dx,
⎩
−∞
Dr. Matthias Arnold
ai E (Xi )
falls X1 diskret
falls X1 stetig
Falls X1 , ..., Xn stochastisch unabhängig, so gilt außerdem
E (X1 · ... · Xn ) = E (X1 ) · ... · E (Xn )
235
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Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung (Fortsetzung)
d) (Schwaches) Gesetz der großen Zahlen:
X1 , ..., Xn unabhängige Zufallsvariablen, die alle die gleiche
Verteilung (d.h. gleiche Dichte/Wahrscheinlichkeitsfunktion
und gleiche Verteilungsfunktion) wie X besitzen. Dann gilt für
ein beliebiges ε > 0:
lim P (| X̄n − E (X) | < ε) = 1
n→∞
e) Interpretation des (schwachen) Gesetztes der großen Zahlen:
Seien x1 , ..., xn Realisationen der Zufallsvariablen aus Teil e).
Dann gilt
n
1
xi = E (X).
lim
n→∞ n
i=1
Dr. Matthias Arnold
236
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Beispiel 9.2
1.5
●
●
1.0
●
●
●
●
0.5
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0
Dr. Matthias Arnold
●
●
●
0.0
Durchschnittliche Anzahl Kopf
2.0
a) X = Anzahl Kopf bei zweimaligem Münzwurf“
”
→ E (X) = 1, vgl. Bsp. 9.1
5
10
15
Anzahl n der (zweimaligen) Münzwürfe
20
25
237
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Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.2 (Fortsetzung)
b) Betrachte abermals Beispiel 2.4 bzw. 3.1: Lebensdauer (in
Betriebsstudien) von Ventilen in kunststoffverarbeitendem
Betrieb
Dr. Matthias Arnold
Lebensdauern als unabhängige Zufallsvariablen mit gleicher
Verteilung auffassbar → bei wachsendem Stichprobenumfang
konvergiert arithmetisches Mittel gegen Erwartungswert dieser
Verteilung (Grund: Gesetz der großen Zahlen)
Bei vorliegenden Daten (n = 30) gilt: x̄ = 313, 17 (vgl.
Beispiel 3.1)
238
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Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung
Weiteres Lagemaß aus Kapitel 3: p−Quantil (Wert xp , für den
mindestens ein Anteil p · 100 Prozent der Daten kleiner/gleich xp ,
und mindestens ein Anteil (1 − p) · 100 Prozent der Daten
größer/gleich xp ist)
→ definiere nun p−Quantil einer Verteilung (zunächst lediglich
stetiger Fall)
Definition 9.2
Für eine stetige Zufallsvariable X und ein p ∈ [0, 1] heißt der Wert
xp mit
P (X ≤ xp ) = p
p-Quantil der Verteilung von X.
Dr. Matthias Arnold
239
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Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.3
a) X = S1-Verspätung Haltestelle Universität Dortmund“, vgl.
”
Beispiel 8.4 b) bzw. 9.1 c); Frage: Was ist, mit 80 prozentiger
Wahrscheinlichkeit, die maximale Verspätung?
Suche also das 0, 8−Quantil x0,8 der Gleichverteilung aus
Beispiel 8.4 b)
X stetig → x0,8 so, dass P (X ≤ x0,8 ) = 0, 8
x0,8
= 0, 8
20
P (X ≤ x0,8 )
=
F (x0,8 ) =
⇔ x0,8
=
20 · 0, 8 = 16
→ Mit 80 prozentiger Wahrscheinlichkeit beträgt die
Verspätung nicht mehr als 16 Minuten
Dr. Matthias Arnold
240
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Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.3 (Fortsetzung)
0
0.2
0.4
F(x)
0.6
0.8
1
a) Verspätung S-1 (Fortsetzung)
−8
0
8
X0,8=16
24
Verspätung x in Minuten
Dr. Matthias Arnold
241
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Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.3 (Fortsetzung)
0
(d.h. 80% Wahrscheinlichkeitsmasse)
−5
0
X0,8=16
(d.h. 20% Wahrscheinlichkeitsmasse)
Flächeninhalt links vom 0,8−Quantil=0,8
Flächeninhalt rechts vom 0,8−Quantil=0,2
f(x)
0.05
a) Verspätung S-1 (Fortsetzung)
20
25
Verspätung x in Minuten
Dr. Matthias Arnold
242
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Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.3 (Fortsetzung)
b) X = Augensumme bei zweimaligem Würfeln“, vgl. u.a.
”
Beispiel 8.3
Auch hier gesucht: 0, 8−Quantil → Versuch, obwohl X
diskret, Definition 9.2 anzuwenden
Nach Beispiel 8.3 gilt
P (X ≤ x) = F (x) =
26/36 = 0, 72
für 8 ≤ x < 9
30/36 = 0, 83
für 9 ≤ x < 10
→ ein x0,8 mit P (X ≤ x0,8 ) = 0, 8 existiert nicht
Dr. Matthias Arnold
243
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Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.3 (Fortsetzung)
b) Zweimaliges Würfeln (Fortsetzung)
1.0
Verteilungsfunktion zweifaches Würfeln
●
●
●
0.8
●
0.6
●
F(x)
●
0.4
●
0.2
●
●
0.0
●
●
2
Dr. Matthias Arnold
4
6
8
Augensumme x
10
12
244
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Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.3 (Fortsetzung)
b) Zweimaliges Würfeln (Fortsetzung)
Dr. Matthias Arnold
245
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Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung
Fasse, für eine diskrete Zufallsvariable X und ein p ∈ [0, 1], den
Wert xp mit
F (xp ) ≥ p und F (x) < p für x < xp
als p−Quantil der Verteilung von X auf
Beispiel 9.4
(Augensumme zweimaliges Würfeln, vgl. Beispiel 9.3 b))
Es gilt
P (X ≤ x) = F (x) =
⎧
⎨26/36 = 0, 72
für 8 ≤ x < 9
⎩30/36 = 0, 83
für 9 ≤ x < 10
→ Gemäß der Bemerkung nach Beispiel 9.3 gilt x0,8 = 9
Dr. Matthias Arnold
246
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Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung
Neben Lagemaßen in Teil A von Interesse: Streuungsmaße
(siehe etwa Bsp. 4.1: Zwei unterschiedlich schwankende
Unternehmensgewinne X, Y mit x̄ = ȳ)
Jetzt: Wie weit streuen Realisierungen einer Zufallsvariablen
X um E(X) herum; Betrachte etwa Zufallsvariablen X und
Y mit E(X) = E(Y ) → folgendes Bild möglich
f(y)
f(x)
E(X)=E(Y)
Dr. Matthias Arnold
247
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Sommersemester 2012 - Statistik
Definition 9.3
Sei X beliebige Zufallsvariable. Dann heißt
2
2
σX = Var (X) = E (X − E (X))
Varianz von X und
σX =
2
σX
Standardabweichung von X.
Bemerkung
Sei X beliebige Zufallsvariable. Dann gilt (vgl. Bem. e) nach Bsp.
4.4):
2
Var (X) = E X − [E (X)]2
Dr. Matthias Arnold
248
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.5
a) X = Augensumme bei zweimaligem Würfeln“, vgl. u.a.
”
Beispiel 9.4; Gesucht: Var (X)
2
Var (X) = E X − [E (X)]2
=
11
x2i · f (xi ) − 72 (da E (X) = 7, vgl. Bsp. 9.1 a))
i=1
1
2
3
1
2
2
2
= 2 ·
+3 ·
+4 ·
+ . . . + 12 ·
− 49
36
36
36
36
2
=
1974
210
− 49 =
36
36
≈ 5, 833
Dr. Matthias Arnold
249
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Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.5 (Fortsetzung)
b) Varianz & Standardabweichung der Zufallsvariablen
X = S1-Verspätung Hst. Uni Dortmund“, s. u.a. Bsp. 9.3 a)
”
20
∞
20
3
1
1
x 2
2
2
x · f (x)dx = x · dx =
= 133
E (X ) =
20
60 0
3
−∞
0
Außerdem ist E (X) = 10, vgl. Bsp. 9.1 c), also gilt:
2
1
1
− [E (X)] = 133 − 100 = 33
3
3
2
Var (X) = E X
1
33 = 5, 774 ∼ 5 Minuten & 46 Sekunden
→ σX =
3
Dr. Matthias Arnold
250
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Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung
a) Eigenschaften der Varianz: Für beliebige Zufallsvariablen
X1 , ..., Xn gilt
i) Var (Xi ) ≥ 0
ii) Var (a Xi + b) = a2 Var (Xi )
für
a, b ∈ R
iii) Sind die Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn außerdem
unabhängig, so gilt weiter
n
n
a i Xi =
a2i Var (Xi ) für a1 , a2 , . . . , an ∈ R
Var
i=1
Dr. Matthias Arnold
i=1
251
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung
b) Vorsicht: Für unabhängige Zufallsvariablen X und Y folgt
aus Teil a), Punkt iii) nicht, dass
Var (X − Y ) = Var (X) − Var (Y )
Grund:
Var (X − Y ) = Var (X + (−Y ))
= 12 · Var (X) + (−1)2 · Var (Y )
= Var (X) + Var (Y )
Dr. Matthias Arnold
252
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.6
X = Anzahl Kopf bei zweimaligem Münzwurf“, s. u.a. Bsp. 9.2 a)
”
definiere außerdem Y = Anzahl Zahl bei zweimaligem Münzwurf“
”
→ Zufallsexperiment mit Ω = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)}
ωi
X(ωi )
(K, K)
2
(K, Z)
1
(Z, K)
1
(Z, Z)
0
Y (ωi )
0
1
1
2
→ Zusammenhang zwischen X und Y (offensichtlich negativ, da
X wenn Y und umgekehrt)?
Dr. Matthias Arnold
253
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Sommersemester 2012 - Statistik
Definition 9.4
Für zwei Zufallsvariablen X und Y heißt
σXY = Cov (X, Y ) = E [(X − E (X))(Y − E (Y ))]
Kovarianz von X und Y sowie
ρXY
σXY
=
σX · σY
Korrelation von X und Y (vgl. Teil A: Definition 5.1 & 5.2).
Bemerkung
X und Y beliebige Zufallsvariablen. Dann gilt (vgl. Bem. a) nach
Beispiel 5.3)
Cov (X, Y ) = E (X Y ) − E (X) E (Y )
Dr. Matthias Arnold
254
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Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.7
X = Anzahl Kopf bei zweimaligem Münzwurf“,
”
Y = Anzahl Zahl bei zweimaligem Münzwurf“, s. u.a. Bsp. 9.6
”
Dr. Matthias Arnold
ωi
X(ωi )
(K, K)
2
(K, Z)
1
(Z, K)
1
(Z, Z)
0
Y (ωi )
0
1
1
2
X(ωi ) · Y (ωi )
0
1
1
0
255
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Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.7 (Fortsetzung)
Es gilt
E (X) = 0 · P (X = 0) + 1 · P (X = 1) + 2 · P (X = 2)
1
1
1
= 0 · + 1 · + 2 · = 1 = E (Y )
4
2
4
E (X · Y ) = 0 · P (X · Y = 0) + 1 · P (X · Y = 1)
1
1
1
= 0· +1· =
2
2
2
Cov (X, Y ) =
1
1
−1·1 = −
2
2
→ Negativer, linearer Zusammenhang zwischen X und Y , über
Stärke kann jedoch keine Aussage getroffen werden (siehe
Bem. c) nach Beispiel 5.3)
Dr. Matthias Arnold
256
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 9.7 (Fortsetzung)
Bestimme Stärke des linearen Zusammenhangs über Korrelation
2
Var (X) = E X − [E (X)]2 (und E (X) = 1, vgl. Bsp. 9.1 b))
= 02 · P (X = 0) + 12 · P (X = 1) + 22 · P (X = 2) − 12
1
1
1
1
= 0· +1· +4· −1 =
= Var (Y )
4
2
4
2
→ ρXY
− 12
= 1
2
1
2
= −1
D.h. perfekt negativer linearer Zusammenhang (siehe Bem. nach
Bsp. 5.5); Plausibles Ergebnis: X + Y = 2 ⇔ Y = 2 − X
Dr. Matthias Arnold
257
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung
a) Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen unkorreliert, wenn
σXY = 0 gilt
b) Wenn X und Y unabhängig, dann gilt σXY = 0 (also auch
ρXY = 0); Umkehrung gilt i.A. nicht (Grund: Nichtlineare
Abhängigkeiten zwischen X und Y möglich, werden durch
σXY jedoch nicht erfasst)
Weiterhin gilt:
c) −1 ≤ ρXY ≤ 1
d) ρXY = 1 ⇔ Y = a X + b mit a > 0 und b ∈ R
e) ρXY = −1 ⇔ Y = a X + b mit a < 0 und b ∈ R
f) Var (a X + b Y ) = a2 Var (X) + b2 Var (Y ) + 2ab Cov (X, Y )
(a, b ∈ R, siehe Bem. a), Punkt iii) nach Bsp. 9.5)
Dr. Matthias Arnold
258
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Sommersemester 2012 - Statistik
Tippspiel
Betrachte die Zufallsvariablen
X := Punktzahl des Tipps 1:0
Y := Punktzahl des Tipps 1:1
Wahrscheinlichkeitsfunktion
xi
fX (xi ) = P(X = xi )
fY (xi ) = P(Y = xi )
0
0.477
0.729
1
0.283
0
2
0.125
0.156
3
0.116
0.116
Erwartungswert
E (X) =
xi · fX (xi )
i∈I
= 0 · 0.477 + 1 · 0.283 + 2 · 0.125 + 3 · 0.116
= 0.881
Dr. Matthias Arnold
259
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Sommersemester 2012 - Statistik
Erwartungswert
E (Y ) =
xi · fY (xi )
i∈I
= 0 · 0.729 + 1 · 0 + 2 · 0.156 + 3 · 0.116
= 0.660
2
Varianz σX
Var (X) = E X − [E (X)]2
=
x2i · fX (xi ) − 0.8812
2
i∈I
2
= 0 · 0.477 + 12 · 0.283 + 22 · 0.125 + 32 · 0.116 − 0.776
= 1.05
Standardabweichung
σX =
Dr. Matthias Arnold
2
σX
=
√
1.05 = 1.025
260
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Sommersemester 2012 - Statistik
Varianz σY2
Var (Y ) = E Y − [E (Y )]2
=
x2i · fY (xi ) − 0.662
2
i∈I
2
= 0 · 0.729 + 12 · 0 + 22 · 0.156 + 32 · 0.116 − 0.4356
⇒ σY2
= 1.23
√
=
σY2 = 1.23 = 1.11
Kovarianz und Korrelation
Dazu erforderlich:
gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und Y
Dr. Matthias Arnold
261
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
gemeinsame Verteilung von X und Y
Y
X
0
1
2
3
0
0.205
0.283
0.125
0.116
0.729
1
0
0
0
0
0
2
0.156
0
0
0
0.156
3
0.116
0
0
0
0.116
0.477
0.283
0.125
0.116
1
Cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y )
E(X · Y ) = 0 · 0 · 0.205 + 0 · 1 · 0 + 0 · 2 · 0.156 + 0 · 3 · 0.116
..
.
+ 3 · 0 · 0.116 + 3 · 1 · 0 + 3 · 2 · 0 + 3 · 3 · 0
= 0
Dr. Matthias Arnold
262
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Sommersemester 2012 - Statistik
Kovarianz
Cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y )
= 0 − 0.881 · 0.66
= −0.58
Korrelation
ρXY
σXY
−0.58
=
=
σX · σ Y
1.025 · 1.11
= −0.466
→ negativer linearer Zusammenhang
Dr. Matthias Arnold
263
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung
Fazit zu Erwartungswert, Varianz & Kovarianz/Korrelation
• Wichtige charakteristische Kennzahlen einer bzw. zweier
Zufallsvariablen
• Theoretische Gegenstücke zu arithmetischem Mittel,
empirischer Varianz und empirischer Kovarianz/Korrelation
aus Teil A
Dr. Matthias Arnold
264
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Sommersemester 2012 - Statistik
Kapitel 10: Ausgewählte Verteilungen
Beispiel 10.1
a) Flugzeugmotoren einer bestimmten Marke fallen bei einem
gegebenen Flug mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/10 aus.
Bei mehrmotorigen Maschinen dieser Firma treten die Ausfälle
unabhängig voneinander auf. Ein Flugzeug erreicht sein Ziel,
wenn wenigstens die Hälfte der Motoren läuft. Für einen Flug
steht wahlweise eine zwei- oder eine viermotorige Maschine
zur Verfügung.
Mit welcher Maschine werden Sie fliegen, wenn Ihnen
Ihr Leben lieb ist?
Dr. Matthias Arnold
265
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.1 (Fortsetzung)
b) Jedes zweite Los gewinnt!“ verspricht der Vereinsvorsitzende,
”
als er vor 100 geladenen Gästen die Tombola der
Jahresabschlussfeier eröffnet. Nach der Preisvergabe
beschweren sich 10 Personen, die jeweils fünf Lose gekauft
haben, dass sie nicht einmal gewonnen haben.
Wie ist die Aussage des Vorsitzenden zu beurteilen?
Dr. Matthias Arnold
266
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Sommersemester 2012 - Statistik
Definition 10.1
Ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen heißt
Bernoulli-Experiment.
Beispiel 10.2
Beispiele für Bernoulli-Experimente
a) Einfacher Münzwurf: Ω = { Kopf“, Zahl“}
”
”
b) Elfmeter: Ω = { Schütze trifft“, Schütze trifft nicht“}
”
”
c) Wahlverhalten einer Person: Ω = { CDU ja“, CDU nein“}
”
”
d) Börse im Vergleich zum Vortag:
Ω = { DAX gestiegen“, DAX gefallen“}
”
”
e) ...
Dr. Matthias Arnold
267
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Sommersemester 2012 - Statistik
Definition 10.2
Wiederhole Bernoulli-Experiment n−Mal, wobei
die Wahrscheinlichkeit für Erfolg“ oder Misserfolg“ in jedem
”
”
der n Versuche gleich ist
die Wiederholungen unabhängig voneinander sind
definiere nun
X = Anzahl der ’Erfolge’ bei diesen n Wiederholungen“
”
Dann ist X eine diskrete Zufallsvariable.
Dr. Matthias Arnold
268
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Sommersemester 2012 - Statistik
Fortsetzung Definition 10.2
Dann heißt X binomialverteilt mit Parametern n und p (kurz:
X ∼Bin(n, p)), wobei
n x
p (1 − p)n−x
f (x) = P (X = x) =
x
n n!
[ x = x!·(n−x)!
n n n = 0 =1 ]
Binomialkoeffizient“,
”
mögliche Werte sind 0, 1, 2, . . . , n.
Es gilt E (X) = np
Dr. Matthias Arnold
und
n x
= 0 für x > n,
Var (X) = np (1 − p)
269
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.3
a) Motorenausfälle bei Flugzeugen, vgl. Bsp. 10.1 a)
X1 = Anzahl ausfallende Motoren in zweimotoriger Maschine
X2 = Anzahl ausfallende Motoren in viermotoriger Maschine
Bsp. 10.1 a): Ausfälle unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit 1/10 ⇒ X1 ∼ Bin (2; 0, 1) & X2 ∼ Bin (4; 0, 1)
Für die Absturzwahrscheinlichkeiten gilt somit
P (Absturz Fl. 1) = P (X1 > 1) = P (X1 = 2)
=
2
2
· 0, 12 (1 − 0, 1)0
= 1 · 0, 12 · 0, 90 = 0, 01
Dr. Matthias Arnold
270
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.3 (Fortsetzung)
a) Motorenausfälle bei Flugzeugen (Fortsetzung)
P (Absturz Fl. 2) = P (X2 > 2) = P (X2 = 3) + P (X2 = 4)
=
4
3
·
0, 13 (1
−
0, 1)1
+
4
4
· 0, 14 (1 − 0, 1)0
= 4 · 0, 13 · 0, 91 + 1 · 0, 14 · 0, 90
= 0, 0036 + 0, 0001 = 0, 0037
→ Absturzwahrscheinlichkeit Flugzeug 1 = 1% vs. Absturzwahrscheinlichkeit Flugzeug 2 = 0,37%
→ Flugzeug 2 sollte bevorzugt werden!
Dr. Matthias Arnold
271
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.3 (Fortsetzung)
b) Tombola, vgl. Bsp. 10.1 b)
X = Anzahl der Gewinne bei fünf gekauften Losen
Vorsitzender: P (Los gewinnt) = 0, 5 ⇒ X ∼ Bin (5; 0, 5)
Wahrscheinlichkeit, bei fünf Losen keinen Gewinn zu erzielen
5
· 0, 50 (1 − 0, 5)5
P (5 Lose, kein Gewinn) = P (X = 0) =
0
= 1 · 0, 50 · 0, 55
= 0, 03125 ≈ 3, 1%
→ zieht eine Person 5 Lose, so ist Wahrscheinlichkeit für 5
Nieten 3,1% (wenn Aussage des Vorsitzenden wahr); es haben
jedoch bereits 10% der Gäste (10 von 100) bei 5 Losen nur
Nieten gezogen → Aussage des Vorsitzenden fragwürdig
Dr. Matthias Arnold
272
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.4
Einfacher Münzwurf, vgl. Beispiel 10.2 a)
⎧
⎨1 falls ω = Kopf“
”
X(ω) =
⎩0 sonst
→ X ∼Bin(1;0,5) ( bernoulliverteilt“)
”
Werfe Münze nun n−Mal → für jeden Wurf i Zufallsvariable
Xi ∼Bin(1;0,5) analog zu X definierbar; weiterhin sei Z = Anzahl
”
Def. 10.2
Kopf bei den n Würfen“ −→ Z ∼Bin(n; 0, 5)
Allerdings ist
Z=
n
i=1
Dr. Matthias Arnold
Xi →
n
Xi ∼ Bin (n; 0, 5)
i=1
273
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung
a) Ergebnis aus Beispiel 10.4 allgemein gültig, d.h.: Seien
X1 , ..., Xn unabhängige Zufallsvariablen mit Xi ∼Bin(1; p), so
gilt
n
Xi ∼ Bin (n, p)
X=
i=1
b) Sei X Bin(n, p)−verteilt, dann ist eine Zufallsvariable
Y = n − X Bin(n, 1 − p)−verteilt
Dr. Matthias Arnold
Beispiel n−maliges Würfeln; X = Anzahl Würfe mit
”
Augenzahl<3“ → X ∼Bin(n, 1/3); Y = n − X = Anzahl
”
Würfe mit Augenzahl≥3“ → Y ∼Bin(n, 2/3)
274
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung (Fortsetzung)
c) f (x) Binomialverteilung für verschiedene n und p
0.5
0.4
0.0
0.1
0.2
0.3
f(x)
0.3
0.0
0.1
0.2
f(x)
0.4
0.5
0.6
n=5,p=0.3
0.6
n=5,p=0.1
0
1
2
x
3
4
5
0
1
3
4
5
4
5
0.6
0.5
0.0
0.1
0.2
0.3
f(x)
0.4
0.5
0.4
0.3
f(x)
0.2
0.1
0.0
0
Dr. Matthias Arnold
x
n=5,p=0.8
0.6
n=5,p=0.5
2
1
2
x
3
4
5
0
1
2
x
3
275
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung (Fortsetzung)
c) f (x) Binomialverteilung für verschiedene n & p (Fortsetzung)
0.3
0.0
0.1
0.2
f(x)
0.2
0.0
0.1
f(x)
0.3
0.4
n=10,p=0.3
0.4
n=10,p=0.1
0
2
4
x
6
8
10
0
2
6
8
10
8
10
0.4
0.3
0.0
0.1
0.2
f(x)
0.3
0.2
f(x)
0.1
0.0
0
Dr. Matthias Arnold
x
n=10,p=0.8
0.4
n=10,p=0.5
4
2
4
x
6
8
10
0
2
4
x
6
276
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung (Fortsetzung)
d) Tabellierte Verteilungsfunktion der Bin (n; 0, 5)−Verteilung
n
x
0
1
0,5000
2
0,2500
3
0,1250
4
0,0625
5
0,0313
1
1
0,7500
0,5000
0,3125
0,1875
1
0,8750
0,6875
0,5000
1
0,9375
0,8125
1
0,9688
2
3
4
5
Dr. Matthias Arnold
1
277
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Definition 10.3
Stetige Gleichverteilung, siehe u.a. Beispiel 8.4
Gemäß Bsp. 8.4 a) heißt eine stetige Zufallsvariable X
gleich-/rechteckverteilt auf Intervall [a, b] (kurz: X ∼ R [a, b]), falls
f (x) =
1
b−a
a≤x≤b
sonst
0
Weiterhin gilt
F (x) =
a+b
E (X) =
2
Dr. Matthias Arnold
und
⎧
⎪
⎨0
x−a
⎪ b−a
⎩
1
x<a
a≤x≤b
x>b
(b − a)2
Var (X) =
12
278
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.5
a) Abfüllanlage für Getränkedosen ist auf 0,33 Liter eingestellt
Abweichungen von ±0, 004 L. akzeptabel
Befürchtung/Vermutung/Wissen: Anlage weicht um ±0, 009
L. vom Sollwert ab, Abweichungen auf diesem Intervall
gleichverteilt
Frage: Falls Befürchtung wahr,
Dr. Matthias Arnold
mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt abgefüllte Menge einer
Dose im akzeptablen Bereich?
Erwartungswert/Standardabweichung?
279
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.5
a) Abfüllanlage für Getränkedosen (Fortsetzung)
Annahme also: X ∼ R [0, 321; 0, 339]
Gesucht: P (0, 326 < X ≤ 0, 334) = F (0, 334) − F (0, 326)
(siehe Bem. 2a) nach Definition 8.4);Nach Def. 10.3 gilt
x − 0, 321
x − 0, 321
F (x) =
=
für 0, 321 ≤ x ≤ 0, 339
0, 339 − 0, 321
0, 018
Also ist
F (0, 334) − F (0, 326) =
=
Dr. Matthias Arnold
0, 334 − 0, 321 0, 326 − 0, 321
−
0, 018
0, 018
0, 008
= 0, 444
0, 018
280
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.5
a) Abfüllanlage für Getränkedosen (Fortsetzung)
Weiterhin gilt
E (X) =
Var (X) =
0, 321 + 0, 339
= 0, 33 und
2
(0, 339 − 0, 321)2
= 0, 000027 → σX = 0, 0052 Lit.
12
→ Obwohl Erwartungswert=0,33 Liter=Sollwert, beträgt
Wahrscheinlichkeit, im Toleranzbereich ±0, 004 Litern zu
liegen, lediglich 44,4 %; Grund: σX = 0, 0052 > 0, 004
→ viele Abfüllmengen außerhalb des Toleranzbereiches
b) Anderes Beispiel für stetige Gleichverteilung: S1-Verspätung
(siehe Kapitel 8 & 9)
Dr. Matthias Arnold
281
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Definition 10.4
Sei μ ∈ R und 0 < σ 2 ∈ R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X
die Dichte
f (x) = √
1
2 πσ 2
e
− 12
2
( x−μ
σ ) ,
x ∈ R,
so heißt X normalverteilt mit Parametern μ und σ 2
(kurz: X ∼ N (μ, σ 2 )), wobei
E (X) = μ
und
Var (X) = σ 2
Falls μ = 0 und σ 2 = 1, so heißt X standardnormalverteilt.
Dr. Matthias Arnold
282
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung
0.6
0.5
μ=0
0.3
f(x)
0.1
0.0
0
2
4
−4
0.6
x
0.5
μ=0
−2
0
2
4
0
2
4
x
μ=2
σ2 = 0.5
0.3
0.1
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
f(x)
0.4
σ2 = 2
0.2
f(x)
σ2 = 1
0.2
0.3
f(x)
0.2
0.1
0.0
−2
0.4
0.5
0.6
−4
−4
Dr. Matthias Arnold
μ=2
0.4
σ2 = 1
0.4
0.5
0.6
a) Dichte der Normalverteilung für verschiedene μ und σ 2
−2
0
x
2
4
−4
−2
x
283
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung (Fortsetzung)
b) X ∼ N (μ, σ 2 ) → Dichte von X symmetrisch um μ, d.h.
f (μ − x) = f (μ + x)
für alle
x∈R
c) X ∼ N (μ, σ 2 ), dann gilt
X −μ
∼ N (0, 1)
σ
d) X1 , ..., Xn unabhängig mit Xi ∼ N (μi , σi2 ), dann gilt
n
n
n
Xi ∼ N
μi ,
σi2
i=1
Dr. Matthias Arnold
i=1
i=1
284
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.6
Angenommen, die zeitstetige monatliche Rendite (in %) einer
Aktie ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert
0,5 und Varianz 4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt der Kurs
dieser Aktie dann in einem Monat um mehr als 5%?
X = monatliche Rendite in %“
”
⇒
X ∼ N (0, 5; 4)
5
P (X > 5) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 −
−∞
2
1
− 12 ( x−0,5
)
2
√
dx
·e
2π · 4
Schwer zu berechnen → Anwendung von Bem. c) nach Def. 10.4
Dr. Matthias Arnold
285
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.6 (Fortsetzung)
⎞
⎛
⎜ X − 0, 5
5 − 0, 5 ⎟
⎟
⎜
P (X > 5) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 − P ⎝
≤
⎠
2
2
∼N (0,1)
= 1 − FN (0,1) (2, 25) = 1 − Φ(2, 25)
= 1 − 0, 9878
= 0, 0122 = 1, 22%.
(Hierbei bezeichnet Φ(x) die Verteilungsfunktion der
N (0, 1)-Verteilung)
→ Eine monatliche Kurssteigerung um mehr als 5% ist lediglich
mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,22% zu erwarten.
Dr. Matthias Arnold
286
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung
a) Tabellierte Verteilungsfunktion Φ(x) der N (0, 1)-Verteilung
x2
x1
0,0
0,00
0,5000
···
···
0,04
0,5160
0,05
0,5199
0,06
0,5239
···
···
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
2,1
0,9821
···
0,9838
0,9842
0,9846
···
2,2
0,9861
···
0,9875
0,9878
0,9881
···
2,3
0,9893
···
0,9904
0,9906
0,9909
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Dr. Matthias Arnold
.
.
287
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung (Fortsetzung)
b) Zentraler Grenzwertsatz (Grund für enorme Bedeutung der
Normalverteilung): X1 , ..., Xn seien unabhängig identisch
verteilte (uiv) Zufallsvariablen mit E (Xi ) = μ und
Var (Xi ) = σ 2 . Dann gilt:
⎛
n
⎞
X − nμ
⎜ i=1 i
⎟
√
≤ x⎟
= Φ (x)
lim P ⎜
⎝
⎠
n→∞
σ n
bzw.
√ X̄n − μ
n
lim P
≤x
n→∞
σ
Dr. Matthias Arnold
= Φ (x).
288
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung (Fortsetzung)
c) Mit Hilfe von b) lassen sich also hinreichend große Scharen
unabhängiger Zufallsvariablen mit gleicher Verteilung (egal
welcher!) an die Standardnormalverteilung annähern.
Spezialfall: X1 , ..., Xn uiv mit Xi ∼ Bin (1, p). Somit ist
μ = p, σ 2 = p · (1 − p) und es gilt
⎞
⎛ n
X − np
⎟
⎜ i=1 i
⎟ = Φ (x).
lim P ⎜
≤
x
⎠
n→∞ ⎝
np (1 − p)
Faustregel“: Approximation aus b) akzeptabel, wenn
”
(1) n ≥ 30,
Dr. Matthias Arnold
(2) np ≥ 10,
(3) n (1 − p) ≥ 10
289
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.7
Angenommen, die täglichen Änderungen des Deutschen
Aktienindexes (DAX) seien unabhängige Zufallsvariablen, wobei
P (DAX steigt) = P (DAX fällt) = 1/2
Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt dann der DAX an mehr als
120 von insgesamt 200 Börsentagen?
Definiere Xi =
1 DAX steigt an Börsentag i
(i = 1, ..., 200)
0 sonst
Dann gilt:
X1 , ..., X200
Dr. Matthias Arnold
1
∼ Bin 1,
2
uiv
⇒
X=
200
i=1
1
Xi ∼ Bin 200,
2
290
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.7 (Fortsetzung)
Gesucht:
P (X > 120) = 1 − P (X ≤ 120) (nicht tabelliert)
= 1−
120
P (X = k)
k=0
= 1−
k 200−k
120 1
200
1
k=0
k
2
2
(kaum berechenbar)
→ wende Bemerkung c) nach Beispiel 10.6 an
Dr. Matthias Arnold
291
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Beispiel 10.7 (Fortsetzung)
Faustregeln“ erfüllt?
”
n = 200 ≥ 30 ,
Also:
P (X > 120)
np = 100 ≥ 10 ,
n (1 − p) = 100 ≥ 10 ⎞
⎛
⎜ X − 100
⎜
≤
= 1 − P (X ≤ 120) = 1 − P ⎜ √
⎝
50
⎟
⎟
120−100
√
⎟
50 ⎠
≈N (0,1)
≈ 1 − Φ (2, 83) = 1 − 0, 9977 = 0, 0023 = 0, 23%
→ Unter gegebenen Annahmen steigt der DAX an mehr als 120
von insgesamt 200 Börsentagen mit einer Wahrscheinlichkeit
von (lediglich) 0,23%
Dr. Matthias Arnold
292
Universität Erfurt
Sommersemester 2012 - Statistik
Bemerkung
Fazit/Zusammenfassung Kapitel 10
Unabhängige Wiederholungen eines Bernoulliexperiments
→ Binomialverteilung
Wichtigste stetige Verteilung: Normalverteilung
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für normalverteilte
Zufallsvariablen immer über Standardnormalverteilung (siehe
Bem. c) nach Def. 10.4)
Approximation beliebiger Verteilungen durch
Standardnormalverteilung bei großem Stichprobenumfang
möglich (siehe Bem.b) bzw. c) nach Bsp. 10.6)
Dr. Matthias Arnold
293