Formelsammlung Analysis I / II für Physiker und Mathematiker

Formelsammlung
Analysis I / II
für Physiker und Mathematiker
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Stand: 17.12.2005 - Version: 1.0.1
Erhältlich unter http://privat.macrolab.de
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung “Analysis I” & “Analysis II” von Prof. Dr. Linus Kramer an
der Technischen Universität Darmstadt im Wintersemester 2004/05 und Sommersemester 2005.
2.3
Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen
Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte übernehmen kann.
2.4
Inhaltsverzeichnis
1 Ringe, Körper, Anordnung
1.1
2.5
5
Kommutativer Ring . . . . . . . . . . .
5
1.1.1
Rechenregeln . . . . . . . . . . .
5
1.2
Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
(Ordnungs-) Relationen . . . . . . . . .
6
1.3.1
totale Ordnung . . . . . . . . . .
6
1.3.2
partielle Ordnung . . . . . . . . .
6
1.4
angeordneter Ring / Körper . . . . . . .
6
1.5
Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.6
Konstruktion von Q aus Z . . . . . . . .
6
1.7
Konstruktion von Z aus N . . . . . . . .
1.8
Die Komplexen Zahlen C . . . . . . . .
2 Mengen, natürliche Zahlen, Induktion
2.1
2.2
Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3.1
Einstellige Relationen . . . . . .
9
2.3.2
zweistellige Relationen . . . . . .
9
2.3.3
n-stellige Relationen . . . . . . .
9
Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4.1
Familie . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4.2
Komposition . . . . . . . . . . .
9
2.4.3
injektiv, surjektiv, bijektiv . . . .
9
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.5.1
Anzahl Elemente in einer Menge
10
2.5.2
Fakultät und Binomialkoeffizient
10
2.5.3
Summen / Produktsymbol . . .
10
2.5.4
Eigenschaften von Teilmengen
.
10
2.5.5
Binomische Formel . . . . . . . .
10
2.5.6
Geometische Summe . . . . . . .
10
2.5.7
Wichtige Summen / Reihen . . .
10
2.5.8
Fast alle . . . . . . . . . . . . . .
10
3 Die reellen Zahlen
3.1
10
Schranken . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
7
3.1.1
Schranken / Mini- & Maxima . .
10
7
3.1.2
Supremum / Infimum . . . . . .
11
3.1.3
Archimedisch . . . . . . . . . . .
11
3.1.4
Die reellen Zahlen R . . . . . . .
11
Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
7
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.1
Rechenregeln für Mengen . . . .
8
3.2.1
Folge . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.2
Paare . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2.2
Konvergenz . . . . . . . . . . . .
11
2.1.3
Intervalle . . . . . . . . . . . . .
8
3.2.3
Beschränkt . . . . . . . . . . . .
11
2.1.4
ε-Umgebung . . . . . . . . . . .
8
3.2.4
Monotonie . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.5
offene Menge . . . . . . . . . . .
8
3.2.5
Kombination von Folgen . . . . .
12
Nachfolgerstruktur (Konstruktion von N)
8
3.2.6
Häufungspunkt . . . . . . . . . .
12
2.2.1
9
3.2.7
Teilfolge . . . . . . . . . . . . . .
12
Vollständige Induktion . . . . . .
3.2
1
2
INHALTSVERZEICHNIS
3.3
3.2.8
Satz von Bolzano - Weierstrass .
12
3.2.9
Größter / Kleinster Häufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.2.10 Wichtige Folgen . . . . . . . . .
12
Konstruktion von R . . . . . . . . . . .
12
3.3.1
Ideal . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3.2
Ring der Cauchy-Folgen . . . . .
12
3.3.3
R ist Körper . . . . . . . . . . .
13
3.3.4
Anordnung auf R . . . . . . . . .
13
3.3.5
Supremumsnorm / Archimedisch
13
3.3.6
Eindeutigkeit von R . . . . . . .
13
4 Cauchy Folgen und Reihen
4.1
4.2
5.2
5.3
13
Umkehrfunktion . . . . . . . . .
16
5.1.10 Satz von Weierstrass . . . . . . .
16
Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . .
16
5.2.1
Definition . . . . . . . . . . . . .
16
5.2.2
Konvergenz . . . . . . . . . . . .
16
5.2.3
Potenzreihe . . . . . . . . . . . .
16
Trigonometrische Funktionen . . . . . .
16
5.3.1
Sinus und Cosinus . . . . . . . .
16
5.3.2
Additionstheoreme . . . . . . . .
17
5.3.3
PI π . . . . . . . . . . . . . . . .
17
5.3.4
Hyperbolische Trigonometrische
Funktionen . . . . . . . . . . . .
17
Hermite-Polynome . . . . . . . .
17
5.3.5
Cauchy Folgen . . . . . . . . . . . . . .
13
4.1.1
Definition . . . . . . . . . . . . .
13 6 Integration
18
4.1.2
Vollständig . . . . . . . . . . . .
13
beschränkte Funktionen . . . . . . . . .
18
Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
6.1.1
Definition beschränkte Funktion
18
4.2.1
Definition . . . . . . . . . . . . .
13
6.1.2
Supremumsnorm . . . . . . . . .
18
4.2.2
Cauchy Konvergenzkriterium für
Reihen . . . . . . . . . . . . . . .
13
6.1.3
gleichmäßige Konvergenz . . . .
18
4.2.3
Leibnizkriterium . . . . . . . . .
14
6.1.4
Cauchy-Folge . . . . . . . . . . .
18
4.2.4
Absolute Konvergenz . . . . . . .
14
6.1.5
Zerlegung . . . . . . . . . . . . .
18
4.2.5
Gleiches Konvergenzverhalten . .
14
6.1.6
Stufenfunktion . . . . . . . . . .
18
4.2.6
Majorantenkriterium . . . . . . .
14
6.1.7
Charakteristische Funktion . . .
18
4.2.7
Quotientenkriterium . . . . . . .
14
Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.2.8
Wurzelkriterium . . . . . . . . .
14
6.2.1
Integral für Stufenfunktionen . .
19
4.2.9
Verdichtungssatz von Cauchy . .
14
6.2.2
Regelfunktionen . . . . . . . . .
19
4.2.10 Addition von Reihen . . . . . . .
14
6.2.3
Integral allgemein . . . . . . . .
19
4.2.11 Cauchy-Produkt . . . . . . . . .
14
6.2.4
Stufenfunktionsfolge zu gegebener stetiger Funktion . . . . . . .
19
4.2.12 Funktionalgleichung der Exponentialfunktion / Logarithmus .
14
Eigenschaften des RiemannIntegrals . . . . . . . . . . . . . .
19
4.2.13 Wichtige Reihen . . . . . . . . .
15
Mittelwertsatz (MWS) der Integralrechnung . . . . . . . . . . .
20
Hierarchie von Funktionsräumen
20
5 Reelle Funktionen
5.1
5.1.9
6.1
6.2
6.2.5
6.2.6
15
6.2.7
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
5.1.1
Definition . . . . . . . . . . . . .
15 7 Differentiation
5.1.2
Reelle Algebren . . . . . . . . . .
15
5.1.3
stetige Funktionen . . . . . . . .
15
5.1.4
gleichmäßig stetig . . . . . . . .
5.1.5
7.1
Differentiation
20
. . . . . . . . . . . . . .
20
7.1.1
Stetige Fortsetzung . . . . . . . .
20
15
7.1.2
Häufungspunkt von Mengen . . .
20
Beispiele für stetige Funktionen .
15
7.1.3
Stetige Fortsetzung in Punkt . .
20
5.1.6
Kompostion von Funktionen . .
16
7.1.4
differenzierbar . . . . . . . . . .
20
5.1.7
Einschränkung . . . . . . . . . .
16
7.1.5
differenzierbar Umformulierung .
20
5.1.8
Zwischenwertsatz . . . . . . . . .
16
7.1.6
Ableitung / stetig differenzierbar
21
3
INHALTSVERZEICHNIS
7.1.7
Rechenregeln . . . . . . . . . . .
21
9.1.6
abgeschlossen . . . . . . . . . . .
25
7.1.8
Struktur der Ableitung
. . . . .
21
9.1.7
topologische Äquivalenz . . . . .
25
7.1.9
Kettenregel . . . . . . . . . . . .
21
9.1.8
Segmente . . . . . . . . . . . . .
25
7.1.10 Ableitung der Umkehrfunktion
II.78 . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.9
Abschneiden einer Metrik . . . .
25
21
Normierte Räume . . . . . . . . . . . . .
26
7.1.11 Extrema . . . . . . . . . . . . . .
21
9.2.1
Norm und Metrik . . . . . . . . .
26
7.1.12 striktes lokales Minimum / Maximum . . . . . . . . . . . . . . .
21
9.2.2
Besondere Normen . . . . . . . .
26
7.1.13 Monotonie . . . . . . . . . . . . .
22
9.2.3
Banach-Raum . . . . . . . . . . .
26
7.1.14 Satz von Rolle . . . . . . . . . .
22
9.2.4
(symmetrische) Bilinearform, inneres Produkt . . . . . . . . . . .
26
7.1.15 Mittelwertsatz (MWS) der Differentialrechung . . . . . . . . . . .
22
9.2.5
Norm zu innerem Produkt . . . .
26
7.1.16 gerade und ungerade Funktionen
22
9.2.6
Inneres Produkt zu Norm . . . .
26
7.1.17 mehrfache Ableitung / glatte
Funktionen . . . . . . . . . . . .
9.2.7
Cauchy-Schwarz-Ungleichung . .
27
22
9.2.8
reeller Hilbert-Raum . . . . . . .
27
9.2.9
Beispiel für einen unendlich dimensionalen Hilbert Raum . . .
27
9.2.10 Parallelogrammgleichung . . . .
27
8 Die Hauptsätze der Differential- und In22
tegralrechnung
8.1
8.2
Weitere Eigenschaften des Integrals . . .
22
9.2.11 Weitere Ungleichungen . . . . . .
27
8.1.1
Integral über Einschränkung . .
22
8.1.2
Vertauschung von Grenzen . . .
27
8.1.3
Zerteilung von Integralen . . . .
22 10 Stetige Funktionen
10.1 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . .
22
8.1.4
Integral über Funktionsfolge . . .
23
10.1.1 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . .
27
8.1.5
Differential von Funktionenfolgen
23
10.1.2 L-Lipschitz-stetig . . . . . . . . .
27
8.1.6
gerade und ungerade Funktionen
23
10.1.3 Eigenschaften
von
stetigen
Funktionen . . . . . . . . . . . .
28
Zusammenhang von Differential- und
Integeralrechung . . . . . . . . . . . . .
23
10.1.4 ε − δ-Kriterum für Stetigkeit . .
28
10.1.5 Besondere Stetige Funktionen . .
28
8.2.1
27
1. Hauptsatz der Differentialund Integralrechung . . . . . . .
23
10.2 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . .
28
8.2.2
Stammfunktion . . . . . . . . . .
23
10.2.1 Lineare Abbildung und Stetigkeit
28
8.2.3
2. Hauptsatz der Differentialund Integralrechung . . . . . . .
23
10.2.2 Operatornorm, Vektorraum der
linearen stetigen Abbildungen . .
28
8.2.4
Integral einer Potenzreihe . . . .
23
10.2.3 Vollständigkeit . . . . . . . . . .
28
8.2.5
Ableitung einer Potenzreihe . . .
23
10.2.4 endlichdimensionale Vektorräume
28
8.2.6
Partielle Integration . . . . . . .
23
10.3 endlichdimensionale Räume . . . . . . .
28
8.2.7
Integration durch Substitution .
23
10.3.1 Verhältnis zwischen Normen . . .
28
8.2.8
Beispiele einiger Integrale . . . .
24
10.3.2 Stetigkeit der Identiät zwischen
Räumen mit verschiedenen Normen . . . . . . . . . . . . . . . .
28
10.3.3 Fundamentalsatz über endlichdimensionale normierte Räume .
28
9 Metrische und nomierte Räume
9.1
9.2
24
Metrische Räume . . . . . . . . . . . . .
24
9.1.1
Metrik / Metrischer Raum . . .
24
9.1.2
offene Kugel
. . . . . . . . . . .
24
10.3.4 Lipschitzstetigkeit einer endlichdimensionalen linearen Abbildung 29
9.1.3
Folgen und Konvergenz . . . . .
24
10.3.5 Äquivalenz von Normen . . . . .
29
9.1.4
Cauchy-Folge . . . . . . . . . . .
25
10.3.6 Fixpunkt . . . . . . . . . . . . .
29
9.1.5
Vollständigkeit . . . . . . . . . .
25
10.3.7 Banachs Fixpunktsatz . . . . . .
29
4
INHALTSVERZEICHNIS
11 Offene Mengen, Offene
Kurven, Skalarfelder
12 Differentialrechnung in Vektorräumen
Abbildungen,
29
33
12.1 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
12.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . .
33
12.1.2 Überblick über verschiedene Ableitungsbegriffe . . . . . . . . . .
33
12.1.3 affine Abbildung . . . . . . . . .
33
12.1.4 Struktur der Ableitungen . . . .
33
12.1.5 Jakobimatrix . . . . . . . . . . .
34
12.1.6 Kettenregel . . . . . . . . . . . .
34
12.1.7 Höhere Ableitungen . . . . . . .
34
11.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
11.1.1 Offen . . . . . . . . . . . . . . .
29
11.1.2 offene Abbildung . . . . . . . . .
29
11.1.3 Abgeschlossen . . . . . . . . . . .
29
11.1.4 Satz über offene und Abgeschlossen Mengen . . . . . . . . . . . .
29
11.1.5 Stetigkeit über offenen und abgeschlossenen Mengen . . . . . .
30
11.1.6 Abschluss . . . . . . . . . . . . .
30
11.1.7 Inneres . . . . . . . . . . . . . .
30
11.1.8 Rand . . . . . . . . . . . . . . .
30
12.1.8 Bilinearität der zweiten Ableitung 34
11.1.9 kompakte Mengen . . . . . . . .
30
12.1.9 Hesse-Matrix . . . . . . . . . . .
11.1.10 Satz von Baire . . . . . . . . . .
30
12.1.10 Vertauschbarkeit von Ableitungen 34
11.1.11 Satz von der offenen Abbildung .
30
12.1.11 Potentiale . . . . . . . . . . . . .
34
11.1.12 Umkehrabbildung . . . . . . . .
30
12.1.12 Besondere Ableitungen . . . . . .
35
11.1.13 Verschiedene Aspekte der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
30
12.2 Lokale Extrema reeller Funktionen . . .
35
11.2 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
12.2.1 Extrema . . . . . . . . . . . . . .
35
11.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . .
31
11.2.2 Peano-Kurve . . . . . . . . . . .
31
12.2.2 Kriterium für Extrema / kritische Punkte . . . . . . . . . . . .
35
11.2.3 Wegzusammenhang . . . . . . .
31
12.2.3 notwendig für lokale Maxima
und Minima . . . . . . . . . . . .
35
11.2.4 Geschwindigkeit, differenzierbar .
31
11.2.5 Satz über Differenzierbarkeit . .
31
12.2.4 definit . . . . . . . . . . . . . . .
35
11.2.6 Beschleunigung . . . . . . . . . .
31
12.2.5 Entwickeln einer Funktion mit
ihren Ableitungen . . . . . . . .
35
11.2.7 Rechenregeln für Kurven . . . .
31
11.2.8 differenzieren auf abgeschlossenen Intervall . . . . . . . . . . .
12.2.6 Zweite Ableitung als Norm . . .
35
31
11.2.9 Bogenlänge . . . . . . . . . . . .
32
12.2.7 Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema . . . . . . . . . . .
35
12.2.8 Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema in endlicher Dimension . . . . . . . . . . . . . .
36
12.2.9 Trägheitssatz von Silvester . . .
36
12.2.10 Hurwitz-Kriterium . . . . . . . .
36
34
11.2.10 Umparameterisierung und Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . .
32
11.3 Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . .
32
11.3.1 Differential . . . . . . . . . . . .
32
11.3.2 Kettenregel 1 . . . . . . . . . . .
32
11.3.3 Kettenregel 2 . . . . . . . . . . .
32
12.3 Extrema mit Nebenbedingungen . . . .
36
11.3.4 Richtungsableitung . . . . . . . .
32
12.3.1 Niveaumenge . . . . . . . . . . .
36
11.3.5 Partielle Ableitung . . . . . . . .
32
11.3.6 Rechenregeln des Differentials . .
32
12.3.2 Existenz einer Parameterisierung . . . . . . . . . . . . . . .
36
11.3.7 Affine Abbildung . . . . . . . . .
33
12.3.3 Tangentialraum . . . . . . . . . .
36
11.3.8 Gradient . . . . . . . . . . . . . .
33
11.3.9 Kriterium für stetige Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . .
12.3.4 Extrema mit Nebenbedingung,
Lagrange-Multiplikator . . . . .
36
33
12.3.5 Extrema auf kompakten Mengen
36
5
1.2 Körper
13 Mittelwertsatz und Satz von lokalen Inversen
37
13.1 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
13.1.1 Raum der beschränkten Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
37
13.1.2 Stufenfunktion . . . . . . . . . .
37
13.1.3 Lineare Abbildung und Integral .
37
13.1.4 Ableitung eines Integrals . . . . .
37
13.1.5 Mittelwertsatz der Integralrechnung in Vektorräumen . . . . . .
37
13.2 Invertieren von Funktionen . . . . . . .
38
13.2.1 von Neumannsche Reihe - Inverses 38
13.2.2 Gruppe von invertierbaren linearen Abbildungen . . . . . . . . .
38
13.2.3 Satz vom lokalen Inversen . . . .
38
13.2.4 Notation für implizite Funktionen 38
13.2.5 Satz über implizite Funktionen .
38
13.2.6 Diagonalisierbarkeit von symmetrischen Matizen . . . . . . . . .
38
13.2.7 Ableitung einer Impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
14 Funktionenreihen
1. Kommutativgesetze
(K+ ) x + y = y + x
(K∗ ) x ∗ y = y ∗ x
2. Assoziativgesetze
(A+ ) (x + y) + z=x + (y + z)
(A∗ ) (x ∗ y) ∗ z=x ∗ (y ∗ z)
3. Distributivgesetze
(D) x ∗ (y + z) = (x ∗ y) + (x ∗ z)
(D) (x + y) ∗ z = (x ∗ z) + (y ∗ z)
4. Existens von Neutralelementen
(N+ ) x + 0 = 0 + x = x
(N∗ ) 1 ∗ x = x ∗ 1 = x
5. Inverses Element
(I+ ) zu jedem x gibt es genau ein y mit x + y = 0.
Schreibe y = −x
• Q, R, Z, sind Beispiele für kommutative Ringe. N
ist kein Ring.
• Falls (K∗ ) nicht ausdrücklich verlangt wird,
spricht man von einem nicht-kommutativen Ring.
1.1.1
Rechenregeln
38
38
14.1 Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . .
38
14.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . .
38
14.1.2 Entwicklung mit endlicher Summe 39
In einem kommutativen Ring gelten folgende Rechenregeln:
• Klammern werden nur geschrieben wenn sie nicht
durch die Assoziativität überflüssig gemacht werden.
14.1.3 Fehlerabschätzung . . . . . . . .
39
• − (−x) = x
14.1.4 Vektorwertige Funktionen . . . .
39
• aus x + y = x folgt y = 0
14.2 Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . .
39
14.2.1 Orthonormalsystem . . . . . . .
39
• 0∗x=0
14.2.2 Fourrierkoeffizienten . . . . . . .
39
14.2.3 Fourierentwicklung mit Trigonometrischen Funktionen . . . . . .
39
14.2.4 Konvergenzkriterium . . . . . . .
1
1.1
• (−x) ∗ y = − (x ∗ y) = x ∗ (−y)
1.2
Körper
40 Ein kommutativer Ring (R, 0, 1, +, ∗) heißt Körper
wenn gilt:
Ringe, Körper, Anordnung
Kommutativer Ring
Gegeben sei eine Menge R. Wir nehmen an, es gibt in
R zwei spezielle Elemente, die 0 (Null) und 1 (Eins)
heißen. Weiter soll es auf R zwei Verknüpfungen “+”
(plus) und “∗” (mal) geben, die jeweils zwei Elementen
x und y in R neue Elemente x + y und x ∗ y in R zuordnen. Wir nennen (R, 0, 1, +, ∗) einen kommutativen
Ring, falls die folgenden Rechenregeln für alle x, y, z in
R gelten.
1. 0 6= 1
2. Inverses Element
(I∗ ) Ist x 6= 0 so gibt es genau ein y in R mit
x ∗ y = 1 = y ∗ x. Schreibe y = x−1 = x1 = 1/x
+ 0 1
*
0 0 1 und 0
1 1 0
1
kleinste mögliche Körper.
• (F2 , +, ∗) mit
• Q, R sind Körper
0
0
0
1
0 ist der
1
6
1
1.3
1.3.1
(Ordnungs-) Relationen
totale Ordnung
Es sei X eine (nichtleere) Menge und “<” sei eine
zweistellige Relation auf X (das heißt folgendes: für
x, y ∈ X gilt entweder “x < y” oder “nicht y < x”).
Wir nennen “<” Ordnung oder Anordnung auf X, falls
folgendes für alle x, y, z ∈ X gilt:
1. (O1 ) Entweder x < y oder x = y oder x < y
(genau 1er dieser 3 Fälle)
2. Transitivität
(O2 ) Falls x < y und y < z, so gilt auch x < z
Vereinbarungen
1. Schreibe x ≤ y falls x < y ∨ x = y
2. Schreibe x > y falls y < x
3. Schreibe x ≥ y falls x > y ∨ x = y
4. x heißt positiv falls x > 0
5. x heißt nicht positiv falls x ≤ 0
6. x heißt negativ falls x < 0
7. x heißt nicht negativ falls x ≥ 0
1.5
1.3.2
RINGE, KÖRPER, ANORDNUNG
Absolutbetrag
partielle Ordnung
Wir definieren den Absolutbetrag (oder Betrag) in einem angeordneten Ring oder Körper R durch
Eine partielle Ordnungsrelation R auf einer Menge M
(
ist eine Teilmenge von M × M die die folgenden Eigenx
x≥0
schaften besitzt:
|x| =
−x x < 0
1. Reflexivität
(x, x) ∈ R für alle x ∈ M
2. antisymmetrisch
(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y
3. transitiv
(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
Wir schreiben anstatt (x, y) ∈ R auch x ≤ y und sagen,
dass R auf M eine partielle Ordnung definiert.
1. |−x| = |x| ≥ 0
2. |x ∗ y| = |x| ∗ |y|
3. Dreiecksungleichung
|x + y| ≤ |x| + |y|
4. Umgekehrte Dreiecksungleichung
|x − y| ≥ ||x| − |y||
1.6
Konstruktion von Q aus Z
• Nicht alle Elemente müssen vergleichbar sein.
Die Elemente von Q sind die ganzzahligen Brüche der
Form ab mit a, b ∈ Z, b 6= 0. Brüche werden also durch
1.4 angeordneter Ring / Körper
Paare ganzer Zahlen beschrieben, allerdings nicht eindeutig. Setze X = {(a, b) |a, b ∈ Z ∧ b 6= 0} die MenEin Ring oder Körper (R, +, ∗, 0, 1) heißt angeord- ge aller Paare ganzer Zahlen (a, b) mit b 6= 0. Das
neter Ring (entspr. Ring mit 1 aus LA) / Körper, Paar (a, b)soll den Bruch ab darstellen. Wir nennen
falls “<” eine (totale) Ordnung auf R ist, schreibe zwei Paare (a, b) und (a′ , b′ ) äquivalent, falls ab′ = a′ b
(R, +, ∗, 0, 1, <) , falls folgendes für alle x, y, z ∈ R gilt: ((a, b) ∼ (a′ , b′ )). Wir identifizieren äquivalente Paare
miteinander und schreiben ab für die Menge aller Paare
(a′ , b′ ) mit ab′ = a′ b. Wir definieren die Rechenregeln
1. (OR1 ) Wenn x < y, so auch x + z < y + z
wie folgt auf Q = X/ ∼:
2. (OR2 ) Wenn x < y und 0 < z, so auch x∗ z < y ∗ z
1. Addition
• Jeder angeordnete Ring/Körper hat unendlich viele Elemente
• negativ * negativ = positiv
• negativ * positiv = negativ
• 0 < x2 falls x 6= 0
• 0<1
• Bernoulli’sche Ungleichung:
n
∀n ∈ N : ∀x ≥ −1 : (1 + x) ≥ 1 + nx
a1
a2
a1 b 2 + a2 b 1
+
=
b1
b2
b1 b2
2. Multiplikation
a1 ∗ a2
a1 a2
∗
=
b1 b2
b1 ∗ b2
• Aus Ringen lassen sich Körper “basteln”, das
macht man in der Algebra. Stichwort “lokalisieren
von Ringen”.
7
1.7
Konstruktion von Z aus N
• Komplex konjungiert
wenn z = x + iy dann z̄ = x − iy
Ganz ähnlich wie die Konstruktion von Q aus Z
durch Äquivalenzklassen von Paaren. Setze Y =
{(m, n) |m, n ∈ N}. Das Paar (m, n) soll die ganze Zahl
“m − n” kodieren. Wir nennen zwei Paare (m, n) und
(m′ , n′ ) äquivalent (∼), falls m + n′ = m′ + n. Die
entsprechenden Äquivalenzklassen von Paaren sind die
ganzen Zahlen Z = N2 / ∼. Schreibe m−n für die durch
(m, n) kodierte Zahl. Es gelten folgende Rechenregeln:
1. Addition
◦ z̄¯ = z
◦ z̄ = z ⇔ y = 0 ⇔ z ∈ R
◦ z ∗ z̄ = x2 + y 2 ≥ 0
• Betrag
p von einer komplexen Zahl
√ oder Norm
|z| = z ∗ z̄ = x2 + y 2
2
Mengen, natürliche
Induktion
(m1 −n1 )+(m2 −n2 )=(m1 +m2 )−(n1 +n2 )
2. Multiplikation
(m1 −n1 )∗(m2 −n2 )=(m1 m2 +n1 n2 )−(m1 n2 +m2 n1 )
1.8
Die Komplexen Zahlen C
Wir konstruieren den Körper C der komplexen Zahlen
wie folgt:
C = {(x, y) |x, y ∈ R}
2.1
Zahlen,
Mengen
In der Sprache der Mengenlehre gibt es nur ein fundamentales Zeichen: ∈
• ∈ “ist Element von”
• x ∈ y “x ist Element von y”
• x∈
/ y “x ist nicht Element von y”
Wir stellen uns eine komplexe Zahl z = (x, y) als Punkt Vereinbarung: schreibe A ⊆ X (A ist Teilmenge von
in der Ebene vor. Wir definieren Verknüpfungen + und X) falls für jedes a ∈ A gilt a ∈ X.
∗ auf C wie folgt:
Mengen werden nach bestimmten Spielregeln gebaut,
den Zermelo-Fraenkel-Axiomen (ZFC (c wie choice)):
1. Addition
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
2. Multiplikation
(x1 , y1 ) ∗ (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 )
• Einselement (1, 0)
• Nullelement (0, 0)
1. (Ex) Es gibt Mengen
2. (Ext) Zwei Mengen sind gleich, falls sie die gleichen Elemente haben: X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X ⇒ X = Y
3. (Aus) Ist X eine Menge, ϕ eine Formel (Bedingung), so ist {x ∈ X|ϕ (x) gilt} ebenfalls eine
Menge (eine Teilmenge von X).
• Die leere Menge ist definiert durch ∅ = {} :=
{x ∈ X|x 6= x}
• Inverses Element
zu (x, y)
−y
x
,
x2 +y 2 x2 +y 2
• Der Durchschnitt (Schnittmenge) X ∩ Y =
{x ∈ X|x ∈ Y }
• Identifiziere Teilmenge {(x, 0) |x ∈ R} ⊂ C mit R
• Das Komplement X\Y
{x ∈ X|x ∈
/ Y}
1
z
=
z̄
|z|2
• schreibe i = (0, 1)
• i2 = −1
• schreibe statt z = (x, y) nun z = x + iy
◦ hiermit lassen sich die Rechenregeln leichter
merken
• Realteil
ℜ (x + iy) = Re (x + iy) = x
• Imaginärteil
ℑ (x + iy) = Im (x + iy) = y
• Disjunkt heißen zwei Mengen, wenn X ∩ Y =
∅
=
X − Y
=
• Die symmetrische Differenz A△B = A\B ∪
B\A
4. (P aar) Sind X, Y Mengen, dann gibt es eine Menge Z, deren Elemente genau X und Y sind. (entsprechend mit mehr als 2 Mengen)
5. (V er) Ist X eine Menge, so gibt es eine Menge Z,
deren Elemente genau
die Elemente der Elemente
S
von X sind, Z = X = {z|∃x ∈ X : z ∈ x}
• Die Vereinigung von zwei Mengen
lässt sich
S
auch so schreiben: X ∪ Y = {X, Y }
8
2 MENGEN, NATÜRLICHE ZAHLEN, INDUKTION
• Für die Vereinigung von disjunkten Mengen Klammern sind nicht wichtig, wir lassen sie weg. Ist
˙
X, Y schreibe auch X ∪Y
X = X1 = . . . = Xn , schreiben wir X n = X × . . . × X .
|
{z
}
6. (P ot) Ist X eine Menge, so gibt es eine Menge, Die Elemente dieser Menge heißen n-Tupel.
deren Elemente genau die Teilmengen von X sind,
die Potenzmenge P (X) = {Y |Y ⊆ X}.
2.1.3 Intervalle
• ∅ ∈ P (X)
Sei a, b ∈ R, a ≤ b.
• X ∈ P (X)
• P (∅) = {∅}
• Ist X endlich mit n Elementen, so hat die
Potenzmenge 2n Elemente
n−mal
Die Menge [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} heißt abgeschlossenes endliches Intervall (abgeschlossenes beschränktes
Inervall ).
Die Menge (a, b) = {x ∈ R|a < x < b} heißt offenes
• Ist X endlich
mit n Elementen, so gibt es ge
endliches Intervall.
n
nau k k-elementige Mengen in der Potenzmenge von X (bzw. k-elementige Teilmengen
• andere Schreibweise auch gebäuchlich: (a, b) =
in X)
]a, b[
7. (F und) Es gibt keine bodenlosen Mengen. Ist X
eine nichtleere Menge, so gibt es ein Y ∈ X mit
2.1.4 ε-Umgebung
X ∩Y =∅
• für keine Menge X kann gelten X ∈ X
• Die “Russelmenge” R = {M |M ∈
/ M } ist
nach den Axiomen keine Menge.
Für ε > 0 heißt die Menge Uε (x) = (x − ε, x + ε) εUmgebung von x.
2.1.5
offene Menge
8. (Inf ) Es gibt unendliche Mengen.
9. (Ers) Ist ϕ (x, y) eine Formel, die einer Menge x
eine neue Menge y zuordnet, und ist X eine Menge, so ist auch {y|x ∈ X ∧ ϕ (x, y)} eine Menge.
10. (Choice) Ist X eine nichtleere Menge mit der Eigenschaft, dass alle Elemente von X disjunkt sind,
so gibt es eine Menge Z, die mit jedem Element
von X genau ein Element gemeinsam hat. (Teilweise umstrittenes Axiom)
2.1.1
Rechenregeln für Mengen
• Komplementbildung
Sei A ⊆ M dann ist Ac = M \A
• Distributivgesetz
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• de Morgan’sch Regel
c
(A ∪ B) = Ac ∩ B c
c
(A ∩ B) = Ac ∪ B c
2.1.2
Paare
Ein geordnetes Paar (x, y) hat eine erste Komponente
x und eine zweite Komponente y. In der Sprache der
Mengenlehre setzt man (x, y) = {{x} , {x, y}}. Es gilt
(x, y) = (x′ , y ′ ) genau dann, wenn x = x′ und y = y ′ .
Das kartesische Produkt X × Y zweier Mengen X, Y
ist {(x, y) |x ∈ X ∧ y ∈ Y }. Ist X = Y schreibt man
X × X = X 2 = {(x1 , x2 ) |x1 , x2 ∈ X}. Dieses lässt sich
Iterrieren zu Produkten (. . . (X1 × X2 ) × . . .)×Xn . Die
Eine Menge X heißt offen, falls es zu jedem Punkt x ∈
X eine ε-Umgebung Uε (x) gibt, welche ganz in X liegt.
Mit Qantoren:
∀x ∈ X∃ε > 0 : Uε (x) ⊆ X
• R, ∅, (a, b) , (a, b) ∪ (c, d) sind offene Mengen
• N, Z, Q, [a, b] sind nicht offen
2.2
Nachfolgerstruktur (Konstruktion
von N)
Eine Menge N mit einer Abbildung σ : N → N (σ heiße Nachfolgerabbildung) heißt Nachfolgerstruktur, falls
sie die Peano-Axiome erfüllt:
1. (P1 ) Es gibt ein Element o ∈ N , so dass ∀x ∈ N :
σ (x) 6= o
2. (P2 ) Aus σ (x) = σ (y) folgt x = y (σ ist injektiv)
3. (P3 ) Ist X ⊆ N eine Teilmenge, und gilt o ∈ X,
und folgt aus x ∈ X ⇒ σ (x) ∈ X (d.h. X ist abgeschlossen unter der Nachfolgerfunktion) so gilt
X = N.
• (P3 ) ist das Axiom der vollständigen Induktion.
• Es gibt genau eine Nachfolgerstruktur mit (N, s)
mit o = ∅ und s (x) = x ∪ {x}
• Ist (N, σ) eine Nachfolgerstruktur, dann gibt es
genau eine bijektive Abbildung ϕ : N → N mit
ϕ (∅) = o, s (x) = x ∪ {x} und ϕ (s (x)) = σ (ϕ (x))
9
2.4 Abbildungen
• Addition:
o+o=o
o+x=x=x+o
σ (x) + y = σ (x + y)
• Multiplikation:
o∗o=o
o∗x=o=x∗o
σ (x) ∗ y = x ∗ y + y
• Bei dieser Kodierung der natürlichen Zahlen gilt:
n<m⇔n∈m
2.2.1
1. ϕ (0) ist wahr
2. ϕ (n) ⇒ ϕ (n + 1)
dann ist ϕ (m) wahr für alle m ∈ N.
Relationen
n-stellige Relationen
Eine Teilmenge R ⊆ X1 × . . . × xn heißt n-stellige Relation. Schreibe R (x1 , . . . , xn ) falls (x1 , . . . , xn ) ∈ R.
2.4
Abbildungen
Eine Relation f ⊆ Y × X heißt Abbildung oder Funktion falls es zu jedem x ∈ Xgenau ein y ∈ Y gibt mit
(y, x) ∈ f . Schreibe f (x) = y falls yf x. Schreibe dafür
kurz
f :X
x
Vollständige Induktion
Das Peano-Axiom (P3 ) sagt: ist ϕ eine Aussage über
natürliche Zahlen und gilt:
2.3
2.3.3
→ Y
7→ y = f (x)
• Ist f : X → Y eine Abbildung, und ist A ⊆ X, so
ist f (A) = {f (a) |a ∈ A} ⊆ Y das f -Bild von A.
Ist B ⊆ Y , so ist f −1 (B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B} ⊆
X das f -Urbild von B.
• Sei f : X → Y eine Abbildung. Für A ⊆ X definiere f |A : A → Y mit a 7→ f (a) die Einschränkung
von f auf A.
• Es gilt für B1 , B2 ⊆ Y
f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ) = f −1 (B1 ∩ B2 )
f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ) = f −1 (B1 ∪ B2 )
C
f −1 B1C = f −1 (B1 )
Relationen sind Eigenschaften von Elementen von
Mengen bzw. von n-Tupeln. Sie sind entweder erfüllt
oder nicht erfüllt. Diese Eigenschaft wird repräsentiert
durch das Element sein in einer entsprechenden Teil- 2.4.1 Familie
menge oder nicht Element sein.
Eine Famile k ist eine Funktion die
2.3.1
Einstellige Relationen
n 7→ kn
Eine einstellige Relation einer Menge X ist eine Teilmenge R ⊆ X, schreibe R (x) für x ∈ R.
n ist dabei ein Element aus der Indexmenge, die alle
möglichen kn sozusagen durchindiziert.
2.3.2
2.4.2
zweistellige Relationen
Komposition
Eine Teilmenge R ⊆ X × Y heißt zweistellige Relation. Sind R ⊆ Z × Y und S ⊆ Y × X Relationen, setze R ◦ S ⊆ Z × X durch R ◦ S =
Schreibe xRy falls (x, y) ∈ R.
{(z,
x) ∈ Z × X|∃y ∈ Y : zRy ∧ ySx}.
Eine zeistellige Relation R ⊆ X 2 heißt
Speziell: sind f : Y → Z und g : X → Y Abbildungen,
so
ist f ◦ g die Abbildung x 7→ f (g (x)), lies “f nach
reflexiv falls ∀x ∈ X : xRx
g”.
symmetrisch falls xRy ⇒ yRx
• Kompositionen sind assoziativ, d.h. es muss nicht
transitiv falls xRy ∧ yRz ⇒ xRz
geklammert werden.
Äquivalenzrelation falls sie reflexiv, symmetrisch
und transitiv ist.
2.4.3 injektiv, surjektiv, bijektiv
• Die Menge [x] = [x]R = {y ∈ X|xRy} heißt Äqui- Eine Abbildung f : X → Y heißt:
valentzklasse von x. Setze X/R = {[x]R |x ∈ X},
gesprochen “X mod R”, ist die Menge aller Äquisurjektiv falls es zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X mit
valenzklassen.
f (x) = y gibt
Ordnungsrelationen siehe 1.3 auf Seite 6
• ∃g : Y → X : f ◦ g = idY
10
3
injektiv falls f (x) = f (y) ⇒ x = y bzw. x 6= y ⇒
f (x) 6= f (y)
2.5.4
DIE REELLEN ZAHLEN
Eigenschaften von Teilmengen
Sei X eine n-elementige endliche Menge. Dann besitzt
X genau 2n Teilmengen. Darunter sind genau nk k• Verknüpfung von injektiven Funktionen ist elementige Teilmengen.
wieder injektiv
• ∃g : Y → X : g ◦ f = idX
bijektiv falls sie surjektiv und injektiv ist, d.h. falls es 2.5.5 Binomische Formel
zu jedem y ∈ Y genau ein x ∈ X gibt mit f (x) = y
Sind a, b Elemente eines kommutativen Ringes, so gilt:
• ∃g : Y → X : f ◦ g = idY ∧ g ◦ f = idX
n X
n n−k k
n
(a + b) =
a
b
k
2.5 Kombinatorik
k=0
2.5.1
Anzahl Elemente in einer Menge
2.5.6
Geometische Summe
Für die Anzahl der Elemente einer Menge A schreibe
Sei K ein Körper, q ∈ K und q 6= 1. Dann gilt:
kurz: n = #A = card (A) (bzw. n = |A|)
2.5.2
n
X
Fakultät und Binomialkoeffizient
k=0
Wir schreiben für die Zahl n dessen Fakultät mit n!.
Wir definieren 0! = 1 und (n + 1)! = (n + 1) n! = 1 ∗ 2.5.7
2 ∗ . . . ∗ (n + 1).
•
n!
Der Binomialkoeffizient nk = k!(n−k)!
, lies n über k,
ist definiert für alle 0 ≤ k ≤ n.
• ergibt im gesamten Definitionsbereich natürliche
Zahlen
Qn
• n! = i=1 i
n n+1 • nk + k+1
= k+1 für 0 ≤ k < n
Pn
n
n
•
k=0 k = 2
n • nk = n−k
• 2n ≤ n! für n > 3
• n! ≤ nn
2.5.3
Summen / Produktsymbol
Sind ai , ai+1 , . . . , an Elemente eines Ringes. Dann setze
das Summensymbol wie folgt:
n
X
al = ai + ai+1 + . . . + an
l=i
qk =
Wichtige Summen / Reihen
n
X
k=1
•
n
X
k2 =
k=1
•
n
X
k=1
2.5.8
1 − q n+1
1−q
k=
n (n + 1)
2
n (n + 1) (2n + 1)
6
1
n
1
=
=1−
k (k + 1)
n+1
n+1
Fast alle
Eine Aussage gilt für fast alle natürlichen Zahlen, wenn
sie nur endlich viele Ausnahmen hat.
3
Die reellen Zahlen
3.1
3.1.1
Schranken
Schranken / Mini- & Maxima
Sind sie sogar Elemente eines kommutativen Ringes Es sei (X, <) eine geordnete Menge und sei A ⊆ X. Ein
Element x ∈ X heißt obere Schranke (untere Schranke)
setzen wir das Produktsymbol wie folgt:
für A, falls für alle a ∈ A gilt a ≤ x (bzw. a ≥ x). Falls
n
Y
es a0 ∈ A gibt, das obere Schranke (untere Schranke)
al = ai ∗ ai+1 ∗ . . . ∗ an
ist, so heißt a0 Maximum (Minimum) von A).
l=i
• Diese Zeichen binden ähnlich wie das Integralzeichen solange, wie nur Multiplikationen vorgenommen werden.
Q
• n! = nk=1 k
• eine Menge kann im allgemeinen mehrere odere /
untere Schranken haben, aber höchstens ein Minimum / Maximum
• das Minimum / Maximum muss nicht existieren
11
3.2 Folgen
3.1.2
Supremum / Infimum
3.2.2
Konvergenz
Eine kleinste (größte) obere (untere) Schranke heißt Eine Folge (ci )i∈I konvergiert gegen eine Zahl r, falls es
Supremum (Infimum) für A, schreibe x = sup (A) (x = zu jedem ε > 0 ein n ∈ N gibt, so dass |cl − r| ≤ ε für
alle l ∈ I mit l ≥ n gilt. Mit Quantoren ausgedrückt:
inf (A)).
limi∈I ci = r ⇔
Eine geordnete Menge (X, <) hat Supremumseigenschaft, falls jede Teilmenge A ⊆ X die eine obere
Schranke hat, auch ein Supremum besitzt.
∀ε∈R,ε>0:∃n∈N:∀l∈I,l≥n:|cl −r|≤ε
Für diesen Grenzwert r schreiben wir
• falls A ein Minimum (Maximum) hat, ist dies auch
das Infimum (Maximum)
• Q hat die nicht Supremumseigenschaft
• N, Z, R haben die Supremumseigenschaft
• Jeder angeordnete Ring / Körper der die Supremumseigenschaft hat, ist auch archimedisch.
3.1.3
lim ci = r
i∈I
Eine Folge mit dem Grenzwert 0 nennen wir Nullfolge.
• Wenn eine Folge konvergiert, nennt man sie konvergent , anderenfalls divergent .
• Eine Folge konvergiert gegen höchstens eine Zahl
• Für Grenzwert auch andere Schreibweisen gebräuchlich: limi→∞ ci = r
Archimedisch
Ein angeordneter kommutativer Ring oder Körper R
ist archimedisch, falls es zu jedem Element r ∈ R ein
n ∈ N gibt mit n ∗ 1 = 1 + 1 + . . . + 1 ≥ r.
|
{z
}
• Umformulierung des Satzes: limi∈I ci = r ⇔ ∃k ∈
R : ∀ε ∈ R, ε > 0 : ∃n ∈ N : ∀l ≥ n : |cl − r| ≤ kε
• Jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt
n−mal
3.2.3
Beschränkt
• Ist R ein archimedischer geordneter Körper, und Eine Folge (c )
i i∈I heißt beschränkt, falls es Zahlen
ist ε > 0, so gibt es ein n ∈ N\ {0} mit n1 < ε
k, K ∈ R gibt mit k ≤ ci ≤ K für alle i ∈ I. Äquivalent dazu: Es gibt ein l ∈ R mit |ci | ≤ l für alle
• Z, Q sind archimedisch
i ∈ I.
• es gibt viele Körper, die nicht archimedisch sind, Jede konvergente Folge ist beschränkt.
z.B. die nicht-Standard-Zahlen
3.2.4
3.1.4
Die reellen Zahlen R
Es gibt angeordnete Körper mit der Supremumseigenschaft. Je zwei solcher Körper sind kanonisch isomorph
(es gibt genau einen Isomorphismus zwischen ihnen).
Ein solcher Körper ist R.
Monotonie
Eine Folge (ci )i∈I heißt
• monoton wachsend falls ci ≤ cj
• streng monoton wachsend falls ci < cj
• monoton fallend falls ci ≥ cj
3.2
3.2.1
Folgen
Folge
• streng monoton fallend falls ci > cj
für alle i < j gilt.
Ist die Folge (ci )i∈I monoton wachsend (fallend) und
beschränkt,
dann konvergiert sie.
Es sei I ⊆ N eine unendliche Menge natürlicher Zahlen.
Eine (reelle) Folge ist eine Abbildung c : I → R, i 7→
c (i) = ci . I ist die Indexmenge der Folge, die Zahlen ci
• Bei monoton wachsenden konvergenten Folgen gilt
heißen Folgenglieder der Folge. Schreibe auch (ci )i∈I .
limi∈I ci = sup {ci |i ∈ I}
• ci = r ist eine konstante Folge
• Bei monoton fallenden konvergenten Folgen gilt
limi∈I ci = inf {ci |i ∈ I}
12
3.2.5
3
Kombination von Folgen
• Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt.
Seien (an )n∈I und (bn )n∈I konvergent mit limn∈I an =
a und limn∈I bn = b. Betrachte die Summenfolge(an + bn )n∈I und Produktfolge (an bn )n∈I . Es gilt
lim (an + bn )
n∈I
lim (an bn )
i∈I
= a+b
= ab
Falls a 6= 0 6= an für alle n ∈ I gilt, folgt
1
1
lim
=
n∈I
an
a
DIE REELLEN ZAHLEN
lim ci ⇒ lim inf ci = lim sup ci
i∈I
i∈I
Wichtige Folgen
Harmonische Folge n1 n∈N limn
i∈I
3.2.10
1
n
=0
Konstante Folge (k)i∈N limn k = k
geometrische Folge q k k∈N ∧ |q| < 1 limn q k = 0
3.3
Konstruktion von R
• Die Menge der konvergenten Folgen F bildet einen
3.3.1 Ideal
Vektorraum. Die Grenzwertbildung ist ein lineares
Funktional auf F, das heist, dass lim : F → R eine
Ist R ein (kommutativer) Ring, I ⊆ R eine nichtleere
lineare Abbildung ist.
Teilmenge mit
3.2.6
Häufungspunkt
1. x, y ∈ I ⇒ x + y ∈ I
2. x ∈ I ∧ y ∈ R ⇒ x · y ∈ I
Eine Zahl r heißt Häufungspunkt der Folge (cn )n∈I ,
falls für jedes ε > 0 die Menge {n ∈ I| |cn − r| ≤ ε} dann heißt I Ideal in R.
unendlich ist.
Dann ist der Faktorring R/I = {r + I|r ∈ R} mit r +
I = {r + i|i ∈ I} mit den Verknüpfungen
• Jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt
• Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert.
1. (r + I) + (s + I) = (r + s) + I
• Eine Zahl r ist Häufungspunkt der Folge (ci )i∈I
genau dann, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen
r konvergiert.
3. Nullelement
0=I
3.2.7
2. (r + I) · (s + I) = r · s + I
4. Einselement
1=1+I
Teilfolge
wieder ein Ring.
Ist (ci )i∈I eine Folge, und ist J ⊆ I unendlich, so heißt
die Folge (cj )j∈J Teilfolge der urspünglichen Folge.
3.2.8
Satz von Bolzano - Weierstrass
• Hiermit lassen sich in R Äquivalenzklassen bilden,
mit der Eigenschaft [r] = {r + i|i ∈ I}
3.3.2
Ring der Cauchy-Folgen
Jede beschränkte Folge auf einem Ring / Körper der die
Supremumseigenschaft erfüllt (z.B. R) hat mindestens Setze ~q = (q)n∈N = (q, q, q, . . .). Sei R =
CF (Q) = {Cauchy-Folgen in Q} und I = N F (Q) =
einen Häufungspunkt.
{Nullfolgen in Q} mit den Verknüpfungen
• Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge
1. (an )n∈N + (bn )n∈N = (an + bn )n∈N
2. (an )n∈N · (bn )n∈N = (an · bn )n∈N
3.2.9
Größter / Kleinster Häufungspunkt
3. Einselement 1 = ~1
4. Nullelement 0 = ~0
Der größte Häufungspunkt der beschränkten Folge
(cn )n∈I nennt man Limes superior:
I ist ein Ideal. Also ist R/I = R ein Ring.
lim sup ci = limi∈I ci
i∈I
Der kleinste Häufungspunkt heißt Limes inferior:
lim inf ci = limi∈I ci
i∈I
• Reelle Zahlen sind also Äquivalenzklassen von
Cauchy Folgen (bis auf Addition von Nullfolgen
verschieden).
• Dieses Konzept nennt sich Vervollständigung eines
metrischen Raumes
13
3.3.3
R ist Körper
R ist ein Körper, d.h. wir können dividieren.
Sei x ∈ R, x 6= 0 gesucht: y ∈ R mit x · y = 1. Es
gilt, dass x = (xn )n∈N + I 6= I d.h. (xn )n∈N ist keine
Nullfolge.
( Insbesondere ist xn 6= 0 für fast alle n. Setze
0
falls xn = 0
yn =
. Dann ist xn · yn = 1 für fast
1
sonst
xn
alle n. Also ist diese (yn )n∈N das gesuchte Inverse zu
x.
3.3.4
Cauchy Folgen und Reihen
4.1
X = {r ∈ CF (Q) |Es gibt ε > 0,
so dass rn ≥ ε für fast alle n ∈ N gilt}
Dann gilt
˙ ∪X
˙
CF (Q) = −X ∪I
Seien P ⊆ R die positiven reellen Zahlen. P =
{r + I|r ∈ X}. Damit gilt
˙
R = −P ∪˙ {0} ∪P
und X · X ⊆ X, X + X ⊆ X, X + I ⊆ X. Also auch
P · P ⊆ P und P + P ⊆ P .
Wir definieren eine Ordnung “<” auf R durch: x < y ⇔
y − x ∈ P . Dann ist R ein angeordneter Körper und es
gelten die Eigenschaften aus 1.4 auf Seite 6.
Supremumsnorm / Archimedisch
Cauchy Folgen
4.1.1
Definition
Sei R ein angeordneter Ring oder Körper (z.B. R =
Z, Q, R). Eine Folge (ci )i∈I in R heißt Cauchy-Folge
oder Fundamentalfolge falls es zu jedem ε ∈ R mit
ε > 0 ein n ∈ N gibt, so dass |cl − cm | ≤ ε für alle
l, m ≥ n.
∀0 < ε ∈ R : ∃n ∈ N : ∀l, m ≥ n : |cl − cm | ≤ ε
Anordnung auf R
Sei
3.3.5
4
• Eine Folge in R (bzw. einem Körper mit der Supremumseigenschaft) ist genau dann konvergent,
wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
• Cauchy Folgen sind immer beschränkt.
4.1.2
Vollständig
Der angeordnete Ring / Körper heißt (folgen-) vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in R auch konvergent
ist.
• Wenn R die Supremumseigenschaft hat, ist R auch
vollständig.
• Z, R sind vollständig
• Q ist nicht vollständig
4.2
Reihen
R ist archimedisch, d.h für jedes r ∈ R lässt sich ein 4.2.1 Definition
n ∈ N finden, so dass ~n ≥ r gilt.
Pk
i=0 ai . DieR hat die Supremumseigenschaft, d.h. jede beschränkte Es sei (an )n∈N eine Folge. Setze sk =
se
neue
Folge
(s
)
heißt
Partialsummenfolge
oder
k
k∈N
P∞
Teilmenge A von R hat auch eine kleinste obere Schrana
.
Falls
unendliche
Reihe,
schreibe
(s
)
=
n
k
n=0
k∈N
ke. Zu jedem n ∈ N findet man eine obere Schranke
qn ∈ Q für A mit |qn − a| ≤ n1 für ein a ∈ A. Dann bil- diese Folge (sk )k∈N konvergiert, spricht mann von eiden die qn eine rationale Cauchy-Folge, und (qn )n∈N +I ner konvergenten Reihe, ansonsten von einer divergenden Grenzwert s = limk sk schreibe
ist die kleinste obere Schranke für A, das gesuchte Su- ten Reihe.PFür
∞
lim
s
=
a
k
k
n.
n=0
premum.
P∞
• Das Symbol n=0 an hat also mehrere Bedeutungen, den Grenzwert der Reihe und die Reihe sel3.3.6 Eindeutigkeit von R
ber.
Ist R ein angeordneter Körper mit der Supremumseigenschaft, dann gibt es genau einen Isomorphismus
4.2.2 Cauchy Konvergenzkriterium für Reihen
ϕ : R → R. Dieser ist wie folgt definiert.
P∞
Eine Reihe k=0 ak konvergiert genau dann, wenn die
1. ϕ (n · 1) = n · IR
Folge (sn )n∈N ihrer Partialsummen eine Cauchy-Folge
ist. D.h. die Reihe konvergiert genau dann,
2. ϕ n1 = n1 ϕ (1) = n1 IR
Pm wenn es zu
jedem ε > 0 ein n ∈ N gibt, so P
dass | k=l ak | ≤ ε für
alle n ≤ l ≤ m. Mit Quantoren: ∞
3. ϕ pq = pϕ 1q
k=0 ak ist konvergent
⇔
m
4. Für r ∈ R sei Ar = {q ∈ Q|q ≤ r}, dann ist r =
X sup (Ar ). Setze ϕ (r) = sup (ϕ (Ar ))
ak ≤ ε
∀ε > 0 : ∃n ∈ N : ∀n ≤ l ≤ m : k=l
2
In R gilt: P = r |r ∈ R\ {0} , die Anordnung von
• Insbesondere muss (ak )k∈N eine Nullfolge sein,
R ist algebraisch bestimmt. Deshalb muss man ϕ so
wenn die Reihe konvergieren soll.
konstruieren, es gibt keinen anderen Isomorphismus.
14
4.2.3
4 CAUCHY FOLGEN UND REIHEN
Leibnizkriterium
4.2.8
Wurzelkriterium
p
n
|aP
n| ≤ Θ
Ist (ak )k∈N eine streng monoton fallende Nullfolge. Gibt es ein Θ ∈ R mit Θ < 1 so, dass
∞
für
fast
alle
n,
dann
konvergiert
die
Reihe
Dann konvergiert die Reihe
k=0 ak
absolut.
∞
X
p
(−1)k ak
∃Θ < 1, Θ ∈ R : ∀n ∈ N : n |an | ≤ Θ
k=0
p
Falls für fast alle n n |an | ≥ 1 ist, divergiert die Reihe.
4.2.4
Absolute Konvergenz
P∞
Eine Reihe k=0 ak konvergiert absolut, falls die Reihe
P
∞
k=0 |ak | konvergiert. Jede absolut konvergente Reihe
konvergiert.
4.2.5
Gleiches Konvergenzverhalten
Sind (ak )k∈N und (bk )k∈N Folgen, und gilt ak = bk
für fast alle k ∈ N, so haben die beiden
P∞ Folgen
(a
)
,(b
)
und
die
beiden
Reihen
k=0 ak und
Pk∞k∈N k k∈N
b
das
gleiche
Konvergenzverhalten
k=0 k
• Für sowohl unendlich viele kleinere, als auch größere Glieder lässt sich keine allgemeine Aussage
machen.
4.2.9
Verdichtungssatz von Cauchy
Sei (an )n eine positive, monoton fallende Folge. Dann
gilt:
∞
X
n=1
an konvergent ⇔
∞
X
2n a2n konvergent
n=1
4.2.10 Addition von Reihen
• die Grenzwerte der Reihen können verschieden
P∞
P∞
sein
Sind
k=0 bk konvergent,
k=0 ak und
P
P∞so auch
∞
(a
+
b
),
mit
dem
Grenzwert
k
k
k=0
k=0 ak +
P∞
P∞
• die Grenzwerte der Folgen sind gleich
b
=
(a
+
b
).
k
k
k
k=0
k=0
4.2.6
Majorantenkriterium
4.2.11
Cauchy-Produkt
P∞
P∞
P∞
P∞
b Reihen, definieren wir ihr
Sind
k=0 ak und
k=0
Pbk∞ Reihen mit |ak | ≤ |bk | Sind k=0 ak und
P∞ k=0 k
Pk
für fast alle k, und wenn
b
absolut
konvergiert,
k
Cauchy-Produkt
c
P∞ k=0
k=0 k durch ck =
l=0 al bk−l .
P∞
P∞
dann konvergiert auch k=0 ak absolut.
Sind k=0 ak und k=0 bk absolut konvergent, dann
ist ihr Cauch-Produkt
und
P ebenfalls absolut
P∞ konvergent
P∞
• Analog Minorantenkriterium um zu zeigen, dass im Grenzwert gilt: ∞
c
=
(
a
)
(
b
).
k
k
k
k=0
k=0
k=0
eine Reihe nicht konvergiert
4.2.7
Quotientenkriterium
• Entspricht dem Ausmultiplizieren von zwei geklammerten Summentermen.
P∞
4.2.12 Funktionalgleichung der ExponentialIst
k=0 ak eine Reihe, und gibt es Θ ∈ R mit
funktion / Logarithmus
0 ≤ Θ < 1 so dass für fast alle k gilt |ak+1 | ≤
Θ
|a
|.
Dann
konvergiert
die
Reihe
absolut.
Ist
jedoch
k
n
o
∞
X
1 k
k ∈ N| aak+1
≥
1
eine unendliche Menge divergiert
exp (x) = ex =
x
k
k!
die Reihe. Ansonsten lassen sich keine Aussagen mak=0
chen.
• exp : R → R>0
• Das Θ muss fest gewählt werden für alle k
• exp (0) = 1
• oft auch so geschrieben:
∃0 ≤ Θ < 1, Θ ∈ R : ∀k ∈ N : aak+1
≤ Θ ⇒
k
P∞
k=0 ak konvergiert absolut
• exp (−x) =
• Falls der folgende Grenzwert existiert, muss zusätzlich gelten:
lim supk aak+1
<1
k
1
exp(x)
• exp (x + y) = exp (x) · exp (y)
• exp (x) ist stetig und streng monoton wachsend
• Umkehrfunktion: natürlicher Logarithmus
◦ ln : R>0 → R
15
5.1 Stetigkeit
◦
◦
◦
◦
◦
ist stetig und streng monoton steigend
exp (ln (x)) = id|R>0
ln (exp (x)) = id|R
ln (1) = 0
ln (x) + ln (y) = ln (x · y)
Die exp-Funktion und der natürliche Logarithmus sind
Gruppenisomorphismen. Sie transformieren von einer
kommutativen Gruppe in eine andere.
(R, +, 0) ↔ (R>0 , ·, 1)
4.2.13
Wichtige Reihen
geometrische Reihe |x| < 1 ⇒
P∞
k=0
xk =
1
1−x
• Ist innerhalb ihres Konvergenzradius stetig.
P∞
1
• |x| < 1 ⇒ k=0 (n + 1) xn = (1−x)
2
harmonische Reihe
P∞
1
k=1 k
ist divergent.
alternierende
harmonische Reihe
P∞
k 1
(−1)
k=1
k = ln 2
P∞ 1 k
x
Exponentialreihe
k=0 k! x = exp (x) = e
•
P∞
1
k=0 k!
=e
• siehe 4.2.12 auf der vorherigen Seite
Sonstige
•
P∞
5
1
k=1 k2
=
π2
6
Reelle Funktionen
5.1
5.1.1
Stetigkeit
Definition
Sei A ⊆ R. Eine Folge von Elementen (an )n∈I von
Elementen aus A konvergiert in A, falls sie gegen ein
Element a ∈ A konvergiert.
5.1.2
Reelle Algebren
Für A ⊆ R sei RA die Menge aller Abbildungen A → R.
Für f, g ∈ RA und r ∈ R schreibe
1. f + g : x 7→ f (x) + g (x)
2. f · g : x 7→ f (x) · g (x)
3. r · f : x 7→ r · f (x)
Mit 1. und 3. ist RA ein reeller Vektorraum, die Vektoren sind Funktionen. Mit 1. und 2. ist RA ein kommutativer Ring (das Einselement ist die Funktion x 7→ 1).
Beides zusammen sagt, dass RA eine (kommutative und
assoziative) reelle Algebra ist.
5.1.3
stetige Funktionen
Sei A ⊆ R, und sei C (A, R) die Menge aller stetigen
Funktionen auf A.
C (A, R) = f ∈ RA |f ist stetig
C (A, R) ist eine reelle Algebra.
5.1.4
gleichmäßig stetig
Sei A ⊆ R. Eine Abbildung f : A → R heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein
δ > 0 gibt, so dass für alle u, v ∈ [a, b] mit |u − v| ≤ δ
gilt |f (u) − f (v)| ≤ ε. Mit Quantoren:
∀ε>0:∃δ>0:∀u,v∈[a,b]:|u−v|≤δ⇒|f (u)−f (v)|≤ε
• Alle gleichmäßig stetigen Funktionen sind auch
stetig
• Alle stetigen Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen sind gleichmäßig stetig
• gleichmäßige Stetigkeit besagt anschaulich in etwa, dass die Steigung der Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich endlich ist.
• nicht mit gleichmäßiger Konvergenz verwechseln!
Es sei f : A → R eine Abbildung. Wir sagen f ist
stetig im Punkt a ∈ A, falls folgendes gilt: Für jede Folge (an )n∈I , die in A gegen a konvergiert, gilt 5.1.5 Beispiele für stetige Funktionen
limn∈I f (an ) = f (a).
• Eine Polynomfunktion
ist eine Abbildung der
Äquivalent dazu ist
Pn
k
a
Form p : x 7→
k=0 k x . Polynomfunktionen
∀a∈A:∀ε>0:∃δ>0:Uδ (a)⊆Uε (f (a))
sind stetig.
Falls f in jedem Punkt a ∈ A stetig ist, heißt f stetig.
• Bei stetigen Funktionen gilt:
f (limn an ) = limn f (an )
• Eine Funktion f : [a, b] → R ist stetig genau dann,
wenn man “ihr Schaubild ohne Abzusetzen zeichnen kann”.
• x 7→
1
x
ist stetig
• Die Wurzelfunktion
ist stetig. Für R≥0 → R≥0 mit
√
x = n x = g (x) wobei g (x) die Umkehrfunktion
von xn ist.
• Die e-Funktion ist stetig. Siehe 4.2.12 auf der vorherigen Seite.
16
5.1.6
5
Kompostion von Funktionen
5.2.2
REELLE FUNKTIONEN
Konvergenz
Sind f : A → R und g : B → R stetig, und gilt f (A) ⊆ Eine Folge (fl )l∈L von Funktionen konvergiert punktB, so ist die Hintereinanderausführung (Komposition) weise gegen eine Funktion f , falls gilt
A →f B →g R
∀x ∈ A : lim fl (x) = f (x)
l∈L
ebenfalls stetig. Schreibe für die Komposition g ◦ f :
x 7→ g (f (x))
Eine Folge (fl )l∈L konvergiert gleichmäßig gegen f ,
falls folgendes gilt. Zu jedem ε > 0 gibt es ein n ∈ N
so, dass für alle x ∈ A und alle l ∈ L mit l ≥ n gilt
5.1.7 Einschränkung
|fl (x) − f (x)| ≤ ε. Mit Quantoren:
Ist B ⊆ A ⊆ R, betrachte die Einschränkungsabbildung
RA → RB , f 7→ f |B
”f eingeschränkt auf B” mit
f |B : B → R, x 7→ f (x)
Dies ist eine lineare Abbildung denn (f + g) |B = f |B +
g|B und (f · g) |B = f |B ·g|B gilt. Einschränkungen von
stetigen Funktionen sind stetig.
5.1.8
∀ε>0:∃n∈N:∀x∈A,l∈L,l≥n:|fl (x)−f (x)|≤ε
• gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise
Konvergenz
• Sei A ⊆ R, (fl )l∈L eine Folge stetiger Funktionen.
Falls die Folge gleichmäßig gegen eine Funktion f
konvergiert, ist dieses f auch stetig.
• nicht mit gleichmäßiger Stetigkeit verwechseln!
Zwischenwertsatz
5.2.3 Potenzreihe
Sei I = [a, b] ein (abgeschlossnes endliches) Intervall.
Folge. Betrachte die stetige FunktiSei f : I → R stetig. Zu jeder Zahl y zwischen f (a) und Sei (an )n∈N eine
Pn
k
on pn (x) =
f (b) gibt es ein x ∈ I mit f (x) = y. Mit Quantoren:
k=0 ak x auf R. Die Funktionenfolge
(pn )n∈N heißt formale Potenzreihe
∀y ∈ [f (a) , f (b)] : ∃x ∈ I : f (x) = y
P∞
und man schreibt kurz dafür n=0 an xn = (pn )n∈N .
p
• Mithilfe der Einschränkung kann dieser Satz
n
auch Erweitert werden aus das Intervall Setze L = lim supn |an | bzw. L = ∞ falls es keinen
größten Häufungspunkt gibt. Setze weiter R = L1 falls
[min (f (x)) , max (f (x))]
L 6= 0, L 6= ∞ sonst R = ∞ für L = 0 und R = 0 für
L = ∞. R heißt Konvergenzradius der Potzenzreihe.
P∞
5.1.9 Umkehrfunktion
Für |x| < R ist die Reihe n=0 an xn absolut
konverPn
k
a
gent,
und
die
Funktionsfolge
p
:
x
→
7
k x ist
n
k=0
Sei I = [a, b] ein (abgeschlossenes endliches) Intervall,
f : I → R stetig und streng monoton wachsend (bzw. gleichmäßig konvergent
P∞ aufn {x ∈ R| − r < x < r} für
r
<
R.
Somit
ist
n=0 an x eine stetige Funktion für
fallend), d.h. r < s ⇒ f (r) < f (s) (bzw. r > s ⇒
|x|
<
R.
f (r) > f (s)). Dann hat f eine stetige Umkehrfunktion
g : [f (a) , f (b)] → I. D.h. g ◦ f = idI und f ◦ g = Für |x| > R divergiert die Potenzreihe.
id[f (a),f (b)] .
5.1.10
Satz von Weierstrass
Sei I = [a, b] ein (abgeschlossenes endliches) Intervall
und f : I → R stetig. Dann ist f (I) = J ebenfalls ein
endliches abgeschlossenes Intervall.
• Dieses f besitzt folglich im Intervall J ein Minimum und ein Maximum.
• Für |x| = R kann man keine allgemeinen Aussagen
machen
• Falls folgender
Grenzwert existiert, gilt:
ak R = limk ak+1 • Zu einer Funktion gibt es immer höchstens eine
Potenzreihe.
5.3
5.2
5.2.1
Funktionenfolgen
5.3.1
Trigonometrische Funktionen
Sinus und Cosinus
Definition
Für A ⊆ R betrachten wir Folgen von Funktionen in
RA bzw. in C (A, R) d.h. Abbildungen L → RA L ⊆ N
Indexmenge (unendlich) (fl )l∈L . Jedes fl ist also eine
Abbildung fl : A → R.
cos (x)
=
=
∞
X
(−1)n x2n
(2n)!
n=0
1−
x4
x6
x2
+
−
+ ...
2
24 720
17
5.3 Trigonometrische Funktionen
Sinus Hyperbolicus
sin (x) =
=
∞
n
X
(−1) x2n+1
(2n + 1)!
n=0
x−
sinh(x)= 21 (exp(x)−exp(−x))=
x3
x5
+
− ...
6
120
sinh(x)
cosh(x)
• Cotangens Hyperbolicus: coth (x) =
• cos (0) = 1
sin (0) = 0
cosh(x)
sinh(x)
• Umkehrfunktionen: Arearfunktion existieren für
alle Trigonometrischen Funktionen, da diese alle
streng monoton und stetig sind (zumindest auf einem Teilintervall)
• cos (−x) = cos (x)
sin (−x) = − sin (x)
• ∀n ∈ N : (sinh (x) + cosh (x))n = sinh (nx) +
cosh (nx)
Additionstheoreme
sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y)
cos (x + y) = cos (x) cos (y) − sin (x) sin (y)
• cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
• 1 − tanh2 (x) =
1
cosh2 (x)
• arsinh (x) = ln x +
• cos2 (x) + sin2 (x) = 1
√
x2 + 1
• ∀x ∈ (−1, 1) : artanh (x) =
• cos (2x) = 2 cos2 (x) − 1
• cos (arcsin (x)) = sin (arccos (x)) =
√
1 − x2
1
2
ln
′
1+x
1−x
• sinh (x) = cosh (x)
cosh (x)′ = sinh (x)
√
• cosh (arcsinh (x)) = √x2 + 1
sinh (arccosh (x)) = x2 − 1
′
• cos (x) = − sin (x)
sin (x)′ = cos (x)
5.3.3
• Haben ihre Namen auf grund Ihrer Ähnlichkeit zu
der Sinus und Cosinusreihe
• Tangens Hyperbolicus: tanh (x) =
• sind konvergent für alle x ∈ R
5.3.2
x2k+1
k=0 (2k+1)!
P∞
PI π
5.3.5
Hermite-Polynome
Die kleinste positive Nullstelle des Cosinus heißt per Die sogenannten Hermite-Polynome Hn sind auf ganz
Definition π2 . Auf diese Weise definieren wir die Zahl R definiert durch
π ≈ 3, 14519 . . .
n
2 d
2
n
Hn (x) = (−1) ex
e−x , n ∈ N
n
dx
• cos π2 = 0
n
d
wobei dx
n f die n-te Ableitung von f nach x bezeichnet.
sin π2 = 1
• cos x + π2 = − sin (x)
sin x + π2 = cos (x)
• sin (x + π) = − sin (x)
cos (x + π) = − cos (x)
• H0
H1
H2
H3
H4
• sin (x + 2π) = sin (x)
cos (x + 2π) = cos (x)
• Hn+1 (x) = 2xHn (x) − Hn′ (x)
5.3.4
• Hn′ (x) = 2nHn−1 (x)
Hyperbolische Trigonometrische Funktionen
Cosinus Hyperbolicus
cosh(x)= 21 (exp(x)+exp(−x))=
=1
= 2x
= 4x2 − 2
= 8x3 − 12x
= 16x4 − 48x2 + 12
x2k
k=0 (2k)!
P∞
• Hn′′ (x) − 2xHn′ (x) + 2nHn (x) = 0
• Für fn (x) = Hn (x) e−
(2n + 1) fn (x)
x2
2
gilt x2 fn (x) − fn′′ (x) =
• Die e-Funktionen kürzen sich nach dem Ableiten
herraus
18
6 INTEGRATION
6
Integration
6.1
beschränkte Funktionen
6.1.1
Definition beschränkte Funktion
6.1.4
Cauchy-Folge
Eine Folge (fn )n∈L in B (A, R) heißt Cauchy-Folge, falls
gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es ein n ∈ N, so dass
kfl − fm k∞ ≤ ε für alle l, m ≥ n.
∀ε > 0 : ∃n ∈ N : ∀l, m ≥ n : kfl − fm k∞ ≤ ε
Sei A ⊆ R. Eine Funktion f : A → R heißt beschränkt,
falls f (A) = {f (a) |a ∈ A} beschränkt ist. D.h. falls es
eine Zahl k ∈ R gibt, so dass |f (a)| ≤ k für alle a ∈ A.
• Eine Folge (fl )l∈L in B (A, R) ist genau dann eine
Cauchyfolge, wenn sie gegen eine Funktion f ∈
B (A, R) gleichmäßig konvergiert.
f beschränkt ⇔ ∃k ∈ R : ∀a ∈ A : |f (a)| ≤ k
• Im normierten Raum (B (A, R) , ||· ||∞ ) konvergiert
jede Cauchyfolge. Man nennt den Raum daher
vollständig oder Banachraum.
Sei B (A, R) = f ∈ RA |f ist beschränkt die Menge
aller beschränkten Funktionen.
B (A, R) ist ein reeller Vektorraum und ein Ring, d.h. 6.1.5 Zerlegung
es gilt ∀f, g ∈ B (A, R) , c ∈ R :
Eine Zerlegung Z von [a, b] ist eine enliche Folge Z =
{a = a0 < a1 < . . . < ar = b}. Eine andere Zerlegung
1. f + g ∈ B (A, R)
Z ′ heißt feiner als Z falls Z ′ ⊇ Z.
2. f · g ∈ B (A, R)
3. c · f ∈ B (A, R)
• Falls Z1 und Z2 Zerlegungen von [a, b] sind, so auch
Z1 ∪ Z2 , welche feiner ist als Z1 und Z2 .
6.1.6 Stufenfunktion
• Ist der Definitionsbereich ein endliches abgeschlossenes Intervall, dann gilt C ([a, b] , R) ( Eine Funktion f ∈ B ([a, b] , R) heißt Stufenfunktion
B ([a, b] , R). D.h. dass die stetigen Funktionen ei- (bzgl. Zerlegung Z) falls
ne (echte) Teilmenge der beschränkten Funktionen
(
sind.
yk falls ak < x < ak+1
f (x) =
wk falls x = ak
6.1.2
Supremumsnorm
Für f ∈ B (A, R) setzte
kf k∞ = sup {|f (a)| |a ∈ A}
kf k∞ heißt (Supremums-)Norm der Funktion f .
• kf k∞ = 0 ⇔ ∀a ∈ A : f (a) = 0
• Dreiecksungleichung
kf + gk∞ ≤ kf k∞ + kgk∞
• ∀c ∈ R : kc · f k∞ = |c| · kf k∞
• kf · gk∞ ≤ kf k∞ · kgk∞
Die Menge aller Stufenfunktionen
Step ([a, b] , R) ( B ([a, b] , R) bezeichnet.
wird
mit
• Falls f eine Stufenfunktion bzgl. Z ist, und falls
Z ′ feiner als Z ist, dann ist f auch Stufenfunktion
bzgl. Z ′
• Eine Stufenfunktion muss endlich viele Stufen haben
• Ist f Stufenfunktion bzgl. Z1 und g Stufenfunktion
bzgl. Z2 , dann sind f + g, f · g und c · f (für c ∈ R)
Stufenfunktionen bzgl. Z1 ∪ Z2 .
• Step ([a, b] , R) < B ([a, b] , R) ist Untervektorraum
der beschränkten Funktionen. Außerdem ist diese
Menge ein Ring. Somit also eine Algebra.
• Die Einschränkung einer Stufenfunktion ist wieder
eine Stufenfunktion.
• (B (A, R) , ||· ||∞ ) ist ein normierter Vektorraum
und sogar eine normierte Algebra dank der Pro6.1.7
dukteigenschaft der Norm.
Charakteristische Funktion
Ist A ⊆ R eine Teilmenge der reellen Zahlen, so heißt
die Funktion
(
1 falls x ∈ A
χA : R → R : χA (x) =
Ist (fn )n∈L eine Folge von Funktionen in B (A, R), so
0 falls x ∈
/A
konvergiert diese Folge gleichmäßig gegen f ∈ B (A, R)
genau dann, wenn gilt limn kf − fn k∞ = 0.
die charakteristische Funktion der Menge X.
6.1.3
gleichmäßige Konvergenz
19
6.2 Integral
6.2
Integral
6.2.1
6.2.3
Integral für Stufenfunktionen
Für eine Stufenfunktion f
f (x) =
(
yk
wk
falls ak < x < ak+1
falls x = ak
n
a
a
• Ist unabhängig von der konkreten Wahl der Stufenfunktion
Z = {a = a0 < a1 < . . . < ar = b}
definieren wir das Integral folgendermaßen:
b
f (x) dx =
a
Ist f eine Regelfunktion und (fn )n∈L eine Folge von
Stufenfunktionen, die gleichmäßig gegen f konvergiert.
Wir setzen
Z b
Z b
f (x) dx = lim
fn (x) dx
• Dieser Grenzwert existiert
bzgl. einer Zerlegung Z
Z
Integral allgemein
r−1
X
k=0
(ak+1 − ak ) yk
• wk spielen für das Integral keine Rolle
• Dieser Ausdruck heißt Riemann-Integral von f , es
gibt noch weitere Integraldefinitionen
• Sind f, g Regelfunktionen mit f (x) ≤ g (x) für alle
Rb
Rb
x ∈ [a, b], so gilt a f (x) dx ≤ a g (x) dx
6.2.4
Stufenfunktionsfolge zu gegebener stetiger Funktion
• Für Z ′ ⊇ Z Verfeinerung, kommt für das Integral
Die Menge
über f bzgl. Z ′ der gleiche Wert heraus.
b−a
Zn ={a0 =a<a1 =a+ b−a
n <a2 =a+2 n <...<an =b}⊆[a,b]
• Das Integrieren ist eine lineare Abbildung. Es gilt
also:
nennt sich eine äquidistante Zerlegung der Intervalls
Rb
Rb
[a, b]. Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion. Die Funkf (x) dx +
=
◦ a (f (x) + g (x)) dx
a
tionsfolge
Rb
a g (x) dx
n−1
Rb
Rb
X
◦ a λf (x) dx = λ a f (x) dx
fn (x) =
f (ak ) χ[ak ,ak+1 ) (x)
◦ Achtung, für Produkte gilt dies nicht
• Sind f, g Stufenfunktionen und gilt ∀x ∈
Rb
[a, b] ; h1 (x) ≤ h2 (x) dann folgt: a h1 (x) dx ≤
Rb
a h2 (x) dx
Rb
Rb
|f (x) − g (x)| dx
≤
≤
• a (f − g) (x) dx
a
kf − gk∞ (b − a)
6.2.2
Regelfunktionen
k=0
von Stufenfunktionen konvergiert gleichmäßig gegen f ,
d.h. limn kf − fn k∞ = 0.
Das Integral ist hiermit also:
Z
b
a
n−1 b−a
b−a X
f a+k
f (x) dx = lim
n
n
n
k=0
• Dies ist keine praktikabele Methode zum symbolischen errechnen des Integrals, aber es ist eine Basis
für numerische Verfahren.
Eine beschränkte Funktion f heißt Regelfunktion, falls
es eine Folge von Stufenfunktionen fn gibt, die gleich• für manche Funktionen können auch andere Zermäßig gegen f konvergiert. Wir sagen dann, diese Stulegungen von Vorteil sein
fenfunktion approximiert die Regelfunktion f . Es sei
R ([a, b] , R) < B ([a, b] , R) die Menge aller Regelfunktionen.
6.2.5 Eigenschaften des Riemann-Integrals
• R ([a, b] , R) ist ein (Folgen-)Vollständiger normier- Sei f, g ∈ R ([a, b] , R) und λ ∈ R. Dann gilt:
ter Vektorraum (bzgl. ||· ||∞ )
Z b
Z b
Z b
(f
(x)
+
g
(x))
dx
=
f
(x)
dx
+
g (x) dx
• falls (f )
und (g )
Folgen in Step ([a, b] , R),
n n∈L
n n∈L
die die gleiche Regelfunktion approximieren, so
gilt limn kfn − gn k∞ = 0
• Alle stetigen Funktionen auf endlich abgeschlossenen Intervallen sind Regelfunktionen:
C ([a, b] , R) ( R ([a, b] , R)
• Ist ein Ring bzg. Addition und Multiplikation.
a
a
Z
a
Rb
a
b
λf (x) dx = λ
a
Z
b
f (x) dx
a
R
R
b
b
f (x) dx ≤ a f (x) dx ≤ a |f (x)| dx
Rb
≤ a kf k∞ dx = kf k∞ (b − a)
20
7 DIFFERENTIATION
6.2.6
Mittelwertsatz (MWS) der Integralrechnung
Sei p ∈ R ([a, b] , R) und f ∈ C ([a, b] , R) und es gelte
p (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b]. Dann gibt es t ∈ [a, b] mit
Z b
Z b
p (x) dx
f (x) p (x) dx = f (t)
a
a
•
Rb
6.2.7
a
• f : R\ {0} → R : x 7→
stetig fortsetzbar.
7.1.2
1
x
ist im Punkt 0 nicht
Häufungspunkt von Mengen
Wenn es eine Folge (an )n∈L in A\ {b} gibt mit
limn an = b dann heißt b Häufungspunkt der Menge
A.
f (x) dx = f (t) (b − a) mit t ∈ (a, b)
7.1.3
Stetige Fortsetzung in Punkt
Hierarchie von Funktionsräumen
Ist b ∈ R und A ⊆ R und B = A ∪ {b}, und gibt
es eine Folge (an )n∈L in A mit limn an = b, dann hat
jedes f ∈ C (A, R) höchstens eine stetige Fortsetzung
auf B = A ∪ {b} mit f (b) = limn∈L f (an ).
B([a, b], R)
• Besagt nur, dass wenn es möglich ist, auch eindeutig ist.
R([a, b], R)
• Falls b Häufungspunkt der Menge A ist, dann ist
C (A ∪ {b} , R) → C (A, R) injektiv.
C([a, b], R)
Step([a, b], R)
{konstante Funktionen}∼
= R1
• Bei Funktionen auf endlichen Mengen ist f immer
stetig. Die Fortsetzung in endlich vielen Punkten
ist beliebig (also nicht eindeutig), und ebenfalls
stetig.
7.1.4
differenzierbar
Sei U ⊆ R offen, f ∈ C (U → R) und x0 ∈ U Die
Funktion f heißt differenzierbar in x0 , falls es ein ε > 0
• Die Pfeile A → B deuten an, dass A ≤ B (A ein gibt, so dass für die Funktion
Untervektrorraum von B ist)
f (x0 + h) − f (x0 )
(−ε, ε) \ {0} → R : h 7→
• {konstante Funktionen}
=
C ([a, b] , R) ∩
h
Step ([a, b] , R)
eine stetige Fortsetzung
• Bis auf den Raum der konstanten Funktionen sind
dies alles unendlichdimensionale Vektorräume
p : (−ε, ε) → R
• Zwischen B ([a, b] , R) und R ([a, b] , R) liegen noch existiert. p (0) nennt man die Ableitung von f im Punkt
weitere integrierbare Funktionen, allerdings mit x . Man schreibt hierfür
0
anderen Integraldefinitionen.
df df
′
˙
• Alle Vektorräume bis auf Step ([a, b] , R) sind vollp (0) = f (x0 ) = f (x0 ) =
(x0 )
=
dx x=x0
dx
ständig bezüglich k·k
∞
7
7.1
7.1.1
Differentiation
• Die Ableitung ist eindeutig
• Es gibt stetige Funktionen, die in keinem Punkt
differenzierbar sind!
Differentiation
Stetige Fortsetzung
Sei A ⊆ B ⊆ R. Für f ∈ C (B, R) betrachte die
Einschränkung f |A : A → R : a 7→ f (a) mit
f |A ∈ C (A, R). D.h. wir haben eine lineare Abbildung
C (B, R) → C (A, R) : f 7→ f |A .
7.1.5
differenzierbar Umformulierung
Sei U ⊆ R offen, f : U → R stetig, und x0 ∈ U .
Dann ist f in x0 differenzierbar genau dann, wenn es
eine Konstante c ∈ R gibt und eine stetige Funktion
ϕ : (−ε, ε) mit ϕ (0) = 0
Umgekehrte Fragestellung: gegeben g ∈ C (A, R), gibt
f (x0 + h) = f (x0 ) + c · h + ϕ (h) · h
es f ∈ C (B, R) mit f |A = g? Dieses f wird als stetige
für |h| < ε. Dann gilt f ′ (x0 ) = c
Fortsetzung von g bezeichnet.
21
7.1 Differentiation
7.1.6
Ableitung / stetig differenzierbar
Eine Funktion f : U → R heißt differenzierbar, falls sie
in jedem Punkt x ∈ U differenzierbar ist. Dann heißt
die Funktion
f ′ : x 7→ f ′ (x)
7.1.9
Sei f : U → R, g : V → R und U, V offen, f, g stetig mit
f (U ) ⊆ V . Falls f in x0 differenzierbar und falls g in
y0 = f (x0 ) differenzierbar ist, so ist die Verknüpfung
g ◦ f : U → R in x0 differenzierbar, mit Ableitung
(erste) Ableitung von f .
′
(g ◦ f ) (x0 ) = g ′ (f (x0 )) · f ′ (x0 )
′
Falls f (x) auch stetig ist, heißt f stetig differenzierbar.
7.1.7
Kettenregel
• (g ◦ f ) (x0 ) = g (f (x0 ))
Rechenregeln
7.1.10 Ableitung der Umkehrfunktion II.78
Seien f, g ∈ C (U, R) und in x0 ∈ U differenzierbar. Sei
c ∈ R. Dann sind die folgenden Funktionen ebenfalls
Die stetige Funktion f : [a, b] → R sei streng monoton
in x0 differenzierbar:
und in x0 ∈ (a, b) differenzierbar mit f ′ (x0 ) 6= 0. Dann
ist
die Umkehrfunktion f −1 : f ([a, b]) → [a, b] in f (x0 )
1. (f + g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) + g ′ (x0 )
differenzierbar, und es gilt
′
2. (c · f ) (x0 ) = c · f ′ (x0 )
3. Produktregel
(f · g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) · g (x0 ) + f (x0 ) · g ′ (x0 )
4. Leibnizregel P
(k) (n−k)
n
n
dn
g
k=0 k f
dxn (f · g) =
′
′
′
0 )−f (x0 )g (x0 )
5. fg (x0 ) = f (x0 )g(xg(x
)2
0
6.
′
1
g
(x0 ) =
−g′ (x0 )
g(x0 )2
7. Ableitung
der Umkehrfunktion
′
1
f −1 (x) = f ′ (f −1
(x))
bzw.
′
f −1 (f (x0 )) =
′
f −1 (x0 ) =
f′
1
(x0 )
1
f ′ (f −1 (x0 ))
Ist f stetig differenzierbar, dann ist auch f −1 stetig
differenzierbar.
• Möglichst f in der Ableitung f ′ wieder vorkommen lassen, da dies sich anschließend mit Hilfe der Umkehrfunktion gegenseitig aufhebt. Z.B.
tan (x)′ = 1 + tan2 (x).
′
• ∀n ∈ Z : (xn ) = nxn−1
′
• cos (x) = − sin (x)
sin (x)′ = cos (x)
′
exp (x) = exp (x)
′
• sinh (x) = cosh (x)
′
cosh (x) = sinh (x)
7.1.8
Struktur der Ableitung
Es sei C 1 (U, R) die Menge aller (einmal) stetig differenzierbaren Funktionen auf U . C 1 (U, R) ist ein reeller
Vektorraum und ein Ring (bzgl. Produkt), also eine reelle Algebra.
Die folgenden Abbildungen
d
: C 1 (U, R) → C (U, R) : f 7→ f ′
dx
d : C 1 (U, R) → R : f 7→ f ′ (x0 )
dx 7.1.11
Extrema
f (x0 ) heißt Extremum (Minimum / Maximum) von f ,
falls f (x) ≥ f (x0 ) bzw. f (x) ≤ f (x0 ) für alle x im
Definitionsbereich gilt.
Wenn f (auf offener Menge definiert) in x0 ein Extremum hat, dann gilt f ′ (x0 ) = 0 (notwendige Bedingung).
• Randpunkte bei abgeschlossenen Mengen müssen
seperat betrachtet werden.
• Ist f : (a, b) → R stetig differenzierbar, f ′ (x0 ) = 0
und ist f ′ (x) < 0 für x < x0 und f ′ (x) > 0 für
x > x0 so hat f in x0 ein Minimum und f (x) >
f (x0 ) für x 6= x0 . (Es gibt genauso einen Satz für
das Maximum)
7.1.12
striktes lokales Minimum / Maximum
x=x0
sind lineare Abbildungen.
• aber keine Ring Homomorphismen
• siehe auch 7.1.17 auf der nächsten Seite
Ist f zweimal stetig differenzierbar, f : (a, b) → R, und
gilt f ′ (x0 ) = 0 und f ′′ (x0 ) > 0 (< 0), so gibt es r > 0,
so dass f (x0 ) < f (x) (> f (x)) für alle x 6= x0 mit
|x − x0 | < r gilt. Man sagt, f hat in x0 ein striktes
lokales Minimum (Maximum).
22
7.1.13
8
DIE HAUPTSÄTZE DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Monotonie
solche Funktionen heißen glatte Funktionen.
Ist f : [a, b] → R stetig differenzierbar und ist f ′ (x0 ) =
c > 0 (< 0), dann gibt es r > 0, so dass f auf dem
Teilintervall (x0 − r, x0 + r) streng monoton steigend
(fallend) ist.
Setze C (U, R) = C 0 (U, R). Hiermit gilt:
C 0 (U, R) ) C 1 (U, R) ) . . . ) C ∞ (U, R)
Der Ableitungsoperator
• Insbesondere ist f streng monoton steigend (fallend), falls ∀x : f ′ (x) > 0 (< 0)
d
: f 7→ f ′
dx
• mit ≤, ≥ gleiche Aussage mit monotonie (ohne
streng)
d
: C k+1 (U, R) → C k (U, R)
dx
• falls f ′ = 0 ⇒ f konstant
7.1.14
d
: C ∞ (U, R) → C ∞ (U, R)
dx
Satz von Rolle
Sei f : [a, b] → R stetig und f |(a,b) sei differenzierbar.
Weiter gelte f (a) = f (b).
ist eine lineare Abbildung zwischen diesen Vektorräumen
• Polynome sin, cos, exp sind glatte Funktionen
Dann gibt es ein x0 mit a < x0 < b und f ′ (x0 ) = 0
• siehe auch 7.1.8 auf der vorherigen Seite
7.1.15
Mittelwertsatz (MWS) der Differentialrechung
8
Sei f : [a, b] → R stetig, f |(a,b) sei differenzierbar.
Dann gibt es ein x0 ∈ (a, b) mit
f (b) − f (a)
= f ′ (x0 )
b−a
8.1
• falls f ′ (x) ≥ 0 für alle x, so ist f monoton steigend
• falls f ′ (x) ≤ 0 für alle x, so ist f monoton fallend 8.1.1
• falls f ′ (x) = 0 für alle x, so ist f konstant.
7.1.16
gerade und ungerade Funktionen
Die
Hauptsätze
der
Differential- und Integralrechnung
Weitere Eigenschaften des Integrals
Integral über Einschränkung
Ist f : [a, b] → R Regelfunktion und a ≤ u < v ≤ b.
Dann ist die Einschränkung f |[u,v] eine Regelfunktion
auf [u, v]. Wir setzen
Z
• Die Ableitung einer geraden Funktion ist eine ungerade Funktion
mehrfache Ableitung / glatte Funktionen
f (x) dx =
b
a
u
• Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist eine
8.1.2
gerade Funktion
7.1.17
Z
v
f |[u,v] (x) dx
Vertauschung von Grenzen
Wir legen fest:
Z
u
f (x) dx = 0
u
Sei U ⊆ R offen. Ist f ∈ C 1 (U, R) (d.h. f ist stetig differenzierbar), so kann man f ′ ∈ C (U, R) auf differenzierbarkeit untersuchen. Falls f ′ stetig differenzierbar
′
ist, schreibt man (f ′ ) = f ′′ für die zweite Ableitung.
Z
u
v
f (x) dx = −
Z
v
f (x) dx für u < v
u
Induktiv definiert man so k-mal stetig differenzierbare 8.1.3 Zerteilung von Integralen
Funktionen. C k (U, R) ist der Vektrorraum der k-mal
Für alle a, b, c ∈ [a, c] und f ∈ R ([a, c] , R) gilt stets
stetig differenzierbaren Funktionen. Man setzt
∞
C ∞ (U, R) =
∞
\
k=1
k
C (U, R)
Z
a
c
f (x) dx =
Z
a
b
f (x) dx +
Z
b
c
f (x) dx
23
8.2 Zusammenhang von Differential- und Integeralrechung
8.1.4
Integral über Funktionsfolge
8.2.4
Integral einer Potenzreihe
P
n
Sei (fn )n∈L eine Folge von Regelfunktionen, die gleich- Ist f (x) = ∞
n=0 an x und hat diese Potenzreihe einen
mäßig gegen eine Regelfunktion f konvergiert. Dann Konvergenzradius R. Für [a, b] ⊆ (−R, R) gilt
gilt
b
!
Z b
Z b
Z b X
∞
∞
X
a
k
k
k+1
lim
fn (x) dx =
f (x) dx
ak x dx =
x n
a
a
k
+
1
a
k=0
k=0
• eine solche Regel gilt bei der Differentiation im
Allgemeinen nicht.
8.1.5
Differential von Funktionenfolgen
a
• Eine Stammfunktion
für f ist also z.B.
P∞ ak k+1
x
+c
F (x) = k=0 k+1
• Potenzreihen darf man “naiv” integrieren
Sei (fn )n∈L Folge in C 1 ([a, b] , R). Falls die Folge
(fn′ )n∈L gleichmäßig konvergiert und falls die Folge 8.2.5 Ableitung einer Potenzreihe
(fn )n∈L punktweise konvergiert, dann ist der GrenzP∞
wert der Folge stetig differenzierbar und seine Ablei- Ist f (x) = k=0 ak xk Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0, so ist f glatt, und
tung ist der Grenzwert der Folge (fn′ )n∈L .
8.1.6
f ′ (x) =
gerade und ungerade Funktionen
∞
X
(k + 1) ak+1 xk
k=0
• Die Stammfunktion einer geraden Funktion ist eimit dem gleichen Konvergenzradius R.
ne ungerade Funktion
• Die Stammfunktion einer ungeraden Funktion ist
eine gerade Funktion
• Rwenn f (x) =
a
−a f (x) dx = 0
8.2
8.2.1
−f (−x) ungerade ist, gilt
• Potenzreihen darf man “naiv” ableiten
8.2.6
Partielle Integration
Rb
a
Zusammenhang von Differentialund Integeralrechung
1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechung
◦ p (x) ex bzw. p (x) sin (x), ... sind auf diese
Weise behandelbar
• Auf jeden Fall Probe!!!
Stammfunktion
8.2.3
2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechung
Ist F : (a, b) → R stetig differenzierbar und a < u <
v < b, gilt
Z v
F ′ (x) dx = F (x) |vu = F (v) − F (u)
u
Integration durch Substitution
Z
F heißt Stammfunktion zu f , falls F ′ = f .
• Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig. Wenn F Stammfunktion von f ist, ist auch
F + c Stammfunktion für f mit c ∈ R konstant.
f ′ (x)g(x)dx
◦ auf jeden Fall Probe (Ableiten) machen, man
vertut sich sehr schnell
8.2.7
8.2.2
a
• g und f auf jeden Fall incl. Ableitungen herausschreiben
x0
F ist stetig und auf (a, b) stetig differenzierbar, mit
F′ = f.
Rb
• Das ist das Integral über der Produktregel
Es sei f : [a, b] → R stetig, sei x0 ∈ [a, b]. Setze
Z x
f (t) dt
F (x) =
für x ∈ [a, b].
f (x)g′ (x)dx= f (x)g(x)|ba −
Z
f (φ (t)) · φ′ (t) dt =
f (x) dx =
Z
Z
f (x) dx
x=φ(t)
f (φ (t)) · φ′ (t) dt
t=φ−1 (x)
1. Gebrauchsanweisung
(a) Eine passende Ersetzung suchen
i. t = g (x)
ii. diese Ableiten
dt
dx
iii. umstellen dx =
= g ′ (x) = . . .
dt
g′ (x)
= ...
(b) Im Integral Substituieren mit Hilfe von (a).i
(bzw. x = g −1 (t) = . . .) und (a).iii
24
9 METRISCHE UND NOMIERTE RÄUME
(c) Versuchen Stammfunktion zu bilden
i. wenn es nicht klappt, evtl. andere Substitution versuchen
ii. evtl. passend klammern, um bekannte Integrale zu Nutzen
9
Metrische und nomierte Räume
9.1
Metrische Räume
(d) Im Ergebnis (Stammfunktion) zurücksubsti- 9.1.1 Metrik / Metrischer Raum
tuieren mit (a).i
Sei X eine Menge, d : X × X → R eine Abbildung.
2. Gebrauchsanweisung
Wir nennen d eine Metrik (mathematischer Term für
“Abstandsbegriff”) und (X, d) einen metrischen Raum,
falls für alle u, v, w ∈ X gilt:
(a) Eine passende Ersetzung suchen
i. x = φ (t)
′
ii. diese Ableiten dx
dt = φ (t) = . . .
iii. umstellen dx = φ′ (t) dt = . . .
1. (M 1) d (u, v) = d (v, u) ≥ 0
die Metrik ist positiv und symmetrisch
(b) Umkehrfunktion bilden t = φ−1 (x)
2. (M 2) d (u, v) = 0 ⇔ u = v
(c) Im Integral Subtituieren mit Hilfe von (a).i
und (a).iii
3. (M 3) d (u, w) ≤ d (u, v) + d (v, w)
Dreiecksungleichung
(d) Versuchen Stammfunktion zu bilden
i. wenn es nicht klappt, evtl. andere Substitution versuchen
ii. evtl. passend klammern, um bekannte Integrale zu Nutzen
(e) Im Ergebnis (Stammfunktion) zurücksubstituieren mit (a).i
• Beide Methoden äquivalent durch Regel der Ableitung der Umkehrfunktion.
• In der Tabelle 1 auf der nächsten Seite hat man
eine Übersicht von geeigneten Substitutionen.
• X = R d (u, v) = |u − v| ist ein metrischer Raum
• X
( belibige Menge mit X 6= ∅ und d (u, v) =
0 falls u = v
ist ein metrischer Raum, mit der
1 falls u 6= v
diskreten Metrik.
• X
=
R2
=
{(u1 , u2 ) |u1 , u2 ∈ R},
d ((u1 , u2 ) , (v1 , v2 )) = |u1 − v1 | + |u2 − v2 | ist ein
metrischer Raum mit der Manhattan-Taxi-Metrik.
• Unterraum
Ist (X, d) ein metrischer Raum, und ist A ⊆ X,
dann ist der Unterraum (A, d) ebenfalls ein metrischer Raum.
• So Klammern und Substituieren, das es
auf etwas bekanntes (z.B. Ableitungen von
Trigonometrischen-, Hyperbolischen- oder Area- 9.1.2
funktioen) zurückführen lässt.
• Auf jeden Fall Probe!!!
8.2.8
Beispiele einiger Integrale
• Rfür n 6= −1
1
xn+1
xn dx = n+1
•
•
•
•
•
•
R
R
1
x dx
= ln (x)
′
h (x)
h(x) dx
= ln (h (x))
R
cos (x) dx = sin (x)
R
exp (x) dx = exp (x)
R
sin (x) dx = − cos (x)
R
cos(x)
cos2 (x) dx = x+sin(x)
2
R
cos(x)
sin2 (x) dx = x−sin(x)
2
offene Kugel
Sei (X, d) metrischer Raum, r > 0 und x ∈ X. Die
Menge
Br (X) = {u ∈ X|d (u, x) < r}
heißt offene r-Kugel um x.
9.1.3
Folgen und Konvergenz
Sei J ⊆ N unendliche Menge, (X, d) ein metrischer
Raum. Eine Folge, (xj )j∈J ist eine Abbildung J → X,
j 7→ xj . Schreibe kurz (xj )j∈J ⊆ X dafür.
Die Folge (xj )j∈J konvergiert gegen x ∈ X, falls gilt:
zu jedem ε > 0 gibt es N ∈ N so, dass für alle k ≥ N
gilt d (xk , x) ≤ ε.
∀ε > 0 : ∃N ∈ N : ∀k ≥ N : d (xk , x) ≤ ε
• Für X = R, d (u, v) = |u − v| ist dies genau die
Definition aus 3.2.2 auf Seite 11.
25
9.1 Metrische Räume
Tabelle 1: Substitution zur unbestimmten Integration (R ist eine rationale Funktion in x, y)
Funktion
Methode
t
x
R (x)
Polynomdivision + Partialbruchzerlegung
√
√
k
R x, kqax + b
Substitution t = kqax + b
x = ta − ab
b−dtk
R x, k ax+b
Substitution t = k ax+b
x = ct
k −a
cx+d
cx+d
R (sin (ax) , cos (ax)) Substitution t = tan x2
x = 2arctan (t)
R√
(eax , e−ax )
Substitution
t = eax
x = ln(t)
a
R x, ax2 + bx + c
Substitution t = √2ax+b
bzw. t = √2ax+b
4ac−b2
b2 −4ac
• Lässt sich auch so schreiben:
Die Folge konvergiert genau dann gegen x, falls es
zu jedem r > 0 ein N ∈ N gibt, so dass xk ∈ Br (x)
für alle k ≥ N .
∀r > 0 : ∃N ∈ N : ∀k ≥ N : xk ∈ Br (x)
• Eine Folge hat genau eine Zahl:
Sei (X, d) metrischer Raum, (xj )j∈J Folge. Falls
die Folge gegen x ∈ X und gegen y ∈ X konvergiert, so gilt x = y.
• Konvergente Folgen auf Räumen mit einer diskreten Metrik sind für fast alle Folgenglieder konstant.
9.1.4
• Vereinigungen endlich vieler abgeschlossener Teilmengen in X sind abgeschlossen
• Durchschnitte beliebig vieler abgeschlossener Teilmengen in X sind abgeschlossen
• Eine vollständige Teilmenge ist immer auch abgeschlossen.
• Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum.
Dann gilt: A ⊆ X ist abgeschlossen genau dann,
wenn (A, d) vollständig ist.
9.1.7
topologische Äquivalenz
Cauchy-Folge
Seien (X, d) und (X, h) metrische Räume. Wenn für
alle Folgen (aj )j∈J in X folgendes gilt, werden h und
(CF ) Es sei (xj )j∈J eine Folge in einem metrischen d topologisch äquivalent genannt: (a )
j j∈J konvergiert
Raum (X, d). Wir sagen, (xj )j∈J ist eine Cauchy-Folge genau dann bezüglich (X, d), wenn (a )
j j∈J bezüglich
falls gilt: zu jedem ε > 0 gibt es N ∈ N, so dass
(X, h) konvergiert.
d (xl , xm ) ≤ ε für alle l, m ≥ N .
∀ε > 0 : ∃N ∈ N : ∀l, m ≥ N : d (xl , xm ) ≤ ε
• Jede konvergente Folge in (X, d) ist eine CauchyFolge. Umgekehrt nicht umbedingt.
9.1.5
Vollständigkeit
Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig falls jede
Cauchy-Folge (xj )j∈J einen Grenzwert x ∈ X hat.
• dies ist eine Äquivalenzrelation
• Siehe auch 10.3.5 auf Seite 29.
9.1.8
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Das Segment in X zwischen x, z ∈ X ist die Menge aller Punkte für die die
Dreiecksungleichung scharf ist, also
• Vollständigkeit vererbt sich nicht unbedingt auf
Teilmengen.
9.1.6
abgeschlossen
Eine Teilmenge A ⊆ X eines metrischen Raumes (X, d)
heißt abgeschlossen, wenn für jede Folge von Elementen
(aj )j∈J ⊆ A mit Grenzwert x ∈ X gilt x ∈ A.
• ∅ und X sind immer abgeschlossen in (X, d)
• Abgeschlossenheit ist immer relativ zu einem metrischen Raum zu sehen
Segmente
[x, z] = {y ∈ X|d (x, z = d (x, y) + d (y, z))}
• Mit Betrag (Standardmetrik) als d und R als X ist
dies genau das abgeschlossene Intervall zwischen x
und z
9.1.9
Abschneiden einer Metrik
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Die Abbildung d′ :
X × X → R : (x, y) 7→ min {1, d (x, y)} ist wieder eine
Metrik. d und d′ sind topologisch äquivalent.
26
9 METRISCHE UND NOMIERTE RÄUME
9.2
Normierte Räume
9.2.1
9.2.4
Norm und Metrik
Sei V ein reeller Vektorraum (über dem Körper R) (belibiger Dimension - auch unendlich). Eine Norm auf V
ist eine Abbildung k.k : V → R, v 7→ kvk mit folgenden
Eigenschaften für alle u, v ∈ V und alle r ∈ R:
Sei (V, k.k) ein normierter Vektorraum. Setze d (u, v) =
ku − vk. Dann ist d eine Metrik auf V .
1. h (u + v, w) = h (u, w) + h (v, w)
2. h (u, v + w) = h (u, v) + h (u, w)
Wenn h symmetrisch ist, und wenn h (u, u) > 0 ist für
alle u 6= 0, so heißt h inneres Produkt.
• Ein Inneres Produkt ist positiv definit .
• Eine symmetrisch positiv definite Bilinearform ist
ein Inneres Produkt.
Besondere Normen
• Sei V = Rn , A = (aij )ni,j=1 eine quadratische Matrix (n × n), setze
Sei V = Rn und v = (v1 , v2 , . . . , vn ) ∈ V .
i=1
Sei V ein reeller Vektorraum, h : V × V → R eine
Abbildung. Falls gilt:
Falls zusätzlich gilt: h (u, v) = h (v, u) für alle u, v, so
heißt h symmetrische Bilinearform.
3. (N 3) ku + vk ≤ kuk + kvk
p
Pn
p
p
|vi |
h (u, v) =
n
X
ui aij vj = uT Av
i,j=1
• für p = ∞ setze kvk∞ = max1≤i≤∞ {|xi |}
Das ist eine Bilinearform. Sie ist symmetrisch genau dann, wenn A symmetrisch ist, d.h. A =
AT (aij = aji für alle i, j).
1-Norm kvk1 = |v1 | + |v2 | + . . . + |vn |
p
2-Norm kvk2 = v12 + v22 + . . . + vn2
Supremumsnorm / ∞-Norm
kvk∞
=
max {|v1 | , |v2 | , . . . , |vn |}
sup {|v1 | , |v2 | , . . . , |vn |}
=
Im Rn gilt
kuk1 ≥ kuk2 ≥ kuk∞ ≥
inneres
so heißt h Bilinearform.
2. (N 2) kr · vk = |r| · kvk
p-Norm kvkp =
Bilinearform,
3. h (r · u, w) = r · h (u, w) = h (u, r · w)
1. (N 1) kvk ≥ 0, kvk = 0 ⇔ v = 0
9.2.2
(symmetrische)
Produkt
1
kuk1
n
• Sei f (x) = hx, xi = xT Ax mit A symmetrisch eine
Abbildung. Dann gilt
df (x) (h) = 2xT Ah = 2hT Ax
• Standard Skalarprodukt :
Mit A =P 1 (Einheitsmatrix, aij = δij ) ist
h (u, v) = nj=1 ui vi = uT v ein inneres Produkt.
9.2.5
Norm zu innerem Produkt
Sei V ein reeller
p Vektroraum, h ein inneres Produkt.
• Diese drei Normen liefern also den gleichen
h (v, v), das ist eine Norm auf V .
Setze
kvk
=
Konvergenzbegriff auf dem Rn . D.h. wenn eine
Cauchy-Folge bezüglich einem der Begriffe konvergiert, dann auch bezüglich der anderen.
9.2.6 Inneres Produkt zu Norm
Sei k.k eine Norm auf V . Falls es hierzu ein inneres
Produkt gibt, lässt es sich wie folgt beschreiben:
1
2
2
2
ku + vk − kuk − kvk
h (u, v) =
Ein Banach-Raum ist ein vollständiger normierter
2
Raum.
1
2
2
=
ku + vk − ku − vk
4
n
n
n
• (R , k.k1 ), (R , k.k2 ), (R , k.k∞ ) sind Banachräu• Falls der Ausdruck auf der rechten Seite kein inme
neres Produkt ist, gibt es zu dieser Norm keins.
9.2.3
Banach-Raum
• Rn ist bezüglich jeder Norm ein Banachraum
• Bezüglich
k.k∞
bilden
B (A, R) , C (A, R) , R (A, R) Banachräume
• Als Kiterium auf Gültigkeit der Parallelogrammungleichung achten.
• zu der k.k1 Norm gibt es kein inneres Produkt
27
9.2.7
10
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Stetige Funktionen
Ist h ein inneres Produkt auf V , so gilt
p
p
|h (u, v)| ≤ h (u, u) h (v, v)
10.1
Die klassische Form lautet
v
n
v
u n
n
X
u
X
uX
u
2
t
uk vk ≤
uk · t
vk2
Seien (X, dx ) und (Y, dy ) metrische Räume, f : X → Y
eine Abbildung. Wir sagen f ist stetig in x ∈ X, falls
folgendes gilt:
k=1
9.2.8
k=1
10.1.1
Stetige Funktionen
Stetigkeit
Für jede Folge (xj )j∈J in X mit Grenzwert limj∈J xj =
x soll gelten limj∈J f (xj ) = f (x):
k=1
reeller Hilbert-Raum
lim f (xj ) = f
j∈J
Ist h ein inneres Produkt auf V , und ist V in der zugehörigen Metrik vollständig, dann heißt (V, h) reeller
Hilber-Raum.
• jeder Hilbert-Raum ist ein Banach-Raum.
• z.B. Rn , (x, y) 7→ xT y
9.2.9
Beispiel für einen unendlich dimensionalen Hilbert Raum
2
Sei l (R) der Raum aller Folgen (an )n∈N in R mit folgender Eigenschaft:
∞
X
a2k konvergiert
k=0
Dies sind die quadratisch summierbaren Folgen. Das
innere Produkt ist wie folgt definiert
h (a, b) =
∞
X
lim xj
j∈J
Falls f in jedem Punkt x ∈ X stetig ist, so heißt f
stetig. Es sei C (X, Y ) = {f : X → Y |f ist stetig}
• Für Y = R und X ⊆ R ist das genau der Stetigkeitsbegriff wie in 5.1.1 auf Seite 15.
• X = V Vektorraum mit Norm k.k, f (v) = kvk,
f : V → R ist stetig. Normen sind also stetige
Funktionen.
• (X, d) metrischer Raum, u ∈ X, f (x) = d (x, u)
ist stetig.
• (X, d) metrischer Raum, Z = X × X mit Metrik
dz ((u1 , u2 ) , (v1 , v2 )) = d (u1 , v1 ) + d (u2 , v2 ). Damit ist X × X = Z → R : (x1 , x2 ) 7→ dz (x1 , x2 )
stetig.
10.1.2
L-Lipschitz-stetig
Eine Funktion f : X → Y zwischen Metrischen
Räumen heißt L-Lipschitz-stetig für L ∈ R, falls
dy (f (u) , f (v)) ≤ L · dx (u, v) für alle u, v ∈ X.
ak b k
k=0
Dies ist ein unendlich dimensionaler Hilbert-Raum.
• Falls f stetig differenzierbar ist, gilt
L≤kDf (x)k=sup{kDf (x)(h)k|x,h∈X,khk≤1}
9.2.10
Parallelogrammgleichung
Sei V ein Normierter Vektorraum. k.k wird genau dann
von einem Inneren Produkt induziert, wenn die Parallelogrammgleichung gilt
2
2
2
ku + vk + ku − vk = 2 kuk + 2 kvk
9.2.11
Weitere Ungleichungen
• Umgekehrte
Dreiecksungleichung
2
2
2
kuk − kvk ≤ ku − vk
• ku + vk + ku − vk ≥ kuk + kvk
2
• Jede Lipschitzstetige Funktion ist insbesondere eine C 1 -Funktion
• Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig.
• entspricht Erweiterung der gleichmäßigen Stetigkeit aus 5.1.4 auf Seite 15.
• Skalarprodukt mit einem festen Vektor t ist lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L = ktk∞
• Integraloperator ist lipschitzstetig
• Endlichdimensionale lineare Abbildungen sind
Lipschitzstetig mit der Operatornorm
28
10.1.3
10 STETIGE FUNKTIONEN
Eigenschaften von stetigen Funktionen
10.2.2
Operatornorm, Vektorraum der linearen stetigen Abbildungen
Sind (X, dx ), (Y, dy ), (Z, dz ) metrische Räume, f :
X → Y und g : Y → Z, f, g stetig. Dann ist auch Es sei f : U → V eine lineare stetige Abbildung zwischen normierten Räumen. Wir definieren die Operag ◦ f : X → Z, x 7→ g (f (x)) stetig.
tornorm von f durch
Ist (X, d) ein metrischer Raum, so ist C (X, R) ein Vekkf k = sup {kf (u)kV | kukU ≤ 1}
torraum und ein Ring. Für f, g ∈ C (X, R), r ∈ R sind
folgende Funktionen wieder stetig:
Die Menge
1. f + g : x 7→ f (x) + g (x)
2. f · g : x :7→ f (x) · g (x)
3. r · f : x 7→ r · f (x)
4. f ◦ g : x 7→ f (g (x))
10.1.4
ε − δ-Kriterum für Stetigkeit
L (U, V ) = {f : U → V |f ist linear und stetig}
ist ein Vektorraum, und die Operratornormk.k ist eine
Norm darauf.
• kf (u)kV ≤ kf k kukU gilt für alle u ∈ U .
• Die kleinste Lipschitzkonstante ist die Operatornorm
• Wenn f symmetrisch und V = W dann gilt
kf k = max {|λ| |λ ist Eigenwert von f }
Eine Abbilung f : X → Y zwischen den metrischen
Räumen (X, dx ) und (Y, dy ) ist stetig in x ∈ X genau
dann, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es ein ein δ > 0, 10.2.3 Vollständigkeit
so dass aus dx (x, u) < δ folgt dy (f (x) , f (u)) < ε.
Sein (U, k.kU ) und (V, k.kV ) normierte Räume, und ist
∀x:∀ε>0:∃δ>0:∀u: dx (x,u)<δ⇒dy (f (x),f (u))<ε
V vollständig (d.h. Banachraum), so ist L (U, V ) auch
vollständig.
Dies ist äquivalten zu: f ist genau dann stetig in x ∈ X,
wenn es für jede offene ε-Kugel Bε (f (x)) um f (x) eine
offene δ-Kugel Bδ (x) um x mit f (Bδ (x)) ⊆ Bε (f (x))
gibt.
∀ε > 0 : ∃δ > 0 : f (Bδ (x)) ⊆ Bε (f (x))
10.1.5
Besondere Stetige Funktionen
Normen sind stetige Funktionen
Determinanten sind stetige Funktionen
• Für alle U ist U ∗ = L (U, R) ein Banachraum. Diesen Raum nennt man auch Dualraum von U .
10.2.4
Sei (V, k.k) ein normierter Vektorraum, f : Rn → V sei
linear. Dann ist f stetig bezgl. der k.k1 -Norm auf Rn .
• siehe auch 10.3.4 auf der nächsten Seite
10.3
10.3.1
10.2
10.2.1
Lineare Abbildungen
Lineare Abbildung und Stetigkeit
endlichdimensionale Vektorräume
endlichdimensionale Räume
Verhältnis zwischen Normen
Sei k.k eine Norm auf Rn . Dann gibt es eine Zahl r > 0
so, dass für alle v ∈ Rn mit kvk1 = 1 gilt kvk ≥ r.
Seien (V, k.kV ) und (W, k.kW ) normierte Räume, sei 10.3.2 Stetigkeit der Identiät zwischen Räuf : V → W linear. Die folgenden Aussagen sind äquimen mit verschiedenen Normen
valent.
Sei k.k eine Norm auf Rn . Dann ist die Identität id :
(Rn , k.k) → (Rn , k.k1 ) stetig.
1. f ist stetig
2. Es existiert ein v ∈ V so dass f in v stetig ist
3. f ist L-Lipschitzstetig für eine Zahl L
4. Es gibt eine Zahl L ∈ R so, dass kf (v)kW ≤ L für
alle v ∈ V mit kvkV ≤ 1.
10.3.3
Fundamentalsatz
über
endlichdimensionale normierte Räume
Seien (V, k.kV )und (W, k.kW ) normierte Räume, sei
f : V → W eine lineare Abbildung. Falls V endliche
Dimension hat, ist f stetig.
29
10.3.4
Lipschitzstetigkeit einer endlichdimensionalen linearen Abbildung
Zu einer reellen m × n-Matrix A = (ajk )jk betrachten
wir die ineare Abbildung ϕA : Rn → Rm : x 7→ Ax.
Mit
v
uX
n
um X
2
L=t
(ajk )
j=1 k=1
11
11.1
11.1.1
Offene Mengen, Offene Abbildungen, Kurven, Skalarfelder
Mengen
Offen
gilt, das ϕA eine L-Lipschitz-stetige Abbildung bezüg- Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U ⊆ X
lich der 2-Normen auf Rn und Rm ist.
heißt offen in X, falls gilt: zu jedem u ∈ U gibt es ein
ε > 0 mit Bε (u) ⊆ U .
• siehe auch 10.2.4 auf der vorherigen Seite
10.3.5
Äquivalenz von Normen
Sei V ein Vektorraum, k.k, k.k′ seien Normen auf V .
Die Normen heißen äquivalent, falls es Zahlen r, R ∈ R
gibt, so dass
′
′
kvk ≤ r kvk und kvk ≤ R kvk
• Endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen von Systemen offener Mengen sind wieder offen
• Offene Intervalle auf R sind offene Mengen
• ∅ ⊆ X ist stets offen in X
• X ist stets offen in X
für alle v ∈ V . Äquivalente Normen leifern den gleichen
11.1.2
Konvergenzbegriff.
offene Abbildung
Eine Abbildung f : V → W wird als offen bezeichnet,
• Auf jedem endlich-dimensionalen Vektorraum sind falls für eine U ⊆ V offen gilt das auch f (U ) ⊆ W
alle Normen äquivalent (z.B. Rn )
wieder offen ist.
• Die entsprechenden Metrischen Räume sind also
topologisch äquivalent. Siehe auch 9.1.7 auf Sei11.1.3
te 25.
10.3.6
Eine Teilmenge A ⊆ X eines metrischen Raumes (X, d)
heißt abgeschlossen, wenn für jede Folge von Elementen
(aj )j∈J ⊆ A mit Grenzwert x ∈ X gilt x ∈ A.
Fixpunkt
Ist f : X → X eine Abbildung und gilt f (x) = x für
ein x ∈ X, so heißt x Fixpunkt von f .
• Ist f linear, so ist 0 ein Fixpunkt
10.3.7
Banachs Fixpunktsatz
Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum, f : X →
X sei L-Lipschitzstetig für ein L < 1. Dann hat f genau
einen Fixpunkt.
Genauer gilt: ist x0 ∈ X ein beliebiger Punkt, xj+1 =
f (xj ) rekursiv, so gilt limj∈N xj = w ist der gesuchte
Fixpunkt.
• Abschätzen des Fehlers bei Abbruch der Iteration
an der l-ten Stelle
Ll
d (xl , w) ≤ 1−L
· d (x0 , x1 )
• f (x) =
x
2
+
1
x
hat den Fixpunkt
Abgeschlossen
√
2
• Siehe auch 9.1.5 auf Seite 25
11.1.4
Satz über offene und Abgeschlossen
Mengen
Sei (X, d) metrischer Raum, U ⊆ X. Dann sind gleichwertig:
1. U ist offen in X
2. X\U = {x ∈ X|x ∈
/ U } = A ist abgeschlossen in
X
• Es gibt Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch
offen sind in X, z.B. sind sowohl ∅, X abgeschlossene als auch offene Mengen in X
• Es gibt Mengen, die weder offen, noch abgeschlossen sind, z.B. (0, 1] ⊆ R, Q ⊆ R
30
11 OFFENE MENGEN, OFFENE ABBILDUNGEN, KURVEN, SKALARFELDER
Stetigkeit über offenen und abgeschlos- 11.1.9 kompakte Mengen
senen Mengen
Ein Metrischer Raum (X, d) heißt kompakt, falls jede
Seien (X, dx )und (Y, dy ) metrische Räume, f : X → Y Folge (xn )n∈N in X eine konvergente Teilfolge hat.
eine Abbildung. Dann sind äquivalent:
• In Rn ist eine Teilmenge X genau dann kompakt
wenn sie abgeschlossen und beschränkt bzgl. k.k
ist
1. f ist stetig
11.1.5
2. für alle offenen U ⊆ Y ist f −1 (U ) ⊆ X offen
3. für alle abgeschlossenen A ⊆ Y ist f −1 (A) ⊆ X
abgeschlossen
11.1.6
Abschluss
Für S ⊆ X setzte
\
S=
{A ⊆ X|A ist abgeschlossen und S ⊆ A}
S ist abgeschlossen und S ist die kleinste abgeschlossene Menge in X, die S enthält. S besteht (abgesehen
von S = ∅ mit S = ∅) genau aus den Grenzwerten
konvergenter Folgen in S. S heißt Abschluss von S.
• Sei (X, d) ein metrischer Raum, und A ⊆ X
ist kompakt, dann ist A abgeschlossen und beschränkt
• Es sei A eine abgeschlossene Teilmenge von einem
kompakten Raum X, dann ist A kompakt
• Es sei f : X → Y eine stetige Abbildung, dann
ist das Bild f (K) einer kompakten Menge K ⊆ X
wieder kompakt
• Jede stetig differenzierbare reellwertige Funktion
Rn → Rauf einer kompakten Teilmenge K ⊆ Rn
ist Lipschitz-stetig
• Das Kreuzprodukt von abgeschlossenen Intervallen ist kompakt:
[a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ] ⊆ Rn ist kompakt
11.1.10
• A = A ∪ ∂A
• A◦ ⊆ A ⊆ A
• A◦ ∩ ∂A = ∅
11.1.7
Inneres
Satz von Baire
Sei (X, d) metrischer Raum und vollständig, sei
{Sn |n ∈ N} eine Menge
S von abgeschlossenen Teilmengen in X. Falls X = {Sn |n ∈ N}, so gibt es ein l ∈ N,
ein x ∈ X und ein ε > 0 so, dass Bε (x) ⊆ Sl (d.h.
Sl ◦ 6= ∅).
11.1.11
Satz von der offenen Abbildung
Seien (V, k.kV ) und (W, k.kW ) Banachräume, f : V →
Wir betrachten
einen metrischen Raum X. Das Innere
S
W sei linear, stetig und surjektiv. Dann ist f offen.
A◦ = {U ⊆ X|U offen und U ⊆ S} von A ist offen
(das ist das offene Innere von A). A◦ ist die größte
offene Teilmenge von S.
11.1.12 Umkehrabbildung
Ist f : V → W stetig, linear und bijektiv, dann ist f
• A◦ ist die Vereinigung aller offenen Teilmengen offen.
von A
Sei g die Umkehrabbildung von f , dann ist g linear und
stetig.
• Alternative Schreibweise:
◦
A
= A◦
11.1.13
11.1.8
Rand
Wir betrachten einen metrischen Raum X. Der Rand
∂A einer Menge A ist die Menge aller Punkte p ∈ X für
die jede offene ε-Kugel Bε (p) = {x ∈ X|d (p, x) < ε}
sowol Elemente aus A als auch Elemente aus X\A enthält.
∂A={v∈X|∀ε>0:∃a∈A,x∈X\A:d(v,a)<ε∧d(v,x)<ε}
• ∂S = S\S ◦
Verschiedene Aspekte der Stetigkeit
Es sei X, Y metrische Räume, f : X → Y eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. f ist stetig
2. Das Urbild f −1 (O) jeder offenen Menge O ⊆ Y
ist wieder offen
3. Das Urbild f −1 (A) jeder abgeschlossenen Menge
A ⊆ Y ist wieder abgeschlossen
4. f A ⊆ f (A) für alle Teilmengen A ⊆ X
5. f −1 (B) ⊆ f −1 B für alle Teilmengen B ⊆ Y
31
11.2 Kurven
11.2
11.2.1
Kurven
ċ (t0 ) = p (0) Geschwindigkeit oder Tangentialvektor
der Kurve zur Zeit t0 . c ist somit in t0 differenzierbar.
Definition
Falls c in jedem t ∈ J differenzierbar ist, heißt c differenzierbar, falls zusätzlich t 7→ ċ (t) stetig ist, so heißt
Sei V ein normierter Raum (z.B. R ) mit euklidischer c stetig differenzierbar oder C 1 -Kurve.
Norm. Sei J ⊆ R ein Intervall (offen, abgeschlossen,
halboffen oder J = R). Ein Weg in V ist eine stetige
• Die Funktion p ist (wenn sie existiert) eindeuAbbildung
tig bestimmt, denn für t 6= t0 gilt p (t − t0 ) =
c(t)−c(t0 )
c:J → V
und p (0) = limn p n1
t−t0
t 7→ c (t)
n
11.2.5
• Kurve ist ein äquivalenter Begriff zu Weg
11.2.2
Peano-Kurve
Eine Peano-Kurve ist eine Raumfüllende Kurve γ :
2
[0, 1] → [0, 1] . Sei f : R → [0, 1] eine stetige 2periodische Funktion mit


0 ≤ t < 31
0
2
1
f (t) =
3 t − 31
3 ≤t< 3


2
1
3 ≤t≤ 1
f (t) =
Satz über Differenzierbarkeit
Ist V = Rn , c (t) = (c1 (t) , . . . , cn (t)), so ist c genau dann (stetig) differenzierbar, wenn jedes einzelne cj (stetig) differenzierbar ist, und ċ (t) =
(ċ1 (t) , . . . , ċn (t)).
11.2.6
Beschleunigung
Falls c C 1 -Kurve ist, und falls ċ (stetig) differenzierbar ist, schreibe c̈ für die zweite Ableitung. c̈ (t) heißt
Beschleunigung zur Zeit t.
f (t + 2)
11.2.7 Rechenregeln für Kurven
Da f auf (1, 2) nicht benötigt wird spielt die Definiton
dort keine Rolle. Seien weiter x : R → R und y : R → R J ⊆ R offenes Intervall.
zwei (Koordinaten)-Funktionen mit
1. c, d : J → V C 1 -Kurven
∞
X
c + d = e : t 7→ c (t) + d (t)
x (t) =
2−n f 32n−1 t
ė = ċ + d˙
y (t) =
n=1
∞
X
2−n f 32n t
n=1
Dann ist γ (t) = (x (t) , y (t))eine stetige und surjektive
Abbildung.
• γ ist nicht injektiv. Jeder Punkt bis auf (0, 0) und
(1, 1) wird genau 2mal getroffen.
11.2.3
Wegzusammenhang
Ein (metrischer) Raum X heißt wegzusammenhängend,
falls sich je zwei Punkte x, y ∈ X durch einen Weg in
X verbinden lassen.
2. c : J → V C 1 -Kurve
f : J → R C 1 -Funktion
e = c · f : t 7→ c (t) · f (t)
ė (t) = ċ (t) · f (t) + c (t) · f ′ (t)
3. Umparameterisierung von c
c : J → V C 1 -Kurve
f : I → R C 1 -Funktion mit f (I) ⊆ J
e = c ◦ f : t 7→ c (f (t))
ė (t) = ċ (f (t)) · f ′ (t)
4. c : J → V C 1 -Kurve
f : V → W stetig und linear
e = f ◦ c ist C 1 -Kurve
ė (t) = f (ċ (t))
11.2.8
• stetige Bilder wegzusammenhängender Räume
sind wieder wegzusammenhängend
11.2.4
Geschwindigkeit, differenzierbar
Sei J ⊆ R offenes Intervall, c : J → V eine Kurve,
t0 ∈ J. Dann gibt es ε > 0 so, dass (t0 − ε, t0 + ε) ⊆ J.
Falls es eine stetige Abbildung p : (−ε, ε) → V gibt,
0)
= p (t − t0 ) gilt für t 6= t0 , so heißt
so dass c(t)−c(t
t−t0
differenzieren auf abgeschlossenen Intervall
Ist c : [a, b] → V Kurve. Falls es ein r > 0 gibt, eine
(stetig) differenzierbare Kurve c̃ : (a − r, b + r) → V
mit c (t) = c̃ (t) für alle t ∈ [a, b], so heißt c (stetig)
differenzierbar auf [a, b], setze ċ (t) = c̃˙ (t) für t ∈ [a, b].
• Bislang waren ableitungen nur auf offenen Intervallen definiert. Hier wird das ganze auf abgeschlossene erweitert.
32
11.2.9
11 OFFENE MENGEN, OFFENE ABBILDUNGEN, KURVEN, SKALARFELDER
Bogenlänge
Sei c : [a, b] → V stetig differenzierbar. Die Bogenlänge
Rb
von c ist L (c) = a kċ (t)k dt.
11.2.10
Umparameterisierung und Bogenlänge
11.3.2
Sei U ⊆ V offen, f : U → R C 1 -Funktion, J ⊆ R offen,
c : J → V stetig differenzierbare Kurve mit c (J) ⊆ U .
Dann ist g = f ◦ c mit
g:J → R
t 7→ f (c (t))
ebenfalls stetig differenzierbar, mit Ableitung
Ist c : J → V C 1 -Kurve, J = [a, b], ist ϕ : I → R
C 1 -Funktion streng monoton wachsend (d.h. ϕ′ (t) > 0
für alle t), I = [u, v] mit ϕ (u) = a, ϕ (v) = b. Dann 11.3.3
gilt
L (c) = L (c ◦ ϕ)
• Die Kurvenlänge ändert sich nicht bei streng monotonen Umparameterisierungen.
Kettenregel 1
g ′ (t) = df (c (t)) (ċ (t))
Kettenregel 2
Sei U ⊆ V offen, f : U → R C 1 -Funktion, J ⊆ R offen,
c : J → R reelle Funktion mit f (U ) ⊆ J. Dann ist
g = c ◦ f mit
g:U
t
11.3
11.3.1
Skalarfelder
→ R
7→ c (f (t))
ebenfalls stetig differenzierbar, mit Ableitung
dg (u) (h) = c′ (f (u)) · df (u) (h)
Differential
11.3.4
Richtungsableitung
Sei V ein normierter Raum, U ⊆ V offen, sei f : U → R
stetig. Sei xo ∈ U . Wir sagen f ist differenzierbar im Ist v ∈ V , so heißt
Punkt x0 , falls es r > 0 gibt, eine stetige Funktion
DV f (x) = df (x) (v)
λ : Br (0) → R, und eine stetige lineare Abbildung
Richtungsableitung von f an der Stelle x in Richtung
g : V → R, so dass gilt: λ (0) = 0 und
v.
f (x0 + h) − f (x0 ) = λ (h) khk + g (h)
für alle h mit khk < r.
Dann heißt df (x0 ) = g Ableitung oder Differential von
f in xo .
11.3.5
Partielle Ableitung
Sei V = Rn , v = ei . Dann ist
df (x) (ei ) = Dei f (x) =
∂f
(x)
∂xi
Falls f in jedem Punkt x ∈ U differenzierbar, so heißt
die i-te partielle Ableitung von f an der Stelle xi .
f differenzierbar, falls die Abbildung
U
x
→ V ∗ = L (V, R)
• Man kann schreiben
f (x + t · ei ) − f (x)
∂f
(x) = lim
t→0
∂xi
t
7→ df (x)
stetig ist, heißt f stetig differenzierbar oder G1 Funktion.
• Die i-te Partielle Ableitung erhält man, indem
man v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn als konstanten behandelt und formal nach vi ableitet.
• Falls f in x0 die Bedingungen der Definition erfüllt, so ist df (x0 ) eindeutig durch f bestimmt.
11.3.6
Rechenregeln des Differentials
• Das Differential df (x0 ) ist eine Lineare Abbildung Sei U ⊆ V offen, C 1 (U ) die Menge aller stetig diffeV → R, d.h. df (x0 )liegt im Dualraum V ∗ = renzierbaren Funktionen auf U . Das ist ein reeller VekL (V, R). Das ist ebenfalls ein normierter Raum, torraum und ein Ring, also eine reelle Algebra. Es gilt:
sogar ein Banachraum.
1. d (f + g) = df + dg
• V ∗ trägt die Operatornorm kdf (x)k
=
2. d (r · f ) = r · df
sup {kdf (x) (h)k | khk ≤ 1}
3. Leipnitzregel
• (x, h) 7→ df (x) (h) ist stetig
d (f · g) = df · g + dg · f
33
12.1 Ableitung
11.3.7
Falls f in jedem Punkt u ∈ U eine Ableitung hat, heißt
f differenzierbar. Falls zusätzlich die Abbildung
Affine Abbildung
Ist f : V → R linear und stetig, t ∈ V , so ist die
Abbildung g : v 7→ t + f (v) stetig differenzierbar, und
dg (u) (v) = f (v).
11.3.8
→
L (U, V )
u 7→
Df (u)
stetig ist, heißt f stetig differenzierbar oder C 1 Funktion.
Gradient
Für U ⊂ Rn offen, f : U → R C 1 -Funktion betrachte
den Gradienten
Pn
i=1
• g ist durch f und u eindeutig bestimmt.
• Df (u) (h) = g (h)
• limt→0
grad (f ) (u) = ∇f (u)
∂f
∂f
=
(u) , . . . ,
(u)
∂x1
∂xn
Das innere Produkt auf Rn mit hx, yi =
Dann gilt:
h∇f (u) , hi = df (u) (h)
U
12.1.2
xi yi .
• Wenn h ein inneres Produkt auf V ist, so definiert
man den Gradienten über die Gleichung
df (u) (v) = h (∇f (u) , v)
f (x+t·h)−f (x)
t
= Df (x) (h)
Überblick über verschiedene
tungsbegriffe
Ablei-
Sei V ein reeller normierter Vektorraum und seien J ⊆
R und U ⊆ V offen.
Analysis 1 f : J → R
• Df (x) ∈ L (R, R) =R
˜
• Df (x) : v 7→ v · f ′ (x)
• Df (x) (1) = f ′ (x)
11.3.9
Kriterium für stetige Differenzierbarkeit
Sei U ⊆ Rn offen, f : U → R stetig. Dann ist f stetig
differenzierbar genau dann, wenn alle partiellen Ablei∂f
(u) existieren und stetig in u sind.
tungen ∂x
i
Für das Differential gilt dann
n
X
∂f
df (u) (h) =
(u) hi = h∇f (u) , hi
∂xi
i=1
12
Differentialrechnung in Vektorräumen
12.1
Ableitung
12.1.1
Definition
Seien V, W normierte Räume, U ⊆ V offen, f : U → W
stetig, sei u ∈ U .
Kurven c : J → V
• Dc (t) ∈ L (R, V ) =V
˜
• Dc (t) : x 7→ x · ċ (t)
• Dc (t) (1) = ċ (t)
reelle Funktionen f : U → R
• Df (u) = df (u) ∈ L (U, R)
• in manchen Büchern wird zwischen Df und df
nicht unterschieden
12.1.3
affine Abbildung
Ist g : V → W linear und stetig, t ∈ V und f (v) = t +
g (v). Damit ist f C 1 -Funktion mit Ableitung Df (u) =
g.
• für g = t + Ax mit Matrix A gilt:
Df (u) (v) = Av
Wir sagen f ist diferenzierbar in u, falls es eine lineare 12.1.4 Struktur der Ableitungen
Abbildung g : V → W gibt, und eine stetige Abbildung
Sei U ⊆ V offen, V, W normierte Räume, C 1 (U, W )
λ : BrV (0) → W mit λ (0) = 0, so dass gilt
die Menge aller C 1 Abbildungen von U nach W .
f (u + h) − f (u) = g (h) + λ (h) · khk
Dann ist C 1 (U, W )ein reeller Vektorraum. Es gilt für
alle f, g ∈ C 1 (U, W ) und r ∈ R
für alle h ∈ BrV (o), dabei sei r > 0 so gewählt, dass
BrV (0) ⊆ U . Die Funktion g heißt Ableitung von f in
1. D (g + f ) (u) = Dg (u) + Df (u)
u, schreibe
2. D (r · f ) (u) = r · Df (u)
g = Df (u) ∈ L (V, W )
34
12 DIFFERENTIALRECHNUNG IN VEKTORRÄUMEN
12.1.5
• Potentiale sind die verallgemeinerung von Stammfunktionen
Jakobimatrix
Für V = Rn , W = Rm , U ⊆ V offen und f :
U → V mit f (u) = (f1 (u) , . . . , fm (u)) ∈ Rm . Wenn
12.1.9 Hesse-Matrix
fP C 1 -Funktion ist, so auch f1 , . . . , fm mit f (u) =
m
k=1 ek fk (u). Für die Ableitung gilt dann mit v = U ⊆ Rn offen, f : U → R. Für die zweite Ableitung
(v1 , . . . , vn ) ∈ Rn
gilt
n
m


Df (u) : R
→ R
y1
“P
”
P
2
∂f
∂fm
n
n
1
∂ f
Df (u) : v 7→


k=1 ∂xk (u)·vk ,...,
k=1 ∂xk (u)·vk
(u)  ... 
D2 f (u) (x, y) = (x1 , . . . , xn )
∂xl ∂xk
= (h∇f1 (u) , vi , . . . , h∇fn (u) , vi)
yn
= [Df (u)] · v
T
= x Hf (u) y
mit
Die Matrix

∂f1
∂x1
(u)
...

.
..
.
[Df (u)] = 
.
.
∂fm
∂x1 (u) . . .
∂f1
∂xn
(u)
..
.
∂fm
∂xn
(u)

Hf (u) =

m×n
∈R
=
[Df (u)] wird als Jakobimatrix von Df (u) bezeichnet.
n
∂2f
(u)
∂xl ∂xk
k,l=1

∂f
∂x1 ∂x1 (u) . . .

..
..

.
.
∂f
∂x1 ∂xn (u) . . .
∂f
∂xn ∂x1
(u)
..
.
∂f
∂xn ∂xn
(u)
heißt Hessematrix von f in u.
12.1.6
Kettenregel



T
• Für f ∈ C 2 gilt Hf (u) = Hf (u)
Sind X, Y, Z normierte Räume, U ⊆ X offen, V ⊆ Y
offen, f : U → Y und g : V → Z C 1 -Funktionen mit 12.1.10 Vertauschbarkeit von Ableitungen
f (U ) ⊆ V . Dann ist g ◦ f : U → Z : u 7→ g (f (u))
Ist U ⊆ V offen, f : U → R eine C 2 -Funktion und
ebenfalls C 1 -Funktion und
u ∈ U , so gilt
D (g ◦ f ) (u) = Dg (f (u)) ◦ Df (u)
D2 f (u) (x, y) = D2 f (u) (y, x)
12.1.7
Höhere Ableitungen
Ist U ⊆ V offen, f : U → W C 1 -Funktion. Dann
ist Df : U → L (V, W ) stetig. Falls Df ebenfalls C 1 Funktion ist, heißt f zweimal stetig differenzierbar oder
C 2 -Funktion. Schreibe D (Df ) = D2 f für die zweite
Ableitung.
Entsprechend definiert man k-mal stetig differenzierbare Funktionen, Dk f
=
k-te Ableitung. Man erhält Vektorräume C k (U, W )
=
{f : U → W |f k-mal stetig differenzierbar}.
für alle x, y ∈ V . Das heißt D2 f (u) ist eine symmetrische Bilinearform.
• Die partiellen Ableitungen einer C 2 -Funktion im
Rn gilt
∂2f
∂2f
(u) =
(u)
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
• Die Hessematrix Hf (u) ist symmetrisch
T
Hf (u) = Hf (u)
12.1.11
12.1.8
Potentiale
Bilinearität der zweiten Ableitung
Sei U ⊆ Rn offen, f : U → Rn sei eine C 1 -Funktion.
f (u) ∈ W sei ein Vektor und Df (u) ∈ L (V, W ) linea- Frage: gibt es F : U → R mit ∇F = f ? Wenn ja, so
re Abbildung. Betrachte die zweite Ableitung D2 f ∈ heißt F Potential zum Feld f ).
L (V, L (V, W )).
Falls es ein Potential F passend zu f gibt, gilt ist F
eine C 2 -Funktion. Es muss also für f gelten
Es gilt
D2 f (u) : V × V → W
(x, y) 7→ D2 (u) (x) (y) = D2 f (u) (x, y)
D2 f : U × V × V
→ W
D2 f (u) (x, y) ist linear in x uns y und somit eine bilineare Abbildung.
Für J ⊆ R offen und f : J → R gilt D2 f (u) =
((x, y) 7→ x · y · f ′′ (u)).
∂fj
∂fi
(u) =
(u)
∂xj
∂xi
Im R3 ist diese notwendige Bedingung äquivalent mit
Rotation von f = 0

 ∂f
∂f2
3
∂x2 − ∂x3
 ∂f1
∂f3 
− ∂x
rot (f ) =  ∂x
=0
3
1
∂f2
∂f1
∂x1 − ∂x2
35
12.2 Lokale Extrema reeller Funktionen
Falls U sternförmig ist, sind diese Bedingung nicht nur
notwendig, sondern auch hinreichend.
• Dies entspricht positiver bzw. negativer semidefinitheit von D2 f (u).
Sternförmig bedeutet, das es einen ausgezeichneten
Punkt im Raum gibt, von dem aus man alle anderen
Punkte mit in der Menge liegenden Verbindungsgraden
erreichen kann.
• Dies ist nur Notwendig, hinreichend ist erst die
Definitheit ohne das “Semi”.
12.2.4
12.1.12
definit
Besondere Ableitungen
Affine Abbildung siehe 12.1.3 auf Seite 33
Eine symmetrische Bilinearform h : V × V → R heißt
Bilineare Abbildung f (x, y) sei bilinear
Df (x, y) (v, w) = f (x, w) + f (v, y)
positiv definit falls h (v, v) > 0 für alle v 6= 0 gilt
Inneres Produkt f (x) = hx, xi = xT Ax mit A =
AT
Df (x) (v) = 2xT Av
12.2
12.2.1
Lokale Extrema reeller Funktionen
Extrema
positiv semidefinit falls h (v, v) ≥ 0 für alle v ∈ V
gilt
negativ definit falls h (v, v) < 0 für alle v 6= 0 gilt
negativ semidefinit falls h (v, v) ≤ 0 für alle v ∈ V
Falls keine dieser Eigenschaften zutrifft, heißt h indefinit .
Sei (X, d) ein metrischer Raum, f : X → R stetig.
Wir sagen f hat in x ∈ X ein Maximum / Minimum, 12.2.5 Entwickeln einer Funktion mit ihren
Ableitungen
falls für alle z ∈ X gilt f (x) ≥ f (z) (bzw. f (x) ≤
f (z)). Falls zusätzlich für z 6= x stets gilt f (x) > f (z)
(bzw. f (x) < f (z)), so spricht man von einem strikten Ist ϕ : (−r, r) → R C 2 -Funktion, so gilt
Maximum (oder Minmum).
Z
t
Falls es eine Kugel Br (x) gibt, so dass f auf Br (x) ein
(striktes) Maximum oder Minimum hat, so spricht man
von einem lokalen (strikten) Maximum / Minimum.
ϕ (t) = ϕ (0) + ϕ′ (0) · t +
0
ϕ′′ (s) (t − s) ds
(strikte) (lokale) Maxima und Minima werden allge- 12.2.6 Zweite Ableitung als Norm
mein als (strikte) (lokale) Extrema bezeichnet.
Falls es ein δ > 0 gibt, so dass D2 f (u) (v, v) ≥ δ für alle
v mit kvk = 1, so gibt es r > 0 so, dass D2 f (ũ) (v, v) ≥
12.2.2 Kriterium für Extrema / kritische δ
2 für alle ũ ∈ Br (u).
Punkte
Sei U ⊆ V offen, V normierter Raum, f : U → R sei
eine C 1 -Funktion. Falls f in u ∈ U ein (lokales) Extremum hat, so gilt df (u) = 0 (Nullabbildung). Falls
V = Rn , ist das gleichbedeutend mit ∇f (n) = 0 (Nullvektor).
Die Punkte u ∈ U mit df (u) = 0 heißen kritische Punkte von f .
• Die Bedingung D2 f (u) (v,
p v) ≥ δ besagt folgendes: die Norm kvkU = D2 f (u) (v, v) ist äquivalent zur Norm, mit der wir auf V angefangen
haben. Weil auf Rn alle Normen äquivalent sind,
folgt dort (im Rn ) die Existenz von δ schon, falls
D2 f (u) positiv definit ist.
12.2.7
12.2.3
notwendig für lokale Maxima und Minima
Falls f in u ein lokales Maximum hat, gilt
D2 f (u) (v, v) ≤ 0
falls f in u ein lokales Minimum hat, gilt
D2 f (u) (v, v) ≥ 0
für alle v ∈ V .
Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema
Sei U ⊆ V offen, f : U → R eine C 2 -Funktion, sei u
ein kritischer Punkt von f .
Falls es ein δ > 0 gibt, so dass D2 f (u) (v, v) ≥ δ für
alle v ∈ V mit kvk = 1 gilt, so hat f in u ein striktes
lokales Minimum.
Falls es ein δ > 0 gibt, so dass D2 f (u) (v, v) ≤ −δ für
alle v ∈ V mit kvk = 1 gilt, so hat f in u ein striktes
lokales Maximum.
36
12 DIFFERENTIALRECHNUNG IN VEKTORRÄUMEN
12.2.8
Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema in endlicher Dimension
12.3
Extrema mit Nebenbedingungen
12.3.1 Niveaumenge
Sei U ⊆ Rn offen, f : U → R C 2 -Funktion, u ∈ U
mit ∇f (u) = 0. Falls die Hessematrix Hf (u) positiv U ⊆ V offen, V Banachraum, q : U → R C 1 -Funktion.
definit ist, so hat f in u ein striktes lokales Minimum, Für r ∈ R ist Mr = {v ∈ U |q (v) = r} = q −1 (r) die
falls Hf (u) negativ definit ist, so hat f in u ein striktes Niveaumenge zum Wert r.
lokales Maximum.
Sei H ein weiterer Banachraum, u ∈ Mr , ϕ : BεH (0) →
V sei C 1 -Funktion. Wir sagen, ϕ parameterisiert Mr
V
nahe u, falls
12.2.9 Trägheitssatz von Silvester
es δ > 0 gibt, so dass Mr ∩ Bδ (u) =
ϕ BεH (0) ∩ BδV (u) und falls Dϕ (x) injektiv ist für
alle x ∈ BεH (0).
Sei S ∈ Rn×n eine symmetrische n × n-Matrix. Dann
gibt es eine
Matrix U ∈ Rn×n (d.h. U U T = Falls Mr in jedem Punkt u ∈ Mr solch eine ParametePorthogonale
n
In bzw.
risierung hat, heißt Mr ⊆ U Hyperfläche in U .
k=1 uik ujk = δij bzw. die Spalten von U
bilden eine Orthonormalbasis für Rn ) so dass


D = U T SU = 
d1
0
..
0
.
dn



eine Diagonalmatrix mit d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn . Die Zahlen d1 , . . . , dn heißen Eigenwerte von S.
• Für V = R2 sind Niveaumengen Höhenlinien auf
dem Graphen der Funktion q.
• Ich kann sozusagen eine Umgebung um den Nullpunkt eines Vektorraums auf eine Niveaumenge
abbilden.
Die Matrix S ist positiv/negativ (semi)-definit genau
12.3.2
dann, wenn D es ist. Also:
1. S ist positiv definit ⇔ d1 , . . . , dn > 0
2. S ist positiv semi definit ⇔ d1 , . . . , dn ≥ 0
3. S ist negativ definit ⇔ d1 , . . . , dn < 0
4. S ist negativ semi definit ⇔ d1 , . . . , dn ≤ 0
• Spur (D) = Spur (S)
det (D) = det (S)
• Für n = 2 gilt:
Vorraussetzungen und Notation siehe 12.3.1. Falls
dq (u) 6= 0, so hat Mr = q −1 (q (u)) eine Parameterisierung nahe u.
12.3.3
Tangentialraum
Voraussetzungen und Notation siehe 12.3.1. Man nennt
H = ker (dq (u)) = Tu (Mr ) Tangentialraum von Mr in
u.
12.3.4
1. S ist positiv definit ⇔det (S) > 0 und
Spur (S) > 0
Existenz einer Parameterisierung
Extrema
mit
Nebenbedingung,
Lagrange-Multiplikator
Sei U ⊆ V offen, V Banachraum, q : U → R f : U → R
2. S ist negativ definit ⇔ det (S) > 0 und C 1 -Funktion, Mr = q −1 (r).
Spur (S) < 0
Falls u ∈ Mr ein Extremum von f |Mr ist (d.h. u ist
Extremum von f mit Nebenbedingung q (u) = r) und
falls dq (u) 6= 0, so gibt es ein λ ∈ R mit df (u) =
12.2.10 Hurwitz-Kriterium
λ · dg (u). λ heißt Lagrange-Multiplikator. Für V = Rn
bedeutet das ∇f (u) = λ∇q (u).
Eine Symmetrische Matrix A ist positiv definit genau
dann, wenn für alle k = 1, . . . , n
• Dies ersetzt die Bedingung Df (x) = 0


a11 . . . a1k

..  > 0
..
det  ...
.
. 
12.3.5 Extrema auf kompakten Mengen
a
... a
k1
kk
ist. Also die Determinanten aller quadratischen Aus- Ist K ⊆ Rn abgeschlossen und beschränkt (also Komschnitte aus der Matrize A die die obere Linke Ecke pakt), ist f : K → R stetig, so hat f auf K ein Maxienthalten.
mum und ein Minimum.
37
13.1 Integrale
13
Mittelwertsatz und Satz von
lokalen Inversen
13.1
Integrale
13.1.3
Lineare Abbildung und Integral
Ist ϕ : V → R linear und stetig, so gilt
! Z
Z b
b
ϕ
ϕ (f (t)) dt
f (t) dt =
a
a
13.1.1
Raum der beschränkten Funktionen
Im Rn mit f : J → Rn und
Sei V ein Banachraum (= vollständiger normierter
f (t) = (f1 (t) , . . . , fn (t)) so
Raum), J = [a, b]. Eine Funktion f : J → V heißt
beschränkt , falls die Menge {kf (t)k |t ∈ J} beschränkt gilt
!
ist. Sei B (J, V ) die Menge aller beschränkter FunktioZ b
Z b
Z b
nen f : J → V . B (J, V ) ist ein reeller Vektorraum. Set(t) dt =
f1 (t) dt, . . . ,
fn (t) dt
ze kf (t)k∞ = sup {{kf (t)k |t ∈ J}} (Supremum von
a
a
a
f ). Damit wird B (J, V ) ein normierter Vektorraum.
Sind V, W Banachräume, dann gilt für ϕ : V → W
linear
und stetig
• B (J, V ) ist ein Banachraum
! Z
Z b
b
ϕ
ϕ (f (t)) dt
f (t) dt =
13.1.2 Stufenfunktion
a
a
Eine Funktion f ∈ B (J, V ) heißt Stufenfunktion, falls
es Zahlen
a = s0 < s1 < . . . < sn = b
Insbesondere: Sind X, Y Banachräume, f : J →
L (X, Y ) Regelfunktion, so gilt für jedes x ∈ X
| {z }
Banachraum
Z
!
Z b
f (s) ds (x) =
f (s) (x) ds
gibt, so dass f |(si ,si+1 ) = const. gilt. Die Menge
a
a
Step (J, V ) = {f : J → V |f ist Stufenfunktion} ist ein
Untervektorraum von B (J, V ).
denn die Abbildung f (s) 7→ f (s (x)) ist linear.
b
Der Abschluss von Step (J, V ) in B (J, V ) besteht aus
allen beschränkten Funktionen, die Grenzwerte (bzgl. 13.1.4 Ableitung eines Integrals
k.k∞ ) von Stufenfunktionen sind. Solche Funktionen
heißen Regelfunktionen, sie bilden einen Untervektor- Ist f : J → V stetig, t0 ∈ (a, b) = J, so ist
raum R (J, V ) ⊆ B (J, V ). Weil B (J, V ) vollständig
Z t
ist, ist R (J, V ) ebenfalls vollständig.
f (s) ds
c (t) =
Ist f ∈ Step (J, V ) bzgl. Zerlegung a = s0 < s1 < . . . <
sn = b, setze
Z
a
b
f (t) dt =
n−1
X
i=0
f
si+1 + si
2
(si+1 − si ) ∈ V
t0
eine C 1 -Kurve, mit Ableitung ċ (t) = f (t). Für t < t0
Rt
Rt
ist t0 f (s) ds = − t 0 f (s) ds.
• Für eine C 1 -Kurve
R t gilt insbesondere
c (t1 ) − c (t0 ) = t01 ċ (s) ds
Für eine Regelfunktion f ; J → V , die Grenzwert einer
Folge (fi )i∈I von Stufenfunktionen ist, setze
13.1.5 Mittelwertsatz der Integralrechnung in
Vektorräumen
Z b
Z b
f (t) dt = lim
fi (t) dt
i∈I a
Seien V, W Banachräume, U ⊆ V offen, f : U → W
a
C 1 -Abbildung. Sei u ∈ U und v ∈ V so, dass u + v · s ∈
U für alle s ∈ [0, 1]. Dann gilt
• J = [a, b] ⊆ R, V vollständiger Vektorraum
Z 1
Step (J, V ) ⊆ R (J, V ) ⊆ B (J, V )
f (u + v) − f (u) =
Df (u + v · s) (v) ds
• Integrieren ist eine Lineare Abbildung:
0
Rb
Rb
Rb
Z 1
(f (t) + g (t)) dt = a (f (t)) dt + a (g (t)) dt
=
Df (u + v · s) ds (v)
Rab
Rb
0
a (λ · g (t)) dt = λ · a (g (t)) dt
R
R
R
b
b
b
• Sind V, W Banachräume, u ∈ U ⊆ V , U offen,
• a f (t) dt ≤ a kf (t)k dt ≤ a kf k∞ dt =
u + h ∈ Br (u) ⊆ U , so gilt
(b − a) · kf k∞
• Stetige Funktionen sind Regelfunktionen
C (J, V ) ⊆ R (J, V )
kf (u+h)−f (u)k≤khk·sup{Df (u+h·t)|0≤t≤1}
falls {u + v · s|s ∈ [0, 1]} ⊆ U
38
14 FUNKTIONENREIHEN
13.2
13.2.1
Invertieren von Funktionen
13.2.5
Satz über implizite Funktionen
Seien X, Y, Z Banachräume, U ⊆ X, V ⊆ Y offen, f :
U × V → Z sei C 1 -Funktion, sei (u, v) ∈ U × V .
von Neumannsche Reihe - Inverses
Sei V ein Banachraum, f ∈ L (V, V ) mit kf k < 1. Dann Falls D f (u, v) : Y → Z ein Isomorphismus ist, so gibt
2
hat die lineare Abbildung (idv − f ) : v 7→ v − f (v) ein es Û ⊆ U offen, g : Û → V C 1 -Funktion mit g (u) = v,
stetiges Inverses nämlich
so dass f (x, g (x)) = f (u, v) gilt für alle x ∈ Û .
∞
X
fk
(idV − f )−1 =
• Man kann die Gleichung f (x, y) = const nahe u
k=0
nach y auflösen
mit f 0 := idV und f k = f ◦ f ◦ . . . ◦ f .
|
{z
}
• Isomorphismus ⇔ det ([D2 f (x, v)]) 6= 0
k−mal
13.2.2
Gruppe von invertierbaren linearen
Abbildungen
Sei V ein Banachraum,
• Wenn ich die Gleichung f (x1 , . . . , xn ) = k nach
∂f
xi auflösen will, muss ich testen, ob ∂x
6= 0 ist.
i
Falls f vektorwertig ist, muss dieses für jedes fi
aus f = (f1 , . . . , fm ) gelten.
13.2.6
Gl (V ) = {f ∈ L (V, V ) |f hat stetiges Inverses}
Diagonalisierbarkeit
schen Matizen
von
symmetri-
Dann ist Gl (V ) eine Gruppe (bzgl Komposition von Ist A ∈ Rn×n symmetrisch (d.h. A = AT ), so gibt es
eine Orthonormalbasis b1 , . . . , bn des Rn aus EigenvekAbbildungen und offen in L (V, V ).
toren von A. Bzgl. dieser Basis hat A also Diagonalge−1
• Die Abbildungen (g, h) 7→ g ◦ h und g 7→ g sind stalt mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.
stetig in Gl (V )
• Dies ist nur über R richtig, nicht z.B. über Q
13.2.3
Satz vom lokalen Inversen
13.2.7
Ableitung einer Impliziten Funktion
1
Sei V, W Banachräume, U ⊆ V offen f : U → W C Funktion, u ∈ U . Falls Df (u) : V → W bijektiv ist, Sei F : V × W → Z differenzierbare Funktion, g : V →
dann gibt es r > 0 eine C 1 -Funktion g : BrW (f (u)) → W ebenfalls differenzierbar und es gelte f (x, g (x)) = 0
für alle x ∈ V . An allen anderen Punkten x0 ∈ V an
V , so dass
denen D2 f (x0 , g (x0 )) invertierbar ist gilt
(g ◦ f ) (v) = v
−1
Dg (x0 ) = −D2 f (x0 , g (x0 )) D1 f (x0 , g (x0 ))
(f ◦ g) (w) = w
an Stellen wo dieses Sinn macht gilt (Definitionsbereiche!).
• Nahe bei u lässt sich die Gleichung f (v) = w eindeutig und stetig differenzierbar nach v auflösen.
13.2.4
Notation für implizite Funktionen
Sind X, Y, Z Banachräume, U ⊂ X, V ⊂ Y offen.
f :U ×V
f (x, y)
→ Z
=
z
• Geht auch, wenn f (x, g (x)) = c für festes c ∈ Z
ist.
14
14.1
14.1.1
Funktionenreihen
Taylorreihe
Definition
Ist f eine unendlich oft differenzierbare Funktion
(glatt), betrachte ihre Taylorreihe
∞
X
1 (n)
sei C 1 -Funktion, so ist Df (x, y) : X × Y → Z linear.
f (0) xn
n!
Schreibe für a ∈ X, b ∈ Y
n=0
im Entwicklungspunkt 0.
a
a
Df (x, y)
= (D1 f (x, y) , D2 f (x, y))
b
b
Falls f Potenzreihe ist, stimmt sie mit ihrer Taylorreihe
= D1 f (x, y) (a) + D2 f (x, y) (b)
überein.
• Diese Schreibeise geht auf die Verwendung von
Blockmatrizen zurück
• Die Taylorreihe liefert nicht immer die richtige
Funktionsreihe zurück
39
14.2 Fourierreihe
14.1.2
Entwicklung mit endlicher Summe
14.2.2
Fourrierkoeffizienten
Sei U ⊆ R offenes Intervall, x0 ∈ U . Dann gilt auf ISt v ∈ V und ist B vollständiges ONS, so heißen die
Zahlen vi = h (v, bi ) Fourierkoeffizienten von V . Für
einem Intervall (x0 − r, x0 + r) ⊆ U
I = N konvergiert dann
n
X
1 (i)
∞
X
f (x0 + t) =
f (x0 ) ti + Rn+1 (t)
i!
v
=
bk vk
i=0
k=0
mit
gegen v.
Rn+1 (t) =
1
n!
Z
t
0
n
(t − s) f (n+1) (x0 + s) ds
14.2.3
Fourierentwicklung mit Trigonometrischen Funktionen
falls f ∈ C n+1 (U, R).
Rπ
Sei V = C ([−π, π] , R) und h (f, g) = −π f (s) g (s) ds
ist inneres Produkt auf V . Leider ist V kein Hilber
V̂
,
ĥ
traum,
aber
er
lässt
sich
zu
einem
Hilbertraum
14.1.3 Fehlerabschätzung
vervollständigen (Dafür würde man einen anderen InIst f ∈ C n+1 (U, R) wie in 14.1.2, so gibt es η : tegralbegriff benötigen).
(−r, r) → R stetig mit η (0) = 0 und
Betrachte
f (x0 + t) =
14.1.4
n
X
1 (i)
f (0) ti + η (t) tn
i!
i=0
Vektorwertige Funktionen
1
f (u) + Df (u) (h) + D2 f (u) (h, h)
2

+...+
1 n


D f (u) h, . . . , h
| {z }
n!
n−mal
+Rn+1 (h)
mit
1
Rn+1 (h)= n!
R1
0
0
1
B
C
n
C
Dn+1 f (u+h·s)B
@h, . . . , hA(1−s) ds
| {z }
n+1−mal
14.2
14.2.1
b2k (t) =
b2k+1 (t) =
U ⊆ V offen, f : U → W C n+1 -Funktion.
f (u + h) =
b0 (t) =
Fourierreihe
Orthonormalsystem
Sei (V, h) Hilbertraum
(d.h. V ist Vollständig, bzgl
p
Norm kvk =
h (v, v)). Eine Teilmenge B ⊆ V ,
B = {bi |i ∈ I} heißt Orthonormalsystem (ONS), falls
(
1 falls i = j
h (bi , bj ) = δij =
0 sonst
Ein ONS heißt vollständig, fallss der von B erzeugte
Unterraum W = span (B) dicht ist, d.h. falls W = V .
• Jeder Hilbertraum hat ein vollständiges ONS
1
√
2π
1
√ cos (kt)
π
1
√ sin (kt)
π
Die Menge {bk |k ∈ N}ist ein vollständiges ONS.
Für f ∈ V̂ (insbesondere für f ∈ V ) betrachte die
Fourierkoeffizienten
Z π
h (f, bn ) = fn =
f (s) bn (s) ds
−π
die zugehörige Fourierreihe ist
∞
X
bk (t) fk
k=0
sie konvergiert in v̂ gegen f bzgl. der durch ĥ gegebenen
Norm.
• Das bedeutet i.a. keine punktweise Konvergenz der
Fourierreihe gegen die Funktion.
• Sägezahn, konvergiert punktweise
∞
4 X cos ((2k + 1) · t)
π
−
2
2
π
(2k + 1)
k=0
• Rechteck, konvergiert gleichmässig


für t > 0
1
f (t) = sign (t) = 0
für t = 0


−1 für t < 0
∞
4 X sin ((2k + 1) · t)
f (t) =
π
2k + 1
k=0
40
14.2.4
14 FUNKTIONENREIHEN
Konvergenzkriterium
Ist f ∈ C ([−π, π] , R) Lipschitzstetig (insbesondere
C 1 -Funktion), so konvergiert die Fourierreihe punktweise gegen f .
Ist f sogar C 2 -Funktion, dann konvergiert die Fourrierreihe gleichmässig gegen f .
Index
∞-Norm, 26
Äquivalentzklasse, 9
Äquivalenzklassen, 12
Äquivalenzrelation, 9
äquidistante Zerlegung, 19
äquivalent, 29
1-Norm, 26
1. Hauptsatz der Diff- und Int- rechung, 23
2-Norm, 26
2. Hauptsatz der Diff- und Int- rechung, 23
Abbildung, 9
abgeschlossen, 25, 29
Ableitung, 21, 32, 33
Ableitung Umkehrfunktion, 21
Ableitungsoperator, 22
Abschluss, 30
Abschneiden, 25
Absolutbetrag, 6
absolute Konvergenz, 14
Additionstheoreme, 17
Algebra, 15
normierte, 18
alternierende harmonische Reihe, 15
angeordneter Körper, 6
angeordneter Ring, 6
Anordnung, 6, 13
antisymmetrisch, 6
Anzahl Elemente, 10
approximiert, 19
archimedisch, 11, 13
Banach-Raum, 26
Banachraum, 18
Banachs Fixpunktsatz, 29
Bernoulli’sche Ungleichung, 6
Beschleunigung, 31
beschränkt, 11, 18, 37
Betrag, 6
bijektiv, 10
Bild, 9
Bilinearform, 26
Binomialkoeffizient, 10
Binomische Formel, 10
bodenlose Mengen, 8
Bogenlänge, 32
Bolzano - Weierstass, 12
C, 7
C1-Funktion, 33
C1-Kurve, 31
Cauchy, 13
Cauchy Folge, 18
Cauchy-Folge, 13, 25
Cauchy-Produkt, 14
Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 27
charakteristische Funktion, 18
Cosinus, 16
Hyperbolicus, 17
definit, 26, 35
Determinante, 28
dicht, 39
diferenzierbar, 33
Differential, 32
Differentiation, 20
differenzierbar, 20, 21, 31–33
stetig, 21
Disjunkt, 7
diskrete Metrik, 24
divergent, 11
divergenten Reihe, 13
Dreiecksungleichung, 6, 18
Umgekehrte, 6
Dualraum, 28, 32
Durchschnitt, 7
e, 15
Einschränkung, 9, 20, 22
Einschränkungsabbildung, 16
einstellige Relation, 9
epsilon-Umgebung, 8
Exponentialfunktion, 14
Exponentialreihe, 15
Extrema, 21, 35
Extremum, 21
F2 bzw. F2 , 5
Faktorring, 12
Fakultät, 10
Familie, 9
fast alle, 10
feiner, 18
Fixpunkt, 29
Folge, 24
Folgen, 11, 12
Folgenglieder, 11
Folgenvollständig, 13
formale Potenzreihe, 16
Fortsetzung, 20
Fourierkoeffizienten, 39
Fundamentalfolge, 13
Funktion, 9
Funktionenfolgen, 16
Funktionsfolge, 23
gebrochenrationale Funktion, 15
geometrische Folge, 12
Geometrische Reihe, 10
geometrische Reihe, 15
Geometrische Summe, 10
geordnetes Paar, 8
gerade, 22, 23
Geschwindigkeit, 31
Gl(V), 38
glatte Funktionen, 22
gleiche Konvergenzverhalten, 14
41
42
gleichmäßig stetig, 15
gleichmäßige Konvergenz, 16, 18
Gradienten, 33
Grenzwert, 11
Gruppenisomorphismus, 15
Häufungspunkt, 12
Höhenlinien, 36
Harmonische Folge, 12
harmonische Reihe, 15
Hermite-Polynome, 17
Hilbert-Raum, 27
Hintereinanderausführung von fkt, 16
Hyperbolische Trigonometrische Funktioen, 17
Hyperfläche, 36
i, 7
Ideal, 12
Imaginärteil, 7
indefinit, 35
Indexmenge, 11
Infimum, 11
injektiv, 10
Inneres, 30
inneres Produkt, 26
Integrak, 37
Integral, 19
Intervall, 8
abgeschlossenes, 8
offen, 8
Invers, 38
Inverses Element, 5
isomorph
kanonisch, 11
Jakobimatrix, 34
Körper, 5
kanonisch isomorph, 11
kartesische Produkt, 8
Kettenregel, 21, 32
kommutativer Ring, 5
kompakt, 30
Komplement, 7
komplex konjungiert, 7
Komposition, 9, 16
konjungiert, 7
konstante Folge, 11, 12
konvergent, 11
konvergente Reihe, 13
Konvergenz, 11, 16
gleichmäßig, 16
punktweise, 16
Konvergenzradius, 16
Konvergenzverhalten, 14
konvergiert, 24
konvergiert absolut, 14
konvergiert in, 15
kritische Punkte, 35
Kurve, 31
L-Lipschitz-stetig, 27
INDEX
Lagrange-Multiplikator, 36
leere Menge, 7
Leibnizkriterium, 14
Leibnizregel, 21
Limes inferior, 12
Limes superior, 12
Lipschitz-stetig, 27
Logarithmus, 14
lokales Extrema, 21
lokales Inverses, 38
lokales Maximum, 35
lokales Minimum, 35
Lokalisieren von Ringen, 6
Majorantenkriterium, 14
Manhattan-Taxi-Metrik, 24
Maximum, 10, 21, 35
mehrfache Ableitung, 22
Metrik, 24, 26
metrischer Raum, 24
Minimum, 21, 35
Minorantenkriterium, 14
Minumum, 10
Mittelwertsatz der Differentialrechung, 22
Mittelwertsatz der Integralrechnung, 20, 37
mod, 9
monoton fallend, 11
monoton wachsend, 11
Monotonie, 11
N, 7, 8
Nachfolgerstruktur, 8
natürlicher Logarithmus, 14
negatib definit, 35
negativ, 6
negativ semidefinit, 35
Neumannsche Reihe, 38
Neutralelement, 5
nicht kommutativer Ring, 5
nicht negativ, 6
nicht positiv, 6
Niveaumenge, 36
Norm, 18, 26, 28
normierte Algebra, 18
normierter Vektorraum, 18
Null, 5
Nullfolge, 11
obere Schranke, 10
offen, 8, 29
offene Innere, 30
offene Menge, 8
offene r-Kugel um x, 24
ONS, 39
Operatornorm, 28
Ordnung, 6
Ordnungsrelationen, 9
Orthonormalsystem, 39
p-Norm, 26
Paar, 8
Parallelogrammgleichung, 27
43
INDEX
Partialsummenfolge, 13
Partielle Integration, 23
partielle Ordnung, 6
Peano-Axiome, 8
Peano-Kurve, 31
pi, 17
Polynome, 17
Polynomfunktion, 15
positiv, 6
positiv definit, 26, 35
positiv semidefinit, 35
Potential, 34
Potenzreihe, 23
formale, 16
Produktfolge, 12
Produktregel, 21
Produktsymbol, 10
punktweise Konvergenz, 16
Q, 6
Quotientenkriterium, 14
R, 11
Rand, 30
Raum, 24
Realteil, 7
Rechteck, 39
reelle Algebra, 15
reellen Zahlen, 10, 11
reeller Hilbert-Raum, 27
reflexiv, 9
Reflexivität, 6
Regelfunktion, 19
Regelfunktionen, 37
Reihen, 10, 13, 15
Relation, 6, 9
Relationen, 9
Richtungsableitung, 32
Riemann-Integral, 19
Ring, 5
Rolle, 22
rot, 34
Rotation, 34
Russelmenge, 8
Sägezahn, 39
Schnittmenge, 7
Schranke, 10
Segment, 25
semidefinit, 35
Sinus, 16
Hyperbolicus, 17
Skalarprodukt, 26
Stammfunktion, 23
Standard Skalarprodukt, 26
Step, 18
sternförmig, 35
stetig, 15, 27, 30
gleichmäßig, 15
stetig differenzierbar, 21, 31
stetige Fortsetzung, 20
stetige Funktionen, 27
stiktes Maximum, 35
stiktes Minimum, 35
streng monoton fallend, 11
streng monoton wachsend, 11
strikte Extrema, 35
striktes lokales Extrema, 21
Stufenfunktion, 18, 37
Substitution, 23
Summen, 10
Summenfolge, 12
Summensymbol, 10
Supremum, 11, 37
Supremumseigenschaft, 11–13
Supremumsnorm, 18, 26
surjektiv, 9
symmetrisch, 9
symmetrische Bilinearform, 26
symmetrische Differenz, 7
Tangentialraum, 36
Tangentialvektor, 31
Taylorreihe, 38
Teilfolge, 12
Teilmengen, 8
topologisch äquivalent, 25
transitiv, 6, 9
Transitivität, 6
Trigonometrische Funktionen, 16
Umgebung, 8
Umkehrabbildung, 30
Umkehrfunktion, 14, 16, 21
Umparameterisierung, 31
unendliche Reihe, 13
ungerade, 22, 23
Ungleichungen, 27
untere Schranke, 10
Unterraum, 24
Urbild, 9
Vektorraum
normierter, 18
Verdichtungssatz von Cauchy, 14
Vereinigung, 7
Vollständig, 13
vollständig, 18, 25, 39
vollständigen Induktion, 8
von Neumannsche Reihe, 38
Weg, 31
Weierstrass, 16
Weierstrass - Bolzano, 12
Wurzelfunktion, 15
Wurzelkriterium, 14
Z, 6, 7
Zerlegung, 18
Zerteilung von Integralen, 22
zweimal stetig differenzierbar, 34
zweistellige Relation, 6
zweite Ableitung, 22
Zwischenwertsatz, 16