Niedere Zahlentheorie

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Viel sp äter erst als ich gewün s cht kann ich hierm it den zweiten
Teil m einer Ni e d e r e n Z ah l e n t h e o r i e der Öff entlichkeit übergeben
E behandelt dasjenige Gebiet der Zahlentheorie welches m an na c h
Kron eck ers Vorgä nge als A d d i t i v e Z ah l e n th e o r i e be eichnet
we i l es die auf additiver Verkn ü p fung beruhenden E igenschaften und
Beziehungen der Zahlen u m faß t Noch gibt e s kein Werk welches
e in e s y s te m ati s c he E ntwicklung der additiven Zahlentheorie oder eine
geschl ossene Darstellun g der vorhandenen auf s ie bez ü glichen Fors chungen
Wenn so das vorliegende das erste ist das den
u m In halte h ä tte
Vers u ch daz u m acht s o bin ich m ir wohl bewußt daß ich die Nach
Bei der Mannigfaltigkeit
s icht d e s L e ser s in Ans p ruch neh m en m u ß
und Zerstreutheit der in Betracht ko m m enden Gegenstände war die
Aufgabe nicht leicht ein einh eitliches Gan e s u bilden E ine stren g
sys te m ati s che Dars tell ung wollte urzeit überhaup t nicht gelingen
da es noch an allge m einen Methoden und Grundlagen z u e iner rein
arithm etischen E ntwicklung der additiven Zahlentheorie fehlt ; die
An f änge welche da u von S ylves ter ge m acht worden sind sind noch
w enig genügend
Meist bedarf es ihre S ätze zu begründen des
Hilfs m ittels der Analy si s insbe s ondere jenes fruchtbaren E ulerschen
Mittels der Entwicklung unendlicher Produkte in P oten reihen ; au ch
ist es bei der leichten Handlichkeit die s es Hilfs m ittels sowie bei den
interessanten E inblicken in den wissenschaftlichen Zusa m m enh an g der
Proble m e die es verm ittelt kau m ratsam ganz darau f zu verzichten
Muß te ich daher einers eits m i ch darauf beschränken die E rgebnisse
der Forschu ng über additive Zahlentheorie nu r zu ordnen und nach
Möglichkeit in Zusam m enhang z u bringen so verm ochte ich anderer
seits nicht überall im eigentlichen Rah m en der niederen Zahlentheorie
z u verbleiben und verweise in dieser H in s icht auf das was ich über
den Titel m eines Werke s schon in der Vorrede z u m ers ten Teile
hervorgehoben habe daß derselbe nicht durchweg aus de m Inhalte
des Werks sondern au s d e m Urspru n g e desselben aus d e m gleich
n am i e n Artikel der E nz klo ä die der Mathe m ati s chen Wissen s chaften
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B e mou llis c h e n Zahlen entwickelt behandle ich i m w e i t e n Kap itel
die rekurrenten insbesondere die von D uc as als fonc tions n m eriqu e s
Das d r i t t e Kap itel
s im p le m e n t p e io di q u e s benannten Zahlenreihen
b ringt die L ehre von der Z e rf ällun g der Zahlen in Su m m anden der
verschiedensten Art die be üglichen Unters uchu ngen von Cayle y und
S ylves ter den P e n t ag o n l ah le n s at von E u le r L eg en dre den engeren
von Vahlen u a m ehr woran sich im fo l
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D aublebs ky von S terned c i n erfolgreicher Weise fortgeführt worden sind
Dann folgen im s e c h s t e n Kap ite l m annigfache R e k u rs io n s f o rm e ln
von der Art der berühm ten l erschen Form el für die S um m e der
Teiler einer Zahl Das s i e b e n t e Kap itel enth ält die S ä t e über die
Z e rf ä llu n g e n e iner Zahl in wei und vier Qua dr ate zude m die neue s ten
Unters uchungen über die für die Z e rf ällun g jeder Zahl notwendige
An ahl von Kuben B i qu ad rat e n und höheren P oten en I m a c h t e n
Kap itel findet m an eine größere Auswahl der I iou v ille s c h e n Form eln
die er unter d e m Titel sur qu el que s form ules g en erales qu i p euvent
ver ö ffentli cht hat ihre An
etre u tile s dan s la th eorie d e s no m bres
wendung r Besti m m ung der Anzahl der Darstell un gen einer Z ah l
d u rch gewisse qu at e rn ä e quadrati s che Form en sowie endli ch zur
Herleitung einer der Kro neckers ch e n R e k s io n s f o m e ln für die Klassen
anzahl bin ärer q uadratischer Form en E in S c h lu ß k a p i t e l behandelt
die Gleichung x y = z ; na chde m zun ä chs t di e Py t h ag o ä is ch e n
Zahlen o der di e rationalen rechtwinkligen Dreie cke dann allge m einer
die rationalen Dreiecke überhaup t besti m m t worden s ind w ird nach
Ku mmer die Besti m m ung rationaler Vierecke gelehr t und zuletzt eine
u sam m enh ängende Ski e der haup tsä chli chsten Bem ühungen und E r
n is s e der Fors chung über das
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für welches neuerdin g s das Interesse der Mathe m atiker einen besonderen
Anreiz erhalten hat
Der Verfasser ho fft daß es ih m gel un gen sei trotz der ge m ischten
Methode ein hinrei chend abgerun detes Gan es u s ch afi e n wel che s
wie es eine m fühl b aren Bedürfnisse entgegenko m m t dieses auch
einigerm aßen u befriedigen verm ö ge
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.
Die additive Zahlentheorie deren Dars tellung die s er Band ge
wid m et ist betrachtet diejenigen E igensch ften und Beziehungen der
ganzen Zahlen welche aus ihrer additive n Verknüp fung u neuen
Z hlen hervorgehen
Die all unseren Unters u chu ngen zugrunde liegende n atürli che Z hlen
reihe selb st entsteht durch eine stets wiederholte additive Verknüp fun g
der E inheit mit s ich selb s t ; so findet m an die aufeinander folgenden
Zahlen
1
,
.
a
,
z
,
a
.
a
1 , 2, 3, 4, 5 , 6,
1
( )
Verb indet m an dagegen m it der E inheit in steter Wiederholung die
zwei dann die drei u sw s o entsteht die Reihe der ungeraden
Zahlen
,
,
.
,
1 , 3, 5 , 7 , 9,
2
( )
d nn die Reihe
a
1 , 4, 7 , 1 0, 1 3,
3
( )
usw fort Um das allge m eine Geset dieser un ä chst sich darbieten
den additiven Z ah le n v e b in du n ge n u m Ausdruck u brin gen betrachte
m an allgem ein die Reihe der Zahlen
z
.
.
z
z
r
z
,
:: :
welche aus einer n f ä n g l i c h e n Zahl a durch stets wiederholte
dition einer g e g e b e n e n Zahl d hervorgehen so daß allge m ein
4
( )
a
a1
a2
a3 ;
“4 7
'
r
a
,
d
für
(
i
Ad
= 1 , 2,
ist E i n e s o l ch e F o r m e l d u r ch w e l c h e j e d e s G l i e d a e i n e r
Z ah l e n r e i h e m i tt el s v o rh e r g e h e n d e r G l i e d e r d e r s e l b e n a u s
g e d r ü ck t w i r d h e i ß t e i n e R e k u r s i o n s fo r m e l ; die Form el (5 )
ist die einf chste und u rsp rünglichste A t derselben die sich auf
stellen l ä ßt Die Zahlenreihe (4) aber welche nach dieser Form el (5 )
gebildet wird heißt e i n e a r i t h m e t i s c h e R e i h e a ihr A n f n g s
,
.
,
,
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r
,
.
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,
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Glied
,
d
a,
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t
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Z
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h
a
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.
ihre D i ffe r e n
O ffenbar folgt aus (5 ) das allge m eine
durch diese Gegebenen ausgedr ü ckt m ittels der Form el :
z
.
liegt sehr nahe nun eine An ahl aufeinander folgender etwa
die ersten n Zahlen der Reihe (4) additiv u verk nüp fen d h d i e
S umm e
bilden
Es
z
,
,
z
-
.
,
.
zu
S chreibt m an u m ihren Wert z u erm itteln
der S u m m anden
,
Sn =
(I n
(t n —2
—1 +
—l
o
um gekehrter Folge
m it
,
a
+
und be m erkt daß zwei untereinander s tehende Glieder
,
die S um m e
a5
=
a
+ 23d ,
n
1)d
(
2a
—t —1 d
)
ergeben so findet sich sogleich
,
2S „
2n a
n
(
n
1 ) d,
also d i e g e s u ch t e S u m m e
S„ =
s
( )
d
na
.
die s er allge m einen Form el erh ält m an wenn
wird für d l 2 3
die Gleichun gen :
Au s
,
,
,
,
gew ählt
1
a
,
a
8
( )
n
b
8
( )
-
c
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( )
4
1
7
o
o
o
+ ( 2n
+ (3 n
Die Zahlen von den so gefundenen F o r m e n d h die Zahl en
welche m an aus den hier r Re chten stehenden allge m einen Au s
drü cken erh ä lt wenn m an darin suk essive n glei ch
2 3
an
ni m mt h ben einen besonderen Na m en erhalten ; sie werden ins
gesam t P o ly g o n lz a h le n genannt insbesondere heißen die Zahlen
der ersten For m :
,
.
.
,
zu
z
,
,
,
,
a
a
,
1 , 3 , 6, 1 0 , 1 5 , 2 1 ,
die T r i g o n al oder D r e i e c k s ah l e n
z
,
die
der weiten For m :
1 , 4, 9, 1 6, 25 , 3 6, 49,
die Q u a d r a t ah l en die der d itten Form :
z
,
r
1 , 5 , 1 2, 22, 3 5 ,
z
P o lyg o n alz ah le n
.
die P e n t a g o n a l oder F ü n f
usw Set t m n
e c k s a h le n
in ( 8) f ür a d bez 1 und
2 so gibt die For m el
r
z
,
a
z
.
.
,
,
—2
)
d
8
( )
die s o g e n a n n t e n r E e k s
ah l e n
D e Grund dieser schon
i m Altertu m gebr ä uchli chen
Be eichnungen kann in d e m
Um stä nde gefunden werden
daß die be eich neten Z hlen
m Vor s chein ko m m en wenn
die Reihe der natürlichen
Zahlen auf p olygone Weise
angeordnet wird wie folgt :
Man denke n eine Hori
o n t allini e gleich s eitige Drei
e cke nget gen deren g e
m e i n s am e S p it e in ihr liegt
w ährend deren Seiten suk
glei ch 1 2 3
s siv e
E inheiten sind und be eichne
die E ndp u nkte der der E i
heit glei chen Stre cken auf
den Seiten dieser Dreie cke
du r ch die aufeinander folgen
den Zahlen s o ko mm en all
m ä hli ch u r ersten Zahl 1 die
wei folgenden da u die drei
folgenden s w hin u ; d her
stellen dann die auf die Ho i
o n t le f llenden Zahlen die
aufeinander folgenden Drei
c k s ahle n
dar E ine äh n
liche Anordnung na ch Qua
d t e n Fünfe c ken usw führt
uf
d e H o i o n t llin ie wie
die beigefügten Zeichnungen
anschau en la s sen die Quadr t
ahlen die F ü nf e ck s ah le n
usw herbei
-
z
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Z
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.
Die P o lygo n al ahle n waren w eni gstens in ihren ei n
fachsten A rten
als Trigonal u nd Quadrat ahlen bereits den Pyt h ag o ä e rn bekannt
und schon P lutarch und N iko rnachus ( 1 Jah rh nach C h ) führen
au ch die S ät e an welche in den beiden einfachen Form eln
z
,
r
z
.
z
,
r
.
.
,
5
9
( )
8
n
b
9
( )
—
1)
(
n
n
1
)
+
(
n
n
2
2
2
ihren algebrai s chen Ausdruck haben wona ch also das A chtfa che jeder
T ig o n alz ahl u m eins verm ehrt eine un ger de Quadr t ahl und die
Su mm e je zweier aufeinander folgender T igo n al ah le n stets e ine
Quadrat ahl ist
S et t m an in ( 8 b ) für n wei aufeinander folgende T ig o n alz ahl e n
—1 )
s o finden s ich die Gleichungen :
2
2
,
a
r
a z
r
z
z
.
z
z
r
r
,
deren Differen die folgende ergibt :
z
d
.
i
.
:
t
(
also
f ür i
— t + 2t
i
= 1 , 2, 3 ,
Hieraus folgt für die
3
der
S u mme
3
3
R eihe
na ch
der ersten
1 + 2 + 3 +
i
'
r
K u bik ahlen die Form el :
z
3
Die Zahlen der arith m etis chen Reihe (4) haben der Form el (5)
ge m äß die E igen s chaft d ß die Di ff eren je weier aufeinander
folgender Zahl en e in u nd dieselbe ist Betrachtet m an dagegen
i gendwelche Reihe von gan en Zahlen
2
.
,
a
z
.
r
z
z
D i ff e re nz re ih e n
5
‘
1
1
( )
:az
a r a1
und set t allgem ein die Diff e en
r
z
derselben :
as r a4 :
r
z
z
1
2
( )
.
weier aufeinander folgenden Glieder
a
:
A ma z
:
so wird die Reihe dieser Di fferen en die sogen nnte e r s t e D i ffe r e n
re ih e
z
A ma ,
A ma
l
a
,
z
A maz ,
,
eine neue Zahlenreihe s ein deren Glieder im allge m einen verschieden
voneinander sind Set t m an d her dann wieder die Differenz zwischen
wei aufeinander folgenden Gliedern derselben
,
z
.
a
z
m
An
1
3
( )
so gewinnt
m an
eine dritte Z hlenreihe die w e i t e
a
A Q) a
A m) a
,
usw allge m ein also wenn
.
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,
A 00 0 3 ,
Ge s chieht es hierbei d ß eine D iff e e n e ih e a s lauter gleichen
Zahlen gebildet ist s o wird die folgende und jede weitere aus Nullen
b e stehen und u m gekehrt m uß der ers ten a s Nu llen bestehenden
D iff e e n e ih e eine aus gleichen Zahlen us m m enge s et te und dieser
folglich eine arithm etische Reihe vor ufgehen W äre dabei uerst
die n 1 D iff e e n re ih e der Reihe aus N ullen zu s am m engeset t so
O rdnun g
w ürde die Reihe ( 1 1 ) e i n e a r i th m e t i s c h e R e i h e n
genannt werden S o i s t d i e R e i h e d e r P o ly g o n a l a h l e n j e d e r
A t e i n e ar i th m e t i s c h e R e i h e z w e i t e r O r d n u n g
de n n die
m
Differen zwischen der n 1 und der n r E c k s ahl beträgt nach
Form el ( 8d)
a
,
r
u
zr
,
u
,
r
zr
z
a
te
r
z
a
,
z
.
z
z
t e lr
z
.
r
,
u
z
ten
(
1
n r
r
2,
d her findet sich
a
2)
(
A
S„
M
S„
also
3)
O
.
-
z
,
A
5
ddi iv g b i d
t
l
e
ete
Z
h
a
le n
.
Zufolge ( 1 4) bestehen die Gleichungen
—
1)
(
A
a1 =
—
1)
”
(
—1 )
"
A
a
1
4
(
)
(t 2
—
l)
(
A
aß
A(
"
—1 )
(
n
—1 )
A
n
a
A 0 06;
a,
A m or,
a2
A
mag
l
7
wel che lehren daß m an die n 1 D iff e r e n zre ih e aus der n findet
sob ld noch das Anfangsglied der ersteren gegeben wird E nts prechend
dieser Be ieh ung bilden wir jet t au s der ur s p rünglichen Reihe ( 1 1 )
eine andere die wir m it
te
t en
,
,
a
.
z
z
,
(1 )
1
5
( )
(1 )
a;
(1)
a1
(l1
:2
:
a2
,
,
a3
:
be eichnen wollen d i e e r s t e S u m m e n r e i h e inde m wir deren
A nfangsglied wi llkürlich gegeben de nk en m ittels der m it ( l 4a ) ana
logen Gleichungen :
z
,
,
,
Z
a
1
5
(
>
a2
=
Z
ar
t
“
1
desglei chen aus ( 1 5) wieder eine neue Reihe d i e z w e i t e S u m m e n
re ihe
,
( 9)
1
6
( )
Z
( 2)
:
”
Z
( 2)
< 2»
Z
:
ar
ar
.)
u
( 3)
inde m wir deren Anfangsglied 2 a willkürli ch anneh m en
Gleichungen
( 2)
2
( 9)
2
u sw
.
( 2)
a,
=
=
e
Z
(1 )
a
+
(9 )
2
2
4;
(l)
a1
+
1
2
.
Werden dann wie es T afel I erkennen l ä ßt :
,
,
m
ittel s der
A
8
( )
2
1
8
( )
=
:
t
Z
a
n
Z
et e
h
a
le
n
.
—
1)
(
—n
(2
n
l
e
(
( )
n
a
ddi iv g bi d
(
‚e
+
a
72
—1 )
2
61
:
-
1
insbesondere also
—
E 2
(1 )
(1 )
l
1
a
8
)
(
an
(
a
für
(
a1
a
ai — l
a2
)
t = 1 , 2, 3, 4,
I n d e r g e d a ch t e n T a fe l i s t a l s o j e d e s G l i e d u m d a s w i l l
i n w e l ch e r e s s i c h b e
k ü li c h e A nf n g s gl i e d d e r S p a l t e
fi n d e t g r ö ß e r ls d i e S u m m e d e r i h m v o r n g e h e n d e n
G l i e d e r d e r l in k s b e n a ch b a r t e n S p a lt e Beachtet m an d ß die
Glieder jeder S p alte die erste D iff e e n re ih e für die Glieder der rechts
benachbarten S p alte sind so l äßt sich der ausgesp rochene Sat auch
folgender m aßen f s sen :
Au s der ersten D iff e e n e ih e besti mm t si c h das allge m eine Glied
der ugehörigen Zahle nreihe als die S um m e der ih m in jener vor uf
gehenden Glieder p lus einer Kon s tanten welche das willkürlich
bleibende Anfangsglied der Zahlenreihe rep rä s entiert
3 W ählt m an z B u nter h ein e p o s itive gan e Zah l verstehend
a
r
,
a
,
a
.
r
,
a
z
z
,
a
r
zr
a
z
,
.
.
.
.
z
,
S
a:
(1 )
so ergibt sich
l
Z
1
2
.
.
3
(h
.
eh
-
Z
d h
a,
.
1
2
a
7
(1 )
.
a,
.
2
gleich
h
‚
( )
also da
+
1)
,
O ist
,
au s
n
1
a
8
(
)
i =
für
3
o
4
n
nachstehende Glei chung :
—1 )
o
Wird llge m ein
a
-
2
0
( )
1)
geset t so ni m m t sie diese Gestalt an :
z ,
a
l
9
(
)
F1
00
En
Uz)
D i e durch die Form el ( 20) definierten Zahlen werden die fi g u r i e r t e n
Z h l e n h O r d n u n g genannt ; diejenigen erster O rdnung s in d di e
a
‘"
F i gu i
r e rt e
Z
h
a
le n
9
.
Zahlen der natürli chen Z hlenreihe die der weiten O rdn ung die
Die Gleichung ( l 9 a) aber s p richt den s chon F ermat
T i g o n al ah le n
i
op h an t Nr 46 ) bek nnten Satz aus :
m
D
b
O
s e r v at i o n e s
(
O rdnung ist di e Sum m e
D i e n fi g u r i e r t e Z ah l d e r h + 1
d e r e r s t e n n fi g u r i e r t e n Z ah l e n d e r h O r d n u n g
So entstehen wenn m an suk essive h 1 2 3
w ählt folgende
besonderen von F ermat angegebene n Gleichun gen :
a
r
z
z
,
.
zu
a
.
t en
te
ten
.
z
,
,
,
,
,
,
n
1
2
( )
u sw
.
Da sich
der Form el ( 9 b ) der Nr
au s
.
1
die Gleichungen finde :
n
n= o+ r
r = 1 +
a
r = 3 + d
n
so gibt die
zw
—
1
)
(
( +
n n
2
n n
2
1)
7
2
eite der Form eln ( 21 ) noch die folgende neue :
l
oder vereinfa cht :
o
2
i
3
2
2
( )
Dieser Ausdruck be s tim m t B die Anzahl der Kugeln in eine m
m
i
ugelhaufen
t quadratischer Basis wenn die Seite des Quadr te s
K
ebenso der weite der Ausdrü cke ( 21 ) die Anzahl der Kugeln in
eine m Haufen m it gleich s eitig dreieckiger Basis wenn die Dreieck s
seite n Kugeln enth ält
Au s ( 22) findet sich für n
2m + 1 :
z
.
.
a
,
z
,
.
2
2
2
1 + 2 + 3 +
ferner :
2
2
40 + 2 +
2 +
du rch
S
ubtraktion
2
2
1 + 3 +
2
m
2
)
6
dieser Gleichung von der vorigen ko m m t :
2
m
(
7
,
A
10
ddi iv g bi d
t
l
e
Z
et e
h
a
le n
.
Da nun llge m ein
a
(
n
1)
+ 1 ) n (n
n
3
n
ist liefern die vorstehenden Glei c hungen folgende wei For m eln
z
,
a
2
2
)
(
2
m
(
2m + 1 +
m
2
(
2m + 2 +
o
Der allge m einen Form el (20) ufolge ist
z
F
a)
wofür s ym m etrischer si ch s chreiben l äßt :
1 7 75- 1
3
2
3
( )
Dieser Ausdruck ist stets einer gan en Zahl gleich wie aus
elem entaren S ä t en der Teilbarkeit gefo lgert werden kann ( s Bd I
S
Auch ko m binatorische Betrachtungen ergeben da s s elbe denn
jener Ausdru c k be eichnet die A n ah l der A rten wie m = n + h
E le m ente ohne Rück s icht auf ihr e Anordnun g in zwei Gru p p en von
n und von h E le m enten verteilt werden können
A u s dieser ko m bi
n at o i s c h e n
Bedeutung des Au sdru ck s und u s der Bedeu t ung der
m
v
n
als
eines
P
rodukts
m
Faktoren
P otenz
o
a
geht
so
ß)
ß
fort d i e b i n o m i s c h e E n tw i c k e l u n g n ä m lich die Gleichheit
1 2 3 o
m
z
,
z
.
.
,
,
.
z
z
,
.
a
r
-
a
,
o
i
o
hervor in welcher die S u mm ation über alle p o s itiven gan en Zahl en
h ein s chließlich der Null u erstrecken ist deren Su mm e gleich m
n
i s t ; insbesondere wird m ithin
z
,
z
,
,
2
4
( )
wo
zu r
A b kürz
ung
m
der
B in o m ialk o e f fi z ie n t
1
c
2
o
3
n
o
m
be eichnet worden ist Da in de m selben m = n + h zu
denken ist schließt m an aus der S ym m etrie desselben in be ug auf
n u nd h die Gleichungen :
m it
z
.
,
:
( )
7
2
5
( )
z
n1
ude m ist i m m er
a
2
5
)
(
;
h
1,
1
.
z
Bi n o m i alk o e f fi zi e n t e n
11
.
Das allge m eine I n du k t io n s v e f h re n gestattet die bino m ische E n t
wickelung ( 24) auch ohne d s Hilfs m ittel der Ko mbinationslehre u
bestä tigen Neh m en wir in der Tat an diese E ntwickelung sei bereits
Grade so ergibt sich dar us durch
ls richtig anerkannt b is u m m
M ultiplikation m it 1 + und E ntwickelung der rechten Seite nach
P otenzen von x nachfolgende Gleichung :
r a
z
a
,
.
x
a
t en
z
a
,
o
m+
+
m
l
Nun ist aber wenn
m
,
°
geda cht wird
h
n
1
m -H
{E
m
m
,
1
—1 )
-3
d h
.
r
e
es
.
1
m
o
n
-
b e s t e h t d i e a ll g e m e i n e B e z i e h u n g :
)
und da ferner
Ge s talt an
1
(
)
x
m+ l
=1
ist ni m m t die obige Gleichung die
x
( 2)
,
m
= 1
.
4
m+ 1
x
best ä tigt so das allge m eine S t at t fin d e n der B in o m ialf o m e l (24)
f ü r jeden p ositiven gan en E xp onenten m da sie o ff enbar für m = 1
be s teht
S chreibt m an die B in o m i lk o e f fi ie n t e n der a feinander folgenden
P otenzen
und
r
z
,
.
a
1
(
1
(
wie folgt untereinander :
z
1
(
u
9
0
2
,
1
(
D
3
,
,
so entsteht ein dreie c kiges S y ste m von Zahlen welches als d s T ar
t g l i a s c h e Dreieck be eichnet
werden pflegt Zu einer anderen
Anordnung aber führt die obige Be iehung ( 25 b )
Da der Bino m i l
a
,
a
z
zu
z
.
a
A
12
ddi iv gebi d
l
t
Z
ete
h
a
le
n
.
m
x h
m
sind
nur
für
die
Werte
des
Inde
welche
Z
h
definiert ist so gilt diese Be iehung auch nur für
Ko m m t
m d i m
h ist
O zu setzen s ooft h
m an jedoch überein
so wird ihr e Gültigkeit au f alle p ositiven Werte des Index h aus
gedehnt Dann lehrt ber eine Verglei ch u ng dieser Form el m it der
Form el ( l 7 ) daß die We t re ih e
k o e f fi z ie n t
,
z
,
,
.
a
.
r
,
S u m m e n re ih e
von der folgenden Reihe ist :
o
Stellt
.
,
,
die erste
,
m an
i
Z
( i)
v
= 1:
also die Tafel auf :
T afe l I I
.
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
in wel cher die Glieder der aufeinander folgenden S p alten die Bino mial
k o e ffi z ie n t e n
1
O
2
3
() () () (l
t
,
,
t
für
t
,
.
t = o, 1 , 2, 3 , 4,
darstellen so ko m m t den Zahlen dieser Tafel o ff enbar die gleiche
charakteristische E igenschaft wie den Z hlen der Tafel I :j e d e
v o n i h n e n i s t d i e S u m m e au s d e r ü b e r i h r u n d d e r n e b e n
d i e s e r l i n k s s t e h e n d e n Z h l Das so sich bildende Zahlendreie ck
in welche m die ein elnen H o i o n t alre ih e n die B in o m ialk o e f fi i e n t n
der aufeinander folgenden P oten en enth lten wird d a s P a s c l s c h e
D r e i e c k genannt E n t s p r e c h e n d d e r F o r m e l ( 1 8) w i r d j e d e
Z ah l d i e s e s D r e i e c k s d d a s A n fa n g s g l i e d i n j e d e r S p a l t e
g l e i ch Nu l l i s t g l e i ch d e r S u m m e d e r i n d e r l i n k s b e
,
zu
a
,
,
.
r z
z
z
.
,
,
a
a
z
a
,
a
e
P as c als
n ach
b
e
i k
re e c
13
.
i h r v o r au fg e h e n d e n Z ah l e n n ä m lich all
Sp alte
ar t e n
ch s D
,
ge m ein [ v gl ( l 9 a) ]
6
2
( )
ein Su m m iert
für h 1 2
Be iehung
s
.
,
andererseits die Gleichungen welche s ( 25 b )
1 her v orgehen so findet m an ohne Mühe die
m
m an
au
,
,
,
z
d h d i e S u m m e a l l e r G l i e d e r i n e i n e r H o r i z o n t a lr e i h e d e s
P a s c a l s ch e n D r e i e c k s i s t d o p p e l t s o g r o ß w i e d i e S u m m e
a l l e r G l i e d e r i n d e r n ä ch s t v o r h e r g e h e n d e n Da nun diese
Su mm e für die weite H o ri o n t al e ih e gleich 2 is t so findet s ich
allge m ein die Gleichung
.
.
,
.
z
z
a
6
2
(
)
1
r
,
(T)
1
(32
)
welche auch unm ittelbar aus der bino m ischen E ntwickelung ( 24) her
vorgeh t wenn darin für 93 die E inheit geset t wird Da dieselbe
1 geset t wird die Gleichu n g
E ntwickelung wenn
x
,
,
26
b
(
)
z
z
,
(Z)
1
ergibt so finden sich durch Verbindun g
anderen :
,
2
6
0
)
(
we
i
Bildet m an dagegen au s ( 25 b )
Gleichungen :
m— l
(
5
2
( 3%
h
d ie
m— l
n
n
: 0
der vorigen die beiden
m it
—1
1
(ra nnt e
.
e
m
folgende Reihe entsp rechender
m
—1
)
A
14
ddi iv g bi d
t
l
e
Z
et e
h
a
le n
.
d h der S at :J e d e Z a h l i m P a s c a l s ch e n D r e i e c k e i s t g l e i c h
d e r S u m m e d e r Z ah l e n w e l c h e d i e v o n d e r v o r a u fg e h e n d e n
Z h l d e r g l e i c h e n S p al t e a u s n a c h l i n k s a u fs t e i g e n d e
P a r all e l e u r H y p o t e n u s e r e p r ä s e n t i e r en Z B ist
z
.
.
,
a
z
4
.
.
Kehren wir noch ein m al
findet si ch wegen
N
a
a,
1l
<
A a
l
a2
1)
den
zu
= A ma
:
m
A at
a,
.
Au s
,
die Gleichung
A ul a
A ma ;
1)
(
2A a
a
zurü ck
D iff e re n z re ih e n
a2
a,
.
.
aus der entsp rechenden Gleichung
ko m m t weiter wenn
,
a3
=
M
1)
(
2A a1
a3
a,
m an
be m erkt daß
,
3
a
1)
(
A a
2)
a,
2)
(
A a1
= A ma
M
gl
(
3A a
3)
a
A ma
ist
,
.
Diese Form eln für a a a lassen ein gem einsam es Ge s etz erkenn en
welches für a den A usdruck ergeben würde
2,
1,
s
,
°
,
a, =
2
8
( )
(S
m
i g a;
a
durch llge m eine Induktion l äßt es si ch beweisen
ents p rechend
a
Denn
.
,
s
etzt
m an
a1
und
be m erkt daß allge m ein
a1
,
= AWa
ist so ko m m t
,
2>
<
A a
-
d h der Be iehung ( 25 b ) ufolge
.
z
.
z
a
das allge m eine Geset ist m ithin best ätigt da e s für die er s ten Wert e
l 2 3 des Inde x t bereits festgestellt worden war M a n k n n d i e s
G e s e t i n s y m b o l i s ch e r F o r m e i n fa c h e r s c h r e i b e n w i e fo l g t :
z
,
,
,
a
.
z
,
a)
2
8
(
1
(
A
)
u
“
wo u Rechten die i P oten des Bin o m s 1 A a entwickelt dann
aber für ( A a ) die Di fferen
für 1 = ( A a) aber a u denken
is t
Nach diese m G eset e l ä ßt sich also jedes Glied der betra chteten
Z h lenreihe ( 1 1 ) aus d e m Anf n gs glie d e der Reihe und den Anf an gs
gliedern ihre vers chiedenen D iff e re n zre ih e n bilden
z
te
r
z
"
,
°
z
z
z
.
a
a
r
.
A
16
dditiv g bi d
l
e
et e
Z
h
a
le n
.
Wenn al s o wieder
—1
geset t und die Form el ( 1 8 a) berücksichtigt wird so ergibt sich aus
der voraufgehenden Glei chung für
n die Be ieh u ng :
z
,
z
3
0
( )
s
‚
A ma
a
,
A
—
o
n
z
n
a,
eine For m el
der m an von (28) aus auch gelangen kann wenn
1 aufstellt und die
0 1 2
n
m n let tere Form el für
so entstehenden Glei chungen m it Rü cksicht auf die Form eln (21 )
addiert
B die Reihe der P otenzen
5 I s t nun die Reihe ( 1 1 )
zu
,
a
,
z
,
,
,
,
.
z
.
.
.
1
3
( )
wo k eine p o s itive gan e Zahl so daß a
der b ino m ischen E ntwickelung ufolge
z
,
ist so ergibt sich
,
,
z
—1
nd ,
u
3
2
( )
.
1
t
+
(
)
k— 2
( )
+
k
f
l
Da also bei m Ü bergan ge von a ur ersten Di fferenz A ma die höch s t e
der auftretenden P oten en von i 1 einen u m eine E inheit geringeren
E xp onenten hat wie a
so wird dieser E xp onent bei m F o rt gan g e
zu den folgenden Di fferen en si ch jedes m al wieder u m eine E inheit
verri ngern in A men wird also i 1 überhau p t nicht m ehr vorhanden
und daher diese Di ff eren v o m Index d e s Gliedes unabh ängig s ein ;
in der Tat findet m an leicht
; z
i
z
n,
z
,
z
— i h
)(
3
3
( )
S onach
besteht die k D iff e e n re ih e aus gleichen von Null ver
s c h ie d e n e n Zahlen
und die k 1 ist die erste D iff e e n z e ih e wel che
aus Nullen besteht ; die Reihe der P oten en (3 1 ) ist m ithi n e ine
arith m etis che Reihe k O rdnu ng Au s die s er Ursache ni m m t daher
die der Reihe (3 1 ) entsp re chende S u m m enform el
wenn
“
r
z
,
“
r
,
r
,
z
t“
.
3
4
( )
gesetzt wird folgende Gestalt
,
5
3
( )
an
A u)
:
N
2)
)
d
A
;
N
N werden die Anfan gsglieder der aufeinander folgen
unter
den D iff e re n re ih e n der Reihe ( 3 1 ) verstanden Die in der Form el auf
tretenden Bin o mialk o e f fi ie nt e n sind aber in be ug auf n gan e
Fu nktionen resp v o m 1
2
k
1
Grade m it rational g e
b ro c h e n e n Koeffi ienten und s ä m tlich algebraisch teilbar dur c h n
")
2)
,
z
.
z
z
te“
te“
,
.
z
z
ten
,
.
u
D i e S mm e n S n UC)
17
.
De mnach l äßt sich die vorige Form el für d i e S u m m e d e r k P o
t e n e n d e r e r s t e n n Z a h l e n au c h folgenderm aßen s chreiben :
t“
z
—l
3
6
( )
+
-
n
+
c„
und
-n
es erübrigt nu r die n ähere Bestim m ung der Koeffi ienten
Für die ersten Werte des E xp onenten k ist diese Aufgabe ni cht
In ( 21 ) u nd ( 22) fanden wir bereits :
u lösen
s chwer
z
z
.
.
1
+
)
(
n n
D a mm
(n
’
ist so findet sich
,
”
I
-
d i
—
l) n
(
n
mmi
-
l)
1
(
--
+
72 }
n ”
1)
.
(n
3
7
( )
m
1
)
+
(
n n
—
l
n
n
)
(
=
3
—l ) n
ithin
m ittels
der Form eln (21 ) sogleich
3
,
bildet
3
7
( )
Au s
( 3)
( +1)
” n
6
m an
in ähnli cher Weise :
(
4—
72
24
n
(
12
n
‚
woraus
4)
(
Sn
m
n
'
2
,
ittel s der Form eln ( 21 ) und (22) die Gleichun g :
— 24
(
n
(
12
n
‚
°
4
-
n
( +
n
1)
2
( n
—
3
+
1)
hervorgeht ; usw E ntwi ckelt m an aber die gefundenen A usdrü cke
n ach den P oten en von n
so gewinnt m an die gesuchten Glei chungen
.
z
,
S
3
8
( )
S
_
„
S7
1
2
52)
-
73
n
ac
h m
an n
,
n i e d e re
Z ah
l
.
n
l
2
+
4
e n t h e o ri e
1
72
1
n
‘
— n
ö
2
3
1
Sn
B
+
n
1
1
5
II
1
—n
2
1
2
.
n
4
+
1
— n
4
1
3
n
3
1
3O
n,
A
18
ddi iv g b i d
t
l
e
et e
Z
h
a
le
n
.
au s denen m an für die allgem e ine Form el ( 3 6) ein stwe ilen nur die
1
1
=
=
m ut m aßen
fi
e
e
n
m
n
t
c
c
e
K
o
f
:
Werte der be i den ersten
E
k + 1
kann Bevor wir u dieser allge m einen Form el urückkehren leiten
wir ein p aar interessante Be iehungen wischen den P o t e n zs u m m e n
verschiedener Grade her die sich hier darbieten
A u s der For m el
l
o
z
z
.
z
z
.
,
1)
(
n n
ergibt sich wenn das P rodukt
,
(
(
n
geschrieben wird
,
2
L inken
zu r
)
1)
1
(
2)
in der For m
2)
1
)
,
(
1)
n
n
2
Da ude m
z
2
9
2
(
9
3
( )
gefunden wird so neh m en die Form eln für
die Gestalt an :
m
vgl
For
el
0
4
( )
,
3)
(
S„
un d
4)
(
S„
ohne Mühe
.
1
S a “)
4
1
( )
2)
welch letztere Form el sich einf acher schreiben l ä ßt wie folgt :
,
1
a)
oder auch so :
4
1
(
.
6
a
S h
4
b
1
)
(
1)
6
(
.
—1
5
Diese Beziehungen wischen den P o t e n su m m e n verschiedener Grade
sind schon lange bekannt ; die Form el ( 4 1 ) s p rach F ermat in eine m
Briefe an R o berval ( 4 N ove mber 1 6 3 6) aus doch wurde die gleich
bedeutende Form el (4 1 b ) schon vor ih m von D j arn chrd ben M as oud
J
nach
eine
Man
u
skri
te
des
British
Mu
eu
i
gegeben
m
m
1
5
9
8
s
(
p
)
Noch älter ist die den Indern uges chriebene Form el
A lkarehi
um 1 01 0
bewies
sie
nach
einer
sehr
eleganten
geo
m
etrischen
Methode
(
)
deren P rinzi p von E I /ucas u weiteren Resultaten ausgebeutet ist
Denkt m an n äm lich untereinander geschrieben die Reihe der natü rlichen
Zahlen das do pp elte derselben d s dreif che vierfache usw und
bildet die Q u adrate u l 4 9 1 6 25
dieser Z hlen wie bei
stehende Tafel es zeigt :
z
z
,
.
'
.
’
.
.
z
,
z
.
,
.
,
z
,
,
,
a
,
a
.
,
a
,
,
ä
S t ze
A lk arch t, J a c o br, L u c a s
'
v on
T a fe l III
19
.
.
so betr ä gt allge m ein die Su m m e der Zahlen
Z hl n entsp rechende Quadrat das der Zahl
übertri ff t
um
,
n
a
welche das der
1 ents p rechende
,
42
( )
+
-
n
)
n
-
n
g
=
n
3
und so m it wird die Su m m e aller Zahlen wel che in d e m der Zahl n
entsp rechenden Quadrate enthalten sind gleich S 5 ) sein A ddiert
m an diese Zahlen aber nach H o i o n t al e ih e n s o erh ä lt m an als Su m m e
,
3
.
,
r z
r
.
,
+
n
)
und m ithin die Gleichung
Denkt m an sich u m die B e t
weise von A lkarchi an die Stelle der rein arithm etis chen
ein Quadrat m it der Seite
,
‘
1
in die Quadrate
m it
3
2
o
rac
h t un gs
setzen
zu
,
n
den Seiten
1 + 2+
1,
1 + 2+
m
+
n
zerlegt so be ei chnet der Ausdru ck (42) den Inhalt des Fl ä chen
stücks wis chen den wei let tgen annten und hiernach wird ersi e ht
lich der Inhalt des gesam ten Quadrate s n äm lich
z
,
z
z
z
,
,
m
2
,
gleich der Su mm e
wofür au ch
n
3
+
(
n
geset t werden darf
Wenn m n aber m it a as in der Tafel die Q uadrat ahlen statt
der Zahlen selbst geset t denkt s o gibt die gleiche Betrachtung
statt des A usdrucks (42) den folgenden :
z
.
a
z
z
,
A
20
dd i iv
t
e
g
b ild
ete
Z
h
a
also als Su mm e aller in d e m der Zahl
enthaltenen Zahlen den Aus d ru ck
2
le
n
n
.
ents p rechenden Quadrate
l
g
Da dieselbe S umm e anderers eits aber
Be iehung
is t ,
geht die neue
so
z
5)
(
2S„
3
4
( )
hervor
Werden ferner statt der Quadrat ah len die Kubikzahl en geset t
so erh ä lt m an an S telle des Au sdr u cks (42) den folgenden :
.
z
2 (1 + 2 +
3
3
m
+
n
3
)
i
n
z
n :
3
6
ä
—n 7
+
-
n
,
ö
‚
als Sum m e aller Zahlen in d e m gedachten Quadrate welche o ff en
bar
ist also den Aus druck
.
,
,
1
1
m
m
g
+
g
2
g
und som it durch Vergleichung die Beziehung
4
4
( )
eine Form el die uerst von J acobr (Briefwe chsel zwischen Gauss und
S chnmache r h e au s g von P et ers Altona 1 86 3 5 S 29 9) gegeben
wor d en ist
Diese Betrachtun g kann beliebig fortgesetzt werden und e rgibt
B m it Rücksicht auf die let te der Form eln ( 3 8) bei m Ü bergang
u den B i u ad at e n der natürlichen Zahlen in obiger Tafel die weitere
q
Gleichung
'
z
,
r
,
,
.
,
,
.
.
z
.
z
.
z
r
4
5
( )
S.
55)
fort
6 Zur For m el ( 3 6 ) urückkehrend führen wir nun statt der Ko
e f fi ie n t e n e
andere m it b b b
c
0
e
b be eichnete
n
nde m W ll setzen
us w
.
.
z
.
z
e1
,
o,
l,
i
h
„
1,
0,
,
„
z
1.
.
‘
4
6
( )
k
(
bo n
k
‘
l
l
'
-
1
+
m
+
So l äßt si ch der Form el die be que m e s ym bolische Form ge b en :
4
a
6
)
(
1)
(n
bk +
1 ,
na ch E ntwickelung der bino m ischen P oten ( n
statt
b den Koeffi ienten b insbesondere statt
1 den Koeffi ien t en b
set en hat S chreibt m an hier n 1 statt n und subtrahiert die
Form el ( 46 ) von der so entstehenden so ko m m t als Differen
wo
m an
z
‘
zu
z
z
z
5,
0
.
a
,
z
zu r
g
all e m e
D er
in
e
A
usd u k
r
en (k
w ährend
schreiben l äßt wie folgt :
L i nk
f ü r S n flc)
c
21
.
Diff erenz zur
di e
R echten
sic h
,
(
1)
oder au ch da die
derjenigen von
übereinsti m m t
,
(
(
s u btr ktiven Gliede s off enbar
E ntw i ckelung d e s
,
(
(
:
so
1)
n
a
((
daß die Gleichu g hervorgeht :
=
4
7
k
1
:
1
( )
(
W
(
)
(
so
m it
b
(
1)
n
n
n
1)
b
(
n
h
t
(
n
1)
)
o+ o
Wird diese aber nach P otenzen von n 1 entwickelt und die
Koeffi ienten derselben P oten en re chts und links einander verglichen
so findet sich
z
z
k
d h
.
,
b
(
1
.
8
4
( )
1
für jeden Inde x
'
r>
aber die Gleichung
1
—
12.
b
(
o
d h
.
b0 ,
.
(f)
4
9
( )
(9
4
4
b.
+
-
Insbesondere wird
5
0
( )
öl
Die erhaltene Rek u rs ion s form el für di e Koeffizienten b l äßt die
wichtige Tatsache erkennen daß deren Wert von d e m Grade k der
")
5
Po t e n s u m m e n S
gan z unabh ängig und nur d u rch den ihnen selb s t
eigenen I ndex r bestim m t ist daß m ithin wenn k in k 1 ver
wandelt wird die Glei ch ung (46) durch die folgende z u ers etzen is t :
,
,
z
7
'
,
,
,
bo n
k+ 2
+
k
(1
wo die Koeffi ienten b ö
b dieselben sind wie in (46) und
nur e i n ne u er Koeffi ient
hinzutritt
deren Inde x
L eicht übersieht m an auch daß die Koeffizienten b
ungerade und größer als E ins ist verschwinden Au s (46) folgt
n ä mlich für n 1 daß
z
0,
1,
l,
z
.
5,
,
,
,
.
A
22
ddi iv g bi d
t
l
e
ete
ist w ährend die Rekursionsform el für
,
(a
deren S u btraktion
h
Z
a
i =
le n
.
k
die Glei ch u ng ergibt :
1
—l
w
be r
3
aus
von der vorigen die folgende
:
ositiven
gan
en
Wert
von
k
gültige
p
,
7 1%
für jeden
z
O
It
+
1
v e rs c h w m d e t
hervorgeht D nun der B i n o m i alk o e f fi me n t
h
wenn h > k + 1 s o findet sich aus dieser Gleichung für k = 2 der
=
=
=
=
k
6 der
4 der Wert b
0 also für
0 al s o für k
W ert b
Wert b : 0 usw al s o allge m ein :
a
.
,
,
3
,
7
,
5
.
,
,
bg , _1
5
2
( )
l
2
2
(
0
'
Inde m nun noch
5
3
( )
be i
:
1)
i+ 1
B,
o
geset t wird sind die Zahlen B d i e s o g e n n n t e n B e r n o u llt s c h e n
Z a h l e n u n d d i e a ll g e m e i n e F o r m e l (46 ) n i m m t s c h l i e ß l i c h
fo l g e n d e G e s t al t an :
z
a
,
,
,
S.0 0
54
( )
n
k+ 1
n
"
k
B1
7
M
1
k
B,
( lI
'
"
s
n
B,
70
k
jene Form el nur bis zu m Glie d
hin fortschreitet so
wird wenn gerade k 23 ist das let te Glied dieser Gleichung :
Da
e
,
'
,
,
z
,
2
°
B
:
—<
e;
dagegen wenn k ungerade k
,
2
n
2j
,
'
-n
1
:
ist das folgende :
,
'
B
1
.
1 p+
1
27
«
.
1
sein die gan e Su m m e in diese m F lle also m it der zweiten P oten
von n s chließen
7
Die so gefundene Form el gestattet zun ä chst die allge m eine
Gleich u ng hin us chreiben u welcher die weitere Fortset ung der
Methode von A lka chr führt und in welcher m ithin die d u rch sie g e
f n d e n e n Be iehungen der Nr 5 enthalten sind
Da n äm lich
folge
z
,
a
z
.
.
,
z
,
z
z
'
r
u
z
.
.
zu
A
24
ddi iv g bi d
t
e
l
ete
Z
h
a
le
n
.
aufsteigen die in ihrer Di fferenz sich hebt selb s t nur P oten en
von der Form
z
,
,
und ist daher von nachstehender Ge s talt :
—1
5
8
( )
+
der so erhaltenen Gleichu ng findet m an inde m m an n 1 2
set t und die entstehenden Gleichungen b is zur Form el (5 8) hin
addiert diese andere :
Au s
,
,
,
z
,
5
9
( )
Wie di e Herleitung der Form el (5 8) er w eist kann m an der letzteren
Gleich ung o ff enbar e inen s ym bolischen Au s dru ck geben wie folgt :
,
,
9
5
( 2
4 1
sfi
(Ei
4
1
84 2
1
—
5
l
I
I
(5)
"
5
+
m)
m
i
9
83
m)
3
3
wenn m an übereinko m m t in der E ntwickel ung der Klam m ern nach
P oten en von S die E xp onenten der P otenzen als obere I ndizes u
sch reiben D i e s i s t d i e al l g e m e i n e v o n L a mp e g e g e b e n e
F o r m e l ; für
für welchen Wert s chon die Glieder m it
weg ulassen s ind liefert sie die folgende :
"
I
-
.
,
z
z
„
.
z
,
1S
i
n
1
( m)
1
(m)
1
n
I
deren E ntwickelung in der an gegebenen Weise sofort d i e S t c r n s c h e
Ve r all g e m e i n e r n g d e r F o r m e l n (40) u n d
näm li ch di e
G l e i ch u n g
u
0
6
( )
m
2
ergibt E s ist leicht sie m it S te rn m ittels allge m einer Induktion zu
best ätigen O ffenbar besteht s ie n äm li ch wenn n 1 gedacht wird
d sie alsdann m it der Gleichung ( 26 d )
,
.
.
,
,
a
m- I
2
ü b ereinsti mm t Neh m en wir also an sie bestehe bereits bis u eine m
Werte n 5 1 und beweisen dann ihre Gültigkeit auch für n 1 s o
gilt sie allge m ein Nun ist aber :
.
z
,
,
,
.
a
lt
)
m
l”
2)
m
Po
u
S mm e d e r k t e n
Schreibt
m an
te
n
ung
der
ze n
dnZh
e ra e
a
le
n
25
.
diese Form el in der Gestalt :
m
2
i
2
'
m
(”
m
3
8
5
2
( t ll
1
1
’
m
1)
1)
so findet sich m it Rücksicht auf die vorausge s etzte Gleichung (60)
die rechte Seite gleich
—3)
m i th in
wie
beweisen war
8 A s d e r F o r m e l ( 5 4) e n t n i m m t m a n n u n a u c h l e i ch t
d i e S u m m e d e r k P o t e n z en al l e r u n g e rad e n Z ah l e n b i s z u
e i n e r g e g e b e n e n G r e n e ) Denn o ff enbar ist wenn m an zur Ah
kürzung
zu
.
u
.
t“
1
z
6
1
( )
,
.
1)
1 + 3 +
k
schreibt
,
k
5
7C
2
k
’
c)
U
Sn
?c
;
woraus in der sym bolischen S chreibweise der Form el (46 a) die
ziehung hervorgeht :
k
(
k)
1 ) T2
7l —1
2
%
(
'
bt +
Be
l
2 bk +
k
°
lr
oder noch einfacher
6
2
( )
wenn
k
(
m an
1) T
-
=
—
2 1 ( 24
’
ä
setzt :
1
(
13,
6
3
( )
i = 0, 1 , 2,
Dieser Form el zufolge ist m it Hin s icht auf die Definition der
schen Zahlen in
—
1
1 ) (2
i
ßg i
w ährend
_
ß 1
b
63
(
)
1)
'
gi
S
i
e
h d
e
az
u uch
a
Kap
.
6 Nr 1 3
.
.
2i
O
B erno ulli
A
26
ddi iv g b i d
t
l
e
,
1
h
le
a
n
.
E ntwickelt
ist o ff enbar auch für
Form el ( 62) schreiben wie folgt :
1
22
'
Z
et e
.
l äßt sich daher
die
rä
t.
)
4
6
( )
(f)
‚
—1
k
2
1)
1)
%
„
k
wo die Fortset ung der Form el in der gleichen Wei s e be s chr änkt ist
wie diejenige der Form el
Z B findet si ch hiernach für k 1
in Ü bereinsti m m u ng m i t (8 b ) :
z
.
1
6
5
( )
Für k
2
gibt
di e
2 71
h
.
,
da
B , = b2
13
27
—1
2
72
.
Form el den Wert
( 2)
d
.
—1
E
aus (49) glei ch
n
g
s
gefunden
wird
vgl
(
ä
.
22 a)
:
6
6
( )
D esgleichen
findet si ch für k
3
die For m el
T ; , _1
2n
diesen Wert von
T äL
32
N ennt m an N
2n
wel cher
au s
4
—
n
g
4
n
l ,
2
.
so be s teht die Gleichung
= N,
also
erh lten wird Diese Be iehung wis chen d e m Werte der Kuben
sum m e der ungeraden Zahlen und der Zahl bis u welcher sie au s
gedehnt wird gab bereits I bn A lbann a ein Zeitgenosse des L e onard o
Ihr ufolge besti mm en die p ositiven gan en Zahlen N
v o n P is a
a
z
.
z
,
,
,
.
z
z
z
,
Su mm e der aufeinander folgenden unger den Kubikzahlen bis zum
Ku bus der besagten unger den Zahl eins chließlich
( k)
Bezei chnet m an ferner m it 2 die Sum m e der abwechselnd p ositiv
und negativ geno mm enen k P oten en der ungeraden und geraden
Zahlen von 1 bis 2 n set t lso :
d ie
a
a
.
2 72
t“
,
z
a
z
Alt e rn
k
= 1k
2
i
d
e re n
P o t e n z su mm e n
e
27
.
( )
7
6
( )
3
k
-
+
n
2
n
(
2n
so findet si ch sogleich
k
t)
k
k
m 1th 1n
( )
2
n
(
bt
oder vereinf cht :
( )
= (2%
Z
1)
k
(
bk + 1
k
a
6
8
( )
+
2
%
(
t
2n
wenn geset t wird :
z
’ = b
iÜ
li
9
6
( )
m
2)
5
1 , 2,
=
=
0
y0
, yl
ithin
b,
7
0
( )
n
Die
E ntwickelung
—
1
E
,
7
1)
.
0,
2 5— 1
i
.
2
(
wenn
I)ß
r
i >
1,
und :
.
.
der Form el ( 6 8) liefert d aher die Gleichun g :
2
7
1
( )
2 72
k
2
—1
„
k
—1
_
1
ä
k—5
_
g
_
1)
2
nach welcher
z
.
B
n
„
k— 1
7c
—3
+
k
„,
3
—5
.
oder
1
2
2
2 + 3
2
2
4 +
m
1)
+ ( 2n
ein Resultat das sich m ittels der Form eln für S m und
glei ch b est ä tigen l äßt
9 M n kann au ch für eine beliebige arith m etis c he Reihe
n
,
Tä
lL
l
.
a
.
a,
ie
a
+ d,
a
+
(
n
1) d
Sum m e ihrer Glieder die Su mm e von deren Q uadrate n Kuben
d at e n usw besti m m en
Set t m an allge m ein
,
,
ua
r
.
.
z
,
A
28
ök
so
findet
=
.
"
+
t
Z= (
a
il
e
(
+
m an m ittel s
a
d i
a
7°
ddi iv g b d
a
ete
Z
h
a
le
n
.
(
+
(
+
a
1) d
n
)
k
,
des bino m ischen Sat es
z
l
(a
"
u
t
—1
M
o
a
k
—2
2 2
d i +
o
o
o
+
1
i
.
7
2
a
(
)
o.
na
k
+
(f)
o
k-
l
as f.2
1
Man gewinnt aber eine andere Form el auf folgende m Wege
Sum m e
=
a
"
(
+
(
a
(
a
.
Die
nd
a
l äßt s ich anordn en wie folgt :
o “)
(
+
d i
.
a
a
h
(
+
(
a
(
1)d
n
a
)
'c
— 1) d + d — 1
+ d
)
k
,
.
+ t) +
(
i
oder
m it
a
(
+ d +
a
+
(
2
4
+
n
Hilfe des b ino m i s chen S atze s
2
2
a
m
]
oder
b
7
2
)
(
e,
61
(S
60 5
ä le
0
9—1
W ährend die For mel ( 7 2a) die gesuchte Su m m e 6 un m i t telbar finden
l äßt ist die let te Form el n u r eine R ek urs ionsform el durch welche
der Reihe nach jede der Zahlen 6 6 6 3
e ine au s der an deren
berechn et werden kann
Handelt es sich in sbesondere u m die Su mm e
„
z
,
,
„
„
,
.
oi
=
(d
2d
(
so neh m en d ie Form eln ( 7 2 a) und ( 7 2b )
)
d i e Ge talt an :
(
(
1) d
n
s
1
k
,
P o t e n z su m m e n f ü r
0)
7
2
(
6k
7
2d
(
)
arit h m e
ti
R
s ch e
e ih e n
29
.
n
dök
l
a
l1+
—1
Da
-
k
()
2
md (md
71
5—l +
‘
+ 1)
d
n
”
6 k —2 8
2)
1
d (n d
+
d
+
1 ) (2n d
1)
1
ist ergibt s i ch aus ( 7 2 d) der Reihe nach :
,
7
c
2
( )
”
a,
d
n,
was mit Formel ( 8) bis auf die Bezeichn ung übereinstimmt ; ferner
M2 =
7
i
2
( )
d
n
6
(
n
—
i
d
woraus
62 =
dann :
7
2
( g)
.26
n
[
gL
_
—
1
+
L — d2 +
ä
(
( g f
E r ü
3
1) d
n
3 6 , 8 ; L1
2
eine Beziehung welche bereits F ormat bekannt gewesen ist (Brief an
M ersenne oeuvres II S
Z B findet sich für d 5 n 4
,
,
,
.
.
.
,
nach ( 7 2 c l
1 00,
3 0,
1 0,
34
6
nach ( 7 2i )
2 34
p
0
:
4
4
.
9
2
,
endlich also nach ( 7 2 g )
M
(
2
f
63
Da
5 644
.
ist liefert die Formel ( 7 2 0 ) unmittelbar
,
63
: 4
-
d i denselben Wert
.
.
63
5 6 44
.
14
1 25 —
3 6,
v
A d d it i
30
g
t
e b ild e e
Z
ah le n
.
Die Zahlen B welche als B e moulli s c h e Zahlen bezeichnet
wurden tragen ihren N amen von J a co b B e m ou lli der in seiner ars
Seitdem sin d sie
co nj e ct an d i 1 7 1 3 zuerst auf sie geführt worden ist
bei den mannigfachsten m athematischen Fragen aufgetreten und haben
so sehr zahlreiche Untersuchungen ihrer Eigenschaften veranlaßt )
Größtenteils sind diese von an alytischer Bedeutung entfallen also
dem Rahm en dieses Buches ; w i r werden uns darau f zu beschränken
haben von ihrer z ah l e n th e o r e t i s ch e n Beschaffenheit zu handeln
Vor allem erinnern w ir an die Formel
welche dazu dient
diese Zahlen der Reihe nach zu berechnen Mit Rücksicht auf die
Gleichun gen
5
3
gibt
diese
Formel
je
nachdem
man
darin
( )
1 oder i
2%
i = 2%
2 wählt d i e e r s t e o d e r d i e z w e i t e d e r
n a c h s t e h e n d e n R e k u r s i o n s f o r m e ln deren erste bereits von
M e ie rs ( Miscellanea an alyt ic a
die andere von J acobi (J ourn
f r u a Math 1 2 1 83 4 S 26 3 ) mitgeteilt worden ist :
10
i,
.
,
,
.
1
.
,
,
.
,
.
,
,
,
.
,
.
.
.
.
.
,
,
.
a
7
3
(
)
(
o,
n
4
2 91
(
7
3
b
)
(
2
m
u
0
.
Durch Subtraktion der ersten von der zweiten erhält man wenn
man sich der allgemeinen Beziehung (25 b ) zwischen Binomial
k o e f fi z ie n t e n erinnert d i e fo l g e n d e d r i t t e
v o n S t e r n (J ourn f
Math 84 1 8 7 8 S 26 7 ) a n g e g e b e n e F o r m e l :
,
,
.
,
,
.
,
—1
( ä)
2n
7
4
( )
Bn
2
1
-
_
.
:
1
2 )
1
B.
0
.
.
Setzt m an in diesen Formeln für n nacheinander die Werte 1 2 3
ein so gestatten sie die aufeinander folgenden B erm ulli s ch e n Zahlen
zu berechnen A u f solche Weise hat bereits E uler ( c alc d ifi II
Kap 5 ä 1 22) die ersten 1 5 nach ihm Ohm (J ourn f M ath 20 S 1 1 )
die folgenden bis zur
dann A d ams ( ebendas 85 S 26 9) di e
m
weiteren bis zur 6 2 berechnet Wir geben nur die Werte der
ersten acht hier an :
,
,
,
,
,
’
.
.
.
.
,
,
.
.
.
,
.
,
,
.
.
“
.
7
5
( )
l)
Ei
gr
1
5
69 1
Bö
n e z u s am m e n f as s e n d e
t re fi li c h e r M o n o
‘
1
1
ap h i e
:V rl
o
2
27 3 0
D
.
7
BS
’
ars t e llu n g
uh
de
r
s e lb e n
fi
Z
361 7
510
m an u a i n L S aa ls ch ü t z
ah le n , B e li n 1 893
nd e t
d i e B e rn o u llzs c h e n
’
.
1
’
.
.
.
r
.
tv
A d di i
32
und definiert also die
g
Z
t
e b ild e e
ah le n
B erno ulli schen
Zahl en anal ytisch als Ent
bezeichneten Funktion N u n
indessen gleich als p ositive ganze
der mit
ist f ü r jeden Wert von a den w ir
Zahl annehmen
w i c k e lu n g s k o e ffi z i e n t e n
.
,
,
i
a x
ax
F
)
(
2
a
ax
2
x
.
a
m
—6
2
8
d
(i
n
m
a
:
:
(
)
—
a
-
log
e
x
e
2
Daraus findet man ohne Mühe :
F (x)
)
(a a:
F
x
03
a
m
a
—
0
8
( )
d
d as
l0 g
—
fl
5—
6
m
2
(3
d
l
x
8
2
C
e
—l
a x
a
—l
2
2
folglich wenn man d ie Entwickelung ( 7 9) benutzt diese
und
,
8
1
( )
35
Hier ist
10 g
,
e
ax
e
e
G I
e
1
T
1
x
— l
—
_1
2
’
2
‚
eine ganze Funktion von
x
—
(
:
B2
a
:
vom
c
G leichung
1
a
ten
Grade also
,
der D ifi e re n t ialqu o t ie n t zur L inken der vorigen Gleichung ein Bruch
dessen N enner gleich dieser Funk tion dessen Zähler ebenfalls eine
gewisse ganze und ganzzahlige Funktion von e ist Wird noch
1 mal di ff erenziert so gilt für den Zähler das gleiche w ährend
2%
der N enner jetzt die 2M P otenz der erstgenannten Funktion wird
0 so wird der Zähler eine von a ab
Setzt m an d aher alsdann
hän gige g anze Z ahl sein welche G (a) heiße w ährend der N enner da
'
,
,
x
.
,
,
x
"
.
,
,
e
a x
e
a
x
—l
—l
für
:O
a
den Wert
geteilt durch
2n
,
o
a
erhält gleich
o
2
%
(
,
,
a
2"
ist aber der
ac
1
-
3
Demnach besteht die Gleichheit :
-
1
(a
s"
o
2”
1)
G (a )
oder der S a t z :D e r B r u ch
3
8
( )
.
Dieser Bruch
M aclaurin s c h e n
zufolge nichts anderes als der Koef fizient von
in der Entwickelung d e r zur L inken von ( 8 1 ) stehenden
R e ih e n e n t w ic k e lu n g
h
wird
a
9
"
(
a
h
1) B n
2n
,
St
ä
‘
ze
.
Ku mmer
und
L ip schzt z
von
33
.
i s t e i n e r g an z e n Z a h l gl e i ch w e l c h e p o s i t i v e g an z e Z ah l a
auch b e deute
Durch eine geringe Verallgemeinerung der vorigen Betrachtung
gewinnt L ip schitz (Journ f Math 9 6 S
d em w ir diesen Satz
verdank en noch den z w eiten Satz :
F ü r j e z w e i p o s i t i v e g a n z e r e l at i v p r i m e Z ah l e n a b
ist der Aus druck
,
‘
.
.
.
.
,
,
v
,
,
(
a
2n
2n
1)Bn
2m
.
gl e i ch e i n e r g a n z e n Z ah l
1 1 Zu Ergebnissen and eren C harakters führt e i n s e h r a ll
g e m e i n e r S a t z welchen Ku mmer (Journ f Math 4 1 S 3 68) b e
wiesen hat und welcher in etwas verallgemeinerter Form (nach
S t e rn ebendas 8 8 S 90) folgendermaßen ausgesp rochen werden kann :
L ä ß t s i c h e i n e F u n k t i o n f (x) i n e i n e R e i h e
.
.
,
.
.
.
,
.
,
,
.
,
.
f (w)
8
5
( )
=
<
w
w
a
e
e
r
w
e
e n t w i c k e l n i n w e l ch e r s o w o h l d i e K o e ffi z i e n t e n ah a l s d i e
E x p o n e n t e n q r s r a t i o n a l e We r t e s i n d d e r e n N e nn e r e i n e
u n g e r a d e P r i m z a h l p n i c h t a l s F a k t o r e n t h a lt e n u n d i s t
a n d er e r s e i t s :
,
,
,
,
,
f
—
8
6
( )
i h r e E n t w i ck e l u n g n a c h P o t e n z e n v o n x s o b e s t e h t d i e K o n
g
ru e n z
7
8
( )
:
,
Am
'
A m + p —1
'
Am +
O ( mod
2 (p
-
—n
1>
.
s ob al d m n
Entwickelt man nä mlich im allgemeinen Glie d e der Re ihe ( 85 )
die P otenz ( 6
so kann man schreiben :
.
”
v
k
h
ä
k
—1
Am
k b
ä
)
h
o
,
h
an n
n e
e re
a
I
m
h3
ql
'"
r
und folglich für den Ausdruck zur
n aunt werde
die Formel :
B c m
Z hl
II
i d
i
a
o
h
(
ak e (
e nth e o r e .
.
L inken
in
der kurz
A ge
ge
t
A d d i iv
34
A =
ZZ
k h
ä
(
_
k
hervorgeht
I
m
Z
ete
b ild
e
ah l n
][
?
hs
g
.
1
—
k h
(
(
)
r+
hs +
Setzt man nun in reduz i erter Bruchform
.
k
(
so ist nach der Voraussetzung N nicht teil b ar durch p und das all
gemeine Glied der Do p p elsumme nimmt die Form an :
1)
k
()
h
h
ak
N
m+
n
—
l)
(p
nun entweder M oder nach dem F ermat schen Satze 1W
M
durch p aufgeht Sobald mith in m S n geht der Zähler des vorigen
rationalen Ausdrucks s i cher durch p auf während sein N enner durch
nicht
teilbar
ist
Somit
ist
selbst
eine
Reihe
von
Brüchen
A
p
deren Z ähler s ä mtlich durch p deren Nenner durch p nicht teilbar
sind ein Resultat welchem die Formel ( 87 ) Ausdruck geben will
Wie man sich leicht überzeugt l äßt sich dem Kummers ch e n
Satze noch größere Allgeme inheit geben indem die Kong ruenz ( 8 7 )
durch die folgende ersetzt werden darf :
wo
"
1
1
?
,
.
”
,
.
,
"
,
,
,
.
,
,
7
a Am
8
( l
(ä)
z
-
'
A m + ( p —1 ) p
i
°
Am + 2 ( P — 1 ) P i
O (m o d
sobald
mS
u
'
A m + n ( p — 1 >p ‘
.
i
(
Wir wenden d i esen allgemeinen Satz als auf ein erstes Bei
sp iel zun ä chst auf die Funktion :
12
.
2
f 0)
”
an
,
w
elche nach P otenzen von
8
a;
27
+e
—x
entwickelt in die Form :
gesetzt werden kann eine Gleichun g aus der sich durch V ertauschung
von a:
mit x V 1 die andere :
,
,
E2
E1
9
8
( )
-
i
.
ergibt Die Zahlen E welche hier als E n t w ic k e lu n gsk o e f fi z ie n t e n
der Funktion s e c x erscheinen werden demgemäß S e k a n t e n k o e f f i
z i e n t e n oder aber nach dem Vorgan g s von R aabc und S chcrk auch
E ul er s c h e Z ah l e n ge n annt
Wird die vorige Gleichung mit cos a:
.
i
,
,
.
Z
D i e E u lers c h e n
ah le n
( S e k an t e n k o e ffi zie n t e n )
Ei
35
.
multip liziert un d für die letztere Funktion ihre Reihe gesetzt und
2
darauf auf beiden Seiten die Koeffiz ienten v o n x miteinander ver
glichen s o fi n d e t s i c h z u r a l l m ä h l i c h e n B e r e c h n u n g d i e s e r
Z a h l e n n a ch s t e h e n d e R e k u r s i o n s fo r m e l :
”
‘
,
9e
a u s d e r m a n s o g l e i ch e r s ch l i e ß t d a ß d i e E uler s ch e n Z a h l e n
g an z e Z a h l e n s i n d U n d z w a r s i n d s i e u n g e r a d e Dies gilt
in der Tat für E für welche Zahl die Formel den Wert 1 ergibt ;
nimmt man es nun schon als feststehend an bis zur Zahl E _ so
schließt man aus der Rekursionsformel indem man sie als eine Kon
ru e n z
mod
auffaßt
2
:
g
(
)
,
.
.
1 ,
„
1 ,
,
.
E“
)
E
1’
2
d i nach ( 26 0 ) kongruent 2
und somit ist dann
auch E ungerade usw
Frühzeitig hat man bemerkt daß die
E u lerschen Zahlen ab w echselnd mit der Zi ff er 1 und 5 schließen ;
weitergehende auf ihre Endzi ff ern bezügliche Bemerkun gen machte
u a schon S cherk gan z besonders aber hat sie S tern in einer aus
f ü h rli ch e n Arbeit ( Journ f Math 7 9 S 67 ) untersucht indem er die
E ulerschen Zahlen zugleich mit anderen be t rachtete die eng damit
verbunden deshalb E u lersch e Zahlen höherer O rdnun g von ihm g e
wie für
n an n t worden sin d und für welche ähnliche S ä tze statthaben
die eigentlichen E ulerschen Zahlen Hier beschr änken w ir uns allein
auf die letzteren und wollen von einer Re ihe besonderer Resultate
absehend welche S tern ganz elementar aus ihrem Zusammenh ä nge
mit den ersteren gewinnt nur einen allgemeinen Satz herleiten der
sich aus dem Kummers ch e n Satze unmittelbar folgern l äßt
Setzt man n ämlich
2" -
.
.
7,
.
1
.
,
,
,
.
,
.
.
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
”
E
.
e
woraus
x
e
—
x
e
2
2
2
2
f 0)
1
+
_
— e 2=
z,
hervorgeht so w i rd
,
1
»
:
a
1
——z 2
2
1
1
1
2
4:
8
gestattet also eine Entwickelung von der Form
die Funktion f
1
1
—
smd
sowie
die
in welcher die E xp onenten q 0 r 2 s
5
Koeffizienten a nur den Primteiler 2 im N enn er haben Mithin ar
1 ) E zu setzen ist in bezug
O A2
gibt S ie h :da hier A —
auf jede ungerade Primzahl p aus ( 87 ) für m 2a die Kongruenz :
,
,
],
.
2i
1
i
,
,
o
o
,
‚
3
*
t v geb ild e t
Add i i
36
1
9
( )
—1
)
Ee
Z
e
—
I
p
ahle n
—1
2
g
)
1
-
.
_
l
p
.
2
mod
(
o
1
2
sobald e S
Für n
1i
.
.
2
folgt hieraus die Beziehung
1
— 1
)
9
2
( )
E.+
p
1
;
und daher allgemein er
9
3
( )
.
EN
9
-
1
E ).
2
.
2
eine Formel welche sich auch sch reiben
mod
e )
(
lä ßt , w ie
,
.
.
folgt :
4
9
( )
sobald
Da
p
'
E p (mod
—1
.
p
E1 = 1,
findet sich aus ( 92) E p +
Kongruenz E E 1 ( m O d P )
1
1)
2
_1
und dann
2
2
—
di e
2
o
:
Benutzt man aber die in Formel ( 87 a) au s ge sp ro ch e n e V e rallg e m e in e
run g d e s Knmmers ch e n Satzes so erhält man für n l statt der Formel
2
:
9
diese
andere
für
jeden
Wert
von
gültige
p S
( )
,
—
l
P
2
a
9
)
(
1)
p
2
i
Ee +
.
P
2
aus welcher allgemeiner :
P
3
a
9
)
(
p
l
-
2
‘
"
p
d
mo
(
i E
n
r
e
)
.
i
I
E xt ( m O d P
'
i
+
1
)
oder folgende Formel hervorgeht :
3
9
4
)
(
E e ( m °d
EM E
sobald
p
’
E
p
mod
(
?i
.
—
g
p
i
D i e l e t z t e r e B e z i e h u n g w u r d e v o n S ylvest er m i t g e t e i l t
C
P
aris
om
tes
Rendus
S
der
jedoch
dabei
die
für
sie
5
2
p
(
e+ 1
durchaus notwendige Beschr änk ung y
übersehen
hat
2
N u n gilt di e bisher nur für die ungerade P rim z ahlp o t e nz p als
Modulus bewiesene Formel ( 9 1 ) auch für den Modulus
Um dies
zu zeigen hat S tern die bisher angewandte Ku mmers ch e Betrachtung
,
,
.
.
.
"
,
sch n Z
D i e E u le r
e
h
a
le
n
E“
37
durch eine andere analoge ers etz t welche z ude m
Wird n ä m li ch
F o rm e l ( m o d p ) best ä tigt
,
jener
d as S t at t fin d e n
"
.
.
also
ao
2
z
a
_g
k
oder da
=1
,
ist
,
k
h
ge s et t so wird
z
,
Wählt
m an
nun wieder
m
I
m
2a
und beachtet die Be iehungen :
z
A 2 ; _1 = 0,
’
A2
:
n
E e,
i -
so erh ält m an für den u Linken in der Kongruen ( 9 1 ) stehen den
A u s druck folgende Su mm e :
z
22
z
r
—
l
—
h
0 t
k
h
—1
teilbar durch
In dieser ist aber en tweder h k oder 1 (h 7 0
p und ebenso eine dieser beiden Größen te ilbar durch 2 und so m it
ist jedes Glied teilbar s owoh l durch p als durch
sobald 2 5x} n
an geno m m en wird Alsdann zeigt sich also die Kongruen (9 1 ) s o
wohl (m o d p ) als auch (m o d
und d her auch ( m o d 2 p ) e rfüllt
Das
Bedenkliche
was
bei
diesen
Beweisführungen
in
der
Ben
u
t
ung
(
liegen
der unen dlichen Au sdrücke nam entlich des let ten für f
m ag soll nicht verschwiegen werden )
Wird insbesondere
so findet sich hierna ch
5 gew ählt
f o l g e n d e s R e s u l t at :
S o b al d p i ? s t h a t m a n
10
,
"
1
z
.
"
a
.
.
”
”
.
.
z
,
p
,
z
,
.
,
n
1
9
5
( )
,
E,
Denkt m an sich nun die aus den E u lerschen Zahlen deren Indi es
gleiche Parität h ben l s o entweder s äm tlich u n gerade oder s ä m t
lich gerade sind usamm engeset ten Zahlenreihen :
,
a
,
z
,
a
z
z
A
38
ddi iv g b i de
t
E 2 :E 4 ,
und
te
Z
h
a
le
E 3 :E s :E 7 ,
E1 ,
9
6
( )
l
e
Es,
Es ,
n
.
“
“
entni mm t der einen oder der anderen die
EM
Efl +
Ein
4
R e ihe
:
:
so stellt der Au sdruck welcher die linke S eit e d e r Kongruen ( 95 ) bildet
o N ) E „ dar ; de m nach
der Form el (29) zufolge die n Di ff erenz
s pricht die Kongruen ( 9 5 ) folgenden von S tern ( a a O ) gegebenen
Satz au s :d i e b e i d e n R e i h e n ( 9 6) h ab e n d i e E i g e n s ch a ft
m
d a ß s p ä t e s t e n s i n i h r e r n D if f e re n z re ih e a l l e G l i e d e r
d e r e n I n d e x 3 %i s t m i t w e n i g s t e n s n N u l l e n e n d i g e n
Da s ich insbesondere für n 1 hi erau s ergibt daß in der ers ten
D iff e re nz re ih e jeder der bei d en R eihen ( 9 6 s ä m tliche Glieder m it
N u ll s chließen so haben alle Glieder der ersten R eihe ( 9 6) die gleiche
d h die E n d ifle r 1 und alle Glieder der zweiten
En d ifl e r wie E
Reihe ( 9 6) die gleiche E n d ifi e wie E d h da m an au s ( 9 0) E
selbst gleich 5 findet die E ndziffer 5 :eine s chon vorher erw ähn te
Tats ache
1 3 E in anderes Beis p iel für den Ku mmers c h e n S atz entneh m en
wir einer A bhandlung von S tern im Jo u rn f Math 88 S 85
A u s der Ident i t ä t :
z
,
“
,
”
z
.
.
.
,
t‘
,
,
.
,
,
z
1 ,
z
.
.
,
'
z
r
2,
.
.
2
,
,
.
.
.
.
findet s ich wenn wieder
Nr 1 0 bedeutet
die
,
e
7
9
( )
so
z e ic h n e t e
l
i
hb
e
c
e
g
,
.
folgt
c
mit
e
‘
x
le
--
{B
—x
Rücksicht auf
TI
a
o
"
’
T
T2
x
4
'
1
.
2 3
.
.
x
6
,
.
.
Funktion der
d i iv g bi d
A d t
40
l
e
Nun werden wir bald den
A usdruck :
et e
N achweis
2 o (2
einer gan en Zahl gleich ist
z
.
2i -
2
2
a
h
le n
:
.
führen ( s Nr
.
o
Da wegen ( 9 8) von
2 (2 — 1 ) B
2‘
:
o
daß der
1)B,
2"
1
2
0
)
(
Z
Quotienten
de m
s
c
dasselbe gilt so
m uß ,
,
sooft
ungerade ist auch
i
2
,
(
o
— 1) B .
2"
2
ganz zahlig sein Beschr änken wir uns daher jet t auf die Vorau s
1
p
daß p ungerade ber 2 gerade d i p von der Form
s etz ung
1 sei s o steht in der Kla m m er des A u sdr u cks ( 1 0 1 ) eine ganze
4h
Zahl u n d der Au s dru ck selbst d h die linke S eite der Kongruen
—
F
und
folglich
durch
sobald
als
ist
teilbar
d
u
rch
2
1
0
0
p
(
)
4
eine ungerade Zahl
gedacht
wird
A lsdann besteht d her
2
diese Kongruen auch (m o d
Wä hlt m an insbesondere p 5
so wird :
z
.
a
,
,
,
.
.
,
:
,
2
z
.
.
2
n
a
.
z
1
3
0
(
)
T,
,
.
T„ ,
T„ +
T, “
2
für jede unger de Zahl
L inken das Glied
a
2„ E
Hier ist aber der
u
,
cd
O (s c
.
Ausdruck
zur
e ih e d e r
Zahlenreihe
D
ff
e re n
in
der
i
;
4
1
0
T
T
T
T
:
(
5
)
u n d so m it besteht der S t :
D i e Z ah l e n r e i h e ( 1 04) h t d i e E i g e n
e ih e
s ch aft d a ß s p ä t e s t e n s i n i h r e r
D if f e r e n
lle Glie der
i s t m i t w e n i g s t e n s n Nu l l e n s c h l i e ß e n
der en In dex >
E in ents p rechender S at gilt für die Zahlenreihe
T
zr
3;
1
7
2
a
a z
zr
,
a
,
n
,
.
z
T2 ; T 4 :
T 6 7 T9 ;
H
doch soll m it Be u g auf sei ne Herleit ung der Kür e wegen auf die
genannte S tem s ch e A rbeit in der er sich findet verwiesen werden
urückzuko mm en
1 4 Um endlich auf die B em ulli s c h e n Zahlen
betrachten wir unter a eine p ositive gan e Zahl verstehend wieder
die Funktion
z
z
,
.
,
z
.
z
,
F
(a x )
x
F
(x)
x
F
a
(a x )
ax
,
F
(x) ’
x
deren E ntwi ckelung als P otenzreihe in ( 8 1 ) v orliegt
aber u ch folgenden Ausdruck geben :
a
,
.
Man k nn ihr
a
Ku mme rs c h e Kon grue nz e n
c
a
2
oder wenn
e
,
u
m
ax
e
1
—l
2
e
x
+
l
—
a
—1
2
l
h
a
le
c
d x
41
.
1
a
+
n
—l
’
ct
—1
z gesetzt wird die s en anderen :
1
z
e
x
Z
f ü r B e m o u lli s c h e
,
dessen zweite m Te ile der Faktor 2 aus Z ähler und Nenner sich
hebt und dann der gesam te A sdruck eine E ntwickelung nach P oten en
von z d i von e
1
ul äßt welche m it Bezug u f jede ungerade
Prim ah l p durch welche a nicht te ilbar ist die Bedingungen
d e s Ku mme r s c h e n Sat es erfüllt
Da wegen ( 8 1 ) hier A
0
2
in
u
”
,
.
z
z
.
z
a
,
,
,
,
z
o
A 2i —1
wenn
(
m
2 11
(a
1
0
5
( )
2” -
1
.
set en i st so ni m m t die Kongru enz ( 8
gew ählt wird die Gestalt an :
z
,
,
1
2c
l
-
'
n
(
(
1
19
) BM
P
,
—1 B
) i
zu
1
.
a
25
2,
.
a
_1
—
1
P
2H
2
2u + p
1
2 M+ 2 (P a
—l
—
l
p
— _
1)
2
.
s
-
n
n
Set t m an nun vorau s daß a eine p ri m itive Wurzel (m o d p ) und
durch p 1 nicht teilbar ist s o sind die Differen en
z
.
,
z
,
i u
a
1
—1
2 M+ P
a
,
1
einander ( m o d p ) kongruent ber nicht teilbar durch p und m an
erh ält u s der let ten Kongruen für jeden Wert des I ndex
der
—
1
p
Vielfa ches von 2 ist die einfachere :
.
a
,
a
z
,
u
, ,
z
,
5E :
u
—
I B
E
_
1
p
M+
2
-
1)
2
.
P
-
l
m
od p
)
(
daraus allge m einer
Bi
1b
-
a
(
rp
_1
B
2
s
u+ h
p
-
l
m
od p
)
(
A
42
Nun folgt weiter
ddi iv geb i d
l
t
für
1
05
)
(
au s
Z
et e
h
a
le n
.
2
n
—
l
p
1)
(b
2
(
.
a
29
B M+
+p
9
—2
1 )p
p
+
'
1
"
2
1
P
-
.
2
0
s
ooft
y
1
.
Die s er Kongruenz l äßt sich aber m it Rücksicht a u f die Kongru enzen
:
die
For
geben
m
1
0
7
)
(
(
—
n
a
5
5
0 p
0
p
3
(
g”
1 a
a
2”
(
a
2P
‘
—2
z
z
2
(
14
B
l
w
—
1
+
— 2a “
“
(
ap
p
'
'
1
o
B
f
1
,
.
u samm en
—
1
p
+
ar
0 (m o d
1)
und die be i den let ten Glieder
a
)
4
4
4
-
sind
E
einer ganzen Zahl gleich ist aber
,
a
2“
1,
—l
ooft u kein Vielfaches von 2 ist d u r ch p ebensowenig aufgeht
als die p ri m itive W urzel a so mu ß jede in u etwa enthaltene P otenz
von p sich gegen
heben S o m it schließt m an inde m m an m it
1 dividiert nach s tehende ei n fachere Kongruenz :
a ”
p
s
,
,
,
.
2
,
1
0
8
)
(
p
l
für jeden Wert p > 1 der kein Vielfache s von g ist
In g leicher Weise kann m an fortfahren und findet den von Kumme r
—1
a
a
gegebenen
at
F
ü
r
j
e
d
e
n
We
r
t
S
:
:
d
e
r
k
e
i
n
V
i
e
l
fi
n
(
g
l
p
fa c h e s v o n g i s t b e s t e h t d i e K o n g r u e n z :
,
.
n
.
z
.
,
1
0
9
)
(
v
.
S t au d t - O lau se n s c h e r S at z
43
.
Wir leiten nun m ehr denjenigen S atz ab der für die E rkenn tn i s
der arithm etischen Beschaffenheit der B em oulli s ch e n Zahlen am wich
t ig s t e n ist Man nennt ihn d e n v S t au d t Olau s en s c h e n S a t z da er
f s t gleichz eitig von diesen beiden Fors chern au fgefunden worden ist
2
1
H
ourn
f
M
th
S
in
den
astrono
ischen
v S ta/
7
2
au
s
m
(
i
m
J
3
e
n
u
d
t
(
Um ihn einfa ch au s s p rechen z u könn en
N a chri chten 1 7 S
wollen wir diejenigen u ngeraden P ri m zahlen
für
welche
ß
1 Teiler einer Zahl 2 n sind
d i e v S taud t
1 ß
J
1
s c h e n P r i m z ah l e n fü r 290 oder diejenigen Teiler a b
l von n
1 P ri m ahlen s in d d i e 0 Stau d t
für welche 2 a 1 2 b 1
2l
O ff enbar s ind jene P ri m zahlen nicht
s e h e n T e i l e r v o n n ne n nen
größer als 292 + 1 Der z u beweisende S atz s agt dann au s :
1 d i e v S t au d t s c h e n P r i m ah l e n fü r 2 n s o
S i n d 0c ß
g i l t fü r d i e n B em ou lli s c h e Z ah l d i e G l e i c h u n g
15
,
.
-
,
.
.
a
.
.
,
a
.
.
,
.
,
.
,
,
cc
,
,
,
.
,
.
,
,
’
z
,
,
,
,
1
.
.
.
.
,
,
z
.
,
“
1
1
1
0
(
)
wo
Gn
e i n e g e w i s s e g an
z
n
3
1
1
0
)
(
e
Z ah l
1
is t
Man kann dafür auch s age n :
.
1
1
+
2a
zb
1
1
+
i
wenn a b
l die v S tau dt s c h e n Teiler von n s in d
Wir geben für diesen wichtigen S at zwei g än lich verschiedene
Beweise deren erster der ursp rünglich e Beweis von v S tau d t deren
weiter von E L ucas gegeben worden ist ( s seine th eorie des no m bres
I S
schicken ihnen aber u m den Gang der Betrachtung zu
ebnen einige arithm etische E rörterungen voraus deren wir au ch
nachher noch bedürfen
1 ) Ist eine gan e Zahl n in P i m zah lp o t e n z e n erlegt
,
.
,
.
z
z
.
,
z
.
.
,
,
.
,
,
,
,
.
z
,
1
1
1
(
)
z
r
,
n
das klein s te ge m einsam e Vielfa che der Zahlen
so besteht bek ann tlich nach d e m F ermat schen
Sat e für jede u n p rim e Zahl m die Kongru enz
und
z
z
)
m
m
”
1
0
E
m
od
(
.
n
)
S
die
jedoch
für
eine
Zahl
welche
einen
ge
ein
m
m
(
sam en Teiler m it n hat nicht bestehen kann Um eine Ko n gr u en
erhalten die für jede Z hl m ohne Ausnahm e gilt be eichne y
den größten der E xp onenten
dann
ist
tets
s
y
y
s
.
Bd 1 ,
.
,
.
,
zu
z
.
a
,
,
"
z
’"
,
1
1
2
(
)
denn ist
,
mY
p
'
o (m
7 0)
ein Pri m faktor von
1)
n,
E 0 ( m o d n) ;
der in m nicht aufgeht so wird
.
,
A
44
ddi iv
t
ge
b ild
Z
ete
h
a
le
n
.
der zweite Faktor wenn aber p in m aufgeht s icher der erste F aktor
des P roduktes u L inken durch p teilbar und so m it d s P rodukt
i m ganzen i m m er d u r c h n teilbar sein
'
,
,
z
’
Y
r
'
a
.
2) Au s
folgt sooft
,
h,
n e nt e n
o
p
m
e
i
ne
u
ngerade
P
ri
ahl
ist
für
jeden
ositiven
p
p
wenn aber p 2 ist für h 1 die Ungleichheit
z
,
Ex
,
p
i
h
2
ä
h
.
d i e s e r e i n fa ch en B e m e rk u n g e r s c h l i e ß e n w i r z u
n ä c h s t d i e T a t s a ch e d a ß w e n n P e i n P r o d u k t v e r s c h i e d e ne r
P r i m fa k t o r e n i s t u n t e r d e n e n s i c h a l l e P r i m ah l e n b i s n 5 2
h i n b e fi n d e n d i e P o t e n P
s t e t s d u r c h n t e i lb ar i s t
Denn eine P ri m ahl p die in n genau h m al aufgeht fin det s ich in
jener P oten n 2 m al und m an hat wenn p ungerade ist
Au s
,
,
z
,
z
,
z
.
,
,
z
,
,
2S p
-
aber p = 2 s o ist entweder h >
oder es ist h = 1 dann m ß n
is t
n
u
,
h
1,
,
—2> h
2
”-
,
2 ä h;
-
lso be s teht dieselbe Un gleichheit ;
2
> 1 sein m ithin ist wieder
a
21 ,
v
,
.
D e s w e i t e r e n i e h e n w i r a u s d e r s e l b e n B e m e rk un g d e n
S c h l u ß d aß s t e t s
z
,
1
3
1
(
)
ist
n
In der Tat :
ist un ä chst
z
.
4
1
1
(
)
n
n
r
eine
Prim z ahlp o t e n z p
w<n )
-
d h gleich
.
3
9 (72)
1
-
1
—
y
'Y
'
,
so ist
'
‚
.
[p
"
'
2
(r
’
1
Wenn p ungerade so ist der Ausdruck N ull für y
1 der obigen
Be m erkun g ge m ä ß aber p ositiv für y
1 ; ist p
2 so wird der
1 oder 2 dagegen nach jener B e
selbe Ausdruck Null für y
m e rk un g p ositiv für y > 2
Mithin ist der A usdruck ( 1 1 4) Null
wenn n 2 oder 4 oder eine ungerade Pri m hl ist sonst p ositiv
w z b w
I st dagegen n aus m indestens wei verschiedenen Pri m
zahlen us m m engeset t so folgen aus den Gleichungen
'
’
,
,
'
'
,
'
,
’
.
,
za
.
.
z
de m
z
.
.
a
z
,
eben Bewiesenen ufolge die Ungleichheiten :
z
,
,
ih
Ar t m e t
p
'r
'
W
1
i
sc
h Hi f
l
e
ss
ät
:
W
ä 90 0 )
ze
45
.
"
7
c
"
also da wenigstens wei solcher Ungleichheiten vorhanden sind durch
ihre Multi plikation a fortiori die folgende :
z
,
,
n
0
9
00
7
7
lso au ch die Ungleichheit
zahl
3 ) Bedeutet jet t p eine u nger de P ri m
Wu r el ( m o d p ) so ist die S u m m e
a
a
z
z
eine p ri m itive
g
,
.
Z
un d
g
i
—
l
g
k
.
dur ch
n n k kein Vielf che s von p
1
teilbar
we
ist
dagegen
m
1
t
p
d
m
o
k
oder
kongruent
wenn
ein
Vielfaches
von
1
1
1
p
p
p
(
)
—
ist Andererseits bilden die P oten en 1 g
ein
volles
g
redu iertes R e s t s ys t e m (m o d p ) sind m ithin den Zahlen 1 2 3
m
m
in
gewisser
Reihenfolge
geno
en
kongruent
daher
die
1
i
s
t
;
p
obige Su m m e m it S SL kongruent und m an findet folglich den S atz :
V"
1 o d e r 0 (m o d p ) j e n a c h d e m k e i n
S — i s t k o ngru ent
Vi el fa c h e s v o n p 1 i s t o d e r n i ch t
2
3
den
Z
hlen
1
4) Da 1 g 9
1 insgesa m t
g
p
kongruen t sind so sind die Werte von 1 g für i = 0 1 2
2
m
o
d
3
den
Z
hlen
1
kongruent
so
it
u
n
d
m
2
p
p (
p)
p
a
,
.
,
,
z
.
z
.
,
2
P
,
,
,
,
,
'
,
,
p
.
l
,
.
2
,
,
i"
“
2
a
,
,
,
,
‘
,
,
a
,
,
p
,
—2
1
1
5
(
)
z
+ 9
=
"
k
n
1
m
d
o
p ),
(
.
d h k o n g r u e n t 2 o d e r 1 j e n a ch d e m
g e h t o d e r n i ch t
Nun ist aber na ch d e m bino m ischen Sat e
.
,
.
,
.
8
E
,
k
durch
p
1
auf
.
z
+ g
i
)
k
=p
1
folglich nach der unter 3 ) ge m achten Bem erkung
p
—2
2
=
1
(
i
(M n)
1
.
a
0
i
m
od p)
(
.
Diese Form el ist au s udehnen bis u m grö ßten Vielfachen von p 1
d s n i c h t g r ö ß e r als k ist
Heißt Mp — l ) d a sj e n i g e größte
Vielf che von p 1 welche s n o ch k l e i n e r als k ist so w äre in
z
a
z
e
.
a
,
,
,
A
46
Falle eine s durch
de m
ddi iv g b i d
t
et
eZ
teilbaren
1
p
l
e
h en
l
a
.
das letzte Glied der Form el
k
1
'
M i t R ü c k s i ch t h i e r a u f s o w i e a u f d e n S a t z ( 1 1 5 ) e r g i b t
s i c h a u s d e r l e t z t e n K o n g r u e n z i n b e i d e n F ä l l e n g l e i ch
—
v i e l o b k t e i l b a r o d e r n i c h t t e i l b a r i s t d u r ch p l d i e
an d er e K o ngru enz:
,
,
f
(p )
1
1
6
(
)
l
—
l
p
h (p — 1)
d a s g r ö ß t e V i e l fa c h e v o n
ist w elch e s
wo
n o ch k l e i n e r a ls k i s t
Hiernach bestehen für eine beliebige ganze Zahl n die beiden
folgenden bis zu m größten Viel f achen h ( p 1 ) 2 72 2 fort
usetzenden Kongruenzen :
,
.
,
z
—
l
p
7
1
1
)
(
3 19
—
—3
o
m
od p )i
(
0,
deren s u btraktiver Verbind u ng
noch die dritte :
au s
( 53 3
2
1
1
( 9
m it
i
2
( 3 1)
+
Beacht ung der Form el (25 b )
+
0
w
m
d
o
so
(
hervorgeht
1 6 Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns n u n z m B e
weise d e s v S tau dt s ch e n S atzes wie ihn v S tau d t s elb er gegeben hat
S ind m n zwei beliebige M o d u ln so können s ä m t liche Zahlen
1 2 3
m 90 durch die For m el a: m y dargestellt werden wenn
darin die Zahlen 1 2 3
m und y die Zahlen 0 1 2
1
n
durchl äu ft In folge davon ist
m y) wenn diese S u m m e
über die gedachten Werte von x y ausgedehnt wird Nun ist aber
.
u
.
,
.
,
,
x
.
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
k
.
,
,
m
:
y)
(
a
’
c
E
.
"
x
o
k
a
c
—1
o
m y (m o d m
.
3
)
,
also geht für jene S u mm e die Kongru enz hervor :
1
1
9
)
(
m ith in
1
2
0
)
(
n
?
s5
}
.
m
1)
sy
r
.
au ch diese andere :
E n
m
o d m)
(
.
.
”
m
od m
(
.
i
)
,
A
48
ddi iv
t
ge
b ildet e Z
h
a
le n
.
die Prim zah lp o t e n z e n dieser Zerlegung und berücksichtigt
den an let ter S telle ausges prochenen S atz s o wird o ffenbar folgender
A usdruck
'
m, m , m
"
,
z
8
1
23
(
)
,
)
g _
"
1
.
E
P
1
( 2 72)
2
1
;
s
‚
.
q
einer ganzen Zahl gleich s ein
2 m)
Da n un aber
.
1
1
( 2 72)
3”
2
2
2n
1
2
2
ist da ferner weil 2m durch q 1 q 1
ni cht teilbar d urch
d
e m unter 3
aber
teilbar
gedacht
i
nach
der
s
t
1
1
)
ß
vorigen Nu mm er ausgesp rochenen Satze die Aus dr ücke
‚
'
a
,
,
,
,
,
,
,
,
1
( 2 n)
°
q
Sq
m)
1
89
7
'
—1
2
2
7
7
ß
a
gan ahlige Werte haben s o e r g i b t s i c h z u l e t t d aß a u ch n a c h
s t eh e n d er Au s dru ck:
zz
z
,
g
n)
S
1
4
2
)
(
P
,
1
1
—
+
.
—
:
2
ß
o
e i n e r g a n z e n Z ah l gl e i ch s e i n m u ß
A s diese m Resultate l ä ßt sich der zu Beweis stehende S at
leicht auf d e m Wege der allge m einen Ind uktion e rs chließen wenn
m an die Form el (5 4) zu Hilfe ni mm t aus der für den vorliegenden
Fall die nachstehende Form el u entnehm en ist :
.
z
u
,
,
z
8
1
2
5
)
(
'
B” +
g
")
F
2"
1
P
2 71
1
.
—1
3 2 71
1
2”
3
2n
,
4
-
—2
—1
2
3 27
3 2 12
an
1
02
—3
ä c
N eh m en wir n m li h an , der v S taud t - Claus en s c h e S at z stehe b e
re it s
fest f ür alle B ernoulli schen Zahl en B 5, deren Inde x i < n ist,
'
’
so d aß , wenn a , ß ,
die v S ta ud t s ch e n P ri m z ahlen für 2 2 b e
z eichnen
m
welche
s
tlich gleich oder kleiner als 2 2 1 , m ithin
,
.
’
ä
kleiner als
2n
,
.
'
sind die Gleichheit besteht :
1
,
1)
o
ß
1
i
i
1
verstehen wir ferner unter P das P rodukt aller P ri m zahl en Z 270 1
unter denen sich also auch alle v S taudts ch e n Pri m ahlen für 2n b e
finden so daß P die bei ( 1 24) vorausgeset te Zusa mm ensetzung hat
so leuchtet ein erseits ein d ß jedes der Produkte B P einen gan
ahli e n Wert hat
anderer
eits
ird
s
w
g
,
z
.
z
,
,
z
,
a
,
,
z
B e w e ls
P
von
2 92
2n
v
.
S t au d t
49
.
—2 i —1
—2 i +
1
’
da der E xp onent von P u m 2 geringer ist als der Nenner nach 2)
voriger N u m m er ganzzahlig u nd so m it das allge m eine Glied zur R echten
von ( 1 25) ei n er gan en Zahl gleich s ein ; endlich sind au ch die beiden
ersten abweichend gebildeten Gli eder der Form el ganze Zahlen m it
,
z
,
,
P
als gan e Zahl d h aber
es ist
z
,
Rücksicht a u f die Gleichung
m it
.
.
6
1
2
)
(
wo G gan ahlig ist Der u beweisende S at gilt also auch noch
für die n B em ou lli s c h e Zahl wenn er für die v o h e ge h e n d e n gilt
Da aber für die ers te B em aulli s ch e Zahl P = %die Gleichheit statt
findet
zz
n
z
.
z
'
“
r
,
r
.
I
I
Bl =
'
und 3 die einzige hier vorhandene 0 S tau d ts ch e P ri mzahl ist so ist
hier m it der Satz als allge m ein gültig bewiesen
1 7 S o intere s s ant und einf ach diese Reihe von S chlüssen auch
ist so erscheint der Beweis den L ucas gegeben hat doch als der
ange m essenere insofern er tiefer auf die Grundlage der Sache urück
greift Wir wurden auf die B em oullis ch e n Zahlen geführt inde m wir
die ersten n Glieder der Zahlenreihe
.
,
.
.
,
,
,
z
,
,
.
1
7
2
)
(
1
2
k
k
,
,
3
7c
,
su mm iert en ; für die S u m m e
derselben fanden wir wei ver
s c h ie d e n e
Form eln die Gle ich ungen (3 5 ) und
S et en wir
2h voraus
k
Denkt m an alsdann in der ersteren Form el die
B in o m ialk o e ffi zie n t e n nach P oten en von n entwi c kelt und verglei cht
darin das Glied m it n m it demjenigen der Form el
so ergibt
sich für die R em o ulli s c h e Zahl 13 folgender eigentü m liche Ausdru ck :
z
z
,
.
z
1
„
H
(
—
P
+
YT
)
e
d
e
d
m
m+ i
21
Am
Untersuchen wir deshalb für k 2h das Glied
1
m der n
D iff e e n re ih e in be ug a u f den Modul n
O ff enbar wird der Rest
dieses Gliedes sich nicht verändern wenn statt der ein zelnen Glieder
der Zahlenreihe ( 1 27 ) andere ihnen (m o d n) kongruente geset t
werden Bedeutet aber
irgendeine gan e gan ahlige Funktion
B hm
d
Z hl t h
II
i
-
r
z
z
ll
"
ten
.
,
,
z
.
ac
z
.
an u
n ie
e re
a
en
eo r e
.
.
zz
A
50
ddi iv g b i d
t
l
e
ete
Z
-
h
a
le
n
.
”)
W
m it m (m
von m so l ä ßt sich durch Divi s ion derselben
Glei chung erhalten von der For m
,
F
W
0
a)
„ 2
n
eine
m
a ),
00 )
1)
2
1)
7
c
wo f (m) ebenfalls eine gan e gan ahlige Funktion von m bede u tet
deren Grad aber kleiner ist als m(m) y ; de m gem äß ist wenn un ter
y dieselbe Zahl verstanden wird wie i n Num m er 1 5
z
zz
,
,
,
,
m
od
(
E
.
m zu s uchen au ch m
darf m an u m den R est von A
d u rch eine ganze ganz ahlige Funktion von m erset t denken deren
Grad hö chstens 1HM) y 1 ist L etztere Z ahl ist gleich n 1
wenn n gleich 2 oder 4 oder e ine ungerade P ri m zahl ist ; in diesen
F ällen wird daher die n 1 D iff e re n zre ih e nach Anfang von Nu m m er 5
aus lau ter ( m o d n) gleichen Zahlen bestehen in den anderen F ällen
aber wo
y 1 n 1 ist aus lauter Nullen ( mo d n)
d h dann werden alle Zahlen der n 1 D iff e re n re ih e und so m it
au ch ihr Anfangsglied
durch n teilbar sein J edes ein e m
—
<
A
in der Form el ( 1 28)
Falle der letzteren Art entsp rechende Glied
wird m ithin ganz ahli g s e in
Für die übrigen F älle greifen wir z u rück au f die Form el
die hier folgende Gestalt erhält :
S o m it
(”
,
—1)
"
"
,
z
z
,
,
.
te
,
.
.
,
,
t en
.
,
z
.
,
.
l
n
n
z
(
n
—
Für
—1
—1
1
)
(
o
n
ergibt sich darau s
2
n
.
A
< 1>
= 2k
1
m
od
(
1
k
“
)
A
also 2 gle i ch e i ner gan en Zahl wen ger
k gerade ist wie voraus geset t worden
—
i
z
z
,
4
< 3>
1
fur
;
E
4
n
ko mm t wenn
,
,
— 1k
= 4k
3)
(
A
also T gleich einer ganzen Zahl
un gerade P ri m zahl p ist
.
.
2
E ndlich
0
m
d
o
(
erhält
.
m an ,
wenn
n
eine
,
--
A (p
O
2
Der
A usdruck in
B in o m ialk o e ffi z ie u t
)
0
])
2 +
1
]
k
der Kl am m er aber besteht wenn der allge m eine
,
(p
-
I ) (ß
aufgelöst wird aus der S u m m e
,
1
-
h)
Be
wi
L u c as
e s von
51
.
lu
einer
Reihe
von
Brüchen
deren
Z
ä
hler
durch
teilbar
deren
s
p
p
Darau s folgt o ff enbar
N enn er d urch p nicht teilbar sind
,
,
.
4 9
oder auch
2
1
2
d
.
—1
1)
.
—
9
21 9
0
m
d
o
p ),
(
k
.
weil k gerade gedacht wurde
i,
09
7
-
,
E
m
od p)
(
1
.
und folgli ch nach d e m S atze u nter 3) in Nu mm er 1 5 kongruent 1
m
2
h
je
nachde
k
ein
Vielfaches
von
m
o d p ) oder teilbar durch p
(
m
h
2
h
1
d
h
eine
der
s
e
n
P
ri
ahlen
für
ist
oder
u
t
c
v
S
t
a
d
p
p
nicht ist Je nach diesen beiden F ä llen ist de m nach
.
,
,
z
.
.
.
.
0
4
9 -
1)
P
l
gleich einer gan en Zahl m inus oder selbst eine gan e Zahl
P
Da nun unter den Nennern in ( 1 28) alle P ri m ahlen bis 2h 1
ink l u sive also auch s äm tli che t) S tau d ts ch e n P ri m zahlen für 2h sich
vorfinden s o erh ält m an aus alle die s e m schließlich das E rgebnis :
z
z
.
z
,
.
,
ist gleich einer g n en Z hl verm indert
a
z
um
a
1
1
1
1
wenn ,6
1 die v S tau dt s c h e n P ri m zahlen für 2h bedeuten Die s
ist aber der genaue Inhalt des i) S tau d t C laus ens ch e n S at es )
1 8 I n einer kleinen A bhandlung ( de n u m e ri s B e rn o llian i s E rlangen
1 845) hat v S tau dt diesen S at
noch dahin erweitert d ß wenn
gedacht wird und B den Bruchteil der Form el ( 1 26) b
n > 1
eichnet n ä mlich
.
,
.
.
1
z
-
.
.
u
.
,
z
.
,
a
,
,
e
n
z
,
9
1
2
)
(
geset t wird der
z
,
Ausdr
i
ch uß
1) E
im A n s l
Be e
z
e
w i w is
( b d s 53
G u dl g
en
r n
a
a
.
e
,
e
d
w is
+ ,T
-
m
ß
n
+
1
(
BH
ss
J u
fM h
ds
h
F
b e i S aa ls ch ü t z a a 0 S 1 3 8 u n d
’
an L ip s chit z A r e t i m
9 6 e e n a S 1 46
at
o rn
e rn e r
von
K ‚Sch w erin g ( at
A nn 5 2, S 1 7 1 ) u n d J 0 Klu yv er
S
le t z t e n m e r au f an aly t s e r
oc
d ie
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en
re
an
ne n
1)
1
—
—+
u ck
B”
e
1
1
Be
e re n
.
.
e
d h
d e s S at z e
bi
b uh
M
h
.
.
.
d
.
.
i
.
b
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.
*
.
i
ch
A
52
ddi iv g b i d
t
l
e
et e
Z
h
a
le
n
.
in wel che m 6 die An ahl der v S tau dt s c h e n P ri m ahlen für 292 b e
de u tet und welcher d e m v St aud t C laus en s ch e n Sat e ufolge stets
eine g an e Z ah l i st sog r eine g e r a d e Zahl sein m u ß oder auch
d aß d i e Z ah l
z
„
z
.
-
.
,
z
z
z
a
,
,
,
g)
g e r a d e o d e r u n g e r a d e i s t j e n a ch d e m u m g e k e h r t 6 n u
gera de o der g erad e i s t
S tern i s t in dieser Richtung noch weiter gegangen und hat in
einer im Jo u rn f Math 8 1 S 29 0 befindlichen Arbeit den Nachweis
geführt daß
fü r u n g e r a d e s n s t e t s ß
3 (mo d
fü r g e r a d e s n ab e r ß +
oder 1 ( m o d 4)
'
„
,
.
,
.
.
,
.
.
,
n
.
„
.
i s t j e n a c h d e m d i e A n ah l d e r l) S t a u d t s c h e n P r i m z ah l e n fü r
2 n w e l ch e v o n d e r F o r m 4 h + 3 s i n d g e r a d e o d e r u n g e r a d e
i s t Doch s oll hier au f di e s e E rg änz ungen des Satzes nur ku rz ver
wie s en werden
Dagegen wollen w i r n i cht un terlas sen ein p aar andere Folgerungen
aus d e m v S taud t C la/usen s ch e n S atze noch abzuleiten Zun ä chst :
jede Reku rsionsform el für die B em oulli s ch e n Zahlen B gibt auch
eine solche für deren ganz ahli ge Bestandteile G S o folgt aus
Form el ( 7 3 a) wenn m an die Glieder ihrer link en S eite in u m gekehrter
R eihenfolge s chreibt nachstehende Gleichung :
’
z
,
.
,
,
.
.
,
-
.
.
,
z
5
.
,
,
in
s
Set t
z
s ch e u
-
—
Bs
+
w
<
B
-
darin aber für die B ihre durch den v
S atz besti mm ten A usdrücke ein so ko mm t :
m an
,
z
w
S tau dt - C laus en
.
,
n
+
(
(
+
1
2
2”
1
0
3
( )
1
1
--
2n
4
ä
)
)
2n
In dieser Form el hat der Bruch
ä
u
in S m m a
den Faktor
_1 +
Bedeutet ferner
p
irgende ine der darin auftretenden
u
n
geraden Pri m
.
ä
S t ze
von
H e rmi t e
z u m Faktor
zahlen so hat
die
ä
— l das noch kleiner ist als 2 99
p
und
zu
2,
,
53
.
größten Vielfachen von
fort u set ende Su mm e
b is
,
S t e rn
m
z
z
1
da der Bruch
nur bei denjenigen Gliedern auft ritt für deren Index
5
2 99 die P ri m ahl p eine v S tau dt s c h e P ri m ahl ist deren
2
In dex n äm lich durch p 1 teilbar ist ; diese S um m e ist aber n ach
1
m
teilbar
d
u
rch
Set
t
de
nach
die
ga
e
Zahl
1
7
a
n
m
n
:
p
)
(
,
z
,
z
.
z
.
,
z
35 )
(22
t lf fi
l
Gw
s o n i m m t d i e G l e i ch u n g ( 1 30) s ch l i e ß l i ch fo l g e n d e G e s t a l t a n :
2 99 4- 1
(
1
3
1
(
)
)
2
Oo
G2
C
1
99
—
G”
2 99
2
Gp
,
p
w o r i n d i e S u m m e s i c h a u f al l e u n g e r a d e n P r i m z ah l e n
e r s t r e c k t da die 0 8 taud ts ch e n Pri mzahlen für alle Zahlen 2 4 6 299
mit den Pri m ahl en 29 + 1 übereinsti m m en bei denen 9 ein Teiler
von 1 2 3
d i irgendeine der Zahlen 2 99 ist Die Form el
99
8
1
S
9
gab
ourn
f
Math
1
1
H
m
J
3
i
3
er
m
i
t
e
)
(
Geht m an m it S tern ( J o urn f Math 84 S
statt von der
For m el ( 7 3 a) von der Rekursionsform el ( 7 4) aus inde m m an schreibt :
,
,
.
z
,
,
,
,
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
ä (
so
.
.
,
.
,
,
2 91
4
1
ko mm t durch
E inset z en
der
Ausdrücke
für die
B,
1
2
(
G
(
G. +
1
3
2
(
)
hier hat
,
'
'
,
,
:
den
Faktor
ä
1 +
2 99
(
4
1
,
+
ä
-
ä
-
die Gleichung :
A
54
ddi iv
t
e
g
b ild
Z
et e
h
a
le
n
.
ein Bruch ; aber geh ö rt nur zu solchen G für deren do p p elten
i
Index 2 2 die P ri m zahl eine v Stau dt s ch e P ri m zahl m ith in 2 2 ein
Vielfaches von p 1 ist er erh ält also als Faktor die b is u m
größten Vi elfachen von p 1 das noch kleiner ist als 2 n 2 fort
uset ende Su mm e :
p
'
5,
'
.
,
z
,
,
,
,
z
z
welche nach ( 1 1 8) teilbar ist durch
Zahl :
2n
1
3
'
so nimm t die
[(
.
p
G l e i ch
+
1
—z
2n
) (
23
ung
1
32
(
)
+
1
—3
p
S etzt m an
.
z
l
)
fo l g e n d e F o r m a n :
2n
1
1
3
3
(
)
also die gan e
—1
—
1
2
2n
p
w o w i e d e r d i e S u m m e a u f a l l e u n g e r a d e n P r i m ah l e n < 2n + 1
Diese Form el verdankt m an S te rn
u e r s tr e c k e n i s t
W i r b e m e r k e n fe r n e r u m e i n e i n N r 1 3 g e g e b e n e Z u s a g e
e r fü l l e n d a ß a u s d e m v S taud t C lausm s c h e n S a t e d e r
u
Ausdruck:
z
z
.
.
,
.
-
z
,
z
.
4
1
3
(
)
1 ) 13„
n
i c h was schon E u ler bekannt war al s e i n e g a n e Z ah l h e r a u s
W i r e i g e n e s s o g a r al l g e m e i n e r u n t e r a i r g e n d e i n e
stellt
o
i
t
i
v
e
g
an
e
Z
ah
l
v
e
r
s
t
e
h
e
n
d
fü
r
d
e
n
u
s
d
r
u
c
k
s
A
:
)
(p
s
z
,
,
z
.
,
z
,
(
1
a
4
3
(
)
a a
2"
1)
oB
n
.
Sat e zufolge ist n ä m lich o ffenbar B ein Bruch in dessen
Nenner nur 2 und die v S taudt s ch e n P ri m ahlen für 2n und zwar
jeder dieser F ktoren nur e inm al aufgeht S o m it hebt sich 2 wenn
a gerade ist
gegen den ersten wenn aber a ungerade ist gegen den
zweiten Faktor des Au sdrucks ; desglei chen geht jede der P ri m zahl en
2
entweder
in
oder
da
ein
Vielf
ches
von
a
93
a
1 ß
ß
ist d m F ermat schen Sat e ufolge im weiten Faktor des Au sdrucks
auf und so m it hebt sich der ges m te Nenner von B heraus
E inen weiteren
auf den Z ä h l e r von B be ügli chen Sat gab
o S t au dt
ul et t angeführten A rbeit
i
n
seiner
s
a
u
ch
ourn
i
h
J
s
c
i
t
z
L
(
;
p
f Math 9 6 S
S e i n ä m lich :
J ene m
z
n
z
.
a
,
a
,
,
e
z
z
z
.
.
,
.
„
z
.
z
n
,
,
z
a
,
.
,
,
,
,
,
.
,
a,
,
.
z
,
.
e u nt Z
R k
56
e
rre
h
a
le n re
ih n
e
.
der Zahlen der R eihe
au f welche rekurriert wird sowie
)
)
n e m Glie d e der
d i e S k a l a d e r K o e ffi i e n t e n
von
ei
a
a5
5
Reihe ( 1 ) zu m folgenden verä nderlich sein Unter dieser allge m einsten
Voraussetz u ng sind die rekurrenten Zahlenreihen von D A n dre in
einer größeren Arbeit untersucht und e xpli ite A usdrücke für ihre
allge m einen Glieder X hergeleitet worden (D A ndre An n ales de
Hier werden wir uns auf
l E c o le Norm ale 2 s e 7 1 87 8 S
einfachere F älle beschr änken und un s ere A ufm erksamkeit m ehr auf
die zahl entheoretischen E igenschaften der Zahlenreihen richten G e
w ö h n lic h versteht m an u nter einer rekurrenten Zahl enreihe s p e iell
eine solche bei der in der Form el (2) das unabh ängige Glied fehlt
und sowohl die An ahl der Zahlen auf welche rekurriert wird als
auch die Skala der Koeffizienten von eine m Glie d e u m anderen
unverä nderlich bleibt m ithin die rekurrente Be iehung die folgende
Form hat :
,
z
,
n
.
’
.
z
’
n
’
r
,
,
.
.
,
.
.
,
.
z
,
z
,
,
z
z
,
X =
n
a1
X —1 +
X
az
n
—l
n
Rekurrente Reihen dieser Art sind zuerst von C assin i be m erkt
de m n ä chst von M o ivre der ihnen den Nam en gab n äher untersucht
worden ; sp ä ter ogen E u ler und L agm nge sie in Betracht ne u erdings
hat besonders E I m cas die ahlentheoretischen E igenschaften der
selben z u m Gegenstand der Untersuch ung g e m ac h t ) Bevor wir aber
erörtern wir noch ein p ar F ä lle
u ihrer Betracht ung übergehen
anderer Art die gleichfalls ein besondere s ahlentheoretis ches Inter
esse darbieten
2 Zuerst betrachten wir e ine Reihe von Zahlen X X X X
wel che dur ch die folgenden Gleichungen :
,
,
,
z
,
z
.
ß
z
a
,
z
,
.
.
X2 =
a1
X1 + X
X
an
—a
2,
1,
,
3,
.
4
( )
72
m itein ander
X —2
—l
n
verbunden sind Sie s ind zuerst von E uler untersucht
”
worden ) und h ben ihre besondere Bedeutung für die Theorie der
Kettenbrü che ; die rekurrente Be ieh ung hat in diese m Falle eine feste
.
a
z
m
His
F ce
Misc n
u s
M h
o
o
o
co I
s
hi f g d
ks
ws d d g
nh ngs wegen wi d ho
d e l A c ad d e
r an
1 680 , S 3 0 9 ; M oi vre ,
e lla e a
tr
an alyt i c a S 2 7 ; E u ler,
i n A n aly s in I Kap 1 3 u n d 1 7 ; L agrange, O e vre
r
am e r o f
1 , 3 , 5 ; E L uc as , J
at
I
S 1 8 4 , 28 9
2) E u ler, C mm e t A a
Pet r p 7
S 4 6 ; N o v C mm P e t r p 1 1
S 28 ,
ol e n e n,
e r C m m A ri t h m
ll , S 1 1 re p 3 1 6
D ie
er
n im e r t e
e le
W e r e S 1 0 2 —1 04 e t a an e rs ar e s t e llt e n
e re
des
B e t ra t
e
er e
am m e
a
lt
e er
in
’
In o d
ou n
o n cd
od o
scho
s n T i uns s
ch ung n w d n Zus
1 ) C as si
t
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Klam m e rn
D i e G au s s i s c h e n
An z ahl
57
.
von Zahlen auf welche rekurriert wird doch eine wechselnde
Sk la deren Glieder a als ganze Zahlen gedacht werden Inde m m an
nun d e n Wert von X aus der ersten der Gleichungen (4) in die
zweite substituiert findet m an
a
,
,
;
,
.
2
,
1 ) X1
X3
a2
X:
diesen in die folgende Gleichung e intragend erh ält
X4
1)
“1
m an
X
) 1
1) X
wenn m an so weitergeht jede der Zahl en X X X
als
eine ho m ogene lineare Funktion von X X deren Koeffi ienten weil
aus den gan en Zahlen d a a
nur du rch A dditionen und Multi
k
gebildet
gleichf
lls
ganze
Zahlen
ein
werden
insbesondere
li
a
i
n
e
n
s
t
o
p
e
s
ositive
gan
e
Zahlen
wenn
jene
sind
So
findet
also
schließ
m
n
a
p
lich auch die Glei chungen
un d
2,
,
,
1 ,
z
2,
l,
3,
z
,
z
,
3,
a
,
4,
,
,
.
A gX,
A X
”
'
X _l
5
( )
A
„
A X
'
'
Für die Koeffi ienten A A wel che
von X X u nabh än gig
lediglich durch die Zahlen a a
hat G auss
a _ besti m m t s ind
m it ih m
ein besonderes Sym bol ein geführt ( D is qu is arit h m art
set en wir
= a :a
6
“
—
A
a
: :
( )
]
[
z
1 ,
1,
,
1 ,
1
n
2,
,
.
.
.
z
1
1
2
s
(z
1
und nen nen dies Sym bol e n e G a u s s i s c h e K l a m m e r E s handelt
sich d ru m die Bildung die s es A u sdrucks für A m it wel c her au ch
diejenige von A erh lten werden wird n äher zu besti mm en denn
wenn wir das Geset dieser Koeffizienten erm ittelt h ben s o l i e fe r t
u n s d i e l e t t e d e r G l e i ch u n g e n ( 5 ) d a s a l l g e m e i n e Gl i e d X
d e r v o r l i e g e n d e n e k r e n t e n R e i h e deren erste zwei Glieder
X X willkürli ch gew ählt werden können Zu diese m Zwecke b e
m erke m an daß o ff enbar in gleicher Weise
i
a
.
1 ,
,
a
,
,
a
z
,
z
n
w
r
ur
,
1
,
,
.
,
Ai =
[
a1
7
a2
:
d a)
an
d
I
3]
2
-
(l -
ge s et t werden darf Werden nun sp eziell die Zahlen X X gleich
Null und E ins gew ählt so e halten nach (5 ) die ugehörigen Zahlen
X _ K _ X resp die Werte A A A und da wischen jenen
welche s p e iellen Werte X X auch be s it en die letzte der Gleichungen
4
stattfindet
so
e
gibt
sich
die
Beziehung
( )
z
,
.
2,
„
1,
„
n
''
l,
.
z
AI
d h das Bildun gsge s et :
.
,
,
r
‚
.
'
„
z
1
,
,
z
r
,
z
1
61 72 - 1
1
4;
''
Al ,
,
z
,
Re
58
7
( )
[
an as
::
as
°
ku
rre n t e
Z
h
a
an
le
n ih n
o
an
re
e
— 2]
.
‘
an
—1
[
an a2,
a„
_3]
fü r d i e G a u ß i s c h e n K l a m m e r n
Andererseits leuchtet ein daß wenn die er s te der Gle i ch ungen (4)
unterdrü ckt wird sich entsp rechend der letzten der Gleich ungen ( 5 )
eine Be iehung ergeben wird von der Form
.
,
,
,
z
8
( )
in welcher n u n
9
( )
Bl
“3
set en i st Da aber au s ( 8)
die Gleichung
zu
z
.
:
mit R ück s icht
X = ( a, 131
1
0
( )
—l l
an
X2
E, X
B ) X1
„
auf den Wert von
hervorgeht welche m it der letzten der Gleichungen (5 ) identisch s ein
m u ß so liefert die Vergleich u ng die s er Gleich u ng m it der hier g e
f u n d e n e n die Be ieh u ngen
,
,
z
A = B,
1
1
( )
also
1
2
( )
A
und dem entsprechend auch
B =
[
am a s ,
[
am a4 ,
endli ch lso nach ( 1 1 ) und ( 6) die Form el
a
1
3
( )
[
an a2 , a3 ,
a4 ,
.
.
welche gleichfalls e i n B i l d u n g s g e s e t z fü r d i e G a u s s i s c h e n
K l a m m e r n u m Au s drucke bringt
D i e b e i d e n G e s e t e ( 7 ) u n d ( 1 3) l a s s e n n u n u n m i t t e l b a r
d i e G l e i ch h e i t
z
.
z
4
1
( )
[
a„
a2 ,
a„
_2 ,
e r k e n n e n Ni m m t m an n äm li ch an diese Gleichheit stehe schon
fest für S ym bole deren E le m e n t e n zah l klein er ist als n 1 so darf
m an die For m el ( 1 3 ) auch folgender m aßen schreiben :
.
,
,
[
a„
a
2,
,
as ,
a„
_2,
]
a2
o
a,
a„
_2,
a
]
s ,
Geset e ( 7 ) ge m äß au ch
a
a
[
: a2 a ]
geset t werden darf; de mnach gilt unter der ge m achten Vorau ssetzung
uch die behaup tete Glei chheit ; da aber für zwei E le m ente d a
in der Tat
wo nun für die rechte Seite
n -
1)
de m
n -
z
2
)
1
z
a
l,
2
D i e G au ss i s c h e n
[
Klam m e rn
59
.
an
a1
]
ist so ist hierm it die Form el ( 1 4) als allge m ein gültig erwie s en
E b e n s o l e i c h t e rk e n n t m a n d i e R i c h t i g k e i t n a c h s t eh e n
d e r Gl e i c h u n g :
,
.
:
Denn nach
L inken gleich
1
5
( )
[
a1
m
a2
:
an
v
a2
:
“( z
allge m einen Gesetze ( 1 3 ) ist das
de m
Sy m bol
zu r
a
:
li
wird also angeno m m en daß die Be z iehung 1 5) schon für Klamm ern
m it weniger als n
1 E le m enten richtig s e i so ergibt s ich für den
vorigen A u s dru ck der Wert
ai
a )
3
an
°
an
7
—I I
as ;
a4
°
n -
7
l
,
,
l)
n
—1
[
a1
a 2 2 as )
1)
an
der nach ( 1 3 ) m it der rechten
ist Da nun für wei E le m ente
_3
n
[
am a4
:
“( z
der Gleich ung ( 1 5 ) identi s ch
S eite
z
.
l
)
)
: ]
(
gef nden wird so findet die Form el ( 1 5) allge m ein statt
N o ch h a t m a n d i e B e z i e h un g
I
"
u
1
a2
“2
a1
‘
,
1
6
( )
1
[ ,
In
und
a1
a2
ai
‘
a1
1,
a2 ,
,
a2 ,
der Tat ist wegen ( 1 3 ) die linke S eite
[
an
a2 )
an
z
a3 )
un ä chst
an
.
gleich
—l l
dies nach de m selben Bildu n gsge s et e gleich
z
an
wofür wieder diese m Bildungsge s etz e ge m äß die rechte S eite der
Gleich ung ( 1 6) ge s etz t werden darf
Be m erken w ir en dlich daß die Reihe der Gleichungen (4) in
u m gekehrter O rdnung geschrieben werden kann wie folgt :
(
1)
a1
as )
an
a4
:
.
,
,
X —2
an
—l
X
3
“73
—2 X —2
X1
a2
X2
X3
a1
X1
X2 :
n
n -
X
X —l
n
n
X
n
X —l
n
so wird daraus ents prechend den Form eln
5
sogleich
l2
1
( ) ( )
o
oX_
X=(
X
gefunden w ährend andererseits die let t en beiden der Form eln ( 5)
durch E lim ination von X die Gleichung
,
,
1
„
z
,
1
n
Rek
60
u nt Z
e
rre
h
a
le
n ih n
re
e
.
oX
X A
liefern Da in diesen beiden Gleichungen wegen ( 6) und ( 1 4) die
Koeffi ienten von X _ bis a u f den Faktor
übereinsti mm en
so erh ält m an durch Vergleich u ng der Koeffi ienten von X u n mit t e l
bar die Gleichhe i t
A 1 42
)
'
A
A
(
1
.
X _1
A,
’
„
,
n
.
z
1
„
,
z
'
AA
A A,
’
,
oder d u rch E in s et en der Gauss is ch e n Klam m ern für A und
der ents p rechend en für A und A d i e n e u e B e z i e h u n g
z
’
A,
sowie
'
I
1
7
( )
[
a
m
—l
)
n -
1
i h r e r s c h l i e ß t m a n s o fo r t d a ß d i e K o e ffi i e n t e n
A A r e l at i v e P r i m z ah l e n s i n d
E s wurde schon erw ähnt daß die vorliegende rek u rrente R eihe
u r Theorie der Kettenbrüche in naher Be ieh ung steht
In der Tat
l äßt sich o h ne Mühe eigen d ß der Kettenbruch
Aus
,
,
,
z
.
,
z
z
z
(
=
a2 )
)
+
a1
a
,
a1
.
a 3)
1
“71
-
an - l
27
)
1
a2
1
as
(I n
an
—i
’
welcher u nter der Vorau s setz ung daß die a p ositive ganze Zahlen
s ind
einen p ositiven rationalen Wert darstellt gleich
d i gleich
d e m Q u otienten zweier G auss isc h e n Kla m m ern ist :
,
,
,
,
1
8
( )
Denn
.
(
m an
"
,
hat
(
ni m m t
d l
“2 '
m an
an
a2 )
(zu
a1
an
J
(a2 :as
-
1
]
an
a
dah r als s chon erwiesen an daß
e
,
(z
:
(
ist was für wei E le m ente jedenfalls richtig ist da
a2
a3 )
u
z
,
,
1
( :)
a2
aß
a2
a
_
d e as
as
s
gefunden w i rd so besteht die Gleich u ng
,
( :
a1
a2 )
n
1
)
=
[ 8
+ a
[ 8
41
a
1
,
’
a4
,
'
i
'
l
[ ae as ]
[ as ]
i
.
D i e F a re
Z
y
s ch e
h
a
le
n ih
re
e
61
.
d h m it Rück s icht auf ( 1 3) die behau p tete Form el
die hierm it
allge m ein bewiesen ist M a n s c h l i e ß t a u s i h r d i e T at s a ch e d a ß
d i e b e i d e n G au s s i s c h e n K l m m e r n
.
.
,
.
a
: :
l
:
m
—
Z ä h l e r u n d N e n n e r d e s n l N ä h e r u n g s b r u c h s fü r d e n
b e l i e b i g w e i t fo r t g e s e t t e n K e t t e n b r u ch (a a a a
s i n d fa l l s j e n e r a u f s e i n e e i n fa c h s t e B e n e n n u n g g e b r a c h t
wird
3 Wir behandeln an zweiter S telle eine rekurrente Reihe welche
eng mit den G aus s is ch e n Klam m ern z u sam m enh ängt und von J H ermes
A
]
4
Math
nna
5 1 89 4 S 3 7 1 ) als F a r e y s c h e Z a h l e n r e i h e b e
(
n ann t worden ist
Die s is t die Reihe
[
an
a2
as
( zu
an
a3
-
l
t
z
„
2,
4,
s,
,
.
.
,
.
.
.
,
.
,
.
X„ X2 , X3 ,
1
9
( )
X
m it d e m An f an g s glie d e
0
2
( )
ist durch
di e
,
n,
deren allge m eines Glied
1,
,
X
X
n,
so
oft
Gleichung
X
2
1
( )
X2
X —2
”
n
n
V
+
1
+ 1
—n
voraufgehenden Gliedern verbunden is t Statt die s er R e k urs io n s
form el darf o ffenbar auch die folgende ge s et t werden :
mit
.
z
X2
22
( )
V
+
h
XI: X2” — h + 1
für
h
(
1 , 2,
Die so definierte Reihe zerf ällt hierna ch in Abteilungen welche
den s ukzessiven Werten v O 1 2 3
entsp rechen u nd b e zw
1 2 4 8 16
Glieder enthalten ; die anf ängli chen Glieder der
Reihe sind in Abteilungen geschrieben die folgenden :
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
v
1
Die
Glieder in der Abteilung welche d e m E xp onenten
entsp richt können als bestim m t angesehen werden d u rch die Glieder
aller voraufgehenden Abteilungen mit Koeffi ienten welche m it d e m
Werte von h wechseln so daß hier ein Fall der allge m einen R eku rsion
vorliegt wie wir sie anfang s erw ähnten Um nun das Bildungsgeset
für d as allge m eine Glied der F areys ch e n Zahlenreihe aufz u stellen und
zahlentheoretische E igenschaften derselben zu erh ä rten bedarf e s eines
Sat es über eine eigentü m liche Darstellungs weise jeder p ositiven gan en
Zahl den wir u diesem Zwecke unä ch s t beweisen
J e d e p o s i t i v e g an e Z ah l n k a n n a u f e i n e e i n z i g e We i s e
ls e i n A g g r e g a t a u s e i n e r u n g e r a d e n A nz ah l v o n a h
2 +
v
l
,
,
z
,
,
z
.
,
,
z
z
,
z
z
z
a
.
Re
62
w echs elnd p o s itiv
Potenz en der Z wei
(
e
rr
a
le
n ih n
re
e
.
und
a
,
n
23 )
h
ku e nt Z
n e g a t i v g e n o m m e n e n w a ch s e n d e n
ls o in der F orm
ooo
2
k3
O
k
( ä l<
k2 <
k3
k25 +
<
1
)
d ar g e s t e l l t w e r d e n In der Tat :sei 2 die erste P oten von
wel che gleich oder größer ist als n so daß
h
z
.
2,
,
2
4
( )
2 s
h
ist Dann ist n 2
entweder Null oder doch
ge m einte Darstellung n
.
-
> 2
n
wo
”
93
1
-
h
'
1
2
n
"
(
2
n
h
1
‘
)
ist I m ers teren Falle hat m an die
let teren besti mm e m an h so daß
‘
.
im
M
2
3
'
z
'
3
,
2
M —1
,
wo n
entweder Null oder do ch
n
sein wird Ist n Null so ist doch h < h 1 ; dann
"" l
schreibe m an für n
die Di fferenz 2
un d erh ä lt die
gewün schte Darstellung
dann ist
n
’
n
"
"
'
,
"
’
,
.
'
1
'
2
,7,
2
h
—
m
2
314 1
für n I m entgegengesetzten Falle kan n m an in gleicher Wei s e fort
fahren u nd gelangt so jedenfalls zu e iner Dars tellung von der Form
E ine solche Dar
w enn m an die Reihenfolge der Glieder u m kehrt
stellu ng ist aber auch nur eindeutig vorhanden Denn au s (23 ) ergibt
sich un ä chst sobald der Au sdruck ur Rechten m ehr als ein Glied
aufweist also n von der P oten 2 + verschieden ist
"
n 2 + und n 2 +
d i
.
.
.
z
z
,
z
,
k 2i
.
n
.
da wegen
also daß
also k +
,
25
k 2i
2
2i
-
1
2
1
k 2i
h
1
1
,
a
.
+
+
"
die Klam m er sicher nicht neg tiv ist ; m an sieht
die erste P oten von 2 i st welche größer ist als n
S et t m an nun
km “
k 2i
1
,
1
—1
k g;
1
1
z
,
,
z
.
n
also
2
so ergibt sich
n
'
k zs— 1
und
'
2
"2i
n
'
n
+
1
2
k 2z
—2
o
oo
2
2h
7625
—1
,
,
d h n
m ithin 2
als die erste P otenz von 2 welche größer
2
ist als n d i k
h usw
Man erke nnt daher d aß die E xp onenten
der Darstellung ( 23) genau die vorher besti mm ten Z hl en h h h
sein m üssen und die zuvor nachge w iesene Darstellung die ein ig
m ögliche ist
’
.
k st
.
‘
1
,
'
,
7‘2i
,
’
.
.
g;
.
,
a
'
,
,
"
,
z
.
Re
64
ku nt e Z
rre
h
le
a
n ih n
e
re
.
den Form eln (25) durch die Sp atien bestimm t sind als eine F unk tion
der Sp atien s auffas s en und wollen sie als solche durch das Sym bol :
7
2
n
( )
{3
bezeichnen Dies vorau sgeschickt besteht für die F areys ch e Zahlen
reihe folgender S at :
D a s a ll g e m e i n e G l i e d X d e r F arey s c h e n Z ah l e n r e i h e i s t
g l e i c h d e r G au s s i s c h e n K l a m m e r
,
;
,
,
.
z
„
w enn s ei n In d ex:
n = l3
12
32
:
52
o
:
:
33 7
33
33 5
v
°
o
°
3 25+ 1
a
l
o
v
i s t Zu m Beweise die s es S at es be m erken wir zuerst d aß nach der
Reku rsionsform el
wenn darin
1 statt v ge s etzt wird :
z
.
—
l
n
X2
1!
,
X1
—l
n
l
gefunden wird eine Form el aus welcher wenn all m ählich v = 1 2
s
gesetzt und dann die ents tehenden Gleichungen addiert werden sich
,
,
,
,
,
,
,
K23
2
8
( )
1
[
1
3,
erg ibt Ferner erh ält man nach ders elben Rekursionsform el wenn
1 gesetzt wird :
darin v s 8 1 h
,
.
,
2
,
X1 _2
l
31
.
—1
X1 _2:
i
woraus d urch
82 m
+
82
X2
81
hervorgeht Wir neh m en n u n an
.
,
X0
{
| 31
:
32 1
"
u
3
en dlich :
R ekursion
]
s2 8 1
habe bereits festgestellt daß
m an
,
8 1 ’ S2
,
81 ’ 8 2 ,
und
32
(
1
8l
i
2
X2
alige Wiederholu ng der
1
+
31
81
2,
‘
3
]
]
82 ’
)
82 5— 1
S25
sei so ergibt s ich da
,
,
X
{
n
q;
'u
‘2 1
o
o
!
'
d
2
X2“
.
ach der Rekurs ion s form el
31
32
3 2i
geset t wird gleich
z
,
+
1
—1
81
2
‘i
‘
i
"
wenn darin
,
h
2
31
+
sl
2
+
82
+
n
0
+
a
2i
1
Z
D i e F a re ys c h e n
—1
nun durch
und
m
32
X
{
h
a
le n re
X0
}
{
ih
en
, 31 ‚
65
.
„
3
2i
}
alige Wiederholung der Rek u rs ion gleich
s
31 ,
2z
.
_1 }
32 i + 1
X0
{
‚
3 1 a;
„
3
2i
}
gefunden wird die Gleichu ng :
,
1
[ +
s„
32,
1
[ +
3 2,
s„
82 ,
d h nach der Form el
.
.
2
3
( )
[1
gleiche Weise geht
Au f
geset t wird
z
z
_
1
2
sg i +
1)
m ittel s
‚
h
,
{
O,
m
sg i + 2
X
{
hervor
XO
{
81
,
82 ,
s
wenn darin
—1
sz
31 ,
}
‘
l
‘
alige Wiederholung der Reku rs ion gleich
o‚
Mit Rücksicht auf die Werte
.
31
,
2 +
2
81
—1
also durch
s2 , 3 3 ,
der Rekurs ionsform el
1
X
un ä ch s t gleich :
3„
2i + g
}
81 ) 82 7
‘
s 2i
1
2
3
( )
erh ä lt
—
]
m an
8 1 ) S2 )
82 5 4 2
'
7
also
82i
+
1
]
)
wegen Form el ( 7 ) einfa cher geschr ieben werden kann wie folgt :
X :
o
o
8
8
{
1
ießen
also
die
auf
A u s den vorausgeset ten For m eln
3
fl
( )
je zwei weitere E le m ente au s gedehn ten Form eln
und man
9
erken nt d her auf Grund der schon festgestellten Gleichungen
2
( )
die allge m eine Gültigkeit der vorausgeset ten und s o m it auch die
e
n
i
e
j g des oben behau p teten Sat es
Diese m S at e ufolge ist jede Zahl X der F areys c h e n Zahlen
reihe deren Inde x die Sp at ie n s m m e h zuko m m t gleich einer n
g e r a d e n G a u ßi s c h e n K l a m m e r, das soll sagen :
einer G außis ch e n
Kl m m er m i t e i n e r u n g e r a d e n A n a h l v o n E l e m e n t e n die
s ä m tli c h
m
ositiv
sind
und
h
Su
mm
e
haben
Da
u
gekehrt
u
r
1
p
jeder Z e rf ällu n g
w as
,
0
81
,
8 2,
1 ,
2,
z
a
z
z
z
,
.
z
„
u
,
u
,
a
z
,
z
.
der Z hl h 1 in eine ungerade Anzahl von l uter p ositiven S m
m nden inde m o
1
geset t wird eine Z e f äll n g von h in
s
B hm
Z
l
i
i
II
5
a
‘
a
,
,
ac
u
a
ann
n e d e re
z
,
ah e nt h e o r e
.
.
,
r
u
R ek
66
u
Z
rre n t e
h
a
le
n ih
re
en
.
eine ungerade Anzahl p ositiver Sum m anden deren erster s auch
gleich Null sein kann also auch ein In dex n m it der Sp at ie n s u m m e
h ents p richt so ko m m t a u ch jeder unger den G außis c h e n Kl a m m er
der bezei chneten Art eine besti m m t e der F areys ch e n Zahlen zu deren
Inde x n die Sp at ie n s m m e h hat So m it k önnen s äm tliche ungerade
G außis ch e n Klam m ern in Gru p p en verte ilt werden welche den Ab
teilun gen der F areys c h e n Reihe genau ents p rechen inde m alle u n
geraden G außis ch e n Klam m ern m it der E le m e n t e n su m m e h 1 den
F are ys c h e n Zahlen deren I nde x die Sp at i e n s m m e h h t d h welche
die (h
A bteilun g der F areys c h e n Zahlenreihe bilden eindeutig z
geordnet und gleichwertig sind
H i e r m i t v e rb i n d e t s i c h d i e E i g e n s ch aft d e r F a r e y s c h e n
Z ah l e n r e i h e j e d e ih r e r Z a h l e n m s o o ft a u f u w e i s e n al s
e s Z ah l e n k l e i n e r a l s m u n d p r i m u m g i b t al s o
Ist n ä m lich m eine Zahl der F areys c h n Reihe also etwa m X
so ist wenn
n { 3 :3 : 3 + l
gesetzt wird
1
5
3
3
m
2 + li
l
:
[
:
setzt m an dann
8
3
3
“
[ :8
4
so i s t
,
,
,
a
,
,
u
.
,
,
u
,
a
,
.
.
u
,
.
z
,
z
,
,
e
,
„,
,
2i
2
1
l
l
,
‘
‘
1
2
l
2
i
H
23
7
0
1
[
m
+ s„
[
u
3„
82 ,
der red u ierte Wert des Kettenbru ch s
z
1
(
31
,
33 7
32 7
3 2i + 1
)
einer ungeraden An ahl p ositiver E lem ente und de m nach e in
unechter Bru ch des s en Nenner p eine der Z hlen ist welche kleiner
als m und p rim u m s ind J ede Zahl der F areys ch e n Reihe welche
gleich m ist wird m ithin gefunden wenn die unechten Brüche
die s er Art was bek anntlich stets auf eine einz ige Art geschehen
kann in e in en gewöhnlichen Kettenbru ch m it u ngerader Anzahl von
Gliedern :
6
5
3
3
:
( :
+ )
entwickelt und dann der F areys ch e n Reihe d as Glied m it d e m Inde x
n { 3 3 :3 :
m
o
1 i s t entno m m en W i rd
wo s
D es solcher Brü c he
genau
E
m
d
e
gibt
u
nd
aus
m
zugehörigen
jedes
al
auch
K
e
e
b
t
t
n
r
h
e
m
s
o
u
c
p( )
wirklich ein Glied X
m der F areys c h e n Reihe entsteht da aus
der Gleichung :
m it
z
,
a
,
z
,
.
,
,
,
,
,
1 7
,
,
,
3
2,
1
2
- 2i
0
1
3
.
a
.
t
„
,
Re
m
si ch
(
p
61
ku
Z
rre n t e
h
a
le
re
m it
en
1
[
)
32 2 3 3 7
)
n ih
S 2 54 4
1
[
3„
32 ,
33
S
e st e r
+ s„
[ 3„
,
m
f
k
ala
67
.
8„
83 ,
82i
.
+
1
]
X
„
,
findet so gibt es in der Tat genau m(m) Glieder dieser R eihe welche
den Wert m haben
5 N u n m e h r w en d e n w i r u n s z u r B e t r a ch t u n g d e r g e
w ö h n li c h
s o g e n an n t e n r e k u r r e n t e n Z ah l e n r e i h e n d e r e n
S k al a n a c h A n z ah l u n d We r t i h r e r G l i e d e r e i n e f e s t e i s t
di e ls o durch ei n e B ez i ehu ng v o n de r F o r m
,
,
.
.
,
,
a
X —l—
i
n
u
«
a
+
i
—1 l
"
d
"
a
+
i
4-
2
‘
l
an
"
Xi
k o n s t an t e n (g an z ah l i g e n) K o e ffi z i e n t e n a m i t e i n an d e r
X
v e r b un d e n s i n d wobei off enbar die ersten n Glieder X X
der Reihe willkürli ch bleiben Solche Be iehung fand sich u m
erstenm al gelegentli ch der E ntwickelung rational gebro c hener F unk
t i o n e n ein er Ver änderlichen a3 nach den steigenden P oten en der
letzteren Set t m an n äm lich die Funktion
m it
z
k
2,
„
,
n
z
z
.
z
z
.
1
3
5
( )
1
— a,
x
—a
nach steigenden P otenzen von
ac
,
w
’
o
—— a
o
n
a
c
n
in eine Reihe entwickelt glei ch
36
( )
so erh ä lt
m an
—
a, x
durch Multip likation
—
2
a2 x
—
o
—
n
n
a„ x
m it d e m
Nenner die Identitä t
)
aus wel cher nu n durch Vergleichung der Koeffi ienten der P otenzen
von x u Rechten und L inken die Gleichungen
z
z
r
= 1
.
X1
0 =
—a X —
2
,
o
a„
_1 X,
an
X,
a„
_2 X2
a,
X2 + X3
a,
n
d
a
X
„
_1
+ Xn +
X
.
1
hervorgehen Die ersten n d ieser Gleichu ngen bestim m en die Werte
X w ährend die ferneren Koeffizienten
der Koeffizienten X X
m ittel s der Rekursionsfor m el ( 3 4) a s jenen ent
X +
X +
stehen Man sieht :d i e S k al a d e r R e k u r s i o n i s t n i c h t s
der
a
an d e r e s ls d i e R e i h e d e r K o e ffi i e n t e n a a
.
,
„
1 ,
2,
n
,
u
2,
„
.
a
z
„
2,
5
*
n
Re
68
ku
Z
rr e n t e
h
a
le n re
ih n
e
.
o g en nnt en erz eu gen d en F unkti o n n äm li ch de s N enners
von
Denkt m an sich statt des Ausdru cks (3 5 ) den folgenden :
a
s
,
-
+ n an
n
xn
—1
dessen Z ähler die m it entgegengeset te Vorzei chen geno ene
leitung der er eugenden Funktion ist in eine P oten reihe (3 6) ent
wickelt s o erh ä lt m n auf gleiche m Wege für die Koeffi ienten X
d ieser let teren die Bedingu ngsglei c hungen :
o
1
X
a
a X
X
2a
z
o
z
,
z
a
,
Ab
mm
m
z
„
z
,
,
2
,
,
3 aß
az
X,
,
X2
a,
X3
3
8
( )
n ah :
(1 0 2 —
O
an
l
an
X,
an
.
1
.
—2 X2
a
X2
a
c1/
1
X
,
K
„
„
X
72
+
1
denen zufolge wieder die Koeffi ienten X X
X aus den ersten
n derselben bestimm t werden jedo ch andere Werte erhalten wie
zuvor
diesen aber auch jet t wieder die ferneren Koeffi ienten
s
X +
X +
m ittels der Rekursionsfor m el ( 34) hervorgehen
Hier erkennt m an leicht die Bedeutun g der E n t w i ck e l n gsk o e f fi ie n t e n
wenn m an den Bruch (3 7 ) in bekannter Weis e in seine P artialbrüche
zerlegt Be eichnen n ä m li ch
die Wur eln der Gleichu n g
a
z
2,
„
„
,
au
,
„
1 ,
z
z
2,
n
.
u
z
.
a
05
„
9
3
( )
n
y
2,
z
,
z
n
_ a1 y
n
deren linke Se ite aus der er eugenden F u nktion entsteht wenn x
i
durch erset t und m it y m ultip li iert wird so liefert die P artial
3/
b c h z e le g n g u nter der Vorau s set ung die wir erfüllt denken wollen
d ß alle Wur eln verschieden sind di e e m f ac h e For m el :
z
,
,
”
z
ru
r
z
u
a
,
z
z
,
,
,
n
1
— a , a:
+
—
o
n an
n
n
x
1
1
2
— an x "
und aus ihr entsteht
ak
l —
ak x
a
wenn das allge m eine Glied 1 k w nach P otenzen
von x entwickelt un d die Sum m e der h P otenzen aller Wurzeln :
,
cc
t en
40
( )
a
geset t wird
z
,
d ie
l + a g+
folgende
H
E ntwickelung
S , + E,
welche
m it
der
E ntwickelung
36
( )
des
Ausdrucks
identis ch sein
mu ß
u nd
daher
Re
ku
h
Z
rre n t e
a
le nr e i
h
en
m it
f st
e
er
S
k
ala
69
.
eigt daß die durch die For m eln ( 3 8) be s ti mm ten Koeffizienten X
die P o t e n su m m e n S der Wur eln bedeuten In der Tat sind die
Form eln ( 3 8) nicht s anderes ls die aus der Theorie der algebraischen
Gleichungen her bekannten N e w t o n s ch e n F o r m e l n
Beis p iel s we is e findet m an d die Gleichung
z
,
,
z
z
h
.
a
.
a
,
W
—
— 1 = O
y
die zwei voneinander verschiedenen Wur eln
z
+ l/5
1
1
2
besit t die
z
,
2
E ntwickelun g
+
1
l
2x
—x —x
worin
4
1
( )
ist
Die
.
Anfangswerte 8 „
der Zahlenreihe
S 1 , 5 2 , 5 3 , S4 ,
4
2
( )
sind S
1 8
3 die folgenden Glieder bestimm en sich aus ihnen
m ittels der rekurrenten Be iehung
,
,
2
,
z
4
3
( )
Si +
2
Sa
S i -l—l
2, 3 ,
und
es en tsteht so die Zahlenreihe
4
4
( )
1 , 3 , 4, 7 , 1 1 , 1 8, 29, 4 7 , 7 6, 1 23, 1 9 9,
die uerst bei L eonard o von P is a ( F ibonacei) sich findet und daher
nach ih m benann t werden s oll
6 Was sich s o auf analy tis che m Wege dargeboten hat soll n u n
im folgenden m it rein arith m etischen Mi tteln a u sführlich behandelt
werden S e i
z
.
,
.
.
X„ X2 , X3 , X4
4
5
( )
ein e rekurrente Zahlenreihe für deren Glieder die Be iehun g
X —
X
a
—
X
d
—
a
—
l
I
+
a l
z
,
n
-
i
1
1
i
n
2
i
-
"
n-
"
i
2, 3 ,
vorgeschrieben ist ; sie entsteht aus der Gleichung
4
7
( )
x
"
a, x
”-
1
ag ce
n-
o
g
e
an ,
wenn darin allgem ei n dur ch
ers et t wird ; d i e K o e ffi i e n t e n
d i e s e r Gl e i c h u n g oder wie wir kür er sagen wollen d i e Gl e i
"
z
u
z
,
z
z
,
Re
70
ku e nt Z ah le
e
rr
n re i h e n
.
c h u n g s e l b s t i s t d i e S k a l a d e r R e k u r s i o n Die Wurzeln der
Gleich un g d e ren Koeffi ienten e iner früheren Ü bere ink unft gem ä ß
stets hinf ort ganzzahlig gedacht werden seien 01 a
Durch
die rekurrente Bezieh ung sind die Zahlen der Reihe (45 ) von der
X völlig b e
an d u r ch die ersten n Zahlen X X
92 + 1
sti mm t und erhalten ganz ahlige Werte wenn die letzteren als gan e
Zahlen gew ählt werden Da diese Wahl aber a u f un endli ch ver
s c hi e d e n e Weise geschehen kann
so g i b t e s e n t s p r e ch e n d d i e s e n
v e r s c h i e d e n e n A n fa n g s w e r t e n a u ch u n e n d l i c h v i e l r e k u
rente Z ahlenreihen
w e l ch e d o ch d e r g l e i c h en R e k u r s i o n s
fo r m e l (46) g e h o r c h e n Z B wird die Zahlenreihe (42) der vorigen
Num m er von der R e i h e v o n F i b o n a c c i durchaus vers chieden wenn
dieselbe Rekurs ionsform el (43) mit den anderen Anfan gswerten S , O
8
1 verbunden wird ; m an erh ä lt dann die R eihe
.
z
,
„
,
an
2,
.
t en
„
z
2,
„
z
,
.
,
r
.
.
.
,
,
2
o, 1 , 1 , 2, 3 , 5 , s, 1 3 , 2 1 , 3 4,
4
8
( )
welche als L a m e s c h e Z ah l e n r e i h e benannt werden m ag E s m u ß
j e d o ch b em erk t werd e n d aß d i e vers ch i e d en en d ers elb en
R e k u r s i o n s fo r m e l (46) g e h o r ch e n d e n Z ah l e n r e i h e n n i ch t
u n ab h ä n g i g v o n e i n an d er s i n d
In der Tat denken wir uns n versch i edene Zahlenreihen :
’
.
,
,
.
,
4
9
( )
(h
=1
2, 3 ,
,
n
welche s ich nu r durch die verschiedenen
)
,
A nfangswerte
”
x3
1
a
49
)
(
(h
=1
,
2, 3 ,
.
n
)
unterscheiden aus denen sie dann d u rch dieselbe
,
X32
14
0
5
( )
al
Xgä i —i
=
1
h
(
'
-
0 2 25
-
,
2, 3 ,
entstehen Bildet m an alsdann
den linearen A usdruck
X1
02
—2
n
u r ionsform el
an
s
Xi
h)
)
unbestimm ten
m it
.
5
1
( )
9214
R ek
Koeffi ienten
z
c],
oo
X9
so erh ä lt m an wenn ( 50) m it 0 m ulti p li iert wird und dann die für
h 1 2 3
n so entstehenden Gleich ungen addiert werden o ff en
bar für die Reihe der Z hlen X) die gleiche rekurrente Bezieh un g
,
,
z
„
,
,
,
a
X
n
+
a1
i
,
Xn + i —1
a2
X
n
+
i
—2
an
Xi
wie uvor w ährend die An fangswerte der Re ihe sich au s (5 1 ) ergeben
wenn k 1 2 3
n geset t wird n äm lich :
z
,
,
,
,
z
,
,
Rek
72
u
Z
rre n t e
ahle n re ih e n
.
P otenz en a und aus ihr entsteht jede andere Reihe derselben Art
wenn sie m it einer ( gan z en) Zahl e m ultip li z iert wird
2
7 W i r w e n d e n u n s n u n v ö l l i g d e m n ä ch s t e n F al l e n
d h d en r ek ur r ent en R e ih en m it d e r Sk al a z w e i t e n Gr ad e s
‘
,
,
.
,
.
.
.
3
5
( )
x
oder
2
a2
d e r R e k u r s i o n s fo r m e l :
mit
Xi + 2
a,
Xi + 1
a2
Xi
2, 3 ,
zu von denen wir in der erwähnten R eihe von F i bonacci
x
,
5
5
( )
x
2
m it
der Skala
1
schon e i n Beisp iel antrafen
Die Theorie dieser Reihen welche wir R e i h e n w e i t e r 0 r d
n u n g nenn en wollen i s t besonders eingehend in einer s chon ( s Nr 1 )
an geführ ten größeren Arbeit von E D ueas erörtert worden ; e i ne
Anzahl der wichtigs ten zahl entheoretischen E igenschaft en derselben
wu rde jedoch bereits viel früher von H S iebeck [ J o urn f Math 3 3
B e i d e r h i e r fo l g e n d e n D a r s t e l l u n g
S 7 1 ] gegeben
s e t z e n w i r d i e g an z z ah l i g e n K o e ffi i e n t e n d e r G l e i ch u n g 5 3)
(
a l s r e l a t i v e P r i m z ah l e n v o r a u s u n d schreiben die Gleichung b e
.
z
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
z
u
e
e
r
m
q
:
6
5
( )
g
w
Heißen
b
ihre Wu r eln und setzt
d =
oc
,
—
bestehen die Beziehu ngen :
58
( )
oc ,
2
=
a + e
m
=
2
A
a
.
m an
z
04
„
7
5
( )
so
= am
2
=
=
A
6 ,
—4 b
.
Der Fall daß di e Diskri m in nte A gleich Null ist kann sich
nach unserer Annahm e über die Koeffi ienten a b d e s s e n e r s t e r
n
1
o
s
i
t
i
v
g
e
d
a
ch
t
w
e
r
d
e
nur
ereigne
wenn
ist
Dann
b
a
2
p
entsp ri cht der Skala x = 2 x 1 die R ekursionsform el :
a
,
,
z
,
,
,
,
,
.
2
Xi + 2
au s welcher sich
2 Xi +
Xi )
1
2, 3 ,
Xi + 2
X1 + 1
Xi + 1
Xi ;
d h die Di ff erenz zweier a ufe inander folgender Glieder der Reihe
sich kons tant ergibt ; bede u tet d diesen konstanten d urch die Diff erenz
.
.
,
der
Anfan g s glieder
ge gebenen Wert so
,
is t
folglich :
Z
D ie
h
a
ih
le n re
Xi +
w it
en z
e
Or
er
du
n
n
g
73
.
= Xi l d
1
"
'
und die Reihe weiter O rdn ung n ichts nderes als die sogenannte
arithm etische Reihe wie sie in Nr 1 des ersten Kap itel s betrachtet
worden ist
We n n d a g e g e n w a s n u n i m m e r v o r a u s g e s e t z t w i r d d i e
D i s k r i m i n a n t e A v o n N u l l v e r s ch i e d e n i s t könnte m an m it L u cas
drei vers chiedene A rten von Reihen zweiter O rdnung unterscheiden je
nachde m A eine p ositive Q u adratzahl m ithin d eine reelle g nze wegen
a
4b
6 m it a ugleich gerade oder ugleich u ngerade Z hl ist
oder A einen p o s itiven nicht q uadratischen oder einen negativen
Wert hat I m ersten Falle w ären die Wur eln
z
a
,
.
,
.
,
,
,
,
a
,
2
2
,
z
z
a
,
,
z
.
l
9
5
( )
(X
,
=
ä
a
-
a
062
y
=
a
a
g
ganzz hlig im zweiten irrational im dritten ko mp le x Doch werden
wir hier alle drei F älle gem einsam behandeln
S chreibt m an die der S kala ( 5 6) entsp rechende R ekursionsform el
a
,
.
,
.
Xg + 2
“
X; + 1
2, 3 ,
Rück s icht auf die Gleichungen (5 8) in der Form :
1
X
6
X
X
O
( )
+
+
so leuchtet e in daß s ie von den beiden Größens ystem en xi
fü llt wird welche b w den Gleichungen :
m it
i
2
1
i
;
,
,
z
,
.
f
f
H
x;
ü
f
( r i
N
genügen und welche analog m it d e m in Nr
geo m etrischer Reihen durch di e Form eln :
,
x
l
37
"
A1
1
o
.
6
A1
f
ü
r
(
W ählt m an n un die
Weise daß
,
z
06 ’
1
,
i
06
f
ü
r
(
1,
R ek
ursion formel
s
A2
o, 1 , 2, 3 ,
unbestimm ten
X, = A , + A, = O,
wird worau s leicht
0
2,
,
o
.
Xi + 1
=1
Ge s agten als Glieder
besti mm t sind Allgem einer wird m an daher der
6
m
0
oder
6
1
genügen
durch
die
For
el
:
( )
( )
,
er
,
Koeffizienten
A „ A,
A 2 042 = 1
in der
74
Re k
u nt e Z
rre
h
a
le n re
1
Xi +
hervorgeht
en
.
1
m ithin
6
3
( )
ih
a
1
„
:
— (X
1
-
3
so bilden di e s o erm ittelten Zahlen X die eine
Fu n dam e n t alre ih e n deren andere gefu nden wi rd wenn m an A
so w ählt daß u m gekehrt
de r
k
,
,
,
„
A,
,
X1 = A 1 +
wird
A2
“
2
=O
Bei die s er Wahl ergeben sich die Werte :
.
a
AI :
f 0 lgli ch
:
a
A2 :
2
1
o
X
1
b
so daß wenn d ie Glie d er der weiten
werden
z
,
o
_1
2
F u n d am e n t alre ih e X31
4
genannt
,
b
Xi
2, 3 ,
gefu nden wird w ähr end X = 1 ist Da so die zweite Fu ndam ental
reihe un m ittelbar a u s der ersten hervorgeht alle übrigen Reihen
aber welche derselben R ekursionsform el (60) gehorchen aus den
beiden F un dam e n t al e ih e n gefunden werden ersieht m an daß hier
die ers te d u rch ( 63 ) besti mm te R eihe au sreicht u m alle
s chon
übrigen an ugeben Z B wissen wir aus Nr 5 daß auch die S um m en
gleicher P otenzen der Wurzeln der Gleich un g
'
1
,
.
,
,
,
r
,
,
,
z
,
.
.
.
.
S ];
der Reku rsionsform el (60)
,
€
1
06
1
au ch für
6
6
( )
genügen ; s et en wir
i = O
z
S1 „
so besteht als o die Be iehung :
z
Y k+
C
1
'
Xk +
C
1
XI + 1 ,
H
Ä
1,
d h nach
.
.
Yk+
1
C
'
Xg+ 1
w ährend :
6
9
( )
2, 3 ,
Y,
c
'
X,
ist Nun sind die Anfangswerte Y S
hin erh ält m an zur Besti mm ung von
.
b C Xk ,
H
0
"
2, Y
O
c
X{
'
,
c
"
0c,
+
a,
m it
die bei d en Gleich ungen :
D i e F u n d am e n t alre ih en R 7„
7
0
( )
2
7
1
( )
c
a
und nunm ehr
'
c
X2
b e X, =
'
c
X{
X,
"
8k
c
"
75
.
"
,
'
c
,
aus ( 6 8) die Form el :
8k : Y k + 1
a
+
2k
1
.
2, 3 ,
Die beiden reku rrenten Reihen
k
7
3
( )
4
7
( )
S
:
a
den allgem einen Gli edern :
m it
In
::
(f ü r k
=0
,
1
a
bestehen wie s ie e s als L ös un gen der R eku rsions form el ( 60) m it
gan ahligen Anf an gsgliedern m üssen au s ganzen Zahlen gleichviel
ob die Wurzeln 01
der Gleichung ( 5 6) gan irrational oder
ko m p lex sind denn die A usdrücke
7
4
si
n d gan e u nd gan
( )
z ah li e s ym m etrische F u nktionen der Wurze ln
al
o
gan
e
u
nd
ganz
s
g
ahli e F u nktionen der gan zzahligen Koeffi ienten a b
Mit
den
igen
E
g
s chä ften die s er beiden Zahl enreihen wollen wir u n s n un m ehr ein
gehender besch äftigen Als ausge eichnete Bei sp iele derselben heben
wir hier zun ä chst u m u n s darauf beru fen z u können die folgenden
be s onders hervor :
Sei e r s t e n s die S kala
,
zz
,
,
z,
„
z
,
z
,
z
z
.
,
z
.
,
5
7
( )
m it
,
2
den Wurzeln
so erh ält
x
3x
“1
27
2
Bk
7
6
( )
17
“2
die rekurrenten Reihen
m an
z
m it
den allge m einen Gli edern
= 2k
1 , 2, 3
Wegen de s An teil s welchen s chon F ermat den Zahlen von dieser
Form zugewandt hat m ögen diese Reihen als F e r m a t s ch e Z ah l e n
r e ih e n benannt werden ; ihre nf änglichen Glieder s ind die folgenden :
O 1 3 7 1 5 3 1 63 1 27 25 5 5 1 1
,
,
a
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2, 3 , 5 , 9, 1 7 , 3 3, 65, 1 29, 25 7 , 5 1 3,
Z w e it e n s liefert die Skala
50
m it
den Wurzeln
rek urrenten
1
.
1
a
di e
x
3
1
R eihen m it
V5
2
1
7
a
2
V5
2
den allge m einen Gliedern
Re
76
ku nt e Z
rre
h
a
le
n ih
re
en
.
k
( z r ( ga
u
7
„ ,
— u
(
1
17 2
1
deren
2, 3 ,
,
weite wir bereit s in Nr 5 als die R e i h e v o n F i b o
da u Niedere Z ah le n t h I S
sie
n a c c i an getro ff en haben ( s
Ihre anf ang
m ögen daher beide m it die s e m Nam en belegt werden
li chen Glieder sind die folgenden :
z
.
z
.
.
.
,
.
O
,
5 5,
8, 1 3, 21 , 34,
5,
1 , 1 , 2, 3 ,
2, 1 , 3 , 4, 7 , 1 1 , 1 8, 29, 4 7 , 7 6, 1 23,
D r i t t e n s sei die S kala
2
1
2x
00
,
deren Wurzeln
a
,
= 1
sind so daß die ents p rechenden beiden rekurr enten
gem einen Glieder
,
R eihen
die all
2 17 2
1
besit en ( s dazu Niedere
Zahlen beginnen :
z
Z ahl e n t h
.
o, 1 , 2,
5, 1 2, 29,
2, 3 ,
,
.
I
,
S 1 1 8)
.
7 o, 1 6 9,
und
40 8,
m it
den folgenden
9 85,
2, 2, 5 , 1 4, 3 4, 82, 1 9 8, 4 7 8, 1 1 5 4, 27 86,
hat diese Reihen als F e lls c h e R e i h e n be eichnet u m
das Verdienst z u ehren welches P e ll m die A uflösun g der s o
genan nten F ells ch e n Gleichung zuko m m e ; gegenw ärtig weiß m an aber
daß dies Verdienst gar nicht nachweisb r ist und so wollen wir
lieber diese R eih en m it Rücksicht auf die (Niedere Z ah le n t h I
S
darauf be ügliche Arbeit von D up re nach d e m letzteren
als D up r e s c h e Z ah l e n r e i h e n be eichnen
8 Inde m wir n un die zahl entheoretischen E igenschaft en der Zahlen
R
S) erm itteln wollen leiten wir zun ä chst eine Reihe von B e
ziehun gen zwischen ihnen her aus denen wir jene entneh m en
Au s den Form eln ( 5 9 ) oder wie wir sie auch schreiben können :
E L ucas
z
.
,
u
,
,
a
,
.
z
.
’
z
.
.
k,
7
,
,
,
.
,
erh ält
(X
,
m an
unm ittelbar
=
a
V5
2
a
“2
-
Vz
2
,
G ru n
oder wenn diese
werden :
7
9
( )
2
-
R„ =
1
o rm e ln
Au s drücke
,
7
df
-
k
a
k-
f ü r R k , 8k
nach den P oten en von
/
A
1
z
k (k — 1 ) (k — 2)
I
77
.
a
k
—s
A +
1)
2
1
entwickelt
3
o
o
4
ferner die Zahlen R 8 derselben Rekursionsform el (60)
ho chen m an s o m it die Gleichungen hat :
Da
k,
r
„
g
e
,
R5 ”
aRi
Si + 2
a
.
so findet
m an
durch
Ra
g
S .1
2
bR,
Si +
1
b ßi ,
von a aus ihnen die folgende :
b o (1 6
E li m ination
e
+
1
8 .“
.
2, 3 ,
und wenn darin i in i 1 3 — 2
verwandelt und die ent
stehenden ähnlichen Gleichungen m itein nder verbunden werden diese
ndere :
—
R + S +
E
R + s +
bH
8
R
8
(
):
d h na ch den Anfangswerten
,
,
,
a
,
a
2
i
.
i
1
1
i
i
l
2
1
0
0
1
.
R o = 0; R 1 = 1 2
die Gleichung
R5+
also auch
2
Si +
Ri + l si +
1
R 5+ 1 S i
Führt
m an
R 58 5 +
2b
2
i
+
l
7
1
in diese Gleichung nach ( 7 2) die Werte
Si =
2 11 155 —1 , S i +
aRi
aRi
1
+
1
ein und redu iert die so entstehende linke Seite so ergibt sich die
fernere fü r d a s F o l g e n d e b e s o n d e s Wi c h t i g e Gl e i c h u n g
z
,
"
r
,
8
2
( )
Andererseits
8
3
( )
die anderen :
R?
folgert
a
i
m an
b
i
—l
aus den Be iehungen
z
R
78
ek
u rre
2 ai = S i + d
-
und aus deren Multip likation
die Gl eichun g
4b
8
5
( )
h
nt Z
a
e
le
n ih n
e
re
.
2 a g= s i
R„
Rück s icht auf
m it
A o R
b
07
,
und
A
=ö
2
2
"
.
D i e s e Gl e i ch u n g l e h r t z u n ä c h s t d aß d i e Z a h l e n R S
k e i n e n u n g e r a d e n P r i m t e i l e r g e m e i n s a m h ab e n k ö n n en
D enn ein solcher P ri m teiler p m üßte in b aufgehen Nun folgt aber
wenn sie als eine Kongru enz
f ü r k = 3 a s der Gleich ung
A
aufgefaßt
wird
für
welchen
Modulus
aus
sich
m
od b
a
4
b
(
)
A E a ergibt die nachstehende Kongruenz :
) ,
,
,
.
.
°
u
2
,
.
2
,
2
5-
1
8,
’
"
5
7
o
a
‘
m
o
d
b
(
),
.
also au ch (m o d p ) oder einfacher
S E a (m o d p )
De mnach m üßte der P ri m teiler p auch a u fgehen in a w ährend doch
ls relative P ri m ahl en vorau sgesetzt worden sind
a b
Ferner l äßt die Gle i chung (85 ) einen Schluß zu au f die L inear
form en in denen die u ngeraden P ri m teiler der Z ahlen R S ent
halten sein m üssen Ist 0 gerade s o m u ß jeder ungerade P ri m te iler
von S o ff enbar Teiler der quadratischen For m x
m ithin
A 31
bek n ntlich in gewi ss en durch die Diskri m inante A besti m m ten L inear
form en enthalten sein Ist 2 ungerade so folgt aus ( 85 )
.
,
i
,
.
.
,
z
a
,
.
) ,
,
,
'
.
,
3
“
2
„
,
a
,
,
'
.
,
4b
"+ 1
= b -S ? — A b
o
R
2
,
und so m it jeder ungerade P ri m teiler von S als e in Teiler der q a
o
A
m
W
a
n
For
x
b
s
die
P
ri
te
ler
von
R
a
bela
n
gt
h
n
m
i
d at is c e
y
so k ö nnen wir ähnliches nur für diejenigen folgern wel che den
Z hlen R m it ungerade m I nde x 2 angehören ; für ungerades 3 folgt
n äm lich au s
daß jeder un gerade P ri m teiler von R Teiler der
Form x
Wir dürfen hiernach den S at aussp rechen :
b y ist
Je d er un g erad e Prim t eil er der Z ahle n R u n g e r a d e n
—
R an g e s g e h t a u f i n x b y ; j e d er u n g e r a d e P r i m t e i l e r d e r
A 37 j e d e r d e r a r t i g e T e i l e r
Z ah l e n S g e r a d e n R a n g e s i n x
A by
d e r Z a h l e n S u n g e r a d e n R an g e s i n x
Beisp ielsweise sind hiernach und nach den S ät en über die L inear
form en der Teiler q uadratischer Form en
"+
1
1 ) in den F erma t schen Reihen die P ri m teiler der Zahlen 2
Teiler von x
also von der Form 8h j ; 1 ; di e Pri m teiler der
"
m
4
1
h
a
so
von
der
For
die
Zahlen 2
l
1 Teiler von x
;
y
+ + 1 Teiler von (5 + 2
ithin
von
der
m
e
n
der
Zahlen
e
2
n
i
y
j g
Form 8 h 1 oder 8 h 3 ;
u
,
g
2
r
,
.
,
,
°
a
°
,
,
2
2
z
.
,
g
g
2
,
3
,
s
2
;
.
z
2
2
3
2
g
,
2k
1
2
2
,
I
Re
80
ku nt Z
e
rr e
h
a
le
n ih
re
en
.
Hieraus s chließt m an nun weiter daß wenn sowohl m als n Viel
fa che ein er Z hl d sind die Zahlen R R beide te ilbar sind durch
oder :i s t d g e m e i n s a m e r T e i l e r v o n m u n d 73 s o i s t R
R
g e m e i n s a m e r T e i l e r v o n Rm R
Ferner folgt aus
d ß j eder ungerade ge m einsa m e Teiler von
und R d er jener Gleich ung ufolge in S m R aufgehen
Rm +
m u ß n ach ( 85 ) aber E m u nd 8 m keinen ge m einsam en ungeraden Te iler
haben n otwendig au ch in R aufgehen m u ß Mittels des E uklidis chen
Algorith m us u r A ufsuchung des größten ge m einsam en Teilers zweier
Zahlen erkennt m an hiern ch d a ß j e d e r u n g e r a d e g e m e i n s a m e
T e i l e r v o n E m R auch in R a u fg e h e n m u ß w e nn d d e n
g r ö ß t e n g e m e i n s a m e n T e i l e r v o n m u n d n b e z e i c h n e t Da
dann d e m Vorigen ufolge u m gekehrt E m R beide d u rch R teilbar
sind l äßt sich folgender neue S t us s p rec hen :
D e r g r ö ß t e u n g e r a d e g e m e i n s a m e T e i l e r v o n E m R ist der
u n g e r a d e F ak t o r d e r Z a h l R d e r e n I n d e x d d e r g r ö ß t e g e
m e in s am e T e i l e r v o n m n i s t
D ah e r w e r d e n E m R o h n e e i n e n u n g e r a d e n g e m e i n s m e n
T e i l e r s e i n w e n n m n t e i l e r fr e m d s i n d denn dann is t d ==1
m ithin R = 1 der größte unger de ge m einsa m e Teiler von E m R
I s t l s o p e i n e u n g e r a d e P r i m z ah l s o k ö nn e n R R
R _
_ k e in en u ng e ra d en T e i l e r g e m e i n s am h ab en m it R
Au s d e m Um stä nde d ß R
teilbar i s t durch R folgt daß
wenn m eine us m m engeset te Z hl ist im llge m ein en dasselbe von
E gilt denn wenn m
i
ge
et
t
wird
eben
teilbar
d
rch
s
t
E
u
n
s
m
q
R > 1 ist
1 2 also usam m engeset t falls nu m erisch
We n n d e m n a c h d i e r e k u r r e n t e R e i h e d e r R e i n e n u m e r i s c h
w a ch s e n d e We r t r e i h e i s t s o g i l t d e r S a t z :
R m k an n n u r d an n P r i m ah l s e in w e n n au ch m e s i s t
Doch ist die so ausges p rochene notwendige Bedi ngu ng ni cht auch
ausreichend wie folgendes Beisp iel eigt In der Reihe von F ibonacci ist
,
a
,
„
„ „
,
d ,
d
,
n
,
.
a
n
z
a
„ „
o
n
,
n
,
.
z
a
,
d
n
,
,
.
z
a z
,
d
n
,
a
„
,
d,
,
a
n
,
,
.
,
,
a
,
„
,
1
,
z
m
,
a
z
a
o
,
.
,
,
a
,
z
,
z
„
n,
9„
w
„
p
a
n.
,
a
p
,
,
z ,
n
.
n
,
z
z
,
1 2„
keine P ri m ahl
z
,
,
s
.
.
5 33 1 5 29 1 1 7 3
ondern zerlegbar in das Produkt
9 5 3 5 5 9 45 7 4 1
e
.
In dieser Reihe ist de erste Koeffi ient der Skala a gleich 1 ; soo ft
dies ber der Fall ist jedes m l R = R = 1 dann kann also ein
Glied E m m it ger de m Inde x eine Pri m ahl sein obwo hl m ein Viel
f ches von 2 ; doch wenn dann die Reihe der R v o m Glie d e R an
nu m eris ch w ä chst m ithin
1 für 73
2 ist so ist R das ein ige
Glied welches eine P ri m ahl sein kann ohne daß se in Inde x es eben
f lls ist
z
r
a
a
,
1
Q
a
a
z
,
),
,
,
,
z
,
a
,
.
,
,
4
z
T e i lb ark e it s s ä t z e f ü r R 7„
Schreibt
Glei chu ng
die zweite der
wie folg t :
und m ultip liziert
n
Rm
72
—
1
n
+
R
entsteht die Glei ch ung
Rm
+
°
n
n
°
Rn
°
Rm
_1
.
—
n
2
+
H
°
'
EI
b
m it
E m -- l
l
'
7
Rn
Rm
Rm
+n
R n —I
oder d ie
86
( )
R
dann beide S eiten der Form el
I
so
81
.
A dditionsform eln
m an
R
sk
7
—1 R m + n
+n
Rn
Rm
°
°
R n —1
—
1
n
+
"
Rm
E m— I
'
RI
—
2
n
+
Rn —’
H
°
H
‘
‘
a
Bm
+
1
‘
Rl
R17l
1
ihr folgert m an d m S at :
D a s P r o d u k t a u s n a u fe i n a n d e r fo l g e n d e n Z ahl e n d e r r e
k u r r e n t e n R e i h e d e r R is t d u rch das P r o d u k t
d e r e r s t e n n d i e s e r Z ah l e n t e i l b a r Ni mm t m an n äm lich an
dieser S at bestehe bereits für jede geringer e Anzahl von Faktoren
sowie falls m kleiner ist als ein besti mm ter Wert a u ch für n Faktoren
so s ind die Quotienten welche zur Rechten der vorigen Gleichun g
auftreten g anzen Zahlen gleich und der S at ist also auch für n Faktoren
und den u m 1 größeren Wert von m gültig Nun gilt der S at für
4
=
—
n 1 welchen Wert m auch hat denn wegen R 1 ist stets
Rm
= 2 wenn m
eine
ga
aber
auch
für
n
n e Zahl ; er
1 denn
R
Au s
z
[
'
],
,
.
z
,
,
,
,
,
z
,
z
.
,
,
,
.
z
,
,
I
einer ganzen Zahl gleich ; so m it gilt der S atz auch für n
welchen Wert m auch habe ; da dann wieder für
3 m =1
ist
R
R
:
.
1 3,
R,
R2
R1
,
R4
ganzzahli g ist erkennt m an die Richtigkeit de s S atzes au ch für n
welchen Wert m auch habe ; usw fort
Weiter erhalten wir aus der zweiten der Form eln ( 86) für m
die Form el
,
.
w ährend
die
erste ders elben
2 8 2 97
ergibt wofür aber wegen
B hm
Z
i d
,
ac
‚
an n , n e
e re
ah
l
e n t h e o ri e .
II
.
2,
3,
.
n
u ent Z
Rek
82
rr
e
h
a
ih n
le n re
e
.
— 2b
8
9
( )
"
geschrieben werden kann D i e s e F o r m e l n l e i s t e n g u t e n D i e n s t
m i t g e r a d e m I n d e x k i n F ak t o r e n z u
d i e Z ah l e n R i
um
4
1 b
z e r l e g e n Ist z B n 2
so ist die rechte Seite der
2 73
Glei chun g ( 89) als D i fferen z weier Quadr ate zerlegbar n ä m lich :
.
,
,
11
.
.
.
2
-
,
,
z
S
( 2v +
S4 r + 2
2+
v
1
,
S
( 2v +
1
1
Für die F ermat sche Reihe is t b 2 a i 5 :
wenn p 1 ge
"
2 + 1 ist findet sich de m nach di e Form el
s etzt wird ; da für s ie
.
,
.
,
4 17 4- 2
2 +
1
2
2 +
1 ) (2
2v + 1
1
v
v
1
welche von E I mcas als z u erst von d A urif eu üle gegeben angeführt
wird die aber nur ein s p ezieller Fall einer allge m eineren s chon von
1 4 er g i bt s ich dar us
S op hie Germain gegebenen Form el is t Für v
’
.
,
a
.
58
2
29
15
2
(
1
29
2
(
2
_ 21 5
5
wo der zweite Faktor da 2 E
1 ( m o d 5 ) ist s i ch als d urch
bar herau s stellt ; d ie Form el l i efert die folgende Zerlegu ng :
2
1
5 o 1 0 7 5 6 7 629 o 5 3 6 903 68 1
2
,
5
,
.
teil
58
.
Ist anderers e i ts n e ine P otenz von
R 27 +
und
2,
R 21
1
n
!
=
o8
so folgt
au s
8
8
( )
7
2
kr aft di e s er Form el l äß t s ich B + berechnen sobal d
Re i he der Zahlen
8 :
S 2:
S 4:
S :
S
berechnet hat denn wegen R, 1 ist allge m ein
v
2
’
1
1
,
O
a
O
m an
die
O
,
R, v + 1
9
1
( )
S ,v
.
Wir werden sp äter von di e s er Form el Gebrauch zu m achen haben
1 0 Um n un weiter z u un tersuchen welche P ri m zahlen in den
einzelnen Gli edern der rek urrenten Re ihen der R 8 aufgehen können
und s o deren Zerleg un g z u erkennen betrachten wir zuvörderst die end
li che Menge der P rim zahle n p wel che in d en Koeffizi enten a b der
S kala oder i n deren Dis k ri m in ante A au fgehen
Doch s chi cken wi r noch eine allgem eine Be m erku ng vorau s Wir
e i n e n e i g e n tl i c h e n T e i l e r von
n enn en eine ungerade P ri m ahl p
wenn n der kleins te Inde x ist f ür welchen R durch p aufgeh t
R
und defini eren die eigentlichen Teiler von 8 auf ent sp rechende
Weise I s t d ann p e i n e i g e n tl i ch e r T e i l e r v o n R s o s i n d
al l e Z ah l e n R u n d n u r d i ej e n i g e n Z ah l e n R d u r c h p t e i l
b a r d e r e n I n d e x e i n V i e l fa c h e s v o n 71:
i s t Denn s ind gleich
zeitig R und R teilbar d u rch p s o geht nach eine m früheren
.
,
.
2,
„
,
,
,
,
.
.
z
„
,
,
,
,
„
„ ,
.
„
„
,
.
n
n
,
,
i
D i e P ri m t e le r d e r R 7„
p
8k
83
.
Sat e auch in R au f wenn d der größte ge m einsam e Teiler von n:
und n ist der entgegen der Bedeutun g von n k leiner als 21:
sein
würde wenn n kein Vielf ches von m:
w äre De m nach m u ß n teilb r
sein durch z ; ist dies aber der Fall so ist au ch R teilbar durch
R und folglich d u rch p W z b W
D i e e i g e n t l i ch e n T e i l e r v o n 8 s t i m m e n m i t d e n e i g e n t
l i c h e n T e i l e rn v o n R g ü b e r e in Denn erstens ist wenn ein
eigentlicher Teiler von 8 ist nach ( 88) p auch ein Teiler von R
Wenn n un ein eigentlicher Teiler von R W ä re so m üßte 2% d u rch
teilbar s ein ; n s elbst kann nicht d u rch a:
teilbar sein denn son s t
w ä re au ch R te ilbar durch p w ährend es doch ohn e ge m einsam en
ungeraden Teile r m it 8 ist ; daher m u ß n 2W sein wo n ein
Teiler von n Da nu n R
R o 8 und R d u rch den eigentlichen
Teiler von R nicht teilbar sein k nn m üßte es 8 sein woraus
n und s o m it 71: 2n hervorgeht Um gekehr t geht jeder e ige nt
n
liche Teiler p von R wegen ( 88) und da er in R nicht aufgehen
kann i n 8 au f ; w äre er nun nicht eigentlicher Teiler von
so
g ä be es einen kleineren Index n f ür welchen p eigentlicher Teiler
von
w äre ; dann würde er aber d e m eben Bewiesenen z ufolge
eigentlicher Teiler s chon von R sein gegen die Vorausset un g
Wa s n u n z u e r s t d i e P r i m ah l 2 an b e t r i fft so folgt au s
den R e k u rs io n sf o rm e ln
z
d
,
,
,
,
a
,
a
.
„
,
„
,
.
.
.
.
p
„
„
p
,
.
„
2„
,
„
.
,
,
„
,
'
„
p
'
2„
.
,
'
„
r
„
r
„
a
„
'
,
„
I
,
.
g„
„
„
,
'
,
2„
r
z
,
z
Ri +
,
a S z+ 1
b -Ri )
“B H- 1
2
.
b is
:
nm ittelbar daß
fal l s a u n g e r a d e b g e r a d e i s t wegen R
1 R = a s äm t
bis auf die geraden
li che R W egen 8 = 2 8 = a s äm tliche
A nfangsglieder R 8 ungerade s ind ;
fal l s a g e r a d e b u n g e r a d e i s t werden die R von R an
abwechselnd gerade un d ungerade die 8 s äm tlich gerade sein ;
fa l l s a b e r b e i d e a b u n g e r a d e s i n d werden die R von R
die 8 von 8 an i m m er ein s gerade die beiden folgenden ungerade sein
S e i fe r n e r e i n u n g e r a d e r P r i m f k t o r v o n a Da R
1
a ist
s o ist
ein eigentlicher Teiler von R so m it ist jedes
R2
R m it gerade m Inde x n teilbar dagege n jedes R m it u ngerade m
Index nicht teilbar durch p Da 8 keinen unger den Teiler m it R
ge m einsam hat kann 8 bei gerade m Index nicht durch teil b ar sein ;
8
da andererseits R bei ungerade m Inde x nicht wohl aber
durch
teilbar ist m u ß 8 bei unger de m Index dur ch teilbar
sein Insbesondere werden von den drei aufeinander folgenden Zahlen
R _ R
R + die beiden ä ußeren teilbar die m ittlere nicht tei l
bar sein d urch p
S e i n u n m e h r e i n u n g e r a d e r P r i m t e i l e r v o n b Au s (80)
haben wir bereits die Kongru en :
u
,
,
5,
0
0
,
pp
,
,
.
a
I
.
„
a
„
.
„
„
p
„
p
,
,
,
2,
,
p
0,
,
,
„
,
o
;
,
0
;
,
,
,
2
,
1
,
0,
‚
I
,
,
a
„
-
„
.
p
1 ,
I „
p
1
.
s
,
p
.
z
6
*
Rek
84
hergeleite t
e
rre
8;
un d
,
u nt Z
E a
‘
h en ih n
l
a
re
e
.
m
od p
(
)
.
in gle i cher Weise ergibt s i ch
R;
E
a
i
d
m
o
p)
(
l
-
.
7
9
( )
au s
.
Da a b als te i lerfre m d vorausges e t t s ind lehren diese Kongru enzen
daß keine der Zahlen R
insbe s ondere ke ine der drei Zahlen
R
R
B + dur ch p teilbar sein kann
I s t e n d l i c h p e i n u n g e r a d e r P r i m fa k t o r v o n A der wegen
z
,
,
,
5,
1,
p,
1
„
.
,
A =
a
2
— 4b
weder in a noch i n b au fgehen kann
lo = z die Kongruenzen
folgen
so
,
80
f
ü
r
( )
au s
'
—
1
2
85 5
.
2
i
-
1
R; E
m
O d P) !
(
i
8
“
'
welche lehren daß keine der Zahlen 8 von den Zahl en R aber n u r
diejenigen durch p teilbar s ind deren Inde x i selb s t durch aufgeht
Die P ri m ahl ist m ithin eigentlicher Teiler von R ; da ferner au s
7
9
für
k
p
die
Gleich
u
ng
( )
p
z
,
,
.
p
ithin da s ä mtliche
Kongruenz :
m
p
5,
,
B in o m ialk o e f fi z ie n t e n
,
’
E
p
o
a
—
l
P
p teilbar
durch
s
ind die
,
2
d
m
o
9
1
p (
E
.
)
hervorgeht so erken nt m an daß der Pri m f ktor p in Rp n u r z u r
ersten P oten enthalten ist In diese m Falle ist von den drei auf
einander folgenden Zahlen
R + nur die m ittlere durch p
R
teilbar
1 1 W i r b e t r a c h t e n n u n m e h r d i e u n g e r a d e n P r i m z ah l e n p
w e l c h e w e d e r i n a n o c h in b n o c h a u ch i n A a u fg e h e n
Au s ( 7 9 ) folgt für k
a
,
,
z
.
1
p
.
,
.
p
—1
2p
also da
,
1,
A
p—
— 2
3
+
a
1
m
od p
)
(
2
Rp
9
2
( )
.
.
Da n un die Gleich ung ( 82) für
R},
Rp _1
rgibt so fließt aus dieser
t ates die andere :
e
,
o
m it
Rp +
i =
1
A +
A
ist d i e K o n g r u e n
,
m
d
o
p)
(
E
—
3
p
—
1
P
2
z
.
p die Kongruenz
1
d
m
o
p)
(
.
Beacht ung des eben erhaltenen
Re su l
o
D i e Prim mile r d e r R 7„
E
8k
85
.
m
d
o
p ),
(
0
.
also m uß ei ne der beiden Zahlen R _ R + u nd da d as d e m
größten ge m ein s am en Teiler 2 der beiden Indi es entsp re chende Glied
aufgeht au ch nur eine ders elben
R2
a der Reihe nicht d u rch
durch
teilbar s ein In die s e m Falle ist al s o von den drei auf
einander folgenden Zahlen R
R
R + nur eine u nd zwar eine
der b eiden äußeren durch p teilbar Welche von beiden es ist wird
v o m quadratischen C harakter der Diskri m in ante A
besti
t
m
d
o
m
m
p)
(
Au s ( 7 9 ) fließt n äm lich für k = p
1 die Gleich ung
p
p
1 ,
„
p
1
,
z
,
.
I,
1
p
1,
,
,
.
.
1
und aus ihr die Kongruen
Rp +
2
2
.
3
z
m
od p
(
)
a
1
.
.
De m n a ch ist
dann und nur d ann teilbar durch p wenn
Q
1 ist und de shalb R _ dann und nur dann wenn Q
1
(P )
(P )
ist Man erh ä lt sonach den S atz :
J e n a ch d e m A q u a d r at i s c h e r R e s t o d e r N i c h t r e s t v o n p
i s t geh t R _ o d er R + durch auf e in Satz der Sl Ch au s
s p r i ch t i n d e r F o r m e l
,
1
p
,
,
.
1
„
,
p
1
p
E _
p
3
9
( )
()
A E
O
,
,
m
d
o
p)
(
.
.
P
die s em S atze ist als be s onderer Fall der F ermat s che L ehrsat
enthalten Für die Reihen der ersten der von L uc as unterschiedenen
drei Art en ist n äm lich
In
z
.
w ährend
ganze Zahlen u n d A ( a
al s o quadrati s cher
au fgehenden Prim ahl ist Hier lautet
a
R est von jeder nicht in
— —
— für jede weder in
der Satz also s o daß af
a = oz + a
ec
g
noch in b
noch au ch in A d i in 05 052 oder einfacher da
—
—
d
O
m
gefunden
wird
für
au s x j ; a E O a u ch a
o
ar
E
p)
(
g
jede nicht in b d h weder in d noch in a a ufgehende P ri m ahl p
durch p teilbar sei ein S at den s chon E uler ( C o mm a it h m c o ll I
S 2) a u s gesp rochen hat und der nur eine andere Form des F ermat s chen
S atze s ist
=
1
0
et
t
n
u
n
in
ein
al
d
a
andere
Mal
i
m
m
s
an
S
1
8
1
( )
und schreibt die so entstehenden Gleichun gen als Kongruen en (m o d p )
so erh ält m an
—
B + s
2b
a
,
2
d
l
z
2
.
l
l
.
(
,
2
1
,
I
f
2
.
l
z
,
,
,
1
l
.
.
1
.
,
z
2
,
.
r
.
.
,
.
z
z
-
p
1
„
—s R
p
.
d
m
o
p)
(
.
-
1 2
2
“
.
,
Rek
86
Z ahlen ih n
u
rre n t e
re
Wegen ( 9 3) ergibt sich also wenn
e
.
1 is t
,
P
8p + 1 : 2 b ,
wenn aber
1
ist
m
o d p ),
(
,
2
s o da ß all g em e in g e s etz t w erden d arf
9
4
( )
A
endli
c
h
folgt
für
8
0
( )
us
di e Kongru en
70 = p
z
o d e r e i n fa c h e r
8„
9
5
( )
d
m
o
p)
(
E a
.
.
Wenn nu n au ch durch (93 ) festgestellt ist daß B + oder R
dur c h p teilbar ist so brauchen diese Zahlen doch nicht die ersten
in der Reihe der Z hlen R zu sein wel che durch p au f gehen S e i
vielm ehr R die erste durc h p teilbare Zahl al so p ein eigentlicher
Teiler von R Dann m u ß na ch der Vo ra sb e m e k n g in voriger N r
h at sein
der Inde x p
ein Vielfaches von n also p
P
p
Man darf lso folgenden Sat au ssp rechen :
so hat
I s t di e Prim ahl p e i n ei gentlich er T e iler v o n R
s ie d i e F o rm
l
und
sie
ko
t
in
der
Reihe
der
Zah
en
m
h
t
m
p
R in allen de njenigen Zahl en vor deren Inde x k ein Vielfa ches von az
ist und nur in diesen Ist in s besondere eine solche nicht in a b A
ufgehende P ri m ahl p ein Teiler einer Zahl R deren Inde x q eine
P ri m hl ist so ist s ie ein eigentlicher Teiler von R und so m it je
nachde m A quadratischer Rest oder Nichtrest is t von p von der Form
2kg
1 oder 2 k q
1
Da wir fanden d ß die eigentlichen Teiler von 8 m it den e ig e n t
lichen Teilern von R übereinsti mm en l äßt s i ch d e m vorigen S at e
der folgende hinz u fügen :
I s t d i e P r i m z ah l p e i g e n tl i c h e r T e i l e r
von
s o h a t s i e d i e F o r m p = 2 h az +
H ndelt es sich z B u m die Reihen von F ibonacci m it der Dis
2
k rim in an t e A
5 so geht jede P ri m ahl p für welche 2
1
(p) (5 )
1 t
d h j ede P i m ahl p von einer der Form en 1 0 75 i 1 in R _
d gegen jede Pri m zahl p für welche
1 ist d h jede
P ri m ahl p von einer der beiden Form en 1 0 k 3 in R + auf
p
,
1
1
1,
,
a
].
.
,
7,
,
„
u
.
r
u
.
.
,
a
z
z
n,
a
k
,
,
.
a
z
za
,
,
9,
,
,
,
,
.
a
,
„
2„
a
.
,
.
z
,
o
z
,
0
s
,
.
a
.
r
z
p
,
z
i
,
p
1
.
.
.
1 ,
Rek
88
u nt e Z
rre
h
le
a
n
re i
hn
e
.
e i g e n t ü m l i ch e P e r i o d i z i t ä t welche I /ucas veranlaßt hat die Zahlen
der reku rrenten Rei h en zweiter O rdnun g als fo n c t i o n s n u m e
R
Die auff llende An a
r i q u e s s i m p l e m e n t p er i o d i q u e s z u benennen
logie welche diese Größen durch di e A dditionsform eln und eine Menge
anderer algebraischer E igenschaften m it den trigono m etrischen Funk
t io n e n sin z c o s z darbieten ko m m t d u rch die genann te P eriodi it ä t
z u be s onders p r ä gnante m Au s drucke Doch gilt diese P eriodi itä t
nicht in absolu te m S inne viel m ehr n u r in be u g auf einen P ri m
z ah le n m o d u lu s p der hier betrachteten A r t
die Bezieh ung
A u s ( 87 ) ergibt sich für n = h 27:
,
,
k,
a
.
,
z
,
,
z
.
z
,
.
r
E m _1 R h n
b
E m Rh n + 1
Rm + l 7 t
.
I s t n u n z u n ä c h s t p e i n e i g e n tl i c h e r P r i m t e i l e r v o n R fü r
w e l ch e n
i s t u n d p = h x + 1 so ergibt vorstehende
P
Be ieh ung als Kongruenz (m o d p ) gefaßt folgen des R e s u ltat :
E Rm
mod
Rm +
p)
(
welchen Wert m au ch habe ; daher liefert dan n die Be iehung
a Rm —
2
b
R
Sm+
—
m
m
H
+
die Kongru enz
a Em
2 b Rm_
S m+
S m (m o d p )
In d i es em Fall e i st als o
„ ,
’
,
,
z
.
hn
,
.
z
h 7t
h 7z
°
h 7z
Rm + h a
1
1
2
.
p)
n n
.
.
D i e Z ah l e n r e i h e n d e r R
s ind daher i n b ezu g au f d en
Mo dulus p p eri o di s ch un d ihre P eri o de i s t h z =p 1
Wenn dagegen p ein eigentlicher P ri m teiler von R ist für
1 ist u nd m an set t also p
welchen
so fin det
h t
1
P
sich au s ( 87 ) für n h t 1 die Be iehung
'
k,
a
.
„
z
,
a
also die Kongru en
z
Rm+
R m + „ a„
,
d
,
z
allge m einer also
so daß w e n n
h ö r t sich
a
,
der
E
b
h 7t
b
"
oR
E xp o n e n t
ist
Rm + h d n
Rm
R 77! )
m
,
m
o
d
(
p ),
.
zu
w e l ch e m
b
m
o d p
e
(
) g
.
,
ergibt welchen Wert
Be ieh un g
,
z
m
E
au ch habe
.
m
od p )
(
.
Daher ko mm t dann aus der
P iodi i ä
er
z
t t d e r R k , 8k
Sm+ hdn =
a
H äu gk i
fi
.
B ü r+ d h 7 z
e
t der
Pi
r
i
m t e le r
89
.
R m + h d zz —1
2b
auch die Kongruenz
Sm+ hö n
8m
m
d
0
p)
(
.
.
In d i e s e m F al l e s i n d a l s o d i e b e i d e n R e i h e n d e r R
w a r w i e d e r p e r i o d i s c h i h r e P e r i o d e a b er b e t r ä g t
; „
z
:
,
6 77 77
der Vorbe m erkung in Nr 1 0 wissen wir schon daß eine
Pri m z hl p welche eigentlicher Teiler von R ist in allen Zahl en R
und nur in sol chen au fgeht deren Inde x n ein Vielfaches von ar ist
Wir fragen aber auch ein m al n ach der H ä u fi g k e i t dieses Au fgehens
n äm li ch :
wenn p in R wie wir ann ehm en wollen genau 1 m al auf
geht wie oft wird e s in
aufgehen ?
D i e B e an t w o r t u n g d i e s e r F r a g e s t ü t z t s i ch a u f e i n e
F o r m e l d i e w i r z u n ä c h s t b e w e i s e n m ü s s e n Wi r b e h a u p t en
e s s e i i d e n t i s ch
a
+
1 2 Au s
a
,
.
.
n
,
„
,
,
.
,
„ ,
.
,
,
.
,
,
n
i
6
9
( )
+
( 041
m
2(
—4
-
—3
1
6
)
f ä (
a oc
+
w
9(
a
)
«
a.
.
02
‚
un d b estäti gen di e s durch allgem e ine Indukti on
näm lich o ff enbar
a
:
)
a
1
m—4
Man hat
.
2 9
-
7
.
Geset t n un die Form el ( 9 6) bestünde für alle E xp onenten
1 2 3
m inkl u sive so erhielte m an durch E inset en in die vor
stehende Gleichung die linke S eite gleich e inem A u s drucke m it d e m
allgem einen Glie d e
z
,
,
,
,
,
1
z
— h —1
M?
-
—h _1
—1
-
1
2h + l
‚
wo nun der Wert der Klam m er leicht gleich
der des allgem e inen Gliede s also gleich
1)
h
712
.
—1
—l
2
)
a
)
i g
,
a
a2
0
m+ l
—2h
gefunden und so m it die Gültigkeit der Form el (9 6) au ch noch für
den E xp onenten m 1 erkann t wird Da sie aber für m 2 u nd
m
3 ersichtlich s tattfindet s o ist sie bewiesen
durch
E rset en wir nun in dieser Identit ä t die Zeichen a
und ; resp indem wir wieder unter 04 a2 dann die Wurzeln der
.
.
,
z
a
1 ,
7
.
,
„
a
2
Rek
90
u nt Z
e
rre
h
a
le nre
ih
en
.
Gleichung 5 6) verstehen und w ählen für m eine ungerade Prim zahl p
d u r ch ö
geteilt nachstehende Form an :
a
s o ni m m t sie
2
,
,
,
_6
9
7
( )
W
_4
96
1
+
2
M
M
6
Rä
'
?
+
b
10
H
2
in welcher die s äm tlichen Koeffizienten da allge m ein
,
p
—l
—
h
p
(
V
p
—h
—
—
l
h
p
h
1
)
i st gan z e u n d zwar durch p teilbare Zahl en s ind Gesetzt also p
sei eigentli cher Teiler von R und gehe genau 1 m al in R auf so
folgt sogleich a u s
indem darin n gleich 77:
gew ähl t wird daß p
gl
genau s o oft au fgeht wie im letzten Gli e de p b z
R
in Rp
d i gen au l 1 m al dem na ch in RP 2 genau 2 2 m al in R 3 ge
nau Ä 3 m al usw allge m ein in RPM genau Ä y m al I s t de m
so
kann R du rch p nur teilbar sein
n ach n ein bel i ebiger Inde x
wenn n 7 m; geht aber p in h genau 7 m al auf so daß u = h o p ar
wo h nicht m ehr teilbar ist d u rch p so enth ält R gen au di e
P otenz von p als Faktor ; denn da R aufgeht du rch v
enth ält es
1+ + 1
jedenfalls die P oten z
aber nicht m ehr die P otenz p
da
1+ + 1
bes äßen w ährend
sonst R v + den ge m einsam e n Teiler p
d e r größte gem einsam e Teiler ihrer I ndi z es gleich p x ist Rp m aber
1+ +
den Teiler p
nicht besitzt Hier durch ist die oben gestellte
Frage vollständig beantwortet
Hieraus k ö nnen wir nun einen S atz ers chließen der als d ie grö ßt
m ögliche Verallge m einerung des Satzes ( 9 3 ) z u betra chten ist
Se i
n ä m lich jetz t m eine z u a b A p ri m e aber sonst beliebige ungerade
Zahl welche in Prim z ah lp o t e n z e n zerlegt
,
,
,
.
„
„
,
‘
,
-
fl
.
T
,
„
,
.
.
.
l
.
,
„ ,
,
;
,
"
„
P
.
„
,
,
’
)
’
,
,
’
„
,
fl ,
„
,
v
,
„
1
,
v
„
,
’
,
1
7
.
.
,
.
,
,
,
,
,
,
“
=
m
p
9
8
( )
Ha"
gesetzt werde und be eichne
,
=p
die zahlentheoretische Funktion
z
a
—l
‚
p
ur
—1
99
( )
4
( )
u
P
welche f ür den Fall d aß A qu drati s cher Rest von m ist in die
Funktion tp (m) übergeht welche die Anzahl der
m teilerfre m den
Zahlen m angibt Man be eichne m it R R R
diejenigen
Z hlen der rekurrenten Reihe f ü r welche die P ri m ahlen p p p
eigentliche Teiler sind und in ih nen seien genau die P oten en
a
,
,
zu
,
z
.
a
,
,
„ ,
„
r
„
,
z
v
,
'
,
,
"
,
z
Rek
92
u nt Z
e
rre
h
a
le
n ih n
re
e
.
dieser Methode die gewöhnlich ngewandte gegenüber bei
welcher u gleicher Untersuchun g d ie gegebene Zahl m als D i v i d e n d
durch ein e Reihe wechselnder D i v i s o r e n etwa durch die P rim zahlen
unterhalb der Gren e V773 auf ihre Teilbarkeit hin gep rüft wird so
m an hier wie L amas sehr lichtvoll hervorgehoben hat u m
s ieht
gekehrt eine wechselnde Reihe von D i v i d e n d en n ämli ch die
Zahlen
dieser P rüfung in be ug au f die gegebene Zahl m als
D i v i s o r unterworfen ; und W ährend in jenem Falle der N i ch t e rfo l g
der Division en die Prim zah le ig e n s ch af t von m ents cheidet s o bedarf
es hier zu d ieser E nt s cheid un g d e s E r fo l g e s der Divi sion wenigstens
bei d e m letzten dieser Dividenden
Indessen ist doch zu bedenken daß der S atz der vorigen Nu m m er
auf welche m die s e Methode begründet ist kein völli g charakteri s tisches
Merkm al für die Prim zah le ig e n s ch af t einer Zahl abgibt da er war
eine dafür au s reichende aber ni cht zugleich auch notwendige B e
die Zahl m kann sehr wohl auch
d in gu n g z u m A usdruck bringt :
dann eine P ri m zahl sein wenn Rm _ n i c h t das erste du rch m te il
bare Glied der rekurrenten Reihe ist A u s di ese m Gr unde ist es
wünschenswert noch weitere Sä t e z u finden welche genaueren Au f
erm öglichen Man verdan kt L ucas und P ep in eine R eihe
s chluß
welche wenigsten s f ü r Zahlen ein er bestim m ten Form
s olcher S ä t e
Teilbarkeit geeignet s ind E s han delt sich
u r Untersuchung ihrer
vornehm lich u m große Zahlen der F ermat schen Re ihen d i von e in er
2
1
Was diejenigen der ersteren
der Form en R
1 8
Form betri fft s o können sie entsp rechend e ine m allgem ein en S atze
in Nr 9 n u r dann P ri m ahl en s ein wenn der E xp onent n selbst eine
P ri m zahl ist denn w äre n q r so erg äbe sich nach der Form el
man
a
,
z
,
z
,
,
,
,
z
,
.
,
,
,
z
,
,
1
,
.
z
,
,
.
z
,
z
.
,
.
.
”
„
„
,
.
,
,
z
,
.
,
2
qr
,
,
,
_1
1)
—
2)
90
90
2
(
1)
29
2
die Zahl 2 1 als usamm engesetzt Da ferner 2 1 3 Pri m zahl
is t s o bedarf es nur noch der Unter s uch ung der Zahlen R = 2
1
J eder P ri m teiler q einer solchen Zahl
w o p ungerade P ri m ahl ist
ist jedenf alls eigentlicher Teiler von R und deshalb da die Dis
k rim in an t e der F ermat schen Reihen gleich 1 ist nach Nr 1 1 von der
Form 2hp 1 eine schon F ermat bekann te und von E uler und L eg end re
bewiesene
1 be
Was andererseits die Zahl en 8
tri fft so k önn en s ie nur dann P ri m zahl en sein wenn n eine P otenz
von 2 n 2 i st ; enthielte n äm lich n einen un geraden Teiler so daß
wenn n ungerade ist n 2 n gesetzt werden kann so f ä nde sich
”
2
z
.
,
P
p
z
,
.
I,
,
,
.
,
„
,
,
”
,
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”
,
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.
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P
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.
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h
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”
1
93
.
—
2)
(
2
"
1)
2
n
'
also als usam m engeset te Zahl Man hat es also allein mit der Frage
1 P ri m zahlen s ind
zu tun ob di e Zahlen von der Form 2
Daß
sie zwar für v O 1 2 3 4 Prim ahlen e s nicht aber wie F ermat
ge m eint h t für jeden Wert n ä m li ch s chon f ü r 1 5 nicht s ind
ist bereits in Nr 1 1 ge eigt worden Die Frage ist bek nntlich von
be s onderer Bedeutu ng für die L ehre von der Kreisteilung d der
let teren zufolge nur für s ol che P ri m ahlen p welche j e n e iFo rm haben
der Kreis m ittels Zirkel u nd L in eal in p gleiche Teile geteilt werden
kann )
Wir wollen hi er nun noch ein ige S ä t e von L ucas un d von P ep in
beibringen welche bei der Untersuchung der Zahlen R
1 und
2
8
1 in der gedachten Hin sicht sich n u t bringend erwei s en
2 + 1
1 4 Se i N
Wenn diese Zahl eine Pri m zahl ist s o ist
i s t (für
sie falls
ist N 5 P rim ahl) von der For m
8k
1 in be ug auf sie also 2 quadratischer Rest
L egen wir des
halb der Unters u chung die R eihen von D up re zugrunde deren Dis
In ihr m ü ßte R N _ R durch N teilbar sein
k rim in an t e 2 ist
wenn N P ri m ahl i s t Da nun nach
z
z
.
2v
,
.
a
,
,
,
z
,
,
,
,
;
,
z
.
,
a
.
a
,
z
z
,
,
1
.
z
,
P
p
z
v
2
v
7
2
.
.
,
,
z
,
z
,
.
.
’
,
1!
1
.
z
2
2
,
.
2
1
0
( )
—
ist m üßte dann einer der Faktoren 8 8 8
8
durch N
teilbar und de shalb N gewiß eine usam m engeset te Zahl se n f lls
keine dieser Zahlen oder wenn u r Abkürz un g allge m ein
”
1
,
2,
4,
1
z
z
,
2
2
i
a
,
z
,
8 272
Sn
geset t wird falls keine der Zahlen
z
Z
h
a
als
,
1 ) L eg e n d/ m a a O g
31 —
1
2 1 4 7 4 8 3 6 47
l2
.
g ößt
d ie
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a t r 6 4 1 h at N o v C m m P e t r 1 ,
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25 ) i s t
P e rv us ch zn B ll A c P et 24
32
.
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so , 81
82 ,
,
ahle n re ih e n
o
o
o
,
8 2v
.
_1
durch N teilbar i st Zwi schen diesen Zahlen be s teht die aus (89 )
fl ießende Rekur s ion s for m el :
1
2
für
n
0
4
0
)
(
( )
6 Ist nun im Gegen
m it den Anfang s gliedern s : 2 s =
2
teil eine der Zahlen
etwa s ; _ durch N teilbar so ist sie es
auch durch jeden etwa in N aufgehenden P ri m faktor p Nun folgt
2 s +2E 2
a s
E
d aß wenn 3 E 0 (m o d p ) i st
s +
_ 2
m
also
kein
auf
folgende
s Glied der Reihe
od p )
s +
s
(
u schl ießen
1
0
3
m
ehr
durch
teilbar
ist
Darau
s
ist
daß
weil
p
(
)
durch p teilbar v orausgesetzt ist kein frü heres Glied der Reihe
1 i n der Reihe
und
daher
wegen
keine
der
Zahl
1
03
1
0
R
2
(
)
)
(
.
o
,
,
.
1 ,
,
.
u
„
,
3
„
.
,
1
„
,
„
,
,
„
,
z
.
,
,
,
2
R 1 :R2 :R 4 2
R
27
2
vorau fgehende Zahl d urch p teilbar p also eigentlicher Teiler von
1
und
W äre nun l i 2
R 21 m ithin von d er Form 2 76 + 1 ist
1
m
2
1
die
k
l
e
i
n
s
t
e
der
etwa
in
N
aufgehenden
P
ri
zahlen
k
p
so w äre N wenn zusam m engesetzt m inde s tens gleich
,
v
-
1
.
,
,
,
,
21
2
2+ 1
2
k + 2
1,
k
doch im Gegenteil größer ist als N
1
In dieser Voraus
set ung m üßte also N P rim zahl sein Man gelangt so zu folgende m
von I mcas au s ges p rochenen S at e :
I s t i n d e r R e i h e ( 1 03) k e i n G l i e d t e i l b a r d u r ch N s o i s t
N z u s a m m e n g e s e t z t ; i s t a b e r d a s e r s t e d u r c h N t e i lb a r e G l i e d
d e r R e i h e d i e Z a h l s ; _ s o i s t j e d e r e tw a i g e P r i m t e i l e r
1
v o n N v o n d e r F o r m 2 76 + 1 u n d N s e l b s t i s t e i n e P r i m z ah l
_
v o n d i es er F o rm w enn Ä ä 2
Ganz analoge S ä tze hat I m cas auch m it Be u g auf die Zahlen
von den Form en
1 und
eigen
1 aufgestellt doch
sie si ch s ä m tlich i m m er noch als unz u reichend u m jederzeit über die
P rim zah le ig e n s c h af t der fragli chen Zahlen u entschei d en insofern
z B die Z ahl N auch dann noch eine Pri m ahl sein könnte wenn
die oben m it 1 bezei chnete Zahl
ist
1 5 E in v o l l k o m m e n e s K r i t e r i u m u m z u e n t s c h e i d e n o b
d i e Z ah l N ==2 + 1 P r i m ah l s e i o d e r n i c h t h a t P e p i n g e
g e b e n (P ar C o m p te s Rendus ( 1 87 7 ) 85 S 3 29 ; einen ä hnlichen
Sat für einen andern Fall g b er ebendas ( 1 87 8) 86 S
Se i q
irgendeine Pri m zahl von der Form 4 k 1 die nicht ugleich von
der Form N z 1 und in be ug auf wel che N quadratischer Nicht
rest ist z B q 5 f ü welchen Mod ul u s in der Tat falls v ä 2 ist
w as
.
z
.
z
,
1 ,
”
,
1
.
z
z
,
,
z
.
,
z
.
.
,
.
,
,
.
2v
z
.
.
,
,
z
a
.
,
.
.
z
,
z
,
.
.
,
r
,
,
n Z
R e k u rre t e
96
h
a
le
n eih n
e
r
.
Wir s chließen die s e Betrachtungen ab i nde m wir noch zwei ähn
li che S ä t e v o n L ucas beweisen S ie lau ten :
I I s t 19 4 g 3 P r i m z ah l s o i s t 219 1 8 g 7 d a n n u n d
n u r d a n n e i n e P r i m ah l w e n n i n d e r F e r m a t s ch e n R e i h e
1) is t )
R E 0 ( m o d 219
4g
3 P r i m z ah l s o i s t 219
1
5 dann
I I I s t 19
8g
u n d n u r d an n e i n e P r i m ah l w e n n i n d e r R e i h e v o n D up r e
1) i s t
R :0 ( m o d 21 9
Z m Bewei s e d e s e rs t e re n S atzes be m erken wir daß da die Dis
k rim in an t e der F ermat s chen R eihen gleich 1 also für jede P ri m ahl
1
i
uadratis
c
her
Rest
ist
die
Zahl
wenn
sie
P
ri
zah
notwendig
2
m
l
9
s
t
1
q
2
in R aufgehen m ß Nun k nn 8
1 n i cht d u rch 219
1
teilbar sein denn 219 1 is t kongru ent 7 (m o d 8) und in bezug auf
einen solchen Modulus is t 2 quadrati s cher Rest
1 aber quadra
tischer Nichtrest un m öglich als o 2P E
1
Al s o m u ß R E O s ein
Die s e n o t w e n d i g e Bedingung r e i ch t a b e r a u c h
a u s Den n w ä re 219 1 alsdann eine zusam m engeset te Zahl und
e i ner ihrer Pri m faktoren so w ä re auch R E 0 (m o d
und dieser
m:
Kongruen ufolge 91:
ein eigentlicher Te i ler von R m ithin von der
Form n 2 7619 1 Da an dererseits ar ein Teiler von 219 1 ist so
folgt wieder die Identit ä t von :un d 219 + 1 d h die Pri m ahl
eigenschaft der Zahl 219 1
E benso beweist sich wenn wir zu m zweiten S atz übergehen da
di e Diskri m in ante der D up re s c h e n Reihen gleich 2 als o quadrati scher
Nichtrest von 219 1 8 g 5 ist , die Kongr u enz R E 0 (m o d
21 9
1 ) als eine für den Fall daß 219
1 P ri m ahl ist n o t w e n d i g e
Bedingung Nun is t aber
,
z
.
,
.
z
,
1
I,
.
.
,
.
’
z
p
,
.
.
u
r
,
,
z
,
,
,
u
2„
a
.
,
P
„
,
.
,
,
.
z
,
.
1,
,
.
z
z
1 „
a
.
,
71
,
.
z
.
.
,
,
’
,
2„
z
,
.
,
.
nicht teilbar d u rch
a
21 9
(
“
5
V)
-
1,
7
(
E
1
V) (
1
lso
(
1 +
1
(
zu r
,
m
o d 21 9
(
.
”
1
w ährend doch wenn
(„
denn sonst w ä re
1
A bkürzung P
P
2
und da
E
,
s amm e n
2
—l
Gegenteil :
,
—
2
aß ,
1, 2
z
e se z
ar
=
4q
9
1
e
.
c
u nd
r
,
.
,
.
2
P
w nn
3
t t n ämli ch d u ch
g
it h oll I S 2
1) D
.
im
z
P
2
o
ge s et t wird
v
P+ I
C mm
1
21 9
.
+
1
2
2
2 19 + 1
2 19
te
i
ist
,
i
nd
h
n si d
si ch scho
8 q + 7 P r m z a le
lb ar i s t , fi
et
n
,
n
p
2
1
zu
b e i E u le r
Vo llk o m m e n e
Z
ah le n
97
.
mod
2
9
1
1
(
)
(
gefunden wird Hieraus schließt man als o zunächst daß w e nn
1 P rimzahl ist n o t w e n d i g R E O ( mod 2 p
2p
1 ) sein muß
D i e s r e i ch t a b e r a u c h a u s Denn wäre P = 2p — 1 zusammengesetzt
und 71:
ein Primfaktor von P so f ände sich wieder az als eigentlicher
Teiler von R mithin von de r Form a: kp 1 während doch
1 teilbar i st durch n ; man schlösse daraus wieder leicht die
219
Identität von n und 2
d h die Primzah le ige n s ch af t der letz
1
teren Zahl
1
1
.
.
,
,
“
,
.
,
.
i
,
p ,
p
.
.
,
,
.
.
Die Frage ob die Zahlen von der Form 2 1 P rimzahlen
oder zusammengesetzte Zahlen sind ist von w esentlichster Bedeutung
für die A ufsuchung der sogenannten v o ll k o m m e n e n Z ah l e n Man
versteht unter vollkommener Z ahl eine ganze Z ahl N für welche die
Summe ihrer aliquoten Teile d i ihrer von N selbst verschiedenen
Teiler gleich N oder was dasselbe sagt für welche d i e Summe ihrer
sämtlichen Teiler einschließlich N gleich dem Dop p elten der Z ahl N
ist Bezeichnet man mit Li ouv ille diese Summe durch C (N ) so b e
stimmt also die Gleichung
16
n
,
.
,
.
,
.
.
,
,
,
,
.
g. (N )
1
6
0
)
(
,
2N
die vollkommenen Zahlen Schon E uc li d hat gelehrt (Ele m e n t a liber 9
ro
daß
wenn
die
Summe
der
Zahlen
p p
.
,
,
,
.
—I = ß —
1
2
p
eine P rimzahl ist w as nach N r 1 3 nur dann der Fall sein kann
wenn selbst P rimzahl ist die gerade Zahl
,
,
1
0
7
(
)
N
eine vollkommene Zahl ist
Summe ihrer Teiler gleich
1
(
d
'
,
.
.
2
2+ 2
‘
P
2
(
1)
In der Tat ist für diese Zahl dann die
2
l
1
0
1
p
2
+ (
2p
p
2
(
Aber E u le r
verdankt man den Beweis d aß die so für hinreichend
erkannte Form ( 1 0 7 ) auch die notwendige Form für gerade voll
k o m m e n e Zahlen ausm acht ( s die erst n ach E u ler s Tode v e rö ff e n t
lichte Schrift tractatus de n u m e ro ru m doctrina C omm ar coll 2
1
6
3
5
4
u
0
oder
besser
de
ebendas
S
i
i
s
n
u
m
m
i
a
b
l
b
e
r
s
a
c
i
g
p
Soll nämlich
o
,
.
,
.
,
N
wo
.
2
“
.
m,
a
,
,
h
an n , n e
e re
ah
enth e o r e .
.
,
,
.
ungerade eine gerade vollkommene Zahl sein so muß
i d
B c m
Z l
II
i
7
m
.
.
oc
> 0
und
R
98
er
ah l n e ih e n
.
2 +
1)
C1
mithin :
Z
e k u rre n t e
a
m
1
sein Da der Bruch zur Rechte n seine einfachste Gestalt hat so
muß un ter n eine ganze Zahl verstanden
,
.
,
,
{51
sein
2 +
0)
a
72
1
Demnach wären wen n
,
.
1,
n
1)
m
n,
o
von
verschieden
1
n
,
l) n
1,
n,
-
vier notwendig verschiedene Teiler von m und folglich die S umme
s
ä
m
t
l
i
c
h
e
r
Teiler
von
m
mindestens
gleich
der
Summe
dieser
m
{ ( )
Zahlen So erhielte man die Ungleichheit
l
.
2 +
a
welche unmöglich ist
1 n
Also
.
— 1
1
(
S
kann
n
n
,
nur gleich
a+
=
2
{ 1 (m)
und
)
1
1,
d h
.
.
m
1
sein w as nur der Fall wenn m eine P rimzahl n also o: 1 eine
P rimzahl p ist Man findet also :
S o l l N = 2 m e i n e g e r a d e v o l l k o m m e n e Z ah l s e i n s o
muß
,
,
,
.
“
-
,
N = 2
10
—1
2
(
1)
10
s e i n w ä h r e n d p u n d 75 = 2P 1 P r i m z a h l e n s i n d
Man kann fast noch einfacher schließen w i e L ucas (t h des nombres
S
Sei in Prim z ah lp o t e n z e n zerlegt
,
.
,
,
.
o
N =2
1
0
8
(
)
“
.
,
,
n ß x?
’
D ann ist
Für vollkommene Zahlen bestünde
al
so die Gleichung
aus welcher
ß
7
hervorgeht Demn ach muß
als solche die Form n ß xY
.
'
'
ß
Y
eine
ganze
Zahl
sein
und
h at
1 1
Die beiden Glieder zur L inken :
1
.
R
1 00
Z
r
e k u re nt e
ah le nr e ih e n
.
11
23
47
2 35 1
97
1 1 44 7
21 1
1 5 1 93
23
47
53
6 36 1
113
3 39 1
223
1 8 28 7
29
23 3
59
1 7 9 95 1
131
26 3
23 3
1 3 99
37
223
73
439
1 51
1 8 1 21
23 9
47 9
41
1 3 367
79
2 6 87
179
359
25 1
503
43
43 1
83
1 67
1 91
3 83
,
Von den hier zusammengestellten Resultaten gehören die auf
O
T
F
a t an
o
l
i
bezüglichen
schon
math
7
m
o
s
ae
1
6
7
9
3
or
1
3
1
2
p
( p
S
Für p 29 gab es E uler ( C omm P etr 6 S 1 0 3 oder C omm
ar coll 1 S
desgleichen für p 43 7 3 N ach dem ersten der
1
0 ( mod q) w enn
in N r 1 5 bew i esenen S ätze von I /Lwas ist 2
7
w
s
q
8
77
P
rimzahlen
sind
a
wie
dort
in
der
4
A
n
77
3
p
A u s diesem Satze folgt
m e rk u n g erwähnt schon E u ler bekannt w ar
die Zerlegbarkeit der Z ah len 2
1 auch für
,
.
,
.
.
.
.
,
.
,
.
.
,
.
,
.
E
.
P
.
,
,
.
,
,
,
,
.
P
p
83 , 1 3 1 , 1 7 9, 1 9 l, 23 9, 25 1
.
Die Zusammensetzung f ü r p 4 1 gab P lana ( mem R Ao Torino
0
S
für
4
4
7
3
5
gab
sie
r
1
2
3
5
9
L
a
n
d
L
e
;
p
( )
y
L as s e ur ( s L ucas A mer J ourn 1 S 23 6
sowie seine r ecr eations
m ath 1 S 241 und 2 S 23 0 ) für
.
.
.
,
.
,
.
.
.
,
.
.
,
.
,
,
,
7 3, 7 9, 9 7 , 1 1 3 , 21 1 , 223, 23 3
p
.
Zudem fand S eelhoff die folgenden Zusammensetzungen für den Fall
der E xp onenten p 3 7 (Arch f Math u Phy s ( 2) 5 S 21 1 ) und
1
3
e
b
e
n
d
2
S
4
4
5
7
2
p
(
( )
.
.
,
,
,
.
37
1
2
41
2
53
2
.
.
.
.
,
.
61 6 31 8 1 7 7
223
1
1 3 36 7
1
2 35 1
1
6 9 43 1
1 64 5 1 1 35 3
1
)
o 5 9 86 2 8 1 9 3 7 7
-
1 29 7 28 7 84 7 6 1 ;
auch der zweite Faktor in der ersten dieser Zerlegungen ist eine
P rimz ahl
Wenn soweit die M ers enne s c h e A ussage sich als richtig erwiesen
h
r
a
Z
t
s
c
f
M
th u Phy s 3 1
S 1 7 4)
h at so hat dagegen S ee lho/
f (
n a chgewiesen daß sie für p 61 unrichtig daß n ämlich
1 ) B i S lh /
r t F k t r 1 3 7 6 7 w V l t i ( b d (2) 4
f h eißt d
S 1 00) b ri h tigt h t ; h b m rk t Die r d ß d w it F k t r i d Z
l g
g 2 1 h k i P i m h l d r gl i h
.
.
,
.
,
e
e
.
e
is t
un
von
ee
c
o
e
er
no c
au c
e
e ne
s e
a
o
e
r
636 1
.
.
,
a
5°
.
.
.
se
za
,
,
,
so n
a
e
20 3 9 4 4 0 1
as
er z
n
e c
a en
e
e
a
e
n
o
en
n
.
er
,
er
Z
Vo llk o m m e n e
ah le n
1 01
.
— 1
61
2
Prim zahl ist Dasselbe fand nach einem im Bull Acad P et ( 3) 3 1 ( 1 88 7 )
col 5 3 2 enthaltenen Berichte von I mschen e tzki und B zmi ako wsky
schon 1 883 P erw uschin Inwieweit aber M ers ennes Auss ge für d ie
E xp onenten
.
.
.
.
.
a
.
7 1 , 89, 1 0 1 , 1 03, 1 0 7 , 1 0 9, 1 27 , 1 3 7 , 1 3 9, 1 49, 1 5 7 , 1 6 3,
1 6 7 , 1 7 3 , 1 8 1 , 1 9 3, 1 9 7 , 1 9 9, 227 , 229, 24 1 , 25 7
zutri fft blieb bisher noch unbek annt ( Man sehe hierzu W W R ou s e
B all Mess o f Math ( 2) 21 S 34 u
Au s diesen Result aten ergibt sich nun in Verbindung mit dem
zuvor Bewiesenen daß b i s h e r n u r n e u n g e r a d e v o l l k o m m e n e
Z a h l e n b e k a n n t sind :
diejenigen Zahlen
N 21
2
(
welche den E xp onenten p 2 3 5 7 1 3 1 7 1 9 3 1 6 1 entsp rechen ;
die ersten acht derselben zwar schon von J P restet n o u v el ements
de math 1 P aris 1 6 89 S 1 5 5 angeführt stehen aber erst seit E uler
fest die neunte n ach den Resultaten von S ee lhofi und P erwu s chin
0 b es aber auch u n g e r a d e vollkommene Z ahlen gibt ist zurzeit
noch zweifelh aft Schon E uler hat eine einfache Bedingun g gegeben
denen solche Z ahlen genügen müßten Sollte nämlich eine ungerade
Zahl N eine vollkommene Zahl sein so folgte aus der sie definierenden
Gleichung :
,
.
,
.
,
.
.
.
.
.
,
0
-
1
,
,
20
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
,
.
,
.
"
,
.
,
.
,
.
:)
2
die Kongruenz
,
N
2N
E 2 (mod
{ (N )
.
an sp äterer Stelle (Kap 8 N r 5 ) wird gezeigt werden daß infolge
hiervon die ungerade Zahl N von der Form
,
.
.
,
4a+ 1
=
N
p
2
y
sein müßte wo p eine P rimzahl von der Form 4 k 1 A uch sons t
sind weitere Bedingungen die für ungerade vo llkommene Zahlen not
wendig wären aufgestellt ) Doch ist n o ch ebensowenig ihr N icht
vorh andensein bewiesen wie andererseits tats ä chlich eine solche Zahl
gefunden
,
.
r
,
1
,
r
.
,
.
1)
S
ie h e M
M S t u yv a ert
.
t
An n m a h
.
.
r
.
A
e sp
.
3
1
5
)
,
(
.
S t e rn,
'
.
i n M a t h es zs
S
'
.
29 7 ;
S
O l S e rums,
(1 )
6,
E
.
S
248 ;
M at h es i s (2) 6 ,
S
0 88 67 7 0 ,
.
.
7,
1 32
.
.
'
J
.
228,
S
J S y lv es t er,
.
.
245 ;
8,
S
B o u rle t,
5 7 ; Nouv
0
.
.
Z e rf ä llu ng
1 02
e in e
r
Z
D ri t t e s
ah l
in
S
u m m an d e n
.
Kap it e l
.
Z ah l i n S u m m an d e n
1 Haben w ir im vorigen die additive Bildung von Zahlen aus
anderen Zahlen behan delt
welche als die gegebenen anzusehen waren
so wo llen w ir nunmehr die umgekehrte Beziehung in Betracht nehmen
n ä mlich untersuchen wie eine g e g e b e n e ganze Zahl als Summe
anderer Zahlen dargestellt werden kann die also die g e s u c h t e n
sind Es wird sich d abei vornehmlich um die A n z ah l solcher Dar
stellungen handeln Als Summe der letzteren Zahlen bezeichn en w ir
die gegebene Zahl stets mit dem Buchstaben 8 und wir nennen jede
Darstellun g von s als Summe p ositiver ganzer Zahlen e i n e Z e r
fä l l u n g v o n s Da die Summanden ni cht größer als s mithin nur
Zahl en der Reihe 1 2 3
wird jede Z e rf ä llun g
s sein können
von s wenn gleiche Teile vereint werden dürfen die Form haben
Z e rf ä llu ng
e in e r
.
.
,
,
,
,
,
.
.
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
,
1
( )
-
x„
worin die x nicht negative ganze Zahlen bedeuten D i e A n z a h l
a l l e r d e r a r t i g e n Z e r f ä llu n
v
o
n
i
s
t
a
l
s
o
i
d
e
n
t
i
s
ch
m
i
t
n
e
s
g
d e r A n z a h l a l l e r A u fl ö s u n g e n d e r u n b e s t i m m t e n G l e i c h u n g
1
i
n
n
i
c
h
t
n
e
g
a
t
i
v
e
n
g
a
n
z
e
n
Z
ah
l
e
n
Zur
Bezeichnung
dieser
90
( )
A nzahl wählen w i r ein Zeichen das soviel ich sehe zuerst von J ac o b i
J
ourn
f
Math
S
und
s
äter
namentlich
von
in
2
T
h
a
hl
e
n
1
67
V
1
p
(
)
seiner größeren Arbeit über additive Zahlentheorie ( ebendas 1 1 2 S 1 )
mit Vorteil benutzt worden ist das Zeichen :
,
.
,
.
.
,
.
,
,
,
.
.
.
,
.
,
N
(
s
= 1
-
+
s
der gesamten Menge dieser Z e rf ällun ge n kann man aber nach
den verschiedensten Gesich tsp unkten einen Teil derselben ausscheiden
Z B kann man statt alle Zahlen 1 2 3
s als Summanden
oder wie wir sagen wollen als E l e m e n t e d e r Z e r f ä llu n g zuz ul assen
nur einen Teil derselben zu Elementen wählen Bezeichnen also a
a2
nur n < 8 besti m mte Zahlen der Reihe 1 2 3
s so
a
kann man nach den L ösungen der Gleichun g
Au s
.
.
,
.
,
,
,
,
,
,
,
„
.
,
n
,
2
( )
a 1 x1
+
2
m
( i
a„
,
,
,
wn
2 0)
in nicht negativen ganzen Zahlen x fragen ; die Anz ahl dieser
L ö sungen d i der entsp rechenden Z e rf ä llu n g e n der Zahl s bezeichnen
w ir analog mit
,
.
.
Z e rf ä llu n g
1 04
Z
e in e r
ah l
in
S
u mm an d e n
.
der mathematischen S p ekulatio n erfolgreich erö ff nete indem er sich
eines vorzüglich dazu geeigneten analy tischen Hilfsmittels der Ent
wicklung gewisser unendlichen P rodukte in P otenzreihen bediente
So erwies sich eine innige Beziehung der Theorie von der Z e rf ällu n g
ganzer Zahlen zur Analy sis Da sie andererseits enge verwandt ist
mit der Kombinationslehre in weiterem Sinne so erscheinen die
rühmenden Worte mit welchen sie Sylvester in einer seiner bezüglichen
Ar beiten char akterisiert hat nicht unberechtigt :
P artitions constitute
the sp here in which analysis lives moves and h as its bein g ; and no
w
o
x
r
a
e
o
er
language
can
f
e
a
e
t
o r p oint too forcibly the im p or
p
g
tance o f this till recently almost neglected but vast subtle and uni
v e rs all
d
x ression
r
i
element
algebraic
thought
a
n
e
m
e
e
e
t
n
o
f
y p
p
g
Um das erwähnte analytische Hilfsmittel zu kennzeichnen ( s N äheres
darüber in des Ve rf A nalytische Zahlentheorie Kap 1 und 2) b e
trachten w ir das Produkt )
,
,
,
.
.
,
,
,
,
,
.
.
.
,
.
’
h
=1
Wird es nach P otenzen von x entwickelt so erscheinen in deren E x
n
e
e
alle
Zahlen
die
additiv
aus
verschiedenen
der
Zahlen
1
n
t
n
o
2
p
n gebildet werde n können und d i e P o t e n z x s o o ft a l s
3
s i n v e r s c h i e d e n e j e n e r Z a h l e n z e r f ä l l t w e r d e n k a nn
N e nn t
m a n c d i e s e A n z a h l s o d a r f m a n a l s o s ch re i b e n :
,
,
,
,
’
,
,
,
.
„
„
,
2
3
( )
da die Entwicklung mit der P otenz
m
a
,
beginnt und mit der P otenz
1
n
(n +
1)
2
schließt Weil so die Anzahl a durch Entwicklung des P roduktes
gewonnen wird heißt man dies letztere d i e e r z e u g e n d e F u n k t i o n
fü r 6
Ä h nli ch e rw e is e lassen sich auch bei anderen Z e rf ällu n g s art e n e r
zeugende Funktionen für deren Anzahl aufstellen Werden z B die
Reihen
n,
.
,
i
7„ 8 .
1 ) Um
m it
r
v rg
u n e n d li c h e n
r
P
r
o d uk t e n
D
u nd
Po
t
r
r
e n z e ih e n
r
e ch n e n
zu
g
r
rt
S
g
r
.
tr
g
r
e
e r
g gg
g
k ö nn e n ,
in d e r
t
r tt
t r
ie s e i st h i e w i e b e i d e n s o n s
b e d a f e s d e r Ko n e e n z d e s e lb e n
e w ä h le i s e
F o l e zu r Ve rw e n d u n
k o m m e nd e n Au s d ü c k n d i s e Ar t
wi d
e d ac h
e nu
d i e Va i ab le ih e m ab s o lu t e n B e a e n ac h k le i n
o b e n z it i e
e
t e lle
.
.
.
.
.
,
S
w e nn
.
di e
an aly
E u lers
ti
t
Me h o d
s ch e
e
1 05
.
1
1
1
n
+
3n
90
+
n
ineinander multip liziert so entsteht als allgemeines Glied der Ent
wicklung die P otenz
o
o
l
2
3
+
+
+
x
,
o
zl
zz
23
worin die z nicht negative ganze Zahlen bedeuten ;
demnach s o oft hervorgehen als die Gleichung
die
,
P otenz x wird
’
,
4
( )
in nicht negativen ganzen Zahlen zul äßt d h s o o ft al s
d i e Z ah l s i n g l e i c h e o d e r v e r s c h i e d e n e d e r Z a h l e n 1 2
3
n z e rfä llt w e r d e n k a n n eine Anzahl die als Denumerant
dtr Gleichung (4) durch
L ösungen
,
.
.
,
,
,
,
,
s
zu bezeichnen
w
ä re
.
Schreibt man einfacher
8
5
( )
so entsteht die Entwicklung
oo
97
1
1==
k
und das P rodukt zur L inken ist die erzeugende Funktion für
L äßt m an hier n unendlich groß werden und schreibt dann
j
H
=
7
( )
r
h
=
xlt
1
2
=
n
w
7„
3
o
a
s o b e z e i ch n e t d e r K o e ffi z i e n t F für welchen das P rodukt zur
L inken die erzeugende Funktion ist d i e A n z ah l d e r Z e r f ä llu n g e n
v o n s i n gl e i ch e o d e r v e r s ch i e d e n e S u m m a n d e n üb e rh a u p t
d h die An zahl der L ösun gen der Gleichung ( 1 ) oder den D e n u m e
ranten
8
,
,
,
.
7
(
.
F:
)
a
3
o
Bisweilen liefert auf solche Weise die eine gesuchte Anzahl
erzeugende Funktion unmittelbar einen einfachen Ausdruck derselben
Wenn z B die Gleichun g
3
.
,
.
.
.
ei e r
Z e rf ä llu n g
1 06
n
Z
ah l
S
in
u m m an d e n
.
mit sich selbst multip liziert wird so ist das allgemeine Glied
der Entwickl ung die P otenz
n m al
,
x
+
31
+
72
zä
+
+
2
72
,
deren E xp onent jede Summe aus n gleichen oder verschiedenen p osi
t iv e n ganzen Zahle n vorstellt wobei aber dieselben Zahlen verschieden
geordnet sein können Demnach entsteht die P otenz 96 s o o ft al s
d i e A n z a h l d e r Z e r g li e d e r u n g e n von s i n n p o s i t i v e S u m m an
d e n b e tr ä g t und die erzeugende Funktion der Anzahl ist
,
'
.
,
,
Setzt man hier
Form an :
'
n
7
=
—1 )
so nimmt das allgemeine Glied
s,
—
l) !
(
—
m) l (n
s
(
m
a
— 97 )
(
3
s
d ie
—1
n
und man erh ält die Entwicklung
(3 9 2 61 1
2
8
< >
(
8
d e r z u f o lg e
_1
di e
A n z ah l
der
2
,
Z e r g li e d e r u n g e n
von
s
in
77
o
s
i
t
i
v
e
S
u
m
m
a
n
d
e
n
b
e
s
t
i
m
m
t
Die
erzeugende
Funktion
für
p
die gesamte Anzahl der Z e rglie de ru n ge n von s in p ositive Summanden
überhaup t wird o ffenbar
.
w
9
( )
(
2
=
l
u
f
)
n
x
=
l
1
f
l
x
1
:
l — : —
1
—
:
7
a
.
x
a
1
29
3
+ 2m + 4 m
+
-n
1
:
— 2 32
’
2
deren Entwicklun g nach P otenzen von
g
f
_
—
x,
n ämli ch
+ 2
'
fü r d i e g e s a m t e A n z a h l d e r Z e r g li e d e r u n g e n v o n s d e n A u s
dru ck
e r g i b t w ie man auch aus ( 8) und mittels der Formel
,
1
(3 )
3
+
w
+
unmittelbar erschließt
Wir fanden dies Resultat schon an e iner früheren Stelle (Kap 2
Nr 3) auf rein arithmetischem Wege Noch ein facher ergibt es sich
aus der Bemerkung daß die Z e rglie de run g e n von s sich untersche i den
.
.
.
.
,
,
Z e rf ällu n g
1 08
e in e
r
Z
ah l
-
o
—
in
S
—
1)
(
s
n
u mm an d e n
=
)
(
8
—1
n
-
1
.
)
gefunden wird Hiermit ist aber d as Resultat allgemein erhärtet
4 Geben nun die erzeugenden Funktionen in ihren E n t w i c k lu n g s
so
k o e ffi z ie n t e n die A nzahl der Z e rf ä llu n g e n einer bestimmten Art
dient die Vergleichung verschiedener erzeugender Funktionen dazu
Beziehungen zwischen den Anzahlen von Z e rf ällu n g e n verschiedener
Art zu ermitteln da jede zwischen zwei erzeugenden Fun ktionen
etwa bestehende Beziehung eben auch eine entsp rechende Beziehung
zwischen ihren E n t w i ck lu n g s k o e f fiz ie n t e n bedingt Es ist E ule n
Verdienst zuerst auf diesem Wege eine Reihe wichtiger Sätze über
Unter anderen bewies er die
Z e rf ällu n g e n gefunden zu ha b en
folgende Gleichheit :
.
.
.
,
,
,
.
,
.
1=
1
0
( )
h
a
c
1
)
u
1
h
1
x
“
zwischen zwei unendlichen P rodukten in deren rechtsstehendem die
Multip likation über alle ungeraden Zahlen der natürlichen Z ahlenreihe
zu erstrecken ist Nun ist wie aus ( 3 ) für n o o zu schließen ist
,
.
,
Ü
1
1
( )
,
O
w o r i n O d i e A n z ah l al l e r Z e r f ä llu n g e n v o n s i n v e r s ch i e d e n e
o
s
i
t
i
v
e
S
u
m
m
a
n
d
e
n
b
e
z
e
i
c
hn
e
t
A
ndererseits
findet
sich
hnlich
ä
p
mit ( 7 ) die folgende Gleichung :
'
,
.
=
1
2
( )
u
S
F‘
M
w’
a
'
( n)
w e nn n d i e A n z ah l d e r Z e r f ä ll u n g e n v o n s i n g l e i c h e o d e r
v e r s ch i e d e n e u n g e r a d e S u m m a n d e n b e d e u t e t Wegen ( 1 0) e r
schließt m an daher nachstehende Gleich u ng :
.
O
1
3
( )
,
oder den Satz :J ed e p o s i t i v e g a n z e Z ah l s z e rfä l l t e b e n s o o ft
i n v e r s c h i e d e n e p o s i t i v e S u m m a n d e n a l s s i e i n gl e i c h e o d e r
v e r s c h i e d e n e u n g e r a d e S u m m a n d e n z e r f ä l l t w e r d e n k a nn
Wir werden noch von anderen S ä tzen handeln die E u ler auf
ähn liche Weise gewo nn en hat Wenn wir aber in der Folge auch
nicht auf die Anwendung analytischer Betrachtungen gänzlich ver
so ist doch unsere Absicht die Theorie
z i c h t e n wollen noch können
der Z e rf ällun g e n wie dies in voriger N ummer zuletzt schon geschehen
ist soweit es gelin gen will auf rein arithmetischen Grundlagen auf
zubauen Wir leiten d aher auch den soeben ausges p rochenen S atz
von solcher Grun dlage aus nochmals her
,
.
,
.
,
,
,
,
,
.
.
S
Ei n E u le rs c h e r
g
vr
e all e m e i n e rt
at z ,
S ch wr
v on
1 09
.
Die Anzahl der Z e rf ällu n g e n einer Zahl s in verschiedene p ositive
Summanden kann bei Anwendung des in N r 1 eingeführten Zeichens
indem man die Summanden der Größe n ach geordnet denkt durch
.
,
,
-o
O
bezeichnet
w
erden
<
a
1
<
a
,
<
a
)
s
Wir denken uns in jeder solchen
.
Z e rf ällun g
1
4
( )
alle diejenigen Summanden a zusammengezogen deren größter
gerader Teiler u der gleiche ist ; ihr Komp lex kann dann durch
,
,
un
,
bezeichnet werden wo 0 ä
L
v
1
S p richt der Z e rf ä llu n g ( 1 4) eine bestimmte
,
,
A rt
,
:
kl u l
3
792 742
k s us
o
ist
und daher ent
Z e rf ällu n g der folgenden
n
,
'
7
bei welcher die ungeraden Zahlen 77 77
voneinander ver
schieden sind so d aß u < u
angenommen werden kann
Aber aus jeder Z e rf ällu n g d e r letzteren Art entsp ringt auch wieder
u m gekehrt da jede ganze Zahl
2,
„
,
,
2
.
,
gesetzt werden kann eine bestimmte Z e rf ällu n g von 8 von der Art
und demnach besteht die Gleichheit
,
0
<
a
1
<
a2
<
u
o
worin die u ungerade sind d h w as zu beweisen w ar :
d i e A n z ah l
d e r Z e r f ä llu n g e n v o n s i n v e r s ch i e d e n e p o s i t i v e S u m m a n d e n
i s t eb e n s o g r o ß w i e d i e A n z ah l i h r e r Z e r f ä llu n g e n i n g l e i c h e
o d e r v e r s ch i e d e n e a b e r u n g e r a d e S u m m a n d e n
4 a Der V erfasser verd ankt Herrn J S chur die Mitteilung daß
dieser E ulersche S atz erheblich verallgemeinert werden kann Un
mittelbar fast leuchtet zunächst ein daß auch die Anzahl der Zer
f ällungen von s in verschiedene p ositive Summanden w e l ch e z u
e i n e r g e g e b e n e n u n g e r a d e n Z a h l m t e i l e r fr e m d s i n d ebenso
groß ist wie die Anzahl ihrer Z e rf ällu n ge n in gleiche oder ungleiche
aber u n g e r a d e
In der Tat sind
u m t e i l e rfr e m d e Summanden
die Elemente a der Z e rf ällu n g ( 1 4) teilerfremd z u m so sin d es
au ch die nach Absonderung der in ihnen aufgehenden höchsten P otenzen
von 2 verbleibenden Faktoren
mithin ist die aus ( 1 4) hervor
,
,
.
.
,
,
.
.
,
.
.
,
,
,
,
z
,
,
.
,
e in e
Z e rf ä llu n g
110
r
Z
ah l
in
S
u mm an d e n
.
gehende Z e rf ällu n g
eine der im Satze an zweiter Stelle
nannten ; und umgekehrt folgt aus einer solchen wenn
g
e
,
gesetzt wird eine Z e rf ällun g von s in lauter verschi edene Elemente
welche ebenso w i e die Zahl u selbst zur ungeraden Zahl m
teilerfremd sind
Aber man darf den allgemeineren Satz auss p rechen :
B e z e i c h n e t S e i n S y s t e m v o n e n d l i c h o d e r u n e n dl i c h
v i e l e n p o s i t i v e n d u r ch e i n e g e g e b e n e Z a h l 7 n i c h t t e i l b a r e n
g a n z e n Z ah l e n u n d R d a sj e n i g e S y s t e m v o n Z a h l e n d a s
a u s d e m e r s t e r e n h e r v o r g e h t w e n n s e i n e Z ah l e n m i t a l l e n
Potenzen 1
m u l t i p l i z i e r t w e r d e n s o i s t fü r
j e d e p o s i t i v e g a n z e Z a h l s d i e A n z a h l i h r e r Z e r f ä llu n g e n i n
g l e i ch e o d e r v e r s c h i e d e n e S u m m a n d e n a u s d e m S y s t e m e S
e b e n s o g r o ß w i e d i ej e n i g e i h r e r Z e r f ä llu n g e n i n S u m m an
d e n a u s d e m S y s t e m e R w e n n d e r e n j e d e r h ö ch s t e n s r 1 m a l
a u ft r i t t
Ist n ämlich
,
,
.
'
,
,
,
,
,
,
.
eine Z e rf ällu n g der ersten Art und schreibt man jeden Koeffizienten
k als eine Zahl des aus der Grundzahl 7 gebildeten Zahlensy stems
in der Form
‘
,
r
h)
r
1 sind so entsteht eine
die 02 Zahlen der Reihe 0 1 2
Z e rf ällu n g von s in lauter verschiedene Summanden von der Form
o W8 d i in Elemente aus R deren jedes höchstens r 1 m al
auftritt ; und umgekehrt hat jede Z e rf ällu n g von s von der letzteren
Art die Form
) o
Ms
s
o?
E
wo
,
5,
.
,
,
,
,
.
i,
( h)
1 angehören und ergibt durch
7
wo die c der Reihe 0 1 2
Zusammenfassung der Summanden welche d asselbe Element s ent
halten eine eindeutig bestimmte Z e rf ällu n g von s von der ersteren Art :
‘
,
,
,
,
,
,
,
,
7133 83
s
diesem hiermit bew i esenen allgemeinen Satze geht wieder der
besondere E ulersche hervor w enn unter S das Sy stem aller un geraden
Zahlen verstanden und 9 2 gedacht wird
5 Unseren weiteren Betrachtungen schi cken wir nun zun ä ch st
eine Reihe anderer noch elementarerer S ätze vorauf
Au s
,
'
.
.
,
.
Z e rf ä llu n g
112
e in e
Z
r
ah l
in
S
u mm an d e n
.
Die Verbindung der Formeln ( 1 8) und ( 20) führt zu der drit t en :
2
2
( )
a
g>
o
Werden nunmehr in der Z e rf ällu n g ( 1 5) die p ositiven Elemente
so daß sie jetzt die
a beliebig als gleich oder verschieden gedacht
Bedingungen erfü llen :
,
,
2
3
( )
so geht z w ar wieder durch die Beziehungen ( 1 6) eine Ze rf ällun g ( 1 7 )
her v or in ihr ist aber nur a2 S 0 die übrigen a ä 0 oder aber man
erhält eine Z e rf ällu n g von s 77 :
,
,
,
,
,
s
in welcher nun s ä mtliche
Da aus ihr umgekehrt eine
0 sind
Z e rf ällun g ( 1 5 ) von s in 77 gleiche oder verschiedene p osit i ve Sum
manden erschlossen wird erhält man die Gl eichun g
.
,
0
<
a,
2
a
,
2
o
‚
<
an
deren rechte Seite auch als der Denumerant
s
5
2
( )
77
1 , 2, 3 ,
77
geschrieben werden kann Demnach gilt der Satz :
D i e A n z a hl
d e r Z e r f ä llu n g e n v o n s i n 77 p o s i t i v e
E l e m e n t e m i t Wi e d e rh o l u n g e n i s t d e m D e n u m e r a n t e n (25 )
g l e i ch :
.
F 77
7
, a
77 , 3
— 77
Hiernach sind die erzeugenden Funktionen der Anzahlen 1 1 und (I
die
w i e mit Rücksicht auf ( 5 ) und ( 6) sogleich zu übersehen ist
P rodukte
n,
„
,
n
n
II
76
.
1
— xh
’
U
xh
l
— xh
resp ektive
Den gefundenen beiden S ätzen gem äß aber zerf ällt s ebenso o ft
1
) in gleiche
(
in 77 verschiedene p ositive Summanden wie s
;
oder verschiedene Summanden aus der Reihe 1 2 3
77 ; dagegen
zerf ällt s ebenso oft in 77 gleiche oder verschiedene p ositive Summanden
w ie s
77 in gleiche oder verschiedene Summanden aus jener Reihe
Durch Verbin dung dieser Resultate miteinander erkennt man den
.
n n
,
,
,
,
,
.
El m
e
r
e nt a e
Z
e rf ällu n g s s ä t z e
1 13
.
neuen Satz :
d a ß d i e Z a h l s e b e n s o o ft i n 77 v e r s c h i e d e n e p o s i
—
1)
m
t i v e S u m m a n d e n z e rfä l l t w i e s — 2
i n 77 g l e i ch e o d e r
v e r s c h i e d e n e p o s i t i v e S u m m a n d e n ein Satz der sich in der
folgenden Formel :
n
,
,
,
77
6
2
( )
—1 )
2
aussp richt Setzt m an in dieser allgemein d 2
die neue Gestalt :
1,
77 ,
.
so erh ält sie
27
( )
a,
)
an
.
Ersetzt man ferner in (24) s durch s 77 und allgemein a, durch
1 so l äßt sich die Formel folgendermaßen schreiben :
,
8
2
( )
‚
Z
'
a i
orn
S
O
und lehrt d a ß j e d e Z a h l 3 e b e n s o o ft a u s 77 n i ch t n e g at i v e n
E l em e nt e n w i e a u s d e n E l e m e n t e n 1 2 3
77 a d d i t i v g e
b i l d e t w e r d e n k a n n w e n n W i e d e rh o l u n g d e r E l e m e nt e g e
s t a t t e t i s t Die gemeinsame Anz ahl dieser Z e rf ällun g e n ist gleich
dem D e n u m e ran t e n
,
,
,
,
,
.
s
2
9
( )
8
1
,
2, 3 ,
O
O
,
77
O ffenbar
kann dieselbe Formel ( 28) auch in dem folgenden s o
genannten E ulerschen R e z ip ro zit ä t s s at z e ausgesprochen werden :
die
A n z a h l Z e r f ä llu n g e n e i n e r Z a h l s i n w e n i g e r al s 77 + 1 gl e i c h e
o d e r v e r s ch i e d e n e E l e m e n t e i s t g l e i ch d e r A n z a h l i h r e r Z e r
fäl l u n g e n i n g l e i ch e o d e r v e r s ch i e d e n e E l e m e n t e d i e kl e i n e r
a l s 77 1 s i n d Um dies ohne weiteres einzusehen sei
1 u nd
,
“
„
,
,
.
"
eine Z e rf ä llu n g von
jedes k, 777 und
s
in
77 1
kg +
o
o
l k v av
'
k, <
777
Summanden so i st
,
o
a Summanden welche
eine Z e rf ällun g von s in 17 d
a
kleiner als 777 sind Ist um gekehrt eine solche gegeben und werden
die Summanden der Größe nach geordnet gedacht :
l
.
so kann man schreiben :
B c m
Z h l h i II
i d
a
h
an n
n e
e re
a
ent
eor e.
.
2
,
,
Z e rf ä llu n g
1 14
e ine
Z
r
ahl
und erh ält also eine Zerlegung von
k1 +
S
in
u m m an d e n
.
in
s
— kv
k
( 2
77
ositive
Summanden
7
Sonach
ents
richt
a
a
7
7
p
1
1
1
„
p
jeder Ze rf ällun g der einen Art eine Z e rf ällun g der anderen Art und
umgekehrt ihr e Anzahl ist also beiderseits dieselbe
6 Zur Berechn ung der An zahl
,
1 ,
,
,
.
,
C
.
<
an
bietet sich eine einfache Rekursionsformel dar Setzt man n ä ml i ch in
der Gleichung
.
3
1
( )
allgemein
a,
a,
1,
2
3
( )
so ergibt sich daraus
s
o
mit den Bedingungen 0 < a, a,
a
und umgekehrt aus einer
Gleichung dieser Art eine Gleichung der ersteren so daß sich die
Gleichung
7
o
n
,
,
33
( )
0
2
a
,
<
a
,
n
-
<
ozu
ergibt Nun k ann man aber die L ösungen der Gleich ung ( 3 2) in
solche unterscheiden bei denen 07, 0 und in solche bei denen a 0
ist bei denen also die Gleichung die Form ann immt
.
,
,
,
,
,
s
mit den Bedingungen 0
die rekurrente Beziehung
a3
a
,
o
o
an
.
Hieraus entni mmt man
4
3
( )
= N (S
oder
O77
s
Oma —n
0 77
—77
0
ihr aber folgen wenn 8 allm ähli ch durch
ersetzt wird di e Gleichungen :
Au s
,
,
s
77
,
s
,
O
77 ,
a
—n
Oma—277
durch deren
A ddition
07
—2 77
0n
— 2 77
Om a—3 77 i C 77
—3 n
5
7
'
'
zu ( 3 4 a) sich endli ch die andere :
2 77 ,
Z e rf ä llu n g
1 16
9
6
3
)
(
77 2
e in e
r
wo raus endli ch die Formel
re
7 77
7 7:
,
. r
3
Z
s
ah l
S
in
—
u mm an d e n
.
77 :
e
—1 —2
—77
,
s
77
"
l
'
erschlossen wird diese so weit fortgesetzt bis s — h 77 < 0 d h
h
wird ; die An zahl ihrer Glieder zur Rechten be t rä gt also
H
3
6
1
brigens
leitet
man
a
auch
unmittelbar
aus
ab
Ü
3
5
a
(
)
(
)
ä
[ ]
wenn man sich der Beziehung (24 a) erinnert und s durch s 77
ersetzt
Betrachten w ir jetzt statt der Größe
die durch di e Formel
,
,
,
.
.
8
77
.
,
.
77
( 77
a
( )
2
defini erte Größe
n ä mlich d i e A n z a hl d e r Z e r f ä llu n g e n v o n
s i n v e r s c h i e d e n e S u m m an d e n w e l c h e k l e i n e r a l s 77
1 sind
d h in v ers chi e den e Z ahl en d er R e ih e 1 2 3
Diese
77
Größe kann in der Weise von Vahlen durch das S y mbol
,
.
,
,
.
b
wo
'
c„ „
7
bezeichnet oder als d i e A n z a h l d e r
G l e i ch u n g
=
2
c
1
9
7
s
+
1
( )
xi
: 0
,
oder
L ö sungen
,
1
.
ist
d e r u nb e s t i m m t e n
o
(xi
aufgefaßt werden
73
0 also
„
.
07 1 )
Unterscheidet man hier die
L ösungen ,
in denen
,
s
—
n
=
=1
ist so erhält man unmittelbar die Rek u rsionsformel
,
C77 ,
a
( 377
'
i
"
—m
cn
welche die Größe c allmählich zu berechnen v e rs t at t e t Da jede
der Größen
zwei Werte annehmen kann so erh ält der Ausdruck
„
.
‚
,
1
Werte deren kleinster Null deren größter
muß
2
”
,
,
1)
ist
.
Demnach
D i e A n z ah l
n
‚
8
1 17
.
(n + 1 )
Z
e
()
c„
2
sein w i e auch aus ( a) für x 1 ohne weiteres hervorgeht Sind
unter denjenigen Werten jenes Ausdrucks bei welchen 77
0 ist
G gerade u n d U un gerade so werden unter den anderen bei welchen
1 ist U gerade und G ungerade sein ; man hat demnach
73
,
.
,
,
,
,
,
,
,
Z
c„ ‚ g —
g
Zu
ce
,
u
= G
U,
wenn diese Summen resp über die geraden und über die ungeraden
1)
Zahlen der Re ihe 0 1 2
erstreckt werden oder auch
.
,
,
,
,
E
f
()
2
Da ferner jedes
in der Hälfte der 2 Werte des Ausdrucks gleich
Null in der anderen Hälfte gleich Eins ist so erh ält man durch
A ddition aller jener Werte o ff enbar die Summe
"
,
,
2
n
D i eselbe Summe läßt sich jedoch weil jede Zahl s der Reihe 0 1
1)
genau
res
mal
entsteht
auch
darstell
n
durch
c
e
p
„
2
den Ausdruck
,
„
.
0
°
Cn o
‚
+ 1
°
,
,
2
Cn ‚ 1
,
'
07
2
Somit ergibt sich die Gleichung
"
Z
=
a
0,
(H
2
3
C77 ,
2
72
s
x,
,
77
.
7
<n + 1 )
2
y
1, 0
an
so nimmt wenn a3 die Werte
Daher kommt einerseits
1,
,
.
,
Also
ist
i
77
77
andererseits entsp richt hiern ach jeder
eine Auflösung der Gleichung
und umgekehrt
—1
o
Setzt man allgemein
1 erh ä lt y die Werte
,
D
(
A uflösung
yi
07
der Gleichun g ( c)
Z e rf ä llu n g
1 18
e in e
h
( )
r
C 77 ,
Z
ah l
in
C77
8
,
8
S
u m m an d e n
.
'
Mit Beachtung dieser Beziehung nimmt die Gleichung ( e ) oder ( g)
( + 1 ) u n g e r a d e i s t ohn e Mühe folgende einfache Form an :
wenn
2
,
n
n
,
4
i
()
C77 ,
2
71
s
—1
7
1)
w ährend w e n n
g
e
r
a
d
e
i
s
t
das
letzte
Glied
in
der
Summe
2
zur L inken nur halb zu nehmen i st
N u nmehr setze m an
,
,
.
U
k
( )
n
—w
I
<
h
>
=
(n +
2
1)
2
d h man bezeichne mit d „ d e n U n t e r s c h i e d z w i s ch e n d e r A n
z a h l d e r g e r a d e n u n d d e r d e r u n g e r a d e n Z e r f ä ll u n g e n v o n
d h k u r z d e r Z e r f ä llu n g e n v o n 8 i n e i n e g e r a d e o d e r u n
s
g e r a d e A n z a h l v e r s c h i e d e n e r Z a hl e n d e r R e i h e 1 2 3
77
eine Größe die nach Vahlen durch das S y mbol [ vgl Formel
.
.
,
.
„
.
,
,
,
,
,
.
72
f ür
i
,
.
—1
i
=1
=o 1
=1
auszudrücken ist Die Z e rf ällu n ge n von s bei denen
zu dem gedachten Unterschiede den Beitrag
77
xr
xn
,
=0
ist liefern
,
3
Daraus geht die rekurrente Beziehung hervor :
d e rz u f o lg e
auch
d m:
d n —1
d n —2
, a
d n —2
a
,
dn — l
ei n
,
z
(in
a
‘
s
,
—77 )
77
—2
s
n
—8
s
,
,
— n+
8
w
gleich Null , sobald
:
1>
sein wird Nun ist 0 also auch d u
< k
ist ; setzt man also die Reihe der vorstehenden Gleichungen so weit
.
,
‚
Z e rf ällu n g
1 20
e in e
r
Z
ahl
S
in
u m m an d e n
.
Multipl i ziert man noch die Gleichungen (a) und (m ) miteinander
so liefert die entstehende Gleichung
,
n
(n + 1 )
2
ao
1
"
(13
3
a
=o
durch V ergleichung der Koeffizienten der P otenzen von
Seiten die beachtens w erte Beziehung :
( )
0
"
(f ür
s
>
auf beiden
73
= O;
0)
deren linke Seite so weit fortzusetzen ist bis die Glieder verschwinden
N
o u v An n
Man
vgl
zu
dieser
Nummer
die
A
rbeit
von
J
P
o mey
B
(
de math
4
S
7 Die Formeln ( 3 5 b ) ( 36 b ) fin den sich in einer Arbeit von
J F W H e7 schel (L ondon R o y Soc Transact 1 40 II ( 1 85 0) S
der sie Warbm t on zuschreibt und durch folgende Betrachtung beweist
Die Z e rf ällu nge n von s in 77 gleiche oder verschiedene p ositive
Elemente enthalten entweder das Element 1 oder sind frei von l ; die
Die l freien Zer
Anzahl der ersteren ist o ff enb ar g leich I
f ällun gen aber enthalten entweder das Element 2 oder sind 1 2 frei ;
jede Z e rf ällun g der ersteren Art hat die Form
.
,
.
.
,
.
.
.
.
.
,
.
'
.
.
.
.
.
.
'
.
‘
-
-
,
s
worin die
77 ,
sind
2
,
=2+
un d
a,
+
77 3
gibt eine
Z e rf ä llun g
—2
s
— 1
)
von s 77 1 in 77 1 p ositive Elemente und umgekehrt ; ihre An
zahl beträgt also
Die 1 2 freien Z e rf ällun ge n von s
enthalten nun wieder entweder d s Element 3 oder sind 1 2 3 frei
J ede Z e rf ä llu n g der ersteren Art hat die Form
,
-
,
-
a
worin die
3
-
77
,
3
S
sind und gibt eine
,
,
,
.
Z e rf ä llu n g
—2
)
3
der Zahl 3 2 77 1 in 77 1 p ositive Summanden und umgekehrt ;
ihre Anzahl beträgt also
usw fort Hieraus ergibt sich
dann schließlich di e Formel ( 3 5 b ) auf entsp rechende Weise aber auch
die Formel ( 36 b )
Wir sind so zur B e t r a c h t u n g d e r 1 2 3
7 fr e i e n Z e r
fä ll u n g e n v o n s in 77 gleiche oder verschiedene p ositive Elemente
d h der Z e rf ällung e n
,
.
.
,
.
-
,
,
,
,
.
.
D ie
1 , 2, 3 ,
7
-
f
r
Z e rg li e d e run g e n
e ie n
a
mit den Bedingun gen 7 c7 Z a
An zahl ersichtlich mit derj enigen der
1
77 „
,
,
vo n
s
1 21
.
geführt worden deren
,
Z e rf ällu n g e n
—7
8
von s 77 7 in 77 gleiche oder verschi edene
ist Bezeichnet m an ihre Anzahl durch
Gleichung
.
)
ositive
Summanden
gleich
p
so besteht also die
I m a— 77 7
‘
"
en
Wir wollen nun auch die 1 2 3
7 freien Z e r li e d e r u n
g
g
von s in 77 gleiche oder verschiedene p ositive Elemente betrachten
und zeigen daß s i ch deren Anzahl durch einen einfachen A usdruck
bestimmt B e z e i ch n e n w i r s i e m i t GX
L u nd s e tz e n z u r Ah
k ü r z u n g 7 + 1 9 s o b e h a u p t e n w i r d i e G l e i ch u n g
-
,
,
,
,
,
.
,
8
r
3
8
( )
+
n
—1 — n 9
Um sie zu beweisen nehmen w ir an sie stehe bereits für Zer
gliederu n gen fest deren E le m e n t e n an z ah l 77 ist w elche Werte s und 7
auch haben
1
für
ist
dies
gewiß
der
Fall
da
dann
beide
Seiten
77
;
gleich Eins oder beide gleich N ull sind letzteres wenn s 9 ist
Da in den gedachten Z e rglie d e ru n ge n die auftretenden Elemente S 9
sind gibt es allgemein solche Z e rglie d e run g e n nur wenn s S 77 9 ist
mithin ist
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
o,
wenn s < 77 9 ; da alsdann aber s 77 1 77 9 77 1 ist ver
schwindet auch der Bin o m ialk o e ffiz ie n t in (3 8) und die Gleichung
tri ff t zu Ist s 77 9 so wird der B in o m ialk o e f fi z ie n t gleich 1 in
diesem Falle ist aber auch nur die eine Zergliederung von s in 77
gleiche Summanden 9 vorhan den also die Gleichun g (38) wieder e r
füllt N ehmen w ir daher endlich s 77 9 an Dann lassen sich die
Z e rglie d e run g e n in solche unterscheiden
bei denen di e Elemente
ein
1
sind
und
in
die
übrigen
bei
denen
der
Summand
S 9
9
zwei dreimal usw auft reten kann Tritt er genau h mal auf so
7 + 1 freie
entsteht nach seiner A bsonderung eine 1 2 3
Zer
gliederung von s 77 9 in 77 h Summanden und umgekehrt würde
eine solche deren A nzahl
betr ä gt eine der gedachten Zer
gliederungen ode r vielmehr da zu jeder von ihnen di e 77 Summanden
f
a
u
verschiedene Weisen hi nz utreten können genau
Zer
9
gliederungen der gedachten Art li efern deren An zahl also
,
,
,
.
,
.
.
,
,
,
-
.
,
.
-
,
,
„
,
,
,
,
,
,
Z e rf ä llu ng
1 22
e in e
(Z
beträgt
Au s
.
Z
r
ahl
61 33
i n S u m m an d e n
.
—
3 79
1
solcher Erw ä gung fließt folgende Beziehung :
(f)
3
9
( )
(Z)
T
G it —ln —l mi
welcher der gemachten
kann :
—
e in at
Annahme
m9<
40
( )
+
l
zufolge die Gestalt gegeben werden
-
8
—2
n
3
6 1)
(
7
n
H
-
l
—3
>
+
n
i
a
N u n b e s t e h t fü r B i n o m i al k o e ffi z i e n t e n d i e B e z i e h u n g :
41
( )
(9)
72
1
In der Tat findet sie statt für
auch bezeichnen da
l,
77
welche Werte
und
777
77
,
ist [ Kap 1
A ngenommen nun sie bestünde so auch für
größere Werte bis zum Werte 77 so wäre auch
.
,
,
,
J
r z
--
i)
’
und wenn diese Gleichung zur Gleich ung (41 ) addiert wird so ent
steht die folgende :
,
,
die Formel (4 1 ) für alle 777 h auch noch bei dem um 1
größeren Werte von 77 bestünde Damit ist ihre A llgemeing ültigkeit
bewiesen
Setzt man daher in (41 ) h 77 1 777 s 77 9 1 ein so läßt
sich mit Hilfe der so entstehenden Gle i chheit di e Formel ( 40 ) um
formen in die folgende :
d e rz u f o lg e
,
.
.
,
G ut s
— G u( : )
t
aus welcher wen n
anderen :
,
3
L I
7
in
— 77 9
n
7
+ 1,
77
—1
—1
,
8
—
1
g
n —l
verwandelt wird
,
diese
Z e rf ä llu n g
1 24
e in e
r
Z
ah l
in
S
u m m an d e n
g
.
‚
4
3
( )
oder d i ese andere :
1
77
wenn zur
77
1
77
.
e rn
—1
,
—1 + L —r —1 ;
L3 = L:
Abkürzung
4
5
( )
G 53.
L.
gesetzt wird Zudem wird L
0 sein solan ge s
7
1 denn eine
solche Zahl s kann nicht in Summanden zerf ällt werden welche
1
1 wenn 7
größer sind als 7 ; desgleichen wird L
1 äs
27
da ein e solche Zahl s nicht in mehr als e i n e n Summanden 7 zer
M a n h a t a l s o i n d e r R e i h e d e r Z ah l e n
f ä llt werden kann
,
.
,
,
,
,
,
,
.
LI ) L27 L 3 ) L 4)
e i n e d e r F o r m e l (44) g e h o r ch e n d e r e k u r r e n t e Z ah l e n r e i h e
w e l c h e m i t 7 N u l l e n u n d d a r a u f fo l g e n d e n 7 E i n h e i t e n b e
i
e
gerade
so
die
in
i
n
n
t
w
N
r 6 des vorigen Kap itels erw ä hnte
g
L a m e s c h e R e i h e der Rekursionsformel
,
,
,
.
’
L8
L s — l l L s —2
"
"
gehorcht und mit e i n e r Null und e i n e r darauf folgenden Eins b e
i
nnt
Die
Zah
enreihe
4
ist
also
als
eine
Ve
r
a
l
l
g
e
m
e
i
n
e
r
u
n
g
l
6
g
( )
jener L ame s ch e n Reih e anzuseh en und kan n nach H ermes (Math
A nn 45 S 3 7 1 ) als L a m e s c h e R e i h e 7
O r d n u n g jener als der
Wir
L ame s c h e n R e i h e 1
O r d n u n g gegenüber gestellt werden
h ab e n d e m n a ch i n d e r F o r m e l (45 ) e i n e n a l l g e m e i n e n A u s
d r u c k fü r d i e G l i e d e r d e r L a m e s c h e n R e i h e 7
Ordnung
g e fu n d e n
8 Wenngleich wir in den R e k u rs io ns f o rm e ln ( 3 4 b ) ( 3 5 b ) ( 3 6 b )
ein Mittel besitzen um die mit
bezeichneten
A
n
y „
zahlen in jedem Falle zu berechnen so ist doch das was verlangt
werden muß ein allgemeiner A usdruck durch welchen jede dieser
A nzahlen als ein e Funktion der sie bestimmenden beiden Zahl en s 77
gegeben wird Da nach den Formeln ( 20 a) und ( 24 a) die ersteren
b eiden auf die dritte zurückgeführt werden könn en genügt es diese
Aufgabe f ü r die Größe
welche als die fundamentale angesehen
w erden darf zu leisten
Statt dessen versuchen w ir zuvörderst allgemeiner die Bestimmung
des D e n u m e ran t e n
.
’
.
t er
’
.
,
.
’
t er
.
t e lr
’
.
,
.
,
„
,
,
,
,
,
,
.
,
,
.
4
7
( )
nämlich der
An zahl
der
L ösungen
der Gleichung
,
D
er
D
r t
e n u m e an
1 25
4
8
( )
-
+ l77 ,
u
in welcher a b c
l gleiche oder verschiedene p ositive ganze
Z ahl en bezeichnen in nicht negativen ganzen Zahlen x y z
77
Wir beginnen mit der Betrachtung einiger besonders einfachen F älle
1 ) Die Gleichung s
gestattet nur dann eine und zwar eine
einzige derartige L ösung wenn s ein Vielfaches von a7 ist ; a l s o i s t
,
,
,
,
,
,
,
.
.
,
49
( )
1
o
d e r 0,
j e n a ch d e m s d u r ch a t e i l b a r o d e r n i c h t t e i l b a r i s t
2) Da nun unter a aufeinander folgenden Zahlen
s, 3
nur eine einzige durch
8
5
0
( )
8
— 1,
77
8
— 2,
s
—
.
—
l
a
(
)
teilbar ist so folgt die Gleichung
,
—1
8
—2
a
der kleinste nicht negative Rest von s (mod a)
aq
7
q
gesetzt werden kann so folgt weiter
ls t
7
.
,
so daß
8
s
,
a
s
8
5
a
0
(
)
w
,
—l
a
ofür man auch schreiben k ann
m an g e w i n n t al s o fü r d i e D i ffe r e n z
d h fü r d e n k l e i n s t e n n i c h t n e g a t i v e n R e s t v o n
fo l g e n d e n A u s d r u ck :
-
b
0
5
( )
s
(
s
.
.
J F
.
.
(
a
-
m
o
d
(
.
)
a
12
a
.
W
H e rs che l, L ondon
Sind ferner a
07
,
R S Trans 1 40 II S
zwei relativ p rime Zahl en so ist unter den Zahl en
s, s
.
,
.
.
.
,
— cc,
3
— 2 07
,
—
s
(
a
eine einzige teilbar durch a andererseits sind sie sämtlich teilbar durch
7 oder s ä mtlich nicht teilbar durch
je nachdem s es ist oder nicht
7
ist und somit ist unter ihnen eine einzige oder keine durch 77 07 teil
b ar je nachdem s durch 7 aufgeht oder nicht
Hieraus ergibt sich
mit Rücksicht auf (49) die Beziehung
,
0
0 ,
,
,
0
.
Z e rf ä llu n g
1 26
r
Z
ah l
in
S
um m an d e n
.
—( a
s
s
1
5
( )
e in e
: :
welche als eine Verallgemeinerung von ( 50) anzusehen i st
1
Die Gleichung :
3 ) Nach (49) ist
a0
d oz
an
aa
.
.
x1
3
gestattet die
Au fl ösungen
x2
m, = 0‚ 1 ,
—l
,
s
also ist
s
3
—
—l
,
s
resp
s
8
,
+ L
Schrei b t man um die Gleichung
,
aufzulösen zunächst
x1
x1
s
,
= 0, 1 ,
3
— 1,
81
,
wg
x2
x1
s
wo nun
s
s;
—l
,
1,
s
.
gewählt w erden kann und zerlegt nun jedesmal s in x2
h ä lt man den Werten von 3 entsp rechend der Reihe nach
1
,
O resp
so er
x3
,
1
s,
insgesamt also
s
A uflösungen
2
mithin ist :
8
1
1
1, 1
,
2
Die Fortsetzung dieser Betrachtung liefert o ff enbar als
A u fl ösu n gen der Gleichung
Anzahl
der
2
5
( )
den Denumerant
-
S
5
3
( )
— l)
l, l,
1)
Die Gleichun g s a m w ar nur dann lösb ar wenn s ein Vielfaches
von a und entsp rechend diesem oder dem entgegengesetzten Falle
1 oder o
Gleiches
gilt
von
der
Gleichung
Z
.
,
,
.
die Anzahl ihrer L ösun gen ist demnach Null oder gleich derjenigen v o n
8
a
d i gleich
.
.
2 a)
1
so
d aß
a
[ 8 + (n
—1 ) a
allgemein gesetzt werden kann :
Z e rf ä llu n g
1 28
da nun je nachdem
,
r
Z
ah l
S
in
u m m an d e n
gerade oder u ngerade ist
s
s
8
e in e
—l
s
3
.
,
—1
— 1
oder
2
ä
2
i st w ird je nach diesen beiden Fällen die Anzahl der L ösungen der
1
1 oder allgemein gleich
Gleichung ( 5 9 ) gle i ch g 1 oder 2
— O
-
,
8
0
6
( )
1
sein wofür auch
,
a
60
)
(
gesch rieben werden kann
Sooft wie in diesem Beisp iele a a2 relativ p ri m sind also
ni mmt die Formel ( 5 8) die Gestalt an :
a l o a2 i st
m
.
„
,
,
an a2
Hier verschwinden aber n u r diejenigen Glieder der S u mme nicht in
welchen s a1 a
negativ und durch al a2 teilbar ist
a2 a2 nicht
Setzt man
,
1
.
3
also
6
1
( )
3
a2
so sieht man daß xl = a x2 = 052 + al s diejeni ge stets vorhandene
L ösung der Gleichung ( 5 6) bedeuten bei w elcher x1 der Re ihe O 1
1 angehört W ä re für sie s
a z
a
2
a oz
0 so würde a,
also
da a2 e ine Zahl der Reihe O l 2
d
1 bedeutet auch z
negat i v sein und ke i n von N ull verschiedenes Glied der Summe
vorhanden sein ; alsdann ist also die An zahl der L ösungen der Gle i
wird
chung ( 5 6) gleich Null Da w enn 042 + a z
a ä gesetzt
o
o
o
s
( 1 2 0c;
a t): a a
also
i n echter Bruch l s t
a
m
l
t
h
m
e
a
;
2
5
so findet man
1 ,
,
,
,
,
l
.
,
,
,
,
,
1
l
,
l
,
,
,
c
.
l
,
,
(X
3
l
1
l
0
l
,
l
:
“:
a “
n
a1
darf also auch sagen d i e
6
5
sei
in
diesem
Falle
gleich
( )
m an
,
Anzahl
der
L ös u ngen
der Gle i chung
Im entgegengesetzten Falle liefert die Formel ( 6 1 ) e i n e n nicht
D er
D
r
e nu m e an t
a
1
?
as
negativen Wert von (x a z d i e i n e n nicht negativen Wert von z
also e i n Glied der Summe
das nicht verschwindet und die
ganze Summe reduziert sich auf dies eine ganzzahlige Gli ed
— l l
,
l
.
.
,
,
s
a a
1
ein
Ausdruck
und
o
a
e in
a2
welcher da
“
1
,
ot o
l
O
Sl
v
e
r
p
e in
2
l
echter Bruch
“ as
2
s
o
itiver
echter
Bruch
ist
p
:
a “
1
0
l st
,
as
2
2
,
a1 a 1
entweder nur
a “
1
.
a1
:]
S o m i t fi n d e t s i ch
der L ö sungen der
a2 e i n e r d e r b e i d e n
8
kann
mit 2 oder mit i
l gleich sein
[l ]
[ J
s ch l i e ß l i ch d a ß a l l g e m e i n d i e A n z a h l
G l e i ch u n g ( 5 6) i m F a l l e r e l a t i v p r i m e r a
Z ahl e n
oder
1
a
,
8
a a2
l
l,
g l e i ch s e i n m u ß Hiermit stimmt der besondere v o rh e rb e h an d e lt e
Fall und seine Formel ( 60) überein ( S V A L ebeSgue e x e rc d an aly s e
n u m öri qu e
S
Man erhält dies Resultat auch folgendermaßen Setzt man in
Gleichung
immer unter der Voraussetzung d aß d l a2 r e lativ
=
:
n
r
und
zugleich
u
ter
den
rim
sind
d
a
x
a
x
+
+
2
31
p
kleinsten nicht n egativen Rest von 3 ( mod d a2) verstehend s g al ag r
so nimmt sie die Gestalt an
.
’
.
,
,
.
.
.
.
,
2
1
,
1
2
2
2
,
l
,
.
=
'
“1 052
Q
'
7
,
32)
(Ei
a1 a2
,
du rchl äuft am: a oc wenn a
die oben angegebenen Werte
annehmen (1 1 60 verschiedene und auch (mod a a ) inkongruente
"
Werte welche kleiner als 2 al ag also gleich r oder a a2 r sind
"
w o die r r
zusammen alle kleinsten nicht negativen Reste (mod
al a
w
e i n S y stem a
darstellen
entweder
gibt
es
a
für
elches
d
a
h
e
r
g)
;
1
2
Nu n
1
g
g,
1 ,
2
,
1
.
2
’
1
,
,
’
.
,
,
a a
1
1
+
oder e i n solches für
,
a2 “,
w
und dann
r
3
31 + 22
,
q,
elches
1
q
und
dann
ä
E
l
g g
ist Mithin gestattet die Gleichung (62) je n ach diesen F ällen
oder q Auflösungen w o q =
[
ch m
Z hl
II
i d
i
a al
a a
a 1 a2
r
.
8
B
,
a.
an u
n e
e re
a
a as
1
enth eo r e
.
.
°
,
,
q
1
Z e rf ä llu n g
1 30
e in e
r
Z
ah l
in
S
u m m an d e n
.
Hi ernach l äßt sich der obige Satz auch so aussp rechen :
Ist r der
k l e i n s t e n i ch t n e g a t i v e R e s t v o n s ( m o d al o ag) s o b e s t e h t
di e B ez i ehun g:
.
63
( )
a
f
al
a2
f
a
,
a
In dieser Form findet er sich bei We ihrau ch Z t s ch r f Math u Phy s
Siehe dazu die sehr elegante Herleitung welche
20 1 8 7 5 S 9 7
H ermite in Quarterly J ourn o f Math 1 1 85 7 S 3 7 0 gegeben hat
Man kann der Formel ( 63 ) o ff enbar auch die folgende w ie w ir sehen
w erden geeignetere Form geben :
,
,
,
.
.
.
.
,
.
.
.
,
,
.
.
.
.
,
,
-
e
.
I
)
0
<
ü
i
a 1 a2
<
ai
D i e s e B e t r a ch t u n g e n l a s s e n s i c h
Um die Gleichung
9
)
.
le i c h t
'
b
ve rall g em ei n ern
.
an w
zu lösen bezeichn e man mit m das kleinste geme insame Vielfache
a
und setze für i = 1 2 3
der Zahl en a1 a 2
n
64
( )
“2 932
“1 371
u
,
,
n
,
,
,
,
m
ai
wobei a; e ine Zahl der Reihe
Gleichung die Form an :
?
g
o, 1 , 2 ,
1
.
Dann nimmt die
i
6
5
( )
wo nun für jede Kombination a1 a2
a
für welche die linke
Seite nicht negativ ausf ällt die Anzahl der L ösun gen in nicht nega
t iv e n ganzen Zahl en E 22
3 zu finden ist ; der Formel (5 5 )
zufolge betr ä gt sie wenn zur Abkürzung
,
,
n,
,
I ,
„
,
,
6
6
( )
s
gesetzt
m dl
e
—1 ) m)
'
m
1
o
und somit die gesamte Anzahl
negat iven ganzen Zahlen
s
6
7
( )
wo
a
1,
Z
— l) m
m 2m
s
L ösun gen
der Gleichung (64) in nicht
— 1 ) m)
'
1 m
m
—l ) m
l
die Summation auf alle eben bezeichneten We rt k o m b in at io n e n
a
a
zu erstrecken ist
2,
n
.
1 32
,
“1
resp
a1 ,
1,
s ln d ,
.
x2
Z
ah l
“3 0 1
S
in
52
1,
a2 a 3
setzt ferner
und
r
:
Zahlen der Reihen
xl
wo
O
e in e
Z e rf ä llu n g
u mm an d e n
“2
:
373
“ 7
3
O
1;
aß a 1
q
.
,
— 1
1,
,
l
unter r den kleinsten nicht negativen Rest von s ( mod al ug ug) ver
stehend so nimmt die Gleichun g ( 7 0) die Ges t alt an :
s
a ag a s
3
.
,
7
1
( )
Q
a1 a 2 a3
7
“ 0 2%
1
(g1
53 )
3
’2
Nun durchläuft der A usdruck a a
a oc2
a3 a
die eben bezeichneten Werte beilegt
a
a
a
l
2,
1 ,
1
z
3,
wenn man den
,
,
“ 01
3
a2 a3
2
a1 a2
Werte welche alle kleiner sind als
wird aber nur erfüllt wenn entweder
3 al ag as
,
.
Die Gle i chun g ( 7 1 )
,
al oc1
r
0 <
ist und dann
w enn
,
q
g,
7
g,
23 ,
.
ag oz2
05i
also
<
a
2)
(q
“1 61 2 633
'
a 3 a3
a o‘
2 2
Auflös u ngen
gibt ; oder
as aa
ist was N(r a a2 as a a
mal geschieht und dann
61 2 052
q 1 ä ä, 33 also jedesmal
A uflösungen liefert ; oder
endlich w enn
y
al a
a ag
as as
g a a aß
ist was N(r 2 a a2 a
a1 a
a oc,3
a3 a s) mal geschi eht und d
(
q
M
2
Auflösungen gibt
S
o
m
i
t
g, + 2
Es also jedesmal
g
2
w i r d d i e g e s a m t e A n z ah l d e r A u fl ö s u n g e n d e r G l e i c h u n g ( 7 0)
i n ni cht ne gativen ganz en Z ahlen
l
,
1
1
l
g
,
,
,
1
3
l
1
g
g
2
.
s
D
D
er
e n u m e ran
t
“1
7
a
2
1 33
:a8
Die Vergleichung dieses A usdrucks mit dem A usdrucke ( 6 3 a)
läßt d a s al l g e m e i n e h i e r h e r r s c h e n d e G e s e t z erkennen so daß
es nicht nötig ist in dieser Richtung noch weiter zu gehen
Sei z B zu lösen
s e ln
,
.
,
.
.
35
3 as
2x,
x1
.
=5 ;
is t q ==5 r =
Hier i s t m = 1 2 3 = 6 und wegen
hat die Werte Q 1 2 3 4 5 ; a2 die Werte O 1 2; a die Werte
d
O 1 zu durchlaufen un d man findet leicht daß dabei der Ausdruck
11
6
5 einmal den Wert 5
a
3 a fünf mal den Wert r
keinmal den Wert 5 1 2 1 7 liefert und somit nach ( 7 2)
o
o
,
l
,
,
,
,
,
,
,
,
3
1
s
,
,
,
,
,
35
ist
5
0
6
1 ’ 2’
.
N en nt
man N N 1
auftreten und setzt
O,
,
N 2 di e d rei Anzahlen N ,
die in der Formel ( 7 2)
’‘
I
7
7
so liefert die Formel die Beziehungen
M 0 = N0 7 M 1
3 No
N1
M
: 2
6 No
N2 )
3 NI
aus denen umgekehrt
hervorgehen
.
Dadurch nimmt die Formel ( 7 2) die Gestalt an :
8
7
3
( )
a1
10
:“2
1
a3
Diese Formel löst aber eigentlich noch immer nicht die
.
a1
,
a2
,
Au f
a8
zu bestimmen sondern führt sein e Bestimmung nur auf
den e m f ach e re n Fall in welchem s < 3 al a a ist zurück Bisher ist
——
die gedachte allgemeinere A ufgabe für die Anzahl
auch
nu
r
7
von analytische mGesichtsp unkte aus erledigt nämlich diese A nzahl
unter der Voraussetzung p o s i t i v e r Elemente a b
l nur als der
Koeffizient von x in der Entwicklung der Funktion
s , a1
,
a2 ,
as
,
,
g
3
,
.
8
,
,
,
’
1
4
7
( )
(
l
— ma)
(l
— x"
)
(
l
— x ')
nach steigenden P otenzen von a:durch analytische Betrachtungen
ermittelt w o rd e n ) a ley und S ylvester denen beiden besonders dem
l
.
l)
S
.
,
r
d ie A n m e k
u n
g
zu
Nr 1 5
.
.
,
Z e rf ä llu n g
1 34
Z
e in e r
ahl
in
S
u mm an d e n
.
letzteren die Theori e der Z e rf ällun g e n überhaup t erhebliche Fort
schritte z u danken hat h aben Ausdrücke für den genannten Ko e f
deren Herleitung nun unsere n ä chste Sorge
fi z i e n t e n aufgestellt
sein soll
Wir beg innen sie mit einer einfachen Bemerkung über den Ko e f
fi z ie n t e n von x in der Entwicklung eines A us d rucks von der Form
,
,
,
.
‘
ao
7
5
( )
+
w+
a1
-
—
+
d a
d
1 m
1
-
Ist r der kleinste ni cht negative Rest von s ( mod d) d h s q d r
Bezeichnen
r
d so ist jener Koeffizient o ffenbar a
w ori n O
wir nun mit d i die Eins wenn i durch d teilbar ist entgegengesetzten
falls die N ull :
d = 1 wenn 735 0
m
0 d d)
7
6
(
( )
.
,
r.
,
,
,
i
,
d , = 0‚
so hat von den
d
e
’
.
ao
Größen
o
d u d a—l :da—2 7
eine n ä mlich
ist der Ausdruck
n ur
,
.
.
den Wert
,
“O d e
al
1,
ds
(d
—l )
die übrigen s i nd Nu ll ; demnach
ds —l
a’d
—l d s
(d
—l )
gleich a Einen A usdruck solcher Art hat J F W H erschel eine
fu n c t i o n c i r c u l a t i n g a ley einen c i r c u l a t o r genannt (H ers che l in
L ondon R S o c Tran s 1 40 II ( 1 850) S 3 9 9 ; C ayley c h and 1 46 I
S
weil
er
ersichtlich
wenn
s
alle
ganzen
Zahlen
durch
1
8
5
6
(
)
läuft je nach dem Reste ( mod d ) welchen s dabei l äßt in steter
Wiederholung die We rt re ih e ao a
ad _ ann ehmen w ird
Sind
die sämtlichen d t e n Einheitswurzeln so ist bekanntlich
1 9
.
r.
.
,
.
u
.
.
.
.
,
.
,
,
,
,
1
1 ,
.
,
,
,
gleich d oder gleich
und somit könnte
angenommen werden
0,
.
je nachdem i durch
d
te ilbar ist oder ni cht
,
Noch einfacher w ählt man
7
9
( )
d.
i
ä
,
auch dieser Denumerant nach Anfang von Nr 8 glei ch 1 o der O
ist je nachdem i durch d aufgeht oder nicht D e r Z i r k u l a t o r
s
ch
r
e
i
b
t
s
i
c
h
d
a
n
n
7
7
( )
da
.
.
,
8
—1
u n d s t e l l t d e n K o e ffi z i e n t e n v o n
7
5
d
a
r
( )
.
'
a
o
i n d e r E n t w i c kl u n g v o n
Z e rf ä llu n g
1 36
e in e
Z
r
ah l
in
S
u mm an d e n
.
m
i }
fi )
x
[
K_1
1
+
_
x
9
A”
1
f
1
(
Q
“
o
1
A‘
(
w
oe
man
JK
)
__
+
—
w
e
( 3)
—t
(
—t
am )
)
also wenn
,
xi ( 9 )
83
gesetzt
w
ird
1
flo g
)
,
{
4
8
( )
k
w
)
real
Q
1
2
0
A”
0
D i ese C ayleys ch e Formel w enden
Fall an in welchem cp (m) 1 und
11
—t
.
2
-
(
e
w
-
)
nun auf den vorliegenden
w ir
,
ist
)
’
w
-
Bedeutet [ 1
denjenigen irre du k t ib e ln Faktor von 1 x
welcher die p rimit iven
Einheitswurzeln zu Wurzeln hat so ist
nach e inem bekannten Satze der Kreisteilung ( s des Verfassers Vor
lesungen über die L ehre von der Kreisteilung usw S 1 5)
”
.
,
,
.
.
“ =
—
1
w
8
5
( )
—
I
[
d
x
.
],
enn die Mult iplikation über alle Teiler d von a die Zahlen 1 und a
einschließ li ch erstreckt wird Nennt man daher d jeden Teiler der
Elemente a b
l und k die Anzahl der letzteren in denen er
aufgeht so findet man für f
diese andere Zerlegung :
w
,
.
,
,
,
,
,
,
=
fi )
8
6
( )
x
wo nun
n
1
[
Multip likation über die verschi edenen Teiler d der Elemente
Indem also mit g i r g e n d e i n e Wurzel
l auszudehnen ist
b
a
der Gleichung
d
7
1
a
O
8
]
[
( )
bezeichnet wird folgt nach ( 84) für den ihr entsp rechenden Te il der
der Ausdruck
P artialbruchzerlegung von
di e
,
,
.
,
ä
k
Ag
8
8
( )
in welchem
= K"
‘
i st
,
un d
d erjen
i ge
(
t
i
—l
O
fl
o
g Ö)
-
Teil der P artialbruch zerlegung für
1
x
f( )
welcher
H ilf
üb e
s s at z
r
P art i alb
r
u ch z e
rl g
e
un
g
1 37
.
den s ä m tl i c h e n Wurzeln von ( 87 ) entsp richt und welchen
1
nennen wollen w i rd daher
d
kurz
,
]
7c
{ä }
8
9
( )
sein
w ir
—
1
[ e
d
l
=
g
I
(i
(
A“
M
I
-
u
z
—1 )
x. (9 )
—
w
o
Hier kann aber
.
( 9)
9
0
( )
9
Q
x
d
90
[1
]
x
gesetzt werden w o 9
eine ganze Funktion von
vom Grade
d
des
1 bezeichn et die um 1 kleiner ist als der Grad ö
d
c
p( )
Ne n ners [ 1 a ] unter g)
die Anzahl der zu d p rimen Zahlen
Z d verstanden
Um diese Funktion zu bilden verf ährt C ayley folgendermaßen
L
ns
4
ondon
R
Soc
Tra
I
S
Seien
die
1
8
a
a
(
a
e
n
i
e
n
der
Elemente
l
welche
den
Teiler
nicht
haben
b
d
j g
und d h d h
die k Elemente welchen er zukommt so kann m an
,
.
,
d
,
.
,
’
.
.
,
.
,
,
,
’
,
,
,
=
m
a)
U
=
1
p
ist
d
K —I
i
—l
I
<
,
,
,
setzen also da
,
,
.
,
w)
“
17
.
0
w
)
“
,
‚
n
(l
—a t
d
Q e
)n (
1
—
_ äh
e
Da aber jeder Faktor
t e nze n
von
steigende Reihe entwickelt dagegen wegen
t
,
1
_e
dht
1
’
’ 2
1
2
d h t
o o
1
d i e Entwicklung e ines jeden der Faktoren
2
1
1
3
_ e —d h t
mit der P otenz
begi
n nt
so
findet
s
i
ch
1
,
1
(
n
l
a
Q
e
a
t
)H (
1
—d h t
A —k
)
+ A _1
und demnach
n ( o)
9
1
( )
9
-
i
9
0
( )
,
,
A
1
t
1
.
o
ergibt sich wenn mit
g gesetzt wird
Aber au s
an
1
g
:multipliziert
a
und dann
Z e rf ä llu n g
1 38
ei r
ne
Bekann tl i ch kann aber
x
1
w
l (9
)
[
gesetzt werden wo 1 2 22
fremden Zahlen d bedeuten
Z
,
„
S
u m m an d e n
w)
a3
.
19
°
2
-
1
)
w
die s ämtlichen zu
Dar aus folgt
,
.
also mit Beachtung von (9 1 )
9
2
( )
in
)
d
,
ah l
d
teiler
a_1
A —t
'
9
6
n
=
(9
3
‘
_1
1)
1
i
Denkt man sich hier die rechte Seite mit Hilfe der Identität
0
1
[
als e lne ganze Funktion F ( 9) vom Grade d 1 dargestellt so e r
schließt man aus dem Bestehen der Gleichheit 6
F ( 9) f ü r jede
Wurzel g der irre duk t ib e ln Gleichung ( 8 7 ) die identische Gleichheit
beider Seiten und gewi n nt also in der Funktion
den A usdru ck
für die gesuchte Funktion
D a nun jedem Faktor des P rodukts (86) ein mit ( 89) ents p rechender
1
Teil der P artialbruchzerlegung für x zukommt g e l a n g e n w i r
fi )
s ch l i e ß l i c h z u fo l g e n d e r v o n C a y le y a n g e g e b e n e n Z e r l e g u n g
1
d e r F u nk t i o n x
,
,
,
’
,
fi )
w o d i e e r s t e S u m m a t i o n a u f al l e v e r s ch i e d e n e n T e i le r d d e r
Elemente a b
l z u e r s t r e ck e n i s t u n d k j e d i e A nz ah l
d i e s e r E l e m e n t e b e d e u t e t i n d e n e n d a u fg e h t
1 2 Nach Herstellung dieser Formel ist es nun leicht den g e
1
wünschten Koeffizienten von x i n der Entwicklung von
nach
f( )
den steigenden P otenzen von zu ermitteln Dem Satze ( 85 ) ent
s p rechend darf man schreiben
,
,
,
.
,
.
,
’
x
9" x
(
m)
a
I
[
-
xd
]
x
.
)
H
—
l
U
ad
-
1
'
d
x
‚
‘
wenn die Multip likation im Zähler über alle von d v e rs ch ie d e n e n Teiler
d von d erstreckt wird
Man setze nun den Zähler welcher eine
ganze Funktion von a:vom Grade d
m ] vom
1 ist da [ 1
'
,
.
d '
,
Z e rf ä llu n g
1 40
6
9
( )
= ag s
l)
e
—l
e in e
Z
r
ahl
in
S
u m m an d e n
7‘
+
a
g
2)
s
2
d =
e
e
8
'
i
i
.
—l
1
nun d nur noch alle von 1 und untereinander verschiedenen
l zu durchlaufen hat e i n e F o r m e l
Teiler der Elemente a b
d e r z u f o l g e d e r g e s u c h t e D e n u m e r a n t a u s z w e i w e s e n tl i c h
v e r s c h i e d e n e n T e i l e n b e s t e h t :e i n e r g a n z e n F u n k t i o n v o n s
m i t fe s t e n K o e ffi z i e n t e n u n d e i n e m d i e Z i r k u l a t o r e n e n t
h al t e n d e n B e s t a n d t e i l e m i t p e r i o d i s c h w e c h s e l n d e n Ko e f f i
wo
,
,
z
ie nt e n
.
,
,
,
.
hat
nach
dieser
Formel
für
eine
rößere
Reihe
besonderer
a
g
F ä lle den numerischen Wert dieser Z irk u lat o re n und des D e n u m e ran t e n
berechnet und u a folgende Resultate gewonnen :
le y
.
.
1
Z
vgl
hiermit
(
.
1
,
1
2
,
(
2s
—1
1
)
( ,
3
clr
.
60 a) ;
2
6
3
+
[
ae
3
1:
-
8
1 , 2,
1
28 8
[
3
+ 175
23 +
1
o
( , ,
32
3,
4
1)
1
( ,
9
s
(
1 ) c lr 3.
.
clr
2.
1 , 0)
1
o
,
,
(
36
.
clr
.
Indem wir nun auch denjenigen Ausdruck für den D e nu m e
ranten herleiten wollen welchen S ylvester gegeben hat ( O utlines o f
seven lectures o n the p artitions o f numbers P roc L ondon Math Soc
um ihn
28 S 3 3 ; Quarterly J ourn o f Math 1 ( 1 85 7 ) S 8 1
dann mit d emjenigen von C ayley zu vergleichen beginnen wir mit
dem Be w eise folgenden Hilfssatzes :
13
.
,
,
.
,
.
.
.
.
.
.
,
,
di e S um m e all er au s a ß
1 ge
i n w e l ch e m S ( a ß
b i l d e t e n P r o d u k t e v o n d e r D i m e n s i o n s b e d e u t e t w ä hr e n d
unter a ß
1 e i n e K o m b i n a t i o n a u s j e e i n e r Wu r z e l d e r
Gleichungen
‚
,
,
,
,
.
,
,
,
.
9
8
( )
r e s p z u v e r s t e h e n u n d d i e S u m m a t i o n ü b e r a ll e
s o l ch e K o m b i n a t i o n e n z u e r s t r e ck e n i s t In der Tat bezeichnet
.
.
S y lv e s t ers B e st i mm u n
g
des D
S
e n u m e ran t e n
1 41
°
a
b
l
zun ä chst S ( a ß
den Koeffizienten von x in dem nach
steigenden P otenzen von a:
entwickelten Quotienten
8
,
,
,
—a w) ( l
(1
so
d aß
1
— xx)
’
dieser letztere gleich
ß)
gesetzt werden kann
Werden mithin durch
.
die s ä mtlichen Wurzeln der Gleichungen (98) bezeichnet so wird
o ffenbar der Au sdruck
,
99
( )
1
:
„x
1
3
1)
+
=O
:
sein wenn die zweite Summation über alle oben genannten Kombi
—
y gesetzt wird der
nationen erstreckt wird Nun ist wenn x
erste Faktor der linken Seite gleich
,
l
.
,
,
—1
a
1
0
0
( )
a
und da für die übrigen Faktoren Ä h nliches gilt
Gleichung
3
1
1
0
1
)
(
1
8
,
,
findet sich die
‚3 ,
aus welcher der behau p tete Satz erhellt da der Denumerant
der Koeffizient von ar in der Entwicklung des links stehenden Quo
tienten ist
Beschränk en w ir nun der Einfachheit wegen unsere Betrachtung
auf den Fall dreier Elemente a b c d h auf den F all des D e n u m e ran t e n
w i e d e r a ß 7 je eine Wurzel der Gleichungen
Seien
m
U
,
'
.
,
,
,
.
.
s
e
,
,
1
0
2
( )
D annist S (oc
Quotienten
,
,
ß
,
der
Koeffizient
von
y)
’
90
in der Entwicklung des
Z e rf ä llu n g
1 42
e in e
r
Z
ah l
S
in
u mm an d e n
.
1
1
(
-
)
x
04 03
1
(
ß )
x
-
(1
-
x
7
)
nach steigenden P otenzen von oder was dasselbe sagt das konstante
Glied in der entsp rech enden Entwicklun g des A usdrucks
,
,
0
3
1
)
(
Sind nun e r s t e n s a ß 7 voneinander verschi eden so
bekanntlich die P artialbruchzerlegu ng
,
,
,
A
1
4
0
(
)
B
—a x
d e rzu f o lg e
1
0
5
(
)
ß
s ra.
b esteht
—
l
ßaf
‘
.
—g m l
-"
-
l
r
B
4
,
4
o
.
0
sich ergibt Nun folgt aber aus
wird die Gleichung
:
e
w nn a
.
1
-
(lt
6
gesetz t
“
,
w
ß‚
a,
aus
w
(
ü
y
—1 6 —t
)
_ e _,
1
0
B
A
l
— ß e —t
E
1
-
—
A4 0
_
t
C
%
i
0
6
“
,
=1
elcher man erkennt daß
,
—l e —t
))
K
A
7
1
d h gleich dem Koeffi zienten von
in der Entwicklung der
Funktion nach den steigenden P otenzen von t i st Ä h nli ch e rw e is e
finden sich di e Formeln
.
.
.
K _1 (tlj
B
a
:
19 1 7
(ß
K—1 (1l’
O
aa
(y
{ 91 7
mithin nach ( 1 05 ) der Wert
Se i jetzt z w e i t e n s
gle i ch
a
ß
4
1
0
7
(
)
aber verschieden von
4
.
'
+
a m
o
Z
=
— yw +
l
demnach
1
08
(
)
S ‚ ( a,
a,
y)
Da nunmeh r bei der Substitution
A
.
A
’
A
A
:
a
—
l
"
a
e
O
gefunden wird so ergibt sich
,
'
C
1
i
y
Dann ist
.
A.
?
}
.
resp
K—1 (1p
a,
.
a;
y
—l
e
—1 3 —
0)
Z e rf ä llu n g
1 44
e in e
r
Z
ahl
in
S
u mm an d
e
n
.
Wir suchen nun zunächst denjenigen Bestandteil der Summe
l
Ist
welcher die 11 Fu nk t io n e n mit den Arg umenten 115 e umfaßt
erstens a ein a1 also von jedem ß y verschieden so lehrt die
For m el ( 1 06 a) sowie die analog mit ( 1 06 b ) für S (a 7 y) gebildete
Formel daß gleichviel ob ß y verschieden vonein ander sind oder
zu
nicht einem solchen a , sämtliche F unktionen 11 %
e
)
kommen ihm also der Bestandteil
-
2-
.
,
,
,
‚
,
t
"
,
,
,
,
1
2
,
“
,
( )
z
a
u
en tsp richt
Ist a ein a also von jedem y versch ieden so kommt
einem solchen a nach ( 1 0 6 a) sow1 e nach der Formel für S (a y y)
—
jede Funktion
zu in welcher ß von a2 verschieden
6
1
ist dagegen nach ( 1 0 6 b ) nur jede Funktion 3,—11 ß„ ( a
wenn
Demnach
ents
richt
dieser
Wurzel
der
Bestandteil
a
a
ß
p
2,
.
,
2
‚
,
,
1
,
1a
,
2
,
”
2
.
we
b
( )
ae
a
e
-
l
e
-
1
t
-
1
e
'
1
der Summe
der Bestandteil
( )
c
1L
.
In gleicher Weise entsp richt jeder Wurzel
2
44
44 1
-
2
4
)
-
I
e
i
-
a
s
)
’
15
Ist endlich
so kommt einem solchen a jede Funk tion
z u gleichviel ob
im 9 , ( a
y
gleich
oder
verschieden
sind
wenn
ß
;
‚
nur kein s von beiden gleich a ist ferner nach ( l 0 6 b ) jede F unktion
o
o
1
_
—
e
1 e j ede
h
le de n lst
wenn
nur
von
sow
e
r
a
v
s
c
y
2
Funktion
wenn nur von a verschi eden ist end
lich die Fu nk tion ärb m
a
Im
ganzen
ist
also
der
ent
01
1
s p rechende Bestan dteil der Summe ( 1 1 0) gleich d e mKoeffizienten von
1
A usdrucke
im
t
“
a
ein
a4 ,
4
,
,
4
1
,
,
,
t
0
e
4
0
,
4
o
2
2
1
a“
9
( 1 7
a
(
a
“ „
Z
e
w
t
)
a n a4
7
d
( )
4
4
_l
4
,
ß
2
7 (
:
a
l
4
e
—t
)
1
1
6
—t
)
8
t
S ylv est e rs B e s i m m u n g d e s D e nu m e ran t e n
1 45
'
a
l
b
Entsp rechende vier Bestandteile der Summe ergeben sich wenn man
1
bezüglichen zp Funktionen
die auf die Ar gu mente ß 6 un d 7
zusammenf aßt
1 4 Wir dr ücken nun diese e l n z e ln e n Bestandteile p assender aus
Da nach dem Ausdrucke ( 1 03) für die Funktion
allgemein
,
"
"
-
1
.
.
.
(
1
-
e
“
)
(
(
1
1
—l
)
"
a
(X
geschrieben werden darf findet sich mit Hilfe der Beziehun g ( 1 00)
zun ä chst der Bestandte il ( a)
,
d
_
t
—
1
e
i
e
"
bc
.
1
-
1
wofür o ff enbar auch geschrieben werden kann
_b
.
1
1
—0
1
Die s ä mtlichen Wurzeln a1 liefern also zusammen zur Summe ( 1 1 0)
einen Bestandte i l gleich d e r ü b e r alle diese Wurzeln bezogenen Summe
K
2 )4
1
4
2
—
( e e9
—c
5
gleicher Erw ä gung aber erh ält man aus den Wu rzeln
die beiden Bestandteile :
4
“1
Au s
resp
0
-
13
2
1
4
2
-
1
ß„
71
i
.
K— l
(51 )
1
K _1
0
'
2
1
1
1
'
Fe rner aber findet sich
und
1
K —1
2
w
.
a9
1
a20
7
(
a
1
2
t
6
1
—
-
2
°
K—1
Q
'
8
6
2
8
t
°
0
.
also der Bestandteil (b) gleich
Denkt man sich hier den ersten Fakt or in eine P otenzreihe entwickelt
B ch m
a
an n
ni e
d
e re
Z l
ah
e n t h e o ri e .
II
.
1O
Z e rfä llu n g
1 46
e in
er
Z
ah l
S
in
u mm an d e n
.
so findet sich le i cht der gedachte Koeffizient von
a
;
gleich
b
0
( + )c
2
Nun entsp richt aber jeder Wurzel a2 eine ihr gleiche Wurzel
und dieser in analoger Weise der Bestandteil
3
[ 3
2
ihn en be i den zusammengenommen also der Best andteil
b
“ J
;
der
,
w ie
e inf ach zu übersehen ist gleich
,
K
“
o
1
1
ist
Wurzeln o:
oder
2
den
Bestandteil
1
0
1
)
(
.
)
c‚
A lle
K
-
133
8
28
8
7
a
.
1
e
bc
‘
)
—b
o
1
zusam men li efern daher
g
ar e
"
a
f ür
d i e Summe
bc
I
Nunmehr geben ebenso die Wu rzeln as oder y, zusammen den A us d ruck
K
-
desgleichen
l
alle
K_1
Wu rzeln
ß
oder
,
zusammen den Bestandteil
73
ß
e
ä
c
t
a
bc
0
Betrachten wir endlich die Bestandteile welche den Wurzeln a4
oder ß, oder 7 4 ents p rechen Der auf e ine solche a bezügliche Teil
nimmt
zun
ä
chst
die
Form
an
:
d
( )
,
4
.
d
1
2
Man beachte nun
1
1
2
(
)
die
o
o
3
allgemeine Formel
(
l
— e”
ie
)
"
b
Z
ei er
Z e rfä llun g
1 48
n
ah l
S
in
u m m an d
e
n
.
deuten so ist die Gesamtheit der Wurzeln m identi sch mit der
s am t h e it der p rimitiven Wurzeln aller Gleichungen
Ge
'
,
d
'
a
c
= 1,
d
"
x
= 1,
e
"
r
: 1
,
F aßt man dann in ( 1 1 3) i mmer diejeni gen Glieder zusammen welche
den p rimitiven Wurzeln 9 d je einer dieser Gleichungen
,
d
x
=
entsp rechen so gewinnt man als
die
Formel
:
s u ch u n
g
,
1
S c hlu ßre su lt at
worin
1
1
4
(
)
m
We
2
Q
-
1
(
od
e
t
—
l
a
( 9d )
der ganzen
:
t
e
a
M
(9 4 6 9
1
Unter
1
( od e )
’
d
Diese für den Fall von drei Elementen a b c durchgeführte
Untersuchung kann o ff en bar entsp rechend nicht nur auch f ü r zwei
Elemente a b sondern auch für den Fall e iner beliebigen An zahl
von Elementen a b
l angestellt werden und führt dann zu d e m
a l l g e m e i n e n v o n S y lv e s t e r a u s g e s p r o ch e n e n S a t z e :
D e r D e n u m e r an t b
i
s
t
g
l
e
i ch einer S um m e:
l
,
,
,
,
,
,
S
a,
“
,
2d
1
1
5
)
(
W"
G
w e l c h e s i c h a u f a ll e v e r s c h i e d e n e n i n d e n E l e m e nt e n a b
a u fg e h e n d e n Z a h l e n d e r s t r e ck t u n d i n w e l ch e r d a s a l l
gem eine Gli ed
,
,
,
z u s e t z e n u n d d i e h i e r i n a u ft r e t e n d e S u m m a t i o n a u f a l l e
=
=
r
i
m
i
t
i
v
e
n
Wu
r
z
e
l
n
d
e
r
G
l
e
i
c
h
u
n
g
1
z
u
b
e
z
i
e
h
e
n
i
s
t
m
p
g
S ylves ter nennt jeden dieser Ausdrücke Wd eine We l l e ( Wa v e)
d e s D e n u m e r an t e n
Wählt man in diesen Formeln für die Elemente a b
l ins
besondere die Zahlen 1 2 3
so liefern sie den allgemeinen
n
in N r 8 verlan gten Ausdruck für die Anzahl
d
d
.
“
„
.
,
,
,
,
,
,
,
.
In di esem Falle n immt das Zeichen
d
gleichfalls die s ä mtli chen Werte
D ie
W e lle n (Wave s)
S ylves t ers
1 49
.
an und die Anzahl der Wellen des D e nu m e ran t e n 74
ist da her gleich
1 5 Die Vergleichung der Formel ( 1 1 5 ) mit der nach a ley her
geleiteten Gleichun g (9 5) legt die V ermutung nahe daß jede S yl
v e ste rs c h e Welle mit dem auf den ents p rechenden Zirkulator bezüg
lichen Bestandteile der dortigen Summe identisch ist Dies best ätigt
sich in der Tat wenn m an die einzelnen W e lle n wirklich berechnet
Zu diesem Zwecke ist die Entwicklung von
nämlich
e
1
,
2 , 3,
n
„
.
,
e
.
,
.
"
,
e
1
1
6
(
)
’ z
t
s
s
t
8
„ 2
mit den Entwicklungen der einzelnen Faktoren
soweit zur Ermittlung des K
oeffizienten von T erforderlich ist z u
multip lizieren Ist in einem solchen Faktor
verschieden von 1
so bleibt der Faktor für t 0 endlich und gestattet eine Entwicklung
n ach den p ositiven P otenzen von t von der Form
1
,
.
,
1
1
7
1
)
(
—
Ist dagegen
+
co
cl a t
+
c2
a
2 2
t +
03
a
3 3
t
‚
H
so wird der Faktor
1,
1
1
8
(
)
worin die B die B ernb ulli s ch e n Zahlen bedeuten Hat man diese
verschiedenen Entwicklu ngen aufgestellt so findet sich durch ihre
Multip likation der gesuchte Koeffizient von 1
In dem besonderen Falle des stets auftretenden Teilers d 1 d h
zur Auf findung der Welle W1 schreibe man das dann einzig vor
handene Glied der Summe in der Form :
,
.
,
.
,
.
.
9
1
1
( )
s
e
t
—E
(
lo g 1
Da
ä
Ei
lo g
fl
H rl it
a
(
l
g
1
—e
a
,
—1
)
r
t
S ylv e st e rs c h e n F o m e l ( 1 1 5 ) m i t e ls d e s
R e s id u e nk alk ü ls v o n C a u chy s b e i B ri osch z, A nn d i s c i e n z e m at e fi si c h e 8 , 1 85 7 ,
k
d
c
A
u
s
u
d
n
a
n
e
n
e
1
5
5
i
n
61
4
1
8
u
a
J
o
u
n
u
h
l
a
c
b
e
r
t
s
V
o
S R
5
,
Q
,
,
g
1)
S
ne
e i n f ac h e
e
e
un
der
'
’
.
.
.
.
.
.
rt
.
r
.
S
.
.
v on
.
E
F ad
r
di
B rei/n0
r
he
rrüh rt
,
Z e rf ä llu ng
1 50
ei e
n
Z
r
ah l
S
in
ist so ergibt sich durch Einsetzen des
folgende Integration die Gleichung
—
l°g ( 1
e
a
lso da für
,
wird
Bl
t
.
A usdrucks
,
a
u m m an d e n
a
’
t
’
und nach
1
8
1
(
)
B
a
4
t
4
4
t = 0
,
B,
Hi ernach wird wenn man die
a nennt und zur A bkürzung
Anzahl
,
der Elemente
a,
a
“ 4
t
l wieder
b,
1
20
(
)
setzt
,
2
a
lso der
10 g
o —
l+
1
(
Ausdruck
s -
log t
—
o
s1
gleich
1
1
9
)
(
1
B1
1
Bz
'
'
ab
O
l
—1
Demzufolge ist W der Koeffizient von t in der Entwicklung dieses
A usdrucks oder was dasselbe sagt
—
Ko e fi von 15
in
W
1
,
,
'
1
.
1
1
1
2
(
)
6
'
a
b
1
5
l
8° t
B1
—
2 21
8‘
Bz
t2
o
zur Vereinfachung s äs
s
gesetzt worden ist Denk t man
sich hier für die E xp onentialgröße ihre Entwicklung gesetzt so leuchtet
unschwer ein d aß der Koeffizient von t
die Zahl s und folglich
auch die Z ahl s nur in der s 1 P otenz höchstens enth alten kann
d aß also 17V e iner ganzen Funk tion von s vom Grade 5
1 mit
festen Koeffizienten gleich sein wird wie nach der Formel von C ayley
auch das von den Z irk u lat o re n freie Glied derselben es ist
l un g e rad e so tritt der Divisor
Sind nicht alle Elemente a b
d
2 auf ; sind d ann g
die geraden Elemente und ; ihre A n
zahl u u
die ungeraden Elemente so nimmt die Welle W d a
nur eine p rimitive Wurzel g,
1 vorhanden ist die Gestalt an :
wo
l
o
.
,
‘
-
1
0
,
t en
,
1
,
.
,
,
,
1
,
.
’
,
,
,
„
,
,
2
1
2
(
)
W2
Schreibt man also
1 52
l
gefunden w ird
Z
ei r
Z e rfä llu n g
ne
i n S u m m an d e n
ah l
‚
.
l
o gr 0
—
Da nun
.
ist ergibt si ch schließlich
,
_1
W2
8
5)
(
s
32
oder da
gleich
1 oder
ist oder ni cht ist
—
=
9
g
1
2
6
W
(
)
(
g
äg
4
28 8
1,
,
9
3
(
je nachde m
durch
s
teilbar
2
"
,
2
45 )
1 ) clr
1
( ,
Nunmehr ist unter o jede der beiden p rimitiven dri tten
wurzeln d i jede Wurzel der Gleichung
“
'
,
.
u
(
.
,
m
ä
=
1
0
+ o+
verstanden die auch die Gleichung
9
,
3
l
s
erfüllt
,
at
Der unter dem Summenzeichen stehende Ausdruck gibt nach P otenzen
von t entwickelt den folgenden :
,
,
9
*
9
’
‘
3 t (1
1
0
9
—
1
-
3t
2t +
9
-
9
3 t (1
9
8
-
9)
1 st
3
,
Nach
Anfang
von Nr
.
10
kann aber der
A us druck
Be
so kommt
oder da
1
(
.
C
'
ist einfacher
9
’
4 15 +
l’
für welchen der Koeffizient von %gleich 3
zeichnet also 9 die zweite Wurzel der Gleichung
,
’
:D
0
B e i sp i e l
O
D
er
e nu m e
r t
'
1
9
1
9
W
an
'
8—
1 53
O
i
3
für den 1 m Z irk ulator auftretenden Wert
zunächst
1
W3
oder da wen n
,
,
27
v
zu setzen ist
s E
0
S E
I
3 5
2
mod
(
3)
.
ist
7)
n
72
gewählt werden so daß
,
O
1,
,
v
3,
,
1
1
W3 = 5
clr
En dlich sind für d 4 unter 9 d die beiden p rimitiven viert en Ein
—
h e it s w u rz e ln
i zu verstehen also W gleich der Summe aus
1
8
2
)
(
,
4
:
t
0 6
s
c
K_1
1)
o,
’
.
und dem konjugiert imagin ären Werte Hier geht durch die Ent
7
wicklun g nach P otenzen von t ähnlich w i e bei W der Wert
.
3
16
hervor
Da aber für
.
s E
O
1 , 2, 3
,
1)
mod
(
)
sich
.
2, o,
a
resp findet darf man auch schreiben
,
.
1
4, =
4
clr
äg g
A ddiert man nun die vier in
1
29
gefundenen
)
(
Werte der Wellen W W2 M W so erh ält man genau denselben
w ie w ir ihn als von C ayle y
aus seiner Formel gewonnen am S chlu s s e von Nr 1 2 mitgeteilt
haben )
d
h
1 ) E ig
h
t li h lö
h d i F rm l
l
t
i
t
l
S
y
a
y
1
2
9
( )
1 , 0)
o,
1 ,
c lr
o
.
‚
.
4,
,
,
36
.
2
.
?
.
en
g
r
c
eb en
se n
au c
g
e
e n von
o
e
Rg
v es er n o c
un
e
rg
gg
g
n c
E
i h n f ü r i e n d e e b e n e le m e n t e
a, b ,
l als F u n k t i o n v o n s au s d rü c k e n z u k ö nn e n
D ie s o
e f un d e n e n A u s
d rü c k e f ü r d e n D e nu m e ran t e n las s e n e k e n n e n , d aß e r e i n e
an z e F u n k i o n v o n
s i s t , i n d e re n Ko e f z i e n e n d i e Z i rk u lat o re n , d h
ivi s i o n s e s t e (m o d s )
wi s s e
e in e h e n
alle 1 89 9 )
e su c h t ,
In n e u e e
h at H Wo lf ( n an - i s s e t ,
ei
e in
a i h m e i s c h , n ä m li c h v o n e i n e m all e m e in e n Z e rf ä llu n g s s at z e au s , d e n e r
m i e ls n - d im e n s i o n ale R au m b e t rac h t u n g e n b e rü n d e , f ür d e n D e n u m e ran t e n
y„ „ d e n all e m e i n e n A u s d u c k als e i n e F u nk t i o n d e r an e e b e n e n Art z u n d e n
ib
f ü r d i e F ä ll n = 1 , 2, 3 , 4 , 5 A u s dr ü c k e , w e lc h e le i c h au f di e v o n
m
e
o u rn
of
A
l
e
b
n
e
e
e
e
n
z
ü
s
l
v
es
t
r
m
l
e
ur
c
k
k
o
m
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d
a
zu
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b
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v
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e
S
,
a y
( g
y
son d e n
n ur e in e
all e m e in
e
e l, u m
.
r
g
tt
Er
g
fi
.
rt
t
gg
t
g
Z
rr
r
e
t
r
I g
g
.
t
.
r
.
.
ge
D
.
g
rg
r
t
.
D
H
gg
g
t
r
t
.
vr
fi
r J
.
.
.
Z e rf ä llu n g
1 54
e in
Z
er
ahl
S
in
u m m an d e n
W i r s c h l i e ß e n d i e s e Un t er s u ch u n g e n mi t e i n e r s e h r
i n t e r e s s a n t e n F o l g e r u n g a b w e l c h e S y lv e s t e r a u s s e in e r
F o r m e l g e z o g e n h a t (s Phil Magaz 1 6
S
Zur Abkürzung bezeichnen w ir dabei den D e n u m e ran t e n
16
.
,
.
'
.
d i die
.
Anzahl
.
der
.
.
.
der Gle i chung
Auflösungen
1
30
(
)
in nicht negativen ganzen Zahlen
mit
Dann
ist
nach
m
e
( )
K
N =
1
*
2
‘
,
Sylves ters
‘
1
1
3
)
(
einfach mit N und
Formeln
1
1
a
5
(
)
w, y, z ,
1
diese Summe auf alle untereinander verschiedenen Wurzeln m der
Gle iC h ‘m g e n
”
1
1 zu
x
1 23
erstreckt Schreibt man aber st att der Gleichung ( 1 30) diese andere :
“
°
,
,
,
.
3
2
1
)
(
für welche der zugehörige Denumerant
1
3
3
)
(
K
N
-
Z
I
(
1
-
1
-n
x
sein wird so entsp rechen jedem der in den N A uflösungen der
ersteren Gleichung auftretenden Werte von
genau a: 1 S ysteme
"
"
x x da die Gleichung x x
x e b e n s o v ie le Auflösungen zul äß t
D emnach muß
,
’
'
,
.
,
1
4
3
(
)
2
'
N
N
x
x
sein wo die Summation über alle jene Werte zu beziehen ist
d 7
M t h 5 S 7 9 ; Z h i ti
M
t h f M th
P h y 4 S 1 86 ; G lö l b
i gt
b
d
A d
S 1 32
w it r
di K ffi i t
k
wi
k ti
l li
F
d rj
b t imm b
i d
d ß
ig
d
k y
A d
S g wi
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h y „ g f
d
w erd e
k
t
i r k
= ö ( gl d
h li li h y
h fü
Tr
d
R y S
C yl y L
1 4 6 I S 1 2 7 ; 1 48 S 47
3 R ih
3
wi
Ph y
S t m k A r h f M th
d
llg m ei e F k ti
h
S
D
dr k d
m
t
f h lt b r
A d
hi r
20 S 9 7
r it h t h K W ih h ( Zt h f M th
Ph y
d 1 1 2 ; 22 S 284) r i
llg m i
ith m ti h
A dr k f ü d i A
i
,
.
’
a
u
.
a s
er
ze
.
n e are
e
sc
ß
,
one n
c
„
„
,
a
er
e re
n
.
un
se
,
g
s
h l d e r L ö su n
g
er
e
au c
n
e
e
en
a
sc
a
.
au c
so
v
e
v
e
.
o n s au s
on
e
.
ar
g
e
d e r Gle i c h u n
Z
s
ec
c
,
uc
t
e ne n
e
.
sc
a
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on
,
a
.
r
.
.
.
e ne n
e
us
ann
en
ru c
s
u
s
.
.
u
.
s
.
e
.
,
r
.
,
au c
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.
e
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us
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e
a
e
nn
.
.
,
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.
.
so
,
o
.
o
on
e ran e n
a
e
,
ar s n
n
e nu
es
es
es
en
a
se
.
,
1,
n
’
azu
.
z en en
oe
e un
„
.
s
.
ra uc
sc
g
u
e
ru c
us
es
.
e
nur ,
en
un
e n
en
e
.
r n
,
.
.
za
t
e
ona s
an ,
au s
e se
.
.
e
a
un
u rr e n e
e
n
uc /
r s
.
,
.
n
i n p o s i iv e n an z n ah le n au f e su c h , w e lc h e v o n d e r A rt d e r F o m e l ( 7 3) i s t
u nd
ro t z s e in e r n a ü li c h e n Ko m li z i e r h i
b
n b e hr
A
n ich
e
e
d
l
a
n
z
e
r
e
p
e r s c h li e t
ih n n u r d u c h
n d u k i o n au s
d e n b e id e n e in f a c h s e n F ä lle n v o n
2 u nd 3
le m e n t e n , o h n e di e s e lb e als f ü r b e li e b i v i e l
le m e n e z u e ff e n d z u
b e s ä i en
t
t tg
ßE
.
tr
r
I
t
t et
E
g
g
t
E
t
t
t
t
tr
.
r
Z e rf ä llu n g
1 56
e in e
rZ
ah l
S
in
um
man d e n
.
die Formel
2
x
a
y
2
+
sy
+
2
2
-
= K
und nun durch Verbindung mit
Z
1
3
9
( )
8
>
diese weitere :
a
w
hervor und man findet allge m
einer
‘
,
Fa 1
F
.
ß(
1 U
b
)
.
1
_8)
x(c )
1
S o fo r t fa h r e n d g e w i n n t m a n al s
g an z a l l g e m e i n e F o r m e l :
E
1
1
4
)
(
a
x
fi'e ?
y
u.
Re s ultat d i e
li e ß li c h e s
—
l ( s)
R _I
"
s ch
.
in welcher die Summation zur L inken über alle L ösungen x y
der Gleichung
diejenige zur Rechten über alle voneinander
verschi edenen Wurzeln m der Gleichungen
,
,
‘
“
x
m = 1,
= 1,
b
auszudehnen ist w ährend das P rodukt im allgemeinen Glie de dieser
Summe aus so viel analog gebildeten Faktoren besteht als die A nzahl
dieser Gleichungen d i der Elemente a b c
l beträgt
Nachdem diese Formeln gefu nden worden sind bezeichne man
jetzt mit x 562 x3
xN die N gleichen oder verschiedenen Werte
von x welche in den N A uflösungen der Gleichung ( 1 3 0) auftreten
D a man nach ( 1 3 8) die Summen gleicher P otenzen dieser N Werte
bilden kann so lassen sich bekanntlich auch die Koeffizienten einer
algebraischen Gleichung bilden als deren Wurzeln jene N Werte b e
stimmt sind und durch deren A uflösung sie gefunden werden könn en ;
die ge dachten Koeffizienten sind der Formel ( 1 3 8) zufolge bestimmte
Funktionen der Elemente a b c
Seien nun etwa N unter
jenen Werten gleich 93 N 3 gleich x2
N „ gleich mm so stellt ( 1 40)
eine lineare Gleichung vor welche zwischen den Summen für die
50
1
P
otenzen
je
derjenigen
Werte
von
die
jenen
Werten
x
l
2
fi
„
resp in den L ösungen von ( 1 3 0) zugeordnet sind stattfinde t A u s
A
rt
d
den y für a 1
gebildeten
linearen
Gleichungen
ieser
u
,
können daher jene Summen gleicher P otenzen von beliebigem Grade
berechn et werden demnach auch die Koeffizienten der algebraischen
Gleichungen denen jene N N „
N „ Werte von y res p genügen ;
,
,
,
.
,
.
,
.
,
,
1 ,
,
,
,
.
,
,
,
„
,
,
1
,
,
,
t“
,
,
.
,
,
,
1 ,
2,
„
.
,
.
.
.
D
De
er
nu m e
r t
an
y"
,
8
157
.
aus der A uflösung dieser Gleichungen werden sie selbst bekannt
N achdem aber so die N S y steme x y ermittelt sind die in den
Au f lösungen der Gleichung ( 1 3 0 ) auftreten gewährt nun die all
gemeine Formel ( 1 4 1 ) die Möglichkeit d ie algebraischen Gleichungen
aufzustellen denen die zu jedem S y steme x y zugeordneten Wert e
von z genügen und durch deren Auflösung sie zu fin den usw
S o s t e ll t s i ch d i e s e h r b e a ch t e n s w e r t e T a t s a c h e h e r a u s
d a ß d i e A u fl ö s u n g d e r unb e s t immt e n G l e i ch u n g ( 1 30 ) i n n i c h t
n e g a t i v e n g a n z e n Z ah l e n a u f d i e A u fl ö s u n g e i n e r R e i h e
b e st immt e r alg e brai s ch e r G l e i c h u ng e n z u rü c k g e fü hr t w e r d e n
k a nn d e r e n K o e f f i z i e n t e n a l s F u n k t i o n e n d e r E l e m e n t e
a
b
l a n g e b b a r s i n d]
Zudem haben wir in der Formel ( 1 4 1 ) d e n a u s d e n s ä m t l i ch e n
L ö s u n g e n x 31
d e r G l e i ch u n g ( 1 3 0) g e b i l d e t e n A u s
d r u ck :
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
,
v 0 gesetzt wird in die A n z ah l
welcher wenn cc ß y
dieser L ösungen übergeht als Funktion der Elemente a b c
l
d argestellt ; so führt uns di ese Formel gewissermaßen vom bloßen
Schatten z u m Ding an sich from the shadow to the substance w ie
in seiner feinsinnigen Weise S ylv est er sich ausgedrückt hat
1 7 Wir wenden uns nun wieder insbesondere zur Betrachtu n g
des D e n u m e ran t e n
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
.
.
8
1
zurück
.
Mit ihm ist die
2, 3
,
,
Anz ahl
der Z e rf ällu n g e n von s in n gleiche o der verschiedene p osit ive Sum
manden durch die Formel
F75 :
verbunden
eine
.
Da aber aus jeder
— 72
Z e rf ällu n g
:
Z e rfä llun g
-
1)
in n nicht negative d i in höchstens n p ositive Summanden hervor
geht und umgekehrt aus jeder Z e rf ällu n g der letzteren Art eine Zer
fällun g der ersteren so ergibt sich ( für s
die neue Gleichung :
,
.
.
,
I ma
’
z
F 1 s —n
,
F ax—92 +
F a s —7 1
n
°
Z e rf ä llu n g
1 58
Z
ei er
n
ah l
S
in
u m m an d e n
.
Schre i bt man sie in der Form
mit der Gleich ung
w as
7
3
1,
3 —2
—1 l 7 2
"
3
‘
,
'
l 7 71
'
a
,
—n
identisch ist so lehrt sie den Satz [ s
D i e Z ahl s n ist s o
o ft i n n g l e i ch e o d e r v e r s c h i e d e n e p o s i t i v e S u m m a n d e n z e r
o d er n s olche
f ä llb a r a l s d i e Z a h l s i n e i n z w e i d r e i
S u m m a n d e n z e r f ä l l t Für n s insbesondere erkennt man so d aß
d i e Z a h l 2s s o o ft i n s s o l c h e p o s i t i v e S u m m a n d e n z e r f ä llb a r
i s t a l s d i e Z ah l s ü b e r h a u p t i n s o l c h e S u m m a n d e n z e r fä l l t
Analog mit ( 1 42) ist
.
,
,
,
,
,
,
.
,
.
F n —l
, s
—1
F1
s
,
—n
F2
a
,
—n
also findet sich wieder die Gle ichung
Pn
aus welcher für
oder für
7
n
S
s
3 —1
l Pn
“
,
"
,
8
>
s
a
n
—n
7
—
1
7
21
m,
,
—
1
7
s
71
Dagegen ist für
—n
s
,
s
7
7
n
s
s
—7 2)
7
77 ,
s
—2 n
7
—1
:
,
m,
s
—n
s;
denn die Gleichung
s
= l
o
+
a1
+
m
(
1)
n
hat alsdann n u r L ösungen in denen
der Gle i chung 8 : l a + 2 a +
‘
i st
0
1
2
n
für jedes
7 7„
o
-a
0
an
,
Außerdem
:
die Formel
)
.
für
)
3
5
(
—n ‚
die Formel
71 , s
a
hervorgeht
s
,
2%
s
71 — 1
F
+
n
„
_1
n
o
an
ist d h die
,
.
.
L ös u n gen
(
n
o
Hiernach ordnen sich die 7 m für s ä mtli che Werte der Indices
in folgendes Schema von Reihen :
:
1
0
O
0: O
O:
0
7
1
7 :
7 3
7 :7 5:
1 44
,
(
)
7
2,
t
8
:
1
2
7
)
2
11
1
7
7 21 2
1
1
‘
n, s
)
14
)
1
7 22 i
7
7 35 2
92 2
i
dem w ir noch eine Reihe 7 0 vorgesetzt haben von der Bescha ff en
heit daß auch f ü r die erste Reihe der 7 die mit ( 3 6 a) und ( 36 a )
entsp rechenden Gleichungen
,
’
,
1,
Z e rf ä llu n g
1 60
e in e
r
S
Z ahl i n
u m m an d
e
n
.
D emnach nimmt die Gleichun g ( 1 48 ) die Ges talt an
Insbesondere wird also
“(
—1
o
“
01
'
l
“0 8
'
d i mit Rücksicht auf ( 3 6 )
.
”
’
a
.
1
5
0
)
(
7:
06
00
2
—1
o
ü 01
°
Nun bildet sich ersichtlich der Anf ang der aufeinander folgenden Reih en
R R R R3
indem zu den ersten n Gliedern der Re ihe R _
in der folgend e n Reihe R das Gli e d ocm hinzutritt um dann in allen
folgenden zu verbleiben ; geht m an s o ins Unendli che fort so erhält
man eine gewisse S ch lu ßre ih e R die aus den sämtlichen Gliedern
0,
1 ,
2,
„
,
1
‘
"
n
,
,
,
“
„
R
00
0„
:
“0
“ 2 ’ (x
33 )
2
“ 1
1 )
07
besteht Ihr allgemeines Glied
beiden Reihen
:
F:
R0
“ 2
00
“3
2
3
7
bildet sich aus den Gliedern der
02„
.
'
-
oo
“ 1 2 “02 2 “ 3 2
0
0
7 1 21
7 3 3,
,
2
d i aus der Grundreihe R 0 und aus der S ch lu ßre ih e des Schemas
1
44
nach
dem
ausges
roche
en
Gesetze
ndem
man
n
ä
ml
i
ch
i
n
1
0
n
i
5
(
)
p
(
)
die erste n s
Glieder der ersteren m it den in umgekehrte r Reihenfolge
genommen en s 1 e rsten Gl i edern d e r letzteren multipliziert und dann
addiert N ennt man diese O p e ration e i n e Z u s a m m e n s e t z u n g b e i d e r
—
R e i h e n und bezeichnet sie als d a s P r o d u k t R O R s o darf man
sagen :
die S ch lu ßre ih e R sei di es P ro dukt in Zeichen :
.
.
,
.
-
,
0„
1
5
1
(
)
R,
R0
.
11
Ist 3 3 20 so folgt durch wiederholte
Formeln ( 1 46)
Anwendung
,
an
:
“0
—1
:
—2
“
der ersten der
—
m n,
s
insbesondere also
an
“0
—1
:
“22 3 — 3
+
“3 0
’
d h man findet
wenn man die Reihen
jede gegen die
v orhergehende um eine Stelle nach rechts verschoben
untere inander
schreibt und dann die 3 1 Kolonne addiert In gleicher Weise e r
gibt sich (vgl ( 1 42b ))
.
.
,
te
.
.
7
Die
0
:
—1
—2 l
"
7
"
3
0
.
Anz ahl 7 „
s c h ie d e n e
der Z e rf ällu n ge n der Zahl s in gleiche oder ver
der Zahlen
2 3
s ist aber ( s ( 7 a) ) die Anzahl F
,
,
.
,
D i e S c h lu ßre ih e 1
1
1
„
1
„
1 1„
1 61
ihrer Z e rf ällu n ge n in p ositive Summanden überhaup t ; die vorige
Formel nimmt daher auch die Gestalt an :
1
5
5
)
(
und die
des Schema ( 1 44) läßt sich schreiben wie folgt :
S c h lußre ih e F
1
5
6
)
(
F
:T
F1 , F2 ,
O,
R,
ihre A nfangsglieder sind wie leicht festzustellen ( s E uler In t ro du c t io
in An alys in I Kap 1 6 S 27 0 ; L ausan ne
die Zahlen
.
,
,
5
1
7
(
)
.
,
.
:1
F
,
,
1 , 2, 3, 5 , 7 , 1 1 , 1 5 ,
Wird diese Reihe selbst zur Grundreihe R des Schema ( 1 45)
genommen so wird die S chlu ßre ih e desselben durch Zusammensetzung
von F mit sich selbst erhalten also durch die Formel
18
0
.
,
,
Rw = F
o
F
auszudrücken sein oder als Quadrat von F gedacht werden dürfen
und ebenso lassen sich höhere P otenzen von I bilden Für alle
d iese Reihen gelten dann die gleichen insbesondere die durch d ie
Formeln
zum
usdruck
gebrachten
Grundgesetze
1
A
3
5
(
)
wie f ür die Reihen der
Man findet so aus der Reihe ( 1 5 7 )
die R eihen
,
'
.
,
,
F
2
F
3
:1
:1
,
2, 5 , 1 0, 20,
,
3, 9 , 22, 5 1 , 1 0 8,
3 6,
Die Grundreihe des Schemas ( 1 44) darf als die nullte P otenz
O
aufgefaßt und mit
diejenige Gru ndreihe bezeichnet werden
T
aus welcher durch Zusammensetzung mit ( 1 5 7 ) jene als S chlu ßre ih e
hervorgeht N immt man sie also als die Reihe R 0 :
usw
.
,
.
5
8
1
)
(
“
“
“
“
03 2
01 2
02 2
00 2
5
1
9
(
)
“ 0 2 “1 1
0
so sin d die Zahlen
mit der Grundreihe
die Gleichungen
O
1
6
0
(
)
2
“ 2 2 “3 3 2
2
identisch und nach ( 1 5 0) bestehen
1 , 0, 0, 0,
1
2
°
,
“
01
7 11
0
“ 0
0
7 00
“ 1
0
“
“0 1
“0 0
02
aus denen die Zahlen
da 7 00 1 ist allm ählich berechnet
werden können Nu n ist das in ( 1 5 0) ausgesp rochene Gesetz zur
Bildung der Zahlen ( 1 5 9) o ff enbar genau das gleiche w ie d asjenige
nach welche m die Koeffizienten des entwickelten P rodukts der beiden
Reihen
c m
Z l
II
i d
i
11
2
,
.
,
B
a
h
an n , n e
e re
ah
en th e or e
.
.
,
Z e rf ä llu n g
1 62
e in e
r
Z
ahl
S
in
um m an d e n
.
“ 1x
0
5
1
1
(
)
“
11
7
0
7
2
93
22
aus den Koeffiz i enten der Reihen selbst entstehen Den Gleichungen
:
zufolge
erhielte
man
also
die
Beziehungen
1
60
(
)
.
2
6
1
(
)
1
“ 1 “
0
(7 00
“0
Nach Formel ( 7 ) in Nr
wicklun g des P roduktes
ist aber der zweite Faktor mit der Ent
2
.
“
711
G)
II
=
1
l
— xh
1
h
identi sch und so geht aus ( 1 62) die Gleichung
,
H
=
3
1
6
(
)
)
”
Ü
x
2
05 12
3
02
060 0
1
h
her v or Denkt man sich hier das Produkt entw i ckelt so wird er
sichtlich die P otenz x so o ft entstehen als s aus einer geraden
und die P otenz x so oft als s aus einer ungeraden Anzahl p osi
tiver voneinander verschiedener Summanden gebilde t werden kann
Bedeutet daher wieder
die A nz ahl w ie oft s in n p ositive u n
gleiche Summanden z erf ällt w erden kann und setzt man
,
.
“
,
,
”
,
.
,
,
4
1
6
(
)
l)
A,
so erh ält
’
22
zur
L inken
i dentisch
0„
8,
A,
und somit ist
A3
mit der Reihe
1
5
6
)
(
N ach
.
von ( 1 63) den Koeffizienten
“0 3
und
n
1
7
-
1
:A
O2
A1 2 A2 2 A 3 2
Formel ( 20 a) ist
also
1
66
(
)
A,
4
——
j
,
eine Reihe die so weit fortzusetzen ist als s
0 bleibt
Es kommt nun darauf an den Wert dieses Ausdrucks zu finden
1 9 Ein Satz welchen man E ule r verdankt u nd der unter dem
N amen L e g e n d r e E u le r s c h e r P e n t a g o n a l z a h le n s a t z geführt
,
,
,
.
,
-
.
.
Z e rf ä llu n g
1 64
e in e
Z
r
in
ahl
S
u m m an d
e
n
.
d h d i e A n z ah l d e r g e r a d e n Z e r f ä llu n g e n j e n a c h d e m n
g e r a d e o d e r u n g e r a d e i s t u m e i n e E i n h e i t gr ö ß e r o d e r
kle in er al s d i e der un gerad en
Um diesen Satz in eine einfache Formel zu fassen bezeichn en wir
.
,
.
,
.
o
m
oo
n
it
1
2
e 1 ne Summe von
n v e rs ch l e d e n e n
0
c
ak
,
Elementen
0
8
1
t
1
v
e
n
p
ak
1
und nach
Vahlm
mit
ä
N
612k ;
1
die
Anz ahl
der
von der Form
Z e r f ä ll u n g e n
j ede von
1
i h n e n p o s i t i v o d e r n e g a t i v g e z ä h l t j e n a ch d e m n g e r a d e
o d e r u n g e r a d e i s t ; dies ist ersichtlich der Unterschied z w is ch e n d e r
A nzahl gera der und derjenigen ungerader Z e rf ällun g e n in verschiedene
A
ositive
Summanden
welchen
wir
genannt
haben
Bei
ents
rechen
p
p
der Deutun g des Zeichens
,
‘
,
,
(
N
i s t dan n d er
s
=
3
n
2
+n
2
.
;
d e r I nh a l t d e r F o r m e l
P e n t a g o n a lz a h l e n s a t z
n
1
9
6
(
)
=
N
Z
ak
1
;
N
(
s
=
3
n
2
+n
2
i
Den ersten r e i n a r i t h m e t i s c h e n B e w e i s d i e s e s S a t e s gab
J ac ob i (Be w eis des Satzes daß jede fünfeckige Zahl usw
J ourn f
reine u an g e w Math 3 2 1 846 S
indem er allgemeiner f ü r b e
liebig gegebene Elemente
den
Unterschied
ß y
z
,
.
.
.
,
.
,
C
S;
.
,
.
,
A
‚
,
“2 162
72
zwischen der Anzahl der aus einer geraden und der au s einer un
geraden A nz ahl derselben gebildeten Z e rf ällun ge n von s aufsuchte
Sehr viel einfacher aber ist ein Beweis von J F ranklin ( C R der
A o P aris 9 2
m it welchem ein s p äter von L G old
S
s chmi d t ( Pr ogramm der höheren H andelsschule
Gotha 1 89 2 oder
Z t s c h r f Math u Phy s 3 8
S 1 21 ) gegebener wesentlich
identisch ist Diesen B eweis wollen wir hier mitteilen
Man denke sich alle Z e rf ällu n g e n s von der angegebenen Art je
nach der Anzahl ihrer Elemente in Klassen verteilt so d aß die Zah l s
selbst die erste Klasse X die Z e rf ällun g e n
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
,
1 ,
1 +
(
s
2+
(
s
die zweite Klas se K, und allgemein die
3 +
(
s
Z e rfä llu n g e n
von der
Art
B e w e is
F ran k lzn
’
von
1 65
.
1
7
0
(
)
ausmachen und denke in diesen
die n Klasse
Elemente stets der Größe nach geordnet also
ie
,
die
Z e rf ällu n ge n
,
a1
<
ag
<
<
a3
a„
.
Man z ähle ferner in jeder dieser Z e rfä llu n g e n wieviel der letzten
Elemente aufein anderfolgende Zahlen sin d ; sei in der Z e rf ällu n g ( 1 7 0)
die Anzahl dieser Elemente gleich k ; diese Zahl ist mindestens 1 da
man das letzte Element für sich als ein solches auff assen kann D an n
l a s s e n s i ch d i e Z e r f ä llu n g e n d e r K l a s s e K i n z w e i A r t e n
u n t e r s ch e i d e n in die erste Art bei der das anf ängliche Element a
nicht größer ist als diese der Z e rf ällu n g zukommende Zahl k und
in die z w eite Art bei welcher a
k ist
Sei die Z e rfä llu n g
die kurz Z heiße zunä chst von der
ersten Art :
,
,
.
n
,
,
1
,
1
,
.
,
1
7
1
(
)
a1
s
an
a2
_z
an
.
_k + i
an
,
aufeinanderfolgende Zahlen b e
a _
a
wo 0121 ä h und
deuten
aber u m mindestens zwei Einheiten kleiner ist als a 2 +
Dann kann man das Element a unterdrückend und die Einheiten
aus welchen es besteht auf die letzten a Elemente verteilend aus Z
eine andere Zerlegung Z ableiten :
„
1 ,
n
1.
n
,
1
,
,
l
,
,
’
s
a2
o
can —a ,
0
1
(
an — a 1
+
1
(
an
)
1
o
)
1
(
2
11
-
)
,
a
welche o fl e nb ar zur Kl asse K _ und da ihr Anfangsglied a
d h größer als die A nz ahl der letzten Elemente ist welche j e t z t
aufeinanderfolgende Z ahlen sind zur zweiten Art der Z e rf ällun g e n
dieser Klasse gehört N u r in e i n e m Falle wäre solche zu Z ent
sp rechende Ze rf ällu n g Z nicht vorhanden wenn n ä mlich k n d h
sämtliche Elemente aufein anderfolgende Zahlen und zugleich a
k
wären denn in diesem Falle ließen sich die n Einheiten des Anfan gs
gliedes n i c h t in der angegebenen Weise auf die übrigen n 1 Ele
mente verteilen
Ist zweitens die Z e rf ällu n g Z von der zwe iten Art also in ( 1 7 1 )
a
k so kann man von den letzten k Elementen je eine Einheit
abhebend und deren Summe k als Anfangsglied voranstellend aus ihr
"
eine andere Z e rf ällu n g Z ableiten :
'
1
„
2
,
1
i
.
,
.
,
.
'
.
,
.
1
,
.
1
,
,
,
3
k
“1
+
an —k
an —k + 1
(
a
(
(
1)
an
—1
1)
n
welche ersichtlich zur Klasse K + und da jetzt die Anz ahl der
letzten Glieder welche au feinanderfolgende Zahlen sind mindestens
gleich k also mindestens gleich dem An f an g s glie de ist zur ersten
n
,
,
1
,
,
,
1 66
Z
ei r
Z e rf ä llun g
ne
ahl
S
in
u m m an d e n
.
der Z e rf ällu n ge n dieser Kl asse gehört N u r in e i n e m Falle w äre
"
wieder solche zu Z entsp rechende Z e rf ällun g Z nicht vorhanden
wenn nämlich wieder k 22 d h s ä mtliche Elemente aufeinander
k 1 wären denn in dieser Vor
folgende Zahlen und zugleich a
auch das Element a um eine Einheit verringert
a ussetzung würde
werden müssen und dann dem An f an gs gli e de gleich werden w ährend
nur Z e rf ällu n ge n von s in verschiedene Elemente zulässig sind
Sucht man nun u m gekehrt zur Z e rf ällu n g Z der Klasse
welche von der zweiten Art ist die ihr nach der letzten Regel ent
s p rechende Ze rf ällu n g der Klasse K so findet man dafür o ff enbar
die Z e rf ällun g Z welcher Z selbst entsp rach Desgleichen ents p richt
"
der Z e rf ällu n g Z erster Art der Klasse E + l nach der ersten Regel
"
ersichtlich die Z e rf ällu n g Z der Klasse Km welcher Z selber ent
s p rach Demnach darf man sagen :
Ab g e s eh en v o n de n erwähnten
b e s o n d e r e n Z e r f ä llu n g e n l assen sich sämtliche übrigen Zer
f ä llungen von s derartig i n P a a r e v e r t e i l e n daß von den Zer
f ällungen desselben P aares jede der anderen i n der zuvor an gegebenen
Weise entsp richt Da aber von den Z e rf ällu n g e n eines jeden P aares
die e ine gerade die andere ungerade ist so wird der Beitrag welchen
sie zur Bestimmung des Unterschieds A zwischen der A nzahl der
geraden und der ungeraden Z e rf ällu n ge n liefern stets gleich Null
und somit falls es keine Z e rf ällun g der erwähnten besonderen Arte n
gibt auch dieser Unterschied A selbst gleich Null sein
Wäre aber eine Z e rf ällu n g Z der Klasse K vorhanden bei w elcher
a
k n ist so hätte man
Art
.
,
,
.
.
l
,
1
,
.
'
,
n,
’
.
,
n
.
,
'
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
n
1
,
,
l
a so
n (n — 1 )
3
21
n
’
d h 3 wäre eine P e n t ag o n alzah l G äbe es eine
welcher k 22 und a
k 1 so würde
.
.
.
1
Z e rf ällu n g
von
s,
in
,
also
s
n
( +
n n
2
1)
3
22
2
2
—
4 21
2
d h s wieder einer P e n t ago n alz ahl gleich Andererseits kann eine Z ahl
stets nur a u f e i n e We i s e P e n t ag o n alzahl sein da aus der Gleichung
.
.
.
,
2
sich
k
(
k
2
3
k
)( (
'
k
'
)
1)
0
und da 3 (k k ) 1 nicht N u ll sein kann sich k k ergibt Man
schließt aus diesen Bemerkungen daß fa l l s s k e i n e P e n t a g o n a l
'
'
,
,
,
,
.
Z e rf ä llu n g
1 68
e in e
Z
r
1
1
7
2
( )
2
=
8
ak
ah l
g
+
S
in
um
Z
1
1
.
v
3
bk
m an d e n
710
1
Elemente a den Rest s g n h die Elemente bk den Rest
— s y n h mod 3 lassen w ährend die Elemente 3 7 „ die durch 3
(
)
teilbaren Elemente darstell en ; zwischen
besteht
die
Beziehung
y
worin
di e
-
],
,
c
2
,
.
.
—
l
p)
(
oder
3
7
1
( )
Ä
ihr
-S
n
h
g
=h
=
h
u
l ls
-
zufolge ist 1 0 also stets ein Element ah in der Z e rf ällu n g
darin auftreten so fiele die
vorhanden ; sollte kein b oder kein
bezügliche Summe in ( 1 7 2) aus In den einzelnen Summen denken
wir die Elemente stets nach der Größe geordnet N u n l a s s e n s i c h
s ä m t l i ch e Z e r f ä ll u n g e n ( 1 7 2) i n z w e i A r t e n u n t e r s c h e i d e n
n a ch fo l g e n d e m P r i n z i p
Die Elemente a1 sind einander ( mod 3) kongruent ihre Di ff eren zen
also teilbar durch 3 Man z ähl e nun wieviele der Di ff erenzen
.
,
k
,
.
.
.
,
.
,
.
G2
I
,
61 2 —1
0 2 —2 ,
0 2 —1
,
61 2 —2
ar
.
—3 ,
H
gl e i ch 3 s ind ; ist 3 1 deren An zahl so daß a2_
die erste
a2
Di ff erenz ist welche ein V i e l fa c h e s von 3 ist so soll i d e r I n d e x d e r
Z e r f ä llu n g heißen
Zur e r s t e n A r t rechnen wir dann alle Zer
f ällungen
bei denen entweder kein 7 „ auftritt oder entgegen
gesetztenfalls i < 7 1 ist zur z w e i t e n A r t diejenigen bei welchen
Z
e
r
f
ä
l
l
u
n
ist
Ist
zuerst
die
von
der
zweiten
so
1
7
2
A
r
t
y
)
g (
kan n man die Einheiten aus denen 3 9 besteht zu je dreien auf
die letzten ak ve rt eilend ihr stets eine andere Z e rf än
s “ + a
al —y
al
l d l)
i
°
,
,
,
,
.
2
,
,
,
,
.
,
2
,
,
,
,
1
"
2
‘
"
‘
l
y
+
v
Z
bk
+ 3
2
yla
zuordnen welche ein Element w eniger enthält und der ers t en A rt
angehört da entweder kein 1 mehr vorhanden oder entgegengesetzten
falls der Inde x der Z e rf ällu n g welcher offenbar y, ist kleiner als
das erste Element y ist
Gehört dagegen die Z e rf ä llu n g ( 1 7 2) der
ersten Art an so ordne man ihr die andere Z e rf ällu n g
,
2
„
,
,
,
,
.
,
s
= a1 +
—3 )
+
a2
14
.
Z
welche ein Element
mehr enth ält und zur zweiten Art gehört
d a wenigstens das eine durch 3 teilb are Element 3 2 vorhanden ist
und der Index der Z e rf ällun g weil nach Voraussetzung
zu
,
3
°
2
,
°
,
n ac h
Be w eis
gleich
Vah len
1 69
.
3)
a1
die Di fferenz
jetzt aber S 3 ist min
Indessen ist diese neue Zuordnun g dann aber auch
d e s t e n s i b e t rä gt
1 und zugleich a 1
nur dann ni cht möglich wenn
3 ist da als
d ann die Subtraktion einer Drei auch vom Glie de a nötig würde
also kein p ositives Element der Z e rf ällu n g mehr erg äbe
L äßt man einstweilen die Z e rf ä llun g e n dieser Au s n ah m e art bei
seite so sieht m an leicht ein daß umgekehrt die der Z e rf ällun g
res p
nach denselben Regeln zugeordnete Z e rf ällun g
eben di e Z e rf ällun g ( 1 7 2) ist der resp sie selbst zugeordnet waren
man erkennt so daß alle übrigen Z e rf ällu n ge n der gedachten
und
Art sich wieder i n P a a r e v e r t e i l e n solcherweise daß jede Zer
f ä llung eines P aares der an deren Z e rf ällu n g di eses P aares zugeordnet
ist Da aber von ihnen die eine gerade die andere ungerade ist
h e b e n s i c h d i e B e i t r ä g e w e l ch e s i e fü r d e n g e s u c h t e n Un t e r
s c h i e d A „ d e r A n z ah l g e r a d e r u n d d e rj e n i g e n u n g e r a d e r
E s bleib en d emnach
Z e r f ä llu n g e n l i e fe rn g e g e n s e i t i g a u f
z u r B e s t i m m u n g d i e s e s U n t e r s c h i e d e s n u r d i e v o rh e r a u s
g e s ch l o s s e n e n Z e r f ä llu n g e n z u b e r ü c k s i ch t i g e n
D i e s e Z e r f ä llu n g e n w e lc h e zur ersten Art gehören so daß in
ihn en falls ein
auftritt i < yl ist v e r t e i l e n w i r i n d r e i
m ö gl i c h e K a t e g o r i e n :
e r s t e n s in diej enigen bei w elchen weder ein b) noch ein y]
vorhanden ist ;
z w e i t e n s in solche bei welchen kein bk wohl aber min
d e s t e n s e in 7 vorhanden ist ;
d r i t t e n s in solche bei w elchen mindestens ein b auftri tt
und diese Kategorie von Z e rf ällun g e n bietet wieder zwei
kleinere G r u p p e n ;
in der e r s t e n ist ent w eder kein 7 vorhanden oder entgegengesetzten
falls a2 b1 3
in d e r z w e i t e n ist a2 b S
Ist
3,
”
,
,
.
,
,
1
,
.
,
,
.
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
„
,
.
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2„
k
,
,
2„
l
=
s
Z
ak
b,
1
:
eine Z e rf ällun g der ersten dieser Grupp en in welcher nur e i n
tritt so ordnet sich ihr eine Z e rf ällun g
,
,
‚1
8
_l
z
=
=
l
ak
+ 3
6
1
bl
b2,
auf
2 )
7h
zu welche ein Element weni ger enth ält und zur zweiten Kategorie
z ählt ; aber auch u m ge k e h rt f o lgt aus jeder Z e rf ällu n g der letzteren
Kategorie
,
Z e rf ä llu n g
1 70
e in e
r
z
Z
ah l
S
v
in
2
.
=
s
3
ak
2
1
weil
3
a1
und
i
Ä
.
,
2.
vorausgesetzt also
7,
,
3 71 1
3
a1
O
v
Z e rf ällu n g
s
=
2
b1
ak
3
2
1
= a2
.
1
und
ist eine
u m m an d e n
2
7„
2
—3
in welcher a2+
ged acht ist die also
ein Element mehr enthält und eine nur e i n b] enthaltende Zer
f ällung der ersten Gru pp e ist da falls noch ein 7 „ darin au ft ritt
3
ist
H
i
e
r
n
a
c
h
h
e
b
e
n
a
l
s
o
da
auch
hier
b
a1
<
+
1
7
+
die Zuordnung je zweier Z e rf ä llu n ge n wie leicht einzusehen ein e
gegenseitige ist d i e Z e r f ä ll u n g e n d e r z w e i t e n K a t e g o r i e u n d
d i e b e z e i c hn e t e n Z e r f ä llu n g e n d e r e r s t e n G r u p p e d e r d r i t t e n
K a t e g o r i e w a s i h r e B e i t r ä g e z u d e m g e s u ch t e n Un t e r
a nb el angt ge gen s e iti g s i ch auf
s c h ie d e AM
D i e üb r i g e n Z e r f ä llu n g e n d i e s e r G r u p p e t i l g e n ab e r
d e n B e i t r a g d e r Z e r f ä llu n g e n d e r z w e i t e n G r u p p e Denn ist
1
3 , öl
a2
,
,
,
2
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
l
7
4
1
(
)
s
=
2
ak
+
5
v
12.
1
1
3
2
22.
1
eine Z e rf ällu n g derselben welche mehr als ein
sich ihr eine Z e rf ällu n g
,
=
s
ä
a2
+
f
bk
enth ält so ordn et
,
a+ 3
1
2
1
,
welche ein Element weniger enth ält und der zweiten Grup p e z u
gehört denn a ist kleiner als 3 der Inde x i ist gleich der A nzahl
1 der Elemente a
und al _l b2 ist
1
zu ,
,
1
,
k,
a2
+ b,
d h größer oder gleich dem kleinsten der durch 3 teilbaren Elemente
Gehört umgekehrt die Z e f ällu n g ( 1 7 4) der z w eiten Grupp e an so
ordnet sich ihr eine andere Z e rf ällun g
.
.
.
r
,
v
u
‚
—
3
( 71
+ 3
a2
1
zu welche ein Element mehr enthält und eine
,
Z e rf ä llun g
2
der ersten
Z e rf ä llu ng
1 72
e in e
r
Z
S
in
ah l
u m m an d e n
.
der Z ahl s 2 72 für welche die Summe der absolut kleinsten Reste
der Elemente ( mod 3) gleich 12 Ä
72 ist und offenbar auch um
gekehrt Bezeichnet man also für die l freien Z e rf ällu n ge n von s
mit der s umme 72 der absolut kleinsten Reste der Elemente ( mod 3 )
den Unterschied der A nzahl gerader und derjenigen ungerader Zer
so
findet
sich
die
allgemeine
Beziehung
f ällungen mit A 2
?“
“
A
7
7
1
1
(
)
Andererseits ergibt sich aus jeder Z e rf ä llu n g ( 1 7 5 ) von s welche das
Element 1 enthält für welche also a = 0 ist eine 1 freie Z e rf ällu n g
,
.
,
-
.
.
.
,
,
-
l
,
1
7
s
(
)
1 =
s
j
1) +
a„
3
(
,
5
i
1) +
6ß
,
'
3 y,
der Z ahl s 1 welche ein Element weniger enth ält und für welche
die Summe der absolut kleinsten Reste der Elemente (mod 3 ) gleich
h
ist
und
o
f
fenbar
auch
umgekehrt
Der
Unter
1
2
1
1
schied A 21
ist also n egativ genommen der für die nicht 1 freien
Z e rf ällu n g e n von s mit der Summe 72 der Reste gebildete Unterschied
zwischen der Anzahl gerader und ungerader Z e f ällu n g e n Demnach
findet sich der für s ä m t l i c h e Z e rf ällu ng e n von s mit der Restsumme
h der Elemente gebildete Unterschied A M durch die Formel
,
.
2
.
.
,
1
1,
-
-
1
,
,
r
.
,
4 31
1
1
7
9
(
)
In
A nwendung
12
-
1
.
von ( 1 7 7 ) geht daraus die Gleichung hervor :
(1 )
A 3 —2 Iz — h
,
A 3 —2 72-1—
1 —h +
(1 )
,
w ährend ( 1 7 9 ) durch Vertauschung von
72
1 die Gleich ung
A 3 —2 h +
1,
—h +
A3 —
2h
1
-
s,
1 )
h resp mit
.
2h
s
1,
A 3 — 2 h —h
1,
,
liefert deren Vergleichung mit der vorigen zur folgenden führt :
,
0
1
8
(
)
A2
A 3 — 2h +
1
1,
—Iz+
1
°
Diese für jedes h g ültige Beziehung gibt in sbesondere für
A2
,
72
0
0
Dem Vahlens ch e n Satze zufolge ist die rechte Seite dieser Formel gleich
1
8 1
1
Null den einzigen Fall ausgenommen in welchem s 1
2
also s 0 und in welchem sie gleich 1 wird Demnach ist im all
3 0 —0
—
=
=
=
=
=
=
A
m
1
s
d
1
e
e
l
n
e
n
t
e
0
nur
wenn
0
1
A
s
o
o
g
2
M a n e r k e n n t h i e r a u s d i e G ü l t i gk e i t d e s Va h le n s c h e n S a t z e s
a u ch fü r d e n F a l l h 0
Au s dem engeren P e n t ag o n alz ahle n s at z e gewinnt man dann aber
auch sogleich den L egendre E ulerschen P e n t ago n alz ah le n s at z wieder
wenn man s ä mtliche Z e rf ällu n ge n e iner Zahl s in verschiedene p osi
,
,
,
.
0
,2
7
7
2
7
,2
.
-
,
gä u g
Er
nz
d e s Va hlen s c h e n B e
n
w is s
e
e
173
.
tive S u m m nden na ch den Werten welche die Su mm e h der bsolut
kleinsten Reste der Su m m anden (m o d 3 ) darbietet u nd die ersi e ht
li ch nur m it s (m o d 3 ) kongru ent sein k ö nnen in Gru pp en G ver
teilt Da der Unterschied A M für jede dieser Grupp en Null ist bis
3M i
auf die eine etwa vorhandene Grup p e G i h für deren Index s
2
wird so ni mm t der g e s a m t e
ist f ü r welche dan n A N glei c h
Unters chied A = Z A auch nur in diese m Falle den Wert
a
a
,
.
n
,
.
,
.
n
,
,
,
,
„ „
,
an w ährend er s onst Null ist
wie der genannte S atz e s aussagt
D u rch Betrachtungen wel c he den eben angestellten ähnlich sind hat
R D au blebsky v S t e rn w k ( S it u n g s b e r Wien A kad 1 0 6 H S 1 1 5 )
einen einfacheren Be w eis des Vahlens c h e n Satzes gegeben der jedoch
—
den L egen d re E ulerschen P e n t ag o n lzah le n s at statt ih n au s jen em u
folgern i m Gegenteil u Hilfe ni m m t Seine Betrachtungen gestatten
d nn v S tem eck d e m S at e von Vahlen einen no ch enger ge f aßten
ähnlichen Charakters an ugliedern
E hat ferner in einer in den S itz ungsberi chten der Wiener A k a
dem ie 1 09 II 1 9 00 S 28 enthaltenen Arbeit uch für diejenigen
Z e rf ällu n g e n einer Zahl bei wel c hen di e S u mm e der absolut kleinsten
Reste der Su mm nden ( m o d 5) gleich h ist den Unterschied A M
zwischen der An ahl der geraden und derjenigen der unger den Zer
E s gelingt ih m m ittels des L eg en dre E u ler
f äll u ngen aufgesucht
dur ch welche uns chwer
s c hen Sat es R e k u s i o n s f o rm e ln auf u stellen
der Wert jenes Unterschiedes bere chnet werden kann
22 Au s jeder Z e rf ällun g ( 1 7 5 ) der Zahl 3 in welcher 1
h
p
h
i s t geht eine Z e rf ä ll n g der Zahl 8
3
Z
v
h
.
,
,
,
.
z
.
.
.
.
,
.
,
,
a
z
,
a
z,
.
z
.
z
,
z
.
r
,
,
a
.
,
'
a
.
,
,
a
z
-
.
r
z
z
,
.
.
.
,
s
u
,
8
1
1
)
(
1
=
s,
Z
5
+
1
I
5.
1
1
z
her v or wo
eine Su m m e
,
v on
J
.
vers chiedenen Zahlen ist die
,
1
bis auf die ers te eventuell der Null gleiche p ositiv sind ; und u m
gekehrt De m nach folgt aus d e m Vahlm s ch e n S at e d wenn
3 h —h
h
h
m gekehrt daß der A usdru c k
wird
u
nd
u
2
2
z
v
z
.
2
2
a,
,
,
I
8
1
2
( )
=
2
a
ak
+
z
ßk +
2m
‚
l
(
-
=
h
u
)
dessen Bedeutung als An ah ldifi e re n z nach d e m zur Form el ( 1 69)
Gesagten verständlich ist im llge m einen gleich Null n u r wenn
h
h
3 =
ist
gleich
ist
Dies
s
richt
sich
wenn
2
h
p
M
g
eingeset t und für s wieder s geschrieben wird in der für ein b e
s t i m m t e s h gedachten Gleichung
'
z
a
,
1
,
z
,
.
1
,
,
,
.
Z e rf ä llu n g
1 74
e
in Z
er
h
a
nd n
u
l i n S mm a
e
.
M
1
3
8
(
)
=
N
Z
+
ak
2
131. +
2
1)
906
h —h
2
(
N
s
2
)
aus Man setze nun in dieser Gleichung für h die aufe inanderfolgenden
i
ositiven
Zahlen
ein
und
add
ere
die
ents
rechenden
1
3
2
p
p
.
,
,
,
k
Gleichungen
Unterscheidet
.
be üglich der
m an
2
S u mm e
z
+ M
in
ack ,
Null sein darf die F ä lle in denen dies
1
welcher das erste
E le m ent
,
,
H+
eintri tt von den übrigen derart daß sie sowohl eine Su m m e
,
,
,
u
‚
+
h
z
,
1
s ä m tlich p ositiv sind s o geht o ffenbar bei der
von ( 1 83) der Ausdruck
A ddition
,
N
+
ä
1
u
=
N
2
+
h
2
a.
+
ßk
+
ä
1
1
f0
v
2
1
05k
L inken
1
1
worin h 0 gedacht ist hervor ein Au s dr u ck welcher
einfacheren :
v
2
N =Z + z ß + z m
,
,
zu r
n un
m
8
1”
1
1
,
de m
folgenden
p
.
ak
k
1
1
1
worin Ä u
ä
A ddition auf
o
s
i
t
i
v
e
s
n
p
de mnach die
2
be eichnen kan n deren S u mm anden
a„
‚
-
1
2
als auch eine Su m m e
h
zu denken ist gleichko m m t Anderers eit s geht durch
der rechten Seite der Gleichung ( 1 83 ) die für irgendein
hervor
u
nd
es
entsteht
gedachte An ahl N (s
2 )
Form el
v
z
.
,
n
z
n
,
1.
1
4
8
(
)
N
=
Z 2
a,
1)
3
1,
+
(e
der m an auch wenn
geben k nn :
,
s
durch
s
—l
(
s
)
w
t
N
v
a
erset t wird die folgende Gestalt
z
8
,
a
1
( 1 84 a)
N
1
2
8
.
2
8
a„
2
(
1
n
(%
1
1)
3
1,
1
1
N (s
v
y
.
p
,
u
pos
.
u g
n
e ra
d)
e
Z e rf ä llu n g
176
wenn a ;
B este der
i
i 1 , 0 ( m o d q)
E le m ente ( m o d q)
ß
Z
e n er
.
.
h
a
nd n
u
l in S m m a
e
.
und
die Su mm e der absolut klei ns ten
gleich h ist un d
,
l
6
a
1
8
(
)
=
N
Z
ak
;
(
a
n
{I
E
,c
l)
n
i
1 , O;
g
s
(m o d
1)
n (n
n
)
.
o q sind aber (
Kap
Nr
1)
;
die P o lygo n al ah le n ; d i e F o r m e l n ( 1 85 a ) ( 1 86 a) s t e l l e n al s o
e i n e A u s d e h n u n g d e s Va h le n s c h e n b z w L e g e n d r e E u le r s ch e n
S a t e s v o n d e n P e n t a g o n a lz a h le n a u f al l e P o ly g o n a lz a h le n
h öherer O rdnung dar
Für q 2 geben sie wen n die E lem ente a je nach ihre m ab s olut
kleinsten Reste in besondere S um m en zusam m engefaßt werden die
wei folgenden :
v
Die Zah len
n
z
s
.
.
1,
.
,
-
.
z
.
k
,
,
z
u
b
1
8
5
)
(
+
2
11
2;
N (8
2
h ;
1
1
worin p v = h die E le m ente
gerade gedacht s i n d und
l
v
M
gk
,
gerade die
E le m ente
,
u
},
u
}!
un
,
=
b
1
86
N
)
(
n
+
Z
1
u
2+
2
u
2;
1
1
worin n wenn von Nu ll vers chieden p ositiv oder negativ ged cht
werden m ß die re chte S eite dann also Null oder 2
ist je n ch
d e m s keine Quadrat ahl oder eine Quadrat ahl ist Die Form el ( 1 85 b )
ni m m t wenn 1 v h ein geset t wird die Gestalt an :
v
1
a
,
,
u
o
,
z
z
,
5
1
8
(
c
)
z
L
N
gk +
u
2+
.
,
u
woraus durch S u mm ierung über alle
Z hlen h
— 1
i;
’
l ä ssigen
zu
d i
.
.
a
hervorgeht
.
Bedenkt
o ffenbar
v
m an , d aß
l
y
l
2
=N
+ 4
1
u nd
,
wenn
2 92
g
1
geset t wi rd
z
,
,
a
1
1
.
m it
s
gleichartigen
Un
su hu g
t er
(
N
=
c
n
en
von
v
S t ern eck
.
177
.
9
_
_
n
2
;
ist so l äßt sich die Gleichung ( 1 86 b ) auch schreiben wie folgt :
v
,
3
u
..
1
8
b
6
b
(
)
‚
4
N
N
9
4
k
(
4
}
u
,
.
u
g;
1)
1 + M+
2
s
9 ;
2
(9
2
0)
und ebenso ( 1 86 c ) folgenderm aßen :
2
"
.
1
c
8
c
6
(
)
N
s
=4
g
gk
+ 4
w
2
z
(9
—
7
g
— 1 z
)
0)
2
Die in dieser Nu m m er abgeleiteten Form eln sind der schon genannten
Abh ndlung von Vahle n entno mm en die wir au c h ferner u ns noch
m ehrf ch zunut e m a chen m üssen
e i n e e n d l i ch e o d e r u n e n d l i c h e
23 B i l d en a
a
a
a
M e n g e g e g e b e n e r p o s i t i v e r g a n z e r Z ah l e n so sollen jet t Zer
f ä llungen
a
,
z
a
.
1 ,
.
2,
4,
s,
z
,
1
8
7
)
(
s
+
a x
l
l
as xg
az crg
der Zahl s in Betracht ge ogen werden deren E le m ente Zahl en jener
Menge s ind die auch wiederholt auftreten dürfen aber jedes E le m ent
Die Anzahl
m al
a höchstens eine vorges chriebene An ahl k
o
o
8
x
1
8
N
s
a
x
a
(
)
(
)
z
,
,
,
z
,
g
,
l
0
Z
,
o
g
x,
Z
.
ki
solcher Z e f ällun g e n von 3 heiße kurz N ; die An ahl derjenigen von
ihnen in wel chen das E le m ent a uftritt al s o
k is t werde
m it M
die An ahl der übrigen in denen a nicht auftritt also w = 0
”)
ist m it N 5 be eichnet so daß al s o
r
a
;
,
a
z
s
,
,
i
z
,
,
,
,
6
z
,
,
1
89
(
)
N
N.
”)
5
oder
1
9
0
(
)
ist
N,
N,
“
Nun fol gt aus der Gleichung
.
wenn
B
ac
,
0
h m
x,
an n
,
k
Z ,
n i e d e re
ist die andere :
,
Z ah le n t h e o ri e
.
II
.
12
i
Z e rf ä llu n g
178
1
9
1
)
(
e
in Z
er
h
a
n n
l in S um m a d e
.
s
u nd um gekehrt ; für a2; k aber folgt aus
1
worin 0 ä x ä k
letzterer Glei ch ung e 1 ne Z e rf ällun g der Zahl s (k
1) a :
i
i
,
,
,
,
s
welche das E le m ent a nicht enth ält un d u m gekehrt aus jeder s olchen
Die An ahl
Z e rf ällun g e ine L ösun g der Glei chung ( 1 9 1 ) m it
in denen 0 ä x; Z k ist beträ gt
a
N _ der Z e rf ällu n g e n von s
w as
in der
daher die S u mm e der An ahlen N und mil ä
kfi m
Rekursion s form el
,
,
z
,
a
5,
,
i
,
'
z
‚
,
a
N a—a z
N8
i,
(
N:
a
i
,
oder
a
i
Na
zu m
zur
Ausdrucke
Abkürzung
ko m m t
für k
n g+
i
N a— a i
1 ) ai
ki
Verb indet m an sie m it ( 1 9 0) und set t k ;
1 so entsteht die Gleich un g
z
.
,
,
woraus nu n durch wiederholte Ver w endung der Form eln ( 1 9 0) und
m
die
allge
einere
Be
iehung
hervorgeht
1
9
:
2
( )
z
N?
1
9
3
(
)
=
E
Na
E
“
M
-
M
i
o
“
h
lt
.
in welcher die er s te S u mm ation auf alle Werte h von 0 d i e zweite
von 1 ab ausz dehnen ist die den Inde x des Zei chen s N nicht negativ
m a chen ; o ff enbar ist dabei N
1 z u set en
Nu n m e h r d e n k e m a n u s d e n g e g e b e n e n E l e m e n t e n i r g e n d
e i n e n I n b e gr i ff J v o n E l e m e n t e n a u s g e s c h i e d e n für welche
ein eln die Gleich un g ( 1 9 3) aufgestellt werde Wenn die so gebildeten
Gleichungen alle su m m iert werden so wird link s o ff enb r jede Zer
f ällung von s von der anfan gs betrachteten Art so oft gez ählt als
darin verschiedene der E le m ente des Inbegri ff s J auft reten ; die so
erhaltene An hl heiße N Ist andererseits n eine Zahl ä s so wird
in der S u m m e d er Gleichungen ( 1 93) u r Rechten die An ahl N
so oft p ositiv gez ählt als n durch irgendein E le m ent a des ln
begriffs J teilbar und der ko m p le m entäre Teiler von der Form h k l 1
ist dagegen so oft negativ als die s er Teiler von der Form k h; i t
Heißt dem nach 6 der Ü berschuß der An ahl der Teiler von n der
ers ten Art über die Anzahl der Teiler von n der weiten Art so
geht auf die angegebene Wei s e aus der Gleichun g ( 1 9 3) die folgende
hervor :
,
u
,
z
O
.
a
,
z
.
a
,
,
za
,
,
.
z
z
8
,
,
s
,
,
„
z
z
,
.
Z e rf ä llu n g
1 80
e
in Z
er
a
h
nd
u
l i n S mm a
en
.
Rücksicht auf die letzte der Vorbe m erkungen werden also nur di e
1
Glieder
der
u
e
in
94
ungerade
in
wel
c
hen
ugleich
m
m
e
S
n
e
n
i
(
)
j g
n m 9 und s n eine P e n t ag o n al ah l d h für welche
z
,
2
z
1
9
6
)
(
3m +
= m z2 +
s
.
,
.
ac
g
D e m n a ch w i r d N o d e r N d an n u n d n u r d a n n u n g e r a d e
s e i n w e n n d i e A n ah l L ö s u n g e n d i e s e r G l e i ch u n g e i n e u n
g e r a d e i s t Sie ist aber ebenso groß wie die An ahl der L ö sungen
der folgenden Gleichung :
is t
„
,
.
„
z
,
z
,
.
24 s
6
x
L
( _
1
-
oder auch dieser :
24 s
g
24 m s +
1
( >
0, x
3
0)
( >
0, y
>
0)
z
z
denn in jeder L ösung der let ten m uß o ff enbar y von der Form 6 x 1
se in I s t m n i c h t t e i l b a r d u r c h 4 s o darf m an sogar di e let te
Gleichun g noch durch die einfachere
z
z
,
.
1
9
7
)
(
24 s
g
2
=
6 mu + y
+ 1
(u >
0, y >
O)
erset en ; in der Tat gibt jede L ösung z y der früheren Gleichun g
eine L ösung u 22 y der neuen die ihrers eits nu r L ös ungen
l äßt in denen u gerade ist wie m an s ogleich sieht wenn m an b e
m erkt daß y ungerade sein m u ß s ich also die Kongruen 6 o7w E 0
m
o
d
d
h
gerade
ergibt
u
nd
welche
lso
zu
jeder
ihrer
(
L ösungen u
y der f üheren Gleichung liefert
2 2 y e ine L ösung
Geset t nun den Fall von den Klassen bin ärer quadratischer Form en
m it der Determ inante
6 m s e i die Ha up tklasse die ein ige durch
welche Z hlen von der For m 24 s 1 d rstellbar s ind so kann b e
k an n t lic h ) die A n ahl ihrer Darstellungen a s der Prim zahl e rle gun g
von 24 s 1 entno m m en werden Dieser Fall trifft wie v S terneck
an m erkt u wenn m einen der Werte 1 2 3 5 7 hat ; für den ersten
soll seine Betra chtung hier au sgeführt werden
E s h ndelt sich dann einerseits wei l J zu m Inbegriff a l l e r p osi
m d i e A n ah l N
d e r Z e r f ä llu n g e n v o n s
t iv e n Zahlen wird
i n e i n e u n g e r a d e A n a h l v e r s c h i e d e n e r Z a h l e n andererseits
u m die A nzahl der Darstell u ngen von 24 s
1 m ittels p ositiver Werte
”
u
y d u rch die Form
e
i
S
y
o
o
1
9
2
4
1
8
s
pf
g
(
gg
)
z
,
,
,
,
.
.
,
u
,
.
zu
,
g
z
,
a
,
r
,
z
.
,
z
a
a
1
o
,
z
z
u
,
.
,
z
,
,
,
,
,
.
,
.
a
,
,
u
z
„
„
z
,
.
,
’‘x
h
.
a
l
.
die P im hl e le gu n g von 24 s 1 wo die p di ejenigen Pri m faktoren
be ei chnen von denen 6 quadratischer R est die q diejeni gen von
welchen
und se i d irgendein
6 q uadratischer Nichtrest ist
D ann set t sich die
q u dratischer Teiler von 24 s + 1
1) S
folg nd n B t chtung di L h
tw i
d
i Bd 1
V f ss s Z h l
th
r
za
z
z
r
,
,
,
,
,
,
2
,
a
.
e
a
z
.
n
z ur
es
e
er a
e ra
e
er
a
e n
e
e o r
e
,
e
re
.
.
U
suchu
nt e r
n
von
n
e
g
v
S t e m e ck
.
1 81
.
der gedachten Darstellun gen von 24 s 1 au s den An hlen der
24 ? 1
s ä m tli ch e n e i g e n tl i c h e n Darstellungen der Zahlen 2 d 1 der
D rstellungen dieser Zahlen m ittels t e i l e r f r e m d e r p ositiver
y zu
s am m e n
N un betr ä gt die A n ahl s olcher Darstellungen einer Z hl
24 + 1
N
u
l
l sobald au c h nur noch e i n P ri m faktor q in ihr aufgeht
d
w as gewiß der Fall sein wird
wenn auch n u r ein er der E xp onenten
ungerad e ist S ind abe alle Exp onenten x gerade so unter
x
scheidet sich die Anzahl der eigentli chen D rstellungen einer Zahl
24 + 1
o
6 11 Te l ler von p
von
Null
nur
dan
n
wenn
d
ese
f
d
ist und beträ gt dann
wenn die Z hl genau 1 P ri m faktoren p
enth ält ist also gerade sob ld 1 1 ungerade wenn 1 1 ist Der
erstere Fall wird stets eintreten wenn m inde s tens wei der E xp onenten
un gerade sind
denn die ungeraden E xp onenten in 24 s 1 bleiben
ungerade u ch in den P rim ah l e le gu n ge n ller Zahl en
In
za
u
a
.
.
z
.
a
s
,
,
2
,
,
,
r
.
,
,
a
3
71
0
2
1
i
,
l
a
,
a
,
.
.
,
,
.
,
.
z
,
,
a
z
z
r
a
den bisherigen F ällen ist m ithin für jede der Zahlen 2
die
A
h
3
zahl ihrer eigentli chen Darstellungen und daher auch die Gesam t ahl
der Darstellungen von 24 s 1 gerade
I st aber w ährend die x
s äm tli ch gerade s ind nur ein einziger der E xp onenten
etwa
24 + 1
ungerade so gibt es au ch Zahlen d
welche n u r einen P ri m
faktor haben n äm lich die Zahlen
—1
24
z
.
,
,
,
s
,
,
,
7
1 1
1
)
3
9
1
: :
5
9
1 1
n1
1
:
deren jede e i n e e igentliche Darstellung ul äßt und welche folglich
insgesa m t eine gerade oder u ngerade An ahl von Darstellungen für
24 s
E 3 oder E 1 (m o d 4) ist In diese m
1 liefern je nachde m
Falle ist also auch die Gesam tzahl aller Darstellungen von 24 s 1
ent s p rechend gerade oder un gerade
Wenn endlich s ä m tliche x
gerade und keiner der E xp onenten n ungerade d h wenn 24 s 1
24 + 1
eine Quadrat ahl ist s o gibt es folgende Zahlen d
z
,
z
,
.
.
,
.
,
,
.
.
s
z
,
,
1
2
7
1
:
2
P 2)
4
P1 ;
n1
1 91
4
22
‘
7 22
17 2
P
: p
wel che nur einen P ri m faktor enthalten also je eine eigentliche Dar
stellung gestatten und de m nach für 24 s 1 eine An z ahl
p
2
h;
p
4
h
7t h
h
'
,
,
1
9
9
(
)
ä(
— n
.
+
ar
g
+
w
+
m)
.
von Darstellungen ergeben ; alsdann wird also da die Zahl
,
24
3
2
-
1
1
Z e rf ällu n g
1 82
e
in Z
er
h
a
nd n
l i n Su m m a
e
.
keine Da rs tellung in p o s i t i v e n Zahlen z ul äßt die Gesam t ahl aller
Darstellungen von 24 s 1 z u gleich m it d e m A usdru cke ( 1 9 9) gerade
sein So m it gelangt m an s chließlich u folgende m
o der u n gerade
z
,
:
z
.
A u s s p ru ch e
D i e A n z ah l N „ „
Z e r f ä llu n g e n v o n
v e r s ch i e d e n e r S u m m a n d e n i s t
in eine un
g e r d e A n z ah l
dann un d nur
d an n u n g e r a d e w e n n i n d e r P i m z a h lz e r le g u n g ( 1 98) d e r
Z ah l 24 3 + 1 s ä m t l i ch e x g e r a d e s i n d u n d z u d e m e n t w e d e r
n u r e i n e i n z i g e r E x p o n e n t az u n g e r a d e u n d z wa r E 1 ( m o d
o d e r b e r a u ch s ä m tl i c h e E x p o n e n t e n
gerade und u
g l e i c h d e r A u s d r u c k ( 1 99) u n g e r a d e i s t
Bei der ersteren Al ternative hat 24 s 1 die Form n wo p eine
P ri m ahl von welcher 6 q uadratis cher Rest ist Man erkennt aber
leicht daß sooft 24 8 + 1 diese Form hat p notwendig von der
gleichen For m 24 t 1 m ithin 6 q uadr tischer Rest von p sein
De m nach kann der Satz au ch form uliert werden wie es
m ß
v S te rne ck getan hat u n d lautet d nn :
D i e A n ah l a ll e r Z e f ä llu n g e n v o n s i n e i n e u n g e r a d e
A n ah l v e r s c h i e d e n e r S u m m a n d e n i s t d an n u n d n u r d an n
u n g e r a d e w e nn b e i d e r P r i m a h lz e r le g u n g v o n 24 s 1 e n t
w e d e r n u r e in e i n i g er E xp o n e n t un g era d e u n d z w ar
o d e r ab e r w e n n d i e Z a h l 24 s 1 e i n Q u a d r a t i s t
d b e i ab e r d i e h l b e S u m m e d e r E x p o n e n t e n d e rj e n i g e n
i h r e r P r i m f k t o r e n fü r w e l c h e 6 q u a d r a t i s ch e r R e s t i s t
d h w e l ch e v o n e i n e r d e r F o r m e n 24 k + 1 5 7 1 1 s i n d u n
gerad e ist
2
25 Ä hn liche S ä tze gelten für m
2 3 5 7 ; z B i s t für m
die vorige Aussage nur dahin u ä ndern daß d i e A n z ah l l l e r
Z e r f ä llu n g e n v o n s i n l a u t e r v e r s c h i e d e n e S u m m a n d e n
u n t e r d e n e n s i c h e i n e u n g e rad e A n a h l g e rad e r S u m m a n
d e n b e fi n d e t d an n u n d n u r d nn u n g e r a d e i s t w e n n b e i d e r
P r i m a h l e r l e g u n g v o n 24 8 + 1 e n t w e d e r n u r e i n e i n i g e r
E x p o n e n t u n g e r a d e u n d w a r E 1 (m o d
o d e r a b e r w e nn
d i e Z ah l 24 8 + 1 e i n Q u a d r a t d ab e i a b e r d i e h a l b e S u m m e
d e r E x p o n e n t e n d e rj e n i g e n i h r e r P r i m fa k t o r e n v o n d e n e n
3 q u a d r a t i s ch e r R e s t i s t d h w e l c h e v o n e i n e r d e r F o r m e n
24 k + 1 7 1 3 1 9 s i n d u n g e r a d e i s t
S e i M die le t t g e d ach t e A n ahl N dagegen die Anzahl der Zer
f ä llun gen von s in lau ter verschiedene S u m m anden unter denen si ch
eine u n g e r a d e Anzahl u n g e r a d e r Su m m anden befindet Be t rachtet
m an alsdann eine Z e rf ällun g von s in e ine g e r d e An hl ver
s ch ie d n e
Su m m anden so wird sie je nachde m unter den let teren
eine gerade oder ungerade An ahl gerader m ithi n uch e ine gerade
res p ungerade An ahl ungerader Su m m anden b e fin dlich ist resp
a
a lle r
‘
s
r
,
,
z
.
z
a
.
,
z
,
.
,
,
,
a
,
u
,
.
a
,
.
z
r
z
z
,
z
,
,
a
a
a
.
,
,
.
,
,
,
,
.
.
,
,
z
,
.
.
a
,
,
z
a
,
z
,
z
z
z
.
,
,
,
,
,
,
,
.
.
,
.
z
z
,
,
.
a
e
r
,
z
z
,
z
.
za
,
a
,
.
Z e rf ä llu ng
1 84
e
in Z
er
h
a
nd
l i n S um m a
en
.
der Teiler von n deren ko mp le m entäre Te iler E le m ente von J sind
ebenso groß also gerade und dem nach ist auch 6 eine gerade Zahl
Hieraus ergibt s ich un ä chst leicht e in n e u e r B e w e i s fü r d i e
T t s a c h e d a ß d i e M e n g e d e r P r i m z a h l e n u n e n d l i c h i s t G äbe
es n ä m lich nur eine en dliche An zahl k solcher Zahlen 10 10
s nur aus ihn en
so
w
ä
re
jede
Zahl
s sowie auch jede Z ah a
p
zusamm enge s et t und die Gleich ung ( 1 9 4) n ähm e als Kongru enz
:
m
a
u
fgefaßt
die
For
an
m
od 2
)
(
,
,
,
,
.
„
z
a
.
,
2,
„
k,
z
.
M —l
E
N:
oder wegen ( 1 9 5)
N„
0
20
)
(
Nu n l äßt die Zahl
m
od
(
‚
.
+ 10 1 )
1
0
2
(
)
-
2
nur e ine einzige Z e rfä llun g in die gegebenen E le m ente unter denen
ein s gleich 2 ist zu und es tritt in ihr eine ungerade An ahl 2 1
derselben d h von E lem enten des Inbegri ff s J au f m ithi n ist
1 ; die Zahl
N
,
,
„
z
,
,
.
.
’
c
,
„
3
aber l äßt
ei Z e rf ällun g e n u je nachde m in der S u m m e aller g e
e b e n e n E le m ente entweder die eine Zahl 3 oder die beiden Z hlen
g
2 ; f ü r die Z hl ( 20 1 )
1 und 2 unterdrückt werden ; also ist
f ä nde also die Kongruen ( 20 0) nicht statt und de m nach ist die
Ann ah m e einer nur endli chen Menge von P ri m zahl en un ul ä ssig
Bezeichnet nun p + die n ä chstgrößere k 1 Pri m ahl so findet
m an für jede Zahl s
da sie nur au s P ri m zahlen der Reihe
m
0
usa
m
engeset
t
werden
kann
wieder
die
Kongruen
1
p
p
oder
2
00
)
(
zw
z
,
a
a
.
z
,
z
k
l,
„
],
te
1
z
z
202
a
)
(
N„
(
,
z
,
N , _1
‚
z
.
<
8
E
m
od
(
0
pk
1
.
)
Die Zahl s = p k + aber ist nur durch d as eine E le m ent 1 des In
= 1 w ährend bis auf 6
begri ff s J teilbar folglich ist 6
1
+
jedes
dessen I nde x n p + i s t eine gerade Zahl ist Au s ( 1 9 4)
geht m ithin für s p k + die Kongru enz hervor
1
p
,
1
k
1
k
1
,
,
.
1
d
N,
E
N _1
NO
,
.
h
s
o
s
(
)
N„
1
‚
(
8
=P
k
+
0
m
d
o
(
.
A
ddi iv s K i
t
r
e
Pi h
u
t e ri m f ür
r
m z a le
n
1 85
.
Man erhält auf solche Weise e i n a d d i t i v e s K r i t e r i u m u m für
jede der auf die k Pri m ahl folgenden Zahl en s der Reihe nach
festzustellen ob sie die n ä chstgr ö ßere P ri m ahl s e i oder nicht In
der Tat folgt aus d e m Vorstehenden der S at :
D i e A n h l d e r Z e f ä llu n g e n v o n s i n e i n e u n g e rad e A n
a h l v e r s c h i e d e n e r d e r g e g e b e n e n E l e m e n t e v e r m eh r t u m
1 i n j e d e b e li e b i g e A n
d i e A n z h l d e r Z e r f ä ll u n g e n v o n s
ahl d ers elb en ist ger d e o der ung erade j e nachd em s n o ch
n i c h t d i e fo l g e n d e P r i m ah l o d e r a b e r d i e s e P r i m z h l i s t
Mann igfache Kriterien ähnlichen C harakters denen jedoch eine
m
m
m
raktische
Bedeutung
kau
uko
en
k
nn
la
en
sich
angeben
wie
s
s
p
a O zu ersehen i s t inde m die Menge der gegebenen E le m ente
ver ändert wird doch bes chr änken wir uns hier auf das vorstehende
d s uerst wenn au ch auf andere Wei s e von Z s ig mo ndy ( Monatshefte
f Math u Ph ys 5 1 89 4 S 1 27 ) gegeben worden ist
,
te
z
z
,
.
z
r
za
z
a
a
z
,
z
a
.
,
z
a
.
,
,
,
.
.
a
,
a
z
,
,
,
.
.
.
,
,
.
.
.
Kap it e l
Vi e rt e s
.
Z ah le n
eine gegebene Zahl in Summ anden einer b e
1 Die A ufgabe
sti m m ten Art u e rf alle n l äßt sich wesentlich verallge m einern Seien
beliebig viel U n b e s t i m m t e und
u
v
w
Gle i ch z e i t i g e Z e rf ä llu n g m e h r e r e r
,
.
z
,
.
z
,
.
,
,
1
( )
eine gegebene s ihnen gebildete L in e arf o rm s o kann
f ällung derselben in vorgeschriebene gleich gebildete
au
,
,
m an
e ine Zer
L in e arf o rm e n
2
( )
verlangen derart daß
unter
,
gan e Zahlen ver s tanden
x1 , x2, x3 ,
z
3
( )
werde
Denkt m an sich unter u v w
besti m m te Z a h l e n v e r
B e s ch affe nh e i t so kann m an m it den englis chen
s ch ie de n e r
Mathem atikern den Ausdr u ck ( 1 ) als e i n e m e h r t e i l i g e Z ah l (je
nach der An ahl der u v w
als nu m bre bip artite trip rtite
m ulti p artite) b eichnen ; d s einfach s te Beis p iel w ä re eine i m deka
dis c h e n S y ste m e geschriebene Zahl wobei dann u v w
die ver
s c h i e d e n e n P oten en von 1 0 darstellen :
,
,
.
,
,
z
,
ez
,
,
a
,
,
a
,
,
,
,
z
Die Z e f ällu n g einer solchen m ehrteiligen Z hl in andere Zahl en der
selben Art oder die o b g e n an n t e Z e rf ällun g der L in e arf o rm f in gleich
r
a
h Zh n
1 86
geb ildete andere ko m m t bei der Un bh ängigke i t d r Gr ö ßen
vonei ander o ff enbar auf die fo l g e n d e A u fg ab e urück :
das
i
G le
c
h
ze
it i g
Z e rf ä llu ng m e
e
re re r
le
a
.
a
w,
e
u,
n
v,
z
Sy stem v on Gle ichungen
4
( )
deren An ahl derjenigen der Te ile der Zahl b w der Unbesti m m ten
v
gleich ist i n g a n z e n (n i c h t n e g a t i v e n) Z ah l e n x
w
u
a u fz u l ö s e n Wir werden bei dieser Au fgabe wieder
x
wesentli ch nur d i e A n z ah l d e r m ö gl i c h e n L ö s u n g e n unters u chen
Beschr änken wir uns vorl ä ufig auf den F a l l z w e i e r U n b e s t i m m t e n
o
oder
auf
nu
m
bers
bi
artite
s
ist
e
i
n
s
t
e
m
v
o
n
z
w
e
i
G
l
e
i
S
p
y
(
)
zu lösen denen wir besserer Ü bereinsti m m ung m it den
c hungen
frühere n Bezeichnun gen wegen folgende Form geben wollen :
“
z
,
,
z
„
.
1,
,
,
2,
.
.
,
,
5
( )
wobei 6 6 6
gegebene p ositive gan e Zahlen
bedeuten sollen un d die L ös un g in gan en nicht negativen Zahlen
gesucht wird Die a dürfen offenbar hierbei als ni cht
23
x
als nicht größer als 6 gedacht werden
größer ls s die
2 Auch diese A ufg b e kann m it anal ytischen Hilfs m itteln in An
griff geno mm en werden Da nach steigenden P otenzen von x y ent
wickelt
„
2,
z
3,
z
.
2,
3,
,
.
a
,
.
a
.
,
.
,
,
oo
1
a
1
E
=
'
x i
y
a
x
a
x z e
i
x
i
g
a
r
:
+
aa x2
“
0
geset t werden kann so ergibt sich
z
(
1
ai
w
,
g
a
l)
1
an
w
g
ag
)
x
a.
y
a,
)
0
o Z
al
ar z r
+
y
.
en g
also wenn hier alle Glieder usa m m engefaßt werden in welchen der
E xp onent von x ein und denselben Wert s u n d ugleich der E x
6
s
onent
von
ein
und
denselben
Wert
erh
ä
lt
d
in
denen
6
h
y
p
d urch die Gleichungen ( 5 ) besti m m t sind folgende E ntwi cklung nach
s teigenden P otenzen von x
:
y
z
,
,
z
,
.
.
,
,
,
,
6
( )
1
(1
al
m y
al
)(
1
x
(
a,
1
x
K:
0
,
O
a,
°
2
w
w o d e m n a c h d e r K o e ffi i e n t Km v o n x y d i e A n ah l d e r
L ö s u n g e n d e r b e i d e n G l e i c h u n g e n ( 5 ) i n n i ch t n e g a t i v e n
z
‘
,
"
z
1 88
den
s
i
Gle
1
a,
teht
c
h
ze
it i g
Z e rf ä llu n g m e
e
h
Z
re re r
h
le
a
.
letztgenann ten Werten der P oten entsp re chen so ent
z
x
Z ähler eine gan e Funktion von x und
im
n
z
x
,
a1
ration len
m it
“1
a
Koeffizienten die m an sich in bezug u f
unter den Grad x
reduziert denken kann und di e vorige Gleichung ni m m t die Fo rm an :
a
,
—
1
c
,
,
A1
x
(x
)
fl
x
(a 1
.
1
_
x
(
1
“1
x
a , a2
a]
aber jeden beliebigen Wert dieser P oten bezeichnen kann
Da
so erschl ießt m an aus vorstehender Gleichung die folgende Identi tä t :
—
oy
y
“1
z
A 1 (x)
(1
ist
N un
A1
_w
a
0 9)
A1
017;
l —x
al
—x
2
y
9
!1
1
“l
1
x
al
w
a
y
l
_l
d
l
ly
uf
al
y
Ä
l
ai
a,
A . (w. 9 )
6.
a1
1
l
a
,
— cc
x
y
x
2 al
a1
"1
2
y +
(
01 1
—1 ) a
1
al
(r1
y
—l
)
:
Da hier die Klam m e rgrö ße nur gebrochene P oten en von :enth ält
y
kann der Koeffi ient von x y in der E ntwicklung von _
nach
y
s teigenden P oten en von x y kein anderer sein
als in derjenigen von
A w y)
Weil ferner die Di fferen
z
’
z
7
.
“
x
z
l
,
‚
1
,
,
’
z
a1
1
—x %
y
setzen wenn m an unter U(m y) eine F unktion von x y versteht die
in be ug auf y gan und höchstens v o m Grade a 2 ist Der zweiten
der Glei chungen ( 5 ) ufolge ist aber d Z 6 ; so m it ist der Grad a, 2
kleiner als 6 die Funktion U(m y) liefert also kei n Glied m it x y
und de m nach ist der Koeffi ient von x y in der E ntwicklung von
,
,
,
z
z
,
z
,
.
l
’
,
,
'
z
“
a1
A 1 ( x ; y)
a1
l
i dentisch
m it
—n
de mjenigen von
A,
x,
z
‘
x
in der
E ntwickl
:
a1
a
)
d h
.
a,
— x my
ung von
l
Koeffi ienten von
"
.
m it
de m
C a yle y
n
s
an alyt
a ch steigenden P oten en von
z
Koeffi ienten von
—
in
e
n
i
e
n
von
x
j g
lung des Q u otienten
de m
’
90
z
s al
o al
“ al
h
)
a1
9
.
ö sung
L
e
x
—a
x
21
al
l
(
x
x,
,
(
1
„
—
um.
m
)(
x
m it
oder auch mit d e m
d
i
wegen
9
in
der
E
n
w
i
k
t
c
)
( )
A,
.
.
1
a
1 89
.
Dieser sti m m t aber seiner s e i ts
.
in
„1
c
n
x
x
is
1
a . «a
s
„
l
— a ter
.
)
nach steigenden P oten en von übere in
Hat m an solcherweise den Koeffizienten von x y in der E n t
wi cklung des ersten P artialbruchs r Rechten von ( 8) bestim m t so
gilt für die der anderen P artialbrüche E ntsp rechende s und m an ge
langt u folgende m E rgebnisse :
von x y i n d e r E n t w i c k l u n g
U m d e n K o e ffi z i e n t e n
de s Bruches
z
.
’
“
zu
,
,
z
’
"
1
(
l
—x y
o
an
(
x— x
aa
(M
ye
nach stei gend en P o ten en vo n
m a n d i e B r ü ch e
x,
z
a
y
as
o)
o
y z u fi n d e n e n t w i ck e l e
,
1
_x
a l aJ
— al a
)
a
1
1
1
( )
(
a a ai
1
w
—d
1
a a1
)(
1
x
n a ch s t e i g e n d e n P o t e n z e n v o n
f i z i e n t e n d e r P o t en z e n
s al
x
— O al
'
s az
,
u n d b e s t i m m e d i e Ko e f
s aa
x
x
—O a
,
7
i n d i e s e n E n t w i c k l u n g e n r e s p ; d i e S u m m e d i e s e r Ko e f f i
zie nt e n
d h d i e A n z ah l
i s t d e r v e r l n g t e K o e ffi i e n t K
d e r L ö s u n g e n d e r G l e i c h u n g e n ( 5) i n n i c h t n e g a t i v e n g a n z e n
Z a h l en
M n be m erke daß die Faktoren i n den Nennern der Brüche ( 1 1 )
na ch den für die 6 a ge m chten Vo aus s et ungen nicht verschwinden
k ö nnen d ihnen ufolge nie m als
.
a
z
,
0 ,
.
.
.
a
,
,
,
a
,
z
r
a
z
a
m,
O
(2 )
ist
Wenn der E xp onent einer der P oten en ( 1 2) negativ a s f ällt
d
s o s cheidet der bezügliche Bru c h
aus
der
Betracht
u
ng
aus
1
1
( )
1
.
7c
z
u
,
,
a
Gl ich it ige
1 90
Z e rf ä llu n g m e
ze
e
h
Z
re re r
h
a
le
n
.
x
in seiner E ntwicklung nach steigenden P otenz en von keine P otenz
m it negative m E xp onenten u ftreten kann
3 Nun haben wir die Anzahl der L ös u ngen der Gleich u ng
a
.
.
1
3
( )
i n n i c h t n e g a t i v e n g a n e n Z ah l e n x y z
r an t e n d e r G l e i c h u n g genannt u nd durch das
z
,
,
,
d en
Sy m bol
D
enu
me
Q
.
bezei chnet gleichviel ob die Zahlen a b c
ositiv
oder
negativ
p
sind Wenn sie alle p ositi v sind so s ti mm t dieser Denu m erant mit
d e m Koeffizienten von a in der E ntwicklu n g des Bru ches
,
.
,
,
,
,
’
1
1
4
( )
(
— x b)
1
(
1
— x°)
nach den s teigenden P oten en von a:
übere in D i es ist jedoch nicht
wenn eine oder m ehrere d er Zahlen a b c
m ehr der Fall
negativ sind Ist z B a negativ gleich a s o h ä tte m an m die
gedachte E ntwicklung von ( 1 4) z u fin d en diesen Bruch zu schreiben
wie folgt :
z
.
,
,
.
.
.
,
,
,
,
u
,
x
1
5
( )
,
1
a
w ährend di e Gleichung ( 1 3) die Gestalt
1
6
( )
erh ält Nun ist o ffenbar der Koeffi ient von x in d er E ntwicklun g
d e s Ausdruck s ( 1 5 ) gleich d e m m it negative m Vorzeichen geno m m enen
Koeffizienten von
in der E ntwicklung d e s Bruche s
‘
z
.
1
(
—x
1
b
—
x
)(
)
°
1
7
o
d h gleich der neg tiv geno m m enen An ahl der L ö sungen der Gleichung
.
.
(1 7)
z
a
ax
+ by +
+
cz
in nicht negat iven gan en Zahlen
x,
z
n u m e ran t e n
1
8
( )
nicht aber gleich
de m D
e n u m e ran t e n
‚
der Glei chung
Q
-
y,
o
=s —
a
s
oder gleich
,
de m
De
tg
Gle i c h z e i i
1 92
Z e rf ä llu n g m e h re
e
W ir bezeichnen die gesuchte
von
’
x
Z
rr
e
ah le n
s i e ist der Koeffizient
mit
in der Entwicklung des Bruches
"
y
.
Anzahl
1
—w
1
1
(
y) (
-
x
2
y)
1
(
nach den steigenden P otenzen von x
,
y,
x
-
“
y)
der somit gleich
gesetzt werden kann Man bemerke daß
0 ist A 5
s
ist
Daraus
folgt
O
)
3
1,
,
.
,
dagegen wenn
,
.
—
l
(
y) ( 1
w y) ( l
-
-
2
r
v y
— x” y)
)
(n )
2
3
113
o
3/
2
A2
Demnach ist falls
,
mm
0,
s
A ifl
2
3
( )
A
4
e
”
Ag
fa
AE
Z.
der Koeffizient von
in der nach steigenden P otenzen von x y
fortschreitenden Entwickl u ng des Bruches
d h d i e A n z ah l d e r
Z e r f ä llu n g e n v o n s i n o gl e i ch e o d e r v e r s ch i e d e n e Z ah l e n
d er R eihe O 1 2 3
n ; u n d in der Tat muß diese An zahl der
Anzahl aller Z e rf ä llu n g e n von s in h ö ch s t e n s 6 gleiche oder ver
n gleich sein C a y le y
2 3
s c h ie d e n e Summanden der Reihe 1
h at s i e d u r c h d a s S y m b o l
,
.
.
‘
,
,
,
,
,
,
,
.
P ( O, 1 , 2, 3 ,
2
4
( )
b e z e i ch n e t und wir wollen jetzt für diese besondere Anzahl ihre
Zurückführung auf ein A ggregat von D e n u m e ran t e n in der Weise
von C ayley entwickeln
Denkt man sich den Bruch ( 22) nach steigenden P otenzen von y
ent w ickelt in der Form
,
.
1
(1
— my) (l
so geht daraus wenn y durch
,
1
(
X, y ,
i
i
xy
=0
ersetzt w ird die Beziehun g
,
1
(
y)
2
=
-
i
0
Xi y
‘
Z e rf ä llu ng
und nun oh ne Mühe
v on
s
in
Z
6
ah le n
O, 1 , 2,
n
1 93
.
Reku rsionsformel
di e
l —a
l
fl
l
‘
'
i
7
— x'
also schli eßli ch der Wert
(
(
1
—
l
x) ( 1
(
des
5
En t w icklun gs k o e f fiz ie n t e n
(
hervor
.
l
m
“
m
)
1
— m)
‘
Man hat also
W )
(I
“
—
—
1
1
x
(
y) (
wo
l
(
—
c
r
)
(
1
(
l
—x )
‘
jedoch die rechte Seite o ffenbar auch durch
‘
y
ersetzt werden kann D e m z u fo l g e w i r d d i e G r ö ß e
die kürzer
mit P bezeichnet werde als Koeffizient von x y in der Entwi cklun g
des Bruches ( 22) g l e i c h d e m K o e ffi z i e n t e n v o n x i n d e r n a c h
s t e i g e n d e n P o t e n z e n v o n a; fo r t s ch r e i t e n d e n E n t w i c k l u n g
de s Aus drucks
.
’
"
,
“
(1
2
6
( )
sein
Betrachten
+
m
0
1
) (1
+
w
6
)
(1
2
— 33n )
.
w ir
nun das Produkt
my) ( l
1
(
g
M ),
1
(
w y)
so finden wir für dasselbe auf gleichem Wege wie die Formel (25)
nachstehende Entwicklung nach steigenden P otenzen von y :
1
(
)
wy
aus welcher für y
1
(
1
(
9
M)
x sich
“
1
(
x +
0
n
1
)
1
(
m
0
x
n
— x) 1
1
(
(
i =0
n
+
—l
)
1
(
2
(1
x
—
n
—i + 1
2
)
‘
a
c
ergibt Wird dieser Wert in (26) eingesetzt so w ird der erw ähn te
Koeffizient von x gleich dem derselben P otenz in
B ch m
Z hl
II
i d
i
13
.
,
’
a
an n
n e
e re
a
e n th e o r e
.
.
y
19 4
G le i c h z e it i
g
r
Z e rf ä llu ng m e h
e
i (i
-
e re r
1)
+
n
Z
ah le n
.
i0
x
(I
—
x
—w
xI
ö
-
n
(
—w
— x >< 1
.
l
"
oder es ist
_
1
c
i
x
—
1
x
)
(
— mi ( 1 — x)
)
.
— x"
.
I n d i e s e r F o r m e l h a b e n w i r d i e g e w o l l t e Z u r ü c k fü h r u n g
d e r A n z ah l P a u f D e n u m e r a n t e n Doch vereinfachen wir deren
Bestimmun g noch durch folgende Erwägungen
5 Man bedenk e zun ä chst daß n o die größte Z ahl ist welche
durch 6 gleiche oder verschiedene Zahlen der Reihe O 1 2 3
n
dargestellt werden kann Daher ist
P (O 1 2
wenn s > n o
n) f = 0
.
.
,
'
_
,
.
‘
,
,
,
,
,
.
,
,
,
91 6
Ist dagegen
s
<
,
.
und
7
= O
-
e in e Z e rf ällu n g von s in die Zahlen O
Anzahl der Summanden
,
+
1 , 2,
n x„
bei welcher die
n,
ist so ist
,
(
n
-
n
+
—
(
u
s
eine Z e rf ällu n g von n ö s in ebensoviel Summanden derselben Re ihe
und umgekehrt Demnach ist
,
.
P (O, 1 , 2,
1
O
2
H , , ,
w
enn
s
33
<
2
n 6
mithin n 6 s zwischen n 6 und 7 gelegen ist Au s dieser Ursache
genügt es die Zahl P für die Fälle zu berechnen wo s
ist
Setzen
;
w ir also
.
p
,
,
1
=
3
.
eine Zahl de r Reihe O 1 2
für wel c he die rechte
n 6 ist
Seite ganzzahlig wird Die Anzahl der Z e rf ällun ge n für diese Z ahl s
ist nach ( 27 ) gleich
wo 9
’
,
,
,
,
.
i ci + 1 )
—
i
g)
in
w
=0
2
(
5K v
.
(
l
7‘
=
n o
2
+
.
x
2
n —i
)
a
Q
in
g
a
r
—
i
.
2
i
a
tg
Gle i c h z e i i
1 96
e
Z e rf ä llu ng m e h
rrr
e e
Z
ahle n
.
ist Hier ist aber der Koeffizient von x kein anderer
als der Koeffizient von a3 in der Entwicklun g des Bruches
1
s am m e n g e s e t z t
“
.
“
x( )
J
dessen N enner_aus lauter Faktoren 1
zusammengesetzt ist Da
her ni mmt der Ausdruck (28) bzw ( 29) die folgende Gestalt an :
9
1
x
.
.
Z
=
i
1)
(
mal Ko e fi v x
'
i
.
z
in
“
.
(x )
,
0
d h aber schließlich :
P ist der Koeffizient von x in der
lung einer gewissen rationalen Funktion
“
.
.
E n t w ic k
c (w)
x( )
F
deren Nenner aus lauter Faktoren von der Form 1 23 zusammen
gesetzt ist Dieser Koeffizient und folglich die A nzahl
m
.
P (0, 1 , 2,
n
);
Jr
findet sich aber w ie in den N ummern
des vorigen Kap itels
nach C ayley auseinandergesetzt worden ist und erschein t so schließ
lich durch soge nannte Zirk u lat o re n ausgedrück t ?
6 Um ein p aar B e i s p i e l e für diese Theorie zu geben w ählen
w ir z u e r s t
—
10
12
,
,
.
,
= 6,
s
Da alsdann
na
'
s
also
2
O
o
ist erh ält man nach ( 29)
,
P (O, 1 , 2, 3 ) g=
x
i
:
( +
1)
1
=0
jedoch darf man von den Werten
2 3 absehen da die En t w ic k
lung des unter dem Summenzeichen stehenden Bruches keine nega
t iv e n P otenzen von x liefert ; die Summe zieht sich dadurch auf die
zwei Glieder :
1
2
Ko e fi v x in
—x
1
,
,
1
.
.
Ko e fi v
.
zusammen
1)
Man
d i m at p u
.
r
)
(
4
.
"
x
in
x
—w‘)
(l
Für das erste Glied ist
.
fi
nd e
a cd
t di
e se
S
C a yle ys c h e B e
t
ap p li c a a
2
.
3
t
.
rac
2
.
h
26 6
t
.
un
formt man also die
3;
gr
r
e p o d u zi
ert b
ei
e in
B ri o s ch z, Ann ali
'
B e i sp i e le
1 97
.
Faktoren desselben in der oben angegebenen We i se um so
nimmt das Glied die Gestalt an :
l
ze n e n
,
— x 6>
1
(
oder
(1
—x "
1
<
>
enn n un die überflüssigen Gli eder des Zähl ers deren E x
o
n
e
n
e
n
t
nicht
durch
teilbar
sind
unterdrückt
werden
diese
1
3
p
einfachere :
1 + :
+ :
w
,
,
,
51
6
,
1,
3
und der Koeffi z i ent von x in der Entwicklung dieses Bruches ist
identisch mit demjenigen von x in der Entwicklung von
12
2
+x+m
’
2
—
—
1
x)
(
(l m)
2
1
o
Für das zweite Glied ist 1 1 dasselbe bedarf also nicht mehr
der bezeichneten Umform ung und der Koeffizient von x in seiner
Entwicklung stimmt mit dem von x in der Entwick lung von
.
,
4
,
2
:
a
V (1
(1
:
31
überein D emnach wird o ff enbar P (O 1 2
2
v o n x in der Entwicklung der Di fferenz
.
,
.
.
+m
2
+
’
—
(1
( l x)
1
d h im
,
x
w
gleich dem Koeffizienten
,
1
:
z
2
—
—
( 1 m) ( 1 a )
o
1
-
(l
Ausdrucke
und demnach findet sich
P ( O, 1 , 2,
In der Tat hat man nur diese fünf
6= 1
o
Z e rf ällu n g e n
0 + 1
=O
6 =
-
der Zahl 6 in 4 Summanden der Reihe O
Z w e i t e n s sei
,
n
In diesem Falle ist
= ö‚
s
3
1 , 2, 3
.
= 6,
3)
s
a
lso g
3,
und nach (29 ) ist
P (0‚ 1 , 2, 3 , 4; 5 ) ä
5
=
Z
=
=
i
:
0
(
Ko e fi v
— g i)
'
o
.
.
'
s
in
(1
—x )
’
x
2i
)
(1
—x
—2 i
1°
)
tg
Gle i c h z e i i
1 98
e
Z e rf ällu n g m e h
Z
rrr
e e
ah le n
.
Man darf aber sogleich die Glieder der Summe unterdrücken in
denen der E xp onent ( 5
3 negativ oder kleiner als 3
1)
aus f ällt un d findet so einfacher
1:
2:
3 4 5%
3
2
( )
w
5
Ko e fi v x in 1 x 1 x 1 x 1
x
m 1
,
,
7
)
S
1
'
.
.
Ko e fi v
(
‘
.
.
3
x
in
9
4
)(
6
)(
x
1
(
— x ’)
—a3 2)
1
(
) (
”
e
)(
5
4
—
1
1
a
:
)(
(
1
(
— x 8)
Der zweite dieser Koeffizienten ist gleich demjenigen von
Entwicklung des Bruches
d h gleich dem Koeffizienten von
.
4
x
.
mithin gle i ch 4
demJeni ge u von
.
'
)
x
4
in der
in
Um den ersten Koeffizienten zu ermitteln welcher
12
in der E n t w ic k lu n g von
x
,
1
(1
x
3
) (1
x
4
) (1
x
6
) (1
-
:
) (1
a
8
gle i ch ist schr eiben w ir den letzteren Bruch ohn e diesmal die oben
ange w andte Transformat i on zu benutzen als das Produkt der Re ihen
,
,
'
,
1 +
x
6
+
x
12
+
o
n
jede derselben nur so weit fortsetzend als d ie E xp onenten n i cht größer
als 1 2 werden ; das ebenso geb ildete P rodukt lautet dann :
,
d aher ist der zweite Koeffizient gleich
10
und demnach
P (O, 1 , 2, 3 , 4, 5 ) ä= 1 0
Die sechs vorhandenen
s ind die folgenden :
Z e rf ällu n g e n
6 = O
6 = 0
6 = 0
o
o
0 + 2
-
0 + 3
o
1 + 1
2
o
4
t ge
e
G l ich z e i i
200
verstanden w i rd je nachdem
w ird o fl e n b ar
,
Z e rf ä llu n g m e h re re
'
2
durch
Z
r
ahle n
aufgeht oder
d
.
i cht
n
Demgem äß
.
'
3
7
( )
Denk t man sich andererseits den Bruch
P otenzen von x entwickelt und setzt so
3
8
( )
:0
01 a
1
2
x
2
nach den steigenden
03 x
3
so kommt
und nun durch Vergleichung dieses
01 + 202 x + 3 03 x +
2
o
A usdrucks
mit ( 3 6)
1
9
0
0
x
0
+
+
+
1
2
(
—I
2
o
n
,
i
woraus die folgenden
Q +
q
=1
R e k urs io n sf o rm e ln
O
01
61
Beziehung
die
—2
=
O
q
@
O
O: 1 6 1
0 2 5 3 —2
0 1 5 3 —1
hervorgehen Sie haben die größte Ä hnli chkeit mit den N ewton schen
Formeln welche zwischen den Koeffizienten einer algebraischen Glei
chung und den P o t e nz su mm e n ihrer Wurzeln bestehen Nimmt man
die Gleichung vom Grade s :
.
,
.
8
x
+ A1 x
'
an und beze i chnet die P o t e n z s u mm e n der Wurzeln mit
so lauten bekann tli ch jene Formeln w ie folgt :
8„
82 , 83 ,
'
i
=
o
+
a 4
0
4
( )
1 81 +
Sa + A l ss
und werden also m i t den ersten
wenn m an setzt
6€
Nun findet sich aber
au s
den
s
3 As
=0
der Gle i chungen (3 9) i dentisch
St , 0
'
1
A1
N e wt on schen
,
.
Formeln
wie etwa
t
Me h o d
in
e
v on
F a ä d i B rwno
20 1
.
J A S e we ts Han dbuch der höheren A lgebra ( deutsch von Wertheim )
l
1 86 8, 1 B d S 3 6 3 zu ersehen ist , für A , der Au s d ru c k )
.
:
.
.
.
.
worin die Summation über alle nicht negativen ganzen Zahlen
i
auszudehnen ist w elche der Gleichung
2,
i1 ,
,
-
genügen
i, =
Hiernach bestimmt sich also auch
.
s
durch die Formel
C,
Doch kann man dieser Formel eine elegantere symbolische Gest alt
geben wenn man bemerkt daß n ach dem p o lyn o m isch e n L e h rs at z e
o
,
,
3 l
a
io
'
O
‚
z '
8
i.
a
a a
z
1
„
2
+
x
51
i,
8
2 i2 +
+
m
s
i3
.
gesetzt werde n kann w o die innere Summation sich auf alle nicht
negativen gan zen Zahlen i0 i 732
erstreckt für welche zugleich
,
1,
,
,
,
und
ist
Demnach wird der Koeffizient von
.
gleich
8
x
worin gleichzeitig
ist Würde hier d durch { 0 ! ersetzt so entstünde die in gleicher
A usdehnung zu nehmende Summe
ie
.
S
,
l
1
7
.
a
.
il
iz
oc
2
o
n
is
oc
8
,
t
deren Umfang jedoch da die erste der Bedingun gen nur aussagt d aß
oo
i
i
nicht größer als s ist was aus der zweiten derselben
,
,
,
2
1)
,
Di r
C o ro llar
wo den
r
I) g g
S r
Au s d
e se
.
.
e
.
r
eb en
d a üb e
r
r
S
9,
i s t z u e s t v o n E Warzn g (Mi s c an alyt i c a 1 7 6 2,
1 5 b e w ie s e n
und
i n s e i n e n Me d it at alg e b rai c ae 1 7 8 2,
65
L S a a lschü t z , B ib li o t h M at h ( 3) 9 ,
u ck
.
.
.
.
S
'
.
.
S
.
.
.
.
Gle i c h z e i t i
202
ge
Z e rf ä llu n g m e h r e
rr
e
Z
ah le n
.
von selbst schon folgt jetzt einfacher dahin zu fassen ist daß sie alle
der zweiten Bedingung genügenden Zahlensy steme i 62
i um
fasse Da der letzte A usdruck sich aber wenn a,
gesetzt und
dann durch s ! dividiert wird in den Au sdruck ( 42) für C verwandelt
s o e r k e nn t m a n O a l s d e n K o e ffi z i e n t e n v o n x i n d e r E n t
w i c k l u n g d e r s y m b o l i s ch e n P o t e n z
,
,
’
1 ,
.
,
,
,
,
,
,
3
,
2
4
4
( )
S
so zu verstehen ist daß nach geschehener Entwicklun g der
P otenz überall statt der P otenzen d die Fakultäten 50 ! gesetzt werden
Da bei Bestimmung dieses Koeffizienten P otenzen von x welche höher
als die s sind zu vernachlässigen sind kann im A usdrucke (44)
unbedenklich die in der Klammer stehende Größe durch die folgende :
di e
,
ie
.
,
te
,
,
i
=1
ersetzt werden endlich also mit Rücksicht auf die Bedeutun g von
w i e von C folgender Satz ausges p rochen w erden :
D i e A n z ah l
,
,
P (0, 1 , 2,
n
)?
ö ch s t e n s 6 g l e i ch e o d e r v e r
d er Reihe 1 2 3
n i s t gl e i c h
d e m K o e ff i z i e n t e n v o n
i n d e r s y m b o l i s ch e n P o t e n z
d er
Z e r f ä llu n g e n v o n
s ch ie d e n e
S umm anden
4
5
( )
Ö
s
i nh
,
,
,
log o
Wird d i e gleiche Betrachtung statt auf di e durch den
gegebene
Funktion
auf
die
Funktion
3
11 x
3
( )
( )
A usdruck
v
1
(
— x ‘)
)
°
1
w
angewandt so ändert sich daran o ff enbar n ichts weiter
Größen ( 3 4) durch die folgenden :
,
,
als
d aß die
welchen die Summation auf s ä mtliche Ein heitswurzeln ß der Grade
l auszudehnen ist ersetzt werden Man gelangt dann zu
a b c
dem völlig analogen Ergebni sse :
D i e A n z ah l
in
,
4
6
( )
,
,
,
.
tg
Gle i c h z e i i
204
Z
‘
e
Z e rf ä llu n g m e h re re r
ahle n
.
7 x8
oder vereinfacht
8
3
2, 3 , 5
‘
”
Da w ir mit A 51 die Anzahl der Z e rf ällun g e n von s in e gleiche
oder ungleiche Summanden der Reihe 1 2 3
n bezeichnet haben
wird die Summe
)
A
A
1
A
4
8
ä
33
l
3
1
+
1
3
f
( )
die An zahl der Z e rf ällun ge n von s in ni cht mehr als r gleiche oder
verschiedene Summanden die nicht größer als n sind bezeichn en
Nu n ist o ff enbar n r die größte Zahl die aus solchen Summanden
entstehen kann Bildet man daher die Summe (48) für alle Werte
von 8 2 m so erh ält man in dem Ausdrucke
8
.
.
,
,
,
,
2
1
,
,
,
,
.
,
.
;
Z
=
4
9
( )
A5
use.
2
1
12 +
2
o
i
o
A2
2?)
0
s
d i e A n z a h l d e r Z e r f ä llu n g e n i n n i c h t m e h r a l s r g l e i c h e
o d e r v e r s ch i e d e n e d i e Z a h l n n i c h t ü b e r s t e i g e n d e S u m
m a n d e n d e r e n a l l e Z a h l e n z u s a m m e n f ä h i g s i n d Auch diese
Anzahl kann als ein E n t w i c klu n g sk o e f fi z ie n t gedeutet werden ( s M ac
)
M ahon L ondon Phil Trans 1 89 6 vol 1 8 7 s
Da A S7 der
Koeffizient von x y in der Entwicklung des Quotienten
,
,
.
.
.
,
’
.
.
.
,
.
"
1
(l
—w y)
— x ) (1
y
”
oder was dasselbe sagt das von x y
Entwicklung des A usdrucks
,
,
,
u
nabh än gige Glied in der
l
(l
-
l
— m” a)
wy>( 1
darstellt so findet sich der Ausdruck (49) ersichtli ch als das
y unabh än gi ge Glied in der Ent w icklung der Dop p elsumme
x
v on
,
,
1
—w
"
(l
l
l
(
-
x
1
y) (
-
m a)
’
-
"
)
m a
m
w
'
’
x
l
y
"
1
l
’
y
x
Hier darf man aber die P otenzreihen in s Unendli che forts etzen da so
nur Glieder hinzutreten welche p ositive P otenzen entw eder von
,
,
Z e rf ällu n g
all e r
Z
ahl e n
i n h ö ch s t e n s
S
r
Z
u m m an d e n
n
205
.
oder von y liefern das von x y unabhän gige Glied der Entwicklung
also nicht verändern S o m i t i s t d i e G r ö ß e (49 ) d as konstante Glied
in d e r Entwicklung von
,
,
.
—
—
I
x
xI n
(
—x
oder d e r K o e ff i z i e n t v o n
B r u ch e s
l
(
-
x
)
1
(
-
o
— wi r
y
wa
m
x
1
—m
"
y>
x
m
'
’
y
in d er E n twi ck lung d e s
"
y
1
—
1
1
x
)
)
y (
y (
-
x
’
— w” y)
y)
n a ch s t e i g e n d e n P o t e n z e n v o n w y
Dieser Koeffizient hat einen sehr einfachen Wert es besteht n ä m
lich der Satz :D i e A n z ahl Z e r f ä llu n g e n a l l e r Z a h l e n i n n i ch t
m e h r a l s r g l e i ch e o d e r v e r s ch i e d e n e S u m m a n d e n w e l ch e
n i ch t g r ö ß e r a ls n s i n d i s t d e m B i n o m i a l k o e ffi z i e n t en
g
l
e
i
c
h
Dies
erken
n t man auf ganz elementare Weise folgen der
(j )
maßen Alle solche Z e rf ällu n g e n deren alle Zahl en zusammen f ähig
sind erhält man o ff enbar wenn man zunächst keine der Zahlen
1 2 3
dann diese Z ahlen entweder einzeln nimmt oder sie
n
z u je zwei
zu je drei
endlich zu je r gleichen oder verschiedenen
addiert ; dies gibt der Reihe nach
.
,
,
,
,
r
n
.
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
n
n
’
1’
T
( +
n
1)
-
’
Z e rf ä llu n g e n
.
H
1)
Da
1)
-
(1
1
-
—1 )
+ h)
ist l äßt sich die Summe vorstehender Zahlen d i die gedachte
zahl von Z e rf ällu n g e n schreiben wie folgt :
,
,
An
.
,
1
o
1
-
2
2
n
-
—
1)
(
n
-
(
—n
n
I
-
o
—1
)
n
I
eine Summe welche nach Kap
,
1
ist
.
1
1,
o2 oo
o
Nr
.
3
.
2
n
o
—
1
)
(
n
gleich
n
n
behauptet
9 Haben w ir bisher die A ufgabe der gleichzeitigen Z e rf ä llu n g
mehrerer Z ahlen wesentlich mit analytischen Mitteln beh andelt so
wollen w ir nunmehr versuchen sie rein arithmetisch zu lösen Wir
beginnen mit ei n em a u sgezeichneten Falle der in den letzten N ummern
behandelten Aufgabe n ä mlich mit der B e s t i m m u n g d e r A n z ah l
d e r Z e r f ä llu n g e n e i n e r Z a h l s i n 6 g l e i c h e o d e r v e r s c h i e d e n e
S u m m an d e n d e r R ei h e 1 2 3
d h d er Anz ahl L ö s un gen
s
d er b ei d en Gl ei chun gen
,
w ie
.
.
,
,
.
,
,
,
,
,
.
.
e
G l i c h z e it i
20 6
ge
Z e rf ä llu n g m e hr e re
r
Z
ah le n
.
5
0
( )
i n n i ch t n e g a t i v e n g an z e n Z a hl e n x Diesem Falle hat E S ad un
n e besondere A rbeit gewidmet
A
1
5
S
2
09
ei
nn di Mat
2
)
(
( )
wovon hier das Wichtigste mitgeteilt werde Zur Abkürz ung stehe
dabei statt des bisherigen Zeichens
das Zeichen A ; wir setzen
ferner
i
.
.
.
.
.
,
.
„ 0
vornherein leuchtet die Gleichung
A
O
wenn
6
ist
5
2
s
( )
ein da die linke Seite der zweiten Gleichung (5 0) ni e größer sein
k ann als die linke Seite der ersten Demnach setzen wir fortan stets
6 Z s voraus
Dann besteht der Satz :
D i e A n z ah l d e r A u fl ö s u n g e n d e r b e i d e n G l e i c h u n g e n ( 5 0)
is t e b e n s o g r o ß w i e d i e A n z a h l d e rj e n i g e n A u fl ö s u n g e n d e r
Glei chung
Vo n
8, 0
,
,
,
.
.
,
5
3
( )
l wl + 2 -x2 +
o
b ei w elchen m p o s itiv i s t
W i r n e h m e n z u e r s t 6 > 1 a n Unterdrückt man dann in der
Gleichung die Größen x welche N ull sind so nimmt sie falls
O
di e Gest alt an :
o
.
.
5,
5
4
( )
il
o
x„
+ i2
o
xi ,
,
+
i
,
,
s,
i
hi
aber
versc
edene
Zahlen
der
Z
Reihe 1 2 3
6
1 sind welche der Größe nach steigend g e
d ac h t werden können so daß
wo
m
eine Zahl
,
,
6
,
in i2 ,
,
im _ 1
,
,
0 <
also
il <
i2
1 m —l
H
im
—a
yk,
yk m
len s m d ; die Zahlen
anze
Zah
g
l v gedacht
o
t
so
daß
m
k
k
p
l
o
t
e
v
m
p
ll ch
l ,
,
k,
x0
kg
x0
g,
wi
x;
7cm ,
_1
m_
wenn
m an
m _1
sind
säm t
tg
G le i ch z e i i
20 8
5
5
( )
1
x1
o
+ 2x2 +
f ür
x.
e
Z e rf ä llu n g m e h
-
+
o
(
Z
rrr
e e
ah le n
—
6
.
6
o
xa
H
8
= 1 , 2, 3 ,
i s t ; man hat mit anderen Worten wenn man sich des früheren Zeichens
für den D e nu m e ran t e n l 2
bedient für 6 1 die Beziehung
,
8
8
a
A3
,
—
l
6
7
6
,
—6
i
r
1
'
—
1
6
7
,
6
8 —2 0
‘
,
durch welche die gesuchte Anzahl unm ittelbar auf
zurückgeführt ist
D e r a u s g e s p r o c h e n e S a t z g i l t a b e r a u c h fü r
die Anzahl der L ösungen der Gleichung
D e n u m e ran t e n
.
o
1
bei p ositivem x ist
x1
6
=
l
.
Denn
s
ebenso groß aber auch
da aus der Gleichun g
x + x +
nur eine der Zahlen x von Null verschi eden nä mlich gleich 1 und
nun aus der Gleichung
,
1,
1
,
,
,
,
.
hervorgeht daß dieses die Zahl x sein muß
Wenn 6
2 ist folgt aus ( 5 6)
,
,
.
,
s
d h
a
( )
.
.
A8
Für
6
3
,
2
ergibt sich aus (5 6) zunächst
AS
‚
—3
S
—6
7
oder
72
N un
b
( )
3
—3 5
.
ist aber nach ( 36 b ) des vorigen Kap itels
1
m
s]
2
[ ]
i
3
D i e An z ah l
Ebenso kommt für
S u da n
209
.
zunä chst
4
6
n ac h
Man hat aber
und
Daraus folgt
2
1
8
nunmehr endlich
un d
s]
Us w
4,
f
8
lzl
lzl
—
—
—-
S
f
1
3
4g
s
+
2
4g
3n
1
+
.
Die Formel ( 5 6) l ä ßt sich aber einfacher schreiben
AS
,
wofür jedoch nach Kap
.
O
,
j
’a
i
Formel ( 3 6 b )
3,
A8
—ä6
76
’
Zunä chst ist
.
76
6
,
3
d h nach Formel ( 3 6 a) daselbst
.
.
AS
,
6
7 6,
8 —0
’
gesetzt werden kann Man erh ält demnach den Satz :
Die Anzahl der L ösungen der beiden Gleichungen (50) ist ebenso
gro ß w ie die der L ösungen der einzelnen Gleichun g
—
6
5
8
( )
.
,
,
oder :d i e A n z a h l d e r Z e r f ä llu n g e n d e r Z ah l s i n 6 g l e i ch e
o d e r v e r s ch i e d e n e S u m m a n d e n d e r R e i h e 1 2
s d h
a b e r i n 6 p o s i t i v e S u m m an d e n m i t W i e d e rh o l u n g i s t gl e i ch
B c m
Z hl h i I
i d
14
,
a
h
an n
n e
e re
a
e nt
eor e
.
I
.
,
„
,
.
.
Gle i c h z e it i
21 0
g
e
Z e rf ä llu n g m e h
rrr
e
e
Z
ah le n
.
d e r A n z a h l d e r Z e r f ä llu n g e n d e r Z ah l s 6 i n gl e i ch e o d e r
v e r s ch i e d e n e S u m m an d e n d e r R e i h e 1 2
So sind
6
wir auf anderem W e ge zu einem Satze zurückgekehrt den w ir schon
in Kap 3 in der Formel (24 a) erhalten haben und erkennen die
Identitä t der Anzahl A
mit der dort durch 1 „ bezeichneten An
zahl die wir von vornherein hätten bemerken können Der D e fin it io n s
gleichung (5 1 ) zufolge is t also die Zahl A mit F d i mit der An
zahl aller Z e rf ällun g e n der Zahl s überhaup t identisch
Falls 6 i s 6 stimmt die Anzahl L ösungen für die Gleichung
5
ff
n
o
enbar
mit
der
für
die
Gleichu
g
8
( )
,
,
.
,
,
.
7
8, g
0
,
.
,
8,
.
.
.
,
— 6
( 5 9)
überein da die x mit jedem Inde x
D e m n a ch i s t fü r 6 s 6
,
,
As
,
—6 =
= 7’8
6
i
verschwinden müssen
6
s
.
=
A 8 — UI
—
U
8
d i d i e A n z a h l d e r Z e r f ä llu n g e n d e r Z a h l s i n 6 gl e i ch e
o d e r v e r s c h i e d e n e p o s i t i v e S u m m an d e n d e r A n z ah l a ll e r
Z e r f ä llu n g e n d e r Z ah l s
6 ü b e rh a u p t g l e i c h ( vgl Kap 3
Formel
1 0 E uler hat zuerst ( Algebra II Kap 2) die A ufgabe behandelt
die p ositiven ganzen Zahlen zu finden welche z w eien Gleichungen
mit mehr als zwei Unbestimmten genügen ; das hierzu von ihm an
gewandte Verfahren bezeichnet e r als die r e gu l a c o e c i oder an anderer
Stelle (N C omm l 4 I 1 7 6 9 S 1 6 8 oder C omm arit h m coll I S 400)
als r e g u l a v i r g i n u m Bezeichnungen deren Bedeutung fraglich ist
Eine Regel zur B e s t imm u n g d e r A n z ah l der L ösungen hat aber
E u ler nicht gegeben Dagegen ist es S ylv es t er wie er in seiner N ote
in dem Phil Mag 1 6
S 3 7 I angibt geglückt zu zeigen daß
diese Bestimmung jederzeit auf den Fall der einfachen Ze rf ällun g von
Zahlen d h auf D e nu m e ran t e n einzelner Gleichungen zurückkommt
S ylves ter hat dabei nicht nur den Fall zweier Gleichungen sondern
den allgemeinsten Fall von r linearen Gleichungen mit n r Un
bestimmten in Betracht gezogen und einen allgemeinen S atz fest
gestellt dem er in der angegebenen Note verschiedenen Ausdruck
leiht N ach diesem Satze kommt die Bestimmung der An zahl p ositiver
ganzzahliger L ösungen eines belieb i gen S ystems von Gleichun gen
immer auf die gleiche Bestimmun g f ü r ein oder mehrere S ysteme
von G l e i ch u n g e n e i n e r g e w i s s e n N o r m a l fo r m zurück L iegt
aber
ein solches N ormalsy stem von r Gleichungen zwischen n > r
Unbestimmten vor so hängt die Bestimmung der Anzahl sein er L ösungen
.
.
.
.
.
,
,
,
.
,
.
,
.
,
,
.
.
.
,
.
.
,
,
.
'
,
.
.
,
.
.
.
,
,
,
.
.
,
,
.
.
,
— r + 2)
E i n z e l g l e i ch u n g e n die aus jenem S y steme durch Elimination
hervorgehen und die gesuchte Anzahl findet sich als ein Aggregat
,
,
tg
Gle i c h z e i i
21 2
Z e rf ä llu n g m e h
e
Z
r rer
e
e
ah l n
.
6
e
i
n
e
L
ösung
der
Gle
i
chungen
1
von
der
o
ben
angegebenen
y
( )
x
J ede n e g a t i v e ganze Zahl aber kann durch x
1
Art
b
e
(
)
zeichnet werden w enn unter x e ine n i ch t negati ve ganze Zahl ver
standen wird Demnach ist o ff enbar die An zahl der L ösungen von
z en Zahlen y z
2
in
nicht
negativen
gan
d
h
der
Denumerant
6
( )
der Gleich ung
gle
i
ch
der
Summe
der
A
n
zahl
von
z
y
L ösungen i n nicht negativen ganzen Zahlen a7 y z
für di e be i den
Gleichungss ysteme
und
d
h
des
S
stems
z
z
y
y
y
1
:
und
des
folgenden
S
stems
6
y
( )
,
z,
.
,
.
,
,
.
,
,
,
,
,
ax
6
3
( )
.
,
,
,
+ by +
cz
+
=
u
o
,
.
.
s
wofür auch geschrieben werden kann :
Man kan n also die Gleichung ansetzen :
z
Den
Den
Den
x
6
4
z
z
y
y
( y
( )
wenn man d i e A n z a h l d e r g e d a ch t e n L ö s u n g e n der S yste me ( 6 1 )
und ( 63) wieder als deren D e n u m e r a n t e n bezeichnet Beachtet
man daß ersichtl i ch
,
.
.
,
.
,
,
,
,
,
.
,
y,
z,
y,
y,
2,
z,
ist so l äßt sich vorstehende Gleichung auch schreiben
,
,
w ie
folgt :
Den
Den
z
Den
z
6
y
y
y
Das S y stem ( 63 ) läßt aber mit Bezug auf die Unbestimmte y das
gleiche Verfahren zu w ie es für das S ystem ( 6 1 ) mit Bezug auf die
Un besti mmte ausgeführt wu rde und ergibt dann die weitere Gleichung
z
Den
Den
Den
z
z
y
y
y
desgleichen kommt
Den 8 (x y z
Den S (x y z
Den 8 (x y z
u sw
falls mehr als drei Unbestimmte x y z
vorhanden sind
Für den Fall von nur drei Unbestimmten erschließt man aus den
vorigen Gle i chungen daß
Den
z
y )
Den
z
Den
x
Den
S
z
z
y
y )
g
} )
(
)
,
,
.
x
,
,
.
,
,
,
.
,
.
,
,
.
.
,
.
,
,
,
.
‚
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
D e n S (x , y ,
.
.
z
,
)
ist ; für den Fall von vier Unbestimmten x
,
y
,
z,
,
,
.
,
.
,
,
.
t
kommt
rt
t
A i h m e i s ch e Me t h o d e
Den (x y
t)
Den S (m
.
Den
z,
y,
.
.
S ylve s t e r
von
,
,
z,
y
,
y
21 3
.
t)
z,
,
Den
t)
y,
.
z,
t)
t
Den S (ac y z t) Den
z
y
)
usw Sooft also das S ystem S (x y
keine L ösungen in nicht
negativen ganzen Zahlen x y z
zuläßt w as z B stets der Fall
sein wird wenn die Gegebenen der Gleichungen ( 6 1 ) sämtlich p ositiv
sind so treten nur D e n u m e rant e n von Einzelgleichun gen auf und
es wird z B
Den
z
6
5
y
)
( )
Den S (x y z) Den S (x y z) Den
y
u ng
Hier ist
die
Gleich
z
y
)
,
.
,
,
,
.
,
.
,
,
,
,
,
,
,
.
.
,
,
,
.
.
.
,
’
„
.
,
,
.
‚
y
,
,
.
,
,
—
b
a
(
6
6
( )
S , (15, y ,
z
( ß
x
(
,
y,
z
)
6 a,
sa
wäre
die
Gleichung
)
ab
a
S,
=
a
z
y
m
)
(
6 13
b
z
y )
S
ß hl
87
ß
6
5,
die
Gleichung
)
(
0
a2
04
b
( ?
x
c
6 0,
von denen die letzten zwei auch folgendermaßen geschri eben
können :
b
at
(
( ß
ß )
a’ x
z
b
7 )
a
(
s
(
6
01
(
6
“
w
erden
b
>
Man sieht durch di ese Formeln die Anzahl der L ösungen des ge
e
b
e
n
e
n
S
stems
zweier
Gleichungen
genau
wie
bei
s
a
al
tischer
l
e
n
g
y
a y
y
Methode als ein Agge grat von D e n u m e ran t e n von Einzelgleichungen
dargestellt und den allgemeinen S ylves ters ch e n Satz in diesem ein
f ach s t e n Falle vollauf bestätigt
1 2 N i m m t m a n d i e K o e ffi z i e n t e n i n d e n G l e i ch u n g e n ( 61 )
s ä m t l i c h a ls p o s i t i v an so wird die L ösung in nicht negativen
Zahlen x y z
unmöglich sein falls eine der Größen s 6 negativ
ist Wir setzen deshalb dann auch sie als p ositiv voraus H ä l t m a n
fe r n e r a n d e r A n n a h m e fe s t d a ß d i e K o e ffi z i e n t en a a ; b
1
c
t
e
i
l
e
r
fr
e
m
d
s
i
n
d
so
kommt
zun
ä
chst
das
S
stem
leicht
6
ß; 7 ;
y
( )
auf eine einfachere Form dadurch zurück daß man 6 x = ä setzt
In der Tat folgt dann aus jeder L ösung von ( 6 1 ) in nicht negativen
ganzen Zahlen x y z
auch eine solche in nicht negativen ganzen
‘
Z ahlen g y z
für das S yste m
.
.
,
,
,
,
,
,
.
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
'
,
,
,
a
ä + ba
.
tg
Gle i c h ze i i
21 4
Z e r f ä llu n g m e h re
e
Z
rr
e
ah le n
.
umgekehrt ergibt sich aber au s einer solchen a }; wegen der ersten
dieser Gleichungen als eine nicht negative durch o:teilbare ganze
am:
Z ahl woraus dann weil a x teilerfremd sind auch
und so
mit x y z
als eine Auflösung von ( 6 1 ) in nicht negativen ganzen
Zahlen hervorgeht F a l l s a u ch d i e K o e ffi z i e n t e n a ß y
z u j e z w e i e n t e i l e r fr e m d s i n d reduziert sich in solcher Weise
das S y stem (6 1 ) durch die Substitutionen
,
,
,
(
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
7
6
(
)
au f
ax
= gi ßy = 7ll y z = gw
n
das folgende e i nfachere S y stem :
in welchem wenn
,
69
( )
gedacht wird
ä)
S =
se
,
b
‘ ä)
A
-
f
,
ä)
;
ist Hier werden weil nun auch die zweite der in voriger Nummer
von
geltenden Voraussetzungen daß die Verh ältnisse g:
5
einander versch i eden sind erfüllt ist auch die Koeffizienten A B C
verschieden se in J edes S y stem dieser Art gehört unter den Fall der
vorigen Nummer und die Anzahl seiner L ösungen in nicht negativen
g anzen Zahlen E
k ann nach den dort angegebenen Regeln
bestim mt werden
Dies gilt i nsbesondere für die ausgezeichneten S y steme
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
.
0
7
( )
92
+
=
31 +
die wir in den N r 4 — 9 betrachtet haben
Es handele sich z B um das S ystem S (x
.
.
.
7
1
( )
6,
,
.
1
o
x
=
2
3
2
+ y +
93
=
+
y +
Z
y,
z
:
)
s
’
O
.
l äßt es L ös un gen ln nicht negativen Zahlen nur zu falls
s > 6 und zugleich s ?
Um ihre Anzahl zu finden stellen
3 6 ist
wir die Elim inat io n s gle ic h un ge n
O ffenbar
,
.
,
l g + 2g =
—x + 2 =
e
oder
oder
56
s
—
s
— 26
6
— 26 — 1
+
— 2x +
=
y
2 63 +
=
y
s
— 36
s
— 36 — 3
etg
e
Gl i c h z i i
21 6
e
Z e rf ä llu n g m h re
e
Z
rr
e
ah le n
.
e n ac h d e m aber
J
ist
wieder
das
letzte
Gl
i
ed
Null
ä
oder 2 6 < s ä 3 6 + 2 oder 3 6 + 2 < 8 ä 4 6 i st b e
6 ä 3 ä 26
schr änkt sich dieser A usdruck auf sein erstes seine zwei resp seine
drei ersten Glieder und man erh ält nach den für die D e nu m e ran t e n
einer Einzelgleichung im dritten Kap itel gegebenen Formeln folgende
drei Werte :
Ist 6 < 8 Z 2 6 so i st
Wegen
46
s
°
.
,
,
,
.
,
,
Den
S (x , y ,
.
1
7
5
E
Ist
26 <
s
5
.
y
”,
SO
1
1
S
z)
,
1,
Ir
-
2
s
1
1
o
ä
D e r“ S O”, y ’
5
’
0
l
:
8
0
e
rs
8 —0
8
— 26 — 1
s
— 3 6 —3
1,
7
1
-
so ist
46 ,
‘
12
— 2 —1
1
1
36
1 , 2, 3
"
1
Ist endlich
t)
2,
—6
so ist
2
3
6
+
Z
,
Den
8
g
)
1
119
"
g
8
in diesen Formeln ist unter g eine p rimitive k ubische Einheitswurzel
zu verstehen Die Verschiedenheit im A usdr u cke des D e nu m e ran t e n
je nach dem Intervalle in welchem die Größe s liegt ist bei diesen
Ergebni ssen besonders beachtenswert
1 3 W ä ren in dem S y steme ( 6 8) nicht alle Koeffizienten A B
die w ir der wachsenden Größe nach geordnet denken wollen
C
voneinander verschieden sondern etwa d i e ersten n einan der gleich
so daß w ir das S ystem folgendermaßen schreiben könnten :
.
,
,
.
.
,
,
,
,
,
,
7
3
( )
so h ätte dies S ystem o ff enbar die gleiche An zahl L ösungen in nicht
negativen ganzen Zahlen w i e dies andere S y ste m :
,
7
4
( )
Setzt man nun
7
5
( )
b
(
—
a6
.
Re
r
k ur
e nt e
t
Me h o d e n
21 7
.
und schreibt das Sy stem ( 7 4) in der Form :
7
6
( )
so leuchtet zun ä chst ein daß X nur eine endliche Zahl von Werten
annehmen n ämlich nur eine Zahl der Reihe
,
,
[a]
8
c
sein kann Denk t man nun für jeden dieser Werte den D e n u m e ran t e n
des Sy stems ( 7 6) bestimmt und bezeichnet ihn als eine von X ab
hängige Zahl mit D ( X) so lehrt die Bemerkung daß jedem solchen
X nach ( 7 5) eine An zahl
.
,
,
-o
1
—
X
1>
n
< +
—
m
1)
(
-2 - u
von Werts y stemen 2 3
3 entsp richt daß die Anzahl von
d h daß der Denumerant
L ösungen für die s ä mtlichen S y steme
des S ystems ( 7 3 ) gleich der Summe
1 ,
„
„
,
.
.
[Z ]
D
z
-
X
1 )
1)
— 1)
'
X: o
ist So kommt also die Bestimmung dieses D e nu m e rant e n für das
S y stem ( 7 3) auf die gleiche Bestimmung für eine Anzahl von Sy stemen
zurück
die
mindestens
eine
Unbestimmte
weniger
enthalten
7
6
( )
wie das ursp rüngliche und nun ähnlich behandelt werden können
Theoretisch kann solcherweise die gestellte A ufgabe ( auch für den
Fall n 1 ) als gelöst angesehen werden doch würde die wirkliche
Berechnung des D e nu m e ran t e n nach dieser Methode meist äußerst
umst ändlich sein
1 4 L egen w ir noch einmal ein ganz beliebiges S y stem zweier
Gleichungen
.
,
,
.
,
,
.
.
aa
7
7
( )
+ by +
es
+
=s
m
der Betrachtung zugrunde Solche S ysteme zerfallen in zwei Klassen
je nachdem sie eine nur endliche oder eine unendliche Anzahl L ösungen
in nicht negativen Zahlen verstatten ; ein Sy stem der letzteren Art
w äre z B die einz elne Gleichung
,
.
.
.
am
wenn
a,
b p ositive
by
z
s,
teilerfremde
Zahlen
bedeuten
da
die
Gleichung
(
)
,
ax
— by = s +
e
tg
G le i c h z e i i
21 8
Z
e rer r
Z e rf ä llu n g m h
e
e
ahl e n
.
jeden (nicht negativen) Wert von z unendlich viel nicht negative
Dagegen wird das S y stem ( 7 7 ) stets ein
A uflösungen x y besitzt
S ystem der ersten Art sein so oft alle Koeffizienten a b
a ß
ositiv
sind
S
s
t
e
m
e
d
e
r
e
r
s
t
e
r
e
n
A
r
t
m
ö
g
e
n
e
n
d
l
i
c
h
e
S
s
t
e
m
e
p
y
y
h e i ß e n u n d w i r s e t z e n v o r a u s d a s S y s t e m ( 7 7 ) s e i e n d l i ch
Man nenne a den größten ge m einsamen Teiler von a a so daß
wenn a a a a a a gesetzt wird a a teilerfremd sin d Au s
den Gleichungen ( 7 7 ) folgt durch Elimin ation von die Gleichun g
f ür
.
,
'
,
,
,
,
,
.
,
,
.
o
x
’
'
'
'
o
,
,
a
b
(
'
'
ß )y
a
(
cu
'
a
y
'
)
,
,
Sa
z
'
6 a
,
,
'
,
und man erkennt leicht d aß das S y stem ( 7 7 ) die gleiche Anzahl von
L ösungen in nicht negativen ganzen Zah len zuläßt w ie das abgeleitete
S ystem
,
,
a
b
(
I
I
f
—
a
y
I
)
z
+
=
-
u
sa
I
—
6a
I
,
denn jeder solchen L ösu n g des ersteren entsp rich t auch eine solche
L ösung dieses letzteren und umgekehrt folgen wenn a y z
eine
L ösung von ( 7 8) in nicht neg ativen Zahlen bedeuten aus der z w eiten
Gleichung wenn sie in der Form
;
"
,
,
,
,
,
,
,
-
geschrieben wird da
,
'
a,
a
'
)
teilerfremd sind die Gleichungen
,
by +
ßy + 7
6
z
+
—
m
s
=
6
=
— a’
-
a
'
ä‚
wo ä ganzzahlig ; und da wegen der ersten der Gleichungen ( 7 8)
=
E ax also a ä a m sein muß nehmen die neuen Gleichungen die
Gestalt der Gleichun gen ( 7 7 ) an d h jeder L ös ung des S ystems ( 7 8)
der gedachten Art entsp richt auch eine solche des gegebenen Sy stems
Schreibt m an aber jenes S y stem in der Gestalt
'
,
,
.
.
.
by +
79
a
b
(
'
’
ß )y
a
(
ca
'
ya
cz
'
)
+
-
z
i
=
o
s
—
sa
’
ax
6
'
a ,
d i als ein S y stem mit einer Unbestimmten weniger als das gegebene
und bedenkt daß a:
für ein endliches S y stem nur eine endliche An
z ahl nicht negativer Werte annehmen d h eine aus dem Sy steme zu
bestimmende Z ahl g nicht überschreiten k ann so sieht man ebenso
w ie in der vorigen N ummer die Bestimmung des D e n u m e ran t e n f ü r
d as gegebene S y stem auf die gleiche Bestimmung für eine en d liche
Menge von ersichtlich ebenf alls endlichen S y stemen ( 7 9) mit einer
um Eins geringeren Anz ahl von Unbestimmten zurückgeführt w o
durch in rein theoretischem Sin ne die allgemeine Aufgabe als gelöst
ngesehen werden darf
.
,
.
,
,
.
.
,
,
,
,
a
.
e t ge
Gle i c h z i i
220
e
Z e rf ä llu ng m h re
re r
Z
e
ah l n
.
selben sondern führ t auch nur selten z u einem exp liziten A usdrucke
jener Anzahl als A ggregat von D e n u m e ran t e n ein zelner Gleichungen
w i e dies in dem ausgezeichn eten Falle der Nr 1 1 gefunden worden
ist Für diesen Zweck emp fiehlt es sich bisweilen w i e S ylvest er ge
lehrt hat mit dem gegebenen S y steme eine oder mehrere H ilf s
gl e ichungen zu verb i nden Wir wollen dies an einem interessanten
S ylvesters c h e n Beisp iele erl äutern
Es handele sich darum den kle insten Rest einer p ositiven ganzen
Zahl n ( mod m) zu bestimmen Dieser Rest x ist e ine nicht negative
ganze Zahl ä m 1 und i st daher e indeutig bestimmt durch die
be i den Gleichungen
,
,
.
,
.
,
.
.
,
.
.
1
8
( )
n
= my +
x,
+
x
z
=m — 1,
worin x y z ni cht negative ganze Zahlen bedeuten Das S y stem
beider Gleichungen hat also nur e i n e L ösung in nicht negativen
ganzen Zahlen x y z Fügt man ihm di e Gleichung
,
.
,
,
,
.
6%
+
u
v
=
x
—1
hinzu welche a3 L ösungen in ni cht negat i ven ganzen Zahlen u v
bes itzt so hat das S y stem der drei Gleichungen ( 8 1 ) und (82) oder
auch das S ystem
,
,
,
am
y +
+
o
=
+
u
+
v
=m— 2
z
x
—1
u
n
L ösun gen in nicht negat i ven Zahlen y z u v
ebenfalls genau
Dasselbe gilt o ff enbar auch von dem um eine Gleichung erweiterten
S y steme 8 (y z u v w) :
my
u v
1
n
,
,
,
,
,
.
,
,
8
4
( )
+
u
y +
u
z
=m
+ v
—w = 0
— 2
dies letztere kann man aber die gleiche Betrachtun g anwenden
w i e w ir sie in Nr 1 1 für ein S y stem zweier Gleichungen an g e st e fl t
haben Setzen w ir ihm an die Seite die S y steme welche d u rch Eli
mination der einzelnen Unbestimmten daraus hervorgehen insbesondere
das Sy stem S (y z u v w ) :
Au f
,
.
,
.
,
„
5
8
( )
,
,
,
—1
1
so erkennt man genau
8
6
( )
,
n
w ie
+
a a
.
.
z, u , v ,
o
O
.
w)
+
z
= m — 2,
die Gültigkeit der Beziehung
Den
Den
.
.
S (y,
z, u, v,
w)
z, u, v ,
w) ;
t
Be s immun
g
R
d e s k le in s t e n
desgleichen für das S y stem
—
8
7
m
y
( )
S „ (y,
t
e s e s von
(m o d m)
.
221
.
:
w)
z, u , v,
n
—3
die Beziehung
8
8
( )
Den
wobei
S „ (y,
.
8 (y ,
z, u, v,
.
8 (y,
z, u , v,
Den
w)
S (y,
w) ,
z, u, v,
das S y stem der drei Gleichungen
w)
u, v,
z,
Den
w)
my
"
—
z
n
+
=m—1
o
—
=
u
y
+ 2
w
beze i chnet Da weder dies letztere noch das S y stem (87 ) eine L ösung
in nicht negativen Zahlen v e rs t at t e t w ie die letzte resp erste
Gleichung der S y steme zeigt so sind ihre D e n u m e rant e n Null und
man findet aus ( 86) und ( 88) die Gleichheit
=
v
Den
Den
8
9
8
z
u
w
z
u
v
S
y
(
y
(
)
( )
das wir kürzer jetzt durch das
N u n l äßt sich für das S y stem
Zeichen S (z u v w) andeuten die Betrachtung der Nr 1 1 bezüglich
der Unbestimmten u v z wiederholen deren Koeffizienten in seinen
beiden Gleichungen relativ p rim sind Man bilde die Elim inations
gleichungen
.
,
.
,
,
.
,
,
,
,
,
y
.
,
,
,
'
,
‚
,
.
,
,
,
,
.
mv +
v,
w)
:(m
mu +
sowm das S y stem
S
'
(
— 1 + m — l ) m — 2)
(
(
m
(
—m
z
+ mw
w
z, u , v ,
—
—
m
u
(
U
u
—
=n
:
)
o
— 2m
‚
=
m
w
+
n
—m + 1
v
aus dessen letzter Gleichung seine Unlösbarkeit in nicht negativen
Zahlen erhellt so findet man nach N r 1 1 die Beziehung :
Den S (z u v w )
D e n 8 ; (Ä u v w )
Den S (z
v w)
Den S 5(z u v
.
,
'
.
,
,
,
2
.
N ach
aß
8
9
( )
gleich
.
,
,
,
.
,
.
,
.
,
,
,
ist also der Denumerant des Sy stems ( 84) oder die Zahl
n
90
( )
—2 m
D u r c h d i e s e n A u s d r u c k e d a l s o d e r kl e i n s t e n i ch t n e
at i v e
R
e
s
t
d
e
r
Z
ah
l
m
o
d
a
u
f
i
n
t
e
r
e
s
s
an
t
e
We
i
s
e
m
n
)
g
(
n ä m l i c h a l s e i n A g g r e g a t v o n D e n u m e r a n t e n d a r g e s t e ll t
.
.
,
R
222
Sei z B
gemäß
.
n
.
ti
e la
(m o d m)
Z e rf ä llu n g e n
ve
= 1 3 , m = 4,
also
x
18
.
= 1,
.
so muß
Formel ( 90)
der
5
9
sein ; die leicht zu bestimmenden Werte
18
9
5,
4,
5
7,
4, 3 , 1
3
geben in der Tat
5
Fü
n
ft
e s
Ka p i t
R e lat i v e Z e rf ä llu n g e n
e
l
.
m
d
m
o
(
.
)
.
Kehren w ir zu den Z e rf ällu n ge n einer einzelnen Zahl wieder
zurück ! Gegenüber den bisher betrachteten Z e rf ällu n ge n die a b s o l u t e
genannt werden können steht e ine andere Art der Z e rf ällu ng welche
r e l a t i v heißen soll insofern sie nur in bezug auf eine gegebene
Z ahl m als Modul s t at t fi n d e n d gedacht wird S tern zuerst hat die
A ufgabe gestellt zu ermitte ln w i e o ft e i n e g e g e b e n e Z a h l n
n a c h g e g e b e n e m M o d u l m einer Summe deren Elemente aus einer
von Zahlen genommen sind kongruent
gegebenen Reihe 6 82 es
gesetzt werden oder w i e w ir kurz sagen wollen ( mod m) a u s d e n
Z ah l e n 6 82 6
a d d i t i v z u s a m m e n g e s e t z t o d e r i n Z ah l e n
d i e s e r R e i h e z e r f ä l l t w e r d e n k a n n Er hat diese A ufga b e unter
der Voraussetzung daß der Modul m eine ungerade P rimzahl p sei
und es sich nur um Z e rfä llun ge n in v e r s c h i e d e n e Summanden
handele für die drei F älle wo die gegebene Zahl enreihe die Reihe
1
1
oder
3
oder
endlich
die
Reihe
1 2 3
2
p
der quadratischen Reste (mod p ) ist vollst ändig gelöst und eine Menge
interessanter Details in ihnen entwickelt (Journ f r u a Math 6 1
Es zeigt sich dabei daß die neue Aufgabe
1 86 3 S 6 6 u n d
durch die R e s t b e z ie h u n g zu einem gegebenen Modulus außerordentlich
an Einfachheit gewinnt und elegante A usdr ü cke für die gesuchten
Anzahlen zuläßt nach denen man bei den absoluten Z e rf ällun g e n
meist vergeblich ausschaut Die Methode freilich durch welche S te rn
zu seinen Resultaten gelangt ist ist keine rein arithmetische sondern
nimmt algebraische Betrachtungen insbesondere die I rre d u k t ib ilit ä t
der Kreisteilungsgleichung zu Hilfe
Wi r z e i g e n s i e a m e i n fa ch s t e n F a l l e i n w e l c h e m d i e g e
e
n
e
b
e
n
E
l
e
m
e
n
t
e
d
e
r
d
i
e
Z
ahl
e
n
Z
u
n
e
n
l
6
6
6
e
r
f
ä
l
g
3
g
2
— l sind
1 2 3
1
.
,
,
,
,
.
,
,
,
1 ,
,
,
,
,
1 ,
,
,
3
,
.
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
.
,
.
.
.
.
.
,
.
,
.
,
,
,
,
.
,
1 ,
,
,
,
,
.
,
,
R
224
e lat iv
e
Z e rf ä llu n g e n
(m o d m)
.
.
Wählt m an hierin für a:
die Einheits wurzel r so erh ält man m i t
Rücksicht auf die Gleichun g (4 a) diese neue :
,
und nun
w
AI
AO
1
egen der
A27
2
x
+
A p —l
rp
l
-
der Kreisteilungs gleichung
I rre d u k t ib ilit ä t
—
1
P
8
( )
7
”
.
xp
Gle i chheit der Koeffizienten
die
_
1
p
A2
AI
9
( )
Wird dagegen in ( 7 ) für
Ap
.
die Eins gewählt so kommt
a;
,
—
1 =
p
A0 + A1 + A2
2
-
1)
woraus in Verbindung mit ( 6) und ( 9) sich
2P
A1
0
1
( )
1
-
—1
p
ergibt Man schließt also :J e d e r d e r R e s t e 0 1 2
1
—
w i r d ( m o d p ) a u s v e r s c h i e d e n e n d e r Z ah l e n 1 2 3
1
p
g l e i c h o ft a d d i t i v e r z e u g t
Gen au w ie die Gleichung (5 ) erh ält m an für jede Wurzel x der
Gleichung ( 2) die folgende :
,
.
,
,
,
,
,
.
—
l
p
n
=
1
1
( )
x)
l
(
:B
B l cz
1
"
2
9
0
2
o
p
B
x
+ p ,
1
h
worin jetzt aber B den U n t e r s c h i e d der Anzahlen bedeutet welche
anzeigen w ie oft die Zahl n ( mod p ) aus einer g e r a d e n un d wie
oft aus einer u n g e r a d e n Anzahl verschiedener der Zahlen l 2 3
1
additiv
gebildet
werden
kann
Der
Kürze
wegen
nennen
p
w ir wieder die Z e rf ä llu n g e n in e in e gerade oder in eine ungerade
Anzahl von Summanden selbst gerade res p un gerade Z e rf ällun g e n ;
B wäre dem n ach der Unterschied zwischen der A nzahl der geraden
u n d derjenigen der ungeraden Z e rfä llu n g e n von n der gedachten Art
us
A
fl
a chdem
r
1
mod
ießen
nun
je
n
oder
gewählt
1
1
a
:
p)
(
( )
wird die folgenden beiden Beziehungen :
n
,
.
,
,
,
.
.
„
.
x
,
.
,
p
Bo
B1 7
°
Bg
r
g
+
o
o
o
—
1
P
+ B p _1 r
,
worin wieder
1
2
( )
gesetzt ist und
,
1
3
( )
also wegen der
—1 2
I rr e d u k t ib ilit ä t
der Kreisteilungsgleichung
,
,
Me t h o d e
von
D
v
.
.
S t e rn e ck
”
.
225
mithin aus ( 1
14
Bo = P
—
l
3
e
d
e
r
d
e
r
R
e
s
t
e
e
n
t
s
t
e
h
t
al
s
o
e
i
n
m
a
l
1
2
J
p
mehr au s e iner ungerad en w i e au s ein e r ge rad en Anz ahl
d e r R e s t N u l l d a g e g e n p 2 m a l m e h r au s e i n e r g e r a d e n w i e
a u s e i n e r u n g e r a d e n A n z ah l v e r s c h i e d en e r S u m m an d e n d e r
—
l
R eihe 1 2 3
p
Mit Rücksicht auf die in ( 1 0) gegebene g e s a m t e A nzahl der g e
raden u n d un geraden Z e rf ällu n ge n erkennt man hiernach daß j e der
—
1
3
der Reste l 2
p
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
p
2
15
1
2P
dagegen der Rest
resp
2
—1
0
1
2
.
:
2
1
2P
N ull
—
1
p
2
_1
p
2p
2
2
resp
p
2
.
1
-
_1
‚
2
p
2p
2
ungerade und gerade Z erfä llun ge n (mod p ) von der gedachten Art
gestattet
2 Die von S t ern gestellte A ufgabe ist neuerdings von R D anblebsky
nach verschiedenen Richtungen hin wesentlich weiter
v o n S te rne ck
gefördert worden ( Sit zu n gsb e r d Wiener Akad 1 1 1 1 9 02 S 1 5 6 7 ;
N icht nur daß er S tern s
1 1 3 1 90 4 S 3 26 ; 1 1 4 1 9 05 S
Untersuchu ngen auch auf den Fall eines beliebigen Moduls m au s
gedehnt und für die gegebenen Elemente c e es
neben der
Reihe der q u a d r a t i s c h e n Reste auch die der h ö h e r e n P otenzreste
r
mod
in
Betracht
gezogen
hat
so
hat
er
insbesonde
e
auch
d
i
e
p)
(
A ufgabe darin verschärft daß er statt der Anzahl der Z e rfä llun g e n
überhaup t vielmehr die Anzahl de r Z e rf ällun g e n i n e i n e g e g e b e n e
A n z a h l der gedachten Elemente e e 6
zudem aber auch Zer
f ällungen mit Wiederholung dieser Elemente in Betracht zieht Seine
Methoden sind dabei durchaus elementar rein arithmetischer Natur
I ndem wir uns dazu wenden die Haup tresultate seiner Untersuch u ngen
abzuleiten beginn en wir mit der A ufstellung zweier R e k u rs io n sf o rm e ln
welche die wesentlichste Gru ndlage dazu ausm achen
Mit von St erneck bezeichnen w ir durch
d ie Anzahl der Zer
f ä llungen von n in die Summe von i verschiedenen der Elemente
e 1 e 2 e3
e rf ä llun e n
mod
und
mit
die
nzahl
solcher
m
Z
A
n
?
g
(
)
( )
bei denen das Element e ausgeschlossen ist während im Gegenteil
die Anzahl derjenigen jener Z e rf ällu n ge n sei in welchen dies
Element e auftritt O ff enbar gibt jede dieser letzteren Z e rf ällun g e n
15
ch m
i d
Z h l h i II
.
.
.
.
.
,
,
,
.
,
,
.
,
.
l,
.
,
.
.
g,
,
,
,
1
2,
„
.
,
.
,
,
,
.
,
.
,
,
,
B
,
.
a
an n , n e
e re
a
e nt
eor e
.
.
t ve
R e la i
226
(m o d m)
Z e rf ä llu n g e n
.
.
eine Z e rf ällu n g von n e in i 1 der gegebenen Elemente (mod m)
unter welchen e sich nicht findet und umgekehrt entsteht aus ein er
e dieser letzteren A rt eine Z e rf ällu n g
n in t der
Z e rf ällu n g von n
_
von
gegebenen Elemente unter denen e auftritt Mithin ist
n
(
e in
An dererseits besteht die Gesamtheit al l e r Z e rf ällun g e n von n
1 der gegebenen Elemente (mod m) zusammengenommen aus
t
denen bei welchen e auftritt und denen bei welchen e ausgeschlossen
i s t also ist
,
.
,
,
1
.
.
.
,
,
,
,
(
e
9%
_
f
) l
(
n
Daher ergibt sich die Gleichung
( )
n
:
(
und hieraus allgemei ner
( )?
6
1
( )
n
=
—
(
n
)
(
6 i—1
n
n
e
—
i
) 1
(
n
l)
i
—1
(
-
t e) 0
n
.
man nun indem man für e j e d e s der gegebenen Elemente
setzt alle Gleichungen dieser Art so wird jede mögliche Z e rfä llun g
von n in i der gegebenen Elemente links i mal gezählt werden da
sie ja aus t Elementen e besteht und somit ergibt sich d i e e r s t e
u n s e r e r R e k u r s i o n s f o r m e ln :
A ddiert
,
,
,
,
,
I
()
—
6 ) z— 1
“
+
2
(
W
Z
+
n
m
g eb — 1
—
+
Z
1 -
'
(
n
6
in welcher die Summen auf der rechten Seite über die sämtlichen
gegebenen Elemente e 6 e
erstreckt werden müssen
Tritt in sb e s ondere unt er den gegeb en en El em enten di e
N u l l au f so darf man diese statt e in der Formel ( 1 6) wählen und
erhält dann die zweite Formel
1
s,
2,
.
,
1
3
( )
(
n
”
—
:
)
( h
(
1
—
h 2
”
da statt
o ffenbar
gesetzt
werden
darf
n
E
( )
Wir ziehen endlich auch noch Z e rfä llu n ge n m i t W i e d e r h o l u n g
der gegebenen Elemente e es es
in Betracht Bezeichnet [ n ]
die Anzahl derartiger Z e rf ällu n ge n von n in i gleiche oder verschiedene
jener Elemente s o i s t d i e R e k u r s i o n s fo r m e l (I) d u r c h d i e fo l
gende z u er s etz en:
.
1
,
,
.
,
,
I
I
( )
+
2
9
2
o
o+
2
0
2
de n,
R
228
tiv
e la
Z e rf ä llu n g e n
e
m
d
o
m)
(
.
.
mod
m
(
)
in welcher 6 6
verschiedene t Zahlen der Reihe 0 1 2 3
e
1 bezeichnen folgt aber durch Multi p li
m
1 bez 1 2 3
m
kation mit eine Kongruenz
o e ; (mod m)
n 5
61 + 65
3 +
ebenfalls t verschiedene Zahlen der b e zü g
in welcher e i 6 5
lichen Reihe bedeuten und umgekehrt aus jeder Ko n gruenz der
letzteren Art durch Multip likation mit x wieder eine solche der
ersteren woraus die Gleichungen ( 1 8) folgen
Ferner b e steht die B eziehung
o
o
m
9
1
(
( )
n E
.
x
,
62
+
-
+
u
ei
,
,
„
„
+
el
,
,
,
,
,
,
,
'
,
.
,
,
,
'
,
.
B in o m ialk o e f fi z ie nt e n der m
P otenz
unter ( w ie üblich den
verst anden denn rechts steht die An zahl aller aus t vers chiedenen
Summanden der Reihe 0 1 2
m
1 m öglichen Summen wenn
von deren Anordnung abgesehen wird und jede von ihnen ist einer
der Zahlen 0 1 2
m
l (mod m) kongruent links aber steht
die gesamte A nzahl der Z e rf ä llu n g e n deren diese Zahlen in i solche
Summ anden f ähig sind und di e unter jenen Summen sich vorfinden müssen
N u n s e i i t e i l e r fr e m d z u m und
"t
m
i
.
t en
Z
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
n 5
.
61
+
62
+
-
o
+
6
,
irgendeine der Z e rfä llu n g e n von n in t verschiedene Zahlen der
Reihe 0 1 2
m
1 ( mod m) dann ents p r ingt dieser eine eben
sol che Z e rf ällu n g
n + t
+ c ( mod m)
der Zahl n t indem man
,
,
.
,
,
:
-
.
,
e
=
f
e1
+ 17
e
=
t
es
+ lw
n
e
a
=
i
8i
+ 1
setzt und wenn eine dieser Zahlen gleich m se i n sollte diese durch
N ull ersetzt ; und umgekehrt ents p richt jeder solchen Z e rf ällu n g von
n + 73 eine ebensolche von n indem man in gleicher Weise
,
,
,
setzt Demnach ist (n i )
und da hierin n in n + i
verwandelt werden kann so finden sich die Gleichheiten
.
,
.
,
n
+
,
(
n
i) i =
wo nun die Zahlen n n
ständiges R e s t s y s t e m ( mod
schreiben darf
(
n
.
n
+
m
(
1)
0s
,
ein voll
m) ausmachen und man daher einfacher
t,
,
(
+
n
+
n
m
(
+
m
(
1%
D
as
m —l
"
E le m e n t e n s y st e m O, 1 ,
d
m
o
m
)
(
.
229
.
m
1
als
den
gemeinsamen
Die Formel ( 1 9 ) liefert
m
Wert dieser gleichen A usdrücke und daher den S atz :
I s t t t e i l e r fr e m d z u m M o d u l u s m s o i s t s t e t s
—
h
r
nunme
’
t
,
2
0
( )
Dies vorausgeschickt leiten w ir zunä chst mittels der S terne ck
schen Formeln die in Nr 1 nach S tern erhaltenen Resultate nochmals
her S ei also m p eine ungerade Primzahl und 0 1 2
1
p
die Reihe der gegebenen Elemente Dann ergibt sich nach ( 20) f ü r
1
jeden der Indices i = 1 2 3
die
Formel
p
4
,
.
.
,
.
,
.
,
.
,
,
,
1
1
2
( )
p
w ährend (n) o o ff enbar N ull ist sobald n durch p nicht teilbar da
gegen gleich Eins ist sobald n durch p teilbar ist da eine Zahl n
dann und nur dann als eine Summe von null Elementen (mod p ) an
gesehen werden darf wenn sie (mod p ) kongruent N ull ist Gleiches
ergibt sich für (n)p da die einzige Summe von p verschiedenen der
gegebenen Elemente die Summe
,
,
,
,
.
.
,
.
,
ist
H ieraus
.
t = 1 , 2,
I
findet sich mit Hilfe der Rekursionsformel ( a) für
1
die
Formel
p
d i n a ch e i n e r fü r B i n o m i a l k o e ffi z i e n t e n g ü l t i g e n
zi ehung
.
.
Be
(5)
22
( )
diese andere :
W
2
3
( )
1
1
1>
I rr
e ..
z
i
=1
—
l)
p
a
.
Heißt nun w i eder A die Anzahl aller möglichen Z e rf ällun ge n ( mod p )
von n in verschiedene Summanden der Reihe 1 2
über
1
p
haup t so ist o ff enbar
,2
.
,
,
,
z
i
=1
O
Durch Einsetzen des Ausdrucks ( 23) für
findet sich hieraus
ohne Mühe für jeden Wert des Inde x n die frühere Formel
An :
—1
10
R
230
tive
e la
m
d
o
m)
(
Z e rf ä llu n g e n
.
.
Desgleichen wird die in N r 1 mit B bezeichnete
durch folgende Summe gegeben sein :
n
.
An zah ldifi e re n z
dur ch Einsetzen des Ausdrucks (23 ) für n2 erhält man aber hieraus
sogleich für jeden der durch p nicht teilbaren Indices n 1 2
=
d
x n
e
n
dagegen
für
den
Inde
Wert
1
B
d
en
Wert
1
p
p
2 übere instimmend mit den in Nr 1 erhaltenen Formeln
Bp = p
m
1 b e zw
Unter Festhaltung des E le m e n t e n s ys t e m s 0 1 2
und (n a u ch für
1 2
1 hat v S terne ck die An zahlen
m
die Fälle bestimmt in denen der Modulus m das Produkt z w eier ver
Indessen
s c h i e d e n e n P rimzahl en oder auch eine P rim z ahlp o t e n z ist
zeigt die Ermittelung der bezüglichen Formeln schon eine so große
We it läu fi gk e it daß man von einer direkten Herleitung für zus ammen
gesetztere Mo d u ln von vornherein wohl absehen muß Es ist v S terne ck
aber gelungen eine Formel aufzustellen welche die besonderen von
ihm erhaltenen Resultate in sich zusamme n faßt und in einer sp äteren
A rbeit ( der zweiten der obenge n annten) die Gültigkeit dieser Formel
für jeden Fall zu bew eisen Indem w ir also seine sp eziellen Ergebnisse
übergehen können wenden w ir uns jetzt dazu jene allgemeine für
jeden Modul m gültige Formel zu begründen
5 Zu diesem Zwecke führen w ir mit v S t erneck eine Fun ktion
f(n d) zweier ganzzahligen Argumente n d ein durch folgende D e
fi n i t i o n :
S e i [ n d] d e r g r ö ß t e g e m e i n s a m e T e i l e r v o n n u n d d
D ann s o l l
0)
,
n
,
,
.
.
,
,
,
,
,
.
.
,
.
,
.
.
,
,
,
.
,
,
,
.
.
.
,
,
,
2
4
( )
s e in s ob al d
fa l l s s e i
,
.
f
d
[
n,
d)
d]
O
e i n e n q u a d r a t i s ch e n F a k t o r h a t a n d e rn
a
—1
2
4
a
(
)
)
“
i
([
q)
i?
n,
d i e A n z a h l d e r P r i m fa k t o r e n b e d e u t e t a u s d en e n
d
s
i
c
h
z
u
s
a
m
m
e
n
s
e
t
z
t
w
ä
h
r
e
n
d
(p ( d ) w i e g e w ö hn l i c h d i e
[ dl
A n z a h l d e r Z a h l e n < d b e z e i ch n e t w e l c h e t e i l e r fr e m d s i n d
z u d Hiernach ist insbesondere
wob
e
i
j
,
,
”a
,
.
2
5
( )
d)
f(
d
sob ald " d
1 d h n teilbar ist durch d
[
l
Wir entwickeln zuvörderst eine Reihe von S ätzen welche f ü r
diese Funktion gelten und auf die w ir die Begründung der S terneck
schen Formel aufbauen werden
n,
.
90
d
( ),
.
.
a
,
,
.
R
23 2
54
—1
0
1
19
tiv
e la
)
d
m
o
m
)
(
Z e rf ä llun g e n
e
.
.
V
Ist
aber
kein
ielfaches
von
so
n
m
d i gleich p
_
1
p
kann es auch von wenigstens einer der Prim z ahlp o t e n z e n p ? kein Viel
faches sein und folglich ist e iner der Faktoren von ( 29) also auch
die Summe (28) g leich N u lL
I s t d a g e g e n n e i n V i e lfa c h e s v o n m s o h a t m a n
,
,
‚
i
0
.
,
:
,
d)
a
2
8
(
)
’
m)
denn in dieser Voraussetzung ist ß
des P roduktes (29) gleich
S
W e i t e rh i n b e s t e h t fa l l s
T e i l e r v o n m i s t d i e G l e i ch u n g
d
,
,
4)
,
a,
und der allgemein e Faktor
von
ei n
1
v e r s ch i e d e n e r
,
d
:
( )
3
0
( )
O)
e
w e n n d a r i n d i e S u m m a t i o n a u f e i n v o ll s t ä n d i g e s R e s t
s y s t e m 6 ( mod m) e r s t r e c k t w i r d Um dies zu zeigen genügt es
wegen
die Gleichung für den Fall zu best ätigen wenn 6 ein
volls tändi ges R e s t sy s t e m (mod d ) durchläuft denn wenn sie f ür
d iesen Fall erfüllt ist so ist sie es auch in dem erstgen annten da
m
das R e s t s ys t e m ( mod
sich aus 5 vollst ändigen Re s t s ys t e m e n (mod d )
zusammensetzt L äßt man nun 6 ein R e s t sy s t e m ( mod d) durch
laufen so darf man dabei sogleich von denjenigen Werten 6 desselben
d
absehen bei denen 6 d e in e n qu adrat is ch e n Faktor enth ält und sich
]
[
also w enn d aus den verschiedenen P rimzahlen
.
,
.
,
,
.
,
,
,
.
.
.
.
,
'
r
,
,
’
,
3
1
( )
0
7
1 17
9
Z27
:
°
7
P3
zusammengesetzt gedacht wird auf diejenigen beschränken für welche
d einer der Primzah len 3 1 oder einem P rodukte von verschiedenen
)
(
I d1
derselben gle i ch 1 s t Ist so z B
,
,
a»
.
.
.
0
h
wo 191 1 91
g
jener
P
rimza
len
bedeuten
was
für
9
1
pi? )
11
1 9
Zahlen 6 des R e s t s ys t e m s ( mod d ) zutri fft so gibt der zugehö ri ge
Teil der Summe ( 30) den Wert
„
,
„
.
,
da es aber
solcher Kombinationen von
gibt 9 aber jeden der Werte 0 l 2
,
,
,
,
,
9
der
d
Primfaktoren (3 1 )
annehmen darf auf
ö
,
Hilf ät
ss
ze
üb e
r
k
e in e
Fu n t i o n
f (n d )
,
23 3
.
solche Weise dann aber auch sämtliche Reste 6 ( mod d ) umfaßt
werden müssen von denen nicht bereits abgesehen worden ist so
erhäl t man schließlich
.
,
m
z
,
(f) (j)
d)
o,
a
d i die auf ein R e st sy s t e m ( mod d ) erstreckte Summe ist gleich
Null also auch die Summe
5) E n d l i c h b e h a u p t e n w i r w e n n d W i e d e r e i n v o n 1 v e r
s c h i e d e n e r T e i l e r v o n m u n d t k e i n V i e l fa ch e s d e s s e l b e n i s t
d i e G l e i ch u n g
.
.
.
-
,
,
,
m
2
3
2
( )
de, d)
o,
w enn d i e S um m ati o n a uf ein v o ll stän di ge s R e s t sys t e m 6
m
o
d
e
r
s
t
r
e
ck
t
w
i
r
d
Zum
Beweise
darf
man
die
Summe
m
)
(
durch die folgende r
.
.
m
2
3
3
( )
w
d ),
,
in welcher r [ 2, d] gedacht ist ersetzen denn durchläuft e e in
vollständiges R e s t s ys t e m (mod m) d h g vollst ändige R e s t sy s t e m e
mod
durchlaufen
mod
die
Zahlen
und
und
folglich
so
d
t
d
6
)
)
(
(
auch die Zahlen n t e und n t e dieselben Werte wenn auch in
anderer Reihenfolge jeden gleich oft ; für ( mod d ) kongruente Werte
von n t e n t e aber besteht nach (26) die Gleichheit der Zahlen
Nun
ist
:
ein
Teiler
von
welcher
nach
der
n
d
t
e
n
f(
) f(
über t gemachten Voraussetzun g kleiner als d ist Man kan n daher
,
.
.
,
,
.
,
.
.
,
,
,
.
,
1
,
,
.
34
( )
setzen in der Weise daß d das Produkt aller der Prim z ahlp o t e n z e n
sei welche d und 1:
gemeinsam sind d aber das P rodukt der P otenzen
derjenigen P rimzahlen welche in d öfter aufgehen als in 7 Die
Zahlen d d2 sind rel ativ p rim fol glich
l
,
,
,
,
2
1
,
l,
,
f (n
oder da 1:
durch
2
einfacher
6
( )
,
.
d)
d1
f(
f(
d an n
n
aufgeht und daher n
n
7 6
d
:)
f(
:
d
:) t
f(
n
d1 )
:
'
d2)
17 6 E n
f(
n
1 6)
mod
(
.
dl )
d 2) ;
mithin auch
17 8
n
:
7 6
:
d
:2)
ist wegen
,
R
23 4
tiv
e la
(m o d m)
Z e rf ä llu ng e n
e
.
.
Setzt man 1: d z so ist r ein von d 2 selbst verschiedener
Teiler von d2 ; da aber d d2 relativ p rim so durchlaufen wenn 6 e in
vollst ändiges R e s t s y s t e m ( mod m) d h ä vollständige R e s t sy st e m e
17 6
mod
durchläuft
die
P
rodukte
und
mod
von
d
6
6
d
d
2)
2)
(
(
der Reihenfolge abgesehen dieselben Werte jeden gleich oft so daß
man auch schreiben kann
’
1
'
"
,
,
v
,
n
.
.
,
.
z
.
o
l
,
z
'
z
'
.
,
5
3
( )
17 3
;
f( :
d)
d2) :
n
Die Summe zur Rechten verschwindet jedenfalls wenn n nicht
durch t teilbar ist denn alsdann enthält n wenigstens einen P rim
faktor von 1 weniger oft als 1 und daher geht dann dieser in n und
ebenso für jedes e in n z 6 mindestens zweimal w eniger oft auf als
d
in d2 d h
; d enth ält e inen quadratischen Teiler und das all
:]
[
gemeine Glied f (n
der Summe ist N ull Aber dieselbe
e
Summe verschwindet auch wenn n durch t teilbar n z v ist ; denn
w o mit e auch v
alsdann ist n t 6 t (v
6 ein vollst ändiges
R e s t s y s t e m ( mod m) durchl äuft so daß wegen ( 26)
,
'
,
’
'
'
,
.
.
n
7
e
2
t
'
,
.
’
'
,
,
'
'
.
,
d 2) =
gesetzt werden kann
ist aber [ t
Nu n
.
Z
'
e,
f (7
'
ey
d 2)
und
d 2]
d2
d2
[
'
1
e,
t
d 2]
'
tl
[ ]
i
e
1
w
7
'
oraus nach der Definition der Funktion f (n d ) leicht die Beziehung
,
d 2)
(
Mei e )
'
e
und somit die Gleichun g
ds
t)
(
?
d 2)
d
f
ei
°
t
Z (
f
ei
!
O
Te ler
hervorgeht Da h i eri n 2? e m von 1 verschi edener l von m i s t
so verschw indet nach (30) die Summe zur Rechten also auch die
links stehende Summe was zu beweisen w ar Wegen (3 5) ist also
w ie b e
allezeit die Summe (3 3 ) und damit auch die Summe
h au p t e t gleich Null
6 N ach diesen Vorbereit u ngen beweisen w ir folgenden Satz :
D i e Anz ahl
d e r Z e r f ä llu n g e n e i n e r Z ah l n i n t v e r
s c h i e d e n e S u m m an d e n d e r R e i h e 0 1
1 ( m o d m)
m
2 3
wird gegeb en durch di e Fo rm el
O
O
O
O
.
O
,
,
.
,
,
.
.
,
,
,
,
.
R
236
tive
e la
E
Ir
38
( )
m
d
o
m
)
(
Z e r f ällu n g e n
s
.
1
»
6
.
—
2 2
der diesem Teiler d entsp rechende Bestandteil den Bin o mialk o e ffiz ie n t e n
zum Faktor hat so liefert das Glied (3 8) nur dann einen
,
i
Beitrag wenn
dies er Beitrag
—l
eine ganze Zahl also
d
,
,
i
o
Ä
—
n
i
d
e x
fl
Z
mod
ist
und
d
(
)
E
t
i
—i
.
1)
,
.
T
o
d
.
f
i
d
darf da dann nach ( 26) f (n
kann durch
11 6,
,
‘
—
1
)
(
m
i —z
Ü
d
.
-
Z
f(
d
o
1)
—e e, d
)
n
gesetzt werden
t e, d )
f (n
d)
d
ersetzt werden so daß der gesamte auf den Teiler
,
standteil der rechten Seite von (3 7 ) gleich
mal dem Ausdrucke
3
9
( )
1)
d
1
.
d
t
-
°
°
l)
:
(
m
1
1)
d
'
d
t
t
ä
—l
t
n
e,
Be
d)
e
m
n
-
-
bezügliche
d
-
1)
m
—t
'
“l
ä
i—
‘
z
d
d
sein wird w ährend der ents p rechende Bestandteil der link en Seite
von ( 3 7 ) auf gleiche Weise gleich
mal
t
d
n
e
)
fl
,
.
‚
Z
,
T
m
4
0
( )
m
z
'
(
d
i
d
gesetzt werden kann Beide Bestandteile werden also e inander gle i ch
se in so w ohl wenn
.
,
a
ist als auch wenn die Ausdrücke (3 9) und (40) einander gleich sind
Das erstere tri fft gem äß 5 ) voriger Nummer zu soo ft d 1 und
t durch d nicht teilbar ist ; anderenfalls aber d as letztere denn w enn
t aufgeht durch d w as für d
1 gewi ß geschieht so bleiben in ( 3 9)
als von Null verschieden nur die Gli eder
,
,
.
,
,
,
,
,
Z e rfä llu n g e n
ü
0
,
‚
ä
— 1 d
)
—1
)
d
i
— 1 d
)
von
n 1 11
z
E le m e te
n
_d
i
—1
)
d
:
g?
m —l
1 , 2,
m
d
o
m)
(
.
23 7
.
—2 d
d
d
H
T
_1
d
2
1)
d
— 1 d
>
d
g
ä
—1 d
)
i
m —z
ä
m
z
_
_
d
und folglich sind ( 3 9) und ( 40) einander gleich
Da demnach die beiden Seiten der Formel (3 7 ) für jeden Teiler d
von m den gleichen Beitrag liefern stimmen auch die ges amten
Werte beider Seiten überein und der beabsichtigte Nachweis ist
.
,
,
der so bewiesenen Formel (3 6) für die Anzahl (n ) fin det
sich nunmehr leicht auch e i n e F o r m e l fü r d i e A n z ah l (n) ? a l l e r
Z e r f ä llu n g e n v o n n i n t v e r s c h i e d e n e S u m m a n d e n d e r R e i h e
1 2 3
m
1 ( mod m) indem man den A usdruck für (n) in
d ie Rekursionsformel ( I a) einführt
Dadurch findet man
7
,
,
.
Au s
,
,
.
,
,
.
3
3 2m
“
4
1
( )
d)
.
m
Hi er sind aber wieder nur diejenigen
2
Bin o mialk o e f fi z ie n t e n
d
2
von Null verschieden bei denen 5 eine ganze Zahl d h unter
t
i
enthaltene
Ganze
verstanden
einer
der
Zahlen
das
größte
in
ä
ä
"
,
,
[]
.
.
,
,
gleich ist Somit reduziert sich die Klammer
größe des Ausdrucks auf
1,
1, 0
.
Re
t ve
la i
23 8
Z e rfä llu n g e n
(m o d m)
.
.
u n d d i e F o r m e l (4 1 ) n i m m t i h r e e n d g ü l t i g e G e st a l t a n w i e
s i e fo l g t :
,
4
2
( )
„
m
7
mm
ä
m
dx
5
1)
M
d
Hie raus erschließt man die we iteren
G leichungen
4
3
( )
1 r+
m- l
Z
4
4
( )
(
l
„,
m
,
,
d
5
m
u
—1
d)
Man teile nun die Werte welche der Index
in die A bteilungen :
,
o, d , 2 d ,
1 , d + 1 , 2 d + l,
—
d
1 , 2 d —1 , 3 d — 1 ,
—
%
h , d + h , 2d + h ,
—l
)
h
,
d
d
t
bezüglichen Summen
d
)
—1 d + h
"
'
l
(
T _1
E
m
ä
. .
m
d ho
,
Ausdruck
m
_1
durchl aufen soll
t
—1 ,
und betrachte z un ä chst den Teil der auf
welcher der Abteilung
entsp richt ; er ist in ( 43 ) der
d
(g 0
— 1 d + 1
)
z
m
1
0
i
„
T
i
m
(
2
2
=
0
‚
—1
1
1
o
w enn d
also Null wenn d gerade dagegen gleich
2
gerade is t fi u n d daher erhält die ganze auf t bezügliche Summe in
der Gleichun g (43 ) den Wert N ull für gerades d dagegen den Wert
,
-
,
,
d
R
240
ist
ve
e lat i
nicht teilbar durch
t = lp , 1
.
( b
”
.
q,
ä
P)
f(
n,
q
°
gleich
oder
je
nachdem
1
1
p
f( p )
ist durch p ;
ist t = 1 g 1 nicht teilbar durch p so ist
wo
n,
,
‚
.
so ist
-
in
d
m
o
m
)
(
Z e rfi llu n g e n
teilbar ist oder
n
,
,
1
—
„q
wo f (n q) gleich q
ist durch q ;
endlich für i = 0 und
( )
oder
1
,
,,
je nachdem n teilbar ist oder n icht
1,
t =p q
1
(am
n .
f(
n;
ist
o [1
p)
f(
n,
f(
n,
q)
f(
n.
m]
i
,
d h Ein s oder N ull je nachdem n teilbar ist oder nicht ist durch p q
n
hl
l
e
r
f
ä
ll
u
n
e
A
als
nza
a
ler
möglichen
Z
Au s ( 45 ) folgt für m
pq
g
1
von n in verschiedene Summanden der Reihe 1 2 3
pq
mod
der
Wert
p q)
(
.
.
,
.
,
,
,
.
W
25
1
,
m)
2
94
p)
20
0
2,
2
10
-
1
M
q)
,
2M
1
-
f(
n‚
d h je nachdem n teilerfremd zu p q oder durch p allein oder durch
a
l
l
ein
oder
durch
teilbar
ist
der
folgende
Wert
res
:
q
p q
p
’
.
.
,
,
,
}
I ,
1
(
2
—
1
9
2
20
1
p
(
9
(
1 q
-
1
—
1
P
l
q
(
(
q
p
1 ) (2
1 ) <q
1)
—1
2
20
4
9
1)
2
1)
29
0
1
2
10
-
1
-
e
.
1
)
—
1
9
1
2
1
—
1
p
q
2
10
1)
)
)
2
29
-
1
0
0
1)
2
10 9
Desgleichen gibt die Formel ( 46 ) als Überschuß der A n zahl gerader
über die Anzahl ungerader Z e rf ällu n ge n von n in verschiedene Zahlen
der Re ihe 1 2 3
mod
je
nachdem
teilerfremd
1
n
p q)
pq
(
zu p q oder durch p allein oder durch g allein oder durch p q teil
bar ist entsp rechend den Wert
,
,
.
,
,
,
,
,
,
1)
-
(P
-
Ü:
(p
Endlich sei noch bemerkt daß fü r d e n F a l l d e r Z e r f ä llu n g e n
e i n e r Z a h l n i n g le i c h e o d e r v e r s c h i e d e n e S u m m a n d e n d e r
Re ihe 0 l 2
m
1 ( m o d m) e i n e a l l g e m e i n e d e r F o r m e l
3 6) g a n z ä hn l i ch e n u r w e s e n tl i c h e i n fa ch e r e F o r m e l a u f
(
,
,
,
.
,
,
,
D
R
t
E le m e n t e n sy s t e m d e r q u ad ra i s c h e n
as
e st e
(m o d
.
p)
24 1
.
v ö ll i g e n t s p r e c h e n d e We i s e b e w i e s e n w e r d e n k a n n
fi n d e t
4
7
( )
Inle
fl
Z
'
ü
d)
”)
M an
.
“
Wi r l e g e n n u n m e h r z w e i t e n s d e r B e t r a c h t u n g s t a t t d e s
E le m e n t e n s y s t e m s 0 1 2
ind em wir j etzt den
1
m
M o d u l m a l s u n g e r a d e P r i m z a h l p v o r a u s s e t z e n d a sj e n i g e
E le m e n t e n s y s t e m e 6 6 3
zugrund e welch e s aus den
e _
8
.
,
,
,
,
,
„
2,
1
p
,
—
l
p
,
2
q
u
a
d
r
a
t
i
s
c
h
e
n
R
e
s
t
e
n
m
Indem
wir
wieder
o d p) b e s t e h t
(
T
mit
die Anzahl der Z e rf ällu n ge n von n in i verschiedene
Summanden der Reihe 6 6
mod
bezeichnen
können
e _
p
(
)
.
2,
„
.
1
„
,
.
2
wir von vornh erein bemerken daß dies S ymbol nur drei verschiedene
Werte zuläßt nämlich die Werte
,
,
( 0i
7
)
einen beliebigen quadratischen Rest p v einen beliebigen qu a
d rat is ch e n Nichtrest < 1 ) ( mod p ) bezeichnet welche Werte es ann i mmt
j e n achdem n kon gruent Null oder ein quadratischer Rest oder e in
N ichtrest von p ist
F ü r alle quadratischen Reste n hat in der Tat
das Symbol
den gleichen Wert und ebenso für alle quadratischen
N ichtreste n Denn sind n n z w ei verschiedene quadratische Reste
so kan n eine Zahl x die gleichf alls quadratischer Rest ist so bestimmt
werden daß n x n (mod p ) und dann ergibt sich aus jeder der g e
dachten Z e rf ällu n ge n
wo 9
,
.
,
,
,
.
,
'
,
.
,
,
,
,
E
,
von
n
'
,
.
durch Multiplikation mit x eine
n
'
E
e
}
}
e
e,
,
2+
Z e rf ällun g
von
n
’
u
in welcher auch e} 6 3
verschiedene quadratische Reste von p
sein werden und umgekehrt aus jeder solchen Z e rfä llun g von n auch
eine Z e rf ällu n g derselben Art für n durch Multip likation mit dem
Sozius von x Gleicherwei se überzeugt man sich daß
auch für
alle quadratischen N ichtreste n ein und denselben Wert besitzt
Beachtet man dies aber in der Rekursionsformel ( ) so kommt es
o ff enbar darauf an festzustellen w i e oft im allgemeinen Glie d e
„
„
'
,
,
.
,
1
ders elben di e Di fferenz n
hm
i d
Z hl th
i
ac
ann , n e
e re
,
,
4
8
( )
B
I
.
a
en
eor e
w ährend
.
II
.
6
—
2 2
6
alle quadratischen Reste
16
;
tv
Re la i
242
Z e rf ä llun g e n
e
d
m
o
m)
(
.
.
oder w as auf dasselbe hinauskommt wie oft die Diff erenz n l w
—
l
p
lä u ft der Null w ie o fi
durch
w ährend di e Zahlen 1 2
g
einem quadratischen Reste w ie oft e inem quadratischen Nichtr este
mod
kongruent
w
i
rd
p)
(
D ab e i s e t z e n w i r z u v ö r d e r s t n a l s n i ch t d u r ch p t e i l b a r
v o r a u s Die gesuchten Anzahlen seien 0 R N ; statt dessen suchen
wir die entsp rechenden Anzahlen
für den Aus druck
R
N
2
f
f
o
enbar
ist
n1
31 ;
a
x
,
,
,
'
n
,
,
o
,
,
,
,
.
.
,
,
.
'
,
9
4
( )
0 = O
'
0 = o
'
,
,
R =R
’
R =N
'
,
,
N = N
’
,
w
N =R
'
wenn
,
enn
ist
1
.
Statt der eleganten algebraischen Methode durch w elche e S te rn eck
d i ese Anzahlen bestimmt w ählen wir um ganz im ar i thmetischen
Gebiete zu verbleiben die folgende aus dem Grunde der Sache
2
fließende Betrachtung Da n
1 x stets e i n e n der drei u ntersch i edenen
F älle darb i etet findet s i ch zun ä chst
.
,
,
,
,
,
.
,
5
0
( )
0
'
R
'
N
'
Ferner i st o ff enbar 0 gleich Null oder E in s je nachdem
2
oder
1 i s t also allgeme i n
p
'
,
n
1
.
,
1
5
( )
E
0
i
Demnach findet s i ch
5
2
( )
R
'
N
(
1
'
l
2
p
Um R N zu bestimmen u nterscheiden w ir nun zw ei F älle
—n1
2
1
Au s einer Kongru enz
E r s t e n s sei p
n}
31
)
mod
folgt
dann
durch
Multi
likation
mit
n
p)
p
(
'
,
'
,
.
.
.
.
.
.
n
oder
wird
,
w
enn mit
y
'
l og
2
nl
+
o
m,
der Sozius von y bezeichnet und
,
n1
.
2
2
:
nl
o
my
nly
'
E
.
N
also
Re
n
R
'
,
we
gesetzt
,
'g
’
z
'g
die Zahl n l my entgegengesetzten quadratischen
hat wie m H i eraus schließt man
wo
i
,
2
n e )
— 2
Ch arakter
R
244
tive
e la
—
4
5
( )
n
d
m
o
(
Z e r f ä llu n g e n
l +
2
nl
2 5
m)
.
'
o
.
g
v v ö ,
d h kongruent einem quadratischen Reste gegen die Voraussetz ung
0
A lso ist in der Tat immer auch R
N achdem dies festgestellt ist betrachte man die N verschiedenen
Kongruenzen
.
,
.
.
'
.
,
—
n 1.
+ y
2
E
v,
—n l
Durch Multiplikation der ersten mit den falls N
1 ist
folgenden erhält man N
1 Kongruenzen von der Form
,
n1
2
2
5
,
N
1
g,
1 ein Resultat das
wo g ein quadratischer Rest also ist R i N
auch falls N = 1 ist zutre ff end ist da R > 0 Wird aber e ine
jener N Kongruenzen mit allen R Kon grue n zen der letzteren A rt
multip liziert so findet man gleichermaßen R Kongruenzen von der Form
'
'
,
,
,
'
'
,
,
,
.
'
’
'
,
—n1 +
2
2
5
v,
v ein quadratischer N ichtrest mithin ist N ä R Da nun der
A usdruck ( 5 2) im gegenw ärtig betrachteten Falle stets ungerade ist
also ni cht R N sein kann so folgt
'
wo
.
,
,
'
’
,
.
R
5
5
( )
'
N
1
.
Man findet daher jetzt durch Verbindung von ( 5 2) und (5 5)
e
s
)
1,
1
=
N
'
(
p
So gelangt man zu den Resultaten :
Ist
1 so ist
,
_1
_1
h
a e
N
u
wenn aber
1,
so
I st
=
a
5
3
(
)
p
—
_1
g
7
)
P
,
N
-
4
_1
-
_
(
p
4
Die in den beiden unterschiedenen F ällen gefundenen Tatsachen
lassen sich schließlich folgenderm aßen aussp rechen :
I s t n = g q u a d r a t i s ch e r R e s t ( m o d p ) s o fi n d e n d i e
F o rm eln st att:
.
5
6
( )
e
u
e
r
,
Z e rf ä llu ng in t q u ad
1
e
r ti
a
s ch e
R
t
es e
m
( od p )
.
245
.
ne e)
—
7
i st dagegen
z u s etz en
n
=v
q u a d r a t i s ch e r
0 =
Ni chtr est
so ist
1
e
—
l
p
7
5
( )
I
Wenn man jetzt auch in der Rekursionsformel ( ) die eben
unterschiedenen beiden Fälle welche n bieten kann gesondert b e
trachtet so ergeben sich durch Beachtung der vorigen Formeln bei
den einzelnen Gliedern der Rekursionsformel die nachstehenden
Gleichungen
9
.
,
,
,
—
p
n
3
+ .
e ne)
0
«
m
Da endlich w e n n n d u r ch p t e i l b a r i s t das allgemeine Glied (48)
der Rekursionsformel sich auf
,
,
0
1
—1
'
2
h ab — z
(
8
p
l
reduziert
aber g mal quadratischer Rest oder Nichtrest ist
je nachdem
1 oder
1 ist kann m an den vorigen beiden
Formeln die dritte hinzufügen :
,
,
,
R
246
ti
e la
ve
Z e rfä llu n g e n
m
d
o
m)
(
.
.
—l
p
in welcher p zur Abkürzun g für 2 gesetzt ist
mit der nun
alle möglich en Fälle erschö p ft sind
Mit diesen Formeln darf das in N r 8 gestellte P roblem nämlich
die Bestimmung der dort definierten An zahl
als gelöst betrachtet
werden insofern sie gestatten die Werte dieses S y mbols allm ählich
für die wachsenden Werte des I n d e x t zu berechnen Doch fehlt
h ier noch w as bei der früheren Aufgabe durch die Formel ( 3 6 ) e r
reicht worden ist daß aus den erhaltenen Formeln ein e xp liziter Au s
druck für
hergeleitet werde eine A ufgabe die noch ungelöst ist
und nicht leicht zu sein schein t Davon also hier absehend wollen
wir nicht unterlassen eine interessante Anw endun g der erhaltenen
Resultate auf die L ehre von der Kreisteilung nach v S terneck noch
mitzuteilen
Bezeichnen w ie üblich n n, die beiden aus den Wurzeln der
—
l
p
Kreisteilungsgleichung ( 8) gebildeten 2 glie drige n P eri oden
'
.
.
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
,
.
.
o,
,
,
72
0
=
2
W)
=
77
1
2
W)
‘
I’
Q
worin die Summationen sich resp auf alle quadratischen Reste g und
N ichtreste v < p erstrecken so sollen die Gleichun gen aufgestellt werden
denen die in jeder dieser P erioden enthaltenen Wurzeln Genüge
leisten Sei
.
,
,
.
p
6
1
( )
93
—l
—
5
p
—
3
p
+ M1 w
2
+ M2
2
°
o
a;
2
2
die erste dieser Gleichun gen mit den Wurzeln
l)
6
2
( )
i
M, =
2
rei
+ ee +
dann ist
°
die Summation über alle Kombin ationen aus i verschiedenen der
mod
zu
erstrecken
ist
Da
sich
unter
diesen
uadratischen
Reste
p)
q
9 (
Kombinationen w ie in Nr 8 bemerkt worden jeder Rest ( g) mal
jeder N ichtrest ( v ) mal und die N ull
mal vorfinden muß ni mmt
die Gleichun g (6 2) die Gestalt an
wo
.
,
.
,
,
.
,
,
,
( ct
63
( )
-
4
( ) :2
" 1
v
20
.
Nach der Theorie der Kreisteilung i st aber bekanntli ch
7
worin P
6
5
( )
70
—1 + P
7 71
2
/
zur Abkürzung steht für + l (
5:
5
( h
gesch rieben wird
”
,
—P
l
2
€
2
—
l
p
1)
2
o
p
.
So kommt wenn
,
R
248
v
e lat i
Z e rf ä llu n g e n
e
(m o d m)
.
.
welche den entgegengesetzten quadratischen C harakter hat w ie n in i
verschiedene quadratische N i c h t r e s t e w ie denn auch umgekehrt
aus jeder Z e rf ällu n g di eser Z ahl n in i N i ch t r e s t e eine Z e rf ällu n g
der Zahl n von entgegengesetztem quadratischen Charakter in i qua
d at is c h e R e s t e hervorgeht
Demzufolge ergeben sich sogleich die
beiden Gleichung en
,
,
'
r
.
( 9b
6
9
( )
( b
”
während drittens
7
0
( )
sein wird M i t d i e s e n F o r m e l n e r l e d i g t s i c h d a h e r o h n e
w e i t e r e s d i e a u f d a s E le m e n t e n s y s t e m d e r N i c h t r e s t e b e
zü
li
h
e A u fg a b e
c
g
N och wolle n wir bemerken d aß man ganz ähnlich wie im vorigen
aber au f Grund der allgemeinen Rekursionsformel ( II) zu Gleichungen
gelangen kann welche den Gleichungen ( 5 8) bis ( 60) entsp re chen
und die Anzahl
der Z e rf ällun g e n von n in i g l e i c h e o d e r v e r
b
e z w N ichtreste
mod
zu
erech
s c h i e d e n e qu adratische Reste
h
p)
) (
(
nen verstatten Doch können wir hier nur kurz auf die be t reff enden
Stell en der Arbeit von v S iem e ck verweisen ebenso w i e es mit Bezug
au f
seine Untersuchungen über die Anzahl der Z e rf ä llu n g e n einer
Zahl in kubische oder höhere P otenzreste ( mod p ) geschehen m ag
welche wie er für kubische Reste ausführlich für höhere P otenzreste
andeutungsweise dargetan hat durch völli g analoge Betrachtungen
ermittelt werden kann
1 0 Noch einmal u m E le m e n t e n s y s t e m e der quadratischen Reste
zurückkehrend fügen w ir hier noch d i e H aup tresultate der darauf
bezüglichen Untersuchung S terns an Bei ihr handelt es sich um
d i e B e s t i m m u n g d e r G e s a m t z a h l a l l e r m ö g l i ch e n Z e r f ä llu n g e n
e i n e r Z ah l n i n v e r s c h i e d e n e q u a d r a t i s ch e R e s t e ( m o d p )
Da die Anzahl der Z e rfä llun ge n in irgendeine bestimmte Anzahl 2
solcher Reste für jeden quadratischen Rest n die gleiche und eben so
für jeden qu adratischen N ichtrest n so wird dies auch gelten für
jene Ges amtanzahl aller Z e rf ällu n g e n :für jeden quadratischen Rest
n Q beträgt sie
.
,
,
,
.
.
.
,
.
.
,
,
,
,
.
z
.
,
.
.
.
°
,
,
1
7
( )
(9)
für jeden quadratischen
7
2
( )
wo
N ichtrest
(9b
n
,
v
( )
v
wieder
p
'
zur
Abkürzung
steht für
p
—l
2
endlich erhält
m an
für
G e s am t z ah l d e r Z e r f ä llu n g e n i n q u ad
jede durch
die Form el
r ti
a
s ch e
p teilbare Zahl die Gesamtz hl jener
a
R
t
es e
249
.
Z e rf ällu n g e n
durch
0
< )
7
3
( )
Nun beträgt da j e d e Summe verschiedener der p qu adratischen
Reste notwendig entweder der Null oder einem quadratischen Reste
oder Ni chtreste ( mod p ) kon gruent sein muß die ganze An zahl aller
au s
verschiedenen der p quadratischen Reste (mod p ) möglichen
Summen
’
,
,
.
'
.
"
0
9
( )+1
da sie andererseits o ff enbar gleich
o
1
ist so folgt zwischen den
,
7
4
( )
1
2
c
3
O
die
Beziehung
( ) ( )
Anzahlen
0
0
+
2
( )
v ,
( 0)
'
2 C
1°
1
Unterscheidet man ferner die geraden von den u n geraden Zer
fällungen so wird auch die A nzahl aller ersteren sowohl wie die
aller letzteren und daher auch deren U nter s chied f ü r jeden quadratischen
Rest u n d desgleichen für jeden quadratischen N ichtrest je der gleiche
sein N ennt man
diesen Unterschied für jeden quadratischen
Rest (v ) für jeden quadratischen N ichtrest und (O) für die durch
teilbaren Zahle n so finden sich daher die Formeln
,
,
p
.
'
'
,
,
p
=
2
7
5
( )
<
w
7
6
( )
t
7
7
( )
r
:
j
i
s
a .
1>
e
i
o
=1
Hiernach beträg t der Unterschied zwischen der Anzahl aller aus einer
geraden und derjenigen aller aus einer ungeraden An zahl von
q u adratischen Resten ( mod p ) gebildeten Summen einerseits
.
p
'
ndererseits off e nbar
a
1
o
1 )p =
'
2
3
und somit geht folgende Beziehung :
8
7
( )
z w ischen den
1
Anzahlen
p
'
(
o
(
'
hervor
( )
v
0
'
.
1
R
25 0
tiv
e la
Z e rf ä llu n g e n
e
Wi r e n t n e h m e n n u n d e r
b e k a n nt e F o r m e l :
n
9
7
( )
Y
w
(
d
m
o
m)
(
.
Lehre
.
von d er Krei steil ung die
e)
1
n
5
)
1
m
,
9
in welcher links über alle inkongruenten quadratischen Reste g p von
u
zu
multi
lizieren
ist
und
die
F
nktionen
x
Z
zur
Rechten
Y
p
p
( )
ganze ganzzahlige Funktionen von a:
bedeuten S e t z e n w i r d a r i n
1 so bedeuten Y (
1 ) gan ze Zahlen die w ir
z u erst x
Z(
kurz y z nen nen wollen und man erh ält
,
.
,
,
,
,
s
o
( )
ml
a
i
)
re
9
Da aber andererseits
„
Q
1
8
( )
p
p
1
x
3
1
1
10
2
ist so findet sich auch
,
?)
i
9
d i nach ( 6 3)
.
5
1
r
m
u
1
.
=1
.
1
i
Q
oder
n
W)
l
(
=l
0
( )
1
(0
4
20 +
9
oder endlich mit Beachtung der Gleichungen ( 64)
l
1
8
3
0
(
)
-
-
5
5P ‚
e
w
orin zur
Abkürzung
2
8
( )
6
( 9)
( )
v ,
( )
( 9)
ö
v
gesetzt ist Die Vergleichung der Formeln
Gleichung
8
0
a
(
)
.
1 +
0
( )
—a
g
ar :
1)
p
'
.
führt die neue
(g € )
4
9
herbei welche sogleich in die beiden folgenden zerf ällt :
,
83
( )
Verb inden
halten w ir
1
w ir
0
( )
—a
g
—
a
die erstere von ihn en mit der Gleichung
so
er
R
25 2
tiv
e la
e
sein
muß
und
wenn
p
einfach
.
=
y
desh alb
w ir
,
(m o d m)
Z e rf ä llu n g e n
0
9
( )
'
6
t
'
i
p
t
1
9
( )
v
E
3
setzen so kommt
’
,
’
und nun aus den erhaltenen Werten für
r
.
6
t
r
,
_
_
'
r
%
2
zwei Gleichungen denen sich wegen ( 7 8) die dritte
,
l
9
(
— 1
P
)
a
—
t
1
'
2
hin zugesellt
Da in
1 1 H a n d e l n w i r z u e r s t v o n d e m F a ll e p = 4 k + 3
diesem Falle im ganzen die Zahlen
mit den Zahl en 9 ( mod p )
übereinstimmen und 2 71 E O (mod p ) ist so ist
.
v
.
/
n
Q
Andererseits
.
n
=
i
(
1
(
.
.
,
r
-
v
—
)
H
1
(
w)
.
ist nach (4)
fi
h
ü
U
=
)
”
r
=1
I
(
r9
n
v
)
g
Demnach ergibt sich zunächst
n
2
9
( )
im
7
w)
l
(
l
(
r
p
”
.
9
über das Vorzeichen der rechten Seite z u entscheiden schreiben
wir das Produkt zur L inken indem w ir für r se inen Wert
2
2 :
r
cos
z sm
Um
,
,
75
7
P
P
einsetzen in der Form
,
cos
29
:
—
71
i
P
2
—
9
sin
— 2i P
)
ar
P
'
-e
P
-
9
ll
s in
9
:
71
P
9
Da hier das P rodukt
ll
9 75
sin
5
zugleich mit seinen einzelnen Fak
Q
toren p ositiv ist hat das fragliche P rodukt das gleiche Vorzeichen wie
,
n i
g
ä g
p
p
’
—1
1)
+ 29
d h das Vorzeichen von
1)
92
in
folgender
Form
schreiben
:
( )
8
.
9
3
( )
n
9
p
l
(
w)
1)
’-
8
‚
Man darf daher die Formel
.
.
P
1
+
2
W1
0
.
D
er
F all p
4k
3
25 3
.
Ferner ist
[
G
I
9
also je nachdem
oder
x
7
8
p
,
oder
n
l
(
2
p
Q
9
quadrati scher Rest oder N ichtrest von p d h
8 se
3 ist gleich dem P rodukte
1
(
ll
,
.
.
,
9
ll
)
”
r
U
TI
w)
Daraus folgt jederzeit
1
(
9
v
n
4
9
( )
ß
w)
l
(
1)
8
Vergleicht man diese Resultate mit den Formeln ( 80) und
in denen jetzt P
zu setzen ist so finden sich ohne weiteres
die Wert e
,
10
2
—1
8
1
y
'
2 9
1
+
T
2 9
t
,
und daraus dann die nachstehenden
'
=0
Anzahlen
—
l
p
2
19
—1
2
8
P
—
1
9
4
p
Q
—l
2
P
s
2
1
— 1
und
1
9
6
( )
p
1)
F ü r j e d e d u r ch
p
’
1
-
8
+
p
2 9
1)
,
n i ch t t e i lb a r e Z a h l
9
19
1)
9
7
( )
w ähre n d
—1
n
2
8
ist also
+ 29
8
.
—
l
p
2
10
—1
s
2
98
( )
i s t Im Falle p = 8 x 7 ist sogar fü r j e d e g a n z e Z ah l n o h n e
Un t e r s ch i e d die An zahl i hrer Z e rf ällu n ge n in verschiedene quadratische
Reste ( mod p ) die gleiche n ä mlich
.
.
,
—
l
p
( )
2
2
n
P
1
_
t ve
25 4
R e la i
(m o d m)
Z e rf ä llu n g e n
.
.
N u n m e h r s e i z w e i t e n s p 4 k 1 In diesem Falle lassen die
Formeln
9
a
keine
weitere
V
ereinfachung
zu
die
W
1
a
s
(
)
Formeln
8
5
a
anbelangt
s
o
u
n
t
e
r
s
ch
e
i
d
e
n
w
i
r
d
i
e
b
e
i
d
e
n
)
(
.
.
F ä ll e p = 8 x + 1
,
un
d p = 8x + 5
.
Im ersteren von b eiden i st
)
99
( )
re
.
n
w) =
’
II
1
(
9
Q
identisch mit n ( l
1
(
9
mithin
da
dies
P
rodukt
von
Null
verschieden
)
re ,
,
,
Q
demnach
w
9
egen ( 80)
y
22
z
O:
woraus sich nach den Formeln
a
5
8
)
(
—
l
p
0
( )
1
0
0
)
(
2
2
( 9)
1
P
ergibt Im Falle p 8 x 1 ist daher w ieder w ie im Falle p
fü r j e d e g a n z e Z ah l n o h n e U n t e r s ch i e d
8x
.
7
—
l
p
2
( )
2
p
n
Falls dagegen zweitens
die Gestalt an
w)
1
1
0
(
)
.
5
8x
p
—1
a
H
ist n i mmt die Gleichung ( 99)
,
=
II
9
9
w)
1
(
.
V
Da nun wenn die Reste g durch die Nichtreste v d h die
W urzeln r? der P eriode 770 durch die Wurzeln r der P eriode n1 e r
setzt werden in der Grundformel ( 7 9) aus der Kreisteilung die
Quadratwurzel zur Rechten ihr Vorzeichen wechselt so ergibt sich
auch aus ( 86)
,
,
.
.
”
,
,
1
n
folglich liefert ( 1 0 1 ) zwischen den Zahlen
ziehung
un d
ä
—(
1
0
2
(
)
P 2) ( y
y
'
’
Pz )
y
während aus
)
r9
g
°
U
v
l
(
’
r
)
=
p
'
y
'
z ,
1
U
=
h
P
y,
z,
1
I
(
=
) p
"
r
'
,
z
'
die
Be
R
25 6
v
e lat i
Z e rf ä llu n g e n
e
x
(m o d m)
.
.
x
Zur Bestimmung der Zahlen a setzen wir in ( 1 0 4) ein mal
r und gewinnen so die Beziehun gen
das an d e re m al
0
6
1
(
)
;
“
p
05
0
h
ist
N un
05 0 — 1
1
+
1
“1 7
1,
2
(X 7
2
'
a
p
—
l
p
_1 r
‚
=1
n
l
(
(
S a
g
n
r
—h
)
21
1
.
n
1
1
-
M)
1
(
und d .
5
,
1 H
7
1
8
0
(
)
1
2
und nach Nr
1
.
8
4
a
( )
ü
1
M)
a
1
1
M) = r
1
(
h
de mnach ist
2
1
8
1
=1
p
i
M)
h
2 1
=1
29
1
1
16
r
Um hier über das unbestimmte Vorzeichen zu entscheiden schre ibe
,
1
’
2„
o
h
=1
(
n
19
r
2
i
+
r
2
)
= 2P
119
I
-r
1
16
p
c
zu
ersehen ist daß
r
,
p
co s 5
5
1
1
mit p o s i t i v e m Faktor multip liziert
16
,
p
1
(
’
h“
—l
Q
'
1
0
9
)
(
'
n
=
h
p
woraus
also
h
-
’
16
r
—1
—1
2
gerade
d
h
1 1 s t so nenne man
8
(5 ) p _ 1
den kleinsten p ositiven Rest der ganzen Zahl 1 6 :so daß
i st
.
Wenn nun
p
.
,
,
.
y
2
p
1
1
( 0)
2
1
,6
29
2
—7
m
od
(
1
ist dagegen ; ungerade d h
1 so bezeichne man mit y
1
p
2
den k leinsten p ositiven Rest der ganzen Zahl 1 6 + 2 :so daß
,
.
.
,
-
1
1
0
a
(
)
P
—1
16
y
m
od p
(
)
.
D
E le m e n t e n s y s t e m 1 , 2, 3 ,
as
2 0
2
10
r
ersteren Fall e ist
16
r?
erg ibt
’
p)
25 7
.
während sich im zweiten Falle
W,
16
r
2
.
1
1
Im
—1
(m o d
Daher k ann ( 1 09) in der Form
.
P
11
_
h
1
(
2
(5)
”
r
)
1
geschrieben werden und d araus folgt wegen ( 1 0 7 ) die Beziehun g
,
.
:
7 7
06
0
+
a2 r
a r
l
2
+
u
o
a
p
_1 fl
"
1
,
welche wegen der I rre d u k t ib ilit ät der Kreistei lungsgleichung die Gleich
heit aller Koeffizienten der verschiedenen P otenzen von r d h die
Gleichungen
,
.
.
—1
1
1
1
(
)
erfordert Verbindet man diese mit der Gleichung
s o erh äl t
m a n s o gl e i c h d i e fo l g e n d en We r t b e s t i m m u n g e n :
.
1
2
1
(
)
"
1
2
von
i
(
p,
y verschieden)
fü r d i e g e s u c h t e n A n z ah l e n
Verfä hrt man um die Zahlen ß zu bestimmen genau wie zuvor
jetzt mit der Gleichung
so gelangt man zun ä chst zu den B e
ziehungen
.
)
,
,
1
1
3
(
)
-
H
1
4
1
( )
1
(
7
h
)
ß”
ßo +
ß
r
z
1
ßp —l
g
rp
-
I
'
Da nun
1
(
)
1)
"
r
P
'
l
(
o
r
Zh
I)P
'
.
geschrieben werden kann findet sich wegen (4) und ( 1 08)
,
und folglich
B ch m
a
an n
n ie
d
e re
Z
ah
le n t h e o ri e
.
II
.
17
1
(
M)
R
258
D
a
ferner
v
e lat i e
(m o d
Z e rf ällu ng e n
p
11
E
gesetzt werden kann
O
PQ
)
r
)
2
’
z ?
,
2
Seite als dasjenige von
1)
g
16
sm
h 7 15
p
so daß gen au
8
— 1
)
1
<
d e m O bigen
2 -
1
1
,
p
'
1
-
3 0
zu setzen ist oder
.
bestimmt sich leicht das Vorzeichen der rechten
10
Ü
—1
2
r
m)
.
8
10
r
.
1
16
zufolge noch einfacher
,
p
ll
=
)
1
(
"
r
'
9
1
.
1
h
Ersetzt man hier endlich die Quadratwurzel zur Rechten durch den
ihr bekanntlich gleichen Ausdruck
2
E
Q
s
9
1
‘
V
worin g v w ie früher die quadratischen Reste res p N ich t re s t e ( mod p )
bedeuten welche p ositiv und kleiner als p sind so geht aus ( 1 1 4)
die Gleichun g
,
,
,
,
.
.
,
,
7
1
a)
1
4
(
)
W
2
_
,
1
ßp
+ ß2 r +
ß
r
1
.
—
1
p
Q
hervor welche wieder erfordert daß die Koeffizienten der verschiedenen
P otenzen von r sämtlich gleichen Wert haben Da nun die Z ahlen
A
y
sämtliche
Reste
mod
mit
usnahme
des
Restes
y
v
p
y
9
)
(
d arstellen finden sich so die folgenden Gleichungen :
v
,
,
.
'
,
.
,
ßo
_
= ß —1 _
p
8 0 = ß1
5
10
—1 7
zur
H
ä
lfte
ositi
zur
in welchen s o 8
8 — l auter Einheiten
v
p
1
Hälfte negativ bedeuten I h re Ve rb i n d u n g m i t ( 1 1 3 )
anderen
l i e fe r t s o gl e i ch d i e We r t e :
,
1
,
1 ,
,
,
.
,
=
0
ß7
1
1
5
(
)
ß.
=
s.
o
F ü r ß e r g i b t s i ch d e r We r t + 1 Die Einheit s hat nämlich
d as V orzeichen desjenigen Gliedes zur L inken von ( 1 1 4 a) für welches
—
7
1
0
m
mod
d
h
5
n
z
o
d
i
s
t
nun
ist
stets
2
+
y
y (
p)
p)
7
;
(
o
o
.
,
.
mod
(
.
also
p)
,
p
’
—1
4
f
olglich
492
,
2
.
10
2
.
—1
4
und
—
l p +
p
2
2
1
—
I
p
2
(
p
_P
-
2
l
)
2
R
260
tive
e la
Z e rf ä llu n g e n
m
d
o
(
.
Hau ptform mindestens ein negatives Glied enthalten muß von diesen
welche n e g a t i v e H a u p t fo r m e n heißen sollen als p o s i t i v e H a u p t
fo r m unterschieden werden soll Die A n z a h l der negativen Haup tformen
ist ebenso groß w ie die Anzahl der aus verschiedenen Summanden der
1
—
1
gebildeten
Summen
welche
der
Null
kongruent
Reihe 1 2 3
;
sind ( mod p ) Denn ist
,
,
,
.
,
9
,
,
,
,
.
,
61
+
62
+
-
m
od p
(
)
0
eine solche Summe so entsteht wenn sie zwiefach von der Gleichun g
1
l
subtrahiert
wird
li
in
welcher
die
Zah
en
1
7
n ks eine Form
8
(
)
negativ alle übrigen p ositiv genommen sind und deren Wert
6
p
1
kon gruent 8 ( mod p ) ist es entsteht also eine negative Haup t
form und z w ar eine gerade oder eine ungerade je nachdem jene Summe
aus einer geraden oder ungeraden An zahl verschiedener der Zahlen
1 2 3
besteht Da es 05 solche Summen darunter aber
w egen ßp = O ebensoviel gerade w i e u n gerade gibt so entstehen als o
,
,
2,
1,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
„
.
,
()
P
2
1
1
1
8
(
)
2
P
1
gerade und ebensoviel ungerade negative Haup tformen Au f die g e
n annte Weise entsteht aber auch j e d e negative Haup tform ; denn
sind 6 62 6
die negativen Glieder einer solchen so wird der
Unterschied zwischen der p ositiven und dieser negativen Haup tform
einerseits gleich
«
.
,
„
,
,
3,
andererseits kongruent
N ull
mod
(
.
sein
woraus
auch
die
Summe
p)
,
0
-
d i als eine der gedachten der
s ch ie de n e n
der Zahlen 1 2 3
al s o k u r z
1
.
.
,
,
,
1
1
9
(
)
N ull
,
a
2 p
d
m
o
pb
(
o
kongruenten Summen aus ver
hervorgeht S e t z t m an
= Ä,
s o b e t r ä g t d i e p o s i t i v e H a u p t fo r m m i t e i n g e r e ch n e t d i e
A n z a h l a l l e r H a u p t fo r m e n 1 + 2 1 u n t e r w e l c h e n
gerade
und Ä ungerade F o rmen sind
Wi r s u c h e n fe rn e r d i e A n z a h l d e r F o r m e n w e l c h e k o n
ru e n t N u l l s i n d
m
o
d
Sie
beträgt
g
p)
(
,
,
,
.
,
.
D ie
g
1 , 2, 3 ,
au s
r e
e b ild e t e n
Fo m
n
m
( od p )
.
26 1
.
Ist n ämlich
p
—l
eine Summe aus verschiedenen Zahlen der Reihe 1 2 3
2
welche kongru ent y ist (mod p ) so erh ält man durch zwiefache
Subtraktion derselben von der p ositiven Haup tform da 2y stets
—
1
p
kongruent 8 ist eine Form welche der Null kongruent ist ( mod p )
und umgekehrt entsteht auf solche Weise auch wieder j e d e der ge
dachten Formen aus der p ositiven Haup tform Da zudem die ent
stehenden Formen o ff enbar gerade oder ungerade sind je nachdem jene
Summen aus einer geraden oder ungeraden An z ahl Summanden b e
stehen und es wegen ßy ==O von jeder dieser A rten gleich viele
gibt s o g i b t e s a u c h g l e i ch v i e l g e r a d e w i e u n g e r a d e F o r m e n
w e l ch e d e r N u l l k o n g r u e n t s i n d n ä m l i ch w e n n
,
,
,
7
,
.
'
,
’
,
,
,
.
.
,
,
,
,
,
,
1
1
2
0
(
)
5
“
N
7
ges etzt wird u gerade und u ungerade s olcher Fo rmen
1 4 Um nun a uch die Anzahl der Formen zu bestimmen w elche
einen der übrigen Reste ( mod p ) lassen bedürfen w ir einer Vor
betrachtung
Sei
,
,
.
,
.
.
,
.
1
2
1
)
(
m
od p )
(
2
eine Form welche den Rest s l äßt und k irgendeine durch p nicht
teilb are Zahl Multip liziert man mit dieser Zahl k die vorstehende
Kongruenz und setzt w ie im G außisc h e n L emm a der Theorie der
quadratischen Reste
,
,
.
,
l k
-
E
k
7
2
9
nl l ,
-
5
7
72
0
19
7192 ,
—1
2
k
_
_
k
1 ,
1
flp
E
2
2
die rechten Seiten die absolut kleins ten Reste der bezüglichen
Produkte also 7 7
ositive
oder
negative
Einheiten
und
p
wo
9
,
1,
hp _1
k l , kg ,
7
2,
2
verschiedene Zahlen der Reihe
p
1 , 2, 3 ,
2
zus ammen also diese gesamte Reihe bedeuten
jenem L emma zufolge
77 0
1
l
g
,
so ist bekanntlich
,
—1
2
die Kongruenz ( 1 21 ) aber erh ält die Gestalt
5
1
’71
'
k1
792
—
’l — l
l
p
p
s
2
t —
E
2
kp
-
l
Z
t
d
m
°
P) :
(
°
2
s k gedacht ist
wo
A u s d e r z u e r s t b e t r a ch t e t e n F o r m i s t
s o m i t e i n e n e u e e n t s t a n d e n und da
.
,
t
(m o d m)
R e la i v e Z e rf ä llu n g e n
262
p
k
'
h
.
=1
.
'
U
=
‘h
1
h
ist so wird das Produkt der Einheiten für beide Formen gleichen
oder entgegengesetzten Wert haben d h aber :d i e b e i d e n F o r m e n
w e r d e n g l e i ch e r o d e r v e r s c h i e d e n e r A r t e n t w e d e r z u g l e i ch
gerade r e sp ungerad e o der di e eine gerade die ander e un
g e r a d e s e i n j e n a c h d e m k q u a d r a t i s c h e r R e s t o d e r N i ch t
r e s t v o n p i s t Ist s eine ni ch t durch p teilbare Zahl s o w i r d
b e i d i e s e m V o r g a n g e d e r R e s t d e r F o r m d e r s i ch i n t E s k
v e rw an d elt s e in e n qu a drati s ch en C h arak t e r j e n ach d i e s e n
b e i d e n F ä l l e n b e h a l t e n o d e r w e ch s e ln
1
p
Nunmehr sei s = 8 d h die Form ( 1 21 ) eine Haup tform und
l
‘
P
P
t irgendein e der Zahlen 1 2 3
Da
nicht
durch
p
g
g
l
teilbar ist kan n ein Wert k so bestimmt werden daß t E n k
mod
Demnach
entsteht
aus
jeder
der
1
2
Hau
tformen
e
i
n
e
1
p)
p
(
Form welche kongruent t ist ( mod p ) durch Multip lik ation mit k
Die so entstehenden 1 2 1 Formen s ind auch alle vonein ander ver
schieden denn entstünde aus zwei verschiedenen Haup tformen f und
u
i
a
d
dieselbe
Form
so
würden
o
f
fenbar
durch
M
lti
l
k
tion
ieser
f
p
letzteren mit dem Sozius k von k wieder di e Haup tformen f und f
hervorgehen diese also nicht verschieden sein können Endlich e r
schö p fen jene 1
Formen aber auch alle Formen welche kon
ru e n t t sein können
Denn
aus
einer
Form
welche
den
Rest
l
ä
ßt
t
g
muß durch Mu ltip likation m i t k eine solche entstehen die den Rest
p
k E
mod
l
ä
t
d
h
eine
Hau
tform
ist
aus
der
nun
um
ß
p)
p
(
gekehrt jene durch Multip likation mit k hervorgeht E s g i b t d e m
n a ch g e n a u 1 2 1 F o r m e n m i t d e m R e s t e t
Welche dieser Formen nun gerade welche ungerade sind hängt
einerseits davon ab welcher Art die Haup tform ist aus der sie ent
Ä
stehen andererseits von dem Werte von (p ) welcher wegen der
Kongruenzen
,
.
.
,
,
,
,
.
,
,
.
,
,
.
flm
7
,
.
.
2
,
,
,
.
,
,
.
.
.
,
,
.
.
.
,
,
’
.
,
,
,
.
,
’
,
'
,
.
.
.
,
.
.
.
,
,
,
,
,
,
—l
.
8
mit demjenigen von
k
E
2 yk
m
od p)
(
oder da
1
,
—2 t
gefunden worden mit
,
—2t
1
dem Werte von
gle i ch I s t Ist
so werden d i e
1
geraden Haup tformen ebensovi el gerade die 1 ungeraden
11
Haup tformen ebens oviel ungerade Formen mit dem Reste t li e fern ;
ist
so verhält es sich umgekehrt :jene liefern 1 1
1
,
.
,
,
.
.
R e k u rs i o n s f o rm e ln
26 4
.
j e d e n q u a d r a t i s c h e n N i ch t r e s t 1 m a l d i e u n g e r a d e n F o r m e n
Z udem gibt es p gerad e und eb ens o vi el ungerade
Ä m al
1
F o r m e n w e l c h e d e n R e s t N u ll l a s s e n
Mit diesem eleganten schon E is enstein bekannten Stem s c h e n Satze
beschließen w ir die Behandlung der relativen Z e rf ällun g e n einer Zahl
mod
und
wenden
uns
nun
wieder
zu
Untersuchungen
welche
m
(
)
die absoluten Z e rf ällu nge n betre ffen
.
,
.
.
,
.
,
,
.
Se
c
h
t
s
Ka p i t
e s
e
R e k u r s i o n s f o rm e ln
l
.
.
A bschn itte werden Wi r von einer gan zen Kategorie
R e k u rs io n s f o rm e ln handeln , deren anal ytische Quelle die gleiche
wie sie E uler für die Z e rf ällu n g der Zahlen benutzt hat die Ent
1
In diese m
.
von
ist
:
Sie beziehen sich
w icklung unendlicher Produkte in P otenzreihen
au f die mannigfaltigsten zahlentheoretischen Funktionen
Wir heben
dar unter hervor d i e A n z a h l
,
.
.
O
1
( )
N
,
( 2 )
=
s
ai
d e r Z e r f ä llu n g e n d e r Z a h l s i n l a u t e r v e r s c h i e d e n e p o s i t i v e
S u m m a n d e n welche nach Kap 3 Nr 4 d e r A n z a h l i h r e r Z e r
f ä l l u n g e n i n gl e i c h e o d e r v e r s c h i e d e n e ab e r u n g e r a d e
S u m m an d e n :
.
,
1
a
( )
N
gleich ist ; ferner die
Anz ahl
2
( )
( 2
=
s
N
d e r Z e r f ä llu n g e n d e r Z a h l
m an d e n sowie d i e A n z a h l
,
.
)
k nn
( Z )
s
=
’
u.
in v ers chi e d ene un g erade S um
s
,
3
( )
N
( Z
e
)
1e.e .
i h r e r Z e r f ä llu n g e n i n p o s i t i v e S u m m a n d e n ü b e rh a u p t
’
aus der Gleichung s = k u sich
Z
3 2
k ( mod 2)
Da
i
i
2
.
.
ergibt folgt aus ( 1 a) o ffenb ar die Beziehun g
,
N
( 2
S
=
1)
k gu i ;
'
z ki
)
08 ;
desgleichen wenn man mit 2 die Anzahl der Elemente in der Gleich un g
so daß s E 1 (mod 2) wird aus (2 die Beziehung
s =
u bezeich net
.
,
Z
.
.
,
.
,
2
.
5
< )
w
”
as
.
Ve
r
s ch ie d e n
e
z ah le n
th r ti
eo e
s ch e
Fu n k t i o n e n
Wir bezeichnen ferner nach dem Vo rg an g e von
d i e A n z a h l d e r T e i l e r v o n s mit
265
.
mit €(s )
Ino
,
=
6
( )
Z
=
d
d d
8
d i e S u m m e d i e s e r T e i l e r und allgemeiner mit
,
9 6)
7
( )
.
9
d
=
:
d d
a
d i e S u m me d e r
P o tenz en all e r T e iler v o n
m
ten
s,
so daß
g) (s )
.
Ci (8 )
8
( )
‘
M
=
Z
9
( )
g
sei d i e S u m m e d e r u n g e r a d e n r e s p d e r g e r a d e n T e i l e r v o n s
bezeichnet so daß Cfi s) C (s ) ist sooft s eine ungerade Zahl und
.
l
,
am
,
m®
=
,
s®
—
se
bedeute d e n U n t e r s c h i e d d i e s e r b e i d e n S u m m e n ; en dlich sei 9 (s)
d e r U n t e r s c h i e d z w i s ch e n d e r A n z a h l d e r T e i l e r v o n 8
w e l c h e d i e F o r m 4 k + 1 h a b e n u n d d e r A n z ah l d e rj e n i g e n
v o n d e r F o r m 4 10 + 3 so daß
,
,
,
an
=
e®
2K
a
u
o
—l
i
gesetzt werden kann wenn die Summe auf sämtliche un geraden Teiler
von s ausgedehnt wird ; demzufolge wird
,
d
=
(
2
a
1
1
(
)
1)
—l
2
falls s e ine un gerade Zahl und die Summe über s ä mtliche Teiler
dieser Zahl erstreckt ist
2 Den Ausgangs p unkt unserer Betrachtungen bildet der L egen d re
M lers ch e P e n t ag o n alzah le n s at z oder die Gleichung ( 1 6 7 ) des 3
K ap itels :
,
.
.
t en
n
1
2
( )
Verbin det
n
— 1 w
>
1
<
2
man sie mit der Formel
cc
j
U
=
iä
i
k
-
h
x
pm
'
m
x
1
durch Multip likation so erhält man zuvörderst die Beziehun g
,
R e k u rs io n s f o rm e ln
266
3
1 =
Z
n
-i- n
_
’
(
.
+
2
m
die w enn alle Glieder zus ammengefaßt werden
P otenz x ergeben die Gestalt
welche dieselbe
,
,
“
,
oo
1
.
s =0
Z
— 1 n r
(
)
w i
.
s
)
e
2
n
annimmt wo die auf n bezügliche Su m mation so weit fortzusetzen
i
ist als s
O
bleibt
H
eraus
folgt
aber
durch
Vergleichung
ä
gleicher P otenzen von x auf beiden Seiten fü r j e d e n p o s i t i v e n
We r t v o n s d i e v o n E u le r (Novi C omment P etro p 3 S 1 5 5 )
g e g e b e n e u n d v o n Z e lle r ( Acta Math 4 S 4 1 5 ) w i e d e rh o l t e
R e k u r s i o n s fo r m e l :
,
.
,
.
,
.
ä
1
3
( )
<
3u +
2
n
=0
.
,
.
.
9
8
d e r m a n a u c h fo l g e n d e G e s t al t g e b e n k a n n :
14
n
F
F
3 n2 + n
3 71 2
2
—7:
2
worin die Summation über alle p ositiven ganzen Zahlen n auszudehn en
ist für welche die Indices der Funktion F nicht negativ werden ; der
Index Null tritt o ffenbar dann und nur dann auf wenn s e ine P entagonal
setzen
Dieser Formel hat S tern (Journ f Math 2 1 S 1 7 7 ) z w ei andere
an die Seite gesetzt welche sich auf die Funktion C beziehen Die
letztere ist der E n t w ick lun g sk o e f fiz ie n t des P rodukts
,
,
.
,
.
.
.
,
,
=
U
=
1
5
( )
h
1
Z==
0N
e
Ir
n
welcher die neue :
l
(
x)
"
”
0
n
Schreibt man aber
au s
.
"
i
,
—
m
.
R e k u rs i o n s f o rm e ln
26 8
.
Eine besonders berühmt gewordene auf die Summe der Teiler
einer Zahl bezügliche Rekursionsformel erhielt E u ler ) aus der Glei
chung ( 1 2) durch einen Prozeß welcher der logarithmischen Diff e
So entsteht daraus zun ächst die Formel
re n z ie run g gleichkommt
3
,
.
l
,
.
x
0°
2 log
und nun da
x
,
o
x)
1
(
.
log
"
—
1
d lo g (
h
x
.
)
.
(
2
h
3M
1
n
2
2
.
i
1m
in
,
also
x
ä
—
l
'
.
d lO g
.
E
’
"
hw
x
‘h
=
E
l
f;
x
”
n
—
n
1
h
ist die folgende Beziehung :
,
2
1
8
( )
n
21 07097
72
:
3 n2 +
oo
n
Wenn aber hier der Nenner f o rt g e s c h afit und in der dann
auftretenden Dopp elsumme alle Glieder mit derselben P otenz w
sam m e n e f aßt werden
so
findet
sich
g
’
"
zu
,
2
1
2
—1 n
<
>e
3n
<
s
_
3
-
o
0°
n
=
2
2
— 1
<
>
3M
i
2
n
w
n
und demgemäß folgender Satz :
D ie Summe
2
2
aus g e dehnt üb er all e
o
s
i
t
i
v
i
s
t
i
s
t
p
3” +
H)
%
= 0, 1 , 2, 3;
n
—1
,
3m
2
m
i
M
,
Z
1
9
( )
2
1 ) E u ler
:D e
v rt
r d ivi
cou
e
e
d
’
r
IS
.
II S
.
.
Man
.
2
tr r
r
r
r
lo i o u e x ao d in air e d e s n o m b e s p ar ap p o t
D e m o n s t rat io
O b s e rv at io d e s u m m i s d i vi s o ru m
s a m mi s d iv i s o ru m o b s e rv at i
C o m m e n t at ari th m
u ne
ä 1a s o mm e d e le u s
seu s
t h e o re m at i s c i c a o rd in e m i n
c o lle c t ae
23 4, 1 46 ;
639
,
,
r
t t
n
”
i m ist
3
(
i
w
h
l
e
e
C
fü
r
3
:
g
o d e r N u ll j e n a ch d e m
o
e i n e P e n t a g o n a lz a h l s =
o
d
e
r
n
i
c
h
t
i
s
t
2
darf diesen Satz auch als Gleichung schreiben :
s
’
,
2
3m
’
.
.
.
.
.
St
ä
ze
E u ler, S t e rn , Z e lle r
von
269
.
wenn man die Summation über alle n O l 2 3
ausgedehnt
denkt für welche s
n i c h t n e g a t i v ist und ü b e r e i n
k o m m t unter dem Zeichen C
welches nur dann auftreten wir d
3m + m
falls s eine P e n t ago n alzah l s
ist
diese
Zahl
selbst
zu
s
2
verstehen
Durch Multip likation der Gleichung ( 1 8) mit der anderen :
,
,
,
,
2
,
,
1
,
,
’
*
,
,
.
2
1==1
1
=
"
—
1
54
5
S
’
w
m
1
h
und mit Berücksichtigung der Gleichun g ( 1 2) entsteht ferner die
folgende :
2
u
1
00
=
"
96
=1
S
3 n2 +
0
rn x
"
2
% c
'
u
2
't
=1
deren rechte Seite in der Form
(
Z
Z
n
_
1
:
3M
i
n
n
geschr ieben werden kann
B ez iehung
:
S
g( )
20
1
.
D ah e r e r s ch l i e ß t m a n a u s i h r d i e
_1
n
_1
'
2
8
_
3 n2 +
_u
9
‚
2
i n w e l c h e r d i e S u m m a t i o n a u f a l l e Z ah l e n n = 1 2 3
zu
3
i
e r s t r e ck e n i s t fü r w e l c h e s
n
i
c
h
t
n
e
g
a
t
i
v
w ird
2
Diese let zte Form el verdankt man Z eller (A cta Math 4 S
Durch Vergleichung des aus ( 1 9 ) entnommenen Wertes von
mit dem in ( 20) gegebenen findet sich noch die von S te rn (A cta Math
6 S 3 27 ) erwähnte Gleichheit
,
92
3
,
,
”
,
.
,
.
.
.
,
.
1)
n
_i
3n
2
i
.
2
l)
n —1
‚
g1
(
8
3n
2
i
2
n
)
,
in welcher beiderseits von n 1 an zu summieren ist
Ferner entsteht durch Multip likation der Gleichun g ( 1 8) mit dieser
anderen :
.
wenn dabei
R e k u rs i o n s f o rm e ln
27 0
Ü
h
m
m
Ü
.
1)
)
=1
n
gesetzt wird die folgende :
n
3
x
n2
j;
n
=o
,
Wenn hier die Multip likationen ausgeführt und d i e Koeffiz i enten
gleich hoher P otenzen rechts und links verglichen werden so geht
:
folgende mit ( 20 a) analoge Gleichun g hervor
,
Z
h
2
o
)
(
Y
n
n n
2
3
)
+
wo links von n O rechts von n 1 an so weit fortzuschreiten ist
als das Argument v o C, p ositiv der In de x von O nicht negat iv wird
A
cta
Math
6
S
S
t
r
n
e
(
4 Geht man statt von der Gleichung
von der folgenden :
,
,
n
.
,
.
,
.
,
,
0°
g
0°
_
1
w
(
2h
)
:
g
_
1
)
(
n
‚
3 922
w
1
-
7
:
aus so ent steht durch deren logarithmische Di fferenzierun g statt ( 1 8)
diese Beziehung :
,
0°
2
<
-
’
(3 n i
oo
u
=1
-
n
n
=o
und aus ihr der neue Satz :
Die Summe
2
(
m
a
gr
n
)
,
e ad e
)
a u s g e d e hn t ü b e r a l l e Z a h l e n n = 0 , 1 , 2, 3 ,
—
2 —
2
1 m
—
—
—
3 n T n p o s i t i v b l e i b t, i s t
s
1)
m
m
3
_
t
)
(
j e n a ch d e m s d a s D o p p e l t e e i n e r P e n t a g o n a lz a h l,
n
(s
-
fü r w e l c h e
o der Null
,
s
= 3 m2 i m
i s t o d e r n i c h t i s t Dieser Satz kan n wieder in Ges t alt einer
k u rs io n s f o rm e l gefaßt werden :
.
2
2
1
( )
:
(
n
O
)
Re
,
worin die Summation über alle n
für welche
1 2 3
zu erstrecken und unter dem Zeichen
s
3 92
n nicht negativ ist
welches nur dann auftritt wenn s 3 m ; m ist die
Z ahl s selbst zu verstehen ist
A h nl ic h e rw e is e liefert die Formel
2
,
,
,
,
s
,
“
.
,
R e k u rs i o n s f o rm e ln
27 2
.
o f L ondon Math Soc 1 5
P
roceedings
S
Hier
wird
(
der Formel ( 24) noch eine be chtenswerte andere an die Seite gesetzt
Um sie zu erhalten multip liziere man in der Gleichung ( 23) Z ähler
u n d Nenn er der rechten Seite mit
.
,
.
.
a
.
,
Das Produkt im Z ähler ist dann
z e ge
r
e »
U
—
)
u
‚0 00 + 1 )
die
größte
die
Zahl
ist also
2
zahl in Zeichen :
,
nicht überschreitende Trigonal
n
,
2
6
( )
so w i rd
h (k
Z
der
2
A usdruck
+ 1)
2
2
5
( )
a
6
lso gleich
n
=1
Desgleichen i st das entwickelt e Produkt im Nenner gleich
5
0
6
+ 1) w
'
n
r
ebenso wie zuvor die Zahl k durch die Ungleich heiten (26)
stimmt wird Somit findet sich zun ä chst
wo
be
.
S
2
7
( )
m
a
e
g
—
l
dH y m
10x
7
+
8
1 0w
+
1 0x
9
+
u
durch Multip likation mit dem N enner entsteht aber zur L inken eine
Do pp elsumme ; werden in ihr die Glieder zus ammengefaßt welche
dieselbe P otenz x ergeben und nun die Koeffizienten gleicher P o
t e n z e n von
auf beiden Seiten verglichen so erhellt das folgende
Ergebnis :
x
,
’
,
,
r
t
A i t h m e is c h e Me t h o d e n
Der
27 3
.
Au s d r u ck
61
6)
— 2
)
2
8
( )
— 5
)
+ 4
o
—d , (s
ö , (s
— 9
)
fo r t g e s e t z t s o l a n g e d i e A r g u m e n t e d e r F u n k t i o n
o
s
i
t
i
v
b
l
e
i
b
e
n
i
s
t
g
l
e
i
ch
p
,
6,
n
o ch
,
(m
3
772
— 972
,
wenn
d u r c h d i e U n gl e i c h h e i t e n
m
—
(m 1
1
2
b estim m t ge dacht wird
5 Wir suchen nun di ese auf a n a l y t i s ch e m Wege hergeleiteten
Sätze auch rein a r i th m e t i s c h zu begrün den indem wir uns zu
diesem Zwecke der schon mehrfach benutzten Abhandlung v o n
K Th Vahlen (J ourn f Math 1 1 2 S 1 ) anschließen
Zunächst ist eine Reihe allgemeiner Form eln zu beweisen die
w ir in der Folge als Vahlen s ch e G r u n d fo r m e ln bezeichnen werden
Man denke sich irgendeine Z e rf ällu n g :
.
.
,
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
2
9
( )
s
=
Z
ci a,
der p ositiven ganzen Zah l s in p ositive Elemente deren jedes mehr
fach auftreten darf und nenne v die Anzahl der voneinander ver
Indem man 1 beliebige d der letzteren
s c h i e d e n e n Elemente a
aus der Summe herauszieht nimmt die Z e rf ällu n g die Form an
,
i
:
,
.
.
,
3
0
( )
,
3
L
‘
äz +
'
Z
k i ai 7
1
worin die Elemente ä nicht von den a verschieden zu sein brauchen
und die Koeffizienten k derj enigen a die zu jenen z ählen um 1
kleiner sind als die entsp rechenden
welche
A lle Z e rf ällu n g e n
in solcher Weise aus der gedachten Z e rf ällun g ( 29 ) hervorgehen
kö nn en mögen d i e G r u p p e d e r l e t z t e r e n heißen Die Z e rf ällun ge n
welche einer anderen Gru pp e angehören sind ersichtlich von
den vorigen verschieden denn in einer anderen Z e rf ällu n g (29) von
s sind entweder zwar die gleichen Elemente a
aber andere Ko e f fi
z ie n t e n e
vorhanden oder aber sie besteht aus anderen Elementen a
A ndererseits gehört jede Z e rf ällu n g ( 3 0) einer bestimmten Grup p e an
d h sie entsteht aus einer bestimmten Z e rf ällu n g von der Form
N u n betrachte m an alle möglichen Z e rf ä llun g e n von s von der
ch m
i d
Z hl th i
18
,
,
i,
,
,
,
.
,
,
,
i,
,
i
,
.
,
.
.
B
a
an n
n e
,
e re
a
en
e or e.
II
.
R e k u rs i o n s f o rm e lu
27 4
.
Form ( 3 0) und zähle jede von ihne n p ositiv oder negativ je nachdem
angibt ; man bilde
2 gerade oder ungerade ist d i so oft als
lso in Vahlen s ch e r Bezeichnun g d i e A n z a h l d i f f e r e n z
,
,
.
.
.
,
a
N
Die erste der
;
5
i
G r u n d fo r m e l n l a u t e t d an n :
Va h le n s c h e n
1
3
( )
1)
ä.
=o
— 1
)
N
.
Diese auf s ä m t l ich e Z e rf ällu n ge n von der Form (30) bezügliche
Formel wird bewiesen sein wenn gezeigt wird daß sie gilt wenn
sie nur auf alle Z e rf ällun ge n einer beliebigen Grupp e bezogen wird
Handelt es sich aber um die Grupp e einer bestimmten Z e rf ällung
so kann 1 n u r die Werte O 1
erhalten und jedem Werte 1
Z e rf ä llu ng e n der Gru pp e di e mithin zur
dieser Reihe entsp rechen
o
z
An z ahldifi e re n ( 3 1 ) den Beitrag
liefern Zusammen geben
also s ä mtliche Z e rf ä llu n e n der Gru
e
den
Beitrag
pp
g
,
,
,
.
.
,
v
,
.
,
,
'
.
(2) o
—
1
+
was zu be w eisen war
Die Betrachtungen durch welche die Formel ( 3 1 ) gewonn en worden
ist ble iben o ff enbar durchweg in Kraft wenn die Elemente ab statt
als beliebige p ositive ganze Zahlen sämtlich als p ositive u n g e r a d e
Zahlen u vorausgesetzt werden und m a n k an n d ah e r s o g l e i c h
n a ch s t e h e n d e z w e i t e F o r m e l s c h r e i b e n :
.
,
,
,
,
,
,
l
N
S
g
2
76
m;
,
= O,
w e l c h e r n a ch d e m E u le r s c h e n S a t z e i n N r
Kap i t e l s a u ch d i e G e s t al t
32
a
(
)
.
4
des dritten
— 1 )z = o
N
g egeb en werden kann
Durch eine Betrachtung derselben Art überzeugt man sich von
der Richtigkeit auch d e r fo l g e n d e n F o r m e l :
.
3
3
( )
N
=
( Z
s
‘
ä.
m
u )
o
.
R e k u rs i o n s f o rm e ln
27 6
.
v
=2
s
l
o
z
ai
1
und
Ä
y
v ist liefert die dann einzige
,
‘
I’
1’
E
=
3
Z e rf ä llu n g
ai
ä
+
1
ai
1
der zugehörigen Grupp e den Betrag
und die auf sie beschränkte
A u s diesem Verhalten für die
An z ahld iff e r e n z ( 3 6) ist ihm gleich
einzelnen Grup p en ergibt sich die zu beweisende Formel
Be t rachte man weiter die Z e rf ällu n g e n von der Form
.
38
( )
s
=
5 5
’
a
2+
a
2
'
‚
1
1
in denen nicht nur die Elemente jeder Summe für sich sondern auch
die der ersten von denen der zweiten verschieden und
als gleich
artige Zahlen beide gerade oder beide ungerade gedacht werden
Wenn jede solche Z e rf ällu n g p ositiv oder negativ gez ählt wird je
v
l
nachdem g gerade oder ungerade ist s o fi n d e t s i ch d i e A n
,
,
,
.
,
"
,
za
h ld i f f e r e n z
1
39
( )
"
'
z
‘
2
„
N
‘
d
2+
2
d
l
’
L;
1)
=O
2
.
H
Denkt man sich nämli ch zun ä chst alle diejenigen Z e rf ällun ge n
in denen die An zahl l == 13 +
sowohl wie die Gesamtheit
beze i chnet werde dieselbe ist
der a 2 al die durch an a 2
a;
so daß
,
’
,
e,
,
,
,
S
E
=
ai
1
gesetzt werden kann so entstehen sie alle aus d ieser letzteren indem
die 1 Elemente a auf alle Weise in zwei Grupp en verteilt werden ;
"
bezeichnen
so gib t e s
l je die Anz ahl der Elemente derselben
entsp rechende Verteilungen und der Beitrag derselben zur Anzahl
d i fle re n z ( 3 9 ) beträ g t
,
.
,
,
'
,
'
1
r
o
1)
1
"
z
.
2
folglich ist der Gesamtbeitrag all der gedachten
ä
1)
l
1
i
n e
Z e rfä llun g e n
0
.
Vah len sc h e n G
D ie
r
u ndfo
rm
e ln
27 7
.
d a sie bei Beschränkung auf die
Hieraus folgt die Gleichung
besondere K ategorie gilt o ffenbar auch für alle möglichen Z e f ällu n ge n
von der Form
Diese Gleichung bleibt ersichtlich auch dann
richtig wenn die a2
als u n g e r a d e vorausgesetzt werden
Brauchen dagegen in den Z e rf ällun ge n (3 8) die Elemente der ersten
Summe nicht von denen der zweiten Summe verschieden z u sein so
findet sich u n t e r d e n s o n s t g l e i ch e n Vo r a u s s e t z u n g e n durch
eine Betrachtun g welche derjenigen ganz ähnlich ist die zur Formel
:
3
7
geführt
hat
n
a
c
h
s
t
e
h
e
n
d
e
G
l
e
i
c
h
u
n
g
( )
r
,
,
,
.
,
,
,
,
=
4
0
( )
n
2
a
2
1)
1
N
2
(
s
1
a
;
ä
O ff enbar
a
?
bleibt diese auch bestehen wenn alle a a} aß u n g e r a d e
ged acht werden
Diese Grundf ormeln gestatten sogleich einen interessanten Zer
f ällu n gs s at herzuleite n
Betrachten w ir die An z ahld ifi e re n z
'
i,
,
,
.
,
'
z
.
=
4
1
( )
j
d
1)
ui
1
+ Z
k
1
die
verschiedene ungerade und sowohl die a wie die a ver
s c h ie d e n e
doch sonst beliebige ganze p ositive Zahlen sind Der
Grundformel ( 3 2 a) zufolge wird für alle Z e rf ällu n g e n der gedachten
j
Art bei denen der Teil
Io a derselbe ist ihr zu der An zahld iff e re n z
4
1
ahme der besonderen
gelieferter
Beitrag
verschwinden
mit
usn
A
( )
Z e rf ällu n g e n von der Form
S= ka
wo
n,
,
,
,
,
.
t
,
,
,
,
2
welche
1
4
gleich
( )
für
0
l
i
5,
/
ist und somit ergibt sich im ganzen der
,
4
2
( )
N
( Z
3
=
A usdruck
’W
In derselben Weise erkenn t man aber auf Grund der Formel ( 3 3)
seine Gleichheit mit
z
=
Z
ui i
2
1
d h
.
.
,
da
s
E1
.
mod
.
2)
ge f unden wird mit
4
3
( )
Die Gleichsetzung der beiden
die Gleichung
,
N
( Z )
s
=
Ausdrücke
u.
42
( )
und (43 ) gibt den durch
Re k u rs io n sf o rm e ln
27 8
N
4
4
( )
( 2 )
=
N
ui
.
( 2
S
=
k i ai ;
usgedrückten S a t z :d a ß j e d e Z a h l e b e n s o o ft i n v e r s ch i e d e n e
u n g e r a d e E l e m e n t e z e r f ä llb a r i s t a l s d e r U n t e r s ch i e d z w i s ch e n
d e r A n z a h l i h r e r g e r a d e n u n d d e rj e n i g e n i h r e r u n g e r a d e n
Z e r f ä l lu n g e n i n b e l i e b i g e b e l i e b i g o ft g e n o m m e n e E l e m e n t e
b eträ gt
7 Wir nehmen nun wieder z u m A usgangs p unkte unserer weiteren
Betrachtungen den E uler schen P e n t a g o n a lz a h l e n s a t z d e s s e n
wenn zur Abkürzu n g
a r i th m e t i s c h e r I n h a l t
a
,
,
.
.
,
,
3M
m„ =
i
n
2
gesetzt wird i n d e r G l e i ch un g
,
=
4
5
( )
2
1
ai ;
N
(
ö
s
n
;
z u m A u s d r u c k e k o m m t Unterscheidet m ag bei den Elementen a
die geraden g von den ungeraden u , und beze i chnet mit 1 die Anzahl
der ersteren mit p die Anzahl der letzteren so daß
;
.
,
.
,
,
l
v
Z
a
=
.
u
‚
V
7
.
.
.
und
s E
mod
(
n
2)
.
wird s o fi n d e t s i ch o ffe n b a r d i e B e z i e h u n g
,
z
4
6
( )
—1
>
1)
durch welche zun ä chst der Unterschied zwischen der Anzahl der
geraden und der der ungeraden Z e rf ä llun ge n einer Zahl in verschied ene
A
ositive
Elemente
einen
neuen
usdruck
erhält
p
Schreibt man aber die Z e rf ällu n ge n
.
z
2
3
ä
:Z k :
i a/i
.
auf welche sich die Grundformel ( 3 1 ) bezieht in der Form
,
1
S
3
'
Z
‚
55,
so wird der Gesamtbeitrag welchen alle diejenigen Z e rf ällun g e n bei
denen der Bestandteil s der gleiche ist zur An z ah ldiffe re n z
,
,
'
,
R e k u rs i o n s f o rm e ln
280
.
z
=
2
1)
a z;
1
geschrieben werden kann mittels des
Ausdr u ck
P e n t ag o n alz ah le n s at z e s
,
d i auf
.
.
Ir
o
z
2 59 "
e
z )
ur
au
f
den
,
— 2 a‚.
zurückkommt D i e v o r i g e Gl e i c h u n g v e r w a n d e l t s i ch al s o i n
d i e fo l g e n d e :
.
(
2
5
0
( )
N
„
(
ä
3
m;
eine Rekursionsformel von analoger Gestalt wie die schon analytisch
erhaltenen beiden voraufgehenden
8 Bevor w ir andere Formeln dieser Art aufsuchen beweisen wir
auf einfache Weise einen allgemeinen U m k e h r s a t z
Sei f (s ) eine für jeden n i cht negativen ganzen Wert von s de
Besteht
fin ie rt e Funktion und k eine gegebene p ositive g anze Z ahl
d ann z w ischen
und einer anderen Funkt i on F (s ) für jedes eben
bezeichnete s die Beziehung
,
.
,
.
.
.
o f(
<
2
5
1
( )
s
k ann )
F
e)
,
wo die Summation wieder so weit ausgedehnt gedacht wird als die
Argumente s
k an S O bleiben so gilt zugleich die umgekehrte B e
ziehung
,
n
,
Z
5
2
( )
In der
F
(
k h) F },
8
nimmt die links stehende Summe nach Einsetzen d e s
—
au s
1
entnommenen
Wertes
von
den
usdruck
einer
5
F
S
k
A
h
(
( )
)
Do pp elsumme an :
h
k
r
(
e
I
r
e
2
T at
welche wenn al le Glieder zusammengefaßt werden in denen h
d e n gleichen Wert i h at in die Gestalt
,
,
69 „
,
Z(
fe
In
)
2
1
m
in— a .
i
)
bergeht w o nun sobald i von N ull verschi eden ist der Formel ( 48)
zuf olge d i e innere Summe verschwindet und de mn ach die ganze
Do pp elsumme auf das eine Glied f (s ) sich zusammenzieh t
ü
,
,
,
,
.
Um k
Ei n
t
e h rs a z
28 1
.
Man erkennt ebenso d aß aus der vorausgesetzten Gleichung ( 5 2)
rückwärts wieder die Gleichun g ( 5 1 ) hervorgeht mithin eine jede von
i h nen die andere nach sich zieht
Die Anwendung dieses S atzes auf die R e k u rs io n sf o rm e ln (49) und
ergibt
ohne
weiteres
n
achstehende neue Beziehungen :
5
0
( )
2e m ;
N
h
G
,
,
.
E
h
E G
2h
N
i)
am ;
s
)
+ m
h
Da die un ter dem Summenzeichen stehenden An z ah ld iffe re n ze n aber
nur für d i ej en i gen Zahlen h von N ull verschieden nämlich res p
m
m
+
1)
sind f ü r welche s h 2 67m res p s 2h 6 m
1 ) und
ist l assen sich diese Gleichu n gen schreiben w ie folgt :
,
.
8
,
3
.
,
,
5
3
( )
1)
=
s
Z
(
0
F s _ am ;
wo die letztere Summ ation n u r über diejenigen m O 1 2 3
—ö m
zu erstrecken ist für welche 2 eine g an z e Zahl O wird Durch
nochmalige Anwendun g des Umkehrsatzes auf d ie erste dieser Formeln
erh ält man weiter die folgende :
,
,
,
,
s
.
,
4
5
( )
h
9
.
N unmehr
betrachten
w ir
die
An z ah ldifi e r e n z
'
z
55
( )
Z
N
ai
1)
+ k ao ;
/
l
a0
Hierbei bedeutet k eine belie b ige p ositive ganze Zahl und a0 ei n
l C h ver
a
ositives
ganzz
hliges
Element
das
uch
einem
der
unter
S
a
p
s c h i e d e n e n Elemente a
gleich sein d arf und jede der bezeichn eten
Z e rfä llu n g e n von s ist a oder
mal zu zählen je nachdem 1 g e
a
rade oder ungerade ist Dem P e n t ag o n al ah le n s at z e zufolge ist f ü r
die Ges mtheit der Z e rf ällu n ge n bei denen der Best andteil k a der
selbe ist
,
,
,
0
0
.
,
z
.
a
o
,
,
z
=
2
a,
1)
+ k ao ;
’
l
a‚ o
ao
o
N
(
s
k ao = dun ;
'
1
sie liefern also dann und nur d ann einen von Null verschiedenen
Beitrag und zwar den Beitrag
wenn a0 ein Teiler
1 ) at zu
einer der Zahlen s ä :
”
,
n
o
0
R e k u rs i o n s f o rm e ln
282
k ao
65„
s
ist und demnach wird der gesamte
Ausdruck
,
2
6
5
( )
e
-
.
gleich der Summe
5
5
( )
C1 (8
wo die Summation so weit fortzusetzen ist als das
noch p ositiv bleibt
Andererseits ents p richt der Z e rf ä llu n g
Argument
,
s
65„
.
1
.
5
7
( )
Z
s
bei w elcher
f ällung
ao
ai
+ k ao ,
einem der Elemente
1
3
=
a,
gleich ist eine zweite Zer
,
—1
2
1 ) a0
a;
1
und die Beitr ä ge dieser beiden Z e rf ä llu n ge n zum Ausdrucke
n ämlich
1 W, und
heben sich auf Ist aber a in der Z e rf ällu n g ( 5 7 ) von den ag v e r
schieden so entsp richt ihr falls k 1 ist eine zweite Z e rf ällun g
0
.
,
,
,
z
s
=
und beider Beitr ä ge
.
Z
)a
und
l)
a
Somit bleiben nur die Z e rf ällu n ge n
1)
heben sich auf
—1
1
’
i+ l
aO
o
z
'
E
s
a;
ao ,
1
bei denen a von den a verschieden ist und der
dem folgenden gleich :
,
o
,
Ausdruck
55
( )
ist
z
‚
=
2l
ai
l y ao
ao i
Hierbei ist aber s in irgend 1 l voneinander verschiedene Elemente
zerf ällt von denen ao ein b e l i e b i g e s bezeichnet ; indem man darunter
d e r Reihe nach e d e s derselben versteht erhält man insgesamt den
Beitrag
1
1
a1
“ +
a
l
s
,
,
D (
,
0
)
1
)
o
und somit darf die vorige An z ah ldifi e re n z einfacher geschrieben werden
1
wie folgt :
'
o
d
.
i nach dem
.
P e n t ag o n alz ah le n s at z e
gleich
R e k urs i o n s f o rm e ln
284
‚1
.
So haben wir auf arithmetischem Wege einen größeren Teil
der zuvor erhaltenen Formeln wieder hergeleitet und noch andere
Solcher R e k u rs io n s f o rm e ln gibt es noch eine große
Menge doch sind d avon bisher die wenigsten aus arithmetischer
Grundlage gewonnen sondern die Mehrzahl aus einer Quelle die
weder arithmetisch noch element ar ist nämlich aus der Theorie der
ellip tischen F unktionen geschö p ft worden Wir würden glauben in
unserem Werke eine L ücke zu lassen wenn wir diese Formeln ganz
übergingen Wollen w ir sie aber ableiten so müssen wir doch eben
die Gleichungen aus denen sie fließen jener Theorie hier einfach
entnehmen
N eben der Gleichung ( 1 2) besteht w i e J aco bi (fundamenta nova
auch f olgende Entwicklun g
t h e o riae f u n c t e llip t ä 66) gezeigt hat
10
.
,
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
.
,
.
Ü
6
2
( )
h
,
.
m
ü
e
r
=1
?
m
2
n
(
n
1)
=1
Wird diese logarithmisch di ff erenziert nimmt man nämlich beider
seits die L ogarithmen di fferenziert und multip liziert endlich mit 93
so findet m an
,
,
,
,
Indem m an n ach Multip likation mit dem N enner in der zur L inken
gebildeten Do pp elsumme alle Glie d e r z u s am m e n f aßt welche dieselbe
P ote n z x enthalten erhält m an durch Vergleichung gleicher P otenzen
von auf beiden Seiten den neuen S a t z :
Die Summe
,
x
8
,
(
S
_ ( +
n n
2
—1
2
ist
oder
ull
je
nachdem
eine
Trigonal
9n
1
N
s
(
)
m (m + l )
ist
oder
nicht
ist
M
a
n
d
a
rf
d
a fü r
a
u
c
h
zahl s
2
s chreib en:
,
.
,
2
( 63)
%
1)
n
J
2
n
(
; )
“
1l
o,
w e n n d i e S u m m a t i o n üb e r a l l e Z a h l e n n ==0 1 2 3
au s
( + 1)
g e d e hn t w i r d fü r w e l ch e s
n
i
c
h
t
n
e
g
a
t
i
v
i
s
t
u
n
d
2
,
,
,
,
n n
,
,
S
1)
.
18
u
Ei
.
ne
19
.
rith m
a
e t is c h e
H rl it
e
e
un
g
r
d e r Fo me l
2
4
( )
s
.
b e i Vah len
a
.
a
.
O
.
Ellip ti
s ch e
F u n kt i o n e n
unter dem Z ei ch en
e i n e T r i g o n a lz a h l
St
ä
.
w
,
ze
v on
H a lp h en
G lai sh e r
und
285
.
e l c h e s n u r d a n n a u ft r i t t w e n n
i s t d e r We r t
,
s
,
63
a
)
(
g
gl (o)
v e r s t an d e n w i r d Diese neue Rekursionsformel gab zuer s t H alp hen
7
Bull
Soc
Math
de
France
5
1
8
S
s
äter
auch
7
a
l
i
G
h
er
s
p
(
)
(
J
1
2
L
Quart
ourn
Math
S
P
roc
ondon
math
Soc
S
9
2
0
5
1
;
(
Der letztere zog aus derselben J aco bt s ch e n Formel einen interessa nten
Satz indem er sie mit der G auss is ch e n Formel ( 1 7 ) in Verbindung
setzte Da dieser zufolge
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
,
.
,
.
h
=
=1
2h —1
_m
und nach
h
)
n
=o
x
2
=1
J acobi
oo
m
1
(
ist woraus
,
Ü
Ü
1)
3
2
x
0
S
=
3
n
+ 1)
n (n
eo
2
n
(
n
(
1) x
2
2
n
(
=o
folgt so ergibt die Beziehun g
,
1
nachstehende Gleichung :
h
3
2
n
oo
.
2=
n
1)
(n
(
2
0
2
n
(
Indem man hierin x statt
nimmt sie die Gestalt an
8
setzt
a;
3
Z=
n
un d
cc
l)
2n + l)
(
x
o
K
Z
n
1)
n
darauf mit
2
n
(
n
2
„
(
=o
2 <2 n +
1) x
4
x
multip liziert
,
R e k ur si o n s f o rm e ln
286
.
Man verstehe unter n n n M 0 v p ositive ungerade Zahlen ;
dann folgt durch A usführung der Multip likationen :
'
1
,
u
Z
K
1)
,
1,
3,
2,
,
—l
=
2
_1
(
)
Z
vl
—l
12,
2
—1
2
wo über alle Werte jener Zahlen zu summieren ist Faßt man nun
rechts und li nks diejenigen Glieder zusammen in denen die E xp onenten
von
ein und dieselbe Z ahl darstellen so erhält man folgenden
von G la is her gegebenen S a t z :
M an d enk e e iners e i ts alle D ar st ellun gen d er Z ah l 4s al s
S u m m e v o n v i e r Q u a d r a t e n p o s i t i v e r u n g e r a d e r Z ah l e n :
.
x
,
,
4s =
n
2
+
n1
2
+
M2
2
+
ns
g
,
nehm e in j e der v on ihn en di e B asi s n de s ers ten Qu adrate s
4
o
s
i
t
i
v
o
d
e
r
n
e
g
a
t
i
v
j
e
n
a
c
h
d
e
m
s
i
e
v
o
n
d
e
r
F
o
r
m
7
5 + 1
p
o d e r 4 k 3 i s t u n d b i l d e d a s A g g r e g a t d i e s e r Z ah l e n :
,
,
u
2
1)
G
—l
2
2
M;
m a n d e n k e a n d e r e r s e i t s a l l e D a r s t e ll u n g e n d e r Z ah l 2 s a l s
S u m m e z w e i e r Q u a d r a t e p o s i t i v e r u n g e r a d e r Z ah l e n :
2
2
n eh m e fü r j e d e v o n i hn e n d a s P r o d u k t d e r m i t d e n e b e n s o
b e s t i m m t e n V o r z e i ch e n g e d a c h t e n B a s e n u n d b i l d e d a s
A g gr e gat di e s er P r o dukt e:
d ann s in d di e s e b ei d en
u
e
2
Z B hat man
.
.
1)
—l
2
f ür
A ggre gat e
01
u
=
Z
die Zahl
(
1)
j e d e r z e i t e i n a n d e r g l e i ch :
—1
2
02
m
1)
die
1 00
—1
2
Z e rf ä llu n g e n
5
2
nebst den daraus durch Vertauschung der Sum m anden hervorgehenden ;
demnach ist
2
= 3 l+ 6
o
2
-
u
(
Andererseits
l+ 3
-
gestattet die Zahl
2
woraus
2
1)
2
1 +
50
2
25
2
(
7) + 1
die Darstellungen
2
2
=
7 + 1
5 + 5 ,
2
o
R e k u r si o n s f o rm e ln
288
.
.
Multip likation mit den Nennern und durch Vergleichung
der Koeffizienten der P oten z x + au f beiden Seiten findet man hier
aus die Gle i chheit :
D u rc h
2‘
Z
=
Q
n
(
Z(
23
1)
2
.
1
gl
(
(
1
2s
n u
(
1
1
n u
(
n u
die Summ ationen über alle n = O 1 2 3
auszudehnen sind
für welche die A rgumente von
ositiv
bleiben
Man
hat
also
in
p
entwickelter Form
wo
,
,
,
,
,
.
6
4
( )
5)
5 ) Cl ( 28
2
3
(
1)
1 ) ; 1 ( 2s
2
s
(
1)
2
3
(
l 1 ) g1 ( 2 s
2
s
(
11)
1
-
oder einfacher
2
8
“
M
64 a
)
(
1)
5 [ €1 ( 2s
2
3
M
m
5)
1 1)
5)
1)
1 1)
23
.
1
Eine andere auf dem zuvor bezeichne t en Wege entstehende
Formel der ellip tischen Funktionentheorie ist die Gleich ung
12
.
6
5
( )
6
6
( )
m =o
4
1
0°
2=
m
(
m
m
1 ) 9 (m) 9
m =1
0°
m (m
1
+ 1)
2
m =o
Man erweitere den Bruch zur Rechten durch Multip li kation von
Z ähl er und Nenner mit der Reihe
Dann entsteht im Z ähler die Do pp elsumme
m (m +
Z
m, h
<
U
W
E
1)
2
in w elcher wir diejeni gen Glieder zu s ammenfassen wo llen
der E xp onent von q gle i chen Wert :
,
in
denen
Ei
ne
R
eku
ri
s o n s f o rm e l
f ü r d ie Fu nk t ion
m (m + 1 )
h =
2
hat
Verstehen wir unter
.
n
die durch die Ungleichheiten
k
7
6
( )
289
tk
2
n
tk + u
<
k
m
bezeichnet
in denen z u r A bkürzung t die Trig o n alz ah l
;
stimmte ganze Zahl so geht die Do p p elsumme über in
1)
k
,
be
,
=1
u
m =l
ist je nachdem k 27
oder k =
zwischen t _1 und t oder zwischen t und t
Nu n
— 1
'
,
2.
2‚
2,
d h je nachdem n
liegt die Summe
.
.
gr+ 1
,
2
<
—
l
m
gleich
oder Null
also die einfache Summe
Der Zähler zur Rechten von (66) wird
.
0°
2=
6
8
( )
9
72
:
1
n
w
072
’
orin je nach den angegebenen beiden F ällen
oder
0„
ist
N ull
In gleicher Weise verwandelt sich der Nenner von (6 6) in
.
m
5
Wird aber mit ihm die Gleichung ( 66) multip liziert so entsteht
elsumme
z ur L inken die D o
pp
,
Z
m,
(
1
M
M
;
n
als einfache Summe in der Form
Z=
-
1
s
n
)
n
geschrieben und mit (68) verglichen führt sie zu folgendem Ergebnisse
welches dem am Ende von Nr 4 gegebenen analog ist :
E s ist
.
2 Q (s
— 3 s
9(
6
9
( )
B
2 Q (3
4 o (s
ao
h
m
an n
ni e
d
e re
-
Z l
ah
6)
e n t h e o ri e .
4
II
.
W
2)
— 4 — 3
—
5
s
)
e(
)
7)
4 o (s
8)
9)
19
,
R e k ur s i o n s f o rm e ln
29 0
.
—
r o der N ull
w o w en n s z w i s ch e n t _ u n d t + l i e g t c
i s t j e n a c h d e m s z w i s ch e n
und t o d er zwi s chen t und
e n th a l t e n i s t
Zur Formel (66) zurückkehrend multip lizieren wir ihre beiden
Seiten mit der Reihe
2‚
,
1
2r
8
,
1
-
,
1
2,
gr
.
So kommt rechts als neuer Zähler die Summ e
2
1
]
—
<
-
m (m + 1 )
Z
2
a
e r
wo die in nere Summation zur Rechten über alle
Zahlen m auszudehnen ist für welche
2
n
ositiven
ga
zen
p
,
m (m + 1 ) —
Z
2
und von gleicher P arität ist mit
tk
ä
n
„
Sei wieder
.
n
tk +
1
—
w H)
Ist nun z u n ä ch s t n g e r a d e so muß dam it auch
gerade
sei
g w
m von e iner der Formen 4 75 oder 4 13 1 sein ; also wird
[ g
Ist dann k von einer der Formen 4 h 4 h + 1 4 h + 2 so ist der
größte für i zulässige Wert h und 4 h der größte für m also wird
”
,
,
,
,
,
,
,
Ist dagegen
für m also
k
von der Form
4h
1,
so ist
4h
1
der größte Wert
,
— 2h = — 2h
.
—
H)
F ü r d e n F a l l e i n e s u n g e r a d e n n muß m damit auch
g
ungerade werde von einer der Formen 4 73 1 oder 4 1 2 sein also
wird
22
l Wenn dann k von einer der Form en 4 h 2 3 4
ist kann i höchstens h und wird der größ t e für m zulässige
Wert 4 h 2 sein und man findet
fi
‚
n
,
°
,
,
°
.
,
,
,
,
,
Z
— 1 m
(
)
.
dagegen ist wenn k von der Form
f ü r m z ulässige Wert und
,
2
4h
1
ist
,
4h
1
der größte
(
Dementsp rechend wird g wenn n in der Reihe der Trig o n al ah le n
ö
t
t
zwischen t und t + liegt gleichviel ob n gerade oder
”
z
,
l,
2,
3,
2,
2r
1
,
R e k urs i o n s f o rm e ln
29 2
.
—1
r
i s t g l e i ch N u l l o d e r gl e i c h
j e n a ch d e n b e i d e n
z u v o r u n t e r s c h i e d e n e n b e i d e n F ä ll e n w o b e i r d u r c h d i e
Un g l e i c h h e i t e n
< ig + b e s t i m m t g e d a c h t i s t
Bevor w ir in der A bleitung neuer Sätze weitergehen könn en
13
müssen w ir zwei H ilf s b e t rac h t u n g e n einfügen welche die Summen
gleicher P otenzen der natürlichen Z ahlen betre ff en
N eben der bekannten S in u s e n t w i c k e lu n g
o
,
,
1
r
.
.
,
,
.
S l n " 90
na
u
:
n
.
a)
Vo rle s
,
”
n
5
x
5
5!
32
1 !
besteht ( s etwa S aalschü tz
S 1 2) die Gleichung
’
über die
.
B e mo ullis ch e n
Zahlen
,
.
1
cotg w =
;
—
:22x 2
B
Bz
B
4
4
:6
6
1
2!
worin d ie Koeffizienten 3 B E
die B e mo ulli s c h e n Zahlen
bezeichnen Multi pliziert man diese beiden Gleichungen ineinander
so entsteht die Form el
o
1
cos
x
7
( )
x
„
g,
s,
.
,
n
h
n
Sln
2 Ic + l
2
=0
8
2 1
n
2!
2 ]1
—1
2 11
—3
2h
_
_
t 2
O
4 2 (e h
2
( 71
B ]?
2
( h) !
hat man bekanntlich
fü r g e r a d e s n
Nun
s in n x
si n x
— 1
)
x
x2
oraus durch Multip likation mit cos und bei Beachtun g der Formel
2 cos ( 2h
1) x co s
cos ( 2h 2) x cos 2 72 x
die Gleichung
w
o
7
2
( )
x
o
s in x
-
—
n
2
+ 2cos (
)
hervorgeht Dagegen ist
fü r u n g e r a d e s n
i
x
i x
woraus man in gleicher Weise
x
co s nx
.
—l
s n n
s n
7
3
( )
u
s i n ac
+ 2 co s
-
(
n
—2
)
x
)
+
x,
co s nx
erh ält Ersetzt man nun in diesen Formeln
3
die
Kosinus
7
( )
d urch ihre bekannten P otenzreihen so ergibt sich als Koeffizient von
“
x i m ersten F all e
.
,
H rl it
e
1)
e
un
g
e i ne s
r
r
m e kwü di
g
Z ah le n s at z e s
en
29 3
.
h
2
2
2
2
( h) !
i m z w e i t e n F al l e
( (
2 1
2 1.
3
(
2h
n
Durch Vergleichung mit dem Koeffizienten von x
nun der Satz :
Für gerades n ist die Summ e
2h
2
fü r u n g e r a d e s
4
2h
(
H
2)
n
2 lz
in ( 7 1 ) folgt
“
2 11
„
,
di e S umm e
n
1
3
2h
2)
2h
2h
+
n
:
27
gl e i c h e i n u n d d e r s e l b e n F u n k t i o n
(n
( )
n
1)
(
im —
1
”
2h
(
+
1
)
n
1
2h + 1
(
2k
2
)
2
2 B1 n
2h
-
1
—3
7
4
( )
—
i
_
5
1
)
Man schließt hieraus eine für unsern Zweck zwar entbehrliche
aber an sich b emerkenswerte Beziehung
O ffenbar ist für jedes n
,
,
.
1
2h
2h
3
2
andererseits ist derselbe
2
-
Also
2h
(
4
2ü
2
2h
n
Ausdruck
2h
6
besteht für jedes
“
)
w
gleich
2h
2
-
2h
die Gleichheit
n
7
5
( )
( )
n
Bezeichne t wieder
W
(n
(
n
wie im ersten Kap itel die Summe
’
,
S E=
P
so erkennt man ferner durch Induktion aus den für k 2 4 6 b e
stehenden Werten der P o t e n z s u m m e n
das St att fin d e n einer
allgemeinen Beziehun g von der Form :
,
A 4 85
1
2h
g
7
6
( )
°
“)
— 4)
,
(
A 2h 85
2 +
A (2 h
0)
2
die bestätigt wird wenn man ihre Koeffizienten A p assend bestimmen
kann Zu diesem Zwecke hat man nur die durch die Formel ( 5 4)
des ersten Kap itels gegebenen Werte der P o t e n z s u m m e n beiderseits
,
.
,
R e k urs io n s f o rm e ln
294
.
einzusetzen und gewinnt dann durch Vergleichung ders el b en P otenze n
von n auf den beiden Seiten der Formel nach einiger Rechnun g die
folgend e n Werte :
,
1A _
4
2
::
2h
2h
+
1
1
1
# 223 4 3) a m
7
7
< >
2
h
a)
—
—
e)
s
durch welche d i e Gleichheit ( 7 6) hergestellt wird
1 4 Nunmehr können w ir eine Reihe von S ä tzen mitteilen welche
G laishe r in den P roceed L ondon Math Soc 22
S
entwickelt hat Die Grundlage von welcher er ausgeht ist nach
stehende aus der Theorie der ellip tischen Z —Funktionen gezogene
Gleichung :
3
7
8
1
3
1
2
2
cos
cos
cos
x
1
2
2
a
:
x
( )
[
q
(
)
(
)q
2
2
2
0
08 39 9
cos
cos
1
a
:
2
x
l
(
0
6
s in „
2
si
g
e
sin
2
s
i
n
x
sin
x
3
sin
m
2
2
3
x
n
+
q
g
)q
(
(
)
worin zur Abkürzung
.
.
,
.
.
.
.
.
,
,
,
,
.
6
'
s
s =
S
n
=1
n
g
u
z
=
d
s in
d
d a2
)
gesetzt ist ; die hierin vorhandene innere Summe ist über alle Teiler d
von n zu beziehen Schreibt man um das Gesetz der einzelnen
Reihen klarer auszudrücken diese Formel in der Gestalt :
,
.
,
h (h+ 1
0°
2=
u
2
=
”
q
1
u
d
3 in
d
Z
) =
h
+ 2 c o s h x) q
(
d as
-
0
0°
1)
m —1
.
(
s in
x
2 s in 2 x
m (m + 1 )
o
m
sin
m x) q
2
m =o
läßt sich zunä chst die Do pp elsumme auf der linken Seite indem
m an die Glieder mit derselben P otenz q zusammenfaßt als einfache
P otenzreihe schreiben w ie folgt :
so
,
.
“
,
,
g
co s x
cos
8
wo
die auf
h
b e zügliche Summation über alle
g
äz
sm
ö
h = 0, 1 , 2, 3,
zu
3
R e k u rs i o n s f o rm e ln
296
.
d i e G e s a m th e i t d e r fü r a ll e d i e s e T e i l e r
g e b i ld e t e n We r t e
d
'
1
s o h eb e n s i ch i n d e r d u r c h d i e F o r m e l
G, (d )
G _3 ( d, d + 1 , ( 1 — 1 , d + 2, d — 2)
d + 1, d
.
—
2, d + 3 , d
d
2
8
( )
— 3)
b e z e i ch n e t e n G e s a m th e i t s ä m tl i ch e Z a h l e n a u f fa l l s 3 k e i n e
m (m + 1 )
T r i g o n a lz a h l i s t i s t d a g e g e n s e i n e T r i g o n a lz a h l s
2
m
1)
s o b l e i b t d a r i n m i t d e m Vo r z e i c h e n v o n
geno mm en
eine E ins zw ei Z wei en drei Dreien
m Z ah l e n m
Sei z B s = 9 so gibt die Formel ( 82) folgendes S y stem von
Zahlen :
,
,
,
"
1
,
,
u
,
.
,
.
.
,
,
,
o
3.
2, 3 , 5 , 9
2,
1,
o, 1 , 3, 7
o,
_1
2, 0
welchem da
Ist dagegen
System :
in
,
9
s
keine
1 0,
ist sämtliche Zahlen sich heben
ü
d i die Trig o n alzahl 2 so erh alt man das
Trig o n alz ahl
.
,
y
.
4
5i 7
37
4I 6
21
3
1 , 3, 9
1
23 4
O
O
1i 3
l9
O
2, 4
1 , 2, 5, 1 0
.
,
10
2, 8
7
.
5
O
2
I
1
1
und es verbleiben in ihm nur die Zahlen
—1
,
2 , — 2, — 3 , — 3 ,
-
—3
— 4 — 4 — 4 — 4
,
,
,
,
A bgesehen
.
von den weiteren Folgerungen die w ir aus diesem
eigenartigen Z ahle n s at z e ableiten wollen ist er auch deswegen sehr
beachtenswert weil er o ffenbar we nn die Teiler aller Z ahlen s 1
s
3 s
6
bekannt sind sogleich alle Teiler der Zahl s selbst
finden lehrt ; es sind diejenigen Z ahlen welche in der Gesamtheit
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Ei
t
F o rm e l f ü r d i e F u n k i o n
ne
29 7
wenn vom ersten Glie d e G (d ) abgesehen wird nach e v entueller Au s
scheidung der im Satze zuletzt bezeichneten Zahlen noch ver b leiben
1 5 O ff enbar aber darf m an nun in dem Z ahle n s at ze die d arin au f
tretenden Zahlen d d j ; 1 d j ; 2
durch ein und dieselbe Funktion
derselben
ersetzen
vorausgesetzt
daß
sie
d
2
d
d
i
i
f( ) f(
f(
)
f ü r gleiche aber entgegengesetzte A rgumente ebenfalls gleiche und
entgegen gesetzte Werte hat ; mit anderen Worten :in dem für den
A us d ruck ( 80 ) geltenden Satze darf die Sinusfunktion durch eine
beliebige andere ungerade Funktion ersetzt werden z B sin a:
durch
x wenn n ungerade ist Au f diese Weise geht dann
wen n
s p eziell x = 1 ge w ählt wird über in den Ausdru c k :
,
,
.
.
,
,
,
,
,
,
,
.
.
"
,
.
,
8
Z
=
d
d
"
n
6
8
2
— =
3
s
2
Z[
[
Z
— =
’
s
3
d
5d
1
0
n
d
d
(
d
(
”
d
(
2M
d
(
d
—2
"
2
(9
n
2
(m
—
=
3d
d
s =d d
s — 1 =d d
+
i
d
d —l
n
—1 = d
+
n
d
u
62
72
.
1 +
m 0
2
-
—4
2
2
)
2
+ 2
2
4
1 +
.
(Z)
d
4
2
n
)
d
welcher also verschwindet sooft s keine Trig o n alzah l ist dagegen
ma —
H ) eine solche ist dem Werte
f alls s
2
,
,
,
n
,
1)
m
g
n
+
1
+
Oo
m
n
C
+
1
]
gleich ist Benutzt m an das L iou ville s ch e Zeichen g (s) um die Summe
der n P otenzen aller Teiler der Zahl s u bezeichnen und versteht
unter r (s) die Eins oder die Null je nachdem s eine Trigo n al ahl
m (m + 1 )
1 s t oder nicht ist
s
o
d
a
r
f
m
a
n
d
e
m
e
rh
a
l
t
e
n
e
n
Er
S :
2
e b n i s s e i n fo l g e n d e r F o r m e l A u s d r u ck g e b e n :
g
,
.
ten
,
z
,
z
,
,
— 6
)
=2
3)
+2
+2
— a<s
(ili
l
4
'
5
n
—1
>
-
1
( +
4
1)
—1
-
>
1)
l
+2
m —1
n-
1
(
n
l
—4 (s
3)
> na
ss
+
‚
1
2 +
n
1
1
2
3
+
+
(
4
e
n
4
-
4
19
4 3
724
4
3
-
)
‚
m
s
R e k u rs i o n s f o rm e ln
29 8
.
die linke Seite sowohl wie die einzelnen Kla mmern auf der rechten
sind so weit fortzusetzen als die Argumente der C Funktionen noch
ü
ositiv
bleiben
Die
weitere
Fortsetzung
w
rde
in
dem
Falle
wo
p
das supp lementäre Glied von N ull verschieden d h wenn s eine
m <m + n
ist
auf
Funktionen
mit
dem
A rgumente Null
T rig o n alzah l
2
führen und li nk s d as Glied
,
-
,
.
,
.
.
,
1) a
2
m
<
m)
rechts aber insgesam t den
—
1
2
1)
.
(
2 s)
.
n
?
o cm]
(Z)
o
m
liefern
2h
1
A usdruck
m
1)
1)
m-
Andererseits
1
ist
gesetzt wird
1)
m
n
ach Formel
]
85
3
3
‚
wenn darin
n
m
und
,
—1 1 n +
(
1
g
n
+
1
+
O
m
a
l
Sg
Man sieht hieraus daß man statt in der Formel ( 83 ) das supple
die linke Seite sowie die einzelnen
m e n t ä re Glied zu schreiben
Klammern zur Rechten bis zu den Gliedern mit dem Argumente
—
ull
fortsetzen
darf
vorausgesetzt
daß
man
die
N
C Funktionen deren
A rgument Null ist durch nachstehende Formeln :
,
,
,
,
,
,
,
-
o
2
d i nach den Formeln
durch die Gleichungen
.
.
€9 10)
4
8
( )
usw bestimmt
.
.
A.
s
=3
An +
1
in denen
2h =
EI
)
n
+ 1
zu denken ist
,
3 00
R e k u rs i o n s f o rm e ln
x
2
cos
2x
x
sin
sin
2
cos
3 90 +
s in
5x +
—
s in
3 93
s in x
-s
in
.
x
sin
4x
w
1)
h
2
(
2
u
:
c
sin ( 2h
sin ( 2h
cos
:i
2k g
+ 1)x
1)x
)
s nx
)
.
solche Weise entsteht aus ( 7 9 ) die neue Forme l :
Au f
ng
00
2
.
q
11
oo
g ä
n
'
sm
2d x
ö
)ä
— 1 'ws m
}
2
h
1
x
+
(
)
0 4 1)
-
1
2
—1
m (m + 1 )
o
2
3x
cos
cos
cos
m
1
a;
x
q
(
)
)
(
Schreibt man hier die Do p pelsumme zur L inken als eine einfache
P o t e n z s u m m e so erhält g den Koeffizienten
o
1)x
2 sin 2 d x sin ( 2h
‚
—
l) x
m c o s (2m
2
”
,
2
3
2
d
2
(
1)
2h
x
cos ( 2d
die Summ ation über alle h O 1 2 3
erstreckt f ü r welche
h (h + 1 )
ositiv
bleibt
und
durch
Vergleichung
mit
dem
Koeffizienten
S
p
2
derselben P otenz zur Rechten erhält m an den Satz :d e r A u s d r u ck
—
1
2
d
1
o s 2d
d
3
cos
2
cos
w
c
3
x
cos
2
x
d
a
c
+
+
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
,
,
,
,
,
,
s
8
8
( )
+
2
=
n
dd
8
2= (
CO S
2
d
(
5) x
co s
2
d
(
5) x
d,
ist
Null,
Z=
—1
) 2=
—
dd
cos
d
2
(
(
7)x
co s
)
d
2
7
x
+
)
(
dJ
s o o ft 3 k e i n e T r i g o n a lz a h l i s t d a g e g e n g l e i c h
m—
—
o
1)
l
1
s 2m
x
cos
cos
cos
2
3x
m
x
m
o
c
)
(
(
)
)
(
1)
ma
w e n n s e i n e T r i g o n a lz a h l
i
s
t
;
Au s diesem Ergebnisse liest m an nun wieder folgenden Z ahl e n
s a t z ab in welchem unter dem Zeichen Ix w ie üblich der numerische
Wert von x und das S y mbol Gm in gleicher Weise zu verstehen ist
wie in voriger N ummer :
In d e r d ur ch di e F orm el
1 -
x
,
o
,
n
.
,
,
,
—
1
G, (2 d + ,
89
( )
—
2
d
|
— 2d
|
7,
2
d
|
— 2d — 7
|
i)
H
e rle it u n
g
e in e s
Z ah le n s at z e s
z w e it e n
3 01
.
au s g e drü ckt e n G e sam th ei t v o n Z ahlen h eb en s i ch all e
Z ah l en g e g e n s e i t i g a u f fa l l s s k e i n e T r i g o n a lz a h l i s t ; w e n n
1)
m (m
1 st
d a g e g e n s e i n e T r i g o n a l ah l
s o b leib en m it d em
m
g e n o m m e n d i e Z ah l e n
V o r z e i ch e n v o n
1)
1 un d m m a l d i e Z a h l
2
1 3 5
2m
m
(
Infolgedessen darf man in ( 88) die Funktion cos x durch irgend
z B unter n eine ungerade Z ahl ver
e ine andere gerade Funktion
1
+
1 geht dann aus ( 8 8) folgende
stehend durch x
ersetzen Für
neue Beziehung hervor :
Der A usdruck
,
z
,
,
,
,
,
,
,
.
.
x
,
”
.
,
2
=
d
a
9
0
( )
s
ist
ä
—
N ull
— 2d
(
2
d
[( +
1)
n
+
d
1
_
]
s
d
— =
1
— 2d
(
d d
s
— 2d
(
d
d
g
—
— 2d
(
dd
res p gleich
.
9
1
( )
-
m
Mittels des bino m ischen Satzes und bei Verwendung des L iouvi lle
nimmt das allgemeine Glied des A usdrucks ( 90)
s e h e n Zeichens
die Gestalt an :
o2
T 2
72
-
d h
1 ) m al
.
i)
h
.
dem
-
2
2
1
)
1
2 < 2h +
I ra—
n
2
6
wa
s
A usdruck
2
h
(
Somit ergibt sich dann die Summe dieser
N ull resp gleich dem Werte
Ausdrücke
2
9
( )
gleich
.
m+1
o
der wenn zur
n
,
Abkürzun g 2 m
1
p
gesetzt wird in der Form
,
R e k u rs i o n s f o rm e ln
3 02
p
+
—1)
1
2
p
+1
p
2
oder nach
der Form
u
wenn dort
P
+
.
+
1
_
_1
2h
+
u
und
1
n
I
+
2
2
n
m+
+
2
1
2>
n
=p
n
1)
2
B.
1
+
3
2
n
+
1
l
gesetzt wird in
,
()
n
”
p
2
p
_3
l
”
—4
72
—3
n
B. p
4
1
-
5
3
2
3
9
( )
2
”
u
+1
p—
2
2
2
geschrieben werden kann Nun schreitet zwar der A usdruck ( 90) nur
h (h + 1 )
so weit fort als die Di ff erenz s
0 bleibt Setzte m an ihn
2
.
.
,
m <m + 1 )
jedoch in dem Falle wo s eine Trigo n alz ahl
ist
fort
bis
jene
2
Di fferenz verschwindet d h bis h m so träte zu ihm der f ü r h m
gebildete Ausdruck ( 92) hinzu der bei umgekehrter O rdnun g seiner
Glieder geschrieben werden kann w ie folgt :
,
,
.
,
,
.
,
,
n
()
’
i
n
-
4
+
—2
n
Indem man also übereinkommt die C Funktionen mit dem
mente N ull durch nachstehende Formeln :
-
,
—1
71
2
n
—
2)
n
(
-
)
(
ä
_
=
O
g1 ( )
3
+
1 2
n
3
’
”
2
zu definieren d h
,
.
5
o
—
4)
n
(
1
B.
5
5
—3
.
1
Bl
1
B2
1
B3
w
9
( 4)
Arg u
R e k u r s i o n s f o rm e ln
3 04
.
wenn 2 die n ä chste oberhalb s gelegene T ig o n al ah l be eichnet
In d e m besonderen Falle n 1 gibt diese Form el den Sat :
D e r A u s d ru c k
i
o
M H
)
r
z
z
.
z
9
7
( )
2)
2 2. <s
1)
.
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
k —k
s
ein
Sat
welcher
mit den in den For m eln ( 28)
glei ch
6
und ( 69 ) ausgespro chenen S ät en ersichtlich gleicher Art ist
Noch andere S ät e ä hnlichen Charakters in denen aber statt der
F unktion { (s ) die m it einer P oten von s m u ltip lizierte Fu nktion
auftritt hat ders elbe Forscher in einer im Messen ger o f
s
M th ( 2) 21
S 49 befindli chen Arbeit m itgeteilt Au s d e m
gleichen Gebiete der Theorie d e r ellip tischen Funktionen hat er ferner
S 9 7 teils zwische n den Funk
i m Quart J ourn o f Math 20
t io n e n
C (8 ) teils wischen diesen und einer anderen von ih m
durch x(s ) bezeichneten Funktion die —u r L ehre von den ko mp lex en
gan en Zahlen von der Form a b Vj
Be ug hat Be iehun gen
hergeleitet wel che s ich d e n in
( 6 9) und ( 9 7 ) gegebenen an die
Seite stellen u a m ehr Wir m üssen n s aber versagen hier noch
weiter in die s e den E le m enten so fernliegenden Betrachtungen uns
vertiefen und den L eser auf die an geführten Stellen verweisen
u
1 s
t
z
2
,
z
.
z
,
z
n
r
,
a
.
.
.
.
.
.
1
.
z
,
,
,
z
z
z
z
,
,
,
z
.
u
.
.
,
,
.
Si e b
e n
t
e s
Ka p i t
e
l
.
Z e rf ä llu n g e n i n g le i c h n am i g e P o t e nz e n
.
Bereits in Nr 1 des dritten K p itels ist der Aufg be E w äh
nung getan daß eine Zahl s in Su m m anden von einer vorges chriebenen
b esonderen Natur zerf ä llt werden solle
Wir heben unter d e n Zer
f ä llungen dieser Art diejenigen hervor bei welchen die Su mm anden
P o t e n ah le n eines besti m m ten Grades sein sollen
die Z e rfä llun g
also die allge m ein e Gest lt h ben würde :
1
.
a
.
a
r
,
.
,
zz
,
a
a
Der einfachste Fall dieser Aufg be w äre die
eine Su m m e von Q u a d r a t e n :
a
Z e rf ä llu n g
der Zahl
s
in
Z e rf ä llu n g i n
z
w i Qu
e
a
d
rat e
3 05
.
und wir untersuchen dabei z u vörderst die Möglichkeit eine gegebene
Z ahl s als Su mm e w e i e r Quadrate also in der Form
,
z
,
1
( )
=
s
2
+ y
cz
2
2
dar ustellen Nicht jede Zahl gest ttet eine s olche D rstellung I s t
B s von der Form 4 k 3 so ist die Gleichung’ ( 1 ) unm öglich
da u s ihr die Kongruen
z
z
a
.
.
a
.
,
.
a
z
E x
m
d
o
4
y (
)
?
2
.
hervorginge welche nicht stattfinden kann da jedes Quadrat nur
einen der Reste O 1 also die Su mm e x y nur einen der Reste
O 1 2 (m o d 4) lassen k nn A uch nicht jede Zahl s von der Form
1 l äßt eine Darstellu n g ( 1 ) u
4k
I s t j e d o ch s e i n e P r i m z ah l
d
i
e
s
e
r
F
o
r
m
s
o
k
n
n
s
t
e
t
s
p
,
,
2
,
,
,
,
g
a
.
.
z
.
a
,
2
fi
=
w + 3
p
g e s e t z t w e r d e n wovon wir uns un ä chst m ittel s t einer von L agn mge
angestellten Betrachtung über eugen
Da 1 be ü glich einer solch en P ri m ahl quadratischer Rest is t
gibt es eine dur ch p n icht teilbare Zahl z der Art daß 2
1 oder
2
1 E 0 ( m o d p ) ist oder allge m einer ausgedrückt :
e s gibt durch
durch
ni
c
ht
teilbare
Zahlen
für
welche
die
Su
m
m
e
a
2
p
31
y
aufgeht
so
daß
p
z
,
z
.
z
z
,
2
,
2
‚
,
.
2
,
,
,
w + y = 10 m
2
2
2
( )
°
ge s et t werden k nn I s t nun nicht schon m 1 so darf doch m < 1 )
gedacht werden denn aus vorstehender Glei chung folgt für irgend
welche g nz ahligen Werte von g n die andere Gleichun g :
a
z
,
.
,
a
z
(
x
—
p
:
)
,
(y
2
-
=
m
0
1
)
1M 2
2
-
'
‚
ganz ahlig ; jene Werte E 77 aber könn en so gew ählt werden
E
ohne
verschwinden
absolut
kleiner
als
d ß
u
y
ä
pn
p
2
werden und dann erg be S l Ch :
wo
m
a
'
x
z
,
,
z
,
,
,
ä
,
'
p m <
o
lso
2
a
'
m < p;
darf daher gleich in (2) die a9 y so denken d ß m < p Alsdann
können x y nicht beide durch m teilbar sein d s onst p m durch
m p dur ch m aufginge w s nicht sein kann da m < p und von 1
vers chieden ist Dies vorausgeschickt folgern wir aus ( 2) für irgend
wel che gan ahligen (13 y die Gleichung
B c m
Z
i d
20
m an
,
,
,
,
2
,
a
,
,
.
zz
a
h
an n , n
e
e re
ah
l
,
„
,
e n t h e o ri e .
II
.
a
a
.
o
Z e rf ä llu n g e n in g le
3 06
ich n mi g
a
e
Po
te
n n
ze
.
y
m
m
M
w
a s)
x
(
91 ?
1
(
wo ml eine ganze Zahl und können n un wieder x1 y, so w ählen
daß x m xl y m yl o hn e beide z u vers chwinden absolut kleiner
2
als 2 :m ithin
m
2
3
( )
,
,
,
,
,
,
,
7
2
m1
M a n b e a ch t e n u n d i e I d e n t i t ä t
(
4
( )
96
2
wa
+
s
"
y
”
(
)
xx
'
i yy
’ 2
)
'
(ma I
Pro dukt z we i er Sum m en v o n zw e i Q uadraten
w i e d e r e in e s o l c h e S u m m e i s t M ultip li z iert m an de m ge m äß die
Gleichu ngen (2) und (3 ) m iteinander s o kan n m it Rücksicht a uf (2)
der neuen Gleich un g leicht die Gestalt gegeben werden :
d e r z u f o lg e d a s
.
,
cm71
(P
5
( )
= P mi 7
(
w
y i
worin m m p m ithin di e Ba s en der Quadrate nicht beide durch
m te ilbar s ind
fall s m
1
Man kann daher jetzt m it di eser
Gleich ung verfahren wie m it der Gleich u ng ( 2) u s w und m u ß
schließlich s o zu e iner Gleichun g gel an gen von der Form
l
,
l
1
,
.
,
.
2
x
d h z u e iner Dars tell ung von
Ist ferner
p
.
.
6
( )
= 2h
s
=
+ y
p
,
2
Sum m e
als
zweier Q u adrate
.
m
w r
a
"
eine Zahl welche außer etwa d urch 2 nur durch Pri mfaktoren p p
1
von
der
For
m
4
teilbar
ist
s
o
wird
da
nicht
jeder
n
u
r
k
p
die s er letzteren s ondern auch 2 1
1 die S u m m e zweier Quadrat
ahlen ist s ich d u rch Z u samm ens etzung nach Form el (4) auch s als
e ine s ol che S umm e ergeben J ede s olche Zahl s l äßt sich also in
wei Quadratzahl en zerf allen
Man unters chei d et n un e i g e n t l i c h e u nd u n e i g e n tl i c h e D ar
s te l l u n g e n
je nachde m darin w y teilerfre m d sind oder einen
von 1 vers chiedenen größten ge m einsam en Teiler d haben Set t
m an für d i e let teren
d y so daß w y teilerfre m d sind
dx y
so m u ß s durch d teilbar und
,
,
’
,
"
,
,
,
2
2
,
z
,
.
z
.
x
z
,
,
.
'
'
'
,
,
,
z
'
,
2
ä
7
( )
”
x
y
”
e ine eigentli che Darstellun g von
sein wie denn au ch u m gekehrt
aus ein er s olchen s ich eine Darstellung
,
x
8
x
2
2
y
ergibt in welcher
dx y
d y den größten ge m einsa m en Teiler d
haben Daher finden s ich s ä m tl i ch e Darstellun gen von s als S u mm e
,
.
'
,
'
gl ich
Z e rf ä llu n g e n i n
30 8
e
n am
ig
Po
t e nz e n
e
.
welchen eine gegebene g n e Zahl s d u rch eine Form der an gegebenen
A t darstellbar n äm lich die Gleichung
a
r
z
,
9
( )
?
am
s
b xy
in gan en Zahlen x y aufl ö sbar ist s owie in der A uffindung ihrer
L ösungen in s b e s o n de re au c h in der Besti m m u ng von deren An zahl
O ff enbar ist 93 + 31 eine g n sp e ielle Form der be eichneten A t
und wir könn ten daher der L ehre von den quadratischen Form en die
S ä tze über di e Z e rf ä llb a k e it der Z hlen in wei Quadrat ahlen und
über die m ögliche A n ahl der Z e rf äll n g e n wie wir in Kap 3 Nr 24
getan haben ohne weiteres entnehm en Unter andere m lehrt jene
Theorie den folgenden Sat :
Ist u eine ungerade Z ahl s o hat di e Gleichung
z
,
,
,
.
2
2
a
z
z
z
r
z
a
u
z
r ,
z
.
,
,
.
.
,
z
,
1
0
( )
2a
x
2
y
g
n u r d a n n w i e w i r s ch o n w i s s e n g a n z ah l i g e A u fl ö s u n g e n
w e n n u = P Q P e i n e n u r a u s P r i m fak t o r e n v o n d e r F o r m
4k + 1 Q e i n e n u r a u s P r i m f k t o r e n v o n d e r F o r m 4k + 3
b e s t eh en d e Z ahl i s t un d s ie h at in d i e s e m F all e s o v i el Au f
l ö s u n g e n i n p o s i t i v e n g a n e n Z a h l e n x y welche notwendig
ungerade sind da wegen ( 1 0) x + y 5 2 (m o d 4) sein m u ß a l s
d i e A n ah l d e r T e i l e r v o n P b e t r ä g t
U m diese m Satze zun ä chst einen be qu e m eren Au sdru ck zu geben
stellen wir folgende Betrachtung an S e i
1
1
u
a bß
( )
die Zerlegung e iner ungeraden Zahl u in ihre P ri mfaktoren wo
von der Form 4 k 1 a b
von der For m 4 k 3 sein
a
b
m ögen
E nt w ickelt m an d as P rodukt
z
,
,
,
2
,
a
,
,
z
,
,
2
2
.
,
z
,
.
,
.
a
’
,
,
,
,
'
’
,
,
.
a
b
!
r
a
b
l2
_
O
r2
so erh ält m an o ff enbar jeden Teiler von u m it einer P oten von 1
deren E xp onent die An ahl derjenigen seiner Pri m
m ulti p li iert
faktoren angibt welche die Form 4 k 3 haben J e nachde m diese
A n hl ber gerade oder ungerade ist ist einerseits die P otenz von
1 p ositiv oder negativ anderer s eits der Teiler von der Form 4 70 + 1
liefert also den Unter
oder 4 k 3 resp Das ent w ickelte Produkt
l
l
:
d
wischen der S u m m e der Teiler der ersteren und derjenigen
z
z
z
,
,
za
.
a
,
,
.
“
z
,
Z e rf ä llu n g i n
z
w i Qu
e
ad rat e
309
.
der Teiler der zweiten Form n d geht wenn statt der Teiler überall
die E inheit d h wenn alle a b
gleich 1 geset t
a
b
werden in den Unterschied z w i s chen der A n ah l d e Teiler der
ersten und derjenigen der Teiler der weiten Form über D i e s e r
Un t e r s c h i e d i s t l s o g l e i ch
u
'
,
'
.
.
,
,
,
'
,
,
z
z
,
r
z
.
a
1)
0
0
a
'
’
1 )fl
ithin nur dann von N ull verschieden wenn die s äm tlichen E x
o
n
e
n
t
e
n
gerade sind d h wenn u wie im obigen S t e
p
ß
die Form P Q hat un d er ist in die s e m Falle gleich
m
,
'
,
,
.
a z
,
.
,
2
,
d i glei ch der An hl der Teiler von P a
Verbindet m an dies Result t m it d e m obigen Sat e so darf m an
ihn f ssen wie folgt :
D i e A n h l d e r A u fl ö s u n g e n d e r G l e i c h u n g ( 1 0) i n
i
o
s
i
t
i
v
e
n
g
a
n
e
n
Z
ah
l
e
n
x
y
s
t
g
l
e
i
c
h
d
Un
t
e
r
s
ch
i
e
d
e
e
m
p
w i s c h e n d e r A n ah l d e r T e i l e r v o n u w e l ch e d i e F o r m
4 76 + 1 h b e n u n d d e r A n
h l d e rj e n i g e n v o n d e r F o r m 4 k 3
Be eichnet m an m it L i ou mlle dur ch
den geda chten Unter
schied so d r f geset t werden
.
o‘
za
.
g
/
b
a
a
z
,
,
za
z
,
z
z
a
,
za
,
.
'
z
a
,
z
d
1
3
( )
es)
=
Z
=
<
d d
u
1)
—l
2
u
'
wenn die Su m m e auf alle Teile d von
ers treckt wird ; und i n
Va h le n s c h e B e e i ch n u n g s w e i s e s p r i c h t s i c h d e r l e t t e S a t
u s i n d e r G l e i ch u n g
r
r
z
z
z
a
1
4
( )
N ( 2u
2
00
+ 31
)
2
Dieser der Theorie der qu adratischen Form en entno m m ene Sat wurde
von J acobi zuerst aus der L ehre von den ellip tischen gen uer von
den T h e t af un k t io n e n gewonnen inde m er die Form eln ( 5 ) S 1 03 und
h
t
e o ri ae f n c t io n u m e llip t i c ru m
S
se
i
ner
f
7
4
u ndam enta nov
1
8
( )
Wir wollen hier eigen wie Vahlen ihn auf
m iteinander verglich
gan elem entare m Wege a s der Theorie der Z e rf ä llun g g n er Zahlen
also als ein Resultat der additiven Zahlentheorie hergeleitet h t
Dabei kann wieder wischen Z e r f ä llu n g e n und Z e r g li e d e r n g e n
e i n e r Z ah l i n Q u d r a t h l e n unterschieden werden Die Gleichung
bleibt
n
ä
lich
bestehen
we
y
1
m
nn x
s
e i es einzeln oder beide
( )
—m it entgegengeset te m Vor eichen geno m m en oder auch m itein nder
vertauscht werden Wird nun bei einer sol chen D r s t e l lu n g von s
als Su m m e weier Quadr te auf deren A nordnun g b e w auf d s
Vorzei chen der darstellenden Zahlen x y keine Rü cksi cht geno mm en
z
,
a
,
,
.
a
.
u
z
.
z
a
,
u
a
z
,
a
u
z
a
za
.
,
,
z
a
z
a
.
z
.
z
a
,
.
a
,
:
gle ichn m ig
Z e rf ä llu n g e n i n
3 10
a
Po
e
te
n
ze n
.
s
u
e
r
f
ä
ll
n
Z
nennen
wir
die
D
ar
s
t
e
l
l
u
n
g
eine
anderenfall
eine
so
g
Z e r g l i e d e r u n g von s S ind w y von N ull und unterein ander ver
sch i eden so entsp rechen der Z e f ällu n g wenn nichts Näheres von x
y au s gesagt wird stets acht entgegengeset tenfalls nur vier Zer
glieder un gen Hiernach können wir da in ( 1 4) die Darstellun gen
,
,
.
r
,
,
,
z
,
,
,
.
2u =
x
2
2u = y +
2
g
+ y
,
x
2
,
ooft x y verschieden voneinander s ind als vers chiedene ge ählt
werden den S atz folgenderm aßen au ssp rechen :
D i e A n z ah l d e r Z e r g li e d e r u n g e n v o n 2 a i n w e i Q u a d r a t e
o
s
i
t
i
v
e
r
Z
ah
l
e
n
b
e
tr
ä
g
t
i
n
z
w
e
i
Q
u
a
d
r
a
t
e
ü
b
e
rh
a
u
t
u
p
o( )
p
s
z
,
,
,
z
,
4 Q (u )
.
Nun s ind da
,
x,
y in ( 1 4) ungerade se i n
X
2
gan e Zahlen deren erstere
z
ositiv
ist
;
p
,
r
ü
g
t
_
Y
y
”
-
U
x
y
m
—
x
Beachtung der Identität
m it
(1)
,
y
2
2
üssen
—y
2
2
2
ergibt sich also aus jeder Darstellung ( l4) in welcher
voneinander sind eine Dars tellung
,
,
und aus der anderen :
2M
u
X
2
y +
x
x,
y verschieden
2
2
die Darstellung
u X +
Y)
2
2
w ä hrend einer Darstellung 2a x 31 in welcher x y gleich sind
und welche nu r stattfindet wenn u eine Quadratz ahl ist eine Darstellung
2
2
)
,
,
,
,
u
= X2 + O2
entsp richt Da die s o ff enbar auch
uf
1
die
Be
iehung
4
( )
.
a
u m gekehrt gilt
,
folgt
m it
Rücksi cht
z
1
5
( )
N (u
x
(
a
2
m
y
?
)
e )
o
.
Hierbei darf m an y als gerade vorausset en da eine der beiden Zahlen
x y ungerade die andere gerade sein m u ß u nd m an
falls y ungerade
ist s tatt der Darstell un gen u 00 + ( i y) die anderen :u 31
x)
ählen darf Dem nach betr ägt die An ahl der Z e rfällun ge n
von u in das Quadrat einer geraden und einer p o s itiven ungeraden
Z hl ebenfalls
Z ählt m an aber statt jeder Darstell un g u x y
m it negative m geraden y die Darstellung u
nt
so
erken
93
+
y)
m an d aß o (u ) a u c h d i e A n z ah l d e r Z e r g li e d e u n g e n v o n u i n
z w e i Q u a d r a t e n i c h t n e g a t i v e r Z ah l e n 4 9 (u ) d i e A n z ah l d e r
Z e r g li e d e u n g e n v o n u i n z w e i Q u a d r a t e ü b e rh a u p t b e s t i m m t
z
,
,
,
,
,
2
2
2
,
’
z
z
.
3
a
3
2
2
,
r
,
,
r
.
gl ich
Z e rf ä llu n g e n in
3 12
Ä
n am
2 Z
3
+
1 1:
+
7
Ist aber z w e i t e n s s eine T ig o n
Stelle der Gle i chungen ( 1 9) je nach
a n dern
r
D
D
Po
e
i
D
n n
— l
k
ze
.
1
O
+
=
.
treten
an
die
2
dopp elten Vor eichen die s e
h l,
l
a za
„
+
D
1
;
de m
s
so
z
=0
1)
1
-
1)
.
res p
i
.
1
O
O
D — (i
D — ( i —2)
resp O
.
O
D
D
I)
-
res p
O
5
+
i
— D i —2 = O
D i —l
-
resp
1)
°
i
O7
n
denen jedes D dessen Inde x absolut
leich
Null
dagegen
g
aus
te
n
D
D —( n
ig
v
4c
N
20
e
z
„,
resp
.
ist wieder
> i
,
,
res p
D i —l
D
.
D
l)
i— 2
:D
D —( i — l )
i —l
gefunden wird Die S u m m e s äm tlicher
glei ch (22 l ) (
resp ( 2 75
die
Gleichung
2
0
( )
.
'
-
o
D
D
1
.
2
2
( )
=
ä g ä
i
1)
-
1
i
ist also in diese m Falle
und m an fi n det statt
—1
m
ßk +
+
ak
).
-
i
)
Da nu n eine Zahl wen n überhau p t au f zwei Ar ten Trigo n al ah l
ist so kann m an beide F älle usamm enf ssend schreiben :
z
,
,
a
z
,
l
N
=
Z
ock
1
1
3
2
( )
1
'
2
“
g
1
)
1 i
;
I5
(
0)
”
oder auch wenn
,
83 + 1
s
'
*
geset t wird
z
,
M
et
hd
o
e
1
N
(
N
s
v
u
= (i
2
E
8
ük
1
’
3 13
.
‚
E
8
1
Vah le n
von
ßk
:
1
1
)
1 i
(75
22
°
i
0)
Diese Form el et t eigentli c h 8 E I (m o d 8) voraus ; d aber offenbar
in je d e m nde n F lle s owohl die links als die rechts stehende An
zahl verschwindet s o b e s t e h t fü r j e d e s s d i e B e i e h u n g :
s
a
'
z
a
.
a
r
z
,
1
4
2
( )
N
s
u
‚
= 1 + 8
(
N
“
8
(x).
ß
1!
8
.
—I
a
s
u
g
ß
D
;
yk
n
o
°
)
,
w o r i n n u n u a ls p o s i t i ve u n g e r a d e Z h l g e d a ch t w e r d e n
Die links stehende An hl ist ber glei ch der folgenden :
l
v
a
za
“
4
2
1
8
2
8
o5k
2
4
05k
m
8
‚L
8
25
.
a
’
N
muß
‘
2
l
4
i
'
ä
’
vk
1
Z
8
worin die
uk ,
u
},
}
12k ,
v.
oo.
a
a
,
2,
u ].
'
4
a
a
:2
}
4
in
}
a.
2
4
2
4
in
z
r
o
a
2
us m m en wo die
bedeuten so geht
o
unger de Zahlen sin d
8
z
Z
4:
n
‚
In der Tat faßt
,
.
a
m an
)
a
.
}
!
beliebige vonein nder verschiedene Zahlen
}!
a
,
1
N
4
weil nach der
Z
Z
ah
Z
—
8
j
2+ 4
12
—
8
S
h
[
Z
‚u
7
k
Z
— 4
uk
5
— 4
}
a,
1)
g;
ar
Grundform el (3 2 a)
Vahlen s c h e n
8
v
u.
l
de s 6
l)
'
"
.
Kap itels
0
ist ( eine Form el die o ffenb r au ch richtig bleibt wenn 4 3 durch
i gendeine nicht durch 4 teilbare Zah l erset t wird) in den A usdru c k
1
,
r
’
a
,
z
,
gle i hn m i g
Z e rf ä llu n g e n i n
314
c
a
Po
e
te
n
ze n .
1
über der nu n nach derselben Grundfor m el sich i n den anderen :
v
2
u
,
.
8
1
N
2
8
a ,.
Z
1)
ß +
k
1
1
l + n+
r
1
verwandelt Anderers eits geht aber der Ausdruck (25 ) z un ä chst nach
Form el ( 1 84 a) des 3 Kap itels über in diesen :
.
.
2
N
4
1
1
2
4
der nun seinerseits
m it
a
}
4
.
“
2
9
2
m;
Rücksicht auf ( 1 86 0 0 ) des
fl
8
'
'
4
ß
z
.
2
1
2
u
0
v
uh
3
.
Kap itels gleich
’
+ 4
und endlich nach ( 1 86 b b ) das elbst gleich
l
= u2 +
N8
9 +
gesetz t werden kann wo g y gerade Zahlen bedeu t en A u f solche
Weise liefert die oben gefunden e Be z iehung ( 24) die folgende Gleichung :
,
2
6
( )
N
(
8
“
2
2
.
,
2
2
N
+ 9 + 7 ;
(
S
u
’
7
0
;
1
°
u
)
,
in wel cher beiderseits u eine p os i tive ungerade Zahl g y aber gerade
Zahlen bedeuten die p ositiv Null oder negativ sein können B e
e i c h n e t m a n al s o m i t A (s) d i e A n ah l d e r D a r s t e ll u n g e n
d e r Z ah l s i n d e r F o r m
,
,
,
,
.
z
z
8
(u >
so
e rh ä l t
m an
0
“
ung
.
2
+ g
g e rn) ,
‚
s c h l i e ß l i ch d i e B e z i e h u n g :
Y
7
2
( )
Z
G
?
°
A
(
S
7
2
N
)
(
s
u
“
2
;
1)
—l
2
u ng w
in welcher wir s als ungerade Zahl denken wo llen die jedoch au ch
für gerade Werte von s besteht da für solche ihre beiden Seiten
von selber verschwinden
,
,
.
g
Z e rf ä llu n g e n i n
3 16
die s ä mtlichen
le i c h n am i
Z
2
94
.
u
+
o
2
1
v
"
‚4
2
S
P o t e n ze n
e
von der Form
Z e rf ällu n g e n
1
32
g
2
2+
24
"
'
1
16 5:
1
no
in denen die u u } ml a voneinander verschiedene ungerade Zahl en
sind u n d zwar jede von diesen zweimal Denn erstens entsteht aus
jeder Z e rf ä llu n g ( 3 1 ) eine Z e rf ällu n g von der Form
wenn aus
a
i,
o
,
,
.
#
7
E
'
einer der Summen
u
l
w
E
'
oder
i
uß
1
'
nach Belieben ein Element
ab
1
geso ndert und mit u bezeichnet wird wobei dann je n achdem a o
der ersten oder der zweiten Summe entnommen wird p : pf 1
=
= v oder
1
}
v
v
v
wird Aber auch umgekehrt ent
p
s p richt j ede Z e rf allu n g (32) einer oder vielmehr je zwei Z e rf ällu n ge n
o
,
,
"
,
,
"
"
'
’
,
.
I!
u
von der Form
ä
’
indem man entweder
v
u
i
uo
'
oder
1
E
'
u
}
uo
1
zu einer Summe zusammenfaßt wobei dann j e nach diesen F ällen
"
"
"
"
—
=
=
oder
1
v
v
wird
Da
v
}
1
v
+
+
p
y
u
y
y
y
ungerade so ist u v gerade Wird nun jede aus den Z e rfä llun g e n
'
,
,
'
'
z
"
'
,
.
v
"
,
.
u
"
‚
entstehende Z e rfä llun g von der Form (3 2)
genommen so entsteht die do p p elte A n z ah ldi fie re nz
3
1
( )
"
m al
2
'
,
1
33 2
M
M
ym
z
.
"
"
z
2
u
+
2
1
+
24
2
+
u
no ‚
— 1
(
2
1
1
Diej eni gen Ze rf ällun ge n ( 3 2) aber welche aus ein und derselben Zer
f ällung ( 3 1 ) entstehen liefern o ffenbar den Beitr ag
,
,
u
‚
—1
'
v
’
u
v
‚
2
'
+1
u
'
‚
v
2
2
'
1
-
'
(u
jedes der y Elemente u f und jedes der v Elemente u iß b e
deuten kann ; sie liefern also den gleichen Beitr ag zum Ausdru cke
wie die eine Z e rf ä llun g (3 1 ) zum Ausdrucke
Insge s a mt
werden also die beiden Ausdrücke ( 3 0 ) und ( 33 ) übereinstimm en
müssen und d aher die Formel ( 29 ) auch folgenderm aßen gefaß t
werden können :
da
’
'
uo
v
,
l
2
4
3
( )
S
=
Z
gk
2
2
4
105
"
1
N
(
s
=
u
2
;
1)
w
z
“o ;
1
1
u
b
—l
2
o
u
)
,
wo
u
z
O
.
Durch An wendung der Vahle ns ch e n Grundformel ( 3 9) des
reduziert sich die linke Seite auf den A usdruck
6
.
Kap itels
t
Me h o d e
2 N
3
5
( )
wo a von den
den gleich :
6
3
( )
2
31 7
.
1)
uo ;
verschieden ist und dieser endlich ist dem folgen
u;
o
52
m
2
9 ].
i
Va h le n
von
,
z
2
2 N
.
Z
2
+
g
k
uz
+
1)
u uo ;
z
.
in welchem u auch mit einer der Zahl en u gleich sein darf u aber
eine p ositive ungerade Zahl bedeutet In der Tat wenn u o ä u u n d
u 1 so werden wenn k die Anzahl der u bedeutet die zwei Zer
1
f ällungen
o
,
,
.
,
i
,
;
,
,
k
Z
s
s
=
ä
Z
9k
2
gk
2
2
ui
für die
6
3
( )
An z ah ld ifi e re n z
(
+
2) ao
u
0
1
'
u uo
u;
H )
“
res p die Beiträge
.
u
—I
u
2
—3
2
liefern welche sich zerstören ; ebenso umgekehrt ; und es bleiben nur
die Z e rf ällu n ge n des Ausdrucks ( 3 5) u berücksichtigen
Hiernach geht aus ( 3 4) die einfachere Formel
,
z
.
.
2
=
'
ä
u
2
2
+
k
9
m+
u uo s
1)
-
—1
2
'
u
)
1
hervor die nun da
,
,
s
gerade ist nach Formel ( 28) in die andere :
u uo
,
u
—l
u
2
2
-
1)
—1
2
°
u
)
oder noch einfacher in diese :
(3 7 )
N
(
s
2
9 +
uu
(
=N
o;
s
u
u
g
;
— 1
)
;
1
-u
)
ü b ergeht in welcher nun beiderseits u eine p o s i t i v e ungerade Zahl
Bedenkt man endlich daß für eine ungerade Z ahl s der Ausdruck
,
.
,
N
(
s
u
1)
u uo ;
2
o ff enbar nichts anderes ist als die Summe
d
9
()
s
=
Z=
d d
(
'
s
1)
—1
1
2
7
)
g
Z e rf ä llu n g e n i n
3 18
le i ch n ami
g
Po
e
t
e nze n
.
s o s p r i c h t s i ch d i e v o r a u fg e h e n d e B e z i e h u ng au c h i n d e r
F o rm el au s:
%
2
3
8
( )
es
9
)
2
N
(
w;
s
I h r e Ve r g l e i c h u n g m i t d e r F o r m e l ( 27 ) l ä ß t e r k e n n e n d a ß
ä
2
—
ß
39
9
e m e
,
(
g
)
>
beiderseits s i ch die Summationen über alle geraden Zah len
erstrecken für welche s > g bleibt H i e r a u s fo l g t ab e r
d i e G l e i ch h e i t
4
8
0
M)
( )
Denn gilt diese Gleichheit bereits für alle ungeraden Argumente
welche kleiner sind als die gegebene Zahl s so folgt sie aus ( 3 9)
auch für das Argument s und somit allgemein da o ffenbar für s 1
ist
wo
,
2
,
.
,
,
,
,
1
M )
1
ist D i e G l e i c h u n g (40) i s t n u n i d e n t i s c h m i t ( 1 5) u n d d e m
n a ch d e r i n d e r l e t z t e r e n a l s o a u c h d e r i n d e r F o r m e l ( 1 4)
a u s g e s p r o ch e n e z u v o r d e r T h e o r i e d e r q u a d r a t i s ch e n F o r m e n
entn o m m en e S at z b ewi e s en
Ist s weder ungerade noch das Do p p elte einer ungeraden Zahl so
’
=
gesetzt werden wo
ungerade und 70 2 ist In
kann s 2
k
jeder vorhandenen Darstellung dieser Zahl 2 m als Summe zweier
Quadrate nicht negativer Zahlen :
2m
90 + y
si n d x y gerade da sie sonst beide ungerade sein müßten in der
vorstehenden Gleichung dan n aber deren linke Seite E 0 die rechte
Setzt man also
y 2y so folgt
2 ( mod 4) w ä re
.
,
:
.
°
o
u
u
,
,
,
x
.
.
k —2
2
‚
x
u
.
?
2
,
,
,
'
,
12
y
'2
,
und man könnte ebenso f o rt s c h lie ß e n wenn noch k 2 3 2 wä re
So kommt m an wenn zuerst k ungerade k = 2h + 1 i st auf eine
Gle i chung
„
,
.
,
,
,
2“
X + 1
2
ent s p ri cht eine D ar
d h jeder der gedac hten Darstellungen von
stellung von 2% in p ositiven Zahlen X Y und o ff enbar auch um
gekehrt da aus einer Gleichung der letzteren Form sich
2
X
Y
2 + _
u
(
)
)
ergibt I s t aber zweitens k gerade k = 2 h so kommt man von der
vorausgesetzten Darstellung von 2W zu einer Darstellung
.
"2 u
.
,
,
,
2h
.
1
2
h
,
2
,
Z e rf ä llu n g e n in
3 20
N
(
=
s
g
le i c h n am i
g
Po
t
e n ze n
.
2
k + k
2
k
( +
-
2
k
geschrieben werden kann
e
>
0
Man erhält also die Beziehung :
.
j
4
1
( )
k
>
k
;
0
oder den Satz :D i e A n z ah l d e r g e r a d e n Z e r f ä llu n g e n e i n e r
Z a h l s = ö 1 + ä m+ aö i n d r e i P e n t a g o n a lz a h le n i s t i m a l l
g e m e i n e n g l e i c h d e r j e n i g e n d e r u n g e r a d e n w e n n e i n e s o l ch e
Z e r f ä l lu n g z u g l e i c h m i t
ge rade o d er un gerad e
h e i ß t ; d o ch ü b e r t r i fft d i e e r s t e A n z a h l d i e z w e i t e f a l l s s
e i n e T r i g o n a lz a h l
ist um
Da
die
2
l
k
(
)
G leichungen
r
,
,
o
,
.
=
s
sich auch schreiben l assen
24 s
6
1
(
3
folgt :
w ie
,
k
24 s + 3 = 3
6
( a
-
2
k
( +
so kann man der Formel ( 4 1 ) auch diese Gestalt geben :
N
(
s
'
6
‘
(
6
( M
6
12
(
a
ß
D
2
3 14 ;
worin u eine p ositive ungerade Zahl ; 8 bedeutet zun ä chst eine Z ahl
von der Form 24 s 3 doch gilt die Beziehung für jedwede Zahl s
da für Z ahlen anderer Form ersichtlich beide Seiten gleichzeitig ver
schwinden In Worten sp richt sich die Formel
folgender
m aßen aus :
D i e A n z a h l d e r g e r a d e n D a r s t e l l u n g e n e i n e r Z ah l s i n
d er F o rm
'
'
,
,
.
4
2
( )
6
2!
(
s
i s t gl e i ch d e r A n z a h l d e r u n g e r a d e n a u s g e n o m m e n d e n
—
F al l w e n n s 3 u d i d a s d r e i fa ch e Q u a d r a t e i n e r n u
g e r a d e n Z ah l i s t in w e l c h e m F al l e d i e e r s t e A n z ah l d i e
,
2
,
.
.
,
u
—l
letztere um
1)
u ü b e r t r i fft
Da dieser Unterschied numerisch größer ist als 1 sobald s > 3
so muß dann auch die A n z a h l a l l e r Darstellungen von s in der
Form (42) größer als 1 sein die Z ahl s 3 24 also mehr als eine
solche und somit :
mindestens ei e von der selbstverständlichen D ar
2
o
.
,
,
2
,
n
s t e llu n
g
s
=
u
g
+
u
g
+
u
verschiedene Darstellung ( 4 2) verstatten
.
2
ln
der letzten sind dann
D
t
rk
ars e llb a
e in e
e it
Z
r
r
d urc h d i e F o m
ah l
x
2
2
2
+ 2 31 + 3 2 + 6 t
2
3 21
.
v nicht alle einander gleich Nun kann man der Gleichung (42)
die Form geben :
u
, ,
.
3u
2
= 61
(
2 (3 y
v
(
18
3 11
u
,
)
v
2
.
Da aber identisch
93
2
=
3
2
+ y
2
«i 6
x
°
2
2
-
3
+
ist geht vorstehende Gleichung in die folgende :
,
u
über
2
= 2 (2
(
v
i
‚
Setzt man zur
.
)
‚
0+
2
a
o
2
Abkürzung
1 = l, 2 l
— p — v = m,
u
—
v
r
z
n,
so können m n da
v
nicht
alle
gleich
sind
nicht
gleichzeitig
p
verschwinden und somit folgt
2
u > l und
4
3
m
3
9
2
( )
Nun sind u l ungerade mithin
,
,
,
,
,
2
2
2
.
,
,
u
l =
2
2
(
u
+ l)
(
u
—Z
)
durch 8 teilbar w ährend die Faktoren u l u — l zwar durch 2
—
aber nicht zugleich durch 4 teilbar sind Geht also etwa u l durch
—1
l
3
3
—
zwei
ganze
Zahlen
welche
wegen
4
3
4 auf so sind
)
(
; 4
Teiler der Form m +
sind Setzt man im besonderen jetzt u
als Primzahl voraus so sind sie auch relativ p rim da ein ihnen g e
m e in s am e r Teiler auch in
,
,
,
.
“
,
,
,
2
.
,
,
u
2
+
u
—l
l
+
u
u
—l
:
T
2
2
T
aufgehen müßte was nicht sein kann da l numerisch k leiner i st als
die Primzahl u Dann folgt ber aus der L ehre von den quadratischen
Formen daß die Faktoren 2 ——4j selbst von der Form x + 3 y
se i n müssen etwa
—
_
2
u
,
2
-
l
,
'
a
.
zo
2
2
,
,
u
+
l
“
2
2
u
+
—l
_
_
4
2
ß
+ 36
2
und daher ergibt sich schließlich die Gleichung
u 04 + 2 ß + 3 7 + 6 6
oder der Satz :J e d e u n g e r a d e P r i m z a h l i s t d a r s t e llb a r i n d e r
F orm
2
4
4
( )
2
2
2
2
2
2
2y + 3 2 + 6 t
x
2
.
D i e P r i m z a h l 2 i s t e s e b e n fa l l s indem man g/= 1
setzt
N u n b e s t e h t a b e r fü r d i e a l l g e m e i n e r e F o r m
,
,
.
B
x
ach
mann
n ie
d
e re
2
Z ah le nt h e o rie
A 31
.
II
.
2
B2
2
2
ABt
2
21
g
Z e rf ä llu n g e n i n
3 22
le i c h n am i
g
e
Po
t
e n ze n
.
d e r a u s g e z e i c h n e t e S a t z welcher den schon oben ange w andten
S atz von der Summe zweier Quadrate wesentlich verallgeme inert d a ß
das P r o d uk t v o n z w e i A u s d rü ck e n d i e s e r F o rm w i e d e r e in
s o l ch e r A u s d r u c k i s t i n d e m d i e fo l g e n d e I d e n t i t ä t s t a t t
fi n d e t :
,
,
,
4
5
( )
— A
yn
Ay + B 2
(
2
(E
x
‚
2
2
A
6
y )
c
oy
A R I5 )
)
2
An+
A B t 6)
2
+ AB6
2
Egg
gz
2
A
2
)
2
A3
m
0
2
B
yä
6
215 +
m
26
(
y;
27
‚
15
0
g
2
.
Es setzen sic h d aher auch zwei A usdrücke (4 4) durch Multi plik ation
wieder in einen ebensolchen zusammen Da aber jede p ositive ganze
Zah l durch Multiplikation aus gewisse n Primz ahlen entsteht so e r
schließt man aus diesen Umständen das allgemeine Ergebnis :
J e d e p o s i t i v e g an z e Z ah l k a n n i n d e r F o r m ( 44) d a r
gest ellt w erd en
Die Identität
.
,
.
lehrt dann weiter d a ß j e d e p o s i ti v e g an z e Z a h l a u c h a l s S u m m e
v o n v i e r Q u a d r a t z ah l e n d a r s t e l l b a r i s t
Die in dieser Nummer hergeleiteten Sätze verdankt m an J a cob i
der sie zuerst aus einer sehr merkwürdigen Formel der ellip tischen
Fun k tionentheorie entnahm In der Gleichung ( 1 6 7 ) des 3 Kap itels
gaben wir nach E ule r die Entwickelung des unendlichen P roduktes
,
.
,
.
.
Ü
h
a
2
)
2
=1
in eine P otenzreihe ; J aco bi aber hat wie schon in Nr 1 0 des vorigen
Kap itels bemerkt im g 6 6 seiner Fundamenta nova auch die dritte
P otenz desselben in eine solche Reihe entwickelt und gewann durch
V ergleichung mit der ersteren Entwicklung die Formel :
.
,
,
j
4
6
( )
—I
r
w
-
=
2
5
k
- oo
(
2
=0
x
welcher der in Formel (4 1 ) enthaltene Satz unmittelbar abzulesen
w ar
Ersetzt man darin aber durch x und multip liziert beiderseits
mit x so n immt die Formel die andere Gestalt an :
au s
.
3
24
,
u
4
7
( )
—l
2
(
u
0,
un
ge
ra d e
)
‚
m
an
:
g
Z e rf ä llu n g e n i n
3 24
ganzza
hli
g
gesetzt
m
)
(
L ink en dieser Gleichung
x
le i c h n am i
ge
t
Po
e nzen
.
werden kann N un ist der A usdruck zur
ein S p ezieller Fall der allgemeinen Form
.
2
2
2
192 + A B t
Ay
g
,
daher schließt man aus d e m Satze
daß das Pro dukt aus
z w e i S um m e n v o n vi er Q u adratz ahlen w i e d e r eine s o lch e
S u m m e i s t und kommt nun von der Gleichun g (49) aus zum N ach
weise einer Gleichung
,
X + 1
2
72
2
+ 2 +
für jede ungerade Pri m zahl p auf völlig analoge Weise wie wir in
N r 1 von der Gleichung ( 2) aus zur Gleichung
,
.
X + Y =p
2
2
geführt w orden s m d Da nun auch di e Zwei als Summe von vier
Quadratzah len darstellbar ist n ä mlich
.
,
1 + 1 + 0 + o : 2,
2
2
2
2
so folgt durch Multip likationen mittels des soeben ausges p rochenen
Satzes das gleiche auch für jede beliebig zusammengesetzte p ositive
ganze Z ahl
7 Denselben Satz entnehmen w ir endlich noch einer dritten
Quelle Fragen w ir jetzt nach der Z e rf ä llb ark e it der Zahlen in eine
Summe von drei Quadraten oder nach der Möglich keit der Gleichun g
.
.
.
0
5
( )
93
2
y
2
2
2
.
Setzt man s = 4
so gibt diese Formel jede p ositive ganze
Zahl wenn s alle p ositiven ungeraden Z ahlen und das Do pp elte von
solchen durchläuft und h die Reihe der Zahlen O 1 2 3
Ist
O so müssen x y z in der Gleichung
n un h
h - '
s
,
'
,
,
,
,
,
,
,
,
2
5
1
( )
31 +
2
2
gerade sein denn sonst müßte eine dieser Zahlen gerade die beiden
andern ungerade sein dann würde aber die linke Seite der Gleichung
—:
=
=
=
i
2
Setzen w r also x
x y 2y
O die rechte E 2 ( mod
so erhalten w ir die Gleichung
z
,
,
,
’
,
,
.
x
ra
O
+ y
12
+
2
'
,
12
und können falls h l noch
ist in gleicher Weise fortf ahren
Man gelangt so endlich zu einer Gleichung
,
s
'
=X + 1
2
,
72
+ Z
.
’
.
W äre nun s ungerade so m ü ßten entweder alle drei Zahlen X
Z ungera de und d ah er weil das Quadrat jeder ungeraden Z ahl
1 ( mod 8) ist s von der Form 8 k
3 sein ; oder eine der Zahlen
'
,
Y,
,
'
.
,
,
r
Z e rf allb ark e it i n d
ei
Qu adr atz ahle n
3 25
.
müßte ungerade die beiden andern gerade sein und dan n ergäbe
sich s von der Form 4 k 1 d h von einer der beiden Forme n
5
D e m n a c h i s t k e i n e Z ah l 8 v o n d e r F o r m
1 oder 8 k
8k
8 70 + 7 u n d fo l g l i c h al l g e m e i n e r k e i n e Z a h l v o n d e r F o r m
"
in e ine S um m e v o n dre i Qu adrat z ahl en z er
4
,
,
'
.
.
'
.
f ä llb a r
.
D a g e g e n i s t e s j e d e p o s i t i v e Z ah l w e l c h e d i e s e F o r m
n i ch t h a t L etzteres hat G amss als einen tiefliegenden Satz der
Theorie der tern ären quadr atischen Formen gefunden auf welche
hier nicht eingegangen werden k ann und es ist bisher nicht gelungen
es ohne dieselbe zu b e grü n d e n ) Wir müssen den Satz also hier
jener L ehre entnehmen um e in p aar einfache Folgerungen daraus z u
ziehen
Sei zun ä chst s eine p ositive Zahl von der Form 4 k 2 ; nach
dem G au ss s ch e n Satze gibt es ganze Zahlen x y z von der Beschaffen
heit daß
,
.
“
,
„
,
,
Ä
,
.
,
,
,
2
5
( )
ist und es müssen zwei dieser Zahlen ungerade die dritte gerade
sein damit die Summe ihrer Quadrate E 2 (mod 4) werde Setzen
wir also etwa x y als ungerade voraus so geben die Gleichungen
,
,
.
.
,
,
,
=
y
ganze Werte
x
'
,
y
'
,
2
'
x
l
_ y l’
und aus (5 2) folgt
1
x
’2
+ y
l2
+ 23
12
d h j e d e p o s i t i v e u n g e r a d e Z a h l l ä ß t s i ch i n d i e S u m m e
v o n z w e i Q u a d r a t z a h l e n u n d e i n e r z w e i fa c h e n Q u a d r a t z a h l
z e r fä l l e n Da von den ersten beiden Quadratzahlen o ffenbar eine
gerade die andere ungerade sein muß darf man auch sagen :J e d e
1
o
s
i
t
i
v
e
u
n
g
e
r
a
d
e
Z
a
h
l
k
a
n
n
i
n
d
i
e
F
o
r
m
g
e
s
e
t
z
t
2
k
+
p
w erden:
.
.
.
,
,
1
2k
x
Sei zweitens s von der Form
schen Satze gem äß
4
5
( )
2
2
2 31 + 4 2
8k
3,
2
.
so kann wieder dem
G aus s
87xc l 3
-
-
gesetzt werden worin sämtliche drei Zahlen a3 y z ungerade sein
müssen so daß
x = 2x + 1 y = 2y + 1 a = 2z + 1
geschrieben werden d arf Die Substitution dieser Werte in (5 4) liefert
dann die folgende Gleichung :
,
,
,
,
’
'
’
,
,
.
t
1)
Ma h
.
Mi tt e ls
40 ,
S
.
seh
228
r
ode
e i n f ac h e
rJ r
ou n
r
.
S
S
ä t z e d i e s e r Th e o ri e b e w i e s
d e s M at h
.
2
s er
.
t 4,
.
.
23 3
.
es
D i ri ch let ,
J r
ou n
.
f
.
Z e rf ä llu n g e n i n
3 26
ge
l i c h n am i
ge
z
5
5
( )
te
Po
'
(
z
nz e n .
'
1)
2
d h den Satz :J e d e p o s i t i v e g a n z e Z ah l k a n n i n d i e S u m m e
v o n d r e i T r i g o n a lz a h l e n z e r f ä l l t w e r d e n
Sei endlich wieder s 4 s wo 8 eine ungerade p ositive Zahl
oder das D o pp elte einer solchen bezeichnet so daß s jede p ositive
ganze Zahl sein kann Ist 3 zun ä chst ungerade und von der Form
1 so ist s
4k
1)
1 wo nun 4 (k
1)
1 sobald
s > 1 ist
eine p ositive Zahl darstellt welche dem G auss s ch e n Satze
gemäß in die Summe dreier Quadratz ahlen zerf ällt werden kann ; da
’
her kann es s in die Summe von vier solchen ; die Z ah l 8 1 kann
2
2
es o ffenbar aber auch :
1
1 + 0 + 0 + 0
Ist zweitens 8 von der
2=
—
4k
Form 4 k 3 so ist s 1
2 nach d em G au ss s c h e n Satz e
eine Summe von drei also s wieder eine Summe von vier Qu adrat
z ahl en
Wenn endlich s das Do pp elte e iner ungeraden Zahl also von
2=
d e r Form 4 k
2 ist so ist s
1
4k
1 dem G aus s s c h e n S atze
zufolge eine Summe von drei also wieder 8 eine Summ e von vier
Quadratz ahlen Da also stets
.
.
.
'
h - '
,
,
'
.
'
,
,
,
'
,
,
'
2
2
'
.
'
,
'
,
'
.
'
,
'
,
.
2
2
+ t
2
gesetzt werden kann so ergibt sich auch
,
5
6
( )
wo
X=
k
=
T
2 t,
h
”
=
=
2 a,
Y
2 y, Z
wir sind aufs neue zu dem Satze gelangt d a ß j e d e p o s i t i v e
ganz e Z ahl in e in e S um m e v o n vi e r Q u a dratz ahl en z er
f ä llb a r i s t
Wie die Trigonal und die Quadratzahlen nur die einfachsten
Fälle der sogenannte n r E ck s zah le n oder der P o ly g o n alz ah le n
O rdnung d i der Zahlen von der Form
und
,
.
-
.
.
O
O
O
sind so sind auch die bezüglichen beiden zuletzt ausgesp rochenen
Sätze nur die einfachsten F älle eines allgemeinen Satzes welchen
F ermat o h ne seinen Beweis desselben zu verö ffentlichen ausgesagt
hat Dieser sogenannte P o ly g o n a lz a h le n s a t z besagt :d a ß j e d e
o ly
o n a lz a h l e n
o
s
i
t
i
v
e
g
a
n
z
e
Z
a
h
l
i
n
e
i
n
e
S
u
m
m
e
v
o
n
r
P
p
g
Hierbei können freilich die
O r d n u n g z e r fä l l t w e r d e n k a n n
letzteren w ie auch in den Darstellungen (5 5) die Trigonal in den
D arstellungen ( 5 6 ) die Quadratzahlen teilweise N ull sein ; gen auer
wäre also zu sagen :in eine Summe von höchstens r von N ull ver
s c h ie d e n e n
P o ly g o n alz ahle n r
In diesem Sinne b e
O rdnung
da
n
gefaßt
daß
jede
s t imm t e r hat C au chy den P o ly o n alzah le n s at
hi
:
g
d
r
l
l
a
hl
e
n
O
ositive
ganze
Zahl
in
eine
Summe
von
P
o
o
n
a
r
p
yg
,
,
,
,
.
.
,
„
‘“
“
.
z
z
Z e rf ä llu n g e n i n
3 28
g
le i c h n am i
g
Po
e
te
nze n
.
E s s o l l n a ch g e w i e s e n w e r d e n d a ß j e d e d e r e r s t e n s e ch s
d i e s e r F o r m e n all e p o s i t i v e n g an z e n Z a h l e n d a r s t e l l e n k a n n
Da sie sp ezielle Fälle der Form ( 5 7 ) sind h at jede von ihnen die
Eigenschaft daß das P rodukt aus zwei Formen derselben Art wieder
eine ebensolche ist und deshalb genügt es für den gedachten Zweck
zu zeigen daß jede P r i m z a h l durch sie dargestellt werden kann
Von dem ersten und fü nften Ausdrucke steht es schon fest V o n
der Zwei leuchtet es auch für die übrigen ein da man hierzu bei
2) und 3 ) nur x = y = 1 z = t = 0 bei den anderen
y = 1 zu setzen braucht Durch den Ausdruck 2) ist außerdem jede
ungerade Zahl also auch jede von Zwei verschiedene P rimzahl dar
stellbar indem man t = O w ähl t da nach ( 5 3 ) voriger N ummer jede
ungerade Zahl gleich
“
,
.
,
,
,
,
.
.
,
,
,
.
,
,
,
x
2
2
+ y +
gesetzt werden kann
Für den dritten Ausdruck geht dasselbe aus
einem L e h rs at z e hervor den D i richlet aus der Theorie der tern ären
quadratischen Formen ent w ickelt hat (J f Math 40 S 228 oder
J ourn des Math
und nach welchem die Zahl 3 und
4 S
jede durch 3 nicht teilbare ungerade Zahl mithin auch alle von 3
verschiedenen ungeraden P rimzahlen durch die Form
.
,
,
.
.
.
.
.
,
.
.
,
x
2
y
2
darstellbar sind also aus 3 ) hervorgehen wenn m an t = O wählt
Der Ausdruck 4) stellt jede P rimzahl von der Form 4 k 1 dar wenn
2
y 2 O gesetzt wird ; da ferner y + 2 + 2 t jede un gerade Zahl
2
2
2k
1 darstellt so ergibt 231 + 22 + 4 t jede Zahl von der Form
4k
2 somit der A usdruck
wenn w 1 gew ählt w i rd jede Zahl
und insbesondere auch jede P rimzahl von der Form 4 k 3
Der
A usdruck 6 ) endlich stellt nach
jede ungerade Zahl also auch
= O gewählt wird
jede ungerade Primzahl dar wenn t =
9 Unsere Untersuchungen über die Z e rfä llb ark e it der Zahl en in
Summen von zwei drei oder vier Quadratzahlen haben ergeben daß
zwar jede p ositive gan ze Zahl in eine Summe von vier aber nicht
jede solche Zahl in eine Summe von weniger als vier Quadratzahlen
zerfä llt werden kann Schon Waring h at die allgemeine Vermutun g
ausgesp rochen (Me d it at alge b raicae e d C ambridge 1 7 82 S
daß auch bei P otenzen h öheren Grades zur Darstellung jeder ganzen
Zahl als Summe solcher P otenzen stets eine feste Anzahl derselben
Wi r w o l l e n u n t e r d i e s e r A n n ah m e d u r ch d a s
ausreichend sei
Z e i ch e n
,
.
,
,
2
'
2
2
,
,
,
.
,
.
,
.
,
,
,
/
.
,
.
.
.
.
Nm
d i e k le in st e A n z ah l v o n p o s i t i v e n m P o t e n z e n b e z e i ch n e n
w e l ch e g e n ü g t u m j e d e p o s i t i v e g a n z e Z ah l a l s S u m m e
s o l ch e r P o t e n z e n d a r z u s t e l l e n so d aß zwar jede solche Zahl
“m
,
,
,
D t
ars e llb ark e i
t
i n d e r F o rm
3 29
in N m aber nicht jede in weniger als N m m P otenzen zerfä llt werden
k ann Durch die voraufgehenden Betrachtun gen ist dann festgestellt daß
t6
.
,
5
8
( )
ist
.
Man h at bereits versucht den Wert der Zahl N m auch für den F all
höherer P otenzen u ermitteln Wenngleich dies bisher noch nicht
einmal für den Wert m = 3 völlig gelungen ist so sind doch die erzielten
Ergebnisse und di e zu diesem Zwecke angestellten Betrachtungen
interessant genug um ihre Darstellung an dieser Stelle zu rechtfertigen
Wir handeln zunächst von der Darstellung einer Zahl s als Summe
vierter P oten zen oder von Bi qu adrat e n Für diese hat schon L iou o i lle
gezeigt daß eine feste Höchstzahl N von B i qu ad rat e n vorhanden ist
welche gewiß ausreicht daß alle p ositiven ganzen Zahlen in N oder
weniger Biquadrate z e rf ällb ar sind und er h at dafür d e n Wert N 5 3
angegeben N ach ihm hat R e alis diese Schranke auf 4 7 L ucas auf
45 s p äter sogar auf 4 1 A lbert F le ck demnächst auf 3 9 erniedrigt
Dann hat E L and au gezeigt d aß N = 3 8 endlich A Wief emch d aß
N = 3 7 gesetzt werden d arf )
Zur Grundlage dieser Untersuchungen dient die Identität
,
z
.
,
,
.
.
,
,
,
,
,
.
.
'
,
.
,
.
,
l
6o(
5
9
( )
x
20 +
4
(
(y
x
y>
(
(y
4
x
z
)
4
+
+
2
y
(
(y
g
2
2
—
a
u
2
(
4
0 + (y
4
x
Da jede p ositive ganze Zahl
n
+
2
(
4
z
+
0
(
4
+
x
4
0
(
4
z
+
(
0
+
+
o
4
x
4
0
als Summe von vier Quadratzahlen
d arstellbar ist lehrt diese Identit ät d a ß d a s S e c h s fa c h e j e d e r
Q u a d r a t z ah l i n e i n e S u m m e v o n 1 2 B i q u a d r a t z a h l e n z e r
f ä ll b a r i s t ) Folglich ist es die Summe
,
,
?
rg t t
t
g
r
g tr g
v
r
S
S
fi
t
m ü n d li c h i m C o lle e d e F an c e o r e a e n e B e w e i s n d e
’
x e c i c e s d an aly s e n u m eri q u e ,
1 85 9 ,
i n L e b e sg u e s
s i ch d a
e s e ll
’
R e a lis s N o e su r u n h eo em e d ari t h m et i qu e , N o u v c o rr e s p m a h 4
A n n al ( 2) 1 7
u nd Nouv
L u c as e b e n d as
L an d au , R e n d i c
A F le ck , S it z u n g sb e r d B e li n e M a h G e s 5
1 06
c i c m a h P ale m o 2 3
Wi ef e rzch Ma h An n al 6 6
an z e
f o l end e m a e n sa e n F ü r j e d e p o s i i v e
2) M an k ann
e n au e
ib
e s z w ö lf
an z e
a h le n v o n d e r B e s c h a f f e n h e i , d a ß 6 n
ah l n
”
ih e
Bi
u m m e
u m m e
die
ih e
Qu a d a t e u n d z u l e i c h 6 m d i e
z
u
d
m
a
n
n
ä
ml
i
h
a
a
e
i
s
t
e
c
t
q
1 ) I /io uv ille
S
’
s nur
’
t
.
r
.
.
r
t
.
Z
g
S
r
so
g
fol
r
.
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.
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g
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g
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Stt
d i e Gle i c h u n
g
en
r
.
.
.
r
.
.
.
S
E r
S
g
t
S
.
Z
r
ß
.
.
’
g
t
.
t
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.
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g
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— t >=
t)
’
— z>2
.
S
.
-
m i h in
-
.
.
r
t
.
t
.
.
g
r r
.
Z e rf ä llu n g e n i n
3 30
g
6 (X + 1
2
le i c h n am i
7 2
g
2
+ 2
t
Po
e
T
e n ze n
.
2
)
d h das Sechsfache jeder p ositiven ganzen Zah l N in eine Summe
von 48 B iqu adrat z ah le n Da nun jede p ositive ganze Z ahl s gleich
w o r wenn nicht N ull eine der Zahlen
7 gesetzt werden kann
6N
1 2 3 4 5 d h in ebensoviel Biquadr ate Eins z e rf ä llb ar ist so
wird w ie L i ou mlle es ausgesagt hat jede solche Zahl in höchstens
Aber diese Schranke ist zu hoch
5 3 Biquadrate z e rf ällb ar sein
Um es zu zeigen ziehen w ir zunächst mit L and au au s der
Identität (59 ) eine einfache Folgerung Setzt man 2 t so geht
sie in die andere über :
.
.
.
"
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
'
,
,
.
.
,
'
.
2
,
2
6 (x + y +
60
( )
2 (y
z
)
4
2
z
( )
4
Da nun 113 + y 22 jede u ngerade Zahl u darstellt so schließt man
d a ß d a s S e c h s fa c h e 6 u j e d e n u n g e r ad e n Q u a d r a t e s i n e i n e
S u m m e v o n 1 1 B i q u a d r a t e n z e r f ä llb a r i s t D a s s e lb e g i l t fü r
d a s 1 6 fa c h e d i e s e s P r o d u k t e s d i fü r d a s P r o d u k t 24 4 u
Da nun nach dem G au ss s c h e n Satze ( s Nr 7 ) jede p ositive gan ze
Zahl welche (mod 8) einen der Reste 1 2 3 5 6 l äßt in die
Summe dreier Quadratzahl en z e rf ä llb ar ist unter denen mindestens
eine ungerade sein muß s o w ir d j e d e d e r Z ah l e n
2
g
2
,
,
2
.
-
,
.
o
.
.
.
,
2
.
,
,
,
,
,
,
,
12
1
6
( )
6
o
8
k
(
3 ) = 48 k + 1 8
6
i n h ö c h s t e n s 1 1 1 2 1 2 3 5 B i q u a d r a t z a h le n z e r f ä llb a r
s e i n Bei den Zahlen 8 k 2 und 8 k 6 sind sogar z w e i der drei
Quadrate in welche sie sich z e rf alle n lassen bei den Zahl en 8 k 3
alle d r e i Quadrate ungerade ; g e n a u e r s i n d a l s o d i e Z a h l e n
48 k
1 2 u n d 48 k
11
12
34 d i e
3 6 i n h ö ch s t e n s 1 1
Z a h l e n 48 k 1 8 i n h ö ch s t e n s 1 1 1 1 1 1 3 3 B i q u a d r a t e
.
,
,
,
z e rf
ä ll b
ar
.
6u
— t) ’
+ (y +
r
w äh e nd
zu
g
le i c h
(y
n ac h
5
9
( )
— t >*
— t >4
i st
.
Z e rf ä llu n g e n i n
332
g
le i c h n am i
48k + 3 7 = [ 48 k + 3 6] = 1
g
e
Po
te
n ze n
.
4
4 8 7c + 3 8 = [ 48
48 k + 4 1 = [ 48 k + 25 ] + 2
4 8 k + 4 2 = [ 48
4
4 8 k + 44 = [ 48
48 k + 46 = [ 4 8 k + 3 0] + 2
48 k + 47 = [ 48
4
Denkt man in der ersten Gleichung dieser Tabelle k ä 4 in den
übrigen k 3 3 so stellen die Zahlen z u r L inken alle ganzen Zahlen
1 45 dar andererseits sind die zur Rechten eingeklammerten B e
s t an d t e i le
ositive
ganze
Zahlen
Mit
Rücksicht
nun
auf
die
für
die
p
Zahlen von den fünf Formen ( 6 1 ) zuvor angegebene Höchstzahl von
B i qu adrat e n ergibt sich für diejenigen Zahlen der Tabelle in denen
der eingeklammerte Bestandteil der rechten Seite von einer der Formen
6
ist
die
jedesmal
am
Rande
hinzugefügte
Za
hl
als
Höchstzahl
1
( )
der Biquadrate deren sie zu ihrer Z e rf ällu n g bedürfen
1 0 Was die noch übrigen L in e arf o rm e n anbelangt so beweisen
wir zuvörderst zwei Hilfssätze
33
L D i e Z a h l e n v o n e i n e r d e r F o r m e n 48 k
1 u n d 48 k
s i n d i n 36 o d e r w en i g e r B i q u a d r a t e z e r f ä llb a r
Ist nä mlich s eine Zahl der ersten Form so finden sich die
Gleichungen
,
,
,
.
,
,
.
,
,
.
.
.
,
2
6
( )
ebenso für eine Zahl
6
3
( )
4
24 210
s
1
3
5 =
8
7 = 24
s
1 3 : 24
s
.
4
m
4
4
2
h
(
.
2
k
(
26)
1 0 0)
der zweiten Form die folgenden :
s
3 = 24
s
9 = 24
s
1 5 = 24
s
o
»
4
4
4
21
4
o
2
h
(
2)
o
2
h
(
27 2)
o ( 2k
24 o ( 2k
21 0 8)
Damit die betrachteten Di ff erenzen p ositiv seien setzen wir s > 21
voraus Nun lassen in jedem dieser S y steme von Gleichungen die
vier in 24 multip li zierten Zahlen insgesamt ( mod 8) die Reste 0 2
4
,
.
.
,
,
Z e rf ä llb ark e it i n B i q u ad rat e
je eine von ihnen also den Rest
der Form
4, 6,
2
2
wori n
u
eine ungerade Zahl
6
o
und diese ist darstellbar in
6,
+ y + 4M
x
3 33
.
?
)
4
2 faches
Demn ch ist ihr
a
.
2
6
x
+
( )
2
o
2
4
4
u
2
+
( g)
g
o
gleich
2
somit in höchstens 1 2 1 2 + 1 1 = 3 5 die Z ahl 8 also in höchstens
Damit der behaup tete Satz allgemeine
3 6 Biquadrate z e rfä llb ar
G ültigkeit h abe bedarf es also nur noch ihn auch für Zahlen der
betrachteten Formen unterhalb der Grenze 21 z u erweisen Ist nun
allgemein s irgendeine Zahl ä 21 und 92 das größte s nicht über
tre ff ende Biquadrat unterhalb 2 1 so ist da das Intervall x bis
2
ist
die
Di
ferenz
x
sicher
nicht
größer
als
1
2
0
f
(
20
3 448 1
s
s
x; ä 2 1
1 3 + 5 9 20
14
L iegt also s über 1 3
so ist die Diff erenz zwischen s und dem
größten s nicht übertreff enden Biquadrate x:kleiner als 5 9 20 ; ist
1 3 so ist jene Di fferenz
aber s
13
1 2 = 7 825 ; jedenfalls ist
mithin
und
,
.
,
,
4
.
4
,
%
4
‘
,
,
4
f
4
,
,
4
4
4
4
,
.
4
1
,
,
,
1
4
,
4
4
,
32
=
s,
F ährt man in dieser Weise fort so erhält man im ganzen folgen de
Ungleichheiten :
=8
3
x ä 3 448 1
,
—
“
1
S2
=
:
7 825
s,
246 5
s4
85
86
s,
88
89
=
=
=
=
311
31 2
lso
1 1 05
s4
—a
4 80
85
—a
36
= s7
=
38
‘
—
31 1
ä
g
224
%
1 43
f
x
—x
65
— x
3
49
— m <
io
33
x
17
‘
g
’
81 0
=
i
x
83
-
_
ii
i
x 2
<
15
a
d i
.
.
12
einer Summe von h öchstens 1 4 B iqu adrat e n Eins und noch
anderen zusammen also gleich einer Summe von höchstens
,
26 B iq u adrat e n
II D i e Z ahl e n
.
.
48 k
25
v o n e i n e r d e r b e i d e n F o r m e n 48 k + 9 u n d
s i n d i n 3 5 o d e r w e n i g e r B i q u a d r a t e z e r f ä llb a r
.
g
Z e rf ä llu n g e n i n
3 34
le i c h n am i
g
P o t e nz e n
e
.
Ist s zunächst eine Zahl der ersteren Form so finden sich die
Gleichungen
,
4
6
( )
s
3 : 24 ( 2 k
3)
s
9 = 24 ( 2 k
27 3 )
8
1 5 : 24 ( 2 k
2 1 0 9)
3
2 1 : 24 ( 2 k
8 1 0 3)
s
27 = 24 ( 2 k
22 1 43 )
s
3 3 : 24 ( 2 k
49 4 1 3 )
s
3 9 : 24 ( 2 k
96 3 9 3)
s
45
4
4
4
4
4
4
4
Desgleichen für Zah len
5
6
( )
k
von der zweiten Form di ese anderen :
24 ( 2
4
s
s
1 = 24 ( 2 k +
s
5 = 24 ( 2 k
25 )
8
7 = 24 ( 2 k
9 9)
s
1 1 = 24 ( 2 k
6 0 9)
s
1 3 = 24 ( 2 h
1 1 89 )
8
1 7 = 24 ( 2 k
347 9)
s
23 = 24 ( 2 k
1 1 65 9)
s
29 : 24 ( 2 k
1)
4
4
4
4
4
4
4
4
Damit die betrachteten Di ff erenzen p ositiv seien setzen wir s 45
voraus Man überzeugt sich nun leicht daß die in 24 multip lizierten
Zahlen alle Glieder eines reduzierten R e st sy s t e m s ( mod 1 6) darstellen
und daß folglich in jedem der beiden S y steme von Gleichungen je eine
dieser Zahlen den Rest 1 3 ( mod 1 6) l äßt _oder von der Form 1 6 h + l3
ist J ede Zahl von dieser Form ist aber da sie E 5 (mod
als
eine Summe dre i er Quadratzahl en darstellbar und zwar w ie aus den
Resten der Quadratzahlen leicht zu ersehen ist in der Ges t alt
4
,
,
.
.
.
.
.
,
,
,
1 6h
worin
6
6
( )
u
ungerade und
24
und da
o (1 6h
13
u
'
1 3)
u
und
6
’
24 4
2
zs
22
mod
(
3
E
,
2 031 +
4
4
a
u
+
+
( )
o (8
.
ist
8)
)“
u
.
'2
,
Daraus folgt
2
24 4 u + 24 u
a
o
'2
::
z
f
2
3
2
;
z
y
21
2
5
( 0
4
52
2
2
0
22
52
2
2
( 9
4
52
4
o
4
gesetzt werden d rf zugleich aber 6
in höchstens 1 2 2 4 a
in höchstens 1 1 Biqu drate e rf ällb a ist so lehrt die Gleichung
daß 24 ( 1 6 h 1 3 ) als Summe von höchstens 1 2 1 1 1 1 3 4 demnach
a
s
,
,
a
z
r
,
,
g
Z e rf ä llu n g e n i n
3 36
le i c h n am i
g
Po
e
t
e nz e n
.
schon E M aille t ( assoc franc p our l av an c des sciences Bordeaux 1 895 )
die Höchstz ahl 1 7 dafü r gefunden welche darau f durch F lec k ( S it zun gsb e r
d Berliner Math Ges 5 1 9 06 S 2) auf 1 3 erniedrigt wurde in
neueste r Zeit Wief emch ( Math A nn 6 6 1 908 S 9 5) den str engen
Da aber dieser Beweis als noch
N achweis versucht daß X, = 9 sei
nicht ganz vollst ändig zu bezeichnen ist so erscheint es u ns an gezeigt
die scharfsinnigen Betrachtungen M a illet s zumal sie von ihm auch
weiterhin verwandt worden sind hier nicht zu un t erd rücken
Die gestellte Frage zu beantworten erheischt kom p liziert ere B e
weil hier eine Identität fehlt
t rach t u n g e n w i e im vorigen Falle
welche w i e bei den B iq uadrat e n zugrunde gelegt werden könnte
D i e M aille t s c h e Betr achtung beruht auf folgendem H ilf s s at ze :
S i n d a a z w e i p o s i t i v e u n g e r a d e u n d t e i l e r fr e m d e
Z ahl en w el ch e d en B e dingun ge n
’
.
.
.
,
.
,
.
.
.
.
,
,
.
,
'
.
,
.
.
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
.
'
,
,
6
8
( )
a
a
'
G e n ü g e l e i s t e n u n d b e z e i ch n e t
z w i s c h e n d e n G r e n z e n 8a a u n d
,
'
9
6
( )
8aa
i rg e n d e ine gan z e Z ahl
u
a
'3 °
m
a
'
,
s o k ann
7
0
( )
u
a
m
u
'
m
'
g e s e t z t w e r d e n w o m m p o s i t i v e g an z e Z a h l e n b e d e u t e n
d i e i n d i e S u m m e v o n d r e i Q u a d r a t z a h l e n z e r f ä llb a r s i n d
u n d d i e U n gl e i ch h e i t e n
’
,
,
,
1
7
( )
m
2
a ,
m
'
a
"
?
e r fü l l e n
Um dies zu beweisen betrachte man die
ganzen Zahlen
.
,
7
2
( )
u, n
u
a,
2 a,
8a
'
nach ( 69) p ositiven
— 8a'
(
n
Da a zu 2 und zu a also auch zu 8 a teilerfremd ist so b ilden
diese Zahl en ein vollständiges R e s t s ys t e m ( mod 8 a ) und folglich
sind acht un ter ihnen durch a teilbar Ist k oc das kleinste Vielf ac he
von a für welches
'
'
,
,
'
.
'
.
,
eine ganze Zahl wird so bezeichnet h at wenn
=
7
3
u
d
n
i
0 1
( )
gesetzt wird die sämtlichen Vielfachen dieser
sp rechen die Werte
,
,
,
,
7
4
( )
:
— i a f ür
o
,
A rt ,
1 , 2,
und ihnen ent
7
.
Sowohl diese Zahlen als auch die Zahlen ( 7 3 ) bilden aber ein
vollständiges Re s t s ys t e m ( mod
Da nun die Zahlen von der
.
Ku b e n ; M aille t
Z e rf ä llu n g i n
und
F leck
337
.
welche wie wir wissen nicht in die Summe dreier
Form 4 ( 8 h
Quadratzahl en z e rf ällb ar sind nur einen der Reste 7 4 O (mod 8)
1 ist so müssen unter den
ergeben je nachdem a = 0 1 oder
Zahl en ( 7 3 ) mindestens 5 sich befinden welche jene Form nicht haben
und ebenso müssen unter den diesen fünf Zahlen ( 7 3 ) entsp rechenden fünf
Zahlen ( 7 4) mindestens zwei sein die gleichfalls jene Form nicht haben
Demnach g ibt es mindestens zwei P aare zusammengehöriger Zahlen
h h
die beide jene Form nicht haben Ein beliebiges von ihnen
nennen w ir m m diese Zahlen sind dann dem G auss s ch e n Satze
zufolge in die Summe von drei Quadratzahlen z e rf ä llb ar Zudem ist
m wie jede der Zahlen
kleiner als 8 a d i nach ( 68) kleiner
als a desgleichen
“
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
'
,
,
.
’
,
.
'
,
.
.
2
,
m
n
'
y
—m a
(X
nach ( 69) kleiner als
a
m
a
’g
und endlich ist
,
= m a + mw ,
u
also der Hilfssatz bewiesen
1 2 Setzt man nun
.
.
so ergeben sich wegen ( 7 1 ) die Ungleichheiten
=
=
2
für
i
3
a
1
x2<
x <
)
(
und folglich bezeichnet der Aus d ruck
;
a
,
'
,
3
3
Z
=
i
,
((
xi
a
3
(
L
r
s
wa]
a
x-
‘
(
a
'
wir]
1
eine Summe von
entwickelt gleich
3
6a + 60
1 2 p ositiven
83
3
Kubikzahlen Dieser A usdruck ist aber
.
+ 6 a (xf
6a + 6a
's
3
x
3)
'
u m
)
a
’
+ 6 (u m
82 +
2
6
3
04
+ 6a
'3
2)
2
x5
+ 6 72
.
Setzt man demn ach
N
so bedeutet
jede Zahl
N
,
w
a
'
3
a
3
n,
elche den Ungleichheiten
7
5
( )
Genüge leistet und das Sechsfache jeder solchen Zahl ist gleich einer
Summe von 1 2 p ositiven K ubikzahlen
Hierbei dürfen w ir nun
2 voraussetzen d a dann nicht
a
nur die Ungleichheiten ( 68) erfüllt sondern auch a a ungerade und
teilerfremd sind sobald nur a selbst als ungerade Zahl ä 1 1 gedacht
wird Das für N zulässige Intervall wird d ann nach ( 7 5 ) durch die
Ungleichheiten
,
.
a
’
,
’
,
,
,
.
Bc
6
7
( )
a
h m
an n
n ie
d
e re
Z
a hl e n t h e o ri e .
II
.
22
g
Z e rf ällu n g e n in
33 8
le i c h n ami
g
Po
e
t
e nz e n
.
bestimmt Ersetzt man darauf a durch o: 2 so gilt das zuvor
durch die Ungleichheiten
w i e s e n e für alle Zahl en N des neuen
,
.
Be
,
<
(
+
a
ä
4)
8 8 + 2) < a
a
N
ä o
2 < a + 4r
bestimmten Intervalls u s w Kann man nun durch p as sende Wahl der
anf änglichen Zahl a es erreichen daß diese aufeinanderfolgenden
Intervalle ineinander übergreifen d h daß für jedes a von einer
gewissen Grenze m an
.
,
°
.
,
.
7
7
( )
usf ällt so wird das zuvor Bewiesene gültig sein für alle Zahlen N
welche über der unteren Grenze der Ungleichheiten ( 7 6 ) f ü r a (n
liegen Die vorige Ungleichheit vereinfacht sich zur folgenden :
a
,
,
.
3
04
Da
nu n
di e
1 4a
84 a
2
1 20
0
.
Gleichung
O
nur eine p ositive Wurzel hat welche zwischen 1 8 und 1 9 liegend
befun den wird so ist die Ungleichheit sicher erfüllt für jedes a 3 1 9
Somit besteht das Bewiesene für alle Zahlen
3
05
l4 a
2
84 a
1 20
,
,
.
N
ä
3
3
1 9 + 21 +
d h das Sechsfache jeder Zahl oberhalb dieser Grenze ist einer
Summe von 1 2 p ositiven Kubikz ahlen gleich Da aber jede Zahl s
oberhalb der Grenze 6 1 9 3 1 2 = 1 1 5 87 2 die Form
.
.
.
-
7
8
( )
6N
s
r
hat in welcher N ä 1 9 3 1 2 und r wenn ni cht N ull eine der Zahlen
1 2 3 4 5 also in höchstens fünf Kubikzahlen Eins ze rf ä llb ar ist
so ersieht man zun ä chst daß jede gan ze Zahl oberhalb 1 1 5 87 2 in
eine Summe von höchstens 1 7 p ositiven Kubikzahlen zerf ällt
Ist 8 ä 40 000 so bedarf es nach der Tabelle von v S terne ck höchstens
9 solcher Kubikzahlen
L iegt s aber zwischen 40 0 00 und 1 1 5 8 7 2
3
welch letztere Zahl zwischen den Kubikzahlen 4 8 und 49 enthalten
ist so ist der Unterschied zwischen s und dem größten unterhalb 8
3
3 =
liegenden Kubus x sicher kleiner als 49 48
7 05 7 :
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
.
,
.
3
,
3
s
x
3
7 05 7 ,
also zerf ällt s nach jene r T abelle in höchstens 1 0 Kubikzah len
H i e r d u r c h i s t s c h l i e ß l i c h fe s t g e s t e l l t d a ß j e d e p o s i t i v e
g an z e Z a h l s i n h ö c h s t e n s 1 7 p o s i t i v e K u b i k z a h l e n z e r f ä ll
bar i st
In d e s s e n e rn i e d r i g t s i ch d i e s e Z ah l d u r ch e i n e e i n f a c h e
B e m e rk u n g F le c k s s o fo r t a u f 1 3 Da nämlich wenn r in der
Formel ( 7 8) von N ull verschi eden ist stets
nämlich
r ( mod
.
,
.
.
,
,
.
g
Z e rf ä llu ng e n i n
3 40
le i c h n ami
g
Po
e
t
und
1 2 3
so erh ält man e ine
nehmender ganzer Zahlen
,
,
e
e nz n
,
.
Re ih e
'
unb e
re n zt
g
ab
die wir nur sowei t fortsetzen wollen als sie p os i t iv s ind d h solange
,
1
i <
s
.
.
Der Unterschi ed je zwei aufeinanderfolgender dieser Zahlen :
3
.
3 8+ 1
3 5- 1
2
ist kleiner als
g
3i <
3
'
3
oder wenn
3
,
8
4
( )
P
v
—2
gesetzt wird kleiner als k m
Wählt man daher i so daß s noch
so lie g e n in dem Inter
größer s + 1 aber schon kleiner ist als
3
3
v alle ( 1 9 un d ( C 2k ) p mindestens die zwei Zahlen s und 3
Von ihnen wird gew iß eine durch p nicht teilbar se in w enn es ihr
Unterschied nicht ist d h wenn die Kongruenz
3”
,
;
,
.
i
,
l -
‚
”
’
;
5-
1.
,
,
.
.
3 7?
keine Wurzel hat
:
0 ( mod
1
E
.
p)
Sei dann
.
s
8a
a
3
die gedachte der beiden Zahlen 8 3 1 Setzt man ferner voraus
l
=
daß
1
kein
Vielfaches
von
3
so
wird
jede
durch
p
(p
)
nicht
teilbare
Zahl
kubischer
Rest
von
sein
D
enn
alsdann
h
a
t
p
p
die Kongruenz
1 ( mod p )
x 5
,
V-
5-
.
,
o
,
"
.
3
”
.
nur die e ine Wurzel x E 1
,
da
jede ihrer Wurzeln auch die Kongruenz
_1
Z
.
mod
(
.
p
)
”
erfüllen müßte der größte gemeinsame Teiler der E xp onenten 3 und
aber die Ein s ist Werden daher die
Glieder eines redu zierten
R e s t s ys t e m s ( mod p ) zur d ritten P otenz erhoben so geben sie
wieder ein ganzes reduziertes R e s t sy s t e m denn wären zwei solche
Kuben einander kongruent :
,
.
”
,
.
,
,
3
ß
so ergä be sich durch Multip likati on mit dem Kubus des Soz i us ß
von ß die Kongruenz
3
5
aß
1
mod
p )
(
(
'
”
.
Ku b e n ; Wi ef e ri ch
Z e rf ä llu n g i n
34 1
'
.
d h a ß E 1 oder a ,6 w as geg en V oraussetzung ist Jede durch
also
nicht
teilbare
Za
muß
weil
einer
Zahl
des
reduzierten
Rest
hl
_
p
s y stems (mod p ) kongruent auch Rest einer Kubikzahl (mod p )
se i n
Erfü llt demnach p die beiden ausgesp rochenen Voraussetzungen
so darf man setzen
mod
S E b
p )
(
also auch
3
a
b
mod
8
5
s
(
( )
w obei b eine Zahl
Wir genügen di esen Voraussetzungen durch d i e Wahl p 5 denn
—
5
4 durch 3 wie
ebensowenig geht
'
.
,
.
.
,
”
”
,
.
.
.
,
3
”
a
.
ß
.
,
1
”
0
,
3i + 1
auf w ie immer auch i gewähl t wird Wählt man dann mit
so ergibt sich aus ( 84) für jeden
Wlef eric h gleichzeitig O
Wert v ä 3
durch
5
,
.
k
2, 3
und aus dem bereits Bewiesenen die Tatsache daß für jeden solchen
Wert von v eine Zahl a so gew ählt werden kann daß eine Kongruenz
3
zwischen
und
erfüllt
und
S
5
5
8
( )
gelegen ist Daraus folgen dann weiter die Unglei chheiten :
,
,
”
-
a
.
lso wenn
a
,
86
( )
b =
ß
Sa
q
gesetzt wird
6,4 5
o
2’
q <
12
-5 2 "
Schreibt man ferner
8
7
( )
so wird
5
88
( )
14
.
2’
6
r
o
Da aber
89
( )
wenn A 5 gew ähl t wird w o dan n da n ach ( 82)
3
s >
vorausgesetzt ist die notwendige Bedingung s
7 4 5
erfüllt wird die gewünschte Form ( 8 1 ) erhalten falls
ist wird
,
o
1
s,
,
,
’
,
,
,
,
5
”
-r
=
c
3
+
gesetzt werden kann unter u eine p ositive ganze Zahl verstanden
3
welche in drei Quadrate z e rf ällb ar und
ist Hierzu müßte c
,
,
.
g
Z e rf ä llu n g e n in
3 42
le i c h n am i
g
e
Po t e nz e n
d u rch 5 teilbar sein Setzt man e 5 9 wo y nicht mehr durch
v und
a
5 aufgehe so müßte also 3 l > v oder 3 1
1
”
- 2
,
.
.
,
9
0
( )
r
=
,
3
”
5
6
u
+
y
sein wo zudem u 3 vorausgesetzt werden kann da jedes etwa
darin enthaltene Vielfache von 3 eine dritte P otenz ergibt di e zum
Faktor 7 hinzugezogen werden kann Es fragt sich also ob durch
1
ü
der
Gleichung
gen
gt
werden
0
2
90
assende
Wahl
der
Zahl
u
( )
p
kann ohne daß u die Form 4 ( 8h 7 ) der Zahlen erhält die nicht
in drei Quadrate z e rf ällb ar sind Die Sechsfachen der letztgenan nten
Zahlen haben aber eine der L in e arf o rm e n
,
,
,
3
2
,
.
,
,
a
,
,
.
96 h , 96 h
42, 9 6 h
Es genügt daher wenn
,
6%
7 2, 9 6 h
eine der
90
.
L in e arf o rm e n
6, 1 2, 1 8, 24, 3 0, 3 6, 4 8, 5 4, 60, 66, 7 8, 84
96 h
nnimmt Daß dies stets erreicht werden k ann lehren die nach
stehenden von Wi ef erich berechn eten Tabellen die für jeden möglichen
Rest der Zahl r ( mod 9 6 ) eine Z ahl y angeben welche für 6 22 eine
dieser L in e arf o rm e n liefert
a
,
.
,
.
,
.
I We n n
.
7
12 5
0
l
m
o
d
(
a
,
.
= 0
ist
.
’
9
0
6
12
18
24
30
36
48
54
60
66
78
84
1
7
13
19
25
31
37
49
55
61
67
79
85
2
l4
20
26
32
38
44
56
62
68
74
86
92
3
33
39
45
51
57
63
81
87
93
9
15
4
70
76
82
88
94
16
22
28
34
46
52
5
35
41
47
53
59
77
83
89
95
11
17
6
42
72
90
7
73
91
43
8
50
80
2
9
69
21
27
10
58
64
10
11
5
23
71
l3
1
l4
8
15
3
17
29
18
0
22
40
.
65
g
Z e rf ä llun g e n i n
344
le i c h n am i
ge
Po
t
e n ze n
.
Der größte Wert den
nach diesen Tabellen erhält beträgt
Mit Rücksicht auf die Grenzen ( 88) für r wird daher mit
Sicherheit ein p o s i t i v e r Wert für 6 % nur dann aus ( 90) hervor
gehen wenn
2
o
“
5 22
5
d h
—
,
,
,
3
’
.
.
5
1 0 648
2v
v
u
ist Dies findet in der Tat statt sobald S 4 ist ) Wenn aber v 3
also die erste Tabelle anzuwenden ist
so tri tt der Wert
40 auf Für die übrigen ist der größte
nu r b e i den Zahlen r
96 h
Wert den 5 ” 7 erhält
.
,
1
.
,
,
.
1
,
3
,
18
3
5
6
und somit 6 u p ositiv
1 5 Was nun die Zahlen r
96 h
40 anbelan gt bemerke man
3 :
folgendes Da r 4 9 6 h 24 6 4 (4 h 1 ) ist erhalten w ir
eine Gleichun g von der Form
wenn n ur 4 h 1 nicht von der
Form 8 k 7 d h h 2h ist Tri tt dieser Fall aber ein so hat r
40
die Form 1 9 2 k
A lsdann findet sich
.
,
.
o
,
.
1
.
.
1
.
,
.
1 0 = l 9 2h,
3
r
1 0)
9 60
mithin eine Gleichung von der Form
der Form 4 ( 8k 7 ) d h
es sei denn
2h,
von
10
“
o
.
.
1 000
r
wobei a >
wenn a =
1
8
k
(
6
-
Eine solche Zahl ist aber nur dann kleiner als
und k
1 2 ist und erhält dann die W erte
3
22
,
,
,
3 6 88, 6 7 60, 9 83 2,
und es finden sich für
= 6 56 +
r
7
'
die Wert e
3
3
9 7 43 8
2 10 + 6 + 1
3
1 00 5 1 0
3
46 + 2 1 1 + 8
1 0 3 5 82
11
8
3
3
2 1
3
d h die entsp rechende Zahl
.
.
s
=
=a + b +
3
)
3
r
ist in höchstens acht p ositive Kubikzahlen z e rf ä llb ar Vo n diesen
drei besonderen Fällen abgesehen w äre aber stets die Gleichung (90 ) in
der verlan gten Weise erfüllbar und somit j e d e Z ah l s fü r w e l ch e
di e B edingungen
s ä
v S 3;
e r fü l l t s i n d d h a b e r j e d e Z ah l s 7 4 5 i n h ö c h s t e n s n e u n
K u b i k z ah l e n z e r f ä ll b a r w e l ch e p o s i t i v s i n d d a nach ( 9 0)
2
(i n
d i u
ist
r
6 5
gt Wi f i h Ab r f ü = 4 (m d 3) i t p : 2 2 —y = 6
1) S
? ! 1 0 6 48 >
Lü k
l
bl ib t h i r i
.
,
9
,
.
,
.
o
,
,
’
.
o
an
sa
.
.
e er c
a so
au s
e
.
e
e
o
r v
e ne
c
e
.
.
s
,
12
.
Ku b e n ; Wi e f e rzch
Z e rf ä llu n g i n
'
3 45
.
—
v
.
F ü r a ll e Z ah l e n 8 2 40 000 s t e h t d a s s e l b e d u r ch d i e
I s t e n d l i ch
S t e r u e c k s c h e T a b e l l e fe s t
.
40 000
s
so läßt sich w i e aus den anfänglichen Bemerkungen hervorgeht eine
Zahl 73 so w ählen daß zwar s i noch ü ber dagegen s
schon unter einer di e Grenze 40 000 nicht übersteigenden Z ahl etwa
1 0 00 0 liegt und dann die Ungleichheiten
,
,
3
,
,
,
,
2
1 0 000
denen
eine Zahl
in
'
s
i
'
'
=
s
3
.
3
1 0 000,
3
gesetzt ist bestehen
so gew ählt werden daß wenn
i
s
2
,
,
1 0 000
a
'
s
"
3
o
.
s
Desgleichen kann d ann
"
gesetzt wird
i
s
"
’
,
2
1 0 00 0
lso a fort iori kleiner als
2
2
2
1 0 000
1 0 000
20 000 wird
lso
Da aber nach der 0 S teru e ck s ch e n T abelle jede
Zahl zwischen 1 0 00 0 und 20 000 in höchstens sechs Kuben z e rf ällb ar ist
so ist s
a
.
.
,
’
S
=i + i +
l2
2
s
n
in höchstens acht
S c h l i e ß l i ch e r g i b t s i ch a l s o d a ß j e d e p o s i t i v e g a n z e
Z a h l i n h ö ch s t e n s n e u n p o s i t i v e K u b i k z a h l e n z e r f ä llb a r i s t
A b e r n i c h t j e d e i s t e s i n a ch t K u b i k z ah l e n d a 23 u n d 239 d e r e n
n e u n b e d ü r fe n D e m n a ch i s t
.
,
.
,
.
9
1
( )
an Wlef erichs Ergebnis und mit Benutzung tran
des sogenannten P rim z ah ls at z e s ist es ferner
s z e n d e n t e r Hilfsmittel
zu zeigen
noch E L anda u gelungen ( Math Ann 6 6
S
daß f ü r jede Z ahl s oberh alb einer gewissen Schranke sogar acht Kubik
zahlen z u ihrer Z e rf ä llu n g in Kuben ausreichend sind wodurch die
an der v S te m eck s c h e n Tabelle beobachtete T tsache als durchgän gig
zutreffend erwiesen ist
1 6 In einer s p äteren A rbeit ( quelques e xtensions du th eor eme de
F e rma t sur les nombres p oly gones J des Math ( 5 ) 2 1 89 6 S 3 6 3)
hat E M aillet seine Methode von Kubikzahlen auf allgemeinere Au s
drücke dritten Grades d i auf gewisse Funktionen
a
ag a
(p (x)
a x
a l te
mit ganzen (allgemeiner rationalen) Koeffizienten erweitert und den
S a t z bewiesen d a ß e s a u c h fü r s o l c h e e i n e fe s t e n u r v o n d e n
K o e ffi z i e n t e n a d e s A u s d r u c k s a b h ä n g i g e H ö ch s t z ah l N
g i b t v o n d e r B e s c h affe nh e i t d a ß j e d e g an z e Z ah l s o b e rh a l b
Im
A nschluß
“
,
„
,
.
.
.
.
,
,
a
.
‚
.
.
,
,
.
.
.
.
.
i’
2
‘
3
o
,
,
,
,
,
.
g
Z e rf ä llun g e n i n
3 46
le i c h n am i
g
Po
e
t
e nz e n
.
e i n e r g e w i s s en G r e n z e a l s e i n e S u m me v o n h ö ch s t e n s
We r t e n d e s A u s d r u c k s
S
d arstellb ar
9
9
0 )
01
90
N
m
M ")
0 )
92
i s t Durch S p ezialisierung des A usdrucks (p (x) gelangt
d a ß j e d e g a n z e Z ah l o b e rh al b
m an so zu dem besonderen Satze :
1 9 27 2 i n e i n e S u m m e v o n h ö c h s t e n s z w ö l f P y r a m i d a lz a h le n
d i v o n Z ah l e n v o n d e r F o r m
.
.
.
(x
90
1
2 -3
3
— a;
6
-
ist
Diese Betrachtungen lassen sich w i e M aillet a a O ( s auch Inter
m ed iaire des Math 1 90 4 S 29 3 ) ferner auf Grund von Hilfssätzen
welche auch dem C au chys c h e n Beweise von F ermat s P o ly g o n alzah le n s at z e
zugrunde liegen gezeigt h at auch für ähnl iche gan ze Funktionen
z e rf
ä l lb
ar
.
,
,
.
.
.
.
.
.
,
,
,
5
aa
c
al a
“
3
a2 x
a3 x
2
+
a4 x
as
vom fünften Grade durchführen und ergeben f ür die Z e rf ällb ark e it
einer ganzen Zahl in Summen von Werten einer solchen Funktion
den ganz entsp rechenden Satz n ämlich den N achweis einer Höchst
z ahl N der d azu ausreichenden Summanden Insbesondere genügen
nach E M aille t stets 1 9 2 fünfte P otenzen um jede Zahl i n eine
Summe solcher P otenzen zu z e f alle n und man h at folglich
,
,
.
,
.
r
9
2
( )
N5
,
"
2
1 92
.
Indessen i st der wahre Wert dieser Z ahl vermutlich viel geringer und
nahezu 3 7
Einen weiteren Schritt in dieser Richtung nämlich die Unter
s u ch u n
der
gleichen
Frage
für
sechste
P
otenzen
verdankt
man
F
ec
l
k
g
A
nn
3
6
Math
S
Zwar
hatte
sich
schon
recue
i
l
de
L
a
i
s
t
au
(
(
ro b lem e s
m
h
m
i
de
a
t
a
t
u
e
S
1
5
4
darum
bemüht
do
c
h
e
0
2
N
r
7
p
q
)
ohne Ergebnis da er sich auf eine angebliche von L uc as aufgestellte
Identität stützte die leicht als falsch erkannt wird Statt ihrer leitete
F leck die folgende richtige Identität ab :
.
,
,
.
.
,
.
,
.
.
,
,
,
.
60
—
—
i
(
o
(
a
a
2
2
2
+ 5 +
— b
-
)
c
(3
‘
5
-
+ d
(
a
(
2 3
)
— b —
)
— b — d)6
—c — d 6
)
— c — d 6
)
+ b
a
+ b
+ (a
9
3
( )
—
2 (a + d ) + 2 ( a
6
2 (b
d ) + 2 (b
6
e
36 a + 3 6 b
6
-
6
d ) + 2 (b
6
a) + 2 (a
6
360 + 36d
6
c
)
6
2 (b
d ) + 2 (a
6
)
6
e)
o
d)
6
6
c
6
g
Z e rf ä llu n g e n i n
348
einem von
Au s
le i c h n am i
g
e
Po t e nz e n
.
für
J S c h ur
.
22 6 80 ( a
2
b
2
0
2
d
?
)
6
gegebenen Ausdrucke ( Math An n 6 6 S 1 05 ) als Summe von zehnten
P otenzen folgt wenn man M ai llet s Satz über die Z e rf ällu n g der Zahlen
in eine Summe von fü n ften P otenzen zu Hilfe nimmt in gleicher
Weise der Umstan d daß auch hier eine feste Höchstzahl zehnter P o
t e n ze n ausreicht um jede Zahl als Summe solcher P otenzen darzustellen
So w ar die einst von Wari ng ausgesp rochene Vermutung wenigsten s
bis zu den zehnten P otenzen einschließlich bestätigt N e u e r d i n g s
i s t e s H i lb e r t g e l u n g e n s i e al l g e m e i n z u b e w a h r h e i t e n ( N ac h r
d Gö t t Ges d W 6 2
doch verbietet sich die Wiedergabe seines
noch ziemlich kom p lizierten Beweises dieser Tatsache im Rahmen
unseres Werkes da er analy tischer Hilfsmittel höherer A rt bedarf
Übrigens hat M aille t sowohl wi e H urw i tz (a a O ) diesem Ergebnisse
noch die weitere Bemerkung hinzugefügt d a ß e s u n e n d l i c h v i e l
o
s
i
t
i
v
e
g
a
n
z
e
Z
a
h
l
e
n
g
i
b
t
d
i
e
n
i
ch
t
a
l
s
S
u
m
m
e
v
o
n
o
d
e
r
u
p
m
w e n i g e r a l s u P o t e n z e n u G r a d e s d a r s t e l l b a r s i n d m it anderen
Worten :
daß die A nz ahl A (s) der L ösungen der Gleichung
.
.
,
.
,
,
,
,
.
.
,
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
.
,
,
”
,
nicht negativen gan zen Zahlen x für unendlich viel Zahlen s
N ull sei
1 7 Wir kehren n un z u den quadratischen Formen in Nr 8 wi e de r
zurück von denen gezeigt worden daß sie jede p ositive ganze Zahl
darzustellen vermögen Hier drän gt sich von selbst d i e F ra g e a u f
w i e v ie l v e r s c h i e d e n e r D a r s t e l l u n g e n e i n e g e g e b e n e Z ah l
d u r c h j e d e d e r s e l b e n f ä h i g i s t Ihrer Natur nach der allgemeinen
Theorie der qu at e rnäre n quadratischen Formen angehörig in welcher
sie ihre s ystematische Beantwortung fin det kann diese Frage doch
auch für die besondere n Formen um die es sich han delt auf ein
fä chere Weise durch besonders geeignete Methoden erledigt werden
Wir zeigen es zunächst f ür die erste der Formen nämlich für die
Summe von vier Quadraten :
in
,
.
.
.
,
,
,
.
.
,
,
,
,
.
,
9
6
( )
x
2
2
+ y +
2
2
4
Mit Bezug auf diese Form hat zuerst J acobz den Satz gefunden
d a ß d i e A n z a h l d e r Z e r g li e d e r u n g e n d e s Vi e r fa ch e n e i n e r
u n g e r a d e n Z ah l u i n v i e r Q u a d r a t e p o s i t i v e r u n g e r a d e r
Z ah l e n x y
g l e i c h d e r S u m m e d e r T e i l e r v o n u in Zeichen :
'
,
,
9
7
( )
,
,
Ne
u
2
«2
2
+ 4
2
2
+ t
)
2
ist w o wir un s des L io uv ille s ch e n S ymbols { (u) für die gedachte
Summe der Teiler bedienen J aco bz entnahm ursprünglich diesen
Satz der folgenden analytischen Gleichheit :
1
,
'
.
‚
A n z ah l d e r Z e rf ä llu n g e n i n
4
vi e
=
2
)
r
Qu ad rat e
3 49
.
61 0 0
u
g
welche er durch Vergleichung der zwei Formeln ( 3 5 ) S 1 0 6 und ( 7 )
S 1 84 seiner fundamenta nova t h e o riae f u nc t io n u m e llip t ic aru m e r
halten gab aber dann sp äter (J für Math 1 2 S 1 6 7 ) auch eine rein
arithmetische Herleitung desselben Der letzteren hat D iri chle t (J des
Math (2) 1 S 21 0) eine sehr elegante Darstellung gewid met die in
ihrer eigentümlichen Grundlage zugleich den Keim für weitere sehr
fruchtb are Untersuchungen enth ält von denen wir Ken ntnis nehmen
müssen Es folge also zunächst hier der D i ri chlet s ch e Beweis
Bei jeder Darstellung von 4 u :
pos
.
,
un
e r.
.
.
.
,
.
.
,
.
,
.
.
,
.
,
,
.
.
98
( )
in u
geraden Zahlen ist sowohl u ?
ositiven
ungeraden
Zahl
:
p
9
9
( )
un d
u
n
u
demgemä ß
1
0
0
(
)
2u
?
2u
’
u
,
u
als
u
ä
ä
;
u
’
u
i
u
2u
das
Do
elte
einer
pp
ä
"
"
.
A lle
jene Darstellungen von 4 u entstehen also o ff enbar wenn man
2 u nach vorstehender Gleichung i n zwei p ositive ungerade Summanden
"
zerfällt un d das Dop p elte derselben auf alle Weise nach den
u
u
Formeln (9 9) als Summe zweier Quadrate notwendig ungerader p ositive r
Zahlen darstellt Au f solche Weise entsteht aber gewiß auch stets
eine Darstellung von 4 u von der gedachten Art Da nun nach Nr 2
"
die Anzahl der bezeichneten Darstellungen der Z ahl en u u resp
,
'
,
.
.
.
'
.
,
d
1)
’
-
1
d
2
9
M)
1)
-
"
1
-
2
beträ gt so ist die A nzahl der Darstellungen
welche einer b e
stimmten Z e rf ällun g ( 1 00) entsp rechen gleich
und demnach
die gesamte Anzahl A der Darstell ungen ( 98) gleich der über alle
Z e rf ällu n g e n ( 1 00) erstreckten Summe jener P rodukte d h
,
,
,
d
d
1)
1)
'
—1
d
"
2
.
.
—l
2
d
=
2
(
1)
2
wenn die letzte eigentlich dreifache Summation sich auf alle möglichen
Z e rf ä llu n g e n der Zahl 2 u von der Form
,
1
0
2
( )
2u
'
d ö
"
'
d ö
"
mit p ositiven ungeraden Zahlen d d d ö erstreckt
Unterscheiden wir diese Z e rf ällu n g e n in zwei Klassen :
in diejenigen
"
"
bei welchen d d und in die anderen bei denen d d vonein ander
verschieden sind Bei den ersteren ist der gemeinsame Wert d von
'
,
"
'
"
.
,
,
,
'
'
,
.
,
,
'
g
Z e rf ä llu n g e n i n
350
le i c h n am i
g
Po
e
t
e n ze n
.
ein beliebiger ungerader Teiler von 2u d i irgendein Teiler
von u ; setzt m an demgem ä ß u d 6 so nimmt die Gleichung ( 1 00 )
die Gestalt
6
Ö
2d
an und lehrt daß es entsp rechend dem Teiler d gen au d solcher
Z e rf ä llu n g e n ents p rechend den sämtlichen Teilern von u also
d
'
d
,
"
,
.
.
,
"
’
,
,
2
C1 6“)
9
d
'
—d
"
solcher Z e rf ällun ge n gi b t Da aber für jede von ihnen
1)
1
ist liefern die Z e rf ällu ng e n der ersten Klasse für A den Gesamtbeitrag
2
.
,
91
Die Z e rf ä llu n g e n der zweiten Klasse lassen sich p aarweise zusammen
fassen da es mit jeder Z e rf ä llun g ( 1 02) zugleich stets auch di e Zer
f ä llung
,
"
d ö
2M
"
’
d Ö
'
gibt welche von jener verschieden ist sobald
ihnen entsp rechen die gleichen Beiträge
d
,
,
d
"
'
1)
d
”
1)
2
2
d
d
'
,
d
"
verschieden sind ;
'
2
Summe A ; man darf sich d aher au f diejenigen Z e rf ällu n ge n der
"
zweiten Klasse beschränken bei welchen d d ist wenn man nur
"
deren Beiträge verdopp elt Sei also d > d in
Unter dieser
Voraussetzung können die Z e rf ällu n g e n aber noch wieder z u je zweien
verbunden werden und in der Weise w i e dies geschieht besteht d as
P rinzi p der D irichle ts ch e n Methode Schreibt man die Gleichung ( 1 0 2)
in der Form :
zu r
'
,
,
’
.
,
,
,
.
d
(
2%
1
0
3
)
(
so ist wenn
'
d
”
ö
)
'
6
(
'
,
4
1
0
)
(
d1 = 6
'
6
d, = d
"
— 6 d'
(
gesetzt wird
,
1
5
)
(
un 1
0
d
(
’
'
"
d
) ,
92) d 1
9
( 1
Man
d
d2 = ö
a
'
6 6
’
"
a
d
d2 : 6
d,
2u
6
1
"
’
d
"
6
(
,
’
d
( a
d,
d,
d
'
d
”
)
"
m
a
,
d1 ) ö2
dl ö l
d 2 92
°
gelangt also durch die Substitution ( 1 04) von der
in welcher d > d zu einer z w eiten Z e rf ällu n g
'
d
"
Z e rf ällung
"
,
2u
d , d , + dg ö g ,
in welcher wegen ( 1 05 ) auch d > d und wegen ( 1 04) alle Elemente
d
6
d 2 ö ungerade ganze Zahlen sind wenn 6 als ganze Zahl
l
l,
„
,
,
,
,
g
Z e rf ä llu n g e n i n
352
1 8 Au s
.
le ich n am i
g
Po t e nz
e
e
n
.
jeder Darstellung
(
u
s
o
p
,
.
un
,
g r)
e
.
entstehen 1 6 Darstellungen wenn man die Vorzeichen der Größen u
auf alle mögli che Weise wählt D emnach geht die Form el hervor :
;
,
:g
.
9
7
a
)
(
N (4 u
u
f
u
u
w ir
i)
1
r
(
)
allgemeiner die Anzahl
u
Suchen
};
u
o
16 C
N (4 u
un
,
2
510
e
.
2
+ y +
2
2
+ t
2
)
beliebiger Beschaffenheit der ganzzahligen Elemente a7
Hierzu bemerken wir zuvörderst d aß aus j e d e r Darstellung
bei
,
y,
z,
t
.
,
1
0
6
(
)
u
der un geraden Z ahl
u,
3+
«
2
1
2
6
2
2
C
2
in welcher notwendig
eine ungerade Zahl sein muß z w e i v e r s c h i e d e n e Darstellu ng en der
Zahl 4 a in ungeraden Zahlen u :
,
1
0
7
)
(
4%
ents tehen indem einmal
u?
i
u
;
11
3+
u
i
,
1
8
0
)
(
ein z w eites Mal
1
0
9
(
)
gesetzt wird ; umgekehrt gewinnt man aus j e d e r Darstellung ( 1 0 7 )
in ungeraden
für welche notwendig
ul
+
ug
+
u3
+
u4
eine gerade Zahl ist mittels der Gleichun gen
falls diese Zahl
durch 4 a u fgeht entgegengesetztenfalls mittels der Gleichungen ( 1 09)
e i n e Z e rf ä llu n g ( 1 0 6) der Zahl u deren Elemente
,
,
,
77
res p
.
g
ul
-
u4
vi r
Anz ah l d e r Z e rf ä llun g e n i n
e
Qu ad rate
.
353
u
sind Da hiernach die D arstell ungen ( 1 0 6) der Zahl und die Dar
stellungen ( 1 0 7 ) der Z ahl 4 u einander ein zweideutig zugeordnet sind
so ergibt sich
u
ui)
2
N
u
N (4 u = u f
ug
3 + 7 + 8+
(
g
.
2
-
u
7
i
.
u n g e rad e n
.
1
1
0
)
(
2
2+
N (u
7
2
u ng e r
d h d i e A n z a h l d e r Z e r g li e d e r u n g e n e i n e r
i n v i e r Q u a d r a t z ah l e n b e t r ä g t
.
,
6
+
+
€
7
)
2
2
2
Zahl u
8
Weil jedoch aus jeder Darstellun g ( 1 06) eine D arstellung
der Zahl 4 u in geraden Zahlen h e rvorgeht und umgekehrt darf man
auch schrei b en :
,
1
1
1
)
(
(
gr
e ad e
g,
)
und weil in jeder Darstellung
1
1
2
(
)
ntweder alle Elemente x y z t ungerade oder alle gerade sein
müssen damit die rechte Seite E O ( mod 4) werde findet sich schließ
lich aus den Formeln ( 9 7 a) und ( 1 1 1 ) zusammen der Satz :
D i e A n z ah l a l l e r Z e r g li e d e r u n g e n d e s Vi e r fa ch e n e i n e r
u n g e r a d e n Z a h l i n v i e r Q u a d r a t z ah l e n b e t r ä g t
e
,
,
,
,
,
.
u
1
1
3
)
(
N (4 u
.
x
2
2
y
Eb ens o groß ist di e
di e Z ahl
1
1
4
(
)
N ( 2u
2
513
z
2
t
Anz ahl
2
+ 31 +
z
2
)
2
24 C1
aller
+ t
Z e r g li e d e r u n g e n
fü r
2
)
In der Tat folgt aus jeder Darstellung ( 1 1 2) die Gleichung
2
—
a
ß
20 +
(
0
3
0
2
-
d i eine Darstellung
.
.
x +
y
z
513
—31
2
'
z
‚
+t
2
(
z
—t
T
)
2
der Zahl 2 M da w ie schon bemerkt die Zahlen x y z t entweder
s ä mtlich gerade oder sämtli ch ungerade mithin die Elemente der
Darstellung ganze Zahlen sind ; umgekehrt aber findet sich aus jeder
Darstell ung
,
,
,
,
,
,
,
2u
eine Dars tellung
Bcm
wenn
a
h
an n
,
ni e
d
e re
Z
= €2 + n2 + { 2 + 9 2
ah le n t h e o ri e .
II
.
23
g
Z e rf ä llu ng e n i n
354
le i c h n ami
—
=
7
g
y
72
ge
Po
t
e nze n
.
= g + 62 t = g
z
gesetzt wi rd
Man bemerke endlich daß eine Gleichung
.
,
1
1
5
)
(
falls h 2 die lin ke Seite also E O ( mod 8) ist nur bestehen k ann
wenn sämtliche Elemente x y z t gerade sind Setzt man dann
also
x
y 2y z
t = 2t
so folgt aus ( 1 1 5) die Gleichung
,
.
,
,
,
,
,
.
'
'
,
—
2
2
h
=x
u
‚
l2
,
+ y
12
+
5
12
+ t
l2
,
auf welche die gleiche Bemerkung Anwendung findet falls h 2 noch
Man w i rd daher durch Fortsetzun g dieser Betrac htung von
2 ist
der Gleichung
je nachdem h gerade 2k 2 oder ungerade
1 ist zu einer Gleichung
2k
,
.
,
4u
= X2 + 17 2 + Z 2 + T 2
oder
geführt ; da umgekehrt je nach den beiden genannten Fällen aus der
ersten oder zweiten dieser Gleichungen indem
,
x
= 2"X, y = 2k Y ,
z
= 2"Z ,
t
= 2’ T
°
gesetzt w ird die Gleichung ( 1 1 5) erschlossen wird ist ers ichtlich die
An zahl der L ösungen der letzteren gleich derjenigen der ents p rechenden
von jenen Man gelangt de mn ach zu dem allgemeinen Ergebnisse :
D i e A n z a h l d e r Z e r g li e d e r u n g e n j e d e r g e rad e n Z a h l i n
vi er Q uadrate b eträgt
,
,
.
6
1
1
)
(
h
(
0)
>
D i e A n z ah l d e r Z e r g li e d e r u n g e n i n v i e r Q u a d r a t e i s t
w i e h i e r a u s fo l g t fü r d i e Z a h l 2M d r e i m a l s o g r o ß w i e f ü r
d i e Z ah l u Für diese Tatsache hat S tern (J für Math 1 05 S 25 0)
einen ganz elementaren Beweis geliefert den wir hier a nfügen weil
wir sein e Methode uns zum Beweise eines von Li o uville ausgesp rochenen
b emerkenswerten Satzes nutzbar machen wollen
Wir wollen eine Z e rf ällu n g
19
,
.
,
.
.
.
,
,
.
,
.
1
1
7
(
)
u
=
a‚
’
-
2
b +
"
c
-
d
2
e i n e G r u n d fo r m fü r u nennen wenn die Elemente der Z e rf ä llun g
nicht negative der Größe nach fallende Zahlen s ind so daß
,
,
,
1
1
8
(
)
ist
.
1
1
9
(
)
a
J ede Z e rf ällun g
ä
b
ä
c
ä
d
ä
o
g
Z e rf ä llun g e n i n
3 56
le i ch n am i
g
Po
e
t
e nze n
.
etwa die zweite aus der ersten durch Vertauschung derselben entstünde
so d aß die Elemente der zweiten denen der ersten in ge wi sser
Da aber a c weder mit a b
O rdn ung genommen gleich w ä ren
noch mit a b gleich ist müßte etwa a c = c I d dann aber
b noch mit a
b gleich ist mit c
d
a
c welches weder mit a
gleich se in w as nicht der Fall i st Der ein en Grundform ( 1 1 7 ) sind
also drei wesentlich verschiedene Formen ( 1 23) zugeordnet Au s jener
entstehen durch Vertauschung der O rdnung und der Vorzeichen der
o
o
o
o
aus den
1
2
3
4
1 6 24 Z e rf ällu n g e n von u
Elemente 1 6
Z e rf ä llu n g e n von 2a
Formen ( 1 23 ) ebenso
Somit wird
auch für den gesamten T yp us von Grundformen
den w ir b e
trachten die Anzahl der ihnen zugehörigen Z e rf ällun ge n von nur
ein Drittel der A nzahl der aus ihnen ents p ringenden Z e rf ällun g e n
von 2 a sein
2) Sei a
O Dann gehen di e Z e rf ällun g e n ( 1 23)
d
b
c
ü b er in die folgenden :
,
.
,
i
,
,
,
.
,
.
-
,
.
u
,
.
.
2a
0 +
2
a
( ) +
2a
(
a
(
(
)
2
d) + ( a
c
a
2a
2
+
d) +
(
2
2
(
2
c
)
+
0
c
6
d) +
(
2
00 +
a
(
c
a
2
2
(
a
(
2
a
0
2
d)
a
+
e
2
r
,
deren dri tte durch Vertauschung der Elemente aus der zweiten ent
steht also sind nur zwei von ihn en wesentlich v o neinander v erschieden
Die G rundform
,
.
ergibt jetzt
Z e rf ä llun g e n von u die erste der Formeln
zusammen also
gibt 8 24 die zweite
3 1 6 1 2 Zer
f ä llungen von 2a
Also wird auch hier wieder die gesamte An z ahl
der dem Typ us entsp rechenden Z rf ällu n ge n von u nur ein Dri ttel
derjenigen von 2a sein
d
Dann liefern die Gleichungen ( 1 23)
3 ) Sei a
b
c
0
nur zwei wesentlich verschiedene Z e rf ällun ge n von 2u :
,
-
°
,
.
e
.
.
2a
2a
während
(
a
(
a
b) +
2
c
u
ist
.
Hieraus entstehen
)
2
+
(
a
(
0 +
a
c
)
2
=a + b +
2
2
c
( )
2
2
+
6
2
2
b
(
b
(
+
o
1 6 1 2 Z e rf ä llu n g e n
0
)
c
2
,
2
von
u,
aber
4
24 = 3 1 6 1 2
2
o
von
u
von 2a und wieder ist auch für den jetzigen Typ us
gesamte Anzahl der Z e rf ällu n ge n v o n nur ein Drittel derj enigen
Z e rf ällu n g e n
di e
o
2a
,
.
Zu gleichem Ergebnisse führt die
Annahme
a
b
c
d
0
o
t
Me h o d e
St ern
v on
35 7
.
Sei a b c d O Dann stellen die Gleichungen ( 1 23 )
wesentlich nur eine einzige Z e rf ällun g von 2% dar :
4)
1
3
2
(
.
m
5I
O
2a
)
während
2
2
4
( 0+
(
2
+
2
u
a
a
d
a
+
a
2
)
2
(
+ d
a
2
ist Hieraus entstehen 1 6 4 Z e rf ällu n g e n von u und 8 24 3 1 6 4
also gibt auch der neue T yp us nur ein Drittel
Z e rf ällu n ge n von
soviel Z e rf ällu n ge n für W ie für 2a
Zu gleichem Ergebnisse führt die A nnahme a b c d O
b
5 ) Sei nun a
d
Die Gleichungen ( 1 23) gehen über
c
in diese :
-
-
.
u
.
.
2u =
1
2
3
(
)
4
2a
2u
=
(
a
(
2
b) +
a
c
f
+
2
a
)
w ährend
2
a
a
2
2
+
+
b) +
(
a
(
b
(
2
a
‘
)
2
c
2
+ b +
0
2
0
+
2
c
3
b + b
2
2
2
+ O
ist Dies gibt
Z e rf ällun g e n für u 3 1 6 1 2 ==3 8 24 Z e r
f all
gen für 2 a also das gleiche Verhältn is wie in den früheren
Typ en
6) Sei a
O Dann erh ält man aus ( 1 23 )
b
c
d
-
.
-
o
o
,
,
.
.
1
2
3
(
)
2
a
( ) +
2
2
2a
0 +
2M
(
5
während
)
2
c
a
+
(
c
2
+
c
)
2
c
a
2
+
a
2
+
a
2
,
ist also 8 o 1 2 Z e rfä llun g e n für u und 8 o 1 2 1 6 1 2
f ällungen für 2 %
7 ) Sei a
O Dann folgt aus ( 1 23 )
b
c
d
,
,
o
3 8 12
Zer
12
Zer
.
2n =
1
2
3
(
)
6
2u =
während
ist also
f ällungen für
8) Sei a
,
1
23
(
a
3
+
u
a
a
2
2
2
b + b
2
2
,
2
2
+ b + 0 + 0
für
Z e rf ällun g e n
u,
und
4 12
o
2M
.
b
c
2%
7
(
a
)
2a
Dann gehen aus ( 1 23) die Z e rf ällun ge n
O
d
.
(
2
b) +
a
a
2
hervor w ährend
,
u
+
:
a
a
2
2
(
b) + b + b
2
a
2
b
( )
2
+ 0 +
2
,
.
2
2
\A
2
+ b + b + O
2
ist Dies gibt 8 o 1 2 Z e rf ällun ge n für u und
Z e rf ä llun ge n für 224
.
2
16
.
12
8 12
3 o 8 o 12
358
Sei
9)
1
3
2
(
a
b
)
8 4 Z e rf ällun g e n
1 0) Ist endlich a
1
3
2
(
o
a
u,
b
2
a
( )
2
+
2
00
a
2
2
+
e
a
a
2
Po
2
te e
+
+ 0
8 o 12
nz n
.
a
2
2
,
für
3 8 4 Z e rf ällun g e n
o
O so kommt
d
2
2a
a
und
c
u
g
Dann erhält man aus ( 1 23)
.
O
u
für
)
l i c hn am i
2
2a
8
9
O
d
c
zugleich mit
also
ge
Z e rf ällu n g e n i n
2a
.
,
3
2
2
2
2
2
+ 0 + 0 + O
+
a
+ 0 + O
und o 4 6
Z e rf ällun g e n für 2 a
Da hiern ach bei jedem der möglichen Typ en für die An zahl der
ihnen zugehörigen Z e rf ällun ge n von u und von 2 a das Verhält ni s
nachgewiesen worden ist so gilt dies Verh ältnis auch f ür die
gesamte Anzahl ihrer Z e rf ällu n ge n und der anfangs ausgesprochene
Satz ist aufs neue bew iesen
h
=
Se i nun s 2 “ eine gerade u e ine ungerade Zahl so ist
20
wie gezeigt worden
24 o g,
A
die Anzahl aller Z e rgli e de ru n ge n von s in v i er Quadrate Seien
also
Z e rf ällu n g e n f ür
-
u,
.
’
,
,
.
.
.
,
,
,
.
4
1
2
(
)
diese s ämtli chen Z e rglie d e run ge n so erh ält man durch
A Gleichungen die Formel
,
2
1
5
( )
A
o
Add
iti on aller
A
x
( ?
s
y?
?
z
Wenn man beachtet d aß jede der Ve rt ik alre ih e n zur Rechten der
Gleich ungen ( 1 24) insgesamt dieselben Zahlen enthalten muß da mit
jeder Z e rf ällun g von s zugleich auch alle diejenigen auft reten die
durch Vertauschun gen ihrer Elemente daraus hervorgehen und daß
somit
,
,
,
,
2
5
0 a
ist so l äßt sich die Gleichung ( 1 25 ) auch schreiben
,
z
1
2
6
(
)
a)
?
1
oA
S
wie
folgt :
.
D i e s e r e i n l e u c h t e n d e n B e m e r k u n g h a t n u n L i o u v i lle (J
des Math (2) 3 S 3 5 8) d i e n i c h t e b e n s o u n m i t t e lb a r e r s i e h t
l i ch e A u s s a g e h i n z u g e fü g t d a ß d i e S u m m e d e r B i q u a d r a t e :
.
.
,
.
,
g
Z e rf ällu ng e n i n
3 60
le i c h n am i
ge
Po t e n ze n
Beim z w e i t e n Typ us liefert die erste der
mal die Sum m e
4
(
1 6a +
der Biquadrate
,
(
zweite
die
(
a
(
d) +
4
c
d)
c
.
Z e rf ällu n g e n
4
mal die Summe
1 6 - 24
(
a
(
a
a
zusammen geben sie also als Summe der Biquadrate den
8 24 [ 24 a
4
4
60 + ö d
4
24 a
2 2
0
6
oder da
,
u
ist
2a
2
0
2
2
Ausdruck
+ 24 a a + 1 2 0 m]
+ d
+ d
2
2
z
2 2
)
2
,
2
6 8 24 u = 3
2
0
Ist aber w i eder
so ist
(55
die
An zahl
A
die
A nzahl
der
.
der Grundformen
'
dieses T yp us
3 1 6 42 65
dieses Typ us für
Z e rgli e d e ru n g e n
un d
(si e
die Summe ihrer Biquadrate diese letzte re also gleich
,
A
;
8
'
.
Be i m d r i t t e n Typ us entsp ringt ebenso au s den jeder Grun dform
2
2
2
u a + b + 0 + 0
desselben zugehöri gen Ze rgli e d e run ge n
die Summe der B i
quadrate :
2
8 24
.
+
—
1 6 24 ( a
(
(
(
a
c
8 z4 [ e a 4; 6 b
4
b) +
)
(
4
)
a
b)
a
c
4
24 8 + 1 2 a b
2
2
c
( )
4
b
(
2
24 a
6 8 24 (a + b +
-
2
24 u =
2
-
Man hat ferner
3 -1 6 1 2 65,
0
also als Summe aller Biquadrate
8
Beim v i e r t e n Typ us ist
’
)
4
b
(
+
2
4
o
oder
(
4
8
’
—
2
2 2
c
+ 24 m
2
]
St
Ein
L i om nlle
’
a z von
u
A
3a
2
d
,
’
3 16
.
3 61
.
2
o
und die Summe aller Biquadrate für die jeder Grundform
entsp ringenden Z e rglie d e ru n ge n v o n 2 a gleich
8 24 [ 1 8 a + 1 2 a d + 2 d
4
o
d
2
2 2
)
2
4
]
= 3 -1 6 -2u 2 =
die gesamte Summe der Biquadrate also gleich
A
2
8
'
2
Desgleichen ist beim fün ft e n Typ us
u a
b
2
2
0
2
4
= 3 8 24 8
und die Summe aller Biquadrate für die jeder Grundform ( 1 30 )
entsp ringenden Z e rgli e d e ru n ge n von 2M gleich
4
1 2 [ (a
b) +
4
(
b) +
(
4
a
c
a
4
)
4
(
+
a
c
)
4
1 6 1 2[ 6 a + 6 b + 6 0 +
-
4
b
(
+ (b
4
+ 1 2a
=
b +
2 2
0
)
c
4
4
4
+ 2 a + 2b +
+ 1 2b
2 2
0
]
die gesamte Summe der Biquad rate also gleich
u
A
8
2
?
Geht man in gleicher Weise auch noch die üb r i g e n Typ en durch
so findet man stets dasselbe Gesetz bestätigt und erkennt daher auch
die Richtigkeit des von Li ou mlle ausges p rochenen Satzes für den Fall
,
'
s
= 2w
Wir ziehen hieraus z ün ä c h s t eine Folgerun g Der Gleichung ( 1 25)
entsp rechend besteht o ff enbar auch die folgende :
.
A
er
y?
i
Gilt also der
„
u
m;
=1
L io u vi lle s c h e
Satz so ergibt sich
,
A
3
2
x 2
i
.
:
e t?
2
3
9 ?
ya?
e t? )
=1
da man aus gleicher Erw ä gung wie die Gleichungen ( 1 25 a) die
Gleichheit der Summen
un d
,
=
2
3?
'
x 2
o =2
2
3t ?
g
le i c h n am i
Z e rf ä llu n g e n in
3 62
ge
P o t e nz e n
.
erschließt einfacher
,
A
E
=
3
1
1
)
(
und einer
4u
,4
steht hiernach diese Formel fest
Dann bestehen zwischen je e iner
2M
s
wi g?
o
1
t
Für den Fall
Nun sei s
A
-s ’
.
.
4u
=
2u
= €2 + ui + 62 + 02,
Z e rf ällu n g
x
2
2
+ y +
2
2
+ t
Z e rf ällu n g
2
wie schon bemerkt d i e Beziehungen
,
_
_
g
x
+y
77
2
oder umgekehrt
= ä+
x
—y
2
-
z
0
'
"
=
ä
y
m
+
_
_
C
t
z
—t
2
—
=
t
C 6
n‚
.
Zudem ist die Anzahl A der möglichen Z e rglie d e ru n ge n in vier
Quadrate dieselbe für 4 a wie f ür 2M Folglich ist
.
4
00
4
+ y +
2
und die über alle
Summe
Z
w
(
4
4
l 31 +
-
4
=
t
26 +
+
4
4
4
72
Z e rgli e d e ru n g e n
2
4
‚
+ € +
von
)
4
‚7
rechts über alle Z e rglie d e run ge n von
schon Bewiesenen zufolge ist als o
wo
6
2
4
“
+ y +
2
4
4
+ t
)
24
2
2
2
)
in vier Quadrate erstreckte
4a
4
+ t
1 2( € n + € 9
3
4
+ { + 6)
2
4
4
,
2a
zu summ i eren i st Dem
4
22
.
2
2
und demnach der L io wvilles ch e Satz sowie seine Folgerun g ( 1 3 1 ) auch
gültig für den Fall s 4 a
"
Endlich b eachte man daß wenn s 2 u ist die L ösungen der
Gleichung
'
.
-
,
1
2
3
)
(
,
,
2 m
k
s
x
2
2
y
2
2
‚
+ t
Ende von Nr 1 8 bemerkt je nachde m h
ist aus den L ösungen der Gleichu ng
w ie
.
,
3
,
2k
2
oder
2k
1
,
1
3
3
(
)
resp
.
7 2
2
2
=
X + 1 + z ur
2u
( 1 3 4)
hervorgehen indem
,
x
= 2k X,
o
Y,
-
z
= 2k Z ,
o
gesetzt w i rd Daher wird die über alle
ausgedehnte Summe
.
2
:
:
a
y
(
2
4
Z e rglie d e run g e n
t
1
2
3
( )
von
s
)
4
gleich der mit 2 multip lizierten üb er alle Z e rgli e de ru n g e n ( 1 3 3 )
von 4 a resp ( 1 34) von 2a erstreckten Summe
4"
,
.
g
Z e rf ä llu n g e n i n
36 4
le ich n am i
g
Po
e
te e
nz n
.
‚
und umgekehrt ; der gedachten Darstellungen gibt es also w enn
mit Rücksicht auf das
2 ) oder
s
2 > O ist ( na ch Nr 2)
Do p p elte für z falls es von Null verschieden ist mögliche V orzeichen
Demn ach ist ersichtlich die gesamte A nzahl der Dar
e )
stellungen einer Zahl s die keine Quadratzahl ist als Summe dreier
Quadratzahlen gleich
,
2
2
,
.
,
,
s
.
,
,
4 [ e (8)
1
6
3
(
)
2 9 (S
1)
9)
4)
die nach den Quadratzahlen fortschreitende Klammer so w eit fortgesetzt
2
als die Di ff erenz s 2 noch p osit i v bleibt
I s t s E 3 (m o d
so ist auch 3
3 und folglich w ie aus
2
O für jeden geraden Wert
Nr 2 leicht zu erschließen ist
2 )
von z ; der A usdruck ( 1 3 6) für die An z ahl all er Darstellungen einer
solchen Z ahl s als Summe dreie r Quadratzahlen red u ziert sich also auf
,
.
,
.
.
,
1
3
7
(
)
1)
8 [ o (s
9)
o
25 )
o
]
.
I s t d a ge g e n d i e n i c h t q u a d r a t i s ch e Z a h l 3 5
so müssen in der Darstellung ( 1 3 5) zwei der Zahl en x
die dritte ungerade etwa
,
m
o
d
(
z
ge
ade
r
y
1
.
,
,
,
3
9
2
.
gi
“
:
2
gerade
u
ungerade
sein
Beschränkt
man
e
i
ns
der
geraden
g g1
Elemente etwa 9 auf die erste Stelle und nimmt seine Basis g
p ositiv so ist die A nzahl solcher Darste llungen d h der Dar stellungen
2
von s 9 als Summe zweier Quadratzahl en sechsfach zu nehmen
also gleich
und daher l ä ßt sich der Ausdruck ( 1 3 6) in
diesem zweiten Falle ersetzen durch
,
,
.
2
,
,
.
,
.
,
1
3
8
)
(
2 9 (s
4)
1 6)
e 9 (s
2 g (s
ist , w i e s p äter ( im folgenden Kap itel
wird da s als keine Quadratzahl gedacht wird
.
1
,
gezeigt werden
Nu n
,
3 6)
,
2 g (3
4)
2 g (s
2 o (s
1 6)
3 6)
O
.
Wird d i eser der Null gleiche Ausdruck sechsfach zu ( 1 3 8) addiert
oder davon subtrahiert so nimmt ( 1 3 8) eine der beiden Formen resp an :
,
.
29 6
4)
1 6)
9
(
8
3 6)
und da jeder dieser Ausdrücke mit dem ursp rünglichen A usdrucke
1
3
6
:
gleich
sein
muß
erhält
man
die
nach
tehe
de
dreifache
Gleichheit
s
n
(
)
,
,
4) + 2 9 (S
4) + 2 9 (S
Üb er
Z e rf ä llu n g e n i n d
r
ei
ode
r
Qu ad rat e
f ünf
3 65
.
dieselbe Weise finden sich mit Beachtung des J acobi s ch e n
Satzes über die Anzahl der Darstellungen einer Zahl s als Summe
von vier Quadraten ähnliche Sätze über die A nzahl der Darstellungen
einer ungeraden Zahl 8 durch fün f Quadrate Für eine solche muß
in der Formel
A uf
.
mindestens eins der Quadrate z B u ungerade sein Beschränkt
man dies auf die letzte Stelle und nimmt sein e Basis p ositiv so h at
man die An zahl solcher Darstellungen zehnfach zu nehmen Wir
sehen ab von dem Falle s E 1 ( mod
dann kann s kein e Quadrat
"
—
zahl sein I s t d a n n z u e r s t 8 5 5 ( m o d
wird s u das
so
der un geraden Zahl
und v e rst att e t nach ( 1 1 3 ) eine
Anz ahl 24 o g;
von
Darstellungen
als
Summe
von
vier
Quadraten
(l )
Die gesamte Anzahl der Darstellungen von s als Summe von fünf
Quadraten beträgt daher
,
.
,
.
.
,
.
.
.
.
8
u
g
.
1 0 24
'
[ (
a
]
8
w
.
I s t z w e i t e n s s : o d e r 8 2 7 (m o d
so ist 8 n das
Dop p elte der ungeraden Zahl
und v e rs t at t e t nach ( 1 1 4) eine An
zahl 24 7 5 6 2
von Darstellungen als Summe von 4 also s die
Anzahl
—
.
1
2
,
von Darstellun gen als Summe von 5 Quadraten S p äteren S ätzen
zufolge (s n ä chstes Kap itel ( 90 a) und ( 9 0 b ) ) lassen sich diese Au s
drücke durch die folgenden ersetzen :
.
.
30
resp
2
m
s
4)
1 6)
4)
1 6)
o
]
.
60
161 6)
‘
l
‘
Ach t
e s
Ka p i t
Un t e r s u c h u n g e n
1 Der
A nzahl
e
l
.
L i o u v ü le
vo n
.
Beweis welchen D irichle t für den J acobis ch e n Satz über
die
der Z e rglie d e ru n ge n einer Zahl 4 a in e ine Summe von
vier Quadraten gegeben ist für Dio umlle der A usgangsp unkt zu weit
gehenden Untersuchungen geworden (s J des Math ( 2) 7 S
Dieser ausgezeichnete zahlentheoretische Forscher hat eine Reihe von
achtzehn Artikeln unter dem gemeinsamen Titel :sur quelques for
.
,
'
,
.
.
.
.
,
.
‘
.
U te r
366
su c h u n
n
g
L i ouv i lle
e n v on
.
mules gen erales qui p euvent etre utiles dans la th eo rie des nombres
J
2
1
1
2
des
Math
t
t
3
s
4
3
1
9
2
0
4
1
7
3
32
2
5
4
1
3
s
7
3
(
( )
;
1 1 1 1 9 5 28 1 ; t 5 s 1 ; t 9 S 249 28 1 321 3 89 ; t 1 0 s 1 3 5
1 69 ) verö ff entlicht die eine schier unerschö p fli che Fundgrube für
zahlentheoretische S ätze darbieten Die merkwürdigen algebra ischen
Formeln h ängen aufs inn igste w ie zuerst H ermite in ein em an
L iouv i lle gerichteten Briefe ( ebendas
t 7 S 25 ) entwickelt h at
ebenso w i e ihr Au sgan gsp unkt die Z e rf ällu n g einer Zahl in vier
Quadratzahlen mit der Theorie der ellip tischen Funk tionen zusammen
insbesondere mit demjenigen hochgelegenen Gebiete derselben welches
man als die komp le xe Multip likation der elli p tischen Funktionen b e
zeichnet und sie sind hier enge mit den berühmten S ä tzen verknüp ft
welche man Kronecker verd ankt und welche Beziehungen zwischen
den Klas s e n an z ahle n binärer quadratischer Formen von verschiedenen
Determinanten aussagen Doch scheint ihre eigentliche Que lle welche
In ou mlle leider verhü llt hat eine andere ursp rünglichere zu sein ;
über das Verh ältnis seiner Formeln zur Theorie der ellip tischen Funk
t i o n e n äußert sich I n on v ille selbst in folgender Weise :
E n e fi e t mes
formules se rattachent aussi ä la th eori e des fonctions elli p tiques
seulement elles contiennent plu t öt cette th eorie qu elles n en d ep endent
a
a
a
t
S
Elles
donnent
naissance
des
quations
O
7
e
(
entre des s eries qui contiennent comme c as p articuli er celles de la
th eorie des fonctions ellip tiques ( article
se
C ette th eorie
trouve donc ici re m plac ee p our moi p ar des formules app artenant ä
l alg eb re 1a p lus elem e n t aire obtenues au mo y en de certaines id e n t ites
des p lus sim p les
t 7 S
Die Beweise für seine Formeln
welche L ion mlle versp richt und die er wenigstens zum Teil in seinem
cours an coll ege de Fran ce gegeben h at ( s ( 2) t 4 S 2 Anmerkung)
sind nicht mehr von ihm verö ffentlicht worden Man muß es daher
den Herren P ep in und E M eissner Dank wissen ihrerseits Beweise
d afür geliefert zu haben der erstere ( im J des Math
t 4 S 83 )
für die einfacheren in den ersten fünf und den beiden letzten A rtikeln
enthaltenen Formeln der z w eite in seiner Inauguraldissertation
Zürich
0
für
den
größten
Teil
der
ü
b
rigen
kom
lizierteren
1
7
9
p
)
(
Formeln Eine zusammenh ängende sy stematische Herleitung und Ver
bindun g dieser Form eln welche ihren Quell und die P rinzi p ien k lar
legte nach denen die in den Formeln auftretenden Z e rf ällu n g e n sowie
die Argumente der Funktionen auf welche sie sich beziehen zu
wählen sind würde sehr w ertvoll sein Hier ist uns nur eine kleine
A uslese aus diesen Formeln v e rs t at t e t um Musterbeis p iele zu liefern
aus denen wir dann als Beweis ihrer Fruchtbarkeit eine größere
Reihe von bemerkenswerten zahlentheoretischen Sä t zen herleiten wollen
2 In den Formeln welche w ir aufzustellen haben treten Funk
t i o n e n von einer oder mehreren Ver änderlichen auf Diese Funktionen
.
.
.
,
,
.
,
.
,
.
.
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
.
,
.
.
,
.
,
,
,
,
.
,
.
.
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
'
,
'
,
,
'
,
’
’
.
.
.
.
,
.
’
,
,
.
,
.
'
,
,
.
.
.
,
.
,
.
,
.
.
.
,
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
.
.
,
,
.
U te r
3 68
su c h u n
n
g
L i ou vi lle
e n v on
.
Bei den übrigen Z e rf ällun ge n von 8 sind d d voneinander ver
schieden jeder Z e rf ällu n g (2) steht also eine davon verschiedene
"
'
,
,
fl
d ö
8
"
l
dö
'
zur Seite ; die ihnen beiden zugehörigen Funktionswerte
u
_
d ,
f (d
1
11
1
_
6
5
d
d
+
f(
,
)
n
n
1
r
6 + a ),
sind wegen ( 1 ) einander gleich ; daher läßt sich der übrige Teil der
Summe S schreiben wie folgt :
,
S.
7
( )
wobei nun
d
'
d
"
2
'
6
,
gedacht wird Schreibt man nun ganz wie a a
.
d
(
8
und setzt
9
( )
W
2
d
"
6
(
'
!
1 ) (ö
d,
6
ö.
—
r
e
6(d
d
,
n
ö
)
r
’
1
6
ö
+
(
6
d2
rr
d
)
o
.
n
'
ö
6
(
'
.
1 ) <d
'
"
)
d
"
)
d
"
,
so ergibt sich sogleich
1
0
( )
d l + dg =
dl
und die neue
1
1
( )
—
d
d
'
"
,
d1 > d 2 ,
Z e rf ällu n g
032 62
d l d,
8
in ganzen Zah len d 6 d2 6 wenn 6 als ganze Zahl gedacht wird
Solle n diese Zahlen aber auch p ositiv sein so müssen die Ungleichheiten
l,
„
2,
,
.
,
N
d i d
6
l
ll
’
6
d
1
d
r
"
_d
n
erfüllt sein Durch s i e bestimmt sich ein einziger zu t re fi e n de r ganzer
d
Wert 6 fa l l s d _d e i n B r u c h i s t nämlich der Wert
'
.
"
‚
,
,
„
Ginge man dann von der so erhaltenen Z e rf ällu ng ( 1 1 ) von 8 durch
eine mit ( 9 ) gle ic h ge b ild e t e Substitution zu einer anderen über so
d
ö
würde das zugehörige 0 da d — d
6 e in Bru ch ist gleich
d
d
h
dem
obigen
gleich
sein
und
man
erkennt
wie
a
a
0
d —d J
daß die neue Z e rf ä llung keine andere ist als die durch Auflös un g
der Gleichungen ( 9) sich ergebende urs prüngliche Z e rf ällu n g in den
Zahlen
,
,
”
,
,
,
,
’
.
l
,
,
.
.
.
i
,
d
,
6
'
61 l
"
d,
‘
6
(
6 (d ,
1)
6
( 1
d 2) ,
d
"
61
ö
"
6
(
62)
l ) (d l
d 2)
d2
Unter der gemachten Voraussetzung sind also die zwei Z e rf ällu n g en
von s durch die Substitution ( 9) umkehrbar miteinander verbunden
.
Ei
G
e rs t e
ne
r
u n d f o rm e l
3 69
.
zerstören sich aber die beiden Glieder der Summe
welche
je zwei solchen Z e rf ällu n ge n entsp rechen Denn wegen ( 1 0) ist das
der zweiten von ihnen zugehörige Glied
N un
.
d 2:61
f (d l
ö
f(
62)
und wegen der Bedingun gen ( 1 ) dem
r
d
f(
d
u
'
d
d
"
)
Glie d e
1
n
6 + a
,
,
)
,
das der ersten Z e rf ällun g zugehört entgegengesetzt
kürzt sich die Summe S auf den Ausdruck
,
D emnach ver
.
2
I
1
3
( )
2
.
Z
f (d
'
d
"
6
,
'
worin die Summation sich nur noch auf d i ej e n i g e n
"
2
erstreckt
b
e
i
d
e
n
e
n
z
u
g
l
e
i
ch
u
n
d
d
d
>
( )
Z ahl i s t S o g eht d i e Fo rm el h erv o r:
Z e r f ä llu n g e n
e in e ganz e
'
,
.
1
4
( )
S
’
‘
e
ö
0
f( 7 )
2
d
"
)
ö
,
ö
n
)
‘
=d d
Wir müssen hier hervorheben d aß w as bezüglich der Summe 8
soeben festgestellt ist ohne über die Z e rf ällun ge n ( 2) von 8 weitere
V oraussetzungen zu machen als schon geschehen ist auch dann in
Gültigkeit bleibt w e n n fe s t g e s e t z t w i r d d aß d i e S u m m a n d e n
"
"
8
a l s o a u ch d i e Z a h l e n d d d 6 d e r Z e r f ä llu n g u n
g e r a d e s e i n s o l l e n was voraussetzt daß 8 e i n e g e r a d e Z a h l sei
Denn a lsdann sind die diesen Zahlen durch die Substitution ( 9) ver
b u n d e n e n Zahlen d
62 ersichtlich auch ungerade die der
d
ersten Z e rf än verknüp fte Z e rf ällu n g also auch eine der v e rs t at t e t e n
2
,
,
,
,
,
,
,
'
,
,
"
,
,
.
,
l,
Z e rf ällu n ge n
'
2,
,
.
B eh and eln w i r nun z u er st di e s en b e s onder en F all
Setzt man 8
so lautet die Z e rf ällu n g (2)
w o n ungerade
folgenderm aßen :
3
.
.
,
l
5
( )
mit un geraden d d d d
Dann ist der Quotient
da der
Zähler ungerade der Nenner gerade ist jedenfalls ein Bruch und
die Summe ( 1 3 ) fällt aus Da aber jetzt d in der Formel (4) als
gemeinsamer Wert der un geraden Zahlen d d auch un gerade d i
"
ein Teiler von u ist findet sich wenn n d i gesetzt wird d 2 t
"
Da ferner in der Formel ( 5 ) auch
d jetzt unger ade zu denken
sind ist die Anzahl
der dem Teiler d von 8 entsp rechenden
Z e rf ällu n g e n der ersten Ar t hier n icht mehr d
1 sondern nur noch
"—
t
2
D
ah
e
r
e
r
h
ä
l
t
m
a
n
i
n
d
i
e
s
e
m
F
a
ll
e
s
t
a
t
t
d
e
r
ä
G l e i ch u n g ( 1 4) d i e fo l g e n d e :
m
i d
Z l
II
i
24
'
'
,
,
"
"
,
.
,
,
,
.
'
"
.
,
o
,
,
,
,
‚
,
l
o
.
B
ao
h
an n
n e
e re
ah e n t h e o r e
.
.
.
.
Utr
37 0
n e
Z
1
6
( )
d
fi
'
d
"
g
L i ou m lle
en von
'
6
,
su ch u n
’
2
h
.
1
"
u
=d t
d i e e r s t e d e r L i o u v i lle s c h e n F o r m e l n d i e w i r m i t t e i l e n
w o ll e n
Man erfüllt die Bedingungen
wenn man setzt
,
.
f (x7 y)
):
y)
x
w ähr end unter (p (x y) eine Funktion verstanden wird die ihren
Wert nicht ändert wenn x oder y mit entgegengesetzten Vorzeichen
genommen wird A l s d a n n g e h t d i e a l l g e m e i n e F o r m e l ( 1 6) i n
di e b es on dere üb er:
,
,
,
.
d
,
2
2
)
6 + a
1 -
3
n
1
u
3
2
ö
p(
(
2
0
3
8,
n
l
a
)
we
h
,
d
!
t,
Da es jedoch o ff enbar erlaubt ist bei der über sämtliche Z e rf ällu n ge n
L
zu
erstreckenden
Summation
zur
in
en
die
lateinischen
mit
den
k
2
( )
h
riec
ischen
Buchstaben
zu
vertauschen
wodurch
höchstens
zwei
ver
g
Z e rf ällun g e n (2) miteinander vertauscht werden
so darf
s c h ie d e n e
man die Formel auch schreiben wie folgt :
,
,
,
d
a
1
6
)
(
"-
2
1
u
,
E
°
"
1
5 + f5
)
(p
d
(
r
d
u
,
ö
!
2
”
M ,
t
Setzt man z B w as mit den Voraussetzun gen verträ glich ist wenn
eine gerade Funktion von x d h
x)
ist
.
.
,
,
.
.
,
3/
y)
indem man bemerkt daß y hier nur gerade Zahlwerte d d g also
nur ganzzahli ge Werte erhält so geht aus ( 1 6 a) d i e n o c h s p e z i el l e r e
F o r m e l hervor :
'
'
,
,
,
ö + ö
'
"
(i h
2
b
6
1
)
(
-
—‘t
2
(a
In dem einfachen Falle
ihr leicht die Form
d
lö
b
b
(
)
Z
(
1)
'
—1
2
—1
"
—
d )
w(d
'
d
"
8
= 2n ,
)
—6
"
2
.
d h wenn h
.
.
=1
ist gibt man
,
—1
2
Wird dagegen in ( 1 6 a) was ebenfalls mit den Voraussetzungen
verträ glich wenn
als gerade Funktion ge dac ht wird
,
,
,
9
9
0
0,
y)
U
372
nt e
r
su c h u n
g
Li o n mlle
'
von
en
.
Man weiß daß
die An zahl der Z e glie d e ru n ge n von
"
ebenso
die A nzahl der Z e rglie d e ru n g e n von 28 in zwei Q ua drate
ositiver
ungerader
Zahlen
bezeichnet
Daher
ist
s
vor
K
a
N
r
1
7
p
p
(
)
1)
r
,
.
die
A nzahl
aller
.
.
.
.
der Zahl
Z e rgli e d e run g e n
4n
28
'
28
"
in eine Summe von vier Quadraten p ositiver ungerader Zahlen D i e
g e d a ch t e F o r m e l l e h r t d ah e r a u fs n e u e d e n J a c o b i s c h e n
S atz
2) Andererseits ist ( s vor Kap Nr 2) 2 g (s ) die A nzahl der Zer
fällungen von
2 o (s ) die A nzahl der Z e rf ällu n ge n von 8 in ein
gerades und ein ungerades Quadrat :
.
.
'
.
.
.
.
"
8
"
'
2
22
+ 42
2
2a
die
A nzahl
der
8
Auflösunge n
2a
8
,
und demnach
"
y
g
4t
2
,
"
der Gleichung
58
2
2
2
2
+ y + 4 2 + 4 15
mit ungeraden x y ein Zusatz der o ffenbar als selbstverstän dlich
unterdrückt werden kann S o g e h t a u s ( 1 7 ) d i e Gl e i c h u n g h e r v o r :
,
,
,
1
.
1
8
( )
N (2u
x
2
y
2
42
2
2
4
4 15 )
o
3 ) Endlich bezeichnet 4 o (s ) die A nzahl der Z e rg li e d e ru n g e n von
"
"
4 g (8 ) die An zahl der Z e rg li e d e ru n g e n von 8 in die Summe zweier
’
Quadrate
s
r
=x + y
2
2
S
’
H
=
Z
2
+ t
2
,
wobei in jeder derselben eins der Quadrate gerade das andere
gerade sein muß Demnach ist
,
un
.
16
+
die
A nzahl
der
A uflösungen
2 14
x
der Gleichung
= x + 31 +
2
bei welchen
y E l also auch
a l s o d i e B e z i eh u n g :
1
9
( )
N (2 n
x
8
"
2
2
y
2
z
t
8
’
8
2
1
5
t
+ t
2
)
2
,
mod
(
.
2)
ist M a n fi n d e t
1 6 C1 04)
.
.
m+ y E I (m o d 2)
.
Sie bestä tigt sich leicht aus den S ätzen in Nr
Kap ite ls Da nämlich aus der Darstellung
.
.
18
des vorigen
gr g
Fol
e un
x
falls in ihr
stellung
übe
en
r
Z e rf ä llu n g e n i n q u ad
u =X
2
ergibt indem
x
X
N (2n =
x
2
,
un
+y
_
Y
t
+ 1
,
gesetzt wird
z
y E 0 also auch
x
2
d
Z
’
2
2
+
t
2
+ 31 +
2
+ t
)
—
—
E
ly
x
Da zudem die gesamte
X + 1
N (n
2
2
(m o d
O
37 3
Z
—t
2
Gleichheit
,
2
.
,
T
umgekehrt so besteht die
2
r
Fo m e n
2
+ Z + T
—y
s ch e
.
2
7 2
"
a
2
mod
ist
sich
die
Dar
)
(
0
5
r ti
7 2
2
+ Z + T
)
2
2)
.
A nzahl
2
N ( 2n
2
+ y +
23
2
2
‚
+ t
)
2
ist folgt o ff enbar durch Subtraktion der beiden letzten Gleichun gen
die Gleichung
4 Setzt man in ( 1 6 0 )
,
.
x
2
)
so findet man zunächst
4
‚
Z
Hier ist die Summe zur
r
d d
rr
3 11
2
L inken
—1
‚
2
über alle
=
J8
2m =
’
8
t
e
.
Z e rf ä llun g e n
"
in zwei ungerade Summanden zu erstrecken und für jede derselben
"
durchl äuft d alle Teiler von
d alle Teiler von
Andererseits
ist t jeder Teiler von n Daher nimmt die Gleichung die einfachere
Form an :
,
'
.
m
0
2
( )
s
8
"
)
34- 3
2
o
"
m
“
m
wenn w ir nach I n ou mlle s Vorgä nge mit Cm (u ) die Summe der
P otenzen aller Teiler von u bezeichnen Da nun C (8 ) die An i ab l der
Z e rglie d e ru n ge n von
und ebenso
die Anzahl der Zer
"
gliederungen von 4 8 in vier Quadrate p ositiver un gerader Zahlen
ergibt so ist o ff enbar die linke Seite der Formel die An zahl der
Darstellungen der Zahl 4 o 2m als eine Summe von acht solchen
Quadraten Man erh ä lt so die Gleichung
'
'
'
1
.
,
‘
.
a
2
0
(
)
x
Wie s i ch also der
x
(
,
pos
.
J aco bis ch e
9
23
+
50
25
+
,
un
gr
e ad e
Satz in der analytischen Formel :
oo
u
p os
.
,
u
n g e r.
U
374
r
n t e s u c h un
ge
L iou v i lle
n von
.
zum Aus drucke brin gen ließ so erschließt man aus vorstehender
Gle i chung die ähnliche Formel :
m
x
+
(
,
o
u
rechts h alle p osit iven
alle ungeraden p ositiven Zahlen zu
durchlaufen hat
Insbesondere gibt die Formel (20) für den Fall h = 1 d h wenn
2 M ist die Beziehung
8
wo
,
.
.
.
,
1
2
( )
Es (u )
u n d i h r z u fo l g e i s t d i e A n z a h l d e r Z e r g li e d e r u n g e n d e r Z a hl
8 a i n e i n e S u m m e v o n a ch t Q u a d r a t e n p o s i t i v e r u n g e r a d e r
Z ahlen glei ch d er S um m e d er Kub e n all er T e ile r v o n u
Setzt man in ( l 6 o )
.
4
x
so erh ält man falls
,
8
‚
ist
2M
8
(2
d
13
d
n
+
)
,
Z
r
d d
ns
)
2
3
2
A bgesehen
g
von den Z e rf ällun ge n 2 M d d
d d für welche in
den entsp rechenden Gliedern der zweiten Summe die Zeichen d d
o ffenbar mitein ander vertauschbar sind gehört zu jeder Z e rf ällu n g
'
'
’
'
,
'
,
"
,
eine davon versch i edene
2a
'
d d
'
2n
"
”
d d
"
d d
'
d ö
"
'
.
Demnach dürfen die Zeichen d d in der z w eiten Summe durchweg
vertauscht werden d h sie ist der ersten gleich und die vorige
Gleichung ni mmt die Gestalt an :
"
'
,
,
.
,
.
d
u
woraus dann ähnlich der Gleichung
die Beziehung
,
€5 04)
22
( )
hervorgeht
.
Nun ist
2a
16a
88
'
2
N ach
der zuvor festgestellten Bedeu t ung der Funkt ionswerte { 3
für ungerade Argumente liest man also aus der gefundenen
Beziehung nachstehenden Satz ab :
D i e A n z ahl d e r Z e r g li e d e r u n g e n
d e r Z ah l 1 6 u i n e i n e S u m m e 8 8 v o n a ch t Q u a d r a t e n p o s i t i v e r
u n g e r a d e r Z ah l e n w o 8 u n g e r a d e u n d i n d a s D o p p e l t e e i n e r
S u m m e v o n v i e r Q u a d r a t e n s o l ch e r Z a h l e n i s t gl e i c h d e r
S u m m e d e r fü n ft e n P o t e n z e n a l l e r T e i l e r v o n u
’
'
,
,
.
U t er
37 6
n
su c h u n
ge
v on
n
L io u v i lle
.
d a r s t e l l b a r w o r i n p e i n e P r i m z a h l v o n d e r F o rm 8 h 5 i s t
Man schreibe um dies zu beweisen die Gleichung ( 21 ) mit Rück
"
in der Gestalt :
sicht auf die Bedingung 2a 8
8
'
,
.
,
,
'
1 ) + 51
oder
,
di e
6)
2
“
M
3)
gleichen Glieder zusammenfassend in der folgenden :
,
)
c. e r
2
5
( )
3)
€1 63 “
€1 0“
1)
€1 04
Wenn nun die Gleichung
2a
u
x
nmögli ch ist so können in der
2
y
2
Z e rf ällu n g
,
nicht beide ungerade gedachten Summanden Quadrate sein und daher
wird in jedem Gli e d e
,
€1 63 “
26
( )
des A usdrucks ( 25) m m d e st e n s e in Faktor also jedes Glied selbst
gerade sein Ist ferner die linke Seite von (25 ) eine zwar gerade
aber nicht durch 4 te ilbare Zahl so muß eine u n g e r a d e Anzahl der
Glieder (26) kongruent 2 (mod
als o e iner der Faktoren
ungerade der andere kongruent 2 ( mod 4) sein ; nach
{ 1 ( 2n
dem v o rauf ge s chick t e n Hilf ss at z e muß also unter p eine Primzahl
von der Form 4 k 1 verstanden etwa
,
.
,
.
'
,
.
,
,
S
sein
r
x
2
,
2„
Es wird dann also eine ungerade
.
2
x
Nun sind
n
ä)
die gemachten
3 gew ählt wird
8 73
+ p
4a
A nzahl
+
von Malen
1
zwei Voraussetzungen erfü llt wenn
Denn f ür eine solche P rimzahl wird
,
.
ä(
1
2
2
3
1)
3) ( 1 6 i + 1 0 2
°
1
(
2
.
.
2
mod
(
.
4)
und die Gleichung
x
ist unmögli ch
.
Al so
2
y
2
findet sich die Gleichung
x
2
+ p
4a+ 1
‚
y
2
eine ungerade Anzahl von Malen erfüllt Da hieraus aber di e Kongruenz
mod
8
(
)
.
.
D er
all
g
F all d e r Gru n d f o rm e l
e m e in e
37 7
.
ungerade hervorgeht hat die P rimzahl p die Form 8 h 5
w i e behaup tet
Wir haben diesen Satz dem w ir bald e inen zweiten an alogen
werden folgen l assen hier mitgeteilt nicht allein der eigentümlichen
Beweismethode wegen sondern um eine gan ze Kategorie zahlreicher
Sätze gleicher Ar t zu kennzeichnen welche L i owmlle in den Bänden
J
ath
2
4
E
des
ournal
des
M
ohne
weitere
Beweise
aufgestellt
hat
( )
6 Kehren wir zu dem allgemeinen Falle der Nr 2 und z u der
ihm entsp rechenden Formel ( 1 4) zurück
Die in letzterer auftretende z w eite Summe bezieht sich auf die
d h
.
als
k
.
,
,
.
,
,
,
,
'
,
.
.
.
.
.
.
j
e ni
g
en
Z e rfä llu n g e n
denen d > d
gleich k und d
r
in
u
s
un d
'
d
‚
d
"
d
e in
r
ll
d ö + d a
,
ahl ist
eine
ganze
Z
d
so findet man
„
"
k d, d
Teiler von
'
(k
.
Setzt man diese
1 ) d‚
und wenn demgemäß
3,
27
(
dö
s
gesetzt wird
n
'
d,
d
also muß
i
r
,
2
8
( )
k (ö
d
'
d
"
)
"
ö
sein Hiernach ist d > 2 und da d p ositiv zu denken ist 6 d ö
"
Das allgemeine Glied der Summe geht über in f (d 6 d ) und
um die ganze Summe zu erhalten ist jede Z e rf ällu n g ( 27 ) zu b e
r ü c k s ich t i e n
in
welcher
6
ist
und
ihr
ents
rechend
f
ü
r
6
ö
2
p
g
d
jeder der Werte 2 3
1 durch welchen geteilt d einen p o
"
gibt d h welcher m d nicht aufgeht D i e F o r m e l
s it iv e n Rest Ö
g
e
h
t
a
u
f
s
o
l
ch
e
We
i
s
e
i
n
d
i
e
a
n
d
e
r
e
:
4
1
( )
'
'
,
,
.
"
.
'
,
,
,
'
"
,
,
,
,
,
.
,
.
.
S
1)
29
( )
'
f (o7
ö)
(
d
a ,
>
6
2
ü b e r w o der Akzent beim Summenzeichen jetzt andeuten soll d aß
diejenigen Gli eder f (d i ) in der Klammer gleich Null zu setzen sind
bei denen i ein Teiler von d ist
Die Bedin gungen
denen die Funktionswerte f (x y) unterworfen
waren sind u a erfüllt wenn man unter <p (x) eine gerade F u nktion
von verstehend so daß (p ( a3) q (x) ist
,
,
,
,
.
x
,
.
,
>
,
f (aa y)
w ählt
Gestalt
.
,
,
.
Al sdann
an
:
90
,
0)
6
nimmt die allgemeine Formel ( 29 ) die besondere
U
37 8
nt e
r
su c h u n
g
en von
L i o u vi lle
.
r
n
_
d ) T (p ( 6 + a
»
u
+
=
‘
2
=
d
a
30
( )
"
d
d
"
o
1)
O
(M )
o
ma
n)
d
r
-
2
°
>
2
in der ersten der akzentuierten Summen steht die Funktion (p (d ) so
d
1 oder w as dasselbe sagt in der
oft als in der Reihe 2 3
d
Reihe 1 2 3
1 d Zahle n vorhanden sind welche keine
Teiler von ö sind ; zählt m an q> (d ) also ö mal so hat man so oft z u
viel gez ählt als in jener Reihe Teiler von d sind d h in L iou v illes ch e r
Bezeichnungsweise
mal und daher kann jene Summe ersetzt werden
durch
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
,
2
.
(
2
a
und zwar ohne die Beschränkung 6 > 2 da für ö = 1 2 sich
d
Da ferner in der ersten Summe zur Rechten
0 ergi bt
von ( 3 0) 6 jeden Teiler von s bedeutet kann darin d durch d ersetz t
werden w elches die gleiche Bedeutung hat u n d s o v e r w a n d e l t s i ch
d i e G l e i c h u n g (3 0) i n d i e fo l g e n d e :
,
,
.
,
,
,
d
(p
ö
(
r
n
a
»
d
26
1
)
d
d
a
-
)
2
=
+
1
3
( )
u
2
-
c
+ 90 ( 5
Beachtet man daß wenn die late inischen mit den griechischen
Buchstaben vertauscht werden sich nur die beiden Z e rf ällun ge n
,
,
,
S
l
d ö
'
fl
d ö
ll
,
1
6 d
8
!
n
a d
"
miteinander vertauschen oder falls 6
d
d
d wäre die Zer
f ällung unver ändert bleibt so sieht man daß o ffenbar
'
'
,
,
"
"
,
,
,
,
"
a
durch
)
Z
r
wa
d
"
)
ersetzt d i e l i n k e S e i t e d e r F o r m e l a l s o a u c h i n d e r F o r m
,
a
3
l
(
)
(
Z
d
M
'
g e s ch ri e b e n w e r d e n d a r f
.
d
"
)
<P
d
(
'
U tr
n e s u ch u n
3 80
g
D iou mlle
'
en vo n
.
wie der in N r 5 aus der Formel ( 2 1 ) gezogene Wenn n ä mli ch die
Primzahl s von der Form 1 6 k 7 ist so ist jede der Gleichungen
.
.
,
s
=
x
2
2
+ y
,
=
s
”
+ 2y
x
2
unmöglich ; demnach können in der Z e rf ällu ng s s + s die Sum
manden deren e iner notwendig ger ade der andere ungerade ist weder
z u gleich Quadrate noch einer ein Quadrat der andere das Do pp elte
eines solchen sein Au f alle F älle ist also nach dem in Nr 5 g e
hl
das
P
rod
u kt
eine
gerade
Za
N
un
e b e n e n Hilf s s at z e
g
überzeugt man sich aber leicht daß für eine P rimzahl s von der
bezeichneten Form die rechte Seite der letzten Gleichung kongruent 2
mod
ist
daher
können
die
Glieder
der
linken
Seite
ob
sie
schon
4
(
)
gerade sind doch nicht s ämtlich durch 4 teilbar sein vielmehr hat
eine ungerade Anzahl derselben den Rest 2 (m o d
und demnach
ist in jedem Glie de
"
'
,
,
,
,
,
.
.
.
,
.
,
,
,
,
.
dieser Art einer der Faktoren ungerade der andere E 2 (mod
"
also e ine der Zahlen s s ein Quadrat oder d as Do pp elte eines solchen
und die andere von einer der Formen
4 + 1
+
2
oder
p
p
y
y
mithin e n t w e d e r etwa
2
2y w o
ungerade
s
x
oder
2
=
+
w
o
gerade
y
ungerade
x
s
s
p
y
mg
d
u
0 d e r
"
g
+
w
o
y
ungerade
2x s
s
p
y
V o n den ents p rechenden Gleichungen
.
,
'
,
a
2
‚
4
1
a
,
2
‚
’
’
2
,
,
'
x
x
-
"
2
4
a
1 -
,
,
,
,
o
'
2
4
a
er
e k e h rt ,
l
,
,
s :
,
2
.
+ p
4
a
+
1
s
:
+p
4a
+
l
S
= 2x + p 4 a +
1
x
x
2
2
‚
‚
‚
2
2y
2
y
y
2
ist aber wie man aus den Resten der Quadrate ( mod 1 6) unschwer
erkennt da zudem dem Hilf s s at z e gemäß p E 1 (mod 4) zu denken
ist nur die letzte mit der angenommenen L in e arf o rm 1 6 k 7 der
Zahl s verträ glich und zwar muß dann genauer p 5 ( mod 8) sein
Man erhält demnach den folgenden Satz den D io u mlle B ou niako wsky
zuschreibt :J e d e P r i m z a h l ä v o n d e r F o r m 1 6 k + 7 l ä ß t s i ch
s t e t s u n d z w a r a u f e i n e u n g e r a d e A n z ah l v o n A r t e n i n d e r
F o rm
,
.
,
.
,
,
.
.
'
,
'
8
2x + p
Ö
d ar s t e l l e n i n w e l c h e r
,
p
4
a
+
1
‚
y
2
e i n e P r i m z ah l v o n d e r F o r m
8h
5
.
S
ru n
z
i
l
s
i
e
a
i
e
p
g
r
d e r Gru n d f o m e l
en
3 81
.
Zur Formel (29) zurückkehrend setzen wir in derselben
0
0
w
f (w y)
9 0 y)
9 M )
und nehmen die Funktion tp (m y) um den Bedingungen
zu ge
n ü e n als eine bez ü glich beider A rgumente ger ade Funktion an so daß
g
_
0
5
0
‘
x
(
(
33
P 0 : y)
p(
y)
M y)
( )
ist So erhalten wir die Gleichung
8
,
.
,
,
‚
,
,
,
,
,
,
.
d
u
n
r
Ö + a
,
d 6
'
a
3
4
( )
=d
a
)
+
d
"
d
d
,
rr
)]
"
:
5
9 0
Ö)
a
’
n
9
d
r
2)
d
3
.
a
)
d) +
3
d
,
)
M
W
+
m
ö
,
I
d
d d,
s
W
o
1,
2
Wegen der ersichtlich erl aubten V ertauschung der lateinischen mit
den griechischen Buchstaben darf die linke Seite auch geschrieben
werden w ie folgt :
u
d
M
1
6 + 6 )
(p d
(
s = wa + we
,
f
_
ö
"
d
l
,
v
Nun nehm en
Z e rf ä llu n g
w ir
an
s
di e Z ah l
,
8
1
+
S
s e i u n g e r a d e so daß in der
s
,
: d ö
H
r
l!
u
r
d a
einer der Summanden s s gerade der andere un gerade ist
sind die beiden Z e rf ällu n ge n
"
'
,
,
r
n
r
d ö + d ö
S
n
d
8
,
n
ö
n
r
+ d ö
.
Dann
r
’
welche durch Vertauschu ng von d d mit d ö resp entstehen
stets zwei verschiedene Z e rf ällun g e n Faßt man daher in der Summe
immer
die
beiden
ihnen
ents
rechenden
Summanden
3
5
p
( )
"
"
'
'
,
,
.
,
.
(p d
(
d
m(
r
n
_d
"
,
_ d!
)
n
1
6 + a
)
11
!
5 + a)
(‚7
(
t
6
d
u
d
1
,
,
"
_
_
ö
ö )
r
6
N
_
welche nach den vorausgesetzten Gleichungen ( 3 3) einander gleich
sind zusammen so darf ( 3 5) einfacher geschrieben werden gleich
,
,
3
7
( )
d
u
,
ö
!
n
a
)
(p
d
'
d
’
r
d
d
+
(
u
n g e ra
d
u
,
ö
!
e
wobei man sich auf diejenigen Z e rf ällu n ge n ( 3 6) zu beschränken hat
"
"
d d ungera de und demgem ä ß s
in welchen s
d d gerade ist
Man setze dementsp rechend
'
'
’
,
"
.
Un
3 82
tr
e su c h u n
s
wo
82
s1
'
=
g
s
3„
L io u v i lle
en von
"
=
ungerade und betrachte alle
Z e rf ä llu n g e n
,
=
s
.
+ 2
5
sl
Die Z e rf ä llu n ge n 8 d d stimmen insgesamt mit denen von s d d
überein so daß d
d d
Ö gesetzt werden kann ; die Z e rf ällun g e n
"
"
"
in welchen d ungerade ist sind insgesamt mit denjenigen
d d
s
"
von s
identisch bei welchen d ein Teiler von 82 ist d h
"=
6
man darf d
und dann
B e s c h r ä n k t m an
2 d 2 denken
s i c h a l s o a u f d i ej e n i g e n Z e r f ä llu n g e n
b ei welchen
"
d d u n g e rad e un d z u gle i ch ö + d g era d e
"
i s t womit zugleich d und d ungerade werden so darf man setzen
'
1
'
1
l
"
'
,
1
,
’
,
"
,
,
"
,
,
.
.
‘
2
.
'
'
'
'
,
,
dl : d
'
,
61 :
d
d : 82
"
"
.
d i e s e Z e r f ä llu n g e n a b e r d a r f m a n s i ch i m A u s d r u c k e
7
b
e
s
c
h
r
ä
n
k
e
n
w
e
n
n
m
a
n
j
e
t
z
t
d
i
e
F
u
n
k
t
i
o
n
w
a
s
a
;
3
p(
y)
( )
m i t d e n B e d i n g u n g e n ( 3 3) v e r t r ä g l i c h i s t a l s e i n e s o l ch e
v o r a u s s e t z t d i e fü r j e d e n u n g e r a d e n We r t v o n y v e r s ch w i n d e t
A lsdann geht demn ach der A usdruck ( 3 7 ) über in diesen :
6
6
6
‘
2
2
d
3
8
d
m
1
P(
2)
( )
(
Auf
c
,
,
,
,
.
,
i
1
3
“
'
s)
l
=d 1
( 32
1
62
Während so den gemachten Voraussetz ungen entsprechend die
linke Seite der Formel ( 3 4) bestimmt ist geht zur Rechten derselben
die erste Summe da d u ngerade ist in
,
,
-
2
,
1 ) m01, O)
s =d d
Ö
(
-
Z
1 ) <P(d ‚ 0)
a=d d
d
(
über In der ersten der akzentuierten Summen fallen diejenigen
Funktionswerte q (d
aus deren zweites Argument ungerade ist ;
da andererseits ein gerades 2 niemals Teiler der ungeraden Zahl d sein
kann f allt für sie die durch den Akzent angedeutete Beschränkung
fort und die ganze Summe wird einfach
.
)
,
,
°
,
,
2
2
km,
2)
w
d
a ,
«
,
—
ö
In
.
Endlich verschwindet die ganze zweite der akzentuierten Summen da
d ungerade ist und m a n e rh ä lt s c h l i e ß l i ch d i e n e u e L i o u v i lle s c h e
Fo rm el:
,
,
2
3 9)
'
Z
d
lfl i
0)
g d s 2 61
i
2 (p ( d , 2)
62)
(P
d
( l
2 99 ( d , 4)
a=d d
61
o
2 90 ( d ‚ 5
1)
d m( d ‚
U tr
384
su ch un
n e
g
L i ou mlle
’
en
von
.
d —l
die Summe also gleich
G
E
1)
"
s
2
=d d
und d a h e r n i m m t d i e G l e i c h u n g (3 9 b ) d i e G e s t a lt a n :
€1 69 )
4
4
0
( )
s =8 +
i
2
1
Da nun
s, s1
und
s,
ungerade vorausgesetzt sind und
s2
2 s = 2 31 +
ist so bedeutet die Summe zur
stellungen von 2 s in der Form
L inken
,
41
( )
2s
50
2
+ 9
2
2
°
2
o ff enbar die
(
z
2
t
Anzahl
der Dar
2
)
bei allen möglichen p ositiven E xp onenten i und p ositiven ungeraden
x y 2 t oder auch die Anzahl der Darstellungen von s in der Form
,
,
,
,
4
2
( )
x
s
2
2
4t
4 31 +
)
2
bei allen möglichen p ositiven E xp onenten i und ganzen Zahlen x y z
s p richt
t von denen x z p ositiv und ungerade sin d Die Gleichun g
sich daher aus in dem Satze :
D i e v i e rfa ch e A n z a h l d e r D a r s t e llu n g e n d e s D o p p e l t e n e i n e r
u n g e r a d e n Z a h l s i n d e r F o r m (4 1 ) o d e r d i e v i e r fa ch e A n z ah l
d e r D a r s t e l l u n g e n d i e s e r Z ah l s e l b s t i n d e r F o r m (42) b e i
d e r b e z e i ch n e t e n B e s c h a ffe nh e i t d e r Z ah l e n
x y z t ist
g l e i c h d e m Ü b e r s c h u s s e d e r A n z ah l d e r Z e r g li e d e r u n g e n
v o n 4 s i n v i e r ü b e r d i e A n z a h l d e r Z e r g li e d e r u n g e n v o n
2 s i n z w e i Q u a d r a t e p o s i t i v e r u n g e r a d e r Z ah l e n
2
Wird dagegen in (3 9 b ) f (y) y in ( 3 9 a) f (x) x gew ählt so
entstehen d i e n a c h fo l g e n d e n z w e i b e s o n d e r e n F o r m e ln :
,
.
,
,
,
,
,
,
,
.
2
,
,
2
(Q
—
2
2 +
d
o
.
8
=d ö
we i l
0
2
2
o
‘
6 —1
2
2
:
2
24
,
2
6 —6
3
2
.
ist einfacher
4
3
( )
6
au )
c.(s 1 ) s o.)
s
=
22
81
und
m» ;
s
32
ode r einfacher o
u
)
a
4
4
( )
s
8
=S +
l
2i
3,
o
s
,
Ei
zw
ne
eit
L io u mlle s c h e G
'
e
r
u nd f o
rm
el
f ü r d e n F all
s
=2 u
385
.
A uch di ese Formeln führen zu ähnlichen S ä tzen , w ie die Formel
doch f allt ihre A ussage bedeutend umständlicher aus
1 0 Die L iou/ui lle s c h e Formel , die wir n un ableiten wollen , setzt
.
.
wieder
als das Dopp elte einer ungeraden Zahl
2u
s
voraus und bezieht sich auf ihre Z e rf ällu n g e n
s
2a =
s
'
s
"
in zwei un gerade Summanden die auf alle Weise in je zwei
Faktoren zu zerlegen sind d i auf alle Z e rf ällun ge n
,
,
4
5
( )
.
ositive
p
.
'
2a
d d
"
’
d d
"
in p ositiven ungeraden Zahlen d d , d d
Sei F (cc y) eine für
alle vorkommenden Werte von x y gegebene Funktion mit den Eigen
s c h af t e n
daß
'
"
"
’
,
,
,
.
,
,
4
6
( )
sei
F (w‚
y)
F
(
x‚
y),
(
F
F
w, y )
y) ,
0
29,
F (0‚ y)
0
Wir versuchen die Summe
.
,
d
4
7
( )
1)
S
"
—1
u
d
2
ö
,
n
r
a
r
u
_
ö +
F (d
d
r
)
,
zu ermitt eln Da eine V ertauschung der lateinischen mit den
griechi schen Buchstaben nur zwei Z e rf ällun g e n miteinander vertauscht
oder keine V eränderung hervorbringt läßt sich die Summe S zunä chst
folgendermaßen schreiben :
.
,
‘
ö
l
2[
S =
1)
(
2
.
F (d
'
d
"
,
6
'
ö
"
1)
)
H
_
_1
2
.
F (6
"
'
a, d
'
d
Wir unterscheiden nun die Z e rf ällun ge n wieder in zwe i Klassen
"
ö
In der e r s t e n sind
gleich ihr gemein samer Wert d also ein
Teiler von u so daß u d d gesetzt werden kann und dann
,
,
,
2d 4 d
4
8
( )
'
d
"
wird Der diesen Z e rf ällun ge n entsp rechende Bestandte il der Summe
8 den wir kurz S o nennen wird wegen (46)
.
,
,
d
so =
Z
1)
(
"
—1
2
.
F (2 d, 0)
d h d a d wegen ( 4 8) di e ungeraden Zahl en
durchlaufen hat und somit
"
.
.
,
,
d
"
1 , 3,
2d
—1
— i a
)
= 1
ist
,
4
9
( )
Bcm
a
h
s0
a n n , ni e
d
e re
Z ah le n t h e o ri e
.
2
d
( ,
II
.
25
1
zu
'
Un
3 86
t
e rsu c h u n
g
I /io u mlle
'
en
von
.
In der z w e i t e n Klasse der Z e rf ällu n g e n s ind die folgenden beiden
'
d d
2a
"
"
’
d d
,
"
d d
2a
stets vonein an der vers chieden da
"
voraussetzen daß etwa d
d
sei
zusammengenom men den Ausdruck
'
d
"
d
2
d
'
.
,
6
Ö
)
,
!
d
2
"
)
‚
F (d
d
!
ö
)
"
!
)
ö
n
2
ö
n
—1
"
—1
d d
’
"
—1
"
'
es sind und w ir dürfen
In der Summe S geben sie
d
,
,
"
'
a
—1
_
F (ö
2
,
n
d
!
d
u
d
u
d
1
)
),
der nach den Voraussetzungen (46) gleich
d
’
—1
d
"
2
2
6
"
1)
—1
d
,
6
!
d
r
n
a
)
—1
F (ö
2
ist N ennen w ir also
standteil der Summe
'
—1
1)
6
1)
n
a
,
d
"
)
den der zweiten Klasse entsp rechenden
so erhalten wir
d
"
‚
S,
.
5
0
( )
u
d
—
1
"
2
)
2
—1
1)
2
)
2
Be
o
‚
F (d
F (d
’
r
d
d
"
d
,
u
ö
,
n
r
a
)
'
worin nun nur noch über alle diejenigen Z e rf ällun g e n (45 ) zu
"
summieren ist bei w elchen d
d
ist J e z w ei di eser letzteren
lassen sich aber w i eder zu s amm e n o rdn e n Schreibt man n ä mlich die
Z e rf ä llun g (45 ) w
ie f olgt :
'
.
,
.
4
5
a)
(
d
(
2a
und setzt
51
'
d
"
)
'
—
6 (d
d1 = ö
2
6
(
1 ) (ö
m
!
a
n
)
a
so fin det sich
52
( )
2“
5
3
( )
Z e rf ällu n g
6
( 1
,
'
'
1 ) (d + d
'
52 : d
6 (d
r
r
"
)
u
d )
,
"
—
d
d 1 + d2 = d
'
61
und die neue
d
(
dl = d
"
:
d
"
von
(
2a
62> d1 + 6 ( 6
62) d 1 +
d
( 1
:
'
6
(
62
'
ö
"
)
(
62
6 (d
'
)
du
6
(2
2 2
dl ö l
in ganzen ungeraden Zahlen von denen 61 6 ist falls 6 als ganze
Zahl gedacht w ird Damit sie auch p ositiv werden ist 9 nur auf
eine einzige Weise w ählbar nä mli ch als das größte in der o ff enbar
gebrochenen Zahl ä i 6 enthaltene Ganze
2
,
,
.
,
N
,
„
'
5
4
( )
,
6
2
U
3 88
ge
r
n t e s u c h un
L i o u v i lle
von
n
.
Ist also 0 ungerade so zerstören sich die Beiträge welche je zwei
zugeordn ete Z e rf ällun ge n der zweiten Klas se zur Summe S li efern ;
für gerades 6 dagegen ist
so könn en w ir sagen
ih r gesamter
Be i trag gle i ch dem Ausdrucke
,
,
‘
,
d
'
1)
—1
F (d
2
für d i ej e n i g e der beiden
"
d h
ö
Ö E O ( mod
'
d + d
,
6
,
r
_ Ö ")
in
Z e rf ällu n g e n ,
w
.
1
t
d
u
elcher
'
d +
-
.
'
r
t
"
die
ungerade
: gt
O ist
i >
,
u
Z e rf ällun g
r
6
,
Dieser
.
u
t
l
i
n
1
g +
a
,
entsp richt nach (45 a)
Z e rf ällun g
!
2 t
i
ll
t
_
t
u
l
i
H
von u worin z = d t
ungerade Zahlen s ind deren
also
d
letztere 2 t Demnach ergibt sich aus unserer Betrachtung daß
die gesamte Summe 8 dem folgenden Ausdrucke gleichgesetzt werden
kann :
"
'
"
’
,
,
,
,
'
,
.
'
d
S =
2
F (2 d ‚ 0 )
1)
wenn die zweite Summe auf alle
in denen
r
d + d : 2 V, a
w ährend
auch
t
t
,
u
1
2
r
,
t
ö
6
6
z
S =
Z
7
5
( )
F ( 2d , 0) + 4
.
Z
"
1)
(
"
'
a
,
4
a
5
(
)
_ an :
ungerade zugleich aber
"
d
Z e rf ällun g e n
.
'
'
,
"
,
"
gerade ist ; oder
m
1
erstreckt wird
a
—1
2
F ( 2t
o
’
,
wo die z w eite Summe auf alle Z e rfä llun g e n
" "
5
8
2
u
t
t
( )
'
t
'
‘
t
sich bezieht in denen z t ungerade t
2t 6
Man denke sich nun alle Z e rf ällun g e n
9
6
5
u
t
( )
"
von u in ungeraden t
welchen die Zahlen
t
"
sam sind Unter ihnen ist eine einzige :
9
t
9
2 t und ihr entsp richt e in Glied
'
"
"
,
,
'
,
'
,
'
,
.
t
i, t
'
gemein
bei welcher
,
t
"
,
1)
Summe
i
n
g
5
9
in
ositiven
ungeraden
( )
p
6
0
( )
.
'
z
der
J
gerade ist
'
'
"
!
,
'
,
t
‚
vor
"
—1
2 + t
2
i
9 =
t
'
"
)
A lle
e d ac h t e n
'
1
6
"
übrigen L ösungen der Gleichun g
werden gegeben durch die Formeln
l
o
2t
'
,
Ei e
I /io u mlle s c h e G
z w e it e
n
'
r
undf o
rm el f ü
d e n F all
r
wenn der unbestimmte n ganzen Zahl l die Werte 0
beigelegt w erden Bildet man daher die Summe
s
=2 a
1 , 2,
,
3 89
.
2
t
H
]
9
.
c
2
6
1
( )
t
1)
e
—1
'
2
c
ms
u e + wo
"
so werden diejenigen Glieder derselben in welchen i t t dieselben
Werte haben eine P artial summe bilden von der Form :
:t
'
'
"
2
2
'
,
,
,
,
z
1)
"
—1
(
2
1
welche je nachdem
ungerade oder gerade ist sich auf
9
,
t
’
—l
"
N ull
,
oder
auf das ents p rechende Glied
der z w eiten
1)
F ( 2t
Summe in ( 5 7 ) reduziert Mit anderen Worten die letztere Sum m e
und die Summe ( 6 1 ) haben gleichen Wert
S c h l i e ß l i c h fi n d e t s i ch a l s o a l s E r g e b n i s u n s e r e r B e
t r a c h t u n g e n d i e L i o u v i lle s c h e F o r m e l :
'
2
o
,
.
,
.
d
"
1)
6
2
( )
=
u
Z
=
d
—1
r
F
d
d
+
[ (
2
(
E
F (2 d , 0) + 4
_
F (d
d
_
ö
6 )
u
,
N
r
1)
r
6 + a”
n
1
u
,
2
ö
wobei d d d d sowohl w ie t
t
6 ungerade und ebens o wie i
ositiv
zu
denken
sind
p
1 1 W ählt man z B was mit den Bedingungen (46) verträ glich ist
'
,
'
"
,
,
"
,
,
"
"
’
,
.
.
.
.
6
4
3
)
(
E
,
,
) :f
(
x7
x
=
o
o
2
( )
so nimmt die allgemeine Formel die besondere Gestalt an :
d
—
1
"
1)
zu
2
d
"
d
f(
)
:
e
Z
u =d d
=
f
2
d
( )
4
2
"
1)
e
'
—1
2
Da jedoch in der letzten Summe die Summationen bez t 6 von
einander unabh ängig sind kann man deutlicher schreiben :
’
.
,
d
D
62
a
)
(
2u
obei
Z
u =d d
=
0
w
u l , M2
d
=
f
"
—1
2
"
)
d
f
d
(
'
5
2
d
( )
(
Z
=
o(
4
u
u1
+
92
22
i
2 u
2
1 ( Ü
=t 6
”
'
u1
2
ungerade zu denken sind
.
'
)
?
,
"
U t er
3 90
n
su c h u n
ge
L i ou vi lle
vo n
n
.
Für f
a; liefert diese Formel ohne weiteres d i e b e m e rk e n s
w e rt e B e z i ehu n g:
d
"
1)
—1
2
'
gd
2
2
4
d
2
d h ausführlicher geschrieben :
.
2 )
25
.
Z
62
b
(
)
4
51
Bedenkt man daß die Summation links über alle Z e rf ällun g e n
"
"
=u + u oder 8 a
4 u + 2 2 cc
2u =
"
bei ungeraden u u die Summation rechts über alle Z e rf ällun ge n
i+ 1
u,
oder 4 a 4 M, 2
2 u2
worin u l u, u ngerade und 13 O zu erstrecken ist so sp richt sich
die letzte Formel in folgendem Satze aus :
Is t A d i e Anz a hl d er D ars t ellun g en v o n 8 a in d e r F o rm
,
'
’
2
u
'
,
,
-
,
’
,
,
2
8a
und
die
5
21
A n z ah l
2
+ y +
33
2
+ t + 2 02 + w
2
2
der D arstellungen v o n
= m2 + y2 +
4u
2
,
2
2
g
)
i n d er F o rm
4a
2
+ t +
20
2
)
m i t p o s i t i v e m i u n d b e i d e m a l m i t p o s i t i v e n u n ge r a d e n
Z a h l e n x y 2 t v w s o i s t d e r Un t e r s ch i e d
,
,
.
,
,
,
,
4 QI
A
C1 04)
2
d i gl e i c h d e r S u m m e d e r T e i l e r v o n u
D u r c h e i n e v ö l l i g an a l o g e B e h a n d l un g w i e fü r d i e
F o r m e l ( 62) w e i s t m an d i e an d e r e n a c h fo l g e n d e F o r m e l v o n
L i o u v i lle n a ch
i n w e l c h e r fü r d i e F u n k t i o n E (x y) d i e
B e dingungen
.
.
.
,
,
—
6
3
( )
'
v o rau s ge s etz t s in d:
6
’
1)
2u=
(64)
d
"
d
x2
—1
d
2
"
—1
r
ö + ö
2
Z
=
u
d
)
"
6
=
n
'
1)
<
e
-1
2
"
—1
2
6
Man darf z B die Funktion F (x y) so sp ezialisieren daß sie für
alle in Frage kommenden Argumente konstant etwa F (x y) 1 ist
Für diesen ä ußerst ein fachen Fall verwan delt sich d ann die vor
stehende Beziehung in die andere :
.
,
.
,
,
—
1
d —1
L +
2
5;
"
2
(
1)
2
2
=
Z
(
1)
,
9
2
+ 4
Z
-
.
(
1)
2
—1
2
e
"
_1
U
3 92
n t e rs u c h u n
"
ö
7
1
( )
en
"
2d
x
'
d
2d =
—
s
"
L i oumzlle
von
'
23
‘
6
g
'
.
y
"
z,
so ergib t s ich daraus umgekehrt
7
2
( )
Z e rf ällu n g
s( )
,
z
2
4 yz
x
x z ungerade
7
3
( )
,
7
4
( )
x
geht eine ganzzahli ge
66
( )
4s
he rvor in welcher
ist
"
ö
und aus der
Gleichung
z
x
2g
,
32
Auflösung
der
2
O
z
0
z
Wenn umgek eh rt x y z eine solche A uflösung der Gleichung
s( ) bedeuten so folgt nach den Formeln ( 7 2) oder den ihnen gleich
bedeutenden Formeln ( 7 1 ) eine Z e rf ällun g
welcher entsp rechend
in der Summe S ein Gli ed
-
,
,
.
,
,
1
-
oder da
,
s
"
F (y
2, x,
y,
2
)
also wegen des ungeraden
=
s
ist das Gl i ed
"
2d
5
;
,
x
cm
auftritt
2
+
"
+
x
“
v
2y
+z
mod
(
2
2y +
z
1
2
e
+ 2 s
d
"
2)
a
e
steht einer Auflösung x y z der Gleichung (s) welche die
Bedingungen ( 7 3) erf üllt stets e ine zweite x y z zur Seite für
die sie gleichfalls erfüllt sind In einer von beiden i st also die ers te
Variable p ositiv und man darf anne h men d aß dies bei der Auflösung
x y 2:
der Fall d h x > O sei Genügt dan n die zweite Auflösung
nicht auch der mit ( 7 4) korresp ondierenden Bedin gung
a: 2 y
z
O
so gehört zu ihr kein Glied in der Summe 8 Ist dagegen
m
( )
so entspricht ihr ein solches n ämli ch das Glied
.
Nun
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
.
.
,
1
.
,
d h m it
das Glied
.
W
( )
.
—
x y z)
R ü c k s i c h t a u f d i e e r s t e d e r Vo r a u s s e t z u n g e n ( 65 )
2
_ + 2y +
2
—o
x
'
z
F (y +
1
2
e
zy
)
+ 2 s a
y
e
.
Ei
ne
r t
d it
I /iou v i lle s c h e G
e
r
und f o
rm
el
3 93
.
folgt aber um so mehr
demnach entsp richt auch
der zugehörigen ersten Auflösung x y z ein Glied der Summe 8
n ä mlich das Glied
welches dem eben gedachten gleich aber
entgegen gesetzt ist da
Au s
6
7
( )
,
1,
,
,
—x +
1)
2y +
z
2
x
1
-
+
2y +
z
1
2
1)
x
-
1)
+
2y +
z
2
1
ist Da hiernach je zwei derartige Glieder sich heben bleiben in der
Summe S I nur solche Glieder bestehen welche A uflösungen x y z
der Gleichung (s) von der Art entsp rechen daß
x z p ositiv und ungerade
2y
z
7
8
( )
zugleich aber
,
.
,
,
„
,
x
O
,
2y
a;
ist
O
z
.
N achdem
dies f ü r d ie Summe S festgestellt ist behandeln
gleicher Weise die Summe 8 2 Setzen w ir wieder
,
,
w ir
in
.
7
9
( )
2 d2
82
—
2 612
31
31
2 62 =
8
0
( )
—6 2 /
3
2
2 8 1 + 62 =
— 2d
2
woraus umgekehrt
:
a
y
Z
x
— 2
y
z,
— z
hervorgeht so erkennt man mit R ü cksicht auf die Z e rf ällu n g (6 8)
leicht daß x y z wieder eine ganzzahlige Auflös un g der Gleichung
s( ) bilden in welcher
8
O
und
ungerade
z
ungerade
1
x
>
( )
und zugleich
O
z
a: 2 y
2
0
y
z
8
2
( )
4
mod
x + 2y + z E O
)
(
ist Umgekehrt findet sich aus einer derartigen Auflösung der Gleichung
s( ) vermittelst der Formeln (80) eine Z e rf ällu n g von der Form
also stets auch ein entsp rechendes in S auftretendes Glied
,
,
,
,
,
,
x
.
.
'
‚
,
83
( )
x,
-
1)
2
2
k ann man wi eder jeder Auflösung x y z der Gleich un g (s)
für welche di e Bedingu ngen ( 8 1 ) erfüllt sind eine zweite ihnen gleich
falls genügende x
die
Seite
stellen
und
da
in
einer
von
a
n
z
y
beiden die dritte Vari able p ositiv sein muß dürfen w ir annehmen
N un
,
,
,
,
,
,
,
,
,
U te r
3 94
n
su ch u n
g
L i o u mllc
’
en von
.
3
daß dies etwa bei der Auflösung x y z der Fall d h z > 0 sei
Wenn dann d i e zweite A uflösung die den Bedingungen ( 82) ent
s prechenden
,
,
x
wg
x
.
.
.
+ 2y + z > 0
— 2 —z > 0
y
—
—
2y
w
—
E
O
z
mod
(
.
deren letzte auch in der Form
x
mod
4
(
)
geschrieben werden kann nicht erfüllt so gehört ihr in der Summe 8
kein Glied zu Entgegengesetztenfalls entsp richt ihr das Glied
_
_
x
y : z) :
w e l c h e s m i t R ü ck s i c h t a u f d i e z w e i t e d e r Vo r a u s s e t z u n g e n
6
gleich
5
( )
8
4
a
(
)
2g
2
z E
.
2
,
,
.
7
x
+
2 y+
z
2
g
h
)
z
gefunden wird Man bemerke endlich daß immer nur eins der beiden
B e din gu n g s s y s t e m e ( 82) und ( 84) erfül lt sein kann
Sieht man jetzt bei der Summe zuvörderst von denjeni gen etwa
vorh andenen Gliedern ab welche A ufl ösungen der Gleichung (s) z u
gehören bei denen
,
.
.
,
,
8
6
( )
x
2g
O
z
ist so stimmen o ff enb ar die L ösun gen dieser Gleichung welche den
Bedi n gungen ( 7 8) genügen insgesamt mit denjenigen L ösungen über
welche den Forderungen ( 8 1 ) zusammen mit z 0 un d sei es
e in
A
oder
gehorchen
Da
aber
die
jenen
uflösungen
zugehörigen
2
8
4
8
( )
( )
G lieder ( 7 5 ) der Summe den den letzteren zugehörigen Gliedern ( 83 )
resp ( 85 ) der Summe S entgegen gesetzt gleich sind so heben sich
alle Glieder der letzteren Summe im A usdrucke S gegen die Summe S
fort und es bleiben darin nur diejenigen Glieder der Summe S b e
stehen für welche etw a die Gleichung ( 86) erfüllt ist
Setzt man aber x = 2y + z so nimmt die Gleichung (s) die
Gestalt an :
y
s
z
(
)
Derartige Auflösungen sind also nicht vorhanden wenn die gegebene
Zahl s keine Quadratzahl ist M a n s c h l i e ß t d a r a u s d a ß i n d i e s e m
F all e S = O i st
Ist dagegen s eine Quadratzahl 3 6 w o o 0 so ergibt sich
,
,
,
,
.
2
.
,
,
,
,
.
,
,
2
.
,
,
.
2
.
2
,
,
=
y+
= 2y +
z
‘
,
62
da aus y + z
6 und x
z > 0 s i ch y > 6 >
z
ositiv
denkende
sich
als
neg
t
v
ergeben
würde
u
a
i
z
p
erh ält m an folgendes Werts ystem :
= —
0
.
also das
Demnach
U
39 6
ge
L i ou v ille
von
n
.
ist ; demn ach reduziert sich die gesamte Summe auf
Ferner ist
f(
Null
r
nt e s u ch u n
.
.
Z
a
=s ä+
2a
f( )
62)
d
g
( s
d2
sl
ö.
2
=22+
2a
Setzt man nun 3 2 2 24 wo u ungerade so bedeutet 62 jeden
Teiler von u d 2 aber jeden Teiler von 82 desse n kom p lementärer
"
Teiler ungerade ist d h das 2 fache jeden Teilers von u Somit ist
2
2
,
,
,
,
.
.
.
s
m
2
und
2
2
'
51 W
):
2
ö .)
.
82
n( )
1)
Mit Rücksicht auf diese
ziehung
Umstände
51
u
so w ie
au f
die bekannte
Be
—1 = h 2
)
nimmt der Satz ( 87 endlich folgenden besonderen Ausdruck an :
I s t f (t ) e i n e g e r a d e F u n k t i o n v o n t s o i s t
’
,
Z(
7
a
8
(
)
-
1
2
"
ö
2
2
d
f(
2
"
s
—
)
a=
’
Z
8
g l e i ch N u l l o d e r g l e i ch s
o de r e ine Q u a dratz ahl i st
Wählt m an zweitens
f
f( ) C
21
+ 2 az
j e n ach dem
s
k e in Q u adra t
.
Z
x
:
G :y: )
F
f 0) :
unter f (t) eine ungera de Funktion verstehend so daß
0
O
t
f(
)
N ) :f ( )
ist so findet man wieder die Voraussetzungen (65) erfüllt Der
druck ( 8 7 ) geht dann über in den folgenden :
,
.
,
l
-
2
d
f(
2
2
Au s
"
in welchem zudem noch die zweite Summe verschwindet da für
O auch
O für z w ei Z e rf ällun ge n ( 6 8) mit entgegengesetzten
s
31
aber f (s l ) f ( 8 ) = 0 ist Da in der dritten S u mme in
s
er
ist
8
7
A
n zahl derselben gleich V
ä
der
konstant
die
u
m
m
a
n
d
e
S
( )
hellt für diesen Fall der äußerst einfache Satz :
I s t f ( t) e i n e u n g e r a d e F u n k t i o n v o n t s o i s t
,
1
,
'
,
‚
1
1
.
'
,
,
,
8
7
b
)
(
Z
—2
(
.
d
2
f(
i
"
=
a
g l e i ch N u l l o d e r g l e i c h
o d e r e i n e Q u a d r a t z ah l i s t
j
e
n
a
c
h
d
e
m
)
(
f fl
,
.
s
k ein Quad rat
B e so n d e
14
.
r
Sei z B f (x)
.
.
e
F ä ll
e
=x
St
ä
.
r
d i e F u nk t i o n
397
Dann liegt die Summe
.
Z
üb e
ze
(
-
2
2
2
(
2
2
"
s
'
)
vor die sich ein facher auf die Summe
,
_ l —1 g d u
)
(
Z
8
8
( )
"
1)
2
a
2
.
n
8
s
"
—1
‚
2
8
a
-
)
2d
u
n
i
2 d
a
,
u
reduziert da j edem von Null verschiedenen Werte s ein zweiter s
zur Seite steht Vorsteh ende Summe ist also N ull oder gleich s je
nachdem s kein Quadrat oder eine Quadratzahl ist Nun ist für eine
"
2M wo u ungerade ist die Summe
gerade Zahl s
'
'
,
.
,
.
,
,
s
"
2
=
2 2
2h d d
1)
2
2
2
2
ms e )
2
(
2
22
c
während für eine ungerade Zahl
s
u
"
H
d
d
ist Hieraus folgt w e n n z u n ä ch s t s g e r a d e g e d a ch t w i r d w o
dan n
"
s
s
gerade oder ungerade ist j e nachdem s das die Werte O i 1
aufhört
annehmen k ann b is s
ositiv
zu
sein
gerade
2
p
oder ungerade ist für die Summe ( 88) der Ausdruck
,
.
,
'
,
,
,
,
'
,
,
,
,
und demnach die Gleichun g
4)
2 C1 (s
1)
2
2 C‚ (s
-
4
(2)
8
C1
in welcher (n (s) die Null oder Eins bedeutet je nachdem
Quadrat oder eine Quadratzahl ist
We nn d a g e g e n s u n g e r a d e i s t also
,
s
kein
.
,
s
rs
gerade oder ungerade wird je nachdem s ungerade oder gerade
wählt wird so entsteht aus gleicher Erwä gung die Formel
'
,
,
g
e
U ter
39 8
su c h u n
n
g
L i ou mlle
'
von
en
.
Die ungerade Zahl s ist gewiß keine Quadr atzahl wenn sie von
einer der Formen 8 k 3 5 7 ist
für jedes ungerade 3 ein e ungerade
I m F a l l e s 8 k 5 ist
2=
2 cc daher
Zahl u d h s s
,
,
,
.
'
'
.
2
2
,
.
2
(
1)
2
1)
2
2
(
o s o)
»
also
D e m n a c h n i m m t i n d i e s e m F al l e d i e G l e i ch u n g
r e c h t e S e i t e v e r s ch w i n d e t d i e G e s t a lt a n :
da ihr e
,
-
(
q0 a
.
)
0
8 ;l
+ gl
In den F ällen dage gen wo
—
findet man 2 für jedes ungerade
wo u ungerade mithin ist
s
= 8k + 3
s
,
s
2
o d e r 8k + 7 i s t
ungerade d h s s =
"
8
'
,
’2
.
.
,
m
s
s
2
1)
2
(
2
)
3
oder
€1 6
g1
'3
(2 )
3
8
2 g1
2
(
s
F ü r d i e s e F ä l l e n i m m t a ls o d i e G l e i ch u n g
i h r e r e c h t e S e i t e N u l l i s t d i e G e s t a l t an :
da wieder
,
+ 2 C1 (S
€1 6)
b
9
0
)
(
2
=4
—4
+
E
( G )
2
9
D i e s e n i n t e r e s s a n t e n fü r d i e F u n k t i o n
gelt en den
B e z i e h u n g e n k a n n m a n ä h n l i ch e a u f d i e F u n k t i o n
be
a
n
d
i
e
S
e
i
t
e
s
t
e
l
l
e
n
Setzen
wir
um
sie
herzuleit
en
zü
l
i
c
h
e
g
5
w ir
die
Funktion
sin
so
finden
in ( 8 7 b ) an Stelle von f (t )
2
,
.
,
75
-
,
9
1
( )
Z
(
S ei nun
s
sm
-
1
2
sin
e i n e u n g e r a d e Z ah l
= sm
2
s( )
a)
2 "
2 d
2
7r
cos
8
n
sin
2
Da
.
i
'
-
2
—
—
—+
s ar
2
cos
2 d
"
'
7z
o
2
em
s az
?
gesetzt werden kann zerlegt sich die Summe in zwei andere deren
annehmen
zweite verschwindet da s die Werte O
1
2
,
'
,
,
i
,
,
,
U te r
400
su c h u n
n
in denen
O
a
g
L i ou v zlle
'
en von
.
gerade ist und
un d
,
(
2 o (s
die Anzahl jener Darstellungen in denen a O und ungerade ist Da
nun bei der für 3 angenommenen Form die rechte Seite der Gleichung
:
verschw
i
ndet
erhellt
der
folgende
Satz
92
( )
I s t 3 5 5 (m o d
s o i s t d e r Ü b e r s ch u ß d e r A n z ah l d e r
D ar s tellun gen v on 3 i n d er F orm
,
.
,
.
=
3
u
2
2
+ 4 a + 4b
2
m i t n i c h t n e g a t i v e m g e r a d e n a ü b e r d i e A n z a hl d e rj e n i g e n
D arst ellun gen m it p o s i tiv e m un gerad en a gle ich
d i
g l e i ch d e m Ü b e r s c h u s s e d e r A n z a h l d e r T e i l e r v o n 3 v o n d e r
F o r m 4 73 + 1 ü b e r d i e A n z ah l d e rj e n i g e n v o n d e r F o r m
3 ; d h e s g i l t n a ch Va h le n s B e z e i ch n u n g d i e Gl e i c h u n g :
4k
.
.
.
( 9 3)
N
(
3
„
2
4a
2
1)
2
4b ;
T
a
)
a
9
O
5
Zur Formel ( 8 7 a) zurückkehrend s e t z e n w i r
v o r a u s und w ählen
sin
t
t
f()
So erhalten w ir aus ihr di e Beziehung :
15
.
3
.
als u ng era d e
2
Z
(
_
n
O
a
.
2
d
(
5
_
S ) sin
rl
!
co
()
s
/
l3
3
2
o sin
2
31
.
€1 62)
s in
man in der ersten Summe den Sinus auf so zerf ällt sie in die
zwei Bestandteile
:
2 d
2 d
'
O
m
s
cos
cos
sm
1
s
+
(
)
2
2
2 )
( 2
L öst
,
2
ä
—1
1)
(
2
+
-
8
8
u
1
_1
"
i
'
7 1;
8 7
"
’
at
s az
0
.
.
d
H
s
(
s
om
i
2 d
l
'
:
i
7l
co s
2
+
2
2 d
co s
'2
at
0
.
2
sm
Ü
2
)
.
Im ersten derselben darf man das zweite im zweiten das erste Glied
in der Klammer unterdrücken d a die bezüglichen Summen wegen
der gleichen aber entgegengesetzten Werte die 3 annimmt ver
schwinden D aher geht aus vorstehender Gleichung die folgende
hervor :
,
,
'
,
,
.
(
E
'
9
4
( )
+
Z
(
—1
1)
8
o
8
i
ö
" '
s
.
cos
i
2
sm
n
i
“
2 d
"
2
s in
at
o cos
2
81
sin
51 1
2
Ei
B e zi e h u n
ne
g
z w i s ch e n
d e n Fu nk t io n e n g
()
3
und
40 1
Hierbe i braucht die erste Summation nur noch über alle geraden die
zweite über alle ungeraden Werte von 3 ausgedehn t z u werden d a
verschwindet
f ü r die übrigen cos — resp s m
2
7
B e s ch r ä n k e n w i r u n s n u n w i e d e r a u f d e n F a l l 3 8 73 + 5
Dann folgt aus der Gleichung
,
'
‘
,
.
.
'
.
S
8
12
s
"
,
falls 3 gerade ist 3 ungerade also s = 0 ; ist aber 3 ungerade so
wird
von der Form 8 k 4 also i 2 Ferner ist der
Gleichung 3 3 2 2 d d, zufolge 3 1 ungerade Demnach geht dann
aus ( 9 4) diese an dere Gleichun g :
"
'
'
'
,
,
,
.
2
d
'
.
—1
3
3
'
—1
—
31
1
hervor in welcher man den einzeln en Summen die ausführ li chere
Gestalt :
,
d
(
3
'
—
1)
und da
,
—8
2
(
2 e 1 ne
8
1
1)
2
nur durch
c.
ist
_1
2
3
8
ll
2
2
(Q)
2
2
teilbare Zahl mithin
,
2
2
(
1)
2
7
2
81
2
2
21
gl
v
2
6 )
-
1)
(
1
-
81
8
—1
2
2
geben kann Mit Rücksicht hierauf nimmt die erhaltene Gleichung
diese neue Gestalt an :
.
,
—4
)
2
o(
—1 6 —
)
s
— 1
3
—9
3
— 25
>
2
2
.
2
-
w o r a u s wenn man sich der Gleichu ng ( 92) erinnert nach
falls 3 8 k 5 ist
,
,
,
ist s ch l i e ß l i ch d i e B e z i eh u n g
,
4) — 4
-
9
5
( )
B
e r s ch l o s s e n w i r d
i d
c m
Z l
2
o(
s
— 36
)
.
a
h
an n
,
n e
e re
ah
e n t h e o ri e .
II
.
26
2
o
w
elcher
,
U te r
402
su c h u n
n
g
L i ou v i lle
en vo n
.
4 o
Um sie zu deuten bemerke m an daß
4 a ) die Anzahl
der Darstellungen
s
()
anzeigt in denen die erste Unbesti mmte den Wert a hat und daß
folglich die vierfache linke Se ite der Gleichung die Summe
,
,
2
,
,
—
1
_l
)
(
Z
a
a
2
ist wenn letztere auf sämtli che L ösungen von ( s) mit p ositivem a
erstreckt wird eine Summe die in Vahlm s c h e r Bezeichnungsweise durch
,
,
,
4a
N (s
2
b
2
0
1)
;
O
a
C"
“
1
a
)
2
o8 C (
s
ausge dr ückt
U
2
werden kann Da ebe so
für
ein
ungerades
l
4
die Anzahl der Darstellun gen von s in der Form
n
.
s
= U2 +
ergibt so is t di e achtfache rechte Seite der Gleichung die über alle
solche Darstellun gen mit p ositivem ungeraden U erstreckte Summe
,
—l
U
n
e
z
oder
N
(
s
v
z
U— l
= U + 4 (x + 31 +
2
2
3
U
O,
z
un
2
+ t
);
1)
2
gr
2
o
)
U
.
e ad e
Endlich aber ist
für ein un gerades
Dars t ellungen von s in der Form
u
die
Anzahl
der
mit p ositiven ungeraden u u um n M und daher die rechte Seite
der Gleichung selbst die über alle solche Darstellungen ausgedehnte
Summe
l,
,
1
u
2
oder
4,
ö ,
1)
%
2
-
u
u
u,
u
,
pos
.
,
un
gr
e
—l
.
Man erh ält demnach z w ischen den soeben definierten Summen die
Verhältni sse :
8
.
Z
_
1
(
)
u
—1
2
U
-u
2
.
Z
'
(
-a 2
=
Z
(
5
1)
1
.
U
U te r
404
su c h u n
n
d
2
1
0
(
)
=
"
x
g
L i o u mlle
'
en v on
— 2z
‚
vermittelst deren die
Gleichung
s
()
liefert bei welcher
2s
Z e rf ä llu n g
x
y
= x — y — 22‚
eine ganzzahlige
9
8
( )
2
'
.
2
42
Auflösun g
der
2
,
x y ungerade
3
1
0
a
)
(
,
,
z
und
b
1
0
3
)
(
ä
O
x
ist Umgekehrt ist für j ede solche A uflösung in der Summe 8 ein
anden
2
vorh
dessen
A
rgumente
der
2
zugehöriges G lied F ( x
y
)
durch die Formeln ( 1 0 2) bestimmten Z e rf ällu n g (9 8) entsp rechen
Nun gehören immer acht den Bedingu ngen ( 1 0 3 a) genügende A u f
lö sun gen der Gleichung (s ) zusammen die sich nur durch v e rs chi e
dene Vorzeichen voneinander unterscheiden Von ihnen besteht eine
{3 und nur vier von ihnen :
aus lauter p ositiven ganzen Zahlen E
'
1
.
,
,
,
.
,
.
,
,
ä m
am
ä;
«
C;
-
ä
m ä;
-
vermögen die Bedingungen ( 1 0 3 b ) zu erfüllen also ein Glied für die
Summe S i zu liefern Diese Bedingungen nehmen f ü r sie res p
folgende Formen an :
,
.
.
1)
— 2 >
g
g
2)
ä + 2 c> 0‚
3)
—
2 C > 0‚
ä
2
o
+
>
g
n
o,
n
-
Q Q> Q
2
0
+
>
ä
n
-
4)
fl
bei 1 ) kann die zwe ite bei 2) die erste Ungleichheit als s e lb s t v e r
erfüllt unterdrückt werden Wenn nun aber die B e
s t än dlic h
d in gu n ge n 4) erfüllt sind d h wenn der vierten A uflös u ng ein Glied
,
.
,
.
.
g:77 :
:
der Summe S zugehört so sind um so mehr die Bedingungen 2) erfüllt
es gehört also auch der zweiten Auflösung ein Glied F ( ä 77
2 g)
zu und die Beiträ ge beider Auflösungen zur Summe 8 zerstören
einander während di e Bedingungen 1 ) und 3 ) nicht erfüllt sind I n
diesem Falle ist also der gesamte Bei t rag der vier Auflösungen N ull
Sind dagegen die Bedingungen 4) nicht erfüllt so gehört weder der
vierten Auflösung noch auch falls g 2 g O w ä re einer der drei
0 ist ( der
anderen A u flösungen ein Glied z u ; sooft aber ä
Fall der Gleichheit ist ausgeschlossen da E ungerade ist) sind nicht
nur die Beding u n gen
sondern auch e i n e der Be ding u ngen
3)
erfüllt und m an erhält in S { die zugehörigen Glieder F G 77
und res p F G 7
oder das diesem nach (9 7 ) glei che Glied
—
F (
77
— 2
g)
’
l
,
,
,
,
'
1
,
,
.
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
7
,
,
Ei
F
ne
vi t e
er
r
L i o u v ille s c h e G
undfo
rm
el
zusammen also als den den vier
G
,
405
.
Auflös un gen
zu
.
gehörigen Beitrag
s
E
Daraus erkennt man
+ F (s‚ n,
n,
,
d aß
,
M)
zu setzen ist wenn man die Summation auf alle Auflösungen der
Gleichung ( s ) erstreckt bei denen x y z p ositive ganze Zahlen
x y ungerade und
2
2
y
)
'
1
04
)
(
81
(
F
,
y;
x‚
,
,
,
x
,
0
5
1
(
)
ist
,
,
0
.
17
.
Setzen
w ir
nunmehr zur Behandlung der Summe
d2
82
y
:
i
2
so w erden x y z ganze Zahlen sein ; daß es auch z ist ersieht man
da aus ( 9 9) die Kongruenz 1 E 61 6 also d E 6 (mod 4) hervor
geht Hiern ch wird das allgemeine Glied der Summe 8 wieder
F (w y
und wir betrachten auch hier zunächst denjenigen B e
standteil S der Summe welcher die Glieder mit nicht v e rs ch w in
dendem z umfaßt Au s ( 1 0 6) folgen als gleichbedeutend die B e
ziehungen
0
1
6
(
)
,
d,
x
d2
31
,
,
2
2,
2
2
.
a
.
,
2 27
)
‚
2
,
!
?
,
.
1
0
7
(
)
sl
=
y,
d2 =
x
62 =
+ 2 z,
x
— 22
und die Z e rf ällu n g ( 99) liefert eine ganzzahlige
Gleichung
( )
2s
s
bei welcher
08
a
1
)
(
und
=
x
2
+ y
x y ungerade
,
1
08
b
(
)
x
x
42
-
x
,
+ 2 z > 0,
2
0,
A uflösung
der
2
,
z
‚
ä
0
— 2z > 0
ist Umgekehrt entsp richt jeder A uflösung dieser Art in 8 e in Glied
u
n
gehören
immer
vier
A
u
fl
ösungen
zusammen
bei
N
y
denen die Bedingungen ( 1 0 8 a) erfüllt sind ; eine von ihnen besteht
aus lauter p ositiven ganzen Zahlen 23 7 C und die anderen unter
scheiden sich davon nur durch verschiedene Vorzeichen :
5
‚
.
2
,
,
,
1
,
,
— g
5;
8;
:g; 3
Die ihnen entsp rechenden Ungleichheiten ( 1 08 b ) reduzieren sich stets:
auf die einzige :
€7
77
7
1
9
0
(
)
7 2
7
—
'
ä
2C
0;
ist sie nicht erfüllt so liefern die vier Aufl ösungen kein Glied zu
andernfalls erh ä lt man die vier Glieder
,
F
_
7 2
2
g
g) 2
(7 7
F
(E:
Un
40 6
t
e rs u c h u n
ge
n von
H
ou v ille
.
also zusammengenommen und mit Rücksicht auf ( 9 7 ) den Beitrag
F G:
zur Summe
Hieraus folgt
S;
2
'
2
(
F
[
2
2
y: )
x2
y
C:
F
”
)
wenn auch di ese Summe wieder über alle L ösungen der Gle i chung ( s )
bezogen w ird be i denen x y z p ositive ganze Zahlen x y ungerade
und
,
,
,
,
,
x
,
— 2z > 0
ist Man schließt also durch Vergleichung mit ( 1 04) zun ä chst die
Gleichheit
.
1
1
0
)
(
2s ;
Was nun die beiden zun ä chst ausgeschl ossenen Bestandte ile der
S ummen 8 „ S , betri ff t welche den A u fl ösungen der Gleich u ng ( s )
e nts rechen
n denen z 0 ist so gehört der erstere nach ( 1 0 1 ) zu
p
,
denjenigen
i st
i
,
,
A uflösungen ,
bei welchen
=
d
y
,
d i zu
.
.
d e n A uflösungen
der Gleichung
2s
in
o
s
i
t
i
v
e
n
x
p
bezogene Summe
,
"
x
i"
2
y
und er ist folglich die über solche
y,
Auflös u ngen
y
m
2
1
1
1
(
)
1
,
,
x
Der andere entspricht d e n A uflösungen derselben Gleichung ( s)
in denen nach ( 1 0 6) d
d also
6 > 0 d agegen die Z ahl y
welche da 2s kein Quadrat ist nicht N u ll sein kann p o s i t i v oder
n e g a t i v sei darf; dieser Bestandteil ist also gleich der Summe
,
2
,
2
2
,
,
,
,
.
n
(
2
F
(
x,
0
y, )
F
y
a
,
,
wenn der letzteren g l e i ch e A u s d e h n u n g w i e ( 1 1 1 ) gegeben wird
Wegen ( 9 7 ) ergibt er sich also do p p elt so groß w ie
In Ver
bindung mit der Gleichheit ( 1 1 0) erschließt man also auch die zu
beweisende Gleichung
A u s f ü h rl i ch g e s c h r i e b e n b e s t e h t a l s o d i e n e u e L i o u m lle s c h e
F orm e l:
.
,
'
6
1
1
2
(
)
=
az
da
2 ( =g
F
23
3
l+
81 ,
da ö i
"
da
2S
g
I
d
"
6
M
)
U te r
40 8
su c h u n
n
28
L ös ungen
der angegebenen
sich schreiben als
ausgedehnt über alle
u
A rt
L ösungen
2
1)
<
u
?
.
2
+ 19
besitzt und die ganze Summe läßt
,
der Gle i chung
u
f
9
2
S o n i m m t d i e F o rm e l ( 1 1 3)
u, u l .
—1
ö
4
1
1
(
)
=
2
M
mit p ositiven ungeraden Zahlen
d i e G e s t a l t a n:
L i ou vi lle
e n von
2
2s
-
g
2
°
6
f(
"
Ein interessantes Ergebnis bietet die Wahl
—
l
y
1)
2
was i n der Tat e ine gerade Fun kti on von y ist
lin ke Seite über i n di e S u mme
Dann geht die
'
e
2
1
M
"
1
W
2
.
.
2
1
1
W
.
deren zweiter Teil verschw indet da s wenn es n i cht Null ist je
zwei gleiche aber entgegengesetzte Werte anzunehmen hat und der
erste Teil w i rd einfacher
'
,
,
,
,
€1 0
Mithin erh ält man die Gleich ung
u
Z
1
1
5
)
(
(
=
g(
s
l
Z
(
Nun bestimmt
Gleichung
8 31 (s
— 2s "
)
23
s
N e nn t m an d ah e r
Gl e i ch u n g
N1
s
2s
'2
=
2
=u + u + 9
ä
2s
o
1)
—l
2
die
Anzahl
der
2
2
2
x
31 +
die
A n z ah
"
2
x
2
y +
2
2
+ t
5
u
.
2
A uflösungen
der
A u fl ö s u n g e n
der
.
l der
2
.
s,
b e i d e n e n s g e r a d e u n d N ,3 d i e A n z ah l d e rj e n i g e n b e i d e n e n
3
u n g e r a d e i s t so folgt aus der Formel ( 1 1 5 ) die ein fache B e
ziehung
’
,
,
'
,
u
1
1
7
(
)
N l — N2 = 8
Z
(
1)
—l
u
1)
3
—l
3
u
d
deren rechte Seite auch geschri eben werden kann w i e folgt :
_
o
5
1
1
9
5
2
8[
2
s
s
2
9(
9(
)
)
)
u , ul
0,
n g e ra
e
,
-
-u
)
‚
D
N och
e
fi
ni
ti
on
zw e i e
r
wollen wir in
t
Fu n k io n e n 9
'
9
"
(u )
409
.
eziell
F (x y:
z)
setzen w o f (x) e i n e u n g e r a d e F u n k t i o n sei D a n n e rh a l t e n
w i r d i e b e s o n d e r e F o r m e l ( s S tep han S mith rep ort o f the Briti sh
A sso c for adv o f s e L ondon 1 866 S
Sp
7
.
,
.
.
.
.
.
,
,
,
.
=
1
1
8
)
(
d’
62
Z ( 2)
f
Wenn wir nun hier den V oraussetzungen entsp rechend f (x)
1 sooft a3
wählen sooft x 0 dagegen f (x)
0 ist s o l e h r t
d i e F o r m e l d a ß d e r Un t e r s c h i e d z w i s ch e n d e r A n z ah l d e r
A u fl ö s u n g e n d e r G l e i ch u n g
2
s 28 + d ö
b ei den en
i s t u n d d e r A n z a h l d e rj e n i g e n b e i
w e l ch e n
i s t d e r A n z a h l d e r A u fl ö s u n g e n d e r
G l e i ch u n g
,
,
,
,
,
,
,
1
ll
n
,
,
,
,
2s
m it
s
f
dg d2
o
s
i
t
i
v
e
m
g
l
ei
c
h
i
s
t
s
p
von dem w ir sp äter Gebrauch machen
1 9 Mit diesem Satze
werden wollen w ir die Mitteilung L iou mlle s ch e r Formeln beenden
und gehen nun daran sie für die Untersuchung der qu at e r näre n
quadratischen Formen nutzb ar z u machen
Die Bestimmung der A nzahl aller D arstellun gen einer p ositiven
gan zen Zahl s in der Form
1
.
,
.
'
,
,
.
gründete sich wie im vori gen Kap itel gezeigt auf einen Satz den
w ir dahin auss p rechen können d a ß d i e A n z a h l a l l e r D a r s t e l l u n g e n
e i n e r p o s i t i v e n u n g e r a d e n Z ah l u i n d e r F o r m
,
,
,
,
u
gle i ch
4 9 (u )
.
ist
,
w
x
enn
2
+ y
e o)
o d e r wie mit
kann
,
Anw endung
des
2
1)
9
1
J aco bi s c h e n
S ymbols ges agt werden
,
1
1
9
(
)
es)
g e s e t z t w i r d Die Theorie der binären quadratischen Formen liefert
gan z äh nliche Sätze auch f ü r die Darstellun g einer Zahl durch andere
quadratische Formen z B durch die Formen
.
,
.
.
93
2
+ 2y
2
,
56
2
+ 3g
?
U te r
41 0
n
g
su ch u n
L zo u mlle
’
’
en von
.
S o i s t d i e A n z ah l al l e r D a r s t e l l u n g e n e i n e r p o s i t i v e n
2
u n g e r a d e n Z a h l u d u r ch d i e F o r m co + 2y g l e i ch
wenn
z
=
s o)
1
2
0
(
)
Z= ( ä
—
‘
dö
u
ge s etz t w ird un d d i e Anz ahl all er D a r s t ellun g e n e i n er
a d e n Z a h l v d u r ch
o
s
i
t
i
v
e
n
n
i
c
h
t
d
u
r
ch
3
t
e
i
l
b
a
r
e
n
u
n
g
e
r
p
2
’
d i e F o rm 2 + 3y gle i ch 2
w e nn
,
,
w
1
2
1
( )
o
3
—
)
o
=d d
)
g e d a c h t w i r d Während wir aber den erstgenannten Satz wie in
N r 3 und 4 des vorigen Kap itels gezeigt worden mit den Methoden
der additiven Zahlentheorie begründen konnten müssen w ir uns hier
damit begnügen diese anderen S ätze als Hilfss ä tze der Theorie der
quadratischen Formen zu entnehmen da für sie eine anderweitige
Begründung nicht vorliegt Ü b rigens können sie etwas allgemeiner
ausges p rochen werden Ist z B v 3 w eine durch 3 te ilbare Zahl
w ährend w als nicht durch 3 teilbar gedacht wird so ist aus jeder
Darstellung
3 w
x
3y
zu sehen daß x durch 3 teilbar x
sein m u ß ; da alsd ann
.
,
,
.
,
,
,
.
ho
.
.
.
,
,
,‘
2
o
2
,
,
—l
o
w
2
y +
wird ergibt sich auch y durch 3 teilbar u s w und man w ird zu e iner
Darstellung von w in derselben Form :
2
X
3W
w
geführt Da aber auch umgekehrt aus einer solchen sich
,
.
.
2
w
3 31
x
2
ergibt indem man je nachdem h 2k oder h 2k 1 ist
7
"+
"
7
=
Y y
3 X
3 Y oder x
3
3 X y
setzt so leuchtet ein daß die Anzahl der Darstellungen der Zahl
2
3 y ebenso groß ist w ie die der Darstell un gen
w durch die Form 72
von w nämlich gleich
x
,
,
,
1
°
‘
,
,
,
,
2
.
,
,
2
3
°
w
=d d
die Summe sich au f alle Teiler von w d i auf diejenigen Teiler
von v = 3 w bezieht welche nicht durch 3 aufgehen K o m m t
m a n ab e r ü b e r e i n u n t e r d e m J a c o b i s c h e n S y m b o l e
die
N u l l z u v e r s t e h en s o o ft n d u r ch 3 t e i l b a r i s t so darf man
wo
.
h
.
o
.
,
,
,
,
Un
41 2
t
e rsu c h u n
g
L io u v ille
e n von
.
Multip liziert man d iese Formeln m i t 4 s o lies t man aus i hnen
f ür u n
bei Beachtung der Bedeutung der Zeichen
"
gerade A rgumente s s sogleich den folgenden Satz ab :D i e A n
k
z ah l d e r D a r s t e llu n g e n v o n 2 m a l s S u m m e z w e i e r u n
g er ad en Z ahl en s s v o n d er F o rm
,
'
,
‚
"
’
,
S
r
=
x
2
+ 2z
2
S
,
= g + gt
H
2
2
,
wobei notw endi g x y ungerade sind oder w as das selbe sagt
A n z ah l d e r D a r s t e l l u n g e n v o n 2 u i n d e r F o r m
2
1
2
u
2
2
t
5
13
2
3
+
+
y
(
)
m it ungeraden x y in Z e i chen:
,
,
h
2
,
,
-
?
2
,
N (2
"
50
u
o
2
x,
o
oder 16
2 ist
Für den Fall ii
ist
,
d ie
2
+ y + 2z
y
un
gr
e
2
2
213 )
.
o d e r N u l l j e n a ch d e m
4
,
1, 2
k
o der
.
1
ist e 1 ne Darstellun g
2%
66
2
2
t
+ y +
)
2
mit ungera d en x y nur möglich wenn
beide gerade oder beid e
ungerade sind und diese Fälle ereignen sich resp je nachdem u von
der Form 4 k 1 oder 4 k 3 ist Ersetzt man im ersteren Falle
die Zeichen z t durch 2 2 215 so gelangt man zu de m neuen Satz e :
D i e Anz ahl d er D ars t ellun gen d e s D opp elten e i n er p o s itiv e n
Z a h l u v o n d e r F o r m 4k 1 i n d e r F o r m
,
,
,
.
,
.
,
,
4
1
2
)
(
,
2M
x
2
2
t
y
)
2
b eträ gt
Daß
ungerade sein sollen ist nicht weiter
hinzuzufügen da die Gleichung selbst diesen Umstand erfordert
Ne n nen w ir die Anzahl der obigen Darstellungen der geraden Zahl
k
2 m kurz
so ist um die Anzahl N (2M ) der D arstellungen
93 + y + 2 2 + 2 a
2m
ohne Ein schränkung der Z ahlen x y zu erhalten noch die Bestimmun g
der An zahl N 2 (2M ) derjenigen Darstellun gen erforderlich bei welchen
Setzt man aber x = 2x y = 2y so liefert die
x y gerade sind
vorige Gleichun g diese andere :
,
,
.
,
2
2
2
,
,
,
,
'
,
,
.
2
h
—1
0
.
5
u
d i eine Darstellung von
.
’
2
h
'
2
+ t
1 u
2 (x
2
!2
+
)
in der Form
X + 1 + 2Z + 2 P
2
m
u
2
72
,
u
und umgekehrt folgt aus jeder solchen Darstellung von 2
wieder
”
eine Darstellung von 2 u deren x y gerade sind wenn man
h- 1
o
,
,
,
D r te ll
a s
un
g
en
du
rh
r
d ie F o m e n
c
emnach
muß
D
.
y
’
= 2 Z , y ==2 T,
x
setzt
x
2
z
2t
,
x
2
y
’
4t
e
.
41 3
==X, t = Y
"—1
N 2 ( 2W)
2
N (2
u
)
und folglich
"
"
"
"
"—l
N( 2 u) N ( 2 u ) N2 ( 2 u) N ( 2 u) N (2 n)
sein Diese für jeden Wert h O geltende Beziehung gibt durch
Fortsetzung der gleichen Betrachtung di e Formel
o N ( 2u)
N ( 2W)
Dem ersten der obigen Sätze zufolge verschwindet aber jede der An
z ahl en
außer N (4 u) und N ( 2u) und man
erhält falls h i 2 ist
I
1
.
1
,
1
1
,
,
,
N 1 (2u )
N , (4 u )
dagegen für h
N (u )
1
Ne
oder kürzer :
u
M
)
2 “)
N 0» )
für h ä 2 :N ( 2 u) 20 o €1 04) N (u)
2
1
5
(
)
für h : 1 :M 2“)
1W)
Zur vollst ändigen Bestimmung von N (2W) i n jedem Falle bedarf
es hiernach noch der Bestimmung von N (u ) d i der Anzah l der Dar
stellungen der ungeraden Zahl u in der Form
"
'
.
.
.
u
=
2
x
2
2
+ y + 22 + 2t
Hierzu erinnern wir uns der Formel
gerade Zahl u
1
2
6
(
)
9
W)
4
u
'
2
=
81
2
nach welcher für ein e
nu
9
+
2i 82
ist wenn d i e Summe auf alle Z e rf ällu n ge n von u in eine p ositive
ungerade Zahl s und eine p ositive gerade Zahl
erstreckt wird
Wenn man beachtet daß
,
1
.
,
d
=
a
Z
=
d
_ 1
)
(
—l
2
7
d
wie aus Nr 2 des vorigen K ap itels leicht hervorgeht für eine Zahl s
von der Form 4 k 3 immer verschwindet so braucht man die
Summation in der voraufgehenden Formel o ffenbar nur auf diejenigen
,
.
,
Z e rf ällu n g e n
u
= g + %
sg
auszudehnen bei welchen die Summanden 3 s von der Form 4 k + 1
sind Da alsdann 1 9 6 )
die Anzahl der Darstellungen von s
„
,
z
.
1
,
2
1
U
414
nt e
r
s u ch u n
g
I /io u m lle
'
e n von
.
resp 8 als Summe zweier Quadratzahlen bezeichnen deren letztere
i
bek anntlich gleich der Anzahl derjenigen von 2
s2 in derselben
Form ist so ist
.
,
2
-
1
o
,
u =s +
i
2
l
o
82
der Darstellungen von u i n der Form
u x 31 +
t )
2
die Anzahl der
b e i denen 2 + t von Null verschieden ist und
übrigen n ä mlich der Darstellungen von in der Form
ersichtlich die
Anzahl
2
2
2
,
u
2
,
=
u
x
2
,
2
+ y
.
Daher liest man au s der Gleichung
wenn m an sie mit 4
multipliziert den Satz ab :
D i e A n z ah l a l l e r D a r s t e l l u n g e n e i n e r
o
s
i
t
i
v
e
n
u
n
g
e
r
a
d
e
n
Z
a
h
l
u
i
n
d
e
r
F
o
rm
p
,
u
93
2
2
2
+ y + 22 + 2 t
2
in Z e i ch en:
i s t gl ei ch
o
)
Verbindet man dies Ergebnis endlich mit den Gleichungen
so kann man über die An zahl der Darstellungen einer Zahl durch die
Form 93 + 31 + 22 + 2t überhaup t folgendes aussagen :
D i e Anz ahl d er D arstellungen e iner po s itiv en ganz en
" o
Z ah l s 2 u durch d i e F o rm
N (u
7
1
2
)
(
2
2
2
90
2
+ y + 22
2
2t
2
4
2
2
2
1
2
8
(
)
22
b etr ägt j e nachd em
2
+ 31 + 22
2
2t
2
h = 0, 1
o der
1 i st resp
oder 24 o C,
4 o
8 o C
Übrigens erh ält man diese Sätze unmittelbar aus denjenigen über
die Anz ahl der Darstellungen einer Zahl als Summe von vi er Quadraten
In der
w ie auch umgekehrt die letzteren aus den ersteren folgen
T at handelt es sich zun ä chst um eine ungerade Z ahl u so folg t aus
jeder Darstellung
’
u x + y + 2 (z + t )
durch die Subst itution
,
,
.
,
,
.
,
,
2
2g
die Darstellung
u
E
2
= p + g 2t = P —
2
q
'
2
90
2
.
1
29
(
)
u
2
2
+ y + p + q
worin 19 + Q 5 1 9 q O ( mod
geradem u in jeder Darstellung
2
2
.
g
,
Da aber umgekehrt bei
un
U tr
41 6
su c h u n
n e
g
e n von
L i ou v i lle
.
2
4q7
umgekehrt folgt aus jeder Darstellung von u in dieser Form
e ine Darstellung in der früheren wenn man durch die Gleichungen
hl
f
zwei
ganze
Za
en
ein
ührt
S
o
m
i
t
fo
l
g
t
1
z
t
2
3
)
(
u
nd
,
,
a
.
lso
1
3
3
)
(
w ä h r e n d o ffe n b a r
1
a
3
3
)
(
ist
.
Wenn dagegen u von der Form 4 k 3 ist so m uß in der
G1c i c h ung
2
u x y
2 + t
20
)
von den Zahlen z t ebenso w ie von den Zahlen a3 y eine ger ade die
andere un gerade sein J e v i er Darstellun gen von u in dieser Form
die sich nur durch Vertauschung von mit y oder von z mit t unter
scheiden entsp richt daher eine einzige Darstellung von u in der Form
,
.
2
?
2
,
x
.
,
,
,
,
= X + 21
2
u
7 2
2
+ 4Z + 8 1
7
2
und umgekehrt ; d e m n a ch fi n d e t m a n d i e G l e i ch u n g
N (4 k + 3
o der
1
4
3
(
)
Nach ( 1 3 3) und ( 1 33 a) ist die
ungeraden Zahl in der Form
2
90
2
Anzahl
der Darstellungen ein er
2
+ y + 42 +
bestimmt ; die Formel
”
in 2 u der E xp onent
gab sie bereits für eine Z ahl 2M Ist nun
h S 2 so folgt aus jeder Darstellung
2
h
=
2 ou
x + 31 + 4 2 + 4 t
=
2
daß 5c y beide gerade x =
sein
müssen
und
alsdann
y
y
findet sich
.
-
,
2
2
2
’
,
,
2
h
,
v
2-
u
=x + y +
'2
'2
2
2
+ t
2
,
u
wie denn auch umgekehrt aus jeder solchen Darstellung von 2
u
als Summe von vier Quadraten eine Darstellung von
der gedachten
Art hervorgeht
Daher ist
2
2
2
=N 2
1
t
N (2 u
u
x
2
53 + y + 4 2 +
+
+
+
3
)
(
mith in durch den J acobis ch e n Satz bestimmt Im ganzen gelangt man
hiernac h zu dem folgenden Satze :
h- 2
.
h
.
2
2
h-
9
.
.
2
2
,
.
D ar t e ll
un
s
g
r
d urc h d i e F o m e n
en
m
2
D i e A n z ah l d e r D a r st e l l u n g e n e i n e r
”
Z ahl 2 u i n d e r F o r m
2
O
2
2
+ y + 4z + 4t
x
+
2y
2
e
+ 4z + 8t
ä
41 7
o
s
i
t
i
v
e
n
g
an
z
e
n
p
2
i s t Nu l l w e n n h
und 20 2 3 (m o d
1
4 o
w enn h = 0 und “
o d e r w e nn h = 1 i s t
wenn h 2
8 o
24 o
wenn h > 2 ist
22 Zur allgemeinen Formel ( 39 b ) zurückgreifend in w elcher s
eine ungerade Zahl u bedeutet setzen w ir darin f (x) c o s l x und
erhalten
4 o
s in fi ß
s in l d
l
2
,
E
.
,
,
.
.
,
,
2=
dl
u
—
Z(
o
ö l + 2i d a ö z
2 co s 4 l
u =d
2 co s 2 l
1
oo
d
)
2 c o s (d
nach bekannter trigonometr i scher Formel
o 2 c o s (d
2 co s 4 l +
1 + 2 cos 2 )
gesetzt werden darf Hi ernach ist einfacher
1N
,
wo
d}
.
o
e
.
sin
s in
,
.
4
o
2
o
o
s1n
E
si n
s in
Wählt man nun den P arameter
2
2
g
1
2
2
.
d}
.
l
so geht die linke Seite in
;
.
2= e ) e )
z
i
d
d l l + 2 d z d2
u
s in
um
u
=8
1
+
5
2 8
2
über und das zweite Glied zur Rechten in
,
1
1
2
6
)
2
W u =d
-
d
So erhält man die Beziehung
9
7
'
W
2
1
3
5
(
)
9
'
2
51
u =8 +
1
2i
82
Nun bezeichnen
2 Q (sg) die Anzahl der Darstellungen von s
2 31 ;
3 2 in der Form x
resp von 8 oder w as dasselbe sagt von 2
mithin ist die vierfache Summe die A nzahl derjenigen Darstellungen
von u in der Form
'
2
i
2
.
1
2
,
,
1
36
( )
=
u
2
x
2
+ 2y +
W)
2
;
vor
8
bei denen 2 + 2 t einen von N ull verschiedenen Wert
die A nzahl der Darstell ungen von u in
stellt zudem aber 2 9
der Form
h m
Z hl h i
i d
27
2
2
-
'
B
,
ao
ann
n e
e re
a
ent
e or e
.
II
.
2
U te r
41 8
su c h u n
n
=
u
g
en von
x
2
L i owv i lle
+ 2y
.
2
b e i denen 2 +
d i derjenigen Darstellungen in der Form
ist Demnach liest man aus obiger Beziehung den Satz ab :
die
der Darstellungen einer ungeraden Zahl in der Form
2
.
.
u
.
2
1
3
a)
6
(
33
ist gleich
2
o
2
2
+ 2 31 + 2 2 + 4 t
2
215
O
Anza hl
2
in Zeichen :
1
3
7
)
(
Ist aber
Gleichung
2M
; eine gerade Zahl , also
=
2
h a
x gerade
:
z
g
2
2
so muß in jeder
h > 0,
+ 2 31 + 2 2 + 4 t
2
sein und es ergibt sich dann
2
2
u 11 + 2 + 2 16 + 2 t
und umgekehrt folgt aus jeder derartigen Darstellung von
Darstellung von
in der Form ( 1 3 6 a) Al so ist wenn
,
a
,
2
h- 1
2
2
,
.
,
2
u eine
O ist
h
,
2
2
2
2
P
+
+
y
),
wodurch man für diesen Fall auf den Satz der Nummer (20) zurück
geführt wird Demnach läßt sich auf Grund von ( 1 3 7 ) und ( 1 3 8)
der neue Satz aussp rechen :
D i e A n z ah l d e r D a r s t e l l u n g e n e i n e r p o s i t i v e n g a n z e n
”
Z a hl 2 u i n d e r F o r m
.
o
2
513
2
2
+ 2y + 22 + 4 t
2
b e tr ä g t w e n n h = 0 i s t 2 o C1 00 fü r h 1 i s t s i e
2 gl e i c h 8
h
u n d fü r h 2 gle i c h 24
Was ferner die Form
,
,
,
1
3
9
(
)
g
a
c
anlangt so folgt
,
2
g
+ 2y + 4 z + 8 t
2
fü r
2
.
a
= m + 2 31 + 4 z + 8 15 ,
x
g
2
2
2
d h wenn h O ist daß gerade sein muß und
a:
gesetzt wird die Gleichun g
.
C1 00) ,
jeder Darstellung einer geraden Zahl
au s
h
.
4
,
,
w
enn demgemä ß
,
"- 1 2
u
= y + 2 x + 2 2 + 4 15 ,
2
’2
2
2
und umgekehrt aus jeder derartigen Darstellung von
u auch
eine Darstellung von
Demnach ist für h O
u in der Form
-
2
2z +
also dem letzten Satze zufolge für h = 1 gleich 2 C 04) f ü r h 2
gleich 4 o g (u ) für h 3 gleich 8 f
und für h 3 gleich
24 o
Andererseits wissen w ir bereits aus
daß die Anzahl
1
,
,
,
,
Un
420
tr
e s u ch u n
g
en vo n
L i o u v i lle
.
ist Mit Rücks i cht hierauf ergibt sich aus dem
Beziehung :
A usdrucke
.
h
2 t az
—
sm
O
,
3
enn
w
sin w
te i lbar durch
t
—1
o (j )
die
9
3,
wenn t nicht teilbar durch
2
t
3
für
3
Die z weite dieser Formeln umfaßt auch die erste und gilt de mnach
allgemein für jeden Wert von t wenn man wieder übereinkommt
unter dem J acobi s ch e n Zeichen die Nul l zu verstehen sooft Zäh ler
und N enner desselben nicht teilerfremd sind Daher geht alsdann
durch die gedachte Substitution 1
die Formel ( 1 6 d) über in die
folgende :
,
,
,
.
z um )
—1
"
2
Z (= )
.
e
d
”
d
"
t
.
dt
u
M i t An w endung des durch ( 1 21 ) defini erten Zeichens und w enn man
beachtet daß unter dem Summenzeichen rechts nur diejenigen T e ile r t
von u verbleiben w elche nicht durch 3 aufgehen ni mmt diese Glei
chung die Gestalt an :
,
,
,
,
Z
1
4
1
6 )
"
er ) er )
s
'
2k m
s
’
a
+
s
1
-
.
"
u
wenn
die Summe der durch 3 nicht aufgehenden Teiler t von
bezeichn et und links über alle Z e rf ällun ge n von 2 m i n zwei un
gerade Summanden summiert w ird Der Bedeutung des Zeichens
"
2 o o (v) für die Darstellung e iner ungeraden Zahl v in der Form
3 2 gedenkend kann man der erhalte nen Beziehung den A u s
m
druck geben :
die An zahl der Z e rf ällun g e n einer p ositiven geraden Zahl
"
u in die Summe zweier ungeraden Zahl en s s von den Formen
k
.
a
2
,
’
,
S
r
=
2
x
+ 32
2
,
3
n
= y2 + 3 t 2
oder was dasselbe sagt die An zahl der Darste ll u ngen von
u in
der Form ( 1 40) unter der Bedingung daß x z und y t ungerade
sind ( das zweite ist ersichtlich zugleich mit dem ersten der Fall)
be t rägt
in Zeichen :
2
2
h+
"
1
42
u
3
3
t
2
N
2
9
0
2
+
+
+
(
y
)
(
)
,
,
,
,
2
2
1
o
(a
n
o
x
m
d
2
o
)
(
.
x
2
Ist h 1 so muß hierbei zugleich auch
mod
sein
1
;
)
y
(
Denn sonst w ären
y und z + t gleichzeitig gerade ; setzte man
alsd ann
,
=
so wären
x1 ,
yl ,
2„
‚
t1
zl
+ tl i
.
t =
zl
— t
v
ganze Zahlen und die Gle i chun g
,
.
g
D rt
a s e llu n
du
en
i
1
2
u
o
r
di e F o m
c
=
n ähme d i e Gestalt an :
h-
rh
x
2
2
x
y
”
3z
2
2
2
3t
2
421
2
+ y + 3 2 + 3 15
= xf
y?
3 2%
3 t i,
‘
ährend doch die li nke Seite gerade die rechte Seite aber ungerade
ist weil nach der An nahme
zE1 d h
58 + y + z + t E 1 (mod 2)
ist
Nun sei
x
w
,
,
.
1
1
.
l
.
.
2
h
u
o
=
2
g
2
+ 31 + 3 e + 3 t
90
2
e ine Darstellung bei w elcher x y E 1 also auch
ist Stellen w ir ihr die an dere Darstellung
,
t
z
E
1
m
d
o
2
(
)
.
.
=
h 2 u
x
2
2
2
+ 31 + 3 t + 3 2
2
an di e Seite so ist entw eder 66 + z :1 oder x + t 2 1 Je zwei
Darstellungen von 2 “ in der Form
bei denen x y E 1
n
mod
ents
richt
also
immer
e
i
e
der
Darstellungen
d
i
e
in
1
4
2
p
(
( )
gezählt s ind und da in jeder der letzteren w ie gezeigt
;
1
y
sein muß so verh ält sich s auch umgekehrt Daraus ergibt sich die
we i tere Tatsache :
Ist h > 1 so ist
2
2
2
h
i
3
z
1
N
u
x
3
t
2
4
2
3
+
31
)
(
)
(
,
.
h
.
.
,
,
,
,
’
,
x
.
,
2
g
’
l
o
x
+
m
( od
1
y5
'
'
2)
.
Bezeichnet man diese An zahl kurz durch N 1 ( ) und durch
N 2 ( 2M ) die Anzahl der Darstellungen bei denen im Gegenteil
—
y E S O also auch z t O ( mod 2) ist mit N (2 m) aber die g e
s am t e Anzahl der Darstellun gen o hn e Beschr ä nku ng für x
so
ist
y
zunächst
”
2 u
x
,
7
2
,
.
,
,
N ( 2M )
1
4
4
)
(
Wenn aber
N 1 ( 2W)
N 2 ( 2W)
2
2
50
2
+ y + 32 + 3 t
E
,
.
2
und zugle i ch x y E O z t O (mod 2) ist so fol gt daraus
vorher gezeigt eine Darstellung von 2
n äml ich
u
,
,
.
h
-
1
,
w ie
o
,
,
2
7*
1
"
o
u
?
3 2%
yf
a
n
3 tf
‘
ohne Beschr änkung der Unbestimmten sow i e o ff enbar auch umgekehrt
Daher ist
,
N(
also nach ( 1 44)
d
.
h
.
,
solange
h
"—1
N (2
1
o
.
"- 1 2
u
u
)
)
ist
,
N (2
"
o
)
u
N (2
"- 1
u
)
{ g(a }
U
422
nte
r
su ch u n
g
L io wv i lle
e n von
.
S etzt man hierin der Reihe nach h 1 h 2
addiert die entstehenden Gleichungen so kommt
1
4
5
N
2
u
(
)
( )
Nun ist nach Form el ( 1 42)
,
2
,
für
h
und
,
o
2
N ( 2u
512
2
+ y + 32
—
—
l E
w
3 13 )
2
(m o d
l
z
2
4
)
4
2
o
2)
.
die hinzugefügte Bedin gung x z E 1 ( mod 2) aber von selbst e r
—
E
m
O
a
füllt denn w äre +
so müßte auch y t E O sein und es
erg äbe sich di e Kongruenz
2
mod
2 5 2 a E (an
2 )
t
(y
) (
wo nun
.
,
,
,
,
2
2
2
.
2
w
2
durch 4 teilbar als o 2
facher schreiben
,
90
y
0
E O (mod
N (2n)
1
4
6
)
(
se in würde
4)
.
—t
)
g
4
und erh ält aus ( 1 45) die Gleichung
.
d i
.
N e ue)
[ 2 <2
4
Man darf also ein
.
h
-
o
41 s o )
1)
1
»
.
N (2
"
1
4
7
)
(
u
)
e
3 ) gg c
)
h+ 1
4 (2
.
Diese zun ä chst für h 1 erwiesene Formel gilt auch fii r h 1
da sie als d ann m it der Gleichung ( 1 46) identisch wird
Um endlich noch N
zu bestimmen bedenke man daß in jeder
Darstellung
,
'
.
,
x y
sich
E
2a
0
also auch
2
90
also
2
z
t
+ y
2a
E
x
2
513
.
2
3
+ y + 32 + 3t
O
.
,
1, 3 2 + 3 t
g
5
3
2
2
3 z + 3 15
+
2
2
mod
sein
muß
denn
sonst
erg
ä
be
(
)
2
5
2
5
2
,
4
mod
(
)
.
O (mod
.
Setzt man demgem äß
x
=
x1
+ yn
=
y
x1
_ yv
=
Z
zl
+ tv
t =
21
— t
la
so findet man eine Darstellung
ohn e Beschränkung der Unbesti mmten umgekehrt aber auch aus einer
jeden derartigen Darstellun g eine Darstellung von 2 M Mi thin ist
N (u )
N ( 2u) d h
,
.
.
4
1
8
(
)
.
N (u)
4
U
424
n t e rsu c h u n
ge
n von
L i ou ville
’
.
betrachten zudem nur solche Formen deren äu ßere Koeffizienten
a c p ositiv und nicht beide gerade sind
u n d s e t z e n n 2 1 ( m o d 4)
v o r a u s Alle derartigen Formen lassen sich in K l a s s e n ä q u i
v a l e n t e r F o r m e n verteilen
indem man in ein und dieselbe Klasse
diejenigen als ä quiv alent zusammenfaßt die ineinander durch uni
modulare Substitutionen d i durch Gleichungen von der Form
w ir
,
,
,
.
.
,
,
.
.
=
m
+
g
y
'
w
in denen cc ,6 y d der Bedingung a d ßy = 1 genügende ganz e
Zahlen sind übergeführt werden könn en In jeder Klasse befindet sich
eine einzige r e d u z i e r t e F o r m so daß die Anzah l der Kl assen der
endlichen Anzahl der reduzierten Formen gleich ist Diese l assen
sich in drei Kategorien unterscheiden :
2B
1 ) in Formen ( A B O) bei denen
< A < O
2) in Formen ( A B A ) bei denen O ? 2B ä A
2B
3 ) in Formen ( 2 B B O) bei denen O
C ist
D i e s v o r a u s g e s c h i c k t b e t r a c h t e n w i r n u n z u n ä ch s t d i e
r e d u z i e r t e n F o r m e n d e r e r s t e n K a t e g o r i e Sie könn en in solche
unterschieden w erden
ihre Anzahl heiße Z 1
deren mittlerer
Koeffizient B N ull oder eine gerade Zahl ist und in die übrigen
bei denen er ungerade ist und diese wieder in Paare von entgegen
gesetzten d h solchen Formen deren ä ußere Koeffizienten dieselben
deren mittlere Koeffizienten entgegengesetzt sind Wird die Anzahl
d ieser P aare oder w as dasselbe sagt derjenigen dieser Formen deren
mittlerer Koeffizient p o s i t i v ist Z 2 genannt so ist
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
’
,
,
.
,
,
.
,
,
,
.
,
.
,
.
,
,
,
,
1
4
5
(
)
die
H,
,
Z,
22 ,
Anz ahl
der re du z i erten Form en der ersten Kate g ori e
D e n k e m a n s i c h n u n a l l e g a n z z a h l i g e n A u fl ö s u n g e n d e r
unb e s tim mt en Gle i chun g
.
1
5
5
(
)
b e i w e l ch e n
i s t w ähre n d
d
eine
(
n u
4z =
4 d)
2
n,
u eine ungerade
p o siti ve,
o
s
i
t
i
v
e
Z
ah
l
p
,
u I
s e i Man kann sie in zwei Arten unterscheiden in solche bei denen
42
u
ist ihre An zahl heiße Z 1 und in die übrigen bei denen
42 I
u
ist und diese te ilen wir w i eder in e ine An zahl Z 4 von P aaren n ä m
lich in solche bei welchen z p ositiv also
1
55
a
(
)
,
.
,
'
'
‘
,
,
'
,
,
,
,
4z >
u
Hilf
üb e
s s at z
r
d ie
Klass e n an z ah l
qu ad
r
at i s c h
er
r
Fo m e n
425
.
ist und solche bei denen z je den gleichen aber entgegengesetzten
Wert hat Die gesamte Anzahl der gedachten Auflösungen beträgt
also
,
,
.
6
1
5
( )
z;
A
ist
für welche
Denn e i n e r s e i t s li efert jede
u
ist
eine
Form
I
2
u
2
u
4
d
(
)
Nun
42
Au f lösung
von
,
,
,
mit der Determinante
42
2
4 d)
(
n n
n,
welche e ine reduzierte Form der ersten Kategorie mit geradem mitt
leren Koeffizienten ist denn die Bedin g ungen
,
sind erfüllt A n d e r e r s e i t s gibt jede reduzierte Form der ersten Kate
deren
mittlerer
Koeffizient
B
gerade
2
o
r
i
e
B
2
ist
zufolge
der
g
Gleichung
.
'
,
,
,
’
2
2
—
—
= AC
=
B
AC
42
n
und der Voraussetzung n E 1 (mod 4) die Kongruenz A O E 1 d h
also C = A 4 d worin d wegen A C eine p o
0 E A ( mod
ganze Zahl ist ; mithin ist da A O nicht beide gerade sind
s it iv e
A eine ungerade Zahl u u n d es entsp richt umgekehrt auch jeder von
jenen Z reduzierten Formen eine der gedachten Auflösungen der
Gleichung
Daher ist Z 1 : Z
Z
Den n e i n e r s e i t s liefert jede L ösung von
E b en s o i st Z
bei welcher 4 z >
ist in
2
4
u
u
u
d
)
(
eine Form (A B O) mit der Determin ante
.
.
.
.
'
,
.
,
,
,
,
ä
2
.
u
,
.
,
,
’
,
(
— 2z 2 —
)
u
u
2
u
(
— 4z + 4 d
)
n
und mit ungeradem mittleren Koeffizienten der zugleich nach der
den L ösungen der Gleichung ( 1 5 5) aufliegenden Bedingung ( 1 5 5 a)
ositiv
ist
der
Koeffizient
u
ist
ositiv
und
ungerade
und
der
A
p
p
;
Koeffizient
,
,
—
=
2 (u
2z) + 4 d
C
ist
ositiv
und
gerade
also verschieden von A ; ent w eder ist daher
p
L
oder
eine
jener
ösung
zugeordnete
reduzierte
A
B
B
A
O
C
(
)
)
(
Form der ersten Kategorie mit p ositivem ungeraden mittleren Ko
e f fi z ie n t e n
We nn a n d e r e r s e i t s (A B C) eine solche Form ist so ist
w egen
n = A O — B E 1 ( mod 4)
eine der Zahlen A C ungerade die andere das Dopp elte einer u n
"
geraden Zahl ; sind u v = 2 M
2 (u
2d ) zwei solche Zahlen und
,
,
,
,
,
,
.
,
,
2
.
,
,
'
,
’
'
U tr
426
w
'
=
n e
u
’
s u ch u n
g
von
en
so stellt sich jede der
ent w eder in der Gestalt
Z2
22 ,
dachten
Art
'
u ,
(
dar worin
'
,
w
v
'
(
)
u
’
u
,
L i o u vi lle
'
.
reduzierten Formen der
22 , 2 u
'
e
g
4 6)
,
u
'
Ö,
— 22 >
ferner
'
u
2u
also
'
(
also
'
2u + 4 d
ist oder i n der Gestalt
’
u
42 >
u
und
'
2
O
22
+
> O,
,
(
worin
u
'
’
v ,
O
22
w
’
u
,
und
'
’
)
2
d
4
u
+
,
(
2u
'
22 <
ferner
u
’
2u + 4 d
u
ist
n
.
u
2u
4d
'
also
d)
O und
d),
also
’
—4 d <
<
’
22 ,
u
’
also
42
O und
+ 4d
2
> O
Man findet zudem
.
d i
'
42
u
'
'
2
u
(
’
4 d)
(
u
.
'
n
.
u
u
'
(
u
'
42 :
+ 4 (d
2
n
.
Bedeutet nun die klein ere der beiden Zahlen u u
so
ist die andere o n der Form u + 4 d w o d > 0 und jeder der
Z reduzierten Formen der gedachten Art ents p richt den vorstehenden
Ung leichheiten zufolge eine Au f lösun g der Gleichung
'
’
,
v
,
,
2
(
42 =
4 d)
n u
2
n
mit p ositivem 2 und den Bedingungen u 22 und 4 2 > u Al so ist
in der Tat Z g Z
Mit Rücksicht auf die Gleichungen ( 1 5 4) und ( 1 5 6) folgt daher
die Gleichheit
7
H
1
5
A
:
(
)
d h d i e A n z ah l d e r r e d u z i e r t e n F o r m e n d e r e r s t e n K at e g o r i e
i s t g l e i c h d e r A n z ah l a ll e r g e d a c h t e n A u fl ö s u n g e n d e r
Gl e i c h u n g ( 1 5 5 ) u n t e r V o r a u s s e t z u n g v o n ( 1 5 5 a )
I s t fe r n e r (A B C ) e i n e r e d u z i e r t e F o r m d e r z w e i t e n
K a t e g o r i e also
.
'
2
.
-
.
1
.
.
,
,
n
,
A
2
B
2
,
so bestimmen die Gleichungen
A
p
B
d, A
ositive Zahlen deren P rodukt
1
5
( 8)
,
dd
n
B
d
U tr
n e su ch u n
428
ge
I /iowvzlle
'
n von
.
w e nn A d i e A n z ah l a l l e r g a n z z a h l i g e n L ö s u n g e n d e r G l e i
c h u n g ( 1 5 5) b e z e i ch n e t i n d e n e n d > 0 u > O u n d u n g e r a d e
u n d d i e B e d i n g u n g ( 1 55 a) e r fü l l t i s t
25 Nachdem wir di esen Hilfssatz abgele i tet haben gehen w i r
nun aus von der Formel
,
,
,
.
.
,
=aä+ d
2a
2
62 ,
81
in welcher s eine p ositive ungerade Zahl und f (x) e ine ungerade
Funktion bezeichnet Eine solche ist
.
w
f( )
0
t)
0
0
9
<P
w
(
t) ,
wenn dar in <p (x) eine gerade Funktion vorstellt
so nimmt die Gleichung die Gestalt an :
23
'
d
m(
t)
8 =2 s
+
rg
1
6
2
(
)
=
_
d
2 M
1
ö
d2
)
2
sei m eine gegebene
Weise nach der Formel
m
23
'
t)
e in,
)
n
6
+
2
2 _
t
+ 62
+ t
2
)
ositive
ungerade
Zahl
die
auf
alle
p
Nun
1
3
6
(
)
d
n
”
Setzt man s i e
.
,
:
2M
s
s
in e inen ungeraden und einen geraden p ositiven Bestandte il zerf ällt
werde wo dann i r jede Zerlegung der ungeraden Zahl u in zwei
Faktoren vorstellt ; man bilde für jede solche Z e rf ällun g die Formel
und
addiere
alle
so
entstehenden
Gleichungen
dann
erh
ä
lt
man
2
1
6
(
)
,
,
25
4
1
6
(
)
“
Z
'
t)
t
2
= g+ d
:
s
g
cp
d
(
"
23
'
»
)
t
ö} ,
das äußere Summenzeichen auf alle Z e rf ällun g e n ( 1 63) bezogen Die
gesamte Summation links erstreckt sich also auf s ämtliche Z e rf ällu n ge n
von der Form
.
m
1
6
5
(
)
un d
"
d 6
die Summation rechts auf alle
2m
1
66
( )
s
f
"
2 ts
h
Z e rf ällun g e n
dg ö g
von der Form
l
+
2
tu
b
.
Hier l äßt die linke Seite eine Umformun g zu wenn man sich
einer anderen der I /iouville s c h e n Formeln er in nert Fü r eine gerade
Funktion f (x) bestand die Formel ( 39 b ) :
,
.
Ei
R
Kron eck ers c h e
ne
e k ur s i o n s f o
62)
2
8 =d
7
1
6
)
(
=
Z
rm e l f ü
d f (O)
a=d d
l
öl
i
2 d a r) ;
+
Nun erhält di e Zahl s wenn sie nicht
gleiche und entgegengesetzte Werte Ist s
’
.
2
h
o
2
o
N ull ist ,
0, so ist
,
m=d d
o
2 f ( 4)
s =d d
'
"
429
.
Ö
f( l
2f ( 2)
"
Klas s e n an z ah l
d ie
r
m
stets je zwei
nach ( 1 6 5)
t1 ;
faßt man also in ( 1 64) alle dieser An nahme entsp rechenden Glieder
der Summe zur L inken zusammen so erhält man die Summe
,
2W
"
t)
90
W
o
"
2
t
die weil
gleich
,
cp
e)
.
:
7
eine gerade Funktion der Formel ( 1 6 7 ) entsp rechend
m
( )
,
W
W)
äZ
=
68
1
( )
m =d
"
d
"
m
d
”
d
"
ist Hat dagegen s einen von Null verschiedenen Wert so fasse
man in ( 1 64) in der Summe zur L inken diejenigen Glieder zusammen
ent
welche dem Werte s und dem entgegengesetzten Werte
3
sprechen So erhält man die Summe
’
,
.
,
’
'
.
t + 25 )
d
P(
‘
"
t
m
Da nun
W
w
f( )
o
0
9
6
6
x
sich leicht als eine gerade Funktion von erweist auf w elche die
Formel ( 1 6 7 ) anwendbar ist so kann diese Summe durch den Au s
druck
,
,
1 + 2s
1
+ 5
2
d
"
(p
—
(
1
Z
5
[q (
)
o
-
o
'
1
)
2
ersetzt werden Die gesamte in ( 1 64) linksstehende Summe erh ält
man w enn man den A usdruck ( 1 68) und die für alle von Null ver
s c hi e d e n e n s
gebildeten Ausdrücke ( 1 69) addiert Somit wird die
linke Seite von ( 1 64) gleich dem Ausdrucke
.
,
'
.
7 0)
äZl Z
-
d
m
"
s
üß
1 + 2s
m
welchem die äußere Summ ation auf alle ganzen Zahlen
z u d e hne n
ist für welche m
ositiv
bleibt
p
In
,
.
3
'
O
aus
ä
'
>
U ter
43 0
su c h u n
n
g
en
L i owvi lle
vo n
.
Galt das Bisherige für jede gerade F un ktion
so
sp ezialisieren wir diese nun so daß für jedes von N ull verschiedene
der Wert q (x) gleich N ull dagegen q) (0) 1 sei Um zu sehen
betrachten wir zuvörderst
w as bei dieser A nnahme aus ( 1 6 4) wird
die rechte Seite dieser Gleichung Hier wird alles verschwinden bis
auf die Glieder
26
.
x
,
)
.
,
,
,
.
0
9
in denen
nimmt die
d’
i
a’
t = 0
(
L
"
82
)
t
2
,
d h 2 t = d + d ist
1
6
6
die
Gestalt
an
( )
Z e rf ä llu n g
7
l
1
)
(
d2
2m
.
s
2
.
( 12 62
f
2
h
2
17
Für diese Gli eder
.
d
( 2
demn ach geht die ganze rechte Seite von ( 1 64) über in die auf die
sämtlichen Z e rf ällu n ge n dieser Art erstreckte Summe
oder da
ist i n d i e A n z a h l a ll e r e b e n b e z e i ch n e t e n
—
und d 62 zwei
Da aber 2m s I
Z e r f ä ll u n g e n
ositive
ungerade
Zahlen
sind
so
ergibt
sich
aus
die
Kongr
enz
1
7
1
u
p
(
)
mithin sind di e durch d i e Gleichungen
d 2 6 5 1 d h d 2 ; 6 ( mod
,
cp
0
( )
1
,
2,
.
,
2
2
.
.
.
—
=
62 = 4z
6
2u , d 2
d2 + 2
bestimmten Zahlen u z ganze Zahlen deren erstere p ositi v und
gerade ist und da hieraus
,
,
un
,
=
d2
hervorgeht muß
u
+ 2 z,
62 =
u
—2z
,
u
sein
>
22 |
g
2
Die Gleichung ( 1 7 1 ) n i mmt hierdurch die Gestalt an
.
2m
oder wenn
,
1
7
2
(
)
o
1
s
f
u
42 + 2
: d gesetzt W ird
2m
s
(
f
h+ 1
n u
1 u
,
4 d)
42
2
,
und ers i chtlich ist die Anzahl der Z e rf ällu n ge n ( 1 7 1 ) gleich derjenigen
der Z e rf ä llu n ge n der letzteren Art unter der Bedin gung u > I22 ]
Diese jedoch ist in Nr 24 bere i ts ermittelt und für jedes bestimmte
s
gleich der Anz ahl H ( 2m s f) der Klassen qu adr atischer Formen
mit der D eterminan te s f 2 m vermindert um den Ausdruck
.
.
,
1
ä(
g( 2 m
s
f)
m(2 m
Im gan zen also findet man die rechte Seite von ( 1 6 4) gleich der
Summe
U tr
n e su ch u n
43 2
g
L i o wv ille
von
en
:
.
Hiernach erh ält man für die linke Seite der Gleichu ng ( 1 64) den Wert
1
1
7
7
)
(
1
C
U
)
E
”
23
(
A
“
'
0
<
o
Doch läßt er sich noch weiter vereinfachen wenn man sich des
Satzes bedient der am Ende von N r 1 8 gegeben worden ist B e
"
"
deutet A ( 2 s + ö > O) bzw A (2 s + d < 0) die Anzahl der Zer
"
f ällungen
bei denen 2 s + ö
O resp 2 s + d < 0 ist so
ist jenem Satze zufolge
,
.
,
'
.
'
.
’
"
'
.
91 = A (2 s
1
7
8
(
)
die
Anzahl
der
'
O
"
d
'
—
A
2
s
)
(
ö
,
O)
"
Z e rf ällu n g e n
2m
8
"
1
d 2 62
mit p ositivem 81 die o ff enbar für jedes bestimmte s1 durch
also insgesamt durch die über alle p ositive s für welche
ositiv
bleibt
zu
erstreckende
Summe
p
,
1
2m
s
i
,
91 =
Z
1
9
7
(
)
bestimmt wird
.
Andererseits
oder da
d i gleich { (m) ist
O
)
,
.
.
g( 2 m
s
?)
ist o ff enbar
gleich der
An zahl
der
"
Z e rf ällun g e n m
d ö
"
,
2S
1
80
)
(
j>
d
"
>
0
o
)
+ A
'
d > 0
( j
2s
"
t<
0
Man bemerke daß ersichtlich
,
"
'
A (2 s + 6 <
O) — A
und
(
O
)
0)
ist d h gleich der Anzahl der Z e rf ällun ge n ( 1 7 6) mit p ositivem
welche übrigens der Anzahl derjenigen mit negativem also A (s
gleich ist Für die letztere gilt aber o ffenbar die Gleichung
.
.
8
'
’
.
H
Ö >
Mit Beachtung dieser Bemerkungen folgt nun d urch
di
Gleichungen
und
1
e andere :
1
1
8
0
8
(
)
(
)
O
)
er
also der Wert
A
(
'
n
>
‘
<
o
E
—
gl
{g(m)
1
E
m
fl )
‘
A ddition
der
Ei
ne
R
Kron eck ers c h e
e k ur s i o n s f o
rm
el
Wird er eingesetzt in den Ausdr uck
linke Seite der Gleichun g ( 1 64) der Wert
ämm äZ w
—
—
—
Klas sen anz ah l
f ür d i e
43 3
.
so ergibt sich für die
m
s
2)
.
und nun findet man durch Vergleichu n g dieser Seite mit dem in ( 1 7 4)
gegebenen Werte der rechten Seite d i e F o r m e l :
2
11c m
s
)
r
o d e r a u s g e fü h r t g e s ch r i e b e n :
1
82
E
2
m
(
) (
1
—
2
E ( m
4)
)
E ( 2m
=
9)
g(
m
u )
m
9( )
)
d i e i n e d e r v o n Kr o n e c k e r a n g e g e b e n e n R e k u r s i o n s f o r m e ln
Eine zweite findet man aus denselben M ou ville s ch e n Formeln her
geleitet von S tep han S mith im rep ort o f the British A ssoc for adv
L ondon 1 866 S
o f sciences
Indem w ir mit diesem Ergebnisse die Betrachtun g der L iouville s ch e n
Formeln beschließen können wir nicht unterlassen darauf hinzuweisen
daß Kronecker selbst sp äter seine auf analytischem Wege gefundenen
Sätze rein arithmetisch und zwar von einer Grundlage aus hergeleitet
hat (Ab b der A cad zu Berlin
welche im wesentlichen dieselbe ist
w i e die für D i ri chle t s Beweis des J aco b is c h e n Satzes :
die Transform ation
bilinearer Formen mit vier Veränderlichen D a das eigentümliche
P rinzip dieses Beweises auch für I /ioumlle s Formeln den eigentlichen
erkennt man daß beide Forscher bei der
A usgangs p unkt bildet
A bleitung der gedachten R e k u rs io n s f o rm e ln im Grunde aus gleicher
Quelle geschö p ft haben
.
.
.
.
.
,
,
.
,
,
,
,
,
.
.
.
'
,
,
.
N
e u n
t
e s
Ka p i t
D i e Gle i ch u n g w
”
y
e
l
.
"
z
”
.
Ein letztes Kap itel dieses Werkes soll einer Frage gewidmet
sein zu welcher die Z e rfällu n g e n einer Zahl von der im 7 Kap itel
betrachteten besonderen Art leicht hinführen nä mlich der Frage ob
eine Summe von P otenzen desselben Grades wieder eine solche P oten z
sein k ö nne B e i B e s c h r ä n k u n g a u f e i n e S u m m e v o n z w e i P o
t e n z e n fr a g t e s
s i c h a l s o n a c h d e r A u fl ö s b a r k e i t d e r
Gl ei ch un g
1
.
.
,
,
,
.
i n g a n z e n Z ah l e n x y z Diese Frage hat schon seit geraumer
Zeit die Mathematiker beschäftigt und doch bisher noch nicht in
B c m
Z l h i II
i d
28
,
a
h
a. n n
n e
e re
ah e n t
,
eor e
.
.
.
e
4 34
D i e Gl i c h u n
g
w
”
"
"
z
y
.
allgemeiner Weise beantwortet werden können Für den kleinsten
Grad n = 2 ist sie bereits von den P yt h ag o rä e rn gestellt und teilweise
erledigt worden Die A ufgabe die Gleichung
.
,
.
1
< )
2
2
w + y
=
welche wenn x y z als Seitenzahlen gedacht werden der Ausdruck
des Pyt h ag o räis ch e n Satzes vom rechtwinkligen Dreiecke ist in ganzen
Zahlen a2 y z zu lösen verlangt geometrisch gefaßt d i e B e
s t i m m u n g e i n e s r e ch t w i n k l i g e n D r e i e c k s m i t r a t i o n al e n
g e n a u e r g a n z z a hl i g e n S e i t e n In di esem Sinne haben die Pyt h a
rä e r sie betrachtet
Daß
sie
lösbar
sei
ergab
sich
ihnen
schon
o
g
aus dem besonders e infachen und charakteristischen Falle
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
.
=
4
y
,
und man hat die Vermutung ge äußert daß d i ese a r i t h m e t i s ch e
Bemerkung der eigentliche Quell für die Entdeckun g des g e o m e t r i s o h e n
Satzes des P ythagoras gewesen sei Es gelang aber nach dem Zeug
nisse des P roclus D iad ochas den Pyt h ag o rä e rn sogar eine allgemein e
Regel aufzustellen nach w elcher noch unendlich v i el andere Dreiecke
der gedachten Art die w ir kurz P y t h a g o r ä i s c h e D r e i e ck e nennen
w ollen
gefunden werden können Diese R e g e l d e s P y t h a g o r a s
sagt aus daß man unter n eine p ositive ganze Zahl verstehend
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
—1
2
( )
z
2
2
setzen habe ; in der Tat ist
zu
oder
2
n
(
92 + 2 n )
2
(
2
2
= 2mx
(
272
Man hat also einfacher gesagt als die eine Kathete eine beliebige
ungerade Zahl und das halbe P rodukt der sie umgebenden geraden
Zahlen als die z w eite Kathete zu nehmen S p äter aber gab nach des
selben Schriftstellers Aussage P la to e i n e a n d e r e R e g e l die in den
Formeln
,
,
.
,
w = 2u , y
3
( )
ihren
Ausdruck
findet und
=
a
g
d e rz u f o lg e
in der Tat
ist N ach ihr ist also als die eine Kathete die Summe als die andere
das Produkt zweier aufeinander folgender u n g e r a d e r Z ahlen zu
nehmen wenn anders die Seite n in kleinsten Maßzahlen gedacht
werden sollen
Schon die Verschiedenheit dieser z w ei Regeln l äßt erkennen d aß
weder die eine noch die andere die s ä m t l i ch e n gesuchten Dreiecke
,
.
,
.
,
436
D i e Gle i c h u n
Setzt man z B
A uflösung
.
.
m
2,
g
”
w
"
+y
z
so findet man die schon erw ähnte
1,
n
”
5
( )
D a ß d i e s d i e e i n z i g e A u fl ö s u n g i n d r e i a u fe i n a n d e r
fo l g e n d e n Z a h l e n i s t ersieht man einfach daraus daß di e Gleich
heit
,
(
,
u
a
2
=
(
u
nur besteht wenn u = 4 a d h da u = 0 für x einen n e at i v e n
Wert ergäbe wenn a 4 ist w as zur A uflösung (5 ) zurü ckführt
A b e r e s g i b t u n e n d l i c h v i e l A u f lö s u n g e n b e i d e n e n w e n i g s t e n s
x y z w e i a u fe i n a n d e r fo l g e n d e Z ah l e n s i n d D er Verfas ser hat
in seiner Zahlentheorie B d I S
einen Satz gegeben nach
welchem sie s ä mtli ch angebbar sind Man hat dazu nur in der Formel
2
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
“
,
„
.
.
,
.
6
< )
für jeden nicht negativen ganzzahligen E xp onenten h das Rationale
und das Irrationale beiderseits gleichzusetzen und die so gewonnenen
zwei Gleichungen mit der dritten :
6
a
( )
x
=
y
-
zu verknüp fen Z B findet man so für h
h 2 die Gleichungen
.
also die
Auflösung
7
( )
für h
.
3
also die
m + y = 4 l,
z
= 29,
=
23 9,
+ y
Auflösung
: 1 19
8
( )
a
,
z
= 1 6 9,
y
1 20,
die
x
—
x
—y =—1
kommt
x
1
.
z
L ösung
=
=
1
y
1 69
.
Man bemerke daß
,
a2
=3
die Wurzeln der quadratischen Gleichung
9
( )
x
2
6x
1
und daher die Größen
a
3
2
l
=
ü
Sh
l +
l
ü
g
allgemeinen
nach
die
Glieder
je
einer
rekurrenten
K
ap 2 Nr 7 )
(
Zahlenreihe mit der Skala ( 9) sind Schreibt man nun di e Gleichung
6
bestimmter
in
der
Form
( )
QWY
1 ) (3
x + y + 3
so findet man durch Verb ind un g mit der konjugierten Gleichung
.
.
.
L
h
h
h
;
T af e l d e r
xh
t
re c h w i n k li
g
r ti
en
a
D ei e
o n ale n
r
ck e
43 7
.
3
1
0
+ yh
die Beziehung
5h
: 2
Rh l
'
’
ä
Sh )
'
und folglich ist auch 2 das allgemeine Glied einer rekurrenten Z ahlen
reihe mit derselben Skala und somit besteht zwischen drei auf
einander folgenden Zahlen ab
a
e + l die Beziehung
„
,
h
h,
Zh + 1
=6
In der Tat ist für die drei
und
Zh
_1
.
L ösun gen
’
zk
Zh
_1 = 5 ,
29 ,
8
( )
= 1 69
zh + 1
—
=
5
1 69
6 29
o
.
3 Man ge w innt eine deutlichere Übersicht über die Gesamtheit
der A uflösungen oder der ihn en entsprechenden Pyt h ago rä is ch e n Drei
ecke , wenn man mit H R ath ( Archi v f Math u Phy s 5 6, S 1 88) in
die Formeln (4) die Di fferenz
.
.
.
d =m —
an
ein führt
.
.
.
.
.
n
Sie nehmen dann die Form an
1
2
( )
in denen n jede nicht negative ganze d jede zu n teilerfremde p ositive
ungerade Zahl bezeichnet N ach den Wert en dieser zwei Elemente
oder ganzzah li gen P arameter d n l a s s e n s i c h d i e s ä m tl i c h e n
D r e i e c k e i n e i n e T a fe l m i t d o p p e l t e m E i n g a n g s o r d n e n
deren Reihen den verschiedenen Werten von d deren Sp alten den
verschiedenen Werten von n ents p rechen Die e r s t e d l ent
sp rechende R e i h e für welche
,
.
,
,
,
.
,
wird enth ält d i e n a c h d e r R e g e l d e s P y th a g o r a s gebildeten die
e r s t e n 1 entsp rechende S p al t e für welche
,
,
,
,
wird enthält o ff enbar die n a ch d e r R e g e l d e s P l a t o gebildeten
P yt h ag o räi s ch e n Dreiecke
J e d e s D r e i e ck t r i t t i n d e r T afe l n u r e i n m a l a u f Denn um
seine Stelle in derselben d h die Werte von d und n zu finden
welche ihm entsp rechen muß man aus den als gegeben gedachten
Werten von x y z nach den Form eln (4) die Werte von n d suchen
und findet
,
.
.
.
,
,
.
,
,
,
,
z
:
—a
2
2
2
43 8
D ie Gle i c h u n
g
x
"
+
:
z
y
"
"
.
also e i n d e u t i g b e s t i m m t
3
1
( )
n
—
= +
2
y
.
Z u g l e i c h m i t d e n S e i t e n e i n e s P y t h ag o r ä i s c h e n D r e i e c k s
i s t a u c h d i e M a ß z ah l J s e i n e s I n h a l t s e i n e g an z e Z a h l wie
aus der Formel
,
1
4
( )
53
J
m
(
2
n
2
n
m
)
ohne we iteres erhellt
Die Zahlen 3 4 5 welche das einfachste Dreieck ergaben habe n
auch für alle übrigen eine besondere Bedeutung I n j e d e m P y t h a
o r ä i s c h e n D r e i e ck e i s t n ä m l i ch e i n e d e r b e i d e n K a th e t e n
g
z a h l e n d u r ch 3 d e s g l e i c h e n e i n e d e r s e l b e n d u r ch 4 e n d l i c h
e i n e d e r d r e i S e i t e n z a h l e n d u r ch 5 t e i l b a r I n der Tat :ist
eine der Zahlen m n durch 3 teilbar so geht y 2mm durch 3 auf
2
entgegengesetztenfalls ist x m n E ] 1 E O ( mod
ist eine
der Zahl en m n gerade so geht y 2trm durch 4 auf andernfalls ist
ist endlich eine der beiden Zahlen m n
92 2
0 ( mod
x = m
durch 5 teilbar so ist s auch y ; im entgegen gesetzten Falle geben
entweder m n denselben Rest 1 oder 4 (mod 5 ) und man findet
a
: m n :O oder das eine Quadrat gibt den Rest 1 das andere
3
=
den Rest 4 und dann ist z m + n 5 0 (mod
D e r I n h al t
e i n e s P y t h a g o r ä i s c h e n D r e i e ck s i s t d e m e b e n B e w i e s e n e n
z u fo l g e s t e t s e i n Vi e lfa c h e s v o n 6
N ebenher bemerke man die Gleichheit
2
.
,
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
2
.
,
2
.
,
,
2
.
,
’
,
2
2
.
,
2
2
,
,
2
.
,
.
3
3 + 4
3
6
3
.
Man kann nun allgemeiner auch nach den s ch i e fw i n k l i g e n
D r e i e ck e n fragen deren Seiten durch rationale oder einfacher da man
sie in kleinsten Zahlen gemessen denken darf
durch ganze Zahlen
ohne einen gemeinsamen Teiler ausdrückbar sind Im allgemeinen wird
d amit nicht wie bei den rechtwi nkligen Dreiecken auch der Inh alt
rational werden Unter eine m r a t i o n a l e n Dreiecke soll aber in der
Folge stets ein solches verstanden werden bei welchem sowohl die drei
Seiten als auch der I nhalt rational ist Bezeichnet man wieder mit x y z
die drei Seiten und bestimmt dr ei Größen a b c durch die Gleichungen
4
.
,
.
,
,
.
,
.
,
,
,
1
5
( )
WOI
‘
BU S
=
2
-
6
1
( )
x
a
+y+z
2
b
x
+ b +
+y
2
—z
c
,
440
D i e Gle i ch u n
g
"
x
+y
"
=z
"
.
Um n u n s ä m t l i ch e r a t i o n a l e n D r e i e ck e z u e r m i t t e l n
wollen w ir mit H Ra th zwei F ä lle unterscheiden
Setzen w ir e r s t e n s den besonderen Fall daß a b c Quadr at
zahlen sind :
5
.
,
.
.
,
,
Dann wi rd
=
a
a
2
=
=
b
ß,
2
,
c
,
= y2
.
und es kommt darauf an drei ganze Zahlen
für welche
a
,
,
ß
y
,
zu bestimmen
,
eine Quadratzahl wird N un dürfen a ß y weder sämtlich gerade
noch s ämtlich ungerade sein da sonst x y z einen gemeinsamen
Teiler 2 erhielten Sei also etwa a ungerade ß gerade Setzt man
dann
=
7)
ma
woraus
,
,
.
,
,
,
,
.
.
,
-
ö
y
o
=
T
w
g
wird so muß da a ‚6 5 1 ( mod
E
sein
und
damit
werden
)
1
1
q
d
l
i
und
ganzzah
g
sogar
genauer
eine
gerade
Zahl
Hiernach
i
rd
w
y
y
man s ä mtliche rationalen Dreiecke mit quadratischen Seitenteilen ( und
’
nur solche) erhalten wenn man alle ungeraden Quadrate a mit allen
2
2
geraden Quadraten ß durch A ddition verb indet die Summe a + {3
jedesmal in z w ei p osit ive Faktoren (p
zerlegt deren größerer q)
P
w
sei und 7 = 2 setzt ; aus den Seitenteilen
2
2
,
,
2
.
.
,
,
.
,
.
2
,
e
,
(
-
,
2
0‘
a
3
I
a
2
c
a
7
2
’
ergibt sich dann nach den Formeln ( 1 5 ) das jedesmal zugehörige
Dreieck
Sieht man aber z w e i t e n s von der Voraussetzung ab daß a b 6
Quadratzahlen seien so gestaltet sich allgemein die Auflösung der
A ufgabe folgendermaßen
Damit J rational werde muß nach ( 1 7 )
das P rodukt
.
,
,
,
,
.
(
a
,
+ b
+
0
)
eine Quadratzahl sein N ennen w ir also d den größten geme insamen
Teiler der angedeuteten beiden Fakt oren so müssen Gleichungen b e
stehen von der Form
.
o
,
l
8
( )
a
worin
bc
sei
,
h relative Primzahlen sind
t,
l
9
( )
Nun
=d
2
-z
'
’
d
(b
c
)
Daraus folgt
.
d (b
2
größter gemeins amer Teiler von
b = d ß,
e
= dy
b,
c,
so daß
ti
D ie
ra
Dr
o n ale n
e ie ck e
r
ü b e h au p t
44 1
.
gesetzt werden kann w o nun ß y relativ p rim und d zu d teilerfremd
ist da a b c keinen gemeinsamen Teiler haben können ohne daß
ihn auch x y z hätten Dann muß der zweiten der Gleichun gen
1
zufolge
h
durch
teilbar
h
d
sein
und
die
Gleichung
8
d
k
1
9
( )
( )
ni mmt die Form an
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
ß7 ( ß + 7 ) = fi ,
"
g —
k
d
ßy i
d h der reduziert e Wert des Bruchs zur L inken ist ; H i e rn a c h
s t e l l t s i c h fo l g e n d e R e g e l h e r a u s :
Um sämtli che rationalen Dreiecke zu finden bilde man für zwei
beliebige p ositive teilerfremde Zahlen ß y einerseits und für zwei
beliebige p ositive teilerfremde Z ahlen k t andererseits den reduzierten
Wert des Bruchs
.
.
,
,
,
76
2
”
9
4
12
-
i
ist d dieser Wert, so erhält man durch die Formeln
= d i 2,
a
b = d ß,
die Seitenteile eines jeden der gesuchten Dreiecke
Z B für ß = 2
k = 2 t = 1 findet man
.
.
.
,
,
ßr<ß + r>
3
g
—
k
ßy t
g
als o
d = 3, d = 1 ,
a
4
= 3, b = 2,
x
Für ß = 4
= 1,
c
fir<ß+ 7 >
z—
g
k
ßy t
also
d = 7,
a
1
mithin
= 3,
k = 6, i = 1
,
—2
wird
7
36
= 7 , b = 8,
c
-1
-
J
2
—12
= 6
I
w
und daher
=
1
3
,
y
Beide F älle sind dadurch ausgezeichnet daß die Seitenzahlen des im
ersten Falle recht im zweiten schiefwinkligen Dreieckes drei auf
einan der folgende ganze Zahlen sind
Übrigens kann man bemerken d aß die Aufgabe alle möglichen
rationalen Dreiecke zu finden auf die Bestimmung der Pyt h ag o rä is ch e n
Dreiecke zurückkommt L egt man nämlich zwei solche allgemeiner
gesagt :zwei r a t i o n a l e r e c h t w i n k l i g e Dreiecke die eine gemein
same Kathete h aben mit dieser aneinander w as auf zwei Arten g e
s ch e h e n k ann
indem die Dreiecke von dieser Kathete aus entweder
nach derselben oder nach verschiedenen Seite n fallen so entstehen
zwei s ch i e fw i n k l i g e Dreiecke di e w ir mit Bezug auf jene als
Di fferenz un d als S u mm e n dre ie c k benennen wollen ; o ffenbar sind
sie rationale D reiecke da ihre Seiten sowohl als ihr Inhalt in ganzen
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
42
D i e G le i c h un
g
x
"
+y
"
:
"
z
.
resp rationalen Zahlen ausdrückbar sind Au f solche Weise entstehen
aber auch s ämtliche rationalen Dreiecke Denn wenn man in einem
solchen irgendeine der drei Höhen zieht so entstehen zwei recht
winklige Dreiecke mit einer gemeinsamen Kathete ; sowohl diese letz
tere die Höhe als die durch sie bestimmten Seitenabschnitte d h
die zweiten Katheten der rechtwinkligen Dreiecke sind aber wie w ir
bemerkt haben rational ebenso w ie ihre Hyp otenusen die zwei anderen
Seiten des gegebenen Dreiecks Al so ist das gegebene schiefwinklige
Dreieck je nachdem die Höhe die Gegenseite innerlich oder äu ßerlich
tri fft Summen oder D ifl e re n z d re ie ck zweier rationalen rechtwinkligen
Dreiecke Die voraufgehenden Betracht ungen haben daher mehr zahl en
theoretisches als geometrisches Interesse
6 Man hat diese Betrachtungen verallgemeinert in dem man statt
rationaler Dreiecke auch alle Vierecke zu bestimmen gesucht hat
deren Seiten und Diago n alen sowie auch deren Inhalt durch rationale
Zahlen ausdrückbar sind Diese A ufgabe ist bereits in des Inders
B rahmag up ta Al gebra (Al gebra with A rithmetic and Mensuration
h e rau s g von Oolebro o lce) in Angri ff genommen und inso w eit nicht ohne
Erfolg als dort eine Reihe von Sätzen gegeben werden nach denen
in der Tat rationale Vierecke gebildet werden können N achdem
Cb as les in der 1 2 N ote zu seiner Geschichte der Geometrie den dunklen
Sinn dieser S ä tze gedeutet hat Ku mmer (J ourn f Math 3 7 S 1 )
nachgewiesen daß alle von B rahmagup ta verwendeten Methoden deg au f
hinauskommen rationale Vierecke durch Zusammensetzung aus Py t h a
o rä is c h e n Dreiecken zu gewinnen
d
hat
aber
zugleich
ann
K
m
u
m
er
g
einen Weg gezeigt auf welchem s ä m t l i ch e m ö gl i ch e n Vi e r e ck e
d e r g e d a ch t e n A r t gefunden werden können In Kürze wollen wir
die Haup tresultate seiner Untersuchun g hier e n twickeln
Sie gründet sich auf den folgenden Satz :
I n j e d e m Vi e r e c k e w e l ch e s
Ü rati onale S e i ten un d D i agonalen
h a t s i n d a u ch d i e A b s ch n i t t e
i n welche di e le tzt eren ge gen
s eiti g s i ch te il en r ati o n al
In der Tat sei A B C D ein solches
Viereck ( s Fig 4) E der Schnitt
unkt
der
Diagon
en
d
a
l
die
a
p
ß
y
Absch n itte auf denselben und u v w
die Winkel B A E D A E und A E R
p
Da die Seiten der Dreiecke
.
.
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
.
,
'
,
.
.
,
.
,
,
.
,
’
.
,
,
.
.
,
.
,
.
.
.
,
,
.
,
.
.
,
,
,
.
,
,
.
.
,
,
,
,
,
,
,
,
A B O, A 0 1) , A B D
n ach Voraussetzung rational sind so sind es einer bekannten trigono
metrischen Formel zufolge auch die Kos inus :
,
.
444
D i e Gle i c h u n
der
ao
:
y
"
+
"
z
.
die Form geben :
w ir
3
2
( )
g
n
(
ar
g
r a
'
'
mß )
o
(
i’
ar
r a
(
'
’
mß )
n
2
2
’2
m )ß
.
Ist nun
irgendein Primfaktor von ß so kann nur einer der
Faktoren zur L inken durch ihn teilbar sein denn sonst gingen zugle i ch
'
,
,
'
g
ar
r a
,
'
g
r a
ar
also auch a r und r a durch ihn auf jedenfalls also auch o:
und ,6
und wegen (22) auch a gegen die Voraussetzung Hiernach kann
die Gleichung (23) nicht anders stattfinden als indem
'
g
,
,
.
,
2
r a
ar
mß = p y
'
'
ist worin
,
2
=
pq
n
2
,
'
g
r a
ar
— m2, z = I
ß
y
’
mß
n
.
Man findet demgem äß
2r
’
a
'
2_
_
na
’
ß
Setzt
m an
2m
ß
py
qz
z
y
in d i eser Gleichung
M
=
g
n
z
also
g =
ä
n
y
2
_m 2
3
n
wo nun ä eine rationale Zahl bedeutet so läßt sie sich schreiben
w ie folgt :
,
2
;
oder
=
_
g + 2c
:
2
0
2
—
1
3+ )
c
o
4
2
( )
1
,
ß
2
2g
Damit also das Dreieck A E B den gestellten Forderungen genüge
ist n o t w e n d i g daß ein rationaler Wert ä angebbar sei für welchen
das Verh ältnis d e r beiden den Winkel w einschließenden Seite n in
der Form ( 24) d argestellt werden kann Diese notwendi ge Bedingung
r e i ch t a b e r z u g l e i c h a u ch a u s d h wenn für irgendeinen
gegebenen rationalen Wert E die beiden den Winkel w e in schließenden
Seiten als rationale Zahlen in dem d urch die Formel ( 24) bestimmten
Verhältnisse ge w ählt werden so ist das Dreieck A E B eins der ge
suchten denn nach ( 21 ) findet sich leicht
,
,
,
.
,
.
.
,
,
,
,
9 +
2
5
( )
also
1
ebenfalls rational
8 Wird dies nun angewandt zur Bild un g eines rationalen Vierecks
E
C
D
n kel bei E
Fig
so
findet
man
da
der
Wi
im
Dreiecke
(
gleich w in den beiden Dreiecken B E O und A E D gleich a: w
der Kosinus jenes als o gleich c die Kosinus dieser gleich c s ind
daß Gleichungen bestehen müssen von der Form
a
.
.
.
,
,
,
,
,
Ku mmers
t
B e s i mm u n
(
d
c
a
o
)
o n ale n
(n
-
C
ß
2
)
Vi e re c k e
’-
445
.
1
2 17
(y + )
‘
ö
1
e
j
2x
a
ra
y
2€
ß
ti
d er
—1
a
2
6
( )
g
—1
g
i
2g
7
in denen E n x y rationale Werte bedeuten Da es übrigens nur
auf die L ängen v e rh ä l t n i s s e der L inien ankommt darf man für eine
derselben einen beliebigen rationalen Wert etwa ß 1 wählen womit
d ann die beiden ersten der vorigen Gleichungen die Form annehmen
,
,
,
.
,
,
,
—1
2
7
( )
i
—
(n c )
1
-
treten also fünf Größen x y E 7 c auf die aber ni cht u n ab h an g1 g
voneinander sind da durch Elimination von
aus
den
vier
d
y
G leichungen sich eine Bedingungsgleichung nämlich :
Hier
,
7 ,
,
,
,
a,
,
,
,
2
—
(v c )
2
8
( )
-
—1
1
2 17
«H
e
—
r 1
— c —I
w
(
r
23
2g
2x
herausstellt Demzufolge d arf man f ü r drei jener Größen etwa für E
c
beliebige
rationale
Werte
den
letzteren
kleiner
als
annehmen
1
]
und hat dann das rationale x so zu wählen daß y der Gleichung ( 28)
gemäß ebenfalls rational werde I s t d i e s a u f i r g e n d e i n e We i s e
g e s ch e h e n s o e r g i b t s i ch e i n V i e r e c k m i t r a t i o n al e n S e i t e n
u n d D i a g o n a l e n w e n n s e i n e S e i t e n d e r F o r m e l (25) e n t
s p r e c h e n d d u r ch d i e G l e i c h u n g e n
,
.
o
,
,
,
,
,
.
,
,
AR =
2
9
( )
,
2g
CD = y
y
2
+k
2
7
o
2g
130
:
2 11
D A —
w
oc
2
+h
o
2x
s
2
2
_
1
0
i n d e n e n z u r A b k ü r z u n g 7 fü r
g e s etzt i s t un d unter
a
d
i
e
We
r
t
e
z
u
v
e
r
s
t
eh
e
n
s
i
n
d
b
e
s
t
i
m
m
t
w
e
r
d
e
n
27
y
( )
Diese Formeln stellen also die vollständige L ösung der Vie re ck s au f gab e
2
12
,
,
d ar
.
.
Will man zudem daß auch der Inh alt des Vierecks rational
w erde
so hat man nur zu bemerken daß sich dieser Inhalt J aus
d e n Inhalten der vier Dreiecke der Figur nach der Formel
,
,
,
—
=
aß
J
(
berechnet also zugleich mit
“
,
ßy
s in
w
cos
g
d a)
6
7
2
-s
rational wi rd
w
s in
g
.
in w
Nun ist
w,
und aus den indischen Formeln für die Pyt h ago räis ch e n Dreiecke
findet sich ohne weiteres was D iop hant schon wußte d aß die all
gemeinste L ösung der Gleichung
,
,
446
D i e Gle i c h u n
c,
d
C
z
2
1
in rationalen Zahlen
g
"
d
c
2
durch die Formeln
r
:
r
’
’
d
1
1
27
'
r
’
1
geli efert wird wenn r rational gew ählt wird Zu dem angegebenen
Zwecke h ätte man also ein fach nur den so n st beliebigen echten Bruch
—1
zu
ersetzen
c fur c o s w durch e 1 nen Wert von der Form
w o m lt
1
,
.
r
r
’
,
,
+
dann auch s rn w
rat l o n al W i rd
+1
Nun ist die Gleichung (28) in bezug auf jede der Größen x y
vom zweiten Grade und l äßt sich schreiben in jeder der beiden
folgenden Formen :
27
‘
r
,
.
,
x
y
ay
L öst
man
g
o
y
g
o
di e
x
(
y
y
(
a
g
m
g
2 c (u
y)
2 c ( oc
y) y
)
yk )
z
ah
a3
e
2
o
’
k ym
g
k
x
g
ay
0
0
.
erstere dieser Gle i chungen nach y auf so findet man
,
2 9MB
N achdem
man also ä 7 c in der angegebenen Weise als rationale
Werte beliebig gew ählt hat wird man damit auch y rational werde
den rationalen Wert von
so w ählen müssen daß der unter dem
Wurzelzeichen stehende Ausdruck eine rationale Quadratzahl werde
Die sämtlichen jeder Wahl von g 7 7 c so z u gehörigen rationalen
liefern auf solche Weise alle zulässigen ents p rechenden y und damit
die Gesamtheit der gesuchten rationalen Vierecke in S y steme geordnet
S o kom mt di es e
w ie sie den e i nzelnen Werts y stemen
Vi e r e c k s a u f g a b e s c h l i e ß l i ch a u f d i e z ah l e n th e o r e t i s c h e h i n
a u s a l l e r a t i o n a l e n We r t e v o n x z z u fi n d e n fü r w e l ch e
,
9
,
x
,
,
,
,
x
.
,
,
,
,
,
,
3
0
( )
20
m
y)
x
a
h
g
’
)
2
4k y
2
x
2
=2
2
w i r d Schon F ermat und E uler haben die Au fgabe von welcher d ie
genannte nur ein Sp ezieller Fall ist :
eine rat io n alzahlige ganze Fun k
tion von x vom vierten Grade zu einem rationalen Quadrate zu
machen in Angri ff genommen und Methoden an gegeben um aus
einer bekannten L ös ung immer neue zu entwickeln Mit Hilfe di eser
Methoden hat Ku mmer noch gezeigt w ie man von besonders e i n
fachen L ösungen der Gleichung ( 30) ausgehend verschiedene Rege ln
zur Bildung rationaler Vierecke aufste llen kann Doch würde uns
die weitere Verfolgung sein er Untersuchung zu weit vom eigentli chen
G egenstande dieses Kap itels entfern en
.
,
,
,
.
,
,
,
.
.
448
D i e Gle i c h u n
g
n
+y
as
"
:
"
z
.
einen au s x gebildeten Ausdru ck von gleicher
Glied der Au s druck ( 3 3) also gleich
ist :
’
a
X:
“
2
+ b
'
x
'
'
+
c x
2
13
i
'2
des s en ers tes
Art ,
+ d w +
1
6 x
14
,
nun kann auf d e m z u vor angegebenen Wege ein Wert von x
also auch ein neuer Wert x ä x von erm ittelt werden durch
welchen der A usdru ck X einer Quadratzahl gleich wird A uf s olche
Weise kann m an also nach gleichbleibender Regel eine unbegren z te
der verlangten Art finden fall s nicht etwa
A n z ahl von Werten
einm al die Anwendung der Regel auf einen bereit s z uvor schon e r
zurückführt
h alt e n e n Wert von a:
E twas ander s v e rf äh rt E uler der dieselbe Aufgabe z u wieder
holten Malen behandelt hat ) E r sucht z un ä chst den Au sdruck X
in die Form z u bringen :
x
und
'
'
,
,
.
x
,
.
,
1
.
X
3
5
( )
worin
P
P =
6
3
( )
a
Q
+
2
QR ,
+
a x
1
ß
3
[
2
oz2 x
fi
x
1
g
x
s
R = 7 + 7 1 x + 7 2x
2
F unk tionen z w eiten Grade s von x s ind Fall s i n X der Koeffizient a
eine Quadratzahl
ist oder dadurch daß bereits ein der Aufgabe
genügender We t g von a3 bekannt ist de m Ausdru cke X wie soeben
gezeigt die Form (34) gegeben werden kann in welcher jene Vorau s
set ung erf üllt ist wird für X in der F ermat s chen Weise die g e
w ünschte Form ( 3 5 ) d u rch die Gleich u ng ( 3 2) erreicht d e rzu f o lg e
.
a
2
,
,
r
,
,
,
,
z
,
,
b
P =
C
9
+
a
ä
2
=
Q w
[
2
2
+
x
5
b (4 oc
R = d
2
’
x
3
—
c
b )
8a
J
a
)
,
ge s etzt werden kann No ch einfacher erreicht
Falle wenn m an setz t
.
m an
?
das Ziel in d i ese m
,
R =
1) S
c o lle c t ae
de
Mem
.
II ,
A
.
a
num os
.
St
.
b h nd ung en
.
n sis
aß
.
.
bu
’
+ bw+ cy + d w +
i n t e g ro s ;
m e th o d u s
re d u c e n d i
.
.
insi gni
er
od
e r in d e n C o m m e n t at ari t hm
P et e rs b 1 1 ( 1 88 0)
S 4 1 8 , 4 6 7 , 4 7 4 d ie A
l
a
D i O p h an t e ae ; d e re s o lu t i o n e
j n e ae qu at i o n i s
p ro m o t i o n e A aly
0
pe r
cd
c
nov
a
et
f ac ili s
fo
rm
ul s ub ic s
a
c
a
et
b i qu adrat i c as
ad
qu
a
d
rat
um
A
uflö su g
n
muß
bm
a
cx
dx
ew
2
.
2
449
.
,
setzen dann
so
ichung
“
3
wir irgendwie die Form (3 5) für X gefun den an und
N eh m en
3
7
( )
d e r G le
’
QW
X (P
y der Gleichung genügen
W
38
( )
3
9
( )
R
2P y
x
welche s owo h l in y als au ch in
P otenzen von a3 geordn et
,
,
0,
vom z
weiten Grade ist und nach
,
=
T
O
x
U
+
+
n
heißen m öge wobei jet t S T U g an ze Funktionen von y v o m zweiten
Grade bedeuten
Geset t n un m an kenn e einen Wert
welcher den Au s
druck X u eine m Quadrat m acht so wird y wegen (3 7 ) einen ent
sp rechenden rationalen Wert ; erhalten der für
der Gleichung
l
genügt
A
uadratische
Gleichung
hat
let
tere
aber
noch
eine
s
3
8
q
( )
zweite ebenfalls rationale Wu r el
so daß die Gleichung (3 8) oder
die ihr gleichbede u tende Gleichung ( 3 9) durch das Syste m x
y 77 rationaler Werte befriedi gt wird d h entsp rechend d e m Werte
y 7 die rationale Wurzel a: hat Sie m u ß daher als q uadratische
Gleichun g noch eine zweite d e m Werte y 7 entsp rechende ebenfalls
ration le Wurzel x E haben so daß ( 39) al s o au ch (3 8) durch das
rationale Werts ys tem x
y 7 erfüllt d h 33 e in neuer der
A ufgabe genügender Wert von wird ; dann m u ß aber die Gleichung ( 3 8)
für a3 3 wieder außer y 97 noch eine zweite ebenfalls rationale
Wur el y n haben der ents p rechend wieder ein neuer der Au f
"
gabe genügender Wert x
gefunden wird usw fort Man sieht
also auch au f diesem Wege E ulers aus einer ein igen als bekannt
vorausgesetzten L ös un g x = ä eine unbegren te Menge neuer L ös u ngen
entstehen wenn man nicht etwa bei m F o rt gan ge d e s Verfahrens ein
m al auf e inen schon dagewesenen Wert von x u rückgeführt wird
Wenn glei ch nu n diese Methoden ausreichen u m au s e i n e r L ö s ung
der Aufgabe noch an d e r e zu finden so leuchtet do ch ein daß dam it
die A ufgabe bei weite m nicht erledigt ist Hier u fehlt e s einerseits
an d e m Nachwei s e wie jederzeit e i n e L ösung gefunden werden könn e
anderers eits an einer Methode u m aus dieser oder anderen f u n d
m e n t al e n L ös ungen s ä m tliche übrigen u erhalten und bis zur Zeit
sind die s e Teile der A ufgabe noch völlig ungelö s t geblieben
1 0 Wir kehren n u n
r Gleich ung
z
,
,
,
x
.
z
,
z
x
,
o
,
»
z
.
ä
z
'
9
ä
'
,
.
.
.
7
’
'
a
,
x
'
"
z
7
'
'
’
ä
,
.
.
,
.
.
z
z
,
z
.
,
,
,
z
.
,
,
a
,
z
,
.
zu
.
4
0
( )
x
"
"
y
”
z
wieder urück E s ist gezei gt worden daß sie falls n 2 ist un
endlich viel Auflös ungen in ganzen Zahlen a) y 2 besit t Um so
m erkwürdiger ist eine berüh m t gewordene Au ssage von P ie w e F em at
d e rz u f o lg e der Wert 2 des E xp onenten n der einzige ist für welchen
i d
B m
Z
i
29
z
.
,
,
,
’
,
z
,
.
,
,
ac
h
an n
,
n e
e re
ah le n t h e o r e
.
II
.
Gle ichung
D ie
45 0
"
93
y
”
"
z
.
überhaup t der Gleichung (40) ganzzahlige A uflö s un gen z uko m m en
2 in ganzen Zahlen x y z unlösbar sei Die s er
d ß sie al s o für n
Au ss p ruch F ermat s findet s ich in seinen O b s e v at i o n e s z u d e s Dio
d
rin i arit h m e t i c o ru m libri s e x et de n u m e ri s m u lt an gu lis
h
i
Al
e
xa
n
a
n
t
p
liber unus c u m c o m m e n t a iis C G B ac h e t i 1 67 0 und lautet in der
weiten R andbe m erkung folgenderm aßen :
—
C u b u m a u te m in d u os cubos aut q ua d rato q uadratu m in duos
t
m
uadrato
uadra
u
d
rat o s et generali ter n u llam in i n fi n it u m ultra
a
q
q
q
as est dividere
otestate
in
duas
ejusde
no
m
inis
f
cujus
rei
de
m
m
;
p
Hanc m arginis e x igu it as non
m o n s t at io n e m m irab ile m sane d e t e x i
,
a
,
.
,
r
r
,
,
.
.
z
-
u
r
c ap e re t
.
H ö chst bedau erlicherweise hat F ermat auch sonst diesen wunder
seine s S atzes der zu m Unterschiede von d e m g e w ö h n
b aren Beweis
li ch als F ermat scher Satz bezeichneten S atze aus der Theorie der
Poten re s te der große F ermat s che S at genannt wird weder ver
ö ff e n t li ch t noch hinterlassen u nd seit E ule r m ühen sich die Mathe m atiker
vergeblich diesen oder einen anderen Beweis z u finden d u rch welchen
die gedachte Tatsache als allge m ein gültig erwie s en würde eine Tat
sache die fall s sie richtig ist die Zahl 2 in gan entsp rechender
Wei s e allen übrigen P ri m zahl en gegenübersetzen würde wie es
durch ihre E igenschaft als ein ige gerade P ri m ahl geschieht Die
Mittel welche F ermat für s ein en Beweis
Gebote gestanden haben
k önnen nur unseren Begri ff en nach ele m entare gewesen sein u nd
doch haben selb s t sehr hochgehende neuere Methoden den S at noch
ni cht allge m ein fe s tzu s tellen verm ocht wennschon sie und einfachere
Betrachtungen s eine Gültigkeit in weite m Um fange haben erkennen
lassen An der Wah rh aft i g k e i t von F ermat s Aussage ist bei der
großen A u frichtigkeit m it welcher er überall sich über Dinge äußert
die ih m n och ni cht nach Wun sch gelungen nicht u zweifeln ; s p richt
er doch m ehrfach gan besti mm t aus daß wie er un f ähig sei sich
m ehr zuzuschreiben als er wisse er ebenso frei m ütig bekenne w s
er nicht wisse Wenn m an de mn ch die Frage aufwirft ob er tat
sä chlich einen Beweis für seine Beha u p t ung besessen
so kann m an
dam it n u r die R i ch t i g k e i t s einer Aussage bezweifeln n ä m lich an
nehm en daß er m ögli cherwe i se sich über die Beweiskraft sei n er
Schlüsse g e t äu s c h t habe
Verm ögen wir n un auch u nsererseits leider nicht einen allge m einen
Beweis des großen F ermatschen S t es m it uteilen so dürfte do ch
eine gedr ängte Darstellung dessen was
diese m Zwecke hau p ts ä chli ch
bisher versucht und geleistet worden ist nam entli ch insoweit es nur
ele m entar e Gebiete der Zahl entheorie in Ansp ru ch nim m t nicht un
willko mm en und vielleicht au ch für weitere Be m üh ungen u m den
Beweis des S t es von Nut en sein und so wollen wir das vorliegende
We k m it einer solchen Ski ze beschließen
.
„
“
,
z
z
„
“
,
,
,
,
,
,
z
,
,
,
z
z
.
zu
,
,
,
z
,
.
,
,
z
,
z
,
,
,
,
,
,
a
.
,
,
,
,
.
,
a z
z
,
zu
,
,
,
a z
r
z
,
z
.
a
D i e Gle
45 2
i chung
"
”
"
z
y
a3
.
rationalen O p erationen gebildet werden können Die g an e n a l
b
a i s c h e n Zahlen desselben sind die Zahlen von der For m u
e
g
m it ganzzahl igen u v und e s herrschen für diese Zahlen die glei c hen
T e ilb rk e it s g e s e t z e wie für die gan en rationalen Zahlen insbeso n dere
ihre ein de utige Zerlegbarkeit in einfachste sogenannte P ri m f kt oren
von derselben Form derart daß au s der Gleichung
der die Form
z
.
r
,
a
,
z
,
,
a
,
,
,
ßV
(n
2)
(
ä
72
?
:
gegeben werden kann w äh rend ; ß V 2 77 ß V
keinen ge
u
schließen ist d ß 77 ß y 2 selbst
m e in s am e n Te iler zulassen
d as Q u adrat einer gan en Z ah l des Körp ers etwa
‘
o
,
,
z
,
d h
.
.
a
,
z
'
,
=
n
l
2
2
2u ‚
-
=
2
l
ß
u
diesen Gleichungen in welchen da n eine ungerade Zahl
ist Ä ebenfalls u ngerade ist und weil 77 ß ebenso wie a 6 te iler
fre m d s ind auch Ä y te ilerfre m d s ein m üs sen folgt m it Rücks i cht
au f (43)
is t
.
Au s
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
4
=
1 +
72 + ß
2
2
G äbe es al s o ein Pyt h ag o ä is c h e s Dreieck dessen Inhalt eine
Quadrat ahl ist s o g äbe es auch ein wei t e s s olches Dreie ck m it den
Katheten
2 u und der Hyp otenu s e a wel c he wie m an leicht über
sieht wesentlich kleiner s ind als die ents p rechenden S eiten des
ersteren und dessen Inhalt gleich „ also ebenfall s eine Quadrat
ahl w äre Da für dies neue Dreieck die gleichen Betracht ungen
wiederholt werden dürften erhielte m an aus der Vorausset ung e ine
unbegren te Reihe von Dreiecken m it i m m er kleineren gan ahligen
S eiten was ein Unding is t
Man sieht das Prin ip d e s F ermats chen Beweisverfahr ens ist
wie er selbst e s nennt u n e d e s c e n t e i n fi n i e d h e i n u n b e g r e n t e r
F o r t g an g von d e m vorausgesetzten Dreiecke u i m m er neuen von
gleicher Beschaffenheit aber m it abneh m enden Seiten ahlen und führt
da ein solcher Fortgan g widers innig ist p e r absurdu m zu m Beweise
des S at es
1 2 A u s i h m fo l g t n u n s e h r e i n fa ch d a ß d i e G l e i ch u n g
r
z
,
z
,
2
2
,
,
,
,
,
2
,
,
z
.
z
,
z
zz
,
.
z
,
,
.
,
z
.
z
z
,
,
z
.
,
.
4
5
( )
x
4
— y4 =
2
2
i n g a n z e n Z ah l e n x
u n l ö s b a r i s t Denn gäbe es eine
L ösung so dürft en wie soglei c h ein usehen as y z u je weien
ls teilerfre m d gedacht werden und de m nach m üßten a3 y entweder
beide unger de oder eine von ihnen gerade die andere ungerade s ein
Die let tere An nahm e führte zu einer Glei chung wie di e Gleich ung (42)
.
,
,
z
,
a
,
z
,
,
,
z
z
,
,
a
,
,
.
Un
öglichk e it
m
und
d e r Gle
i chu g
n
x
4
y
“
z
“
45 3
.
dam it zu der gan en Reihe der a s ihr ge ogenen Folgerungen
erweist s ich al s o als un ul ä ssig W ären dagegen beide x y u n g e rad e
so
würde z gerade se in S chreibt m an dann die Gleichung (4 5) in
der Form
z
u
z
,
‘
z
.
,
,
.
Z
2
y
t
4
x
,
so ergäbe sich nach den indi s chen Form eln
z
de m nach
= 2 a b,
a
a
4
2
b
x : a
2
2
,
2
+ b
2
4
b
wo n un a b ungleichartige Zahlen s ind und m an k äm e auf die vorige
als un ul ä ssig erkannte A nnah m e zurück
D i e g l e i ch e B e w e i s m e th o d e i s t ab e r w i e F e r m a t s c h o n
a u s g e s a g t u n d L e g e n d r e ( a O ) g e z e i g t h a t an w e n d b a r u m
u c h d i e U n m ö g l i ch k e i t d e r G l e i ch u n g
,
,
,
z
.
,
.
a
.
,
.
,
a
45
a
(
)
=
y
4
4
x
2
2
z u e r w e i s e n Da auch in ihr wieder x y z als zu je zweien teiler
fre m d gedacht werden dürfen x y aber ni cht gleich eitig ungerade
sein können da sich sonst die un m ögliche Kongru en 2 E O (m o d 4)
erg äbe könn en x y nur ungleichartige Zahl en sein m it Rücksicht
auf die in di s c hen Form eln erhielte m an al s o die Beziehungen
.
,
,
z
,
,
z
,
,
,
,
x
.
2
= 2 a b, y2 =
a
2
— b2
,
z
=
a
2
+ b
2
,
in denen a b te ilerfre m d u n d ungleichartig sind Zudem m u ß a u n
gerade b gerade sein da bei u m gekehr ter Annah m e sich y
1
m
d
m
an
m
erg
ä
be
was
u
ö
glich
i
Setzt
de
nach
o
4
n
m
s
b
t
2
b
(
)
so folgt au s x = 4 b a daß sowo hl a wie b Quadratzahlen sein
m üssen etwa a
6
ithin
m
a
3
2
b
b
‚
[
.
,
g
,
,
'
,
.
,
.
'
2
'
,
'
2
2
,
,
,
,
4
6
( )
z
2
a
4
4
4 13
g
y
.
Man kan n n un entweder auf den früheren F ermat schen Sat
urü ckführen inde m m an diese Gleich ung in die Form s etzt
z
,
2s )
(
o
r
2
2ß >
ß
a,
woraus die Faktoren da sie o ff enbar teilerfrem d sind sich einzeln
ls Quadrat hlen ergeben m ithin eine Gleichung
,
,
a
za
,
2
2ß
2
g
von der A t (44) hervorgeht deren Unm ö gli chkeit ge eigt worden ist
O de aber m an kann einf acher o h n e h i e r d e s S a t e s a u s d e r
K ö r p e r th e o r i e u b e n ö t i g e n folgenderm ßen f o rt s chlie ße n :Au s
4
folgt
6
( )
r
z
,
r
z
,
z
a
,
4
(x
.
31
2
'
ichung x
D i e Gle
45 4
"
y
”
”
z
,
m ithin
nach den indischen For m eln
=
Ä
1
1
y
H:
ß
wo l p teilerfre m d und u ngleichartig sind
Quadratzahl en s ein ; wenn m an de m ge m äß Ä
findet m an die Gleich ung
2
2
2
"
.
,
4
4
m
l
“
:
Daher
2
+ H
.
2
l, u
m ü s sen
m
2
Ä
,
y
setzt so
,
2
,
d h aus der vorausge s et ten L ösung der Gleichun g (45 a) eine andere
in o ffenbar kleineren Zahlen l m für welche n un die gleiche B e
t rac h t un g wiederholt und daher wieder e in u nbegren tes Herabsteigen
z u i m m er kleineren ganzen Zahlen erzielt werden könnte w as doch
unm ö glich ist
Die beiden letzten S ä tze sind auf ä hnliche Weise au ch in E ulers
Al gebra ( fran ösische Ausgabe 2 B d Kap 1 3) bewie s en worden der
ebenso w ie nach ih m L egen dre ihnen noch eine ganze An zah l ver
w an d t e r S ä t e hinzugefügt hat
Mit d e m let ten S atze ist aber au ch der F ermats che S atz für den
Wert 4 de s E xp onenten n bestä tigt allge m einer a u ch f ür n
wenn v 2 ist ; denn w ä re dann
.
z
.
,
,
z
,
.
z
.
.
,
.
,
,
,
z
.
z
,
'
,
v + y v= v
2
2
x
so
w ä re auch entgegen
"4
x
g
v
’
schon Bewiesen en
de m
wenn
z
2
—2
’4
+ y
=
y
y
'
_
—
7
2
r4
z
—2
z
7
v
!
—2
gedacht wird Ist n d agegen keine P otenz von 2 so ist e s d urch
m inde s tens eine ungerade P ri m zahl p teilbar etwa n = p n u nd
de m nach erg äbe sich aus d e m Bestehen der Gleichung
4
7
y
z
( )
die andere :
u
4
8
x
z
y
:
( )
wenn
.
,
'
o
,
,
x
"
’p
y
x
=
n
x
”
"
'
)
p
b
=
y
y
l
n
i
y
z
i
r
n
‘
'
z
geset t wird L äßt sich daher die Gleichung (48) als in gan zen
Zahl en un m öglich erweisen so gilt dasselbe au ch für die Gleich ung
u n d die F erm at sche Behau tung w ä re begrün det
Man
darf
sich
a
o
l
s
p
bei d e m Vers u che sie zu bestätigen au f die Voraus s et u ng beschränken
daß der E xp onent n eine u ngerade Pri m ahl sei
1 3 Der n äc h s te Fall w ä re so m it die Gleich ung
z
.
,
.
z
,
,
z
,
.
.
4
9
( )
x
3
y
s
2
3
.
Ihre Unlösbarkeit in gan en Zahlen welche wieder zu je weien
teilerfre m d gedacht werden dürfen ist zuers t von E uler ( a a O
z
,
,
z
.
.
.
D i e Gle
45 6
ichung
”
x
y
”
z
”
,
in denen a b zwei teilerfre m de nicht durch 3 teilbare Zahlen sind
die erste gerade die zweite ungerade
N u n b e d a r f m an z m F o r t g an g e d e s B e w e i s e s w i e d e r
e i n e s S a t e s au s d e r T h e o r i e d e r q u a d r a t i s c h e n F o r m e n m i t
—
—
o
d
e
r
a
u
s
d
e
r
T
h
e
o
r
i
e
d
e
s
a
u
s
3
d e r D e t e r m i n an t e
V 3
g e b i l d e t e n Z ah l e n k ö r p e r s Die gan en algebrai s ch en Zahlen des
,
,
,
.
,
u
z
z
.
let teren s ind die Z ahlen von der Form
ander (m o d 2) kongruenten u v und sind au ch hier wieder eindeutig
in P ri m faktoren von derselben Form zerlegbar so daß au s der weiten
der Gleichungen
d i aus
z
,
,
.
z
,
.
.
/
3
+
(p q 1
)
—
(p
wo die Faktoren ohne ge m ein sam en Teiler s ind sich p q V 3 von
einer d e m Körp er angehörigen E inhe i t als Faktor abgesehen selbst
wie un s chwer u sehen
als eine dritte P otenz ergibt und m an
o
/
q1
‘
,
,
,
z
,
setzen kann wobe i u v als g e r a d e zu denken s ind
u
v 2 s so ko m m t
,
,
,
S etzt m an
.
als o
,
d h
.
=
qV
p
r
3
— 9 r32
2
(
r
=
3
s
g
(
3
s
.
=
p
2
5
( )
r
also
(
7
'
2
r
2
— sg
)
3
5
( )
Da wegen (5 2) jeder ge m einsam e Te iler von r und s au ch ein
m
r
w
ä
re
üssen
a
u
ch
teiler
s
s olcher der teilerfre m den Zahlen p
g
f em d sein auch m üssen sie wie p q die erste gerade di e weite
ungerade s ein endlich r d u rch 3 nicht teilbar ; daher sind die drei
Faktoren in ( 5 3 ) ebenf lls zu je weien ohne ge m einsam en Te iler
und m an erschließt Gleichungen von der Form
,
r
,
,
,
,
,
,
z
,
,
a
z
r
a
lso
3
= n3
3
=
g + „2
E,
3
ä
— 3
3
w ährend keine der Zahlen
Dies ist aber
Z
; durch 3 teilbar i s t
wie anf ngs ge eigt worden eine Un m öglichkeit
I s t w e i t e n s z d i e d u r ch 3 t e i l b a r e d e r d r e i Z ah l e n x y z
l s o p d u r c h 3 t e i l b ar so l äßt sich e in gan ähnliches S chlu ß
verf hren durchführen und m an erhielte eine ne u e Gleichung von
der Form
ber in wesentlich kleineren ganzen Zahlen von der
aus m an dieselbe Betrachtung wiederholen k önnte So k äm e m an
a
z
,
,
,
.
.
z
,
a
,
a
z
,
a
,
.
,
,
U
nm
öglichk e it
Gl ich ng
der
e
u
03
3
”
y
z
"
45 7
.
entweder endli ch einm al auf eine Glei ch un g wie der erste Fall sie
bietet die m ithi n un m öglich is t oder es f ände ein unbegrenztes
Herabsteigen zu i m m er kle ineren gan en Zahlen statt al s o ein Wider
sp ruch Die Gleichung ( 49 ) ist also unlö s bar
Man s ieht auch hier führt eine d e s c e n t e u m Beweise ganz ähnlich
derjenigen deren s ich F ermat bei d e m anfangs in Nr 1 1 behandelten
F lle bedient hat Jedo ch be m erkt F ermat in eine m an C arcaml
J ai en s uite consid er e certaines
gerichteten Briefe ( oeuvre s I I S
n en wird die Gleichung
ue
tion
und
unter
ih
erw
hnt
4
9
ä
s
s
q
( )
restent
as de recevoir tr es grande d if fi c u lt e la m ethode
our
u
i
e
n
p
q
p
n
rati
uer
la
de
cente
e
t
a
t
to
u
t
a
fait
diverse
r
c
dentes
s
d
e
s
e
e
q
p
y p
co m m e il sera ai s e d ep ro u v e E s ist ni cht gut m ögli ch
s agen
Aber in der Tat findet wischen
w s F ermat hier m it ge m eint hat
der d e s c e n t e d e s E d ers ch e n Bewei s e s und der früheren ein Unterschied
statt den es lohnt klarzustellen I m Grun de wird n ämlich der zweite
der unterschi edenen beiden F ä lle auf den ersten zurückgeführt durch
e ine n e u e A r t der d e s c e n t e deren eigentüm liches P rin ip zuerst von
L eg en d re ( Zahl entheorie de u tsch von M aser Bd 2 S 348) und s p ä ter
von Kum mer in seinen allgem einen Untersuchungen über den F ermat
ein gehalten worden ist
s e h e n Sat
Man s etze
,
,
,
z
,
.
.
z
,
.
,
a
/
.
’
.
,
,
’
r
zu
.
a
,
z
.
.
,
z
,
,
,
z
,
.
.
.
z
"
2
wo z un gerade und ni cht durch
die Ge s talt über :
,
2
2p (p + 3 q
‚
teilbar ist ; dadu rch geht ( 5 0) in
3
2
3k
)
2
3
‚
3h
zä
‚
.
Da 19 + 3 q u ngerade jet t aber einm al d u r c h
gibt s ich hieraus das Be s tehen zweier Gleich ungen
2
2
z
,
2P
2
3k
,
3
3h
—l
‚
a
ß
’
17
2
3
teilbar
is t ,
=
3
+ q
2
in denen a b als Faktoren von z nicht d urch 3 teilbar sind
deren letzte au ch geschrieben werden kan n wie folgt :
,
,
er
,
und
,
Mit Hilfe des Satzes au s der K ö rp ertheorie den wir oben benut t
ers chließt m an hieraus da die Faktoren p q V 3 p q V 3 die
Zahl 1/ 3 d e s Körp ers u m größten ge m ein s am en Teiler haben daß
z
,
‘
,
,
z
20
also
p
sein
muß
.
,
+ q 1/
9 8 (s
)(
r
)
r
s
Folgl i c h ergibt sich
2 s (s
r
)(
s
r
)
(
r r
q
,
3
3k -
2
3h
2
—3
98
o
a
3
2
)
,
D ie Gle
45 8
ich ung
”
”
a3
”
z
y
.
Die Zahlen r s m üssen ohn e gem e insam en Teiler un d da q ungerade
ist s gerade r ungerade sein ; m ithin sind di e drei Faktoren zur
Rechten z u je zweien teilerfre m d u nd hierau s erschließt m an e n t
w e d e r Gleich ungen von der Form
,
,
,
,
,
3
2s
2
als o
W:s
i
u
L
a
r
s r;
k
=
2
72
(
3
4
5
( )
r
8
„
m
o d e r Gleichungen von dieser anderen Form :
23 = 2
3k
.
3
3h-
3
3
g,
.
also
i
s
2
(
S
g
k
=
r
3
,
3
€,
—
T r
s
-
=
3
n
h
wobei g als Faktor von a nicht m ehr durch 3 teilbar ist Die
Gleichung (5 4) ist e ine Gleich un g von der Form (49) d e s ersten
Falles kann also n icht s tatthaben ; die Gleichung (55) hat die Gestalt
der Gleich ung (49) d e s zweiten Falles i n w e l c h e r j e d o c h d i e
h ö c h s t e i n z a u fg e h e n d e P o t e n v o n 3 e r n i e d r i g t i s t So m it
gelangt m an durch Wiederholun g des gleichen Verfahren s endlich u
einer Gleichung von der Gestalt
in welcher z überhaup t nicht
m ehr dur c h 3 aufgeht d i z u einer Gleichung des ersten Fa lle s aus
deren Un ul ä ssigkeit auch jede Gleichu ng des weiten Falles als u n
m öglich erhellt
1 4 Auch für die nun folge nden F ä lle der Gleichungen
.
,
,
z
.
z
.
.
,
z
z
.
.
6
5
( )
x
5
7
( )
x
5
y
7
y
5
2
"
2
5
7
ist au f ele m entare m Wege die F ermatsche Behau p tung ih rer Unlösbar
k e it in ganzen Zahlen bewiesen
Zun ä chst kann festgestellt werden
wir ko m m en sp ä ter darauf z u rück
daß i m m er eine der Zahlen
w y z d u rch den E xp onenten 5 re s p 7 teilbar s ein m u ß und m an
darf vorausset en daß z diese Zahl s e i Die Unlösbarkeit der
Glei chung ( 5 6) unter dieser Vorau ssetz un g wu rde zuerst von D irichlet
in einer der P riser Akade m ie am 1 1 7 1 825 vorgelesenen Arbeit
die in Crd le s J ournal für Mathe m atik 3 S
verö ff entlicht ist f ü r
den Fall bewiesen daß z ugleich die g e r a d e der Zahlen a2 y z ist
Darauf bewies L eg en dre im 2 Su p p l em ent seiner t h ö o rie des no m bres
den ganzen S at und zwar den D irichlet s ch e n Fall in gleicher Weise
wie dieser den andern wo z u n g e r a d e ist durch eine besondere
A nal y se In der A ddition u seiner genannten A rbeit ( a a O S 3 68 ff )
gab dan n D irichlet den Beweis auch für den le t t e rn Fall auf völlig
analoge Weise wie für den e s t e n O hne auf diesen Beweis hier
e ingehen zu können sei nur hervorgehoben daß s eine Methode wie
bei F ermat ein unbe gren te s Herabsteigen von einer gew i ssen in der
.
,
,
,
.
z
,
.
a
,
,
.
.
.
,
z
,
,
,
.
.
z
,
,
,
z
.
.
.
.
.
.
z
r
,
,
r
.
,
,
z
,
460
°
D i e Gle
ichung
x
”
y
”
”
z
.
In ganz an aloger Weise hat uerst L ame ( Journ des Math 5
S 1 9 5 ) die F erma t s che Behaup tung au ch für die Gleichun g
best
ä
tigt
und
d
r
uf
L
e besg ue ( an de m s O rte S 27 6 und 3 48
7
5
( )
)
eine Vere infachung seines Beweises geliefert ; auch in jener A rbeit
eigt sich die Notwendigkeit S ä tze aus der Theorie des entsp rechenden
Z hlen k örp ers zu Hilfe
nehm en D a s E i n g r e i fe n e i n e s s o l c h e n
Z a h l e n k ö r p e r s i n d a s F e r m a t s ch e P r o b l e m b e g r e i ft s i c h s o
g l e i c h a u s d e m U m s t a n d e d a ß n a ch e i n e m b e k ann t e n S a t e
a u s d e r L e h r e v o n d e r K r e i s t e i l u n g fü r j e d e n We r t d e r u n
g e r a d e n P r i m z ah l p
15
’
z
.
.
.
.
a a
.
z
.
,
zu
a
.
z
,
p
x
58
( )
+y
I
p
'
y
P
)
g
g e s e t t w e r d e n k a nn wo X Y ganze ganz ahlige F u nktione n von
ugleich gan e Zahlen sind Die beiden
x y also m it die s en Größen
Faktoren
z
z
,
,
z
,
9
5
( )
X+ Y
V(
-
1)
z
2
'
X
19
Y
V(
-
,
2
.
1)
2
'
,
2
in welche die rechte Seite der Gleichung ( 5 8)
19
z
erf ällt sind gan e
z
,
algebraische Zahlen des aus der Größe
d e t e n Zahlen
k ö r p ers A ber in diese m gelten im allge m einen nicht m ehr die g e
w ö h n lic h e n T e ilb ark e it s g e s e t e und eine einde u tige Zerlegbarkeit s e iner
gan en Zahlen in sogenannte Pri m faktoren ist nicht m ehr vorhanden
wenn diese von derselben Form sein sollen Um zu e iner solchen
urück ukehren m üssen gewis s e Zahle n g e b ild e eingeführt werden die
m an I d e a l e nenn t und welche nach eine m besti m m ten P rin z ip e der
Ä q uivalenz in eine en dli che An ahl von Klassen verteilt werden können
Jede der ganzen Zahlen des Körp ers a b er ist dann auf einde u tige
Weise in ein P rodukt einfa cher sogenannter P r i m i d e a l e erlegbar
Nun wird s p äter ge eigt werden daß wenn die Glei chung
6
0
x
y
2
( )
in ganzen Zahlen x y z bestehen soll die linke S eite der Gleichun g
d
as
eine
P
otenz
oder
fache
einer
solchen
sein
Fassen
5
m
ß
8
p
p
( )
wir nur den ersteren die s er F älle ins Au ge so m üßten also di e Faktoren
ne
ihrer
rechten
eite
sob
ld
sie
oh
einen
d
em
Kör
er
a
n
5
9
S
p
( )
gehörigen ge m einsam en Teiler sind selbst p P otenzen ein es gewissen
Ide ls sein Falls dann p in der An ahl der Idealklassen nicht u f
geht würde aus der allge m ein en Theorie der Zahlenkörp er folgen
daß jene Fakto ren bis auf E inheitsfaktoren gleich
P oten en an derer
g n er Zahlen
.
z ,
z
,
.
z
z
,
,
z
.
z
,
z
,
p
‚
,
.
,
?
P
,
,
“
-
u
.
,
,
a
t"
,
a
a
z
.
,
,
z
a
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u
+
Zus
am m e
nh g
an
m it d e r
Kö rp e rt
hoi
e
r e
Ku mme rs
.
g bnis
Er
e
46 1
.
des Körp ers wä ren und es würde s ich so ein Bewei s gang anschicken
E nts p rechendes g ä lte in d e m
ä h nl ich den bisher schon beobachteten
weiten der vorher unterschiedenen F älle D och abgesehen davon
daß es n u r für die P rim zahlen p der erw ähnten A t um Ziele führen
könnte eigen schon die A rbeiten von L ame und L ebesgu e wie u n
ge m ein die Betrachtun gen m it wa chsende m Werte des E xp onenten p
sich verwickeln und verm utlich bald undurchführ bar werden würden
Mit Z uhilfenahm e des Kreisteilun gskörp ers d i der aus p Wur eln
der E inheit gebildeten Zahlen auf welchen die voraufgehende E r
s
n
K
u
mm
er
schon
hinwei
t
ist
es
gelu
gen
den
großen
n
e
u
F
a
t
r
t
e
m
ö
g
für alle P im z ah le xp o n e n t e n p die einer gewissen
s chen L ehr s at
Bedingung genügen sogar in viel allge m einere m Sinne als F ermat
u beweisen
n äm lich den Nachweis u führen daß
ihn ge m eint hat
die Gleichung ( 60) nicht nur nicht in gan en r a t io n al e n sondern
au ch nicht e in m al in ganzen al g e b r a i s ch e n d e m Kreisteilungskörp er
angehörigen Zahlen aufl ö sbar ist E s ist noch unbekannt ob es
solcher P ri m ahlen p ein e nu r endli che oder eine unendliche An hl
gibt ; da aber zu ihn en lle P ri m ahlen des ersten H u n d e rt s gehören
s o s t e h t d e r F e r m a t s c h e A u s s p r u c h fü r a l l e P r i m ah l e n
1
b
e
r
e
i
t
s
fe
s
t
A
ber
diese
K
r
s
h
e
n
Betrachtungen
00
u
mm
c
e
p
ent iehen sich wie d e m Rah m en dieses Werks so auch unserm
Vorhaben d as vielm ehr darauf ausgeht die hau p ts ä chlich s ten e l e
besp rechen die bisher angestellt wurden
m e n t a r e n Beweisvers uche
in A nbetracht des s en daß wenn F ermat wirklich einen Beweis seiner
Behaup t ung besessen auch dieser nur ein elem entarer gewesen sein
,
.
z
.
,
r
z
’
,
z
,
.
t en
,
z
.
.
,
r
,
r
,
z
r
,
,
,
z
,
z
,
z
,
,
.
,
z
za
a
z
,
z
.
z
,
,
,
zu
,
,
,
,
,
Inde m wir daz u übergehen zu entwi ckeln was in solcher
Weise für den allge m einen Fall der Gleichung ( 60) bi sher geleistet
worden ist schicken wir e i n e R e i h e v o n B e m e r k u n g e n vorauf
welche an sich interessant dabei zur Verwendung gelan gen
Zun ä chst kann m an der Gleich un g
indem m an 2 P auf die
linke S e i te bringt und dann
z statt z schreibt die s ym m etri s che
Gestalt
16
,
.
,
,
,
,
,
.
,
6
1
( )
xp
+ y +
p
zp
=0
geben in welcher nun zwei der Zahl en x y z p ositiv eine negativ
gedacht werden könn en A uch dürfen wir sie zu je weien teilerfre m d
an nehm en ; daher m üssen dann zwei der Zahlen 90 y z ungerade d i e
dritte gera de s ein
1 ) Setzen wir nun
,
,
,
,
z
.
,
,
,
.
M =
so können x
,
y,
z
xy
+
z
y
+
ex
‚
.
N =
x y z,
als Wur eln der kubischen Gleichung
z
2
—
—
N = O
L U + M U
U
B
D ie
46 2
aufgefaßt werden
,
und
G l ich
e
un g
"
”
x
I n de x i
'
i
+ y +
gesetzt wird so be s tehen nach den
ziehu ngen :
6
2
( )
z
"
N e w t on schen
,
—
L
z
y
wenn für jeden
i
:
Sa x
"
Form eln die
Be
=
o
a
L
2
s 2 = 2M
L
3
S, = 3 (L M
L
5
85
5 (L M
L
7
S7
7 (L M
—N
)
N ) (L
M)
2
M ] + L N)
2
.
Mit Rücksicht auf die leicht zu bestä tigenden Form eln
nehm en die drei zuletzt geschriebenen Gleich ungen die Gestalt an
L
6
3
( )
L
3
33
5
5
y) (y
2
W
00
)
L
_ 5
2
+
x
2
2
+y +z
i
2
auf deren let te L ebesgue ( am oben angeführten O rte) sein en Bewei s
für die Unlösbarkeit der Gleichung (5 7 ) in ganzen Zahlen gegründet hat
Nun besteht für jeden P im ah le xp o n e n t e n p n ach d e m F em at s ch e n
L e h rs at z e die Kongruen
z
.
r
z
z
6
4
( )
Dam it al s o die Gleichun g ( 6 1 ) erfüllt sei
,
mu ß
6
5
( )
sein Dem nach ieht m an au s den Glei ch ungen (63 ) den Schluß daß
z u m Be s tehen der Glei c hungen
z
.
,
x
3
90
x
5
7
3
+ y +
5
+ 31 +
7
+ y +
z
2
3
= 0
5
= O
7
=0
a
in ganzen Z hlen resp nach s tehende Kongr u enzen no twendig sind :
3
d
E
O
m
o
3
x
y) (y
(
)
)
a
.
.
L
2
2
+x +y
m
od
(
.
2
+
z
2
D ie Gle
4 64
i chung
a)
"
"
"
z
y
7
6
( )
wo
allge m eine Glied der
d as
1)
ist die
cklung
—1
h
E ntwicklung
,
E ntwi
h
x
al s o
-
h
y
(
y)
x
p
— 2h
m it d e m Gli e d e
—
—
—
l
l
S
p
p
p
1)
2
y
2
4
0
0
1
m
( + a)
2
s chli eßt ; di e Koeffi ienten sind gan e durch p teilbare Zahlen Daher
ergibt sich
z
z
,
.
f (w‚
6
8
( )
= (w + y) ”
—3
2
-
y)
—4
1
1
—
3
p
2
x
—
3
p
—
3
p
y
2
2
Man verdankt C au chy (J o u rn des Math 5
S 2 1 1 ) eine
interessante n ähere Bestim m ung dieser Funkt i on S etzt m an
1
Z
2
+
9M)
(
(
)
also
9
2
1 W
M )
und vers teht m an unter x eine i m agin äre kubische E inheit s wu rzel
—
—
=
=
so daß
so folgt e r
c + 1
cc
a ist
+ 1
sichtlich sooft p 3 ist
’
.
.
.
.
2
,
(
,
2
o
,
,
a
2
,
,
=
m( )
a
0
“L
gp
a
w ähr end
,
—l
o,
1
0
9
7 )
06
wird ; falls daher p — 1 durch 3 aufgeht d i p von der Form 6 k 1
ist werden auch
und
gleich Nu ll sein D as besagt aber
daß die Funktion tp (e ) für p 3 s tets teilbar ist durch 2 + z + 1
M n s ch ließt
z
f lls aber p 6 k 1 ist sogar durch (2
also daß für p 3 die Funktion f (x y) s tets den Faktor w + x y + 31
und in d e m Falle wo p die Form 6 k + 1 hat s o gar das Qu drat
diese s A u s dru cks zu m Fakt or hat S o find en sich in der Tat die
Gleichungen :
.
.
,
,
.
2
‚
2
a
,
a
2
2
,
,
,
,
a
,
.
6
b
6
(
)
w
(
30
(
x
(
y)
2
y)
’
w
2
2
w
5
w
60
"
2
2
1
3 96
:
W + 31 )
=
a
c
b
x
/
r
y
(
2
y
7
m
7m
y) (
x
y) (w
2
2
+ wy
x3
1
2
)
2 2
y )
2
1
sog
D ie
17
nt
e n an
Nunm ehr bedenke
.
sch n Fo m ln
A bel
en
m an ,
e
e
r
4 65
.
daß
?
w
6
9
( )
P
geset t werden kann wo
z
,
7
0
( )
w2
al s o ugleich
m it
z
P
P
7
1
( )
y
P
90
P
cc
=
wP
2
-
y
o
2
y eine gan z e Zahl ist
x
y:
3
x,
wird hieraus
so
2
'
) = p —1 _
8
p
p
xy
-
2
’
Schreibt
.
y
+
2
?
m an
—l
8p
x
.
We nn nun ä ein Pri m faktor von
so
kann
nicht
aufgehen
6
5
y
in x da es sonst auch in y aufginge und x y nicht wie voraus
geset t worden teilerfre m d w ä ren Die voraufgehende Gleichung lehrt
m n
daß o nur dann au ch ein Pri m faktor von m
kann
als o
s ein
+a
m
y
wenn ä) p ist daß dann aber wirklich au ch ä) p in m
und
+y
x +y
zwar genau einm al als Faktor enthalten ist ; au ch kann m
nur
+a
dann den Faktor p haben wenn 3 w y ihn hat Hieraus folgt,
daß wenn
y durch p n i cht aufgeht die beiden Faktoren des
A u sdrucks ( 6 9 ) teilerfre m d s ind und auch der weite von ihnen
durch p nicht aufgeht s o daß wenn
’
)
,
,
,
z
,
.
,
a
?
”
)
,
,
,
,
’
,
p
x
,
p
.
,
,
z
,
,
7
2
3)
(
x
=
+ y
P
x
P
l
-
t
87
geset t wird s und t teilerfre m de durch p nicht aufgehende Zahlen
bedeuten Geht aber p in x y auf so darf geset t werden
z
,
,
z
,
.
2
7
b
(
)
93
=
+ y
2
w
m
9
1
22
+ y __
p
"
+ y
x
‘
i;
wo nun wieder s u n d t wei teilerfrem de du rch p nic ht teilbare Zahlen
be ei chnen
Soll daher die Glei chung
z
z
,
.
7
3
( )
+ y +
P
xP
zP
=0
in gan en Zah len bestehen so m u ß im ersten Falle s t und de m nach
auch jeder Faktor s und t e ine durch p nicht teilbare 17 P oten se in etwa
-
z
,
2°
zweiten Falle
im
mu ß p
m
st
z
,
e ne dur ch p teilbare p P oten also etwa
te
1
m =p
n, s
=
uP ,
t =
z,
vP
jedes m al u v wei tei lerfrem de durch p nicht te ilbare Zahlen
sein E n t w e d e r b e s t e h e n l s o B e z i eh u n g e n w i e d i e s e :
un d
,
z
,
a
.
4
a
7
(
)
B
ac
x
h m
ann
n i e d e re
+ y
—
902
uP ,
Z ahl e n t h e o ri e
.
II
.
,
4
z
=
u v,
30
466
Gl ichu g
D ie
e
x
n
”
y
”
z
”
o der dies e and eren:
w + y =W
4
b
7
(
)
=p
vP
.
= — p nu v
z
,
.
D i e Z ah l v i s t u n g e r a d e Denn wenn eine der Zahlen x y
gerade also die andere u ngerade ist so sind alle Glieder des Au s
dru cks ( 7 0) bis auf ein s gerade andernfall s be s teht er au s einer un
geraden An ahl un gerader Glieder S e i nu n ä eine in v aufgehende
lso von p vers chiedene P ri m ahl ; wegen ( 7 0) k ann s ie in keiner der
Zahl en x y aufgehen da die s e s onst beide durch sie teilbar also
nicht te ilerfre md w ären Da n un x l y E O (m o d
so wird wenn
ge
et
t
wird
d
h
s
;
1
m
o
w
ä
rend
ni
c
ht
1
x
5
1
E
2
ä
2
2
(
„y
0 sein kann De mnach gehört f; ( m o d 63)
d h 72x 1 E n(a:
der also ein Teiler von ä) 1 sein m u ß J e d e r
z u m E xp onenten p
P r i m t e i l e r 6) v o n 0 h a t m i t a n d e r e n W o r t e n d i e F o r m 2hp 1
u n d fo l gl i c h i s t
.
,
,
,
,
,
’
z
)
.
,
z
a
,
,
,
P
.
,
.
.
P
z
7
p
-
,
.
,
,
.
.
.
’
,
.
'
,
1
v E
m
d
o
p)
(
.
u
.
Au s der S ym m etr i e d e r Gleich ng ( 7 3 ) in
s hli eßt m an aber , daß in gleicher Weise wie
sys te m e ( 7 4 a) oder ( 7 4b ) auch e n t w e d e r
c
:
i
:
y
3
7
5
(
)
o de r:
7
b
5
)
(
y +
z
z
=P
n
I
“ P
—
1
p
°
:
“
'p
y
y
p
a
7
6
)
(
’
x
z
‚
o d er:
—2
b
7
6
(
)
,
I
sowie auch daß e n t w e d e r :
p
,
,
x
p
p
bez u g a uf x y z
e in s der Gle ic h un g s
"p
„
’
p
z
y
u
wp
+
z+ x
°
n
=
y
v
n
p
-
u
"
H' N
v
bestehen m u ß wobei bezüglich der Zahlen u v re sp u v Gleiches
gilt wie für die Zahlen u v festgestellt worden ist
Da n un nicht wei der Zahlen x y z d u rch p aufgehen k ö nnen
las sen s ich die s e Möglichkeiten n ur au f folgende vier Weisen k o m
’
,
,
,
,
"
,
.
.
z
b l nle re n
"
'
,
:
,
,
7
a
6
)
(
7
4
a ,
(
)
7
b
5
),
(
a
6
7
(
)
7
a
4
(
),
7
a ,
5
)
(
b
6
7
(
)
)
4
b
a
5
7
7
(
(
),
7
a ,
6
(
)
von denen die drei letzten Ko m binationen d e m Falle zugehören wo
eine der Zahlen x y z durch p aufgeht Wegen der Sym m etrie der
Gleich ung (43) in be ug au f x y z ist es gleichgültig welche dieser
Zahlen wir als die durch p teilbare ansehen wollen ; wir w ählen dafür
die Zahl z und haben dan n fernerh in nu r wei wesentlich verschiedene
F älle die erste und letzte der vier Ko mbinationen z u unters u chen :
,
,
.
,
z
,
,
z
,
4 68
D i e Gle
ichung x
"
y
”
"
z
.
sind genauer die Form 2 kp + 1 d h h mu ß d urch p teilbar sein
Denn es ergeben s ich in beiden F ällen die Kongruen en :
2
,
,
.
.
.
z
0,
0 2
0, y
2 5
E
u
’P
x E
,
u
,
m
d
o
ä
n) ,
(
’
deren letzte du rch
.
7
9
( )
1
ersetzt werden kann wenn m it
eichnet wird Sei nun g eine
1 ; dann ist u a
2 hp
65
sonst
E g
also
i l
sich
erg
ä
be
E
O
y
ergibt
sich
ber
7
9
( )
,
z
'Ü’
.
'
,
E
m
od ö
(
0
.
)
u
u, der So z iu s von
m
d
o
b
e
(
ri
m
itive
W
u
rzel
für
die
P
ri
ah
m
z
l
p
wo i ni cht durch h teilbar ist da
1 E 2 oder u P
entweder
was beides nicht sein kann A u s
"
.
,
'
iP
,
,
.
a
O
also
1 ( m o d d7 ) m ithin
teilbar durch ä 1 2 hp ip
durch h was nur sein kann wenn h du rch p au fgeht
1 8 W i r b e h a n d e l n n u n z u v ö r d e r s t d e n F al l I
Gehen wir m it E Wend t (J ourn f Math 1 1 3
S 3 3 5 ) von
einer Form el au s die für das vorliegende P roble m uerst in L ame s
schon erw ähnter Arbe i t verwendet worden i s t Für irgend dr ei
Größen a b c l äßt si ch der A usdruck
1
,
’
.
)
,
,
,
,
.
.
.
'
.
.
.
.
.
’
z
,
.
,
,
—
80
( )
nach
)
”
i
c
d e m p o lyn o m is c h e n L e h rsat ze
S =
2 =31
+ ß+
7
(
a
— b +
)
c P
schreiben wie folgt :
Ir
2 61
.
a
:
c
—
w)
Ir
,
p
worin die S u m m ation über alle nicht negativen a ß 7 auszudehn en
r Su mm e geben
D a p ungerade ist m ithi n alle drei
ist die p
Größen
ungerade
oder
nur
eine
von
ihnen
u
ngerade
sein
ß y
mu ß im let teren Falle aber die Kl am m e rgrö ß e unter d e m S u m m en
so wi rd indem m an
zeichen verschwindet
,
zu
,
a,
,
.
,
z
,
,
ce
s
,
chreibt
=
2
1
+
ß
a
,
= 2l + l
,
y
= 2v + 1
—
I) !
(p
81
S et z t m an
,
also
—
—
3
p
1 + M+ v =
2
a “p b u p c
voraus so wird m it Rü cksicht auf die Form eln ( 7 8 a) und a uf die
vorausge s etz te Glei chung ( 7 3 )
’
,
,
,
(
'
u P
?
u
(1 )
"p p
u
)
u
2l p
l'2 7 p
l2 p p
u
u
‚
F
Zw i
e
äl le
Er
.
ö
u
de s
rt e r ng
st
'
er
en
46 9
.
aus wel cher Gleichung sich wei andere ergeben von der Form
z
"?
u
'
p
u
u P
P
(P i
1
+
H+
2
=
T
Dies vorau sgesch ickt sei nun eine Pri m zahl von der Form 2hp + 1
Au s der vorau s ge s etzten Gleich u ng ( 7 3 ) folgt die Kongruen
—
;
m
0
o
d
y
2
4
x
8
F
)
(
(
der m an wenn keine der Zahl en x y z du rch 05 aufginge m it 2
den S ozius von z (m o d äa) bezei chnend die Form
”
o)
,
.
z
?
P
?
.
,
,
,
'
,
’
.
,
m
( )
a
oder
8
5
( )
g
1
?
geben kan n wo
,
E,
7
1
D
6
8
( )
1,
E
9
)
m
o d 69
)
(
”
1
E 17
teilerfre m d
7
y
E
’P
z
.
zu
2 21”
7
65
sind so daß
1
m
d
o
6
3
(
)
,
.
ist Mit Rücksicht auf die let teren Kongru enzen gibt die vorauf
gehende zur 2h P oten erhoben die folgende :
z
.
ten
z
o
g
( )
2h
.
_
2
1 )p
k
<
2h
( )
g
2
1
— 2) P
(2h
4+ 1
2
woraus durch wiederholte Multip likation
s i c h t ig u n g von ( 8 6) die anderen :
o
( )
2h
0
2
—
2
1) p
h
(
2 72
( )
ä
3
( )
2h
( )
1
g
(2h
4
3+
19
.
g h
( )
g
4
P
1
—
2) P
2
l
z
(
2h
+
g
ab
unter steter
2
m it
g
p
1
(
— 2) P
)
2h
( )
( )
1
2h
2
g
B e rü c k
O
E
E
0
O
?
2
2
O:
E
hervorgehen S o l l al s o d i e K o n g r u e n z ( 84) fü r n i c h t d u r c h ä:
t e i lb ar e a3 y z m ö g l i ch s e i n s o m u ß d i e D e t e r m i n a n t e d e r
v o r s t e h e n d e n 2h K o n g r u e n z e n d u r c h d e n M o d u l u s ä 2M) 1
te ilb ar d h wenn g e s etzt w ird :
’
.
,
,
,
)
,
.
.
,
D
2/
z
n
2h
7
8
( )
1
v
2h
:
:
(2 ) (3 )
2h
( )
1:
1
,
1’
(
2h
( )
1
:(
21
2 71
-
2 71
3)
2
1
47 0
so
Gle ichung
D ie
"
w
y
"
"
z
.
muß
D
2 }, E
d
m
o
(
O
.
sei n
Gibt es al s o eine P ri m zahl ä) 2hp 1 welche n icht in der u
gehörigen Determ inante
au fgeht so kann eine Kongru enz ( 84)
und daher auch die Gleichung ( 7 3) in nicht durch «s teilbaren Zahlen
z nicht stattfinden Mithin m u ß dann eine dies er Zahlen
a9 y
welche v o n ihnen ist bei der S ym m etrie in bez u g au f s ie gleichgültig
neh m en wir als o etwa an die Zahl z
d u rch ä) teilbar s ein D i eser
P rim teiler (f geht dann entweder in u oder in v a uf und in let tere m
Falle da u v aber auch x z und y z m ithin au ch u v und u v
teilerfre m d sin d in keiner der Z hlen u u u Au s der dr itten der
Gleichungen ( 7 8 a) erg äbe sich dann e ine der Kongru en z ( 84) analoge
Kongru enz
.
z
,
,
,
.
,
,
,
.
'
)
z
,
"
'
,
,
,
,
,
"?
u
'
)
u ?
,
u P
,
.
m
od
(
O
E
,
"
’
a
,
,
,
.
in nicht durch ä) teilbaren Zahlen u u u w as wegen der über
( b ge m achten Annah m e un m öglich ist
S o m it bleibt n u r daß u du rch
teilbar is t und au s der dritten der Gleich ungen ( 7 8 a) folgt
ä:
"
'
,
,
,
,
.
’
,
„2
ww g
+
m ithin
12
M
‚
1,
rrs
E
m
od
(
.
p
Unter diesen Um st änden darf m an aber in der zweiten der Glei
c h u n ge n
wenn sie als Kongruenz (m o d (5 ) aufgefaßt wird die
a
l
e
n
i
Gl
eder
in
denen
ist
s
d
u
rch
te
i
lbar
wegla
sen
u
nd
e
n
i
Ä
0
s
>
j g
,
.
"
a;
,
,
„
v 2 NP
„
M
m
3
.
w
:
n
e
n
„
et en wodu rch da n un die S u mm ati on s ich n ur über alle y v e r
—
3
p
ist
die
folgende
Kongr
u
enz
deren Su m m e u v
s treckt
2
hervorgeht :
s
z
,
,
,
,
,
M+
V
=
p
8
;
Nun bestehen die Gleich ungen
und
a
=
+ß p
1
M+
aus ihrer S ubtraktion findet sich
v
=
2
=
M+
v
2
D ie
47 2
Gle
ichung x
"
y
"
z
”
.
2h
m
l1
2
1]
m
od s ,
(
)
.
=l
wel cher wenn B E 0 ist sich einer der Faktoren des Produkts
lso für einen besti mm ten Wert von i sich
i
au s
2,
,
,
,
a
1
( +
d h
au ch
.
i“
2
2
m
od
(
8
5
( )
sich
als
ein
r
r
m
d
P
o
t
e
n
e
s
t
o
ergibt
da
n
u
n
6
5
7
p
;
(
)
eine
W
u
r
el
der
Kongruen
9
1
also
ein
P
o
e
t
n
z
e
r
s
r
t
7
p
( )
ö ) ist so folgt eine Bezieh ung 1
r E W d h e ine Kon r u enz
g
1
.
m
od
(
"
z
z
.
.
'
i"
z
’
.
,
m
o d äo)
(
.
.
’
We n d e n w i r n u n a n al o g e B e t r a ch t u n g e n fü r d e n
F a l l I I d e r G l e i c h u n g ( 7 3 ) a n setzen als o voraus die Glei ch ung
bestehe
für
ganzzahlige
x
deren
z
dur
c
h
teilbar
ist
z
7
3
y
p
( )
I ndem wir d nn in (8 1 )
.
20
.
.
,
,
,
,
.
,
a
=p
a,
7ZP
—1
u
m, b
)
c
eins etzen erhalten wir di e Gleich ung
,
(p
nP
—l
(
19
"p p
u
'
)
u p
up
.
=u
"P
.
worau s zwei andere Gleichungen hervorgehen von der Form
2
29
3
9
( )
—
2
2
w
um
'
"
u p
2
n
—
(p l ) !
1
219
”
2co
.
m
"
.
P
2
r
PA
N un s t eht schon au s der E rörter ung des Falles I fest daß wenn
eine Pri m zahl äa 272p 1 vorhanden ist die nicht in der ugehörigen
Determ inante B 2 aufgeht in der vorausgesetzten Gleich ung ( 7 3) eine
der Zahlen x y z du rch do a uf gehen m u ß Wi r n e h m e n z u n ä ch s t
an d i e s s e i e in e d e r b e i d e n Z ah l e n x y w e l c h e n i c h t d u r c h
A
us
7
b
t
e
i
l
b
ar
s
i
n
d
e
tw
a
d
i
e
Z
ah
l
x
8
folgt
d
nn
p
(
)
,
’
z
,
,
,
,
’
,
.
,
,
,
,
4
9
( )
p
’
W
-
l
o
,
a
.
u m;
'
0
”
u P
uP
u
m
od ö
(
.
)
,
zugleich m uß eine der Zahl en u v durch ö teilbar s ein Ist es v
so kann e s ke ine der Zahlen u u
sein und m an ers chließt dann
aus der vorstehenden Kongruenz d u rch Multip likation m it der p
—
P otenz d e s S o i u s von p
u (m o d 5 ) das Bestehen einer anderen
von der Form
'
,
'
,
,
'
'
.
,
"
,
i“
z
9
5
( )
m it
p
zu
ä)
te ilerfrem den
9
6
( )
ist
.
“ ?
g
D urch E rheben
1 -
”
P
-
E,
l
.
ä daß
(
m
o d (b )
(
?
.
s
o
72
,
E 1, v
derselben
2h?
z ur
E
2k
1
o d 69
m
)
(
“m
.
P otenz ko m mt d ann
ö
Er
2 71 —
0 10
6
3
2h
( )
1)
4
2
‚
2
und
5
u
rt e r n g
2 72 — 5 10
4
de s
z
w it
e
F
en
alle
s
47 3
.
ga
2 1?
2
hierau s durch wiederholte Multip likation
folgenden Kongru enzen :
K
Hz
g
(2 1.
„ +
p
2
(
2h
2) P - 2P
7
+
7
welche z u samm en
die Determ inante
m it
die
m it
2h
( )
2 h (p
p
1)
-
1
2h
2h
°
,
2h
( ) ( )
( ) ( )
,
1
2
2h
A“
2 h (p
der vorau fgehenden nur be s tehen könn en wenn
2h
97
( )
_
2
+
p
l nv
h-
1
3
(
1
,
27
2h
;
2
3
2 _p
2h
( )
2 h (p
—
2
p
,
—1 )
2 h (p
1
2
durch ä) teilbar ist E rfüllt daher die Prim z ahl 63 noch die weitere
Voraussetzung au ch in A 2 „ nicht au fz ugehen so kann o nicht teil
bar sein durch 65 und dem na ch m üßte es u s ein Dann folgt aus (94)
’
.
'
,
,
'
,
p
also
.
np
—l
"?
u
E
O
m
d
ö
o
(
.
2 021 3
2
x
29
)
.
Geht n un o:
genau r m al in u also in auf so geht es der ersten
”
uP + u
also
der Form eln ( 7 8 b) u folge genau ebenso oft in p
’
”
l
,
”P
z
-
1 -
P
au f u nd de shalb lehrt die erste der Gleichun gen
daß P durch o:
ni cht teilbar is t In der zweiten dieser Gleichu ngen vers chwinden
aber wenn sie als Kongru enz (m o d ää) aufgefaßt wird die Glieder
der S u m m e in denen y > 0 ist als teilbar durch
und so erh ält
—
p—3
zu
set
en
ist
m it Rücksicht
m an da n un in den übrigen Ä
v
2
au f (9 8) di e Kongru en :
”
,
.
,
.
,
,
,
z
,
,
z
2
10
l+
v
=
p
;
z
p
anni mm t
.
(p
3)
—3)
(
np
Wird sie zur P otenz
p
“
o
PP
m
d
o
(
.
3
welche sich wie die Kongruen ( 88) vereinfacht
-
2
‘
E
1
2h
z
P
un d
m
od
(
10
die Gestalt
,
erhoben so ko m m t einfach
m
od
(
,
.
(b
)
,
47 4
D i e Gle i c h u n
g
”
"
z
a3
eine Kongruenz welche in Verbindung mit
“ E 1
mod
c
6
p
(
)
sobald
3 vorausgesetzt wird ( eine Voraussetzung die wir machen
dürfen da der F ermats ch e Satz für den E xp onenten 3 schon erledigt ist)
“
mod
9
9
1
p
( )
(
ergibt Wenn daher die P rimzahl noch w ie i m ersten Falle die
z
jetzt dritte Voraussetzung erfüllt kein Teiler von p
1 zu sein so
wird auch die Teilbarkeit von u durch ä) unmöglich und daher kann
die Gleichung ( 7 3) unter den über x y z gemachten An nahmen
nicht bestehen
D e mn a ch w erd e n un n o ch d e r alle in ü bri ge F all g e s e tz t
d a ß d i e d u r ch p t e i l b a r e Z a h l 2 d e r d r e i Z a h l e n x y z z u
g l e i c h a u c h d i e d u r c h o) t e i lb a r e Z a h l s e i Au s ( 7 8 b ) folgt dann
"
p
P
? E O
1
0
0
mod
u
u
u
p
)
(
(
w ährend
entweder in u oder in o aufgehen muß Wäre v durch
"
so könnte es keine der Zahlen u u u sein und m an
ä) teilbar
käme genau wie vorher zu dem S ch lu s s e daß A 2 durch ä aufgehen
müßte Unter der Voraussetzung des Gegenteils könnte also v nicht
durch 65 aufgehen und somit müßte es u und aus ( 1 00) ergäbe sich
"
P
E O
mod
u
u
(
Die V erbindung dieser Kongruenz mit der zweiten der Formeln (93 )
führt aber jetzt zu keiner der Kongruenz (99) entsp rechenden weiteren
Bedingung da der Faktor aus der Formel ( 93) verschwindet Man
erschließt nur aus den Formeln ( 7 7 b ) daß auch x y durch ä) teil
bar sein muß
Faßt man nun zusammen w as w ir für die beiden F älle I und I I
gefolgert haben so gelan gt man zu nachstehendem Gesamtergebnis :
G i b t e s e i n e P r i m z ah l ä
2hp + 1 w e l ch e i n k e i n e r d e r
Z ah l e n
,
?
p
,
.
,
,
,
.
.
,
,
h
,
,
'
”
,
,
,
.
,
,
,
”
.
n
-
l
o
'
?
.
.
'
’
,
,
,
,
’
)
„
,
.
,
'
?
.
p
,
.
’
,
.
,
,
’
)
D
2 1”
,
1
2k
A 2 2 ” 29
a u fg e h t s o e rfo r d e r t d a s B e s t e h e n d e r G l e i ch u n g
O
90 + yP +
i n g an z e n Z ah l e n x y 2 d a ß e i n e d e r s e l b e n e t w a z d u r c h p
u n d d a ß d i e s e lb e Z a h l z s o w i e a u c h d i e S u m m e x + y d e r
b e i d e n a n d e r e n d u r ch ä) t e i lb a r s e i
2 1 O bwohl die in den letzten Nummern mitgeteilten S ä tze von
L eg en d re bzw von Wend t durchaus noch nicht ausreichen
das
F ermat sche Theorem zu erweisen sind sie gleichwohl n icht ohne
Wert Z B hat L egm dre a a O festgestellt daß für alle P rimzahlen
p < 1 00 Primzahlen von der Art vorhanden sind wie der Satz in
N r 1 8 sie voraussetzt ; er hat ferner gezeigt daß jede Primzahl von
,
10
,
,
,
,
,
,
’
.
.
,
.
,
.
.
.
.
.
.
,
,
.
,
47 6
D i e Gle i c h u n
g
x
"
y
"
”
z
.
Ist daher p eine P rimzahl für welche ä) 419
geht ä:nicht in der zugehörigen Determinante
nicht in
1
"
,
p
D
Primzahl ist so
auf aber auch
,
4
,
4
von den beiden letzten Faktoren ist dies o ff enbar ; ginge
in 10 + 1 so auch in
"
ä)
a
ber auf
2
,
1 6 (p + 1 )
2
also auch in
=
4
4
1
9
+
( 1
) ( p
2
was doch niemals der Fall Mithin ist die Gleichun g
0
y?
331
in gan zen durch p nicht teilbaren Zahlen für alle solche E xp onenten
unlösbar
z
B
für
p
17,
.
”
,
.
.
=
=
7
3
1
3
29
p
,
,
,
,
wofür
= 1 3 , 29, 5 3 , 1 1 7 ,
Primzahl wird
So best ätigt sich u a für p 3 5 7 was bereits in Nr 1 3 und
1 4 angemerkt worden ist Für die Behau p tung daß die Gleichung ( 1 0 1 )
für j e d e n P i m zahle xp o n e n t e n p nur dann lösbar sein könne wenn
eine der ganzen Zahlen x y z durch p aufgeht würd e aber der
N achweis erforderlich sein d ß für j e d e P rimzahl p eine P rimzahl
272p
1 vorhanden ist von der im Satze der Nr 1 8 bezeichneten
i)
Beschaffenheit Dieser Nachweis ist jedoch bisher nicht erbracht und
auch wohl schwierig zu liefern Könnte man zeigen daß es solcher
P rimzahlen ä; 2hp 1 die nicht in B aufgehen sogar unendlich
viele g äbe so würde damit der große F ermat sche Satz in seinem
ganzen Umfange bewiesen sein denn dann müßte wenigstens eine der
dr ei Zahlen x y z durch unendlich viel P rimz hlen teilbar sein was
nicht möglich ist Aber schon M bri hat ausgesp rochen (Journ f
Math 9 S
daß dieser Umstand nicht s t at t fi n d e und jüngst hat
d aß die Kongruenz
L E D icks on gezeigt ( ebendas 1 3 5 S
"
E 0 (mod (ö )
6
x
y
für jede P rimzahl
.
.
.
,
,
,
.
.
,
r
,
,
,
,
a
,
"
n
.
.
,
.
"
2,
,
,
,
,
a
,
,
,
.
.
.
.
,
.
,
.
,
.
.
?
62
L ösungen
5 0
9
.
.
19
.
-
2)
2
—
2
+ 6p
besitzt welche p rim sind zu
daß also die Anzahl der
P rimzahlen 65 für welc he das Gegenteil stattfindet nur endlich ist
Wir können hiermit unsere Skizze abschließen weitere Ergebnisse
von k ü nftigen Forschungen erwartend Kaum aber dürften diese
ohne Hilfe der Theorie der Zahlenkörp er d as begehrte Ziel erreichen
,
,
,
.
,
.
.
Z
u sät z
Zu s ä t
e
47 7
.
ze
Z u S eit e 310 Z e il e 9 1 1
Bei Z e r g li e d e r u n g e n in zwei Quadrate p ositiver Z ahlen is t d as
V orzeichen der Basiszahlen bestimmt und nur die Anordnung der
quadr atischen Summanden beliebig ; wird nachher von Z e rgli e d e ru n ge n
in ein ungerades und in ein gerades Quadrat gesp rochen so wird
dadurch im Gegenteil die Anordnung festgelegt aber das V orzeichen
der Basiszahlen bleibt beliebig A h nlic h e s ist für den A usdruck Z e r
g l i e d e r u n g e n i n sp ä teren ähnlichen Fällen zu beachten
.
,
,
,
.
.
S eit e 310 l etzt e Z e il en
Ist u eine Quadratzahl u x so sind bei
S tellungen
u x 0 u O w
Zu
.
die zwei Dar
2
,
,
2
2
2
2
’
nur als eine bei
aber als verschiedene gezählt
für den S atz am Ende von N r 4 S 3 1 9
,
.
.
,
.
Gleiches gilt
.
Z u S e i t e 3 44
Der Weg w i e die hier bemerkte L ücke in Wief erichs Betrachtung
ist leicht anzudeuten Es handelt sich im Falle
zu ergänzen wäre
3 nur um die Z ahlen r von der Form
4 ebenso w i e im Falle 4
96h
40 denn für all e übri gen 1 s t l 8 der größte Wert von 7 und
.
,
v
,
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2
2
,
,
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8
sp ezieller kommen auch hier wieder nur die Zahlen
2—
+
6 4
e
h
1 000
(
r
von der Form
a
.
in der : 0 ist in Betracht und zwar wegen der für r vor
geschriebenen Bedingungen ( 88) auf S 3 41 diejenigen von ihnen
welche den Ungleichheiten genügen :
o
,
,
.
6 4
1 00 0
d i
.
.
Setzt man
(x
-
1 55 250
6
ß
ßä
1
,
wo
404
Hieraus findet sich
4 +
-
a
0,
a
2
o
+
2
o
8
k
(
8k
(
7)
,
7)
26 5 200
.
so vereinfachen sich diese wie folgt :
7)
691
.
Z
47 8
te
u sä z
.
für ß == 0 :49
<
k <
86
z
11 <
k <
21
=
ß 2z
2<
k <
5
=
1
ß
=
3
ß
2a
=h = 0
‚
im ganzen also 48 zul ä ssige Wertsy steme ß
u n d somit endlich ebensoviel Zahl en
ebensovi el Werte
k,
,
f ür
r
für welche festzustellen bleibt in wieviel Kuben sie z e rf ällb ar sin d
Ich habe diese mühsame Feststellung nicht ausgeführt ; ergäbe sich
was wenig wahrscheinlich ist daß die höchstens dazu erforderliche
=g andernfalls
9 w ä re so hätte man zu setzen N 3 =
Ku b e n an z ahl g
w äre w ie Wief erich zu be w eisen gemeint hat M = 9
,
.
,
,
,
,
,
,
.
Z u S e i t e 41 9
Zur Herleitung der aus der Hilfsformel
.
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1
( )
1)
s
Z
ger
=
t z + 4 x2 + 4 y2 + 4 z2
q
‚
i
(
0
1)
ad e
un
—l
2
m
s
‚
2
4
3
F
-
)
gezogenen Folgerung bemerke man folgendes
Nach ( 1 1 0) auf S 3 5 3 ist für eine ungerade Zahl
.
.
(
N
2
9+
u
92
u
+ { + 6)
2
2
Hier muß eins der v i er Quadrate in der Z e rf ällun g ungerade und
4) i s t die Summe der drei anderen du rch 4 teil
w enn u
bar also d i ese drei Quadrate gerade sein Beschr änkt man das u n
gerade Quadrat auf die erste der vier Stellen und auf den numeri schen
W e rt i se in er Bas i s so reduziert sich die gesamte Anzahl der Zer
f ällungen auf ihren achten Teil un d man findet für u E 1 (mod 4)
die Formel
,
,
.
,
,
,
.
N
(
2
2
i + 4 00 + 4 y + 4 2
u
i
>
2
0,
un
ger
ad
3
)
e
der man auch die Form geben kann :
N
(
u
= i 2 + 4 332 + 4 31 2 +
i
O
un
ger
ad
e
,
z
ger
ad
N
e
2
(
2
3
u
i
>
0
C1 04)
3
3
+ 4 33 + 4 31 +
un
ger
ad
Faßt man andererseits auf beiden Seiten von ( 1 )
s am m e n
so erh ält man die Beziehung
e
ge e
Gli eder m i t g
rad
z un
,
di e
.
“
zu
,
N
(
2
2
4 + 4 27 + 4 31 + 4 2
u
i
>
0
un
gr
e ad
2
e
,
z
gr
e ad
e
—
u
N
(
)
i + 4 43 + 4 y + 4 2
2
2
i
>
O
un
ger
3
2
ad
e
,
z un
ger
ad
e
)
2
S,
.
Z
480
us ä t z e
.
oder indem man den absoluten Wert von E mit i bezeichnet
,
,
5
( )
2 N
(
2
4y +
6 + 4x
u
i
>
0
gr
= N (u
2
2
2
2
2
2
2 77 + 4 3 +
e zgr d
Durch eine ganz entsp rechende Betrachtung findet sich w e n n
z w e i t e n s u ; 5 (m o d 8) i s t d i e G l e i c h u n g
o
e ad
un
e a
,
e
,
.
6
( )
2 N
o
(
2
2
2
2
=
=
N (u
+ 4 y + 42 )
2 + 2 17 + 4 C +
2
6 + 4w
u
i
,
>
0
un
ger
2
ad e ,
z un
2
gr
e ad e
Verbindet man di es Ergebnis aber mit den Formeln
fü r u E 1 ( m o d 8)
2
2
4
2
a
4
8
6
+
+
+
4
4
2
M
)
fü r u E 5 ( m o d 8)
so
e rh
mt man
.
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2
s,
.
N
(
3 + 2 77 + 4 5 + 8 0 )
u
«
2
2
m i t h i n a l l g e m e i n fü r u 5
2
1 (m o d
C1 04)
2
wi e auf S
.
.
S,
g e fo l g e r t i s t
41 3
,
'
3
— 1
)
7
( )
0
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°
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2
+
4 aQ ‚ i
Üb r i g e n s g i l t d i e s e F o r m e l a u ch fü r d e n F al l „ E
denn alsdann hat die Gleichung
keine L ösungen die Summe zur Rechten
w i e es der Satz auf S 4 1 9 aussagt
,
>
s
0
m
o
d
(
.
also aus und man findet
,
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N
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(
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g+
u
2
2
2
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S Kummer im J ourn f reine u an g e w Math 40
S 1 30
oder im J ourn des math ( 1 ) 1 6
S 488 Die P rimzahlen 3 7
5 9 6 7 gehören zwar nicht zu denen w elche die erwähnte Beding u ng
erfüllen aber auch f ür sie hat Ku mmer den F ermat schen Satz durch
besondere Untersuchung bestätigt ( Ab h der Berliner Akad 1 85 7
S 4 1 ; Monatsberichte derselben 1 85 7 S
.
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