TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT ¨Ubungsaufgaben zur

A
Fachbereich Mathematik
Dr. J. Creutzig
TECHNISCHE
UNIVERSIT ÄT
DARMSTADT
Übungsaufgaben zur Vorlesung ,,Gaußprozesse”
4. Blatt
Gruppenübungen
G 11:(Der reproduzierende Kernhilbertraum) Es sei T 6= ∅, K eine Kovarianzfunktion auf
T × T , und X = (Xt )t∈T ein zentrierter Gaußprozeß auf T .
(a) Zeigen Sie, daß genau ein Hilbertraum HK von Funktionen f : T → R existiert, sodaß
die Menge {K(t, ·) : t ∈ T } total in HK ist, und für jedes f ∈ HK die Beziehung
f (t) = hf, K(t, ·)i für alle t ∈ T besteht.
(b) Es sei umgekehrt L : T × T → R eine Funktion, für welche ein Hilbertraum HL wie in
(a) beschrieben existiert. Zeigen Sie, daß L eine Kovarianzfunktion ist.
(c) Es sei Xt : (Ω, A, µ) → R ein znetrierter Gaußprozeß, also Xt ∈ L2 (µ). Wir setzen
HX := span {Xt : t ∈ T }
L2 (µ)
.
Man zeige, daß HT isometrisch isomorph ist zu HK .
Bemerkung: Man nennt Hilberträume der Form HK reproduzierende Kernhilberträume
und K den reproduzierenden Kern von HK .
G 12: (Der Ornstein–Uhlenbeck–Prozeß) Ein zentrierter Gaußprozeß O = (Ot )t≥0 heißt
stationärer Ornstein–Uhlenbeck–Prozeß mit Parameter β > 0 und Größe c > 0, falls
KO (t, s) = E Ot Os = ce−β|t−s| .
(i) Zeigen Sie, daß für jedes c > 0 und jedes β > 0 ein stationärer Ornstein–Uhlenbeck–
Prozeß existiert.
Hinweis: Sei W ein Wienerprozeß. Betrachten Sie, für b, λ > 0, den Prozeß
Xt := be−λt We2λt .
(ii) Beweisen Sie, daß jeder stationäre Ornstein–Uhlenbeck–Prozeß eine stetige Version auf
(0, ∞) hat. (Benutzen Sie eine stetige Version des Wienerprozesses.)
(iii) Zeigen Sie, daß für t ≥ 0 und t1 , . . . , tn ≥ 0 gilt:
d
Ot1 +t , . . . , Otn +t = Ot1 , . . . , Otn .
(Diese Eigenschaft eines Prozesses heißt Stationarität.)
1
G 13: Es sei X = (Xt )t∈[0,1] ein Gaußprozeß mit Kovarianzfunktion K, der auf (0, 1) im
folgenden Sinne differenziebar ist: Es existiert ein Prozeß X 0 = (Xt0 )t∈(0,1) , sodaß für jedes
0
0
t ∈ T und jede Nullfolge hn gilt: h−1
n · (Xt+hn − Xt ) → Xt in L2 . Man folgere, daß X wieder
ein Gaußprozeß ist (Hinweis: Satz 1.6), und bestimme seine Kovarianzfunktion.
2
Hausübung
H 8: (Tensorprodukte) Es seien H1 , H2 zwei Hilberträume.
(a) Zeigen Sie, daß auf dem algebraischen Tensorprodukt H1 ⊗ H2 durch die Vorschrift
n
DX
xi ⊗ yi ,
i=1
m
X
E
X
xj ⊗ yj :=
hxi , xj i · hyi , yj i
i,j
j=1
ein Skalarprodukt wohldefiniert wird, mit dem H1 ⊗ H2 also zum Prä–Hilbertraum
wird. Die Vervollständigung bzgl. dieses Skalarproduktes bezeichnen wir mit H1 ⊗2 H2 .
Weiter zeige man, daß für Orthonormalbasen (hi )i∈I von H1 , (gj )j∈J von H2 die Tensorprodukte hi ⊗ gj , i ∈ I, j ∈ J eine Orthonormalbasis von H1 ⊗ H2 bilden.
Hinweis: Für die Wohldefiniertheit nütze man die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes wie folgt: Für jedes feste Paar (x, y) ∈ H1 × H2 ist die Abbildung
(x0 , y 0 ) 7→ hx, x0 i · hy, y 0 i
Φ(x,y) : H1 × H2 → R,
bilinear, also existiert eine entsprechende lineare Abbildung
x0 ⊗ y 0 7→ hx, x0 i · hy, y 0 i .
T(x,y) : H1 ⊗ H2 → R,
Nun zeige man noch, daß (x, y) 7→ T(x,y) bilinear ist.
(b) Es seien nun T1 , T2 Mengen, und Ki : Ti × Ti → R Kovarianzen mit Kernhilberträumen
HKi . Zeigen Sie, daß der Raum HK1 ⊗2 HK2 ein reproduzierender Kernhilbertraum ist
mit reproduzierendem Kern (s. Aufgabe (G 11))
K : (T1 × T2 ) × (T1 × T2 ) → R,
K(t1 , t2 , s1 , s2 ) := K1 (t1 , s1 ) · K2 (t2 , s2 ) .
(1)
(2)
(c) Es seien X (1) = (Xt )t∈T und X (2) = (Xs )s∈S eindimensionale zentrierte Gaußprozesse. Beweisen Sie: Es gibt einen zentrierten Gaußprozeß X = (Xr )r∈T ×S , sodaß
(1)
(1) E X(t1 ,s1 ) · X(t2 ,s2 ) = E Xt1 Xt2
· E Xs(2)
Xs(2)
.
1
2
H 9 (Das Brownsche Blatt): Man zeige, daß es einen Gaußprozeß B d = (Btd )t∈[0,∞)d gibt
mit der Kovarianz
d
Y
d
d
E B(t
B
=
min{tν , sν } .
1 ,...,td ) (s1 ,...,sd )
ν=1
(Nutzen Sie (H 8).) Zeigen Sie ferner:
(a) B d besitzt eine stetige Version auf [0, 1].
(b) Die folgenden Prozesse sind ebenfalls Brownsche Blätter:
d
d
– B̃(t
:= (a1 · · · ad )−1 B(a
2t
1 ,...,td )
2
1 1 ,...,ad td )
, ai > 0;
d
– B̃(t
:= t1 · · · tn Btd−1 ,...t−1 ;
1 ,...,td )
1
– Für s > 0,
d
B̃(t
1 ,...,td )
:=
d
d
B(t
1 +t0 ,t2 ,...td )
3
d
− B(t
.
0 ,t2 ,...,td )
(c) Es sei nun d = 2. Zeigen Sie, daß durch
(n)
Wt
2
2
:= B(t,n)
− B(t,n−1)
,
n ∈ N, t ≥ 0
eine Folge von unabhängigen Wienerprozessen definiert wird. Folgern Sie insbesondere,
daß es eine Folge von unabhängigen stetigen Wienerprozessen gibt.
(d) Was ist Xt := Be2t ,e−t für ein Prozeß?
H 10 (Pfadeigenschaften des Wienerprozesses). Es sei W = (Wt )t≥0 ein Wienerprozeß.
√
(a) Zeigen Sie, daß mit Wahrscheinlichkeit 1 gilt: limt→∞ Wt / t = ∞.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß für jede monotone Folge tn mit tn ≥ n gilt:
P(limn Wtn /tn ≥ ε) = 0 für alle ε > 0; nutzen Sie hierfür das Borell–Cantelli–Lemma
und die Ungleichungen für die Verteilungsfunktion Φ(t) vom Ende des ersten Kapitels.
Zeigen Sie nun, daß für eine monotone Folge tn mit den Eigenschaften |tn − tn−1 | ≥
1/2tn , tn ≤ t2n gilt:
Wtn − Wtn−1
√
P
≥ T unendlich oft = 1
tn
für jedes T > 0 (wieder mit Borell–Cantelli, hier beachte man die Unabhängigkeit der
Ereignisse), und folgere, daß fast sicher
Wtn − Wtn−1
√
=∞
tn
√
gilt. Nun nutze man, daß Wtn−1 / tn ≤ Wtn−1 /tn−1 , um hieraus die Behauptung zu
folgern.
lim
n
(b) Folgern Sie aus (a), daß der Wienerprozeß rekurrent ist, also für jedes x ∈ R mit
Wahrscheinlichkeit 1 die zufällige Menge {t : Wt = x} unbeschränkt ist.
(c) Eine Funktion f auf [0, 1] heißt α–hölderstetig, falls
|f (t) − f (s)|
<∞.
|t − s|α
t,s∈[0,1]
sup
t6=s
Zeigen Sie, daß für α > 1/2 die Brownsche Bewegung mit Wahrscheinlichkeit 1 nicht
α–hölderstetig ist. (Nutzen Sie (G 10).) Folgern Sie, daß die Brownsche Bewegung f.s.
nicht differenzierbar auf [0, 1] ist. Ist der Ornstein–Uhlenbeck–Prozeß differenzierbar?
Frohe Weihnachten und ein gesegnetes neues Jahr!
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