X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum

173
X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
In Abwesenheit von Quellen, ρel. = 0 und ~el. = ~0, nehmen die Bewegungsgleichungen (X.9) und
(X.11) für die elektromagnetischen Felder oder (X.21) für die Potentiale in Lorenz-Eichung die
gleiche Form an, und zwar
im Vakuum

~ r) = ~0 und B(t,~
~ r) = ~0;
 E(t,~

~ r) = ~0 (in Lorenz-Eichung).
Φ(t,~r) = 0 und A(t,~
(X.29a)
(X.29b)
Zur Umschreibung einiger Gleichungen führt man eine positive Zahl c gemäß
c2 ≡
1
0 µ0
(X.29c)
ein. Dann wird der d’Alembert-Operator (X.10) zu
≡−
1 ∂2
+4 .
c2 ∂t2
(X.29d)
Die Bewegungsgleichungen (X.29) sind alle der gleichen Form f (t,~r) = 0, mit f einer skalaren
oder vektoriellen Funktion. Die Lösungen dieser Differentialgleichung — die auch in anderen Bereichen der Physik auftritt — werden zunächst in § X.4.1 vorgestellt. Dann werden die Ergebnisse auf
den Fall des elektromagnetischen Feldes im Vakuum angewandt, wobei die Eigenschaften des Feldes
einer Welle präzisiert werden (§ X.4.2).
174
Zeitabhängige elektromagnetische Felder
X.4.1 Klassische Wellengleichung
Dieses Paragraph befasst sich mit der Herleitung der (genügend regulären) reellen Lösungen der
(klassischen) Wellengleichung (51)
f (t,~r) = 0
(X.30)
für skalare Funktionen f , wobei der d’Alembert-Operator durch Gl. (X.29d) definiert ist.
X.4.1
a Ebene Wellen
:::::::::::::::::::::
Als einfaches aber wichtiges Beispiel kann man zunächst eine Lösung betrachten, die nur von z =
x3 abhängt: f (t, z). Diese ist somit unabhängig von x1 , x2 und daher konstant in der transversalen
(x1 , x2 ) Ebene, weshalb sie als ebene Welle bezeichnet wird.
Unter dieser Annahme wird die klassische Wellengleichung (X.30) zur (1 + 1)-dimensionalen
Differentialgleichung
1 ∂ 2f (t, z) ∂ 2f (t, z)
+
= 0.
(X.31)
− 2
c
∂t2
∂z 2
Der Differentialoperator dieser Gleichung kann faktorisiert werden:
∂
∂
1∂
1∂
f (t, z) = 0.
(X.32)
−
+
∂z
c ∂t
∂z
c ∂t
Zur Lösung dieser partiellen Differentialgleichung lohnt es sich, die Variablenänderung
x+ ≡ z + ct ,
x− ≡ z − ct
(X.33a)
durchzuführen. Die entsprechende Rücktransformation zu den ursprünglichen Variablen lautet
t=
x+ − x−
2c
,
x=
x+ + x−
2
(X.33b)
Die partiellen Ableitungen nach den neuen Variablen lassen sich mit Hilfe der Kettenregel durch
die Ableitungen nach den alten Variablen ausdrücken, und zwar
∂t ∂
∂z ∂
1 1∂
∂
∂
=
+
=
+
(X.34a)
∂x+
∂x+ ∂t ∂x+ ∂z
2 c ∂t ∂z
und
1∂
∂
∂t ∂
∂z ∂
1
∂
−
.
=
+
=
+
∂x−
∂x− ∂t ∂x− ∂z
2
c ∂t ∂z
(X.34b)
Dank diesen Ergebnissen lautet die Bewegungsgleichung (X.32) in den neuen Variablen
1 ∂ ∂
f (x+ , x− ) = 0,
4 ∂x− ∂x+
d.h.
∂ 2f (x+ , x− )
= 0.
(X.35)
∂x− ∂x+
Die allgemeine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung ist der Form
f (x+ , x− ) = f− (x+ ) + f+ (x− )
mit f− und f+ zwei beliebigen Funktionen einer einzigen reellen Variablen. Kommt man zu den
ursprünglichen Variablen t, z zurück, so lautet die allgemeine Lösung der Gl. (X.31)
f (t, z) = f− (z + ct) + f+ (z − ct).
(51)
(X.36)
Gleichung (X.30) wird oft als die Wellengleichung bezeichnet. Man findet aber auch andere partielle Differentialgleichungen mit zeit- und ortsabhängigen Lösungen, die als Wellen bezeichnet werden — z.B. für Schwerewellen
in Flüssigkeiten, Stoßwellen in Fluiden, oder Wellenfunktionen in der Quantenmechanik. Deshalb wird hier die
Bezeichnung „klassische Wellengleichung“ verwendet.
175
X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
Dieses mathematische Ergebnis lässt sich einfach interpretieren. Betrachte man beispielsweise
die Funktion f+ (z − ct): sie nimmt den gleichen Wert für alle Raumzeitpunkte (t, z) an, für welche
z − ct einen konstanten Wert hat. Somit bleibt das Profil entlang der z-Achse des durch f modellierten Signals zur Zeit t = t0 global unverändert zu einem späteren Zeitpunkt t1 ; es wird jedoch
in positive z-Richtung um ∆z = c(t1 − t0 ) verschoben, entsprechend einer Ausbreitung des Signals
mit Geschwindigkeit +c.
Wiederum modelliert der Term f− ein Signal, das sich in negative z-Richtung mit Ausbreitungsgeschwindigkeit c — will man die Richtung auch in der Geschwindigkeit berücksichtigen, −c —
fortpflanzt.
Solche sich ausbreitenden Signale werden als Wellen bezeichnet.(51) Dann ist die allgemeine
Lösung (X.36) eine Superposition von rechts- und linkslaufenden ebenen Wellen.
Bemerkung: Genauer handelt es sich bei den durch f− oder f+ beschriebenen Signalen um fort-
schreitende Wellen. Betrachtet man aber den Fall mit f− = f+ , so breitet sich die resultierende
Welle f nicht mehr aus: es handelt sich um eine stehende Welle.
X.4.1
b Allgemeine Lösung
:::::::::::::::::::::::::::
Um die allgemeine Lösung der klassischen Wellengleichung (X.30) herzuleiten, ist es günstig, die
Fourier-Darstellung der räumlichen Abhängigkeit von f (t,~r) einzuführen. Somit kann man
Z
d3~k
~
f (t,~r) =
f˜(t, ~k) ei k·~r
(X.37a)
(2π)3
R3
schreiben, wobei die räumlich Fourier-transformierte Funktion f˜(t, ~k) durch
Z
~
˜
~
f (t, k) =
f (t,~r) e−i k·~r d3~r
(X.37b)
R3
gegeben ist.
~ i~k·~r ) = i~k ei~k·~r wird die klassische Wellengleichung (X.30)
Unter Verwendung der Identität ∇(e
angewandt auf die Darstellung (X.37a) zu
Z 1 ∂ 2f˜(t, ~k) ~ 2 ˜ ~ i~k·~r d3~k
− 2
− k f (t, k) e
= 0,
c
∂t2
(2π)3
wobei Integration über ~k und Ableitung nach der Zeit t oder nach den Ortskoordinaten ~r ausgetauscht wurden. Nach inverser Fourier-Transformation soll der Term in den eckigen Klammern
verschwinden. Definiert man
ω~k ≡ c ~k ,
(X.38)
so ergibt sich für jeden Wellenvektor ~k die Differentialgleichung
∂ 2f˜(t, ~k)
+ ω~k2 f˜(t, ~k) = 0.
(X.39a)
∂t2
Man erkennt die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators mit Kreisfrequenz ω~k , deren
allgemeinen Lösung
f˜(t, ~k) = f˜+ (~k) e−iω~k t + f˜− (~k) eiω~k t
(X.39b)
ist, mit f˜+ (~k) und f˜− (~k) zwei beliebigen Funktionen.
Wenn die gesuchte Lösung f (t,~r) reell sein soll, stehen f˜+ (~k) und f˜− (~k) in Zusammenhang
miteinander. Die komplexe Konjugation der Beziehung (X.37a) lautet
Z
Z
3~
∗ ~ d3~k
˜(t, −~k) ∗ ei~k·~r d k ,
f (t,~r)∗ =
f˜(t, ~k) e−i k·~r
=
f
(2π)3
(2π)3
R3
R3
wobei die zweite Gleichung aus der Substitution ~k → −~k folgt. f (t,~r) is reellwertig, wenn f (t,~r) =
176
Zeitabhängige elektromagnetische Felder
f (t,~r)∗ , d.h. nach Vergleich des letzten Terms in der obigen Gleichung mit der rechten Seite von
Gl. (X.37a), wenn
f˜(t, ~k) = f˜(t, −~k)∗
für alle t und ~k. Angewandt auf die Lösung (X.39b) lautet diese Bedingung
∗
∗
f˜+ (~k) e−iω~k t + f˜− (~k) eiω~k t = f˜+ (−~k) eiω~k t + f˜− (−~k) e−iω~k t ,
d.h. nach Identifizierung der Terme in eiω~k t
∗
f˜− (~k) = f˜+ (−~k)
∀~k.
(X.40)
Die Terme in e−iω~k t führen zur gleichen Bedingung.
Setzt man schließlich die Lösung (X.39b) der Gl. (X.39a) in die Fourier-Darstellung (X.37a), so
lautet die letztere
Z h
Z h
i 3~
i
d3~k
~
˜+ (~k) e−i(ω~k t−~k·~r) + f˜− (−~k) ei(ω~k t−~k·~r) d k ,
=
f
f (t,~r) =
f˜+ (~k) e−iω~k t + f˜− (~k) eiω~k t ei k·~r
(2π)3
(2π)3
R3
R3
wobei die Substitution ~k → −~k unter Berücksichtigung von ω−~k = ω~k im zweiten Summanden
des
des letzten Integrals gemacht wurde. Ersetzt man in jenem Term f˜− (−~k) durch
Integranden
∗
f˜+ (~k) , wie aus Bedingung (X.40) folgt, so sieht man, dass der Term genau komplex konjugiert
zum ersten Summanden ist. Unter Einführung der Notation a(~k) ≡ 2f˜+ (~k) ergibt sich somit für die
allgemeine reelle Lösung der klassischen Wellengleichung (X.30)
Z
3~
−i(ω~k t−~k·~r) d k
~
f (t,~r) = Re
a(k) e
.
(X.41)
(2π)3
R3
Somit lässt sich die allgemeine Lösung als Superposition von (unendlich vielen) ebenen Wellen
~
a(~k) e−i(ω~k t−k·~r) schreiben. Dabei heißt die Beziehung (X.38) zwischen Kreisfrequenz ω~k und Wellenvektor ~k dieser ebenen Wellen Dispersionsrelation.
Das Verhältnis cϕ (~k) ≡ ω~k /|~k| ist die Phasengeschwindigkeit der Welle mit Wellenvektor ~k —
wobei im Fall der klassischen Wellengleichung (X.30) cϕ (~k) = c für alle ~k.
Bemerkung: Die komplexe Amplitude a(~k) ∈ C lässt sich prinzipiell durch die Angabe von Anfangs-
bedingungen f (t = 0,~r) und ∂f (t = 0,~r)/∂t festlegen.
X.4.2 Elektromagnetische Wellen
X.4.2
a Elektromagnetische Potentiale
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Gemäß den Ergebnissen des vorigen § X.4.1 lauten die allgemeinen Lösungen der Bewegungsgleichungen (X.29b) für die elektromagnetischen Potentiale im Vakuum
Z
3~
−i(ω~k t−~k·~r) d k
~
Φ(t,~r) = Re
a(k) e
(X.42a)
(2π)3
und
Z
3~
−i(ω~k t−~k·~r) d k
~
~
~
A(t,~r) = Re
b(k) e
(2π)3
mit beliebigen a(~k) ∈ C und ~b(~k) ∈ C3 und mit der Dispersionsrelation
ω~k ≡ c ~k .
~ die Lorenz-Eichbedingung (X.16) erfüllen:
Dabei sollen Φ und A
Z 3~
iω~k ~
1 ∂Φ(t,~r) ~ ~
−i(ω~k t−~k·~r) d k
~
~
~
+ ∇ · A(t,~r) = Re
− 2 a(k) + i k · b(k) e
= 0.
c2 ∂t
c
(2π)3
(X.42b)
(X.42c)
177
X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
~ können noch über die Eichtransformation (X.14)
Die elektromagnetischen Potentiale Φ und A
0
0
~
durch äquivalente Potentiale Φ und A ersetzt werden, die ebenfalls der Lorenz-Bedingung genügen,
solange die Funktion χ der Transformation die Gleichung (X.17) — d.h. die klassische Wellengleichung — erfüllt. Mit
Z
3~
d
k
~
t−
k·~
r)
−i(ω
~
k
χ(t,~r) = Re
d(~k) e
(2π)3
gelten
Z h
i
3~
∂χ(t,~r)
0
−i(ω~k t−~k·~r) d k
~
~
Φ (t,~r) = Φ(t,~r) −
= Re
a(k) + iω~k d(k) e
∂t
(2π)3
und
Z h
i
3~
d
k
~
0
t−
k·~
r)
−i(ω
~
~b(~k) + i~kd(~k) e
~ (t,~r) = A(t,~
~ r) + ∇χ(t,~
~
k
.
A
r) = Re
(2π)3
Eine besonders geeignete Wahl ist d(~k) = ia(~k)/ω~ für jeden ~k, die zum einfachen Skalarpotential
k
0
Φ (t,~r) = 0
(X.43a)
führt. Wiederum lautet das entsprechende Vektorpotential
Z
3~
0
−i(ω~k t−~k·~r) d k
~
~
A (t,~r) = Re ~ε(k) e
,
(2π)3
(X.43b)
wobei der Polarisationsvektor ~ε(~k) durch
~ε(~k) ≡ ~b(~k) + i~kd(~k) = ~b(~k) −
a(~k) ~
k
ω~k
gegeben ist. Dabei kann noch ~ε(~k) reell oder komplex sein.
Eine Einschränkung über den Polarisationsvektor folgt aus der Eichbedingung. Mit Φ0 (t,~r) = 0
wird die Lorenz-Eichbedingung automatisch zur Coulomb-Eichbedingung (X.15)
Z
d3~k
~
~ ·A
~ 0 (t,~r) = Re
∇
i ~ε(~k) · ~k e−i(ω~k t−k·~r)
= 0.
(2π)3
Diese Bedingung ist nur dann erfüllt, wenn
~ε(~k) · ~k = 0
(X.44)
für jeden Wellenvektor ~k, d.h. wenn der Polarisationsvektor senkrecht auf die Ausbreitungsrichtung
der entsprechenden ebenen Welle ist. Somit sind elektromagnetische Wellen im Vakuum transversal
polarisiert.
X.4.2
b Elektrisches und magnetisches Feld
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Setzt man die elektromagnetischen Potentiale (X.43) in die Beziehungen (X.12) und (X.13), so
lauten die entsprechenden elektrischen und magnetischen Felder
Z
3~
~ 0 (t,~r)
∂A
−i(ω~k t−~k·~r) d k
~
~
E(t,~r) = −
= Re
iω~k ~ε(k) e
(X.45a)
∂t
(2π)3
und
Z
3~
0
−i(ω~k t−~k·~r) d k
~
~
~
~
~
i k × ~ε(k) e
B(t,~r) = ∇ × A (t,~r) = Re
.
(2π)3
(X.45b)
Betrachte man eine monochromatische ebene
Welle, d.h. eine Lösung mit nur einem einzigen
Wellenvektor: ~ε(~k) = N ~ε(~k0 ) (2π)3 δ (3) ~k − ~k0 mit N einer unwesentlichen Normierungskonstanten.
Dann gelten
178
Zeitabhängige elektromagnetische Felder
i
i
h
h
~ r) = Re iω~ ~ε(~k0 ) e−i(ω~k0t−~k0 ·~r)
~ r) = Re i~k0 × ~ε(~k0 ) e−i(ω~k0t−~k0 ·~r) .
und
B(t,~
E(t,~
k0
~ r) und B(t,~
~ r) autoAuf diesen Felder erkennt man die folgenden Eigenschaften. Erstens sind E(t,~
matisch senkrecht aufeinander
~ r) · B(t,~
~ r) = 0.
E(t,~
(X.46)
~ r) und B(t,~
~ r) beide senkrecht zur Bewegungsrichtung ~k0
Dann sind E(t,~
~k0 · E(t,~
~ r) = ~k0 · B(t,~
~ r) = 0.
(X.47)
~ r)
E(t,~
~ r) =
B(t,~
.
c
(X.48)
Schließlich gilt dank |~k0 | = ω~k0 /c