Integralrechnung - Mathematik, TU Dortmund

Integrale
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Die Zerschneidung entspricht einer Zerlegung des Definitionsmenge von f :
10. Integralrechnung
[a, b]
Zur Di↵erentialrechnung tritt nun die Integralrechnung hinzu.
I
I
Di↵erentialrechnung $ Steigungsbegri↵
Integralrechnung
= [x0 , x1 ] [ [x1 , x2 ] [ . . . [ [xs
2 , xs 1 ]
[ [xs
1 , xs ],
Beispielsweise für s = 6:
(lokale Eigenschaft)
$ Flächeninhaltsbegri↵
(globale Eigenschaft)
Bei der Integralrechnung muss die Funktion als Ganzes betrachtet werden.
Ganz = lat. Integer.
Steigungsermittlung
Flächen(-inhalts)ermittlung
Für jeden Streifen ist ein ⇣i 2 [xi 1 , xi ] zu wählen. Eine zugehörige
Rechteckssumme = Riemannsumme ist dann
s
X
f (⇣i ) · (xi xi 1 )
i=1
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Riemanns Idee krumm berandete Flächen unter“ Graphen zu messen:
”
Zerlege Fläche in vertikale (in der Schule zusätzlich: gleichbreite) Streifen
und nähere deren Fläche durch Rechtecksflächen an, deren Höhe
irgendeinem auf dem Streifen angenommenen Funktionswert entspricht:
Beispiele für die Näherung der Fläche unter f |[ 1 ,5] :
2
1) s = 4, Ober- und Untersummen mit gleich breiten Streifen:
Verbessere nun die Feinheit“ = maximale Streifenbreite einer Zerlegung
”
immer mehr.
Führt jede Verfeinerungstrategie zum gleichen Grenzwert I bei den
Riemannsummen, so nennt man f : [a, b] ! R Riemann-integrierbar und
schreibt
Z b
I =:
f (x) dx .
a
Diese Zahl heißt bestimmtes Integral der Funktion f von a nach b und
wird für f 0 als Flächeninhalt unter f |[a,b] (d.h. zwischen Graph von
f |[a,b] und x-Achse) gedeutet.
2) s = 6: Unterschiedlich breite Streifen, einmal Obersumme, dann Wahl
der Stützstellen mittig (engl. midpointrule“), dann zufällige Wahl.
”
Bemerkungen:
1. Das Integralzeichen erinnert
als stilisiertes S an eine Summenbildung.
Rb
2. In der Schreibweise a f (x) dx“ darf statt x jede freie Variable
”
verwendet werden: Also
Z b
Z b
Z b
Z b
f (x) dx =
f (t) dt =
f (s) ds =
f (⇣) d⇣ . . .
a
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a
a
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a
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3. Für Vorzeichen wechselndes f gilt:
+
–
Definition 10.2
Existiert für a  b das bestimmte Integral
–
Z
P
Bei der Ermittlung der Riemannsumme si=1 f (⇣i ) · (xi xi 1 )
tragen Rechtecke, die wegen f (⇣i ) < 0 unter der x-Achse liegen,
negative Flächenanteile bei. Das bestimmte Integral ist daher ein
orientierter Flächeninhaltsbegri↵, der Flächenanteile zwischen Graph
und x-Achse, die unter der x-Achse liegen, negativ zählt.
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Aufgabe:
Z
a
Rb
f (x) dx, so definiere man
a
Z
f (x) dx :=
b
b
f (x) dx
a
1
3 dx =?
2
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Beispiel 10.1 (Geometrisches Integrieren)
Aufgrund der suggestiven Vorstellung vom Integralbegri↵ können wir unter
Ausnutzung von Symmetrien, Kongruenzen und elementargeometrischen
Gegebenheiten geometrisch“ integrieren.
”
Z 2⇡
1.
sin x dx = 0 :
Satz 10.3 (Eigenschaften des bestimmten Integrals)
Z b
1.
c dx = c · (b a),
c2R.
a
2. Für a  b  c gilt inkl. Existenz der anderen Seite
Z
0
c
f (x) dx =
a
Z
b
f (x) dx +
a
Z
c
f (x) dx.
b
wenn eine der beiden Seiten existiert.
Z
a
3. Elementares Ausrechnen der Flächen:
Z 3
1
|x 1| 1 dx = 1 :
3 2
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· f von a bis b intbar und
3. Mit f und g sind auch f + g und
2. Ungerades f : [ a, a] ! R:
Z a
f (x) dx = 0
a
f (x) + g(x) dx =
Z b
· f (x) dx =
a
4. f, g von a bis b intbar mit f  g
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Z
b
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·
b
a
Z b
f (x) dx +
Z
b
g(x) dx
a
2R.
f (x) dx ,
a
)
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Z
b
a
f (x) dx 
Z
b
g(x) dx.
a
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Wie kann man aber bestimmte Integrale ohne Riemannsummen
ausrechnen? Ein Begri↵ der Di↵erentialrechung kommt zu Hilfe . . .
Wir wollen natürlich nicht ständig prüfen müssen, ob eine Funktion
integrierbar ist oder nicht. Hier die wichtigsten beiden positiven Fälle:
Satz 10.4 (Die wichtigsten Riemann-integrierbaren Funktionen)
Ist f : [a, b] ! R stetig oder monoton, so ist f von a bis b integrierbar.
Zusatz: Statt Stetigkeit reicht sogar stückweise Stetigkeit. Diese liegt vor, wenn
f stetig ist bis auf endlich viele Sprungstellen (halbseitige Limites existieren!).
Beweis: o.D.: zu technisch, tiefere“ Begri↵e aus der Analysis nötig!
”
Jeder kennt den Mittelwertbegri↵:
n
a1 bis an ist gerade a1 +...+a
.
n
Das arithmetische Mittel der Zahlen
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Gibt es eine Stammfunktion zu f , so gibt es gleich unendlich viele.
Satz 10.8
1. Ist F (x) Stammfunktion zu f (x), so auch F (x) + c für jedes c 2 R.
Gibt es auch Mittelwerte bei Funktionen? In der Vorlesung wird hierzu eine
Motivation gegeben . . .
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Definition 10.7
f : I ! R sei auf einem Intervall I definiert. Dann heißt F : I ! R
Stammfunktion (auch: Integral) von f , falls F 0 (x) = f (x).
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2. Sind F1 (x), F2 (x) Stammfunktion zu f (x), so gibt es ein c 2 R mit
F1 (x) = F2 (x) + c.
Beweis: klar mit 8.21. ⇤
Z.B. sind F1 (x) = x2 und F2 (x) = x2 + 1 Stammfunktionen zu f (x) = 2x.
Jede weitere Stammfunktion zu f (x) hat so das Aussehen F (x) = x2 + c.
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Folgender zentraler Satz verbindet Integralrechnung eng mit der
Di↵erentialrechnung und scha↵t eine einfache“ Methode zur Berechnung
”
bestimmter Integrale.
Ist f von a nach b integrierbar, so
nennt man
Z b
1
µf :=
f (x) dx
b a a
Satz 10.9 (Hauptsatz der Di↵erential-und Integralrechnung (HDI))
f
f : I ! R sei stetig und a, b 2 I.
1. Fa : I ! R
(integralen) Mittelwert von f auf [a, b].
mit
Für f 0 ist die (hier schraffierte) Fläche unter f |[a,b] so groß wie die des
(hier roten) Rechtecks entsprechender Breite (b a) und der Höhe µf . Vis.
Satz 10.6 (1. Mittelwertsatz der Integralrechnung)
Ist f : [a, b] ! R stetig, so gibt es ein c 2 [a, b] mit
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Z
Z
x
f (t) dt
ist eine Stammfunktion
a
2. Ist F irgendeine Stammfunktion von f , so gilt
Z b
f (x) dx = F (b) F (a) =: F (x)|ba .
a
µf = f (c),
d.h.
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b
f (x) dx .
a
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Fa (x) :=
Fa 0 (x) = f (x).
von f , d.h. :
a) =
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Definition 10.5
f (c) · (b
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Bemerkung: Bei 1. leistet die Integralrechnung für die
Di↵erentialrechnung: Das bestimmte Integral erlaubt das Finden einer
Stammfunktion. Bei 2. ist es umgekehrt: Die Stammfunktion erlaubt die
Berechnung eines bestimmten Integrals.
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Beispiel 10.11 (Grundintegrale)
Beweis:
Zu 1.
Fa (x + h)
h
Fa (x)
=
10.3(2)
=
✓Z x+h
◆
Z x
1
·
f (t) dt
f (t) dt
h
a
a
Z x+h
1
10.6
·
f (t) dt = f (⇣h )
h x
mit ⇣h zwischen x und x + h. f (⇣h ) geht wegen der Stetigkeit von f für
h ! 0 gegen f (x).
Zu 2. Ist F irgendeine Stammfunktion von f , so unterscheidet sie sich nach
10.8 von Fa aus 1. nur um eine additive Konstante: F (x) = Fa (x) + c.
Rb
Nun gilt
Fa (a) = F (b) F (a). ⇤
a f (x)dx = Fa (b) = Fa (b)
| {z }
=0
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Um an unbestimmte Integrale bzw. Stammfunktionen zu kommen, müssen
wir nur die alten Ableitungstabellen (wie z.B. 8.10) rückwärts lesen. Es
ergibt sich leicht durch Anpassung entsprechend der Ableitungsregeln:
Z
1
xr dx =
xr+1 + c
(r 6= 1)
r+1
Z
sin x dx =
cos x + c
Z
cos x dx = sin x + c
Z
1
dx = tan x + c
cos2 x
Z
1
dx =
cot x + c
sin2 x
Z
1
p
dx = arcsin x + c
1 x2
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R
Besitzt f : I ! R eine Stammfunktion, so bezeichnet
f (x) dx die
Menge der Stammfunktionen zu f und heißt unbestimmtes Integral von f .
Man schreibt z.B.
Z
2x dx = x2 + c (c 2 R)
Z
Bemerkung: Nicht jede integrierbare Funktion besitzt eine
Stammfunktion und nicht jede Funktion mit Stammfunktion ist
integrierbar (vgl. Übungen). Aber: Bei stetigen Funktionen stimmen die
Begri✏ichkeiten natürlich überein (HDI).
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1
dx = arctan x + c
1 + x2
Einige bestimmte Integrale:
Z
b
qx + r dx = q
a
= (q
und deutet so an, dass diese Menge sich aus einer speziellen
Stammfunktion durch Addieren von Konstanten ergibt.
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Definition 10.10
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Z
Z
⇡
1
x2 dx =
0
sin x dx =
0
Z
b
x dx +
a
x2
2
x3
3
1
0
+ rx)
=
cos x
⇡
0
b
a
Z
b
r dx
a
=
q 2
(b
2
a2 ) + s(b
a)
1
3
=
cos ⇡ + cos 0 = 2
Integrieren“ heißt Stammfunktionen suchen. Neben Grundtabellen sind
”
dazu spezielle Methoden nützlich. Diese ergeben sich z.B. durch
Ausnutzung der Produkt- und Kettenregel aus der Di↵erentialrechnung.
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Die Produktregel liefert die erste wichtige Integrationsregel:
Wir gehen die Schritte an zwei Beispielen durch:
R ⇡/2
1. Berechne
cos x sin2 x dx.
0
Au↵allend: neben sin x taucht sin0 x = cos x auf. Daher t = sin x.
Satz 10.12 (Partielle Integration oder Produktintegration)
Sind f und g stetig di↵erenzierbar, (d.h. ihre Ableitungen sind noch
stetig), so gilt
Z
0
f (x) · g (x) dx = f (x) · g(x)
Z
2. dt = cos x dx.
R ⇡/2
R sin ⇡/2
R1
3. Hiermit
cos x sin2 x dx = sin 0 t2 dt = 0 t2 dt.
0
R1
3
4. Aber 0 t2 dt = t3 |10 = 13 .
f 0 (x) · g(x) dx.
Satz 10.13 (Substitutionsregel)
R p
1. Berechne
x 1 + x2 dx.
Au↵allend: Die Ableitung des Terms unter der Wurzel ist 2x, also bis
auf Faktor 2 gleich dem außen auftauchenden x. Daher t = 1 + x2 .
Ist f eine stetige Funktion mit Stammfunktion F und g eine stetig
di↵erenzierbare Funktion, so gilt
Z
f (g(x)) · g 0 (x) dx = F (g(x)) + c
2. dt = 2x dx, also 12 dt = x dx.
p
R
Rp
3. Hiermit x
1 + x2 dx = 12
t dt.
p
R
R
4. Aber 12
t dt = 12 t1/2 dt = 12 · 23 t3/2 + c.
Die Kettenregel liefert die zweite wichtige Integrationsregel:
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5. Resubstitution
t = 1 + x2 liefert die die Menge der Stammfunktionen
p
1
3
2
3 ( 1 + x ) + c.
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1. Identifziere im Integranden das zu substituierende
2. Rechne
= g 0 (x) und forme um:
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R
n+1
In der Grundtabelle für Stammfunktionen finden wir xn dx = xn+1 + c.
Leider liefert diese Formel nicht für n = 1. Uns unbekannt sind aktuell
noch die Stammfunktionen von x 1 = x1 . Da diese Funktion stetig ist,
muss es aber Stammfunktionen geben.
g(x) = t.
dt = g 0 (x)dx.
3. Ersetze mithilfe der Formeln g(x) = t und dt = g 0 (x)dx im
Integranden alle x und dx durch t und dt. Es darf kein x und nicht dx
übrig bleiben!
Bei einem bestimmten Integral sind zusätzlich die Integralgrenzen a
und b auf g(a) und g(b) zu transformieren.
Daher erscha↵en wir eine neue Funktion:
Definition 10.14 (Natürlicher Logarithmus)
Nach Satz 10.4 gibt es eine Funktion
ln(x) :=
4. Finde Stammfunktion F (t) des neuen Integranden in t.
5. Bei unbestimmtem Integral ist noch t = g(x) zurück zu substituieren.
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Bemerkung: Die Regel lässt sich kalkülhaft so umsetzen:
dt
dx
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Z
ln : R+ ! Rmit
x
1
1
dt ,
t
genannt natürlicher Logarithmus.
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