Mathematik Teil 2: Differentialgleichungen

Mathematik
Teil 2: Differentialgleichungen
M. Gutting
Fakultät IV, Department Mathematik
19. Juni 2017
Differentialgleichungen
Einleitende Beispiele
Natürliches Wachstum/Zerfall
Wachstum/Zerfall (Zinsen, Population / Radioaktiver Zerfall) verhält sich
proportional zum aktuellen Bestand:
ẋ = ax .
Für a > 0 spricht man von natürlichem Wachstum, für a < 0 von
natürlichem Zerfall. Bei Bevölkerungsmodellen ist a = b − d (b die
Geburtenrate, d die Sterberate).
Die allgemeine Lösung ist gegeben durch
x(t) = ce at ,
wobei c eine beliebige Konstante ist.
Zusammen mit der Anfangssituation x(t0 ) = x0 ergibt sich die Lösung
x(t) = x0 e a(t−t0 ) .
M. Gutting (Uni Siegen)
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Differentialgleichungen
Einleitende Beispiele
Logistisches Wachstum
Das natürliche Wachstum aus Beispiel zuvor ist nur realistisch, wenn es
keine äußeren Einflüsse gibt. Realistischer setzt man die Wachstumsrate a
als mit x(t) linear fallend an:
ẋ = λx(K − x) ,
Es ergibt sich die Lösung: x(t) =
x(t0 ) = x0 .
Kx0
.
x0 +(K −x0 )e −λK (t−t0 )
Man nennt dies
logistisches Wachstum.
Bild: Logistisches Wachstum
mit K = 2, t0 = 0, x0 = 0.2,
λ = 0.01.
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Differentialgleichungen
Einleitende Beispiele
Feder-Masse-Dämpfer
Bei einem Feder-Masse-Dämpfer-System
wird die Auslenkung einer Masse m in
x1 -Richtung betrachtet. Hierbei ist Kraft =
Masse × Beschleunigung (2. Newtonsches
Gesetz), in Formeln
F = m · g = m · ẍ .
Die Kraft der Feder verhält sich proportional
zur Auslenkung x (F1 = k · x) und die Kraft
des Massedämpfers proportional zur
Geschwindigkeit ẋ (F2 = c · v = b · ẋ).
Hieraus ergibt sich die DGL:
mẍ = −kx − b ẋ.
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Differentialgleichungen
Einleitende Beispiele
Schwingendes Pendel
Betrachte einen masselosen Stab der Länge L, der
an einem Ende aufgehängt ist und am anderen
Ende eine Masse m trägt. ϕ bezeichnet den
Auslenkungswinkel des Pendels aus der Vertikalen.
Die Beschleunigung in tangentialer Richtung ist
gegeben durch (Reibung vernachlässigt)
ϕ
L
Lϕ̈ = − sin ϕ · g
Mit einem zusätzlichen Reibungsterm erhalten wir
Lϕ̈ = − sin ϕ · g − c ϕ̇ .
Linearisiert (ϕ klein, also sin ϕ ≈ ϕ):
m
m·g
ϕ
− sin ϕ · m · g
Lϕ̈ = −g ϕ − c ϕ̇
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Differentialgleichungen
Einleitende Beispiele
Gekoppelte Pendel
Betrachte gleiche Länge
l1 = l2 = l
und Masse m1 = m2 = M
und setze
θ1 = x,
θ2 = y .
Resultierendes System von
DGLen (linearisierte Pendel):
mg
x − k(x − y ),
l
mg
mÿ = −
y − k(y − x).
l
mẍ = −
Abbildung: Zwei gekoppelte Pendel.
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Differentialgleichungen
Einleitende Beispiele
Biegeline eines Balkens
Bestimmung der Durchbiegung von Balken im Bereich des
linear-elastischen Materialverhaltens
Annahme, dass die eintretenden Verformungen so klein sind, dass die
biegebedingte Veränderung der Balkengeometrie bei der Aufstellung
der Gleichung vernachlässigt werden kann.
Aus der Definition einer Kurvenkrümmung folgt die Differentialgleichung:
My (x)
w 00 (x)
=−
,
3/2
0
2
EIy
(1 + (w (x)) )
wobei w die Balkendurchbiegung, E der Elastizitätsmodul, My das
Biegemoment und Iy das axiale Flächenträgheitsmoment sind.
Durchbiegung w so klein, dass w 02 1, dann genügt die Näherung
w 00 (x) = −
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My (x)
.
EIy
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(1)
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Differentialgleichungen
Einleitende Beispiele
Balken gestützt am Rand bei x = A und
x = C.
Randwerte zur DGL (1):
w (A) = w (C ) = 0.
Verlauf eines Biegemoments an einem
Balken mit mittiger Kraft F (hier als
Punktlast P), mit dem maximalen
Biegemoment M bei L/2 inklusive des
Querkraftverlauf Q und der Biegeline w .
Abbildung: Biegelinie
Bildquelle: Bbanerje (Own work) via Wikimedia Commons
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