Zusammenfassung der 3. Vorlesung Mehrgrößensysteme

Zusammenfassung der 3. Vorlesung
Mehrgr
ößensysteme
Mehrgrößensysteme
Konsistente
ße
KonsistenteSteuerbarkeitsma
Steuerbarkeitsmaße
Beobachtbarkeit
Beobachtbarkeit
Beobachtkeitskriterien
Beobachtkeitskriterien
Kalman
-Kriterium
Kalman-Kriterium
Hautus
-Kriterium
Hautus-Kriterium
Steuer
- und
SteuerundBeobachtbarkeit
Beobachtbarkeitbei
beimehrfachen
mehrfachen
Eigenwerten
Eigenwerten
Normalformen
Normalformen
Diagonalform
ür durchweg
Diagonalformffür
durchwegverschiedene
verschiedenereelle
reelle
Eigenwerte
Eigenwerte
MIMO
-Regelungsnormalform nach
MIMO-Regelungsnormalform
nachLuenberger
Luenberger
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Normalformen (8)
Standardform
ür nicht
Standardform ffür
nichtsteuerbare
steuerbareSysteme
Systeme
steuerbare
steuerbareEigenwerte
Eigenwerte
nicht
nichtsteuerbare
steuerbareEigenwerte
Eigenwerte
Anzahl
Anzahlder
dernicht
nicht
steuerbaren
steuerbarenEigenwerte
Eigenwerte
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Normalformen (9)
Berechnung
ür nicht
Berechnungder
derStandardform
Standardform ffür
nichtsteuerbare
steuerbareSysteme
Systeme
ρ = Rang QS = Rang [ B, AB, ..., An−1B ] < n.
Sei
und
ρ
q1, q2, ..., qρ
linear unabhängige Spaltenvektoren von Qs.
Eine Transformation mit
Kann
ählt werden,
Kannfrei
freigew
gewählt
werden,
solange
är bleibt.
solange TT regul
regulär
bleibt.
T = [q1, q2, ..., qρ, Tn−ρ] ,
liefert dann die Standardform.
Achtung
Achtung! !
Kann
Kannschlecht
schlecht
konditioniert
konditioniertsein.
sein.
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Normalformen (10)
Beispiel:
Beispiel:Quanser
Quanser Modell
Modellmit
miteinem
einem Eingang
Eingang
0
0
A=
0

0

T


= 

 0 
 0 

B=
 5, 765 


−
0,
651


0
5, 8
0
−0, 65
5, 8
0
−0, 65
0

AT
0 1 0
0 0 1 
0 0 0

0 0 0


= 

5, 8
−0, 65
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0



= 





−1
T
= 










Q̃S = [ b1 b1A b1A2 b1A3 ]
T
−1

AT


= 

0
5, 8
0
−0, 65
5, 8
0
−0, 65
0
0
0
0 −1, 54
1 8, 85
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0






0 −1, 54

0
0



0 steuerbare
0
Eigenwerte
steuerbare
Eigenwerte
1 8,
85





T
−1

B


= 

1
0
0
0





nicht
nichtsteuerbare
steuerbareEigenwerte
Eigenwerte
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen
SISO
-Systeme
SISO-Systeme
Z(s)
G(s) =
N (s)
Pole sind die komplexen
Zahlen sp, für die der Nenner verschwindet (N (sp ) =
0).
Nullstellen sind die komplexen Zahlen sn, für die
der Zähler Z(s) zu Null
wird.
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
MIMO
-Systeme
MIMO-Systeme


G11(s) · · · G1m(s)

...
...
G(s) = 


Gm1(s) · · · Gmm(s)
Wie
Wiedefiniert
definiertman
mandie
diePole
Pole
und
undNullstellen
Nullstelleneiner
einer
ÜÜbertragungsmatrix?
bertragungsmatrix?
Eine naheliegende Definition der Pole einer Übertragungsmatrix sind die Nullstellen des Hauptnenners
aller Einzelübertragungsfunktionen.
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (2)
22-DOF
-DOF Hubschraubermodell
Hubschraubermodell
0
0
A=
0

0
0 1 0
0 
 0
 0

0 0 1 
0

B=
 5, 765 − 0,326 
0 0 0



0 0 0
 −0, 651 2, 786 
1 0 0 0 
C=

0 1 0 0 
Eigenwerte:

⇒
5, 77
0, 33
− 2 

2


s
s


G(s) = 

2, 79 
 0, 65
− 2
s
s2
Hauptnenner: H(s) = s2
Pole: p1 = p2 = 0
{λ} = {0, 0, 0, 0}
Hubschraubermodell
Hubschraubermodellhat
hatweniger
wenigerPole
Poleals
alsEigenwerte
Eigenwerte!!
Bei
-Systemen bedeutet
ß das
BeiSISO
SISO-Systemen
bedeutetdies,
dies,da
daß
dasSystem
System
nicht
- und/oder
nichtsteuer
steuerund/oderbeobachtbar
beobachtbarist.
ist.
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek

Moderne Methoden der Regelungstechnik
Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (3)
22-DOF
-DOF Hubschraubermodell
Hubschraubermodell
0
0
A=
0

0
Q̃S
Q̃B
0 
0 1 0
 0
 0

0 0 1 
0

B=
 5, 765 − 0,326 
0 0 0



0 0 0
−
0,
651
2,
786


1 0 0 0 
C=

0 1 0 0 
= [ b1 b2 b1A b2A ]
= [ cT
1



= 

0
0
5, 8 −0, 33
0
0
−0.65
2, 8
5, 8
−0, 33
0
0
−0, 65
2, 8
0
0


cT2 (c1A)T (c2A)T ] = 
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1





Das Hubschraubermodell ist vollständig steuer- und
beobachtbar, da die Determinanten von Q̃S und Q̃B
ungleich Null sind !!
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik





Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (4)
Pole
bertragungsmatrix
Poleder
derÜÜbertragungsmatrix
Die Nullstellen der elementaren Nennerpolynome
Ni(s), i = 1, ..., ρ der Smith—McMillan—Normalform
von G(s) mit ρ dem Normalrang von G(s) sind die
Pole der Übertragungsmatrix G(s) bzw. die Übertragungspole eines Systems (A,B,C).
Der Normalrang einer gebrochen rationalen Matrix
G(s) ist der maximale Rang der Matrix G(s), der
sich für feste Werte des komplexen Parameters s
ergibt.
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Smith-Form einer Polynommatrix
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Smith-Form einer Polynommatrix (2)
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Moderne Methoden der Regelungstechnik
Smith-Form einer Polynommatrix (3)
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Smith-McMillan-Form
Z(
s) ist
Z(s)
isteine
einePolynommatrix
Polynommatrix
ρρist
s)
istder
derNormalrang
Normalrangder
derMatrix
MatrixF(
F(s)
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Moderne Methoden der Regelungstechnik
Smith-McMillan-Form (2)
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (5)
Pole
bertragungsmatrix des
-DOF Hubschraubermodells
Poleder
derÜÜbertragungsmatrix
des22-DOF
Hubschraubermodells



G(s) = 


5, 77
0, 33
−
s2
s2
0, 65 2, 79
− 2
s
s2







1  5, 77 −0, 33 
G(s) = 2 

s
−0, 65 2, 79
⇒
1
H(s)
Determinantenteiler von Z(s):
d1(s) = 1
|Z(s)|
⇒
⇒
i1(s) = d1(s) = 1
i2(s) = d2(s)/d1(s) = 1
d2(s) = 1
⇒
Z(s)
Elementarpolynome von Z(s):
= 5, 77 · 2, 79 − 0, 33 · 0, 65
= 15, 88

Pole: p1 = p2 = p3 = p4 = 0


S{Z(s)} = 
1 0
0 1
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek



⇒

1
 2
1
s
M {G(s)} =
S{Z(s)} = 

H(s)
0

0 

1 
s2
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (6)
Wie
bertragungsmatrix ??
Wiedefiniert
definiertman
mandie
dieNullstellen
Nullstellender
derÜÜbertragungsmatrix
Charakteristische
CharakteristischeEigenschaften
Eigenschaftender
derNullstellen
Nullstellender
der
ÜÜbertragungsfunktion:
bertragungsfunktion:
Sei
bertragungsfunktion G(s)
Seinni ieine
eineNullstelle
Nullstelleder
derÜÜbertragungsfunktion
G(s)so
sogilt:
gilt:
G(s = ni) = 0
Würde man diese Eigenschaften als Grundlage nehmen, so
müßte für die Übertragungsmatrix gelten:
G(ni) = 0
Dies ist nur möglich, wenn alle Einzelübertragungsfunktion gij(s) der
Übertragungsmatrix eine Nullstelle bei s=ni haben.
⇒
Die
bertragungsmatrix eines
-Systems hhätte
ätte in
DieÜÜbertragungsmatrix
einesMIMO
MIMO-Systems
in
der
derRegel
Regelkeine
keineNullstelle
Nullstelle!!!
!!!
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (7)
Eine
Eineweitere
weiterecharakteristische
charakteristischeEigenschaften
Eigenschaftender
derNullstellen
Nullstellender
der
ÜÜbertragungsfunktion
bertragungsfunktion ist:
ist:
Eine
bertragungsfunktion G(s)
EineNullstelle
Nullstellenni ider
derÜÜbertragungsfunktion
G(s)blockiert
blockiertdie
die
nt
ÜÜbertragung
bertragung eines
einesSignals
Signalsu(t)
u(t)==eeni itmit
mitder
derkomplexen
komplexenFrequenz
Frequenznni..
i
Beispiel:
Beispiel:
⇒
Pole: p1 = 0, p2 = −2
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Nullstelle: n1 = −1
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (8)
Beispiel
Beispiel(Fortsetzung):
(Fortsetzung):
Anregung mit u(t) = en1t = e-t
liefert für x(0) = 0 die
Systemantwort y(t)
-t
FFür
ür xx(0)
(0) ==[1
1]TTund
ält man
[1 --1]
und u(t)
u(t)==ee-terh
erhält
man
⇒
y(t) = x1(t) + x2(t) = 0
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (9)
Verallgemeinerung
-Systeme:
Verallgemeinerungauf
aufMIMO
MIMO-Systeme:
Gesucht
(0), so
ß ffür
ür
Gesuchtwerden
werdenZahlen
Zahlennni iund
undein
einAnfangszustand
Anfangszustand xx(0),
soda
daß
u(t) = ûenit
der
derAusgangsvektor
Ausgangsvektorverschwindet:
verschwindet:
y(t) = 0
Eine notwendige Bedingung für y(t) = 0 ist:
⇒ (C(niI − A)−1B)û = 0
G(ni)
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
· û = 0
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (10)
Eine
ösung des
Einenicht
nichttriviale
trivialeLLösung
deslinearen
linearenGleichungssystems
Gleichungssystems
G(ni) ·û = 0
existiert
(ni))kleiner
als m ist.
existiertnur
nurdann,
dann,wenn
wennder
derRang
Rangder
derMatrix
MatrixGG(n
i kleiner als m ist.
⇒
det G(ni ) = 0
Definition:
Die Nullstellen der Übertragungsmatrix G(s) sind
die komplexen Zahlen ni für die
det G(ni) = 0
gilt.
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik
Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (11)
Diese
ünden problematisch:
DieseDefinition
Definitionist
istaus
ausfolgenden
folgendenGr
Gründen
problematisch:
••
••
••
Die
DieDeterminante
Determinanteist
istnicht
nichtmehr
mehreindeutig
eindeutigdefiniert,
definiert,wenn
wenn
Elemente
bertragungsmatrix Pole
Elementeder
derÜÜbertragungsmatrix
Polebei
beinni ihaben,
haben,da
da
diese
ß werden.
dieseElemente
Elementedann
dannunendlich
unendlichgro
groß
werden.
Vielfachheiten
önnen nicht
Vielfachheiteneiner
einerNullstelle
Nullstellekkönnen
nichtbestimmt
bestimmt
werden.
werden.
Welche
bertragungsmatrix, wenn
WelcheNullstellen
Nullstellenhat
hatdie
dieÜÜbertragungsmatrix,
wennder
der
Normalrang
(s) <<m
Normalrangvon
vonGG(s)
m ist???
ist???
Das letzte Problem kann mit dieser Definition gelöst werden:
Die Nullstellen der Übertragungsmatrix G(s) sind
die komplexen Zahlen ni für die
Rang G(ni) < Normalrang G(s)
gilt.
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek
Moderne Methoden der Regelungstechnik