dxx ∫ ∫ = dt²t3 )x(F 3 1 + = = = c)x(F)}x(f)x´(F|)x(F{ dx)x(f = xdx2 = +

LK Mathematik
Infinitesimalrechnung
9
x
Beispiel 2: Gegeben ist die Funktion: F( x ) = ∫ 3t ²dt .
1
a) In welchem Punkt hat GF die Steigung 0,75?
b) Wie lautet die Gleichung der Tangente an GF in P(
1
; ... )?
3
1.7
Die Stammfunktion
Definition: Eine differenzierbare Funktion F(x) heißt Stammfunktion zu f(x), wenn gilt F´(x) = f(x).
Satz: Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion!
Nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion!
Aufgabe: Zeige durch Rechnung, dass F(x) = x² + 2 Stammfunktion zu f(x) = 2x, aber keine Integralfunktion zu f(x) ist.
Definition: Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral.
Man schreibt: ∫ f ( x )dx = {F( x ) | F´(x ) = f ( x )} = F( x ) + c
Integrationsformeln:
Beispiele:
n
∫ x dx =
1. ∫ 2 xdx =
∫ sin xdx =
2. ∫ (
∫ cos xdx =
∫ x dx =
3. ∫
x4
x2
− 3x 3 +
− x + 7)dx =
2
3
x2 +3
dx =
x2
1.8 Integration mit Hilfe von Stammfunktionen
Definition: Ist F eine beliebige Stammfunktionen von f, dann gilt:
b
b
a
a
∫ f ( x )dx = [F( x )] = F(b) − F(a )
Beispiele:
4
4. ∫ 3 x dx =
1
Π
5. ∫ (2x − sin x )dx =
0
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Infinitesimalrechnung
x
[ ]
Beispiel 2: Gegeben ist die Funktion: F( x ) = ∫ 3t ²dt = t
3 x
1
9
= x 3 −1 .
1
a) In welchem Punkt hat GF die Steigung 0,75?
F’(x) = 3x2 = 0,75; x = ± 0,5
0, 5
[ ]
F(0,5) = ∫ 3t 2 dt = t 3
0, 5
1
= 0,5 3 − 13 = −0,875 ⇒ P1(0,5/-0,875); analog folgt P2(-0,5/-1,125)
1
b) Wie lautet die Gleichung der Tangente an GF in P(
1
;
3
m = F’(
1
)=1; t= −
3
1.7
2
3 −1
9
⇒ y= x−
3
− 1 )?
9
2
3 −1
9
Die Stammfunktion
Definition: Eine differenzierbare Funktion F(x) heißt Stammfunktion zu f(x), wenn gilt F´(x) = f(x).
Satz: Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion!
Nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion!
Aufgabe: Zeige durch Rechnung, dass F(x) = x² + 2 Stammfunktion zu f(x) = 2x, aber keine Integralfunktion zu f(x) ist.
F’(x) = 2x = f(x) ⇒ F(x) ist Stammfunktion von f(x)
F(x) > 0 für alle x ∈ D ⇒ F(x) hat keine Nullstelle ⇒ F(x) kann keine Integralfunktion sein
Definition: Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral.
Man schreibt: ∫ f ( x )dx = {F( x ) | F´(x ) = f ( x )} = F( x ) + c
Beispiele:
Integrationsformeln:
n
∫ x dx =
1
x n +1 + c
n +1
2
1. ∫ 2 xdx = x + c
∫ sin xdx = -cosx + c
2. ∫ (
∫ cos xdx = sinx + c
3
2
∫ x dx = x 2 + c
3
3. ∫
x4
x2
1 5 3 4
1
− 3x 3 +
− x + 7)dx =
x − x + x 3 − x 2 + 7x + c
10
4
2
2
3
3
3
x2 +3
dx = ∫ (1 + 2 )dx = x − + c
2
x
x
x
1.8 Integration mit Hilfe von Stammfunktionen
Definition: Ist F eine beliebige Stammfunktionen von f, dann gilt:
b
b
a
a
∫ f ( x )dx = [F( x )] = F(b) − F(a )
Beispiele:
4
3 4 
3
4. ∫ x dx =  x 3  = 33 4 −
4
4

1

1
4
3
Π
[
]
π
5. ∫ ( 2 x − sin x )dx = x 2 + cos x 0 = π2 − 2
0
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