¨Ubungen zur Vorlesung Spieltheoretische Methoden in der Logik

Aufgabenblatt 3
Sommersemester 2010
Markus Lohrey
Übungen zur Vorlesung Spieltheoretische Methoden in der Logik
Seien K1 = (V1 , E1 , Π, π1 ) und K2 = (V2 , E2 , Π, π2 ) zwei Kripkestrukturen.
Eine binäre Relation R ⊆ V1 × V2 ist eine Bisimulation auf (K1 , K2 ), wenn
für alle (v1 , v2 ) ∈ R gilt:
• ∀p ∈ Π : v1 ∈ π1 (p) ⇐⇒ v2 ∈ π2 (p)
• ∀w1 ∈ NK1 (v1 ) ∃w2 ∈ NK2 (v2 ) : (w1 , w2 ) ∈ R
• ∀w2 ∈ NK2 (v2 ) ∃w1 ∈ NK1 (v1 ) : (w1 , w2 ) ∈ R
Schließlich gelte v1 ∼ v2 , falls eine Bisimulation R auf (K1 , K2 ) mit (v1 , v2 ) ∈
R existiert.
1. Zeigen Sie, dass ∼ eine Bisimulation auf (K1 , K2 ) ist.
2. Zeigen Sie für den Fall K1 = K2 , dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
3. Zeigen Sie, dass aus v1 ∼ v2 folgt:
∀ϕ ∈ ML(Π) : v1 ∈ [[ϕ]]K1 ⇐⇒ v2 ∈ [[ϕ]]K2 .
4. Konstruieren Sie aus den Kripkestrukturen K1 und K2 ein Erreichbarkeitsspiel G(K1 , K2 ) = (S, →, ρ, E) mit den folgenden Eigenschaften:
• V1 × V2 ⊆ S
Eve
• ∀(v1 , v2 ) ∈ V1 × V2 : v1 6∼ v2 ⇐⇒ (v1 , v2 ) ∈ WG(K
1 ,K2 )
5. Sei K = (V, E, Π, π) eine Kripkestruktur und sei v ∈ V . Die Auffaltung
F (K, v) von K bei v ist die Kripkestruktur (V 0 , E 0 , Π, π 0 ) mit:
• V 0 = {v0 · · · vn ∈ V ∗ | n ≥ 0, v0 = v, ∀0 ≤ i < n : (vi , vi+1 ) ∈ E}
• E 0 = {(wv1 , wv1 v2 ) ∈ V 0 × V 0 | w ∈ V ∗ , (v1 , v2 ) ∈ E}
• π 0 (p) = {wv 0 ∈ V 0 | w ∈ V ∗ , v 0 ∈ π(p)} für p ∈ Π
Konstruieren Sie eine Bisimulation R auf (K, F (K, v)) mit (v, v) ∈ R.
Folgern Sie hieraus, dass für jede Formel ϕ ∈ ML(Π) gilt:
(K, v) |= ϕ ⇐⇒ (F (K, v), v) |= ϕ